第十一章
动 量 定 理
即
cp m v?
rr
§ 11-1 动量与冲量
1．动量
s/mkg ?单位
1
n
iiip m v???
rr质点系的动量
dd
dd
ci
i i i
rrm m m v
tt? ? ? ?
r
ii
c
mrr
m
?? rr
imm ??
质心,
mvr质点的动量
单位, N·s
2．冲量
I Ft?rr常力的冲量
ddI F t?rr变力的元冲量
2
1
dt
t
I F t? ?rr
在 ～ 内的冲量
1t 2t
2
1
21 d
t
t
m v m v F t I? ? ?? rrrr
§ 11-2 动量定理
1.质点的动量定理
d ( )
d
mv F
t ?
r r
d ( ) dm v F t? rr或
称为 质点动量定理的微分形式,即质点动量的增量
等于作用于质点上的力的元冲量,
1t 2t 1vr
2vr
在 ~ 内,速度由 ~,有
称为 质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点动
量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量,
2.质点系的动量定理
()eiFr ()i
iF
r外力,,内力,
内力性质,
() 0i
iF??
r（ 1）
()( ) 0iOiMF??rr（ 2）
() d0i
iFt??
r（ 3）
( ) ( )d ( ) d deii i i im v F t F t??rrr质 点,
( ) ( )d ( ) d deii i i im v F t F t? ? ? ? ?rrr质点系,
( ) ( )d d deeiip F t I? ? ? ?rrr得
()d
d
e
i
p F
t ??
r r或
称为 质点系动量定理的微分形式,即质点系动量的增量
等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和 ;或质点系动
量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和,
)(
d
d e
x
x F
t
p ?? )(
d
d e
y
y F
t
p ?? )(
d
d e
z
z F
t
p ??
称为 质点系动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内,质点
系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力冲量
的矢量和,
动量定理微分形式的投影式
动量定理积分形式的投影式
)(12 exxx Ipp ??? )(
12 eyyy Ipp ???
)(12 ezzz Ipp ???
()
21 1
n e
iip p I?? ? ?
rrr
1t 2t 1pr 2pr在 内,动量 有
~ ~
3．质点系动量守恒定律
() 0eF??r若,则 = 恒矢量pr
xp若,则 = 恒量0)( ?? e
xF
例 11-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳
的质量为,转子质量为,定子和机壳质心,转子质
心,,角速度 为常量,求基础的水平及铅直
约束力,
1m2m 1O
2O eOO ?21 ?
temgmmF y ?? c o s)( 2221 ???
temF x ?? s in22??
得
emp ?2?
temp x ?? c o s2?
temp y ?? s in2?
解,
12
d
d
y
y
p
F m g m g
t
? ? ?
d
d
x
x
p F
t
?
由
x tem ?? s in22?方向,
动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力
本题的附加动约束力为
y tem ?? c o s22方向,
电机不转时,,称 静约束力 ;
电机转动时的约束力称 动约束力,上面给出的是动约束
力,
0?xF gmmF y )( 21 ??
110 a b a bp p p p? ? ?
r r r r
1 1 1 1( ) ( )b b a b a b a ap p p p? ? ? ?
r r r r
11b b a app??
rr
d ( )V b aq t v v??? rr
解,dt 内流过截面的质量及动量变化为
例 11-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,且是
定常流动,求管壁的附加动约束力,
流体受外力如图,
由动量定理,有
F?r F??r为静约束力 ; 为附加动约束力
0abP F F F ?? ? ? ?r r r r由于
()V b aF q v v??? ??r rr得
d ( ) ( ) dV b a a bq t v v P F F F t? ? ? ? ? ?r r r rrr
()V b a a bq v v P F F F? ? ? ? ? ?r r r rrr即
F F F? ????r r r设
11-3 质心运动定理
1．质心
m
xmx ii
C
??
m
ymy ii
C
??
m
zmz ii
C
??,,
ii
C
mrr
m
?? rr imm ??,
例 11-4 已知, 为常量,均质杆 OA = AB =,两杆质量皆
为,滑块 B 质量,
? l
1m 2m
求,质心运动方程、轨迹及系统动量,
解,设,质心运动方程为t?? ?
消去 t得轨迹方程
1])2/([])2/()(2[ 2
211
2
2121
????? mmlm ymmlmm x cc
tl
mm
mm
t
mm
lm
l
m
l
m
x
C
?
?
c o s
2
)(2
c o s
2
2
2
3
2
21
21
21
211
?
?
?
?
??
?
tl
mm
m
t
mm
l
m
y C ?? s i n
2
s i n
2
2
2
21
1
21
1
?
?
?
?
tlmmxmmvp CCxx ?? s i n)(2 21 ????? ?
tlmymmvp CCyy ?? c o s1??? ?
tmtmmlppp yx ??? 221222122 c o ss i n)(4 ?????
系统动量沿 x,y轴的投影为,
系统动量的大小为,
内力不影响质心的运动,只有外力才能改变质心的运动,
2.质心运动定理
()
1
d ()
d
n e
Ciim v Ft ???
rr由
()
1
d
d
n e
C
ii
vmF
t ???
r r得
()
1
n e
Ciim a F???
rr或
称为 质心运动定理,即,质点系的质量与质心加速度的乘积
等于作用于质点系外力的矢量和,
质心运动守恒定律
() 0eF??r若
则 常矢量
Cv ?
r
0)( ?? exF若
则 常矢量
?Cxv
)( exCx Fma ?? )( eyCy Fma ?? )( ezCz Fma ??
)(
2
e
n
C Fvm ??
?
)(
d
d e
t
C F
t
vm ?? )(0 ebF??
在直角坐标轴上的投影式为,
在自然轴上的投影式为,
例 11-5 均质曲柄 AB长为 r,质量为 m1,假设受力偶作用
以不变的角速度 ω转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活
塞 D,如图所示,滑槽、连杆、活塞总质量为 m2,质心在点 C.
在活塞上作用一恒力 F,不计摩擦及滑块 B的质量,求,作用
在曲柄轴 A处的最大水平约束力 Fx,
tmm
mm
r
t
xa C
Cx ?
? c o s
2d
d
2
1
21
2
2
2
?
?
??
?
? ?
?
???
tmmrFF x ?? c o s2 212 ?
?
??
?
? ???
?
?
??
?
? ???
2
12
m a x 2 m
mrFF ?
显然,最大水平约束力为
应用质心运动定理,解得
? ? FFamm xCx ??? 21
? ?
21
21
1c o sc o s
2 mm
brmrmx C
?
??
?
?
??
? ??? ??
解,如图所示
求,电机外壳的运动,
例 11-6 地面水平,光滑,已知,,,初始静止,
常量, 1
m 2m e
??
21
21 )s i n()(
2 mm
seamsamx
C ?
????? ?
ax C ?1
解,设
由,
21 CC xx ?
?s in
21
2 e
mm
ms
?
?
得