第
一
章
绪
论
第一节 自动控制系统的基本概念
第二节 自动控制系统的组成
第三节 自动控制系统的分类
第四节 自动控制系统性能要求
小结
课题,
第一节 自动控制系统的基本概念
目的、要求,
掌握自动控制系统的基本概念
难点,
概念,被控量,扰动
?日常生活过程中的控制系统例子 ---
水箱水位控制系统
被控对象：水箱
被控量：水箱水位
控制装置：杠杆
检测元件：浮球
控制手段：进水阀
控制的概念
自动控制,
? 指在脱离人的直接干预，利用控制装置（简
称控制器）使被控对象（如设备生产过程等）
的工作状态或简称被控量（如温度、压力、
流量、速度,pH值等）按照预定的规律运行,
自动控制系统,
? 实现上述控制目的，由相互制约的各部分按
一定规律组成的具有特定功能的整体,
控制系统的基本概念
反馈控制系统的中的常用术语,
给定值（参考输入值）
偏差值 控制量 被控量
扰动量 (内扰,外扰 )
自动控制装置 = 传感器 + 控制器 + 给定
器 + 执行器
受控过程（受控对象）
控制系统 = 受控过程＋控制装置
课题, 第二节 自动控制系统的组成
第三节 自动控制系统的分类
目的、要求,
1.理解自动控制系统的组成方框图
2.掌握自动控制系统的分类
重点,
1.自动控制系统的组成方框图
(信号的走向,各环节的作用 )
2.开环、闭环控制系统,前馈、反馈控制系统
第二节 自动控制系统的组成
? 自动控制系统组成方框图
扰动
调节阀 控制
器
执
行
器
受控
对象
测量、变送元件
给定值 被控量
操
作
值
偏
差
值
反
馈
值
调
节
器(
杠
杆)
执
行
器
调
节
阀
水
箱
变
送
器(
浮
球)
+
-
例 水箱水位控制系统
测量水位
偏
差
量
控
制
量
调
节
位
移
进
水
量
实
际
水
位
设
定
水
位
第三节 自动控制系统的分类
设定器 控制器 被控对象
扰动
被控量
设定器 被控过程
传感器
控制器
1 按系统环节连接形式分类
闭环控制系统,
开环控制系统,
开环控制系统与闭环控制系统
开环控制系统特点,
1,信号从输入到输出无反馈,单向传递,
2,控制精度不高,无法抑制扰动,
闭环控制系统特点,
1,有反馈回路 ;
2,控制精度高,自动纠偏
2 按控制依据信号性质分类
控制器
控制器 被控过程
控制器 被控过程
控制器 被控过程 反馈控制系统
前馈控制系统
前馈 ---反馈
控制系统
闭环控制系统与反馈控制系统的关系
闭环控制系统,系统输出信号与输入端之间
存在反馈回路的系统。
闭环控制系统也叫反馈控制系统。, 闭环,
即应用反馈作用来减小系统误差。
前馈 ---反馈控制系统
? 前馈 ---反馈控制系统 即 复合控制系统
复合控制,闭环控制和开环控制结合的一种方式。
它是在闭环控制等基础上增加一个干扰信号的补
偿控制，以提高控制系统的抗干扰能力。
增加干扰信号的补偿控制作用，可以在干扰对
被控量产生不利影响 同时 及时提供控制作用以抵
消此不利影响。纯闭环控制则要等待该不利影响
反映到被控信号之后才引起控制作用，对干扰的
反应较慢。
恒值控制系统（或称自动调节系统）
特点：输入信号是一个恒定的数值。恒值控制系
统主要研究各种干扰对系统输出的影响以及如何
克服这些干扰
随动控制系统（或称伺服系统）
特点：输入信号是一个未知函数，要求输出量跟
随给定量变化。
程序控制系统
特点：输入信号是一个已知的时间函数，系统的
控制过程按预定的程序进行，要求被控量能迅速
准确地复现。
3 按给定值变化规律分类
4 按系统特性分类
线性控制系统
输入与输出成正比，可用叠加原理
用线性数学模型描述
非线性控制系统
输入与输出不成正比，不可用叠加原理
用非线性数学模型描述
非线性系统,在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性环节
典型非线性特性,
饱和特性、死区性、间隙特性、继电特性、磁滞特性等。
5 按变量的时间特性分类
1。 连续时间控制系统
系统各部分的信号是模拟的连续函数
例：工业中普遍采用的常规控制仪表 PID调节器控制
的系统
2。 离散时间控制系统
系统的某一处或几处，信号以脉冲序列或数码的形式
传递的控制系统
例 计算机控制系统
课题,
第四节 自动控制系统性能要求
目的、要求,
掌握系统性能分析方法,系统的性能要求
重点,
概念,动态特性,静态特性,
衰减振荡过程,单调过程
第四节 自动控制系统性能要求
? 典型试验信号
?阶跃信号
? 系统性能分析方法
?动态特性分析
?稳态特性分析
阶跃信号（ Step Function）
阶跃信号是最常用系统性能测试信号
时间
r(t)
R
)( 0 0 0 )()( tuttRtuRtr ??? ????? -----单位阶跃 函 数
动态特性分析
动态响应, 系统输出在典型测试信号下随时间变
化的特性
y (t ) --输出 x (t ) --输入
y（ t） = f ( x（ t） )
x (t )
y( t )
t t
稳态特性分析
稳态特性,
平衡状态下系统输出与输入的关系
y（ t = ?） = f ( x)
y (?) ---稳态输出
x ---输入
自动控制系统被控量变化的动态特性
(a)单调过程 (b)衰减振荡过程
(c)等幅振荡过程 (d)渐扩振荡过程
(1)稳定性 ---自动控制系统的最基本的要求
(2)快速性 ---在系统稳定的前提下，希望控
制过程（过渡过程）进行得越快越好，但如
果要求过渡过程时间很短，可能使动态误差
（偏差）过大。合理的设计应该兼顾这两方
面的要求。
(3)准确性 ---即要求动态误差和稳态误差
都越小越好。
自动控制系统性能要求
自动控制系统性能要求,稳 准 快
本章小结
? 自动控制理论中常用的术语：被控对象，参考输入信号（给定值信号），扰动、偏差信号、被控量、控制
量和自动控制系统
? 自动控制系统的组成及其方框图,自动控制系统的分
类方法
? 开环控制系统和闭环控制系统概念。注,实际生产过
程的自动控制系统，绝大多数是闭环控制系统，即负反
馈控制系统。
? 对自动控制系统的性能要求，即稳定性、快速性和准
确性。自动控制系统的最基本要求是稳，然后进一步要
求快和准，当后两者存在矛盾时，设计自动控制系统要
兼顾两方面的要求
BACK
2012-3-20 28
第二章 自动控制系统的数学描述
第一节 概论
第二节 机理分析建模方法
第三节 拉氏变换和传递函数
第四节 典型环节的动态特性
第五节 系统方框图等效变换
第一节 概论
? 系统的数学模型,
描述系统各变量之间关系的数学表达式
如微分方程, 传递函数
? 控制系统的数学模型关系到对系统性能的分
析结果, 本章将对系统和元件数学模型的建
立, 传递函数的概念, 结构图的建立及简化
等内容加以论述 。
课题,
第二节 机理分析建模方法
? 目的、要求,
理解电气系统、液力系统的建
模过程
? 重点,
一阶系统、二阶系统的建模
2.1 建模举例
? 单容水箱
已知, 流入量 Qi,流出量 Qo,截面 A; 液位 H
求, 以 Qi 为输入,H 为输出的系统动态方程式,
解, 根据物质守恒定律
中间变量为 Qo,据流量公式
线性化处理,
规范化
Qi
Qo
A
H
? ?dtQQA d H i 0??
HQ ??0
HQ ???0
? ?HQAdtdH i ? ??? 1
iQHdt
dHA ?
?
??
?
?
?????
??
?
?
? ??
1
液力系统
2.1 建模举例
? RLC 电路
求, 以 U i为输入,U o为输出的系统动态方程式,
解, 由基尔霍夫定律
消中间变量
Ui Uo C
L R
??????? i d tCdtdiLRiUUUU LRi 10
?? iUU
dt
dUCi 0?
)()()()( 0020
2
tUtUdt tdURCdt tUdLC i???
i
电气系统
2.2 建立模型小结
? 确定系统的输入、输出变量；
? 根据系统的物理、化学等机理，依据列出各
元件的输入、输出运动规律的动态方程；
? 消去中间变量，写出输入、输出变量的关系
的微分方程。
课题,
? 要求,
掌握,拉氏变换的定义,
几种典型函数的拉氏变换，拉氏变换的性质
传递函数的概念
? 重点：由建模得微分方程
第三节 拉氏变换与传递函数
拉氏变换
传递函数
3.1 拉普拉斯 (Laplace )变换
? 定义
1.拉氏变换的定义
其中 x(t)_原函数,X(s)_象函数,
复变量 s = ? + j ?
2.拉氏反变换的定义
? ? ? ? ??? 0 )()()( dtetxsXtxL st
l
? ? ? ??
??
? ?? j
j
st dsesX
j
sXLtx
?
??
)(
2
1
)()( 1
)0(0)()( ??? ttutx
)0(1 ?t
? ? sdtetuL st 1)(
0
?? ? ? ?
)(11 tu
s
L ??
?
?
??
??
单位阶跃函数 的拉氏变换
1) 线性定理
设,
? ?)()( txLsX ?
? ?
? ? )()()()(
)()(
2121 sXsXtxtxL
saXtaxL
???
?
拉氏变换的性质与定理
2) 微分定理
)0()()( xssXdt tdxL ????????
)0()0()()( 222 ?????????? xsxsXsdt tdxL
)0()0(
)0()(
)(
)1(2
1
?
?
?
?
??
????
?
?
?
?
?
nn
nn
n
n
xxs
xssXs
dt
tdx
L
?
)()( sXsdt tdxL nn
n
??
?
?
??
?
各初值为 0时
? ? ?? ??? 0)(1)()( tdttxss sXdttxL
3) 积分定理
n
n
n
s
sXdttxL )()( ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?? ??? ??? 各初值为 0时
4）终值定理
5) 初值定理
)(lim)(lim 0 ssXtx st ??? ?
)(lim)(lim)0( 0 ssXtxx st ??? ??
3.2 传递函数
定义
零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入
信号的拉氏变换之比
设输入为 r(t),输出为 y(t),则系统的传递函
数为,
)(
)()(
sR
sYsG ?
? 单容水箱,
1)(
)(
)()()1(
)()()(
1
)(
)(
1
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
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?
?
?
Ts
K
sQ
sH
sKQsHTs
sKQsHsT s H
K
A
T
tQQ
tHH
QH
dt
dHA
i
i
i
ii
i
?
?
??
1)(
)()(
??? Ts
K
sQ
sHsG
i
零初始条件下 对微分方
程进行拉氏变换
令
如果 Qi (s)不变,则输出 H(s)的特性完全
由 G(s)的形式与数值决定,可见,G(s)反映
了系统自身的动态本质,
G(s)
Q i(s) H(s)
传递函数的引入
传递函数的求取
对微分方程进行拉氏变换
(零初始条件 )
系统微分方程,
零初始条件拉氏变换,
整理得传递函数,
rbrbrbrb
yayayaya
mm
mm
nn
nn
?????
????
?
?
?
?
?
?
1
)1(
1
)(
0
1
)1(
1
)(
0
?
?
? ?
? ? )(
)(
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sYasasasa
mm
mm
nn
nn
?????
????
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
10
1
1
10
sA
sB
asasasa
bsbsbsb
sR
sY
sG
nn
nn
mm
mm
?
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
dt
dy
y
dt
yd n
n
n
)(
1) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与
输入量的大小和性质无关
2）实际系统的传递函数是 S的有理分式（ n≥m ）
3）传递函数与微分方程有相通性，两者可以相
互转换
4）传递函数只适用于线性定常系统
传递函数的性质
3.3 控制系统的微分方程与传递函数
? 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性
能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求
解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中
某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列
写并求解微分方程。
? 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得
到的系统在复数域的数学模型为传递函数。
? 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可
以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的
概念
传递函数概念的进一步说明
由基尔霍夫定律,
( ) ( ) ( )cri t R u t u t?? (3,0)
1( ) ( ) d
cu t i t tC? ? (3,1)
消去中间变量 i(t),
d ( ) ( ) ( )
d
c
cr
utRC u t u t
t ??
(3,2)
图 RC电路
输入 ur(t) 输出 uc(t)
两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压 uc(0),
得,
(3,3)
( ) ( ) ( ) ( )c c c rR C s U s R C u U s U s? ? ?0
1( ) ( ) ( )
11c r c
RCU s U s u
RCs RCs???? 0
(3,4)
0( ) ( 1 ) ( )
tt
R C R C
ccu t u e u e
??? ? ? 0 (3,5)
第一项称为零状态响应,
由 ur(t)决定的分量；
第二项称为零输入响应,
由初始电压 uc (0)决定的
分量。
图 RC网络的阶跃响应曲线
当 ur(t)= u0·1(t)时,
根据线性系统的叠加原理
若 uc(0)=0，则,
1( ) ( )
1crU s U sR Cs? ?
(3,6)
当输入电压 ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换 Uc(s)完全由
1/(RCs+1)所确定，式 (3,6) 写为,
() 1
( ) 1
c
r
Us
U s R C s? ?
(3,7)
用式 (3,7)来表征电路本身特性，称做传递函数，即,
1()
1Gs Ts? ?
式中 T=RC
上图表明了电路中电压的传递关系，即输入电压 Ur(s),
经过 G(s)的传递，得到输出电压 Uc (s)=G(s)Ur (s) 。
注意,
传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）
时定义的。
控制系统的零初始条件有两方面的含义,
1)系统输入量及其各阶导数
在 t=0时的值均为零；
2)系统输出量及其各阶导数
在 t=0时的值也为零。
课题：第四节 典型环节的动态特性和传递函数
? 要求,
? 掌握 典型环节的动态特性和传递函数
? 难点,
? 微分环节、惯性环节
第四节 典型环节的动态特性和
传递函数
4.1 比例环节 4.2 积分环节
4.3 微分环节 4.4 惯性环节
4.5 振荡环节 4.6 迟延环节
4.1 比例环节
动态方程, y(t)=K x(t)
传递函数, G(s)=Y(s)/X(s)=K
阶跃响应,
０
t
y=Kx0
0 t
x0
X(t)
Y(t)
特点,输入与输出成比例
4.2 积分环节
动态方程,
传递函数,
阶跃响应,
０
??? t dttxTty 0 )(1)(
TssG
1)( ?
t
x=x0
T
T
txy 0?
t 0
X(t) x
0
Y(t)
特点,T大则积分慢
水泵
Q0
Qi
hy
Qx=Qi-Q0
AssQ
sh
sG
dtQ
A
h
x
y
t
xy
1
)(
)(
)(
1
0
??
? ?
例
4.3 微分环节
动态方程, (理想 )
(实际 )
阶跃响应,
传递函数,
t
x=x0
Td
Kdx0
dt
tdxTty
d
)()( ??
dt
tdxTKty
dt
tdyT
ddd
)()()( ????
1
)(
)(
?
?
?
sT
sTKsG
sTsG
d
dd
d
dT
t
d exKy
??
0
Td：微分作用时间
4.4 惯性环节
动态方程,
传递函数,
阶跃响应,
t
x=x0
Tc
Kx0
)()()( tKxtydt tdyT c ???
1)( ?? sT
KsG
c
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
cT
t
eKxty 1)( 0
特点, Tc 决定过渡过程时间,K 决定稳态输出值,
例,单容水箱
已知, 流入量 Qi,流出量 Qo,截面 A; 液位 H
求, 以 Qi 为输入,H 为输出的系统动态方程式,
解,
线性化处理,
1)(
)()(
??? Ts
K
sQ
sHsG
i
Qi
Qo
A
H
? ?dtQQA d H i 0?? HQ ??0
HQ ???0
? ?HQAdtdH i ? ??? 1
iQHdt
dHA ?
?
??
?
?
?????
??
?
?
? ??
1
代换得
零初始条件下 对微分方
程进行拉氏变换
?
?
?
?
?
?
1K
AT
4.5 振荡环节
动态方程,
传递函数,
单位阶跃响应,
特点,? 决定了振荡特性,?n 决定振荡周期,
t
y
)()()(2)( 2222 txtydt tdydt tyd nnn ???? ????
22
2
2)( nn
n
sssG ???
?
???
10 11s i n
1
11)( 212
2
????
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?? ?? ?? ???
?
?? tgtety
n
tn
1
4.6 迟延环节
动态方程,
传递函数,
阶跃响应,
t
y(t)=x0 t>?
x=x0
Y(t)
?
)()( ??? txty
se
sX
sYsG ????
)(
)()(
特点, y(t)比 x(t)迟延了一段时间 ?,
课题,
第五节 系统方框图等效变换
? 要求,
掌握方框图等效变换基本概念,等效变换规则
?难点,
系统方框图等效变换的具体应用
第五节 系统方框图等效变换
5.1 基本概念
5.2 等效变换规则
5.3 应用举例
1 基本概念
（ 一 ） 方框图的概念
右 图 RC网络的微分方程式为,
1
d
1
d
r
c
u R i i t
C
u i t
C
??
?
?
?
rcu u R i??
(5,1)
(5,2) 即
对二式进行拉氏变换，得
( ) ( ) ( )rcU s U s R I s??
1( ) ( )
cU s I sCs?
(5,2a)
(5,1a)
1 [ ( ) ( ) ] ( )
rcU s U s I sR ??
,
图 (a)描绘了
图 (b)表示了
将图 (a),图 (b)合并如图 (c), 得 RC网络的结构图 。
1 [ ( ) ( ) ] ( )
rcU s U s I sR ??
图中 符号表示信号的代数和，箭头表示信号的传递方向，
称作“加减点”或“综合点”。
?
1( ) ( )
cU s I sCs?
（ 二 ） 系统结构图的建立
其步骤如下,
（ 1） 建立控制系统各元部件的微分方程 。
（ 2） 对各元件的微分方程进行拉氏变换, 并作
出各元件的结构图 。
（ 3） 按系统中各变量的传递顺序, 依次将各元
件的结构图连接起来, 置系统的输入变量于左端,
输出变量于右端, 便得到系统的结构图 。
（ 三 ） 结构图的等效变换
等效变换 -----方框图合并和分解变换前后
输入输出关系不变，效果等同。
结构图的运算和变换，就是将结构图化为
一个等效的方框，使方框中的数学表达式为总
传递函数。
结构图的变换应按等效原理进行 。
结构图的基本组成形式
结构图的基本组成形式可分为三种,
（ 1） 串联连接 方框与方框首尾相连 。 前一个方
框的输出, 作为后一个方框的输入 。
（ 2） 并联连接 两个或多个方框, 具有同一个输
入, 而以各方框输出的代数和作为总输出 。
（ 3） 反馈连接 一个方框的输出, 输入到另一个
方框, 得到的输出再返回作用于前一个方框的输
入端 。
A处为综合点，返回至 A处的信号取,+”，称为
正反馈；取, -”,称为负反馈。负反馈连接是控制系统
的基本结构形式。
图 反馈连接
结构图中引出信息的点 （ 位置 ） 常称为引出点 。
2 等效变换规则
（ 1） 串联方框的等效变换
图 串联结构的等效变换
由图可写出
12( ) ( ) ( )G s G s G s?
图 n个方框串联的等效变换
n个传递函数依次串联的等效传递函数, 等于
n个传递函数的乘积 。
图 n个方框并联的等效变换
（ 2） 并联连接的等效变换
G1(s)与 G2(s)两个环节并联连接, 其等效传递函数
等于该两个传递函数的代数和, 即,G(s)= G1(s)± G2(s)
（ 3） 反馈连接的等效变换
由图 (a) 得,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
C s G s E s
B s H s C s
E s R s B s
?
?
??
图 (a):反馈连接的一般形式，图 (b):其等效变换
消去 E(s)和 B(s),得,
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]C s G s R s H s C s??
[ 1 ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )G s H s C s G s R s?
( ) ( )()
( ) 1 ( ) ( )B
C s G sGs
R s G s H s??
得,
上式为系统的闭环传递函数 。
注,式中分母的加号, 对应于负反馈；减号对应于正反馈 。
H(s)=1,常称作单位反馈, 此时, ()
() 1 ( )B GsGs Gs?
（ 4） 综合点与引出点的移动
a,综合点前移
挪动前的结构图中, 信号关系为,
图 (a) 原始结构图 (b) 等效结构图
()C G s R Q??
挪动后, 信号关系为,
1( ) [ ( ) ]C G s R G s Q??? ()G s R??
b,综合点之间的移动
图 (a)原始结构图 (b) 等效结构图
挪动前, 总输出信号,
挪动后, 总输出信号,
C R X Y? ? ?
C R Y X? ? ?
c,引出点后移
图 (a)原始结构图 (b) 等效结构图
挪动后的支路上的信号为,
1 ()
()R G s R RGs??
d,相邻引出点之间的移动
图 相邻引出点的移动
若干个引出点相邻，引出点之间相互交
换位置，完全不会改变引出信号的性质。
3应用举例
例,简化下图系统的结构图,
求系统传递函数 GB (s) 〔 即 C(s)/R(s)〕 。
解, 1)将综合点后移, 然后交换综合点的位置, 化为图 (a)。
2)对图 (a)中由 G2,G3,H2组成的小回路实行串联及反
馈变换, 简化为图 (b)。
图 系统结构图的变换
3) 对内回路再实行串联及反馈变换, 只剩一个主
反馈回路,如图 (c)。
4) 变换为一个方框, 如图 (d) 。
系统总传递函数,
1 2 3 4
2 3 2 3 4 3 1 2 3 4 1
()()
( ) 1B
G G G GCsGs
R s G G H G G H G G G G H
??
? ? ?
思考：第一步的变换是否可采用其它的移动办法?
简化结构图求总传递函数的一般步骤,
? 1,确定输入量与输出量 。
? 2,若 结构图中有交叉关系, 应运用等效变换
法则, 将交叉消除, 化为无交叉的多回路结构 。
? 3,对多回路结构, 由里向外进行变换, 直至
变换为一个等效的方框 。
引言
第一节 典型输入作用和时域性能指标
第二节 一阶系统的时域分析
第三节 二阶系统的时域分析
第四节 零极点分布对系统动态响应的影响
第五节 高阶系统的动态响应及简化分析
第六节 控制系统的稳定性与代数判据
第七节 控制系统的稳态误差分析及误差系数
习题课
时域分析 引言
? 系统加入典型输入信号后，分析其输出响应特性的
动态性能和稳态性能，研究其是否满足生产过程对控
制系统的性能要求。
? 时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，
因而时域分析具有直观和准确的优点。
? 系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由
传递函数得到。
? 在初值为零时，利用传递函数进行研究，用传递函
数间接评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传
递函数的极点和零点来分析系统的性能。
?时域分析以阶跃响应为主
（因为阶跃典型,极端 )
? 过渡过程 --系统在外作用下由一个稳态转
移至另一个稳态的过程, 例 阶跃响应
? 典型过渡过程反映系统性能,时域性能指标
定量说明系统性能
课题,第一节 时域性能指标
要求, 掌握时间响应的基本概念,
正确理解时域性能响应指标
重点, 时域性能响应指标,
?p%,tr,tp,ts,ess
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被
控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
典型初始状态
规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 时
??0t
0)0()0()0( ???? ??? ???? ccc
第一节 典型输入作用和 时域性能指标
典型输入作用
理想单位脉冲函数,
[定义 ]：,且,其积分面积为 1。
?
?? ?? ?? 000)( ttt? ???? ? 1)( dtt?
?
)(t?
)( ?? ?t
其拉氏变换后的像函数为,1)]([ ?tL ?
⒈ 脉冲函数,
t 0
⒉ 阶跃函数,
??
?
?
??
0,
0,0)(
tA
ttx
A为阶跃幅度,A=1称为单位阶跃函数，记为 1（ t）。
其拉氏变换后的像函数为,sAtxL ?)]([
X(t)
A
t
⒊ 斜坡函数
??
?
?
??
0,
0,0)(
tBt
ttx
B=1时称为单位斜
坡函数。 Bttx ?)(
⒋ 抛物线函数
??
?
?
?
?
?
?
0,
2
1
0,0
)( 2
tCt
t
tx C=1时称为单位抛物线函数。
2
2
1)( Cttx ?
其拉氏变换后的像函数为,
2)]([ s
BtxL ?
其拉氏变换后的像函数为,
3)]([ s
CtxL ?
X(t)
t
X(t)
t
[提示 ]：上述几种典型输入信号的关系如下,
]21[][)](1[)( 23
3
2
2
AtdtdAtdtdtAdtdtA ?????
⒌ 正弦函数,,式中,A为振幅,为频率。 tA S i ntx ??)( ?
其拉氏变换后的像函数为,
22]s in[ n
n
stAL ?
??
??
分析系统特性采用何种典型输入信号，取决于系
统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统
的输入具有突变性质时，选择阶跃函数为典型输入信
号；当系统的输入是随时间增长变化时，选择斜坡函
数为典型输入信号。
?瞬态过程的性能指标
通常以阶跃响应来衡量系统控制性能
的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。
稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃
响应函数有衰减振荡和单调变化两种。
tr tp ts
ess y
r
y?
tc yp1 yp2 ± 5%y?
（一）衰减振荡
? 1) 超调量 (百分比超调 PO Percentage
Overshoot)
(%)
2) 上升时间
? 3) 峰值时间
-----y(t)到达第一个峰值的时间
? ?
)(
)()(100
?
???
y
yty p
p?
%0%1 0 0 ttt r ??
pt
对有振荡系统（响应曲线从零
上升到第一次到达稳定值所需
时间）
阶跃响应指标
? 4) 调整时间
---y(t) 稳定至指定的误差限 (如 5%y(?))
内所需时间
? 5) 振荡周期
---两个峰值间的时间
?6) 稳态误差,响应的稳态值与希望的给定值之
间的偏差
st
ct
??? yye rss
（二）单调变化
单调变化响应曲线如图所示,
这种系统只用调节时间 来表示快速性。 st
y
)( ?y
2
)( ?y
t
t st d
)(05.0 ?y
)(02.0 ?y或
t r
? tr,tp表征系统响应初始阶段的快慢 ;
ts表示系统过渡过程持续的时间,从总体上
反映了系统的快速性 ;
反映系统响应过程的平稳性 ;
ess是衡量系统准确性 (精度 )的重要指标,
%p?
课题,第二节 一阶系统的时域分析
? 要求：１．掌握 一阶系统数学模型
和单位阶跃响应
２．了解一阶系统单位斜坡响应
和单位脉冲响应
重点：一阶系统的单位阶跃响应
典型的一阶系统的结构图,
其闭环传递函数为,
1
1
)(
)()(
??? TssX
sYsG
称为时间常数。
kT
1?
)(sY
- sk
)(sE)(sX
第二节 一阶系统的时域分析
其传递函数的特征方程 Ts+1=0是 s的一次方程。
第二节 一阶系统的时域分析
ssX
1)( ?
1
1)(
?? TssG
输入
传递函数
输出
阶跃响应
? ?
Tss
Tss
sXsGsY
1
11
1
1
)()()(
?
??
?
??
? ? TtesYLty ?? ??? 1)()( 1
?单位阶跃响应
分析,
3,4T后 y(t)≈y ?
t=0,则初速 =1/T
ess=0
T→0,惯性环节 → 比例环节
T→ ?,惯性环节 → 积分环节
T 2T 3T 4T
0.632
0.865
0.950
0.982
1.0
ts(5%)=3T
ts(2%)=4T
T
t
eTdt tdy
?
? 1)(
课题,第三节 二阶系统的时域分析
要求：掌握二阶系统的数学模型及阶跃响应，
?取不同值时的特征根在Ｓ平面上的位置
及相应的响应曲线，并能以图表示之,
重点：典型 二阶系统的单位阶跃响应
引言,
在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，
可以近似或降阶为二阶系统处理。
典型二阶系统的结构图
22
2
2 nn
n
B sssG ???
?
???)(
? 称为阻尼比,?n称为无阻尼自然振荡频率,
2
其闭环传递函数为
第三节 二阶系统的时域分析
? 二阶系统的特征根及
对应的单位阶跃响应曲线
? 欠阻尼标准 二阶系统的动态性能指标计算
二阶系统的
特征根及对应的单位阶跃响应
标准式,?n2
s2+2??ns+?n2
特征方程,s2+2??ns+?n2=0
特征根,s1,2 = - ??n??n?(?2-1)
? １） ??1
? S
1
? S
2 过阻尼
1
２ ) ?=１
临界阻尼
３） 0???1
- ??n
?n?(1-?2)
s2
s1
S1,2 1
欠阻尼
1
４ ) ?=0
s2 无阻尼
s1
5)-1???0
负阻尼
?
?
-??n
?n?(1-?2)
s2
s1
不同 ?值下的有相应的二阶系统
单位阶跃响应曲线
?≥1,二阶系统单位阶跃响应曲线单调上升
?=1,单调上升的特性中 较 ?>1时短
0 <? <1,? 阶跃响应曲线振荡特性加强
?=0,阶跃响应曲线等幅振荡
?<0,阶跃响应曲线发散振荡
∵ 0.4<?<0.8,比 ?=1时小,振荡特性不严重
∴ 工程上希望二阶系统工作在 0.4<?<0.8的欠阻
尼状态
st
st
二阶系统的单位阶跃响应
1） 0???1 欠阻尼情况 -----衰减振荡
----有阻尼自然振荡频率
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2222
222222
22
22
2
1
)1()1(
1
2
21
2
)(
dn
n
dn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
ss
s
s
ss
s
s
ss
s
s
sss
sY
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??
???
??
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????
??
???
??
???
?
??
?
??
?
??
???
?
???
?
??
??
?
??
??
?
21 ??? ?? nd
包络线方程,
? ? ? ???
?
?? ?
?
??? ?? tesYLty dtn s i n
1
11)()(
2
1
tnety ??
?
?
?
??
21
11)(
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ??
2
1 1tg
1
第一项为单位阶跃响应的稳态分量,
第二项为动态分量,它是一以指数规律衰
减的正玄振荡波,振荡频率为 wd,单位阶跃
响应 y(t)衰减速度取决于共轭复数极点负
实部 ??n值大小,??n越大,共轭复数极点
离虚轴越远,y(t)衰减得越快,
--初相角
2） ?=0 无阻尼情况 ----等幅振荡
? ? 2222
2 1
)(
nn
n
s
s
sss
sY
??
?
?
??
?
?
? ? ? ?tsYLty n?c o s1)()( 1 ??? ?
wn(无阻尼自然振荡频率 )
可以看出：随着 的变化,c(t)将从无衰减的周期运动变为有
衰减的正弦运动，当 时 c(t)呈现单调上升运动 (无振荡 )。
可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
?
1??
?
二
阶
系
统
单
位
阶
跃
响
应
(阶跃响应 )
欠阻尼标准 二阶系统
的动态性能指标计算
)10(2)( 22
2
????? ?????
nn
n
sssG
)s i n (
1
11)(
2 ???
?? ?
?
?? ? tety dtn
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??? ?
?
????? 212 11 tg
nd
阶跃响应指标
tr tp ts
ess y
r
y?
tc yp
1
yp2 ± 5%y?
1） tr的计算 (设 y(tr)=1))
∵
∴
即
? ? 1s i n
1
1
1)(
2
??
?
?? ? ??
?
??
rd
t
r tety
rn
? ? ????? ???? rdrd tt 0s i n
21 ??
??
?
?
?
n
rt
?一定时,?n? ?tr ? 而 ?n一定时,?? ? tr?
2） tp 的计算
由 可导出
∴
?一定时,?n? ?tp ? 而 ?n一定时,?? ? tp?
0)( ?
dt
tdy
0s in ?pd t?
1 2??
?
?
?
?
??
nd
pt
3） ?p的计算
?p 只与 ? 有关,见图
?p
?
?p
? ? 211001)(100
)(
)()(
100 ?
??
? ?
?
???
?
??
?? ety
y
yty
p
p
p
一般 ? 取为 0.05 或 0.02,可求得
ts与 ??n成反比,??n为极点至虚轴的距离,
??
?
?
21 ?
?? tne
n
st ??
??? ln
?
?
?
??
?
?
??
??
?
02.0
4
05.0
3
n
n
st
??
??
4）调整时间 ts 的计算
包络线方程 |z(t)-y?|≤?y? 即 |z(t)-1|≤?
tnetz ??
?
?
?
??
21
11)(
1 2??
?
?
?
?
??
nd
pt 21100 ?
??
? ?
?
? ep
?
?
?
??
?
?
??
??
?
02.0
4
05.0
3
n
n
st
??
??
? ?p 则
?n一定时,?? ? tp?
ts与 ??n成反比,??n为极点至虚轴的距离,
注：要综合考虑各项性能指标
先由 ?p决定 ?,ts由 ?n决定,即在不改变超调
量的条件下,通过改变 ?n的值可改变调整时间,
欠阻尼标准二阶系统
的动态性能指标计算小结
? 一负反馈控制系统方框图如图,设输入信号 x(t)为单位
阶跃函数,受控过程的放大倍数 K=200,求系统的单位阶
跃响应 y(t)的性能指标 ?p%,tp,ts,并设要求的误差
范围为 △ =0.02,如放大倍数增大到 K=1500或减小
到 K=13.5,则 单位阶跃响应 y(t)的动态性能有何影响?
5K/s(s+34.5)
G0(s)
Y(t)
Y(s)
系统的闭环传递函数
为,G(s)=G0(s)/(1+G0(s))=5K/(S2+34.5s+5K)
X(t)
X(s)
? 与 ?n2 对照
s2+2??ns+?n2
?n2 =?,wn=?(rad/s) ?=?
tp=? ts=? ?p%=?
21
100 ?
??
? ?
?
? ep
?
?
?
??
?
?
??
??
?
02.0
4
05.0
3
n
n
s
t
??
??
1 2??
?
?
?
?
??
nd
pt
? K=200,
?n2 =1000,wn=31.6(rad/s)
?=34.5/2wn=0.545,
tp=0.12(s),ts= 0.23(s),?p%=13%
如 K=1500,wn=86.2(rad/s),?=0.2
tp=0.037(s),ts= 0.23(s),?p%=52.7%
K,?,wn,tp时间提前,?p%,ts无多大变化,
? K=13.5
wn=8.22(rad/s),?=2.1
系统成为过阻尼 (?>1)二阶系统,峰值超调量不复存在,
ts=1.46,比前两种情况的调整时间大得多,
K=1500
K=200
K=13.5
课题,
第四节 零极点分布对系统动态响应的
影响
? 要求,
理解 零极点分布对系统动态响应的影响
第四节 零极点分布对系统
动态响应的影响
极点起惯性延缓作用，离虚轴越近影响越
大。零点起微分加快作用。
主导极点,某极点实部绝对值与其它极点实
部绝对值之比小于五分之一且附近无零点
偶极子,一对靠得很近或相近的零极点,彼此
相互抵消作用
例 1
? ? -15 ? -1 -1.25
? ?
? ?? ?151
18.012)(
??
??
ss
ssG
s=-1 s=-1.25 成为偶极子
例 2
s=-1 成为主导极点
0.22e-10t
-2.2e-t
2
? ? -10
j?
?
-1
? ?? ?
tt
eety
ssss
sG
sY
ss
sG
10
22.02.22)(
10
22.0
1
2.22)(
)(
101
20
)(
??
???
?
?
?
???
??
?
课题
第五节 高阶系统的动态响应及简化分析
? 要求,
１,理解高 阶系统的动态响应及简化分析
２．掌握利用闭环主导极点的概念近似估计
高阶系统动态性能的方法,
第五节 高阶系统的动态响应及简化分析
高阶系统 =若干惯性环节 +若干振荡环节
)2()(
)(
)2),..(2)(),..((
)),..()((
'''
'''
)()(
22
11
1
222
111
2
1
21
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
10
1
1
10
nknkk
r
k
j
q
j
i
m
i
nrnrrnnq
m
nn
nn
mm
mm
nn
nn
mm
mm
wswsps
zs
k
wswswswspsps
zszszs
k
asasas
bsbsbs
a
b
nm
asasasa
bsbsbsb
sG
?????
??
?
??????
???
?
????
????
??
?
????
????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
求有 S左半平面互异极点时
的单位阶跃响应
teC
teBeAGty
r
k
kk
t
k
r
k
kk
t
k
q
j
tp
j
kk
kkj
?
??
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ????
1
2
1
2
1
1s i n
1c o s)0()(
??
??
??
??
上式等号右边第一项为系统单位阶跃响应的稳态分量,
第 2项为非周期过程的动态分量,第三、四项为衰减振荡的
动态分量
简化分析
* 若有主导极点存在，则简化为只有主导极
点的系统。主导极点为实极点则简化为一阶
系统；主导极点为共轭复极点则简化为二阶
系统 。
例 已知系统的闭环传递函数为,
WB(S)=(0.59S+1)/(0.67S+1)(0.01S2+0.08S+1)
试估算系统的动态性能指标
? 解,闭环极点,P1=-1.5
? P2=-4+J9.2
? P3=-4-J9.2
? 闭环零点,Z1=-1.7
分析,
系统是稳定的
P1与 Z1为偶极子,P2 P3为系统主
导极点,系统近似为二阶系统
WB(S)=1/(0.01S2+0.08S+1)
?
课题,第六节 控制系统的稳定性与代数判据
? 要求：正确理解线性定常系统稳定的条件,
熟练地应用劳斯判据判别系统稳定性和
进行稳定参数分析、计算,
? 重点：稳定性的基本概念
代数稳定判据
第六节 控制系统的稳定性与代数判据
1),稳定性概念
2),线性系统稳定的充分必要条件
3),判别系统稳定性的方法
4),劳斯判据
5),劳斯判据的应用
例,单摆系统和圆拱桥小球系统
稳定
B
不稳定
1).稳定性概念
稳定性 ---扰动消失后系统恢复到平衡状态的性能,
系统稳定性只与系统内部特性有关，而与输入无关。
A
线性系统稳定的充分必要条件是其系统特征方程式的
所有根均在根平面 (S平面 )虚轴的左半部分
2）, 线性系统稳定的充分必要条件
理解,一阶系统、标准二阶系统时域分析
高阶系统时域分析
高阶系统
? 系统对输入的响应 =瞬态响应 +稳态响应
在单位阶跃输入作用下,由于稳态响应是一个常数 1,
因而系统的响应反映瞬态响应的基本特征,
? 线性系统高阶系统的瞬态响应可认为由若干个低
阶系统的瞬态响应组成,实际上在高阶系统的瞬态
响应中起主导作用的往往是一个二阶系统 (或再加
上一个一阶系统 )的瞬态响应,
? 对高阶系统系统稳定的条件是其系统特征方程式
的所有根
均在根平面 (S平面 )虚轴的左半部分,
分析
? 对于用一阶或二阶常系数线性微分方程式来描述
的低阶系统,可求解出当输入为单位阶跃函数时系统
输出的全部响应,据此可分析系统的性能以及系统中
有关参数对工作性能的影响,但对于高于二阶的常系
数线性微分方程式来描述的高阶系统，要直接求出
系统在输入作用下的响应比较困难,从求解常系数线
性微分方程式的知识中可知道,系统瞬态响应 (即系统
的自由运动 )的基本特点决定于系统特征方程式的根,
因此可从系统的特征方程式来判别系统瞬态响应的
某些基本特点,
系统是否稳定 特征方程根的分布
方程的系数 。
劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数
来分析系统的稳定性的一种判据，它避免
了直接求特征方程根的繁琐过程。
劳斯稳定判据
sn a0 a2 a4 a6 …
sn-1 a1 a3 a5 a7 …
sn-2 b1 b2 b3 b4 …
sn-3 c1 c2 c3 c4 …
… …
s2 e1 e2
s1 f1 0
s0 g1
f
dhfeg ??
1
3021
a
aaaa ?
1b ?
1
5041
a
aaaa ?2b ?
1
2131
b
baab ?1c ?
3）劳斯表定义
线性系统的特征方程表示为
01110 ????? ?? nnnn asasasa ?
d
f h
e
4),劳斯判据 (Routh)
若线性系统的特征方程表示为
则此系统稳定的充要条件是特征方程系数均为正
且对应劳斯表第一列元素均为正数。
说明,
? 若系数 a0至 an有缺项或小于零则系统不稳定。
? 若其劳斯表第一列元素变号 m次，则有 m个正实部根。
01110 ????? ?? nnnn asasasa ?
例 1 已知
求系统稳定性。
解,
列劳斯表
s4 1 3 5
s3 2 4
s2 1 5 第一列元素,1,2,1,-6,5
s1 -6 变号两次 。
s0 5 不稳定，有两个有正实部的根 。
s4+2s3+3s2+4s+5=0
劳斯表计算时零元素的处理
? 第一列元素出现零但对应行其它元素有不为零的处理,
令 rk1=?>0 再进行下一行元素的计算
例, s3-3s+2=0
方程中 s2项的系数为 0,s项系数为负，由系统稳定的
必要条件知，相应系统不稳定。
s3 1 -3
s2 0 2 令 r2,1= ?>0,则 s2 ? 2
s1 ? s1 (-3?-2)/? 0
s0 2
可见变号两次，该方程有两个根在 s右半平面
劳斯表计算时零元素的处理
? 某一行元素全为零时
处理, 用上一行元素构成辅助多项式
例, s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
s6 1 8 20 16
s5 2 12 16 0
s4 2 12 16 同除 2后为 1 6 8
S4 S2 S0
s3 0 0 0 经处理后为 4 12
4 12 S3 S
s2 3 8 0
s1 4/3
s0 8
5),劳斯判据的应用
(1)分析系统参数对稳定性的影响
例
R（ s） C（ s）
求使系统稳定的 K。
解,G(s)=K/[s(0.1s+1)(0.25s+1)+K]
系统特征方程, s3+14s2+40s+40K=0
s(0.1s+1)(0.25s+1)
K
-
劳斯表,
s3 1 40
s2 14 40K
s1 (560-40K)/14
s0 40K
系统稳定条件,560-40K ? 0
40K ? 0
即 0<K<14，系统才稳定
(2) 检验系统的相对稳定性
利用劳斯判据确定的是系统稳定或不稳定，
即绝对稳定性。在实际系统中，需要知道系统离
临界稳定有多少裕量，这即相对稳定性或稳定裕
量问题。
相对稳定性 概念：根平面虚轴为稳定边界，
若把此边界左移 ?，针对新边界的系统稳定性
为相对稳定性。相对稳定性反映了系统稳定的
深度。左移距离 ?被称为 稳定裕量 。
用劳斯判据 检验系统的相对稳定性的做法,
先移轴变换,s=z-?，再用劳斯判据 。
讨论相对稳定性除了考虑极点离虚轴远近外，还要考虑共
轭极点的振荡情况。对于共轭极点，其实部反映响应的衰减快
慢，虚部反映响应的振荡情况。对于极点,对应的时
域响应为 。所以,越小，衰减越慢,越大，
振荡越激烈。如下图示意,
dj?? ??
)s i n ( ??? ?? te dt ? d?
?
?
?
dj?
?? 可用共轭极点对负实轴的张角 来表示系
统的相对稳定性。当 时，表示极
点在虚轴上，系统为临界稳定。 越小，
稳定性越高。相对稳定性越好。
?90??
?
?
?课题,
第七节 控制系统的稳态误差分析及误差系数
? 要求：正确理解误差的定义和稳定误差的概念，
会计算不同典型输入信号及不同系统型别的稳态
误差，会计算扰动作用下的稳态误差．明确终值
定理的使用条件,
? 重点：稳定误差的概念，稳定误差计算方法
第七节 控制系统的
稳态误差分析及误差系数
1),稳态误差概念
稳态误差：输出设定值 -输出稳态值
给定稳态误差：针对给定值的改变
扰动稳态误差：针对扰动量的改变
ess=0 —— 无差系统
ess≠0 —— 有差系统
由设定输入信号引起的误差反映系统跟
踪输入信号的能力 ;由扰动输入信号引起的
误差反映系统抑制扰动的能力
终值定理,若 L[x(t)]=X(s),且 X(s)在平面 s的 右半
平面及除原点外的虚轴上解析,则函数 x(t)的终
值 x(∞) 可由它的拉氏变换 X(s)求得
)(lim)(lim)(
0
ssXtxx
st ???
???
注,X(s)在平面 s的右半面及除原点外的虚轴上解
析指 X(s)的极点均在左半 S平面,
2),
稳
定
误
差
的
定
义
和
计
算
E(s)
G1(s)
H(s)
G2(s)
D(s)
R(s)
Y(s)
B(s)
-
)(lim)(lim
0
ssEtee
stss ???
??
1( s ) )()()(
)()()(
???
??
Htytrte
tbtrte
当
2),稳定误差的定义和计算
给定稳态误差计算式,
扰动稳态误差计算式,
)(
)()()(1
)()(
)(
)()()(1
1
)()()()(
)(
)()()(1
)(
)(
)()()(1
)()(
)(
21
2
21
21
2
21
21
sD
sHsGsG
sHsG
sR
sHsGsG
sYsHsRsE
sD
sHsGsG
sG
sR
sHsGsG
sGsG
sY
?
?
?
?
??
?
?
?
?
)()()(1
)(lim
210 sHsGsG
ssRe
sssr ?
?
?
)()()(1
)()()(lim
21
2
0 sHsGsG
sDsHssGe
sssd ?
??
?
= 给定稳态误差 + 扰动稳态误差
3).控制系统的类型
若开环系统的传递函数
按开环系统中积分环节数分类,则控制系统被称为 N型
系统,常见 0,1,2型
G(s)
H(s)
R(s) Y(s)
-
? ?
? ??
?
?
?
?
?
?
?
Nn
j
j
N
m
i
i
sTs
sK
sHsG
1
1
1
1
)()(
?
4),给定稳定误差的计算
(1)单位阶跃输入时
稳态位置误差系数,
?????? ? ssR 1)(
psss
ssr KsHsGsHsGsHsG
ssRe
????????
?
?? 1
1
)()(lim1
1
)()(1
1lim
)()(1
)(lim
0
00
)()(lim 0 sHsGK sp ??
? ?
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1
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00 N
N
NK
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j
N
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N
N
N
K
e ssr
稳态速度误差系数, )()(lim
0 sHssGK sv ??
? ?
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N
sTs
ssK
sHssGK
j
N
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N
N
N
e Kssr
vsss
ssr KsHssGsHssGssHsG
ssRe 1
)()(lim
1
)()(
1lim
)()(1
)(lim
0
00
??????
?
??
?????? ? 21)( ssR(2)单位斜坡输入时
给定稳态误差综合表
系统类型 阶跃输入 r(t)=1(t) 斜坡输入 r(t)=t
2型
若要系统阶跃输入时无稳态偏差,
须用 1型及以上系统,
0型
1型
1/（ 1+K） ∞
0
0 0
1/K
习题课
? 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线入图。如该系统为
单位反馈系统，确定其开环传递函数。
21
100 ?
??
? ?
?
? ep
y(t) 1.2
1
0.1
1 2??
?
?
?
?
??
nd
pt
G0(s)= ?n2
s2+2??ns
=0.2
=0.1
wn=?(rad/s) ?=?
?已知单位反馈控制系统的闭环传递函数如下。
求其稳态位置、速度、加速度误差系数。
（ 1） G(s)= 50(s+2)
s3+2s2+51s+100
解：由劳斯稳定判据知，系统稳定。
G0(s)= G(s) = 100(0.5s+1)
1-G(s) s(s+1)2
该系统为 I型系统,K=100
Kp=∞,Kv=k=100,Ka=0
(2) G(s)= 2(s+2)(s+1)
S3+3s2+2s2+6s+4
? 由系统特征方程列写劳斯阵列,
s4 1 2 4
s3 3 6
s2 ? 4 第一列元素,变号两次。
s0 4 不稳定，有两个有正实部的根。
因此不能定义 稳态误差系数。
?已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
G0(s)= K
s(Ts+1)
选择参数 K,T以同时满足下列两组指标,
1）当 r(t)=t，系统稳态误差 ess≤2%
2）当 r(t)=1(t)，系统的动态性能指标为
?p%≤20%,
ts≤0.1(s) (取 5%误差带）
? 解：因 ess≤2%,则系统开环放大倍数 K ≥50
系统的闭环传递函数为
G（ s)= K = K/T = ?n2
Ts2+s+K s2+1/Ts+K/T s2+2??ns+?n2
这为一个标准形式的二阶系统,K和 T均为正时,
系统稳定。
由动态性能指标 ?p%≤20%,ts≤0.1(s)求得
?≥0.456,?wn≥30
取 ?=0.5,wn=60,可 求得 T=0。 016,K=60
K=60已满足 K≥50的条件，所以也满足了稳态误差要求
一
章
绪
论
第一节 自动控制系统的基本概念
第二节 自动控制系统的组成
第三节 自动控制系统的分类
第四节 自动控制系统性能要求
小结
课题,
第一节 自动控制系统的基本概念
目的、要求,
掌握自动控制系统的基本概念
难点,
概念,被控量,扰动
?日常生活过程中的控制系统例子 ---
水箱水位控制系统
被控对象：水箱
被控量：水箱水位
控制装置：杠杆
检测元件：浮球
控制手段：进水阀
控制的概念
自动控制,
? 指在脱离人的直接干预，利用控制装置（简
称控制器）使被控对象（如设备生产过程等）
的工作状态或简称被控量（如温度、压力、
流量、速度,pH值等）按照预定的规律运行,
自动控制系统,
? 实现上述控制目的，由相互制约的各部分按
一定规律组成的具有特定功能的整体,
控制系统的基本概念
反馈控制系统的中的常用术语,
给定值（参考输入值）
偏差值 控制量 被控量
扰动量 (内扰,外扰 )
自动控制装置 = 传感器 + 控制器 + 给定
器 + 执行器
受控过程（受控对象）
控制系统 = 受控过程＋控制装置
课题, 第二节 自动控制系统的组成
第三节 自动控制系统的分类
目的、要求,
1.理解自动控制系统的组成方框图
2.掌握自动控制系统的分类
重点,
1.自动控制系统的组成方框图
(信号的走向,各环节的作用 )
2.开环、闭环控制系统,前馈、反馈控制系统
第二节 自动控制系统的组成
? 自动控制系统组成方框图
扰动
调节阀 控制
器
执
行
器
受控
对象
测量、变送元件
给定值 被控量
操
作
值
偏
差
值
反
馈
值
调
节
器(
杠
杆)
执
行
器
调
节
阀
水
箱
变
送
器(
浮
球)
+
-
例 水箱水位控制系统
测量水位
偏
差
量
控
制
量
调
节
位
移
进
水
量
实
际
水
位
设
定
水
位
第三节 自动控制系统的分类
设定器 控制器 被控对象
扰动
被控量
设定器 被控过程
传感器
控制器
1 按系统环节连接形式分类
闭环控制系统,
开环控制系统,
开环控制系统与闭环控制系统
开环控制系统特点,
1,信号从输入到输出无反馈,单向传递,
2,控制精度不高,无法抑制扰动,
闭环控制系统特点,
1,有反馈回路 ;
2,控制精度高,自动纠偏
2 按控制依据信号性质分类
控制器
控制器 被控过程
控制器 被控过程
控制器 被控过程 反馈控制系统
前馈控制系统
前馈 ---反馈
控制系统
闭环控制系统与反馈控制系统的关系
闭环控制系统,系统输出信号与输入端之间
存在反馈回路的系统。
闭环控制系统也叫反馈控制系统。, 闭环,
即应用反馈作用来减小系统误差。
前馈 ---反馈控制系统
? 前馈 ---反馈控制系统 即 复合控制系统
复合控制,闭环控制和开环控制结合的一种方式。
它是在闭环控制等基础上增加一个干扰信号的补
偿控制，以提高控制系统的抗干扰能力。
增加干扰信号的补偿控制作用，可以在干扰对
被控量产生不利影响 同时 及时提供控制作用以抵
消此不利影响。纯闭环控制则要等待该不利影响
反映到被控信号之后才引起控制作用，对干扰的
反应较慢。
恒值控制系统（或称自动调节系统）
特点：输入信号是一个恒定的数值。恒值控制系
统主要研究各种干扰对系统输出的影响以及如何
克服这些干扰
随动控制系统（或称伺服系统）
特点：输入信号是一个未知函数，要求输出量跟
随给定量变化。
程序控制系统
特点：输入信号是一个已知的时间函数，系统的
控制过程按预定的程序进行，要求被控量能迅速
准确地复现。
3 按给定值变化规律分类
4 按系统特性分类
线性控制系统
输入与输出成正比，可用叠加原理
用线性数学模型描述
非线性控制系统
输入与输出不成正比，不可用叠加原理
用非线性数学模型描述
非线性系统,在构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性环节
典型非线性特性,
饱和特性、死区性、间隙特性、继电特性、磁滞特性等。
5 按变量的时间特性分类
1。 连续时间控制系统
系统各部分的信号是模拟的连续函数
例：工业中普遍采用的常规控制仪表 PID调节器控制
的系统
2。 离散时间控制系统
系统的某一处或几处，信号以脉冲序列或数码的形式
传递的控制系统
例 计算机控制系统
课题,
第四节 自动控制系统性能要求
目的、要求,
掌握系统性能分析方法,系统的性能要求
重点,
概念,动态特性,静态特性,
衰减振荡过程,单调过程
第四节 自动控制系统性能要求
? 典型试验信号
?阶跃信号
? 系统性能分析方法
?动态特性分析
?稳态特性分析
阶跃信号（ Step Function）
阶跃信号是最常用系统性能测试信号
时间
r(t)
R
)( 0 0 0 )()( tuttRtuRtr ??? ????? -----单位阶跃 函 数
动态特性分析
动态响应, 系统输出在典型测试信号下随时间变
化的特性
y (t ) --输出 x (t ) --输入
y（ t） = f ( x（ t） )
x (t )
y( t )
t t
稳态特性分析
稳态特性,
平衡状态下系统输出与输入的关系
y（ t = ?） = f ( x)
y (?) ---稳态输出
x ---输入
自动控制系统被控量变化的动态特性
(a)单调过程 (b)衰减振荡过程
(c)等幅振荡过程 (d)渐扩振荡过程
(1)稳定性 ---自动控制系统的最基本的要求
(2)快速性 ---在系统稳定的前提下，希望控
制过程（过渡过程）进行得越快越好，但如
果要求过渡过程时间很短，可能使动态误差
（偏差）过大。合理的设计应该兼顾这两方
面的要求。
(3)准确性 ---即要求动态误差和稳态误差
都越小越好。
自动控制系统性能要求
自动控制系统性能要求,稳 准 快
本章小结
? 自动控制理论中常用的术语：被控对象，参考输入信号（给定值信号），扰动、偏差信号、被控量、控制
量和自动控制系统
? 自动控制系统的组成及其方框图,自动控制系统的分
类方法
? 开环控制系统和闭环控制系统概念。注,实际生产过
程的自动控制系统，绝大多数是闭环控制系统，即负反
馈控制系统。
? 对自动控制系统的性能要求，即稳定性、快速性和准
确性。自动控制系统的最基本要求是稳，然后进一步要
求快和准，当后两者存在矛盾时，设计自动控制系统要
兼顾两方面的要求
BACK
2012-3-20 28
第二章 自动控制系统的数学描述
第一节 概论
第二节 机理分析建模方法
第三节 拉氏变换和传递函数
第四节 典型环节的动态特性
第五节 系统方框图等效变换
第一节 概论
? 系统的数学模型,
描述系统各变量之间关系的数学表达式
如微分方程, 传递函数
? 控制系统的数学模型关系到对系统性能的分
析结果, 本章将对系统和元件数学模型的建
立, 传递函数的概念, 结构图的建立及简化
等内容加以论述 。
课题,
第二节 机理分析建模方法
? 目的、要求,
理解电气系统、液力系统的建
模过程
? 重点,
一阶系统、二阶系统的建模
2.1 建模举例
? 单容水箱
已知, 流入量 Qi,流出量 Qo,截面 A; 液位 H
求, 以 Qi 为输入,H 为输出的系统动态方程式,
解, 根据物质守恒定律
中间变量为 Qo,据流量公式
线性化处理,
规范化
Qi
Qo
A
H
? ?dtQQA d H i 0??
HQ ??0
HQ ???0
? ?HQAdtdH i ? ??? 1
iQHdt
dHA ?
?
??
?
?
?????
??
?
?
? ??
1
液力系统
2.1 建模举例
? RLC 电路
求, 以 U i为输入,U o为输出的系统动态方程式,
解, 由基尔霍夫定律
消中间变量
Ui Uo C
L R
??????? i d tCdtdiLRiUUUU LRi 10
?? iUU
dt
dUCi 0?
)()()()( 0020
2
tUtUdt tdURCdt tUdLC i???
i
电气系统
2.2 建立模型小结
? 确定系统的输入、输出变量；
? 根据系统的物理、化学等机理，依据列出各
元件的输入、输出运动规律的动态方程；
? 消去中间变量，写出输入、输出变量的关系
的微分方程。
课题,
? 要求,
掌握,拉氏变换的定义,
几种典型函数的拉氏变换，拉氏变换的性质
传递函数的概念
? 重点：由建模得微分方程
第三节 拉氏变换与传递函数
拉氏变换
传递函数
3.1 拉普拉斯 (Laplace )变换
? 定义
1.拉氏变换的定义
其中 x(t)_原函数,X(s)_象函数,
复变量 s = ? + j ?
2.拉氏反变换的定义
? ? ? ? ??? 0 )()()( dtetxsXtxL st
l
? ? ? ??
??
? ?? j
j
st dsesX
j
sXLtx
?
??
)(
2
1
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)0(0)()( ??? ttutx
)0(1 ?t
? ? sdtetuL st 1)(
0
?? ? ? ?
)(11 tu
s
L ??
?
?
??
??
单位阶跃函数 的拉氏变换
1) 线性定理
设,
? ?)()( txLsX ?
? ?
? ? )()()()(
)()(
2121 sXsXtxtxL
saXtaxL
???
?
拉氏变换的性质与定理
2) 微分定理
)0()()( xssXdt tdxL ????????
)0()0()()( 222 ?????????? xsxsXsdt tdxL
)0()0(
)0()(
)(
)1(2
1
?
?
?
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?
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?
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?
nn
nn
n
n
xxs
xssXs
dt
tdx
L
?
)()( sXsdt tdxL nn
n
??
?
?
??
?
各初值为 0时
? ? ?? ??? 0)(1)()( tdttxss sXdttxL
3) 积分定理
n
n
n
s
sXdttxL )()( ?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ?? ??? ??? 各初值为 0时
4）终值定理
5) 初值定理
)(lim)(lim 0 ssXtx st ??? ?
)(lim)(lim)0( 0 ssXtxx st ??? ??
3.2 传递函数
定义
零初始条件下系统输出信号的拉氏变换与输入
信号的拉氏变换之比
设输入为 r(t),输出为 y(t),则系统的传递函
数为,
)(
)()(
sR
sYsG ?
? 单容水箱,
1)(
)(
)()()1(
)()()(
1
)(
)(
1
?
?
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?
?
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K
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sKQsHsT s H
K
A
T
tQQ
tHH
QH
dt
dHA
i
i
i
ii
i
?
?
??
1)(
)()(
??? Ts
K
sQ
sHsG
i
零初始条件下 对微分方
程进行拉氏变换
令
如果 Qi (s)不变,则输出 H(s)的特性完全
由 G(s)的形式与数值决定,可见,G(s)反映
了系统自身的动态本质,
G(s)
Q i(s) H(s)
传递函数的引入
传递函数的求取
对微分方程进行拉氏变换
(零初始条件 )
系统微分方程,
零初始条件拉氏变换,
整理得传递函数,
rbrbrbrb
yayayaya
mm
mm
nn
nn
?????
????
?
?
?
?
?
?
1
)1(
1
)(
0
1
)1(
1
)(
0
?
?
? ?
? ? )(
)(
1
1
10
1
1
10
sRbsbsbsb
sYasasasa
mm
mm
nn
nn
?????
????
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
10
1
1
10
sA
sB
asasasa
bsbsbsb
sR
sY
sG
nn
nn
mm
mm
?
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y
dt
dy
y
dt
yd n
n
n
)(
1) 传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与
输入量的大小和性质无关
2）实际系统的传递函数是 S的有理分式（ n≥m ）
3）传递函数与微分方程有相通性，两者可以相
互转换
4）传递函数只适用于线性定常系统
传递函数的性质
3.3 控制系统的微分方程与传递函数
? 控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性
能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求
解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中
某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列
写并求解微分方程。
? 传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得
到的系统在复数域的数学模型为传递函数。
? 传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可
以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。
传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的
概念
传递函数概念的进一步说明
由基尔霍夫定律,
( ) ( ) ( )cri t R u t u t?? (3,0)
1( ) ( ) d
cu t i t tC? ? (3,1)
消去中间变量 i(t),
d ( ) ( ) ( )
d
c
cr
utRC u t u t
t ??
(3,2)
图 RC电路
输入 ur(t) 输出 uc(t)
两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压 uc(0),
得,
(3,3)
( ) ( ) ( ) ( )c c c rR C s U s R C u U s U s? ? ?0
1( ) ( ) ( )
11c r c
RCU s U s u
RCs RCs???? 0
(3,4)
0( ) ( 1 ) ( )
tt
R C R C
ccu t u e u e
??? ? ? 0 (3,5)
第一项称为零状态响应,
由 ur(t)决定的分量；
第二项称为零输入响应,
由初始电压 uc (0)决定的
分量。
图 RC网络的阶跃响应曲线
当 ur(t)= u0·1(t)时,
根据线性系统的叠加原理
若 uc(0)=0，则,
1( ) ( )
1crU s U sR Cs? ?
(3,6)
当输入电压 ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换 Uc(s)完全由
1/(RCs+1)所确定，式 (3,6) 写为,
() 1
( ) 1
c
r
Us
U s R C s? ?
(3,7)
用式 (3,7)来表征电路本身特性，称做传递函数，即,
1()
1Gs Ts? ?
式中 T=RC
上图表明了电路中电压的传递关系，即输入电压 Ur(s),
经过 G(s)的传递，得到输出电压 Uc (s)=G(s)Ur (s) 。
注意,
传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）
时定义的。
控制系统的零初始条件有两方面的含义,
1)系统输入量及其各阶导数
在 t=0时的值均为零；
2)系统输出量及其各阶导数
在 t=0时的值也为零。
课题：第四节 典型环节的动态特性和传递函数
? 要求,
? 掌握 典型环节的动态特性和传递函数
? 难点,
? 微分环节、惯性环节
第四节 典型环节的动态特性和
传递函数
4.1 比例环节 4.2 积分环节
4.3 微分环节 4.4 惯性环节
4.5 振荡环节 4.6 迟延环节
4.1 比例环节
动态方程, y(t)=K x(t)
传递函数, G(s)=Y(s)/X(s)=K
阶跃响应,
０
t
y=Kx0
0 t
x0
X(t)
Y(t)
特点,输入与输出成比例
4.2 积分环节
动态方程,
传递函数,
阶跃响应,
０
??? t dttxTty 0 )(1)(
TssG
1)( ?
t
x=x0
T
T
txy 0?
t 0
X(t) x
0
Y(t)
特点,T大则积分慢
水泵
Q0
Qi
hy
Qx=Qi-Q0
AssQ
sh
sG
dtQ
A
h
x
y
t
xy
1
)(
)(
)(
1
0
??
? ?
例
4.3 微分环节
动态方程, (理想 )
(实际 )
阶跃响应,
传递函数,
t
x=x0
Td
Kdx0
dt
tdxTty
d
)()( ??
dt
tdxTKty
dt
tdyT
ddd
)()()( ????
1
)(
)(
?
?
?
sT
sTKsG
sTsG
d
dd
d
dT
t
d exKy
??
0
Td：微分作用时间
4.4 惯性环节
动态方程,
传递函数,
阶跃响应,
t
x=x0
Tc
Kx0
)()()( tKxtydt tdyT c ???
1)( ?? sT
KsG
c
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
cT
t
eKxty 1)( 0
特点, Tc 决定过渡过程时间,K 决定稳态输出值,
例,单容水箱
已知, 流入量 Qi,流出量 Qo,截面 A; 液位 H
求, 以 Qi 为输入,H 为输出的系统动态方程式,
解,
线性化处理,
1)(
)()(
??? Ts
K
sQ
sHsG
i
Qi
Qo
A
H
? ?dtQQA d H i 0?? HQ ??0
HQ ???0
? ?HQAdtdH i ? ??? 1
iQHdt
dHA ?
?
??
?
?
?????
??
?
?
? ??
1
代换得
零初始条件下 对微分方
程进行拉氏变换
?
?
?
?
?
?
1K
AT
4.5 振荡环节
动态方程,
传递函数,
单位阶跃响应,
特点,? 决定了振荡特性,?n 决定振荡周期,
t
y
)()()(2)( 2222 txtydt tdydt tyd nnn ???? ????
22
2
2)( nn
n
sssG ???
?
???
10 11s i n
1
11)( 212
2
????
?
?
?
?
?
? ?
???
?
?? ?? ?? ???
?
?? tgtety
n
tn
1
4.6 迟延环节
动态方程,
传递函数,
阶跃响应,
t
y(t)=x0 t>?
x=x0
Y(t)
?
)()( ??? txty
se
sX
sYsG ????
)(
)()(
特点, y(t)比 x(t)迟延了一段时间 ?,
课题,
第五节 系统方框图等效变换
? 要求,
掌握方框图等效变换基本概念,等效变换规则
?难点,
系统方框图等效变换的具体应用
第五节 系统方框图等效变换
5.1 基本概念
5.2 等效变换规则
5.3 应用举例
1 基本概念
（ 一 ） 方框图的概念
右 图 RC网络的微分方程式为,
1
d
1
d
r
c
u R i i t
C
u i t
C
??
?
?
?
rcu u R i??
(5,1)
(5,2) 即
对二式进行拉氏变换，得
( ) ( ) ( )rcU s U s R I s??
1( ) ( )
cU s I sCs?
(5,2a)
(5,1a)
1 [ ( ) ( ) ] ( )
rcU s U s I sR ??
,
图 (a)描绘了
图 (b)表示了
将图 (a),图 (b)合并如图 (c), 得 RC网络的结构图 。
1 [ ( ) ( ) ] ( )
rcU s U s I sR ??
图中 符号表示信号的代数和，箭头表示信号的传递方向，
称作“加减点”或“综合点”。
?
1( ) ( )
cU s I sCs?
（ 二 ） 系统结构图的建立
其步骤如下,
（ 1） 建立控制系统各元部件的微分方程 。
（ 2） 对各元件的微分方程进行拉氏变换, 并作
出各元件的结构图 。
（ 3） 按系统中各变量的传递顺序, 依次将各元
件的结构图连接起来, 置系统的输入变量于左端,
输出变量于右端, 便得到系统的结构图 。
（ 三 ） 结构图的等效变换
等效变换 -----方框图合并和分解变换前后
输入输出关系不变，效果等同。
结构图的运算和变换，就是将结构图化为
一个等效的方框，使方框中的数学表达式为总
传递函数。
结构图的变换应按等效原理进行 。
结构图的基本组成形式
结构图的基本组成形式可分为三种,
（ 1） 串联连接 方框与方框首尾相连 。 前一个方
框的输出, 作为后一个方框的输入 。
（ 2） 并联连接 两个或多个方框, 具有同一个输
入, 而以各方框输出的代数和作为总输出 。
（ 3） 反馈连接 一个方框的输出, 输入到另一个
方框, 得到的输出再返回作用于前一个方框的输
入端 。
A处为综合点，返回至 A处的信号取,+”，称为
正反馈；取, -”,称为负反馈。负反馈连接是控制系统
的基本结构形式。
图 反馈连接
结构图中引出信息的点 （ 位置 ） 常称为引出点 。
2 等效变换规则
（ 1） 串联方框的等效变换
图 串联结构的等效变换
由图可写出
12( ) ( ) ( )G s G s G s?
图 n个方框串联的等效变换
n个传递函数依次串联的等效传递函数, 等于
n个传递函数的乘积 。
图 n个方框并联的等效变换
（ 2） 并联连接的等效变换
G1(s)与 G2(s)两个环节并联连接, 其等效传递函数
等于该两个传递函数的代数和, 即,G(s)= G1(s)± G2(s)
（ 3） 反馈连接的等效变换
由图 (a) 得,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
C s G s E s
B s H s C s
E s R s B s
?
?
??
图 (a):反馈连接的一般形式，图 (b):其等效变换
消去 E(s)和 B(s),得,
( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]C s G s R s H s C s??
[ 1 ( ) ( ) ] ( ) ( ) ( )G s H s C s G s R s?
( ) ( )()
( ) 1 ( ) ( )B
C s G sGs
R s G s H s??
得,
上式为系统的闭环传递函数 。
注,式中分母的加号, 对应于负反馈；减号对应于正反馈 。
H(s)=1,常称作单位反馈, 此时, ()
() 1 ( )B GsGs Gs?
（ 4） 综合点与引出点的移动
a,综合点前移
挪动前的结构图中, 信号关系为,
图 (a) 原始结构图 (b) 等效结构图
()C G s R Q??
挪动后, 信号关系为,
1( ) [ ( ) ]C G s R G s Q??? ()G s R??
b,综合点之间的移动
图 (a)原始结构图 (b) 等效结构图
挪动前, 总输出信号,
挪动后, 总输出信号,
C R X Y? ? ?
C R Y X? ? ?
c,引出点后移
图 (a)原始结构图 (b) 等效结构图
挪动后的支路上的信号为,
1 ()
()R G s R RGs??
d,相邻引出点之间的移动
图 相邻引出点的移动
若干个引出点相邻，引出点之间相互交
换位置，完全不会改变引出信号的性质。
3应用举例
例,简化下图系统的结构图,
求系统传递函数 GB (s) 〔 即 C(s)/R(s)〕 。
解, 1)将综合点后移, 然后交换综合点的位置, 化为图 (a)。
2)对图 (a)中由 G2,G3,H2组成的小回路实行串联及反
馈变换, 简化为图 (b)。
图 系统结构图的变换
3) 对内回路再实行串联及反馈变换, 只剩一个主
反馈回路,如图 (c)。
4) 变换为一个方框, 如图 (d) 。
系统总传递函数,
1 2 3 4
2 3 2 3 4 3 1 2 3 4 1
()()
( ) 1B
G G G GCsGs
R s G G H G G H G G G G H
??
? ? ?
思考：第一步的变换是否可采用其它的移动办法?
简化结构图求总传递函数的一般步骤,
? 1,确定输入量与输出量 。
? 2,若 结构图中有交叉关系, 应运用等效变换
法则, 将交叉消除, 化为无交叉的多回路结构 。
? 3,对多回路结构, 由里向外进行变换, 直至
变换为一个等效的方框 。
引言
第一节 典型输入作用和时域性能指标
第二节 一阶系统的时域分析
第三节 二阶系统的时域分析
第四节 零极点分布对系统动态响应的影响
第五节 高阶系统的动态响应及简化分析
第六节 控制系统的稳定性与代数判据
第七节 控制系统的稳态误差分析及误差系数
习题课
时域分析 引言
? 系统加入典型输入信号后，分析其输出响应特性的
动态性能和稳态性能，研究其是否满足生产过程对控
制系统的性能要求。
? 时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，
因而时域分析具有直观和准确的优点。
? 系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由
传递函数得到。
? 在初值为零时，利用传递函数进行研究，用传递函
数间接评价系统的性能指标。具体是根据闭环系统传
递函数的极点和零点来分析系统的性能。
?时域分析以阶跃响应为主
（因为阶跃典型,极端 )
? 过渡过程 --系统在外作用下由一个稳态转
移至另一个稳态的过程, 例 阶跃响应
? 典型过渡过程反映系统性能,时域性能指标
定量说明系统性能
课题,第一节 时域性能指标
要求, 掌握时间响应的基本概念,
正确理解时域性能响应指标
重点, 时域性能响应指标,
?p%,tr,tp,ts,ess
这表明，在外作用加入系统之前系统是相对静止的，被
控制量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零。
典型初始状态
规定控制系统的初始状态均为零状态，即在 时
??0t
0)0()0()0( ???? ??? ???? ccc
第一节 典型输入作用和 时域性能指标
典型输入作用
理想单位脉冲函数,
[定义 ]：,且,其积分面积为 1。
?
?? ?? ?? 000)( ttt? ???? ? 1)( dtt?
?
)(t?
)( ?? ?t
其拉氏变换后的像函数为,1)]([ ?tL ?
⒈ 脉冲函数,
t 0
⒉ 阶跃函数,
??
?
?
??
0,
0,0)(
tA
ttx
A为阶跃幅度,A=1称为单位阶跃函数，记为 1（ t）。
其拉氏变换后的像函数为,sAtxL ?)]([
X(t)
A
t
⒊ 斜坡函数
??
?
?
??
0,
0,0)(
tBt
ttx
B=1时称为单位斜
坡函数。 Bttx ?)(
⒋ 抛物线函数
??
?
?
?
?
?
?
0,
2
1
0,0
)( 2
tCt
t
tx C=1时称为单位抛物线函数。
2
2
1)( Cttx ?
其拉氏变换后的像函数为,
2)]([ s
BtxL ?
其拉氏变换后的像函数为,
3)]([ s
CtxL ?
X(t)
t
X(t)
t
[提示 ]：上述几种典型输入信号的关系如下,
]21[][)](1[)( 23
3
2
2
AtdtdAtdtdtAdtdtA ?????
⒌ 正弦函数,,式中,A为振幅,为频率。 tA S i ntx ??)( ?
其拉氏变换后的像函数为,
22]s in[ n
n
stAL ?
??
??
分析系统特性采用何种典型输入信号，取决于系
统在正常工作情况下最常见的输入信号形式。当系统
的输入具有突变性质时，选择阶跃函数为典型输入信
号；当系统的输入是随时间增长变化时，选择斜坡函
数为典型输入信号。
?瞬态过程的性能指标
通常以阶跃响应来衡量系统控制性能
的优劣和定义瞬态过程的时域性能指标。
稳定的随动系统（不计扰动）的单位阶跃
响应函数有衰减振荡和单调变化两种。
tr tp ts
ess y
r
y?
tc yp1 yp2 ± 5%y?
（一）衰减振荡
? 1) 超调量 (百分比超调 PO Percentage
Overshoot)
(%)
2) 上升时间
? 3) 峰值时间
-----y(t)到达第一个峰值的时间
? ?
)(
)()(100
?
???
y
yty p
p?
%0%1 0 0 ttt r ??
pt
对有振荡系统（响应曲线从零
上升到第一次到达稳定值所需
时间）
阶跃响应指标
? 4) 调整时间
---y(t) 稳定至指定的误差限 (如 5%y(?))
内所需时间
? 5) 振荡周期
---两个峰值间的时间
?6) 稳态误差,响应的稳态值与希望的给定值之
间的偏差
st
ct
??? yye rss
（二）单调变化
单调变化响应曲线如图所示,
这种系统只用调节时间 来表示快速性。 st
y
)( ?y
2
)( ?y
t
t st d
)(05.0 ?y
)(02.0 ?y或
t r
? tr,tp表征系统响应初始阶段的快慢 ;
ts表示系统过渡过程持续的时间,从总体上
反映了系统的快速性 ;
反映系统响应过程的平稳性 ;
ess是衡量系统准确性 (精度 )的重要指标,
%p?
课题,第二节 一阶系统的时域分析
? 要求：１．掌握 一阶系统数学模型
和单位阶跃响应
２．了解一阶系统单位斜坡响应
和单位脉冲响应
重点：一阶系统的单位阶跃响应
典型的一阶系统的结构图,
其闭环传递函数为,
1
1
)(
)()(
??? TssX
sYsG
称为时间常数。
kT
1?
)(sY
- sk
)(sE)(sX
第二节 一阶系统的时域分析
其传递函数的特征方程 Ts+1=0是 s的一次方程。
第二节 一阶系统的时域分析
ssX
1)( ?
1
1)(
?? TssG
输入
传递函数
输出
阶跃响应
? ?
Tss
Tss
sXsGsY
1
11
1
1
)()()(
?
??
?
??
? ? TtesYLty ?? ??? 1)()( 1
?单位阶跃响应
分析,
3,4T后 y(t)≈y ?
t=0,则初速 =1/T
ess=0
T→0,惯性环节 → 比例环节
T→ ?,惯性环节 → 积分环节
T 2T 3T 4T
0.632
0.865
0.950
0.982
1.0
ts(5%)=3T
ts(2%)=4T
T
t
eTdt tdy
?
? 1)(
课题,第三节 二阶系统的时域分析
要求：掌握二阶系统的数学模型及阶跃响应，
?取不同值时的特征根在Ｓ平面上的位置
及相应的响应曲线，并能以图表示之,
重点：典型 二阶系统的单位阶跃响应
引言,
在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，
可以近似或降阶为二阶系统处理。
典型二阶系统的结构图
22
2
2 nn
n
B sssG ???
?
???)(
? 称为阻尼比,?n称为无阻尼自然振荡频率,
2
其闭环传递函数为
第三节 二阶系统的时域分析
? 二阶系统的特征根及
对应的单位阶跃响应曲线
? 欠阻尼标准 二阶系统的动态性能指标计算
二阶系统的
特征根及对应的单位阶跃响应
标准式,?n2
s2+2??ns+?n2
特征方程,s2+2??ns+?n2=0
特征根,s1,2 = - ??n??n?(?2-1)
? １） ??1
? S
1
? S
2 过阻尼
1
２ ) ?=１
临界阻尼
３） 0???1
- ??n
?n?(1-?2)
s2
s1
S1,2 1
欠阻尼
1
４ ) ?=0
s2 无阻尼
s1
5)-1???0
负阻尼
?
?
-??n
?n?(1-?2)
s2
s1
不同 ?值下的有相应的二阶系统
单位阶跃响应曲线
?≥1,二阶系统单位阶跃响应曲线单调上升
?=1,单调上升的特性中 较 ?>1时短
0 <? <1,? 阶跃响应曲线振荡特性加强
?=0,阶跃响应曲线等幅振荡
?<0,阶跃响应曲线发散振荡
∵ 0.4<?<0.8,比 ?=1时小,振荡特性不严重
∴ 工程上希望二阶系统工作在 0.4<?<0.8的欠阻
尼状态
st
st
二阶系统的单位阶跃响应
1） 0???1 欠阻尼情况 -----衰减振荡
----有阻尼自然振荡频率
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
2222
222222
22
22
2
1
)1()1(
1
2
21
2
)(
dn
n
dn
n
nn
n
nn
n
nn
n
nn
n
ss
s
s
ss
s
s
ss
s
s
sss
sY
???
??
???
??
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??
????
??
???
??
???
?
??
?
??
?
??
???
?
???
?
??
??
?
??
??
?
21 ??? ?? nd
包络线方程,
? ? ? ???
?
?? ?
?
??? ?? tesYLty dtn s i n
1
11)()(
2
1
tnety ??
?
?
?
??
21
11)(
?
?
?
?
?
?
?
? ?
? ? ? ??
2
1 1tg
1
第一项为单位阶跃响应的稳态分量,
第二项为动态分量,它是一以指数规律衰
减的正玄振荡波,振荡频率为 wd,单位阶跃
响应 y(t)衰减速度取决于共轭复数极点负
实部 ??n值大小,??n越大,共轭复数极点
离虚轴越远,y(t)衰减得越快,
--初相角
2） ?=0 无阻尼情况 ----等幅振荡
? ? 2222
2 1
)(
nn
n
s
s
sss
sY
??
?
?
??
?
?
? ? ? ?tsYLty n?c o s1)()( 1 ??? ?
wn(无阻尼自然振荡频率 )
可以看出：随着 的变化,c(t)将从无衰减的周期运动变为有
衰减的正弦运动，当 时 c(t)呈现单调上升运动 (无振荡 )。
可见 反映实际系统的阻尼情况，故称为阻尼系数。
?
1??
?
二
阶
系
统
单
位
阶
跃
响
应
(阶跃响应 )
欠阻尼标准 二阶系统
的动态性能指标计算
)10(2)( 22
2
????? ?????
nn
n
sssG
)s i n (
1
11)(
2 ???
?? ?
?
?? ? tety dtn
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??? ?
?
????? 212 11 tg
nd
阶跃响应指标
tr tp ts
ess y
r
y?
tc yp
1
yp2 ± 5%y?
1） tr的计算 (设 y(tr)=1))
∵
∴
即
? ? 1s i n
1
1
1)(
2
??
?
?? ? ??
?
??
rd
t
r tety
rn
? ? ????? ???? rdrd tt 0s i n
21 ??
??
?
?
?
n
rt
?一定时,?n? ?tr ? 而 ?n一定时,?? ? tr?
2） tp 的计算
由 可导出
∴
?一定时,?n? ?tp ? 而 ?n一定时,?? ? tp?
0)( ?
dt
tdy
0s in ?pd t?
1 2??
?
?
?
?
??
nd
pt
3） ?p的计算
?p 只与 ? 有关,见图
?p
?
?p
? ? 211001)(100
)(
)()(
100 ?
??
? ?
?
???
?
??
?? ety
y
yty
p
p
p
一般 ? 取为 0.05 或 0.02,可求得
ts与 ??n成反比,??n为极点至虚轴的距离,
??
?
?
21 ?
?? tne
n
st ??
??? ln
?
?
?
??
?
?
??
??
?
02.0
4
05.0
3
n
n
st
??
??
4）调整时间 ts 的计算
包络线方程 |z(t)-y?|≤?y? 即 |z(t)-1|≤?
tnetz ??
?
?
?
??
21
11)(
1 2??
?
?
?
?
??
nd
pt 21100 ?
??
? ?
?
? ep
?
?
?
??
?
?
??
??
?
02.0
4
05.0
3
n
n
st
??
??
? ?p 则
?n一定时,?? ? tp?
ts与 ??n成反比,??n为极点至虚轴的距离,
注：要综合考虑各项性能指标
先由 ?p决定 ?,ts由 ?n决定,即在不改变超调
量的条件下,通过改变 ?n的值可改变调整时间,
欠阻尼标准二阶系统
的动态性能指标计算小结
? 一负反馈控制系统方框图如图,设输入信号 x(t)为单位
阶跃函数,受控过程的放大倍数 K=200,求系统的单位阶
跃响应 y(t)的性能指标 ?p%,tp,ts,并设要求的误差
范围为 △ =0.02,如放大倍数增大到 K=1500或减小
到 K=13.5,则 单位阶跃响应 y(t)的动态性能有何影响?
5K/s(s+34.5)
G0(s)
Y(t)
Y(s)
系统的闭环传递函数
为,G(s)=G0(s)/(1+G0(s))=5K/(S2+34.5s+5K)
X(t)
X(s)
? 与 ?n2 对照
s2+2??ns+?n2
?n2 =?,wn=?(rad/s) ?=?
tp=? ts=? ?p%=?
21
100 ?
??
? ?
?
? ep
?
?
?
??
?
?
??
??
?
02.0
4
05.0
3
n
n
s
t
??
??
1 2??
?
?
?
?
??
nd
pt
? K=200,
?n2 =1000,wn=31.6(rad/s)
?=34.5/2wn=0.545,
tp=0.12(s),ts= 0.23(s),?p%=13%
如 K=1500,wn=86.2(rad/s),?=0.2
tp=0.037(s),ts= 0.23(s),?p%=52.7%
K,?,wn,tp时间提前,?p%,ts无多大变化,
? K=13.5
wn=8.22(rad/s),?=2.1
系统成为过阻尼 (?>1)二阶系统,峰值超调量不复存在,
ts=1.46,比前两种情况的调整时间大得多,
K=1500
K=200
K=13.5
课题,
第四节 零极点分布对系统动态响应的
影响
? 要求,
理解 零极点分布对系统动态响应的影响
第四节 零极点分布对系统
动态响应的影响
极点起惯性延缓作用，离虚轴越近影响越
大。零点起微分加快作用。
主导极点,某极点实部绝对值与其它极点实
部绝对值之比小于五分之一且附近无零点
偶极子,一对靠得很近或相近的零极点,彼此
相互抵消作用
例 1
? ? -15 ? -1 -1.25
? ?
? ?? ?151
18.012)(
??
??
ss
ssG
s=-1 s=-1.25 成为偶极子
例 2
s=-1 成为主导极点
0.22e-10t
-2.2e-t
2
? ? -10
j?
?
-1
? ?? ?
tt
eety
ssss
sG
sY
ss
sG
10
22.02.22)(
10
22.0
1
2.22)(
)(
101
20
)(
??
???
?
?
?
???
??
?
课题
第五节 高阶系统的动态响应及简化分析
? 要求,
１,理解高 阶系统的动态响应及简化分析
２．掌握利用闭环主导极点的概念近似估计
高阶系统动态性能的方法,
第五节 高阶系统的动态响应及简化分析
高阶系统 =若干惯性环节 +若干振荡环节
)2()(
)(
)2),..(2)(),..((
)),..()((
'''
'''
)()(
22
11
1
222
111
2
1
21
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
10
1
1
10
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r
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求有 S左半平面互异极点时
的单位阶跃响应
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teBeAGty
r
k
kk
t
k
r
k
kk
t
k
q
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tp
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2
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??
??
上式等号右边第一项为系统单位阶跃响应的稳态分量,
第 2项为非周期过程的动态分量,第三、四项为衰减振荡的
动态分量
简化分析
* 若有主导极点存在，则简化为只有主导极
点的系统。主导极点为实极点则简化为一阶
系统；主导极点为共轭复极点则简化为二阶
系统 。
例 已知系统的闭环传递函数为,
WB(S)=(0.59S+1)/(0.67S+1)(0.01S2+0.08S+1)
试估算系统的动态性能指标
? 解,闭环极点,P1=-1.5
? P2=-4+J9.2
? P3=-4-J9.2
? 闭环零点,Z1=-1.7
分析,
系统是稳定的
P1与 Z1为偶极子,P2 P3为系统主
导极点,系统近似为二阶系统
WB(S)=1/(0.01S2+0.08S+1)
?
课题,第六节 控制系统的稳定性与代数判据
? 要求：正确理解线性定常系统稳定的条件,
熟练地应用劳斯判据判别系统稳定性和
进行稳定参数分析、计算,
? 重点：稳定性的基本概念
代数稳定判据
第六节 控制系统的稳定性与代数判据
1),稳定性概念
2),线性系统稳定的充分必要条件
3),判别系统稳定性的方法
4),劳斯判据
5),劳斯判据的应用
例,单摆系统和圆拱桥小球系统
稳定
B
不稳定
1).稳定性概念
稳定性 ---扰动消失后系统恢复到平衡状态的性能,
系统稳定性只与系统内部特性有关，而与输入无关。
A
线性系统稳定的充分必要条件是其系统特征方程式的
所有根均在根平面 (S平面 )虚轴的左半部分
2）, 线性系统稳定的充分必要条件
理解,一阶系统、标准二阶系统时域分析
高阶系统时域分析
高阶系统
? 系统对输入的响应 =瞬态响应 +稳态响应
在单位阶跃输入作用下,由于稳态响应是一个常数 1,
因而系统的响应反映瞬态响应的基本特征,
? 线性系统高阶系统的瞬态响应可认为由若干个低
阶系统的瞬态响应组成,实际上在高阶系统的瞬态
响应中起主导作用的往往是一个二阶系统 (或再加
上一个一阶系统 )的瞬态响应,
? 对高阶系统系统稳定的条件是其系统特征方程式
的所有根
均在根平面 (S平面 )虚轴的左半部分,
分析
? 对于用一阶或二阶常系数线性微分方程式来描述
的低阶系统,可求解出当输入为单位阶跃函数时系统
输出的全部响应,据此可分析系统的性能以及系统中
有关参数对工作性能的影响,但对于高于二阶的常系
数线性微分方程式来描述的高阶系统，要直接求出
系统在输入作用下的响应比较困难,从求解常系数线
性微分方程式的知识中可知道,系统瞬态响应 (即系统
的自由运动 )的基本特点决定于系统特征方程式的根,
因此可从系统的特征方程式来判别系统瞬态响应的
某些基本特点,
系统是否稳定 特征方程根的分布
方程的系数 。
劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数
来分析系统的稳定性的一种判据，它避免
了直接求特征方程根的繁琐过程。
劳斯稳定判据
sn a0 a2 a4 a6 …
sn-1 a1 a3 a5 a7 …
sn-2 b1 b2 b3 b4 …
sn-3 c1 c2 c3 c4 …
… …
s2 e1 e2
s1 f1 0
s0 g1
f
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1
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a
aaaa ?
1b ?
1
5041
a
aaaa ?2b ?
1
2131
b
baab ?1c ?
3）劳斯表定义
线性系统的特征方程表示为
01110 ????? ?? nnnn asasasa ?
d
f h
e
4),劳斯判据 (Routh)
若线性系统的特征方程表示为
则此系统稳定的充要条件是特征方程系数均为正
且对应劳斯表第一列元素均为正数。
说明,
? 若系数 a0至 an有缺项或小于零则系统不稳定。
? 若其劳斯表第一列元素变号 m次，则有 m个正实部根。
01110 ????? ?? nnnn asasasa ?
例 1 已知
求系统稳定性。
解,
列劳斯表
s4 1 3 5
s3 2 4
s2 1 5 第一列元素,1,2,1,-6,5
s1 -6 变号两次 。
s0 5 不稳定，有两个有正实部的根 。
s4+2s3+3s2+4s+5=0
劳斯表计算时零元素的处理
? 第一列元素出现零但对应行其它元素有不为零的处理,
令 rk1=?>0 再进行下一行元素的计算
例, s3-3s+2=0
方程中 s2项的系数为 0,s项系数为负，由系统稳定的
必要条件知，相应系统不稳定。
s3 1 -3
s2 0 2 令 r2,1= ?>0,则 s2 ? 2
s1 ? s1 (-3?-2)/? 0
s0 2
可见变号两次，该方程有两个根在 s右半平面
劳斯表计算时零元素的处理
? 某一行元素全为零时
处理, 用上一行元素构成辅助多项式
例, s6+2s5+8s4+12s3+20s2+16s+16=0
s6 1 8 20 16
s5 2 12 16 0
s4 2 12 16 同除 2后为 1 6 8
S4 S2 S0
s3 0 0 0 经处理后为 4 12
4 12 S3 S
s2 3 8 0
s1 4/3
s0 8
5),劳斯判据的应用
(1)分析系统参数对稳定性的影响
例
R（ s） C（ s）
求使系统稳定的 K。
解,G(s)=K/[s(0.1s+1)(0.25s+1)+K]
系统特征方程, s3+14s2+40s+40K=0
s(0.1s+1)(0.25s+1)
K
-
劳斯表,
s3 1 40
s2 14 40K
s1 (560-40K)/14
s0 40K
系统稳定条件,560-40K ? 0
40K ? 0
即 0<K<14，系统才稳定
(2) 检验系统的相对稳定性
利用劳斯判据确定的是系统稳定或不稳定，
即绝对稳定性。在实际系统中，需要知道系统离
临界稳定有多少裕量，这即相对稳定性或稳定裕
量问题。
相对稳定性 概念：根平面虚轴为稳定边界，
若把此边界左移 ?，针对新边界的系统稳定性
为相对稳定性。相对稳定性反映了系统稳定的
深度。左移距离 ?被称为 稳定裕量 。
用劳斯判据 检验系统的相对稳定性的做法,
先移轴变换,s=z-?，再用劳斯判据 。
讨论相对稳定性除了考虑极点离虚轴远近外，还要考虑共
轭极点的振荡情况。对于共轭极点，其实部反映响应的衰减快
慢，虚部反映响应的振荡情况。对于极点,对应的时
域响应为 。所以,越小，衰减越慢,越大，
振荡越激烈。如下图示意,
dj?? ??
)s i n ( ??? ?? te dt ? d?
?
?
?
dj?
?? 可用共轭极点对负实轴的张角 来表示系
统的相对稳定性。当 时，表示极
点在虚轴上，系统为临界稳定。 越小，
稳定性越高。相对稳定性越好。
?90??
?
?
?课题,
第七节 控制系统的稳态误差分析及误差系数
? 要求：正确理解误差的定义和稳定误差的概念，
会计算不同典型输入信号及不同系统型别的稳态
误差，会计算扰动作用下的稳态误差．明确终值
定理的使用条件,
? 重点：稳定误差的概念，稳定误差计算方法
第七节 控制系统的
稳态误差分析及误差系数
1),稳态误差概念
稳态误差：输出设定值 -输出稳态值
给定稳态误差：针对给定值的改变
扰动稳态误差：针对扰动量的改变
ess=0 —— 无差系统
ess≠0 —— 有差系统
由设定输入信号引起的误差反映系统跟
踪输入信号的能力 ;由扰动输入信号引起的
误差反映系统抑制扰动的能力
终值定理,若 L[x(t)]=X(s),且 X(s)在平面 s的 右半
平面及除原点外的虚轴上解析,则函数 x(t)的终
值 x(∞) 可由它的拉氏变换 X(s)求得
)(lim)(lim)(
0
ssXtxx
st ???
???
注,X(s)在平面 s的右半面及除原点外的虚轴上解
析指 X(s)的极点均在左半 S平面,
2),
稳
定
误
差
的
定
义
和
计
算
E(s)
G1(s)
H(s)
G2(s)
D(s)
R(s)
Y(s)
B(s)
-
)(lim)(lim
0
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stss ???
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1( s ) )()()(
)()()(
???
??
Htytrte
tbtrte
当
2),稳定误差的定义和计算
给定稳态误差计算式,
扰动稳态误差计算式,
)(
)()()(1
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)(
)()()(1
1
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)(
)()()(1
)(
)(
)()()(1
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)(
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2
21
21
2
21
21
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sHsGsG
sHsG
sR
sHsGsG
sYsHsRsE
sD
sHsGsG
sG
sR
sHsGsG
sGsG
sY
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210 sHsGsG
ssRe
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)()()(lim
21
2
0 sHsGsG
sDsHssGe
sssd ?
??
?
= 给定稳态误差 + 扰动稳态误差
3).控制系统的类型
若开环系统的传递函数
按开环系统中积分环节数分类,则控制系统被称为 N型
系统,常见 0,1,2型
G(s)
H(s)
R(s) Y(s)
-
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Nn
j
j
N
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i
sTs
sK
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1
1
1
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4),给定稳定误差的计算
(1)单位阶跃输入时
稳态位置误差系数,
?????? ? ssR 1)(
psss
ssr KsHsGsHsGsHsG
ssRe
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K
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稳态速度误差系数, )()(lim
0 sHssGK sv ??
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N
N
N
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ssr KsHssGsHssGssHsG
ssRe 1
)()(lim
1
)()(
1lim
)()(1
)(lim
0
00
??????
?
??
?????? ? 21)( ssR(2)单位斜坡输入时
给定稳态误差综合表
系统类型 阶跃输入 r(t)=1(t) 斜坡输入 r(t)=t
2型
若要系统阶跃输入时无稳态偏差,
须用 1型及以上系统,
0型
1型
1/（ 1+K） ∞
0
0 0
1/K
习题课
? 设二阶控制系统的单位阶跃响应曲线入图。如该系统为
单位反馈系统，确定其开环传递函数。
21
100 ?
??
? ?
?
? ep
y(t) 1.2
1
0.1
1 2??
?
?
?
?
??
nd
pt
G0(s)= ?n2
s2+2??ns
=0.2
=0.1
wn=?(rad/s) ?=?
?已知单位反馈控制系统的闭环传递函数如下。
求其稳态位置、速度、加速度误差系数。
（ 1） G(s)= 50(s+2)
s3+2s2+51s+100
解：由劳斯稳定判据知，系统稳定。
G0(s)= G(s) = 100(0.5s+1)
1-G(s) s(s+1)2
该系统为 I型系统,K=100
Kp=∞,Kv=k=100,Ka=0
(2) G(s)= 2(s+2)(s+1)
S3+3s2+2s2+6s+4
? 由系统特征方程列写劳斯阵列,
s4 1 2 4
s3 3 6
s2 ? 4 第一列元素,变号两次。
s0 4 不稳定，有两个有正实部的根。
因此不能定义 稳态误差系数。
?已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
G0(s)= K
s(Ts+1)
选择参数 K,T以同时满足下列两组指标,
1）当 r(t)=t，系统稳态误差 ess≤2%
2）当 r(t)=1(t)，系统的动态性能指标为
?p%≤20%,
ts≤0.1(s) (取 5%误差带）
? 解：因 ess≤2%,则系统开环放大倍数 K ≥50
系统的闭环传递函数为
G（ s)= K = K/T = ?n2
Ts2+s+K s2+1/Ts+K/T s2+2??ns+?n2
这为一个标准形式的二阶系统,K和 T均为正时,
系统稳定。
由动态性能指标 ?p%≤20%,ts≤0.1(s)求得
?≥0.456,?wn≥30
取 ?=0.5,wn=60,可 求得 T=0。 016,K=60
K=60已满足 K≥50的条件，所以也满足了稳态误差要求
