3.点,直线,平面的投影
3.3 平面的投影
3.2 直线的投影
3.1 点的投影
返回
教学目标
3.点,直线,平面的投影
3.掌握各种位置直线和平面的投影特征, 作图
方 法以及在投影图上正确判断其空间位置 。
2.掌握点与线的相对位置中, 从属性和定比性的
运用 。
1,掌握点, 直线 和平面的投影规律与作图法 。
教学目标
4.掌握两直线, 两平面相对位置的投影特征及
判断方法 。
3.点,直线,平面的投影
3.1 点的投影
? 3.1.1点的三面投影
? 3.1.2点的空间位置
? 3.1.3两点的相对位置
3.点,直线,平面的投影
3.2 直线的投影
? 3.2.1各种位置直线及其投影特征
? 3.2.2直线与点的相对位置
? 3.2.3两直线的相对位置
3.点,直线,平面的投影
3.3 平面的投影
? 3.3.1平面的表示法
? 3.3.2各种位置平面及其投影特征
? 3.3.3平面上的直线和点
面
点、直线、平面是构成形体的基本几何元素
B
C
D
A
线
3·1 点的投影
点
3.1.1点的三面投影
P
?采用多面投影。
3.1.1点的三面投影
过空间点 A的投射线
与投影面 P的交点即为点 A
在 P面上的投影。 a?A
点在一个投影面上的投影
不能确定点的空间位置。
P
b?B B2B1
解决办法
V
投影面与投影轴
O
V面与 H面的交线 —OX轴
V面与 W面的交线 —OZ轴
H面与 W面的交线 —OY轴
3.1.1点的三面的投影
Y
X
Z
Α —空间点 A；
a —点 A的水平 (H)投影 ;
a′ —点 A的正面 (V)投影 ;
a″ —点 A的侧面 (W)投影。
3.1.1点的三面投影
空间点的位置和直角坐标
空间点的位置，可由
直角坐标值来确定，
一般采用下列的书写
形式,A(x,y,z)。
点到各投影面的
距离，为相应的坐标
数值 X,Y,Z 。
W
投影面展开
X
V
A
Y
O
W
Z
a aY
aZ
aX
a″
a′
V
H
YW
H面向下旋转 90°
H
W面向右旋转 90°
OX
Z
YH
ax
aza?
ay
ay
a
a″
V面不动
? a?a⊥ OX轴 ; a?a?⊥ OZ轴 ;
a到 OX轴 的距离 = a?到 OZ轴 的距离
?Aa′ =aax= a? az=ay0=yA——A点到 V面的距离
?Aa =a?ax= a? ay=az0=zA——A点到 H面的距离
?Aa″ =aay= a? az=ax0=xA——A点到 W面的距离
点的 三面 投影规律,
X
V
Y
O
W
Z
a aY
aZ
aX
a″
a′
H
ZA
XA
a
O
X
Y W
Y H
a YH
a YW
a Z
Z
a X
X A Y A
Z
A
Y
A
a ''a '
A
例 1:已知 A点的坐标值 A(12,10,15)，求作 A点的
三面投影图。
?作投影轴 ；
?量取：
Oax=12,Oaz=15,OaYH=OaYW=10,
得 ax,az,OaYH,OaYW等点 ；
步骤,
a
a''a'
OX YW
HY
Z
a Z
YWa
YHa
aX 12
?过 ax,az,aYH,aYW等点分别作
所在轴的垂线，交点 a,a′, a″
既为所求。
●
●
a?
a
ax
例 2：已知点的两个投影，求第三投影。
● a?●
●
a?
a
ax
az
az
解法一,
解法二, a?●
通过作 45° 线使 a?az=aax
用圆规直接量取 a?az=aax
3.1.2点的空间位置
1,在空间 （ X,Y,Z）
点在投影体系中有
四种位置情况：
点的空间位置
X
V
Y
O W
Z
H
X Y
W
Y H
O
a＇ a＇
a
＇
Z
?由于 X,Y,Z均不为
零，对三个投影面都有
一定距离，所以点的三
个投影都不在轴上。
aZ
a″
a′
aY
aX
a
A
3.1.2点的空间位置
?由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影
面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。
2,在投影面上：
在 H面上 （ X,Y,0）
X
V
Y
O
W
Z
H
在 V面上 （ X,0,Z）
在 W面上 （ 0,Y,Z）
b
BC
d
b″
C″
d″
D
b′
d′C′ C
＇b＇X b＇
HY
b
O WY
Z
＇d＇
X
d＇
HY
d
O WY
Z
Y WO
c
Y H
c＇
X
c＇ ＇
V
W
a ''
a '
b ''
b '
O
a
b
Z
Y
A
H
BX
3.1.3点的相对位置3.1.3两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的
上下、前后、左右 位置关系。
? x 坐标大的在左；
? y 坐标大的在前；
? z 坐标大的在上。
判断方法：
Z
W Y
HY
a ''a '
b ''b '
OX
a
bB点在 A点 的左、下、前方。
上
下
后
左 右
前
OX
a b
W Y
HY
a ' a ''
b ''b '
?当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点
处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影
重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。
O
H (b )a
W
Y
B
A
X
ZV
a ''
b ''
a '
b '
两点重影
重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，
以示区别。
两点重影
( )
H面重影,被挡
住的投影加 ( )
X
Z
a
b
O
Y W
Y H
a ''
b ''b '
a '
3.2 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同
面投影用直线连接，就得到直线的
投影。
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB 真实性
直线垂直于投影面
投影重合为一点
ab=0 积聚性
a≡b≡m
B
A
M
●
●
●
●
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab＜ AB 类似性?cos
直线的投影
3.2.1各种位置直线的投影特征
A
B
●
●
a
b
α
●
● a
b
A
B
●
●
●
●
直线中的投影特性
投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正平线 （平行于Ｖ面）
侧平线 （平行于Ｗ面）
水平线 （平行于Ｈ面）
正垂线 （垂直于Ｖ面）
侧垂线 （垂直于Ｗ面）
铅垂线 （垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
直线在三个投影面中的投影特性
V
Z
W
Y
H
X
b
a
O
a '
b '
b ''
a ''
A
B
α
β
γ
投影特性：
三个投影都缩短了。即, 都不反映空间线段的实
长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
(1) 一般位置直线
X
Z
a
b
O
Y W
Y H
a ''
b ''b '
a '
(2) 投影面平行线
投影特性：
1,水平线的 H面投影反映线段实长 。 即,ab=AB;
2,水平线的 V,W面投影分别平行于 H面的两根轴 。
即 a′b′∥ ox轴, a″b″∥ OYW轴；
3,水平线的 H面投影与 OX轴夹角反映该直线对 V面的倾角 β；与
OYH轴的夹角, 反映该直线对 W面的倾角 γ。
水平线的投影特征：
对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。
Y
O
W
Y H
Z
X
a′ b′ a″ b″
a
b
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
投影面平行线
1,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角。
2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
水平线 侧平线正平线
γ
投 影 特 性：
与 H面的夹角,α 与 V面的角,β 与 W面的夹角,γ
实长
实长 实长
β
γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
(3)投影面垂直线
投影特性：
1,H面投影积聚成一点；
2,V,W面投影反映实长，即 a′b′=a″b″=AB； V,W
面投影，分别垂直于 H面的两面根轴，即：
a′b′⊥ ox轴 a″b″ ⊥ oz轴 。
对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。
铅垂线投影特征,
O
Z
b″
a″
a (b)
b′
a′
Y H
X Y W
投影面垂直线
铅垂线 正垂线 侧垂线
2.另外两个投影面上,投影反映线段实长。
且垂直于相应的投影轴。
1.在其垂直的投影面上,投影有积聚性 。
投影特性,
●
c?(d?)
c
d
d? c?
●
a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
积聚
为点
积聚
为点
积聚
为点
例 1：判断下列直线的空间位置
a' b'
a
b
a'
b'
a
b
d′
C′
dd
d C
AB为水平线 CD为侧平线
3.2.2直线与点的相对位置
?若点在直线上,则点的投影必在
直线的同面投影上。即具有 从属性。
?若点在直线上，则点将线段的同
面投影分割成与空间直线相同的比例。
即具有 定比性：
AC/CB=ac/cb= ac / cb
?若点的投影有一个不在直线的同名
投影上,则该点必不在此直线上。
判别方法：
A
B
V
H
直线与点的相对位置
C
b
ca
c?
b?
a?
e?
e
在
不在
C点 直线 AB上
D点 直线 AB上
D
例 2：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k? 因 k?不在 a?b?上，
故点 K不在 AB上。
应用定比定理
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
另一判断法是 因 a?k?:k?b?≠ ak:kb
故点 K不在 AB上。
X
O
c
a
b
d
b′
a′ c′
d′
⒈ 两直线平行
投影特性：
空间两直线平行，则其各 同面投影
必相互平行,反之亦然。
3.2.3两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为,平行、相交、交叉。
a
b
c
d
a?
b?
c?
d?
例 1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
结论,AB//CD
①
X
c
b
ad
d?
b?
a?
c?
b? d?
c?
a? 对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，
空间直线不一定平行。若用
两个投影判断，其中应包括
反映实长的投影。
结论,AB与 CD不平行
例 2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影
如何判断
H
V
X A
BC D
a
bc
d
a?
b?c?
d?
a
bc
d
b?
a?
c?
d?
2.两直线相交
判别方法,若空间两直线相交,则其同名投影必相
交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
k
k?
交点是两直线
的共有点
k?
k
K
●
●
c
a
b
b?
a?
c? d?k?
k
d
例 3：过 C点 作水平线 CD与 AB相交。
先作正面投影
1
2●
●
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
3.两直线交叉
? 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间
一个点的投影规律。
?“交点” 是两直线上
的一 对 重影点的投影，
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
●
●
Ⅰ, Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ, Ⅳ 是 H面的重影点。
3?
4?●
●
AB与 CD两直线相交吗
投影特性：
结论,AB与 CD两直线不相交
两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面
上的投影仍为直角。
设直角边 BC//H面
因 BC⊥ AB,同时 BC⊥ Bb
所以 BC⊥ ABba平面
结论,直线在 H面上
的投影互相垂直
即 ∠ abc为直角
因此 bc⊥ ab
故 bc ⊥ ABba平面
又因 BC∥ bc
A
B
C
a
b
c
H
a? c?
b?
a
b
c
.
证明：
d?
a b
c
a?
b?c?
●
●
d
例 4：过 C点作直线与 AB垂直相交。
.
AB为正平线,正面
投影反映直角。
s?●
a?
●
b?●
a?
●
b?●
s?●
a?
●
b?●
3.3.1平面的表示法
●a
●a?
● b
● b?
● s
●
s?
不在同一
直线上的
三个点
直线及线
外一点
两平行直线 两相交直线 平面图形
3.3平面的投影
3.3.1平面的表示法s?●
a?
●
b?●
s?●
a?
●
b?●
●a
●a?
● b?
● b
● s
●
s?
c?● d?
●
●a
●a?
● b?
● b
● s
●
s?
●a
●a?
● b?
● b
c●
●
c?
● d
●
d?
●a
●a?
● b?
● b
● s
●
s?
3.3.2各种位置平面的投影特性
平行 垂直 倾斜
投 影 特 性
?平面平行投影面 -----投影就把实形现
?平面垂直投影面 -----投影积聚成直线
?平面倾斜投影面 -----投影类似原平面
实形性
类似性
积聚性
平面对一个投影面的投影特性
3.3.2各种位置平面的投影特性
平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
特殊位置平面
垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面
与三个投影面都倾斜
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
投影面垂直面
X
Z
a′
b′
c′
a″
c″
b″
a
b
c
O
Y H
Y W
1, H 面投影积聚成一直线；
2,, 反映平面对V,W 面的倾角。
ABC为什么
位置的平面
a
b
c
a? c?
b?
c?
b?
a?
⒈ 投影面垂直面
铅垂面
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
为什么？ γ
β
类似性 类似性
积聚性
投影面平行面
B
b
H
b'
V
c'
c"
a
c
A
C
'a
"a
O
Y
W
b"
Z
a? b? c? a? b?c?
a
b
c
2.投影面平行面
积聚性 积聚性
实形性 结论：水平面
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应
的投影轴平行的直线。
一般位置平面
X
H
V
Z
a'
b'
c'
A
a
B
b
c
a"
c"
b"
C
Y
a?
b?
c?
a?
c?
b?
a
b
c
⒊ 一般位置平面
三个投影都类似。
投影特性：
4.3.3平面上的直线和点
判断直线在平面
内的方法
定 理 一
若一直线过平面
上的两点，则此
直线必在该平面
内。
定 理 二
若一直线过平面上的
一点，且平行于该平
面上的另一直线，则
此直线在该平面内。
平面上取任意直线
3.3.3平面上的直线和点
有无数解。
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，试
在平面内任作一条直线。
解法一,解法二：
根据定理一
有多少解
根据定理二
例 2：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为 10mm。
n?m?
nm
10 c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解
平面上取点
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
①
a
c
c?
a?
k?
b?
●
k●
面上取点的方法,首先面上取线
②
●
a
b
c
a?
b?
k?
c?
d?
k● d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解
b
c
ka
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c?k?
b
c
例 3：已知 AC为正平线，补全平行四边形
ABCD的水平投影。
解法一 解法二
? 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物
体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几
何元素（点、线、面等）。
?根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于
什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确
的解题思路与方法。
?本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间
分析和想像，以培养空间思维能力。
解题方法：解题方法,
本章小结
?点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投
影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础
和提供有力的分析手段。
本 章 小 结
?点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。
?平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。
?在平面上确定直线和点的方法。
?点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。
3.3 平面的投影
3.2 直线的投影
3.1 点的投影
返回
教学目标
3.点,直线,平面的投影
3.掌握各种位置直线和平面的投影特征, 作图
方 法以及在投影图上正确判断其空间位置 。
2.掌握点与线的相对位置中, 从属性和定比性的
运用 。
1,掌握点, 直线 和平面的投影规律与作图法 。
教学目标
4.掌握两直线, 两平面相对位置的投影特征及
判断方法 。
3.点,直线,平面的投影
3.1 点的投影
? 3.1.1点的三面投影
? 3.1.2点的空间位置
? 3.1.3两点的相对位置
3.点,直线,平面的投影
3.2 直线的投影
? 3.2.1各种位置直线及其投影特征
? 3.2.2直线与点的相对位置
? 3.2.3两直线的相对位置
3.点,直线,平面的投影
3.3 平面的投影
? 3.3.1平面的表示法
? 3.3.2各种位置平面及其投影特征
? 3.3.3平面上的直线和点
面
点、直线、平面是构成形体的基本几何元素
B
C
D
A
线
3·1 点的投影
点
3.1.1点的三面投影
P
?采用多面投影。
3.1.1点的三面投影
过空间点 A的投射线
与投影面 P的交点即为点 A
在 P面上的投影。 a?A
点在一个投影面上的投影
不能确定点的空间位置。
P
b?B B2B1
解决办法
V
投影面与投影轴
O
V面与 H面的交线 —OX轴
V面与 W面的交线 —OZ轴
H面与 W面的交线 —OY轴
3.1.1点的三面的投影
Y
X
Z
Α —空间点 A；
a —点 A的水平 (H)投影 ;
a′ —点 A的正面 (V)投影 ;
a″ —点 A的侧面 (W)投影。
3.1.1点的三面投影
空间点的位置和直角坐标
空间点的位置，可由
直角坐标值来确定，
一般采用下列的书写
形式,A(x,y,z)。
点到各投影面的
距离，为相应的坐标
数值 X,Y,Z 。
W
投影面展开
X
V
A
Y
O
W
Z
a aY
aZ
aX
a″
a′
V
H
YW
H面向下旋转 90°
H
W面向右旋转 90°
OX
Z
YH
ax
aza?
ay
ay
a
a″
V面不动
? a?a⊥ OX轴 ; a?a?⊥ OZ轴 ;
a到 OX轴 的距离 = a?到 OZ轴 的距离
?Aa′ =aax= a? az=ay0=yA——A点到 V面的距离
?Aa =a?ax= a? ay=az0=zA——A点到 H面的距离
?Aa″ =aay= a? az=ax0=xA——A点到 W面的距离
点的 三面 投影规律,
X
V
Y
O
W
Z
a aY
aZ
aX
a″
a′
H
ZA
XA
a
O
X
Y W
Y H
a YH
a YW
a Z
Z
a X
X A Y A
Z
A
Y
A
a ''a '
A
例 1:已知 A点的坐标值 A(12,10,15)，求作 A点的
三面投影图。
?作投影轴 ；
?量取：
Oax=12,Oaz=15,OaYH=OaYW=10,
得 ax,az,OaYH,OaYW等点 ；
步骤,
a
a''a'
OX YW
HY
Z
a Z
YWa
YHa
aX 12
?过 ax,az,aYH,aYW等点分别作
所在轴的垂线，交点 a,a′, a″
既为所求。
●
●
a?
a
ax
例 2：已知点的两个投影，求第三投影。
● a?●
●
a?
a
ax
az
az
解法一,
解法二, a?●
通过作 45° 线使 a?az=aax
用圆规直接量取 a?az=aax
3.1.2点的空间位置
1,在空间 （ X,Y,Z）
点在投影体系中有
四种位置情况：
点的空间位置
X
V
Y
O W
Z
H
X Y
W
Y H
O
a＇ a＇
a
＇
Z
?由于 X,Y,Z均不为
零，对三个投影面都有
一定距离，所以点的三
个投影都不在轴上。
aZ
a″
a′
aY
aX
a
A
3.1.2点的空间位置
?由于点在投影面上，点对该投影面的距离为零。所以，点在该投影
面上的投影与空间点重合，另两投影在该投影面的两根投影轴上。
2,在投影面上：
在 H面上 （ X,Y,0）
X
V
Y
O
W
Z
H
在 V面上 （ X,0,Z）
在 W面上 （ 0,Y,Z）
b
BC
d
b″
C″
d″
D
b′
d′C′ C
＇b＇X b＇
HY
b
O WY
Z
＇d＇
X
d＇
HY
d
O WY
Z
Y WO
c
Y H
c＇
X
c＇ ＇
V
W
a ''
a '
b ''
b '
O
a
b
Z
Y
A
H
BX
3.1.3点的相对位置3.1.3两点的相对位置
两点的相对位置指两点在空间的
上下、前后、左右 位置关系。
? x 坐标大的在左；
? y 坐标大的在前；
? z 坐标大的在上。
判断方法：
Z
W Y
HY
a ''a '
b ''b '
OX
a
bB点在 A点 的左、下、前方。
上
下
后
左 右
前
OX
a b
W Y
HY
a ' a ''
b ''b '
?当空间两点到两个投影面的距离都分别对应相等时，该两点
处于同一投射线上，它们在该投射线所垂直的投影面上的投影
重合在一起，这两点称为对该投影面的重影点。
O
H (b )a
W
Y
B
A
X
ZV
a ''
b ''
a '
b '
两点重影
重影点需要判断其可见性，将不可见点的投影用括号括起来，
以示区别。
两点重影
( )
H面重影,被挡
住的投影加 ( )
X
Z
a
b
O
Y W
Y H
a ''
b ''b '
a '
3.2 直线的投影
两点确定一条直线，将两点的同
面投影用直线连接，就得到直线的
投影。
直线平行于投影面
投影反映线段实长
ab=AB 真实性
直线垂直于投影面
投影重合为一点
ab=0 积聚性
a≡b≡m
B
A
M
●
●
●
●
直线倾斜于投影面
投影比空间线段短
ab＜ AB 类似性?cos
直线的投影
3.2.1各种位置直线的投影特征
A
B
●
●
a
b
α
●
● a
b
A
B
●
●
●
●
直线中的投影特性
投影面平行线 平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
正平线 （平行于Ｖ面）
侧平线 （平行于Ｗ面）
水平线 （平行于Ｈ面）
正垂线 （垂直于Ｖ面）
侧垂线 （垂直于Ｗ面）
铅垂线 （垂直于Ｈ面）
一般位置直线 与三个投影面都倾斜的直线
统称特殊位置直线
垂直于某一投影面
直线在三个投影面中的投影特性
V
Z
W
Y
H
X
b
a
O
a '
b '
b ''
a ''
A
B
α
β
γ
投影特性：
三个投影都缩短了。即, 都不反映空间线段的实
长及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
(1) 一般位置直线
X
Z
a
b
O
Y W
Y H
a ''
b ''b '
a '
(2) 投影面平行线
投影特性：
1,水平线的 H面投影反映线段实长 。 即,ab=AB;
2,水平线的 V,W面投影分别平行于 H面的两根轴 。
即 a′b′∥ ox轴, a″b″∥ OYW轴；
3,水平线的 H面投影与 OX轴夹角反映该直线对 V面的倾角 β；与
OYH轴的夹角, 反映该直线对 W面的倾角 γ。
水平线的投影特征：
对正平线和侧平线作分析，可得出类似的投影特征。
Y
O
W
Y H
Z
X
a′ b′ a″ b″
a
b
b?
a?
ab
a?
b? b?
a
a?
b?
b
a?
投影面平行线
1,在其平行的那个投影面上的投影反映实长，
并反映直线与另两投影面倾角。
2.另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。
水平线 侧平线正平线
γ
投 影 特 性：
与 H面的夹角,α 与 V面的角,β 与 W面的夹角,γ
实长
实长 实长
β
γ
α α
β
b
a?
a
a? b? b?
(3)投影面垂直线
投影特性：
1,H面投影积聚成一点；
2,V,W面投影反映实长，即 a′b′=a″b″=AB； V,W
面投影，分别垂直于 H面的两面根轴，即：
a′b′⊥ ox轴 a″b″ ⊥ oz轴 。
对正垂线和侧垂线作分析，可得出类似的投影特征。
铅垂线投影特征,
O
Z
b″
a″
a (b)
b′
a′
Y H
X Y W
投影面垂直线
铅垂线 正垂线 侧垂线
2.另外两个投影面上,投影反映线段实长。
且垂直于相应的投影轴。
1.在其垂直的投影面上,投影有积聚性 。
投影特性,
●
c?(d?)
c
d
d? c?
●
a?
b?
a(b)
a?
b?
●e?
f?
e f
e?(f?)
积聚
为点
积聚
为点
积聚
为点
例 1：判断下列直线的空间位置
a' b'
a
b
a'
b'
a
b
d′
C′
dd
d C
AB为水平线 CD为侧平线
3.2.2直线与点的相对位置
?若点在直线上,则点的投影必在
直线的同面投影上。即具有 从属性。
?若点在直线上，则点将线段的同
面投影分割成与空间直线相同的比例。
即具有 定比性：
AC/CB=ac/cb= ac / cb
?若点的投影有一个不在直线的同名
投影上,则该点必不在此直线上。
判别方法：
A
B
V
H
直线与点的相对位置
C
b
ca
c?
b?
a?
e?
e
在
不在
C点 直线 AB上
D点 直线 AB上
D
例 2：判断点 K是否在线段 AB上。
a?
b?
● k? 因 k?不在 a?b?上，
故点 K不在 AB上。
应用定比定理
a
b
k
a?
b?
k?
●
●
另一判断法是 因 a?k?:k?b?≠ ak:kb
故点 K不在 AB上。
X
O
c
a
b
d
b′
a′ c′
d′
⒈ 两直线平行
投影特性：
空间两直线平行，则其各 同面投影
必相互平行,反之亦然。
3.2.3两直线的相对位置
空间两直线的相对位置分为,平行、相交、交叉。
a
b
c
d
a?
b?
c?
d?
例 1：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直
线，只要有两个同名
投影互相平行，空间
两直线就平行。
结论,AB//CD
①
X
c
b
ad
d?
b?
a?
c?
b? d?
c?
a? 对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，
空间直线不一定平行。若用
两个投影判断，其中应包括
反映实长的投影。
结论,AB与 CD不平行
例 2：判断图中两条直线是否平行。
②
求出侧面投影
如何判断
H
V
X A
BC D
a
bc
d
a?
b?c?
d?
a
bc
d
b?
a?
c?
d?
2.两直线相交
判别方法,若空间两直线相交,则其同名投影必相
交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。
k
k?
交点是两直线
的共有点
k?
k
K
●
●
c
a
b
b?
a?
c? d?k?
k
d
例 3：过 C点 作水平线 CD与 AB相交。
先作正面投影
1
2●
●
d?
b?
a?
a
b
c
d
c?
1?(2? )
3(4 )
3.两直线交叉
? 同名投影可能相交，
但,交点” 不符合空间
一个点的投影规律。
?“交点” 是两直线上
的一 对 重影点的投影，
用其可帮助判断两直线
的空间位置。
●
●
Ⅰ, Ⅱ 是Ｖ面的重影点，
Ⅲ, Ⅳ 是 H面的重影点。
3?
4?●
●
AB与 CD两直线相交吗
投影特性：
结论,AB与 CD两直线不相交
两直线垂直相交（或垂直交叉）
直角的投影特性：
若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面
上的投影仍为直角。
设直角边 BC//H面
因 BC⊥ AB,同时 BC⊥ Bb
所以 BC⊥ ABba平面
结论,直线在 H面上
的投影互相垂直
即 ∠ abc为直角
因此 bc⊥ ab
故 bc ⊥ ABba平面
又因 BC∥ bc
A
B
C
a
b
c
H
a? c?
b?
a
b
c
.
证明：
d?
a b
c
a?
b?c?
●
●
d
例 4：过 C点作直线与 AB垂直相交。
.
AB为正平线,正面
投影反映直角。
s?●
a?
●
b?●
a?
●
b?●
s?●
a?
●
b?●
3.3.1平面的表示法
●a
●a?
● b
● b?
● s
●
s?
不在同一
直线上的
三个点
直线及线
外一点
两平行直线 两相交直线 平面图形
3.3平面的投影
3.3.1平面的表示法s?●
a?
●
b?●
s?●
a?
●
b?●
●a
●a?
● b?
● b
● s
●
s?
c?● d?
●
●a
●a?
● b?
● b
● s
●
s?
●a
●a?
● b?
● b
c●
●
c?
● d
●
d?
●a
●a?
● b?
● b
● s
●
s?
3.3.2各种位置平面的投影特性
平行 垂直 倾斜
投 影 特 性
?平面平行投影面 -----投影就把实形现
?平面垂直投影面 -----投影积聚成直线
?平面倾斜投影面 -----投影类似原平面
实形性
类似性
积聚性
平面对一个投影面的投影特性
3.3.2各种位置平面的投影特性
平面在三投影面体系中的投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类,
投影面垂直面
投影面平行面
一般位置平面
特殊位置平面
垂直于某一投影面，
倾斜于另两个投影面
平行于某一投影面，
垂直于另两个投影面
与三个投影面都倾斜
正垂面
侧垂面
铅垂面
正平面
侧平面
水平面
投影面垂直面
X
Z
a′
b′
c′
a″
c″
b″
a
b
c
O
Y H
Y W
1, H 面投影积聚成一直线；
2,, 反映平面对V,W 面的倾角。
ABC为什么
位置的平面
a
b
c
a? c?
b?
c?
b?
a?
⒈ 投影面垂直面
铅垂面
投影特性：
在它垂直的投影面上的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面
与另外两投影面夹角的大小。
另外两个投影面上的投影有类似性。
为什么？ γ
β
类似性 类似性
积聚性
投影面平行面
B
b
H
b'
V
c'
c"
a
c
A
C
'a
"a
O
Y
W
b"
Z
a? b? c? a? b?c?
a
b
c
2.投影面平行面
积聚性 积聚性
实形性 结论：水平面
投影特性：
在它所平行的投影面上的投影反映实形。
另两个投影面上的投影分别积聚成与相应
的投影轴平行的直线。
一般位置平面
X
H
V
Z
a'
b'
c'
A
a
B
b
c
a"
c"
b"
C
Y
a?
b?
c?
a?
c?
b?
a
b
c
⒊ 一般位置平面
三个投影都类似。
投影特性：
4.3.3平面上的直线和点
判断直线在平面
内的方法
定 理 一
若一直线过平面
上的两点，则此
直线必在该平面
内。
定 理 二
若一直线过平面上的
一点，且平行于该平
面上的另一直线，则
此直线在该平面内。
平面上取任意直线
3.3.3平面上的直线和点
有无数解。
a
b
c
b?
c?
a?
a
b
c
b?
c?
a?
d?
m
n
n?m?
d
例 1：已知平面由直线 AB,AC所确定，试
在平面内任作一条直线。
解法一,解法二：
根据定理一
有多少解
根据定理二
例 2：在平面 ABC内作一条水平线，使其到
H面的距 离为 10mm。
n?m?
nm
10 c?
a?
b?
c
a
b
唯一解！
有多少解
平面上取点
先找出过此点而又在平面内的一条直线作
为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。
例 1：已知 K点在平面 ABC上，求 K点的水平投影。
b
①
a
c
c?
a?
k?
b?
●
k●
面上取点的方法,首先面上取线
②
●
a
b
c
a?
b?
k?
c?
d?
k● d
利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解
b
c
ka
d
a?
d?
b?
c?
a
d
a?
d?
b?
c?k?
b
c
例 3：已知 AC为正平线，补全平行四边形
ABCD的水平投影。
解法一 解法二
? 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物
体与投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几
何元素（点、线、面等）。
?根据要求得到的结果，确定出有关几何元素处于
什么样的特殊位置（垂直或平行），据此选择正确
的解题思路与方法。
?本章学习难度较大，建议多做练习，多进行空间
分析和想像，以培养空间思维能力。
解题方法：解题方法,
本章小结
?点、直线平面是构成形体的基本几何元素，研究它们的投
影是为了正确表达形体和解决空间几何问题,奠定理论基础
和提供有力的分析手段。
本 章 小 结
?点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。
?平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特性。
?在平面上确定直线和点的方法。
?点与直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。
