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第 4章 造型技术
? 提出问题
? 如何在计算机中建立恰当的模型表示不同图形对象
? 如何组织图形对象的描述数据以使存储这些数据所
要的空间最省, 检索, 处理这些数据的速度较快
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把研究如何在计算机中建立恰当的模型表示不同
图形对象的技术称为 造型技术 。
有两类图形对象,
规则对象：几何造型, 几何模型
不规则对象
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4.1.1 基本图形元素与段的概念
4.1 基本概念
基本图形元素,图素或图元, 体素
图素 是指可以用一定的几何参数和属性参数描述
的最基本的图形输出元素 。
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体素 是三维空间中可以用有限个尺寸参数定位和定形
的体, 常有三种定义形式,
(1)从实际形体中选择出来, 可用一些确定的尺寸参数
控制其最终位置和形状的一组单元实体
(2)由参数定义的一条 (或一组 )轮廓线沿一条 (或一组 )
空间参数曲线作扫描运动而产生的形体 。
(3)用代数半空间定义的形体
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段 （ 也称图段, 结构和对象 ）
段 是指具有逻辑意义的有限个图素 （ 或体素 ） 及其附
加属性的集合, ≥1≥1
RS
图4 - 1 或非门电路构成的R - S 触发器
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? 图素或体素用数据来描述, 段用规则来描述 。
? 段可以嵌套
? 段一般具有 三个特性,可见性, 醒目性, 可选
择性 。
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4.1.2 几何信息与拓扑信息
? 图形对象及构成它的点, 线, 面的位置, 相互间关
系和几何尺寸等都是 图形信息 ；
? 表示图形对象的线型, 颜色, 亮度以及供模拟, 分
析用的质量, 比重, 体积等数据, 是有关对象的 非
图形信息 。
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图形信息又包括,
几何信息,形体在欧氏空间中的位置和大小
拓扑信息,形体各分量 （ 点, 边, 面 ） 的数目及其相
互间的连接关系 。
1,几何信息
(1)几何分量的数学表示
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(2)几何分量之间的相互关系
321
fff ?? 点 v v v
1 2
?
v v v
1 2 3
? ? e e
1 2
?
f f
1 2
?
面 f e e
1 2
?
边 e
图4 - 2 形体几何分量间的相互关系
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几何信息的二义性
2,拓朴信息
平面立体的几何分量之间一共有九种拓扑关系
面相邻性 f, { f } 面 - 顶点包含性
f, { v }
面 - 边包含性 f, { e }
顶点 — 面相邻性
v, { f }
顶点相邻性
v, { v }
顶点 - 边相邻性 v, { e }
边 - 面相邻性 e, { f } 边 - 顶点包含性 e, { v } 边相邻性 e, { e, }
f
f f
e
e
f
f
f f
v e
v
v
v
e
e
e
v
v
e
f
f
e
v
v
v
f
e
e
v
v
e
e
e
e
图4 - 3 平面立体的九种拓扑关系
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? 刚体运动,不改变图形上任意两点间的距离, 也不
改变图形的几何性质的运动 。
? 拓扑运动,允许形体作弹性运动, 即在拓扑关系中,
对图形可随意地伸张扭曲 。 但图上各个点仍为不同
的点, 决不允许把不同的点合并成一个点 。
拓扑等价, 拓扑性质
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4.1.3 坐标系
用户坐标系
建模坐标系
观察坐标系
规格化的设备坐标
设备坐标系
坐标系
直角坐标系
仿射坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
极坐标系
图4 - 4 坐标系的分类
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4.1.4 几何元素
点 是 0维几何元素, 分端点, 交点, 切点和孤立点等 。
在自由曲线面的描述中常用三种类型的点,
控制点, 型值点, 插值点
边 是 1维几何元素, 是两个邻面 （ 正则形体 ） 或多个
邻面 （ 非正则形体 ） 的交界 。 直线边, 曲线边
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面 是 2维几何元素, 是形体上一个有限, 非零的区
域, 由一个外环和若干个内环界定其范围 。
? 一个面可以无内环, 但必须有一个且只有一个
外环 。
? 面有方向性
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环 是有序, 有向边 （ 真线段或曲线段 ） 组成的面的封
闭边界 。
? 环中的边不能相交, 相邻两条边共享一个端点
? 确定面的最大外边界的环称之为 外环
? 确定面中内孔或凸台边界的环称之为 内环
? 在面上沿一个环前进, 其左侧总是面内, 右侧总是
面外 。
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体 是 3维几何元素, 由封闭表面围成空间, 也是
欧氏空间 R3中非空, 有界的封闭子集, 其边界
是有限面的并集 。
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4.1.5 实体的定义
图4 - 5 带有悬挂面的立方体
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客观存在的三维形体具有这样一些性质,
(1)刚性
(2)维数的一致性
(3)占据有限的空间
(4)边界的确定性
(5)封闭性
三维空间中的物体是一个内部连通的三维点集, 是由
其内部的点集及紧紧包着这些点的表皮组成的 。
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利用正则集的概念来定义上述的三维有效物体,
点的领域,如果 P是点集 S的一个元素, 那么点 P的以
R（ R>0） 为半径的领域指的是围绕点 P的半径为 R
的小球 （ 二维情况下为小圆 ） 。
内点 为点集中的这样一些点, 它们具有完全包含于该
点集的充分小的领域 。
边界点
定义 点集的正则运算 r运算为,
AicAr ????
正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r·A
称为 A的 正则集 。
( a ) 带有孤立点和边
的二维点集A
( b ) 内点集合i ·A ( c ) 正则点集c ·i ·A
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图4 - 7 带有悬挂面的立方体
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二维流形 指的是对于实体表面上的任意一点, 都可
以找到一个围绕着它的任意小的领域, 该领域与平
面上的一个圆盘是拓扑等价的 。
图4 - 8 正则形体
( a ) 二维流形 ( b ) 二维流形
( c ) 非二维流形
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实体, 对于一个占据有限空间的正则形体, 如果
其表面是二维流形, 则该正则形体为实体 。
该定义条件可检测
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4.1.6 正则集合运算
有效实体的 封闭性
把能够产生正则形体的集合运算称为 正则集合运算
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( a ) A 与B (b)
( c ) 集合运算
C = A ∩B
( d ) 正则集合运算
C* = A ∩* B
图4 - 9 集合运算与正则集合运算
ABA B
C C*
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有两种方法实现正则运算
间接方式,
点的领域, 即集合 S在点 P附近的局部几何性质,
? 当且仅当 P的领域为满时, P在 S之内；
? 当且仅当 P的领域为空时, P在 S之外；
? 当且仅当 P的领域既不满也不空时, P在 S的边界上 。
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P
R
图4 - 1 0 基于点的领域概念生成正则形体
P A
R A
P B
P B
R B
P A
R A
R B
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直接方式,
在三维空间中, 给定一个正则形体 S,空间点集被
分为三个子集,
? S的内部点集
? S的边界点集
? S之外的点集
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分类函数,
若给定一个正则形体 S及一个有界面 G,则 G相对于 S
的 分类函数 可为,
C(S,G)={G in S,G out S,G on S}
其中,
}{So n G
}{So u t G
}{Si n G
,
,
,
SbpGp
SpGp
SipGp
p
p
p
???
??
???
?
?
?
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用 -G表示有界面 G的反向面 。 即, 如果有界面 G在 P点的
法向为 NP(G),则有界面 -G在 P点的法向就是 -NP(G)。
于是,G on S={G shared (b·S),G shared (-b·S)}
其中,
}{S)(-b s h a r e dG
}{S)(b s h a r e dG
)()(,,
)()(,,
SbNGNSbpGp
SbNGNSbpGp
pp
pp
p
p
??????
?????
??
??
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则 G相对于 S的分类函数 C(S,G)可为,
C(S,G)={G in S,G out S,G shared (b·S),G shared (-b·S)}
正则集合算子
定义三个正则集合算子关于边界面的表达式,
B ) }(b- s h a r e dA bA ),i n B(b- B,o u t A {bB)-(Ab
B}b s h a r e dA bA,i n Bb B,i n A {bB)(Ab
B}b s h a r e dA bA,o u t Bb B,o u t A {bB)(Ab
*
*
*
??????
??????
??????
?
?
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A B A B
A ∪* B A ∩* B A ―* B
A B A B
b ·A o u t B
b ·A s h a r e d
b ·B
b ·B o u t A
b ·B i n A
b ·A i n B
b ·A s h a r e d
b ·B
b ·A s h a r e d
- ( b ·B )
b ·A o u t B
- ( b ·B i n A )
图4 - 1 1 正则集合运算A ∪* B,A ∩* B,A ―* B 的结果（实线表示结果形体的边界）
B ) }(b- s h a r e dA bA ),i n B(b- B,o u t A {bB)-(Ab
B}b s h a r e dA bA,i n Bb B,i n A {bB)(Ab
B}b s h a r e dA bA,o u t Bb B,o u t A {bB)(Ab
*
*
*
??????
??????
??????
?
?
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4.1.7 平面多面体与欧拉公式
平面多面体 是表面由平面多边形构成的三维物体 。
简单多面体 指与球拓扑等价的那些多面体 。
欧拉公式证明简单多面体的顶点数 V,边数 E和面数 F
满足如下关系,V-E+F=2。
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v = 5
E = 8
F = 5
v = 8
E = 1 2
F = 6
v = 6
E = 1 2
F = 8
图4 - 1 2 简单多面体
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令 H表示多面体表面上孔的个数, G表示贯穿多面体
的孔的个数, C表示独立的, 不相连接的多面体数,
则 扩展后的欧拉公式 为,V-E+F-H=2（ C-G）
图4 - 1 3 非简单多面体
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线框模型
线框模型存在着几个缺陷,
? 二义性
4.2 三维形体的表示
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? 容易构造出无效形体
( a ) 有效形体 ( b ) 无效形体
图4 - 1 5 线框模型表示的三维形体
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? 不能正确表示曲面信息 。
线框模型表示
不出轮廓线
图4 - 1 6 线框模型无法表示轮廓线
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? 无法进行图形的线面消隐 。
? 加重用户的输入负担
? 难以保证数据的统一性和有效性 。
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实体模型 （ 实体造型技术 ）
可以将实体模型的表示大致分为三类,
? 边界表示 （ Boundary representation,B-reps）
? 构造实体几何表示
? 空间分割 （ Space-partitioning） 表示
4.2.1 多边形表面模型
边界表示 (B-reps)的最普遍方式是 多边形表面模型, 它
使用一组包围物体内部的平面多边形, 也即平面多面
体, 来描述实体 。
B
C
D
V
AB C AB D BC D AC D
AB BC CA AD BD CD
A B C D
体
面
边
顶点
图4 - 1 7 四面体及其点、边、面的关系
A
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1,多边形表
? 几何表
? 属性表
例如,顶点表, 边表 和 多边形表 。
为图 4-17所示的四面体建立的三张表如下,
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顶点表 边表 面表
A x1,y1,z1 AB A,B ABC AB,BC,AC
B x2,y2,z2 BC B,C ABD AB,BD,AD
C x3,y3,z3 CA C,A BCD BC,CD,BD
D x4,y4,z4 AD A,D ACD AC,CD,AD
BC B,C
CD C,D
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表示其拓扑信息
例如, 翼边结构表示 （ Winged Edges Structure）
E
E 2
E
1
E
3 E 4
F 1
V 2
V 1
F 2
图4 - 1 8 翼边结构表示
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2,平面方程
可以利用平面方程,
? 求得平面的法向量
? 鉴别空间上的点与物体平面的位置关系 。
? 判别点在面的内部或外部
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3,多边形网格
三维形体的曲面边界通常用多边形网格 （ polygon
mesh） 的拼接来模拟 。
三角形带, 四边形网格
图4 - 2 2 四边形网格含6 个四边
形，由3 * 4 个顶点形成
图4 - 2 1 三角形带由1 0 个三
角形和1 2 个顶点相连而成
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4.2.2 扫描表示（ sweep representation）
扫描表示法 （ sweep representation） 可以利用简
单的运动规则生成有效实体 。
包含两个要素,
? 一是作扫描运动的基本图形；
? 二是扫描运动的方式。
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扫描运动的方式有,
? 旋转扫描
? 非圆形路径扫描
? 广义扫描法
4.2.3 构造实体几何法
构造实体几何法 （ CSG,Constructive Solid Geometry）
由两个实体间的并, 交或差操作生成新的实体 。
B
A A A
B B
( a ) A,B 形体的并 ( b ) A,B 形体的差 ( c ) A,B 形体的交
图4 - 2 6 构造几何实体法生成三维实体
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在构造实体几何法中, 集合运算的实现过程可以用一
棵 二叉树 （ 称为 CSG树 ） 来描述,
? 树的叶子
? 树的非终端结点
? 二叉树根结点
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构造实体几何法的优点,
? 可以构造出多种不同的符合需要的实体 。
问题,
? 求交困难
? CSG树不能显式地表示形体的边界
解决,光线投射 （ Ray-casting） 算法
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光线投射 （ Ray-casting） 算法
核心思想,
x
y
z
图4 - 2 8 光线投射算法( 实体A 并B 则取a d,实体A 交B 则取c b,实体A - B 则取a b )
发射平面
射线
射线
z
xy
a b c d
A
B
( b )( a )
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具体算法是,
1)将射线与 CSG树中的所有基本体素求交, 求出所
有的交点 。
2)将所有交点相对于 CSG树表示的物体进行分类,
确定位于物体边界上的那部分交点 。
3)对所有位于物体边界上的交点计算它们在射线上
的参数值并进行排序, 确定距离最近的交点 。 得
到其所在基本体素表面的法矢量 。
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4.2.4 空间位置枚举表示
空间位置枚举表示法 将包含实体的空间分割为大
小相同, 形状规则 （ 正方形或立方体 ） 的体素,
然后, 以体素的集合来表示图形对象 。
? 二维情况, 常用二维数组存放 。
? 三维情况下, 常用三维数组 p[i][j][k]来存放 。
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4.2.5 八叉树
八叉树 （ octrees） 又称为分层树结构, 它对空间进
行自适应划分, 采用具有层次结构的八叉树来表示
实体 。
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四叉树
图4 - 3 0 二维平面图形对象的四叉树表示
B B
E F B
1 2 3 4
B B
B
E B BB B F BF
E F EE E F EE F F EFF F FF E E EF
象限2
象限3象限4
象限1
..,.,.
(a ) (b )
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八叉树 x
z
y
1
3
2
4
5
6
7
8
图4 - 3 1 三维空间分成八个卦限及其节点表示
5 7 861 3 42
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4.2.6 BSP树
二叉空间分割 （ binary space partitioning,BSP）
方法 每次将一实体用任一位置和任一方向的平面分
为二部分 。
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4.3 非规则对象的表示
? 基于分数维理论的随机模型
? 基于文法的模型
? 粒子系统模型
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4.3.1 分形几何 (fractal geometry)
分形几何物体具有一个基本特征,无限的自相似性 。
无限的自相似性 是指物体的整体和局部之间细节的无
限重现 。
分形物体的描述又包含,
? 分形维数, 又称分数维数
? 生成过程, 初始生成元 （ initiator）, 生成元
（ genenator）
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4.3.2 形状语法
形状语法 （ shape grammars）, 给定一组产生式规
则, 形状设计者可以在从给定初始物体到最终物体
结构的每一次变换中应用不同的规则 。
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4.3.3 微粒系统
用于模拟自然景物或模拟其它非规则形状物体展示
,流体, 性质的一个方法是 微粒系统 （ particle
systems） 。
? 这一方法尤其擅长描述随时间变化的物体 。
? 微粒运动的模拟方式：随机过程模拟, 运动路径
模拟, 力学模拟
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4.3.4 基于物理的建模
基于物理的建模方法,描述了物体在内外力相互作用
下的行为 。
? 通常用一组 网格结点 来逼近物体 。 网格结点间取为
柔性连接, 再考虑 贯穿物体网格的力传递 。
? 基于力学方程的动画描述比基于运动学方程的描述
产生的运动更真实 。 实例
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4.3.5 数据场的可视化
科技计算可视化 （ scientific visualization） 指的是运
用计算机图形学和图象处理技术, 将科学计算过程
中及计算结果的数据转换为图形及图象在屏幕上显
示出来并进行交互处理的理论, 方法和技术 。
有三种不同类型的数据需要实现可视化,
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标量,若对每一个直角坐标系 oxyz有一个量，它在坐
标变换时满足下式，即保持其值不变，则此量定义
了一个标量。
7-4 )',','('),,( zyxfzyxf ?
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矢量,对于每一个直角坐标系 ox1x2x3来说有三个量
x1,x2,x3,它们可根据下式变换到另一个坐标系
ox1'x2'x3',则此时三个量定义了一个矢量 。
8-4
333232131
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
???
???
???
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二阶张量,如果对每一个直角坐标系 ox1x2x3,有 9
个量 Xij(i=1,2,3;j=1,2,3),它可以按照以张量形式
表示的下述公式转换为另一个直角坐标系中的 9个
量 Xij'(i=1,2,3;j=1,2,3),则这 9个量定义了一个二阶
张量。
9-4 )3,2,1;3,2,1( ' ??? mlXaaX ijjmilij
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69
显然，二阶张量可以表示为一个 3× 3矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
X
ij
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二阶张量的定义可以推广到 n阶张量 。
当 n=0时, 张量的分量只有 1个, 它是一个标量 。
因此, 可将标量视为 零阶张量 。
当 n=1时, 张量的分量有 3个, 它是一个矢量 。 因
此, 矢量可视为 一阶张量 。
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71
对于分布在三维空间的体数据来说, 有两类不同的
可视化算法,
? 一是首先由三维空间数据场构造出中间几何图元
（ 如曲面, 平面等 ）, 然后再由传统的计算机图形
学技术实现面绘制 。
? 体绘制 （ volume rendering） 算法, 或称为直接体绘
制 （ direct volume rendering） 算法 。
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72
4.4 图形的层次结构
4.4.1 段的层次概念
图4 - 3 4 由直线、矩形等图素和门、窗等图段组成的楼房
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99-7
73
4.4.2 层次结构的实现
? 系统的层次式模型可通过将一个图段嵌套到另一
个图段中形成树形图段来创建 。
? 在结构层次中, 需要将在建模坐标系中定义的基
本图素和段放在用户坐标系中来建立引用 。
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99-7
74
层
它把功能相同的部分归类, 并把它们绘在一层上 。
? 不同的层可用不同的颜色及线型
? 不同层可一起显示, 也可任挑几个层来显示
? 层不再嵌套 。
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75
习题
1,名词解释：造型技术, 规则对象, 不规则对象,
几何造型, 几何模型, 数据放大技术, 图元, 图素,
体素, 段, 图形信息, 非图形信息, 几何信息, 拓
扑信息, 刚体运动, 拓扑运动, 拓扑等价, 建模坐
标系, 用户坐标系, 观察坐标系, 规格化设备坐标
系, 设备坐标系, 控制点, 型值点, 插值点, 正则
集, 二维流形, 非二维流形, 翼边结构表示, 多边
形网格, 构造实体几何法, 空间位置枚举法, 八叉
树, BSP树, 无限自相似性, 层
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76
2,欧氏空间中的几何元素包含那些内容, 如何表示 。
3,利用正则集的概念简述实体的定义 。
4,用间接方式如何实现正则集合运算, 用直接方式呢？
5,简单多面体的欧拉公式满足何条件？ 复杂多面体的
呢？
6,试比较线框模型和实体模型的优缺点 。
7,简述有哪些方法来实现多边形表面模型 。
8,简述三维形体的扫描表示方法 。
9,简述如何利用 CSG树来表示三维形体 。
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99-7
77
10,举例说明如何用空间位置枚举法表示二维形体 。
11,举例说明如何用四叉树表示二维形体 。
12,试说明何谓分形几何 。
13,利用形状语法表示三维形体有何特征 。
14,利用微粒系统表示三维形体有何特征 。
15,基于物体的建模通常应用在哪些方面 。
16,数据场的可视化可应用在哪些方面 。
17,图形系统中为什么要建立图形对象的层次结构 。
99-7
1
第 4章 造型技术
? 提出问题
? 如何在计算机中建立恰当的模型表示不同图形对象
? 如何组织图形对象的描述数据以使存储这些数据所
要的空间最省, 检索, 处理这些数据的速度较快
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2
把研究如何在计算机中建立恰当的模型表示不同
图形对象的技术称为 造型技术 。
有两类图形对象,
规则对象：几何造型, 几何模型
不规则对象
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3
4.1.1 基本图形元素与段的概念
4.1 基本概念
基本图形元素,图素或图元, 体素
图素 是指可以用一定的几何参数和属性参数描述
的最基本的图形输出元素 。
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4
体素 是三维空间中可以用有限个尺寸参数定位和定形
的体, 常有三种定义形式,
(1)从实际形体中选择出来, 可用一些确定的尺寸参数
控制其最终位置和形状的一组单元实体
(2)由参数定义的一条 (或一组 )轮廓线沿一条 (或一组 )
空间参数曲线作扫描运动而产生的形体 。
(3)用代数半空间定义的形体
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5
段 （ 也称图段, 结构和对象 ）
段 是指具有逻辑意义的有限个图素 （ 或体素 ） 及其附
加属性的集合, ≥1≥1
RS
图4 - 1 或非门电路构成的R - S 触发器
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6
? 图素或体素用数据来描述, 段用规则来描述 。
? 段可以嵌套
? 段一般具有 三个特性,可见性, 醒目性, 可选
择性 。
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7
4.1.2 几何信息与拓扑信息
? 图形对象及构成它的点, 线, 面的位置, 相互间关
系和几何尺寸等都是 图形信息 ；
? 表示图形对象的线型, 颜色, 亮度以及供模拟, 分
析用的质量, 比重, 体积等数据, 是有关对象的 非
图形信息 。
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8
图形信息又包括,
几何信息,形体在欧氏空间中的位置和大小
拓扑信息,形体各分量 （ 点, 边, 面 ） 的数目及其相
互间的连接关系 。
1,几何信息
(1)几何分量的数学表示
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9
(2)几何分量之间的相互关系
321
fff ?? 点 v v v
1 2
?
v v v
1 2 3
? ? e e
1 2
?
f f
1 2
?
面 f e e
1 2
?
边 e
图4 - 2 形体几何分量间的相互关系
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10
几何信息的二义性
2,拓朴信息
平面立体的几何分量之间一共有九种拓扑关系
面相邻性 f, { f } 面 - 顶点包含性
f, { v }
面 - 边包含性 f, { e }
顶点 — 面相邻性
v, { f }
顶点相邻性
v, { v }
顶点 - 边相邻性 v, { e }
边 - 面相邻性 e, { f } 边 - 顶点包含性 e, { v } 边相邻性 e, { e, }
f
f f
e
e
f
f
f f
v e
v
v
v
e
e
e
v
v
e
f
f
e
v
v
v
f
e
e
v
v
e
e
e
e
图4 - 3 平面立体的九种拓扑关系
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12
? 刚体运动,不改变图形上任意两点间的距离, 也不
改变图形的几何性质的运动 。
? 拓扑运动,允许形体作弹性运动, 即在拓扑关系中,
对图形可随意地伸张扭曲 。 但图上各个点仍为不同
的点, 决不允许把不同的点合并成一个点 。
拓扑等价, 拓扑性质
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13
4.1.3 坐标系
用户坐标系
建模坐标系
观察坐标系
规格化的设备坐标
设备坐标系
坐标系
直角坐标系
仿射坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
极坐标系
图4 - 4 坐标系的分类
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14
4.1.4 几何元素
点 是 0维几何元素, 分端点, 交点, 切点和孤立点等 。
在自由曲线面的描述中常用三种类型的点,
控制点, 型值点, 插值点
边 是 1维几何元素, 是两个邻面 （ 正则形体 ） 或多个
邻面 （ 非正则形体 ） 的交界 。 直线边, 曲线边
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15
面 是 2维几何元素, 是形体上一个有限, 非零的区
域, 由一个外环和若干个内环界定其范围 。
? 一个面可以无内环, 但必须有一个且只有一个
外环 。
? 面有方向性
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16
环 是有序, 有向边 （ 真线段或曲线段 ） 组成的面的封
闭边界 。
? 环中的边不能相交, 相邻两条边共享一个端点
? 确定面的最大外边界的环称之为 外环
? 确定面中内孔或凸台边界的环称之为 内环
? 在面上沿一个环前进, 其左侧总是面内, 右侧总是
面外 。
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17
体 是 3维几何元素, 由封闭表面围成空间, 也是
欧氏空间 R3中非空, 有界的封闭子集, 其边界
是有限面的并集 。
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18
4.1.5 实体的定义
图4 - 5 带有悬挂面的立方体
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19
客观存在的三维形体具有这样一些性质,
(1)刚性
(2)维数的一致性
(3)占据有限的空间
(4)边界的确定性
(5)封闭性
三维空间中的物体是一个内部连通的三维点集, 是由
其内部的点集及紧紧包着这些点的表皮组成的 。
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20
利用正则集的概念来定义上述的三维有效物体,
点的领域,如果 P是点集 S的一个元素, 那么点 P的以
R（ R>0） 为半径的领域指的是围绕点 P的半径为 R
的小球 （ 二维情况下为小圆 ） 。
内点 为点集中的这样一些点, 它们具有完全包含于该
点集的充分小的领域 。
边界点
定义 点集的正则运算 r运算为,
AicAr ????
正则运算即为先对物体取内点再取闭包的运算。 r·A
称为 A的 正则集 。
( a ) 带有孤立点和边
的二维点集A
( b ) 内点集合i ·A ( c ) 正则点集c ·i ·A
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22
图4 - 7 带有悬挂面的立方体
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23
二维流形 指的是对于实体表面上的任意一点, 都可
以找到一个围绕着它的任意小的领域, 该领域与平
面上的一个圆盘是拓扑等价的 。
图4 - 8 正则形体
( a ) 二维流形 ( b ) 二维流形
( c ) 非二维流形
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24
实体, 对于一个占据有限空间的正则形体, 如果
其表面是二维流形, 则该正则形体为实体 。
该定义条件可检测
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4.1.6 正则集合运算
有效实体的 封闭性
把能够产生正则形体的集合运算称为 正则集合运算
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26
( a ) A 与B (b)
( c ) 集合运算
C = A ∩B
( d ) 正则集合运算
C* = A ∩* B
图4 - 9 集合运算与正则集合运算
ABA B
C C*
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27
有两种方法实现正则运算
间接方式,
点的领域, 即集合 S在点 P附近的局部几何性质,
? 当且仅当 P的领域为满时, P在 S之内；
? 当且仅当 P的领域为空时, P在 S之外；
? 当且仅当 P的领域既不满也不空时, P在 S的边界上 。
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28
P
R
图4 - 1 0 基于点的领域概念生成正则形体
P A
R A
P B
P B
R B
P A
R A
R B
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29
直接方式,
在三维空间中, 给定一个正则形体 S,空间点集被
分为三个子集,
? S的内部点集
? S的边界点集
? S之外的点集
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30
分类函数,
若给定一个正则形体 S及一个有界面 G,则 G相对于 S
的 分类函数 可为,
C(S,G)={G in S,G out S,G on S}
其中,
}{So n G
}{So u t G
}{Si n G
,
,
,
SbpGp
SpGp
SipGp
p
p
p
???
??
???
?
?
?
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31
用 -G表示有界面 G的反向面 。 即, 如果有界面 G在 P点的
法向为 NP(G),则有界面 -G在 P点的法向就是 -NP(G)。
于是,G on S={G shared (b·S),G shared (-b·S)}
其中,
}{S)(-b s h a r e dG
}{S)(b s h a r e dG
)()(,,
)()(,,
SbNGNSbpGp
SbNGNSbpGp
pp
pp
p
p
??????
?????
??
??
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32
则 G相对于 S的分类函数 C(S,G)可为,
C(S,G)={G in S,G out S,G shared (b·S),G shared (-b·S)}
正则集合算子
定义三个正则集合算子关于边界面的表达式,
B ) }(b- s h a r e dA bA ),i n B(b- B,o u t A {bB)-(Ab
B}b s h a r e dA bA,i n Bb B,i n A {bB)(Ab
B}b s h a r e dA bA,o u t Bb B,o u t A {bB)(Ab
*
*
*
??????
??????
??????
?
?
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A B A B
A ∪* B A ∩* B A ―* B
A B A B
b ·A o u t B
b ·A s h a r e d
b ·B
b ·B o u t A
b ·B i n A
b ·A i n B
b ·A s h a r e d
b ·B
b ·A s h a r e d
- ( b ·B )
b ·A o u t B
- ( b ·B i n A )
图4 - 1 1 正则集合运算A ∪* B,A ∩* B,A ―* B 的结果（实线表示结果形体的边界）
B ) }(b- s h a r e dA bA ),i n B(b- B,o u t A {bB)-(Ab
B}b s h a r e dA bA,i n Bb B,i n A {bB)(Ab
B}b s h a r e dA bA,o u t Bb B,o u t A {bB)(Ab
*
*
*
??????
??????
??????
?
?
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34
4.1.7 平面多面体与欧拉公式
平面多面体 是表面由平面多边形构成的三维物体 。
简单多面体 指与球拓扑等价的那些多面体 。
欧拉公式证明简单多面体的顶点数 V,边数 E和面数 F
满足如下关系,V-E+F=2。
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35
v = 5
E = 8
F = 5
v = 8
E = 1 2
F = 6
v = 6
E = 1 2
F = 8
图4 - 1 2 简单多面体
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36
令 H表示多面体表面上孔的个数, G表示贯穿多面体
的孔的个数, C表示独立的, 不相连接的多面体数,
则 扩展后的欧拉公式 为,V-E+F-H=2（ C-G）
图4 - 1 3 非简单多面体
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37
线框模型
线框模型存在着几个缺陷,
? 二义性
4.2 三维形体的表示
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? 容易构造出无效形体
( a ) 有效形体 ( b ) 无效形体
图4 - 1 5 线框模型表示的三维形体
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? 不能正确表示曲面信息 。
线框模型表示
不出轮廓线
图4 - 1 6 线框模型无法表示轮廓线
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40
? 无法进行图形的线面消隐 。
? 加重用户的输入负担
? 难以保证数据的统一性和有效性 。
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41
实体模型 （ 实体造型技术 ）
可以将实体模型的表示大致分为三类,
? 边界表示 （ Boundary representation,B-reps）
? 构造实体几何表示
? 空间分割 （ Space-partitioning） 表示
4.2.1 多边形表面模型
边界表示 (B-reps)的最普遍方式是 多边形表面模型, 它
使用一组包围物体内部的平面多边形, 也即平面多面
体, 来描述实体 。
B
C
D
V
AB C AB D BC D AC D
AB BC CA AD BD CD
A B C D
体
面
边
顶点
图4 - 1 7 四面体及其点、边、面的关系
A
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43
1,多边形表
? 几何表
? 属性表
例如,顶点表, 边表 和 多边形表 。
为图 4-17所示的四面体建立的三张表如下,
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44
顶点表 边表 面表
A x1,y1,z1 AB A,B ABC AB,BC,AC
B x2,y2,z2 BC B,C ABD AB,BD,AD
C x3,y3,z3 CA C,A BCD BC,CD,BD
D x4,y4,z4 AD A,D ACD AC,CD,AD
BC B,C
CD C,D
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表示其拓扑信息
例如, 翼边结构表示 （ Winged Edges Structure）
E
E 2
E
1
E
3 E 4
F 1
V 2
V 1
F 2
图4 - 1 8 翼边结构表示
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46
2,平面方程
可以利用平面方程,
? 求得平面的法向量
? 鉴别空间上的点与物体平面的位置关系 。
? 判别点在面的内部或外部
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47
3,多边形网格
三维形体的曲面边界通常用多边形网格 （ polygon
mesh） 的拼接来模拟 。
三角形带, 四边形网格
图4 - 2 2 四边形网格含6 个四边
形，由3 * 4 个顶点形成
图4 - 2 1 三角形带由1 0 个三
角形和1 2 个顶点相连而成
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4.2.2 扫描表示（ sweep representation）
扫描表示法 （ sweep representation） 可以利用简
单的运动规则生成有效实体 。
包含两个要素,
? 一是作扫描运动的基本图形；
? 二是扫描运动的方式。
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49
扫描运动的方式有,
? 旋转扫描
? 非圆形路径扫描
? 广义扫描法
4.2.3 构造实体几何法
构造实体几何法 （ CSG,Constructive Solid Geometry）
由两个实体间的并, 交或差操作生成新的实体 。
B
A A A
B B
( a ) A,B 形体的并 ( b ) A,B 形体的差 ( c ) A,B 形体的交
图4 - 2 6 构造几何实体法生成三维实体
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51
在构造实体几何法中, 集合运算的实现过程可以用一
棵 二叉树 （ 称为 CSG树 ） 来描述,
? 树的叶子
? 树的非终端结点
? 二叉树根结点
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52
构造实体几何法的优点,
? 可以构造出多种不同的符合需要的实体 。
问题,
? 求交困难
? CSG树不能显式地表示形体的边界
解决,光线投射 （ Ray-casting） 算法
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53
光线投射 （ Ray-casting） 算法
核心思想,
x
y
z
图4 - 2 8 光线投射算法( 实体A 并B 则取a d,实体A 交B 则取c b,实体A - B 则取a b )
发射平面
射线
射线
z
xy
a b c d
A
B
( b )( a )
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99-7
54
具体算法是,
1)将射线与 CSG树中的所有基本体素求交, 求出所
有的交点 。
2)将所有交点相对于 CSG树表示的物体进行分类,
确定位于物体边界上的那部分交点 。
3)对所有位于物体边界上的交点计算它们在射线上
的参数值并进行排序, 确定距离最近的交点 。 得
到其所在基本体素表面的法矢量 。
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99-7
55
4.2.4 空间位置枚举表示
空间位置枚举表示法 将包含实体的空间分割为大
小相同, 形状规则 （ 正方形或立方体 ） 的体素,
然后, 以体素的集合来表示图形对象 。
? 二维情况, 常用二维数组存放 。
? 三维情况下, 常用三维数组 p[i][j][k]来存放 。
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99-7
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4.2.5 八叉树
八叉树 （ octrees） 又称为分层树结构, 它对空间进
行自适应划分, 采用具有层次结构的八叉树来表示
实体 。
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99-7
57
四叉树
图4 - 3 0 二维平面图形对象的四叉树表示
B B
E F B
1 2 3 4
B B
B
E B BB B F BF
E F EE E F EE F F EFF F FF E E EF
象限2
象限3象限4
象限1
..,.,.
(a ) (b )
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58
八叉树 x
z
y
1
3
2
4
5
6
7
8
图4 - 3 1 三维空间分成八个卦限及其节点表示
5 7 861 3 42
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4.2.6 BSP树
二叉空间分割 （ binary space partitioning,BSP）
方法 每次将一实体用任一位置和任一方向的平面分
为二部分 。
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99-7
60
4.3 非规则对象的表示
? 基于分数维理论的随机模型
? 基于文法的模型
? 粒子系统模型
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4.3.1 分形几何 (fractal geometry)
分形几何物体具有一个基本特征,无限的自相似性 。
无限的自相似性 是指物体的整体和局部之间细节的无
限重现 。
分形物体的描述又包含,
? 分形维数, 又称分数维数
? 生成过程, 初始生成元 （ initiator）, 生成元
（ genenator）
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4.3.2 形状语法
形状语法 （ shape grammars）, 给定一组产生式规
则, 形状设计者可以在从给定初始物体到最终物体
结构的每一次变换中应用不同的规则 。
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99-7
63
4.3.3 微粒系统
用于模拟自然景物或模拟其它非规则形状物体展示
,流体, 性质的一个方法是 微粒系统 （ particle
systems） 。
? 这一方法尤其擅长描述随时间变化的物体 。
? 微粒运动的模拟方式：随机过程模拟, 运动路径
模拟, 力学模拟
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4.3.4 基于物理的建模
基于物理的建模方法,描述了物体在内外力相互作用
下的行为 。
? 通常用一组 网格结点 来逼近物体 。 网格结点间取为
柔性连接, 再考虑 贯穿物体网格的力传递 。
? 基于力学方程的动画描述比基于运动学方程的描述
产生的运动更真实 。 实例
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99-7
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4.3.5 数据场的可视化
科技计算可视化 （ scientific visualization） 指的是运
用计算机图形学和图象处理技术, 将科学计算过程
中及计算结果的数据转换为图形及图象在屏幕上显
示出来并进行交互处理的理论, 方法和技术 。
有三种不同类型的数据需要实现可视化,
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99-7
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标量,若对每一个直角坐标系 oxyz有一个量，它在坐
标变换时满足下式，即保持其值不变，则此量定义
了一个标量。
7-4 )',','('),,( zyxfzyxf ?
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矢量,对于每一个直角坐标系 ox1x2x3来说有三个量
x1,x2,x3,它们可根据下式变换到另一个坐标系
ox1'x2'x3',则此时三个量定义了一个矢量 。
8-4
333232131
'
3
323222121
'
2
313212111
'
1
xaxaxax
xaxaxax
xaxaxax
???
???
???
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二阶张量,如果对每一个直角坐标系 ox1x2x3,有 9
个量 Xij(i=1,2,3;j=1,2,3),它可以按照以张量形式
表示的下述公式转换为另一个直角坐标系中的 9个
量 Xij'(i=1,2,3;j=1,2,3),则这 9个量定义了一个二阶
张量。
9-4 )3,2,1;3,2,1( ' ??? mlXaaX ijjmilij
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显然，二阶张量可以表示为一个 3× 3矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
xxx
xxx
xxx
X
ij
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二阶张量的定义可以推广到 n阶张量 。
当 n=0时, 张量的分量只有 1个, 它是一个标量 。
因此, 可将标量视为 零阶张量 。
当 n=1时, 张量的分量有 3个, 它是一个矢量 。 因
此, 矢量可视为 一阶张量 。
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对于分布在三维空间的体数据来说, 有两类不同的
可视化算法,
? 一是首先由三维空间数据场构造出中间几何图元
（ 如曲面, 平面等 ）, 然后再由传统的计算机图形
学技术实现面绘制 。
? 体绘制 （ volume rendering） 算法, 或称为直接体绘
制 （ direct volume rendering） 算法 。
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4.4 图形的层次结构
4.4.1 段的层次概念
图4 - 3 4 由直线、矩形等图素和门、窗等图段组成的楼房
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4.4.2 层次结构的实现
? 系统的层次式模型可通过将一个图段嵌套到另一
个图段中形成树形图段来创建 。
? 在结构层次中, 需要将在建模坐标系中定义的基
本图素和段放在用户坐标系中来建立引用 。
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层
它把功能相同的部分归类, 并把它们绘在一层上 。
? 不同的层可用不同的颜色及线型
? 不同层可一起显示, 也可任挑几个层来显示
? 层不再嵌套 。
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习题
1,名词解释：造型技术, 规则对象, 不规则对象,
几何造型, 几何模型, 数据放大技术, 图元, 图素,
体素, 段, 图形信息, 非图形信息, 几何信息, 拓
扑信息, 刚体运动, 拓扑运动, 拓扑等价, 建模坐
标系, 用户坐标系, 观察坐标系, 规格化设备坐标
系, 设备坐标系, 控制点, 型值点, 插值点, 正则
集, 二维流形, 非二维流形, 翼边结构表示, 多边
形网格, 构造实体几何法, 空间位置枚举法, 八叉
树, BSP树, 无限自相似性, 层
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2,欧氏空间中的几何元素包含那些内容, 如何表示 。
3,利用正则集的概念简述实体的定义 。
4,用间接方式如何实现正则集合运算, 用直接方式呢？
5,简单多面体的欧拉公式满足何条件？ 复杂多面体的
呢？
6,试比较线框模型和实体模型的优缺点 。
7,简述有哪些方法来实现多边形表面模型 。
8,简述三维形体的扫描表示方法 。
9,简述如何利用 CSG树来表示三维形体 。
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10,举例说明如何用空间位置枚举法表示二维形体 。
11,举例说明如何用四叉树表示二维形体 。
12,试说明何谓分形几何 。
13,利用形状语法表示三维形体有何特征 。
14,利用微粒系统表示三维形体有何特征 。
15,基于物体的建模通常应用在哪些方面 。
16,数据场的可视化可应用在哪些方面 。
17,图形系统中为什么要建立图形对象的层次结构 。
