湖南司法警官职业学院《高等数学下》期末试卷（A） 适用区队：05信管301 命题人：张建贵 时量：100min 区队： 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 总分  得分         一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 的特解形式可设为（ A ）； (A)； (B)； (C)； (D)． 2. 下列方程中，通解为的微分方程是（ A ）． (A)； (B)； (C)； (D)． 3. 当与满足（ D ）时，有； ； (为常数)； ∥； ． 4. 在空间直角坐标系中，方程所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 5. 直线与平面的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为； (D) 夹角为． 6. 已知，则（ C ）；  ；  ；    ． 7. 函数的驻点为（ B ）； 和； 和； 和； 和． 8. 根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )； (A)：≤，≤； (B)：≤，≤； (C)：≤； (D)：+≤. 9. ( C )，其中：≤≤； (A)； (B)； (C)； (D). 10. 正项级数若满足条件（ D ）必收敛； (A)； (B)； (C)； (D)． 二、填空题（每小题3分，共21分） 1. 与平面垂直的单位向量为 ； 2. 曲线在平面上的投影曲线方程为 ； 3. 的定义域为  ； 4. 设，则； 5. 设：≤，≤，则　 ０ 　； 6.函数的泰勒级数收敛于的必要条件是 ； 7. 写出麦克劳林展开式，并注明收敛域：  . 三、判断题（ 正确的打“√”，错误的打“X”,每小题2分，共14分） 1. 若y1和y2是二阶齐次线性方程的解，则（C1，C2为任意常数）是其通解 ； （  ） 2. ; ( √ ) 3. 表达式成立； （ √ ） 4. 若在处偏导数存在，则在处一定可微；（  ） 5. 二重积分≥的几何意义是以为曲顶，为底的曲顶柱体的体积； ( √ ) 6. 交错级数若则收敛;　　 （  ） 7. 函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数.　　 　 （ √ ） 四、微积分计算题（每小题7分，共21分） 1. 解微分方程 ； 解：设，则，原方程变形为 ， 对应的齐次方程为 ， 用分离变量法，得 ， 两边积分，得 ， 即， 根据常数变易法，设，代入，有 ，  积分得 ===， 变形后所得一阶微分方程的通解为 =， 所以，原方程的通解为 == =+． 2. 在曲线上求一点，使其在该点的切线平行与平面，并写出切线方程； 解 设所求点为（，，），=1，=2，=3， 故切线方程为 ， 由于切线与平面平行，切线的方向向量={1，2，3}与平面的法向量={1，2，1}垂直，有  ={1，2，3}·{1，2，1}=1+4+3=0， 解方程，得 =或， 当=时，切点为（，1，），切线方程为 ； 当=时，切点为（，，）， 切线方程为 ， 即 ． 3. 计算二重积分，：由直线及所围成。 解 画出区域Ｄ的图形， 选择先对积分，这时区域D的表达式为 于是 ＝＝ ＝＝＝， 所以 ＝． 五、求函数的极值（7分）。 解 第一步：由极值的必要条件，求出所有的驻点  解出   第二步：由二元函数极值的充分条件判断这两个驻点是否为极值点，为了简明列表如下：          结论        是极值点，且 为极大值点        不是极大值点   因此，函数的极大值为． 六、求的收敛域与和函数（7分）. 解 因为 ==， 设=，容易求得，此级数的收敛半径为1，收敛区间为（-1，1）． 设 ===， 积分得 ===， 求导得 ===， 再求导得 ===， 所以 == ．