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第四章 大数定律和中心极限定理
第三章 随机变量的数字特征
第五章 数理统计初步
第二章 随机变量及其分布
第一章 随机事件和概率
概率统计
返回下页上页
概率统计
第一章 随机事件和概率
二,重要公式与结论
三,典型例题分析与解答
一,主要内容及要求
一,主要内容及要求
三,典型例题分析与解答
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概率统计
第二章 随机变量及其分布
二,重要公式与结论
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概率统计
第三章 随机变量的数字特征
二,重要公式与结论
三,典型例题分析与解答
一,主要内容及要求
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概率统计
第四章 大数定律和中心极限定理
二,重要公式与结论
三,典型例题分析与解答
一,主要内容及要求
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第五章 数理统计初步
概率统计
二,重要公式与结论
三,典型例题分析与解答
一,主要内容及要求
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一、主要内容及要求
1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、
交、并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定
律,会用事件的关系表示随机事件,
,BA ?,BABA ???,ABBA ??
BA ?,BAABA ???,??BA ?
.; SBABA ??? ??
????
?
?
?
?
?
?
?
? AAAA ??,
第一章 随机事件和概率
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2) 掌握概率的定义及性质，会求常用的古典
概型中的 概率；
???? ??? )()()( 2121 APAPAAP
则是两两互不相容事件若,,,)1( 21 ?AA
则是两两互不相容事件若,,,,)2( 21 AAA n?
)()()(
)(
21
21
APAPAP
AAAP
n
n
???? ?
????
)()()()3( APBPABPBA ?????
)(1)()4( APAP ??
)()()()()5( ABPBPAPBAP ????
)()()()6( ABPBPABP ???
第一章 随机事件和概率
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3)熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全
概公式，事件的独立性及性质求概率。
? ? ? ?? ? ;)1( BP ABPBAP ?
? ? ? ? ? ?;)2( ABPAPABP ?
? ? ? ? ? ??
?
?
n
k
kk ABPAPBP
1;)3(
?)|()4( BkAP )(
)(
BP
BkAP,
1
)|()(
)|()(
?
?
?
n
j
j
ABP
j
AP
k
ABP
k
AP
? ? ? ? ? ?.)5( BPAPABP ?
第一章 随机事件和概率
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二、重要公式与结论
1,BAABA ?? 或 BAABB ??
).()()()(
)()()(
ABPAPBAPBAP
BAPABPAP
????
???
2,A与 B相互独立
)()()( BPAPABP ??
)()|( BPABP ??
).|()|( ABPABP ??
第一章 随机事件和概率
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3,BABABABA 与与与与,,,中有一组相互独
立,则其余三组也相互独立,
一般地,若 ),,,(),,,( 2121 nm BBBAAA ?? 与相互
独立,则
),,,(),,,( 2121 nm BBBgAAAf ?? 与
也相互独立,
其中 f,g表示加、减、乘、取对立事件运算,
第一章 随机事件和概率
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三、典型例题分析与解答
例 1 设 A,B是两个随机事件,
.1)|()|(,2.0)(,4.0)( ???? ABPABPABPAP
则 ?? )( BAP
分析, ).()()()( BAPBPAPBAP ????
由 1)|()|( ?? ABPABP
)|()|(1)|( ABPABPABP ????
)()()( BPAPABP ??
? A与 B相互独立
第一章 随机事件和概率
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.5.04.0 2.0)( )()( ???? AP ABPBP
.7.0)5.01(4.0)5.01(4.0
)()()](1[)(
)()()()(
???????
????
?????
BPAPBPAP
BAPBPAPBAP
例 2 设 A,B的概率均大于零,且
),()()( BPAPBAP ???
则
(1) A与 B互不相容 ; (2) A与 B互相对立 ;
(3) A与 B相互独立 ; (4) A与 B互不独立,
第一章 随机事件和概率
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分析, 由 )()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()( BPAPBAP ???
0)( ?? ABP ?,??? ABBA 互不相容、?
设,"0","0"),1,0(~ ???? xBxANX 则
."0",0)0()( ??????? xABxPABP 但
).4()()(0)( 选由 ???? BPAPABP
例 3 设 A,B,C为三个随机事件,其中 P(B)>0,
0<P(C)<1.且 B,C相互独立,证明,
).()|()()|()|( CPCBAPCPBCAPBAP ????
第一章 随机事件和概率
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分析, ?? )|()( )( BAPBP ABP
)()|()()|( CPCBAPCPBCAP ???)( ABP?
).(
)()(
)()|()()|(
)()()|()()()|(
CABAB CP
CABPAB CP
CBPCBAPBCPBCAP
CPBPCBAPCPBPBCAP
??
??
??
??
证, 由 CABCABAB ????
)()()|()()()|(
)()|()()|(
)()()(
CPBPCBAPCPBPBCAP
CBPCBAPBCPBCAP
CABPA B CPABP
??
??
???
.结论?
第一章 随机事件和概率
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例 4 设 X与 Y相互独立,其中
),4,1(~),41,3(~ NYBX
则概率 ?? }1),{ ma x ( YXP
分析, 则设,"1","1" ???? YBXA
).()()()(
)()()(
)()](1[1
)(1}1,1{1
}1),{ m a x (1}1),{ m a x (
BPAPBPAP
ABPBPAP
BAPBAP
BAPYXP
YXPYXP
???
???
??????
??????
????
第一章 随机事件和概率
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,
2
1
)1()(,
64
37
64
27
1)
4
1
1(1
)0(1)1(1)1()(
3 ?????????
????????
YPBP
XPXPXPAP而
.
12 8
10 1
2
1
64
37
2
1
64
37
1
)()()()(}1),{ m ax(
?????
???? BPAPBPAPYXP故
注,
}.{}),{ m i n (4
};{}),{ m a x (3
}.,{}),{ m i n (2
};,{}),{ m a x (1
000
000
000
000
zYzXPzYXP
zYzXPzYXP
zYzXPzYXP
zYzXPzYXP
?????
?????
?????
?????
或
或
第一章 随机事件和概率
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有 100个零件,其中 90个一等品,10个二等
品,随机取 2个安装在一台设备上,若 2个零件中有 i
(i=0,1,2)个二等品,则该设备的使用寿命服从参数
为 ?=i+1的指数分布,试求,
(1) 设备使用寿命超过 1的概率 ;
(2) 若已知该设备的使用寿命超过 1,则安装
在该设备上的 2个零件均为一等品的概率是多少?
例 5
解,设 Bi=“任取两个零件中有 i个二等
品”,
i=0,1,2
A=“设备的使用寿命超过 1”,X=“设备的使用寿命”,
则 X的密度函数为,
.2,1,0,1
.0,0
,0,)( ???
?
?
?
?
?? ? ii
x
xexf x ?? ?
第一章 随机事件和概率
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.)(,)(,)( 2
1 0 0
2
10
22
1 0 0
1
10
1
90
12
1 0 0
2
90
0 C
CBP
C
CCBP
C
CBP ????而
.3)|1()|(;2)|1()|(;)|1()|(
3
1
3
22
2
1
2
11
1
1
00
?
??
?
?
??
?
?
??
?
????
????
????
?
?
?
edxeBXPBAP
edxeBXPBAP
edxeBXPBAP
x
x
x
又
(1) 由全概率公式知,
.32.0)|()()(
2
0
?? ?
?i
ii BAPBPAP
(2) 由贝叶斯公式知,
.93.0)( )|()()( )()|( 0000 ??? AP BAPBPAP ABPABP
第一章 随机事件和概率
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从 [0,1]中随机地取两个数,其积不小于
3/16,求其和不大于 1的概率,
例 6
解法一,设所取的两个数为 x,y,则样本空间为,
)1(10 10 ?????????
??
?
??
??
y
x
有利场合为,
)2(
1
16
3
10
10
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
yx
xy
y
x
第一章 随机事件和概率
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如图, (1) 对应区域为正方形 G,面积为 )( GL =1 ;
( 2 ) 对应区域为阴影部分
A
G,由
?
?
?
?
?
??
?
1
16
3
yx
xy
,可得
两交点 M (
4
1
,
4
3
) 和 N (
4
3
,
4
1
),阴影部分
A
G 的面积为,
)(
A
GL =
?
??
4
3
4
1
]
16
3
)1[( dx
x
x =( x
x
x ln
16
3
2
2
?? )
4
1
4
3
=
3ln
16
3
4
1
?,
∴ 所求的概率为,
)( AP
=
)(
)(
GL
GL
A
= 3ln
16
3
4
1
? ≈ 0, 0 4 4,
第一章 随机事件和概率
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解法二 设从 [ 0,1 ] 中随机地取出的两个数为 ? 和
?,则由 ?, ? 取值的等可能性知,( ?,? ) 服从区域
{( x,
y
) | 0 ≤ x ≤1,0 ≤
y
≤1 } 上的均匀分布,即
( ?,? ) ～ U { [ 0,1 ] ×[ 0,1 ] }, 所以二维随机变量
(
?
,? ) 的密度函数为,
),( yxp
=
?
?
? ??
.,0;1,0,1
其它
yx
,
故所求的概率为, )1,
16
3
( ??? ????P =
第一章 随机事件和概率
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??
??? 1
16
3
),(
yxxy
dxdyyxp
且
=
??
A
G
d x d y1 = )(
A
GL = 3ln
16
3
4
1
?
≈0, 0 4 4,
其中
A
G = { ( x,y )|
16
3
?xy,1?? yx },)(
A
GL 表
示
A
G 的面积,
第一章 随机事件和概率
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一、主要内容及要求
1)掌握随机变量分布函数的定义,
}{)( xXPxF ??
2)会求离散型随机变量的分布函数 ;会求离散
型随机变量的分布率,
-1 0 1 2 3 x
1
2
1
4
1
4
1
X
pk
2
1
-1 2 3
4
1
4
1
第二章 随机变量及其分布
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3)掌握连续型随机变量概率密度的性质,会确
定密度函数中的未知参数 ;掌握分布函数与概率密
度的关系,会运用概率密度求连续型随机变量取值
落在实轴某一区间上的概率,
? ??? x dttfxF ;)()()1(;1)()2( ?? ?
??
dxxf
)()(}{)3( 1221 xFxFxXxP ???? ;)(2
1?
? x
x
dxxf
).()()4( xfxF ??
第二章 随机变量及其分布
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4)掌握二项分布的概率背景,即会把实际问题
中服从二项分布的随机变量构设出来,运用有关公
式求概率,
若 X 表示 n重贝努里试验中成功出现的次数,
则 X ~ B ( n,p ).
? ? ? ? ? ?nkppCkXP knkkn,，,?101 ???? ?
? ? ? ??，，,210
!
??? ? ke
k
kXP
k
??
5)掌握泊松分布,
第二章 随机变量及其分布
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6)掌握均匀分布, X ~ U [a,b]
7)掌握指数分布,
? ?
??
?
?
? ??
??
其它0
1
bxa
abxf
? ?
?
?
?
?
?
?
?
00
0
x
xe
xf
x??
第二章 随机变量及其分布
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8)掌握正态分布及其性质,理解一般正态分布
函数与标准正态分布函数的关系,会查表求概率,
正态变量的线性变换仍然是正态变量,
? ?
? ?
? ????????
?
?
xexf
x
2
2
2
2
1 ?
?
??
? ?,~ 2??,NX
? ?,10~,NX
? ? ? ???????? ? xex
x
2
2
2
1
?
?
第二章 随机变量及其分布
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??? }{)( xXPxF X )(
?
??? x
).()-b(b}X{a
?
??
?
?? ????? aP
? ?,1)(2)|(|,1)(
,
2
1
)0(,
2
1
)0(),1,0(~
?????????
???
aaXPaa
NX
?
?则若
),,(~ 2??NX若
? ?.)(,~ 2?? abaNbaXY ???有
第二章 随机变量及其分布
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9)掌握二维离散型随机变量分布率的定义 ;会
求二维离散型随机变量的分布率 ;
10)掌握二维连续型随机变量概率密度的性质,
会运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在
平面某一区域上的概率,
????
G
d x d yyxfGYXP,),(}),{(
第二章 随机变量及其分布
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11)掌握二维均匀分布的定义及性质,
? ? ? ?
? ???
?
?
?
?
??
Dyx
Dyx
Ayxf
，
，，
0
1
.),(}),{(
A
Bd x d yyxfGYXP
G
??? ??
D
x
y
A
G
B
12)会求边缘分布率和边缘概率密度,
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X, ? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y,
第二章 随机变量及其分布
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Y
X 1
y
2
y
… j
y
… ?ip
1
x
11
p
12
p
… j
p
1 … ?1
p
2
x
21
p
22
p
… j
p
2
… ?2p
? ? ? ? ?
i
x
1i
p
2i
p
…
ij
p
…
?i
p
? ? ? ? ?
j
p
?
1?
p
2?
p
…
j
p
?
…
13)掌握随机变量独立性的充分必要条件,
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，jiij ppp ???
第二章 随机变量及其分布
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15)会求二维离散型随机变量和连续型随机变量
的极值分布。
14)掌握正态分布的性质,
? ?2~ iii NX ??,
相互独立，，，，如果随机变量 nXXX ?21
，令,?
?
?
n
i
ii XaZ
1
???
?
???
? ??
??
n
i
ii
n
i
ii aaNZ
1
22
1
~ ??,则
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
二、重要公式与结论
1,则设 ),,(~ 2??NX
? ?
? ?
? ????????
??
xexf
x
2
2
2
2
1 ?
?
??
).()
-b
(
)
-b-x-a
P(b}X{a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
a
P
特别地,.21)()( ???? ?? XPXP
第二章 随机变量及其分布
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2,),,(~,,,,221 iiin NXXXX ??且相互独立设 ?
).,(~
1
22
11
???
???
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii kkNXk ??则
注,若 X1,X2不相互独立,则 k1X1+k2X2不一定服
从正态分布,
3,?
?
?
?
? ??
???
.,0
,,
))((
1
),(~),(
其它
bxa
cdabyxfYX
?X与 Y相互独立,且分别服从 [a,b]与 [c,d]上的均匀
分布,
第二章 随机变量及其分布
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4,则若 ),,,,,(~),( 222121 ?????NYX
.
4
);2,(
~)(3;02;),,(~),,(~1
21
2
2
22
1
2
21
2
22
2
11
是正态分布
的条件分布也关于或关于
相互独立与
且
xXYyYX
abbabaN
byax
YX
NYNX
XY
XY
???
???
??
????
??
???????
??
??????
第二章 随机变量及其分布
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三、典型例题分析与解答
例 1 设 X为随机变量,若矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
010
20
232
XA
的特征值全为实数的概率为 0.5,则
(1) X服从 [0,3]上的均匀分布 ;
);21,2(~)2( BX
(3) X服从参数为 1的指数分布 ;
(4) X~N(1,2).
第二章 随机变量及其分布
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分析,
),2)(2(
10
20
232
2
X
XAE
????
?
?
???
??
???
?
?
?
?
由题设,),1()044(21 ????? XPXP 故应选 (4).
例 2 设 X,Y相互独立,且均服从正态分布
),0(),( 2 ????N 则若概率,21)( ??? ?bYaXP
.
2
1
)4(;
2
1
,
2
1
)3(;
2
1
,
2
1
)2(;
2
1
)1(
??????
?????
baba
baba
第二章 随机变量及其分布
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分析, ),)(,)((~)( 222 ?? babaNbYaX ???
由题设,,)(21)( ??? ?????? babYaXP
即 a-b=1,故应选 (2).
例 3 设 ),,(~ 2??NX 分布函数为 F(x),则对
任意实数 x,有,
.1)()()4(;1)()()3(
);()()2();()()1(
????????
??????
xFxFxFxF
xFxFxFxF
????
????
分析,
O ?x?? x?? X
)(Xf )()( xXPxXP ????? ??
).4(
)(1)(
选?
????? xFxF ??
第二章 随机变量及其分布
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注, 若 (X,Y)服从密度为 f(x,y)的分布,则
.),(}),({
),(
??
?
??
zyx
d x d yyxfzYXP
?
?
例 4 设 X,Y为相互独立同分布的连续型随机
变量,证明,,21}{ ?? YXP
证,设 X的分布函数为 F(x),概率密度为 f(x).
由题设,可设 Y的分布函数为 F(y),概率密度为 f(y),则
(X,Y)的联合概率密度为, f(x,y)=f(x)f(y),故
第二章 随机变量及其分布
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y
xo
xy ?
? ??? ???? ??
?
???
x
yx
dyyfxfdxd x d yyxfYXP )()(),()(
.
2
1
)
2
1
(0)](1[
2
1
)()(1[
)](1)[(
])([)(
2
????
??
??
???
??
??
??
??
?
?
?
??
??
??
??
??
??
xF
xdFxF
dxxFxf
dx
x
yFxf
第二章 随机变量及其分布
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例 5 设 X,Y相互独立,其中
3
2
3
1
21
p
X
而 Y服从参数为 1的指数分布,则 P{X-Y>0}=
分析,?),(}0{
0
???? ??
?? yx
dxdyyxfYXP
解, }0{ ?? YXP
).2(
3
1
1
3
2
3
1
)2()2()1()1(
}2,2{}1,1{
}2,0{}1,0{
21
2
0
1
0
????
?????
????????
??????
????????
?? eedyedye
YPXPYPXP
YXPYXP
XYXPXYXP
yy
第二章 随机变量及其分布
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注,
}.),({}{)(
,),(),(),,(
zYXgPzZPzF
yxfYXYXgZ
????
?
分布函数
的分布服从密度为
先求出 Z=g(X,Y)的值域 [c,d],则
.),()(,)3(;1)(,)2(;0)(,)1(
),(
??
?
???
??
??
zyxg
dx dyyxfzFdzc
zFdz
zFcz
有时当
有时当
有时当
.)()( dz zdFzf ?? 密度函数
第二章 随机变量及其分布
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例 6设 (X,Y)在区域 }20,20|),{( ????? yxyxD
上服从均匀分布,求 Z=(X+Y)2的概率密度,
分析, Z=(X+Y)2的值域为,[0,16].
(将 (0,0),(0,2),(2,0),(2,2)代入确定 ).
解, (X,Y)的联合概率密度为,
??
?
?
? ?
?
.,0
,),(,
4
1
),(
其它
Dyxyxf x
y
o 2
2
zyx ??
zyx ??D
:),)(()()( 2 有记 zYXPzZPzF ?????;1)(,16)2(;0)(,0)1(
??
??
zFz
zFz
则若
则若
第二章 随机变量及其分布
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??
??
???
zyx
dxdyyxfzFz
2)(
),()(,40)3( 则若;8)(21414141 2
00
zzd xd yd xd y
zyxzyx
????? ????
??????
??
???
???
zyx
d xd yzFz
0 4
1)(,164)4( 则若
].)4(811])4(212[41 222 zz ???????
第二章 随机变量及其分布
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故分布函数为,
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
.16,1
,164,)4(
8
1
1
,40,
8
,0,0
)(
2
z
zz
z
z
z
zF
从而概率密度函数为,
?
?
?
?
??
?
?
?
???
??
??
.,0
,164,
8
1
2
1
,40,
8
1
)(
)(
其它
z
z
z
dz
zdF
zf
第二章 随机变量及其分布
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例 7设 X在满足 P(X=0)=1,Y为任一随机变量,则
X与 Y相互独立,
分析,X与 Y相互独立 )()(),( yFxFyxF YX ???
).()(),(
)()(),(
yfxfyxf
yYPxXPyYxXP
YX
jiji
???
???????
连续型
离散型
则记,"","" yYBxXA yx ????
).()(),(
)()(),(
)()(),(
yxyx
YX
BPAPBAP
yYPxXPyYxXP
yFxFyxF
???
???????
??
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
证, 则记,"","" yYBxXA yx ????
??
?
?
?????
.0,1
,0,0)()()(
x
xAPxXPxF
xX
);()(0),(
0)(),(),(),(0
,1)(,0)()(,01
yFxFyxF
APBAPyYxXPyxF
APAPxFx
YX
xyx
xxX
????
???????
????? 则若
).()()(
)()()(),(),(
,0)(1)()(,02
yFxFyF
BPABPBPBAPyxF
APAPxFx
YXY
yxyyyx
xxX
???
?????
?????? 则若
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
总之,对于任意 x,y恒有, ),()(),( yFxFyxF YX ??
即 X与 Y相互独立,
注,讨论随机变量 X与 Y的相互独立性通常转化
分布函数来讨论, ).()(),( yFxFyxF YX ??
例 8 设二维随机变量 (X,Y)~N(0,0,1,1,0),则
?? )0( YXP
解, 由二维正态分布的性质可知,
X~N(0,1),Y~N(0,1),且 X与 Y相互独立,
故,
.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)0()0()0()0(
)0,0()0,0()0(
???????????
???????
YPXPYPXP
YXPYXP
Y
X
P
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
一、主要内容及要求
1)熟练掌握期望定义和性质,
?
?
?
?
1i
kk pxEX
? ???? dxxxfEX )(
? ?
? ?
?
n
i
n
i
iiii EXaXaE
1 1
)(
.,E X E YE X YYX ??不相关
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
2)会求随机变量函数的数学期望,
设 Y =g( X ),g( x ) 是连续函数,
?
?
??
? dxxfxgEY )()(
?
?
?
?
1
)(
k
kk xgpEY则
),( YXgZ ?若
?
?
?
?
1,
),(
ji
ijji pyxgEZ则
??
?
??
?
??
? d x d yyxfyxgEZ ),(),(
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
3)熟练掌握方差的定义和性质,
2)( EXXEDX ??
? ? 22 EXEX ??
DXccXD 2)( ?
),(2
))((2)(
22
22
YXa b C O VDYbDXa
EYYEXXa b EDYbDXabYaXD
???
??????
不相关，若 YX,
.)( 22 DYbDXabYaXD ???则
4)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均
匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
5)掌握协方差和相关系数的定义,不相关的定
义及独立与不相关的关系,
COV( X,Y ) = E( X – EX )( Y-EY ) = E XY –EX EY
DYDX
YXC O V
XY
),(??
称 X,Y 不相关 。，若 0??
XY
若 X,Y 独立，则 X,Y 不相关。
(反之，不然）
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
二、重要公式与结论
1,22 )()( EXEXXD ??
或,)()( 22 EXXDEX ??
2,)()()(),c o v ( EYEXXYEYX ???
或 ).()(),c o v ()( EYEXYXXYE ???
3.,),( YXgZ ?随机变量的函数
则的概率密度为若 ),,(),(1 yxfYX?
.),(),(),( ? ????? ???? ?? d x d yyxfyxgYXEg
特别地,若 (X,Y)的概率密度 f(x,y)仅在 D上非零,
则,,),(),(),( ?? ??
D
dxdyyxfyxgYXEg
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
则的概率密度为若 ),(),(2 zfYXgZ ??
.)(),()( ? ?????? dzzzfYXEgZE
则概率密度为
的若
),(
),() ],,([),(3 11
uf
YXgUYXghYXgZ ?????
.)()()()( ? ???? ??? duufuhUEhZE
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
三、典型例题分析与解答
例 1 设某一机器加工一种产品的次品率为 0.1,
检验员每天检验 4次,每次随机抽取 5件产品进行检
验,若发现次品 1多于件,就要调整机器,求一天中调
整机器次数 Y的概率分布及 Y2的数学期望 EY2.
分析, 令 A=“机器需要调整”,若 p=P(A),则
).,4(~ pBY
设 X=“取出的 5件产品中的次品数”,则
).1.0,5(~ BX
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
于是,)1(1)1()( ?????? XPXPAPp
.0 8 2.0)1()0(1 ?????? XPXP
即 Y~B(4,0.082),其分布率为,
.4,3,2,1,0,)082.01(082.0)( 44 ?????? ? kCkYP kkk
??
?
??????
????
).082.01(082.04)1(;082.04
pnpDY
npEY
.4 0 8 7.0)( 22 ???? EYDYEY
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 2 设 A,B相互独立,且 P(A)=P(B)=0.5.定义,
..,1,,1;.,1,,1
??
? ??
??
? ??
不发生
发生
不发生
发生
B
BY
A
AX
试求,
).()3(
);()2(;),()1(
的相关系数与
的联合分布率
YX
YXD
YX
XY?
?
解,由题设易知,
.21)()()()( ???? BPAPBPAP
又 A,B相互独立,都与与与所以 BABABA,,
相互独立,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
从而易求得,
.1,1,
.
4
1
2
1
2
1
)()(),(
??
?????????
ji
jYPiXPjYiXP
故 (X,Y)的联合分布率为,,
4
1
4
1
1
4
1
4
1
1
11\
?
?
Y
X
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
(2) 由 (1)易求得 X+Y的概率分布为,
.
4
1
2
1
4
1
202
,
4
1
2)1,1(
4
1
0)1,1(
4
1
0)1,1(
4
1
2)1,1(
),(
p
YX
pYXYX
??
?
?
???
?
即
.0412210412)( ?????????? YXE
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
.241221041)2()( 2222 ????????? YXE
.202)]([)()( 22 ???????? YXEYXEYXD故
(3) 由题设易知 X,Y的概率分布分别为,
2
1
2
1
11
2
1
2
1
11
p
Y
p
X ??
与
.0??? EYEX
又由 (1)易求得 XY的概率分布为,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
.
2
1
2
1
11
,
4
1
1)1,1(
4
1
1)1,1(
4
1
1)1,1(
4
1
1)1,1(
),(
p
XY
pXYYX
?
??
??
??
即
,0)(),c o v (0)( ??????? EYEXXYEYXXYE
.0)()( ),co v ( ??? YDXD YXXY?故
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 3 设 (X,Y)在以点 (0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三
角形区域 G上服从均匀分布,U=X+Y,求 D(U).
分析, 这是一个求二维随机变量 (或叫两个随
机变量 )的函数 U=X+Y的方差问题,因为已知联合
密度,故最简单的做法是直接用函数期望公式计算,
为了比较还另给出了两种解法,
解法一,三角形区域,
G
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.1,10,10|),{( ??????? yxyxyxG
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
? ??
.,0
,),(,2),(
其它
Gyxyxf
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
22 )]([])[()( YXEYXEYXD ?????
.
18
1
)
3
4
(
6
11
]))(2([))(2(
])(2[)(2
2
2
1
0
1
1
1
0
1
1
2
22
???
????
????
? ?? ?
????
??
dxdyyxdxdyyx
d x d yyxd x d yyx
xx
GG
解法二,三角形区域,
G
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.1,10,10|),{( ??????? yxyxyxG
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
?
?
??
.),(,0
,),(,2),(
Gyx
Gyxyxf
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
以 f1(x)表示 X的概率密度,则
??
?
?
?
????
??
?
?
?
?
?
??
??
.10,22
,10,0
),()(
1
1
1
xxdy
xx
dyyxfxf
x
或
.
18
1
)(
2
1
2
3
2
2
22
1
0
32
1
0
2
????
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
EXEXDX
dxxEX
dxxEX
同理可得,,181;32 ?? DYEY
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
现在求 X和 Y的协方差,;12 522)( 1
1
1
0
??? ????
? x
G
y dyxdxxy dxd yXYE
.3619412 5)(),co v ( ??????? EYEXXYEYX
于是,
.
18
1
36
2
18
1
18
1
),c ov(2)(
????
????? YXDYDXYXDDU
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
解法三,三角形区域,
G
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.1,10,10|),{( ??????? yxyxyxG
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
? ??
.,0
,),(,2),(
其它
Gyxyxf
以 f(u)表示 U=X+Y的概率密度,则,
当 u<1或 u>2时,显然有 f(u)=0;
当 1≤u≤2时,有,
??
? ???????
.,0
,1010,2),(
其它
且 xuxxuxf
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
由随机变量之和的概率密度公式有,
).2(22),()( 1 1 udxdxxuxfuf u ????? ?? ?????
故随机变量 U的概率密度为,
??
?
??
????
.21,0
,21),2(2)(
uu
uuuf
或;
6
11
)2(2)()(;
3
4
)2(2)()(
2
1
2222
2
1
??????
???????
??
??
??
??
??
??
duuuduufuEUYXE
duuuduuufEUYXE
.181916611)( 22 ?????? EUEUDU
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 4 设 (X,Y)在 }10,10|),{( ????? yxyxD
上服从均匀分布,Z=(Y-X)2,求 E(Z)和 D(Z).
解法一,正方形区域,
D
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.10,10|),{( ????? yxyxD
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
?
?
??
.),(,0
,),(,1),(
Dyx
Dyxyxf;
6
1
)(
),()()(
1
0
1
0
2
22
???
????
? ?
??
dyxydx
dxdyyxfxyXYEEZ
D
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页;
15
2
)(
)()(
1
0
1
0
4
442
???
????
? ?
??
dyxydx
dx dyxyXYEEZ
D
.451361152)( 22 ?????? EZEZDZ
解法二,正方形区域,
D
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.10,10|),{( ????? yxyxD
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
?
?
??
.),(,0
,),(,1),(
Dyx
Dyxyxf
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
因此 X,Y相互独立且都服从 [0,1]上均匀分布,
.
6
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
)2()(
22
222
??????????
??????
EXEYEXEY
XXYYEXYEEZ;
15
2
)(
)()(
1
0
1
0
4
442
???
????
? ?
??
dyxydx
dx dyxyXYEEZ
D
.451361152)( 22 ?????? EZEZDZ
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
解法三,正方形区域,
D
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.10,10|),{( ????? yxyxD
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
?
?
??
.),(,0
,),(,1),(
Dyx
Dyxyxf
因此 X,Y相互独立且都服从 [0,1]上均匀分布,
:)( 2 的概率密度为XYZ ???
??)( zf
.61)( ???? ? ???? ?dzzzfEZ
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 5 设 ).81,4,1,2,1(~),( ?NYX 和求 |2| YXE ?
.|2| YXD ?
分析,
).(~|2|2
),(|2||2|1
zfYXZ
d x d yyxfyxYXE
???
????? ? ?
??
??
??
??
解,,|||2|,2 11 ZYXZYXZ ????? 则令
由题设,.81),4,2(~),1,1(~ ??XYNYNX ?
,0222)2( ??????? EYEXYXE
.9444
),c ov (44)2(
????
????
DYDX
YXDYDXYXD
XY?
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
).1,0(~32)9,0(~)2( NYXUNYX ?????
于是,
.
2
6
0
)(
2
6
2
6
2
1
||3||3|3||2|
2
0
2
2
22
2
???
?
?
??
???
????
??? ?
??
??
?
?
?
uu
u
eduue
dueuUEUEYXE
.
18
9
18
))2(()2(
|)2|(|2||2|
2
22
?
?
??
?????
?????
YXEYXD
YXEYXEYXD 第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
某流水作业线上生产的每个产品为不合
格的概率是 p,当生产出 k个不合格品时,即停工检
修一次,试求在两次检修之间所生产的产品总数的
数学期望和方差,
例 6
解, 设 X表示两次检修之间所生产的产品数,
Xi表示生产出第 i-1个不合格品后至出现第 i个不合
格品时所生产的产品数,则有,
:,,,,21
1
独立同几何分布且 k
k
i
i XXXXX ??
?
?
.,2,1,)1()( 1 ????? ? jppjXP ji
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
.,,2,1,1,1 2 kip pDXpEX ii ?? ????
.
)1(
,
2
11
11
p
pk
DXXDDX
p
k
EXXEEX
k
i
i
k
i
i
k
i
i
k
i
i
?
???
????
??
??
??
??
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 7 掷一个均匀的骰子直至 6 个点数都出现为止,
记这时总的投掷次数为 ?, 求 ?E,
解, 令 (
1
? =1 ) 表示出现第一个点数需要的抛掷次
数,(
i
? = i ) 表示出现第 i 个点数需要的抛掷次数 (i =2,3 …
6 ),则 ?
?
?
6
1i
i
??,
而
1
?E =1,对
i
≥ 2,
i
? 实际上是等待新的点数出现
的等待时间,服从几何分布,每次投掷时新点数出现的
概率是 1 -
6
1?i
,它的均值为概率的倒数,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
即,
16
6
??
?
i
E
i
? (i = 2,3,…,6 ),
所以 ?E = ?
? ??
6
1 16
6
i i
=1 4, 7,即为所求,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
一、主要内容及要求
1)掌握大数定律的定义,
,111lim
11
?
??
?
??
? ?? ??
????
?
n
k
k
n
k
kn EXnXnP
,011lim
11
?
??
?
??
? ?? ??
????
?
n
k
k
n
k
kn EXnXnP或
.1)(lim ???
??
?? pnP n
n
.1)1(lim
1
????
???
??
n
i
in XnP
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
2)掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛 -
拉普拉斯定理 ;并会用这两个定理求概率；
}{lim 1 x
n
nX
P
n
k
k
n
?
??
?
?? ?
?
).(
2
1 2
2
xdte
x t
??? ?
??
?
?
),10(),2,1)(,(~ ??? pnpnBn ??设随机变量
})1({l i m xpnp npP n
n
???
??
?
).( x???
??
?
?
x t
dte 2
2
2
1
?
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
二、重要公式与结论
1.切比雪夫不等式的一般形式,
设 X的 r阶绝对矩存在,r>0,则对,0??? 有,
).0()|(|)|(| ??? rXEXP r
r
??
特别有,
.
)()|)((|
)|)((|2
.
|))((|
)|)((|1
22
2
??
?
?
?
XDXEXE
XEXP
XEXE
XEXP
?
?
????
?
????
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
2.近似计算公式,
(1)当 n很大,p很小,np不太大时,二项概率有下
列近似公式 (即 Poisson定理 ):
.,!)1()( npekppCkP
k
knkk
nn ????
?? ?? ? 其中
(2)当 X1,X2,… Xn满足中心极限定理的条件,
),,2,1()(,)( 2 niXDXE ii ???? ??
n很大时,有下列近似公式,
).()()( 1 bab
n
nX
aP
n
i
i
?????
?
?
?
?
?
?
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
某车间有 200台车床,它们独立地工作着,
开工率为 0.6,开工时耗电各为 1千瓦,问供电所至少
要供给这个车间多少电力才能以 99.9%的概率保
证这个车间不会因供电不足而影响生产,
解,,X数为记某时在工作着的车床
设至少要供给这个车间 r千瓦电才能以 99.9%
的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产,
由题意有,
)
4.06.0200
6.0200
()
4.06.0200
6.0200
(
)4.0()6.0(}{
0
200
200
??
??
??
??
??
??
?? ?
?
?
r
CrXP
r
k
kkk
三、典型例题分析与解答
例 1
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
1 4 1,r 1.3
48
1 2 0-r
:
,9 9 9.0)
48
1 2 0
()32.17()
48
1 2 0
(
??
?
?
?????
?
??
所以查表得
rr
即供给 141千瓦电就能以 99.9%的概率保证这
个车间不会因供电不足而影响生产,
例 2设随机变量 X的,,2?? ?? DXEX 则由切
比雪夫不等式,有,_____}3|{| ??? ??XP
解, 有则由令,}|{|,3 2????? DXXP ????
.91)3(}3|{| 2
2
???? ????XP
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
现有一批种子,其中良种占 1/6.今任取
6000粒,问能以 0.99的概率保证在这 6000粒种子中
良种所占的比例与 1/6的差不超过多少?相应的良
种粒数在哪个范围内?
例 3
解,
.99.0
6
1
-
6 0 0 0
P ?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
X
，则应有：设不超过的界限为
由德莫佛 -拉普拉斯定理,
??
?
??
? ? ?
6
1-
6 00 0P
X
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
??
?
??
?
?????
???
6/56/16 0 0 0
6 0 0 0
6/56/16 0 0 0
6/16 0 0 0P ?X
故近似地有,
,99.016/56/16000 60002 ???????? ??? ?
16/56/16000 60002 ??????? ???? ?
.6/1,60 00 ?? pn
)(}{lim xxn p qnpP n
n
????
??
?
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
,9 9 5.06/56/16 0 0 06 0 0 0 ??????? ??? ?即
,58.26/56/16 0 0 06 0 0 0 ??? ?查表得
.0 1 2 4.0??解得
良种粒数 X的范围为,
,6 0 0 0)0 1 2 4.06/1(6 0 0 0)0 1 2 4.06/1( ?????? X
??61-6 0 0 0X
.107 5925 ?? X即
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
例 4 nXXX,,,21 ?设 独立同分布,则且,0?iEX
._____)(lim
1
???
???
nXP
n
i
in
解,由辛钦大数定律 (取 ?=1)有,
,1)11(li m)101(li m
11
????? ??
??????
n
i
in
n
i
in XnPXnP
又显然有, 故),()11(
11
nXXn
n
i
i
n
i
i ??? ??
??
.1)11(li m)(li m
11
???? ??
??????
n
i
in
n
i
in XnPnXP
.1,1)(lim
1
即应填从而有 ???
???
nXP
n
i
in
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
一、主要内容及要求
1)掌握统计量的概念,会判断哪些样本的函数
是统计量；
2)掌握正态总体的样本均值和样本方差的定
义及其分布；
3)要会熟练运用矩法和极大似然法求估计量,
矩法求估计量的步骤,;)1( 1 EX??求;)2( 11 ??A令
).,,(??
)3(
1 nXX ??? ?
解上面方程，得
第五章 数理统计初步
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极大似然法求估计量的步骤,(一般情况下 )
:)()1( ?L构造似然函数
);(ln)2( ?L取对数：;0ln)3( ??d Ld令
.?)4( ?? 的极大似然估计量解似然方程得
?
?
?
n
i
ixfL
1;()()( 连续型）?
4)要掌握估计量的评选标准,
(1)无偏性,,)?( ?? ?E
(2)有效性,,?),?()?( 21 好??? DD ?
(3)一致性,,1)|?(|l i m,0 ????? ?? ???? Pn
第五章 数理统计初步
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5)要会正态总体未知参数的区间估计,
设 ?为总体 X的分布中的未知参数,X1,X2,…,Xn
为取自 X的样本,若存在两个统计量,
),,,(?),,,,(? 213211 nn XXXXXX ?? ??
使得对给定的 ?(0<?<1),有,
.1)??( 21 ???? ????P
则称 ]?,?[ 21 ?? 为 ?的置信度为 1-?的置信区间,21 ?,? ??
分别称为 置信下限 和 置信上限,
第五章 数理统计初步
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6)要会根据样本进行正态总体的假设检验,
假设检验的步骤,
(1) 由实际问题提出原假设 H0(与备择假设 H1);
(2) 选取适当的统计量,并在 H0为真的条件下确
定该统计量的分布 ;
(3) 根据问题要求确定显著性水平 ?(一般题目
中会给定 ),从而得到拒绝域 ;
(4) 由样本观测值计算统计量的观测值,看是否
属于拒绝域,从而对 H0作出判断,
第五章 数理统计初步
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7)要熟悉假设检验与区间估计的联系,
:,
.:,:
,.
,,,),,(~
0
0
0100
21
22
的接受域为可得易知选取统计量
检验假设对于显著性水平观测值
为样本，已知设总体
?
?
?
????
?
???
n
X
U
HH
xxxNX
n
?
?
??
?
)().,(.
2121
0
21
0 ??????
??? n
uxnuxunx ???? ? ??? 即
.)(1
,,
式的区间估计正好是为
的置信度知时由单正态总体在方差已另外
?? ?
?
因此由假设检验 (?=?0)的接受域即可得到 ?的
区间估计,反之亦然,但二者对统计结果解释不同,
第五章 数理统计初步
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二、重要公式与结论
1.,)(),,( 1 分布独立同表示取自样本 XXXXX in?
2.
.)(
1
,
1
,;,
1
2*
222
2
2
2
?
?
?
??
?
???
????
n
i
i
XX
n
S
n
n
ESDXES
nn
DX
XDEXXE
其中
??
?
?
3.
).2(
2
,0),(~2
.2)(,)(1 22
?
?
???
???
n
n
n
DTETntT
nDnE
则
??
第五章 数理统计初步
返回下页上页
4.
).1,0(~,3
.
),(
1
),(2
).()(1
1
1
1
NUuu
mnF
nmF
ntnt
pp
p
p
pp
?
?
?
???
??
???
5.
.
?),(0?,?3
.
2
.
1
2
计
的一致估为则
的一致估计
阶原点矩阶原点矩是对应总体样本任意
估计
的期望和方差的无偏分别是总体和
????? ?????
?
?
nDE
kk
XSX
第五章 数理统计初步
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6.
.)(
)?(,)(,?2
.
)()?(,)(,?1
的极大似然估计
为则单调的极大似然估计为
矩估计
的为则连续的矩估计为
?
???
????
g
gxg
ggxg
?
?
7.
.
1)()]?(),?([,
)(,1]?,?[
21
21
的置信区间
的置信度为为则单调
的置信区间的置信度是为
????
????
?
?
ggg
xg
第五章 数理统计初步
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这是一个典型的统计估值问题,钓出 s条,其
中标有记号的鱼数应是个随机变量,记为 X.显然 X
只可能取 0,1,…,r这 r+1个值,现 X=t,且
设湖中有鱼 N条,现钓出 r条,做
上记号后放回湖中,一段时间后,再钓出 s条 (设 s≥r),
结果其中有 t条 (0≤t≤r)标有记号,根据此种信息,估
计湖中鱼数 N的值,
三、典型例题分析与解答
例 1 (钓鱼问题 )
解,
.).,(}{ 为未知参数其中 NNtLCCCtXP s
N
ts
rN
t
r ???
?
?
第五章 数理统计初步
返回下页上页
:,
).,(m a x)?,(,?,}{
,
我们考虑比值为具体决定
使得即取最大
应该使得则我们认为条条即已出现今钓出
N
NtLNtLNtXP
Nts
N
??
,
)(
))((
)1,(
),(
),(
2
2
1
1
1
1
NtNsNrN
rsNsNrN
tsrNN
sNrN
CC
CC
C
CC
C
CC
NtL
NtL
NtR
s
N
ts
rN
s
N
ts
rN
s
N
ts
rN
t
r
s
N
ts
rN
t
r
???
???
?
???
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
从上式可见,当 rs<Nt时,R(t,N)<1,当 rs>Nt时,R(t,N)>1.
第五章 数理统计初步
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.
)]([?,
.),(,;),(,
的估计为
作的整数部份故取是正整数由于
的下降函数是时当
的上升函数是时故当
N
t
rs
t
rs
NN
NNtL
t
rs
N
NNtL
t
rs
N
?
?
?
从直观上看,湖中有标记的鱼的比例和钓出的 s
条鱼中有标记的鱼所占的比例似应相一致,即 r:N=
t:s,因而有,
上面的估计正好与此直观结果相符,这也说明
了极大似然估计的合理性,
.? trsN ?
第五章 数理统计初步
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.)(
1
1
,,)(
1
,
1
])(
1
[
1
22
2
1
2
22
1
2
计量才是总体方差的无偏估
经修正的无偏估计不是总体方差
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
n
i
i
n
i
i
n
i
i
X
n
S
X
n
n
n
X
n
E
?
??
???
.
,)(
1
),(
,,,
22
2
1
2
1
偏估计
的无应如何修正才是的无偏估计它是否为
的方差去估计总体用已知
记的一个样本是总体设
??
??? XX
n
XXXX
n
i
i
n
?
?
?
??
例 2
解,
第五章 数理统计初步
返回下页上页
.
,,,,
.,0
,,
1
);(
211
21
12
大似然估计量
的矩估计量和极求的一个样本为
其它
有概率密度设总体
??
??
???
XXX
x
xf
X
n
?
?
?
?
?
?
??
??
例 3
解,由 X的概率密度知总体服从均匀分布,故
?
?
?
?
?
??
??
,)(
12
1
),(
2
1
2
12
21
??
??
DX
EX
第五章 数理统计初步
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,
3?
3?
,)(
1?
,?
2
1
1
2
?
?
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?
?
?
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?
?
SX
SX
XX
n
XD
XXE
n
i
i ?
?
令
.)(1
1
22 ?
?
??
n
i
i XXnS其中
).,,2,1(
.,0
,,
)(
1
),;,,( 21
12211
ni
x
xxL nn ??
?
?
??
?
?
?
??
??
其它
似然函数为
??
????
第五章 数理统计初步
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所以极大似然估计量
的由于无法解出令
,
,,
0
ln
0
ln
21
122
121 ??
???
???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nL
nL
).,,ma x (),,,min( 1211 nn xxxxxx ?? ?? ??令
.,?,?
.,,
212211
2211
的极大似然估计量为故
似然函数取得最大值时因为当
????
??
??
??
??
??
xx
xx
第五章 数理统计初步
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例 4设 21 ?,? ?? 是参数 ?的二个相互独立的无偏估
计量,且 ).?(2)?( 21 ?? DD ?找出常数 k1,k2,使 2211 ?? ?? kk ?
也是 ?的无偏估计,并且使它在所有这样形状的估计
量中方差最小,
解,,)()??(?? 21221121 ?????? kkkkEEE ??????
.1,)??( 212211 ???? kkkkE 只须欲使 ???
故相互独立与又因为 ),?(2)?(,?? 2121 ???? DD ?
).?()2()?()?()??( 222212221212211 ????? DkkDkDkkkD ?????
.)1(22
,)??(
2
1
2
1
2
2
2
1
2211
为最小
只须为最小欲使
kkkkS
kkD
?????
? ??
第五章 数理统计初步
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?
?
?
?
?
?
?
?
??????
.
3
2
,
3
1
026)1(24
2
1
111
1
k
k
kkk
dk
dS
由
!
!
祝大家考研成功
谢谢大家
第五章 数理统计初步
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第六章 历年考研真题
第六章 历年考研真题
(1)设随机变量 X的方差为 2,则根据切比雪夫不
等式有估计 P{|X-E(X)|≥2} ≤,(2001-1-3)
.21)()|)((|)|)((|,22
2
?????? ??? XDXEXEXEXP由解
(2)将一枚硬币重复掷 n次,以 X和 Y分别表示正
面向上和反面向上的次数,则 X和 Y的相关系数等于
(2001-1-3)
(A) -1 (B) 0 (C)1/2 (D) 1
解,因为 X+Y=n,即 Y=-X+n,故 X与 Y之间有严格
的线性关系,且为负相关,所以选 (A).
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第六章 历年考研真题
(3)设某班车起点站上客人数 X服从参数为
?(?>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为
p(0<p<1),且中途下车与否相互独立,以 Y表示在中
途下车的人数,求,
①在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m人下
车的概率；
②二维随机变量 (X,Y)的概率分布,(2001-1-7)
.,2,1,0,0,
!
)1(
}{}|{},{)2(
.,2,1,0,0
,)1(}|{)1(:
?
?
??????
??????
???
????
?
?
?
nnm
n
e
ppC
nXPnXmYPmYnXP
nnm
ppCnXmYP
nmnmm
n
mnmm
n
?
?
解
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第六章 历年考研真题
(4)设总体 X服从正态 分布,从
该总体中抽取简单随机样本,
其样本均值为,求统计量
的数学期望 E(X).(2001-1-7)
)0)(,( 2 ????N
)2(,,,221 ?nXXX n?
?
?
?
n
i
iXnX
2
12
1
?
?
? ???
n
i
ini XXXY
1
)2(
,2
1
)(
1
,)2,2(
),(,),(),(:
1
2
1
2
22211
? ?
? ?
?
??
???
???
n
i
n
i
iini
nnnn
XX
n
XX
n
N
XXXXXX
其样本均值为
则的简单随机样本将其视为取自总体
考虑解一
??
?
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第六章 历年考研真题
.)1(2)(,2)
1
1
(
.
1
1
22 ?? ???
?
?
nYEY
n
E
Y
n
所以由于
样本方差为
.)1(2
})]()[({
))2(()(
.2
,
1
,
1
:
2
1
2
`1
2
11
???
???????
???
?????
?????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
n
XXXXE
XXXEYE
XXX
X
n
XX
n
X
n
i
ini
n
i
ini
n
i
in
n
i
i
因此
显然有记解二
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第六章 历年考研真题
(5)设随机变量 X服从正态分布,
且二次方程 无实根的概率为 1/2,则
?＝,(2002-1-3)
)0)(,( 2 ????N
042 ??? Xyy
解,由△ =16-4X<0,得,X>4,即 P(X>4)=1/2,而
P(X>?)=P(X<- ?)=1/2,所以 ?=4.
(6)设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随
机变量,它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x),分布函
数分别为 F1(x)和 F2(x),则 (2002-1-3)
(A) f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度
(B) f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度
(C) F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数
(D) F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数
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第六章 历年考研真题
解,由概率密度函数和分布函数的性质
1)(01)( ???? ??? xFdxxf 与
易知选 (D).(7)设随机变量 X的概率密度为
??
?
?
? ??
?
.,0
,0,
2
c os
2
1
)(
其它
?xxxf
对 X独立地重复观察 4次,用 Y表示观察值大于 的
次数，求 Y2的数学期望,(2002-1-7) 3
?
.521)(
,1)
2
1
1(
2
1
4,2
2
1
4,
).
2
1
,4(~,
2
1
2
cos
2
1
}
3
{:
222
3
??????
????????
???? ?
EYDYEY
DYEY
BYdx
x
XP
因此
解一
?
?
?
?
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第六章 历年考研真题
.5)1443624110(
16
1
16
1
16
4
16
6
16
4
16
1
43210Y
:,
).
2
1
,4(~,
2
1
2
cos
2
1
}
3
{:
222222
3
????????????
????
?
EY
P
Y
BYdx
x
XP
的概率分布为因此
解二
?
?
?
?
(8)设总体 X的概率分布为
????? 21)1(2
3210
22 ??P
X
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第六章 历年考研真题
其中 ?(0<?<1/2)是未知参数,利用总体 X如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3
求 ?的矩估计值和最大似然估计值,(2002-1-7)
.
4
1
?
,243,,2)32130313(
8
1
,43)21(32)1(210:
22
?
????????????
????????????
??
?
??????
的矩估计值为解得
即令
解
xEXx
EX
对于给定的样本值,似然函数为
,
)21)(1(
24286
21
8
1
26)(ln
),21l n (4)1l n (2ln64ln)(ln
,)21()1(4)(
2
426
???
??
????
?
????
????
??
??
?
?
?
?
??
??????
???
d
Ld
L
L
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第六章 历年考研真题
.
12
137?
2
1
12
137
.
12
137
,0
)(ln
－
＝的最大似然估计值为所以
不合题意，因解得令
??
?
?
?
?
??
??
d
Ld
(9)设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
??
? ????
.,0
,10,6),(
其它
yxxyxf
则 P{X+Y≤1}=,(2003-1-4)
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第六章 历年考研真题
返回下页上页
第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
!
!
祝大家考研成功
谢谢大家
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第四章 大数定律和中心极限定理
第三章 随机变量的数字特征
第五章 数理统计初步
第二章 随机变量及其分布
第一章 随机事件和概率
概率统计
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概率统计
第一章 随机事件和概率
二,重要公式与结论
三,典型例题分析与解答
一,主要内容及要求
一,主要内容及要求
三,典型例题分析与解答
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概率统计
第二章 随机变量及其分布
二,重要公式与结论
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概率统计
第三章 随机变量的数字特征
二,重要公式与结论
三,典型例题分析与解答
一,主要内容及要求
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概率统计
第四章 大数定律和中心极限定理
二,重要公式与结论
三,典型例题分析与解答
一,主要内容及要求
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第五章 数理统计初步
概率统计
二,重要公式与结论
三,典型例题分析与解答
一,主要内容及要求
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一、主要内容及要求
1）熟练掌握事件的关系与运算法则：包含、
交、并、差、互不相容、对立等关系和德摩根定
律,会用事件的关系表示随机事件,
,BA ?,BABA ???,ABBA ??
BA ?,BAABA ???,??BA ?
.; SBABA ??? ??
????
?
?
?
?
?
?
?
? AAAA ??,
第一章 随机事件和概率
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2) 掌握概率的定义及性质，会求常用的古典
概型中的 概率；
???? ??? )()()( 2121 APAPAAP
则是两两互不相容事件若,,,)1( 21 ?AA
则是两两互不相容事件若,,,,)2( 21 AAA n?
)()()(
)(
21
21
APAPAP
AAAP
n
n
???? ?
????
)()()()3( APBPABPBA ?????
)(1)()4( APAP ??
)()()()()5( ABPBPAPBAP ????
)()()()6( ABPBPABP ???
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
3)熟练运用条件概率的定义，乘法公式，全
概公式，事件的独立性及性质求概率。
? ? ? ?? ? ;)1( BP ABPBAP ?
? ? ? ? ? ?;)2( ABPAPABP ?
? ? ? ? ? ??
?
?
n
k
kk ABPAPBP
1;)3(
?)|()4( BkAP )(
)(
BP
BkAP,
1
)|()(
)|()(
?
?
?
n
j
j
ABP
j
AP
k
ABP
k
AP
? ? ? ? ? ?.)5( BPAPABP ?
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
二、重要公式与结论
1,BAABA ?? 或 BAABB ??
).()()()(
)()()(
ABPAPBAPBAP
BAPABPAP
????
???
2,A与 B相互独立
)()()( BPAPABP ??
)()|( BPABP ??
).|()|( ABPABP ??
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
3,BABABABA 与与与与,,,中有一组相互独
立,则其余三组也相互独立,
一般地,若 ),,,(),,,( 2121 nm BBBAAA ?? 与相互
独立,则
),,,(),,,( 2121 nm BBBgAAAf ?? 与
也相互独立,
其中 f,g表示加、减、乘、取对立事件运算,
第一章 随机事件和概率
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三、典型例题分析与解答
例 1 设 A,B是两个随机事件,
.1)|()|(,2.0)(,4.0)( ???? ABPABPABPAP
则 ?? )( BAP
分析, ).()()()( BAPBPAPBAP ????
由 1)|()|( ?? ABPABP
)|()|(1)|( ABPABPABP ????
)()()( BPAPABP ??
? A与 B相互独立
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
.5.04.0 2.0)( )()( ???? AP ABPBP
.7.0)5.01(4.0)5.01(4.0
)()()](1[)(
)()()()(
???????
????
?????
BPAPBPAP
BAPBPAPBAP
例 2 设 A,B的概率均大于零,且
),()()( BPAPBAP ???
则
(1) A与 B互不相容 ; (2) A与 B互相对立 ;
(3) A与 B相互独立 ; (4) A与 B互不独立,
第一章 随机事件和概率
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分析, 由 )()()()( ABPBPAPBAP ????
)()()( BPAPBAP ???
0)( ?? ABP ?,??? ABBA 互不相容、?
设,"0","0"),1,0(~ ???? xBxANX 则
."0",0)0()( ??????? xABxPABP 但
).4()()(0)( 选由 ???? BPAPABP
例 3 设 A,B,C为三个随机事件,其中 P(B)>0,
0<P(C)<1.且 B,C相互独立,证明,
).()|()()|()|( CPCBAPCPBCAPBAP ????
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
分析, ?? )|()( )( BAPBP ABP
)()|()()|( CPCBAPCPBCAP ???)( ABP?
).(
)()(
)()|()()|(
)()()|()()()|(
CABAB CP
CABPAB CP
CBPCBAPBCPBCAP
CPBPCBAPCPBPBCAP
??
??
??
??
证, 由 CABCABAB ????
)()()|()()()|(
)()|()()|(
)()()(
CPBPCBAPCPBPBCAP
CBPCBAPBCPBCAP
CABPA B CPABP
??
??
???
.结论?
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
例 4 设 X与 Y相互独立,其中
),4,1(~),41,3(~ NYBX
则概率 ?? }1),{ ma x ( YXP
分析, 则设,"1","1" ???? YBXA
).()()()(
)()()(
)()](1[1
)(1}1,1{1
}1),{ m a x (1}1),{ m a x (
BPAPBPAP
ABPBPAP
BAPBAP
BAPYXP
YXPYXP
???
???
??????
??????
????
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
,
2
1
)1()(,
64
37
64
27
1)
4
1
1(1
)0(1)1(1)1()(
3 ?????????
????????
YPBP
XPXPXPAP而
.
12 8
10 1
2
1
64
37
2
1
64
37
1
)()()()(}1),{ m ax(
?????
???? BPAPBPAPYXP故
注,
}.{}),{ m i n (4
};{}),{ m a x (3
}.,{}),{ m i n (2
};,{}),{ m a x (1
000
000
000
000
zYzXPzYXP
zYzXPzYXP
zYzXPzYXP
zYzXPzYXP
?????
?????
?????
?????
或
或
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
有 100个零件,其中 90个一等品,10个二等
品,随机取 2个安装在一台设备上,若 2个零件中有 i
(i=0,1,2)个二等品,则该设备的使用寿命服从参数
为 ?=i+1的指数分布,试求,
(1) 设备使用寿命超过 1的概率 ;
(2) 若已知该设备的使用寿命超过 1,则安装
在该设备上的 2个零件均为一等品的概率是多少?
例 5
解,设 Bi=“任取两个零件中有 i个二等
品”,
i=0,1,2
A=“设备的使用寿命超过 1”,X=“设备的使用寿命”,
则 X的密度函数为,
.2,1,0,1
.0,0
,0,)( ???
?
?
?
?
?? ? ii
x
xexf x ?? ?
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
.)(,)(,)( 2
1 0 0
2
10
22
1 0 0
1
10
1
90
12
1 0 0
2
90
0 C
CBP
C
CCBP
C
CBP ????而
.3)|1()|(;2)|1()|(;)|1()|(
3
1
3
22
2
1
2
11
1
1
00
?
??
?
?
??
?
?
??
?
????
????
????
?
?
?
edxeBXPBAP
edxeBXPBAP
edxeBXPBAP
x
x
x
又
(1) 由全概率公式知,
.32.0)|()()(
2
0
?? ?
?i
ii BAPBPAP
(2) 由贝叶斯公式知,
.93.0)( )|()()( )()|( 0000 ??? AP BAPBPAP ABPABP
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
从 [0,1]中随机地取两个数,其积不小于
3/16,求其和不大于 1的概率,
例 6
解法一,设所取的两个数为 x,y,则样本空间为,
)1(10 10 ?????????
??
?
??
??
y
x
有利场合为,
)2(
1
16
3
10
10
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
yx
xy
y
x
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
如图, (1) 对应区域为正方形 G,面积为 )( GL =1 ;
( 2 ) 对应区域为阴影部分
A
G,由
?
?
?
?
?
??
?
1
16
3
yx
xy
,可得
两交点 M (
4
1
,
4
3
) 和 N (
4
3
,
4
1
),阴影部分
A
G 的面积为,
)(
A
GL =
?
??
4
3
4
1
]
16
3
)1[( dx
x
x =( x
x
x ln
16
3
2
2
?? )
4
1
4
3
=
3ln
16
3
4
1
?,
∴ 所求的概率为,
)( AP
=
)(
)(
GL
GL
A
= 3ln
16
3
4
1
? ≈ 0, 0 4 4,
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
解法二 设从 [ 0,1 ] 中随机地取出的两个数为 ? 和
?,则由 ?, ? 取值的等可能性知,( ?,? ) 服从区域
{( x,
y
) | 0 ≤ x ≤1,0 ≤
y
≤1 } 上的均匀分布,即
( ?,? ) ～ U { [ 0,1 ] ×[ 0,1 ] }, 所以二维随机变量
(
?
,? ) 的密度函数为,
),( yxp
=
?
?
? ??
.,0;1,0,1
其它
yx
,
故所求的概率为, )1,
16
3
( ??? ????P =
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
??
??? 1
16
3
),(
yxxy
dxdyyxp
且
=
??
A
G
d x d y1 = )(
A
GL = 3ln
16
3
4
1
?
≈0, 0 4 4,
其中
A
G = { ( x,y )|
16
3
?xy,1?? yx },)(
A
GL 表
示
A
G 的面积,
第一章 随机事件和概率
返回下页上页
一、主要内容及要求
1)掌握随机变量分布函数的定义,
}{)( xXPxF ??
2)会求离散型随机变量的分布函数 ;会求离散
型随机变量的分布率,
-1 0 1 2 3 x
1
2
1
4
1
4
1
X
pk
2
1
-1 2 3
4
1
4
1
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
3)掌握连续型随机变量概率密度的性质,会确
定密度函数中的未知参数 ;掌握分布函数与概率密
度的关系,会运用概率密度求连续型随机变量取值
落在实轴某一区间上的概率,
? ??? x dttfxF ;)()()1(;1)()2( ?? ?
??
dxxf
)()(}{)3( 1221 xFxFxXxP ???? ;)(2
1?
? x
x
dxxf
).()()4( xfxF ??
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
4)掌握二项分布的概率背景,即会把实际问题
中服从二项分布的随机变量构设出来,运用有关公
式求概率,
若 X 表示 n重贝努里试验中成功出现的次数,
则 X ~ B ( n,p ).
? ? ? ? ? ?nkppCkXP knkkn,，,?101 ???? ?
? ? ? ??，，,210
!
??? ? ke
k
kXP
k
??
5)掌握泊松分布,
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
6)掌握均匀分布, X ~ U [a,b]
7)掌握指数分布,
? ?
??
?
?
? ??
??
其它0
1
bxa
abxf
? ?
?
?
?
?
?
?
?
00
0
x
xe
xf
x??
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
8)掌握正态分布及其性质,理解一般正态分布
函数与标准正态分布函数的关系,会查表求概率,
正态变量的线性变换仍然是正态变量,
? ?
? ?
? ????????
?
?
xexf
x
2
2
2
2
1 ?
?
??
? ?,~ 2??,NX
? ?,10~,NX
? ? ? ???????? ? xex
x
2
2
2
1
?
?
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
??? }{)( xXPxF X )(
?
??? x
).()-b(b}X{a
?
??
?
?? ????? aP
? ?,1)(2)|(|,1)(
,
2
1
)0(,
2
1
)0(),1,0(~
?????????
???
aaXPaa
NX
?
?则若
),,(~ 2??NX若
? ?.)(,~ 2?? abaNbaXY ???有
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
9)掌握二维离散型随机变量分布率的定义 ;会
求二维离散型随机变量的分布率 ;
10)掌握二维连续型随机变量概率密度的性质,
会运用概率密度求二维连续型随机变量取值落在
平面某一区域上的概率,
????
G
d x d yyxfGYXP,),(}),{(
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
11)掌握二维均匀分布的定义及性质,
? ? ? ?
? ???
?
?
?
?
??
Dyx
Dyx
Ayxf
，
，，
0
1
.),(}),{(
A
Bd x d yyxfGYXP
G
??? ??
D
x
y
A
G
B
12)会求边缘分布率和边缘概率密度,
? ? ? ??
??
??
? dyyxfxf X, ? ? ? ??
??
??
? dxyxfyf Y,
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
Y
X 1
y
2
y
… j
y
… ?ip
1
x
11
p
12
p
… j
p
1 … ?1
p
2
x
21
p
22
p
… j
p
2
… ?2p
? ? ? ? ?
i
x
1i
p
2i
p
…
ij
p
…
?i
p
? ? ? ? ?
j
p
?
1?
p
2?
p
…
j
p
?
…
13)掌握随机变量独立性的充分必要条件,
? ? ? ? ? ?yfxfyxf YX?，jiij ppp ???
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
15)会求二维离散型随机变量和连续型随机变量
的极值分布。
14)掌握正态分布的性质,
? ?2~ iii NX ??,
相互独立，，，，如果随机变量 nXXX ?21
，令,?
?
?
n
i
ii XaZ
1
???
?
???
? ??
??
n
i
ii
n
i
ii aaNZ
1
22
1
~ ??,则
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
二、重要公式与结论
1,则设 ),,(~ 2??NX
? ?
? ?
? ????????
??
xexf
x
2
2
2
2
1 ?
?
??
).()
-b
(
)
-b-x-a
P(b}X{a
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?????
a
P
特别地,.21)()( ???? ?? XPXP
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
2,),,(~,,,,221 iiin NXXXX ??且相互独立设 ?
).,(~
1
22
11
???
???
n
i
ii
n
i
ii
n
i
ii kkNXk ??则
注,若 X1,X2不相互独立,则 k1X1+k2X2不一定服
从正态分布,
3,?
?
?
?
? ??
???
.,0
,,
))((
1
),(~),(
其它
bxa
cdabyxfYX
?X与 Y相互独立,且分别服从 [a,b]与 [c,d]上的均匀
分布,
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
4,则若 ),,,,,(~),( 222121 ?????NYX
.
4
);2,(
~)(3;02;),,(~),,(~1
21
2
2
22
1
2
21
2
22
2
11
是正态分布
的条件分布也关于或关于
相互独立与
且
xXYyYX
abbabaN
byax
YX
NYNX
XY
XY
???
???
??
????
??
???????
??
??????
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
三、典型例题分析与解答
例 1 设 X为随机变量,若矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
010
20
232
XA
的特征值全为实数的概率为 0.5,则
(1) X服从 [0,3]上的均匀分布 ;
);21,2(~)2( BX
(3) X服从参数为 1的指数分布 ;
(4) X~N(1,2).
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
分析,
),2)(2(
10
20
232
2
X
XAE
????
?
?
???
??
???
?
?
?
?
由题设,),1()044(21 ????? XPXP 故应选 (4).
例 2 设 X,Y相互独立,且均服从正态分布
),0(),( 2 ????N 则若概率,21)( ??? ?bYaXP
.
2
1
)4(;
2
1
,
2
1
)3(;
2
1
,
2
1
)2(;
2
1
)1(
??????
?????
baba
baba
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
分析, ),)(,)((~)( 222 ?? babaNbYaX ???
由题设,,)(21)( ??? ?????? babYaXP
即 a-b=1,故应选 (2).
例 3 设 ),,(~ 2??NX 分布函数为 F(x),则对
任意实数 x,有,
.1)()()4(;1)()()3(
);()()2();()()1(
????????
??????
xFxFxFxF
xFxFxFxF
????
????
分析,
O ?x?? x?? X
)(Xf )()( xXPxXP ????? ??
).4(
)(1)(
选?
????? xFxF ??
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
注, 若 (X,Y)服从密度为 f(x,y)的分布,则
.),(}),({
),(
??
?
??
zyx
d x d yyxfzYXP
?
?
例 4 设 X,Y为相互独立同分布的连续型随机
变量,证明,,21}{ ?? YXP
证,设 X的分布函数为 F(x),概率密度为 f(x).
由题设,可设 Y的分布函数为 F(y),概率密度为 f(y),则
(X,Y)的联合概率密度为, f(x,y)=f(x)f(y),故
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
y
xo
xy ?
? ??? ???? ??
?
???
x
yx
dyyfxfdxd x d yyxfYXP )()(),()(
.
2
1
)
2
1
(0)](1[
2
1
)()(1[
)](1)[(
])([)(
2
????
??
??
???
??
??
??
??
?
?
?
??
??
??
??
??
??
xF
xdFxF
dxxFxf
dx
x
yFxf
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
例 5 设 X,Y相互独立,其中
3
2
3
1
21
p
X
而 Y服从参数为 1的指数分布,则 P{X-Y>0}=
分析,?),(}0{
0
???? ??
?? yx
dxdyyxfYXP
解, }0{ ?? YXP
).2(
3
1
1
3
2
3
1
)2()2()1()1(
}2,2{}1,1{
}2,0{}1,0{
21
2
0
1
0
????
?????
????????
??????
????????
?? eedyedye
YPXPYPXP
YXPYXP
XYXPXYXP
yy
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
注,
}.),({}{)(
,),(),(),,(
zYXgPzZPzF
yxfYXYXgZ
????
?
分布函数
的分布服从密度为
先求出 Z=g(X,Y)的值域 [c,d],则
.),()(,)3(;1)(,)2(;0)(,)1(
),(
??
?
???
??
??
zyxg
dx dyyxfzFdzc
zFdz
zFcz
有时当
有时当
有时当
.)()( dz zdFzf ?? 密度函数
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
例 6设 (X,Y)在区域 }20,20|),{( ????? yxyxD
上服从均匀分布,求 Z=(X+Y)2的概率密度,
分析, Z=(X+Y)2的值域为,[0,16].
(将 (0,0),(0,2),(2,0),(2,2)代入确定 ).
解, (X,Y)的联合概率密度为,
??
?
?
? ?
?
.,0
,),(,
4
1
),(
其它
Dyxyxf x
y
o 2
2
zyx ??
zyx ??D
:),)(()()( 2 有记 zYXPzZPzF ?????;1)(,16)2(;0)(,0)1(
??
??
zFz
zFz
则若
则若
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
??
??
???
zyx
dxdyyxfzFz
2)(
),()(,40)3( 则若;8)(21414141 2
00
zzd xd yd xd y
zyxzyx
????? ????
??????
??
???
???
zyx
d xd yzFz
0 4
1)(,164)4( 则若
].)4(811])4(212[41 222 zz ???????
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
故分布函数为,
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
.16,1
,164,)4(
8
1
1
,40,
8
,0,0
)(
2
z
zz
z
z
z
zF
从而概率密度函数为,
?
?
?
?
??
?
?
?
???
??
??
.,0
,164,
8
1
2
1
,40,
8
1
)(
)(
其它
z
z
z
dz
zdF
zf
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
例 7设 X在满足 P(X=0)=1,Y为任一随机变量,则
X与 Y相互独立,
分析,X与 Y相互独立 )()(),( yFxFyxF YX ???
).()(),(
)()(),(
yfxfyxf
yYPxXPyYxXP
YX
jiji
???
???????
连续型
离散型
则记,"","" yYBxXA yx ????
).()(),(
)()(),(
)()(),(
yxyx
YX
BPAPBAP
yYPxXPyYxXP
yFxFyxF
???
???????
??
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
证, 则记,"","" yYBxXA yx ????
??
?
?
?????
.0,1
,0,0)()()(
x
xAPxXPxF
xX
);()(0),(
0)(),(),(),(0
,1)(,0)()(,01
yFxFyxF
APBAPyYxXPyxF
APAPxFx
YX
xyx
xxX
????
???????
????? 则若
).()()(
)()()(),(),(
,0)(1)()(,02
yFxFyF
BPABPBPBAPyxF
APAPxFx
YXY
yxyyyx
xxX
???
?????
?????? 则若
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
总之,对于任意 x,y恒有, ),()(),( yFxFyxF YX ??
即 X与 Y相互独立,
注,讨论随机变量 X与 Y的相互独立性通常转化
分布函数来讨论, ).()(),( yFxFyxF YX ??
例 8 设二维随机变量 (X,Y)~N(0,0,1,1,0),则
?? )0( YXP
解, 由二维正态分布的性质可知,
X~N(0,1),Y~N(0,1),且 X与 Y相互独立,
故,
.
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
)0()0()0()0(
)0,0()0,0()0(
???????????
???????
YPXPYPXP
YXPYXP
Y
X
P
第二章 随机变量及其分布
返回下页上页
一、主要内容及要求
1)熟练掌握期望定义和性质,
?
?
?
?
1i
kk pxEX
? ???? dxxxfEX )(
? ?
? ?
?
n
i
n
i
iiii EXaXaE
1 1
)(
.,E X E YE X YYX ??不相关
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
2)会求随机变量函数的数学期望,
设 Y =g( X ),g( x ) 是连续函数,
?
?
??
? dxxfxgEY )()(
?
?
?
?
1
)(
k
kk xgpEY则
),( YXgZ ?若
?
?
?
?
1,
),(
ji
ijji pyxgEZ则
??
?
??
?
??
? d x d yyxfyxgEZ ),(),(
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
3)熟练掌握方差的定义和性质,
2)( EXXEDX ??
? ? 22 EXEX ??
DXccXD 2)( ?
),(2
))((2)(
22
22
YXa b C O VDYbDXa
EYYEXXa b EDYbDXabYaXD
???
??????
不相关，若 YX,
.)( 22 DYbDXabYaXD ???则
4)熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均
匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
5)掌握协方差和相关系数的定义,不相关的定
义及独立与不相关的关系,
COV( X,Y ) = E( X – EX )( Y-EY ) = E XY –EX EY
DYDX
YXC O V
XY
),(??
称 X,Y 不相关 。，若 0??
XY
若 X,Y 独立，则 X,Y 不相关。
(反之，不然）
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
二、重要公式与结论
1,22 )()( EXEXXD ??
或,)()( 22 EXXDEX ??
2,)()()(),c o v ( EYEXXYEYX ???
或 ).()(),c o v ()( EYEXYXXYE ???
3.,),( YXgZ ?随机变量的函数
则的概率密度为若 ),,(),(1 yxfYX?
.),(),(),( ? ????? ???? ?? d x d yyxfyxgYXEg
特别地,若 (X,Y)的概率密度 f(x,y)仅在 D上非零,
则,,),(),(),( ?? ??
D
dxdyyxfyxgYXEg
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
则的概率密度为若 ),(),(2 zfYXgZ ??
.)(),()( ? ?????? dzzzfYXEgZE
则概率密度为
的若
),(
),() ],,([),(3 11
uf
YXgUYXghYXgZ ?????
.)()()()( ? ???? ??? duufuhUEhZE
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
三、典型例题分析与解答
例 1 设某一机器加工一种产品的次品率为 0.1,
检验员每天检验 4次,每次随机抽取 5件产品进行检
验,若发现次品 1多于件,就要调整机器,求一天中调
整机器次数 Y的概率分布及 Y2的数学期望 EY2.
分析, 令 A=“机器需要调整”,若 p=P(A),则
).,4(~ pBY
设 X=“取出的 5件产品中的次品数”,则
).1.0,5(~ BX
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
于是,)1(1)1()( ?????? XPXPAPp
.0 8 2.0)1()0(1 ?????? XPXP
即 Y~B(4,0.082),其分布率为,
.4,3,2,1,0,)082.01(082.0)( 44 ?????? ? kCkYP kkk
??
?
??????
????
).082.01(082.04)1(;082.04
pnpDY
npEY
.4 0 8 7.0)( 22 ???? EYDYEY
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 2 设 A,B相互独立,且 P(A)=P(B)=0.5.定义,
..,1,,1;.,1,,1
??
? ??
??
? ??
不发生
发生
不发生
发生
B
BY
A
AX
试求,
).()3(
);()2(;),()1(
的相关系数与
的联合分布率
YX
YXD
YX
XY?
?
解,由题设易知,
.21)()()()( ???? BPAPBPAP
又 A,B相互独立,都与与与所以 BABABA,,
相互独立,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
从而易求得,
.1,1,
.
4
1
2
1
2
1
)()(),(
??
?????????
ji
jYPiXPjYiXP
故 (X,Y)的联合分布率为,,
4
1
4
1
1
4
1
4
1
1
11\
?
?
Y
X
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
(2) 由 (1)易求得 X+Y的概率分布为,
.
4
1
2
1
4
1
202
,
4
1
2)1,1(
4
1
0)1,1(
4
1
0)1,1(
4
1
2)1,1(
),(
p
YX
pYXYX
??
?
?
???
?
即
.0412210412)( ?????????? YXE
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
.241221041)2()( 2222 ????????? YXE
.202)]([)()( 22 ???????? YXEYXEYXD故
(3) 由题设易知 X,Y的概率分布分别为,
2
1
2
1
11
2
1
2
1
11
p
Y
p
X ??
与
.0??? EYEX
又由 (1)易求得 XY的概率分布为,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
.
2
1
2
1
11
,
4
1
1)1,1(
4
1
1)1,1(
4
1
1)1,1(
4
1
1)1,1(
),(
p
XY
pXYYX
?
??
??
??
即
,0)(),c o v (0)( ??????? EYEXXYEYXXYE
.0)()( ),co v ( ??? YDXD YXXY?故
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 3 设 (X,Y)在以点 (0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三
角形区域 G上服从均匀分布,U=X+Y,求 D(U).
分析, 这是一个求二维随机变量 (或叫两个随
机变量 )的函数 U=X+Y的方差问题,因为已知联合
密度,故最简单的做法是直接用函数期望公式计算,
为了比较还另给出了两种解法,
解法一,三角形区域,
G
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.1,10,10|),{( ??????? yxyxyxG
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
? ??
.,0
,),(,2),(
其它
Gyxyxf
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
22 )]([])[()( YXEYXEYXD ?????
.
18
1
)
3
4
(
6
11
]))(2([))(2(
])(2[)(2
2
2
1
0
1
1
1
0
1
1
2
22
???
????
????
? ?? ?
????
??
dxdyyxdxdyyx
d x d yyxd x d yyx
xx
GG
解法二,三角形区域,
G
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.1,10,10|),{( ??????? yxyxyxG
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
?
?
??
.),(,0
,),(,2),(
Gyx
Gyxyxf
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
以 f1(x)表示 X的概率密度,则
??
?
?
?
????
??
?
?
?
?
?
??
??
.10,22
,10,0
),()(
1
1
1
xxdy
xx
dyyxfxf
x
或
.
18
1
)(
2
1
2
3
2
2
22
1
0
32
1
0
2
????
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
EXEXDX
dxxEX
dxxEX
同理可得,,181;32 ?? DYEY
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
现在求 X和 Y的协方差,;12 522)( 1
1
1
0
??? ????
? x
G
y dyxdxxy dxd yXYE
.3619412 5)(),co v ( ??????? EYEXXYEYX
于是,
.
18
1
36
2
18
1
18
1
),c ov(2)(
????
????? YXDYDXYXDDU
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
解法三,三角形区域,
G
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.1,10,10|),{( ??????? yxyxyxG
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
? ??
.,0
,),(,2),(
其它
Gyxyxf
以 f(u)表示 U=X+Y的概率密度,则,
当 u<1或 u>2时,显然有 f(u)=0;
当 1≤u≤2时,有,
??
? ???????
.,0
,1010,2),(
其它
且 xuxxuxf
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
由随机变量之和的概率密度公式有,
).2(22),()( 1 1 udxdxxuxfuf u ????? ?? ?????
故随机变量 U的概率密度为,
??
?
??
????
.21,0
,21),2(2)(
uu
uuuf
或;
6
11
)2(2)()(;
3
4
)2(2)()(
2
1
2222
2
1
??????
???????
??
??
??
??
??
??
duuuduufuEUYXE
duuuduuufEUYXE
.181916611)( 22 ?????? EUEUDU
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 4 设 (X,Y)在 }10,10|),{( ????? yxyxD
上服从均匀分布,Z=(Y-X)2,求 E(Z)和 D(Z).
解法一,正方形区域,
D
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.10,10|),{( ????? yxyxD
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
?
?
??
.),(,0
,),(,1),(
Dyx
Dyxyxf;
6
1
)(
),()()(
1
0
1
0
2
22
???
????
? ?
??
dyxydx
dxdyyxfxyXYEEZ
D
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页;
15
2
)(
)()(
1
0
1
0
4
442
???
????
? ?
??
dyxydx
dx dyxyXYEEZ
D
.451361152)( 22 ?????? EZEZDZ
解法二,正方形区域,
D
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.10,10|),{( ????? yxyxD
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
?
?
??
.),(,0
,),(,1),(
Dyx
Dyxyxf
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
因此 X,Y相互独立且都服从 [0,1]上均匀分布,
.
6
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
)2()(
22
222
??????????
??????
EXEYEXEY
XXYYEXYEEZ;
15
2
)(
)()(
1
0
1
0
4
442
???
????
? ?
??
dyxydx
dx dyxyXYEEZ
D
.451361152)( 22 ?????? EZEZDZ
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
解法三,正方形区域,
D
x
y )1,0(
)0,1(
)1,1(
o
}.10,10|),{( ????? yxyxD
于是 (X,Y)的联合密度为,
??
?
?
??
.),(,0
,),(,1),(
Dyx
Dyxyxf
因此 X,Y相互独立且都服从 [0,1]上均匀分布,
:)( 2 的概率密度为XYZ ???
??)( zf
.61)( ???? ? ???? ?dzzzfEZ
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 5 设 ).81,4,1,2,1(~),( ?NYX 和求 |2| YXE ?
.|2| YXD ?
分析,
).(~|2|2
),(|2||2|1
zfYXZ
d x d yyxfyxYXE
???
????? ? ?
??
??
??
??
解,,|||2|,2 11 ZYXZYXZ ????? 则令
由题设,.81),4,2(~),1,1(~ ??XYNYNX ?
,0222)2( ??????? EYEXYXE
.9444
),c ov (44)2(
????
????
DYDX
YXDYDXYXD
XY?
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
).1,0(~32)9,0(~)2( NYXUNYX ?????
于是,
.
2
6
0
)(
2
6
2
6
2
1
||3||3|3||2|
2
0
2
2
22
2
???
?
?
??
???
????
??? ?
??
??
?
?
?
uu
u
eduue
dueuUEUEYXE
.
18
9
18
))2(()2(
|)2|(|2||2|
2
22
?
?
??
?????
?????
YXEYXD
YXEYXEYXD 第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
某流水作业线上生产的每个产品为不合
格的概率是 p,当生产出 k个不合格品时,即停工检
修一次,试求在两次检修之间所生产的产品总数的
数学期望和方差,
例 6
解, 设 X表示两次检修之间所生产的产品数,
Xi表示生产出第 i-1个不合格品后至出现第 i个不合
格品时所生产的产品数,则有,
:,,,,21
1
独立同几何分布且 k
k
i
i XXXXX ??
?
?
.,2,1,)1()( 1 ????? ? jppjXP ji
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
.,,2,1,1,1 2 kip pDXpEX ii ?? ????
.
)1(
,
2
11
11
p
pk
DXXDDX
p
k
EXXEEX
k
i
i
k
i
i
k
i
i
k
i
i
?
???
????
??
??
??
??
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
例 7 掷一个均匀的骰子直至 6 个点数都出现为止,
记这时总的投掷次数为 ?, 求 ?E,
解, 令 (
1
? =1 ) 表示出现第一个点数需要的抛掷次
数,(
i
? = i ) 表示出现第 i 个点数需要的抛掷次数 (i =2,3 …
6 ),则 ?
?
?
6
1i
i
??,
而
1
?E =1,对
i
≥ 2,
i
? 实际上是等待新的点数出现
的等待时间,服从几何分布,每次投掷时新点数出现的
概率是 1 -
6
1?i
,它的均值为概率的倒数,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
即,
16
6
??
?
i
E
i
? (i = 2,3,…,6 ),
所以 ?E = ?
? ??
6
1 16
6
i i
=1 4, 7,即为所求,
第三章 随机变量的数字特征
返回下页上页
一、主要内容及要求
1)掌握大数定律的定义,
,111lim
11
?
??
?
??
? ?? ??
????
?
n
k
k
n
k
kn EXnXnP
,011lim
11
?
??
?
??
? ?? ??
????
?
n
k
k
n
k
kn EXnXnP或
.1)(lim ???
??
?? pnP n
n
.1)1(lim
1
????
???
??
n
i
in XnP
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
2)掌握独立同分布的中心极限定理和德莫佛 -
拉普拉斯定理 ;并会用这两个定理求概率；
}{lim 1 x
n
nX
P
n
k
k
n
?
??
?
?? ?
?
).(
2
1 2
2
xdte
x t
??? ?
??
?
?
),10(),2,1)(,(~ ??? pnpnBn ??设随机变量
})1({l i m xpnp npP n
n
???
??
?
).( x???
??
?
?
x t
dte 2
2
2
1
?
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
二、重要公式与结论
1.切比雪夫不等式的一般形式,
设 X的 r阶绝对矩存在,r>0,则对,0??? 有,
).0()|(|)|(| ??? rXEXP r
r
??
特别有,
.
)()|)((|
)|)((|2
.
|))((|
)|)((|1
22
2
??
?
?
?
XDXEXE
XEXP
XEXE
XEXP
?
?
????
?
????
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
2.近似计算公式,
(1)当 n很大,p很小,np不太大时,二项概率有下
列近似公式 (即 Poisson定理 ):
.,!)1()( npekppCkP
k
knkk
nn ????
?? ?? ? 其中
(2)当 X1,X2,… Xn满足中心极限定理的条件,
),,2,1()(,)( 2 niXDXE ii ???? ??
n很大时,有下列近似公式,
).()()( 1 bab
n
nX
aP
n
i
i
?????
?
?
?
?
?
?
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
某车间有 200台车床,它们独立地工作着,
开工率为 0.6,开工时耗电各为 1千瓦,问供电所至少
要供给这个车间多少电力才能以 99.9%的概率保
证这个车间不会因供电不足而影响生产,
解,,X数为记某时在工作着的车床
设至少要供给这个车间 r千瓦电才能以 99.9%
的概率保证这个车间不会因供电不足而影响生产,
由题意有,
)
4.06.0200
6.0200
()
4.06.0200
6.0200
(
)4.0()6.0(}{
0
200
200
??
??
??
??
??
??
?? ?
?
?
r
CrXP
r
k
kkk
三、典型例题分析与解答
例 1
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
1 4 1,r 1.3
48
1 2 0-r
:
,9 9 9.0)
48
1 2 0
()32.17()
48
1 2 0
(
??
?
?
?????
?
??
所以查表得
rr
即供给 141千瓦电就能以 99.9%的概率保证这
个车间不会因供电不足而影响生产,
例 2设随机变量 X的,,2?? ?? DXEX 则由切
比雪夫不等式,有,_____}3|{| ??? ??XP
解, 有则由令,}|{|,3 2????? DXXP ????
.91)3(}3|{| 2
2
???? ????XP
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
现有一批种子,其中良种占 1/6.今任取
6000粒,问能以 0.99的概率保证在这 6000粒种子中
良种所占的比例与 1/6的差不超过多少?相应的良
种粒数在哪个范围内?
例 3
解,
.99.0
6
1
-
6 0 0 0
P ?
?
?
?
?
?
? ? ?
?
X
，则应有：设不超过的界限为
由德莫佛 -拉普拉斯定理,
??
?
??
? ? ?
6
1-
6 00 0P
X
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
??
?
??
?
?????
???
6/56/16 0 0 0
6 0 0 0
6/56/16 0 0 0
6/16 0 0 0P ?X
故近似地有,
,99.016/56/16000 60002 ???????? ??? ?
16/56/16000 60002 ??????? ???? ?
.6/1,60 00 ?? pn
)(}{lim xxn p qnpP n
n
????
??
?
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
,9 9 5.06/56/16 0 0 06 0 0 0 ??????? ??? ?即
,58.26/56/16 0 0 06 0 0 0 ??? ?查表得
.0 1 2 4.0??解得
良种粒数 X的范围为,
,6 0 0 0)0 1 2 4.06/1(6 0 0 0)0 1 2 4.06/1( ?????? X
??61-6 0 0 0X
.107 5925 ?? X即
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
例 4 nXXX,,,21 ?设 独立同分布,则且,0?iEX
._____)(lim
1
???
???
nXP
n
i
in
解,由辛钦大数定律 (取 ?=1)有,
,1)11(li m)101(li m
11
????? ??
??????
n
i
in
n
i
in XnPXnP
又显然有, 故),()11(
11
nXXn
n
i
i
n
i
i ??? ??
??
.1)11(li m)(li m
11
???? ??
??????
n
i
in
n
i
in XnPnXP
.1,1)(lim
1
即应填从而有 ???
???
nXP
n
i
in
第四章 大数定律和中心极限定理
返回下页上页
一、主要内容及要求
1)掌握统计量的概念,会判断哪些样本的函数
是统计量；
2)掌握正态总体的样本均值和样本方差的定
义及其分布；
3)要会熟练运用矩法和极大似然法求估计量,
矩法求估计量的步骤,;)1( 1 EX??求;)2( 11 ??A令
).,,(??
)3(
1 nXX ??? ?
解上面方程，得
第五章 数理统计初步
返回下页上页
极大似然法求估计量的步骤,(一般情况下 )
:)()1( ?L构造似然函数
);(ln)2( ?L取对数：;0ln)3( ??d Ld令
.?)4( ?? 的极大似然估计量解似然方程得
?
?
?
n
i
ixfL
1;()()( 连续型）?
4)要掌握估计量的评选标准,
(1)无偏性,,)?( ?? ?E
(2)有效性,,?),?()?( 21 好??? DD ?
(3)一致性,,1)|?(|l i m,0 ????? ?? ???? Pn
第五章 数理统计初步
返回下页上页
5)要会正态总体未知参数的区间估计,
设 ?为总体 X的分布中的未知参数,X1,X2,…,Xn
为取自 X的样本,若存在两个统计量,
),,,(?),,,,(? 213211 nn XXXXXX ?? ??
使得对给定的 ?(0<?<1),有,
.1)??( 21 ???? ????P
则称 ]?,?[ 21 ?? 为 ?的置信度为 1-?的置信区间,21 ?,? ??
分别称为 置信下限 和 置信上限,
第五章 数理统计初步
返回下页上页
6)要会根据样本进行正态总体的假设检验,
假设检验的步骤,
(1) 由实际问题提出原假设 H0(与备择假设 H1);
(2) 选取适当的统计量,并在 H0为真的条件下确
定该统计量的分布 ;
(3) 根据问题要求确定显著性水平 ?(一般题目
中会给定 ),从而得到拒绝域 ;
(4) 由样本观测值计算统计量的观测值,看是否
属于拒绝域,从而对 H0作出判断,
第五章 数理统计初步
返回下页上页
7)要熟悉假设检验与区间估计的联系,
:,
.:,:
,.
,,,),,(~
0
0
0100
21
22
的接受域为可得易知选取统计量
检验假设对于显著性水平观测值
为样本，已知设总体
?
?
?
????
?
???
n
X
U
HH
xxxNX
n
?
?
??
?
)().,(.
2121
0
21
0 ??????
??? n
uxnuxunx ???? ? ??? 即
.)(1
,,
式的区间估计正好是为
的置信度知时由单正态总体在方差已另外
?? ?
?
因此由假设检验 (?=?0)的接受域即可得到 ?的
区间估计,反之亦然,但二者对统计结果解释不同,
第五章 数理统计初步
返回下页上页
二、重要公式与结论
1.,)(),,( 1 分布独立同表示取自样本 XXXXX in?
2.
.)(
1
,
1
,;,
1
2*
222
2
2
2
?
?
?
??
?
???
????
n
i
i
XX
n
S
n
n
ESDXES
nn
DX
XDEXXE
其中
??
?
?
3.
).2(
2
,0),(~2
.2)(,)(1 22
?
?
???
???
n
n
n
DTETntT
nDnE
则
??
第五章 数理统计初步
返回下页上页
4.
).1,0(~,3
.
),(
1
),(2
).()(1
1
1
1
NUuu
mnF
nmF
ntnt
pp
p
p
pp
?
?
?
???
??
???
5.
.
?),(0?,?3
.
2
.
1
2
计
的一致估为则
的一致估计
阶原点矩阶原点矩是对应总体样本任意
估计
的期望和方差的无偏分别是总体和
????? ?????
?
?
nDE
kk
XSX
第五章 数理统计初步
返回下页上页
6.
.)(
)?(,)(,?2
.
)()?(,)(,?1
的极大似然估计
为则单调的极大似然估计为
矩估计
的为则连续的矩估计为
?
???
????
g
gxg
ggxg
?
?
7.
.
1)()]?(),?([,
)(,1]?,?[
21
21
的置信区间
的置信度为为则单调
的置信区间的置信度是为
????
????
?
?
ggg
xg
第五章 数理统计初步
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这是一个典型的统计估值问题,钓出 s条,其
中标有记号的鱼数应是个随机变量,记为 X.显然 X
只可能取 0,1,…,r这 r+1个值,现 X=t,且
设湖中有鱼 N条,现钓出 r条,做
上记号后放回湖中,一段时间后,再钓出 s条 (设 s≥r),
结果其中有 t条 (0≤t≤r)标有记号,根据此种信息,估
计湖中鱼数 N的值,
三、典型例题分析与解答
例 1 (钓鱼问题 )
解,
.).,(}{ 为未知参数其中 NNtLCCCtXP s
N
ts
rN
t
r ???
?
?
第五章 数理统计初步
返回下页上页
:,
).,(m a x)?,(,?,}{
,
我们考虑比值为具体决定
使得即取最大
应该使得则我们认为条条即已出现今钓出
N
NtLNtLNtXP
Nts
N
??
,
)(
))((
)1,(
),(
),(
2
2
1
1
1
1
NtNsNrN
rsNsNrN
tsrNN
sNrN
CC
CC
C
CC
C
CC
NtL
NtL
NtR
s
N
ts
rN
s
N
ts
rN
s
N
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rN
t
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s
N
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rN
t
r
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??
?
?
?
?
?
??
?
?
从上式可见,当 rs<Nt时,R(t,N)<1,当 rs>Nt时,R(t,N)>1.
第五章 数理统计初步
返回下页上页
.
)]([?,
.),(,;),(,
的估计为
作的整数部份故取是正整数由于
的下降函数是时当
的上升函数是时故当
N
t
rs
t
rs
NN
NNtL
t
rs
N
NNtL
t
rs
N
?
?
?
从直观上看,湖中有标记的鱼的比例和钓出的 s
条鱼中有标记的鱼所占的比例似应相一致,即 r:N=
t:s,因而有,
上面的估计正好与此直观结果相符,这也说明
了极大似然估计的合理性,
.? trsN ?
第五章 数理统计初步
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.)(
1
1
,,)(
1
,
1
])(
1
[
1
22
2
1
2
22
1
2
计量才是总体方差的无偏估
经修正的无偏估计不是总体方差
所以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
??
n
i
i
n
i
i
n
i
i
X
n
S
X
n
n
n
X
n
E
?
??
???
.
,)(
1
),(
,,,
22
2
1
2
1
偏估计
的无应如何修正才是的无偏估计它是否为
的方差去估计总体用已知
记的一个样本是总体设
??
??? XX
n
XXXX
n
i
i
n
?
?
?
??
例 2
解,
第五章 数理统计初步
返回下页上页
.
,,,,
.,0
,,
1
);(
211
21
12
大似然估计量
的矩估计量和极求的一个样本为
其它
有概率密度设总体
??
??
???
XXX
x
xf
X
n
?
?
?
?
?
?
??
??
例 3
解,由 X的概率密度知总体服从均匀分布,故
?
?
?
?
?
??
??
,)(
12
1
),(
2
1
2
12
21
??
??
DX
EX
第五章 数理统计初步
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,
3?
3?
,)(
1?
,?
2
1
1
2
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??
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?
?
??
?
?
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SX
SX
XX
n
XD
XXE
n
i
i ?
?
令
.)(1
1
22 ?
?
??
n
i
i XXnS其中
).,,2,1(
.,0
,,
)(
1
),;,,( 21
12211
ni
x
xxL nn ??
?
?
??
?
?
?
??
??
其它
似然函数为
??
????
第五章 数理统计初步
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所以极大似然估计量
的由于无法解出令
,
,,
0
ln
0
ln
21
122
121 ??
???
???
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nL
nL
).,,ma x (),,,min( 1211 nn xxxxxx ?? ?? ??令
.,?,?
.,,
212211
2211
的极大似然估计量为故
似然函数取得最大值时因为当
????
??
??
??
??
??
xx
xx
第五章 数理统计初步
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例 4设 21 ?,? ?? 是参数 ?的二个相互独立的无偏估
计量,且 ).?(2)?( 21 ?? DD ?找出常数 k1,k2,使 2211 ?? ?? kk ?
也是 ?的无偏估计,并且使它在所有这样形状的估计
量中方差最小,
解,,)()??(?? 21221121 ?????? kkkkEEE ??????
.1,)??( 212211 ???? kkkkE 只须欲使 ???
故相互独立与又因为 ),?(2)?(,?? 2121 ???? DD ?
).?()2()?()?()??( 222212221212211 ????? DkkDkDkkkD ?????
.)1(22
,)??(
2
1
2
1
2
2
2
1
2211
为最小
只须为最小欲使
kkkkS
kkD
?????
? ??
第五章 数理统计初步
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?
?
?
?
?
?
?
?
??????
.
3
2
,
3
1
026)1(24
2
1
111
1
k
k
kkk
dk
dS
由
!
!
祝大家考研成功
谢谢大家
第五章 数理统计初步
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第六章 历年考研真题
第六章 历年考研真题
(1)设随机变量 X的方差为 2,则根据切比雪夫不
等式有估计 P{|X-E(X)|≥2} ≤,(2001-1-3)
.21)()|)((|)|)((|,22
2
?????? ??? XDXEXEXEXP由解
(2)将一枚硬币重复掷 n次,以 X和 Y分别表示正
面向上和反面向上的次数,则 X和 Y的相关系数等于
(2001-1-3)
(A) -1 (B) 0 (C)1/2 (D) 1
解,因为 X+Y=n,即 Y=-X+n,故 X与 Y之间有严格
的线性关系,且为负相关,所以选 (A).
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第六章 历年考研真题
(3)设某班车起点站上客人数 X服从参数为
?(?>0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为
p(0<p<1),且中途下车与否相互独立,以 Y表示在中
途下车的人数,求,
①在发车时有 n个乘客的条件下,中途有 m人下
车的概率；
②二维随机变量 (X,Y)的概率分布,(2001-1-7)
.,2,1,0,0,
!
)1(
}{}|{},{)2(
.,2,1,0,0
,)1(}|{)1(:
?
?
??????
??????
???
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?
?
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nnm
n
e
ppC
nXPnXmYPmYnXP
nnm
ppCnXmYP
nmnmm
n
mnmm
n
?
?
解
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第六章 历年考研真题
(4)设总体 X服从正态 分布,从
该总体中抽取简单随机样本,
其样本均值为,求统计量
的数学期望 E(X).(2001-1-7)
)0)(,( 2 ????N
)2(,,,221 ?nXXX n?
?
?
?
n
i
iXnX
2
12
1
?
?
? ???
n
i
ini XXXY
1
)2(
,2
1
)(
1
,)2,2(
),(,),(),(:
1
2
1
2
22211
? ?
? ?
?
??
???
???
n
i
n
i
iini
nnnn
XX
n
XX
n
N
XXXXXX
其样本均值为
则的简单随机样本将其视为取自总体
考虑解一
??
?
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第六章 历年考研真题
.)1(2)(,2)
1
1
(
.
1
1
22 ?? ???
?
?
nYEY
n
E
Y
n
所以由于
样本方差为
.)1(2
})]()[({
))2(()(
.2
,
1
,
1
:
2
1
2
`1
2
11
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???
?????
?????
?
?
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?
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?
?
?
?
?
n
XXXXE
XXXEYE
XXX
X
n
XX
n
X
n
i
ini
n
i
ini
n
i
in
n
i
i
因此
显然有记解二
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第六章 历年考研真题
(5)设随机变量 X服从正态分布,
且二次方程 无实根的概率为 1/2,则
?＝,(2002-1-3)
)0)(,( 2 ????N
042 ??? Xyy
解,由△ =16-4X<0,得,X>4,即 P(X>4)=1/2,而
P(X>?)=P(X<- ?)=1/2,所以 ?=4.
(6)设 X1和 X2是任意两个相互独立的连续型随
机变量,它们的概率密度分别为 f1(x)和 f2(x),分布函
数分别为 F1(x)和 F2(x),则 (2002-1-3)
(A) f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度
(B) f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度
(C) F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数
(D) F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数
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第六章 历年考研真题
解,由概率密度函数和分布函数的性质
1)(01)( ???? ??? xFdxxf 与
易知选 (D).(7)设随机变量 X的概率密度为
??
?
?
? ??
?
.,0
,0,
2
c os
2
1
)(
其它
?xxxf
对 X独立地重复观察 4次,用 Y表示观察值大于 的
次数，求 Y2的数学期望,(2002-1-7) 3
?
.521)(
,1)
2
1
1(
2
1
4,2
2
1
4,
).
2
1
,4(~,
2
1
2
cos
2
1
}
3
{:
222
3
??????
????????
???? ?
EYDYEY
DYEY
BYdx
x
XP
因此
解一
?
?
?
?
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第六章 历年考研真题
.5)1443624110(
16
1
16
1
16
4
16
6
16
4
16
1
43210Y
:,
).
2
1
,4(~,
2
1
2
cos
2
1
}
3
{:
222222
3
????????????
????
?
EY
P
Y
BYdx
x
XP
的概率分布为因此
解二
?
?
?
?
(8)设总体 X的概率分布为
????? 21)1(2
3210
22 ??P
X
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第六章 历年考研真题
其中 ?(0<?<1/2)是未知参数,利用总体 X如下样本值
3,1,3,0,3,1,2,3
求 ?的矩估计值和最大似然估计值,(2002-1-7)
.
4
1
?
,243,,2)32130313(
8
1
,43)21(32)1(210:
22
?
????????????
????????????
??
?
??????
的矩估计值为解得
即令
解
xEXx
EX
对于给定的样本值,似然函数为
,
)21)(1(
24286
21
8
1
26)(ln
),21l n (4)1l n (2ln64ln)(ln
,)21()1(4)(
2
426
???
??
????
?
????
????
??
??
?
?
?
?
??
??????
???
d
Ld
L
L
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第六章 历年考研真题
.
12
137?
2
1
12
137
.
12
137
,0
)(ln
－
＝的最大似然估计值为所以
不合题意，因解得令
??
?
?
?
?
??
??
d
Ld
(9)设二维随机变量 (X,Y)的概率密度为
??
? ????
.,0
,10,6),(
其它
yxxyxf
则 P{X+Y≤1}=,(2003-1-4)
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
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第六章 历年考研真题
!
!
祝大家考研成功
谢谢大家
