常微分方程习题答案（周义仓编常微分方程习题答案）：周义仓编常微分方程习题答案

答案 1.1 1.(1) (, )x y ' y xtg y x ytg α α + = ? (2) 2 '2 2 ' ()( ) y x yxy l y ?+?= (3) ' 0xy y+ = (4) '2 ' ()()2 y y xy x a y ??= (5) '2 y xy x? = 提示：过点 (, )x y 的切线的横截距和纵截距分别为 ' y x y ? 和 ' y xy? 。 2.设 0 时刻的质点的在平衡处，坐标轴为一平衡位置为原点，竖直向下为轴的方 向， 设弹簧的弹性系数为 k,根据能量守恒定律 我们得到微分方程： :m( dt dx ) 2 +kx 2 =2mgx,x(0)=0, 3.如上建立坐标系，设任意时刻物体的位置为 x(t),由牛顿运动定律， 我们得到微分方程： md 2 x/dt 2 =mg-k dt dx ,其中 g 为重力加速度 ; 4.设任意时刻物体的温度为 T(t),由牛顿冷却定律， 我们得到微分方程： dt tdT )( =-k(T(t)-A),T(0)=T 0 ,其中 k 为比例系数， 解该方程得到： T(t)=A+(T 0 -A) kt e ? ; 5.以静止时刻物体的位置为轴的零点，沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时 刻物体的速度为 v(t),根据牛顿运动定律，我们得到微分方程： 2 3g dt dv = ,v(0)=0; 6． 微分方程是 1) )( ( )( 2 )( 2 ? = ? dx xdy dx xdy xop xy 7. 1) y dx dy x 2= ， 2) y dx dy = ， 3) dx dy dx yd = 2 4) 2 2 22 )(3 2 3 dy dx x dy xdx c += ，代入略 5) 0])([ 2 =?+ dx dy y dx dy dx dy yx ， 6) θ ρ θθρ d d )cos1(sin ?= ， 7) dt dx tgt dt dy ?= 8. 1） ， 2 阶线性 ； 2） 2 阶非线性； 3） 2 阶非线性； 4） m 阶线性； 5） ， 1 阶若 f(x,y)关于 y 是线性的，则线性；否则，非线性； 6） ， 3 阶同左； 7） ， 2 阶非线性； 8） 1阶非线性； 9． 带入验证（略） 10. 1) 通解： y=x 2 +c,c 为任意常数； 2）特解为： y= x 2 +3； 3） y= 2 x +4， 4） y=x 2 +5/3; 11. 很容易得到： dx dy = rx re ， 2 2 dx yd =r 2 e rx , 3 3 dx yd =r 3 e rx ，代入微分方程 1） r = 2? ;， 2） 1±=r ， 3） 2=r 或 3?=r ， 4） 0=r 或 1=r 或 2=r 12. 同上我们很容易得到： dx dy =rx r-1 , 2 2 dx yd =r(r-1)x r-2 ，代入微分方程 1） (r(r-1)+4r+2) r x =0, 则 r=-1 或 r=-2; 2） (r(r-1)-4r+4)x r =0, 则 r=1 或 r=4; 13. 1） y=0 或者 y=a/b 为其两个常数解； 2）函数单调增，即： y(a-by)≥0 解得： 0≤y≤a/b; 函数单调减，即： y(a-by)≤0 解得： y ba /≥ 或 y 0≤ ; 3）微分方程通解是： ax ceb a xy ? + =)( 所以拐点的 y坐标为 a/b; 4) （略） 返回目录 答案 1.2 1． （ 1） yx≠ 2 R （ 2） 0y ≠ （ 3） 2 R （ 4） yx≠ 2． （ 1） 1)( 0 =xy ， xxdssxy x +=+= ∫ 3 0 2 1 3 1 )1()( 753 0 32 2 63 1 15 2 3 2 )] 3 1 ([)( xxxdsxxsxy x ++=++= ∫ （ 2） 0)( 0 =xy ， ∫ ?== x xs edsexy 0 1 1)( ， ∫ ++?=+?= x xxss xeedseexy 0 22 2 2 1 2 1 )1()( 3． （ 1）证：取 2 1 =a ，在矩形区域 ? ? ? ? ? ? ≤≤= byxyxR , 2 1 |),( 上， 22 cos),( xyyxf += 连续，且关于 y 有连续的偏导数，计算 2 1),(max byxfM +== ， ? ? ? ? ? ? + = 2 1 , 2 1 min b b h ， 由此可见， h 是有界的，由解的存在唯一性定理，知初始值问题的解是存在唯一的。 （ 2） ， （ 3） ， （ 4）的证明和（ 1）相同（略） 4． 提示：代 )(),( xx ψφ 到微分方程验证即可。 5． 证明：对条件中的不等式进行求导有： )()()( ' tgtftf ≤ ，∵ )(),( tgtf 在区间上是非负 连续的，∴ )(xf 是单调减少的，即在区间上有最大值 M。现在再求最大值 对 )()()( ' tgtftf = 积分，则得 ∫ = t dssgCM 0 ))(exp( ，因此 ∫ ≤ t dssgCtf 0 ))(exp()( 6． 提示：和 3 题的证明类似。应用定理及 ),( yxf 偏导存在 7． 证明：假设在 0 xx ≥ 一侧有两个解 )()( 21 xyxy 和 ，且 21 yy > ，则由 ),( yxf 是 y 的非 增函数，因此 0),(),( 21 ≤? yxfyxf ，即 0)( ' 21 ≤? yy ，可以得出 21 yy ? 是非增的，而 在 0 x 点有 0)()( 0201 =? xyxy ，这与 )()( 21 xyxy > 矛盾，假设不成立，只有一解 8． 提示：作逐步逼近函数序列， )()( 0 xfx =φ ,....2,1,0,)(),()()( 1 =+= ∫ + ndxKxfx b a nn ξξφξλφ 9． 提示： 首先判断出满足唯一性条件的 h,L 和 M， 由 05.0 )1( )()( 1 < + ≤? +n n n h n ML xx ！ φφ 判 断出要进行的迭代次数 n，应用 Picard 迭代即可，答案是 151173 59535 1 2079 2 63 1 3 1 )( xxxxx +++=φ 返回目录 答案 1.3 1 我们还是在以原点为中心的矩形 R={(x,y)| 1,1 ≤≤ yx }内画方程的向量场和积分曲线： 程序如下： DEtools[phaseportrait] ([diff(y(x),x)=x/y],y(x),x= -1..1, [[y(-1)=1],[y(-1)=0],[y(-1)= -1]], dirgrid=[33,33], Arrows=LINE, Axes=NORMAL);#其余三个只需把初值和函数还一下即可 1） 2） 3） 4） 2 1) f(x,y)=2x-y 显然在 xy 平面上连续 , y2)f(x,-y1)f(x, = y2-y1 满足局部 Lipschitz 条件 2）该方程的等倾线方程为： 2x-y=c 其中 c 为常数 i) c=1. ii)c=2 3) f(x,y)=2x-y=0 所以极值曲线为： y=2x; 4)显然 y=2x-2 是原微分方程的一个解，则为其一条积分曲线， 又因为原微分方程的解为： = ()y x ? + 2 x 2 e ()?x _C1 也即原微分方程的积分曲线，当 x ∞→ 时， y(x) 22 ?→ x 所以 y=2x-2 是其它积分曲线的渐近线。 返回目录 答案 1 1.1）是， 2）是， 3）是， 4）是 2. 把 12 2 +++= ccxcy 带入得到 yc cxxyxxx ′== ++++? = ++++? 2 ))1(2()2( 2 44)2( 22 因此 对任意常数 c 12 2 +++= ccxcy 是方程的解，在 C 2 1? ≤ 时满足 把 4 )4( +? = xx y 带入方程中易得： 4 )4( +? = xx y 也是方程的解。 3. 1) y= 2 x ， 2)y= x e 5 ， 3)y=x 2 /2， 4)y=2， 5)y=e x ， 6) xy = 7) y= xsin ， 8)y=e x , 4.代入验证即可， y=cx+ 2 c , 5.将 y=0， 16/ 4 xy = 带入方程，易证是方程的解，此结果与存在唯一性不矛盾，因为第 二个解是当 y>0 时才成立的。 6.证明：把 )(xy φ= 代入方程有， ))(( )( xf dx xd φ φ = ，令 x → 1+x 代入，则得证。区间是 cbxca ?<<? 7.解： 设 t 时刻书体的速度是 v(t),则物体的运动方程是 g dt dv ?= ， 到达最高点的时间是 2 秒， 高度是 30 米。 8.（ 1）水面随时间变低（ 3）设 t 时刻液面高度是 h(t)，由体积相等有 dt dh Rva 22 =? 9. 没有变化 10.解分别是： 3 )sin2( 1 x y ? = 和 3 )sin 2 1 ( 1 x y ? = ，第一个解在任意区间均存在，第二个 解在 6 2 π π +≠ kx 和 6 5 2 π π +≠ kx 时存在。对于 0 )( yy =π ，当 1 0 >lly 时，区间任意，当 0 y 是其它的情况是，只要满足分母不为零即可。 11.当 1 0 ≠y 且 0 0 ≠y 时，极限存在且为－ 1； y＝ 0 时，极限时 0； y=1 时，极限是 1。 12. 1 0 )( )!1( )()( + ? + ≤? n n n xx n ML xx φφ ， 其中 M=max ),( yxf ,L 是 Liapunov 常数 13 反证法（略） 14.Picard 迭代函数是 dsssx x nn ∫ ? ++= 0 1 )](1[()( φφ ， 0 0 =φ ，极限是 xey x ??= 22 15.证明：反证法，我们只证明 0 xx > 的情况，小于的情况类似。 令 )()()( xxxh φψ ?= ，则 0)( 0 =xh ， )(xh 连续可导，由于 ),(),( 0000 yxFyxf < 0)( 0 ' >xh ， 故在 0 x 的一个邻域内必有 0)( >xh ， 若有一点 1 x ， 01 xx > ， 使得 0)( 1 =xh ， 不妨假设 1 x 是使得 0)( =xh 的最靠近的点，则 )()( 11 xx ψφ = ，且 0)( 1 ' ≤xh 0))(,())(,()( 11111 ' >?= xxfxxFxh φψ ， 矛盾， 所以当 0 xx > 时 )(xh 必 然大于零。 16.证明：若 0 x 是有限值，由于 )(,)( 00 xxyx →→φ 且 0 ' ),()( xxxfx == 在φ 的邻域内连 续有解，函数 ? ? ? ≠ = , ),( )( 0 0 y xxx x φ ψ 就是一个可微函数。事实上， 0 )( xxx ≠在下ψ 虽然连 续可微， 当 0 xx = ， ),( )( lim )( lim )()( lim)( 00 0 ' 0 0 0 0 0 ' yxf xx c xx yx xx xx x = ? = ? ? = ? ? = φψψψ ψ 因此 o yxx =)()( 0 ψψ 是方程满足 的解，有解的存在唯一性定理得： 0 )( yx =ψ ，即 )(xφ 是常数解，矛盾。 17.程序如下 1) > DEtools[dfieldplot] ? ([diff(y(x),x)=y(x)*exp(-x^2)],y(x),x=-2..2,y=-2..2,dir grid=[9,9],arrows=LINE,axes=NORMAL); 这里只给第一题的程序，其他的类似 18．答案： ) )( )( , )( 1 ( 0 0 0 0 xp xq xp x + 19.证明：设该方程的积分曲线是 )(xy φ= ，则 tgxxxtgxx )(1)( ' φφ ?+= ，当此曲线与 oy 轴相交时， 1)0(,0 ' == φx ，故所有的切线斜率均是 1，相互平行。 20.证明：若 )(xy φ= 有拐点 0)()(),,( 1 ' 1111 == xxyyx φφ 且则必有 ，因此得出 ))(,()( 1 ' xxfx φφ = ))(,())(,())(,()( '' xxfxxfxxfx yx φφφφ += ， 在等倾线上 cyxf =),( ，两边关 于 x求导，有 ),( ),( ' yxf yxf y y x ?= ，为等倾线斜率， 0)()( ' ＝为积分曲线的斜率，由 ’ xx φφ , 即 '' )( yx =φ ，故在拐点处积分曲线与等倾线相切。 返回目录 习题 2.1 1. 1) 2 )(ln 2 x cey = ， 2) x cey 1? = ， 3) x cexxy ++ ? = )cos(sin 2 1 4) x cexy sin 1sin ? +?= ， 5) nx xecy )( += 6) )13( 33 += xxy ， 7) 42 )1()1(2 +++= xxcy 8) 02 3 ＝及 yycyx += ， 9) )1,0(, 1 1 ≠? ? += a aa x cxy a ； )0(,ln =++ acxx ； 1,1ln =?+ axxcx 10) 01)1( 2 22 ==++ ycexy x 及 ， 11) 0,4)ln21( 2 ==++ yxcxy 12) 22 cxxy += ， 13， cex x y =+ ?3 2 2 14 2222 2 )1( cxeyxx y =+? ， 15) x exy )1( += 2． 1) k kxtgcy 2 1 2 ))(1( ? += ， 2) xx e y ln = ， 3) 2 4 12 x x y + = 4） 133 cos)1ln( 23 ?+? ??? = xxx xx y π 3.程序如下，图略 1） dsolve(diff(y(x),x)+2*x*y(x)-x*exp(-x^2)); = ()y x ? ? ? ? ? ? ? ? + 1 2 x 2 _C1 e ()?x 2 plot((1/2*x^2+1)*exp(-x^2),x=-0.4..0.4,color=blue); 2)dsolve(x*diff(y(x),x)+3*y(x)-2/(x*(1+x^2))); = ()y x + ()ln + 1 x 2 _C1 x 3 plot((ln(1+x^2)+1)/x^3,x=-1..1,color=blue); 4.设人体吸收葡萄糖得速率与血中葡萄糖得含量成比例得比例系数为 k, 设以常数 c 速率注 射，设任意时刻得葡萄糖得含量为 G(t),则 tΔ 时间内 G(t+ tΔ )-G(t)=-k*G(t)* tΔ +c tΔ 则 得到微分方程： dG(t)/dt=c-k*G(t),G(0)=G 0 ， 解此微分方程得到： G(t)=c/k+e -kt (G 0 -c/k). 5.设任意时刻车间内的 co 2 的百分比为 x(t), x(t+ tΔ )-x(t)=0.05%*10* tΔ -x(t)*10* tΔ ,x(0)=30*10**30*0.02%, 得到微分方程： x’(t)=0.5%-10*x(t),x(0)=0.2%, 解此微分方程 : x (t)=1/2000+3e -10t /2000 则 20 分钟后车间内的 co 2 的百分比为： x(20)=1/2000+3e -200 /2000. 6. = ()y x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + d ? ? ? ? x0 x ()f u e ()ku u y0 e ()?kx0 e ()?kx 0→∞→ yx 时， 7.显然 y 1 ’+p(x)y 1 =g 1 (x),y 2 ’+p(x)y 2 =g 2 (x)把 y=y 1 +y 2 代入得 , 左边 =y’+p(x)y=y 1 ’+y 2 ’+p(x)y 1 +p(x)y 2 =g 1 (x)+g 2 (x)=右， 则 y 1 +y 2 是方程 y’+p(x)y=g 1 (x)+g 2 (x)的解 8.证明： （ 1）方程的解是 (() ) xx ye fxedxc ?? =+ ∫ ()ypxdxc=±+ ∫ ，由题意，如果 y 是 周期解，即 () ( )yx yx ω=+，则带入就可以得到 0 () 0pxdx ω = ∫ （ 2）方程的通解是 () () (() ) pxdx pxdx ye gxe dxc ? ∫∫ ∫ ，在题目给定的条件下，周期解应该 满足 () ( )y xyxT=+，代入到通解中，得到 () () pxTdx cgxTe + ∫ =? + ∫ ，代入回通解中验 证即得到结论。 9.证明：通解是 (() ) xx ye fxedxc ?? =+ ∫ ，有界性用放缩法证明，如果有两个有界的解，那 么与解的存在唯一性矛盾，所以只能又一个有界解。周期性验证与上面一题相同，详细情况 参考书中 例 2.1.3 10.根据题目的提示： 1） 1 2101 [2 3 1 6 1 23 1 3 ? +?±+? = x xxx ec ecece arctgy 2） 024 4 22 =??? cxxxexe yy ， 3） )( 2 2 x c x ey ? = ， 4） 1 3 2 2 ? ? = cx x y 返回目录 习题答案 2.2. 1． 1) 222 )1)(1( cxyx =++ ， 2) 0,ln ==+? ycxyyx 3) ,.......1,0,,cossin ±=== kkycxy π 4） cee yx =? ? 2 32 3 5） cy x y =+ ln1 ， 6） 0ln2 293 ln 233 =+???? cyy yxxx 7) c x xy ++= 2 2sin cos2 ， 8) 0 222 cos =++++? ?? c eyee x yyy 9) 0 22 =+?? cxxy ， 10) 0 3 4 ln5 =+ + + ?? c y x yx 11) 0 2 21) 4 ( 2 cos2 1 2 =+?+? y tgc y tg y xtg ， 12) 0)2cot( 2 )2ln(csc sin =+?? cy y x 13) x arctgec y + ? = 1 ， 14) 0ln =+? cx x y arctg ， 15) 0ln =+? cxe x y 16， 17， 18， 19 提示： 令分母， 分子分别等于零， 解出交点 ),( 00 yx ， 做 00 , xxXyyY ?=?= ， 代回原方程，再令 u X Y = ，求导代入即可化成变量可分离的方程 2. 1) 3336276 3 1 2 23 ?+++= xxxy ,2) 12 1 2 2 2 ? = ? x e y ， 3 ） 032sin 232 =?+++ yyxx 4） 4 2 2 π +?= arctgxyarctg 5） 1 1 ?? = x xey 3.1） 0, 1 2 2 2 2 >= + cce y y x 2） 2 1 2 )1( ? + = x cey ， 3） cxxy ++=+ 3)1( 3 1 23 4） ct t arctgx +??= 1 ， 5） 0,1 2 2 >=++ ccexx t 4.证明（略）方程解是 1） 2 22 += yxcxy ， 2） cyx x y += 22 4 1 ln 5． x xf 2 1 )( ±= 6． ])0([)( ' txtgtx = 7． 2 sin yx cey ? = ，代入 y（ 0）＝ 0，则 0≡y ，存在区间是 ),( +∞?∞ 8. 证明：方程解是 σσ ε ε ε +? = ? x e y y )( 0 当 σ ε ≠≠ ,0y 时 （ 1） 当 0 0 >y ，极限是 σ ε ，当 σ ε =y 时，是显然成立的 （ 2） 当 0 0 =y ，由解的唯一性知极限是“ 0” （ 3） 当 ,0 0 <y 满足条件的 0 x 是 )1ln( 1 0 0 y x σ ε ε ?= 9 ． 解：设任一时刻 B 点的坐标是 ),( yx ， A 点的坐标是 )0,(X ，则由题意知： 222 )( byxX =+? ，且 xX y dx dy ? ?= ，经过点 ),0( b 。联立有： y yb dx dy 22 ? ?= ，解 得 oyxbyx ≥≥=+ ,0, 222 且 10． 3+?= xy 11． 1） 8倍， 2） 1250个 12．提示：温度变化率与温差成正比。 23点视为零时刻，则方程为 0.934 28 2.8 t Ce ? =+ ，而 人正常体温是 36.5左右，代入可得 1.2t =? ，因此说明受害者的死亡时间是在 22： 20左右。 13．假设一天服药 n次，时间间隔为 T，则在 0 tT≤< 方程是 () kt x tae ? = 2Tt T≤< 方程是 () () ( ) kT k t T xt a ae e ? ?= =+ 。。。。。。 (1)nT t n T≤< + 方程是 () ( ) ( ... ) kT nkT k t nT xt a ae a e ???= =+ ++ 上面的当 n →∞，可以求出 ... kT nkT aae a ?? +++的极限是 1 kT a e ? ? 。 因此在等间隔服药的过程中，药的浓度在人体中呈上升趋势，最后稳定在一定的水平。 图象如下所示 其中 A 是浓度的最大值 浓度 A 0 T 2T 3T t 返回目录 习题答案 2.3 1． 1）不是， 2）是 3）是 4）是 5）不是 6）是 7） bc 2= ，是；否则不是 8）是 ,9)不是 2． 1） x=μ ， 2） 4? = yμ ， 3） 3 x=μ ， 4） ) 1 )( )(( 1' ' + ?? = = a yxg yxp a eμ 3. 1） 2 )( 2 x ecxy ? += ， 2） 2 3 x cx y +?= ， 3） cyxx =+ )sin( 4） cyxyx =+ 5324 ， 5） cxyexxe yy =?+ sin)1(cos 4． 2 )( x xf = ， 5。 ,1=a 方程解是 cyex x =? ? sin 6． 1） （有错误） 2） 3? = xμ ， 方程解是： c x t xt =+? ?22 2 1 2 3 3） =μ x＋ 1，方程解是： cyxyxyyxyxyx =+++++ 222223 22 4） 2? = xμ ， 方程解是 c x y yx =? 33 3 1 7.显然只需要证明 f(x,y)/ ),( yx? 对 y 的偏导等于 g(x,y)/ ),( yx? 对 x 的偏导 = ? ? y yx )),(y)f(x,( -1 φ 2 )),(),(( ),(),(),(),( yxgyxf yxgyxfyxgyxf yy ? + , 同样我们得到： x yx ? =? )),(y)f(x,( -1 φ 2 )),(),(( ),(),(),(),( yxgyxf yxgyxfyxgyxf yy ? + ，则 ),( yx? 是其积分因子。 8. () yx MN f xy NM ? =+ ? ; )(xyg xMyN NM xy = ? ? 9． ? (M(x,y)μ (x,y))/ ? y=(yM y N-MN-yMN y )/(xM+yN) 2 ? (Nμ )/ ? x=(x(M x N-MN x) -MN)/ (xM+yN) 2 验证让二者相等即可 10.证明：因为 (, ) ( (, ))( ) ( (, )) ( ( (, )) )x yGFxy Mdx Ndy GFxy dF d GFxy dFμ += = ∫ 所以 12 ,μ μ (, ) (, )x yGxyμ 也是（ 2.3.2）的一个积分因子 11. 记 1 2 F μ μ = ，则有 , FF gM gN xy ?? ==，确定 g 即可。 返回目录 答案 2.4 1． 1） 3 )( xycxy +=? ， 2） cxyx yx +=++? + 184ln 2 3 2 2 3） xy cyex ? ? ， 4） 0ln =+? cyxy ， 5） )arcsin(2 2 2 x cexy += 6） cyxarctgy =+? )( ， 7） 02))( 2 1 1)(( =???? yxtgcx 8） cxyarctg +=+ 32))23(3( 2． 1） 0ln)1 2 ln( 4 1 ln 2 1 =++++ cv v u v u 2） 0)32ln( 2 3 )1ln( 2222 =++??+? cyxyx 3） 0)3ln( 4 1 )1ln( 4 5 2222 =+?+??? cyxyx ， 4） 0ln 1 2 22 2 =+?+? cx xy x x y 5） 0 2 3 3 3 =?? x c x a y ， 6） 0lnln 2 1 ln 2 2 = + +?? x yx x y cx 7） 0 4 ln1 ln = + ?+ xy xyxy cx 3． 1） 0 1 sin =+? + xe x y x ， 2） 0)ln(cossin 4 3 3sin 12 1 )ln(cos =++++ cyxxx 3） 9 sin84 3sin84 yx ceyx ?? =+? 4） cyxx =+ )sin( 4． 1） )1()2( xycxyx +=+ ， 2） 12 2 ln ? =+ xy cx 3） 0 1 =++ c xx y acctg ， 4） 0 1 1 ln = + ++ xy cx 5) 1） u=xy,du/dx=xdy/dx+u/x=xf(u)/x 2 +u/x=(f(u)+u)/x; 2） u=y/x 2 ,du/dx=(dy/dx)/x 2 -2x -3 *x 2 u=f(u)/x-2u/x=(f(u)-2u)/x; 返回目录 习题 2.5. 1． 1） cttyttx t y ++=+== 2 2 3 ,; 1 223‘ 令 2） 21 22 2 1 cxcxycxy ++=+?= 或 ， 3） 1 2 )(ln 4 1 cceycxy x +=+?= ? 或 4） 5） 2 2 1 22 2 1 ,4 cxcycxy +==? 或 ， 6） cxycxcy ++=+= 2 21 1或 2． 1） aycxaytgy 2,)2sin2(1),2cos1(; ' =++?=+== φφφφ令 2） ctarctgxtyytyp +?=+=±== ? 2 5 2 5 ,)25(22, 12 ，则令 3） c t ytxtxp + + ? =+±== ? )31(6 1 ,)31( 2 12 则令 4） t cettytx ? ++?== 22, 2 5） ∫ + + ? = + == cdt t tt y t t xtxp 33 32 3 )1( )84(4 , 1 4 ,则令 6）令 t ep = 则 cteyetx tt +?=+= ? , 3. 1) x+2p=0,y=xp+p 2 ，消去 p，我们得到： y=-x 2 /4; 2) 2x+2p=0,y=2xp+p 2 ，消去 p，我们得到： y=-x 2 ; 3) p=0,(y-1) 2 p 2 =4y/9，消去 p，我们得到： y=0; 4) x-1/p 2 =0,y 2 =x 2 p 2 +1/p 2 +2x， 消去 p，我们得到： y=4x. 4. 1） ),,( cyxφ =y-cx-c 2 =0, =?? ccyx /),,(? -x-2c=0,消去 c 我们得到原曲线族的包络： y+x 2 /4=0. 2） ),,( cyxφ =c 2 y+cx 2 -1=0, =?? ccyx /),,(? 2cy+x 2 =0, 消去 c 我们得到原曲线族的包络： x 4 /(4y)+1=0. 3） ),,( cyxφ =(x-c) 2 +(y-c) 2 =4, =?? ccyx /),,(? 2(c-x)+2(c-y)=0, 消去 c 我们得到原曲线 族的包络： (x-y) 2 =8. 4） ),,( cyxφ =(x-c) 2 +y 2 =4c, =?? ccyx /),,(? 2(c-x)-4=0, 消去 c 我们得到原曲线族的包 络： y 2 -4x-4=0. 返回目录 答案 2.6 1． 1） y0:=1; := y0 1 y1:=1+int(x*y0,x=0..x); := y1 + 1 1 2 x 2 y2:=1+int(x*y1,x=0..x); := y2 + + 1 1 8 x 4 1 2 x 2 y3:=1+int(x*y2,x=0..x); := y3 + + + 1 1 48 x 6 1 8 x 4 1 2 x 2 y4:=1+int(x*y3,x=0..x); := y4 + + + + 1 1 384 x 8 1 48 x 6 1 8 x 4 1 2 x 2 从 2…8 题只给答案（过程如 1，均迭代三步或者四步） 2） := y4 + + + + + 1 x 2 x 1 3 x 3 1 12 x 4 1 120 x 5 3） := y3 + + + + + + + + + + 1 1 4400 x 11 1 270 x 9 1 160 x 8 19 630 x 7 13 180 x 6 11 60 x 5 5 12 x 4 2 3 x 3 3 2 x 2 x 4) := y3 + + + + + + + + + + 1 1 160 x 10 1 27 x 9 25 288 x 8 1 6 x 7 25 72 x 6 7 15 x 5 1 2 x 4 2 3 x 3 1 2 x 2 x 5） := y3 + + + + + 113e x 4 x 4 e ()2 x 1 16 e ()4 x e ()3 x 6) 31 1cos2 2sin sin2 24 y xx x x=? + ? ? 7） y3 1 1 7546 x 22 9 4900 x 20 44 3675 x 18 3 833 x 17 303 6125 x 16 47 1225 x 15 177 1225 x 14 + + + + + + + := 33 175 x 13 243 700 x 12 1119 1925 x 11 269 350 x 10 43 35 x 9 207 140 x 8 68 35 x 7 23 10 x 6 12 5 x 5 + + + + + + + + + 5 2 x 4 2 x 3 5 2 x 2 x + + + + 8) y3 1 x 576 125 x 25 1089 25 x 24 744576 2875 x 23 3 13 x 26 8 x 3 3 x 2 27 x 4 12728 5 x 9 + + + + + + + + + := 12357 10 x 8 18936 35 x 7 223 x 6 432 5 x 5 120249 25 x 10 424984 125 x 21 5164842 625 x 20 + + + + + + + 37900008 2375 x 19 3116857 125 x 18 68161056 2125 x 17 3467277 100 x 16 4041264 125 x 15 + + + + + 668928 25 x 14 6517872 325 x 13 341713 25 x 12 465336 55 x 11 7458678 6875 x 22 + + + + + 2.1) )( 60 1 12 1 3 1 1)( 65432 xoxxxxxxy +++++= 2) )( 5 655424 3 49156 3 6145 256324)( 65432 xoxxxxxxy ++++++= 3) )( 120 1 24 1 6 1 2 1 )( 65432 xoxxxxxy ++++= 4) )( 30 1 3 1 )( 753 xoxxxxy +++= 5) )( 120 23 12 1 6 1 )( 65432 xoxxxxxxy +??++= 3． 1) 32 )1( 3 14 )1( 2 7 )1(21 ?+?+?+= xxxy 2) 32 )1(8)1(5)1(31 ?+?+?+= xxxy 3) 2 1 x y + = 4) 2 2 )1(3 )1(21 ? +?+ x x 4.（参阅以下程序，只做第一题，其他类似） 1) > printlevl:=0; := printlevl 0 > h:=0.1; := h .1 > x0:=0; := x0 0 > y0:=1; := y0 1 > z0:=1; := z0 1 > f1:=(x,y)->-2*y+x^3*exp(-2*x); := f1 → (),xy ? + 2 yx 3 e ()?2 x > f2:=(x,y)->3*X^2*exp(-2*x)-2*x^3*exp(-2*x)+2*(x^3*exp(-2* x)-2*y(x)); := f2 → (),xy ? 3 X 2 e ()?2 x 4()yx > for n from 0 to 9 do;x||(n+1):=h*(n+1); > y||(n+1):=y||n+h*f1(x||n,y||n); > z||(n+1):=z||n+h*f1(x||n,z||n)+h^2*f2(x||n,y||n)/2; > print(x||(n+1),y||(n+1),z||(n+1));od: > > ,,.1 .8 + .7800000000 .01500000000X 2 ,,.2 .6400818731 + .6080818731 .02428096130X 2 ,,.3 .5126017545 + .4742001170 .02947956973X 2 ,,.4 .4115631950 + .3705898499 .03181583032X 2 ,,.5 .3321262614 + .2911163214 .03219259872X 2 ,,.6 .2702995021 + .2308490249 .03127227060X 2 ,,.7 .2227453967 + .1857790249 .02953572966X 2 ,,.8 .1866545932 + .1526265879 .02732753819X 2 ,,.9 .1596607763 + .1287052801 .02489047832X 2 ,,1.0 .1397789100 + .1118212975 .02239186598X 2 5.只做第一题，其它类似 1） > printlev1:=0; := printlev1 0 > h:=0.1; := h .1 > x0:=0; := x0 0 > y0:=2; := y0 2 > z0:=2; := z0 2 > f1:=(x,y)->28*exp(4*x); := f1 → (),xy 28 e ()4 x > f2:=(x,y)->28*exp(4*x)+3*(7*exp(4*x)-3*y); := f2 → (),xy ? 49 e ()4 x 9 y > for n from 0 to 9 do; > x||(n+1):=h*(n+1); > y||(n+1):=y||n+h*f1(x||n,y||n); > z||(n+1):=z||n+h*f1(x||n,z||n)+h^2*f2(x||n,y||n)/2; > print(x||(n+1),y||(n+1),z||(n+1)); > od: ,,.1 4.8 4.955000000 ,,.2 8.977109154 9.281606205 ,,.3 15.20862375 15.65440842 ,,.4 24.50495113 25.07977638 ,,.5 38.37344192 39.05903731 ,,.6 59.06279900 59.83190825 ,,.7 89.92769286 90.73965437 ,,.8 135.9727038 136.7668576 ,,.9 204.6637884 205.3496404 ,,1.0 307.1388448 307.5813938 返回目录 答案 2.7 1. 1)dy/dx=(y2-x2)/(2xy),所求得正交轨线满足微分方程： dy/dx=2xy/(x2-y2), 解该微分方程： 0ln)ln(ln 2 22 =+? + ? cx x yx x y 2)dy/dx=-y/x,所求得正交轨线满足微分方程： dy/dx=x/y, 解该微分方程： 0 22 =+? cxy 3)dy/dx=xy/(x 2 -1),所求得正交轨线满足微分方程： dy/dx=(1-x 2 )/(xy), 解该微分方程： 0ln2 22 =++? cxxy 4) dy/dx=ylny/x,所求得正交轨线满足微分方程： dy/dx=-x/(ylny), 解该微分方程： 0 4 1 ln 2 1 2 1 222 =+?+ cyyyx 2.dy/dx=(H(x,y)+tanα )/(1-H(x,y)tanα ) 1) 满足与已知曲线族相交成 45度角的曲线族满足如下的微分方程： dy/dx=3,解得： cxy += 3 2) 满足与已知曲线族相交成 45度角的曲线族满足如下的微分方程： dy/dx=(x-y)/(x+y),解得： 0ln 2 ln 2 1 2 22 =++ ?+ cx x xxyy 3) 满足与已知曲线族相交成 45度角的曲线族满足如下的微分方程： dy/dx=-1-2/lnax,解得： c a axEi xy + ? +?= )ln,1(2 4) 满足与已知曲线族相交成 45度角的曲线族满足如下的微分方程： dx/dy=(y+2*a)/(2*a-y),解得： cayayx =?++ )2ln(4 3.抛物线族满足的微分方程： dy/dx=2c1x， dy/dx=2(y-k)/x,椭圆曲线族满足的微分方程： dy/dx=-2x/(4y-1)；两者正交，则 k=1/2。 4.两曲线族的所满足的微分方程为： dy/dx=-y n-1 /x n-1 ， dy/dx=x 2 /y 2 ，两者正交则 n=3 5.给定的双曲线满足微分方程 dy/dx=x/y,所求得曲线满足微分方程 ,dy/dx=(2x+y)/(2y-x), y(0)=1,解得： )45( 2 1 2 ++= xxy 6.设物体下落过程中任意时刻的速度为 v(t),则根据牛顿运动定律，我们得到微分 方程： mdv/dt=3mg/4-kv,由物体的极限速度为 24m/s，我们得到 k=mg/32,v(0)=0, 则我们解得： )1(24)( 16 5t etv ? ?= ， v(3)=24(1-e -15/16 ) 7.设物体任意时刻的运动 v(t)，根据牛顿运动定律，我们得到微分方程： 20dv/dt=10-v(t)/2,v(0)=7,我们得到： 20 310)( t etv ? ?= 8. .设物体任意时刻的运动 v(t)，我们设 T时刻物体到达最高点，我们仅仅考虑 （ 0,T） ,根据牛顿运动定律，我们得到微分方程 :10dv/dt=mg+kv 2 ,根据题目中的条 件我们得到： k=2,v(0)=v 0 ,我们得到： ) 10 2 2(25)( 0 v arctgttgtv += 很容易我们就得到： v(T)=0,T=-arctan(v 0 2 /10)/ 2 . 9.设任意时刻该人在银行的存款为也 y(t),y(0)=20,000 满足微分方程： dy/dt=y(1+t/7,210) 365/t ,我们得到： ) 14420 1( 20000)( t ety + = y(1095),y(T)=40000,很容易就求出。 10.先考虑前三年，由上一题我们知道 y(1095)(其中 ) 14420 1( 20000)( t ety + = ),现考虑后 面 4年，满足微分方程： dy/dt=y(1+3t/36500) 365/t ,dy(0)=y(4)=a 我们得到： t x aety ) 36500 3 1( )( + = 很容易我们就可以得到 y(4). 11.设任意时刻的患病老鼠的数量为 N(t),则根据题目的意思，我们得到如下方程： dN/dt=kN(500-N),N(0)=5,解得： kt e tN 5000 9991 5000 )( ? + = 12.设任一时刻无水部分的底面半径是 )(tr .则 H hR tr =)( ，由体积相等有： hravt 2 3 1 π= ，代入 r， h对 t求导有 2 2 2 1 22 R Hgac h dt dh π ? = ，且 0)0( =h 当 Hh = 时，水放完。此时 g H ac R t 23 2 π = 返回目录 答案 2 1 .1 ） x cyy 2 2 cos2 1 2 1 ln +=+ ， 2） cx y x y x +=? lnln)1( 3） cxyxy =++ 333 3 1 2 ， 4） cxxyy =++ 223 3 3 4 ， 5） t cttt Q +? = 55 25 1 ln 5 1 ， 6) y cexy 2 4 3 2 1 =++ 2． 1） 4 1 4 1 ln 2 1 22 ??=? xx exeyyy ， 2） 218 2 )( 4 ? ? = t t tx ， 3） 4 2 ) 4 4 (541 ? + =? x y ， 4） 4 )ln1( 1 xx y ? = 5） xy ee ?? =+ 21 2 6） 102cos 2 1 sin 2 3 22 =?+ θθ rrr 3． 1） 0=+? cet t x ， 2） 2 3 1 sin ct t +=θ ， 3） 0 2 =+? cet t x 4） 2 2 1 2 2 t ce t tg ++=θ ， 5） 0))ln(ln( =++? cxtt 6） 2 1 22 x cext +??= ， 7） 0)cossin2( 5 1 )(2 =++? +?? txt ettec 8） 0)arcsin( =+? ctxt ， 9） carctgxt =? )1( 2 10） 0 1 =++ + ct tx ， 11） 0 1 ln =++ + ct t x 12） 0ln 2 1 2 1 ln =+?? cxtxtt ， 13） 0 )1( 2 2 2 2 1 =+ ++ ± ? ? t cet e x t t 14） x eyx 222 ?=+ ， 15） )2ln( txt ??= ， 16） 24 1 4 1 2 t e t ex ?? = 17） 2 1sin t e?=θ ， 18） 4 2 arcsin 2 t tx = 19） 1? = xy yex ， 20） )1)(2( 22 ++?= ? tcttx 4． 1） cyyxyx =++?? 32 3 2 3 ， 2） cxey y =? ? 3） c x y arctgyx ?=+ 22 ln ， 4） cxxyyx =++ 22 5) 2 1 22 y ceyx =++ ， 6) cxyx =+ cos 2 ， 7) cyxyx =++ 22 8) cexyx y =++ 3 3 1 ， 9) xx ceey =+ 2 )1( ， 10) 233 33 +?=+ xxyy 11) cxy = 2 sinsin ， 12) 0 2 =+? c y x arctg y x ， 13) cyxyx =?+ 222 2 14) cxyx += 2 sin2cossin2 ， 15) cxxyxy =?+ 33 2 ， 16) 2xy ey = 17) x yx cxey 1 2 ++ = ， 18) 12 323 =+ xyyx 5．程序如下，只给出 1题，其他类似（图略） 1） > DEtools[dfieldplot] > ([diff(x(t),t)=t^2/(1-t^2-x(t)^2)],x(t),t=-2..2,x=-2..2,d irgrid=[9,9],arrows=LINE,axes=NORMAL); 下面的程序是求方程的解 > dsolve(diff(x(t),t)-x(t)*sin(t)-2,implicit); = ()x t + e ()? ()cos t d ? ? ? ? 2 e ()cos t t e ()? ()cos t _C1 6． 1） xx eey 23 2 ?= ， 2） 271874 18690048 1 29952 1 144 1 4 1 xxxxy +++= （迭代） 7． 1)提示： Picard 迭代法， 2) 4)1ln(2 22 ++= xy 8. 答案： 0.0007s 9．解：设比例常数是 k，由题意知微分方程是： Ax p k Axd dp = )( ，解为： k Axcp )(= 10.显然 2 小时后，容器中的液体将变为零，则我们考虑的时间段为 ]0， 120]，设任意时刻的 盐水的含盐量为 G(t),则此时的浓度为： G(t)/(60-0.5t),即求出 G(t)即可 . 由题意知： G(t+ tΔ )-G(t)=3*2* tΔ -2.5* tΔ *G(t)/(60-0.5t), 则： G’(t)=6-5G(t)/(120-t), G(0)=0 解得： t t tG 2 3 180 138240000 )120( )( 2 ?+ ? = 11. 设任意时刻的溶液的浓度为平 p(t), 根据题目的意思，我们得到微分方程： dt dp =(5-2p(t))*(4-p(t)),p(1)=0.5,解得： 814 3235 )( )1(3 )1(3 ? ? = ? ? t t e e tp 12.解：设电容上电压任意时刻为 U(t),根据电学定律，我们得到微分方程： cR U dt dU ?= 解得： Rc t EeU ? = 13. k 为比例系数，答案： whlt h wl ktV 2 2 )(2 += 14.提示：设 z 代表信息（这里数量化） ， y 代表广告。则购买者人群的变化率为： zkyk dt dx 21 += ，这里只是其中一种假设。 15.解：每 t 时结算一次，则存款为 350 1500Ur= ? ，连续计算就是 t →∞。 16． （ 1） 350 1500Ur=? ， （ 2） 125 度 （ 3） 423.9 卡 17.有条件可参看数学建模（周义仓，赫孝良——西安交通大学出版社） 75 页例 9 返回目录 答案 3.1 1. 求解下列方程 （1） 2 2 1 1 2 cxecy x ++?= ? （2） tctccc t tx 2cos)1( 8 1 )1( 4 )( 1321 2 ?++++= （3） 2 22 11 2 2)( cactcttx ++?+?±= （ 4） 3 2 2 2 11 8 3 4 1 2cos 8 1 2cos 6 1 )( cttctctcttx +++++?= （ 5） 3 1 21 22 )()( c c ctc txctx + ?? ±== 或 （6） 9 23 3 5 9 4 )( 2 3 ?+?= tetx t 2. 求下列方程的解 （1） 21 1 1 1 )()( cce ec txctx tc tc +? == 或 （ 2） 1 2 22 2 2)( cctcttx +?+?±= （ 3） 2 2 2 2 122 2 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )()( c e e c c e c c e c t t t t etxetx ? ? ? ? == 或 （ 4） x(t)= C@2DCos@twD+C@1DSin@twD （ 5） wc wt wt wc wt wc wc wt we ec e e we ec e e tx 2 2 2 2 12 2 12 2 2 1 )( 2 1 )( ）（ 或 ?? = （ 6） tcx c x c 2ln 1 2 2 1 21 =+? （ 7） ) 4 1 2()( 1 2 22 2 cctctIntx ?+?= （ 8） tcc cct ee ec tx 12 21 22 )( 1 4 4 )( ? ±= + （ 9） 21 1 1)()( ctc txctx + ?== 或 （ 10） ∫ += ?++ ?++= ? == x t x dx xp x x dx dp dt dx p 6/ 1 )2/3ln(2)sin1ln( ),2/3ln(2)sin1ln( , cos sin1 , π 3. 求下列方程的解 （ 1） 1...) 5*33 (....) 4*22 1()( 53 2 42 1 ?+++++++= tt tc tt ctx （2） tc t e ce txtx 1 3 2 )(0)( == 或 （ 3） 5 8 2 5 1 25 8 5 1 )(0)( tceetxtx tc == 或 （ 4） 21 22 sin22 ctctttxx ++=?? （ 5） 32 2 1 3 3 ctctcxtx ++=+ （ 6） 0) 2 2 (2 2 1 211 2 =++ cxcarctgct （ 7） tc t e ce txtx 1 2 5 2 4 )(0)( == 或 （ 8） 2 1 1 2 1 2 arctan) 1 ( c c t tc c tx +?++= （ 9） tctctxtx 2 2 1 22)(0)( +?±== 或 （ 10） 42 21 2 6 1 ttccx ++= ? 4．提示：设物体距地面高度是 h， G 为引力常数， R 为地球半径，由牛顿定律知 dt dv m hR GMm = + 2 )( ，且知道 v dt dh = ， GM=g 2 R 则联立可解 5，解：设质点的质量是 m，速度是 v，则 v（ 0）＝ 0，由牛顿第二定律知 dt dv mkvmg =? ,其中 k>0 为比例系数 解得： )()1( tve k mg m kt =? ? 返回 答案 3.2 1. 0).(a )5)(1().( ?? rreb rt ttc cos6sin4).( ? 1025).( 2 ?? ttd 2.证明： )]([)()()]([ 0 2 0 2 txcLdssxscdsscxstcxL tt ∫∫ === ][][)()(][ 21 0 1 2 0 1 2 0 21 2 0 21 2 21 xLxLdsxsdsxsdsxxsdsxxsxxL tttt +=+=+=+=+ ∫∫∫∫ 3. 02222][2)(]2[)]([ 2222 =??+=?=?= tttLtLttLtyL 2 2tt ?∴ 是方程的解 4. a).设 ,06'4][ 2 =+?= xtxxtxL n 06126][)]([ 3333 1 =+?== ttttLtL ? 在 ],0[ +∞ 上， 3 2 )( tt =? ，显然 0)]([ 2 =? tL 在 ]0,[+∞ 上， 3 2 )( tt ?=? ，显然 06126)]([ 333 2 =?+?=? ttttL 所以： 1 ? 和 2 ? 在区间 ),( +∞?∞ 上是方程的解。 b).用反证法，假设存在恒等式 0)()( 2211 ≡?+? tctc ， 当 时，0≥t 21 3 2 3 1 0 cctctc ?=+ ，＝ 当 时，0<t 21 3 2 3 1 0 cctctc =? ，＝ 而在 [ ],[ +∞?∞ 时， 0|| 3 2 3 1 ＝tctc + ，只有 0,0 21 == cc ， )(),( 11 tt ??∴ 线性无关， 又由（ a） ，∴ 1 ? 和 2 ? 是方程的基本解组。 c).提示：分别讨论在 00 <≥ tt 和 时 )](),([ 21 ttw ?? ，可得出结果。 5． 1 ψ ， 2 ψ 是方程的基本解组有 ' 2 ' 1 21 ψψ ψψ ＝ 2 ' 1 ' 21 ψψ?ψψ ≠ 0 而 ' 2 ' 1 21 ψψ ψψ ＝ ' 222 ' 121 ' 212 ' 111 222121111111 ψ+ψψ+ψ ψ+ψ?+? cccc cccc ＝ ' 111 111 ψ ψ c c ' 222 222 ψ ψ c c ' 121 121 ' 212 212 ψ ψ ψ ψ + c c c c ＝ ' 212211 ψψcc － 2 ' 12211 ψψcc － ' 212112 ψψcc ＋ 2 ' 12112 ψψcc ＝ ))( 2 ' 11 ' 221122211 ψψ?ψψ? cccc ∵ 2 ' 1 ' 21 ψψ?ψψ 0≠ 0 21122211 ≠? cccc 即 21 11 c c 22 12 c c 0≠ 时， 1 ψ 2 ψ 也是方程的基本解组。 6．证明：将 x（ t） = 2 t 带入方程 有 q(t) 2 t +2tp(t)+2=0 解得 p(t)=- t ttq 2 2)( 2 + =- 2 )(tq t- t 1 p(t)在 t=0 处不连续与已知矛盾 ∴ x(t)= 2 t 不是方程的解 7．提示：设 )(),( tytx 是两个线性无关的解，则代入 wronskian 行列式中，验证即可 注意， q(t)在证明过程可消去， p(t) 0≠ 的已知条件 8. ])) 1 exp( 1 [ 2 11 dtdt t t x ccxx ∫∫ ? += ])) 1 exp( 1 [ 2 1 dtdt t t t cct ∫∫ ? += dte t t cttc t ∫ ? += 2 1 1 9. ]) 1ln 1 exp( )(ln 1 [ln 2 1 ∫∫ ? += dtdt t t t cctx ] )(ln 1ln [ln 2 1 ∫ ? += dt t t cct ∫ ? += dt t t tctc 2 1 )(ln 1ln lnln 10.验证（略）通解是： x= 1 r t+ t er 2 - 2 t +1-t 11.解：设 x= 1 c (t)cos2t+ 2 c (t)sin2t 通解是： x＝ 1 r cos2t+ 2 r sin2t- 8 2 t cos2t+ 16 t sin2t+ 64 2cos t 12．证明：拐点是指在这点 0 '' =y ，对于本题我们用反证法。假设同时为拐点，即 0)(')(,0)(')( 2211 =+=+ yxqyxpyxqyxp ，写成行列式形式 0=At ， τ ))(),(( xqxpt = ， 因为 0≠A ，∴ 0=τ ，这与 p(x)和 q(x)不同时为零矛盾，假设不成立。即 )(),( 21 xyxy 不 能同时是方程的拐点。 13 提示：唯一性：如果 2 ()y x 存在两个零点，那么由题意在这两个零点之间必存在 1 ()y x 的 一个零点，那么与假设矛盾，因为假设只有；两个零点 下面证明存在性，反证法 如果不存在，我们把 1 ()y x 的两个零点代入，会发现线性相关， 与题意线性无关矛盾。 返回 习题3.3 1．(1) tececty tt 3 2 3 1 )( += (2) tececty tt 2 3 2 2 3 1 )( += (3). t eccty 7 21 )( += (4). tectecty tt sincos)( 2 2 2 1 ?? += (5) 2 7 sin 2 7 cos)( 2 3 2 2 3 1 t ec t ectx tt += (6) ttt ecececty 3 3 2 21 )( ++= (7) tt etctccetcctx )()()( 2 54321 ++++= ? (8) tttt ecececectx 5 4 5 3 2 2 2 1 )( ?? +++= (9) tetcctetcctx tt 2sin)(2cos)()( 2 43 2 21 +?+= 2.通解是 t etctctccty 43 4 2 321 )()( +++= 方程是 0256 )4( =? yy 3.通解是 xcxcecxy x 3cos3sin)( 32 2 1 ++= ? 方程是 018'9''2 )3( =?+? yyy 4． 1)， 3 3 4 1)( x e t xy ? ? ? ? ? ? ? += 2） 2 3)( t tety ? = 3） t ety ? = 2 )( 4） 3 )(2 )(2)( π π ? ?= t etty 5． )4( 3 1 )( 4tt eexy ?= 6． 1） )sin(ln)cos(ln)( 21 lxlxclxlxcxy += 2) )ln1)(1()( lxlxxy ++= 3) x e c x e cy xx ? += 21 ， 4） )( 2 )( 1 )( ixxixx iececxy +? += （ I 是虚数，化简略） 7. 1） )()( 1 1 t cecttx ?= 2）提示：利用 ∫ ∫ += ? ] )(cot 1 )[cot()( )( 2 1 dte t ccttx dttp ，其中 )(sin 1 )( 2 t tp = 8.证明：代入验证即可（略） 9． 通解是 x ecxcxy 21 )( += 10． 提示：设 t ex λ = ，代入则有 0 2 =++ qpλλ ，要使解有界，则 λ 0≤ 或着 λ为实部 为负数的虚数。答案： p>0 且 q>o 或者 p>0 且 qp 4 2 ? <0 11． （ 1） ， （ 2）代入验证即得证 12． 程序 diffeq:=diff(x(t),t$2)+diff(x(t),t)+x(t)=0; dsolve(diffeq,x(t)); 给出的是第一题的程序，其余类似 答案如下（ 1） ) 2 3 sin 2 3 cos()( 21 2 t c t cetx t += ? （ 2） tt ecectx 30 1455 2 30 1455 1 )( ?+ += （ 3） )2sin2cos()( 21 3 tctcetx t += ? 返回 答案 3.4 1. (1) = ()y x + ? + ? e ()2 x _C2 e ()?x _C1 32x 2 x 2 (2) = ()y x + + e ()2 x _C2 e ()?x _C1 e ()3 x ? ? + 23()ln e 9()ln e 2 (3) = ()y x + + ? e ()2 x _C2 e ()?x _C1 1 20 ()cos 2 x 3 20 ()sin 2 x (4) = ()y t + + ? e ()3 t ()sin 4 t _C2 e ()3 t ()cos 4 t _C1 56 663 ? ? ? ? ? ? ? ? sin 1 2 t 20 663 ? ? ? ? ? ? ? ? cos 1 2 t (5) ()y t 25 e ()3 t ()sin 4 t _C2 6 e ()3 t ()sin 4 t _C2 ()ln e e ()3 t ()sin 4 t _C2 ()ln e 2 + + ( = 25 e ()3 t ()cos 4 t _C1 6 e ()3 t ()cos 4 t _C1 ()ln e e ()3 t ()cos 4 t _C1 ()ln e 2 + + + 64 e ()?t + + + 25 6 ( )ln e ()ln e 2 ) (6) = ()y t + + ? + e ()3 t ()sin 4 t _C2 e ()3 t ()cos 4 t _C1 16 5 3 t 2 t 3 2. = ()y x ? ? + + + 13 144 e ()?x 1 12 x e ()?x _C1 e x _C2 e ()2 x _C3 e ()3 x 3. = ()y x + ? + + 3 4 x 4 1 3 x 3 1 2 x 2 _C1 x _C2 4. = ()y x ? ? ? + + 3 13 ()cos xx 69 338 ()cos x 2 13 ()sin xx 71 338 ()sin x e ()5 x _C1 5. ()y x 2()sin 2 x 3 2 ()sin xx 21 8 ()cos x 1 8 ()cos 3 x _C1 ()sin x _C2 ()cos x + + + + + = _C3 ()sin x x _C4 ()cos xx + + 6. 特解形式为 fdxcbxaxet ++++ )( 22 λ 7. 方程的通解是 4 1 2 1 222 2 2 1 ++++ xxxx eexxecec 8.(1) = ()y x + + 1 5 x 5 _C1 5 4 x _C2 (2) = ()y x + + x ()sin ( )ln x _C2 x ()cos ( )ln x _C1 x ()ln x 9. 23 22)( ttt eeetx +?= ? 10.提示：反正，利用线性相关，行列式为零 11. 证明：充分性：设方程有两个根， )(),( 21 txtx ，则 )()( 21 txtx ? 是方程 0)()( 2 ' 1 '' =++ xtpxtpx 的根，由边值条件知 =? )0()0( 21 xx 0)0()0( 21 =? xx ，而 t 是 区间任意的，所以 )()( 21 txtx = ，即假设不成立，有唯一解 必要性：显然成立 返回 习题3.5答案 1.见例题3.5.1(机械震动) 。 2. = ()s t + ? ? () ? Fape ? ? ? ? ? ? ? ? ? b t p b 2 tF b ta b p () ? Fa b 2 . 3. .6125000000 1 π 2 ≈(0.0621kg) 4 . ()i t 1 2 e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? /12 ()? + L ? L 2 4 R 2 CL t CRL E () + ?L ()? + L 4 CR 2 L ?L ()? + L 4 CR 2 R ? = 1 2 e ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? /12 () + L ? L 2 4 R 2 CL t CRL E ()? + L ?L ()? + L 4 CR 2 ?L ()? + L 4 CR 2 R E R ? + 5.方程右边可化成： 1/4*cos3ωt+3/4*cosωt.所以 0 0 3 ωω ω ω == 或 m k = 2 0 ω . 6. 右边展开，看成由 m 个 Fi 合成的强迫振动 。 1）设 1 T 是最小周期，则 cos T tn T Ttn ππ 2 cos )(2 1 = + ,即 T＝ 1 T 2）当共振的时候 m k = 0 ω ，把 T 代入，则可看出此时满足共振条件，产生 共振。 返回 复习题 ?答案 3 1． 2. .代入验证（略） 。 3. 1） = ()x t + + + t _C1 ()ln ? + 1 _C1 t ()ln ? + 1 _C1 t _C1 2 _C2 2） 0)()(ln 00 ' =++ ∫∫ xy dssfdssFy 3） , = ()x t ? + 1 + ? ? 12_C2 t 2 2 _C1 t = ()x t ? ? 1 + ? ? 12_C2 t 2 2 _C1 t 4) = ()y x + _C1 x _C2 x 3 4. 1) = ()y x ? + + + 1 12 1 () + x 2 2 1 6 1 + x 2 1 2 _C1 x 2 _C2 x _C3 2) = ()y x _C1 + + + 1 x 2 _C1 2 2 x _C1 2 _C2 _C2 2 _C1 2 _C1 , = ()y x ? _C1 + + + 1 x 2 _C1 2 2 x _C1 2 _C2 _C2 2 _C1 2 _C1 3) , = ()y x _C1 = ()y x ? + ? _C1 e ()-3 _C2 _C3 e ? ? ? ? ? ? ? ? ? + _C3 x _C3 _C3 e ? ? ? ? ? ? ? ? ? + _C3 x _C3 x _C3 _C1 e ()-3 4) = ()y x + + + 1 2 x 2 1 2 x + 2 x 2 _C1 1 4 _C1 ()ln + 2 x + 2 x 2 _C1 2 _C2 , = ()y x ? ? + 1 2 x 2 1 2 x + 2 x 2 _C1 1 4 _C1 ln + 2 x + 2 x 2 _C1 2 _C2 5. 1) = ()y x + _C1 e ()5 x ()sin 3 x _C2 e ()5 x ()cos 3 x 2) = ()y x + _C1 e ()? /12x ? ? ? ? ? ? ? ? sin 1 2 3 x _C2 e ()? /12x ? ? ? ? ? ? ? ? cos 1 2 3 x 3)解的形式比较麻烦，提示：令 t etx λ =)( 代入 (4) = ()x t + + _C1 e t _C2 e ()2 t _C3 e ()?t 5) t etctctccty )()( 3 4 2 321 +++= 6) = ()y x + + + + + _C1 e ()?x _C2 e ()?x x _C3 _C4 x _C5 x 2 _C6 x 3 7) = ()x t ∑ = _a 1 4 _C _a e RootOf , + + ? + 48_Z 8 _Z 2 4 _Z 3 _Z 4 = index _a t 8) ∑ ? = ? = 1 0 1 )( n i i i at tcetx 6. 1) ()y x 1 2 ()sin x 1 2 ()cos x _C1 e x _C2 e ()? /12x ? ? ? ? ? ? ? ? sin 1 2 3 x? ? + + = _C3 e ()? /12x ? ? ? ? ? ? ? ? cos 1 2 3 x + (2) = ()y x + _C1 e ()? /12x ? ? ? ? ? ? ? ? sin 1 2 3 x _C2 e ()? /12x ? ? ? ? ? ? ? ? cos 1 2 3 x (3) = ()y x + + e x ()sin x _C2 e x ()cos x _C1 1 4 e x () + ? x ()cos x ()sin xx 2 ()sin x (4) = ()y x + + + ? ? ()sin x _C2 ()cos x _C1 1 4 ()sin x 2 3 ()cos x 2 1 3 1 2 ()cos xx (5) = ()y x ? + + + x _C1 e x _C2 e x x _C3 e x x 2 (6) ()y x 1 64 ()cos 2 x 1 16 x 2 1 15 e x _C1 e ()?2 x _C2 e ()2 x _C3 ()cos 2 x? ? + + + + = _C4 ()sin 2 x + (7) = ()y x + + ()sin x _C2 ()cos x _C1 1 2 () ? 2()cos x 2 1 ()sin x (8) ()x t e t _C1 e ()? /12 2 t ? ? ? ? ? ? ? ? cos 1 2 2 t _C2 e ()/12 2 t ? ? ? ? ? ? ? ? cos 1 2 2 t + + = _C3 e ()? /12 2 t ? ? ? ? ? ? ? ? sin 1 2 2 t _C4 e ()/12 2 t ? ? ? ? ? ? ? ? sin 1 2 2 t + + (9) ()x t ()sin 2 t _C2 ()cos 2 t _C1 4 5 ()cos t 3 1 2 t ()cos t 2 + ? ? = 1 40 () + 24 5 ( )sin t ()cos t 1 4 t + + 7． 设两个解组，注意设的两个解组都是二维向量，代入整理就可以得到结论。 8． 带入直接解出即可 9. ∫ ∫ += ] 1 [ )( 2 1 dxe x ccxy dxxxf 10.公共解是 ∫ = ? ? dt tqtp tptq etx )()( )()( 1 11 22 )( ，方程通解用 ∫ ∫ += ? ] 1 [ )( 2 1 11 dte x ccxx dttp 求解，略 11.提示：常数变异求解，解里会出现 ∫ +∞ ? 0 )( dxxq e 的形式。 12.证明：设有周期为 ω的解下 x(t)，即 x（ t）＝ x(t+ω )，代入到方程中，可知满足等式， ∴存在周期为 ω 的解；现设解不唯一，有 ),( 1 tx )( 2 tx 两个，则 )()( 21 txtx ? 是对应的奇 次方程的解，而 0 显然是奇次方程的解，由解的唯一性，知 )()( 21 txtx = ，证毕。 13.提示：等式两边对 t 求导，然后用常数变异法求解 14. (1) = ()x t + + e ()2 t _C2 e ()? 2 t _C1 1 51 e ()3 t + ()cos 2 t 4()sin 2 t (2) = ()x t + ()sin t () + t e t 1 e ()?t 15. = ()x t + + _C1 e t _C2 e ()2 t ()sin t _C3 e ()2 t ()cos t 16. > with (DEtools): odetest(soll， eq， x(t) )；其中 soll 代表方程的解 eq 代表方程 x(t)未确定函数 把题中的函数代入 可以见到 输出的是“ 0” ，即是方程的解 17.参见书中例 3.5.1 18. (1) θsin2 2 2 ??= s dt xd m (2) 02 0 2 2 =+ b x s dt xd m (3) bm s 0 2 0 2 =ω 19．提示：应用光学原理 c v = αsin ，能量守恒 mgymv = 2 2 1 ，可以得到 0)0(])'(1[ 2 ==+ ycyy ，且 ，答案是 ? ? ? ?= ?= )cos1( )sin( θ θθ ay ax ，圆滚线（摆线） 返回 答案 4.1 1 (1) 是线性的 (2) 是非线性的 (3) 是非线性的 2． 矩阵形式为 : ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? = t txx 0 )( 99 10 ' 3． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = )( )( )( )( ' 4 ' 3 ' 2 ' 1 ' tx tx tx tx x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 5 0 0 0 )( 0)(0 1000 0100 0010 2 tx ete tt 初值为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 5 4 3 2 )1(x 4． 代入验证即可（略） 5． (1) 解 :令 ytyxtxxtx === )(,')(,)( 121 则对应的一阶微分方程组为 : ? ? ? ? ? +??= = += 3)(5)(2)( )()( )(2)()( 12 ' 2 2 ' 1 12 ' 1 tytxtx txtx tytxty 初始条件 : 1)0(,0)0(,0)0( 121 === yxx (2) 解 :令 ')(,)(,')(,)( 2121 ytyytyxtxxtx ==== 上述方程对应的方程组为 : ? ? ? ? ? ? ? =?+= +??= = = ttytytxty etytyxxtx tyty txtx t cos)(3)(2)(15)( )(5)(6)(7)( )()( )()( 211 ' 2 211 ' 2 2 ' 1 2 ' 1 初始条件为 : 1)0(,0)0(,1)0(,1)0( 2121 ==== yyxx (3)解 :令 ')(,)(,'')(,')(,)( 21321 ytyytyxtxxtxxtx ===== ∴ 上述方程对应的方程组为 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? = +?+= ++?+= = = )()( )()()()(sin)( 1)()()()( )()( )()( 2 ' 1 2 112 ' 2 213 ' 3 3 ' 2 2 ' 1 tyty ttytxtxtty ttytxttxtx txtx txtx 6． 解 :设 [] ∫ ++= t t dssFxsAxtx 0 )()()( 0011 ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = t t ds 0 1 0 01 10 1 0 ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = t t ds 0 0 1 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 0 tt 令 [] ∫ ++= t t dssFxsAxtx 0 )()()( 11022 ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = t t dt tt 0 101 10 1 0 0 ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? ? = 1 2 22 0 0 0 tt tt tt 令 ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? += t t dttt tt tt xtx 0 1 2 01 10 )( 22 0 0 0 033 ∫ ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = t t dt tt tt tt 0 0 22 0 0 1 2 1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? = 2 )( 1 )( 6 )( 2 0 0 3 0 tt tt tt ∴ 方程组的第三次近似解为 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? = 2 )( 1 )( 6 )( )( 2 0 0 3 0 33 tt tt tt tx 返回 答案 4.2 1． (1) ? ? ? ? ? ? ? ?= += ? ? )( 2 1 )( 2 1 21 21 tt tt ececy ececx (2) ? ? ? ? ? +?= += += ? ? ? tt tt tt eccecx ececx ececx )( 32 2 13 3 2 12 2 2 11 (3) ? ? ? ? ? ?+++?= +?+= 1sinlncossincossin sinlnsincossincos 21 21 tttttctcy tttttctcx (4) ? ? ? ? ? ++?= ++= ? ? tececy tececx tt tt cos2 sin 21 21 2． (1)是 .， (2)是， (3)否 . 3． (1) ? ? ? =?+ =?? 2 222 1 ctyx ctyx (2) ? ? ? =?? =? 2 1 22 ctxy cyx (3) ? ? ? ? ? =?? =++ 2 22 1 222 2 cxxtt ctyx (4) ? ? ? ? ? =? =++ 2 1 22 )( )(2)ln( ctg y x arctg ctfyx (5) 1 c t yx = + ,xyz=c 2 . (6) ? ? ? ? ? ? ? = ++ = 2 222 1 c y tyx c t y (7) ? ? ? = =++ 2 1 cxyz czyx (8) ? ? ? ? ? +?++?= +++?= += tt tt t ececctcccz ecectcccy eccx 22 22321 2 1 22 2321 2 1 21 )2( )2( 4． 参见书中例题 4.2.3（略） 5． ? ? ? ? ? ++= ++= ? ? ttt ttt eececx eececx 2 21 2 211 93 2 返回 答案 4.3 1．证明 : (1) 设存在 21 ,cc ,使得 : 0 2211 =+ xcxc ,即 : 0 11 2 21 = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? t c t c . 可写成 : 0 11 2 1 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c ctt 2 2 11 tt tt ?=∵ ∴ ,0时当 ≠t .0.0 21 2 ==∴≠? cctt 若 21 ,,0 xxt 则= 为同一个向量 . ∴ . 21 上是线性无关的在与 Rxx (2) 由上面的讨论过程知 : 当 0=t 时 , [ ] 0,, 1 ≡ n xxw null (3) (1)与 (2)这两种情况能同时发生 ,因为在 SS 这两向量 ,若 0=t 则变为一个向量 . 2． 证明 :设存在 2121 ,,, cccc 且 不全为零使得 : . )( )( )( )( 2 2 1 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? t t t t ψ ? ψ ? 与 线性相关 . 即 : .0 )( )( )( )( 2 2 2 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? t t c t t c ψ ? ψ ? 0 )()( )()( 2 1 21 21 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c c tt tt ψψ ?? ∵ 这两个向量线性相关 . ∴ 0)()()()( 1221 =? tttt ψ?ψ? 令 )()( 12 tkt ψψ = . )0( =k 则 : )( 1 )( 21 t k t ?? = ∴ )()( 21 tt ?? 与 线性相关 .这与已知相矛盾 . 这两个线量在任何区间 I 上都线性无关 . 3． 证明 21 ?? 与∵ 在区间 I 上是线性相关的 . ∴存在常数 0≠k ,使得 ).()( 21 tkt ?? = 欲使 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? )( )( )( )( 2 2 1 1 t t t t ψ ? ψ ? 与 线性无关 . 即不存在不全为 0 的常数 21 ,cc 使 得 : 0 )( )( )( )( 2 2 2 1 1 1 = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? t t c t t c ψ ? ψ ? 即 : 0 )()( )()( 2 1 21 11 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c c tt tt ψψ ?? 则有 : 0)()()()( )()( )()( 1221 21 21 ≠?= tttt tt tt ψ?ψ? ψψ ?? 即 : ().0)()()( 122 ≠? ttkt ψψ? ∴ )( )( )( )(,0)( 1 2 1 22 t t t tt ψ ? ? ψ? ≠≠ 且当 时 ,即满足要求 . 4． 带入验证是显然成立的（略） 5． 0)( 11 =xa , 1)( 12 =xa , 1)( 21 ?=xa , =)( 22 xa 0. 6． 提示：把 )( 0 1 t ? φ 乘到右侧，利用 CtAt )()exp( φ= ，即可证明 7． 该微分方程组为 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? y x y x 12 10 ' 8． （ 1）验证略 (2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?? ??? = tte ttet x t t sin 5 1 cos 5 1 5 1 cos 25 2 sin 25 1 )1527( 25 1 2 2 9． ψ (x)= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? +? tt ttt tee ettee 22 2222 2 1 10． 提示：求出方程解，注意在题目的条件下，极限和积分可以交换的 返回 答案 4.4 1． (1) Ttt eetx )2,()( 1010 1 = , Ttt eetx )2,3()( 33 2 ?= (2) TttTtt eetxeetx ),2()(,),()( 44 21 =?= (3) TttTtt eetxeetx ),4()(,),()( 22 21 == ?? (4) TttTtt eetxeetx ),()(,)2,()( 33 2 22 1 ?=?= (5) TttttTtt teeteetxeetx ) 2 3 ,()(,),()( 21 ++== (6) TttTtt eetxeetx )3,()(,),()( 22 2 22 1 ?? ?== (7) TttT eetxtx ),()(,)2,1()( 33 21 ?== (8) TttttTtt teeteetxeetx ),2()(,),()( 21 ++== (9) , 21 )2cos22sin,2(sin)(,)2sin22cos,2(cos)( TT ttttxttttx ?=+= (10) TttTtt tetetxtetetx )cos,sin()(,)sin,cos()( 22 2 22 1 =?= 2． （ 1）特征值如下： 2+5 1□3 ， 2- 1 2 5 1□3 I1-? □ 3M ， 2- 1 2 5 1□3 I1+? □ 3M ，矩阵略 (2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ??? + = ?? ?? ?? tt tt tt ete et ete t 33 33 33 )1(1 )21(24 )2(4 )(φ (3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = ? ? ?? tt tt ttt ee ee eee t 2 2 22 0 0)(φ (4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 100 10 2 1 )( 2 t t t tφ (5) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ttt t ttt eee e eee t 44 4 44 00 22 )(φ (6) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ?? ? ? ttt t tt eee e ee t 22 2 8 00 0 )(φ 3．（ 1） 提示： 特征方程是 0)1( 2 =+λ ， 利用定理 4.17求。 （ 2） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 002 0203 020 2030 103 103 103 103 tt tt tt tt ee ee ee ee 4． ：证明： (1) ) !2 )( !2 ()exp()exp( 22 2 2 22 1 121 nullnull ++++++=? Ac AcE Ac AcEAxAc null++++++= )2( !2 1 )( 22 221 22 121 AcAAccAcAcAcE 由二项式定理及 ,AAAA ?=? 得 null++++++=+ )2( !2 1 )()exp( 22 221 22 12121 AcAAccAcAcAcEAcAc 比较二式得 )exp()exp()exp( 2121 AcAcAcAc ?=+ (2) 由 (1) kAAAA ee k = +++ nullnullnullnullnullnullnull null 个 )( kAAAAAAAA eeeeee k )( )( =????= +++ null nullnullnullnullnullnullnull null 个 kAA k exp)(exp =∴ 5． 解： ∑ ∞ = =+++++= 0 22 !!!2 exp k kkkk k tA k tAtA AtEAt nullnull AA α= 2 ， 223 AAAA α=?= AAAAA kk 134 ? =???= αnull ∴ ∑ ∞ = ?? =+++++= 0 11 2 !!!2 exp k k k k k t k A t k A t A AtEAt ααα nullnull 6． （ 1）验证略 （ 2） 1 0 00000 00000 00000 00000 0000 ! exp Ee k t At t k k = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ∑ ∞ = 其中 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 00000 00000 00000 00000 00001 1 E 7． 参见书中例 4.3.5（略） 8． (1)Φ (t)= ? ? ? ? ? ? +? tttt tt 3cos33sin23sin33cos2 3sin3cos ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? ? = ttt ttt At 3cos3sin 3 2 3sin 3 7 3sin 3 1 3sin 3 2 3cos exp (2)Φ(t)= ? ? ? ? ? ? ? ? ? tt tt ee ee 5 5 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++? +?+ = ?? ?? tttt tttt eeee eeee At 55 55 3 2 3 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 exp (3)Φ= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ttt t tt eee e ee 22 2 8 00 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ++? +? = ??? ? ? ttttt t ttt eeeee e eee At 2222 22 78 00 0 exp (4) 9． 程序如下，第一题的，其余类似 > diffeq11:=diff(x(t),t)=x(t)-2*y(t); > diffeq12:=diff(y(t),t)=x(t)-y(t); > syslg:=dsolve({diffeq11,diffeq12},{x(t),y(t)}); > inits1:=x(0)=0,y(0)=-1; > syslp:=dslove({diffeq11,diffeq12,inits1},{x(t),y(t)}); 返回 答案 4.5 1． (1) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? t tt ecectx tt 2 1 1 4 1 1 )( 2 3 2 2 1 (2) )(tx = ? ? ? ? ? ? ? ? + + + ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? 10 1 2 1 2 3 2 2 1 t tt ecec tt (3) ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = 12cos 2sin 2sin 2cos )( 21 t t t c t t ctx (4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? t t ee t t ecectx tttt 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 )( 21 (5) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ?? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? 1 1 361 4 2511 1 )( 2 4 2 4 1 tt tt ee e t t cectx (6) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 1 0 cos sin cos sin cos sin 0 1 1 )( 321 t t t t c t t t cectx t (7) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? +? ?+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ?? tt tt tt ttt ee ee ee ececectx 3 3 3 2 3 2 2 4 1 4 1 2 1 2_ 20 7 6 1 2 20 3 6 1 0 1 1 2 1 1 1 1 1 )( (8) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ??? 1 32 0 0 1 0 1 2 2)( 2 32 2 1 t t tt ece t cet t ctx ttt 2． (1) ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? + ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? tt tt tt ee ee ececx 22 4 1 1 1 3 3 3 2 2 4 1 (2) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ? t t tt et te ececx )1( 4 1 1 1 4 3 2 2 1 (3) ttt e t t ececx ? ? ? ? ? ? ? ? +? +? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ? )68( )1312( 2 1 1 2 3 2 2 1 (4) ttt e t t ececx ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? 1 3 5 12 3 5 12 2 1 1 1 1 5 21 (5) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? = ? t t tt e e ececx 4 3 3 2 4 1 3 1 1 1 2 2 2 1 (6) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + + + + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = t t t tt tt tt c tt tt tt ccx 2 3 cos2sin7 cossin3 cos4sin9 cos7sin2 cos3sin cos9sin4 1 2 3 321 (7) tttt e t t t ecececx ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= 2 3 2 1 0 2 2 3 2 0 1 1 3 32 2 1 3． (1) ? ? ? ? ? ++= ++= ? ? 13 12 3 2 2 1 3 2 2 1 tt tt ececy ececx (2)我们给出程序如下 > sysode:='sysode': > sysode:={D(x)(t)=4*x(t)-9*y(t)+4*z(t)+1+13*t,D(y)(t)=x(t) -10*y(t)+7*z(t)+3+15*t,D(z)(t)=x(t)-17*y(t)+12*z(t)+2+26* t}; sysode = ()()D x t ? + + + 4()x t 9()y t 4()z t 113t,{ := = ()()D yt ? + + + ()x t 10 ( )y t 7()z t 315t, = ()()D zt ? + + + ()x t 17 ( )y t 12 ( )z t 226t } > dsolve(sysode,{x(t),y(t),z(t)},explicit); (3) ? ? ? ? ? ? ? ?++?+= ?++++?= ?? ?? 2 20 7 3 2 6 1 12 13 15 1 2 20 7 3 2 6 1 12 13 15 1 322 322 ttttt ttttt eeeeey eeeeex 4． 本题只能化成非奇次线性微分方程，提示： dx dt dt dy dx dy = 5． = ()y t ? ? 1 2 1 6 + + + + ? + 2 e t e t t e t t 2 ()Ei ,1 ?tt 3 6 _C2 6 _C3 t 3 6 _C1 t , = ()z t + 1 2 1 6 ? ? ? ? + + e t t 2 e t ()Ei ,1 ?tt 3 e t t 2 6 _C3 t 3 6 _C1 t , = ()x t ? + 1 2 1 6 ? ? ? + + 4 e t e t t e t t 2 ()Ei ,1 ?tt 3 6 _C2 6 _C3 t 3 t 6． 程序参见书中例 4.5.6 返回 答案 4.6 1． ? ? ? ? ? ? ? ?= ?= . , 2 2 2 2 y x Rmg dt yd m R dt xd m 其中 R x ,R y 分别是阻力 R 在 x 轴 ,y 轴方向的向量 .初始条件为 x(0)=0,y(0)=0,x ;0)0(,)0( ' 0 ' == yv 解方程得 : ? ? ? ? ? ? ? ?= += .)( 2 1 , 2 2 0 2 t m R gy tvt m R x y x 2． 提示：对每一个物体分别做平衡分析，利用 2 2 a dt xd =加速度 3． （ 1） x=80t, y=80 2 163 tt ? . （ 2）射程 :400 3 =639 尺 , 最大速度 :300 尺 , 飞行时间 : 8.66 秒 . （ 3） 2 秒末的位置是 (60,213), 4 秒末的位置是 (320,298) 2 秒末的速度大小为 109 尺 /秒 ,4 秒末的速度为 80.7 尺 /秒 . 4． 520 1 520 2 32 34 tt tt I ee I ee ?? ?? ? =? ? ? =? + ? 稳压电流是 3 安培 5． ' 111 23 ' 211 2 ' 311 3 11 ()() 1 () 1 () I ERI LL IERI L IERI L ? =+ ? ? ? ? ? =? ? ? ? =? ? ? ? 提示：每个回路分别考虑，应用基尔霍夫第二定律，注意通过电感的电压降是 dt dI L 返回 习题 4 答案 1． 1） 正确 2）错误 3）正确 4）错误 2．验证略 3． Axx = ' ， 1144 1879 381416 ??? ???=A 4 ．证明：设 i x 是基本解组的第 i 个列向量，∵ iii xtAxtAx )()( 21 ' == ，∴ 0))()(( 21 =? i xtAtA 。而 i x 是任意的，所以 )()( 21 tAtA = 5． （！ ）对于满足微分系统的解 x，都可以表示为 )()( tctx φ= ，则 )()( kTtckTtx +=+ φ ， ∵ Axx = ' ， ∴ )()()()()( ' kTtkTtAkTttAkTt ++=+=+ φφφ 。 即证得 )( kTt +φ 也是微分方程组的基本解组 （ 2）代入即可证得 6．提示：常数变异法 7． ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? 20 12 4 3 2 t t t t c y x 8． ttt ectxetcctxetctcctx ??? =?=+?= 33322 2 3211 )(,)()()22( 2 1 )( ， 9．提示：应用公式 dttftttx )()()()( 1 ∫ ? = φφ 求特解， )(tφ 是基解矩阵 10．提示：从第一个方程解出 y，代入到第二个方程，即变为二阶常系数线性方程，可以用 欧拉法解，答案略 11 ． 1 ） ? ? ? ? ? +++= ++++?++= ? ? ]2[ 3 1 )( ]4)3()3(2)9([ 6 1 )( 4 3 3 3 2 3 1 2 4 3 3 3 2 3 1 2 cecececety ceeceeceecetx tttt ttttttt 其中 3124 cccc ??= 2） ? ? ? ? ? ++?= ?++= +?+? +?+? )]()(2[ 2 1 )( )](2)(2[ 4 1 )( )21()21( 2 )21()21( 1 )21()21( 2 )21()21( 1 tttt tttt eeceecty eeceectx 12.1） ， 3 22 2 22 1 22 ,, cxzczycyx +=+=+= 2） ? ? ? ? ? ++?= ?+= +?= t t t eccctz ecccty eccctx )2()( )2()( )2()( 321 321 321 ， 3） cyx += 44 （写成含 t 的形式太麻烦，略） 13.1） ? ? ? ?+?= ?+?= ?? ?? tttt tttt ececececty ecececectx 2211 2211 222)( 2)( ， 2） ? ? ? ++= ?+?= )()( )()( 221 2 121 2 ctctcety ctctcetx t t 3） ? ? ? ? ? ?+?+??= ??= ??= )2()( )24()( )2()( 1232211 221 121 ccectcectcecetz ctctcety ctctcetx tttt t t 4) C eee eee eee z y x ttt ttt ttt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 32 32 322 14 323 5) C ee i e i ee i e i eee z y x iit iit iit ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??+? +??? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? +? +? 3131 3131 3131 2 31 2 31 2 31 2 31 6) ttt ectztccetytctccetx ??? =?=+?= 332 2 321 )(),()(),22( 2 1 )( 14.1) C ee ee ee x x x tt tt tt ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 32 2 3 3 2 1 0 02 0 ， 2) x@tD? - 1 9 ? -t HC@1D-10? 3t C@1D+3? 3t tC@1D+2C@2D-2? 3t C@2D- 3? 3t tC@2D-C@3D+? 3t C@3D-3? 3t tC@3DL,y@tD? - 1 3 ? -t H-C@1D+? 3t C@1D-2C@2D-? 3t C@2D+C@3D-? 3t C@3DL, z@tD?- 1 9 ? -t H4C@1D-4? 3t C@1D+3? 3t tC@1D+8C@2D- 8? 3t C@2D-3? 3t tC@2D-4C@3D-5? 3t C@3D-3? 3t tC@3DL 3)答案如 2，代入初值即可。 4) ])2()21()1[( 2 1 )(],)2()2(4[ 2 1 )( )22(2)22(2 tititittititit eieieie i tyeieieetx +?+? +++?? ?? =++?+? ? = 15、 16 题略 17.提示：分段求解微分方程组即可 18.（ 1）只需对第二个方程求导，解出 12 , di di dt dt ，既可 （ 2） 2 3 1 2 3 2 22 (cos 2 2 sin ) 33 2 32 sin 3 t t ie t t ie t ? ? ? =? ? ? ? ? =? ? ? 19 题参看动态演示 5 返回 答案 5.1 1.1) 解 , )( sxrx dt dx ?= ① 当 0)0( =x ,则 0)0,0,( =tx ② 当 s r x =)0( ，则 s r tx =)0,0,( 。 ③ 当 ,,0)0( s r x ≠ 则解此方程 令 0 1 =?+= Szr dt dz z x )1( rt ces r x ? + = 当 0)0(,0,0 >>> xsr 时，从解的形式看出 s r xtx t = +∞→ ),0,(lim 0 2） 解：讨论 ①、② 同上 ③ 若 ,,0)0( s r x ≠ )1( rt ces r x ? + = 而 1 )0( ?= sx r c ，当 ),()0(,0,0 +∞?∞∈<< xsr a) 若 s r cs r x > + = )1( )0( ，则 c<0 01 )0( <?= sx r c 而此时，当 r sx r t 0 1 1 ln ? ?→ 时， 01 →+ ?rt ce +∞→)(tx b) 当 s r cs r x < + = )1( )0( ，则 01 0 >?= sx r c ，当 +∞→t 时， rt cesr ? +<< 1,0,0 单调递增 0)(lim =∴ +∞→ tx t 3）解：方程奇点为 σ ε ?== )(,0)( txtx ，由题意， >> σε ,0 0 且 0)0( ≥x ∴ σ ε ?=)(tx （舍去） ① 若 0)0( =x ,则 0)0,0,( =tx ② 若 0)0( >x ,解原方程有 σ σ ε σ ε ε >> ? = ? = ? c c x ce tx t ,0)0(,)( 当 ε σ ε σ + + ?→ 0 ln x t 时， +∞→)(tx 4）解：方程奇点为 2)(,1)(,0)( === txtxtx ① 若 ,0)0( =x 则 0)0,0,( =tx ② 若 ,1)0( =x 则 1)1,0,( =tx ③ 若 ,2)0( =x 则 2)2,0,( =tx ④ 若 2,1,0)0( ≠x 时， a) 当 )(,01)(0 tx dt dx tx ><< 是单调增，有上限 1)( =tx b) 当 )(,02)(1 tx dt dx tx <<< 是单调减，有下限 1)( =tx c) 当 )(,02)( tx dt dx tx >> 是单调增，无上界 . 5) 该方程奇点为 1)(,0)( ±== txtx ① 当 ,0)0( =x 0)0,0,( =tx ② 若 ,1)0( =x 1)1,0,( =tx ③ 若 ,1)0( ?=x 1)1,0,( ?=?tx ④ 若 1,0)0( ±=x 时， a) +∞→>> +∞→ )(lim01)( tx dt dx tx t b) 0)(lim01)(0 =<<< +∞→ tx dt dx tx t c) 1)(lim01)(1 ?=<<<? +∞→ tx dt dx tx t d) 1)(lim01)( ?=>?< +∞→ tx dt dx tx t 6) 该方程奇点为 kxx == ,0 ① 当 0)0( =x 则 0)0,0,( =tx ② 当 kx =)0( 则 kktx =),0,( ③ 当 0)0( ≠x 及 k 时， a) ktx << )(0 时， ktx dt dx t => +∞→ )(lim0 b) ktx >)( 时， ktx dt dx t =∴< +∞→ )(lim0 2．解 : ∫ =∴ ∫ =∴= t t t t dssadssa extxcetxxta dt dx 00 )()( )0()()()( ① )0()(,0,0 0 xtxx =?>=?>? εδε , 只要 δ<? ∫ ||)0(|| 0 )( 0 xex t t dssa 即 Me t t dssa ≤ ∫ |||| 0 )( (M 为常数 ), 就有 εδ =<? ∫ < ∫ ? ∫ ||)0(||||)0(|| 0 )()( 0 )( 000 xexexex t t t t t t dssadssadssa 对于所有的 0 tt ≥ 成立 . ∴称 ∫ = t t dssa exx 0 )( 0 是稳定的 . ② 若方程的解是稳定的 .且 00 (0 δδ > 为常数 ), 对 0 0 >?δ 有 00 )( ||)0(|| 0 δ<? ∫ xex t t dssa 即 0lim 0 )( = ∫ +∞→ t t dssa t e , 则 ∫ = t t dssa exx 0 )( 0 是渐近稳定的 . 3． （参见书中 例 5.1.5 的 maple 程序） 4． .解 : 1) 0=?+ tx dt dx 1)0(1 =+?= ? xcetx t 211)0( ==?= ccφ tt exttxett ?? ++?=+?= )1(1)(21)( 0 φ 0 )0(,0,0 xx =?>=?>? εδε 只要 ,||1|| 0 δ<?x 就有 εδ =<?<?=?+??+? ??? ||1||||)1(||||211)1(|| 000 xexettex ttt t ettx ? +?=∴ 2)1()( 是稳定的 . 00 (0 δδ >? 为常数 ), 00 ||1|| δ<?? x 0lim||)1(||lim||211)1(||lim 000 =<?=?+??+? ? +∞→ ? +∞→ ?? +∞→ δ t t t t tt t eexettex ∴ 解 t etx ? +?= 21 是渐近稳定的 . 2) , 2 3 t xx dt dx ? = 可解得 t tx 1 1)( ?±= 证明与（ 1）类似。解是稳定的 5．证明: 1) 0>r 时 , 0 1 sinlim, 1 sin 2 0 2 == → r r r r dt dr r 而 0=r 时 , 0= dt dr ∴ 平衡点 (0 , 0)稳定 . 而不渐进稳定的判断是：原方程的解是 1 1 arccos 2 2 1 ? + = ? t t ce ce r ，∴ ∞=rlim ， )( ∞→t ∴ r 在 (0,0)处非渐近稳定 . 2) 参看书中 maple程序 返回 答案 5.2 1．解： 解曲线是： txytxx sincos 00 == 相平面的轨线是： 2 0 22 xyx =+ 2．解： 由方程组1） ,, cyx y x dy dx == 过点（ 1， 2） xy 2=∴ ，由非自治系统 10 1 ??==?? tecxtx dt dx t t ecyy dt dy 2 == 过点（ 1， 2）∴ 0 2 1 2 2 t c c ?= 即 1 2 2 0 ?? ? = ty tt x 3．证明： 0000 yxxycyxcyx y x dy dx ===∴= ， 当 0 tt = 时，从 ),( 00 yx 出发的解与时间参量 t 无关，也与 0 t 无关 . ∴ 此系统为自治系统，可以被时间控制 . 4．证明 : 1) 性质 4: 设有两条轨线 )(),( tyytxx == 及 0,)(),( 0 >??+=+= TtTtyyTtxx 有 )()(),()( 0000 TtytyyTtxtxx +==+== ∴ 两条轨线交于同一点 ))(),(( 00 tytx ,由性质 2 可知 . 由解的存在唯一性定理 . 过相平面上 ?一点 ),( 00 yx 系统有且仅有一条轨线通过 . )()()()( TtytyTtxtx +=+=∴ 2) 性质 5： (反证法 ) 若系统出发于 ?非奇点的轨线在有限时间内达到某奇点 ),( ?? yx , 即有一轨线过点 ),( ?? yx , 而系统又 ?一条常轨线 ,, ?? == yyxx 由解的 ?唯一性定理 , 两条轨线不可能交于同一点 ?? == yyxx , . ∴ 性质 5 得证 . 5 解 : 由方程可得 , 该方程组有 4 个平衡点 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1212 1121 1221 2212 1 1 2 2 ,)0,(),0()0,0(0 βααβ βα βαβα αβ αβ rrrr C r B r A 过 C 中各点均大于 0, 讨论正平衡点 C 的稳定性. 即 0)(,0)(,0)( 1121122212 2 >?>?>? rrrr βαβααβαβ 返回 答案 5.3 1． 1) 鞍点 2) 不稳定结点 3) 鞍点 4) 稳定的临界 &退代结点 5) 稳定焦点 6) 中心点 7) 不稳定焦点 8) 稳定结点 2. 1）解: ? ? ? =? =?+ 0 02 yx yx ? ? ? = = 1 1 y x 奇点为(1,1),令 1,1 ?=?= yYxX 代入 可判断奇点是鞍点 图中渐近线的斜率是： 21, 1 1 ±?= + ? == K K K K dX dY 2）解: ? ? ? =+? =?? 012 022 yx xy ? ? ? = ?= 0 1 y x 令 yYxX =+= ,1 代入，可判断是稳定结点 1, 2 21 ±= +? ? = K K K K 3）解: ? ? ? =+? =++ 052 01 yx yx ? ? ? = ?= 1 2 y x 令 1,2 ?=+= yYxX ，代入可判断是稳定焦点 取极坐标变换, θθ sin,cos rYrX == θ θ θ 2 cos1),12sin 2 1 ( +=?= dt d r dt dr 4）解: ? ? ? =+? =? 0 0 x y δγ βα ? ? ? ? ? ? ? = = β α δ γ y x 令 β α δ γ ?=?= yYxX , 判断是中心点, 取极坐标变换, θθ sin,cos rYrX == ? ? ? ? ? ? ? <+?= ?= 0sincos 2sin)( 2 1 22 θδθβ θ θγβδ γ dt d dt d 0,0 >>? dt dγ βδ 为稳定焦点, βδ = 为中心, βδ = 为稳定焦点 图形为顺时针方向 3.解: 1) 证明: ? ? ? ? ? ? ? += += dycx dt dy byax dt dx []dabcaddabcda dc ba ??=+++?=???= ? ? λλλλλλ λ λ )())(( 2 A 为常数矩阵 0=?== bcad dc ba A ∴ 系统没有孤立奇点,而非孤立奇点充满了一条直线. 2) 由1)知, da +== λλ ,0 ,解此方程组 [ ] tdatda ecdad b yeccx )( 2 )( 21 )( 1 , ++ +== ① 若 byddacxb =+?≠ ))((,0 1 , 即 1 )()( cda b d xda b d y +?+= y与x 之间为线性关系, 故相平面上轨线为一族平行线 )( da b d K += ② 若 0=b , 则若 a &若 d 必有一个为 0, 设若 11 (,0,0 ccxda =≠= 为常数), x d c y ?= 仍为一族平行线, 同理, 0,0 =≠ da 也可得类似结果. 3) (图略) 4： 不稳定退化结点 q 2 4p q= 不稳定焦点 中 稳定焦点 心 稳定的退化结点 点 不稳定结点 稳定的结点 0 鞍点 p 5.解: 原振于的振动方程可化为 ? ? ? ? ? ? ? ??= = )( 1 cykx mdt dy y dt dx 令 0== dt dx dt dy ，可得（0，0）是奇点 又∵ 00 >=>= m k q m c p ∴ 04 2 2 >?=Δ m k m c , 奇点(0,0)为稳定结点； 0<Δ ，奇点（0，0）为稳定焦点 0=Δ ，奇点（0，0）为稳定临界—退代结点。 返回 答案5.4 1. 1) 解: 0 2 lim 2 22 2 )0,0(),(22 ==≤ + ≤ ? =? → xy xy xy xy yx xy xy xyxy yx 0lim 22)0,0(),( = + ∴ → yx xy yx 此几乎线性系统可等效为线性系统 奇点类型是：稳定焦点 2) 0lim 22 22 )0,0(),( = + + → yx yx yx ，奇点类型：不稳定的临界&退代结点 3) 同 1),2) 0 )( lim 22 22 )0,0(),( = + + > yx yxx yx 0 )( lim 22 22 )0,0(),( = + + → yx yxy yx 奇点类型：稳定焦点 4) 用极坐标代换 θθ sin,cos ryrx == = + + → 22 22 )0,0(),( 2 lim yx yx yx 0 sincos2 lim 2222 0 = ? → r rr r θθ = + → 22 3 )0,0(),( lim yx x yx 0 cos lim 33 0 = → r r r θ 奇点类型：鞍点 5) 用极坐标代换 θθ sin,cos ryrx == = + → 22 2 )0,0(),( lim yx yx yx μ 0 sincos lim 223 0 = → r r r θθμ ? ? ? ? ? < = > ?=Δ>< 0 0 0 4,0,0 2 μqp 不稳定结点/不稳定临界&退代结点/不稳定焦点 6）由等价无穷小的公式 xxxe x ~sin,~1 ? ? 奇点类型：不稳定焦点 7）同6） yy y y ~sin, 2 ~cos1 2 ? 奇点类型：中心点 8) 由等价无穷小 yxeyy yx +?+?+ + ~1,2~244 yyxaax 4~)41ln(,~sin ?? 1?<a 时 ? ? ? ? ? <?< =?= >?<<? > 08 08 018 0 qa qa qa p 稳定结点/中心/鞍点 2．1） = + → 22 2 )0,0(),( lim yx y yx 0 sin lim 22 0 = → r r r θ 奇点(0,0) (-1,1) ? ? ? ? ? ? ? += = yx dt dy x dt dx 12 11 01 2 ++= ? ? λλ λ λ 000 ><=Δ qp (0,0)为不稳定的临界&退代结点 令 X=x+1，Y=y-1 代入则 ? ? ? ? ? ? ? +?= += 2 2 YYX dt dY YX dt dX 可求得 p=1，q=-3∴(-1,1)是鞍点 2). ? ? ? = =? 3 01 yx xy ? ? ? = = 1 1 y x ? ? ? ?= ?= 1 1 y x ① 作平移变换, 令 1,1 ?=?= yYxX , 有 ? ? ? ? ? ? ? ???=????+=+?+= ???=????=++?= YYYXYyYXYX dt dY XYYXXYYXYX dt dX 331331)1()1( 11)1)(1(1 23233 易证 0lim 22)0,0(),( = + → YX XY yx 0 3 lim 22 23 )0,0(),( = + + → YX YY yx ∴ ? ? ? ? ? ? ? ?= ??= YX dt dY YX dt dX 3 441)3)(1( 31 11 2 ++=+++= ?? ??? λλλλ λ λ 有(1,1)处 000 =Δ>> qp 稳定结点(退代&临界) ②在（-1，1）处，奇点是鞍点 3） ? ? ? =?? =?? 0)23( 0)1( yxy yxx ? ? ? = = 0 0 y x ? ? ? ? ? = = 2 3 0 y x ? ? ? = = 0 1 y x ? ? ? = ?= 2 1 y x ① （0，0）为奇点， 不稳定结点 ② 2 3 ,0( ） 令 2 3 ?= yY 代入 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????=????+?= +?+?+= ?? ? =+??= 22 2 22 2 2 3 36 2 9 2 2 9 2 3 3 ) 2 3 (2) 2 3 () 2 3 (3 2 1 ) 2 3 ( YXYXYYYXYXY YYXY dt dY XYXXYXXX dt dX 可判断 ) 2 3 ,0( 是稳定结点 ③令 yYxX =?= ,1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??=???=?+?= ????= ?????+=+?+?+= 222 2 22 22232)1(3 121)1()1()1( yxyyyxyyyyyxy dt dY xyxyx yxyxxxyxxx dt dX 可判断（1，0）是 鞍点 ④令 2,1 ?=+= yYxX 代入 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ????=???++??+= +?+??+= ??++=++??+??= +?????= 22 2 22 2 2248822263 )2(2)2)(1()2(3 22121 )2)(1()1()1( YXYXYYYYXXYY YYXY dt dY XXYYXYXXYXXX YXXX dt dX 可判断（-1，2）是 鞍点 4） ? ? ? =? =? 0 01 22 yx y ? ? ? = = 1 1 y x ? ? ? = ?= 1 1 y x 与前面方法类似， （1，1）稳定焦点； （-1，1） 鞍点 3．解：1） ? ? ? =?? =?? 0)( 0)( 222 111 xyy yxx βαγ βαγ ? ? ? = = 0 0 y x ? ? ? ? ? = = 2 2 0 α γ y x ? ? ? ? ? = = 0 1 1 y x α γ 正平衡点 * x = 2121 2112 ββαα γβγα ? ? * y = 2121 1221 ββαα γβγα ? ? 2）代换验证即可（略） 3）令 ** yyYxxX ?=?= ， 则代入即可知平衡点是稳定的结点 4．解：1） ? ? ? ? ? ? ? ??= = )()( xgyxC dt dy y dt dx 2） ? ? ? =?? = 0)()( 0 xgyxC y ? ? ? = = 0 0 y x ∴ 系统奇点为（0，0） ，令 ),( )()( yxbyaxgyC xx ?++=?? ，用泰勒公式 ∵ 2 )()( 1 )0()( , Rxx CgCC ∈∈? ∴ [] ),() !2 ()0()0( 2 " )0( ' )()0( 1 yxbyaxx g xggyxCC x ?++=+++?++? nullnull ),( )0( )( ' yxyCxg dt dy x ?+??= 易证 0),(lim )0,0(),( = → yx yx ? ? ? ? ? ? ? ? ??= = ∴ yCxg dt dy y dt dx )0( ' )0( 3）证明： ' )0()0( 2 )0( ' )0( 1 gC Cg ++= ??? ? λλ λ λ ' )0()0( ' )0( 2 )0( 4 gqCpgC ==?=Δ 若 ,0,0 ' )0()0( >> gC 即 0,0 >> qp ，则奇点是渐近稳定点. 若 0 )0( <C 或 ,0 ' )0( <g 即 0<p 或 0<q ，奇点均为不稳定奇点. 5 证明:1) (充分性) K t <Φ )( ,即 , ? 0>ε [ )∞+∈?>? ,,0, 0 ttK ,则有 ε<?Φ K t)( ∴ 零解稳定. (必要性) 系统零解稳定,即 [ )∞+∈?>?>? ,,0,0 0 ttKε , ε<?Φ K t)( ∴ K t <Φ )( 2) 系统零解渐近稳定 00)(0 (,0 0 δδδ <Φ>?? t 是 ?常数), 均有 0lim0lim )()( =Φ?=Φ +∞→+∞→ t t t t 6 解: 1) 令 yyyyyy ==′′=′ 132 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 1 3 2 1 2 100 010 y y y aby y y 特征方程 22)( 2 10 01 232 ????=??+?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? λλλλλλ λ λ λ baba ab ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?? =Δ 200 2 01 ab a a?=Δ 1 2 2 ?=Δ ab )2(242 3 ??=+?=Δ abab 与 2 Δ 异号 ∴ 零解不稳定. 2) 令 ' 34 ' 23 ' 121 yyyyyyyyyyy =′′′==′′==′== ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? = ′ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 2 1 4 3 2 1 230 1000 0100 0010 y y y y ay y y y 特征方程是： a+++ 234 32 λλλ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =Δ a a 000 300 1230 0012 02 1 >=Δ 06 2 >=Δ a4 3 ?=Δ 04)4( 00 230 012 2 4 ≤?=?==Δ aaa a a ∴ 零解不稳定 3）原方程组在（0，0）点处的线性近似方程组的系数矩阵为 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 111 011 112 A 特征方程是 031 3 =?+ λλ 0 )0( =F 且 0lim )0( 0 = → x F x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =Δ 100 031 010 0 1 =Δ 1 2 =Δ 1 3 =Δ ∴ 零解稳定 4） 0 )0( =F 且 0lim )0( 0 = → x F x 0)1)(2()1(2)1( 100 01 02 22 =?+=?+?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? =? λλλλλ λ λ λ λA 1=λ i2±=λ 非线性系统显然是不稳定的. 返回 答案 5.5 1.解 : 1) 变号函数 2）定正函数 3）定正（当 <+ 22 yx π ） 4）定正 5）变号 6）常正 2.解 : 1) 22 ),( yxyxV += 0)(2 ),( 4224 ≤++?= yyxx dt yxdV ∴零解渐近稳定 . 2) 22 2),( yxyxV += )(4)2 2 1 (2 323 yyxyxx dt dV ?++?=∴ 0)2( 222 ≤??= yx 零解稳定 . 3) 22 2),( yxyxV += ) 2 1 (4)2(2 3223 yyxxyyyxx dt dV +++?= )(4)(2 2222 yyxyyx ?++= 零解非稳定 . 4) 22 ),( yxyxV += )2(2)2(2 223 xyyyxx dt dV ?++?= 02 4 <?= x 零解稳定 . 3.证明 : )(xV 为定义在 Hx ≤ 上的单值实连续函数 ,且具有连续偏导数 , 则 )(xV? 也为单 值连续且有连续偏导 )0(0)0( VV ?== 若在 Hx ≤ 内恒有 0)( ≥xV , 即 0)( ≤? xV , 则 )(xV? 为常负的 . 4.证明 : 设 22 2)( cybxyaxxV ++= 定正 , ( ),0( 2 acba <≥ , 不失一般性 , 设 cba ,, 均不 等于 0， λλ (? 为一常数 ) λ=++ 22 2 cybxyax λ=?++ 2 2 2 )()( y a b cy a b xa 此方程即为包围原点的平面闭曲线的方程 5.解 : )),(()),(( yxyfxyyxxfyx dt dV ??+?= ),()( 22 yxfyx +?= ① 若 0|),( )0,0( >yxf , 渐近稳定 ② 若 0|),( )0,0( <yxf , 不稳定 ③ 若 0),( =yxf ，则是稳定的 6． 解： 1） 24 2),( yxyxV += 可判断是：渐近稳定 . 2） =),( yxV 22 yx + 带入验证知 渐进稳定 3） 24 ),( yxyxV += 定正 0<α 渐近稳定 0=α 稳定 0>α 不稳定 4) 不稳定 5) 不稳定 提示：找一个变号函数，其导数是正定（常正） ，即判断是不稳定的。 6) 222 2)( zyxxV ++= 可判断是： 渐近稳定 7.解 : ? ? ? ? ? ? ? ??= = )(),( xfyxg dt dy y dt dx 设 =),( yxV ∫ + x dssf y 0 2 )( 2 = dt dV -yg(x,y) 0≤ ∴零解是稳定的 8.证明 : 1) 0),( ** =yxV )1( * 1 x x c x V ?= ? ? = ? ? y V － C ㏑ y y * 2 * 1 2 2 x xc x V = ? ? 0 2 = ?? ? yx V ∴ ),( yxV 为 2 + R 内部的正定函数 . (2)证明：带入验证即可（略） 9.证明 : 22 ),( yxyxV += 正定的 )222(2)2(2 422 xyxyxyxyx dt dV ++??+?= yxyxyxyxxy 43222 442424 ++???= )24)(()(422 22222222 ?+=++??= yxyxxyyxyx 当 4 02 2 <?yx ，即局部范围内考虑， （ 0， 0）是渐进稳定的 10.证明 : 构造 )cos1( 2 1 ),( 2 xkyyxV ?+= 定正的 2 )sin()(sin yyxkyyxk dt dV ββ ?=??+= 00 <∴> dt dV β ∴ (0,0)渐近稳定 . 返回 答案 5.6 1.解： 1) 令 θθ sincos ryrx == )(1 1 1 00 2 ttr dt d r dt dr ??== ? ? ? ? ? ? ? ?= ?= θθ θ 周期解 1=r , 即以 (0,0)为心半径 1 的圆是极限环 当 10 << r 时 , 0> dt dr 轨线按顺时针方向从 Rr = 走出圆外 ; 当 1>r 时 , 0< dt dr 轨线按顺时针方向从 Rr = 走进圆内 . 以 (0,0)为心 , 半径为 1 的圆为稳定的极限环 . 2) )(0 00 ttr ?+== θθ )(1 00 ttr ?+== θθ 当 10 << r 时 , 0> dt dr 轨线按逆时针方向从 Rr = 走出圆外 ; 当 1>r 时 , 0< dt dr 轨线按逆时针方向从 Rr = 走进圆内 . 以 (0,0)为奇点 , 1=r 为稳定的极限环 . 3) )(0 00 ttr ?+== θθ )(1 00 ttr ??== θθ 当 10 << r 时 , 0> dt dr 轨线按顺时针方向从 Rr = 走出圆外 ; 当 1>r 时 , 0< dt dr 轨线按顺时针方向从 Rr = 走进圆内 . 以 (0,0)为奇点 , 1=r 为稳定的极限环 4) )()12(20sin zkkrkrr ∈+=== ππ π π π krk 2 2 2 <<? 时 , 0< dt dr 轨线按逆时针方向从 Rr = 走进圆内 ; 2 22 π ππ +<< krk 时 , 0> dt dr 轨线按逆时针方向从 Rr = 走出圆外 . πkr 2= 为不稳定日极限环 （ zk ∈ ） π π π krk 2 2 2 <<+ 时 , 0> dt dr 轨线按逆时针方向从 Rr = 走出圆外 ; ππππ 2 3 22 +<<+ krk 时 , 0< dt dr 轨线按时针方向从 Rr = 走进圆内 . π)12( += kr 为稳定的极限环 ( ? ∈ zk ) 5) )(0 00 ttr ??== θθ )(2 00 ttr ??== θθ )(3 00 ttr ??== θθ 20 << r 时 , 0)3)(2( <??= rrr dt dr 轨线按逆时针方向从 Rr = 走进圆内 ; 32 << r 时 , 0)3)(2( <??= rrr dt dr 轨线按逆时针方向从 Rr = 走进圆内 ; 3>r 时 , 0> dt dr 轨线按逆时针方向从 Rr = 走出圆外 . 即 3,2 == rr 均为不稳定的极限环 . 2.证明： θθ sincos ryrx == ? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ? ?=? dt d r dt dr x dt d r dt dr y dt dy x dt dx y θ θθ θ θθ cossinsincos.. ? ? ? ? ? ? +? ? ? ? ? ? ? ?= dt d r dt dr r dt d r dt dr r θ θθθ θ θθθ cossincossincossin dt d r θ 2 ?= 3.解： 1) 0)( =rf 时 , r 存在且 0≠r , 系统有极限环 Rr = 2） ① 当 Rr <<0 时 , 0)( >= rf dt dr , 当 Rr > 时 , 0)( <= rf dt dr ,则极限环是稳定的 . ② 当 Rr <<0 时 , )0(0)( <>= rf dt dr 当 Rr > 时 , )0(0)( <>= rf dt dr 极限环是半稳定的 . ③ 当 Rr <<0 时 , 0)( <= rf dt dr , 当 Rr > 时 , 0> dt dr , 极限环是不稳定的 . 3） 0)3)(1()2( 2 =??? rrrr 10 << r 时 , 0> dt dr 轨线沿逆时针方向从 Rr = 走出圆外 ; 21 << r 时 , 0< dt dr 轨线沿逆时针方向从 Rr = 走进圆内 ; 32 << r 时 , 0< dt dr 轨线沿逆时针方向从 Rr = 走进圆内 ; 3>r 时 , 0> dt dr 轨线沿逆时针方向从 Rr = 走出圆外 . 1=r 稳定的极限环 , 2=r 半稳定的极限环 , 3=r 不稳定的极限环 . 4.解： )(1 00 ttr ?+== θθ ① 当 10 << r 时 , θθ 22 sin,0)sin(,0 ?<<+> aa dt dr ，轨线沿逆时针走出圆外 1>r 时 , << a dt dr ,0 θ 2 sin? 时，有稳定的极限环； ② 10 << r 时 , θ 2 sin,0 ?>< a dt dr 1>r 时 , 0> dt dr ∴ θ 2 sin?>a 时，有不稳定的极限环。 5.证明： 1) 024231 22222 >++=++++= ? ? + ? ? yxyxx y g x f 且 gf , 在某个单连域 R 内连续可微 , y g x f ? ? + ? ? 在 R 内的任何子域内不恒为 0, 即 其在 R 内不 ?闭轨线 ; 2) 0112 2222 <???=?+??= ? ? + ? ? yxxy y g x f gf , 在某 ?单连域 D 内连续可微 , y g x f ? ? + ? ? 在 D 内 ?子域内不恒为 0, 其在 D 内不 ?闭轨线 ; 3) gf , 在 ?单连域 D 内连续可微 222222 2)(12)(4 yyxxyx y g x f ++++++++= ? ? + ? ? 03)(4 22 >++= yx y g x f ? ? + ? ? 在 D 内 ?子域不恒为 0, 其在 D 内不 ?闭轨线 . 4 ）令 yx = ' ，则原方程可化为： ? ? ? ? ? ? ? ??= = )(yFx dt dy y dt dx ，取 )( 2 1 ),( 22 yxyxV += 。则 0)( ≤?= yyF dt dv ，所以方程解是渐进稳定的，因此 也就不存在非零的周期解。 返回 答案 5 1.解 : 1) 3 5 0035 2 ===? xxxx 解是稳定的 . 2) 2, 2 1 ,0 === xxx 2,0 == xx 为稳定解 , 2 1 =x 为不稳定解 3) kxx == ,0 解为稳定解 . 4) 3,0 == xx 0=x 解稳定 , 3=x 解不稳定 . 2．参照定义 1）稳定的 2）不稳定 3）稳定 4） 0>λ ，不稳定； 0<λ ，稳定 3. 用 Maple 作图（参考书中例子） 4． 1）解： 0 )sin(cos limlim 222 022 22 )0,0(),( = ? = + ? →→ r r yx yx ryx θθ 0 sin.cos limlim 222 022 2 )0,0(),( == + →→ r rr yx yx ryx θθ ∴ 方程组 ? ? ? ? ? ? ? += ?= yx dt dy yx dt dx 22121 11 11 22 +?=+?+= ? ?? λλλλ λ λ 0,0,0 <Δ>< qp 不稳定焦点 2） 同理 0lim,0lim 22 34 )0,0(),(22)0,0(),( = + + = + →→ yx yx yx xy yxyx ? ? ? ? ? ? ? ?= +?= yx dt dy yx dt dx 32 012,0,0 >=Δ>> qp 稳定结点 3） 。 yy y yye y ~sin, 2 ~1cos,~1 2 ??? ? ? ? ? ? ?= ++=??++= ∴ yxy y yx y yxx 23 2 ) 2 1()1( 22 null null 0 2 lim 22 2 )0,0(),( = + → yx y yx ? ? ? ?= += yxy yxx 23null null 0,0,0 >Δ<> qp 鞍点 4) 0 sin lim 22)0,0(),( = + ? → yx xx yx ? ? ? += += byaxy xyx null null ababbabqbp 4)1()(4)1(),(),1( 22 +?=??+=Δ?=+?= ,0,0 <> qp △ >0，稳定结点；△ <0，稳定焦点；△ =0，稳定的临界结点 0,0 <> qp 鞍点 0,0 >< qp ，△ >0，不稳定结点；△ <0，不稳定焦点；△ =0，不稳定临界结点 0,0 << qp 鞍点 5) 0lim 22 2 )0,0(),( = + → yx y yx 0lim 22 2 )0,0(),( = + → yx x yx ? ? ? ?= += ybxy ayxx 3null null )4(4)3(44),3(,0 +=++=Δ+?=> abababqp 0,0 >Δ>q 稳定结点 0,0 <Δ>q 稳定焦点 0<q 鞍点 5.解： 1) )( 2 1 ),( 22 yxyxV += 稳定但非渐进 2） )( 2 1 ),( 22 yxyxV += 稳定但非渐进 3） )( 2 1 ),( 22 yxyxV += 稳定的 4） )( 2 1 ),( 22 yxyxV += 0<α 渐近稳定 0=α 稳定 0>α 不稳定 6 (0, ]H ()f x 如果在 [,0)H? 上单增，在 (0, ]H 上单减，则零点是稳定的；反之，不稳定 7.解： 1）不稳定焦点 2）鞍点 3）不稳定结点 4）不稳定的临界结点 5）稳定焦点 6)不稳定结点 7）不稳定的临界 &退化结点 8)不稳定的 8.解： accaca c ba ++?=??= ? ? λλλλ λ λ )())(( 0 2 22 )(4)()( caaccaacqcap ?=?+=Δ=+?= ① 0<q 鞍点 ② ? ? ? =Δ >Δ >> 0 0 00 qp 稳定结点 / 稳定临界 &退化结点 ? ? ? =Δ >Δ >< 0 0 00 qp 不稳定结点 / 不稳定临界 &退化结点 ③ 00 >= qp 中心 9.证明： bmanbmanmb ba nm ?++?=+?+= ??? ? λλλλλ λ λ 2 ))(( bmanqmbp ?==?= 0)( bm = 时 x nymx mb y byax ? +? === ? +? )()( 0)()( =+++∴ dynymxdxbyax 为全微分方程，反之，若 mb = ，但 0<?bman 时， （ 0， 0）为鞍点， 不是中心 . 10.解： 令 y dt dx = yxx dt dy )1( 2 ???= μ 2>μ (0,0)不稳定结点 20 << μ (0,0)不稳定焦点 2=μ (0,0)不稳定的临界 &退化结点 11. 解 : 1) 令 θθ sin,cos ryrx == ? ? ? ? ? ? ? ≠+??+= +?= 0cos2)coscos2sin( sin 1 cos2 223 22 θθθθ θ θ θ rrrrr dt d rr dt dr θ 2 cos 2 1 =∴ r 不是极限环 2） 1→r 时， r dt dr rr = ?? , 1 1 ~ 1 1 sin ， 但 1,1 =∴≠ rr 不是极限环 12． 证明： 令 θθ sin,cos ryrx == ? ? ? ? ? ? ? = = 1 sin dt d r dt dr θ γ )(0 00 ttr ?+== θθ + ∈?+== zkttkr ()( 00 θθπ ) ∴ 系统有无穷多个孤立轨线 . 返回