第三节 晶向, 晶面和它们的标志
本节主要内容,
1.3.1 晶向及晶向指数
1.3.2 晶面及密勒指数
§ 1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向
通过晶格中任意两个格点
连一条直线称为 晶列,晶列的
取向称为 晶向,描写晶向的一
组数称为 晶向指数 (或 晶列指数
)。
过一格点可以有无数 晶列 。
(3)晶列族中的每一晶列上,
格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的
距离相等。
(1)平行晶列组成晶列族，晶列
族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的；
晶列的特点
2.晶向指数
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
332211 alalalR ??????
(1) 用固体物理学原胞基矢表示
321,,lll[ ]晶列上格点的周期 =?
如 [121]表示
1,2,1 321 ???? lll
321 aaa,,
为固体物理学原胞基矢
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
其中 为整数，将 化为互质的整数,
记为 [ ],[ ]即为该晶列的 晶列指数 。
321,,lll ???
321,,lll321,,lll ???
321 lll 321 lll
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
? ?为布拉维原胞基矢cbacpbnamR,,??????
其中 为有理数,将 化为 互质的整数 m,n,p,
记为 [mnp],[mnp]即为该 晶列 的 晶列指数,
pnm ???,,pnm ???,,
a
b
c
O
A
B
C
D
E 例 1,如图在立方体中,
D是 BC的中点，求 BE,AD的晶列指数 。
kcjbia ???,,
,iOB ?,kjiOE ???
kjOBOEBE ????
解,
晶列 BE的晶列指数为,[011]
,kOA ?,jiOD
2
1??
kjiOAODAD ????? 21
AD的晶列指数为, a
b
c
O
A
B
C
D
E
]221[
求 AD的晶列指数 。
注意,
(1)晶列指数一定是一组互质的整数；
(2)晶列指数用方括号表示 [ ]；
(3)遇到负数在该数 上方 加一横线。
晶列 (11-1)
晶列 [11-1]
晶列 (111)
晶列 [111] ? (4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的
晶列一共有 6个不同的晶向，由于
晶格的对称性，这 6个晶向并没有
什么区别，晶体在这些方向上的
性质是完全相同的，统称这些方
向为 等效晶向,写成 <100>。
[100]
[001]
[010]
[100]
[010] [001]
1.3.2 晶面及密勒指数
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，
称为晶面，描写晶面方位的一组数称为 晶面指数 。
1.晶面
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；
(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布 (情况 )相同；
(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
(2)晶面上格点分布具有周期性；
2.晶面指数
晶面方位
晶面的法线方向 (法线方向与三个坐标轴夹角 )
晶面在三个坐标轴上的截距
(1)以固体物理学原胞基矢表示
如图 取一格点为顶点,原胞的三
个基矢 为坐标系的三个轴，
设某一晶面与三个坐标轴分别交于
A1,A2,A3,设晶面的法线 ON交晶面
A1A2A3于 N,ON长度为 ?d,d为该晶
面族相邻晶面间的距离,?为整数，
该晶面法线方向的单位矢量用 表
示，则晶面 A1A2A3的方程为,
n
321,,aaa
dnX ???
A2
A3
O
2a
3a
1a
A1
N ?d
n
? ?
? ?
? ? dn,aat
dn,aas
dn,aar
?
?
?
?
?
?
33
22
11
c o s
c o s
c o s
取 为天然长度单位，则得,
321 a,a,a
332211 atOA,asOA,arOA ???设
dnX ???
dnat
dnas
dnar
?
?
?
??
??
??
3
2
1
? ? ? ? ? ? tsrnanana 1:1:1,c o s:,c o s:,c o s 321 ?
晶面的法线方向与三个坐标轴 (基矢 )的夹角的余弦之比，
等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
A2
A3
O
2a
3a
1a
A1
N
?d
n
可以证明,r,s,t必是一组有理数 ---阿羽依的有理数定理 。
? ? ? ? ? ? tsrnanana 1:1:1,c o s:,c o s:,c o s 321 ?
设 的末端上的格点分别在离原点距离 h1d,h2d、
h3d的晶面上，这里 h1,h2,h3为整数 。
321,,aaa
(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原
点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
(1)所有格点都包容在一族晶面上 ；因此给定晶面族中必
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点
也一定落在该晶面族的晶面上；
321,,aaa
dhna
dhna
dhna
33
22
11
??
??
??
取 为天然长度单位得,
321 a,a,a
? ?
? ?
? ? dhnaa
dhnaa
dhnaa
333
222
111
,c o s
,c o s
,c o s
?
?
?
? ? ? ? ? ? 321321,:,c o s:,c o s:,c o s hhhnanana ?
? ? ? ? ? ? tsrnanana 1:1:1,c o s:,c o s:,c o s 321 ?又
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
dnX ???
A2
A3
O
2a
3a
1a
A1
N
?d
n
tsrhhh
1:1:1::
321 ?
tsrhhh
1:1:1::
321 ?
可以证明 h1,h2,h3一定是互质的, 称它们为该晶面族的
面指数，记为 (h1h2h3 ) 。
任一晶面在坐标轴上的截距 r,s,t必是一组有理数 。
因为 h1,h2,h3为整数,所以 r,s,t必为有理数。
综上所述，晶面指数 (h1h2h3 )表示的意义是；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
(2)以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴
上的截距倒数的互质比；
321 a,a,a
(1)基矢 被平行的晶面等间距的分割成 h1,h2,h3
等份；
321,,aaa
以布拉维原胞基矢 为坐标轴来表示
的晶面指数称为 密勒指数,用 (hkl)表示 。
cba,,
例 2,如图所示, I和 H
分别为 BC,EF之中点,试求晶面
AEG,ABCD,OEFG,DIHG的密
勒指数。
cba ??
AEG ABCD DIHG
1
1
1
?
?
1
2
1
?
h'
k'
l'
在三个坐标
轴上的截距
a
b
c
O
A B
C D
E
F G
H
I
AEG ABCD DIHG
1
1
1
?
?
1
2
1
?
h'
k'
l'
在三个坐标
轴上的截距
lkhlkh ????
1:1:1:,1:1:1
(hkl) (111)
1
1:1:1
??
(001)
?
1:
1
1:
2
1
(120)
AEG 的密勒指数是 (111)；
OEFG的密勒指数是 (001)；
DIHG的密勒指数是 (120)。 a
b
c
O
A B
C D
E
F G
H
I
A
B C
D c
b a
E
F
G
例 3,在立方晶系中画出 (210),晶面。 )121(
晶面在三个坐标轴上的截距分别为,
a b c
2
1 1 ?(210)
)121( 1
2
1? 1
密勒指数是 (210) 的晶面是 ABCD面 ；
(121) 密勒指数是 的晶面是 EFG面 ；
本节主要内容,
1.3.1 晶向及晶向指数
1.3.2 晶面及密勒指数
§ 1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向
通过晶格中任意两个格点
连一条直线称为 晶列,晶列的
取向称为 晶向,描写晶向的一
组数称为 晶向指数 (或 晶列指数
)。
过一格点可以有无数 晶列 。
(3)晶列族中的每一晶列上,
格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的
距离相等。
(1)平行晶列组成晶列族，晶列
族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的；
晶列的特点
2.晶向指数
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
332211 alalalR ??????
(1) 用固体物理学原胞基矢表示
321,,lll[ ]晶列上格点的周期 =?
如 [121]表示
1,2,1 321 ???? lll
321 aaa,,
为固体物理学原胞基矢
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
其中 为整数，将 化为互质的整数,
记为 [ ],[ ]即为该晶列的 晶列指数 。
321,,lll ???
321,,lll321,,lll ???
321 lll 321 lll
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
? ?为布拉维原胞基矢cbacpbnamR,,??????
其中 为有理数,将 化为 互质的整数 m,n,p,
记为 [mnp],[mnp]即为该 晶列 的 晶列指数,
pnm ???,,pnm ???,,
a
b
c
O
A
B
C
D
E 例 1,如图在立方体中,
D是 BC的中点，求 BE,AD的晶列指数 。
kcjbia ???,,
,iOB ?,kjiOE ???
kjOBOEBE ????
解,
晶列 BE的晶列指数为,[011]
,kOA ?,jiOD
2
1??
kjiOAODAD ????? 21
AD的晶列指数为, a
b
c
O
A
B
C
D
E
]221[
求 AD的晶列指数 。
注意,
(1)晶列指数一定是一组互质的整数；
(2)晶列指数用方括号表示 [ ]；
(3)遇到负数在该数 上方 加一横线。
晶列 (11-1)
晶列 [11-1]
晶列 (111)
晶列 [111] ? (4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的
晶列一共有 6个不同的晶向，由于
晶格的对称性，这 6个晶向并没有
什么区别，晶体在这些方向上的
性质是完全相同的，统称这些方
向为 等效晶向,写成 <100>。
[100]
[001]
[010]
[100]
[010] [001]
1.3.2 晶面及密勒指数
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面，
称为晶面，描写晶面方位的一组数称为 晶面指数 。
1.晶面
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；
(3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布 (情况 )相同；
(4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。
(2)晶面上格点分布具有周期性；
2.晶面指数
晶面方位
晶面的法线方向 (法线方向与三个坐标轴夹角 )
晶面在三个坐标轴上的截距
(1)以固体物理学原胞基矢表示
如图 取一格点为顶点,原胞的三
个基矢 为坐标系的三个轴，
设某一晶面与三个坐标轴分别交于
A1,A2,A3,设晶面的法线 ON交晶面
A1A2A3于 N,ON长度为 ?d,d为该晶
面族相邻晶面间的距离,?为整数，
该晶面法线方向的单位矢量用 表
示，则晶面 A1A2A3的方程为,
n
321,,aaa
dnX ???
A2
A3
O
2a
3a
1a
A1
N ?d
n
? ?
? ?
? ? dn,aat
dn,aas
dn,aar
?
?
?
?
?
?
33
22
11
c o s
c o s
c o s
取 为天然长度单位，则得,
321 a,a,a
332211 atOA,asOA,arOA ???设
dnX ???
dnat
dnas
dnar
?
?
?
??
??
??
3
2
1
? ? ? ? ? ? tsrnanana 1:1:1,c o s:,c o s:,c o s 321 ?
晶面的法线方向与三个坐标轴 (基矢 )的夹角的余弦之比，
等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
A2
A3
O
2a
3a
1a
A1
N
?d
n
可以证明,r,s,t必是一组有理数 ---阿羽依的有理数定理 。
? ? ? ? ? ? tsrnanana 1:1:1,c o s:,c o s:,c o s 321 ?
设 的末端上的格点分别在离原点距离 h1d,h2d、
h3d的晶面上，这里 h1,h2,h3为整数 。
321,,aaa
(2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原
点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
(1)所有格点都包容在一族晶面上 ；因此给定晶面族中必
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 末端上的格点
也一定落在该晶面族的晶面上；
321,,aaa
dhna
dhna
dhna
33
22
11
??
??
??
取 为天然长度单位得,
321 a,a,a
? ?
? ?
? ? dhnaa
dhnaa
dhnaa
333
222
111
,c o s
,c o s
,c o s
?
?
?
? ? ? ? ? ? 321321,:,c o s:,c o s:,c o s hhhnanana ?
? ? ? ? ? ? tsrnanana 1:1:1,c o s:,c o s:,c o s 321 ?又
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
dnX ???
A2
A3
O
2a
3a
1a
A1
N
?d
n
tsrhhh
1:1:1::
321 ?
tsrhhh
1:1:1::
321 ?
可以证明 h1,h2,h3一定是互质的, 称它们为该晶面族的
面指数，记为 (h1h2h3 ) 。
任一晶面在坐标轴上的截距 r,s,t必是一组有理数 。
因为 h1,h2,h3为整数,所以 r,s,t必为有理数。
综上所述，晶面指数 (h1h2h3 )表示的意义是；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
(2)以 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴
上的截距倒数的互质比；
321 a,a,a
(1)基矢 被平行的晶面等间距的分割成 h1,h2,h3
等份；
321,,aaa
以布拉维原胞基矢 为坐标轴来表示
的晶面指数称为 密勒指数,用 (hkl)表示 。
cba,,
例 2,如图所示, I和 H
分别为 BC,EF之中点,试求晶面
AEG,ABCD,OEFG,DIHG的密
勒指数。
cba ??
AEG ABCD DIHG
1
1
1
?
?
1
2
1
?
h'
k'
l'
在三个坐标
轴上的截距
a
b
c
O
A B
C D
E
F G
H
I
AEG ABCD DIHG
1
1
1
?
?
1
2
1
?
h'
k'
l'
在三个坐标
轴上的截距
lkhlkh ????
1:1:1:,1:1:1
(hkl) (111)
1
1:1:1
??
(001)
?
1:
1
1:
2
1
(120)
AEG 的密勒指数是 (111)；
OEFG的密勒指数是 (001)；
DIHG的密勒指数是 (120)。 a
b
c
O
A B
C D
E
F G
H
I
A
B C
D c
b a
E
F
G
例 3,在立方晶系中画出 (210),晶面。 )121(
晶面在三个坐标轴上的截距分别为,
a b c
2
1 1 ?(210)
)121( 1
2
1? 1
密勒指数是 (210) 的晶面是 ABCD面 ；
(121) 密勒指数是 的晶面是 EFG面 ；
