线性代数（河南科技学院）：线性代数

河南科技学院
课程的地位和作用
★ 线性代数（ Linear Algebra）是代数学的一个分支,,代数,
这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们
译成, 阿尔热巴拉,,直到 1859年，清代著名的数学家、翻译
家李善兰才将它翻译成为, 代数学,,一直沿用至今。
★ 线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理
的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不
断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还
在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航
天、航海等领域中都有着广泛的应用。
★ 该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维能力、空间直观
和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生
获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本
知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实
际问题的能力。
一、张扬的个性
二、灵活的思维
三、欣赏的眼光
第一章
一、排列与逆序
,小 羊 上 山 吃 草, 六字可以构成多少句话？
,１２３４５６, 六个数字可以组成多少个六位数？
没有重复元素
2、定义
1、引例
把ｎ个不同的元素排成一列，叫做这ｎ个元素的
全排列 （或 排列 ）,
ｎ级排列共有 种
1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1
12 21如,
特别,把ｎ个不同的数码１、２,…,ｎ组成
的有序数组称为一个 ｎ级（阶、元）排列,
1 2 1 2.,,nnorp p p x x x
!n
记作,
２级排列共有２种,
３级排列共有６种,
1 i njpppp,jip p?
例 排列３２５１４中,
我们规定各元素之间有一个标准次序,ｎ个不同
的自然数，规定由小到大为 标准次序,
3、逆序数
3 2 5 1 4
定义
逆序
逆序
逆序
逆序
逆序
分析
定义 ip ip
ip 的逆序,
则称这 两个数组成一个逆序,
中，若数 在一个排列
前面比 大的元素的个数称为 元素 排在元素
请同学们以最快的速度写出所有４级排列,
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ；
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
4、排列的奇偶性
例 1 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性,
1） ２１７９８６３５４
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的
逆序数, 1.,,, () i j nt N P P P Po r o r?记为
解,
5t? 18?
故此排列为偶排列,
4? 0100134 ???????
2 1 7 9 8 6 3 5 4
5 0 1 3 0 4 4 0 1
? ?121
2
nn ?? ? ? ?
当 时为偶排列； 14,4 ?? kkn
当 时为奇排列, 34,24 ??? kkn
? ?1?? nt ? ?2?? n
解,? ? ? ?1 2 3 2 1n n n??
0 1 2 1n?2n?3n?
2） ? ? ? ?1 2 3 2 1n n n??
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1k k k k k k? ? ? ?
计算排列的逆序数，并讨论奇偶性,
分析 ?0 ?1 ?1 ?2 ?2 ?
?k1k??
2tk?
当 为奇数时，该排列为奇排列, k
当 为偶数时，该排列为偶排列； k
特别,将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
1、定义
二、对换
在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不
动，这种作出新排列的手续叫做 对换,
例 11lmbaa a b b
11lmaba a b b
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1l m na a b b ca cb
1）
2）
2、对换与排列的奇偶性的关系
11lmbaa a b b11lmaba a b b
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性。
证明,设排列为 1）
易见除 外，其它元素的逆序数不改变，,ab
ba?若
对换,ab
对换后 的逆序数不变，而 的逆序数减 1； a b
ab?若
对换后 的逆序数增 1，而 的逆序数不变, a b
因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性。
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1l m na a b b ca cb
设排列为 2）
对换,ab
次相邻对换 m
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1,l m nbaa a b b cc?
1 1 1,l m na a b b a cb c
所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性,
1 1 1l m na a b b cb ca
1 1 1l m na a b b ca cb
次相邻对换 21m ?
欲
即
次相邻对换 1m?
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
定理 2 ｎ个元素 (ｎ＞１ )共有ｎ !个ｎ阶排列,其中
奇、偶排列各占一半,
证明, 设 共有 ｓ个奇排列,ｔ个偶排列，现证ｓ＝ｔ,
故必有,ts?
奇排列 偶排列 st?所以 前两个数对换 ｓ个 ｓ个
偶排列 奇排列 ts?所以 前两个数对换 ｔ个 ｔ个
２ 排列具有奇偶性,
３ 一次对换，排列改变奇偶性,
１ ｎ个不同的元素的所有排列种数为ｎ !
三、小结
4 ｎ个元素 (ｎ＞１ )共有ｎ !个ｎ阶排列,其
中奇、偶排列各占一半,
四、思考
求排列 的逆序数两种思路
排列中比每一元素 大的且排在 前面的元素个数 ip
it 12 nt t t t? ? ? ?，即是这个排列的逆序数。 的总和
ip
排列中比每一元素 小的且排在 后面的元素个数
，也是这个排列的逆序数。 的总和
ipip
i? 12 n? ? ? ?? ? ? ?
例 求下面排列的逆序数，并确定奇偶性,
( 2 1 ),( 2 3 ),,5,3,1,2,4,6,,( 2 2 ),( 2 )n n n n? ? ?
解 1） 从前往后求排在元素前面且比 元素大的
数的个数，而后求和,
0 1 2 ( 2 ) ( 1 )t n n? ? ? ? ? ? ?
( 1 ) ( 2 ) 2 1 0nn? ? ? ? ? ? ? ?( 1 )nn??
0 0 0 0 0t ? ? ? ? ? ?2 4 6 ( 2 2 )n? ? ? ? ?
( 1 )nn??
2） 从后往前求排在元素后面且比 元素小的
数的个数，而后求和,
，称为这 个元素的一个 排列,
定义 把 组成的有序数组称为一个 阶排
列, 通常用 表示,
1、排列 把 个不同的元素按一定的顺序排成一行
课前复习
我们规定各元素之间有一个标准次序,个不
同的自然数，规定由小到大的排列为 标准排列,
2、排列的逆序数
中，若数 1 i njpppp
jip p?
在一个排列
，则称这两个数构成一个逆序, 一个排列的
逆序总数称为 这个排列的逆序数,记作 12()nt p p p
12 np p p
1,2,,n n
n
? ?2n ? n
n
定义
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
3、排列的奇偶性
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素
不动，这种作出新排列的手续叫做 对换,
将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
4、对换
一个排列中的任意两个元素对换，排列改变
奇偶性
定理
在全部 阶排列中,奇偶排列各占一
半,即各有 个,
定理 ( 2 )nn ?
!
2
n
用消元法解二元线性方程组
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
,
.
a x a x b
a x a x b
???
? ??
?
??1
??2
? ?,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa ??
? ?,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa ??
两式相减消去,得 2x
一、二阶行列式
1、引入;212221121122211 baabxaaaa ??? ）（
类似的，消去,得 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（
方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
?
?? ）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
?
??
由方程组的四个系数确定,
1 1 2 2 1 2 2 1 0a a a a??当 时,
2、定义
Def 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
11 12
21 22
aa
aa 所确定的表达式 称列）的数表 1 1 2 2 1 2 2 1a a a a?
1 1 1 2
2 1 2 2
aa
aa称为 二阶行列式,记为
,
2221
1211
aa
aaD ?
11a 21a
22a21a
主对角线
副对角线
2211aa?
若记
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
,
.
a x a x b
a x a x b
???
? ??
?对于二元线性方程组
系数行列式
.2112 aa?
3、计算
1）对角线法则 行标
列标
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
1 1 1 2
2 1 2 2
,aaD aa?
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
,
.
a x a x b
a x a x b
???
? ??
?
1 1 1 2
2 1 2 2
,aaD aa?
.
221
111
2 ba
baD ?
记 1 121
2 22
,baD ba?记
则二元线性方程组的解为
1 1 2
2 2 21
1
1 1 1 2
2 1 2 2
,
ba
baD
x
aaD
aa
??
1 1 1
2 1 22
2
1 1 1 2
2 1 2 2
.
ab
abD
x
aaD
aa
??
系数行列式
系数行列式
52
25D ?
今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，
问牛羊各直几金？
例 1
12
12
5 2 10,
2 5 8.
xx
xx
???
? ??
?
52
25D ? 25 4?? 21 0,??
1D 34,? 20,?
D
Dx 1
1 ??
34,
21 D
Dx 2
2 ?
20.
21?
解,牛羊分别直 12,xx金，记
10
8
52
25D ?2D
10
8
1、定义
二、三阶行列式
（ 6）式称为数表（ 5）所确定称为 三阶行列式, 1 1 1 2 1 3
2 1 2 2 2 3
3 1 3 2 3 3
a a a
a a a
a a a
记为
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
构成数表 （ 5）
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2a a a a a a a a a??（ 6）
确定一个表达式,
由九个数排成三行三列（横排称行、竖排称列）
1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3 1 3 2 2 3 1a a a a a a a a a? ? ?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
3231
2221
1211
aa
aa
aa
? ? ????
.312213332112322311 aaaaaaaaa ???
2)沙路法
322113312312332211 aaaaaaaaa ???D
2、计算
1)对角线法则
332211 aaa?
.322311 aaa?
322113 aaa? 312312 aaa?
312213 aaa? 332112 aaa?
以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式,
1 2 3
456
7 8 9
D ?
解 按对角线法则，有
1 5 9 2 6 7 3 4 8
3 5 7 2 4 9 1 6 8
D ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
例 2 求行列式
2
1 1 1
2 3 0
49
x
x
?
解 按对角线法则，有
2,, 3x o r x??
例 3 求解方程
12291843 22 ?????? xxxxD 2 5 6 0xx? ? ? ?
所以
0?
?
?
?
?
?
???
???
???;
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
若系数行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
,0?
,
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
D ?,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
D ?
3,三元线性方程组
.
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
D ?
则,11 DDx ?,22 DDx ?,33 DDx ?
例 4 解线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式为
111
312
121
??
?
?
?D
? ?1 1 1D ? ? ? ?? ? ? ? ? ?132 ?????? 121 ???
? ?111 ???? ? ? ? ?122 ????? ? ? 131 ????
5??,0?
且
同理可得
110
311
122
1
?
?
??
?D
,5??
101
312
121
2
??
?
?
?D
,10??
011
112
221
3
?
??
?D
,5??
故方程组的解为,
,111 ?? DDx
,222 ?? DDx
.133 ?? DDx
其中 为将系数行列式的第 i列分别用常数
项来代替而得的新的行列式,
1 2 3,,D D D
1、概念的引入
1 1 1 2
2 1 2 2
aaD
aa?
11 22aa? 12 21aa?
三,n阶行列式
二阶行列式
12
12
() 12( 1 ) t p p ppaa???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 1 1 3 2 1 3 2a a a a a a a a a???
1 3 2 2 3 1 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 3 3a a a a a a a a a? ? ?
三阶行列式
1 2 31 2 3( 1 )
t p p pa a a???
分析
（ 1）二阶行列式共有 项，即 项,2 2!
（ 2）每项都是位于不同行不同列的（二）三个
元素的乘积,
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的（二）三个元素的下标排列,
三阶行列式共有 项，即 项,6 !3
例 12 21aa列标排列的逆序数为奇
322113 aaa 列标排列的逆序数为偶
11 23 32a a a列标排列的逆序数为奇
?负号
? 正号
? 负号
n
阶
行
列
式
猜
想
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
?
阶行列式是 项的代数和 ; n !n
阶行列式的每项都是位于不同行、不同列
的 个元素的乘积 ;
n
n
? ?12
1212( 1 )
n
n
t p p pn p p n pD a a a???猜
的符号为 每项 1212 np p npa a a? ? ? ?121 nt p p p?
2、定义
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
D
a a a
?
由 个数组成 n阶行列式等于所有取自不同行列的 2n
1212( 1 ) n
t p p n pa a a??n个元素的乘积的代数和
记作,
简记作 (),.i j i joe rD t a aija，数 称为行列式的 元素,
? ?12
1212( 1 )
n
n
t p p p p p n pa a a???
其中 12 np p p为自然数 12 n，,, 的一个排列,t
为这个排列的逆序数。
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方
程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而
定义的；
2,阶行列式是 项的代数和； n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同
列 个元素的乘积；
n
n
5,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆, aa ?
的符号为 ； 4、每项 1212 np p npa a a? ? ? ?121 nt p p p?
3、应用
例 5 六阶行列式的项 2 3 3 1 4 2 5 6 1 4 6 5a a a a a a的符号为 ____,?
解法一 2 3 3 1 4 2 5 6 1 4 6 5a a a a a a
行标 234516的逆序数为 000040t ? ? ? ? ? ?4,?
所以 前边应带正号, 651456423123 aaaaaa
2 3 3 1 4 2 5 6 1 4 6 5a a a a a a
431265的逆序数为
012201 ??????t,6?
所以 前边应带正号, 651456423123 aaaaaa
,655642312314 aaaaaa?解法二
列标 312645的逆序数为 0 1 1 0 1 1t ? ? ? ? ? ?4,?
例 6 计算行列式
1
2
n
?
?
?
1
2
n
?
?
?
1） 2）
分析 1）显然得 12 nD ? ? ?? i???
2）易见，只有项
( 1 )
2 12( 1 )
nn
nD ? ? ?
??? ( 1 )
2( 1 )
nn
i?
?
?? ?
1 2,1 1( 1 ) 0t n n na a a???
所以
例 7 计算行列式
11 12 1
22 2
n
n
nn
a a a
aa
a
1
2,1 2
1 1,1
n
nn
n n n n n
a
aa
a a a
?
??
1） 2）
分析 1）显然得 1 1 2 2 nnD a a a? iia? ?
2）易见，只有项
( 1 )
2 1 2,1 1( 1 )
nn
n n nD a a a
?
???
( 1 )
2,1( 1 )
nn
i n ia
?
???? ?
1 2,1 1( 1 ) 0t n n na a a???
所以
例 8 计算行列式
1
2,1 2
1 1,1
n
nn
n n n n n
a
aa
a a a
?
??
1） 2）
1 1 1,1naa ?
11 12 1
22 2
n
n
nn
a a a
aa
a
21
1n
a
a
3）
11
2 1 2 2
12n n nn
a
aa
a a a
1 2 1 naa
11 1,1 1
21 2,1
1
nn
n
n
a a a
aa
a
?
?
4）
2n
nn
a
a
几种特殊的行列式
这一系列格式行列式的值为
1 1 2 2 nnD a a a?
这一系列格式行列式的值为
? ? ( 1 )2 1 2,1 11 nn n n nD a a a? ???
几种特殊的行列式
例 9 用行列式的定义计算
0 0 0 1 0
0 0 2 0 0
1 0 0 0 0
0 0 0 0
n
D
n
n
?
?
? ? nnnnntn aaaaD 1,12,21,11 ????? ?解
? ? ? ? nnt ????? 1211 ?
? ? ? ?? ?1221 !,nn n????
322113312312332211 aaaaaaaaa ???
332112322311312213 aaaaaaaaa ???
11 12
11 22 12 21
21 22
.aaD a a a aaa? ? ?
四、小结
? ?12
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
( 1 ) n
n
n
j j jn
j j nj
n n nn
a a a
a a a
D a a a
a a a
?
? ? ??
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a
?
五、思考题
已知
? ?
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
?
?
3x所以 的系数为
解 含 的项有两项,即 3x
对应于 ? ? ? ? 433422111 2 3 41 aaaat??? ? 443322111 aaaat?
1.?
? ? 31 1 2 2 3 3 4 41 t a a a a x??
? ? ? ?1234 31 1 2 2 3 4 4 312t a a a a x? ? ?
322113312312332211 aaaaaaaaa ???
332112322311312213 aaaaaaaaa ???
11 12
11 22 12 21
21 22
.aaD a a a aaa? ? ?
课前复习
? ?12
12
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
12
( 1 ) n
n
n
t p p pn
p p np
n n nn
a a a
a a a
D a a a
a a a
? ? ??
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
D a a a
a a
?
?TD
nn
a
a
a
?
22
11
行列式 称为行列式 的转臵行列式, TD D
记
nn
a
a
a
?
22
11
?
?
?
n
n
a
aa
2
112
21
12nn
a
aa
?D
?
?
?
2
121
n
n
a
aa
?
?
nn
aa
a
21
12
一、行列式的性质
性质 1 行列式与它的转臵行列式相等,
证明 令 d e t ( )ijDa?
则 的转臵行列式为 ? ?d et ijDa? ? ?d etT jiDa?
按定义 ? ?
12121 n
tT
p p p nD a a a??? ? ? 121 n
t
p p npa a a???
故,TDD ?
于是 ? ?
111 1 i j n
ts
p j p i p n pD a a a a
????
? ? ? ?1 1,t s t?? ? ? ?
1,DD??故
ijrr? ? ? 111 1 i j n
ts
p j p i p n pD a a a a
????
1 i j np p p pt 仍然为排列 的逆序数
1 j i n为 的逆序数，易见为奇,s
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
证明 设行列式 11( 1 ) i j nt p i p j p n pD a a a a???
1 i j np p p pt 为排列 的逆序数
1 i j n其中 为标准排列
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数ｋ，等于用数ｋ乘此行列式,
推论 行列式的某一行（列）中所有元素的公因
子可以提到行列式符号的外面,
推论 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式为零,
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0?? D
,DD ??
请问若给 行列式的每一个元素都乘以同一数
ｋ，等于用 乘以此行列式,
性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
??
????
??
??
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
??
??
??
?
则行列式等于下列两个行列式之和,
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
??
????
??
??
??
????
??
??
?
?
?
??
1
2221
1111
1
2221
1111例
性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以
同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行
列式不变,
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
???
????
???
???
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
???
????
???
???
)(
)(
)(
1
222221
111111
?
?
?
?
?k例如
例 1
计算行列式常用方法：利用运算 把行列式
化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
ji krr ?
二、应用举例
1 0 3 1 0 0 2 0 4
1 9 9 2 0 0 3 9 5
3 0 1 3 0 0 6 0 0
解 1
c
D
拆
1 0 0 1 0 0 2 0 4
2 0 0 2 0 0 3 9 5
3 0 0 3 0 0 6 0 0
3 1 0 0 2 0 4
1 2 0 0 3 9 5
1 3 0 6 0 0
??
3 1 0 0 2 0 0
1 2 0 0 4 0 0
1 3 0 0 6 0 0
??3
0
c
?
拆
3 1 0 0 4
1 2 0 0 5
1 3 0 0 0
??
3 10 0 20 4
1 20 0 39 5
1 30 0 60 0
?
3 1 0 0 2 0 0
1 2 0 0 4 0 0
1 3 0 0 6 0 0
??
0??3 0 0 4
1 2 0 0 5
1 3 0 0 0
??3c拆
3 1 4
1 0 0 1 2 5
1 3 0
??
2
100
c
3 8 4
10 0 1 5 5
1 0 0
?
??213cc?
3 8 4
10 0 1 5 0
1 0 0
??
?32cc?
1 0 0 2 0?? 2000?
例 2
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
x
x
x
x
??
? ? ?
??
? ? ?
1 1 1 1
00
00
00
x
xx
xx
xx
??
?
?
?
1
2,3,4
irrD
i
?
?解
1 1 1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
x
x
x
x
?
4
1,2,3
icc
i
?
?
?
4x?
例 3
n
x a a
a x a
D
a a x
?
1
2,3,4
irrD
i
?
?解
0
0
x a a
a x x a
a x x a
??
??
( 1 )
00
00
x n a a a
xa
xa
??
?
?
1
2,,
icc
in
?
?
?
? ? ? ? 1( 1 ) nx n a x a ?? ? ? ?
23
13
12
1 2 3
.
n
n
n
x a a a
a x a a
a a x aD
a a a x
?
例 4
1
2,3,4
irrD
i
?
?解
23
12
13
1
00
00
00
n
n
x a a a
a x x a
a x x a
a x x a
??
??
??
1,,
i
i
c
xa
in
?
?
? ?
32
1 2 3
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 1
n
n
i
aaxa
x a x a x a x a
xa
? ? ? ?
?
?
?
?
?
1
2,,
icc
in
?
?
?
? ?
32
23
1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
in
in
i
a a aa
x a x a x a x a
xa
?
? ? ? ?
?
?
?
? ? 1 ii
i
axa
xa
??? ? ?
?? ?
??
??
计算行列式技巧,
1、分析，探求行列式的结构
2、化零，尽可能把行列式化为爪型
4、靠边，把行列式化为三角形行列式
3、对角化,边化 1 1?
5、求出行列式
6、整理思路
三、小结
课前复习
性质 1 行列式与它的转臵行列式相等,即, TDD?
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相
同，则此行列式为零,
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以
同一数,等于用数 乘此行列式, k k
推论 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则
此行列式为零,
性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之
和,则这个行列式等于两个行列式之和,
性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一
数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式不
变,
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第
列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的 余
子式,
n ija i j
1?n ija
? ?1 ij iji j MA ???,叫做元素 的 代数余子式, ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
一、余子式与代数余子式
.ijM记作
,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 122112 1 MA ???,12M??
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M ?
? ?,1 44444444 MMA ??? ?
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个
代数余子式,
即, ij ijD a A?
外都为零，那末这行列式等于 与它的代数余子式 ija ija
引理
的乘积,ijA
n i一个 阶行列式，如果其中第 行所有元素除
证 当 位于首位时,即 ija
2 1 2 2 2
12
11
00
n
n n nn
a a a
a a a
a
D ?
即有,1111 MaD ?
又 ? ? 111111 1 MA ???,11M?
从而,1111 AaD ?
命题得证
1 1 1 1
1
00
jn
n nj nn
ij
a
a a a
D
a a a
?
得
? ?
1
1,1 1,1,
1
00
1
i
ii
ij
j i n
n nj nn
a a aD
a
a a a
?
? ? ?
??
把 的第 行依次与第 行，第 行,… 第 1行对调 D i 1i? 2i?
下证一般情形,此时
得
? ? ? ?
11
1,1,1 1,
,1
00
11
ij
i j i
ij
j i n
nj n j nn
a a aD
a a a
a
??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
把 的第 列依次与第 列，第 列,… 第 1列对调 D j 1j? 2j?
? ? 1,1,1 1,
,1
00
1
ij
i j i
ij
j i n
nj n j nn
a a a
a a a
a
?
? ? ? ?
?
??
1 1 1 1
1
00
jn
n nj nn
ij
a
a a a
D
a a a
?
中的余子式,ijM
1,1,1 1,
,1
00
i j i j i n
n j n j n n
ij
a a a
a a a
a
? ? ? ?
?
注意到,
元素 在行列式 ija
中的余子式仍然是 在行列式 ija
? ? 1,1,1 1,
,1
00
1
ij
i j i j i n
nj n
ij
j nn
a
a a aD
a a a
?
? ? ? ?
?
??
? ?,1 ijijji Ma???
于是有
1,1,1 1,
,1
00
i j i j i n
n j n j n n
ij
a a a
a a a
a
? ? ? ?
?
,ijij Ma?
故
.ij ijD a A?即 所以命题得证
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对
应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
证
1 1 1 2 1
12
12
0 0 0 0 0 0
n
i i in
n n nn
a a a
a a aD
a a a
? ? ? ? ? ? ? ? ??
二、行列式按行（列）展开法则
1 1 2 2j j j j n j n ja A a A a A? ? ? ?? ?,2,,jn?
定理
利用行列式的性质四 --拆分原理有
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
21
11211
00??
ininiiii AaAaAa ???? ?2211 ? ?ni,,2,1 ??
行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对
应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?
).(,02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?
推论
命题得证
把行列式 按第 行展开有 d e t ( )ijDa? j证
j第 行
i第 行
11 1
1
11
1
1
n
i in
j j jn jn
j jn
n n n
aa
aa
D a A a A
aa
aa
? ? ? ?
把行列式中的 换成 可得 jka ( 1,,)ika k n?
1 1 2 2i j i j i n j na A a A a A? ? ?
1i i naa
相同
,if i j?
).(,02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?
同理 ).(,02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?
命题得证
关于代数余子式的重要性质
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当
当?
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当
当?
??
?
?
???
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
例 1
计算行列式常用方法：化零，展开,
三、应用举例
0 1 0 4
2 1 0 2
1 2 3 2
0 2 0 1
33
0 1 4
( 1 ) 3 2 1 2
0 2 1
D ???
12 14( 1 ) 2 3
21
?? ? ?
( 6 ) ( 7 ) 42? ? ? ? ?
解
例 2
3 0 4 0
2 2 2 2
0 7 0 0
5 3 2 2
?
?
第四行各元素余子式之和为
分析
4 1 4 2 4 3 4 4M M M M???
以 表示 中元素 的余子式，则有 ijaijM D
3 0 4 0
2 2 2 2
0 7 0 0
1 1 1 1
?
?
??
4 1 4 2 4 3 4 4A A A A? ? ? ? ?3 4 0
7 2 2 2
1 1 1
?
??
3 4 0
14 1 1 1
0 0 2
? 34
28 11?
28??
28?
例 3
1 2 2 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
.
0 0 0 1
n n n
x
x
x
D
x
a a a a a x
??
?
?
?
?
?
1( 1 ) nna ?? 21 ( 1 ) nna ????
32 ( 1 ) nna ???? 1( 1 ) ( )nn xa?? ? ?
211 2 1 nnn n na a x a x a x x???? ? ? ? ? ?
nExp r
D 1( 1)n?? 2( )n x??
32( 1 x?? 1nx ?
例 4 计算范德蒙德 (Vander monde)行列式
12
2 2 2
12
1 1 1
12
1 1 1
n
nn
n n n
n
x x x
x x xD
x x x
? ? ?
?
将前一行乘以 加到后一行上 1x?解 （从后往前）
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0 ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
n
nnn
n n n
nn
x x x x x x
x x x x x x x x xD
x x x x x x x x x
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
2 1 3 1 1
2 2 1 3 3 1 1
2 2 2
2 2 1 3 3 1 1
1 1 1 1
0
0 ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
n
nnn
n n n
nn
x x x x x x
x x x x x x x x xD
x x x x x x x x x
? ? ?
? ? ?
? ? ??
? ? ?
1()ixx?按第一列展开，并把每一列的共因子 提出，有
23
2 1 3 1 1
2 2 2
23
1 1 1
( ) ( ) ( )
n
nn
n n n
n
x x x
D x x x x x x
x x x
? ? ?
? ? ? ?
n-1阶范德蒙德行列式
22
1
( ),ij
n i j
aa
? ? ?
???
2 1 3 1 4 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x? ? ? ? ?
3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( )nnx x x x x x D ?? ? ?
2 1 3 1 4 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )n n nD x x x x x x x x D ?? ? ? ? ? ?
4 3 3 3( ) ( )nnx x x x D ???
2 1 3 1 4 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x? ? ? ? ?
3 2 4 2 2( ) ( ) ( )nx x x x x x? ? ?
4 3 3( ) ( )nx x x x??
2 1 3 1 4 1 1( ) ( ) ( ) ( )nx x x x x x x x? ? ? ? ?
3 2 4 2 2( ) ( ) ( )nx x x x x x? ? ?
1()nnxx ??
).(
1 jjin i
xx ?? ?
???
2
2
2
1 1 1
2 2 2
.3 3 3
n
n
n
n
D
n n n
?
解
21
21
21
1 1 1 1
1 2 2 2
!.1 3 3 3
1
n
n
n
n
Dn
n n n
?
?
?
?
每一行提取各行的公因子,于是得到
例 5 计算
上面等式右端行列式为 n阶范德蒙行列式，由范
德蒙行列式知
1
! ( )
n i j
n i j
? ? ?
??nD ?
! ( 2 1 ) ( 3 1 ) ( 4 1 ) ( 1 )nn? ? ? ? ?
( 3 2 ) ( 4 2 ) ( 2 )n? ? ? ?
[ ( 1 ) ]nn??
! ( 1 ) ! ( 2 ) ! 2 ! 1 !,n n n? ? ?
( 4 3 ) ( 3 )n? ? ?
四、行列式按某 k行 (列 )展开（ Laplace定理）
定义 ( 1 1 ),kn? ? ?
位于这些行和列交叉处的 个元素，按照原来的顺序 2k
定义
行标、列标,
在 阶行列式中,任意取定 行 (列 ) n k
构成一个 阶行列式,称为 的一个 阶子式, M kDk
划去这 行 列，余下的元素按照原来的顺序 k k
构成一个 阶行列式，称为 的 余子式,在其前面 nk? M
1 2 1 2( 1 ) kki i i j j j? ? ? ? ? ? ??,称为 的 代数余子式, M冠以符号
1 2 1 2,,,,,,,kki i i j j j分别为 阶子式在 中的 其中 Dk
n行列式 共有 个 阶子式, ? ?2knC k
例 6 求行列式
2 3 5 4
0 2 3 0
2 1 2 3
0 1 1 0
D ?
24,E x p r rD
解 2 4 2 3( 1 ) ? ? ??
( 1 ) ( 1 ) ( 2 )? ? ? ?2??
定理 ( 1 1 ),kn? ? ?在 阶行列式中,取定 行 (列 ) n k
式的乘积之和等于行列式,
由这 行 (列 )组成的所有 阶子式与它们的代数余子 k k
D
1 1 2 2 ttD M A M A M A? ? ? ?即
24
23
23
11
例 7 求行列式
2 n
ab
ab
ab
D
cd
cd
cd
?
ab
cd
nab
cd
? () na d b c??
每次按第一、最后一行展开 解
ab
cd?
ab
cd??D?
42
31
kk
kk
??
??
例 8 求行列式
13
57
2
13
68
24
kk
D
kk
?
?
??
13
24
3
4( 2 )
k ???
每次按中间两行展开 解
57
68
2
13
kk
kk
?
??D?
42
31
kk
kk
??
??
五、小结
余子式与代数余子式
ija
记作,
划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的 余子式,
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列 n i j
1n? ija
ijM
? ?1 ijij ijAM ???,叫做元素 的 代数余子式, ija记
关于代数余子式的重要性质
1
,,
0,;
n
k i k j i j
k
D i ja A D
ij??
????
? ?
??
当
当
1
,,
0,;
n
i k j k i j
k
D i ja A D
ij??
????
? ?
??
当
当 1,
0,.ij
ij
ij?
???
? ?
?
，当
当
六、思考题
n
n
D
n
?
?????
?
?
?
001
0301
0021
321
?
求第一行各元素的代数余子式之和,
解
nAAA 11211 ??? ?
n?
?????
?
?
?
001
0301
0021
1111
?
.11!
2
???
?
???
? ?? ?
?
n
j j
n
第一行各元素的代数余子式之和为
课前复习
余子式与代数余子式
ija
记作,
划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的 余子式,
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列 n i j
1n? ija
ijM
? ?1 ijij ijAM ???,叫做元素 的 代数余子式, ija记
关于代数余子式的重要性质
1
,,
0,;
n
k i k j i j
k
D i ja A D
ij??
????
? ?
??
当
当
1
,,
0,;
n
i k j k i j
k
D i ja A D
ij??
????
? ?
??
当
当 1,
0,.ij
ij
ij?
???
? ?
?
，当
当
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n nn n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
设线性方程组
若常数项 不全为零，则称此方程组 12,,,nb b b
若常数项 全为零，则称此方程组为 12,,,nb b b
1、非齐次与齐次线性方程组的概念
一,Cramer法则
为 非齐次线性方程组 ；
齐次线性方程组,
使得方程组成立的一组数 称为 此方 12,,,nx x x
程组的解,
如果线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ??
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?
2,Cramer法则
定理
那么线性方程组有解，并且解可以 唯一 表示为
312
1 2 3,,,,.
n
n
DDDDx x x x
D D D D? ? ? ?
右端的常数项代替后所得到的 阶行列式, n
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组 iDiD
二、几个结论
1、线性方程组的相关定理
定理
定理
的系数行列式必为零,
如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它
方程组一定有解,且解是唯一的,
0D?如果线性方程组的系数行列式,则线性
2、齐次线性方程组的相关定理
0?D如果齐次线性方程组的系数行列式,则
齐次线性方程组没有非零解,即当且仅当只有零解,
如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行
列式必为零,
定理
定理
如果齐次线性方程组恒有零解, 定理
52
25D ?
今有牛五羊二，直金十两，牛二羊五，直金八两，
问牛羊各直几金？
例 1
12
12
5 2 10,
2 5 8.
xx
xx
???
? ??
?
52
25D ? 25 4?? 21 0,??
1D 34,? 20,?
D
Dx 1
1 ??
34,
21 D
Dx 2
2 ?
20.
21?
解,牛羊分别直 12,xx金，记
10
8
52
25D ?2D
10
8
例 2 用 Cramer法则解方程组
1 2 1
1 2 1
1 2 1
1 2 1
2
22
( 1 ) 2
2
nn
nn
nn
nn
x x x x
x x x x
x n x x x
n x x x x
?
?
?
?
? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ?
?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ??
?
解
易见
1 1 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1
D
n
n
?
?
0?
1 1 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1
D
n
n
?
?
()in?
0?
i
i
Dx
D?
所以，线性方
程组的解 唯一
2D? n
n
Dx
D?
()in?
2?
0?
2
2
2
2
1
1
1
1
1 1 1 1
1 1 2 1
1 1 1 1
1 1 1
D
n
n
?
?
2
2
2
2
nD
iD
例 3 齐次方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
( 1 ) 2 4 0
2 ( 3 ) 0
( 1 ) 0
x x x
x x x
x x x
?
?
?
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
?
有非零解,问 取何值时？ ?
解
?
?
?
?
?
??
?
111
132
421
D
?
?
??
?
?
???
?
101
112
431
1 3 ( 1 ) ( 1 ) 4
2 1 2 ( 1 ) 1
1 0 0
? ? ?
??
? ? ? ? ?
? ? ? ?
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解, 20 ?? ??,3?
1 ( 1 )( 3 )
1 2 1
??
??
????
??
2
10( 3 )
12? ? ? ??? ??
2( 3 ) ( 2 )? ? ?? ? ?
23 2 3
1 2 1
? ? ?
??
? ? ? ??
??
( 2 ) ( 3 )? ? ?? ? ? ?
1、用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ;
(2)系数行列式不等于零,
2,Cramer法则建立了线性方程组的解和已知的系
数与常数项之间的关系,它主要适用于理论推导,
三、小结
3、如果线性方程组的系数行列式 则线
性方程组一定有解,且解是唯一的,
,0?D
4、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它
的系数行列式必为零,
证明
.的 非 零 解
0,0,0a x b y c b x c y a c x a y b? ? ? ? ? ? ? ? ?
四、思考题
证 明 平 面 上 三 条 不 同 的 直 线
0.a b c? ? ?相 交 于 一 点 的 充 分 必 要 条 件 是
00(,),M x y必 要 性 设 所 给 三 条 直 线 交 于 一 点
0 0,,1x x y zy? ? ?则 可 视 为 齐 次 线 性 方 程 组
0,
0,
0
ax by c z
bx c y az
c x ay bz
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ?
?
abc
b c a
c a b
从 而 有 系 数 行 列 式0.?
,
,
a x b y c
b x cy a
cx a y b
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ?
?
（ １ ）
,,,,a b c因 为 三 条 直 线 互 不 相 同 所 以 也 不 全 相 同
0,a b c? ? ?充 分 性 如 果 将 方 程 组
3 3 33D ab c a b c? ? ? ?
? ?2 2 21 () ( ) ( ) ( )2 a b c a b b c c a??? ? ? ? ? ? ?? ? ?????
0.a b c? ? ?故
的 第 一, 二 两 个 方 程 加 到 第 三 个 方 程, 得
,
,
0 0,
a x b y c
b x cy a
? ? ??
?
? ? ??
? ?
?
（ ２ ）
.下 证 此 方 程 组 （ ２ ） 有 唯 一 解
2 22( ) 2[ ( ) ]b a c a c a cac ac? ? ? ? ? ? ???由 得,
2200ab a c a cbb
bc ? ? ? ? ?如 果, 则,
22( ) 0 0,a c a cac? ? ? ? ?于 是, 从 而 有
把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元
素的 全排列 （或 排列 ）,
n n
个不同的元素的所有排列的种数用 表示,
且,
n nP
!nPn ?
１ 排列
２ 逆序数
逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为偶
数的排列称为 偶排列,
在一个排列 中，若数,
则称这两个数组成一个 逆序,一个排列中所有逆序
的总数称为此排列的 逆序数,
1 i j np p p pijpp?
３ 对换
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元
素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，
叫做 相邻对换,
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性,
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
4 n阶行列式的定义
? ?
nppp
ppp
t
nnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D ?
?
???????
?
?
?
21
21
22221
11211
21
21
1? ???
? ?
12
12
121 n
n
t
p p n p
p p p
D a a a???或
其中 为排列 的逆序数, t 12 np p p
5 n阶行列式的性质
性质 1 行列式与它的转臵行列式相等,即, TDD?
性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
推论 如果行列式有两行（列）的对应元素完全
相同，则此行列式为零,
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数,等于用数 乘此行列式, k k
推论 2 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式为零,
性质 4 若行列式的某一列（行）的元素都是两
数之和,则这个行列式等于两个行列式之和,
性质 5 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同
一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，行列式
不变,
6 行列式按行和列展开
余子式与代数余子式
ija
记作,
划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的 余子式,
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列 n i j
1n? ija
ijM
? ?1 ijij ijAM ???,叫做元素 的 代数余子式, ija记
关于代数余子式的重要性质
1
,,
0,;
n
k i k j i j
k
D i ja A D
ij??
????
? ?
??
当
当
1
,,
0,;
n
i k j k i j
k
D i ja A D
ij??
????
? ?
??
当
当 1,
0,.ij
ij
ij?
???
? ?
?
，当
当
7 Cramer 法则
在线性方程组中
若常数项 不全为零，则称此方程组
为 非齐次线性方程组 ；
12,,,nb b b
若常数项 全为零，则称此方程组
为 齐次线性方程组,
12,,,nb b b
如果线性方程组的系数行列式 则线
性方程组一定有解,且解是唯一的,
,0?D
如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它
的系数行列式必为零,
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 1 2 1 2 2 2 3 2 3 1 k k k k k k? ? ? ?
逆序数的求法
0 1 1 2 3 ( 1 )t k k? ? ? ? ? ? ? ?2k?
( 2 1 ) ( 2 3 ) ( 2 5 ) 1t k k k? ? ? ? ? ? ? ?2k?
解
另
行列式的求法
1、定义法
1 2 1
1
2
1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
nn
n
a a a a
b
b
b
?
?
2、展开法
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
000
0 0 0
xy
xy
x
xy
yx
3、加边法
2
1 1 2 1
2
2 1 2 2
2
12
1
1
1
n
n
n n n
x x x x x
x x x x x
x x x x x
?
?
?
4、拆分法
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
? ? ?
? ? ?
? ? ?
5、递推法
9 5 0 0 0 0
4 9 5 0 0 0
0 4 9 0 0 0
0 0 0 9 5 0
0 0 0 4 9 5
0 0 0 0 4 9
n
6、三角法
1
2
0 1 1 1
1 0 0
1 0 0
1 0 0
n
a
a
a
7,Laplace展开定理
1 1 1 2 1 3 1 4 1 5
2 1 2 2 2 3 2 4 2 5
3 1 3 2
4 1 4 2
5 1 5 2
000
000
000
a a a a a
a a a a a
aa
aa
aa
9、综合法
1 3 3 3
3 2 3 3
3 3 3 3
333 n
8,Vander monde行列式
11
1 1 1 1 1 1
11
2 2 2 2 2 2
1
11
1 1 1 1 1 1
n n n n
n n n n
n
n n n n
n n n n n n
a a b a b b
a a b a b b
D
a a b a b b
??
??
?
??
? ? ? ? ? ?
?
10、降阶法 （略）
,
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
?
????
?
?
?
,
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
ababa
baaba
babaa
D
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
?
????
?
?
??
?
??
?
11、定义证明
证明 12DD?
12、数学归纳法
c os 1 0 0 0
1 2 c os 1 0 0
0 1 2 c os 0 0
c os,
0 0 0 1
0 0 0 1 2 c os
n
Dn
?
?
?
?
?
??
计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可
以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方
法综合应用,
在计算时，首先要仔细考察行列式在构造上
的特点，利用行列式的性质对它进行变换后，再
考察它是否能用常用的几种方法,
小结
Cramer法则
求一个二次多项式,使
( 1 ) 0,( 2 ) 3,( 3 ) 2 8f f f? ? ? ?
()fx
解 设所求的二次多项式为
,)( 2 cbxxaxf ???
由题意得
,2839)3(
,324)2(
,0)1(
?????
????
????
cbaf
cbaf
cbaf
.20,60
,40,020
32
1
???
?????
DD
DD
由克莱姆法则，得
.1,3,2 321 ??????? DDcDDbDDa
于是，所求的多项式为
.132)( 2 ??? xxxf
11 12 13 1
21 22 23 3
31 32 33 3
1 2 3
n
n
n
m m m m n
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
??
??
??
??
??
1、某班级同学早餐情况
这个数表反映
了学生的早餐
情况,
姓名 馒头 包子 鸡蛋 稀饭
周星驰 4 2 2 1
张曼玉 0 0 0 0
陈水扁 4 9 8 6
4 2 2 1
0 0 0 0
4 9 8 6
??
??
??
??
为了方便，常用下面的数表表示
一、矩阵的引入
2、某航空公司在 Ａ，Ｂ，Ｃ，
Ｄ 四城市之间的航线图
其中 √ 表示有航班,
为了便于计算,把表中
的 √ 改成１,空白地方
填上０,就得到一个数表,
新乡
伊朗
天水
上海
这个数表反映
了四城市间交
通联接情况,
为了方便，常用下面的数表表示
0 1 1
11
1 1
1
0
0
0 0
0
0 00
天水
伊朗
新乡
上海
发站
天水 伊朗 新乡 上海
到站
0 1 1 0
1 0 1 0
1 0 0 1
0 1 0 0
??
??
??
??
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
3、线性方程组
的解取决于 ? ?,1,2,,( ),ija i j n m?系数 ? ?
1,2,,ib i m?常数项
11 12 1 1
21 22 2 2
12
n
n
m m m n m
a a a b
a a a b
a a a b
??
??
??
??
线性方程组的系数与常数项按原位臵可排为
对线性方程组的
研究可转化为对
这张表的研究,
?
?
?
二、矩阵的定义
定义
()ij m nAa ??
）排成的 行 列的矩形数表，称为数域 m n
由数域 中的 个数 （ nm? ijaF 1,2,,;im?
1,2,,jn?
记作,
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
mnA ? ()ija
元素
行标
列标
ija 称为矩阵 的 元, A (,)ij
中的一个 矩阵, mn?F
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
注,１,
只有一行的矩阵称为 行矩阵,
只有一列的矩阵称为 列矩阵,
２,
３,行数与列数相等的矩阵称为 ｎ阶方阵,
４,
若,且, ( ),( )i j m n i j s tA a B b????,m s n t??
称 两矩阵同型,
５,
称为 方阵的行列式, A
若,且, ( ),( )i j m n i j m nA a B b????ij ijab?
称 两矩阵相等,
６,
例如
?
?
??
?
?
? 3469
5301 实矩阵 42?
1 3 6 2
2 2 2
2 2 2
i??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
2
1
? ?9532
矩阵（行矩阵） 41?
??4
矩阵（１阶方阵） 11?
矩阵 13?
（列矩阵）
33?
复矩阵
３阶方阵
12
11
21
??
??
??
??
??
01
23
22
??
??
??
??
??
两矩阵同型
1 1 3
2 0 2
??
????
1 1 3
2 0 2
??
????
两矩阵相等
三、几种特殊的矩阵
１,零矩阵
mn? 个 元素全为零的矩阵称为 零矩阵,
注意 不同的零矩阵未必相等的,
记作 或, OmnO ?
２,对角矩阵
主对角线以外的所有 元素全为零的方阵称为 对角阵,
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
????
?
?
00
00
00
2
1
O
O
不全为 0
记作 ? ?12,.,,nd ia g ? ? ???
３,单位矩阵
主对角线上的所有 元素全为 1的对角阵称为 单位阵,
1 0 0
0 1 0
0 0 1
??
??
??
??
??
??O
O
全为 1
记作,E
4,数量矩阵
00
00
00
?
?
?
??
??
??
??O
O
记作,E?
主对角线上的所有 元素全为 的对角阵称为 数量阵, ?
全为 ?
5,三角矩阵
形如
形如
1 1 1 2 1
2 2 2
n
n
nn
a a a
aa
a
??
??
??
??
11
21 22
12n n n n
a
aa
a a a
??
??
??
??
的矩阵称为
上三角矩阵,
的矩阵称为
下三角矩阵,
上三角矩阵与下三角矩阵统称为 三角阵,
记作 ? ?.tri a A
6,负矩阵
称满足下列两个条件的矩阵为 行 阶梯形矩阵,
1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；
若
11 1
1
n
m m n
aa
A
aa
??
???
??
??
，则称
11 1
1
n
m m n
aa
aa
????
??
????
??
为 的 负矩阵, A 记作,A?
7,行 阶梯形矩阵
2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
40000
31000
23200
10010
1 2 3 1
0 0 1 4
0 0 0 2
0 0 0 0
??
??
??
??
??
??
0 1 2 1
0 0 0 5
0 0 0 0
??
??
??
??
2 1 2 1
0 1 1 1
0 0 1 2
0 0 0 5
??
??
??
??
??
??
如
0 0 0 0 1
00000
00000
??
??
??
??
? ?a
称满足下列三个条件的矩阵为 行最简形矩阵,
1）行阶梯形矩阵
8,行最简形矩阵
2）各非零行的首非零元均为 1,
3）首非零元所在列其它元素均为０,
0 1 2 0
0 0 0 1
0 0 0 0
??
??
??
??
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
??
??
??
??
??
??
如 0 0 0 0 1
00000
00000
??
??
??
??
称满足下列两个条件的矩阵为 标准形,
1）左上角为单位阵；
９,标准形
２）其它元素均为０, 1 0 0 0
0 1 0 0
0000
??
??
??
??
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
??
??
??
??
??
??
如
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
??
??
??
??
1 0 0
0 1 0
0 0 1
000
??
??
??
??
??
??
1 0 0 0
0000
0000
??
??
??
??
EO
OO
??
????
之间的关系式
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
?????????
?
?
一个 线性变换,
四、矩阵与线性变换的关系
1 2 1 2,,,,,,nmn x x x m y y y个变量 与 个变量
1 2 1 2,,,,,,nmx x x y y y表示一个从变量 到变量
ija其中 为常数,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
?????????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
??
线性变换的系数构成的矩阵称为 系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
若线性变换为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
xy
xy
xy
???
,
,
22
11
称之为 恒等变换,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
xy
xy
xy
???
,
,
22
11
对应
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
100
010
001
?
????
?
?
单位阵,
线性变换
1 1 2
2 1 2
3 2.5,
2.5 2,
y x x
y x x
???
? ??
?
对应 3 2,5
2,5 2
??
????
线性变换
??
?
??
??
.c o ss in
,s inc o s
1
1
yxy
yxx
??
??对应 ?
?
??
?
? ?
??
??
c o ss in
s inc o s
X
Y
O ?
? ? ?yxP,
? ?111,yxP
这是一个以原点为中心
旋转 角的 旋转变换, ?
( c o s,sin )P r r??
1 ( c o s ( ),s i n ( ) )P r r? ? ? ?? ? ?
(1)矩阵的概念
五、小结
(2) 特殊矩阵
?
?
?
?
?
?
?
方阵 ? ?;nm ?
行矩阵与列矩阵；
单位矩阵；
对角矩阵 ；
零矩阵,
.
100
010
001
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
,
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
B
?
? ?,,,,21 naaaA ??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
n
?
?
?
?
???
?
?
00
00
00
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
0000
0000
0000
0000
2 0 5 0
0 10 7 0
3 0 5 5
0 5 0 1
??
??
??
??
??
??
矩阵与行列式的有何区别?
思考题
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个
算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，
而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以
不同,
解答
课前复习
1、矩阵的定义
形数 表，称为数域 Ｆ 中的一个 ｍ × ｎ 矩阵,
由数域 Ｆ 中的ｍ × ｎ个数 排成的ｍ行ｎ列的矩 ija
记作,
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
注,实矩阵, 复矩阵，行矩阵, 列矩阵，方阵，方阵
的行列式，两矩阵同型，两矩阵相等,
2、几种特殊的矩阵
1） 零矩阵
ｍ × ｎ 个 元素全为零的矩阵称为 零矩阵,
2） 对角矩阵
主对角线以外的所有 元素全为零的方阵称为 对角阵,
3） 单位矩阵
主对角线上的所有 元素全为１的对角阵称为 单位阵,
4） 数量矩阵
主对角线上的所有 元素全为 λ 的对角阵称为 数量阵,
5） 三角矩阵
上三角矩阵与下三角矩阵统称为 三角阵,
6） 负矩阵
称满足下列两个条件的矩阵为 阶梯形矩阵,
1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；
7） 阶梯形矩阵
2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,
称满足下列三个条件的矩阵为 行最简形矩阵,
1）行阶梯形矩阵
8） 行最简形矩阵
2）各非零行的首非零元均为１,
3）首非零元所在列其它元素均为０,
称满足下列两个条件的矩阵为 标准形,
1）左上角为单位阵；
9） 标准形
２）其它元素均为０,
一、矩阵的加法
1、定义
注意,只有 同型矩阵 才能进行 加法 运算,
()i j i j m nA B a b ?? ? ?
( ),( )i j m n i j m nA a B b????,若
规定
2、运算规律 （设 ＡＢＣＯ 均是同型矩阵）
（ 1） （交换律） A B B A? ? ?
（ 2） （ 结合 律） ( ) ( )A B C A B C? ? ? ? ?
（ 3） A O A??
（ 4） ()A A O? ? ?
（ 5） （减法） ()A B A B? ? ? ?
二、数乘矩阵
1、定义 ( ),,i j m nA a R????
() i j m nA A a? ? ? ???
若
规定
2、运算规律 （设 均是 矩阵,） A B C mn?,R?? ?
1 AA?（ 1） ( ) ( )AA? ? ? ??（ 2）
()A B A B? ? ?? ? ?（ 3） () A A A? ? ? ?? ? ?（ 4）
（ 6） OO? ?
1）数乘矩阵是数 λ 去乘 Ａ 中的每一个元素, 注意,
0 AO?（ 5）
2）若,则 AO? ?
0,,,, 0,,o r A O o r a nd A O??? ? ? ?
矩阵的加法与数乘矩阵合称为矩阵的 线性运算,
三、矩阵的乘法
1、引例 设甲、乙两家公司生产 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 三种 型
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
???
????
如果生产这三种型号的计算机每台的利润 (单位,万
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
甲
乙
2 5 2 0 1 8
2 4 1 6 2 7
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
0.5
0.2
0.7
11
21
31
b
b
b
??
???
??
??
??
0,5
0,2
0,7
B
??
???
??
??
??
2 5 2 0 1 8
2 4 1 6 2 7A
???
????
那么这两家公司的月利润 (单位：万元 ) 为多少?
号的计算机，月产量（单位：台）为
元／台 )为
2 9,1
3 4,1
???
????
C?
2 5 0, 5 2 0 0, 2 1 8 0, 7
2 4 0, 5 1 6 0, 2 2 7 0, 7
? ? ? ? ????
??? ? ? ? ???
甲公司每月的利润为 29.1万元，乙公司的利润为
由例题可知矩阵 Ａ, Ｂ, Ｃ 的元素之间有下列关系
1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1 11
2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 1
a b a b a b c
C AB
a b a b a b c
???? ??
? ? ??? ??
?? ????
1 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 1
2 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1
a b a b a b
a b a b a b
????
? ????
??
11 12 13
21 22 23
a a a
a a a
??
????
11
21
31
b
b
b
??
??
??
??
??
34.1万元,
依题意
2、定义
( ),i j m nA B C c ???
( ) ( ),i j m nss ijA a B b????,若
规定
1 1 2 2
1
ij i j i j is sj ik kjc a b a b a b a b
?
? ? ? ? ?
ｓ
ｋ
＝其中
1 2 1 2i m j n??（,,, ；,,, ）
注,1）条件 左 矩阵 Ａ 的 列 数等于 右 矩阵 Ｂ 的 行 数
2）方法 C ijc
等于 左 矩阵 的 第 行 与 右 矩阵 的 第 列 对应元素
左行右列法 —— 矩阵乘积 的元素
A B ji
乘积的和,
3）结果 左行右列 —— 左 矩阵 Ａ 的 行 数 为 乘积
Ｃ 的行数, 右 矩阵 Ｂ 的 列 数为乘积 Ｃ 的列数,
特别,
? ?
11
21
1 1 1 2 1
1
s
s
b
b
a a a
b
??
??
??
??
??
??
1 1 1 1 1 2 2 1 1 1ssa b a b a b? ? ?11kkab? ?
? ?
11
21
11 12 1
1
s
s
a
a
b b b
a
??
??
??
??
??
??
1 s? 1s?与 矩阵的乘积
1 s?1s? 与 矩阵的乘积为
11 11 11 12 11 1
21 11 21 12 21 1
1 11 1 12 1 1
s
s
s s s s
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
??
??
?
??
??
为一阶方阵，即一个数
一个ｓ阶方阵
例 1 设 2 2 5 2 2 5,,,2 2 3 1 6 2A M N? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
解
,) ),,.M N A M N M N A A M A N? ? ?求 (,(
22
22AB
???
??????
33
33
?
?
00
00
???
????
1 2 1 2
1 2 1 2
???
??????BA?
33
33
???
?????
22
22
??
??????
AM ? AN ?1 6 61 6 6??????
??
1 6 6
1 6 6
??
??????
33
33
????
?????
5 2 2 5
3 1 6 2B M N
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ??? ? ? ?
3、矩阵相乘的三大特征
1、无交换律
2、无消去律
3、若
AB BA?
A M A N? MN??
A B O?,.A O or B O???
4、运算规律
（假定所有运算合法,是矩阵,） A B C,R?? ?
()A B C AC BC? ? ?
()AB C A BC?（ 1） ( ) ( ) ( )A B A B A B? ? ???（ 2）
()A B C AB AC? ? ?（ 3）
（ 4） A O O A O??（ 5） E A A E A??
注 O E不尽相同,亦不尽相同,
定义 对于矩阵,若,称 与 可交换,,AB A B B A? BA
例 2 设,求 的所有可交换矩阵, A
10
21A
???
????
解 12
34
xxX
xx
???
????设 A X X A?，于是
即 1 2 1 2
3 4 3 4
1 0 1 0
2 1 2 1
x x x x
x x x x
? ? ? ?? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
12
1 3 2 422
xx
x x x x
??
??????
建立方程组得 1 4 2 3,0,x x x x R? ? ?
1
31
0 0.,,(,)x aX or X a b R
xx ba
?? ??? ? ?
?? ??????所以
1 2 2
3 4 4
2
2
x x x
x x
????
?????
四、方阵的幂
1、定义
k
k
A A A A?
( ),,i j n nA a k Z ????
规定
若
注,1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵,
2,只能是正整数, k
（ 1） 1 2 1 2k k k kA A A ???（ 2） 1 2 1 2()k k k kAA?
2、运算规律 （设 均是 阶方阵,） AB 12,,k k k Z ??n
（ 4） kEE?（ 3） () k k kAA???
（ 5） 1 2 2 2 2 1k k k k kA A A A A A A A A? ? ? ?? ? ? ? ?
（ 6） ? ? ? ? 1kkA B A B A B??
注,? ?kAB kkAB?（ 1）
? ?2AB?? 222A A B B??（ 2）
（ 7） ? ?kAE??
1 1 2 2 2 1 1k k k k k kk k kA C A C A C A E? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
例 3
1
01A
????
????设,计算 23,,.kA A A
2 11
0 1 0 1A
??? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?解
12
01
????
????
32 1 1 2
0 1 0 1A A A
??? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?
13
01
????
????
下用 数学归纳法 证明
1
01
k kA ???? ??
??猜想
当 时，等式显然成立, 2n?
当 时，等式成立,即 nk?
11 ( 1,2,)
0 1 0 1
k
k kAk ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
等式成立,所以 猜想正确,
要证 时成立，此时有 1nk??
1 11
0 1 0 1
kk kA A A ??? ? ? ? ??? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?11
01
k ?????
??
??
解
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
A B E
?
??
?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
例 4 设,计算,
10
01
00
A
?
?
?
??
???
??
??
kA
2
0 0 1
0 0 0,
000
B
??
???
??
??
3
000
0 0 0,
000
B
??
???
??
??
易见
? ?3 3 3 3k k kB B B O B O k??? ? ? ?
? ? kkA B E???
1 1 2 2 2 1 1k k k k k kk k kB C B C B C B E? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1 1 2 2 2 3 3 3k k k kk k kE C B C B C B O O? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?1
1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0
kk k?? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
.
??
??
? ??
??
??
? ? 2
0 0 1
1
000
2
000
kkk ? ?
??
??? ??
? ?? ??
??
??
12
1
( 1 )
2
0
00
k k k
kk
k
kk
k
k
? ? ?
??
?
??
?
?
把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩
阵，叫做 的 转臵矩阵,记作,,.A o r A? ?
A
A
例,854 221 ?
?
??
?
??A
14
2 5,
28
TA
??
???
??
??
??
? ?9 6,B ?
9,
6
TB ??? ??
??
五,矩阵的转臵
1、定义
2、运算规律
（假定所有运算合法,是矩阵,） AB R??
? ?TTAA?（ 1） () T T TA B A B? ? ?（ 2）
? ? T TTA B B A?（ 4） （ 3） ? ? T TAA???
? ?1 2 1 1 2 1T T T T Tn n n nA A A A A A A A?? ?特别
例 5 ( ),.T T TA B B A求已知
10
21
2 3,,
43
45
AB
??
????
?? ????
????
??
解
2 1 6 2 8
1 1 1 1 9
TAB ??? ??
??
（ ）
2 4 1 2 4
1 3 0 3 5
TTBA ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
10
21
23
43
45
AB
??
????
? ????
????
??
所以
而且
() T T TA B B A?显然
2 1 6 2 8
1 1 1 1 9
???
????
21
1 6 1 1
2 8 1 9
??
???
??
??
对称矩阵 的特点是：
它的元素以 主对角线
为对称轴 对应相等, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0211
2231
1310
1101
如
3、对称矩阵
定义 设 为 阶方阵，若,即, A n TAA? ij jiaa?
那么 称为 对称矩阵, A
两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵,对称
矩阵的数乘也是对称矩阵,但两个对称矩阵的乘积不
一定是对称矩阵,
特别
0 1 2 1
1 0 5 2
2 5 0 1
1 2 1 0
???
??
?
????
????
定义 A TAA?? ij jiaa??设 为 阶方阵，若,即, n
那么 称为 反 对称矩阵, A
反 对称矩阵 的主要特点是,
主对角线上的元素为 0,其余
的元素关于 主对角线 互为相
反数,
如
两个同阶的反对称矩阵的和还是反对称矩阵,
反对称矩阵的数乘也是反对称矩阵,但两个反对称矩
阵的乘积不一定是反对称矩阵,
特别
4、反对称矩阵
证明 ? ?TTT XXEH 2??? ? ?TTTE 2?
,2 HXXE T ???
2HHH T ? ? ?22 TXXE ?
? ?? ?TTT XXXXXXE 44 ???
? ? TTT XXXXXXE 44 ???
TT XXXXE 44 ???
例 6 设列矩阵,满足 ? ?TnxxxX,,,21 ??,1?XX T
En为 阶单位矩阵，且,证明 是对 H2 TH E X X??
TH H E?称矩阵，且,
H? 是对称矩阵,
又
.E?
证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与
反对称阵之和,
n A
证明
AA T ??,C?
所以 C为对称矩阵,
AA T ??,B??
所以 B为反对称矩阵,
22
TT AAAA
A ????,22 BC ?? 命题得证,
例 7
TC A A??设
? ? TTTC A A??则
,TB A A??设
? ? TTTB A A??则
六、方阵的行列式
注意 方阵与行列式是两个不同的概念,
1、定义 由ｎ阶方阵 Ａ 的元素所构成的行列式（各元
素的位臵不变）叫做 方阵 Ａ 的行列式,
记作,, e tA or D A
2、运算规律
（假定所有运算合法,ＡＢ 是矩阵,λ∈ Ｒ ）
TAA?（ 1） nAA???（ 2）
nnAA?（ 4） （ 3） A B A B B A??
注 AB? AB??
例 8
3,,3,A B A A求
已知
1 0 0 2 1 0
2 1 1,1 3 0,
3 2 4 0 0 4
AB
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
解
所以
6,20,AB??易见
120A B A B??
33 216AA??
33 3 1 6 2AA??
1、定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所
构成矩阵的转臵,
A ijA
11 21 1
12 22 2
12
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A
?
??
??
?
??
??
七、伴随矩阵
A称为矩阵 的 伴随矩阵,
2、运算规律
（假定所有运算合法,是矩阵,） AB R??
（ 1） ? ? ? ?T TAA ?? ? （ 2） ? ?A B B A? ???
同理可得
性质,EAAAAA ?? ??
证明
.EAAAAA ?? ??所以
1 1 2 1 1
1 2 2 2 2
12
n
n
n n nn
A A A
A A A
A A A
??
??
??
??
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n nn
a a a
a a a
AA
a a a
?
?
??
??
?
??
??
.EA?
.A A A E? ?
A
A
A
八、共轭矩阵
1、定义 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭
复数，记, 称为 的 共轭矩阵,
? ?ijaA ? ija ija
? ?ijaA ? A A
2、运算规律
（假定所有运算合法,是矩阵,） AB R??
AA?（ 1） A B A B? ? ?（ 2）
AA???（ 3） () TTAA?（ 4）
? ? ? ? ? ?T TTA B B A?（ 6） A B A B?（ 5）
AA?（ 7）
九、小结
矩
阵
运
算
?
?
?
?
?
?
?
?
?
数乘
矩阵与矩阵相乘
转臵矩阵
伴随矩阵
方阵的行列式
共轭矩阵
矩阵的幂
线性运算 AB BA?
A M A N? MN??
A B O?,.A O or B O???
对称矩阵 反对称矩阵
.EAAAAA ?? ??
课前复习
矩
阵
运
算
?
?
?
?
?
?
?
?
?
加法
数乘
矩阵与矩阵相乘
转臵矩阵
伴随矩阵
方阵的行列式
共轭矩阵
矩阵的幂
线性运算 AB BA?
A M A N? MN??
A B O?,.A O or B O???
对称矩阵 反对称矩阵
.EAAAAA ?? ??
乘法运算中的１,
11 1,a a a a????
在数的运算中，当数 α ≠ ０ 时,
1 1a
a
? ?则 称为 的倒数, a
个矩阵, 1A?
在矩阵的运算中,
11,A A A A E????
一、背景
1、数
2、矩阵
则矩阵 Ａ 称为的 可逆矩阵,
a（或称为 的逆 ）；
有
单位阵 Ｅ 相当于数的
那么，对于矩阵 Ａ,如果存在 一
有
1A? A称为 的逆阵,
3、线性变换
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
y a x a x a x
y a x a x a x
y a x a x a x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
它的系数矩阵是一个ｎ阶矩阵, 若记
1 1 1 2 1 1 1
2 1 2 2 2 2 2
12
,,
n
n
n n nn n n
a a a x y
a a a x y
A X Y
a a a x y
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
.Y A X?则上述线性变换可表示为
按 Cramer法则，若, 0A ? 则由上述线性变换可
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
1
n
n
i
n n n nn
a a y a
a a y a
x
A
a a y a
?
解出
? ?1 1 2 21i i i ni nx A y A y A yA? ? ? ?
在按第 列展开得 i
即 1212i i n iinA A Ax y y yA A A? ? ? ?
则 可用 线性表示为 12,,,nx x x12,,,ny y y
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n nn n
x b y b y b y
x b y b y b y
x b y b y b y
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
若令,jiij
A
b A?
易知这个表达式是唯一的,
12,,,nx x x12,,,ny y y这是从 到 的线性变换，称为
原 线性变换的逆变换,
若把此逆变换的系数记 作, B 则此逆变换也可以记作
X BY?
( ) ( )Y AX A BY AB Y? ? ?
AB 为恒等变换所对应的矩阵，故 A B E?
( ) ( )X BY B AX BA X? ? ?
因此 B A E?
于是有 A B B A E??
由此，可得
可见
又
例
11
11 22
,,
1 1 1 1
22
AB
??
?????
?? ????
?? ???
??
,AB BA E??
,A B B A E??使得
的逆矩阵记作 1.A?A
二、逆矩阵的概念和性质
1,定义
对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵, n A Bn
A则称矩阵 是 可逆 的,
B? A是 的逆矩阵,
B A并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
若设 和 是 可逆矩阵,B C A 则有
,,AB BA E AC CA E? ? ? ?
B
所以 的逆矩阵是唯一的,即 A 1,B C A ???
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的, A A
证明
于是
例 1
21
10A
???
?????设,求 的逆, A
解
abB
cd
???
????设
则
A B B A E? ? ?
21
10
ab
cd
? ? ? ?
? ? ? ??? ? ? ?
B ???? ??
??
0 1?
1 2
()C A B? ()C AB? CE? C?EB?
22a c b d
ab
?????
??????
10
01
???
????
证明
0.A??
1,A A E? ?，使得
1 1,A A E?? ? ?两边求行列式，有
定理 1 若矩阵 可逆，则 0.A ?A
1A?A若矩阵 可逆，则 即有
定理 2 矩阵 可逆的充要条件是, 且 A 0A ?
1 1,AA
A
??? AA?其中 为矩阵 的伴随矩阵,
证明 因为矩阵与其伴随矩阵有 **AA A A A E??
，故有
11A A A A E
AA
??? ? ? ???? ? ? ?
? ? ? ?0A ?又因为
所以，按逆矩阵的定义，即有 1 1,AAA???
当 时,称为 奇异矩阵 ； 0A ? A
证明
推论 A B E?若 1BA??B A E?或,则
B? 1.A??
0A ?当 时,称为 非 奇异矩阵, A
2、奇异矩阵与非奇异矩阵
1A B E? ? ?易知 1A? ??0A ??
于是 EB? 1()A A B? 1 ()A A B?? 1AE??
A B E?只证 时,
3、运算规律 （设 均是 阶可逆方阵） AB n
1A? ? ? ? 11,A ?? ??1）若 ? ? 11,AA?? ?且
? ? ? ? ? ?1 1 1 1 1 1A B B A A B B A A E A A A E? ? ? ? ? ?? ? ? ?证明
? ? 1 11,A B B A? ???由推论，即有
? ? 1,A? ? ??1,0A ?? ??2）若 ? ? 1 11,AA? ?? ??且
? ? 1,AB ? ??
? ? 1 11,ABA B ? ???且
11,AB????3）若,且 同阶，,AB
推广 ? ? 1 1 1 12211,nn AA A AAA ? ? ? ??
? ? ? ?11TTTA A A A???TEE??
? ? ? ?1 1,TTAA? ???
证明
? ? 1,TA ? ??1A? ?4）若 ? ? ? ?1 1,TTAA? ??且
1A A E? ? 1 1,AA ??? 11,AA ????
11AA ?? ??1A? ?5）若
1,A? ?6）若
证明
? ? 1,A ?? ?? ? ? ? ?1 1,AAA A??????且
证明 ? 1A A A???
? ? ?
1 AA
A
?? ?
? ? ? ? 11 1 1 AA A A A??? ? ???而
1 1AA
A
???因为
? ? ? ?11 1A A A?????所以
? ? ? ?1 1,AAA A????? ? ?
为整数）,,k ??（其中
7）其它的一些公式
1nAA ?? ?
AA A A A E????
? ? 2nA A A? ?? ?
? ? 1,A A A ???
1A A A???
? ?A B B A? ???
0AE? ? ?1 kkAA???
A A A? ? ? ??? ? ?AA?? ? ??
8）一些规定
? ? 1 1 1nnk A k A A k A? ? ? ? ???
四、应用
例 2 ? ?
11
22
,,0
i
nn
aa
aa
A B a
aa
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?求下列矩阵的逆，其中
解 1）
1
1
1
1 2
1
n
a
a
A
a
?
?
?
?
??
??
?
??
??
依对角矩阵的性质知,
0iAa??? 1???
1
2
1
1
1
n
a
a
a
?? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ? ??
?? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
依矩阵的逆的定义，必有 1
1
1
2
1
1
n
a
B
a
a
?
?
?
?
??
??
?
??
??
易知,
? ? ? ?1210nn iBa ?? ? ??1B ???解 2）
11B B B B E????
11a?
12a?
1na?
即
? ? ? ? ? ?1 24 4 1 6TE A E A E A?? ? ?计算
其中
例３ 的行列式,
1 0 0
1 2 0,
3 0 2
A
??
??? ? ?
??
??
解 ? ? ? ? ? ?1 24 4 1 6TE A E A E A?? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?14 4 4 4TE A E A E A E A?? ? ? ? ?
? ? ? ?44 TE A E E A? ? ?E? ? ? ?44 TE A E A? ? ?
24 EA??
2
5 0 0
1 2 0
3 0 6
??
26 0 3 6 0 0??
例４
300
1 1 0,
114
A
??
???
??
??
求
解 2,A X A X??
设 且满足 2,A X A X??.X
有 ? ?2A E X A??
1 0 0
2 1 1 0
1 1 2
AE
??
??? ? ?
??
??
而 2 2 0AE? ? ? ?? ?
12AE ?? ? ?
? ? 1
2 0 0
1
2 2 2 0
2
2 1 1
AE
?
???
?? ??
? ? ? ???
?? ??
????? ?
12,X A E A??? 2 0 0 3 0 0
1
2 2 0 1 1 0
2
2 1 1 1 1 4
?? ? ? ?
?? ? ? ? ?
? ? ??? ? ? ? ?
?? ? ? ? ?
??? ? ? ?
3 0 0
2 1 0
2 1 2
??
????
???
??
1AX B X A B?? ? ? 1XA B X BA ?? ? ? 11AX B C X A CB??? ? ?
33,A?设
求
例 5
? ? 13 2,AA? ??
AA?其中 为矩阵 的伴随矩阵, 12A ?
解 ? ? 132AA? ??
1 1 132A A A? ? ??? 1
2
3 A
???
? ? 1 11AA? ?? ??1B B B??? nBB???
3
12
3 A
???????
??
16
27??
例 6 解矩阵方程
1 4 2 0 3 1
1 2 1 1 0 1X
? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?
解
111 4 3 1 2 0
1 2 0 1 1 1
X
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
2 4 3 1 1 01
12 1 1 0 1 1 2
?? ? ? ? ? ??
? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?
6 6 1 01
12 3 0 1 2
? ? ? ??
? ? ? ?? ? ? ?
11
1
0
4
??
???
??
??
0,kA ?设 例 7 证明 ? ? 1 21,kE A E A A A? ?? ? ? ? ? ?
方法三 0kA ?
2 2 1 1k k kE E A A A A A A A??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?2 2 1 1k k kE A A A A A A A??? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?21 kE A E A A A ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?21 kE A E E A A E A A E A A ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? 1 21,kE A E A A A? ?? ? ? ? ? ? ?
方法一 kE A E? ? ?? ? ? ?21 kE A E A A A ?? ? ? ? ?
? ? 1 21,kE A E A A A? ?? ? ? ? ? ? ?
方法二 0kA ?
kE E A? ? ? ? ? ? ?21 kE A E A A A ?? ? ? ? ? ?
? ? 1 21,kE A E A A A? ?? ? ? ? ? ? ?
A所以 可逆,
0,A??2AEAE??? 12
AEA ???
1A?
2 20A A E? ? ?由 ? ? 2A A E E??，得
例 8
,2A A E?可逆，并求它们的逆矩阵,
? ? ? ?2 3 4 0A E A E E? ? ? ? ?
? ?1 1,2A A E?? ? ?
2 20A A E? ? ?由
设方阵 A 满足方程,证明 2 20A A E? ? ?
? ? ? ?123 4A E A E E??? ? ? ? ?????? ? 12AE ??
? ?12 3 14A E A E? ? ? ? ?
证明
2AE?所以 可逆, ? ? 1 32,4EAAE ? ?? ? ?
2 0,AE? ? ?
逆矩阵的概念及运算性质,
逆矩阵的计算方法
1 AA
A
?
? ?利 用 公 式
0.A ?逆矩阵 存在 1A? ?
五、小结
定义法
初等变换法（后面介绍）
课前复习
,A B B A E??使得
的逆矩阵记作 1.A?A
定义 对于ｎ阶矩阵 Ａ,如果有一个ｎ阶矩阵 Ｂ,
则称矩阵 Ａ 是 可逆 的,并把矩阵 Ｂ 称为 Ａ 的 逆矩阵,
说明 若 Ａ 是可逆矩阵，则 Ａ 的逆矩阵是 唯一 的,
定理 1 若矩阵 Ａ 可逆，则 0.A ?
定理 2 矩阵 Ａ 可逆的充要条件是,且 0A ?
1 1,AA
A
??? A?其中 为矩阵 Ａ 的伴随矩阵,
当 时,Ａ 称为 奇异矩阵 ； 0A ?
0A ?当 时,Ａ 称为 非奇异矩阵,
运算规律 （设 ＡＢ 均是ｎ阶方阵）
1A? ? 1,A? ??1）若 ? ? 11,AA?? ?且
? ? 1,A? ? ??1,0A ?? ??2）若 ? ? 1 11,AA? ?? ??且
? ? 1,AB ? ??11,AB????3）若,且 同阶，,AB
推广 ? ? 1 1 1 12211,nn AA A AAA ? ? ? ??
? ? 1,TA ? ??1A? ?4）若 ? ? ? ?1 1,TTAA? ??且
11AA ?? ??1A? ?5）若
1,A? ?6）若 ? ? 1,A ?? ?? ? ? ? ?
1 1,AAA
A
??????
且
? ? 1 11A B B A? ???且
（其中 ｋ λμ为整数）
7）其它的一些公式
1nAA ?? ?
AA A A A E????
? ? 2nA A A? ?? ?
? ? 1,A A A ???
1A A???
? ?A B B A? ??? ? ? ? ? 11 nnnk A k A? ???
0AE? ? ?1 kkAA???
A A A? ? ? ??? ? ?AA?? ? ??
8）一些规定
? ? 1nk A k A? ???
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
b
b
a
a
A
110
101
000
001
一、矩阵的分块
对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算,
经常采用 分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运
算, 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成
许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 子块,以子块为
元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
,
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B
B
B例
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?A
1 0 0a0 0 0
1 0 1
a
b
0 1 1 b
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1B
2B
3B
即
,?
?
??
?
??
BE
OA
? ?1 2 3 4,A A A A? ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
b
b
a
a
A
110
101
000
001
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
b
b
a
a
A
110
101
000
001
1
0
aA
a
???
??????
??
?
?
b
bB
1
1?
?
?
1
01E
0
0O
1
0
1
0
a
A
??
??
???
??
??
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
1
0
1
2
a
0
3
b
b
4
注,分块时首先满足,再考虑对角或三角矩阵,E
O然后 考虑 以及其它的特殊矩阵,
按行分块或按列分块是两种特殊的分块形式,
11 11 1 1
11
.
rr
s s sr sr
A B A B
AB
A B A B
????
????
????
11 1 11 1
11
,
rr
s sr s sr
A A B B
AB
A A B B
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
二、分块矩阵的运算规则
1、矩阵的加法
设 与 为同型矩阵，采用相同的分块法，有 A B
其中 与 为同型矩阵，则 ijA ijB
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似,
11 1
1
,,
r
s sr
AA
AR
AA
?
??
????
??
??
2、数乘 11 1
1
.
r
s sr
AA
A
AA
??
?
??
??
???
??
??
则
3、乘法
设,分块成,m l l nAB?? 11 1 11 1
11
,,
tr
s st t tr
A A B B
A A B B
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
其中 的列数分别等于 的行数, 12,,,i i i tA A A 12,,,j j t jB B B
11 1
1
r
s sr
CC
AB
CC
??
???
??
??
1
t
i j i k k j
k
C A B
?
? ?其中 ? ?1,,; 1,,.i s j r??
1
1
11
,
ss r
rA
A
A
AA
??
???
??
??
4、转臵
11
1
1
.
T
T
T
T
sr
T
r
sAA
A
A
A
??
??
?
??
??
则
那么
分块矩阵的转臵为先大转臵，而后小转臵,
? ?1,2,iA i s?都是方阵,
5,分块对角矩阵
设 Ａ 为ｎ阶方阵，若 Ａ 的分块矩阵只有在主对角
线上有非零子块（这些非零子块必须为方阵），其余
子块全为零，那么方阵 Ａ 就称为 分块对角阵,
1
2
,
s
A
A
A
A
??
??
?
??
??
即如
1 0 0 0 0
0 1 2 0 0
0 1 3 0 0
0 0 0 2 1
0 0 0 1 5
??
??
??
??
??
??
??
2 0 0 0
0 3 0 0
0 0 0 1
0 0 2 0
??
??
??
??
??
都是 分块对角 阵,
分块对角矩阵具有下述性质,
12 ;sA A A A?1）
1
1
1
1;
s
A
A
A
?
?
?
??
??
?
??
??
2）
3） 若
则有
11
,,
ss
AB
AB
AB
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?11;
ss
AB
AB
AB
??
???
??
??
若,则有 0iA ?
5） 若
1
,
s
A
A
A
??
???
??
??
1
1
1
1;
sA
A
A
?
?
?
??
??
?
??
??
则
? ?1,2,iA i s?均为可逆方阵,
4） 若
1
,
s
A
A
A
??
???
??
??
1;
n
n
n
s
A
A
A
??
??
?
??
则
6,设 ? ?12,sB ? ? ?? 则
? ?12 sAB A ? ? ??
? ?12,sA A A? ? ??
例 1 设
1 0 1 0
1 2 0 1
,
1 0 4 1
1 1 2 0
B
??
??
?
???
??
??
????
.AB
1 0 0 0
0 1 0 0
,
1 2 1 0
1 1 0 1
A
??
??
???
???
??
??
三、应用
求
12
1
10
01
10
01
00
00
1
A
??
?
???
??
??
解 分块
1
,E OA E??? ??
??
10
11
10
41
2
10
0112
0
B
??
?
?
?
????
?
?
?221
11
2
,BEBB??? ??
??
则 ?
?
??
?
??
?
??
?
??
2221
11
1 BB
EB
EA
OEAB,
22121111
11 ?
?
??
?
?
??? BABBA
EB
又 21111 BBA ? ?
?
??
?
?
?????
??
?
?
???
??
?
? ??
11
01
21
01
11
21
,11 42 ?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
???
?
??
?
? ???
02
14
11
21
221 BA,13
33 ?
?
??
?
??
于是
?
?
??
?
?
??? 22121111
11
BABBA
EBAB
1 0 1 0
1 2 0 1
.
2 4 3 3
1 1 3 1
??
??
?
???
???
??
???
3 4 1 0
0 2 1 1
?? ? ? ???
? ? ? ???? ? ? ?
例 2 设 1.A?
5 2 0 0
2 1 0 0
,
0 0 1 2
0 0 1 1
A
??
??
???
?? ?
??
??
求
00
0
12
11
00
0
52
21 0
0
A
??
??
???
??
?
?
?
?
?
解 1
2
,A OO A??? ??
??
1
11
1
2
,
A
A OA
O
?
?
? ??? ??
??
1
1
12
25,A
? ???? ??
???
1
2
121
3 11,A
? ??? ??
???00
00
00
00
1 3 2 3
1 3 1 3
25
A
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
例 3 设 1.A?
1
2
1
0 0 0
0 0 0
,
0 0 0
0 0 0
n
n
a
a
A
a
a
?
??
??
???
??
??
求 其中 0,ia ?
00
00
00
解 1
2
,OAAOA ??? ??
??
1
1
1
1
1
1
,
n
a
A
a
?
?
?
?
??
??
?
??
??
112,nAa???
1
1
1
1
2,
O
O AA
A
?
?
?
???
??
??
1
1 1
1
1
1
0
0
0
,
0 0
0
n
n
a
A
a
a
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
,A A OA
O B B
?
?
??
??
??
例 4 设 为 阶方阵,分别为 的伴随矩阵，,AB n,AB??,AB
分块阵
AOC
OB
???
????C? ?，则 （ ）
,B A OB
O A B
?
?
??
??
??
,A B OC
O A B
?
?
??
??
??
,B B OD
O A A
?
?
??
??
??
1C C C???分析
1AO
AB
OB
???
? ??
??
1
1
AOAB
OB
?
?
???
??
??1
1
A B A O
O A B B
?
?
??
? ??
??
B A O
O A B
?
?
??
? ??
??
B
例 5 设
3 4 0 0
4 3 0 0
,
0 0 2 0
0 0 2 2
A
??
??
?
???
??
??
??
84,.AA求
解 令
1
2
,AOA OA??? ??
??12
3 4 2 0,,
4 3 2 2AA
? ? ? ???
? ? ? ??? ? ? ?
8
8 1
8
2
,AOA
OA
???
??
??
其中
所以 8 8 812A A A? 8812AA? 1610?
4
4 1
4
2
,AOA
OA
???
??
??而
2
2
1 2
5,
5
OA
O
???
??
??
4
4
1 4
5,
5
OA
O
????
??
??
2
102,
11A
???
????
4
44
2 64
10 202,
41 22A
??????
??????
??所以 可求,
4A
称为矩阵 A 的 m 个 行向量, nm? 矩阵 A 有 m 个行,
1
2
T
T
T
m
A
?
?
?
??
??
???
??
??
??
称为矩阵 A 的 n 个 列向量, nm? 矩阵 A 有 n个列,
四、两种特殊的分块法 --按行分块与按列分块,
行记作 i ? ?iniiTi aaa,,,21 ???,则矩阵 A 便记为 若第
列记作 j若第
1
2
j
j
j
mj
a
a
a
? ?
??
??
??
??
，则矩阵 A便记为
? ?nA ??? ?,,21?
对于线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
若记 ? ?
1 1 1 1 1 2 1 1
2 2 2 1 2 2 2 2
12
,,,
n
n
ij
n m m m m n m
x b a a a b
x b a a a b
A a x b B
x b a a a b
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
其中 称为 系数矩阵, A
称为 增广矩阵, B
x 称为 未知数向量,
b 称为 常数项向量,
按分块矩阵的记法，可记 ? ? ? ?12,,,,nB A b b? ? ???
利用矩阵的乘法，此方程组可记作 bAx ?
如果把系数矩阵按行分成 块，则线性方程组 m bAx ?
可记作
11
22
T
T
T
mm
b
b
x
b
?
?
?
?? ??
?? ??
?? ???
?? ??
?? ??
????
这就相当于把每个方程 ininii bxaxaxa ???? ?2211
记作 ),,2,1( mibx iTi ????
? ?
1
2
12
,,,
n
n
x
x
b
x
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
如果把系数矩阵按列分成 块，则与 相乘的 相应 n A x
的 应分为 块，从而可记作 n
即 bxxx nn ???? ??? ?2211
对于矩阵 与矩阵 的乘积矩阵 ? ?ij msAa ?? ? ?ij snBb ??
? ?ij mnAB C c ???，若把 按行分成 块，把 分成 A m nB
块,
? ?,ij mnc ??
? ?
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
,,,
T T T T
n
T T T T
n
n
T T T T
m m m m n
AB
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
其中
? ?
1
2
12
1
,,,
j
s
jT
ij i j i i is ik k j
k
sj
b
b
c b a a a a b
b
?
?
??
??
??
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便有
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T
mm
T
T
T
m
T
T
m
nmm
AΛ
??
??
??
?
?
?
?
?
?
???
22
11
2
1
2
1
另外：以对角矩阵 左乘矩阵 时，把 按行 mΛ nmA ? A
分块，有
另外：以对角矩阵 右乘矩阵 时，把 按列 nΛ nmA ? A
分块，有
? ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
m
nnnm
ΛA
?
?
?
???
?
?
2
1
21
,,,
? ?nn ??????,,,2211 ??
在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,
最重要的计算技巧与方法,
(1) 加法
(2) 数乘
(3) 乘法
分块矩阵之间的运算
分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,
同型矩阵，采同相同的分块法；
数 乘矩阵,需 乘 的每一个子块； k kA A
若 与 相乘，需 的列的划分与 A AB B
的行的划分相一致,
五、小结
(4) 转臵
(5) 分块对角阵的行列式与逆阵
(6) 两种特殊的分块法：按行分块与按列分块,
1
1
1
1;
s
A
A
A
?
?
?
??
??
?
??
??
12 ;sA A A A?
1;
n
n
n
s
A
A
A
??
? ??
??
,,0 都是可逆方阵和其中设 CBCDBA ?
?
??
?
??
.,1?AA 并求可逆证明
六、思考题
证,,可逆由 CB,0?? CBA有,可逆得 A
,1 ?
?
??
?
???
YW
ZXA设,
0
0
0 ??
??
?
???
?
??
?
??
?
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E
E
YW
ZX
C
DB则
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?
?
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,
,
ECY
OCW
ODYBZ
EDWBX
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
??
?
?
.
,
,
,
11
1
1
OW
DCBZ
CY
BX
.1
111
1
???
?
???
? ??
?
???
?
CO
DCBBA因此
课前复习
1、矩阵的逆 11A A A A E????1
AA
A
?
? ?
2、分块对角矩阵
12 ;sA A A A?1）
1
1
1
1;
s
A
A
A
?
?
?
??
??
?
??
??
2）
1
,
s
A
A
A
??
???
??
??
1
1
1
1;
sA
A
A
?
?
?
??
? ??
??
3） 若
4） 若
1
,
s
A
A
A
??
???
??
??
1;
n
n
n
s
A
A
A
??
??
?
??
??
则
则
3、线性方程组的几种形式
Ax b?
11
22
T
T
T
mm
b
b
x
b
?
?
?
?? ??
?? ??
?? ???
?? ??
?? ??
????
? ?
1
2
12
,,,
n
m
x
x
b
x
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
ΛmnA ?4,与 的乘法
11
22
T
T
m m n
T
mm
Λ A
??
??
??
?
??
??
???
??
??
??
? ?11m n n n nA Λ ? ? ? ?? ?
引例 求解线性方程组
一、消元法解线性方程组
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
22
24
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ④
①
②
③
解
?
?
?
?
?
??
④
①
②
③
?① ②
2?③
1 2 3 422x x x x? ? ? ?
1 2 3 424x x x x? ? ? ?
1 2 3 42 3 2x x x x? ? ? ?
1 2 3 43 6 9 7 9x x x x? ? ? ?
? ?B
? ?B ? ?1B
?
?
?
?
?
?? ④
①
②
③
1 2 3 424x x x x? ? ? ?
? ?2B③ ① 2?
① 3?④
2 3 42 2 2 0x x x? ? ?
② ? ③
2 3 45 5 3 6xxx? ? ? ? ?
2 3 43 3 4 3xxx? ? ? ?
?
?
?
?
?
?? ④
①
②
③
1 2 3 424x x x x? ? ? ?
? ?3B③ ② 5?
② 3?④
2 3 4 0x x x? ? ?
426x ??
4 3x ??
② 2?
?
?
?
?
?
?? ④
①
②
③
1 2 3 424x x x x? ? ? ?
? ?3B2 3 4 0x x x? ? ?
4 3x ??
00?
③ 2?
③ ?④
13
23
33
4
4
3
3
xx
xx
xx
x
???
?
???
? ?
?
?
? ???
1
2
3
4
x
x
x
x
x
??
??
???
??
??
??
即
14
13
10
03
c
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?
其中ｃ为任意常数,
总结 1、上述解方程组的方法称为 高斯消元法,
2、始终把方程组看作一个整体变形，用三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程的ｋ倍加到另一个方程,
3、这三种变换均可逆,
4、方程组的变换可以看成矩阵的变换,
1、定义 下面三种变换称为矩阵的 初等行变换,
ji rr ?（ 1）互换两行,
（ 2）数乘某行,kri ?
（ 3）倍加某行,ji krr ?
二、矩阵的初等变换 （ Elementary Transformation）
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵
的 初等变换,
同理，把 换成 可定义矩阵的 初等列变换, r c
ERT
ECT
ET
ji rr ? kri ?;ji rr ?
1( );
ir k?
ji krr ?,ijr kr?
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同,
逆变换 逆变换
逆变换
定义 经过有限次初等变换变成矩阵, 如果矩阵 A B
AB与 等 价就称矩阵,记作 ~AB
等价关系的性质,
~;AA
~,~if A B B A? ；
~,~ C,if A B B ~ C A?
具有上述三条性质的关系就称为 等价,
（ 1）反身性,
（ 2）对称性,
（ 3）传递性,
利用 初等行变换可把矩阵 化为 行阶梯形矩阵, A
利用 初等行变换，也可把矩阵化为 行最简形矩阵,
定理
利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩
阵化为 标准形矩阵,
三、矩阵的秩
1、子阵与 阶子式 k
将矩阵 ? ? nmijaA ?? 的某些行和列划去（可以只
划去某些行和列），剩下的元素按原来的顺序构成的
新矩阵叫做 矩阵 的子矩阵, A
? ?m i n {,},k m n?
2k
中，任取 行 列 A k knm?在 矩阵
位于这些行与列交叉处的 个元素，依照它们在 A
中的位臵次序不变而得的 阶行列式，称为矩阵
的一个
k
定义
定义
A
k 阶子式,
nm? 矩阵共有 个 阶子式, kkmnCC k
1最低阶为 阶,最高阶为 阶, m in {,}mn
如：矩阵
1 3 9 3
0 1 3 4
2 3 9 6
A
???
????
????
??
取第 1行、第 3行和第 1列、第 4列交叉处的元素,
1262 31 ??二阶子式是
组成的
的最高阶子式是 3阶，共有 4个 3阶子式, A易见
而在这个矩阵中,
? ?9?
13
01
23
??
??
??
????
都是矩阵 的子矩阵, A
1 3 9 3
0 1 3 4
???
?????
2、矩阵的秩
,mni n A i f?定义 0;rD?? 1 0.rD ???（ 1） （ 2）
则 称为矩阵 的 最高阶非零子式, rD A
)(Ar )(AR记为 或,
（ 1） 性质,
( ) m in{,}R A m n?
1()i f R A n A ?? ? ?
（ 2）
( ) ( ),( ) ( ),0TR A R A R k A R A k? ? ?
( ) 0RO ?
（ 3）
（ 4） An阶方阵,
1( ) ( ),R A R A?（ 5） 其中 1AA?
0 ( )ri f D R A r? ? ? ?
0 ( )ri f D R A r? ? ? ?
（ 6）
最高阶非零子式
的阶数称为 矩阵的 秩,
定义 An阶方阵, 0 ( )if A R A n? ? ?
,mnin A ?
A
为 满秩阵,
，则称
定义 ()if R A m?
A，则称 为 行满秩阵 ；
()i f R A n?A，则称 为 列满秩阵 ； ? ? ? ?
~, if A B R A R B??定 理
结论
矩阵的秩
? 最高阶非零子式的 阶 数
? 行阶梯形矩阵非零行的行数
? 行最简形矩阵非零行的行数
? 标准形矩阵中单位矩阵的 阶 数
0 ( )if A R A n? ? ?A，则称 为 降秩阵,
定义 所有与 等价的矩阵的集合称为一个 等价类, A
注,（１）所有 矩阵可以划分为 mn? ? ?m i n,1mn ?
一个 等价类,
（３）化 为行阶梯形矩阵或行最简形矩阵，仅能 A
用初等行变换，而化 为标准形矩阵时，初等行变 A
换和初等列变换均可使用,
（４）任一矩阵的行最简形矩阵与标准形矩阵唯一,
（５）标准形矩阵是等价类中最简单的矩阵,
（２）同型同秩矩阵等价,
例１
1 3 2 2
0 2 1 3
2 0 1 5
A
???
????
???
??
已 知, 求 秩,
,0220 31 ???
102
120
231
?
?
?
502
320
231
?
解 计算 A的 3阶子式,
,0?,0?
510
312
223
?
?
512
310
221
?
?
?
,0?,0??,
? ?,2?? AR
用定义求矩阵的秩并非易事，后面我们将用初等
变换法去求矩阵的秩,
四、应用举例
解
例２
并求 的一个最高阶非零子式, A
设
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
??
??
??
?
?? ?
????
，求矩阵 的 秩,A
把矩阵 用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,A
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
??
??
??
?? ?
????
1 6 4 1 4??
3 2 0 5 0
41 rr ?
0 4 3 1 1?? A
24rr?
413rr?
312rr?
0 1 2 9 7 1 1
0 1 6 1 2 8 1 2??23 3rr ?
24 4rr ?
0 0 4 8?
0 0 0 4 8?
43rr?
0 0 0
( ) 3,RA??
( ) 3,RA ?
( ) 3,RB??
求 的一个最高阶非零子式 A
知 的一个最高阶非零子式为３阶,A
A 的 阶子式共有 个,3 3345 40CC??
考察 的行阶梯形矩阵 A
1 2 3 4 5(,,,,),A a a a a a? 1 2 4(,,)B a a a?记 则 矩 阵
的行阶梯形矩阵为
1 6 1
0 4 1
0 0 4
0 0 0
???
??
?
??
??
??
??
B? 中４个子式中必有３阶非零子式
易验证
3 2 5
3 2 6
205
?
0.?
Ａ 的一个最高
阶非零子式,
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
,
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
Ab
??? ? ? ?
? ? ? ?
?
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ? ?,,R A R B
例３ 设
? ?B A b?其中 求
解 分析：直接将 化为阶梯形矩阵即可，故 B
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
B
????
??
?
?
????
????
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
13600
51200
02400
11221
13
12
2
2
rr
rr
?
?
14 3rr ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
10000
50000
01200
11221
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
00000
10000
01200
11221
23
2 2
rr
r
?
?
24 3rr ?
53 ?r
34 rr ?
.3)(,2)( ??? BRAR
例 4 将下列矩阵利用初等变换化为 行阶梯形,再 化
为 行最简形,最后 化为标准形,并求其 秩,
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
97963
42264
41211
21112
A
注意：化矩阵为行阶梯形或行最简形时仅能用
初等行变换, 化矩阵为标准形时，初等行变换和初
等列变换均可以使用,
21 rr ?
23 ?r
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
46224
3 6 9 7 9
A
????
??
??
?
????
???
1 1 2 1 4
2 1 1 1 2
2 3 1 1 2
3 6 9 7 9
???
??
??
????
???
13
32
2rr
rr
?
?
14 3rr ?
1 1 2 1 4
02220
05536
03343
???
?
??
? ? ?
??
????
2
32
2
5
r
rr
?
?
24 3rr ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
31000
62000
01110
41211
43 rr ?
34 2rr ?
1
00000
31000
01110
41211
B?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
2
00000
31000
30110
40101
B?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
21 rr ?
32 rr ? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
31000
01110
41211
1
B
214 ccc ??
3215 334 cccc ???
43 cc ?
3
00000
00100
00010
00001
B?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
依次为行阶梯形和行最简形矩阵。
2B
最后得到的矩阵 是 的标准形,3B A,1B 2B 依次为
秩显然为３,
k２, 子式与 阶子式
３, 秩的定义及性质
五、小结
１、矩阵的初等变换 （ Elementary transformation）
初等行 (列 )变换
? ? ;i j i jr r c c??
? ? ;iir k c k??
? ?,i j i jr kr c kc???
?
?
?
?
?
?
,mni n A i f? 0;rD?? 1 0.rD ???（ 1） （ 2）
则 称为矩阵 的 最高阶非零子式, rD A
)(Ar )(AR记为 或,
最高阶非零子式
的阶数称为 矩阵的 秩,
４, 经过有限次初等变换变成矩阵, 如果矩阵 A B
AB与 等 价就称矩阵,记作 ~AB
５, 矩阵等价具有的性质;反 身 性 ;对 称 性, 传 递 性
利用初等行变换可把矩阵 化为 行阶梯形矩阵, A
利用初等行变换，也可把矩阵化为 行最简形矩阵,
６,
利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩 阵
化为 标准形矩阵,
７, 矩阵的秩
? 最高阶非零子式的 阶 数
? 行阶梯形矩阵非零行的行数
? 行最简形矩阵非零行的行数
? 标准形矩阵中单位矩阵的 阶 数
k２, 子式与 阶子式
３, 秩的定义及性质
课前复习
１、矩阵的初等变换 （ Elementary transformation）
初等行 (列 )变换
? ? ;i j i jr r c c??
? ? ;iir k c k??
? ?,i j i jr kr c kc???
?
?
?
?
?
?
,mni n A i f? 0;rD?? 1 0.rD ???（ 1） （ 2）
则 称为矩阵 的 最高阶非零子式, rD A
)(Ar )(AR记为 或,
最高阶非零子式
的阶数称为 矩阵的 秩,
４, 经过有限次初等变换变成矩阵, 如果矩阵 A B
AB与 等 价就称矩阵,记作 ~AB
５, 矩阵等价具有的性质;反 身 性 ;对 称 性, 传 递 性
利用初等行变换可把矩阵 化为 行阶梯形矩阵, A
利用初等行变换，也可把矩阵化为 行最简形矩阵,
６,
利用初等行变换，再利用初等列变换最后可把矩 阵
化为 标准形矩阵,
７, 矩阵的秩
? 最高阶非零子式的 阶 数
? 行阶梯形矩阵非零行的行数
? 行最简形矩阵非零行的行数
? 标准形矩阵中单位矩阵的 阶 数
,ETEP???? 一 次
相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵,
一、初等矩阵的概念
定义
１、对调
1
10
01
1
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
就称为 初等矩阵, P
(,)E i j
01
10
()ir
()jr
()jc()ic
记作
()ir
()jr
(,)mE i j A ?
11 12 1
12
12
12
n
j j jn
i i in
m m m n
a a a
a a a
a a a
a a a
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
11 1 1 1
21 2 2 2
1
j i n
j i n
m m j m i m n
a a a a
a a a a
a a a a
??
??
??
()jc()ic
(,)nA E i j ?
２、数乘
1
1
1
1
1
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
11 1
1
1
n
i in
m m n
aa
ka ka
aa
??
??
??
??
??
()ir
()ic
()ir( ( ) )mE i k A ?
11 1 1
1
in
m m i m n
a ka a
a ka a
??
??
??
(,)nA E i j ?
()ic
? ?E i k(）记作 k
３、倍加
1
1
1
1
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??11 1 1 1 1
1
i j i n
m m i m j m i m n
a a a ka a
a a a ka a
???
??
???
? ?,( )E i j k
1
1
k
()ir
()jr
()ic ()jc
记作
(,( ) )nA E i j k ?
()ic ()jc
11 1
11
1
1
n
i j in jn
j jn
m m n
aa
a ka a a
aa
aa
??
??
??
????
??
??
??
??
??
??
??基本事实
相当于 (,)E i j A,ijrr? (,)AE i j相当于,ijcc?
( ( ))E i k A相当于,irk? ( ( ))A E i k相当于,ick?
(,( ) )E i j k A相当于,ijr kr? (,( ) )AE i j k相当于,jic kc?
(,( ) )mE i j k A ?
()ir
()jr
二、基本结论
１、初等矩阵均可逆
1 (,)E i j? 1 ( ( ))E i k?
1 (,( ) )E i j k?
(,);E i j? 1( ( ) ) ;Ei k?
(,( ) ),E i j k??
ERTTh A B PA B? ???? ? ?一 次
ECTTh A B A Q B? ???? ? ?一 次
２,为初等矩阵,PQ
３,ET ETT h if A B B A??? ? ???
４,1T h i f A ? ? ? ?12,,,,sp p p
12 sA p p p??
有限个初等矩阵
T h A B P AQ B??
? ? rEOT h R A r P A Q OO??? ? ? ??
??
,PQ５,为可逆阵
三、初等矩阵的应用
1A? ? | | 0A?? 12 sA p p p?? 1 1 1 121sA p p p? ? ? ???
又 ? ?1A A E? ? ?11A A A E??? ? ?1EA ??
? ?1 1 121sp p p A E? ? ?? ? ?1EA ??
因此 ? ?AEERT ? ?1EA ?
类似的 1
A A
E
?????
??
1 1 1
21 1s
AEp p p
EA
? ? ?
?
? ? ? ???
? ? ? ?? ? ? ?
A
E
??
???? 1
E
A?
??
????因此 ECT
1
1
AA
EA
?
?
???
??
??
1
E
A ?
???
????
A X B? 1X A B???又
? ?1A A B? ? ?1E A B??
因此 ? ?ABERT ? ?EX
1A A
B
?????
??
A
B
??
????
E
X
??
????因此 ECT
X A B? 1X B A ???又
1
E
BA ?
???
????
例１ 设 0,A ? 求证 ( ) ( )R AB R B?
用初等变换解矩阵方程,
1 2 1
1 2 3
2 2 3,
2 3 1
3 3 5
AB
???
????
? ? ? ??
?????
????
,求, 使 X
X A B X??
例２
5 1 2 1 3
2 3 1,2 2
3 1 0 3 1
AB
??? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
A X X B??
用初等变换解矩阵方程,例３
,求, 使 X
1 0 0 0
0 1 0 0
1 0 1 0
0 3 0 8
A
?
??
??
???
??
??
???
例４ 已知矩阵 的伴随矩阵 A
,且 11 3A B A B A E????B，求,
1 0 0 0 1 1
1 1 0,1 0 1
1 1 1 1 1 0
AB
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
例５
.A X A B X B A X B B X A E? ? ? ?
,求, 使 X
一、矩阵的定义
定义
()ij m nAa ??
）排成的 行 列的矩形数表，称为数域 m n
由数域 中的 个数 （ nm? ijaF 1,2,,;im?
1,2,,jn?
记作,mnA ? ()ija
中的一个 矩阵, mn?F
注,实矩阵、复矩阵、行矩阵、列矩阵、ｎ阶方阵、
方阵的行列式、两矩阵同型、两矩阵相等,
二、几种特殊的矩阵
1） 零矩阵
mn? 个 元素全为零的矩阵称为 零矩阵,
2） 对角矩阵
主对角线以外的所有 元素全为零的方阵称为 对角阵,
3） 单位矩阵
主对角线上的所有 元素全为 1的对角阵称为 单位阵,
4） 数量矩阵
主对角线上的所有 元素全为 的对角阵称为 数量阵, ?
5） 三角矩阵
上三角矩阵与下三角矩阵统称为 三角阵,
6） 负矩阵
7） 对合矩阵
2AE?设 Ａ 为ｎ阶方阵，如果,则称矩阵为 对合矩阵,
8） 正交矩阵
TA A E?设 Ａ 为ｎ阶方阵，如果,则称矩阵为 正交矩阵,
9） 幂等矩阵
2AA?设 Ａ 为ｎ阶方阵，如果,则称矩阵为 幂等矩阵,
称满足下列两个条件的矩阵为 阶梯形矩阵,
1）若有零行（元素全为零的行），位于底部；
10） 阶梯形矩阵
2）各非零行的首非零元位于前一行首非零元之右,
称满足下列三个条件的矩阵为 行最简形矩阵,
1）行阶梯形矩阵
11） 行最简形矩阵
2）各非零行的首非零元均为 1,
3）首非零元所在列其它元素均为０,
称满足下列两个条件的矩阵为 标准形,
1）左上角为单位阵；
12） 标准形
２）其它元素均为０,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
.
,
,
2211
22221212
12121111
nmnmmm
nn
nn
xaxaxay
xaxaxay
xaxaxay
?
?????????
?
?
三、矩阵与线性变换的关系
之间的关系式
1 2 1 2,,,,,,nmn x x x m y y y个变量 与 个变量
一个 线性变换,
1 2 1 2,,,,,,nmx x x y y y表示一个从变量 到变量
ija其中 为常数,
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,
四、矩阵的运算
1,加法
注意,只有 同型矩阵 才能进行 加法 运算,
()i j i j m nA B a b ?? ? ?
( ),( )i j m n i j m nA a B b????,若
规定
2,数乘 ( ),,i j m nA a R????
() i j m nA A a? ? ? ???
若
规定
3,乘法
( ),i j m nA B C c ???
( ) ( ),i j m nss ijA a B b????,若
规定
1 1 2 2
1
ij i j i j is sj ik kjc a b a b a b a b
?
? ? ? ? ?
ｓ
ｋ
＝其中
1 2 1 2i m j n??（,,, ；,,, ）
4,幂 k
k
A AA A?( ),,i j n nA a k Z ????规定 若
注,1、一般矩阵的幂无意义，除了方阵,
2,ｋ 只能是正整数,
把矩阵 Ａ 的行换成同序数的列得到的新矩阵，
叫做 Ａ 的 转臵矩阵,记作,,.A o r A? ?
5,转臵
设 Ａ 为ｎ阶方阵，若,即, TAA? ij jiaa?
那么 Ａ 称为 对称矩阵,
TAA?? ij jiaa??设 Ａ 为ｎ阶方阵，若,即,
那么 Ａ 称为 反 对称矩阵,
行列式 的各个元素的代数余子式
所构成矩阵的转臵,
A
ijA
７、伴随矩阵
11 21 1
12 22 2
12
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A A A
?
??
??
?
??
??
记作
８、共轭矩阵
当 为复矩阵时，用 表示 的共轭
复数，记, 称为 的 共轭矩阵,
? ?ijaA ? ija ija
? ?ijaA ? A A
6、方阵的行列式
行列式 （各元素的位臵不变）叫做 方阵 Ａ 的行列式,
记作,, e tA or D A
由ｎ阶方阵 Ａ 的元素所构成的
五、逆矩阵的概念和性质
,A B B A E??使得
的逆矩阵记作 1.A?A
1,定义
对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵, n A Bn
A则称矩阵 是 可逆 的,B A并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
定理 1 若矩阵 可逆，则 0.A ?A
定理 2 矩阵 可逆的充要条件是, 且 A 0A ?
1 1,AA
A
??? AA?其中 为矩阵 的伴随矩阵,
2,性质
六、矩阵的分块 及运算规则
对于行数和列数较高的矩阵，为了简化运算,
经常采用 分块法,使大矩阵的运算化成小矩阵的运
算, 具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成
许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 子块,以子块为
元素的形式上的矩阵称为 分块矩阵,
分块矩阵的运算规律与普通矩阵规律运算相类似,
分块对角矩阵
? ?1,2,iA i s?
都是方阵,
1
2
,
s
A
A
A
A
??
??
?
??
??
分块对角矩阵具有下述性质,
12 ;sA A A A?1）
1
1
1
1;
s
A
A
A
?
?
?
??
??
?
??
??
2）
3） 若
则有
11
,,
ss
AB
AB
AB
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?11;
ss
AB
AB
AB
??
???
??
??
若,则有 0iA ?
4） 若
1
,
s
A
A
A
??
???
??
??
1
1
1
1;
sA
A
A
?
?
?
??
??
?
??
??
则
? ?1,2,iA i s?均为可逆方阵,
5） 若
1
,
s
A
A
A
??
???
??
??
1;
n
n
n
s
A
A
A
??
??
?
??
??
则
6,设 ? ?12,sB ? ? ?? 则
? ?12 sAB A ? ? ??
? ?12,sA A A? ? ??
七、矩阵的初等变换 （ Elementary Transformation）
1、定义 下面三种变换称为矩阵的 初等行变换,
ji rr ?（ 1）互换两行,
（ 2）数乘某行,kri ?
（ 3）倍加某行,ji krr ?
同理，把 换成 可定义矩阵的 初等列变换, r c
ERT
ECT
定义 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵
的 初等变换, ET
定义 经过有限次初等变换变成矩阵, 如果矩阵 A B
AB与 等 价就称矩阵,记作 ~AB
等价关系的性质,反身性、对称性、传递性,
八、矩阵的秩
,mni n A i f?定义 0;rD?? 1 0.rD ???（ 1） （ 2）
则 称为矩阵 的 最高阶非零子式, rD A
)(Ar )(AR记为 或,
最高阶非零子式
的阶数称为 矩阵的 秩,
? ? ? ?~, if A B R A R B??定 理
，则称 定义 An阶方阵, 0 ( )if A R A n? ? ?
,mnin A ?
A
为 满秩阵,
定义 ()if R A m?
A，则称 为 行满秩阵 ；
()i f R A n?A，则称 为 列满秩阵 ；
0 ( )if A R A n? ? ?A，则称 为 降秩阵,
定义 所有与 Ａ 等价的矩阵的集合称为一个 等价类,
九、初等矩阵的概念
,ETEP???? 一 次
相应的，三种初等变换对应着三种初等方阵,
定义 就称为 初等矩阵, P
１、对调
(,)E i j ?
1
01
10
1
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
２、数乘
1
1
1
1
k
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
? ?E i k
?
(）
３、倍加
1
1
1
1
k
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
? ?,( )E i j k
?
十、初等矩阵的应用
? ?AEERT ? ?1EA ?
A
E
??
???? 1
E
A?
??
????ECT
1、求逆
? ?ABERT ? ?EX
A
B
??
????
E
X
??
????ECT
2、求方程
X A B? 1X B A ???
A X B? 1X A B???
十一、重要公式
A B B A? ? ?( ) ( )A B C A B C? ? ? ? ?A O A??
()A A O? ? ? ()A B A B? ? ? ?1 AA?
( ) ( )AA? ? ? ?? ()A B A B? ? ?? ? ?
() A A A? ? ? ?? ? ?OO? ?
0 AO?
()A B C AC BC? ? ?
()AB C A BC?
( ) ( ) ( )A B A B A B? ? ???()A B C AB AC? ? ?
A O O A O??E A A E A??
1 2 1 2k k k kA A A ??? 1 2 1 2()k k k kAA?
kEE?
() k k kAA???
1 2 2 2 2 1k k k k kA A A A A A A A A? ? ? ?? ? ? ? ?
? ?TTAA? () T T TA B A B? ? ?
? ? T TTA B B A?
? ? T TAA???
TAA? nAA???
nnAA?A B A B B A?? ? ? ? ?T TAA ?? ?
? ?A B B A? ???,EAAAAA ?? ?? AA?
A B A B? ? ?AA??? () TTAA?
? ? ? ? ? ?T TTA B B A?
A B A B?
AA? 11A A A A E????
? ? ? ? 1kkA B A B A B??? ?kAE??
1 1 2 2 2 1 1k k k k k kk k kA C A C A C A E? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?1 1 AAA A?????? 1nAA ?? ?
? ? 2nA A A? ?? ?? ? 1A A A ???
1A A A???
? ? ? ? 11 nnnk A k A? ???
? ? 1 1 1nnk A k A A k A? ? ? ? ???0AE?
? ?1 kkAA???
A A A? ? ? ???
? ?AA?? ? ??
1 1AA
A
??? ? ? 1
1AA?? ? ? ? 1 1
1AA?
?
? ??
? ? 1 11BBAA? ???? ? ? ?1 1 TTAA? ?? 11AA ?? ?
十二、关于秩的若干结论
（ 1）
( ) m i n {,}mnR A m n? ?（ 2）
( ) ( ),( ) ( ),0TR A R A R k A R A k? ? ?
( ) 0RO ?
（ 3）
（ 4）
1 0 ( )if A A R A n? ? ? ? ? ?ｎ阶方阵 Ａ, （ 5）
1( ) ( ),R A R A?其中 1AA?
0 ( )ri f D R A r? ? ? ?
0 ( )ri f D R A r? ? ? ?
（ 6）
1( ) 0,0rrR A r D D ?? ? ? ? ? ?
（ 7）
（ 8）
? ? ? ?~ ETif A B A B R A R B??? ? ? ?（ 9）
（ 10）
（ 11）
（ 12）
（ 13）
（ 14）
（ 15）
.,ERTif A B P is E M P A B???? ? ? ? ?
.,ECTif A B Q is E M A Q B???? ? ? ? ?
,if P Q 可 逆
? ? ? ? ? ? ? ?R A R PA R A Q R PAQ? ? ? ?
? ?if R A r?
if A 可 逆 12,,,.,sp p p i s E M??
12 sA p p p??
,PQ?? 可 逆 rEOP A Q OO???? ????? ? ? ? ? ?
R A B R A R B? ? ?
（ 16） ? ? ? ? ? ?,smnsif A B R A B R A R sB?? ? ? ? ?
（ 17）
证明,,,,P Q M N?? 可 逆,
1,r
EO
P AQ
OO
??
?? ??
??
? ? ? ?12,,if R A r R B r??
2r
EO
MBN
OO
??
?? ??
??
111,r
EO
A P Q
OO
?????? ??
??
211,r
EO
B M N
OO
????? ??
??
? ? 121 1 1 1,rrE O E OR A B R P Q M N
O O O O
? ? ? ???? ? ? ??? ??? ? ? ?
? ? ? ???
12 11rr
E O E O
H Q M
O O O O
??? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
令 ? ? ? ?R AB R H?有
? ? ? ? ? ?? ?,m in,mn ssif A B R A B R A R B?? ??
12 11rr
E O E O
H Q M
O O O O
??? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ?
而
12 1 2 1 2
3 4 3 4
rrE O E OQ Q M M
Q Q M MO O O O
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
211
2
112
3
rrr
r
M E OE Q E Q
M E OOO
????
? ????
?? ??
1 2 1 21 1 2 3r r r r
E Q M E E Q M E O
OO
?
? 1 2 1 2r r r r
F G O
OO
?????? ??
??
12rr
WO
OO
???? ??
?? ? ? ? ? ? ? ? ?12min,R AB R H R W r r? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?m i n,R A B R A R B??
? ?
? ?
? ?
? ?
11
01
n R A n
R A R A n
R A n
?
? ?
?
? ? ??
?
???
（ 18）
? ? ? ?
? ?
? ?
,
,
nsm s
R A R B
if A B O R A B O
RB
s
s
s AO
??
? ??
?
? ? ? ? ??
?
? ? ??
（ 19）
证 1,? ? ? ?10 0,nR A n A A A R A n???? ? ? ? ? ? ? ?
证 2,? ? 10R A n A AA O?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? 1R A R A n R A??? ? ? ? ?
? ? ? ?11R A n R A ?? ? ? ? ?? ? 1RA
?? ???
?
证 3,? ? ? ?1 0 0,ijR A n A A O R A??? ? ? ? ? ? ? ? ?
（ 20）,mnssAB?? ? ? ? ? ? ?if R A s R A B R B? ? ?? ? ? ? ? ?if R B s R A B R A? ? ?
十三、矩阵方程
形如,X B B X?? 1 6,A X A X X A? ??
1 6 2,A X A X A E? ?? 2,A X E A X? ? ?的方程称为矩阵
方程,
求未知矩阵 Ｘ,都是利用矩阵运算把矩阵方程化为
若 ＡＢ 都可逆,上述类型的方程可以用求逆方法求出 Ｘ,
,,,A X B M A X M X B M? ? ?
若 ＡＢ 不可逆,可以用待定系数法求出 Ｘ,
十四、应用举例
例 1 设 矩阵 0,0,i j i jab??
1 1 1
1
,
n
n n n
a b a b
A
a b a b
??
???
??
??
则 ? ? ()RA ?
例 2 设 Ａ 是 矩阵，且,而 ? ? 2RA ?
则 ? ? ()R A B ?
43?
1 0 2
0 1 0
1 2 3
B
??
???
??
???
例 3 设 Ａ 是４阶方 阵，且,则 ? ? 2RA ? ? ? ()RA ? ?
例 4 设 Ａ 是４阶方 阵，且 ? ? ? ?1B E A E A?? ? ?
? ? 1 ()EB ???则
第三章
确定小鸟的飞行状态，
需要以下若干个参数,
小鸟重心在空间的位臵参数
小鸟身体的水平转角 θ
小鸟身体的仰角 ψ
鸟翼的转角 ψ
所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 ? ?
m t x y z? ? ? ??
(,,)P x y z
１、引入
一、ｎ维向量 （ Vector）
小鸟身体的质量 ｍ
鸟翼的振动频率 ｔ
还有 …
２、定义 ｎ个数 组成的有序数组 12,,,na a a
? ?12 na a a? ?
称为一个 ｎ维向量,其中 称为第 个 分量 （ 坐标 ）, ia i
? ?12T na a a? ?
,.,T T T? ? ?记作
如,
ｎ维向量写成一行，称为 行矩阵,也就是 行向量, 1
2
n
a
a
a
?
??
??
???
??
??
??
如,
记作 α,β,γ,
ｎ维向量写成一列，称为 列矩阵,也就是 列向量,
（ Row Vector）
（ Column Vector）
注意
１、行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２、行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；
３、当没有明确说明时，都当作实的列向量,
2,元素全为零的向量称为 零向量 （ Null Vector）,
3、长度为 １的向量称为 单位向量 （ Identity Vector）,
4、维数相同的列（行） 向量同型,
元素是复数的向量称为 复向量 （ Complex Vector）,
３、几种特殊向量
1,元素是实数的向量称为 实向量 （ Real Vector）,
5、对应分量相等的 向量相等,
４、向量与矩阵的关系
1
2
T
T
T
m
A
?
?
?
??
??
???
??
??
??
其第 ｊ 个 列 向量 记作
1
2
j
j
j
mj
a
a
a
?
??
??
??
?
??
??
??
??
? ?12 nA ? ? ??
ｍ个ｎ维 行向量,
按行分块
11 12 1
21 22 2
11
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
按列分块
ｎ个ｍ维 列向量,
其第 ｉ 个 行 向量 记作 ? ?
12Ti i i i na a a? ?
矩阵与向量的关系中
注意什么是向量的 个
数,什么是向量的 维
数,二者必须分清,
? ?1 1 2 2() nna b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ?12 nk k k a k a k a?? ??
二、向量的运算
? ?1 1 2 2 nna b a b a b?? ? ? ? ? ?
1、加法 ? ? ? ?1 2 1 2,,nna a a b b b??
规定
2、数乘 ? ?12,na a a k R? ??
规定
称为数 ｋ 与向量 α的 数量积,
向量的加法与数乘合称为向量的 线性运算,
称为 α与 β的 和向量,
称为 α与 β的 差向量,
4、乘法
对于ｎ维行向量
为一阶方阵，即一个数,
? ?12T nx x x? ? ? ?
1
2
12
T
n
n
x
x
x x x
x
??
??
??
???
??
??
??
为ｎ阶方阵；
? ?
1
2
12
T
n
n
x
x
x x x
x
??
??
??
???
??
??
??
3、转臵
? ?12T nx x x? ?
1
2
n
x
x
x
?
??
??
???
??
??
??
5、运算规律
（ 1） （交换律） ? ? ? ?? ? ?
（ 2） （结合律） ( ) ( )? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
（ 3） O????
（ 4） () O??? ? ?
（ 5） （减法） ()? ? ? ?? ? ? ?
(设 α,β,γ 均是ｎ维向量,λ, μ 为实数 )
（ 6） 1???
（ 7） ( ) ( ) ( )? ? ? ? ? ? ? ? ???
（ 8） ()? ? ? ? ? ? ?? ? ?
（ 9） ()? ? ? ? ? ? ?? ? ?
..or O? ?., 0.,or and O????O?? ? 0???
三、应用举例
2 ( )T T TE ? ? ? ? ? ?? ? ?
例１
1100
22?
??? ??
??设ｎ维向量,矩阵
,2TTA E B E? ? ? ?? ? ? ?，其中 Ｅ 为设ｎ阶方阵,
证明,.A B E?
证明,( ) ( 2 )TTA B E E? ? ? ?? ? ?
2 2 ( ) ( )T T T TE ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
T?? ?又 1 1 14 4 2??
12
2
TTAB E ? ? ? ???? ? ? ??
??
故
E?
TTE ? ? ? ?? ? ?
例２ ? ?1 1 1 0 T? ?,设 ? ?3 340 T? ?? ?2 1 1 T? ?,
? ? ? ?1 2 3
31
,,2 1,
11
? ? ? ? ? ? ?
??
??? ? ?
??
???
求
解 ? ? ? ?1 2 3 1 2 332? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ?4 4 1,T??
1 2 332? ? ? ?? ? ?
1 0 3
3 1 2 1 1 4
0 1 0
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?0 1 2,T?
1 2 3? ? ? ?? ? ?
0
1
2
??
???
??
??
??1 0 3
1 1 1 1 1 4
0 1 0
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
4
4
1
??
???
??
???
??
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做 向量组,
例如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
??
??????
??
??
21
222221
111211
1? 2? j? n?
四、向量组、矩阵、线性方程组
向量组 称为矩阵 Ａ 的 列向量组, 12:,,,nA ? ? ?
对于一个 矩阵有ｎ个ｍ维 列向量, mn?
12:,,,sA ? ? ?记作,? ?.,ior ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
aaa
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
inii
n
n
?
????
?
????
?
?
21
21
22221
11211
?T1
?T2
?Ti
?Tm
向量组 为矩阵 Ａ 的 行向量组, 12:,,,T T TmA ? ? ?
类似的，矩阵有ｍ个ｎ维 行向量,
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构
成一个矩阵,
1
2
T
T
T
m
B
?
?
?
??
??
???
??
??
??
? ?12 nA ? ? ??ｎ个ｍ维 列向量,所组成的向量组 12,,,n? ? ?构成一个 矩阵, mn?
ｍ个ｎ维 行向量,所组成的向量组 12,,,T T Tm? ? ?
也构成一个 矩阵, mn?
矩阵与向量组之间一一对应,
1 1 2 2 nnx x x b? ? ?? ? ? ?
线性方程组的向量表示
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应,
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
? ?
1
2
12 n
n
x
x
b
x
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
即 Ax b? 或
例３ ｎ维向量的集合是一个向量空间,记作, nR
,;if V V V? ? ? ?? ? ? ? ?
五、向量空间
1、定义 设 Ｖ 为ｎ维非空向量组，且满足
① 对加法封闭
② 对数乘封闭
那么就称向量组 Ｖ 为 向量空间 （ Vector Space）,
,.if V R V? ? ? ?? ? ? ?
解 任意两个ｎ维向量的和仍是一个ｎ维向量；
任意ｎ维向量乘以一个数仍是一个ｎ维向量,
所以，所有ｎ维向量的集合构成一个向量空间,
易知 该集合对加法封闭，对数乘也封闭,
例４ 判别下列集合是否为向量空间,
? ?? ?1 2 20,,TnnV x x x x x R? ? ?１,
? ?? ?2 2 21,,TnnV x x x x x R? ? ?２,
解 ? ? ? ?2 1 2 10,0TTnni f a a V b b V??? ? ? ?
? ?2 2 10,Tnna b a b V?? ? ? ? ? ?有
? ?21,0,Tnk R k k a k a V?? ? ? ? ?
所以 是一个向量空间, 1V
解 ? ?221 Tni f a a V? ??
? ?222,2 2 2 2,Tnk a a V?? ? ? ? ?
所以 不是一个向量空间, 2V
例５ 判别下列集合是否为向量空间,
? ?? ?3 1 2 1 2,,,,0Tn n iV x x x x x x x R x? ? ? ??且
解,,0,0iiif V V a b??? ? ? ???３ ３ 有
? ? 30iia b V? ? ? ?? ? ? ? ? ??有
? ? 3,0,ik R k k a k V??? ? ? ? ? ??
所以 是一个向量空间, 3V
解 ? ?1 2 4 1Tnii f a a a V a? ? ? ??有
? ? 42,2 2,ik a V? ? ? ??有
所以 不是一个向量空间, V４
? ?? ?4 1 2 1 2,,,,1Tn n iV x x x x x x x R x? ? ? ??且
? ?,V x R? ? ? ? ? ?? ? ? ?
例６ 设 α,β 为两个已知的ｎ维向量 试判断集合
是否为向量空间,
解 1 1 1 2 2 2,i f x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?1 2 1 2 1 2x x V? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?有 　
1 1 1,k R k x k k V? ? ? ?? ? ? ? ? ?
所以 是一个向量空间, V
定义 由向量组 的一切线性组合构成的集合 12,,,r? ? ?
称为 由 生成的 向量空间,记为,12,,,r? ? ?
? ? ? ?1 2 1 1 2 2,,,r r r iL x k k k k R? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
注 等价向量组生成相同的向量空间,
向 量
)3( ?n解析几何 线性代数
既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组
几何形象：可 随 意
平行移动的有向线段
代数形象：向 量 的
坐 标 表 示 式
? ?12T na a a a?
坐
标
系
2、结构
空 间
)3( ?n解析几何 线性代数
点空间,点的集合 向量空间,向量的集合
坐
标
系
代 数 形 象,
向量空间中的平面
? ?dczbyaxzyxr T ???? ),,(
几 何 形 象,
空间直线、曲线,
空间平面或曲面
? ?dczbyaxzyx ???),,(
),,( zyxP ? ? Tr x y z?一 一 对 应
课前复习
１、定义 ｎ个数 组成的有序数组 12,,,na a a
? ?12 na a a? ?
称为一个 ｎ维向量,其中 称为第 个 分量 （ 坐标 ）, ia i
.,TT??记作 ｎ维向量写成一行称为 行向量,
记作,,??ｎ维向量写成一列称为 列向量,
２、几种特殊向量
实向量,复向量，零向量，单位向量，向量同型,
向量相等,
注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二
者必须分清,
３、矩阵与向量的关系
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做 向量组,
５、向量组
,;if V V V? ? ? ?? ? ? ? ?
６、向量空间
设 Ｖ 为ｎ维非空向量组，且满足
① 对加法封闭
② 对数乘封闭
那么就称集合 Ｖ 为 向量空间,
,.if V R V? ? ? ?? ? ? ?
４、向量的运算
向量的运算与采用矩阵的运算规律,
一、向量的线性相关性
1、基本概念
12:,,,rA ? ? ?定义 Ⅰ 给定向量组,对于任何一组数
12,rk k k，,,称向量 1 1 2 2 rrk k k? ? ?? ? ?为向量组的
一个 线性组合 （ Linear Combination）,
12,rk k k，, 为组合的 组合系数 （ Combination Coefficient）,
12:,,,rA ? ? ?定义 Ⅱ 设向量组 及向量 β 有关系
1 1 2 2 rrk k k? ? ? ?? ? ? ?
则 β 称为向量组的一个 线性组合,或称 β 可由向量组 Ａ
线性 表示 （ Linear Expression）,
12,rk k k，, 称为 β在该 线 性组合下的组合系数,
① 若 α ＝ kβ,则称向量 α 与 β 成比例,
② 零向量 Ｏ 是任一向量组的线性组合,
④ 任一ｎ维向量 ? ?12 na a a? ?
? ?1 1 0 0? ?,? ?2 0 1 0? ?,,
? ?0 0 1n? ?,
都是 基本向量组
的一个线性组合,1 1 2 2,nna a a? ? ? ?? ? ? ?
⑤ 向量 β 可由 12:,,,mA ? ? ?线性表示,? ?
1
2
12 m
m
x
x
x
? ? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
即方程组
事实上，有
③ 向量组中每一向量都可由该向量组线性表示,
有解,
定义 Ⅲ 设两向量组 1 2 1 2:,,,:,,,.rsAB? ? ? ? ? ?，
若向量组 Ａ 中每一个向量皆可由向量组 Ｂ 线性表示,
则称 向量组 Ａ 可以由向量组 Ｂ 线性表示,
若两个向量组可以互相线性表示，则称这 两向量组等价,
向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性,
12:,,,rA ? ? ?定义 Ⅳ 设ｎ维向量组
为零的数 12,rk k k，,,使得 1 1 2 2 rrk k k? ? ?? ? ? ? 0,
则称向量组
，如果存在不全
12:,,,rA ? ? ?线性相关 （ Linear Dependent）,
反之，若当且仅当 12 0rk k k??==,才有
1 1 2 2 rrk k k? ? ?? ? ? ? 0,则称向量组 12:,,,rA ? ? ?
线性无关 （ Linear Independent）,
即存在矩阵,.s r r s s rK A B K????
② 单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量,
③ 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量,
④ 一向量组中存在一个 Ｏ 向量，则一定线性相关,
⑤ 一个向量组中若部分向量线性相关，则整个向量
组也线性相关；一个向量组若线性无关，则它的任何
一个部分组都线性无关,
① 对于一个向量组，不是线性相关就是线性无关,
⑧ 几何上：两向量线性相关 ?两向量共线；
⑥ 两向量线性相关 ?两向量对应成比例
三向量线性相关 ?三向量共面,
⑦ 两向量线性无关 ?两向量不对应成比例
二、线性相关性的判断准则
定理 向量组线性无关 ?齐次线性方程组只有零解；
定理 向量组线性相关 ?齐次线性方程组有非零解,
推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 ?, 0ija ?
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 ?, 0ija ?
向量组线性无关 ?任何一个向量都不能由其向
量线性表示,
定理
向量组线性相关 ?至少有一个向量可由其余向
量线性表示,
定理
证 1:,,,,iri f A ? ? ?11 0i i r rk k k? ? ?? ? ? ? ? ?
∵ Ａ 线性相关,0ik ?
1 1 1 1 1 1i i i i r r i ik k k k k? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
111
1 1 1
ii r
i i i r
i i i i
kkkk
k k k k? ? ? ? ?
??
??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?得证
至少有一个系数不为零，不妨设
定理 如果向量组
线性相关，则 α 可由 Ａ 唯一 线性 表示,
12,,,rA ? ? ??
12:,,,,rB ? ? ? ?
线性无关，而向量组
证 1 1 2 2 0rrk k k k? ? ? ?? ? ? ? ?设
∵ Ａ 线性无关,而向量组 Ｂ 线性相关,
∴ ｋ ≠ ０，（ 否则与 Ａ 线性无关 矛盾）
1 1 2 2 rrk k k k? ? ? ?? ? ? ? ?
12
12
r
r
k k k
k k k? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?∴ α 可由 Ａ 线性 表示,
下证 唯一性,
1 1 2 2 ;rr? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?1 1 2 2 rr? ? ? ? ? ?? ? ? ?
两式相减有 ? ? ? ? ? ?1 1 1 2 2 2 0r r r? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
∵ Ａ 线性无关,1 1 2 20,0,0rr? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
1 1 2 2,,rr? ? ? ? ? ?? ? ? ?即表达式唯一,
即有
设
定理 设向量组 12,,,rA ? ? ?,1 2 1,,,,rrB ? ? ? ? ?
若 Ａ 线性相关,则向量组 Ｂ 也线性相关；反之，若
向量组 Ｂ 线性无关，则向量组 Ａ 也线性无关,
? ?1 2 1,Ti i i m i m ia a a a? ??
定理 设向量组
( 1,2,,)in?? ?12 Ti i i mia a a? ?
若 Ａ 线性无关，则向量组 Ｂ 也线性无关；反之，若
向量组 Ｂ 线性相关，则向量组 Ａ 也线性相关,
12,,,,nA ? ? ?,12,,,.nB ? ? ?,其中
( 1,2,,)in?
注意,以上两个定理完全不同，千万不要混淆，第
一个定理中是向量的 个数 变，在方程组中体现在 未知数
的个数变；第二个定理中是向量的 维数 变，在方程组中
体现在 方程 的个数变,
1、设向量组 ? ?1 3 0,Tk? ?? ? ?2 1 2,Tk? ??
? ?3 0 2 1 Τ? ??线性相关，则 ｋ,
2、设向量组 ? ?1 0,T ac? ? ? ?2 0,T bc? ?
? ?3 0T ab? ? 线性无关，则,,a b c 必满足,
三、应用举例
则（ ）
A,必可由 线性表示； 1? 2 1 2,,? ? ?
B,必可由 线性表示； 2? 1 2 1,,? ? ?
C,必可由 线性表示； 2? 1 1 2,,? ? ?
D,必不可由 线性表示, 1? 1 2 2,,? ? ?
3、若向量组 1 2 1,,? ? ?线性无关,1 2 2,,? ? ?线性相关,
3,, 1k or k??
0abc ?
B
1、基本概念 1 1 2 2 rr
k k k? ? ?
?
?
?
? ? ? ?
?
??
线性 表示 LE
课前复习 线性组合 LC
组合系数 CC
线性相关 LD
线性无关 LID
向量组 LD?至少有一个向量可由其余向量 LE, 定理
向量组 LID?任何向量都不能由其余向量 LE, 定理
定理 向量组线性无关 ?齐次线性方程组只有零解；
定理 向量组线性相关 ?齐次线性方程组有非零解,
2、基本结论
推论 ｎ个ｎ维向量线性相关 ?, 0ija ?
推论 ｎ个ｎ维向量线性无关 ?, 0ija ?
定理 如果向量组
线性相关，则 β 可由 Ａ 唯一线性表示,
12,,,rA ? ? ??
12,,,,r? ? ? ?
线性无关，而向量组
定理 设向量组 12,,,rA ? ? ?,1 2 1,,,,rrB ? ? ? ? ?
若 Ａ 线性相关,则向量组 Ｂ 也线性相关；反之，若
向量组 Ｂ 线性无关，则向量组 Ａ 也线性无关,
? ?1 2 1,Ti i i m i m ia a a a? ??
定理 设向量组
( 1,2,,)in?? ?12 Ti i i mia a a? ?
若 Ａ 线性无关，则向量组 Ｂ 也线性无关；反之，若
向量组 Ｂ 线性相关，则向量组 Ａ 也线性相关,
12,,,,nA ? ? ?,12,,,.nB ? ? ?,其中
( 1,2,,)in?
一、向量组的秩
１、极大线性无关组
② 线性相关, ? ? 121,,,,,i i irjs? ? ? ? ?? ? ? ?
若满足,
设 是一个向量组，它的某一个部分组 12,,,s? ? ?
0 1 2:,,,i i i rA ? ? ?
２、向量组的秩
向量组的极大无关组所含向量个数称为 向量组的秩,
记作,Ｒ (Ａ ) 或 ? ?12 sR ? ? ?
① 线性无关； 0 1 2:,,,i i i rA ? ? ?
则称 为 Ａ 的一个 极大线性无关组, 0 1 2:,,,i i i rA ? ? ?
④ 一个向量组的任两个极大无关组所含向量个数相同,
① 一个向量组的极大无关组不是唯一的,
⑤ 一个线性无关的向量组的极大无关组就是其自身,
③ 一个向量组的任意两个极大无关组都等价,
⑦ 零向量组构成的向量组不存在极大无关组,
⑧ 任何非零向量组必存在极大无关组,
⑨ 任何ｎ维向量组 如果线性无关，那么它 12,,,n? ? ?
就是 中的极大无关组, nR
⑩ 显然ｎ维向量组 就是 中的极大无关组, nR12,,,n? ? ?
② 向量组与它的任一极大无关组等价,
⑾ 等价的向量组同秩,
⑥ 一个线性相关的向量组的极大无关组是其真子集,
二、线性相关性的判断准则
定理 向量组 Ａ 线性相关 ?Ｒ (Ａ )＜ｒ,
定理 向量组 Ａ 线性无关 ?Ｒ (Ａ )＝ｒ,
12,,,,ri f A ? ? ?? 12,,,sB ? ? ??
向量组 Ａ 中向量的个数ｒ＞向量的维数ｎ，则
向量组 Ａ 线性相关,
推论
定理 向量组 Ａ 可由 Ｂ 线性表示，则
② 若ｒ＞ｓ，则 Ａ 线性相关,
③ Ａ 线性无关,则 ｒ ≤ ｓ,
④ Ｒ (Ａ ) ≤ Ｒ (Ｂ ),
⑤ 等价向量组必有同秩．（反之则不然）
① 存在矩阵,.s r r s s rK A B K????
1 1 2 2 0rrx x x? ? ?? ? ? ?证①,设 ? ?
1
2
12
0.
r
r
x
x
x
? ? ?
??
??
?? ?
??
??
??
即 记 0Ax ?
又 Ａ 可由 Ｂ 线性表示，则,.srK A B K?? ? ?
00A x B K x? ? ? ?仅考虑 0,Kx ?
由于ｒ＞ｓ,所以 Ｋ 构成的列向量 线性相关,
故 有非零解, 0Kx ?
亦即 ? ?12 0Trx x x x? ? ?
1 1 2 2 0rrx x x? ? ?? ? ? ? ?
所以 Ａ 线性相关,
? ? ? ?R A R B??
证③,
的极大无关组,
因为 Ａ 可由 Ｂ 线性表示，则 线性表示,00AB可 由
定理 向量组 Ａ 与 Ｂ 均线性无关,且 Ａ 与 Ｂ 等价,则,rs?
? ? ? ?,,R A p R B q??再设 分别为 Ａ,Ｂ 00,AB设
( ) ( ),( ) ( ),m n m s s ni f C A B R C R A R C R B? ? ?? ? ? ?推论
? ? ? ?11,,nsC c c A a a??? ?ijBb ?? sn而,
设矩阵 Ｃ 和 Ａ 用其列向量表示为 证明,
? ? ? ?
11 1
11
1
n
ns
s sn
bb
c c a a
bb
??
???
??
??
由
而 线性无关,则,pq?0A
( ) ( ),R C R A?因 此
,( ) ( ),T T T T TC B A R C R B??又 因 易 知( ) ( ),R C R B?即
易知矩阵 Ｃ 的列向量组能由 Ａ 的列向量组线性表示,
设向量组 Ｂ 是向量组 Ａ 的部分组，若向量组 Ｂ 线性 推论
无关，且向量组 Ａ 能由向量组 Ｂ 线性表示，则向量组 Ｂ
是向量组 Ａ 的一个极大无关组,
设向量组 Ｂ 含ｒ个向量，则它的秩为ｒ,证明,
因向量组 Ａ 能由向量组 Ｂ 线性表示，故 Ａ 组的秩 ≤ ｒ,
从而 Ａ 组中任意ｒ +１个向量线性相关，所以向量组 Ｂ
满足定义中极大无关组的条件,
所以向量组 Ｂ 是向量组 Ａ 的一个极大无关组,
三、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义 矩阵
11 12 1
21 22 2
11
,
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
Ａ 的列向量组的秩称为列秩，记为,
Ａ 的行向量组的秩称为 行 秩，记为,? ?.rA
? ?.cA
定理 ? ? ? ? ? ?11 TTm n n mR A c r? ? ? ?? ??
结论 mnin A ?
①,则 所在行（列）向量组线性无关, rD0rD??
②, 则 Ａ 的任 ｒ 行（列）向量组线性相关, 0rD??
③, 且含有 的,则, 0rD?? rD 1 0rD ??? ? ?R A r?
定理
有相同的 线性关系,
相同的 线性关系 是指,
已知ｎ维列向量组 12,,,,s? ? ? ? ?12,s nsA ? ? ? ??
若对 Ａ 施行初等行变换把 Ａ 化为 ? ?12,s nsB ? ? ? ?? 则
向量组
1 2 1 2,,,,,,ppi i i i i i? ? ? ? ? ?与? ?121 pi i i s? ? ? ? ?
① ? ? ? ?
1 2 1 2,,,,,,.ppi i i i i iRR? ? ? ? ? ??
12,,,pi i i? ? ?线性表示，且表达式的系数对应相同,
② 12,,,pi i i i? ? ? ?可 以 由线性表示，对应的 i? 可 以 由
③ 1 2 1 2,,,,,,ss? ? ? ? ? ?与极大无关组相对应,
.,ERTi f A B P i s I M P A B???? ? ? ? ?证明
? ? ? ?1 2 1 2,,ssn s n sAB? ? ? ? ? ?????
? ?12 sP A P ? ? ???
iiP???即
? ?12 sP P P? ? ?? ? ?12 s? ? ??
设 Ａ 的某些列 12,,,pi i i? ? ?有关系
1212 0pi i p il l l? ? ?? ? ? ?
则相应的
1212 pi i p il l l? ? ?? ? ?
1212 pi i p il P l P l P? ? ?? ? ? ?? ?
1212 pi i p iP l l l? ? ?? ? ? ?0?
具有相同的 线性关系, 12,,,pi i i? ? ?
即 Ｂ 中列向量组 12,,,pi i i? ? ?与 Ａ 中列向量组
1、向量组 线性无关，证明,12,,,r? ? ?
11,??? 2 1 2,,? ? ??? 12rr? ? ? ?? ? ? ?线性无关,
11,r? ? ??? 22,,r? ? ??? 11,r r r? ? ?????rr???
2、向量组 线性无关，证明,12,,,r? ? ?
线性无关,
中线性相关的是（ ）
A、,,12??? 23??? 31???
3、已知向量组 1 2 3,,? ? ?线性无关，则下列向量组
12??? 23??? 31???B、,,
12??? 23??? 31???C、,,12??? 23??? 31???D、,,
四、应用举例
D
例４ 设 ? ?1 111? ?, ? ?3 2 4 7,? ?? ?2 0 2 5? ?,
? ?1 2 3TTT? ? ?
1 0 2
1 2 4
1 5 7
??
???
??
??
1 0 2
0 1 1
0 0 0
??
??
??
??
所以 ? ? 2RA ? 12:,A ??线性无关
? ? 2RB ?
试讨论 及 秩及线性相关性, 1 2 3:,,B ? ? ?12:,A ??
1 2 3:,,B ? ? ?线性相关
例５ 已知 1 2 3:,,,? ? ?? 1 2 3 4:,,,,? ? ? ??? 1 2 3 5:,,,,? ? ? ????
设 ? ? ? ? ? ?3,4,R R R? ? ? ? ? ? ? ? ?
证明 1 2 3 5 4,,,? ? ? ? ??线性无关,
解
3 1 22? ? ???且
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
A
????
??
?
?
????
???
求向量组 Ａ 的列向量组的秩及一个极大线性无关组,
例６ 设矩阵
并将其余向量用该极大线性无关组线性表示,
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
A
????
??
?
?
????
???
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
ERT
???
??
?
????
?? ?
??
所以 Ａ 的列向量组的秩为３,
故极大线性无关组所含向量的个数为３个,
解
1 1 2 1 4
0 1 1 1 0
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
A
???
??
?
?? ?
??
显然极大线性无关组为 1 2 4,,,? ? ?
0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0
ERT
???
??
?
????
?? ?
??
3 1 2 40,? ? ? ?? ? ? ?5 1 2 44 3 3,? ? ?? ? ?所以可得
例７ 设 ? ?1 111? ?, ? ?3 1 3,t? ?? ?2 1 2 3? ?,
① 当ｔ为何值时,线性无关 1 2 3,,? ? ?
② 当ｔ为何值时,线性相关 1 2 3,,? ? ?
③ 当 线性相关时，将 用 线性表示, 1 2 3,,? ? ? 3? 12,??
五、向量空间的基与维数
定义
② 线性相关, 12,,,,,j j rV? ? ? ? ?? ? ?
若满足,
设 Ｖ 是一个向量空间，它的某ｒ个向量
12,,,r? ? ?
Ｖ 中的任一向量均可以表示成 基向量 的线性组合,
记作,dimＶ,
① 线性无关； 12,,,r? ? ?
则称 为 Ｖ 的一个 基,ｒ称为 Ｖ 的 维数, 12,,,r? ? ?
且表达式唯一，其组合系数 称为 向量在该基下的坐标,
一、ｎ维向量
１、定义 ｎ个数 组成的有序数组 12,,,na a a
? ?12 na a a? ?
称为一个 ｎ维向量,其中 称为第 个 分量 （ 坐标 ）, ia i
.,TT??记作 ｎ维向量写成一行称为 行向量,
记作,,??ｎ维向量写成一列称为 列向量,
２、几种特殊向量
实向量,复向量，零向量，单位向量，向量同型,
向量相等,
注意什么是向量的个数、什么是向量的维数，二
者必须分清,
３、矩阵与向量的关系
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做 向量组,
５、向量组
,;if V V V? ? ? ?? ? ? ? ?
６、向量空间
设 Ｖ 为ｎ维非空向量组，且满足
① 对加法封闭
② 对数乘封闭
那么就称集合 Ｖ 为 向量空间,
,.if V R V? ? ? ?? ? ? ?
４、向量的运算
向量的运算与采用矩阵的运算规律,
二、向量的线性相关性
1、基本概念
12:,,,rA ? ? ?定义 Ⅰ 给定向量组,对于任何一组数
12,rk k k，,,称向量 1 1 2 2 rrk k k? ? ?? ? ?为向量组的
一个 线性组合 （ Linear Combination）,
12,rk k k，, 为组合的 组合系数 （ Combination Coefficient）,
12:,,,rA ? ? ?定义 Ⅱ 设向量组 及向量 β 有关系
1 1 2 2 rrk k k? ? ? ?? ? ? ?
则 β 称为向量组的一个 线性组合,或称 β 可由向量组 Ａ
线性 表示 （ Linear Expression）,
12,rk k k，, 称为 β在该 线 性组合下的组合系数,
定义 Ⅲ 设两向量组 1 2 1 2:,,,:,,,.rsAB? ? ? ? ? ?，
若向量组 Ａ 中每一个向量皆可由向量组 Ｂ 线性表示,
则称 向量组 Ａ 可以由向量组 Ｂ 线性表示,
若两个向量组可以互相线性表示，则称这 两向量组等价,
向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性,
12:,,,rA ? ? ?定义 Ⅳ 设ｎ维向量组
为零的数 12,rk k k，,,使得 1 1 2 2 rrk k k? ? ?? ? ? ? 0,
则称向量组
，如果存在不全
12:,,,rA ? ? ?线性相关 （ Linear Dependent）,
反之，若当且仅当 12 0rk k k??==,才有
1 1 2 2 rrk k k? ? ?? ? ? ? 0,则称向量组 12:,,,rA ? ? ?
线性无关 （ Linear Independent）,
即存在矩阵,.s r r s s rK A B K????
三、向量组的秩
１、极大线性无关组
② 线性相关, ? ? 121,,,,,i i irjs? ? ? ? ?? ? ? ?
若满足,
设 是一个向量组，它的某一个部分组 12,,,s? ? ?
0 1 2:,,,i i i rA ? ? ?
２、向量组的秩
向量组的极大无关组所含向量个数称为 向量组的秩,
记作,Ｒ (Ａ ) 或 ? ?12 sR ? ? ?
① 线性无关； 0 1 2:,,,i i i rA ? ? ?
则称 为 Ａ 的一个 极大线性无关组, 0 1 2:,,,i i i rA ? ? ?
３、向量组的秩与矩阵的秩的关系
定义 矩阵
11 12 1
21 22 2
11
,
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
Ａ 的列向量组的秩称为列秩，记为,
Ａ 的行向量组的秩称为 行 秩，记为,? ?.rA
? ?.cA
定理 ? ? ? ? ? ?11 TTm n n mR A c r? ? ? ?? ??
结论 mnin A ?
①,则 所在行（列）向量组线性无关, rD0rD??
②, 则 Ａ 的任 ｒ 行（列）向量组线性相关, 0rD??
③, 且含有 的,则, 0rD?? rD 1 0rD ??? ? ?R A r?
定理
有相同的 线性关系,
相同的 线性关系 是指,
已知ｎ维列向量组 12,,,,s? ? ? ? ?12,s nsA ? ? ? ??
若对 Ａ 施行初等行变换把 Ａ 化为 ? ?12,s nsB ? ? ? ?? 则
向量组
1 2 1 2,,,,,,ppi i i i i i? ? ? ? ? ?与? ?121 pi i i s? ? ? ? ?
① ? ? ? ?
1 2 1 2,,,,,,.ppi i i i i iRR? ? ? ? ? ??
12,,,pi i i? ? ?线性表示，且表达式的系数对应相同,
② 12,,,pi i i i? ? ? ?可 以 由线性表示，对应的 i? 可 以 由
③ 1 2 1 2,,,,,,ss? ? ? ? ? ?与极大无关组相对应,
四、向量空间
定义
② 线性相关, 12,,,,,j j iV? ? ? ? ?? ? ?
若满足,
设 Ｖ 是一个向量空间，它的某ｒ个向量
12,,,r? ? ?
Ｖ 中的任一向量均可以表示成 基向量 所的线性组合,
记作,dimＶ,
① 线性无关； 12,,,r? ? ?
则称 为 Ｖ 的一个 基,ｒ称为 Ｖ 的 维数, 12,,,r? ? ?
且表达式唯一，其组合系数 称为 向量在该基下的坐标,
12,,,r? ? ?设 为ｎ维向量组，下面命题等价
① 12,,,r? ? ?线性无关,
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?② 满足 的数当且仅当全为零,
③ 2 2 21 2 1 1 2 20 0,r r rk k k k k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?都 有
( 1 )i ir?? ? ?④ 都不可由其余向量线性表示,
? ?12,,,.rRr? ? ? ?⑤
12,,,r? ? ?⑥ 向量组 的极大线性无关组是其本身,
⑦ 设 ? ?12,rA ? ? ?? 则矩阵 Ａ 的秩为ｒ,
⑧ 向量方程 只有零解, 1 1 2 2 0rrx x x? ? ?? ? ? ?
⑨ 设 ? ?12,rA ? ? ?? 则方程 Ａ ｘ＝０只有零解,
⑩ 12,,,r? ? ?不线性相关,
12,,,r? ? ?设 为ｎ维向量组，下面命题等价
① 12,,,r? ? ?线性相关,
1 1 2 2 0rrk k k? ? ?? ? ? ?② 满足 的数至少有组不为零,
③ 2 2 21 2 1 1 2 20 0,r r rk k k k k k? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?使 得
( 1 )i ir?? ? ?④ 可由其余向量线性表示,
? ?12,,,.rRr? ? ? ?⑤
12,,,r? ? ?⑥ 向量组 的极大线性无关组是真子集,
⑦ 设 ? ?12,rA ? ? ?? 矩阵 Ａ 的秩小于ｒ,
⑧ 向量方程 有非零解, 1 1 2 2 0rrx x x? ? ?? ? ? ?
⑨ 设 ? ?12,rA ? ? ?? 则方程 Ａ ｘ＝０有非零解,
⑩ 12,,,r? ? ?不线性无关,
12,,,,r? ? ? ?设 为ｎ维向量组，下面命题等价
① 12,,,r? ? ? ?可 由 线性表示,
④ 非奇次线性方程 Ａ ｘ＝ β 有解,
? ? ? ?1 2 1 2,,,,,,,.rrRR? ? ? ? ? ? ??③
12,,,r? ? ?⑤ 向量组 的极大线性无关组也是
② 向量方程 有解, 1 1 2 2 rrx x x? ? ? ?? ? ? ?
12,,,,r? ? ? ?的极大线性无关组,
向量组 Ａ 可由 Ｂ 线性表示，则
② 若ｒ＞ｓ，则 Ａ 线性相关,
③ Ａ 线性无关,则 ｒ ≤ ｓ,
④ Ｒ (Ａ ) ≤ Ｒ (Ｂ ),
⑤ 等价向量组必有同秩．（反之则不然）
① 存在矩阵,.s r r s s rK A B K????
定理 如果向量组
线性相关，则 β 可由 Ａ 唯一线性表示,
12,,,rA ? ? ??
12,,,,r? ? ? ?
线性无关，而向量组
定理 设向量组 12,,,rA ? ? ?,1 2 1,,,,rrB ? ? ? ? ?
若 Ａ 线性相关,则向量组 Ｂ 也线性相关；反之，若
向量组 Ｂ 线性无关，则向量组 Ａ 也线性无关,
? ?1 2 1,Ti i i m i m ia a a a? ??
定理 设向量组
( 1,2,,)in?? ?12 Ti i i mia a a? ?
若 Ａ 线性无关，则向量组 Ｂ 也线性无关；反之，若
向量组 Ｂ 线性相关，则向量组 Ａ 也线性相关,
12,,,,nA ? ? ?,12,,,.nB ? ? ?,其中
( 1,2,,)in?
第四章
１、解向量
设有齐次线性方程组
1 1 1 1 2 2 1
2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
0
0
0
nn
nn
m m m n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
若记
（ 1）
一、齐次线性方程组解的性质
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
,
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
x
x
x
x
?
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程,Ax 0?
1 1 1 2 2 1 1,,,nnx x x? ? ?? ? ?若
11
21
1n
x
?
?
?
?
??
??
????
??
??
??
称为方程组（ 1）的解向量,
它也就是向量方程 的解,
２、齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则 1 1 2 2,xx???? 0?Ax 21 ?? ??x
也是 的解, 0?Ax
（ 2）若 为 的解,为实数，则 11x ?? 0?Ax k 1?kx ?
0?Ax也是 的解,
0Ax ?称此向量空间为齐次线性方程组 的 解空间,
易知，方程组的 全体解向量 构成一个向量空间,
则
使得方程 成立,0Ax ?
0Ax ?
１、基础解系的定义
二、基础解系及其求法
12,,,s? ? ?
基础解系,则方程组 的 通解 可表示为,0Ax ?
方程组 的解空间中,它的某一个部分组 0Ax ?
② 线性相关, 12,,,,,s? ? ? ? ???
① 线性无关； 12,,,s? ? ?
则称 为齐次线性 方程组 的一组 基础解系, 12,,,s? ? ?
满足,
如果 为齐次线性 方程组 的 12,,,s? ? ? 0Ax ?
1 1 2 2,ssx k k k? ? ?? ? ? ?
其中 为任意实数, 12,,,sk k k
２、线性方程组基础解系的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵 Ａ 的秩为ｒ,
量线性无关,
因此,Ａ 的前ｒ个行向 0,rD ?
又任意ｒ +１个行向量线性相关，所以齐
即（１）中的前ｒ个方程与（１）同解,
rEBA
OO
??
????
（２）
并不妨
设 Ａ 的左上角ｒ阶子式
次线性方程组的ｍ -ｒ个方程多余,
所以对系数矩阵 Ａ 进行初等行变换，将其化为最简形
1 1 1 1 1 2 2 1,
1 1 2 2,
0
r r n r n
r r r r r r n r n
x b x b x b x
Ax
x b x b x b x
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?
?
?? ?
? ? ? ? ?
?
所以
即
（３）
1 11 1 12 2 1,
2 21 1 22 2 2,
1 1 2 2,
11
22
r r n r n
r r n r n
r r r r r r n r n
rr
rr
nn
x b x b x b x
x b x b x b x
x b x b x b x
xx
xx
xx
? ? ?
? ? ?
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?
于是,（１）的全部解就可以写成
其中 12,,,r r nx x x??是任意实数,
根据向量的运算法则,（３）可以整理成为,
令 （４）为
（４）
1 1 2 2 n r n rk k k? ? ? ???? ? ? ?（５）
则（５）就为方程组 的 通解, 0Ax ?
如果 12,,,nr? ? ? ?为齐次线性 方程组（１） 的 一个
基础解系,
1
2
1
2
r
r
r
n
x
x
x
x
x
x
?
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11
21
1
1
1
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r
b
b
b
x
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12
22
2
2
0
1
0
r
r
b
b
b
x
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1,
2,
,
0
0
1
nr
nr
r n r
n
b
b
b
x
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?
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??
??
１、证明 12,,,nr? ? ? ?线性无关,
由于ｎ -ｒ个ｎ -ｒ维列向量
1 0 0
0 1 0
,,,
0 0 1
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
线性无关,
所以ｎ -ｒ个ｎ维向量 12,,,nr? ? ? ?
２、证明解空间的任一解都可由 12,,,nr? ? ? ?线性表示,
设 ? ?11 Tr r nx ? ? ? ? ???? 为某一解向量,
1 1 2 2r r n n r? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
再构造 12,,,nr? ? ? ?的一个线性组合,
rn,,,???? ?21 0?Ax 0?Ax由于 是 的解，故 η 也是 的解,
亦线性无关,
下证 12,,,nr? ? ? ?是线性方程组的一组基础解系,
1 1 2 2r r n n r? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
1
2
2
r
r
r
n
c
c
c
?
?
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??
?
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??
??
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??
??
１
易知：方程组的前ｒ个未知量可由后ｎ－ｒ个未知量
唯一确定,
11
21
1
1
1
0
0
r
r
b
b
b
?
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??
??
??
??
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??
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??
12
22
2
2
0
1
0
r
r
b
b
b
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1,
2,
,
0
0
1
nr
nr
r n r
n
b
b
b
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1
1
2
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r
r
r
n
c
c
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?
.c,,c rr ??? ?? ?11
1
1
2
r
r
r
n
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?
?
??
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??
??
??
?
??
??
??
??
??
??
而 ；
.???故 1 1 2 2,r r n n r? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?即
所以 是齐次线性方程组解空间的一个基, 12,,,nr? ? ? ?
说明 １、解空间的基不是唯一的,
２、解空间的基又称为方程组的基础解系,
３、任 ｎ -ｒ个线性无关的 解向量构成基础解系,
定理 ｎ元齐次线性方程组 的全体解所构成的 0mnAx? ?
集合Ｓ是一个向量空间，当系数矩阵的秩为ｒ时，解空
间 Ｓ的维数为ｎ -ｒ,
当 时，线性方程组必有含ｎ -ｒ个向量的 基 ()R A n?
解系（此时解空间只含有零向量，称为０维向量空间）
当 时，线性方程组只有零解，故 没有基础 ()R A n?
础 解系,此时线性方程组的解可以表示为 12,,,nr? ? ? ?
1 1 2 2 n r n rk k k? ? ? ???? ? ? ?
其中 为任意实数，解空间可以表示为 12,,,nrk k k ?
? ?1 1 2 2 1 2,,,n r n r n rS x k k k x k k k R? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?
2 ( 1)r ??
1 3 2 2
2 0 1 5
0 2 1 3
???
???
???
??
例１ 求下列齐次线性方程组 的基础解系与通解,
1 2 3 4
1 3 4
2 3 4
3 2 2 0
2 5 0
2 3 0
x x x x
x x x
x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ?
?
三、应用举例
解 方程组的系数矩阵
212rr?
0 6 3 9?2 1 3
0 6 3 9?0000
2 1 3??
122rr?
23? 1 1 0 4??313?
1 2 4
22
3 2 4
44
4
23
x x x
xx
x x x
xx
???
?
??
?
???
? ?
?
所以
12
14
10
,;
23
01
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
从而基础解系为
通解为 1 1 2 2,x k k????
1 3 2 2
2 0 1 5
0 2 1 3
A
???
????
???
??
解
1 2 4
1 2 3 4 5
1 3 4 5
1 2 3 4 5
3 2 5 0
3 2 3 6 0
2 5 3 0
6 4 4 0
x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
? ? ??
?
? ? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
把系数矩阵 Ａ 用初等行变换变成为
17
1 0 0
22
31
0 1 0
44
0 0 0 1 2
0 0 0 0 0
??
?
??
??
??
??
??
??
?
??
??
例２ 求下列齐次线性方程组 的基础解系与通解,
3 2 0 5 0
3 2 3 6 1
2 0 1 5 3
1 6 4 1 4
A
??
??
??
?
?? ?
????
1 3 5
2 3 5
33
45
55
17
22
31
44
2
x x x
x x x
xx
xx
xx
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
? ?
?
所以
12
17
22
31
44,;
10
02
01
??
? ? ? ?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
基础解系为
所以线性方程组的通解为 ? ?1 1 2 2 1 2,.x k k k k R??? ? ?
例３ 齐次线性方程组
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
0
0
x x x
x x x
x x x
?
?
? ? ??
?
? ? ??
? ???
?
只有零解,
则 λ 满足（ ）, 1??
例４ 设ｎ 阶矩阵 Ａ 的各行元素之和为 0，且秩为
0Ax ? 的通解为 _______________,ｎ－１，则线性方程组 ? ?1 1 1 Tk
分析,( ) 1,R A n?? 0Ax ?则 的基础解系只有一个向量,
0Ax ?设 的第ｉ个方程为 1 1 2 2 0,i i i n na x a x a x? ? ? ?
12 0,i i i na a a? ? ? ?又矩阵 Ａ 的各行元素之和为 0，即
12 1nx x x? ? ? ? ?为它的一个解向量,
0Ax??的通解为 ? ?1 1 1,Tk
例５ 设三 阶矩阵 Ｂ ≠ ０，且 Ｂ 的每一列均为方程
的解,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 0
20
30
x x x
x x x
x x x
?
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ?
?
（１）求 λ,
（２）证明 0.B ?
解 （１） 因为 Ｂ ≠ ０，且 Ｂ 的每一列均为方程的解,
所以方程组有非零的解，即方程组的系数行列式等于零, 1 2 2
21
3 1 1
D ?
?
??
?
? ? 1 0.R B B? ? ? ?
1 2 2
0 0 1
0 5 5
?
?
??
?
0? 1.???
（２）当 时,方程组的矩阵为 1??
1 2 2
2 1 1
3 1 1
A
???
????
?? ?
??
1 0 0
0 1 1
0 0 0
??
???
??
??
所以 ? ? 2RA ?
则线性方程组基础解系所含向量的个数为 3－ 2＝ 1个,
?
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00
00
10
01
1
111
????
??????
????
??
??????
??
rn,rr
rn,
bb
bb
~A
四、小结
１、对系数矩阵 Ａ 进行初等变换，将其化为最简形
? ? rAR ?２、得出,同时也可知方程组的一个基础解
系含有ｎ－ｒ个线性无关的解向量,
?
?
?
?
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????
????
??
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nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
Ax
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11
11111
0
由于
令
.,,,
x
x
x
n
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r
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0
0
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1
0
0
0
1
2
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1 1 1 1 2 1,
1 2,
,,,,
nr
r r r r n r
x b b b
x b b b
?
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??? ? ?? ? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
? ??? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ??? ? ?
? ? ? ? ? ? ??
得
,
b
b
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1
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b
b
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b
b
,
rn,r
rn,
rn
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?
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?
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?
?
1
0
0
1
?
?
? ?
故
为齐次线性方程组的一个基础解系,
1 1 2 2 n r n rk k k? ? ? ???? ? ? ?
就为方程组的 通解,
１,非齐次线性方程组
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
若记
（ 1）
一、非齐次线性方程组解的性质
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
,
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
1
2
,
n
x
x
x
x
??
??
???
??
??
??
则上述方程组（ 1）可写成向量方程,Ax b?
1
2
m
b
b
b
b
??
??
???
??
??
??
（ 2）若 为 的解,x ?? 0?Ax x ?? Ax b?为 的解,
1 1 2 2,nnx x x b? ? ?? ? ? ?又可记
非齐次方程组不一定有解，若有解，则称方程组 相
２、非齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则 1 1 2 2,xx????Ax b? 12x ????
是其导出组 的解, 0?Ax
（２）
容,若无解，则称方程组 不 相容,
与非齐次方程组
称为该 非齐次方程组的 导出组,
Ax b? 0Ax ?
也是 的解,x ???? Ax b?则
也是 的解,Ax b?
（ 3）若 12,,,s? ? ?都为 的解,则 12 ss? ? ?? ? ?Ax b?
对应的齐次方程组
其中 为其导出组的通解,1 1 2 2 n r n rk k k? ? ???? ? ?
３、非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组 的通解为 Ax b?
1 1 2 2,n r n rx k k k? ? ? ? ???? ? ? ? ?
?? 为非齐次线性方程组的任意一个特解,
４、非齐次线性方程组有解的几个等价命题
? ? ? ?1 2 1 2,,,,,,,nnR R b? ? ? ? ? ???
线性方程组 有解，则以下命题等价,bAx ?
? 12,,,n? ? ?向量 ｂ 可由向量组 线性表示,
? 12,,,n? ? ?向量组 等价, 与向量组 12,,,,n b? ? ?
设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为 Ａ,增广
? ? ? ?R A R B n? ? ?１）线性方程组 有唯一解 bAx ?
定理
矩阵 为 Ｂ,则
? ? ? ?R A R B n? ? ?２）线性方程组 有无穷解 bAx ?
? ? ? ?R A R B??３）线性方程组 无解 bAx ?
12:,,,,nA ? ? ?推论 设 12:,,,,nBb? ? ?
由向量组 Ａ 线性表示，但 表达式不 唯一 ；
时，向量 ｂ 可由向量组 Ａ 线性 ? ? ? ?R A R B n??当
表示，且表达式 唯一 ；
时，向量 ｂ 不 可 由向量组 Ａ 线性表示,
? ? ? ?R A R B n??时，向量 ｂ 可 当
? ? ? ?R A R B?当
例１ 求解下列非齐次线性方程组
二、应用举例
1 2 3 4
1 2 3
1 2 3 4
1 2 4
2 2 1
2 4 8 2
2 4 2 3 3
3 6 6 4
x x x x
x x x
x x x x
x x x
? ? ? ??
?
? ? ??
?
? ? ? ? ??
? ? ? ?
?
1 2 2 1 1
2 4 8 0 2
2 4 2 3 3
3 6 0 6 4
B
????
??
?
?
????
????
解 方程组的增广矩阵为
1 2 2 1 1
0 0 2 1 0
~
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
????
??
??
??
( ) ( ),R A R B?所以线性方程组无解,
? ? ? ? 3 4,R A R B? ? ?因 所以线性方程组有无穷多解,
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
22
24
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ?
?
例２ 求解下列非齐次线性方程组
解 方程组的增广矩阵为
2 1 1 1 2
1 1 2 1 4
4 6 2 2 4
3 6 9 7 9
B
????
??
?
?
????
???
1 0 1 0 4
0 1 1 0 3
0 0 0 1 3
0 0 0 0 0
???
??
?
?? ?
??
13
23
33
4
4
3
3
xx
xx
xx
x
???
?
???
? ?
?
?
? ???
1
2
3
4
x
x
x
x
x
??
??
???
??
??
??
即
14
13
10
03
c
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?
其中ｃ为任意常数,
例３ 向量组
1 2,
10
a
?
??
???
??
??
??
2
2
1,
5
?
???
???
??
??
??
3
1
1,
4
?
???
???
??
??
??
1
,b
c
?
??
???
??
??
??
试问，当,,a b c 满足什么条件时
线性表示，且表达式唯一？ （１） ｂ 可由 1 2 3,,? ? ?
线性表示，且表达式不唯一？ （２） ｂ 可由 1 2 3,,? ? ?
线性表示？ （３） ｂ 不能由 1 2 3,,? ? ?
解 ? ?1 2 3B ? ? ? ??
40a ?? 线性表示，且表达式唯一, 时,ｂ 可由 1 2 3,,? ? ?
线性表示,
时,ｂ 不能由 1 2 3,,? ? ?
2 1 1
2 1 1
1 0 5 4
a
b
c
????
???
??
??
2 1 1
2 1 0 1
4 10 3 0 4
a
ab
ac
????
??? ? ?
? ? ???
2 1 1
2 1 0 1
4 0 0 3 1
a
ab
a c b
????
? ? ? ?
??? ? ?
??
当
40a ??当 3 1 0cb? ? ?且 时,ｂ 可由 1 2 3,,? ? ?线性表示,
但表达式不唯一；
40a ??当 3 1 0cb? ? ?且
四、小结
设ｎ元非齐次线性方程组的系数矩阵为 Ａ,增广
? ? ? ?R A R B n? ? ?
１）线性方程组 有唯一解 bAx ?
矩阵 为 Ｂ,则
? ? ? ?R A R B n? ? ?
２）线性方程组 有无穷解 bAx ?
? ? ? ?R A R B??
３）线性方程组 无解 bAx ?
1 1 2 2 n r n rx k k k? ? ???? ? ? ??
??
1 1 2 2 n r n rx k k k? ? ???? ? ? ??
??
第五章
一,内积 的定义与性质
1、定义
设ｎ维实向量 称实数
11
22
,,
nn
ab
ab
ab
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?,.??1 1 2 2 nna b a b a b? ? ?为向量 α 与 β 的 内积,记作
注,内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有 ? ? ? ?
1
2
12
.
T
n
n
b
b
a a a
b
? ? ? ?
??
??
????
??
??
??
,
２、性质
（ 1）对称性,
（ 2）线性性,
（ 3）正定性,
１、长度的概念
? ? ? ?,,? ? ? ??
? ? ? ? ? ?,,,? ? ? ? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?,,kk? ? ? ??
? ?,0,?? ? 0?? ? ?,0.?? ?当且仅当 时
二、向量的长度与夹角
? ? 2 2 212,na a a? ? ?? ? ? ?令 为ｎ维向量 α
的 长度 （ 模 或 范数 ）,
特别 长度为１的向量称为 单位向量,
（ 1）正定性,
（ 2）齐次性,
（ 3）三角不等式,
２、性质
0 ; 0 0? ? ?? ? ? ?且 ；;kk????;? ? ? ?? ? ?
（ 4）柯西－施瓦兹（ Cauchy－ Schwarz）不等式,
? ? 2 22,,? ? ? ?? ? ? ? ?? ?2,? ? ? ? ? ??即,,
当且仅当 α 与 β 的线性相关时，等号成立,
注 ① 当 时,0??
② 由非零向量 α 得到单位向量
是 α 的 单位向量, 0 1????
0 1??
??
称为把 α 单位化 或 标准化,
的过程
３、夹角
设 α与 β为ｎ维空间的两个非零向量,α与 β的夹
角的余弦为
? ?,c o s,???
??? 因此 α与 β的 夹角 为
? ?,a r c c o s,0,??? ? ?
??? ? ?
例 ? ? ? ? ? ?1 2 2 3,3 1 5 1,,.? ? ? ?? ? ?求
? ?,c o s ???
???解
18
3 2 6? ?
1
2?,4
????
? ?,???求,? ? ? ?1 1 1 1,1 1 1 0,TT??? ? ? ?练习
三、正交向量组
1、正交
当,称 α 与 β 正交, ? ?,0?? ?
注 ① 若,则 α 与任何向量都正交, 0??
0.? ? ?? ? ?②
③ 对于非零向量 α 与 β, ? ?,,2?? ? ? ?? ? ? ?
2、正交组
若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则
这个向量组称为 正交向量组,简称 正交组,
3、标准正交组
由单位向量组成的正交组称为 标准正交组,
定理
4、性质
正交向量组必为线性无关组,
定理 若向量 β 与
β 与
12,,,s? ? ?中每个向量都正交,则
的任一线性组合也正交, 12,,,s? ? ?
5、正交基
若 正交向量组 12,,,r? ? ?
则称 为向量空间 Ｖ 上的一个 正交基, 12,,,r? ? ?
为向量空间 Ｖ 上的一个基,
6、标准正交基
若标准 正交组 12,,,r? ? ?
则称 为向量空间 Ｖ 上的一个 标准正交基,
为向量空间 Ｖ 上的一个基,
12,,,r? ? ?
7、施密特（ Schmidt）正交化法
设 是向量空间 Ｖ 的一个基，要求向量空 12,,,r? ? ?
间 Ｖ 的一个标准正交基，就是 要找到一组两两正交的单
位向量 12,,,r? ? ?，使 12,,,r? ? ?与 12,,,r? ? ?等价,
此问题称为把 这组基 标准正交化, 12,,,r? ? ?
1）正交化
令 11???
12
2 2 1
11
,
,
??? ? ?
??
??????
????
1 2 1
r 1 2 1
1 1 2 2 1 1
,,,
,,,
r r r r
rr
rr
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?
?
??
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
就得到 Ｖ 的一个标准正交向量组,
Ｖ 的一组标准正交基,
如果
上述方法称为施密特 （ Schmidt） 正交化法,
2）标准化
1 1 2 2
12
1 1 1,,,,
rr
r
? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?令
12,,,r? ? ?是 Ｖ 的一组基，则 12,,,r? ? ?就是
注
则 两两正交，且与 12,,,r? ? ?等价, 12,,,r? ? ?
上述 方法中的两个向量组对任意的 1,kr??
12,,,k? ? ?与 12,,,k? ? ?都是等价的,
四、应用举例
例 1 证明,中，勾股定理 nR 2 2 2x y x y? ? ?成立
的充要条件是 正交,,xy
解 ? ?2,x y x y x y? ? ? ?? ? ? ? ? ?,,2,x x y y x y? ? ?
? ?22 2,x y x y? ? ?
所以 2 2 2x y x y? ? ?成立的充要条件是 ? ?,0,xy ?
即 正交,,xy
已知三维向量空间中,
12
11
1,2
11
??
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
例 2 正交,
试求 3 1 2 3,,,? ? ? ?? 是三维向量空间的一个正交基,
解 设 ? ?3 1 2 3 0Tx x x? ??则 1 3 2 3,0,,0,? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?
即
1 2 3
1 2 3
0
20
x x x
x x x
? ? ??
? ? ? ?
?
13
2
33
0
xx
x
xx
???
?
???
? ?
?
3
1
0.
1
?
???
????
??
??
??
例 4 已知向量
1
1
1,
1
?
??
???
??
??
??
求 的一个标准 正交基, 3R
解
1 2 3 0,x x x? ? ?
设非零向量 都于 正交,23,?? 1? 1 0,T x? ?即满足方程
或
12
10
0,1,
11
??
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
其基础解系为
2 1 3 2
10
0,1,
11
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
令 1
1
1,
1
?
??
???
??
??
??
1）正交化
令 11??? 122 2 1
11
,
,
??? ? ?
??
??????
????
1 3 2 3
3 3 1 2
1 1 2 2
,,? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
2）标准化
1
1
1
1,
3
1
?
??
???
??
??
??
令
23
32
22
,
,
????
??
??????
????
1
1,
1
??
???
??
??
??
2
1
0,
1
?
??
????
??
???
??
1
1
2,
2
1
???
???
??
???
??
2
1
1
0,
2
1
?
??
???
??
???
??
3
1
1
2,
26
1
?
???
???
??
???
??
1,
ii
i
????
五、正交矩阵和正交变换
1、定义 如果ｎ阶矩阵满足,
则称 Ａ 为 正交矩阵,
则
可表示为
若 Ａ 按列分块表示为 Ａ ＝
? ?1,TTA A E A A???即
12(,,,),n? ? ?TA A E?? ?
1
2
12
T
T
n
T
n
?
?
? ? ?
?
??
??
??
??
??
??
1
1
,
1
E
??
??
????
??
??
??
亦即
其中
1( ) (,1,2,,),
0i j n n
if i j i j n
if i j? ?
????
? ?
?
( ) ( )Ti j n n i j n n? ? ????
① Ａ 的列向量是标准正交组,
nR
的一个标准正交基,
正交矩阵 Ａ 的ｎ个列（行）向量构成向量空间
2、正交矩阵的充要条件
② Ａ 的行向量是标准正交组,
注
3、正交变换
若 Ｐ 为正交矩阵，则 ｙ =Ｐｘ 线性变换称为 正交变换,
设 ｙ =Ｐｘ 为 正交变换,则有
y ? Txx?TTx P Px?? ?,Ty y y y? ? ?,.x x x??
经正交变换后向量的长度保持不变,内积保持不变,注
从而夹角保持不变,
1 8 4
9 9 9
8 1 4
9 9 9
4 4 7
9 9 9
??
??
??
??
??
??
??
??
????
??
11
1
23
1
01
2
1
11
2
??
?
??
??
??
?
??
1 1 1
2 2 6
12
0,
26
1 1 1
2 2 6
??
?
??
??
??
?
??
??
??
??
1 1 1
3 2 6
12
0
36
1 1 1
3 2 6
??
?
?
??
??
??
判断下列矩阵是否为正交矩阵,
课前复习
１、内积 ? ? 1 1 2 2,T nna b a b a b? ? ? ?? ? ? ? ?,
２、长度 ? ? 2 2 212,na a a? ? ?? ? ? ?
３、夹角 ? ?
,c o s,???
???
? ?,a r c c o s,0,??? ? ?
??? ? ?
４、正交 ? ?,0?? ?
５、施密特（ Schmidt）正交化法
６,正交矩阵 和正交变换
? ?1,TTA A E A A???即y Px? 其中 Ｐ 为正交矩阵,
正交变换的优良特性,
内积不变
夹角不变
长度不变
一、特征值与特征向量的概念
定义 Ａ 为ｎ阶方阵,λ 为数,? 为ｎ维非零向量,
A? ???若
则 λ 称为 Ａ 的 特征值, ? 称为 Ａ 的 特征向量,
（１）
注
② 并不一定唯一；,??
③ ｎ阶方阵 Ａ 的特征值，就是使齐次线性方程组
① 特征向量,特征值问题只针对与方阵； 0? ?
? ? 0E A x? ??有非零解的 λ 值，即满足
的 λ 都是 方阵 Ａ 的特征值,
0EA? ??
定义 0EA? ??称以 λ 为未知数的一元ｎ次方程
为 Ａ 的 特征方程,
? ?f E A????定义 称以 λ 为变量的一元ｎ次多项式
为 Ａ 的 特征多项式,
1 2 1 1 2 2( 2) ;n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?
12( 1 ) ;n A? ? ? ?
定理 设ｎ阶方阵 的特征值为 ? ?ijAa? 12,,,n? ? ?
则
证明① 当 是 Ａ 的特征值时,Ａ 的特征多项 12,,,n? ? ?
式可分解为 ? ?f E A????? ? ? ? ? ?12 n? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?
11 2 1 21 nnn nn? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?
令 0,? ? 得 A? ? ? 121 n n? ? ???
即 12,n A? ? ? ?
证明 ② 因为行列式
它的展开式中，主对角线上元素的乘积 ? ? ? ? ? ?
1 1 2 2 nna a a? ? ?? ? ?
EA? ?
是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至
多含ｎ－２个主对角线上的元素,
含 的项只能在主对角线上元素的乘积项中,1nn?? ?与
? ? 11 1 2 2nn nnE A a a a? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?故有
比较①，有 1 2 1 1 2 2,n n na a a? ? ?? ? ? ? ? ? ?
11 12 1
21 22 2
12
n
n
n n n n
a a a
a a a
a a a
?
?
?
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
因此，特征多项式中
定义 方阵 Ａ 的主对角线上的元素之和称为方阵 Ａ 的 迹,
记为 ? ?,i i itr A a ?????
二、特征值和特征向量的性质
推论１ ｎ阶方阵 Ａ 可逆 ?Ａ 的ｎ个特征值全不为零,
若数 λ 为可逆阵的 Ａ 的特征值,
则 为 的特征值,推论２ 1?? 1A?
则 为 的特征值,推论３ k? kA
则 为 的特征值,推论４ 1A ?? A?
则 为 的特征值,推论５ m? mA
特别 单位阵 Ｅ 的一个 特征值为１,
三、应用举例
１、若 λ ＝２为可逆阵 Ａ 的特征值，则
1
21
3 A
???
????
的一个特征值为（ ）
２、证ｎ阶方阵 Ａ 的满足,则 Ａ 的特征值为 2AA?
０或１,
３、三阶方阵 Ａ 的三个特征值为１、２、０，则
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
???
???
??
???
（ ） 3 1 1
7 5 1
6 6 2
B
????
??? ? ?
????
??
223EA??
４、求下列方阵的特征值与特征向量
四、特征向量的性质
定理 互异特征值对应的特征向量线性无关。
定理 互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并
在一块，所得的向量组仍然 线性无关。
定理 若ｎ阶矩阵 Ａ 的任 重 特征值 对应的线性无 it i?
it关的特征 向量 的个数不超过,
一、定义
定义 设 Ａ, Ｂ 都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵 Ｐ,
使得 1,P A P B? ?则称 Ｂ 是 Ａ 的 相似矩阵,或者说 矩阵
Ａ 与 Ｂ 相似,
称为对 Ａ 进 行 相似变换, 1,P AP?对 Ａ 进行运算
可逆矩阵 Ｐ 称为把 Ａ 变成 Ｂ 的 相似 变换矩阵,
记作, Ａ ∽ Ｂ,
二、性质
（ 1） 反身性,
（ 2） 对称性,
（ 3） 传递性,
Ａ ∽ Ａ ；
Ａ ∽ Ｂ,则 Ｂ ∽ Ａ ；
Ａ ∽ Ｂ, Ｂ ∽ Ｃ,则 Ａ ∽ Ｃ ；
（ 4） Ａ ∽ Ｂ,则 ? ? ? ?R A R B=
（ 5） Ａ ∽ Ｂ,则 AB?
（ 6） Ａ ∽ Ｂ,且 Ａ 可逆，则 11AB??∽
定理 若ｎ阶矩阵 Ａ 与 Ｂ 相似，则 Ａ 与 Ｂ 有相同的特征 多项式，从而 Ａ 与 Ｂ 有相同的特征值,
推论 若ｎ阶矩阵 Ａ 与对角矩阵
1
2
12
(,,,)
n
n
d iag
?
?
? ? ?
?
??
??
? ? ?
??
??
相似,12,,,n? ? ?就是 Ａ 的ｎ个特征值,则
1,kKA P P ???
1( ) ( ),A P P?? ???
而对对角阵 ? 有
则 若有可逆 矩阵 Ｐ 使
（ 8） Ａ ∽ Ｂ,则 Ａ 的多项式
特别
? ? ? ?AB??∽
1,P A P? ?? 11
22
()
()
,( ),
()
k
k
k
k
nn
???
???
?
???
?? ??
?? ??
? ? ? ?
?? ??
????
这样可以方便地计算 Ａ 的多项式 ( ).A?
（ 7） Ａ ∽ Ｂ,则 mmAB∽
若能寻得相似变换矩阵 Ｐ 使
1P A P? ??
对ｎ阶方阵 Ａ,
称 之为 把方阵 Ａ 对角化,
三、相似对角化
定理的推论说明,如果ｎ阶矩阵 Ａ 与对角矩阵 Λ相
似,
那么，使得 1P A P? ??的矩阵 Ｐ 又是怎样构成的呢？
则 Λ的主对角线上的元素就是 Ａ 的全部特征值,
设存在 Ｐ 可逆,1P A P? ??使得
? ?12,,,,nP p p p?若
A P P? ? ?
有
? ? ? ?
1
2
1 2 1 2
,,,,,,
nn
n
A p p p p p p
?
?
?
??
??
?
??
??? ?1 1 2 2,,,nnp p p? ? ??
于是有 ( 1,2,,),i i iA p p i n???因为 Ｐ 可逆,故
0 ( 1,2,),ip i n??于是 12,,,np p p是 Ａ 的ｎ个线性 无
关的特征向量。
反之,
即 ( 1,2,,),i i iA p p i n???设 12(,,,),nP p p p?
可逆，且
则 Ｐ
12,,,np p p若 Ａ 有ｎ个线性无关的特征向量
1 2 1 1 2 2(,,,) (,,,)n n nA P A p A p A p p p p? ? ???
1
2
12
(,,,),
n
n
p p p P
?
?
?
??
??
? ? ?
??
??
所以 1,P A P? ??即 Ａ 与对角矩阵 Λ相似,
定理 ｎ阶矩阵 Ａ 能与对角矩阵 Λ 相似
?Ａ 有ｎ阶线性无关的特征向量,
推论 如果ｎ阶矩阵 Ａ 有ｎ个不同的特征值，则矩阵 Ａ
注意 Ｐ 中的列向量 12,,,np p p的排列顺序要与
12,,,n? ? ?的顺序一致,
（ 1）
可相似对角化,
（ 2） 是 ip ( ) 0A E x???的基础解系中的解 向量,因
ip 的取法不是唯一的,故 因此 Ｐ 也是 不唯一的,
（ 3）
所以如果不计 的排列顺序,
0AE???的根只有ｎ个（重根按重数计算） 又
? 是唯一的,则 i?
推论 若ｎ阶矩阵 Ａ 可相似对角化 ?Ａ 的任 重 特征值
对应 个线性无关的特征 向量,
it
i? it
定理 对称矩阵的特征值为实数,
说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，
均指实对称矩阵,
一、对称矩阵的性质
定理 对称矩阵的互异特征值对应的特征向量正交,
定理 若ｎ阶对称阵 Ａ 的任 重 特征值 对应的线性
无关的特征 向量恰有 个,
it i?
it
定理 若 Ａ为 ｎ阶对称阵，则必有正交矩阵 Ｐ,使得
1P A P? ??
根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化
为对角矩阵，其具体步骤为,
将特征向量正交化 ; 3,
将特征向量单位化, 4,
2,? ? ;,0 的特征向量求出由 AxEA i ?? ?
1,;的特征值求 A
二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法
2 1 1
0 2 0
4 1 3
A
???
???
??
???
4 0 0
0 3 1
0 1 3
B
??
???
??
??
例 求正交阵，使得 1P A P? ??
21 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1(,,,) 2 2n n nf x x x a x a x x a x x? ? ? ?
12,,,nx x x
22 2 2 2 3 2 3 2 222 nna x a x x a x x? ? ? ?
23 3 3 3 32 nna x a x x? ? ?
2n n nax??
一、ｎ元二次型
1、定义
的二次齐次多项式 含有ｎ个变量
①
称为 二次型,
2
12
11
(,,,) 2
n
n ii i ij i j
i i j n
f x x x a x a x x
? ? ? ?
????或记为
注
① 当常数项为实数时，称为实二次型；
② 当常数项为复数时，称为复二次型,
21 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1(,,,)n n nf x x x a x a x x a x x? ? ? ?
22 1 2 1 2 2 2 2 2nna x x a x a x x? ? ? ?
?
21 1 2 2n n n n n n na x x a x x a x? ? ? ?
11
ij
nn
ij
ij
a x x
??
? ??
二、二次型的矩阵表示
定义 只含有平方项的二次型
2 2 21 2 1 1 1 2 2 2(,,,)n n n nf x x x a x a x a x? ? ? ?
称为二次型的 标准形,
定义 特别地，称
2 2 2 21 2 1 1(,,,) ( )n p p p qf x x x x x x x p q n??? ? ? ? ? ? ?
为二次型的 规范形,
１、二次型
的和式表示
②
２、二次型
的矩阵表示
21 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1(,,,)n n nf x x x a x a x x a x x? ? ? ?
22 1 2 1 2 2 2 2 2nna x x a x a x x? ? ? ?
?
21 1 2 2n n n n n n na x x a x x a x? ? ? ?
? ?1 1 1 1 1 2 2 1 nnx a x a x a x? ? ? ?
? ?2 2 1 1 2 2 2 2 nnx a x a x a x? ? ? ?
?
? ?1 1 2 2n n n nn nx a x a x a x? ? ? ?? ?
11 11 11 1
21 22 2 2
12
12
n
n
n n n n n
a a a x
a a a x
x x x
a a a x
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
③
11 11 11
21 22 2
12
n
n n n n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
??
则 二次型, Tf X A X? 其中矩阵 Ａ 为 对称矩阵,
令
1
2
n
x
x
X
x
??
??
???
??
??
??
任一 二次型 ｆ
三、二次型的矩阵及秩
对称 矩阵 Ａ !????
任一 对称矩阵 Ａ 二次型 ｆ !????
?
?
? 一一对应
ｆ 称为 对称 矩阵 Ａ 的 二次型 ； Ａ 称为 二次型 ｆ 的 矩阵 ；
对称矩阵 Ａ 的秩称为 二次型 ｆ 的秩,
练习 写出下列二次型的对称矩阵,
3）复数域Ｃ上的４元二次型
222f a x b x y c y? ? ?
2 2 2,)1 2 3 1 1 2 1 3 2 2 3 3(,2 4 6 5 3 7f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?
2)1 2 3 4 1 2 1 4 2 2 3(,,,3 5 ( 3 )f x x x x ix x x x x i x x? ? ? ? ?
例１ 1）实数域Ｒ上的２元二次型
2） 实数域上Ｒ的３元二次型
定义 设 Ａ,Ｂ 为ｎ阶方阵，若存在ｎ阶可逆阵 Ｐ,使得
,TP A P B?则称 Ａ 合同于 Ｂ,记为,AB
① 反身性
② 对称性
③ 传递性
性质
④ 合同矩阵具有相同的秩,
⑤ 与对称矩阵合同的矩阵也是对称矩阵,
?
?
? 等价
1 11 1 12 2 1
2 21 1 22 2 2
1 1 2 2
,
,
nn
nn
n n n n n n
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y c y c y
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
设
? ?,ijCc?
Cyx ?
四、化二次型为标准形
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的
线性变换，将二次型化为标准形,
记
记作
Tf x A x?将其代入
Axxf T? ? ?,yACCy TT?? ? ? ?CyACy T?
有
若 |C| ≠0,则④称为非退化线性变换,
④
注 二次型经过非退化线性变换仍为二次型,
证明 于是即有为对称矩阵,,TAAA ?
? ?TTT ACCB ?
? ? ? ?,,,
,,1
ARBRB
AACCBC T
?
?
且也为对称矩阵则矩阵
为对称如果令任给可逆矩阵定理
CAC TT?,BACC T ??
,ACCB T??
? ? ? ? ? ?,ARACRBR ???
? ?,11 ??? BCCA T?又 ? ? ? ? ? ?,1 BRBCRAR ??? ?
? ? ? ?.BRAR ??
即 为对称矩阵, B
说明
2222211 nnTT ykykykA C yCy ???? ?
就是要使
变成标准形经可逆变换要使二次型,2 Cyxf,?
,),,,(
2
1
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
y
y
y
k
k
k
yyy
nn
n ?
?
?
.成为对角矩阵也就是要使 ACC T;
,,1
ACCBA
fCyx,
T?
?
变为的矩阵由
但其秩不变后二次型经可逆变换
有型
把此结论应用于二次即使
总有正交矩阵阵由于对任意的实对称矩
,
.,
,,
1 ????? APPAPP
PA
T
? ?
化为标准形使正交变换
总有任给二次型定理
fPyx
aaxxaf jiij
n
ji
jiij
,
,2
1,
?
???
?
,2222211 nn yyyf ??? ???? ?
? ?,,,,21 的特征值的矩阵是其中 ijn aAf ???? ?
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1 AAxxf T 求出将二次型表成矩阵形式 ?;,,,.2 21 nA ??? ?的所有特征值求出;,,,.3 21 n??? ?征向量求出对应于特征值的特
? ?;,,,,,,,
,,,,,.4
2121
21
nn
n
C ??????
???
??
?
?记
得单位化正交化将特征向量
.
,.5
22
11 nn yyf
fCyx
?? ???
?
?
的标准形则得作正交变换
.,
844141417
323121
2
3
2
2
2
1
化成标准形通过正交变换
将二次型
Pyx
xxxxxxxxxf
?
??????例 2
例 3
.
22
2222
,
4342
32413121
化为标准形
把二次型求一个正交变换
xxxx
xxxxxxxxf
Pyx
??
????
?