1
工业和民用建筑专业汪炜
2
第二部分 正投影法的基本作图
一、几何要素 相对 于不同位置的投影关系
1、从属关系
2、相交关系（非从属关系）
3
几何元素相对于投影面不同位置的投影图第一个相对图 示
4
第二个相对几何元素之间相对于不同位置的投影关系从属 相交 （非从属）
线上的点 交点面上的点和线 交线立体素面的点 截交线和线等 相贯线等
5
一、从属关系
（一）点属于直线
1、投影特性从属性 点属于直线则点的投影必属于直线的同面投影。
定比性 直线的点分线段长度之比等于该点的投影等分线段的同面投影之比。
2、基本作图方法
6
利用点属于直线的定比性求属于直线上的点的投影例 1：已知直线 AB的投影 ab及 a` b`,C点在直线 AB上,AC,CB=3,2，求 C点的投影。
x
图 1
o ox
a`
b`
a
a`
a
b`
bb
● ●
● ●1
2 3 4 ●
5 a0
●
c
●
c`
7
例 2 已知直线 CD及点 M的两面投影，试判定 M点是 否在直线上解法一：
根据点属于直线的从属性判定
1、先求直线的第三投影；
2、求点的第三投影；
3、据点的从属性，
故点 M不在直线 CD上。
图 2
O
X
Z
YH
YW
●
C`
m`
d`
C
m
d
●
C〞
d 〞
● m〞
点 M不在直线 CD上
8
解法二：利用点的定比性判定
1、过 C点作直线 cdO,截取 cdo=c`d`,cmo=c`m`；
2、连接 ddo;两点；
3、过 mo点作直线平行于 ddo，交 cd于 m1；
4,m1与 m不重合，故 M点不在 CD上。
图 3
x o
c`
d`
●m`
●
d
c
md
0
● ●m0 m1
点 m1与 m
不重合
9
（二）属于平面和直线的点
1、平面内定点和直线的几何条件据初等几何可知：
若点位于平面内的任意直线上，则该点在平面内；如图 4。
若直线通过平面内的两个已知点，则该直线在平面内；如图 5。
若直线通过平面内一点且平行于平面内的一直线，则该直线必在平面内。如图 6
10
图 4
A
B
C
●
●
M
N
L
11图 5
aˋ
bˋ
cˋ
ba
c
●
●
mˋ
nˋ
m
n
OX
12图 6
OX
aˋ
bˋ
cˋ
qˋ
c
a
b
q
13
2,平面内定点和直线的作图方法平面内定点：
先在平面内确定一直线，
之后在该直线上定点，
则点在平面内。
即定点先定线
14
例 1 k点属于由△ ABC所确定的平面，
已知 k`，求 k。如图 7。
a`
b`
c`
a
c
b
OX
● k`●
1`
● 1
● k
K点即为所求图 7
15
平面内定直线：
一般先在平面内两条已知线上分别任取二点，之后连接二点，即得所定的直线。 即定线先取点
16
例 2 四边形 ABCD为一平面图形，已知四边形的水平投影 abcd及其 AB,BC两边的正面投影
a`b`,b`c`,试完成该四边形的正面投影。
X
O
a
b
c
d
a`
b`
c`
● e
●e`
● d`
a`d`即为所求 d`c`即为所求图 8
17
3、平面内的两种特殊位置线
1）平面内的投影面的平行线定义：属于平面且又平行于一个投影面的直线称为
18
平面内的平行线分为三种：
1） 平面内平行于 H投影面的直线称为平面内的水平线2） 平面内平行于 V投影面的直线称为平面内的正平线
3） 平面内平行于 W投影面的直线称为平面内的侧平线 （ 见图 9）
19
图 9 平面内的投影面平行线
V
A
B
C
E
a`
b`
ba
X O
b`
a`
c`
b
a
c
e
e`
d`
d
b`e`为正平线
O
20
投影特点：
平面内的投影面平行线既 符合 直线从属于平面的投影关系，又 具有 投影面平行线的投影特性 。
基本作图：
已知△ ABC两投影，试在该平面上求作一条距 H面为 15mm的水平线。（见图 10）
21
图 10 基本作图
X O
b`
a`
c`
b
a
c
作图步骤：
1、作 d`e`使 d`e`∥ OX轴，
且距 OX轴为 15mm，分别交
a`b`,b`c`于 d`e`两点；
2、过 d` e`作投影连线，与水平投影 ab,bc交于 d,e
两点；
3、连 de，得 DE直线的两面投影，该 直线既为所求。
d`
e`
d
e
22
3、平面内的两种特殊位置线
2）平面内的最大斜度线 定义：平面内与投影面平行线垂直的直线称为该平面内的
23
平面内的最大斜度线分为三种：
1） 属于平面且垂直于平面内正平线的直线称为 对 V面的最大斜度线
2） 属于平面且垂直于平面内水平线的直线称为 对 H面的最大斜度线
3） 属于平面且垂直于平面内侧平线的直线 称为 对 W面的最大斜度线
。
24
图 11 平面内的最大斜度线
cˋ
b
q
●
H
PHB1 B
C A
a1
AC∥ PH
PH为
P平面与 H面的交线
AC⊥ AB
a Aa为公共直角边
AB1是平面 P
内任一直线
25
aˋ
bˋ cˋ
b
c
OX
基本作图例 1
试求△ ABC
对 H面的倾角。 d
ˋ
d
e
eˋ
a
aa即为所求图 12
26
平面内对 H面的最大斜度线在工程上称为 坡度线在工程上常用坡度线解决平面对水平面的倾角问题
27
投影特性平面内的 H 面最大斜度线的水平投影 ⊥ 平面内水平线的水平影。
平面内的 V面最大斜度线的正面投影 ⊥ 平面内正平线的正面投影。
平面内的 W 面最大斜度线的侧面投影 ⊥ 平面内侧平线的水平投影。
28
（三）立体表面求点、线作图方法
1、线上取点法当 点位于平面立体棱线或回转体上转向轮廓线上时，可根据点的投影规律和点对直线的从属性直接取点的投影。
（见图 13）
29
图 13 线上取点法
e〝
e
O
X
●eˋ
●
Z
YH
YW
●
30图 14 线上取点法
f〝
f
O
X
fˋ
●
Z
YH
YW
● ●
31图 15 线上取点法
O
X
gˋ
Z
YH
YW
●
●g
● g〞
32
2、积聚性法当 点位于投影具有积聚性的立体表面上时，解题步骤方法是：
根据积聚性，先求积聚影，
转为二求三，投影即完成。
（见图 16-17）
33图 16 积聚性法
（一）
a〝
a
O
X
aˋ
Z
YH
YW
●●
●
34
图 17 积聚性法
（二）
c〝
c
O
X
cˋ
Z
YH
YW
●
●
●
●
c
35
3、辅助线（直线或纬圆）法当 点位于投影不具有积聚性的立体表面上时，解题步骤方法是：
过点的已知投影作辅助线（直线或纬圆）先求辅助线的第二投影，
继而求得点的第二投影，然后二求三，抽影即完成。
（ 见图 18-21）
36图 18 辅助线法
e〞
O
X
e`
Z
YH
YW
●
●
E
1
1
s
●
●
1`
●
S` S〞
e
37图 19 线上取点法
e〞
O
X
e`
Z
YH
YW
●
EM
E
s
S` S〞
m
n
n`
●
●●m`
●
●
● ●
38图 20 辅助线法
X
Z
YH
YW
●
A
●
a
a` a〞
s
s` s〞
1
1〞
●
●
39图 21 辅助圆法
X
Z
YH
YW
p`
1`
o
● o`
p
(p〞 )
●
●●
40
通过已知影，
作出辅助线，
线上取点法，
还是最基本。
41
二、相交关系
（一）重影点
1、概念：
当空间二点位于某一投影面上同一条投影线上时，
它们在这个投影面上的投影重合。
42
图 22 重影点
V
X YW
O
● A
●B ●
● C
D
a`
b` (d`)c`
a (b) d
b〞 (d〞 )
c〞 O
a` a〞
b` c`(d`)
a(b)
d
b〞 (d〞 )
c
c〞
●
●
●
● ●
●
●
Z
●
YH
43
2、可 见 性
V面重影点投影面的可见性是前遮后，即 X,Z相等,Y大者可见。
H面重影点投影面的可见性是上遮下，即 X,Y相等,Z大者可见。
W面重影点投影面的可见性是左遮右，即 Y,Z相等,X大者可见。
44
3、符号标识可见点的投影符标在左边。
不可见点的投影符标在右边，
并加括号。
如,a(b),c?(d?),b (d?)
45
二,相交关系
（二）两直线 的相对位置空间两直线的相对位置有：
平行、相交、交叉三种。
平行、相交的直线属于同一平面内的两直线。
交叉的两直线是既不平行又不相交的异面两直线。
46
图 23 立体表面上的线
F
A
B
C
E
D
BE∥ CD
AC与 AB
相交
FC与 ED
交叉
47
1、两直线平行投影特性：
空间两直线相互平行，则其各同面投影必相平行。反之，如果两直线的各同面投影都相互平行，则该两直线在空间一定平行。
48
图 24 平行二直线
X YW
(d〞 )
c
c〞
Z
YH
A
B
C
D
a
b d
c
d
c`
a`
b`
d`
a〞
b〞
a
b
49
图 25 判定两直线是否平行
X Y
W
c
a〞
Z
YH
d
c`
a`
b` d`
a
b
X O
c
d
c`a`
b` d`
a
b
b〞O
c〞
d〞
W面投影不平行
50
图 26 两直线平行特性的应用
b
c
X O
b`
c`
a`
a
例,已知平面
ABCD的 CD边为水平线,求作该四边形的 V面投影,
d
d`
e`
e
51
2、两直线相交投影特性：
空间两直线相交，则其各同面投影必定相交。且其各同面投影的交点必定符合点的投影规律。
52
两直线相交的判别
空间两直线为一般位置线时，根据两直线的同面投影，即可判断两直线是否相交。
空间两直线中有一条直线为投影面平行线时，两组同面投影中必须有一组是其所平行的那个投影面上的投影，方能直接确定它们是否相交，
否则，须作出第三投影，或用点分线段的定比性。
53
图 27 判定两直线相交
X Y
W
Z
YH
d`
c〞
c
c`a`
b`
a
b
O
d
a〞
b〞●
●
交点不符合投影规律
d〞
k`
k
k〞
OX
c
a`
b`
a
b
k`
k
c`
d`
d
●
●
54
3、两直线交叉概念：
在空间既不平行，又不相交的两直线称为 交叉（或异面）直线
55
投影特性：
它们的同面投影可能相交，但交点的连接不可能都符合点的投影规律，
这种投影的交点实际上是重影点的投影。
它们的同面投影可能平行。但三组同面投影必不会都平行；
空间两直线交叉
56
交叉两直线重影点可见性的判别要领须由该投影面的重影点向另一投影面作投影连线垂直于投影轴，求得投影点在另一投影面上二个点的投影，再按坐标值的大小判别可见性。
欲判别某投面重影点的可见性
57
图 28 交叉两直线
OX
a`
b`c`
d`
a
bc
d
1(2)
1`
2`
4`(3`)
3
4
58
4、直角投影定理空间相交成直角的两直线有一条直线为投影面的平行线，则在该投影面仍反映直角,称为直角投影定理。
如图
59
图 29 一边平行于投影面的直角投影
X
c
b a
c
a`
b` c`
ab
H
V
X OO
b`
a` c`
A
B
C
反映实长
60
直角投影定理简述如下：
当直角的一边平行于投影面时，则该直角在投影面上的投影仍反映为直角；
反之，两直线的某投影成直角时，且有一条直线是该投影面的平行线时，
则此两直线的实际交角必是直角。
该定理适用于两直线垂直相交，
也适用于两直线垂直交叉。
61
应用：
该定理常用于图解垂直和距离问题 （如最大斜度线）。
62
图 30 求点到直线的距离
X
b c
X OO
b`
c`
●
b c
b`
c`
●
●
●
实长△ Z
a`
k`
a
k
a`
a
BC为正平线
63
（二）直线与平面的相对位置直线与平面相对位置，除去直线在平面上的从属关系外，也有平行、相交和垂直三种情况，根据水利专业的特点，对该部分内容不作要求，因此，我们届不作具体的学习和讨论。
64
（三）平面与立体截交基 本 概 念 术语
平面与立体相交统称截交。
截交立体的平面截平面
（一般为投影有积聚性的特殊位置平面）
立体表面产生的交线称为截交线
由截交线围成的平面称为截断面
65
截交线的性质
共有线
封闭线截交线一般是封闭的平面图形根据上述性质，截交线的基本画法可归结为求平面与立体表面的共有点的作图。
截交线是截平面与立体表面共有点集合
66
截交线的形状
平面与平面相交，截交线都是平面多边形；
平面与回转体相交，截交线一般是平面曲线。
如与圆柱面相交，截交线可能是椭圆、圆或两条平行直线。
见教材 P75页图 5-16
67
与圆锥面相交，截交线可能是椭圆、双曲线、抛物线、
圆或相交两直线。
68
截交线的作图方法解题的总体思路是先分析，由体 面 点后作图，由点 线 面修正轮廓判虚实线面分析来检验
（若无积聚性，必为类似形）
69
分析：
1、分析立体的几何性质，是基本几何体，还是组合体。
如是基本几何体，要分析是平面立体，还是曲面立体。
如是组合体，除分析它的各基本几何体外，还要分析各几何体的界线。
70
分析：
2,分析截平面的个数，和对立体的相对位置，弄清截交线的几何形状。
3,分析立体对投影面的相对位置和截平面对投影面的相对位置，根据位置和截平面的投影，确定截交线的已知投影。
71
把已确定的截交线的一个投影，视为立体表面上的线，采用表面取点法，求出截交线的其余投影。
通过分析
72
求法
1,根据共有性，求共有点。
1）积聚性法：先求积聚性，然后二求三。
2）辅助线面法：为使作图简便和准确，
应尽可能使辅助线的投影剧院是直线和圆。
2,根据封闭性，将同面的点按顺序相连接。
73
作图步骤
1,作特殊点对平面立体来讲，是截交线平面多边形的多个顶点。
74
对回转体来讲，截交线特殊点则是：
a,回转达体对各投影面的轮廓上的点；
b,截交线对各投影面外于最高、最低、
最前、最后、最左、最右位置的点。
这些点可利用截交线有积聚性的投影来确定；
c,截交线本身的特殊点，如椭圆长短轴的端点，双曲线的顶点等；
d,在组合的截交线中，各几何体的分界点
75
2、作中间点,对曲面立体，根据需要，适当作一些中间点；
1、作特殊点对平面立体来讲，是截交线平面多边形的多个顶点。
3、顺次连接各点同面投影，对平面立体用直线连接名顶点；对曲面立体。由用曲线光滑相连，然后判别可见性，分虚实；
4、修正立体轮廓线，画全截切后的立体投影。
76
作图实例 1
分析切口圆柱的截交线，补画俯视图。
作图实例 2
分析涵洞洞身与胸墙外表面的交线，补全俯视图。
77
（ 五）立体与立体相交
1、基本概念
① 术语立体与立体相交统称相贯。
立体相交表面产生的交线称相贯线
② 相贯线性质相贯线的基本性质是共有性和表面性。
即相贯线是相交两立体的共有线，
相贯线上的点是共有点，
相贯线位于两立体的表面。
78
两回转体相交相贯线的形状，取决于两回转体的几何性质、相对大小、相对位置。
③ 相贯线形状
两回转体相交相贯线一般情况下是空间曲线。特殊情况下可能是平面曲线或直线。
79
2、相贯线的作图方法相贯线的作图问题，
实质上是求两回转体表面上的共有点的问题。
当立体表面的投影具有积聚性时，
可以利用积聚性或利用辅助线作图。
80
分析
分析两回转体的几何性质，相对大小和相对位置；
分析相贯线是一般情况下的空间曲线，还是处于特殊位置情况下的平面曲线或直线；
分析两回转体对投影面的相对位置，其投影有无积聚性，哪个投影有积聚性；
分析相贯线的投影有没有已知的，
哪个投影是已知的，要求的是哪个投影。
？？
？
81
作图步骤：
⒈ 作特殊点，相贯线的特殊点主要是对各投影面轮廓线上的点和投影面相对位置的特殊点（最高、最低、最前、最后、最左、最右）；
⒉作中间点；
⒊顺次光滑连接各点；
⒋修正轮廓，画全相贯后的轮廓。
82
图 30 两圆柱正交时相贯线的投影
X YW
Z
YH
●
1
2
O
1`（ 2`）
3 4
3〞 （ 4〞 ）3? 4? ●
83
图 31 轮廓外表面相贯线的投影
84
直径不等两圆柱正交相贯线的简化画法两圆柱正交，
转向轮廓线的交点必是相贯线上的点。
作图,1、以两圆柱轮廓线交点为圆心，大圆柱半径为半经作圆弧交小圆柱轴线于 O点；
2、以 O点为圆心，大圆柱半径为长，
作圆弧，即得相贯线投影，
85
作图实例用简化画法画出内外圆柱面正交的相贯线的正面投影。
86
谢谢收看安徽金寨县江店职高
2004年 10月 20日
工业和民用建筑专业汪炜
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第二部分 正投影法的基本作图
一、几何要素 相对 于不同位置的投影关系
1、从属关系
2、相交关系（非从属关系）
3
几何元素相对于投影面不同位置的投影图第一个相对图 示
4
第二个相对几何元素之间相对于不同位置的投影关系从属 相交 （非从属）
线上的点 交点面上的点和线 交线立体素面的点 截交线和线等 相贯线等
5
一、从属关系
（一）点属于直线
1、投影特性从属性 点属于直线则点的投影必属于直线的同面投影。
定比性 直线的点分线段长度之比等于该点的投影等分线段的同面投影之比。
2、基本作图方法
6
利用点属于直线的定比性求属于直线上的点的投影例 1：已知直线 AB的投影 ab及 a` b`,C点在直线 AB上,AC,CB=3,2，求 C点的投影。
x
图 1
o ox
a`
b`
a
a`
a
b`
bb
● ●
● ●1
2 3 4 ●
5 a0
●
c
●
c`
7
例 2 已知直线 CD及点 M的两面投影，试判定 M点是 否在直线上解法一：
根据点属于直线的从属性判定
1、先求直线的第三投影；
2、求点的第三投影；
3、据点的从属性，
故点 M不在直线 CD上。
图 2
O
X
Z
YH
YW
●
C`
m`
d`
C
m
d
●
C〞
d 〞
● m〞
点 M不在直线 CD上
8
解法二：利用点的定比性判定
1、过 C点作直线 cdO,截取 cdo=c`d`,cmo=c`m`；
2、连接 ddo;两点；
3、过 mo点作直线平行于 ddo，交 cd于 m1；
4,m1与 m不重合，故 M点不在 CD上。
图 3
x o
c`
d`
●m`
●
d
c
md
0
● ●m0 m1
点 m1与 m
不重合
9
（二）属于平面和直线的点
1、平面内定点和直线的几何条件据初等几何可知：
若点位于平面内的任意直线上，则该点在平面内；如图 4。
若直线通过平面内的两个已知点，则该直线在平面内；如图 5。
若直线通过平面内一点且平行于平面内的一直线，则该直线必在平面内。如图 6
10
图 4
A
B
C
●
●
M
N
L
11图 5
aˋ
bˋ
cˋ
ba
c
●
●
mˋ
nˋ
m
n
OX
12图 6
OX
aˋ
bˋ
cˋ
qˋ
c
a
b
q
13
2,平面内定点和直线的作图方法平面内定点：
先在平面内确定一直线，
之后在该直线上定点，
则点在平面内。
即定点先定线
14
例 1 k点属于由△ ABC所确定的平面，
已知 k`，求 k。如图 7。
a`
b`
c`
a
c
b
OX
● k`●
1`
● 1
● k
K点即为所求图 7
15
平面内定直线：
一般先在平面内两条已知线上分别任取二点，之后连接二点，即得所定的直线。 即定线先取点
16
例 2 四边形 ABCD为一平面图形，已知四边形的水平投影 abcd及其 AB,BC两边的正面投影
a`b`,b`c`,试完成该四边形的正面投影。
X
O
a
b
c
d
a`
b`
c`
● e
●e`
● d`
a`d`即为所求 d`c`即为所求图 8
17
3、平面内的两种特殊位置线
1）平面内的投影面的平行线定义：属于平面且又平行于一个投影面的直线称为
18
平面内的平行线分为三种：
1） 平面内平行于 H投影面的直线称为平面内的水平线2） 平面内平行于 V投影面的直线称为平面内的正平线
3） 平面内平行于 W投影面的直线称为平面内的侧平线 （ 见图 9）
19
图 9 平面内的投影面平行线
V
A
B
C
E
a`
b`
ba
X O
b`
a`
c`
b
a
c
e
e`
d`
d
b`e`为正平线
O
20
投影特点：
平面内的投影面平行线既 符合 直线从属于平面的投影关系，又 具有 投影面平行线的投影特性 。
基本作图：
已知△ ABC两投影，试在该平面上求作一条距 H面为 15mm的水平线。（见图 10）
21
图 10 基本作图
X O
b`
a`
c`
b
a
c
作图步骤：
1、作 d`e`使 d`e`∥ OX轴，
且距 OX轴为 15mm，分别交
a`b`,b`c`于 d`e`两点；
2、过 d` e`作投影连线，与水平投影 ab,bc交于 d,e
两点；
3、连 de，得 DE直线的两面投影，该 直线既为所求。
d`
e`
d
e
22
3、平面内的两种特殊位置线
2）平面内的最大斜度线 定义：平面内与投影面平行线垂直的直线称为该平面内的
23
平面内的最大斜度线分为三种：
1） 属于平面且垂直于平面内正平线的直线称为 对 V面的最大斜度线
2） 属于平面且垂直于平面内水平线的直线称为 对 H面的最大斜度线
3） 属于平面且垂直于平面内侧平线的直线 称为 对 W面的最大斜度线
。
24
图 11 平面内的最大斜度线
cˋ
b
q
●
H
PHB1 B
C A
a1
AC∥ PH
PH为
P平面与 H面的交线
AC⊥ AB
a Aa为公共直角边
AB1是平面 P
内任一直线
25
aˋ
bˋ cˋ
b
c
OX
基本作图例 1
试求△ ABC
对 H面的倾角。 d
ˋ
d
e
eˋ
a
aa即为所求图 12
26
平面内对 H面的最大斜度线在工程上称为 坡度线在工程上常用坡度线解决平面对水平面的倾角问题
27
投影特性平面内的 H 面最大斜度线的水平投影 ⊥ 平面内水平线的水平影。
平面内的 V面最大斜度线的正面投影 ⊥ 平面内正平线的正面投影。
平面内的 W 面最大斜度线的侧面投影 ⊥ 平面内侧平线的水平投影。
28
（三）立体表面求点、线作图方法
1、线上取点法当 点位于平面立体棱线或回转体上转向轮廓线上时，可根据点的投影规律和点对直线的从属性直接取点的投影。
（见图 13）
29
图 13 线上取点法
e〝
e
O
X
●eˋ
●
Z
YH
YW
●
30图 14 线上取点法
f〝
f
O
X
fˋ
●
Z
YH
YW
● ●
31图 15 线上取点法
O
X
gˋ
Z
YH
YW
●
●g
● g〞
32
2、积聚性法当 点位于投影具有积聚性的立体表面上时，解题步骤方法是：
根据积聚性，先求积聚影，
转为二求三，投影即完成。
（见图 16-17）
33图 16 积聚性法
（一）
a〝
a
O
X
aˋ
Z
YH
YW
●●
●
34
图 17 积聚性法
（二）
c〝
c
O
X
cˋ
Z
YH
YW
●
●
●
●
c
35
3、辅助线（直线或纬圆）法当 点位于投影不具有积聚性的立体表面上时，解题步骤方法是：
过点的已知投影作辅助线（直线或纬圆）先求辅助线的第二投影，
继而求得点的第二投影，然后二求三，抽影即完成。
（ 见图 18-21）
36图 18 辅助线法
e〞
O
X
e`
Z
YH
YW
●
●
E
1
1
s
●
●
1`
●
S` S〞
e
37图 19 线上取点法
e〞
O
X
e`
Z
YH
YW
●
EM
E
s
S` S〞
m
n
n`
●
●●m`
●
●
● ●
38图 20 辅助线法
X
Z
YH
YW
●
A
●
a
a` a〞
s
s` s〞
1
1〞
●
●
39图 21 辅助圆法
X
Z
YH
YW
p`
1`
o
● o`
p
(p〞 )
●
●●
40
通过已知影，
作出辅助线，
线上取点法，
还是最基本。
41
二、相交关系
（一）重影点
1、概念：
当空间二点位于某一投影面上同一条投影线上时，
它们在这个投影面上的投影重合。
42
图 22 重影点
V
X YW
O
● A
●B ●
● C
D
a`
b` (d`)c`
a (b) d
b〞 (d〞 )
c〞 O
a` a〞
b` c`(d`)
a(b)
d
b〞 (d〞 )
c
c〞
●
●
●
● ●
●
●
Z
●
YH
43
2、可 见 性
V面重影点投影面的可见性是前遮后，即 X,Z相等,Y大者可见。
H面重影点投影面的可见性是上遮下，即 X,Y相等,Z大者可见。
W面重影点投影面的可见性是左遮右，即 Y,Z相等,X大者可见。
44
3、符号标识可见点的投影符标在左边。
不可见点的投影符标在右边，
并加括号。
如,a(b),c?(d?),b (d?)
45
二,相交关系
（二）两直线 的相对位置空间两直线的相对位置有：
平行、相交、交叉三种。
平行、相交的直线属于同一平面内的两直线。
交叉的两直线是既不平行又不相交的异面两直线。
46
图 23 立体表面上的线
F
A
B
C
E
D
BE∥ CD
AC与 AB
相交
FC与 ED
交叉
47
1、两直线平行投影特性：
空间两直线相互平行，则其各同面投影必相平行。反之，如果两直线的各同面投影都相互平行，则该两直线在空间一定平行。
48
图 24 平行二直线
X YW
(d〞 )
c
c〞
Z
YH
A
B
C
D
a
b d
c
d
c`
a`
b`
d`
a〞
b〞
a
b
49
图 25 判定两直线是否平行
X Y
W
c
a〞
Z
YH
d
c`
a`
b` d`
a
b
X O
c
d
c`a`
b` d`
a
b
b〞O
c〞
d〞
W面投影不平行
50
图 26 两直线平行特性的应用
b
c
X O
b`
c`
a`
a
例,已知平面
ABCD的 CD边为水平线,求作该四边形的 V面投影,
d
d`
e`
e
51
2、两直线相交投影特性：
空间两直线相交，则其各同面投影必定相交。且其各同面投影的交点必定符合点的投影规律。
52
两直线相交的判别
空间两直线为一般位置线时，根据两直线的同面投影，即可判断两直线是否相交。
空间两直线中有一条直线为投影面平行线时，两组同面投影中必须有一组是其所平行的那个投影面上的投影，方能直接确定它们是否相交，
否则，须作出第三投影，或用点分线段的定比性。
53
图 27 判定两直线相交
X Y
W
Z
YH
d`
c〞
c
c`a`
b`
a
b
O
d
a〞
b〞●
●
交点不符合投影规律
d〞
k`
k
k〞
OX
c
a`
b`
a
b
k`
k
c`
d`
d
●
●
54
3、两直线交叉概念：
在空间既不平行，又不相交的两直线称为 交叉（或异面）直线
55
投影特性：
它们的同面投影可能相交，但交点的连接不可能都符合点的投影规律，
这种投影的交点实际上是重影点的投影。
它们的同面投影可能平行。但三组同面投影必不会都平行；
空间两直线交叉
56
交叉两直线重影点可见性的判别要领须由该投影面的重影点向另一投影面作投影连线垂直于投影轴，求得投影点在另一投影面上二个点的投影，再按坐标值的大小判别可见性。
欲判别某投面重影点的可见性
57
图 28 交叉两直线
OX
a`
b`c`
d`
a
bc
d
1(2)
1`
2`
4`(3`)
3
4
58
4、直角投影定理空间相交成直角的两直线有一条直线为投影面的平行线，则在该投影面仍反映直角,称为直角投影定理。
如图
59
图 29 一边平行于投影面的直角投影
X
c
b a
c
a`
b` c`
ab
H
V
X OO
b`
a` c`
A
B
C
反映实长
60
直角投影定理简述如下：
当直角的一边平行于投影面时，则该直角在投影面上的投影仍反映为直角；
反之，两直线的某投影成直角时，且有一条直线是该投影面的平行线时，
则此两直线的实际交角必是直角。
该定理适用于两直线垂直相交，
也适用于两直线垂直交叉。
61
应用：
该定理常用于图解垂直和距离问题 （如最大斜度线）。
62
图 30 求点到直线的距离
X
b c
X OO
b`
c`
●
b c
b`
c`
●
●
●
实长△ Z
a`
k`
a
k
a`
a
BC为正平线
63
（二）直线与平面的相对位置直线与平面相对位置，除去直线在平面上的从属关系外，也有平行、相交和垂直三种情况，根据水利专业的特点，对该部分内容不作要求，因此，我们届不作具体的学习和讨论。
64
（三）平面与立体截交基 本 概 念 术语
平面与立体相交统称截交。
截交立体的平面截平面
（一般为投影有积聚性的特殊位置平面）
立体表面产生的交线称为截交线
由截交线围成的平面称为截断面
65
截交线的性质
共有线
封闭线截交线一般是封闭的平面图形根据上述性质，截交线的基本画法可归结为求平面与立体表面的共有点的作图。
截交线是截平面与立体表面共有点集合
66
截交线的形状
平面与平面相交，截交线都是平面多边形；
平面与回转体相交，截交线一般是平面曲线。
如与圆柱面相交，截交线可能是椭圆、圆或两条平行直线。
见教材 P75页图 5-16
67
与圆锥面相交，截交线可能是椭圆、双曲线、抛物线、
圆或相交两直线。
68
截交线的作图方法解题的总体思路是先分析，由体 面 点后作图，由点 线 面修正轮廓判虚实线面分析来检验
（若无积聚性，必为类似形）
69
分析：
1、分析立体的几何性质，是基本几何体，还是组合体。
如是基本几何体，要分析是平面立体，还是曲面立体。
如是组合体，除分析它的各基本几何体外，还要分析各几何体的界线。
70
分析：
2,分析截平面的个数，和对立体的相对位置，弄清截交线的几何形状。
3,分析立体对投影面的相对位置和截平面对投影面的相对位置，根据位置和截平面的投影，确定截交线的已知投影。
71
把已确定的截交线的一个投影，视为立体表面上的线，采用表面取点法，求出截交线的其余投影。
通过分析
72
求法
1,根据共有性，求共有点。
1）积聚性法：先求积聚性，然后二求三。
2）辅助线面法：为使作图简便和准确，
应尽可能使辅助线的投影剧院是直线和圆。
2,根据封闭性，将同面的点按顺序相连接。
73
作图步骤
1,作特殊点对平面立体来讲，是截交线平面多边形的多个顶点。
74
对回转体来讲，截交线特殊点则是：
a,回转达体对各投影面的轮廓上的点；
b,截交线对各投影面外于最高、最低、
最前、最后、最左、最右位置的点。
这些点可利用截交线有积聚性的投影来确定；
c,截交线本身的特殊点，如椭圆长短轴的端点，双曲线的顶点等；
d,在组合的截交线中，各几何体的分界点
75
2、作中间点,对曲面立体，根据需要，适当作一些中间点；
1、作特殊点对平面立体来讲，是截交线平面多边形的多个顶点。
3、顺次连接各点同面投影，对平面立体用直线连接名顶点；对曲面立体。由用曲线光滑相连，然后判别可见性，分虚实；
4、修正立体轮廓线，画全截切后的立体投影。
76
作图实例 1
分析切口圆柱的截交线，补画俯视图。
作图实例 2
分析涵洞洞身与胸墙外表面的交线，补全俯视图。
77
（ 五）立体与立体相交
1、基本概念
① 术语立体与立体相交统称相贯。
立体相交表面产生的交线称相贯线
② 相贯线性质相贯线的基本性质是共有性和表面性。
即相贯线是相交两立体的共有线，
相贯线上的点是共有点，
相贯线位于两立体的表面。
78
两回转体相交相贯线的形状，取决于两回转体的几何性质、相对大小、相对位置。
③ 相贯线形状
两回转体相交相贯线一般情况下是空间曲线。特殊情况下可能是平面曲线或直线。
79
2、相贯线的作图方法相贯线的作图问题，
实质上是求两回转体表面上的共有点的问题。
当立体表面的投影具有积聚性时，
可以利用积聚性或利用辅助线作图。
80
分析
分析两回转体的几何性质，相对大小和相对位置；
分析相贯线是一般情况下的空间曲线，还是处于特殊位置情况下的平面曲线或直线；
分析两回转体对投影面的相对位置，其投影有无积聚性，哪个投影有积聚性；
分析相贯线的投影有没有已知的，
哪个投影是已知的，要求的是哪个投影。
？？
？
81
作图步骤：
⒈ 作特殊点，相贯线的特殊点主要是对各投影面轮廓线上的点和投影面相对位置的特殊点（最高、最低、最前、最后、最左、最右）；
⒉作中间点；
⒊顺次光滑连接各点；
⒋修正轮廓，画全相贯后的轮廓。
82
图 30 两圆柱正交时相贯线的投影
X YW
Z
YH
●
1
2
O
1`（ 2`）
3 4
3〞 （ 4〞 ）3? 4? ●
83
图 31 轮廓外表面相贯线的投影
84
直径不等两圆柱正交相贯线的简化画法两圆柱正交，
转向轮廓线的交点必是相贯线上的点。
作图,1、以两圆柱轮廓线交点为圆心，大圆柱半径为半经作圆弧交小圆柱轴线于 O点；
2、以 O点为圆心，大圆柱半径为长，
作圆弧，即得相贯线投影，
85
作图实例用简化画法画出内外圆柱面正交的相贯线的正面投影。
86
谢谢收看安徽金寨县江店职高
2004年 10月 20日
