第四章 卫星运动的基础知识及 GPS卫
星的坐标计算
§ 3.1 概述
1.卫星轨道在 GPS定位中的意义
卫星在空间运行的轨迹称为 轨道,描述卫星轨道位
置和状态的参数称为 轨道参数 。由于利用 GPS进行
导航和测量时，卫星作为位置已知的高空观测目标，
在进行绝对定位时，卫星轨道误差将直接影响用户
接收机位置的精度；而在相对定位时，尽管卫星轨
道误差的影响将会减弱，但当基线较长或精度要求
较高时，轨道误差影响不可忽略。此外，为了制订
GPS测量的观测计划和便于捕获卫星发射的信号，
也需要知道卫星的轨道参数。
2.影响卫星轨道的因素及其研究方法
卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力场的
引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体的引
力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮汐力
等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂，难以
用简单而精确的数学模型加以描述。
在各种作用力对卫星运行轨道的影响中，地球引
力场的影响为主，其它作用力的影响相对要小的
多。若假设地球引力场的影响为 1，其它引力场
的影响均小于 10-5。
为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于卫
星上的各种力按其影响的大小分为两类,一类是假
设地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中
心），称为中心力,决定着卫星运动的基本规律和
特征，由此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是
分析卫星实际轨道的基础。 另一类是摄动力或非中
心力,包括地球非球形对称的作用力、日月引力、
大气阻力、光辐射压力以及地球潮汐力等。摄动力
使卫星的运动产生一些小的附加变化而偏离理想轨
道，同时偏离量的大小也随时间而改变。
在摄动力的作用下的卫星运动称为 受摄运动,相应
的卫星轨道称为 受摄轨道 。
§ 3.2卫星的无摄运动
卫星发射升至预定高度后，开始绕地球运行。假设地球为
均质球体，根据万有引力定律，卫星的引力加速度为
G为引力常数,M为地球质量,ms为卫星质量,r为卫星的
地心向径。根据上式来研究地球和卫星之间的相对运动问
题，在天体力学中称为两体问题。引力加速度决定了卫星
绕地球运动的基本规律。卫星在上述地球引力场中的无摄
运动，也称开普勒运动，其规律可通过开普勒定律来描述。
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1.卫星运动的开普勒定律
（ 1）开普勒第一定律
卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。
此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由
万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。 r为卫星的
地心距离,as为开普勒椭圆的长半径,es为开普勒椭圆的偏心率；
fs为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地点的
位置，是时间的函数。
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M
ms
近地点 远地点
fs
（ 2）开普勒第二定律：卫星的地心向径在单位
时间内所扫过的面积相等。表明卫星在椭圆
轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点
处速度最大，在远地点处速度最小。
近地点
地心 远地点
（ 3）开普勒第三定律：卫星运行周期的平方与轨道椭圆
长半径的立方之比为一常量，等于 GM的倒数。
假设卫星运动的平均角速度为 n，则 n=2?/Ts，可得
当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角速度也
随之确定，且保持不变。
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2.无摄卫星轨道的描述
前述参数 as,es,fs唯一地确定了卫星轨道
的形状、大小以及卫星在轨道上的瞬时位
置。但卫星轨道平面与地球体的相对位置
和方向还无法确定。确定卫星轨道与地球
体之间的相互关系，可以表达为确定开普
勒椭圆在天球坐标系中的位置和方向，尚
需三个参数。
卫星的无摄运动一般可通过一组适宜的参
数来描述，但这组参数的选择并不唯一，
其中应用最广泛的一组参数称为 开普勒轨
道参数或开普勒轨道根数 。
as为轨道的长半径,es为轨道椭圆偏心率,这两个参数
确定了开普勒椭圆的形状和大小。
?为升交点赤经,即地球赤道面上升交点与春分点之间
的地心夹角。 i为轨道面倾角,即卫星轨道平面与地
球赤道面之间的夹角。这两个参数唯一地确定了卫
星轨道平面与地球体之间的相对定向。
?s为近地点角距,即在轨道平面上，升交点与近地点之
间的地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的
定向。
fs为卫星的真近点角,即轨道平面上卫星与近地点之间
的地心角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨
道上的瞬时位置。
由上述 6个参数所构成的坐标系统称为轨道坐标系,广
泛用于描述卫星运动。
开普勒轨道参数示意图
y
x
z
轨道
春分点 升交点
近地点
卫星
地心
赤道
i
?
?s
fs
3.真近点角 fs的计算
在描述卫星无摄运动的 6个开普勒轨道参数中，只有真
近点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置
的计算，关键在于计算真近点角。
as
bs as
r
m?
fs Es
ases 近地点
为了计算真近点角，引入两个辅助参数
Es— 偏近点角和 Ms— 平近点角。 Ms— 是一个假设
量，当卫星运动的平均角速度为 n，则 Ms = n ( t -
t0 ),t0为卫星过近地点的时刻,t为观测卫星时刻。
平近点角与偏近点角间存在如下关系,Es = Ms +
essinEs。由此可得真近点角
ss
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4.无摄运动卫星的瞬时位置
（ 1）在轨道直角坐标系中卫星的位置
取直角坐标系的原点与地球质心相重合，
?s轴指向近地点,?s轴垂直于轨道平面向
上,?s轴在轨道平面上垂直于 ?s轴构成右
手系，则卫星在任意时刻的坐标为
?s
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(2)在天球坐标系中卫星的位置
在轨道平面直角坐标系中只确定了卫星在轨道平
面上的位置，而轨道平面与地球体的相对定向
尚需由轨道参数 ?,i和 ?s确定。
天球坐标系（ x,y,z）与轨道坐标系 (?s,?s,?s)具有
相同的原点，差别在于坐标系的定向不同，为
此需将轨道坐标系作如下旋转,
?绕 ?s轴顺转角度 ?s使 ?s轴的指向由近地点改为升交
点。
?绕 ?s轴顺转角度 i，使 ?s轴与 z轴重合。
?绕 ?s轴顺转角度 ?，使 x轴与 ?s轴重合。
用旋转矩阵表示如下
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（ 3）卫星在地球坐标系的位置
利用 GPS定位时，应使观测卫星和观测站的位置
处于统一的坐标系统。由于瞬时地球空间直角
坐标系与瞬时天球空间直角坐标系的差别在于
x轴的指向不同，若取其间的夹角为春分点的
格林尼治恒星时 GAST，则在地球坐标系中卫
星的瞬时坐标（ X,Y,Z）与天球坐标系中的
瞬时坐标（ x,y,z）存在如下关系,
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§ 3.3 GPS卫星星历
卫星星历是描述卫星运动轨道的信息，是一组对
应某一时刻的轨道根数及其变率。根据卫星星历
可以计算出任一时刻的卫星位置及其速度,GPS
卫星星历分为 预报星历和后处理星历 。预报星历
是通过卫星发射的含有轨道信息的导航电文传递
给用户，经解码获得所需的卫星星历,也称广播
星历,包括相对某一参考历元的开普勒轨道参数
和必要的轨道摄动项改正参数。参考历元的卫星
开普勒轨道参数称为参考星历（或密切轨道参
数），是根据 GPS监测站约 1周的监测资料推算的。
参考星历只代表卫星在参考历元的瞬时轨道参数
（或密切轨道参数）。在摄动力的影响下，卫星
的实际轨道将偏离其参考轨道。
偏离的程度主要取决于观测历元与所选参考
历元间的时间差。
一般来说，如果用轨道参数的摄动项对已知
的卫星参考星历加以改正，可以外推出任意
观测历元的卫星星历。
如果观测历元与所选参考历元间的时间差很
大，为了保障外推轨道参数具有必要的精度，
就必须采用更严密的摄动力模型和考虑更多
的摄动因素，由此带来了建立更严格摄动力
模型的困难，因而可能降低预报轨道参数的
精度。
为了保证卫星预报星历的必要精度，一般采用
限制预报星历外推时间间隔的方法。为此,GPS
跟踪站每天利用观测资料，更新用以确定卫星
参考星历的数据，计算每天卫星轨道参数的更
新值，每天按时将其注入相应的卫星并存储。
据此 GPS卫星发播的广播星历每小时更新一次。
如果将计算参考星历的参考历元 toe选在两次更
新星历的中央时刻，则外推时间间隔最大不会
超过 0.5小时，从而可以在采用同样摄动力模型
的情况下，有效地保持外推轨道参数的精度。
预报星历的精度，目前一般估计为 20-40m。
由于预报星历每小时更新一次，在数据更
新前后，各表达式之间将会产生小的跳跃，
其值可达数分米，一般可利用适当的拟合
技术（如切比雪夫多项式）予以平滑。
GPS用户通过卫星广播星历可以获得的有
关卫星星历参数共 16个，其中包括 1个参
考时刻,6个相应参考时刻的开普勒轨道
参数和 9个反映摄动力影响的参数。
导航电文中的星历参数
t0e—— 参考历元
M0—— 参考时刻的平近点角
es—— 轨道偏心率
as1/2—— 轨道长半径的平方根
?0—— 参考时刻的升交点赤经
i0—— 参考时刻的轨道倾角
?s—— 近地点角距
—— 升交点赤经变化率
—— 轨道倾角变化率
?n—— 由精密星历计算得到的卫星平均角速度与按给定参数计
算所得的平均角速度之差。
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Cuc,Cus—— 升交距角的余弦、正弦调和改正项振幅
Crc,Crs—— 卫星地心距的余弦、正弦调和改正项振幅
Cic,Cis—— 轨道倾角的余弦正弦调和改正项振幅
AODE—— 星历数据的龄期（外推星历的外推时间间隔）
a0—— 卫星钟差
a1—— 卫星钟速（频率偏差系数）
a2—— 卫星钟速变化率（漂移系数）
卫星的预报星历是用跟踪站以往时间的观测资料推求的
参考轨道参数为基础，并加入轨道摄动项改正而外推的
星历。用户在观测时可以通过导航电文实时得到，对导
航和实时定位十分重要。但对精密定位服务则难以满足
精度要求。
后处理星历 是一些国家的某些部门根据各自建立的跟踪
站所获得的精密观测资料，应用与确定预报星历相似的
方法，计算的卫星星历。这种星历通常是在事后向用户
提供的在用户观测时的卫星精密轨道信息，因此称后处
理星历或精密星历。该星历的精度目前可达分米。
后处理星历一般不通过卫星的无线电信
号向用户传递，而是通过磁盘、电视、
电传、卫星通讯等方式有偿地为所需要
的用户服务。
建立和维持一个独立的跟踪系统来精密
测定 GPS卫星的轨道，技术复杂，投资
大，因此，利用 GPS预报星历进行精密
定位工作仍是目前一个重要的研究和开
发领域。
§ 3.4 GPS卫星的坐标计算
根据开普勒轨道参数，可计算卫星在不同坐
标系中的瞬时坐标，而在实际工作中，由于
轨道摄动的影响，具体计算方法有所不同。
本节介绍在协议地球坐标系中 GPS卫星位置
的计算步骤,
1.计算真近点角 fs
?计算平均角速度
加上导航电文给出的摄动改正数
得卫星运行的平均角速度为
2/1
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?计算归化时间
首先对观测时刻 t做卫星钟差改正
然后将改正后观测时刻 t’归化到 GPS时间系统中
注意 不同
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?计算观测时刻 t的平近点角 Ms和偏近点角 Es
?计算观测时刻的真近点角 fs
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2.计算升交距角及轨道摄动改正项
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?摄动改正项
3.计算升交距角、卫星的地心距离及轨道倾角
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4.计算卫星在轨道坐标系中的坐标（ x,y,z）
(这里的 X轴指向了升交点）
5.计算升交点的经度
6.计算在协议天球坐标系中的空间直角坐标
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7.计算在协议地球坐标系中的空间直角坐标
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8.考虑极移的影响，最后得到在协议地球坐标系中的空间
直角坐标
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星的坐标计算
§ 3.1 概述
1.卫星轨道在 GPS定位中的意义
卫星在空间运行的轨迹称为 轨道,描述卫星轨道位
置和状态的参数称为 轨道参数 。由于利用 GPS进行
导航和测量时，卫星作为位置已知的高空观测目标，
在进行绝对定位时，卫星轨道误差将直接影响用户
接收机位置的精度；而在相对定位时，尽管卫星轨
道误差的影响将会减弱，但当基线较长或精度要求
较高时，轨道误差影响不可忽略。此外，为了制订
GPS测量的观测计划和便于捕获卫星发射的信号，
也需要知道卫星的轨道参数。
2.影响卫星轨道的因素及其研究方法
卫星在空间绕地球运行时，除了受地球重力场的
引力作用外，还受到太阳、月亮和其它天体的引
力影响，以及太阳光压、大气阻力和地球潮汐力
等因素影响。卫星实际运行轨道十分复杂，难以
用简单而精确的数学模型加以描述。
在各种作用力对卫星运行轨道的影响中，地球引
力场的影响为主，其它作用力的影响相对要小的
多。若假设地球引力场的影响为 1，其它引力场
的影响均小于 10-5。
为了研究工作和实际应用的方便，通常把作用于卫
星上的各种力按其影响的大小分为两类,一类是假
设地球为均质球体的引力（质量集中于球体的中
心），称为中心力,决定着卫星运动的基本规律和
特征，由此决定的卫星轨道，可视为理想轨道，是
分析卫星实际轨道的基础。 另一类是摄动力或非中
心力,包括地球非球形对称的作用力、日月引力、
大气阻力、光辐射压力以及地球潮汐力等。摄动力
使卫星的运动产生一些小的附加变化而偏离理想轨
道，同时偏离量的大小也随时间而改变。
在摄动力的作用下的卫星运动称为 受摄运动,相应
的卫星轨道称为 受摄轨道 。
§ 3.2卫星的无摄运动
卫星发射升至预定高度后，开始绕地球运行。假设地球为
均质球体，根据万有引力定律，卫星的引力加速度为
G为引力常数,M为地球质量,ms为卫星质量,r为卫星的
地心向径。根据上式来研究地球和卫星之间的相对运动问
题，在天体力学中称为两体问题。引力加速度决定了卫星
绕地球运动的基本规律。卫星在上述地球引力场中的无摄
运动，也称开普勒运动，其规律可通过开普勒定律来描述。
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1.卫星运动的开普勒定律
（ 1）开普勒第一定律
卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。
此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。由
万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。 r为卫星的
地心距离,as为开普勒椭圆的长半径,es为开普勒椭圆的偏心率；
fs为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地点的
位置，是时间的函数。
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（ 2）开普勒第二定律：卫星的地心向径在单位
时间内所扫过的面积相等。表明卫星在椭圆
轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点
处速度最大，在远地点处速度最小。
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（ 3）开普勒第三定律：卫星运行周期的平方与轨道椭圆
长半径的立方之比为一常量，等于 GM的倒数。
假设卫星运动的平均角速度为 n，则 n=2?/Ts，可得
当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角速度也
随之确定，且保持不变。
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2.无摄卫星轨道的描述
前述参数 as,es,fs唯一地确定了卫星轨道
的形状、大小以及卫星在轨道上的瞬时位
置。但卫星轨道平面与地球体的相对位置
和方向还无法确定。确定卫星轨道与地球
体之间的相互关系，可以表达为确定开普
勒椭圆在天球坐标系中的位置和方向，尚
需三个参数。
卫星的无摄运动一般可通过一组适宜的参
数来描述，但这组参数的选择并不唯一，
其中应用最广泛的一组参数称为 开普勒轨
道参数或开普勒轨道根数 。
as为轨道的长半径,es为轨道椭圆偏心率,这两个参数
确定了开普勒椭圆的形状和大小。
?为升交点赤经,即地球赤道面上升交点与春分点之间
的地心夹角。 i为轨道面倾角,即卫星轨道平面与地
球赤道面之间的夹角。这两个参数唯一地确定了卫
星轨道平面与地球体之间的相对定向。
?s为近地点角距,即在轨道平面上，升交点与近地点之
间的地心夹角，表达了开普勒椭圆在轨道平面上的
定向。
fs为卫星的真近点角,即轨道平面上卫星与近地点之间
的地心角距。该参数为时间的函数，确定卫星在轨
道上的瞬时位置。
由上述 6个参数所构成的坐标系统称为轨道坐标系,广
泛用于描述卫星运动。
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y
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轨道
春分点 升交点
近地点
卫星
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3.真近点角 fs的计算
在描述卫星无摄运动的 6个开普勒轨道参数中，只有真
近点角是时间的函数，其余均为常数。故卫星瞬间位置
的计算，关键在于计算真近点角。
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为了计算真近点角，引入两个辅助参数
Es— 偏近点角和 Ms— 平近点角。 Ms— 是一个假设
量，当卫星运动的平均角速度为 n，则 Ms = n ( t -
t0 ),t0为卫星过近地点的时刻,t为观测卫星时刻。
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4.无摄运动卫星的瞬时位置
（ 1）在轨道直角坐标系中卫星的位置
取直角坐标系的原点与地球质心相重合，
?s轴指向近地点,?s轴垂直于轨道平面向
上,?s轴在轨道平面上垂直于 ?s轴构成右
手系，则卫星在任意时刻的坐标为
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(2)在天球坐标系中卫星的位置
在轨道平面直角坐标系中只确定了卫星在轨道平
面上的位置，而轨道平面与地球体的相对定向
尚需由轨道参数 ?,i和 ?s确定。
天球坐标系（ x,y,z）与轨道坐标系 (?s,?s,?s)具有
相同的原点，差别在于坐标系的定向不同，为
此需将轨道坐标系作如下旋转,
?绕 ?s轴顺转角度 ?s使 ?s轴的指向由近地点改为升交
点。
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（ 3）卫星在地球坐标系的位置
利用 GPS定位时，应使观测卫星和观测站的位置
处于统一的坐标系统。由于瞬时地球空间直角
坐标系与瞬时天球空间直角坐标系的差别在于
x轴的指向不同，若取其间的夹角为春分点的
格林尼治恒星时 GAST，则在地球坐标系中卫
星的瞬时坐标（ X,Y,Z）与天球坐标系中的
瞬时坐标（ x,y,z）存在如下关系,
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§ 3.3 GPS卫星星历
卫星星历是描述卫星运动轨道的信息，是一组对
应某一时刻的轨道根数及其变率。根据卫星星历
可以计算出任一时刻的卫星位置及其速度,GPS
卫星星历分为 预报星历和后处理星历 。预报星历
是通过卫星发射的含有轨道信息的导航电文传递
给用户，经解码获得所需的卫星星历,也称广播
星历,包括相对某一参考历元的开普勒轨道参数
和必要的轨道摄动项改正参数。参考历元的卫星
开普勒轨道参数称为参考星历（或密切轨道参
数），是根据 GPS监测站约 1周的监测资料推算的。
参考星历只代表卫星在参考历元的瞬时轨道参数
（或密切轨道参数）。在摄动力的影响下，卫星
的实际轨道将偏离其参考轨道。
偏离的程度主要取决于观测历元与所选参考
历元间的时间差。
一般来说，如果用轨道参数的摄动项对已知
的卫星参考星历加以改正，可以外推出任意
观测历元的卫星星历。
如果观测历元与所选参考历元间的时间差很
大，为了保障外推轨道参数具有必要的精度，
就必须采用更严密的摄动力模型和考虑更多
的摄动因素，由此带来了建立更严格摄动力
模型的困难，因而可能降低预报轨道参数的
精度。
为了保证卫星预报星历的必要精度，一般采用
限制预报星历外推时间间隔的方法。为此,GPS
跟踪站每天利用观测资料，更新用以确定卫星
参考星历的数据，计算每天卫星轨道参数的更
新值，每天按时将其注入相应的卫星并存储。
据此 GPS卫星发播的广播星历每小时更新一次。
如果将计算参考星历的参考历元 toe选在两次更
新星历的中央时刻，则外推时间间隔最大不会
超过 0.5小时，从而可以在采用同样摄动力模型
的情况下，有效地保持外推轨道参数的精度。
预报星历的精度，目前一般估计为 20-40m。
由于预报星历每小时更新一次，在数据更
新前后，各表达式之间将会产生小的跳跃，
其值可达数分米，一般可利用适当的拟合
技术（如切比雪夫多项式）予以平滑。
GPS用户通过卫星广播星历可以获得的有
关卫星星历参数共 16个，其中包括 1个参
考时刻,6个相应参考时刻的开普勒轨道
参数和 9个反映摄动力影响的参数。
导航电文中的星历参数
t0e—— 参考历元
M0—— 参考时刻的平近点角
es—— 轨道偏心率
as1/2—— 轨道长半径的平方根
?0—— 参考时刻的升交点赤经
i0—— 参考时刻的轨道倾角
?s—— 近地点角距
—— 升交点赤经变化率
—— 轨道倾角变化率
?n—— 由精密星历计算得到的卫星平均角速度与按给定参数计
算所得的平均角速度之差。
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Cuc,Cus—— 升交距角的余弦、正弦调和改正项振幅
Crc,Crs—— 卫星地心距的余弦、正弦调和改正项振幅
Cic,Cis—— 轨道倾角的余弦正弦调和改正项振幅
AODE—— 星历数据的龄期（外推星历的外推时间间隔）
a0—— 卫星钟差
a1—— 卫星钟速（频率偏差系数）
a2—— 卫星钟速变化率（漂移系数）
卫星的预报星历是用跟踪站以往时间的观测资料推求的
参考轨道参数为基础，并加入轨道摄动项改正而外推的
星历。用户在观测时可以通过导航电文实时得到，对导
航和实时定位十分重要。但对精密定位服务则难以满足
精度要求。
后处理星历 是一些国家的某些部门根据各自建立的跟踪
站所获得的精密观测资料，应用与确定预报星历相似的
方法，计算的卫星星历。这种星历通常是在事后向用户
提供的在用户观测时的卫星精密轨道信息，因此称后处
理星历或精密星历。该星历的精度目前可达分米。
后处理星历一般不通过卫星的无线电信
号向用户传递，而是通过磁盘、电视、
电传、卫星通讯等方式有偿地为所需要
的用户服务。
建立和维持一个独立的跟踪系统来精密
测定 GPS卫星的轨道，技术复杂，投资
大，因此，利用 GPS预报星历进行精密
定位工作仍是目前一个重要的研究和开
发领域。
§ 3.4 GPS卫星的坐标计算
根据开普勒轨道参数，可计算卫星在不同坐
标系中的瞬时坐标，而在实际工作中，由于
轨道摄动的影响，具体计算方法有所不同。
本节介绍在协议地球坐标系中 GPS卫星位置
的计算步骤,
1.计算真近点角 fs
?计算平均角速度
加上导航电文给出的摄动改正数
得卫星运行的平均角速度为
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?计算归化时间
首先对观测时刻 t做卫星钟差改正
然后将改正后观测时刻 t’归化到 GPS时间系统中
注意 不同
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?计算观测时刻 t的平近点角 Ms和偏近点角 Es
?计算观测时刻的真近点角 fs
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2.计算升交距角及轨道摄动改正项
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?摄动改正项
3.计算升交距角、卫星的地心距离及轨道倾角
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4.计算卫星在轨道坐标系中的坐标（ x,y,z）
(这里的 X轴指向了升交点）
5.计算升交点的经度
6.计算在协议天球坐标系中的空间直角坐标
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7.计算在协议地球坐标系中的空间直角坐标
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8.考虑极移的影响，最后得到在协议地球坐标系中的空间
直角坐标
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