第十五章
虚位移原理
§ 15-1 约束 ·虚位移 ·虚功
1 约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为 约束,
限制条件的数学方程称为 约束方程,
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何
约束,
222 lyx ??
（ （ 1）几何约束和运动约束
如
? ?,,0f x y z ?
限制质点系运动情况的运动学条件称 运动约束,
0?? ?rv A
? ? ? ?22 2
0
B A B A
B
x x y y l
y
? ? ? ?
?
0?? ??? rx A
222 ryx AA ??
? ? 222 0x y l v t? ? ?
（ 2）定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称
非定常约束,
不随时间变化的约束 称 定常约束,
（ 3） 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有
限形式的约束称 非完整约束,
约束方程是等式的，称 双侧约束 （或称 固执约束 ）,
约束方程为不等式的，称 单侧约束 （或称 非固执单侧约束 ）
? ?1 1 1,,,,,,0 1,2,,i n n nf x y z x y z i s??LL
n为质点数,S 为约束方程数,
约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程
中的积分项可以积分为有限形式的约束为 完整约束,
本章只讨论 定常的双侧、完整、几何约束,
2 虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
无限小的位移称为 虚位移,只与约束条件有关,
虚位移 ????,,xr? 等
实位移 d,d,drx ?r 等
O
A
B
x
y
Ar?r
Br?r
M
实位移 是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、
主动力以及运动的初始条件有关,
3 虚功
rFW ?? ?? ??
4 理想约束
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和
等于零，称这种约束为 理想约束,
? ? ???? 0iNiNiN rFWW ?? ???
力在虚位移中作的功称虚功,
WM? ???
光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长
的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束,
即 ? ?? 0
ii rF
?? ?
设质点系处于平衡,有
0?? Nii FF ??
或记为 0?? FiW?
此方程称 虚功方程,其表达的原理称 虚位移原理 或 虚功原理,
0???? iNiii rFrF ???? ??
?? ???? 0iNiii rFrF ???? ??
§ 15-2 虚位移原理
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是,
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
等于零,
解析式为 ? ?? ??? 0
iziiyiixi zFyFxF ???
已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄 AB上作用一在水平
面内的力偶 ( ),其力矩,螺杆
的导程为, FF ?
??,FlM 2?
h
求：机构平衡时加在被压物体上的力,
例 15-1
解,
02 ????? ???? FlsFW NF
s??? 与
h
s?
?
?? ?
2
? ??????? ?? 022 ???? hFFlW NF
是任意的因 ??
02 hFFl2 N ?? ? Fh lF N ?4?
给虚位移
以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象
受力如图,
Fr
'Fr
s?
NF
r
??
已知,图中所示结构,各杆自重不计,在 Ｇ 点作用一铅直向上的
力 Ｆ,,lGEDGCBCDCEAC ??????
求：支座 Ｂ 的水平约束力,
例 15-2
解,解除 B端水平约束,以力
代替,如图 (b).
BxF
0
2 c o s,3 sin
2 sin,3 c o s
F B x B G
BG
BG
W F x F y
x l y l
x l y l
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?c o t23 FF Bx ?
代入虚功方程
BxF
r
Bx?
Gy?
Fr
x
0c o s3c o s3c o ss in2( 00 ????? ????????????? lFlklklF Bx
解得
??? c o tc o t23 0kFF Bx ??
0
0
F
B x B C C G G
G
W
F x F y F y
Fy
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c o s3,c o s,s in2
s in3,s in,c o s2
lylylx
lylylx
GCB
GCB
????
???
如图在 CG 间加一弹簧,刚度 k,且已有伸长量,仍求,
0?
在弹簧处也代之以力,如图,
BxF
0CGF F k ???
已知：如图所示椭圆规机构中,连杆 AB长为 l,滑块 Ａ,Ｂ 与杆
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡,
BA FF 与
求：主动力 之间的关系。
例 15-3
解, (1) 给虚位移,,
BA rr ?? ??
? ?? 0ii rF ?? ?
代入虚功方程,有
即 ?ta n
BA FF ?
由 ???? s inc o s
AB rr ?
( 在 A,B 连线上投影相等 )
BA rr ?? ??,
0?? BBAA rFrF ??
c o tA B B BF r F r? ? ??
—— 直接法（几何法）
(2) 用解析法,
建立坐标系如图,
? ? 0x i i y i i z i iF x F y F z? ? ?? ? ??
有 0
B B A AF x F y??? ? ?
?? s in,c o s lylx AB ??
得 ?ta n
BA FF ?
si nBxl? ? ? ??? c osAyl? ? ? ???
代入到 得中,0? ??
ii rF
?? ?
由速度投影定理,有
c o s s i nBAvv???
代入上式
得 ?ta n
BA FF ?
0?? AABB vFvF
(3) 虚速度法
定义,
t
rv
t
rv B
B
A
A dd
???? ??
??,
为虚速度
Avr Bv
r
已知,如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦,
求：机构在图示位置平衡时,主动力偶矩 Ｍ 与主动力
Ｆ 之间的关系,
例 15-4
解, 给虚位移
cr???,
由图中关系有
?
??
sin
e
a
rr ?
?
??????
???? 2s in,s in
hrrhOBr
aCe ????
代入虚功方程得
?2sin
FhM ?
0FCW M F r? ? ? ?? ? ?
er?r
ar?r
rr?r
用虚速度法,
?
??
?? 2s in,s in
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Cae ?????
代入到
20,s inC
FhM F v M?
?? ? ?
用建立坐标,取变分的方法,有
?
??
?
?
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2s in
c ot
0
h
x
BChx
xFM
C
C
C
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??
解得
?2sin
FhM ?
avr
evr
rvr
求,支座 Ａ 的约束力,
AF
已知：如图所示无重组合梁,
例 15-5
解：解除 A处约束，代之,给虚位移，如图 （ b）
AF
代入虚功方程,得
MFFF A 81141183 21 ???
02211 ????? sFMsFsFW AAF ??????
AMA
A sssss ???????????
8
1111,
8
33,
8 1 ?????
AAM2 ssss ???? 14
11
8
11
7
4
7
4 ????
例 15－ 6
已知：平面结构，杆重和摩擦不计。
求：支座 B和 A处的约束力。
A
B C
D
E
a
a
a
a
2a 3a
M
Fr
解,1,支座 B处约束力,
A
B C
D
E
a
a
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a
2a 3a
M
Fr
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r
Br?r
Cr?
r
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r
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虚功方程
0B B HF r F r M? ? ? ?? ? ? ?r r
虚位移之间的关系
BCr A B r A C?? ?
Cr PC? ??? Er PE? ??? EH
r D E r D H?? ?
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P
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10Bra? ??? 2Hra? ??? 2BF F M a??
2.支座 A处水平约束力
A
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虚功方程 0
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虚位移之间的关系 2
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支座 A处铅直约束力
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虚功方程 0A y A HF r M F r? ? ? ?? ? ? ?
虚位移之间的关系 1 1 1A B Cr A P r B P r CP? ? ???
22CEr C P r E P?? ? 2 1 136Ay MPF a??
例 15－ 7
已知：半径为 R的三个齿轮与系杆构成行星机构，由撑杆
CD支撑。 M2和 M3分别作用于轮 Ⅱ, Ⅲ 上，系杆
受力偶 M作用。
求：撑杆内力。
D
A
C
B 2M
3M
1M
解：
A
C
B 2M
3M
1M
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2??
3??
虚功方程
2 2 3 3c os 45 0sCF r M M M? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?o－
虚位移之间的关系
2 2RR?? ????＝ 4CrR? ?? ?＝
r?r
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2
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虚位移原理
§ 15-1 约束 ·虚位移 ·虚功
1 约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为 约束,
限制条件的数学方程称为 约束方程,
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何
约束,
222 lyx ??
（ （ 1）几何约束和运动约束
如
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限制质点系运动情况的运动学条件称 运动约束,
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（ 2）定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称
非定常约束,
不随时间变化的约束 称 定常约束,
（ 3） 其它分类
约束方程中包含坐标对时间的导数,且不可能积分为有
限形式的约束称 非完整约束,
约束方程是等式的，称 双侧约束 （或称 固执约束 ）,
约束方程为不等式的，称 单侧约束 （或称 非固执单侧约束 ）
? ?1 1 1,,,,,,0 1,2,,i n n nf x y z x y z i s??LL
n为质点数,S 为约束方程数,
约束方程中不包含坐标对时间的导数，或者约束方程
中的积分项可以积分为有限形式的约束为 完整约束,
本章只讨论 定常的双侧、完整、几何约束,
2 虚位移
在某瞬时,质点系在约束允许的条件下,可能实现的任何
无限小的位移称为 虚位移,只与约束条件有关,
虚位移 ????,,xr? 等
实位移 d,d,drx ?r 等
O
A
B
x
y
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M
实位移 是质点系真实实现的位移，它与约束条件、时间、
主动力以及运动的初始条件有关,
3 虚功
rFW ?? ?? ??
4 理想约束
如果在质点系的任何虚位移中,所有约束力所作虚功的和
等于零，称这种约束为 理想约束,
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力在虚位移中作的功称虚功,
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光滑固定面约束、光滑铰链、无重刚杆，不可伸长
的柔索、固定端、轮子只滚不滑等约束为理想约束,
即 ? ?? 0
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设质点系处于平衡,有
0?? Nii FF ??
或记为 0?? FiW?
此方程称 虚功方程,其表达的原理称 虚位移原理 或 虚功原理,
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§ 15-2 虚位移原理
对于具有理想约束的质点系,其平衡的充分必要条件是,
作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和
等于零,
解析式为 ? ?? ??? 0
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已知：如图所示,在螺旋压榨机的手柄 AB上作用一在水平
面内的力偶 ( ),其力矩,螺杆
的导程为, FF ?
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求：机构平衡时加在被压物体上的力,
例 15-1
解,
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是任意的因 ??
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给虚位移
以手柄、螺杆和压板组成的系统为研究对象
受力如图,
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已知,图中所示结构,各杆自重不计,在 Ｇ 点作用一铅直向上的
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求：支座 Ｂ 的水平约束力,
例 15-2
解,解除 B端水平约束,以力
代替,如图 (b).
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如图在 CG 间加一弹簧,刚度 k,且已有伸长量,仍求,
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在弹簧处也代之以力,如图,
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已知：如图所示椭圆规机构中,连杆 AB长为 l,滑块 Ａ,Ｂ 与杆
重均不计,忽略各处摩擦,机构在图示位置平衡,
BA FF 与
求：主动力 之间的关系。
例 15-3
解, (1) 给虚位移,,
BA rr ?? ??
? ?? 0ii rF ?? ?
代入虚功方程,有
即 ?ta n
BA FF ?
由 ???? s inc o s
AB rr ?
( 在 A,B 连线上投影相等 )
BA rr ?? ??,
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—— 直接法（几何法）
(2) 用解析法,
建立坐标系如图,
? ? 0x i i y i i z i iF x F y F z? ? ?? ? ??
有 0
B B A AF x F y??? ? ?
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得 ?ta n
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代入到 得中,0? ??
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由速度投影定理,有
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代入上式
得 ?ta n
BA FF ?
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(3) 虚速度法
定义,
t
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A
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为虚速度
Avr Bv
r
已知,如图所示机构,不计各构件自重与各处摩擦,
求：机构在图示位置平衡时,主动力偶矩 Ｍ 与主动力
Ｆ 之间的关系,
例 15-4
解, 给虚位移
cr???,
由图中关系有
?
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代入虚功方程得
?2sin
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用虚速度法,
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20,s inC
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用建立坐标,取变分的方法,有
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rvr
求,支座 Ａ 的约束力,
AF
已知：如图所示无重组合梁,
例 15-5
解：解除 A处约束，代之,给虚位移，如图 （ b）
AF
代入虚功方程,得
MFFF A 81141183 21 ???
02211 ????? sFMsFsFW AAF ??????
AMA
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8
1111,
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11
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例 15－ 6
已知：平面结构，杆重和摩擦不计。
求：支座 B和 A处的约束力。
A
B C
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M
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解,1,支座 B处约束力,
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虚功方程
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虚位移之间的关系
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支座 A处铅直约束力
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虚功方程 0A y A HF r M F r? ? ? ?? ? ? ?
虚位移之间的关系 1 1 1A B Cr A P r B P r CP? ? ???
22CEr C P r E P?? ? 2 1 136Ay MPF a??
例 15－ 7
已知：半径为 R的三个齿轮与系杆构成行星机构，由撑杆
CD支撑。 M2和 M3分别作用于轮 Ⅱ, Ⅲ 上，系杆
受力偶 M作用。
求：撑杆内力。
D
A
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解：
A
C
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虚功方程
2 2 3 3c os 45 0sCF r M M M? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?o－
虚位移之间的关系
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