利用二重积分定义计算二重积分
复习,
ii
n
i
if ???? ?? ?
??
),(lim
10
,
? ???,
R
f x y d x d y
a x b
z
y
x
)(1 xy ??)(
2 xy ??
),( yxfz ?
)(xA
1、引例
12
(,) 0,
:
,,( ),( )
(,)
R
f x y
R
x a x b y x y x
a x b f x y dx dy
??
?
? ? ? ?
??
??
设函数
积分区域 由
，
组成的区域，求 。
dxdy.yf ( xb
a
( x )
( x )
])[ 2
1? ?
? ?
?
?? ??
D
b
a
A ( x) dxf ( x,y ) dx d y
所以：
y
Z
)(x1? )(x2?
),( yxfz ?
?? )( )( ),()( xx dyyxfxA 21??
截面面积为：
称为先 y、后对 x的二次积分
说明：
1 (,) 0f x y ?（ ）上式中，假定,实际不受此条件
限制。 )(
2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??2
X
（ ）引例中的积分区域如右图
我们称之为 —型。
X型区域的特点,穿 R内部的垂直于 X轴
的直线与区域边界的交点不多于两个
12
:
( ) ( )
a x b
R
x y x??
???
? ??
?
2
1
()
()
(,) (,)bx
ax
R
f x y d x d y d x f x y d y?
?
??? ? ?
1 R x b??（ ）将 投影到x 轴上，得到x 的范围，a 。
安置积分限的方法
(2)在（ a,b）内任取一点 x,通过此点作 x轴的垂线和
两条边界线的交点为 ? ? ? ?
12xx???
（ 3）类似的可以定义 Y— 型
Y— 型区域的特点,穿 R内部的垂直于 Y
轴的直线与区域边界的交点不多于两个。
)(2 yx ??)(1 yx ?? Dc
d
2
2
1
2 [,]
( ),( ),
( ) ( )
R y d
cd
y y x
y x y
??
??
??
??
1
1
（ ）将 投影到y 轴上，得到y 的范围，c 。
（ ）在 内任取一点y,通过此点作y 轴的垂
线和两条边界线的交点为 为 的范围
。
12
:
( ) ( )
c y d
R
y x y??
???
? ??
?
2
1
()
()
(,) (,)
dy
cy
R
f x y d x d y d y f x y d x
?
?
??? ? ?
安置积分限的方法
(4)既是 X— 型又是 Y— 型的区域
x
y
O
R
a b
d
c
? ? ? ?? ?2
1
,
bx
ax
R
f x y dx dy fdy dx
?
?
???
?????? ? ?? ?
? ?2
1
dy
cy
fd x d y
?
?
???
??????
.
321
???????? ???
DDDD
3D
2D
1D
0
（ 5）既不是 X— 型也不是 Y— 型的区域
R
1z x y? ? ?
o
z
y
x
例 1、求四个平面 z=1-x-y,x=0,y=0,z=0所围成
的四面体的体积。
应用举例
y
0 x
1
x 1
1xy??
11
00
(,) ( 1 )
x
R
f x y dx dy dx x y dy
?
? ? ??? ? ?
交点为（ 0,1）（ 1,0）
R ???? ??
?
0 x 1积分区域 可表示为：
0 y 1 - x
? ?
?
??
? ? ???
??
?
1
2
1
0
0
1
2
x
y
x y d x
1 2
0
11( 1 )
26
x d x? ? ??
注,作题步骤,
① 画出积分区域的图形,判断积分类型
② 求边界曲线交点坐标，确定积分限
③ 化二重积分为二次积分
④ 计算两次定积分，即可得出结果
2,
2
D
x y dx dy y x
yx
?
??
??计算 其中R是 由抛物线 及
所围成的闭区域。
例 2
解, （ 如图）将 R作 Y型
?
?
??? ? ? 222
1
y
y
R
x y d x d y d y x y d x
2
2
2
2
1 2
y
y
x
y d y
?
?
??
? ??
??
?
55
8
?
? ?2,4
2yx?
2?? yx
? ?1,1?
x
y
o
-1
2)( yx后先
2
12
:
2
y
R
y x y
? ? ??
?
? ? ??
② 将 R看作 X— 型。
注：为了计算方便要选择恰当的二次积分的次序
2yx?
2?? yx
? ?2,4
? ?1,1?
R1
R2
x
y
o 4
??12R R R
例 3 改变积分 ? ???
?
?
y y
dxyxfdydxyxfdy
2
0
3
0
3
1
1
0
),(),( 的
积分次序,
??
?
?
x
x
dyyxfdx
3
2
1
2
0
),(
,
积分区域如图
2
3
1
x
y
o
yx ?? 3
yx 2?
原式
解：
1
01:
02
yR
xy
????
??? 2
13:
03
yR
xy
????
? ? ??
02
,1
3
2
x
R
x y x
????
? ? ? ?
??
求 ?? ?
D
d x d yyx )( 2,其中 D 是由抛物线 2xy ? 和
2yx ?
所围平面闭区域,
围成．
由其中计算 2,
1
,.2
2
????? x
x
yxyDd
y
x
D
?
1、
2、
练习与巩固
例 1 求 ?? ?
D
d x d yyx )( 2,其中 D 是由抛物线
2xy ? 和 2yx ? 所围平面闭区域,
解：
两曲线的交点
),1,1(,)0,0(2
2
?
??
?
?
?
yx
xy
2xy ?
2yx ?
［ X－型］
?
?
?
??
??
xyx
x
2
10
?? ?
D
d xd yyx )( 2 dxdyyxx
x ])([? ? ??
1
0 2
2
dxxxxxx )](21)([ 4210 2 ???? ?
.14033?
2xy ?
2yx ?
［ Y－型］
??
???
??
??
yxy
y
2
10
?? ?
D
d xd yyx )( 2 dydxyxy
y? ? ??
1
0 2
2
])([
.14033?
D
例 2 2
2
1.,,2
D
x d x d y D y x y x
yx
? ? ???计算 其中 由
围成．
解,X-型
???? ? x
xD
dyyxdxdyx 1 2
22
12
2
?
? ??
?
?
?
?
??
2
1 1
2
dx
y
x
x
x
? ?? 21 3 )( dxxx,49?
1
:
12
yx
D x
x
? ??
?
?
? ???
），左边交点坐标为（ 11
)(2 xy ??
a b
D
)(1 xy ??
缩小图象
D
ba
)(2 xy ??
)(1 xy ??
［ X－型］
dxdy.yf ( xdxxAf ( x,y ) d x d y b
a
( x )
( x )
D
b
a
])[)( 2
1
? ??? ? ?? ??
小结
c
d
)(2 yx ??
)(1 yx ?? D
)(2 yx ??
)(1 yx ??
D
c
d
返回
［ Y－型］
2
1
()
()
(,) [ (,) ],
dy
cy
D
f x y d x d y f x y d x d y
?
?
??? ? ?
注,作题步骤,
① 画出积分区域的图形,判断积分类型
② 求边界曲线交点坐标，确定积分限
③ 化二重积分为二次积分
④ 计算两次定积分，即可得出结果