1
EXIT
流体力学与波
空气中的波
水波
流体中波的种类
波的原理
2
EXIT
什么是波 (动 )？
? 现代科学对物理量的两类变化有很好的理解，
一类是线性变化，“一份努力，一份成功”，
另一类是波动变化，“三十年河东，三十年河
西”，“物极必反”。相对而言，“一帆风顺”
是很少的，“终极完美”是不可能的，起起伏
伏才是常态。涡旋、湍流现象均反映了这一哲
理。
?,波动”作为科学术语，通常有两方面的含义：
一是某种物理讯号在空间的传播；二是与振动
或周期性过程相联系。概言之，即物理量在空
间和时间上具有周期性特点，就称为波。
22
2c
tx
ff抖 =
抖( ) ( ),c o sx t A k x tfw=-
3
EXIT
流体中波的种类
? 流体中的波：声波、激波、深 /浅水波、大气
和海洋内部的波、磁流体波等 ；
? 物理机制：由于受到某种扰动，而后又在某
种力（恢复力）的作用下，使运动具有恢复
平衡的倾向；流体惯性和恢复力是发生波动
的关键，恢复力性质的不同，如体积弹性力、
重力、张力、电磁力等，就形成了不同类型
的波动 ;
? 潮汐、海啸、激波、孤立水波。
4
EXIT
描述波的基本概念
? 波幅 A、相位 q、波数 k和波长 l、频率 w
和周期 T、波速 c（相速）、波矢；
? 波峰、波谷、波群 (包、组 )、波节；
? 频散关系 w = w(k)；
? 群速 cg=dw/dk；
? 非线性 (大振幅 )波 。
5
波的原理
不同物理现象（介质微振动、流动、
热、压力等的传播）中的各种参数变化均
可表现出波动，波动的控制方程也多种多
样，但其基本处在于总量的守恒、不同作
用的竞争、制衡（除了时变项外至少还有
两项）、以及耗散之微弱。
6
EXIT
流体力学波涉及的力
? 不考虑粘性，主要是理想流体流动问题；
? 涉及的力：万有引力 (潮汐力、重力 ),表面
张力、科氏力、浮力、压动力等。
? 重力、浮力、压动力较为显而易见，下面介
绍其它几种力。
7
EXIT
潮汐力
考虑赤道圈, 月
亮在 M点正前方,
G是格林威治经
线与赤道的交点,
P是所分析的物
质点, a是月球
引力形成的加速
度, 方向如图所
示 。
88
2 1078.3,1057.8,
?? ????? gfgf
D
Eg
s u nm o o n
?
( ) 33a2 2 Maf s i n P O M,f Dg=?
8
EXIT
表面张力
Tp s p s T p p
Rd d d q- + + =? =1 2 1 20
Rx
h?=-
?
2
2
1 2
122T p px
h?- = -
?
水是极性分子,
分子间有很强的吸引
力, 在常压和室温 20
度其表面张力为
72.75 mN/m,正己烷
的表面张力只有 18.4
mN/m,水银在室温
下具有最高的表面张
力 485mN/m,在高温
时, 熔态金属的表面
张力也很高, 如 1100
摄 氏 度 的 铜, 879
mN/m。
9
科氏力
1819年，让 ·傅科生于巴黎。傅科从小喜欢动手做试
验，最初傅科学习的是医学，后来才转行学习物理学。
1862年，傅科使用旋转镜法成果的测定了光速为 289
000km/s，这是当时相当了不起的成绩，因此他被授予
了骑士二级勋章。此外，傅科还在实验物理方面做出了
一些贡献。例如改进了照相术、拍摄到了钠的吸收光谱
（但是解释是由基尔霍夫做出的）。傅科摆实验的第二
年，即 1852年，他制造出了回转仪（陀螺仪） —— 也就
是现代航 空、军事领域使用的惯性制导装置的前身。
此外，他还发现了在磁场中的运动圆盘因电磁感应而产
生涡电流，这被命名为, 傅科 电流, 。当然，不能忘
记的是傅科摆实验，因为这个非常简单的演示了地球自
转现象的实验，傅科获得了荣誉骑士五级勋章。
10
科氏力 /偏向力示意图
0f f yb=+
11
EXIT
水波的描述
iop p gt
frh骣 ? ÷?- = - ÷
? ÷?桫 ?
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x y,t x,y,t x,y,t
u x,y,t v x,y,t
z
u,v
x y x y
w i f i y
w
i
f y y f
+ = +
?
=+
?
抖抖
= = = = -
抖抖
u,vttxh抖==抖
0
uv
xy
u u u p
uv
t x y x
v v v p
u v g
t x y y
r
rr
抖
+=
抖
骣 抖抖
÷?
+ +? -?
÷? ÷
抖抖桫
骣 抖抖
÷?
+ +? - +?
÷? ÷
抖抖桫
x是水平位移
h是垂直位移
po是大气压力
大气扰动 (风暴潮 ）, 船波,
海底运动 （ 海啸 ）, 日月引
力 （ 天文潮 ） 等
12
?海浪、潮汐研究的一个简化模型，当波长
远大于水深，称为长波；
?x是水平位移,h是垂直位移；
?潮汐波,f是经度,a是地球半径,c2=gh；
H＝ af/g＝ 0.6（ 0.25） 米, c大于 na,是正 /高潮,
c小于 na,是逆 /低潮（一般情况）。
EXIT
渠道中的长波 ·潮汐波
( )
22
2
2 2 2 2c f s i n n tta
xx fe
f
抖 = - + +
抖
2 2 2 2
2 2 2 2g h,g ht x t x
x x h h抖抖==
( )22 2 21 22 cH c o s n tc n ah f e= + +-
2
22 311
ch
n a a=
13
表面重力波
? 机制：自由面扰动 — 流体柱高差异 — 因重力作
用形成水平气压梯度力 — 驱动流体运动 — 质量
守恒导致表面升高 — 如此往复，形成波动；
? （无限）深水时流体运动轨迹为圆，长波的波
速快；
? 有限水深（平底）时流体运动轨迹为椭圆，对
h<<l时不存在色散现象（波速与波长无关） 。
2 gkw =
( )kzu A k e s i n k x tw= - -
( )[ ] ( )u A k c h k z h s i n k x tw= - + -
( )22g k k h g h kw = th
14
表面波图片
15
表面张力（涟）波
2
2 02m i n
d T g
dk
w lp
lr
骣 ÷? ÷ =?
? ÷? ÷桫
? 表面张力在 l～ [T/rg]1/2的时候作用可与重力
相当，称为表面重力（涟）波（色散后期基
本为单色波），在两端分别称为重力波和毛
细波（短波波速大）；
? 空气 /水系统中最小波速 c=0.235m/s,对应波
长为 l=1.78cm；
? 水的流速必须大于最小波速才能形成波纹,
物体在水流中移动, 相对速度必须大于最小
波速时才能有上游水波 。
16
重力内波
? 前提条件：重力场中密
度随高度递减的分层流
体；
? 机制：分层流体中的流
团受上下的扰动 — 浮
力 — 流块 振动 — 振动的
传播形成重力内波。
注,z是扰动量,q=r0w，
w是垂向速度分量。
0
0
dgN
dz
r
r=-
2
0
2
0
0ddgd t d zrz zr-=
2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 0
q N q q qN
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骣 骣 骣抖抖 鼢 珑 鼢? + + =
珑 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 桫
( )22 2 2 2 2 0z xykNk k kgiww- - + =
内波是各向异性三维横波,
不沿重力方向传播, 频率以
N为上限 。
17
安达曼海的内波卫星图像
18
海啸
海啸是由于大规模海水水下骚动而产生的一系列巨
大的波浪。海啸不是单一的巨大波浪，而是一批具有很
长波长和周期的海浪。这些海浪通过能量的释放而向外
排水。在能源附近，范围通常不大，但海啸的波浪可长
于 500公里并可持续一小时之久。通常，波长和周期的
增加与海水的深度成正比。周期是两个海浪之间的时间。
由于海浪的长度很长，海啸形成海浪波浅，提示海水的
深度与海浪长度之间的比率是很小的。在深海里，海啸
能高速行进。海啸的波速是重力加速度乘以海水的深度。
海啸在太平洋能够快速推进达每小时 750公里，超过声
速的一半。
当海浪靠近岸边时，深度逐渐地减少，海啸减速。
可是，由于能量的储存，海浪仍可高达 9～ 30米之间。
由于摩擦和湍流会损失一些能量，但是海浪还是具有极
大的能量能够冲上岸边许多英尺。
19
非线性 (大振幅 )波 ·孤立波
? 大振幅、非线性；
? Stokes波、非线性浅
水波（孤立波）等；
? 孤立波的物理条件：
色散和非线性；
? 特征：能量有限、碰
撞后不变形；
? 例子：水波、光孤子、
晶体位错的传播等。
3
3 0
u u uu
t x x
抖 + + =
抖
( )( )2u g h g hz= + -
00
0
21Uh,c g hcz
骣 ÷?
÷= - =? ÷? ÷?
桫
( ) ( )2 00 334x,t s e c h x U thzzz 轾骣 ÷?犏=- ÷? ÷?犏桫
臌
20
EXIT
孤立波
早在上一个世纪（ Aug,1834），拉塞耳（ John Scott Russel）
就观察到了孤立波．当时，他正在苏格兰的运河中以高速马拉船做 实验，发现船首出现了长约 10m，高约 0.3～ 0.5m，速度约 13～
14km/h的孤立波．他追踪了约 2～ 3km．现在我们知道这是一种浅
水孤立波，满足非线性方程：
由于第二项即非线性项的存在，这一方程的解不满足叠加原理．容 易证明下列函数是该方程的解：
在 50年代，费米等人（ Fermi－ Pasta－ Ulam）研究了两端固定
的一维原子链，回复力是
F=-k（ x+ax2）（ 8.7.3）
他们发现最低能量的振动模式并不热化，而是可以一直保持下去。
特殊形状的孤立波可以传播很远而不变形，具有很好的稳定性，其
原因是色散使脉冲变宽，而非线性使它变窄，两种作用可以相互平
衡．在现今的远程通讯中，特制的光纤可以无畸变地传送孤立波信 号达数千公里。
21
KdV方程的计算
22
木星表面的 大红斑
23
EXIT
空气中的波
1,几乎在整个大气动力学的范围内，
都离不开波动问题的研究；而激波
是气体动力学中最重要的一种物理
现象。
2,空气中的波有声波、重力波和涡旋
慢波即 Rossby波，还有由于高速流
动引起的流体密度显著变化的可压
缩性效应波（压缩波和膨胀波）。
24
EXIT
声波
传播机制：扰动 — 速度差异 — 密度变化
（绝热情况下） — 压力变化 — 气压梯度
力 — 驱动流体运动 — 如此往复，不断向未
扰区传播。
前提：可压缩性和绝热变化。
25
重力波
重力外波机制：不可压流体自由面扰动 —
流体柱高差异 — 因重力作用形成水平气压
梯度力 — 驱动流体运动 — 质量守恒导致表
面升高 — 如此往复，形成波动。
重力内波机制：层结大气（密度随高度变
化）的气块（密度与周围气体不同）受上
下的扰动 — 气压变化 — 气块及其周围气体
的密度均变化 — 形成浮力 — 产生运动 — a.
稳定对流,b,振动 — 振动的传播形成重
力内波。
26
涡旋慢波 — Rossby波
? 地球物理流体力学中
最重要的波动，影响
海洋与大气中的大尺
度运动。 1939年由
Rossby及其同伴发现。
? 地球旋转对运动流体
产生科氏力 — 力随纬
度变化 — 经向运动大
气环流有纬向扰动 —
动力方程 — 形成只会
西向传播的波。
u
fv
tx
v
fu
ty
f
f
抖
- = -
抖
抖
+ = -
抖
2
2
2
4
x c t
u U,v B s i n
L
L
cU
p
b
p
-
==
=-
0f f yb=+
27
2002年 8月 6日的 Rossby波列,250hPa位势高度，间隔
50千米。白虚线：射线路径和波列的经向范围（取自
THORPEX科学报告）
对于纬度 45度,L＝ 7070km，可得相对波速
20.5m/s
28
激波
? 激波的重要性是 20世纪四十年代高速飞
机的“声障”现象，从此大大推动了激
波的研究，现在对它的微观物理机理仍
在探讨中。
29
不同速度下声音的传播
30
什么是激波？
? 以定常超音速绕流为例
? 气流由超音速减速到驻
点附近的亚音速气流参
数不可能连续变化，否
则相邻两点的变化可以
看成小扰动，而小扰动
不可能在超音速气流中向上游传播；
? 因此必然出现间断，由
超音速突变为亚音速；
? 该间断就是激波
31
飞机突破“音爆”的瞬间
32
这是超音速飞机的超声波
在人类百年的航空史上，超越音速是一个具有非常意义
突破；
为了突破音障，有不少飞行员付出了生命，直到 1947年
10月 14日清晨 24岁的美国飞行员耶格尔上尉才驾驶 X— 1
火箭研究机进行第 9次飞行时，达到了 1.07马赫（即 10.7
倍音速）。这时天空传来了一声打雷一样的巨响，这便
是声爆。
33
34
激波结构简介
? 虽然在宏观上是间断，但局部速度梯度
（还有温度梯度）越大，粘性耗散作用
就越大，直到出现粘性耗散与惯性力出
现平衡为止。
? 出现平衡时波形内部高梯度区所对应的
厚度为几个分子平均自由程的量级，宏
观上可以看成间，也称为激波。在地面
激波厚度为 1/10个微米的量级。激波内
部有真实气体效应。
35
激波研究历史
? 牛顿于 1687年用等温假设研究声音的传播。
? Monge于 1770年提出特征线理论，被 Earnshaw(1858)和 Riemann
(1859) 独立用于气体动力学问题。
? Poisson于 1808年首次考虑有限振幅的波动（可看成激波理论的首
作）。同时他定义了气体比热比的符号。
? Laplace于 1816年改用等熵假设改进了牛顿的理论。
? Earnshaw(1851)发现雷电的超音速传播现象。
? 激波一词首先由 Toepler于 1864 年提出。
? De Laval于 1888年发明能产生超音速出流的收缩扩张管道（称为
拉瓦尔喷管）。
? Vieille于 1899年发明激波管，通过弄破分开高压气体和低压气体
的膜片，获得强激波并产生高温高速气流。
? 接着 Poisson的工作,Airy(1848),Stokes(1849),Rankine(1858,1870),
Earnshaw(1958-1860),Riemann(1859),Hugoniot(1885-
1887),Rayleigh (1910),Taylor(1910),… 争吵着发展和完善了经典激
波理论。
? Riemann(1859)认为穿越激波熵不变。
? Rankine (1869)与 Hugoniot(1887)分别独立地发现穿越激波质点熵
增加。 Rankine (1869)考虑热传导。
? Hugoniot(1887) 导出（ Rankine-） Hugoniot 关系式。
36
拉瓦尔喷管
( ) ( )2 2
211 a
du u M
d u c
r rr骣 ÷? ÷= - = -
? ÷? ÷桫
37
激波重要性
? 在 google上输入 shock wave(s) 得 539
万条
? 在 google上输入 turbulence得 470万条
? 在 google上输入 aerodynamics得 95万条
? 在 SCI上输入 shock wave(s) 得 11384条
? 在 SCI上输入 turbulence得 32041条
? 在 SCI上输入 aerodynamics得 1929条
38
激波研究内容
? 跳跃关系、激波结构、多激波结构、激波－
膨胀波干扰、稀疏激波、激波稳定性、宇宙
激波、激波的几何理论
? 激波相互干扰、激波反射、激波折射、激波
－附面层干扰、激波聚焦、医学应用 (碎石 /
整形 /眼科 /肿瘤 /基因治疗 /食物储存 /血栓消
融 )、激波诱导的界面不稳定
? 激波管、爆轰波、液体中的激波、固体中的
激波
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EXIT
流体力学与波
空气中的波
水波
流体中波的种类
波的原理
2
EXIT
什么是波 (动 )？
? 现代科学对物理量的两类变化有很好的理解，
一类是线性变化，“一份努力，一份成功”，
另一类是波动变化，“三十年河东，三十年河
西”，“物极必反”。相对而言，“一帆风顺”
是很少的，“终极完美”是不可能的，起起伏
伏才是常态。涡旋、湍流现象均反映了这一哲
理。
?,波动”作为科学术语，通常有两方面的含义：
一是某种物理讯号在空间的传播；二是与振动
或周期性过程相联系。概言之，即物理量在空
间和时间上具有周期性特点，就称为波。
22
2c
tx
ff抖 =
抖( ) ( ),c o sx t A k x tfw=-
3
EXIT
流体中波的种类
? 流体中的波：声波、激波、深 /浅水波、大气
和海洋内部的波、磁流体波等 ；
? 物理机制：由于受到某种扰动，而后又在某
种力（恢复力）的作用下，使运动具有恢复
平衡的倾向；流体惯性和恢复力是发生波动
的关键，恢复力性质的不同，如体积弹性力、
重力、张力、电磁力等，就形成了不同类型
的波动 ;
? 潮汐、海啸、激波、孤立水波。
4
EXIT
描述波的基本概念
? 波幅 A、相位 q、波数 k和波长 l、频率 w
和周期 T、波速 c（相速）、波矢；
? 波峰、波谷、波群 (包、组 )、波节；
? 频散关系 w = w(k)；
? 群速 cg=dw/dk；
? 非线性 (大振幅 )波 。
5
波的原理
不同物理现象（介质微振动、流动、
热、压力等的传播）中的各种参数变化均
可表现出波动，波动的控制方程也多种多
样，但其基本处在于总量的守恒、不同作
用的竞争、制衡（除了时变项外至少还有
两项）、以及耗散之微弱。
6
EXIT
流体力学波涉及的力
? 不考虑粘性，主要是理想流体流动问题；
? 涉及的力：万有引力 (潮汐力、重力 ),表面
张力、科氏力、浮力、压动力等。
? 重力、浮力、压动力较为显而易见，下面介
绍其它几种力。
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EXIT
潮汐力
考虑赤道圈, 月
亮在 M点正前方,
G是格林威治经
线与赤道的交点,
P是所分析的物
质点, a是月球
引力形成的加速
度, 方向如图所
示 。
88
2 1078.3,1057.8,
?? ????? gfgf
D
Eg
s u nm o o n
?
( ) 33a2 2 Maf s i n P O M,f Dg=?
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EXIT
表面张力
Tp s p s T p p
Rd d d q- + + =? =1 2 1 20
Rx
h?=-
?
2
2
1 2
122T p px
h?- = -
?
水是极性分子,
分子间有很强的吸引
力, 在常压和室温 20
度其表面张力为
72.75 mN/m,正己烷
的表面张力只有 18.4
mN/m,水银在室温
下具有最高的表面张
力 485mN/m,在高温
时, 熔态金属的表面
张力也很高, 如 1100
摄 氏 度 的 铜, 879
mN/m。
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科氏力
1819年，让 ·傅科生于巴黎。傅科从小喜欢动手做试
验，最初傅科学习的是医学，后来才转行学习物理学。
1862年，傅科使用旋转镜法成果的测定了光速为 289
000km/s，这是当时相当了不起的成绩，因此他被授予
了骑士二级勋章。此外，傅科还在实验物理方面做出了
一些贡献。例如改进了照相术、拍摄到了钠的吸收光谱
（但是解释是由基尔霍夫做出的）。傅科摆实验的第二
年，即 1852年，他制造出了回转仪（陀螺仪） —— 也就
是现代航 空、军事领域使用的惯性制导装置的前身。
此外，他还发现了在磁场中的运动圆盘因电磁感应而产
生涡电流，这被命名为, 傅科 电流, 。当然，不能忘
记的是傅科摆实验，因为这个非常简单的演示了地球自
转现象的实验，傅科获得了荣誉骑士五级勋章。
10
科氏力 /偏向力示意图
0f f yb=+
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EXIT
水波的描述
iop p gt
frh骣 ? ÷?- = - ÷
? ÷?桫 ?
( ) ( ) ( )
( ) ( )
x y,t x,y,t x,y,t
u x,y,t v x,y,t
z
u,v
x y x y
w i f i y
w
i
f y y f
+ = +
?
=+
?
抖抖
= = = = -
抖抖
u,vttxh抖==抖
0
uv
xy
u u u p
uv
t x y x
v v v p
u v g
t x y y
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抖
+=
抖
骣 抖抖
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+ +? -?
÷? ÷
抖抖桫
骣 抖抖
÷?
+ +? - +?
÷? ÷
抖抖桫
x是水平位移
h是垂直位移
po是大气压力
大气扰动 (风暴潮 ）, 船波,
海底运动 （ 海啸 ）, 日月引
力 （ 天文潮 ） 等
12
?海浪、潮汐研究的一个简化模型，当波长
远大于水深，称为长波；
?x是水平位移,h是垂直位移；
?潮汐波,f是经度,a是地球半径,c2=gh；
H＝ af/g＝ 0.6（ 0.25） 米, c大于 na,是正 /高潮,
c小于 na,是逆 /低潮（一般情况）。
EXIT
渠道中的长波 ·潮汐波
( )
22
2
2 2 2 2c f s i n n tta
xx fe
f
抖 = - + +
抖
2 2 2 2
2 2 2 2g h,g ht x t x
x x h h抖抖==
( )22 2 21 22 cH c o s n tc n ah f e= + +-
2
22 311
ch
n a a=
13
表面重力波
? 机制：自由面扰动 — 流体柱高差异 — 因重力作
用形成水平气压梯度力 — 驱动流体运动 — 质量
守恒导致表面升高 — 如此往复，形成波动；
? （无限）深水时流体运动轨迹为圆，长波的波
速快；
? 有限水深（平底）时流体运动轨迹为椭圆，对
h<<l时不存在色散现象（波速与波长无关） 。
2 gkw =
( )kzu A k e s i n k x tw= - -
( )[ ] ( )u A k c h k z h s i n k x tw= - + -
( )22g k k h g h kw = th
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表面波图片
15
表面张力（涟）波
2
2 02m i n
d T g
dk
w lp
lr
骣 ÷? ÷ =?
? ÷? ÷桫
? 表面张力在 l～ [T/rg]1/2的时候作用可与重力
相当，称为表面重力（涟）波（色散后期基
本为单色波），在两端分别称为重力波和毛
细波（短波波速大）；
? 空气 /水系统中最小波速 c=0.235m/s,对应波
长为 l=1.78cm；
? 水的流速必须大于最小波速才能形成波纹,
物体在水流中移动, 相对速度必须大于最小
波速时才能有上游水波 。
16
重力内波
? 前提条件：重力场中密
度随高度递减的分层流
体；
? 机制：分层流体中的流
团受上下的扰动 — 浮
力 — 流块 振动 — 振动的
传播形成重力内波。
注,z是扰动量,q=r0w，
w是垂向速度分量。
0
0
dgN
dz
r
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2
0
2
0
0ddgd t d zrz zr-=
2 2 2 2 2
22
2 2 2 2 0
q N q q qN
t g z t x y
骣 骣 骣抖抖 鼢 珑 鼢? + + =
珑 鼢 珑 鼢 珑 桫 桫 桫
( )22 2 2 2 2 0z xykNk k kgiww- - + =
内波是各向异性三维横波,
不沿重力方向传播, 频率以
N为上限 。
17
安达曼海的内波卫星图像
18
海啸
海啸是由于大规模海水水下骚动而产生的一系列巨
大的波浪。海啸不是单一的巨大波浪，而是一批具有很
长波长和周期的海浪。这些海浪通过能量的释放而向外
排水。在能源附近，范围通常不大，但海啸的波浪可长
于 500公里并可持续一小时之久。通常，波长和周期的
增加与海水的深度成正比。周期是两个海浪之间的时间。
由于海浪的长度很长，海啸形成海浪波浅，提示海水的
深度与海浪长度之间的比率是很小的。在深海里，海啸
能高速行进。海啸的波速是重力加速度乘以海水的深度。
海啸在太平洋能够快速推进达每小时 750公里，超过声
速的一半。
当海浪靠近岸边时，深度逐渐地减少，海啸减速。
可是，由于能量的储存，海浪仍可高达 9～ 30米之间。
由于摩擦和湍流会损失一些能量，但是海浪还是具有极
大的能量能够冲上岸边许多英尺。
19
非线性 (大振幅 )波 ·孤立波
? 大振幅、非线性；
? Stokes波、非线性浅
水波（孤立波）等；
? 孤立波的物理条件：
色散和非线性；
? 特征：能量有限、碰
撞后不变形；
? 例子：水波、光孤子、
晶体位错的传播等。
3
3 0
u u uu
t x x
抖 + + =
抖
( )( )2u g h g hz= + -
00
0
21Uh,c g hcz
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桫
( ) ( )2 00 334x,t s e c h x U thzzz 轾骣 ÷?犏=- ÷? ÷?犏桫
臌
20
EXIT
孤立波
早在上一个世纪（ Aug,1834），拉塞耳（ John Scott Russel）
就观察到了孤立波．当时，他正在苏格兰的运河中以高速马拉船做 实验，发现船首出现了长约 10m，高约 0.3～ 0.5m，速度约 13～
14km/h的孤立波．他追踪了约 2～ 3km．现在我们知道这是一种浅
水孤立波，满足非线性方程：
由于第二项即非线性项的存在，这一方程的解不满足叠加原理．容 易证明下列函数是该方程的解：
在 50年代，费米等人（ Fermi－ Pasta－ Ulam）研究了两端固定
的一维原子链，回复力是
F=-k（ x+ax2）（ 8.7.3）
他们发现最低能量的振动模式并不热化，而是可以一直保持下去。
特殊形状的孤立波可以传播很远而不变形，具有很好的稳定性，其
原因是色散使脉冲变宽，而非线性使它变窄，两种作用可以相互平
衡．在现今的远程通讯中，特制的光纤可以无畸变地传送孤立波信 号达数千公里。
21
KdV方程的计算
22
木星表面的 大红斑
23
EXIT
空气中的波
1,几乎在整个大气动力学的范围内，
都离不开波动问题的研究；而激波
是气体动力学中最重要的一种物理
现象。
2,空气中的波有声波、重力波和涡旋
慢波即 Rossby波，还有由于高速流
动引起的流体密度显著变化的可压
缩性效应波（压缩波和膨胀波）。
24
EXIT
声波
传播机制：扰动 — 速度差异 — 密度变化
（绝热情况下） — 压力变化 — 气压梯度
力 — 驱动流体运动 — 如此往复，不断向未
扰区传播。
前提：可压缩性和绝热变化。
25
重力波
重力外波机制：不可压流体自由面扰动 —
流体柱高差异 — 因重力作用形成水平气压
梯度力 — 驱动流体运动 — 质量守恒导致表
面升高 — 如此往复，形成波动。
重力内波机制：层结大气（密度随高度变
化）的气块（密度与周围气体不同）受上
下的扰动 — 气压变化 — 气块及其周围气体
的密度均变化 — 形成浮力 — 产生运动 — a.
稳定对流,b,振动 — 振动的传播形成重
力内波。
26
涡旋慢波 — Rossby波
? 地球物理流体力学中
最重要的波动，影响
海洋与大气中的大尺
度运动。 1939年由
Rossby及其同伴发现。
? 地球旋转对运动流体
产生科氏力 — 力随纬
度变化 — 经向运动大
气环流有纬向扰动 —
动力方程 — 形成只会
西向传播的波。
u
fv
tx
v
fu
ty
f
f
抖
- = -
抖
抖
+ = -
抖
2
2
2
4
x c t
u U,v B s i n
L
L
cU
p
b
p
-
==
=-
0f f yb=+
27
2002年 8月 6日的 Rossby波列,250hPa位势高度，间隔
50千米。白虚线：射线路径和波列的经向范围（取自
THORPEX科学报告）
对于纬度 45度,L＝ 7070km，可得相对波速
20.5m/s
28
激波
? 激波的重要性是 20世纪四十年代高速飞
机的“声障”现象，从此大大推动了激
波的研究，现在对它的微观物理机理仍
在探讨中。
29
不同速度下声音的传播
30
什么是激波？
? 以定常超音速绕流为例
? 气流由超音速减速到驻
点附近的亚音速气流参
数不可能连续变化，否
则相邻两点的变化可以
看成小扰动，而小扰动
不可能在超音速气流中向上游传播；
? 因此必然出现间断，由
超音速突变为亚音速；
? 该间断就是激波
31
飞机突破“音爆”的瞬间
32
这是超音速飞机的超声波
在人类百年的航空史上，超越音速是一个具有非常意义
突破；
为了突破音障，有不少飞行员付出了生命，直到 1947年
10月 14日清晨 24岁的美国飞行员耶格尔上尉才驾驶 X— 1
火箭研究机进行第 9次飞行时，达到了 1.07马赫（即 10.7
倍音速）。这时天空传来了一声打雷一样的巨响，这便
是声爆。
33
34
激波结构简介
? 虽然在宏观上是间断，但局部速度梯度
（还有温度梯度）越大，粘性耗散作用
就越大，直到出现粘性耗散与惯性力出
现平衡为止。
? 出现平衡时波形内部高梯度区所对应的
厚度为几个分子平均自由程的量级，宏
观上可以看成间，也称为激波。在地面
激波厚度为 1/10个微米的量级。激波内
部有真实气体效应。
35
激波研究历史
? 牛顿于 1687年用等温假设研究声音的传播。
? Monge于 1770年提出特征线理论，被 Earnshaw(1858)和 Riemann
(1859) 独立用于气体动力学问题。
? Poisson于 1808年首次考虑有限振幅的波动（可看成激波理论的首
作）。同时他定义了气体比热比的符号。
? Laplace于 1816年改用等熵假设改进了牛顿的理论。
? Earnshaw(1851)发现雷电的超音速传播现象。
? 激波一词首先由 Toepler于 1864 年提出。
? De Laval于 1888年发明能产生超音速出流的收缩扩张管道（称为
拉瓦尔喷管）。
? Vieille于 1899年发明激波管，通过弄破分开高压气体和低压气体
的膜片，获得强激波并产生高温高速气流。
? 接着 Poisson的工作,Airy(1848),Stokes(1849),Rankine(1858,1870),
Earnshaw(1958-1860),Riemann(1859),Hugoniot(1885-
1887),Rayleigh (1910),Taylor(1910),… 争吵着发展和完善了经典激
波理论。
? Riemann(1859)认为穿越激波熵不变。
? Rankine (1869)与 Hugoniot(1887)分别独立地发现穿越激波质点熵
增加。 Rankine (1869)考虑热传导。
? Hugoniot(1887) 导出（ Rankine-） Hugoniot 关系式。
36
拉瓦尔喷管
( ) ( )2 2
211 a
du u M
d u c
r rr骣 ÷? ÷= - = -
? ÷? ÷桫
37
激波重要性
? 在 google上输入 shock wave(s) 得 539
万条
? 在 google上输入 turbulence得 470万条
? 在 google上输入 aerodynamics得 95万条
? 在 SCI上输入 shock wave(s) 得 11384条
? 在 SCI上输入 turbulence得 32041条
? 在 SCI上输入 aerodynamics得 1929条
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激波研究内容
? 跳跃关系、激波结构、多激波结构、激波－
膨胀波干扰、稀疏激波、激波稳定性、宇宙
激波、激波的几何理论
? 激波相互干扰、激波反射、激波折射、激波
－附面层干扰、激波聚焦、医学应用 (碎石 /
整形 /眼科 /肿瘤 /基因治疗 /食物储存 /血栓消
融 )、激波诱导的界面不稳定
? 激波管、爆轰波、液体中的激波、固体中的
激波
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