第十二章
动 量 矩 定 理
§ 12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
对点 O的动量矩
()OM m v r m v??r r r r
对 z 轴的动量矩
( ) ( )z O x yM m v M m v??? ??rr
代数量,从 z 轴正向看,
逆时针为正,顺时针为
负,
[ ( ) ] ( )O z zM m v M m v?r rr
1
()nO O i i
i
L M m v
?
??rr r
1
()nz z i i
i
L M m v
?
?? r
单位,kg·m2/s
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
对轴的动量矩
[]O z zLL?r O x y zL L i L j L k? ? ? rr rr即
iiiiizz rvmvmML ???? )(
2iiiii rmrrm ???? ??
2iiz rmJ ??
?zz JL ?
（ 1） 刚体平移,可将全部质量集中于质心,
作为一个质点来计算,
()z z CL M m v? r()O O CL M m v?rr r,
（ 2） 刚体绕定轴转动
转动惯量
dd( ) ( )
OM m v r m vtt ??
r r r r
dd ()r m v r m v
tt? ? ? ?
r r r r
§ 12-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理
设 O为定点,有
0v m v??rr
d ()
d m v Ft ?
rr
其中,
d
d
r v
t ?
r r （ O为定点）
d ( ) ( )
d xxM m v M Ft ?
rr
d ( ) ( )
d yyM m v M Ft ?
rr
d ( ) ( )
d zzM m v M Ft ?
rr
投影式,
d ( ) ( )
d OOM m v M Ft ?
r r rr因此
称为 质点的动量矩定理,质点对某定点的动量矩对
时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩,
ddd( ) ( )
d d d
O
O i i O i i
LM m v M m v
t t t? ? ? ?
rrrrr
()d ()
d
eO
Oi
L MF
t ??
r rr得
称为 质点系的动量矩定理,质点系对某定点 O
的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的
外力对于同一点的矩的矢量和,
( ) ( )d ( ) ( ) ( )
d
ie
O i i O i O iM m v M F M Ft ??
r r r r rr
( ) ( )d ( ) ( ) ( )
d
ie
O i i O i O iM m v M F M Ft? ? ? ? ?
r r r r rr
2,质点系的动量矩定理
由于 ()( ) 0i
OiMF??
rr
()d ()
d
ex
xi
L MF
t ??
r
()d ()
d
y e
yi
L MF
t ??
r
投影式,
()d ()
d
ez
zi
L MF
t ??
r
内力不能改变质点系的动量矩,
RmgMM eO ??? ?s in)(
RmgMm v RJt ???? ?? s in][dd
2
2 s in
mRJ
m g RMRa
?
?? ?
例 12-1 已知：,小车不计摩擦,,,,,?MJR m
a求,小车的加速度,
RvmJL O ?? ?解,
R
v?? a
t
v ?
d
d由,,得
例 12-2：已知,,,,,,不计摩擦,m
OJ 1m 2m 1r 2r
?求,（ 1）
NF
（ 2） O处约束力
（ 3） 绳索张力,
1TF 2TF
)( 222211 rmrmJ O ??? ?
() 1 1 2 2( ) ( )eOM F m r m r g? ? ?r
2
22
2
11
2211 )(
d
d
rmrmJ
grmrm
t O ??
??? ??
由,得
()d ()
d
eO
O
L MF
t ??
r
222111 rvmrvmJL OO ??? ?
解,(1)
（ 2） 由质心运动定理
CyN ammmgmmmF )()( 2121 ??????
21
2211
21
2211 )(
mmm
rmrm
mmm
amam
m
ymya
i
ii
CCy ??
???
??
???
?
??? ?????
?11111 1 rmamFgm T ???
)( 111 ?rgmF T ??
)()( 221121 rmrmgmmmF N ?????? ?
（ 3） 研究
1m
?222222 rmamgmF T ???
)( 222 ?rgmF T ??
2m
（ 4） 研究
3．动量矩守恒定律
若,()( ) 0e
OMF??
rr
若,则 常量。()( ) 0e
zMF??
r
zL ?
例：面积速度定理
有心力,力作用线始终通过某固定点,
该点称 力心,
由于,有( ) 0
OMF ?
rr
()M m v r m v? ? ?r r r r常矢量
OL ?
r则 常矢量；
d( 2 )
d
rr m v r m b
t? ? ? ? ?
rr r r
常量
d
d
rr
t??
rr即 常量
d 2dr r A??rr由图,
d
d
A
t ?
因此,常量
（ 1） 与 必在一固定平面内,即点 M的运动
轨迹是平面曲线,
rr vr
称面积速度,d
d
A
t
面积速度定理,质点在有心力作用下其面积速度守恒,
求：剪断绳后,角时的,? ?
例 12-4：两小球质量皆为,初始角速度m
0?
020 221 ?? maamaL z ??
?? 2)s in(22 lamL z ??
时,0??
0?? 时,
2
0
2
)s in( ?
??
la
a
??
由,得
12zzLL?
解,
§ 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
12,,,nF F F
r r rLL主动力,
12,NNFF
rr约束力,
d ( ) ( ) ( )
d iz z i z NJ M F M Ft ? ? ? ? ?
rr
()ziMF?? r
d ()
dz z iJ M Ft
? ?? r即,
()zzJ M F? ?? r
或
2
2
d ()
dzzJ M Ft
? ?? r或
?
转动
微分
方程
例 12-5:已知,,求,
12,,,R J F F
rr ?
RFFJ )( 21 ???
J
RFF )( 21 ???
解,
求微小摆动的周期,例 12-6,物理摆（复摆），已知,aJm
O,,
2
2
d s in
dOJ m g at
? ???解,
?? ?sin微小摆动时，
?? m g atJ O ??2
2
d
d
0dd 2
2
?? ??
OJ
m g a
t
即,
)s in ( ??? ?? t
J
m g a
O
O
通解为
称 角振幅, 称 初相位,由初始条件确定,O? ?
m ga
JT O?2?周期
求：制动所需时间,t
例 12-7：已知：,动滑动摩擦系数,RFJ
NO,,,0? f
0
0
0
dd tONJ fF R t
?
?
?
??? 0O
N
Jt
fF R
??
d
dONJ F R f F Rt
? ??解,
1111 RFMJ t???? 2222 MRFJ t ???
2
12
2
1
12
2
1
1
i
J
J
i
M
M
?
?
??
21
1
2
1221,,,,MMR
RiJJ ? 1?例 12-8：已知 求,.
解,
tt FF ??
1
2
12
2
1
R
Ri ??
?
?因,, 得
2
1 ii
n
iz
rmJ
?
??
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量
单位,kg·m2
1,简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
3d
3
2
0
lxxJ ll
lz
?? ?? ?
2
3
1 mlJ
z ?
lm l??由,得
42)d2(
4
0
2 RrrrJ
A
R
AO ???? ??? ?
222 mRmRRmJ iiz ?????
（ 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
Aiii rrm ?? ?? d2
（ 3）均质圆板对中心轴的转动惯量
2R
m
A ?? ?
式中,
2
2
1 mRJ
O ?
或
2,回转半径（惯性半径）
m
J z
z ??
2zz mJ ??或
2
CzzJ J m d??
3．平行轴定理
Cz dz z式中 轴为过质心且与 轴平行的轴,为
Cz与 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量
与两轴间距离平方的乘积,
2211()
CziJ m x y? ? ?
)( 222 yxmrmJ iiz ?????
])([ 2121 dyxm i ????
iii mdymdyxm ??????? 212121 2)(
01 ????
i
i
C m
ymy
证明,
因为
2
CzzJ J m d??
01 ?? ym i有,得
2
3
1 mlJ
z ?
lm,例 12-9：均质细直杆，已知,
Cz求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。
要求记住三个转动惯量
2
2mR
（ 1） 均质圆盘对盘心轴的
转动惯量
3
2ml
（ 2） 均质细直杆对一端的
转动惯量
12
2ml
（ 3） 均质细直杆对中心轴
的转动惯量
12)2(
2
2 mllmJJ
zzC ???
则
z对一端的 轴，有解：
4．组合法
OJ求,.
l d例 12-10,已知杆长为 质量为,圆盘半径为,
质量为, 1
m
2m
盘杆 OOO JJJ ??
2
3
1 mlJ
O ?杆
2
2
2
2 )2()2(2
1 dlmdmJ
O ???盘
)83( 222 ldldm ???
)83(31 22221 ldldmlmJ O ????
解,
21 JJJ z ??
2
22
2
11 2
1
2
1 RmRm ??
)(21 4241 RRlJ z ?? ??
解,
lRm 222 ???lRm 211 ???其中
mRRl ?? )( 2221??由, 得
)(21 2221 RRmJ z ??
))((21 22212221 RRRRl ??? ??
21,,RRm例 12-11：已知：, zJ求,
5．实验法
O例：求对 轴的转动惯量,
将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动,
m gl
JT ?2?由
lm,T J其中 已知,可测得，从而求得,
解,
6,查表法 均质物体的转动惯量
薄壁圆
筒
细直杆
体积惯性半径转动惯量简 图物体的
形状
2
12 l
mJ
Cz ?
2
3 l
mJ
z ?
32
l
Cz ??
3
l
z ??
2mRJ z ? Rz ?? Rlh?2
薄壁空
心球
空心圆
柱
圆柱
)3(
12
2
1
22
2
lR
m
JJ
mRJ
yx
Z
??
?
?
)3(
12
1
2
22 lR
R
yx
z
??
?
?
??
?
lR2?
)(2 22 rRmJ z ?? )(21 22 rRz ??? )( 22 rRl ??
232 mRJ z ? R
z 3
2?? Rh?23
圆环
圆锥体
实心球
2
5
2 mRJ
Z ? Rz 5
2?? 343 R?
)4(
80
3
10
3
22
2
lrm
JJ
mrJ
yx
Z
??
?
?
)4(
80
3
10
3
22 lr
r
yx
z
??
?
?
??
?
lr23?
)43( 22 rRmJ Z ?? 22 4
3 rR
z ??? Rr 222?
矩形薄
板
长方体
椭圆形
薄板
2
2
22
4
4
)(
4
b
m
J
a
m
J
ba
m
J
y
y
Z
?
?
??
2
2
2
1 22
b
a
ba
y
x
z
?
?
??
?
?
?
abh?
)(
12
)(
12
)(
12
22
22
22
cb
m
J
ca
m
J
ba
m
J
y
y
Z
??
??
??
)(
12
1
)(
12
1
)(
12
1
22
22
22
cb
ca
ba
y
x
z
??
??
??
?
?
?
abc
2
2
22
12
12
)(
12
b
m
J
a
m
J
ba
m
J
y
y
Z
?
?
??
b
a
ba
y
x
z
289.0
289.0
)(121 22
?
?
??
?
?
?
abh
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
? ?C C i i i i iL M m v r m v?? ? ???rr r r r
( 0)iiC mrr m ?? ???
rr
因
有
C i i i rL r m v????
r rr
由于
i C i rv v v??
r r r
C i i C i i i rL r m v r m v??? ? ? ???
r r r r r得
( ' ) 0i i C i i Cr m v m r v?? ? ? ???r r r r
其中
即：无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于
质心的动量矩其结果相同,
? ?O C i i i C i i i i iL r r m v r m v r m v??? ? ? ? ? ? ?? ? ?r r r r r r r r
,i i C i i i Cm v m v r m v L?? ? ??? rr r r r
O C C CL r m v L? ? ?
rrrr
? ?O C CM m v L??rrr
对任一点 O的动量矩：
? ? ? ?d ddd eO C C C i iL r m v L r Ftt ? ? ? ? ??
r rr
r r r
2 相对质心的动量矩定理
? ? ? ?eeC i i ir F r F?? ? ? ??? rrrr
dd,0
dd
CC
CC
rrv m v
tt? ? ?
rr由于
? ?dd dd d dCCC C CrLm v r m vt t t? ? ? ?
rr
r r r即
? ? ? ?dd eC C C ir m v r Ft? ? ? ? rr r r
? ? ? ?eeC i C ir F r F? ? ???rrrr
质点系相对于质心的动量矩定理,质点系相对于
质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系
的外力对质心的主矩,
? ?d '
d
eC
ii
L rF
t ???
r r
r得
? ?d ()
d
eC
Ci
L MF
t ???
r rr或
? ?
? ?()
e
C
e
CC
m a F
J M F?
??? ?
?
?? ??
rr
r
? ?
? ?
2
2
2
2
d
d
d
()
d
eC
e
CC
r
mF
t
J M F
t
?
?
?? ?
?
?
?
??
??
r
r
r
或
§ 12-6 刚体的平面运动微分方程
? ?
? ?
? ?
()
e
Cx x
e
Cy y
e
CC
m a F
m a F
J M F?
???
??
?? ?
?
?? ??
r
以上各组均称为刚体平面运动微分方程,
? ?
? ?
? ?
()
et
Ct
en
Cn
e
CC
m a F
m a F
J M F?
???
??
?? ?
?
?? ?
?
r
应用时一般用投影式,
例 12-12 半径为 r，质量为 m 的均质圆轮沿水平直
线滚动，如图所示,设轮的惯性半径为,作用于轮的
力偶矩为 M.求轮心的加速度,如果圆轮对地面的滑动摩
擦因数为 f，问力偶 M必须符合什么条件不致使圆轮滑动?
C?
解,
?
?
?
?
?
??
??
?
FrMm
mgFma
Fma
C
NCy
Cx
??
2
其中 ?raaaa
CCCxCy ???,,0
得
? ?
? ?
mgFmaF
r
rF
M
rm
Mr
a
NC
C
C
C
??
?
?
?
?
,
,,
22
22
?
?
纯滚动的条件, Ns FfF ?
即
r
rmgfM C
s
22 ??
?
例 12-13 均质圆轮半径为 r质量为 m,受到轻
微扰动后，在半径为 R的圆弧上往复滚动，如图所
示,设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动,
求,质心 C的运动规律,
ra tC ??
由于 ? ?21
,,s in2tCCa S J m r ? ? ?? ? ?&& 很小
解, ?s inmgFma t
C ??
CJ F r? ??
?c o s
2
mgFrR vm NC ???
? ??rRs ??
其解为 )s in (
00 ?? ?? tss
式中
? ?rR
g
?? 3
22
0?
运动方程为 ? ?
? ? ???
?
???
? ?
?
?? t
rR
g
g
rRvs
3
2s in
2
3
0
? ?
g
rRvs
2
3,0
00
??? ??得
0dd23 2
2
??? srR gt s得
0?t由 时,,0 0vss ?? ?
动 量 矩 定 理
§ 12-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
对点 O的动量矩
()OM m v r m v??r r r r
对 z 轴的动量矩
( ) ( )z O x yM m v M m v??? ??rr
代数量,从 z 轴正向看,
逆时针为正,顺时针为
负,
[ ( ) ] ( )O z zM m v M m v?r rr
1
()nO O i i
i
L M m v
?
??rr r
1
()nz z i i
i
L M m v
?
?? r
单位,kg·m2/s
2．质点系的动量矩
对点的动量矩
对轴的动量矩
[]O z zLL?r O x y zL L i L j L k? ? ? rr rr即
iiiiizz rvmvmML ???? )(
2iiiii rmrrm ???? ??
2iiz rmJ ??
?zz JL ?
（ 1） 刚体平移,可将全部质量集中于质心,
作为一个质点来计算,
()z z CL M m v? r()O O CL M m v?rr r,
（ 2） 刚体绕定轴转动
转动惯量
dd( ) ( )
OM m v r m vtt ??
r r r r
dd ()r m v r m v
tt? ? ? ?
r r r r
§ 12-2 动量矩定理
1．质点的动量矩定理
设 O为定点,有
0v m v??rr
d ()
d m v Ft ?
rr
其中,
d
d
r v
t ?
r r （ O为定点）
d ( ) ( )
d xxM m v M Ft ?
rr
d ( ) ( )
d yyM m v M Ft ?
rr
d ( ) ( )
d zzM m v M Ft ?
rr
投影式,
d ( ) ( )
d OOM m v M Ft ?
r r rr因此
称为 质点的动量矩定理,质点对某定点的动量矩对
时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩,
ddd( ) ( )
d d d
O
O i i O i i
LM m v M m v
t t t? ? ? ?
rrrrr
()d ()
d
eO
Oi
L MF
t ??
r rr得
称为 质点系的动量矩定理,质点系对某定点 O
的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的
外力对于同一点的矩的矢量和,
( ) ( )d ( ) ( ) ( )
d
ie
O i i O i O iM m v M F M Ft ??
r r r r rr
( ) ( )d ( ) ( ) ( )
d
ie
O i i O i O iM m v M F M Ft? ? ? ? ?
r r r r rr
2,质点系的动量矩定理
由于 ()( ) 0i
OiMF??
rr
()d ()
d
ex
xi
L MF
t ??
r
()d ()
d
y e
yi
L MF
t ??
r
投影式,
()d ()
d
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zi
L MF
t ??
r
内力不能改变质点系的动量矩,
RmgMM eO ??? ?s in)(
RmgMm v RJt ???? ?? s in][dd
2
2 s in
mRJ
m g RMRa
?
?? ?
例 12-1 已知：,小车不计摩擦,,,,,?MJR m
a求,小车的加速度,
RvmJL O ?? ?解,
R
v?? a
t
v ?
d
d由,,得
例 12-2：已知,,,,,,不计摩擦,m
OJ 1m 2m 1r 2r
?求,（ 1）
NF
（ 2） O处约束力
（ 3） 绳索张力,
1TF 2TF
)( 222211 rmrmJ O ??? ?
() 1 1 2 2( ) ( )eOM F m r m r g? ? ?r
2
22
2
11
2211 )(
d
d
rmrmJ
grmrm
t O ??
??? ??
由,得
()d ()
d
eO
O
L MF
t ??
r
222111 rvmrvmJL OO ??? ?
解,(1)
（ 2） 由质心运动定理
CyN ammmgmmmF )()( 2121 ??????
21
2211
21
2211 )(
mmm
rmrm
mmm
amam
m
ymya
i
ii
CCy ??
???
??
???
?
??? ?????
?11111 1 rmamFgm T ???
)( 111 ?rgmF T ??
)()( 221121 rmrmgmmmF N ?????? ?
（ 3） 研究
1m
?222222 rmamgmF T ???
)( 222 ?rgmF T ??
2m
（ 4） 研究
3．动量矩守恒定律
若,()( ) 0e
OMF??
rr
若,则 常量。()( ) 0e
zMF??
r
zL ?
例：面积速度定理
有心力,力作用线始终通过某固定点,
该点称 力心,
由于,有( ) 0
OMF ?
rr
()M m v r m v? ? ?r r r r常矢量
OL ?
r则 常矢量；
d( 2 )
d
rr m v r m b
t? ? ? ? ?
rr r r
常量
d
d
rr
t??
rr即 常量
d 2dr r A??rr由图,
d
d
A
t ?
因此,常量
（ 1） 与 必在一固定平面内,即点 M的运动
轨迹是平面曲线,
rr vr
称面积速度,d
d
A
t
面积速度定理,质点在有心力作用下其面积速度守恒,
求：剪断绳后,角时的,? ?
例 12-4：两小球质量皆为,初始角速度m
0?
020 221 ?? maamaL z ??
?? 2)s in(22 lamL z ??
时,0??
0?? 时,
2
0
2
)s in( ?
??
la
a
??
由,得
12zzLL?
解,
§ 12-3 刚体绕定轴的转动微分方程
12,,,nF F F
r r rLL主动力,
12,NNFF
rr约束力,
d ( ) ( ) ( )
d iz z i z NJ M F M Ft ? ? ? ? ?
rr
()ziMF?? r
d ()
dz z iJ M Ft
? ?? r即,
()zzJ M F? ?? r
或
2
2
d ()
dzzJ M Ft
? ?? r或
?
转动
微分
方程
例 12-5:已知,,求,
12,,,R J F F
rr ?
RFFJ )( 21 ???
J
RFF )( 21 ???
解,
求微小摆动的周期,例 12-6,物理摆（复摆），已知,aJm
O,,
2
2
d s in
dOJ m g at
? ???解,
?? ?sin微小摆动时，
?? m g atJ O ??2
2
d
d
0dd 2
2
?? ??
OJ
m g a
t
即,
)s in ( ??? ?? t
J
m g a
O
O
通解为
称 角振幅, 称 初相位,由初始条件确定,O? ?
m ga
JT O?2?周期
求：制动所需时间,t
例 12-7：已知：,动滑动摩擦系数,RFJ
NO,,,0? f
0
0
0
dd tONJ fF R t
?
?
?
??? 0O
N
Jt
fF R
??
d
dONJ F R f F Rt
? ??解,
1111 RFMJ t???? 2222 MRFJ t ???
2
12
2
1
12
2
1
1
i
J
J
i
M
M
?
?
??
21
1
2
1221,,,,MMR
RiJJ ? 1?例 12-8：已知 求,.
解,
tt FF ??
1
2
12
2
1
R
Ri ??
?
?因,, 得
2
1 ii
n
iz
rmJ
?
??
§ 12-4 刚体对轴的转动惯量
单位,kg·m2
1,简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量
3d
3
2
0
lxxJ ll
lz
?? ?? ?
2
3
1 mlJ
z ?
lm l??由,得
42)d2(
4
0
2 RrrrJ
A
R
AO ???? ??? ?
222 mRmRRmJ iiz ?????
（ 2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
Aiii rrm ?? ?? d2
（ 3）均质圆板对中心轴的转动惯量
2R
m
A ?? ?
式中,
2
2
1 mRJ
O ?
或
2,回转半径（惯性半径）
m
J z
z ??
2zz mJ ??或
2
CzzJ J m d??
3．平行轴定理
Cz dz z式中 轴为过质心且与 轴平行的轴,为
Cz与 轴之间的距离。
即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过
质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量
与两轴间距离平方的乘积,
2211()
CziJ m x y? ? ?
)( 222 yxmrmJ iiz ?????
])([ 2121 dyxm i ????
iii mdymdyxm ??????? 212121 2)(
01 ????
i
i
C m
ymy
证明,
因为
2
CzzJ J m d??
01 ?? ym i有,得
2
3
1 mlJ
z ?
lm,例 12-9：均质细直杆，已知,
Cz求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。
要求记住三个转动惯量
2
2mR
（ 1） 均质圆盘对盘心轴的
转动惯量
3
2ml
（ 2） 均质细直杆对一端的
转动惯量
12
2ml
（ 3） 均质细直杆对中心轴
的转动惯量
12)2(
2
2 mllmJJ
zzC ???
则
z对一端的 轴，有解：
4．组合法
OJ求,.
l d例 12-10,已知杆长为 质量为,圆盘半径为,
质量为, 1
m
2m
盘杆 OOO JJJ ??
2
3
1 mlJ
O ?杆
2
2
2
2 )2()2(2
1 dlmdmJ
O ???盘
)83( 222 ldldm ???
)83(31 22221 ldldmlmJ O ????
解,
21 JJJ z ??
2
22
2
11 2
1
2
1 RmRm ??
)(21 4241 RRlJ z ?? ??
解,
lRm 222 ???lRm 211 ???其中
mRRl ?? )( 2221??由, 得
)(21 2221 RRmJ z ??
))((21 22212221 RRRRl ??? ??
21,,RRm例 12-11：已知：, zJ求,
5．实验法
O例：求对 轴的转动惯量,
将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动,
m gl
JT ?2?由
lm,T J其中 已知,可测得，从而求得,
解,
6,查表法 均质物体的转动惯量
薄壁圆
筒
细直杆
体积惯性半径转动惯量简 图物体的
形状
2
12 l
mJ
Cz ?
2
3 l
mJ
z ?
32
l
Cz ??
3
l
z ??
2mRJ z ? Rz ?? Rlh?2
薄壁空
心球
空心圆
柱
圆柱
)3(
12
2
1
22
2
lR
m
JJ
mRJ
yx
Z
??
?
?
)3(
12
1
2
22 lR
R
yx
z
??
?
?
??
?
lR2?
)(2 22 rRmJ z ?? )(21 22 rRz ??? )( 22 rRl ??
232 mRJ z ? R
z 3
2?? Rh?23
圆环
圆锥体
实心球
2
5
2 mRJ
Z ? Rz 5
2?? 343 R?
)4(
80
3
10
3
22
2
lrm
JJ
mrJ
yx
Z
??
?
?
)4(
80
3
10
3
22 lr
r
yx
z
??
?
?
??
?
lr23?
)43( 22 rRmJ Z ?? 22 4
3 rR
z ??? Rr 222?
矩形薄
板
长方体
椭圆形
薄板
2
2
22
4
4
)(
4
b
m
J
a
m
J
ba
m
J
y
y
Z
?
?
??
2
2
2
1 22
b
a
ba
y
x
z
?
?
??
?
?
?
abh?
)(
12
)(
12
)(
12
22
22
22
cb
m
J
ca
m
J
ba
m
J
y
y
Z
??
??
??
)(
12
1
)(
12
1
)(
12
1
22
22
22
cb
ca
ba
y
x
z
??
??
??
?
?
?
abc
2
2
22
12
12
)(
12
b
m
J
a
m
J
ba
m
J
y
y
Z
?
?
??
b
a
ba
y
x
z
289.0
289.0
)(121 22
?
?
??
?
?
?
abh
§ 12-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
? ?C C i i i i iL M m v r m v?? ? ???rr r r r
( 0)iiC mrr m ?? ???
rr
因
有
C i i i rL r m v????
r rr
由于
i C i rv v v??
r r r
C i i C i i i rL r m v r m v??? ? ? ???
r r r r r得
( ' ) 0i i C i i Cr m v m r v?? ? ? ???r r r r
其中
即：无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于
质心的动量矩其结果相同,
? ?O C i i i C i i i i iL r r m v r m v r m v??? ? ? ? ? ? ?? ? ?r r r r r r r r
,i i C i i i Cm v m v r m v L?? ? ??? rr r r r
O C C CL r m v L? ? ?
rrrr
? ?O C CM m v L??rrr
对任一点 O的动量矩：
? ? ? ?d ddd eO C C C i iL r m v L r Ftt ? ? ? ? ??
r rr
r r r
2 相对质心的动量矩定理
? ? ? ?eeC i i ir F r F?? ? ? ??? rrrr
dd,0
dd
CC
CC
rrv m v
tt? ? ?
rr由于
? ?dd dd d dCCC C CrLm v r m vt t t? ? ? ?
rr
r r r即
? ? ? ?dd eC C C ir m v r Ft? ? ? ? rr r r
? ? ? ?eeC i C ir F r F? ? ???rrrr
质点系相对于质心的动量矩定理,质点系相对于
质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系
的外力对质心的主矩,
? ?d '
d
eC
ii
L rF
t ???
r r
r得
? ?d ()
d
eC
Ci
L MF
t ???
r rr或
? ?
? ?()
e
C
e
CC
m a F
J M F?
??? ?
?
?? ??
rr
r
? ?
? ?
2
2
2
2
d
d
d
()
d
eC
e
CC
r
mF
t
J M F
t
?
?
?? ?
?
?
?
??
??
r
r
r
或
§ 12-6 刚体的平面运动微分方程
? ?
? ?
? ?
()
e
Cx x
e
Cy y
e
CC
m a F
m a F
J M F?
???
??
?? ?
?
?? ??
r
以上各组均称为刚体平面运动微分方程,
? ?
? ?
? ?
()
et
Ct
en
Cn
e
CC
m a F
m a F
J M F?
???
??
?? ?
?
?? ?
?
r
应用时一般用投影式,
例 12-12 半径为 r，质量为 m 的均质圆轮沿水平直
线滚动，如图所示,设轮的惯性半径为,作用于轮的
力偶矩为 M.求轮心的加速度,如果圆轮对地面的滑动摩
擦因数为 f，问力偶 M必须符合什么条件不致使圆轮滑动?
C?
解,
?
?
?
?
?
??
??
?
FrMm
mgFma
Fma
C
NCy
Cx
??
2
其中 ?raaaa
CCCxCy ???,,0
得
? ?
? ?
mgFmaF
r
rF
M
rm
Mr
a
NC
C
C
C
??
?
?
?
?
,
,,
22
22
?
?
纯滚动的条件, Ns FfF ?
即
r
rmgfM C
s
22 ??
?
例 12-13 均质圆轮半径为 r质量为 m,受到轻
微扰动后，在半径为 R的圆弧上往复滚动，如图所
示,设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动,
求,质心 C的运动规律,
ra tC ??
由于 ? ?21
,,s in2tCCa S J m r ? ? ?? ? ?&& 很小
解, ?s inmgFma t
C ??
CJ F r? ??
?c o s
2
mgFrR vm NC ???
? ??rRs ??
其解为 )s in (
00 ?? ?? tss
式中
? ?rR
g
?? 3
22
0?
运动方程为 ? ?
? ? ???
?
???
? ?
?
?? t
rR
g
g
rRvs
3
2s in
2
3
0
? ?
g
rRvs
2
3,0
00
??? ??得
0dd23 2
2
??? srR gt s得
0?t由 时,,0 0vss ?? ?
