第六章
点的运动学
§ 6-1 矢量法
? ?r r t?rr运动方程
单位 m/s
速度 d
d
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&
加速度 单位
2m/s2
2
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d d
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t t
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rr
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矢端曲线
速度
矢径矢端曲线切线
加速度
速度矢端曲线切线
直角坐标与矢径坐标之间的关系
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运动方程
()
()
()
x x t
y y t
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§ 6-2 直角坐标法
d
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xv
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2
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加速度
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t t t t? ? ? ? ? ? ?
r rrr r r rr
例 6-1 椭圆规的曲柄 OC 可绕定轴 O 转动，
其端点 C 与规尺 AB 的中点以铰链相连接，而规尺
A,B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
,,O C A C B C l M C a t??? ? ? ? ?已知,。
求：① M 点的运动方程；
② 轨迹；
③ 速度；
④ 加速度。
解：点 M作曲线运动，取坐标系 Oxy如图所示。
运动方程
( ) c o s ( ) c o sx O C C M l a t??? ? ? ?
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消去 t,得轨迹
1
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2
2
2
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求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
,,O C A C B C l M C a t??? ? ? ? ? 。已知：
速度
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22
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求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
,,O C A C B C l M C a t??? ? ? ? ? 。已知：
加速度
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? ? talyva yy ?? s i n2????? ???
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rr
求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
,,O C A C B C l M C a t??? ? ? ? ? 。已知：
例 6-2 正弦机构如图所示。曲柄 OM长为 r，绕 O
轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 其中
为 t = 0时的夹角,为一常数。已知动杆上 A,B两
点间距离为 b。求点 A和 B的运动方程及点 B的速度和加
速度。
,??? ?? t
??
解,A,B点都作直线运动，取 Ox轴如图所示。
运动方程
)s i n (s i n ??? ????? trbrbx A
)s in (s in ??? ??? trrx B
求：① A,B点运动方程；
② B点速度、加速度。
,,,O M r t A B b? ? ? ?? ? ? ? ?常数 。已知：
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B点的速度和加速度
? ???? ??? trxv BB c o s?
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周期运动
频率Tf 1?
求：① A,B点运动方程；
② B点速度、加速度。
,,,O M r t A B b? ? ? ?? ? ? ? ?常数 。已知：
例 6-3 如图所示，当液压减振器工作时，它的
活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度
（ 为活塞的速度,k为比例常数 )，初速度为 。
求活塞的运动规律。
a k v??rr vr
0v
r
? ?00,ta k v v v x t?? ? ?rr已知,。求,。
解：活塞作直线运动，取坐标轴 Ox如图所示
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§ 6-3 自然法
()s f t?1,弧坐标
副法线单位矢量 bn???r rr
?r切向单位矢量
nr主法线单位矢量
2、自然轴系
自然坐标轴的几何性质
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rr因为 方向同 nr
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3、速度
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???? —
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0 0 00,,ta v v s s v t? ? ? ? ?
常数
曲线匀变速运动
2
0 0 0
1,,
2t t ta v v a t s s v t a t? ? ? ? ? ?
常数
例 6-4 列车沿半径为 R=800m的圆弧轨道作匀
加速运动。如初速度为零，经过 2min后，速度到
达 54km/h。求列车起点和未点的加速度。
解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。
21 5 m s = 0,1 2 5 m s
120st
va
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2 2 20, 3 0 8 m s
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nat 20, 1 2 5 m staa??
② 1 2 0 sm in2 ??t
22
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R??
00,0tta v v?? ? ?常数
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有
解：由点 M的运动方程，得
txatxv xx 4s i n32,4c o s8 ????? ???
tyatyv yy 4c o s32,4s i n8 ?????? ???
4,0zzv z a z? ? ? ?& &&
2 2 2 2 2 2 28 0m s,3 2 m s
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t? ? ? ?而
2
2, 5 m
n
v
a
? ??故
例 6-5 已知点的运动方程为 x=2sin 4t m，
y=2cos 4t m,z=4t m。 ?求：点运动轨迹的曲率半径 。
例 6-6 半径为 r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动
（称为纯滚动），设轮子转角 为常值），
如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一
点 M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法
向加速度。
(t? ? ??
解,M点作曲线运动，
取直角坐标系如图所示。
O C M C r r t??? ? ?
? ?ttrMOOCx ??? s i ns i n1 ????从而
? ?trMOCOy ?? c o s1c o s11 ????
,,rt? ? ???已知,常数。
求,M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。
由纯滚动条件
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)202s i n2)c o s1(222 ?????? ??????? ttrtrvvv yx （
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求,M点的运动方程、速度、切向和法向加速度。
又点 M的切向加速度为
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则有
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点的运动学
§ 6-1 矢量法
? ?r r t?rr运动方程
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§ 6-2 直角坐标法
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其端点 C 与规尺 AB 的中点以铰链相连接，而规尺
A,B 两端分别在相互垂直的滑槽中运动。
,,O C A C B C l M C a t??? ? ? ? ?已知,。
求：① M 点的运动方程；
② 轨迹；
③ 速度；
④ 加速度。
解：点 M作曲线运动，取坐标系 Oxy如图所示。
运动方程
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例 6-2 正弦机构如图所示。曲柄 OM长为 r，绕 O
轴匀速转动，它与水平线间的夹角为 其中
为 t = 0时的夹角,为一常数。已知动杆上 A,B两
点间距离为 b。求点 A和 B的运动方程及点 B的速度和加
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解,A,B点都作直线运动，取 Ox轴如图所示。
运动方程
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周期运动
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求：① A,B点运动方程；
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活塞在套筒内作直线往复运动。设活塞的加速度
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求活塞的运动规律。
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§ 6-3 自然法
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副法线单位矢量 bn???r rr
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2、自然轴系
自然坐标轴的几何性质
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3、速度
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例 6-4 列车沿半径为 R=800m的圆弧轨道作匀
加速运动。如初速度为零，经过 2min后，速度到
达 54km/h。求列车起点和未点的加速度。
解：列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。
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例 6-6 半径为 r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动
（称为纯滚动），设轮子转角 为常值），
如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一
点 M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法
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