1
量 子 物 理
2
引言
第 1章 波粒二象性
第 2章 薛定谔方程
第 3章 原子中的电子
第 4章 固体中的电子
第 5章 粒子物理简介
量子力学的
基本原理和
简单应用
3
引言 十九世纪末，经典物理已相当成熟,
对物理现象本质的认识似乎已经完成。
但在喜悦的气氛中，还有两朵
小小的令人不安的乌云,
跳出传统的物理学框架！
？热辐射的
紫外灾难
寻找以太的 零结果 相对论
热辐射的紫外灾难 量子论
相对真理 绝对真理
4
学习方法
处理好三个关系,
? 形象和抽象
－注意培养抽象思维能力
? 演绎和归纳
－注意要接受新的观点
学习归纳法培养创造性思维
? 物理和技术
－学习应用物理原理在技术上创新
5
§ 1.1 黑体辐射（和普朗克的能量子假说）
分子 (含有带电粒子 )的热运动使物体辐射
电磁波 。这种与温度有关的辐射称为 热辐射
(heat radiation)。
热辐射的电磁波的能量对频率有一个分布。
例如加热铁块，随着温度的升高,
开始不发光 → → →
黄白色 橙色 暗红
温度不同，热辐射的电磁波的能量不同,
频率分布也不同。
6
同一个黑白花盘子的两张照片
室温下，反射光 1100K，自身辐射光
（与温度有关）
激光、日光灯发光不是热辐射。
7
温度为 T 时,单位时间 内从物体 单位表面 发出的
频率 在 ? 附近 单位 频率区间内的电磁波的能量,
称为 光谱辐射出射度 M?(T)
1．光谱辐射出射度 M?(T)
一,描述热辐射的物理量
?
?
? d
dE)T( ?Μ
M?的 SI单位
为 W/(m2·Hz)
dE? … ?温度为 T 时,单时间 内从物体 单位表面
发出的频率在 ?→ ? +d?间隔内的电磁波的能量
M?(T) … ?描述热辐射能量按频率的分布。
T
单位面积
?
?
?
?
?
?
?
表面情况
物质种类
?
T
8 钨丝、太阳的 M? 和 ? 关系的 实验曲线
M?
?
注意：图中钨丝、太阳的 M?
纵坐标标度不同
9
2.总辐出度 M(T)
?
?
?
0
)()( ??? ? dTT
M 的单位为 W/m2
3.光谱吸收比 ??(T)
入射）
吸收）
(
(
)(
?
?
?? dE
dE
T ?
以上这些物理量均与
物体种类及其表面情况有关。
?? （ T） … ?温度为 T 时,（ 单位时间 内）入射
到物体（ 单位表面 ）的,频率在 ? → ? +d? 间隔
内的电磁波的能量被物体吸收的百分比。
10
★ 平衡热辐射
此时物体具有固定的温度。
我们只讨论平衡热辐射的情况。
物体辐射的能量等于在同一时间内所吸收
的能量时，热辐射过程达到热平衡，称为
平衡热辐射 。
热辐射的情况与物体种类及其表面有关,
情况太复杂了！
怎么去研究热辐射的规律呢？
提出,理想模型”的方法。
11
1.黑体
能完全吸收照射到它上面的各种
频率电磁波的物体，称为黑体。
二,黑体和黑体辐射的基本规律
维恩设计的黑体,
黑体
黑体能 吸收 各种频率的电磁波,
也能 辐射 各种频率的电磁波。
黑体的光谱吸收比 ?? (T) =1----?理想模型 ’ 。
为不透明材料的空腔
开的一个小孔。
12
实验表明,
辐射本领大的物体，吸收本领也大
（实验演示）。
黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大。
而黑体（的热辐射）正好与空腔的形状、材料及
‘ 表面状态 ’ 都无关，是最好的研究对象。
? 研究热辐射 本身 的规律，应利用辐射本领 M?
只与频率、温度有关，而和材料及表面状态
无关的物体。
13
? 对各种具体物体的总辐出度，可以通过实验
定出的, 黑度系数, (如有, 机电手册, 可查 )
来得到。
）（
）（
物体的黑度系数
黑体
物体
TM
TM
?
例, 油毛毡（法向） 0.93 (200C)
氧化铜（法向） 0.6?0.7(500C)
14
2,研究黑体辐射的实验装置示意图,
黑体
热电偶 (测 M?(T))
光栅光谱仪
（或棱镜光谱仪）
T
测得的黑体辐射实验曲线和两个实验定律,
15
3．斯特藩 —玻耳兹曼定律（实验定律）
? =5.67× 10- 8 W/（ m2K4）
4．维恩位移定律
（实验定律）
黑体辐射光谱中辐射
最强的频率 ?m与黑体温
度 T 之间满足正比关系
TCm ?? ?
C?= 5.88× 1010 Hz/K
4)( TTM ??
总辐出度 M(T)与黑体
温度的四次方成正比
?
M?
黑体辐射实验曲线
bT m ??或
b= 2.898× 10-3m·K
m?
16
例。若视太阳为黑体,nm5 1 0
m ??
测得
bT m ??由
定出
KT 5700?表面
维恩 因热辐射定律的发现
1911年获诺贝尔物理学奖
斯特藩 —玻耳兹曼定律和
维恩位移律是 测量高温,
遥感 和 红外追踪 等技术的
物理基础。 红外照相机拍摄的 人的头部的 热图
热的地方显白色,
冷的地方显黑色。
17
三,经典物理学所遇到的困难
---- 如何解释黑体辐射实验曲线？
空腔壁产生的热辐射，想象
成空腔壁内有许多以壁为
节点的电磁驻波。
其中最典型的是维恩公式
和瑞利 —金斯公式 黑体内的驻波
但是,
由经典理论导出的 M?(T)～ ?
公式都与实验结果不符合！
18
（ 1）维恩公式（非前面的维恩位移公式）
假定驻波能量按频率的分布类似于
（经典的）麦克斯韦速度分布率。得
（ 2）瑞利 —金斯公式
假定驻波的平均能量为 kT
（经典的能量均分定理），得
在低频段，维恩线偏离实验曲线！
在高频段 (紫外区 )与实验明显不符,
短波极限为无限大 —“紫外灾难, ！
? ? T/eTM ??? ?? ?? 3
? ? kT
C
TM 2
32 ??
? ?
19
黑体热辐射的 理论与实验 结果的比较
?
M?
20
四,普朗克的能量子假说和黑体热辐射公式
1.普朗克假设（ 1900年）
普朗克 (1858-1947年 )与鲁本斯。
即物体发射或吸收电磁辐射
只能以, 量子, 方式进行，每
个 能量子 的能量为 。 ? = h?
其中 h = 6.626× 10 - 3 4 J·s 称为普朗克常数 。
普朗克认为空腔黑体的热平衡状态，是组成腔壁
的带电谐振子和腔内的电磁辐射交换能量而达到
平衡的结果。
谐振子的能量只能是
?,2,1?? nnhE ?
21
2.普朗克公式
普朗克在德国物理学会上报告了与全波段实验
结果极为符合的普朗克公式,
? ? 1
2
/
3
2
)(
?
?
kTh
TM
ec
h
?
??
?
1900.12.14.--量子论诞生日。
? 玻尔对普朗克量子论的评价,
,在科学史上很难找到其它发现能象普朗克的
如此非凡的结果 …
基本作用量子一样在仅仅一代人的短时间里产生
这个发现将人类的观念 ——
不仅是有关经典 科学的观念,而且是有关通常思维
方式的观念 ——的基础砸得粉碎,
22
思想束缚下获得的这一解放。”
知识的如此的神奇进展,应归功于人们从传统的
? 爱因斯坦在 1918年 4月普朗克六十岁生日
庆祝会上的一段讲话,
“在科学的殿堂里有各种各样的人：有人爱科学是
为了满足智力上的快感；有人是为了纯粹功利的
目的，而普朗克热爱科学是为了得到现象世界那
些普遍的基本规律,… … 他成了一个
以伟大的创造性观念造福于世界的人 。
普朗克 获得 1918年诺贝尔物理学奖。
普朗克本人也有很多的困惑和彷徨 · · · ·
能量不连续的概念与经典物理学是完全不相容的！
23
为什么在宏观世界中,
观察不到能量分离的现象?
五,量子假说的含义及其与宏观现象的关系
例：设想一质量为 m=1g 的小珠子悬挂在一个小轻
弹簧下面作振幅 A=1mm的谐振动。弹簧的劲度系数
k=0.1N/m。 按量子理论计算, 此弹簧振子的能级间
隔多大？减少一个能量子时,振动能量的相对变化是
多少？
量子论 是不附属于经典物理
的 全新的理论，适用范围更广。
能量
经典 光量子
?h
?h2
?h3
? = h? 能量子
?,2,1?? nnhE ?
能量
24
1
3 59.110
1.0
28.6
1
2
1 ?
? ??? sm
k
?
?
能级间隔 J3334 1005.159.11065.6 ?? ?????? ?hE?
振子现
有能量 J862 105101.021kA21E ?? ??????
相对能量变化 26
8
33
102
105
1005.1
E
E ?
?
?
??
?
???
【 解 】 弹簧振子的频率
这样小的相对能量变化在现在的技术条件下还不可
能测量出来。现在能达到的最高的 能量分辨率 为,
1610 ???
E
E
所以宏观的能量变化看起来
都是连续的。
25
叶企孙先生
（ 1898——1977）
中国科学院学部委员（常务）
清华大学
首任物理系主任（ 1926）
首任理学院院长（ 1929）
1921 叶企孙,
W.Duane,H.H.Palmer
用 X—射线方法测得,
sJ10)0 0 9.05 5 6.6( 34 ???? ?h
1986推荐值,sJ106 2 6 0 7 5 5.6 34 ??? ?h
1998推荐值,sJ106 2 6 0 6 8 7 6.6 34 ??? ?h
sJ1063.6 34 ??? ?h
一般取,
26
§ 1.2 光电效应（和爱因斯坦的光量子论）
金属及其化合物在 电磁辐射 照射下发射电子的
现象称为光电效应，所发射的电子称为光电子。
实验装置,GD为光电管,
光通过石英窗口照射
阴极 K,光电子从阴极
表面逸出。
光电子在电场加速下向
阳极 A 运动，形成光电流。
§ 1.3 光的二象性 光子
实验规律,
27
（ 1）用光强 I一定的 某种频率 的光照射,
得到的饱和光电流强度 im 是一定的,
光强越大，饱和光电流强度也越大。
当电压 U=0 时，光电流
并不为零；只有当两极间
加了反向电压 U =－ Uc < 0时，
光电流 i 才为零。
-Uc
im2
im1 I1
I2
光强 I2>I1
U
i
Uc 截止电压。
这表明,从阴极逸出的
光电子有初动能,
cm eUum ?
2
2
1
（ 2） 相同频率 但强度大小不同的光照射,
截止电压 Uc是相同的，与光强无关。
28
截止电压 Uc与频率 ? 的具体实验规律,
截止电压与入射光频率的关系
?
cU
其中 K 为斜率，普适常数
U0 为截距,与 材料有关
直线与横坐标的交点
就是 红限频率 ?0,
K
U 0
0 ??U
0
0?
呈线性关系 Uc= K? - U0
（ 3）不论光强多大,只有当入射光频率 ? 大于
一定的红限频率 ? 0 时，才会产生光电流。
29
（ 4）光电效应是瞬时发生的,
只要入射光频率 ? > ?0，无论光多微弱,
从光照射阴极到光电子逸出，驰豫时间
不超过 10 -9 s 。
以上这些实验规律与经典电磁 波 的
概念完全不同，经典 波 的能量是
连续地分布在空间的。
想一想？！
30
爱因斯坦 1905年提出了 光量子假设,
（ 1） 电磁辐射由以光速 c 运动的
局限于空间某一小范围的光
量子（光子）组成，每一个
光量子的能量 ? 与辐射频率
? 的关系为 ? = h?
其中 h 是普朗克常数。
（ 2） 光量子具有, 整体性, 。
一个光子只能整个地被
电子吸收或放出。
31
爱因斯坦对光电效应的解释,
★ 光照射到金属表面时，一个光子的能量可以立即
被金属中的一个自由电子吸收。但只有当入射光的
频率足够高 (每个光量子的能量 h?足够大时 )，电子
才有可能克服 逸出功 逸出金属表面。
Ahum m ?? ?2
2
1
★ 光电子的最大初动能只与入射光的频率
有关，与光的强度无关。
逸出的电子的最大初动能为
（ A---逸出功）
32
h
A?
0?
电子的能量不足以克服逸出功
而发生光电效应，所以存在 红限频率,
Ahum m ?? ?2
2
1
)(21 02 UKeeUum cm ??? ?
0eUA ?
heK ?
★ 只要 ? ? ?0,立刻就有光电子产生
（瞬时效应）。
----A,U0 都与材料种类有关
0
2
1 2 ??? Ahum
m ?
★ 当
h
A
??即 时,
33
光电效应对于光的本质的认识和
量子论的发展曾起过重要的作用。
爱因斯坦于 1921年,
为此获诺贝尔物理学奖 。
光量子假设解释了光电效应的全部实验规律！
但是,1910年以前，并未被物理学界接受！
34
普朗克是, PHYSIK,
杂志的主编,
他对爱因斯坦的工作
给予了高度的评价。
在普朗克 获博士学位 五十
周年纪念会上普朗克向爱
因斯坦颁发普朗克奖章
35
heK ? ---- 密立根精确地测量得 K
计算得普朗克常数
h = 6.56? 10-34 Js
与当时用其他方法测得的符合
得相当好。
密立根
1923年诺贝尔物理学奖
他通过著名的油滴实验研究
基本电荷，证明电荷有最小单位。
当时这是对 爱因斯坦 光子 的
假设的极大支持。
密立根
36
光子的能量,
光子的质量,
?
? h
c
hmcp ???
0m,
c
h
m 02 ??
?
光子的动量,
------光有二象性
描写 光的粒子性 的 ?,p，与
描写 光的波动性 的 ?,? 通过
? = h? ； 相联系
?
hp ?
? = h?
在有些情况下，光突出显示出波动性；
而在另一些情况下，则突出显示出粒子性。
待续
37
§ 2.1 薛定谔（得出的波动）方程
一, 薛定谔方程
描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数
一般是空间和时间的函数，即
微观粒子在不同条件下 (例如，处于不同的
外力场中 )的运动状态是不同的,
解波函数 ? 所满足的方程，该方程应反映出
微观粒子所处的不同条件。
? ?trΨΨ,??
微观粒子在不同条件下的波函数,
所满足的方程是什么？
38
1926年，德拜 ---薛定谔。
报告后，德拜提醒薛定谔,
, 对于波，应该有一个波动方程。,
薛定谔方程,
),()],(
2
[),( 2
2
trtrU
m
tr
t
i
????
? ??
?
?
????
式中 m…… 粒子的质量
U…… 粒子在外力场中的势能函数（所处条件）
?2…… 拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
?
?
?
?
?
????
（记）
39
（ 3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验
检验了它的正确性，地位相当, 牛顿定律, 。
（ 1）它是一个 复数偏微分 方程；
其解波函数 是一个 复函数 。 ? ?trΨ,?
说明,
（ 2）它的解满足态的叠加原理
若 和 是薛定谔方程的解,
),(2 trΨ ?),(1 trΨ ?
则 也是薛定谔方程的解。
),(),( 2211 trΨctrΨc ?? ?
主要原因在于薛定谔方程是 线性 偏微分方程。
（ 4）它是非相对论形式的方程。
40
奥地利物理学家 薛定谔
（ Schrodinger 1887-1961）
量子力学找微观粒子在
不同条件下的波函数,
就是：求不同条件下
薛定谔方程的解。
1933年薛定谔获
诺贝尔物理奖 。
提出量子力学中最基本的方程。
41
二,定态薛定谔方程
常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t
无关的稳定的势场问题,这称为 定态问题 。
? 自由运动粒子 ………… U = 0
? 氢原子中的电子 ……
? ?
r
e
rU
2
04
1
??
??
这时波函数 ? 可以用 分离变量法 分离为
一个空间坐标的函数和一个时间函数的
乘积。
例如,
42
以 一维 运动的情况为例，波函数可写成
)t(f)x()t,x( ?? ?
将其代入薛定谔方程,得
fU
dx
d
mdt
df
i ?
?
?
?
?
?
??? ?
?
?
2
22
2
?
?
两边除以 ??，得
?
?
?
?
?
?
??? ?
?
?
U
dx
d
mdt
df
f
i
2
22
2
11 ?
?
= E (常数 )
可得只含变量 t 和 只含 变量 x 的 两个方程,
43
? 一个是变量为 t 的方程
E d t
f
df
i ??
其解为
Et
i
Aef ?
?
?
（ A 是待定复常数,E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能）
??
?
EU
dx
d
m
??? 2
22
2
? …… （★）
…… （★）
? 一个是变量为 x 的方程
（记！）
（记！）
可以把它先解出来,
其解 ?(x) 与粒子所处的条件（外力场 U）有关。
44
2
2
2
)()(),( xextxΨ
tΕ
i
?? ??
?
?
即定态时，概率密度可以用 ? (x)?2来表示,
(x)称为 定态波函数,
?
?
小结,对势能函数 U 与时间 t 无关的定态问题,
只须解定态薛定谔方程 （★） 式，再乘上（★）式
即可得总波函数 ?(x,t )。
由上面可以看出,
上面 （★） 式是 (x)满足的方程,
称为 定态薛定谔方程 。
?
45
例,一维 自由运动 微观粒子的波函数。
其定态薛定谔方程为
0
2
22
2
?? ?
?
E
m
dx
d
?
…… 二阶常系数
常微分方程
自由运动区
U = 0
电子枪
K
A
E 是能量（动能）
22 pmE ?令, P 是动量。
??? EU
dx
d
m
??? 2
22
2
?
46
它有两个特解,
x
p
i
e ??1?
x
p
i
e ???2?
所以，有一定能量和一定动量的 一维自由运动
微观粒子的波函数有如下两个解,
0
2
2
2
2
?? ?
?
?
p
dx
d得
0
2
22
2
?? ?
?
E
m
dx
d
?
47
)( xkti
tixki
t
E
i
x
p
i
eA
eeAeeA
??
??
?
??
?
???
…… 沿 + x 方向的平面 单色波
)( xkti
ti
xkit
E
i
x
p
i
eA
eeAeeA
??
????
?
??
?
??
?
…… 沿 - x 方向的平面 单色波
动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。
)()(),( 11 tfxtxΨ ??
)()(),( 22 tfxtxΨ ??
在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。
48
§ 2,2 无限深方势阱中的粒子
一,一维无限深方势阱中粒子的波函数与能量
金属中自由电子的运动,是被限制在一个
有限的范围 …… 称为 束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维
无限深方势阱中运动,
a
金属
U(x)
U=U0 U=U0
U=0
x
简
化 U=0
U→∞ U→∞ U(x)
x Ⅰ Ⅱ Ⅲ
无限深方势阱
2
a?
2
a
49
我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。
按照一维定态薛谔定方程
…… （★）
这种势场表示粒子可以在
势阱中运动，但不能越出势阱,
（因为,
区域的势能为无穷大）。 2/ax ?
??
?
EU
dx
d
m
??? 2
22
2
?
U=0
U→∞ U→∞ U(x)
x Ⅰ Ⅱ Ⅲ
无限深方势阱
2
a?
2
a
?
?
?
??
?
?
2/,
2/,0
)(
ax
ax
xU
（这是一个理想化的模型）
它的势能函数为
50
由于在 I,III 两区的 U(x)＝ ?,
显然应 ?? = 0; ???? = 0,否则方程就无意义了。
由于 ??区的 U(x)= 0，因此该区薛定谔方程为
?
?
E
dx
d
m
??
2
22
2
?
E
m
k 22
2
?
?
令 则有 ?? 2
2
2
k
dx
d
??
这也说明粒子不可能在这两个区域出现,
和经典概念相符。
…… （★）
??
?
EU
dx
d
m
??? 2
22
2
?
51
A,?,k …… 可由波函数应满足的条件来决定,
有限、单值 …… 自然满足。
连续 ……………？
这一方程的通解为 ? ??? ?? kxA s i n
?
022
2
?? ?
?
k
dx
d
?由于 处必须连续，和在 2/2/)( axaxx ?????
(可将此通解上式代入方程证明之 )
而在 I,III 两区，,所以有 0)( ?x?
,0)2/s i n (
,0)2/s i n (
??
???
?
?
kaA
kaA
52
,0)2/s i n (,0)2/s i n ( ????? ?? kaAkaA
可得
?? 22/ lka ??,2/ 1 ?? lka ???
式中 是整数。
21,ll
上两式相加得
??? lll ??? )(2 21
记
式中 也是整数。
l
kxAl o s i n0 ?? ?时，有
kxAl e c o s1 ?? ?时，有 --偶函数
--奇函数
的其他数值所对应的解没有独立的物理意义,
因为它们和, 的形式一样，只可能有正负
的区别，这并不影响,即概率密度的分布不变。
l
o? e?
2?
??
2
l
?
所以有
? ??? ?? kxA s i n
?
53
，处必须连续来决定在 kaxx 2/)( ???? 仍利用
即 ka = (2n+1) ?,n=0,1,2,3,… （ 2）
? ? 02/s i n
2
????
?
?
?
?
?
? kaA
a
o?有
? ? 02/c o s
2
????
?
?
?
?
?
? kaA
a
e?此外有
即 ka = n?,n=0,2,4,6,… （ 1）
将 （ 1）（ 2） 写成一个式子，为
ka = n?,n=1,2,3,4,5,6,…
kxAo s in??
kxAe c o s??
54
所以有 ?,6,4,2,s i n ?? nx
a
n
Ao
?
?
?,5,3,1,c o s ?? nx
a
n
Ae
?
?
为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如
22/
2/
22
22/
2/ 2
s i n1 A
a
dxx
a
n
Adx
a
a
a
a o
??? ??
?
?
?
?
?
?
可得
a
A
2
?
E
m
k 22
2
?
?
因为
,
2 2
22
2
ma
nE
??
??
n 称为 量子数 ) ( E 称为 能量本征值,
ka = n?,n=1,2,3,4,5,6,…
55
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
?,6,4,2,s i n
2
?? nx
a
n
aon
?
?
?,5,3,1,c o s
2
?? nx
a
n
aen
?
?
,0?n?
｝ 2ax ?
2
a
x ?
它们也称为 能量本征函数 。
称为 能量本征波函数 。 tEi
nn
n
eΨ ?
?
? ?
由每个 能量本征波函数 所描述的粒子的状态，是能量
有确定值的状态称为粒子的 能量本征态 。
56
1.能量只能取分立值
是解薛定谔方程自然而然得到的结论。
3.最低能量不为零（称零点能）
———符合不确定关系。 0ma2E 2221 ?? ??
2.当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续,
量子 ? 经典。
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布
与经典粒子不同。
讨论
按经典理论 …… 粒子的, 能量连续, ；
但量子力学 …… 束缚态能量只能取分立值（能级）
57
,
2 2
22
2
ma
nE
??
?
由
还可以得到势阱中粒子的 动量和波长
a
h
n
a
nmEP nn
?
??
2
2 ??????
?
n
a
P
h
n
n
2
???
说明势阱中粒子的每一个 能量本征态 正好对应于
德布罗意波的一个特定波长的 驻波。
n =1,2,3,4,5,6,…
58
En
x
E1
E2
E3
E4
a,n 21 1 ?? ?
,2 2 an ?? ?
3
2
,3 3
a
n ?? ?
2
,4 4
a
n ?? ?
n
a
,n n
2
??
束缚态
2
a?
2
a
0
n?
呈驻波状 n?
2
n?
59
宇称的概念
?,6,4,2,s i n
2
?? nx
a
n
aon
?
?
?,5,3,1,c o s
2
?? nx
a
n
aen
?
?
--奇函数 ? ? ? ?
,xx oo ??? ??即
--偶函数 ? ? ? ?
,xx ee ?? ??即
波函数, 反演变换, 变号，称为具有 奇宇称,
并以 宇称量子数为 -1作为标记。
波函数, 反演变换, 不变号，称为具有 偶宇称,
并以 宇称量子数为 +1作为标记。
60
§ 2.3 势垒穿透
?
?
?
?
?
?
)0(
)0(0
)(
0 xU
x
xU
设微观粒子有一定
能量 E (设 0 ? E ? U0 ),
我们也应分区求解其波函数,
金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的
是一个 高度有限的势 。
下面考虑这样的势场,U U= U0
0
x
E
U= 0
Ⅰ 区 Ⅱ 区
61
Ⅰ 区,
0E
m2
dx
d
22
2
?? ?
?
?
xki
1
xki
11
11 eBeA ????
（所以 E ? U,是振动解）
Ⅱ 区,
0)UE(
m2
dx
d
022
2
??? ?
?
?
E
m2
k 221
?
?
令
xkxk
2
22 DeCe ?? ??
?
?
E
dx
d
m
?? 2
22
2
?
令
? ?0222 2 UEmk ???
?
入射波 反射波
62
“有限, 要求 D = 0,
xk
2
2Ce ???
（所以 E ? U,是衰减解）
按经典力学 …… 粒子不可能在 Ⅱ 区 出现！
但量子力学 …… 粒子仍有可能在 Ⅱ 区 出现！
xkxk
2
22 DeCe ?? ??
Ⅰ 区 Ⅱ 区
U
x
U= U0
0
U= 0
63
可以想见，原来在 Ⅰ 区 的粒子也可以在势垒
的另一边 Ⅲ 区 出现！这在经典物理是不可想象的！
若势能曲线
如图所示,
有一个, 势垒, 。
这称为, 量子隧道效应, 。
Ⅰ 区 Ⅱ 区 Ⅲ 区
U= U0
U= 0
0
x
U
U= 0
a
64
例如,★ 放射性核的 ? 粒子衰变（自学）
★ 隧道二极管（略）
★ 扫描隧穿显微镜
若 m,a,( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了, 量子隧道效应, 现象的存在。
Ⅰ 区 Ⅱ 区 Ⅲ 区
U= U0
U= 0
0
x
U
U= 0
a
计算结果表明（不证）,
粒子的穿透率为
)(2
2
0 EUm
a
eT
??
? ?
65
三,扫描隧穿显微镜 （ STM）
(Scanning Tunneling Microscope)
是观察固体表面
原子情况的
超高倍显微镜。
1.原理
隧道电流 i 与
样品和针尖间
的距离 S关系
极为敏感。
S A B
i
扫描探针 A
样品 B
S ?10A
势能曲线 U
0
U
E
2
n?
66
SΦAUei ??
S — 样品和针尖间的距离
U — 加在样品和针尖间的微小电压
A — 常数
? — 平均势垒高度
定量关系,
图象处理系统
扫描探针 样品表面电子云
隧道电流
67
隧道
电流
反馈传
感器
参考信号
显示器 压电控制
加电压
扫描隧道显微镜示意图
68
2.技术难点与克服
(1) 消震,
(4) 撞针,保持 i 不变 d不变
(利用反馈装置，不撞坏针尖 )
扫描一步 0.4?,扫描 1,用 0.7s 2?
(2) 探针尖加工,
(3) 驱动和到位,利用压电效应的逆效应。
—— 电致伸缩，一步一步扫描。
多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。
电化学腐蚀，强电场去污,
针尖只有 1~2个原子！
69
8
7 紧
松
1
4
3
2
固定位置
紧
紧
伸长
松
6
5
松
缩短
固定位置
70 STM
71
0 50 90 30 70 10 (nm)
硅晶体表面的 STM扫描图象
72
神经细胞的 STM扫描图象
73
搬运单个原子
74
镶嵌了 48个 Fe 原子的 Cu 表面的
扫描隧道显微镜照片。 48 个 Fe 原子
形成, 电子围栏,,围栏中的电子形成驻波,
75
由于这一贡献,宾尼、罗赫尔 和 鲁斯卡
三人分享了 1986年度 的诺贝尔物理奖。
前两人是 扫描隧穿显微镜 的直接发明者,
第三人是 1932年 电子显微镜 的发明者,
这里是为了追朔他的功劳。
罗赫尔 宾尼 鲁斯卡
待续
76
§ 2.4 谐振子
如果微观粒子的势能函数是
2
2
1
kx)x(U ?
就应该解一维定态薛定谔方程
0
2
12 2
22
2
??? ?
?
)kxE(
m
dx
d
?
可用 级数展开法 解上述方程。
波函数应满足标准条件（连续、有限、单值、归一）。
求解超出本课程的范围。结论,
x
0
U(x)
E
… 二阶变系数
常微分方程
?? Ekx
dx
d
m
???
?
?
??
?
?
?? 2
2
2
2
1
2
?
77
1,能量
),2,1,0()
2
1
( ?? ??? nnE n ?
? 能量量子化,
能级等间距。
? 能量间隔 h?
（与黑体辐射理论同）
? 但有零点能。 E
0
E4
E3
E1
E2
??
E
0 2,波函数
，
22
2
1
2/1 )()
!2
()(
x
nn exH
nn
x
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
m
?
78
，
22
2
1
2/1 )()
!2
()(
x
nn exH
nn
x
?
?
?
?
?
?
?
Hn是 厄密 （ Hermite） 多项式,最高阶是
，nx )(?
22
2
1
2/1
0 )()(
x
ex
?
?
?
?
?
?
22
2
1
2/1
1 )(2)
2
()(
x
exx
?
?
?
?
?
?
??
22
2
1
22/1
2 ])(42[)
8
()(
x
exx
?
?
?
?
?
?
??
? ?
79
谐振子的波函数
谐振子的概率密度分布
80
? 量子,概率密度呈波动状,
在 E ? U 的区域也有出现概率,
在基态 n =0时,x =0处粒子出现概率最大。
? 经典,
E ? U 的区域
不可能出现,
当 n ? ? 时,
量子概率分布
? 经典分布
??
1 1
( x ) ?
2
量 子
经 典
n=11时的概率密度分布
E
U
量子
经典
2
11 )( x?
x =0处粒子速度
最大,,概率, 最小。
81 1927年第五届索尔威会议
爱
因
斯
坦
洛
仑
兹
居
里
夫
人
普
朗
克
德
拜
泡
利
康
普
顿
薛
定
谔
狄
拉
克
埃
伦
费
斯
特
布
喇
格
玻
尔
海
森
伯
玻
恩
朗
之
万
德
布
罗
意
82
补充：量子力学的几个基本原理
1,量子体系的状态由波函数完全描述。
2,波函数服从薛定谔方程。
3,力学量用算符表示，力学量所能取的值
是其相应算符的本征值。
4,关于, 力学量测量, 的原理
83
1,量子体系的状态由波函数完全描述。
概率密度),(),(),( *2 trΨtrΨtrΨ ??? ?
2,波函数服从薛定谔方程。
),()],(
2
[),( 2
2
trΨtrU
m
trΨ
t
i
????
? ????
?
?
)()()](
2
[ 2
22
xExxU
dx
d
m
?? ???
?
一维定态薛定谔方程
波函数的模方 代表粒子在 t 时刻 处的概率密度。 r?
84
3.力学量用算符表示，力学量所能取的值是
其相应算符的本征值。
先回忆定态薛定谔方程
?? E)U
dx
d
m
( ??? 2
22
2
?
我们利用它，并且利用 ? 应满足的条件
（有限、单值、连续、归一等） 求解了
一维无限深方势阱问题，和谐振子等问题。
求解时，同时求出了能量本征值 E 和
能量本征函数 ?。
85
等号左边的 与等号右边的
能量 E 相对应,)Udx
d
m
( ??
2
22
2
?
?? E)U
dx
d
m
( ??? 2
22
2
?
在量子力学中称 为 能量算符,
也称 哈密顿算符 。 )Udx
d
m
( ?? 2
22
2
?
记为
)
2
(? 2
22
U
dx
d
m
H ???
?
在三维情况下
)
2
(? 2
2
U
m
H ????
?
86
定态薛定谔方程于是可写为
nnn EH ?? ??
量子力学中它也称为 能量（算符）的本征方程,
En 是 能量可能取的值,
也称为 能量（算符）的本征值。
?n 是 定态波函数,
也称为 能量（算符）的本征函数,
在量子力学中，任一力学量能取哪些值？
是连续的，还是分立的？
这究竟是怎么决定的？
87
最基本的算符是坐标算符、动量算符,
? 坐标算符（就是它自己） rr?r ??? ??
在量子力学中
力学量谱原理,任一力学量 F，对应有一个
算符,解该算符的本征方程,
得到的所有本征值 F，即为该力学量所能取的值,
也称为该力学量的谱。
F? FuuF ??
? 动量算符
???? ??? ip?p
k
z
j
y
i
x
???
?
?
?
?
?
? ????( 式中 算符 )
x
ip? x
?
?
???
y
ip y
?
?
????
z
ip? z
?
?
???
88
? ? ? ? 222 ??? ??????????? ?????? iippp
物理中任一力学量都是由坐标和动量组成的,
例如,
? 动能算符,
??
m
P
E k
2
2
?
得到任一 力学量 F 的算符 的方法,
)i,r(F?)p,r(F ????? ??
（经典） （量子）
mm
PP
E k
22
??
?
2222 ??
?
?
?
?
??
89
)r(U
m
H?
??
???? 2
2
2
)r(U
m
p
E
?
?
??
2
2
? 能量（哈密顿量）算符,
? 角动量算符,
p?rL? ??? ??
zyx
p?p?p?
zyx
k
?
j
?
i
? ???
?
yzx p?zp?yL
? ??
zxy p?xp?zL
? ??
xyz p?yp?xL
? ??
prL ??? ??
2222 ??????
zyx LLLLLL ?????
??
90
在球坐标中,
,co ss i n ?? ?? rx
,s i ns i n ?? ?? ry
,c o s ?rz ?
,c o s
r
z??,ta n
x
y??
?
?
z
y
x
可得
??
?
?? 2
22
2
s i n
?
s i n
s i n
? zLL ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
因为
91
例, 求解 的谱,
zL
uLuL? zz ?
Lz的本征方程为
)(L)(
d
d
i z ????
?
?? ?
用分离变量法解得 本征函数 ??? zLiAe)( ??
有限，连续条件自动满足；单值 … …？
由单值条件,
)2()( ????? ??
)2( ??? ?
?
zz L
i
L
i
ee ??
解一般力学量的本征方程 也要用到
有限、单值,连续、归一 等标准条件。
FuuF ??
92
即
1)2s i n ()2c o s ( ??
??
zz LiL ??
????? m,2,,0L z ??????
1
2
??
?zL
i
e ?
)2( ??? ?
?
zz L
i
L
i
ee ??
m,2,1,0
L z
????? ??
?
记 m 称为磁量子数
zL
的归 一化本征函数是 。
?
?
ime ?1
这就是力学量 的本征值谱。
zL
93
uLuL? 22 ?
例。求 的本征值谱。 2L
? ? ),(1),(?,2,2 ???? mlml YllYL ???
得到（略）
本征值是 ? ?
22 1 ??? llL
【 解 】 应解 的本征方程 2L
??
?
?? 2
22
2
s i n
?
s i n
s i n
? zLL ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?,3,2,1,0?l
lm ????? ?,3,2,1,0
式中
l 称为角量子数
94
? ? 22 1 ??? llL
?,3,2,1,0?l
lm ????? ?,3,2,1,0
????? mL z ?????,2,,0
zL
的最大值为
?lL z ?
当 ? ? 22 1 ??? llL
即 时,
? ? ?1?? llL
????? lL z ?????,,3,2,,0
这正好说明 投影值 Lz 不可能超过 L 的 值。
讨论 1,投影值 Lz 不可能超过 L 的 值。
95
对于一定的角量子数,磁量子数 m 可取
(2 +1)个值，角动量在空间 z 方向的取向
只有 (2 +1)种可能。
l
l
l
说明角动量的 数值 是量子化的。
l,,,,m ????? ?3210
? ? 22 1 ??? llL
?,3,2,1,0?l
说明 角动量在空间的取向 也是量子化的。
讨论 2,角动量 在空间的取向 也是量子化的。
96
例如：当 时,2?l
Lz 共有 种。 51l2 ??
m = 0,? 1,? 2,
z
x
y
电子云
L ·
?
?
?45.2?L
0
-2?
?
2?
-?
2?lZ(B)
L?
?
?
?
45.2
6
)1(
?
?
?? llL
??? 2,,0 ????? mL z
97
?
??
4
1),(
0,0 ?Y0?l
1?l
2?l
?
?
?? c o s
4
3),(
0,1 ?Y
??
?
?? ieY ?? ? s i n
8
3),(
1,1 ?
? ?1c o s3
16
5),( 2
0,2 ?? ????Y
???
?
?? ieY ?? ? c o ss i n
8
15),(
1,2 ?
??
?
?? ieY 222,2 s i n
32
15),( ?
? ?
的本征函数是,称为 球谐函数
（已归一化） 。
? ???,lmY2L
???
98
4.关于, 力学量测量, 的原理
某物理量的本征态，指该物理量具有确定值的状态。
例。氢原子能量的本征态，就是它的能量的定态。
当氢原子处于这个状态时，实验测得的能量
有确定值。
例。一个微观粒子处在自由运动状态，测得其动
量有确定值，我们就说它处于动量的本征态。
一般来说，同一个力学量算符 有若干个
本征值 {Fi},i =1,2,…,它们对应于 若干个
本征态 { },i =1,2,…,。当系统处于本征态
时，该力学量就有确定值 Fi, i?
i?
F?
99
此外，微观粒子还可以处于某个力学量 本征态
的叠加态。这时该力学量没有确定的值。
实验表明，当微观粒子处在某 力学量的 叠加态
时，测量该力学量每次测得的值一般是不一样的。
(当然，测量值都是各参加叠加的本征态的本征值 )
在叠加态时，各个本征态以一定的概率出现。
用实验中每次测得的可能的本征值和该值出现的
概率，可以计算该力学量的平均值。
若二个能级的本征态为 和,它们是
分别具有能量本征值 E1 和 E2 的状态,
1? 2?
我们以能量为例，设原子只有两个能级,
100
每一时刻，原子不是处在 就是处在,
1? 2?
是处在 态的概率,
2
1c
1?
2
2c
是处在 态的概率,2?
即处在能量为 E1的概率；
即处在能量为 E2的概率。
2211 ??? cc ??
如果原子处在某个叠加态
（其中 ci 一般可为复数）,
12221 ?? cc
总的概率为 1,
量子力学关于, 力学量测量, 的原理告诉我们,
在该叠加态时,测量能量的平均值为
2
2
21
2
1 EcEcE ??
101
§ 3.1 氢原子
一,玻尔（原子）模型,
1913年 玻尔把量子论
推广到原子系统。
（ 1） 定态条件,电子绕核作
圆周运动，但不辐射能量
（经典轨道 +定态 ）。
（ 2）当原子从某一能量状态
跃迁到另一能量状态时
服从 频率条件
12 EEh ???
卢瑟福 --- 玻尔。
（ 3） 角动量量子化条件 。
102
? ?1??nrvm nn ?
n = 1,2,3 …
? ?2
4
2
0
2
?
n
n
n r
v
m
r
e
?
??
● +e
● -e
rn
vn
En
m
mp
解得,
,12 rnr n ? m1029.5
4 11
2
2
0
1
????
me
r
???
,12
1
E
n
E n ? eV6.13
)4(2 220
4
1 ????
???
me
E
玻尔半径
玻尔理论成功地解释了氢原子和类氢离子光谱的
波长，说明它含有正确的成分。
103
理论本身存在困难,
（ 1）承认经典电磁理论，认为氢原子中电子作
圆轨道运动，受到的向心力就是库仑力，有动
能和电势能；但, 有向心加速度而不辐射能量,
（轨道是稳定的），又不符合经典电磁理论。
（ 2）承认电子在中心力场中运动，角动量守恒。
但是玻尔硬加了一个 角动量量子化条件
??,3,2,1?? nnvrm e
只可能有满足这条件的轨道才能存在，这 为什么？
玻尔理论不能说明氢原子光谱线的强度；
也不能说明较复杂原子的光谱（即使 He）。
说明它含有不正确的成分。
104
（ 3）卢瑟福 对玻尔 的频率条件质疑
“玻尔理论是 经典理论 + 量子化条件, （生硬）
12 EEh ???
“当电子从 E1往 E2跳时，您必须假设电子事先
就知道它要往那里跳！”
为了 选择,必须 去过,
但是它 去过了 吗？
为了 去过,必须 选择,
逻辑上循环！
E1
E2
多种频率
的光入射
E3
105
玻尔理论在人们认识原子结构的进程中
有很大的贡献
--- 1922年玻尔获诺贝尔物理学奖。
玻尔理论中 关于定态（不辐射电磁能量）,
关于能级（能量量子化）,
关于频率条件,
关于角动量量子化等概念,
至今还是正确结论。
虽然 轨道概念 不适用了，但是通过它仍然可以
得到一些有意义的结论。
例如，可以估计原子的大小；
可以估计原子中电子速度的大小；
n 越大,离开原子核越远； ……
106
玻尔正在讲课 玻尔（左）和 海森伯（中）
泡利（右）在一起
玻尔其人,
成绩优秀、全面发展、爱踢足球；
学术平等、爱国反战。
107
在玻尔研究所里
学术空气很浓,
玻尔演讲后与听
众踊跃讨论。
哥本哈根学派
,丹麦是我出生的地方,
是我的故乡,
是我心中的世界
开始的地方。,
卢瑟福的邀请
普朗克的邀请
108
波尔和他的五个儿子
右 2在 1975年 获诺贝尔物理奖（因对原子核结构的研究）
109
二,氢原子中电子的, 轨道, 角动量
(在量子力学中，仍常借用, 轨道, 这名词 )
氢原子中电子在中心力场运动中,
其, 轨道, 角动量是守恒的。那么, 轨道,
角动量究竟能取哪些值？
按量子力学，应解, 轨道, 角动量算符的本征方程。
通常采用球坐标系。
?
???
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
iL?
si n
1
si n
si n
1
L?
z
2
2
2
22
110
,轨道, 角动量算符的本征方程为
uLuL? 22 ?
uLuL? zz ?
解得 L2 的本征值为
)1()1( 22 ?????? ?llL
?,3,2,1,0?l
角量子数
解得 Lz 的本征值为
)2(mL z ?????? ?
l,,,,m ????? ?3210
磁量子数
的本征函数是, 球谐函数 。 ? ???,
lmY
2L
zL
的本征函数是 。
?
?
ime1
111
三, 氢原子中电子的坐标概率分布与能谱
中心力场
U
m
H? ???? 2
2
2
?
r4
e)r(U
0
2
??
??
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
s i n
1
s i n
s i n
11
???
?
?? ?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
rrr
r
rr
xxx
（采用球坐标系）
112
定态薛定格方程为
),,r(E),,r(H? ?????? ?
),,r(E),,r(
r4
e
m2 0
2
2
2
??????
??
???
?
?
??
?
?
???
?
用分离变量法求解 (只讲思路和结果 ),
式中 u（ r） …… 称为 径向波函数
),(Y
r
)r(u),(Y)r(R),,r( ??????? ??设
),( ??Y
…… 为角度部分的波函数
113
),(Y),(Y m,l ???? ?
可得 到径向波函数 u（ r） 所满足的方程,
称为 径向方程,
?? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?u r
m
E U r
l l
mr
u r( ) ( )
( )
( )
2 1
2
0
2
2
2?
?
代入 定态薛定格方程 后,
正好是 球谐函数。
解此方程，可以同时得到 粒子的本征能量 E
和径向波函数 u( r ) 。
可得 到 ?,? 部分满足的方程,解得
114
★ 能量本征值 E
),(16.131
)4(2 22202
4
eV
nn
meE
n
????
???
n…… 称为主量子数
★ 径向波函数 u(r)= unl( r ) （具体形式略）
1,,2,1,0 ?? nl ??
),()(),,( ????? lmnlnl m Y
r
rur ??
结果,
n = 1,2,3…, 解方程要求
n = 1,2,3…,
115
按照定态 波函数的物理意义，在空间点 （ r,?,?）处,
小体积元 dv 中电子出现的概率为
?????? dddrrrmln s i n),,( 2
2
????? dddrYru
mlln
s i n),()(
22
?
????? dddrrY
r
ru
ml
ln
s i n),(
)(
2
2
2
2
?
因此,概率分布不见得都是球对称的。
由于它一般与 r 有关，也与 ?,? 有关,
116
在半径为 r ? r +dr 之间电子出现的概率为
rru nl d)( 2?? 上式
drruddY nllm
2
0
2
0
2
)(s i n),(
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?????
由于球谐函数也是归一化的,
?
?
z
y
x
r
dr
2)( ru
nl
…… 称为 径向概率密度。
为半径为 r 处,
单位厚度球壳内
电子出现的概率
117
2
10 )( ru
2
20 )( ru
2
30 )( ru
529.01 ?a ?
r/a1
0.4
0.2
即玻尔半径
（电子云）是
球对称分布的 。
在 r = a1 处有极大值。
2)( ru
nl
几个径向概率密度 的分布图,
2
10 )( ru
其中
由于
?
??
4
1),(
0,0 ?Y
与 ?,? 无关,
? ? 20,0,1,,??? r?
概率密度分布
118
量子力学关于氢原子的理论
经受了实践的检验
---氢原子光谱
待续
119
§ 3.5 x 射线
一, X 射线的发现及其本性
l895年德国物理学家 伦琴 在作 阴极射线管 中气
体放电的实验研究时，偶然发现了有一种使荧
光屏上有微弱的荧光产生的看不见的射线。
…… 沿直线传播
…… 不被电磁场偏转
…… 穿透性强 (不被物质反射和折射 )
他把这种未知射线称为 x 射线 。
有了关于原子结构的知识，下面讲两个问题
----------- X 射线；激光。
120
?a ê? μú ò? ?? X é?
?? ? ?? ￡? ?? é?
á? ?×?ù ·ò è? μ?
ê?
l895年底,
伦琴发表了
,论新的射线,
的报告,
并展示了
他的妻子的
手指骨 x射线
的照片。
121
伦琴 的发现引起了全世界物理学界和医学界
的强烈反应。
伦琴的报告发表后仅三个月后，维也纳的一家医院
就在外科检查中使用了 x射线拍片手段。
1901年，获得了首次颁发的
诺贝尔物理学奖。
第二年（ 1986年）就有
近千篇有关 x 射线的
研究和应用的文章发表。
（ Wilhelm C,R?ntgen）
德国人 1845-1923
伦琴
122
1912年德国物理学家 劳厄 成功地获得了
x 射线的晶体衍射图样。
(获 1912年诺贝尔物理奖 )。
后来人们认识到,
? x 射线是一种高能光子 …… 穿透性很强。
…… 用普通光栅观察不到衍射现象。
? x 射线是波长很短的电磁波
（ 0,1 ? ～ 100 ? ）
（ 1879年 克鲁克斯 曾抱怨放在他的阴极射
线管附近的照相底片老出现模糊的阴影）；
（ 1890年 古德斯比德 和 詹宁斯 都发现他们
阴极射线管后面的照相底片特别发黑）。
123
二, X 射线谱与其产生机制
X 射线管抽成真空（ 10-6~10-8 mmHg）,
阴极 K-----是加热的,发射电子用 ;
阳极 A-----一般为钨、钼、铂等重金属“靶”。
利用晶体衍射的
布喇格公式测定
波长 ;
按照记录底片上
的黑度测定强度。
在两极间加上几万伏高电压，电子就在强电场
的作用下飞向阳极,在阳极 A上产生 x 射线。
124
实验曲线
如图所示
x射线谱一般
由两部分组成,
1.连续谱
高速电子到达阳极后与阳极中的原子相撞,
速度降下来，电子有了加速度而辐射的电磁波。
这种辐射称为 韧致辐射 。
连续谱
线状谱
（特征谱,
标识谱） 实验曲线一
125
(1)为什么具有 连续谱 的特征？
(2)为什么连续谱的 形状 与
阳极的材料无关？
(3)为什么连续谱都有一个
截止波长 （或频率）？
而它也与阳极的材料无关,
仅与电压有关？
由于大量电子有各种大小
的加速度，因此韧致辐射
的 x 射线具有连续谱的特
征；
由于它只是 管中电子 有加
速度而辐射产生的；
实验曲线二
相
对
强
度
波长（ ?）
截
止
波
长
35kV
126
截止波长是 X射线连续谱的下限波长，记作 ? min,
理论分析,
——也可用它来测普朗克常数 h 。
的存在是 量子论 正确性的又一例证。
min?
电子在电场中得到的 加速动能,全部转化
为辐射的光子能量时,
m i n
m a xk
c
hheUE
?
? ???
有
Ue
hc 1
m i n ???
所以得
它与阳极的材料无关，仅与电压有关。
127
2,线状谱
（特征谱,标识谱）
当加速电压比较高时,
在 x 射线连续谱的
“山丘”上会出现一些
“尖塔”。
人的 指纹 可作为某人的特征,
…… 这些尖塔可以作为某种 元素的,指纹” 。
尖塔的位置与阳极 靶材料元素有关,
与电压 U无关。故称为 特征谱 。
128
特征谱产生的机制
能量比“空位”能量高的电子就会跃迁下来
到这空位，同时放出电磁波,波长当然与
此原子的特性有关，此即特征谱。
因为原子的内层电子的能级差值较大,
放出的光子的频率较大，波长就较短,
属于 x 射线波段。
高速粒子将能量给了靶原子的 内层电子,使
内层电子跃迁到能量较高的最外层或完全脱
离原子 (即电离 )，内层留下了,空位”。
内层电子跃迁
?, 10-1? ? 102?
?E,103 eV ? 104 eV
129
Ze K L M N O
L系
K系
?
?
?
?
K
K
K
K
?
?
?
L
L
L
-e
-e
空位在 L层,跃迁就产生特征谱线 L?,L?,L?…
空位在 K层,跃迁就产生特征谱线 K?,K?,K?…
产生空穴的方法,e ─ X ；
质子荧光分析
（ PIXE --- Proton Induced X-ray Emission）,
p ─ X ；
I ─ X ； X ─ X ； p ─ X ；
130
三, X 射线应用举例
? X光透视（假彩色）
? CT(透明片 )
? 精密分析物质的成分。
(所需样品量小,10μg 足够,
无损伤，灵敏度高 )
例如, 对珍贵出土文物的分析
1965年出土的 2500年前的
越王勾践宝剑 的成分。
例如, 对人的头发中痕量元素分析
长寿、疾病、弱智与痕量元素的关系。
例如, 空气采样分析
(上海与拉萨 )
131
同步回旋加速器 中电子作圆周运动，也辐射 x光。
它称为同步辐射 x 光源，简称 同步辐射。
??一种新型强 x光源。
目前超大功率的 x 光管只 有 10 W。
北京正负电子对撞机的同步辐射是 34 kW;
（ 1）能谱宽 ……0.1 ～ 10 4? （连续谱）
（ 2）功率大 …… 可达 10 kW；
同步辐射 x 光源 (Synchrotron Radiation)（ SR）
特点,
132
全张角
"15 12 0 ???
(4)高度偏振
在轨道平面内是线偏振光，可用于研究
各向异性物质。
(5)高稳定度,重复性好。
北京正负电子对撞机
v
a
●
0?
（ 3）方向性好 …… 当 v? c 时，沿切线方向,
可开出许多窗口，引出 x射线，供 辐照技术
应用。
133
普通光源 -----自发辐射
激光光源 -----受激辐射
激光又名镭射 (Laser),
它的全名是
“辐射的受激发射光放大”。
(Light Amplification by Stimulated Emission
of Radiation)
§ 3.6 激光
134
功率大 （脉冲平均功率可达～ 10 14W;
连续功率可达～ 1 kW ）
? 空间相干性好，有的激光波面上
各个点都是相干光源。
光强大 （会聚的激光强度可达 1017W/cm2；
而氧炔焰的强度不过 103 W/cm2 ）
1,特点,
? 时间相干性好（ ?? ～ 10 - 8?）,
相干长度可达几十公里。
相干性极好
方向性极好 （发散角～ 以下 ） 1?
135
按工作方式分
连续式（功率可达 103 W）
脉冲式（平均功率可达 1014 W ）
3, 波长,极紫外 ──可见光 ──亚毫米
(100 n m ） （ 1.222 m m ）
2, 种类,
固体（如红宝石 Al2O3）
液体（如某些染料；可以调频）
气体（如 He-Ne,CO2）
半导体（如砷化镓 GaAs）
按工作物质分
136
一, 粒子数按能级的统计分布 原子的激发
由大量原子组成的系统，在温度不太低的
平衡态，原子数目按能级的分布服从
玻耳兹曼统计分布,
kT
E
n
n
eN
?
?
137
若 E2 > E 1，则两能级上的原子数目之比
1
12
1
2 ??
?
?
kT
EE
e
N
N
数量级估计,
T ～ 103 K；
kT～ 1.38× 10-20 J ～ 0.086 eV;
E 2-E 1～ 1eV;
10860
1
1
2 ????? ?
?
?
?
510
12
.kT
EE
ee
N
N
138
但要产生激光必须使原子激发 ;且 N2 > N1,
称粒子数反转 (population inversion)。
原子激发的几种基本方式,
1．气体放 电激发
2．原子间 碰撞激发
3,光激发 (光泵 )
演示
139
二, 自发辐射 受激辐射和吸收
1,自发辐射 (spontaneous radiation)
设 N1, N2 — 单位体积中处于 E1, E2
能级的原子数。 单位体积中单位时间内,
从 E2 ? E1自发辐射
的原子数,
2N
dt
dN
??
?
?
?
?
?
自发
21
E2
E1
N2
N1
h?
140
Ａ 21 ?自发辐射系数，单个原子在单位
时间内发生自发辐射过程的概率。
各原子自发辐射的光是独立的,
无关的 非相干光 。
写成等式
221
21 NA
dt
dN
??
?
?
?
?
?
自发
2．受激辐射 (stimulated radiation)
E2
E1
N2
N1
全同光子
h?
141
设 ?（ ?、Ｔ ） …… 温度为 Ｔ 时,频率为
? = (E2 - E1) / h附近，单位频率间隔的
外来光的能量密度。
单位体积中单位时间内，从 E２ ? E１
受激辐射的原子数,
2N)T(
dt
dN
、
受激
????
?
?
?
?
? 21
写成等式
? ? 221 NTB
dt
dN
、
受激
????
?
?
?
?
? 21
B21?受激辐射系数
142
2
21 NW
dt
dN
21??
?
?
?
?
?
受激
则
令 W21 = B21· ?（ ?,T）
W21 ?单个原子在单位时间内发生
受激辐射过程的概率。
受激辐射光与外来光的频率、偏振方向,
相位及传播方向均相同
------有光的放大作用 。
143
上述外耒光也有可能被吸收,
使原子从 E1?E2。
单位体积中单位时间内因吸收外来光而从
E1?E2 的原子数,
? ? 112 NT,
dt
dN
????
?
?
?
?
?
吸收
3, 吸收 (absorption) E
2
E1
N2
N1
h?
144
写成等式
112
12 NW
dt
dN
??
?
?
?
?
?
吸收
B12? 吸收系数
令 W12=Ｂ 12 ?(?, T)
W12 ? 单个原子在单位时间内发生
吸收过程的概率。
? ? 11212 NT,B
dt
dN
????
?
?
?
?
?
吸收
145
A21, B21, B12 称为爱因斯坦系数。
爱因斯坦在 1917年从理论上得出
123
3
21
8
B
C
h
A
??
?
爱因斯坦的受激辐射理论为六十年代初实验上
获得激光奠定了理论基础。
没有实验家,理论家就会迷失方向。
没有理论家,实验家就会迟疑不决。
B21 = B12 受激辐射系数 =吸收系数
自发辐射系数与
吸收系数成正比
146
六十年代初对 发明激光 有贡献的三位科学家。
1964年获诺贝尔物理奖。
巴索夫 普罗恰洛夫 汤斯
147
三, 粒子数反转
1,为何要粒子数反转
(population inversion)
? ? 22122121 NWNT,B
dt
dN
???
?
?
?
?
?
??
受激
? ? 11211212 NWNT,B
dt
dN
???
?
?
?
?
?
??
吸收
从 E2 E1 自发辐射的光，可能会引起
受激辐射过程，也可能会引起吸收过程。
148 ? 必须 N2 > N1（ 粒子数反转）。
因 B21=B12 ? W21=W12
吸收受激
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
dt
dN
dt
dN 1221
? ? 22122121 NWNT,B
dt
dN
???
?
?
?
?
?
??
受激
? ? 11211212 NWNT,B
dt
dN
???
?
?
?
?
?
??
吸收
要产生激光，就必须
149
2．粒子数反转举例
例, He一 Ne 气体激光器的粒子数反转
He -Ne 激光器中 He是辅助物质,
Ne是工作（激活）物质；
He与 Ne之比为 5∶ 1 ? 10∶1 。
150
亚稳态
电子碰撞
碰撞转移
亚稳态
151
He-Ne激光管的工作原理,
? 由于 电子的碰撞,He被
激发 (到 23S和 21S能级 )
的概率比 Ne 原子被激
发的概率大；
在 He 的这两个激发态
上集聚了较多的原子。
? 由于 Ne的 5S 和 4S态 与 He的 21S和 23S态
的能量几乎相等，当两种原子相碰时非常容易
产生能量的, 碰撞转移, ；
? 在 He 的 23S,21S这两
个能级都是亚稳态,
很难回到基态；
152
（要产生激光，除了增加
上能级的粒子数外,
还要设法减少下能级的
粒子数）
? 正好 Ne 的 5S,4S是 亚稳态，下能级 4P,3P 的
寿命比上能级 5S,4S要短得多,
这样就可以形成粒子数的反转。
? 在碰撞中 He 把能量传
递给 Ne而回到基态,
而 Ne 则被激发到 5S
或 4S;
153
? Ne 原子 可以产生多条激光谱线,
图中标明了最强的三条,
0,6328?ｍ
1,15 ?m
3,39 ?ｍ
它们都是从亚稳态到非亚稳态,非基态
之间发生的,因此较易实现粒子数反转。
? 放电管做得比较细 （毛细管）,可使原子与管壁
碰撞频繁。借助这种碰撞,3 S态的 Ne 原子可以将
能量交给管壁发生, 无辐射跃迁, 而回到基态，这
样可以及时减少 3S态的 Ne原子数，有利于激光下能
级 4P与 3P态的抽空。
154
四, 增益系数
激光器内受激辐射光
来回传播时，并存着
增益 ——光的放大；
损耗 ——光的吸收、散射、衍射、透射
（包括一端的部分反射镜处必要
的激光输出）等。
激光形成阶段：增益 ＞ 损耗
激光稳定阶段：增益 ＝ 损耗
增益
损耗
155
1．激光在工作物质内传播时的净增益
设 ｘ ＝ 0处，光强为 I0
ｘ I
ｘ +dx I + d I
有 d I ? Idx
写成等式 d I = G I dx
定义：增益系数 G (gain coefficient)
156
即单位长度上光强增加的比例。
Id x
dIG ?
一般 G不是常数。
为简单起见，先近似地认为 G是常数。
? ??
x
0
I
I 0 I
dI
G d x
0I
I
lnGx ?
Gx
0 eII ?
157
2, 考虑激光在两端反射镜处的损耗
I0 ? 激光从左反射镜出发时的光强。
I1 ? 经过工作物质后,被右反射镜反射
出发时的光强。
I0
?? 输出
全反射镜 部分反射镜
I1
1R 2R
L
I2 ? 再经过工作物质,并被左反射镜反射
出发时的光强。
I2
R1,R2 ?左、右两端反射镜的 反射率,
158
显然有 I 1 = R 2 I 0 eGL
I 2 = R 1 I 1 eGL
= R 1 R 2 I 0 e2GL
I 2 = R 1 I 1 eGL 所以
I0
?? 输出
全反射镜 部分反射镜
I1
1R 2R
L
I2
GLeRR
I
I 2
21
0
2 ?
得
159
? 在激光形成阶段
即 R1 R2 e2GL> 1
mGRRlnLG ??
21
1
2
1或
须 I2 / I0 > 1
式中 Gm——称为 阈值增益,
即产生激光的最小增益。
160
? 在激光稳定阶段
即
mGRRlnLG ??
21
1
2
1
光强增大到一定程度后
须 I2 / I0 = 1
在激光的形成阶段 G > Gm,光放大,
怎麽光强不会无限放大下去？
在激光的稳定阶段
怎么又会 G = Gm?
161
原因是实际的增益系数 G
不是常量,当 I? 时，会 G?。
这是由于光强增大伴随着
粒子数反转程度的减弱。
（负反馈）
当光强增大到一定程度,G下降到 Ｇ m时,
增益 =损耗，激光就达到稳定了。
通常称
mG
RR
ln
L
G ??
21
1
2
1
-----为阈值条件 ( threshold condition)
(记 )
162
普通光源 ---各原子发的是非相干光,
发光强度是它们的非相干叠加,
和原子数 N 成正比。
激光光源 ---各原子发的是相干光,
发光强度是它们的相干叠加,
和原子数 N2 成正比。
由于光源内原子数 N很大,
所以，和普通光源相比,
激光的光强大得惊人！
为什么激光会有那么好的 单色性和方向性 呢？
待续
163
一,分子的带状光谱
分子激发 → 分子光谱
?
?
?
?
?
光照—光激发
燃烧、电弧—热激发
放电管—碰撞激发
光谱特点 ——带状 光谱
§ 3.7 分子的转动和振动能级
A 组 B 组 光谱带系 光谱带系
a b c … a b c
光谱带 光谱带 光谱带 光谱带 光谱带 光谱带
光谱带
164
分子中 电子的运动能量 是分立的能级,
原子的振动能量 也是分立的能级,
转动能量 也是分立的能级。
二, 分子光谱的产生
re
r
e
EEEE
E
E
E
???
?
?
?
?
?
vv
转动
振动
电子运动
▲ 不考虑核内部运动 (设不发生核能级跃迁 )
▲ 不考虑整个分子的平动（ ∵ 能量连续）
以下讨论的前提是,
▲ 忽略运动间的相互作用，先对三种运动作单独考虑,
165
1,电子能级 Ee,能级间距 ? Ee 10-1～ 101 eV
跃迁发出的 光谱 (10-2～ 100 ?m)。
（主要在 可见光和紫外 区） 2,振动能级 E
v,
●
●
r
?hE )
2
1( ?? v
v
?,,,,210=v
按简谐振子考虑,v = 0
v = 1
v = 2 ?E
v
实际上分子振动不是理想的简谐振子,
能级也不完全等间距。
166
跃迁发出的光谱 (100～ 102 ?m)。
（主要在 中,近红外 区）
??? hhvhvEE vv ??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?????
2
1
2
1
11
eV12 1010 ?? — 可以估算得能级间距 较小,vE?
v = 0
v = 1
v = 2 ?E
v
根据量子力学，能级间的
跃迁必须满足一定的条件,
称为 选择定则。
1Δ ??ν选择定则
振动能级间的跃迁满足
167
分子的振动能级与光谱结构示意图
0?
只有一条
振动光谱线
0??
0??
0??
0??
0??
0??
v
1
2
3
0
4
5
( )021 ??/
( )023 ??/
( )025 ??/
( )027 ??/
( )029 ??/
E
( )0211 ??/
168
绕轴转动的角动量为 J=I?
I2
)1j(j
I2
J
I
2
1
E
22
2
r
??
??? ?
3,转动能级 Er,
设双原子分子中，两个原子的质量分别为 m1,m2,
它们与通过质心的转轴的垂直距离为 r1,r2
分子的转动惯量则为
I=m1r12+m2r22 m2
r1 r2 C m
1
转动轴
角动量也是量子化的
??,2,1,0j)1j(jJ ???
转动动能为
169
可以估算得能级间距 ? Er 更小,10-3～ 10-5 eV
跃迁发出的是 远红外光谱 (102～ 104 ?m)。
1??? j选择定则
转动能级间的跃迁满足
（主要在 远 红外、微波 区）
1)(j
I
1)2 ( j
I
)j(j
I
)j)(j(
I
EE
)j(r)j(r
+=+
2
=
1+
2
1+1+1+
2
=
22
22
1+
??
??_ _
1)(j
I
EE )j(r)j(r +=
2
1+
?
_
?,,,j 210=
170
分子的转动动能级与光谱结构示意图
0
j
1
2
3
4
5
( )I22 2 /?
E
0
( )I26 2 /?
( )I212 2 /?
( )I220 2 /?
( )I230 2 /?
?
转动光谱线
是等间距的
171
实际上应同时考虑以上三种能级
能级 跃迁 ? E=? ( Ee+Ev+Er )
发光频率 ? =? (Ee+Ev+Er )/h
=
h
E
h
E
h
E rve ???
??
E=Ee+Ev+Er
决定 A,B… a,b… 带状
电子 振动 转动
同一电子能级、同一振动能级，不同转动能级之间可以跃迁；
在满足跃迁选择定则的前提下,
同一电子能级、不同振动能级和转动能级之间可以跃迁；
不同电子能级、不同振动能级和转动能级之间也可以跃迁。
172
同时考虑电子、转动、振动能级示意图,
r
v = 0
v = 1
v = 2 ?E
v,10-2—10-1eV
?Er,10-3—10-5eV
?Ee,10-1—101eV
E
r0
r0?
电子能级
转动能级
振动能级
能级跃迁产生的光谱，是相当复杂的带状光谱
173
图中 0— 2,0 — 1,0 —0等是一对电子能级间 特定的振动能级
之间的跃迁，由于它还有不同的转动能级，所以构成一个光谱
带。每一个这样的符号与一个光谱带相对应。
空气中碳电弧的 C2和 CN分子的带状光谱
若干个光谱带构成一个光谱带系，它是同一对电子能级中,
各振动能级和转动能级之间的跃迁产生的。
一对电子能级之间跃迁产生的
（光谱带系）
光谱带 光谱带 光谱带 光谱带
174
三, 分子光谱的波段范围
λ (μm)
γ 射线 X射线 紫外线 红外线 微波 可见
光
核
跃
迁
内层
电子
跃迁
外 层 电
子跃迁
近 中 远
振
动
转
动
0.40 0.76
10-5 10-2 103
分子光谱的大约范围
分子发光频率的范围相当广,
从紫外 ---可见光 ---红外光 ---远红外光 ---微波,
因此有很多应用。
175
(2) 军用
…… 夜视,
制导等,
(1) 民用
…… 测距,
测温,
干燥等
四, 红外技术的应用,
红外夜视仪
176
红外热图
177
量子力学小结
1,微观粒子的二象性状态由波函数完全描述。
2,波函数服从薛定谔方程。
3,力学量用算符表示，力学量所能取的值
是其相应算符的本征值。
4,态的叠加原理和 关于, 力学量测量, 的原理。
泡利不相容原理
（费米子系统 n,l,ml,ms不能全相同）
不确定关系（海森泊） 隧道效应
微观粒子有自旋运动，有自旋轨道耦合能
选择定则 电子云
178
（玻尔、海森伯、波恩,
泡利、狄拉克等）
① 波粒二象性是互补的 。
量子力学是统计的理论,不确定关系是粒子
波动性的表现，原则上不可避免。
② 量子力学 现有的形式和解释 是完备的。
（爱因斯坦、德布罗意,
薛定谔等）
①,上帝是不会投骰子的”,波动性、粒子性的统
计
解释只对大量粒子系统有意义。 ② 量子力学现有体系并不完备,爱因斯坦仍然认为
量子力学的统计理论只是一种权宜之计，并非最
终的理论，应进一步探索波、粒统一的本质。
哥本哈根学派的观点
反对哥本哈根学派的观点
关于量子力学的争论
179
爱因斯坦和玻尔两人在激烈争论后正陷入沉思之中
180
到目前为止，争论仍在进行。
,目前只能讨论概率。虽然是‘目前’，但 非常可能
永 远如此,非常可能 永远无法解决这个疑难,非常
可能 自然界就是如此。”
费曼（ 1965,Nob） 在他的讲义中写道,
量子物理 结束
181
五,光学谐振腔 纵膜与横模
(optical harmonic oscillator)
(longitudinal mode and transverse mode)
激光器有两个反射镜,
它们构成一个光学谐振腔。
激励能源
?
全反射镜 部分反射镜
?
激光
182
光学谐振腔的作用,
1.使激光具有极好的 方向性 （沿轴线）；
2.增强 光放大 作用（延长了工作物质）；
3.使激光具有极好的 单色性 （选频）。
阈值条件为
mG
RRL
G ??
21
1
ln
2
1
对于可能有多种跃迁的情况,
可以利用阈值条件来选出一种跃迁。
选频之一,
183
我们可以控制 Ｒ 1,Ｒ 2的大小,
对 0.6328 ?m,Ｒ 1,R2大
— Gm 小 (易满足阈值条件，使形成激光 ) ；
对 1.15 ?m, 3.39 ?m,Ｒ 1,Ｒ 2小
— Gm大（不满足阈值条件，形不成激光）。
例如，氦氖激光器 Ne 原子的
0.6328 ?m,1.15 ?m,3.39 ?m 受激辐射
光中,只让波长 0.6328 ?m的光输出。
由于反射率 R1,R2 与波长有关，设计其值,
184
设氦氖激光器 Ne原子的
0,6328 ?m受激辐射光
的谱线宽度为 ??,
如图所示。 ?
)( 0?I
)( 0?I
2
)( 0?I ?
?0
?? ? 1.3?109 Hz
对于单一的跃迁，还可以利用
选择纵模间隔 的方法，进一步
在该谱线宽度内再选频。
选频之二,
185
?
)( 0?I
)( 0?I
2
)( 0?I ?
0
?0
由于
??
c=
为什么激光的谱线宽度会
小到 ?? ? 10-8?？
( )
2
8
9210
1071
103
1031106328
×=
×
×××
=
.
.
?
????? 2c=∴
-
取绝对值
c
???
??
2
=
186
由于光学谐振腔两端反射镜处必是波节,
所以有 光程
2
kknL ??
( k=1,2,3,…, )
? k—真空中的波长
L
k=1
k=2
k=3
k
nL
k
2
??
n —谐振腔内媒质的折射率
（相应于 k 次谐频
的简正模式）
187
激光管中可以存在的纵模频率为
nL
c
k
c
k
k
2
??
?
?
相邻两个纵模频率的间隔为
nL
c
k 2?? ?
数量级估计,Ｌ ～ 1ｍ；
n～ 1.0；
c～３ × 108 m?s
Zk nL
c
???
??
?
??? 8
8
105.1
112
103
2
?
188
而氦氖激光器 0.6328 ?m 谱线的宽度为
?? =1,3× 109 HZ
因此，在 ?? 区间中，可以存在的纵模个数为
8
105.1
103.1
8
9
?
?
?
?
?
?
?
k
N
?
?
189
利用加大纵模频率间隔 ??k的方法,可以使 ??
区间中只存在一个纵模频率。
例如, 短腔法。 缩短管长 Ｌ 到 10 cｍ,
即 Ｌ ?L/10
则 ??k?10 ??k
在 ?? 区间中，可能存在的纵模个数为 Ｎ =1。
于是就获得了谱线宽度非常窄的激光输出,
极大地提高了 0.6328 ?m 谱线的单色性。
nL
c
k 2?? ?
190
例,法布里 —珀罗 标准具 （ F-P） 选纵模,
短腔法使激光器的输出功率受到限制 。
F-P标准具 是由两块相对表面平行度极高,
且镀有反射率很高的银膜的玻璃板组成 。
θ
n
r
(反射率 )
r
F-P
h
在 外腔式激光谐振腔 内插入 F-P标准具。
191
F-P标准具 的 透射率 T 与 r,h,n,? 有关 。
（ 利用多光束干涉的原理, 具体略 ）
θ
n r
(反射率 )
r
F-P h
其他的纵模都因为对 F-P标准具 的透射率很低
（相当于损耗很大）而不能形成激光振荡,
这就达到了选频目的。
适当地选择参量，可以使 F-P标准具 对某种纵模
频率的光透射率特别高，而形成激光振荡；
192
基横模 高阶横模
轴
对
称
分
布
旋
转
对
称
分
布
激光除了有 纵向驻波 模式外，还有 横向驻波 模式,
193
基横模驻波在激光光束的横截面上
各点的位相相同，空间相干性最好。
基横模驻波在激光光束的横截面上
强度是非均匀分布的，中间大、周围小,
呈高斯分布。
基横模
194
小结：产生激光的必要条件
1,激励能源（使原子激发）
2,粒子数反转（有合适的亚稳态能级）
3,光学谐振腔（方向性，光放大，单色性）
注,自由电子激光 是利用自由电子为工作媒质
而产生的强相干辐射，它的产生机理不同
于我们前面讲的原子内束缚态电子的受激
辐射，不需要粒子数反转。可参阅 P144 。
195
说明 1,
激光符合形成一个耗散结构
必须具有的五个条件,
1.开放系统
2.远离平衡态
3.涨落突变
4.正反馈
5.非线性抑制因素
196
说明 2,
外腔式激光管的布鲁斯特窗起的作用
用布鲁斯特窗可以把接近 50%的光（道）保留下来。
而且出来的激光是偏振的（道） 。
（ 0.96） 10=0.665，（ 0.96） 50=0.130,
（ 0.96） 100= 0.019,根本形不成激光。
假如不是斜的布鲁
斯特窗，而是垂直
的窗，光在反射镜
之间多次来回反射,
损失太大。
在光垂直入射到玻璃表面时,
约有 4%能量反射,
只有 96%透射,
197
六,激光的特性及其应用
★ 方向性极好的强光束
--------准直、测距、切削、武器等。
★ 相干性极好的光束
--------精密测厚、测角，全息摄影等。
例１．激光光纤 由于光波（载波）的
频率比电波的频率高
好几个数量级,
一根极细的激光光纤能
承载的信息量相当于图
片中这麽粗的电缆所能
承载的 信息量。
通讯 利用全反射 的原理
电缆
光缆
198
诊断
观察
（普通光纤）
纤维要排列得
非常整齐,
一一对应。
199
观察
200
例 2, 激光手术
粘视网膜
用激光使脱落的视网膜再复位
（目前已是常规的医学手术）
皮肤处理
用脉冲的染料激光（波长 585nm）
处理皮肤色素沉着
处理前 处理后
201
?照明束 (普通光纤 )
…… 照亮视场
? 纤维镜 （普通 光纤）
…… 成象
? 有源纤维 （ 强激光）
…… 使堵塞物熔化
臂动脉
主动脉
冠状动脉
内窥镜
附属通道 有源纤维 套环
纤维镜 照明束
? 附属通道
（可注入气或液）
…… 排除残物以明视线
? 套环
…… （可充、放气）
阻止血流或使血流流通
心脏手术 （不需开胸，不住院）
202
▲ 激光焊接
高能激光（能产生约 5500 oC的高温）
把大块硬质材料焊接在一起
203
▲ 激光核聚变
这是在靶室内十束激光同时聚向一个产生
核聚变反应的小燃料样品上，引发核聚变。
激光射到氘和
氚的混合体,
产生高温和高
压，促使两种
原子核聚合为
氦和中子，同
时放出巨大能
量。
204
例 3．激光 - 原子力
显微镜 (AFM)
用一根钨探针或硅
探针在距试样表面
几毫微米的高度上
扫描,来探测固体
表面的情况。
试样通常是
微电子器件。
探针尖端在工作时处于
受迫振动状态，其频率
接近于探针的共振频率。
激光 -原子力显微镜
（ AFM） 激光器
分束器
布喇格室
棱镜
反馈机构
接计算机
微芯片
压电换能器
压电控制装置
205
探针尖端在受样品
原子的范得瓦尔斯吸
引力的作用时，其共
振频率发生变化，因
而振幅也随之改变。
为了知道尖端的振
幅情况，将一束激光
分成两束。
其中一束通过棱镜
时反射，作为参考光；
另一束从探针背面反
射回来，是信息光。
激光 -原子力显微镜
（ AFM） 激光器
分束器
布喇格室
棱镜
反馈机构
接计算机
微芯片
压电换能器
压电控制装置 这两束光重新会合后发生干涉。
206
可检测出尺度小至
5nm的
表面起伏变化。
应用：检查制作微电路
用的硅表面的质量；
检查微电路成品。
激光 -原子力显微镜
（ AFM） 激光器
分束器
布喇格室
棱镜
反馈机构
接计算机
微芯片
压电换能器
压电控制装置
干涉的情况反映
探针振幅的变化情况
范得瓦尔斯力的情况
试样表面原子起伏情况
207
用 原子力显微镜 看到的形成 PbTeO表面层的原子,
从层底（黑）到层顶（白），约 2 nm。
208
例 5．激光半导体 ( 在固体部分学 )
例 4．激光单原子探测
随着微电子电路技术的进展，硅基片
表面的不平坦度如果超过几个原子厚度就
将被认为是不合格的。
利用极精确的共振跃迁，可以在 1020个原子
中挑出 1个原子。
209
（补充）非线性光学简介（ nonlinear optics）
普通光 符合叠加原理 …… 线性光学
激光 不符合叠加原理 …… 强光光学、非线性光学
EEE)1(p )1(e0r0 ????? ????
…… P 与 E 成线性关系
式中
1-= re ??
对各向同性介质,
★ E 不太大时 电极化强度
---称为电极化率
e
)( ???
0
1 =
210
★ 当 E 很大时 电极化强度
????? 3)3(2)2()1( EEEp ???
------非线性关系
)1(? …… 线性电极化率
)2(? …… 二次（阶）非线性电极化率
)3(? …… 三次（阶）非线性电极化率
可以证明, 后一项对前一项的比值
原子内
光
E
E
E
E
E
E
)(
)(
)(
)(
≈≈≈ ?22
33
1
22
?
?
?
?
m/VE 1110≈原子而
211
? 对普通光
E光 ～ 104 V/m，此时
7
1
2
1
22
10 -≈==
原子内
光
E
E
E
E
E
)(
)(
)(
)(
?
?
?
?
?高阶项不重要,只留第一项，成为线性效应；
? 对激光
E光 ～ 107~1011 V/m（甚至更高），此时
04
1
2
1
22
1010 ~
E
E
E
E
E
)(
)(
)(
)(
-≈==
原子内
光
?
?
?
?
212
2)2( E?第二项 就不能忽略了,
介质就表现出非线性效应。
下面举几个 非线性效应 的例子,
一, 倍频效应
由极化强度 P 中的 第二项 ?（ 2） E 2 会引起
倍频效应,
若 E =E0 cos?t
第二项 ?（ 2） E2 = ?（ 2） E02 cos2?t
= ?（ 2） E02/2（ 1+cos2?t）
则 第一项 ?（ 1） E = ?（ 1） E0 cos?t
213
又如, 钕玻璃激光器的不可见光（ 1,06 ?m）
?铌酸钡钠晶体 ?可见光（ 0,53?m）
实验证明：确实有二倍频现象出现
在激光问世后一年，有人做了以下实验,
石英晶体
6943?
红宝石激光器
紫外 3471.5?
6943?
棱镜
光脉冲
214
二, 混频效应,
设输入两束光 ?1,?2
E = E10 cos?1t+ E20 cos?2t
则 第二项
?（ 2） E2 = ?（ 2） （ E10 cos?1t+ E20 cos?2t） 2
激光器 1
激光器 2
晶体（ KH2PO4）
?1
?2
?1
?2 ?1+ ?2
?1- ?2
2 ?2 2 ?1
?1 ?2
215
=?（ 2） E102 /2（ 1+cos2?1t） +?（ 2） E202 /2（ 1+cos2?2t）
+?（ 2） E10 E20 ? cos(?1+?2)t + cos(?1-?2)t ?
实验证明：确实有混频现象出现
除出现二倍频 2 ?1和 2 ?2外,
还 出现 和频项 (?1+?2) 和 差频项 (?1-?2)。
?（ 2） E2 = ?（ 2） （ E10 cos?1t+ E20 cos?2t） 2
?1- ?2
?1 ?2 2?1 2?2
?1+ ?2
“倍频和混频”扩展了激光的频谱，很有用。
216
三, 自聚焦
由电磁理论
00
1
??
=C
设光矢量为 时，媒质中的电位移矢量的
大小为 D,有
E?
ED r?? 0=
rr
v
?????? 00
11
==
v
rrr
rr
v
C
n ???
????
??
≈===
00
00
1
1
（对光学媒质） v
217
ED r?? 0=
E
D
r
0?
? =即
而由 D 的定义,PED +≡
0?
????? 3)3(2)2()1( EEEp ???
所以
( ) ( ) ( ) ?++++= 33221
0 EEEED ????
( )
+= )(ED
0
1
0 1 ?
?
?
?+
( )
?++=∴ )(r
0
1
1
?
?
?
对普通光
218
)( er ?? +=∴ 1 是常数
由于
e
)( ???
0
1 =
( )
)(r
0
1
1
?
?
? +=∴
所以，折射率 与入射光强无关。
rn ?=
对激光
( ) ( ) ( )
+++=
0
23
0
2
0
1
0 1 ?
?
?
?
?
?
?
EE
)(ED
?+
( ) ( ) ( ) ?++++= 33221
0 EEEED ????
219
?折射率与光强有关，而且随光强增加而增大。
而如果入射光束截面上光强分布不均匀,
则在该截面上，媒质的折射率的分布也不均匀。
激光 基横模 光束的强度在截面上呈高斯分布,
轴线上光强最大，折射率也最大。
( ) ( )
?++++=
0
23
0
2
1
?
?
?
?
??
EE
)( er
( ) ( ) ( )
+++=
0
23
0
2
0
1
0 1 ?
?
?
?
?
?
?
EE
)(ED
?+
这就在媒质内形成一 类似于凸透镜 的结构,
使光向轴上会聚，最后形成一束极细的光丝。
??自聚焦现象
220
四, 光学双稳态
在电磁学，磁滞回线（即 B～ H 曲线）有非线性
性质，利用它可以制作记忆元件。
在非线性光学中也有类似于磁滞回线的现象,
称为 光学双稳态。
I0…… 为输入光强,
I…… 为输出光强。 I0 I 非线性电光晶体
I0
I
I?0 I??0
B
221
当 Io由 0 增大逐渐变强时，输出的光强 I 逐渐增大,
在 Io= Io??时,I 有突升，并且晶体变得透明；
当 Io 再逐渐减小时,I 的下降有滞后现象，而且,
在 Io= Io?时,I 有突降，并且晶体变得不透明。
若原先在 I0? 和 I0” 区间内的 I0对应的是不透明状态,
增大后回到 I0时，对应的是透明状态，再减小后回到 I0时,
对应的又是不透明状态。同一入射光的光强所对应的
透射光的光强有透明、不透明两种稳定状态,
…… 光学双稳态。
I0
I
I?0 I??0
B
I0
222
光学双稳态器件 有可能应用在,
光学逻辑元件等方面。
半导体制成的光学双稳态器件,
? 尺寸小（直径：～ mm，厚度,101 ～ 102?m),
? 功率低（ 10 ?W/?m2 ～ 1 ?W/?m2）,
? 开关时间短（ ～ 10 -12 s）,
有可能成为未来的 光学计算机 的逻辑元件。
,非线性光学简介”结束
高速光通讯,
量 子 物 理
2
引言
第 1章 波粒二象性
第 2章 薛定谔方程
第 3章 原子中的电子
第 4章 固体中的电子
第 5章 粒子物理简介
量子力学的
基本原理和
简单应用
3
引言 十九世纪末，经典物理已相当成熟,
对物理现象本质的认识似乎已经完成。
但在喜悦的气氛中，还有两朵
小小的令人不安的乌云,
跳出传统的物理学框架！
？热辐射的
紫外灾难
寻找以太的 零结果 相对论
热辐射的紫外灾难 量子论
相对真理 绝对真理
4
学习方法
处理好三个关系,
? 形象和抽象
－注意培养抽象思维能力
? 演绎和归纳
－注意要接受新的观点
学习归纳法培养创造性思维
? 物理和技术
－学习应用物理原理在技术上创新
5
§ 1.1 黑体辐射（和普朗克的能量子假说）
分子 (含有带电粒子 )的热运动使物体辐射
电磁波 。这种与温度有关的辐射称为 热辐射
(heat radiation)。
热辐射的电磁波的能量对频率有一个分布。
例如加热铁块，随着温度的升高,
开始不发光 → → →
黄白色 橙色 暗红
温度不同，热辐射的电磁波的能量不同,
频率分布也不同。
6
同一个黑白花盘子的两张照片
室温下，反射光 1100K，自身辐射光
（与温度有关）
激光、日光灯发光不是热辐射。
7
温度为 T 时,单位时间 内从物体 单位表面 发出的
频率 在 ? 附近 单位 频率区间内的电磁波的能量,
称为 光谱辐射出射度 M?(T)
1．光谱辐射出射度 M?(T)
一,描述热辐射的物理量
?
?
? d
dE)T( ?Μ
M?的 SI单位
为 W/(m2·Hz)
dE? … ?温度为 T 时,单时间 内从物体 单位表面
发出的频率在 ?→ ? +d?间隔内的电磁波的能量
M?(T) … ?描述热辐射能量按频率的分布。
T
单位面积
?
?
?
?
?
?
?
表面情况
物质种类
?
T
8 钨丝、太阳的 M? 和 ? 关系的 实验曲线
M?
?
注意：图中钨丝、太阳的 M?
纵坐标标度不同
9
2.总辐出度 M(T)
?
?
?
0
)()( ??? ? dTT
M 的单位为 W/m2
3.光谱吸收比 ??(T)
入射）
吸收）
(
(
)(
?
?
?? dE
dE
T ?
以上这些物理量均与
物体种类及其表面情况有关。
?? （ T） … ?温度为 T 时,（ 单位时间 内）入射
到物体（ 单位表面 ）的,频率在 ? → ? +d? 间隔
内的电磁波的能量被物体吸收的百分比。
10
★ 平衡热辐射
此时物体具有固定的温度。
我们只讨论平衡热辐射的情况。
物体辐射的能量等于在同一时间内所吸收
的能量时，热辐射过程达到热平衡，称为
平衡热辐射 。
热辐射的情况与物体种类及其表面有关,
情况太复杂了！
怎么去研究热辐射的规律呢？
提出,理想模型”的方法。
11
1.黑体
能完全吸收照射到它上面的各种
频率电磁波的物体，称为黑体。
二,黑体和黑体辐射的基本规律
维恩设计的黑体,
黑体
黑体能 吸收 各种频率的电磁波,
也能 辐射 各种频率的电磁波。
黑体的光谱吸收比 ?? (T) =1----?理想模型 ’ 。
为不透明材料的空腔
开的一个小孔。
12
实验表明,
辐射本领大的物体，吸收本领也大
（实验演示）。
黑体的吸收本领最大，辐射本领也最大。
而黑体（的热辐射）正好与空腔的形状、材料及
‘ 表面状态 ’ 都无关，是最好的研究对象。
? 研究热辐射 本身 的规律，应利用辐射本领 M?
只与频率、温度有关，而和材料及表面状态
无关的物体。
13
? 对各种具体物体的总辐出度，可以通过实验
定出的, 黑度系数, (如有, 机电手册, 可查 )
来得到。
）（
）（
物体的黑度系数
黑体
物体
TM
TM
?
例, 油毛毡（法向） 0.93 (200C)
氧化铜（法向） 0.6?0.7(500C)
14
2,研究黑体辐射的实验装置示意图,
黑体
热电偶 (测 M?(T))
光栅光谱仪
（或棱镜光谱仪）
T
测得的黑体辐射实验曲线和两个实验定律,
15
3．斯特藩 —玻耳兹曼定律（实验定律）
? =5.67× 10- 8 W/（ m2K4）
4．维恩位移定律
（实验定律）
黑体辐射光谱中辐射
最强的频率 ?m与黑体温
度 T 之间满足正比关系
TCm ?? ?
C?= 5.88× 1010 Hz/K
4)( TTM ??
总辐出度 M(T)与黑体
温度的四次方成正比
?
M?
黑体辐射实验曲线
bT m ??或
b= 2.898× 10-3m·K
m?
16
例。若视太阳为黑体,nm5 1 0
m ??
测得
bT m ??由
定出
KT 5700?表面
维恩 因热辐射定律的发现
1911年获诺贝尔物理学奖
斯特藩 —玻耳兹曼定律和
维恩位移律是 测量高温,
遥感 和 红外追踪 等技术的
物理基础。 红外照相机拍摄的 人的头部的 热图
热的地方显白色,
冷的地方显黑色。
17
三,经典物理学所遇到的困难
---- 如何解释黑体辐射实验曲线？
空腔壁产生的热辐射，想象
成空腔壁内有许多以壁为
节点的电磁驻波。
其中最典型的是维恩公式
和瑞利 —金斯公式 黑体内的驻波
但是,
由经典理论导出的 M?(T)～ ?
公式都与实验结果不符合！
18
（ 1）维恩公式（非前面的维恩位移公式）
假定驻波能量按频率的分布类似于
（经典的）麦克斯韦速度分布率。得
（ 2）瑞利 —金斯公式
假定驻波的平均能量为 kT
（经典的能量均分定理），得
在低频段，维恩线偏离实验曲线！
在高频段 (紫外区 )与实验明显不符,
短波极限为无限大 —“紫外灾难, ！
? ? T/eTM ??? ?? ?? 3
? ? kT
C
TM 2
32 ??
? ?
19
黑体热辐射的 理论与实验 结果的比较
?
M?
20
四,普朗克的能量子假说和黑体热辐射公式
1.普朗克假设（ 1900年）
普朗克 (1858-1947年 )与鲁本斯。
即物体发射或吸收电磁辐射
只能以, 量子, 方式进行，每
个 能量子 的能量为 。 ? = h?
其中 h = 6.626× 10 - 3 4 J·s 称为普朗克常数 。
普朗克认为空腔黑体的热平衡状态，是组成腔壁
的带电谐振子和腔内的电磁辐射交换能量而达到
平衡的结果。
谐振子的能量只能是
?,2,1?? nnhE ?
21
2.普朗克公式
普朗克在德国物理学会上报告了与全波段实验
结果极为符合的普朗克公式,
? ? 1
2
/
3
2
)(
?
?
kTh
TM
ec
h
?
??
?
1900.12.14.--量子论诞生日。
? 玻尔对普朗克量子论的评价,
,在科学史上很难找到其它发现能象普朗克的
如此非凡的结果 …
基本作用量子一样在仅仅一代人的短时间里产生
这个发现将人类的观念 ——
不仅是有关经典 科学的观念,而且是有关通常思维
方式的观念 ——的基础砸得粉碎,
22
思想束缚下获得的这一解放。”
知识的如此的神奇进展,应归功于人们从传统的
? 爱因斯坦在 1918年 4月普朗克六十岁生日
庆祝会上的一段讲话,
“在科学的殿堂里有各种各样的人：有人爱科学是
为了满足智力上的快感；有人是为了纯粹功利的
目的，而普朗克热爱科学是为了得到现象世界那
些普遍的基本规律,… … 他成了一个
以伟大的创造性观念造福于世界的人 。
普朗克 获得 1918年诺贝尔物理学奖。
普朗克本人也有很多的困惑和彷徨 · · · ·
能量不连续的概念与经典物理学是完全不相容的！
23
为什么在宏观世界中,
观察不到能量分离的现象?
五,量子假说的含义及其与宏观现象的关系
例：设想一质量为 m=1g 的小珠子悬挂在一个小轻
弹簧下面作振幅 A=1mm的谐振动。弹簧的劲度系数
k=0.1N/m。 按量子理论计算, 此弹簧振子的能级间
隔多大？减少一个能量子时,振动能量的相对变化是
多少？
量子论 是不附属于经典物理
的 全新的理论，适用范围更广。
能量
经典 光量子
?h
?h2
?h3
? = h? 能量子
?,2,1?? nnhE ?
能量
24
1
3 59.110
1.0
28.6
1
2
1 ?
? ??? sm
k
?
?
能级间隔 J3334 1005.159.11065.6 ?? ?????? ?hE?
振子现
有能量 J862 105101.021kA21E ?? ??????
相对能量变化 26
8
33
102
105
1005.1
E
E ?
?
?
??
?
???
【 解 】 弹簧振子的频率
这样小的相对能量变化在现在的技术条件下还不可
能测量出来。现在能达到的最高的 能量分辨率 为,
1610 ???
E
E
所以宏观的能量变化看起来
都是连续的。
25
叶企孙先生
（ 1898——1977）
中国科学院学部委员（常务）
清华大学
首任物理系主任（ 1926）
首任理学院院长（ 1929）
1921 叶企孙,
W.Duane,H.H.Palmer
用 X—射线方法测得,
sJ10)0 0 9.05 5 6.6( 34 ???? ?h
1986推荐值,sJ106 2 6 0 7 5 5.6 34 ??? ?h
1998推荐值,sJ106 2 6 0 6 8 7 6.6 34 ??? ?h
sJ1063.6 34 ??? ?h
一般取,
26
§ 1.2 光电效应（和爱因斯坦的光量子论）
金属及其化合物在 电磁辐射 照射下发射电子的
现象称为光电效应，所发射的电子称为光电子。
实验装置,GD为光电管,
光通过石英窗口照射
阴极 K,光电子从阴极
表面逸出。
光电子在电场加速下向
阳极 A 运动，形成光电流。
§ 1.3 光的二象性 光子
实验规律,
27
（ 1）用光强 I一定的 某种频率 的光照射,
得到的饱和光电流强度 im 是一定的,
光强越大，饱和光电流强度也越大。
当电压 U=0 时，光电流
并不为零；只有当两极间
加了反向电压 U =－ Uc < 0时，
光电流 i 才为零。
-Uc
im2
im1 I1
I2
光强 I2>I1
U
i
Uc 截止电压。
这表明,从阴极逸出的
光电子有初动能,
cm eUum ?
2
2
1
（ 2） 相同频率 但强度大小不同的光照射,
截止电压 Uc是相同的，与光强无关。
28
截止电压 Uc与频率 ? 的具体实验规律,
截止电压与入射光频率的关系
?
cU
其中 K 为斜率，普适常数
U0 为截距,与 材料有关
直线与横坐标的交点
就是 红限频率 ?0,
K
U 0
0 ??U
0
0?
呈线性关系 Uc= K? - U0
（ 3）不论光强多大,只有当入射光频率 ? 大于
一定的红限频率 ? 0 时，才会产生光电流。
29
（ 4）光电效应是瞬时发生的,
只要入射光频率 ? > ?0，无论光多微弱,
从光照射阴极到光电子逸出，驰豫时间
不超过 10 -9 s 。
以上这些实验规律与经典电磁 波 的
概念完全不同，经典 波 的能量是
连续地分布在空间的。
想一想？！
30
爱因斯坦 1905年提出了 光量子假设,
（ 1） 电磁辐射由以光速 c 运动的
局限于空间某一小范围的光
量子（光子）组成，每一个
光量子的能量 ? 与辐射频率
? 的关系为 ? = h?
其中 h 是普朗克常数。
（ 2） 光量子具有, 整体性, 。
一个光子只能整个地被
电子吸收或放出。
31
爱因斯坦对光电效应的解释,
★ 光照射到金属表面时，一个光子的能量可以立即
被金属中的一个自由电子吸收。但只有当入射光的
频率足够高 (每个光量子的能量 h?足够大时 )，电子
才有可能克服 逸出功 逸出金属表面。
Ahum m ?? ?2
2
1
★ 光电子的最大初动能只与入射光的频率
有关，与光的强度无关。
逸出的电子的最大初动能为
（ A---逸出功）
32
h
A?
0?
电子的能量不足以克服逸出功
而发生光电效应，所以存在 红限频率,
Ahum m ?? ?2
2
1
)(21 02 UKeeUum cm ??? ?
0eUA ?
heK ?
★ 只要 ? ? ?0,立刻就有光电子产生
（瞬时效应）。
----A,U0 都与材料种类有关
0
2
1 2 ??? Ahum
m ?
★ 当
h
A
??即 时,
33
光电效应对于光的本质的认识和
量子论的发展曾起过重要的作用。
爱因斯坦于 1921年,
为此获诺贝尔物理学奖 。
光量子假设解释了光电效应的全部实验规律！
但是,1910年以前，并未被物理学界接受！
34
普朗克是, PHYSIK,
杂志的主编,
他对爱因斯坦的工作
给予了高度的评价。
在普朗克 获博士学位 五十
周年纪念会上普朗克向爱
因斯坦颁发普朗克奖章
35
heK ? ---- 密立根精确地测量得 K
计算得普朗克常数
h = 6.56? 10-34 Js
与当时用其他方法测得的符合
得相当好。
密立根
1923年诺贝尔物理学奖
他通过著名的油滴实验研究
基本电荷，证明电荷有最小单位。
当时这是对 爱因斯坦 光子 的
假设的极大支持。
密立根
36
光子的能量,
光子的质量,
?
? h
c
hmcp ???
0m,
c
h
m 02 ??
?
光子的动量,
------光有二象性
描写 光的粒子性 的 ?,p，与
描写 光的波动性 的 ?,? 通过
? = h? ； 相联系
?
hp ?
? = h?
在有些情况下，光突出显示出波动性；
而在另一些情况下，则突出显示出粒子性。
待续
37
§ 2.1 薛定谔（得出的波动）方程
一, 薛定谔方程
描述微观粒子有波粒二象性状态的波函数
一般是空间和时间的函数，即
微观粒子在不同条件下 (例如，处于不同的
外力场中 )的运动状态是不同的,
解波函数 ? 所满足的方程，该方程应反映出
微观粒子所处的不同条件。
? ?trΨΨ,??
微观粒子在不同条件下的波函数,
所满足的方程是什么？
38
1926年，德拜 ---薛定谔。
报告后，德拜提醒薛定谔,
, 对于波，应该有一个波动方程。,
薛定谔方程,
),()],(
2
[),( 2
2
trtrU
m
tr
t
i
????
? ??
?
?
????
式中 m…… 粒子的质量
U…… 粒子在外力场中的势能函数（所处条件）
?2…… 拉普拉斯算符
2
2
2
2
2
2
2
zyx ?
?
?
?
?
?
????
（记）
39
（ 3）它并非推导所得，最初是假设，后来通过实验
检验了它的正确性，地位相当, 牛顿定律, 。
（ 1）它是一个 复数偏微分 方程；
其解波函数 是一个 复函数 。 ? ?trΨ,?
说明,
（ 2）它的解满足态的叠加原理
若 和 是薛定谔方程的解,
),(2 trΨ ?),(1 trΨ ?
则 也是薛定谔方程的解。
),(),( 2211 trΨctrΨc ?? ?
主要原因在于薛定谔方程是 线性 偏微分方程。
（ 4）它是非相对论形式的方程。
40
奥地利物理学家 薛定谔
（ Schrodinger 1887-1961）
量子力学找微观粒子在
不同条件下的波函数,
就是：求不同条件下
薛定谔方程的解。
1933年薛定谔获
诺贝尔物理奖 。
提出量子力学中最基本的方程。
41
二,定态薛定谔方程
常常遇到微观粒子的势能函数 U 与时间 t
无关的稳定的势场问题,这称为 定态问题 。
? 自由运动粒子 ………… U = 0
? 氢原子中的电子 ……
? ?
r
e
rU
2
04
1
??
??
这时波函数 ? 可以用 分离变量法 分离为
一个空间坐标的函数和一个时间函数的
乘积。
例如,
42
以 一维 运动的情况为例，波函数可写成
)t(f)x()t,x( ?? ?
将其代入薛定谔方程,得
fU
dx
d
mdt
df
i ?
?
?
?
?
?
??? ?
?
?
2
22
2
?
?
两边除以 ??，得
?
?
?
?
?
?
??? ?
?
?
U
dx
d
mdt
df
f
i
2
22
2
11 ?
?
= E (常数 )
可得只含变量 t 和 只含 变量 x 的 两个方程,
43
? 一个是变量为 t 的方程
E d t
f
df
i ??
其解为
Et
i
Aef ?
?
?
（ A 是待定复常数,E 有能量量纲,以后可知是
粒子的能量：动能 + 势能）
??
?
EU
dx
d
m
??? 2
22
2
? …… （★）
…… （★）
? 一个是变量为 x 的方程
（记！）
（记！）
可以把它先解出来,
其解 ?(x) 与粒子所处的条件（外力场 U）有关。
44
2
2
2
)()(),( xextxΨ
tΕ
i
?? ??
?
?
即定态时，概率密度可以用 ? (x)?2来表示,
(x)称为 定态波函数,
?
?
小结,对势能函数 U 与时间 t 无关的定态问题,
只须解定态薛定谔方程 （★） 式，再乘上（★）式
即可得总波函数 ?(x,t )。
由上面可以看出,
上面 （★） 式是 (x)满足的方程,
称为 定态薛定谔方程 。
?
45
例,一维 自由运动 微观粒子的波函数。
其定态薛定谔方程为
0
2
22
2
?? ?
?
E
m
dx
d
?
…… 二阶常系数
常微分方程
自由运动区
U = 0
电子枪
K
A
E 是能量（动能）
22 pmE ?令, P 是动量。
??? EU
dx
d
m
??? 2
22
2
?
46
它有两个特解,
x
p
i
e ??1?
x
p
i
e ???2?
所以，有一定能量和一定动量的 一维自由运动
微观粒子的波函数有如下两个解,
0
2
2
2
2
?? ?
?
?
p
dx
d得
0
2
22
2
?? ?
?
E
m
dx
d
?
47
)( xkti
tixki
t
E
i
x
p
i
eA
eeAeeA
??
??
?
??
?
???
…… 沿 + x 方向的平面 单色波
)( xkti
ti
xkit
E
i
x
p
i
eA
eeAeeA
??
????
?
??
?
??
?
…… 沿 - x 方向的平面 单色波
动量有最小的不确定度，坐标就有最大的不确定度。
)()(),( 11 tfxtxΨ ??
)()(),( 22 tfxtxΨ ??
在自由运动区域，各点粒子出现的概率都相等。
48
§ 2,2 无限深方势阱中的粒子
一,一维无限深方势阱中粒子的波函数与能量
金属中自由电子的运动,是被限制在一个
有限的范围 …… 称为 束缚态。
作为粗略的近似，我们认为这些电子在一维
无限深方势阱中运动,
a
金属
U(x)
U=U0 U=U0
U=0
x
简
化 U=0
U→∞ U→∞ U(x)
x Ⅰ Ⅱ Ⅲ
无限深方势阱
2
a?
2
a
49
我们来具体求出微观粒子在此势阱中的波函数解。
按照一维定态薛谔定方程
…… （★）
这种势场表示粒子可以在
势阱中运动，但不能越出势阱,
（因为,
区域的势能为无穷大）。 2/ax ?
??
?
EU
dx
d
m
??? 2
22
2
?
U=0
U→∞ U→∞ U(x)
x Ⅰ Ⅱ Ⅲ
无限深方势阱
2
a?
2
a
?
?
?
??
?
?
2/,
2/,0
)(
ax
ax
xU
（这是一个理想化的模型）
它的势能函数为
50
由于在 I,III 两区的 U(x)＝ ?,
显然应 ?? = 0; ???? = 0,否则方程就无意义了。
由于 ??区的 U(x)= 0，因此该区薛定谔方程为
?
?
E
dx
d
m
??
2
22
2
?
E
m
k 22
2
?
?
令 则有 ?? 2
2
2
k
dx
d
??
这也说明粒子不可能在这两个区域出现,
和经典概念相符。
…… （★）
??
?
EU
dx
d
m
??? 2
22
2
?
51
A,?,k …… 可由波函数应满足的条件来决定,
有限、单值 …… 自然满足。
连续 ……………？
这一方程的通解为 ? ??? ?? kxA s i n
?
022
2
?? ?
?
k
dx
d
?由于 处必须连续，和在 2/2/)( axaxx ?????
(可将此通解上式代入方程证明之 )
而在 I,III 两区，,所以有 0)( ?x?
,0)2/s i n (
,0)2/s i n (
??
???
?
?
kaA
kaA
52
,0)2/s i n (,0)2/s i n ( ????? ?? kaAkaA
可得
?? 22/ lka ??,2/ 1 ?? lka ???
式中 是整数。
21,ll
上两式相加得
??? lll ??? )(2 21
记
式中 也是整数。
l
kxAl o s i n0 ?? ?时，有
kxAl e c o s1 ?? ?时，有 --偶函数
--奇函数
的其他数值所对应的解没有独立的物理意义,
因为它们和, 的形式一样，只可能有正负
的区别，这并不影响,即概率密度的分布不变。
l
o? e?
2?
??
2
l
?
所以有
? ??? ?? kxA s i n
?
53
，处必须连续来决定在 kaxx 2/)( ???? 仍利用
即 ka = (2n+1) ?,n=0,1,2,3,… （ 2）
? ? 02/s i n
2
????
?
?
?
?
?
? kaA
a
o?有
? ? 02/c o s
2
????
?
?
?
?
?
? kaA
a
e?此外有
即 ka = n?,n=0,2,4,6,… （ 1）
将 （ 1）（ 2） 写成一个式子，为
ka = n?,n=1,2,3,4,5,6,…
kxAo s in??
kxAe c o s??
54
所以有 ?,6,4,2,s i n ?? nx
a
n
Ao
?
?
?,5,3,1,c o s ?? nx
a
n
Ae
?
?
为了求出 A，我们用波函数的归一化条件，例如
22/
2/
22
22/
2/ 2
s i n1 A
a
dxx
a
n
Adx
a
a
a
a o
??? ??
?
?
?
?
?
?
可得
a
A
2
?
E
m
k 22
2
?
?
因为
,
2 2
22
2
ma
nE
??
??
n 称为 量子数 ) ( E 称为 能量本征值,
ka = n?,n=1,2,3,4,5,6,…
55
于是对每一个 n 值，波函数的空间部分为
?,6,4,2,s i n
2
?? nx
a
n
aon
?
?
?,5,3,1,c o s
2
?? nx
a
n
aen
?
?
,0?n?
｝ 2ax ?
2
a
x ?
它们也称为 能量本征函数 。
称为 能量本征波函数 。 tEi
nn
n
eΨ ?
?
? ?
由每个 能量本征波函数 所描述的粒子的状态，是能量
有确定值的状态称为粒子的 能量本征态 。
56
1.能量只能取分立值
是解薛定谔方程自然而然得到的结论。
3.最低能量不为零（称零点能）
———符合不确定关系。 0ma2E 2221 ?? ??
2.当 m 很大（宏观粒子）时，能量连续,
量子 ? 经典。
4.势阱内各处粒子出现的概率呈周期性分布
与经典粒子不同。
讨论
按经典理论 …… 粒子的, 能量连续, ；
但量子力学 …… 束缚态能量只能取分立值（能级）
57
,
2 2
22
2
ma
nE
??
?
由
还可以得到势阱中粒子的 动量和波长
a
h
n
a
nmEP nn
?
??
2
2 ??????
?
n
a
P
h
n
n
2
???
说明势阱中粒子的每一个 能量本征态 正好对应于
德布罗意波的一个特定波长的 驻波。
n =1,2,3,4,5,6,…
58
En
x
E1
E2
E3
E4
a,n 21 1 ?? ?
,2 2 an ?? ?
3
2
,3 3
a
n ?? ?
2
,4 4
a
n ?? ?
n
a
,n n
2
??
束缚态
2
a?
2
a
0
n?
呈驻波状 n?
2
n?
59
宇称的概念
?,6,4,2,s i n
2
?? nx
a
n
aon
?
?
?,5,3,1,c o s
2
?? nx
a
n
aen
?
?
--奇函数 ? ? ? ?
,xx oo ??? ??即
--偶函数 ? ? ? ?
,xx ee ?? ??即
波函数, 反演变换, 变号，称为具有 奇宇称,
并以 宇称量子数为 -1作为标记。
波函数, 反演变换, 不变号，称为具有 偶宇称,
并以 宇称量子数为 +1作为标记。
60
§ 2.3 势垒穿透
?
?
?
?
?
?
)0(
)0(0
)(
0 xU
x
xU
设微观粒子有一定
能量 E (设 0 ? E ? U0 ),
我们也应分区求解其波函数,
金属中自由电子逸出金属表面时，实际上遇到的
是一个 高度有限的势 。
下面考虑这样的势场,U U= U0
0
x
E
U= 0
Ⅰ 区 Ⅱ 区
61
Ⅰ 区,
0E
m2
dx
d
22
2
?? ?
?
?
xki
1
xki
11
11 eBeA ????
（所以 E ? U,是振动解）
Ⅱ 区,
0)UE(
m2
dx
d
022
2
??? ?
?
?
E
m2
k 221
?
?
令
xkxk
2
22 DeCe ?? ??
?
?
E
dx
d
m
?? 2
22
2
?
令
? ?0222 2 UEmk ???
?
入射波 反射波
62
“有限, 要求 D = 0,
xk
2
2Ce ???
（所以 E ? U,是衰减解）
按经典力学 …… 粒子不可能在 Ⅱ 区 出现！
但量子力学 …… 粒子仍有可能在 Ⅱ 区 出现！
xkxk
2
22 DeCe ?? ??
Ⅰ 区 Ⅱ 区
U
x
U= U0
0
U= 0
63
可以想见，原来在 Ⅰ 区 的粒子也可以在势垒
的另一边 Ⅲ 区 出现！这在经典物理是不可想象的！
若势能曲线
如图所示,
有一个, 势垒, 。
这称为, 量子隧道效应, 。
Ⅰ 区 Ⅱ 区 Ⅲ 区
U= U0
U= 0
0
x
U
U= 0
a
64
例如,★ 放射性核的 ? 粒子衰变（自学）
★ 隧道二极管（略）
★ 扫描隧穿显微镜
若 m,a,( U0 – E ) 越小，则穿透率 T 越大。
实验完全证实了, 量子隧道效应, 现象的存在。
Ⅰ 区 Ⅱ 区 Ⅲ 区
U= U0
U= 0
0
x
U
U= 0
a
计算结果表明（不证）,
粒子的穿透率为
)(2
2
0 EUm
a
eT
??
? ?
65
三,扫描隧穿显微镜 （ STM）
(Scanning Tunneling Microscope)
是观察固体表面
原子情况的
超高倍显微镜。
1.原理
隧道电流 i 与
样品和针尖间
的距离 S关系
极为敏感。
S A B
i
扫描探针 A
样品 B
S ?10A
势能曲线 U
0
U
E
2
n?
66
SΦAUei ??
S — 样品和针尖间的距离
U — 加在样品和针尖间的微小电压
A — 常数
? — 平均势垒高度
定量关系,
图象处理系统
扫描探针 样品表面电子云
隧道电流
67
隧道
电流
反馈传
感器
参考信号
显示器 压电控制
加电压
扫描隧道显微镜示意图
68
2.技术难点与克服
(1) 消震,
(4) 撞针,保持 i 不变 d不变
(利用反馈装置，不撞坏针尖 )
扫描一步 0.4?,扫描 1,用 0.7s 2?
(2) 探针尖加工,
(3) 驱动和到位,利用压电效应的逆效应。
—— 电致伸缩，一步一步扫描。
多级弹簧，底部铜盘涡流阻尼。
电化学腐蚀，强电场去污,
针尖只有 1~2个原子！
69
8
7 紧
松
1
4
3
2
固定位置
紧
紧
伸长
松
6
5
松
缩短
固定位置
70 STM
71
0 50 90 30 70 10 (nm)
硅晶体表面的 STM扫描图象
72
神经细胞的 STM扫描图象
73
搬运单个原子
74
镶嵌了 48个 Fe 原子的 Cu 表面的
扫描隧道显微镜照片。 48 个 Fe 原子
形成, 电子围栏,,围栏中的电子形成驻波,
75
由于这一贡献,宾尼、罗赫尔 和 鲁斯卡
三人分享了 1986年度 的诺贝尔物理奖。
前两人是 扫描隧穿显微镜 的直接发明者,
第三人是 1932年 电子显微镜 的发明者,
这里是为了追朔他的功劳。
罗赫尔 宾尼 鲁斯卡
待续
76
§ 2.4 谐振子
如果微观粒子的势能函数是
2
2
1
kx)x(U ?
就应该解一维定态薛定谔方程
0
2
12 2
22
2
??? ?
?
)kxE(
m
dx
d
?
可用 级数展开法 解上述方程。
波函数应满足标准条件（连续、有限、单值、归一）。
求解超出本课程的范围。结论,
x
0
U(x)
E
… 二阶变系数
常微分方程
?? Ekx
dx
d
m
???
?
?
??
?
?
?? 2
2
2
2
1
2
?
77
1,能量
),2,1,0()
2
1
( ?? ??? nnE n ?
? 能量量子化,
能级等间距。
? 能量间隔 h?
（与黑体辐射理论同）
? 但有零点能。 E
0
E4
E3
E1
E2
??
E
0 2,波函数
，
22
2
1
2/1 )()
!2
()(
x
nn exH
nn
x
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
m
?
78
，
22
2
1
2/1 )()
!2
()(
x
nn exH
nn
x
?
?
?
?
?
?
?
Hn是 厄密 （ Hermite） 多项式,最高阶是
，nx )(?
22
2
1
2/1
0 )()(
x
ex
?
?
?
?
?
?
22
2
1
2/1
1 )(2)
2
()(
x
exx
?
?
?
?
?
?
??
22
2
1
22/1
2 ])(42[)
8
()(
x
exx
?
?
?
?
?
?
??
? ?
79
谐振子的波函数
谐振子的概率密度分布
80
? 量子,概率密度呈波动状,
在 E ? U 的区域也有出现概率,
在基态 n =0时,x =0处粒子出现概率最大。
? 经典,
E ? U 的区域
不可能出现,
当 n ? ? 时,
量子概率分布
? 经典分布
??
1 1
( x ) ?
2
量 子
经 典
n=11时的概率密度分布
E
U
量子
经典
2
11 )( x?
x =0处粒子速度
最大,,概率, 最小。
81 1927年第五届索尔威会议
爱
因
斯
坦
洛
仑
兹
居
里
夫
人
普
朗
克
德
拜
泡
利
康
普
顿
薛
定
谔
狄
拉
克
埃
伦
费
斯
特
布
喇
格
玻
尔
海
森
伯
玻
恩
朗
之
万
德
布
罗
意
82
补充：量子力学的几个基本原理
1,量子体系的状态由波函数完全描述。
2,波函数服从薛定谔方程。
3,力学量用算符表示，力学量所能取的值
是其相应算符的本征值。
4,关于, 力学量测量, 的原理
83
1,量子体系的状态由波函数完全描述。
概率密度),(),(),( *2 trΨtrΨtrΨ ??? ?
2,波函数服从薛定谔方程。
),()],(
2
[),( 2
2
trΨtrU
m
trΨ
t
i
????
? ????
?
?
)()()](
2
[ 2
22
xExxU
dx
d
m
?? ???
?
一维定态薛定谔方程
波函数的模方 代表粒子在 t 时刻 处的概率密度。 r?
84
3.力学量用算符表示，力学量所能取的值是
其相应算符的本征值。
先回忆定态薛定谔方程
?? E)U
dx
d
m
( ??? 2
22
2
?
我们利用它，并且利用 ? 应满足的条件
（有限、单值、连续、归一等） 求解了
一维无限深方势阱问题，和谐振子等问题。
求解时，同时求出了能量本征值 E 和
能量本征函数 ?。
85
等号左边的 与等号右边的
能量 E 相对应,)Udx
d
m
( ??
2
22
2
?
?? E)U
dx
d
m
( ??? 2
22
2
?
在量子力学中称 为 能量算符,
也称 哈密顿算符 。 )Udx
d
m
( ?? 2
22
2
?
记为
)
2
(? 2
22
U
dx
d
m
H ???
?
在三维情况下
)
2
(? 2
2
U
m
H ????
?
86
定态薛定谔方程于是可写为
nnn EH ?? ??
量子力学中它也称为 能量（算符）的本征方程,
En 是 能量可能取的值,
也称为 能量（算符）的本征值。
?n 是 定态波函数,
也称为 能量（算符）的本征函数,
在量子力学中，任一力学量能取哪些值？
是连续的，还是分立的？
这究竟是怎么决定的？
87
最基本的算符是坐标算符、动量算符,
? 坐标算符（就是它自己） rr?r ??? ??
在量子力学中
力学量谱原理,任一力学量 F，对应有一个
算符,解该算符的本征方程,
得到的所有本征值 F，即为该力学量所能取的值,
也称为该力学量的谱。
F? FuuF ??
? 动量算符
???? ??? ip?p
k
z
j
y
i
x
???
?
?
?
?
?
? ????( 式中 算符 )
x
ip? x
?
?
???
y
ip y
?
?
????
z
ip? z
?
?
???
88
? ? ? ? 222 ??? ??????????? ?????? iippp
物理中任一力学量都是由坐标和动量组成的,
例如,
? 动能算符,
??
m
P
E k
2
2
?
得到任一 力学量 F 的算符 的方法,
)i,r(F?)p,r(F ????? ??
（经典） （量子）
mm
PP
E k
22
??
?
2222 ??
?
?
?
?
??
89
)r(U
m
H?
??
???? 2
2
2
)r(U
m
p
E
?
?
??
2
2
? 能量（哈密顿量）算符,
? 角动量算符,
p?rL? ??? ??
zyx
p?p?p?
zyx
k
?
j
?
i
? ???
?
yzx p?zp?yL
? ??
zxy p?xp?zL
? ??
xyz p?yp?xL
? ??
prL ??? ??
2222 ??????
zyx LLLLLL ?????
??
90
在球坐标中,
,co ss i n ?? ?? rx
,s i ns i n ?? ?? ry
,c o s ?rz ?
,c o s
r
z??,ta n
x
y??
?
?
z
y
x
可得
??
?
?? 2
22
2
s i n
?
s i n
s i n
? zLL ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
因为
91
例, 求解 的谱,
zL
uLuL? zz ?
Lz的本征方程为
)(L)(
d
d
i z ????
?
?? ?
用分离变量法解得 本征函数 ??? zLiAe)( ??
有限，连续条件自动满足；单值 … …？
由单值条件,
)2()( ????? ??
)2( ??? ?
?
zz L
i
L
i
ee ??
解一般力学量的本征方程 也要用到
有限、单值,连续、归一 等标准条件。
FuuF ??
92
即
1)2s i n ()2c o s ( ??
??
zz LiL ??
????? m,2,,0L z ??????
1
2
??
?zL
i
e ?
)2( ??? ?
?
zz L
i
L
i
ee ??
m,2,1,0
L z
????? ??
?
记 m 称为磁量子数
zL
的归 一化本征函数是 。
?
?
ime ?1
这就是力学量 的本征值谱。
zL
93
uLuL? 22 ?
例。求 的本征值谱。 2L
? ? ),(1),(?,2,2 ???? mlml YllYL ???
得到（略）
本征值是 ? ?
22 1 ??? llL
【 解 】 应解 的本征方程 2L
??
?
?? 2
22
2
s i n
?
s i n
s i n
? zLL ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?,3,2,1,0?l
lm ????? ?,3,2,1,0
式中
l 称为角量子数
94
? ? 22 1 ??? llL
?,3,2,1,0?l
lm ????? ?,3,2,1,0
????? mL z ?????,2,,0
zL
的最大值为
?lL z ?
当 ? ? 22 1 ??? llL
即 时,
? ? ?1?? llL
????? lL z ?????,,3,2,,0
这正好说明 投影值 Lz 不可能超过 L 的 值。
讨论 1,投影值 Lz 不可能超过 L 的 值。
95
对于一定的角量子数,磁量子数 m 可取
(2 +1)个值，角动量在空间 z 方向的取向
只有 (2 +1)种可能。
l
l
l
说明角动量的 数值 是量子化的。
l,,,,m ????? ?3210
? ? 22 1 ??? llL
?,3,2,1,0?l
说明 角动量在空间的取向 也是量子化的。
讨论 2,角动量 在空间的取向 也是量子化的。
96
例如：当 时,2?l
Lz 共有 种。 51l2 ??
m = 0,? 1,? 2,
z
x
y
电子云
L ·
?
?
?45.2?L
0
-2?
?
2?
-?
2?lZ(B)
L?
?
?
?
45.2
6
)1(
?
?
?? llL
??? 2,,0 ????? mL z
97
?
??
4
1),(
0,0 ?Y0?l
1?l
2?l
?
?
?? c o s
4
3),(
0,1 ?Y
??
?
?? ieY ?? ? s i n
8
3),(
1,1 ?
? ?1c o s3
16
5),( 2
0,2 ?? ????Y
???
?
?? ieY ?? ? c o ss i n
8
15),(
1,2 ?
??
?
?? ieY 222,2 s i n
32
15),( ?
? ?
的本征函数是,称为 球谐函数
（已归一化） 。
? ???,lmY2L
???
98
4.关于, 力学量测量, 的原理
某物理量的本征态，指该物理量具有确定值的状态。
例。氢原子能量的本征态，就是它的能量的定态。
当氢原子处于这个状态时，实验测得的能量
有确定值。
例。一个微观粒子处在自由运动状态，测得其动
量有确定值，我们就说它处于动量的本征态。
一般来说，同一个力学量算符 有若干个
本征值 {Fi},i =1,2,…,它们对应于 若干个
本征态 { },i =1,2,…,。当系统处于本征态
时，该力学量就有确定值 Fi, i?
i?
F?
99
此外，微观粒子还可以处于某个力学量 本征态
的叠加态。这时该力学量没有确定的值。
实验表明，当微观粒子处在某 力学量的 叠加态
时，测量该力学量每次测得的值一般是不一样的。
(当然，测量值都是各参加叠加的本征态的本征值 )
在叠加态时，各个本征态以一定的概率出现。
用实验中每次测得的可能的本征值和该值出现的
概率，可以计算该力学量的平均值。
若二个能级的本征态为 和,它们是
分别具有能量本征值 E1 和 E2 的状态,
1? 2?
我们以能量为例，设原子只有两个能级,
100
每一时刻，原子不是处在 就是处在,
1? 2?
是处在 态的概率,
2
1c
1?
2
2c
是处在 态的概率,2?
即处在能量为 E1的概率；
即处在能量为 E2的概率。
2211 ??? cc ??
如果原子处在某个叠加态
（其中 ci 一般可为复数）,
12221 ?? cc
总的概率为 1,
量子力学关于, 力学量测量, 的原理告诉我们,
在该叠加态时,测量能量的平均值为
2
2
21
2
1 EcEcE ??
101
§ 3.1 氢原子
一,玻尔（原子）模型,
1913年 玻尔把量子论
推广到原子系统。
（ 1） 定态条件,电子绕核作
圆周运动，但不辐射能量
（经典轨道 +定态 ）。
（ 2）当原子从某一能量状态
跃迁到另一能量状态时
服从 频率条件
12 EEh ???
卢瑟福 --- 玻尔。
（ 3） 角动量量子化条件 。
102
? ?1??nrvm nn ?
n = 1,2,3 …
? ?2
4
2
0
2
?
n
n
n r
v
m
r
e
?
??
● +e
● -e
rn
vn
En
m
mp
解得,
,12 rnr n ? m1029.5
4 11
2
2
0
1
????
me
r
???
,12
1
E
n
E n ? eV6.13
)4(2 220
4
1 ????
???
me
E
玻尔半径
玻尔理论成功地解释了氢原子和类氢离子光谱的
波长，说明它含有正确的成分。
103
理论本身存在困难,
（ 1）承认经典电磁理论，认为氢原子中电子作
圆轨道运动，受到的向心力就是库仑力，有动
能和电势能；但, 有向心加速度而不辐射能量,
（轨道是稳定的），又不符合经典电磁理论。
（ 2）承认电子在中心力场中运动，角动量守恒。
但是玻尔硬加了一个 角动量量子化条件
??,3,2,1?? nnvrm e
只可能有满足这条件的轨道才能存在，这 为什么？
玻尔理论不能说明氢原子光谱线的强度；
也不能说明较复杂原子的光谱（即使 He）。
说明它含有不正确的成分。
104
（ 3）卢瑟福 对玻尔 的频率条件质疑
“玻尔理论是 经典理论 + 量子化条件, （生硬）
12 EEh ???
“当电子从 E1往 E2跳时，您必须假设电子事先
就知道它要往那里跳！”
为了 选择,必须 去过,
但是它 去过了 吗？
为了 去过,必须 选择,
逻辑上循环！
E1
E2
多种频率
的光入射
E3
105
玻尔理论在人们认识原子结构的进程中
有很大的贡献
--- 1922年玻尔获诺贝尔物理学奖。
玻尔理论中 关于定态（不辐射电磁能量）,
关于能级（能量量子化）,
关于频率条件,
关于角动量量子化等概念,
至今还是正确结论。
虽然 轨道概念 不适用了，但是通过它仍然可以
得到一些有意义的结论。
例如，可以估计原子的大小；
可以估计原子中电子速度的大小；
n 越大,离开原子核越远； ……
106
玻尔正在讲课 玻尔（左）和 海森伯（中）
泡利（右）在一起
玻尔其人,
成绩优秀、全面发展、爱踢足球；
学术平等、爱国反战。
107
在玻尔研究所里
学术空气很浓,
玻尔演讲后与听
众踊跃讨论。
哥本哈根学派
,丹麦是我出生的地方,
是我的故乡,
是我心中的世界
开始的地方。,
卢瑟福的邀请
普朗克的邀请
108
波尔和他的五个儿子
右 2在 1975年 获诺贝尔物理奖（因对原子核结构的研究）
109
二,氢原子中电子的, 轨道, 角动量
(在量子力学中，仍常借用, 轨道, 这名词 )
氢原子中电子在中心力场运动中,
其, 轨道, 角动量是守恒的。那么, 轨道,
角动量究竟能取哪些值？
按量子力学，应解, 轨道, 角动量算符的本征方程。
通常采用球坐标系。
?
???
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
iL?
si n
1
si n
si n
1
L?
z
2
2
2
22
110
,轨道, 角动量算符的本征方程为
uLuL? 22 ?
uLuL? zz ?
解得 L2 的本征值为
)1()1( 22 ?????? ?llL
?,3,2,1,0?l
角量子数
解得 Lz 的本征值为
)2(mL z ?????? ?
l,,,,m ????? ?3210
磁量子数
的本征函数是, 球谐函数 。 ? ???,
lmY
2L
zL
的本征函数是 。
?
?
ime1
111
三, 氢原子中电子的坐标概率分布与能谱
中心力场
U
m
H? ???? 2
2
2
?
r4
e)r(U
0
2
??
??
2
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
2
s i n
1
s i n
s i n
11
???
?
?? ?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
rrr
r
rr
xxx
（采用球坐标系）
112
定态薛定格方程为
),,r(E),,r(H? ?????? ?
),,r(E),,r(
r4
e
m2 0
2
2
2
??????
??
???
?
?
??
?
?
???
?
用分离变量法求解 (只讲思路和结果 ),
式中 u（ r） …… 称为 径向波函数
),(Y
r
)r(u),(Y)r(R),,r( ??????? ??设
),( ??Y
…… 为角度部分的波函数
113
),(Y),(Y m,l ???? ?
可得 到径向波函数 u（ r） 所满足的方程,
称为 径向方程,
?? ? ? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?u r
m
E U r
l l
mr
u r( ) ( )
( )
( )
2 1
2
0
2
2
2?
?
代入 定态薛定格方程 后,
正好是 球谐函数。
解此方程，可以同时得到 粒子的本征能量 E
和径向波函数 u( r ) 。
可得 到 ?,? 部分满足的方程,解得
114
★ 能量本征值 E
),(16.131
)4(2 22202
4
eV
nn
meE
n
????
???
n…… 称为主量子数
★ 径向波函数 u(r)= unl( r ) （具体形式略）
1,,2,1,0 ?? nl ??
),()(),,( ????? lmnlnl m Y
r
rur ??
结果,
n = 1,2,3…, 解方程要求
n = 1,2,3…,
115
按照定态 波函数的物理意义，在空间点 （ r,?,?）处,
小体积元 dv 中电子出现的概率为
?????? dddrrrmln s i n),,( 2
2
????? dddrYru
mlln
s i n),()(
22
?
????? dddrrY
r
ru
ml
ln
s i n),(
)(
2
2
2
2
?
因此,概率分布不见得都是球对称的。
由于它一般与 r 有关，也与 ?,? 有关,
116
在半径为 r ? r +dr 之间电子出现的概率为
rru nl d)( 2?? 上式
drruddY nllm
2
0
2
0
2
)(s i n),(
?
?
?
?
?
?
? ?
? ?
?????
由于球谐函数也是归一化的,
?
?
z
y
x
r
dr
2)( ru
nl
…… 称为 径向概率密度。
为半径为 r 处,
单位厚度球壳内
电子出现的概率
117
2
10 )( ru
2
20 )( ru
2
30 )( ru
529.01 ?a ?
r/a1
0.4
0.2
即玻尔半径
（电子云）是
球对称分布的 。
在 r = a1 处有极大值。
2)( ru
nl
几个径向概率密度 的分布图,
2
10 )( ru
其中
由于
?
??
4
1),(
0,0 ?Y
与 ?,? 无关,
? ? 20,0,1,,??? r?
概率密度分布
118
量子力学关于氢原子的理论
经受了实践的检验
---氢原子光谱
待续
119
§ 3.5 x 射线
一, X 射线的发现及其本性
l895年德国物理学家 伦琴 在作 阴极射线管 中气
体放电的实验研究时，偶然发现了有一种使荧
光屏上有微弱的荧光产生的看不见的射线。
…… 沿直线传播
…… 不被电磁场偏转
…… 穿透性强 (不被物质反射和折射 )
他把这种未知射线称为 x 射线 。
有了关于原子结构的知识，下面讲两个问题
----------- X 射线；激光。
120
?a ê? μú ò? ?? X é?
?? ? ?? ￡? ?? é?
á? ?×?ù ·ò è? μ?
ê?
l895年底,
伦琴发表了
,论新的射线,
的报告,
并展示了
他的妻子的
手指骨 x射线
的照片。
121
伦琴 的发现引起了全世界物理学界和医学界
的强烈反应。
伦琴的报告发表后仅三个月后，维也纳的一家医院
就在外科检查中使用了 x射线拍片手段。
1901年，获得了首次颁发的
诺贝尔物理学奖。
第二年（ 1986年）就有
近千篇有关 x 射线的
研究和应用的文章发表。
（ Wilhelm C,R?ntgen）
德国人 1845-1923
伦琴
122
1912年德国物理学家 劳厄 成功地获得了
x 射线的晶体衍射图样。
(获 1912年诺贝尔物理奖 )。
后来人们认识到,
? x 射线是一种高能光子 …… 穿透性很强。
…… 用普通光栅观察不到衍射现象。
? x 射线是波长很短的电磁波
（ 0,1 ? ～ 100 ? ）
（ 1879年 克鲁克斯 曾抱怨放在他的阴极射
线管附近的照相底片老出现模糊的阴影）；
（ 1890年 古德斯比德 和 詹宁斯 都发现他们
阴极射线管后面的照相底片特别发黑）。
123
二, X 射线谱与其产生机制
X 射线管抽成真空（ 10-6~10-8 mmHg）,
阴极 K-----是加热的,发射电子用 ;
阳极 A-----一般为钨、钼、铂等重金属“靶”。
利用晶体衍射的
布喇格公式测定
波长 ;
按照记录底片上
的黑度测定强度。
在两极间加上几万伏高电压，电子就在强电场
的作用下飞向阳极,在阳极 A上产生 x 射线。
124
实验曲线
如图所示
x射线谱一般
由两部分组成,
1.连续谱
高速电子到达阳极后与阳极中的原子相撞,
速度降下来，电子有了加速度而辐射的电磁波。
这种辐射称为 韧致辐射 。
连续谱
线状谱
（特征谱,
标识谱） 实验曲线一
125
(1)为什么具有 连续谱 的特征？
(2)为什么连续谱的 形状 与
阳极的材料无关？
(3)为什么连续谱都有一个
截止波长 （或频率）？
而它也与阳极的材料无关,
仅与电压有关？
由于大量电子有各种大小
的加速度，因此韧致辐射
的 x 射线具有连续谱的特
征；
由于它只是 管中电子 有加
速度而辐射产生的；
实验曲线二
相
对
强
度
波长（ ?）
截
止
波
长
35kV
126
截止波长是 X射线连续谱的下限波长，记作 ? min,
理论分析,
——也可用它来测普朗克常数 h 。
的存在是 量子论 正确性的又一例证。
min?
电子在电场中得到的 加速动能,全部转化
为辐射的光子能量时,
m i n
m a xk
c
hheUE
?
? ???
有
Ue
hc 1
m i n ???
所以得
它与阳极的材料无关，仅与电压有关。
127
2,线状谱
（特征谱,标识谱）
当加速电压比较高时,
在 x 射线连续谱的
“山丘”上会出现一些
“尖塔”。
人的 指纹 可作为某人的特征,
…… 这些尖塔可以作为某种 元素的,指纹” 。
尖塔的位置与阳极 靶材料元素有关,
与电压 U无关。故称为 特征谱 。
128
特征谱产生的机制
能量比“空位”能量高的电子就会跃迁下来
到这空位，同时放出电磁波,波长当然与
此原子的特性有关，此即特征谱。
因为原子的内层电子的能级差值较大,
放出的光子的频率较大，波长就较短,
属于 x 射线波段。
高速粒子将能量给了靶原子的 内层电子,使
内层电子跃迁到能量较高的最外层或完全脱
离原子 (即电离 )，内层留下了,空位”。
内层电子跃迁
?, 10-1? ? 102?
?E,103 eV ? 104 eV
129
Ze K L M N O
L系
K系
?
?
?
?
K
K
K
K
?
?
?
L
L
L
-e
-e
空位在 L层,跃迁就产生特征谱线 L?,L?,L?…
空位在 K层,跃迁就产生特征谱线 K?,K?,K?…
产生空穴的方法,e ─ X ；
质子荧光分析
（ PIXE --- Proton Induced X-ray Emission）,
p ─ X ；
I ─ X ； X ─ X ； p ─ X ；
130
三, X 射线应用举例
? X光透视（假彩色）
? CT(透明片 )
? 精密分析物质的成分。
(所需样品量小,10μg 足够,
无损伤，灵敏度高 )
例如, 对珍贵出土文物的分析
1965年出土的 2500年前的
越王勾践宝剑 的成分。
例如, 对人的头发中痕量元素分析
长寿、疾病、弱智与痕量元素的关系。
例如, 空气采样分析
(上海与拉萨 )
131
同步回旋加速器 中电子作圆周运动，也辐射 x光。
它称为同步辐射 x 光源，简称 同步辐射。
??一种新型强 x光源。
目前超大功率的 x 光管只 有 10 W。
北京正负电子对撞机的同步辐射是 34 kW;
（ 1）能谱宽 ……0.1 ～ 10 4? （连续谱）
（ 2）功率大 …… 可达 10 kW；
同步辐射 x 光源 (Synchrotron Radiation)（ SR）
特点,
132
全张角
"15 12 0 ???
(4)高度偏振
在轨道平面内是线偏振光，可用于研究
各向异性物质。
(5)高稳定度,重复性好。
北京正负电子对撞机
v
a
●
0?
（ 3）方向性好 …… 当 v? c 时，沿切线方向,
可开出许多窗口，引出 x射线，供 辐照技术
应用。
133
普通光源 -----自发辐射
激光光源 -----受激辐射
激光又名镭射 (Laser),
它的全名是
“辐射的受激发射光放大”。
(Light Amplification by Stimulated Emission
of Radiation)
§ 3.6 激光
134
功率大 （脉冲平均功率可达～ 10 14W;
连续功率可达～ 1 kW ）
? 空间相干性好，有的激光波面上
各个点都是相干光源。
光强大 （会聚的激光强度可达 1017W/cm2；
而氧炔焰的强度不过 103 W/cm2 ）
1,特点,
? 时间相干性好（ ?? ～ 10 - 8?）,
相干长度可达几十公里。
相干性极好
方向性极好 （发散角～ 以下 ） 1?
135
按工作方式分
连续式（功率可达 103 W）
脉冲式（平均功率可达 1014 W ）
3, 波长,极紫外 ──可见光 ──亚毫米
(100 n m ） （ 1.222 m m ）
2, 种类,
固体（如红宝石 Al2O3）
液体（如某些染料；可以调频）
气体（如 He-Ne,CO2）
半导体（如砷化镓 GaAs）
按工作物质分
136
一, 粒子数按能级的统计分布 原子的激发
由大量原子组成的系统，在温度不太低的
平衡态，原子数目按能级的分布服从
玻耳兹曼统计分布,
kT
E
n
n
eN
?
?
137
若 E2 > E 1，则两能级上的原子数目之比
1
12
1
2 ??
?
?
kT
EE
e
N
N
数量级估计,
T ～ 103 K；
kT～ 1.38× 10-20 J ～ 0.086 eV;
E 2-E 1～ 1eV;
10860
1
1
2 ????? ?
?
?
?
510
12
.kT
EE
ee
N
N
138
但要产生激光必须使原子激发 ;且 N2 > N1,
称粒子数反转 (population inversion)。
原子激发的几种基本方式,
1．气体放 电激发
2．原子间 碰撞激发
3,光激发 (光泵 )
演示
139
二, 自发辐射 受激辐射和吸收
1,自发辐射 (spontaneous radiation)
设 N1, N2 — 单位体积中处于 E1, E2
能级的原子数。 单位体积中单位时间内,
从 E2 ? E1自发辐射
的原子数,
2N
dt
dN
??
?
?
?
?
?
自发
21
E2
E1
N2
N1
h?
140
Ａ 21 ?自发辐射系数，单个原子在单位
时间内发生自发辐射过程的概率。
各原子自发辐射的光是独立的,
无关的 非相干光 。
写成等式
221
21 NA
dt
dN
??
?
?
?
?
?
自发
2．受激辐射 (stimulated radiation)
E2
E1
N2
N1
全同光子
h?
141
设 ?（ ?、Ｔ ） …… 温度为 Ｔ 时,频率为
? = (E2 - E1) / h附近，单位频率间隔的
外来光的能量密度。
单位体积中单位时间内，从 E２ ? E１
受激辐射的原子数,
2N)T(
dt
dN
、
受激
????
?
?
?
?
? 21
写成等式
? ? 221 NTB
dt
dN
、
受激
????
?
?
?
?
? 21
B21?受激辐射系数
142
2
21 NW
dt
dN
21??
?
?
?
?
?
受激
则
令 W21 = B21· ?（ ?,T）
W21 ?单个原子在单位时间内发生
受激辐射过程的概率。
受激辐射光与外来光的频率、偏振方向,
相位及传播方向均相同
------有光的放大作用 。
143
上述外耒光也有可能被吸收,
使原子从 E1?E2。
单位体积中单位时间内因吸收外来光而从
E1?E2 的原子数,
? ? 112 NT,
dt
dN
????
?
?
?
?
?
吸收
3, 吸收 (absorption) E
2
E1
N2
N1
h?
144
写成等式
112
12 NW
dt
dN
??
?
?
?
?
?
吸收
B12? 吸收系数
令 W12=Ｂ 12 ?(?, T)
W12 ? 单个原子在单位时间内发生
吸收过程的概率。
? ? 11212 NT,B
dt
dN
????
?
?
?
?
?
吸收
145
A21, B21, B12 称为爱因斯坦系数。
爱因斯坦在 1917年从理论上得出
123
3
21
8
B
C
h
A
??
?
爱因斯坦的受激辐射理论为六十年代初实验上
获得激光奠定了理论基础。
没有实验家,理论家就会迷失方向。
没有理论家,实验家就会迟疑不决。
B21 = B12 受激辐射系数 =吸收系数
自发辐射系数与
吸收系数成正比
146
六十年代初对 发明激光 有贡献的三位科学家。
1964年获诺贝尔物理奖。
巴索夫 普罗恰洛夫 汤斯
147
三, 粒子数反转
1,为何要粒子数反转
(population inversion)
? ? 22122121 NWNT,B
dt
dN
???
?
?
?
?
?
??
受激
? ? 11211212 NWNT,B
dt
dN
???
?
?
?
?
?
??
吸收
从 E2 E1 自发辐射的光，可能会引起
受激辐射过程，也可能会引起吸收过程。
148 ? 必须 N2 > N1（ 粒子数反转）。
因 B21=B12 ? W21=W12
吸收受激
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
dt
dN
dt
dN 1221
? ? 22122121 NWNT,B
dt
dN
???
?
?
?
?
?
??
受激
? ? 11211212 NWNT,B
dt
dN
???
?
?
?
?
?
??
吸收
要产生激光，就必须
149
2．粒子数反转举例
例, He一 Ne 气体激光器的粒子数反转
He -Ne 激光器中 He是辅助物质,
Ne是工作（激活）物质；
He与 Ne之比为 5∶ 1 ? 10∶1 。
150
亚稳态
电子碰撞
碰撞转移
亚稳态
151
He-Ne激光管的工作原理,
? 由于 电子的碰撞,He被
激发 (到 23S和 21S能级 )
的概率比 Ne 原子被激
发的概率大；
在 He 的这两个激发态
上集聚了较多的原子。
? 由于 Ne的 5S 和 4S态 与 He的 21S和 23S态
的能量几乎相等，当两种原子相碰时非常容易
产生能量的, 碰撞转移, ；
? 在 He 的 23S,21S这两
个能级都是亚稳态,
很难回到基态；
152
（要产生激光，除了增加
上能级的粒子数外,
还要设法减少下能级的
粒子数）
? 正好 Ne 的 5S,4S是 亚稳态，下能级 4P,3P 的
寿命比上能级 5S,4S要短得多,
这样就可以形成粒子数的反转。
? 在碰撞中 He 把能量传
递给 Ne而回到基态,
而 Ne 则被激发到 5S
或 4S;
153
? Ne 原子 可以产生多条激光谱线,
图中标明了最强的三条,
0,6328?ｍ
1,15 ?m
3,39 ?ｍ
它们都是从亚稳态到非亚稳态,非基态
之间发生的,因此较易实现粒子数反转。
? 放电管做得比较细 （毛细管）,可使原子与管壁
碰撞频繁。借助这种碰撞,3 S态的 Ne 原子可以将
能量交给管壁发生, 无辐射跃迁, 而回到基态，这
样可以及时减少 3S态的 Ne原子数，有利于激光下能
级 4P与 3P态的抽空。
154
四, 增益系数
激光器内受激辐射光
来回传播时，并存着
增益 ——光的放大；
损耗 ——光的吸收、散射、衍射、透射
（包括一端的部分反射镜处必要
的激光输出）等。
激光形成阶段：增益 ＞ 损耗
激光稳定阶段：增益 ＝ 损耗
增益
损耗
155
1．激光在工作物质内传播时的净增益
设 ｘ ＝ 0处，光强为 I0
ｘ I
ｘ +dx I + d I
有 d I ? Idx
写成等式 d I = G I dx
定义：增益系数 G (gain coefficient)
156
即单位长度上光强增加的比例。
Id x
dIG ?
一般 G不是常数。
为简单起见，先近似地认为 G是常数。
? ??
x
0
I
I 0 I
dI
G d x
0I
I
lnGx ?
Gx
0 eII ?
157
2, 考虑激光在两端反射镜处的损耗
I0 ? 激光从左反射镜出发时的光强。
I1 ? 经过工作物质后,被右反射镜反射
出发时的光强。
I0
?? 输出
全反射镜 部分反射镜
I1
1R 2R
L
I2 ? 再经过工作物质,并被左反射镜反射
出发时的光强。
I2
R1,R2 ?左、右两端反射镜的 反射率,
158
显然有 I 1 = R 2 I 0 eGL
I 2 = R 1 I 1 eGL
= R 1 R 2 I 0 e2GL
I 2 = R 1 I 1 eGL 所以
I0
?? 输出
全反射镜 部分反射镜
I1
1R 2R
L
I2
GLeRR
I
I 2
21
0
2 ?
得
159
? 在激光形成阶段
即 R1 R2 e2GL> 1
mGRRlnLG ??
21
1
2
1或
须 I2 / I0 > 1
式中 Gm——称为 阈值增益,
即产生激光的最小增益。
160
? 在激光稳定阶段
即
mGRRlnLG ??
21
1
2
1
光强增大到一定程度后
须 I2 / I0 = 1
在激光的形成阶段 G > Gm,光放大,
怎麽光强不会无限放大下去？
在激光的稳定阶段
怎么又会 G = Gm?
161
原因是实际的增益系数 G
不是常量,当 I? 时，会 G?。
这是由于光强增大伴随着
粒子数反转程度的减弱。
（负反馈）
当光强增大到一定程度,G下降到 Ｇ m时,
增益 =损耗，激光就达到稳定了。
通常称
mG
RR
ln
L
G ??
21
1
2
1
-----为阈值条件 ( threshold condition)
(记 )
162
普通光源 ---各原子发的是非相干光,
发光强度是它们的非相干叠加,
和原子数 N 成正比。
激光光源 ---各原子发的是相干光,
发光强度是它们的相干叠加,
和原子数 N2 成正比。
由于光源内原子数 N很大,
所以，和普通光源相比,
激光的光强大得惊人！
为什么激光会有那么好的 单色性和方向性 呢？
待续
163
一,分子的带状光谱
分子激发 → 分子光谱
?
?
?
?
?
光照—光激发
燃烧、电弧—热激发
放电管—碰撞激发
光谱特点 ——带状 光谱
§ 3.7 分子的转动和振动能级
A 组 B 组 光谱带系 光谱带系
a b c … a b c
光谱带 光谱带 光谱带 光谱带 光谱带 光谱带
光谱带
164
分子中 电子的运动能量 是分立的能级,
原子的振动能量 也是分立的能级,
转动能量 也是分立的能级。
二, 分子光谱的产生
re
r
e
EEEE
E
E
E
???
?
?
?
?
?
vv
转动
振动
电子运动
▲ 不考虑核内部运动 (设不发生核能级跃迁 )
▲ 不考虑整个分子的平动（ ∵ 能量连续）
以下讨论的前提是,
▲ 忽略运动间的相互作用，先对三种运动作单独考虑,
165
1,电子能级 Ee,能级间距 ? Ee 10-1～ 101 eV
跃迁发出的 光谱 (10-2～ 100 ?m)。
（主要在 可见光和紫外 区） 2,振动能级 E
v,
●
●
r
?hE )
2
1( ?? v
v
?,,,,210=v
按简谐振子考虑,v = 0
v = 1
v = 2 ?E
v
实际上分子振动不是理想的简谐振子,
能级也不完全等间距。
166
跃迁发出的光谱 (100～ 102 ?m)。
（主要在 中,近红外 区）
??? hhvhvEE vv ??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?????
2
1
2
1
11
eV12 1010 ?? — 可以估算得能级间距 较小,vE?
v = 0
v = 1
v = 2 ?E
v
根据量子力学，能级间的
跃迁必须满足一定的条件,
称为 选择定则。
1Δ ??ν选择定则
振动能级间的跃迁满足
167
分子的振动能级与光谱结构示意图
0?
只有一条
振动光谱线
0??
0??
0??
0??
0??
0??
v
1
2
3
0
4
5
( )021 ??/
( )023 ??/
( )025 ??/
( )027 ??/
( )029 ??/
E
( )0211 ??/
168
绕轴转动的角动量为 J=I?
I2
)1j(j
I2
J
I
2
1
E
22
2
r
??
??? ?
3,转动能级 Er,
设双原子分子中，两个原子的质量分别为 m1,m2,
它们与通过质心的转轴的垂直距离为 r1,r2
分子的转动惯量则为
I=m1r12+m2r22 m2
r1 r2 C m
1
转动轴
角动量也是量子化的
??,2,1,0j)1j(jJ ???
转动动能为
169
可以估算得能级间距 ? Er 更小,10-3～ 10-5 eV
跃迁发出的是 远红外光谱 (102～ 104 ?m)。
1??? j选择定则
转动能级间的跃迁满足
（主要在 远 红外、微波 区）
1)(j
I
1)2 ( j
I
)j(j
I
)j)(j(
I
EE
)j(r)j(r
+=+
2
=
1+
2
1+1+1+
2
=
22
22
1+
??
??_ _
1)(j
I
EE )j(r)j(r +=
2
1+
?
_
?,,,j 210=
170
分子的转动动能级与光谱结构示意图
0
j
1
2
3
4
5
( )I22 2 /?
E
0
( )I26 2 /?
( )I212 2 /?
( )I220 2 /?
( )I230 2 /?
?
转动光谱线
是等间距的
171
实际上应同时考虑以上三种能级
能级 跃迁 ? E=? ( Ee+Ev+Er )
发光频率 ? =? (Ee+Ev+Er )/h
=
h
E
h
E
h
E rve ???
??
E=Ee+Ev+Er
决定 A,B… a,b… 带状
电子 振动 转动
同一电子能级、同一振动能级，不同转动能级之间可以跃迁；
在满足跃迁选择定则的前提下,
同一电子能级、不同振动能级和转动能级之间可以跃迁；
不同电子能级、不同振动能级和转动能级之间也可以跃迁。
172
同时考虑电子、转动、振动能级示意图,
r
v = 0
v = 1
v = 2 ?E
v,10-2—10-1eV
?Er,10-3—10-5eV
?Ee,10-1—101eV
E
r0
r0?
电子能级
转动能级
振动能级
能级跃迁产生的光谱，是相当复杂的带状光谱
173
图中 0— 2,0 — 1,0 —0等是一对电子能级间 特定的振动能级
之间的跃迁，由于它还有不同的转动能级，所以构成一个光谱
带。每一个这样的符号与一个光谱带相对应。
空气中碳电弧的 C2和 CN分子的带状光谱
若干个光谱带构成一个光谱带系，它是同一对电子能级中,
各振动能级和转动能级之间的跃迁产生的。
一对电子能级之间跃迁产生的
（光谱带系）
光谱带 光谱带 光谱带 光谱带
174
三, 分子光谱的波段范围
λ (μm)
γ 射线 X射线 紫外线 红外线 微波 可见
光
核
跃
迁
内层
电子
跃迁
外 层 电
子跃迁
近 中 远
振
动
转
动
0.40 0.76
10-5 10-2 103
分子光谱的大约范围
分子发光频率的范围相当广,
从紫外 ---可见光 ---红外光 ---远红外光 ---微波,
因此有很多应用。
175
(2) 军用
…… 夜视,
制导等,
(1) 民用
…… 测距,
测温,
干燥等
四, 红外技术的应用,
红外夜视仪
176
红外热图
177
量子力学小结
1,微观粒子的二象性状态由波函数完全描述。
2,波函数服从薛定谔方程。
3,力学量用算符表示，力学量所能取的值
是其相应算符的本征值。
4,态的叠加原理和 关于, 力学量测量, 的原理。
泡利不相容原理
（费米子系统 n,l,ml,ms不能全相同）
不确定关系（海森泊） 隧道效应
微观粒子有自旋运动，有自旋轨道耦合能
选择定则 电子云
178
（玻尔、海森伯、波恩,
泡利、狄拉克等）
① 波粒二象性是互补的 。
量子力学是统计的理论,不确定关系是粒子
波动性的表现，原则上不可避免。
② 量子力学 现有的形式和解释 是完备的。
（爱因斯坦、德布罗意,
薛定谔等）
①,上帝是不会投骰子的”,波动性、粒子性的统
计
解释只对大量粒子系统有意义。 ② 量子力学现有体系并不完备,爱因斯坦仍然认为
量子力学的统计理论只是一种权宜之计，并非最
终的理论，应进一步探索波、粒统一的本质。
哥本哈根学派的观点
反对哥本哈根学派的观点
关于量子力学的争论
179
爱因斯坦和玻尔两人在激烈争论后正陷入沉思之中
180
到目前为止，争论仍在进行。
,目前只能讨论概率。虽然是‘目前’，但 非常可能
永 远如此,非常可能 永远无法解决这个疑难,非常
可能 自然界就是如此。”
费曼（ 1965,Nob） 在他的讲义中写道,
量子物理 结束
181
五,光学谐振腔 纵膜与横模
(optical harmonic oscillator)
(longitudinal mode and transverse mode)
激光器有两个反射镜,
它们构成一个光学谐振腔。
激励能源
?
全反射镜 部分反射镜
?
激光
182
光学谐振腔的作用,
1.使激光具有极好的 方向性 （沿轴线）；
2.增强 光放大 作用（延长了工作物质）；
3.使激光具有极好的 单色性 （选频）。
阈值条件为
mG
RRL
G ??
21
1
ln
2
1
对于可能有多种跃迁的情况,
可以利用阈值条件来选出一种跃迁。
选频之一,
183
我们可以控制 Ｒ 1,Ｒ 2的大小,
对 0.6328 ?m,Ｒ 1,R2大
— Gm 小 (易满足阈值条件，使形成激光 ) ；
对 1.15 ?m, 3.39 ?m,Ｒ 1,Ｒ 2小
— Gm大（不满足阈值条件，形不成激光）。
例如，氦氖激光器 Ne 原子的
0.6328 ?m,1.15 ?m,3.39 ?m 受激辐射
光中,只让波长 0.6328 ?m的光输出。
由于反射率 R1,R2 与波长有关，设计其值,
184
设氦氖激光器 Ne原子的
0,6328 ?m受激辐射光
的谱线宽度为 ??,
如图所示。 ?
)( 0?I
)( 0?I
2
)( 0?I ?
?0
?? ? 1.3?109 Hz
对于单一的跃迁，还可以利用
选择纵模间隔 的方法，进一步
在该谱线宽度内再选频。
选频之二,
185
?
)( 0?I
)( 0?I
2
)( 0?I ?
0
?0
由于
??
c=
为什么激光的谱线宽度会
小到 ?? ? 10-8?？
( )
2
8
9210
1071
103
1031106328
×=
×
×××
=
.
.
?
????? 2c=∴
-
取绝对值
c
???
??
2
=
186
由于光学谐振腔两端反射镜处必是波节,
所以有 光程
2
kknL ??
( k=1,2,3,…, )
? k—真空中的波长
L
k=1
k=2
k=3
k
nL
k
2
??
n —谐振腔内媒质的折射率
（相应于 k 次谐频
的简正模式）
187
激光管中可以存在的纵模频率为
nL
c
k
c
k
k
2
??
?
?
相邻两个纵模频率的间隔为
nL
c
k 2?? ?
数量级估计,Ｌ ～ 1ｍ；
n～ 1.0；
c～３ × 108 m?s
Zk nL
c
???
??
?
??? 8
8
105.1
112
103
2
?
188
而氦氖激光器 0.6328 ?m 谱线的宽度为
?? =1,3× 109 HZ
因此，在 ?? 区间中，可以存在的纵模个数为
8
105.1
103.1
8
9
?
?
?
?
?
?
?
k
N
?
?
189
利用加大纵模频率间隔 ??k的方法,可以使 ??
区间中只存在一个纵模频率。
例如, 短腔法。 缩短管长 Ｌ 到 10 cｍ,
即 Ｌ ?L/10
则 ??k?10 ??k
在 ?? 区间中，可能存在的纵模个数为 Ｎ =1。
于是就获得了谱线宽度非常窄的激光输出,
极大地提高了 0.6328 ?m 谱线的单色性。
nL
c
k 2?? ?
190
例,法布里 —珀罗 标准具 （ F-P） 选纵模,
短腔法使激光器的输出功率受到限制 。
F-P标准具 是由两块相对表面平行度极高,
且镀有反射率很高的银膜的玻璃板组成 。
θ
n
r
(反射率 )
r
F-P
h
在 外腔式激光谐振腔 内插入 F-P标准具。
191
F-P标准具 的 透射率 T 与 r,h,n,? 有关 。
（ 利用多光束干涉的原理, 具体略 ）
θ
n r
(反射率 )
r
F-P h
其他的纵模都因为对 F-P标准具 的透射率很低
（相当于损耗很大）而不能形成激光振荡,
这就达到了选频目的。
适当地选择参量，可以使 F-P标准具 对某种纵模
频率的光透射率特别高，而形成激光振荡；
192
基横模 高阶横模
轴
对
称
分
布
旋
转
对
称
分
布
激光除了有 纵向驻波 模式外，还有 横向驻波 模式,
193
基横模驻波在激光光束的横截面上
各点的位相相同，空间相干性最好。
基横模驻波在激光光束的横截面上
强度是非均匀分布的，中间大、周围小,
呈高斯分布。
基横模
194
小结：产生激光的必要条件
1,激励能源（使原子激发）
2,粒子数反转（有合适的亚稳态能级）
3,光学谐振腔（方向性，光放大，单色性）
注,自由电子激光 是利用自由电子为工作媒质
而产生的强相干辐射，它的产生机理不同
于我们前面讲的原子内束缚态电子的受激
辐射，不需要粒子数反转。可参阅 P144 。
195
说明 1,
激光符合形成一个耗散结构
必须具有的五个条件,
1.开放系统
2.远离平衡态
3.涨落突变
4.正反馈
5.非线性抑制因素
196
说明 2,
外腔式激光管的布鲁斯特窗起的作用
用布鲁斯特窗可以把接近 50%的光（道）保留下来。
而且出来的激光是偏振的（道） 。
（ 0.96） 10=0.665，（ 0.96） 50=0.130,
（ 0.96） 100= 0.019,根本形不成激光。
假如不是斜的布鲁
斯特窗，而是垂直
的窗，光在反射镜
之间多次来回反射,
损失太大。
在光垂直入射到玻璃表面时,
约有 4%能量反射,
只有 96%透射,
197
六,激光的特性及其应用
★ 方向性极好的强光束
--------准直、测距、切削、武器等。
★ 相干性极好的光束
--------精密测厚、测角，全息摄影等。
例１．激光光纤 由于光波（载波）的
频率比电波的频率高
好几个数量级,
一根极细的激光光纤能
承载的信息量相当于图
片中这麽粗的电缆所能
承载的 信息量。
通讯 利用全反射 的原理
电缆
光缆
198
诊断
观察
（普通光纤）
纤维要排列得
非常整齐,
一一对应。
199
观察
200
例 2, 激光手术
粘视网膜
用激光使脱落的视网膜再复位
（目前已是常规的医学手术）
皮肤处理
用脉冲的染料激光（波长 585nm）
处理皮肤色素沉着
处理前 处理后
201
?照明束 (普通光纤 )
…… 照亮视场
? 纤维镜 （普通 光纤）
…… 成象
? 有源纤维 （ 强激光）
…… 使堵塞物熔化
臂动脉
主动脉
冠状动脉
内窥镜
附属通道 有源纤维 套环
纤维镜 照明束
? 附属通道
（可注入气或液）
…… 排除残物以明视线
? 套环
…… （可充、放气）
阻止血流或使血流流通
心脏手术 （不需开胸，不住院）
202
▲ 激光焊接
高能激光（能产生约 5500 oC的高温）
把大块硬质材料焊接在一起
203
▲ 激光核聚变
这是在靶室内十束激光同时聚向一个产生
核聚变反应的小燃料样品上，引发核聚变。
激光射到氘和
氚的混合体,
产生高温和高
压，促使两种
原子核聚合为
氦和中子，同
时放出巨大能
量。
204
例 3．激光 - 原子力
显微镜 (AFM)
用一根钨探针或硅
探针在距试样表面
几毫微米的高度上
扫描,来探测固体
表面的情况。
试样通常是
微电子器件。
探针尖端在工作时处于
受迫振动状态，其频率
接近于探针的共振频率。
激光 -原子力显微镜
（ AFM） 激光器
分束器
布喇格室
棱镜
反馈机构
接计算机
微芯片
压电换能器
压电控制装置
205
探针尖端在受样品
原子的范得瓦尔斯吸
引力的作用时，其共
振频率发生变化，因
而振幅也随之改变。
为了知道尖端的振
幅情况，将一束激光
分成两束。
其中一束通过棱镜
时反射，作为参考光；
另一束从探针背面反
射回来，是信息光。
激光 -原子力显微镜
（ AFM） 激光器
分束器
布喇格室
棱镜
反馈机构
接计算机
微芯片
压电换能器
压电控制装置 这两束光重新会合后发生干涉。
206
可检测出尺度小至
5nm的
表面起伏变化。
应用：检查制作微电路
用的硅表面的质量；
检查微电路成品。
激光 -原子力显微镜
（ AFM） 激光器
分束器
布喇格室
棱镜
反馈机构
接计算机
微芯片
压电换能器
压电控制装置
干涉的情况反映
探针振幅的变化情况
范得瓦尔斯力的情况
试样表面原子起伏情况
207
用 原子力显微镜 看到的形成 PbTeO表面层的原子,
从层底（黑）到层顶（白），约 2 nm。
208
例 5．激光半导体 ( 在固体部分学 )
例 4．激光单原子探测
随着微电子电路技术的进展，硅基片
表面的不平坦度如果超过几个原子厚度就
将被认为是不合格的。
利用极精确的共振跃迁，可以在 1020个原子
中挑出 1个原子。
209
（补充）非线性光学简介（ nonlinear optics）
普通光 符合叠加原理 …… 线性光学
激光 不符合叠加原理 …… 强光光学、非线性光学
EEE)1(p )1(e0r0 ????? ????
…… P 与 E 成线性关系
式中
1-= re ??
对各向同性介质,
★ E 不太大时 电极化强度
---称为电极化率
e
)( ???
0
1 =
210
★ 当 E 很大时 电极化强度
????? 3)3(2)2()1( EEEp ???
------非线性关系
)1(? …… 线性电极化率
)2(? …… 二次（阶）非线性电极化率
)3(? …… 三次（阶）非线性电极化率
可以证明, 后一项对前一项的比值
原子内
光
E
E
E
E
E
E
)(
)(
)(
)(
≈≈≈ ?22
33
1
22
?
?
?
?
m/VE 1110≈原子而
211
? 对普通光
E光 ～ 104 V/m，此时
7
1
2
1
22
10 -≈==
原子内
光
E
E
E
E
E
)(
)(
)(
)(
?
?
?
?
?高阶项不重要,只留第一项，成为线性效应；
? 对激光
E光 ～ 107~1011 V/m（甚至更高），此时
04
1
2
1
22
1010 ~
E
E
E
E
E
)(
)(
)(
)(
-≈==
原子内
光
?
?
?
?
212
2)2( E?第二项 就不能忽略了,
介质就表现出非线性效应。
下面举几个 非线性效应 的例子,
一, 倍频效应
由极化强度 P 中的 第二项 ?（ 2） E 2 会引起
倍频效应,
若 E =E0 cos?t
第二项 ?（ 2） E2 = ?（ 2） E02 cos2?t
= ?（ 2） E02/2（ 1+cos2?t）
则 第一项 ?（ 1） E = ?（ 1） E0 cos?t
213
又如, 钕玻璃激光器的不可见光（ 1,06 ?m）
?铌酸钡钠晶体 ?可见光（ 0,53?m）
实验证明：确实有二倍频现象出现
在激光问世后一年，有人做了以下实验,
石英晶体
6943?
红宝石激光器
紫外 3471.5?
6943?
棱镜
光脉冲
214
二, 混频效应,
设输入两束光 ?1,?2
E = E10 cos?1t+ E20 cos?2t
则 第二项
?（ 2） E2 = ?（ 2） （ E10 cos?1t+ E20 cos?2t） 2
激光器 1
激光器 2
晶体（ KH2PO4）
?1
?2
?1
?2 ?1+ ?2
?1- ?2
2 ?2 2 ?1
?1 ?2
215
=?（ 2） E102 /2（ 1+cos2?1t） +?（ 2） E202 /2（ 1+cos2?2t）
+?（ 2） E10 E20 ? cos(?1+?2)t + cos(?1-?2)t ?
实验证明：确实有混频现象出现
除出现二倍频 2 ?1和 2 ?2外,
还 出现 和频项 (?1+?2) 和 差频项 (?1-?2)。
?（ 2） E2 = ?（ 2） （ E10 cos?1t+ E20 cos?2t） 2
?1- ?2
?1 ?2 2?1 2?2
?1+ ?2
“倍频和混频”扩展了激光的频谱，很有用。
216
三, 自聚焦
由电磁理论
00
1
??
=C
设光矢量为 时，媒质中的电位移矢量的
大小为 D,有
E?
ED r?? 0=
rr
v
?????? 00
11
==
v
rrr
rr
v
C
n ???
????
??
≈===
00
00
1
1
（对光学媒质） v
217
ED r?? 0=
E
D
r
0?
? =即
而由 D 的定义,PED +≡
0?
????? 3)3(2)2()1( EEEp ???
所以
( ) ( ) ( ) ?++++= 33221
0 EEEED ????
( )
+= )(ED
0
1
0 1 ?
?
?
?+
( )
?++=∴ )(r
0
1
1
?
?
?
对普通光
218
)( er ?? +=∴ 1 是常数
由于
e
)( ???
0
1 =
( )
)(r
0
1
1
?
?
? +=∴
所以，折射率 与入射光强无关。
rn ?=
对激光
( ) ( ) ( )
+++=
0
23
0
2
0
1
0 1 ?
?
?
?
?
?
?
EE
)(ED
?+
( ) ( ) ( ) ?++++= 33221
0 EEEED ????
219
?折射率与光强有关，而且随光强增加而增大。
而如果入射光束截面上光强分布不均匀,
则在该截面上，媒质的折射率的分布也不均匀。
激光 基横模 光束的强度在截面上呈高斯分布,
轴线上光强最大，折射率也最大。
( ) ( )
?++++=
0
23
0
2
1
?
?
?
?
??
EE
)( er
( ) ( ) ( )
+++=
0
23
0
2
0
1
0 1 ?
?
?
?
?
?
?
EE
)(ED
?+
这就在媒质内形成一 类似于凸透镜 的结构,
使光向轴上会聚，最后形成一束极细的光丝。
??自聚焦现象
220
四, 光学双稳态
在电磁学，磁滞回线（即 B～ H 曲线）有非线性
性质，利用它可以制作记忆元件。
在非线性光学中也有类似于磁滞回线的现象,
称为 光学双稳态。
I0…… 为输入光强,
I…… 为输出光强。 I0 I 非线性电光晶体
I0
I
I?0 I??0
B
221
当 Io由 0 增大逐渐变强时，输出的光强 I 逐渐增大,
在 Io= Io??时,I 有突升，并且晶体变得透明；
当 Io 再逐渐减小时,I 的下降有滞后现象，而且,
在 Io= Io?时,I 有突降，并且晶体变得不透明。
若原先在 I0? 和 I0” 区间内的 I0对应的是不透明状态,
增大后回到 I0时，对应的是透明状态，再减小后回到 I0时,
对应的又是不透明状态。同一入射光的光强所对应的
透射光的光强有透明、不透明两种稳定状态,
…… 光学双稳态。
I0
I
I?0 I??0
B
I0
222
光学双稳态器件 有可能应用在,
光学逻辑元件等方面。
半导体制成的光学双稳态器件,
? 尺寸小（直径：～ mm，厚度,101 ～ 102?m),
? 功率低（ 10 ?W/?m2 ～ 1 ?W/?m2）,
? 开关时间短（ ～ 10 -12 s）,
有可能成为未来的 光学计算机 的逻辑元件。
,非线性光学简介”结束
高速光通讯,
