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第 2章 电路的分析方法
2.1 电阻串并联联接的等效变换
2.2 电阻星型联结与 三角型联结的等效变换
2.3 电压源与电流源及其等效变换
2.4 支路电流法
2.5 结点电压法
2.6 叠加原理
2.7 戴维宁定理与诺顿定理
2.8 受控源电路的分析
2.9 非线性电阻电路的分析
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本章要求：
1,掌握支路电流法、叠加原理和戴维宁定理等
电路的基本分析方法。
2,了解实际电源的两种模型及其等效变换。
3,了解非线性电阻元件的伏安特性及静态电阻、
动态电阻的概念，以及简单非线性电阻电路
的图解分析法。
第 2章 电路的分析方法
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2.1 电阻串并联联接的等效变换
2.1.1 电阻的串联
特点,
1)各电阻一个接一个地顺序相联；
两电阻串联时的分压公式：
URR RU
21
1
1 ?? URR
RU
21
2
2 ??
R =R1+R2
3)等效电阻等于各电阻之和；
4)串联电阻上电压的分配与电阻成正比。
R1U1
U
R2U2
I
+
–
+
+
– –
RU
I
+
–
2)各电阻中通过同一电流；
应用：
降压、限流、调节电压等。
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2.1.2 电阻的并联
两电阻并联时的分流公式：
I
RR
RI
21
2
1 ?? I
RR
RI
21
1
2 ??
21
111
RRR ??
(3)等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和；
(4)并联电阻上电流的分配与电阻成反比。
特点,
(1)各电阻联接在两个公共的结点之间；
RU
I
+
–
I1 I2
R1U R2
I
+
–
(2)各电阻两端的电压相同；
应用：
分流、调节电流等。
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2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等换
RO
电阻 ?形联结
Y-?等效变换
电阻 Y形联结
ROC
B
A
D
C
A
D
B
Ia
Ib
Ic b c
Ra
Rc
Rb
a a
cb
RcaR
bc
Rab
Ia
Ib
Ic
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2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等效变换
等效变换的条件：
对应端流入或流出的电流 (Ia,Ib,Ic)一一相等，
对应端间的电压 (Uab,Ubc,Uca)也一一相等。
经等效变换后，不影响其它部分的电压和电流。
等效变换
a
Cb
RcaR
bc
Rab
电阻 ?形联结
Ia
Ib
Ic
电阻 Y形联结
Ia
Ib
Ic b C
Ra
Rc
Rb
a
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2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等效变换
据此可推出两者的关系
)//(
)//(
)//(
bcabcaca
baabbccb
bacaabba
RRRRR
RRRRR
RRRRR
???
???
???条
件
等效变换
a
Cb
RcaR
bc
Rab
电阻 ?形联结
Ia
Ib
Ic
电阻 Y形联结
Ia
Ib
Ic b C
Ra
Rc
Rb
a
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2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等效变换
b
accbba
ca
a
accbba
bc
c
ccbba
ab
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
a
??
?
??
?
??
?
cabcab
bcca
c
cabcab
abbc
b
cabcab
caab
a
RRR
R
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
Y?? ??Y
a
等效变换
a
cb
RcaRbcRab
Ia
I
Ic
Ia
Ib
Ic b c
Ra
Rc
Rb
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将 Y形联接等效变换为 ?形联结时
若 Ra=Rb=Rc=RY 时，有 Rab=Rbc=Rca= R?= 3RY；
将 ?形联接等效变换为 Y形联结时
若 Rab=Rbc=Rca=R?时，有 Ra=Rb=Rc=RY =R?/3
2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等效变换
等效变换
a
cb
RcaR
bc
Rab
Ia
Ib
Ic
Ia
Ib
Ic b c
Ra
Rc
Rb
a
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例 1,对图示电路求总电阻 R12
R12
2?
1
2
2?
2?
1?
1?
1?
由图：
R12=2.68?
R12
C D
1
2?
1?
1?
0.4? 0.4?
0.8?
2
R12
1
0.8?
2.4? 1.4?
1?
2
1
2
2.684?
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例 2,计算下图电路中的电流 I1 。
I1
–+
4?
5?
8?
4?
4?
12V
a
b
cd
解,将联成 ?形 abc的电阻变换为 Y形联结的等效电阻
I1
–+
4?
5?
Ra
Rb
Rc
12V
a
b
cd
ΩΩ 2844 84
cabcab
caab
a ???
??
??? RRR
RRR
ΩΩ 1844 44b ??? ??R ΩΩ 2
844
48
c ???
??R
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例 2,计算下图电路中的电流 I1 。
I1
–+
4?
5?
8?
4?
4?
12V
a
b
cd
解：
I1
–+
4?
5?
Ra
2?
Rb
1?
Rc
2?
12V
a
b
cd
ΩΩΩ 52)1(5)24( )1(5)24( ????? ????R
A A 2.15121524 151 ????? ??I
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2.3 电压源与电流源及其等效变换
2.3.1 电压源
电压源模型
由上图电路可得,
U = E – IR0
若 R0 = 0
理想电压源, U ? E
U0=E
电压源的外特性
I
U
I
RLR
0
+
-E U
+
–
电压源是由电动势 E
和内阻 R0 串联的电源的
电路模型。
O
S R
EI ? 若 R
0<< RL, U ? E,
可近似认为是理想电压源。
理想电压源
O
电压源
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理想电压源（恒压源）
例 1：
(2) 输出电 压是一定值，恒等于电动势。
对直流电压，有 U ? E。
(3) 恒压源中的电流由外电路决定。
特点, (1) 内阻 R0 = 0
I
E
+
_ U
+
_
设 E = 10 V，接上 RL后，恒压源对外输出电流。
RL
当 RL= 1 ? 时,U = 10 V,I = 10A
当 RL = 10 ? 时,U = 10 V,I = 1A
外特性曲线
I
U
E
O
电压恒定，电
流随负载变化
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2.3.2 电流源
0
S R
UII ??
I
RL
U0=ISR0
电流源的外特性
I
U 理
想
电
流
源O
IS
电流源是由电流 IS
和内阻 R0 并联的电源的
电路模型。
由上图电路可得,
若 R0 = ?
理想电流源, I ? IS
若 R0 >>RL, I ? IS,可近似认为是理想电流源。
电流源 电流源模型
R0 UR
0
U
IS
+
－
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理想电流源（恒流源 )
例 1：
(2) 输出电 流是一定值，恒等于电流 IS ；
(3) 恒流源两端的电压 U 由外电路决定。
特点, (1) 内阻 R0 = ? ；
设 IS = 10 A，接上 RL后，恒流源对外输出电流。
RL
当 RL= 1 ? 时,I = 10A, U = 10 V
当 RL = 10 ? 时,I = 10A, U = 100V
外特性曲线
I
U
ISO
I
IS U
+
_
电流恒定，电压随负载变化。
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2.3.3 电压源与电流源的 等效变换
由图 a：
U = E－ IR0
由图 b：
U = ISR0 – IR0
I
RLR
0
+
–E U
+
–
电压源
等效变换条件,
E = ISR0
0
S R
EI ?
RLR0 UR0
U
IS
I
+
–
电流源
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② 等效变换 时，两电源的 参考方向 要一一对应。
③ 理想电压源与理想电流源之间无等效关系。
① 电压源和电流源的等效关系只 对 外 电路而言，
对电源 内部则是 不等效的。
注意事项：
例：当 RL= ? 时,电压源的内阻 R0 中不损耗功率，
而电流源的内阻 R0 中则损耗功率。
④ 任何一个电动势 E 和某个电阻 R 串联的电路，
都可化为一个 电流为 IS 和这个电阻并联的电路。
R0
+
–E
a
b
IS R0
a
b
R0
–
+E
a
b
IS R0
a
b
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例 1,求下列各电路的等效电源
解,
+
–
a
b
U2?
5V
(a)
+
?
+
–
a
b
U5V
(c)
+
?
a
+
-2V 5V U+
- b
2?
(c)
+
?
(b)
a
U
5A
2? 3?
b
+
?
(a)
a
+
–5V3?
2?
U
+
?
a
5A
b
U3?
(b)
+
?
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例 2,试用电压源与电流源等效变换的方法
计算 2?电阻中的电流。
A1A222 28 ??? ??I
解,
–
8V
+
–
2?
2V
+
2?
I
(d)
2?
由图 (d)可得
6V
3?
+
–
+
– 12V
2A
6?
1?
1?
2? I
(a)
2A
3?
1?
2?
2V
+ –
I
2A
6?
1?
(b)
4A
2?
2?
2?
2V
+ –
I
(c)
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例 3：
解,统一电源形式
试用电压源与电流源等效变换的方法计算图示
电路中 1 ?电阻中的电流。 2 ?
+
-
+
-6V 4V
I
2A3 ? 4 ?6 ? 1?
2A
3? 6?
2A I
4?
2?
1?
1A
I4?
2?
1?
1A
2?
4A
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A2A312 2 ????I
解：
I4?
2?
1?
1A
2?
4A
1?
I4?
2?
1A
2?
8V
+
-
I
4?
1?1A
4?
2A
I
2? 1?
3A
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例 3,电路如图。 U1＝ 10V,IS＝ 2A,R1＝ 1Ω，
R2＝ 2Ω,R3＝ 5 Ω,R＝ 1 Ω。 (1) 求电阻 R中的电流 I；
(2)计算理想电压源 U1中的电流 IU1和理想电流源 IS两端
的电压 UIS； (3)分析功率平衡。
解,(1)由电源的性质及电源的等效变换可得：
A10A
1
10
1
1
1 ??? R
UI A6A
2
210
2
S1 ????? III
a
I
RIS
b
I1
R1
(c)
IR1
IR1
RISR3
+
_
IU1 +_UIS
UR2
+
_U1
a
b(a)
a
IR1
RIS
+
_U1
b(b)
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(2)由图 (a)可得：
A4A4A2S1R －－－ ??? III
A2A510
3
1
R3 ??? R
UI
理想电压源中的电流
A6A)4(A2R1R3U1 ??? －－－ III
理想电流源两端的电压
V10V22V61S2S2IS ????????? IRRIIRUU
a
I
RIS
b
I1
R1
(c)
a
IR1
RIS
+
_U1
b(b)
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各个电阻所消耗的功率分别是：
W36=6×1== 22RIP R
W16=4×1== 22 111 ）（－RR IRP
W8=2×2== 22S22 IRP R
W20=2×5== 22333 RR IRP两者平衡：
(60+20)W=(36+16+8+20)W
80W=80W
(3)由计算可知，本例中理想电压源与理想电流源
都是电源，发出的功率分别是：
W60=6×10== 111 UU IUP
W20=2×10== SSS IUP II
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2.4 支路电流法
支路电流法,以支路电流为未知量、应用基尔霍夫
定律（ KCL,KVL）列方程组求解。
对上图电路
支 路数,b=3 结点数,n =2
1 2
b
a
?
?
E2
R2?
?
R3
R1
E1
I1
I3
I2
3
回路数 = 3 单孔回路（网孔） =2
若用支路电流法求各支路电流应列出三个方程
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1,在图中标出各支路电流的参考方向，对选定的回路
标出回路循行方向。
2,应用 KCL 对结点 列出 ( n－ 1 )个独立的结点电流
方程。
3,应用 KVL 对回路 列出 b－ ( n－ 1 ) 个 独立的回路
电压方程 （ 通常可取 网孔 列出 ） 。
4,联立求解 b 个方程，求出各支路电流。
b
a
?
?
E2
R2?
?
R3
R1
E1
I1
I3
I2 对结点 a：例 1,
1 2
I1+I2–I3=0
对网孔 1：
对网孔 2：
I1 R1 +I3 R3=E1
I2 R2+I3 R3=E2
支路电流法的解题步骤,
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(1) 应用 KCL列 (n-1)个结点电流方
程
因支路数 b=6，
所以要列 6个方程。
(2) 应用 KVL选网孔列回路电压方程
(3) 联立解出 IG
支路电流法是电路分析中最基本的
方法之一，但当支路数较多时，所需
方程的个数较多，求解不方便。
例 2,a
d
b
c
E –+
G
I2
I4
IG
I1
I3
I
对结点 a,I1 – I2 –IG = 0
对网孔 abda,IG RG – I3 R3 +I1 R1 = 0
对结点 b,I3 – I4 +IG = 0
对结点 c,I2 + I4 – I = 0
对网孔 acba,I2 R2 – I4 R4 – IG RG = 0
对网孔 bcdb,I4 R4 + I3 R3 = E
试求检流计
中的电流 IG。
RG
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支路数 b =4，但恒流
源支路的电流已知，
则未知电流只有 3个，
能否只列 3个方程？
例 3,试求各支路电流 。
b
a
I2 I342V
+
–
I112?
6? 7A 3?
c
d
1 2
支路中含有恒流源 。
可以。注意：
(1) 当支路中含有恒流源时, 若在列 KVL方程时，
所选回路中不包含恒流源支路, 这时，电路中有几
条支路含有恒流源，则可少列几个 KVL方程。
(2) 若所选回路中包含恒流源支路, 则因恒流源
两端的电压未知，所以，有一个恒流源就出现一个
未知电压，因此，在此种情况下不可少列 KVL方程
。
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(1) 应用 KCL列结点电流方程
支路数 b =4，但恒流
源支路的电流已知，则
未知电流只有 3个，所
以可只列 3个方程。
(2) 应用 KVL列回路电压方程
(3) 联立解得,I1= 2A,I2= –3A,I3=6A
例 3,试求各支路电流 。
对结点 a,I1 + I2 –I3 = – 7
对回路 1,12I1 – 6I2 = 42
对回路 2,6I2 + 3I3 = 0
b
a
I2 I342V
+
–
I112?
6? 7A 3?
c
d
当不需求 a,c和 b,d
间的电流时,(a,c)( b、
d)可分别看成一个结点。支路中含有恒流源 。
1 2
因所选回路不包含
恒流源支路，所以，
3个网孔列 2个 KVL方
程即可。
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(1) 应用 KCL列结点电流方程
支路数 b =4，且恒流
源支路的电流已知。
(2) 应用 KVL列回路电压方程
(3) 联立解得,I1= 2A,I2= –3A,I3=6A
例 3,试求各支路电流 。
对结点 a,I1 + I2 –I3 = – 7
对回路 1,12I1 – 6I2 = 42
对回路 2,6I2 + UX = 0
b
a
I2 I342V
+
–
I112?
6? 7A 3?
c
d
1 2
因所选回路中包含
恒流源支路,而恒流
源两端的电压未知，
所以有 3个网孔则要列
3个 KVL方程。
3+
UX–
对回路 3,–UX + 3I3 = 0
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2,5 结点电压法
结点电压的概念：
任选电路中某一结点为零电位参考点 (用 ? 表示 )，
其他各结点对参考点的电压，称为结点电压。
结点电压的参考方向从结点指向参考结点。
结点电压法适用于支路数较多，结点数较少的电路。
结点电压法,以结点电压为未知量，列方程求解。
在求出结点电压后，可应用基尔霍夫定律或欧姆定律
求出各支路的电流或电压。
b
a
I2 I3E+
–
I1R1
R2 IS R3
在左图电路中只含
有两个结点，若设 b
为参考结点，则电路
中只有一个未知的结
点电压。
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2个结点的 结点电压方程的推导：
设,Vb = 0 V
结点电压为 U，参
考方向从 a 指向 b。
111 RIEU ??因为
1
1
1 R
UEI ??所以
2,应用欧姆定律求各支路电流,
1
1
1 R
UEI ??
2
2
2 R
UEI ???
3
3 R
UI ?
1,用 KCL对结点 a 列方程：
I1 – I2 + IS –I3 = 0
E1+
–
I1 R1
U
+
－
b
a
E2
+
–
I2 IS
I3E
1
+
–
I1 R1 R2
R3
+
–
U
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将各电流代入
KCL方程则有：
321
1
R
UI
R
UE
R
UE ??????
S
2
整理得：
321
2
2
1
1
111
RRR
I
R
E
R
E
U
S
??
??
?
R
I
R
E
U
S
1
?
???
?
注意：
(1) 上式 仅适用于两个结点的电路。
(2) 分母是各支路电导之和,恒为正值；
分子中各项可以为正，也可以可负。
当 E 和 IS与结点电压的参考方向相反时取正号，
相同时则取负号。而与各支路电流的参考方向无关。
2个结点的 结点电压方程的推导：
即结点电压方程：
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例 1：
b
a
I2 I342V
+
–
I112?
6? 7A 3?
试求各支路电流 。
解,①求结点电压 Uab
R
I
R
E
U
1
S
ab
?
???
?
V18
V
3
1
6
1
12
1
7
12
42
?
??
?
?
A2 A12 18421242 ab1 ????? UI
A3 A618 6 ab2 ?????? UI A6 3183ab3 ??? UI
② 应用欧姆定律求各电流
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例 2,电路如图：
已知,E1=50 V,E2=30 V
IS1=7 A,IS2=2 A
R1=2 ?,R2=3 ?,R3=5 ?
试求：各电源元件的功率。
解,(1) 求结点电压 Uab
21
2S1S
2
2
1
1
ab
11
RR
II
R
E
R
E
U
?
???
? V24V
3
1
2
1
27
3
30
2
50
?
?
???
?
注意：
恒流源支路的电阻 R3不应出现在分母中 。
b
+
–
R1
E1
R2
E2
R3IS1
IS2
a
+
_
I1 I2
+U
I1–
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(2) 应用 欧姆定律求各电压源电流
1
ab1
1 R
UEI ?? A13A
2
2450 ???
A18A
3
2430
2
ab2
2 ?
????
R
UEI
(3) 求 各电源元件的 功率
（因电流 I1 从 E1的,+”端 流出,所以 发出 功率）
（ 发出 功率）
（ 发出 功率）
（因电流 IS2 从 UI2的,–”端 流出,所以 取用 功率）
PE1= E1 I1 = 50 ? 13 W= 650 W
PE2= E2 I2 = 30 ? 18W = 540 W
PI1= UI1 IS1 = Uab IS1 = 24? 7 W= 168 W
PI2= UI2 IS2 = (Uab– IS2 R3) IS2 = 14? 2 W= 28 W
+U
I2–
b
+
–
R1
E1
R2
E2
R3IS1
IS2
a
+
_
I1 I2
+U
I1–
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例 3,计算电路中 A,B 两点的电位。 C点为参考点。I
3A
I1
B
5?
5?+
–15V
10?
10?
15?
+
- 65V
I2
I4
I5
C
I1 – I2 + I3 = 0
I5 – I3 – I4 = 0
解,(1) 应用 KCL对结点 A和 B列方程
(2) 应用欧姆定律求各电流
5
15 A
1
VI ??
5
A
2
VI ?
10
AB
3
VVI ??
10
B
4
VI ?
15
65 B
5
VI ??
(3) 将各电流代入 KCL方程，整理后得
5VA – VB = 30
– 3VA + 8VB = 130
解得, VA = 10V
VB = 20V
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2.6 叠加原理
叠加原理,对于 线性电路,任何一条支路的电流，
都可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源）
分别作用时，在此支路中所产生的电流的代数和。
原电路
+
–E
R1 R2
(a)
IS
I1
I2
IS单独作用
R1 R2
(c)
I1''
I2''+ IS
E 单独作用
=
+
–E
R1 R2
(b)
I1'
I2'
叠加原理
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21
21 RR
EII ''
???
由图 (c)，当 IS 单独作用时
S
" I
RR
RI
21
2
1 ???
S
21
2
21
"
1
'
11 IRR
R
RR
EIII
??????
同理, I2 = I2' + I2''
由图 (b)，当 E 单独作用时
原电路
+
–E
R1 R2
(a)
IS
I1
I2
IS单独作用
R1 R2
(c)
I1''
I2''+ IS
E 单独作用
=
+
–E
R1 R2
(b)
I1'
I2'
S
" I
RR
RI
21
1
2 ??
S
21
1
21
IRR RRR E ????
根据叠加原理
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2211
2S1
RIRIE
III
??
??
解方程得,
S
21
2
21
1 IRR
R
RR
EI
????
用支路电流法证明：
原电路
+
–E
R1 R2
(a)
IS
I1
I2
列方程,
I1' I1''
S
21
1
21
2 IRR
R
RR
EI
?
?
?
?
I2' I2''
即有
I1 = I1'+ I1''= KE1E + KS1IS
I2 = I2'+ I2'' = KE2E + KS2IS
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① 叠加原理 只适用于线性电路 。
③ 不作用电源 的处理：
E = 0,即将 E 短路 ； Is=0,即将 Is 开路 。
② 线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算，
但 功率 P不能用叠加原理计算 。例：
注意事项：
1
2
11
2
11
2
111
2
11 ) ( RIRIRIIRIP ???????????
⑤ 应用叠加原理时可把电源分组求解,即每个分电路
中的电源个数可以多于一个。
④ 解题时要标明各支路电流、电压的参考方向。
若分电流、分电压与原电路中电流、电压的参考方
向 相反 时，叠加时相应项前要 带负号 。
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例 1,电路如图，已知 E =10V,IS=1A, R1=10?
R2= R3= 5?,试用叠加原理求流过 R2的电流 I2
和理想电流源 IS 两端的电压 US。
(b) E单独作用
将 IS 断开
(c) IS单独作用
将 E 短接
解：由图 ( b)
A1A55 10
32
2 ?????? RR
EI
(a)
+
–E R3
R2
R1 IS
I2 +
–US
+
–E R3
R2
R1
I2' +
–
US' R3
R2
R1 IS
I2? +
–US ?
V5V5122S ?????? RIU
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例 1,电路如图，已知 E =10V,IS=1A, R1=10?
R2= R3= 5?,试用叠加原理求流过 R2的电流 I2
和理想电流源 IS 两端的电压 US。
(b) E单独作用 (c) IS单独作用
A5.0A5.0A1 222 ???????? III所以
(a)
+
–E R3
R2
R1 IS
I2 +
–US
+
–E R3
R2
R1
I2' +
–
US' R3
R2
R1 IS
I2? +
–US ?
解：由图 (c)
A5.0155 5S
32
3
2 ???????? IRR
RI
V5.2V55.022S ?????? RIU
V5.72, 5 V5VSSS ???????? UUU
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例 2,已知：
US =1V,IS=1A 时,Uo=0V
US =10 V,IS=0A 时,Uo=1V
求,
US = 0 V,IS=10A 时,Uo=?
解：电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设
Uo = K1US + K2 IS
当 US =10 V,IS=0A 时，
当 US = 1V,IS=1A 时，
US
线性无
源网络 UoIS
+–
+
-
得 0 = K1? 1 + K2 ? 1
得 1 = K1? 10+K2 ? 0
联立两式解得,K1 = 0.1,K2 = – 0.1
所以 Uo = K1US + K2 IS
= 0.1 ? 0 +(– 0.1 ) ? 10 = –1V
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齐性定理
只有一个电源作用的线性电路中，各支路的电压
或电流和电源成正比。
如图：
若 E1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
可见：
R2
+
?
E1
R3
I2 I3
R1
I1
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2.7 戴维宁定理与诺顿定理
二端网络的概念：
二端网络,具有两个出线端的部分电路。
无源二端网络,二 端网络中没有电源。
有源二端网络,二端网络中含有电源。
b
a
E
+
–
R1
R2 IS R3
b
a
E+
–R1 R2 IS
R3
R4
无源二端网络 有源二端网络
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a
b
R
a
b
无源
二端
网络
+
_E
R0
a
b
电压源
（戴维宁定理）
电流源
（诺顿定理）
a
b
有源
二端
网络 a
b
IS R0
无源二端网络可
化简为一个电阻
有源二端网络可
化简为一个电源
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2.7.1 戴维宁定理
任何一个有源二端 线性 网络都可以用一个电动势
为 E的理想电压源和内阻 R0 串联的电源来等效代替。
有源
二端
网络
RL
a
b
+
U
–
I
E
R0
+
_
RL
a
b
+
U
–
I
等效电源的内阻 R0等于有源二端网络中所有电源
均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所
得到的无源二端网络 a, b两端之间的等效电阻。
等效电源的电动势 E就是有源二端网络的开路电
压 U0，即将 负载断开后 a, b两端之间的电压 。
等效电源
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例 1,电路如图，已知 E1=40V,E2=20V,R1=R2=4?，
R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流 I3。
E1
I1
E2
I2 R2 I3
R3
+
–
R1
+
–
E
R0
+
_
R3
a
b
I3
a
b
注意：“等效”是指对端口外等效
即 用等效电源替代原来的二端网络后，待求
支路的电压、电流不变。
有源二端网络 等效电源
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解,(1) 断开待求支路求等效电源的电动势 E
例 1,电路如图，已知 E1=40V,E2=20V,R1=R2=4?，
R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流 I3。
E1
I1
E2
I2 R2 I3
R3
+
–
R1
+
–
a
b
A5.2A44 2040
21
21 ?
?
??
?
??
RR
EEI
R2
E1
I
E2+–
R1
+
–
a
b
+
U0
–
E 也可用结点电压法、叠加原理等其它方法求。
E = U0= E2 + I R2 = 20V +2.5 ? 4 V= 30V
或,E = U0 = E1 – I R1 = 40V –2.5 ? 4 V = 30V
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解,(2) 求等效电源的内阻 R0
除去所有电源 （理想电压源短路，理想电流源开路）
例 1,电路如图，已知 E1=40V,E2=20V,R1=R2=4?，
R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流 I3。
E1
I1
E2
I2 R2 I3
R3
+
–
R1
+
–
a
b
R2R1
a
b
R0
从 a,b两端 看进去,R1 和 R2 并联
求内阻 R0时，关键要弄清从 a,b两端 看进去时
各电阻之间的串并联关系。
????? 2
21
21
0 RR
RRR，所以
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解,(3) 画出等效电路求电流 I3
例 1,电路如图，已知 E1=40V,E2=20V,R1=R2=4?，
R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流 I3。
E1
I1
E2
I2 R2 I3
R3
+
–
R1
+
–
a
b
E
R0
+
_
R3
a
b
I3
A2A
132
30
30
3 ????? RR
EI
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戴维宁定理证明：
实验法求等效电阻,
R0=U0/ISC
(a)
NS R
I
U
+
-
+
(c)
R
+ –E
U'NS
I'
+
-
E=U0
0??I II ???
叠加原理
1
1’
NS ISC
+
_
1
1’
U0
R0
ISCU0
+
-
– +
RNS
+ –EE I
U
+
-
(b)
E– +
U"
I"
R
N0
R0
+
-
(d)
I
R
+
_E
R0 U
+
-( e)
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例 2：
已知,R1=5 ?,R2=5 ?
R3=10 ?,R4=5 ?
E=12V,RG=10 ?
试用戴维宁定理求检流计
中的电流 IG。
有源二端网络
E –+
G
IG
RG
a
b
E –+
G
IG
RG
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解, (1) 求开路电压 U0
E
U0
+
–
a
b
–+
I1
I2
A2.1A55 12
21
1 ????? RR
EI
A8.0A510 12
43
2 ????? RR
EI
E' = Uo = I1 R2 – I2 R4
= 1.2 ? 5V–0.8 ? 5 V = 2V
或,E' = Uo = I2 R3 – I1R1
= 0.8? 10V–1.2 ? 5 V = 2V(2) 求等效电源的内阻 R
0
R0
a
b
从 a,b看进去,R1 和 R2 并联，
R3 和 R4 并联，然后再串联。
??
?
?
?
?
?
?
8.5
43
43
21
21
0 RR
RR
RR
RR
R，所以
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解,(3) 画出等效电路求检流计中的电流 IG
A126.0A108,5 2
G0
G ????
??
RR
EI
E'
R0
+
_
RG
a
b
IG
a
b
E –+
G
IG
RG
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2.7.2 诺顿定理
任何一个有源二端 线性 网络都可以用一个电流为
IS的理想电流源和内阻 R0 并联的电源来等效代替。
等效电源的内阻 R0等于有源二端网络中所有电源
均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所
得到的无源二端网络 a, b两端之间的等效电阻。
等效电源的电流 IS 就是有源二端网络的短路电流，
即将 a, b两端短接后其中的电流 。
等效电源
R0 RL
a
b
+
U
–
I
IS
有源
二端
网络
RL
a
b
+
U
–
I
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例 1：
已知,R1=5 ?,R2=5 ?
R3=10 ?,R4=5 ?
E=12V,RG=10 ?
试用诺顿定理求检流计中
的电流 IG。
有源二端网络
E –+
G
IG
RG
a
b
E –+
G
IG
RG
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解, (1) 求短路电流 IS
A07, 2A8.512 ??? REI
A38, 1A07, 2510 10
31
3
1 ?????? IRR
RI
R =(R1//R3) +( R2//R4 )
= 5,8?
因 a,b两点短接，所以对
电源 E 而言, R1 和 R3 并联，
R2 和 R4 并联，然后再串联。
E
a
b
–+
I1
I4
ISI3 I2
I
A035, 12142 ??? III
IS = I1 – I2
=1,38 A– 1.035A=0,345A
或,IS = I4 – I3
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(2) 求等效电源的内阻 R0
R0
a
b
R0 =(R1//R2) +( R3//R4 )
= 5,8?
(3) 画出等效电路求检流计中的电流 IG
A126, 0
A345, 0
108,5
8.5
S
G0
0
G
?
?
?
?
?
? I
RR
R
I
R0
a
b
IS RG IG
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2.8 受控源电路的分析
独立电源,指电压源的电压或电流源的电流不受
外电路的控制而独立存在的电源。
受控源的特点,当控制电压或电流消失或等于零时，
受控源的电压或电流也将为零。
受控电源,指电压源的电压或电流源的电流受电路中
其它部分的电流或电压控制的电源。
对含有受控源的线性电路，可用前几节所讲的
电路分析方法进行分析和计算,但要考虑受控
的特性。
应用：用于晶体管电路的分析。
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?U1
+
_U1 U2
I2I1=0
(a)VCVS
+
-
+
- ? I1
(b)CCVS
+
_U1=0 U2
I2I1
+
-
+
-
四种理想受控电源的模型
(c) VCCS
gU1U1 U2
I2I1=0
+
-
+
-
(d) CCCS
? I1U1=0 U2
I2I1
+
-
+
-
电
压
控
制
电
压
源
电
流
控
制
电
压
源
电
压
控
制
电
流
源
电
流
控
制
电
流
源
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例 1,试求电流 I1 。 解法 1：用支路电流法
对大回路,
解得, I1 = 1,4 A
2I1 – I2 +2I1 = 102I
1
+
_10V
I1
+
– 3A
2? 1? I2a 对结点 a,I
1+I2= – 3
解法 2：用叠加原理
2I1'
+
_10V
I1'
+
–
2? 1?
2I1"
+
_
I1"
3A
2? 1?
电压源作用：
2I1'+ I1' +2I1' = 10
I1' = 2A
电流源作用：
对大回路,
2I1" +(3– I1")?1+2I1"= 0
I1"= – 0.6AI1 = I1' +I1"= 2 – 0.6=1,4A
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1,非线性电阻的概念
线性电阻：电阻两端的电压与通过的电流成正比。
线性电阻值为一常数。
U
I
O
2.9 非线性电阻电路的分析
非线性电阻,电阻两端的电压与通过的电流不成正比。
非线性电阻值不是常数。
U
I
O
线性电阻的
伏安特性
半导体二极管的
伏安特性
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非线性电阻元件的电阻表示方法
静态电阻 （直流电阻）：
I
UR ?
动态电阻（交流电阻）
I
U
I
Ur
t d
dlim
0
??
? Δ
Δ
Δ
Q
? 电路符号
静态电阻与动态电阻的图解
I
UO U
I
?
?ta n?
?ta n?
? I
?U
R
等于工作点 Q 的电压 U 与电流 I 之比
等于工作点 Q 附近电压、
电流微变量之比的极限
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2,非线性电阻电路的图解法
条件：具备非线性电阻的伏安特性曲线
解题步骤,
(1) 写出作用于非线性电阻 R 的有源二端网络
（虚线框内的电路）的负载线方程。
U = E – U1 = E – I R1
11
1-
R
EU
RI ??或
I
+
_
R1
RＵ
+
_E
U1
+
_
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(2) 根据负载线方程在非线性电阻 R 的伏安特性曲线
上画出有源二端网络的负载线。
EU
I Q
U
I
O
1R
E
?
(3) 读出非线性电阻 R的伏安特性曲线与有源二端网络
负载线交点 Q 的坐标（ U,I）。
对应不同 E和 R的情况
1R
E
E
I
O UE?
非线性电阻电路的图解法
R?
R?
负载线方程：
U = E – I R1
负载线
''E
''' EEE ??
'1'' RRR ??
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3,复杂非线性电阻电路的求解
+
_E1
R1
RＵ
I
+
_IS
R2
+
_E
R0
RＵ
I
+
_
有源二端网络 等效电源
将非线性电阻 R 以外的有源二端网络应用戴维宁定
理化成一个等效电源，再用图解法求非线性元件中的
电流及其两端的电压。
第 2章 电路的分析方法
2.1 电阻串并联联接的等效变换
2.2 电阻星型联结与 三角型联结的等效变换
2.3 电压源与电流源及其等效变换
2.4 支路电流法
2.5 结点电压法
2.6 叠加原理
2.7 戴维宁定理与诺顿定理
2.8 受控源电路的分析
2.9 非线性电阻电路的分析
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本章要求：
1,掌握支路电流法、叠加原理和戴维宁定理等
电路的基本分析方法。
2,了解实际电源的两种模型及其等效变换。
3,了解非线性电阻元件的伏安特性及静态电阻、
动态电阻的概念，以及简单非线性电阻电路
的图解分析法。
第 2章 电路的分析方法
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2.1 电阻串并联联接的等效变换
2.1.1 电阻的串联
特点,
1)各电阻一个接一个地顺序相联；
两电阻串联时的分压公式：
URR RU
21
1
1 ?? URR
RU
21
2
2 ??
R =R1+R2
3)等效电阻等于各电阻之和；
4)串联电阻上电压的分配与电阻成正比。
R1U1
U
R2U2
I
+
–
+
+
– –
RU
I
+
–
2)各电阻中通过同一电流；
应用：
降压、限流、调节电压等。
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2.1.2 电阻的并联
两电阻并联时的分流公式：
I
RR
RI
21
2
1 ?? I
RR
RI
21
1
2 ??
21
111
RRR ??
(3)等效电阻的倒数等于各电阻倒数之和；
(4)并联电阻上电流的分配与电阻成反比。
特点,
(1)各电阻联接在两个公共的结点之间；
RU
I
+
–
I1 I2
R1U R2
I
+
–
(2)各电阻两端的电压相同；
应用：
分流、调节电流等。
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2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等换
RO
电阻 ?形联结
Y-?等效变换
电阻 Y形联结
ROC
B
A
D
C
A
D
B
Ia
Ib
Ic b c
Ra
Rc
Rb
a a
cb
RcaR
bc
Rab
Ia
Ib
Ic
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2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等效变换
等效变换的条件：
对应端流入或流出的电流 (Ia,Ib,Ic)一一相等，
对应端间的电压 (Uab,Ubc,Uca)也一一相等。
经等效变换后，不影响其它部分的电压和电流。
等效变换
a
Cb
RcaR
bc
Rab
电阻 ?形联结
Ia
Ib
Ic
电阻 Y形联结
Ia
Ib
Ic b C
Ra
Rc
Rb
a
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2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等效变换
据此可推出两者的关系
)//(
)//(
)//(
bcabcaca
baabbccb
bacaabba
RRRRR
RRRRR
RRRRR
???
???
???条
件
等效变换
a
Cb
RcaR
bc
Rab
电阻 ?形联结
Ia
Ib
Ic
电阻 Y形联结
Ia
Ib
Ic b C
Ra
Rc
Rb
a
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2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等效变换
b
accbba
ca
a
accbba
bc
c
ccbba
ab
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
R
RRRRRR
R
a
??
?
??
?
??
?
cabcab
bcca
c
cabcab
abbc
b
cabcab
caab
a
RRR
R
R
RRR
RR
R
RRR
RR
R
??
?
??
?
??
?
Y?? ??Y
a
等效变换
a
cb
RcaRbcRab
Ia
I
Ic
Ia
Ib
Ic b c
Ra
Rc
Rb
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将 Y形联接等效变换为 ?形联结时
若 Ra=Rb=Rc=RY 时，有 Rab=Rbc=Rca= R?= 3RY；
将 ?形联接等效变换为 Y形联结时
若 Rab=Rbc=Rca=R?时，有 Ra=Rb=Rc=RY =R?/3
2.2 电阻 星 形联结与 三角形联结的等效变换
等效变换
a
cb
RcaR
bc
Rab
Ia
Ib
Ic
Ia
Ib
Ic b c
Ra
Rc
Rb
a
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例 1,对图示电路求总电阻 R12
R12
2?
1
2
2?
2?
1?
1?
1?
由图：
R12=2.68?
R12
C D
1
2?
1?
1?
0.4? 0.4?
0.8?
2
R12
1
0.8?
2.4? 1.4?
1?
2
1
2
2.684?
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例 2,计算下图电路中的电流 I1 。
I1
–+
4?
5?
8?
4?
4?
12V
a
b
cd
解,将联成 ?形 abc的电阻变换为 Y形联结的等效电阻
I1
–+
4?
5?
Ra
Rb
Rc
12V
a
b
cd
ΩΩ 2844 84
cabcab
caab
a ???
??
??? RRR
RRR
ΩΩ 1844 44b ??? ??R ΩΩ 2
844
48
c ???
??R
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例 2,计算下图电路中的电流 I1 。
I1
–+
4?
5?
8?
4?
4?
12V
a
b
cd
解：
I1
–+
4?
5?
Ra
2?
Rb
1?
Rc
2?
12V
a
b
cd
ΩΩΩ 52)1(5)24( )1(5)24( ????? ????R
A A 2.15121524 151 ????? ??I
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2.3 电压源与电流源及其等效变换
2.3.1 电压源
电压源模型
由上图电路可得,
U = E – IR0
若 R0 = 0
理想电压源, U ? E
U0=E
电压源的外特性
I
U
I
RLR
0
+
-E U
+
–
电压源是由电动势 E
和内阻 R0 串联的电源的
电路模型。
O
S R
EI ? 若 R
0<< RL, U ? E,
可近似认为是理想电压源。
理想电压源
O
电压源
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理想电压源（恒压源）
例 1：
(2) 输出电 压是一定值，恒等于电动势。
对直流电压，有 U ? E。
(3) 恒压源中的电流由外电路决定。
特点, (1) 内阻 R0 = 0
I
E
+
_ U
+
_
设 E = 10 V，接上 RL后，恒压源对外输出电流。
RL
当 RL= 1 ? 时,U = 10 V,I = 10A
当 RL = 10 ? 时,U = 10 V,I = 1A
外特性曲线
I
U
E
O
电压恒定，电
流随负载变化
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2.3.2 电流源
0
S R
UII ??
I
RL
U0=ISR0
电流源的外特性
I
U 理
想
电
流
源O
IS
电流源是由电流 IS
和内阻 R0 并联的电源的
电路模型。
由上图电路可得,
若 R0 = ?
理想电流源, I ? IS
若 R0 >>RL, I ? IS,可近似认为是理想电流源。
电流源 电流源模型
R0 UR
0
U
IS
+
－
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理想电流源（恒流源 )
例 1：
(2) 输出电 流是一定值，恒等于电流 IS ；
(3) 恒流源两端的电压 U 由外电路决定。
特点, (1) 内阻 R0 = ? ；
设 IS = 10 A，接上 RL后，恒流源对外输出电流。
RL
当 RL= 1 ? 时,I = 10A, U = 10 V
当 RL = 10 ? 时,I = 10A, U = 100V
外特性曲线
I
U
ISO
I
IS U
+
_
电流恒定，电压随负载变化。
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2.3.3 电压源与电流源的 等效变换
由图 a：
U = E－ IR0
由图 b：
U = ISR0 – IR0
I
RLR
0
+
–E U
+
–
电压源
等效变换条件,
E = ISR0
0
S R
EI ?
RLR0 UR0
U
IS
I
+
–
电流源
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② 等效变换 时，两电源的 参考方向 要一一对应。
③ 理想电压源与理想电流源之间无等效关系。
① 电压源和电流源的等效关系只 对 外 电路而言，
对电源 内部则是 不等效的。
注意事项：
例：当 RL= ? 时,电压源的内阻 R0 中不损耗功率，
而电流源的内阻 R0 中则损耗功率。
④ 任何一个电动势 E 和某个电阻 R 串联的电路，
都可化为一个 电流为 IS 和这个电阻并联的电路。
R0
+
–E
a
b
IS R0
a
b
R0
–
+E
a
b
IS R0
a
b
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例 1,求下列各电路的等效电源
解,
+
–
a
b
U2?
5V
(a)
+
?
+
–
a
b
U5V
(c)
+
?
a
+
-2V 5V U+
- b
2?
(c)
+
?
(b)
a
U
5A
2? 3?
b
+
?
(a)
a
+
–5V3?
2?
U
+
?
a
5A
b
U3?
(b)
+
?
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例 2,试用电压源与电流源等效变换的方法
计算 2?电阻中的电流。
A1A222 28 ??? ??I
解,
–
8V
+
–
2?
2V
+
2?
I
(d)
2?
由图 (d)可得
6V
3?
+
–
+
– 12V
2A
6?
1?
1?
2? I
(a)
2A
3?
1?
2?
2V
+ –
I
2A
6?
1?
(b)
4A
2?
2?
2?
2V
+ –
I
(c)
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例 3：
解,统一电源形式
试用电压源与电流源等效变换的方法计算图示
电路中 1 ?电阻中的电流。 2 ?
+
-
+
-6V 4V
I
2A3 ? 4 ?6 ? 1?
2A
3? 6?
2A I
4?
2?
1?
1A
I4?
2?
1?
1A
2?
4A
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A2A312 2 ????I
解：
I4?
2?
1?
1A
2?
4A
1?
I4?
2?
1A
2?
8V
+
-
I
4?
1?1A
4?
2A
I
2? 1?
3A
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例 3,电路如图。 U1＝ 10V,IS＝ 2A,R1＝ 1Ω，
R2＝ 2Ω,R3＝ 5 Ω,R＝ 1 Ω。 (1) 求电阻 R中的电流 I；
(2)计算理想电压源 U1中的电流 IU1和理想电流源 IS两端
的电压 UIS； (3)分析功率平衡。
解,(1)由电源的性质及电源的等效变换可得：
A10A
1
10
1
1
1 ??? R
UI A6A
2
210
2
S1 ????? III
a
I
RIS
b
I1
R1
(c)
IR1
IR1
RISR3
+
_
IU1 +_UIS
UR2
+
_U1
a
b(a)
a
IR1
RIS
+
_U1
b(b)
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(2)由图 (a)可得：
A4A4A2S1R －－－ ??? III
A2A510
3
1
R3 ??? R
UI
理想电压源中的电流
A6A)4(A2R1R3U1 ??? －－－ III
理想电流源两端的电压
V10V22V61S2S2IS ????????? IRRIIRUU
a
I
RIS
b
I1
R1
(c)
a
IR1
RIS
+
_U1
b(b)
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各个电阻所消耗的功率分别是：
W36=6×1== 22RIP R
W16=4×1== 22 111 ）（－RR IRP
W8=2×2== 22S22 IRP R
W20=2×5== 22333 RR IRP两者平衡：
(60+20)W=(36+16+8+20)W
80W=80W
(3)由计算可知，本例中理想电压源与理想电流源
都是电源，发出的功率分别是：
W60=6×10== 111 UU IUP
W20=2×10== SSS IUP II
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2.4 支路电流法
支路电流法,以支路电流为未知量、应用基尔霍夫
定律（ KCL,KVL）列方程组求解。
对上图电路
支 路数,b=3 结点数,n =2
1 2
b
a
?
?
E2
R2?
?
R3
R1
E1
I1
I3
I2
3
回路数 = 3 单孔回路（网孔） =2
若用支路电流法求各支路电流应列出三个方程
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1,在图中标出各支路电流的参考方向，对选定的回路
标出回路循行方向。
2,应用 KCL 对结点 列出 ( n－ 1 )个独立的结点电流
方程。
3,应用 KVL 对回路 列出 b－ ( n－ 1 ) 个 独立的回路
电压方程 （ 通常可取 网孔 列出 ） 。
4,联立求解 b 个方程，求出各支路电流。
b
a
?
?
E2
R2?
?
R3
R1
E1
I1
I3
I2 对结点 a：例 1,
1 2
I1+I2–I3=0
对网孔 1：
对网孔 2：
I1 R1 +I3 R3=E1
I2 R2+I3 R3=E2
支路电流法的解题步骤,
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(1) 应用 KCL列 (n-1)个结点电流方
程
因支路数 b=6，
所以要列 6个方程。
(2) 应用 KVL选网孔列回路电压方程
(3) 联立解出 IG
支路电流法是电路分析中最基本的
方法之一，但当支路数较多时，所需
方程的个数较多，求解不方便。
例 2,a
d
b
c
E –+
G
I2
I4
IG
I1
I3
I
对结点 a,I1 – I2 –IG = 0
对网孔 abda,IG RG – I3 R3 +I1 R1 = 0
对结点 b,I3 – I4 +IG = 0
对结点 c,I2 + I4 – I = 0
对网孔 acba,I2 R2 – I4 R4 – IG RG = 0
对网孔 bcdb,I4 R4 + I3 R3 = E
试求检流计
中的电流 IG。
RG
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支路数 b =4，但恒流
源支路的电流已知，
则未知电流只有 3个，
能否只列 3个方程？
例 3,试求各支路电流 。
b
a
I2 I342V
+
–
I112?
6? 7A 3?
c
d
1 2
支路中含有恒流源 。
可以。注意：
(1) 当支路中含有恒流源时, 若在列 KVL方程时，
所选回路中不包含恒流源支路, 这时，电路中有几
条支路含有恒流源，则可少列几个 KVL方程。
(2) 若所选回路中包含恒流源支路, 则因恒流源
两端的电压未知，所以，有一个恒流源就出现一个
未知电压，因此，在此种情况下不可少列 KVL方程
。
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(1) 应用 KCL列结点电流方程
支路数 b =4，但恒流
源支路的电流已知，则
未知电流只有 3个，所
以可只列 3个方程。
(2) 应用 KVL列回路电压方程
(3) 联立解得,I1= 2A,I2= –3A,I3=6A
例 3,试求各支路电流 。
对结点 a,I1 + I2 –I3 = – 7
对回路 1,12I1 – 6I2 = 42
对回路 2,6I2 + 3I3 = 0
b
a
I2 I342V
+
–
I112?
6? 7A 3?
c
d
当不需求 a,c和 b,d
间的电流时,(a,c)( b、
d)可分别看成一个结点。支路中含有恒流源 。
1 2
因所选回路不包含
恒流源支路，所以，
3个网孔列 2个 KVL方
程即可。
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(1) 应用 KCL列结点电流方程
支路数 b =4，且恒流
源支路的电流已知。
(2) 应用 KVL列回路电压方程
(3) 联立解得,I1= 2A,I2= –3A,I3=6A
例 3,试求各支路电流 。
对结点 a,I1 + I2 –I3 = – 7
对回路 1,12I1 – 6I2 = 42
对回路 2,6I2 + UX = 0
b
a
I2 I342V
+
–
I112?
6? 7A 3?
c
d
1 2
因所选回路中包含
恒流源支路,而恒流
源两端的电压未知，
所以有 3个网孔则要列
3个 KVL方程。
3+
UX–
对回路 3,–UX + 3I3 = 0
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2,5 结点电压法
结点电压的概念：
任选电路中某一结点为零电位参考点 (用 ? 表示 )，
其他各结点对参考点的电压，称为结点电压。
结点电压的参考方向从结点指向参考结点。
结点电压法适用于支路数较多，结点数较少的电路。
结点电压法,以结点电压为未知量，列方程求解。
在求出结点电压后，可应用基尔霍夫定律或欧姆定律
求出各支路的电流或电压。
b
a
I2 I3E+
–
I1R1
R2 IS R3
在左图电路中只含
有两个结点，若设 b
为参考结点，则电路
中只有一个未知的结
点电压。
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2个结点的 结点电压方程的推导：
设,Vb = 0 V
结点电压为 U，参
考方向从 a 指向 b。
111 RIEU ??因为
1
1
1 R
UEI ??所以
2,应用欧姆定律求各支路电流,
1
1
1 R
UEI ??
2
2
2 R
UEI ???
3
3 R
UI ?
1,用 KCL对结点 a 列方程：
I1 – I2 + IS –I3 = 0
E1+
–
I1 R1
U
+
－
b
a
E2
+
–
I2 IS
I3E
1
+
–
I1 R1 R2
R3
+
–
U
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将各电流代入
KCL方程则有：
321
1
R
UI
R
UE
R
UE ??????
S
2
整理得：
321
2
2
1
1
111
RRR
I
R
E
R
E
U
S
??
??
?
R
I
R
E
U
S
1
?
???
?
注意：
(1) 上式 仅适用于两个结点的电路。
(2) 分母是各支路电导之和,恒为正值；
分子中各项可以为正，也可以可负。
当 E 和 IS与结点电压的参考方向相反时取正号，
相同时则取负号。而与各支路电流的参考方向无关。
2个结点的 结点电压方程的推导：
即结点电压方程：
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例 1：
b
a
I2 I342V
+
–
I112?
6? 7A 3?
试求各支路电流 。
解,①求结点电压 Uab
R
I
R
E
U
1
S
ab
?
???
?
V18
V
3
1
6
1
12
1
7
12
42
?
??
?
?
A2 A12 18421242 ab1 ????? UI
A3 A618 6 ab2 ?????? UI A6 3183ab3 ??? UI
② 应用欧姆定律求各电流
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例 2,电路如图：
已知,E1=50 V,E2=30 V
IS1=7 A,IS2=2 A
R1=2 ?,R2=3 ?,R3=5 ?
试求：各电源元件的功率。
解,(1) 求结点电压 Uab
21
2S1S
2
2
1
1
ab
11
RR
II
R
E
R
E
U
?
???
? V24V
3
1
2
1
27
3
30
2
50
?
?
???
?
注意：
恒流源支路的电阻 R3不应出现在分母中 。
b
+
–
R1
E1
R2
E2
R3IS1
IS2
a
+
_
I1 I2
+U
I1–
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(2) 应用 欧姆定律求各电压源电流
1
ab1
1 R
UEI ?? A13A
2
2450 ???
A18A
3
2430
2
ab2
2 ?
????
R
UEI
(3) 求 各电源元件的 功率
（因电流 I1 从 E1的,+”端 流出,所以 发出 功率）
（ 发出 功率）
（ 发出 功率）
（因电流 IS2 从 UI2的,–”端 流出,所以 取用 功率）
PE1= E1 I1 = 50 ? 13 W= 650 W
PE2= E2 I2 = 30 ? 18W = 540 W
PI1= UI1 IS1 = Uab IS1 = 24? 7 W= 168 W
PI2= UI2 IS2 = (Uab– IS2 R3) IS2 = 14? 2 W= 28 W
+U
I2–
b
+
–
R1
E1
R2
E2
R3IS1
IS2
a
+
_
I1 I2
+U
I1–
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例 3,计算电路中 A,B 两点的电位。 C点为参考点。I
3A
I1
B
5?
5?+
–15V
10?
10?
15?
+
- 65V
I2
I4
I5
C
I1 – I2 + I3 = 0
I5 – I3 – I4 = 0
解,(1) 应用 KCL对结点 A和 B列方程
(2) 应用欧姆定律求各电流
5
15 A
1
VI ??
5
A
2
VI ?
10
AB
3
VVI ??
10
B
4
VI ?
15
65 B
5
VI ??
(3) 将各电流代入 KCL方程，整理后得
5VA – VB = 30
– 3VA + 8VB = 130
解得, VA = 10V
VB = 20V
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2.6 叠加原理
叠加原理,对于 线性电路,任何一条支路的电流，
都可以看成是由电路中各个电源（电压源或电流源）
分别作用时，在此支路中所产生的电流的代数和。
原电路
+
–E
R1 R2
(a)
IS
I1
I2
IS单独作用
R1 R2
(c)
I1''
I2''+ IS
E 单独作用
=
+
–E
R1 R2
(b)
I1'
I2'
叠加原理
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21
21 RR
EII ''
???
由图 (c)，当 IS 单独作用时
S
" I
RR
RI
21
2
1 ???
S
21
2
21
"
1
'
11 IRR
R
RR
EIII
??????
同理, I2 = I2' + I2''
由图 (b)，当 E 单独作用时
原电路
+
–E
R1 R2
(a)
IS
I1
I2
IS单独作用
R1 R2
(c)
I1''
I2''+ IS
E 单独作用
=
+
–E
R1 R2
(b)
I1'
I2'
S
" I
RR
RI
21
1
2 ??
S
21
1
21
IRR RRR E ????
根据叠加原理
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2211
2S1
RIRIE
III
??
??
解方程得,
S
21
2
21
1 IRR
R
RR
EI
????
用支路电流法证明：
原电路
+
–E
R1 R2
(a)
IS
I1
I2
列方程,
I1' I1''
S
21
1
21
2 IRR
R
RR
EI
?
?
?
?
I2' I2''
即有
I1 = I1'+ I1''= KE1E + KS1IS
I2 = I2'+ I2'' = KE2E + KS2IS
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① 叠加原理 只适用于线性电路 。
③ 不作用电源 的处理：
E = 0,即将 E 短路 ； Is=0,即将 Is 开路 。
② 线性电路的电流或电压均可用叠加原理计算，
但 功率 P不能用叠加原理计算 。例：
注意事项：
1
2
11
2
11
2
111
2
11 ) ( RIRIRIIRIP ???????????
⑤ 应用叠加原理时可把电源分组求解,即每个分电路
中的电源个数可以多于一个。
④ 解题时要标明各支路电流、电压的参考方向。
若分电流、分电压与原电路中电流、电压的参考方
向 相反 时，叠加时相应项前要 带负号 。
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例 1,电路如图，已知 E =10V,IS=1A, R1=10?
R2= R3= 5?,试用叠加原理求流过 R2的电流 I2
和理想电流源 IS 两端的电压 US。
(b) E单独作用
将 IS 断开
(c) IS单独作用
将 E 短接
解：由图 ( b)
A1A55 10
32
2 ?????? RR
EI
(a)
+
–E R3
R2
R1 IS
I2 +
–US
+
–E R3
R2
R1
I2' +
–
US' R3
R2
R1 IS
I2? +
–US ?
V5V5122S ?????? RIU
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例 1,电路如图，已知 E =10V,IS=1A, R1=10?
R2= R3= 5?,试用叠加原理求流过 R2的电流 I2
和理想电流源 IS 两端的电压 US。
(b) E单独作用 (c) IS单独作用
A5.0A5.0A1 222 ???????? III所以
(a)
+
–E R3
R2
R1 IS
I2 +
–US
+
–E R3
R2
R1
I2' +
–
US' R3
R2
R1 IS
I2? +
–US ?
解：由图 (c)
A5.0155 5S
32
3
2 ???????? IRR
RI
V5.2V55.022S ?????? RIU
V5.72, 5 V5VSSS ???????? UUU
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例 2,已知：
US =1V,IS=1A 时,Uo=0V
US =10 V,IS=0A 时,Uo=1V
求,
US = 0 V,IS=10A 时,Uo=?
解：电路中有两个电源作用，根据叠加原理可设
Uo = K1US + K2 IS
当 US =10 V,IS=0A 时，
当 US = 1V,IS=1A 时，
US
线性无
源网络 UoIS
+–
+
-
得 0 = K1? 1 + K2 ? 1
得 1 = K1? 10+K2 ? 0
联立两式解得,K1 = 0.1,K2 = – 0.1
所以 Uo = K1US + K2 IS
= 0.1 ? 0 +(– 0.1 ) ? 10 = –1V
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齐性定理
只有一个电源作用的线性电路中，各支路的电压
或电流和电源成正比。
如图：
若 E1 增加 n 倍，各电流也会增加 n 倍。
可见：
R2
+
?
E1
R3
I2 I3
R1
I1
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2.7 戴维宁定理与诺顿定理
二端网络的概念：
二端网络,具有两个出线端的部分电路。
无源二端网络,二 端网络中没有电源。
有源二端网络,二端网络中含有电源。
b
a
E
+
–
R1
R2 IS R3
b
a
E+
–R1 R2 IS
R3
R4
无源二端网络 有源二端网络
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a
b
R
a
b
无源
二端
网络
+
_E
R0
a
b
电压源
（戴维宁定理）
电流源
（诺顿定理）
a
b
有源
二端
网络 a
b
IS R0
无源二端网络可
化简为一个电阻
有源二端网络可
化简为一个电源
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2.7.1 戴维宁定理
任何一个有源二端 线性 网络都可以用一个电动势
为 E的理想电压源和内阻 R0 串联的电源来等效代替。
有源
二端
网络
RL
a
b
+
U
–
I
E
R0
+
_
RL
a
b
+
U
–
I
等效电源的内阻 R0等于有源二端网络中所有电源
均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所
得到的无源二端网络 a, b两端之间的等效电阻。
等效电源的电动势 E就是有源二端网络的开路电
压 U0，即将 负载断开后 a, b两端之间的电压 。
等效电源
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例 1,电路如图，已知 E1=40V,E2=20V,R1=R2=4?，
R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流 I3。
E1
I1
E2
I2 R2 I3
R3
+
–
R1
+
–
E
R0
+
_
R3
a
b
I3
a
b
注意：“等效”是指对端口外等效
即 用等效电源替代原来的二端网络后，待求
支路的电压、电流不变。
有源二端网络 等效电源
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解,(1) 断开待求支路求等效电源的电动势 E
例 1,电路如图，已知 E1=40V,E2=20V,R1=R2=4?，
R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流 I3。
E1
I1
E2
I2 R2 I3
R3
+
–
R1
+
–
a
b
A5.2A44 2040
21
21 ?
?
??
?
??
RR
EEI
R2
E1
I
E2+–
R1
+
–
a
b
+
U0
–
E 也可用结点电压法、叠加原理等其它方法求。
E = U0= E2 + I R2 = 20V +2.5 ? 4 V= 30V
或,E = U0 = E1 – I R1 = 40V –2.5 ? 4 V = 30V
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解,(2) 求等效电源的内阻 R0
除去所有电源 （理想电压源短路，理想电流源开路）
例 1,电路如图，已知 E1=40V,E2=20V,R1=R2=4?，
R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流 I3。
E1
I1
E2
I2 R2 I3
R3
+
–
R1
+
–
a
b
R2R1
a
b
R0
从 a,b两端 看进去,R1 和 R2 并联
求内阻 R0时，关键要弄清从 a,b两端 看进去时
各电阻之间的串并联关系。
????? 2
21
21
0 RR
RRR，所以
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解,(3) 画出等效电路求电流 I3
例 1,电路如图，已知 E1=40V,E2=20V,R1=R2=4?，
R3=13 ?，试用戴维宁定理求电流 I3。
E1
I1
E2
I2 R2 I3
R3
+
–
R1
+
–
a
b
E
R0
+
_
R3
a
b
I3
A2A
132
30
30
3 ????? RR
EI
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戴维宁定理证明：
实验法求等效电阻,
R0=U0/ISC
(a)
NS R
I
U
+
-
+
(c)
R
+ –E
U'NS
I'
+
-
E=U0
0??I II ???
叠加原理
1
1’
NS ISC
+
_
1
1’
U0
R0
ISCU0
+
-
– +
RNS
+ –EE I
U
+
-
(b)
E– +
U"
I"
R
N0
R0
+
-
(d)
I
R
+
_E
R0 U
+
-( e)
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例 2：
已知,R1=5 ?,R2=5 ?
R3=10 ?,R4=5 ?
E=12V,RG=10 ?
试用戴维宁定理求检流计
中的电流 IG。
有源二端网络
E –+
G
IG
RG
a
b
E –+
G
IG
RG
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解, (1) 求开路电压 U0
E
U0
+
–
a
b
–+
I1
I2
A2.1A55 12
21
1 ????? RR
EI
A8.0A510 12
43
2 ????? RR
EI
E' = Uo = I1 R2 – I2 R4
= 1.2 ? 5V–0.8 ? 5 V = 2V
或,E' = Uo = I2 R3 – I1R1
= 0.8? 10V–1.2 ? 5 V = 2V(2) 求等效电源的内阻 R
0
R0
a
b
从 a,b看进去,R1 和 R2 并联，
R3 和 R4 并联，然后再串联。
??
?
?
?
?
?
?
8.5
43
43
21
21
0 RR
RR
RR
RR
R，所以
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解,(3) 画出等效电路求检流计中的电流 IG
A126.0A108,5 2
G0
G ????
??
RR
EI
E'
R0
+
_
RG
a
b
IG
a
b
E –+
G
IG
RG
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2.7.2 诺顿定理
任何一个有源二端 线性 网络都可以用一个电流为
IS的理想电流源和内阻 R0 并联的电源来等效代替。
等效电源的内阻 R0等于有源二端网络中所有电源
均除去（理想电压源短路，理想电流源开路）后所
得到的无源二端网络 a, b两端之间的等效电阻。
等效电源的电流 IS 就是有源二端网络的短路电流，
即将 a, b两端短接后其中的电流 。
等效电源
R0 RL
a
b
+
U
–
I
IS
有源
二端
网络
RL
a
b
+
U
–
I
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例 1：
已知,R1=5 ?,R2=5 ?
R3=10 ?,R4=5 ?
E=12V,RG=10 ?
试用诺顿定理求检流计中
的电流 IG。
有源二端网络
E –+
G
IG
RG
a
b
E –+
G
IG
RG
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解, (1) 求短路电流 IS
A07, 2A8.512 ??? REI
A38, 1A07, 2510 10
31
3
1 ?????? IRR
RI
R =(R1//R3) +( R2//R4 )
= 5,8?
因 a,b两点短接，所以对
电源 E 而言, R1 和 R3 并联，
R2 和 R4 并联，然后再串联。
E
a
b
–+
I1
I4
ISI3 I2
I
A035, 12142 ??? III
IS = I1 – I2
=1,38 A– 1.035A=0,345A
或,IS = I4 – I3
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(2) 求等效电源的内阻 R0
R0
a
b
R0 =(R1//R2) +( R3//R4 )
= 5,8?
(3) 画出等效电路求检流计中的电流 IG
A126, 0
A345, 0
108,5
8.5
S
G0
0
G
?
?
?
?
?
? I
RR
R
I
R0
a
b
IS RG IG
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2.8 受控源电路的分析
独立电源,指电压源的电压或电流源的电流不受
外电路的控制而独立存在的电源。
受控源的特点,当控制电压或电流消失或等于零时，
受控源的电压或电流也将为零。
受控电源,指电压源的电压或电流源的电流受电路中
其它部分的电流或电压控制的电源。
对含有受控源的线性电路，可用前几节所讲的
电路分析方法进行分析和计算,但要考虑受控
的特性。
应用：用于晶体管电路的分析。
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?U1
+
_U1 U2
I2I1=0
(a)VCVS
+
-
+
- ? I1
(b)CCVS
+
_U1=0 U2
I2I1
+
-
+
-
四种理想受控电源的模型
(c) VCCS
gU1U1 U2
I2I1=0
+
-
+
-
(d) CCCS
? I1U1=0 U2
I2I1
+
-
+
-
电
压
控
制
电
压
源
电
流
控
制
电
压
源
电
压
控
制
电
流
源
电
流
控
制
电
流
源
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例 1,试求电流 I1 。 解法 1：用支路电流法
对大回路,
解得, I1 = 1,4 A
2I1 – I2 +2I1 = 102I
1
+
_10V
I1
+
– 3A
2? 1? I2a 对结点 a,I
1+I2= – 3
解法 2：用叠加原理
2I1'
+
_10V
I1'
+
–
2? 1?
2I1"
+
_
I1"
3A
2? 1?
电压源作用：
2I1'+ I1' +2I1' = 10
I1' = 2A
电流源作用：
对大回路,
2I1" +(3– I1")?1+2I1"= 0
I1"= – 0.6AI1 = I1' +I1"= 2 – 0.6=1,4A
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1,非线性电阻的概念
线性电阻：电阻两端的电压与通过的电流成正比。
线性电阻值为一常数。
U
I
O
2.9 非线性电阻电路的分析
非线性电阻,电阻两端的电压与通过的电流不成正比。
非线性电阻值不是常数。
U
I
O
线性电阻的
伏安特性
半导体二极管的
伏安特性
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非线性电阻元件的电阻表示方法
静态电阻 （直流电阻）：
I
UR ?
动态电阻（交流电阻）
I
U
I
Ur
t d
dlim
0
??
? Δ
Δ
Δ
Q
? 电路符号
静态电阻与动态电阻的图解
I
UO U
I
?
?ta n?
?ta n?
? I
?U
R
等于工作点 Q 的电压 U 与电流 I 之比
等于工作点 Q 附近电压、
电流微变量之比的极限
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2,非线性电阻电路的图解法
条件：具备非线性电阻的伏安特性曲线
解题步骤,
(1) 写出作用于非线性电阻 R 的有源二端网络
（虚线框内的电路）的负载线方程。
U = E – U1 = E – I R1
11
1-
R
EU
RI ??或
I
+
_
R1
RＵ
+
_E
U1
+
_
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(2) 根据负载线方程在非线性电阻 R 的伏安特性曲线
上画出有源二端网络的负载线。
EU
I Q
U
I
O
1R
E
?
(3) 读出非线性电阻 R的伏安特性曲线与有源二端网络
负载线交点 Q 的坐标（ U,I）。
对应不同 E和 R的情况
1R
E
E
I
O UE?
非线性电阻电路的图解法
R?
R?
负载线方程：
U = E – I R1
负载线
''E
''' EEE ??
'1'' RRR ??
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3,复杂非线性电阻电路的求解
+
_E1
R1
RＵ
I
+
_IS
R2
+
_E
R0
RＵ
I
+
_
有源二端网络 等效电源
将非线性电阻 R 以外的有源二端网络应用戴维宁定
理化成一个等效电源，再用图解法求非线性元件中的
电流及其两端的电压。
