134 习 题 四 在以下各题中 , 除题目中已有说明的外 , 可测函数的积分都是关于给定的测度空间 ),,( μFX 的 . 1. 设 ? ? ? ≥ < = .1, ,1,0 )( 2 xx x xF F μ 是由 F 导出的 L-S 测度 . 计算 ∫ ∞+ ),0( . F df μ 其中 .)( ]2,1(}1{)1,( cIbIaIxf ++= ?∞ 2. 设 n AA ,, 1 L 是 ]1,0[ 中的 n 个 Lebesgue 可测集 . 若每个 ]1,0[∈x 至少于这 n 个集中的 q 个 , 则必存在某个 , i A 使得 .)( n q Am i ≥ 3. 设 f 是 ]2,0[ π 上的 L 可测函数并且 .))(1ln()( 2 0 +∞<+ ∫ dxxfxf π 证明 f 是 ]2,0[ π 上的 L 可积函数 . 4. 设 1 μ 和 2 μ 是可测空间 ),( FX 上的两个测度 . 证明 ).i( 21 μμ + 是 ),( FX 上的测度 . ).ii( 若 f关于 1 μ 和 2 μ 都可积 , 则 f关于 21 μμ + 可积 , 并且 ∫∫∫ +=+ .)( 2121 μμμμ fdfdfd 5. 设 f 为可测函数 . 若存在正测度集 ,A 使得当 Ax∈ 时 , ,0)( >xf 则 .0> ∫ A fdμ 6. 证明 : ).i( 设 f 为可测函数 . 若对每个可测集 ,A 均有 ,0≥ ∫ A dxf 则 a.e.0≥f ).ii( 设 f 和 g 是可积函数并且对任意可测集 A , 成立 ∫∫ = AA gdfd .μμ 则 a.e..gf = 7. 设 )( n f 为可积函数列 , f 为可测函数 . 若 .0lim =? ∫ ∞→ μdff n n 则 f 可积 . 8. 设 )1(, ≥nff n 为可测函数 . 若 ,0lim =? ∫ ∞→ μdff n n 则 .ff n ?→? μ 9. 设 f 为有限测度空间上的可测函数 . 则 f 可积的充要条件是对任给的 135 ,0>ε 存在 ,0>k 使得 . }{ εμ < ∫ ≥kf df 提示 : 利用积分的绝对连续性 . 10. 设 f 为可测函数 . 证明 f 可积的必有条件是 .})1({ 1 +∞<+<≤ ∑ ∞ =n nfnnμ 当 +∞<)(Xμ 时 , 上述条件也是充分条件 . 11. 若 f 为可积函数 . 则 .0})({lim =≥ +∞→ nfn n μ 12. 设 f 为有限测度空间上的可测函数 . 则 f 可积的充要条件是 .})({ 1 +∞<≥ ∑ ∞ =n nfμ 13. 设 f 为有限测度空间上的可测函数 . 则 f 可积的充要条件是 .})2({2 0 +∞<≥ ∑ ∞ =n nn fμ 14. 设 f 为有限测度空间上的可测函数 , 并且存在 0>M 和 ,1>α 使得 .0,})({ >≤≥ λ λ λμ α M f 证明 f 可积. 15. 设 )1(, ≥nff n 为可积函数 . 若对每个可测集 A 均有 ,1, 1 ≥≤ ∫∫ + ndfdf A n A n μμ 并且 ∫∫ = +∞→ AA n n dfdf ,lim μμ 则 . a.e. ff n ?→? 16. 设 )1(, ≥nff n 为可测函数 . . a.e. ff n ?→? 若 ∫ +∞< ≥ ,sup 1 μdf n n 则 f 可积 . 17. 设 )1(, ≥nff n 为可测函数 , . a.e. ff n ?→? 若存在可积函数 g , 使得 1),a.e.( ≥≤ ngf n 则 .0lim =? ∫ +∞→ μdff n n 18. 设 }{ n f 是可测函数列 , 并且 ∑ ∫ ∞ = +∞< 1 . n n df μ 则 ∑ ∞ =1n n f 可积 , 并且 . 11 μμ ∑ ∫∫ ∑ ∞ = ∞ = = n n n n dfdf 19. 设 )1(, ≥nff n 为非负可测函数列 , .ff n ?→? μ 证明 ∫∫ ∞→ ≤ .lim μμ dfdf n n 136 20. 设级数 ∑ ∞ =1n n a 绝对收敛 . 证明 ∑ ∞ =1n n a 可以表示成 )),(,( μNN P 上一个可积函数 的积分 . 21. 设 )1(, ≥nff n 为非负可积函数 , 满足 , a.e. ff n ?→? ∫∫ = +∞→ ,lim μμ dfdf n n . 证明 : 对任意可测集 ,XE ? 成立 ∫∫ = +∞→ EE n n dfdf .lim μμ 提示 : 注意 ).1(20 ≥≤?+?≤ nfffff nn 22. 举例说明在 Fatou 引理中 , 不等号可能成立 . 23. 设 }{ n A 是一列可测集并且 .)( 1 +∞< ∑ ∞ =n n Aμ 证明对几乎所有 ,Xx∈ x 只属 于有限个 . n A 24. 设 f 是有限测度空间 X 上的可测函数 , .,)( Xxdxfc ∈≤≤ 对任意 ,1≥n 设 dyyyc n =<<<= L 10 将 ],[ dc 分成 n个长度相等的小区间 . 证明 .})({lim 1 11∑ ∫ = ?? ∞→ <≤= n i iii n yfyyfd μμ (试将上式与 Riemann 积分的定义比较 ). 25. 设 }{ n f 是有限测度空间 ),,( μFX 上的可测函数列 , 证明 ∫ → + 0 1 μd f f n n 当且仅当 .0?→? μ n f 26. 设 f 是 ),0[ ∞+ 上的 L 可积函数 , 并且 f 在 ),0[ ∞+ 上一致连续 . 证明 ).(0)( +∞→→ xxf 27. 设 f 是 ]1,0[ 上的 L 可积函数 . 若对任意 )10( ≤≤ cc , 总有 ,0 ],0[ = ∫ c dxf 则 a.e.0=f 28. 设 f 在 ],[ ba 上 Riemann 可积 , g 是 1 R 上的连续函数 . 证明 ))(( xfg 在 ],[ ba 上 Riemann 可积 . 29. 证明 x exf ? =)( 在 ),0[ ∞+ 上 L 可积 , 并且求其 L 积分 . 30. 证明 Riemann 函数 ? ? ? ? ? = = . , 0 ,, 1 )( 是无理数若 互质若 x nm n m x n xf 137 在 ]1,0[ 上是 Riemann 可积的 . 31. 当 0>α 为何值时 , 函数 α x x xf sin )( = 在 ),1[ ∞+ 上是 L 可积的 . 32. 设 K 为 ]1,0[ 中的 Cantor 集 . 当 Kx∈ 时定义 ,)( 2 xxf = 当 x 属于 K?]1,0[ 中长为 n 3 1 的开区间时定义 . 2 1 )( n xf = 计算 .)( 1 0 ∫ dxxf 33. 设 f 和 g 在 ],[ ba 上 Riemann 可积 , 并且在 ],[ ba 的一个稠密子集上相等 . 证 明 f 和 g 在 ],[ ba 上积分相等 . 34. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数 , ,0)0( =f )0(f ′ 存在并且有限 . 证明 x xf )( 在 1 R 上是 L 可积的 . 35. 计算 ,)( 1 0 dxxf ∫ 其中 ? ? ? ? ? = . , 1 )( 3 为无理数若 为有理数若 x x xx xf 36. 设 f 是 ]1,0[ 上的单调增加函数 , E 是 ]1,0[ 中的 L 可测集并且 .)( tEm = 证 明 .)()( 0 ∫∫ ≤ E t dxxfdxxf 37. 用 Lebesgue 积分的性质证明 ∫ ∑ ∞ = ? ?= 1 0 1 2 . )12( 1 )1( arctg n n n dx x x 38. 设 ,)1()( 1 nxf n+ ?= ,,2,1, 1 1 1 L=≤< + n n x n .0)0( =f 证明 f 在 ]1,0[ 上是广义 Riemann 可积的 , 但不是 Lebesgue 可积的 . 39. 设 ,bca << ).()( ),[ xIxF c +∞ = 又设 f 是 ],[ ba 上的有界实值函数 . 证明在 ],[ ba 上关于 F L-S 可积当且仅当 f 在 cx = 连续 . 并且当 f 在 cx = 连续时 , ∫ = b a cfxdFxf ).()()( 40. 设 f 在 ],[ hbha +? 是 Lebesgue 可积的. 证明 .0)()(lim 0 =?+ ∫ → b at dxxftxf 提示:利用定理 4.5.2. 41. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数 , g 是 1 R 上的有界 L 可测函数 . 证明函数 ,)()()( 1∫ += R dxxgtxftI ∈t . 1 R 138 是 1 R 上的连续函数 . 42. 设 f 是 1 R 上的可积函数 , 并且对任意具有紧支集的连续函数 g , 有 .0)()( 1∫ = R dxxgxf 证明 0=f a.e.. 43. 设 .,1,,, XxnYXEFE n ∈≥×∈ 证明 .)()2( .)()()1( 11 xxx n xnx n n FEFE EE ?=? = ∞ = ∞ = UU 44. 设 ),( AX 和 ),( BY 是两个可测空间 , )(xf 和 )(yg 分别是 ),( AX 和 ),( BY 上的可测函数 . 证明 )()(),( ygxfyxh = 是 ),( BA××YX 上的可测函数 . 45. 设 ),,( μFX 是一完备的 ?σ 有限的测度空间 , )),(,( 11 mRR M 是一维 L 测度空间 , ),( txf 是 ),, 1 mX m ×× × μ μ MR( 上的可测函数 . 若对几乎所有 ∈t 1 R , ),( tf ? 是 a.e.?μ 有 限的 , 则对几乎所有 Xx∈ , ),( ?xf 是 a.e.?m 有限的 . 提示 : 令 },),(:),{( +∞== txftxA 则 .}),(:{ x Axtft =+∞= 考虑 ).)(( Am μ× 46. 设 ),( AX 和 ),( BY 是两个可测空间 , μ 是 ),( BA××YX 上的测度 .令 .),()( 1 A∈×= AYAA μμ 证明 : (1) 1 μ 是 ),( AX 上的测度 . (2) 若 )(xf 是 ),( AX 上的可积函数 , 则 .)()( 1 ∫∫ × = YXX dxfdxf μμ 提示 : (2)先考虑特征函数 . 47. 设 )(xf 和 )(yg 分别是 ?σ 有限测度空间 ),,( μAX 和 ),,( μBY 上的可积函数 .证明 )()(),( ygxfyxh = 是 ),,( νμ××× BAYX 上的可积函 数 , 并且 ∫∫∫ ?=× × . 2121 )( YXYX dgdfdh μμμμ . 48. 用 Fubini 定理证明当 0≥ mn a 或者 ∑∑ ∞ = ∞ = +∞< 11nm mn a 时 ,成立 . 1111 ∑∑∑∑ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = mn mn nm mn aa 49. 证明 . 2)1)(1( 2 ),0[),0[ 2 π = ++ ∫ +∞×+∞ yxy dxdy 50. 计算 ).0( 1 )( 0 22 baxd x eeI bxax <<?= ∫ ∞+ ?? 139 51. 设 =),( yxf , )( 222 22 yx yx + ? ),0,0(),( ≠yx .0)0,0( =f 证明 .),(),( 1 0 1 0 1 0 1 0 ∫∫∫∫ ? ? ? ? ? ? ≠? ? ? ? ? ? dxdyyxfdydxyxf 52. 计算积分 ∫∫ +∞ +∞ +? = 00 )1( 22 dxdyyeI yx , 并且由此证明 . 20 2 π = ∫ ∞+ ? dxe x 53. 设 ),( yxf 在 ]1,0[]1,0[ × 上 L 可积 . 证明 .),(),( 1 0 11 00 dxyxfdydyyxfdx y x ∫∫∫∫ = 54. 设 f 在 ],0[ a 上 L 可积 , . )( )( dt t tf xg a x ∫ = 证明 ∫∫ = aa fdxdxg 00 . . 提示 : .)( )( )( ],[ 0 dttI t tf xg ax a ∫ = 55. 设 E 是 n R 上的 L 可测集 , f 是 E 上有界的 L 可测函数 , 并且存在 0>M 和 ,10 <<α 使得 ,}))(,({ α λ λ M xfExm <>∈ .0>λ 证明 f 在 E 上 L 可积 . 56. 设 f 是 1 R 上的 L 可积函数 , .0>α 证明 a.e..0)( 1 →nxf n α 提示 : 先证明 .)( 1 1 1 ∫ ∑ ∞ = +∞< R n dxnxf n α 57. 设 ),( AX 和 ),( BY 是两个可测空间 , f 是 X 到 Y 的映射 . 使得对任意 ,B∈B 都有 A∈ ? )( 1 Bf (称 f 是 ),( AX 到 ),( BY 的可测映射 ). 又设若 μ 是 ),( AX 上的测度 . 证明 : ).i( (逆像测度 )集函数 B∈= ? BBfB )),(()( 1 μν 是 ),( BY 上的测度 (称之为 μ 关于 f 的逆像测度 ). ).ii( (积分的变量代换公式 ) 若 g 是 ),( BY 上的可测函数 , 则成立 .)( ∫∫ = YX gddfg νμ 上式表示当等式一边的积分存在时 , 等式另一边的积分也存在 , 并且两边相等 . 提示 : 先对 B Ig = 是特征函数证明 . 58. 设 }{ n f 是可测函数列 . 称 }{ n f 是一致可积的 , 若 140 .0suplim }{ 1 = ∫ > ≥ ∞→ kf n n k n df μ 证明 : }{ n f 是一致可积的当且仅当 }{ n f 满足 ).i( }{ n f 是一致积分绝对连续的 , 即对任意 ,0>ε 存在 ,0>δ 使得当 ,F∈A δμ <)(A 时 , 成立 .)1( ∫ ≥< A n ndf εμ ).ii(}{ n f 是一致积分有界的 , 即 .sup 1 +∞< ∫ ≥ μdf n n 59. 设 }{ n f 是可测函数列 . 证明若 }{ n f 满足以下条件之一 : ).i( 存在可积函数 ,g 使得 .1,a.e. ≥≤ ngf n ).ii( 存在 1>p 使得 ∫ +∞< ≥ .sup 1 μdf p n n 则 }{ n f 是一致可积的 . 60. 设 +∞<)(Xμ , }{ n f 是可积函数列 , f 为可测函数 . 证明 : ).i( 若 }{ n f 是一致可积的并且 ,ff n ?→? μ 则 f 是可积的并且 ∫ =? ∞→ .0lim μdff n n ).ii( 若 f 可积并且 ∫ =? ∞→ ,0lim μdff n n 则 }{ n f 是一致可积的并且 .ff n ?→? μ ).iii( 利用这个结果 , 给出当 +∞<)(Xμ 时控制收敛定理的另一个证明 . 提示 : 利用定理 3.2.5, Fatou 引理和等式 . ∫∫∫∫ ++?≤? cc AA n A nn dfdfdffdff μμμμ 61. 叙述并且证明关于复值可测函数积分的控制收敛定理 .