数值计算方法
主讲：蒋莉
E-Mail:jiangli@hunau.net
Tel,4617816 (O)
第 0章 绪论
? 计算方法的作用
? 计算方法的内容
? 误差
? 一些例子
现实中，具体的科学、工程问题的解决：实际问题
物理模型
数学模型
数值方法
计算机求结果
计算方法是一种研究并解决数
学问题的数值 近似解 方法
随着计算机的飞速发展，数值分析
方法已深入到计算物理、计算力学、
计算化学、计算生物学、计算经济学
等各个领域。本课仅限介绍最常用的
数学模型的最基本的数值分析方法 。
计算方法的特性
? 理论性：数学基础
? 实践性
计算方法连接了模型到结果的重要环节
学习的目的、要求
? 会套用、修改、创建公式
? 编制程序完成计算
课程评分方法 (Grading Policies)
?总分 (100) = 平时作业 (20)+上机作业 (10)+期末 (70)
地点,5教 203
时间：每周五交
内容,一次实验一个报告，并在内容中写出程序及运行
结果
?上机作业要求
1、编程可以用下列语言；
（ C,C++,Matlab,Mathematica,等）不允许使用
内置函数完成主要功能
2、以实验报告形式交：
内容
1、数值逼近－数学分析中的数值求解，如微分、积分、
2、数值代数－线性代数的数值求解，如解线性方程组、
逆矩阵、特征值、特征向量
3、微分方程－常微分,Runge-Kutta法、积分法
? ??ba aFbFdxxf )()()(
DDxbAx ii / ??? 20107.9,20 ??n
100亿 /秒，算 3,000年，而 Gauss消元法 2660次
误差
? 绝对误差
设 *x 为精确值,x 为近似值,xxe ?? * 为误差或绝对误差
例如,)1ln()( ?? xxf 作 Taylor展开，
10,)1)(1( )1()1( 1
1
1
1
???? ???? ?
?
?
?
? ?? n
nn
i
n
i
i
xn
xx
i
舍弃，即为 误差
? 相对误差
*
*
* x
xx
x
ee
r
??? 称为相对误差
例如,150分满考 139,100分满考 90，两者的绝对误差分别
为 11和 10，优劣如何？
前者相对误差 (150－ 139)/150=0.073，
后者相对误差 (100-90)/100=0.100
误差来源
? 原始误差－模型误差（忽略次要因素，
如空气阻力）物理模型，数学模型
? 方法误差－截断误差（算法本身引起）
? 计算误差－舍入误差（计算机表示数
据引起）
计算机的浮点数表示和舍入
误差
? 机器数－计算机中可表示的数 (有限个 )
? 浮点数表示（ m进制,字长为 t的计算机 ）
mt ???? ??21.0
实数的机器数表示
??? axfl 2)(
误差的运算
yx eeyxyx ????? )()( **
1、
** yx
ee yx
?
?
两相近数相减，相
对误差增大
|)e||e| } ( |y||,xm a x { |
)()()()(
yx
*
*
*****
??
??
???????
yx
exye
xxyyyxyxyx
2、
*
*
*
***
*
**
*
*
)()(
yy
yeex
yy
xxyyyx
yy
xyyx
y
x
y
x
xy
??
?
????
?
?
??
3、
小数作除数，绝
对误差增大
误差的运算
例子
求根 0120002 ??? xx
0 0 5.0
2
42 0 0 02 0 0 0
2
2
2,1 ??
??? xx
0 0 5 0 0 0 5.0
1
2
42 0 0 02 0 0 0
2
1
2
2
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
x
x
x
x
有效位数
? 当 x的误差限为某一位的半个单位，则
这一位到第一个非零位的位数称位 x的
有效位数。
有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差
一些例子
dx
x
xI n
n ? ??
1
0 5
1、
n
dxxdx
x
xxII nnn
nn
1
5
55 1
0
11
0
1
1 ???
??? ?? ??
?
则，我们有
构造方法如下：
5
6ln,51
01 ??? ? IInI nn nI
~1.
0 1 9.0,151 81 ??
?
??
?
? ??
? IInI nn
nI2.
n
0 0.182 0.182 0.182
1 0.088 0.090 0.088
2 0.058 0.050 0.058
3 0.0431 0.083 0.0431
4 0.0343 -0.165 0.0343
5 0.0284 1.025 0.0284
6 0.024 -4.958 0.024
7 0.021 24.933 0.021
8 0.019 -124.540 0.019
nI nI~ nI
原因：对格式 1，如果前一步有误差，
则被放大 5倍加到这一步 称为不稳定 格式
稳定格式，对舍入误差有抑制作用
?
?
?
??
??
0
1
yax
ayx
2,有时候，模型本身就是病态
（系数引入小变化，解产生大变化）
25.50 99.0 ?? xa
81.55 991.0 ?? xa
主讲：蒋莉
E-Mail:jiangli@hunau.net
Tel,4617816 (O)
第 0章 绪论
? 计算方法的作用
? 计算方法的内容
? 误差
? 一些例子
现实中，具体的科学、工程问题的解决：实际问题
物理模型
数学模型
数值方法
计算机求结果
计算方法是一种研究并解决数
学问题的数值 近似解 方法
随着计算机的飞速发展，数值分析
方法已深入到计算物理、计算力学、
计算化学、计算生物学、计算经济学
等各个领域。本课仅限介绍最常用的
数学模型的最基本的数值分析方法 。
计算方法的特性
? 理论性：数学基础
? 实践性
计算方法连接了模型到结果的重要环节
学习的目的、要求
? 会套用、修改、创建公式
? 编制程序完成计算
课程评分方法 (Grading Policies)
?总分 (100) = 平时作业 (20)+上机作业 (10)+期末 (70)
地点,5教 203
时间：每周五交
内容,一次实验一个报告，并在内容中写出程序及运行
结果
?上机作业要求
1、编程可以用下列语言；
（ C,C++,Matlab,Mathematica,等）不允许使用
内置函数完成主要功能
2、以实验报告形式交：
内容
1、数值逼近－数学分析中的数值求解，如微分、积分、
2、数值代数－线性代数的数值求解，如解线性方程组、
逆矩阵、特征值、特征向量
3、微分方程－常微分,Runge-Kutta法、积分法
? ??ba aFbFdxxf )()()(
DDxbAx ii / ??? 20107.9,20 ??n
100亿 /秒，算 3,000年，而 Gauss消元法 2660次
误差
? 绝对误差
设 *x 为精确值,x 为近似值,xxe ?? * 为误差或绝对误差
例如,)1ln()( ?? xxf 作 Taylor展开，
10,)1)(1( )1()1( 1
1
1
1
???? ???? ?
?
?
?
? ?? n
nn
i
n
i
i
xn
xx
i
舍弃，即为 误差
? 相对误差
*
*
* x
xx
x
ee
r
??? 称为相对误差
例如,150分满考 139,100分满考 90，两者的绝对误差分别
为 11和 10，优劣如何？
前者相对误差 (150－ 139)/150=0.073，
后者相对误差 (100-90)/100=0.100
误差来源
? 原始误差－模型误差（忽略次要因素，
如空气阻力）物理模型，数学模型
? 方法误差－截断误差（算法本身引起）
? 计算误差－舍入误差（计算机表示数
据引起）
计算机的浮点数表示和舍入
误差
? 机器数－计算机中可表示的数 (有限个 )
? 浮点数表示（ m进制,字长为 t的计算机 ）
mt ???? ??21.0
实数的机器数表示
??? axfl 2)(
误差的运算
yx eeyxyx ????? )()( **
1、
** yx
ee yx
?
?
两相近数相减，相
对误差增大
|)e||e| } ( |y||,xm a x { |
)()()()(
yx
*
*
*****
??
??
???????
yx
exye
xxyyyxyxyx
2、
*
*
*
***
*
**
*
*
)()(
yy
yeex
yy
xxyyyx
yy
xyyx
y
x
y
x
xy
??
?
????
?
?
??
3、
小数作除数，绝
对误差增大
误差的运算
例子
求根 0120002 ??? xx
0 0 5.0
2
42 0 0 02 0 0 0
2
2
2,1 ??
??? xx
0 0 5 0 0 0 5.0
1
2
42 0 0 02 0 0 0
2
1
2
2
1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
x
x
x
x
有效位数
? 当 x的误差限为某一位的半个单位，则
这一位到第一个非零位的位数称位 x的
有效位数。
有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差
一些例子
dx
x
xI n
n ? ??
1
0 5
1、
n
dxxdx
x
xxII nnn
nn
1
5
55 1
0
11
0
1
1 ???
??? ?? ??
?
则，我们有
构造方法如下：
5
6ln,51
01 ??? ? IInI nn nI
~1.
0 1 9.0,151 81 ??
?
??
?
? ??
? IInI nn
nI2.
n
0 0.182 0.182 0.182
1 0.088 0.090 0.088
2 0.058 0.050 0.058
3 0.0431 0.083 0.0431
4 0.0343 -0.165 0.0343
5 0.0284 1.025 0.0284
6 0.024 -4.958 0.024
7 0.021 24.933 0.021
8 0.019 -124.540 0.019
nI nI~ nI
原因：对格式 1，如果前一步有误差，
则被放大 5倍加到这一步 称为不稳定 格式
稳定格式，对舍入误差有抑制作用
?
?
?
??
??
0
1
yax
ayx
2,有时候，模型本身就是病态
（系数引入小变化，解产生大变化）
25.50 99.0 ?? xa
81.55 991.0 ?? xa
