建模与仿真（外文版）：Gesamtskript

Realit?t Modell Simulation Vorlesung Modellbildung und Simulation von Prof. Baier, Prof. Bender und Prof. Schilling ? 2004 itm 1 – 1 Simulation ModellRealit?t Vorlesung Modellbildung und Simulation Teil 1: Grundlagen ? 2004 itm 1 – 2 Simulation ModellRealit?t Organisatorisches Dozent: Prof. K. Bender Betreuer: Dipl.-Ing. S. Dominka Raum: 0125 089 – 289 164 44 dominka@itm.tum.de ? 2004 itm 1 – 3 Simulation ModellRealit?t Kapitel 1.1: Einführung ? Kapitel 1.1: Einführung ? Kapitel 1.2: Grundlagen ? Kapitel 1.3: Problemstellung und Anforderungsanalyse ? Kapitel 1.4: Modellbildung ? Kapitel 1.5: Simulation ? 2004 itm 1 – 4 Simulation ModellRealit?t Modellbildung im Alltag Erstellung eines vereinfachten Abbilds existierender oder gedachter Realit?t Kunst TechnikWissenschaft Literatur 1.1 Einführung ? 2004 itm 1 – 5 Simulation ModellRealit?t Was ist ?Modellbildung & Simulation“ Mit Modellbildung und Simulation wird der Probleml?sungsprozess von der Realit?t auf ein abstrahiertes Abbild der Wirklichkeit verlagert und somit unterstützt. Realit?t ? !! Modell 1.1 Einführung ? 2004 itm 1 – 6 Simulation ModellRealit?t Beispiele zu ?Modellbildung & Simulation“ I Optimierung der Str?mungseigenschaften ? Minimierung des Luftwiderstandes ? Optimierung des Auftriebes materiell / physikalische Simulation Beispiel: Windkanal Verifikation der berechneten Ergebnisse ? Auftriebskraft ? Luftwiderstand ? Wirbelbildung 1.1 Einführung ? 2004 itm 1 – 7 Simulation ModellRealit?t Beispiele zu ?Modellbildung & Simulation“ II Layoutplanung und -optimierung von Roboterzellen ? Erreichbarkeits- und Kollisionskontrollen für die Verifikation der Roboter-Bewegungsprogramme ? Analyse von Einbaur?umen und Montagepfaden Konstruktive Optimierung neuer Robotertypen Offline-Programmierung von Industrierobotern ? Generierung von Steuerungsprogrammen für einen realen Roboter 1.1 Einführung Computersimulation ? 2004 itm 1 – 8 Simulation ModellRealit?t Beispiele zu ?Modellbildung & Simulation“ III 1.1 Einführung Computersimulation Beispiel: Virtuelle Realit?t Gestaltung / Pr?sentation ? Architektur ? Virtuelle Ausstellung / Museum ? Fabrikplanung Erkl?rung / Schulung ? Veranschaulichung von Funktionsprinzipien ? 2004 itm 1 – 9 Simulation ModellRealit?t Gründe für den Einsatz von MouSi 1.1 Einführung Es k?nnen Erkenntnisse über Systeme erlangt werden, die in der Realit?t nicht oder nur mit wesentlich h?herem Aufwand experimentierbar sind: ? zu langsam, zu schnell (Kernreaktionen, Kontinentaldrift) ? zu gro?, zu klein (Galaxien, Atome) ? reale System nicht verfügbar (Fusionsproze?) ? bzw. nicht existent (zu entwickelndes Produkt) ? reale System würde stark gest?rt (B?rse...) bzw. zerst?rt werden ? zu teuer (Luft- und Raumfahrttechnik) ? zu gef?hrlich (?kosystem) ? 2004 itm 1 – 10 Simulation ModellRealit?t Weitere Vorteile von MouSi Der Zeit und Kostenaufwand von Projekten kann erheblich reduziert werden (Simultanious / Concurrent Engineering). (z.B. Luft- und Raumfahrttechnik, Crash-Tests) 1.1 Einführung Virtuelle Experimente sind beliebig wiederholbar, was sich für das reale System nicht, oder nur mit erheblichen Aufwand sicherstellen l?sst. Simulierte Modelle sind in der Regel vollst?ndig beobachtbar. Das System wird durch Messungen nicht beeinflusst. ? 2004 itm 1 – 11 Simulation ModellRealit?t Bedeutung von MouSi im Produktentwicklungsprozess “ H?ufig h?rt man folgende falsch gestellte Frage: ?K?nnen wir uns die Simulationstechnik leisten ?‘ Die richtige Formulierung der Frage ist aber: ?Wie lange k?nnen wir es uns leisten, auf die Simulation zu verzichten ?‘ “ Aus: Simulation von Produktionssystemen (1995), Vorwort Konzept Entwurf ProduktionProblemstellung Nachweis der Machbarkeit Prognose- und Entscheidungshilfe Optimierung Virtueller Funktionstest 1.1 Einführung ? 2004 itm 1 – 12 Simulation ModellRealit?tSystemkenntnis in unterschiedlichen Wissenschaftsbereichen Systemkenntnis gering hoch Psychologie ?konomie Chemie Elektrotechnik Mechanik Fluiddynamik Sozialwissen- schaften Biologie Spekulation Systemverst?ndnis Vorhersage Entwurf Steuerung ? Modellbildung und Simulation hat daher eine besondere Bedeutung in den Ingenieurswissenschaften 1.1 Einführung ? 2004 itm 1 – 13 Simulation ModellRealit?t Chancen von MouSi Simplifizierung der realen Welt Erfassung der Systemkomplexit?t verbessertes Systemverst?ndnis Entscheidungs- hilfen Strategie- bestimmung M?glichkeiten Simulation Grenzen Alternative zu realen Experimenten Datener- fassung 1.1 Einführung ? 2004 itm 1 – 14 Simulation ModellRealit?t Risiken von MouSi Vermischung von Modell und Realit?t Hoher Konstruktions- aufwand ?Computer- glaubwürdigkeit“ Fehleran- f?lligkeit Datenmangel Mangelnde Transparenz Realit?tsferne M?glichkeiten Simulation Grenzen 1.1 Einführung ? 2004 itm 1 – 15 Simulation ModellRealit?t Kapitel 1.2: Grundlagen ? Kapitel 1.1: Einführung ? Kapitel 1.2: Grundlagen ? Kapitel 1.3: Problemstellung und Anforderungsanalyse ? Kapitel 1.4: Modellbildung ? Kapitel 1.5: Simulation ? 2004 itm 1 – 16 Simulation ModellRealit?t Beziehung zwischen Realit?t, Modell und Simulation Realit?t Simulations- Modell Modell 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 17 Simulation ModellRealit?t Realit?t: Dinglichkeit, Wirklichkeit; objektive oder empirische Realit?t, Vorhandensein in der Au?enwelt; subjektive oder ideale Realit?t, Vorhandensein in der Vorstellung. (www.wissen.de) Begriffsdefinition ?Realit?t‘ Realit?t im Umfeld von MouSi: existierende bzw. gedachte Wirklichkeit eingebettet in seine System-Umwelt. Realit?t (Wirklichkeit): bezeichnet das, was unabh?ngig vom Subjektiven, also von Wahrnehmung, Gefühlen und Wünschen objektiv der Fall ist und existiert. Im engeren Sinne ist Realit?t der philosophischen und wissenschaftlichen Betrachtung und Erforschung zug?nglich; Dinge der Realit?t sind also messbar, und k?nnen als Basis für Theoriebildung dienen. (net-lexikon) 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 18 Simulation ModellRealit?t (konzeptionelles) Modell: Ist eine vereinfachte Nachbildung eines existierenden oder gedachten Systems in einem anderen begrifflichen oder gegenst?ndlichen System. Es wird genutzt, um eine bestimmte Aufgabe zu l?sen, deren Durchführung mittels direkter Operationen am Original nicht m?glich oder zu aufwendig w?re (VDI 3633). Begriffsdefinition ?Modell‘, ?Modellieren‘ Modellierung (=Modellbildung): Die Modellierung umfasst das Umsetzen eines existierenden oder gedachten Systems in ein Modell. Modell System Modellbildung 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 19 Simulation ModellRealit?t Beziehung zwischen Realit?t, Modell und Simulation Realit?t Modellieren Modell 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 20 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition ?Implementierung‘, ?Simulationsmodell‘ Implementierung: Unter Implementierung in der Simulationsstudie versteht man die Umsetzung eines abstrakten bzw. gedanklichen Modells in ein auf einem Rechner ablauff?higes Simulationsmodell (VDI 3633). Das abstrakte Modell ist nicht direkt experimentierbar. Um ein Experiment durchführen zu k?nnen, muss das abstrakte Modell in eine ausführbare Form z.B. rechnerlesbare Programme überführt werden. Implementierung Modell Simulationsmodell Simulationsmodell: Ablauff?higes Modell, das aus dem konzeptionellen Modell entstanden und mit dem Experimente durchgeführt werden k?nnen. 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 21 Simulation ModellRealit?t Beziehung zwischen Realit?t, Modell und Simulation Realit?t Modellieren Simulations- modell Modell I m p l e m e n t i e r e n 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 22 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition ?Simulation‘ Simulation: Simulation umfasst die Implementierung und das Experimentieren von Simulationsmodellen, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind. ExperimentierenImplementierung Simulation 1.2 Grundlagen Experimentieren: In der Simulationstechnik versteht man unter Experimentieren die gezielte empirische Untersuchung des Modellverhaltens durch wiederholte Simulationsl?ufe mit systematischen Parametervariationen (VDI 3633). ? 2004 itm 1 – 23 Simulation ModellRealit?t Beziehung zwischen Realit?t, Modell und Simulation Simulation Realit?t Modellieren Simulations- modell Modell I m p l e m en t i e r e n E x p e r i m e n t i e r e n 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 24 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition Verifikation und Validierung Verifikation: Durch den Prozess der Verifikation wird überprüft, ob ein Modell die zugrundeliegenden Anforderungen der Realit?t widerspiegelt bzw. ob das Simulationsmodell das konzeptionellen Modell korrekt beschreibt. Habe ich es richtig gemacht? Validierung: überprüfen der hinreichenden übereinstimmung von Modell und System. Es ist sicherzustellen, dass das Modell das Verhalten des Originalsystems im Hinblick auf die Untersuchungsziele genau genug und fehlerfrei wiederspiegelt (VDI 3633). 1.2 Grundlagen Habe ich das Richtige gemacht? ? 2004 itm 1 – 25 Simulation ModellRealit?t Verifikation und Validierung in MouSi Realit?t Modellieren Simulations- modell Modell I mp l e me n t i e r e nE x per i ment i e r en V a l i d i eru n g d es S i m u l a t i o n s - m o d e l l s V e ri f i k a t i o n d e s S i m u l a t i o n s - m o d e l l s Verifikation des Modells 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 26 Simulation ModellRealit?t Planung der Modellbildung und Simulation 1.2 Grundlagen bevor mit der eigentlichen Arbeit begonnen wird.... Zeitplanung ? Budget ? Software ? Hardware ? Personal Projektmanagement Dokumentation ?Wer macht was wann ?Meilensteine festlegen ?Phasenplanung Ressourcen einplanen ?Was muss dokumentiert werden ?Wie dokumentiere ich ?Dokumentationsrichtlinien ? 2004 itm 1 – 27 Simulation ModellRealit?t Problemspezifikation (Kapitel 1.3) Modellbildung (Kapitel 1.4) ? Systemanalyse ? Verifikation Simulation (Kapitel 1.5) ? Implementierung ? Verifikation ? Parametrierung ? Validierung ? Experimentieren Gesamtauswertung und Pr?sentation Vorgehensweise bei MouSi 1.2 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 28 Simulation ModellRealit?t Kapitel 1.3: Problemstellung und Anforderungsanalyse ? Kapitel 1.1: Einführung ? Kapitel 1.2: Grundlagen ? Kapitel 1.3: Problemstellung und Anforderungsanalyse ? Kapitel 1.4: Modellbildung ? Kapitel 1.5: Simulation ? 2004 itm 1 – 29 Simulation ModellRealit?t Problemstellung Simulation ist kein Selbstzweck. Durch Simulationsstudien soll ein mehr oder weniger konkretes Problem gel?st werden. 1.3 Problemstellung und Anforderungsanalyse Entscheidung, welche Systemaspekte abgebildet werden müssen und welche Systemaspekte abstrahiert werden k?nnen! Problembeschreibung, Aufgabenstellung & Modellzweck Anforderungsspezifikation an die Modellierung Was will ich? ? 2004 itm 1 – 30 Simulation ModellRealit?t Klassifikation der Modellierungszwecke Verst?ndnis Prognose und Entscheidungshilfe Optimierung Ressourceneinsparung ?Wettervorhersage ?Milit?rische Szenarien ?Geologie ?Schulung: Schiffs-, Flug- und Fahrsimulator ?Men in the Loop ?Verkehrsplanung ?Transport und Logistik ?Schaltungsentwurf ?Personaleinsatz ?Regelungsauslegungen ?Rechnernetzanalyse ?Wissenschaft:Kernphysik ?Chemische Reaktionen ?Design & Architektur Qualit?tssicherung ?Produktentwicklung ?Absicherung der Spezifikation ?Produkt-Test 1.3 Problemstellung und Anforderungsanalyse ? 2004 itm 1 – 31 Simulation ModellRealit?t Modellierungszweck : Konkrete Beispiele Aufgabe: FEM Abbildung eines Balkens mit angreifenden Kr?ften Modellzweck: Analyse des Bruchverhaltens Aufgabe: Erstellung eines Modells der Autowaschanlage Modellzweck: Test der Steuerungssoftware Aufgabe: Abbildung des Energiehaushalts eines Pkw Modellzweck: Verst?ndnis der Zusammenh?nge, Optimierung 1.3 Problemstellung und Anforderungsanalyse ? 2004 itm 1 – 32 Simulation ModellRealit?t Anforderungsspezifikation Die Anforderungsspezifikation leitet sich aus der Aufgabenstellung ab. In der Anforderungsspezifikation wird eindeutig beschrieben, welche Probleme aus der Aufgabenstellung mit Hilfe der Simulation gel?st werden sollen. Weiter enth?lt die Anforderungsspezifikation Anforderungen, wie: – Ergebnisdarstellung – Qualit?tskriterien – Zeitkriterien – Kostenrahmen Die Anforderungen sind zum Teil konkurrierend und von mehreren Einflüssen abh?ngig. Ziel: Formulieren von eindeutigen, m?glichst quantitativen Anforderungen. 1.3 Problemstellung und Anforderungsanalyse ? 2004 itm 1 – 33 Simulation ModellRealit?t Anforderungsspezifikation - Einflussfaktoren Fehler in der Anforderungsspezifikation sind sp?ter nur mit gro?em Aufwand korrigierbar und erfordern oft eine vollst?ndige Neukonzeption. hilfreich bei der Anforderungsspezifikation Erfahrung in MouSi Systemkenntnis Systematisches und methodengestütztes Vorgehen 1.3 Problemstellung und Anforderungsanalyse ? 2004 itm 1 – 34 Simulation ModellRealit?t Kapitel 1.4: Modellbildung ? Kapitel 1.1: Einführung ? Kapitel 1.2: Grundlagen ? Kapitel 1.3: Problemstellung und Anforderungsanalyse ? Kapitel 1.4: Modellbildung – 1.4.1: Grundlagen – 1.4.2: Systemtheorie – 1.4.3: Systemanalyse – 1.4.4: Verifikation ? Kapitel 1.5: Simulation ? 2004 itm 1 – 35 Simulation ModellRealit?t 1.4.1 Grundlagen 1.4.1 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 36 Simulation ModellRealit?t Was hei?t Modellbildung? Ergebnis der Modellbildung: Abstraktes Modell in der Sprache der Mathematik oder einer anderen Beschreibungsform Bezeichnet als: Abstraktes oder konzeptionelles Modell Realit?t Modell Simulation Modellierung bzw. Modellbildung umfasst das Umsetzen eines existierenden oder gedachten Systems in ein Modell. Konkret hei?t das die Umsetzung der in der Anforderungsspezifikation enthaltenen Anforderungen. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 37 Simulation ModellRealit?tModellbildung unter Berücksichtigung des Modellierungszwecks Nachbildung eines Systems vor dem Hintergrund des Modellierungszwecks i Dosen?ffner D-0815SN M K Geh?use Y-1234 M K Dosen?ffner Dosen?ffner X-4711SN M K MotorM K Dosen?ffner Y-1234SN M K Getriebe D 0815 M K Geh?use ?besteht aus“ ?Produktdatenmodell“ ?3D-Modell“ Vereinfachung und Idealisierung ? Reduktion der Komplexit?t Wahl der geeigneten Modellbeschreibung 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 38 Simulation ModellRealit?t Vereinfachung und Reduktion der Komplexit?t 1. Fokussierung auf bestimmte Sicht (Weglassen von Teileaspekten vor dem Hintergrund des Modellzwecks) Modellierung der funktionalen Rechnerarchitektur... 2. Weglassen von vernachl?ssigbaren und irrelevanten Komponenten (unter Berücksichtigung des Modellzwecks) ...mit Vernachl?ssigung der energetischen Verteilung ...mit Weglassen von irrelevanten Komponenten, wie Kühler, Netzteil etc. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 39 Simulation ModellRealit?t Vereinfachung und Reduktion der Komplexit?t 3. Vereinfachung der Schnittstellen Betrachtung der mechanischen Energieübertragung unter Vernachl?ssigung der thermischen Energieübertragung (Modellzweck ?Betrachtung der Energieverteilung im Kfz“ trotzdem m?glich) Linearisierung ?≈0 sin(?) ≈? z.B. Vereinfachung von mathematischen Gleichungen durch Linearisierung Gewünschte Zielsetzung bei der Vereinfachung nie aus den Augen verlieren!! 4. Vereinfachung von Komponenten 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 40 Simulation ModellRealit?t Beispiel für die Vereinfachung von Komponenten Beispiel Antrieb: 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 41 Simulation ModellRealit?t Wahl der geeigneten Modellbeschreibung Wahl des Simulationstools Modellierungszweck Wahl der Simulationstechnologie FEM Wahl der Modell- und Abbildungsart Abh?ngigkeiten 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 42 Simulation ModellRealit?t Abbildungsarten von Modellen )sin(2 2 ??? l g ml d l l ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?= & & && Modell materiell immateriell verbal mathematisch algorithmisch grafisch Modell x ~~~~ ~~~~ ~~~~ ~~~~textuelle Beschreibung Gleichungssysteme (Pseudo-)Code Skizzen, graphische Beschreibungssprachen architecture CONCURRENT of FULLADDER is ... CARRY <= (A and B) or (B and C) ...; end CONCURRENT; architecture of F is ... Y <= (A and B) or (B and C) ...; end RENT; ...wie k?nnen Modelle beschrieben werden?... 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 43 Simulation ModellRealit?t Strukturmodell und Verhaltensmodell Input Output Strukturmodell Input Output Verhaltensmodell Input Output 1 0,785398163 2 1,107148718 3 1,249045772 4 1,325817664 5 1,373400767 6 1,405647649 7 1,428899272 8 1,446441332 9 1,460139106 10 1,471127674 11 1,48013644 12 1,487655095 13 1,494024436 14 1,499488862 15 1,504228163 16 1,508377517 17 1,512040504 18 1 515297822 Bildet nur beobachtete Verhalten ab ?Prognosen über zukünftiges Verhalten bei ?nderung der Randbed. nicht m?glich ?anzuwenden, wenn zu simulierende Systeme nicht bekannt bzw. Systeme ?zu“ komplex ?gro?e, statistisch relevante Zahl von Beobachtungen n?tig Innere Struktur und Wirkzusammenh?nge werden modelliert ? Prognosen m?glich ? sehr genaue Kenntnis des Systems, seiner Komponenten und ihres Zusammenwirkens erforderlich 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 44 Simulation ModellRealit?t Mischform ? In der Praxis werden h?ufig Mischformen aus Struktur- und Verhaltensmodellen verwendet ? Für diese Art der Modellerstellung müssen sowohl Verhaltensbeobachtungen vorliegen wie auch die Wirkungszusammenh?nge im System in ihren Grundzügen bekannt sein. Beispiel Kfz: grobe Struktur der Fahrzeugkomponenten ist bekannt und kann leicht nachgebildet werden; Modellierung der einzelnen Komponenten, wie Motor ist sehr komplex ? Verwendung von Me?daten Input Output Input Output 1 0,785398163 2 1,107148718 3 1,249045772 4 1,325817664 5 1,373400767 6 1,405647649 7 1,428899272 8 1,446441332 9 1,460139106 10 1,471127674 11 1,48013644 12 1,487655095 13 1,494024436 14 1,499488862 15 1,504228163 16 1,508377517 17 1,512040504 18 1 515297822 Input Output 1 0,785398163 2 1,107148718 3 1,249045772 4 1,325817664 5 1,373400767 6 1,405647649 7 1,428899272 8 1,446441332 9 1,460139106 10 1,471127674 11 1,48013644 12 1,487655095 13 1,494024436 14 1,499488862 15 1,504228163 16 1,508377517 17 1,512040504 18 1 515297822 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 45 Simulation ModellRealit?t Phasen bei der Modellbildung ? Statische Zerlegung des Systems ? Beschreibung der Subsysteme (Verhaltensbeschreibung) ? Verifikation ?N?chstes Kapitel: ?Grundlagen zur Systemtheorie“ 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 46 Simulation ModellRealit?t 1.4.2 Systemtheorie ? 2004 itm 1 – 47 Simulation ModellRealit?t Ist ein beliebiger Gegenstand des Denkens, der gegenüber der Umgebung abgrenzbar ist. Jedes System besitzt eine bestimmte Funktion und bestimmte Eigenschaften. Fast jeder Ausschnitt der Realit?t kann als ein System angesehen werden, z. B. ein Unternehmen, die Gesellschaft oder eine Maschine. System: Begriffsdefinition ?System‘ Nach VDI 3633 ist ein System eine abgegrenzte Anordnung von Komponenten, die miteinander in Beziehung stehen. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 48 Simulation ModellRealit?t Systemtheorie: ?System‘ überblick Umwelt Systemeingangs -gr??en Systemausgangs -gr??en Systemgrenze System Subsystem Element Element Element Subsystem Element Element Element Element Kopplungen Systemstruktur, -verhalten und -zustand 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 49 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition ?Systemgrenze‘ Ein- und Ausgang Systemgrenze: Grenze des Systems gegenüber seiner Umwelt, mit der es über Schnittstellen Materie, Energie und Information (Ein- und Ausgangsgr??en) austauschen kann. Ein- und Ausgang: Eingang stellt die ?u?ere Relation Umwelt -> System dar, w?hrend Ausgang die Relation System -> Umwelt abbildet. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 50 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition ?Subsystem‘ ?Systemstruktur‘ Systemstruktur: Ist die Menge der Komponenten eines Systems und die Menge der, die Komponenten miteinander verbindenden, Relationen. Subsystem: Komponente eines Systems, die weitere Elemente enth?lt und die bei Erh?hung der Aufl?sung wiederum selbst ein System darstellt. Element: Als Element eines Systems bezeichnet man eine nicht weiter unterteilte Komponente des Systems. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 51 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition ?Kopplung‘ Serienkopplung Parallelkopplung S1 S2 S1 S2 Rückkopplung S Inhalte der Kopplung k?nnen stofflich, energetisch oder informationell sein. Kopplungsarten: Kopplung: Eine Kopplung ergibt sich, wenn bestimmte Ausg?nge eines (Sub)Systems zugleich als Eing?nge desselben oder eines anderen (Sub)Systems dienen. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 52 Simulation ModellRealit?t (System-)Zustand: Die Gesamtheit der Gr??en eines Systems bzw. einer Komponente, die es zu jedem Zeitpunkt in seinen Eigenschaften und seinem Verhalten eindeutig beschreiben. Begriffsdefinition ?Variable‘ ?Zustand‘ ... Variable: Ein Symbol, für das Elemente einer Grundmenge eingesetzt werden k?nnen. Zustandsvariable: Zustandsvariablen sind besondere, das System beschreibende Variablen. Durch die Summe der Zustandsvariablen eines Systems wird der Systemzustand eindeutig beschrieben. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 53 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition ?Systemverhalten‘ Systemverhalten: Ist die Menge der zeitlich aufeinanderfolgenden Zust?nde eines Systems. Systemfunktion: zweckgebundenes bzw. gewünschtes Verhalten eines Systems; Fehlerverhalten: falsches bzw. unerwünschtes Verhalten eines Systems. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 54 Simulation ModellRealit?t Systemtheorie: ?System‘ überblick Umwelt Systemeingangs -gr??en Systemausgangs -gr??en Systemgrenze System Subsystem Element Element Element Subsystem Element Element Element Element Kopplungen Systemstruktur, -verhalten und -zustand 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 55 Simulation ModellRealit?t Systemklassifikation System dynamisch statisch kontinuierlich diskret Reaktion auf Eingaben ist eindeutig deterministisch Zufall beeinflu?t das Verhalten stochastisch Reaktion auf Eingaben ist eindeutig deterministisch Zufall beeinflu?t das Verhalten stochastisch 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 56 Simulation ModellRealit?t Als dynamisch wird ein System im Allgemeinen angesehen, wenn sich sein Zustand innerhalb eines interessierenden Zeitraums ?ndert oder ?ndern kann, z. B. Montagesysteme. Im Gegensatz zu dynamischen Systemen gibt es bei statischen Systemen keine Zustands?nderung mit der Zeit. Genaugenommen sind alle Systeme dynamisch, da sich scheinbar v?llig statische Systeme bei bestimmten Einflüssen durchaus dynamisches Verhalten zeigen (s. Turm von Pisa). Systemklassifikation: dynamische vs. statische Systeme 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 57 Simulation ModellRealit?t Kontinuierliche Systeme enthalten stetige Prozesse Beisp.: ?nderung der Spindelposition ist stetig ? Werkzeugmaschinen sind hinsichtlich der Bearbeitung von Werkstücken kontinuierliche Systeme. Diskrete Systeme enthalten nichtstetige Prozesse Beisp.: Schaltung der Positionssensoren im Montageprozess bewirkt sprunghafte Zustands?nderungen in Ablaufsteuerungen ? Montagemaschinen sind aus der Sicht der Automatisierung diskrete Systeme. Für die Einteilung dynamischer Systeme in kontinuierliche und diskrete Systeme ist die Sicht auf die ?Prozesse“ entscheidend. Systemklassifikation: kontinuierliche vs. diskrete Systeme 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 58 Simulation ModellRealit?t Systemklassifikation: stochastisch vs. deterministisch Deterministische Systeme: reagieren gem?? einer übergangsfunktion f auf dieselbe Eingangsreihenfolge immer mit derselben Ausgangsreihenfolge. Output = f (Input) Beisp.: Mathematisches Gleichungssystem Stochastische Systeme: reagieren gem?? einer Wahrscheinlichkeitsfunktion. Beisp.: Entwicklung von Populationen, Lotto-Systeme 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 59 Simulation ModellRealit?t 1.4.3 Systemanalyse 1.4.3 Systemanalyse ? 2004 itm 1 – 60 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition Systemanalyse Def.:Systematische Untersuchung eines Systems hinsichtlich aller Systemdaten Systemelemente und deren Wirkungen aufeinander (VDI 3633). Mit Hilfe der Systemanalyse wird die Komplexit?t des Systems entsprechend den Untersuchungszielen durch sinnf?llige Zergliederung in seine Elemente aufgel?st. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 61 Simulation ModellRealit?t allgemeine Vorgehensweise bei der Systemanalyse ? Identifikation der Systemgrenzen ? Identifikation der Systemein- und ausg?nge ? Zerlegung des Systems in Subsysteme und Elemente ? Weitere Zerlegung und Hierarchisierung der einzelnen Subsysteme bis zu den einzelnen Elementen ? Bestimmung der Interaktion zwischen den Elementen ? Ermitteln der m?glichen Systemzust?nde und des Systemverhaltens Auch hier gilt wieder: Modellierungszweck nie aus den Augen verlieren 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 62 Simulation ModellRealit?t1. Schritt: Identifikation der Systemgrenzen, der Ein- und Ausg?nge System Umwelt Systemeingangs -gr??en Systemausgangs -gr??en Systemgrenze 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 63 Simulation ModellRealit?t Identifikation der Systemgrenzen, der Ein- und Ausg?nge Die Systemgrenzen sind dort zu setzen,... - wo die Kopplung zur Umgebung sehr viel schw?cher ist als Binnenkopplung im System. (Wirkungen der Umwelt auf die Gr??e vom Zustand oder Verhalten des Systems nicht nachweisbar bzw. in ihrer Gr??e vernachl?ssigbar) - wo vorhandene Umweltkopplungen bzgl. des Modellzwecks nicht funktionsrelevant sind. ?Ziel: System soll sich in relativer Autonomie verhalten k?nnen. ?Abh?ngig von der Systemgrenze k?nnen die für den Modellzweck relevanten Ein- und Ausg?nge bestimmt werden. System 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 64 Simulation ModellRealit?t Kontrollierbare und nicht-kontrollierbare Eing?nge Achtung: Mit ?Modellierung der für den Modellzweck relevanten Eing?nge“ sind nicht nur die ?gewünschten“ Eing?nge, sondern alle, die das System beeinflussenden Eing?nge gemeint. Systemeing?nge kontrollierbare Systemeing?nge nicht-kontrollierbare Systemeing?nge (St?rungen) steuerbare, nachvollziehbare Eing?nge, die das System meist auf gewünschte Weise stimulieren. z.B. Gaspedal bei Kfz nicht-steuerbare, zuf?llige, meist nicht gewollte Eing?nge. z.B. Gegenwind, Steigung; 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 65 Simulation ModellRealit?t 2. Schritt: Hierarchische Zerlegung des Systems Umwelt Systemeingangs -gr??en Systemausgangs -gr??en Systemgrenze System Subsystem Element Element Element Subsystem Element Element Element Element Ziel ist die Zerlegung des komplexen Systems in handliche Einheiten 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 66 Simulation ModellRealit?t Hierarchische Zerlegung des Systems Vorgehensweise: ? Zerlegung des Systems in Subsysteme und Elemente ? Weitere Zerlegung und Hierarchisierung der einzelnen Subsysteme bis zu den einzelnen Elementen Systemeingangsgr??en Systemausgangsgr??en System Subsystem Element Element Element Subsystem Element Element Element Element Die Abgrenzung der Subsysteme und Elemente erfolgt analog zur Identifikation der Systemgrenze 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 67 Simulation ModellRealit?t3. Schritt: Bestimmung der Interaktionen zwischen den Elementen Umwelt Systemeingangs -gr??en Systemausgangs -gr??en Systemgrenze System Subsystem Element Element Element Subsystem Element Element Element Element Kopplungen 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 68 Simulation ModellRealit?t Bestimmung der Interaktionen zwischen den Elementen Umwelt Systemeingangs- gr??en Systemausgangs- gr??en Systemgrenze System Subsystem Element Element Element Subsystem Element Element Element Element Kopplungen - Beachte: je umfangreicher die Schnittstellen, desto komplexer wird der Umgang mit dem System. ?Die Schnittstellen und auszutauschenden Daten sind durch eine geschickte hierarchische Zerlegung des Systems und Vernachl?ssigung irrelevanter Kopplungen m?glichst gering zu halten. Identifikation von Abh?ngigkeiten (stofflich, energetisch, informationell) zwischen Komponenten (Elemente, Subsysteme). -Ziel: Erreichung der Zusammenwirkung zu einer Gesamtfunktionalit?t durch die Kopplung der einzelnen Elemente und Subsysteme. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 69 Simulation ModellRealit?t 4. Schritt: Beschreibung des Systemverhaltens ? Das Verhalten eines Systems ist durch die Struktur des Systems und das Verhalten einzelner Elemente gegeben. ?Beschreibung des dynamischen Verhaltens sowohl der einzelnen Elemente sowie auf Systemebene ? Das Verhalten legt die Struktur nicht eindeutig fest. Das selbe Verhalten kann durch unterschiedliche Strukturen verwirklicht werden. Hinweis: Verhaltensbeschreibung ist stark abh?ngig von Anwendungsdom?ne und Simulationstechnologie (FEM, Mehrk?rper etc.). ?keine allgemeingültige Beschreibung der Vorgehensweise m?glich 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 70 Simulation ModellRealit?t Beispielhafte Beschreibungen von Systemverhalten FEM Simulation mathematische Beschreibung Ablaufsimulation eines Schaltplans algorithmische Verhaltensbeschreibung Beispiel: architecture CONCURRENT of FULLADDER is begin SUM <= A xor B xor C after 5 ns; CARRY <= (A and B) or (B and C) or (A and C) after 3 ns; end CONCURRENT; Beispiel: architecture of F is begin <= A xor xor after 5 ns; Y <= ( and ) or (B and ) or (A and C) after 3 ns; end RENT; Ablaufsimulation eines Hydraulikzylinders graphische Verhaltensbeschreibung Mehrk?rpersimulation graphische Beschreibung 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 71 Simulation ModellRealit?t Ergebnisse der Systemanalyse kontrollierbare Systemeing?nge Systemausgangs -gr??en System ? Systemstruktur/ -parameter ? Systemverhalten/ -zust?nde nicht kontrollierbare System- eing?nge (St?rungen) Beispiel: Taschenlampe Strom Lichtschalter Licht W?rme Temperatur Luftfeuchtigkeit (Regen) Licht.aus Licht. an Schalter.aus Schalter.ein 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 72 Simulation ModellRealit?t 1.4.4 Verifikation 1.4.4 Verifikation ? 2004 itm 1 – 73 Simulation ModellRealit?t Verifikation - übersicht Realit?t Modellieren Simulations- modell Modell I mp l e m e n t i e r e nE xper i m ent i er en V a l i d i e r u n g V e r i f i k a t i o n Verifikation Verifikation des konzeptuellen Modells 1.4 Modellbildung Verifikation: Durch den Prozess der Verifikation wird überprüft, ob ein Modell die zugrundeliegenden Anforderungen der Realit?t widerspiegelt bzw. ob das Simulationsmodell das konzeptionellen Modell korrekt beschreibt. Habe ich es richtig gemacht? ? 2004 itm 1 – 74 Simulation ModellRealit?t Verifikation Es wird u.a. geprüft, ob das konzeptuelle Modell gemessen am jeweiligen Untersuchungsziel hinreichend genau beschrieben und in seinen wesentlichen Systemobjekten, -attributen und –beziehungen korrekt erfa?t ist. Die überprüfung erfolgt in der Regel durch Fachleute, die eine hohe Systemkenntnis besitzen. Das Modell soll überprüft werden bezüglich: ? Richtiger Umsetzung des Modellzwecks (richtige Sicht) ? Abbildungstreue (gleicher Aufbau wie Realit?t) ? Detaillierungsgrad (richtiger Abstraktionsgrad: ?so genau wie n?tig“) ? logischen ?Denkfehlern“ (falsches Systemverst?ndnis) ? Verst?ndlichkeit (Lesbarkeit, Dokumentation, Design-Richtlinien) 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 75 Simulation ModellRealit?t Review-Techniken Verifikation des konzeptuellen Modells durch Review-Techniken: Bei Reviews werden Ergebnisse durch unabh?ngige Dritte auf ihre Richtigkeit überprüft. Fehlerarten: Identifikation von logischen Fehlern, Inkonsistenten, Unvollst?ndigkeiten. Schreibtischtest: Ein Prüfer erh?lt das Modell vom Entwickler, überprüft es kritisch und gibt es mit seinen Anmerkungen zurück. Walkthrough: Der Entwickler erl?utert sein Modell mehreren Prüfern im Rahmen einer gemeinsamen Sitzung, in der direkt Fragen zu dem Modell behandelt werden k?nnen. 1.4 Modellbildung ? 2004 itm 1 – 76 Simulation ModellRealit?t Kapitel 1.5: Simulation ? Kapitel 1.1: Einführung ? Kapitel 1.2: Grundlagen ? Kapitel 1.3: Problemstellung und Anforderungsanalyse ? Kapitel 1.4: Modellbildung ? Kapitel 1.5: Simulation – 1.5.1: Grundlagen – 1.5.2: Implementierung – 1.5.3: Verifikation und Validierung – 1.5.4: Experimentieren – 1.5.5: Simulationstechnologien ? 2004 itm 1 – 77 Simulation ModellRealit?t 1.5.1 Grundlagen 1.5.1 Grundlagen ? 2004 itm 1 – 78 Simulation ModellRealit?t Wiederholung ?Simulation‘ Simulation: Simulation umfasst die Implementierung und das Experimentieren von Simulationsmodellen, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind. Implementierung Simulation 1.5 Simulation Experimentieren ? 2004 itm 1 – 79 Simulation ModellRealit?t Klassifikation von Simulationsmodellen Simulationsmodell dynamisch (deterministisch) statisch kontinuierlich diskret stochastisch analytisch numerisch ereignisorientiertzeitdiskret 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 80 Simulation ModellRealit?t statische Simulationsmodelle ? Darstellung eines Systems zu genau einem Zeitpunkt ? oder wenn das System in einem stabilen Gleichgewichtszustand ist statisches Finite Elemente Modelle Architektursimulation mit Zoom- und Schwenkfunktionalit?t Beispiel für eine statische Simulation ist ein Fahrzeug im Windkanal, bei dem Lage, Windgeschwindigkeit und –richtung zeitunabh?ngig ist. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 81 Simulation ModellRealit?t Stochastische Simulation Methode zum L?sen deterministischer mathematischer Probleme mit Hilfe der Stochastik Randbedingungen der stochastischen Methoden: ? die Zeit spielt keine Rolle ? das Problem ist deterministisch, Stochastik wird künstlich überlagert ? Nicht alle Systemvariablen und Systemwerte sind deterministisch ? Zu einem Input des Systems gibt es (zufallsbedingt) verschiedene Outputs Zur Berechnung einer Gr??e wird diese in einem wahrscheinlich- keitstheoretischem Modell beschrieben. Die Gr??e wird mit Hilfe wiederholter Zufallsexperimente angen?hert. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 82 Simulation ModellRealit?tBeispiel: Bestimmung der Kreiszahl p mit Hilfe der Monte Carlo Simulation Es gilt: x 2 + y 2 = 1 Für beliebige Werte von x i , y i gilt: Wertepaar auf oder innerhalb des Einheitskreises wenn x i 2 + y i 2 ≤ 1 Wertepaar au?erhalb des Einheitskreises wenn x i 2 + y i 2 > 1 dann gilt bei gleichm??iger statistischer Verteilung der Gr??en x i , y i aus dem Intervall [0,1]: Bezeichnet man als T die Anzahl der Treffer (x i 2 + y i 2 ≤ 1) und V die Anzahl der Versuche T/V ist der Anteil des Einheitsquadrates das zum Kreis geh?rt π = r 2 π ? 4T/V 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 83 Simulation ModellRealit?t Abgrenzung kontinuierliche gegen diskrete Simulation Unterscheidung der dynamischen Simulationen bezüglich... ? zeitlicher Ablauf ? Zeitkontinuierlich: beliebige Zeitpunkte werden simuliert ? Zeitdiskret: nur dezidierte Zeitpunkte werden simuliert ? Anzahl der Systemzust?nde ? Zustandskontinuierlich: Zustandsvariablen k?nnen beliebige Werte annehmen ?unendliche Anzahl an Zust?nden ? Zustandsdiskret: es wird nur endliche Anzahl an Systemzust?nden simuliert Zeit kontinuierlich diskret Zust?nde kontinuierlich diskret numerische bzw. analytische Simulation (DGLs) zeitdiskrete Simulation ereignisorientierte Simulation 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 84 Simulation ModellRealit?t kontinuierliche Simulation mit diskreten Rechnersystemen Funktionsweise eines (digitalen) Rechners ist sowohl zeit-, wie auch wertdiskret Zu simulierende System ist zeit- und wertkontinuierliche Bei der Abbildung eines kontinuierlichen Systems durch einen Rechner entstehen Abweichungen Genauigkeit Simulationsaufwand (Rechenzeit, Rechnerleistung) 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 85 Simulation ModellRealit?t Numerische Simulation Vorteile: Keine vereinfachenden Annahmen über Verteilung, Zuf?lligkeit und Unabh?ngigkeit notwendig Sensitivit?tsuntersuchungen sind m?glich Numerische Simulation mathematisch leichter als analytische L?sung Simulationsmodelle sind anschaulicher Es lassen sich mit einem Simulationsmodell meist mehrere alternative Systemstrukturen untersuchen Nachteile: Kein Auffinden der optimalen L?sung garantiert Hoher Konstruktions- und Kostenaufwand Gro?er Daten- und Rechenbedarf Fehler k?nnen sich in einem instabilen System ?aufschaukeln“ Schritt für Schritt L?sungen mit Zwischenzust?nden 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 86 Simulation ModellRealit?t Beispiel: Numerische Simulation eines Integrals 1 1 93,1155,0142,0196,010 =?+?+?+?=A 1 1 38,25,072,05,055,0...5,075,05,00 =?+?++?+?=A 1 1 42,225,077,025,072,0...25,043,025,00 =?+?++?+?=A 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 87 Simulation ModellRealit?t Zeitdiskrete Simulation Anwendungsfelder: ? Regelkreisberechnungen (Abtastsysteme) ? Bahnberechnung (Interpolation) bei NC-Maschinen Nachbildung von zeitgetakteten Systemen durch die Berechnung der Systemausg?nge zu diskreten Zeitpunkten 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 88 Simulation ModellRealit?t Ereignisorientierte Simulation Sie basiert auf der Abfolge von Ereignissen, die selbst keine Zeit verbrauchen. Die Ereignisse werden in einer Ereignisliste geführt und in der Reihenfolge ihrer Eintrittszeiten abgearbeitet. Ein Ereignis führt bei den assoziierten Objekten zu einer Reaktion, z.B. einer Zustands?nderung. Gegebenenfalls erzeugen diese Objekte weitere Ereignisse. Simulationssystem mit endlicher Anzahl von Zust?nden, die durch das Auftreten von Ereignissen wechseln. 1.5 Simulation Beispiel: Taschenlampe ? System besitzt die beiden Zust?nde ?Licht On“ und ?Licht Off“. ? Der Initial-Zustand ist ?Licht Off“. ? Durch das Ereignis ?einschalten“ geht das System in den Zustand ?Licht On“ über. ? Erst nachdem das Ereignis ?ausschalten“ eintritt, geht das System wieder in den Zustand ?Licht Off“ über. ? 2004 itm 1 – 89 Simulation ModellRealit?t Hybride Simulation Simulationsmodelle mit sowohl diskreten, wie auch kontinuierlichen Anteilen werden als hybride Simulation bezeichnet. Praktikum ?Simulationstechnik“ kontinuierliche Simulation der Anlage Ereignisorientierte Simulation der Steuerung Hybride Simulation 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 90 Simulation ModellRealit?t Begriffsdefinition ?Simulationssystem‘ Simulationssystem (Syn.: Simulator, -werkzeug): Ein Simulationssystem ist ein Softwareprogramm, mit dem ein Modell zur Nachbildung des dynamischen Verhaltens eines Systems und seiner Prozesse erstellt und ausführbar gemacht werden kann. (VDI 3633) 1.5 Simulation ADAMS Matlab-Simulink Dymola ? 2004 itm 1 – 91 Simulation ModellRealit?t Anforderung an Simulationssysteme Anforderungen an moderne Simulationssysteme: ? Umfangreiche und erweiterbare Bibliothek von Modellbausteinen ? M?chtige Diagnose- und Statistikfunktionalit?ten ? Schnittstellen zum Ex- und Import von Daten ? Visualisierung ? Automatisch generierte übersichtliche Ergebnisdarstellung 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 92 Simulation ModellRealit?t Aufbau eines Simulationssystems SimulatorkernDatenverwaltung Benutzeroberfl?che Schnittstelle zu externen Datenbest?nden und Applikationen 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 93 Simulation ModellRealit?t Simulatorkern Funktionen des Simulatorkerns: ? Bereitstellung des Modells und der Modellelemente ? Automatische, chronologische Erzeugung und Verarbeitung von Ereignissen ? Durchführung der Simulationsberechnungen ? Verknüpfung der Komponenten des Simulationssystems ? Zentrale Ablaufsteuerung Simulatorkern 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 94 Simulation ModellRealit?t Datenverwaltung Zu verwalten sind: Datenverwaltung Eingabedaten: Werden durch den Modellnutzer bereitgestellt (z.B. St?rungsdauern, Anfangswerte) Interne Modelldaten: Feste Modellparameter (z.B. Massen, Tr?gheitsmomente, Abmessungen, Viskosit?ten) Zustandsdaten: ?ndern sich mit der Modelllaufzeit (z.B. Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Positionen) Resultatdaten: Werden w?hrend, bzw. nach Simulationslauf gespeichert ausgegeben (z.B. Durchlaufzeiten, Signalverl?ufe) 1.5 Simulation Modellbibliotheksverwaltung: Dient zur Verwaltung von Standard-Modellelementen und -Subsystemen (Zweck: Wiederverwendung) ? 2004 itm 1 – 95 Simulation ModellRealit?t Benutzeroberfl?che Funktionen der Benutzeroberfl?che: ? Editierung des Simulationsmodells ? Visualisierung des Simulationsmodells ? Betrachtung des Simulationslaufs (On-Line und Off-Line) ? Darstellung der aufbereiteten Simulationsresultate ? Erm?glichen von Eingriffen w?hrend der Simulation Benutzeroberfl?che 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 96 Simulation ModellRealit?t Schnittstellen zu externen Datenbest?nden und Applikationen Schnittstellen zu: ? Visualisierungswerkzeug (online-Ausleitung der Daten zu Visualisierungszwecken ?3D Animation einer Maschine) ? Programme zur Datenauswertung und Darstellung (2D/3D- Diagramme in Excel) ? anderen Simulationssystemen (Kopplung von Modellen und Simulationsdaten) ? Import von externen Daten (Datenbanken, Excel) Schnittstelle zu externen Datenbest?nden und Applikationen 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 97 Simulation ModellRealit?t Problemspezifikation Modellbildung ? Systemanalyse ? Verifikation Simulation ? Implementierung ? Verifikation ? Parametrierung ? Validierung ? Experimentieren ?Planung & Vorbereitung ?Durchführung von Simulationsl?ufen ?Auswertung Gesamtauswertung und Pr?sentation Phasen der Simulation 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 98 Simulation ModellRealit?t 1.5.2 Implementierung 1.5.2 Implementierung ? 2004 itm 1 – 99 Simulation ModellRealit?t Begriffswiederholung ?Implementierung‘ Implementierung: Unter Implementierung in der Simulationsstudie versteht man die Umsetzung eines abstrakten bzw. gedanklichen Modells in ein auf einem Rechner ablauff?higes Simulationsmodell (VDI 3633). Das abstrakte Modell ist nicht direkt experimentierbar. Um ein Experiment durchführen zu k?nnen, muss das abstrakte Modell in eine ausführbare Form z.B. rechnerlesbare Programme überführt werden. Implementierung Modell Simulationsmodell 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 100 Simulation ModellRealit?t Implementierungsarten: ?konventionelle Programmiersprache‘ Vollst?ndige Programmierung in einer konventionellen Programmiersprache. Beispiele: Fortran, C/C++, Basic, Pascal Vorteile: ? Freie Auswahl der Programmiersprachen ? Maximale Flexibilit?t ? Fertige, kompilierte Simulatoren haben keine lizenzrechtlichen Probleme Nachteile: ? Erheblicher Implementierungs- bzw. Anpassungsaufwand ? Programmiererfahrung und Statistikkenntnisse erforderlich 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 101 Simulation ModellRealit?t CSSL: Implementierungsarten: ?simulationsspezifische Sprache‘ Programmierung mit speziellen Konstrukten der Sprache (z. B. Datenverwaltungs- und Graphik- routinenkonstrukt. Beispiele: CSSL, DESIRE, MATLAB Vorteile: ? Flexibilit?t ? Einfachere Implementierung Nachteile: ? Programmiererfahrung ist erforderlich ? Simulationen sind nur im Rahmen der Entwicklungsumgebung durchführbar 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 102 Simulation ModellRealit?t Implementierung erfolgt durch graphisch-interaktive Modell- erstellungen und -?nderungen unter Verwendung abstrakter Modellbausteine. Das System analysiert die erzeugte Graphik und setzt sie in eine interne ablauff?hige Form bzw. ein Softwareprogramm um. Implementierungsarten: ?graphik-orientierte Simulationsentwicklungsumgebung‘ ?Catia“ ?MaSiEd“ Vorteile: ? Breites Spektrum von Werkzeugen auf dem Markt ? Aufwandsarme Erstellung ? Leichte Wiederverwendung vorhandener Modelle Nachteile: ? Hoher Preis für Lizenzen ? Simulation nur im Rahmen der Entwicklungsumgebung durchführbar ?Simulink“ 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 103 Simulation ModellRealit?t Simulationsmodell eines Montagesystems Beispiel einer Simulationsumgebung 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 104 Simulation ModellRealit?t 1.5.3 Verifikation und Validierung 1.5.3 Verifikation und Validierung ? 2004 itm 1 – 105 Simulation ModellRealit?t Wiederholung: Validation und Verifikation Verifikation = Sicherstellen, dass das Modell von einer Form zur anderen wie beabsichtigt und mit ausreichender Genauigkeit transformiert wird. = ?Building the model right“ Habe ich es richtig gemacht? 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 106 Simulation ModellRealit?t Verifikation des Simulationsmodells Bezüglich: ?Algorithmen, Syntax, Semantik ?Rundungseffekte Realit?t Modellieren Simulations- modell Modell I mp l e m e n t i e r e nE xper i m ent i er en V a l i d i e r u n g V e r i f i k a t i o n Verifikation V e r i f i k a t i o n d e s S i m u l a t i o n s - m o d e l l s Ziel der Verifikation des Simulationsmodells ist es, zu überprüfen, ob das konzeptionelle Modell richtig in das Simulationsmodell umgesetzt wurde. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 107 Simulation ModellRealit?t Methoden zur Verifikation I Vorgehensweise: ? isoliertes Verifizieren elementarer Module ? sukzessive Zusammenführung der Module ? Verifikation des Gesamtsystems Verifikation durch die formlose Analyse Review-Techniken (vgl. Verifikation des konzeptionellen Modells): - Schreibtischtest - Walkthrough 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 108 Simulation ModellRealit?t Methoden zur Verifikation II Ursache-Wirkungs-Graph: Untersuchung der Ursache-Wirkungs-Beziehung im System und deren Abbildung im Modell. Syntaktische Analyse: überprüfung der syntaktischen Korrektheit der Modellbeschreibung anhand der Sprachdefinition. Semantische Analyse: überprüfung der semantischen übereinstimmung zwischen konzeptuellen Modell und Simulationsmodell. Kontrollfluss-Analyse: Analyse der ... ... Aufrufstrukturen in den Programmen ... bedingten Verzweigungen ... Zustandsüberg?ngen ... Schnittstellen Verifikation durch die formale Analyse 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 109 Simulation ModellRealit?t Parametrierung Identifikation der (Start-)Parameter: ? Messung am Originalsystem ? Expertensch?tzung ? Statistische Sch?tzwerte Festlegung fester Umrechnungsvorschriften von Werten zwischen Modell und Originalsystem ? Zeitbasis (Zeitlupe, Zeitraffer) ? Wertebereich (z.B. Wachstumsgesetze für Kr?fte) Festlegung der Parameter Unterschiedliche Variationen der zu simulierenden Systeme k?nnen als Parameter in einem Modell realisiert werden (Parametrisierungsprinzip) ?Unbestimmte Freiheitsgrade Bei konkreter Implementierung soll das Simulationsmodell gleiches zweckorientiertes Verhalten wie die Variante des Originalsystems aufweisen. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 110 Simulation ModellRealit?t Wiederholung: Validierung Validierung = Sicherstellen, dass sich das Modell innerhalb seines Anwendungsrahmens mit ausreichender Genauigkeit konsistent mit dem zu untersuchenden System verh?lt. = ?Building the right model“ Realit?t Modellieren Simulations- modell Modell I mp l e m e n t i e r e nE xper i m ent i er en V a l i d i e r u n g V e r i f i k a t i o n Verifikation V a l i d i e ru n g d e s S i m u l a t i o n s - m o d e l l s Habe ich das Richtige gemacht? ? 2004 itm 1 – 111 Simulation ModellRealit?t Validierung Vergleich ?reales System“ ù Simulationsmodell Eine vollst?ndige übereinstimmung von abzubildenden System und Simulationsmodell ist nicht m?glich und auch nicht erforderlich Besondere Bedeutung haben die ersten Simulationsl?ufe, die der Validierung des Simulationsmodells dienen. ? Gewinn von Simulationsergebnissen ? 2004 itm 1 – 112 Simulation ModellRealit?t Ebenen der Validit?t ? Replikative Validit?t (reproduzierend): Ein Modell ist replikativ valide, wenn es sich auf Bahnen bewegt, die bereits durch Messungen am realen System vorgezeichnet wurden. – niedrigster Grad der Validit?t – Einsatz im Schulungsbereich, z.B. Flugsimulatoren ? Pr?diktive Validit?t (voraussagend): Ein Modell ist pr?diktiv valide, wenn es Daten ?vorhersagt“, die erst sp?ter aus dem System gewonnen werden. Ein pr?diktiv valides Modell ist auch replikativ valide. ? Strukturelle Validit?t: Ein Modell ist strukturell valide, wenn es nicht nur das Verhalten eines realen Systems nach au?en hinreichend genau beschreibt, sondern die Interne Zusammensetzung des Modells eindeutig die Struktur des Ausgangssystems nachbildet – h?chster Grad der Validit?t – grosses Systemverst?ndnis notwendig – Ein strukturell valide System ist auch pr?diktiv valide. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 113 Simulation ModellRealit?t Sensitivit?tsanalyse: Untersuchung des Modellverhaltens bei ?nderung einzelner Parameter des Modells oder der Eingangsdaten. Wenn geringe ?nderungen zu erheblichen Abweichungen führen, sollte die Gültigkeit des Modells in Frage gestellt werden. Plausibilit?tskontrolle: ? Konsistenztest: ?hnliche Ausgangssituation ergibt ?hnliche Ergebnisse. ? Suppressionstest: Ausschalten einzelner Modellelemente ergibt plausible Ergebnisse. Methoden zur Validierung überblick 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 114 Simulation ModellRealit?t Plausibilit?tskontrolle I Kriterien für Plausibilit?tsuntersuchungen: ? Knotenregeln/Maschenregeln Str?me, Kr?fte und Momente addieren sich in einem Punkt zu Null. Spannungen und Geschwindigkeiten addieren sich in einer Masche zu Null. Diese Zusammenh?nge gelten für jedes elektronische oder mechanische System mit konzentrierten Parametern ? Kausalit?t Die Ursache sollte der Wirkung in Realit?t und Modell vorangehen. Jede Abweichung von diesem Prinzip weist auf schwerwiegende Defizite im Modell hin ? Bilanzprinzipien Die Prinzipien der Energie- und Stofferhaltung gelten nicht nur für die physikalische Realit?t, sondern auch für Modelle derselben 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 115 Simulation ModellRealit?t Plausibilit?tskontrolle II ? Wertebereich Zustands- und Ausgangsvariablen sowie Parameter sind üblicherweise jeweils mit einem zugeh?rigen Wertebereich behaftet. Dieser ist zwar nicht notwendigerweise exakt definiert; unrealistische Werte lassen sich aber recht schnell identifizieren. So k?nnen Fl?chen, Volumina, Energien und Entropien niemals negativ werden. ? Einheitenkonsistenz Modellgleichungen werden in aller Regel unter Vernachl?ssigung der Einheiten formuliert. Trotzdem macht es oftmals Sinn, die Konsistenz der Einheiten als Kriterium der Verifikation zu verwenden. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 116 Simulation ModellRealit?t 1.5.4 Experimentieren 1.5.4 Experimentieren ? 2004 itm 1 – 117 Simulation ModellRealit?t Wiederholung ?Experimentieren‘ Experimentieren: In der Simulationstechnik versteht man unter Experimentieren die gezielte empirische Untersuchung des Modellverhaltens durch wiederholte Simulationsl?ufe mit systematischen Parametervariationen (VDI 3633). Simulationsexperimente setzen validierte Simulationsmodelle voraus. Planung& Vorbereitung Durchführung Auswertung 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 118 Simulation ModellRealit?t Planung und Vorbereitung Simulationsexperimente erfordern zielgerichtete Planung & Versuchsvorbereitung 1. Bestimmung der St?r- und Einflussgr??en 2. Screening, d.h. Suche der Haupteffekte und Wechselwirkungen 3. Aufstellen des Versuchsplans Modellzweck 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 119 Simulation ModellRealit?t Vollfaktorielle Versuchsplanung Ein vollfaktorieller Versuchsplan entsteht, wenn alle m?glichen Einstellungen der Faktoren miteinander kombiniert werden. Die Anzahl der hierfür ben?tigten Versuche: N = k P ; p = Anzahl der Faktoren, k = Anzahl der Auspr?gungen je Faktor Bei 3 Faktoren mit je zwei Auspr?gungen ergeben sich also 8 Versuche. 1118 0117 1016 0015 1104 0103 1002 0001 CBA Vorteil: Betrachtung aller Wechselwirkungen Nachteil: Explosion der Anzahl der Experimente, bei hoher Anzahl von Faktoren und Auspr?gungen 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 120 Simulation ModellRealit?t Teilfaktorielle Versuchsplanung Unvollst?ndige (teilfaktorielle) Versuchspl?ne machen vom Pareto-Prinzip Gebrauch: 80 % der Effekte werden von 20 % der Einflüsse verursacht Design of Experiments (DoE) Ziel von DoE ist es, die Zahl der Experimente, die zur Bestimmung des Einflusses von Parametern auf ein untersuchtes Qualit?tsmerkmal erforderlich sind, auf ein Minimum zu begrenzen. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 121 Simulation ModellRealit?t Versuchsplan nach Shainin 1. Vorauswahlverfahren: Extraktion der Haupteinflussgr??en 2. Variablensuche: Durchführung von zwei Versuchen unter "Worst-Case"- und "Best-Case"- Bedingungen aller Haupteinflussgr??en. Danach Versuchsdurchführung bei nur einem ge?nderten Faktor nach Best-Case- / Worst-Case-Methode. Nach Auswertung Isolierung der tats?chlich wichtigen Variablen. 3. Vollfaktorieller Versuch Mit den übrig gebliebenen Variablen wird ein vollfaktorieller Versuchsplan erstellt 4. Streudiagramme In diesem Schritt wird eine Variablenmodifikation sekund?rer Einflussgr??en durchgeführt 5. Proze?vergleich: Best?tigung der Verbesserung im Vergleich zum Vorzustand 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 122 Simulation ModellRealit?t Durchführung & Auswertung Nach der Vorbereitung und Planung wird die Simulation durchgeführt und ausgewertet. Dieser Prozess l?uft iterativ, bis die erhaltenen Ergebnisse den Erwarteten entsprechen. Visualisierung der Simulation: ? Betrachtung des Systems w?hrend der Simulation ? Einfache Darstellung der Zusammenh?nge ? Gutes Kommunikationsmittel Auswertung der Simulationsdaten: ? übersichtliche Darstellung der Simulationsergebnisse ? Weglassen von unwichtigen Daten ? Konzentration auf wesentliche Simulationsziele 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 123 Simulation ModellRealit?t 1.5.5 Simulationstechnologien 1.5.5 Simulationstechnologien ? 2004 itm 1 – 124 Simulation ModellRealit?t Simulationstechnologien: Ablaufsimulation Mit Ablaufsimulationen werden Abl?ufe von Prozessen (technische, wirtschaftliche ...) nachgebildet. Dabei ist vor allem die Reihenfolge sowie die Zeitanforderungen der Abl?ufe interessant. Ziel der Ablaufsimulation ist in erster Linie die Funktionsauslegung, -optimierung, der Funktionsnachweis (Funktionstests) und Risikominimierung. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 125 Simulation ModellRealit?t Simulationstechnologien: 3D-Kinematiksimulation Die 3D-Kinematiksimulation dient der Analyse und Optimierung von Bewegungsabl?ufen beispielsweise von Komponenten eines Produktionssystems. Ziel ist Test und Optimierung von geometrischen Auslegungen und Bewegungsabl?ufen und Detektierung und Vermeidung von Kollisionen. Die Hauptanwendungsgebiete sind in der Produktentwicklung zu sehen. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 126 Simulation ModellRealit?t Simulationstechnologien: FEM Simulation FEM-Simulation eignet sich zum Nachbilden der physikalischen Eigenschaften von Werkstoffen. Dadurch ist es beispielsweise m?glich, die mechanische Beanspruchung oder das Schwingungsverhalten einzelner Bauteile bzw. ganzer Baugruppen am Rechner zu analysieren. Neben mechanischen Prozessen k?nnen auch thermische oder str?mungsmechanische Prozesse nachgebildet werden. FEM Simulation wird als etabliertes Berechnungswerkzeug im Rahmen der Produktentwicklung, in der Regel für Werkstoffuntersuchungen und geometrischen Auslegungen von Mechanikkomponenten eingesetzt. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 127 Simulation ModellRealit?t Simulationstechnologien: Mehrk?rpersimulation Typische Anwendungsfelder der Mehrk?rpersimulation sind: ? Durchführung von Stabilit?tsuntersuchungen in Mehrk?rpersystemen ? Analyse und Optimierung von Starrk?rperbewegungen. ? Ermittlung von Kr?ften und Momenten in Koppelstellen. ? Messung von Wegen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. ? Berechnung elastischer Bauteilverformungen in Folge der Bewegungsdynamik der Komponente. Mehrk?rpersimulation wird eingesetzt, um das dynamische Verhalten, d.h. die Starrk?rperbewegungen sowie das Schwingungserhalten, von technischen Systemen zu analysieren. 1.5 Simulation ? 2004 itm 1 – 128 Simulation ModellRealit?t einige weitere Simulationstechnologien ? Computational Fluid Dynamics (CFD) (siehe Teil 2) ? Finite Differenzen Verfahren (siehe Teil 2) ? Finite Volumen Verfahren (siehe Teil 2) ? Nodale Netze Nodale Netze bestehen aus einer Menge von Massepunkten und einer Menge von dazwischen aufgespannten Verbindungselementen. Ein Verbindungselement wird beschrieben durch seine Kraftfunktion. K?rper werden als Punkte dargestellt die, durch Geraden verbunden, eine Oberfl?che erzeugen. ? ... Folie 1 Realit?t Modell Simulation Vorlesung Modellbildung und Simulation Teil 2. Modellbildung und Simulation in der Thermo-Fluiddynamik o. Prof. Dr.-Ing. habil. R. Schilling Folie 2 Realit?t Modell Simulation Folie 3 Realit?t Modell Simulation Folie 4 Realit?t Modell Simulation Modellbildung und Simulation in der Thermo-Fluiddynamik - Inhalt - 2.1 Allgemeine Einführung 2.1.1 Zusammenhang zwischen Realit?t, Modell und Simulation 2.1.2 Beziehung zwischen Realit?t, Modell und Simulation 2.1.3 Klassifizierung der Modelle 2.2 Theoretische Grundlagen der Thermo-Fluiddynamik 2.2.1 Integrale Aussagen für durchstr?mte Systeme mit Energieaustausch 2.2.2 Differentielle Aussagen für durchstr?mte Systeme mit Energieaustausch 2.2.3 Analogie zur Punktmechanik 2.2.4 Wesentliche Kennzahlen der Thermo-Fluidmechanik 2.2.5 Modelle zur Berechnung von 3D Str?mungs- und Temperaturfeldern 2.3 Modellbildung am Beispiel eines Flugtriebwerkes 2.3.1 Systemanalyse 2.3.2 Prozessanalyse 2.3.3 Zusammenfassung System- und Prozessanalyse 2.3.4 Integrale Beschreibung der Komponenten 2.3.5 Differentielle Beschreibung der Prozesse 2.4 Simulation 2.4.1 Finite Approximation auf orthogonalen Netzen 2.5 Beispiele numerischer Simulationen 2.6 Anwendungen Folie 5 Realit?t Modell Simulation 2.1 Allgemeine Einführung 2.1.1 Zusammenhang zwischen Realit?t, Modell und Simulation 2.1.1.1 Allgemeine Begriffsdefinitionen f Realit?t und System ? Realit?t: Bezeichnung für die in der Wirklichkeit ablaufenden Vorg?nge, d.h. hier der reale thermo-fluiddynamische Prozess. ? System: Ein abgegrenztes Denkmodell, das eine definierte Funktion und Eigenschaft besitzt und die Ausgangsgr??en als Funktion der Eingangsgr??en beschreibt. Dabei kann ein System aus mehreren Elementen bestehen, die miteinander wechselwirken, d.h. rückgekoppelt sind, s. Teil "Allgemeine Einführung in die Modellbildung und Simulation" (Prof. Bender). Folie 6 Realit?t Modell Simulation 2.1.1.1 Allgemeine Begriffsdefinitionen f Systemkenntnis in der Thermo-Fluiddynamik ? Grunds?tzlich hoher Wissenstand durch integrale und differentielle Beschreibungen 1 Integrale Betrachtung Physikalisch sinnvolle Ans?tze und Bestimmung der Koeffizienten im Experiment, z.B. Druckverlust und W?rmeübergang in einem durchstr?mten Kanal 1. Druckverlust ?p v ?p = Druckdifferenz [N/m 2 ] ξ = Verlustzahl [-] ρ = Dichte [Kg/m 3 ] c m = mittlere Geschwindigkeit [m/s] 2. W?rmestromdichte q α = W?rmeübergangszahl [Watt/m 2 K] T m = Temperatur in der Kanalmitte [K] T w = Wandtemperatur [K] q = W?rmestromdichte [W/m 2 ] 2 2 mv cp ??=? ρ ξ )( wm TTq ?=α Folie 7 Realit?t Modell Simulation 2.1.1.1 Allgemeine Begriffsdefinitionen f Systemkenntnis in der Thermo-Fluiddynamik ? Grunds?tzlich hoher Wissenstand durch integrale und differentielle Beschreibungen 2 Differentielle Betrachtung Die Erhaltungsgleichungen für die Masse, den Impuls und die Energie zur Bestimmung des 3-dimensionalen und turbulenten Dichte-, Geschwindigkeits- und Temperaturfeldes bilden zusammen mit der Zustandsgleichung für den Druck p(ρ,T) und den Stoffgesetzen ein System von 8 Gleichungen. Die 5 differentiellen Erhaltungsgleichungen sind i.a. nicht analytisch, sondern nur numerisch l?sbar. Numerische L?sungen technisch relevanter Problemstellungen der Thermo-Fluiddynamik lassen sich bis auf weiteres nur unter vereinfachten Annahmen gewinnen, z.B. die Beschreibung der sehr komplexen Struktur von Str?mungen durch relativ einfache Turbulenzmodelle. Dafür stehen inzwischen leistungsf?hige Software-Programme von kommerziellen und universit?ren Anbietern zur Verfügung. Verschiedene thermo-fluiddynamische Prozesse, wie z.B. ? Mehrphasenstr?mungen mit und ohne Phasenwechsel ? Siedevorg?nge k?nnen jedoch noch nicht mit ausreichender Genauigkeit berechnet werden. Folie 8 Realit?t Modell Simulation 2.1.1.2 Begriffsdefinition des Modells Modell: Ein Modell soll die Struktur eines definierten Systems m?glichst realit?tsnah abbilden. Es enth?lt m?glichst alle Informationen über ein System, in dem die Elemente und Relationen in ver?nderter Weise dargestellt werden, so da? eine experimentelle Manipulation der abgebildeten Strukturen und Zust?nde m?glich ist. Beispiele von Modellen: ? Mechanische Modelle in der Versuchstechnik Geometrisch verkleinerte/vergr??erte Modelle im Windkanal - Flugzeuge - Fahrzeuge - Geb?ude - Turbomaschinen ? Modelle in der Thermo-Fluiddynamik - Navier-Stokes Gleichungen - Stokes' sche Hypothese ? Turbulenzmodelle - Anpassung der Modellkonstanten an das Problem Folie 9 Realit?t Modell Simulation 2.1.1.3 Begriffsdefinition der Simulation Simulation: Die Simulation stellt die Nachbildung eines definierten Systems oder realen Prozesses mit Hilfe eines Modells und das Experimentieren mit dem verwendeten Modell dar, s. Teil "Allgemeine Einführung in die Modellbildung und Simulation" (Prof. Bender). Beispiele von Simulationen: ? a priori unbekannte Prozesse ? Erster Wiedereintritt eines Raumfahrzeuges in die Erdatmosph?re ? Erste Mondlandung ? Durchgang eines Kernreaktors ? Planung sehr teurer Validierungsexperimente ? im Prinzip bekannte Prozesse ? Flugsimulator ? Aerodynamik der Flugzeuge, Fahrzeuge und Geb?ude ? Str?mung durch Turbomaschinen ? Versuchstechnik - Windkan?le - Prüfst?nde Folie 10 Realit?t Modell Simulation 2.1.2 Beziehung zwischen Realit?t, Modell und Simulation 2.1.2.1 Modellieren f Vereinfachung bzw. Idealisierung ? Reduzierung der gro?en Vielfalt an Einflu?gr??en bzw. Systemparameter auf eine z.Zt. beherrschbare Anzahl. Beispiel: Optimierung der thermo-fluiddynamischen sowie aero-akustischen Eigenschaften eines Flugzeugtriebwerks. f Wahl des Modelltyps ? Abh?ngigkeit von der Zielsetzung bzw. Verwendungszweck und von bestehenden Ressourcen. - Versuchseinrichtungen - Computer- Hardware - Personal Folie 11 Realit?t Modell Simulation 2.1.2.2 Implementieren des Modells Das entwickelte abstrahierte Modell der Realit?t kann nicht direkt in eine ausführbare Form überführt werden: ? Mechanische Modelle müssen unter Einhaltung der ?hnlichkeitsforderungen erstellt werden. ? Numerische Simulationsmodelle müssen problemorientiert erstellt und eventuell in ein Gesamtsystem integriert werden, z.B.: - Integration verschiedener Turbulenzmodelle. - Hinterlegen verschiedener Randwert-Formulierungen. Folie 12 Realit?t Modell Simulation 2.1.2.2 Experimentieren mit dem Modell f Experimentieren: Systematische Variation der freien Modellparameter und eingehenden Randbedingungen zum Zwecke wissenschaftlicher Analysen. f Validieren: Bewertung der Simulationsergebnisse im Vergleich mit der Realit?t. f Kalibrieren: Anpassen der Modellparameter an die Realit?t, z.B. Konstanten des Turbulenzmodells. f Sensitivit?tsanalyse: Analyse des Einflusses von Eingangsdaten, Modellparametern und Randbedingungen auf die Ausgangsgr??en liefert die unterschiedliche Gewichtung der Einflu?parameter. Realit?t Simulation Modell Modellieren Experimentieren Implementieren Folie 13 Realit?t Modell Simulation 2.1.3 Klassifizierung der Modelle f Verwendungszweck ? Gestaltungsmodelle : CFD-Aided Design, z.B. von Beschaufelungen. ? Prognosemodelle : Numerischer Prüfstand, z.B. für Flugtriebwerke. ? Erkl?rungsmodelle : Numerische Str?mungsanalyse mit Hilfe von CFD (Computational Fluid Dynamics) oder Numerische Aero-Akustik (CAA). ? Schulungsmodelle : Flugsimulator Virtual Reality ? Optimierungsmodelle : Formoptimierung von Bauteilen hinsichtlich - thermo-fluiddynamischer - aero-akustischer - strukturdynamischer Eigenschaften (Multi-Physics Optimierung). Folie 14 Realit?t Modell Simulation 2.1.3 Klassifizierung der Modelle f Untersuchungsmethode und Abbildungsmedium Immaterielle --------- Modelle --------- Materielle ? Formale Modelle ? Ma?st?bliche Modelle - Mathematische Modelle - Versuchsmodelle 1 analytische ? Symbolische Modelle 2 numerische Verdichter ? Grafische Modelle Turbine 1 Verkleinerte Modellmaschinen- darstellungen Die mathematischen Modelle bestehen in der Thermo-Fluiddynamik, von wenigen Ausnahmen abgesehen, im wesentlichen aus rein numerischen Modellen. Diese sind i.d.R. dynamisch, da sie zeitlich ver?nderliche Prozesse beschreiben müssen, sowie diskret-deterministisch, da sie in Zeit und Raum diskrete und hinsichtlich der Eingaben eindeutige Systemantworten liefern. Folie 15 Realit?t Modell Simulation 2.2 Theoretische Grundlagen der Thermo-Fluiddynamik 2.2.1 Integrale Aussagen für durchstr?mte Systeme mit Energieaustausch f Massenerhaltung Die zeitliche ?nderung der Masse m, d.h. ist konstant. A = Fl?che normal zur Str?mung [m 2 ] c = mittlere Geschwindigkeit [m/s] f Impulserhaltung Die zeitliche ?nderung des Impulses I ist gleich der Summe aller angreifenden Kr?fte. F p = Druckkraft = p . A n F R = Reibungskraft = τ . A t ; F G = Gewichtskraft = m . g = meist vernachl?ssigbar cAm ρ= ? E A ? m ? m ? = m P a W ? = m Q q h tA h tE GRPi FFFF dt dI ++=∑= ??? == A E mmm )(Newton dn dc μτ = cmI ?= Folie 16 Realit?t Modell Simulation 2.2.1 Integrale Aussagen für durchstr?mte Systeme mit Energieaustausch f Energieerhaltung Die Summe aller über die Systemgrenzen pro Zeiteinheit ausgetauschten spezifischen Energien ist gleich Null. h t = spezifischer Totalenthalpiestrom = h + c 2 /2 oder h = statischer Enthalpiestrom = s = spezifische Entropie ∫∫ + Tds dp ρ 0=?++ tAtE hqah qahhh ttEtA +=?=? Folie 17 Realit?t Modell Simulation 2.2.2 Differentielle Aussagen für durchstr?mte Systeme mit Energieaustausch Voraussetzung: Fluid mit druck- und temperaturabh?ngigen Stoffwerten f Gleichungssystem () () ()0= ? ? + ? ? + ? ? + ? ? w z v y u xt ρρρ ρ z w y vw x uw z w zy w yx w xz p z w w y w v x w u t w z vw y v x uv z v zy v yx v xy p z v w y v v x v u t v z uw y uv x u z u zy u yx u xx p z u w y u v x u u t u ? ? + ? ? + ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?+?+? ? ? + ? ? + ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?+?+? ? ? + ? ? + ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?+?+? ρρρ μμμ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ρ ρρρ μμμ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ρ ρρρ μμμ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ρ 2 2 2 Impulserhaltung : Kontinuit?t : Energiegleichung : Ideale Gasgleichung : vp ccRTRp ?=??= ;ρ Stoffgesetze : () ρ μ ννν =? mitTTp ),( ()TTp λλ ?),( ., constcc vp ? Fazit: Numerische L?sung ist au?erordentlich aufwendig und kompliziert ! ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +Φ+= ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?+?+ z T zy T yx T xDt Dp z T w y T v x T u t T c p λλλμ ? ? ? ? ? ? ? ? ρ Folie 18 Realit?t Modell Simulation 2.2.2 Differentielle Aussagen für durchstr?mte Systeme mit Energieaustausch f Randbedingungen Aus der unendlichen Vielfalt m?glicher L?sungen filtern die Randbedingungen für das Str?mungs- und Temperaturfeld eine eindeutige L?sung heraus. ? Str?mungsfeld - Haft- und Undurchl?ssigkeit an W?nden c t,W = 0 und c n,W = 0 - Druckextrapolation ? Temperaturfeld 1 Adiabate W?nde q = 0 2 Diabate W?nde q = 0, T W gegeben λ Fl = W?rmeleitzahl des Fluids α = W?rmeübergangszahl vom Fluid zur Wand ? ? ? ? ? ? → pc , 0= W dn dp t n T m T W c(n) W a nd q > 0 da T W > T m 0= W dn dT )(. mW W Fl TTqbzw dn dT q ??=??=→ αλ Folie 19 Realit?t Modell Simulation 2.2.3 Analogie zur Punktmechanik ? Punktmechanik betrachtet einen Massenpunkt m Im Falle einer Bewegung mit der Geschwindigkeit u besitzt dieser den Impuls I: I = m . u Die ?nderung des Impulses pro Zeit erfordert eine Kraft F I : Für die auf das endliche Volumen des Massepunktes bezogene Kraft f=F/V erh?lt man die Impulskraft, die gleich der Summe aller an der Masse angreifenden Kr?fte ist: ? Die Fluidmechanik betrachtet ein Kontinuum mit der spezifischen Masse m/V, d.h. der Dichte ρ = m/V, für die Erhaltungss?tze in differentieller Form abgeleitet werden. Die Analogie soll am Beispiel der ersten Navier-Stokes Gleichung in 2D-Form für ρ = const. aufgezeigt werden: ()um dt d F I ?= () dt du fu dt d f iI ρρ ==?= ∑ Folie 20 Realit?t Modell Simulation 2.2.3 Analogie zur Punktmechanik mit dem totalen Differential für die Geschwindigkeitskomponente u erh?lt die erste NS-Glg. eine analoge Form wie die Impulsgleichung in der Punktmechanik ? Interpretation der spezifischen Druck- und Reibungskraft ? ? ? ? ? ? ? ? +?+?= ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?+? 2 2 2 2 y u x u x p y u v x u u t u ? ? ? ? μ ? ? ? ? ? ? ? ? ρ f p f R y u v x u u t u t y y u t x x u t u dt du ? ? + ? ? + ? ? = ? ? ? ? + ? ? ? ? + ? ? = u v ∑ =+= iRp fff dt du ρ 2 2 )( )( y u ylL?nge ungSchubspann V A V F f x p lL?nge renzDruckdiffe V Ap V F f n tR R t n p p ? ? = ? ? == ? == ? ? ?== ?? == μ ττ p y,v x,u A n = l n . 1 A t = l t . 1 τ V= l n . l t . 1 Folie 21 Realit?t Modell Simulation 2.2.4 Wesentliche Kennzahlen der Thermo-Fluidmechanik f Ableitung am Beispiel der 2D – NS Gleichungen für inkompressible Fluide und verschwindende Dissipationsw?rme ρ = const. ; φ = 0 Der Vergleich der Impulsgleichungen mit der Energiegleichung zeigt, da? der Faktor a = λ/ρc p die gleiche Dimension hat wie die kinematische Viskosit?t υ. Die Stoffgr??e a wird als Temperaturleitzahl bezeichnet. Für υ = a sind die Str?mungs- und Temperaturfelder ?hnlich. f Normierung der Gleichungen Um nicht für jede Kombination von Stoffwerten, Geschwindigkeiten und Abmessung jeweils eine L?sung berechnen zu müssen, werden die Gleichungen mit geeigneten Referenzgr??en normiert. ? ? ? ? ? ? ? ? +?=?+?+ ? ? ? ? ? ? ? ? +?+?=?+?+ ? ? ? ? ? ? ? ? +?+?=?+?+ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 y T x T cy T v x T u t T y u x v y p y v v x v u t v y u x u x p y u v x u u t u p ? ? ? ? ρ λ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? υ ? ? ρ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? υ ? ? ρ? ? ? ? ? ? Folie 22 Realit?t Modell Simulation 2.2.4 Wesentliche Kennzahlen der Thermo-Fluidmechanik f Normierung der Gleichungen Das Einsetzen in die Differentialgleichungen liefert z.B. für Insgesamt erh?lt man für die 1. NS- und Energiegleichung eingesetzt lll 0 0000 ;; ;;; uty Y x X T T p p P u v V u u U ? === =Θ=== τ 2 2 2 0 2 0 X Ta x T aund X U U u x u u ? Θ?? => ? ? ? ? => ? ? ll ? ? ? ? ? ? ? ? ? Θ? + ? Θ?? = ? Θ?? + ? Θ?? + ? Θ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ?? + ? ? ?= ? ? + ? ? + ? ? 2 2 2 2 2 0000000 2 2 2 2 2 00 2 0 2 0 2 0 YX Ta Y V uT X U uTuT Y U X Uu X Pp Y U V u X U U uUu llll lllll τ υ ρτ Folie 23 Realit?t Modell Simulation 2.2.4 Wesentliche Kennzahlen der Thermo-Fluidmechanik f Normierung der Gleichungen und durch den Faktor bzw. dividiert f Dimensionslose Kennzahlen Durch die Normierung erh?lt man die folgenden dimensionslosen Kennzahlen eines thermo- fluiddynamischen Problems: 1 Euler-Zahl 2 Reynolds-Zahl 3 Peclet-Zahl Die Peclet-Zahl l?sst sich auch über das Produkt der Reynolds- und Prandtl Zahl Pr darstellen: Pe = Re . Pr mit Pr = υ/a ?Θ ? = ? Θ? + ? Θ? + ? Θ? ? ? + ? ? ?= ? ? + ? ? + ? ? 0 0 2 0 0 u a Y V X U U uX P u p Y U V X U U U l l τ υ ρτ a u T c A ATu T A Tmc ngW?rmeleitu portW?rmetranskonv a u Pe u A u uA A um tibungskraf raftTr?gheitsku u p uA Ap um Ap raftTr?gheitsk Druckkraft u p Eu p p o l ll l l l l l ? = ?? = ?? == ? = == ? ? === = ? = ? ? === ? ? ? 0 0 00 2 0 0 0 0 0 2 000 2 0 0 2 0 2 0 0 . Re Re ρ λ λ υ ρυ ρ τυ ρρρ ( )l/ 2 0 u ()l/ 00 Tu Folie 24 Realit?t Modell Simulation 2.2.4 Wesentliche Kennzahlen der Thermo-Fluidmechanik Dagegen muss die Nusselt-Zahl Nu aus der Randbedingung abgeleitet werden, wonach die W?rmeleitung gleich dem W?rmeübergang an einer Wand ist. 4 Nusselt-Zahl ngW?rmeleitu angW?rmeüberg Nu = ? = λ α l ?Θ??= ? Θ? ?? ??=??= ? ? ?? 0 0 )( T Y T TTT y T W mW W αλ ααλ l λ α l? = ?Θ ? Θ? ? W Y T y T(y) 0< ? ? y T Folie 25 Realit?t Modell Simulation 2.2.4 Wesentliche Kennzahlen der Thermo-Fluidmechanik f Folgerung für die Simulation ? Durch die Normierung des Problems kann bei geometrischer ?hnlichkeit und bei gleichen thermischen Randbedingungen, Nu = const., die Anzahl von Parametern von 8 auf 3 reduziert werden. Normierung dimensionsbehaftet Betrachtung dimensionslose Betrachtung Basisgr??en ?hnlichkeitskennzahlen Str?mungs- und Temperaturfeld , u o , p 0 , T 0 Stoffwerte ρ, υ, λ, c p ? Bei gegebenen Kennzahlen (Eu, Re, Pe) und Randbedingung (Nu) erh?lt man eine L?sung in dimensionsloser Form, die auf beliebige Kombinationen von Basisgr??en umgerechnet werden kann. a u uc Pe u u p Eu p l l l ? = ??? = = = 0 0 0 2 0 0 Re λ ρ υ ρ l Folie 26 Realit?t Modell Simulation 2.2.4 Wesentliche Kennzahlen der Thermo-Fluidmechanik f Folgerung für die Modellierung bzw. Versuchstechnik ? Will man ein Problem z.B. in einem um den Faktor 2 verkleinerten Ma?stab experimentell untersuchen, dann gilt für die einzustellenden Geschwindigkeiten und Drücke: Re: u 0 = Re . υ/ Pe: u 0 = Pe . a/ Eu: p 0 = Eu . ρu 0 2 Fazit: Die Versuchseinrichtung mu? mit der doppelten Geschwindigkeit und dem 4-fachen Druck betrieben werden ! ? Wollte man z.B. die Eigenschaften eines ganzen Flugzeugs beim Landevorgang im Windkanal im Ma?stab 1:2 unter Wahrung der Re-?hnlichkeit untersuchen, dann mü?ten je nach Blasquerschnitt ca. 500 MW Str?mungsleistung erzeugt werden. Deshalb werden die Versuche bei tiefen Temperaturen, υ ~ T 3/2 , und reduzierten Geschwindigkeiten, P ~ u 0 3 , gefahren, die sich wie folgt berechnen lassen: aber immer noch relativ hohe Betriebskosten durch Kühlung und Wartung ! u 0 ~ 1/ ; identische Aussagen p 0 ~ 1/ 3 2 0 /2.1 800 /100 mKg mA smu = ? ? ρ MWAuP 500 2 3 0 ?= ρ zu hohe Betriebskosten ! KTT T T l u M 20;)( Re 000 2 3 0 0 0 == ? ? ? ? ? ? ? ? ??≈ υυ υ l l l 2 l Folie 27 Realit?t Modell Simulation 2.2.5 Modelle zur Berechnung von 3D Str?mungs- und Temperaturfeldern f Direkte Numerische Simulation (DNS) ? Entspricht bis auf Rundungsfehler der exakten L?sung der Navier-Stokes Gleichungen. ? Wegen des extrem hohen Rechenaufwands bis auf weiteres nicht zur L?sung technischer Problemstellungen anwendbar. genaueste Modellierung f Large Eddy Simulation (LES) ? Berechnung der gro?en Wirbel und Modellierung der kleinen Eddies. ? Ist in ca. 5-10 Jahren zur L?sung technischer Probleme anwendbar. Problem: Wandbehandlung f Simulation mit den zeitlich gemittelten Navier-Stokes Gleichungen ? Inkompressible Fluide: Reynolds-Averaged Navier Stokes-Gleichungen (RANS) ? Kompressible Fluide : Favré-Mittelung ? Durch die Mittelung entstehen scheinbare Spannungen, die turbulenten Spannungsterme, die mit Hilfe von Modellgleichungen beschrieben werden. Problem: Turbulenzmodellierung Folie 28 Realit?t Modell Simulation 2.2.5 Modelle zur Berechnung von 3D Str?mungs- und Temperaturfeldern 2.2.5.1 Numerische Verfahren zur L?sung der Partiellen Differentialgleichungen Zur numerischen L?sung der PDG werden die Differentiale durch finite Approximationen ersetzt, mit Hilfe von: - Finite Differenzen Verfahren - Finite Volumen Verfahren - Finite Elemente Verfahren Diese Approximationen enthalten Abbruchfehler, die bei Verfahren 2.ter Ordnung mit der Maschenweite ? quadratisch kleiner werden. Für ? -> 0 konvergiert die numerische L?sung asymptotisch gegen einen Grenzwert, der nicht exakt gleich der mathematischen L?sung der PDG ist, sondern nur angen?hert. {} PDGderL?sungexakteMathemPDGderL?sungNumerische .lim 0 ? →? Folie 29 Realit?t Modell Simulation2.2.5 Modelle zur Berechnung von 3D Str?mungs- und Temperaturfeldern 2.2.5.2 Problematik bei der Numerischen Simulation f Wahl eines geeigneten Turbulenzmodells Durch die Einführung zeitlicher Mittelwerte in die origin?ren Navier-Stokes Gleichungen sowie in die Energiegleichung erh?lt man rein formal Zusatzterme, die mit Hilfe von problemorientierten Turbulenzmodellen beschrieben werden müssen. Somit muss zur L?sung eines thermo-fluiddynamischen Problems erstens ein geeignetes Turbulenzmodell ausgew?hlt und dieses dann anhand der Realit?t bzw. m?glichst genauer Messung einer Validierung und ggf. Kalibrierung unterzogen werden. Danach kann dann das technische Problem im Rahmen der erfolgten Modellbildung mit Hilfe eines validierten und ggf. kalibrierten numerischen Verfahrens simuliert werden. Folie 30 Realit?t Modell Simulation 2.2.5.2 Problematik bei der Numerischen Simulation f Komplexit?t technischer Systeme Technische Systeme der Thermo-Fluiddynamik sind meist so komplex, da? sie in ihrer Gesamtheit nicht, bzw. noch nicht, erfasst werden k?nnen, wie z.B. - Flugzeugumstr?mung einschlie?lich der Durchstr?mung der Triebwerke - Fahrzeugumstr?mung einschlie?lich der Motor- und Innenraumbelüftung - Wasserkraftanlage einschlie?lich der Durchstr?mung der Turbinen Deshalb bildet man für die experimentellen und/oder numerischen Untersuchungen ein Modell der Wirklichkeit. Dabei erfolgt die Modellbildung so, da? die wesentlichen physikalischen Ph?nomene erfasst und die für die jeweilige Problemstellung unwesentlichen vernachl?ssigt werden. Folie 31 Realit?t Modell Simulation 2.2.5.3 Modellbildung ? Unterteilung komplexer technischer Systeme in eine Anzahl beherrschbarer Teilsysteme unter Berücksichtigung der ?Schnittbedingungen“ ? Beschreibung des thermo-fluiddynamischen Prozesses auf verschiedenen Leveln, z.B. ? instation?r – station?rer Prozess ? Dimensionen 3D – 1D ? thermo-fluiddynamisches Modell Folie 32 Realit?t Modell Simulation2.2.5.4 Unterteilung eines komplexen technischen Systems f Beispiel der Flugzeugumstr?mung Trennung der Triebwerke von den Tragfl?chen unter Vernachl?ssigung der Wechselwirkung und Untersuchung eines Triebwerkes im Original oder in einem verkleinerten Modell auf dem Prüfstand. Isolierte Untersuchungen an den Komponenten auf einem gesonderten Prüfstand, d.h. Fan, Verdichter, Turbinen und Brennkammer, unter Vernachl?ssigung der Wechselwirkung zwischen den Komponenten. Isolierte Untersuchung z.B. der Hochdruckstufe des Verdichters auf einem speziellen Prüfstand unter Vernachl?ssigung der Stufenwechselwirkung. Isolierte Untersuchung des am h?chsten belasteten Schnittes einer axialen Verdichterstufe im Gitterversuch unter Vernachl?ssigung der Wechselwirkung zwischen den Schnitten. Folie 33 Realit?t Modell Simulation2.2.5.4 Unterteilung eines komplexen Systems f Beispiel der Flugzeugumstr?mung Trennung der Tragfl?chen vom Rumpf unter Vernachl?ssigung der Wechselwirkung und Untersuchung der Aerodynamik des Tragflügels im Original oder in einem verkleinerten Modell im Windkanal. Isolierte Untersuchung der Aerodynamik einzelner Profilschnitte unter Vernachl?ssigung der Wechselwirkung zwischen den Schnitten. Vereinfachungen bei der Beschreibung eines thermo-fluiddynamischen Prozesses: 1 Einführen eines station?ren Ersatzprozesses. Vernachl?ssigung der Zeitabh?ngigkeit 2 Betrachtung integraler Aussagen anstelle von differentiellen Betrachtungen. 0= ? ? t Folie 34 Realit?t Modell Simulation2.2.5.4 Unterteilung eines komplexen Systems 3 Betrachtung eines in der Dimension reduzierten Str?mungs- und Temperaturfeldes. 4 Vereinfachung des Prozesses. 1) Vernachl?ssigung der Reibung ν 0 2) Vernachl?ssigung von Temperatureinflüssen T = const. 3) Vernachl?ssigung von Kompressibilit?tseinflüssen ρ = const. quasi 3D 3D 2 D 1D In der Thermo-Fluiddynamik muss die Modellbildung somit so erfolgen, dass der interessierende Prozess unter den physikalisch richtigen Voraussetzungen und Randbedingungen abl?uft ! Folie 35 Realit?t Modell Simulation 2.2.5.5 Modellierungsvoraussetzungen f Einhaltung der ?hnlichkeitsforderungen 1. Geometrische ?hnlichkeit - im Gro?en Grobabmessungen - im Kleinen Spalte und Rauhigkeiten 2. Dynamische ?hnlichkeit ? Euler-Zahl ? Reynolds-Zahl 3. ?hnlichkeit des Temperaturfeldes ? Peclet-Zahl ? Nusselt-Zahl f Einhaltung aller ?hnlichkeitsforderungen führt zur Identit?t ! Erfüllung der wichtigsten (Geometrie, Eu, Pr) und bewu?te Verletzung der Reynolds-?hnlichkeit, aber: Re Modell > Re kritisch ;Re kritisch = f (Problem) ν lc =Re 2 c p Eu ρ ? = aa c Pe υ =?= ? = Pr;PrRe l λ α l? =Nu Folie 36 Realit?t Modell Simulation 2.3 Modellbildung am Beispiel eines Flugtriebwerkes 2.3.1 Systemanalyse > Das Gesamtsystem setzt sich aus verschiedenen Komponenten zusammen. ? “ Freischneiden“ der Komponenten aus dem Gesamtsystem. ? Verknüpfung der Komponenten mittels integraler Erhaltungss?tze, z.B. Massen und Energieerhaltung. cAmmm abzu ρ== ??? ; zg c hhhmEEE tt abzu ++=== ???? 2 ;; 2 1 2 Folie 37 Realit?t Modell Simulation 1 Massenerhaltung 2 Energieerhaltung E A ?? = A E mm qahh tEtA +=? 0; 2 2 =? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+?=? z c hh t 2.3.1 Systemanalyse f Modell einer Turbomaschinenkomponente – Verdichter SystemdiabatesqadsTdpv c A E A E AE ; 2 2 ∫∫ +=++ ? ? ? ? ? ? ? ? ? → ∫ ∫ + dsTdpv E m ? tE h A m ? tA h q ? = m P a w Folie 38 Realit?t Modell Simulation 2.3.1 Systemanalyse f Massen und Energiestr?me in den Komponenten eines Flugzeugtriebwerkes. F HTHV NV NT SD BK 112 2 13 21 9 24 0 16 34441 87 5 gesm ? vm ? Bm ? cm ? vm ? Tum ? Brm ? Tum ? ?h t,NT h u ?h t,F ?h t,HT ?h t,HV ?h t,NV SD Ges cmS ? = a F a NT a HV = a HTa NV Folie 39 Realit?t Modell Simulation 2.3.2 Prozessanalyse f Betrachtung des thermo-fluiddynamischen Prozesses innerhalb einer Komponente. ?Definition der Ein- und Austrittsbedingungen für die thermo- fluiddynamischen Gr??en: Stoffwerte : ρ, υ, c p , c v , λ Str?mung : , p, T → c Folie 40 Realit?t Modell Simulation2.3.2 Prozessanalyse f Differentielle Beschreibung der Prozesse zwischen Ein- und Austritt mit Hilfe von Modellvorstellungen. Reale Zustands?nderung, Polytrope - Kontinuit?tsgleichung - Navier-Stokes Gleichungen - Energiegleichung - Stoffgesetze Idealisierte Zustands?nderungen, Isentrope - Kontinuit?tsgleichungen - Euler Gleichungen - Energiegleichung - Stoffgesetze 1 2 T T s s A A E E + a = a = 0 2 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? c Folie 41 Realit?t Modell Simulation 2.3.2 Prozessanalyse f Differentielle Betrachtung an einem durchstr?mten System. 1. Kontinuit?tsgleichung zur Bestimmung der Dichte ρ (x,y,z,t) 2. Impulsgleichungen (Navier-Stokes Gleichungen) zur Bestimmung des Str?mungsfeldes 3. Energiegleichung zur Bestimmung des Temperaturfeldes T (x,y,z,t) 4. Ideales Gasgesetz zur Bestimmung des Druckes p (x,y,z,t) 5. Stoffgesetze ν = ν (T) , λ = λ (T) , ),,,( tzyxc → .constc p ? E A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → T p c cc vp λνρ ,,,, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? → T p c cc vp λνρ ,,,, E A - realer Prozess - Folie 42 Realit?t Modell Simulation 2.3.3 Zusammenfassung System- und Prozessanalyse Für Kreislaufberechnungen an einem Triebwerk genügen meist integrale Betrachtungen, w?hrend für eine thermo-fluiddynamische Analyse das Str?mungs- und Temperaturfeld mit Hilfe eines numerischen Verfahrens simuliert werden muss. Dazu muss ein Satz von mindestens 5 partiellen Differentialgleichungen gel?st werden. Im Falle turbulenter Str?mung kommen noch Gleichungen zur Modellierung der Turbulenz hinzu. Folie 43 Realit?t Modell Simulation 2.3.4 Integrale Beschreibung der Komponenten f Beispiel Niederdruckverdichter (meist mehrstufig) - Erh?hung der Totalenthalpie durch Zufuhr von Wellenleistung - wird von der Niederdruckturbine angetrieben ;, 221 NVttV hhm Π?> ? NVtt ahh += 221 WFWNTWNV PPP ?= ? = VNVWNV maP Folie 44 Realit?t Modell Simulation 2.3.4 Integrale Beschreibung der Komponenten f Beispiel Niederdruckverdichter Diese integrale Betrachtung gilt auch für die Teilsysteme, d.h für die M bzw. N Stufen eines Verdichters bzw. einer Turbine, )( 1 LeitradLaufradStufenVerdichter M i += ∑ = o )( 1 LaufradLeitradStufenTurbine N j += ∑ = o sowie für die einzelnen Beschaufelungen, d.h. Laufrad- und Leitradbeschaufelungen. Innerhalb der Beschaufelungen gilt ferner die Impulserhaltung nach Euler: 222 )( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2121 ccwwuu crha ut ? + ? ? ? =?=?= →→ ω h 21→ ? mit 0 21 t h → ? < > Laufradbeschaufelungen > 0 : Verdichter < 0 : Turbinen 0 21 =? → t h Leitradbeschaufelungen Folie 45 Realit?t Modell Simulation 2.3.5 Differentielle Beschreibung der Prozesse f am Beispiel eines Axialverdichters. > repr?sentative Stufe mit Lauf- und Leitradbeschaufelung: Folie 46 Realit?t Modell Simulation 2.3.5 Differentielle Beschreibung der Prozesse 2.3.5.1 Modellbildung f Station?re “Ersatz-Str?mung“ und Aufteilung in Teilsysteme. Ersatz der in der Realit?t stets instation?ren Str?mung durch eine im Relativsystem station?re, turbulente 3D Str?mung. Dadurch müssen nicht alle Lauf- und Leitradkan?le sondern jeweils nur ein repr?sentativer Schaufelkanal betrachtet werden, wodurch sich der Rechenaufwand wesentlich verringert aber ein Koppelungsmodell La - Lei ben?tigt wird. Folie 47 Realit?t Modell Simulation axial : radial : La La Lei Lei station?re Relativstr?mung station?re Relativstr?mung 2.3.5 Differentielle Beschreibung der Prozesse 2.3.5.1 Modellbildung f Aufteilung in Teilsysteme Folie 48 Realit?t Modell Simulation Quasi - 3D Str?mung > Berechnung einer 3D Str?mung durch Superposition von drei 2D Str?mungen, nach Wu. Die Str?mungen verlaufen auf verwundenen S1-, S2-, und S3- Fl?chen. Dieses Modell ist wegen der wechselweisen Koppelung sehr rechenintensiv und deshalb den voll-3D Verfahren unterlegen. S1: Blade to Blade S2: Hub to Shroud S3: Normalenebene 2.3.5.1 Modellbildung f Str?mungsmodellierung Folie 49 Realit?t Modell Simulation Dieses Modell wird im Design Prozess wegen der geringen Rechenzeiten noch immer eingesetzt. Vereinfachte Q3D-Str?mung N . S1 + S2 m 2.3.5.1 Modellbildung f Str?mungsmodellierung Folie 50 Realit?t Modell Simulation 2D Str?mung Str?mung auf Zylindermantelfl?chen S1 (r = const.) 2.3.5.1 Modellbildung f Str?mungsmodellierung Folie 51 Realit?t Modell Simulation 2.3.5.1 Modellbildung f Str?mungsmodellierung 1D Str?mung (entlang einer repr?sentativen Stromr?hre) - Stromfadentheorie - Durch Definition einer repr?sentativen Stromr?hre und konsistenter Mittelwerte für das Str?mungs- und Temperaturfeld, lassen sich die differentiellen Erhaltungsgleichungen für die Masse, den Impuls und die Energie in 3D Form durch Integration über den durchstr?mten Querschnitt auf eine 1D Schreibweise bringen. 2 1 S w 1 c 1 u = r ω Folie 52 Realit?t Modell Simulation 2.3.5.2 Formulierung des Randwertproblems f Umstr?mungsprobleme Die Systemgrenzen müssen so weit von dem zu untersuchenden Objekt angenommen werden, da? deren Lage das Ergebnis nicht beeinflussen kann. Dann gelten an allen Grenzen die selben Randbedingungen. Umstr?mung eines Profils 0 0 0 0 T p w → ρ 0 0 0 0 T p w → ρ 00 0 0 ,,, Tpw → ρ 00 0 0 ,,, Tpw → ρ Folie 53 Realit?t Modell Simulation 2.3.5.2 Formulierung des Randwertproblems f Durchstr?mungsprobleme Hier sind die Systemgrenzen durch die materiellen R?nder, sowie den Ein- und Austrittsquerschnitt gegeben. Im Inneren eines durchstr?mten Systems k?nnen Teilsysteme in Reihen- oder Parallelschaltung auftreten. Bei parallel geschalteten Teilsystemen sind i. d. R. nur thermische Koppelungen oder eventuell Fluid-Struktur-Wechselwirkungen zu berücksichtigen. Bei in Reihe geschalteten Teilsystemen sind die Schnittbedingungen gültig: 0 0 0 0 T p w → ρ 01 01 0 1 1 TT pp ww >> ? >> → ρ idealisiertes Triebwerk T p w → ρ TS1 TS2 T p w → ρ Eintritt Austritt Folie 54 Realit?t Modell Simulation ρ 0 , w 0 , p 0 , T 0 r, w r Fan Na Lei Stützschaufeln Bm ? NVm ? NV FA z, w z 2.3.5.2 Formulierung des Randwertproblems f “Freigeschnittene Komponenten“ ?Fan des Triebwerks 0 , ),0,0( ,,,, ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Tp ww cc z vp λνρ FA zt vp Tp wwww cc ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ),,( ,,,, ? λνρ NVE zt vp Tp wwww cc ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , ),,( ,,,, ? λνρ = NVE Folie 55 Realit?t Modell Simulation 2.3.5.2 Formulierung des Randwertproblems f Beachtung der Wechselwirkungen - Im Betriebsbereich des besten Wirkungsgrades ist die Rückwirkung des Niederdruckverdichters NV auf die Str?mung im Fan sehr gering. Einseitige Koppelung Fan NV - Bei dynamischen Last?nderungen k?nnen starke Rückwirkungen bzw. Wechselwirkungen auftreten, z.B. instation?re Str?mungsabl?sung an den Schaufeln und Rückstr?mungen vom NV zum Fan. Wechselseitige Koppelung Fan NV Folie 56 Realit?t Modell Simulation 2.3.5.3 Schlussfolgerungen zur differentiellen Beschreibung der Prozesse ? Beim “ Freischneiden“ von Subsystemen aus einem komplexen System bzw. von Komponenten aus einer Maschine oder Anlage muss geprüft werden, ob signifikante Wechselwirkungen an den Grenzen der Subsysteme bzw. in den Schnittebenen zwischen den Komponenten vorliegen. ? Im Falle nicht zu vernachl?ssigender Wechselwirkungen in den Grenzen bzw. Schnittebenen müssen diese modelliert werden, z.B. station?re Rotor-Stator-Wechselwirkung in Turbomaschinen als Ersatz für die zeitechte, instation?re Str?mungswechselwirkung. ? Falls die Wechselwirkungen sehr stark sind, versagen einfache Koppelungsmodelle; dann müssen die Systemgrenzen weiter gefasst werden, bis wieder eindeutige, d.h. physikalisch sinnvolle, Randbedingungen formuliert werden k?nnen. ? Bei vielen thermo-fluiddynamischen Problemstellungen gelangt man deshalb h?ufig erst dann zu wirklichkeitsnahen Simulationsergebnissen, wenn der Gesamtprozess bzw. die gesamte Maschine oder Anlage in die Simulation einbezogen wird. Folie 57 Realit?t Modell Simulation 2.3.5.4 Zusammenfassung der Abstraktionsstufen zur Beschreibung des instation?ren 3D turbulenten Str?mungs- und Temperaturfeldes > Rechenmodelle ? DNS ? LES ? FANS bzw. RANS bei kompressiblen bzw. inkompressiblen Str?mungen ? Turbulenzmodelle > Modellierung der Zeitabh?ngigkeit ? Instation?r zeitechtes Str?mungs- und Temperaturfeld ? Station?res “ Ersatzstr?mungs- und Temperaturfeld “ > Modellierung der r?umlichen Abh?ngigkeit ? Voll-3D (3D) ? Quasi-3D (Q3D) ?2D ?1D Folie 58 Realit?t Modell Simulation 2.4 Simulation Die Simulation thermo-fluiddynamischer Prozesse erfordert die L?sung eines Systems von partiellen Differentialgleichungen (PDG) unter Berücksichtigung der Anfangs- und Randbedingungen. Da eine mathematisch-analytische L?sung in der Regel nicht m?glich ist, müssen die PDG mittels finiter Approximationen gel?st werden. 2.4.1 Finite Approximation auf orthogonalen Netzen Das Ersetzen der Differentiale in den PDG durch finite Approximationen führt zu einem Satz algebraischer Gleichungen, der mit bekannten Algorithmen aufgel?st werden kann. 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren Ersetzen der Differentialquotienten durch Differenzenquotienten. Die Herleitung üblicher Differenzenformeln erfolgt unter Voraussetzung konstanter Schrittweiten ?x = ?y = ?z = ? mit Hilfe der Taylor-Entwicklung einer Funktion F(x, y, z) mit x = i . ?x, y = j . ?y, z = k . ?z. Folie 59 Realit?t Modell Simulation 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Darstellung im 2D-Fall: Ein Punkt P(x, y) l??t sich somit überführen in die Index-Schreibweise P i, j : ji, P ?iy ?ix y)P(x, ? ? ? ? ? ?= ?= P i,j y = j y?? x = i x?? i = 1 j = 1 ? ? 23456 i53217M = 86504 0 1 4 3 2 Folie 60 Realit?t Modell Simulation Die Taylor-Entwicklung einer Funktion F(x) in der Umgebung von P i lautet: )O(?F 3! ? F 2! ? F 1! ? FF 4 i 3 i 2 ii1i +′′′?±′′?+′?±= ± f Erste Ableitungen i x f ? ? ? symmetrischer Differenzenquotient O(? 2 ) () () () 3 i1i1i 4 i 3 i 2 ii1i 4 i 3 i 2 ii1i ?OF?2FF ?OF 6 ? F 2 ? F?FF ?OF 6 ? F 2 ? F?FF +′??+=? +′′′??′′?+′??= +′′′?+′′?+′?+= ?+ ? + ( ) 22 i 1i1i ?lerAbbruchfeh?OF ?2 FF +′= ? ? ?+ 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Ableitung der Differenzenapproximationen. - Folie 61 Realit?t Modell Simulation f Zweite Ableitungen i x F 2 2 ? ? ? symmetrischer Differenzenquotient O(?x 2 ) Eliminieren der ersten und dritten Ableitung ( ) () 2 i 2 1ii1i 4 i 2 i1i1i ?lerAbbruchfehF ? FF2F ?OF?F2FF 2 ?+′′= +?? +′′?+?=+ ?+ ?+ O () () 4' ii1i 4' ii1i ?OF?FF ?OF?FF +? ? ?? ? +??= +? ? +? ? +?+= ? + ''' 3 '' 2 ''' 3 '' 2 62 62 ii ii FF FF 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Ableitung der Differenzenapproximationen. + Folie 62 Realit?t Modell Simulation Modell-Differentialgleichung vom elliptischen Typ QuelltermSconstCBA y F x F CS y F B x F A == ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? += ? ? + ? ? ;,,; 2 2 2 2 FD-Diskretisierung in einem gegebenen Str?mungsgebiet ij jijijijijijijijijiji S y FFF C x FFF C y FF B x FF A + ? +? + ? +? = ? ? + ? ? ?+?+?+?+ 2 1,,1, 2 ,1,,11,1,,1,1 22 22 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Ableitung der Differenzenapproximationen. Folie 63 Realit?t Modell Simulation Ordnen der Terme nach Multiplikation mit ?x 2 : 2 1, 1, ,1 2 , ,1 2 2 2 12 2 xS y x y x Cx B F y x y x Cx B F Cx A F y x CF Cx A F ijji ji ji ji ji ??= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +??+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?++ + ? ? ? ? ? ? +??+ + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?+ + ? ? ? ? ? ? +?+ + ? + ? 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Ableitung der Differenzenapproximationen. Folie 64 Realit?t Modell Simulation die Differenzengleichung mit den Koeffizienten E 0 bis E 5 51,41,3,12,0,11 EFEFEFEFEFE jijijijiji =++++ +?+? Durch die Diskretisierung wird die L?sung der PDG überführt in die L?sung eines Systems algebraischer Differenzengleichungen. Die L?sung kann erfolgen. ? punktweise ? linienweise ?feldweise {} = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +??+ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +?+ ? ? ? ? ? ? +??+?+ ? ? ? ? ? ? +? +?+? C B FC B FC A FCFC A F jijijijiji 222 4 2 1,1,,1,,1 Mit ?x= ?y= ? erh?lt man E 1 E 0 E 2 E 3 E 4 E 5 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Ableitung der Differenzenapproximationen. Folie 65 Realit?t Modell Simulation f Explizite Punktaufl?sung Punktweise L?sung des Gleichungssystems. Explizites Aufl?sen der Differentialgleichung nach der Unbekannten im zentralen Punkt F i,j (einfachstes Verfahren). {}][ 1 1,41,3,12,115 0 , +?+? +++?= jijijijiji FEFEFEFEE E F Vor der Aufl?sung werden die folgenden Randbedingungen ( ) gesetzt: i = 0 F 0,j = RB 0 ‘ ; i = M F M,j = RB L ‘ j = 0 F i,0 = RB 0 ‘‘ ; j = N F i,N = RB L ‘‘ 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Aufl?sung des linearen Gleichungssystems. Folie 66 Realit?t Modell Simulation Die Berechnung erfolgt in allen (M-1) x (N-1) inneren Punkten ( ) des Rechengebietes. i = 1, 1, M-1 j = 1, 1, N-1 F ij = {} 0 1 E 0 23456 7M=81 0 1 2 3 N=4 x = i . ? y = j . ? 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Aufl?sung des linearen Gleichungssystems. Folie 67 Realit?t Modell Simulation ? Implizites Aufl?sen der Differentialgleichungen auf 1. Linien j = const. 2. Linien i = const. ' ,12,0,11 RSFEFEFE jijiji =++ +? { } jiji FEFEERS ,12,115 '' +? +?= erfordert jeweils die Aufl?sung einer Tridiagonalmatrix für die unbekannte Funktion F k mit der allgemeinen Indizierung k = i bzw. j von k = 0 bis L. { } 1,41,35 ' +? +?= jiji FEFEERS '' 1,4,01,3 RSFEFEFE jijiji =++ +? 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Aufl?sung des linearen Gleichungssystems. f Implizite Linienaufl?sung Folie 68 Realit?t Modell Simulation ? Gauss - Elimination 0 1k=0 k=1 k=2 k=L RSF 2 F L F 1 F 0 RB L RB 0 0 1L F K k 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Aufl?sung des linearen Gleichungssystems. Folie 69 Realit?t Modell Simulation ? Implizite Aufl?sung aller Differentialgleichungen innerhalb des Feldes unter Berücksichtigung der Randbedingungen mit dem STONE - Algorithmus SIP Strongly Implicit Procedure Diese Prozedur l?sst sich nicht nur zur L?sung von 2D-, sondern auch für 3D Probleme vorteilhaft anwenden. Im Gegensatz zur Gauss Elimination ist SIP ein iteratives Verfahren, und es eignet sich deshalb auch zur L?sung gro?er algebraischer Gleichungssysteme, d.h. von thermo-fluiddynamischen Problemen mit einer sehr gro?en Punktezahl bzw. sehr feinen Netzaufl?sung. 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Aufl?sung des linearen Gleichungssystems. Folie 70 Realit?t Modell Simulation ? eindimensionale W?rmeleitungsgleichung 2 2 x T a t T ? ? = ? ? T = Temperatur a = Temperaturleitzahl x = Raumkoordinate t = Zeit () ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? +? ?+ ? ? ? ? ? ? ? +? = ? ? ?+ + ?+ + n jjj n jjj n j n j x TTT x TTT a t TT 2 11 1 2 11 1 2 1 2 γγ ? Differenzengleichung bzw. mit 2 x t a ? ? =α () nn j n j n j RSTTT =++? + ? ++ + 1 1 11 1 12 γαγαγα n + 1 : neu zu berechnende Zeitebene n : alte bekannte Zeitebene 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Kombiniertes Verfahren für Parabolische Differentialgleichungen. Folie 71 Realit?t Modell Simulation Implizites Aufl?sen eines Gleichungssystems zur Bestimmung von F j n+1 für 1<j<N-1 in der neuen Zeitebene n+1. 2 Rein implizites Verfahren, γ = 11 Rein explizites Verfahren, γ = 0 Explizites Aufl?sen nach der Unbekannten F j n+1 in der neuen Zeitebene n+1. n+1 j-1 j j+1 n j n ?? J=N j=0 n+1 j-1 j j+1 n j n ?? J=N j=0 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Kombination von rein expliziten und rein impliziten Verfahren. Folie 72 Realit?t Modell Simulation 3 Kombiniertes Verfahren, 0 < γ < 1 Mittelung der rechten Seite (RS) zwischen der alten (n) und der neuen (n+1) Zeitebene ergibt für γ = 0.5 das CRANK-NICHOLSON-Schema n+1 j-1 j j+1 n j n ?? J=N j=0 2.4.1.1 Finite Differenzen Verfahren f Kombination von rein expliziten und rein impliziten Verfahren. Folie 73 Realit?t Modell Simulation 2.4.1.2 Finite Volumen Verfahren Integration der in Erhaltungsform geschriebenen Str?mungsdifferentialgleichung über ein differentiell kleines Volumenelement dV im 3D-Fall, bzw. über ein Fl?chenelement dA im 2D Fall liefert analog zu einem Differenzenverfahren für jeden inneren Punkt eines Rechengebietes bei bekannten R?ndern je eine algebraische Gleichung. Die finite Approximation erfolgt erst nach der mathematischen Integration mit Hilfe des Satzes von GAUSS; deshalb sind FV-Verfahren konservativ und somit genauer als die FD- Verfahren, bei denen die Differentiale der PDG direkt durch finite Differenzen ersetzt werden. > Modellgleichung - 2D Kontinuit?tsgleichung für kompressible Fluide bzw. allgemeine Schreibweise für die 2D Euler-Gleichungen: () ()0=? ? ? +? ? ? + ? ? v y u xt ρρ ρ 0= ? ? + ? ? + ? ? y g x f t q ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = → v uq ρ ρ ρ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? += → vu pu u f ρ ρ ρ 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + = → pv vu v g 2 ρ ρ ρ q ist eine Erhaltungsgr??e: f und g sind die Flüsse: Folie 74 Realit?t Modell Simulation Annahme : sei innerhalb von A konstant und A sei keine Funktion der Zeitq r ∫∫ ∫∫ = ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? AA dA y g x f dA t q 0 r r r A t q dA t q ∫∫ ? ? = ? ? rr () () ∫∫∫∫ += ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ll l rrr l rr r r r dengdenfdA y g x f yx Die L?nge des Normalenvektors entspricht der Fl?che (3D) bzw. der L?nge (2D) der Zellgrenzlinie auf der er senkrecht steht. AnteilydNden AnteilxdNden yy xx ?= ?= ; ; l rr l rr des Normalenvektors N r 2.4.1.2 Finite Volumen Verfahren f Satz von Gauss ? Integration über das finite Volumen bzw. über die finite Zellfl?che A Folie 75 Realit?t Modell Simulation f Diskretisierte PDG ∑∑ == ++ ? ? 4 1 4 1 k ykk k xkk NgNfA t q r r r 2.4.1.2 Finite Volumen Verfahren Ermittlung der Flüsse f k und g k an den Mittelpunkten k = 1, 2, 3, 4 und Bestimmung der Komponenten des ?u?eren Normalenvektors aus den entsprechen Komponenten des L?ngenvektors . Die Berechnung erfolgt aus Koordinatendifferenzen. Somit ist ein FV-Verfahren letztlich auch ein FD-Verfahren. k N → → l { } yx ll , y x 1 N r 1y N 1x N 2 3 4 1 q finite Zellfl?che A xy yx N N l l ?= = 1 → l Folie 76 Realit?t Modell Simulation 2.5 Beispiele numerischer Simulationen f Modell-Differentialgleichung, Transport-DGL. ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? += ? ? + ? ? + ? ? 2 2 2 2 y F x F CS y F B x F A t F ? Instation?re NS-Gleichung für inkompressible Fluide ρ = const. A = u, B = v, C = υ = kinematische Viskosit?t; S = Quellterm 1. Impulsgleichung F = u, 2. Impulsgleichung F = v, x p S ? ? ?= ρ 1 y p S ? ? ?= ρ 1 ? 1D W?rmeleitungsgleichung F = T = Temperatur und A = B = S = 0, d.h. keine Konvektion bzw. kein W?rmetransport C = a = = Temperaturleitzahl = 0, d.h. keine Abh?ngigkeit des Temperaturfeldes von der y-Richtung p cρ λ y? ? Folie 77 Realit?t Modell Simulation 2.5 Beispiele numerischer Simulationen 2.5.1 1D W?rmeleitung in einer unendlich ausgedehnten Wand der Dicke d 2 2 x T a t T ? ? = ? ? f Dimensionslose PDG 2 2 Χ? Θ? = ? Θ? τ f Anfangs- und Randbedingung τ < 0 : Θ(Χ,τ) = 0 Χ = 0 : Θ(0,τ) = F(τ) Χ = 1 : Θ(1,τ) = 0 X ( ) PrRePe a Pr d at d x TT TxT 2 ai a ?= = = = ? ? = υ τ Χ Θ d i a y T i T a 10 T Wi T Wa Folie 78 Realit?t Modell Simulation f Zeitfunktionen F(τ) für die ?nderung der Wandtemperatur Θ(0,τ). Sprungfunktion : σ(τ) Sinusfunktion : {}τ ω τ ω ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Pesin a d Pe a d sin 2 2 Θ Χ Θ(1,τ) = Θ a = 0 τ 10 0 1 Θ(0,τ) = σ(τ) Θ(Χ, ) ∞ 2.5.1 1D W?rmeleitung in einer unendlich ausgedehnten Wand der Dicke d Folie 79 Realit?t Modell Simulation fInterpretation der sin-f?rmigen ?nderung der Wandtemperatur. a << sehr klein 0≈ ? ? t T extreme Zeitverz?gerung, Temperaturwechsel sind bereits in geringem Wandabstand nicht mehr messbar. a >> sehr gro? ∞≈ ? ? t T minimale Zeitverz?gerung, tr?gheitsfreie Temperatur?nderung linear durch die Wand. +1 -1 Θ a = 0 +1 -1 Θ a = 0 2.5.1 1D W?rmeleitung in einer unendlich ausgedehnten Wand der Dicke d Folie 80 Realit?t Modell Simulation f Differenzengleichung, explizite Form. {}?ΧΧΘΘΘ ?Χ τ? ΘΘ i;2 n 1i n i n 1i 2 n i 1n i =+?+= ?+ + mit: ; Pe 1 dc a d t d a d a t 2 ===>= ? ?τ? Interpretation für ?τ = const. Bei gro?en Werten a / d 2 muss ein sehr kleiner Zeitschritt ?t gew?hlt werden, w?hrend bei kleinen Werten von a / d 2 gr??ere Zeitschritte ?t genügen. Die Kombination ?τ / ?Χ 2 muss anhand von numerischen Experimenten festgelegt werden, sie h?ngt von der Problemstellung ab, d.h. von der Zeitfunktion Θ(0,τ). Diskrete Temperaturverteilung Θ(Χ, τ) mit X = i ?x und τ = n ?τ L?sung: 2.5.1 1D W?rmeleitung in einer unendlich ausgedehnten Wand der Dicke d Folie 81 Realit?t Modell Simulation ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? ?= ? ? + ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? ?= ? ? + ? ? + ? ? = ? ? + ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 y v x v v y p y v v x v u t v y u x u v x p y u v x u u t u y v x u ρ ρ f Kontinuit?tsgleichung und Navier-Stokes Gleichungen b d x u yv l U(0,Y) = 1 ν ρ τ bu b L b Q U u pp P u v V u u U b ut b y Y b x X 0 0 2 0 00 0 Re , 2 ,, ,, = == ? === === l l l 2.5.2 Instation?re, laminare und inkompressible 2D Zylinderumstr?mung in einem Kanal der L?nge und der Breite bl Folie 82 Realit?t Modell Simulation fAnfangs- und Randbedingungen : () L PLP X V X U LX P VUX PVU == ? ? = ? ? = = Χ? ? ===≥ ===< ,0,0: 0,0,1:0:0 0:0 τ τ 0;0; 2 1 = ? ? ==±= Y P VUY 0 0 2 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? + ? ? y v pv yx v vu xt v y u uv yx u pu xt u μρμρρ μρμρρ f Navier-Stokes bzw. Impulsgleichungen in Erhaltungsform: 2.5.2 Instation?re, laminare und inkompressible 2D Zylinderumstr?mung in einem Kanal der L?nge und der Breite bl Folie 83 Realit?t Modell Simulation FV-Diskretisierung 2.Ordnung für alle Terme unter der Voraussetzung Re = 100, d.h. laminare Grenzschichtstr?mung. 0 Re 1 Re 1 0 Re 1 Re 1 2 2 = ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ?+ ? ? + ? ? Y V PV YX V UV X V Y U UV YX U PU X U τ τ L?sung : ? Diskrete Str?mungsgr??en U(X,Y,Τ), V(X,Y,Τ), P(X,Y,Τ) mit X = i ?x, Y = j ?y und Τ = n ?τ ? Abgeleitete Gr??en - Frequenz des Abl?sevorganges : Karman-Wirbelfrequenz f - Strouhal-Zahl - Kr?fte F x (τ), F y (τ) 3.0 0 ?= u df Sr 2.5.2 Instation?re, laminare und inkompressible 2D Zylinderumstr?mung in einem Kanal der L?nge und der Breite bl Folie 84 Realit?t Modell Simulation 2.6 Anwendungen 1 Str?mungswechselwirkungen in einem Tandemgitter. mit schwingender Vorleitschaufel ? Einzelgitter mit schwingendem Profil ? Tandemgitter mit schwingender Vorleitschaufel 2 VOITH-SCHNEIDER-Propeller – Zykloidalpropeller. ? Rotierendes Einzelprofil ? Zykloidalpropeller 3 Axialverdichter mir gro?em Geh?usespalt ? Integrale Gr??en der station?ren Ersatzstr?mung ? Instation?re Spaltstr?mung 4 Feststofff?rderung - Hydroabrasion ? Berechnung der Partikelbahnen - Particle Tracking ? Hufeisenwirbel - Horse Shoe Vortex 3 Axialverdichter mir gro?em Geh?usespalt. Folie 1 Realit?t Modell Simulation Vorlesung Modellbildung und Simulation Teil 3: Prof. Baier Folie 2 Realit?t Modell Simulation Inhalt Teil 3 – Prof. Baier (LLB) Inhalt Teil 3 – Prof. Baier (LLB) 3.1 Einführung und übersicht 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM 3.2.1 Grundprinzip der FEM 3.2.2 Deterministische und nicht-deterministische Modelle 3.2.3 Modellverifikation 3.2.4 Einige praktische Regeln der Modellbildung und Simulation 3.3 Objektorientierte Modellbildung 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelungstechnik-Optik am Beispiel hochgenauer Teleskope (Modellieren mit Matlab-Simulink) 3.3.2 Interaktionen Festk?rper-Hydraulik-Maschinenelemente-Elektrik am Beispiel eines Hochleistungsschaltgetriebes (Modellierung mit Modelica) 3.4 Zustandsraumdarstellung 3.4.1 Theorie und Anwendung 3.4.2 Beispiele 3.5 Modellparametrisierung und Entwurfsoptimierung 3.5.1 Modellparametrisierung 3.5.2 Modellgestützte Entwurfsoptimierung 3.5.3 Parallelisierung mit Rechner-Cluster Folie 3 Realit?t Modell Simulation 3.1 Einführung und übersicht 3.1 Einführung und übersicht Gegenst?nde und Lernziele dieses Teils der Vorlesung ?Modellbildung und Simulation“ sind: ? Kennen lernen des Grundprinzips und der Anwendungsm?glichkeiten der Finite-Element- Methode (FEM) als eine der wichtigsten Modellbildungs- und L?sungsmethoden im Ingenieurwesen. Wir wollen die FEM an strukturmechanischen Aufgaben ?festmachen“, (sie gilt auch für andere Feldprobleme wie Str?mungsfelder, elektromagnetische Felder usw.), und dabei insbesondere die übergeordneten Aussagen des Teils A (Prof. Bender) konkretisieren und auch immer wieder solche Aspekte beispielhaft herausarbeiten, die so oder in ?hnlicher Form für viele Gebiete von ?Modellbildung und Simulation“ gelten. Hierzu z?hlen deterministische und nicht-deterministische Untersuchungen, aber auch typische Fehlerquellen bzw. deren Vermeidung, M?glichkeiten der Verifikation von Methoden und Software, sowie Hilfsmittel zum Aufbau von gro?en diskreten Modellen und zur Auswertung von Simulationsprozessen (sog. ?Pre- und Postprocessing“) ? Kennen lernen von Modellparametrisierung und Optimierung von Bauteil- oder Systemparametern mit mathematisch-numerischen Modellen. Denn als Ingenieure und Entwickler stellen wir ja Fragen an das Verhalten unserer Objekte mit dem Ziel, diese zu verbessern und zu optimieren. Hierzu wollen wir eine Formalisierung dieses Entwicklungs- und Optimierungsprozesses betrachten, der so dann wiederum mit Modellbildung, Simulation und Optimierung rechnergestützt abl?uft. Folie 4 Realit?t Modell Simulation 3.1 Einführung und übersicht 3.1 Einführung und übersicht ? Und schlie?lich wollen wir uns bewusst werden, dass in der Modellbildung von Entwicklungsobjekten des Maschinenwesens oft mehrere Disziplinen eine Rolle spielen. Dazu wollen wir die sog. ?objektorientierte Modellbildung“ kennen lernen, wie sie z.B. mit Werkzeugen wie ?Matlab-Simulink“ oder ?Modelica“ m?glich ist (z.B. Verknüpfung Aktorik- Regelungstechnik – Mechanik in mechatronischen Objekten). Dabei ist klar, dass die genannten Bausteine zur Darstellung von Zusammenh?ngen und übergeordneten, d.h. disziplinunabh?ngigen, Schlussfolgerungen benutzt werden. Schon aus Zeitgründen sind vertiefte Spezialkenntnisse oder gar das Erlangen profunden K?nnens nur über jeweils weiterführende Lehrveranstaltungen (auch Praktika und Studienarbeiten) erreichbar. Auch sei darauf hingewiesen, dass in der Vorlesung / übung zu diesen Lehrveranstaltungen die Aussagen immer wieder an praktischen Beispielen und life-Simulationen demonstriert werden. Diese sind nicht Teil dieses Umdruckes, aber zur Erlangung eines Verst?ndnisses essentiell. Folie 5 Realit?t Modell Simulation 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM Die Finite-Element-Methode (FEM) ist eine der wichtigsten Modellierungs- und Simulationsmethoden im Maschinenwesen. Ihr Schwerpunkt liegt in der Festk?rpermechanik (Verformungen, Dehnungen, Spannungen, Eigenfrequenzen, dynamische Antworten, Crashverhalten, Rissbildung...), aber auch bei ?Feldproblemen“ wie Str?mungsmechanik oder elektro-magnetische Felder. Sie ist inzwischen Standard in praktisch allen Industriebereichen, dabei besonders auch in den Entwicklungsabteilungen z.B. der Fahrzeug- oder Luft- und Raumfahrtindustrie. Im Sinne der Lernziele dieser Lehrveranstaltung geht es hier weniger um eine detailliertere theoretisch-methodische Betrachtung (das ist in diesem Zeitrahmen auch gar nicht machbar), sondern um eine erste diesbezügliche Einsicht, um Anwendungsm?glichkeiten und insbesondere um allgemeine Schlussfolgerungen, die wir so au?er für FEM auch für andere Methoden und Vorgehensweisen aufstellen k?nnen. Folie 6 Realit?t Modell Simulation 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM Modalanalyse – 4. Eigenform eines Airbus Folie 7 Realit?t Modell Simulation 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM FEM-Modell einer PKW-Karosserie Folie 8 Realit?t Modell Simulation 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM 3.2 Diskrete Modelle am Beispiel der FEM FEM-Modell Ergebnisdarstellung in Form eines sog. Contour-Plots FEM-Modell eines Pleuels mit Ergebnisdarstellung Folie 9 Realit?t Modell Simulation 3.2.1 Grundprinzip der FEM 3.2.1 Grundprinzip der FEM Der mathematische-physikalische Grundgedanke ? Alle Strukturen (einfache bis extrem komplexe) erfüllen Energies?tze, Kontinuit?tss?tze, Gleichgewichtsbedingungen, ... ? ... ausgedrückt z.T. in Differenzialgleichungen und insbesondere ?Variationsproblemen“ ? Variationsproblem: ? Bei Variation (beliebiger ?nderung) von diskreten Verschiebungen leisten dort vorhandene Kr?fte Arbeit. Diese entspricht der ? bei Variation (beliebiger ?nderung) des Verschiebungsfeldes im Inneren zugeh?rigen Inneren Verformungsenergie Folie 10 Realit?t Modell Simulation 3.2.1 Grundprinzip der FEM 3.2.1 Grundprinzip der FEM ? durch L?sung des Variationsproblems erh?lt man das Verschiebungsfeld (und kennt damit das Verformungs- und Dehnungsverhalten) aber! ? Variationsaufgabe für komplexe Strukturen nicht l?sbar aber! ? Variationsaufgabe (?u?ere Arbeit = innere Energie) bereichsweise (d.h. für ein finites Element) zumindest approximativ bis auf ?Skalierungsfaktoren“ l?sbar ? ?Aufsummierung“ aller Elementl?sungen liefert einen Zusammenhang zwischen den ?Skalierungsfaktoren“ und der Belastung / Einwirkung ? Daraus werden die Skalierungsfaktoren bestimmt, und damit ist die (approx.) L?sung in jedem Element und damit in der gesamten Struktur bekannt! – das ist alles – Folie 11 Realit?t Modell Simulation 3.2.1 Grundprinzip der FEM 3.2.1 Grundprinzip der FEM ? ?Skalierungsfaktoren“ entsprechen den diskreten Verschiebungen an den Elementknoten [ ] {}{ }FXK =? ? In komplexen praktischen F?llen oft gro?es Gleichungssystem (eventuell mehrere hunderttausend diskrete Verschiebungen) berechnete Steifigkeitsmatrix Verschiebungen (zu bestimmen) gegebene Kr?fte Folie 12 Realit?t Modell Simulation 3.2.1 Grundprinzip der FEM 3.2.1 Grundprinzip der FEM ?Elementbibliothek“ Folie 13 Realit?t Modell Simulation 3.2.1 Grundprinzip der FEM 3.2.1 Grundprinzip der FEM Hohe Allgemeingültigkeit der FEM ? Jede (praktische) Struktur über verschiedene finite-Elemente approximierbar (in Geometrie und Verschiebungsfeld), d.h. ? Geringe Idealisierungs- und Approximationsfehler bei Modellbildung und Simulation im Vergleich zu ?konventionellen“ Methoden ? Statik und Dynamik ? Verschiedenste Werkstoffkombinationen und Werkstoffgesetze ? Lineares Verhalten bis extrem nichtlinear (?Crash“) ? Sehr gro?e Anwendungsbreite (Fahrzeuge, Luft- und Raumfahrt, Maschinentechnik, Werkstoffmechanik, Bauwesen,...) ? Andere Anwendungsfelder (Akustik, Elektro-Magnetik,...) der FEM als diskrete Methode Folie 14 Realit?t Modell Simulation 3.2.1 Grundprinzip der FEM 3.2.1 Grundprinzip der FEM Ausgangsstruktur: Platte mit Rippen versteift Plattenelement Balkenelement Balkenelemente als Rippenmodell Zusammenbau ? Finite-Element-Modell Folie 15 Realit?t Modell Simulation 3.2.1 Grundprinzip der FEM 3.2.1 Grundprinzip der FEM Numerische Simulation Diskretisierung (Platine, Werkzeug) Materialmodell Materialkennwerte Anwender (Modellaufbau, Interpretation) Numerische Steuerparameter Idealisierugsgrad Randbedingungen (Geometrien, Rückhaltekr?fte) Einflussfaktoren auf die numerische Simulation Folie 16 Realit?t Modell Simulation 3.2.2 Deterministische und nicht-deterministische Modelle 3.2.2 Deterministische und nicht-deterministische Modelle Meistens sind unsere Modelle deterministisch, d.h. ihre Parameter bekommen bestimmte Werte zugeordnet, und die Simulation führt zu eindeutigen, d.h. so immer wiederholbaren Ergebnissen. Zuweilen spielen aber auch nicht- deterministische Aufgaben eine Rolle, die entweder physikalisch begründet sind oder in der Streuung von Modellparametern. Beispiele physikalischer Gründe sind chaotische Systeme (kleine ?nderungen /St?rungen im System führen zu einem oft stark ge?nderten Systemverhalten), oder auch Stabilit?ts- und Verzweigungsprobleme in der Mechanik. Streuungen in Modellparametern ergeben sich beispielsweise durch streuende Belastungen auf ein Bauteil, oder durch Streuung von Bauteileigenschaften wie z.B. in den Werkstoffdaten. In beiden F?llen ist das Antwortverhalten nicht mehr deterministisch, d.h. bei Realisierung vieler (durchaus auch gedanklich) unserer Objekte (repr?sentiert durch die Modelle) ergeben sich unterschiedliche Antworten. Der Einfluss streuender Modellparameter (Werkstoffdaten, Lasten) l?sst sich zumindest prinzipiell berücksichtigen, in dem die Modellparameter entsprechend ihrer Streuung mannigfach variiert und mit den gewonnenen Ergebnissen / Antworten ebenfalls statistische Auswertungen vorgenommen werden, z.B. ?Wie oft kam es vor, wie wahrscheinlich ist es, dass eine Antwortgr??e einen Grenzwert mal überschreitet?“). Anschaulich gesprochen wird also mit den Modellen bzw. Simulationen ?gewürfelt“, selbst wenn zur Begrenzung des Aufwandes meist verfeinerte statistische Vorgehensweisen benutzt werden. Folie 17 Realit?t Modell Simulation 3.2.2 Deterministische und nicht-deterministische Modelle 3.2.2 Deterministische und nicht-deterministische Modelle Physikalische bedingtes nicht-deterministische Verhalten muss a priori in den physikalisch-mathematischen Grundlagen der Modelle berücksichtigst sein (oft starke Nichtlinearit?ten). Ein Beispiel aus der Mechanik ist der ?Euler-Druckstab“. Ab einer gewissen Drucklast wird dieser instabil, d.h. bricht aus. Ob dies (in der Ebene betrachtet) nach links oder rechts geschieht, h?ngt nun von Ungenauigkeiten / Imperfektionen einer exakt geraden hat oder einer mathematisch-geometrischen exakten Geometrie ab. Hier mischen sich also dann physikalische Vorg?nge und Streuungen in den Parametern. Praktisch bedeutsam wird dies z.B. bei Crashvorg?ngen (sei es über rechnerische oder experimentelle Simulationen) Folie 18 Realit?t Modell Simulation 3.2.2 Deterministische und nicht-deterministische Modelle 3.2.2 Deterministische und nicht-deterministische Modelle Einzelergebnis ?mittlerer Trend“ Steifigkeit B-S?ule HIC ? nicht deterministisch Folie 19 Realit?t Modell Simulation 3.2.3 Modellverifikation 3.2.3 Modellverifikation Modelle müssen innerhalb gewisser, eventuell auch von der jeweiligen Aufgabe abh?ngigen Genauigkeitsgrenzen zu richtigen Ergebnissen führen. Um dies zu gew?hrleisten (streng genommen, mit hoher Wahrscheinlichkeit zu gew?hrleisten), werden Modelle und zugeh?rige Werkzeuge verifiziert. Hierzu dienen geeignete Experimente, d.h. solche die einen hohen überdeckungsgrad in Modellierungszielen und –aussagen und Ablauf / Ergebnissen im Experiment besitzen. Dabei kann ?Experiment“ zuweilen auch ein anderweitig schon verifiziertes Modell und sein Verhalten sein. Ein klassisches Beispiel hierfür ist, dass mit der ?m?chtigen“ FE-Methode natürlich das Verhalten ?elementarer“, analytisch beschreibbarer Bauteile wie Balken, Stützen, Platten usw. Vernünftig wieder gegeben werken kann. Für die numerischen Modellbildungsm?glichkeiten in der Str?mungs- oder Thermodynamik gilt entsprechendes. In der Verifikation interessieren also die drei Ebenen ? Verifikation der geeigneten zugrunde liegenden Theorie ? Verifikation der Software / Softwarefehler ? Verifikation des Modells eines konkret zu untersuchenden Objekts Folie 20 Realit?t Modell Simulation 3.2.3 Modellverifikation 3.2.3 Modellverifikation Wobei die beiden erstgenannten Aspekte meist mit geeigneten Testbeispielen (?benchmarks“) durchgeführt werden. Die Verifikation des Modells eines zu untersuchenden Objekts geschieht in der Modellbildungs- und Simulationsphase durch Vergleich mit ?experimentellen ? Ergebnissen ?hnlicher Objekte, und / oder auch durch die Beurteilung verschiedener Fachleute (?kann das ein?“). Oft werden auch Modelle mit dem Verhalten erster Prototypen verifiziert, um z.B. eine zuverl?ssige Datenbasis vor einer Flugerprobung eines Flugzeuges oder der Serienfreigabe eines Fahrzeuge zu erhalten. Solche Verifikationen geschehen auf verschiedenen Wegen, u.a. oft im Vergleich von Verformungen, Eigenfrequenzen und Eigenformen. Dieser Korrelationsprozess kann selbst wiederum nicht trivial sein. Dies liegt nicht nur an der Komplexit?t und ggf. Beschr?nktheit / Ungenauigkeit auch experimenteller Ergebnisse, sondern auch an der Frage, wie die in der Regel gro?en rechnerischen und experimentellen Datenbest?nde zu vergleichen sind. Bei skalaren Gr??en wie Eigenfrequenzen ist dies noch relativ einfach, bei vektoriellen oder matriziellen Daten wird dies schwieriger. Folie 21 Realit?t Modell Simulation ? Bei Eigenformen {Φ} (also Vektoren) vergleicht man u.a. eine Auswahl an Komponenten und die Parallelit?t rechnerischer und experimenteller Eigenformen, d.h. ? Wobei ?r“ rechnerisch und ?e“ experimentell bedeuten. ? Die Verifikation ist also ein wichtiges Element im Gesamtprozess von Modellbildung und Simulation. 3.2.3 Modellverifikation 3.2.3 Modellverifikation { }{} {} {} er e T r Φ?Φ Φ?Φ =αcos Folie 22 Realit?t Modell Simulation 3.2.3 Modellverifikation 3.2.3 Modellverifikation M?gliche ?Fehlerquellen“ und deren Vermeidung ? Idealisierungsfehler / Annahmen ? Bei analytischen und numerischen (diskreten) Modellen ? Diskrete Modelle oft n?her an der Wirklichkeit (in Geometrie, Werkstoff (-inhomogenit?ten), Randbedingungen,...) ? Datenfehler ? Bei analytischen und numerischen Modellen ? wegen meist h?herer Datenmenge Gefahr bei diskreten Modellen ? Diskretisierungsfehler ? durch diskrete Approximation des Kontinuums ? durch ausreichenden Diskretisierungsgrad gering halten ? ?h-Konvergenz“: feinere Elementeinteilung ? ?p-Konvergenz“: genauere Approximation (Polynomans?tze für Verschiebungsfeld) im Element Folie 23 Realit?t Modell Simulation 3.2.3 Modellverifikation 3.2.3 Modellverifikation ? Manipulationsfehler ? durch endliche Stellenzahl auf dem Computer ? abh?ngig von der ?Kondition“ der numerischen Modelle (schlechte ?Kondition“; kleine ?nderungen haben gro?e Auswirkung ?singul?re Gleichsysteme“ gering halten durch ? Rechnen mit ?doppelter Genauigkeit“ (64-bit-Computer!) ? Vermeidung schlechter Kondition (Idealisierung / Diskretisierung / geeignete numerische L?sungsalgorithmen) ? Interpretationsfehler ? richtige Simulation wird durch ?falsches Weltbild“ fehlinterpretiert, und umgekehrt! ?Aber: Was ist ?die“ Wirklichkeit? ? Und: Trotz dieser m?glichen Fehlerquellen werden komplexe technische Systeme diskretisiert und simuliert mit sehr aussagekr?ftigen Ergebnissen! Folie 24 Realit?t Modell Simulation 3.2.4 Praktische Regeln zur Modellbildung und Simulation 3.2.4 Praktische Regeln zur Modellbildung und Simulation Einige übergeordnete (disziplinunabh?ngige) Regeln zur Modellbildung und Simulation sind ? Ziele definieren und Fragen an das Modell stellen (? wie verh?lt sich...?“, ?ist Parameter a wichtiger (sensitiver) als Parameter b im Sinne des Objektverhaltens?“ usw...) ? Die wesentlichen Parameter von Modellen des Maschinenwesens sind Geometrie, Werkstoffgesetze / Werkstoffdaten, Lasten / Einwirkungen, Energie- und Informationsflüsse, Randbedingungen usw.... Diese Parameter werden in fortschreitenden Entwicklungsphasen immer besser definiert. Die Modellbildung soll diesen Prozess mitmachen: einfachere / unscharfe Modelle am Anfang ( Erkennen der Gr??enordnung wesentlichen Objektverhaltens), gr??ere / komplexere / detaillierte Modelle zur Simulation des ?genauen“ und detaillierten Objektverhaltens ? Unterschiedliche Fragen an das Objektverhalten sind zuweilen mit einem Modell, zuweilen mit unterschiedlichen Modellen beantwortbar. Zum Beispiel sind solche zur Steifigkeit / globalen Verformung und Schwingungsverhalten von Fahrzeug- oder Flugzeugstruktur mit sehr ?hnlichen FE-Modellen beantwortbar, hingegen werden lokale Ermüdungsprobleme mit anderen Modellen (z.T. auch FE-Modelle) untersucht. Folie 25 Realit?t Modell Simulation 3.2.4 Praktische Regeln zur Modellbildung und Simulation 3.2.4 Praktische Regeln zur Modellbildung und Simulation ? Für den Aufbau von Modellen k?nnen ?Preprozessoren“, für die Ergebnisauswertung und –darstellung ?Postprozessoren“ benutzt werden, Preprozessoren k?nnen vorhandene CAD-Geometrie nutzen, die damit z.B. für struktur- oder fluidmechanische Modelle nicht neu generiert werden muss. Die oft gro?en Datenmengen an Ergebnissen werden mit Postprozessoren grafisch aufbereitet, z.B. unterschiedliche Dehnungen in einem Bauteil oder Druckverteilungen um einen umstr?mten K?rper in farblichen Darstellungen, z.B. ?rot“ = hoch, bis hin zu ?grün“ = niedrig). Dies dient zur übersicht, ersetzt aber nicht das genaue Hinschauen auf Zahlenwerte besonders in kritischen Bereichen. ? Parametervariationen in der Simulation dienen zum Verstellen des Objektverhaltens und in der Umsetzung der Objektoptimierung, sind aber auch Elemente der Modellverifikation (?kann das sein?“) Folie 26 Realit?t Modell Simulation 3.2.4 Praktische Regeln zur Modellbildung und Simulation 3.2.4 Praktische Regeln zur Modellbildung und Simulation ? Nicht nur die Kernf?higkeit der Abbildung von Objekten (und Fragen) in Modelle, sondern auch Antworten auf ?kann das sein?“ sind die wesentlichen Gründe, weshalb kompetente Modellbildung und Simulation Fachwissen und Erfahrung erfordert. Kritische Fragen von Kollegen an diesem Prozess und seine Ergebnisse sind ebenfalls ein wichtiges Element der Verifikation und neben dem Arbeitsaufwand bei der Modellbildung und Simulation ein Grund, weshalb diese i.d.R. in einer Teamarbeit stattfindet. ? Modellbildung und Simulationsergebnisse sind zu dokumentieren. Dabei soll in der Modellbeschreibung der Prozess der Abbildung vom Objekt auf das Modell nachvollziehbar (auch kritikf?hig) sein, und die Ergebnisse für den Objektentwickler zur Beurteilung des relevanten Objektverhaltens (siehe ?Ziele, Fragen“) und oft einer Parameteroptimierung dienen. Folie 27 Realit?t Modell Simulation 3.3 Objektorientierte Modellierung 3.3 Objektorientierte Modellierung Grundgedanke: die Elemente bzw. Subsysteme eines Systems werden jeweils als ?Objekte“ modelliert und ihre Verknüpfung über verschiedene Prozeduren bzw. ?contraints‘ beschrieben. Folie 28 Realit?t Modell Simulation 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) MATLAB Simulink Simulink Extensions ? Simulink Accelerator ? Real-Time Workshop ? Stateflow Blocksets ? DSP ? Fixed-Point ? Nonlinear Control Design ? Communications MATLAB Extensions ? MATLAB Compiler ? MATLAB C Math Library Toolboxes ? Control System ? Communications ? Financial ? Frequency Domain System Identification ? Fuzzy Logic ? Higher-Order Spectral Analysis ? Image Processing ? LMI Control ? Model Predictive Control ? μ-Analysis and Systhesis ? NAG ? Foundation ? Neural Network ? Optimization ? Partial Differential Equation ? QFT Control Design ? Robust Control ? Signal Processing ? Spline ? Statistics ? Symbolic Math ? System Identification ? Wavelet Folie 29 Realit?t Modell Simulation 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) Folie 30 Realit?t Modell Simulation 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) FEM-Modell des VLT mit Windlasten Folie 31 Realit?t Modell Simulation 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) Folie 32 Realit?t Modell Simulation 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) 3.3.1 Interaktionen Strukturdynamik-Regelung-Optik (Modellierung mit MATLAB-Simulink) SMI Model Generation Model Reduction Model Evaluation Matlab based Projection Matrix for Load {P L } Projection Matrix for Output {P S } Projection Matrix for Base excitation {P B } FEM Model of Structure FEM Code ANSYS (NASTRAN) ... Simulink Model of Structure x'=Ax+Bu y=Cx+Du State Space y Structural Data Parameters, Instructions to run u LTI system for Sensor / Actuator Sensitivity Matrix Folie 33 Realit?t Modell Simulation 3.3.2 Interaktion Festk?rper-Hydraulik-Maschinenelemente- Elektrik (Modellierung mit Modelica) 3.3.2 Interaktion Festk?rper-Hydraulik-Maschinenelemente- Elektrik (Modellierung mit Modelica) Auszug aus der ?Element“-Bibliothek von Modelica Folie 34 Realit?t Modell Simulation 3.3.2 Interaktion Festk?rper-Hydraulik-Maschinenelemente- Elektrik (Modellierung mit Modelica) 3.3.2 Interaktion Festk?rper-Hydraulik-Maschinenelemente- Elektrik (Modellierung mit Modelica) Modellierung eines Hochleistungsgetriebes mit Modellica zur Untersuchung der Dynamik Folie 35 Realit?t Modell Simulation 3.4 Zustandsraumdarstellung 3.4 Zustandsraumdarstellung Systeme, die durch lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung beschrieben werden, werden in n Differentialgleichungen 1. Ordnung transformiert. Liegen nur noch Dgln 1. Ordnung vor, so werden sinnvolle physikalische Gr??en als Zust?nde gew?hlt und die Dgln in die Zustandsraumdarstellung umgeformt. Begründung: ? standardisierte“ Darstellung von Dgln und Dgl-Systemen, die dann ?standardisierte“ L?sungsprozeduren erlauben (z. B. Zeitintegration mit Software-Paket Matlab/Simulink) Anmerkung: in vielen Bereichen, insbesondere auch zur Simulation geregelter Systeme Blockschaltbild der Zustandsbeschreibung: vektorielle Gr??en sind durch Doppepfeile dargestellt. Eingr??ensystem Mehrgr??ensystem Folie 36 Realit?t Modell Simulation 3.4.1 Zustandsraumdarstellung – Theorie und Anwendung 3.4.1 Zustandsraumdarstellung – Theorie und Anwendung []{ } []{ } [ ]{}{ })(tFXKXDXM =++ &&& Die aus der FEM resultierende Bewegungsgleichung ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung: Im folgenden wird gezeigt, wie sich aus der Bewegungsgleichung die sogenannte Zustandraumdarstellung aufstellen l?sst. {} [] { {} } [] { {} } ktorEingangsve ixSteuermatr ktorZustandsve ixSystemmatr UBZAZ dt d += Systemmatrix: Modell des Systems mit Eigendynamik Steuermatrix: bildet Anregungspunkte auf die Systemfreiheitsgrade ab {} } [] { {} } [] { {} } ektorAnregungsv ixmatrixmatrDurchgangs ktorZustandsve gsmatrixBeobachtun ktorAusgangsve UDZCY += Zustandsgleichung Ausgangsgleichung Neben dem, Zustandsvektor Z kann auch ein Ausgangsvektor Y definiert werden. Die y i sind im allgemeinen eine Linearkombination der Zustandsgr??en x i und der ebenfalls bekannten Eingangsgr??en u i und k?nnen in folgender Form geschrieben werden. Folie 37 Realit?t Modell Simulation 3.4.1 Zustandsraumdarstellung – Theorie und Anwendung 3.4.1 Zustandsraumdarstellung – Theorie und Anwendung mit folgt )}({ 1 ][ ]0[ } 2 { } 1 { ][ 1 ][][ 1 ][ ][]0[ } 2 { } 1 { ][ixSteuermatr][ixSystemmatr tF M Z Z DMKM I Z Z BA dt d ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? und []{ } []{ } [ ]{ }{ })(tFXKXDXM =++ &&& {} [ ][]{ } [][ ]{ } []{ })( 111 tFMXKMXDMX ??? +??=? &&& {}{} 1 ZX = { } {} 2 ZX = & { } { } 2 ZX &&& = { } {} 21 ZZ = & Folie 38 Realit?t Modell Simulation 3.4.2 Zustandsraumdarstellung – Beispiel 1 3.4.2 Zustandsraumdarstellung – Beispiel 1 Beispiel: Ein-Massen-Schwinger )()()()( tftkxtxdtxm =++ &&& Die Zustandsgleichung lautet dann: Um die Bewegungsgleichung 2. Ordnung in zwei Dgln 1. Ordnung zu transformieren sind folgende Substitutionen notwendig. 21 1 zxz xz == = && Nun k?nnen zwei Dgln 1. Ordnung aufgestellt werden und die Ableitungen der Zust?nde z 1 und z 2 auf die linke Seite gebracht werden. m tf z m d z m k z zz )( 212 21 +??= = & & { { { U tf B m Z z z A m d m k Z z z )( 1 010 2 1 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?? = ? 43421 & 321 W?hlt man x(t) als Ausgangsgr??e, lautet die Ausgabegleichung { [] { [] { { U tf D Z z z CY ty T )(001)( 2 1 ?+ ? ? ? ? ? ? ?= 321 ? ? ? ? ? ? = x x z & d.h. Folie 39 Realit?t Modell Simulation 3.4.2 Zustandsraumdarstellung – Beispiel 2 3.4.2 Zustandsraumdarstellung – Beispiel 2 Beispiel: Gleichstrommotor ohne Lastmoment dt dn Jcicn dt di LiRu fAf A AAAA ?=Ψ?Ψ?++= ππ 2;2 Die Zustandsgleichung lautet dann: W?hlt man n(t) als Ausgangsgr??e, lautet die Ausgabegleichung Die folgenden Dgln 1. Ordnung beschreiben das dynamische Verhalten eines Gleichstrommotors ohne Lastmoment, eine Transformation der Dgln ist hier nicht notwendig. Als Zust?nde, welche physikalisch messbare Gr??en sein sollten, werden i A (t) und n(t) gew?hlt und auf die linke Seite gebracht: ( ) () fA AfAA A A ci Jdt dn ucniR Ldt di Ψ?= +Ψ????= π π 2 1 2 1 { U tu B L Z tn ti A J c L cn L R Z tn ti A A A f A f A A A )( 0 1 )( )( 0 2 2 )( )( ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Ψ Ψ? ?? = ? ? ? ? ? ? ? 321 321 444344421 43421 & π π { [] 321 321 Z tn ti C Y tn A T ? ? ? ? ? ? ?= )( )( 10)( Folie 40 Realit?t Modell Simulation 3.5 Modellparametrisierung und Entwurfsoptimierung 3.5 Modellparametrisierung und Entwurfsoptimierung Wie schon erw?hnt, ist ein haupts?chlicher Zweck von Modellbildung und Simulation die Kenntnis des Objektverhaltens mit dem Ziel der Optimierung noch zur Festlegung freier Modellparameter (?Entwurfsoptimierung“). Wir haben es also mit zwei Schritten zu tun, n?mlich ? der Modellparametrisierung, um damit von den variierenden Parametern abh?ngigen bzw. ver?nderlichen Simulationsergebnissen zu kommen ? und dem Optimierungsprozess, die wir im folgenden besprechen wollen. Au?er zur Entwurfsoptimierung im engeren Sinne werden solche Parametrisierungen zun?chst zur Sensitivit?tsanalyse (welche Parameter beeinflussen relevante Ergebnisse wie stark) benutzt. Diese lassen sich dann auch zu weiteren Aussagen verarbeiten, so z.B. zum statistischen Verhalten des modellierten Objekts. Auf diese Weise kann man also ein zun?chst deterministisches Modell für nicht-deterministische Aussagen nutzen. Wir wollen uns aber prim?r der Parametrisierung als solcher zuwenden. ? Parametrisierung von Modellen ? Entwurfsoptimierung auf der Basis mathematisch-numerischer Modelle 3.5.1 Modellparametrisierung 3.5.1 Modellparametrisierung Folie 41 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Unter mathematischer oder modellbasierter Optimierung wird die Ermittlung und Beschreibung der besten Auswahl aller unter vorgegebenen Bedingungen und Anforderungen in Frage kommenden Alternativen eines Entscheidungsprozesses mit Hilfe mathematisch-numerischer Algorithmen verstanden. Oder spezifischer: Es wird ein Satz von freien Parametern (die Optimierungs- oder Entwurfsvariable) eines Systems (z.B. mechanische Struktur) so bestimmt, dass ein oder mehrere Gütekriterien (Zielfunktionen) bestm?glich erfüllt sind und gleichzeitig zu beachtende physikalisch-technische Anforderungen (Restriktionen) eingehalten werden. In der Strukturoptimierung werden konstruktiv frei w?hlbare Eigenschaften, wie Dicken, Querschnittfl?chen, Gestalt etc. so bestimmt, dass beispielsweise das Kostenkriterium Tragwerksgewicht minimal ist und Anforderungen z.B. bezüglich Festigkeiten, Steifigkeiten und Fertigung eingehalten sind. Somit bedeutet hier Optimieren zun?chst eine in der Formulierung m?glichst strenge und in dem L?sungsprozess m?glichst effiziente und formalisierte Vorgehensweise im Gegensatz zum Verbessern oder gar des ?trial and error“. Folie 42 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Ein Demonstrationsbeispiel für solche Aufgaben zeigt das Bild auf der n?chsten Folie: Querschnittsfl?chen und Knotenlagen als Entwurfsvariable des unter verschiedenen Verkehrs- und Gebrauchslasten beanspruchten Brückenfachwerks seien so zu bestimmen, dass sein Gewicht als Zielfunktion m?glichst klein ist und gleichzeitig Restriktionen bezüglich zul?ssiger Spannungen, Stabilit?t, Eigenfrequenzen, Fertigungsgrenzen etc. eingehalten sind. Gegebenenfalls k?nnen auch mehrere Ziele wie z.B. zus?tzlich m?glichst niedrige Baukosten formuliert werden. Da der Zusammenhang zwischen den Entwurfsvariablen und den Ziel- und Restriktionsfunktionen mit Hilfe der Systemgleichungen (dem Modell) mathematisch-numerisch beschreibbar ist, l?sst sich diese Aufgabe umsetzen in ein mathematische Optimierungsproblem. Hier beschreiben die Systemgleichungen den Zusammenhang zwischen den Entwurfsvariablen und interessierenden Antwortgr??en wie Spannungen, Verschiebungen, Eigenfrequenzen etc. Im Falle einer weiteren Zielfunktion zu Baukosten müsste hierzu noch ein mathematisch erfüllbarer Zusammenhang zwischen dieser und den Entwurfsvariablen vorliegen. Gerade bei komplexen Objekten / Modellen ist der oben genannte Zusammenhang nur noch numerisch z.B. mit der FEM darstellbar, und die Systemantwort wird dann w?hrend der Iteration zur L?sung der Optimierungsaufgabe für die jeweils vorliegenden Optimierungsvariable bestimmt. Der rechnerische Aufwand hierfür kann bei gro?en Systemen, also solchen z.B. mit vielen diskreten Modellfreiheitsgraden und Entwurfsvariablen, beachtlich werden. Dieser Rechenaufwand wird zwar haupts?chlich dem Computer mit seiner Analyse- und Optimierungssoftware überlassen. Doch der Ingenieur hat die Aufgabe der sorgf?ltigen Problemformulierung und Modellerstellung, der Festlegung effizienter Vorgehensweisen zur L?sung und der Auswahl zugeh?riger Methoden und Software, sowie der Evaluierung und schlie?lich auch der Umsetzung der erzielten Ergebnisse. Folie 43 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Ausgangsentwurf optimierter Entwurf Ziel: niedriges Gewicht, niedrige Kosten Restriktionen: Festigkeit, Steifigkeit, Eigenfrequenz, Fertigung Entwurfsvariable: Querschnittsfl?chen, Lage der Fachwerknoten Systemgleichungen: Statik der Brücke, Eigendynamik der Brücke Optimierung einer Fachwerk-Bogenbrücke Folie 44 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Die mathematische Optimierung liefert optimale L?sungen im eigentlichen Sinne, also Entwurfsvariable, die bei eingehaltenen Restriktionen die Zielfunktion ?streng“ minimieren oder falls erforderlich auch maximieren. Darin und auch in der M?glichkeit der Verarbeitung vieler Entwurfsvariabler und sehr vieler auch technisch unterschiedlicher Anforderungen liegt ihre St?rke. Andererseits kann und will die mathematische Optimierung das Kreativ-Konstruktive im Entwurfs- und Entwicklungsprozess nicht ersetzen, zumal sie weitgehende mathematische Formulierbarkeit der Aufgabenstellung verlangt. Aber unterschiedliche technische Ideen und Konzepte, die der mathematischen Formulierbarkeit genügen, k?nnen damit auf der Basis ihrer jeweils optimalen Auslegung rational verglichen werden. Auch werden die Komplexit?tsgrade der zu optimierenden Systeme immer gr??er und die m?glichen Anwendungsfelder durch die st?ndige Weiterentwicklung der Methoden und Software immer umfangreicher. Dies gilt z.B. für die Berücksichtigung von Anforderungen aus der Dynamik, von Entwurfsvariablen bei Faserverbundwerkstoffen oder solche, die die Gestalt der Struktur beschreiben. Auch wird die Behandlung multidisziplin?rer Optimierungsaufgaben immer attraktiver und wichtiger. Folie 45 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Ein weiteres, aus didaktischen Gründen noch recht einfaches Beispiel zeigt die n?chste Folie. Zusammen mit seiner formalen Umsetzung in ein Optimierungsproblem: die Querschnittsfl?chen (Entwurfsparameter) a1, a2, a3 sind so zu bestimmen, dass das Gewicht minimal ist und Anforderungen (Restriktionen) zur Festigkeit eingehalten sind (die Spannungen σ i(j) im Stab i unter dem Lastfall j sind kleiner oder h?chstens gleich den zul?ssigen Spannungen σ i,zul . Die Systemgleichungen / das Modell, die hier den Zusam-menhang zwischen den Entwurfsparametern und den Spannungen herstellen, gestalten sich hier noch recht einfach und sind direkt algebraisch explizit angebbar. Es ist offensichtlich, dass die an diesem einfachen Beispiel dargestellte Optimierungsaufgabe für praktisch alle modellbasierten Aufgaben der Entwurfsoptimierung so formulieren l?sst. Folie 46 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Zielfunktion: Restriktionen: und Systemgleichungen: ∑ ??γ= i iii alz 0 2,1;3,2,10 ),,( 1 , 321)( ≥? ==≥ σ σ ? u ii zuli ji aa ji aaa ()0,, 321)()( =?σ aaac jiji Folie 47 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Minimiere ),,,( 21 n xxxz K so dass pjxxxg nj KK 1;0),,,( 21 =≥ und qkxxxh nk KK 1;0),,,( 21 == Oder kürzer minimiere {}qkpjhgz kj KK 1;1;0)(,0)(|)( ===≥ xxx Folie 48 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung ? Die inhaltliche Bedeutungen der Zielfunktion und Restriktionen sind zun?chst irrelevant. Es brauchen auch keine vermuteten oder tats?chlichen physikalischen Eigenschaften der L?sung im vorhinein angegeben oder in den L?sungsalgorithmus eingebaut werden. In bestimmten F?llen k?nnen sich damit allerdings Vereinfachungen ergeben. So ist z.B. ein sinnvoll gew?hlter Startvektor immer hilfreich. ? Viele technische Optimierungsaufgaben führen zu nichtlinearen Problemen. Unter anderem bedeutet die Nichtlinearit?t, dass die L?sungsverfahren iterativ arbeiten. Nur wenn alle Funktionen linear sind, ist sie eine lineare Optimierungsaufgabe. ? Insbesondere infolge des i.a. nur numerisch formulierbaren Zusammenhangs zwischen Entwurfsvariablen und relevanter Antworten in den Systemgleichungen ist die Aufgabe implizit. Damit sind auch genaue mathematische Eigenschaften nicht immer von vornherein angebbar. ? Der L?sungsvorgang ist iterativ. Seine prinzipielle Vorgehensweise ist unten skizziert. Typisch ist der meist beachtliche Aufwand w?hrend der Optimierungsiterationen zur Bestimmung der Systemantworten (gro?e Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme, etc.) ein effizienter L?sungsprozess arbeitet also mit m?glichst wenig Iterationen und insbesondere Auswertungen der Systemgleichungen. Bei einigen Algorithmen wird deshalb auch der implizite und numerisch aufwendige Zusammenhang zwischen den Entwurfsvariablen und Antworten bereichsweise durch explizite Polynome approximiert. Folie 49 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Prinzip des L?sungsvorganges Formulierung des Problems Festlegung Startvektor, Steuerparameter, etc. (k=1) Berechne Zielfunktion Systemanalyse: Verschiebungen, Spannungen, Frequenzen, etc. Gradientenbildung der Systemantworten Auswertung der Restriktionsfunktionen und -gradienten Konvergenzabfrage: Zul?ssigkeit des Entwurfs, weitere Verbesserung m?glich? Bestimmung der ?nderungsvektors Ergebnisdiskussion 1 )()()1( += ?+= + kk xxx kkk ja nein 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 = Im Rechner Folie 50 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Das Prinzip des L?sungsvorganges Das Grunds?tzliche der Vorgehensweise ist auf der vorherigen Folie dargestellt: In Schritt 1 wird zun?chst das Optimierungsproblem analog zu den vorigen Beispielen formuliert, programmiert und einem Optimierungsprogramm zugeordnet. Zum Schritt 1 geh?rt insbesondere die geschickte Aufbereitung der Systemgleichungen bzw. Modelle, da diese ja wesentlich die Qualit?t der Optimierung und den Aufwand zur Bestimmung der jeweils notwendigen Systemantworten bestimmen. Bei komplexeren Aufgaben kommt meist eine geschickte Zerlegung in Teilaufgaben hinzu, sei es aus Gründen des rechnerischen Aufwandes oder wegen der Abl?ufe in Entwicklungsprozessen mit ihren erst in der Zeitfolge zunehmend generierter System- und Detailinformation. Im zweiten Schritt werden notwendige Steuerparameter für die L?sungsalgorithmen sowie eine erste ingenieurm??ige Absch?tzung für den L?sungsvektor, dem Startvektor, festgelegt. Ersteres erfordert Einsicht in das numerische Verhalten der Algorithmen, letzteres ein Verst?ndnis der Aufgaben-stellung im Sinne der Zielfunktion m?glichst ?gut“ sein sollte (aber nicht muss). Es empfiehlt sich, mit dem Startvektor eine erste Modellberechnung (Systemanalyse) durchzuführen und vor Beginn der eigentlichen Optimierungsiterationen das Ergebnis sorgf?ltig auszuwerten. Damit wird das Problemverst?ndnis weiter verbessert und falls sinnvoll und notwendig werden Steuerparameter, Startvektor oder gar die Problembeschreibung z.B. bezüglich zu berücksichtigender Restriktionen noch einmal modifiziert. Die darauf folgenden Schritte laufen dann innerhalb einer Rechenanlage ab. Folie 51 Realit?t Modell Simulation 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung 3.5.2 Modellbasierte Entwurfsoptimierung Insbesondere wird in Schritt 3 eine Systemanalyse vorgenommen (für k=1 ggf. die aus Schritt 2 benutzt) zur Berechnung der Antwortgr??en wie Verschiebungen, Spannungen, Frequenzen etc. Falls die Optimierungsalgorithmen Gradienten der Funktionen nach den Entwurfsvariablen ben?tigen, werden diese in Schritt 4 für die Systemantworten berechnet. Anschlie?end erfolgt in Schritt 5 die Auswertung der Restriktionsfunktionen sowie ggf. ihrer Gradienten. In einer Konvergenzabfrage wird danach überprüft, ob der Variablenvektor zul?ssig ist und eine weitere Verbesserung der Zielfunktion durchführbar ist. Dies geschieht dann mit Hilfe eines ?nderungsvektors x in Schritt 8 so, dass im neuen Iterationsschritt die Zielfunktion kleiner geworden ist und die Restriktionen eingehalten bzw. noch nicht erfüllte (besser) erfüllt werden. Nach Beendigung des Optimierungsvorganges ist das Ergebnis sorgf?ltig zu prüfen hinsichtlich physikalisch-technischer Relevanz, d.h. ob die Aufgabenformulierung und ihrer L?sung die vorliegende Entwurfsaufgabe tats?chlich trifft. Wichtig ist natürlich auch, ob wirklich ein – wenn auch lokales – Optimum vorliegt und nicht etwa der L?sungsalgorithmus z.B. durch ungeschickt gew?hlte Steuerparameter vorzeitig abgebrochen hat. Folie 52 Realit?t Modell Simulation 3.5.3 Parallelisierung mit Rechner-Cluster 3.5.3 Parallelisierung mit Rechner-Cluster 10 Nodes: Athlon 700 MHz 768 MB RAM 10 GB IDE 8 Nodes: Athlon XP 1700+ 1,5 GB RAM 40 GB DIE 8 Nodes: Athlon XP 2400+ 1,5 GB RAM 40 GB DIE 1 Node: 1x64Bit Opteron 4 GB RAM 1 File Server: 75 GB IDE Betriebssystem: Linux (RedHat 7.1) Netzwerk: ?privat“ 100 Mbit (switched) Adressen über DHCP Folie 53 Realit?t Modell Simulation 3.5.3 Parallelisierung mit Rechner-Cluster 3.5.3 Parallelisierung mit Rechner-Cluster S p e e dU p 7 , 6 S p ee dU p 1 4 , 7 S p ee dU p 2 8 , 6 Mittelgro?es FE-Modell (ca. 30000 Freiheitsgrade) ~1600 Analysen Rechenzeit: 1 sgi octane ~17h 16 Prozessoren ~98min Rechenzeit Zeitgewinn Folie 54 Realit?t Modell Simulation Beispiele zu Prüfungsfragen - Kurzfragen Beispiele zu Prüfungsfragen - Kurzfragen Geben Sie an, welche der folgenden Aussagen zur Finite-Element-Methode richtig oder falsch sind Richtig Falsch ??Feinere Diskretisierung führt zu besseren Approximationen des Kontinuums ??Es k?nnen nur lineare Modelle behandelt werden ??... X X Abbildungsfehler - Bitte ordnen Sie die richtigen Nummern zu – 1 = Diskretisierungsfehler 2 = Idealisierungsfehler 3 = Manipulationsfehler ? Rundungsfehler bei der Gleichungsl?sung führen zu signifikanten ?nderungen im L?sungsvektor ? ... 3 Folie 55 Realit?t Modell Simulation Beispiele zu Prüfungsfragen - Optimierungsproblem Beispiele zu Prüfungsfragen - Optimierungsproblem Die str?mungsbelastete Brücke soll in ihren Querschnittfl?chen a i ; i = 1,...,n so ausgelegt / optimiert werden, dass a) ihr Gewicht m?glichst klein ist b1) die Spannungen in den Segmenten i die zul?ssigen Werte σ i,zul nicht überschreiten b2) der Str?mungsdruck p einen Grenzwert p max nicht überschreitet und b3) die erste Eigenfrequenz ω 1 die Schranke ω* nicht unterschreitet Geben Sie die jeweils richtige Formulierung an a) für die Zielfunktion ∑ = = n i iii alf 1 minimiere γ? ∑ = = n i i alf 1 minimiere γ? insgesamt Segmente / St?ben l a iii γ und für die Restriktionen b1) b2) 0 , <? izuli σσ? 01 , ≥? zuli i σ σ ? 01 max ≥? p p ? 0 max ≤? pp? Fügen Sie die Restriktion b3) in der Form g(a i ) ≥ 0 hinzu (Der Funktionswert soll dabei die Gr??enordnung 1 haben): 01 * 1 ≥? ω ω X X X Folie 56 Realit?t Modell Simulation Prüfungsfragen Teil 2 (Schilling) Prüfungsfragen Teil 2 (Schilling) ? ?hnlichkeitstheorie / Versuchstechnik ? ?hnlichkeitsbeziehungen / Kennzahlen: Re, Euler, ... ? Numerische Verfahren zur Gleichungsl?sung ? Modellierung / Modellvorstellung / Wechselwirkung ? Energiegleichung ? geg.: partielle Differentialgleichung für instation?res Temperaturfeld ? ges.: Zuordnung, was ist Quellterm, Diffusionsterm, ... ? Diskretisierung einer Gleichung (finite Differenzen) ? Berechnungsaufgabe (Achten Sie auf Vereinfachungen!)