湘司警院2006年（上）《高等数学下》期末试卷（C） 适用区队：05信管301 命题人：张建贵 时量：100min 区队： 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 总分  得分         一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1. 直线与平面3x(4y(z(2的位置关系是( C ). (A)平行； (B)垂直； (C)直线在平面内； (D)相交但不垂直. 2. 曲线在点(1( 1( 2)处的切线方程为( C )( (A)； (B)；(C)； (D). 3. 设平面区域D： 1(x2(y2(4，则(( C ). (A)； (B)； (C)； (D). 4. 根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是( B )； (A)：≤，≤； (B)：≤，≤； (C)：≤； (D)：+≤． 5. 的特解形式可设为（ A ）； (A)； (B)； (C)； (D)． 6. 已知，则（ C ）；  ；  ；    ． 7. 函数的极值点为（ D ）． ； ； ；不存在． 8. 正项级数若满足条件（ D ）必收敛； （Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）． 9. 设级数，且，则（ B ）正确． （A）若收敛，则必收敛； （B）若，都收敛，则必收敛； （C）若，都发散，则必发散；（D）若发散，则必发散. 10. 当与满足（ D ）时，有. ； (为常数)； ∥； ． 二、填空题（每小题3分，共30分） 1. 以曲线为准线( 母线平行于z轴的柱面方程是 x2(y2(2x(0； 2．曲线绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程是x2(y2(z2(4z(0； 3. 设z(xsin(2x(3y)( 则( ； 4. 设，则； 5. 设：≤，≤，则　 ０ 　； 6. 改变二次积分的积分次序得 ； 7. 写出麦克劳林展开式，并注明收敛域： . 8. (2)的特征方程为  ； 9. 的通解为  ； 10. 设的收敛半径为R，则的收敛半径为  . 三、判断题（ 正确的打“√”，错误的打“X”,每小题2分，共20分） 1. 的通解为（C为任意常数）． （ √ ） 2. ; ( √ ) 3. 表达式成立； （ √ ） 4. 若在处偏导数存在，则在处一定可微；（  ） 5. 二重积分≥的几何意义是以为曲顶， 为底的曲顶柱体的体积； ( √ ) 6. 交错级数若则收敛;　　 （  ） 7. 函数的幂级数展开式一定是此函数的泰勒级数.　　 　 （ √ ） 8. 的特征方程为； （  ） 9. 若且，则； (  ) 10. 交错级数若则收敛．　　 （  ） 四、（7分）解微分方程 . 解：设，则，原方程变形为 ， 对应的齐次方程为 ， 用分离变量法，得 ， 两边积分，得 ， 即， 根据常数变易法，设，代入，有 ，  积分得 ===， 变形后所得一阶微分方程的通解为 =， 所以，原方程的通解为 ===+． 五、（7分）在曲线上求一点，使其在该点的切线平行与平面，并写出切线方程. 解 设所求点为（，，），=1，=2，=3， 故切线方程为 ， 由于切线与平面平行，切线的方向向量={1，2，3}与平面的法向量={1，2，1}垂直，有  ={1，2，3}·{1，2，1}=1+4+3=0， 解方程，得 =或， 当=时，切点为（，1，），切线方程为 ； 当=时，切点为（，，）， 切线方程为 ， 即 ． 六、（6分）求在约束条件下的极值． 解 作辅助函数 ， 则有 ， 解方程组  得 ． 现在判断是否为条件极值点： 由于问题的实质是求旋转抛物面与平面的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点处取得极小值．