第五章 大数定律和
中心极限定理
第一节 大 数 定 律
湖南商学院信息系
数学教研室
概率论与数理统计是研究随机现象统计
规律性的学科, 随机现象的规律性只有在相
同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出
来, 也就是说，要从随机现象中去寻求必然
的法则，应该研究大量随机现象,
研究大量的随机现象，常常采用极限
形式，由此导致对极限定理进行研究, 极
限定理的内容很广泛，其中最重要的有两
种,
与大数定律 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币
正面出现频率 字母使用频率生产过程中的 废品率
……
几个常见的大数定律
定理 1（ 切比雪夫大数定律）
? ?
? ???
???
n
i
n
i
iin XEnXnP
1 1
1}|)(11{|lim ?
设 X1,X2,… 是相互独立的随
机变量序列，它们都有有限的方差，
并且方差有共同的上界，即 Var(Xi)
≤K,i=1,2,…,
切比雪夫
则对任意的 ε>0，
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列 {Xn}，如果方差有共同的上界，则
?
?
n
i
iXn
1
1 与其数学期望 ?
?
n
i
iXEn
1
)(1 偏差很小的
概率接近于 1,
?
?
n
i
iXn
1
1
随机的了，取值接近于其数学期望的概率接
近于 1.
即当 n充分大时,差不多不再是
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
证明切比雪夫大数定律主要的数学
工具是切比雪夫不等式,
设随机变量 X有期望 E(X)和方差,
则对于任给 >0,
2?
?
2
2
1}|)({|
?
?? ???? XEXP
作为切比雪夫大数定律的特殊情况，
有下面的定理,
1}|1{|lim
1
????
?
??
??
n
i
in XnP
定理 2（ 独立同分布下的大数定律 ）
设 X1,X2,… 是独立同分布的随机变量
序列，且 E(Xi)=, Var(Xi)=, i=1,2,…,
则对任给 >0,
2??
?
下面给出的贝努里大数定律，
是定理 2的一种特例,
贝努里
设 Sn是 n重贝努里试验中事件 A发
生的次数,p是事件 A发生的概率，
?
?
??
否则，
发生次试验如第，
0
1 AiX
i
引入 i=1,2,…,n
则 ?
?
?
n
i
in XS
1
?
?
?
n
i
i
n X
nn
S
1
1 是事件 A发生的频率
于是有下面的定理：
设 Sn是 n重贝努里试验中事件 A发生的
次数,p是事件 A发生的概率，则对任给的
ε> 0，
定理 3（ 贝努里大数定律 ）
1}|{|lim ???
??
?p
n
SP n
n
或
0}|{|lim ???
??
?p
n
SP n
n
贝努里
贝努里大数定律表明，当重复试验次数
n充分大时，事件 A发生的频率 Sn/n与事件 A
的概率 p有较大偏差的概率很小,
贝努里大数定律提供了通过试验来确
定事件概率的方法,
0}|{|lim ???
??
?p
n
SP n
n
任给 ε>0，
贝努里大数定律请看演示
下面给出的独立同分布下的大数定
律，不要求随机变量的方差存在,
设随机变量序列 X1,X2,… 独立同
分布，具有有限的数学期 E(Xi)=μ,
i=1,2,…, 则对任给 ε>0,
定理 3（ 辛钦大数定律 ）
1}|1{|lim
1
????
???
??
n
i
in XnP
辛钦大数定律
辛钦
请看演示
例如要估计某地区的平均亩产量，要
收割某些有代表性的地块，例如 n 块, 计
算其平均亩产量，则当 n 较大时，可用它
作为整个地区平均亩产量的一个估计,
这一讲我们介绍了大数定律
大数定律以严格的数学形式表达了随
机现象最根本的性质之一：
它是随机现象统计规律的具体表现,
大数定律在理论和实际中都有广泛的应用,
平均结果的稳定性
休息片刻继续下一讲
中心极限定理
第一节 大 数 定 律
湖南商学院信息系
数学教研室
概率论与数理统计是研究随机现象统计
规律性的学科, 随机现象的规律性只有在相
同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出
来, 也就是说，要从随机现象中去寻求必然
的法则，应该研究大量随机现象,
研究大量的随机现象，常常采用极限
形式，由此导致对极限定理进行研究, 极
限定理的内容很广泛，其中最重要的有两
种,
与大数定律 中心极限定理
下面我们先介绍大数定律
大量的随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币
正面出现频率 字母使用频率生产过程中的 废品率
……
几个常见的大数定律
定理 1（ 切比雪夫大数定律）
? ?
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n
i
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iin XEnXnP
1 1
1}|)(11{|lim ?
设 X1,X2,… 是相互独立的随
机变量序列，它们都有有限的方差，
并且方差有共同的上界，即 Var(Xi)
≤K,i=1,2,…,
切比雪夫
则对任意的 ε>0，
切比雪夫大数定律表明，独立随机变
量序列 {Xn}，如果方差有共同的上界，则
?
?
n
i
iXn
1
1 与其数学期望 ?
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)(1 偏差很小的
概率接近于 1,
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1
随机的了，取值接近于其数学期望的概率接
近于 1.
即当 n充分大时,差不多不再是
切比雪夫大数定律给出了
平均值稳定性的科学描述
证明切比雪夫大数定律主要的数学
工具是切比雪夫不等式,
设随机变量 X有期望 E(X)和方差,
则对于任给 >0,
2?
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2
2
1}|)({|
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作为切比雪夫大数定律的特殊情况，
有下面的定理,
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1
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in XnP
定理 2（ 独立同分布下的大数定律 ）
设 X1,X2,… 是独立同分布的随机变量
序列，且 E(Xi)=, Var(Xi)=, i=1,2,…,
则对任给 >0,
2??
?
下面给出的贝努里大数定律，
是定理 2的一种特例,
贝努里
设 Sn是 n重贝努里试验中事件 A发
生的次数,p是事件 A发生的概率，
?
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否则，
发生次试验如第，
0
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1 是事件 A发生的频率
于是有下面的定理：
设 Sn是 n重贝努里试验中事件 A发生的
次数,p是事件 A发生的概率，则对任给的
ε> 0，
定理 3（ 贝努里大数定律 ）
1}|{|lim ???
??
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n
SP n
n
或
0}|{|lim ???
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SP n
n
贝努里
贝努里大数定律表明，当重复试验次数
n充分大时，事件 A发生的频率 Sn/n与事件 A
的概率 p有较大偏差的概率很小,
贝努里大数定律提供了通过试验来确
定事件概率的方法,
0}|{|lim ???
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SP n
n
任给 ε>0，
贝努里大数定律请看演示
下面给出的独立同分布下的大数定
律，不要求随机变量的方差存在,
设随机变量序列 X1,X2,… 独立同
分布，具有有限的数学期 E(Xi)=μ,
i=1,2,…, 则对任给 ε>0,
定理 3（ 辛钦大数定律 ）
1}|1{|lim
1
????
???
??
n
i
in XnP
辛钦大数定律
辛钦
请看演示
例如要估计某地区的平均亩产量，要
收割某些有代表性的地块，例如 n 块, 计
算其平均亩产量，则当 n 较大时，可用它
作为整个地区平均亩产量的一个估计,
这一讲我们介绍了大数定律
大数定律以严格的数学形式表达了随
机现象最根本的性质之一：
它是随机现象统计规律的具体表现,
大数定律在理论和实际中都有广泛的应用,
平均结果的稳定性
休息片刻继续下一讲
