第八章
点的合成运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的
几个运动的组合而成－ 合成运动。
§ 8-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
两个坐标系
定坐标系（定系）
动坐标系（动系）
三种运动
绝对运动, 动点相对于定系的运动。
相对运动：动点相对于动系的运动。
牵连运动：动系相对于定系的运动。
绝对轨迹
绝对速度
绝对加速度 av
r
aar
在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的
速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
rvr
rar
相对轨迹
相对速度
相对加速度
evr ear
牵连速度 和牵连加速度
O x
x'y'
y
φ
M
练习：已知,小球的相对速度 u,OM=l。
求：牵连速度和牵连加速度
,??
绝对运动, 直线运动
牵连运动,定轴转动
相对运动,曲线运动（螺旋运动）
动点, 车刀刀尖 动系, 工件
实例一：车刀的运动分析
实例二：回转仪的运动分析
动点,Ｍ 点 动系, 框架
相对运动,圆周运动
牵连运动, 定轴转动
绝对运动,空间曲线运动
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y y t
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绝对运动运动方程
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相对运动运动方程
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动点,M 动系,' ' 'O x y
绝对、相对和牵连运动之间的关系
由坐标变换关系有
例 8-1 点 M相对于动系 沿半径为 r的圆周
以速度 v作匀速圆周运动 (圆心为 O1 ）,动系 相
对于定系 以匀角速度 ω绕点 O作定轴转动，如
图所示。初始时 与 重合，点 M与 O重合。
yxO ??
yxO ??
OxyyxO ??
Oxy
求：点 M的绝对运动方程。
解,
M
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动点：
动系：
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相对运动方程
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求：点 M的绝对运动方程。
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求：点 M的绝对运动方程。
已知,r，相对速度 v,＝ ωt，?
0 0t? ? ? 。
例 8-2 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖
M沿水平轴 x作往复运动，如图所示。设 Oxy为定坐
标系，刀尖的运动方程为 。工件以
等角速度 逆时针转向转动。
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求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
相对运动轨迹
42
22
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已知,求, ? ? 0,??? yxf
相对运动方程
解, 动点,M 动系：工件 ? ?Ox y??
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§ 8-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
速度合成定理的推导
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定系,Ｏ xyz，动系,,动点,Ｍ' ' ' 'O x y z
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导数上加“～”表示相对导数。
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得
点的速度合成定理, 动点在某瞬时的绝对速度等于
它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
例 8-3 刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA的
一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 ω
绕固定轴 O转动时，滑块在摇杆 O1B上滑动，并带
动杆 O1B绕定轴 O1摆动。设曲柄长为 OA=r,两轴间
距离 OO1=l。
求：曲柄在水平
位置时摇杆的角
速度 。
1?
2、运动分析：
绝对运动－绕 O点的圆周运动；相对运动－沿
O1B的直线运动；牵连运动－绕 O1轴定轴转动。
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22
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已知,
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√ √ √
3、
解, 1、动点：滑块 A 动系：摇杆
1OB
例 8-4 如图所示半径为 R、偏心距为 e的凸轮，
以角速度 ω绕 O轴转动，杆 AB能在滑槽中上下平移，
杆的端点 A始终与凸轮接触，且 OAB成一直线。
求：在图示位置时，杆 AB的速度。
解,1、动点,AB杆上 A 动系：凸轮
c o tae ev v O A eOA? ? ?? ? ? ? ?
牵连运动：定轴运动（轴 O）
相对运动：圆周运动（半径 R）
2、绝对运动：直线运动（ AB）
已知：,,
ABe A C R v? ? 。求,。
a e rv v v
OA?
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大小
方向
3、
√ √ √
求：矿砂相对于传送带 B的速度。
例 8-5 矿砂从传送带 A落入到另一传送带 B
上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速
度为,方向与铅直线成 300角。已知
传送带 B水平传动速度 。
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sm32 ?v
解,1、动点：矿砂 M 动系：传送带 B
a r c si n( si n 60 ) 46 12ooe
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牵连运动：平移（ ）
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2、绝对运动：直线运动（ ）
相对运动：未知
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大小?
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3、
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已知：
124 m s,3 m s rv v v?? 。求,。
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例 8-6 圆盘半径为 R，以角速度 ω1绕水平轴 CD
转动，支承 CD的框架又以角速度 ω2绕铅直的 AB轴转
动，如图所示。圆盘垂直于 CD，圆心在 CD与 AB的
交点 O处。
求：当连线 OM在水平位
置时，圆盘边缘上的点 M的绝
对速度。
解,1、动点,M点 动系：框架 BACD
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牵连运动：定轴转动（ AB轴 )
相对运动：圆周运动（圆心 O点）
2、绝对运动：未知
已知：
12,,,MR O M v?? 水平。求,。
21
a e rv v v
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§ ８ -３点的加速度合成定理
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得
2C e rav???rrr令 称为科氏加速度
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有
点的加速度合成定理,动点在某瞬时的绝对加速度等
于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢
量和。
2C e rav???rrr其中科氏加速度
2 s i nC e rav???大小
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方向垂直于 和
指向按右手法则确定
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度
等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
00eC a? ??r r，。当牵连运动为平移时,因此
a e ra a a??r r r
此时有
例 8-8 刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA的
一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 ω
绕固定轴 O转动时，滑块在摇杆 O1B上滑动，并带
动杆 O1B绕定轴 O1摆动。设曲柄长为 OA=r,两轴
间距离 OO1=l。
求,摇杆 O1B在
如图所示位置时的
角加速度。
解,1,动点：滑块 A 动系,O1B杆
绝对运动：圆周运动
2, 速度
相对运动：直线运动（沿 O1B）
牵连运动：定轴转动（绕 O1轴）
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大小
方向 √ √ √
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大小
方向 √ √ √ √ √
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212 c o stne C a x ra a a v r? ? ??? ? ?＋
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沿 轴投影x?
11,,,OA O A r O O l O A? ? ?? ? ? ?已知,常数 水平。求,。
例 8-9 如图所示平面机构中，曲柄 OA=r，以
匀角速度 ωO 转动。套筒 A沿 BC杆滑动。已知：
BC=DE，且 BD=CE=l。
求：图示位置时，杆 BD的角速度和角加速度。
解,1、动点：滑块 A 动系,BC杆
绝对运动：圆周运动（ O点）
相对运动：直线运动（ BC）
牵连运动：平移
2、速度
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大小
方向 √ √ √
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求,。
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大小
方向 √ √ √ √
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求,。
求：该瞬时 AB的速度及加速度。
例 8-10 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速
度 ω绕水平 O轴转动，带动直杆 AB沿铅直线上、下
运动，且 O,A,B 共线。凸轮上与点 A接触的为,
图示瞬时凸轮上点 曲率半径为 ρA,点 的法线与
OA夹角为 θ,OA=l。
'A
'A 'A
绝对运动,直线运动（ AB）
相对运动,曲线运动（凸轮外边缘）
牵连运动,定轴转动（ O轴）
解,1、动点（ AB杆上 A点） 动系,凸轮 O
2,速度
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大小
方向 √ √ √
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A B A B
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求,。
??? t a nt a n lvv ea ?? ??? c o sc o s lvv er ??
3、加速度
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大小
方向 √ √ √ √ √
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O A B O A l C A O
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? ? ? ??? ? ? ? ?已知,常数 共线 。
求,。
例 8-11 圆盘半径 R=50mm，以匀角速度 ω1绕
水平轴 CD转动。同时框架和 CD轴一起以匀角速
度 ω2绕通过圆盘中心 O的铅直轴 AB转动，如图所
示。如 ω1=5rad/s,ω2=3rad/s。
求：圆盘上 1和 2两点的绝对加速度。
解,1、动点,圆盘上点 1（或 2） 动系：框架 CAD
绝对运动：未知
相对运动：圆周运动（ O点）
牵连运动：定轴转动（ AB轴）
2、速度（略）
3、加速度
1 2 1 25 r a d s,3 r a d s,5 0 m m,R a a??? ? ?已知,。求,。
× √ √ √
22
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点 1的牵连加速度与相对加速度在同一直
线上，于是得
点２的牵连加速度 0
ea ?
相对加速度大小为 22
1 1 2 5 0 m m sraR ???
科氏加速度大小为 22 s in 9 0 1 5 0 0 m m s
C e rav ??? o
各方向如图，于是得
a r c ta n 5 0 1 2C
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1 2 1 25 r a d s,3 r a d s,5 0 m m,R a a??? ? ?已知,。求,。
与铅垂方向夹角
点的合成运动
相对某一参考体的运动可由相对于其他参考体的
几个运动的组合而成－ 合成运动。
§ 8-1 相对运动 ·牵连运动 ·绝对运动
两个坐标系
定坐标系（定系）
动坐标系（动系）
三种运动
绝对运动, 动点相对于定系的运动。
相对运动：动点相对于动系的运动。
牵连运动：动系相对于定系的运动。
绝对轨迹
绝对速度
绝对加速度 av
r
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在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点）的
速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。
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相对轨迹
相对速度
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牵连速度 和牵连加速度
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练习：已知,小球的相对速度 u,OM=l。
求：牵连速度和牵连加速度
,??
绝对运动, 直线运动
牵连运动,定轴转动
相对运动,曲线运动（螺旋运动）
动点, 车刀刀尖 动系, 工件
实例一：车刀的运动分析
实例二：回转仪的运动分析
动点,Ｍ 点 动系, 框架
相对运动,圆周运动
牵连运动, 定轴转动
绝对运动,空间曲线运动
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绝对、相对和牵连运动之间的关系
由坐标变换关系有
例 8-1 点 M相对于动系 沿半径为 r的圆周
以速度 v作匀速圆周运动 (圆心为 O1 ）,动系 相
对于定系 以匀角速度 ω绕点 O作定轴转动，如
图所示。初始时 与 重合，点 M与 O重合。
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求：点 M的绝对运动方程。
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s i ns i nc o sc o s1s i nc o s
求：点 M的绝对运动方程。
已知,r，相对速度 v,＝ ωt，?
0 0t? ? ? 。
例 8-2 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖
M沿水平轴 x作往复运动，如图所示。设 Oxy为定坐
标系，刀尖的运动方程为 。工件以
等角速度 逆时针转向转动。
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求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。
相对运动轨迹
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§ 8-2 点的速度合成定理
例：小球在金属丝上的运动
速度合成定理的推导
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定系,Ｏ xyz，动系,,动点,Ｍ' ' ' 'O x y z
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导数上加“～”表示相对导数。
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得
点的速度合成定理, 动点在某瞬时的绝对速度等于
它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。
例 8-3 刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA的
一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 ω
绕固定轴 O转动时，滑块在摇杆 O1B上滑动，并带
动杆 O1B绕定轴 O1摆动。设曲柄长为 OA=r,两轴间
距离 OO1=l。
求：曲柄在水平
位置时摇杆的角
速度 。
1?
2、运动分析：
绝对运动－绕 O点的圆周运动；相对运动－沿
O1B的直线运动；牵连运动－绕 O1轴定轴转动。
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3、
解, 1、动点：滑块 A 动系：摇杆
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例 8-4 如图所示半径为 R、偏心距为 e的凸轮，
以角速度 ω绕 O轴转动，杆 AB能在滑槽中上下平移，
杆的端点 A始终与凸轮接触，且 OAB成一直线。
求：在图示位置时，杆 AB的速度。
解,1、动点,AB杆上 A 动系：凸轮
c o tae ev v O A eOA? ? ?? ? ? ? ?
牵连运动：定轴运动（轴 O）
相对运动：圆周运动（半径 R）
2、绝对运动：直线运动（ AB）
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求：矿砂相对于传送带 B的速度。
例 8-5 矿砂从传送带 A落入到另一传送带 B
上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速
度为,方向与铅直线成 300角。已知
传送带 B水平传动速度 。
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解,1、动点：矿砂 M 动系：传送带 B
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例 8-6 圆盘半径为 R，以角速度 ω1绕水平轴 CD
转动，支承 CD的框架又以角速度 ω2绕铅直的 AB轴转
动，如图所示。圆盘垂直于 CD，圆心在 CD与 AB的
交点 O处。
求：当连线 OM在水平位
置时，圆盘边缘上的点 M的绝
对速度。
解,1、动点,M点 动系：框架 BACD
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牵连运动：定轴转动（ AB轴 )
相对运动：圆周运动（圆心 O点）
2、绝对运动：未知
已知：
12,,,MR O M v?? 水平。求,。
21
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§ ８ -３点的加速度合成定理
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得
2C e rav???rrr令 称为科氏加速度
a e r Ca a a a? ? ?r r r r
有
点的加速度合成定理,动点在某瞬时的绝对加速度等
于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢
量和。
2C e rav???rrr其中科氏加速度
2 s i nC e rav???大小
erv?r r
方向垂直于 和
指向按右手法则确定
当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度
等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。
00eC a? ??r r，。当牵连运动为平移时,因此
a e ra a a??r r r
此时有
例 8-8 刨床的急回机构如图所示。曲柄 OA的
一端 A与滑块用铰链连接。当曲柄 OA以匀角速度 ω
绕固定轴 O转动时，滑块在摇杆 O1B上滑动，并带
动杆 O1B绕定轴 O1摆动。设曲柄长为 OA=r,两轴
间距离 OO1=l。
求,摇杆 O1B在
如图所示位置时的
角加速度。
解,1,动点：滑块 A 动系,O1B杆
绝对运动：圆周运动
2, 速度
相对运动：直线运动（沿 O1B）
牵连运动：定轴转动（绕 O1轴）
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大小
方向 √ √ √
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3、加速度
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大小
方向 √ √ √ √ √
11,,,OA O A r O O l O A? ? ?? ? ? ?已知,常数 水平。求,。
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沿 轴投影x?
11,,,OA O A r O O l O A? ? ?? ? ? ?已知,常数 水平。求,。
例 8-9 如图所示平面机构中，曲柄 OA=r，以
匀角速度 ωO 转动。套筒 A沿 BC杆滑动。已知：
BC=DE，且 BD=CE=l。
求：图示位置时，杆 BD的角速度和角加速度。
解,1、动点：滑块 A 动系,BC杆
绝对运动：圆周运动（ O点）
相对运动：直线运动（ BC）
牵连运动：平移
2、速度
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大小
方向 √ √ √
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求,。
3、加速度
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大小
方向 √ √ √ √
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? ? ? ? ? ?已知,常数 。
求,。
求：该瞬时 AB的速度及加速度。
例 8-10 如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速
度 ω绕水平 O轴转动，带动直杆 AB沿铅直线上、下
运动，且 O,A,B 共线。凸轮上与点 A接触的为,
图示瞬时凸轮上点 曲率半径为 ρA,点 的法线与
OA夹角为 θ,OA=l。
'A
'A 'A
绝对运动,直线运动（ AB）
相对运动,曲线运动（凸轮外边缘）
牵连运动,定轴转动（ O轴）
解,1、动点（ AB杆上 A点） 动系,凸轮 O
2,速度
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大小
方向 √ √ √
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O A B O A l C A O
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求,。
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3、加速度
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大小
方向 √ √ √ √ √
沿 轴投影?
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2
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O A B O A l C A O
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? ? ? ??? ? ? ? ?已知,常数 共线 。
求,。
例 8-11 圆盘半径 R=50mm，以匀角速度 ω1绕
水平轴 CD转动。同时框架和 CD轴一起以匀角速
度 ω2绕通过圆盘中心 O的铅直轴 AB转动，如图所
示。如 ω1=5rad/s,ω2=3rad/s。
求：圆盘上 1和 2两点的绝对加速度。
解,1、动点,圆盘上点 1（或 2） 动系：框架 CAD
绝对运动：未知
相对运动：圆周运动（ O点）
牵连运动：定轴转动（ AB轴）
2、速度（略）
3、加速度
1 2 1 25 r a d s,3 r a d s,5 0 m m,R a a??? ? ?已知,。求,。
× √ √ √
22
2 1 2?2
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大小
方向
2 2 2 2 2
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点 1的牵连加速度与相对加速度在同一直
线上，于是得
点２的牵连加速度 0
ea ?
相对加速度大小为 22
1 1 2 5 0 m m sraR ???
科氏加速度大小为 22 s in 9 0 1 5 0 0 m m s
C e rav ??? o
各方向如图，于是得
a r c ta n 5 0 1 2C
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a
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1 2 1 25 r a d s,3 r a d s,5 0 m m,R a a??? ? ?已知,。求,。
与铅垂方向夹角
