高等数学（集合与函数）：高等数学.PPT

?第一节 集合与映射
?第二节 函数的概念与基本性质
?第三节 基本初等函数与初等函数
?第四节 双曲函数与反双曲函数
第一节 集合与映射
?一、集合的概念
?二、集合的运算
?三、区间与邻域
?四、映射的概念
一、集合的概念
1.集合,具有某种特定性质的事物的总体,
组成这个集合的事物称为该集合的元素,
},,,{ 21 naaaA ??
}{ 所具有的特征xxM ?
有限集
无限集
,Ma ?,Ma ?
.,,的子集是就说则若 BABxAx ??
.BA ?记作
数集分类, N----自然数集 Z----整数集
Q----有理数集 R----实数集
数集间的关系,,,,RQQZZN ???
.,,相等与就称集合且若 BAABBA ?? )( BA ?
},2,1{?A例如
},023{ 2 ???? xxxC,CA ?则
不含任何元素的集合称为 空集, )( ?记作
例如,}01,{ 2 ??? xRxx
规定
??
空集为任何集合的子集,
(1)子集
设 A,B是两个集合，若 A的每个元素都是 B的元
素，则称 A是 B的子集,记作 A?B（或 B ?A ），
读作 A被 B包含（或 B包含 A）,
若 A? B，且有元素 a∈ B，但 a?A，则说 A是 B的
真子集,记作 A?B.
规定,??A.
二、集合的运算
( 2)相等
若 A?B，且 B?A，则称 A与 B相等,记作 A= B.
(3)并集
由属于 A或属于 B的所有元素组成的
集称为 A与 B的并集 记作 A∪ B，即
A∪ B={x|x∈ A或 x∈ B}
(4)交集
由同时属于 A与 B的元素组成的集称
为 A与 B的交集, 记作 A∩B,即
A∩B={x|x∈ A且 x∈ B}
A B
A B
若 A∩B=?，则称 A与 B不相交，
若 A∩B≠?，则称 A与 B相交。
(5)差集
由属于 A但不属于 B的元素组成的
集称为 A与 B的差集, 记作 A–B,即 A B
差集 A–B不要求 B?A,如果 B?A,则称差集 A–B为
B在 A中的补集 （ 或余集 ）, 记作 CAB.
(6)补集 (余集 )
如果所考虑的一切集都是某个集 X的子集, 则称 X为
基本集, X中的任何集 A关于 X的余集 X-A常简称为
A的补集 （ 或余集 ）,记作 CA。
定理 1 设 A,B,C为三个任意集合, 则下列法则
成立：
(1) 交换律 A∪ B=B∪ A,A∩B=B∩A；
(2) 结合律 (A∪ B)∪ C=A∪ (B∪ C)，
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；
(3) 分配律 (A∪ B)∩C=(A∩C)∪ (B∩C)，
(A∩B)∪ C=(A∪ C)∩(B∪ C)，
(A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C)；
(4) 幂等律 A∪ A=A,A∩A=A；
(5) 吸收律 A∪ ?=A,A∩?=?。
2定理
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
11
11
C)(C
,C)(C;),2,1(,
i
i
i
i
i
i
i
i
i
AA
AA
iAX 则为一列集合为基本集设
3定理
1.区间 是指介于某两个实数之间的全体实数,
这两个实数叫做区间的端点,
.,,baRba ??? 且
}{ bxax ?? 称为开区间,),( ba记作
}{ bxax ?? 称为闭区间,],[ ba记作
o xa b
o xa b
三、区间与邻域
}{ bxax ??
}{ bxax ??
称为半开区间,
称为半开区间,
),[ ba记作
],( ba记作
}{),[ xaxa ???? }{),( bxxb ????
o xa
o xb
有限区间
无限区间
区间长度的定义,
两端点间的距离 (线段的长度 )称为区间的长度,
2.邻域,,0,??? 且是两个实数与设 a
).(0 aU ?记作
,叫做这邻域的中心点 a,叫做这邻域的半径?
.}{)( ??? ????? axaxaU
xa??a ??a
??
,邻域的去心的点 ?a
.}0{)( ?? ???? axxaU
,}{ 邻域的称为点数集 ?? aaxx ??
3.常量与变量,
在某过程中数值保持不变的量称为 常量,
注意 常量与变量是相对“过程”而言的,
通常用字母 a,b,c等表示常量,
而数值变化的量称为 变量,
常量与变量的表示方法：
用字母 x,y,t等表示 变 量,
4.绝对值,
??
?
??
??
0
0
aa
aaa
)0( ?a
运算性质, ;baab ?;baba ?,bababa ?????
)0( ?? aax ;axa ???
)0( ?? aax ;axax ??? 或
绝对值不等式,
AxyxfBAf ???,|:,,或
定义 1 设 A,B是两个非空的集合，若对 A中的每个元
素 x，按照某种确定的法则 f，在 B中有惟一的一个元
素 y与之对应，则称 f是从 A到 B的一个映射，记作：
称 y为 x在映射 f下的 像, x称为 y在映射 f下的 原像,集
合 A称为映射 f 的 定义域,A中所有元素 x的像 y的全体
所构成的集合称为 f 的 值域,记作 f (A).即
? ?AxxfyyAf ??? ),(|)(
四、映射的概念
例 1 设 A表示某高校大学一年级学生所构成的集合,
用一种方法给每一个学生编一个学号,B表示该校一
年级学生学号的集合,f 表示编号方法,于是确定了从
A到 B的一个映射 f,A?B
设有映射 f,A?B,若 B=f(A)={f(x)|x∈ A},则称 f 是
满射,若 f将 A中不同的元素映射到 B中的像也不同,即
若 x1,x2∈ A且 x1≠x2,则 f(x1) ≠f(x2),则称 f是 单射,若 f 既是
满射又是单射,则称 f是从 A到 B的 一一映射,若 A与 B之
间存在一一映射,则称 A与 B是 一一对应 的,
第二节 函数的概念与基本性质
?一、函数的概念
?二、复合函数与反函数
?三、函数的几种特性
?四、函数的应用举例
一、函数的概念
例 圆内接正多边形的周长
nnrS n
?? s i n2
?,5,4,3?n
3S 5
S4S 6S
圆内接正 n边形
O
rn?
因变量 自变量
.)(,000 处的函数值为函数在点称时当 xxfDx ?
.}),({ 称为函数的值域
函数值全体组成的数集
DxxfyyW ???
变量 y按照一定法则总有
确定的数值和它对应，则称 y是 x的 函数,记作
定义 设 x 和 y 是两个变量,D 是一个给定的数集，
数集 D叫做这个函数的 定义域)( xfy ?
如果对于每个数 Dx ?,
(
(
)
)
0x
)( 0xf
自变量
因变量
对应法则 f
函数的两要素, 定义域 与 对应法则,
x
y
D
W
约定, 定义域是自变量所能取的使算式有意义
的一切实数值,
21 xy ??例如,]1,1[,?D
21
1
xy ??例如,)1,1(,?D
定义,
.)(
}),(),{(
的图形函数
称为点集
xfy
DxxfyyxC
?
???
o x
y
),( yx
x
yW
D
?
如果自变量在定
义域内任取一个数值
时，对应的函数值总
是只有一个，这种函
数叫做单值函数，否
则叫与多值函数．
．例如,222 ayx ??
(1) 符号函数
?
?
?
?
?
??
?
?
??
01
00
01
s g n
x
x
x
xy
当
当
当
几个特殊的函数举例
1
-1
x
y
o
xxx ?? s g n
(2) 取整函数 y=[x]
[x]表示不超过 的最大整数
1 2 3 4 5
-2
-4
-4 -3 -2 -1
4
3
2
1 -1
-3
x
y
o
阶梯曲线
x
??
???
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
0
1)(
有理数点无理数点
?
1
x
y
o
(3) 狄利克雷函数
(4) 取最值函数
)}(),(m a x { xgxfy ? )}(),(m i n{ xgxfy ?y
xo
)(xf
)(xg
y
xo
)(xf
)(xg
??
?
??
???
0,1
0,12)(,
2 xx
xxxf例如
12 ?? xy12 ?? xy
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为 分段函数,
例 1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压 U与时间 的函数关系式,)0( ?tt
解 U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
?
,]2,0[ 时当 ??t
t
E
U
2
?
?;2 tE??
单三角脉冲信号的电压,],2( 时当 ?
??t
),(
2
0
0 ???
??
?
?
?? t
E
U
)(2 ????? tEU即
,),( 时当 ????t,0?U
其表达式为
是一个分段函数,)( tUU ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
???
?
?
?
?
?
?
),(,0
],
2
(),(
2
]
2
,0[,
2
)(
t
tt
E
tt
E
tU
U
to
E
),2( E?
)0,(?
2
?
例 2
.)3(,212 101)( 的定义域求函数设 ?
??
?
???
??? xf
x
xxf
解
??
?
????
??????
2312
1301)3(
x
xxf
??
?
???
???
212
101)(
x
xxf?
??
?
?????
?????
122
231
x
x
]1,3[,??fD故
二,复合函数与 反函数
0x
0y
0x
0y
x
y
D
W
)( xfy ?函数
o x
y
D
W
)( yx ??反函数
o
)( xfy ?直接函数
x
y
o
),( abQ
),( baP
)( xy ??反函数
直接函数与反函数的图形关于直线 对称,xy ?
2、复合函数
,uy ?设,1 2xu ?? 21 xy ??
定义,
设函数 )( ufy ? 的定义域
f
D,而函数
)( xu ?? 的值域为
?
Z,若 ???
?
ZD
f,则称
函数 )]([ xfy ?? 为 x 的 复合函数,
,自变量?x,中间变量?u,因变量?y
注意,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复
合函数的 ;
,a r c s i n uy ?例如 ;2 2xu ?? )2a rcs i n ( 2xy ??
2.复合函数可以由两个以上的函数经过复
合构成,
,2c o t xy ?例如,uy ?,c o t vu ?,2
xv ?
解, 令 y=f(w),w=f(u),u=f(x),则 y=f(f(f(x)))是通过两个
中间变量 w和 u复合而成的函数, 因为;
3
1
,
13
1
12
12
1
)(;
2
1
,
12
1
1
1
1
)(
??
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
??
x
x
x
x
x
x
x
w
w
wfy
x
x
x
x
x
x
x
u
u
ufw
三、函数的几种特性
M
-M
y
xo
y=f(x)
X有界 无界
M
-M
y
xo X0
x
,)(,,0,成立有若 MxfXxMDX ??????
1．函数的有界性,
..)( 否则称无界上有界在则称函数 Xxf
2．函数的单调性,
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ?;)( 上是单调增加的在区间则称函数 Ixf
),()()1( 21 xfxf ?恒有
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I
)(xfy ?
)( 1xf
)( 2xf
x
y
o
I;)( 上是单调减少的在区间则称函数 Ixf
,,)( DIDxf ?区间的定义域为设函数
,,2121 时当及上任意两点如果对于区间 xxxxI ?
),()()2( 21 xfxf ?恒有
3．函数的奇偶性,
偶函数
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??
y
x
)( xf ?
)( xfy ?
o x-x
)(xf;)( 为偶函数称 xf
有对于关于原点对称设,,DxD ??
)()( xfxf ??? ;)( 为奇函数称 xf
奇函数
)( xf ?
y
x
)(xf
o x
-x
)( xfy ?
4．函数的周期性,
（通常说周期函数的周期是指其最小正 周期 ）,
2l? 2l23l? 23l
,)( Dxf 的定义域为设函数 如果存在一个不为零的
)()( xflxf ??且
为周则称 )( xf
.)(,,DlxDxl ???使得对于任一数
.)(,的周期称为期函数 xfl.恒成立
例 3
解
,01)(
??
?
?
??
Qx
QxxD设
.))(().21(),57( 的性质并讨论求 xDDDD ??
,1)57( ??D,0)21( ??D,1))(( ?xDD
o x
y
1单值函数,有界函数,
偶函数,
周期函数 (无最小正周期 )
不是单调函数,
xO
y
1y
2y
1x 2x 3x 4x 5x
A B
C D
E
例 7 如图,试找出图象中 y与 x的关系，并设想图象是
什么现象的反映?
解, 若直线过点 (xo,yo),且斜率为 k,则其点斜式方程为
y－ y0=k(x－ x0)
四、函数应用举例
五、小结
基本概念
集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值,
函数的概念
函数的特性
有界性,单调性,奇偶性,周期性,
反函数
思考题设 0?? x,函数值 21)
1
( xx
x
f ???,
求函数 )0()( ?? xxfy 的解析表达式,
思考题解答
设 ux ?1
则 ? ? 2111 uuuf ???,11
2
u
u???
故 )0(.11)(
2
???? xx xxf
一,填空题,
1, 若
2
2
51
t
tt
f ???
?
?
?
?
?
,则 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _)( ?tf,
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)1(
2
??tf,
2, 若
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
3
,s i n
3
,1
)(
xx
x
t,
则 )
6
(
?
? =_ __ __ __ __, )
3
(
?
? =_ __ _ __ _ __,
3,不等式
15 ??x
的区间表示法是 __ __ __ _ _ _,
4,设
2
xy ?,要使
),0( ?Ux ?
时，
)2,0(Uy ?
,
须
?
__ __ __ _ __ _.
练 习 题
二、证明 xy lg? 在 ),0( ?? 上的单调性,
三、证明任一定义在区间 )0(),( ?? aaa 上的函数可表
示成一个奇函数与一个偶函数之和,
四、设
)( xf
是以 2 为周期的函数，
且
?
?
?
??
???
?
10,0
01,
)(
2
x
xx
xf,试在
),( ????
上绘出
)( xf
的图形,
五、证明：两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的
乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数,
六、证明函数
acx
bax
y
?
?
? 的反函数是其本身,
七、求 xx
xx
ee
eexf
?
?
?
??)( 的反函数，并指出其定义域,
一,1,
2
2
5
t
t ?,
22
2
)1(
2
)1(5
?
??
t
t ； 2, 1,1 ；
3, (4,6 ) ； 4, ]2,0(?,
七,)1,1(,
1
1
ln ?
?
?
?
x
x
y,
练习题答案
第三节 基本初等函数与初等函数
?一、基本初等函数
?二、初等函数
一、基本初等函数
1,幂函数 )( 是常数?? ?xy
o x
y
)1,1(
1
1
2xy ?
xy?
xy
1?
xy ?
2、指数函数 )1,0( ??? aaay x
xay ?
x
ay )
1(?
)1( ?a
)1,0(?
xey ?
3、对数函数 )1,0(l o g ??? aaxy a xy ln?
xy alo g?
xy
a
1lo g?
)1( ?a)0,1(?
4、三角函数
正弦函数
xy sin?
xy sin?
xy cos?
xy c o s?余弦函数
正切函数 xy t a n?
xy tan?
xy c o t?余切函数
xy co t?
正割函数 xy s e c?
xy se c?
xy c s c?余割函数
xy csc?
5、反三角函数
xy a r c si n?
xy a r c s in?反正弦函数
xy a r c c o s?
xy a r c c o s?反余弦函数
xy a r ct a n?
xy a r c t a n?反正切函数
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反
三角函数统称为 基本初等函数,
xy c o t?反余切函数 arc
xy co t?arc
二,初等函数
初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次
四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
一个式子表示 的函数,称为 初等函数,
例 1
)].([
,
0,1
0,2
)(,
1,
1,
)( 2
xf
xx
xx
x
xx
xe
xf
x
?
?
?
?
??
??
??
?
?
?
?
?
?
求
设
解 ??
?
???
???? ?
1)(),(
1)(,)]([ )(
xx
xexf x
,1)(1 0 时当 ?? x
,0?x或,12)( ???? xx;20 ?? x,0?x或,11)( 2 ???? xx;1??x
,1)(2 0 时当 ?? x
,0?x或,12)( ???? xx;2?x,0?x或,11)( 2 ???? xx;01 ??? x
综上所述,
2,1
20
01
1
,
,2
,
)]([
2
1
2
2
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
??
?
?
?
?
xx
x
x
x
e
x
e
xf
x
x
?
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称
对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u ??
.__________2lns i n4 复合而成由、函数 xy ?
._ _ _ _ _ _ _ _ _)0()()(
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0)((
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(s i n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
????
??
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
练 习 题
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy ??
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形
出图之间的函数关系，并作千克于行李重量
元元，试建立行李收费出部分每千克
千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
一,1,基本初等函数； 2, ],[
3
ee ；
3,
2
x
ey ? ； 4, xvvuuy 2,ln,si n ??? ；
5, [ - 1,1],[ ???? kk 2,2 ],]1,[ aa ??,
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
?
,
三、
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,
练习题答案
四、
??
?
?
?
???
??
?
?
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y
第四节 双曲函数与反双曲函数
?一、双曲函数
?二、反双曲函数
一、双曲函数
2s i n h
xx ee
x
??
?双曲正弦
xy c osh?
xy si nh?),,(,????D
奇函数,
2c o s h
xx ee
x
??
?双曲余弦
),,(,????D
偶函数,
xey
2
1?
xey ??
2
1
xx
xx
ee
ee
x
xx
?
?
?
???
c o s h
s i n ht a n h双曲正切
奇函数,),(,????D 有界函数,
双曲函数常用公式;s i nhco s hco s hs i nh)s i nh( yxyxyx ???;s i nhs i nhco s hco s h)co s h( yxyxyx ???;1s i n hc o s h 22 ?? xx;co s hs i nh22s i nh xxx ?
.s i n hc o s h2c o s h 22 xxx ??
奇函数,
),(,????D
.),( 内单调增加在 ????;s i n h xy ?反双曲正弦 ar
).1l n (
s i n h
2 ???
?
xx
xy ar si nhar? xy
二、反双曲函数
.),1[ 内单调增加在 ??
),1[,??D
?y反双曲余弦 coshar
).1l n (
c o s h
2 ???
?
xx
xy ar
x
coshar x?y
.11ln21 xx???
)1,1(,?D
奇函数,
.)1,1( 内单调增加在 ?
?y反双曲正切 tanhar
xy t a n h?ar
x
tanhar x?y
三、小结
函数的分类,
函
数
初
等
函
数
非初等函数 (分段函数,有无穷多项等函数 )
代
数
函
数
超越函数
有
理
函
数
无理函数
有理整函数 (多项式函数 )
有理分函数 (分式函数 )
思考题
下列函数能否复合为函数 )]([ xgfy ?,
若能，写出其解析式、定义域、值域．
,)()1( uufy ?? 2)( xxxgu ???
,ln)()2( uufy ?? 1s i n)( ??? xxgu
思考题解答
2)]([)1( xxxgfy ???
},10|{ ???? xxDx ]21,0[)( ?Df
)2( 不能,01s i n)( ??? xxg?
)( xg 的值域与 )( uf 的定义域之交集是空集,
._ _ _ _ _ _ _ _ _
1
反三角函数统称
对数函数，三角函数和、幂函数，指数函数，
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _
)( l n]31[)(2
的定义域为
，则函数，的定义域为、函数 xfxf
一、填空题,
.______3 2 复合而成的函数为，、由函数 xuey u ??
.__________2lns i n4 复合而成由、函数 xy ?
._ _ _ _ _ _ _ _ _)0()()(
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _)0)((
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _)(s i n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
]10[)(5 2
的定义域为
，的定义域为
，的定义域为，为
）的定义域（，则，的定义域为、若
????
??
aaxfaxf
aaxf
xf
xfxf
练 习 题
.s i n 的图形”作函数二、应用图形的“叠加 xxy ??
.)]([)]([
)(
11
10
11
)(
，并作出它们的图形，求
，，
，
，
，
三、设
xfgxgf
exg
x
x
x
xf x?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
.
)(
)()(30.0
5020.05002
20
形
出图之间的函数关系，并作千克于行李重量
元元，试建立行李收费出部分每千克
千克超元，超出千克每千克收费～
千克以下不计费，定如下：四、火车站行李收费规
x
xf
一,1,基本初等函数； 2, ],[
3
ee ；
3,
2
x
ey ? ； 4, xvvuuy 2,ln,si n ??? ；
5, [ - 1,1],[ ???? kk 2,2 ],]1,[ aa ??,
?
?
?
?
?
?
?
?
???
2
1
2
1
0]1,[
a
aaa
?
,
三、
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,1
0,0
0,1
)]([
x
x
x
xgf ；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1,
1
1,1
1,
)]([
x
e
x
xe
xfg,
练习题答案
四、
??
?
?
?
???
??
?
?
50),50(3.010
5020,2.0
200
xx
xx
x
y
?第一节 数列的极限
?第二节 x??时函数的极限
?第三节 x?x0时函数的极限
?第四节 无穷大量与无穷小量
第二章
函数的极限和连续性
?第五节 极限的运算法则
?第六节 极限存在准则
?第七节 两个重要极限
?第八节 无穷小量的比较
?第九节 函数的连续性
?第十节 连续函数的基本性质
?第十一节 闭区间上连续函数的性质
第一节 数列的极限
?一, 数列极限的定义
?二, 数列极限的性质
?三, 收敛准则
―割之弥细，所
失弥少，割之又
割，以至于不可
割，则与圆周合
体而无所失矣”
1、割圆术：
播放——刘徽
概念的引入
R
正六边形的面积 1A
正十二边形的面积 2A
????
正 形的面积 126 ?? n nA
??,,,,,321 nAAAA S
2、截丈问题：
―一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 ?X第一天截下的杖长为;2 121 22 ??X为第二天截下的杖长总和
????;2 12 121 2 nnXn ???? ?天截下的杖长总和为第
nnX 2
11 ?? 1
一、数列 极限 的定义
定义, 按自然数 ?,3,2,1 编号依次排列的一列数
??,,,,
21 n
xxx ( 1)
称为 无穷数列,简称 数列, 其中的每个数称为数
列的 项,nx 称为 通项 ( 一般项 ), 数列 ( 1) 记为 }{ nx,
例如 ;,2,,8,4,2 ?? n;,21,,81,41,21 ?? n
}2{
}21{ n
注意,1.数列对应着数轴上一个点列,可看作一
动点在数轴上依次取,,,,,21 ?? nxxx
1x 2x3x 4x nx
2.数列是整标函数 ).( nfx n ?;,)1(,,1,1,1 1 ?? ??? n})1{( 1?? n;,)1(,,34,21,2
1
?? nn
n ??? })1({
1
n
n n ???
???,333,,33,3 ????
.})1(1{
1
时的变化趋势当观察数列 ????
?
nn
n
播放
四、数列的极限
问题, 当 无限增大时,是否无限接近于某一
确定的数值?如果是,如何确定?
nxn
.1)1(1,
1
无限接近于无限增大时当 nxn
n
n
??
??
问题, ―无限接近”意味着什么?如何用数学语言
刻划它,
?? 1nx? nnn
11)1( 1 ?? ?
通过上面演示实验的观察,
,1001给定,1 0 011 ?n由,1 0 0时只要 ?n,10011 ??nx有
,10001给定,1 0 0 0时只要 ?n
,1000011 ??nx有,1 0 0 0 01给定,1 0 0 0 0时只要 ?n
,1 0 0 011 ??nx有
,0??给定,])1[( 时只要 ??? Nn,1 成立有 ???nx
定义 如果对于任意给定的正数 ?(不论它多么
小 ),总存在正数 N,使得对于 Nn ? 时的一切 nx,
不等式 ??? axn 都成立,那末就称常数 a是数列
nx 的极限,或者称数列 nx 收敛于 a,记为
,lim axn
n
?
?? 或 ).(
??? naxn
如果数列没有极限,就说数列是发散的,
注意,;.1 的无限接近与刻划了不等式 axax nn ???
..2 有关与任意给定的正数 ?N
x1x2x 2?Nx1?Nx 3x
几何解释, ?2
??a ??a
a
.)(
,),(,
落在其外个至多只有只有有限个
内都落在所有的点时当
N
aaxNn n ?? ???
:定义N??
其中 ;,每一个或任给的?,,至少有一个或存在?
.,,0,0
l i m
?????????
??
??
axNnN
ax
n
nn
恒有时使
数列极限的定义未给出求极限的方法,
例 1,1)1(lim
1
???
?
?? n
n n
n
证明
证 1?nx 1
)1( 1 ???? ?
n
n n
n
1?
,0??任给,1 ???nx要,1 ??n只要,1??n或
所以,],1[??N取,时则当 Nn ?
?????
?
1)1(
1
n
n n就有,1)1(lim 1 ??? ?
?? n
n n
n
即
注意：
例 2,lim),( CxCCx n
nn ?? ??证明为常数设
证
Cxn ? CC ??,成立??
,0??任给
所以,
0?
,n对于一切自然数
.lim Cx nn ???
说明,常数列的极限等于同一常数,
小结, 用定义证数列极限存在时,关键是任意给
定 寻找 N,但不必要求最小的 N.,0??
例 3,1,0lim ???? qq nn 其中证明
证,0??任给
,0 ???? nn qx,lnln ??n
],lnln[ qN ??取,时则当 Nn ?
,0 ???nq就有,0l i m ?? ?? nn q
,0?q若 ;00l i ml i m ?? ???? nnn q则
,10 ?? q若
,lnln qn ???
例 4
.lim
,0lim,0
ax
axx
nn
nnn
?
???
??
??
求证
且设
证,0??任给
.lim ax nn ???故
,l i m ax nn ????
,1?????? axNnN n时恒有使得当
ax
axax
n
n
n ?
???从而有
a
ax n ??
a
1?? ??
二,数列极限的性质
1,有界性
定义, 对数列 nx,若存在正数 M,使得一切自
然数 n,恒有 Mx n ? 成立,则称数列 nx 有界,
否则,称为无界,
例如,;1?? n nx n数列,2 nnx ?数列
数轴上对应于有界数列的点 nx 都落在闭区间
],[ MM? 上,
有界 无界
定理 1 收敛的数列必定有界,
证,l i m ax nn ???设 由定义,,1??取
,1,???? axNnN n时恒有使得当则
.11 ???? axa n即有
},1,1,,,m a x { 1 ??? aaxxM N?记
,,Mxn n ?皆有则对一切自然数 ? ?,有界故 nx
注意,有界性是数列收敛的必要条件,
推论 无界数列必定发散,
2、唯一性
定理 2 每个收敛的数列只有一个极限,
证,lim,lim bxax nnnn ?? ???? 又设 由定义,
使得.,,0 21 NN???? ;1 ???? axNn n时恒有当;2 ???? bxNn n时恒有当 ? ?,,m a x 21 NNN ?取
时有则当 Nn ? )()( axbxba nn ?????
axbx nn ????,2 ??????
.时才能成立上式仅当 ba ?故收敛数列极限唯一,
例 5,)1( 1 是发散的证明数列 ??? nnx
证,l i m ax nn ???设 由定义,,21??对于
,21,,成立有时使得当则 ???? axNnN n
),21,21(,???? aaxNn n时即当 区间长度为 1.
,1,1 两个数无休止地反复取而 ?nx
不可能同时位于 长度为 1的 区间内,
.,}{,但却发散是有界的事实上 nx
3、子数列的收敛性 ? ?
? ?
? ? 的子数列（或子列）．的一个数列称为原数列
到中的先后次序，这样得这些项在原数列
保持中任意抽取无限多项并定义：在数列
n
n
n
x
x
x
???,,,,,21 ni xxxx
??,,,,21 knnn xxx ? ?
? ?,knxxx
kxx
kknn
nn
k
kk
?项，显然，中却是第在原数列而
项，是第中，一般项在子数列注意：
例如，
定理 3 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限
相同．
证 ? ? ? ? 的任一子数列．是数列设数列 nn xx
k
,lim ax nn ????
.,,0,0 ?? ???????? axNnN n恒有时使
,NK ?取
,时则当 Kk ?,Nnnn Kkk ???
.???? ax kn,lim ax knk ?? ?? 证
毕．
定义 5 数列 {xn}的项若满足 x1≤x2≤… ≤xn≤xn+1≤…,则称
数列 {xn}为单调增加数列 ;
若满足 x1≥x2≥… ≥xn≥xn+1≥…,则称数列 {xn}为单调
减少数列 ;
当上述不等式中等号都不成立时,则分别称 {xn} 是
严格单调增加和严格单调减少数列,
收敛准则 单调增加且有上界的数列必有极限 ;
单调减少有下界的数列必有极限,
三、收敛准则
.})
1
1{(
,)
1
1
1()
1
1(
,
1
1
1,
1
1
])1[(
))(1(
))((
,0
.})
1
1{(
.})
1
1{(5
1
1
1111
是单调增加的即数列
得代入取
即
有时当
单调增加且有上界只需证明证
收敛证明数列例
n
nn
nn
n
nnnnnn
n
n
n
nn
n
b
n
a
bnabna
aban
babbaababa
ba
n
n
?
?
???
?
????
???
???
???????
??
?
?
?
?
????
?
五、小结
数列,研究其变化规律 ;
数列极限,极限思想、精确定义、几何意义 ;
收敛数列的性质,
有界性、唯一性、子数列的收敛性,
思考题 指出下列证明 1lim ?
??
n
n
n 中的错误,
证明 要使,1 ???n n 只要使 )1l n(ln1 ???nn
从而由 2ln )1l n(ln )1l n(1 ?? ???? nn
得,0??? 取 1)1l n( 2ln ??
?
?
??
?
?? ?N
当 时，必有 成立Nn ? ???? 10 n n
1lim ?? ?? nn n
思考题解答
??? 1n n? )1l n(ln1 ???nn~ （等价）
证明中所采用的 2ln )1l n(ln )1l n(1 ?? ???? nn
实际上就是不等式 )1l n(ln2ln ???? n nn
即证明中没有采用,适当放大, 的值nnln
从而 时,2ln )1l n( ???? Nn
仅有 成立,)1l n(2ln ???n
但不是 的充分条件,)1l n(ln ???n n
反而缩小为 n2ln
一,利用数列极限的定义证明,
1,
2
3
12
13
lim ?
?
?
?? n
n
n；
2, 19.,,,9 9 9.0lim ?
??n
二,设数列 nx 有界，又 0lim ?
??
n
n
y,
证明,0l i m ?
??
nn
n
yx,
练 习 题
第二节
x??时函数的极限
.s i n 时的变化趋势当观察函数 ??xx x
播放
第二节 x??时函数的极限
问题, 函数 )( xfy ? 在 ??x 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.的过程表示 ??? xXx
.0s i n)(,无限接近于无限增大时当 x xxfx ?
通过上面演示实验的观察,
问题, 如何用数学语言刻划函数“无限接近”,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ?(不论它多么小 ),
总存在着正数 X,使得对于适合不等式 Xx ? 的一切
x,所对应的函数值 )(xf 都满足不等式 ??? Axf )(,
那么常数 A就叫函数 )(xf 当 ??x 时的极限,记作
)()()(lim ?????? xAxfAxf
x 当或
定义"" X??
.)(,,0,0 ????????? AxfXxX 恒有时使当
???? Axfx )(l i m
1、定义：
:.1 0 情形???x
.)(,,0,0 ?? ??????? AxfXxX 恒有时使当
:.2 0 情形???x Axfx ???? )(l i m
.)(,,0,0 ?? ???????? AxfXxX 恒有时使当
Axfx ???? )(l i m
2、另两种情形,
???? Axfx )(l i m:定理,)(l i m)(l i AxfAxf xx ?? ?????? 且
x
xy sin?
3、几何解释,
??
?
X? X
.2,
)(,
的带形区域内宽为为中心线直线
图形完全落在以函数时或当
??
????
Ay
xfyXxXx
A
xxy sin?例 1,0sinlim ??? x xx证明
证 x xx x s i n0s i n ??? x
1?
X
1?,??
,0???,1??X取 时恒有则当 Xx ?
,0s i n ???x x,0sinlim ?
?? x
x
x
故
.
)(,)(lim:
的图形的水平渐近线
是函数则直线如果定义 xfycycxf
x
???
??
第三节 x?x0时函数的极限
?一,x?x0时函数的极限
?二, 函数极限的性质
一,x?x0时函数的极限问题, 函数 )( xfy ? 在
0xx ? 的 过程中,对应
函数值 )( xf 无限 趋近于 确定值 A,;)()( 任意小表示 AxfAxf ????
.0 00 的过程表示 xxxx ???? ?
x0x??0x ??0x
??
,0 邻域的去心点 ?x,0 程度接近体现 xx?
定义 2 如果对于任意给定的正数 ?(不论它多
么小 ),总存在正数 ?,使得对于适合不等式
???? 00 xx 的一切 x,对应的函数值 )(xf 都
满足不等式 ??? Axf )(,那末常数 A就叫函数
)(xf 当 0xx 畗 时的极限,记作
)()()(lim 0
0
xxAxfAxf
xx
???
? 当或
定义"" ???
.)(
,0,0,0 0
???
??????????
Axf
xx
恒有
时使当
1、定义：
2、几何解释,
)(xfy ?
??A
??A
A
??0x ??0x0x
??
x
y
o,2
,
)(,
0
的带形区域内宽为
为中心线线
图形完全落在以直
函数域时
邻的去心在当
?
?
?
?
Ay
xfy
xx
注意,;)(.1 0 是否有定义无关在点函数极限与 xxf
..2 有关与任意给定的正数 ??
.,,越小越好后找到一个显然 ??
例 2 ).(,lim
0
为常数证明 CCCxx ??
证
Axf ?)( CC ??,成立??
,0??任给
0?,l i m
0
CCxx ?? ?
,0??任取,0 0 时当 ???? xx
例 3,l i m 0
0
xxxx ??证明
证,)( 0xxAxf ????,0??任给,???取
,0 0 时当 ?????? xx
0)( xxAxf ???,成立??,lim 0
0
xxxx ?? ?
例 4,211l i m
2
1
???
? x
x
x
证明
证
211)(
2
????? xxAxf?,0??任给
,???只要取
,0 0 时当 ???? xx
函数在点 x=1处没有定义,
1?? x
,)( ??? Axf要使
,211
2
?????xx就有
.211lim
2
1
????
? x
x
x
例 5
.lim 0
0
xxxx ?? ?
证 0)( xxAxf ????
,0??任给
},,m i n { 00 ??? xx取
,0 0 时当 ???? xx
0
0
xx
xx
?
??
,)( ??? Axf要使
,0 ??? xx就有
,0x x??
.00 且不取负值只要 ??? xxx
.lim,0,00
0
xxx xx ?? ?时当证明
3.单侧极限,
例如,
.1)(lim
0,1
0,1
)(
0
2
?
?
?
?
??
??
?
?
xf
xx
xx
xf
x
证明
设
两种情况分别讨论和分 00 ?? xx
,0xx 从左侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
,0xx 从右侧无限趋近 ;00 ?? xx记作
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
左极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
右极限
.)(
,,0,0 00
???
??????????
Axf
xxx
恒有
时使当
}0{}0{
}0{:
00
0
??????????
????
xxxxxx
xxx
?
注意
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()(lim 0
)(
0
0
0
AxfAxf
xx
xx
???
??
??
或记作
.)0()0()(lim,00
0
AxfxfAxfxx ???????定理
.lim
0
不存在验证 xx
x ? y
x
1
1?
o x
x
x
x
xx
??
???? 00
limlim
左右极限存在但不相等,.)(lim 0 不存在xfx ??
例 6
证
1)1(lim 0 ???? ??x
x
x
x
x
xx 00
l i ml i m
???
? 11lim
0 ?? ??x
二、函数极限的性质
1.有界性定理 若在某个过程下,)( xf 有极限,则存在
过程的一个时刻,在此时刻以后 )( xf 有界,
2.唯一性
定理 若 )(lim xf 存在,则极限唯一,
推论
).()(),,(,0
,)(l i m,)(l i m
0
0
00
xgxfxUx
BABxgAxf
xxxx
???????
???
??
有则
且设
3.不等式性质
定理 (保序性 )
.),()(),,(,0
.)(lim,)(lim
0
0
00
BAxgxfxUx
BxgAxf
xxxx
????????
??
??
则有若
设
).0)((0)(,),(,0
),0(0,)(lim
0
0
0
???????
???
?
xfxfxUx
AAAxf
xx
或时当则
或且若
定理 (保号性 )
).0(0),0)((0)(
,),(,0,)(lim 00
0
????
??????
?
AAxfxf
xUxAxf
xx
或则或
时当且若推论
4.子列收敛性 (函数极限与数列极限的关系 )
? ?
.
)(),(,),(),(,)(
.),(
),,(
21
000
时的子列当
为函数即
则称数列时使得有数列
中或可以是设在过程
ax
xfxfxfxfxf
axnax
xxxaax
nn
nn
?
????
?
??
??定义
.)(lim,
)()(,)(lim
Axf
axxfxfAxf
nn
nax
?
??
??
?
则有时的一个子列
当是数列若
定理
证
.)(
,0,0,0 0
???
???????????
Axf
xx 恒有时使当
Axfxx ?? )(l i m
0
?
.0
,,0,0
0 ????
??????
xx
NnN
n
恒有时使当对上述
,)( ??? Axf n从而有,)(l i m Axf nn ???故
,lim 00 xxxx nnn ???? 且又 ?
例如,x
xy sin?
1sinlim
0
?
? x
x
x
,11s i nlim ?
?? n
n
n
,11s i nlim ?
?? n
n
n
11s i n1lim 2
2
???
?? n
n
n
n
n
函数极限与数列极限的关系
函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极
限都存在,且相等,
xy 1sin?
例 7,1s i nl i m
0
不存在证明 x
x ?
证 ? ?,1 ?????? ?? nx n取
,0lim ??? nn x ;0?nx且
? ?,
2
14
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
x n取
,0lim ???? nn x ;0??nx且
?nx
nnn
s i nl i m1s i nl i m
????
?而
,1?
?2 14s i nlim1s i nlim ???
????
n
x nnn而
1lim??? n
二者不相等,.1s i nl i m 0 不存在故 xx ?
,0?
三、小结
函数极限的统一定义;)(lim Anfn ???;)(lim Axfx ??? ;)(l i m Axfx ???? ;)(l i m Axfx ????;)(l i m
0
Axfxx ?? ;)(lim
0
Axfxx ???,)(lim
0
Axfxx ???
.)(
,,,0)(lim
?
?
??
?????
Axf
Axf
恒有
从此时刻以后时刻
(见下表 )
过 程
时 刻
从此时刻以后
??n ??x ???x ???x
N
Nn ? Nx ? Nx ? Nx ??
)(xf ??? Axf )(
0xx ?
?
???? 00 xx
?? 0xx ?? 0xx
???? 00 xx 00 ????? xx
过 程
时 刻
从此时刻以后
)(xf ??? Axf )(
思考题
试问函数
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
0,5
0,10
0,
1
s i n
)(
2
xx
x
x
x
x
xf 在 0?x 处
的左、右极限是否存在？当 0?x 时,)( xf 的
极限是否存在？
思考题解答
??? )(lim 0 xfx,5)5(lim 20 ???? xx 左极限存在,
??? )(lim 0 xfx,01s i nlim 0 ??? xxx 右极限存在,
??? )(l i m0 xfx? )(lim0 xfx ?? )(l i m0 xfx ?? 不存在,
.01.01
_ _ _ _ _ _1
3
1
2 2
2
???
?
?
?
???
yzx
z
x
x
yx
，必有时，只要
取，问当时，、当
.001.0420
___421 2
?????
???
yx
xyx
，必有只要
时，取，问当时，、当
?
?
证明：二、用函数极限的定义
一、填空题,
0
s i n
lim2
2
12
41
lim1
2
2
1
?
?
?
?
???
??
x
x
x
x
x
x
、
、
练 习 题
.
)(,0
极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右
时极限存在的充分当函数三、试证 xxxf ?
0)(
存在
时的极限是否在四、讨论：函数 ?? x
x
x
x?
一,1, 0, 0 0 0 2 ； 2, 3 9 7,
四、不存在,
练习题答案
第四节 无穷大量与无穷小量
?一,无穷大量
?二,无穷小量
?三,无穷大与无穷小的关系
?四,无穷小量的运算定理
一、无穷大
定义 2 设 函数 )(xf 在 0x 某 一 去 心 邻域 内 有 定 义 （ 或 大
于 某 一 正数 时 有 定义 ）, 如果对于任意给定的正数 M(不
论它多么大 ),总存在正数 ?(或正数 X ),使得对于适合不
等式 ???? 00 xx (或 X )的一切 x,对应的函数值
)( xf 总 满足不等式 Mxf ?)(,
则称函数 )(xf 当 0xx ? (或 ??x )时为无穷大,记作
).)(lim()(lim
0
????
??? xfxf xxx 或
绝对值无限增大的变量称为 无穷大,
|x|
|x|?
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
))(l i m()(l i m
)()( 00
??????
??
?
??
?
xfxf
x
xx
x
xx
或
注意 （ 1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆 ;
（ 3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无
界变量未必是无穷大,
.)(lim2
0
认为极限存在）切勿将（ ??? xfxx
xxy 1sin1?
.,
1
s i n
1
,0,
但不是无穷大是一个无界变量
时当例如
xx
yx ??
),3,2,1,0(
22
1)1( ??
???? kkx k取
,22)( ???? kxy k,)(,Mxyk k ?充分大时当
),3,2,1,0(2 1)2( ??????? kkx k取
,,??? ?kxk 充分大时当
?????? kkxy k 2s i n2)(但,0 M?? 不是无穷大．
无界，
.11l i m
1
???
? xx
证明例
证,0?? M,11 Mx ??要使
,11 Mx ??只要,1M??取
,110 时当 Mx ?????,11 Mx ??就有,11lim 1 ???? ? xx
.
)(,)(l i m,0
0
的图形的铅直渐近线
是函数则直线如果定义 xfyxxxf
xx
????
?
1
1
?? xy
二、无穷小
1、定义,
定义 1 如果对于任意给定的正数 ? ( 不论它多么小 ),
总存在正数 ? ( 或正数 X ),使得对于适合不等式
????
0
0 xx ( 或 ?x X ) 的一切 x,对应的函数值
)( xf 都满足不等式 ??)( xf,
那末 称函数 )( xf 当
0
xx ? ( 或 ??x ) 时为无穷
小,记作 ).0)(l i m(0)(l i m
0
??
???
xfxf
xxx
或
极限为零的变量称为 无穷小,
例如,
,0s i nl i m0 ?? xx?,0s i n 时的无穷小是当函数 ?? xx
,01lim ?
?? xx
?,1 时的无穷小是当函数 ??? x
x
,0)1(lim ??
?? n
n
n
?,})1({ 时的无穷小是当数列 ???? n
n
n
注意 （ 1）无穷小是变量,不能与很小的数混淆 ;
（ 2）零是可以作为无穷小的唯一的数,
2、无穷小与函数极限的关系,
证 必要性,)(lim
0
Axfxx ??设,)()( Axfx ???令
,0)(l i m
0
??? xxx则有 ).()( xAxf ????
充分性 ),()( xAxf ???设
,)( 0 时的无穷小是当其中 xxx ??
))((l i m)(l i m
00
xAxf xxxx ??? ??则 )(l i m
0
xA xx ??? ?.A?
定理 1 ),()()(lim
0
xAxfAxf
xx
?????
?
其中 )( x? 是当 0xx ? 时的无穷小,
意义 （ 1）将一般极限问题转化为特殊极限问题
(无穷小 );
).(,)(
)(2 0
xAxf
xxf
?误差为式
附近的近似表达在）给出了函数（
?
3、无穷小的运算性质,
定理 2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是
无穷小,
证,时的两个无穷小是当及设 ???? x
使得,0,0,0 21 ?????? NN;21 ???? 时恒有当 Nx ;22 ???? 时恒有当 Nx
},,m a x { 21 NNN ?取 恒有时当,Nx ?
??????? 22 ????,??
)(0 ??????? x
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小,
是无穷小，时例如 nn 1,,??
.11 不是无穷小之和为个但 nn
推论 1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘
积是无穷小,
推论 2 常数与无穷小的乘积是无穷小,
推论 3 有限个无穷小的乘积也是无穷小,
},,m i n { 21 ????取 恒有时则当,0 0 ???? xx
????? uu MM ???,??
.,0 为无穷小时当 ???? uxx
xxxxx
1a rc ta n,1s i n,0,2时当例如 ?都是无穷小
定理 3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小,
证 内有界，在设函数 ),( 100 ?xUu
.
0,0,0 101
Mu
xxM
?
????????
恒有
时使得当则
,0 时的无穷小是当又设 xx ??
.
0,0,0 202
M
xx
?
??
???????????
恒有
时使得当
三、无穷大与无穷小的关系
定理 4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小 ;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大,
证,)(lim
0
??? xfxx设
,
1
)(
0,0,0 0
?
?
???????????
xf
xx
恒有
时使得当
.)(1 ??xf即
.)(1,0 为无穷小时当 xfxx ??
.0)(,0)(lim,
0
??? xfxfxx 且设反之
,
1
)(
0,0,0 0
M
xf
xxM
?
??????????
恒有
时使得当
.)(1 Mxf ?从而
.)(1,0 为无穷大时当 xfxx ??
,0)( ?xf由于
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小
的讨论,
定理 3 在某一极限过程中，如果 ?(x),?(x)是无穷小量,
则 ?(x) ± ?(x) 也是无穷小量。
推论 在同一极限过程中的有限个无穷小量的代数和
也是无穷小量,
定理 4 在某一极限过程中，若 ?(x) 是无穷小量,f (x)
是有界变量，则 ?(x)f(x)是无穷小量,
四、无穷小量的运算定理
推论 在某一极限过程中, 若 C为常数,?(x)和 ?(x)是
无穷小量, 则 C?(x),?(x) ?(x)均为无穷小量,
0s i n
1
lim4
0
1
lim,1|s i n|),,(
?
????????
??
??
x
x
x
xx
x
x
得故由定理
且因为解
定理 5 有某一极限过程中,如果 ?(x)是无穷小量,f(x)
以 A为极限,且 A≠0,则 仍为无穷小量,
)(
)(
xf
x?
证 由定理 4可知,只需证 为该极限过程中的有界变
量即可,仅对 时进行证明,其他情形类似可证,
五、小结
1、主要内容, 两个定义 ;四个定理 ;三个推论,
2、几点注意,
无穷小与无穷大是相对于过程而言的,
（ 1） 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混
淆，零是唯一的无穷小的数；
（ 2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小；
（ 3） 无界变量未必是无穷大,
思考题
若 0)( ?xf,且 Axf
x
?
???
)(lim,
问：能否保证有 0?A 的结论？试举例说明,
思考题解答
不能保证,
例 xxf 1)( ?,0??x 有 01)( ?? xxf
???? )(l i m xfx,01l im ????? Axx
一、填空题,
1,凡无穷小量皆以 _ _ _ _ _ _ _ _ 为极限,
.)(
,_ _ _ _ _ _ _ _ _ _2
的水平渐近线
是函数直线条件下、在
xfy
cy
?
?
.)0l i m(
,)(_______)(l i m3
0
0
?
???
?
?
?
?
xx
xx
AxfAxf
其中
、
._ _ _ _ _ _
,)(,4
是无穷小则
是无穷大若、在同一过程中 xf
.10,,
21,0:
4?
???
yx
x
xyx
能使应满足什么条件问是无穷大
函数时当二、根据定义证明
练 习 题
.,0
,]1,0(1s i n1
这个函数不是无穷大时
但当上无界在区间三、证明函数
??
?
x
xx
y
一,1, 0 ； 2, Cxf
x
x
?
???
??
)(l i m ；
3, ? ； 4,
)(
1
xf
.
二、
210
1
0
4
?
?? x,
练习题答案
第五节 极限的运算法则
?一, 极限的四则运算法则
?二, 复合函数的极限
一、极限运算法则
定理
.0,
)(
)(
lim)3(;)]()(l i m [)2(;)]()(l i m [)1(
,)(lim,)(lim
??
???
???
??
B
B
A
xg
xf
BAxgxf
BAxgxf
BxgAxf
其中
则设
证,)(lim,)(lim BxgAxf ???
.0,0.)(,)( ??????????? 其中BxgAxf
由无穷小运算法则,得
)()]()([ BAxgxf ???????,0?,)1( 成立?
)()]()([ BAxgxf ??? ABBA ?????? ))((
??????? )( BA,0?,)2( 成立?
B
A
xg
xf ?
)(
)(
B
A?
??
???
)( ??
????
B
AB,0???? AB?
,0,0 ??? B?又,0???,0 0 时当 ???? xx
,2B?? ?????? BB BB 21?? B21?
推论 1
).(lim)](l i m [
,,)(lim
xfcxcf
cxf
?
则为常数而存在如果
常数因子可以提到极限记号外面,
.)]([ l i m)](l i m [
,,)(lim
nn xfxf
nxf
?
则是正整数而存在如果
推论 2
,21)( 2BBB ????,2)( 1 2BBB ???故 有界，
.)3( 成立?
求极限方法举例
例 1,53 1l i m 2
3
2 ??
?
? xx
x
x
求
解 )53(l i m 22 ??? xxx? 5l i m3l i ml i m 2222 ??? ??? xxx xx
5l i ml i m3)l i m( 2222 ??? ??? xxx xx
5232 2 ????,0??
53
1l i m
2
3
2 ??
??
? xx
x
x )53(lim
1limlim
2
2
2
3
2
??
?
?
?
??
xx
x
x
xx
.37?3 12
3 ?
?
小结, 则有设,)(.1 110 nnn axaxaxf ???? ? ?
nnxxnxxxx axaxaxf ???? ???? ?110 )lim()lim()(lim 000
nnn axaxa ???? ? ?10100 ).( 0xf?
则有且设,0)(,)( )()(.2 0 ?? xQxQ xPxf
)(l i m
)(l i m
)(l i m
0
0
0 xQ
xP
xf
xx
xx
xx
?
?
?
?
)(
)(
0
0
xQ
xP? ).(
0xf?
.,0)( 0 则商的法则不能应用若 ?xQ
解 )32(l i m 21 ??? xxx?,0? 商的法则不能用
)14(lim 1 ?? xx?又,03 ??
14
32lim 2
1 ?
???
? x
xx
x,03
0 ??
由无穷小与无穷大的关系,得
例 2,32 14lim 21 ?? ?? xx xx求
.32 14l i m 2
1
???? ?
? xx
x
x
解
例 3,32 1lim 2
2
1 ??
?
? xx
x
x
求
.,,1 分母的极限都是零分子时?x
.1 后再求极限因子先约去不为零的无穷小 ?x
)1)(3(
)1)(1(l i m
32
1l i m
12
2
1 ??
???
??
?
?? xx
xx
xx
x
xx
3
1l i m
1 ?
??
? x
x
x,2
1?
)00( 型
(消去零因子法 )
例 4,147 532l i m 23
23
??
??
?? xx
xx
x
求
解,,,分母的极限都是无穷大分子时??x )( 型?
?
.,,3 再求极限分出无穷小去除分子分母先用 x
3
3
23
23
14
7
53
2
lim
147
532
lim
xx
xx
xx
xx
xx
??
??
?
??
??
????
.72?
(无穷小因子分出法 )
小结, 为非负整数时有和当 nmba,0,0 00 ??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
???
???
?
?
??
,,
,,0
,,
l i m
0
0
1
10
1
10
mn
mn
mn
b
a
bxbxb
axaxa
n
nn
m
mm
x
当
当
当
?
?
无穷小分出法,以分母中自变量的最高次幂除分
子,分母,以分出无穷小,然后再求极限,
例 5 ).21(lim 222 nnnn
n
???
??
?求
解,是无限多个无穷小之和时,??n
2222
21lim)21(lim
n
n
n
n
nn nn
???????
????
??
2
)1(
2
1
l i m
n
nn
n
?
?
?? )
11(
2
1l i m
nn ?? ??,2
1?
先变形再求极限,
例 6,s i nlim x x
x ??
求
解,1,为无穷小时当 xx ??
.s i n 是有界函数而 x
.0s i nl i m ??
?? x
x
x
xxy sin?
例 7 ).(lim,0,1
0,1)(
02
xfxx xxxf
x ???
?
??
??? 求设
y
o x
1
xy ?? 1
12 ?? xy
解 两个单侧极限为是函数的分段点,0?x
)1(lim)(lim 00 xxf xx ?? ?? ??,1?
)1(lim)(lim 200 ?? ?? ?? xxf xx,1?
左右极限存在且相等,
.1)(l i m 0 ?? xfx故
.)(lim)]([lim
)]([
)(lim)(
)(lim
)(
0
0
0
0
0
Aufxf
xxxf
Aufaxx
axaxx
xu
auxx
au
xx
??
?
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
时的极限也存在，且当则复合函数
，，又的某去心邻域内但在点
，，即时的极限存在且等于当
运算法则）设函数定理（复合函数的极限
)]([lim
0
xfxx ?? )(lim uf
au ?
)( xu ??令
)(lim
0
xa xx ???
意义：
二、复合函数的极限
例 8,lim 3 33 ax ax
ax ?
?
?
求
解 ax axaxax ? ??? ?
3 233 )()(
li m原式
3 233 2
3 2)(
lim aaxx ax
ax ??
??
?
．0?3 2
3 2
0
3
lim
a
u
u? axu ??令
三、小结
1、极限的四则运算法则及其推论 ;
2、极限求法 ;
a.多项式与分式函数代入法求极限 ;
b.消去零因子法求极限 ;
c.无穷小因子分出法求极限 ;
d.利用无穷小运算性质求极限 ;
e.利用左右极限求分段函数极限,
3、复合函数的极限运算法则
思考题
在某个过程中，若 有极限，
无极限，那么 是否有极限？为
什么？
)(xf )(xg
)()( xgxf ?
思考题解答
没有极限．
假设 有极限,)()( xgxf ? )( xf? 有极限，
由极限运算法则可知：
? ? )()()()( xfxgxfxg ??? 必有极限，
与已知矛盾,故假设错误．
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _1s i nl i m5 20 ?? xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3 3l i m1
3
2 ??
?
? x
x
x、
一、填空题,
.__________11l i m2 31 ???? xxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)112)(11(lim3 2 ?????? xxxx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _5 )3)(2)(1(l i m4 3 ?????? n nnnn、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _c o slim6 ?? ???? xxx ee x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _23 24l i m7 2
24
0 ??
??
? xx
xxx
x、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _)12( )23()32(l i m8 50
3020
?? ??
?? x
xx
x
、
二、求下列各极限,
)21.,,41211(l i m1 nn ??????、
h
xhx
h
22
0
)(lim2 ??
?、
)1 31 1(lim3 31 xxx ????、
38 2
31lim4
x
x
x ?
??
??、
)(l i m5 xxxxx ??????、
14
12lim6
?
?
??? x
x
x、
2lim7 1 ??
?
? nm
nm
x xx
xx、
一,1, -5 ； 2, 3 ； 3, 2 ； 4,
5
1；
5, 0 ； 6, 0 ； 7,
2
1； 8,
30
)
2
3
(,
二,1, 2 ； 2, x2 ； 3, -1 ； 4, -2 ；
5,
2
1； 6, 0 ； 7,
nm
nm
?
?
.
练习题答案
第六节 极限存在准则
?一,夹逼定理
?二、函数极限与数列极限的关系
?三, 柯西收敛准则
一, 夹逼定理
准则Ⅰ 如果数列
nn
yx,及
n
z 满足下列条件,
,lim,lim)2(
)3,2,1()1(
azay
nzxy
n
n
n
n
nnn
??
???
????
?
那末数列
n
x 的极限存在,且 ax
n
n
?
??
lim,
证,,azay nn ???
使得,0,0,0 21 ????? NN?
,1 ???? ayNn n时恒有当
},,m a x { 21 NNN ?取
恒有时当,Nn ?
,?????? aya n即
,2 ???? azNn n时恒有当
,?????? aza n
上两式同时成立,
,?? ?????? azxya nnn
,成立即 ??? ax n,l i m ax nn ?? ??
上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
准则Ⅰ′ 如果当 )(
0
0
xUx
?
? ( 或 Mx ? ) 时,有
,)(lim,)(lim)2(
),()()()1(
)()(
00
AxhAxg
xhxfxg
x
xx
x
xx
??
??
??
?
??
?
那末 )(li m
)(
0
xf
x
xx
??
?
存在,且等于 A,
注意,
.
,
的极限是容易求的与并且
与键是构造出利用夹逼准则求极限关
nn
nn
zy
zy准则 ?和 准则 I‘称为 夹逼定理
例 1 ).12111(l i m 222 nnnn
n ?
?????
??
?求
解,1111 2222 ???????? n nnnnnn n ??
n
nn
n
nn 1
1
1limlim
2
?
?
? ????
又
,1?
2
2 1
1
1lim
1
lim
n
n
n
nn
?
?
? ????,1? 由夹逼定理得
.1)12111(l i m 222 ???????
?? nnnnn
?
x1x 2x 3x 1?nxnx
2.单调有界准则
满足条件如果数列 nx
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调增加
,121 ?? ???? ?nn xxxx 单调减少
单调数列
准则 Ⅱ 单调有界数列必有极限,
几何解释,
A M
例 2
.)
(333
的极限存在式
重根证明数列 nx n ???? ?
证,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的x?
,331 ??x?又,3?kx假定 kk xx ??? 31 33 ??,3?
? ? ;是有界的nx?,l i m 存在nn x???
,31 nn xx ????,32 1 nn xx ??? ),3(limlim 2 1 nnnn xx ?? ?????
,32 AA ?? 2 131,2 131 ???? AA解得 (舍去 )
.2 131lim ??? ?? nn x
定理 2
二、函数极限与数列极限的关系
定理 3
定理 4
三、柯西收敛准则
四、小结
1.两个准则
夹逼准则 ; 单调有界准则,
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3c o tl i m4 0 ??? xxx、
一、填空题,
._ _ _ _ _ _ _ _ _s i nl i m1 0 ?? x xx ?、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3s i n 2s i nl i m2 0 ?? xxx、
.__________2s i nl i m5 ??? x xx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _)1(l i m6
1
0 ???
x
x x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _co tli m3 0 ?? x xx,arc
x
x
x 2t a n
4
)( t a nlim2 ?
?
、
._________)1(l i m7 2 ???? xx x x、
._________)11(l i m8 ???? xx x、
xx
x
x s in
2c o s1lim1
0
?
?、
x
x ax
ax )(lim3
?
?
??、
二、求下列各极限,
n
n n
n )
1
1(lim4 2
?
?
??、
5, n
nn
n
1
)321(l i m ??
??
三,利用极限存在准则证明数列
,.,,,,,222,22,2 ??? 的极限存在，并求
出该极限,
一,1, ? ； 2,
3
2； 3, 1 ； 4,
3
1；
5, 0 ； 6, e ； 7,
2
e ； 8,
e
1；
二,1, 2 ； 2,
e
1； 3,
a
e
2； 4,
1?
e ；
5, 3.
三,2l i m ?
??
n
x
x,
练习题答案
第七节
两个重要极限
A
C
(1) 1
s i nl i m
0
?
? x
x
x
)20(,,????? xxAO BO 圆心角设单位圆
,t a n,,s i n ACxABxBDx ??? 弧于是有
xo
B
D
.A C O?，得作单位圆的切线
,xOA B 的圆心角为扇形,BDOA B 的高为?
,ta ns i n xxx ???,1s i nco s ?? x xx即
.02 也成立上式对于 ???? x,20 时当 ??? x
xx co s11co s0 ???? 2s in2 2 x? 2)2(2 x?,2
2x
?
,02lim
2
0
?
?
x
x
?,0)c o s1(lim 0 ??? ? xx
,1c o sl i m0 ?? ? xx,11l i m0 ??x?又,1
s i nlim
0 ?? ? x
x
x
例 3,co s1lim 2
0 x
x
x
?
?
求
解 2
2
0
2
s i n2
l i m
x
x
x ?
?原式 2
2
0
)
2
(
2
s i n
lim
2
1
x
x
x ?
?
2
0
)
2
2
s i n
(l i m
2
1
x
x
x ?
?
21
2
1 ??
.21?
(2) ex
x
x
??
??
)11(l i m
定义 en
n
n
??
??
)11(lim
n
n nx )
11( ??设
???????? 21!2 )1(1!11 nnnnn
).11()21)(11(!1)11(!2111 nnnnnn ?????????? ??
nnn
nnnn 1
!
)1()1( ????? ?
).
1
1()
2
2
1)(
1
1
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1
)
1
1
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2
2
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1
1
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1
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!2
1
11
1
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?
?
?
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?
?
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?
n
n
nnn
n
n
nnn
n
x
n
?
?
?
,1 nn xx ??显然 ? ? ;是单调递增的n?
!
1
!2
111
nx n ????? ? 12
1
2
111
?????? n?
12
13
??? n,3? ? ? ;是有界的nx?
.l i m 存在nn x??? en
n
n ???? )
11(l i m记为 )71828.2( ??e
类似地,
,1 时当 ?x,1][][ ??? xxx有
,)][ 11()11()1][ 11( 1][][ ??????? xxx xxx
)][ 11(lim)][ 11(lim)][ 11(lim ][1][ xxx
x
x
x
x
x
?????
??????
?
???
而,e?
11][
][
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1][
1
1(l i m)
1][
1
1(l i m
)
1][
1
1(l i m
?
???
?
???
???
?
??
?
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?
?
xx
x
x
x
x
x
x
,e?
.)11(l i m ex xx ??? ???
,xt ??令
t
t
x
x tx
?
?????? ???? )
11(l i m)11(l i m t
t t )1
11(l i m
??? ???
)111()111(lim 1 ????? ???? tt tt,e?
ex x
x
???
??
)11(lim
,1xt ?令
t
t
x
x t
x )11(lim)1(lim
1
0
???
???,e?
ex x
x
??
?
1
0
)1(lim
例 4,)11(l i m x
x x
?
??
求
解 xx
x
???
?
?
?
)11(
1lim
1])11[(l i m ??
?? ???
x
x x原式
.1e?
例 5,)23(l i m 2 x
x x
x
?
?
??
求
解 422 )211(])211[(lim ??
?? ????? xx
x
x原式,
2e?
三、小结
1.两个重要极限;1s i nl i m1 0 ?? ?
某过程
.)1(l i m2
1
0 e??? ?
某过程
,为某过程中的无穷小设 ?
思考题
求极限 ? ? xxx
x
1
93lim ?
???
思考题解答
? ? xxx
x
1
93lim ?
???
? ? xxxx
x
1
1
1
3
19l i m
?
?
??
?
? ??
???
x
xx
xx ?
??? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??? 3
1
3
3
1
1lim9
99 0 ??? e
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3c o tl i m4 0 ??? xxx、
一、填空题,
._ _ _ _ _ _ _ _ _s i nl i m1 0 ?? x xx ?、
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _3s i n 2s i nl i m2 0 ?? xxx、
.__________2s i nl i m5 ??? x xx、
._ _ _ _ _ _ _ _ _)1(l i m6
1
0 ???
x
x x、
练 习 题
._ _ _ _ _ _ _ _ _ _co tli m3 0 ?? x xx,arc
x
x
x 2t a n
4
)( t a nlim2 ?
?
、
._________)1(l i m7 2 ???? xx x x、
._________)11(l i m8 ???? xx x、
xx
x
x s in
2c o s1lim1
0
?
?、
x
x ax
ax )(lim3
?
?
??、
二、求下列各极限,
n
n n
n )
1
1(lim4 2
?
?
??、
5, n
nn
n
1
)321(l i m ??
??
三,利用极限存在准则证明数列
,.,,,,,222,22,2 ??? 的极限存在，并求
出该极限,
一,1, ? ； 2,
3
2； 3, 1 ； 4,
3
1；
5, 0 ； 6, e ； 7,
2
e ； 8,
e
1；
二,1, 2 ； 2,
e
1； 3,
a
e
2； 4,
1?
e ；
5, 3.
三,2l i m ?
??
n
x
x,
练习题答案
第八节 无穷小量的比较
?一、无穷小的比较
?二、等价无穷小代换
一、无穷小的比较
例如,
x
x
x 3
lim
2
0?
x
x
x
s inlim
0?
2
2
0
1s i n
lim
x
x
x
x ?
.1s i n,s i n,,,0 22 都是无穷小时当 xxxxxx ?
极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不
同,;32 要快得多比 xx;s i n 大致相同与 xx
不可比,
,0?
,1?
xx
1s inlim
0??,不存在
观
察
各
极
限
型）（ 00；记作
高阶的无穷小是比，就说如果
)(
,0lim)1(
???
???
?
?
o
定义,,0,,???? 且穷小是同一过程中的两个无设;,0lim)3( 是同阶的无穷小与就说如果 ?????? C;~;,1lim
??
???
?
?
记作
是等价的无穷小与则称如果特殊地，
低阶的无穷小．是比，就说如果２ ??????lim)(
.
,0,0lim)4(
无穷小
阶的的是就说如果 kkCk ?????
?
?
，03lim
2
0
?
? x
x
x
?
，1s i nlim 0 ?? x xx?;30 2 高阶的无穷小是比时，当 xxx ??
).0()3(2 ?? xxox即
．是等价无穷小与时，当 xxx s i n0??
).0(~s i n ?xxx即
例如，
例 1,s int a n,0,的三阶无穷小为时当证明 xxxx ??
解 3
0
s i nt a nlim
x
xx
x
?
?
?
)co s1s inco s1(l im 2
0 x
x
x
x
xx
????
?
,21?
.s i nt a n 的三阶无穷小为 xxx ??
2000
c o s1l ims inl im
c o s
1l im
x
x
x
x
x xxx
????
???
的主要部分．是称为
必要条件是等价无穷小的的充分与定理
???????
??
).(
1
o
证 必要性,设 ?? ~
1li mli m ?
?
??
?
???
，0?
．，即 )()( ??????????? oo
充分性,设 )( ????? o
?
????
?
? )(limlim o ）（１＋
?
?? )(li m o
，1?
．??? ~
意义,用等价无穷小可给出函数的近似表达
式．
例如,
),(s i n xoxx ??
).(21co s1 22 xoxx ???
,0时当 ?x
xy co s1 ??
221y x?
常用等价无穷小,,0时当 ?x
)0(~1)1(,
2
1
~c o s1,1~
)1ln(~a r c t a n~a r c s in~t a n~s in~
2 ?????
?
aaxxxxex
xxxxxx
ax
.21~co s1,~s i n 2xxxx ?
例２
解
)1ln (lim
1lim
00 u
u
x
e
u
x
x ?
??
??
?
.1lim
0 x
e x
x
?
?
求
,1 ue x ??令 ),1ln( ux ??即
,0,0 ?? ux 有时则当
u
u
u
10
)1ln (
1lim
?
?
?
u
u
u
1
0
)1ln (lim
1
?
?
?
eln
1?,1?
.1~),1l n (~0 ??? xexxxx 时，即，当
二、等价无穷小代换
定理２ (等价无穷小代换定理 )
.limlim,lim~,~ ? ?? ????? ?? ?? ??? ?? 则存在且设
证 ??lim )lim( ?? ??? ?? ??? ???
?
? ??
? ?
? ??
? ?
?? limlimlim,lim
??
???
例３,co s1 2ta nlim
2
0 x
x
x ??
求
解,2~2ta n,21~co s1,0 2 xxxxx ?? 时当
2
2
0
2
1
)2(
lim
x
x
x ?
?原式
.8?
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则
可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无
穷小代换，而不会改变原式的极限．
不能滥用等价无穷小代换,
切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，
对于代数和中各无穷小不能分别代换,
注意
例４,a rcs i ns i n)1(l i m
0 x
xx
x
?
?
求
解,~a r c s i n,~s i n,0 xxxxx 时当 ?
x
xx
x
)1(lim
0
??
?
原式,1? )1(lim 0 ?? xx
例５,2s i n s i nta nl i m 3
0 x
xx
x
?
?
求
解,~s i n,~t a n,0 xxxxx 时当 ?
30 )2(lim x
xx
x
??
?
原式,0?
解,0时当 ?x
)co s1(ta ns i nta n xxxx ???,21~ 3x
,2~2s i n xx
3
3
0 )2(
2
1
lim
x
x
x ?
?原式,
16
1?
错
?
例 6,3s i n 1co s5t a nlim
0 x
xx
x
??
?
求
解 ),(55t a n xoxx ??? ),(33s in xoxx ??
).(21co s1 22 xoxx ???
)(3
)(
2
1
)(5
lim
22
0 xox
xoxxox
x ?
???
?
?
原式
x
xo
x
xo
x
x
xo
x )(
3
)(
2
1)(
5
lim
2
0
?
???
?
?,
3
5?
三、小结
1、无穷小的比较
反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度
快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较,
2、等价无穷小的代换,
求极限的又一种方法,注意适用条件,
高 (低 )阶无穷小 ; 等价无穷小 ; 无穷小的阶,
思考题
任何两个无穷小都可以比较吗？
思考题解答
不能,例当 时???x
,1)( xxf ? x xxg s i n)( ? 都是无穷小量
但 ???? )( )(lim xf xgx x
x s inlim???
不存在且不为无穷大
故当 时???x )( xf 和 )( xg 不能比较,
一,填空题：
1,
x
x
x 2s i n
3ta n
l i m
0?
=__ ______ __.
2,
m
n
x
x
x
)(s i n
a r c s i n
l i m
0?
=__ ______,
3,
x
x
x
)21l n (
lim
0
?
?
=__ ______ _.
4,
xx
xx
x
a r c t a n
1s i n1
lim
2
0
??
?
=__ ______,
5,
n
n
n
x
2
s i n2l i m
??
=__ ______,
6, xax
n
x
1)1(lim
1
0
??
?
= _ _ _ _ _ _ _ _ _,
练 习 题
7,当 0?x 时,)0(
3
??? aaxa
对于 x 是 ___ ____ 阶无穷小,
8,当 0?x 时，无穷小 xc o s1 ? 与
n
mx 等价，则
,_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _,nm ?
二、求下列各极限：
1,
x
xx
x
3
0
s i n
s i nta n
lim
?
?；
2,
??
??
??
?
?
?
ee
lim ；
3,
x
xx
x
?? s i ns i n
lim
0
?
?；
4,
ax
ax
ax
?
?
?
ta nta n
lim ；
三,证明：若 ??,是无穷小，则 )(0~ ????? ???,
四、设 f(x)=
1
)c o s (
2
s i n
l i m
2
12
?
??
?
??
n
n
n x
bxaxx
?
求,1, )( xf 的表达式,
2,确定 ba,的值,使得 )1()(l i m
1
fxf
x
?
?
，
)1()(lim
1
??
??
fxf
x
,
一,1,
2
3； 2,
?
?
?
?
?
??
?
?
nm
nm
nm
,
,1
,0； 3, 2 ； 4, ? ；
5,
x； 6,
n
a； 7, 3 ； 8,
2
1
,2.
二,1,
2
1； 2,
?
e； 3,
?? ?； 4,
a
2
se c
.
练习题答案
四,1,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
??
?
?
1),co s (
1,
2
)co s (1
1,
2
)co s (1
1,
2
s i n
xbxa
x
ba
x
ba
x
x
x；
2,
0,),1,0(2 ????? bkka ?
.
第九节 函数的连续性
?一,函数的连续性
?二,函数的间断点
一、函数的连续性
1.函数的增量
.,
),(,)()(
00
00
的增量称为自变量在点
内有定义在设函数
xxxx
xUxxUxf
???
?? ??
.)(),()( 0 的增量相应于称为函数 xxfxfxfy ????
x
y
0 x
y
00x xx ??0
)( xfy ?
x?
0x xx ??0
x?y?
y?
)( xfy ?
2.连续的定义
定义 1 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如
果当自变量的增量 x? 趋向于零时,对应的函
数的增量 y? 也趋向于零,即 0l i m
0
??
??
y
x
或
0)]()([l i m
00
0
????
??
xfxxf
x
,那末就称函数
)( xf 在点
0
x 连续,
0
x 称为 )( xf 的连续点,
,0 xxx ???设 ),()( 0xfxfy ???
,0 0xxx ??? 就是 ).()(0 0xfxfy ??? 就是
定义 2 设函数 )( xf 在 )(
0
xU
?
内有定义,如果
函数 )( xf 当
0
xx ? 时的极限存在,且等于它在
点
0
x 处的函数值 )( 0xf,即 )()(l i m
0
0
xfxf
xx
?
?
那末就称函数 )( xf 在点
0
x 连续,
:"" 定义???
.)()(
,,0,0
0
0
?
???
??
??????
xfxf
xx
恒有
时使当
例 1
.
0
,0,0
,0,
1
s i n
)(
处连续
在试证函数 ?
??
?
?
?
?
?
? x
x
x
x
x
xf
证,01s i nlim 0 ?? xxx?
,0)0( ?f又
由定义 2知
.0)( 处连续在函数 ?xxf
),0()(l i m0 fxfx ??
3.单侧连续;)(
),()0(,],()(
0
000
处左连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfxaxf ??
定理,
)()( 00
处既左连续又右连续
在是函数处连续在函数 xxfxxf ?.)(
),()0(,),[)(
0
000
处右连续在点则称
且内有定义在若函数
xxf
xfxfbxxf ??
例 2
.
0
,0,2
,0,2
)(
连续性
处的在讨论函数 ?
?
?
?
??
??
? x
xx
xx
xf
解 )2(lim)(lim
00 ?? ?? ?? xxf xx
2? ),0(f?
)2(lim)(lim 00 ?? ?? ?? xxf xx 2?? ),0(f?
右连续但不左连续,
.0)( 处不连续在点故函数 ?xxf
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上
的 连续函数,或者说函数在该区间上连续,
.],[)(
,,
,),(
上连续在闭区间函数
则称处左连续在右端点处右连续
并且在左端点内连续如果函数在开区间
baxf
bxax
ba
??
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线,
例如,.),( 内是连续的有理函数在区间 ????
例 3,),(s i n 内连续在区间函数证明 ????? xy
证 ),,( ?????x任取
xxxy s in)s in ( ????? )2co s (2s i n2 xxx ?????
,1)2c o s ( ??? xx?,2s in2 xy ???则
,0,时当对任意的 ???,s in ???有
,2s in2 xxy ?????故,0,0 ????? yx 时当
.),(s i n 都是连续的对任意函数即 ?????? xxy
二、函数的间断点
:)( 0 条件处连续必须满足的三个在点函数 xxf;)()1( 0 处有定义在点 xxf;)(l i m)2(
0
存在xfxx ?
).()(l i m)3( 0
0
xfxfxx ??
).()(
),()(
,
00
或间断点的不连续点
为并称点或间断处不连续在点函数
则称要有一个不满足如果上述三个条件中只
xf
xxxf
1.跳跃间断点
.)(
),0()0(,
,)(
000
0
的跳跃间断点
为函数则称点但存在
右极限都处左在点如果
xf
xxfxf
xxf
???
例 4,0,0,1,0,)( 处的连续性在讨论函数 ???? ?? ??? xxx xxxf
解,0)00( ??f,1)0( ??f
),00()00( ??? ff?
.0 为函数的跳跃间断点?? x o x
y
2.可去间断点
.)(
)(),()(l i m
,)(
0
00
0
0
的可去间断点为函数义则称点
处无定在点或但
处的极限存在在点如果
xfx
xxfxfAxf
xxf
xx
??
?
例 5
.1
,1,1
1
,10
,1
,2
)(
处的连续性在
讨论函数
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
x
xx
x
xx
xf
o x
y
1
1
2
xy ?? 1
xy 2?
解,1)1( ?f?
,2)01( ??f,2)01( ??f
2)(lim 1 ?? ? xfx ),1(f?
.0 为函数的可去间断点?? x
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函
数的定义,则可使其变为连续点,
如例 5中,,2)1( ?f令
.1
,1,1
,10,2
)(
处连续在
则
?
?
?
?
??
??
?
x
xx
xx
xf
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点,
特点,0 处的左、右极限都存在函数在点 x
o x
y
1
1
2
3.第二类间断点
.)(
,
)(
0
0
的第二类间断点
为函数则称点在右极限至少有一个不存
处的左、在点如果
xf
x
xxf
例 6,0
,0,
,0,1)( 处的连续性在讨论函数 ?
??
?
?
?
?
?? x
xx
x
xxf
解
o x
y
,0)00( ??f,)0( ????f
.1 为函数的第二类间断点?? x
.断点这种情况称为无穷间
例 7,01s i n)( 处的连续性在讨论函数 ?? xxxf
解
xy 1sin?
,0 处没有定义在 ?x?
.1s i nlim 0 不存在且 xx ?
.0 为第二类间断点?? x
.断点这种情况称为的振荡间
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点,
??
???
,,0
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxDy
狄利克雷函数
在定义域 R内每一点处都间断,且都是第二类间
断点,
??
?
??,,
,,)(
是无理数时当
是有理数时当
xx
xxxf
仅在 x=0处连续,其余各点处处间断,
★
★
o1x 2x 3x
y
x
? ?xfy ?
??
?
??,,1
,,1)(
是无理数时当
是有理数时当
x
xxf
在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处
处连续,
★
判断下列间断点类型,
例 8
.0
,0,
,0,c o s
)(
,
处连续在函数
取何值时当
?
?
?
?
??
?
? x
xxa
xx
xf
a
解
xxf xx c o slim)(lim 00 ?? ?? ?,1?
)(lim)(lim 00 xaxf xx ?? ?? ??,a?
,)0( af ??
),0()00()00( fff ????要使
,1 时故当且仅当 ?a,0)( 处连续在函数 ?xxf
,1?? a
三、小结
1.函数在一点连续必须满足的三个条件 ;
3.间断点的分类与判别 ;
2.区间上的连续函数 ;
第一类间断点,可去型,跳跃型,
第二类间断点,无穷型,振荡型,
间断点
(见下图 )
可去型第一
类
间
断
点
o
y
x
跳跃型
无穷型 振荡型
第
二
类
间
断
点
o
y
x0x
o
y
x0x
o
y
x0x
思考题 若 )( xf 在 0x 连续，则 |)(| xf, )(2 xf 在 0x 是
否连续？又若 |)(| xf, )(
2 xf
在 0x 连续,)( xf 在
0x 是否连续？
思考题解答
? )( xf 在 0x 连续,)()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
)()()()(0 00 xfxfxfxf ????且
)()(lim 0
0
xfxfxx ?? ?
?????????????? ??? )(lim)(lim)(lim 000
2 xfxfxf
xxxxxx )( 0
2 xf?
故 |)(| xf, )(2 xf 在 0x 都连续,
但反之不成立,
例 ??
?
?
???
0,1
0,1)(
x
xxf
在 00 ?x 不连续
但 |)(| xf, )(2 xf 在 00 ?x 连续
一,填空题：
1, 指出
23
1
2
2
??
?
?
xx
x
y 在 1?x 是第 ___ ___ _ 类间
断点；在
2?x
是第 ____ _ 类间断点,
2, 指出
)1(
2
2
?
?
?
xx
xx
y 在 0?x 是第 ____ ___ _ 类间
断点；在
1?x
是第 ____ __ 类间断点；在
1??x
是第 _____ 类间断点,
二,研究函数
?
?
?
?
?
?
1,1
1,
)(
x
xx
xf 的连续性，并画出函数
的图形,
练 习 题
三,指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变
函数的定义使它连续,
1,
?
?
?
??
??
?
1,3
1,1
)(
xx
xx
xf 在
Rx ?
上,
2,
x
x
xf
ta n
)( ?,在
Rx ?
上,
四,讨论函数
n
n
n
x
x
xf
2
2
1
1
lim)(
?
?
?
??
的连续性，若有间断
点，判断其类型,
五、试确定
ba,
的值,使
)1)((
)(
??
?
?
xax
be
xf
x
，
（ 1 ）有无穷间断点 0?x ； （ 2 ）有可去间断点 1?x,
一,1,一类,二类； 2,一类,一类,二类,
二、,),1()1,()( 内连续与在 ??????xf 1??x 为跳跃间
断点,
三,1, 1?x 为第一类间断点；
2,,
2
为可去间断点
?
??? kx
)0( ??? kkx
为第二类间断点,
?
?
?
?
?
?
?
????
?
0,1
2
,,
t a n)(
1
x
kkx
x
x
xf
),2,1,0( ????k
,
练习题答案
),2,1,0(
2
,0
2
,,
t a n
)(
2
????
?
?
?
?
?
?
???
?
????
? k
kx
kkx
x
x
xf,
四、
?
?
?
?
?
??
?
?
?
1,
0,0
1,
)(
xx
x
xx
xf
1?x
和
1??x
为第一类间断点,
五,(1);1,0 ?? ba
(2)
eba ??,1
.
第十节 连续函数的基本性质
?一、连续函数的保号性
?二、连续函数的四则运算
?三、连续函数的反函数的连续性
?四、复合函数的连续性
?五、初等函数的连续性
).0)((0)(,)(
),(),0)((
0)(,)(
0
000
00
???
?
??
xfxfxUx
xUxxf
xfxxfy
或有时
使得当的某个邻域则存在或
且处连续在点若函数定理
一、连续函数的保号性
二、连续函数的四则运算
定理 1
.
)0)((
)(
)(
),()(),()(
,)(),(
0
0
0
处也连续在点
则
处连续在点若函数
x
xg
xg
xf
xgxfxgxf
xxgxf
???
例如,,),(c o s,s i n 内连续在 ????xx
.c s c,s e c,c o t,t a n 在其定义域内连续故 xxxx
三、连续函数的反函数的连续性
定理 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数,
例如,,]2,2[s i n 上单调增加且连续在 ???? xy
.]1,1[a r c s i n 上也是单调增加且连续在故 ?? xy;]1,1[a r c c o s 上单调减少且连续在同理 ?? xy
.],[c o t,a r c t a n 上单调且连续在 ?????? xa r cyxy
反三角函数在其定义域内皆连续,
定理 3
)].(lim[)()]([lim
,)(,)(lim
00
0
xfafxf
aufax
xxxx
xx
????
??
??
?
则有
连续在点函数若
证,)( 连续在点 auuf ??
.)()(
,,0,0
成立恒有
时使当
?
???
??
??????
afuf
au
,)(l i m 0 axxx ?? ??又
,0,0,0 0 时使当对于 ??? ?????? xx
.)( 成立恒有 ?? ???? auax
将上两步合起来,
,0,0,0 0 时使当 ??? ??????? xx
)()]([)()( afxfafuf ??? ?.成立??
)()]([l i m 0 afxfxx ?? ? ? ) ],(lim[ 0 xxx ???
意义 1.极限符号可以与函数符号互换 ;
.))((.2 的理论依据变量代换 xu ??
例 1,)1l n(lim 0 x xx ??求
.1?
x
x x
1
0 )1l n(l i m ?? ?原式
])1(l i ml n[ 10 xx x?? ?eln?
解
例 2,1lim
0 x
e x
x
?
?
求
.1? )1ln (lim
0 y
y
y ?
?
?
原式
解,1 ye x ??令 ),1ln ( yx ??则
.0,0 ?? yx 时当
y
y
y
10
)1ln (
1lim
?
?
?
同理可得,ln1lim 0 axa
x
x
??
?
.)]([
,)(,)(
,)(
0
000
0
也连续在点则复合函数
连续在点而函数
且连续在点设函数
xxxfy
uuufyux
xxxu
???
????
???
定理 4
注意 定理 4是定理 3的特殊情况,
例如,,),0()0,(1 内连续在 ????? ?xu
,),(s i n 内连续在 ????? uy
.),0()0,(1s i n 内连续在 ?????? ?xy
四、复合函数的连续性
五、初等函数的连续性
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的,
★
★ )1,0( ??? aaay x指数函数;),( 内单调且连续在 ????
★ )1,0(l o g ??? aaxy a对数函数;),0( 内单调且连续在 ??
定理 5 基本初等函数在定义域内是连续的,
★ ?xy ? xaa log??,uay ?,l o g xu a??
,),0( 内连续在 ??,不同值讨论 ?
(均在其定义域内连续 )
定理 6 一切初等函数在其 定义区间 内都是连
续的,
定义区间是指包含在定义域内的区间,
1,初等函数仅在其定义区间内连续,在
其定义域内不一定连续 ;
例如,,1c o s ?? xy ?,4,2,0,?????xD
这些孤立点的邻域内没有定义,
,)1( 32 ?? xxy,1,0,?? xxD 及
在 0点的邻域内没有定义,
.),1[ 上连续函数在区间 ??
注意
注意 2,初等函数求极限的方法 代入法,
例 3,1s inli m
1 ??
x
x e求
1s i n 1 ?? e原式,1s n ?? e
例 4,11li m
2
0 x
x
x
??
?
求
解
解 )11( )11)(11(l i m 2
22
0 ??
?????
? xx
xx
x
原式
11lim 20 ??? ? x
x
x 2
0?,0?
)()()(lim 00
0
定义区间??? xxfxfxx
小结
连续函数的和差积商的连续性,
复合函数的连续性,
初等函数的连续性,
定义区间与定义域的区别 ;
求极限的又一种方法,
两个定理 ; 两点意义,
反函数的连续性,
思考题 设 xxf s g n)( ?, 21)( xxg ??,试研
究复合函数 )]([ xgf 与 )]([ xfg 的连续性,
思考题解答
21)( xxg ???
)1s g n ()]([ 2xxgf ??? 1?
? ? 2s g n1)]([ xxfg ????? ?
??
0,1
0,2
x
x
在 ),( ???? 上处处连续)]([ xgf
在 )0,( ?? ),0( ??? 上处处连续)]([ xfg
0?x 是它的可去间断点
?
?
?
?
?
?
?
??
?
0,1
0,0
0,1
)(
x
x
x
xf
一,填空题：
1, ???
?
43lim
2
0
xx
x
___ _ ___ ___ __,
2, ?
??
? x
x
x
11
l i m
0
___ _ ___ ___ __,
3, ?
?
)2c o s2l n (lim
6
x
x
?
___ _ ___ ___ __,
4, ?
?
? x
x
x
2
4
ta n
c o s22
l i m
?
___ ___ ___ ___,
5, ?
?
?? t
e
t
t
1
l i m
2
___ ___ ___ ___,
6,设,
0,
0,
)(
?
?
?
??
?
?
xxa
xe
xf
x
当 ?a ___ _ _ 时,)( xf 在
),( ???? 上连续,
练 习 题
7, 函数
6
1
)(
2
4
??
??
?
xx
xx
xf 的连续区间为
______ _ ___ ___ ___.
8, 设
?
?
?
?
?
??
?
?
?
时当
时当
1,1
1,
2
co s
)(
xx
x
x
xf 确定
?
?
)(l i m
2
1
xf
x
______ _ ___ ; ?
??
)(lim
1
xf
x
______ ___ __.
二,计算下列各极限：
1,
ax
ax
ax
?
?
?
s i ns i n
lim ； 2,
x
x
x
c o t2
0
)ta n31(lim ?
?；
3,
1
)
12
32
(l i m
?
??
?
?
x
x
x
x；
三,设
?
?
?
?
?
???
?
??
?
0),l n (
0,1
0,
)(
2
2
xxxb
x
xxa
xf 已知 )( xf 在
0?x
处连续，试确 定 a 和
b
的值,
四,设函数
)( xf
在
0?x
处连续，且
0)0( ?f
,已知
)()( xfxg ?
，试证函数
)( xg
在
0?x
处也连续,
一,1, 2 ； 2,
2
1； 3, 0 ； 4, 0 ；
5, )1
1
(
2
1
2
??
e； 6, 1 ；
7, ),2(),2,3(),3,( ?????? ；
8,
2
2
,0,不存在,
二,1, ac o s ； 2, 1 ； 3 ；
2
1
e
.
三、
eba ??,1
.
练习题答案
第十一节 闭区间上连续函数的性质
?一、根的存在定理
?二、介值定理
?三、最大最小值定理
定理 1 若函数 y=f(x)∈ C([a,b]),且 f(a)·f(b)＜ 0,则至
少存在一点 x0∈ (a,b),使 f(x0)=0.
定理 1的几何意义,
若函数 y=f(x)在闭区间
[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)不
同号，则函数 y=f(x)对应的
曲线至少穿过 x轴一次,
一、根的存在定理 (零点存在定理 )
定理 2(介值定理 ) 设函数 )(xf 在闭区间 ? ?ba,
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
Aaf ?)( 及 Bbf ?)(,
那末，对于 A与 B之间的任意一个数 C，在开区间
? ?ba,内至少有一点 x，使得 Cf ?)(x )( ba ?x?,
二、介值定理
几何解释,
M
B
C
A
m
a
b1x 2x 3x 2x1x x
y
o
)( xfy ?
证,)()( Cxfx ???设
,],[)( 上连续在则 bax?
Cafa ?? )()(?且
,CA ??
Cbfb ?? )()(?,CB ??
,0)()( ??? ba ?? 由零点定理,使),,( ba?? x
,0)( ?x?,0)()( ??? Cf xx?即,)( Cf ?? x
.
)(
至少有一个交点直线
与水平连续曲线弧
Cy
xfy
?
?
推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大
值 与最小值 之间的任何值,
例 1
.
)1,0(014 23
至少有一根
内在区间证明方程 ??? xx
证,14)( 23 ??? xxxf令,]1,0[)( 上连续在则 xf
,01)0( ??f又,02)( ???f 由零点定理,
使),,( ba?? x,0)( ?xf,014 23 ??? xx即
.)1,0(014 23 x内至少有一根在方程 ???? xx
M m
例 2
.)(),,(.)(
,)(,],[)(
xxx ????
?
fbabbf
aafbaxf
使得证明
且上连续在区间设函数
证,)()( xxfxF ??令,],[)( 上连续在则 baxF
aafaF ?? )()(而,0?
由零点定理,
使),,( ba?? x,0)()( ??? xxx fF
bbfbF ?? )()(,0?
.)( xx ?f即
三、最大值和最小值定理
定义,
.)()()(
))()(()()(
,
),(
0
00
0
值小上的最大在区间是函数则称
都有使得对于任一如果有
上有定义的函数对于在区间
Ixfxf
xfxfxfxf
IxIx
xfI
??
??
例如,
,s g n xy ?,),( 上在 ????
,2m ax ?y;1m in ??y
,),0( 上在 ??,1m i nm a x ?? yy
,s i n1 xy ??,]2,0[ 上在 ? ;0m in ?y
,1m ax ?y
定理 3(最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续
的函数一定有最大值和最小值,
a b2x 1x x
y
o
)( xfy ?
).()(
),()(
],,[
],,[,
],,[)(
2
1
21
xff
xff
bax
ba
baCxf
?
?
??
??
?
x
x
xx
有
使得
则
若
注意,1.若区间是开区间,定理不一定成立 ;
2.若区间内有间断点,定理不一定成立,
x
y
o
)( xfy ?
21
1
x
y
o 2?
)( xfy ?
定理 4(有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定
在该区间上有界,
证,],[)( 上连续在设函数 baxf ],,[ bax ??
,)( Mxfm ??有 },,m a x { MmK ?取
.)( Kxf ?则有,],[)( 上有界在函数 baxf?
小结
四个定理
有界性定理 ;最值定理 ;介值定理 ;根的存在性定理,
注意 1．闭区间； 2．连续函数．
这两点不满足上述定理不一定成立．
解题思路
1.直接法,先利用最值定理,再利用介值定理 ;
2.辅助函数法,先作辅助函数 F(x),再利用零点定理 ;
思考题
下述命题是否正确？
如果 )( xf 在 ],[ ba 上有定义，在 ),( ba
内连续，且 0)()( ?? bfaf,那么 )( xf 在
),( ba 内必有零点,
思考题解答
不正确,
例函数 ??
?
??
???
0,2
10,)(
x
xexf
)( xf 在 )1,0( 内连续,.02)1()0( ???? ef
但 )( xf 在 )1,0( 内无零点,
一,证明方程 bxax ?? si n,其中 0,0 ?? ba,至
少有一个正根，并且它不超过 ba ?,
二,若
)( xf
在
],[ ba
上连续，
bxxxa
n
????? ?
21
则在 ],[
1 n
xx 上必有
x
，使
n
xfxfxf
xf
n
)(.,,,,,)()(
)(
21
???
?,
三,设
)( xf
在
],[ ba
上连续，
bdca ???
,试证
明：对任意正数
qp 和；至少有一点
],[ dc?x
,使
)()()()( xfqpxqfxpf ???
.
练 习 题
第三章
一元 函数的导数与微分
?第一节 导数的概念
?第二节 求导法则
?第三节 函数的微分
?第四节 高阶导数与高阶微分
?第五节 微分中值定理
?第六节 泰勒公式
?第七节 罗必达法则
第一节 导数的概念
?一、导数的定义
?二、函数四则运算的求导法
?三、导数的几何意义
?四,左导数、右导数
问题的提出
1.自由落体运动的瞬时速度问题
0t t?
,0 时刻的瞬时速度求 t
t
如图,
,0 tt 的时刻取一邻近于,?运动时间
t
sv
?
??平均速度
0
0
tt
ss
?
?? ).(
2 0 tt
g ??
,0时当 tt ? 取极限得
2
t)(tlimv 0
0
??
?
g
tt
瞬时速度,0gt?
2.切线问题 割线的极限位置 ——切线位置
播放
? ?
T
0x xo x
y )( xfy ?
C
N
M
如图,如果割线 MN绕点
M旋转而趋向极限位置
MT,直线 MT就称为曲线
C在点 M处的 切线,
极限位置即
.0,0 ??? N M TMN ).,(),,( 00 yxNyxM设
的斜率为割线 MN
0
0t a n
xx
yy
?
???,)()(
0
0
xx
xfxf
?
??
,,0xxMN C ???? ?? 沿曲线
的斜率为切线 MT,)()(limt a n
0
0
0 xx
xfxfk
xx ?
????
?
一、导数的定义
,,)(
,)(
,0
);()(
,)
(,
)(
0
0
0
00
0
0
0
xx
yxxfy
xxfy
xx
yxfxxfy
yxx
xxx
xxfy
?
??
?
???
??????
??
?
?
记为处的导数在点数
并称这个极限为函处可导在点
则称函数时的极限存在之比当
与如果得增量
取相应地函数时仍在该邻域内
点处取得增量在当自变量有定义
的某个邻域内在点设函数
定义
.)()(lim)( 00
00 h
xfhxfxf
h
????
?其它形式
.)()(lim)(
0
0
0
0 xx
xfxfxf
xx ?
???
?
x
xfxxf
x
yy
xxxx ?
????
?
???
?????
)()(limlim 00
000
,)(
00 xxxx dx
xdf
dx
dy
?? 或
即
.
,0
慢程度
而变化的快因变量随自变量的变化反映了
它处的变化率点导数是因变量在点 x
.)(,
)(
内可导在开区间就称函数处都可导
内的每点在开区间如果函数
Ixf
Ixfy ?
★
★
关于导数的说明：
.
)(
),(,
.)(.
)(,
dx
xdf
dx
dy
xfy
xf
xfIx
或记作
的导函数这个函数叫做原来函数导数值
的一个确定的都对应着对于任一
??
?
x
xfxxfy
x ?
?????
??
)()(lim
0
即
.)()(lim)(
0 h
xfhxfxf
h
????
?
或
注意,,)()(.1
00 xxxfxf ????
★
播放
2.导函数 (瞬时变化率 )是函数平均变化率的逼近
函数,
★
2.右导数,
单侧导数
1.左导数,;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????;)()(lim)()(lim)( 000
0
0
00 0 x
xfxxf
xx
xfxfxf
xxx ?
????
?
???
??????函数 )( xf 在点 0x 处可导 ? 左导数 )( 0xf ?? 和右
导数 )( 0xf ?? 都存在且相等,★
如果 )( xf 在开区间 ? ?ba,内可导，且 )( af ?? 及
)( bf ?? 都存在，就说 )( xf 在闭区间 ? ?ba,上可导,
★
.
,
),(
),(
)( 0
0
0
可导性
的讨论在点设函数 x
xxx
xxx
xf
?
?
?
?
?
?
?
?
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(lim 00
0若
x
xxx
x ?
????
???
)()(l i m 00
0
??,)(
0 存在xf ???
★
则 )( xf 在点 0x 可导，
,)( 0 存在xf ???
x
xfxxf
x ?
???
???
)()(lim 00
0若
x
xxx
x ?
????
???
)()(l i m 00
0
??
,)()( 00 axfxf ???? ??且
.)( 0 axf ??且
由定义求导数
步骤, );()()1( xfxxfy ?????求增量;)()()2( x xfxxfxy ? ??????算比值
.lim)3( 0 xyy x ???? ??求极限
例 1,)()( 的导数为常数求函数 CCxf ?
解 h xfhxfxf
h
)()(lim)(
0
????
?h
CC
h
?
? 0l i m
.0?
.0)( ??C即
例 2,)( s i n)( s i n,s i n)(
4
????? xxxxxf 及求设函数
解 h xhxx h s in)s in (li m)( s in 0 ???? ?
2
2
s i n
)
2
co s (l i m
0 h
h
h
x
h
???
?,cos x?
.c o s)( s i n xx ??即
44
co s)( s i n ?
???
???
xx
xx,
2
2?
例 3,)( 的导数为正整数求函数 nxy n?
解 h xhxx
nn
h
n ????
?
)(lim)(
0
]!2 )1([l i m 1210 ???? ????? nnnh hhxnnnx ?1?? nnx
.)( 1??? nn nxx即
更一般地 )(.)( 1 Rxx ????? ???
)( ?x例如,12
1
2
1 ?? x,
2
1
x?
)( 1 ??x 11)1( ???? x,12x??
例 4,)1,0()( 的导数求函数 ??? aaaxf x
解 h aaa
xhx
h
x ???
?
? 0lim)(
h
aa h
h
x 1lim
0
??
?
.ln aa x?
.ln)( aaa xx ??即,)( xx ee ??
例 5,)1,0(l o g 的导数求函数 ??? aaxy a
解 h xhxy aah lo g)(lo glim 0 ???? ?
.l o g1)( l o g exx aa ??即,
1)(ln
xx ??
x
x
h
x
h
a
h
1)1(l o g
l i m
0
?
?
?
?
h
x
ah x
h
x )1(lo glim
1
0 ?? ?,lo g
1 e
x a?
例 6,0)( 处的可导性在讨论函数 ?? xxxf
解 xy?
x
y
o
,)0()0( hhh fhf ????
h
h
h
fhf
hh ?? ??
???
00
lim)0()0(lim,1?
h
h
h
fhf
hh
????
?? ?? 00 li m
)0()0(li m,1??
),0()0( ?? ??? ff即,0)( 点不可导在函数 ??? xxfy
定理 2 设函数 u=u(x),v=v(x)在点 x处可导,k1,k2为常数,
则下列各等式成立,
]0)([
)(
)(')()()('
]'
)(
)(
)[3(
);(')()()(')]'()()[(2(
);(')(')]'()()[1(
2
2121
?
?
?
??
???
xv
xv
xvxuxvxu
xv
xu
xvxuxvxuxvxu
xvkxukxvkxuk
二、函数四则运算的求导法
,)( )(')')( 1(,1)()3(2 2 xv xvxvxu ??? 则有中取的解：在定理
xxx
xxx
xx
x
x
x
x
x
xy
c o tc s c)'( c s c
t a ns e c)'( s e c
,t a ns e c
c o s
s i n
c o s
)'( c o s
)'
c o s
1
()'( s e c'
22
??
?
?
?????
类似可得：
即
于是
.,4347 25 yxxy ???? 求设例
xx
xxxxy
620
)4()3()4()434(
4
2'525
??
??????????解
.,s e c8 yxy ?? 求设例
例 6 ).(,0),1ln (
0,)( xf
xx
xxxf ?
??
?
??
?? 求设
解,1)( ?? xf,0时当 ?x
,0时当 ?x
h
xhxxf
h
)1l n ()1l n (lim)(
0
??????
?
)11l n (1lim 0 xhhh ??? ?
,1 1 x??
,0时当 ?x
h
hf
h
)01l n ()0(lim)0(
0
?????
???,1?
h
hf
h
)01l n ()]0(1l n [lim)0(
0
??????
???,1?
.1)0( ??? f
.0,
1
1
0,1
)(
??
???
??
?
??? x
x
x
xf
三、导数的几何意义
o x
y )(xfy ?
?
T
0x
M
1.几何意义
)(,t a n)(
,
))(,(
)()(
0
00
0
为倾角
即切线的斜率
处的在点
表示曲线
????
??
xf
xfxM
xfyxf
切线方程为
法线方程为
).)(( 000 xxxfyy ????
).()(1 0
0
0 xxxfyy ?????
例 7
.,
)2,
2
1
(
1
方程和法线方程并写出在该点处的切线斜率
处的切线的在点求等边双曲线
x
y ?
解 由导数的几何意义,得切线斜率为
2
1??? xyk
2
1)
1(
?
??
xx 212
1
?
??
xx
.4??
所求切线方程为
法线方程为
),21(42 ???? xy
),21(412 ??? xy
.044 ??? yx即
.01582 ??? yx即
2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率,
变速直线运动,路程对时间的导数为物体的
瞬时速度,
.lim)(
0 dt
ds
t
stv
t
????
??
交流电路,电量对时间的导数为电流强度,
.lim)(
0 dt
dq
t
qti
t
????
??
非均匀的物体,质量对长度 (面积,体积 )的导
数为物体的线 (面,体 )密度,
四、左导数、右导数
定理 凡可导函数都是连续函数,
证,)( 0 可导在点设函数 xxf
)(l i m 00 xfxyx ?????? ?????? )( 0xfxy
xxxfy ?????? ?)( 0
])([limlim 000 xxxfy xx ??????? ???? 0?
.)( 0 连续在点函数 xxf?
)0(0 ??? x?
连续函数不存在导数举例
.,)(
)()(,)(.1 000
函数在角点不可导的角点为函数
则称点若连续函数
xf
xxfxfxf ?? ???
x
y
2xy?
0
xy?例如,
,
0,
0,)( 2
?
?
?
?
??
xx
xxxf
.)(0,0 的角点为处不可导在 xfxx ??
注意, 该定理的逆定理不成立,
★
3 1?? xy
x
y
0 1
)(.)(
,
)()(
limlim
,)(.2
0
00
00
0
不可导有无穷导数在点称函数
但连续在点设函数
xxf
x
xfxxf
x
y
xxf
xx
??
?
???
?
?
?
????
例如,
,1)( 3 ?? xxf
.1 处不可导在 ?x
.,)(
)(.3
0 点不可导则指摆动不定
不存在在连续点的左右导数都函数
x
xf
,
0,0
0,1s i n)(
??
?
?
?
?
??
x
x
x
xxf
例如,
.0 处不可导在 ?x
0
1
1/π－ 1/π x
y
.)(
)(,
,)(.4
0
00
不可导点
的尖点为函数则称点符号相反
的两个单侧导数且在点若
xfx
xxf ???
x
y
o x
y
0xo
)(xfy ? )(xfy ?
例 8
.0
,
0,0
0,
1
s i n
)(
处的连续性与可导性在
讨论函数
?
??
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
xf
解,1s i n 是有界函数x? 01s i nl i m 0 ?? ? xxx
.0)( 处连续在 ?? xxf
处有但在 0?x x
x
x
x
y
?
?
??
??
?
?
? 00
1s i n)0(
x??
1sin
.11,0 之间振荡而极限不存在和在时当 ????? xyx
.0)( 处不可导在 ?? xxf
0)(lim)0( 0 ?? ? xff x?
小结
1,导数的实质, 增量比的极限 ;
2, axf ?? )( 0 ? ??? )( 0xf ;)( 0 axf ???
3,导数的几何意义, 切线的斜率 ;
4,函数可导一定连续，但连续不一定可导 ;
5,求导数最基本的方法, 由定义求导数,
6,判断可导性
不连续,一定不可导,
连续
直接用定义 ;
看左右导数是否存在且相等,
思考题
函数 )( xf 在某点 0x 处的导数 )( 0xf ?
与导函数 )( xf ? 有什么区别与联系？
思考题解答
由导数的定义知,)(
0
xf ? 是一个具体的
数值,)( xf ? 是由于 )( xf 在某区间 I 上每一
点都可导而定义在 I 上的一个新函数，即
Ix ??,有唯一值 )( xf ? 与之对应，所以两
者的 区别 是：一个是数值，另一个是函数．两
者的 联系 是：在某点 0x 处的导数 )( 0xf
?
即是导
函数 )( xf ? 在 0x 处的函数值．
一,填空题：
1, 设 )( xf 在
0
xx ? 处可导，即 )(
0
xf ? 存在，则
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
?
?
???
??
x
xfxxf
x
,
_ _ _ _ _ _ _ _ _
)()(
l i m
00
0
?
?
???
??
x
xfxxf
x
,
2, 已知物体的运动规律为
2
ts ?
( 米 ),则该物体在
2?t
秒时的速度为 _____ __,
3, 设
3 2
1
)( xxy ?,
2
2
1
)(
x
xy ?,
5
3 22
3
)(
x
xx
xy ?,则
它们的导数分别为
dx
dy
1
=___ __ ___ __ __ ___ __ _ _,
dx
dy
2
=__ __ ___ __ ___ _,
dx
dy
3
=___ ___ __ __ ___,
练习题
4, 设 2)( xxf ?,则 ? ? ?? )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；
? ? ?? )( xff _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
5, 曲线 xey ? 在点 )1,0( 处的切线方程为
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _,
二,在下列各题中均假定 )(
0
xf ? 存在，按照导数的定
义观察下列极限，分析并指出 A 表示什么？
1, A
xx
xfxf
xx
?
?
?
?
0
0
)()(
l i m
0；
2, A
h
hf
h
?
?
)(
l i m
0
，其中 )0(0)0( ff
?? 且
存在；
3, A
h
hxfhxf
h
?
???
?
)()(
l i m
00
0
.
三、证明：若 )( xf 为偶函数且
)0(f ?
存在，则
0)0( ??f
.
四,设函数
?
?
?
?
?
?
?
?
0,0
0,
1
s i n
)(
x
x
x
x
xf
k
问 k 满足什么条
件，
)( xf
在 0?x 处 (1) 连续； （ 2 ）可导；
（ 3 ）导数连续,
五,设函数
?
?
?
??
?
?
1,
1,
)(
2
xbax
xx
xf,为了使函数
)( xf
在
1?x
处连续且可导，
ba,
应取什么值,
六,已知
?
?
?
?
?
?
0,
0,s i n
)(
xx
xx
xf
,求
)( xf
.
七,证明：双曲线
2
axy ? 上任一点处的切线与两
坐标轴构成的三角形的面积都等于
2
2 a
.
八,设有一根细棒，取棒的一端作为原点，棒上任意点
的坐标为 x,于是分布在区间 ]1,0[ 上细棒的质
量 m 是 x 的函数 )( xmm ?,应怎样确定细棒在点
0
x 处的线密度 （对于均匀细棒来说，单位长度细棒
的质量叫作这细棒的线密度）？
一,1, )(
0
xf ? ； 2, )(
0
xf ?? ；
3,
6
5
3
3
1
6
1
,
2
,
3
2 ??
? x
x
x ； 3,
2
4 x,
2
2 x ；
5, 01 ??? yx,
二,1, )(
0
xf ? ； 2, )0(f ? ； 3, )(2
0
xf ?,
四,(1) 当
0?k
时,)( xf 在
0?x
处连续；
(2) 当
1?k
时,)( xf 在
0?x
处可导,且
0)0( ??f；
(3 ) 当
2?k
及
0?x
时,
)( xf ?
在
0?x
处连续,
五,1,2 ??? ba,
六,
?
?
?
?
?
?
0,1
0,c o s
)(
x
xx
xf, 八、
0
xx
dx
dm
?
.
练习题答案
第二节 求导法则
?一、复合函数求导法
?二、反函数求导法
?三、参数方程求导法
?四、隐函数求导法
?五、取对数求导法
一、复合函数的求导法
定理
).()(
,
)]([,)(
)(,)(
00
0
00
0
0
xuf
dx
dy
x
xfyxu
ufyxxu
xx
? ????
????
???
?
且其导数为可导
在点则复合函数可导在点
而可导在点如果函数
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导,(链式法则 )
证,)( 0 可导在点由 uufy ? )(l i m 00 ufuyu ????? ??
)0lim()( 00 ?????? ?? ?? uufuy故
uuufy ?????? ?)( 0则
x
y
x ?
??
?? 0lim ])([li m 00 x
u
x
uuf
x ?
??
?
???
?? ?
x
u
x
uuf
xxx ?
???
?
???
?????? 0000 l iml iml im)(
).()( 00 xuf ? ???
推广 ),(),(),( xvvuufy ?? ???设
.
) ] }([{
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
xfy
???
? 的导数为则复合函数 ??
例 3,s inln 的导数求函数 xy ?
解,s in,ln xuuy ???
dx
du
du
dy
dx
dy ??? x
u co s
1 ??
x
x
sin
cos? xcot?
例 4,)1( 102 的导数求函数 ?? xy
解 )1()1(10 292 ????? xxdxdy
xx 2)1(10 92 ???,)1(20 92 ?? xx
例 5,a r c s in22
2
22 的导数求函数
a
xaxaxy ???
解 )a r c s in2()2(
2
22 ??????
a
xaxaxy
22
2
22
2
22
22
1
2
1
xa
a
xa
xxa
??????
.22 xa ??
)0( ?a
例 6,)2(2 1ln 3
2
的导数求函数 ???? xxxy
解 ),2l n (31)1l n (21 2 ???? xxy?
)2(3
12
1
1
2
1
2 ???????? xxxy )2(3
1
12 ???? xx
x
例 7,1s i n 的导数求函数 xey ?
解 )1( s in
1s i n
??? xey x )1(1co s
1s i n
???? xxe x
.1co s1
1s in
2 xex
x ???
二、反函数的导数
定理
.
)(
1
)(
,
)(,0)(
)(
x
xf
I
xfyy
Iyx
x
y
? ?
??
??? ?
??
且有内也可导
在对应区间那末它的反函数且
内单调、可导在某区间如果函数
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数,
证,xIx ?任取 x?以增量给
的单调性可知由 )( xfy ?,0??y
于是有
,1
y
xx
y
?
?
?
?
?
,)( 连续xf?
),0(0 ????? xy 0)( ?? y?又知
x
yxf
x ?
????
?? 0l i m)(
y
xy
?
?? ??
1lim
0
)(
1
y???
.)(1)( yxf ? ???即
),0( xIxxx ?????
例 1,a r c s i n 的导数求函数 xy ?
解,)2,2(s i n 内单调、可导在 ????? yIyx?
,0c o s)( s in ??? yy且 内有在 )11( ??? xI
)( s in
1)( a r c s in
??? yx ycos
1?
y2s i n1
1
??
.1 1 2x??
.1 1)( a r c c o s 2xx ????同理可得;1 1)( a r c t a n 2xx ???
)rcs in ?x
.1 1)co t( 2xx ????arc
例 2,l o g 的导数求函数 xy a?
,0ln)( ??? aaa yy且,),0( 内有在 ???? xI
)(
1)( l o g
??? ya ax aa y ln
1?,
ln
1
ax?
解,),( 内单调、可导在 ?????? yy Iax?
特别地,1)( ln xx ??
)( tx ?? )( ty ??若方程 和 确定 y与 x间的函数
关系，则称此函数关系所表达的函数为由参数方程
),(
),(
),(
??
?
?
?
?
?
?
?
?
t
ty
tx
所确定的函数．
有：公式导函数和反函数的导数
这时由复合函数的均可导函数中
，在的反函数为设
,
,)(),(,
),(,)()( 1
tytx
ttxxt
??
????
??
??? ?
三、参数方程求导法
)0)('(
)('
)('
)('
1
))(('
))'())((('))]'(([
1
111
???
??
?
???
t
t
t
t
x
xxx
dx
dy
?
?
?
?
??
?????
于是,由参数方程所确定的函数 y=y(x)的导数为,
)0)('()(' )(' ??? tttdtdx dtdydxdy ???
为整数）
解
n
n
tt
tta
tta
ta
ta
dx
dy
,
2
(t a n
)s i n(c o s3
c o ss i n3
)'c o s(
)'s i n(
2
2
3
3
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?,;s i n;c o s3
3
3
dx
dy
tay
tax 求设例
如果在含变量 x和 y的关系式 F(x,y)=0中,当 x取某
区间 I内的任一值时，相应地总有满足该方程的惟一
的 y值与之对应，那么就说方程 F(x,y) =0在该区间内
确定了一个隐函数 y=y(x)．这时 y(x)不一定都能用关
于 x的表达式表示,
若方程 F(x,y) =0确定了隐函数 y=y(x)，则将它
代入方程中，得
F(x,y(x)) =0
对上式两边关于 x求导 (若可导 ),并注意运用复合函数
求导法则,就可以求出 y?(x)来,
四、隐函数求导法
例 4 求方程 y=cos(x+y)所确定的隐函数 y=y(x)的导数．
),'1)(s i n (' yyxy ????
).0)s i n (1( )s i n (1 )s i n (' ????? ??? yxyx yxy
解,将方程两边关于 x求导，
在计算幂指函数的导数以及某些乘幂、连乘积、
带根号函数的导数时,可以采用先取对数再求导的方
法,简称取对数求导法,
在 y=f(x)(f(x)>0)的两边取对数，得
lny=ln f(x)
上式两边对 x求导，注意到 y是 x的函数，得
y?=y(ln f(x))?.
五、取对数求导法
.)1)(1( )2(5 24
22
的导数求例 ?? ?? xx xy
解 先在两边取对数，得
lny=2ln(x2+2)-ln(x4+1)-ln(x2+1).
上式两边对 x求导,得
)
1
2
1
4
2
4
(
)1)(1(
)2(
'
),
1
2
1
4
2
4
('
24
3
224
22
24
3
2
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
x
x
x
x
x
x
xx
x
y
x
x
x
x
x
x
yy
即
于是
,121424' 24
3
2 ?????? x
x
x
x
x
x
y
y
解 两边取对数得
lny=sinxlnx．
两边对 x求导，得
.)0(6 s i n 的导数求例 ?? xxy x
,s i nlnc o s' x xxxyy ??
)s i nln( c o s' s i n x xxxxy x ??于是
小结
反函数的求导法则 （注意成立条件） ;
复合函数的求导法则
（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链
导法） ;
已能求导的函数,可分解成基本初等函数,或常
数与基本初等函数的和、差、积、商,
思考题 若 )( uf 在
0u 不可导,)( xgu ? 在 0x 可导，且
)( 00 xgu ?,则 )]([ xgf 在 0x 处 （ ）．
（ 1 ）必可导； （ 2 ）必不可导； （ 3 ）不一定可导；
思考题解答
正确地选择是 （ 3）
例 ||)( uuf ?在 处不可导，0?u
取 xxgu s i n)( ?? 在 处可导，0?x
|s i n|)]([ xxgf ?在 处不可导，0?x ?)1(
取 4)( xxgu ?? 在 处可导，0?x
44 ||)]([ xxxgf ??在 处可导，0?x ?)2(
一,填空题：
1, 设
4
)52( ?? xy,则 y ? = ___ __ ___ __ _.
2, 设 xy
2
s i n?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
3, 设 )a r c ta n (
2
xy ?,则 y ? = ___ __ ___ __ __.
4, 设
xy c o sln?
,则
y ?
= ___ __ ___ __ __.
5, 设
xx
y
2t a n
10?,则 y
?
= _ ___ __ ___ __ _.
6, 设
)( xf
可导，且 )(
2
xfy ?,
则
dx
dy
= ___ __ ___ __ _.
7, 设
x
k
exf
t a n
)( ?,则
)( xf ?
= ___ __ ___ __,
若
ef ??
?
?
?
?
?
?
4
?
，则
?k
___ ___ __ ___,
练 习 题
二,求下列函数的导数：
1,
x
y
1
a r c c o s? ； 2,
x
x
y
2s i n
? ；
3, )l n (
22
xaxy ??? ； 4, )c o tl n ( csc xxy ?? ；
5,
2
)
2
(a r c s i n
x
y ? ； 6,
x
ey
a r c ta n
?；
7,
x
x
y
a r c c o s
a r c s i n
? ； 8,
x
x
y
?
?
?
1
1
a r c s i n,
三,设
)( xf
，
)( xg
可导，且 0)()(
22
?? xgxf,求函数
)()(
22
xgxfy ??
的导数,
四、设 )( xf 在 0?x 处可导，且 0)0( ?f, 0)0( ??f,
又 )( xF 在 0?x 处可导，证明 ? ?)( xfF 在 0?x 处
也可导,
一,1,
3
)52(8 ?x ； 2, x2s i n ； 3,
4
1
2
x
x
?；
4, xt a n? ； 5, )2s e c22(ta n10ln10
22t a n
xxx
xx
? ；
6, )(2
2
xfx ? ； 7, xxke
kx
k
21t a n
s e cta n ??
?
,
2
1
.
二,1,
1
22
?xx
x； 2,
2
2s i n2c o s2
x
xxx ?；
3,
22
1
xa ?； 4, xc s c ；
5,
2
4
2
a r c s i n2
x
x
?； 6,
)1(2
a r c t a n
xx
e
x
?；
练习题答案
7,
22
)( a r c c o s12 xx?
?； 8,
)1(2)1(
1
xxx ??
.
三、
)()(
)()()()(
22
xgxf
xgxgxfxf
?
???
.
第三节 函数的微分
?一、微分的概念
?二、微分的运算公式
问题的提出
实例,正方形金属薄片受热后面积的改变量,
20xA?
0x
0x
,00 xxx ??变到设边长由
,20xA ?正方形面积?
2020 )( xxxA ??????
.)(2 20 xxx ????? )1( )2(;,的主要部分且为的线性函数 Ax ??
.,很小时可忽略当的高阶无穷小 xx ??
:)1(
:)2(
x?
x?
2)( x?
xx ?0
xx ?0
再例如,
.,
0
3
yx
xxy
??
?
求函数的改变量时为
处的改变量在点设函数
3030 )( xxxy ?????
.)()(33 32020 xxxxx ???????? )1( )2(
,很小时当 x?
.3 20 xxy ?????
),()2( xox ?? 的高阶无穷小是
既容易计算又是较好的近似值
问题,这个线性函数 (改变量的主要部分 )是否
所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?
一、微分的概念
定义
.),(
,)(
,)(
),(
)()()(
,
,)(
00
0
0
0
00
00
xAdyxdfdy
xxxfy
xAxxfy
xA
xoxAxfxxfy
xxx
xfy
xxxx
???
??
???
?
??????????
??
?
??
即或记作
的微分相应于自变量增量在点
为函数并且称可微在点
则称函数无关的常数是与其中成立
如果在这区间内及
在某区间内有定义设函数
.的线性主部叫做函数增量微分 ydy ?(微分的实质 )
由定义知,;)1( 的线性函数是自变量的改变量 xdy ?;)()2( 高阶无穷小是比 xxodyy ?????;,0)3( 是等价无穷小与时当 ydyA ??
dy
y??
xA
xo
??
??? )(1 ).0(1 ??? x;)(,)4( 0 有关和但与无关的常数是与 xxfxA ?
).(,)5( 线性主部很小时当 dyyx ???
可微的条件
).(,)(
)(
00
0
xfAxxf
xxf
??且处可导在点数
可微的充要条件是函在点函数
定理
证 (1) 必要性,)( 0 可微在点 xxf?
),( xoxAy ???????,)( xxoAxy ???????
x
xoA
x
y
xx ?
???
?
?
????
)(limlim
00则,A?
).(,)( 00 xfAxxf ??且可导在点即函数
(2) 充分性
),()( 0 xxxfy ?????????从而
,)( 0 ?????? xfxy即
,)( 0 可导在点函数 xxf?
),(l im 00 xfxyx ????? ??
),0(0 ???? x?
),()( 0 xoxxf ??????
.)(,)( 00 Axfxxf ??且可微在点函数?
).(,0xfA ???? 可微可导
.)(),(,
,)(
xxfdyxdfdy
xxfy
???
?
即或记作微分
称为函数的的微分在任意点函数
例 1
解
.02.0,23 时的微分当求函数 ???? xxxy
xxdy ??? )( 3?,3 2 x??
02.0
2
2
02.0
2 3
??
?
??
? ???
x
x
x
x xxdy,24.0?
.,
,
xdxdx
xx
??
?
即记作
称为自变量的微分的增量通常把自变量
.)( dxxfdy ??? ).( xfdxdy ??
".",微商导数也叫该函数的导数
之商等于与自变量的微分即函数的微分 dxdy
微分的几何意义
)(xfy ?
0x
M
N
T
dy y?
)( xo?
） x
y
o ?
x?
几何意义,(如图 )
.
,
对应的增量
就是切线纵坐标
坐标增量时
是曲线的纵当
dy
y?
xx ??0
P
.
,,
MNMP
Mx
可近似代替曲线段切线段
的附近在点很小时当 ?
微分的求法
dxxfdy )(??
求法, 计算函数的导数,乘以自变量的微分,
1.基本初等函数的微分公式
x d xxxdx d xxxd
x d xxdx d xxd
x d xxdx d xxd
dxxxdCd
co tcs c)( cs ct a ns ec)( s ec
cs c)( co ts ec)( t a n
s i n)( co sco s)( s i n
)(0)(
22
1
???
???
???
???
???
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
x
xd
dx
x
xddx
ax
xd
dxeedadxaad
a
xxxx
22
22
1
1
)co t(
1
1
)( a rct a n
1
1
)( a rcc o s
1
1
)( a rcs i n
1
)( l n
ln
1
)( l o g
)(ln)(
?
??
?
?
?
??
?
?
??
??
2,函数和、差、积、商的微分法则
2)()(
)()(
v
u d vvd u
v
u
du d vvd uuvd
C d uCuddvduvud
?
???
????
arc
例 2
解
.),ln( 2 dyexy x 求设 ??
,21 2
2
x
x
ex
xey
?
????,21
2
2
dx
ex
xedy
x
x
?
???
例 3
解
.,c o s31 dyxey x 求设 ??
)( c o s)(c o s 3131 xdeedxdy xx ???? ??
.s i n)( c o s,3)( 3131 xxee xx ?????? ???
dxxedxexdy xx )s i n()3(c o s 3131 ??????? ??
.)s i nc o s3(31 dxxxe x ??? ?
微分形式的不变性;)(,)1( dxxfdyx ??是自变量时若
则微函数
的可即另一变量是中间变量时若
),(
,)2(
tx
tx
??
),()( xfxfy ?? 有导数设函数
dttxfdy )()( ? ???
,)( dxdtt ?? ??,)( dxxfdy ???
结论,
的微分形式总是
函数是自变量还是中间变量无论
)(
,
xfy
x
?
微分形式的不变性
dxxfdy )(??
例 4
解
.,s i n dybxey ax 求设 ??
)(s i n)(c o s axdebxbxbxdedy axax ????? ??
dxaebxbdxbxe axax )(s i nc o s ??????? ??
.)s i nc o s( dxbxabxbe ax ?? ?
例 3
解
.),12s i n ( dyxy 求设 ??
.12,s i n ??? xuuy?
u d udy co s?? )12()12co s ( ??? xdx
dxx 2)12co s ( ???,)12co s (2 dxx ??
例 5
解
在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使
等式成立,
).()()( s i n)2(;c o s)()1( 2 xdxdt dtd ???
,co s)( s in)1( td ttd ?????
)( s i n1co s tdt d t ?????
.co s)s i n1( t d tCtd ??????
);s i n1( td ???
dx
x
dxxx
xd
xd
2
1
co s2
)(
)( s i n)2( 22 ??
,c o s4 2xxx?
).()c o s4()( s i n 22 xdxxxxd ??
0,
dd
)(d
,dd)(d
,dd)(d
),(d)(d
,)(),(
2
?
?
?
??
???
?
??
v
v
vuuv
v
u
uvvuuv
vuvu
CuCCu
xxvvxuu
为常数
则有处均可微在点设
1、函数四则运算的微分
二、微分的运算公式
duufdy
uufy
dxxufdy
x
xfyxuufy
)('
)(
)(')('
))((,)()(
?
?
?
???
的微分为对则函数
的微分为对
则复合函数均可导及若
?
??
2、复合函数的微分
.
,
.,
,,
有时也称为微商
因此导数两个变量的微分之商可以把导数记号理解为
形式不变性此性质称为一阶微分的微分形式保持不变
量的可微函数是自变量还是另一个变无论由此可知 u
dx
xa
x
xdx
xa
dy
xdxdxudu
du
u
duydy
uyxau
u
2222
22
2
2
1
2'
2
1
'
,,
?
??
?
?
??
??
???
故
又
于是
则记解
.,2 22 dyxay 利用微分形式不变性求例 ??
小结
微分学所要解决的两类问题,
函数的变化率问题
函数的增量问题 微分的概念
导数的概念
求导数与微分的方法,叫做 微分法,
研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫
做 微分学,
导数与微分的联系,,可微可导 ?
★
★
导数与微分的区别,
.,,
,))((
),()(.1
000
00
它是无穷小实际上的定义域是
它的线性函数是而微分
处的导数是一个定数在点函数
R
xxxxxfdy
xfxxf
????
?
))((limlim 00
00
xxxfdy xxxx ??? ???,0?
.
))(,()()(
)(,))(,(
)()(,.2
0
000
000
0
的纵坐标增量线方程在点
处的切在点是曲线
而微分处切线的斜率点
在是曲线从几何意义上来看
x
xfxxfyxx
xfdyxfx
xfyxf
??
??
??
★
思考题 因为一元函数 )( xfy ? 在
0x 的可微性与
可导性是等价的，所以有人说,微分就是导
数，导数就是微分”，这说法对吗？
思考题解答
说法不对,
从概念上讲，微分是从求函数增量引
出线性主部而得到的，导数是从函数变化
率问题归纳出函数增量与自变量增量之比
的极限，它们是完全不同的概念,
一,填空题,
1, 已知函数
2
)( xxf ? 在点 x 处的自变量的增量 为
0.2,对应的函数增量的线性全部是 dy =0.8,那么
自变量 x 的始值为 __________,
2, 微分的几何意义是 __________,
3, 若
)( xfy ?
是可微函数，则当 0?? x 时,
dyy ??
是关于 x? 的 ________ 无穷小,
4,
x d xd ?si n___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
,
5,
dxed
x2
___ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ?
,
6,
x d xd 3s e c___ _ _ _ _ _ _ _ _ _
2
?
,
7,
x
exy
22
?
,
____________
22
dxdedy
x
??
,
8,
_ _ _ _ _ _ _ _ _)
2
(a r c ta n
2
?
x
e
d dxde
x
_ _ _ _ _ _ _ _?
,
练 习 题
二,求下列函数的微分,
1,
1
2
?
?
x
x
y ；
2,
2
)]1[l n ( xy ?? ；
3,
2
1a r c s i n xy ?? ；
4,
2
2
1
1
a r c ta n
x
x
y
?
?
? ；
5,
xey
x
3c o s
3??
?
，求
3
?
?x
dy ；
6,求由方程
22
)c o s ( yxxy ? 所确定的 y 微分,
一,1, - 2 ；
2,曲线的切线上点的纵坐标的相应增量；
3,高阶； 4, Cx ??
?
c o s
1；
5, Ce
x
?
? 2
2
1； 6, Cx ?3t a n
3
1；
7,
x
ex
22
,； 8,
x
x
x
x
e
e
e
e
4
2
4
2
22
,
2
22
??
,
二,1, dxx
2
3
2
)1(
?
? ；
2,
dx
x
x
1
)1l n (2
?
?；
练习题答案
3,
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
???
?
?
10,
1
01,
1
2
2
x
x
dx
x
x
dx
dy ；
4, dx
x
x
4
1
2
?；
5, dx3 ；
6, dx
x
y
.
第四节 高阶导数与高阶微分
?一、高阶导数
?二、高阶微分
一、高阶导数
问题,变速直线运动的加速度,
),( tfs ?设 )()( tftv ??则瞬时速度为
的变化率对时间是速度加速度 tva?
.])([)()( ?????? tftvta
定义
.)())((,
)()(
lim))((
,)()(
0
处的二阶导数在点为函数则称存在
即处可导在点的导数如果函数
xxfxf
x
xfxxf
xf
xxfxf
x
??
?
?????
???
?
??
记作,
)(,),(
2
2
2
2
dx
xfd
dx
ydyxf 或????
记作阶导数的函数
阶导数的导数称为的函数一般地
,)(
1)(,
nxf
nxf ?
.)(,),( )()( n
n
n
n
nn
dx
xfd
dx
ydyxf 或
三阶导数的导数称为四阶导数,
二阶和二阶以上的导数统称为 高阶导数,
.)(;)(,称为一阶导数称为零阶导数相应地 xfxf ?
.,),( 3
3
dx
ydyxf ??????
二阶导数的导数称为三阶导数,
.,),( 4
4
)4()4(
dx
ydyxf
高阶导数求法举例
例 1 ).0(),0(,a r c t a n ffxy ?????? 求设
解 21 1 xy ??? )1 1( 2 ????? xy 22 )1( 2x x???
))1( 2( 22 ??????? x xy 32
2
)1(
)13(2
x
x
?
??
022 )1(
2)0(
??
?????
xx
xf
032
2
)1(
)13(2)0(
??
?????
xx
xf;0?,2??
1.直接法,由高阶导数的定义逐步求高阶导数,
例 2,),( )( nyRxy 求设 ??? ?
解 1????? xy
)( 1 ????? ??xy 2)1( ????? x
??
3)2)(1( ???????? x))1(( 2 ??????? ??xy
)1()1()1()( ???????? ?? nxny nn ?
则为自然数若,n?
)()( )( nnn xy ?,!n? )!()1( ??? ny,0?
例 3,),1l n ( )( nyxy 求设 ??
解
注意,
xy ??? 1
1
2)1(
1
xy ?????
3)1(
!2
xy ????? 4
)4(
)1(
!3
xy ???
??
)1!0,1()1( )!1()1( 1)( ?????? ? nxny nnn
求 n阶导数时,求出 1-3或 4阶后,不要急于合并,
分析结果的规律性,写出 n阶导数,(数学归纳法证明 )
例 4,,s i n )( nyxy 求设 ?
解 xy c o s?? )2s i n ( ??? x
)2co s ( ????? xy )22s i n ( ????? x )22s i n ( ???? x
)22co s ( ??????? xy )
23s i n (
???? x
??
)2s i n ()( ???? nxy n
)2co s ()( co s )( ???? nxx n同理可得
例 5,),,(s i n )( nax ybabxey 求为常数设 ?
解 bxbebxaey axax c o ss i n ???
)c o ss i n( bxbbxae ax ??
)a rc t a n()s in (22 abbxbae ax ???????
)]co s ()s i n ([22 ?????????? bxbebxaebay axax
)2s i n (2222 ??????? bxbaeba ax
??
)s i n ()( 222)( ????? nbxebay axnn )a rct a n( ab??
2,高阶导数的运算法则,
则阶导数具有和设函数,nvu
)()()()()1( nnn vuvu ???
)()()()2( nn CuCu ?
)()(
0
)()()(
)2()1()()(
!
)1()1(
!2
)1(
)()3(
kkn
n
k
k
n
nkkn
nnnn
vuC
uvvu
k
knnn
vu
nn
vnuvuvu
?
?
?
??
??
??
???
?
??
?
?????
?
?
莱布尼兹公式
例 6,,)20(22 yexy x 求设 ?
解 则由莱布尼兹公式知设,,22 xveu x ??
0)()(
!2
)120(20
)()(20)(
2)18(2
2)19(22)20(2)20(
????
?
?
?????
xe
xexey
x
xx
22
!2
1920
22202
218
2192220
?
?
?
?????
x
xx
e
xexe
)9520(2 2220 ??? xxe x
3.间接法,
常用高阶导数公式
nn xnx ??? ??????? )1()1()()4( )( ?
n
nn
x
nx )!1()1()( l n)5( 1)( ??? ?
)2s in ()( s in)2( )( ???? nkxkkx nn
)2co s ()( co s)3( )( ???? nkxkkx nn
)0(ln)()1( )( ??? aaaa nxnx xnx ee ?)()(
利用已知的高阶导数公式,通过四则
1
)( !)1()1(
??? n
nn
x
n
x
运算,变量代换等方法,求出 n阶导数,
例 7,,11 )5(
2 yxy 求设 ??
解 )1111(21112 ?????? xxxy?
])1( !5)1( !5[21 66)5( ??????? xxy
])1( 1)1( 1[60 66 ???? xx
例 8,,c o ss i n )(66 nyxxy 求设 ??
解 3232 )( c o s)( s i n xxy ??
)c osc oss i n) ( s i nc os( s i n 422422 xxxxxx ????
xxxx 22222 c o ss i n3)c o s( s i n ???
x2s i n431 2?? 2 4co s1431 x????
x4co s8385 ??
).24co s (483)( ??????? nxy nn
对于函数 y=f(x),类似于高阶导数可以定义高阶微
分,设 f(x)有直至 n阶的导数,自变量的增量仍为 dx,则二
阶微分定义为
2
2
)('' )(''
))('()(
dxxfdxdxxf
dxxfddydyd
???
??
nnnn
dxxfyddyd
n
dxxfdxdxxf
dxxfdyddyd
)()(
,;)(''')(''
))(''()(
)(1
32
223
??
??
??
?
阶微分为定义一般地
三阶微分定义为
二、高阶微分
复合函数二阶及二阶以上的微分
? ?
dxxdu
xdu
udufduuf
dudufduufdduufdyd
duufdy
xuufy
)('
,,
)(')(''
)()(')('))('(
,)('
,),(),(
22
2
?
?
?
??
???
?
??
即它依赖于自变量不再固定的了这是因为
而
则且都具有相应的可微性设
2
2
22
)s i nc os2(
)s i nc os( c os
)'c os( s i n)(;)c os( s i n)'s i n(
dxxxx
dxxxxx
dxxxxdydyd
dxxxxdxxxdy
??
???
???
???解
.,s i n5 2 ydxxy 求设例 ?
三、小结
高阶导数的定义及物理意义 ;
高阶导数的运算法则 (莱布尼兹公式 );
n阶导数的求法 ;
1.直接法 ; 2.间接法,
思考题
设 连续，且,)(xg? )()()( 2 xgaxxf ??
求,)(af ??
思考题解答
)( xg? 可导
)()()()(2)( 2 xgaxxgaxxf ???????
)( xg ??? 不一定存在 故用定义求 )(af ??
)(af ?? ax afxfax ? ???? ? )()(lim 0)( ?? af
ax
xf
ax ?
??
?
)(l i m )]()()(2[l i m xgaxxg
ax ???? ? )(2 ag?
一,填空题：
1, 设
t
e
t
y
s i n
? 则 y ?? =__ __ __ ___,
2, 设
xy t an?
,则 y
??
= ___ __ ___ _.
3, 设 xxy a r c ta n)1(
2
??,则 y
??
= _ ___ __ __.
4, 设
2
x
xey ?,则
y ??
= ___ __ ___ _.
5, 设 )(
2
xfy ?,
)( xf ??
存在，则
y ??
= __ ___ __ __,
6, 设
6
)10()( ?? xxf,则
)2(f ???
=___ __ ___ _.
7, 设
nn
nnn
axaxaxax ?????
?
??
1
2
2
1
1
?
( n
aaa,,,
21
?
都是常数 ),则
)( n
y = __ ___ __ __ __,
8,设
)()2)(1()( nxxxxxf ???? ?
,
则 )(
)1(
xf
n ?
= ___ __ ___ __ __,
练 习 题
二,求下列函数的二阶导数,
1,
x
xx
y
42
3
??
? ；
2, xxy lnc o s
2
? ；
3, )1l n (
2
xxy ???,
三,试从
ydy
dx
?
?
1
，导出,
1,
32
2
)( y
y
dy
xd
?
??
?? ；
2,
5
2
3
3
)(
)(3
y
yyy
dy
xd
?
???????
?,
四、验证函数 xx ececy ?? ??? 21 ( ?,1c,2c 是常数）
满足关系式 02 ???? yy ?,
五,下列函数的 n 阶导数,
1, xey
x
c o s? ；
2,
x
x
y
?
?
?
1
1；
3,
23
2
3
??
?
xx
x
y ;
4, xxxy 3si n2si nsi n?,
一,1, te
t
c o s2
?
? ； 2, xx t a ns e c2
2；
3,
2
1
2
a r c t a n2
x
x
x
?
? ； 4, )23(2
2
2
xxe
x
? ；
5, )(4)(2
222
xfxxf ???? ； 6, 20 736 0 ；
7, !n ； 8, )!1( ?n,
二,1,
3
2
5
8
4
3
4
?
?
?? xx ；
2,
2
2
c o s2s i n2
ln2c o s2
x
x
x
x
xx ???? ；
3,
2
3
2
)1( x
x
?
.
练习题答案
五, 1, )
4
c o s ()2(
?
nxe
xn
? ；
2,
1
)1(
!2
)1(
?
?
?
?
n
n
x
n；
3, )2(],
)1(
1
)2(
8
![)1(
11
?
?
?
?
?
??
n
xx
n
nn
n；
4, )
2
2s i n (2[
4
1 ?
?
n
x
n
+ )]
2
6s i n (6)
2
4s i n (4
?
??
?
?
n
x
n
x
nn
,
第五节 微分中值定理
?一、罗尔 (Rolle)定理
?二、拉格朗日中值定理
?三、柯西中值定理
一、罗尔 (Rolle)定理
罗尔 （ R o l l e ）定理 如果函数 )( xf 在闭区间 ],[ ba
上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且在区间端点的函数
值相等，即 )()( bfaf ?,那末在 ),( ba 内至少有一点
)( ba ?x?x,使得函数 )( xf 在该点的导数等于零，
即 0)(
'
?xf)1()2( )3(
例如,32)( 2 ??? xxxf ).1)(3( ??? xx
,]3,1[ 上连续在 ?,)3,1( 上可导在 ?,0)3()1( ??? ff且
))3,1(1(,1 ???x取,0)( ?x?f ),1(2)( ??? xxf?
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物理解释,
变速直线运动在
折返点处,瞬时速
度等于零,
几何解释,
a b1x 2x x
y
o
)( xfy ?
.
,
水平的
在该点处的切线是点
上至少有一在曲线弧
C
ABC
证
.)1( mM ?若
,],[)( 连续在 baxf?,mM 和最小值必有最大值
.)( Mxf ?则
.0)( ?? xf由此得 ),,( ba?x?,0)( ?x?f都有
.)2( mM ?若 ),()( bfaf ??
.取得最值不可能同时在端点?
),( afM ?设
.)(),( Mfba ?xx 使内至少存在一点则在
),()( x???x fxf?,0)()( ?x???x? fxf
,0?? x若 ;0)()( ?? x???x x fxf则有
,0?? x若 ;0)()( ?? x???x x fxf则有;0)()(lim)( 0 ?? x???x?x?? ???? x fxff x;0)()(li m)( 0 ?? x???x?x? ???? x fxff x,)( 存在x?f?
).()( x??x?? ?? ff,0)( ?x?? f只有
注意,若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其
结论可能不成立,
例如,];2,2[,??? xxy
,
,)0(]2,2[
的一切条件
满足罗尔定理不存在外上除在 f ??
.0)(
2][ - 2
?? xf使
内找不到一点能，但在区间;0,0 ]1,0(,1
??
?
?
???
x
xxy
].1,0[,?? xxy
又例如,
例 1
.1
0155
的正实根
有且仅有一个小于证明方程 ??? xx
证,15)( 5 ??? xxxf设,]1,0[)( 连续在则 xf
.3)1(,1)0( ??? ff且 由介值定理
.0)(),1,0( 00 ??? xfx 使即为方程的小于 1的正实根,
,),1,0( 011 xxx ??设另有,0)( 1 ?xf使
,,)( 10 件之间满足罗尔定理的条在 xxxf?
使得之间在至少存在一个 ),,( 10 xxx?,0)( ?x?f
)1(5)( 4 ??? xxf但 ))1,0((,0 ?? x 矛盾,.为唯一实根?
二、拉格朗日 (Lagrange)中值定理
拉格朗日 （ Lagrange ）中值定理 如果函数 f ( x ) 在
闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,那末在
),( ba 内至少有一点 )( ba ?x?x,使等式
))(()()(
'
abfafbf ?x?? 成立,
)1(
)2(
).()(,bfaf ?去掉了与罗尔定理相比条件中注意
).()()( x???? fab afbf结论亦可写成
a b1x 2xx xo
y
)( xfy ?
A
BC
DN
M几何解释,
.
,
AB
C
AB
线平行于弦
在该点处的切一点
上至少有在曲线弧
证 分析, ).()( bfaf ?条件中与罗尔定理相差
弦 AB方程为 ).()()()( axab afbfafy ?????
,)( ABxf 减去弦曲线
.,两端点的函数值相等所得曲线 ba
作辅助函数
)].()()()([)()( axab afbfafxfxF ??????
,)( 满足罗尔定理的条件xF
.0)(,),( ?x?x Fba 使得内至少存在一点则在
0)()()( ????x? ab afbff即
).)(()()( abfafbf ?x???或 拉格朗日中值公式
注意,拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的
增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系,
,),(],[)( 内可导在上连续，在设 babaxf
).10()()()( 000 ????????????? xxxfxfxxf
则有),,(,00 baxxx ???
).10()( 0 ??????????? xxxfy也可写成
.的精确表达式增量 y?
拉格朗日中值定理又称 有限增量定理,
拉格朗日中值公式又称 有限增量公式,微分中值定理
推论
.)(
,)(
上是一个常数在区间那末
上的导数恒为零在区间如果函数
Ixf
Ixf
例 2 ).11(2a rc co sa rc s in ?????? xxx证明
证 ]1,1[,a r c c o sa r c s i n)( ???? xxxxf设
)1 1(1 1)( 22 xxxf ???????,0?
]1,1[,)( ???? xCxf
0a r c c o s0a r c s in)0( ??f?又 20 ???,2??
.2??C即
.2a rc co sa rc s in ???? xx
例 3,)1ln (1,0 xxxxx ????? 时证明当
证 ),1ln ()( xxf ??设
,],0[)( 上满足拉氏定理的条件在 xxf
)0(),0)(()0()( xxffxf ?x??x????
,1 1)(,0)0( xxff ????? 由上式得,1)1ln( x??? xx
x?x?0?又 x??x?? 111,11 11 1 ?x??? x
,11 xxxx ?x????,)1l n (1 xxxx ????即
三、柯西 (Cauchy)中值定理
柯西（ Cauchy ）中值定理 如果函数 )( xf 及 )( xF
在闭区间 ],[ ba 上连续,在开区间 ),( ba 内可导,且
)(
'
xF 在 ),( ba 内每一点处均不为零，那末在 ),( ba 内
至少 有一点 )( ba ?x?x,使等式
)(
)(
)()(
)()(
'
'
x
x
F
f
aFbF
afbf
?
?
?
成立,
几何解释,
)( 1xF )( 2xF xo
y ??
?
?
?
)(
)(
xfY
xFX
)(aF
A
)(bF
BC
D
)(xF
N
M
.
)),(),((
AB
fFC
AB
弦
该点处的切线平行于
在一点
上至少有在曲线弧
xx
证 作辅助函数
) ],()([)()( )()()()()( aFxFaFbF afbfafxfx ???????
,)( 满足罗尔定理的条件x?
.0)(,),( ?x? ?x 使得内至少存在一点则在 ba
,0)()()( )()()( ?x?????x? FaFbF afbff即
.)( )()()( )()( x? x????? FfaFbF afbf
.0)(,),( ?x? ?x 使得内至少存在一点则在 ba
,)( xxF ?当,1)(,)()( ????? xFabaFbF
)(
)(
)()(
)()(
x?
x??
?
?
F
f
aFbF
afbf ).()()( x??
?
? f
ab
afbf
例 4
) ],0()1([2)(),1,0(
:,)1,0(,]1,0[)(
fff
xf
???? xxx 使至少存在一点
证明内可导在上连续在设函数
证 分析, 结论可变形为
x
x??
?
?
2
)(
01
)0()1( fff,
)(
(
2 x??
??
xx
xf,)( 2xxg ?设
,]1,0[)(),( 条件上满足柯西中值定理的在则 xgxf
有内至少存在一点在,)1,0( x?
x
x??
?
?
2
)(
01
)0()1( fff ) ],0()1([2)( fff ?x?x?即
四、小结
Rolle
定理
Lagrange
中值定理
Cauchy
中值定理
xxF ?)()()( bfaf ?
罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理
之间的关系；
注意定理成立的条件；
注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤,
思考题
试举例说明拉格朗日中值定理的条件
缺一不可,
思考题解答
?
?
?
?
???
1,3
10,)( 2
1 x
xxxf
不满足在闭区间上 连续 的条件；
],[,1)(2 baxxxf ??且 0?ab
不满足在开区间内 可微 的条件；
以上两个都可说明问题,
一,填空题：
1, 函数
4
)( xxf ? 在区间 [1,2] 上满足拉格朗日中值
定理，则 ξ =_____ _ _,
2, 设
)4)(3)(2)(1()( ????? xxxxxf
,方程
0)( ?? xf 有 ____ ___ _ _ ___ 个根，它们分别在区间
___ ___ ___ __ __ 上,
3, 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是
___ ___ ___ __ ___ __ _.
4, 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的
___ ___ _ 与函数在这区间内某点处的 ___ __ __ 之间
的关系,
5, 如果函数
)( xf
在区间
I
上的导数 ____ __ ___ _,那
么
)( xf
在区间
I
上是一个常数,
练 习 题
二、试证明对函数 rqxpxy ???
2
应用拉氏中值定理
时所求得的点 x 总是位于区间的正中间,
三、证明等式
2
1
ar c t an1ar c s i n
2
2
?
?
?
??
x
x
x
))1,0(( ?x
,
四、设
0?? ba
，
1?n
，证明
)()(
11
banababanb
nnnn
?????
??
,
五,证明下列不等式：
1, baba ??? a r c ta na r c ta n ；
2,
时当 1?x
，
exe
x
?
,
六,设函数 )( xfy ? 在 0?x 的某邻域内且有 n 阶导数,
且 )0()0()0(
)1( ?
????
n
fff ? 试用柯西中值定理
证明：
!
)()(
)(
n
xf
x
xf
n
n
?
?,（ 10 ?? ? ）,
七,设 )( xf 在 [ ba,] 内上连续，在 ( ba,) 内可导，若
ba ??0,则在 ( ba,) 内存在一 x点,使
)) ] (()([)()( baffabfbaf ???? xxx
],
第六节
泰勒公式
一、问题的提出
1,设 )( xf 在 0x 处连续,则有
2,设 )( xf 在 0x 处可导,则有
例如,当 x 很小时,xe x ?? 1,xx ?? )1ln (
[ ??? )()( 0xfxf ]
)]())(()()([ 0000 xxoxxxfxfxf ??????
（如下图）
)()( 0xfxf ?
))(()()( 000 xxxfxfxf ????
xey ?
xy ?? 1
o
xey ?
o
xy?
)1ln( xy ??
不足,
问题,寻找函数 )( xP,使得 )()( xPxf ?误差 )()()( xPxfxR ?? 可估计
1、精确度不高； 2、误差不能估计,
设函数 )( xf 在含有 0x 的开区间 ),( ba 内具有直到
)1( ?n 阶导数,)( xP 为多项式函数
nnn xxaxxaxxaaxP )()()()( 0202010 ???????? ?
误差 )()()( xPxfxR nn ??
二,nP 和 nR 的确定
0x
)( xfy ?
o x
y
分析,
)()( 00 xfxP n ?
)()( 00 xfxP n ?????
)()( 00 xfxP n ???
????
2.若有相同的切线
3.若弯曲方向相同
近
似
程
度
越
来
越
好
1.若在 点相交0x
假设 nkxfxP kkn,,2,1)()( 0)(0)( ???
),( 00 xfa ?
代入 )( xP n 中得
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxP
)(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
??
??
??
????? ?
得 ),,2,1,0()(!1 0)( nkxfka kk ???
),(1 01 xfa ??? )(!2 02 xfa ????
,?? )(! 0)( xfan nn ??
三、泰勒 (Taylor)中值定理
泰勒 ( T a y l o r ) 中值定理 如果函数 )( xf 在含有
0
x
的某个开区间 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶的导数,则
当 x 在 ),( ba 内时,)( xf 可以表示为 )(
0
xx ? 的一个
n 次多项式与一个余项 )( xR
n
之和,
)()(
!
)(
)(
!2
)(
))(()()(
0
0
)(
2
0
0
000
xRxx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
n
n
n
????
?
??
?????
?
其中 10
)1(
)(
)!1(
)()( ?? ?
?
? n
n
n xxn
fxR x (x 在
0x 与 x 之间 ),
证明,
由假设,)( xR n 在 ),( ba 内具有直到 )1( ?n 阶
导数,且两函数 )( xR n 及 10 )( ?? nxx 在以 0x 及 x 为端点的
区间上满足柯西中值定理的条件,得
)())(1( )( 0
01
1 之间与在 xx
xn
R
n
n x
x
x
??
??
0)(
)()(
)(
)(
1
0
0
1
0 ??
??
? ?? n
nn
n
n
xx
xRxR
xx
xR
0)()()()( 0)(000 ???????? xRxRxRxR nnnnn ?
如此下去,经过 )1( ?n 次后,得
两函数 )( xR
n
? 及 nxxn ))(1(
0
?? 在以
0
x 及
1
x 为端点
的区间上满足柯西中值定理的条件,得
0))(1(
)()(
))(1(
)(
01
01
01
1
???
????
??
?
n
nn
n
n
xn
xRR
xn
R
x
x
x
x
? ? !1
)(
)(
)(
)1(
1
0 ?
?
?
?
?
n
R
xx
xR
n
n
n
n x
( 之间与在 nx xx 0,也在 0x 与 x 之间 )
)())(1( )( 1021
02
2 之间与在 xx
x
x x
xnn
R
n
n
???
???
?
?
??
n
k
k
k
n xx
k
xf
xP
0
0
0
)(
)(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 次近似多项式?
?
???
n
k
n
k
k
xRxx
k
xf
xf
0
0
0
)(
)()(
!
)(
)(
称为 )( xf 按 )( 0xx ? 的幂展开的 n 阶泰勒公式
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n x
x ?? ?
??
则由上式得
,0)()1( ?? xP nn? )()( )1()1( xfxR nnn ?? ??
拉格朗日形式的余项 ? ? ? ?
1
0
1
0
)1(
)(
!1
)(
!1
)(
)( ??
?
?
?
??
?
? nn
n
n xxn
M
xx
n
f
xR
x
])[()(! )()( 00
0
0
)(
nk
n
k
k
xxoxxk xfxf ????? ?
?
? ? )()(!1
)()(
0
1
0
)1(
之间与在 xxxxnfxR n
n
n x
x ?? ?
??
皮亚诺形式的余项
0)( )(l i m
00
??
? n
n
xx xx
xR及
].)[()( 0 nn xxoxR ??即
注意,1,当 0?n 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
)())(()()( 000 之间与在 xxxxfxfxf xx ????
2,取 0
0
?x,
x 在 0 与 x 之间,令 )10( ??? ??x x
则余项
1
)1(
)!1(
)(
)(
?
?
?
?
n
n
n
x
n
xf
xR
?
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
)(
2
n
n
n
xO
x
n
f
x
f
xffxf
?
??
??
???? ?
)10(
)!1(
)(
!
)0(
!2
)0(
)0()0()(
1
)1(
)(
2
??
?
?
??
??
????
?
?
?
? n
n
n
n
x
n
xf
x
n
f
x
f
xffxf ?
麦克劳林 (Maclaurin)公式
四、简单的应用
例 1 求 xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
解,)()()( )( xn exfxfxf ??????? ??
1)0()0()0()0( )( ????????? nffff ?
xn exf ?? ?? )()1(注意到 代入公式,得
).10()!1(!!21 1
2
????????? ? ?
?
n
xn
x x
n
e
n
xxxe ?
由公式可知 !!21
2
n
xxxe nx ????? ?
估计误差 )0( ?x设
!
1
!2
111,1
nex ?????? ?取
.)!1( 3?? n其误差 )!1( ?? eR n
).10()!1()!1()( 11 ?????? ?? ?
?
n
x
n
x
n xn
ex
n
exR
常用函数的麦克劳林公式
)(
)!12(
)1(
!5!3
s in
22
1253
?
?
?
?
??????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(
)!2(
)1(
!6!4!2
1c o s
2
2642
n
n
n
xo
n
xxxx
x ???????? ?
)(
1
)1(
32
)1ln (
1
132
?
?
?
?
???????
n
n
n
xo
n
xxx
xx ?
)(1
1
1
2 nn
xoxxx
x
??????
?
?
)(
!
)1()1(
!2
)1(
1)1(
2
nn
m
xox
n
nmmm
x
mm
mxx
?
???
?
?
?
????
?
?
例 2 计算 4
0
3c o s2
lim
2
x
xe x
x
??
?
.
解 )(!2
11 4422 xoxxe x ?????
)(!4!21c o s 5
42
xoxxx ????
)()!412!21(3c o s2 442 xoxxe x ???????
4
44
0
)(
12
7
lim
x
xox
x
?
?
?
原式,
12
7?
xy ?
xy si n?
播放
五、小结
1, T a y l o r 公式在近似计算中的应用 ;
播放
2, T aylor 公式的数学思想 - -- 局部逼近,
思考题
利用泰勒公式求极限 3
0
)1(s inlim
x
xxxe x
x
??
?
思
考
题
解
答
)(!3!21 3
32
xoxxxe x ??????
)(!3s i n 3
3
xoxxx ???
????
? 30
)1(s inlim
x
xxxe x
x
3
3
3
3
32
0
)1()(
!3
)(
!3!2
1
lim
x
xxxoxxxoxxx
x
????
?
?
??
?
?
????
?
?
??
?
?
????
?
3
3
33
0
)(
!3!2l im
x
xoxx
x
??
?
?,3
1?
一,当 1
0
??x 时，求函数
x
xf
1
)( ? 的 n 阶泰勒公式,
二,求函数
x
xexf ?)( 的 n 阶麦克劳林公式,
三,验证
2
1
0 ?? x 时，按公式
62
1
32
xx
xe
x
???? 计算
x
e
的近似值，可产生的误差小于 0,0 1,并求 e 的
近似值，使误差小于 0.01,
四,应用三阶泰勒公式求
3
30
的近似值，并估计误差,
五,利用泰勒公式求极限：
1,
x
ex
x
x
4
2
0 s i n
c o s
lim
2
?
?
?；
2, )]
1
1l n ([lim
2
x
xx
x
??
??
.
练 习 题
一,])1()1()1(1[
1
2 n
xxx
x
????????? ?
)1,0(
)]1(1[
)1(
)1(
2
1
1
?
???
?
??
?
?
?
?
?
n
n
n
x
x
.
二、
)!1(!2
3
2
?
?????
n
xx
xxxe
n
x
?
)10(,)1(
)!1(
1
1
????
?
?
?
??
? nx
xexn
n
.
三、
645.1?e
.
四、
5
3
3
1088.1,1 0 7 2 4.330
?
??? R
.
五,1,
12
1
,2,
2
1
.
练习题答案
第七节
罗必达法则
洛必达法则型未定式解法型及一,:00 ??
定义
.
0
0
)(
)(
lim
)()(
)(
)(
型未定式或常把这种极限称为
在．通可能存在、也可能不存极限
大，那末都趋于零或都趋于无穷与
时，两个函数或如果当
?
?
???
??
? xF
xf
xFxf
xax
x
ax
例如,,ta nlim 0 x xx ?,s i nln s i nlnlim 0 bxaxx ?)0
0( )(
?
?
.
)(
)(
lim
)(
)(
lim
);(
)(
)(
lim)3(;0)(
)()(,)2(;)()(,0)1(
xF
xf
xF
xf
xF
xf
xF
xFxfa
xFxfx
axax
ax
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
那末
或为无穷大存在
且
都存在及点的某去心邻域内在
都趋于零及函数时当
设
定理
定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再
求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则,
证 定义辅助函数
,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxfxf,,0 ),()(1 ??? ??? ax axxFxF
,),(0 xaU 内任取一点在 ?,为端点的区间上与在以 xa
,)(),( 11 件满足柯西中值定理的条xFxf 则有
)()(
)()(
)(
)(
aFxF
afxf
xF
xf
?
??
)(
)(
x
x
F
f
?
??
)( 之间与在 axx
,,aax ?? x时当,)( )(lim AxF xfax ?????,)( )(li m AFfa ???? ? xxx
.)( )(lim)( )(lim AFfxF xf aax ????? ?? xxx
.,,,该法则仍然成立时以及时当 ????? xaxx
使用洛必达法则，即定理的条件，可以继续
满足型，且仍属如果 )(),(
0
0
)(
)(
xFxf
xF
xf ??
?
?
.)( )(lim)( )(lim)( )(lim ?????????? ??? xF xfxF xfxF xf axaxax
.)( )(lim)( )(lim xF xfxF xf xx ??? ????
例 1
解
.t a nlim
0 x
x
x ?
求
)(
)( t a nli m
0 ?
??
? x
x
x
原式 1s e cl im
2
0
x
x
?,1?
例 2
解
.123lim 23
3
1 ???
??
? xxx
xx
x
求
123
33lim
2
2
1 ??
??
? xx
x
x
原式 26 6l i m
1 ?
?
? x
x
x,2
3?
)00(
)00(
例 3
解
.
1
a rc t a n
2lim
x
x
x
?
???
?
求
2
2
1
1
1
l i m
x
x
x
?
?
?
?
???
原式
2
2
1lim x
x
x ?
?
???,1?
例 4
解
.s i nln s i nlnl i m
0 bx
ax
x ?
求
axbxb
bxaxa
x s i nco s
s i nco sl i m
0 ?
??
?
原式,1?
)00(
)(??
ax
bx
x c os
c osi m
0?
?
例 5
解
.3t a nt a nl i m
2
x
x
x ??
求
x
x
x 3s e c3
s e clim
2
2
2
??
?原式
x
x
x
2
2
2
c o s
3c o sli m
3
1
??
?
xx
xx
x s i nco s2
3s i n3co s6lim
3
1
2
?
??
?? x
x
x 2s i n
6s i nlim
2
??
?
x
x
x 2co s2
6co s6l i m
2
??
?,3?
)(??
注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，
但与其它求极限方法结合使用，效果更好,
例 6
解
.t a nt a nl i m 2
0 xx
xx
x
?
?
求
30
t a nl i m
x
xx
x
??
?
原式
x
xx
x 6
t a ns e c2lim 2
0?
?
2
2
0 3
1s e clim
x
x
x
??
?
x
x
x
t a nlim
3
1
0?
?,31?
型未定式解法二,00,1,0,,0 ?????? ?
例 7
解
.lim 2 xx ex ????求 )0( ??
x
e x
x 2
lim
???
?原式 2li m
x
x
e
??
?,???
关键,将其它类型未定式化为洛必达法则可解决
的类型,),00( )(??
型??0.1
步骤,,
10 ??
????,0
100 ????或
例 8
解
).1s i n1(l i m
0 xxx
?
?
求 )( ???
0
1
0
1 ?????,
00
00
?
??
xx
xx
x s i n
s i nlim
0 ?
??
?
原式
xxx
x
x co ss i n
co s1lim
0 ?
??
?,0?
型???.2
步骤,
步骤,
型00,1,0.3 ??
?
?
?
?
?
??
??
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
ln0
1ln
0ln0
1
0
0
0
取对数
.0 ???
例 9
解
.lim0 xx x??求 )0( 0
xx
x e
ln
0l i m ???原式
xxxe lnlim0 ???
2
0 1
1
li m
x
x
x
e
???
? 0e?,1?
x
x
x
e
1
lnlim
0 ??
?
例 10
解
.lim 1
1
1
x
x
x ?
?
求 )1( ?
xx
x
e ln1
1
1
li m ?
?
?原式 xxxe ??? 1lnlim1
1
lim
1???
x
xe,1?? e
例 11
解
.)( c o tlim ln
1
0
x
x
x?
?
求 )( 0?
,)( co t )l n ( c o tln
1
ln
1 x
xx ex ??取对数得
)l n ( co tln 1l i m
0
xx
x
??
?
?
x
xx
x 1
s i n
1
c o t
1
l i m
2
0
??
?
??
xx
x
x s i nco s
lim
0 ?
??
??,1??,1??? e原式
例 12
解
.co sl i m x xx
x
?
??
求
1
s i n1l i m x
x
??
??
原式 ).s in1(lim xx ?? ??
极限不存在
洛必达法则失效。
)co s11(l i m xx
x
??
??
原式,1?
注意,洛必达法则的使用条件．
小结
洛必达法则 型00,1,0 ??
型??? 型??0型0
0
型?? gfgf 1?? fg fggf 11 11 ????
取对数
令 gfy ?
思考题
设
)(
)(
lim
xg
xf
是不定型极限，如果
)(
)(
xg
xf
?
?
的极
限不存在，是否
)(
)(
xg
xf
的极限也一定不存在？
举例说明,
思考题解答
不一定．
例,s i n)( xxxf ?? xxg ?)(
显然 ???
?? )(
)(lim
xg
xf
x 1
co s1l i m x
x
?
?? 极限不存在．
但 ?
?? )(
)(l i m
xg
xf
x x
xx
x
s i nl i m ?
?? 1?
极限存在．
一,填空题：
1, 洛必达法则除了可用于求,
0
0
”，及,
?
?
”两种
类型的未定式的极限外，也可通过变换解决
_____ ___ ____ _, ___ ____ ___ ___, _ ____ ___ ____,
_____ ___ ____ _, ___ ____ ___ ___,等型的未定式
的求极限的问题,
2,
x
x
x
)1l n (
l i m
0
?
?
=____ ___ ____,
3,
x
x
x
2ta nln
7ta nln
l i m
0?
=____ ___ ____ _.
练 习 题
二,用洛必达法则求下列极限：
1,
2
2
)2(
s inln
li m
x
x
x
??
?
?； 2,
x
x
x
a r c ta n
)
1
1l n (
l i m
?
???；
3, xx
x
2c o tlim
0?； 4,
)
1
1
1
2
(lim
2
1
?
?
?
?
xx
x；
5,
x
x
x
s i n
0
lim
??； 6,
x
x
x
t a n
0
)
1
(l i m
??；
7,
x
x
x )a r c t a n
2
(lim
????
,
三,讨论函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0,
0,]
)1(
[
)(
2
1
1
1
xe
x
e
x
xf
x
x
当
当
,
在
处点 0?x
的连续性,
一,1,
00
,0,1,,0 ??????
?； 2, 1 ； 3, 1.
二,1,
8
1； 2, 1 ； 3,
2
1； 4,
2
1； 5, 1 ；
6, 1 ； 7,
?
?
2
e,
三、连续,
练习题答案