线路曲线测设 本 章 提 要 本章介绍了铁路及公路线路曲线测设的基本概念和方法，重点讨论了用偏角法、切线支距法测设圆曲线、缓和曲线、圆曲线加缓和曲线及其遇障碍时的测设理论和方法，并详细讨论了日愈广泛应用的极坐标法。最后介绍了长大曲线和回头曲线的测设。本章的理论和方法是铁路及公路测量所必须的基本知识。 11.1 线路平面组成和平面位置的标志 铁路与公路线路的平面通常由直线和曲线构成，这是因为在线路的定线中，由于受地形、地物或其他因素限制,需要改变方向。在改变方向处，相邻两直线间要求用曲线连结起来,以保证行车顺畅安全。这种曲线称平面曲线。 铁路与公路线上采用的平面曲线主要有圆曲线和缓和曲线。如图11-1所示,圆曲线是具有一定曲率半径的圆弧；缓和曲线是连接直线与圆曲线的过渡曲线,其曲率半径由无穷大(直线的半径)逐渐变化为圆曲线半径。根据铁道部公布的《铁路工程技术规范》规定,在铁路干线线路中都要加设缓和曲线；但在地方专用线、厂内线路及站场内线路中,由于列车速度不高,有时可不设缓和曲线,只设圆曲线。 图11-1 线路平面的组成 在地面上标定线路的平面位置时,常用方木桩打入地下,并在桩面上钉一小钉,以表示线路中心的位置,在线路前进方向左侧约0.3 m处打一标志桩,写明主桩的名称及里程。所谓里程是指该点离线路起点的距离,通常以线路起点为K 0+000.0。图11-2中的主桩为直线上的一个转点(ZD)，它的编号为31；里程为K 3+402.31，K 3表示3 km；402.31 图11-2 平面位置标志 表示公里以下的米数,即注明此桩离开线路起点的距离为3 402.31 m。 11.2 圆曲线及其主点的测设 11.2.1 圆曲线概述 1．圆曲线半径 我国《新建铁路测量工程规范》和《铁路技术管理规程》中规定,在正线上采用的圆曲线半径为4000、3000、2500、2000、1800、1500、1200、1000、800、700、600、550、500、450、400和350米。各级铁路曲线的最大半径为4000米。Ⅰ、Ⅱ级铁路的最小半径在一般地区分别为1000米和800米，在特殊地段为400米；Ⅲ级铁路的最小半径在一般地区为600米，在特殊困难地区为350米。 我国《公路工程技术标准》中规定,高速公路的最小半径在平原微丘区为650米,在山岭重丘区为250米；一级公路在上述两种地区分别为400米和125米，二级公路分别为250米和60米；三级公路分别为125米和30米；四级公路分别为60米和15米。 2． 圆曲线主点 圆曲线的主点,如图11-3所示： ZY——直圆点, 即直线与圆曲线的分界点； QZ——曲中点,即圆曲线的中点； YZ——圆直点,即圆曲线与直线的分界点。 图11-3 圆曲线及其主点和要素 以上三点总称为圆曲线的主点。 JD——两直线的交点,也是一个重要的点,但不在线路上。 3．圆曲线要素 T——切线长,即交点至直圆点或圆直点的直线长度； L——曲线长,即圆曲线的长度(ZY——QZ——YZ圆弧的长度）； E0——外矢距,即交点至曲中点的距离(JD至QZ之距离)； α——转向角,即直线转向角； R——圆曲线半径。 T、L、E0、α、R总称为圆曲线要素. 其间几何关系为： 切线长  曲线长  (11-1) 外矢距  式中, α和R分别根据实际测定和线路设计时选定，按式(11-1)即可计算圆曲线的要素T、L、E0。实际工作中,也可以α、R为引数，由专门编制的《铁路曲线测设用表》（以下简称曲线表）查得相应的圆曲线要素。 例：已知α=55°43′24″，R=500 m，求圆曲线各要素T，L，E0。 解：由公式（11-1）即可得： T=264.31 m；L=486.28 m；E0=65.56 m。 以上结果也通过曲线表查得。 11.2.2 圆曲线主点里程计算 圆曲线的主点必须标记里程,里程增加的方向为ZY →QZ →YZ。如上例,若已知ZY点的里程为K37+553.24,则QZ及YZ的里程可计算如下:  11.2.3 圆曲线主点的测设 在交点(JD)安置经纬仪,如图11-3,以望远镜瞄准Ⅰ直线方向上的一个转点,沿该方向量切线长T得ZY点,再以望远镜瞄准Ⅱ直线上的一个转点,沿该方向量切线长T得YZ点,平转望远镜至内分角线方向，量E0，用盘左、盘右分中法得QZ点。这三个主点规定用方桩加钉小钉标志点位。 11.3 圆曲线的详细测设 11.3.1．偏角法测设圆曲线 圆曲线的主点ZY、QZ、YZ定出后,还不能在地面上标定出圆曲线的形状,作为勘测设计及施工的依据,因而还必须对圆曲线进行详细测设，定出曲线上的加密点,这些点称曲线点。《新建铁路测量规范》规定,曲线点的间距宜为2Om，在地形复杂处一般取为10m,在点上要钉设木桩,以标定曲线的形状,在地形变化处还要加钉木桩(称为加桩)。设置曲线点的工作称曲线测设。测设圆曲线常用的方法有偏角法和切线支距法。 1.测设原理：偏角即弦切角。如图11-4，偏角法测设圆曲线是根据偏角及弦长测设曲线点，从ZY点出发,根据偏角δ1及弦长C（ZY-1）测设曲线点1; 根据偏角δ2及弦长C（1一2）测设曲线点2……等。偏角法实质上是一种角度、距离交会法。 2．偏角及弦长的计算： （1）偏角计算： 按几何关系,偏角等于弦所对应的圆心角 之半。如图11-4,ZY-1曲线长为K,所对圆心角  则相应的偏角 图11-4 圆曲线偏角计算  当所测曲线各点间的距离相等时,以后各点的偏角则为第一个偏角δ1的累计倍数。即：  （11-2） 分弦的偏角：在实际工作中,曲线点要求设置在整数（20m的倍数）里程上,即里程尾数为00,20,40,60，80m等点上。但曲线的起点ZY,中间点QZ及终点YZ常不是整数里程,因此曲线两端及中间出现小于2Om的弦，即分弦。例如前面例题中: ZY的里程为37+553.24;QZ的里程为37+796.38;YZ的里程为38+039.52,因而曲线两端及中间出现四段分弦。其所对应的曲线长分别为K1，K2，K3，K4如图11-5. 图11-5 圆曲线的分弦 K1=560.00-553.24=6.76m,相应的偏角值  K2=796.38-780.00=16.38m，相应的偏角值 K3=800.00-796.38=3.62m，相应的偏角值 K4=039.52-020.00=19.52m，相应的偏角值 偏角值的计算可按公式（11一2）用计算器计算,也可以由曲线表第三册中查取。 （2）弦长计算 在圆曲线测设中，一般规定：R≥150m时，曲线每隔20m测设一个细部点；50m≤R<150m时，曲线上每隔10m测设一个细部点；R<50m时，曲线上每隔5m测设一个细部点。由于铁路曲线半径一般很大, 2Om的弦长与其相对应的曲线长之差很小,在测量误差允许范围以内,故在测设工作中若曲线长在2Om及2Om以下时,就用弦长代替相应的曲线长进行圆曲线测设。若需要根据偏角计算其对应的弦长时，可用公式 进行计算，弦弧差为: 。如R=450m时，弦弧差为2mm，一般当 R>400m时，不考虑弦弧差的影响。 算例:按前面算例,要求在圆曲线上每2Om测设一曲线点。 测站设在ZY点,如图11-6, 以切线ZY -JD为零方向,曲线ZY—QZ为顺时针方向旋转，由于偏角值与水平度盘读数增加方向一致，各曲线点的偏角称为“正拨”。己知ZY的里程为K37+553.24, QZ K37+796.38,R=500m, 第一点的偏角所对应的曲线长为6.76m, 按公式(11-2)计算, 图11-6 偏角法测设圆曲线 （正拨） 第1点的偏角值 23′15″ 曲线长20m的偏角值1°08′45″,累加得曲线点2的偏角值为23′15″+1°08′45″=1°32′OO″；同法可计算出3、4……各点的偏角值，算至QZ偏角为13°55′51″，其值应为，对应的曲线长为243.14m（本例已知α=55°43′24″）。计算时应按里程列表计算各点的偏角值（如表11-1）。 图11-7 偏角法测设圆曲线 （反拨） 测站设在YZ点,如图11-7。测设另一半曲线时,以切线YZ-JD为零方向, 曲线YZ—QZ为逆时针方向旋转，由于偏角值与水平度盘读数增加方向相反，各曲线点的偏角称为“反拨”按以上述类似方法计算,同样按里程列出各点的偏角值(如表11-2)。 表11-1 偏角计算表 （正拨）  表11-2 偏角计算表 （反拨）  3. 测设方法 以测站设在ZY点为例（如图11-6）。 （1）将经纬仪安置于ZY点上,度盘拨0°,后视JD点或后视ZY点切线方向上的一个转点（ZD）,此时,视线位于切线（ZY→JD）方向上（度盘仍保持读数为0°）。 （2）打开照准部,按表11-1,“正拨”拨角1（=23′15″）;在视线上用钢尺量出弦长6.76m,插以测钎,定曲线点1。 （3）打开照准部,拨角2（=1°32′00″）；同时用钢尺自曲线点1起量,以20m分划处对准望远镜视线,插测钎，定曲线点2,拔去1点的测钎,在地面点1插孔处打入木板桩。 （4）同法,继续前进定出曲线点3、4……。最后,测设到曲中（QZ）点。 类似地,将测站设在YZ 点, (如图11-7),可测设另一半曲线。 注意：弦长丈量是从点到点,在QZ点的总偏角为,应检核所测设的QZ点点位是否闭合,如超限,须及时检查原因,重新测设。 11.3．2切线支距法测设圆曲线 1．测设原理：切线支距法即直角坐标法。以曲线起点ZY或曲线终点YZ为坐标原点,切线为直角坐标系的x轴,切线的垂线为直角坐标系的y轴（如图11-8）,按曲线点的直角坐标（x,y）测设曲线点。x、y由下式计算：  （11-3） 式中，R为圆曲线半径， Li为曲线点i至ZY（或YZ）的曲线长，一般定为10m、20m、3Om……，即每10m一桩。根据R 及Li值，即可计算相应的xi，yi 。 也可以从曲线表第三册第九表中查取每10m长的（Li-xi ）及yi 值，如表11-3。 图11-8 切线支距原理 图11-9 切线支距法测设圆曲线 表11-3 圆曲线切线支距表 L R=700 R=600 R=500   L-x y L-x y L-x y  10 20 30 40 50 0.00 0.00 0.01 0.02 0.04 0.07 0.29 0.64 1.14 1.79 0.00 0.00 0.01 0.03 0.06 0.08 0.33 0.75 1.33 2.08 0.00 0.01 0.02 0.04 0.08 0.10 0.40 0.90 1.60 2.50   2．测设方法:如图11-9所示,设在圆曲线上每10m测设一点,测设时，先沿切线上每1Om量一点,然后于10m处回量L-x1即10-x1,得一点,在此点上向切线垂直方向量y1,即定出圆曲线上第1点,于切线2Om处回量L-x2即20-x2,得另一点,在此点上,向切线垂直方向量y2,即定出圆曲线上第2点。同法,可定出圆曲线上其余各点。 由于y值较小，y轴方向可用一般定直角的方法测设；只有在y值大时,根据需要,才用经纬仪拨直角测设y轴方向。 切线支距法适用于地势较平坦的地区。 11.4圆曲线加缓和曲线及其主点测设 11.4.1缓和曲线的概念 列车在曲线上运行时,会产生离心力,离心力的大小取决于列车重量、运行速度和圆曲线的半径。由于离心力的影响、使曲线外轨的负荷压力骤然增大,内轨负荷压力相应减小,当离心力超过某一限度时,列车就有脱轨和倾复的危险。为了抵消离心力的不良影响,铁路在曲线部分采用外轨超高的办法,即把外轨抬高一定数值.使车辆向曲线内倾斜,以平衡离心力的作用,从而保证列车安全运行。图11-10(a)、（b）为采用外轨超高前、后的情况。此外,由于车辆的构造要求,需进行内轨加宽，如图11-11。无论是外轨超高还是内轨加宽都不可能突然进行,而是逐渐完成,因此在直线与圆曲线之间加设一段平面曲线,其曲率半径ρ从直线的曲率半径∞(无穷大)逐渐变化到圆曲线的半径R,这样的曲线称为缓和曲线或过渡曲线。在此曲线上任一点p的曲率半径ρ与曲线的长度l成反比,如图11-12所示,以公式表示为： ∝ 或  （ 11-4） 图11-10 外轨超高 图11-11 内轨加宽 图11-12 缓和直线的设置 图 11-11 内轨加宽 图11-12 缓和曲线的设置 式中C为常数,称曲线半径变更率。 当 时，，按（11-4）式，应有  （11-5） 式(11-4)或（11-5）是缓和曲线必要的前提条件。在实用中,可采取符合这一前提条件的曲线作为缓和曲线。常用的有辐射螺旋线及三次抛物线。我国采用辐射螺旋线。 11.4.2缓和曲线方程式 按上列前提条件导出缓和曲线上任一点的坐标x、y为： …… …… 实际应用时,舍去高次项,代入,采用下列公式：  式(11-6)表示以直缓(ZH)点或缓直(HZ)点为原点,相应的切线方向为横轴的直角坐标系中，缓和曲线上任一点的直角坐标。如图11-13所示: 图11-13 缓和曲线上任一点的坐标 l为缓和曲线上任一点p到直缓（ZH）点的曲线长； R为圆曲线半径； l0为缓和曲线总长度。 当l=l0时，则x=x0,y=y0,代入（11-6）式,得：  (11-7) x0、y0为缓圆(HY)点或圆缓(YH)点的坐标。 11.4.3缓和曲线常数 图11-14（b）是没有加设缓和曲线的圆曲线。缓和曲线是在不改变直线段方向和保持圆曲线半径不变的条件下，插入到直线段和圆曲线之间的。为了在圆曲线与直线之间加入一段缓和曲线l0，原来的圆曲线需要在垂直于其切线的方向移动一段距离p,因而圆心就由O移到O1,而原来的半径R保持不变,如图11-14（a）。 图11-14 缓和曲线的形成 由图中可看出,缓和曲线约有一半的长度是靠近原来的直线部分,而另一半是靠近原来的圆曲线部分,原来圆曲线的两端其圆心角为β0相对应的那部分圆弧,现在由缓和曲线所代替，因而圆曲线只剩下HY到YH这段长度即L0,现在由于在圆曲线两端加设了等长的缓和曲线l0后,曲线的主点为：直缓点（ZH）、缓圆点(HY)、曲中点(QZ)、圆缓点(YH)、缓直点(HZ)。 、、m、p、x0、y0统称为缓和曲线常数： β0为缓和曲线的切线角,即在缓圆点HY（或圆缓点YH）的切线与直缓点ZH(或缓直点HZ)的切线交角,亦即圆曲线HY→YH两端各延长部分所对应的圆心角。 为缓和曲线总偏角,即从直缓点(ZH)测设缓圆点（HY）或从缓直点(HZ)测设圆缓点(YH)的偏角。 m为切垂距,即ZH(或HZ)至自圆心O1向ZH点或HZ点的切线作垂线垂足的距离。 p为圆曲线移动量,即垂线长与圆曲线半径R之差。 x0、y0的计算由（11-7）式求出,其余、p、m、计算式为：  （11-8） 根据R及l0，缓和曲线常数可按上式直接计算，也可以在曲线表中的缓和曲线常数表中查取（摘录如表11-4）。 表11-4 缓和曲线常数表 公式（11-7）、（11-8）导证：设为缓和曲线上任一点的切线角；x、y为这一点的坐标；为这一点上曲线的曲率半径；l为从ZH点到这点的缓和曲线长（如图11-15）。 1.求β0 先求β，由图11-15知： （已知）  或  当l=l0时,β=β0  2.求x0、y0 即求（11-6）式之x、y：  将cosβ、 sinβ按级数展开：  已知，连上两式一并代入dx、dy式中,积分，略去高次项得x、y的普遍表达式：  即（11-6）式。l=l0时,得:  即（11-7）式。 3、求m 由图11-16中几何关系知：  将x0及sinβ0的表达式代入上式得：  （取至l0三次方） 4. 求p 由图11-16中几何关系知：  将y0及cosβ0代入上式即得： （取至l0二次方） 5.求δ0 由图11-16中知：  因δ0很小，故  将x0、y0代入上式，取至l0二次方：  例： R=500m, l0=60m,求缓和曲线常数。 根据(11-7)、（11-8） 式，计算得 β0=3°26′16″；δ0=1°08′45″； m=29.996m； p=0.300 m； x0=59.978 m； y0=1.200 m。 以上结果也可直接从表11-4查得。 11.4.4 圆曲线加缓和曲线的综合要素及主点测设 1．圆曲线加缓和曲线的综合要素（如图11-14） T——切线长； L——曲线长(包括圆曲线长L0及两倍缓和曲线长2l0)； E0——外矢距； q——切曲差。 从图11-14的几何关系,可得综合要素T、L、E0等的计算公式: （11-9） 当圆曲线半径R、缓和曲线长l0及转向角α已知时,曲线要素T、L、E0、q的数值可根据（11-8）、（11-9）式计算也可由曲线表第一、二册中第一表 (如表11-5)查得。 表11-5 综合要素表 R=500 注:上表中的栏中有两个数,为1′与2′之插算值，单位均为厘米。 例：已知R=500m,l0=6Om,α=28°36′20″，ZH点里程为33+424.67,求综合要素及主点的里程。 （1）综合要素计算，根据式（1-8）、（11-9）式，计算得： T=177.57+0.11-20.12=157.56m L=349.44+0.20-40.00=309.64m E0=16.83+0.03-0.55=16.31m q=5.70+0.01-0.24=5.47m 以上结果，也可查表11-5（综合要素表）求得。 （2）主点里程计算 已知： ZH点里程为33+424.67，则有：  （核） 2．主点测设 ZH点（或HZ点）及QZ点的测设方法与圆曲线主点测设方法相同。另外两个主点HY点和YH点，其测设方法一般采用切线支距法,按点的坐标x0、y0测设（x0、y0可按公式11-7计算，也可查曲线表求得）。自ZH点（或HZ点）出发,沿ZH→JD（或HZ→JD）切线方向丈量x0，打桩、钉小钉,然后在这点垂直于切线方向丈量y0,打桩、钉小钉,定出HY点（或YH点）。注意： （1）测定主点HY（或YH）时，须用经纬仪精确测设直角。同时用钢尺精确丈量坐标x0、y0。 （2）测设曲线点前，应先在ZH或HZ点安置经纬仪，核对HY或YH点的偏角δ0是否正确。 11.5圆曲线加缓和曲线的详细测设 偏角法测设圆曲线加缓和曲线 11.5.1.1偏角法测设圆曲线加缓部分 用偏角法测设缓和曲线时，将缓和曲线分为N等份，如图11-18所示，每段曲线长。铁路线路设计中，缓和曲线长度为10 m的整倍数，为测设方便，一般取K=10m，即每10 m测设一点。计算出各曲线点的偏角，然后在测站上安置经纬仪，依次拨角；同时用钢尺测设点间距离，定出缓和曲线上各分段点。 图中、、……（=），表示自ZH点出发的相应各点的偏角。 图11-18 偏角法测设缓和曲线 图11-19 缓和曲线偏角计算 1.计算偏角的基本公式 如图11-19，设： δ为从ZH（或HZ）点测设缓和曲线上任一点A的偏角； b为从A点观测ZH（或HZ）点的反偏角； δo为缓和曲线总偏角，即从ZH（或HZ）点观测HY（或YH）点的偏角； b0为从HY（或YH）点观测ZH（或HZ）点的反偏角。 由图11-19知：  因δ很小,则δsinδ。 已知 （见公式11—6） 故 或 （11-11） 已知任一点A的切线角：  故  从图中几何关系知：   当l=l0时，β =β0,δ=δ0  因此, δ：b：β或δ0：b0：β0为1：2：3。 2.计算各分段点的偏角 由公式（11-11）知： :=·：· 即 :=: 说明偏角与测点到缓和曲线起点的曲线长的平方成正比。 在等分段情况下,=2,=3……=N· 故 =· =· ……… =·= 所以 = （11-14） 式中: N为分段数。 若N已知,再算出,即可按(11-14)式算出,然后用任一点的点号平方乘就可算出该点的偏角。 3.计算步骤： （1）根据=·(或查表)求出； （2） =； （3） =； （4） 2=22·1；3=32·1……=N 2·1=0。 例：设R=500m，l0=60m，N=6，即每分段曲线长l1=10m，ZH点里程为K33+424.67，求算各点的偏角。 按上面步骤计算： =·=×=3°26′16″ ===1°08′45″ ===1′54″.59=1′55″ 各点偏角值列表计算如表11-7 表11-7 各点的偏角值计算  查曲线表中《缓和曲线偏角表》,如表11一8,亦可得出与上列计算同样的结果。 表11-8缓和曲线偏角表 R=500 l0=60 注：此表使用时只能纵查不能横用。 4.测设方法 如图11-19,将经纬仪安置在ZH点上,于度盘上安置0°,后视JD或直线转点ZD，即切线方向,先拨角δ0,核对HY点点位,如在视线上,即可开始工作。仍以切线为0°方向，依次拨角δ1、δ2、δ3……δN（=δ0）；同时从点到点量1Om弦长与相应视线对准,定出曲线点1,2,3……点。测设至HY点,检核是否落在主点上。 11.5.1.2偏角法测设圆曲线部分 如图11-19,用偏角法测设圆曲线部分时,将经纬仪安置在HY点上,于度盘上安置反偏角b0（正拨值），后视ZH,则HY点的切线方向即0°方向；倒镜后,即可按圆曲线上曲线点的偏角（反拨值）测设相应的曲线点,直到QZ。另一半曲线在YH点设站,以同法测设之(注意:此时是先反拨后正拨)。测设的关键是找到测站点的切线方向。并使此方向为度盘零方向。 为了避免仪器视准误差的影响，也可于度盘安置180°+b0后视ZH，使HY点切线方向为零方向(如图11-19)。 实测中，为了省去测设圆曲线上曲线点由于分弦与整弦累计的麻烦，常将圆曲线上第1点的偏角方向，即HY-1′方向作为零方向。例如图11-19，以b0+1（1为圆曲线上第1点的偏角）后视ZH点即可。 偏角法是我国常用的方法。优点是有校核，适用于山区；缺点是误差积累。所以测设时要注意经常校核。 11.5．2切线支距法测设圆曲线加缓和曲线 切线支距法测设圆曲线加缓和曲线的实质是直角坐标法测设点位。 1．计算公式 在缓和曲线部分，用公式（11-6）计算测设点的坐标：  在圆曲线部分，由图11-17知:  （11-10） 式中  li为曲线点i的曲线长。 在曲线表中，编有切线支距法测设用表， 如表11-6。表中横粗线以上的是缓和曲 线部分，横粗线以下是圆曲线部分。 表中的L即上述待定曲线点的曲线长li 。 2．测设方法 与切线支距法测设圆曲线的方法相同。 支距法的优点是方法简单，误差不积累；缺点是不能发现中间点的测量错误。故适用于平坦地区，而不适用于山区。 11.6 遇障碍时曲线的测设方法 11.6.1 偏角法测设圆曲线遇障碍时的测设方法 如图11-20,当仪器置于A点,测完1、2、3点后,测点4不通视时,可按下列步骤进行测设: 1．将仪器搬至点3,继续测设,事先于A点准确测设点3,在点3打桩钉钉；然后将仪器安置在点3上,度盘安置0o,后视A点,倒镜,松开照准部,拨点4的偏角δ4（注意：如拨角δ3时,则望远镜视线在点3的切线方向）；沿视线方向用钢尺测设点3至点4的弦长,即定出曲线点4；拨点5的偏角δ5,同法定出曲线点5。 2．若测设点6，视线又遇障碍不通视时,可将仪器搬至点5继续测设，事先于点3准确测设点5，在点5打桩钉钉,然后将仪器安置在点5上,度盘安置第3点的偏角δ3,后视点3,倒镜,打开照准部拨第6点的偏角δ6 ，沿视线方向,用钢尺测设点5至点6的弦长,即定出点6；再拨第7点的偏角δ7 ,同法定出曲线点7。如此,继续测设（度盘拨δ3角，望远镜后视点3,倒镜,再转(δ5-δ3)=δ2角时,视线方向即为测点5的切线方向，此时度盘读数为δ5）。 结论：当仪器置于圆曲线上任一点,继续向前测设时, 后视已测设曲线的任一点,将度盘安置该点的偏角值, 并照准该后视点,倒镜后,打开照准部,拨测站至所测点的偏角值,即可得到测设点的方向。 11.6.2 偏角法测设缓和曲线遇障碍时的测设方法 如果测站设在ZH点(或HZ点)上遇障碍不能将所有分段点测完时，可将经纬仪安置在缓和曲线上已测定的一个点上。 如图11-21,设B、T为缓和曲线上已定点(已打桩、钉钉),将经纬仪安置在T点上，度盘安置后视偏角,瞄准后视点B,倒镜,此时度盘0o方向即T点的切线方向,然后打开照准部,拨前视点F的偏角(反拨),即可测设F点。 设B、F代表分段点的点号； T代表分段点或任一已定点的点号。先设T为分段点点号。 例如B=3,T=4,F=5 则 后视偏角= 前视偏角= （11-15） 式中 为第一分段点的偏角,  图11-21 测站设在任一分段点 图11-22 偏角计算 导证：如图10-22,为第一分段曲线长,即每段曲线长； B点距ZH点的曲线长为； T点距ZH点的曲线长为； F点距ZH点的曲线长为； 为测站T点的切线角。 由图可见，前视偏角  式中  （）  实际上很小，，又 所以  由公式（11-6）  可得：  所以   同法可证：   同样，也可查曲线表中相应的内容得到所求的偏角值,如表11-8。 例:已知R=500m,=6Om,N=6,即每段曲线长=10m,经纬仪设在第2点上,计算前、后视各点的偏角值。 根据前述公式得：  按公式（11-15）计算前后视各偏角如表11-9： 表11-9 前后视各偏角值 查缓和曲线偏角表11-8亦可得出同样结果。 上面推导出的后视偏角及前视偏角两个公式是先假设测站T设在缓和曲线已测定的任一分段点上,若测站设在缓和曲线上任一距离的已定点上,如图11-23，则仍可用以上两个公式算出各点的偏角值。 图11-23测站设在任一已定点上 图11-24 任一已定点上偏角值的计算 例：已知R=2 O00m，=5Om,N=5,即每10m分段(=10m),测站设在缓和曲线的一点T上,如图11-24,T点距ZH点的曲线长为=35m,点号T =3.5,要求后视第二分段点，测设第4，5分段点。 已知=1Om,T=3.5,B=2, F=4.5。 按公式或查缓和曲线常数表得: δ0=14′19″  将上列数值代入公式(11-15)得: 后视偏角δ2=δ1(3.5-2)(2+2×3.5)=34.4″×1.5×9=7′44″ 前视偏角δ4=δ1(4-3.5)(4+2×3.5)=34.4″×0.5×11=3′09″ δ5=δ1(5-3.5)(5+2×3.5)=34.4″×1.5×12=10′19″ 测设步骤： 如上例,将仪器安置在T点后,以δ2即7′44″后视2点,倒镜,此时度盘的0o方向线即T点的切线方向。然后拨前视度盘读数360o-δ4，360o-δ5,相应地测设弦长f4、f5,即定出4、5点。 当测设缓和曲线遇障碍,测站不能设在整分段点上时，可先求出测站的点号T= (非整数),同样可用分段点公式(11-15）计算后视及前视分段点的偏角,从测站测设分段点,与测站为整数分段点方法相同。 11.6.3. 控制点遇障碍时曲线的测设方法 11.6.3.1 交点不能到达的测设方法 当交点JD位于陡壁、深沟、建筑物及河流中,以及转向角过大不易得出交点,或切线过长而丈量切线的工作量很大时,可以不设置交点,而用副交点法或导线法设置副交点代替交点。 1. 副交点法 如图11-25,交点JD2落于河流中,此时,在两切线I、Ⅱ方向上,估计在ZH和HZ附近,设置两个副交点A(JD2-1)，B(JD2-2)打桩钉钉,在副交点A、B安置仪器测出角α1，α2,丈量AB边长。 曲线资料的计算及主点测设 （1）转向角 α=α1+α2 （2）根据设计资料R、和α,算出综合要素T、L、E0、q。 图11-25 副交点法 （3）解三角形,计算AC、BC、BD、CD、。   （4）ZH、HZ点的测设 仪器先后置于A、B 点上,在切线I上量取(T-AC)得ZH,再在切线Ⅱ上量取(T-BC)得HZ。 （5）QZ(M)点的测设 从B点,沿AB方向量取BD定出D点,再将仪器置于D点,拨角找出D C方向线,在此方向线上量取(DC- E0)得QZ。 注意:为了准确地测设QZ点,在丈量AB边长的同时,可在D点附近临时设置一转点D′（打桩钉钉）。待设置D点时,可从D′点量至D,再从D点放QZ点。其拨角、量距、定点等精度要求与前述测设主点时相同。 2. 导线法 当A、B两点太远,或两切线上的两个副交点互不通视时,可用导线法,将两个副交点用导线联系起来。如图11-26(a)中的导线D1D2D3D4。 （1）设以A为坐标原点,GA为直角坐标纵轴x,则GA的方位角为0o,直线BF的方位角即为曲线的转向角α。 （2）根据导线坐标计算求出。从图11-26（b）可以看出：  由此计算曲线要素。主点的测设与副交点法相同。 图11-26 导线法 11.6.3.2 主点不能到达的测设方法 1. 利用直角坐标法,设置几个曲线上的点,作为控制点。如图11-27,ZH点位于水塘里,不能安置仪器,可以改用HY点和圆曲线上的A点作为控制点,己知A点的里程,按切线支距法可计算出；从交点JD量(T-)和(T-),即得垂足H′和A′,在垂足处作直角并量出和；即得HY点和A点。根据这两个点间的圆弧长A,即可算出偏角δA,由δA值可在测站(HY)点建立切线并测设圆曲线和缓和曲线。 图11-27 主点不能达时的测设 图11-28 曲线上设控制点 2. 利用极坐标法设置曲线上几个点作为控制点。 如图11-28,在缓和曲线上有障碍（房屋）时,可由切线上的A点按极坐标法测设曲线点B。 已知 由  ， 算出 ； 由 ，算出； 即可在A点安置仪器，后视ZH（或JD），拨角，用钢尺量AB测设B点。 11.7 任意点极坐标法测设曲线 前面讲述的几种曲线测设方法， 通常需要多次搬动仪器和设置转镜点,工作量较大。若用光电测距仪或全站仪，则可在任意点设站，采用极坐标法测设曲线。这种方法灵活，效率高，宜广泛推广使用。 11.7.1基本原理：根据坐标反算求得角度和距离，再利用极坐标法进行测设。 首先设定直角坐标系：以已知主点（如ZH点）为坐标原点,以切线为x轴,经纬仪可以置于曲线一侧,内侧或外侧,选择比较适当的位置安置仪器,如图11-29,仪器首先置于曲线内侧任一点E,打桩、钉钉,从E点至ZH点及拟测点均要通视。测出以x轴为竖轴的方位角α及ZH-E的水平距离d,根据ZH点的坐标计算测站E点的坐标xE、yE，然后根据xE、yE及曲线上各点坐标xi、yi,反算出所需的测设角度及边长di 。按照各点的测设数据,在E点安置仪器用极坐标法逐一测设。 11.7.2测设具体步骤及方法 例:某曲线,半径R=500m,缓和曲线长l0=60m,转向角α=28°36′20″，ZH点里程为：K33+424.67,仪器置于E点,设直角坐标系:ZH点为原点，ZH-JD为纵轴x,测得ZH-E边的长d=100m,坐标方位角=60°。如图11一30。 图11-29 极坐标法原理 图11-30 测设算例 1. 计算测站点E的坐标  2. 计算测点l的坐标 在缓和曲线上,按10m测设一个点,则=10m。由公式11-6计算（也可查曲线表第三册、第十表）得:  3. 根据测站E及测点i的坐标,后视ZH点,反算测设角度及边长 。 例：求, 已知=60，=240o   同法计算2、3、4…各点及QZ点的极坐标、d，其结果列于表11-10中。 表11-10 极坐标计算结果 设仪器置于E点。 =50.OOOm, =86.603m。 测设半个曲线,每1Om一个点。如图11一31。 当按及测设曲中点时,应与主点测设时的曲中点位置进行校核。 以上是测设半个曲线的测设情况,即以ZH点为坐标原点测设至QZ。另半个曲线以HZ点为原点按照上述同样方法进行测设。 另半个曲线的第二种测设方法为:直接按以ZH为原点的支距法坐标系坐标测设，一次将整个曲线测设完成。 首先将另半个曲线在支距法坐标系HZ-x′、y′的坐标转换为在支距法坐标系ZH -x、y的坐标x，y,然后再算出相应的测设点的极坐标(,d), 即可以ZH点为后视点进行测设。 支距法坐标系转换的通用公式为:  （11-16） 式中：T—切线长； α—转向角； x、y—以ZH为原点，切线为x轴的测量坐标系； x′、y′—以HZ为原点，切线为x′轴的测量坐标系。 导证：如图11-32(a)及11-32（b）： 图11-32 测设原理 设辅助坐标系ZH-x″、y″与坐标系ZH-x、y平行。 可知：另半个曲线点在ZH-x、y系中的坐标:  （1） 式中：坐标系平移量  （2） 坐标系转轴换算  （3） 将(2),(3)代入(1)式即得（11-16）式。 以上两种方法比较:第一种测设方法分两半个曲线分别独立测设,各自选择一测站进行测设。因而工作量较大；第二种测设方法可在一个测站测完全部曲线,比较便捷。但横向误差影响曲线的圆顺，须注意不能超限。 算例：按公式（11-16），仍以ZH点为原点，根据前例所给曲线测设数据，测站在E点 （）后视ZH点，计算另半个曲线之坐标及测设数据及d。计算结果见表11-11。 表11-11 另半个曲线的坐标及测设数据 11.8 长大曲线和回头曲线的测设 11.8.1长大曲线的测设 长大曲线如果中间不增加控制点,则横向误差容易超限,造成返工。增强中间控制最常用的方法是将曲线分段测设、分段闭合。如图11-33,将曲线分为三段：两端各为一段，为圆曲线加缓和曲线段,称两端曲线；中间一段为圆曲线段,称中间圆曲线。 实地测设时,由ZH点按起始切线方向量T1得第1分段的交点JD1,拨第一分段的转向角1,在这个方向上量T2,得圆曲线上的主点Y1Y2 ，沿着该方向继续向前丈量中间圆曲线的切线长T,得JD2点……。同法,可继续进行。 分段的原则是： 1.使各段曲线长是10m的倍数； 2.由两端向中间测设，不使缓和曲线分为两段。这样分段后曲线的综合要素略有变化,现综述如下： 图11-33 长大曲线分段测设 图11-34 测设计算 如图11-34,将O、Y1Y2之半径延长,由Y1Y2在延长线上量p定B点,过B点作一平行于切线(JD1-Y1Y2)的直线,该直线交于始端切线（ZH-JD1）的延长线于JD′1点。从JD′1点向切线(JD1- Y1Y2)垂线交于A点。 令  曲中点QZ1的测设所用或角,不再是JD1的内角的一半,而需要由下式计算:  中间圆曲线段的要素计算与11-2节计算方法相同,长大曲线的测设数据，也可查曲线表中第三册第八表得到。 11.8.2回头曲线的测设 在曲线测设中,曲线转向角α大于180o时,称为回头曲线。由图11-35知,综合要素中,切线长T、曲线长L的计算公式如下:  （11-20） 图11-35回头曲线测设 图11-36 T为负值时的测设 由JD点沿切线方向量切线长T得ZH和HZ点。当T为负值时,由JD点向外丈量T定出ZH和HZ点（见图11-36）。 得出曲线起点后，按分段的方法把回头曲线分成许多段进行测设。测设的方法如前面长大曲线的测设。 11.9 曲线测设的误差规定 在曲线测设中,由于拨角及量距误差的影响，由一个主点测设至另一个主点时,往往产生不闭合的现象。如图11-37,由ZH点测设至QZ（M）点时,测定的点M′与原来主点测设时所定的QZ(M)点不在同一位置,产生闭合差f。f可在M处分解为外矢距方向及其垂线（即QZ点切线方向）的两个分量。切线方向的分量为f纵（纵向闭合差）,外矢距方向分量为f横(横向闭合差)。 11.9.1曲线测设闭合差的允许值： 1.偏角法 f纵≤l(l为测设两主点之间的曲线长) f横≤0.1m 图11-37曲线测设误差 当曲线半径较大时,纵向闭合差可以认为主要是由于量距引起的,所以纵向允许闭合差是相对值；横向闭合差可以认为主要是由于拨角引起的,因而横向允许闭合差是一个绝对值。 2.极坐标法 点位误差： 11.9.2曲线测设误差分析 用偏角法测设曲线时，闭合差将受主点测设的精度、详细测设时的误差影响。主点测设的精度主要受转向角测量误差、切线丈量精度、确定ZH及HZ 时的定向误差、确定HY及YH时x0及y0的丈量精度及其定向误差、确定QZ 时E0的丈量精度及分角线方向的测角误差等因素的影响。详细测设曲线时的误差主要来自:主点测设的精度、偏角测设的精度(包括经纬仪对中、目标偏心、照准和读数误差、投点误差等)、照准后视点的方向误差、以弦长代替弧长的误差及弦长丈量误差等因素的影响。 用极坐标法测设曲线时,由于光电测距仪测距精度高,故测距误差对点位精度的影响不显著。对点位精度影响较大的主要是:主点测设精度、设置测站时的测角精度、详细测设时的角度安置精度、测站数的个数等因素。 以上因素中,以切线丈量精度、弦长丈量精度及偏角测设误差和转镜次数对曲线测设闭合差的影响最大。而且,曲线愈长闭合差愈大，曲线半径愈小对横向闭合差的影响愈大。 因此，测设曲线时，应提高切线的测量精度以确保主点测设精度，减少详细测设曲线时偏角的测量误差及弦长丈量误差；对于长大曲线应增设控制点,分段测设、分段闭合，以保证曲线的测设精度。 思考题与习题 1.在铁路曲线上为什么要加缓和曲线?它有何特点? 2.测设曲线的主要方法有哪些?各适用于什么情况? 3.试叙述用偏角测设曲线(圆曲线、缓和曲线)遇障碍时,应如何找出切线方向? 4.什么叫副交点?它起什么作用?怎样利用副交点来求切线长? 5.曲线半径R=500 m,转向角α=16°17′32″，若ZY点的里程为K37十785.27,试计算圆曲线要素、各主点的里程及仪器设置在ZY点时各曲线点的偏角。 6.某曲线之转向角(左偏)α=26°43′OO″,半径R=1000m,缓和曲线长l0=100m,ZH点的里程为K42+404.24，0=2°51′54″。 （1）当仪器设置在ZH点时,试计算里程为K42+424.24点的偏角； （2）当经纬仪置于HY点时,试计算并说明检核QZ点点位的方法。 7.已知某曲线,R=500m,α=13°12′30″(右偏), l0=40m,ZH点里程为K75+384.25。 （1）计算曲线综合要素； （2）计算各主点里程; （3）计算当仪器设置在ZH点时,ZH-HY点间各点偏角；当仪器设置在HY点时, HY—YH点间各点偏角；当仪器设置在HZ点时,HZ-YH点间各点偏角。 8.某曲线,已知R=1000m,α=26°38′O0″,l0=120m,直缓点（ZH）的里程为K28十529.47。 (1)试计算曲线主点的里程，并说明主点测设的方法； (2)仪器设置在缓圆点(HY)上,求算里程为K28+680.00的曲线点的偏角值,并说明测设该点的方法。 9.某曲线,转向角α=28°4O′OO″,半径R=500m,缓和曲线长l0=100m,曲线长L=350.16m,直缓点(ZH)的里程K42+414.34。 （1）当仪器设直在HZ点时,试计算里程均K42+714.50,K42+734.50两点的偏角; （2）试叙述用偏角法测设K42+520.00点的方法及计算数据。 10.曲线半径R=500m,缓和曲线长l0=60m,转向角α=28°36′20″,HZ点的里程为K3+246.25,在里程为K3+196.25的曲线点（已测定）上安置仪器,用偏角法测设缓和曲线(每隔1Om测设一点)。试计算有关数据,并说明里程均K3+216.25点的测设过程。 11.欲测设一曲线（如图11-38）,其交点JD不能到达,测得α1=14°04′00″,α2=15°32′OO″,AB=84.84m,算得AC=46.00m,BC=41.75m。已知曲线半径R=1000m,缓和曲线长l0=100m,ZH点里程为K19+348.30。 （1）计算曲线综合要素及主点里程； （2）叙述主点(ZH、HY、YH及HZ)的测设方法； （3）求K19+378.30点的偏角（测站设在ZH点）； （4）仪器置于HY点,试叙述K19十360.00点的测设方法。