§ 1-10
基尔霍夫定律
Ch1s10-1
Ch1s10-2
分析图 (a),(b)中的 u1,i1,u2,i2?
? ?ARR uii S 182 10
21
21 ?????? ? ?Vuuu s 1021 ???
(a) (b)
一, 网络拓扑的基本概念
? ?ViRu 212111 ????
? ?ViRu 818222 ????
? ?ARUi 5210
1
1
1 ???
? ?ARUi 25.1810
2
2
2 ???
Ch1s10-3
讨论
（ 1）图（ a）与图（ b）两电路组成的元件一样，但结果不同。
（ 2）各元件上的电压，电流不仅与元件本身的约束有关，
还与元件连接方式有关。
（ 3）电路中各支路 u,i受两类约束：
a,个体（ 元件特性） ?VCR
b,整体（联接方式约束） ?拓扑
（ 4）元件约束关系与拓扑约束关系是互为 独立 的。
Ch1s10-4
支路,(branch)组成电路的每一个二端口元件。（暂）
结点,(node)支路的连接点。
其中 a～ h表示左图中的各支路 ;1～ 5表示左图的各联接点
回路,(loop) 由支路构成的闭合路径。
(注：一个元件只能出现一次；
即,除起点、终点外，其他结点只能出现一次。 )
如上图中标 {a,b,d,c},{a,b,g,f}而 {a,b},{a,b,d,e}不是回路。
名词解释
（拓扑）图：用线段表示支路，用结点表示联接点的图 。
CH1S10-5
1.内容：
在 集总电路 中，在 任意时刻,电路中 任一结点 各支路电流的
代数和 为零。即：对结点 ? ? 0i
规定：参考方向流出结点的电流前取正号，否则前取负号。
流出结点的电流 流入结点的电流
51432
54321 0
iiiii
iiiii
?????
?????
讨论,(1) 基尔霍夫电流定律与元件性质无关,
2.基尔霍夫电流定律的另一种形式：
? ?? 流出电流流入电流
例 1-3-1
二．基尔霍夫电流定律（ KCL）
(2) 基尔霍夫电流定律规定了电路中与某一结点连接
的各支路电流的约束条件,
CH1S10-6
例：写出各结点的 KCL方程。
0:1 641 ???? iiin o d e
在任意时刻，电路中任一假想封闭面 S(包含几个结点 )各支路电流
的代数和为零，即：对广义结点
0??i
3.基尔霍夫电流定律的推广：
?
0:2 542 ???? iiin o d e
0:3 653 ???? iiinode
0321 ???? iii
CH1S10-7
解：
例 1-3-3
求,i3,i1？
对节点 a,- i3 + 7 – 2 = 0 i3 = 5(A)
对封闭面,- i1 – 2 + 2 – 7 = 0 i1 = - 7(A)
4.注意,(1)适用范围,KCL适用于任何集总电路。
(2) ?i=0中的 i前正负取决于参考方向。
(3)体现了电流的连续性，反映了电荷守恒定律。
CH1S10-8
1.内容,在 集总电路 中,任意时刻,沿 任一回路,所有支路电压的
代数和 为零。 即：沿任一回路，
规定：参考电压方向与环绕路径方向一致取正号，否则取负号。
2.注意,(1) KVL与元件性质无关。
? ? 0u
u1 - u2 + u3 + u4 - u5 = 0
基尔霍夫电压定律的另一种形式：
? ?? 电压升电压降
三．基尔霍夫电压定律（ KVL）
例 1-3-4
(2) KVL规定了电路中环绕某一闭合回路各支路电压
的约束条件。
u1 + u3 + u4 = u2 +u5
(3) KVL表明：两结点间的电压值为单值；
无论沿哪一条路径，两结点间的电压值相同。
解：对节点 b应用 KCL,i3 = 0
讨论,(1)KVL适用于任何集中参数电路,
CH1S10-9 例 1-3-5
求,uab?
对节点 c应用 KCL,i2 - i1 - i3 = 0
i2 = i1 = i
对回路 acda应用 KVL,2i + 4i + 6 = 0
i = - 1 (A)
对回路 abca应用 KVL,uab – 4 - (-1*2) = 0
uab = 2 (V)
(2) 反映了电压与路径无关。
CH1S10-10
应用欧姆定律：
)(4.8
10712 00
12 00
3
V
iu aa
?
???
?
?
例 1-3-6
四, 应用基尔霍夫定律求解简单电路
求,ia,ua？
解：
应用 KVL,15 + 1200ia + 3000ia – 50 + 800ia = 0
ia = 7(mA)
CH1S10-11
解：
应用 KVL,02120 ?????
aab uuu
应用欧姆定律：
?
?
?
??
?
iu
iu
a
b
15
30
联立求解得：
?
?
?
?
?
)(2 4 0
)(8
Vu
Ai
b
例 1-3-7
求,i,ub?
CH1S10-12
解,应用 KCL,-120 + ia + 30 + ib = 0
?
?
?
?
?
ui
ui
b
a
15
30
联立求解得：
?
?
?
?
?
?
?
?
)(30
)(60
)(2
Ai
Ai
Vu
b
a
例 1-3-8
求,ia,ib,u?
应用欧姆定律：
CH1S10-13
解：
应用 KCL,ib - 2ia - 0.024 - ia = 0
联立求解得：应用欧姆定律：
?
?
?
?
?
??
?
200 0
600 0
u
i
u
i
a
b
?
?
?
?
?
?
??
?
)(4.2
)(2.7
)(4.14
mAi
mAi
Vu
b
a
例 1-3-9
求,ia,ib,u?
参考点：指定的电路中某一结点，令其为公共参考点，
其它各结点电压以该参考点为基点。
电压：指两点间的电位差
CH1S10-14
五, 电路中各点电位
符号：
结点电压（电位）：指结点与参考点之间的电压，
参考方向指向参考点。
CH1S10-15 求,Ua,Ub,Uc,Ud?
)(31 Vuu sa ??
解：
Uab,Uac,Uad，
Ubc,Ubd,Ucd?
)(
3
8 Vuuu
baab ???
例 1-3-9
)(3131133 ViRu b ????
)(22 Vuu sc ????
0?du
)(5 Vuuu caac ???
)(3 Vuuu daad ???
)(
3
7 Vuuu
cbbc ???
)(
3
1 Vuuu
dbbd ???
)(2 Vuuu dccd ????
CH1S10-16
求, Ua,Ub,Uc，
Ud,Uab,Uac?
解：
讨论：参考点不同，各节点电位不同，但节点间的电位差不变。
例 1-3-10
)(3811 VRiu a ??
0?bu
)(3722 ViRu c ????
)(3133 ViRu d ????
)(38 Vuuu baab ???
)(5 Vuuu caac ???
ch1s9-1 § 1-9 受控源
受控电压源 受控电流源
x为控制量，
可以是某支路
的电压或电流
受
控
源
受控电压源
受控电流源
电压控制电压源（ VCVS）
电压控制电流源（ VCCS）
电流控制电流源（ CCCS）
电压（或电流）受其它支路电压或电流控制。
电流控制电压源（ CCVS）
受控源定义
名称
电路
模型
数学
模型
控制
系数
单位
(1)受控源属于电源的一种，分析中通常可 参照 独立源方法处理。
压控压源
VCVS
流控压源
CCVS
压控流源
VCCS
流控流源
CCCS
讨论
criu ? cgui ? cii ??cuu ??
μ r g α
无 欧姆 (Ω) 西门子 (S) 无
(2)分析时不得丢失控制量
ch1s9-2
ch1s9-3
已知,us=10(V),R1=1(KΩ)，
R2=100(Ω),r=0.2(Ω)
求,i2?
)(102101 0 0 102.0 53
21
2 ARR
rui s ???
?
???11
11
R
u
R
ui sR ??
2
1
2
2
2 R
ri
R
ui R ??
解：
解题思路
2
2
2 R
ui R?
1
11
R
ui R?12 riu R ?
sR uu ?1
(1)本例图中未标出 uR1,uR2的参考方向，
一般认为采用的关联参考方向。
讨论
例 1-2-12
第二章
电阻电路的等效变换（线性）
Ch2-1
（ 1）电阻的混联；
（ 2）电源的混联；
（ 3）电阻与电源的混联。
简单电路是指仅由电阻、直流独立源及受控源组成的少回路或
少结点电路。
ch2-2 主要内容
§ 2-1 引言
通过等效分析法分析简单电路。
加深欧姆定律及基尔霍夫定律的基本慨念，
掌握一些简单的实用电路的分析原理。
通过分析此类电路，加强对电路分析两大约束关系的理解及应用。
时不变 线性无源元件 + 线性受控源 + 独立源 =（时不变）线性电路
线性电阻 + 线性受控源 + 独立源 = (线性 )电阻 (性 )电路
一、等效的目的：
§ 2-2 电路的等效变换
对内不同
二、等效的原则：
对外等效
原电路、替代电路的外部伏安特性相同。
ch2-3
：当电路中某一部分用其等效电路替代以后,未被等效部分 的
电压、电流保持不变。 （等效电路以 外 ）
§ 2-3
电阻的串联和并联
Ch2s3-1
Ch2s3-2
1.元件串联的定义：
2,特点：
一, 电阻元件的串联
（ 1）将每两个元件的一端连接成一个公共结点。
（ 2）无其他元件联在该公共结点。
(1)i = i1 = i2 u = u1 + u2
(2)等效电阻,Req = ? Rj
(3)总功率,p = ? pj = Req i 2
(4)分压,uk =( Rk / Req ) u
1.元件并联的定义,
Ch2s3-3
（ 1）将每个元件的一端连接成一公共结点；
（ 2）将每个元件的另一端连接成另一个公共结点。
2,特点：
二, 电阻元件的并联
(1)u = u1 = u2 i = i1 + i2
(2)等效电导,Geq = ? Gj
(3)总功率,p = ? pj = Geq u 2
(4)分流,ik =( Gk / Geq ) i
Ch2s3-4
32
32
1321 // RR
RRRRRRR
eq ?????
三．电阻元件的混联
例：求 ab间的等效电阻。
Ch2s3-5
求,（ 1）无负载（ RL=∞）时,Uo=?
（ 2） RL=450kΩ时,Uo=?
（ 3） RL=0 时,30kΩ电阻的功耗？
（ 4） RL为多大时,50 kΩ电阻功耗
最大？是多少？
)(751205030 500 Vu ????
)(454 5 050 4 5 050Re Ωkq ????
)(48.01030 1 2 0 3
22
WRup ????
3
2
0
1050 ?
? up?
∴ 当 RL＝ ∞时,Uo最大，
50kΩ电阻功耗最大。
)(1125.0
1050
75
3
2
Wp ?
?
?
(1)
(2)
(4)
(3)
例 2-1-3
解：
)(721204530 450 Vu ????
Ch2s3-6
求,6Ω电阻的功耗？
)(810416 160 Ai ????
例 2-1-4
解：等效变换求 io
)(2.3846 4 Ai ????
)(44.6162.3 22 WRip ????
§ 2-4
电阻的 Y形连接与 ?形连接
的等效变换
Ch2s2-1
Ch2s4-2
1.定义：
星形（ Y） 三角形（ Δ）
一,Y形连接与 ?形连接
三个电阻一端都接在一个公共结点上；
另一端分别接在三个端子上。
三个电阻分别接在三个端子
的每两个之间。
辨认 Y形连接与 ?形连接
?形连接：
（ R1,R2,R3）
（ R3,R4,R6）
（ R2,R4,R5）
（ R2,R3,R4）
（ R4,R5,R6）
Y形连接：
二,Y形 —?形间的等效变换
1.等效变换原则,对外等效
当两种连接的电阻之间满足一定的关系时，在端子之 外 的特性
相同。即：在它们对应端子电压相同时，流入对应端子的电流
也分别相等；反之亦然。
Ch2s4-3
设对应端子间有相同的电压 u12,u23,u31：
等效证明
等效 ?流入对应端子 1,2,3的电流分别相等。
?连接中：
12
12
12 R
ui ?
23
23
23 R
ui ?
31
31
31 R
ui ?
据 KCL：
3131121231121 RuRuiii ????
1212232312232 RuRuiii ????
2323313123313 RuRuiii ????
Y连接中,221112 RiRiu ??
332223 RiRiu ??
0321 ??? iii
133221
312123
1 RRRRRR
uRuRi
??
??
133221
123231
2 RRRRRR
uRuRi
??
??
133221
231312
3 RRRRRR
uRuRi
??
??
Ch2s4-4
133221
3
12
1
RRRRRR
R
R ???
133221
1
23
1
RRRRRR
R
R ???
133221
2
31
1
RRRRRR
R
R ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
＋＋
＝
＋＋
＝
＋＋
＝
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
2
133221
31
1
133221
23
3
133221
12
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
已知 ??求 Y 已知 Y ?求 ?
结论：
Y形电阻 = ?形相邻电阻的乘积 ?形电阻之和 ?形电阻 =
Y形两两电阻乘积之和
Y形不相邻电阻
Ch2s4-5
注意：
（ 2）
（ 1）
3321312312
?
????
RRRRRRRR ＝＝＝时，
YY RRRRRRRR 3 312312321 ＝＝＝时，＝＝＝
（ 3） ??Y或 Y ??：内部变，对外特性一致。
（ 4） 整个结构 ?整个结构，不是单个电阻之间的对应，关键在于找三个端子。
Ch2s4-6
Ch2s4-7 求,i?
)(72.3
10
5.189.0
89.0
04
V
u
?
?
?
?
例 2-2-11
解：
)(33.2
6.1
72.3
6.1
04
A
u
i
?
?
?
§ 2-5
电压源，电流源的串联和并联
Ch2s2-5
电压源串联
电流源并联
?
?
?
n
k
sks uu
1
?
?
?
n
k
sks ii
1
一,电压源的串联与电流源的并联
二,电压源的并联与电流源的串联
Ch2s2-6
电压源与电流源串联
电压源与电流源并联
例 2-2-2
三,电压源与电流源的并联与串联
Ch2s2-7
讨论,(1)与电流源串联的部分可忽略
四,电阻元件与电流源串联及电压源并联
(2)与电压源并联的部分可忽略
§ 2-6
实际电源的两种模型及其等效变换
一,实际电源的伏安特性及其电路模型
+
-
实际
电源
i
u
u
i
uoc
isc
二,us串 R与 is并 R相互等效
u
i
us
us/R
实际电源模型：可看成带内阻的电源
1.比较,若 G=1/R,is=Gus,则两方程相同,伏安特性
曲线重合,表示二者从端口处看完全等效,
2.结论,us串 R与 is并 G可相互等效,条件是,
u
i
io/G
is
Riuu s ??
G
i
G
iuGuii s
s ?????
Riu
G
R ss ?? 1
3.注意,
(1)两种组合的等效是对外部电路 (u,i,P)而言,
内部情况有所不同,欲求内部情况,则需还原,
(2)注意等效前后 us,is的参考方向,
(3)受控源也可等效,受控电压源串 R=受控
电流源并 R,但变换过程中控制量须保持
不变,
例 2-2-3
Ch2s2-9
求：化简等效电路
解：原电路
Ch2s2-10
例 2-2-4 解：
Ω 〕(6
0
3
2
1
?
?
??
eq
eq
eq
R
R
R
(6)任一元件与开路串联，与短路并联
求,Req3?
Ch2s2-11
例 2-2-5
解：
二．等效变换应用举例
(1) 求二端网的等效电路
Ch2s2-12
例 2-2-6
解：
Ch2s2-13
uiuiuiuiu 5512)1(1)1(2)1(1 ?????????????
iu 6561 ?? ui 5651 ???
原电路
上页末图
续例 2-2-6
Ch2s2-16
例 2-2-9
求,i？
)(91118 11 Ai ???
（ 3）求网络中某一支路的电压或电流
解：
Ch2s2-17
求,i2?
解：
031)15.05.0(3 22 ?????? ii
例 2-2-10
)(4.0522 Ai ??
§ 2-7
输入电阻
一,端口
由 KCL可知,i1=i2。
2.如何等效?
内部只含电阻
内部含电阻,受控源 输入电阻 Rin
等效电阻 Req(采用串，并联等效，
Y--?变换
二,输入电阻 Rin
i
uR
in ?
1.定义,对于不含独立源的一端口网络
u:端电压 i:端电流
1.定义,一个网络向外引出一对端子, 这
对端子可与外部电源或其它电路相接 。
2.计算方法,
(1)一端口内部仅含电阻
应用电阻的串、并联和 Y —?变换等
方法求得的等效电阻即为输入电阻
eqin RR ?
(2)一端口内部含电阻、受控源，
但不含独立源 (用定义求解 )。
A.在端口加电压源 us，然后求
出电流源 i;
B.在端口加电流源 is，然后求
出电压 u.
i
uR s
in ?
s
in i
uR ?
例 2-2-7
解：
u
RRR
u
R
u
R
ui )1)1(1(μ
21221
????????
21
1
)1(
1
1
RR
i
u
R i
???
???
21
21
)1(1)1(1 GGRRuiG i ?? ???????
解,uiiuiuiiuiu
2
513)42)
2((1)2(42)2( ?????????????
Ω 〕(726?? iuR i
例 2-2-8
Ch3-1
第三章
电阻电路的一般分析方法
ch3-2
(2)通过介绍变量的独立性与完备性，引入并重点讲授
网孔法，结点法，回路法；
电路分析的对象
主要内容
引言
(1)通过简单介绍支路电流法，阐述电路分析的基本步骤
及建立独立方程的原理和方法；
(3)介绍一般分析方法中各种电源处理的基本原则。
建立独立拓扑约束方程的依据
独立的元件约束方程数
2b个独立方程建立的方法
求解 2b个变量所需的独立方程数
b条支路的变量数
——各支路电压、电流
—— 2b
——2b
——元件约束关系 + 拓扑约束关系
—— b
—— KCL+KVL (b)
§ 3-1
电路 的 图
Ch3s1-1
电路 的 图 电路图
?
图论概念，
只有结点、支路，无具体元件
只表明电路的结构及其连接方式（拓扑性质）
既有电路连接形式，又有具体元件
Ch3s1-2
(a) (b)
回忆第一章的一个例子
（ 1）各元件上的电压，电流不仅与元件本身的约束有关，
还与 连接方式 有关。
（ 2）电路中各支路 u,i受两类约束：
a,个体（ 元件特性） ?VCR
b,整体（联接方式约束） ?KCL,KVL（拓扑）
（ 3）元件约束关系与拓扑约束关系是互为 独立 的
（ 4） ?引入电路的图来研究如何列出 KCL,KVL方程，
并讨论其独立性。
ch3s1-3
一、图
1.支路 (branch)
电路中一个元件，或几个元件的组合 ?一条支路
在图中用 线段 表示
2.结点 (node)
支路的连接点或端点
4.路径 (A?B)
从某一结点 (A)出发, 沿某些支路连续移动, 到达另一指定
结点 (B) (或原结点 )。
拓扑名词解释一
3.图 (Gragh)：
一个图 G是结点和支路的集合, 每条支路的两端都连接到
相应的结点上 。
不一定 将它所连接的结点均移去
在图中用 点 表示
允许有孤立的结点存在；但每条支路均连接到两个结点上。
?移去结点 ?移去与之连接的所有的支路
移去支路
Ch3s1-4
二、有向图：
标有支路电流参考方向的图。 (电压一般取关联参考方向 )
三、连通图：
图中任意两点间至少存在一条路径的图，
否则是非连接通图
四、平面图：
能在平面上画出，而没有任何空间交叉
支路的图，否则为非平面图
拓扑名词解释二
§ 3-2
KCL和 KVL的独立方程数
Ch3s2-1
寻找 KCL,KVL独立方程数目，
以及如何根据电路列出独立方程
Ch3s2-2
对此电路的图，列 KCL：
0])()[()(
11
????? ??
??
b
j
jj
n
k
k iiK C L
所以这 n个方程不独立。
一,KCL的独立方程数：
说明：方程组不独立。
0:1 13 ??? iinode
0:2 21 ??? iinode
0:3 23 ??? iinode
? 0
32 ?? ii
00?
因为每条支路都与两个结点相连，支路电流必然从某结点流出，
从另一结点流入,?在所有结点的 KCL方程中,每条支路电流必
然出现两次，且一次正，一次负。即
可以证明：
对于 n个结点的电路，在 任意 (n-1)个结点上可以列出 (n-1)个
独立 的 KCL方程。 （独立结点）
(n-1)
Ch3s2-3
如何确定独立回路
二,KVL的独立方程数
此图共有 13个回路，可列出 13个 KVL方程，
方程独立否？
1.连通图：
当图 G的任意两个节点之间至少存在一条
路径时,G就称为连通图
共有 8条支路,u,i共 16个未知数，
需要 16个独立方程
VCR:8个独立方程
KCL:4个独立方程
KVL:?应有 4个独立方程
借助
图论知识
2.树,(T)
一个连通图的树 T包含 G的全部结点和部分支路，
而树 T本身是连通的而且又不包含回路。
1.G的连通子集
2.包含 G的所有结点
3.不包含回路
树 T
树支：树 T的支路。 tree
连支：包含于 G，但又不属于树 T的支路。 link
Ch3s2-4
?
KVL的独立方程数：
证明：
图 G有许多不同的树，但无论哪一个树，树支数总是 (n-1)
? ? ?
树支数 = n - 1,连支数 l = b - (n-1) = b - n + 1
3.独立回路、基本回路
(1) 对任一个树，每加一个连支，便形成 一个 只包含 一个连支 的回路。
KVL独立方程数 l = b - n + 1
b - n + 1
单连支回路存在
的必然性
(2)全部单连支回路 ?单连支回路（基本回路组） ?独立回路组 。
?独立回路组数 = 单连支回路数 = 连支数
Ch3s2-5
(3)解方程
讨论
（ 1）利用元件约束关系及拓扑约束关系，可建立关于 2b个变量的
独立的 2b个方程。
其中 b个方程为元件约束关系方程；
n-1个方程为节点的 KCL方程；
b-(n-1)个方程为网孔的 KVL方程。
（ 2） 2b法就是依据该原理进行电路分析的。
2b法步骤
(1)选所有支路电压，电流为变量 2b 个
(2)列所有支路的元件约束关系方程 b个；
列独立的节点 KCL方程 n-1个；
列独立的网孔 KVL方程 b-(n-1)个
Ch3s2-6
求：
各支路电压，电流？
共有 8条支路,16个变量
支
路
约
束
关
系
方
程 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
6
3
26
20
2
6
4
3
8
37
26
5
44
33
22
11
i
ui
iu
u
iu
iu
iu
iu
独立的网孔 KVL方程
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
????
0
0
0
0
238
543
765
721
uuu
uuu
uuu
uuu
例 3-0-1
解：
该电路的拓扑图为
独立的节点 KCL方程
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?????
???
40
30
20
10
654
843
7532
821
节点
节点
节点
节点
iii
iii
iiii
iii以 (2,5,7)为树支
Ch3s2-7
求：
各支路电压，电流？
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
)(6
)(18
)(10
)(17
)(7
)(1
)(2
)(8
8
7
6
5
4
3
2
1
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
)(14
)(32
)(52
)(20
)(14
)(6
)(8
)(24
8
7
6
5
4
3
2
1
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
续例 3-0-1
§ 3-3
支路电流法
ch3s3-1
ch3s3-2 支路电流法的引出：
n个结点,b条支路：
VCR,b 个方程
KCL,(n-1)个独立方程
KVL,(b-n+1)个独立方程
以支路电流、支路电压为变量
则 2b 个变量
2b 个独立方程 2b法(缺点：方程个数多，
求解繁 )
一、支路电流法：
以支路电流 ik 为变量 (b个 ) 列方程。
依据：
VCR：
KCL：
KVL：
uk = f ( ik )
ch3s3-3 1、举例说明,（ 4个结点,6条支路）
1.KCL,(独立方程数 n-1=3)
node 1,-i1+ i2 + i6 =0
node 2,-i2- i3 + i4 =0
node 3,-i4- i6 + i5 =0
n-1=3
2.VCR,(独立方程数 b=6)
u1= i1R1- us1 b=6
i1R1- us1+ i2R2 - i3R3 =0loop1:
loop 2:
loop 3,i3R3 + i4R4 + (i5+is5)R5 =0i6R6 - i4R4 - i2R2 =0 b-n+1=3
整理得,i1R1+ i2R2 - i3R3 = us1
i3R3 + i4R4 + i5R5 = is5R5
i6R6 - i4R4 - i2R2 =0
最终，方程组由 <1> <2>组成。
<1>
<2>
u2= i2R2 u3= i3R3
u4= i4R4 u5= (i5+is5)R5 u6= i6R6
u1+ u2 - u3 =0
u3 + u4 + u5 =0
u6 - u4 - u2 =0
3.KVL,(独立方程数 b-n+1=3) 选自然网孔
以 (2,3,4)为树支
ch3s3-4
（ 6）求解其他变量。
2、支路电流法步骤
（ 1）确定变量 ik (b个 )，确定 ik 参考方向；
（ 2）列独立的结点 KCL方程 (n-1个 )；
（ 3） 列独立的回路 KVL方程 (b-n+1个 )，溶入元件 VCR，
形式为,?ikRk = ? usk
其中,ikRk:回路中所有支路 ik与回路方向
（ 4）求解方程，求出支路电流；
（ 5）依据支路约束关系，求解支路电压；
一致：,+‖
相反：,-‖
usk:回路中电源电压 usk与回路方向 一致：,-‖相反：,+‖
3、支路电流法的局限性
不能解决 无伴电流源 的情况 （因为此支路电压无法用支路电流表示）
ch3s3-5 求：各支路电流及
各元件上的电压？
(2)列独立的节点 KCL方程
aIII 节点0321 ???
(3)列独立的网孔 KVL方程
?
?
?
??
??
2102010
120205
32
31
网孔
网孔
II
II
(4)解支路电流
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
)(71.0
7
5
)(43.0
7
3
)(14.1
7
8
3
2
1
AI
AI
AI
(5)求解元件上电压
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
???
?
?
?
?
?
????
????
)(3.14
7
5
20
)(29.4
7
3
10
)(7.5
7
8
5
333
222
111
VIRU
VIRU
VIRU
R
R
R
例 3-1-1
解：
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3)
ch3s3-6
求：各支路电流及电压？
(2)列独立的节点 KCL方程
?
?
?
?
?
????
????
???
cIII
bIII
aIII
节点
节点
节点
0
0
0
631
532
421
(3)列独立的网孔 KVL方程
?
?
?
?
?
??
???
????
311.0
2215.0
111.05.01
52
53
231
网孔
网孔
网孔
adUII
II
III
例 3-1-2
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3,I4,I5,I6 其中 I4=3A已知 )
要点：电流源的处理
解：
1
3 2
ch3s3-7
(d)在实际例子中，由于 I4已知，支路电流的实际变量少一个，所
以也可不列网孔 3的 KVL方程。这样就不会出现变量 uad，仍
可保证变量数与方程数一致。
讨论
(a)对电流源，因其电流为
常数，与电压无关，在
列网孔 3的 KVL方程时，
无法用 I4 表示 uad
(b)对含无伴电流源的电路，列支路电流方程时，可增加一个变量：
该电流源上的电压。
(c)因该支路电流为已知，由此条件，应补充一个方程 ij=is，
使变量数与方程数一致。
(4)求解支路电流
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
)(58.0
)(42.2
)(3
)(84.0
)(26.3
)(26.0
6
5
4
3
2
1
AI
AI
AI
AI
AI
AI
(5)求解支路电压
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
?
???
???
???
????
)(75.2
)(2
)(42.21
)(42.05.0
)(32 6.01.0
)(74.011
5
3
2
1
Vuuu
Vu
VIu
VIu
VIu
VIu
bdabad
cd
bd
bc
ab
ac
ch3s3-8 续例 3-1-2
(1)电源的处理，尤其是电流源的处理
支路电流法的难点
(2)受控源的处理
ch3s3-9 独立源处理方法
独立源
电流源电压源
直接列方程 利用等效变换
转换为电压源
直接列方程
(1)增加一个变量：
电流源上的电压
(多出一个变量 )
(2)补充一个该支
路的电流方程
(保持变量数与方程数一致 )
直接列方程
ch3s3-10 受控源处理方法
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
多出一个变量
增加一个控制量与
支路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为支路电流
变量数与方程数一致
是 不是
ch3s3-11 重要结论
(1) 求解几个变量，就必须建立几个独立的方程
——方程的独立性。
(2)变量数越少，方程越简单，所以应尽可能选用
相互独立的变量 ——变量的独立性。
(3)应能用所选变量表示全部支路电压，电流
——变量的完备性。
ch3s3-12
(4)一组变量的完备性指所选变量可用来表示全部支路的
电压和电流。
讨论
电路变量的独立性与完备性
(1)对任何电路均可用 2b法或支路电流法求解。
减少变量数，可减少方程数，使求解简便。
(2)选择变量的原则应是在可求解全部 2b个变量的前提下，
尽可能减少变量数，即 要求变量的独立性及完备性。
(3)一组变量的独立性是指每个变量不能用其他变量所表
示。以保证所选变量中无多余变量。
(7)电路分析规范化的基本概念
ch3s3-13 讨论
(5)分析支路电流变量的独立性与完备性。
因为可用支路电流表示所有支路的电压和电流，
所以具有完备性。
b个支路电流中有 n-1个支路电流不独立。这是因为
可列出 n-1个独立的节点 KCL方程联系有关支路电流。
也就是说 b个支路电流中有不独立的、多余的变量，
所以不具有独立性。
(6)设法从 b个支路电流中选出 b-(n-1)个独立的电流变量
(它们可以是支路电流的代数和 )，以使变量相互独立。
(a)所选变量应具备独立性和完备性；
(b)方程的建立要有规律。
第二节
网孔分析法
Ch3s2-1
网孔电流：
网孔,不包围其它支路的闭合回路 。
沿每个网孔边界自行流动，且闭合的假想电流。
Ch3s2-2
讨论：
Ch3s2-3
网孔电流数：网孔数 b-(n-1)
网孔电流的完备性：因为任意支路电流都属于某几个网孔，
所以必然可用网孔电流的代数和来表示所有支路的电流，
进而可以表示所有支路的电压。
网孔电流的独立性：网孔电流是闭合的，从某节点流入后，
又必从该点流出，无法用 KCL方程联系起来。
网孔方程：以每个网孔电流为变量，列网孔的 KVL方程。
网孔方程数：网孔数 b-(n-1)
网孔法只要求建立 b-(n-1)个方程。
2b法要求建立 2b个独立方程；
支路电流法要求建立 b个独立方程；
Ch3s2-4
解
?
?
?
?
?
?????
??????
?????
3)()(
2)()(
1)()(
323613533
212432622
131521411
网孔
网孔
网孔
S
S
S
UIIRIIRIR
UIIRIIRIR
UIIRIIRIR
?
?
?
?
?
??????
???????
?????
336532615
236264214
135241541
)(
)(
)(
s
s
s
UIRRRIRIR
UIRIRRRIR
UIRIRIRRR
整理后
例 3-2-1
Ch3s2-5
(3)电压源放在方程右侧，
电压升为正，电压降为负 (全部顺时 )。
归纳规律性
(1)对网孔 1方程
I1的系数为网孔 1包括的全部电阻 ------网孔 1的自电阻；
I2的系数为网孔 1,2共有的电阻 ------网孔 1,2的互电阻；
I3的系数为网孔 1,3共有的电阻 ------网孔 1,3的互电阻；
对网孔 2和 3方程也类似。
(2)若网孔电流采用同一方向 (全部顺时，或全部逆时 )，
则自电阻一律为正，互电阻一律为负。
网孔法要点：网孔电流，自电阻，互电阻及各种电源的处理。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
Usjj为网孔 j的全部电压源的代数和 (升为正 )
(4)网孔方程的一般形式 (全部顺时 )
其中
(4)解其他变量；
网孔法步骤
(1)选网孔电流为变量，并标出变量；
(2)按照规律列网孔方程；
(3)解网孔电流；
Rjj为网孔 j的自电阻 (取正 )
Rij为网孔 i,j的互电阻 (取负 )
Ch3s2-6
Ch3s2-7
(1)选网孔电流为变量 Im1,Im2
?
?
?
?????
???
10)2010(20
2020)205(
21
21
mm
mm
II
II
(3)解出网孔电流
?
?
?
?
?
)(43.0
)(14.1
2
1
AI
AI
m
m
(4)求其他变量
?
?
?
?
?
???
??
??
)(71.0
)(43.0
)(14.1
213
22
11
AIII
AII
AII
mm
m
m
?
?
?
?
?
??
??
??
)(2.14
)(3.4
)(7.5
333
222
111
VIRU
VIRU
VIRU
R
R
R
例 3-2-2
要点：掌握规律解,
(2)列网孔方程
Ch3s2-8
(2)列网孔方程
?
?
?
?
?
??????
?
??????
2)15.0(5.0
3
15.01.0)15.01(
321
2
321
III
I
III
讨论：
?
?
?
?
?
?
?
??
)(58.0
)(3
)(26.0
3
2
1
AI
AI
AI
例 3-2-3
要点：独立源的处理
解,(1)选网孔电流 I1,I2,I3为变量。
(3)解网孔电流
(a)网孔 2包括一个电流源，且等于网孔电流 I2，
相当于 I2已知，可不列该网孔的 KVL方程。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
如非要列，必须注意如何在该网孔方程中
考虑该电流源上的电压。
Ch3s2-9
要点：独立源的处理
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
2
52
2
55)51(
13
32
2
21
II
UII
I
UII
(2)独立电流源
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)(35.5
)(27.0
)(2
)(73.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
解得
例 3-2-4
解：网孔方程 电流源上设电压
电流源上设电压
增加电流源与
网孔电流的关系方程
讨论
(1)独立电压源全部放在方程右侧。
(c)当不选为网孔电流时，首先设其上电压后，将其看成独立压源处
理，然后增加一个网孔电流与该电流源电流的关系方程。
(a)尽量使其成为网孔电流，这样网孔电流已知，可不列该网孔方程；
(b)应用等效变换，将其变为电压源；
Ch3s2-10
要点：受孔源的处理
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
????
2
12
3
2
31
2
2
55
103)32(
II
II
II
UI
UII
bc
bc
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(7.9
)(88.1
)(94.0
)(06.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
bc
例 3-2-5
解：网孔方程 设流源上电压后看成压源
先将受控源
看成独立源
增加流源与网孔
电流的关系方程
增加控制量与网孔
电流的关系方程
Ch3s2-11
网孔法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电流源电压源 利用等效变换转换为电压源
(1)设其上电压后按
独立电压源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电流源电流
与网孔电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
网孔电流
放在方程右侧,
电压升为正
Ch3s2-12
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
网孔电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为网孔电流
是
变量数与方程数一致
§ 3-5
回路电流法
Ch3s5-1
以基本回路为独立回路，
以 回路电流（连支电流） 为变量列方程。
是网孔电流法的推广，不再仅适用于平面电路
回路电流法：以基本回路电流 (即连支电流 )为变量，列基
本回路的 KVL方程，求解。
Ch3s5-2
基本回路数,b-(n-1)=b-n+1
基本回路电流：沿基本回路流动的闭合电流
(用连支电流定义为该闭合电流 )。
连支电流的独立性：不受 KCL约束。
连支电流的完备性：每个支路必属于某个或某几个基本
回路，所以必可用连支电流表示，
进而表示所有支路的电压。
(网孔法是回路法的特例，且仅适用于平面电路 )。
Ch3s5-3
回路法要点：基本回路，连支电流，回路方程，自电阻，
互电阻及各种电源的处理。
回路法步骤：
(1)画有向图，选树，并选连支电流为变量；
(2)确定基本回路，并以连支电流方向定为基本回路方向；
(3)以连支电流为变量，按照规律列基本回路方程；
(3)解连支电流；
(4)解其他变量；
回路方程的一般形式
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mlmmmlmlm
slmmll
slmmll
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
usjj为基本回路 j的全部电压源的代数和 (升为正 )
Ch3s5-4
其中 ilj为基本回路电流
Rjj为基本回路 j的自电阻 (取正 )
Rij为基本回路 i,j的互电阻
(两回路方向一致取正，反之取负 )
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
Ch3s5-5 解：
(1)画图，选树，选变量
(2)列回路方程
5135225312531 )()()( sslll uuiRRiRRiRRRR ??????????
例 3-5-1
5352536153 )()( slll uiRiRRRiRR ??????
5345225152 )()( slll uiRRRiRiRR ????????
Ch3s5-6
(2)列网孔方程
?
?
?
?
?
??????
?
??????
2)15.0(5.0
3
15.01.0)1.05.01(
321
2
321
III
I
III
讨论：
?
?
?
?
?
?
?
??
)(58.0
)(3
)(26.0
3
2
1
AI
AI
AI
例 3-2-3
要点,无伴电流源 的处理
解,(1)选网孔电流 I1,I2,I3为变量。
(3)解网孔电流
(a)网孔 2包括一个电流源，且等于网孔电流 I2，
相当于 I2已知，可不列该网孔的 KVL方程。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
如非要列，必须注意如何在该网孔方程中
考虑该电流源上的电压。
Ch3s5-7
要点,无伴电流源 的处理
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
2
52
2
55)51(
13
32
2
21
II
UII
I
UII
(2)无伴独立电流源
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)(35.5
)(27.0
)(2
)(73.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
解得
例 3-2-4
解：网孔方程 电流源上设电压
电流源上设电压
增加电流源与
网孔电流的关系方程
讨论
(1)独立电压源全部放在方程右侧。
(b)当不选为回路电流时，首先设其上电压后，将其看成独立电压源处理，然后
增加一个回路电流与该电流源电流的关系方程。
(a)尽量使其成为回路电流,(选单回路通过该电流源 )，这样回路电流已知，
可不列该回路方程；
Ch3s5-8
要点,受控源 的处理
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(7.9
)(88.1
)(94.0
)(06.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
bc
例 3-2-5
解：网孔方程 设流源上电压后看成压源
先将受控源
看成独立源
增加流源与网孔
电流的关系方程
增加控制量与网孔
电流的关系方程
bcUII ???? 103)32( 31
212 ?? II
II 23 ??
bcUI ??? 55 2
2II ?
Ch3s5-9
回路法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电流源电压源 利用等效变换转换为电压源
(1)设其上电压后按
独立电压源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电流源电流
与回路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
回路电流
放在方程右侧,
电压升为正
Ch3s5-10
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
回路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为回路电流
是
变量数与方程数一致
§ 3-6
结点电压法
Ch3s6-1
以结点电压为变量列方程
讨论,n越少，方程数越少。
Ch3s6-2
结点电压：该结点相对参考点的电压（电势差）。
结点电压数,n-1
结点电压的完备性：任何支路必在某两个结点之间，
都有 uij=ui-uj，所以具有完备性。
结点电压的独立性：在任何回路 KVL方程中，回路所包括的
结点电压必出现两次，且一 正一负，
所以无法用 KVL方程将结点电压联系起来。例, u
ab+ubc+ucd+uda=0
结点方程：对 n-1个结点 (参考点除外 )，以结点电压为变量，
列各个结点的 KCL方程。
结点方程数,n-1
即 (ua-ub)+(ub-uc)+(uc-ud)+(ud-ua) =0
?
0 ≡0
Ch3s6-3
KVL,loop 1,u1+ u4 - u2=0
即, - un1 + (un1- un2) -(- un2) =0
一、举例说明
0=0 自动满足，无须再列
KCL：
node 1,- i1+ i4 + i6 =0
node 2,- i4 + i5 - i2 =0
node 3,- i6 - i5 + i3 =0
VCR：
u1= (i1 -is1) R1= - un1 u2= i2R2 = - un2
u3= i3R3 + us3 = un3 u4= i4R4 = un1 - un2
u5= i5R5 = un2 - un3 u6= (i6 -is6) R6= un1 - un3
整理：
?
?
?
?
?
???????
??????
??????
33636532516
35252414
6136241641
)(
0)(
)(
ssnnn
nnn
ssnnn
uGiuGGGuGuG
uGuGGGuG
iiuGuGuGGG
Ch3s6-4 或者直接用结点电压为变量列写 KCL方程：
KCL：
node 1:
G1un1 + G4(un1 - un2) + G6(un1 - un3) = is1 - is6
node 2:
G4(un2 - un1) + G5(un2 - un3) + G2un2 = 0
node 3:
G3(un3 - us3 )+ G5(un3 - un2) + G6(un3 - un1) = is6
整理：
?
?
?
?
?
???????
??????
??????
33636532516
35252414
6136241641
)(
0)(
)(
ssnnn
nnn
ssnnn
uGiuGGGuGuG
uGuGGGuG
iiuGuGuGGGG11 12 G13 is11
G21 G22 G23 is22
G31 G32 G33 is33
结论：
自导,G11 G22 G33 连接到该结点的全部电导之和；,+‖
互导,Gmn(m?n) 连接结点 m,n的公共电导。, -”
电流净进入量,is11 is22 is33 电源注入该结点的电流。
入：,+‖；出：,-‖
结点法要点：结点电压，自电导，互电导及各种电源的处理。
isjj为流入结点 j的全部电流源的代数和 (入为正 )
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
???????
??
??
11111212111
22112222121
11111212111
nsnnnnnnnnn
snnnnn
snnnnn
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
?
??
?
?
结点电压方程的一般形式Ch3s6-5
其中
Gjj为结点 j的自电导 (取正 )
Gij为结点 i,j的互电导 (取负 )
结点法步骤：
(1)选参考点，对结点进行编号；
(2)按照规律列结点方程；
(3)解结点电压；
(4)解其他变量；
Ch3s6-6
(2)列结点电压方程：
?
?
?
?
?
?????
??????
????
23312311
33243212
13122121
)(
0)(
)(
snnn
nnn
snnn
iuGGuGuG
uGuGGGuG
iuGuGuGG
例 3-3-1 要点：运用规律
解：
(1)选 d为参考点，
设 Un1,Un2,Un3为结点电压变量
Ch3s6-7
(2)列结点方程
(3) 解得
?
?
?
??
?
?
?
??????
?
10
0
1
)
111
(
1
20
3
3
2
2
321
1
1
1
n
nnn
n
u
u
R
u
RRR
u
R
u
?
?
?
?
?
?
?
?
)(10
)(3.14
)(20
3
2
1
Vu
Vu
Vu
n
n
n
例 3-3-2
要点,无伴电压源 的处理
解：
(1)选参考点及结点电压为变量。
Ch3s6-8
(2)等效变换
压源串联电阻 ?流源并联电阻
例 3-3-3
要点,电压源 的处理
解,(1) 选参考点及
结点电压为变量。
(3)列结点方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?????
cU
bUUU
aUUU
c
cba
cba
节点
节点
节点
2
0
5.0
1
)
5.0
1
1
1
1.0
1
(
1.0
1
13
1
1
1.0
1
)
1.0
1
1
1
(
(4)解得
?
?
?
?
?
?
?
?
)(2
)(42.2
)(75.2
VU
VU
VU
c
b
a
(5)求解其他变量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
)(59.0)(
)(42.2
1
)(84.0
5.0
)(3.3
5.0
)(25.01
1
316
5
3
2
1
AIII
A
U
I
A
UU
I
A
UU
I
A
UU
I
b
cb
ba
ca
Ch3s6-9
Ch3s6-10
解,(1) 选参考点及结点电压为变量。
(3)列结点方程
?
?
?
?
?
??
???
???
3
22010
5155
ba
b
a
UU
IU
IU
例 3-3-4 要点：电压源的处理
(2) 等效变换 电压源串联电阻 ?电 流源并联电阻
设电压源上的电流后看成电流源
增加一个电压源与结点电压的关系方程
(c)当不选为结点电压时，首先设其上电流后，
将其看成独立流源处理，然后增加一个结点电压
与该电压源电压的关系方程。
(4) 解得
?
?
?
?
?
)(13.1
)(13.4
VU
VU
b
a
(5) 求解其他变量
?
?
?
?
?
????
????
?????
)(65.105
)(7.810)2(
)(65.55)3(
1
2
1
AII
AUI
AUI
b
a
Ch3s6-11
(1)独立电流源全部放在方程右侧，流入为正。
(2)独立电压源
(b)尽量使其成为结点电压，这样结点电压已知，
可不列该结点方程；
(a)应用等效变换，将其变为电流源；（串联有电阻的）
讨论
Ch3s6-12`
解,(1)选参考点及结点
电压为变量。
(2)列结点方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
????
???????
?????
)(2
10
5
532
2)522(2
3522)22(
ba
ea
cb
e
c
ba
eba
UUI
UUU
UU
U
IU
IIUU
UUUU
例 3-3-5 求,U,I?
将受控源看成独立源
设压源上的电流
后看成流源
增加压源的电压与
结点电压的关系方程
增加控制量与结点
电压的关系方程
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)(5
)(4
)(6
)(12
VU
VU
VU
VU
e
c
b
a
(4) 求解其他变量
?
?
?
???
???
)(12)(2
)(75
AUUI
VUU
ba
a
Ch3s6-13
Ch3s6-14
结点法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电压源电流源 利用等效变换转换为电流源
(1)设其上电流后按
独立电流源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电压源电压
与结点电压的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
结点电压
放在方程右侧,
流入为正
Ch3s6-15
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
结点电压的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为结点电压
是
变量数与方程数一致
思考：在列节点电压方程时，如果某条支路是电流源
与电阻串联，该如何处理？
Ch4-1
第四章
电路定理
ch4-2
本章内容性质,
主要内容
(1)叠加定理；
(2)替代定理；
(3)戴维宁定理与诺顿定理；
(4) 特勒根定理；
(5)互易定理。
引言
目的：要求掌握电路分析的的五大主要定理的基本概念及应用。
前几章内容,
学习要点,
基于元件约束关系和拓扑约束关系
进行电路分析的等效法和列方程分析法。
是前几章内容的重要补充，
它们既是体现了电路分析的一些重要概念，
又提供了用于电路分析的基本方法。
确切定义，物理概念，成立条件和使用范围。
第一节
叠加定理
Ch4s1-1
在任何含有多个独立源的 线性 电路中，每一支路的电
压 ( 或电流 ),都可看成是各个独立电源 单独作用 时
( 除该电源外，其他独立源为零电源 )在该支路产生的
电压 (或电流 )的 代数和 。
则：
U=3+(-1)=2(V)
Ch4s1-2 定义
Ch4s1-3 对含线性电阻，线性独立源，受控源的线性电路，
设有 m个网孔，网孔方程为：
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
(2)对受控源，总可以归纳为自电阻，互电阻或独立源。
s m m
mk
s
k
s
k
k UUUI ?
??
?
??
?
?? ?
22
2
11
1
[证明 ]
讨论
(1)方程右侧为某一网孔独立源的代数和。对电流源，
设其上电压后看成独立压源。
分析,(应用克莱姆法则 )
因上式系数为线性电阻及受控源参数，可按独立源重新组合成
snnkskskk UaUaUaI ???? ?2211
[证毕 ]
Ch4s1-4
结论
(1)网孔电流可看成是各个独立源单独作用时在该孔产生的电流
的线性叠加。
(2)因为任意支路的电压 (或电流 )都是网孔电流的线性叠加，
所以对任意支路的电压 (或电流 )也可看成是各个独立源单独
作用时在该孔产生的电流的线性叠加。
Ch4s1-5
(5)功率不服从叠加定理。
例如
?
?
?
????????????
???????
111112
111111
,,
,,
IUPIUU
IUPIUU
s
s
而：
111111 ))(( PPIIUUP ??????????????
(1)定理成立条件是线性电路。
讨论
(2)独立源单独作用的含义是令其他独立源为零。
(3)零电源的含义是电压源短路，电流源开路，受控源不动。
IIUUUU ss ??????????,1121则：
(4)计算代数和时,注意各分量前的,+‖，,-‖号。
Ch4s1-6
求,I及 9Ω电阻上的功率？
例 4-1-1
解：
)(36.092.0 29 WP ?????
)(2.069 3 AI ????
)(76.598.0 29 WP ??????
)(8.0296 6 AI ??????
)(929 WRIP ???
)(1 AIII ??????
+
Ch4s1-7
II ???? 2103
节点法得：
?
?
?
?
?
??
????
????????
2
32
1
1
)1
2
1
(
U
I
IU
)(4.1 AIII ??????
例 4-1-2:求 I?
解：
)(6.0 AI ????
)(2 AI ??
网孔法得：
+
Ch4s1-8
当 Us=1 (V),Is=1 (A)时,U2=0 (V)
Us=10 (V),Is=0 (A)时,U2=1 (V)
求：当 Us=0 (V),Is=10 (A)时,U2=？
ss IKUKU 212 ???
代入已知条件得
)(1
101.001.0
V??
????
例 4-1-2
已知：
解：
??
?
?
??
110
0
1
21
K
KK
?
?? ??
?
1.0
1.0
2
1
K
K
ss IUU 1.01.02 ??
Ch4s1-9
解：
)(556.0233 AI ????
例 4-1-3
已知,K处于 1时,I31= - 4 (A)
K处于 2时,I32= 2 (A)
求,K处于 3时,I33=?
ss UKUKI ??? 213
?
?
?
??
?????
2
4)10(
132
2131
s
s
UKI
KUKI
? ??
?
?
?
6.0
2
2
1
K
UK s
sUI ???? 6.023
齐性定理
一,内容
在 线性 电路中，当 所有激励 (电压源和电流源 )都 同时 增
大或缩小 K倍 (K为实常数 )时,响应 (电压和电流 )也将 同
样 增大或缩小 K倍,
二,注意
1.所有独立电源
2.线性电路
三,特殊
当电路中只有一个激励时，响应 ?激励
四,用途
分析梯形电路 ---―倒退法”：从最远离电源的一端开始，
倒退至激励处。
例：求各支路电流
)(22)(
:,1:
'
565
'
'
5
ViRRu
Ai
bc ???
? 则设解
)(1.1
4
'
'
4 AR
ui bc ??
)(1.2'5'4'3 Aiii ???
)(2.26''33' VuiRu bcad ???
)(31.1
2
'
'
2 AR
ui ad ??
)(41.3'3'2'1 Aiii ???
)(02.33''11' VuiRu ads ???
倍各响应也
倍即激励又
K
KVu s
??
???
02.33
120,120?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
)(63.3
)(99.3
)(62.7
)(76.4
)(38.12
'
55
'
44
'
33
'
22
'
11
AKii
AKii
AKii
AKii
AKii
§ 4-2
替代定理
Ch4s2-1
Ch4s2-2
在任意电路 (线性或非线性，时变或非时变 )中，
若已知任意时刻时任意支路的支路电压 uk和支路电流 ik，
一、内容
替代后，电路所有的支路电压与支路电流不变。
证明,(2b法 )
则该支路可用电压为 uk的理想电压源替代，
也可用电流为 ik的理想电流源替代，
? i = 0
? u = 0
uk=f ( ik )
uk(旧 )
? i = 0
? u = 0
uk = f ( ik ) (b-1)个不变
uk = uks
us = uk(新 )
解
唯
一
解满足
Ch4s2-3
已知,I=0.2 (A),U=4 (V)
求,I1=?
解一
)(6.25 491 AI ???
解二
952.063)235( ??????? aI
例 4-2-1
)(8.2 AI a ?
)(6.22.01 AII a ???
Ch4s2-4
解：用节点法分析原电路
例 4-2-2
求：当 RL由 5Ω增加为 10Ω时,
分析各支路电流的变化？
24)5110151( ???? aU
)(12 VU a ?
)(6.15201 AUI a ???
)(4.05 102 AUI a ???
)(2.1103 AUI a ??
应用替代定理
应用叠加定理
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
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?
?
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?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? 3
2
1
103
2
1
3
2
1
3
2
1
53
2
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
RLRL
Ch4s2-5
+
?
?
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??
??
??
??
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
???? 3
2
1
53
2
1
103
2
1
3
2
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
RLRL
应用节点法：
10
2)
10
1
10
1
5
1( ??????
aU得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
25.1
25.0
5.1
3
2
1
53
2
1
103
2
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
RLRL
Ch4s2-6
)(5.0 VU a ????
)(1.051 AUI a ???????
)(15.010 22 AUI a ???????
)(05.0103 AUI a ???????
?
?
?
?
?
??
???
???
)(05.0
)(15.0
)(1.0
3
2
1
AI
AI
AI
§ 4-6
对偶原理
一,内容
电路中某些元素之间的关系（或方程）用它们的对偶元素对应
地置换后，所得新关系（新方程）也一定成立，后者和前者互
为对偶。
二,对偶元素
三,注意
短路 开路 R G u=Ri I=Gu
us is u=us-Ri I=is-Gu 串 ?u=o 并 ?I=0
回路 节点 Y形连接 △形连接 电容 电感
对偶 与 等效 不可混淆
第三节
戴维南定理与诺顿定理
Ch4s3-1
Ch4s3-2
定义：对任意一个线性含独立源的二端网络 Ns均可等效
为一个电压源 Uo与一个电阻 Ro相串联的支路，
图示
一．戴维南定理
其中, Uo为该网络的开路电压，
Ro为该网络中全部独立源置零后的等效输出电阻。
Ch4s3-3
替代定理 叠加定理
内部独立源作用内部独立源置零
U=Uoc+U1=Uoc-IRo
U1= - IRo
[证毕 ]
[证明 ]
+
Ch4s3-4
(1)适用条件为线性两端网络。
sc
oc
I
UR ?
0
讨论
原理：
(b)开路，短路法 (适用于受控源电路 )
(a)电阻串并联法 (不适用于受控源电路 )
(4)Ro的求法
(3)Ro为内部 独立源置零,而非受控源置零时的等效电阻。
(2) Uoc为外电路开路时的端口电压，可应用前几章方法分析。
(c)伏安法 (外加电源法 )( 适用于受控源电路 )
令内部独立源为零
(Uoc=0)
I
UR s?
0
注意：区别 (b),(c) 中电流，电压的方向及内部电源的处理。
Ch4s3-5
原理：
Ch4s3-6
要点：无受控源
(2)求 Ro(电阻串并联法 )
??
??
2.5
2//340R
(3)戴维南电路
例 4-3-1
解,(1)求 Uoc
)(4.4
6212 1
V
IU oc
??
????
)(8.023 6101 AI ????
Ch4s3-7
要点：含受控源
(2) Ro(外加电源法 )
IIIIU ????????? 1 5 0 01 0 0 0)5.0(1 0 0 0?
(开路短路法 )
由网孔法
105.01000)10001000( ???? scsc II
得 )(
150
1 AI
sc ?
例 4-3-2
Uoc=10 (V)
解,(1)求 Uoc
)(1 50 00 ?????? IUR
)(15 000 ???
sc
oc
I
UR
Ch4s3-8
解,(1)求 Uoc
节点 c的 KCL方程
226310)2131( ???? cU
得
)(8.14
2.52412
V
UUU cacoc
??
?????
??
(2)求 Ro
Ro=4+3//2=5.2 (Ω)
)(48.1
0
ARR UI
L
oc ??
??
例 4-3-3 要点：定理应用
求,RL=4.8Ω时,I=?
)(2.5 VU c ?
Ch4s3-9 求,I=?
21 824 IIU oc ??
(2)求 Ro
Ro=5//24+2//8
=5.74(Ω)
(3)
)(151.04.374.5 38.1 AI ???
例 4-3-4
解,(1)求 Uoc
)(38.1
82
50
8
245
50
24
V?
?
??
?
??
Ch4s3-10
解,(1)求 Uoc
由回路方程
?
?
?
?????
????
1022
410)22(
IU
UI
oc
oc
得 Uoc= - 3 (V)
(2) 求 Ro (开路短路法 )
由网孔方程
得
?
?
?
?
?
)(1
)(4
2
1
AI
AI
)(321 AIII sc ???
?
?
?
?
??
22
2102
2
1
I
I (3)
)(14
0
ARUI oc ????
(4) )(222 WIRIP ???
例 4-3-5 要点：受控源
求,I及该电流 I所在支路的功率 P?
)(10 ????
sc
oc
I
UR
Ch4s3-11
定义：对任意一个线性含独立源的二端网络 Ns均可等效
为一个电流源 Isc与一个电阻 Ro相并联的支路，
应用戴维南定理
0IRUU oc ?? [证毕 ]
二 诺顿定理
图示：
其中,Isc为该网络的短路输出电流，
[证明 ]
0
00
R
U
I
R
U
R
U
I
sc
oc
??
??
Ro为该网络中全部独立源置零后的等效输出电阻。
Ch4s3-12
解,(1)求 Isc 由节点 c的 KCL方程
41020)51101( ??? cU
得
)(8.4
25
20
5
21
A
U
III
c
sc
?
??
??
(2)求 Ro
Ro = (5+10)//25
=9.375 (Ω)
(3)
例 4-3-6
)(20 VU c ?
Ch4s3-13
解,(1)求 Isc
)(3
5
10
4
20
21
A
III sc
??
???
??
(2)求 Ro
(外加电源法 )
U
UUU
III
???
?
?
???
?
?????
10
3
54
3
21
(3)
)(6
50
0
A
I
R
R
I sc
?
?
?
例 4-3-7 求,I？
要点：含受控源
)(3100 ?????? IUR
第四节
特勒根定理
一,特勒根定理 1
1.内容
对于一个具有 n个节点,b条支路的电路,假设各支路电流和
支路电压取关联参考方向,并令 (i1,i2,…i b),(u1,u2,…u b)分别为
b条支路的电流和电压,则对任何时间 t,有
0
1
??
?
b
k
kk iu
2.由来
2
1
(2)
3
5
(0)
4
6
(1) (3)
??
?
????
?????
3625134
32321211
nnnn
nnnnn
uuuuuuu
uuuuuuuu
??
?
?
?
????
????
????
0)3(
0)2(
0)()1(
:
643
532
421
iii
iii
iii
K CL
635241333222111
6
1
)()()( iuiuiuuiuuiuuiuiu nnnnnnnnn
k
kk ??????????
?
3.注意
(1)适用范围,集总电路
(2)实质上是功率守恒的具体表现,表明,任何一个电路的
全部支路吸收的功率之和等于零,
(3)应用,证明定理
)()()( 643353224211 iiiuiiiuiiiu nnn ???????????
0?
二,特勒根定理 2
1.内容
若两个具有 n各节点,b条支路的电路，它们具有相同的图，但
由内容不同的支路构成。假设各支路电流和电压都取关联参
考方向，并分别用（ i1,i2,…i b），（ u1,u2,…u b）和
),...,(),,...,( 2121 bb uuuiii ??????,表示两电路中 b条支路的电流和电压，则
在任何时间 t，有
00
11
?? ??
??
b
k
kk
b
k
kk iuiu
??
2.举例说明
2
1
(2)
3
5
(0)
4
6
(1) (3)
?
?
?
????
?????
3625134
32321211
:1
nnnn
nnnnn
uuuuuuu
uuuuuuuu
对电路
?
?
?
?
?
????
????
????
0)3(
0)2(
0)()1(
:
:2
643
532
421
iii
iii
iii
K C L
???
???
???
对电路
0)()()]([ 643353224211
6
1
??????????????
?
iiiuiiiuiiiuiu nnn
k
kk
??????????
0
6
1
??
?k
kk iu
?同理可得：
3.注意,
(1)适用范围,集总电路
(2).―拟功率定理”是对两个具有相同拓扑的电路中,一个电路
的支路电压与另一个电路的支路电流,或是同一个电路在不同
时刻的相应支路电压和支路电流必须遵守的数学关系,
第五节
互易定理
Ch4s4-1
对一个仅含线性电阻的电路,在单一电压源激励而响应为电流时,
当激励和响应互换位置时
一,互易定理形式 1
bkiRuiRu kkkkkk,.,,4,3,,????
??
? 方框内部为线形电阻
证明：
0
0
3
2211
3
2211
???
???
?
?
?
?
b
k
kkk
b
k
kkk
iiRiuiu
iiRiuiu
???
???
可得：
22112211 iuiuiuiu ???? ????
s
s
uuu
uuu
???
?
??
??
21
21
,0
,0,又
ss
ss u
i
u
iiuiu ???? 12
21 ??? 即：
）（特勒根定理 2
二,互易定理形式 2
22112211 iuiuiuiu ???? ???由 ss iiiiii ???? ?????? 2121,0,0,
ss
ss i
u
i
uiuiu ???? 12
12 ??? 即
三,互易定理形式 3
22112211 iuiuiuiu ???? ???由 ss uuiuii ???? ????? 2121,0,0,
ss
ss u
u
i
iiuiu
?
???
12
12 ??? 即
四,互易定理
对于一个仅含线形电阻的电路,在单一激励下产生的响应,当激
励和响应互换位置时,其比值保持不变,
五,讨论
(2)定理成立的条件 (a)只能含一个独立源
(b)只能含线性电阻，不得含受控源
(3) 注意互易后变量的方向。
(1)适用范围：集总电路。
Ch4s4-5
求,I=?
)(6 6 7.023 AIII ???
例 4-4-1
解：
由互易定理
)(22//14//22 81 AI ????
)(6 6 7.021 1 12 AII ???
)(333.124 4 13 AII ???
Ch4s4-6
求,I=?
解：求戴维南等效电路
由互易定理
)(52100 ???R
戴维南等效电路为 )(5.0
55
5 AI ?
??
例 4-4-2
已知：
（ 2）外加电源法求 Ro(1) 求 Uoc
Uoc=5 (V)
Ch4s4-7 已知：当
?
?
?
?
?
0)(
30)(
2
1
tu
ttu 时，
?
?
?
?
?
tti
tti
2)(
5)(
2
1
电源互易后,tti 4)(2 ??
求：当
?
?
?
??
??
1560)(
6030)(
2
1
ttu
ttu 时，
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
ti
ti
解：由条件及互易定理可得
互易
由叠加定理
?
?
?
??
??
)()()(
)()()(
24132
22111
tuKtuKti
tuKtuKti
将图 (a)条件代入
（ a)
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
15
1
6
1
302
305
3
1
3
1
K
K
tKt
tKt
(b)
例 4-4-3
将图 (b)条件代入
?
?
?
?
?
??
??
)(
15
2
)(
15
1
)(
)(
15
1
)(
6
1
)(
212
211
tututi
tututi
?
?
?
??
??
1560)(
6030)(
2
1
ttu
ttu当 时，
?
?
?
???
??
26)(
9)(
2
1
tti
tti
Ch4s4-8
tKt 302 2 ???
tKt 304 4 ???
15
2
15
1
4
2
??
??
K
K
(b)
第八章
相 量 法
ch8-1
ch8-2 主要内容
正弦信号：
正弦电路：
在线性时不变稳定电路中，若各个激励源均为同一频率
的正弦信号时，当电路达到稳态时，电路中各支路变量
均为与电源频率相同的正弦量。在此条件下，对于电路
的分析可借助相量法进行。
主要知识点
正弦稳态电路的分析方法和功率计算。
本章难点
1.电路模型和电路变量在正弦稳态下的时域和相量表示易被混淆。
2.较为繁杂的数值计算题。
3.相量图作为辅助工具以及变量间相位关系的比较。
4.正弦电路功率的计算。
具有正弦函数形式的时变电压和电流
在正弦信号激励下的电路。
分析工具：
正弦信号的相量表示；
阻抗与导纳的概念；
§ 8-1
复 数
一,复数的表示形式
(1)代数形式
(2)三角形式
(3)指数形式
(4)极坐标形式
jbaF ??
)s i n( c o s ?? jFF ??
?jeFF ?
??? FF
二,复数的代数运算
1.相加 (减 ):使用代数形式
21 FFF ??
2.相乘,使用指数形式
3.相除,
)()()( 2121 bbjaajba ?????
)(2121 21 ?? ??? jeFFFFF
)21(
2
1
2
1 ?? ??? je
F
F
F
FF
三,旋转因子 ?je
?jeAA ? A的模值不变,而将复数 A逆时针旋转一个角度 θ
§ 8-2
正 弦 量
ch8s2 -1
ch8s2-2
以正弦电流为例 )c o s ()(
im tIti ?? ??
1,振幅、最大值 Im
是正弦量在整个变化过程
中所能到达的最大值。
2.角频 ?（周期 T,频率 f）
fT ??? 22 ??
角频率：相角 (?t+?i)随时间变化的速度 （ rad/s）
反映了正弦量变化的快慢。
3,初相 ?i：
正弦量在 t=0时的相位，与时间起点的选取有关。
一, 正弦量的三要素
??? ??dttd i ) (
?? ?|| i
注意,正弦量乘以常数,及正弦量的微分,积分,同频正弦量的代数和
运算,其结果仍为一个同频的正弦量
ch8s2-3
已知, 正弦电压的最大值 Um=10V,频率 f=50Hz，
初相 θu= - π/3
写出电压瞬时值表达式,画出波形图。
解：
)
3
314c os (10
)
3
502c os (10)(
?
?
?
??
???
t
ttu
例 8-1-1
ch8s2-4 二．电路分析时两个常用参数
1．周期量的有效值 (均方根 )
(1)定义：
周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分
的平均值开平方。
??
T
dti
T
I
0
21
(2)有效值的物理意义,
RIdtiTRdtRiTP TT 2
0
2
0
2 11 ??? ??
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率，
即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。
考虑周期电流在定常电阻上的平均功率：
如,i1(t)的有效值为 I1，则：在整数个周期内,i1(t)与直流量 I1
产生的热量相等、耗能相等。
ch8s2-5
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系：
设正弦信号 i = I m cos(?t+ ? ),由有效值定义
mm III 707.02/ ??
1．周期量的有效值
?? T dtiTI 0 21
? ?? T m dttITI 0 222 )(c o s1 ??
正弦量的有效值只与最大值有关，与角频、初相均无关。
? ??? Tm dttTI 0
2
)](2c o s1[
2
??
2
2
mI?
ch8s2-6
设正弦信号 f1(t)= A1 cos(?t+ ?1),f2(t)= A2 cos(?t+ ? 2)
? 12 = 0 ? 1 = ? 2 称 f1与 f2同相相位关系：
? 12 = ? 称 f1与 f2反相
(? 12 = ± ?/2 称 f1与 f2 正交 )
3．超前与滞后是相对的。一般限定相位差
在 2?范围内，取 ?=-? ~ +?。
2．同频率正弦量的相位差
则两信号的相位差为 ?12= ? 1- ? 2 = (?t+ ? 1) -( ?t+ ? 2)= ? 1 - ? 2
? 12 > 0 ? 1 > ? 2 称 f1超前 f2
? 12 < 0 ? 1 < ? 2 称 f1滞后 f2
注意：
1．只有同频率的正弦信号才可以比较相位
2．在同一问题或同一电路中，可选定一个
变量，令其初始相位为零，其余变量与
它相比较。称此变量为参考正弦量。
ch8s2-7
解：
例 8-1-2
比较两正弦电压
u1(t)= Um1 sin?t 与 u2(t)= Um2 cos?t 的相位。
u1(t)= Um2 cos(?t- ?/2)
? 12= - ?/2- 0 = - ?/2
u2 超前 u1 且相位正交。
ch8s2-8
设,)(21 AtS i ni ???
求：其有效值及在 1Ω电阻上产生的平均功率？
解：
?
?
???
??
T
T
dttt
T
dtt
T
I
0
2
0
2
)s i n2s i n221(
1
)s i n21(
1
??
?
例 8-1-3
)(212 WIP ???
)(2 A?
§ 8-3
相量法的基础
ch8s3-1
引入相量。可以简化三角函数的计算。
在单一频率正弦激励下的线性电路。
由于任何同频率正弦信号及其任意阶微分的线性组合，
仍为同频率的正弦信号。
所以各支路电压，电流均为正弦信号，
它们的频率相同，而幅度和相位不同。
ch8s3-2
处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路，也称
正弦电流电路
ch8s3-3
根据欧拉公式 xjxe xj s inc o s ??
一．正弦信号的相量
)(c o s2 ?? ?? tIi
时域 复域
正弦时间函数
常系数
对于同频相量
而言相同
复常数
（复常数包含有效值、初相）
一 一 对 应
)(c o s2 ?? ?? tIi ??? ???????? ?? IIeI j
]2R e [ )( ?? ?? tjIe ]2R e [ tjj eIe ???
1.记法：
2.物理意义：
正弦时间函数
唯一对应 复指数函数
相量
正弦量的计算 相量计算
ch8s3-4
1．用相量可以唯一地表征一个频率已知的正弦量，
2121 iiII ?则＝ ??
反之亦然。
相量只能用来比较相同频率的正弦量；
若相量 I?2 从初相角 θ，
tjtj eIIe ??? ?22 )( ??
在实轴的投影即为正弦量 ) c o s (2)( ?? ?? tIti
注 意
以角速度 ω绕 0点逆时针旋转，则旋转相量
3．在复平面上用有向线段表示相量，
称为相量图。
2．相量对应一个正弦量，但不等于正弦量；
相量加上频率才能求得正弦量；
即：若
?t1+?
i(t1)
ch8s3-5
用有效值相量表示下列正弦量
Vttu
Atti
Atti
s i n20 0)(
)5731 4c o s (215)(
)60 s i n (210)(
2
1
?
?
?
??
??
?
?
解：
)(]2R e [)( VeUtu tj???
例 5-2-1
)(1 5 010
9060101
A
I
?
???
－
－
??
???
)(]2R e [)( 11 AeIti tj???
)(57152 AI ?? ?＝ )(]2R e [)(
31422 AeIti tj??
)(90
2
2 0 0 VU ?? ??＝
ch8s3-6
已知正弦电压角频率为 ω，
有效值相量为
))(5.9555(
))(5.9555(
)(110
3
2
1
VjU
VjU
VU
???
???
?
?
?
?
试写出时间函数？
解：
)()1 2 0c o s (21 1 0)(3 Vttu ??? ?
例 5-2-2
)()1 2 0c o s (21 1 0)(2 Vttu ??? ?
)(c o s21 1 0)(1 Vttu ??
)(1 2 01 1 0
55
5.95
5.9555 1222
V
tgU
?
?
???
?
?
??? ?
)(1 2 01 1 0*23 VUU ??? ???
ch8s3-7
1.代数和：
?? ???????? ? ) c o s (2) c o s (2 22121 ???? tItIiii
二．正弦量的运算
??? ??? ]2R e []2R e [ 2 1 tjtj eIeI ??
同频正弦量的代数和仍是一个同频正弦量。
])(2R e [ 21 tjeII ???? ???]2R e [ tjeI ??
????? ????????? ? 22121 ?? IIIII
相量的计算
相量的代数和
ch8s3-8
2.正弦量的微分：
) c o s (2 itIi ?? ??
二．正弦量的运算 相量的计算
)] ts i n ([- 2 iI
dt
dii ??? ????
)]
2
t(c o s 2 ???? ??? iI
] 2R e [ )2 t(
???
? ??? ijeI ] 2R e [ t)2( ?
??
? jj eeI i ??
] 2R e [ t??? jj eIej i?
] 2R e [ t?? jeIj ??
?
?????? ???? iIIjI ??
)] c o s (2[ itIdtddtdii ?? ???? )]2[ R e ( tjeIdtd ???
)]2(R e [ tjeIdtd ??? )](2R e [ tjejI ?? ?? ?
?
?
?
? ??
?
s i nc o s( 2
je j )j?
0 1
又证：
相量的乘法
ch8s3-9
3.正弦量的积分：
) c o s (2 itIi ?? ??
二．正弦量的运算 相量的计算
dteIi d tx j ]2R e [ t??? ?? ? ])2( R e [ t dteI j??? ?
])
(2R e [ t?
?
je
j
I??
?
????? ??
?? i
I
j
I X ??
)s i n ()c o s ( ?????? ?? jjj ??1
0 -1
相量的除法
2
?j
e??
已知,
)()603 14c os (24
)()303 14c os (26
2
1
Ati
Ati
?
?
??
?? 求：
dti
dt
di
ii
?
?
2
1
21
解：
))(9.41c o s (267.9 21 Atii ????? ?
)(32.5)30s i n30( c o s63061 AjjI ?????? ????
)(5.326042 AjI ???? ??
)(9.4167.95.62.7 21 AjII ??? ??????
ch8s3-10
?? 306314 1 ???? jIj? )(1 2 01 8 8 4 A???
3 1 4
604 2
?
??
jj
I ??
? )(300 1 2 7.0 A
????
))(120c o s (21884 1 Atdtdi ??? ?
))(30c o s (20 1 2 7.02 Atdti ???? ?
314
314
314
§ 8-4
电路定律的相量形式
ch8s4-1
一、基尔霍夫定律的相量形式
ch8s4-2
时
域
? u = 0 (KVL)
? i = 0 (KCL)
u,i均为
同频正弦量
相量
形式
? ? 0U?
? ? 0I?
二、电路元件 R,L,C的电压、电流
关系的相量形式
瞬时值及其相量分别设为
uUU ????
ch8s4-3
将基本元件的伏安关系用相量形式表示。
可将微积分运算化为简单的复代数运算。
使得用相量法分析电路成为可能。
同时可更方便地比较同频率正弦量之间幅度和相位关系。
以下讨论中，假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。
)c o s (2)( itIti ?? ?? iII ????
)c o s (2)( utUtu ?? ??
ch8s4-4
对于线性电阻 u(t)=Ri(t)
?
?
?
?
?
?
iu
RIU
??
即,在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位
?
?
?
?
?
iu
RIU
??
（一）．电阻元件
写出相量形式为 IRU ?? ?
ch8s4-5
1．对于线性电感
dt
diLtu ?)(
在正弦稳态下，将 u(t)和 i(t)表达式代入上式
?90?? iu ??2．其相量关系为
mm ILjU ?? ??
或 )( 2 ILeILjU j ??? ??? ?? ??
?
?
?
??
?
2
???
?
iu
LIU
电感两端电压超前其电流 2? （关联方向）
（二）．电感元件
dt
diLu ? )]c os ([
im tIdt
dL ?? ?? )s in (
im tLI ??? ???
)2c o s ( ???? ??? im tLI mm LIU ???
3．比值 L
I
U ?＝ 具有电阻量纲。
fLLX L ?? 2＝＝ 为感抗
（ 2） XL 为有效值之比，仅在稳态分析中有意义。
不适于瞬时值关系。
ch8s4-6
定义：
(1） XL 与 ω有关。
ch8s4-7
1．线性电容：
dt
duCi ?
将 i和 u的表达式代入微分 VAR可知
??
?
?
?
??
??
2
)(
?
??
??
ui
mm CUICUI
电容电流超前其端电压相位
2
? （关联方向）
2．相量形式 VAR：
UCjI ?? ?? 或 ICjU ?? ?
1??
（三）, 电容元件
3．有效值之比
CI
U
?
1? 具有电阻量纲。
fCCX c ?? 2
11 ??
讨论,Xc随频率的变化
ch8s4-8
定义, 容抗为
三,线形受控源
控制量为正弦量,则输出量也为正弦量
jkjk
jkjk
jkjk
jkjk
IIiiCCCs
UgIguiV C C S
IrUriuC C V S
UUuuV C V S
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
:
:
:
:
相量形式
第九章
正弦稳态电路的分析
ch9-1
ch9-2 主要内容
正弦信号：
正弦电路：
在线性时不变稳定电路中，若各个激励源均为同一频率
的正弦信号时，当电路达到稳态时，电路中各支路变量
均为与电源频率相同的正弦量。在此条件下，对于电路
的分析可借助相量法进行。
主要知识点
正弦稳态电路的分析方法和功率计算。
本章难点
1.电路模型和电路变量在正弦稳态下的时域和相量表示易被混淆。
2.较为繁杂的数值计算题。
3.相量图作为辅助工具以及变量间相位关系的比较。
4.正弦电路功率的计算。
具有正弦函数形式的时变电压和电流
在正弦信号激励下的电路。
分析工具：
正弦信号的相量表示；
阻抗与导纳的概念；
§ 9-1
阻抗与导纳
ch9s1-1
ch9s1-2
1．阻抗, 无源二端网络端口上电压相量与电流相量之比
具有电阻量纲。
jXRZIUZ z ????? ??
?
X：电 抗 （分量）
I
U
Z ＝
电压超前电流,No为感性
电压落后电流,No为容性
一．定义
R：电 阻 （分量） φZ>0
φZ<0
阻抗的模
阻抗角 iuz ??? ??
2．导纳,jBGY
U
IY
Y ????? ??
?
B：电 纳 分量
3．阻抗与导纳的关系
同一对端口
YZ
1?
4．阻抗与导纳的串并联等效
串联：
21
21 ZZ
I
UUZ ????
?
??
并联：
21
21
21
YYY
ZZ
ZZ
Z
??
?
?
或
ch9s1-3
G：电 导 分量
ch9s1-4
电阻,G
RY R ??
1
电感,感纳〕＝ (1
LjY L ?
电容,容纳）＝ (CjY
C ?
相量电路模型：
二．基本元件的阻抗与导纳
RZ R ?
)( 感抗LjjXZ LL ???
)(11 容抗＝ CjXjZ CC ???
得到的电路模型称相量模型。
将电路中电流、电压用相量表示。
将基本元件用他们的阻抗或导纳来标出。
ch9s1-5
求如图电路阻抗 Zac
设信号频率 ω
解：
)(( ?? jXR 〕＋? R(ω)：等效电阻。 X（ ω)：等效电抗。
三．无源二端网络的阻抗与导纳
例 5-4-1
LjRZ ab ??? 1
Cj
R
Y
Z
bc
bc
??
??
2
1
11
bcabac ZZZ ?? ? ? 2
2
2
2
1
1
1
C
R
Cj
R
LjR
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
???
? ? ? ?
]
1
[
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
C
R
C
Lj
C
R
R
R
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
??
（ 2〕 当 ω=1 rad/s
（ Ω ）5.12)212(215.1 jjZ ac ??????
等效相量电路如图
ch9s1-6
设 FCHLRR 1,2,15.1 21 ???? ΩΩ,
（ 1）当 ω=0（直流信号） C开路 L短路
Ω5.2)0()0( 21 ????? RRjXRZ ac
讨论
求如图 RLC串联电路的阻抗
解：
zi
i
Z
jXR
C
LjRZ
?
?
?
??
??
??? )
1
(
CLX ??
1??
22 XRZ i ??
当
iZ容性
ch9s1-7 例 5-4-2
R
Xtg
z
1???
时，＝即 LCCL 11)1( ??? ? RZ i ?
时，即 LCCL 11)2( ?? ??? iZ感性
时，即 LCCL 11)3( ?? ???
(1) 无源一端口网络的阻抗与导纳取决于
网络结构、元件参数和信号源频率
(3) 当 0~9090~0 ?? ???
Yz ?? 或
时为感性
(4) 当 ?? 90~00~90 ???
Yz ?? 或
时为容性
ch9s1-8 讨论
当 No中无受控源时,φZ和 φY在 ± π/2间。
(2) No的性质（感性或容性）随 ω变化，
§ 9-2
阻抗 (导纳 )的串联和并联
ch9s2-1
ch9s2-2
1．串联：
nZZZZ ???? ?21
UZZU kk ?? ?
一．串并联
分压：
2．并联：
nZZZZ
1111
21
???? ?
nYYYY ???? ?21
IYYI kk ?? ?分流：
如图 RLC串联电路。 R= 15 ?,L= 12 mH,C= 5 ?F，
端电压 u=141.4cos(5000t)V。
求,i、元件的电压相量。
解,用相量法。
ch9s2-3
例 5-4-2
)(0100 VU ?? ?? )/(5000 sr a d??
CjLjRZ
1
?? ???
)10 5 5 0 0 0 110 125 0 0 0(15 63 ?? ??????? j
)(5 3, 1 3 25 2015 ????? ?j
)(5 3, 1 3 4 5 3, 1 325 01 0 0 AZUI ??
???
????????
RIU R ?? ? )(5 3, 1 3 60 V???? 155 3, 1 34 ???? ?
)(87.36 2 4 0 VLjIU L ??? ??? ?
)(13.1 4 31 6 0 1 VCjIU C ??? ???? ?
15 10
20 15
10
20 55 58.52 70.0
58.52 70.0
1.71 70.0
34.2 70.0
128.25 20.0
34.2 160.0
20
i(t)=4?2cos(5000t-53.13o)A1.71 70
§ 9-3
电路的相量图
ch9s3-1
ch9s3-2
1．根据电路中各相量之间的关系所作出的图，体现 KCL,KVL、
电压与电流之间的关系。
一．相量图
箭头长短 ——相量的模；角度 ——相量的相位（初相）
2．作法：
(1)选择参考相量。 (初相依据计算结果或假设为 0。 )
串联：
并联：
I?
U?
(2)其他相关相量根据参考相量确定。 (串联,KCL；并联,KVL)
如图 RLC串联电路。 R= 15 ?,L= 12 mH,C= 5 ?F，
端电压 u=141.4cos(5000t)V。
解：
ch9s3-3
例 1
)(5 3, 1 3 4 AI ?? ???
RIU R ?? ? )(5 3, 1 3 60 V????
)(87.36 2 4 0 VLjIU L ??? ??? ?
)(13.1 4 31 6 0 1 VCjIU C ??? ???? ?
)(0100 VU ?? ??
53.13o
I?
RU?
LU?
CU?U?
ch9s3-4 电路如图,R1=10?,L=0.5H, R2= 1000?,C=10 ?F，
Us=100V,?=314rad/s。求各支路电流。
解：
例 2
，则：VU s ?? 0100设 ??
CjRZ ??? 2// 1
1
//1 ZLjRZ ??? ?
?33.7245.3 0 35.03 1 410 ?????? j
53 1031410
1
?? ??? j
)(33.7245.303 ???? ?
)(30.5299.1 6 6 ???? ?
92.11-j289.13
Z
UI ?? ?? )(30.5260.0 A???
C 1
C 1
2
2 ?
?
jR
jII
??
?? )(03.2018.0 A????
C 12
2
1 ?jR
RII
??
?? )(97.6957.0 A???
1I? 2I?
I?
Ij ?L?
1RI?
22RI?
sU?
§ 9-４
正弦稳态电路的分析
ch9s4-1
(3)若需要，将结果表示为时间函数。
ch9s4-2
线性电路，单一频率正弦激励下的 稳态 电路条件：
工具,(1)引入相量形式欧姆定律，将微分、积分化为
复数的代数运算。
(2)由于 KCL和 KVL相量形式成立，前面直流
电路分析中等效方法、建立方程方法及线性
电路的定理可直接应用于相量模型。
(3)相量图作为辅助工具。
稳态电路分析的一般步骤：
(1)将电路时域模型变为相量模型；
(2)按直流电路的分析方法求出相量解；
ch9s4-3
已知,电路中 ))(301000(210 VtS i nu ???
求,i,uR,,uC,uL?
解,1．画出相量模型
)(3010 VU ?? ??
2.
Ω 〕(3.5164
5040
)5010 0(40
???
??
???
j
jZ
)(3.21156.0
3.5164
3010
A
Z
UI
?
?
??
?
???
?
???
3．写出时间函数
))(3.1111000(28.7 VtS inu C ???
一．简单电路
)(3.2124.6 VIRU R ??? ????
)(7.686.15 VILjU L ??? ??? ?
)(3.1 1 18.71 VICjU C ??? ???? ?
))(3.211 0 0 0(21 6 5.0 AtS i ni ???
))(3.211000(224.6 VtS i nu R ???
))(7.681 0 0 0(26.15 VtS i nu L ???
例 5-5-1
已知,电流表读数
A1=6(A),A2=8(A)
求,A 的读数？
解：设 U? 为参考相量，
由相量图
)(1086 22 AI ???
ch9s4-4 例 5-5-2
ch9s4-5
已知, 电路相量模型如图。 求：支路电流?,,321 III ???
解,(1)用网孔分析法
??
?
?
?
?????
???
221
121
)(
)
1
(
s
s
UILjRIR
UIRI
Cj
R
???
???
?
?
解方程得
?
?
?
?
?
????
???
???
)(9.118.29
)(3.1152.32
)(3.568.27
213
2
1
AIII
AI
AI
?
?
?
???
?
?
二．复杂电路
例 5-5-3
R
C L
Us1 Us2
(2)用结点分析法：
211
1)11(
ssn ULjUCjULjRCj
???
???? ????
求, 图（ a）电路中的 u(t)
(a)
(b)
?
?
?
????
?????
11
11
22
202)1(
UUjUj
UUjUj
???
??? ?
?
?
?
???
????
02)2(
2)1(
1
1
UjUj
UjUj
??
??
解出,）（＝ VjU ?? 6.265224 ????
ch9s4-6 例 5-5-4
解：
列出方程
(1) 用结点分析法，
元件值用导纳表示，
（ 2）用戴维宁定理求解
(c)
由图（ c）电路求
ocU?
)(422
)(02102
11
1
VjUjUU
VU
oc ????
?????
???
? ??
(d)
由图（ d）电路求 Zo，令 1
1 ?U?
则：
)(100 ΩjIUZ ??? ?
?
(e)
由图（ e）等效电路，求出
))(6.263(102)( VtS i ntu ????
ch9s4-7
1＝I?
jjjU ??? 1210 ＋＝?
241 )42()(
0
jjj jjjjZ UU oc ???? ?????
??
＝
。，求的相位差为与若要使例,?osUIjZjZ 90,1 0 0 04 0 0,5010 11 ????????
解：用回路法
?
?
?
?
?
?
?
???
11
12
211 )
l
l
sll
II
II
UIZIZZ
??
??
???
?
（
?ZZZ
UII s
l ?????
1
11
???
，即实部应为，则相位差为与要使 090
1
0
1 I
UUI s
s ?
???
0]R e[ 1 ??? ?ZZZ
41
01010400
???
????
?
?
1lI?
2lI?
§ 9-5
正弦稳态电路的功率
ch9s5-1
ch9s5-2
? ???? ???? tItUuip c o s2 c o s2
一．瞬时功率 p(t)
正弦稳态，以电压为参考相量。即,tUu c o s2 ??
) c o s (2 ?? ?? tIi
? ?] 2c o s[ c o s ??? ??? tUI
恒定分量 正弦分量（ 2?） ?
i(t)
u(t)
T? T
p(t) UIcos?
)s i n2s i nc o s2( c o sc o s ????? ttUIUI ???
tUItUI ???? 2s i ns i n)2c o s1(c o s ??? ?0
正弦变化 (可逆 )非正弦周期量 (不可逆 )
1+cos2?t
sin2?t0若一端口内不含有独立源，即,Z=R+jX，
则第一部分为电阻分量 R所吸收的瞬时功率，
第二部分为电抗分量 X所吸收的瞬时功率。
则：在某一瞬时输入该电路的功率为：
单
个
元
件
ch9s5-3
R,?=0 p=UI(1+cos2?t) 平均 >0 耗能
L,?=90o p=UIsin2?t 平均 =0
C,?= -90o p= -UIsin2?t 平均 =0
tUItUIp ???? 2s i ns i n)2c o s1(c o s ???
储能,
周期性地“吞吐”能量
二．几种功率（正弦电流电路）
1．有功功率 P：（平均功率 P） （ W）
?? T dttpTP 0 )(1
?c o sUI? ?UI?
? ??? T dttUIT 0 )]2c o s ([ c o s1 ???
?=cos?：一端口的功率因数
cos? >0：吸收有功功率
cos? <0：发出有功功率
P= W 的示数，反映电阻分量所消耗的平均功率。
2．无功功率 Q：
?s inUIQ ?
sin? >0：“吸收” 无功 功率
sin? <0：“发出” 无功 功率
瞬时功率中周期量的的最大值,反映交换功率的幅值，反映端
口内外往返交换能量的情况。 （ var）
电流 电压
U
U无功 分量,Isin?
U?
I?
?
Icos?
3．视在功率 S,（ VA）
UIS ? 铭牌上的容量 =额定电压有效值 ?额定电流的有效值
4．关系：
ch9s5-4
?
?
?
??
??
?
?
s in
c o s
SQ
SP
?
?
?
?
?
?
??
?
P
Q
tg
QPS
1
22
?
有功分量,Icos?
ch9s5-5
元件瞬时功率 uip ?
并取 u为参考正弦量 tUu ?c o s2?
1.电阻,tItUGuGi ?? c o s2c o s2 ????
0)2c o s1(c o s2)( 2 ?????? tUItGUiutp ??
平均功率,? ?
01
2
2
0
????? ? RURIUIdttpTP T （耗能元件）
平均功率 --- 有功功率
三．基本元件的功率与能量
以下讨论中，假定元件两端电压与电流取关联参考方向，
2.电感,)90c o s (2)90c o s (2 ?? ???? tIt
L
Ui ??
?
tUItItUtp ??? 2s i ns i n2c o s2)( ???
瞬时功率,p>0，吸收能量，建立磁场
平均功率：
2
2
2 LI
X
UIXUIQ
L
LL ?????
储能,? ? 02c o s1
2
1
2
1)( 22 ???? tLILitW
l ?
平均储能,2
2
1 LIW
L ? LL
WQ ?2??
ch9s5-6
p<0，放出能量，磁能消失 储能元件
0)(1
0
?? ? T dttpTP
3.电容,tItUci ??? s i n2)90c o s (2 ???? ?
瞬时功率,tUIp ?2s in??
无功功率,222 CU
X
UIXUIQ
C
Cc ?????????
注：当电路 L和 C有同样电流或同样电压时,L和 C瞬时功率反相，
一个吸收，另一放出，故规定 QC<0
储能, 0)2c o s1(
2
1
2
1 22 ???? tCUCuW
c ?
平均储能：
CC WQ ?2???
ch9s5-7
2
2
1 CUW
C ?
例 5-5-1
求图示一端口网络
的 P,Q和 cos?
解：
?452101010
1010
100155 ????
?
???? j
j
jjZ
707.045c o sc o s ??? ???
∴P=UIcos φ =5（ W） Q=UIsinφ =5 （ var）
ch9s5-8
（滞后）
)(457 0 7.045210 010 AZUI oo
o
??????? ??
§ 9-6
复 功 率
ch9s6-1
ch9s6-2
定义复数 *IUS ??? 为复功率 ??? SS
S 可同时表征 P,Q,S大小及 ?，便于计算。
uUU ???
??
iII ???
??
则
iuUIIU ?? ???* ??
jQPS ???
可利用相量直接求
一, 定义：
1、设端口上
，进而示 P,Q,cos?。S
二、推导：
??? UI
?? s inc o s jSS ??
jQP ??
ch9s6-3
IZU ???? UYI ????
则 2** ZIIIZIUS ??? ????
三、意义：
2、若一端口内部不含独立源，则：
二、计算：
或 2*** )( UYUYUIUS ??? ????
2、在正弦电流电路中，复功率守恒。有功功率、无功功率守恒，
视在功率不守恒。
? ? 0S
? ? 0P
? ? 0Q
电路总的有功功率是电路中各部分有功功率之和。
电路总的无功功率是电路中各部分无功功率之和。
? ? 0S
引入它的目的是能直接应用电压相量、电流相量，使有功功率
P、无功功率 Q、视在功率 S的计算和表达简化。
S1、复功率 不代表正弦量，也不直接反映时域范围的能量关系。
求额定电压 U=220V，电流 I=0.4A，
功率 P=40W 的日光灯电路的 S,Q
和 cosφ 。为提高功率因数，并联
电容如图中虚线所示。 C=4.75μ F，
求此时的 cosφ ’，电源频率为 50Hz。
解：
v a r4.78s in ??? ?SQ
并电容后：
v a r18.6s in ?????? ?SQ
ch9s6-4 例 5-5-2
VAUIS 884.02 2 0 ????
45 5.0c os ?? SP?
?63455.0c o s 1 ?? ??
AjUCjI C 3 2 8.0?? ?? ?
AjI 365.0182.0634.0 ????? ??
AIII C ???? 75.8184.0 ??????
?75.8???? ?
99.075.8c o sc o s ???? ?? （滞后）
VAIUS 5.40????
求图中所示电路各支路的复功率。已知：
Is=10A,?=1000rad/s,R1=10?,j ?L1=j25?,R2=5?,-j/?C2=-j15?.
:,010,则各支路电流为令解 AI os ???
AjIII
Aj
j
j
C
j
RLjR
C
j
R
II
s
s
46.831.2
46.831.2
1015
155
*10
12
2
211
2
2
1
????
???
?
?
?
???
?
?
???
??
?
?
?
VAjIZIIZIUS
VAjIZIIZIUS
3 3 4 71 1 1 6
1 9 2 37 6 9
:
2
22
*
222
*
2102
2
11
*
111
*
1101
?????
?????
????
????
各支路的复功率为
VAjjS
IZUIUS s
1424188410*)4.1424.188(
:,,1110*10
????
?? 故但是电源发出的复功率 ???
21
:
SSS ??
忽略误差
§ 9-7
最大功率传输
ch9s7-1
ch9s7-2
欲使 P最大
1,共轭匹配：负载电抗可独立变化，即模与幅角均可变
令
eqXX ?? 2
2
)( RR
RUP
eq
oc
?
? 可变，由 0?
R
P
?
? 可知，当
eqRR ?
时，即 *
eqZZ ?
（共轭匹配）负载获最大功率
eq
oc
R
UP
4
2
?
2,模匹配：负载阻抗模可变，幅角不变。将 ??? ZZ 代入
?c o s2 ZIP ? 可推导 P最大条件为 222 eqeq XRZ ?? 即 eqZZ ?
此时负载功率小于共轭匹配时 maxP
Ns
oc
eq
图示电路左端为含源二
端网络，右端为负载，设
jXRZ
jXRZ eqeqeq
??
??
负载功率：
22
2
2
)()( XXjRR
RURIP
eqeq
oc
???
??
例 5-5-3 图示电路求：
（ 1） ZL为何值可达共轭匹配，并求 Pmax
（ 2）如果 ZL=RL,求 RL为何值获得最大功率？
解,VU OC ??? 020002100 ?????
?????? ?452100100100 jZ S
（ 1）当 ???? 100100* jZZ SL 时共轭匹配
WRUP
S
oc 1 00
4
2
m a x ??
（ 2）当 ??? 22 0 0
SL ZR
时模匹配
VRZ RUU
LS
L
OCL
??? 5.221 0 8 ??
???
W
R
UP
L
L 2.41
2
m a x ???
ch9s7-3
§ 9-8
串联电路的谐振
ch9s8-1
ch9s8-2
谐振频率, 当 ωL=1/ωC 时，即
LC
1
0 ??
所以当信号源频率等于 ω0时电路将发生串联谐振。
二, RLC串联谐振：
Z(?)= R+jX =R+j(? L-1/ ?C)
ω0即为 谐振频率
一, 谐振定义：
在正弦激励下，端口电压与电流同相的工作状态。
发生谐振时的电源频率为电路的谐振频率。
ch9s8-３
(1)谐振阻抗, Zo = R （最小）
(3)特性阻抗,CLCL //1 00 ??? ???
(2)谐振时的电流：当 U一定时 I0=U/R 最大
(5)回路元件上的电压
即元件上的电压为外加电压的 Q倍
1.特点
UL=UC= ? Io= ?(U/R) = QU
)/(1// 00 CRRLRQ ??? ???
一般来讲品质因数决定电路的选频特性
(4)品质因数 （回路品质因数）
(6)选频特性, 将电流对频率的关系曲线称为电路的选频特性。
设 00?? UU。
iIR
Xtg
XR
U
Z
UI ?????
?
?? ? 1
22
??
22 XR
UI
?
? 对 ω的关系称之为幅频特性
22 )1(
C
LR
U
I
?
? ??
?
ch9s8-４
0,,1,0 ?????? IZC??
)(,,1,00 最大IIRZCL ???? ????
0,,,??????? IZL??
显然谐振电路对不同的 ω，响应不同，对有些信号有抑制作用，
这种特点称为选择性。
R
C
L
tgi ?
?
?
1
1
?
?? ? (7) 通频带：两个半功率点之间的
频率宽度
0
0
122 Q
ffffB ??????
当
2
0II ? 时
RIRIPP 2020 2121 ???
为半功率点。
显然 Bw与 Q0成反比，
即 Q0越大 Bw越小。
ch9s8-５
??? 90,0 i??
0,0 ?? i???
????? 90,i??
u,i 同相位
R
Xtg
i
1????
对 ω的关系称之为相频特性
(8)分析 L,C上的电压情况：
谐振时：
UjQRULjU L ?
??
?? 0?
ch9s8-6
UjQRUCjU C ?
??
???
0
1
?
RU?
LU?
CU?
U?? I?
Q>0.707,UL,UC存在峰值
(9)分析 L,C上的电能情况
谐振时,在电感,电容中所储存的电磁能量的总和是不随时间变
化的一个常量，且与 Q值的平方成正比
§ 9-9
并 联谐振电路
ch9s9-1
ch9s9-2
)()()( ??? jBGY ??
)1( LCjG ?? ???
)1( 2 LCCjG ??? ??
当 01 ??
LC ??
时发生并联谐振
此时 Y最小 Y=G
谐振频率
LC
1
0 ??
1,谐振条件与谐振频率
（一）
ch9s9-3
（ 4）电感支路与电容支路上的电流 LC II ?? 与
大小相等方向相反，且为总电流的
Q0倍，所以并联谐振为电流谐振。
（ 3）品质因数：
L
RCRQ
0
00 ?? ??
（ 5）选频特性,主要研究 ??U?
其特性与串联谐振的 ??I? 类似。
（ 6）通频带：同串联谐振。
2.特点：
（ 1）谐振阻抗 Zo = 1/Yo=R最大。
（ 2）谐振时的电压，
当 IS一定时,U0=ISZ0最大。
s
sL
IjQ
I
L
Q
j
Lj
U
I
?
?
?
?
0
0
0
0
0
??
???
?
?
?
os ZIU ?? ?0
CZIjCjUI osc 000 ?? ??? ??
0QIj s??
ch9s9-4
)()()( ??? jBGY ??
LjRCj ?? ???
1
])([)( 2222 LR LCjLR R ???? ?????
当
22 )( LR
LC
?
??
??
，即
此时 Y最小
1,谐振条件与谐振频率
Is
U
I1 I2
+
_
时发生并联谐振。
L
CR
LCCL
CRL 2
2
2
0 1
1 ?????
CR
LR
L
CR
LR
RY ??
?? 022,)( 令?
（二）
2,特点：
ss ICR
LRIU ??? ??
00 )(?
11101 ||)( ?? ??? sIYCR
LYUI ???
2)( 0202
???? ???? CI
CR
LUCjYUI
s????
1I?
2I?
sI?
U?
1?
基尔霍夫定律
Ch1s10-1
Ch1s10-2
分析图 (a),(b)中的 u1,i1,u2,i2?
? ?ARR uii S 182 10
21
21 ?????? ? ?Vuuu s 1021 ???
(a) (b)
一, 网络拓扑的基本概念
? ?ViRu 212111 ????
? ?ViRu 818222 ????
? ?ARUi 5210
1
1
1 ???
? ?ARUi 25.1810
2
2
2 ???
Ch1s10-3
讨论
（ 1）图（ a）与图（ b）两电路组成的元件一样，但结果不同。
（ 2）各元件上的电压，电流不仅与元件本身的约束有关，
还与元件连接方式有关。
（ 3）电路中各支路 u,i受两类约束：
a,个体（ 元件特性） ?VCR
b,整体（联接方式约束） ?拓扑
（ 4）元件约束关系与拓扑约束关系是互为 独立 的。
Ch1s10-4
支路,(branch)组成电路的每一个二端口元件。（暂）
结点,(node)支路的连接点。
其中 a～ h表示左图中的各支路 ;1～ 5表示左图的各联接点
回路,(loop) 由支路构成的闭合路径。
(注：一个元件只能出现一次；
即,除起点、终点外，其他结点只能出现一次。 )
如上图中标 {a,b,d,c},{a,b,g,f}而 {a,b},{a,b,d,e}不是回路。
名词解释
（拓扑）图：用线段表示支路，用结点表示联接点的图 。
CH1S10-5
1.内容：
在 集总电路 中，在 任意时刻,电路中 任一结点 各支路电流的
代数和 为零。即：对结点 ? ? 0i
规定：参考方向流出结点的电流前取正号，否则前取负号。
流出结点的电流 流入结点的电流
51432
54321 0
iiiii
iiiii
?????
?????
讨论,(1) 基尔霍夫电流定律与元件性质无关,
2.基尔霍夫电流定律的另一种形式：
? ?? 流出电流流入电流
例 1-3-1
二．基尔霍夫电流定律（ KCL）
(2) 基尔霍夫电流定律规定了电路中与某一结点连接
的各支路电流的约束条件,
CH1S10-6
例：写出各结点的 KCL方程。
0:1 641 ???? iiin o d e
在任意时刻，电路中任一假想封闭面 S(包含几个结点 )各支路电流
的代数和为零，即：对广义结点
0??i
3.基尔霍夫电流定律的推广：
?
0:2 542 ???? iiin o d e
0:3 653 ???? iiinode
0321 ???? iii
CH1S10-7
解：
例 1-3-3
求,i3,i1？
对节点 a,- i3 + 7 – 2 = 0 i3 = 5(A)
对封闭面,- i1 – 2 + 2 – 7 = 0 i1 = - 7(A)
4.注意,(1)适用范围,KCL适用于任何集总电路。
(2) ?i=0中的 i前正负取决于参考方向。
(3)体现了电流的连续性，反映了电荷守恒定律。
CH1S10-8
1.内容,在 集总电路 中,任意时刻,沿 任一回路,所有支路电压的
代数和 为零。 即：沿任一回路，
规定：参考电压方向与环绕路径方向一致取正号，否则取负号。
2.注意,(1) KVL与元件性质无关。
? ? 0u
u1 - u2 + u3 + u4 - u5 = 0
基尔霍夫电压定律的另一种形式：
? ?? 电压升电压降
三．基尔霍夫电压定律（ KVL）
例 1-3-4
(2) KVL规定了电路中环绕某一闭合回路各支路电压
的约束条件。
u1 + u3 + u4 = u2 +u5
(3) KVL表明：两结点间的电压值为单值；
无论沿哪一条路径，两结点间的电压值相同。
解：对节点 b应用 KCL,i3 = 0
讨论,(1)KVL适用于任何集中参数电路,
CH1S10-9 例 1-3-5
求,uab?
对节点 c应用 KCL,i2 - i1 - i3 = 0
i2 = i1 = i
对回路 acda应用 KVL,2i + 4i + 6 = 0
i = - 1 (A)
对回路 abca应用 KVL,uab – 4 - (-1*2) = 0
uab = 2 (V)
(2) 反映了电压与路径无关。
CH1S10-10
应用欧姆定律：
)(4.8
10712 00
12 00
3
V
iu aa
?
???
?
?
例 1-3-6
四, 应用基尔霍夫定律求解简单电路
求,ia,ua？
解：
应用 KVL,15 + 1200ia + 3000ia – 50 + 800ia = 0
ia = 7(mA)
CH1S10-11
解：
应用 KVL,02120 ?????
aab uuu
应用欧姆定律：
?
?
?
??
?
iu
iu
a
b
15
30
联立求解得：
?
?
?
?
?
)(2 4 0
)(8
Vu
Ai
b
例 1-3-7
求,i,ub?
CH1S10-12
解,应用 KCL,-120 + ia + 30 + ib = 0
?
?
?
?
?
ui
ui
b
a
15
30
联立求解得：
?
?
?
?
?
?
?
?
)(30
)(60
)(2
Ai
Ai
Vu
b
a
例 1-3-8
求,ia,ib,u?
应用欧姆定律：
CH1S10-13
解：
应用 KCL,ib - 2ia - 0.024 - ia = 0
联立求解得：应用欧姆定律：
?
?
?
?
?
??
?
200 0
600 0
u
i
u
i
a
b
?
?
?
?
?
?
??
?
)(4.2
)(2.7
)(4.14
mAi
mAi
Vu
b
a
例 1-3-9
求,ia,ib,u?
参考点：指定的电路中某一结点，令其为公共参考点，
其它各结点电压以该参考点为基点。
电压：指两点间的电位差
CH1S10-14
五, 电路中各点电位
符号：
结点电压（电位）：指结点与参考点之间的电压，
参考方向指向参考点。
CH1S10-15 求,Ua,Ub,Uc,Ud?
)(31 Vuu sa ??
解：
Uab,Uac,Uad，
Ubc,Ubd,Ucd?
)(
3
8 Vuuu
baab ???
例 1-3-9
)(3131133 ViRu b ????
)(22 Vuu sc ????
0?du
)(5 Vuuu caac ???
)(3 Vuuu daad ???
)(
3
7 Vuuu
cbbc ???
)(
3
1 Vuuu
dbbd ???
)(2 Vuuu dccd ????
CH1S10-16
求, Ua,Ub,Uc，
Ud,Uab,Uac?
解：
讨论：参考点不同，各节点电位不同，但节点间的电位差不变。
例 1-3-10
)(3811 VRiu a ??
0?bu
)(3722 ViRu c ????
)(3133 ViRu d ????
)(38 Vuuu baab ???
)(5 Vuuu caac ???
ch1s9-1 § 1-9 受控源
受控电压源 受控电流源
x为控制量，
可以是某支路
的电压或电流
受
控
源
受控电压源
受控电流源
电压控制电压源（ VCVS）
电压控制电流源（ VCCS）
电流控制电流源（ CCCS）
电压（或电流）受其它支路电压或电流控制。
电流控制电压源（ CCVS）
受控源定义
名称
电路
模型
数学
模型
控制
系数
单位
(1)受控源属于电源的一种，分析中通常可 参照 独立源方法处理。
压控压源
VCVS
流控压源
CCVS
压控流源
VCCS
流控流源
CCCS
讨论
criu ? cgui ? cii ??cuu ??
μ r g α
无 欧姆 (Ω) 西门子 (S) 无
(2)分析时不得丢失控制量
ch1s9-2
ch1s9-3
已知,us=10(V),R1=1(KΩ)，
R2=100(Ω),r=0.2(Ω)
求,i2?
)(102101 0 0 102.0 53
21
2 ARR
rui s ???
?
???11
11
R
u
R
ui sR ??
2
1
2
2
2 R
ri
R
ui R ??
解：
解题思路
2
2
2 R
ui R?
1
11
R
ui R?12 riu R ?
sR uu ?1
(1)本例图中未标出 uR1,uR2的参考方向，
一般认为采用的关联参考方向。
讨论
例 1-2-12
第二章
电阻电路的等效变换（线性）
Ch2-1
（ 1）电阻的混联；
（ 2）电源的混联；
（ 3）电阻与电源的混联。
简单电路是指仅由电阻、直流独立源及受控源组成的少回路或
少结点电路。
ch2-2 主要内容
§ 2-1 引言
通过等效分析法分析简单电路。
加深欧姆定律及基尔霍夫定律的基本慨念，
掌握一些简单的实用电路的分析原理。
通过分析此类电路，加强对电路分析两大约束关系的理解及应用。
时不变 线性无源元件 + 线性受控源 + 独立源 =（时不变）线性电路
线性电阻 + 线性受控源 + 独立源 = (线性 )电阻 (性 )电路
一、等效的目的：
§ 2-2 电路的等效变换
对内不同
二、等效的原则：
对外等效
原电路、替代电路的外部伏安特性相同。
ch2-3
：当电路中某一部分用其等效电路替代以后,未被等效部分 的
电压、电流保持不变。 （等效电路以 外 ）
§ 2-3
电阻的串联和并联
Ch2s3-1
Ch2s3-2
1.元件串联的定义：
2,特点：
一, 电阻元件的串联
（ 1）将每两个元件的一端连接成一个公共结点。
（ 2）无其他元件联在该公共结点。
(1)i = i1 = i2 u = u1 + u2
(2)等效电阻,Req = ? Rj
(3)总功率,p = ? pj = Req i 2
(4)分压,uk =( Rk / Req ) u
1.元件并联的定义,
Ch2s3-3
（ 1）将每个元件的一端连接成一公共结点；
（ 2）将每个元件的另一端连接成另一个公共结点。
2,特点：
二, 电阻元件的并联
(1)u = u1 = u2 i = i1 + i2
(2)等效电导,Geq = ? Gj
(3)总功率,p = ? pj = Geq u 2
(4)分流,ik =( Gk / Geq ) i
Ch2s3-4
32
32
1321 // RR
RRRRRRR
eq ?????
三．电阻元件的混联
例：求 ab间的等效电阻。
Ch2s3-5
求,（ 1）无负载（ RL=∞）时,Uo=?
（ 2） RL=450kΩ时,Uo=?
（ 3） RL=0 时,30kΩ电阻的功耗？
（ 4） RL为多大时,50 kΩ电阻功耗
最大？是多少？
)(751205030 500 Vu ????
)(454 5 050 4 5 050Re Ωkq ????
)(48.01030 1 2 0 3
22
WRup ????
3
2
0
1050 ?
? up?
∴ 当 RL＝ ∞时,Uo最大，
50kΩ电阻功耗最大。
)(1125.0
1050
75
3
2
Wp ?
?
?
(1)
(2)
(4)
(3)
例 2-1-3
解：
)(721204530 450 Vu ????
Ch2s3-6
求,6Ω电阻的功耗？
)(810416 160 Ai ????
例 2-1-4
解：等效变换求 io
)(2.3846 4 Ai ????
)(44.6162.3 22 WRip ????
§ 2-4
电阻的 Y形连接与 ?形连接
的等效变换
Ch2s2-1
Ch2s4-2
1.定义：
星形（ Y） 三角形（ Δ）
一,Y形连接与 ?形连接
三个电阻一端都接在一个公共结点上；
另一端分别接在三个端子上。
三个电阻分别接在三个端子
的每两个之间。
辨认 Y形连接与 ?形连接
?形连接：
（ R1,R2,R3）
（ R3,R4,R6）
（ R2,R4,R5）
（ R2,R3,R4）
（ R4,R5,R6）
Y形连接：
二,Y形 —?形间的等效变换
1.等效变换原则,对外等效
当两种连接的电阻之间满足一定的关系时，在端子之 外 的特性
相同。即：在它们对应端子电压相同时，流入对应端子的电流
也分别相等；反之亦然。
Ch2s4-3
设对应端子间有相同的电压 u12,u23,u31：
等效证明
等效 ?流入对应端子 1,2,3的电流分别相等。
?连接中：
12
12
12 R
ui ?
23
23
23 R
ui ?
31
31
31 R
ui ?
据 KCL：
3131121231121 RuRuiii ????
1212232312232 RuRuiii ????
2323313123313 RuRuiii ????
Y连接中,221112 RiRiu ??
332223 RiRiu ??
0321 ??? iii
133221
312123
1 RRRRRR
uRuRi
??
??
133221
123231
2 RRRRRR
uRuRi
??
??
133221
231312
3 RRRRRR
uRuRi
??
??
Ch2s4-4
133221
3
12
1
RRRRRR
R
R ???
133221
1
23
1
RRRRRR
R
R ???
133221
2
31
1
RRRRRR
R
R ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
312312
3123
3
312312
2312
2
312312
1231
1
RRR
RR
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
＋＋
＝
＋＋
＝
＋＋
＝
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
2
133221
31
1
133221
23
3
133221
12
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
已知 ??求 Y 已知 Y ?求 ?
结论：
Y形电阻 = ?形相邻电阻的乘积 ?形电阻之和 ?形电阻 =
Y形两两电阻乘积之和
Y形不相邻电阻
Ch2s4-5
注意：
（ 2）
（ 1）
3321312312
?
????
RRRRRRRR ＝＝＝时，
YY RRRRRRRR 3 312312321 ＝＝＝时，＝＝＝
（ 3） ??Y或 Y ??：内部变，对外特性一致。
（ 4） 整个结构 ?整个结构，不是单个电阻之间的对应，关键在于找三个端子。
Ch2s4-6
Ch2s4-7 求,i?
)(72.3
10
5.189.0
89.0
04
V
u
?
?
?
?
例 2-2-11
解：
)(33.2
6.1
72.3
6.1
04
A
u
i
?
?
?
§ 2-5
电压源，电流源的串联和并联
Ch2s2-5
电压源串联
电流源并联
?
?
?
n
k
sks uu
1
?
?
?
n
k
sks ii
1
一,电压源的串联与电流源的并联
二,电压源的并联与电流源的串联
Ch2s2-6
电压源与电流源串联
电压源与电流源并联
例 2-2-2
三,电压源与电流源的并联与串联
Ch2s2-7
讨论,(1)与电流源串联的部分可忽略
四,电阻元件与电流源串联及电压源并联
(2)与电压源并联的部分可忽略
§ 2-6
实际电源的两种模型及其等效变换
一,实际电源的伏安特性及其电路模型
+
-
实际
电源
i
u
u
i
uoc
isc
二,us串 R与 is并 R相互等效
u
i
us
us/R
实际电源模型：可看成带内阻的电源
1.比较,若 G=1/R,is=Gus,则两方程相同,伏安特性
曲线重合,表示二者从端口处看完全等效,
2.结论,us串 R与 is并 G可相互等效,条件是,
u
i
io/G
is
Riuu s ??
G
i
G
iuGuii s
s ?????
Riu
G
R ss ?? 1
3.注意,
(1)两种组合的等效是对外部电路 (u,i,P)而言,
内部情况有所不同,欲求内部情况,则需还原,
(2)注意等效前后 us,is的参考方向,
(3)受控源也可等效,受控电压源串 R=受控
电流源并 R,但变换过程中控制量须保持
不变,
例 2-2-3
Ch2s2-9
求：化简等效电路
解：原电路
Ch2s2-10
例 2-2-4 解：
Ω 〕(6
0
3
2
1
?
?
??
eq
eq
eq
R
R
R
(6)任一元件与开路串联，与短路并联
求,Req3?
Ch2s2-11
例 2-2-5
解：
二．等效变换应用举例
(1) 求二端网的等效电路
Ch2s2-12
例 2-2-6
解：
Ch2s2-13
uiuiuiuiu 5512)1(1)1(2)1(1 ?????????????
iu 6561 ?? ui 5651 ???
原电路
上页末图
续例 2-2-6
Ch2s2-16
例 2-2-9
求,i？
)(91118 11 Ai ???
（ 3）求网络中某一支路的电压或电流
解：
Ch2s2-17
求,i2?
解：
031)15.05.0(3 22 ?????? ii
例 2-2-10
)(4.0522 Ai ??
§ 2-7
输入电阻
一,端口
由 KCL可知,i1=i2。
2.如何等效?
内部只含电阻
内部含电阻,受控源 输入电阻 Rin
等效电阻 Req(采用串，并联等效，
Y--?变换
二,输入电阻 Rin
i
uR
in ?
1.定义,对于不含独立源的一端口网络
u:端电压 i:端电流
1.定义,一个网络向外引出一对端子, 这
对端子可与外部电源或其它电路相接 。
2.计算方法,
(1)一端口内部仅含电阻
应用电阻的串、并联和 Y —?变换等
方法求得的等效电阻即为输入电阻
eqin RR ?
(2)一端口内部含电阻、受控源，
但不含独立源 (用定义求解 )。
A.在端口加电压源 us，然后求
出电流源 i;
B.在端口加电流源 is，然后求
出电压 u.
i
uR s
in ?
s
in i
uR ?
例 2-2-7
解：
u
RRR
u
R
u
R
ui )1)1(1(μ
21221
????????
21
1
)1(
1
1
RR
i
u
R i
???
???
21
21
)1(1)1(1 GGRRuiG i ?? ???????
解,uiiuiuiiuiu
2
513)42)
2((1)2(42)2( ?????????????
Ω 〕(726?? iuR i
例 2-2-8
Ch3-1
第三章
电阻电路的一般分析方法
ch3-2
(2)通过介绍变量的独立性与完备性，引入并重点讲授
网孔法，结点法，回路法；
电路分析的对象
主要内容
引言
(1)通过简单介绍支路电流法，阐述电路分析的基本步骤
及建立独立方程的原理和方法；
(3)介绍一般分析方法中各种电源处理的基本原则。
建立独立拓扑约束方程的依据
独立的元件约束方程数
2b个独立方程建立的方法
求解 2b个变量所需的独立方程数
b条支路的变量数
——各支路电压、电流
—— 2b
——2b
——元件约束关系 + 拓扑约束关系
—— b
—— KCL+KVL (b)
§ 3-1
电路 的 图
Ch3s1-1
电路 的 图 电路图
?
图论概念，
只有结点、支路，无具体元件
只表明电路的结构及其连接方式（拓扑性质）
既有电路连接形式，又有具体元件
Ch3s1-2
(a) (b)
回忆第一章的一个例子
（ 1）各元件上的电压，电流不仅与元件本身的约束有关，
还与 连接方式 有关。
（ 2）电路中各支路 u,i受两类约束：
a,个体（ 元件特性） ?VCR
b,整体（联接方式约束） ?KCL,KVL（拓扑）
（ 3）元件约束关系与拓扑约束关系是互为 独立 的
（ 4） ?引入电路的图来研究如何列出 KCL,KVL方程，
并讨论其独立性。
ch3s1-3
一、图
1.支路 (branch)
电路中一个元件，或几个元件的组合 ?一条支路
在图中用 线段 表示
2.结点 (node)
支路的连接点或端点
4.路径 (A?B)
从某一结点 (A)出发, 沿某些支路连续移动, 到达另一指定
结点 (B) (或原结点 )。
拓扑名词解释一
3.图 (Gragh)：
一个图 G是结点和支路的集合, 每条支路的两端都连接到
相应的结点上 。
不一定 将它所连接的结点均移去
在图中用 点 表示
允许有孤立的结点存在；但每条支路均连接到两个结点上。
?移去结点 ?移去与之连接的所有的支路
移去支路
Ch3s1-4
二、有向图：
标有支路电流参考方向的图。 (电压一般取关联参考方向 )
三、连通图：
图中任意两点间至少存在一条路径的图，
否则是非连接通图
四、平面图：
能在平面上画出，而没有任何空间交叉
支路的图，否则为非平面图
拓扑名词解释二
§ 3-2
KCL和 KVL的独立方程数
Ch3s2-1
寻找 KCL,KVL独立方程数目，
以及如何根据电路列出独立方程
Ch3s2-2
对此电路的图，列 KCL：
0])()[()(
11
????? ??
??
b
j
jj
n
k
k iiK C L
所以这 n个方程不独立。
一,KCL的独立方程数：
说明：方程组不独立。
0:1 13 ??? iinode
0:2 21 ??? iinode
0:3 23 ??? iinode
? 0
32 ?? ii
00?
因为每条支路都与两个结点相连，支路电流必然从某结点流出，
从另一结点流入,?在所有结点的 KCL方程中,每条支路电流必
然出现两次，且一次正，一次负。即
可以证明：
对于 n个结点的电路，在 任意 (n-1)个结点上可以列出 (n-1)个
独立 的 KCL方程。 （独立结点）
(n-1)
Ch3s2-3
如何确定独立回路
二,KVL的独立方程数
此图共有 13个回路，可列出 13个 KVL方程，
方程独立否？
1.连通图：
当图 G的任意两个节点之间至少存在一条
路径时,G就称为连通图
共有 8条支路,u,i共 16个未知数，
需要 16个独立方程
VCR:8个独立方程
KCL:4个独立方程
KVL:?应有 4个独立方程
借助
图论知识
2.树,(T)
一个连通图的树 T包含 G的全部结点和部分支路，
而树 T本身是连通的而且又不包含回路。
1.G的连通子集
2.包含 G的所有结点
3.不包含回路
树 T
树支：树 T的支路。 tree
连支：包含于 G，但又不属于树 T的支路。 link
Ch3s2-4
?
KVL的独立方程数：
证明：
图 G有许多不同的树，但无论哪一个树，树支数总是 (n-1)
? ? ?
树支数 = n - 1,连支数 l = b - (n-1) = b - n + 1
3.独立回路、基本回路
(1) 对任一个树，每加一个连支，便形成 一个 只包含 一个连支 的回路。
KVL独立方程数 l = b - n + 1
b - n + 1
单连支回路存在
的必然性
(2)全部单连支回路 ?单连支回路（基本回路组） ?独立回路组 。
?独立回路组数 = 单连支回路数 = 连支数
Ch3s2-5
(3)解方程
讨论
（ 1）利用元件约束关系及拓扑约束关系，可建立关于 2b个变量的
独立的 2b个方程。
其中 b个方程为元件约束关系方程；
n-1个方程为节点的 KCL方程；
b-(n-1)个方程为网孔的 KVL方程。
（ 2） 2b法就是依据该原理进行电路分析的。
2b法步骤
(1)选所有支路电压，电流为变量 2b 个
(2)列所有支路的元件约束关系方程 b个；
列独立的节点 KCL方程 n-1个；
列独立的网孔 KVL方程 b-(n-1)个
Ch3s2-6
求：
各支路电压，电流？
共有 8条支路,16个变量
支
路
约
束
关
系
方
程 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
6
3
26
20
2
6
4
3
8
37
26
5
44
33
22
11
i
ui
iu
u
iu
iu
iu
iu
独立的网孔 KVL方程
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
????
0
0
0
0
238
543
765
721
uuu
uuu
uuu
uuu
例 3-0-1
解：
该电路的拓扑图为
独立的节点 KCL方程
?
?
?
?
?
?
?
????
????
?????
???
40
30
20
10
654
843
7532
821
节点
节点
节点
节点
iii
iii
iiii
iii以 (2,5,7)为树支
Ch3s2-7
求：
各支路电压，电流？
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
)(6
)(18
)(10
)(17
)(7
)(1
)(2
)(8
8
7
6
5
4
3
2
1
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
Ai
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
)(14
)(32
)(52
)(20
)(14
)(6
)(8
)(24
8
7
6
5
4
3
2
1
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
Vu
续例 3-0-1
§ 3-3
支路电流法
ch3s3-1
ch3s3-2 支路电流法的引出：
n个结点,b条支路：
VCR,b 个方程
KCL,(n-1)个独立方程
KVL,(b-n+1)个独立方程
以支路电流、支路电压为变量
则 2b 个变量
2b 个独立方程 2b法(缺点：方程个数多，
求解繁 )
一、支路电流法：
以支路电流 ik 为变量 (b个 ) 列方程。
依据：
VCR：
KCL：
KVL：
uk = f ( ik )
ch3s3-3 1、举例说明,（ 4个结点,6条支路）
1.KCL,(独立方程数 n-1=3)
node 1,-i1+ i2 + i6 =0
node 2,-i2- i3 + i4 =0
node 3,-i4- i6 + i5 =0
n-1=3
2.VCR,(独立方程数 b=6)
u1= i1R1- us1 b=6
i1R1- us1+ i2R2 - i3R3 =0loop1:
loop 2:
loop 3,i3R3 + i4R4 + (i5+is5)R5 =0i6R6 - i4R4 - i2R2 =0 b-n+1=3
整理得,i1R1+ i2R2 - i3R3 = us1
i3R3 + i4R4 + i5R5 = is5R5
i6R6 - i4R4 - i2R2 =0
最终，方程组由 <1> <2>组成。
<1>
<2>
u2= i2R2 u3= i3R3
u4= i4R4 u5= (i5+is5)R5 u6= i6R6
u1+ u2 - u3 =0
u3 + u4 + u5 =0
u6 - u4 - u2 =0
3.KVL,(独立方程数 b-n+1=3) 选自然网孔
以 (2,3,4)为树支
ch3s3-4
（ 6）求解其他变量。
2、支路电流法步骤
（ 1）确定变量 ik (b个 )，确定 ik 参考方向；
（ 2）列独立的结点 KCL方程 (n-1个 )；
（ 3） 列独立的回路 KVL方程 (b-n+1个 )，溶入元件 VCR，
形式为,?ikRk = ? usk
其中,ikRk:回路中所有支路 ik与回路方向
（ 4）求解方程，求出支路电流；
（ 5）依据支路约束关系，求解支路电压；
一致：,+‖
相反：,-‖
usk:回路中电源电压 usk与回路方向 一致：,-‖相反：,+‖
3、支路电流法的局限性
不能解决 无伴电流源 的情况 （因为此支路电压无法用支路电流表示）
ch3s3-5 求：各支路电流及
各元件上的电压？
(2)列独立的节点 KCL方程
aIII 节点0321 ???
(3)列独立的网孔 KVL方程
?
?
?
??
??
2102010
120205
32
31
网孔
网孔
II
II
(4)解支路电流
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
)(71.0
7
5
)(43.0
7
3
)(14.1
7
8
3
2
1
AI
AI
AI
(5)求解元件上电压
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
????
???
?
?
?
?
?
????
????
)(3.14
7
5
20
)(29.4
7
3
10
)(7.5
7
8
5
333
222
111
VIRU
VIRU
VIRU
R
R
R
例 3-1-1
解：
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3)
ch3s3-6
求：各支路电流及电压？
(2)列独立的节点 KCL方程
?
?
?
?
?
????
????
???
cIII
bIII
aIII
节点
节点
节点
0
0
0
631
532
421
(3)列独立的网孔 KVL方程
?
?
?
?
?
??
???
????
311.0
2215.0
111.05.01
52
53
231
网孔
网孔
网孔
adUII
II
III
例 3-1-2
(1) 选支路电流为变量 (I1,I2,I3,I4,I5,I6 其中 I4=3A已知 )
要点：电流源的处理
解：
1
3 2
ch3s3-7
(d)在实际例子中，由于 I4已知，支路电流的实际变量少一个，所
以也可不列网孔 3的 KVL方程。这样就不会出现变量 uad，仍
可保证变量数与方程数一致。
讨论
(a)对电流源，因其电流为
常数，与电压无关，在
列网孔 3的 KVL方程时，
无法用 I4 表示 uad
(b)对含无伴电流源的电路，列支路电流方程时，可增加一个变量：
该电流源上的电压。
(c)因该支路电流为已知，由此条件，应补充一个方程 ij=is，
使变量数与方程数一致。
(4)求解支路电流
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
)(58.0
)(42.2
)(3
)(84.0
)(26.3
)(26.0
6
5
4
3
2
1
AI
AI
AI
AI
AI
AI
(5)求解支路电压
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
?
???
???
???
????
)(75.2
)(2
)(42.21
)(42.05.0
)(32 6.01.0
)(74.011
5
3
2
1
Vuuu
Vu
VIu
VIu
VIu
VIu
bdabad
cd
bd
bc
ab
ac
ch3s3-8 续例 3-1-2
(1)电源的处理，尤其是电流源的处理
支路电流法的难点
(2)受控源的处理
ch3s3-9 独立源处理方法
独立源
电流源电压源
直接列方程 利用等效变换
转换为电压源
直接列方程
(1)增加一个变量：
电流源上的电压
(多出一个变量 )
(2)补充一个该支
路的电流方程
(保持变量数与方程数一致 )
直接列方程
ch3s3-10 受控源处理方法
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
多出一个变量
增加一个控制量与
支路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为支路电流
变量数与方程数一致
是 不是
ch3s3-11 重要结论
(1) 求解几个变量，就必须建立几个独立的方程
——方程的独立性。
(2)变量数越少，方程越简单，所以应尽可能选用
相互独立的变量 ——变量的独立性。
(3)应能用所选变量表示全部支路电压，电流
——变量的完备性。
ch3s3-12
(4)一组变量的完备性指所选变量可用来表示全部支路的
电压和电流。
讨论
电路变量的独立性与完备性
(1)对任何电路均可用 2b法或支路电流法求解。
减少变量数，可减少方程数，使求解简便。
(2)选择变量的原则应是在可求解全部 2b个变量的前提下，
尽可能减少变量数，即 要求变量的独立性及完备性。
(3)一组变量的独立性是指每个变量不能用其他变量所表
示。以保证所选变量中无多余变量。
(7)电路分析规范化的基本概念
ch3s3-13 讨论
(5)分析支路电流变量的独立性与完备性。
因为可用支路电流表示所有支路的电压和电流，
所以具有完备性。
b个支路电流中有 n-1个支路电流不独立。这是因为
可列出 n-1个独立的节点 KCL方程联系有关支路电流。
也就是说 b个支路电流中有不独立的、多余的变量，
所以不具有独立性。
(6)设法从 b个支路电流中选出 b-(n-1)个独立的电流变量
(它们可以是支路电流的代数和 )，以使变量相互独立。
(a)所选变量应具备独立性和完备性；
(b)方程的建立要有规律。
第二节
网孔分析法
Ch3s2-1
网孔电流：
网孔,不包围其它支路的闭合回路 。
沿每个网孔边界自行流动，且闭合的假想电流。
Ch3s2-2
讨论：
Ch3s2-3
网孔电流数：网孔数 b-(n-1)
网孔电流的完备性：因为任意支路电流都属于某几个网孔，
所以必然可用网孔电流的代数和来表示所有支路的电流，
进而可以表示所有支路的电压。
网孔电流的独立性：网孔电流是闭合的，从某节点流入后，
又必从该点流出，无法用 KCL方程联系起来。
网孔方程：以每个网孔电流为变量，列网孔的 KVL方程。
网孔方程数：网孔数 b-(n-1)
网孔法只要求建立 b-(n-1)个方程。
2b法要求建立 2b个独立方程；
支路电流法要求建立 b个独立方程；
Ch3s2-4
解
?
?
?
?
?
?????
??????
?????
3)()(
2)()(
1)()(
323613533
212432622
131521411
网孔
网孔
网孔
S
S
S
UIIRIIRIR
UIIRIIRIR
UIIRIIRIR
?
?
?
?
?
??????
???????
?????
336532615
236264214
135241541
)(
)(
)(
s
s
s
UIRRRIRIR
UIRIRRRIR
UIRIRIRRR
整理后
例 3-2-1
Ch3s2-5
(3)电压源放在方程右侧，
电压升为正，电压降为负 (全部顺时 )。
归纳规律性
(1)对网孔 1方程
I1的系数为网孔 1包括的全部电阻 ------网孔 1的自电阻；
I2的系数为网孔 1,2共有的电阻 ------网孔 1,2的互电阻；
I3的系数为网孔 1,3共有的电阻 ------网孔 1,3的互电阻；
对网孔 2和 3方程也类似。
(2)若网孔电流采用同一方向 (全部顺时，或全部逆时 )，
则自电阻一律为正，互电阻一律为负。
网孔法要点：网孔电流，自电阻，互电阻及各种电源的处理。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
Usjj为网孔 j的全部电压源的代数和 (升为正 )
(4)网孔方程的一般形式 (全部顺时 )
其中
(4)解其他变量；
网孔法步骤
(1)选网孔电流为变量，并标出变量；
(2)按照规律列网孔方程；
(3)解网孔电流；
Rjj为网孔 j的自电阻 (取正 )
Rij为网孔 i,j的互电阻 (取负 )
Ch3s2-6
Ch3s2-7
(1)选网孔电流为变量 Im1,Im2
?
?
?
?????
???
10)2010(20
2020)205(
21
21
mm
mm
II
II
(3)解出网孔电流
?
?
?
?
?
)(43.0
)(14.1
2
1
AI
AI
m
m
(4)求其他变量
?
?
?
?
?
???
??
??
)(71.0
)(43.0
)(14.1
213
22
11
AIII
AII
AII
mm
m
m
?
?
?
?
?
??
??
??
)(2.14
)(3.4
)(7.5
333
222
111
VIRU
VIRU
VIRU
R
R
R
例 3-2-2
要点：掌握规律解,
(2)列网孔方程
Ch3s2-8
(2)列网孔方程
?
?
?
?
?
??????
?
??????
2)15.0(5.0
3
15.01.0)15.01(
321
2
321
III
I
III
讨论：
?
?
?
?
?
?
?
??
)(58.0
)(3
)(26.0
3
2
1
AI
AI
AI
例 3-2-3
要点：独立源的处理
解,(1)选网孔电流 I1,I2,I3为变量。
(3)解网孔电流
(a)网孔 2包括一个电流源，且等于网孔电流 I2，
相当于 I2已知，可不列该网孔的 KVL方程。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
如非要列，必须注意如何在该网孔方程中
考虑该电流源上的电压。
Ch3s2-9
要点：独立源的处理
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
2
52
2
55)51(
13
32
2
21
II
UII
I
UII
(2)独立电流源
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)(35.5
)(27.0
)(2
)(73.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
解得
例 3-2-4
解：网孔方程 电流源上设电压
电流源上设电压
增加电流源与
网孔电流的关系方程
讨论
(1)独立电压源全部放在方程右侧。
(c)当不选为网孔电流时，首先设其上电压后，将其看成独立压源处
理，然后增加一个网孔电流与该电流源电流的关系方程。
(a)尽量使其成为网孔电流，这样网孔电流已知，可不列该网孔方程；
(b)应用等效变换，将其变为电压源；
Ch3s2-10
要点：受孔源的处理
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
????
2
12
3
2
31
2
2
55
103)32(
II
II
II
UI
UII
bc
bc
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(7.9
)(88.1
)(94.0
)(06.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
bc
例 3-2-5
解：网孔方程 设流源上电压后看成压源
先将受控源
看成独立源
增加流源与网孔
电流的关系方程
增加控制量与网孔
电流的关系方程
Ch3s2-11
网孔法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电流源电压源 利用等效变换转换为电压源
(1)设其上电压后按
独立电压源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电流源电流
与网孔电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
网孔电流
放在方程右侧,
电压升为正
Ch3s2-12
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
网孔电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为网孔电流
是
变量数与方程数一致
§ 3-5
回路电流法
Ch3s5-1
以基本回路为独立回路，
以 回路电流（连支电流） 为变量列方程。
是网孔电流法的推广，不再仅适用于平面电路
回路电流法：以基本回路电流 (即连支电流 )为变量，列基
本回路的 KVL方程，求解。
Ch3s5-2
基本回路数,b-(n-1)=b-n+1
基本回路电流：沿基本回路流动的闭合电流
(用连支电流定义为该闭合电流 )。
连支电流的独立性：不受 KCL约束。
连支电流的完备性：每个支路必属于某个或某几个基本
回路，所以必可用连支电流表示，
进而表示所有支路的电压。
(网孔法是回路法的特例，且仅适用于平面电路 )。
Ch3s5-3
回路法要点：基本回路，连支电流，回路方程，自电阻，
互电阻及各种电源的处理。
回路法步骤：
(1)画有向图，选树，并选连支电流为变量；
(2)确定基本回路，并以连支电流方向定为基本回路方向；
(3)以连支电流为变量，按照规律列基本回路方程；
(3)解连支电流；
(4)解其他变量；
回路方程的一般形式
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mlmmmlmlm
slmmll
slmmll
uiRiRiR
uiRiRiR
uiRiRiR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
usjj为基本回路 j的全部电压源的代数和 (升为正 )
Ch3s5-4
其中 ilj为基本回路电流
Rjj为基本回路 j的自电阻 (取正 )
Rij为基本回路 i,j的互电阻
(两回路方向一致取正，反之取负 )
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
Ch3s5-5 解：
(1)画图，选树，选变量
(2)列回路方程
5135225312531 )()()( sslll uuiRRiRRiRRRR ??????????
例 3-5-1
5352536153 )()( slll uiRiRRRiRR ??????
5345225152 )()( slll uiRRRiRiRR ????????
Ch3s5-6
(2)列网孔方程
?
?
?
?
?
??????
?
??????
2)15.0(5.0
3
15.01.0)1.05.01(
321
2
321
III
I
III
讨论：
?
?
?
?
?
?
?
??
)(58.0
)(3
)(26.0
3
2
1
AI
AI
AI
例 3-2-3
要点,无伴电流源 的处理
解,(1)选网孔电流 I1,I2,I3为变量。
(3)解网孔电流
(a)网孔 2包括一个电流源，且等于网孔电流 I2，
相当于 I2已知，可不列该网孔的 KVL方程。
(b)应尽可能使电流源为网孔电流。
如非要列，必须注意如何在该网孔方程中
考虑该电流源上的电压。
Ch3s5-7
要点,无伴电流源 的处理
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
????
2
52
2
55)51(
13
32
2
21
II
UII
I
UII
(2)无伴独立电流源
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
)(35.5
)(27.0
)(2
)(73.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
解得
例 3-2-4
解：网孔方程 电流源上设电压
电流源上设电压
增加电流源与
网孔电流的关系方程
讨论
(1)独立电压源全部放在方程右侧。
(b)当不选为回路电流时，首先设其上电压后，将其看成独立电压源处理，然后
增加一个回路电流与该电流源电流的关系方程。
(a)尽量使其成为回路电流,(选单回路通过该电流源 )，这样回路电流已知，
可不列该回路方程；
Ch3s5-8
要点,受控源 的处理
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
)(7.9
)(88.1
)(94.0
)(06.1
3
2
1
VU
AI
AI
AI
bc
例 3-2-5
解：网孔方程 设流源上电压后看成压源
先将受控源
看成独立源
增加流源与网孔
电流的关系方程
增加控制量与网孔
电流的关系方程
bcUII ???? 103)32( 31
212 ?? II
II 23 ??
bcUI ??? 55 2
2II ?
Ch3s5-9
回路法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电流源电压源 利用等效变换转换为电压源
(1)设其上电压后按
独立电压源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电流源电流
与回路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
回路电流
放在方程右侧,
电压升为正
Ch3s5-10
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
回路电流的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为回路电流
是
变量数与方程数一致
§ 3-6
结点电压法
Ch3s6-1
以结点电压为变量列方程
讨论,n越少，方程数越少。
Ch3s6-2
结点电压：该结点相对参考点的电压（电势差）。
结点电压数,n-1
结点电压的完备性：任何支路必在某两个结点之间，
都有 uij=ui-uj，所以具有完备性。
结点电压的独立性：在任何回路 KVL方程中，回路所包括的
结点电压必出现两次，且一 正一负，
所以无法用 KVL方程将结点电压联系起来。例, u
ab+ubc+ucd+uda=0
结点方程：对 n-1个结点 (参考点除外 )，以结点电压为变量，
列各个结点的 KCL方程。
结点方程数,n-1
即 (ua-ub)+(ub-uc)+(uc-ud)+(ud-ua) =0
?
0 ≡0
Ch3s6-3
KVL,loop 1,u1+ u4 - u2=0
即, - un1 + (un1- un2) -(- un2) =0
一、举例说明
0=0 自动满足，无须再列
KCL：
node 1,- i1+ i4 + i6 =0
node 2,- i4 + i5 - i2 =0
node 3,- i6 - i5 + i3 =0
VCR：
u1= (i1 -is1) R1= - un1 u2= i2R2 = - un2
u3= i3R3 + us3 = un3 u4= i4R4 = un1 - un2
u5= i5R5 = un2 - un3 u6= (i6 -is6) R6= un1 - un3
整理：
?
?
?
?
?
???????
??????
??????
33636532516
35252414
6136241641
)(
0)(
)(
ssnnn
nnn
ssnnn
uGiuGGGuGuG
uGuGGGuG
iiuGuGuGGG
Ch3s6-4 或者直接用结点电压为变量列写 KCL方程：
KCL：
node 1:
G1un1 + G4(un1 - un2) + G6(un1 - un3) = is1 - is6
node 2:
G4(un2 - un1) + G5(un2 - un3) + G2un2 = 0
node 3:
G3(un3 - us3 )+ G5(un3 - un2) + G6(un3 - un1) = is6
整理：
?
?
?
?
?
???????
??????
??????
33636532516
35252414
6136241641
)(
0)(
)(
ssnnn
nnn
ssnnn
uGiuGGGuGuG
uGuGGGuG
iiuGuGuGGGG11 12 G13 is11
G21 G22 G23 is22
G31 G32 G33 is33
结论：
自导,G11 G22 G33 连接到该结点的全部电导之和；,+‖
互导,Gmn(m?n) 连接结点 m,n的公共电导。, -”
电流净进入量,is11 is22 is33 电源注入该结点的电流。
入：,+‖；出：,-‖
结点法要点：结点电压，自电导，互电导及各种电源的处理。
isjj为流入结点 j的全部电流源的代数和 (入为正 )
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
???????
??
??
11111212111
22112222121
11111212111
nsnnnnnnnnn
snnnnn
snnnnn
iuGuGuG
iuGuGuG
iuGuGuG
?
??
?
?
结点电压方程的一般形式Ch3s6-5
其中
Gjj为结点 j的自电导 (取正 )
Gij为结点 i,j的互电导 (取负 )
结点法步骤：
(1)选参考点，对结点进行编号；
(2)按照规律列结点方程；
(3)解结点电压；
(4)解其他变量；
Ch3s6-6
(2)列结点电压方程：
?
?
?
?
?
?????
??????
????
23312311
33243212
13122121
)(
0)(
)(
snnn
nnn
snnn
iuGGuGuG
uGuGGGuG
iuGuGuGG
例 3-3-1 要点：运用规律
解：
(1)选 d为参考点，
设 Un1,Un2,Un3为结点电压变量
Ch3s6-7
(2)列结点方程
(3) 解得
?
?
?
??
?
?
?
??????
?
10
0
1
)
111
(
1
20
3
3
2
2
321
1
1
1
n
nnn
n
u
u
R
u
RRR
u
R
u
?
?
?
?
?
?
?
?
)(10
)(3.14
)(20
3
2
1
Vu
Vu
Vu
n
n
n
例 3-3-2
要点,无伴电压源 的处理
解：
(1)选参考点及结点电压为变量。
Ch3s6-8
(2)等效变换
压源串联电阻 ?流源并联电阻
例 3-3-3
要点,电压源 的处理
解,(1) 选参考点及
结点电压为变量。
(3)列结点方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?????
cU
bUUU
aUUU
c
cba
cba
节点
节点
节点
2
0
5.0
1
)
5.0
1
1
1
1.0
1
(
1.0
1
13
1
1
1.0
1
)
1.0
1
1
1
(
(4)解得
?
?
?
?
?
?
?
?
)(2
)(42.2
)(75.2
VU
VU
VU
c
b
a
(5)求解其他变量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
)(59.0)(
)(42.2
1
)(84.0
5.0
)(3.3
5.0
)(25.01
1
316
5
3
2
1
AIII
A
U
I
A
UU
I
A
UU
I
A
UU
I
b
cb
ba
ca
Ch3s6-9
Ch3s6-10
解,(1) 选参考点及结点电压为变量。
(3)列结点方程
?
?
?
?
?
??
???
???
3
22010
5155
ba
b
a
UU
IU
IU
例 3-3-4 要点：电压源的处理
(2) 等效变换 电压源串联电阻 ?电 流源并联电阻
设电压源上的电流后看成电流源
增加一个电压源与结点电压的关系方程
(c)当不选为结点电压时，首先设其上电流后，
将其看成独立流源处理，然后增加一个结点电压
与该电压源电压的关系方程。
(4) 解得
?
?
?
?
?
)(13.1
)(13.4
VU
VU
b
a
(5) 求解其他变量
?
?
?
?
?
????
????
?????
)(65.105
)(7.810)2(
)(65.55)3(
1
2
1
AII
AUI
AUI
b
a
Ch3s6-11
(1)独立电流源全部放在方程右侧，流入为正。
(2)独立电压源
(b)尽量使其成为结点电压，这样结点电压已知，
可不列该结点方程；
(a)应用等效变换，将其变为电流源；（串联有电阻的）
讨论
Ch3s6-12`
解,(1)选参考点及结点
电压为变量。
(2)列结点方程
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
????
???????
?????
)(2
10
5
532
2)522(2
3522)22(
ba
ea
cb
e
c
ba
eba
UUI
UUU
UU
U
IU
IIUU
UUUU
例 3-3-5 求,U,I?
将受控源看成独立源
设压源上的电流
后看成流源
增加压源的电压与
结点电压的关系方程
增加控制量与结点
电压的关系方程
解得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
)(5
)(4
)(6
)(12
VU
VU
VU
VU
e
c
b
a
(4) 求解其他变量
?
?
?
???
???
)(12)(2
)(75
AUUI
VUU
ba
a
Ch3s6-13
Ch3s6-14
结点法对电源的处理 (关键是保证变量数与独立方程数一致 )
归纳
独立源
电压源电流源 利用等效变换转换为电流源
(1)设其上电流后按
独立电流源处理
(多出一个变量 )
(2)增加一个该电压源电压
与结点电压的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
尽量选为
结点电压
放在方程右侧,
流入为正
Ch3s6-15
归纳
受控源
依独立源方法处理
首先看成独立源
不是
多出一个变量
增加一个控制量与
结点电压的关系方程
(保持变量数与方程数一致 )
控制量是否为结点电压
是
变量数与方程数一致
思考：在列节点电压方程时，如果某条支路是电流源
与电阻串联，该如何处理？
Ch4-1
第四章
电路定理
ch4-2
本章内容性质,
主要内容
(1)叠加定理；
(2)替代定理；
(3)戴维宁定理与诺顿定理；
(4) 特勒根定理；
(5)互易定理。
引言
目的：要求掌握电路分析的的五大主要定理的基本概念及应用。
前几章内容,
学习要点,
基于元件约束关系和拓扑约束关系
进行电路分析的等效法和列方程分析法。
是前几章内容的重要补充，
它们既是体现了电路分析的一些重要概念，
又提供了用于电路分析的基本方法。
确切定义，物理概念，成立条件和使用范围。
第一节
叠加定理
Ch4s1-1
在任何含有多个独立源的 线性 电路中，每一支路的电
压 ( 或电流 ),都可看成是各个独立电源 单独作用 时
( 除该电源外，其他独立源为零电源 )在该支路产生的
电压 (或电流 )的 代数和 。
则：
U=3+(-1)=2(V)
Ch4s1-2 定义
Ch4s1-3 对含线性电阻，线性独立源，受控源的线性电路，
设有 m个网孔，网孔方程为：
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
s m mmmmmm
smm
smm
UIRIRIR
UIRIRIR
UIRIRIR
?
??
?
?
2211
222222121
111212111
(2)对受控源，总可以归纳为自电阻，互电阻或独立源。
s m m
mk
s
k
s
k
k UUUI ?
??
?
??
?
?? ?
22
2
11
1
[证明 ]
讨论
(1)方程右侧为某一网孔独立源的代数和。对电流源，
设其上电压后看成独立压源。
分析,(应用克莱姆法则 )
因上式系数为线性电阻及受控源参数，可按独立源重新组合成
snnkskskk UaUaUaI ???? ?2211
[证毕 ]
Ch4s1-4
结论
(1)网孔电流可看成是各个独立源单独作用时在该孔产生的电流
的线性叠加。
(2)因为任意支路的电压 (或电流 )都是网孔电流的线性叠加，
所以对任意支路的电压 (或电流 )也可看成是各个独立源单独
作用时在该孔产生的电流的线性叠加。
Ch4s1-5
(5)功率不服从叠加定理。
例如
?
?
?
????????????
???????
111112
111111
,,
,,
IUPIUU
IUPIUU
s
s
而：
111111 ))(( PPIIUUP ??????????????
(1)定理成立条件是线性电路。
讨论
(2)独立源单独作用的含义是令其他独立源为零。
(3)零电源的含义是电压源短路，电流源开路，受控源不动。
IIUUUU ss ??????????,1121则：
(4)计算代数和时,注意各分量前的,+‖，,-‖号。
Ch4s1-6
求,I及 9Ω电阻上的功率？
例 4-1-1
解：
)(36.092.0 29 WP ?????
)(2.069 3 AI ????
)(76.598.0 29 WP ??????
)(8.0296 6 AI ??????
)(929 WRIP ???
)(1 AIII ??????
+
Ch4s1-7
II ???? 2103
节点法得：
?
?
?
?
?
??
????
????????
2
32
1
1
)1
2
1
(
U
I
IU
)(4.1 AIII ??????
例 4-1-2:求 I?
解：
)(6.0 AI ????
)(2 AI ??
网孔法得：
+
Ch4s1-8
当 Us=1 (V),Is=1 (A)时,U2=0 (V)
Us=10 (V),Is=0 (A)时,U2=1 (V)
求：当 Us=0 (V),Is=10 (A)时,U2=？
ss IKUKU 212 ???
代入已知条件得
)(1
101.001.0
V??
????
例 4-1-2
已知：
解：
??
?
?
??
110
0
1
21
K
KK
?
?? ??
?
1.0
1.0
2
1
K
K
ss IUU 1.01.02 ??
Ch4s1-9
解：
)(556.0233 AI ????
例 4-1-3
已知,K处于 1时,I31= - 4 (A)
K处于 2时,I32= 2 (A)
求,K处于 3时,I33=?
ss UKUKI ??? 213
?
?
?
??
?????
2
4)10(
132
2131
s
s
UKI
KUKI
? ??
?
?
?
6.0
2
2
1
K
UK s
sUI ???? 6.023
齐性定理
一,内容
在 线性 电路中，当 所有激励 (电压源和电流源 )都 同时 增
大或缩小 K倍 (K为实常数 )时,响应 (电压和电流 )也将 同
样 增大或缩小 K倍,
二,注意
1.所有独立电源
2.线性电路
三,特殊
当电路中只有一个激励时，响应 ?激励
四,用途
分析梯形电路 ---―倒退法”：从最远离电源的一端开始，
倒退至激励处。
例：求各支路电流
)(22)(
:,1:
'
565
'
'
5
ViRRu
Ai
bc ???
? 则设解
)(1.1
4
'
'
4 AR
ui bc ??
)(1.2'5'4'3 Aiii ???
)(2.26''33' VuiRu bcad ???
)(31.1
2
'
'
2 AR
ui ad ??
)(41.3'3'2'1 Aiii ???
)(02.33''11' VuiRu ads ???
倍各响应也
倍即激励又
K
KVu s
??
???
02.33
120,120?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
)(63.3
)(99.3
)(62.7
)(76.4
)(38.12
'
55
'
44
'
33
'
22
'
11
AKii
AKii
AKii
AKii
AKii
§ 4-2
替代定理
Ch4s2-1
Ch4s2-2
在任意电路 (线性或非线性，时变或非时变 )中，
若已知任意时刻时任意支路的支路电压 uk和支路电流 ik，
一、内容
替代后，电路所有的支路电压与支路电流不变。
证明,(2b法 )
则该支路可用电压为 uk的理想电压源替代，
也可用电流为 ik的理想电流源替代，
? i = 0
? u = 0
uk=f ( ik )
uk(旧 )
? i = 0
? u = 0
uk = f ( ik ) (b-1)个不变
uk = uks
us = uk(新 )
解
唯
一
解满足
Ch4s2-3
已知,I=0.2 (A),U=4 (V)
求,I1=?
解一
)(6.25 491 AI ???
解二
952.063)235( ??????? aI
例 4-2-1
)(8.2 AI a ?
)(6.22.01 AII a ???
Ch4s2-4
解：用节点法分析原电路
例 4-2-2
求：当 RL由 5Ω增加为 10Ω时,
分析各支路电流的变化？
24)5110151( ???? aU
)(12 VU a ?
)(6.15201 AUI a ???
)(4.05 102 AUI a ???
)(2.1103 AUI a ??
应用替代定理
应用叠加定理
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
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??
??
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?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? 3
2
1
103
2
1
3
2
1
3
2
1
53
2
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
RLRL
Ch4s2-5
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
?
?
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?
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?
?
?
?
???? 3
2
1
53
2
1
103
2
1
3
2
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
RLRL
应用节点法：
10
2)
10
1
10
1
5
1( ??????
aU得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
25.1
25.0
5.1
3
2
1
53
2
1
103
2
1
I
I
I
I
I
I
I
I
I
RLRL
Ch4s2-6
)(5.0 VU a ????
)(1.051 AUI a ???????
)(15.010 22 AUI a ???????
)(05.0103 AUI a ???????
?
?
?
?
?
??
???
???
)(05.0
)(15.0
)(1.0
3
2
1
AI
AI
AI
§ 4-6
对偶原理
一,内容
电路中某些元素之间的关系（或方程）用它们的对偶元素对应
地置换后，所得新关系（新方程）也一定成立，后者和前者互
为对偶。
二,对偶元素
三,注意
短路 开路 R G u=Ri I=Gu
us is u=us-Ri I=is-Gu 串 ?u=o 并 ?I=0
回路 节点 Y形连接 △形连接 电容 电感
对偶 与 等效 不可混淆
第三节
戴维南定理与诺顿定理
Ch4s3-1
Ch4s3-2
定义：对任意一个线性含独立源的二端网络 Ns均可等效
为一个电压源 Uo与一个电阻 Ro相串联的支路，
图示
一．戴维南定理
其中, Uo为该网络的开路电压，
Ro为该网络中全部独立源置零后的等效输出电阻。
Ch4s3-3
替代定理 叠加定理
内部独立源作用内部独立源置零
U=Uoc+U1=Uoc-IRo
U1= - IRo
[证毕 ]
[证明 ]
+
Ch4s3-4
(1)适用条件为线性两端网络。
sc
oc
I
UR ?
0
讨论
原理：
(b)开路，短路法 (适用于受控源电路 )
(a)电阻串并联法 (不适用于受控源电路 )
(4)Ro的求法
(3)Ro为内部 独立源置零,而非受控源置零时的等效电阻。
(2) Uoc为外电路开路时的端口电压，可应用前几章方法分析。
(c)伏安法 (外加电源法 )( 适用于受控源电路 )
令内部独立源为零
(Uoc=0)
I
UR s?
0
注意：区别 (b),(c) 中电流，电压的方向及内部电源的处理。
Ch4s3-5
原理：
Ch4s3-6
要点：无受控源
(2)求 Ro(电阻串并联法 )
??
??
2.5
2//340R
(3)戴维南电路
例 4-3-1
解,(1)求 Uoc
)(4.4
6212 1
V
IU oc
??
????
)(8.023 6101 AI ????
Ch4s3-7
要点：含受控源
(2) Ro(外加电源法 )
IIIIU ????????? 1 5 0 01 0 0 0)5.0(1 0 0 0?
(开路短路法 )
由网孔法
105.01000)10001000( ???? scsc II
得 )(
150
1 AI
sc ?
例 4-3-2
Uoc=10 (V)
解,(1)求 Uoc
)(1 50 00 ?????? IUR
)(15 000 ???
sc
oc
I
UR
Ch4s3-8
解,(1)求 Uoc
节点 c的 KCL方程
226310)2131( ???? cU
得
)(8.14
2.52412
V
UUU cacoc
??
?????
??
(2)求 Ro
Ro=4+3//2=5.2 (Ω)
)(48.1
0
ARR UI
L
oc ??
??
例 4-3-3 要点：定理应用
求,RL=4.8Ω时,I=?
)(2.5 VU c ?
Ch4s3-9 求,I=?
21 824 IIU oc ??
(2)求 Ro
Ro=5//24+2//8
=5.74(Ω)
(3)
)(151.04.374.5 38.1 AI ???
例 4-3-4
解,(1)求 Uoc
)(38.1
82
50
8
245
50
24
V?
?
??
?
??
Ch4s3-10
解,(1)求 Uoc
由回路方程
?
?
?
?????
????
1022
410)22(
IU
UI
oc
oc
得 Uoc= - 3 (V)
(2) 求 Ro (开路短路法 )
由网孔方程
得
?
?
?
?
?
)(1
)(4
2
1
AI
AI
)(321 AIII sc ???
?
?
?
?
??
22
2102
2
1
I
I (3)
)(14
0
ARUI oc ????
(4) )(222 WIRIP ???
例 4-3-5 要点：受控源
求,I及该电流 I所在支路的功率 P?
)(10 ????
sc
oc
I
UR
Ch4s3-11
定义：对任意一个线性含独立源的二端网络 Ns均可等效
为一个电流源 Isc与一个电阻 Ro相并联的支路，
应用戴维南定理
0IRUU oc ?? [证毕 ]
二 诺顿定理
图示：
其中,Isc为该网络的短路输出电流，
[证明 ]
0
00
R
U
I
R
U
R
U
I
sc
oc
??
??
Ro为该网络中全部独立源置零后的等效输出电阻。
Ch4s3-12
解,(1)求 Isc 由节点 c的 KCL方程
41020)51101( ??? cU
得
)(8.4
25
20
5
21
A
U
III
c
sc
?
??
??
(2)求 Ro
Ro = (5+10)//25
=9.375 (Ω)
(3)
例 4-3-6
)(20 VU c ?
Ch4s3-13
解,(1)求 Isc
)(3
5
10
4
20
21
A
III sc
??
???
??
(2)求 Ro
(外加电源法 )
U
UUU
III
???
?
?
???
?
?????
10
3
54
3
21
(3)
)(6
50
0
A
I
R
R
I sc
?
?
?
例 4-3-7 求,I？
要点：含受控源
)(3100 ?????? IUR
第四节
特勒根定理
一,特勒根定理 1
1.内容
对于一个具有 n个节点,b条支路的电路,假设各支路电流和
支路电压取关联参考方向,并令 (i1,i2,…i b),(u1,u2,…u b)分别为
b条支路的电流和电压,则对任何时间 t,有
0
1
??
?
b
k
kk iu
2.由来
2
1
(2)
3
5
(0)
4
6
(1) (3)
??
?
????
?????
3625134
32321211
nnnn
nnnnn
uuuuuuu
uuuuuuuu
??
?
?
?
????
????
????
0)3(
0)2(
0)()1(
:
643
532
421
iii
iii
iii
K CL
635241333222111
6
1
)()()( iuiuiuuiuuiuuiuiu nnnnnnnnn
k
kk ??????????
?
3.注意
(1)适用范围,集总电路
(2)实质上是功率守恒的具体表现,表明,任何一个电路的
全部支路吸收的功率之和等于零,
(3)应用,证明定理
)()()( 643353224211 iiiuiiiuiiiu nnn ???????????
0?
二,特勒根定理 2
1.内容
若两个具有 n各节点,b条支路的电路，它们具有相同的图，但
由内容不同的支路构成。假设各支路电流和电压都取关联参
考方向，并分别用（ i1,i2,…i b），（ u1,u2,…u b）和
),...,(),,...,( 2121 bb uuuiii ??????,表示两电路中 b条支路的电流和电压，则
在任何时间 t，有
00
11
?? ??
??
b
k
kk
b
k
kk iuiu
??
2.举例说明
2
1
(2)
3
5
(0)
4
6
(1) (3)
?
?
?
????
?????
3625134
32321211
:1
nnnn
nnnnn
uuuuuuu
uuuuuuuu
对电路
?
?
?
?
?
????
????
????
0)3(
0)2(
0)()1(
:
:2
643
532
421
iii
iii
iii
K C L
???
???
???
对电路
0)()()]([ 643353224211
6
1
??????????????
?
iiiuiiiuiiiuiu nnn
k
kk
??????????
0
6
1
??
?k
kk iu
?同理可得：
3.注意,
(1)适用范围,集总电路
(2).―拟功率定理”是对两个具有相同拓扑的电路中,一个电路
的支路电压与另一个电路的支路电流,或是同一个电路在不同
时刻的相应支路电压和支路电流必须遵守的数学关系,
第五节
互易定理
Ch4s4-1
对一个仅含线性电阻的电路,在单一电压源激励而响应为电流时,
当激励和响应互换位置时
一,互易定理形式 1
bkiRuiRu kkkkkk,.,,4,3,,????
??
? 方框内部为线形电阻
证明：
0
0
3
2211
3
2211
???
???
?
?
?
?
b
k
kkk
b
k
kkk
iiRiuiu
iiRiuiu
???
???
可得：
22112211 iuiuiuiu ???? ????
s
s
uuu
uuu
???
?
??
??
21
21
,0
,0,又
ss
ss u
i
u
iiuiu ???? 12
21 ??? 即：
）（特勒根定理 2
二,互易定理形式 2
22112211 iuiuiuiu ???? ???由 ss iiiiii ???? ?????? 2121,0,0,
ss
ss i
u
i
uiuiu ???? 12
12 ??? 即
三,互易定理形式 3
22112211 iuiuiuiu ???? ???由 ss uuiuii ???? ????? 2121,0,0,
ss
ss u
u
i
iiuiu
?
???
12
12 ??? 即
四,互易定理
对于一个仅含线形电阻的电路,在单一激励下产生的响应,当激
励和响应互换位置时,其比值保持不变,
五,讨论
(2)定理成立的条件 (a)只能含一个独立源
(b)只能含线性电阻，不得含受控源
(3) 注意互易后变量的方向。
(1)适用范围：集总电路。
Ch4s4-5
求,I=?
)(6 6 7.023 AIII ???
例 4-4-1
解：
由互易定理
)(22//14//22 81 AI ????
)(6 6 7.021 1 12 AII ???
)(333.124 4 13 AII ???
Ch4s4-6
求,I=?
解：求戴维南等效电路
由互易定理
)(52100 ???R
戴维南等效电路为 )(5.0
55
5 AI ?
??
例 4-4-2
已知：
（ 2）外加电源法求 Ro(1) 求 Uoc
Uoc=5 (V)
Ch4s4-7 已知：当
?
?
?
?
?
0)(
30)(
2
1
tu
ttu 时，
?
?
?
?
?
tti
tti
2)(
5)(
2
1
电源互易后,tti 4)(2 ??
求：当
?
?
?
??
??
1560)(
6030)(
2
1
ttu
ttu 时，
?
?
?
?
?
)(
)(
2
1
ti
ti
解：由条件及互易定理可得
互易
由叠加定理
?
?
?
??
??
)()()(
)()()(
24132
22111
tuKtuKti
tuKtuKti
将图 (a)条件代入
（ a)
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
15
1
6
1
302
305
3
1
3
1
K
K
tKt
tKt
(b)
例 4-4-3
将图 (b)条件代入
?
?
?
?
?
??
??
)(
15
2
)(
15
1
)(
)(
15
1
)(
6
1
)(
212
211
tututi
tututi
?
?
?
??
??
1560)(
6030)(
2
1
ttu
ttu当 时，
?
?
?
???
??
26)(
9)(
2
1
tti
tti
Ch4s4-8
tKt 302 2 ???
tKt 304 4 ???
15
2
15
1
4
2
??
??
K
K
(b)
第八章
相 量 法
ch8-1
ch8-2 主要内容
正弦信号：
正弦电路：
在线性时不变稳定电路中，若各个激励源均为同一频率
的正弦信号时，当电路达到稳态时，电路中各支路变量
均为与电源频率相同的正弦量。在此条件下，对于电路
的分析可借助相量法进行。
主要知识点
正弦稳态电路的分析方法和功率计算。
本章难点
1.电路模型和电路变量在正弦稳态下的时域和相量表示易被混淆。
2.较为繁杂的数值计算题。
3.相量图作为辅助工具以及变量间相位关系的比较。
4.正弦电路功率的计算。
具有正弦函数形式的时变电压和电流
在正弦信号激励下的电路。
分析工具：
正弦信号的相量表示；
阻抗与导纳的概念；
§ 8-1
复 数
一,复数的表示形式
(1)代数形式
(2)三角形式
(3)指数形式
(4)极坐标形式
jbaF ??
)s i n( c o s ?? jFF ??
?jeFF ?
??? FF
二,复数的代数运算
1.相加 (减 ):使用代数形式
21 FFF ??
2.相乘,使用指数形式
3.相除,
)()()( 2121 bbjaajba ?????
)(2121 21 ?? ??? jeFFFFF
)21(
2
1
2
1 ?? ??? je
F
F
F
FF
三,旋转因子 ?je
?jeAA ? A的模值不变,而将复数 A逆时针旋转一个角度 θ
§ 8-2
正 弦 量
ch8s2 -1
ch8s2-2
以正弦电流为例 )c o s ()(
im tIti ?? ??
1,振幅、最大值 Im
是正弦量在整个变化过程
中所能到达的最大值。
2.角频 ?（周期 T,频率 f）
fT ??? 22 ??
角频率：相角 (?t+?i)随时间变化的速度 （ rad/s）
反映了正弦量变化的快慢。
3,初相 ?i：
正弦量在 t=0时的相位，与时间起点的选取有关。
一, 正弦量的三要素
??? ??dttd i ) (
?? ?|| i
注意,正弦量乘以常数,及正弦量的微分,积分,同频正弦量的代数和
运算,其结果仍为一个同频的正弦量
ch8s2-3
已知, 正弦电压的最大值 Um=10V,频率 f=50Hz，
初相 θu= - π/3
写出电压瞬时值表达式,画出波形图。
解：
)
3
314c os (10
)
3
502c os (10)(
?
?
?
??
???
t
ttu
例 8-1-1
ch8s2-4 二．电路分析时两个常用参数
1．周期量的有效值 (均方根 )
(1)定义：
周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分
的平均值开平方。
??
T
dti
T
I
0
21
(2)有效值的物理意义,
RIdtiTRdtRiTP TT 2
0
2
0
2 11 ??? ??
相当于一直流电流 I1 = I 在该电阻上的功率，
即 平均功率与有效值电流产生的功率等效。
考虑周期电流在定常电阻上的平均功率：
如,i1(t)的有效值为 I1，则：在整数个周期内,i1(t)与直流量 I1
产生的热量相等、耗能相等。
ch8s2-5
(3) 正弦量的有效值与最大值之间的量值关系：
设正弦信号 i = I m cos(?t+ ? ),由有效值定义
mm III 707.02/ ??
1．周期量的有效值
?? T dtiTI 0 21
? ?? T m dttITI 0 222 )(c o s1 ??
正弦量的有效值只与最大值有关，与角频、初相均无关。
? ??? Tm dttTI 0
2
)](2c o s1[
2
??
2
2
mI?
ch8s2-6
设正弦信号 f1(t)= A1 cos(?t+ ?1),f2(t)= A2 cos(?t+ ? 2)
? 12 = 0 ? 1 = ? 2 称 f1与 f2同相相位关系：
? 12 = ? 称 f1与 f2反相
(? 12 = ± ?/2 称 f1与 f2 正交 )
3．超前与滞后是相对的。一般限定相位差
在 2?范围内，取 ?=-? ~ +?。
2．同频率正弦量的相位差
则两信号的相位差为 ?12= ? 1- ? 2 = (?t+ ? 1) -( ?t+ ? 2)= ? 1 - ? 2
? 12 > 0 ? 1 > ? 2 称 f1超前 f2
? 12 < 0 ? 1 < ? 2 称 f1滞后 f2
注意：
1．只有同频率的正弦信号才可以比较相位
2．在同一问题或同一电路中，可选定一个
变量，令其初始相位为零，其余变量与
它相比较。称此变量为参考正弦量。
ch8s2-7
解：
例 8-1-2
比较两正弦电压
u1(t)= Um1 sin?t 与 u2(t)= Um2 cos?t 的相位。
u1(t)= Um2 cos(?t- ?/2)
? 12= - ?/2- 0 = - ?/2
u2 超前 u1 且相位正交。
ch8s2-8
设,)(21 AtS i ni ???
求：其有效值及在 1Ω电阻上产生的平均功率？
解：
?
?
???
??
T
T
dttt
T
dtt
T
I
0
2
0
2
)s i n2s i n221(
1
)s i n21(
1
??
?
例 8-1-3
)(212 WIP ???
)(2 A?
§ 8-3
相量法的基础
ch8s3-1
引入相量。可以简化三角函数的计算。
在单一频率正弦激励下的线性电路。
由于任何同频率正弦信号及其任意阶微分的线性组合，
仍为同频率的正弦信号。
所以各支路电压，电流均为正弦信号，
它们的频率相同，而幅度和相位不同。
ch8s3-2
处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路，也称
正弦电流电路
ch8s3-3
根据欧拉公式 xjxe xj s inc o s ??
一．正弦信号的相量
)(c o s2 ?? ?? tIi
时域 复域
正弦时间函数
常系数
对于同频相量
而言相同
复常数
（复常数包含有效值、初相）
一 一 对 应
)(c o s2 ?? ?? tIi ??? ???????? ?? IIeI j
]2R e [ )( ?? ?? tjIe ]2R e [ tjj eIe ???
1.记法：
2.物理意义：
正弦时间函数
唯一对应 复指数函数
相量
正弦量的计算 相量计算
ch8s3-4
1．用相量可以唯一地表征一个频率已知的正弦量，
2121 iiII ?则＝ ??
反之亦然。
相量只能用来比较相同频率的正弦量；
若相量 I?2 从初相角 θ，
tjtj eIIe ??? ?22 )( ??
在实轴的投影即为正弦量 ) c o s (2)( ?? ?? tIti
注 意
以角速度 ω绕 0点逆时针旋转，则旋转相量
3．在复平面上用有向线段表示相量，
称为相量图。
2．相量对应一个正弦量，但不等于正弦量；
相量加上频率才能求得正弦量；
即：若
?t1+?
i(t1)
ch8s3-5
用有效值相量表示下列正弦量
Vttu
Atti
Atti
s i n20 0)(
)5731 4c o s (215)(
)60 s i n (210)(
2
1
?
?
?
??
??
?
?
解：
)(]2R e [)( VeUtu tj???
例 5-2-1
)(1 5 010
9060101
A
I
?
???
－
－
??
???
)(]2R e [)( 11 AeIti tj???
)(57152 AI ?? ?＝ )(]2R e [)(
31422 AeIti tj??
)(90
2
2 0 0 VU ?? ??＝
ch8s3-6
已知正弦电压角频率为 ω，
有效值相量为
))(5.9555(
))(5.9555(
)(110
3
2
1
VjU
VjU
VU
???
???
?
?
?
?
试写出时间函数？
解：
)()1 2 0c o s (21 1 0)(3 Vttu ??? ?
例 5-2-2
)()1 2 0c o s (21 1 0)(2 Vttu ??? ?
)(c o s21 1 0)(1 Vttu ??
)(1 2 01 1 0
55
5.95
5.9555 1222
V
tgU
?
?
???
?
?
??? ?
)(1 2 01 1 0*23 VUU ??? ???
ch8s3-7
1.代数和：
?? ???????? ? ) c o s (2) c o s (2 22121 ???? tItIiii
二．正弦量的运算
??? ??? ]2R e []2R e [ 2 1 tjtj eIeI ??
同频正弦量的代数和仍是一个同频正弦量。
])(2R e [ 21 tjeII ???? ???]2R e [ tjeI ??
????? ????????? ? 22121 ?? IIIII
相量的计算
相量的代数和
ch8s3-8
2.正弦量的微分：
) c o s (2 itIi ?? ??
二．正弦量的运算 相量的计算
)] ts i n ([- 2 iI
dt
dii ??? ????
)]
2
t(c o s 2 ???? ??? iI
] 2R e [ )2 t(
???
? ??? ijeI ] 2R e [ t)2( ?
??
? jj eeI i ??
] 2R e [ t??? jj eIej i?
] 2R e [ t?? jeIj ??
?
?????? ???? iIIjI ??
)] c o s (2[ itIdtddtdii ?? ???? )]2[ R e ( tjeIdtd ???
)]2(R e [ tjeIdtd ??? )](2R e [ tjejI ?? ?? ?
?
?
?
? ??
?
s i nc o s( 2
je j )j?
0 1
又证：
相量的乘法
ch8s3-9
3.正弦量的积分：
) c o s (2 itIi ?? ??
二．正弦量的运算 相量的计算
dteIi d tx j ]2R e [ t??? ?? ? ])2( R e [ t dteI j??? ?
])
(2R e [ t?
?
je
j
I??
?
????? ??
?? i
I
j
I X ??
)s i n ()c o s ( ?????? ?? jjj ??1
0 -1
相量的除法
2
?j
e??
已知,
)()603 14c os (24
)()303 14c os (26
2
1
Ati
Ati
?
?
??
?? 求：
dti
dt
di
ii
?
?
2
1
21
解：
))(9.41c o s (267.9 21 Atii ????? ?
)(32.5)30s i n30( c o s63061 AjjI ?????? ????
)(5.326042 AjI ???? ??
)(9.4167.95.62.7 21 AjII ??? ??????
ch8s3-10
?? 306314 1 ???? jIj? )(1 2 01 8 8 4 A???
3 1 4
604 2
?
??
jj
I ??
? )(300 1 2 7.0 A
????
))(120c o s (21884 1 Atdtdi ??? ?
))(30c o s (20 1 2 7.02 Atdti ???? ?
314
314
314
§ 8-4
电路定律的相量形式
ch8s4-1
一、基尔霍夫定律的相量形式
ch8s4-2
时
域
? u = 0 (KVL)
? i = 0 (KCL)
u,i均为
同频正弦量
相量
形式
? ? 0U?
? ? 0I?
二、电路元件 R,L,C的电压、电流
关系的相量形式
瞬时值及其相量分别设为
uUU ????
ch8s4-3
将基本元件的伏安关系用相量形式表示。
可将微积分运算化为简单的复代数运算。
使得用相量法分析电路成为可能。
同时可更方便地比较同频率正弦量之间幅度和相位关系。
以下讨论中，假设元件两端的电压与电流取关联参考方向。
)c o s (2)( itIti ?? ?? iII ????
)c o s (2)( utUtu ?? ??
ch8s4-4
对于线性电阻 u(t)=Ri(t)
?
?
?
?
?
?
iu
RIU
??
即,在关联方向下，电阻两端电压与电流同相位
?
?
?
?
?
iu
RIU
??
（一）．电阻元件
写出相量形式为 IRU ?? ?
ch8s4-5
1．对于线性电感
dt
diLtu ?)(
在正弦稳态下，将 u(t)和 i(t)表达式代入上式
?90?? iu ??2．其相量关系为
mm ILjU ?? ??
或 )( 2 ILeILjU j ??? ??? ?? ??
?
?
?
??
?
2
???
?
iu
LIU
电感两端电压超前其电流 2? （关联方向）
（二）．电感元件
dt
diLu ? )]c os ([
im tIdt
dL ?? ?? )s in (
im tLI ??? ???
)2c o s ( ???? ??? im tLI mm LIU ???
3．比值 L
I
U ?＝ 具有电阻量纲。
fLLX L ?? 2＝＝ 为感抗
（ 2） XL 为有效值之比，仅在稳态分析中有意义。
不适于瞬时值关系。
ch8s4-6
定义：
(1） XL 与 ω有关。
ch8s4-7
1．线性电容：
dt
duCi ?
将 i和 u的表达式代入微分 VAR可知
??
?
?
?
??
??
2
)(
?
??
??
ui
mm CUICUI
电容电流超前其端电压相位
2
? （关联方向）
2．相量形式 VAR：
UCjI ?? ?? 或 ICjU ?? ?
1??
（三）, 电容元件
3．有效值之比
CI
U
?
1? 具有电阻量纲。
fCCX c ?? 2
11 ??
讨论,Xc随频率的变化
ch8s4-8
定义, 容抗为
三,线形受控源
控制量为正弦量,则输出量也为正弦量
jkjk
jkjk
jkjk
jkjk
IIiiCCCs
UgIguiV C C S
IrUriuC C V S
UUuuV C V S
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
:
:
:
:
相量形式
第九章
正弦稳态电路的分析
ch9-1
ch9-2 主要内容
正弦信号：
正弦电路：
在线性时不变稳定电路中，若各个激励源均为同一频率
的正弦信号时，当电路达到稳态时，电路中各支路变量
均为与电源频率相同的正弦量。在此条件下，对于电路
的分析可借助相量法进行。
主要知识点
正弦稳态电路的分析方法和功率计算。
本章难点
1.电路模型和电路变量在正弦稳态下的时域和相量表示易被混淆。
2.较为繁杂的数值计算题。
3.相量图作为辅助工具以及变量间相位关系的比较。
4.正弦电路功率的计算。
具有正弦函数形式的时变电压和电流
在正弦信号激励下的电路。
分析工具：
正弦信号的相量表示；
阻抗与导纳的概念；
§ 9-1
阻抗与导纳
ch9s1-1
ch9s1-2
1．阻抗, 无源二端网络端口上电压相量与电流相量之比
具有电阻量纲。
jXRZIUZ z ????? ??
?
X：电 抗 （分量）
I
U
Z ＝
电压超前电流,No为感性
电压落后电流,No为容性
一．定义
R：电 阻 （分量） φZ>0
φZ<0
阻抗的模
阻抗角 iuz ??? ??
2．导纳,jBGY
U
IY
Y ????? ??
?
B：电 纳 分量
3．阻抗与导纳的关系
同一对端口
YZ
1?
4．阻抗与导纳的串并联等效
串联：
21
21 ZZ
I
UUZ ????
?
??
并联：
21
21
21
YYY
ZZ
ZZ
Z
??
?
?
或
ch9s1-3
G：电 导 分量
ch9s1-4
电阻,G
RY R ??
1
电感,感纳〕＝ (1
LjY L ?
电容,容纳）＝ (CjY
C ?
相量电路模型：
二．基本元件的阻抗与导纳
RZ R ?
)( 感抗LjjXZ LL ???
)(11 容抗＝ CjXjZ CC ???
得到的电路模型称相量模型。
将电路中电流、电压用相量表示。
将基本元件用他们的阻抗或导纳来标出。
ch9s1-5
求如图电路阻抗 Zac
设信号频率 ω
解：
)(( ?? jXR 〕＋? R(ω)：等效电阻。 X（ ω)：等效电抗。
三．无源二端网络的阻抗与导纳
例 5-4-1
LjRZ ab ??? 1
Cj
R
Y
Z
bc
bc
??
??
2
1
11
bcabac ZZZ ?? ? ? 2
2
2
2
1
1
1
C
R
Cj
R
LjR
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
???
? ? ? ?
]
1
[
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1
C
R
C
Lj
C
R
R
R
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
??
（ 2〕 当 ω=1 rad/s
（ Ω ）5.12)212(215.1 jjZ ac ??????
等效相量电路如图
ch9s1-6
设 FCHLRR 1,2,15.1 21 ???? ΩΩ,
（ 1）当 ω=0（直流信号） C开路 L短路
Ω5.2)0()0( 21 ????? RRjXRZ ac
讨论
求如图 RLC串联电路的阻抗
解：
zi
i
Z
jXR
C
LjRZ
?
?
?
??
??
??? )
1
(
CLX ??
1??
22 XRZ i ??
当
iZ容性
ch9s1-7 例 5-4-2
R
Xtg
z
1???
时，＝即 LCCL 11)1( ??? ? RZ i ?
时，即 LCCL 11)2( ?? ??? iZ感性
时，即 LCCL 11)3( ?? ???
(1) 无源一端口网络的阻抗与导纳取决于
网络结构、元件参数和信号源频率
(3) 当 0~9090~0 ?? ???
Yz ?? 或
时为感性
(4) 当 ?? 90~00~90 ???
Yz ?? 或
时为容性
ch9s1-8 讨论
当 No中无受控源时,φZ和 φY在 ± π/2间。
(2) No的性质（感性或容性）随 ω变化，
§ 9-2
阻抗 (导纳 )的串联和并联
ch9s2-1
ch9s2-2
1．串联：
nZZZZ ???? ?21
UZZU kk ?? ?
一．串并联
分压：
2．并联：
nZZZZ
1111
21
???? ?
nYYYY ???? ?21
IYYI kk ?? ?分流：
如图 RLC串联电路。 R= 15 ?,L= 12 mH,C= 5 ?F，
端电压 u=141.4cos(5000t)V。
求,i、元件的电压相量。
解,用相量法。
ch9s2-3
例 5-4-2
)(0100 VU ?? ?? )/(5000 sr a d??
CjLjRZ
1
?? ???
)10 5 5 0 0 0 110 125 0 0 0(15 63 ?? ??????? j
)(5 3, 1 3 25 2015 ????? ?j
)(5 3, 1 3 4 5 3, 1 325 01 0 0 AZUI ??
???
????????
RIU R ?? ? )(5 3, 1 3 60 V???? 155 3, 1 34 ???? ?
)(87.36 2 4 0 VLjIU L ??? ??? ?
)(13.1 4 31 6 0 1 VCjIU C ??? ???? ?
15 10
20 15
10
20 55 58.52 70.0
58.52 70.0
1.71 70.0
34.2 70.0
128.25 20.0
34.2 160.0
20
i(t)=4?2cos(5000t-53.13o)A1.71 70
§ 9-3
电路的相量图
ch9s3-1
ch9s3-2
1．根据电路中各相量之间的关系所作出的图，体现 KCL,KVL、
电压与电流之间的关系。
一．相量图
箭头长短 ——相量的模；角度 ——相量的相位（初相）
2．作法：
(1)选择参考相量。 (初相依据计算结果或假设为 0。 )
串联：
并联：
I?
U?
(2)其他相关相量根据参考相量确定。 (串联,KCL；并联,KVL)
如图 RLC串联电路。 R= 15 ?,L= 12 mH,C= 5 ?F，
端电压 u=141.4cos(5000t)V。
解：
ch9s3-3
例 1
)(5 3, 1 3 4 AI ?? ???
RIU R ?? ? )(5 3, 1 3 60 V????
)(87.36 2 4 0 VLjIU L ??? ??? ?
)(13.1 4 31 6 0 1 VCjIU C ??? ???? ?
)(0100 VU ?? ??
53.13o
I?
RU?
LU?
CU?U?
ch9s3-4 电路如图,R1=10?,L=0.5H, R2= 1000?,C=10 ?F，
Us=100V,?=314rad/s。求各支路电流。
解：
例 2
，则：VU s ?? 0100设 ??
CjRZ ??? 2// 1
1
//1 ZLjRZ ??? ?
?33.7245.3 0 35.03 1 410 ?????? j
53 1031410
1
?? ??? j
)(33.7245.303 ???? ?
)(30.5299.1 6 6 ???? ?
92.11-j289.13
Z
UI ?? ?? )(30.5260.0 A???
C 1
C 1
2
2 ?
?
jR
jII
??
?? )(03.2018.0 A????
C 12
2
1 ?jR
RII
??
?? )(97.6957.0 A???
1I? 2I?
I?
Ij ?L?
1RI?
22RI?
sU?
§ 9-４
正弦稳态电路的分析
ch9s4-1
(3)若需要，将结果表示为时间函数。
ch9s4-2
线性电路，单一频率正弦激励下的 稳态 电路条件：
工具,(1)引入相量形式欧姆定律，将微分、积分化为
复数的代数运算。
(2)由于 KCL和 KVL相量形式成立，前面直流
电路分析中等效方法、建立方程方法及线性
电路的定理可直接应用于相量模型。
(3)相量图作为辅助工具。
稳态电路分析的一般步骤：
(1)将电路时域模型变为相量模型；
(2)按直流电路的分析方法求出相量解；
ch9s4-3
已知,电路中 ))(301000(210 VtS i nu ???
求,i,uR,,uC,uL?
解,1．画出相量模型
)(3010 VU ?? ??
2.
Ω 〕(3.5164
5040
)5010 0(40
???
??
???
j
jZ
)(3.21156.0
3.5164
3010
A
Z
UI
?
?
??
?
???
?
???
3．写出时间函数
))(3.1111000(28.7 VtS inu C ???
一．简单电路
)(3.2124.6 VIRU R ??? ????
)(7.686.15 VILjU L ??? ??? ?
)(3.1 1 18.71 VICjU C ??? ???? ?
))(3.211 0 0 0(21 6 5.0 AtS i ni ???
))(3.211000(224.6 VtS i nu R ???
))(7.681 0 0 0(26.15 VtS i nu L ???
例 5-5-1
已知,电流表读数
A1=6(A),A2=8(A)
求,A 的读数？
解：设 U? 为参考相量，
由相量图
)(1086 22 AI ???
ch9s4-4 例 5-5-2
ch9s4-5
已知, 电路相量模型如图。 求：支路电流?,,321 III ???
解,(1)用网孔分析法
??
?
?
?
?????
???
221
121
)(
)
1
(
s
s
UILjRIR
UIRI
Cj
R
???
???
?
?
解方程得
?
?
?
?
?
????
???
???
)(9.118.29
)(3.1152.32
)(3.568.27
213
2
1
AIII
AI
AI
?
?
?
???
?
?
二．复杂电路
例 5-5-3
R
C L
Us1 Us2
(2)用结点分析法：
211
1)11(
ssn ULjUCjULjRCj
???
???? ????
求, 图（ a）电路中的 u(t)
(a)
(b)
?
?
?
????
?????
11
11
22
202)1(
UUjUj
UUjUj
???
??? ?
?
?
?
???
????
02)2(
2)1(
1
1
UjUj
UjUj
??
??
解出,）（＝ VjU ?? 6.265224 ????
ch9s4-6 例 5-5-4
解：
列出方程
(1) 用结点分析法，
元件值用导纳表示，
（ 2）用戴维宁定理求解
(c)
由图（ c）电路求
ocU?
)(422
)(02102
11
1
VjUjUU
VU
oc ????
?????
???
? ??
(d)
由图（ d）电路求 Zo，令 1
1 ?U?
则：
)(100 ΩjIUZ ??? ?
?
(e)
由图（ e）等效电路，求出
))(6.263(102)( VtS i ntu ????
ch9s4-7
1＝I?
jjjU ??? 1210 ＋＝?
241 )42()(
0
jjj jjjjZ UU oc ???? ?????
??
＝
。，求的相位差为与若要使例,?osUIjZjZ 90,1 0 0 04 0 0,5010 11 ????????
解：用回路法
?
?
?
?
?
?
?
???
11
12
211 )
l
l
sll
II
II
UIZIZZ
??
??
???
?
（
?ZZZ
UII s
l ?????
1
11
???
，即实部应为，则相位差为与要使 090
1
0
1 I
UUI s
s ?
???
0]R e[ 1 ??? ?ZZZ
41
01010400
???
????
?
?
1lI?
2lI?
§ 9-5
正弦稳态电路的功率
ch9s5-1
ch9s5-2
? ???? ???? tItUuip c o s2 c o s2
一．瞬时功率 p(t)
正弦稳态，以电压为参考相量。即,tUu c o s2 ??
) c o s (2 ?? ?? tIi
? ?] 2c o s[ c o s ??? ??? tUI
恒定分量 正弦分量（ 2?） ?
i(t)
u(t)
T? T
p(t) UIcos?
)s i n2s i nc o s2( c o sc o s ????? ttUIUI ???
tUItUI ???? 2s i ns i n)2c o s1(c o s ??? ?0
正弦变化 (可逆 )非正弦周期量 (不可逆 )
1+cos2?t
sin2?t0若一端口内不含有独立源，即,Z=R+jX，
则第一部分为电阻分量 R所吸收的瞬时功率，
第二部分为电抗分量 X所吸收的瞬时功率。
则：在某一瞬时输入该电路的功率为：
单
个
元
件
ch9s5-3
R,?=0 p=UI(1+cos2?t) 平均 >0 耗能
L,?=90o p=UIsin2?t 平均 =0
C,?= -90o p= -UIsin2?t 平均 =0
tUItUIp ???? 2s i ns i n)2c o s1(c o s ???
储能,
周期性地“吞吐”能量
二．几种功率（正弦电流电路）
1．有功功率 P：（平均功率 P） （ W）
?? T dttpTP 0 )(1
?c o sUI? ?UI?
? ??? T dttUIT 0 )]2c o s ([ c o s1 ???
?=cos?：一端口的功率因数
cos? >0：吸收有功功率
cos? <0：发出有功功率
P= W 的示数，反映电阻分量所消耗的平均功率。
2．无功功率 Q：
?s inUIQ ?
sin? >0：“吸收” 无功 功率
sin? <0：“发出” 无功 功率
瞬时功率中周期量的的最大值,反映交换功率的幅值，反映端
口内外往返交换能量的情况。 （ var）
电流 电压
U
U无功 分量,Isin?
U?
I?
?
Icos?
3．视在功率 S,（ VA）
UIS ? 铭牌上的容量 =额定电压有效值 ?额定电流的有效值
4．关系：
ch9s5-4
?
?
?
??
??
?
?
s in
c o s
SQ
SP
?
?
?
?
?
?
??
?
P
Q
tg
QPS
1
22
?
有功分量,Icos?
ch9s5-5
元件瞬时功率 uip ?
并取 u为参考正弦量 tUu ?c o s2?
1.电阻,tItUGuGi ?? c o s2c o s2 ????
0)2c o s1(c o s2)( 2 ?????? tUItGUiutp ??
平均功率,? ?
01
2
2
0
????? ? RURIUIdttpTP T （耗能元件）
平均功率 --- 有功功率
三．基本元件的功率与能量
以下讨论中，假定元件两端电压与电流取关联参考方向，
2.电感,)90c o s (2)90c o s (2 ?? ???? tIt
L
Ui ??
?
tUItItUtp ??? 2s i ns i n2c o s2)( ???
瞬时功率,p>0，吸收能量，建立磁场
平均功率：
2
2
2 LI
X
UIXUIQ
L
LL ?????
储能,? ? 02c o s1
2
1
2
1)( 22 ???? tLILitW
l ?
平均储能,2
2
1 LIW
L ? LL
WQ ?2??
ch9s5-6
p<0，放出能量，磁能消失 储能元件
0)(1
0
?? ? T dttpTP
3.电容,tItUci ??? s i n2)90c o s (2 ???? ?
瞬时功率,tUIp ?2s in??
无功功率,222 CU
X
UIXUIQ
C
Cc ?????????
注：当电路 L和 C有同样电流或同样电压时,L和 C瞬时功率反相，
一个吸收，另一放出，故规定 QC<0
储能, 0)2c o s1(
2
1
2
1 22 ???? tCUCuW
c ?
平均储能：
CC WQ ?2???
ch9s5-7
2
2
1 CUW
C ?
例 5-5-1
求图示一端口网络
的 P,Q和 cos?
解：
?452101010
1010
100155 ????
?
???? j
j
jjZ
707.045c o sc o s ??? ???
∴P=UIcos φ =5（ W） Q=UIsinφ =5 （ var）
ch9s5-8
（滞后）
)(457 0 7.045210 010 AZUI oo
o
??????? ??
§ 9-6
复 功 率
ch9s6-1
ch9s6-2
定义复数 *IUS ??? 为复功率 ??? SS
S 可同时表征 P,Q,S大小及 ?，便于计算。
uUU ???
??
iII ???
??
则
iuUIIU ?? ???* ??
jQPS ???
可利用相量直接求
一, 定义：
1、设端口上
，进而示 P,Q,cos?。S
二、推导：
??? UI
?? s inc o s jSS ??
jQP ??
ch9s6-3
IZU ???? UYI ????
则 2** ZIIIZIUS ??? ????
三、意义：
2、若一端口内部不含独立源，则：
二、计算：
或 2*** )( UYUYUIUS ??? ????
2、在正弦电流电路中，复功率守恒。有功功率、无功功率守恒，
视在功率不守恒。
? ? 0S
? ? 0P
? ? 0Q
电路总的有功功率是电路中各部分有功功率之和。
电路总的无功功率是电路中各部分无功功率之和。
? ? 0S
引入它的目的是能直接应用电压相量、电流相量，使有功功率
P、无功功率 Q、视在功率 S的计算和表达简化。
S1、复功率 不代表正弦量，也不直接反映时域范围的能量关系。
求额定电压 U=220V，电流 I=0.4A，
功率 P=40W 的日光灯电路的 S,Q
和 cosφ 。为提高功率因数，并联
电容如图中虚线所示。 C=4.75μ F，
求此时的 cosφ ’，电源频率为 50Hz。
解：
v a r4.78s in ??? ?SQ
并电容后：
v a r18.6s in ?????? ?SQ
ch9s6-4 例 5-5-2
VAUIS 884.02 2 0 ????
45 5.0c os ?? SP?
?63455.0c o s 1 ?? ??
AjUCjI C 3 2 8.0?? ?? ?
AjI 365.0182.0634.0 ????? ??
AIII C ???? 75.8184.0 ??????
?75.8???? ?
99.075.8c o sc o s ???? ?? （滞后）
VAIUS 5.40????
求图中所示电路各支路的复功率。已知：
Is=10A,?=1000rad/s,R1=10?,j ?L1=j25?,R2=5?,-j/?C2=-j15?.
:,010,则各支路电流为令解 AI os ???
AjIII
Aj
j
j
C
j
RLjR
C
j
R
II
s
s
46.831.2
46.831.2
1015
155
*10
12
2
211
2
2
1
????
???
?
?
?
???
?
?
???
??
?
?
?
VAjIZIIZIUS
VAjIZIIZIUS
3 3 4 71 1 1 6
1 9 2 37 6 9
:
2
22
*
222
*
2102
2
11
*
111
*
1101
?????
?????
????
????
各支路的复功率为
VAjjS
IZUIUS s
1424188410*)4.1424.188(
:,,1110*10
????
?? 故但是电源发出的复功率 ???
21
:
SSS ??
忽略误差
§ 9-7
最大功率传输
ch9s7-1
ch9s7-2
欲使 P最大
1,共轭匹配：负载电抗可独立变化，即模与幅角均可变
令
eqXX ?? 2
2
)( RR
RUP
eq
oc
?
? 可变，由 0?
R
P
?
? 可知，当
eqRR ?
时，即 *
eqZZ ?
（共轭匹配）负载获最大功率
eq
oc
R
UP
4
2
?
2,模匹配：负载阻抗模可变，幅角不变。将 ??? ZZ 代入
?c o s2 ZIP ? 可推导 P最大条件为 222 eqeq XRZ ?? 即 eqZZ ?
此时负载功率小于共轭匹配时 maxP
Ns
oc
eq
图示电路左端为含源二
端网络，右端为负载，设
jXRZ
jXRZ eqeqeq
??
??
负载功率：
22
2
2
)()( XXjRR
RURIP
eqeq
oc
???
??
例 5-5-3 图示电路求：
（ 1） ZL为何值可达共轭匹配，并求 Pmax
（ 2）如果 ZL=RL,求 RL为何值获得最大功率？
解,VU OC ??? 020002100 ?????
?????? ?452100100100 jZ S
（ 1）当 ???? 100100* jZZ SL 时共轭匹配
WRUP
S
oc 1 00
4
2
m a x ??
（ 2）当 ??? 22 0 0
SL ZR
时模匹配
VRZ RUU
LS
L
OCL
??? 5.221 0 8 ??
???
W
R
UP
L
L 2.41
2
m a x ???
ch9s7-3
§ 9-8
串联电路的谐振
ch9s8-1
ch9s8-2
谐振频率, 当 ωL=1/ωC 时，即
LC
1
0 ??
所以当信号源频率等于 ω0时电路将发生串联谐振。
二, RLC串联谐振：
Z(?)= R+jX =R+j(? L-1/ ?C)
ω0即为 谐振频率
一, 谐振定义：
在正弦激励下，端口电压与电流同相的工作状态。
发生谐振时的电源频率为电路的谐振频率。
ch9s8-３
(1)谐振阻抗, Zo = R （最小）
(3)特性阻抗,CLCL //1 00 ??? ???
(2)谐振时的电流：当 U一定时 I0=U/R 最大
(5)回路元件上的电压
即元件上的电压为外加电压的 Q倍
1.特点
UL=UC= ? Io= ?(U/R) = QU
)/(1// 00 CRRLRQ ??? ???
一般来讲品质因数决定电路的选频特性
(4)品质因数 （回路品质因数）
(6)选频特性, 将电流对频率的关系曲线称为电路的选频特性。
设 00?? UU。
iIR
Xtg
XR
U
Z
UI ?????
?
?? ? 1
22
??
22 XR
UI
?
? 对 ω的关系称之为幅频特性
22 )1(
C
LR
U
I
?
? ??
?
ch9s8-４
0,,1,0 ?????? IZC??
)(,,1,00 最大IIRZCL ???? ????
0,,,??????? IZL??
显然谐振电路对不同的 ω，响应不同，对有些信号有抑制作用，
这种特点称为选择性。
R
C
L
tgi ?
?
?
1
1
?
?? ? (7) 通频带：两个半功率点之间的
频率宽度
0
0
122 Q
ffffB ??????
当
2
0II ? 时
RIRIPP 2020 2121 ???
为半功率点。
显然 Bw与 Q0成反比，
即 Q0越大 Bw越小。
ch9s8-５
??? 90,0 i??
0,0 ?? i???
????? 90,i??
u,i 同相位
R
Xtg
i
1????
对 ω的关系称之为相频特性
(8)分析 L,C上的电压情况：
谐振时：
UjQRULjU L ?
??
?? 0?
ch9s8-6
UjQRUCjU C ?
??
???
0
1
?
RU?
LU?
CU?
U?? I?
Q>0.707,UL,UC存在峰值
(9)分析 L,C上的电能情况
谐振时,在电感,电容中所储存的电磁能量的总和是不随时间变
化的一个常量，且与 Q值的平方成正比
§ 9-9
并 联谐振电路
ch9s9-1
ch9s9-2
)()()( ??? jBGY ??
)1( LCjG ?? ???
)1( 2 LCCjG ??? ??
当 01 ??
LC ??
时发生并联谐振
此时 Y最小 Y=G
谐振频率
LC
1
0 ??
1,谐振条件与谐振频率
（一）
ch9s9-3
（ 4）电感支路与电容支路上的电流 LC II ?? 与
大小相等方向相反，且为总电流的
Q0倍，所以并联谐振为电流谐振。
（ 3）品质因数：
L
RCRQ
0
00 ?? ??
（ 5）选频特性,主要研究 ??U?
其特性与串联谐振的 ??I? 类似。
（ 6）通频带：同串联谐振。
2.特点：
（ 1）谐振阻抗 Zo = 1/Yo=R最大。
（ 2）谐振时的电压，
当 IS一定时,U0=ISZ0最大。
s
sL
IjQ
I
L
Q
j
Lj
U
I
?
?
?
?
0
0
0
0
0
??
???
?
?
?
os ZIU ?? ?0
CZIjCjUI osc 000 ?? ??? ??
0QIj s??
ch9s9-4
)()()( ??? jBGY ??
LjRCj ?? ???
1
])([)( 2222 LR LCjLR R ???? ?????
当
22 )( LR
LC
?
??
??
，即
此时 Y最小
1,谐振条件与谐振频率
Is
U
I1 I2
+
_
时发生并联谐振。
L
CR
LCCL
CRL 2
2
2
0 1
1 ?????
CR
LR
L
CR
LR
RY ??
?? 022,)( 令?
（二）
2,特点：
ss ICR
LRIU ??? ??
00 )(?
11101 ||)( ?? ??? sIYCR
LYUI ???
2)( 0202
???? ???? CI
CR
LUCjYUI
s????
1I?
2I?
sI?
U?
1?
