第三章 齿轮传动设计
齿轮传动
闭式传动
开式传动
半开式传动
— 封闭在箱体内，润滑条件好
— 外露，润滑较差，易磨损
— 介于上两者之间,有防护罩
齿轮传动的特点
优点：传递功率和转速适用范围广；
具有稳定的传动比；
效率高、结构紧凑。
缺点：制造成本较高；
精度低时，噪声和振动较大；
不宜用于轴间距离较大的传动。
§ 3-1 齿轮传动失效形式和设计准则
一、失效形式
1、轮齿折断
★ 疲劳折断 ★ 过载折断
全齿折断 — 常发生于齿宽较小的直齿轮
局部折断 — 常发生于齿宽较大的直齿轮，和斜齿轮
措施：增大齿根圆角半径,提高齿面精度、正变
位、增大模数等
2、齿面疲劳点蚀
★ 点蚀常发生于闭式软齿面（ HBS≤350）传动中
★ 点蚀的形成与润滑油的存在密切相关
★ 点蚀常发生于偏向齿根的节线附近
★ 开式传动中一般不会出现点蚀现象
措施：提高齿面硬度和齿面质量、增大直径
3、齿面胶合
配对齿轮采用异种金属时，其抗胶合能力比同种金属强
4、齿面磨损
是开式传动的主要失效形式
5、齿面塑性变形
措施：提高齿面硬度，采用油性好的润滑油
措施：采用异种金属、降低齿高、提高齿面硬度等
措施：改善润滑和密封条件
二、齿轮传动的设计准则
主要针对疲劳折断和齿面点蚀这两种失效形式
齿根弯曲疲劳强度 — 齿轮抵抗轮齿疲劳折断的能力
齿面接触疲劳强度 — 齿轮抵抗齿面疲劳点蚀的能力
开式齿轮传动采用准则二，但不校核齿面接触强度
设计准则一,对于闭式软齿面（ HBS≤350）传动，
主要失效形式是齿面点蚀,所以按齿面接触疲劳强
度设计,而校核齿根弯曲疲劳强度。
设计准则二,对于闭式硬齿面（ HBS>350）传动，
主要失效形式是齿根弯曲疲劳折断,所以按齿根弯
曲疲劳强度设计,而校核齿面接触疲劳强度。
§ 3-2 齿轮材料及其热处理
一、齿轮材料
金属材料
45号钢
中碳合金钢
铸钢
低碳合金钢
最常用，经济、货源充足
铸铁
35SiMn,40MnB,40Cr等
20Cr,20CrMnTi等
ZG310-570,ZG340-640等
HT350,QT600-3等
非金属材料 尼龙、夹木胶布等
选材时考虑,工作条件、载荷性质、经济性、制造方法等
齿轮毛坯锻造 — 选可锻材料；铸造 — 选可铸材料
二、热处理
调 质
正 火
表面淬火
渗碳淬火
表面氮化
软齿面。 改善机械性能，增大强度和韧性
硬齿面。 接触强度高、耐磨性好、可抗冲击
配对齿轮均采用软齿面时：
小齿轮受载次数多，故材料应选好些，热处理硬度
稍高于大齿轮（约 30~40HBS）
法向力：
圆周力 —
§ 3-3 直齿圆柱齿轮传动的受力分析及计算载
荷一、轮齿受力分析
条件：标准齿轮并忽略齿面间的摩擦力 受力图
1
12000
b
n d
TF ?
小齿轮基圆
直径 mm
小齿轮转矩
N.m
NdTF t 11 /2 0 0 0?
径向力 — NtgFF
tr ??
法向力 — NFF
tn ?co s/?
小齿轮分
度圆直径
分度圆
压力角
注意：下标,1”表示主动轮
下标,2”表示从动轮
2
1
各力关系：
21 tt FF
?? ??
21 rr FF
?? ??
各力方向,Ft1与主动轮回转方向相反
Ft2与从动轮回转方向相同
Fr1, Fr2分别指向各自齿轮的轮
心
例,n2
n1
Fr2
Fr1
Ft1Ft2
n1
n2
注意：
各力应
画在啮
合点上！
二、计算载荷 Fnc
Fnc = K Fn = K Ft /cosα
载荷系数
K = KA Kv KαKβ
KA— 使用系数
Kv — 动载系数
Kα— 齿间载荷分配系数
Kβ— 齿向载荷分布系数
影响因素,1）外部附加动载荷 — 原动机、工作机的性能
2）内部附加动载荷 — 加工误差引起基节不等
3）各对齿载荷分配不均 — 弹性变形、制造误差
4）载荷沿齿宽分布不均 — 变形及制造安装误差
近似取,K = 1.3~1.7
原动机为电动机、汽轮机
齿轮对称布置
齿轮制造精度高
斜齿轮传动
K取小值
原动机为单缸内燃机
开式齿轮传动
齿轮速度高
K取大值
§ 3-4 直齿圆柱齿轮传动的强度计算
齿轮承载能力计算标准：
英国国家标准 BS436
德国国家标准 DIN3990
美国齿轮制造者协会 AGMA标准
国际标准化组织 ISO齿轮标准
中国齿轮承载能力计算国家标准 3480-
83基本理论：
齿面接触强度 — 以赫兹（ Hertz）公式为依据
齿根弯曲强度 — 以路易士（ Lewis）公式为依据
一、齿根弯曲疲劳强度计算
轮齿受载后，相当于悬臂梁
故齿根部分弯曲应力最大，是危险截面
Fn
为防止轮齿折断，必须保证：
σF≤σFP
危险截面
弯曲应力
许用弯曲
应力
假设：全部载荷由一对轮齿承担，并忽略摩擦力
载荷作用于齿顶时的受力分析：
水平分力 — F1 = FncosαF
垂直分力 — F2 = FnsinαF
齿顶载荷
作用角—— 引起弯曲应力
—— 引起压应力（忽略不计）
危险截面的具体位置在哪？
?
?
c o s)(
c o s)(6
2
m
s
m
h
bm
KF
F
F
F
t ??
常用 30° 切线法确定危险截面位置
齿根弯曲疲劳强度计算以受拉边为计算依据
齿根弯曲疲劳强度条件：
FPF W
M ?? ??
力臂为 hF，齿根厚为 sF
弯矩,M = F1 · hF = FncosαF · hFK
抗弯截面系数,W = b ·sF2/6（矩形截面）
齿宽
2
c o s6
F
FFn
bs
hKF ??
Fn=Ft/cosα
分子、分母
同除以 m2令其为齿形
系数 — YFa故，弯曲应力：
Fa
t
F Ybm
KF??
?
?
c o s)(
c o s)(6
2
m
s
m
h
Y
F
F
F
Fa ?
齿形系数
ms
mh
F
F
?
?
?
?
λ,γ — 与齿形有关的比例系数
YFa与模数的大小无关，只取决于轮齿的形状
当齿廓的基本参数已定时,YFa取决于齿数 Z
和变位系数 χ
考虑齿根应力集中，引入应力修正系数 Ysa，则
SaFa
t
F YYbm
KF??
FSYb m d
KT
1
12000?
Ft =2000T1/d1 YFS = YFa YSa -— 复合齿形系数
标准齿轮,z
越多,YFS越小
FPFSF Yb m d
KT ?? ??
1
12 0 0 0
弯曲强度条件：
引入齿宽系数 ψ d = b/d1，并代入 d1 = mz1，则：
FPFS
d
F Yzm
KT ?
?? ?? 213
12 0 0 0
设计式：
mmY
z
KTm
FP
FS
d
3 2
1
12 0 0 0
???
讨论,影响齿根弯曲疲劳强度的主要参数是模数 m
m↑ →弯曲强度↑→齿厚
s
→截面积 ↑ →ζF ↓ ↑
配对的大小齿轮的弯曲应力不等
标准齿轮 YFS1 YFS2＞ 故 ζF1 ＞ ζF2
计算模数时，比较 YFS1/σFP1与 YFS2/σFP2的大小，
代入大值
因 ζF1＞ ζF2,且小齿轮应力循环次数多，故
小齿轮的材料应选好些，齿面硬度稍高些
单侧受载时,ζF看成脉动循环，双侧受载时，
ζF看成对称循环
齿数 z1的选取
中心距 a、传动比 i 一定时 (d不变）,
z1 ↑ YFS
m
→ζF
↓
↓↓
→ζF ↑
ζF ↑
z1 ↑ εα
m
→ 平稳
↓
↑
→ h ↓ →切削量少
原则：在保证齿根弯
曲强度的前提下，选
取尽可能多的齿数。
闭式传动,z1 =20~40
开式传动,z1 =17~25
二、齿面接触疲劳强度计算
闭式软齿面齿轮传动的主要
失效形式是 齿面疲劳点蚀
强度条件,ζH ≤ ζHP
工作时的
接触应力
许用接触
应力
ζH根据 Hertz公式求出
aL
F n
H 2
4
?? ?
2
2
2
1
2
1
21
11
11
EE
L
F n
??
??
? ?
?
?
?
?
负号用于
内接触
令：
21
111
??? ???
ρΣ— 综合曲率半径
可将 Hertz公式推广到其它曲面接触
则 ρ1, ρ2表示接触处的曲率半径
渐开线齿廓各接触点的曲率半径是不同的
故各点的接触应力不等，须确定一个计算点
以 节点 处的 ζH为计算依据
节点处的曲率半径：
?? s i n2 111 dCN ?? ?? s i n2 222 dCN ??
又,u = z2 / z1 = d2 / d1, L = b, Fn = Ft / cosα,并引入 K
ubd
uKT
EE
H 2
1
1
2
2
2
1
2
1
)1(2 0 0 0
c o ss i n
2
11
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
????
?
?
节点处的接触应力：
材料弹性系数 — ZE 节点区域系数 — ZH ≈ 2.5
ubd
uKTZZ
HE 2
1
1 )1(2000 ??
齿面接触强度条件：
M P a
ubd
uKTZ
HPEH ?? ?
??
2
1
1 )1(1 1 2
讨论：
齿面接触疲劳强度主要取决于分度圆直径 d
d 越大,接触强度 越大ζH 越小,
齿宽 b 的大小应适当,b 过大会引起偏载
令,ψd = b / d1 — 齿宽系数
软齿面、对称布置,ψd = 0.8~1.4
非对称布置,ψd = 0.6~1.2
悬臂布置、开式传动,ψd = 0.3~0.4
直齿轮取小
斜齿轮取大
硬齿面降低
50%
HP
d
EH ud
uKTZ ?
?
? ??? 3
1
1 )1(112
模数的大小对接触强度无直接影响
ζH1 = ζH2,而 ζHP1 ≠ ζHP2
mm
u
uKTZd
dHP
E3 1
2
1
1112 ?
???
?
???
??
??
设计式：
设计时,ζHP = min{ζHP1,ζHP2}
求出 d1 →选择 z1 →计算 m = d1/z1
为便于装配，取 b1 = b2 + (5~10) mm
b2 = ψd d1
b1=b2 b1>b2
三、许用应力
许用应力与材料、齿面硬度、应力循环次数等因素有关
1、许用弯曲应力 ζFP
M P aYYS Y XN
F
STF
FP
m i n
l i m?? ?
ζFlim — 试验齿轮的弯曲疲劳极限，
YST — 试验齿轮的应力修正系数,YST = 2
YN — 寿命系数,无限寿命时 YN =1，有限寿命时 YN >1
YX — 尺寸 系数,mn≤5时 YX =1,mn > 5时 YX <1
SFmin — 弯曲强度最小安全系数
一般取 SFmin =1.3~1.5，重要传动 SFmin =1.6~3.0
注意, ● 双侧受载时,ζF为对称循环,应将 ζFlim减小 30%
● 开式齿轮传动，考虑磨损，应将 ζFlim减小 20%
HBS
ζFlim
ME
MQ
ML
一般按 MQ线查取
2、许用接触应力 ζHP
MP aZZS WN
H
H
HP
m i n
l i m?? ?
ζHlim — 试验齿轮的接触疲劳极限，
ZN — 寿命系数,无限寿命时 ZN =1，有限寿命时 ZN >1
ZW — 工作硬化系数，
小齿轮硬齿面、大齿轮软齿面时 ZW1 =1而 ZW2 >1
SHmin — 接触强度最小安全系数
一般取 SHmin =1.0~1.2，重要传动 SHmin =1.3~1.6
一般按 MQ线查取
● 三种硬度单位之比较：
HV(维氏 ) ≈ HBS(布氏 )； HRC(洛氏 )× 10 ≈ HBS
● 应力循环次数 N=60na t
一般情况 ZW1 = ZW2 =1；
主动 主动
每转一圈同侧
齿面啮合次数
a=2
脉动
=1
对称
斜齿轮的特点 — 轮齿呈螺旋形；啮合时接触线倾斜
§ 3-5 斜齿圆柱齿轮传动的强度计
算
一、斜齿圆柱齿轮传动的受力分析
条件：标准齿轮并忽略摩擦力
圆周力
11 /2 0 0 0 dTF t ?
径向力 ?? co s/
ntr tgFF ?
轴向力 ?tgFF
ta ?
法向力 ?? c o sc o s/ n
tn FF ?
αn— 法面压力角
αt— 端面压力角
β— 螺旋角
2
1
各力关系：
21 tt FF
?? ?? 21 rr FF ?? ??
各力方向,Ft,Fr与直齿轮相同
Fa — 决定于齿轮的转向和轮齿的旋向
21 aa FF
?? ??
例,n2
n1
Fr2
Fr1
Ft1Ft2
n1
n2
Fa2Fa1
用“主动轮左、右手定则”判断
二、齿面接触疲劳强度计算
斜齿轮的强度 当量直齿圆柱齿轮的强度相当于
当量直齿圆柱齿轮：
模数 = 斜齿轮法面模数 mn
压力角 = 斜齿轮法面压力角 αn
齿数 = 当量齿数 zv = z/cos3β
分度圆直径 dv = d/cos2β
法向力 = 斜齿轮的法向力 Fn
把 斜齿圆柱齿轮 的强度计算问题
转化成 直齿圆柱齿轮 的强度计算问题
将当量直齿轮的参数代入直齿轮强度公式，
得斜齿轮接触强度条件：
ZH′— 斜齿轮的节点区域系数，
HPHEH u
u
bd
KTZZZ ??
?? ?
?? 12000
2
1
1'
Zεβ — 重合度与螺旋角系数
标准齿轮 ZH′≈ 2.45
β= 8° ~15° 时,Zεβ≈ 1
β > 15° 时,Zεβ≈ 0.95 则：
HPEH u
u
bd
KTZ ?? ??? 1109
2
1
1
HPEH u
u
bd
KTZ ?? ??? 1104
2
1
1
（ β=8° ~15° 时）
（ β > 15° 时）
相同条件下，斜齿轮接触应力比直齿轮小
（ β > 15° 时）
故,斜齿轮接触强度比直齿轮大
原因,● 重合度大，同时啮合的齿数多
● 接触线是倾斜的
● 当量齿轮直径大，齿廓平直
引入齿宽系数 ψ d = b/d1，得设计式：
mm
u
uKTZd
dHP
E3 1
2
1
1109 ?
???
?
???
??
??
mm
u
uKTZd
dHP
E3 1
2
1
1104 ?
???
?
???
??
??
（ β=8° ~15° 时）
其他几何参数计算：
初步选定齿数 z1
初步选定螺旋角 β，常用 10° ~ 15°
计算 mn = d1cosβ/z1,向上圆整成标准值且 mn ≥1.5
计算中心距 a = mn (z1 + z2)/(2 cosβ),并圆整
反算 β = cos-1 mn (z1 + z2)/2 a, 精确到秒
精确计算 d1,d2,至少精确到小数点后两位
三、齿根弯曲疲劳强度计算
▲ 接触线倾斜特点,
▲ 轮齿局部折断
斜齿轮的弯曲强度也按 当量齿轮 进行
斜齿轮的弯曲强度条件 ——
FPFS
n
F Yzbm
KT ?? ??
1
2
11 9 0 0
FPFS
n
F Yzbm
KT ?? ??
1
2
11 6 8 0
（ β > 15° 时）
（ β=8° ~15° 时）
由于 β的影响，斜齿轮弯曲应力比直齿轮小
故,斜齿轮弯曲强度比直齿轮大
引入齿宽系数 ψ d = b/d1，则 b = d1 ψ d
代入强度条件得设计式：
mm
z
YKTm
FPd
FS
n 3 2
1
14.12
??
?
mm
z
YKTm
FPd
FS
n 3 2
1
19.11
??
?
（ β > 15° 时）
（ β=8° ~15° 时）
注意, ● YFS 应按 ZV = Z / cos3β 查取
● 设计时代入 YFS1/σFP1与 YFS2/σFP2中的大值
结论, ◎ 斜齿轮的强度等同于其当量直齿轮的强度
◎ 条件相同时,斜齿轮的强度大于直齿轮
§ 3-6 直齿锥齿轮传动设计
▲ 振动和噪声较大，常用于线速度 V≤5m/s的场合
▲ 轮齿分布在锥面上，逐渐收缩
特点,
▲ 载荷沿齿宽分布不均
Fn
b
0.4b
为简化计算，假定：
● 法向力 Fn作用于齿宽中点
● 锥齿轮的强度等同于 齿宽中点处的当量直齿圆柱齿轮
b/2
dv/2
dv
半径 =锥齿轮齿宽中点背锥母线长度
齿宽 = 锥齿轮齿宽 b
模数 = 锥齿轮齿宽中点平均模数 mm
作用于齿宽中点的法向力分解成三个分力：
dm1 = d1 (1-0.5 b/R) = d1 (1-0.5ψR)
d1 — 小锥齿轮大端分度圆直径
一、受力分析
圆周力
111 /2000 mt dTF ?
径向力
111 c o s ??tgFF tr ?
轴向力
111 s i n ??tgFF ta ?
dm1 — 小锥齿轮齿宽中点分度圆直
径
R — 锥顶距b — 齿宽
ψR = b/R — 齿宽系数
δ1 — 小齿轮分度圆锥角
dm1
d1
R
O
δ1
利用当量直齿圆柱齿轮进行分析计算
各力关系：
21 tt FF
?? ??
21 ar FF
?? ??
各力方向,Ft,Fr与圆柱齿轮相同
Fa1, Fa2 — 分别指向各自齿轮的大端
21 ra FF
?? ??
二、齿面接触疲劳强度计算
直齿圆柱齿轮强度条件：
HPEH ubd
uKTZ ?? ???
2
1
1 )1(112
将当量直齿轮参数代入：
HP
vv
vv
EH ubd
uKTZ ?? ???
2
1
1
85.0
)1(112
当量齿轮的强度
比锥齿轮略低
当量转矩：
2
1
11
v
tv
dFT ??
111 co s/ ?mv dd ?
当量齿轮传动比：
当量齿轮直径：
1
1
1 c o s2 ?
m
t
dF
??
1
1
c o s?
T?
2uuv ?
1
c o s 21
?
?
u
u?
)5.01(11 Rm dd ???
HP
R
EH ubd
uKTZ ?
?
? ?
?
??
22
1
2
1
)5.01(
1121
mm
u
KTZd
RHPR
E3 1
2
1 )5.01(
171
??? ?
?
?
?
???
?
?
?
锥齿轮接触
强度条件：
接触强度
设计式：
讨论：
ζHP,K 的查取同圆柱齿轮
ψR不宜过大，否则载荷分布越不均匀。 ψR = 0.25~0.3
通常 u ≤ 5，限制大齿轮直径，利于锥齿轮加工
设计出 d1后，其他参数计算：
初选 z1 计算 m=d1/z1，并向上取标准值
计算 d1=mz1,z2,d2,u 等
15.0 21 ?? udR
三、齿根弯曲疲劳强度计算
同理，根据当量齿轮推出锥齿轮的弯曲强度条件
不能圆整！
锥齿轮弯曲
强度条件：
弯曲强度
设计式：
FS
mv
v
F Ymbd
KT
1
1
85.0
2 0 0 0??
FS
mm
Ymbd KT
1
1
85.0
2 0 0 0?
Tv1=T1/cosδ１
dv1=dm1/cosδ１
FPFS
R
Yzbm KT ?? ??? 2
1
2
1
)5.01(
2 3 6 0
dm1= d1 (1 - 0.5ψR )
mm= m (1 - 0.5ψR )
因为：
mm
Y
u
KT
z
m
FP
FS
RR
3
2
1
2
1 1)5.01(
69
??? ???
?
?
?
?
?
?
b = RψR
d1 = m z1
引入：
15.0 21 ?? udR
大端模数。
计算后向上圆
整成标准值
按当量齿数
zv = z/cosδ查
取
YFS/ζFP=
max{YFS1/ ζFP1, YFS2/ ζFP2}
§ 3-7 齿轮的结构设计
—— 自学
§ 3-8 齿轮传动的润滑及效率
作用
一、润滑
— 减小摩擦损失、散热及防蚀
方法 ☆ 人工定期加油润滑
☆ 浸油润滑
☆ 喷油润滑
— 开式或半开式传动
— V ≤ 10 m/s的闭式传动
— V > 10 m/s的闭式传动
n1 n2
二、效率 η= η1η2η3 η1— 啮合中的摩擦损失
η2— 搅油损失 η3— 轴承中的摩擦损失
齿轮传动
闭式传动
开式传动
半开式传动
— 封闭在箱体内，润滑条件好
— 外露，润滑较差，易磨损
— 介于上两者之间,有防护罩
齿轮传动的特点
优点：传递功率和转速适用范围广；
具有稳定的传动比；
效率高、结构紧凑。
缺点：制造成本较高；
精度低时，噪声和振动较大；
不宜用于轴间距离较大的传动。
§ 3-1 齿轮传动失效形式和设计准则
一、失效形式
1、轮齿折断
★ 疲劳折断 ★ 过载折断
全齿折断 — 常发生于齿宽较小的直齿轮
局部折断 — 常发生于齿宽较大的直齿轮，和斜齿轮
措施：增大齿根圆角半径,提高齿面精度、正变
位、增大模数等
2、齿面疲劳点蚀
★ 点蚀常发生于闭式软齿面（ HBS≤350）传动中
★ 点蚀的形成与润滑油的存在密切相关
★ 点蚀常发生于偏向齿根的节线附近
★ 开式传动中一般不会出现点蚀现象
措施：提高齿面硬度和齿面质量、增大直径
3、齿面胶合
配对齿轮采用异种金属时，其抗胶合能力比同种金属强
4、齿面磨损
是开式传动的主要失效形式
5、齿面塑性变形
措施：提高齿面硬度，采用油性好的润滑油
措施：采用异种金属、降低齿高、提高齿面硬度等
措施：改善润滑和密封条件
二、齿轮传动的设计准则
主要针对疲劳折断和齿面点蚀这两种失效形式
齿根弯曲疲劳强度 — 齿轮抵抗轮齿疲劳折断的能力
齿面接触疲劳强度 — 齿轮抵抗齿面疲劳点蚀的能力
开式齿轮传动采用准则二，但不校核齿面接触强度
设计准则一,对于闭式软齿面（ HBS≤350）传动，
主要失效形式是齿面点蚀,所以按齿面接触疲劳强
度设计,而校核齿根弯曲疲劳强度。
设计准则二,对于闭式硬齿面（ HBS>350）传动，
主要失效形式是齿根弯曲疲劳折断,所以按齿根弯
曲疲劳强度设计,而校核齿面接触疲劳强度。
§ 3-2 齿轮材料及其热处理
一、齿轮材料
金属材料
45号钢
中碳合金钢
铸钢
低碳合金钢
最常用，经济、货源充足
铸铁
35SiMn,40MnB,40Cr等
20Cr,20CrMnTi等
ZG310-570,ZG340-640等
HT350,QT600-3等
非金属材料 尼龙、夹木胶布等
选材时考虑,工作条件、载荷性质、经济性、制造方法等
齿轮毛坯锻造 — 选可锻材料；铸造 — 选可铸材料
二、热处理
调 质
正 火
表面淬火
渗碳淬火
表面氮化
软齿面。 改善机械性能，增大强度和韧性
硬齿面。 接触强度高、耐磨性好、可抗冲击
配对齿轮均采用软齿面时：
小齿轮受载次数多，故材料应选好些，热处理硬度
稍高于大齿轮（约 30~40HBS）
法向力：
圆周力 —
§ 3-3 直齿圆柱齿轮传动的受力分析及计算载
荷一、轮齿受力分析
条件：标准齿轮并忽略齿面间的摩擦力 受力图
1
12000
b
n d
TF ?
小齿轮基圆
直径 mm
小齿轮转矩
N.m
NdTF t 11 /2 0 0 0?
径向力 — NtgFF
tr ??
法向力 — NFF
tn ?co s/?
小齿轮分
度圆直径
分度圆
压力角
注意：下标,1”表示主动轮
下标,2”表示从动轮
2
1
各力关系：
21 tt FF
?? ??
21 rr FF
?? ??
各力方向,Ft1与主动轮回转方向相反
Ft2与从动轮回转方向相同
Fr1, Fr2分别指向各自齿轮的轮
心
例,n2
n1
Fr2
Fr1
Ft1Ft2
n1
n2
注意：
各力应
画在啮
合点上！
二、计算载荷 Fnc
Fnc = K Fn = K Ft /cosα
载荷系数
K = KA Kv KαKβ
KA— 使用系数
Kv — 动载系数
Kα— 齿间载荷分配系数
Kβ— 齿向载荷分布系数
影响因素,1）外部附加动载荷 — 原动机、工作机的性能
2）内部附加动载荷 — 加工误差引起基节不等
3）各对齿载荷分配不均 — 弹性变形、制造误差
4）载荷沿齿宽分布不均 — 变形及制造安装误差
近似取,K = 1.3~1.7
原动机为电动机、汽轮机
齿轮对称布置
齿轮制造精度高
斜齿轮传动
K取小值
原动机为单缸内燃机
开式齿轮传动
齿轮速度高
K取大值
§ 3-4 直齿圆柱齿轮传动的强度计算
齿轮承载能力计算标准：
英国国家标准 BS436
德国国家标准 DIN3990
美国齿轮制造者协会 AGMA标准
国际标准化组织 ISO齿轮标准
中国齿轮承载能力计算国家标准 3480-
83基本理论：
齿面接触强度 — 以赫兹（ Hertz）公式为依据
齿根弯曲强度 — 以路易士（ Lewis）公式为依据
一、齿根弯曲疲劳强度计算
轮齿受载后，相当于悬臂梁
故齿根部分弯曲应力最大，是危险截面
Fn
为防止轮齿折断，必须保证：
σF≤σFP
危险截面
弯曲应力
许用弯曲
应力
假设：全部载荷由一对轮齿承担，并忽略摩擦力
载荷作用于齿顶时的受力分析：
水平分力 — F1 = FncosαF
垂直分力 — F2 = FnsinαF
齿顶载荷
作用角—— 引起弯曲应力
—— 引起压应力（忽略不计）
危险截面的具体位置在哪？
?
?
c o s)(
c o s)(6
2
m
s
m
h
bm
KF
F
F
F
t ??
常用 30° 切线法确定危险截面位置
齿根弯曲疲劳强度计算以受拉边为计算依据
齿根弯曲疲劳强度条件：
FPF W
M ?? ??
力臂为 hF，齿根厚为 sF
弯矩,M = F1 · hF = FncosαF · hFK
抗弯截面系数,W = b ·sF2/6（矩形截面）
齿宽
2
c o s6
F
FFn
bs
hKF ??
Fn=Ft/cosα
分子、分母
同除以 m2令其为齿形
系数 — YFa故，弯曲应力：
Fa
t
F Ybm
KF??
?
?
c o s)(
c o s)(6
2
m
s
m
h
Y
F
F
F
Fa ?
齿形系数
ms
mh
F
F
?
?
?
?
λ,γ — 与齿形有关的比例系数
YFa与模数的大小无关，只取决于轮齿的形状
当齿廓的基本参数已定时,YFa取决于齿数 Z
和变位系数 χ
考虑齿根应力集中，引入应力修正系数 Ysa，则
SaFa
t
F YYbm
KF??
FSYb m d
KT
1
12000?
Ft =2000T1/d1 YFS = YFa YSa -— 复合齿形系数
标准齿轮,z
越多,YFS越小
FPFSF Yb m d
KT ?? ??
1
12 0 0 0
弯曲强度条件：
引入齿宽系数 ψ d = b/d1，并代入 d1 = mz1，则：
FPFS
d
F Yzm
KT ?
?? ?? 213
12 0 0 0
设计式：
mmY
z
KTm
FP
FS
d
3 2
1
12 0 0 0
???
讨论,影响齿根弯曲疲劳强度的主要参数是模数 m
m↑ →弯曲强度↑→齿厚
s
→截面积 ↑ →ζF ↓ ↑
配对的大小齿轮的弯曲应力不等
标准齿轮 YFS1 YFS2＞ 故 ζF1 ＞ ζF2
计算模数时，比较 YFS1/σFP1与 YFS2/σFP2的大小，
代入大值
因 ζF1＞ ζF2,且小齿轮应力循环次数多，故
小齿轮的材料应选好些，齿面硬度稍高些
单侧受载时,ζF看成脉动循环，双侧受载时，
ζF看成对称循环
齿数 z1的选取
中心距 a、传动比 i 一定时 (d不变）,
z1 ↑ YFS
m
→ζF
↓
↓↓
→ζF ↑
ζF ↑
z1 ↑ εα
m
→ 平稳
↓
↑
→ h ↓ →切削量少
原则：在保证齿根弯
曲强度的前提下，选
取尽可能多的齿数。
闭式传动,z1 =20~40
开式传动,z1 =17~25
二、齿面接触疲劳强度计算
闭式软齿面齿轮传动的主要
失效形式是 齿面疲劳点蚀
强度条件,ζH ≤ ζHP
工作时的
接触应力
许用接触
应力
ζH根据 Hertz公式求出
aL
F n
H 2
4
?? ?
2
2
2
1
2
1
21
11
11
EE
L
F n
??
??
? ?
?
?
?
?
负号用于
内接触
令：
21
111
??? ???
ρΣ— 综合曲率半径
可将 Hertz公式推广到其它曲面接触
则 ρ1, ρ2表示接触处的曲率半径
渐开线齿廓各接触点的曲率半径是不同的
故各点的接触应力不等，须确定一个计算点
以 节点 处的 ζH为计算依据
节点处的曲率半径：
?? s i n2 111 dCN ?? ?? s i n2 222 dCN ??
又,u = z2 / z1 = d2 / d1, L = b, Fn = Ft / cosα,并引入 K
ubd
uKT
EE
H 2
1
1
2
2
2
1
2
1
)1(2 0 0 0
c o ss i n
2
11
1 ?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
????
?
?
节点处的接触应力：
材料弹性系数 — ZE 节点区域系数 — ZH ≈ 2.5
ubd
uKTZZ
HE 2
1
1 )1(2000 ??
齿面接触强度条件：
M P a
ubd
uKTZ
HPEH ?? ?
??
2
1
1 )1(1 1 2
讨论：
齿面接触疲劳强度主要取决于分度圆直径 d
d 越大,接触强度 越大ζH 越小,
齿宽 b 的大小应适当,b 过大会引起偏载
令,ψd = b / d1 — 齿宽系数
软齿面、对称布置,ψd = 0.8~1.4
非对称布置,ψd = 0.6~1.2
悬臂布置、开式传动,ψd = 0.3~0.4
直齿轮取小
斜齿轮取大
硬齿面降低
50%
HP
d
EH ud
uKTZ ?
?
? ??? 3
1
1 )1(112
模数的大小对接触强度无直接影响
ζH1 = ζH2,而 ζHP1 ≠ ζHP2
mm
u
uKTZd
dHP
E3 1
2
1
1112 ?
???
?
???
??
??
设计式：
设计时,ζHP = min{ζHP1,ζHP2}
求出 d1 →选择 z1 →计算 m = d1/z1
为便于装配，取 b1 = b2 + (5~10) mm
b2 = ψd d1
b1=b2 b1>b2
三、许用应力
许用应力与材料、齿面硬度、应力循环次数等因素有关
1、许用弯曲应力 ζFP
M P aYYS Y XN
F
STF
FP
m i n
l i m?? ?
ζFlim — 试验齿轮的弯曲疲劳极限，
YST — 试验齿轮的应力修正系数,YST = 2
YN — 寿命系数,无限寿命时 YN =1，有限寿命时 YN >1
YX — 尺寸 系数,mn≤5时 YX =1,mn > 5时 YX <1
SFmin — 弯曲强度最小安全系数
一般取 SFmin =1.3~1.5，重要传动 SFmin =1.6~3.0
注意, ● 双侧受载时,ζF为对称循环,应将 ζFlim减小 30%
● 开式齿轮传动，考虑磨损，应将 ζFlim减小 20%
HBS
ζFlim
ME
MQ
ML
一般按 MQ线查取
2、许用接触应力 ζHP
MP aZZS WN
H
H
HP
m i n
l i m?? ?
ζHlim — 试验齿轮的接触疲劳极限，
ZN — 寿命系数,无限寿命时 ZN =1，有限寿命时 ZN >1
ZW — 工作硬化系数，
小齿轮硬齿面、大齿轮软齿面时 ZW1 =1而 ZW2 >1
SHmin — 接触强度最小安全系数
一般取 SHmin =1.0~1.2，重要传动 SHmin =1.3~1.6
一般按 MQ线查取
● 三种硬度单位之比较：
HV(维氏 ) ≈ HBS(布氏 )； HRC(洛氏 )× 10 ≈ HBS
● 应力循环次数 N=60na t
一般情况 ZW1 = ZW2 =1；
主动 主动
每转一圈同侧
齿面啮合次数
a=2
脉动
=1
对称
斜齿轮的特点 — 轮齿呈螺旋形；啮合时接触线倾斜
§ 3-5 斜齿圆柱齿轮传动的强度计
算
一、斜齿圆柱齿轮传动的受力分析
条件：标准齿轮并忽略摩擦力
圆周力
11 /2 0 0 0 dTF t ?
径向力 ?? co s/
ntr tgFF ?
轴向力 ?tgFF
ta ?
法向力 ?? c o sc o s/ n
tn FF ?
αn— 法面压力角
αt— 端面压力角
β— 螺旋角
2
1
各力关系：
21 tt FF
?? ?? 21 rr FF ?? ??
各力方向,Ft,Fr与直齿轮相同
Fa — 决定于齿轮的转向和轮齿的旋向
21 aa FF
?? ??
例,n2
n1
Fr2
Fr1
Ft1Ft2
n1
n2
Fa2Fa1
用“主动轮左、右手定则”判断
二、齿面接触疲劳强度计算
斜齿轮的强度 当量直齿圆柱齿轮的强度相当于
当量直齿圆柱齿轮：
模数 = 斜齿轮法面模数 mn
压力角 = 斜齿轮法面压力角 αn
齿数 = 当量齿数 zv = z/cos3β
分度圆直径 dv = d/cos2β
法向力 = 斜齿轮的法向力 Fn
把 斜齿圆柱齿轮 的强度计算问题
转化成 直齿圆柱齿轮 的强度计算问题
将当量直齿轮的参数代入直齿轮强度公式，
得斜齿轮接触强度条件：
ZH′— 斜齿轮的节点区域系数，
HPHEH u
u
bd
KTZZZ ??
?? ?
?? 12000
2
1
1'
Zεβ — 重合度与螺旋角系数
标准齿轮 ZH′≈ 2.45
β= 8° ~15° 时,Zεβ≈ 1
β > 15° 时,Zεβ≈ 0.95 则：
HPEH u
u
bd
KTZ ?? ??? 1109
2
1
1
HPEH u
u
bd
KTZ ?? ??? 1104
2
1
1
（ β=8° ~15° 时）
（ β > 15° 时）
相同条件下，斜齿轮接触应力比直齿轮小
（ β > 15° 时）
故,斜齿轮接触强度比直齿轮大
原因,● 重合度大，同时啮合的齿数多
● 接触线是倾斜的
● 当量齿轮直径大，齿廓平直
引入齿宽系数 ψ d = b/d1，得设计式：
mm
u
uKTZd
dHP
E3 1
2
1
1109 ?
???
?
???
??
??
mm
u
uKTZd
dHP
E3 1
2
1
1104 ?
???
?
???
??
??
（ β=8° ~15° 时）
其他几何参数计算：
初步选定齿数 z1
初步选定螺旋角 β，常用 10° ~ 15°
计算 mn = d1cosβ/z1,向上圆整成标准值且 mn ≥1.5
计算中心距 a = mn (z1 + z2)/(2 cosβ),并圆整
反算 β = cos-1 mn (z1 + z2)/2 a, 精确到秒
精确计算 d1,d2,至少精确到小数点后两位
三、齿根弯曲疲劳强度计算
▲ 接触线倾斜特点,
▲ 轮齿局部折断
斜齿轮的弯曲强度也按 当量齿轮 进行
斜齿轮的弯曲强度条件 ——
FPFS
n
F Yzbm
KT ?? ??
1
2
11 9 0 0
FPFS
n
F Yzbm
KT ?? ??
1
2
11 6 8 0
（ β > 15° 时）
（ β=8° ~15° 时）
由于 β的影响，斜齿轮弯曲应力比直齿轮小
故,斜齿轮弯曲强度比直齿轮大
引入齿宽系数 ψ d = b/d1，则 b = d1 ψ d
代入强度条件得设计式：
mm
z
YKTm
FPd
FS
n 3 2
1
14.12
??
?
mm
z
YKTm
FPd
FS
n 3 2
1
19.11
??
?
（ β > 15° 时）
（ β=8° ~15° 时）
注意, ● YFS 应按 ZV = Z / cos3β 查取
● 设计时代入 YFS1/σFP1与 YFS2/σFP2中的大值
结论, ◎ 斜齿轮的强度等同于其当量直齿轮的强度
◎ 条件相同时,斜齿轮的强度大于直齿轮
§ 3-6 直齿锥齿轮传动设计
▲ 振动和噪声较大，常用于线速度 V≤5m/s的场合
▲ 轮齿分布在锥面上，逐渐收缩
特点,
▲ 载荷沿齿宽分布不均
Fn
b
0.4b
为简化计算，假定：
● 法向力 Fn作用于齿宽中点
● 锥齿轮的强度等同于 齿宽中点处的当量直齿圆柱齿轮
b/2
dv/2
dv
半径 =锥齿轮齿宽中点背锥母线长度
齿宽 = 锥齿轮齿宽 b
模数 = 锥齿轮齿宽中点平均模数 mm
作用于齿宽中点的法向力分解成三个分力：
dm1 = d1 (1-0.5 b/R) = d1 (1-0.5ψR)
d1 — 小锥齿轮大端分度圆直径
一、受力分析
圆周力
111 /2000 mt dTF ?
径向力
111 c o s ??tgFF tr ?
轴向力
111 s i n ??tgFF ta ?
dm1 — 小锥齿轮齿宽中点分度圆直
径
R — 锥顶距b — 齿宽
ψR = b/R — 齿宽系数
δ1 — 小齿轮分度圆锥角
dm1
d1
R
O
δ1
利用当量直齿圆柱齿轮进行分析计算
各力关系：
21 tt FF
?? ??
21 ar FF
?? ??
各力方向,Ft,Fr与圆柱齿轮相同
Fa1, Fa2 — 分别指向各自齿轮的大端
21 ra FF
?? ??
二、齿面接触疲劳强度计算
直齿圆柱齿轮强度条件：
HPEH ubd
uKTZ ?? ???
2
1
1 )1(112
将当量直齿轮参数代入：
HP
vv
vv
EH ubd
uKTZ ?? ???
2
1
1
85.0
)1(112
当量齿轮的强度
比锥齿轮略低
当量转矩：
2
1
11
v
tv
dFT ??
111 co s/ ?mv dd ?
当量齿轮传动比：
当量齿轮直径：
1
1
1 c o s2 ?
m
t
dF
??
1
1
c o s?
T?
2uuv ?
1
c o s 21
?
?
u
u?
)5.01(11 Rm dd ???
HP
R
EH ubd
uKTZ ?
?
? ?
?
??
22
1
2
1
)5.01(
1121
mm
u
KTZd
RHPR
E3 1
2
1 )5.01(
171
??? ?
?
?
?
???
?
?
?
锥齿轮接触
强度条件：
接触强度
设计式：
讨论：
ζHP,K 的查取同圆柱齿轮
ψR不宜过大，否则载荷分布越不均匀。 ψR = 0.25~0.3
通常 u ≤ 5，限制大齿轮直径，利于锥齿轮加工
设计出 d1后，其他参数计算：
初选 z1 计算 m=d1/z1，并向上取标准值
计算 d1=mz1,z2,d2,u 等
15.0 21 ?? udR
三、齿根弯曲疲劳强度计算
同理，根据当量齿轮推出锥齿轮的弯曲强度条件
不能圆整！
锥齿轮弯曲
强度条件：
弯曲强度
设计式：
FS
mv
v
F Ymbd
KT
1
1
85.0
2 0 0 0??
FS
mm
Ymbd KT
1
1
85.0
2 0 0 0?
Tv1=T1/cosδ１
dv1=dm1/cosδ１
FPFS
R
Yzbm KT ?? ??? 2
1
2
1
)5.01(
2 3 6 0
dm1= d1 (1 - 0.5ψR )
mm= m (1 - 0.5ψR )
因为：
mm
Y
u
KT
z
m
FP
FS
RR
3
2
1
2
1 1)5.01(
69
??? ???
?
?
?
?
?
?
b = RψR
d1 = m z1
引入：
15.0 21 ?? udR
大端模数。
计算后向上圆
整成标准值
按当量齿数
zv = z/cosδ查
取
YFS/ζFP=
max{YFS1/ ζFP1, YFS2/ ζFP2}
§ 3-7 齿轮的结构设计
—— 自学
§ 3-8 齿轮传动的润滑及效率
作用
一、润滑
— 减小摩擦损失、散热及防蚀
方法 ☆ 人工定期加油润滑
☆ 浸油润滑
☆ 喷油润滑
— 开式或半开式传动
— V ≤ 10 m/s的闭式传动
— V > 10 m/s的闭式传动
n1 n2
二、效率 η= η1η2η3 η1— 啮合中的摩擦损失
η2— 搅油损失 η3— 轴承中的摩擦损失
