第十三章 动 能 定 理
功是代数量
§ 13-1 力的功
一,常力在直线运动中的功
单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
sFsFW ?? ???? ?c o s
δ c o sW F d s???
元功
δdW F r??r r
二、变力在曲线运动中的功
d d d d
x y zF F i F j F k
r x i y j zk
? ? ?
? ? ?
rr rr
rrrr
记
d d dx y zW F x F y F z? ? ? ?
21 ~ MM力 在 路程上的功为F
?
22
1112 δ ·d
MMW W F r? ? ? ? r r
1 2 1 2()i i iW m g z z? ? ??
1、重力的功
质点系
iiC zmmz ??
由
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
)( 2112 CC zzmgW ???得
)(d 2112 21 zzmgzmgW zz ?????0x y zF F F m g? ? ? ?
三、几种常见力的功
质点
2、弹性力的功
弹簧刚度系数 k(N/m)
0() rF k r l e? ? ?
r r弹性力
弹性力的功为
2
1
12 d
A
A
W F r???
r r
2
1
0( ) d
A
rA k r l e r? ? ? ??
rr
211d d d ( ) d ( ) d
22r
re r r r r r r
r r r? ? ? ? ? ? ?
rr r r r r因
022011,lrlr ???? ??
式中
rlrkW rr d)( 012 21 ????
得
)(2 222112 ?? ?? kW
即
弹性力的功也与路径无关
2
1
12 dzWM
?
?
?? ?
3,定轴转动刚物体上作用力的功
)( 1212 ?? ?? zMW则
?zM若 常量
δ d d dttW F r F s F R ?? ? ? ?r r
由 RFM
tz ?
dzWM???
从角 转动到角 过程中力 的功 为
1? 2? F
r
iM iFr作用在 点的力 的元功 为
力系全部力的元功之和为
d ( ) d
i
i C C i
WW
F r M F
??
?
?
? ? ?
?
??
rrr
4,平面运动刚体上力系的功
δ d d di i i i C i i CW F r F r F r? ? ? ? ? ?r r rr r r
其中 d c o s d ( ) d
i i C i C iF r F M C M F? ? ?? ? ? ? ?
rrr
d d di C i Cr r r??r r ri C iCv v v??r r r由 两端乘 dt,有
ddR C CF r M ??? ? ?r r
其中, 为力系主失,为力系对质心的主矩,
RF?
r
CM
当质心由,转角由 时,力系的功 为
21 ~ CC 21 ~ ??
即,平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,
也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和,
22
11
12 dd
C
R C CCW F r M
?
?
??? ? ???r r
说明,1、对任何运动的刚体,上述结论都适用 ;
2,C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 ;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
1W F S? ? ?
2 0W ?
1 1 2W W W F S? ? ? ? ?
1W F R ?? ? ?
2 0W ?
1 1 2W W W F R ?? ? ? ? ?
已知,均质圆盘 R,m,F=常量,且很大,使 O向右运动,f,初静止。
求,O走过 S路程时力的功。
,SFW d?
1、摩擦力 Fd 的功 S是力在空间的位移，不是
受力作用点的位移,
解：
d d d( ) 2
SW F F S F R F S F S
R? ? ? ? ? ??
不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算,
R
SRFRFSFFFW
TT )()( dd ??????
fsmgFS
SFFS
2
2
??
?? d
2、可将力系向点 O 简化，即
22W F S F S F S m g f s? ? ? ?d
§ 13-2 质点和质点系的动能
2
2
1
iimT ???
2、质点系的动能
1、质点的动能 2
2
1 ?mT ?
单位,J（焦耳）
?? ?? iCi mvvmT i 22 2121
22222
2
1
2
1
2
1
iiiiii rmrmvmT ??? ??? ??
（ 1）平移刚体的动能
（ 2）定轴转动刚体的动能
2
2
1 ?
zJT ?
即
2
2
1
CmvT ?
即
222 )(
2
1
2
1 ?? mdJJT
Cp ???
即,平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和,
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ??
得
速度瞬心为 P
（ 3）平面运动刚体的动能
上面结论也适用于刚体的任意运动,
ddtr? ?r rd
dmFt
? ?r r将 两端点乘,
21d d ( ),d
2m m F r W? ? ? ?? ? ? ?
rr r r由于
§ 13-3 动能定理
1、质点的动能定理
21()
2 mW???d
因此
ddm F r??? ? ?rrr r得
质点 动能定理 的微分形式，即质点动能的增量等于作
用在质点上力的元功。
12
2
1
2
2 2
1
2
1 Wmm ?? ??
质点动能定理的积分形式,在质点运动的某个过程中,质
点动能的改变量等于作用于质点的力作的功,
积分之,有
2、质点系的动能定理
质点系动能定理的微分形式,质点系动能的增量，等于作
用于质点系全部力所作的元功的和,
由
21()
2 i i imW?? ?d
21()
2 i i imW?????d
求和
iTW?? ?d
得
质点系动能定理的积分形式,质点系在某一段运动过程
中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力
在这段过程中所作功的和,
积分之,有
21 iT T W?? ?
3、理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的
柔索等约束的约束力作功等于零,
称约束力作功等于零的约束为理想约束,
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可,
内力作功之和不一定等于零,
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
思考：
已知,m,h,k,其它质量不计,
max?
求,
例 13-1
解,
120,0TT??
m a x
2
m a x 2)(00 ??
khmg ????
k m g hgmkkmg 21 22m a x ????
已知：轮 O, R1, m1,质量分布在轮缘上 ; 均质轮 C, R2,
m2, 纯滚动,初始静止 ;θ,M 为常力偶。
求,轮心 C 走过路程 S时的速度和加速度
例 13-2
1 2 2 s i nW M m g S????
01 ?T
2
2
2
22
2
22
2
1
2
112 )2
1(
2
1
2
1)(
2
1 ??? RmmRmT ???
轮 C与轮 O共同作为一个质点系解,
2
2
1
1,RR
CC ???? ??
1212 TTW ??
1R
S??
)32(
)(2
211
12
mmR
SS i ngRmM
C ?
?? ??
2
2 1 2s in ( 2 3 )4
CM m g S m m???? ? ?)(a
式 (a)是函数关系式，两端对 t求导,得
1 2 2
1
1 ( 2 3 ) si n
2
C
C C Cm m a M m gR
?? ? ?? ? ?
21
1 2 1
2 ( sin )
( 2 3 )C
M m g Ra
m m R
???
?
求,冲断试件需用的能量。
?? 701?
?? 292?
已知：冲击试验机 m=18kg,l=840mm,杆重不计，在
时静止释放，冲断试件后摆至
例 13-3
JW k 92.78?得冲断试件需要的能量为
???? )c o s1(00 1?m g l
0,0 21 ?? TT
kWmg l ?? )cos1( 2?
解,
已知,均质圆盘 R,m,F=常量,且很大,使 O向右运动,f,初静止。
例 13-4
求,O走过 S路程时 ω,。?
R?? ?001 ?T
圆盘速度瞬心为 C,
2
0
2
2
2
02 4
3)
2(2
1
2
1 ??? mmRmT ???
解,
12 TTW ???
2
04
32 ?mm g f sFS ?? )(a
)2(
3
20 m g fF
m
s ???
? ?? mg f sFSW 2
将式 (a)两端对 t求导,并利用,,00
r
a
r ?? ?
??
)2(3 20 m g fFma ??
得
21,OO
已知,,均质 ;杆 m均质,=l,M=常量,纯滚动,处于水
平面内,初始静止,
21OO1r 1m
例 13-5
求, 转过 φ角的21OO,??
,01 ?T
221 )
2
3
3(2
1 ?lmm ??
研究整个系统
),(
11
01
101 r
l
r
l ????? ???
2
2
112
011
2
2
2 )2(2
1
2
1)
3(2
1 ??? rmmmlT ???
解,
?MW ? ??? WTT 12
221 )
2
3
3(2
1 ?? lmmM ?? )(a
2
1 )92(
12
lmm
M
?
? ??
2
1 )92(
6
lmm
M
?
??
式 (a)对任何 φ 均成立,是函数关系,求导得
注意,轮 Ⅰ, Ⅱ 接触点 C是理想约束,
其摩擦力 Fs尽管在空间是移动的,但
作用于速度瞬心,故不作功,
已知,均质杆 OB=AB=l,m在铅垂面内 ;M=常量,初始静止,不
计摩擦,
求,当 A运动到 O点时,？?
A?
例 13-6
01 ?T
ABABC lCC ??? 2
3???
ll
B
OB
B
AB
???? ??,
OBAB ?? ?
? ??? 2)c o s1(2 lmgMW ??
解,
lABA 2·?? ?
2
2 2
1
COBAB mTTT ????
12 TTW ???
? ?)c o s1(321 ??? ??? m g lMmlAB
22
3
4
ABml ??
2
0
2
2
1
2
1
OBABC JJ ? ??
d
WP
t
??
§ 13-4 功率、功率方程、机械效率
d
d t
rP F F v F v
t? ? ? ? ?
rrr r
1,功率, 单位时间力所作的功,
即,功率等于切向力与力作用点速度的乘积,
由,得dW F r? ??r r
作用在转动刚体上的力的功率为
??? zz MtMtWP ??? ddd
单位 W（瓦特）,1W=1J/S
2,功率方程
11
nn
i
i
ii
WT P
tt
?
??
????d
dd
功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点
系的所有力的功率的代数和,
无用有用输入 PPPt
T ???
d
d
或 d
d
TP P P
t? ? ?无用输入 有用
机床
3,机械效率
机械效率
输入
有效
P
P??
有效功率
t
TPP
d
d??
有用有效
多级传动系统
12 n? ? ? ?? L
例 13-7
求,切削力 F的最大值。
5, 4,P ? kw输入 %30?? 输入无用 PP
1 0 0,4 2 / m i n,' 1 1 2 / m i nd n n? ? ?m m r r
已知,
解, kw78.3???
无用输入有用 PPP
·2 3 0dnP F F ????有用
6 0 6 0 3,7 8 1 7,1 9
0,1 4 2FP dn??
?? ? ?
?? kN有用
当 m in/r112??n 时
6 0 3,7 8 6,4 5
0,1 1 1 2F ?
???
?? kN
已知,m, l0, k, R, J。
求,系统的运动微分方程。
例 13-8:
sR??解,
2
d
d
2
1 ?
?
??
?
??
t
smT
2
2 d
d
2
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
? ??
t
s
R
Jm
dd,ssP m g P k s
tt? ? ?重力 弹性力
2
d
d
2
1 ?
?
??
?
??
tJ
?
d
d
T PP
t ??重力 弹性力
t
sks
t
smg
t
s
t
s
R
Jm
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
2 ????
??
?
? ?
ksmgt sR Jm ???
?
??
?
? ?
2
2
2 d
d
令 为弹簧静伸长，即 mg=k,
以平衡位置为原点
0? 0?
0sx???
2
022
Jx
m m g k k x
Rt
kx
???? ? ? ???
??
??
d
d
0dd 2
2
2 ????
??
?
? ? kx
t
x
R
Jm
§ 13-5 势力场,势能,机械能守恒定律
1.势力场
势力场 (保守力场 ):力的功只与力作用点的始、末位置有关,
与路径无关,
? ?,,F F x y z?rr
力场,一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全
由所在位置确定的力的作用,
势力场中,物体所受的力为有势力,
2.势能
在势力场中,质点从点 M运动到任意位置 M0,有势力所
作的功为质点在点 M相对于 M0的势能,
（ 1）重力场中的势能
? ?0 0dZZV m g z m g z z? ? ? ??
? ?0 22 0d 2rr kV F r ??? ? ? ?? r r
（ 2）弹性力场的势能
0,0? ? 为零势能点 则
2
2 ?
kV ?
? ?00 d d d dMM x y zV F r F x F y F z? ? ? ? ??? r r
0M
称势能零点
（ 3）万有引力场中的势能
00 12
2dd
AA
r
fm mV F r e r
r? ? ? ? ???
r r r r
ddrr??r r由于 有re
1 12
122
1
11dr
r
f m mV r f m m
r r r
??
? ? ? ???
???
取零势能点在无穷远 ??
1r
r
mfmV 21??
0 di
i
M
iiMV F r??? ?
r r
质点系
? ? ? ?00 CCiii zzmgzzgmV ?????重力场
（ 4）质点系受到多个有势力作用
质点系的零势能位置,各质点都处于其零势能点的一组位置,
质点系的势能,质点系从某位置到其零势能位置的运动过程
中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能,
已知,均质杆 l,m,弹簧刚度系数 k,AB水平时平衡，弹
簧变 形为,0?
举例,
求,杆有微小摆角时系统势能,
重力以杆的水平位置为零势能位置,弹簧以自然位置 O为
零势能位置,
? ? kgmlklmglkV 821221 222220 ?????? ????
k
mg
20 ?? 0( ) 0 2A lM F k l m g????
r
? ?
? ?
2
2
2
1
2
1
2
0
22
0
2
0
2
0
2
l
mgllk
m ghkV
?
?????
??
?????
???
取杆平衡位置为零势能点,
22
2
1 lkV ??即
质点系在势力场中运动,有势力功为
2112 VVW ??
对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的,
3,机械能守恒定律
由
1212 WTT ??
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒,此类系
统称 保守系统,
2112 VVW ??
2211 VTVT ???
得
机械能,质点系在某瞬时动能和势能的代数和,
质点系仅在有势力作用下,有
非保守系统的机械能是不守恒的,
已知：重物 m=250kg,以 v=0.5m/s匀速下降，钢索
k=3.35× N/m, 610
求, 轮 D突然卡住时，钢索的最大张力,
例 13-9
st
mg
k? ?
1 0V ?
? ? ? ?222 m a x m a x2 s t s tkV m g? ? ? ?? ? ? ?
卡住前
卡住后
0,21 221 ?? TmT ?
kN45.2??? mgkF st?
解,
得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
st
st g ?
??? 2
m a x 1
kN9.1611
2
m a x ???
?
?
???
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
k
g
mg
g
kkF
st
stst
?
?
???
02
2
2
m a x
2
m a x ????
?
???
? ???
ststst g ?
?????即
由 有
2211 VTVT ???
? ?stmg ?? ?? m a x? ?22
m x a
2
2002
1
st
km ??? ????
? ? 200220 21221 ??? JbkJ ??
取水平位置为零势能位置
0
222
0 / Jkb ??? ??
已知,m,,k,水平位置平衡, OD=CD=b。 初角速
度为 。O
J
0?
求：角速度与 角的关系。?
解,
例 13-10
＊ 4,势力场的其他性质：
z
VF
y
VF
x
VF
zyx ?
???
?
???
?
???,,
(1)有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标
的偏导数冠以负号。
（ 2）势能相等的点构成等势面 。
（ 3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。
系统有多个有势力作用
,,x i y i z i
i i i
V V VF F F
x y z
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ?
等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。
§ 13-6 普遍定理的综合应用
动量、动量矩 动能
矢量，有大小方向
内力不能使之改变
只有外力能使之改变
约束力是外力时对之有影响。不与
能量相互转化，应用时不考虑能量
的转化与损失。
当外力主矢为零时，系统动量 守
恒
当外力对定点 O或质心的主矩为零
时系统对定点或者质心的动量矩守
恒。
动量定理描述质心的运动变化
动量矩定理描述绕质心或绕定点的
运动变化。
非负的标量，与方向无关
内力作功时可以改变动能
理想约束不影响动能
在保守系统中，机械能守恒
动能定理描述质心运动及相对质
心运动中动能的变化。
已知,均质园轮 m,r,R,纯滚动,
求,轮心 Ｃ 的运动微分方程,
例 1
d
d
sP m g m g
t??
??? ? ? ?
????
rr r rd
d
smg
t ???
rr
dsin
d
smg
t???
2 2 21 1 3
2 2 4C C CT m J m? ? ?? ? ?
解,
重力的功率
? ?d s ind smgt ???
T P
t ?
d
d
?（ 很小）2
2
d dd,,,s in
d d d
C
C
s s s
t t t R r
? ? ? ? ?? ? ? ?
?
? ? 03
2
d
d
2
2
?
?
?
rR
gs
t
s
d3d2 s in
4 d d
C
C
sm m g
tt
???? ? ?
本题也可用机械能守恒定律求解,
? ?? ? 243,c o s1 CmTrRmgV ?? ????
0s in32dd 2
2
?? ?gt s得
? ? 0dd ?? TVt
已知,两均质轮 m,R ; 物块 m,ｋ,纯滚动,于弹簧原长处无
初速释放,
求：重物下降 h时,v,a及滚轮与地面的摩擦力,
例 2
01 ?T解,
2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2 2T m m R m m R m? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
????
? ? 22 2221 khm g hhkm g hW ?????
将式（ a）对 t 求导
? ?dd34 hm m g k htt?? ??
12 TTW ???
（ a）
22
2
32 ?mkhm g h ??
? ?
m
hkhmg
3
22 ???
得
m
khga
3
4
3 ??
? ? RFFRmRt s ???
?
??
?
? ? ?2
2
1
d
d khF 2?其中
khmgmaFF S 34621 ????
已知, l,m,地面光滑,
求,杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力,
例 3
?
???
c o s
2
lCP
CC ??
解,
成 角时
?,01 ?T
2
2
22
2 c o s3
11
2
1
2
1
2
1
CCC mJmT ???? ??
??
?
? ????
? ? 22
c o s3
11
2
1s i n1
2 C
mlmg ?
?
? ?
?
??
?
? ???
l
ggl
C
3,3
2
1 ?? ??
(a)
CN maFmg ??
(b)
?? 122
2ml
JlF CN ??
时0??
tn
C A C A C Aa a a a? ? ?
r r r r由
tC CAaarr,nA CAaarr、其中, 铅直 水平
?2laa tCAC ??
(c)
由 (a),(b),(c) 得
4
mgF
N ?
Aar nCAar
tCAar
已知, 轮 I,r,m1; 轮 III,r,m3; 轮 II,R=2r,m2;压力角（即齿轮间
作用力与图中两圆切线间的夹角）为 20度,物块,mA;在轮 I
上作用有力偶 M，摩擦力不计,
求,O1,O2处的约束力,
例 4
其中
1
2 2
?? ?
,21,2 21112 rmJrr OA ??? ???
? ? 22232211 212121 AAOOO mJJJT ??? ????解,
2
33
2
22 2
1,
2
1 rmJRmJ
OO ??
M
AW M m h????? dd
利用
2,2
1
2
1 ??? ?? ra
A
其中
?d21d rh ?
T W
t ?? ?
d
d
? ?
? ? rmmmm
grmMa
A
A
A
321 442
22
???
??
M
研究 I 轮
r
ramM
r
rmM
P At 1
1
2
12
1
?
?
?
??
?
ttn PPP ?????? 3 6 4.020t a n ?
压力角为 ?20
rPMJ tO ???11?
1 1 0O y tF P m g?? ? ?
1
10,3 6 4 A
Ox
M m r aF
r
??
1 0O x nFP ???
1
1
1
A
Oy
M m r aF m g
r
???
研究物块 A
1T A A A T A AF m g m a F m a m g?? ? ? ? ?
研究 II轮
02 ?? nxO PF
2
10,3 6 4 A
Ox
M m r aF
r
??
? ? 0322 ????? TtyO FgmmPF
? ?
? ?
2 23
1
O y A
AA
M
F m m m g
r
m m a
? ? ? ?
??
已知,m,R,k,CA=2R为弹簧原长,M为常力偶,
求,圆心 C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力,
例 5
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ??????? 22220
2
2 RkRmgMW ?
21T T W?? ?
? ?222 343.023 4 kRR m gMmR ??? ??
2343.02 kRR mgM ??? ?
01 ?T
解,
22222
2 4
3
2
1
2
1
2
1 ?? mRmRmRJT
O ???
??
?
? ???
?45c o sFRMJ ???
? ?
2
1222
2
3 2 ???? RRRkMmR ?
2,C x C ya R a R????
? ?
2
2
3
5 8 6.02
mR
kRM ???
得
OxOx makRF ??? 5 8 6.0
c o s 4 5C y O ym a F m g F? ? ? ? o
CyOy makRmgF ??? 586.0
R
MkRmg 1 8 9.40 4 3.16 6 7.3 ???
kRMR 1 9 6.03 2 ???
c o s 4 5C x O xm a F F? ? ? o
已知：均质杆 AB,l,m,初始铅直静止，无摩擦,
求,1.B端未脱离墙时,摆至 θ角位 置时的,,FBx,FBy? ?
2,B端脱离瞬间的 θ１ 3.杆着地时的 vC及 2?
例 6
? ??? c o s13 ??
l
g ?? s in
2
3
l
g?
?2la tC ?
2
2 ?
la n
C ?
? ?
2
211 c o s
2 2 3
l m lmg ??? ? ?解,(1)
? ?
? ?2c o s2s i n3
4
3
c o ss i n
2 ????
????
??
??
mgmg
aammgF nCtCBy
CyBy mamgF ??
)2co s3(s i n
4
3
)s i nco s(
??
???
??
??
mg
aammaF nCtCCxBx
(2) 脱离瞬间时
0?BxF
1
2a r c c os
3? ? ? ? l
g
l
g ??? ?? c o s13
1
(3) 脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时
glvv CCx 31c o s 1 ?? ?
gllv C 212 1 ?? ?
A
B
C
Cvr
杆着地时,AC水平
C B C Bv v v??
r r r
2 2Cy CB
lvv ?? ? ?
由铅直 —— 水平全过程
? ?2 2 22112 2 2C x C y Clm g m v v J ?? ? ?
01 ?T 12 TTW ??
式中 221,,
3 2 1 2C x C y C
l mlv g l v J?? ? ?
2
8
3
g
l
? ?
l
gv
Cy 3
8
2
1?
glvvv CyCxC 73122 ???
功是代数量
§ 13-1 力的功
一,常力在直线运动中的功
单位 J（焦耳） 1 J = 1 N·m
sFsFW ?? ???? ?c o s
δ c o sW F d s???
元功
δdW F r??r r
二、变力在曲线运动中的功
d d d d
x y zF F i F j F k
r x i y j zk
? ? ?
? ? ?
rr rr
rrrr
记
d d dx y zW F x F y F z? ? ? ?
21 ~ MM力 在 路程上的功为F
?
22
1112 δ ·d
MMW W F r? ? ? ? r r
1 2 1 2()i i iW m g z z? ? ??
1、重力的功
质点系
iiC zmmz ??
由
重力的功只与始、末位置有关，与路径无关。
)( 2112 CC zzmgW ???得
)(d 2112 21 zzmgzmgW zz ?????0x y zF F F m g? ? ? ?
三、几种常见力的功
质点
2、弹性力的功
弹簧刚度系数 k(N/m)
0() rF k r l e? ? ?
r r弹性力
弹性力的功为
2
1
12 d
A
A
W F r???
r r
2
1
0( ) d
A
rA k r l e r? ? ? ??
rr
211d d d ( ) d ( ) d
22r
re r r r r r r
r r r? ? ? ? ? ? ?
rr r r r r因
022011,lrlr ???? ??
式中
rlrkW rr d)( 012 21 ????
得
)(2 222112 ?? ?? kW
即
弹性力的功也与路径无关
2
1
12 dzWM
?
?
?? ?
3,定轴转动刚物体上作用力的功
)( 1212 ?? ?? zMW则
?zM若 常量
δ d d dttW F r F s F R ?? ? ? ?r r
由 RFM
tz ?
dzWM???
从角 转动到角 过程中力 的功 为
1? 2? F
r
iM iFr作用在 点的力 的元功 为
力系全部力的元功之和为
d ( ) d
i
i C C i
WW
F r M F
??
?
?
? ? ?
?
??
rrr
4,平面运动刚体上力系的功
δ d d di i i i C i i CW F r F r F r? ? ? ? ? ?r r rr r r
其中 d c o s d ( ) d
i i C i C iF r F M C M F? ? ?? ? ? ? ?
rrr
d d di C i Cr r r??r r ri C iCv v v??r r r由 两端乘 dt,有
ddR C CF r M ??? ? ?r r
其中, 为力系主失,为力系对质心的主矩,
RF?
r
CM
当质心由,转角由 时,力系的功 为
21 ~ CC 21 ~ ??
即,平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代数和,
也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和,
22
11
12 dd
C
R C CCW F r M
?
?
??? ? ???r r
说明,1、对任何运动的刚体,上述结论都适用 ;
2,C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立 ;
3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
1W F S? ? ?
2 0W ?
1 1 2W W W F S? ? ? ? ?
1W F R ?? ? ?
2 0W ?
1 1 2W W W F R ?? ? ? ? ?
已知,均质圆盘 R,m,F=常量,且很大,使 O向右运动,f,初静止。
求,O走过 S路程时力的功。
,SFW d?
1、摩擦力 Fd 的功 S是力在空间的位移，不是
受力作用点的位移,
解：
d d d( ) 2
SW F F S F R F S F S
R? ? ? ? ? ??
不作功的力可不考虑,因此亦可如下计算,
R
SRFRFSFFFW
TT )()( dd ??????
fsmgFS
SFFS
2
2
??
?? d
2、可将力系向点 O 简化，即
22W F S F S F S m g f s? ? ? ?d
§ 13-2 质点和质点系的动能
2
2
1
iimT ???
2、质点系的动能
1、质点的动能 2
2
1 ?mT ?
单位,J（焦耳）
?? ?? iCi mvvmT i 22 2121
22222
2
1
2
1
2
1
iiiiii rmrmvmT ??? ??? ??
（ 1）平移刚体的动能
（ 2）定轴转动刚体的动能
2
2
1 ?
zJT ?
即
2
2
1
CmvT ?
即
222 )(
2
1
2
1 ?? mdJJT
Cp ???
即,平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能
与绕质心转动的动能之和,
22
2
1
2
1 ?
CC JmvT ??
得
速度瞬心为 P
（ 3）平面运动刚体的动能
上面结论也适用于刚体的任意运动,
ddtr? ?r rd
dmFt
? ?r r将 两端点乘,
21d d ( ),d
2m m F r W? ? ? ?? ? ? ?
rr r r由于
§ 13-3 动能定理
1、质点的动能定理
21()
2 mW???d
因此
ddm F r??? ? ?rrr r得
质点 动能定理 的微分形式，即质点动能的增量等于作
用在质点上力的元功。
12
2
1
2
2 2
1
2
1 Wmm ?? ??
质点动能定理的积分形式,在质点运动的某个过程中,质
点动能的改变量等于作用于质点的力作的功,
积分之,有
2、质点系的动能定理
质点系动能定理的微分形式,质点系动能的增量，等于作
用于质点系全部力所作的元功的和,
由
21()
2 i i imW?? ?d
21()
2 i i imW?????d
求和
iTW?? ?d
得
质点系动能定理的积分形式,质点系在某一段运动过程
中,起点和终点的动能改变量,等于作用于质点系的全部力
在这段过程中所作功的和,
积分之,有
21 iT T W?? ?
3、理想约束
光滑固定面、固定铰支座、光滑铰链、不可伸长的
柔索等约束的约束力作功等于零,
称约束力作功等于零的约束为理想约束,
对理想约束,在动能定理中只计入主动力的功即可,
内力作功之和不一定等于零,
当轮子在固定面只滚不滑时，接触处是否为理想约束？
思考：
已知,m,h,k,其它质量不计,
max?
求,
例 13-1
解,
120,0TT??
m a x
2
m a x 2)(00 ??
khmg ????
k m g hgmkkmg 21 22m a x ????
已知：轮 O, R1, m1,质量分布在轮缘上 ; 均质轮 C, R2,
m2, 纯滚动,初始静止 ;θ,M 为常力偶。
求,轮心 C 走过路程 S时的速度和加速度
例 13-2
1 2 2 s i nW M m g S????
01 ?T
2
2
2
22
2
22
2
1
2
112 )2
1(
2
1
2
1)(
2
1 ??? RmmRmT ???
轮 C与轮 O共同作为一个质点系解,
2
2
1
1,RR
CC ???? ??
1212 TTW ??
1R
S??
)32(
)(2
211
12
mmR
SS i ngRmM
C ?
?? ??
2
2 1 2s in ( 2 3 )4
CM m g S m m???? ? ?)(a
式 (a)是函数关系式，两端对 t求导,得
1 2 2
1
1 ( 2 3 ) si n
2
C
C C Cm m a M m gR
?? ? ?? ? ?
21
1 2 1
2 ( sin )
( 2 3 )C
M m g Ra
m m R
???
?
求,冲断试件需用的能量。
?? 701?
?? 292?
已知：冲击试验机 m=18kg,l=840mm,杆重不计，在
时静止释放，冲断试件后摆至
例 13-3
JW k 92.78?得冲断试件需要的能量为
???? )c o s1(00 1?m g l
0,0 21 ?? TT
kWmg l ?? )cos1( 2?
解,
已知,均质圆盘 R,m,F=常量,且很大,使 O向右运动,f,初静止。
例 13-4
求,O走过 S路程时 ω,。?
R?? ?001 ?T
圆盘速度瞬心为 C,
2
0
2
2
2
02 4
3)
2(2
1
2
1 ??? mmRmT ???
解,
12 TTW ???
2
04
32 ?mm g f sFS ?? )(a
)2(
3
20 m g fF
m
s ???
? ?? mg f sFSW 2
将式 (a)两端对 t求导,并利用,,00
r
a
r ?? ?
??
)2(3 20 m g fFma ??
得
21,OO
已知,,均质 ;杆 m均质,=l,M=常量,纯滚动,处于水
平面内,初始静止,
21OO1r 1m
例 13-5
求, 转过 φ角的21OO,??
,01 ?T
221 )
2
3
3(2
1 ?lmm ??
研究整个系统
),(
11
01
101 r
l
r
l ????? ???
2
2
112
011
2
2
2 )2(2
1
2
1)
3(2
1 ??? rmmmlT ???
解,
?MW ? ??? WTT 12
221 )
2
3
3(2
1 ?? lmmM ?? )(a
2
1 )92(
12
lmm
M
?
? ??
2
1 )92(
6
lmm
M
?
??
式 (a)对任何 φ 均成立,是函数关系,求导得
注意,轮 Ⅰ, Ⅱ 接触点 C是理想约束,
其摩擦力 Fs尽管在空间是移动的,但
作用于速度瞬心,故不作功,
已知,均质杆 OB=AB=l,m在铅垂面内 ;M=常量,初始静止,不
计摩擦,
求,当 A运动到 O点时,？?
A?
例 13-6
01 ?T
ABABC lCC ??? 2
3???
ll
B
OB
B
AB
???? ??,
OBAB ?? ?
? ??? 2)c o s1(2 lmgMW ??
解,
lABA 2·?? ?
2
2 2
1
COBAB mTTT ????
12 TTW ???
? ?)c o s1(321 ??? ??? m g lMmlAB
22
3
4
ABml ??
2
0
2
2
1
2
1
OBABC JJ ? ??
d
WP
t
??
§ 13-4 功率、功率方程、机械效率
d
d t
rP F F v F v
t? ? ? ? ?
rrr r
1,功率, 单位时间力所作的功,
即,功率等于切向力与力作用点速度的乘积,
由,得dW F r? ??r r
作用在转动刚体上的力的功率为
??? zz MtMtWP ??? ddd
单位 W（瓦特）,1W=1J/S
2,功率方程
11
nn
i
i
ii
WT P
tt
?
??
????d
dd
功率方程,即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于质点
系的所有力的功率的代数和,
无用有用输入 PPPt
T ???
d
d
或 d
d
TP P P
t? ? ?无用输入 有用
机床
3,机械效率
机械效率
输入
有效
P
P??
有效功率
t
TPP
d
d??
有用有效
多级传动系统
12 n? ? ? ?? L
例 13-7
求,切削力 F的最大值。
5, 4,P ? kw输入 %30?? 输入无用 PP
1 0 0,4 2 / m i n,' 1 1 2 / m i nd n n? ? ?m m r r
已知,
解, kw78.3???
无用输入有用 PPP
·2 3 0dnP F F ????有用
6 0 6 0 3,7 8 1 7,1 9
0,1 4 2FP dn??
?? ? ?
?? kN有用
当 m in/r112??n 时
6 0 3,7 8 6,4 5
0,1 1 1 2F ?
???
?? kN
已知,m, l0, k, R, J。
求,系统的运动微分方程。
例 13-8:
sR??解,
2
d
d
2
1 ?
?
??
?
??
t
smT
2
2 d
d
2
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
? ??
t
s
R
Jm
dd,ssP m g P k s
tt? ? ?重力 弹性力
2
d
d
2
1 ?
?
??
?
??
tJ
?
d
d
T PP
t ??重力 弹性力
t
sks
t
smg
t
s
t
s
R
Jm
d
d
d
d
d
d
d
d
2
2
2 ????
??
?
? ?
ksmgt sR Jm ???
?
??
?
? ?
2
2
2 d
d
令 为弹簧静伸长，即 mg=k,
以平衡位置为原点
0? 0?
0sx???
2
022
Jx
m m g k k x
Rt
kx
???? ? ? ???
??
??
d
d
0dd 2
2
2 ????
??
?
? ? kx
t
x
R
Jm
§ 13-5 势力场,势能,机械能守恒定律
1.势力场
势力场 (保守力场 ):力的功只与力作用点的始、末位置有关,
与路径无关,
? ?,,F F x y z?rr
力场,一物体在空间任一位置都受到一个大小和方向完全
由所在位置确定的力的作用,
势力场中,物体所受的力为有势力,
2.势能
在势力场中,质点从点 M运动到任意位置 M0,有势力所
作的功为质点在点 M相对于 M0的势能,
（ 1）重力场中的势能
? ?0 0dZZV m g z m g z z? ? ? ??
? ?0 22 0d 2rr kV F r ??? ? ? ?? r r
（ 2）弹性力场的势能
0,0? ? 为零势能点 则
2
2 ?
kV ?
? ?00 d d d dMM x y zV F r F x F y F z? ? ? ? ??? r r
0M
称势能零点
（ 3）万有引力场中的势能
00 12
2dd
AA
r
fm mV F r e r
r? ? ? ? ???
r r r r
ddrr??r r由于 有re
1 12
122
1
11dr
r
f m mV r f m m
r r r
??
? ? ? ???
???
取零势能点在无穷远 ??
1r
r
mfmV 21??
0 di
i
M
iiMV F r??? ?
r r
质点系
? ? ? ?00 CCiii zzmgzzgmV ?????重力场
（ 4）质点系受到多个有势力作用
质点系的零势能位置,各质点都处于其零势能点的一组位置,
质点系的势能,质点系从某位置到其零势能位置的运动过程
中,各有势力做功的代数和为此质点系在该位置的势能,
已知,均质杆 l,m,弹簧刚度系数 k,AB水平时平衡，弹
簧变 形为,0?
举例,
求,杆有微小摆角时系统势能,
重力以杆的水平位置为零势能位置,弹簧以自然位置 O为
零势能位置,
? ? kgmlklmglkV 821221 222220 ?????? ????
k
mg
20 ?? 0( ) 0 2A lM F k l m g????
r
? ?
? ?
2
2
2
1
2
1
2
0
22
0
2
0
2
0
2
l
mgllk
m ghkV
?
?????
??
?????
???
取杆平衡位置为零势能点,
22
2
1 lkV ??即
质点系在势力场中运动,有势力功为
2112 VVW ??
对于不同的零势能位置,系统的势能是不同的,
3,机械能守恒定律
由
1212 WTT ??
质点系仅在有势力作用下运动时,机械能守恒,此类系
统称 保守系统,
2112 VVW ??
2211 VTVT ???
得
机械能,质点系在某瞬时动能和势能的代数和,
质点系仅在有势力作用下,有
非保守系统的机械能是不守恒的,
已知：重物 m=250kg,以 v=0.5m/s匀速下降，钢索
k=3.35× N/m, 610
求, 轮 D突然卡住时，钢索的最大张力,
例 13-9
st
mg
k? ?
1 0V ?
? ? ? ?222 m a x m a x2 s t s tkV m g? ? ? ?? ? ? ?
卡住前
卡住后
0,21 221 ?? TmT ?
kN45.2??? mgkF st?
解,
得
?
?
?
?
?
?
?
?
??
st
st g ?
??? 2
m a x 1
kN9.1611
2
m a x ???
?
?
???
? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
m
k
g
mg
g
kkF
st
stst
?
?
???
02
2
2
m a x
2
m a x ????
?
???
? ???
ststst g ?
?????即
由 有
2211 VTVT ???
? ?stmg ?? ?? m a x? ?22
m x a
2
2002
1
st
km ??? ????
? ? 200220 21221 ??? JbkJ ??
取水平位置为零势能位置
0
222
0 / Jkb ??? ??
已知,m,,k,水平位置平衡, OD=CD=b。 初角速
度为 。O
J
0?
求：角速度与 角的关系。?
解,
例 13-10
＊ 4,势力场的其他性质：
z
VF
y
VF
x
VF
zyx ?
???
?
???
?
???,,
(1)有势力在直角坐标轴上的投影等于势能对于该坐标
的偏导数冠以负号。
（ 2）势能相等的点构成等势面 。
（ 3）有势力方向垂直于等势能面，指向势能减小的方向。
系统有多个有势力作用
,,x i y i z i
i i i
V V VF F F
x y z
? ? ?? ? ? ? ? ?
? ? ?
等势能面不能相交。势能等于零的等势能面为零势能面。
§ 13-6 普遍定理的综合应用
动量、动量矩 动能
矢量，有大小方向
内力不能使之改变
只有外力能使之改变
约束力是外力时对之有影响。不与
能量相互转化，应用时不考虑能量
的转化与损失。
当外力主矢为零时，系统动量 守
恒
当外力对定点 O或质心的主矩为零
时系统对定点或者质心的动量矩守
恒。
动量定理描述质心的运动变化
动量矩定理描述绕质心或绕定点的
运动变化。
非负的标量，与方向无关
内力作功时可以改变动能
理想约束不影响动能
在保守系统中，机械能守恒
动能定理描述质心运动及相对质
心运动中动能的变化。
已知,均质园轮 m,r,R,纯滚动,
求,轮心 Ｃ 的运动微分方程,
例 1
d
d
sP m g m g
t??
??? ? ? ?
????
rr r rd
d
smg
t ???
rr
dsin
d
smg
t???
2 2 21 1 3
2 2 4C C CT m J m? ? ?? ? ?
解,
重力的功率
? ?d s ind smgt ???
T P
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d
?（ 很小）2
2
d dd,,,s in
d d d
C
C
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t t t R r
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2
d
d
2
2
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rR
gs
t
s
d3d2 s in
4 d d
C
C
sm m g
tt
???? ? ?
本题也可用机械能守恒定律求解,
? ?? ? 243,c o s1 CmTrRmgV ?? ????
0s in32dd 2
2
?? ?gt s得
? ? 0dd ?? TVt
已知,两均质轮 m,R ; 物块 m,ｋ,纯滚动,于弹簧原长处无
初速释放,
求：重物下降 h时,v,a及滚轮与地面的摩擦力,
例 2
01 ?T解,
2 2 2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 3
2 2 2 2 2 2T m m R m m R m? ? ? ? ?
??? ? ? ? ? ?
????
? ? 22 2221 khm g hhkm g hW ?????
将式（ a）对 t 求导
? ?dd34 hm m g k htt?? ??
12 TTW ???
（ a）
22
2
32 ?mkhm g h ??
? ?
m
hkhmg
3
22 ???
得
m
khga
3
4
3 ??
? ? RFFRmRt s ???
?
??
?
? ? ?2
2
1
d
d khF 2?其中
khmgmaFF S 34621 ????
已知, l,m,地面光滑,
求,杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力,
例 3
?
???
c o s
2
lCP
CC ??
解,
成 角时
?,01 ?T
2
2
22
2 c o s3
11
2
1
2
1
2
1
CCC mJmT ???? ??
??
?
? ????
? ? 22
c o s3
11
2
1s i n1
2 C
mlmg ?
?
? ?
?
??
?
? ???
l
ggl
C
3,3
2
1 ?? ??
(a)
CN maFmg ??
(b)
?? 122
2ml
JlF CN ??
时0??
tn
C A C A C Aa a a a? ? ?
r r r r由
tC CAaarr,nA CAaarr、其中, 铅直 水平
?2laa tCAC ??
(c)
由 (a),(b),(c) 得
4
mgF
N ?
Aar nCAar
tCAar
已知, 轮 I,r,m1; 轮 III,r,m3; 轮 II,R=2r,m2;压力角（即齿轮间
作用力与图中两圆切线间的夹角）为 20度,物块,mA;在轮 I
上作用有力偶 M，摩擦力不计,
求,O1,O2处的约束力,
例 4
其中
1
2 2
?? ?
,21,2 21112 rmJrr OA ??? ???
? ? 22232211 212121 AAOOO mJJJT ??? ????解,
2
33
2
22 2
1,
2
1 rmJRmJ
OO ??
M
AW M m h????? dd
利用
2,2
1
2
1 ??? ?? ra
A
其中
?d21d rh ?
T W
t ?? ?
d
d
? ?
? ? rmmmm
grmMa
A
A
A
321 442
22
???
??
M
研究 I 轮
r
ramM
r
rmM
P At 1
1
2
12
1
?
?
?
??
?
ttn PPP ?????? 3 6 4.020t a n ?
压力角为 ?20
rPMJ tO ???11?
1 1 0O y tF P m g?? ? ?
1
10,3 6 4 A
Ox
M m r aF
r
??
1 0O x nFP ???
1
1
1
A
Oy
M m r aF m g
r
???
研究物块 A
1T A A A T A AF m g m a F m a m g?? ? ? ? ?
研究 II轮
02 ?? nxO PF
2
10,3 6 4 A
Ox
M m r aF
r
??
? ? 0322 ????? TtyO FgmmPF
? ?
? ?
2 23
1
O y A
AA
M
F m m m g
r
m m a
? ? ? ?
??
已知,m,R,k,CA=2R为弹簧原长,M为常力偶,
求,圆心 C无初速度由最低点到达最高点时,O处约束力,
例 5
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
? ??????? 22220
2
2 RkRmgMW ?
21T T W?? ?
? ?222 343.023 4 kRR m gMmR ??? ??
2343.02 kRR mgM ??? ?
01 ?T
解,
22222
2 4
3
2
1
2
1
2
1 ?? mRmRmRJT
O ???
??
?
? ???
?45c o sFRMJ ???
? ?
2
1222
2
3 2 ???? RRRkMmR ?
2,C x C ya R a R????
? ?
2
2
3
5 8 6.02
mR
kRM ???
得
OxOx makRF ??? 5 8 6.0
c o s 4 5C y O ym a F m g F? ? ? ? o
CyOy makRmgF ??? 586.0
R
MkRmg 1 8 9.40 4 3.16 6 7.3 ???
kRMR 1 9 6.03 2 ???
c o s 4 5C x O xm a F F? ? ? o
已知：均质杆 AB,l,m,初始铅直静止，无摩擦,
求,1.B端未脱离墙时,摆至 θ角位 置时的,,FBx,FBy? ?
2,B端脱离瞬间的 θ１ 3.杆着地时的 vC及 2?
例 6
? ??? c o s13 ??
l
g ?? s in
2
3
l
g?
?2la tC ?
2
2 ?
la n
C ?
? ?
2
211 c o s
2 2 3
l m lmg ??? ? ?解,(1)
? ?
? ?2c o s2s i n3
4
3
c o ss i n
2 ????
????
??
??
mgmg
aammgF nCtCBy
CyBy mamgF ??
)2co s3(s i n
4
3
)s i nco s(
??
???
??
??
mg
aammaF nCtCCxBx
(2) 脱离瞬间时
0?BxF
1
2a r c c os
3? ? ? ? l
g
l
g ??? ?? c o s13
1
(3) 脱离后,水平动量守恒,脱离瞬时
glvv CCx 31c o s 1 ?? ?
gllv C 212 1 ?? ?
A
B
C
Cvr
杆着地时,AC水平
C B C Bv v v??
r r r
2 2Cy CB
lvv ?? ? ?
由铅直 —— 水平全过程
? ?2 2 22112 2 2C x C y Clm g m v v J ?? ? ?
01 ?T 12 TTW ??
式中 221,,
3 2 1 2C x C y C
l mlv g l v J?? ? ?
2
8
3
g
l
? ?
l
gv
Cy 3
8
2
1?
glvvv CyCxC 73122 ???
