湖南司法警官职业学院《高等数学下》期末试卷（B） 适用区队：05信管301 命题人：张建贵 时量：100min 区队： 姓名： 学号： 题号 一 二 三 四 五 六 七 总分  得分          一、单项选择题（每小题3分，共30分） 1．的特解形式可设为（ C ）； (A)； (B)； (C) ； (D) ． 2. 下列平面方程中，方程( C )过轴； (A) ； (B) ； (C) ； (D) ． 3．空间曲线在面上的投影方程为( C )； (A)； (B)；(C) ；(D) 4. 设，则下列式中正确的是（ C ）；  ； ；  ；  ． 5．设，则（ D ）；  ；  ； ；  ． 6. 若在处收敛，则它在处（ D ）； （A）发散； （B）条件收敛； （C）绝对收敛； （D）不能判断． 7．关于幂函数，下列结论正确的是（　C ）； （A）当且仅当时收敛； （B）当时收敛； （C）当时收敛； （D）当时收敛． 8．设平面区域D( 1(x2(y2(4( 则(( C )； (A) ( (B) ( (C) ( (D) ( 9．设有二重积分，其中是单位圆≤在第一象限部分，将它化为如下的累次积分正确的是（ D ） (A) ； (B) ； (C) ； (D) 。 10．曲线在点(1( 1( 2)处的切线方程为( C )。 (A) ；(B)；(C)；(D)( 二、填空题（每小题3分，共24分） 1. 的通解为  ； 2. 过原点且垂直于平面的直线为； 3. 已知，则  ； 4. 写出麦克劳林展开式，并注明收敛域； 　　  ； 5. 设的收敛半径为R，则的收敛半径为  ； 6．改变二次积分的积分次序得； 7．曲线绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程是x2(y2(z2(4z(0. 8．直线与平面3x(4y(z(2的位置关系是 直线在平面内. 三、判断题（ 正确的打“√”，错误的打“X”,每小题2分，共14分） 1. 若且，则； (  ) 2. 的通解为（C为任意常数）． （ √ ） 3. 若为的极值点，则一定为驻点； （  ） 4. 若函数在有界闭区域上可积，且，则≥； (  ) 5. 函数的麦克劳林级数一定是此函数的幂级数展开式；　 （  ） 6. 因为所以正项级数收敛；　　　　　 （  ） 7. 若且，则； (  ) 四、（8分）设曲线上任一点的切线及该点到坐标原点O的连线OP与y轴围成的面积是常数A ，求这曲线方程. 解 设曲线方程为，则的切线方程为 ， 即， 令，有 ， 由于切线、OP及y轴围成的面积为A，则有，即， 对应用分离变量法，得， 设，有    ， 从而 。 五、（8分）求在约束条件下的极值. 解 作辅助函数 ， 则有 ， 解方程组  得 ． 现在判断是否为条件极值点： 由于问题的实质是求旋转抛物面与平面的交线，即开口向上的抛物线的极值，所以存在极小值，且在唯一驻点处取得极小值． 六、（8分）求经过直线和点(3( (2( 0)的平面方程. 解： 已知直线的一般方程为( 即. 过已知直线的平面束方程为 x(y(((x(z(1)(0( 将点(3( (2( 0)代入x(y(((x(z(1)(0得 ( 于是所求平面的方程为 ( 即3x(4y(z(1(0( 七、（8分）求微分方程满足和的特解． 解 对应的齐次方程为，特征方程为，特征根为=2，=3，对应齐次方程的通解为． 由于=0不是特征方程的根，故设， 将，代入方程，有6A=7， 即 A=． 于是方程的特解为 ， 方程的通解为 ． 现在求满足初始条件的特解．对求导得， 将初值代入与，有即   于是，方程满足初始条件的特解为=．