土质学与土力学
人防教研室 赵佩胜
中 国 人 民 解 放 军 理 工 大 学 工 程 兵 工 程 学 院 多 媒 体 教 学 课 件
,土质学与土力学, 多媒体课件 人防工程教研室 赵佩胜 制作
第四章 土中应力计算
第一节 概 述
一, 研究土中应力的目的
地基土在自重, 建筑荷载, 车辆荷载作用下产生应力及
变形 。 先解决土中应力问题 。
二, 土中应力的计算方法及假定
计算 土中应力 的方法主要用弹性理论公式, 假定：地基
土为均匀的, 各向同性的半无限弹性体 。
三, 自重应力与附加应力
1,自重应力：由土体自身重量产生的应力 。 一般情况
下地基土在自重作用下固结已完成, 不产生附加沉降 。
2,附加应力：由外荷载 （ 建筑物荷载, 车辆荷载等 ）
引起的应力 。 附加应力引起附加变形和沉降 。
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第二节 土中自重应力的计算
一, 基本计算公式 （ 土体均匀时 ）
地基土均匀时, 地面下某深处土体的竖向自重应力为,
自重应力随深度分布为三角形 （ 图 4-2） 。
二, 成层土体时
土成层时, 在地下某深处的竖向自重应力为,
成层土自重应力分布是折线型 （ 图 4-3） 。
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三, 浮力问题 —— 地下水对自重应力的影响
计算地下水位以下土的自重应力时, 应根据土的性质确
定是否考虑浮力的影响 。 对碎石土, 砂性土等应 考虑浮力 。
对粘性土, 视其物理状态决定 。
液性指数 >1的粘性土, 土体受到浮力的作用；
液性指数 <0的粘性土, 不考虑浮力作用；
液性指数 0~1的粘性土, 实际应用时按对工程有利, 不
利原则处理 。
在计算时, 地下水位以下土的容重应按浮容重计算 。
四, 水平向自重应力的计算
土的水平方向自重应力的计算式,czcycx K ??? 0??
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第三节 基础底面的压力分布与计算
一, 基底压力的分布
建筑物的荷载通过基础传到地基中, 在地基中产生附加
应力, 并引起地基土变形产生基础沉降 。 基础底面与地基土
接触面上的压力称为接触压力, 也称基底压力 。 接触压力比
较复杂, 影响因素较多, 如基础刚度, 形状, 尺寸, 埋置深
度, 土的性质, 荷载大小与性质等 。 根据实测和理论研究,
基底压力的分布, 对柔性基础：接触压力分布与上部荷载一
致, 一般为均匀分布；对于刚性基础：因荷载的大小和基础
埋深的不同有马鞍形, 抛物线性, 钟形等 。 尽管基底压力分
布比较复杂, 但在理论计算时作简化, 近似按直线分布, 计
算误差满足工程要求 （ 图 4-7,4-8） 。
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二, 基底压力的简化计算
1,中心荷载 时：按中心受压公式计算,
2,偏心荷载 时：按偏心受压公式计算,
对 偏心公式的讨论,
（ 1） 当 时,, 基底压力呈梯形分布；
（ 2） 当 时,, 基底压力呈三角形分布；
（ 3） 当 时,, 压力重新分布 。
最大压应力为,
实际基底受压宽度为,
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第四节 竖向集中力作用下土中应力计算
在均匀, 各向同性的半无限弹性体表面, 作用
竖向集中力, 半无限体内任一点的应力 已由布西奈
斯克 （ J·V·Boussinesq） 解得 。 表达式为,
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用极坐标表示,
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在上述公式中, 应用最多的是竖向应力及竖向
位移,
① 竖向法向应力,
② 地面 竖向位移,
③ 集中力作用下地基中 附加应力的分布
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第五节竖向分布荷载作用下土中应力计算
上部结构的荷载都是通过一定面积的基础传给地基土的,
对于荷载分布不规则的, 计算时可以将基础底面划分为若干
个小块, 每一小块按一个集中力计算, 最后应用叠加原理总
和起来 。 若基础形状及荷载分布有规律时, 则可用积分方法
进行计算 。
若地表有一 分布荷载, 计算土中某点处竖向附加应力,
可在基底内取单元面积, 用作用其上的集中力根据布西奈斯
克解, 求出土中竖向附加应力 。
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一, 空间问题
若作用的荷载是分布在有限面积范围内, 则土
中附加应力是与计算点的空间坐标有关, 这类解答
属于空间问题 。
1,圆形面积 上作用均布荷载时, 土中竖向附
加应力的计算
对上式积分, 得到竖向附加应力计算表达式,
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2,矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应
力的计算
（ 1） 矩形面积 中点下 土中竖向附加应力计算
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（ 2） 矩形面积角点下土中竖向附加应力计算
（ 3） 矩形面积均布荷载作用下, 土中任意点的竖向附
加应力计算 —— 角点法
计算方法采用 角点法, 计算原理是利用应力叠加原理 。
在应用中要掌握四种基本情况 。 在采用角点法时应注意三点：
公共点, 长短边, 正负号 。
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3,矩形面积上作用 三角形分布荷载 时, 土中竖向附加
应力计算
思考题,
对于梯形分布荷载或三角形分布荷载作用下, 地基中任
一点的附加应力如何计算呢？
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二, 平面问题
若地表作用 无限长条形荷载, 荷载在宽度方向
分布是任意的, 但在长度方向的分布规律是相同的 。
在计算土中任一点 M的附加应力时, 只与该点的平
面坐标 （ x,z） 有关, 而与荷载长度方向 y轴坐标
无关, 这类情况属于平面应变问题 。 实际工程中当
基础的长宽比 l/b≥10时, 即可按平面问题计算 。 如
路堤, 堤坝, 墙基等条形基础 。
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1,均布线荷载 作用时土中应力计算
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2,均布条形荷载 作用下土中附加应力计算
（ 1） 计算土中任一点的竖向附加应力
极坐标,
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（ 2） 计算土中任一点的主应力
在土体表面作用均布条形荷载时, 计算土中任
一点的最大, 最小主应力可用材料力学中的相关公
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令从 M点到荷载宽度边缘的视角为 2α,则
2α=β1-β2,由计算可知, 最大主应力的作用方向正
好是视角 2α的等分线 （ 图 4-27） 。 M点的主应力可
表示为,
从上式可看出, 土中凡视角 2α相等的点, 其主
应力也相等 。 主应力的等值线是通过荷载分布宽度
边缘点的圆 （ 见图 4-27） 。
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（ 3） 三角形分布条形荷载 作用下土中附加应
力计算
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三, 非均质和各向异性土体中附加应力
问题
可以将其归纳为 双层地基 问题,
1,坚硬土层上覆盖着不厚的压缩层：土中附
加应力分布发生应力集中现象 。
2,软弱土层上有一层压缩模量较高的硬壳层：
土中附加应力分布发生应力扩散现象 。
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第六节 应力计算中的其他一些问题
一, 建筑物基础下地基应力计算
前面介绍土中附加应力计算, 都是假定荷载作
用在土体表面 。 对于 有一定埋深的建筑物基础, 在
计算地基中附加应力前, 应先计算基础底面的附加
应力 。 再按前面介绍的方法计算 。
二, 应力扩散角概念
根据应力扩散概念, 提出一种简化计算方法,
即应力扩散角法 。 图 3-34） 。
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第七节 有效应力原理
设在土中某点取一水平截面 （ 图 4-30）, 面积为 F,其
上作用应力 σ, 它是由土重, 静水压力及外荷载产生, 称为
总应力 。 这一应力一部分由土颗粒间的接触面承担, 称为有
效应力；另一部分由土中孔隙水承担, 称为孔隙水应力 。
在土体内取一脱离体, 并在其中取一截面, 根据平衡条
件,
对于饱和土, 公式为,
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The End
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图 4-1土中一点的应力情况
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图 4-2均匀土的自重应力分布
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图 4-3成层土的自重应力分布
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图 4- 4水下土的自重应力分布
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图 4-4成层土中水下土的自重应力分布
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图 4-6例题 4-2图
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图 4-7柔性基础下的压力分析
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图 4-8刚性基础下压力分布
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图 4-9基底压力分布的简化计算
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图 4-11布西奈斯克课题 (直角坐标表示 )
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图 4-12布西奈斯克课题 (极坐标表示 )
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图 4-13集中力作用下的地面沉降
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图 4-14竖向集中力作用下土中应力分布
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图 4-15基础上的分布荷载用集中力代替
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图 4-16分布荷载作用下土中应力计算
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图4-
17
圆
形
面
积
均
布
荷
载
作
用
下
应
力
计
算
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图4-
18
矩
形
面
积
均
布
荷
载
作
用
下
中
点
及
角
点
竖
向
应
力
计
算
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图 4-19角点法
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图4-
20
例
题4-
6
,
4-7
、4-
8
图
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图4-
21
矩
形
面
积
上
三
角
形
分
布
荷
载
作
用
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应
力
计
算
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图 4-22例题 4-9计算图
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图 4-23无限长条分布荷载
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图4-
24
均
布
线
荷
载
作
用
时
土
中
应
力
计
算
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图 4-25均布条形荷载作用下土中应力计算
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图4-
26
均
布
条
形
荷
载
作
用
时
土
中
应
力
计
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（
极
坐
标
表
示
）
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图4-
27
均
布
条
形
荷
载
作
用
下
土
中
主
应
力
计
算
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图4-
28
三
角
形
分
布
条
形
荷
载
作
用
下
土
中
竖
向
应
力
计
算
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图 4-29例题 4-10图
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图4-
30
双
层
地
基
竖
向
应
力
比
较
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图 4-31 双层地基界面上附加应力分布
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图 4-35桥墩基础下地基应力计算
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图4-
36
例
题4-
13
桥
墩
基
础
下
地
基
应
力
计
算
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图4-
34
扩
散
角
的
概
念
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图 4-30有效应力
人防教研室 赵佩胜
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第四章 土中应力计算
第一节 概 述
一, 研究土中应力的目的
地基土在自重, 建筑荷载, 车辆荷载作用下产生应力及
变形 。 先解决土中应力问题 。
二, 土中应力的计算方法及假定
计算 土中应力 的方法主要用弹性理论公式, 假定：地基
土为均匀的, 各向同性的半无限弹性体 。
三, 自重应力与附加应力
1,自重应力：由土体自身重量产生的应力 。 一般情况
下地基土在自重作用下固结已完成, 不产生附加沉降 。
2,附加应力：由外荷载 （ 建筑物荷载, 车辆荷载等 ）
引起的应力 。 附加应力引起附加变形和沉降 。
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第二节 土中自重应力的计算
一, 基本计算公式 （ 土体均匀时 ）
地基土均匀时, 地面下某深处土体的竖向自重应力为,
自重应力随深度分布为三角形 （ 图 4-2） 。
二, 成层土体时
土成层时, 在地下某深处的竖向自重应力为,
成层土自重应力分布是折线型 （ 图 4-3） 。
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三, 浮力问题 —— 地下水对自重应力的影响
计算地下水位以下土的自重应力时, 应根据土的性质确
定是否考虑浮力的影响 。 对碎石土, 砂性土等应 考虑浮力 。
对粘性土, 视其物理状态决定 。
液性指数 >1的粘性土, 土体受到浮力的作用；
液性指数 <0的粘性土, 不考虑浮力作用；
液性指数 0~1的粘性土, 实际应用时按对工程有利, 不
利原则处理 。
在计算时, 地下水位以下土的容重应按浮容重计算 。
四, 水平向自重应力的计算
土的水平方向自重应力的计算式,czcycx K ??? 0??
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第三节 基础底面的压力分布与计算
一, 基底压力的分布
建筑物的荷载通过基础传到地基中, 在地基中产生附加
应力, 并引起地基土变形产生基础沉降 。 基础底面与地基土
接触面上的压力称为接触压力, 也称基底压力 。 接触压力比
较复杂, 影响因素较多, 如基础刚度, 形状, 尺寸, 埋置深
度, 土的性质, 荷载大小与性质等 。 根据实测和理论研究,
基底压力的分布, 对柔性基础：接触压力分布与上部荷载一
致, 一般为均匀分布；对于刚性基础：因荷载的大小和基础
埋深的不同有马鞍形, 抛物线性, 钟形等 。 尽管基底压力分
布比较复杂, 但在理论计算时作简化, 近似按直线分布, 计
算误差满足工程要求 （ 图 4-7,4-8） 。
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二, 基底压力的简化计算
1,中心荷载 时：按中心受压公式计算,
2,偏心荷载 时：按偏心受压公式计算,
对 偏心公式的讨论,
（ 1） 当 时,, 基底压力呈梯形分布；
（ 2） 当 时,, 基底压力呈三角形分布；
（ 3） 当 时,, 压力重新分布 。
最大压应力为,
实际基底受压宽度为,
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第四节 竖向集中力作用下土中应力计算
在均匀, 各向同性的半无限弹性体表面, 作用
竖向集中力, 半无限体内任一点的应力 已由布西奈
斯克 （ J·V·Boussinesq） 解得 。 表达式为,
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用极坐标表示,
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在上述公式中, 应用最多的是竖向应力及竖向
位移,
① 竖向法向应力,
② 地面 竖向位移,
③ 集中力作用下地基中 附加应力的分布
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第五节竖向分布荷载作用下土中应力计算
上部结构的荷载都是通过一定面积的基础传给地基土的,
对于荷载分布不规则的, 计算时可以将基础底面划分为若干
个小块, 每一小块按一个集中力计算, 最后应用叠加原理总
和起来 。 若基础形状及荷载分布有规律时, 则可用积分方法
进行计算 。
若地表有一 分布荷载, 计算土中某点处竖向附加应力,
可在基底内取单元面积, 用作用其上的集中力根据布西奈斯
克解, 求出土中竖向附加应力 。
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一, 空间问题
若作用的荷载是分布在有限面积范围内, 则土
中附加应力是与计算点的空间坐标有关, 这类解答
属于空间问题 。
1,圆形面积 上作用均布荷载时, 土中竖向附
加应力的计算
对上式积分, 得到竖向附加应力计算表达式,
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2,矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应
力的计算
（ 1） 矩形面积 中点下 土中竖向附加应力计算
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（ 2） 矩形面积角点下土中竖向附加应力计算
（ 3） 矩形面积均布荷载作用下, 土中任意点的竖向附
加应力计算 —— 角点法
计算方法采用 角点法, 计算原理是利用应力叠加原理 。
在应用中要掌握四种基本情况 。 在采用角点法时应注意三点：
公共点, 长短边, 正负号 。
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3,矩形面积上作用 三角形分布荷载 时, 土中竖向附加
应力计算
思考题,
对于梯形分布荷载或三角形分布荷载作用下, 地基中任
一点的附加应力如何计算呢？
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二, 平面问题
若地表作用 无限长条形荷载, 荷载在宽度方向
分布是任意的, 但在长度方向的分布规律是相同的 。
在计算土中任一点 M的附加应力时, 只与该点的平
面坐标 （ x,z） 有关, 而与荷载长度方向 y轴坐标
无关, 这类情况属于平面应变问题 。 实际工程中当
基础的长宽比 l/b≥10时, 即可按平面问题计算 。 如
路堤, 堤坝, 墙基等条形基础 。
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1,均布线荷载 作用时土中应力计算
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2,均布条形荷载 作用下土中附加应力计算
（ 1） 计算土中任一点的竖向附加应力
极坐标,
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（ 2） 计算土中任一点的主应力
在土体表面作用均布条形荷载时, 计算土中任
一点的最大, 最小主应力可用材料力学中的相关公
式,
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令从 M点到荷载宽度边缘的视角为 2α,则
2α=β1-β2,由计算可知, 最大主应力的作用方向正
好是视角 2α的等分线 （ 图 4-27） 。 M点的主应力可
表示为,
从上式可看出, 土中凡视角 2α相等的点, 其主
应力也相等 。 主应力的等值线是通过荷载分布宽度
边缘点的圆 （ 见图 4-27） 。
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（ 3） 三角形分布条形荷载 作用下土中附加应
力计算
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3
1
11
2
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三, 非均质和各向异性土体中附加应力
问题
可以将其归纳为 双层地基 问题,
1,坚硬土层上覆盖着不厚的压缩层：土中附
加应力分布发生应力集中现象 。
2,软弱土层上有一层压缩模量较高的硬壳层：
土中附加应力分布发生应力扩散现象 。
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第六节 应力计算中的其他一些问题
一, 建筑物基础下地基应力计算
前面介绍土中附加应力计算, 都是假定荷载作
用在土体表面 。 对于 有一定埋深的建筑物基础, 在
计算地基中附加应力前, 应先计算基础底面的附加
应力 。 再按前面介绍的方法计算 。
二, 应力扩散角概念
根据应力扩散概念, 提出一种简化计算方法,
即应力扩散角法 。 图 3-34） 。
DFNp ???0
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第七节 有效应力原理
设在土中某点取一水平截面 （ 图 4-30）, 面积为 F,其
上作用应力 σ, 它是由土重, 静水压力及外荷载产生, 称为
总应力 。 这一应力一部分由土颗粒间的接触面承担, 称为有
效应力；另一部分由土中孔隙水承担, 称为孔隙水应力 。
在土体内取一脱离体, 并在其中取一截面, 根据平衡条
件,
对于饱和土, 公式为,
或, 和
aawwss FuFuFF ??? ??
)( swsswwss FFuFFuFF ????? ???
)1( FFuFF swss ??? ?? u?? ??
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The End
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图 4-1土中一点的应力情况
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图 4-2均匀土的自重应力分布
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图 4-3成层土的自重应力分布
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图 4- 4水下土的自重应力分布
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图 4-4成层土中水下土的自重应力分布
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图 4-6例题 4-2图
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图 4-7柔性基础下的压力分析
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图 4-8刚性基础下压力分布
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图 4-9基底压力分布的简化计算
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图4-
10
偏
心
荷
载
时
基
底
压
力
分
布
的
几
种
情
况
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图 4-11布西奈斯克课题 (直角坐标表示 )
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图 4-12布西奈斯克课题 (极坐标表示 )
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图 4-13集中力作用下的地面沉降
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图 4-14竖向集中力作用下土中应力分布
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图 4-15基础上的分布荷载用集中力代替
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图 4-16分布荷载作用下土中应力计算
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图4-
17
圆
形
面
积
均
布
荷
载
作
用
下
应
力
计
算
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图4-
18
矩
形
面
积
均
布
荷
载
作
用
下
中
点
及
角
点
竖
向
应
力
计
算
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图 4-19角点法
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图4-
20
例
题4-
6
,
4-7
、4-
8
图
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图4-
21
矩
形
面
积
上
三
角
形
分
布
荷
载
作
用
下
应
力
计
算
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图 4-22例题 4-9计算图
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图 4-23无限长条分布荷载
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图4-
24
均
布
线
荷
载
作
用
时
土
中
应
力
计
算
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图 4-25均布条形荷载作用下土中应力计算
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图4-
26
均
布
条
形
荷
载
作
用
时
土
中
应
力
计
算
（
极
坐
标
表
示
）
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图4-
27
均
布
条
形
荷
载
作
用
下
土
中
主
应
力
计
算
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图4-
28
三
角
形
分
布
条
形
荷
载
作
用
下
土
中
竖
向
应
力
计
算
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图 4-29例题 4-10图
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图4-
30
双
层
地
基
竖
向
应
力
比
较
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图 4-31 双层地基界面上附加应力分布
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图 4-35桥墩基础下地基应力计算
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图4-
36
例
题4-
13
桥
墩
基
础
下
地
基
应
力
计
算
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图4-
34
扩
散
角
的
概
念
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图 4-30有效应力
