六 逻辑学与理性精神+ 1 同一律的内容是：在同一思维过程中，一切思想都必须保持同一。 例1 张先生买了块新手表。他把新手表与家中的挂钟对照，发现手表比挂钟慢了三分钟；后来他又把家中的挂钟与电台的标准时对照，发现挂钟比电台标准时一天快了三分钟。张先生由此推断；他的表是准确的。 以下哪项是对张先生推断的正确评价？ 张先生的推断是正确的，因为手表比挂钟慢三分钟，挂钟比标准时快三分钟。 张先生的推断是正确的，因为他的手表是新的。 张先生的推断是错误的，因为他不应该把手表和挂钟比，应该直接和标准时间比。 张先生的推断是错误的，因为挂钟比标准时快三分钟，是标准的三分钟；手表比挂钟慢三分钟，是不标准的三分钟。 张先生的推断既无法断定为正确，也无法断定为错误。 2矛盾律的内容是：两个互相矛盾或互相反对的命题不能同真，必有一假。 例2 甲、乙、丙三位男同学在白马湖边散步。对面走来一位摩登女郎。甲说：她是外语系的。乙说：她不是外语系的。丙说：你们说的都对。 请问丙的说法是否有错误？ 3排中律的内容是：两个互相矛盾或互相下反对的命题不能同假，必有一真。 例3 甲、乙、丙三位男同学在寝室讨论是否有鬼的问题。甲说：世界上没有鬼。乙说：世界上有鬼。丙说：你们说的都不对。 请问丙的说法是否有错误？ 命题逻辑 一 简单命题和复合命题 简单命题就是只能分析为不同的词项、不能分析为其他命题的命题。 复合命题则是包含其他命题的命题，它是用联结词和其他命题构成。 春天来了。 如果冬天来了，春天将不再遥远。 二 联言命题 联言命题是反映若干事物情况同时存在的命题。它是由“并且”这类联接词和两个或两个以上的支命题形成。 毛泽东是思想家，并且毛泽东是政治家。 天下雨，路又滑。 联言命题的真值由它的支命题的真值确定。支命题的真值都真时联言命题为真。 联言推理的有效式 1合成式 ：p q 所以，p并且q 2分解式：p并且q 所以p 三 选言命题 选言命题分为相容选言命题和不相容选言命题。 相容选言命题是借助“或者”这类联结词和支命题形成。 小李发烧或是由于感冒，或是由于肺炎。 相容选言命题的真值由它的支命题的真值确定。有一个支命题为真时相容选言命题的真值命题为真。 相容选言推理的有效形式： 否定肯定式：p或者q 非 p 所以q p或者q或者r 非 p 所以 q或者r 不相容选言命题是由“要么……要么……”这类联结词和支命题形成的。 要么玉碎，要么瓦全。 有一个支命题为真且只有一个支命题为真时不相容选言命题的真值命题为真。 不相容选言推理的有效形式 1否定肯定式：要么p要么q 非p 所以q 要么p要么q要么r 非p，非q 所以r 2肯定否定式：要么p要么q p 所以 非q 要么 p要么q要么r p 所以非q非r 四 假言命题 假言命题亦称条件命题,表示条件的命题叫前件,表示结果的叫后件。它是有条件的反映某种情况存在的命题。它因条件的不同可分为三种：充分条件假言命题、必要条件假言命题、充要条件假言命题。 1 充分条件假言命题及其推理 充分条件假言命题是反映一事物情况是另一事物情况充分条件的命题。它的典型联结词是“如果…那么…”。 如果我当总理，那么就任命你当财政部长。 人心齐，泰山移。 充分条件假言命题的真值取决于它的前件是否是它的后件的充分条件。只有前件真后件假时，它才是假的。 充分条件假言推理是根据充分条件假言命题的逻辑性质进行推演的推理。它的有效式是： 肯定前件式 否定后件式 如果p那么q 如果p那么q P 非 q 所以q 所以 非 p 如果我考上了硕士研究生，我请你吃饭。我考上了硕士研究生。所以我请你吃饭。 如果有严重的贪污行为，那就会犯罪。他没有犯罪。所以，他没有严重的贪污行为。 下面的两种形式是无效的：否定前件式，肯定后件式。 如果p那么q 如果p那么q 非 p q 所以，非 q 所以 p 2必要条件假言命题及其推理 必要条件假言命题是由“只有…才”这类联结词连接两个支命题形成的复合命题。 （9）只有年满18岁才有选举权。 必要条件假言命题的真值取决于它的前件是否是它的后件的必要条件。因此只有当它的前件假而后件真时它才是假的。 根据必要条件假言命题这一性质，必要条件假言推理的有效式是： 否定前件式 肯定后件式 只有p才q 只有p才q 非 p q 所以，非 q 所以 p 只有年满18岁才有选举权。他没有年满18岁。所以他没有选举权。 只有年满18岁才有选举权。她有选举权。所以，她年满了18岁。 下面的两种形式是无效的：肯定前件式，否定后件式。 只有p才q 只有p才q p 非q 所以，q 所以 ，非p 3充分必要条件假言命题及其推理 充分必要条件假言命题是由“当且仅当” 这类联结词连接两个支命题形成的复合命题。 五 负命题 负命题是由否定一个命题而得到的命题。它通过把“并非”这类否定词置于一个命题之前或之后而形成的。其标准形式是“并非p”。 负命题所否定的可以是一简单命题，也可以是复合命题。简单命题的负命题的值与它相反。复合命题的负命题等值于另外一些命题。 1“并非（p并且q）”等值于“非p或者非q”。 2“并非（p或者q）” 等值于“非p且非q” 3“并非（如果p那么q）” 等值于“p并且非q” 4“并非（只有p才q）” 等值于“非p且q” 5“ 非非p” 等值于“p” 六 真值联结词 真值形式 1命题形式 命题形式是一个具体命题抽出具体内容之后只保留其位置的框架，或者说是由这些位置和联结词所形成的一个结构。 一个复合命题的形式是用命题变项p、q、r…取代其中的简单命题，联结词保持不变后而得到的。 例6的命题形式是：只有p才q 命题形式有两种成分：命题变项；联结词（逻辑常项）。 2真值联结词 日常语言的联结词有两个主要问题：一是不精确，二是负载了许多非逻辑的内容。 撇开联结词所表达的各支命题在内容、意义上的联系只考虑各支命题的真假关系时日常语言的联结词就成为真值联结词。－∧∨→←→ 3真值形式 命题形式中的日常语言联结词用真值联结词替换后所得到的形式叫真值形式。如 p∧q、 p∨q、－p 、 q→p等。 从简单的真值形式可以生成任意有穷长的真值形式。在生成过程中的最后一步所使用的联结词叫做主联结词。 [（P→q）∧（p→r）∧（－q∨－r）]→－p 真值形式不是一个具体内容的命题。它们本身是没有真值的。如果命题变项的真值确定后并且联结词的意义也固定了，它们也就有真值了。 真值联结词的意义经解释确定；命题变项的真值可以指派。 4真值联结词意义的解释 P q －p P∧q P∨q P→q P←→q  1 1 0  1  1  1  1  1 0 0  0  1  0  0  0 1 1  0  1  1  0  0 0 1  0  0  1  1  七 日常语言中复合命题的符号化（写出命题的真值形式） 步骤：第一 用不同的命题变项取代不同的原子命题； 第二 用相当的真值联结词取代命题联结词； 例7 或者甲是罪犯，或者乙是罪犯。 p表示甲是罪犯，q表示乙是罪犯。∨表示或者。则例7可写为 p∨q 人类假如想要知道自己渺小，无需仰视繁星密布的苍穹，只要看一看在我们之前就存在过、繁荣过、而且已经消失了的古代文化就足够了。 p表示人类想要知道自己渺小，q表示需仰视繁星密布的苍穹，r表示看一看在我们之前就存在过、繁荣过、而且已经消失了的古代文化就足够了。则例8可写成 p→－q∧r 八 重言式及其判定方法 1 重言式、矛盾式、偶真式 D1一真值形式A是重言式，当且仅当，对于A中命题变项的任一真值指派，A恒取值为真。 D2一真值形式A是矛盾式，当且仅当，对于A中命题变项的任一真值指派，A恒取值为假。 D3一真值形式A是偶真式，当且仅当，对于A中命题变项的某些真值指派，A取值为真。对于A中命题变项的另一些真值指派，A取值为假。 2 真值表方法 用真值表方法判定一个公式的步骤是： （1）找出该公式中所有不同的命题变项，并竖行列出它们之间所有可能的真值组合。例9 （p→q）∧p→q p q p→q （p→q）∧p （p→q）∧p→q  1 1  1  1  1  1 0  0  0  1  0 1  1  0  1  0 0  1  0  1  （2）按照公式的生成次序，由简单到复杂横行列出该公式的所有子公式，直至该公式本身。 （3）按照对真值联结词的解释，由命题变项的值逐步计算出各个子公式的值，直至该公式本身的值。若该公式的值恒为真，则它为重言式；若该公式的值恒为假，则它为矛盾式；若该公式的值有时为真，有时为假，则它为偶真式。 例10 p→－q∧r p q r －q －q∧r p→－q∧r  1 1 1 0  0  0  1 1 0 0  0  0  1 0 1 1  1  1  1 0 0 1  0  0  0 1 1 0  0  1  0 1 0 0  0  1  0 0 1 1  1  1  0 0 0 1  0  1   3归谬赋值法 它的基本思路是：一公式 A，假设它为假时，它的子公式或它的命题变项的赋值了出现矛盾则它是重言式。 （p→q）∧（r→s）∧（p∨r）→q∨s 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 九 推理有效性的判定 一个推理可以看成一个蕴涵式，前提是前件，结论是后件。如果一个推理转换成一个蕴涵式后，这个蕴涵式是重言式，这个推理就是有效的。因为这个推理形式的代入事例决不会出现前件真而后件假。因此判定一个推理是否有效就转化成为判定一个蕴涵式是否为重言式。 例11 如果某甲是罪犯，则他有作案时间；他没有作案时间；所以他不是罪犯。 解：用p表示某甲是罪犯；用q表示他有作案时间。与例11相应的蕴涵式是：（p→q）∧－q→－p 用真值表方法检验它的有效性： p q －p －q p→q （p→q）∧－q （p→q）∧－q→－p  1 1 0 0  1  0  1  1 0 0 1  0  0  1  0 1 1 0  1  0  1  0 0 1 1  1  1  1  或者（逻辑学难学p），或者（没有多少学生喜欢它q）。 如果（数学容易学r），那么逻辑不难学。因此，如果许多学生喜欢逻辑学，那么数学并不容易学。 解：与例12相应的蕴涵式是： （p∨q）∧（r→－p）→（－q→－r） 用归缪赋值法检验它的有效性： （p∨q）∧（r→－p）→（－q→－r） 0 10 1 1 1 1 0 0 1 0 0 01 第三章 词项逻辑 把简单命题拆分为主项、谓项、联项和量项，然后根据这些成分之间的关系去进行推理，由此得到的逻辑理论叫词项逻辑。 一 直言命题 1 直言命题的定义、结构和类型 直言命题是反映某个对象具有或不具有某种性质的命题。 所有的政治家都是说谎者。 （10）有的天鹅不是白的。 直言命题的基本结构是 （量项）＋主项＋（联项）＋谓项 主项是表示直言命题所述说的对象的哪个词项。如（9）中的政治家，（10）中的天鹅。 谓项是表示直言命题所述说的对象所具有的性质的那个词项。如（9）中的说谎者，（10）中的白的。 联项是连接直言命题的主项和谓项的词项。“是”和“不是”。 量项是表示直言命题所刻画的对象的数量或范围的词项。它分为全称（所有）、特称（有些）和单称。 在发分析直言命题的结构时用S表示主项，用a表示专名和摹状词，用P表示谓项。根据所含的联项和量项不同可以把直言命题分为六种类型： 全称肯定命题：所有的S都是P 全称否定命题：所有的S都不是P 特称肯定命题：有些S是P 特称否定命题：有些S不是P 单称肯定命题：a是P 单称否定命题：a不是P 把前四种命题的逻辑常项分别用A、E、I、O表示，则它们可写成SAP、SEP、SIP、SOP。 2直言命题的主谓项关系 词项的内涵是该词项所表达的意思，或者说是该词项的对象说具有的特有属性。 词项的外延是该词项所表示的那个对象或对象类别。词项逻辑主要处理词项的外延。 两个词项外延之间的关系有以下五种，它们可用欧拉图来表示。 ①S＝P ② S＞P ③ S＜P ④ S∩P≠0 ⑤ S∩P＝0 ①是同一关系 ②是真包含关系 ③是真包含于关系 ④是交叉关系　⑤是全异关系 ②和③统称为属种关系，其中外延大的概念叫属概念，外延小的概念叫种概念。 （11）青年 科学家 （12）等角三角形 等边三角形 （13）大学生 学生 （14）唯物主义者 唯心主义者 （11）中青年与科学家是交叉关系。（12）中等腰三角形与等边三角形是同一关系。（13）中大学生与学生是真包含于关系。（14）中唯物主义与唯心主义是全异关系。 在词项逻辑中，把任何直言命题的主项和谓项都名词化。那么直言命题的主项和谓项的关系就变成了类与类或者集合与集合的关系。 例（13）有些学逻辑的人很聪明。 这一命题是要说明“学逻辑的人”所表示的类与“聪明（的人）”所表示的类的关系。 3 直言命题间的对当关系 直言命题间的对当关系是指相同素材（即主、谓项相同）的直言命题间的真假关系。 （15）所有的大学都是收费的。 （16）有些大学是收费的。 （15）与（16）之间存在着对当关系。 直言命题是对于其主项、谓项之间外延关系的断定，其真假也取决于这种外延关系。 A、E、I、O之间的真假关系概括为四类：反对关系、矛盾关系、差等关系、下反对关系。 A、E之间的关系为反对关系，它们之间不能同真，但可同假。从“所有的马克思主义者是唯物主义者”是真，就可推出“所有的马克思主义者不是唯物主义者”为假。从“所有的劳动产品是商品”为假，不可推出“所有的劳动产品不是商品” A与O；E与I之间是既不能同真也不能同假的关系。把它们叫矛盾关系。 从“有些学生来上课了”为真，可推出“所有学生没来上课”为假。 A与I、E与O的关系是差等关系。全称命题真与之相应的特称命题为真；特称命题假与之相应的全称命题为假；全称命题假与之相应的特称命题真假不定；特称命题真与之相应的全称命题真假不定； I与O之间是下反对关系。它们可以同真，但不能同假。 4直言命题中词项的周延性 二 直接推理 1换质法 2换位法 3换质位法 4对当关系推理 （1）反对关系推理 SAP→－SEP SEP→－SAP （2）差等关系推理 SAP→SIP SEP→SOP －SIP→－SAP －SOP→－SEP （3）矛盾关系推理 SAP→－SOP SEP→－SIP （4）下反对关系推理 －SOP→SIP －SIP→SOP 三 三段论 1三段论的定义、结构、格与式 （1）三段论的定义 三段论是由一个共同词项把两个直言命题连接起来，得出一个新的直言命题作为结论的推理。 [例14] 所有的科学都以追求真理为目标。 各门社会科学都是科学， 所以，各门社会科学也以追求真理为目标。 （2）三段论结构 三段论由三个直言命题构成，其中两个是前提，一个是结论。结论的主项是小项(用S表示)，含有小项的前提是小前提；结论的谓项是大项(用P表示)，含有大项的前提是大前提；两个前提共有的词项叫做中项(用M表示)。在例14中，“社会科学”是小项，“以追求真理为目标”是大项，“科学”是中项。相应地，“所有科学都以追求真理为目标”是大前提，“各门社会科学都是科学”是小前提，“各门社会科学也以追求真理为目标”是结论。 （3）三段论的格。 根据中项在前提中的不同位置，三段论分为四个不同的格，可分别表示如图 M－P P－M M－P P－M S－M S－M M－S M－S S－P S－P S－P S－P 第一格 第二格 第三格 第四格 还需要指出的是， 日常思维中所表述的三段论常常是不那么标准的，往往需要做一些调整工作，其方法是：(1)区分结论和大、小前提；(2)按大前提、小前提、结论的顺序，调整三段论中三个直言命题的位置；(3)确定大、小前提和 结论的命题类型，并写出它们的标准形式。 ［例15］在作案现场的不都是作案者。因为有些在作案现场的没有作案动机，而作案者都有作案动机。 解析 这个三段论的结论是“在作案现场的不都是作案者”。 “有些在作案现场的(人)不是作案者”是小前提，其中“在作案现场的(人)”是小项。“作案者都有作案动机”是大前提，其中“作案者”是大项。“有作案动机(的人)”是中项。 它的形式结构是：PAM，SOM；所以SOP 第二格。 （4）三段论的式。 2 三段论的一般规则和特殊规则 （1）．三段论的一般规则。 一个三段论要成为有效推理，就必须遵守推演规则。推演规则分为一般规则和特殊规则。一般规则是对于三段论的四个格都适用的规则，特殊规则是只适用于三段论的某个格的规则，特殊规则是由一般规则推演、派生出来的。 三段论的一般规则有： 规则1 在一个三段论中，有且只能有三个不同的词项。 这条规则实际上是三段论定义中的应有之义。如前所述，三段论由三个直言命题组成，每个直言命题含有两个词项，即主项和谓项，因而共有六个词项。但由于结论的主项和小前提的一个词项相同，结论的谓项与大前提的一个词项相同，两个前提中还有一个共同的中项，因此不同的词项只能有三个。三段论实际上是通过前提所表明的中项(M)分别与大项(P)和小项(S)发生的关系，从而推导出关于小项与大项之间关系的结论。若没有中项，就失去了连接大项和小 项的桥梁或媒介，推不出任何确定的结论来。违反这条规则所犯的逻辑错误叫做“四词项错误”，或称“四概念错误”。 明显犯“四词项错误”的情形很少，例如，人们一般不会仅以“地球是圆的”和“迈阿密海滩是美丽的”这两个命题作前提推出任何结论来。常见的违反这条规则的情形是：在大、小前提中作为中项的语词看起来是同一个，但却表达 着两个不同的概念，因而这个三段论事实上含有四个不同的词项，严格说来没有中项，也就没有连接大项和小项的桥梁和媒介，结论的得出就不是必然的。 [例16]中国人是勤劳勇敢的；懒汉朱八戒是中国人， 所以，懒汉朱八戒是勤劳勇敢的。 在这个推理前提中，作为中项的“中国人”，在大前提中是指作为一个民族的中国人，而在小前提中是指作为个体的中国人。所以，它在两个前提中实际上表达了两个不同的概念，因而不能起桥梁或媒介作用，不能必然地推导出结论。 这个三段论就犯了“四词项错误”。 规则2 中项在前提中至少要周延一次。 如前所述，三段论是凭借中项在前提中的桥梁、媒介作用得出结论的，即大项、小项至少有一个与中项的全部发生关系，另一个与中项的部分或者全部发生关系，这样就能保证大、小项之间有某种关系。否则，大、小项都只与中项的一部分发生关系，这样就有可能大项与中项的这个部分发生关系，而小项则与中项的另一个部分发生关系，结果是大项和小项之间没有确定的关系，得不出必然的结论来。违反这条规则所犯的逻辑错误称为“中项两次不周延”。 [例17]有些自然物品具有审美价值， 所有的艺术品都有审美价值。因此，有些自然物品也是艺术品。 以下哪个推理与题干中的推理在结构以及所犯的逻辑错误上最为类似? A．有些有神论者是佛教徒， 所有的基督教徒都不是佛教徒。因此，有些有神论者不是基督教徒。 B．某些牙科医生喜欢烹饪。李进是牙科医生。因此， 李进喜欢烹饪。 C。有些南方人爱吃辣椒，所有的南方人都习惯吃大米， 因此，有些习惯吃大米的人爱吃辣椒。 D．有些进口货是假货， 所有国内组装的APR空调机的半成品都是进口货。因此，有些APR空调机半成品是假货。 E．有些研究生也拥有了私人汽车，所有的大款都有私人汽车。因此，有些研究生也是大款。 解析 正确答案是E。因为题干和选项E都是三段论第二格，其中的中项(“具有审美价值”，“拥有私人汽车”)都是肯定命题的谓项，因而都不周延，违反规则，不能必然地得出结论。用欧拉图来表示，使前提为真的欧拉图有可能使 结论为假。 规则3 在前提中不周延的词项，在结论中不得周延。 三段论是一种演绎推理，其前提的真要保证结论的真，因此结论所断定的就不能超出前提所断定的。具体就周延问题来说，如果一个词项在前提中不周延，但在结论中周延了，即结论所断定的超出了前提所断定的，结论真就不能由前提真来保证，就有可能出现前提真而结论假的情况，整个推理因此就不是有效的。因此，一个三段论要成为有效的，它的在前提中不周延的词项在结论就不能周延。违反这条规则所犯的逻辑错误叫做“不当周延”，具体有“小项不当周延” 和“大项不当周延”两种形式。 ［例18] 鲁迅在《论辩的魂灵》一文中，这样揭露了顽固派的诡辩手法：“你说：甲生疮，甲是中国人，就是说中国人生疮了。既然中国人生疮，你是中国人，就是你也生疮了。你既然也生疮，你就和甲一样。而你只说甲生疮，不说你自己，你的话还有什么价值?!” 解析 在诡辩派的论辩中，有两个三段论，一个是：“甲生疮，甲是中国人，所以，(所有)中国人生疮。”这里，小项“中国人”在前提中不周延，但在结论中周延了，犯了“小项不当周延”的错误。如果诡辩派狡辩说：我并没有说“所 有中国人生疮”，那么他所说的是“有些中国人生疮”，上面这个三段论就是正确的。但我们接着看第二个三段论：“(有些)中国人生疮，你是中国人，所以，你也生疮。”在这个三段论中，中项“中国人”一次也不周延，犯了“中项两次不周延”的错误。总之，从“你说甲生疮”，无论如何也推不出“你也生疮”的结论。诡辩派的整个推论是不合逻辑的。 ［例19］所有想出国的人都要学好外语，我又不想出国， 所以，我不必学好外语。 在这个三段论推理中，大前提是一个肯定命题，因而大项“要学好外语”在大前提中不周延。但结论是一个否定命题，大项“要学好外语”在结论中周延。因此，这个三段论犯了“大项不当周延”的逻辑错误，无效。 应当注意的是，规则3只是说在前提中不周延的项在结论中不得周延，并没有说在前提中周延的项在结论中也必须周延。既然对前提中周延的项没有提出要求，这就意味着：在前提中周延的项，在结论中可以周延，也可以不周延。这两种情形在逻辑上都是允许的，不会导致任何逻辑错误。这是因为，演绎逻辑允许结论断定得比前提少，但不允许结论断定得比前提多，否则就有可能前提真而结论假，整个推理无效。 规则4 从两个否定前提推不出任何确定的结论。 如果两个前提都是否定的，这就意味着大项和小项都与中项发生否定性的联系，这样就不能保证大项和小项由于与中项的同一个部分发生关系而彼此之间发生关系，中项起不到连接大、小项的桥梁作用，大项和小项本身就可能处于各种各样的关系之中，从而得不出确定的结论。 ［例20]所有的基本粒子都不是肉眼能够看见的， 所有的昆虫都不是基本粒子， 所有的昆虫? 这个三段论得不出任何确定的结论。 规则5 （Ⅰ） 如果两个前提中有一个是否定的，那么结论是否定的； 　　（Ⅱ）如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的。 关于（Ⅰ）如果两个前提中有一个是否定的，根据规则4，另一个前提必须是肯定的，这就意味着：大项和小项中有一个与中项发生肯定性的联系，另一个与中项发生否定性的联系。于是，与中项发生肯定性联系的那一部分和与中项发生否定性联系的那一部分之间的联系，必定是否定性的，所以结论必须是否定的。 关于（Ⅱ），既然结论是否定的，大项和小项之间发生否定性联系，并且这种联系是通过中项的媒介作用建立起来的，因此这两个词项中必定有一个与中项发生肯定性关联，另一个与中项发生否定性关联。所以，前提必有一个是否定的。 以上五条三段论规则是基本的，并且是足够的，用它们就足以把有效的三段论与无效的三段论区分开来。但为了明确和方便起见，有时还从它们证明、推导出一些规则，例如： 规则6 两个特称前提不能得结论。 证明：证明这条规则有很多方法，我们这里用反证法，即假设两个特称前提能够得结论，看能否从中推出矛盾或荒谬的结论。若能推出，说明该假设不成立。 设两个特称前提能够得结论，根据规则2，中项在前提中至少周延一次，由于特称命题的主项不周延，肯定命题的谓项不周延，只有否定命题的谓项周延，因此前提中必有一个是否定的。又根据规则5，前提有一个否定结论必否定，因此结论是否定的，结论的谓项即大项周延，再根据规则3，在前提中不周延的项在结论中不得周延，因此大项必须在前提中周延，因此另一个前提也必须是否定的。而根据规则4，两个否定前提不能得结论。这说明“两个特称前提能够得结 论’’这个假设不成立，所以，两个特称前提不能得结论。 规则7 如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。 证明：我们用分情况证明法。两个前提中有一个特称，另一个必为全称。由于没有告诉我们这两个前提究竟是肯定的还是否定的，这说明它们分别有可能是肯定的，也有可能是否定的。于是，这两个前提有四种可能的组合：AI、AO、 EI、EO。我们证明，在这四种情况下，如果能够得结论，只能得出特称的结论。 AI：这两个前提中只有一个周延的项，根据规则2，中项在前提中至少周延一次，因此这个周延的项只能做中项，余下大项和小项在前提中不周延，因此根据规则，它们在结论中必须不周延，小项是结论的主项，只有特称命题的主项不周延，因此，结论必须是特称的。 AO：这两个前提中有两个周延的项，即全称命题的主项和否定命题的谓项，根据规则4，前提有一个否定，结论必否定。因此，大项在结论中周延；根据规则，大项在前提中必须周延；又根据规则，中项在前提中至少周延一次。于是， 原来两个周延的项一个做大项，一个做中项，余下小项在前提中不周延，因此，小项在结论中必须不周延，结论只能是特称的。 EI：其情形与AO相同。 EO：这两个否定前提不能得结论。证毕。 根据三段论的一般规则，还可以证明有关三段论的一些定理 定理 一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次。 证明：用反证法。一个三段论如果结论全称，则结论的主项即小项在结论中周延，根据规则，则小项在前提中必须周延，再假设其中项周延两次，则前提中有三个周延的项，因此两个前提都必须全称，并且有一个前提还必须否定。根据规则，由于前提中有一个否定，结论必须否定，结论的谓项即大项在结论中周延；再根据规则，大项必须在前提中周延。于是，小项、大项和两个中项都必须在前提中周延，前提中四个词项都周延，两个前提必须全都是全称否定命题。而根据规则，两个否定前提不能得结论。因此，一个结论全称的正确三段论，其中项不能周延两次。 （2）三段论的特殊规则。 一般规则适用于三段论的各个格，用这些规则就足以把任何格的有效三段论和无效三段论区别开来。也就是说，这些规则在理论上是够用的。但是，在把这些应用于各个格时， 由于各个格有自己的特殊情况，就会派生出只适用于本格的 特殊规则。这些特殊规则的意义在于：指令更加具体，因此更容易被执行；并且，从一般规则证明出这些特殊规则，也是一项有益的逻辑训练。 第一格规则： (1)小前提必须肯定。 (2)大前提必须全称。 在证明这些规则之前，有必要先重申一下第一格的形式：中项是大前提的主项，小前提的谓项。 M－P S－M S－P 证明：(1)假设小前提不是肯定，而是否定的，因此结论必须否定，大项在结论中周延；因此大项必须在大前提中周延，因此大前提必须否定；加上原假设小前提否定，有两个否定前提，不能得结论。因此，如果要得结论，小前提不能否定，必须肯定。 (2)既然已经证明小前提必须肯定，于是中项在小前提中不周延，因此它必须在大前提中周延，因此大前提必须全称。 第二格规则： (1)两个前提必须有一个否定。 (2)大前提必须全称。 3．三段论各个格的用途。 三段论的四个格各有其特征，在实践中也各有其特殊的应用。 第一格的特点是：大前提全称，小前提肯定。因此，它的特殊作用在于：把某个普遍原理应用于某个特殊情形，得出关于该特殊情形的结论。这在司法审判中用得特别多，因此第一格常被称为“审判格”。法官宣判时，所引用的法律条文构成大前提，对某被告犯罪事实的确认构成小前提，对某被告的量刑构成结论： [例21]凡非法侵吞公共财产且情节严重者，处5年以上有期徒刑。 X X X犯有非法侵吞公共财产罪且情节严重， 因此，X X X应服5年以上有期徒刑。 第二格的特点是：两个前提中有一个是否定的，因而结论也是否定的。因此，第二格常被用来建立事物之间的区别，称为“区别格”。 ［例22]所有的基督徒都信仰上帝， 所有的无神论者都不信仰上帝， 所以，所有的无神论者都不是基督徒。 第三格的特点是：小前提是肯定的，结论是特称的个虚假的全称命题，因此亦被称为“反驳格”。 ［例23］鸵鸟不会飞， 鸵鸟是鸟， 所以，并非所有的鸟都会飞。 因此，它常被用来反驳。 当初，亚里士多德建立三段论理论时，不固定大小前提的位置，因此三段论只有三个格，没有第四格。后来的逻辑学家为了理论的完善与严谨，固定大小前提的位置，因而区别开了第一格与第四格。但第四格在实际应用中显得不太自 然，因此它没有特殊的应用。 4三段论的非标准形式 （1）三段论的省略形式 Ⅰ省略大前提，“克林顿也是人，他也有七情六欲”。这个推理需要补充另外一个大前提：“凡是人都有七情六欲。” Ⅱ省略小前提，例如“大学生的主要任务是学习而不是赚钱，所以你目前的主要任务也是如此，不要本末倒置啊!”这里一眼就可以看出，省略的前提是“你是一名大学生”。 Ⅲ省略结论，例如毛泽东说：“我们的事业是正义的，而正义的事业是不可战胜的。”显然，省略的是结论：“我们的事业是不可战胜的。”从修辞上说，把这个结论省略之后，使那两句话听起来余音缭绕，很有韵味。 但三段论的省略形式会出现下述问题，如被省略的前提实际上是不成立的，或者所使用的推理形式是无效的。在这两种情形下，结论都没有得到强有力的支持。因此，有时需要把省略三段论补充为完整的三段论，然后看其前提真不真，推理过程是否有效。在做这种补充时，往往存在多种选择，这时应该坚持“仁慈原则”，即尽可能地把推理者设想为一个正常的、有理性的人，除非故意，他一般不会使用虚假的前提，一般不会进行无效的推理。做这种补充的具体程序和方法是： (a)查看究竟省略的是什么，是前提还是结论?通过考虑两个命题之间是并列关系还是推出关系，可以弄清楚这一点。 (b)如果省略的是前提，确定省略的是大前提还是小前提：含结论主项的是小前提，含结论谓项的是大前提。 (c)如果省略的是大前提，把结论的谓项(大项)与中项相连接，得到大前提；如果省略的是小前提，则把结论的主项(小项)与中项相连接，得到小前提。 (d)如果省略的是结论，把小项与大项相连接，得到结论。 在做了所有这些工作之后，再来看被省略的前提是否真实，推理过程是否正确。 ［例24］有些导演留大胡子， 因此，有些留大胡子的人是大嗓门。 为使上述推理成立，必须补充以下哪项作为前提? A。有些导演是大嗓门。 B．所有大嗓门的人都是导演。 C．所有导演都是大嗓门。 D．有些大嗓门的不是导演。 有些导演不是大嗓门。 如果补充C到题干，得到的三段论是： 所有导演都是大嗓门， 有些导演留大胡子， 所以，有些留大胡子的是大嗓门。 这是有效三段论。所以，正确的答案是C。 （2）三段论的复杂形式。 这里谈三种复杂形式： 第一，带证式三段论。在一个三段论中，其两个前提或其中之一可能本身还带有一个省略的三段论，该前提是该省略三段论的结论。 所有哲学系的学生都必须学习逻辑学，因为，思维严格、清晰对于搞哲学来说是十分重要的；所有哲学系的学生都是文科学生，所以，有些文科学生必须学习逻辑学。 解析 这里，大前提本身带有一个证明，即一个省略的三段论，大前提就是这个省略三段论的结论，并且后者不太标准。经过整理和补充，这个省略三段论的完整形式是： 所有特别有助于训练严格、清晰思维的课程都是哲学系学生必须学习的， 逻辑学是特别有助于训练思维的严格、清晰的课程， 所以，逻辑学是哲学系学生必须学习的课程。 第二，复合式三段论。一连串三段论的复合，其中前一个三段论的结论构成后一个三段论的前提。 凡哺乳动物都是以乳汁哺育幼体的， 鲸鱼是哺乳动物， 所以，鲸鱼是以乳汁哺育幼体的。 而海豚不是鲸鱼， ， 所以， 海豚不是以乳汁哺育幼体的。 第三，连锁三段论。把复合三段论的一系列中间结论都省略掉，只保留最后一个总结论，则构成连锁三段论。 下面这个推理是三段论的连锁式，只不过表述形式不那么标准： [例25]每一个头脑清晰的人都能够学逻辑， 没有神经错乱的人适合担任陪审员， 你的儿子没有一个能够学逻辑， 所以，你儿子没有一个适合担任陪审员。 解析 可以将这个推理化归于如下的标准形式： 所有适合担任陪审员的人都是头脑清晰的人， 所有头脑清醒的人都是能够学逻辑的人， 你的儿子没有一个是能够学逻辑的人， 所以，你的儿子没有一个是适合担任陪审员的人。 这个连锁三段论是一个有效的推理。 （3）三段论的其他非标准形式。 有些三段论，看起来不像三段论，甚至不像一个推理，但经过适当的整理，都可以变成标准形式的三段论。下面讨论几种常用的整理方法： 第一，替换同义词。 有些论证看起来不止三个词项，而是有四个、甚至五个或六个词项，但其中有些词项是同义词，经过同义词替换，都可以变成标准形式的三段论。 ［例26］没有富人是流浪汉， 所有的律师都是有钱人， 所以， 没有律师是流民。 解析 这个论证看起来有五个不同的词项，但其中“富人”和“有钱人”是同义词，“流浪汉”与“流民”是同义词，经过同义词替换，就只有三个不同的词项了。然后把其中的命题都翻译成标准形式，于是该论证变成： 所有的富人都不是流浪汉， 所有的律师都是富人， 所以，所有的律师都不是流浪汉。 这是一个正确的三段论。 第二，利用直接推理将前提或结论变形。 ［例27］ 所有哺乳动物都是温血动物， 没有蜥蜴是温血动物， 所以，所有蜥蜴都是非哺乳动物。 解析 这个论证看起来也有四个不同的词项 翻译为标准形式，该论证变成： 所有哺乳动物都是温血动物， 所有蜥蜴都不是温血动物， 所以，所有蜥蜴都不是哺乳动物。 这是一个有效的三段论。 [例28]没有非美国公民有美国国籍， 但通过对结论换质，并把前提 无美国国籍的人都是在美国没有投票权的人， 所以，所有在美国有投票权的人都有美国国籍。 解析 这个论证看起来有5个不同的词项，但通过对前提和结论换质、换位或换质位，可以将其化归为标准形式的三段论： 所有有美国国籍的人都是美国公民， 所有在美国有投票权的人都是有美国国籍的人， 所以，所有在美国有投票权的人都是美国公民。 谓词逻辑 一 个体词 性质谓词 量词 1个体词 表示对象域中的个体的符号，包括个体变项和个体常项。个体变项用小写字母x，y，2……表示，它们表示某个特定的范围内的不确定的对象。个体常项用小写字母a，b，c……表示，它们表示某个特定内的某个确定的对象。这里所说的“某个特定的范围”，用更专门的术语㈢叫做“论域”或”个体域”，即由一定刘象所组成的类或者集合，论域规定体变项的取值范围，因此也叫做个体变项的“值域”。论域一般是“全域”。 2一元谓词和性质 原子公式 一元谓词符兮或者变项表示的是个 体的性质。 如果一个谓词符号后而跟着写在一对括号内的一个个体词(个体常项或个体 变项)，我们就得到最初的、也是最基本的公式， 叫做“原子公式”，例如F (a)，c(x)，它们分别表示“a是F”，“x是G”。 3量词包括全称虽同v和存在量同]，它们可以加在如上所述的原子公式前面，形 成所谓的“量化公式”， 至此，我们可以把上面所说的东西总结如下： 1．谓词逻辑的符号。 (1)个体变项：x，y，2…… (2)个体常项：a，b，c●…．． (3)谓词符号：F，G，R，S…… (4)量词：全称量词V，存在量词] (5)联结词：一，八，V，一，一 (6)辅助性符号：逗号，，左括号(，右括号)。 2．谓词逻辑的公式 常项，是原子公式。 (2)如果A是公式，则一A是公式。 (3)如果A和B都是公式，则A八B，AVB， (4)如果A是公式，则VxA， 刁xA是公式。 (5)只有按以上方式形成的符号串是公式。 形成更复杂 3、自然语言中性质命题的符号化 （1）．全称的直言命题应符号化为一个全称蕴涵式。 （2）．特称的直言命题应符号化为存在合取式。 （3）．单称的直言命题应符号化为原子公式。