? 力
系
分
类
平面力系
空间力系
平面特殊力系
平面任意力系（平面一般力系）
平面汇交力系
平面力偶系
平面平行力系
空间特殊力系
空间任意力系
空间汇交力系
空间力偶系
空间平行力系
解决的问题：力系的合成与平衡问题
第三章 力系简化的基础知识
§ 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
§ 3-2 力对点之矩
§ 3-3 力偶 ·力偶矩
§ 3-4 平面力偶系的合成与平衡条件
§ 3-5 力的等效平移
本章主要内容：
? 汇交力系 （ 平面汇交力系 ） 合成与平
衡条件
? 力对点之矩 （ 力矩 ）
? 力偶与力偶矩
? 力偶系及平衡条件
? 力的等效平衡
（ 一 ） 汇交力系, 作用在物体上的各个力, 如果其
作用线交汇于同一点, 则称该力系为汇交力系 。
? 平面汇交力系：作用在刚体上的各个力, 其作用线
位于同平面内, 且交汇于同一点, 则称该力系为平
面汇交力系 。
F1
F2
F3A
§ 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
? 图示平行四边形法则 ( 三角形法则 )
Y
X
F1
F2
R
RF1
F2
RF1
F2
1,二力汇交的合成, 平行四边形法则 （ 三角形法则 ）,
作用在物体上同一点的二个力可以合成为一个合力；反之,
一个合力可以分解成任意二个方向的分力 。 只要知道一个分
力的大小, 方向, 即可根据平形四边形法则确定另一个分力
的大小方向 。
? 三角形法则：将两分力按其方向及大小首尾相连, 则始点到
终点的连线即为合力 。 该法则也称为三角形法则 。
2,平面汇交力系的合成 ― 力多边形法则 （ 几何法 ）
? 各分力的矢量和为合力矢 R
FR
FR
F12
F23
F1
F2
F3F4
F1
F2
F3F
4
?力的平行四边形法则：
?汇交力系的几何法合成：力的多边形法则
? 3,力的投影：力在轴上的投影 （ 一般在 X,Y方
向 ）, 来源于平行光照射下物体影子的概念 。 为
了便于代数运算, 一般选择正交的坐标轴 X,Y方
向投影 。 力的投影是代数量, 与坐标轴正方向相
同为正 。
x
x ’A
B
?
a b
? 力在坐标轴上的投影的定义：线段 ab的长度并冠以适当的
符号, 称为力在轴上的投影, 记为 Fx。 投影为正：从 a到 b
的指向与投影轴 x正向一致 。 投影为负：从 a到 b的指向与
投影轴 x正向相反 。 关于投影的数学定义：
? Fx=F2 nx（ X=Fcos?）
? nx,是轴 x的方向矢量
? 合力投影定理：力系的合力在任一轴上的投影等于力系中
各力在同一轴上的投影的代数和 。 这个定理可以由力的多
边形法则直接导出 （ 教材图 3－ 7） 可证,F1,F2,F3,F4
的矢量和为 AE,分别的投影为 ab,bc,cd,de,其代数和
为 AE的投影 ae。
x
y
F1Fn
F2Fi
x
y
R y
Rx
Rαβ
4、平面汇交力系的合成与平衡，解析法：
（ 1）合成：平面汇交力系可以合成为一个合力，合力作
用在该力系的汇交点上，合力的大小和方向由各个分力分
别在两个不平行方向上（ x轴与 y轴）投影之和来确定。
Rx=∑ Fix =∑X i
Ry=∑ Fiy =∑Y i
R=?Rx2+Ry2 = ?（ ∑ Fix ） 2+（ ∑ Fiy ） 2
COS?=—————— COS ?=—————
Rx
R R
Rx
（ 2）平衡（解析法）：平面汇交力系平衡的必要与充
分条件是：该力系的合力为零，即力系的矢量和为零。
合力在任意两个不平行方向上投影同时为零，或各力矢
量分别在该二方向上的投影的代数和同时为零。
平面汇交力系平衡
0)()( 22 ???? ?? yxR FFF
? Fx =0
? Fy=0
R=?Fi=0
? 平面汇交力系有两个独立的平衡方程, 可以求解
两个未知量 。
? 平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多
边形是自身封闭的力多边形 。
? 例题 3-1,3-2 P22-23
F1
F2
Fi
Fn
? 例 3-1 求图示平面汇交力系的合力。已知：
F1=3kN,F2 = 5kN,F3 =6kN,F4 =4kN。
x
y
F1
45°
F2
30°
F4
F3
60°
Rx=3cos45° +5cos30° -6cos60° -4 =-0.549kN
Ry=3sin45° -5sin30° -6cos60° -0=-3.379kN
R=?(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN
?=arc cos[(-0.549)/3.423]=260.8 °
(R指向第三象限）
§ 3-2 力对点的之矩,
G
F
2010-5-12 19
力 F对 O点的矩, d为 O点到力 F作用线的 （ 垂直 ） 距离如教材图 3
－ 13所示：记为 mO（ F） =Fr cosα,单位,N·m（ 牛顿 ·米 ） ；
其中, α为位矢 r的垂直方向的夹角, 即 r与 d之间的夹角；
P25
矩心 O
力臂 d
位矢 r
α
A
B
F
2010-5-12 20
矩心 O
力臂 d
位矢 r
α
A
B
F
力矩的性质：
?力通过矩心，其矩为零；
?力沿作用线移动，不改变其矩；
?等值、反向、共线的两力对同一
点矩之和为零；
?相对于矩心作逆时针转动的力矩
为正；反之为负。
?力矩的数学定义：
m O（ F） =r 3 F
?m O（ F） =± 2⊿OAB 面积
? 合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系平面内任一
点的矩, 等于力系中各力对同一点之矩的代数和 。
数学形式：
例：按图中给定的条件，
计算力 F对 A点的矩。
?
F
Aa
b
mA（ F） =Fa sin? - Fb cos ?
空间,Mo（ R） =r 3 R
=r 3 （ ∑Fi ）
= ∑ r3 Fi
= ∑Mo（ Fi）
平面,MO(R) = ?MO(Fi)
力偶定义：由大小相等, 方向相反且不共线
的两个平行力组成力偶 。 对物体产生转动
效应, 为一新物理量 。
? 如司机两手转动方向盘, 产生转动的作用 。
? 记号,m（ F,F’） =m
F
F’
d
§ 3-3 力偶与力偶矩
? 性质 1：
? ① 无合力, 故不能与一个力等效 —— 在任一轴上投影
的代数和均为零；
? ② 非平衡力系, 不共线的相反平行力产生 转动效果 。
? 所以, 力偶与力分别是力学中的两个基本要素 。
? 力偶矩 —— 力偶对物体转动效果度量, 平面力偶为一个
代数量, 其绝对值等于力与力偶臂的乘积；其正负号表
示力偶的转向, 规 定 逆 时 针 转 向 为
正, 反之为负 。 m=± F*d
? 力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力, 力偶
臂的大小, 力偶的转向 。 对应于式中的,F,d（ 二力作
用线的矩 ）, ?号 （ 定义逆时针转为正 ）
? 性质 2.：力偶作用的转动效果与矩心位置无关, 完全
由力偶矩确定 。
mo（ F） + mo（ F’） =F*（ d+x） -F*x=F*d=m
? 推理 1：力偶可以在其作用面内任意移动, 不会改变
它对刚体的作用效果 。 力偶矩的大小及转向：大小等
于组成力偶的两个力对任一点之矩的代数和；转向由
代数值的符号确定, 逆时针为正 。
F F
d
O
x
? 推论 2：力偶矩大小只与乘积 Fd有关, 按比例
任意改为 nF*d/n=F·d,乘积不变 。
? 教材图 3－ 17中的三种力偶表示, 均为相同的
力偶作用 —— 力偶矩相等 。
10N
1m =
2m
5N
= m=10N·m
? 力偶等效定理：
? 平面力偶系的合成：平面力偶系可合成为 合力偶，
合力偶矩等于平面各分力偶矩的代数和。
? M1+m2+﹍ +mn=∑ mi=m
§ 3-4 平面力偶系合成与平衡条件
? 力偶系平衡条件与汇交力系平衡相类似, 力偶系的平
衡即为力偶系的作用不能使物体发生变速转动, 物体
处于平衡状态, 其合力偶矩等于零, 即力偶系中各力
偶的代数和等于零 。 m=?mi =0
? 平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数和
等于零 。 ?mi =0
2010-5-12 30
思考题：
带有不平行二槽的矩形平
板上作用一力偶 m。今在
槽内插入两个固定于地面
的销钉，若不计摩擦则
。
A 平板保持平衡 ;
B 平板不能平衡 ;
C 平衡与否不能判断。
刚体作平面运动
NA和 NB不能够成力偶与主动
力偶构成平衡力偶系
A
B
m
NA
NB
槽
? 力的等效平移定理是力系简化的基础 。
? 力的平移定理,P30
在同一刚体上 A点的力 F可以等效地平移到任意一点 B。 但
必须附加一个力偶, 其力偶矩等于 F对作用点 B的之矩 。 如
图所示：
§ 3- 5 力的等效平移
2010-5-12 32
F′
附加力偶 m
作用在刚体上 A点的力 F可以等效地平移到此刚体上的任
意一点 B，但必须附加一个力偶 m，且,m=?MB(F)=Fd。
F A 刚
体
B
A 刚
体
B
d
（ 2） 附加力偶的力偶矩等于原来的 F对新的作用点 B的
矩 。 力向一点平移表明, 一个力向任一点平移, 得到
与之等效的一个力和一个力偶 。
反之, 作用在同一个刚体内的一个力和一个力偶, 也
可以合成为作用于某一点的一个力 。
力的可传性：作用于刚体上的力, 其作用点沿作用线
移动, 而不会改变力对刚体的作用效应, 称为
? 推论 1,平移的可逆, 一个力和一个力偶平移可以等效
为作用在某个点的一个力 。
? 推论 2,.若 B在 F的作用线上, m=0力的可传性 。
2010-5-12 34
例 2 图示门式刚架，已知,P=20KN，不计刚架自重，求：支
座 A,D的约束反力。
P B
A
C
DD
P B
A
C
8m
4m
FDFA P
FD
FA
解,1选取研究对象：“刚架” ?画受力图
2选取适当的比例尺，作封闭的力多边形
10KN
a b
c
3求解未知量：可由图中直接量取, FA =22.5KN,FD =10KN；
亦可由几何关系计算出未知量：
?
tg?=1/2,cos?=2/√5
FD =P tg?=20/2=10kN,FA=P/cos?=20/（ 2/√5 ） =22.4kN
2010-5-12 35
P B
A
C
D
FDFA
?
?选取适当的坐标轴
?列平衡方程
? Fx =0 P - FA·cos? = 0
?? c o sPF A
? ? kN4.2284820 22 ???
? Fy =0 FD - FA·sin? = 0
?????????? tgPPFF AD s i n)c o s(s i n
kN108420 ???
D
P B
A
C
8m
4m
注意,应使所选坐标轴与尽可能多的未知量相
垂直，若所选坐标轴为水平或铅直方向，则在
受力图中不用画出，否则，一定要画出。
2010-5-12 36
例 3 已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶
M1为已知，求：支座 A,B的约束反力及主动力偶 M。
A
B
C
D
E
M
M1
450
解：
,BD”
B
D
E
M1
FE
FB
? M = 0
M1 - FE ·a = 0
? FB = FE = M1 / a
FB
FA
“系统”
系统受力偶作用，又只在 E、
B两点受力，则该两点的力必
形成一力偶。
? FA = FB = M1 / a
槽
2010-5-12 37
例 4 连杆机构 OABC受铅直力 P和水平力 F作用而在图示位置平
衡。已知 P=4kN，不计连杆自重，求力 F的大小。
AF P
B
O C 600
1200
AF
P
B
解：,B”
FABB
FBCB
FABA
FAOAy
? Fy =0
FABB = P
“A”
? Fx =0
F = FABA·cos300
F = P·cos300
P23?
P ·cos600 - FABB·cos600 = 0
FABA·cos300 - F = 0
= FABB·cos300
X
X
2010-5-12 38
0.6
m
0.4m
C
B
A
F
300
例 4、已知：机构如图,F = 10kN，
求,MA(F) =?
d
Fx
Fy解,
方法一,
MA(F) = - F?d
= - 10 ? 0.6 ? sin600
33236 ?????
方法二,
MA(F) = - F?cos300 ?0.6 + 0
= - 10 ? 0.6 ? cos300
33236 ?????
Fx = Fcos300
MA(Fx) 33??
Fy = - Fsin300
MA(Fy) = 0MA(F) = MA(Fx) + MA(Fy)
2010-5-12 39
? M = 0
M1 - FB ·0 - M = 0
? M = M1
A
B
C
D
E
M
M1
450
FB
FA 槽
2010-5-12 40
例 5：已知,结构受力如图所示,图中 M,r均为已
知,且 l=2r.
试, 画出 AB和 BDC杆的受力图 ;
求 A,C二处的约束力,
2010-5-12 41
受力分析,
1,AB杆为二力杆 ;
讨论
怎样确定 B,C
二处的约束力
2,BDC杆的 B,C二处
受力必形成有力偶，才
能和主动力偶相平衡。
2010-5-12 42
已知杆 AB和杆 CD的自重不计，
且在 C处光滑接触，若作用在杆 AB上
的
力偶的矩为 m1,则欲使系统保持平衡，
作用在 CD杆上的力偶的矩的 m2 转向
如
图示，其矩为 。
A,m2 = m1;
B,m2 = 4 m1 / 3;
C,m2 = 2 m1。
a
m1
AD
B
600
Cm
2
a
A
2010-5-12 43
铰接四连杆机构 O1ABO2在图示位置平衡。已知
O1A=40cm,O2B=60cm，作用在杆 O1A上的力偶的
力偶矩 m1=1Nm。试求杆 AB所受的力 S和力偶矩
m2的大小。各杆重量不计。
B A
m1O1
O2
m2
300
力系简化要点,
1,力的分解与合成
? 几何法：力的平行四边形法则；三角形法则；力多
边形法则 。
? 解析法：合力投影定理
2,汇交力系的平衡条件
3,力对点之矩的计算, 逆时针为正 。
4,力偶与力是力学中的两个基本要素
力偶不能与一个力等效
5,力偶矩为力偶对物体转动效应的度量, 与矩心位
置无关 。
6,合力偶
7,力偶系的平衡条件
8,几个基本等效：
（ 1） 平行四边形法则
二个分力 F1,F2等效一个力
（ 2） 力偶等效
大小相等, 方向相反, 相距 d的一对力 F等效于一
个力偶,m = Fd
（ 3） 力向一点平移及力的可传性
平移,A?B,应有 F及 m
当 B在 F作用线上时, 附加力偶 m=0,称为力的可传
性 。
四, 作业习题分析
1,习题 3－ 11
（ 1） 求铰 B的支座反力：
（ 2） 求铰 A的支座反力：
2.习题 3－ 14
（ 1） 求铰 B的支座反力：
（ 2） 求铰 A的支座反力：
第三章 习题,3-5,3－ 9a,b,c,d,e,f,3－ 11，
3－ 14
A
B
C
DE
am
a a
3-14.图示结构受一已知力偶的作用，试求铰 A和铰 E的约
束反力。
解（ 1）取 EC和 CD为分离体 C
DE
m
NE
45° ND45°
∑m i=0,NEacos45° -m=0
ND=NE=√2m/a
（ 2）取整体为分离体
∑ mi=0,NA*2a-m=0
NA=NB=m/（ 2a）NA
NB
系
分
类
平面力系
空间力系
平面特殊力系
平面任意力系（平面一般力系）
平面汇交力系
平面力偶系
平面平行力系
空间特殊力系
空间任意力系
空间汇交力系
空间力偶系
空间平行力系
解决的问题：力系的合成与平衡问题
第三章 力系简化的基础知识
§ 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
§ 3-2 力对点之矩
§ 3-3 力偶 ·力偶矩
§ 3-4 平面力偶系的合成与平衡条件
§ 3-5 力的等效平移
本章主要内容：
? 汇交力系 （ 平面汇交力系 ） 合成与平
衡条件
? 力对点之矩 （ 力矩 ）
? 力偶与力偶矩
? 力偶系及平衡条件
? 力的等效平衡
（ 一 ） 汇交力系, 作用在物体上的各个力, 如果其
作用线交汇于同一点, 则称该力系为汇交力系 。
? 平面汇交力系：作用在刚体上的各个力, 其作用线
位于同平面内, 且交汇于同一点, 则称该力系为平
面汇交力系 。
F1
F2
F3A
§ 3-1 平面汇交力系的合成与平衡条件
? 图示平行四边形法则 ( 三角形法则 )
Y
X
F1
F2
R
RF1
F2
RF1
F2
1,二力汇交的合成, 平行四边形法则 （ 三角形法则 ）,
作用在物体上同一点的二个力可以合成为一个合力；反之,
一个合力可以分解成任意二个方向的分力 。 只要知道一个分
力的大小, 方向, 即可根据平形四边形法则确定另一个分力
的大小方向 。
? 三角形法则：将两分力按其方向及大小首尾相连, 则始点到
终点的连线即为合力 。 该法则也称为三角形法则 。
2,平面汇交力系的合成 ― 力多边形法则 （ 几何法 ）
? 各分力的矢量和为合力矢 R
FR
FR
F12
F23
F1
F2
F3F4
F1
F2
F3F
4
?力的平行四边形法则：
?汇交力系的几何法合成：力的多边形法则
? 3,力的投影：力在轴上的投影 （ 一般在 X,Y方
向 ）, 来源于平行光照射下物体影子的概念 。 为
了便于代数运算, 一般选择正交的坐标轴 X,Y方
向投影 。 力的投影是代数量, 与坐标轴正方向相
同为正 。
x
x ’A
B
?
a b
? 力在坐标轴上的投影的定义：线段 ab的长度并冠以适当的
符号, 称为力在轴上的投影, 记为 Fx。 投影为正：从 a到 b
的指向与投影轴 x正向一致 。 投影为负：从 a到 b的指向与
投影轴 x正向相反 。 关于投影的数学定义：
? Fx=F2 nx（ X=Fcos?）
? nx,是轴 x的方向矢量
? 合力投影定理：力系的合力在任一轴上的投影等于力系中
各力在同一轴上的投影的代数和 。 这个定理可以由力的多
边形法则直接导出 （ 教材图 3－ 7） 可证,F1,F2,F3,F4
的矢量和为 AE,分别的投影为 ab,bc,cd,de,其代数和
为 AE的投影 ae。
x
y
F1Fn
F2Fi
x
y
R y
Rx
Rαβ
4、平面汇交力系的合成与平衡，解析法：
（ 1）合成：平面汇交力系可以合成为一个合力，合力作
用在该力系的汇交点上，合力的大小和方向由各个分力分
别在两个不平行方向上（ x轴与 y轴）投影之和来确定。
Rx=∑ Fix =∑X i
Ry=∑ Fiy =∑Y i
R=?Rx2+Ry2 = ?（ ∑ Fix ） 2+（ ∑ Fiy ） 2
COS?=—————— COS ?=—————
Rx
R R
Rx
（ 2）平衡（解析法）：平面汇交力系平衡的必要与充
分条件是：该力系的合力为零，即力系的矢量和为零。
合力在任意两个不平行方向上投影同时为零，或各力矢
量分别在该二方向上的投影的代数和同时为零。
平面汇交力系平衡
0)()( 22 ???? ?? yxR FFF
? Fx =0
? Fy=0
R=?Fi=0
? 平面汇交力系有两个独立的平衡方程, 可以求解
两个未知量 。
? 平面汇交力系平衡的几何条件是：该力系的力多
边形是自身封闭的力多边形 。
? 例题 3-1,3-2 P22-23
F1
F2
Fi
Fn
? 例 3-1 求图示平面汇交力系的合力。已知：
F1=3kN,F2 = 5kN,F3 =6kN,F4 =4kN。
x
y
F1
45°
F2
30°
F4
F3
60°
Rx=3cos45° +5cos30° -6cos60° -4 =-0.549kN
Ry=3sin45° -5sin30° -6cos60° -0=-3.379kN
R=?(-0.549)2+(-3.379)2=3.423kN
?=arc cos[(-0.549)/3.423]=260.8 °
(R指向第三象限）
§ 3-2 力对点的之矩,
G
F
2010-5-12 19
力 F对 O点的矩, d为 O点到力 F作用线的 （ 垂直 ） 距离如教材图 3
－ 13所示：记为 mO（ F） =Fr cosα,单位,N·m（ 牛顿 ·米 ） ；
其中, α为位矢 r的垂直方向的夹角, 即 r与 d之间的夹角；
P25
矩心 O
力臂 d
位矢 r
α
A
B
F
2010-5-12 20
矩心 O
力臂 d
位矢 r
α
A
B
F
力矩的性质：
?力通过矩心，其矩为零；
?力沿作用线移动，不改变其矩；
?等值、反向、共线的两力对同一
点矩之和为零；
?相对于矩心作逆时针转动的力矩
为正；反之为负。
?力矩的数学定义：
m O（ F） =r 3 F
?m O（ F） =± 2⊿OAB 面积
? 合力矩定理：平面汇交力系的合力对力系平面内任一
点的矩, 等于力系中各力对同一点之矩的代数和 。
数学形式：
例：按图中给定的条件，
计算力 F对 A点的矩。
?
F
Aa
b
mA（ F） =Fa sin? - Fb cos ?
空间,Mo（ R） =r 3 R
=r 3 （ ∑Fi ）
= ∑ r3 Fi
= ∑Mo（ Fi）
平面,MO(R) = ?MO(Fi)
力偶定义：由大小相等, 方向相反且不共线
的两个平行力组成力偶 。 对物体产生转动
效应, 为一新物理量 。
? 如司机两手转动方向盘, 产生转动的作用 。
? 记号,m（ F,F’） =m
F
F’
d
§ 3-3 力偶与力偶矩
? 性质 1：
? ① 无合力, 故不能与一个力等效 —— 在任一轴上投影
的代数和均为零；
? ② 非平衡力系, 不共线的相反平行力产生 转动效果 。
? 所以, 力偶与力分别是力学中的两个基本要素 。
? 力偶矩 —— 力偶对物体转动效果度量, 平面力偶为一个
代数量, 其绝对值等于力与力偶臂的乘积；其正负号表
示力偶的转向, 规 定 逆 时 针 转 向 为
正, 反之为负 。 m=± F*d
? 力偶的作用效果取决于三个因素：构成力偶的力, 力偶
臂的大小, 力偶的转向 。 对应于式中的,F,d（ 二力作
用线的矩 ）, ?号 （ 定义逆时针转为正 ）
? 性质 2.：力偶作用的转动效果与矩心位置无关, 完全
由力偶矩确定 。
mo（ F） + mo（ F’） =F*（ d+x） -F*x=F*d=m
? 推理 1：力偶可以在其作用面内任意移动, 不会改变
它对刚体的作用效果 。 力偶矩的大小及转向：大小等
于组成力偶的两个力对任一点之矩的代数和；转向由
代数值的符号确定, 逆时针为正 。
F F
d
O
x
? 推论 2：力偶矩大小只与乘积 Fd有关, 按比例
任意改为 nF*d/n=F·d,乘积不变 。
? 教材图 3－ 17中的三种力偶表示, 均为相同的
力偶作用 —— 力偶矩相等 。
10N
1m =
2m
5N
= m=10N·m
? 力偶等效定理：
? 平面力偶系的合成：平面力偶系可合成为 合力偶，
合力偶矩等于平面各分力偶矩的代数和。
? M1+m2+﹍ +mn=∑ mi=m
§ 3-4 平面力偶系合成与平衡条件
? 力偶系平衡条件与汇交力系平衡相类似, 力偶系的平
衡即为力偶系的作用不能使物体发生变速转动, 物体
处于平衡状态, 其合力偶矩等于零, 即力偶系中各力
偶的代数和等于零 。 m=?mi =0
? 平面力偶系平衡的充要条件：各力偶的力偶矩代数和
等于零 。 ?mi =0
2010-5-12 30
思考题：
带有不平行二槽的矩形平
板上作用一力偶 m。今在
槽内插入两个固定于地面
的销钉，若不计摩擦则
。
A 平板保持平衡 ;
B 平板不能平衡 ;
C 平衡与否不能判断。
刚体作平面运动
NA和 NB不能够成力偶与主动
力偶构成平衡力偶系
A
B
m
NA
NB
槽
? 力的等效平移定理是力系简化的基础 。
? 力的平移定理,P30
在同一刚体上 A点的力 F可以等效地平移到任意一点 B。 但
必须附加一个力偶, 其力偶矩等于 F对作用点 B的之矩 。 如
图所示：
§ 3- 5 力的等效平移
2010-5-12 32
F′
附加力偶 m
作用在刚体上 A点的力 F可以等效地平移到此刚体上的任
意一点 B，但必须附加一个力偶 m，且,m=?MB(F)=Fd。
F A 刚
体
B
A 刚
体
B
d
（ 2） 附加力偶的力偶矩等于原来的 F对新的作用点 B的
矩 。 力向一点平移表明, 一个力向任一点平移, 得到
与之等效的一个力和一个力偶 。
反之, 作用在同一个刚体内的一个力和一个力偶, 也
可以合成为作用于某一点的一个力 。
力的可传性：作用于刚体上的力, 其作用点沿作用线
移动, 而不会改变力对刚体的作用效应, 称为
? 推论 1,平移的可逆, 一个力和一个力偶平移可以等效
为作用在某个点的一个力 。
? 推论 2,.若 B在 F的作用线上, m=0力的可传性 。
2010-5-12 34
例 2 图示门式刚架，已知,P=20KN，不计刚架自重，求：支
座 A,D的约束反力。
P B
A
C
DD
P B
A
C
8m
4m
FDFA P
FD
FA
解,1选取研究对象：“刚架” ?画受力图
2选取适当的比例尺，作封闭的力多边形
10KN
a b
c
3求解未知量：可由图中直接量取, FA =22.5KN,FD =10KN；
亦可由几何关系计算出未知量：
?
tg?=1/2,cos?=2/√5
FD =P tg?=20/2=10kN,FA=P/cos?=20/（ 2/√5 ） =22.4kN
2010-5-12 35
P B
A
C
D
FDFA
?
?选取适当的坐标轴
?列平衡方程
? Fx =0 P - FA·cos? = 0
?? c o sPF A
? ? kN4.2284820 22 ???
? Fy =0 FD - FA·sin? = 0
?????????? tgPPFF AD s i n)c o s(s i n
kN108420 ???
D
P B
A
C
8m
4m
注意,应使所选坐标轴与尽可能多的未知量相
垂直，若所选坐标轴为水平或铅直方向，则在
受力图中不用画出，否则，一定要画出。
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例 3 已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶
M1为已知，求：支座 A,B的约束反力及主动力偶 M。
A
B
C
D
E
M
M1
450
解：
,BD”
B
D
E
M1
FE
FB
? M = 0
M1 - FE ·a = 0
? FB = FE = M1 / a
FB
FA
“系统”
系统受力偶作用，又只在 E、
B两点受力，则该两点的力必
形成一力偶。
? FA = FB = M1 / a
槽
2010-5-12 37
例 4 连杆机构 OABC受铅直力 P和水平力 F作用而在图示位置平
衡。已知 P=4kN，不计连杆自重，求力 F的大小。
AF P
B
O C 600
1200
AF
P
B
解：,B”
FABB
FBCB
FABA
FAOAy
? Fy =0
FABB = P
“A”
? Fx =0
F = FABA·cos300
F = P·cos300
P23?
P ·cos600 - FABB·cos600 = 0
FABA·cos300 - F = 0
= FABB·cos300
X
X
2010-5-12 38
0.6
m
0.4m
C
B
A
F
300
例 4、已知：机构如图,F = 10kN，
求,MA(F) =?
d
Fx
Fy解,
方法一,
MA(F) = - F?d
= - 10 ? 0.6 ? sin600
33236 ?????
方法二,
MA(F) = - F?cos300 ?0.6 + 0
= - 10 ? 0.6 ? cos300
33236 ?????
Fx = Fcos300
MA(Fx) 33??
Fy = - Fsin300
MA(Fy) = 0MA(F) = MA(Fx) + MA(Fy)
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? M = 0
M1 - FB ·0 - M = 0
? M = M1
A
B
C
D
E
M
M1
450
FB
FA 槽
2010-5-12 40
例 5：已知,结构受力如图所示,图中 M,r均为已
知,且 l=2r.
试, 画出 AB和 BDC杆的受力图 ;
求 A,C二处的约束力,
2010-5-12 41
受力分析,
1,AB杆为二力杆 ;
讨论
怎样确定 B,C
二处的约束力
2,BDC杆的 B,C二处
受力必形成有力偶，才
能和主动力偶相平衡。
2010-5-12 42
已知杆 AB和杆 CD的自重不计，
且在 C处光滑接触，若作用在杆 AB上
的
力偶的矩为 m1,则欲使系统保持平衡，
作用在 CD杆上的力偶的矩的 m2 转向
如
图示，其矩为 。
A,m2 = m1;
B,m2 = 4 m1 / 3;
C,m2 = 2 m1。
a
m1
AD
B
600
Cm
2
a
A
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铰接四连杆机构 O1ABO2在图示位置平衡。已知
O1A=40cm,O2B=60cm，作用在杆 O1A上的力偶的
力偶矩 m1=1Nm。试求杆 AB所受的力 S和力偶矩
m2的大小。各杆重量不计。
B A
m1O1
O2
m2
300
力系简化要点,
1,力的分解与合成
? 几何法：力的平行四边形法则；三角形法则；力多
边形法则 。
? 解析法：合力投影定理
2,汇交力系的平衡条件
3,力对点之矩的计算, 逆时针为正 。
4,力偶与力是力学中的两个基本要素
力偶不能与一个力等效
5,力偶矩为力偶对物体转动效应的度量, 与矩心位
置无关 。
6,合力偶
7,力偶系的平衡条件
8,几个基本等效：
（ 1） 平行四边形法则
二个分力 F1,F2等效一个力
（ 2） 力偶等效
大小相等, 方向相反, 相距 d的一对力 F等效于一
个力偶,m = Fd
（ 3） 力向一点平移及力的可传性
平移,A?B,应有 F及 m
当 B在 F作用线上时, 附加力偶 m=0,称为力的可传
性 。
四, 作业习题分析
1,习题 3－ 11
（ 1） 求铰 B的支座反力：
（ 2） 求铰 A的支座反力：
2.习题 3－ 14
（ 1） 求铰 B的支座反力：
（ 2） 求铰 A的支座反力：
第三章 习题,3-5,3－ 9a,b,c,d,e,f,3－ 11，
3－ 14
A
B
C
DE
am
a a
3-14.图示结构受一已知力偶的作用，试求铰 A和铰 E的约
束反力。
解（ 1）取 EC和 CD为分离体 C
DE
m
NE
45° ND45°
∑m i=0,NEacos45° -m=0
ND=NE=√2m/a
（ 2）取整体为分离体
∑ mi=0,NA*2a-m=0
NA=NB=m/（ 2a）NA
NB
