陇东学院：电磁学：5.电磁学电子教案

电磁学电子教案
作者,王正斌
绪论
? x.1 电磁学研究的对象
? x.2 电磁学发展简史
? x.3 电磁学的内容及结构
? x.4 电磁学课程的地位和作用
x.1 电磁学研究的对象
电磁学是经典物理学的一部分 。 它主要是研究电
荷、电流产生电场、磁场的规律，电场和
磁场的相互作用，电磁场对电荷、电流的
作用，以及电磁场对物质的各种效应等。
x.2.1 电磁学发展简史
1,人类对于电磁现象表面性质的认识,
（ 1） 公元前 585年，希腊哲学家 泰勒斯 已记载了用木块摩擦过的 琥珀 吸引碎草等轻
小物体，以及天然磁矿石吸引铁的现象。摩擦过的煤玉；磁石可以吸引一串铁片、具有
磁极、相同磁极相排斥、弱磁可被强磁改变磁极、磁石制成 罗盘 用于航海。这一相当长
时间琥珀与磁石的性质被看成是其固有的性质。
（ 2）春秋战国时期（公元前 770— 221年），已有, 山上有慈石者，其下有铜金”，
“慈石名铁，或引之也” 等磁石吸铁的记载。东汉已有指南针的前身 司南勺 。在北宋时，
已有利用地磁场进行人工磁化制作指南鱼或用磁石磨针制作 指南针,并用于航海；西汉
末年已有, 瑇瑁吸鍩, 的记载，以及, 元始中 …… 矛端生火,,晋朝, 今人梳头，解着
衣，
有随梳解结，有光者，亦有咤声, 。
2,人类对于电磁现象本质的认识,
（ 1） 1600年，英国的 吉尔伯特 的, 磁石论, 对于磁石的各种基本性质作了系统的定
性描述。把经摩擦的琥珀等能吸引轻小物体的性质称为, 电的, （ electric)。他制作了
第
一只 验电器 。大约在 1660年马得堡的盖利克发明了第一台 摩擦起电机 。在静电实验研究
中起着重要作用，直到十九世纪 霍耳兹 和 特普勒 分别发明 感应起电机 后才被取代。
x.2.2 电磁学发展简史
（ 2） 十八世纪电的研究迅速发展起来。
① 1729年英国的 格雷 研究琥珀的电效应是否可传递给其它物体时，发现导体和绝缘
体的区别。 1733年法国的 杜费 把电区分为, 玻璃的, 和, 树脂的, 两种，他得到：带相
同电
的物体互相排斥，带不同电的物体彼此吸引。他把电想象为二元流体，当它们结合在一
起时，彼此中和。
② 1745年荷兰莱顿的 穆欣布罗克 为了避免电在空气中逐渐消失，试图寻找一种保存
电的方法。从而发明了电容器的原形 — 莱顿瓶 。这种贮存电的方法同时也被德国的 克莱
斯特 独立地发现。
③ 1747年美国的 夫兰克林 认为,在正常条件下电是以一定的量存在于所有物体中的
一种元素；电象流体一样可以流动 。这种电的一元流体理论在今天看来并不正确，但他
使用的 正电 和 负电 的术语至今仍被采用。他观察到导体的尖端易于放电等等。他最著名
的实验是风筝实验。他还建议用 避雷针 来防护建筑物免遭雷击。 1754年首先由 狄维施 实
现，这是迄今所知的电的第一个实际应用。
x.2.3 电磁学发展简史
十八世纪后期，开始电作用的定量研究。
① 1766年 普里斯特利 由实验猜测电力与万有引力有相似的平方反比律；
② 1769年 罗宾逊 由实验第一次直接测定得到验证；
③ 1773年 卡文迪许 由实验推出方次与 2相差不超过 2%,1879年由 麦克斯韦 整
理公诸于世。
④ 1785年 库仑 由, 库仑扭秤, 直接测定了两个静止点电荷的作用力的 库仑定
律 。 从此电学的研究开始进入科学行列。
⑤ 1811年 泊松 把势论用于静电学，发展了静电学的解析理论。
x.2.4 电磁学发展简史
十八世纪后期电学的另一个重大发展是
⑴ 意大利物理学家 伏打 发明 电池 （ 1799年）。
① 1800年 尼科耳森 和 卡莱色耳 用低压电流分解水；
② 1807年 戴维 电解得到多种金属,1811年制成碳极电弧灯；
③ 1839年 卡尔 ?雅可比 和 西门子 发展了 电镀业；
⑵ 1820年丹麦自然哲学家 奥斯特 发现了 电流的磁效应,开拓了电学研究的新纪元。
⑶ 安培, 毕奥 和 萨伐尔 对载流导线进行了研究。
⑷ 电流磁效应的发现打开了电应用的新领域。
① 1825年 斯图金 发 明了 电磁铁 ；
② 1833年 高斯 和 韦伯 制造了第一台简陋的 单线电报机 ；
③ 1837年 惠斯通 和 莫尔斯 独立地发明了电报机； 莫尔斯 还发明了一套电码；
x.2.5 电磁学发展简史
④ 1855年 威廉 ·汤姆孙 解决了水下电缆传输慢的问题,1866年大西洋电缆铺
设成功；
⑤ 1876年美国的 贝尔 发明了 电话机 ；
⑥ 1826年 安培 研究电路得出 安培定律 ；
⑦ 1848年 基尔霍夫 澄清了电位差、电动势、电场强度等概念，并解决了分支
电路问题。
⑸ 1831年 法拉第 发现了 电磁感应定律,其方向由 楞次 于 1834年给出；其数学
公式由 诺埃曼 于 1845年给出。
⑹ 诺埃曼 于 1845年制出第一台 发电机 ； 1821年发现 电动机原理,并制成最初
的电动机； 1833年成功地证明了摩擦起电和伏打电池产生的电相同； 1834
年发现 电解定律 ； 1845年发现 磁光效应 。
x.2.6 电磁学发展简史
⑺ 麦克斯韦 接受了法拉第力线的思想，他认为的磁场在其周围空间激发涡旋
电场，并引入,位移电流,的概念，变化电场引起媒质电位移的变化，电
位移的变化在其周围空间激发涡旋磁场。并用数学公式表示出来，从而得
到了今天以他的姓氏命名的电磁场的普遍方程组 ——麦克斯韦方程组,预
言光是电磁波，并由 赫兹 于 1888年在实验中证实。
⑻ 麦克斯韦电磁理论 开辟了一个全新领域 ——电磁波的应用和研究。
① 1895年 波波夫 和 马可尼 分别实现了无线电信号传输；
② 1901年 马可尼 建立了横跨大西洋的无线电联系；
③ 1904年 弗莱明 发明了 电子管, 1906年 福雷斯特 将其用于线路中；
④ 1896年 洛仑兹 提出,电子论,将麦克斯韦方程组应用到微观领域，将麦
克斯韦电磁理论向前推进了一步；
⑤ 1905年 爱因斯坦 引入 狭义相对论,由洛仑兹变换从电场得到磁场，使电
力和磁力得到统一。
x.2.7 电磁学发展简史
至此，电磁学已发展成为经典物理学中相当完善的一个分
支。可以解释宏观领域内的各种电磁现象。
⑴ 物质的电结构是物质的基本组成形式；
⑵ 电磁场是物质世界的重要组成部分；
⑶ 电磁作用是物质的基本相互作用之一 ；
⑷ 电过程是自然界的基本过程。
x.3 电磁学的内容及结构
电磁学内容共分七章,静电场、静电场中的导体的电介质、稳恒
电流、稳恒磁场、电磁感应和暂态过程、磁介质、麦克斯韦电
磁理论 。
电磁学的内容按性质来分，主要有, 场, 和, 路, 两部分。书中
的第一、二、四、五、六、八章属于前者，第三章属于后者。
x.4 电磁学课程的地位和作用
,电磁学, 这门课程是 物理教育专业 的 专业基础课 。它是后续课
程, 电工学,,, 电子技术基础, 等课程的基础。
第一章 静电场
? 1.1 静电的基本现象和基本规律
? 1.2 电场 电场强度
? 1.3 高斯定理
? 1.4 电位及其梯度
1.1.1 两种电荷 电荷守恒定律
1.1.1 两种电荷
1747年富兰克林发现了电。物体所带的电荷有两种，分别称为正电荷、负电荷。
同号电荷相斥，异号电荷相吸。电荷可以由摩擦起电、静电感应产生。历史上约定,用
丝绸摩擦的玻璃棒带正电，用毛皮摩擦的塑料棒带负电 。
电荷是基本粒子的一个性质，它不能脱离这些基本粒子而存在。
物体具有吸引轻小物体的性质叫做 电性 。带电的物体称为 带电体 。使物体带电叫做 起电，
正、负电荷互相完全抵消的状态叫做 中和 。
1.1.2电荷守恒定律
摩擦起电和静电感应等实验证明,电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一
个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，也就是说，在任何
物理过程中，电荷的代数和是守恒的。
电荷守恒定律适用于一切宏观和微观过程，是物理学中普遍的基本定律之一。
1.1.3 导体、绝缘体和半导体
1.1.3 导体、绝缘体和半导体
按照电荷在其中是否容易转移或传导，习惯上把物体分为：
⑴ 电荷能够从产生的地方迅速转移或传导到其它部分的物体，叫做 导体 ；
⑵ 电荷几乎只能停留在产生的地方的物体，叫做 绝缘体 ；
⑶ 导电能力介于导体和绝缘体之间的物体，叫做 半导体 。
1.1.4 物质的电结构
物质是由分子、原子组成的；而原子又由带正的原子核和带负电的电子组成；原
子核又由不带电的中子和带正电的质子组成。
在正常情况下，物体中任何一部分所包含的电子的总数和质子的总数相等，对外不
显电性。如果在一定的外因作用下，物体（或其中的一部分）得到或失去一定数量的电
子，使得电子的总数和质子的总数不再相等,物体就呈现电性。
摩擦起电和静电感应就是施加一定的外部作用，使某一物体 (或物体的一部分 )得到
(或失去 )一定数量的电子，使电子总数多于 (或少于 )质子总数，从而使该物体 (或物体
的一部分 )带负 (或正 )电。
1.1.5 电荷的量子化
1.1.5 电荷的量子化
1906～ 1917年，密立根 （ R.A.Millikan )用液滴法测定了电子电荷，证明微小粒子带
电量的变化是不连续的，它只能是基本电荷 e的整数倍，即粒子的电荷是量子化的。
迄今所知，电子是自然界中存在的最小负电荷，质子是最小的正电荷。它们的带电量
都是基本电荷 e,
e =1.60217733× 10-19库仑 (C)
库仑 是电量的国际单位。
电荷量子化已在相当高的精度下得到了检验。那么基本电荷 e是不是最基本的呢？
在强子结构的夸克模型（ 1964年）中，夸克带分数电荷，相应的 "反夸克, 带等量反号
的电荷。 上 (up)夸克 的带电量为 2e/3； 下 (down)夸克 的带电量为 - e/3； 奇异 (strange)夸
克 的带电量为 - e/3。 在这一模型中，夸克是受到, 禁闭, 的。迄今为止，尚未在实
验中
找到自由状态的夸克。
现在，分数电荷仍是一个悬而未决的命题。不过即使分数电荷存在，仍然不会改
变电荷量子化的结论，只不过新的基本电荷是原来的 1/3而已。
1.1.7 库仑定律
1.1.6 电荷的相对论不变性
在不同的参照系内观察，同一个带电粒子的电量不变 。电荷的这一性质叫做 电荷的
相对论不变性 。
1.1.7 库仑定律
当带电体的形状和大小与它们之间的距离相比允许忽略时，可以将带电体看作 点电
荷 。
1785年库仑 (Coulomb)从扭秤实验结果，总结出点电荷之间的相互作用力所满足的
规律，这就是 库仑定律,
在真空中，两个静止点电荷之间的相互
作用力与它们的电量的乘积成正比，与它们之
间距离的平方成反比。作用力的方向沿着它们
的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。
1.1.7 库仑定律
即,
(1.1)
比例系数 k由实验确定
引入真空电容率或真空介电常量
则库仑定律可写作
其矢量形式为
(1.2)
121 2 1 22 ?qqF k rr?
9 2 28,98 75 10 ( ) /k N m C? ? ?
1 2 2 20 1 8, 8 5 4 1 8 7 8 1 7 1 0 / ( )4 C N mk? ? ?? ? ? ?
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2
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1.1.7 库仑定律
当空间有两个以上的点电荷时，作用在某一点电荷上的总静电力，等
于其它各点电荷单独存在时对该点电荷所施静电力的矢量和。这是 静电力
的叠加原理 。
库仑定律是直接从实验总结出来的规律，是静电场理论的基础。库仑定
律与牛顿万有引力定律类似，也不是超距作用。按照现代物理学的观点，
相互作用是由场以有限速度传播的。
库仑定律和万有引力定律都是平方反比规律，从数量级上比较，引力要弱
得多，在氢原子内，电子和质子之间的静电力与万有引力的比值为
2.26× 1039。
1.2.1 电场 电场强度
1.2.1 电场
电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围存在有电场，
在电场中的任何带电体，都受到电场的作用力。
电荷周围存在的能对其它带电体施加力的作用的特殊物质,称为 电场 。
电场的性质：
(1)对处于电场中的带电体有力的作用,这表明电场具有 力 的特性；
(2)当带电体在电场中移动时，电场对其作功,这表明电场具有 能 的特性。
1.2.2 电场强度矢量
1.2.2 电场强度矢量
为了描述电场力的性质，则在电场中引入检验电场力的性质的 试探电荷 。
对于试探电荷而言，其 电量必须很小,以避免由于它的引入而对场源电荷产生
影响；其次，其 几何尺寸必须很小,成为名副其实的点电荷，以便能细致地反
映出电场中各 点 的性质。
置于电场中某点的试验电荷将受到源电荷 q作用的电场力，实验证明：该力
的大小与试验电荷的电量成正比，而该力与试验电荷电量的比值则与试验电荷
无关，是一个仅由场源电荷产生的电场性质决定的物理量。用这个物理量作为
描写电场的物理量，称为 电场强度 （简称 场强 ），用 E表示。其定义为：
（ 1.4）
由此可知,电场中某点的电场强度大小等于置于该点的单位正电荷所受的
电场力，方向与正电荷在该点所受电场力的方向一致 。在 SI单位制中，场强的
单位 为 N/C或 V/m。
0q
FE ?? ?
1.2.2 电场强度矢量
一般说来，电场中空间不同点的场强的大小和方向都可以是不同的。 如果电场中各点
的场强大小和方向都相同,这种电场叫做 均匀电场,它是一种特殊情况。
【 例题 1 】 求点电荷 所产生的电场。
【 解 】 如右图示，以点电荷 所在处为原点,另取一任意点
（叫做 场点 ）。设想把一正试探电荷 放在 点，根据库仑定律，
受的力为
p点的场强为
(1.5)
由上式可知
(1) E的方向处处以 q为中心的矢径 （ q﹥0 ）或其反方向（ q﹤0 ）；
(2) E的大小只与距离 r有关,所以在以 q为中心的每个球面上场强的大小相等。通常
说，这样的电场是 球对称 的。
(3)电场在空间是连续分布的,且为矢量，故为 矢量场,它是空间坐标的矢量函数。
q
q o p
0q
0q
rrqqF ?4 1 2 0
0??
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rrqqFE ?4 1 2
00 ??
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p
1.2.3 电场强度叠加原理
1.2.3 电场强度叠加原理
电场力是矢量，它服从矢量叠加原理。即，如果以,, ……,分别表示点电
荷,, ……,单独存在时电场施于空间同一点上试探电荷 的力，则它们同
时存在时，电场施于该点试探电荷的力 将为它们的矢量和，即
将上式除以,由场强的定义，我们得到
由此可见,点电荷组所产生的电场在某点的场强等于各点电荷单独存在时所产生的
电场在该点场强的矢量叠加 。这叫做 电场强度叠加原理 （简称 场强叠加原理 ）。
如果电荷分布已知，那么从点电荷的场强公式出发，利用场强叠加原理，就可以求
出任意电荷分布所激发的电场的场强。
1F? 2F? kF?
1q 2q kq 0q
F?
kFFFF
???? ???????
21
0q
kEEEE
???? ???????
21
1.2.3 电场强度叠加原理
【 例题 2 】 如右下图示，一对等量异号点电荷,其间距离为,求两电
荷延长线和中垂面上一点的场强。
【 解 】 （ 1）中垂面上一点的场强
场点到 的距离相等，产生的场强大小相等为：
但它们沿垂线方向分量互相抵消，在平行于连线方
向分量相等,故有
q? l
q?
4
4
1
2
20 lr
qEE
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2
32
20 )
4(
4
12
lr
qlC O SEE
?
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1.2.3 电场强度叠加原理
（ 2） 延长线一点的场强
向左, 向右, 故总场强大小为
一对等量异号的点电荷组成的带电体系, 它们之间的距离远比场点到它们的
距离小得多, 这种带电体系叫做 电偶极子 。
20 )
2(
4
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lr
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2
2
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2
4
1
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lrEEE
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1.2.3 电场强度叠加原理
故在上面的关系式中有
则有
上式表明：（ 1）电偶极子的场强与距离的三次方成反比；
（ 2）电偶极子的场强与 有关。其中 它是描述电偶极子
属性的物理量，称为 电偶极矩 。
3
2
2
2
2
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?
3
2
32
2
1
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1
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1
r
pE
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3
04
1
r
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????
p qlp ?
1.2.4 电荷连续分布的带电体的场强计算
1.2.4 电荷连续分布的带电体的场强计算
实际中电荷是分布在一定体积内。但根据不同情况可以认为是体、面、线的连续分
布，引入电荷的 体密度, 面密度, 线密度 等概念。
其场强的计算为
注意应化矢量运算为标量运算，并考虑场的对称性 。
dV
dq
e ?? dSdqe ?? dldqe ??
rrdVE
V
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3
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S
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3
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1 ?
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304
1 ?
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1.2.5 带电体在电场中受的力及其运动
1.2.5 带电体在电场中受的力及其运动
电荷和电场间的相互作用有两个方面，即电荷产生电场和电场对电荷施加作用力。
【 例题 】 计算电偶极子在均匀电场中所受力矩。
【 解 】 由于正负电荷在均匀电场中受力大小
相等方向相反，故其所受合力为零。但由于二
力的作用线不同，形成一个力偶。其力矩的大
小为
考虑其方向及电偶极矩写成矢量式为
（ 1.13）
??? s i ns i n2s i n2 21 q l ElFlFL ?????
EpL ??? ??
1.3.1 电力线及其数密度
1.3.1 电力线及其数密度
静电场是矢量场，静电场中各点的场强，不仅方向可以不同，而且大小一般是空
间坐标的矢量函数。为了使电场的分布 形象化, 直观化,表达某一点电场的方向和大
小可以采用电力线（ E 线）的概念。
如果在电场中作出许多曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点场强方向一
致,那么，所有这些作出的曲线，叫做电场的 电力线 。
为了使电力线不仅只表示出电场中场强的方向分布情况，而且表示出各点场强的
大小分布情况，引入电力线数密度的概念。 在电场中任一点取一小面元 与该点场
强方向垂直，设穿过 的电力线有 根，则比值 叫做该点 电力线数密度,它
的意义是 通过该点单位垂直截面的电力线根数 。
规定,在作电力线图时，总使电场中任一点的电力线数密度与该点的场强大小
成正比,即
S?
S? N? SN ??
S
NE
?
??
1.3.1 电力线及其数密度
这样,电力线稀疏的地方表示场强小，电力线稠密的地方表示场强大 ；也就是说,用
电力线的疏密分布把电场中场强大小分布情况反映出来 。
电力线可以借助一些实验方法显示出来。
从这些电力线图可以看出，除场强为零的点外，电力线有以下一些 基本性质,
（ 1）电力线起自正电荷（或来自无限远），止于负电荷（或伸向无限远），但不
会在没有电荷的地方中断；
（ 2）若带电体中正、负电荷一样多，则由正电荷出发的全部电力线都集中到负电
荷上去；
1.3.2 电通量
（ 3）两条电力线不会相交；
（ 4）静电场中的电力线不形成闭合线。
1.3.2 电通量
定义面元 dS = dSn,dS的大小 dS等于面元
的面积，方向 n取其法线方向。面元 dS在垂直于
场强方向的投影是
n是面元 dS 的法线方向,? 是场强 E的方向与面元 dS法向 n之间的夹角。
? ? ?co s,co s dSnEdSdS ??? ??
1.3.2 电通量
通过面元 dS的电通量定义为
（ 1.14）
在场强分布为 E(r)的电场中，通过任一曲面 S（如下图）的电通量定义为：
（ 1.15）
当 S是闭合曲面时
?co sE d SE d SSdEd E ????? ???
?? ?????? S SE E dSSdE ?c os??
???? ???? SSE SdEE dS ???c os
1.3.3 高斯定理的表述和证明
对闭合曲面，通常规定自内向外为面元法线的正方向。所以如果电场线从曲面之
内向外穿出，则电通量为正 ( ? E > 0 )，反之，如果电场线从外部穿入曲面，则电通
量为负 ( ? E < 0 )。
根据电场线的含义，通过一个曲面的电通量等于通过这一曲面的电场线的条数。
德国数学家和物理学家 高斯 (K.F.Gauss)曾从理论上证明，静电场中任一闭合曲面
上所通过的电通量与这一闭合曲面内所包围的电荷电量间存在着确定的量值关系，这
一关系被称为高斯定理。
1.3.3 高斯定理的表述和证明
高斯定理表述如下：
通过一个任意闭合曲面 S的电通量 ? E 等于该面所包围的所有电荷电量的
代数和 除以,与面外的电荷无关。?q 0?
1.3.3 高斯定理的表述和证明
用公式表达高斯定理，则有
（ 1.16）
上式中的 表示沿一个闭合曲面 的积分；这闭合曲面习惯叫做 高斯面 。
高斯定理可由 库仑定律 和 场强叠加原理 证明。
考虑一个点电荷 q的电场中，有一闭合曲面 S，在 S上取一面元 dS，设 r是
该电荷到面元的距离,n是面元的外法线单位矢量，则通过该面元的电通量
? 是场强 E的方向与面元 dS法向 n之间的夹角。
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E qdSESdE
0
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1.3.3 高斯定理的表述和证明
应用立体角 dW （ solid angle）的概念（参见下图）
则
2
'
2
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r
dS
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dSd ??W ?
W?????? dqdSnESdEd E
04 ??
????
1.3.4 从高斯定理看电力线的性质
可以证明
因此，对整个闭合曲面,电通量为：
上式是对单个点电荷的高斯定理。根据场强的叠加原理，上述结果可推
广至任意带电系统的静电场，从而得到高斯定理 (1.16)式。
1.3.4 从高斯定理看电力线的性质
（ 1）电力线的起点和终点
我们作小闭合面分别将电力线的起点和终点包围起来，则必然有电通量
从前者穿出（即 ? E > 0,见图 a），从后者穿入（即 ? E < 0,见图 b）。
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S
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SS
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1c o s
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1.3.4 从高斯定理看电力线的性质
因而根据高斯定理可知，在前者之内必有正
电荷，后者之内必有负电荷。这就是说，电
力线不会在没有电荷的地方中断。于是，高
斯定理可理解为从每个正电荷 发出
根电力线，有 根电力线终止于负电荷 。如果在带电体中有等量的
正、负电荷，电力线就从正电荷出发到负电荷终止；若正电荷多于负电荷
（或根本没有负电荷），则多余的正电荷发出的电力线只能伸向无限远；反
之，若负电荷多于正电荷（或者根本没有正电荷），则终止于多余的负电荷
上的电力线只能来自无限远。
（ 2）电力线的疏密与场强的大小
由一束电力线围成的管状区域,叫做 电力管
（见右图 c） 。由于电力线总是平行于电力管的
侧壁，因而没有电通量穿过侧壁。
0?q
0?qq
q?
1.3.4 从高斯定理看电力线的性质
取电力管的任意两个截面 和,它们与电力管的侧壁组成一个闭合高斯面。通
过此高斯面的电通量为
式中 和 分别是 和 上场强的数值,和 分别是场强与高斯面外法线
和 之间的夹角（见图 c）。
设这段电力管内没有电荷，则根据高斯定理，有
或
现取 和 都与它们所在处的场强垂直，则,,,,
上式化为
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1.3.5 高斯定理应用举例
亦即沿电力管场强的变化反比于它们的垂直截面积。这样,在电力管膨胀的地方（即电力
线变得稀疏的地方）场比较弱，在电力管收缩的地方（即电力线变得密集的地方）场比较
强。 因而由电力线的分布图，我们可以定性地看出沿电力线场强强弱的变化情况。
1.3.5 高斯定理应用举例
我们 应用高斯定理（ 1.16）式来解决实际问题就是求场的分布 。在（ 1.16）式中注
意,E是带电体系中 所有 电荷（无论在高斯面内或面外）产生的总场强，而 只是对 高
斯面内的电荷求和 。
应用它求解问题的关键在于如何把 E从积分号内提到外面来。要把 E从积分号内提到外
面来，则要求 E在高斯面上成为常量，即 E的分布具有高度对称性。即 球对称, 面对称 和 柱
对称 三种。
下面通过具体例子加以说明。
?q
1.3.5 高斯定理应用举例
【 例题 1】 求均匀带正电球壳内外的场强，设球壳带电总量为,半径为 。
【 解 】 首先分析电场分布的对称性 。
由于电荷均匀分布在球壳上，这个带电体系
具有球对称性，因而电场分布也应具有球对
称性。这就是说，在任何与带电球壳同心的
球面上各点的场强的大小均相等，方向沿半
径向外呈辐射状。为了具体说明场强的方向
确是如此，让我们来考虑空间任一场点 P（见
图）。对于带电球壳上的任何一个面元,
在球面上都存在着另一面元,二者对 OP
联线完全对称（ O是球心）,和 在 P点
产生的元电场 和 也对 OP联线对称，
q R
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dS
dS
Sd?
Ed? Ed??
1.3.5 高斯定理应用举例
从而，它们的矢量和 必定沿 OP联线。整个带电球壳都可以分割成一
对对的对称面元，所以在 P点的总场强 E一定沿 OP联线的。
根据电场的球对称性特点，取高斯面为通过 P点的半径为 的同心球面
（如图中蓝色的圆），此球面上场强的大小处处都和 P点的场强 E相同，而
处处等于 1，通过此高斯面的电通量为
上述对称性的分析对球壳内、外的场点都是适用的，所以上述适用于无
论比球壳大或小的高斯面。如果 P点在球壳外,则高斯面包围了球壳
上的电荷 。根据高斯定理，
由此得 P点的场强为 或 （ 为单位矢量）
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1.3.5 高斯定理应用举例
这表明,均匀带电球壳在外部空间产生的电场，与其上电荷全部集中在球心
时产生的电场一样。
如果 P点在球壳内,则高斯面内没有电荷 。根据高斯定理，
由此得 P点的场强为
这表明,均匀带电球壳内部空间的场强处处为 0。
【 例题 2】 求均匀带正电球体内外的电场分布，
设球体带电总量为,半径为 。
【 解 】 由于电荷的分布为球对称，则其电场的
分布也是球对称的。可把均匀带电球体分割成一层
层的同心球壳，这样可利用上题的结果。如右图示，
如果 P点在球壳外,则高斯面包围了球壳
上的电荷 。根据高斯定理，
? ?Rr?
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q R
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1.3.5 高斯定理应用举例
由此得 P点的场强为
或
如果 P点在球壳内,则高斯面内只有半径小于 的电荷 对电通量有贡献 。
由于是均匀带电，则有,,所以带电球体内部的场强为
或
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1.3.5 高斯定理应用举例
【 例题 3】 求均匀带正电的无限长细棒的场强，设棒上线电荷密度为 。
【 解 】 该带电体系的 场具有柱对称性,即 在任何垂直于棒的平
面内的同心圆周上场强的大小相等 。 场强的方向如何？前面
曾分析过,有限长带电细棒中垂面上场强是垂直于带电细棒的
辐射状 。对无限长带电细棒来说，在棒中部的有限长范围内，
棒上每一点均可认为是棒的中点，则在距棒为 长为 的圆
柱面上各点的场强大小相等，方向均垂直于表面向外，即为柱
对称。取如右图所示的以棒为轴，半径为 长为 的圆柱面为
高斯面，则通过它的电通量为
在上、下底面上,所以上式中后两项为 0,侧面上,故
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1.3.5 高斯定理应用举例
另一方面，高斯面包长度为 的一段细棒，其中电荷为, 根据高斯定理，
则 P点的场强为
由此可见，当条件允许时，利用高斯定理计算场强的分布要简捷得多。
【 例题 4】 求均匀带电的无限大平面薄板的场强分布，设电荷的面密度为 。
【 解 】 由 均匀带电圆环的场沿对称轴线方向,
故可将无限大平面分割成无数多个同心圆环，
则可知其电场的分布是关于带电平面对称，即，
其 电场的分布是面对称的 。
取如右图所示 关于带电平面对称的柱面及两
端面为闭合的高斯面,采用与上题相同的计算，
可求出场强的大小为
L Le?
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1.3.5 高斯定理应用举例
上式表明，场强 Ｅ 与平板到场点的距离无关。
上述公式对于均匀带负电的无限平面薄板也适用，只是场强的方向相反。
从以上几个例题可以看出,利用高斯定理求场强的分布关键在于对称性的分析。只有当
带电体系具有一定的对称性，才有可能利用高斯定理求场强 。 虽然这样的带电体系并不
多，但在几个特例中得到的结果都是很重要的。这些结果的实际意义往往不限于这些特
例本身，很多实际场合都可利用它们来作近似的估算。
应当指出,利用高斯定理可以求场强，只体现了高斯定理重要性的一个方面。高斯
定理更重要的意义在于它是静电场两个基本定理之一。 静电场的另一基本定理正是下节
要讲的内容。两个定理各自反映静电场性质的一个侧面，只有把它们结合起来，才能完
整地描绘静电场。 (没有一定的对称性就不能单靠高斯定理来求场强分布，这一事实正
好说明，高斯定理对静电场的描述是不完备的。 )
1.4.1 静电场力所做的功与路径无关
前两节从电荷在电场中受到电场力的角度引入了电场强度 E，并以 E 描述静电场的
性质,而高斯定理揭示了静电场是一个有源场。本节将从电场力对电场中的运动电荷做
功的特性出发，导出静电场的环路定理，引入描述静电场的另一个物理量 ——电势。
1.4.1 静电场力所做的功与路径无关
我们首先 从库仑定律和场强叠加原理出发，证明静电场力所做的功与路
径无关,先证明在单个点电荷的场中的情况，后证明任意电场情况。
（ 1）单个点电荷产生的电场
如右图示，点电荷 q的电场中移动点电荷 q0，从 r处移动 dl，
电场做的功
点电荷 q0从 P到 Q点，电场所做的功为：
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0
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1.4.1 静电场力所做的功与路径无关
即
上式表明,只和路径 的起点,终点 到 的距离, 有关。由此可见,单个
点电荷的电场力对试探电荷所做的功与路径无关，只和试探电荷的起点、终点位置有关，
此外它还与试探电荷 的大小成正比。
（ 2）任意带电体系产生的电场
在一般情况下，电场并非由单个点电荷产生，但是我们总可以把产生电场的带电体划
分为许多带电元每一带电元可以 看作是一个点电荷，这样就可以把任何带电体系视为点
电荷组。总场强 Ｅ 是 各点电荷,, …, 单独产生的场强,, …, 的矢量和：
从而当试探电荷 由 点沿任意路径 到达 点时，电场力所做的功为
由于上式右方的每一项都与路径无关，所以总电场力的功 也与路径无关。
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1.4.1 静电场力所做的功与路径无关
这样，我们得出结论,试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功，只
与这试探电荷电量的大小及起点、终点的位置有关，与路径无关。
（ 3）静电场的环路定理
静电场力作功与路径无关这一结论，还可以表述成另一种
等价的形式，如右图示。在静电场中取一任意闭合环路,
考虑场强 Ｅ 沿此环路的线积分 。先在 上取任意两点
、, 它们把 分成 和 两段。因此，
由于作功与路径无关，
或
故
（ 1.20)
上式表明,静电场中场强沿任意闭合路径的线积分等于 0。这定理没有通用的名称，我
们姑且把它叫做 静电场的环路定理,它与, 静电场力作功与路径无关, 的说法完全等价。
利用它用反证法可以证明, 电力线是不闭合的的性质, 。
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1.4.2 电位差与电位
任何作功与路径无关的力场，叫做 保守力场,或 位场,在其中可引入 位能 的概念。
因 静电场是保守力场,故可引入 电位能 的概念。
设想在电场中把一个试探电荷 从 点移至 点，它的
电位能的减少 定义为在此过程中静电力对它作的功,
即 （ 1.21）
根据上面的定理,只由, 两点的位置所决定，与移动的
路径无关。
也可定义为把 从 点移到 点的过程中抵抗静电力的功 。在物理学中，
所谓 抵抗 某力 作功，就是指一个与 大小相等、方向相反的力 所做的功。因电场
力,故,按照定义，
不难看出，上式与式完全等价：
0q P Q
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1.4.2 电位差与电位
式 (1.21)表明,与试探电荷的电量 成正比。换言之，比值 与试探电荷
无关，它反映了电场本身在, 两点的性质。这个量定义为电场中, 两点间的 电
位差,或称 电位降落, 电压 。用 表示，则有
（ 1.22）
用文字来表述，就是, 两点间的电位差定义为从 到 移动单位正电荷时电场力
所作的功,或者说,单位正电荷的电位能差 。
上面介绍的是 两点之间 的电位 差,如果要求空间 某一点 的电位数值为多少，则需要
确定参考点。令参考点的电位为 0，则其它各点与此参考点之间的电位差定义为该点的
电位值。在理论计算中，如果带电体局限在有限大小的空间里，通常 选择无穷远点为电
位的参考位置 。这样一来，空间任一点 的电位 就等于电位差,即
（ 1.23）
由于电场力作功与路径无关,对于空间任意两点 和,我们有
PQW 0q
0
PQWq
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PQU
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1.4.2 电位差与电位
即时 (1.24)
亦即, 两点间的电位差 等于 的电位 减 的电位 。
在实际工作中常常以大地或电器外壳的电位为 0。改变参考点，各点电位的数值将
随之改变，但两点之间的电位差与参考点的选取无关。
电位差和电位的单位应是 焦耳 /库仑,即 伏特,简称 伏,用 V 表示。
【 例题 1】 求单个点电荷 q产生的电场中各点的电位。
【 解 】 利用公式 （ 1.22） 进行计算。因为电场力作
功与路径无关，故可选取一条便于计算的路径，即沿矢径
的直线（见右图），于是有：
其中 表示 点到点电荷 q的距离。由于 点是任意的，故 的下标可略去。
于是，我们得到点电荷 q产生的电场中电位的分布公式：
（ 1.25）
P Q PQU P ? ?UP Q ? ?UQ
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1.4.2 电位差与电位
【 例题 2】 求均匀带电球壳产生的电场中电位的分布,设球壳带电总量为 q,半径为 。
【 解 】 在 § 3例题 1中我们已求得均匀带电球壳的场强分布为：
方向沿矢径。因此计算电位时我们仍和点电荷的情形一样，
沿着矢径积分。
在球壳外,结果和点电荷一样，
在球壳内,要分两段，即
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1.4.2 电位差与电位
由此可见，在球壳外的电位分布与点电荷情形一样，在球壳内电位到处与球壳表面
的值一样，是个常数。由图可见,U 和 E不同，它的数值没有跃变。
上面两个例题都是由已知的场强分布求电位的分布，我们也可以由已知的电位分布
来计算电场力的功。将式 （ 1.22） 改写为
（ 1.26）
在任何情况下,电荷在电场力的推动下运动时,其电位能总是趋于减少。上式表明，
若 且,或 且,我们有 即从 到
电场力作正功，电位能减少。由此可见，在电场力有推动下，正电荷从电位高的地方奔
向电位低的地方，而负电荷从电位低的地方奔向电位高的地方。
能量的单位还有 电子伏特, 它表示一个电子经过 1伏特的区域, 电场力所作的功 。
即,1电子伏特 =1.60× 10-19焦耳。电子伏特记为 eV 。还有千电子伏特，兆电子伏特，
吉电子伏特等单位。
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1.4.3 电位 叠加原理
1.4.3 电位叠加原理
（ 1）点电荷组的电位
由公式 （ 1.23）,并利用场强叠加原理得：
（ 1.27）
式 （ 1.27） 表明,点电荷组的电场中某点的电位，是各个点电荷单独存在时的电场在该
点电位的代数和,这就是 电位叠加原理 。
（ 2）带电体系的电位
由于任意带电体系可以视为点电荷组，则由上述电位叠加原理可得出：
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1.4.3 电位 叠加原理
【 例题 4】 求距电偶极子相当远的地方任一点的电位。
【 解 】 由右图可知,± q单独存在时 点的电位分别为
根据电位叠加原理有
当 时有：
则有：
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1.4.3 电位 叠加原理
忽略 的平方项，即得
或
（ 1.28）
以上例题分别用场强积分法求电位,由电位叠加法求电位。 当场强分布已知，或因
带电体系具有一定的对称性，因而场强分布易用高斯定理求出时，可以用场强积分的
方法求电位。当带电体系的电荷分布已知，且带电体系对称性不强时，宜用电位叠加
法计算电位。由于电位是个标量，因此电位叠加法比场强叠加的计算简单得多。
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1.4.4 等位面
电场中场强的分布可借助电力线图来形象地描绘，电位的分布是否也可形象地描
绘出来呢？同样可以，这就是等位面。
一般说来，静电场中电位是逐点变化的，但总有一些点的电位值是彼此相同。我
们把 电位相同的点组成的曲面 叫做 等位面 。
1.4.4 等位面
由以上等位面图可以 看出，等位面有如下性质：
（ 1）等位面与电力线处处正交 。
论证如下：首先，当电荷沿等位于面移动时，
电场力不作功，这是因为,而
在等位面上任意两点间的电位差,所
以 。如右图示，设一试探电荷 沿等到位面
作一任意位移元,于是电场力作功,但,, 都不为 零，所以必
然有,即 。这就是说场强 与 垂直。要使得场强 与等位面上的
任意线元 垂直，那么 电场强度（或电力线）与等位面就必须处处正交 。
（ 2）等位面较密集的地方场强大, 较稀疏的地方场强小 。
如右图示，取一对电位分别为 和 的邻近等位面，
作一条电力线与两等位面分别交于,,因为两个面十分靠
近,可 看成是两面三刀等位面间的垂直距离 。
由于 很小，根据式 （ 1.22）, 则有
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1.4.4 等位面
或
取 的极限，得 (1.29)
式 (1.29)表明,在同一对邻近的等位面间,小的地方 大,大的地方 小。如果
我们在作等位面图时,取所有各等位面间的电位间隔 都一样,则上述结论还可用于
其它各对等位面之间。由此可见,通过等位面的疏密，可以反映出场强的大小来 。
根据等位面和电力线处处正交这一性质，我们便可以从电力线图大致估计出电位的
分布情况，反之我们也可以从等位面图大致估计出场强的分布情况。而等位面常由外部
条件控制，且可由实验的方法精确地描绘出来。控制等位面的形状和电位值的 方法 是 当
我们把任何形状的导体放入电场并达到静电平衡状态后，导体内部的电位处处相等，而
导体表面则形成一个等位面 （见第二章 § 1）。等位面的概念在实际中有着重要的意义。
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1.4.5 电位的梯度
任何空间坐标的标量函数,叫做 标量场,电位 是个标量,它在空间每一点都有一
定的数值,所以电位是个标量场。
,梯度, 一词，通常指 一个物理量的空间变化率 。用数学语言来说，就是 物理量
对
空间坐标的微商 。在三维空间里，一个标量场沿不同方向的变化率不同。我们在一对
彼此很靠近的等位面之间取一任意方向的线段,
设其长度为 （如右图示），则 沿此方向的
微商为
(1.30)
叫做 沿 的方向微商,这是一种偏微商。
在等位面间取垂直距离,它指向沿电
位增加的方向，则沿此方向的微商为
(1.31)
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1.4.5 电位的梯度
现在来研究 与 之间的关系。设 和 之间的夹角为,则,
从式 （ 1.30） 和式 （ 1.31） 可以看出
或
上式表明
亦即,沿 方向的微商最大，其余方向的微商等于它乘以 。这正是一个矢量
度投影和它的绝对值的关系。所以我们可以定义一个矢量，它沿着 方向，大小等
于 。这个矢量叫做 的梯度，用 或 来表示。沿其余方向的微商 是
梯度 在该方向上的投影。
前面式 （ 1.29） 表明，场强 的大小为，
总是指向电位降低的方向，即 和 方向相反，故 应等于电位梯度的负值：
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1.4.5 电位的梯度
(1.32)
它在任意方向 上的投影 为
(1.33)
利用这些结果，可以从已知的电位分布求场强。
【 例题 6】 求均匀带电圆形细环轴线上的电位和场强分布。
设环的半径为,电荷线密度为 （见右下图）。
【 解 】 （ 1） 电位分布
取轴线为 z 轴，圆心 O为原点，在轴线上取任一场点 P，
其坐标为 Z，它到圆环上每一线段 的距离为,
整个圆周上是常数。按照电位叠加原理，整个圆环在 P点
产生的电位为各线元的标量叠加：
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1.4.5 电位的梯度
（ 2） 场强分布
根据式 （ 1.33）,轴线上场强的投影为
从对称性可以看出，场强矢量的方向就沿轴线，而它的大小 。
从上面的例题中我们看到,由于电位是标量，用电位叠加原理来计算比计算场强
矢量简便得多 。所以,我们往往先求出电位，然后利用梯度的方法求场强 。从这一方
面体现了引进电位这个标量的优越性。
式 （ 1.32） 在直角坐标系中的三个分量式为：
，, (1.34)
在柱坐标系中的三个分量式为：
，, (1.35)
? ? 322202 ez
zRUE
z Rz
?
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x
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UE
z
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1 UE
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? z
UE
z
???
?
1.4.5 电位的梯度
在球坐标 系中的三个分量式为：
，, (1.36)
【 例题 7】 利用例题 4的结求电偶极子的场强分布。
【 解 】 例题 4 结果为
这公式实际上采用的是球坐标系，其极轴沿偶极矩,原点 O位于偶极子的中心。由
于轴对称性,与方位角 无关。根据式（ 1.36）,Ｅ 的三个分量为
r
UE
r
???
? 1 UE r? ???? ? 1sin UE r? ????? ?
20
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4
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1.4.5 电位的梯度
在偶极子的延长线上 或,,,
在中垂面上,, 。
这结果与 § 2中用场强叠加原理求得有式（ 1.7）一致。
0?? ? 0E
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3
0
12
4r
pEE
r????
2??? 0rE ? 3014 pEE r? ????
第二章 静电场中的导体和电介质
? 2.1 静电场中的导体
? 2.2 电容和电容器
? 2.3 电介质
? 2.4 电场的能量和能量密度
2.1.1 导体的静电平衡条件
当一带电体系中的电荷静止不动，从而电场分布不随时间变化时,我们就说该带电
体系达到了 静电平衡 。导体的特点是其体内存在着自由电荷，它们在电场的作用下可以
移动，从而改变电荷的分布；反过来，电荷分布的改变又会影响到电场分布。由此可见，
有导体存在时，电荷有分布和电场的分布相互影响、相互制约，并不是电荷和电场的任
何一种分布都是静电平衡分布。 必须满足一定的条件，导体才能达到静电平衡分布。
均匀导体的静电平衡条件就是其内场强处处为 0。所谓,均匀,，指其 质料均匀，
温
度均匀 。
这个平衡条件可论证如下：如果导体内的电场不处处为 0，则在不为 0的地方自由电
荷将会移动，亦即导体没有达到静电平衡。换言之，当导体达到静电平衡时，其内部的
场强必定处处为 0。
下面举例说明导体从非平衡态趋于平衡态的过程。 (如下页图 a所示 )，把一个不带电
的导体放在均匀电场 中。在导体所占据的那部分空间里本来是有电场的，各处电位不
相等。在电场的作用下，导体中的自由电荷将发生移动，结果使导体的一端带上正电，
另一端带上负电，这就是我们熟知的静电感应现象。然而，这样的过程会不会持续进行
E
2.1.1 导体的静电平衡条件
下去呢？不会的。因为当导体两端积累
了正、负电荷之后，它们就产生一个 附
加电场, 与 叠加的结果，使导
体内、外的电场都发生重新分布。 在导
体内部 的方向是与外加电场 相反的
（见右图 b示 )。当导体两端的正、负电
荷积累到一定程度时,的数值就会大到
足以把 完全抵消。此时导体内部的总电场 处处为 0时，自由电荷便不再
移动，导体两端正、负电荷不再增加，于是达到了静电平衡。很明显，如果导体内的
总电场 不处处为 0,那么在 不为 0 的地方，自由电荷仍将继续移动，直到 处
处为 0为止。
从上述导体静电平衡条件出发，还可直接导出以下几点推论：
（ 1）导体是个等到位体，导体表面是个等到位面。
因导体内任意两点, 之间的电位差为,若 处处为 0，则导体内部
E? E? 0E
E? 0E
E?
0E 0E E E???
E E E
P Q Q
PQ PU E d l???
E
2.1.1 导体的静电平衡条件
所有各点的电位相等，从而其表面是个等位面。
（ 2）导体以外靠近其表面地方的场强处处与表面垂直。
因为电力线处处与等位面正交，所以导体外的场强必与它的表面垂直。
我们知道，静电场的分布是遵从一定的规律的（高斯定理和环路定理），因此空间
各点的场强和电位必定存在着内在联系。 在静电场中引入导体后，附近空间里原来的电
力线和等位面就会发生畸变和调整，以保证新形成的电力线和等位面与导体的表面成为
一个等位面这一点相适应。
静电场的边值问题的唯一性定理表明，当带电体系中各个导体的
形状、大小、相对位置和电位或带电量确定了之后，它们上面的电荷
分布以及空间各点的电场分布都会唯一确定下来。由此可以说,导体
对电场的分布能够起到调整和控制的作用 。其应用之一为 静电透镜 。
如右图所示，平面电极 K的电位为 120伏，在它的前面放置一块中
央带有圆孔的平行金属板。并将它的电位控制在 30伏。这样一来，空
间各处等位面的形状被这控制电极调整后如右图所示，在圆孔上等位面向右侧凸起。
现在我们来分析一下电力线发生的变化。在带圆孔的金属板 G引入之后，在孔附近电力线将
2.1.1 导体的静电平衡条件
不再是平行线，因为它们处处与 凸起了的等位面正交而向四周发散，或者说这里场强具有垂直于
中心线（ Z轴）而向外辐射的分量 Er。
我们设想从金属电极 K的中心发射出一束电子。因为电子带负电，当它们经过圆孔后，电场
的 Er分量就使电子受到向 Z轴集中的电场力、结果使电子束在某点 F会聚起来。这个带孔金属板对
电子束的作用，就象一个凸透镜对光束的作用一样，可以达到聚焦的目的。这种方法叫做 静电聚
焦,带孔金属板 G可以叫做 静电透镜 。
在第一章中，基本上都是 在给定电荷分布的前提下求场强或电位分布 。在本章，
由于引入导体后，由于电荷与电场的分布相互影响、相互制约，它们最终达到的平衡
分布都是不能预先判知的，因而第一章中的方法对于许多实际需要往往不能适用。本
节 处理问题的方法 不是去分析电场、电荷在相互作用下怎样达到平衡分布的复杂过程，
而是假定这种平衡分布已经达到，以上述平衡条件为出发点，结合静电场的普遍规律
（如高斯定理、环路定理等）支进一步分析问题。
2.1.2 电荷分布
（ 1）体内无电荷
在达到静电平衡时,导体内部处处没有未抵消的净电荷 （即电荷的体度密 ），
电荷只分布在导体的表面 。
证明这个结论需要用高斯定理。假定导体内部某处有未被
抵消的净电荷 q,则可取一个完全在导体内部 的闭合高斯面 S
将它包围起来（右图）,根据 高斯定理，通过 S的电通量为
，是一个非零值。这就是说，在 S面上至少有些点的场
强 E不等于 0,S面上场强不为 0的这些地方就达不到静电平衡，电荷就会重新分布，
直至场强处处为 0，体内净电荷完全抵消为止。所以根据平衡条件的要求，在达到平衡
状态以后，导体内部必定处处没有未抵消的净电荷，电荷只能分布在导体的表面上。
（ 2）面电荷密度与场强的关系
在静电平衡状态下, 导体表面之外附近空间的场强 Ｅ 与该处导体表面的面电荷密度
有如下关系,
（ 2.1）
0e? ?
0q?
e?
0
eE ???
2.1.2 电荷分布
式 (2.1)证明如下,如右图示,P点是导体表面之外附近
空间的点,在 P点附近的导体表面取一面元 。这面元
取得足够小，使得其上的面电荷密度 可认为是均匀
的。作如右图中所示的扁圆柱形高斯面，使圆柱侧面与
垂直，圆的上底通过 P点。下底在导体内部，两底
都与 平行，并无限靠近它，因此它们的面积都是,
通过高斯面的电通量为
由于导体内部场强处处为 0，所以第二项积分为 0。另外，由于导体表面附近的场强与导
体表面垂直，故第三项积分中,从而这项积分也是 0。在第一项沿上底
的积分中上,又由于 很小，其上场强可认为都与 P点的场强 E相等，
所以有
S?
e?
S?
S? S?
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c o s c o s c o sE
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c o s
S
E d S E S??
?
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2.1.2 电荷分布
在高斯面内包围的电荷为,根据高斯定理，,消去 后
即可得到式（ 2.1）。由公式 看出,导体表面电荷密度大的地方场强大；而面电
荷密度小的地方场强小。
（ 3）表面曲率的影响 尖端放电
式 (2.1)只给出导体表面上每一点的电荷密度和附近场强之间的对应关系，它并不
能告诉我们在导体表面上电荷究竟怎样分布。定量地研究这个问题是比较复杂的，这
不仅与这个导体的形状有关还和它附近有什么样的带电体有关。但是对于孤立的带电
体来说，电荷的分布有如下定性的规律。大致说来,在一个孤立导体上面电荷密度的
大小与表面的曲率有关 。 导体表面凸出而尖锐的地方（曲率较大），电荷就比较密集，
即面电荷密度较大；表面较平坦的地方（曲率较小），面电荷密度较小；表面凹进去
的地方（曲率为负），面电荷密度更小。 但应注意，孤立导体表面的电荷密度与曲率
之间并不存在单一的函数关系。
E S? ?
0
eE SES ? ??? ? ? ? S?
2.1.2 电荷分布
以上规律可利用右图所示的实验演示出来。带电导体 A表面 P点特别尖锐，而 Q点凹
进去。以带有绝缘柄的金属球 B接触尖端
P后，再与验电器 C接触，则金箔张开较显
著。用手接触小球 B和验电器 C以除去其上
的电荷后，使 B与导体的凹进处 Q附近接触，
再接触验电器 C，这时，发现验电器 C几乎
不张开。这表明 Q处电荷比 P处少得多。
式 (2.1)表明,导体附近的场强 E与
面电荷密度 成正比,所以孤立导体表面附近的场强分布也有同样的规律，即 尖端
的附近场强大，平坦的地方次之，凹进的地方最弱 (见右上图 b
中电力线的 疏密程）。
导体尖端附近的电场特别强，它将会导致一个重要的后果，
就是 尖端放电 。如右下图示，在一个导体尖端附近放一根点燃
的蜡烛。当我们不断地给导体充电时，火焰就好象被风吹一样
e?
2.1.2 电荷分布
朝背离尖端的方向偏斜。这就是尖端放电引起的后果。因为在尖端附近强电场的作用下，
空气中残留的离子会发生激烈的运动。在激烈运动的过程中它们和空气分子相碰时，会
使空气分子电离，从而产生了大量新的离子，这就使空气变得易于导电。与尖端上电荷
异号的离子受到吸引而趋向尖端，最后与尖端上的电荷中和。与尖端上电荷同号的
离子受到排斥而飞向远方，蜡烛火焰的偏斜就是受到这种离子流形成的, 电风, 吹动的
结
果。上述实验中，不断地给导体充电，就是为了防止尖端上的电荷因不断与异号离子中
和而逐渐消失，使得, 电风, 持续一段时间，便于观察。尖端放电时，在它周围往往隐
隐
地笼罩着一层光晕，
叫做 电晕,在黑暗
中看得特别明显。
在夜间高压输电线
附近往往会看到这
种现象。由于输电
线附近的离子与空
气分子碰撞时会使
2.1.2 静电场中的导体
从而产生光辐射，形成电晕。
高压输电线附近的电晕放电浪费了很多电能，把电能消耗在气体分子的电离和发
光过程中，这是应当尽量避免的，为此高压输电线表面应当做得极光滑，其半径也不
能过小。此外一些高压设备的电极常常作成光滑的球面也是为了避免尖端放电漏电，
以维持高电压。
尖端放电也有 可以利用的一面 。最典型的就是 避雷针 。当带电的云层接近地表面
时，由于静电感应使地面上物体带异号电荷，这些电荷比较集
中地分布在突出的物体（如高大建筑物、烟囱、大树）上。当电荷
积累到一定程度，就会在云层和这些物体之间发生强大的火花放电
。这就是 雷击现象 。为了避免雷击，如右图所示，可在高大建筑物
上安装尖端导体（避雷针），用粗铜缆将避雷针通地，通地的一端
埋在几尺深的潮湿泥土里或接到埋在地下的金属板（或金属管）上，
以保持避雷针与大地电接触良好。当带电的云层接近时，放电就通
过避雷针和通地粗铜导体这条最易于导电的通路局部持续不断地进
行以免损坏建筑物。
2.1.3 导体壳 (腔内无带电体的情形 )
（ 1）基本性质
当导体壳内没有其它带电体时，在静电平衡下，⑴导体壳的内表面上处处没有电
荷，电荷只分布在外表面；⑵空腔内没有电场，或者说，空腔内的电位处处相等。
为了证明上述结论，在导体壳内、外表面之间取一闭合曲
面 S，将空腔包围起来（见右图）。由于闭合面 S完全处于导体
内部，其上场强处处为 0，因此没有电通量穿过它。由高斯定理
可知，在 S内（即导体壳的内表面上）电荷的代数和为 0。
在此基础上还需证明，在导体壳的内表面上不仅电荷的代
数和为 0，而且各处的面电荷密度 也为 0。利用反证法，假定
内表面上 并不处处为 0，由于电荷的代数和为 0，必然有些地
方,有些地方,按照 1.2节中的分析,的地方, 的
地方 （这里法线矢量 是由壳内壁指向腔内的）。在第一章 § 3里我们曾经论证，
电力线只能从正电荷出发，到负电荷终止，不能在没有电荷的地方中断。由此，空腔
e?
e?
0e? ? 0e? ? 0e? ? 0nE ? 0e? ?
0nE ?
n
2.1.3 导体壳 (腔内无带电体的情形 )
中没有电荷，所以从内表面 的地方发出的电力线，还会在腔内中断，只能终止
在内表面 的地方。如果存在这样一根电力线，电场沿此电力线的积分必不为 0。
也就是说，这电力线的两端间有电位差。但这根电力线的两端都在同一导体上，静电
平衡要求这两点的电位相等。因此上述结论与平衡条件相违背。由此可见，达到静电
平衡时，导体壳内表面上 必须处处为 0。
下面证明腔内没有电场。由于内表面附近,且电力线既不可能起、止
于内表面，又不可能在腔内有端点或形成闭合线。所以腔内不可能有电力线和电场。
没有电场就没有电位差，故腔内空间各点的电位处处相等。
（ 2）法拉第圆筒
静电平衡时，导体壳内表面没有电荷的结论可以通过下页图所示的实验演示出来。
图中 A,B是两个验电器，把一个差不多封闭的空心金属圆筒 C（圆筒内无带电体）固定
在一个验电器 B上。给圆筒和验电器 B以一定的电荷，则金箔张开。取一个装有绝缘柄
的小球 D，使它和圆筒 C外表面接触后再碰验电器 A（图 a），则 A上金箔张开，如果重复
若干次，我们就能使金属箔 A张开的角度很显著，这证明圆筒 C的外表面是带上了电的。
0e? ?
0e? ?
e?
0
0enE ????
2.1.3 导体壳 (腔内无带电体的情形 )
如果把小球 D插入圆筒上的小孔使之
与圆筒的内表面相接触后，再用 验电
器 A检查（图 b）,则发现 A的金属箔总
不张开。这表明圆筒 C的内表面不带
电。这就从实验上证实了上述结论。
这实验称为法拉第圆筒实验，实验中
的圆筒 C称为 法拉第圆筒 。
根据静电平衡下导体壳的内表面处处没有电荷的性质，将带电导体与导体壳内表
面接触时，带电导体上的电荷一定会全部转移到导体壳的外表面上去。因此，这是从
一个带电体上吸取全部电荷的有效办法。测量电量时，要在静电计上安装法拉第圆筒
并将带电体接触圆筒的内表面，就是这个道理。
（ 3）库仑平方反比律的精确验证
电荷只分布在导体外表面上的结论，是建立在高斯定理的基础上的，而高斯定理
又是由库仑平方反比律推导出来的。相反，如果点电荷之间的相互作用力偏离了平方
反比律，即
2.1.3 导体壳 (腔内无带电体的情形 )
其中,则高斯定理将不成立，从而导体上的电荷
也不完全分布在外表面上。用实验方法来研究导体内部
是否确实没有电荷，可以比库仑扭秤实验远为精确地验
证平方反比律。
这类实验首先是卡文迪许在库仑于 1785年建立平方
反比律之前若干年（ 1773年）完成的。它的装置如右图
所示，金属球 1由绝缘支柱 2支持。绝缘的金属球壳 3套
在金属球 1的外边，它由两个半球组成，在其中之一的
上面有一个小孔。一段导线条由绝缘丝线 5悬挂，可探
进小孔将球 1与球壳 3联接起来。 这样，球 1的表面就成
为球壳 3 内表面的一部分，实验时，先使联接在一起的球 1 和球壳 3带电。然后将怀线
抽出，将球壳 3的两半分开并移去，再用静电计检验球 1上的电荷。反复实验结果表明
球 1上总没有电荷。
2
1f
r ???
0??
2.1.3 导体壳 (腔内无带电体的情形 )
由于电荷之间的相互作用力的规律具有原则意义的重大问题，后来许多人重复并
改进了上述实验。目前在实验仪器灵敏度所允许的范围内可以肯定，与平方指数的偏
离 即使有，也不会超过 。（可参阅书中 140页小字部分）这样，平方反
比律便得到了十分精确的实验验证。
（ 4） 范德格喇夫起电机
利用导体壳的性质可以将电荷不断地由电位较低的导体一次一次地传递给另一电
位较高的导体，使后者电位不断升高。如右图所示，
绝缘金属球 A与电池的正极相联，电池负极接地，从
而球 A地之间保持一定的电位差。我们用一个带有绝
缘柄的金属小球 B与球 A接触后又与一个具有小孔的
金属球壳 C的内壁接触，这时小球 B上原来带的电荷
全部传到金属球壳 C的外表面上去。一次一次地重复
这种接触过程，电荷可一次一次地被小球 B传递到金
? 162.7 10??
2.1.3 导体壳 (腔内无带电体的情形 )
属壳 C的外壁上去。范德格喇夫起电机就是利用这种
原理作成的。右图是它的结构示意图。大金属壳 1由
绝缘支柱 2支持着。 3是橡胶布做成的传送带，由一
对转轮 4带动。传送带由联接电源一端的尖端导体 5
喷射电荷而带电。在尖端 5的对面，传送带背后的接
地导体板 6的作用是加强由尖端 5向传送带的电荷喷射。
当带电传送带经过另一尖端导体 7的近旁时，尖端导
体 7便将电荷传送给与它相接的导体球壳 1。这些电荷
将全部分布到金属壳的外表面上去，使它相对于地的
电位不断地提高。书中 142页的图 2-14为其外貌图。
范德格喇夫起电机主要用于加速带电粒子。将离
子源放在金属壳内，由于金属壳相对于外界具有高电
位差，因此将离子引出球壳后进入加速管时，它就象
位置很高的小球在重力场中下降时获得很大动能一样，
在电场力的作用下将获得很大的动能。这种高速带电粒子可供原子核反应实验之用。
2.1.3 导体壳 (腔内有带电体的情形 )
另外，近年来在晶体管和集成电路等半导体器件的制造工艺中新发展了一种离子
注入技术。制作半导体器件时，需要在半导体中掺入某些杂质元素（如硼或磷）的离
子，过去全靠扩散的办法来完成。离子注入技术是利用加速器使离子经过电场加速后
形成高速离子束，然后用这离子束轰击半导体晶片而注入其中，达到一定的掺杂要求。
这种离子注入法比传统的扩散法优越之处在于掺杂的条件易于控制。在离子注入技术
所需的离子能量范围内（例如速度在 米 /秒的数量级），用范德格拉夫起电机来加
速离子是比较便当的。
2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）
（ 1）基本性质
当导体壳内有其它带电体时，在静电平衡状态下，
导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为 0。 例
如腔内有一物体带电,则内表面带电 。
证明：如右图所示，在导体壳内、外表面之间作
一高斯面 S（图中虚线），由于高斯面处在导体内部，
在静电平衡时场强处处为 0，所以通过 S的电通量为 0。
610
q q?
2.1.3 导体壳 (腔内有带电体的情形 )
根据高斯定理,S内,所以如果导体壳内有一带电体,则内表面必定带电
【 例题 】 如右图所示，金属球 B被一同心的金属球壳 A
所包围，分别给 A,B两导体以电量 +5微库仑和 +3微库仑，
问 A球的外表面带电多少？
【 解 】 若先设 A不带电，由于 B带电 +3微库仑，则 A的
内表面必带 -3微库仑的电量，根据电荷守恒定律，在 A的
外表面必带 +3微库仑的电量。再使 A带 +5微库仑的电量时，
它将全部分布在外表面，故 A的外表面共带电 +8微库仑。
（ 2）静电屏蔽
在静电平衡状态下，腔内无带电体的导体壳和实心导
体一样，内部无电场。只要达到了静电平衡状态，不管导体壳本身带电或是导体处于
外界电场中，这一结论总是对的。这样，导体壳的表面就“保护”了它所包围的区域，
使之不受导体壳外表面上的电荷或外界电场的影响，这个现象称为 静电屏蔽（对内） 。
静电屏蔽现象在实际中有重要的应用。例如为了使一些精密的电磁测量仪器不受
0q?? q q?
2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）
外界电场的干扰，通常在仪器外面加上金属罩。实际上金属外壳不一定要严格封闭，
甚至用金属网作成的外罩就能起到相当好的屏蔽作用。
工作中有时要使一个带电体不影响外界,例如对屋内的高压设备就要求这样。这
时可以把这带电体放在 接地的 金属壳或金属网内。
可由右图来说明其原理。为方便见，假定带电体
带正电。有了金属外壳之后，其内表面出现等量
的负电荷。由内部带电体出发的电力线就会全部
终止在外壳内表面等量的负电荷上，使电力线不
能穿出导体壳。这样就把内部带电体对外界的影
响全部隔绝了。实际上，应是外壳内表面的负电
荷在导体壳外产生了一个电场，它和内部带电体
在导体壳外产生的电场处处抵消。然而，如果外壳一接地，在它的外表面还有等量的
感应电荷，它的电场将对外界产生影响（见图 a），这样，内部带电体对外界的影响
就全部消除了。
2.1.3 导体壳（腔内有带电体的情形）
（ 3）等电位高压带电作业
大家都知道,接触高压电是很危险的。怎样才能在不停电的条件下检修和维护高压线
呢？原来对人体造成威胁的并不是由于电位高造成的，而是电位梯度大造成的。近年
来我国工人和工程技术人员经过多次科学实验和反复实践，摸索出一套等电位带电作
业的方法。作业人员全身穿戴 金属丝网制成的衣、帽、手套和鞋子。 这种保护服叫做
金属均压服 。穿上均压服后，作业人员就可以用绝缘软梯和通过瓷瓶串逐渐进入电场
区。当手与高压电线直接接触时，在手套与电线之间发生火花放电之后，人和高压线
就等电位了，从而可以进行操作。均压服在带电作业中有以下作用,一是屏蔽和均压
作用 。均压服相当于一个空腔导体，对人体起到电屏蔽作用，它减弱达到人体的电场。
二是分流作用 。当作业人员经过电位不同的区域时，要承受一个幅值很大的脉冲电流，
由于均压服与人体相比电阻很小，可以对此电流进行分流，使绝大部分电流流经均压
服。这样就保证了作业的安全。
2.2.1 孤立导体的电容
2.2.1 孤立导体的电容
所谓, 孤立, 导体，就是说 在这导体的附近没有其它导体和带电体 。
设想使一个孤立导体带电,它将具有一定的电位 （如右图示）。
理论和实践证明，随着 的增加,将按比例地增加。这个比例关系
可写成
（ 2.2）
式中 与导体的尺寸和形状有关,它是一个与, 无关的常数，称之为该孤立导体的
电容，其物理意义是使导体每升高单位电位所需的电量。电容的单位是库仑 /伏特，专
门名称法拉，简称法，用 F表示：
1法拉 =1库仑 /1伏特
实际中嫌法拉这个单位太大，常用微法（记作 ）、沙法（记作 或译作, 皮
法, ）。
q U
q U
q C
U ?
C q U
F? pF
61 1 0FF? ?? 121 10pF F??
2.2.1 孤立导体的电容
为了便于理解电容的意义，可以打个比喻。
右图表示三个盛水容器。当我们向各容器灌水
时，容器内水面便升高。可以看到，对三个容
器来说，为使它们的水面都增加一个单位的高
度，需要灌入的水量是不同的。使容器中的水面每升高一个单位高度要灌入的水量是
由容器本身的性质（即它的截面积）所决定的。导体的, 电容, 与此类似。若一个导
体
的电容比另一个大，就表示每升高一个单位电位时，该导体上面所需增加的电量比另
一个多。
【 例题 1】 求半径为 的孤立导体球的电容。
【 解 】
因,故
R
04
qU
??? 04
qCR
U ????
2.2.2 电容器及其电容
2.2.2 电容器及其电容
如果在一个 导体 A的近旁有其它导体，则这导体的电位 不仅与它自已所带电量
的多少有关，还取决于其它导体的位置和形状。这是由于电量 使邻近导体的表面产
生感应电荷，它们将影响着空间的电位分布和每个导体的电位。在这种情况下，我们
不可能再用一个常数 来反映 和 之间的依赖关系了。要想消除其它导体
的影响，可采用静电屏蔽的方法。如右图所示，用
一个封闭的导体壳 B把导体 A包围起来，并将 B接地
（ ）。这样一来，壳外的导体 C,D等就示会
影响 A的电位了。这时若使导体 A带电,导体壳 B
的内表面将带电 - 。随着 的增加,将按比
例地增大，因此我们仍可定义它的电容为
AU Aq
Aq
AAC q U? AU Aq
0BU ?
Aq
Aq Aq AU
AAB
A
qC
U?
2.2.2 电容器及其电容
当然这时 已与导体壳 B无关了。其实导体壳 B也可不接地，则它的电位 。
虽然这时, 都与外界的导体有关，但电位差 仍不受外界的影响，且正比
于,比值不变。这种导体壳 B和其腔内的导体 A组成的导体系，叫做电容器，比值
（ 2.3）
叫做它的电容。电容器的电容与导体的尺寸、形状和相对位置有关，与 和
无关。组成电容器的两导体叫做电容器的极板。
实际中对电容器屏蔽的要求并不象上面所述那么苛刻。如上页图所示那样，一对
平行平面导体 A,B的面积很大，而且靠得很近，集中在两导体相对的表面上的那部分
电荷将是符号相反，数量相等的，它们产生的电力线集中在两表面之间狭窄的空间里。
这时外界的干扰对电荷 与电位差 之比（即电容 C）的影响实际上是可以忽
略的。我们也可以把这种装置看成电容器（平行板电容器）。
电容器在实际中（主要在交流电路、电子电路中）有着广泛的应用。当你打开任
何电子仪器或装置（如收音机、示波器等）的外壳时，就会看到线路里有各种各样的
ABC 0BU ?
AU BU
ABUU?
Aq
AAB
AB
qC
UU? ?
Aq ABUU?
Aq ABUU?
2.2.2 电容器及其电容
元件，其中不少是电容器。实际的电容器种类繁多。（ 156页图 2-23）通常在电容器两
金属极板间还夹有一层绝缘介质（叫做电介质）。绝缘介质也可以是空气或真空。按
两金属极板间 所用的绝缘介质 来分，有 真空电容器、空气电容器、云母电容器、纸质
电容器、油浸纸介电容器、陶瓷电容器、涤纶电容器、电解电容器、聚四氟乙烯电容
器、钛酸钡电容器 等；按其 电容量的可变与否 来分，有 可变电容器、半可变或微调电
容器、固定电容器 等。但是，常用的各种类型的电容器的基本结构相同，都由两片面
积较大的金属导体极板中间夹一层绝缘介质组合而成。
下面我们来推导电容器的电容公式，由此可以看出电容量的
大小是由哪些因素决定的。在下面的计算中暂不考虑绝缘介质，
即认为极板间是空气或真空。
（ 1）平行板电容器
实际常用的绝大多数电容器可看成是由两块彼此靠得很近的
平行金属板组成的平行板电容器。设它们的面积都是 S，内表面
间的间距是 d（右图）。 在极板面的线度远大于它们之间的距离
2.2.2 电容器及其电容
（或者说 ）的情况下，除边缘部分外，情况和两极板为无限大时差不多。这时
两极板的内表面均匀带电，极板间的电场是均匀的。
设两极板 A,B的带电量分别为,则电荷的面密度分别为 。根据式
（ 2.1），场强为,电位差为
从而按照电容的定义（ 2.3），则有
对于电容器的电容通常略去下标 AB不写，而写为
（ 2.4）
这便是平行板电容器的电容公式。此式表明,正比于极板面积 S，反比于极板间隔 d。
它指明了加大电容器电容量的途径：首先必须使电容器极板的间隔小，但是由于工艺
2Sd??
q? e qS?? ? ?
0eE ???
00
B e
AB A
d qdU E dl E d
S
?
??? ? ? ? ??
0AB
AB
SqC
Ud
???
0SC d??
C
2.2.2 电容器及其电容
的困难，这是有一定的限度；其次要加大极板的面积，这势必要加大电容器的体积。
为了体积小电容量大的电容器，需要选择适当的绝缘介质。
（ 2）同心球形电容器
如右图示，电容器由两个同心球形导体 A,B组成，设半径
分别为 和 （ ＞ ）。
设 A,B分别带电,利用高斯定理可知，两导体之间的
电场强度,方向沿矢径。这时两球形电极 A,B之间
的电位差为
于是电容为
AR BR AR BR
q?
2
0
1
4
qE
r???
2
0 0 0
1 1 1
4 4 4
B
A
BR BA
AB AR
A B A B
RRq q qU E d l d r
r R R R R? ? ? ? ? ?
?? ?? ? ? ? ? ???
????
? ? 04AB B A A B
qqC
U q R R R R???? ?
2.2.2 电容器及其电容
消去,整理后得同心球形电容器的电容公式为
（ 2.5）
（ 3）同轴柱形电容器
如右图示，电容器是由两个同轴柱形导体 A,B组成，设其
半径分别为 和 （ ＞ ），长度为 L。当 时，
两端的边缘效应可以忽略，计算场强分布时可以把圆柱体看成是
无限长的。利用高斯定理可
知，两导体间的电场强度为
其中 是每个电极在单位长度内电荷的绝对值，场的方向在垂直
于轴的平面内沿着辐向。两柱形电极 A,B间的电位差为
q
04 AB
BA
RRC
RR
???
?
AR BR AR BR BAL R R?
02
E r????
?
00
1 ln
22
B
A
BR B
AB AR
A
RU E dl dr
rR
??
? ? ? ?? ? ? ???
2.2.3 电容器的并联、串联
在柱形电容器每个电极上的总电荷为,故
消去,整理后得同轴柱形电容器的电容公式为
（ 2.6）
从以上三例归纳起来,计算电容的步骤 是,①设电容器两极板上分别带电荷,
计算电容两极间的场强分布，从而计算出两极间的电位差 来；②所得的 必
然与 成正比，利用电容的定义 求出电容，它一定与此 无关，完全由电
容器本身的性质（如几何尺寸，形状等）所决定。
2.2.3 电容器的并联、串联
电容器的性能规格中有两个主要指标，一是它的电容量，一是它的耐压能力。使
用电容器时，两极板所加的电压不能超过所规定的耐压值，否则电容器内的电介质有
被击穿的危险，即电介质失去绝缘性质，电容器就损坏了。在实际工作中，当遇到单
独一个电容器在电容的数值或耐压能力方面不能满足要求时，可以把几个电容器并联
qL??
? ? 0l n 2AB B AqLC U R R?? ?????
02
ln B
A
LC
R
R
???
q?
ABU ABU
q ABC q U? q
2.2.3 电容器的并联、串联
或串联起来使用。
（ 1）并联
如右图示，其中每个电容器有一个极板接到
共同点 A，而另一极板则接到另一共同点 B。接上
电源后，每一个电容器两极板上的电位差（电压）
都等于 A,B两点间的电位差，设为 。但是分配
在每个电容器上的电量则不同，它们分别是
，, ……
这表明，电容器并联时，电量与电容成正比地分配在各个电容器上（
）。在所有电容器上的总电量为
U
11q C U? 22q C U? nnq C U?
12:,, nq q q???
12:,, nC C C? ???
? ?1 2 1 2nnq q q q C C C U? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ?
2.2.3 电容器的并联、串联
因此，整个电容器系统总的电容 C是
（ 2.7）
故电容器并联时,总电容等于各电容器电容之和 。并联后总电容增加了。
（ 2）串联
如右图示，其中每个电容器的一个
极板只与另一电容器的一极板相连接，
把电源接到这个电容器组合的两个极板
上。当给第一个电容器左边的极板带上
电荷量 时，其右边的极板上就由于
静电感应产生电荷量,而在第二个电容器左边的极板带上电荷量 ；这样依次感
应。因此，串联的每一个电容器都带有相等的电荷量 。每个电容器上的电压则为
，, ……,
12 nC C C C? ? ? ????
q?
q? q?
q
1
1
qU
C? 2
2
qU
C? n n
qU
C?
2.2.3 电容器的并联、串联
这表明，电容器串联时，电压与电容成反比地分配在各电容器上（
）。整个 串联电容器组两端的电压等于每一个电容器两极板上
电压之和,即
而整个电容器系统总电容,由此得出
（ 2.8）
即 电容器串联后，总电容的倒数是各电容器电容的倒数之和,总电容 C比每个电容器
的电容都有小。例如两个电容相等的电容器串联后，总电容为每个电容器电容的一半，
分配在每一电容器上的电压也为总电压的一半，因此，这个串联电容器组的耐压能力
为每一个电容器的两倍。
12:,, nU U U???
12
1 1 1:,,
nC C C
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12
1 1 1
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qC
U?
12
1 1 1 1
nC C C C
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2.3.1 电介质的极化
2.3.1 电介质的极化
电介质就是绝缘介质，它们是不导电的。前面介绍了导体在电场中的表现，电介
质在外电场中又会表现出什么样的情况呢？先看演示实验，装置如下图示。
将平行板电容器两极板接在静电计和地线之间，
然后充上电。这时静电计指针有一偏角（图中蓝线
位置）。而 静电计指针的偏转角的大小反映了电容
器两极板间电位差的大小 。撤掉充电电源后，把一
块玻璃板插入电容器两极板之间。这时静电计指针
的偏转角减小（图中红线位置）。这表明电容器两
极板的电位差减小了。由于电源已撤除，电容器极
板是绝缘的，其上电荷量 Q不变，故电位差 U的减小
意味着电容 C=Q/U增大。即插入电介质板可起到增
大电容的作用。
2.3.1 电介质的极化
如果用导体板代替玻璃板插入电容器（当然不得使导体板与电容器极板接触 )，我
们同样可观察到类似的现象，但导体板增大电容的效果比玻璃板强得多。定性地说，
使电容增大的原因是因为插入导体板之后两极板间电位差下降了。导体板在电场 的
作用下产生了感应电荷，感应电荷在导体板内部产生的电场 总是与 方向相反（见
下图），将它全部抵消。在电容器极板上电量不变的情形下，
两极板间场强的任何削弱，都会导致电位差的下降。
电介质使电容增大的原因也可作类似的解释。可以设想，
把电介质插入电场中后，由于同号电荷相斥，异号电荷相吸
的结果，介质表面也会出现类似右图所示的正负电荷。我们
把这种现象叫做电介质的极化，它表面上出现的这种电荷叫
做极化电荷。电介质上的极化电荷与导体上的感应电荷一样，
起着减弱电场、增大电容的作用。不同的是，导体上出现感
应电荷，是其中自由电荷重新分布的结果；而介质上出现极
化电荷，是其中束缚电荷的微小移动造成的宏观效果。由于束缚电荷的活动不能超出
0E
E? 0E
2.3.2 极化的微观机制
原子的范围，因此电介质上的极化电荷比导体上的感应电荷在数量上要少得多。极化
电荷在电介质内产生的电场 不能把外场 全部抵消，只能使总场有所削弱。综上
所述，导体板引起电容增大的原因在于自由电荷的重新分布；电介质引起电容增大的
原因在于束缚电荷的极化。
2.3.2 极化的微观机制
任何物质的分子或原子（以下统称分子）都是由带负电的电子和带正电的原子核
组成的，整个分子中电荷的代数和为 0。正、负电荷在分子中都不是集中于一点。但在
离开分子的距离比分子的线度大得多的地方，分子中全部负电荷对于这些地方的影响
将和一个单独的负点电荷等效。该等效负点电荷的位置称为这个分子的负电荷, 重
心,,
例如一个电子绕核作匀速圆周运动时，它的, 重心, 就在圆心；同样，每个分子的正
电
荷也有一个正电荷, 重心, 。由此，电介质可以分成两类：在一类电介质中，当外电
场
不存在时，电介质分子的正、负电荷, 重心, 是重合的，这类分子叫做无极分子；在
另
一类电介质中，即使当外电场不存在时，电介质分子的正、负电荷, 重心, 也不重合，
E? 0E
2.3.2 极化的微观机制
（ 1）无极分子的位移极化
，, 等分子都是无极分子，在没有外电场时整个分子没有电矩。加
上外电场，在电场力作用下，每一分子的正负电荷, 重心, 错开了，形成一个电偶极
子
（下页图中 a），分子电偶极矩的方向沿外电场方向。这种 在外电场作用下产生的电
偶极矩 称为 感生电矩 。
对于一块电介质整体来说，由于介质中每一分子形成了电偶极子，它们在介质中
2H 2N 4CCl
2.3.2 极化的微观机制
情况可用图 b表示。各个偶极子沿外电场方向排成一条条, 链子,,
链上相邻的偶极子间正负电荷互相靠近，因而 对于均匀电介质
来说，其内部各处是电中性的； 但在和外电场垂直的两个介质
端面上就不同了。从图中看出,一端出现负电荷，另一端出现
正电荷,这就是 极化电荷 。极化电荷与导体中的自由电荷不同，
它们不能离开电介质而转移到其它带电体上，也不能在电介质
内部自由运动。 在外电场的作用下电介质出现极化电荷的现象,
就是电介质的 极化 。由于电子的质量比原子核小得多，所以在外电场作用下主要是电
子位移，因而 无极分子介质的极化机制常称为 电子位移极化 。
（ 2）有极分子的取向极化
在没有外电场时，虽然每一分子具有固有电矩，但由于分子的的不规则热运动，
在任何一块电介质中，所有分子的固有电矩的矢量和，平均说来互相抵消，即电矩的
矢量和 为 0，宏观上不产生电场。现在 加上外电场,则每个分子电矩都受到
力矩作用 （如右图示）,使分子电矩方向转向外电场方向,于是 不是 0了。但
由于分子热运动的缘故，这种转向并不完全，即所有分子偶极子不是很整齐地依照外
p? 分 子 0E
p? 分 子
2.3.2 极化的微观机制
电场方向排列起来。当然，外电场越强。分子
偶极子排列得越整齐。对于整个电介质来说，
不管排列的整齐程度怎样，在垂直于电场方
向的两个端面上也产生了极化电荷。如右图 b
所示，在外电场作用下，由于绝大多数分子电
矩的方向都不同程度地指向右方，所以图中左
端出现了未被抵消的负束缚电荷，右端出现正的束缚电荷。这种有极分子介质的极化
机制称为 取向极化 。
应当指出,电子位移极化效应在任何电介质中都存在,而 分子取向极化只是由有
极分子构成的电介质所独有 。但是，在有极分子构成的电介质中，取向极化的效应比
位移极化强得多（约大一个数量级），因而其中取向极化是主要的。在无极分子构成
的电介质中，位移极化则是唯一的极化机制。但 在很高频率的电场作用下,由于分子
的惯性较大，取向极化跟不上外电场的变化，所以这时 无论哪种电介质只剩下电子位
移极化机制仍起作用,因为其中只有惯性很小的电子，才能紧跟高频电场的变化产生
位移极化。
2.3.3 极化强度矢量 P
2.3.3 极化强度矢量 P
（ 1）定义
当电介质处于极化状态时，电介质的任一宏观小体元 内分子的电矩矢量之和
不互相抵消，即 （对 内各分子求和），而当介质没有被极化时，则
将等于 0。因此为了定量地描述电介质内各处极化的情况，我们引入矢量,它等于
单位体积内的电矩矢量和，即
（ 2.9）
称为 电极化强度矢量,它是量度电介质极化状态（包括极化的程度和方向）的物
理量。它的单位是 库仑 /米 2 。
如果在电介质中各点的极化验室强度大小和方向都相同，则称为均匀极化；否则
极化是不均匀的。
V?
0p ?? 分 子 V? p?分 子
P
pP
V? ?? 分 子
P
2.3.3 极化强度矢量 P
（ 2）极化电荷的分布与极化强度矢量的关系
当电介质处于极化状态时，一方面在它体内出现未被抵消的电偶极矩，这一点是通
过极化强度矢量 来描述的；另一方面，在电介质的某些部位将出现未抵消的束缚电
荷，即极化电荷。可以证明，对于均匀的电介质，极化电荷集中在它的表面上。电介
质产生的一切宏观后果都是通过极化电荷来体现的。
为了方便，以位移极化为模型，设想介质极化时，每个分子中的正电“重心”相
对
负电“重心”有个位移 。用 q代表分子中正、负电荷的数量，则分子电矩 。
设单位体积内有 个分子，则按照定义，极化强度矢量 。
如右图示，在极化了的电介质内取一面元矢量
，其中 为单位法线矢量。现考虑因极化
而穿过此面元的极化电荷。穿过 的电荷所占据的
体积是以 为底、长度为 的一个斜柱体。设 与
的夹角为,则此柱体的高为,体积为 。因为单位体积内正极化
电荷为,故在此柱体内极化电荷总量为,这也就是
P
l p ql?分 子
n P n p n q l??分 子
dS ndS? n
dS
dS l l
n ? cosl ? cosldS ?
nq c osnq l dS nq dS l n P dS? ? ? ? ?
2.3.3 极化强度矢量 P
由于极化而穿过 的束缚电荷。
现在取一任意闭合面,令 为它的外法线矢量,则 通过整个闭合面
的通量 应等于因极化而穿出此面的束缚电荷总量。根据电荷守恒定律，这等
于 面内净余的极化电荷 的负值，即
（ 2.10）
这公式表达了极化强度矢量 与极化电荷分布的一个普遍关系。
若把闭合面 的面元 取在电介质体内，由于不前面
的束缚电荷移出时后面还有束缚电荷补充进来（见右图），
可以证明，如果介质是均匀的，其体内不会出现净余的束
缚电荷，即极化电荷的体密度 。对于非均匀电介质，
体内是可能有极化电荷的。下面我们只考虑均匀电介质的
情形。
在电介质表面上,为锐角的地方出现一层正极化电
dS
S
n dS ndS? P
S
S
q??
P
S dS
0e???
?
?? ? ????S qSdP ??
?? ? SdP ??
2.3.3 极化强度矢量 P
荷（见右图 a）,为钝角的地方则出现一层负极化电
荷（见右图 b）。表面电荷层的厚度是,故面元
上极化电荷为
从而极化电荷的面密度为
（ 2.11）
这里 是 沿介质表面外法线 方向
的投影。 上式表明,为锐角的地方,；
为钝角的地方,。这与前面分析的结论
一致。式（ 2.11）是介质表面极化电荷面密度分布与极
化强度矢量间的一个重要公式。
【 例题 1】 求一均匀极化的电介质球表面上极化电荷的分布，已知极化强度为 。
【 解 】 取球心 O为原点、极轴与 平行的球坐标系。由于轴对称性，表面上任一点
?
lcon?
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c o s c o sd q n q l d S P d S??? ??
c o sendq P P n PdS???? ? ? ? ? ?
nP n P P c o n?? ? ? P n
?
? 0,0neP ? ???
0,0neP ? ???
P
P
2.3.3 极化强度矢量 P
A的极化电荷面密度 只与 角有关。这个 也
是 A点外法线 与 的夹角，故
这公式表明，在右半球 为正，在左半球 为负；
在两半球的分界线（赤道线）上,在
两极处 最大。
【 例题 2】 求沿轴均匀极化的电介质圆棒上的极化电荷
分布，已知极化强度为 。（如右图示）
【 解 】 在右端面上 ；在左端面上；在侧面上 。故正负电荷分别集
中在两端面上。
cose P??? ?
e?? e??
,02 e??????
0,e? ? ? ?? 和
P
0,e P?????,2???
0e???,0
2 e
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n P
2.3.4 退极化场
电介质极化时出现极化电荷，而极化电荷和自由电荷一样，在周围空间（无论介
质内部或外部）产生附加的电场 。因此根据场强叠加原理，在有介质存在时，空间
任意的场强 是外电场 和极化电荷的电场 的矢量和：
（ 2.12）
一般说来,的大小和方向是逐点变化的。例如，我们把一个均匀的电介质球放
在均匀外电场中极化（如图 a示），
介质球上的正、负极化电荷产生附加
场（如图 b示），它是一个不均匀的电
场。 与均匀外电场 叠加后，得
到的总电场（如图 c示），它也是 不均
匀的。在介质球外部，有的地方 与
方向一致（如图中左、右两端），这里
总电场 增强了；有的地方 与 方向相反（如图中上、下两方），这里的总电场
减弱了；一般情况是 与 成一定夹角，总电场 的方向逐点不同。然而，在电介
质内部的情况比较简单，即 处处和外电场 的方向相反，其后果是使总电场 减
EEE ??? ??? 0
E??
E? 0E? E??
E??
E?? 0E?
E?? 0E?
E? E?? 0E? E?
E?? 0E? E?
E? 0E? E?
2.3.4 退极化场
弱。要知道，决定介质极化程度的不是原来的外电场,而是电介质内实际的电场 。
减弱了，极化强度 也将减弱。所以电荷在介质内部的附加场 总是起着减弱极
化的作用，故叫做退极化场。退极化场的大小与电介质的几何形状有着密切的关系。
【 例题 3】 求插在平行板电容器中的电介质板内的退极化场，已知极化强度 。
【 解 】 电介质表面的极化电荷密度为
〔 其中 〕 。由于这些等量异号的极化电
荷均匀地分布在一对平行平面上，它们在电介质
内产生的附加场为
的方向与原外场 相反。
【 例题 4】 求均匀极化的电介质球在球心产生的
退极化场，已知极化强度 。
【 解 】 以球心 O为原点，取球坐标系，极轴 z沿极化方向。球面各处 与外法线 的
0E? E?
E? P E??
P
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?? 和0?
00 ??
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E??
0E?
P
P n
2.3.4 退极化场
夹角即球坐标系中矢径与极轴的夹角 。例题 1中已求得,电荷分布已知
后，可用场强叠加原理来求退极化场 。根据轴对称性，球心的电场只有 z分量，故只
需计算各面元 在球心产生的元电场 有 z分量的代数和。球面元,
在 上的极化电荷 。所有面元到中心 O的距离都有是,按照库
仑定律，在球心的元电场的大小为
沿着从 所在处 A点到球心 O点的方向，故它在与 z轴成夹角,故 的 z分量为
整个球面在球心产生的退极化场为
故 的大小为
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球面
E??
2.3.4 退极化场
可见，球形介质中的退极化场为平面介质的 1/3。
【 例题 5】 求沿轴均匀极化的介质细棒中点的退极化场，已知细棒的截面积为,长
度为,极化强度为 （如右图示）。
【 解 】 极化电荷集中在两端面上，由于端面面积
很小，它们可以看成是电量为
的点电荷。按照库仑定律，极化电荷在中心产生的退极化场为
当 时，这退极化场是可以忽略不计的。
从以上三个例题可以看出，相对于极化方向，当电介质的纵向尺度越大，横向尺度
越小时，退极化场就越弱；反之，纵向尺度越小，横向尺度越大，退极化场就越强。平
行板电容器中电介质里的极化最强，其数值为 。
03?
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2.3.5 电介质的极化规律 极化率
2.3.5 电介质的极化规律 极化率
在前面两节里我们都是假定极化强度 已给定，然后由它求出极化电荷的分布和
退极化场。但是实际上电介质中任一点的极化强度 是由该点的总电场 决
定的。对于不同的物质,与 的关系（极化规律）电不同的，这要由实验来确定。实
验表明，对于大多数常见的各向同性电介质,与 方向相同，数量上成简单的正比
关系。因此可以写成
（ 2.13）
比例常数 叫做极化率，它与场强无关，与电介质的种类有关，是介质材料的属性。
我们只讨论各向同性的线性是介质，即 与 同向，服从（ 2.13）形式的极化规律。
如前所述，在外电场 作用下，电介质发生极化。极化强度 和电介质的形状决定
了极化电荷的面密度,而 决定退极化场, 又影响电介质内的总电场
，最后，总场 又决定着极化强度 。由此可见,、, 和 这些量是彼此依赖、
相互制约的。为了计算它们之中的任何一个，都需要把 3.3,3.4,3.5各节所述的关系
联系起来，共同考虑。
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2.3.5 电介质的极化规律 极化率
【 例题 6】 平行板电容器充满了极化率为 的均匀电介质。已知充电后金属极板上的
自由电荷面密度,电介质内的极化强度 和电场,以及电容器的电容 与没有电
介质时的电容 之比。
【 解 】 与 的关系为,退极化场,而,这里,
其中 是自由电荷的电场，即外电场。由于 与 方向相反，故两者应相减。
把所有上述关系联系起来，则有
故
上面的结果表明，插入电介质后电场为真空时电场的 倍，亦即在 给定时电压
减小到 倍，故插入电介质后的电容为
即电介质使电容增大 倍。
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2.3.6 电位移矢量 D与有介质时的
高斯定理 介电常数
从前几节的讨论中看到，静电场中电介质的性质和导体有一定相似之处，这就是电
荷与电场的平衡分布是相互决定的。然而电介质的性质比导体要复杂得多。因为在电介
质里极化电荷的出现并不能把其内的电场完全抵消，因而在计算和讨论问题时，电介质
内部需要由两个物理量 和 来描述,3.5节所用的方法计算起来较繁，最麻烦的问题
是极化电荷的分布由于互相牵扯而事先不能知道。如果能制订一套方法，从头起就使这
些量不出现，从而有助于计算的简化。为此我们引入一个新的物理量 —— 电位移矢量。
高斯定理是建立在库仑定律的基础上的，在有电介质存在时，它也成立，只不过计
算总电场的电通量时，应计及高斯面内所包含的自由电荷 和极化电荷,
（ 2.15）
此外在 3.3节里我们推导出下面公式 [式 (2.12)]：
将前式乘以,与后式相加，可以消去极化电荷,
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2.3.6 电位移矢量 D与有介质时的
高斯定理 介电常数
现引进一个辅助性的物理量,经的定义为
（ 2.18）
叫做 电位移矢量,或 电感应强度矢量 。上面的公式可用 改写作
（ 2.19）
式 (2.19)比原来的式 (2.14)优越的地方在于其中不包含极化电荷。此外，若 与 成
比例，则 与 成比例，其中比例系数为
（ 2.20）
叫做电介质的介电常数,更确切地应称为相对介电常数。
式 (2.19)和 (2.20)使电介质中电场的计算大为简化。在有一定对称性的情况下，我
们可以利用高斯定理式 (2.19)先把 求出，这里无需知道极化电荷有多少；然后利用式
(2.20)求出电场 。
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2.3.6 电位移矢量 D与有介质时的
高斯定理 介电常数
【 例题 7】 利用电位移矢量的概念重解例题 6。
【 解 】 如右图示，作柱形高斯面,它的一个底 在一个金属极
板内，另一个底 在电介质中，侧面一电力线平行。在金属内,
，故 上无通量；侧面上也无通量；唯一有通量的是 处。
此外，包围在此高斯面内的自由电荷有,故根据高斯定理
式 (2.19),我们有
亦即
其中 是自由电荷的场 (外电场 ).利用式 (2.20)得
它与例题 6的结果一致,但计算过程简单多了。
【 例题 8】 在整个空间充满介电常数为 的电介质，其中有
一点电荷 。求场强分布。
【 解 】 以 为中心取任意半径 作球形高斯面 (如右图示 )
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2.3.6 电位移矢量 D与有介质时的
高斯定理 介电常数
则
故
不难看出，它是真空中点电荷场强 的 倍。场强减小的原因，是中心点电
荷 被一层正负号与之相反的极化电荷包围了 (见上页下图 )，它的场把点电荷 的场抵
消了一部分。通常把这个效应说成极化电荷对 起了一定的 屏蔽作用 。
以上两例题的结果都表明，, 。然而这是有条件的。可以证明，当
均匀电介质充满电场所在空间，或均匀电介质表面是等位面时，, 。从
而当电容器充满均匀电介质后，其电容 为真空电容 的 倍：
（ 2.22）
所以，介电常数 也叫做电容率。
设无电介质时的场强为,它只是自由电荷产生的场强，故有
或
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2.3.6 电位移矢量 D与有介质时的
高斯定理 介电常数
另一方面，在引入电介质后,所满足的高斯定理为
比较两式，似乎应有,即 与极化电荷无关。在例题 7和例题 8中确实看到这种情况。是否
可以认为电位移矢量 就是 的 倍呢？否！ 这个关系式是有条件的。可以证明，这
条件是均匀电介质充满存在电场的全部空间（上述两例题满足此条件），或者放宽一些，均匀电介
质的表面为等位面。满足这些条件时，, 与 的 倍。若上述条件不满足，一般说来
,。这样的例子是不难举出的。例如 3.4节例题 5中得到沿轴均匀极化介质细棒
中点的退极化场为 从而, 。
为什么 和 两个矢量满足同一形式的高斯定理，但在普遍情况下它们又不相等呢？正如
在第一章 § 4中指出的，高斯定理只反映矢量场的一个侧面，单靠它不能把矢量场的分布完全确定
下来。反映矢量场另一个侧面的是环路定理，对于真空中的场强,
但在普遍情况下，电位移矢量 的环路积分 。此外，在电介质中 正比于,
但 不一定正比于 。可见,和 本质上是不同的，在普遍的情况下不能互相代替。
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2.3.6 电位移矢量 D与有介质时的
高斯定理 介电常数
在 3.3节中曾提到,均匀电介质的内部无极化电荷,因此极化电荷只能分布在均匀电介质的表面或
两种电介质的界面上。这个结论可用 的高斯定理 (2.19)式来证明。设电介质内无自由电荷,在
均匀电介质内部取一任意高斯面,则有
因为,,故,其中 是常数，故按照式（ 2.12）,任何 内包围的
极化电荷为
亦即只要均匀电介质内无自由电荷,其中必定也没有极化电荷。
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2.3.7 电介质在电容器中的作用
2.3节中已提到，电容器的指标有两个：电容量和耐压能力。在电容器中加入电介质，往往对提
高电容器这两方面的性能都有好处。现在分别作些讨论。
（ 1） 增大电容量，减小体积
前已看到，电介质可以使电容增大到 倍。用相同尺寸的电容器，其中电介质的 越大，电容
量就越大。另一方面，相同电容量的电容器,越大，体积就越小。书中 197页的表给出了一些电介
质的介电常数。
（ 2） 提高耐压能力
对提高电容器耐压能力起关键作用的是电介质的介电强度。电介质在通常条件下是不导电的，
但在很强的电场中它们的绝缘性能会遭到破坏，这称为介质的 击穿 。一种介质材料所能承受的最大
电场强度，称为这种电介质的 介电强度,或 击穿场强 。从表中可以看出，多数材料的介电强度比空
气高，它们对提高电容器的耐压能力有利。
提高耐压能力的问题不仅在电容器有，它在电缆中更为突出。在电缆周围的场强是不均匀的，
一般是靠近导线的地方最强。在电压升高时，总是在电场最强的地方首先击穿。因而电缆外总包着
多层绝缘材料，各层材料的介电常数和介电强度也不相同。很清楚，合理配置各绝缘层，在电场最
强的地方使用介电常数和介电强度大的材料，可以使场强的分布均匀，提高所承受的电压。
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2.3.8 压电效应及其逆效应
有些固体电介质，由于结晶点阵的特殊结构，会产生一种特殊的现象，叫做 压电现象,这现象
是：当 晶体发生机械形变 时，例如 压缩, 伸长,它 会产生极化,而在相对的两面上产生异号的极化
电荷 (见左图示 ) 。具有这种现象的物质，以石英（ ）、
电气石、酒石酸钾钠 ( 又称为洛瑟尔盐 )、
钛酸钡 ( )等为代表。
在 1000克 /厘米 的压强下石英晶体的相对两面上能够因
极化而产生约 0.5伏的电位差，酒石酸钾钠晶体的压电效应更
为显著。
压电现象还有逆效应，当在晶体上加电场时，晶体会发
生机械形变（伸长或缩短）（见右图）。
压电效应及其逆效应已被广泛地应用于现代技术中。利用压电效应的例子有：
（ 1）晶体振荡器：由于压电晶体的机械振动可以变为电振动，用压电晶体代替普通振荡回路做
成的电振荡器称为 晶体振荡器 。晶体振荡器突出的优点是其频率的高度稳定。在无线电技术中可用来
稳定 高频发生器中电振荡的频率。利用这种振荡器制造的石英钟，每昼夜的误差不超过 秒。
（ 2）压电晶体应用于扩音器、电唱头等电声器件中，把机械振动（声波）变为电振动。
（ 3）利用压电现象，可测量各种各样情况下的压力、振动，以至加速度。
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2.3.8 压电效应及其逆效应
利用逆压电效应的例子有：
（ 1）电话耳机中利用压电晶体的逆压电效应把电的振荡还原为晶体的机械振动。晶体再把这
种振动传给一块金属薄片，发出声音。
（ 2）超声波是频率比耳朵能听到的声波频率高得多的声波（大于 2000周 /秒 ）。利用逆压电
效应可以产生超声波。将压电晶片放在平行板电极之间，在电极间加上频率与晶体片的固有频率
相同的交变电压，晶片就产生强烈的振动而发射出超声波来。
2.4.1 带电体系的静电能
2.4.1 带电体系的静电能
一,点电荷之间的相互作用能
移动一个带电体中的电荷,就需要抵抗电荷之间的静电力作一定的功,从而带电体
系的 静电位能 (简称 静电能 )将改变,二者的关系是
（ 2.23）
这里 和 都是可正可负的。例如把同号电荷移近时，,,即静电能增
加；把异号电荷移近时，,,即静电能减少。
上面说的只是静电能的变化，静电能本身的数值是相对的。要谈一个带电体所包含的
全部静电能有多少，必须说明相对于何种状态而言。我们设想，带电体系中的电荷可以无
限分割为许多小部分，这些部分最初都分散在彼此相距很远（无限远）的位置上。通常规
定，处于这种状态下的静电能为 0。现有的带电体系的静电能 是相对于这种初始状态而
言的。亦即,等于把各部分从无限分散的状态聚集成现有带电体系时抵抗静电力所做的
全部功 。
设带电体系由若干个带电体组成，带电体系的总静电能 由各带电体之间的相互作
用能 和每个带电体的自能 组成。把每一个带电体看作一个不可分割的整体，将各带
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2.4.1 带电体系的静电能
电体从无限远移到现在位置所作的功，等于它们之间的相互作用能；把每一个带电体上的
各部分电荷 从无限分散的状态聚集起来时所做的功，等于这个带电体的自能。
由点电荷组成的带电体系叫做 点电荷组 。本小节只讨论点电荷组中各点电荷间的相互
作用能，有关自能的问题将在以后讨论。
（ 1）两个点电荷的情形
设我们的带电体由两个点电荷 和 组成，它们之间的
距离是 (如右图示 )。在计算功 时，可以有各种不同的
方式。例如可以首先把 放置到它应在的位置 上固定下来，
然后再把 由无穷远处搬来，放在与 相距 远的地方 。也可以反过来，先固定,再
搬运 。无论怎样，计算的结果应当相同。
现在我们采用上述第一种方式。在搬运 时体系中还没有其它电荷和电场，因而不需
作功。搬运 时，它已经处在 的电场 中，因而需抵抗电场力 作功：
其中
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2.4.1 带电体系的静电能
它是 在 点产生的电位（以无穷远为电位零点）。
同样可以证明，以第二种方式搬运，需要作的功为：
其中
它是 在 点产生的电位。
可见，两种计算方式所得结果一致：
如上所述，这个 就等于, 之间的相互作用能,把它写成对于, 对称的形
式，则有
（ 2.24）
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2.4.1 带电体系的静电能
（ 2）多个点电荷的情形
现把上述结果推广到多个点电荷的情形。设点电荷有 个。我们设想，把这 个点电
荷,, …, 依次由无限远的地方搬运到它们应在的位置,, …, 上去。根据场
强或电位叠加原理不难看出，搬运各电荷的功分别是：
用通用式来表达，则有
其中
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2.4.1 带电体系的静电能
代表第 个电荷在第 个电荷所在位置 处产生的电位。因此建立这带电体系的总功为
(2.25)
可以证明，建立多个点电荷组成的体系时，总功 也是与搬运电荷的顺序无关的。为
此只需证明 的表达式可以写成对电荷标号, 完全对称的形式。由于
而且其中距离 显然等于,故式 (2.25)中的 可用
代替,因而 可改写成
(2.26)
这公式显然已是对 标号, 对称的了。
的表达式还可进一步 改写成另外的形式。用 代表式 (2.26)中括弧内各项之和：
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2.4.1 带电体系的静电能
它的物理意义是除 外其余各点电荷在 的位置 上产生的电位。因此 又可写成
(2.27)
从这个式子可更加明显地看出,是与电荷标号, 的顺序无关的。
点电荷组的静电相互作用能 就等于上述功,按照 (2.25), (2.26), (2.27)各
式,也可表示成几种不同的形式
(2.28)
(2.29)
(2.30)
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2.4.1 带电体系的静电能
式 (2.28)告诉我们：若从 个点电荷中不重复地选出各种可能的配对 来，则总静电相
互作用能 是所有这些配对能量 之和。用式 (2.29)来计算,相当于先选出某
个特定的点电荷,求它与所有其余各点电荷之间相互作用能之和，尔后再对 求和。
这样一来，每对电荷之间的能量被重复考虑了两次，故结果应除以 2。在下面的两个例题
里分别用这两种方法计算 。
【 例题 1】 如右图示，在一边长为 的立方体每个顶点
上放置一个点电荷 -,中心放一个点电荷 +2 。求此带电
体系的相互作用能。
【 解 】 相邻顶点之间的距离是,故十二对相邻负电荷
之间的相互作用能是 ；面对角线长度为,
故六个面上十二对面对角顶点负电荷之间的相互作用能为；体对角线的长度为,故四对体对角顶点负电荷之间的相互作用能为；立方体中心到每个顶点的距离是,故中心正电荷与八个顶点负电
荷之间的相互作用能是 。归纳起来，这个点电荷组的总相互作用能
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2.4.1 带电体系的静电能
为
【 例题 2】 氯化钠晶体中是一种离子晶体，它由
正离子钠 和负离子 组成，它们分别带电 (
为基本电荷 )。离子实际上不是点电荷，而近似于
一个带电球体，其中 的半径比 大 (如右图示 )。
但是在计算离子间的相互作用能时，可把它们看
成是电荷集中在球心的点电荷。在氯化钠晶体中
正、负离子相间地排列整齐的立方点阵。设相邻
正、负离子之间的距离为,晶体中每各离子的
总数为 。求晶体的静电相互作用能。
【 解 】 一个宏观晶体中包含的原子或离子数目
非常巨大 (至少达 数量级 )。要想从中找出所有的配对来是不可能的。下面我们采用一种简化
的计算方法，即先计算单个离子与所有远近离子之间的相互作用能，然后乘以离子总数并除以 2。右
上图的立方体中心是正离子，它与其它离子之间的相互作用能是
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2.4.1 带电体系的静电能
第一项来自六个最近的负离子，它们到中心的距离都是 ；第二项来自十二个最近的正离子，它们到
中心的距离都是 ；第三项来自大立方体八个顶点上的负离子，它们到中心的距离都是 。式中
的, …” 代表图中未画出的那些更远离子的贡献。这几乎是一个无穷级数。不过越远的离子对 的
贡
献越小，且各项正、负相间，可以证明这级数是收敛的。数值计算的结果为
不难看出，单个负离子与所有其它离子的相互作用能 等于,所以晶体的总相互作用能是
表明，组成晶格点阵时，抵抗静电力作负功，或者说静电力作了正功。相反，若想把晶格点
阵完全拆散，需要抵抗静电力作数量上与上式相等的正功。故 是晶体的 静电结合能 。
上述计算方法的不严密之处是它不适合那些靠近晶体边界面的离子，因为在这些离子的一侧没有
多的, 邻居, 。不过对于一个宏观晶体来说，这种离子的数目占整个离子总数 的很小一部分，这
种
误差是完全可以忽略不计的。
上述结果与晶体结合能的实际测量相比，约大 10%。误差的来源主要是把离子看成了点电荷，和
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2.4.1 带电体系的静电能
二, 电荷连续分布情形的静电能
把 写成式 (2.30)的形式，便于我们推广到电荷连续分布情形。以体电荷分布为例，
我们把连续的带电体分割成许多体积元,设电荷的体密度为,则每块体积元的电量
为,按照 式 (2.30)，有
取 的极限，上式过渡到体积分：
（ 2.31)
应注意，写出上述积分，就意味着带电体内的电荷已被无限分割，因而我们得到的已不是
相互作用能,而是包括自能在内的总的静电能 了。同理，对于线电荷分布，有
(2.32)
对于面电荷分布，有
(2.33)
式中 和 分别是带电的线元和面元,和 分别是电荷的线密度和面密度,上面三式的
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2.4.1 带电体系的静电能
积分范围遍及所有存在电荷的地方。如果只有一个带电体,(2.31),(2.32),(2.33)各
式给出的就是它的自能。
【 例题 3】 求均匀带电球壳的静电自能，设球的半径为,带电总量为 。
【 解 】 由第一章 § 4例题 2的计算，球面上的电位为,它在球面上是个常数，故式 (2.33)
化为
(2.34)
同学们可以根据第一章 § 4习题 18中的结果,计算一个半径为,带电总量为 的均匀球体的静电自能。
其结果为
(2.35)
在例题 3中若令,则带电球缩成点电荷。从 (2.34),(2.35)可以看出,点电荷的自能为 。在, 电动力学,
课中将会看到，一个电子的质量 (惯性 ),与它的静电自能有一定联系。如果把电子看成一个点电荷，它将具有无
穷大的自能，这在理论上造成所谓, 发散困难, 。如果把电子看成有一定半径 的带电球，则它的自能与电荷分
布情
况有关。例如把电子设想成表面带电的，则自能等于 [见式 (2.34)]；若把电子设想成体内均匀带电的,则自
能等于 [见式 (3.35)]；即不同模型得到不同的结果，但它们的数量级一样，都是 乘以一个数量
级为 1的因子。根据相对论的质能关系,( 米 /秒为真空中的光速 ),假设 全部来自静电自能,
并取它的表达式为,则可导出电子的半径为,
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2.4.1 带电体系的静电能
(2.36)
式 (2.36)所规定的 称为 电子的经典半径 。
现代的基本粒子理论大多建筑在点模型上。通常采用点模型会导致上述发散困难；但不采用点模型，从相对论
和量子理论考虑，又会出现其它一系列问题。这是现代基本粒子理论中广泛存在的一个基本矛盾。所以从经典理论
导出的式 (2.36)决不是真的代表电子的线度。但是，从另一个角度看,却是一个由电子的基本常数 ( 和 )组成
的具有长度量纲的量,因而它在许多参与的过程 (如散射 )中起作用,在以后的课程中我们看到 经常在一些理论 (包
括近代量子理论 )的公式中出现。
三,电荷在外电场中的能量
在有的实际场合里，往往需要把带电体系中的某个电荷或电荷组 (如偶极子 )分离出来，把它们作
为试探电荷看待。带电体系的其余部分产生的电场，对试探电荷来说是, 外电场, 。在 4.2节例题 3中
就
是这样处理的。在那里电子被看成试探电荷，电极 K,A产生的电场对它来说是外电场。从阴极 K到阳
极 A外电场所作的功 就是电子在外电场中的电位能差 。普遍地说，一个电荷 在外电场
中 P,Q两点间的电位能差为
若取 Q为无穷远点，并令,则电荷 在外电场中 P点的电位能为
(2.37)
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2.4.1 带电体系的静电能
【 例题 4】 求电偶极子 在均匀外电场 中的电位能（如右图示）。
【 解 】 按照式 (2.37)电偶极子中正、负电荷的电位能分别是
电偶极子在外电场中的电位能为
式中 是 与 的夹角。写成矢量形式，则有
(2.38)
式 (2.38)表明,当电偶极子的取向与外电场方向一致时,电位能最低；取向
相反时,电位能最高。如果电偶极子可以绕中心 自由转动，则它总是趋
向于取 的位置，即这是一个稳定平衡的位置。
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2.4.1 带电体系的静电能
四,带电体系受力问题
设处在一定位形的带电体系的电位能为,当它的位形发生微小变化 (例如发生平移或转动 )时，
电位能将相应地改变 。若带电体的某一部分原来受力 或力矩,在位形变化时，电场力就作一
定的功 。假设在此过程中没有能量的耗散和补充，根据能量守恒定律，应有
(2.39)
即电场力的功等于电位能的减少。下面分别就平移和转动两种情形来讨论这个带电体系的受力问题：
（ 1）平移
设想带电体系有一微小位移,则,其中 是电场力在 方向上的投影。代入上
式 (2.39)中，则有,除以,取 的极限，得
(2.40)
（ 2）转动
设想带电体系绕某个方向作微小的角位移,则,其中 是力矩 在转轴方向的投
影。代入式 (2.39)中，则有,除以,取 的极限，得
(2.41)
利用 (2.40)或许 (2.41)，可以求出 或 来。用这种方法计算力或力矩，比直接计算简单得多。
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2.4.1 带电体系的静电能
【 例题 5】 计算电偶极子在外电场中所受的力矩。
【 解 】 因,由式 (2.41)得：
这结果除了负号外与第一章 § 2例题 4的表达式一致。那里给的是 的绝对值，这里给的是 的投影
负号表示它的作用使 趋于减小。
【 例题 6】 计算 电偶极子在非均匀外电场中所受的力。
【 解 】 因,由式 (2.40)得：
,或 (2.42)
若电偶极矩 与场强 平行，则,上式表明，在此情况下，电偶极子受力的方向沿着
的梯度 方向,亦即指向场强的绝对值 较大的区域。例如当我们在一个非均匀电场中放一些电
介质的小颗粒或碎片时，它们就会因极化而成为沿场强方向的小电偶极子。这时电场力总是把它们拉
向电场较弱的区域。经磨擦起电后的物体能够吸引轻微物体，就是这个道理。
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2.4.2 电容器的储能
2.4.2 电容器的储能 (电能 )
如果把一个已充电的电容器两极板用导线短路而放电,可见到放电的火花,利用放电火
花的热能甚至可以熔焊金属,即所谓, 电容焊, 。放电火花的热能是由充了电的电容器中储
存的电能转化而来。那么电容器储存的电能又是从哪里来的呢？下面我们将看到，在电容
器充电的过程中电源必须作功，才能克服静电场力把电荷从一个极板搬运到另一个极板上。
这能量以电位能的形式储存在电容器中，放电时就把这部分电能释放出来。设每一极板上
所带电荷量的绝对值为,两极板间的电压为,为了计算这电容器储存了多少电能，让我
们来分析一下电容器的充电过程。充电过程可用右图所示的图象
来表示，电子从电容器一个极板被拉到电源，并从电源被推到另
一极板上去。这时被拉出了电子的极板带正电，推上电子的极板
带负电。如此逐渐进行下去，并设充电完毕时电容器极板上带电
荷量的绝对值达到 。完成这个过程要靠电源作功，从而消耗了
电池储存的化学能，使之转化为电容器储存的电能。
设在充电过程中某一瞬间电容器极板上带电荷量的绝对值为,
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2.4.2 电容器的储能
电压为 (注意与充电完毕时电荷和电压的最后值 和 相区别 )。这里电压 是指正极板
电位 减负极板电位,若在这一瞬间电源把 的电量从正极板搬运到负极板，从能量
守恒有观点看来，这时电池做的功应等于电量 从正极板迁移到负极板后电位能的增加，
即
继续充电时电池要继续作功，此功不断地积累为电容器的电能。所以在整个的充电过程中
储存于电容器的电能总量应由下列积分计算：,其中积分下限 0表示充电
开始时电容器每一极板上电荷为零，上限 表示充电结束时电容器每一极板上电荷量的绝
对值。 与 的关系是,代入上式，得
这就是计算电容器储能的公式。利用 则可写成：
（ 2.9）
式中 和 都是充电完毕时的最后值。
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2.4.2 电容器的储能
在实际中通常电容器充电后的电压值都是给定的，这时用式 (2.9)中的第二种表达式，
即 来讨论储能的问题较为方便。这公式表明，在一定的电压下 电容 也是电容
器储能本领大小的标志 。对同一个电容来讲，电压越高储能越多。但不能超过电容器的耐
压值，否则就会把里面的电介质击穿万里毁坏了电容器。
【 例题 3】 某一电容为 4微法，充电到 600伏，求所储的电能。
【 解 】
一般电容器储能有限，但是若使电容器在极短时间内放电，则可得到较大的功率，这在激光和受
控热核反应中都有重要的应用。
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2.4.3 电场的能量的能量密度
2.4.3 电场的能量和能量密度
带电体的静电能公式和本章 § 2节中给出的电容器的储能公式都是将电荷和电位联系在
一起的。这容易给人一个错误的印象，似乎静电能集中在电荷上，对于电容器来说，似乎
静电能集中在极板表面。但是静电能是与电场的存在相联系的，而电场弥散在一定的空间
里。能否认为，静电能分布在电场中呢？这个问题需要用实验来回答。然而在稳恒状态下
这样的实验是不可能的。因为在稳恒状态下，电荷和电场总是同时存在，相伴而生的，使
我们无法分辨电能是与电荷相联系，还是与电场相联系。以后 (第八章 )我们会看到，随着
时间迅速变化的电场和磁场将以一定的速度在空间传播，形成电磁波。在电磁波中电场可
以脱离电荷而传播到很远的地方。电磁波携带能量，已是近代无线电技术中人所共知的事
实了。例如，当你打开收音机的时候，由电磁波带来的能量就从天线输入，经过电子线路
的作用，转化为喇叭发出的声能。大量事实证明，电能是定域在电场中的。这种看法也是
与电的, 近距作用, 观点一致的。
既然电能分布于电场中，最好能将电能的公式通过描述电场的特征量 ——场强 表示
出来。这一点我们将通过平行板电容器的特例来说明。
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2.4.3 电场的能量的能量密度
电容器的储能公式为 [见式 (2.9)]。上式中 为极板上的自由电荷，它与电
位移的关系是 ( 是极板面积 )； 是电压，它与场强的关系是 ( 是
极板间距 )。代入上式，得
式中 是极板间电场所占空间的体积。上面虽然只作了数学上的代换，但物理意义却
变得更鲜明了。 正比于 表明，电能公布在电容器两极板间的电场中，在单位体积内有
电场能量,这个量叫做 电场能量密度 。根据上式有：
（ 2.43）
在真空中,,则
（ 2.44）
两式表明,电场中的电场能量密度正比于场强的平方。无介质情形的式 (2.44)纯粹是电场
的能量,有介质情形的式 (2.43)中还包括了介质的磁化能。
这里场能密度的表达式 (2.43)和 (2.44)虽然是通过平行板电容器中均匀电场的特例
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2.4.3 电场的能量的能量密度
推导出来的，但它们却是普遍成立的 (普遍的推导需用到矢量分析的工具,此处从略 )。当
电场不均匀时，总电场能量 应是电场能量密度 的体积分：
(2.45)
在真空中化为
(2.46)
式 (2.45)和 (2.46)中的积分遍及存在电场的空间,适用于任何静电场能的计算。
【 例题 1】 计算均匀带电导体球的静电能，设球的半径为,带电总量为,球外是真空。
【 解 】 在导体球上电荷均匀分布在表面，球内无电荷，球外场强分布为
半径是从 到 之间球壳的体积为,故
【 例题 2】 计算均匀带电球体的静电能，设球的半径为,带电总量为,球外是真空。
【 解 】 均匀带电球体产生的电场分布已于第一章 § 3的例题 2中用高斯定理求出，其结果为：
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2.4.3 电场的能量的能量密度
，
，
故静电能为
以上两题的结果分别与本章 § 2.4.2中的 (2.34)和 (2.35)相符,由此可见,带电体系的静电位能和
电场能量是一回事,我们可以用两种方法之中的任何一种计算它。
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第三章 稳恒电流
? 3.1 电流的稳恒条件和导电规律
? 3.2 电源及其电动势
? 3.3 简单电路
? 3.4 复杂电路
? 3.5 温差电现象
? 3.6 电子发射与气体导电
3.1.1 电流强度 电流密度矢量
电荷的定向流动形成电流 。产生电流的 条件 有两个,(1)存在可以自由移动的电荷 (自
由电荷 )； (2)存在电场 。
在一定的电场中，正、负电荷总是沿着相反方向运动的，而正电荷沿某一方向运动和
等量的负电荷反方向运动所产生的电磁效应相同。因此，尽管在金属中电流是由带负电的
电子流动形成的，而在电解液和气态导体中，电流却是由正、负离子及电子形成的 (见第
一章 1.4节 ),但是为了分析问题方便,习惯上把电流看成是正电荷流动形成的,并且 规定正
电荷流动的方向为电流的方向 。这样,在导体中 电流的方向总是沿着电场方向,从高电位
处指向低电位处 。
电流的强弱用电流强度 来描述。 单位时间内通过导体任一横截面的电量,叫做 电流
强度 。如果在一段时间 内，通过导体任一横截面的电量是,那么电流强度就是
或取 的极限：
(3.1)
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3.1.1 电流强度 电流密度矢量
电流强度是 MKSA单位制中的四个基本量之一,它的单位叫做 安培,简称 安,用 A表示，其
意义将在第四章 1.4和 4.2节介绍。有些实际场合，如在电磁测量和电子学中，往往嫌这种
单位太大，而采用在单位, 安, 前加词冠, 毫, 或, 微, 的单位，即 毫安 ( )和 微安
( )。它
们和安培之间的关系是
1毫安 =10-3安, 1微安 =10-6安
电流强度是标量，它只能描述导体中通过某一截面电流的整体特征。在通常的电路问
题中，一般引入电流强度概念就可以了。可是，在实际中有时会遇到电流在大块导体中流
动的情形 (如电阻法勘探问题 ),这时导体的不同部分电流的大小和方向都不一样,形成一定
的电流分布。此外，以后我们将看到，在迅变交流电中，由于趋肤效应，即使在很细的导
线中电流沿横截面也有一定的分布。因此仅有电流强度的概念是不够的，还必须引入能够
细致描述电流分布的物理量 —— 电流密度矢量。
图 3-1是电阻法勘探的示意图，把电极 A,B插入地面，并加上电压。由于地球本身是一个导体，
因此在地表下形成一定的电流场和电位分布。用另外两个电极 (图中未画出 )可以探测地表上两点间的
电位差。地下水、岩层或矿体的分布会影响到电流场的分布，从而在地表的电位分布中表现出来。通
mA A?
3.1.1 电流强度 电流密度矢量
过地表电位分布的测量，与理论计算的结果对比，可以推测地下的地质结构情况。由此可见，只有电
流强度标量的概念，就显得不够了，电流场分布的描述需要引进电流密度矢量的概念。
电流密度是一个矢量，这矢量在导体中各点的方向代表该点电流的方向，其数值等于
通过该点单位垂直截面的电流强度 (即单位时间里通过单位垂直截面的电量 )。设想在导体
中某点取一个与电流方向垂直的截面 (图
3-2a),则能过 的电流强度 与该点电流
密度 的关系是
如果截面元 的法线 与电流方向成倾斜
角 (图 3-2b),则
(3.2)
或写成矢量形式,
(3.3)
有了电流密度矢量 的概念，就可以描述大块导体中的电流分布了。在大块导体中各
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3.1.1 电流强度 电流密度矢量
点 有不同的数值和方向，这就构成一个矢量场，即 电流场 。象电场分布可以用电力线来
形象地描绘一样，电流场也可以用电流线来描绘。所谓 电流线,就是这样一些曲线，其上
每点的切线方向都和该点的电流密度矢量方向一致。
通过导体中任意截面 的电流强度 与电流密度矢量的关系为
(3.4)
由此可见，电流密度 和电流强度 的关系，就是一个矢量场和它的通量的关系。从电流
密度的定义可以看出，它的单位是安培 /米 2。
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3.1.2 电流的连续性方程 稳恒条件
电流场的一个重要性质是它的连续方程，它的实质就是电荷守恒定律。
设想在导体内任取一闭合曲面,则根据电荷守恒定律，在某段时间里由此面流出的
电量等于这段时间里 面内包含的电量的减少。象以前表述高斯定理那样，在 面上处处
取外法线，则在单位时间里由 面流出的电量应等于 。设时间 里包含在 面内的
电量增量为,则在单位时间里 面内的电量减少为 。如上所述，二者数值相等，即
(3.5)
式中负号表示, 减少, 。这便是电流连续方程 (积分形式 )。式 (3.5)表明：电流线是终止
或
发出于电荷发生变化的地方。其含意是，如果闭合面 内正电荷积累起来，则流入 内的
电量必大于从 面内流出的电量，也就是说，进入 面的电流线多于从 面出来的电流线，
所多余的电流线便终止于正电荷积累的地方。
稳恒电流指电流场不随时间变化，这就要求电荷的分布不随时间变化，因而电荷产生
的电场是稳恒电场，即静电场。否则电荷分布发生变化，必然引起电场发生变化，电流场
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3.1.2 电流的连续性方程 稳恒条件
就不可能维持稳恒。因此，在稳恒条件下，对于任意闭合面,面内的电量不随时间变化，
即,由式 (3.5)得
(3.6)
式 (3.6)叫做电流的稳恒条件,它表明,通过 面一侧流入的电量等于从另一侧流出的电量,
也就是说,电流线连续地穿过闭合曲面所包围的体积。因此稳恒电流的电流线不可能在任
何地方中断,它们永远是闭合曲线。
由一束电流线围成的管状区域叫做电流管 (见
图 3-4)。仿照第一章 3.4节的办法,同学们可以证
明,在稳恒条件下,通过同一电流管各截面的电流
强度 (即 的通量 )都相等。通常的电路由导线联
成，电流线沿着导线分布，导线本身就是一个电
流管。所以在稳恒电路中，在一段没有分支的电
路里，通过各截面的电流强度必定相等。此外电
流的稳恒条件还表明，稳恒电路必须是闭合的。
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3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
（ 1） 欧姆定律 电阻和电导
稳恒电场和静电场一样，满足环路定理：
从而可引入电位差 (电压 )的概念。电场是形成电流的必要条件，我们也可以说，要使导
体内有电流通过，两端必须有一定的电压。加在导体两端的电压不同，通过该导体的电
流强度也不同。精确的实验表明，在稳恒条件下，通过一段导体的电流强度与导体两端
的电压成正比，即
这个结论叫做欧姆定律。如果写成等式，则有
，或 (3.7)
式中的比例系数由导体的性质决定,叫做导体的 电阻 。不同的
导体，电阻的数值一般不同。式 (3.7)给出了任意一段导体电
压、电流强度和电阻三者之间的关系。
实验表明，欧姆定律不仅适用于金属导体，而且对电解液
(酸、碱、盐的水溶液 )也适用。
以电压 为横坐标、电流强度 为纵坐标画出的曲线，叫做该导体的 伏安特性 。欧姆定律成立时，
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3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
伏安特性是一条通过坐标原点的直线，其斜率等于电阻 的倒数，它是一个与电压、电流无关的常量。
具有这种性质的电学元件叫做 线性元件,其电阻叫做 线性电阻 或 欧姆电阻 。
对于气态导体 (如日光灯管中的汞蒸汽 )和其它一些导电器件，如电子管、晶体管等，欧姆定律不
成立，其伏安特性不是直线，而是不同形状的曲线。这种元件叫做 非线性元件 。图 3-6所示为两种常
用的非线性元件的伏安特性。对于非线性元件，欧姆定律虽然不适用，但我们仍可定义其电阻为
(3.8)
只不过它丕再是常量,而是与元件上的电压和电流
(即工作条件 )有关的变量。
电阻的单位是电压和电流强度的单位之
比，即伏特 /安培，这单位叫做 欧姆,写作
欧 或希腊字母 。欧姆是这样一段导体的电
阻，当加在导体两端的电压为 1伏特时，通过
导体的电流强度恰为 1安培。除了欧姆外，电
阻的常用单位还有千欧 ( )和兆欧 ( )：
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3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
1千欧 =103欧 ； 1兆欧 =106欧。
电阻的倒数叫做电导，用 表示，
(3.9)
电导的单位叫做西门子 (欧姆 )-1。
1G R?
G
3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
（ 2） 电阻率和电导率
导体电阻的大小与导体的材料和几何形状有关。实验表明，对于由一定材料制成的横
截面积均匀的导体，它的电阻 与长度 成正比，与横截面积 成反比。写成等式，有
(3.10)
式中的比例系数 由导体的材料决定，叫做材料的电阻率。如果令式 (3.10)中的 =1米,
=1米 2，则 在数值上等于 。这说明，某种材料的电阻率就表示用这种材料制成的长
度为 1米、横截面积为 1米 2的导体所具有的电阻。
当导线的截面 或电阻率 不均匀时，式 (3.10)应写成下列积分式：
(3.11)
从式 (3.10)可以看出，电阻率的单位是 欧姆 ·米,简写做 欧 ·米 。
不同材料有不同的电阻率,P231中表 3-1列出了几种金属、合金和碳在 0℃ 时的电阻率 。
从表 3-1可以看出，银、铜、铝等金属的电阻率都很小，而铁铬铝、镍铬等合金的电
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3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
阻率较大。因此，一般都用电阻率小的铜和铝来制导线，用铁铬铝和镍铬合金作电炉、电
阻器的电阻丝。
电阻率的倒数叫做电导率，用 表示，
(3.12)
电导率的单位是西门子 /米。
各种材料的电阻率都随温度变化。根据实验知道，纯金属的电阻率随温度的变化比较规则，当温
度的变化范围不大时，电阻率与温度之间近似地存在着如下的线性关系：
（ 3.13）
式中 表示 ℃ 时的电阻率,表示 0℃ 时的电阻率,叫做 电阻的温度系数,单位是 1/度。不同材料的
电阻温度系数 不同,P231表 3-1给出一些常用的金属和合金材料的 值。
从表 3-1可以看出，多数纯金属的 值都近似等于 0.004，也就是说温度每升高 1℃,这些金属的
电阻率就大约增加 0.4%。显然，电阻率的这种变化要比金属的线膨胀显著得多。温度每升高 1℃,金
属的长度只膨胀 0.001%左右。因此，在考虑金属导体的电阻随温度的变化时，我们就可以忽略掉导体
长度 和横截面积 的变化。这样，在式 (3.13)中等号的两边都乘以,就可以得到,
(3.14)
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3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
式中 表示金属导体在 ℃ 时的电阻,表示 0℃ 时的电阻。在生产上和科研中，利用金
属导体的电阻随温度变化的这种性质，制成电阻温度计来测量温度。常用的金属是铂和铜。铂电阻温
度计适用于 -200℃ —— 500℃,铜的电阻温度计适用于 -50℃ —— 150℃ 。在测温范围内，铂和铜的物
理、化学性质比较稳定，电阻随温度变化的线性关系比较好。
从表中还可以看出，有些合金，如康铜 (镍铜合金 )和锰铜,它们电阻的温度系数特别小,所以用这
些合金线绕制的电阻受温度的影响极小,常作为标准电阻来使用。
在室温时，金属导体的电阻率约在 10-8—— 10-6欧姆 ·米之间,绝缘体的电阻率一般为 108—— 1018
欧姆 ·米，半导体材料的电阻率介于两者之间,约为 10-5—— 1018欧姆 ·米范围。绝缘体和半导体除了电
阻率的大小与金属导体差异很大外，它们的电阻率随温度变化的规律也与导体大不相同，它们的电阻
率都随温度的升高而急剧地减小，并且变化也不是线性的。
前面讲过，金属材料的电阻率随温度的降低而减小，并且在温度不太低的时候，电阻率近似地随
温度作线性变化。但是当温度降到绝对零度附近时，某些金属、合金以及化合物的电阻率会出现一种
奇特的现象：当温度降低到一特定温度 时，电阻率突然减到无法测量的数值 (见图 3-7),这种现象叫
做超导电现象,叫做正常态和超导态之间的转变温度。表 3-2中列出了几种超导材料的转变温度。
如果用超导材料做成一个闭合回路，那么在这个回路里，电流一经激发无需电源就可以持续几个
星期之久而不减小，并且也不会象在普通具有电阻的导体回路中那样发热。
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CT
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3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
我们知道，在大的电磁铁或电机 表 3-2 几种超导材料的转变温度
中，通过线圈中的电流很强，为了
避免产生过多的热量，线圈就必须
用较粗的导线绕制或采取冷却措施。
这就使电磁铁和电机既笨重又耗费
电能。如果用超导体作线圈，显然
就可以避免这种缺点。现在用超导
体产生强磁场和制造电机方面的研
究工作已获得较大的进展。
超导材料除了电阻消失外，还具有一系列其它独特的物理性质。目前我国和国际上都正在从多方
面摸索超导电性在实际中应用的可能性。
（ 3） 欧姆定律的微分形式
我们知道，电荷的流动是由电场来推动的，因此电流场 的分布和电场 的分布密切
相关。它们之间的关系可由上述欧姆定律 导出。
设想在导体的电流场内取一小电流管 (见图 3-8)，设其长度为,垂直截面为,把
材 料 （ K）
镉 ( )
铝 ( )
水银 ( )
铅 ( )
铌三锡 ( )
铌三锗 ( )
0.560
1.197
4.15
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Cd
Al
Hg
Pb
3NbSn
3NbGe
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3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
欧姆定律用于这段电流管，则有
式中 为管内的电流强度,为沿这段电流管
的电位降落。实验表明，导体中的场强 与电流密度
的方向处处一致，所以场强方向也是沿电流管的，从
而 。 为电流管内导体的电阻，设它的电导率
为,则 。把这些都代入上式，即得
由于 和 方向一致，上式可写成矢量形式：
(3.15)
这公式叫做欧姆定律的微分形式。它表明,与 方向一致，数值上成比例。
式 (3.7)即 中的 和 都是积分量,故可叫做欧姆定律的积分形
式。欧姆定律的积分形式描述的是一段有限长度、有限截面导线的导电规律，而欧姆定
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3.1.3 欧姆定律 电阻 电阻率
律的微分形式给出了 和 的点点对应关系，所以它比积分形式 能够更为细致地描述 导体
的导电规律 。
必须说明，欧姆定律的微分形式虽是在稳恒条件下推导出来的，但在变化不太快的时
候，对非稳恒情况也适用。在这一点上它 比欧姆定律的积分形式更普遍 。
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3.1.4 电功率 焦耳定律
电流通过一段电路时，电场力对电荷做功，在做功的过程中，电位能转化成其它形式
的能量。如果这段电路只是由导线和电阻元件 (如电炉或白炽灯 )组成的，电位能就转化成
热能，由导线和电炉丝或灯丝释放；如果电路是由导线和直流电动机组成的，电位能的一
部分转化成热能，由导线释放，大部分转化成机械能，由电动机对外界做功。此外，电能
还可以有其它多种转换形式，不一一列举了。
由电压的定义可以知道，若电路两端的电压为,则当 单位的电荷通过这段电路时，
电场力所做的功为
因为,所以上式可以写成
(3.16)
电场在单位时间内所做的功,叫做 电功率 。如果用 表示电功率，那么根据上式可得
(3.17)
即 电功率等于电路两端的电压和通过电路的电流强度的乘积 。
电压的单位是伏特,电流强度的单位是安培,时间的单位是秒,根据式 (3.16)和 (3.17)
求出的电功和电功率的单位分别是 焦耳 和 瓦特 (用字母 J和 W表示 )在电力工程上，通常用千
瓦 (Kw)作电功率的单位,用 千瓦 ·小时 作电功的单位。我们平时所说的 1度电,就指的是 1千
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3.1.4 电功率 焦耳定律
瓦 ·小时。千瓦 ·小时和焦耳之间的关系是
1千瓦 ·小时 =1000瓦 × 3600秒 =3.6× 106焦 =3.6兆焦
用电器上一般都标有 额定电压和额定功率 。例如，电灯泡上标有, 220V 60W”，就表
明
这个灯泡在 220伏的电压下工作时，功率是 60瓦。
如果一段电路只包含电阻，而不包含电动机、电解槽等其它转换能量的装置，那么电
场所做的功就全部转化为热。这时，根据能量转化和守恒定律，式 (3.16)也就表示电流通
过这段电路所发的热,即
(3.18)
由欧姆定律 或,还可以把上式写成
或 (3.19)
式中热量 的单位是焦耳。式 (3.19)最初是焦耳直接根据实验结果确定的,叫做焦耳定律。
因为功率,所以由式 (3.19)可以得出电流通过电阻时发热的功率：
或 (3.20)
式中热功率 的单位是瓦。
再次强调指出，式 (3.20)和式 (3.17) 是有区别的。 是一段电路所消耗的全部
电功率，而 或 只是由于电阻发热而消耗的电功率。当电路中除了电阻外还有电动
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3.1.4 电功率 焦耳定律
机、电解槽等其它转换能量的装置时，这两种功率并不相等，必须分别计算。
单位体积内的热功率，叫做热功率密度，用 表示。引入热功率密度的概念后，焦耳
定律也可写成微分形式：
(3.21)
推导此式的方法和欧姆定律一样,可利用图 3-8所示的小电流管。请同学们自己把式 (3.21)
推导出来 (本节习题 17)。
电流的热效应在日常生活、生产和科研中有着广泛的应用，例如白炽灯、电炉、电烙铁、电烘箱
和其他许多仪器设备都是利用这种效应制成的。
但是，电流的热效应也有不利的一面，在许多场合中它会造成危害。例如，在输电线路中，电流
所发的热无益地散失到周围的空间，因而降低了电能的传输效率，而且如果通过的电流过强，发热过
多散不出去，还会烧坏导线的绝缘层，引起漏电、触电。又如，发电机、电动机、变压器等电气设备
的绕组都是铜导线绕成的，电流通过绕组时发热，就使绕组的温度升高，如果散热不好，也会烧坏绕
组的绝缘层，造成事故。
我们在实验室里用到的各种电阻元件和电学仪器设备都有一定的额定功率或额定电流，使用时要
特别小心，切不可让通过它们的电流超过额定值，以免发热过多而把它们烧毁。
电流的热效应在短路时危害更大。所谓短路就是指两根电源线不经过电阻元件而直接接触。在这
种情况下，因电路中电阻很小，电流很强，短时间内就能产生大量的热，轻则使电源和电气设备烧毁，
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3.1.4 电功率 焦耳定律
重则引起火灾。为了避免短路事故，在电路中通常要安装保险丝。保险丝一般是用铅或铅锡合金制成
的，熔点很低。当通过的电流过大时，保险丝被烧断，使电路自动断开，这样就可防止把导线和仪器
设备烧坏。保险丝的规格很多，不同规格保险丝的额定电流不同，使用时必须根据电路中的电流强度
适当选择。若选用额定电流过小的保险丝，在正常用电时也会烧断，造成停电事故；若选用额定电流
过大的保险丝，当电路中通过的电流超过允许值时也不会烧断，就起不到保护作用。因此，所选用保
险丝的额定电流一般应接近于或略大于电路中的正常电流。
3.1.5 金属导电的经典微观解释
金属导电的宏观规律是由它的微观导电机制所决定的。下面，我们根据简单的经典理
论说明为什么金属导电遵从欧姆定律，并把电导率和微观量的平均值联系起来。
首先定性地描述一下金属导电的微观图像。
当导体内没有电场时，从微观角度上看，导体内的自由电荷并不是静止不动的。以金
属为例，金属的自由电子好象气体中的分子一样，总是在不停地作无规则热运动。电子的
热运动是杂乱无章的，在没有外电场或其它原因 (如电子数密度或温度的梯度 )的情况下,
它们朝任何一方运动几率都一样。如图 3-9
所示，设想在金属内部任意作一横截面，那
么在任意一段时间内平均说来，由两边穿过
截面的电子数相等。因此，从宏观角度上看，
自由电子的无规则热运动没有集体定向的效
果，因此并不形成电流。
自由电子在作热运动的同时，还不时地
与晶体点阵上的原子实碰撞，所以每个自由
电子的轨迹如图 3-10的实线所示，是一条迂
回曲折的折线。
3.1.5 金属导电的经典微观解释
如果在金属导体中加了电场以后，每个自由电子的轨迹将如图 3-10中绿线所示那样，
逆着电场方向发生, 漂移, 。这时可以认为自由电子的总速度是由它的热运动速度和因电
场
产生的附加定向速度两部分组成，前者的矢量平均仍为 0，后者的平均叫做漂移速度，下
面用 来表示它。正是这种宏观上的漂移运动形成了宏观电流。
自由电子在电场中获得的加速度为
由于与晶体点阵的碰撞，自由电子定向运动速度的增加受到了限制；电子与晶体点阵碰撞
后将沿什么方向散射，具有很大的偶然性。我们可以假设，电子碰撞后散射的速度沿各个
方向的几率相等，即这时电子完全丧失了定向运动的特征，其定向速度 。此后电子
在电场力的作用下从零开始作匀加速运动，到下次碰撞之前，它获得的定向速度为
式中 为电子在两次碰撞之间的平均自由飞行时间。那么，在一个平均自由程内电子的漂
移速度等于自由程起点的初速度 和终点的末速度 的平均，即
和气体分子运动论中一样，电子的平均自由飞行时间 (即平均碰撞频率 的倒数 )与
其平均自由程 和平均热运动速率 有如下关系：
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3.1.5 金属导电的经典微观解释
所以
(3.22)
因为,,, 都与电场强度无关，故上式证明了自由电子的漂移速度 与 成正比。
负号表明,与 的方向相反。这是由于电子带负电造成的。
下面我们设法将电流密度 和自由电子的数密度 (单位
体积内的自由电子数 )、漂移速度 联系起来。为此我们在金
属中取一垂直于电流线的面元 。从宏观平均效果来看，我
们可以认为所有自由电子以同一速度 运动。在时间 内电
子移过的距离为 。以 为底,为高作一柱体 (图 3-11),
则此柱体内的全部自由电子将在 时间间隔内通过 。因柱体的体积为,故柱体内
共有 个自由电子。每个电子带电量的绝对值为,所以在 内通过 的电量为
从而电流强度和电流密度的数值为
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3.1.5 金属导电的经典微观解释
电流密度矢量 的方向是以正电荷的运动方向为准的，电子带负电，故 与它的漂移速度
方向相反。把上式写成矢量式，则有
(3.23)
这便是我们想得到的 和, 之间的关系式。
现在把式 (3.22)代入式 (3.23)，得
(3.24)
金属中自由电子的数密度 是常数，与 无关，因此，金属导体内的电流密度 与场强
成正比，这就是欧姆定律的微分形式。与宏观规律式 (3.15)比较一下,即可看出,电导率
(3.25)
这样,我们就用经典的电子理论解释了欧姆定律,并导出了电导率 与微观量平均值之间的
关系式 (3.25)。从式 (3.25)还可以看出 与温度的关系，因为 与温度无关,与 成正
比 ( 是绝对温度 ),所以,从而电阻率,这就说明了为什么随着温度的升高,金属
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3.1.5 金属导电的经典微观解释
电导率减小,电阻率增加。不过应当指出,从经典电子论导出的结果只能定性地说明金属导
电的规律,由式 (3.25)计算出的具体数值与实际相差甚远。此外 或 与温度的关系式也
不对，实际上对于大多数金属来说,近似与 (而不是 )成正比。这些困难需要用量子
理论来解决。
下面我们再定性地解释一下电流的热效应。在金属导体里，自由电子在电场力的推动
下做定向运动形成电流。在这个过程中，电场力对自由电子做功，使电子的定向运动动能
增大。同时，自由电子又不断地和晶体上的原子实碰撞，在碰撞时把定向运动动能传递给
原子实，使它的热振动加剧，因而导体的温度升高，也就是说，导体就发热了。
综上所述，从金属经典理论来看,,电阻, 所反映的是自由电子与晶体点阵上的原子
实
碰撞造成对电子定向运动的破坏作用，这也是电阻元件中产生焦耳热的原因。
最后，为了使同学们有个数量级的概念，我们举一个数字例子。
【 例题 】 设铜导线中有电流密度为 2.4安 /毫米,铜的自由电子数密度,求
自由电子的漂移速率。
【 解 】
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安 毫 米 安 米
米 秒
3.1.5 金属导电的经典微观解释
金属中自由电子的平均热运动速率有 米 /秒，可见自由电子作定向运动的漂移速率远远
小于平均热运动速率。
也许同学们会发生这样的疑问，电子定向速率如此之小，为什么平常我们都说, 电,
的
传播速度是非常快的？例如在很远的地方把开关接通，灯就会立即亮起来。如果按例题中
的速率 来计算，似乎要等很久灯才会亮起来。这问题应这样来理解：此处起作用的速度
并不是电子的漂移速度，而是电场的传播速度，它的数量级极大，约为 米 /秒。金属
导线中各处都有自由电子。只是由于未接通开关时，导线处于静电平衡，体内无电场；自
由电子没有定向运动，从而导线中也无电流。但是开关一旦接通，电场就会把场源变化的
信息很快地传播出去，迅速达到重新分布，电路各处的导线里很快建立了电场，推动当地
的自由电子定向运动，形成电流。如果认为，当开关接通后电子才从电源出发，等到它们
到达负载之后，那里才有电流。这完全是一种误解。
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3.2.1 非静电力
1.2节的分析表明, 稳恒电流线必然是闭合的。然而进一步分析可知，仅有静电场不
可能实现稳恒电流。我们知道，静电场的一个重要性质是
即 电场力沿闭合回路移动电荷所做的功为 0，或者说,若电场力将电荷从一点移到另一点
做正功，电位能减小，则从后一位置回到原来位置电场力做负功,电位能增加 。由于导体
存在电阻，电场力移动电荷所做的功转化为电阻上消耗的焦耳热，这就不可能使电荷再返
回电位能较高的原来位置，即电流线不可能是闭合的。结果引起电荷堆积，破坏稳恒条件。
因此，只有静电场还不能维持稳恒电流。要维持稳恒电流，必须有非静电力。非静电力做
功，将其它形式的能量补充给电路，使电荷能够逆着电场力的方向运动，返回电位能较高
的原来位置，从而维持电流线的闭合性。
提供非静电力的装置 称为 电源 。我们用 Ｋ 表示作用在单位正电荷上的非静电力。在电
源的外部只有静电场 Ｅ ；在电源内部，除了有静电场 Ｅ 之外，还有非静电力 Ｋ, Ｋ 的方向
与 Ｅ 的方向相反。因此，普遍的欧姆定律的微分形式应是
(3.26)
式 (3.26)表明,电流是静电力和非静电力共同作用的结果。
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3.2.1 非静电力
图 3-12是电源的一般原理图。电源都有两个电极,电位高 的
叫做 正极, 电位低 的叫做 负极 。 非静电力方向由负极指向正极 。
当电源的两电极被导体从外面联通后，在静电力的推动下形成
由正极到负极的电流。在电源内部，非静电力的作用使电流从
内部由负极回到正极，使电荷的流动形成闭合的循环。
电源的类型很多，不同类型的电源中，形成非静电力的过程
不同。在化学电池如干电池、蓄电池中，非静电力是与离子的溶解和沉积过程相联系的化
学作用；在普通的发电机中，非静电力是电磁感应作用。这些在以后有关章节中详细讨论。
3.2.2 电动势
一个电源的电动势 ? 定义为 把单位正电荷从负极通过电源内部移到正极时，非静电力
所作的功 。用公式来表示，则有
(3.27)
一个电源的电动势具有一定的数值，它 与外电路的性质以及是否接通都没有关系, 它反映
电源中非静电力作功的本领，是表征电源本身的特征量 。电动势是标量。电动势的单位和
电位的单位相同，也是 伏特 。
以后我们会遇到在整个闭合回路上都有非静电力的情形 (例如本章 § 4中讲的温差电动
势和第五章 2.3节中讲的感生电动势 )。这时无法区分, 电源内部, 和, 电源外部,,我们
就说
整个闭合回路的电动势为
(3.28)
式 (3.28)比式 (3.27)更普遍,式 (3.27)是式 (3.28)的一个特殊情形。因为在电源外部,
式 (3.28)就化为式 (3.27)了。
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电 源 内
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导 体 回 路
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3.2.3 电源的路端电压
把电源接到电路中，在一般情况下就会有电流 通过。通过电源的电流方向有两种可
能性：从负极到正极，或从正极到负极。例如当我们把一个负载电阻 接到电源的两极上
构成闭合回路时 (见图 3-13a),通过电源内部的电流是从
负极到正极；当我们把另一个电动势 较大的电源接
到电动势 较小的电源上，正极接正极，负极接负极
(见图 3-13b),通过后一电源内部的电流是从它的正极
到负极的。前一情形叫做电源 放电,后一情形叫做 充
电 。以上只是两个最简单的例子。在复杂电路中某个
电源究竟是在充电还是放电，往往难以一望而知。这
类问题如何解决，将在本章 § 4中加以讨论，此处仅仅指出，两种情形都是可能的。
现在我们来计算一个电源两端的电压 (路端电压 )。按照定义,路端电压 是 静电场力把
单位正电荷从正极移到负极所作的功,即
这里路径是任意的。我们选择积分路径通过电源内部。根据式 (3.26),
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3.2.3 电源的路端电压
代入前式,得
现对于上面的推导作些解释,是电源的电动势。 是电阻率。, 是电
流强度，对于稳恒情形来讲，它沿积分路径是常数，故可从积分号中提出来； 是导体的
截面积。 是电源的内阻。 是 与 间的夹角，对于电源放电的情形，电源内
的方向是从负到正，与积分路径相同，故 ；对于电源充电的情形，
故上面的公式中 一项，负号针对放电情形，正号针对充电情形。总结起来，电源的路
端电压公式为
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3.2.3 电源的路端电压
(3.29)
(3.30)
称为电源内阻上的电位降。式 (3.29)表明,放电时路端电压小于电动势；式 (3.30)表明，
充电时路端电压大于电动势；电动势与路端电压之差等于内阻电位降。当 时 (外电路
断开或电位得到补偿,参看 3.3节 ),内阻电位降为 0,则 。
若电源的内阻,则无论电流有无或电流沿什么方向,端电压 总等于,即电压
是恒定的 。这样的电源叫做 理想电压源 。从式 (3.29)和 (3.30)可以看出,一个有内阻的实
际电源等效于一个电动势为 的理想电压源和一个阻值等于其内阻 的电阻串联,图 3-14
称为它的等效电路。不难看出，无论放电还是
充电，这串联电路的端电压
都与式 (3.29)和 (3.30)中的 符合。
在单位时间里移过的电荷为,将式
(3.29)和 (3.30)乘以,则得功率的转化公式：
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3.2.3 电源的路端电压
两式中各项的物理意义如下,是内阻上消耗的热功率。在放电情形里 是电源中非静电
力提供的功率，它是靠消耗电源中非静电能得到的； 是电源向外电路输出的功率。在充
电情形里 是外电路输给电源的功率,是抵抗电源中非静电力的功率，它转化为非静电
能而储存于电源中。所以放电时能量的转换过程是电源中的非静电能一部分输出到外电路
中，一部分消耗在内阻上转化为焦耳热；充电时能量的转换过程是外电路输入电源的能量
一部转化为非静电能由电源储存起来，一部分消耗在内阻上转化为焦耳热。
【 例题 】 用 20安培的电流给一铅蓄电池充电时，测得它的路端电压为 2.30伏特；用 12安培放电时,其
路端电压为 1.98伏特,求蓄电池的电动势和内阻。
【 解 】 充电时的路端电压为 放电时的路端电压为
将以上两式联立，解得
2Ir I?
UI
UI I?
11U I r??? 22U I r???
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2 0 1 2
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UUr
II
U I r?
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伏 欧
安
伏 -20 安 0.01 欧 =2.10 伏
3.2.4 闭合回路的电流强度和输出功率
现在考虑图 3-13a 中的闭合回路，这是最简单的闭合回路，其中只有单一电源和一个
负载电阻,它属于电源放电情形。在这简单回路里电源的路端电压 同时也是外电阻
两端的电压，故根据欧姆定律，,代入式 (3.29)后,可将 解出来：
(3.33)
利用这公式可将回路中的电流 求出来。有人把这个公式叫做 闭合回路 (或 全电路 )的欧姆
定律 。
式 (3.33)表明，外电阻越小，则 越大。再结合式 (3.29) 考虑，则 越大，
内阻电位降越大，路端电压就越小。当外电阻短路时 。一般电源的内阻
是很小的，因此短路时电流 很大，而且电源提供的全部功率消耗在内阻上，产生大量的
热，可能把电源烧毁。所以实际中应注意防止电源短路。在相反的情形里，当外电路的电
阻 很大时,很小，内阻电位降也小,。断路时 。则 严格地等于 。
电源向负载提供的输出功率为
(3.34)
R U R
U IR? I
I Rr?? ?
I
U Ir??? II
0,0,R U I r?? ? ?
I
I U ??,0RI?? ? U ?
22()P U I I R RRr?? ? ? ?出
3.2.4 闭合回路的电流强度和输出功率
很大或 很小时,都不大，只有 的取值选择适当，才能使输出功率达到最大值。取式
(3.34)对 的微商,并令它等于 0：
由此得 达到极大值的条件为
(3.35)
式 (3.35)叫做负载电阻与电源的 匹配条件 。应当强调指出,,匹配, 的概念只是在电子电
路
(如多级晶体管放大电路 )中才使用,因为 在那里电源的内阻一般是比较高的,且输出讯号
的功率本来就很弱,所以才需要使负载与电源匹配,以提高输出功率,通常在低内阻大功率
的电路中不但不需考虑匹配,而且这样做会导致电流过大,容易引起事故,是很危险的。
3.2.5节同学们有兴趣可以自己看。
R R
R
RP出
P出
? ?2 3 0
dP rR
dR Rr?
???
?
出
Rr?
3.2.6 稳恒电路中电荷和静电场的作用
上面我们详细地分析了非静电力、电动势在稳恒电路中的作用，下面我们进一步讨论
静电场在稳恒电路中的作用。为此，先说明在稳恒情况下决定电场的电荷是如何分布的。
在没有非静电力的地方，根据稳恒条件式 (3.6)和式 (3.15)可得
如果导体的导电性能是均匀的,即 是常数,可以从积分号内提出来,并且由于,得
(3.36)
由于闭合面 可以任意选取,对于任一 面上式都成立,由高斯定理可知,这时任一闭合面
内 。显然，这一结果不适用于非均匀导体内部，或不同电导率的导体分界面上,因为
这时 不是常数,不能从积分号内把它提出来。所以,在稳恒电流的条件下,均匀导体内部
没有净电荷,电荷只能分布在导体的非均匀处,或分界面上。稳恒条件下的电场正是来自这
些电荷。
此外，在稳恒条件下，电力线和电流线必须与导体表面平行，否则在电流线指向导体、
表面的地方将有电荷的继续积累，从而破坏稳恒条件。
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0
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3.2.6 稳恒电路中电荷和静电场的作用
在稳恒条件下，电场起着重要作用。一方面，它和非静电力合在一起保证了电流的闭
合性。由于电场既存在于电源内部，也存在于外电路，在电源内部，电场的方向和非静电
力的方向相反，非静电力将正电荷由电源的负极移到正极，其电位升高；在外电路中，正
电荷在电场力的作用下，由正极回到负极，其电位能降低，从而电流形成闭合循环。从能
量转换的角度来看，在电源内部，非静电的能量转化为静电能；在外电路中，电位能转化
为电阻所消耗的热能。由此可以看出，在把电源内部的非静电能转运到负载的过程中，静
电场起着重要的作用。
另一方面，在外电路中，电场决定了电流的
分布。从欧姆定律的微分形式已经清楚地说明了
这一点，下面我们通过分析电流达到稳恒的过程
来更具体地认识它。当电源两端断开时，两极上
积累的电荷在空间建立起电场，如图 3-18a所示。
我们用黑色线表示等位面与纸面的交线，用绿色
线表示电力线。由图中可以看出，两电极附近的等位面比较密集，相应地这里的电力线也
3.2.6 稳恒电路中电荷和静电场的作用
也比较稠密，电场较强。现以一均匀导线联通两电极 (见图 3-18b)。在开始接通的瞬间,设
想电荷还未移动,电场仍然维持原来的分布,导体中的自由电子在此电场作用下，造成导线
两端的电流强度比中间大。具体地说,如果我们用位于中间的等位面把导线分成两段,那么
从 A到 B沿导线从一个截面到另一个截面看下去,前半段内电场强度逐渐减小,电流强度也随
之相应地减小,于是就有过剩的正电荷出现；而在后半段,越靠近 B,电场越强,电流越大,于
是将有负电荷出现。它们所激发的电场，使导线两端较强的电场减弱，中间较弱的电场增
强。于是，电流强度沿导线的分布发生相应的变化，使电流趋于均匀。 这种过程一直进行
到沿均匀导线电场强度和电流强度的大小处处相同、电荷不再继续积累为止，这时电路达
到了稳恒状态 。需知,在稳恒状态下，电荷只分布在导体表面上，并且在导线内的电力线
与导线平行，从而电压均匀地分配到整个均匀导线上 。实际上，从接通电池两极到电路达
到稳恒状态所需的时间是极短的。此外，实际发生的过程远比上述描述的要复杂得多，当
我们将导线移近而还未接通之前，电荷与电场的重新分布的过程就已经开始。但是 无论如
何，导体中的电流是由电场决定的，而此电场又是由分布于导体表面以及导体内部不均匀
处的电荷所产生的。
3.3.1 串联和并联电路
（ 1）串联电路
把多个电阻一个接着一个地联接起来,使电流只有一条通路,这样的联接方式叫做 串联
(图 3-19)。根据电流的稳恒条件，串联电路的基本特
点是 通过各电阻元件的电流强度 相同,此外,串联
电路两端的总电压等于各个电阻两端电压之和,
(3.37)
若各电阻元件服从欧姆定律，则有
,,…,(3.38)
此式表明,在串联电路中, 电压的分配与电阻成正比 。
将式 (3.38)代入式 (3.37),得
所以串联电路的等效电阻 为 (3.39)
即 串联时等效电阻等于各电阻之和 。
用 去除式 (3.38)中各式，得各电阻元件上消耗的功率：
，, …,(3.40)
此式表明,在串联电路中功率的分配与电阻成正比 。
R
I
I
12 nU U U U? ? ? ????
11U IR? 22U IR? nnU IR?
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UR R R R
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21 1 1P I U I R?? 22 2 2P I U I R?? 2n n nP I U I R??
3.3.1 串联和并联电路
（ 2）并联电路
把多个电阻并排地联接起来，使电路有两个公共联接点和多
条通路，这样的联接方式叫做并联 (图 3-20)。并联电路的基本特
点是 各电阻两端有相同的电压,此外,通过并联电路的总电流强
度等于通过各支路电流强度之和,
(3.41)
若各电阻元件服从欧姆定律,则有
，, …,(3.42)
此式表明：在并联电路中电流的分配与电阻成反比。
将式 (3.42)代入式 (3.41),得
所以并联电路的等效电阻 的倒数为
(3.43)
用 去乘 (3.42)中各式,得各电阻元件上消耗的功率为：
,,…,(3.44)
此式表明：在并联电路中功率的分配与电阻成反比。
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n
UP U I
R??
3.3.1 串联和并联电路
（ 3）应用举例
在实际电路中,串联或并联在一起的几个电阻的阻值有时相差几个数量级。在这种情况
下,串联时外加电压几乎全部降落在高电阻上,等效电阻和电流也主要由高电阻决定,低电阻
的作用实际上可以忽略；并联时,电流几乎全部由低电阻通过,等效电阻和电流也主要由低
电阻决定,高电阻的作用实际上可以忽略。这一点在分析实际电路问题时很有用。现举一例。
【 例题 1】 图 3-21a所示是研究灵敏电流计
性能的实验中所用的电路。各电阻的阻值
如图中所示,试估算电池的外电阻 (即所有
电阻的等效电阻 )有多大。
【 解 】 从电池两端看去，这个电路可改画
成图 3-21b所示的形式，这样就把电阻的串、
并联关系表现得更清楚了。在 A’C’之间
比和它并联的 小得多，可近似认为
A’C’间的电阻为 这个电阻又和阻值
大得多的 串联，因此又可以近似认为 AC间
3R
5 gRR?
3 1R ?W
4R
3.3.1 串联和并联电路
这一支路的电阻为 。在 AC间并联的各分支中,比其余两个分支的阻值小得多，可近似认为
AC间的等效电阻为 。它又与 串联，因此 AB间的电阻，即电池的外电阻约为 。
在电学实验和电磁测量电路中常常使用变阻器。 变阻器有两个固定接头 A,B和一个滑
动接头 C(见图 3-22)。标示变阻器 规格 的参量有 (1)AB之间的 总阻值,(2)额定电流 (即在安
全限度内的最大电流 )。变阻器的用途之一是 制流 。制流电路的联接方法如图 3-22所示。 A
端和 C端联接在电路中, B端空着不用 。由于 AC间的电阻可以改变，因而整个电路中的电流
就受它的控制。当接触器滑到 B端时，变阻器的全部电阻串入电路,最大，这时电路中
的电流最小。当接触器滑到 A端时，,电路中的电流最大。 为了保证安全，在接通
电源之前，应使 最大，即令接触器移到 B端 。
【 例题 2】 若在图 3-22中负载电阻,安培计内阻可忽略。希望通过负载的电流在 50— 500毫安
范围内可调，电源应选用几伏特？变阻器应选用怎样的规格？
【 解 】 当变阻器电阻 时电路中应能达到最大电流 500毫安，这时电路中只有电阻,
所以电源电动势应为
当变阻器电阻调到最大 (即 )时,电路中电流应不大于 50毫安,即要求电路中的总电阻为
即
4 1000R ?W 1R
1 10R ?W 2R 12 110RR? ? W
ACR
0ACR ?
ACR
50R?W
0ACR ? 50R?W
5 0 0 5 0 2 5m A V? ? ? W ?
25 50050AB VR R R mA? ? ? ? W总
AC ABRR?
450ABR ?W
3.3.1 串联和并联电路
所以电源电压应选用 25伏,变阻器应选用总电阻等于或稍大于 450欧姆的,其额定电流应小于 500毫安。
变阻器的另一用途是 分压 。分压电路的联接方法如图 3-23所示。 变阻器的两个固定端
A,B分别与电源的正、负极相联，滑动端 C和一个固定端 A或 B(图中是 A)联接到负载上去 。
当电源接通时，电流在变阻器两端产生电压，
而 AC之间的电压只是其中一部分。 AC之间的电
压随接触器的滑动而变化。当接触器滑到 A端时，； 当接触器滑到 B端时,最大，这时等
于电源的端电压。 为了保证安全，在接通电源
之前应使电压,即把接触器移到 A端 。
【 例题 3】 在图 3-23中负载电阻,电源电动势 (内阻可忽略 )。在这种情况下选用
、额定电流 100毫安的变阻器分压，是否安全？
【 解 】 在变阻器的 CB段内的电流较 AC段内大，而且随着接触器滑近 B端,CB段内电流将越变越大。所
以当接触器很接近 B端而又未完全到达 B端时，变阻器 CB段内的电阻丝被烧断的可能性最大。现在我们
来计算一下这时它的电流。这时电路中的总电阻差不多是负载 和 的并联，即
从而总电流 (也就是通过变阻器 CB段的电流 )为
0ABU ? ACU
0ACU ?
200R ?W 8.0V??
100ABR ?W
R ABR
2003AB
AB
RRR RR? ? W?
总120I m AR???
总
3.3.1 串联和并联电路
它超过了变阻器的额定电流。所以上述选择是不够安全的，当接触器太接近 B端时,CB段内的电阻丝
有可能被烧断。
电流计 通常又叫 表头 。常用的 磁电式电流计主要由永久磁铁和放置在其磁场中可转动
的线圈组成, 线圈上装有指针 。 当线圈中有电流通过时，由于电流和磁场的相互作用,线
圈发生偏转并由指针的位置显示出来,偏转角度的大小与流过线圈的电流强度成正比 。电
流计的结构和作用原理可参看第四章 4.6节。标明 电流计规格 的有 内阻 和 满度电流 (即指针
达到满刻度时的最大电流 )两个参量。一般说来,电流计的满度电流较小。 测量电压用的伏
特计由电流计串联高电阻组成 。 测量电流用的安培计由电流计并联低电阻组成 。
【 例题 4】 测量电压的电表叫做伏特计 (或毫伏计 ),如上所述,它是由电流计串联电阻组成,串联的电
阻叫做 扩程电阻 。如图 3-24所示，电流计的满度电流,内阻
，如果把它改装成量程 的伏特计，应串联多大的
扩程电阻？
【 解 】 伏特计的量程是指它的最大可测量电压。因此，电流计的指针
偏转到满刻度时，加在伏特计两端的总电压为,降落在电流
计两端的电压为,所以降落在扩程电阻 两端的电压为
50gIA??
mR
1.0gRk?W 10UV?
10UV?
g g gU I R? mR mgU U U??
3.3.1 串联和并联电路
通过扩程电阻 的电流为
因为电流计和扩程电阻 是串联的,所以通过它们的电流相等：即
所以，
（ 3.45)
式中 称为扩程倍数。因此，知道了电流计的满度电流,内阻 和改装成的伏特计的量程,
就可以由式 (3.45)求出扩程电阻 的数值。例如，把上面所给的数据,,
代入式 (3.45),就可以得到
串联的扩程电阻 一方面分担了电流计所不能承受的那部分电压,另一方面还使改装成的伏特计
具有较高的内阻,从而可以减小对待测电路的影响。根据电阻串联公式 (3.39),伏特计的内阻为
例如,在上面的例子里改装成的伏特计的内阻 就是 200千欧。
【 例题 5】 测量电流的电表叫做安培计 (毫安计,微安计 ),它是由电流计并联分流电阻组成,如图 3-25,
一个电流计的满度电流,内阻,现在要把它改装成量程为 10毫安的安培计,那么应
该并联多大的分流电阻?
【 解 】 按题意, 当电流计指针偏转到标尺上最大刻度时，通过安培计的总电流为
mR
gmm
mm
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mgII?mR g g
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50gIA?? 1.0gRk?W
sR
41 0 1,0 1 0I m A A?? ? ?
3.3.1 串联和并联电路
通过电流计的电流,所以通过分流电阻 的
电流为
这时电流计两端的电压为, 两端的电
压为
因为电流计和 是并联的，所以,即
由此可得，
(3.46)
上式中 称为扩程倍数。因此,知道了电流计的满度电流,内阻 和改装成的伏特计的量程,
就可以由式 (3.46)求出分流电阻 的数值。例如，把开始所给的数据,,
代入式 (3.45),就可以得到
这就是说，在满度电流为 50微安，内阻为 1.0千欧的电流计上并联一个 5.0欧的分流电阻,就可把它改
装成量程为 10毫安的安培计。
50gIA?? sR
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sR gsUU? ()g g g sI R I I R??
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3
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1 1.0 10 100 01.0 10 5.0
10 200 1 1991
50
SR
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3.3.1 串联和并联电路
并联的分流电阻 不但分担了电流计所不能承受的那部分电流，扩大了电子表的量程，而且还使
改装成的安培计具有很小的内阻，从而可以减小对待测电路的影响。安培计的内阻 可以用电阻的并
联公式 (3.43)来计算，也可以直接由欧姆定律求出：
(3.47)
例如，在一面的例子里，已知,,代入上式即得：
从式 (3.47)可以看出，电流计的满度电流 越小，改装成的安培计的内阻 就越小。
最后，我们分析一个功率分配的例题。
【 例题 6】 将一个标称 220V 15W和一个标称 220V 60W的灯泡串联起来，接在 220V电源上，两灯泡消耗
的功率之比是多少？
【 解 】 当两灯泡并联到 220V电源上时，它们消耗的功率即为标称功率：,,
由于并联时功率, 与电阻, 成反比，串联时功率, 与电阻, 成正比，故, 与,
成反比：
即串联时标称功率大的灯泡消耗的功率反而小了。从现象上来说，此时,60W的灯泡反倒比 15W的灯泡
要暗。
55 0 5,0 1 0gI A A? ?? ? ? 1.0gRk?W 5IR ?W
gI IR
1 15PW? 2 60PW?
1P 2P 1R 2R 1P? 2P? 1R 2R 1P? 2P? 1P
2P
12
21
60 4
15
PP W
P P W
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?
g g g g gI
g
U I R R RR
I I I I n? ? ? ?
IR
sR
3.3.2 平衡电桥
电桥 或称 桥式电路,其主要用途是较为精确地测量电阻。最简单、最常用的直流电桥
如图 3-26所示。把,, 和 联成四边形 ABCD,每一边叫做
电桥的一个 桥臂 。在四边形的一对对角 A和 C之间接上直流电源,
在另一对对角 B 和 D 之间接检流计 G 。所谓, 桥, 指的就是对角线 BD，
它的作用是把 B 和 D 两个端点联接起来，直接比较这两点的电位。
当 B, D 两点的电位相等时，叫做 电桥平衡 ；反之，如果 B,D 两点
不相等，则叫做 电桥不平衡 。检流计就是为了检查电桥是否平衡
用的。当电桥平衡时，加在检流计两端的电压,所以没有
电流通过检流计。
下面，我们来分析四个桥臂的电阻,, 和 应满足什么条件，才能使电桥平衡。
当电桥平衡时,B,D 两点的电位相等，所以 A,B 间的电压等于 A,D 间的电压,B,C 间
的电压等于 D,C 间的电压，即
这时，通过检流计的电流,所以通过 AB 和 BC 两臂的电流相等，设为 ；通过 AD和
1R 2R 4R3R
?
0gI ? I
1R 2R 3R 4R
AB ADUU? BC DCUU?
0BDU ?
3.3.2 平衡电桥
DC 两臂的电流也相等，设为 。根据欧姆定律,。
代入上列二式，可得
把以上两式相除，最后得到
(3.48)
上式就是 电桥的平衡条件 。这里只证明了此式是电桥平衡的必要条件,4.1节中将证明，它
也是充分条件。
上述平衡条件，常常写成下述形式,(3.49)
已知,,,可根据式 (3.49)算出 。平衡电桥就是利用此式来测量电阻的。
用平衡电桥测量电阻时，误差的来源主要有二：
（ 1）检流计不够灵敏带来的误差。测量时，我们是根据检流计的指针有无偏转来判断电
桥是否平衡的。检流计不偏转，并不说明通过它的电流 绝对为零，而只是反映 小到检
流计检测不出来了。检流计越灵敏，我们所作的判断就能越可靠。
（ 2）, 和 不够准确引起的误差。一般说来，电阻是可以制造得比较精确的。
因此，从误差的来源来看，只要检流计和电阻选得合适，用这种方法测电阻可以有很
I? 1 3 2 4,,,A B A D B C D CU I R U I R U I R U I R??? ? ? ?
1 3 2 4,I R I R I R I R????
31
24
,RRRR?
312
4
RRR
R?
2R 3R 4R 1R
gI gI
2R3R 4R
3.3.2 平衡电桥
高的准确度。
【 例题 7】 在图 3-27所示的电桥中,是待测电阻，, AB 是一段均匀
的滑线电阻。当滑动头 C在 AB的 2/5位置上时，检流计的指针不偏转，求 。
【 解 】 已知 。设 AB段的总电阻为,则 AC,CB两段的电阻分别
为, 。根据电桥的平衡条件，
所以
除了平衡电桥外，在实际中还常用到非平衡电桥。例如用
电阻温度计测量温度时，一般就采用非平衡电桥。图 3-28是用
电阻温度计测量某一容器内温度的示意图。图中 是用金属材
料或半导体材料制成的热敏电阻，这种电阻的特点是电阻值随
温度的变化非常灵敏。 接在电桥的一臂，作为感温元件插入
容器内。在不同的温度下，电桥产生不同程度的不平衡,B,D两端点间有不同大小的电压。
xR 40R? 欧 姆
xR
40R? 欧 姆
ABR
25AC ABRR? 25AC ABRR? AC
x CB
RRRR?
3
35 60
2 2
5
AB
CB
x
AC AB
RR
R R R RR
R
? ? ? ? 欧 姆
xR
xR
3.3.2 平衡电桥
根据检流计 G(或其他测量仪器 )读数的大小就可换算出容器内的温度来。
非平衡电桥还常用到自动控制系统。自动化的生产和实验中常需要对某些条件和因素
进行自动控制,利用一些转换元件 (如压力传感器等 )可以将这些条件和因素转换成电阻值，
当条件和因素变化时,就引起相应的电阻变化,从而通过非平衡电桥引起桥路中 的变化，
将此 放大并用以操纵控制机构，就能控制生产和实验中的某些条件。
在非平衡电桥中，桥臂电阻与 不能看成简单的串并联。 的计算留待本章 4.1节中讨
论。
gI
gI
gR gI
3.3.3 电位差计
电位差计是用来准确测量电源电动势的仪器,也可用它 准确地测量电压, 电流 和 电阻 。
粗略地测量电源的电动势，可以用伏特计。然而测量出来的其实是端电压，并不是电
动势。因为任何电源或多或小有一定的内阻,因而只要有电流 经过它，内阻上就有电
位降落,这时它的路端电压就不等于它的电动势 。所以用伏特计直接测量电源电动势
是不准确的。 要想准确地测量一个电源的电动势，必须在没有任何电流通过该电源的情况
下测量它的路端电压 。解决这个问题的办法就是利用 补偿法 。补偿法的原理如下。
要测量一个电源的电动势，原则上可采用图 3-29所示的电路。其
中 是 待测电源, 是可以调节电动势大小的 标准电源,两个电源通过
检流计 G 反接在一起。当调节电动势 大小，使检流计的指针不偏转
(即电路中没有电流 )时,两个电源的电动势大小相等,互相补偿,即
这时,我们称电路达到 平衡 。知道了平衡状态下 的大小，就可以由上
式确定待测电动势,这种测定电源电动势的方法叫做 补偿法 。
为了得到准确、稳定、便于调节的,实际中采用图 3-30所示的电路代替上面的电路。
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Ir
I
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3.3.3 电位差计
在这个电路里,供电电源,制流电阻 (调节 可以改变供电电源的输出电流 )和滑线电
阻 AB所组成的回路,叫做 辅助回路,它实质上是一个分压器。
电流流过滑线电阻时，电位从 A 到 B 逐渐下降,在 A,B 之间
拨动滑动触头 C,就可以改变 A,C 一段电阻两端的电压,
这个电压 就是用来代替可调电动势 的。 A G C 一段支路
叫做补偿回路，它和图 3-29中 和 G 所组成的一段相当。由
前面所说的补偿原理可知，只要滑线电阻两端的总电压,
那么沿着滑线电阻拨动滑动接触头 C，就一定能找到一个位置,使检流计 G的指针不发生偏
转,也就是使补偿回路达到平衡。这时，
(3.50)
式中 表示 AC一段电阻的阻值,表示流过滑线电阻 AB的电流,通常叫做 辅助回路的工作
电流 。当 和 为已知时，根据式 (3.50)就可以求得待测电动势 。
电位差计就是根据上述补偿原理来测定电动势的。从式 (3.50)可以看出,要准确地测
定电动势,其关键在于准确地测定平衡时 AC一段电阻 和辅助回路的工作电流 。在实
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x?0?
AB xU ??
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ACU
ACU
ACR
I
x A C A CU I R? ??
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ACRx? I
3.3.3 电位差计
际的电位差计中,滑线电阻由一系列标准电阻串联而成,所以阻值 无需测量；而工作电流
出于设计和使用的考虑,总是标定为一定数值 (例如 303型电位差计中工作电流 标定为
0.10安培,学生式电位差计中工作电流 标定为 0.010安培等 )。这样做的好处是电位差计总
是在统一的工作电流 下达到平衡，根据式 (3.50),这时电阻值和电动势就存在着一一对应
的关系,从而可以把待测电动势的数值一一地直接标刻在各段电阻上 (即仪器的面板上 ),无
需用式 (3.50)计算就可直接读数。因此,要准确地测量电动势首先就得调节制流电阻 使工
作电流准确地达到标定值 。这一步工作叫做 电位差计的校准 。
校准工作是怎样进行的呢？在实际的电位差计中，校准和
测量采用的是同一电路，如图 3-31所示。图中 K是双掷开关，
是标准电池，它的电动势很稳定，而且是准确已知的 (如镉
汞电池的电动势是 1.0186伏 )。校准时，把开关 K拨到位置, 1”，
即把标准电池 接入补偿回路。把滑动接头 C拨到对应于标准
电池电动势 (如 1.0186伏 )的位置上,观察检流计 G的指针有无
偏转。如果检流计 G的指针有偏转，则表明这时工作电流 偏离标定值 。于是，调节制流
I
I
0II
0I
R
0I
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s?
0I
I
ACR
3.3.3 电位差计
电阻,直到检流计 G的指针没有偏转，即电流达到平衡。这时,工作电流准确地达到标定
值,校准工作就完成了。
校准后就可进行测量。测量时,把开关 K拨到位置, 2”，即把待测电源接入补偿回路。
这
时不应再动制流电阻,而只需拨动滑动接触头 C,找到平衡位置,就可以从仪器的面板上直
接读出待测电动势 的数值。
总结上面所说，使用电位差计时，总是先校准后测量。不论校准或测量，所根据的都
是同样的补偿原理。
对于长时间的多次测量工作来说，只有开头的一次校准是不够的。这是因为供电电源
的电动势和内阻都不可能很稳定，它们的变化将使工作电流偏离标定值。因此，在测量过
程中，要不时地进行校准。
如前所述，要准确地测定一个电源的电动势，就必须在没有电流通过电源的情况下来
测量它的路端电压。从前面的讨论可以看到，用电位差计 (即采用补偿法 )进行测量能够很
好地做到这一点。用电位差计测量电动势,要求标准电阻的阻值勤标准电池的电动势都很准
确,如果再选用高灵敏度的检流计,那么测量结果就可以有很高的准确度。
R
0I
R
x?
3.4.1 基尔霍夫定律
在直流电路中除了电源以外，只有电阻元件。但实际中遇到的电路往往比单纯的电阻
串、并联电路或单回路复杂得多。一个复杂电路是多个电源和多个电阻的复杂联接。我们
把电源和 (或 )电阻串联而成的电流的单一通路 叫做 支路,在支路中电流强度处处相等。 三
条或更多条支路的联接点 叫做 节点 或 分支点 (图 3-32a)。几条支路构成的电流的闭合通路
叫做回路 (图 3-32b)。在复杂电路中，各支路的联接
形成多个节点和多个回路。例如，电桥电路中有六
条支路、四个节点和七个回路，电位差计中有三条
支路、二个节点和三个回路。
处理复杂电路的典型问题，是在给定电源电动
势、内阻和电阻的条件下，计算出每一支路的电流；
有时已知某些支路中的电流，要求出某些电阻或电动
势。这不过是上述已知条件和要求解的未知数之间的若干调换而已。
解决复杂电路计算的基本公式是基尔霍夫方程组，原则上它可以用来计算任何复杂电
路中每一支路中的电流。但计算较为繁杂。可是实际的电路计算常常并不需要计算每一支
路的电流，而只需计算某一支路的电流，或某部分电路的等效电阻等。在解决这样的问题
中，可运用一些由基尔霍夫定律导出的定理。这些定理抓住了电路的某些特点，物理图象
3.4.1 基尔霍夫定律
鲜明，从而可以简化计算。
（ 1） 基尔霍夫第一定律 (节点电流定律,KCL)
基尔霍夫第一方程组又称节点电流方程组,它的理论基础是电流的稳恒条件。作一闭合
曲面包围电路的节点，根据稳恒条件式 (3.6),汇流于节点的电流强度为 0。如果我们规定：
流向节点的电流强度前面写减号，从节点流出的电流强度前面写加号,则 汇于节点的各支
路电流强度的代数和为 0。此即 基尔霍夫电流定律 。用关系式表示为：
(3.55)
由上式所列的方程称为基尔霍夫电流方程 。例如,对于如图 3-32a所示的节点 A,可写出方程
显然,对电路中的每一节点都可按同样方法写出一个方程。容易证明,对于共有 个节点
的完整电路所写出的 个方程式中有 个是彼此独立的,余下的一个方程式可由这
个方程式组合得到，这 个独立的方程式组成一个方程组，叫做基尔霍夫第一方程组。
（ 2） 基尔霍夫第二定律 (回路电压定律,KVL)
基尔霍夫第二方程组又叫回路电压方程组。它的基础是稳恒电场的环路定理 。
根据环路定理，沿回路环绕一周回到出发点，电位数值不变。绕行时，沿途电位经历从低
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1 2 3 0I I I? ? ? ?
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n 1n? 1n?
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3.4.1 基尔霍夫定律
到高和从高到低的过程，统称电位降落。若 规定电位从高到低的电位降落为正, 电位从低
到高的电位降落为负,则 沿回路环绕一周, 电位降落的代数和为 0。用关系式表示为
具体 确定电阻 (包括内阻 )上电位降落的正负号 要看回路的绕行方向与电流方向的关系：电
流方向与绕行方向相同为正，相反为负； 确定 (理想 )电源上电位降落的正、负号 要看绕行
方向与电源极性的关系：从正极到负极看上去电位降落为正，从负极到正极看去为负。故
上式可写为如下形式
(3.56)
由此上所列出的方程称为基尔霍夫第二方程 (回路电压方程 )。例如,对于如图 3-32b所示的
回路 ABCDA，顺时针环绕一周，可写出方程
在这里当遇到有内阻的电源时，我们已按照 2.3节图 3-14的等效电路,把它们看成理想电压
源和内阻串联。
显然，对于每一个回路都可按照同样方式写出一个方程式。应该注意，并非按所有回
路写出方程式都是独立的。例如图 3-33中的电路有三个回路 ABCA,AEDCA和 AEDCBA。由这三
个回路写出的三个方程中只有两个是独立的,另一个其实就是前两个方程的叠加，因此我们
( ) 0kU???
( ) ( ) ( ) 0k k k kU I R?? ? ? ? ? ?? ? ?
1 1 1 2 2 2 3 2 3 4 1( ) 0I r I R I r R I R??? ? ? ? ? ? ? ?
3.4.1 基尔霍夫定律
说这个电路只有两个 独立回路 。对于一个复杂的电路，如何确定其独立回路的数目呢？如
果整个电路可化为平面电路，即所有的节点和支路都在一平面上而不存在相互跨越的情形，
则情况比较简单，我们可以把电路看成一张网格，其中网孔的数目就是独立回路的数目；
其它回路必定可以看成这些独立回路的某种叠加。如果整个电路不能化为平面电路而存在
相互跨越的情形,网孔的概念不再适用。我们应在 树图 的基础上建立独立回路的判据。
,树,
的概念是图论中的一个拓朴概念。一个任意电路的 树图 是指 将电路的全部节点都用支路连
接起来而不形成任何闭合回路的树支状图形 。这些连接节点的支路叫做 树支 。由于连接第
一、二两个节点时需要一条树支，以后每连接一个新的节点需要一条树支，而且也仅需要
一条树支，否则将形成回路，因此,个节点的电路的树图共有 条树支。这样，每再
连接一条新的支路 (叫做 连支 )就形成一个独立回路,也就是说,连支的数目等于独立回路的
数目 。显然,连支数等于支路总数减树支数 。故对于一个有 个节点 条支路的电路，共
有 个独立回路，可列出 个独立的回路电压方程，它们构成基尔霍夫
第二方程组。
于是，对于 个节点 条支路的复杂电路共有 个未知的电流。根据基尔霍夫第一定律
n 1n?
n p
( 1) 1p n p n? ? ? ? ? 1pn??
n p p
3.4.1 基尔霍夫定律
可列出 个独立的节点电流方程；根据基尔霍夫第二定律可列出 个独立的回路电
压方程，总共可列出的独立方程数为两者的和 。可见未知电流的数目与
独立方程式的数目相等，因此方程组可解，而且解是唯一的。所以，基尔霍夫定律原则上
可解决任何直流电路问题。
下面通过两个例题示范一下运用基尔霍夫定律解题的步骤。在解决实际问题时，针对
各种具体情况，还有许多办法可以使解题步骤简化。
【 例题 1】 已知图 3-33所示的电路中，电动势,,内阻,,
电阻,,,,求电路中
各支路电流。
【 解 】 （ 1） 标定各支路电流的方向如图中所示 (见图 3-33)。在一
上复杂的电路中，电流的方向往往不能事后判断，可随意假定。
（ 2） 设求知变量 。如, 等。
（ 3） 选取独立节点，用基尔霍夫第一定律列节点电流方程 。
电路中只有两个节点 A和 C，只有一个是独立的。任选一个即可。
选取节点 A，由 KCL有：
1n? 1pn??
( 1 ) ( 1 )n p n p? ? ? ? ?
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1 10R ? 欧 姆 2 5.0R ? 欧 姆 3 4.5R ? 欧 姆 4 19.0R ? 欧 姆
1I 2I
1 2 3 0I I I? ? ?
3.4.1 基尔霍夫定律
（ 4） 选网孔为独立回路, 由基尔霍夫第二定律列回路电压方程 。选取回路及绕行方向均如图 3-33
中所示。对回路 Ⅰ,由 KVL有,或
对回路 Ⅱ 有,或
（ 5） 联立方程组, 运用行列式求解 。
于是有,代入数值有：
运用行列式求解有：
则有：
1 1 1 2 3 3 1( ) 0I r R R I R?? ? ? ? ? ?1 1 2 3 3 1 1()I r R R I R ?? ? ? ?
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II
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10 0 3 70
0 20 1
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3 0 10 80
1 20 10
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33 70 0, 1 4 1 4 0500I A m A? ?? ? ? ???
3.4.1 基尔霍夫定律
从得到的结果看到,。这表明最初随意假定的电流方向中,的方向是正确的，
而 的标定方向与其实际方向相反。
【 例题 2】 图 3-34是一个电桥电路，其中 G为检流计 (内阻为 )，
求通过检流计的电流 与各臂阻值,,, 的关系 (电源
内阻可忽略,为已知 )。
【 解 】 标定各支路电流的方向如图中所示，这里有,, 三
个求知变量，我们相应地列出三个方程来：
,；
,；
,。
整理的得到
这联立方程组用行列式解出
(3.51)
1 2 30,0,0I I I? ? ? 13,II
gR
2I
gI 1R 2R 3R 4R
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B C D B
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回 路
回 路
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gg
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? ? ? ?
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? ? ? ?
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3.4.1 基尔霍夫定律
其中
(3.52)
(3.53)
从式 (3.51)和 (3.53)可以看出，当
(3.54)
时,式 (3.54)就是我们在 3.2节中得到的电桥平衡条件。那里证明了它是必要条件，这里证
明了它是充分条件。所以它是电桥平衡的充要条件。
12
3 4 3 4 1 2 3 2 3 4 3 4 1 4 1 2 1 3 2 4
1 3 3
( ) ( ) ( )
0
g
gg
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R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R
R R R
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0
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0,0,ggI? ? ?
3.5 温差电现象
电流通过导体产生焦耳热的过程与电流的方向无关, 它是一个不可逆过程。
然而在一定的条件下，导体内还是可能产生可逆过程的：即 当电流沿某方向进行
时, 导体上放出热量 ； 当电流沿反方向进行时,吸收热量 。从能量转换的角度来
看，前者是电能转化为热能,后者是 热能转化为电能。这与电池的充电、放电过
程中电能与化学能之间的可逆转化相似。上述现象 表明导体内可以存在与热现象
有关的非静电力和电动势,我们称之为 热电动势 。热电动势有两种具体形式，现
在分别介绍如下。
3.5.1 汤姆孙效应
如果我们设法将一金属棒的两端维持在不等的温度 和 上,并外加一电流通过此棒，
则在此棒中除了产生和电阻有关的焦耳热外，此棒还要吸收或释放一定的热量。这种效应
称为汤姆孙效应，吸收或释放的热量称为汤姆孙热。金属棒是吸热还是放热，与电流的方
向有关 (见图 3-43)。如略去焦耳热与热传导等不可逆现象，电流反向时，汤姆孙效应是可
逆的。
从经典电子论来看，汤姆孙效应可这样
理解：金属中的自由电子好象气体一样，当
温度不均匀时会产生热扩散。这种热扩散作
用，可等效地看成是一种非静电力，它在棒
内形成一定的电动势 (称为 汤姆孙电动势 )，
外加电流通过金属棒时，若其方向与非静电力一致，这相当于电池放电，自由电子将不断
从外界吸热，热能转化为电能。若电流方向与非静电力相反，则相当于电池充电，电能转
化为热能，向外释放出来。
实验表明，在汤姆孙效应中，作用在单位正电荷上的等效非静电力 K,其大小正比于温
1T 2T
3.5.1 汤姆孙效应
度的梯度 ( 为绝对温度 ),即
(3.63)
式中比例系数与金属材料及其温度有关。于是整个棒内的汤姆孙电动势为
即
(3.64)
式中, 分别为棒两端的温度。系数 称为金属材料的汤姆孙系数。汤姆孙电动势很
小，例如在室温下，铋的汤姆孙系数的数量级为 伏特 /度。
显然，用同一种金属，只依靠汤姆孙电动势，不能在闭合回路中建立稳恒电流。因为
当我们将同一种金属 A 做成的两根棒如图 3-44示联接起来，
并分别使它们的两端维持不同的温度, 时，式 (3.64)表
明，汤姆孙电动势的大小只与金属材料和两端的温度有关，
与金属棒的形状无关。因此，在这两根金属棒的回路中建立
了大小相等方向相反的两个电动势，它们在回路中相互抵消，
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3.5.1 汤姆孙效应
不能形成稳恒电流。若采用两种不同金属的棒相联接，两个汤姆孙电动势不相等，闭合回
路中可以有电动势。然而这时在两种金属的联接处将产生下面要讲的另一种电动势，整个
闭合回路的电动势将在 5.3节中一并考虑。
3.5.2 珀耳帖效应
当外加电流通过两种不同金属 A和 B间的接触面时，也会有吸热或放热的现象发生。这
种效应称为 珀耳帖效应,吸收或释放的热量称为 珀耳帖热 。与汤姆孙效应一样，略去焦耳
热与热传导等不可逆现象，当电流反向时,珀耳帖效应也是可逆的 (见图 3-45)。
按经典电子论，珀耳帖效应可解释为不
同金属材料中自由电子的数密度, 不同
而引起的。由于密度不同，两种金属接触时，
自由电子将发生扩散。这种扩散作用，也可
等效地看成是一种非静电力，它在接触面上
形成一定的电动势 (称为 珀耳帖电动势 )。与
汤姆孙效应类似，吸收和释放珀耳帖热的过程，分别与电池的放电和充电过程相当。珀耳
帖电动势除了与相互接触的金属材料有关外，还与温度有关，我们用 代表金属 A,B
在温度 接触时的珀耳帖电动势。珀耳帖电动势也不大,其数量级一般在 伏之间。
在单一温度下只依靠珀耳帖电动势也不能在闭合回路中建立稳恒电流。因为对于两种
金属联成的回路,若接触处的温度相同,接触处的两个珀耳帖电动势大小相等方向相反,即
An Bn
T 2310 10???
()AB T?
3.5.2 珀耳帖效应
或
即闭合回路中总电动势为 0。对于多种金属联成的回路，实验和理论都表明，在各接触点
温度相同的条件下,金属 A,B间，金属 B,C间和金属 C,D间的珀耳帖电动势的代数和永远
等于 A,D间的珀耳帖电动势，即
又因为,于是
这就是说，如果我们把几种金属 A,B,C,D联成闭合回路，
并维持接触点有同一温度 (图 3-46),在闭合回路中的总电动
势为 0,也不能形成稳恒电流。
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3.5.3 温差电效应及其应用
要在金属导线联成的闭合回路中得到稳恒电流，必须在电路中同时存在温度梯度和电
子数密度的梯度。为此，我们将两种金属 Ａ, Ｂ 做成的导线串接起来，并使它们两个接触
点的温度分别为 和 (图 3-47)。这时在两根导线中有汤姆孙
电动势 和
在两个接触点有珀耳帖电动势 和,在整个闭合
回路中的电动势为
(3.66)
一般将不等于 0，这电动势称为 塞贝克电动势,或 温差电动势 。
式 (3.66)表明，温差电动势是由汤姆孙电动势和珀耳帖电动势联合组成的。在温差电动势
的推动下，闭合回路中才能形成稳恒电流。
从能量转换的角度看，在闭合回路中有温差电流时，电路上既有吸热，也有放热，二
者的差便是维持稳恒电流所需电能的来源。由此可见，温差电流的形成不仅符合热力学第
一定律，而且也不违反热力学第二定律，因为这里不是从单一热源吸热使之全部转换为电
能而不产生其他影响。
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3.5.3 温差电效应及其应用
由两种不同金属焊接并将接触点放在不同温度下的回路，称为温差电偶。
可以证明，在 Ａ, Ｂ 两种金属之间插入任何一种金属 Ｃ,只要维持它和 Ａ, Ｂ 的联接
点在同一温度 (见图 3-48),这个闭
合回路中的温差电动势总是由 Ａ, Ｂ
两种金属组成的温差电偶中的 温差电
动势一样。下面即将看到,温差电偶
的这一性质在实际应用中是很重要的。
温差电偶的重要应用是测量温度，
其原理如图 3-49所示，将构成温差电
偶的两种金属 Ａ, Ｂ 一个接头放在待测的温度 中,Ａ, Ｂ 的另一个接头放在温度 为已
知的恒温物质 (如冰水混合物或大气 )中。用两根同样材料 Ｃ 的导线将 Ａ, Ｂ 在恒温槽中的
一端联到电位差计的补偿电路中去，测量它的温差电动势。根据事先校准的曲线或数据，
便可知道待测温度。
用温差电偶测量温度的优点很多，例如
2T
T 0T
3.5.3 温差电效应及其应用
（ 1）测量范围广，可以在 -200℃ —— 2000℃ 的范围内使用。测量炼钢炉中的高温，或
液态空气的低温，都可使用温差电偶。
（ 2）灵敏度和准确度很高 (可达 度以下 ),特别是铂和铑的合金做成的温差电偶稳定
性很高。常采用来作为标准温度计。
（ 3）由于受热面积和热容量都可以做得很小，用温差电偶测量很小范围内的温度或微
小的热量。研究金相变化，化学反应以及小生物体温的变化时可以采用它。这个优点更是
一般水银温度计所不及的。还有一种真空热电偶是装置在真空管内的温差电偶。在一个接
触点焊有涂了炭黑的金属片，以便有效地吸收外来的光或辐射的能量。真空的绝热作用则
可提高电偶的灵敏度。这是一种测量光通量或辐射通量十分灵敏的器件。
在实际中常用的温差电偶有下面几种。在测 300℃ 以下的温度时用铜 -康铜温差电偶；
测高达 1100℃ 的温度用镍铬和镍镁合金组成的温差电偶 (有时叫做克洛镁和阿洛镁 )；测更
高的温度通常用铂 -铂铑合金 (10%或者 13%铑两种 )的温差电偶，它适用于 -200℃ 至 1700℃ ；
如果温度高达 2000℃,即可作钨 -钛电偶。下面我们将几种温差电偶在冷接头的温度为 0℃
时温差电动势的数值列表如下：
310?
3.5.3 温差电效应及其应用
由表 3-33可以看出，一般金属温差电偶的 表 3-3 温差电动势
电动势很小，数量级只有毫伏。为了增强温
差电效应，有时把温差电偶串联起来，如图
3-50所示，做成所谓 温差电堆 。某些半导体
的 温差电效应较强，能量转换的效率也较高，
这种半导体的 温差电堆有时被用来作电源。
利用半导体具有较强
的珀耳帖效应，加外接电
源使电流反向，结果在低
温触点吸热，而在高温触
点放热，从而可制成半导
体致冷机。与机械压缩致
冷相比较，半导体致冷无机械运动部件，直接
利用电能实现热量的转移，具有结构简单、寿命长、工作可靠、反应快、易控制、可小型
化、无噪声振动和无空气污染等一系列优点。
热接头
的温度
（ ℃ ）
温 差 电 动 势（毫伏）
钨 -钛电偶 铂 -铂铑合金电偶
（ 10%铑）
铜 -康铜电偶
（ 40%镍）
0
1
100
200
300
400
500
800
1000
1250
1500
1700
1750
2000
0.00
0.35
1.05
2.06
3.31
4.75
9.5
12.3
15.9
19.1
23.7
0.00
0.00
0.64
1.42
2.29
4.17
7.31
9.56
15.45
17.81
0.00
0.50
4.30
9.30
14.90
3.6 脱出功与电子发射
在各种电子管中都需要有发射电子的阴极。虽然，金属中的自由电子不断作热运动，
但在室温下它们不会大量逸出金属表面。以上事实表明，在金属表面层内存在着一种力阻
碍着电子逃脱出去。换句话说，为了使电子能够由金属中挣脱出来，必须抵抗这阻力作一
定数量的功，称为 脱出功 。通常脱出功的单位不用尔格 表 3-4 脱出功
(erg)或焦耳 (J)，而用电子伏特 (eV)。 。
表 3-4中给出一些金属材料的脱出功。可以看出，脱出功
的大小不但与金属材料有关，还与金属表面状态有关。
绝大多数物质脱出功的数量在 1至 6eV之间。
为了使电子能够从金属表面逸出，至少需要供给电子
数量上等于脱出功的能量。按照供给能量方式的不同，电子发射分为几种类型。
我们着重考虑电子的热发射。在金属中的自由电子，与气体中分子相似，其热运动的
速率有一定的分布。所以在任何温度下，总有一部分电子的动能超过脱出功，这部分电子
是可能逸出金属表面的。不过在室温下这样的电子数目微乎其微。然而当金属温度升高时，
其动能超过脱出功的电子数目急剧增多。一般当金属的温度达到 1000℃ 以上时，便开始有
大量的电子由金属中逸出，这过程称为 热电子发射 。热电子发射是现今各种电子管中最普
金 属 脱出功（ eV）
钼
钨
钨（表面敷钍）
钨（表面敷铯）
4.15— 4.44
4.35— 4.65
2.63
0.71
191 1,6 0 2 1 0e V J???
3.6 脱出功与电子发射
遍采用的一种获得电子流的方法。
研究热电子发射规律的装置示于图 3-51中。
在抽成真空的二极管里，阴极 Ｋ 是金属丝，阳
极 Ａ 为金属板。由电源 Ｅ 产生电流通过 阴极 Ｋ,
使之炽热而发射电子。由电源 Ｂ 在 Ａ、Ｋ 两极
之间维持一电压 Ｕ 和通过这二极管的电流强度 I
可分别由伏特计 V 和电流计 Ｇ 测出。当 Ｕ 改变时，
I 随之改变。 I-Ｕ 曲线称为二极管的 伏安特性曲线 。
用实验方法得到的伏安特性曲线示于图 3-52，其中不同曲线对应于不同的阴极温度。
在一定的阴极温度下，随着电压 Ｕ 的增加,起初电流也增加。但当电压达到一定数值之后，
继续增加电压时，电流不再改变。这电流称为饱和电流，用 表示。伏安特性曲线的这一
特征可解释如下。当 Ｕ ＝０和 Ｕ 较小时，从炽热的阴极发射出来的电子堆积在其附近的空
间，形成 空间电荷区 。这空间电荷使相当一部分发射出来的电子受到排斥而返回阴极，所
以，这时电流较小。随着电压增大，电子向阳极飞行的速度加大，它们在空间逗留的时间
SI
3.6 脱出功与电子发射
缩短了，空间电荷逐渐消失，到达阳极的电流也就逐渐增大。当电压足够大时，单位时间
到达阳极的电子数等于单位时间由阴极发射出来的全部电子数，电流即达到饱和。由此可
见，正是饱和电流的大小反映了单位时间内阴极发射电子的多少。实验和理论都证明，饱
和电流对温度和脱出功的变化十分敏感。当温度稍升高，或脱出功稍减少,都会急剧增
加。这就是说明，热电子发射决定于材料的脱出功及其温度。因此电子管阴极的材料都尽
量选用熔点高而脱出功低的材料 (例如敷钍或敷铯的钨丝 )。
除热电子发射之外，还有许多其它类型的电子发射过程。靠电子流或离子流轰击金属
表面而产生的电子发射过程，称为二次电子发射。靠外加强电场引起的电子发射过程，称
为场致发射。光照射在金属表面上也能引起电子发射，称为光致发射。各种电子发射过程
都有着特殊的实际应用。
SI
第四章 稳恒磁场
? 4.1 磁的基本现象和基本规律
? 4.2 载流回路的磁场
? 4.3 磁场的, 高斯定理, 与安培环路定
理
? 4.4 磁场对载流导线的作用
? 4.5 带电粒子在磁场中的运动
4.1.1 磁的基本现象
电与磁经常联系在一起并互相转化，所以凡是用到电的地方，几乎都有磁的过程参与
其中。在现代化的生产、科学研究和日常生活里，大至发电机、电动机、变压器等电力装
置，小到电报、电话、收音机和各种电子设备，无不与磁现象有关。
在磁学领域内，我国古代人民作出了很大的贡献。远在春秋战国时期，随着冶铁业的
发展和铁器的应用，对天然磁石 (磁铁矿 )已有了一些认识。这个时期的一些著作，如, 管
子 ·地数篇,,,山海经 ·北山经, (相传上夏禹所作,据考证是战国时期的作品 ),,鬼谷子,,
,吕氏春秋 ·精通, 中都有关于磁石的描述和记载。我国古代, 磁石, 写作, 慈石,,意思
是, 石
铁之母也。以有慈石，故能引其子, (东汉高诱的慈石注 )。我国河北省的磁县 (古时称慈
州
和磁州 ),就是因为附近盛产天然磁石而得名。汉朝以后有更多的著作记载磁石吸铁现象。
东汉著名的唯物主义思想家王充在, 论衡, 中所描述的, 司南勺, 已被公认为最早的磁性
指
南器具。指南针是我国古代的伟大发明之一，对世界文明的发展有重大的影响。十一世纪
北宋科学家沈括在, 梦溪笔谈, 中第一次明确地记载了指南针。沈括还记载了以天然强磁
体摩擦进行人工磁化制作指南针的方法，北宋时还有利用地磁场磁化方法的记载，西方在
4.1.1 磁的基本现象
十二世纪初我国已有关于指南针用于航海的明确记录。
现在知道,人们最早发现的天然磁铁矿矿石的化学成分是四氧化三铁 ( )。近代
制造人工磁铁是把铁磁物质放在通有电流的线圈中去磁化,使之变成暂时或永久的磁铁。
为了进一步了解磁现象，下面我们较详细地分析一下磁铁的性质。如果将条形磁铁
投入铁屑中，再取出时可以发现，靠近
两端的地方吸引的铁屑特别多，即磁性
特别强 (图 4-1),这 磁性特别强的区域称
为 磁极,中部没有磁性的区域叫做 中性区 。
如果将条形磁铁或狭长磁针的中心
支撑或悬挂起来,使它能够在水平面内自由转动 (图 4-2),则
两磁极总是分别指向南北方向的。因此我们称 指北的一端
为 北极 (通常用Ｎ表示 ),指南的一端为 南极 (用Ｓ表示 )。
如果将一根磁铁悬挂起来使它能够自由转动，并用另一磁
铁去接近它 (图 4-3),则 同号磁极互相排斥,异号磁极互相吸引 。
34FeO
4.1.1 磁的基本现象
由此可以推想，地球本身是一个大磁体，它的Ｎ极位于地理南极附近,Ｓ极位于地理北极
附近。以上所述便是指南针 (罗盘 )的工作原理,我国古代这个重大发明至今在航海、地形
测绘等方面仍有着广泛的应用。
在历史上很长一段时期里，磁学和电学的研究一直彼此独立地发展着,人们曾认为磁
与电是截然分开的现象。直到十九世纪初,一系列重要的发现才打破了这个界限，使人们
开始认识到电与磁之间有着不可分割的联系。
1819-1820年间，丹麦科学家奥斯特发表了自已多年研究的成果，这便是历史上著名
的奥斯特实验。他的实验可概括叙述如下。如图 4-4所示，导线 AB沿南北方向放置，下面
有一可在水平面内自由转动的磁针。当导线中没有电流通过
时，磁针在地球磁场的作用下沿南北取向。但当导线中通过
电流时，磁针就会发生偏转。如图所示，当电流方向是由 A
到 B时，则从上往下看去，磁针的偏转是沿逆时针方向的；
当电流反向时，磁针的偏转方向也倒转过来。
奥斯特实验表明,电流可以对磁铁施加作用力 。反过来，
4.1.1 磁的基本现象
磁铁是否也会给电流施加作用力呢？ 图 4-5所示的实验回答了这个问题。把一段水平的直
导线悬挂在马蹄形磁铁两极间。通电
流后，导线就会移动。这表明,磁铁
可以对载流导线施加作用力 。此外，
电流和电流之间也有相互作用力。例
如把两根细直导线平行地悬挂起来，
当电流通过导线时，便可发现它们之
间有相互作用。当电流方向相同时，
它们相互吸引 (图 4-6a),当电流方向
相反时,它们相互排斥 (图 4-6b)。
下面一个实验表明，一个载流线圈的行为很象一块磁铁。如图 4-7所示，将一个螺线
管通过一对浸在小水银杯 A,B中的支点悬挂起来，这样,我们既可通过支柱将电流通入螺
线管,螺线管又可在水平面内自由偏转。接通电流后，用一根磁棒的某个极分别去接近螺
线管的两端。我们会发现，螺线管一端受到吸引,另一端受到排斥。如果把磁棒的极性调
4.1.1 磁的基本现象
一下,则螺线管原来受吸引的一端变为受排斥,原来受排斥的一端变为受吸引。这表明：螺
线管本身就象一条磁棒那样，一端相当于Ｎ极，另一端相当于Ｓ极。螺线管的极性和电流
方向的关系，可用图 4-8所示的右手法则来描述：用右手握住螺线管,弯屈的四指沿电流回
绕方向，将拇指伸直，这时拇指便指向螺线管的Ｎ极。
4.1.2 磁场
如在第一章所述，静止电荷之间的相互作用力是通过电场来传递的,即每当电荷出现
时,就在它周围的空间里产生一个电场；而电场的基本性质是它对于任何置于其中的其它
电荷施加作用力。这就是说,电的作用是, 近距, 的。磁极或电流之间的相互作用也是这
样,
不过它通过另外一种场 —— 磁场来传递。磁极或电流在自已周围的空间里产生一个磁场，
而磁场的基本性质之一是它对于任何置于其中的其它磁极或电流施加作用力。用磁场的
观点，我们就可以把上述关于磁铁和磁铁，磁铁和电流，以及电流和电流之间相互作用
的各个实验统一起来了，所有这些相互作用都是通过同一种场 —— 磁场来传递的。以上
所述可以概括成这样一个图式：
螺线管和磁棒之间的相似性,启发我们提出这样的问题：磁铁和电流是否在本源上是
一致的？十九世纪杰出的法国科学家 安培 提出了这样一个 假说, 组成磁铁的最小单元 (磁
分子 )就是环形电流 。若这样一些分子环流定向地排列起来，在宏观上就会显示出Ｎ、Ｓ
极来 (图 4-9),这就是安培分子环流假说。在那个时代人们还不了解原子的结构,因此不能
解释物质内部的分子环流是怎样形成的。现在我们清楚地知道,原子是由带正电的原子核
4.1.2 磁场
和绕核旋转的负电子组成的。而且还有自旋。
原子、分子等微观粒子内电子的这些运动形成
了, 分子环流,,这便是物质磁性的基本来源。
这样看来，无论导线中的电流 (传导电流 )
还是磁铁,它们的本源都是一个,即电荷的运动。
也就是说，上面讲到的各个实验中出现的现象可归结为运动着的电荷 (即电流 )之间的相互
作用,这种相互作用是通过磁场来传递的。用图式来表示，则有
应该注意到电荷之间的磁相互作用与库仑作用不同。无论电荷静止还是运动，它们之间都
存在着库仑相互作用，但是只有运动着的电荷之间才存在着磁相互作用。
4.1.3 安培定律
现在我们来研究电流与电流之间磁相互作用的规律。正象点电荷之间相互作用的规
律 —— 库仑定律是静电场的基本性质一样，电流之间的相互作用规律是稳恒磁场的基本
规律。这个规律是安培通过几个精心设计的实验于 1820年得到的，现称之为 安培定律 。
稳恒电流只能存在于闭合回路中，而闭合回路的形状和大小可以千变万化；两载流
闭合回路之间的相互作用又与们的形状、大小和相互位置有关，这就使问题变得很复杂。
不过，在研究两个有一定形状和大小的带电体之间的静电相互作用时，我们可以所它们
分割为许多无穷小的带电元，每个带电元看作是点电荷。只要研究清楚任意一对点电荷
之间相互作用的规律之后，我们就可通过矢量叠加，把整
个带电体受的力计算出来。仿照此法，我们也可设想把相
互作用着的两个载流回路分割为许多无穷小的线元，叫做
电流元 (图 4-10)，只要知道了任意一对电流元之间相互作
用的规律，整个闭合回路受的力便可通过矢量叠加计算出
来。但是电流元和点电荷不同，在实验中无法实现一个独
立的稳恒电流元，从而无法直接用实验来确定它们的相互
作用。电流元之间的确良相互作用规律只能间接地从闭合
4.1.3 安培定律
载流回路的实验中倒推出来，因此这里还需要借助一些数学工具对实验结果进行理论分
析和概括。此处不详细叙述这个复杂的论证过程，而直接给出结论。
(1) 设 为电流元 1给电流元 2的力,和 分别为它们的电流强度,和 分别为
两线元的长度,为两线元之间的距离 (见图 4-10),则 的大小 满足下列比式：
(4.1)
(2) 的大小还与两电流元的取向
有关。为了叙述方便，令 代表从电
流元１到电流元２的矢径，电流元的
线元用矢量 和 来表示，它们指向
各自的电流方向 (见图 4-10)。由于两
电流元空间关系较复杂，下面分两步来说明。
先看两电流元共面情形。如图 4-11a所示，设 和 成夹角,则
(4.2)
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1 2 1 212 2
12
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1dl 12r 1?
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4.1.3 安培定律
这表明：当 时，,电流元 １对电流元２无作用；当 时，,作用
力最大。
在普遍情形里,不在 和 组成的平面 内 (见图 4-11b)。令 和 平面的法线
成夹角,则
(4.3)
这表明：当 与 平面垂直时,,电流元１对它无作用,当 在 平面内时，,
作用力最大。
将式 (4.1),(4.2),(4.3)归纳起来,则有
(4.4)
或写成等式
(4.5)
式中的比例系数 与单位的选择有关。
（ 3） 的方向在 和 组成的 平面内，并与 垂直 (见图 4-11)。这里还必须说明
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2dl
4.1.3 安培定律
的指向问题。为此可将式 (4.5)写成如下的矢量形式：
(4.6)
式中 为沿 方向的单位矢量。式 (4.6)中矢积 的大小为,按
照矢积的右手定则,它的方向沿着图 4-11b所示法线 。 再与矢积 叉乘,所得矢量
的大小为,这就是式 (4.5)分子上出现的因子。双重
矢积 的方向即为 的方向，我们已按矢积的右手定则标在图 4-11b中。
矢量式 (4.6)全面地反映了电流元１给电流元２的作用力，它就是安培定律完整的表
达式。将式 (4.6)中的下标１和２对调,即可得电流元２给电流元１作用力 的表达式。
【 例题 1】 求一对平行电流元之间的相互作用力，二者都
与联线垂直 (图 4-12a)。
【 解 】 计算电流元１给电流元２的作用力 时，
式中, 垂直纸面向里，
沿联线与 方向相反，即电流元 1给
电流元 2以吸引力，其大小为
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4.1.3 安培定律
同理可以得到电流元 ２ 给电流元１的作用力,我们发现这时 。
【 例题 2】 求一对垂直电流元间的相互作用力,其中电流元 １沿联线,电流元２垂直于联线 (图 4-12b)。
【 解 】 计算电流元１给电流元２的作用力 时，,故得 。但是同学们可以验证，
电流元２ 给电流元１的力,其方向如图 4-12b中所示。
以上例题表明,由式 (4.6)确定的电流元之间的相互作用力不一定满足牛顿第三定律。
但是在实际中不存在狐立的稳恒电流元，它们总是闭合回路的一部分。可以证明：若将
式 (4.6)沿闭合回路积分,得到的合成作用力总是与反作用力相等、方向相反的。
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4.1.4 电流强度单位 ——
安培的定义和绝对测量
国际上现行的电磁学单位制是 MKSA制，其中除长度、质量、时间外第四个基本量是
电流强度，其单位定为安 (用Ａ表示 )。, 安培, 这个基本单位的定义和绝对测量,正是以
安
培定律式 (4.6)为依据的。在该式中力 的单位为牛顿 =千克 ·米 /秒，长度, 和
的单位为米。现将比例系数 写成如下形式：
并取 的数值为,这样确定下来的电流强度单位即为安培。我们可以用平行电流
元为例加以具体说明。对于平行电流元，式 (4.6)化为式 (4.7),采用上述比例系数,则有
(4.8)
令 (譬如将两电路串联起来 ),则有
上式表明,如果当 时,若测得的相互作用力 牛顿的话,则每根导
线中的电流强度 定义为 1安培。
实际中根据上述定义来测量时,当然不能用两个电流元，而是用闭合回路。载流回路
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4.1.4 电流强度单位 ——
安培的定义和绝对测量
之间相互作用力的表达式可从式 (4.6)导出。回路的形状采用一对平行的固定圆线圈 A,B
和一个动线圈 C，它们之间的作用力用图 4-14所示的天平来测量。这种用来测量载流导线
受磁场作用力的天平叫做安培秤。
有了电流的单位安培之后，可以反过来定比例
系数 的量纲。从式 (4.8)可以看出,的量纲为
它的单位应为牛顿 /安培，即
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4.1.5 磁感应强度矢量 B
为了定量地描述电场的分布，我们曾引入电场强度矢量 Ｅ 的概念。同样，为了定量
地描述磁场的分布，我们也需引入一个矢量。
作为借鉴，我们回顾一下引入电场强度矢量 Ｅ 的的作法。出发点是库仑定律：
式中 为点电荷 给点电荷 的力,为从电荷１到电荷２的矢量,是沿此方向的单
位矢量。把 看成试探电荷，将上式拆成两部分：
，或 和
前式是电场强度 Ｅ 的定义，后者是点电荷 在 所在位置产生的电场强度公式。
在磁场的情形里，相当于静电库仑定律的基本规律是安培定律。在 MKSA单位制中，
安培定律式 (4.6)应写成
(4.9)
现把电流元 看成试探电流元。 本是某个闭合回路 一部分，整个回路 对试探
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4.1.5 磁感应强度矢量 B
电流元 的作用力 应是上式 的积分：
(4.10)
上式中后面一步的推导用到矢量矢积的分配率。仿照电场情形，也将上式拆成两部分：
(4.11)
(4.12)
式中的 Ｂ 叫做磁感应强度矢量，式 (4.11)就是它的定义式。式 (4.12)是闭合回路 在电
流元 所在位置产生的磁感应强度的公式。下面我们分别对这两个公式作些进一步的
讨论。
先看 Ｂ 的定义式。若只讨论矢量的数值，式 (4.11)给出
(4.13)
其中 为 Ｂ 矢量与 电流元之间的夹角,当 时,,； 时，
,最大。这就是说，当我们把试探电流元放在磁场中某处时，它受到的力与试
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4.1.5 磁感应强度矢量 B
探电流元的取向有关。在某个特殊方向以及与之相反的方向上，受力为 0。将试探电流元
转 90°,受的力达到最大。我们定义空间这一点的磁感应强度的大小为
（ 4.14）
这时,Ｂ 矢量的方向沿试探电流元不受力时的取向。要注意的是这里 Ｂ 还可能有两个彼
此相反的指向，不过它可由矢积公式 (4.11)按右手定则唯一的确定。一经把式 (4.10)拆
成式 (4.11)和 (4.12)中的 Ｂ 和 就可以有更广的含义了,即此处 Ｂ 的场源可不再限于某
个载流回路,它可以是任何产生磁场的场源 (如磁铁等 )。
按照上述定义,Ｂ 的单位为牛顿 /安培 ·米。这个单位有个专门名称，叫特斯拉，用Ｔ
表示。 １特斯拉＝１牛顿／安培 ·米。
目前在实际中不少人还习惯用另一个单位 —— 高斯，用 表示。两个单位的换算关系是
1 特斯拉 =104高斯,或 1 高斯 =10-4特斯拉
,高斯, 这个单位不属于 MKSA单位制，它属于高斯单位制。
现在我们来看电流产生磁场的公式 (4.12)。它把任何闭合回路产生的磁感应强度 B看
2dF
1L
2
22
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I dl? 最 大
Gs
4.1.5 磁感应强度矢量 B
成是各个电流元 产生的元磁感应强度 的矢量叠加。用此式计算各
种回路产生的磁场分布，正是下节要讨论的内容。式 (4.12)称为毕奥 -萨伐尔定律。
正象电场的分布可借助电力线来描述一样,磁场的分布了也可用磁感应线来描述。磁
感应线 (Ｂ 线 )是一些有方向的曲线,其上每点的切线方向与该点的磁感应强度矢量的方向
一致。实验上显示磁感应线要比电力线容易得多，只要把一块玻璃板 (或硬纸 )水平放置
在有磁场的空间里，上面撒些铁屑，轻轻地敲动玻璃板，铁屑就会沿磁感应线排列起来。
P350页图 4-15上半部分的两个图，就是用这种方法显示出来的磁感应线分布图，其中图
4-15a是一根条形磁棒近旁的磁感应线，图 4-15b是螺线管内、外的磁感应线。从磁感应
线的方向规定可知，磁棒的磁感应线是从Ｎ极出发走向Ｓ极的；螺线管在外部空间产生
的磁感应线与磁棒的磁感应线十分相似，它从螺线管的一端 (称作等效Ｎ极 )出发走向另
一端 (称作Ｓ极 ),但在内部矛盾却是从Ｓ极走向Ｎ极的。
11Idl
0 1 1 1 2
2
12
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4
I d l rdB
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4.2.1 毕奥 -萨伐尔定律
上节末指出,载流导线产生磁场的基本规律是毕奥 -萨伐尔定律。写成微分形式,则有
(4.15)
整个闭合回路产生的磁场是各电流元所产生的元磁场 的矢量叠加。这里我们略去所有 1、
2等下标，式中的矢径 从源点 (即电流元所在位置 )指向场点Ｐ (图 4-16)。按照式 (4.15),
垂直于 和 构成的平面 (图中有阴影的平面 ),所以它沿着以 方向为轴线的圆周切线
方向,或者说在每个垂直截面内磁感应线是围绕哟轴线的同心圆。磁感应线的方向服从图
4-17所示的右手定则：用右手握住载流导线，姆指伸直代表电流方向，则弯曲的四指就指
向磁感应线的回绕方向。
下面我们利用式 (4.15)和它的积分形式
(4.16)
来计算一些特殊形式的载流回路产生的磁场。
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4.2.2 载流直导线的磁场
考虑在这直导线旁任意一点 的磁感应强度 (见图 4-18)。
根据毕奥 -萨伐尔定律可以看出，任意电流元 产生的元磁
场 的方向都一致 (在 点垂直于纸面向内 )。因此在求总磁
感应强度 Ｂ 的大小时，只需求 的代数和。对于有限长的一
段导线 来说
从场点 作直线的垂线,设它的长度为,以垂足 为原点,
设电流元 到 的距离为,由图 4-18可以看出：
。
由此消去,得,取微分：
将上面的积分变量 换为 后得到
(4.17)
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4.2.2 载流直导线的磁场
式中, 分别为在, 两端 角的数值。
若导线为无限长，,,则
(4.18)
以上结果表明，在无限长直导线周围的磁感应强度 Ｂ 与距离 的一次方成反比。
我们在实际中遇到的当然不可能真正是无限长的直
导线。然而若在闭合回路中有一段长度为 的直导线，
在其附近 的范围内式 (4.18)近似成立。
长直导线周围的磁感应线是沿垂直于导线的平面内
的同心圆 (见图 4-19)。
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4.2.3 载流圆线圈轴线上的磁场
设圆线圈的中心为,半径为,其上任意点 Ａ 处的电流元在对称轴线上一点 产生
元磁场,它位于 平面内且与 联线垂直,因此 与轴线 的夹角
(见图 4-21)。由于轴对称性，在通过 点的直径的
另一端 点处的电流元产生的元磁场 与 对称，
合成后垂直于轴线方向的分量相互抵消，因此我们
只需计算沿轴线方向的磁场分量。对于整个圆周来
说也是一样，由于每个直径两端的电流元产生的元
磁场在垂直轴线方向一对对地抵消，总磁感应强度
Ｂ 将沿轴线方向，它的大小等于各元磁场沿轴线分
量 的代数和，即
根据毕奥 -萨伐尔定律，,对于轴上场点,, 。令 为场
点 到圆心的距离，则,故
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4.2.3 载流圆线圈轴线上的磁场
因
故 (4.19)
下面我们考虑两个特殊情形：
(1)在圆心处,,(4.20)
(2)当 时,(4.21)
我们只计算了轴线上的磁场分布,轴线以外磁场分布的计算比较复杂,此处从略。为
了给同学们一个较全面的印象，图 4-22显示了通过圆线圈轴线的平面上磁感应线的分布
图。可以看出,磁感应线是一些套连在圆电流环上的闭合曲线 。此外，为了便于记忆，
图 4-23中还给出另一个右手定则，用它可以判断载流线圈的磁感应线方向。这 右手定则
是,用右手弯曲的四指代替圆线圈中电流的方向,则伸直的姆指将沿着轴线上 Ｂ 的方向。
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4.2.3 载流圆线圈轴线上的磁场
4.2.4 载流螺线管中的磁场
绕在圆柱面上的螺线形线圈 (图 4-26a)叫
做 螺线管 。下面计算螺线管轴线上的磁场分
布。设螺线管的半径为,总长度为,单
位长度内的匝数为 。如果螺线管是密绕的，
计算轴向磁场时，我们可以忽略绕线的匝距，
把它近似看成是一系列圆线圈紧密地并排起
来组成的。取螺线管的轴线为 轴，取其中
点 为原点 (图 4-26b),则在长度 内有 匝,
每匝在场点 产生的磁感应强度都沿轴线方
向,其大小都可利用式 (4.19)来计算。长度
内各匝的总效果是一匝的 倍,即
其中 是 点的坐标。整个螺线管在 点产生
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4.2.4 载流螺线管中的磁场
的总磁场为
令,, 角的几何意义见图 4-26b。由此二式得
，取微分得
把上面的积分变量 换为,则有
(4.22)
式中, 分别是 角在螺线管两端即 处的数值，由图上可以看出,
与场点坐标 的关系是
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4.2.4 载流螺线管中的磁场
将上式代入式 (4.22),即得螺线管轴线上任一点 的磁感应强度。 随 变化关系见图
4-22C中的曲线，由这曲线可以看出，当 时，在螺线管内部很大一个范围内磁场近
于均匀，只在端点附近 值才显著下降。
下面我们考虑两个特殊情形：
（ 1）无限长螺线管,因而
(4.23)
即 B大小与场点的坐标 无关。这表明在密绕的无限长螺线管轴线上的磁场是均匀的。其
实这结论不仅适用于轴线上，在整个无限长螺线管内部的空间里都是均匀的 (见 3.1节 )，
其磁感应强度的大小为,方向与轴线平行。
(2)在半无限长螺线管的一端,无论哪种情况都有
(4.24)
即在半无限长螺线管端点上的磁感应强度比中间减少了一半。这结果是可以理解的，因
为我们可以设想将一个无限长的螺线管从任何地方截成两半，这两半在这里产生的磁场
的方向相同。并且根据对称性，它们对总磁感应强度 的贡献应该是一样的，即每一
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4.2.4 载流螺线管中的磁场
半单独贡献是 。
对于有限长的螺线管来说，只要,上述式 (4.23)和 (4.24)也近似地适用。
为了得到一个螺线管的磁场在空间分布的全貌，我们给出整个空间的磁感应线分布
图 (图 4-27)。应当指出的是，除了端点附近，在
一个长螺线管外部的空间里，磁感应线很稀疏，
这表示磁场在那里是很弱的。在 的极限
情况下，整个外部空间的磁感应强度趋于 0。因
此,无限长的密绕螺线管是这样一种理想的装置,
它产生一个均匀磁场,并把它全部限制在自己内部。
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4.3 磁场的, 高斯定理, 与安培环路定
理
我们从 § 2中列举的各种情形里可以看到，电流产生的磁场有一些共同特点：
(1)磁感应线都是闭合曲线或伸向无限远； (2)闭合的磁感应线和载流回路象锁链的各
环那样相互套连在一起； (3)磁感应线和电流的方向相互服从右手定则；若以右手伸直
的姆指代表电流的方向，则弯曲的四指沿磁感应线方向 (图 4-17)；反之,弯曲的四指沿
电流方向时,则姆指指向磁感应线方向 (图 4-23)。磁感应线的这些特点与静电场的电力
线是很不相同的。静电场的电力线总是起始于正电荷，终止于负电荷,它们永远不形成
闭合曲线。电力线的这些特点反映在两个基本的定理中,一个是高斯定理，它是讨论任
意闭合面上电通量与其中电荷的关系的；另一个是静电场力作功与路径无关,它又可表
述为静电场沿任意闭合曲线的线积分等于 0(环路定理 )。在第一章中我们已看到，把上
述的电力线的特点进一步精确地表述成两个定理,对于我们研究电场的分布是很有帮助
的。高斯定理可以帮助我们很方便地求出某些具有一定对称性的带电体的电场分布；
关于静电场力作功与路径无关的定理使我们有可能引进电位的概念，它对于解决许多
实际问题具有重要的意义。那么，上述磁感应线的特点是否也可以精确地用数学公式
表述出来呢？下面就来解决这个问题。
4.3.1 磁场的, 高斯定理,
仿照第一章中引入电通量的方法，我们规定通过一个曲面 的磁感应通量 (简称磁通
量 )为 (4.27)
式中 为磁感应强度 与面元 的法线矢量度 之间的夹角,为面元矢量。
根据式 (4.27),在 MKSA单位制中磁通量 的单位是 特斯拉 ·米 2,这个单位叫做 韦伯,即
1韦伯 =1特斯拉 × 1米 2 或 1特斯拉 =1韦伯 × 1米 -2
反过来,我们也可把磁感应强度 看成是通过单位面积的磁通量，即 磁通密度 。所以在
MKSA单位制中，磁感应强度 的单位常常写成 韦伯 /米 2 。
正如电通量 代表电力线的数目一样,磁通量 也可理解为磁感应线的数目。这样,
磁感应强度 就是通过单位垂直截面积的磁感应线数目，即磁感应线的数密度。所以在磁
感应线密集的地方磁感应强度 大，在磁感应线稀疏的地方磁感应强度 小。
现在我们来看磁感应通量所服从的物理规律。
由于载流导线产生的磁感应线是无始无终的闭合线，可以想象，从一个闭合曲面 的
某处穿进的磁感应线必定要从另一处穿出 (参看图 4-29)，所以通过任意闭合曲面 的磁通
量恒等于 0，即 (4.28)
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4.3.1 磁场的, 高斯定理,
在一般书籍中,这定理并没有很通用的名称。我们姑且把这个结论叫做磁场的, 高斯定
理, 。
我们知道，静电学中高斯定理是可以从库仑定律出发加以严格证明的，上述磁场的
,高斯定理, 式 (4.28)也可以从毕奥 -萨伐尔定理出发 加以严格的证明 。为此,我们先证
明,
式 (4.28)对单个电流元成立。
我们知道，按照毕奥 -萨伐尔定律 (4.15),单个
电流元 产生的磁感应线是以 方向为轴线的圆
(参见图 4-16),在圆周上元磁场的数值处处相等：
现如图 4-29所示，取一任意闭合曲面 。显然，每根
圆形的闭合磁感应线或者不与 相交，或者穿过两次,
一次穿入,一次穿出。与 不相交的磁感应线对磁通量
无贡献,下面只考虑贯穿 的磁感应线。在穿入处取一
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4.3.1 磁场的, 高斯定理,
应管，此管在 面上的另一处截出另一面元,管内磁感应线由此穿出,电流元 产
生的磁场通过两面元的磁感应通量分别为
式中 是 与矢径 间的夹角,,分别是 和 (即曲面 的外法线 )与 磁感应线
切线间的夹角。这里, ；, 。此外,
,它们是 1,2两处磁感应管正截面的面积。由于磁感应管呈严格的圆环状,
其正截面处处相等，故,从而,即 。
显然,对应于 上每个磁感应线穿入的面元,都有一个相应的面元,磁感应线从
该处穿出,两处磁通量的代数和为 0。于是,我们证明了,对于单个电流元式 (4.28)成立。
根据磁场的叠加原理，任意载流回路产生的总磁场 是各电流元产生的元磁场 的
矢量和,从而通过某一面元 的总磁通 将是各式各样电流元产生元磁通 的代数和。
至此，磁场的, 高斯定理, 得到了完全的证明。
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4.3.1 磁场的, 高斯定理,
任意载流回路产生的磁感应管,一般来说截面是不均匀的。磁场的, 高斯定
理, (4.28)
意味着,由一端进入一段 磁感应管的通量在数值上等于由另一端穿出的通量。由此可见，
当磁感应管的截面不均匀时，我们就可以断定,磁感应管膨大的地方，必定磁场较弱；磁
感应管收缩的地方必定磁场较强。例如在一个有限长螺线管两端磁感应线趋于分散，那
里的磁场就比中间弱。反之，当我们看到沿某一直线上磁感应强度数值不变时，就可以
断定在该直线附近的磁感应管的截面必定均匀，从而可知，在此直线附近的磁力线也是
平行于轴的直线。
上面只是运用磁场的, 高斯定理, 式 (4.28)来分析磁场分布的一个例子,这个定理更
根
本的意义在于它使我们有可能引入另一个矢量 —— 矢量势 (或矢量位 )来计算磁场。磁场
中矢量势的概念与静电场中电位 (或电势 )的概念是相当的,不过矢量势是矢量,电位是标
量。矢量势的问题将在, 电动力学, 课中详细讨论，这里不介绍了。
4.3.2 安培环路定理的表述和证明
磁感应线是套连在闭合载流回路上的闭合线。若取磁感应强度沿磁感应线的环路积分，
则因 与 的夹角,故在每条线上,从而
安培环路定理就是反映磁感应线这一特点的。
安培环路定理 表述如下,磁感应强度沿任何闭合环路 的线积分,等于穿过这环路所
有电流强度的代数和的 倍 。用公式来表示，则有
(4.29)
其中电流 的正负规定如下：当穿过回路 的环绕方向
服从右手法则时，,反之,。如果电流 不穿过
回路,则它对上式右端无贡献。例如在图 4-30所示情
形里,。今后为了叙述方便，我们把式 (4.29)
中的闭合积分回路 称为, 安培环路, 。
安培环路定理也是可以从毕奥 -萨伐尔定律出发来证
明的,现证明如下。今后为了叙述方便,我们把式 (4.29)
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4.3.2 安培环路定理的表述和证明
中的闭合积分回路 称为, 安培环路, 。为简单起见，我们只考虑单一载流回路。推广
到
含多个载流回路的情形，只需运用叠加原理。
为了区别安培环路 上的线元,我们用 代表载流
回路 上的线元。如图 3-31，场点 沿 的移动与场源
(载流回路 )沿 的移动等价。按照毕奥 -萨伐尔定律，
上式中 代表源点到场点的单位矢径,代表场点
到源点的单位矢径，矢积 的数值代表电流元
作位移 时扫过的平行四边形的面积,其方向如图
4-31中的矢量 所示，沿 的法向。 是
在垂直于矢径方向的投影面积，从而 代
表 对场点 所张的立体角,沿 的积分则代表整
个载流回路作位移 时扫过的带状面对 点所张的立
体角 。于是
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4.3.2 安培环路定理的表述和证明
今设想以 为边界作一曲面,对 点也有一定的立体角 。当 平移时,随之
改变。图 4-31中 和 分别是 沿 平移前后的新、旧位置,令 和 代表 的相应位
置,和 代表相应的立体角。因, 和带状面组成闭合曲面，它对于外边的 点所张
的总立体角 。 (应当说明,上面所有立体角的正负皆视面元的法向与矢径 间
夹角是锐角还是钝角而定,的法向沿 方向,而 的法向则按 的环绕方向依右
手定则来定。 )综上所述,我们有
(4.30)
或因 故
由于 是任意的,从而
(4.31)
即磁场正比于载流线圈对场点所张立体角 的梯度。
在刚才的讨论中场点未动，载流回路沿 作了平移。如前所述,这与载流回路不动,
场点沿 平移是等价的。故, 也可理解为不动的载流回路 对移动的场点 新、旧
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4.3.2 安培环路定理的表述和证明
位置所张的立体角。式 (4.30)表明,正比于立体角的这个差值。现设想场点 沿闭合
的安培环路 移动一周,则环路积分 将正比于立体角 在此过程中的总改变量,
如果 不与载流回路 套连，则,于是
但是当 与 相互套连时,。这是因为当 点无
限靠近 的, 正面, 时 (见图 4-32中的位置 ),对它所张
的立体角 。随着 点沿 由外边绕到无限靠近
,反面, 时 (见图 4-32中的位置 ),对它所张的立体角经过
0连续变到 。从而 。至于从 回到
的那一无穷小段积分，因 的数值是有限大的，它将趋
于 0。于是在此, 相互套连的情况下
至此我们对一个载流回路证明了安培环路定理。在此基础上运用叠加原理,即可解决多个
载流回路 (或同一载流回路多次穿过积分环路 )的情形。
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4.3.3 安培环路定理应用举例
最后我们再强调一下安培环路定理表达式中各物理量的含义。在式 (4.29)右端的
中只包含穿过闭合回路 的电流，但在 式 (4.29)左端的 却代表空间所有电流产生的磁
感应强度的矢量和，其中也包括那些不穿过 的电流产生的磁场，只不过后者的磁场沿
闭合回路积分后的总效果等于 0。
正如高斯定理可以帮助我们计算某些具有一定对称性的带电体的电场分布一样，安
培环路定理也可以帮助我们计算某些具有一定对称性的载流导线的磁场分布，下面我们
就举几个这方面的例子。
【 例题 1】 求圆截面的无限长载流导线的磁场分布，设导线的半径为,电流 均匀的
通过横截面 (图 4-33）。
【 解 】 根据轴对称性，磁感应强度 的大小只与场点到轴线的垂直距离 有关。
图 4-33b是通过任意场点 的横截面图，其中 是轴线通过的地方。以 为中心,为半
径作一圆形安培环路,在 上 的大小处处相同。为了分析 的方向，我们取导线截
面上的一对面元 和,它们对于联线 对称。设 和 分别是 和 为截面的无
限长电流在 点产生的元磁场。不难看出，它们对 在 点的切线是对称的，亦即合成
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4.3.3 安培环路定理应用举例
矢量 沿 的切线方向。由于整个导线的截面可以这样
成对地分割为许多对对称的面元，因此可以断言，通过整个
横截面的总电流在 点产生的磁感应强度 沿着 的切线方
向。于是
另一方面，根据安培环路定理，,
其中 是通过环路 的电流。
当 (即 点在导线内部 )时,导线中电流只有一部分
通过环路,因为导线中的电流密度为,环路 包围
的面积为,所以通过 的电流 。代入上式
后，得
( ) (4.32)
上式表明，在导线内部,与 成正比。
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4.3.3 安培环路定理应用举例
当 (即 点在导线外部 )时,,于是
( )
上式表明，从导线外部看来，磁场分布与全部电流 集中在轴线上无异,与 成反比。
沿矢径磁感应强度 的分布示于图 4-33c。可以看出，在导线表面的地方数值最大。
【 例题 2】 绕在圆环上的螺线形线圈 (图 4-34)叫做螺绕环。设螺绕环很细，环的平均半
径为,总匝数为,通过的电流强度为 。求磁场分布。
【 解 】 根据对称性可知，在与环共轴的圆周上磁感应强
度的大小相等，方向沿圆周切线方向。取安培环路 为螺
绕环内与它同心的圆，其半径为,电流穿过 环路 次，
所以根据安培环路定理有
于是 （环内） （ 4.33)
式中 代表环上单位长度内的匝数。
根据对称性可以看出，在忽略了密绕环的螺距后，外部
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4.3.3 安培环路定理应用举例
空间如果存在磁场的话，其方向必沿与螺绕环共轴的圆周的切线方向。若依这样的圆周
取安培环路,则因穿过它的总电流为 0，可得
(环外 )
图 4-35显示了上述计算结果与实际磁力线分布是一致的。
细螺绕环与无限长的螺线管一样，它产生一个
的磁场，并把磁场全部限制在自己的内部。
螺绕环的这一结果并不意外，因为当环的半径趋于
无限大，而维持单位长度的匝数 不变时，螺绕环
就过渡到一个无限长的螺线管。
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0B nI??
L
n
4.4.1 安培力
在 § 1中我们把安培定律拆成两部分，得到 (4.11)和 (4.12)两式，其中式 (4.12)
是毕奥 -萨伐尔定律，它是电流产生磁场的基本规律，我们已在 § 2里详细讨论过了。
现在来看式 (4.11)，略去 1,2等下标，得
(4.34)
它既是一个电流元 在外磁场 中受力的基本规律，又是定义磁感应强度 的依据。
这个力有时叫做安培力,式 (4.34)有人叫它安培公式。利用安培公式 (4.34)可以计算
各种形状的载流回路在外磁场中所受的力和力矩。下面介绍一些比较重要的例子。
d F Id l B??
B BIdl
4.4.2 平行无限长直导线的相互作用
设两导线间的垂直距离为,其中电流强度分别为 和 (图 4-36),根据式 (4.18)，
导线１在导线２处产生的磁感应强度为
方向与导线２垂直。根据式 (4.34)，导线２的一段 受到的力
的大小为
反过来，导线２产生的磁场作用在导线１一段 上力的大小为
因此，在单位长度上作用力的大小是
(4.35)
请同学们验证一下，当两导线中的电流沿同方向时，则其间磁相互作用是吸引力，电流
沿反方向时，是排斥力 (参看 § １图 4-6中描述的演示实验）。
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4.4.2 平行无限长直导线的相互作用
如果两导线中的电流相等：,则
或
取 米,牛顿 /米，则 安培。所以电流强度的单位, 安培, 也可定义为
,一
恒定电流，若保持在处于真空中相距 1米的两无限长、而圆截面可忽略的平行直导线内，
则在此两导线之间产生的力在每米长度上等于 牛顿。, 这正是国际计量委员会颁
发的正式文件中的定义，它与我们在 1.4节中根据电流元相互作用所给的定义完全等价。
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4.4.3 矩形载流线圈在均匀磁场中
所受的力矩
今后为了叙述方便，我们用右旋单位法线矢量 来描述一个载流线圈在空间的取向。
矢量 的指向规定如下：如图 (4.37)所示,将右手四指弯屈,用以
代表线圈中电流的回绕方向，伸直的姆指即代表线圈平面的法线
矢量 的取向。这样一来，只用一个矢量 既可表示出线圈平面
在空间的取向，以可表示出其中电流的回绕方向。
首先我们考虑矩形线圈的情形。如图 4-38,矩形线圈 ABCD
的边长为 和,它可绕垂直于磁感应强度 的中心轴
自由转动。设线圈 ABCD的右旋法线矢量 与磁感应强度
的夹角为,图 4-39为它的投影图。由图可以看出，根据式
(4.34),AB和 CD两边受的力大小相等,即
方向相反,此外它们的作用线都是 。如果线圈是刚性的话，
这一对力不产生任何效果。 BC和 DA两边都是与 垂直，它们
受的力大小也相等，即,方向也相反，但
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n
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4.4.3 矩形载流线圈在均匀磁场中
所受的力矩
不作用在同一直线上 (这一点可从投影图 4-39更明显地看出来 ),
因此这两个力的合力为 0,但组成一个绕 轴的力偶矩,这一力
偶矩使线圈的法线方向 向 方向偏转。力偶矩两力的力臂都
是,力矩的方向是一致的，因而力偶矩 的大小为
即 (4.36)
式中 代表矩形线圈的面积。考虑到力偶矩 的方向,它可以通过下列矢量积来表示：
(4.37)
顺便提起，上面计算的是一个载流线圈在均匀磁场中所受力矩。若磁场不均匀，则
除了力矩之外，载流线圈还会受到一个不为 0的合力。这样的例子参见本节的思考题和
某些习题。
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4.4.4 载流线圈的磁矩
式 (4.36)或 (4.37)虽是从矩形线圈的特例推导出来的, 其实它适用于任意形状的平
面线圈。为了证明这个结论，我们只需用垂直于转轴 的一系列平行线将这个线圈分割
成许多小窄条 (图 4-40),根据式 (4.34),磁场对电流元, 的作用力大小分别是
，
式中, 分别为 和 与 之间的夹角。由 图 4-40看出
所以
两者数值相等但方向相反，因此它们的合力为 0，但有一力矩
其中, 各为 与 到转轴 的距离，而
是图中阴影部分的面积。可以把整个回路分成一对对与,
相似的电流元，作用在整个回路上的总力矩等于各力矩元
之和：
其中 是整个回路所包围的面积。
同学们可以证明，对于线圈平面与磁场垂直的情况，整个线圈所受合力和合力矩都
为 0。对于线圈平面与磁场成任意角度的情况，可将功 分解为两个分量，一个分量与线
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4.4.4 载流线圈的磁矩
圈平面平行，另一分量与线圈平面垂直，只有前一个分量使线圈受到磁场的力矩。不难
证明这力矩仍是式 (4.37)，即 。
式 (4.37)中 是描述一个任意形状的载流平面线圈本身性质的矢量，称为这个线圈
的磁矩，用 表示,(4.38)
用线圈的磁矩来表示,式 (4.37)可写为
(4.39)
综上所述，我们看到,任意形状的载流平面线圈作为整体, 在均匀外磁场中不受力，
但受到一个力矩, 这力矩总是力图使这线圈的磁矩 (或者说它的右旋法线矢量 )转到
磁感应强度矢量 的方向 。当 与 的夹角 时,力矩的数值最大 (即力矩 )；
当 时，力矩都为 0。但当 时线圈处于稳定平衡状态； 时线圈处于非
稳定平衡状态，这时它稍一偏转，磁场的力矩就会使它继续偏转，直到 转向 的方向
为止 (见图 4-41a)。
从上面描述的载流线圈在磁场中所受力矩的特点很容易看出，它和一个电偶极子是
很相似的。图 4-41b是一个电偶极子在均匀外电场 中受到力矩的情形。对比一下图
4-41a和 b便可看出，线圈的磁矩 与电偶极子的偶极矩 在同样取向下受到力
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4.4.4 载流线圈的磁矩
矩的情形相同。如果把公式拿来
对比，就更说明问题了。第一章
2.5节给出了电偶极子所受力矩
的公式：
把 换为, 换为,正好就
是式 (4.39)。以上的对比表明，
一个载流线圈的磁矩,是和偶
极了的偶极矩 相对应的概念。
的大小只与 和 的乘积有关，
是描述电偶极子本身性质的特征
量； 的大小则只与 和 的乘积有关，是描述载流线圈本身性质的特征量。二者有很
大的相似性。在第六章中我们还将对这种相似作进一步的讨论。
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4.4.5 直流电动机的基本原理
直流电动机就是通常所说的, 直流马达,,是一种使用直流电的动力装置 。
直流电动机是根据上述通电线圈在磁场中受到力矩作用的原理制成的 。图 4-42所示
是一个最简单的单匝线圈的电动机模型，其中磁场是由一对磁极提供的。由于当线圈转
到其右旋法线与磁场方向一致的时候
不再受到力矩，这时若要使它继续受
到力矩，必须将其中电流的方向反过
来，为此在线圈的两端上接有换向器。
换向器是一对相互绝缘的半圆形截片，
它们通过固定的电刷与直流电源相接。
有了换向器之后，通电线圈便可连续
不停地朝一个方向旋转。可以看到，当线圈处在图 4-42a所示的位置时，电流是沿 ABCD方
向通过的，这时磁场给它的力矩使它沿箭头所示方向旋转。当线圈处在图 4-42b所示的位
置时，同时换向器两截片也正好转到电刷的位置，因而此时线圈中无电流，这个位置叫
做电机的 死点 。但是由于惯性,线圈将冲过死点继续旋转。如图 4-42c所示,经过死点后,
4.4.5 直流电动机的基本原理
线圈中电流反向，即沿 DCBA方向流动，这时它所受的力矩将使它沿原方向继续旋转。由
于换向器的作用使线圈中的电流每转半圈改变一次方向，就可以使线圈不停地朝着一个
方向旋转起来。
单匝线圈所组成的直流电动机虽然能够按一定方向旋转，但力矩太小，不能承担什
么负荷。而且由于在转动过程中线圈受的力矩时大时小，转速也很不稳定。因此单匝线
圈的电动机实用价值不大。目前常用的实际直流电动机中转动的部分 (转子 )是嵌在铁芯
槽里的多匝线圈组成的鼓形电枢,它们的换向器截片的数目也相应地较多。有关实际直流
电动机结构的详细情况，这里不多介绍了。同学们若需要进一步了解，可参看有关电工
方面的书籍。
直流电动机最突出的优点是通过改变电源电压很容易调节它的转速，而交流电动机
的调速就不大容易。因此，凡是要调速的设备，一般都采用直流电动机。例如无轨电车
和电气机车就是用直流电动机来开动的。
4.4.6 电流计线圈所受的磁偏转力矩
常用的安培计和伏特计大多是由磁电式电流计
改装而成的。磁电式电流计是利用永久磁铁对通电
线圈的作用原理制成的，它的内部结构如图 4-44所
示。在马碲形永久磁铁的两个磁极的中间有一圆柱
形的软铁芯，用来增强磁极和软铁芯之间空隙中的
磁场，并使磁感应线均匀地沿着径向分布 (图 4-45)。
在空隙间装有用漆包细铜线绕制的线圈，它连接在
转轴上，可以绕轴转动，待测的电流就从中通过。
转轴上附着指针，轴的上、下各连有一盘游丝 (图中只画出
上边的游丝 ),它们的绕向相反 (一个顺时针,一个逆时针 )。
所以地未通入电流时，线圈静止在平衡位置，这时指针应
停在零点，指针的零点位置可以通过零点调整螺旋来调节。
当有待测电流通过线圈时，磁场就给线圈一个力矩，使
它偏转。这个磁力矩的大小和待测的电流强度成正比。线圈
4.4.6 电流计线圈所受的磁偏转力矩
偏转时，游丝发生形变,产生反方向的恢复力矩，阻止线圈继续偏转。线圈偏听偏信转的
角度越大，游丝的形变越厉害,恢复力矩就越大，即恢复力矩和线圈的偏转角成正比。所
以线圈平衡时,其指针所处的位置,也就是恢复力矩和磁力矩相等的地方,将反映出待测电
流的大小。经过标准电流计量仪器标定之后，就可以直接从偏转角读出待测电流的数值。
这就是磁电式电流计的简要工作原理。
现在我们具体地计算一下线圈受到的磁偏转力矩和偏转角。与 4.3节中均匀磁场情形
的主要区别在于磁场沿径向。这样一来，无论电流计线圈偏转到什么位置,它遇到的磁感
应线总在线圈本身的平面内,从而竖直两边受到的力 永远和线圈平面垂直 (图 4-45)。所
以这时两力各自的力臂永远是,故磁偏转力矩为
(4.40)
式中 a,b是矩形线圈的边长,为它的面积。
在实际使用电流计时，希望它的刻度尽可能是线性的,即电流计的偏转角和待测的电
流强度 成正比。下面我们来证明,有了式 (4.40)给出的 的关系,就可以保证电流
计的刻度是线性的。
F
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4.4.6 电流计线圈所受的磁偏转力矩
线圈偏转后，游丝产生一个弹性恢复力矩,它的方向与 相反，大小正比于
偏转角,即
称为扭转常数。达到平衡时,或
即平衡偏转角 (即电流计读数 )与 成正比：
即刻度盘是线性的。假如 中还有因子,我们将得不到这种线性关系。
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4.5 带电粒子在磁场中的运动
上节讨论了导线中传导电流受磁场的作用力。本节将讨论单个点电荷 (如微观带电
粒子 )运动时所受的磁场作用力。并在此基础上进一步研究它们在磁场中运动的情况。这
个问题在近代物理学的许多方面有着重大的意义，同学们从后文的例子、思考题及习题
中就可以体会到一些。
4.5.1 洛仑兹力
图 4-46是一个阴极射线管。阴极射线管是一个真空放电管，在它两个电极之间加上
高电压时，就会从它的阴极发射出电子束来，这样的电子束即所谓阴极射线。电子束本
身是不能用肉眼观察到的，为此在管中附有荧光屏，电子
束打在荧光屏上将发出荧光，这样我们就可以看到电子的
径迹。在没有磁场时，电子束由阴极发出后沿直线前进。
如果在阴极射线管旁放一根磁棒，电子束就会偏转。这表
明电子束受到了磁场的作用力。图 4-46是将磁铁的Ｎ极垂
直地靠近阴极射线管一侧的情形，这时磁场是沿水平方向
向内的，从电子束偏转的方向可以看出，它受到的力是向
下的。如图所示，电子的速度,磁感应强度 和电子所受的
力 三个矢量彼此垂直。如果我们将磁棒在水平面内偏转一个
角度，使 不再垂直于,则电子束的偏转将会变小。
实验证明，运动带电粒子在磁场中受的力 与粒子的电荷,
它的速度,磁感应强度 有如下关系：
? B
F
B ?
F q
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4.5.1 洛仑兹力
(4.41)
按照矢积的定义，上式表明,的大小为
(4.42)
为 与 之间的夹角； 的方向与 和 构成的平面垂直 (图 4-47)。式 (4.41)还表明,
带电粒子受力 的方向,与它的电荷的正、负有关。图 4-47中所示是正电荷受力的方向，
若是负电荷，则受力方向相反。式（ 4.41）给出的这个 运动电荷在磁场中受的力,叫做
洛仑兹力 。同学们可根据式（ 4.41）来验证一下，上述实验里电子束的偏转方向确如图
4-46所示 (应注意：电子是带负电的，磁铁的Ｎ极发出磁感应线 )。
应当指出，由于洛仑兹力的方向总与带电粒子速度的方向垂直,洛仑兹力永远不对
粒子作功。它只改变粒子运动的方向，而不改变它的速率和动能。
【 例题 1】 指出图 4-48所示各情形里带电粒子受
力的方向，图中, ×,代表垂直纸面向里的磁场，
,·”代表垂直纸面向外的磁场。
【 答 】 a向上,b向下,c向下,d向上。
F
F q B???
F? B? ? B
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F
4.5.1 洛仑兹力
【 例题 ２ 】 图 4-49为一滤速器的原理图。 Ｋ 为电子枪，由枪中
沿 ＫＡ 方向射出的电子速率大小不一。当电子通过方向互相垂直
的均匀电场和磁场后，只有一定速率的电子能够沿直线前进通过
小孔Ｓ。设产生均匀电场的平行板间的电压为 300伏特，间距离为
5厘米，垂直纸面的均匀磁场的磁感应强度为 600高斯。问：⑴磁
场的指向应该向里还是向外？⑵速率为多大的电子才能通过小孔？
【 解 】 ⑴ 平行板产生的电场强度 Ｅ 方向向下,使带负电的电子受到的力 方向向上。如果
没有磁场,电子束将向上偏转。为了使电子能够穿过小孔Ｓ,所加的磁场施于电子束的洛仑兹力必须
是向下的,这就要求 Ｂ 的方向向里。
⑵电子受到的洛仑兹力为 。它的大小 与电子的速率 有关。只有那些速
率大小刚好使得 与电场力 抵消的电子，可以沿直线 ＫＡ 通过小孔Ｓ，也就是说，能通过小孔
Ｓ的电子的速率 必须满足式,或,由此解得 。因为 ( 和
分别为平行板间的电压和距离 ),故
上式表明,能通过滤速器粒子的速率与它的电荷和质量无关。
转换单位，代入数值得：
即只有速率为 105米 /秒的电子可以通过小孔Ｓ。
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U Bd? ?
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4.5.2 洛仑兹力与安培力的关系
比较一下洛仑兹力公式 (4.41)和安培力公式 (4.34),可以看到
二者很相似。这里的 与电流元 相当。这并不是偶然的，因为
运动电荷就是一个瞬时的电流元。载流导线中包含了大量的自由电
子，下面我们来证明，导线受的安培力就是作用在各自由电子上洛
仑兹力的宏观表现。
如图 4-50所示，考虑一段长为 的金属导线，它放置在垂直
纸面向内的磁场中 (在图中用, ×,表示磁感受应线方向 )。设导线中
通有电流,其方向向上。
从微观的角度看，电流是由导体中的自由电子向下作定向运动
形成的。设自由电子的定向运动速度为,导体单位体积内的自由
电子数 (叫做自由电子数密度 )为,每个电子所带的电量为 ( 库仑 )。按
照定义，电流强度是单位时间内通过导线截面的电量。现在我们看看，在单位时间 内
通过导线某一截面Ｓ的电量有多少。因为在单位时间 内每个电子由于定向运动而向下
移动了距离 。我们可以在截面Ｓ之上相距 的地方取另一截面 。在这两个截面之
间是一段体积 的柱体 (这里Ｓ又代表截面的面积 )。不难看出，凡是处在这个
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V Su t? ? ?
4.5.2 洛仑兹力与安培力的关系
柱体内的电子，在时间间隔 后都将通过截面Ｓ； 凡是处在这个 柱体之外的电子，在时
间间隔 后都不会通过截面Ｓ。所以在时间间隔 内通过Ｓ的电子数等于这个柱体内
的全部电子数，它应是,而在时间间隔 内通过Ｓ的电量 应等于这个数
目再乘以每个电子电量 (这里只考虑数值，暂不管它的正负 )，即
于是电流强度 (4.43)
由于这里电子的定向速度 与磁感应强度 垂直,,每个电子由于定向运动受
到的洛仑兹力为 。虽然这个力作用在金属内的自由电子上，但是自由电子不会越
出金属导线，它所获得的冲量最终都会传递给金属的晶格骨架。宏观上看起来将是金属
导线本身受到这个力。整个长度为 的这段导线的体积为,其中包含自由电子的总
数为,每个自由电子受力,所以这段导线最终受到的总力为
根据式 (4.43),上面括弧中的量刚好是宏观的电流强度,故最后得到力的大小为
这正好与安培力的公式符合。请同学们自己验证一下，力的方向也是符合的。
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4.5.2 洛仑兹力与安培力的关系
应当指出，导体内的自由电子除定向运动之外，还有无规则的热运动。由于热运动
速度 朝各方向的几率相等，在任何一个宏观体积内平均来说，各自由电子热运动速度
的矢量和 为 0。而洛仑兹力与 和 都垂直，由热运动引起的洛仑兹力朝各方向的
几率也是相等的。传递给晶格骨架后叠加起来，其宏观效果也等于 0。即对于宏观的安培
力 来说，电子的热运动没有贡献，所以在上述初步的讨论中我们可以不考虑它。
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F
4.5.3 带电粒子在均匀磁场中的运动
我们分两种情形来讨论带电粒子在均匀磁场中的运动。
（ 1）粒子的初速 垂直于
由于洛仑兹力 永远在垂直于磁感应强度 的平面内，而粒
子的初速 也在这平面内，因此它的运动轨迹不会越出这个平面。
由于洛仑兹力永远在垂直于粒子的速度，它只改变粒子的运
动方向，但不改变其速率,因此粒子在上述平面内作匀速圆周
运动 (图 4-51)。设粒子的质量为,圆周轨道的半径为,则粒子作圆周运动时的向心
加速度为 。这里维持粒子作圆周运动的向心力就是洛仑兹力，因 与 垂直，
，洛仑兹力的大小为,其中 为粒子的电荷，按照牛顿第二定律,
有,由此得轨道的半径为
(4.44)
上式表明,与 成正比，与 成反比。
粒子回绕一周所用时间 (即周期 )为
(4.45)
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4.5.3 带电粒子在均匀磁场中的运动
而单位时间里所绕的圈数 (即频率 ) 为
(4.46)
叫做带电粒子在磁场中的 回旋共振频率 。上式表明，回旋共振频率与粒子的速率和回
旋半径 (又称拉摩半径 )无关。这一结论很重要，它是下面即将介绍的磁聚集和回旋加速
器的基本理论依据。
（ 2）普遍情形
在普遍的情形下,与 成任意夹角 。这时
我们可以把 分解为 和 两个分
量，它们分别平行和垂直于 。若只有 分量，
粒子的运动可归结为上面的情形，即它在垂直于
的平面内作匀速圆周运动；若只有 分量，磁场 对粒子没有作用力，粒子将沿 的方
向 (或其反方向 )作匀速成直线运动。当两个分量同时存在时，粒子的轨迹将成为一知螺
旋线 (图 4-52),其螺距 (即 粒子回转一周时前进的距离 )为
(4.47)
它与 分量无关。
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4.5.3 带电粒子在均匀磁场中的运动
上述结论是一种最简单的磁聚集原理我们设想从磁场某点 发射出一束很窄的带电
粒子流的速率 差不多相等，且与磁感应强度 的夹角 都很小 (图 4-52),则
,
由于速度的垂直分量 不同,在磁场的作用下,各粒
子将沿不同半径的螺旋线前进。但由于它们速度的
平行分量 近似相等，经过距离
后它们又重新会聚在点 (图 4-53)这与光束经透镜
后聚焦的现象有些类似，所以叫做 磁聚焦 现象。
上面所讲的是均匀磁场中的磁聚焦现象，它要靠长
螺线管来实现。然而实际上用得更多的是短线圈产生的
非均匀磁场的聚焦作用 (图 4-54)，这里线圈的作用与光
学中的透镜相似,故称为 磁透镜 。磁聚焦的原理在许多电
真空器件 (特别是电子显微镜 )中的应用比第二章 § 1提到
过的静电聚焦更为广泛。
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4.5.4 荷质比的测定
利用电子 (或其它带电粒子 )在磁场中偏转的特性，可以测定出它们的电荷与质量之
比，即所谓 荷质比 。荷质比是带电微观粒子的基本参量之一。测量荷质比的方法很多,这
里只介绍最典型的两种。
（ 1）汤姆孙测电子荷质比的方法 (1897年 )
汤姆孙的仪器见图 4-55,玻璃管内抽成真空,
在阳极 与阴极 Ｋ 之间维持数千伏特的电压，靠
管内残存气体的离子在阴极引起的二次发射产生
电子流。阳极 和第二个金属屏 的中央各有一个小孔,在 K,A之间被加速了的电子流，
只有很窄一束能够通过这两个孔。如果没有玻璃管中部的那些装置，狭窄的电子束将依
惯性前进，直射在玻璃管另一端的荧光屏 S的中央，形成一个光点 。玻璃管中部 C,D
为电容器的两极板，在其间可产生一竖直方向的电场。在图中圆形阴影区域里，可由管
外的电磁铁产生一方向垂直纸面的磁场。如果只有磁场，臂如说其方向是垂直纸面向里
的，电子流将向上偏转。适当地调节电场与磁场的强度，可使它们作用在电子上的力达
到平衡，即 或
A?A
A
O
e B eE? ? EB??
4.5.4 荷质比的测定
由这时的 Ｅ 和 Ｂ 的数值可以测出电子流的速率 。
然后，将电场切断，电子束在磁场区内将沿圆弧运动，此圆弧的半径按照式 (4.44)
应为,因而电子的荷质比为 。离开磁场区后，电子束将依惯性
继续前进，射在荧光屏上的 点。半径 可以从荧光屏上光点移动的距离 和仪器中的
一些几何参量确定下来 (关于这个问题我们不去详细讨论了 )。知道 以后，根据上式即
可求出电子的荷质比 。
汤姆孙的原始装置后来经过许多改进，测量的准确度不断提高,在电子的速率远小于
光速 ( 米 /秒 )的情况下,测得的结果为 库仑 /千克。
在作这个实验之前,人们尚不知道阴极射线中带电粒子的本性。虽然在汤姆孙实验中只测
出这种粒子的荷质比,而不是电荷 和质量 本身，在一定意义下仍可以说这是历史上第
一次发现电子，单独测出电子电荷的任务是 12年后密立根在油滴实验 (参看第一章 § 2习
题 2和 3)中完成的。
十九世纪末就已发现放射性物质发出 射线也是一种带负电的粒子流。不同物质发出
的 射线的粒子具有不同的速率，一般说来速率都十分巨大 (接近光速 )。实验表明，
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4.5.4 荷质比的测定
粒子的荷质比与其速率有关，速率越大，荷质比越小 (参看表 4-1的左边两栏 )。这些结果
是与相对论符合的，相对论认为，任何运动物体的质量 与速率 有如下关系：
(4.48)
式中 为 时的质量,称为静止质量。当 时,与 的差别不大；只有当
接近于 1时 才显著地增加。所以按照相对论，同一种粒子的荷质比常数不是,而是
，它与 的关系是：
(4.49)
表 4-1 电子荷质比与速度的关系
在表 4-1第三栏中给出了由 粒子的 实验数据推算
出来的 值,可以看出它确实接近于常数,这就是说,
测定 粒子荷质比的实验很好地符合相对论中关于质量
随速率改变的关系式 (4.48)。此外由表 4-1还可以看出,
粒子的静止荷质比 与阴极射线的荷质比一样。
这表明,射线和阴极射线一样，它们都是电子流，只
不过 射线中的电子比阴极射线中的电子具有大得多的
速率。
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4.5.4 荷质比的测定
（ 2）磁聚焦法
图 4-56所示是用磁聚焦法测荷质比装置的一种。在
抽空的玻璃管中装有热阴极 Ｋ 和有小孔的阳极 Ａ 。在 Ａ、
Ｋ 之间加电压 时，由阳极小孔射出的电子动能为
从而其速率为
在电容器 Ｃ 上加一不大的横向交变电场，使不同时刻通过这里的电子发生不同程度
的偏转。在电容器 Ｃ 和荧光屏Ｓ之间加一均匀纵向磁场，如上所述，电子从 Ｃ 出来后将
沿螺旋线运动，到距离为 的地方聚焦。适当调节磁感应强度 Ｂ 的大小，可
使电子流的焦点刚好落在荧光屏Ｓ上 (这时荧光屏上的光点的锐度最大 )。在此情况下，
就等于 Ｃ 到Ｓ间的距离,于是从上述 与 的二表达式中消去 即得
上式右端各量都可以测出，由此即可确定 。
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4.5.5 回旋加速器的基本原理
回旋加速器是原子核物理学中获得高速粒子的一种装置。这种装置的结构虽然很复
杂，但其基本原理就是利用上面提到的那个回旋共振频率与速率无关的性质。
回旋加速器的核心部分是 Ｄ 形盒，它的形状有如扁圆的金
属盒沿直径剖开的两半，每半个都象字母, Ｄ, 的形状，因而得
名 (见图 4-57)。两 Ｄ 形盒之间留有窄缝，中心附近放置离子源
(如质子、氘核或 粒子源等 )。在 两 Ｄ 形盒间接上交流电源 (其
频率的数量级为 106周 /秒 ),于是在缝隙里形成一个交变电场。
由于电屏蔽效应，在每个 Ｄ 形盒的内部电场很弱。 Ｄ 形盒装在
一个大的真空容器里，整个装置放在巨大的电磁铁两极之间的
强大磁场中，这磁场的方向垂直于 Ｄ 形盒的底面。
现在我们来考虑离子运动的情况 (见图 4-58)。设想正当
的电位高的时候，一个带正电的离子从离子源发出，它在缝隙
中被加速，以速率 进入 内部的无电场区。在这里离子在磁
场的作用下绕过回旋半径为 的半个圆周而回到缝隙。
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4.5.5 回旋加速器的基本原理
如果在此期间缝隙间电场恰好反向，粒子通过缝隙时又被加速，以较大的速率 进入
内部的 无电场区，在其中绕过回旋半径为 的半个圆周再次回到缝隙。虽然
,但绕过半个圆周所用的时间都是一样的,它们都等于 (4.45)式中给出的回旋共振
周期之半,即 。所以尽管粒子的速率与回旋半径一次比一次增大,只要缝隙中
的交变电场以不变的回旋共振周期 往复变化,便可保证离子每次经过缝隙时受
到的电场力都是使它加速的。这样，不断被加速的离子将沿着螺线轨道逐渐趋于 Ｄ 形盒
的边缘，在这里达到预期的速率后，用特殊的装置将它们引出。
设 Ｄ 形盒的半径为,则根据式 (4.44)离子在回旋加速器中获得的最终速率,
它受到磁感应强度 和 Ｄ 形盒的半径 的限制。要使离子获得越高的能量，就需要加大
加速器电磁铁的重量和 Ｄ 形盒的直径。 10兆电子伏 (Ｍ eV)以上的回旋加速器中 的数量
级为 104高斯,Ｄ 形盒的直径在 1米以上。
由于相对论效应，当粒子的速率太大时,不再是常数，从而回旋共振周期 Ｔ 将随
粒子速率的增长而增长，如果加于 Ｄ 形盒两极的交变电场频率不变的话，粒子由于每次
,迟到, 一点而不能保证经过缝隙时总被加速，上述回旋加速器的基本原理就不适用了。
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4.5.5 回旋加速器的基本原理
对于同样的动能，质量越小的粒子速度越大，相对论效应也越显著。例如 2MeV的电子的
质量约为其静止质量的 5倍，但 2MeV的氘核的质量只比其静止质量大 0.01%。因此回旋加
速器更适合加速较重的粒子。即使对于这些较重的粒子,也因受到相对论效应的影响 (例
如 100MeV的氘核质量已超过其静止质量的 5%),用回旋加速器来加速所获的能量同样不能
无限制地提高，这时必须另寻其他途径，选择其它类型的加速器了。
4.5.6 霍耳效应
如图 4-60，将一导电板放在垂直于它的磁场中。当
有电流通过它时，在导电板的, 两侧会产生一个电
位差 。这种现象叫做霍耳效应。实验表明，在磁场
不太强时，电位差 与电流强度 和磁感应强度 成
正比，与板的厚度 成反比。即
(4.49)
式中比例系数 叫做霍耳系数。
霍耳效应可用洛仑兹力来说明。因为磁场使导体内移动的电荷 (载流子 )发生偏转，
结果在, 两侧分别聚集了正、负电荷，形成电位差。
设导电板内载流子的平均定向速率为,它们在磁场中受到的洛仑兹力为 。当
之间形成电位差后，载流子还受到一个相反的力 ( 为电场强度,为导电
板的宽度,见图 4-60),最后达到稳恒状态时，两个力平衡，,此外，设载
流子的浓度为,则电流强度 与 的关系为 或,于是
将此式与 (4.49)式比较一下,即可知道霍耳系数为
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4.5.6 霍耳效应
(4.50)
上式表明,与载流子的浓度有关。因此通过霍耳系数的测量,可以确定导体内载流子的
浓度 。半导体内载流子的浓度远比金属中的载流子浓度小，所以半导体的霍耳系数比
金属的大得多。而且半导体内载流子的浓度受温度、杂质以及其它原因的影响很大，因
此霍耳效应为研究半导体载流子浓度的变化提供了重要的方法。
不难看出,两侧的电位差 与载流子电荷的正负号有关。如图 4-61a所示，若
，载流子的定向速度 的方向与电流方向
一致，洛仑兹力使它向上 (即朝 侧 )偏转,结果；反之，如图 4-61a所示，若,
载流子的定向速度 的方向与电流方向相反,洛
仑兹力也使它向上 (即朝 侧 )偏转,结果 。
半导体有电子型 ( 型 )空穴型 ( 型 )两种,前者
的载流子为电子,带负电,后者的载流子为, 空穴,,
相当于带正电的粒子。所以根据霍耳系数的正负
号还可以判断半导体的导电类型。
此外，近年来霍耳效应已在科学技术的许多领域 (如测量技术、电子技术、自动化技
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4.5.6 霍耳效应
术等 )中开始得到应用。我国已制出多种半导体材料的霍耳元件。霍耳元件的主要用途有
以下几个方面,(1)测量磁场； (2)测量直流或交流电路中的电流强度和功率； (3)转换信
号,如把直流电流转换成交流电流并对它进行调制,放大直流或交流信号等； (4)对各种物
理量 (应先设法转换成电流信号 )进行四则或乘方、开方运算。霍耳元件具有结构简单而
可靠、使用方便、成本低廉等优点，所以它在实际中将得到越来越普遍的应用。下面我
们着重介绍一个霍耳元件测磁场的例子。
图 4-62是用霍耳元件测量磁场的原理图。测量时探测
棒插入待测磁场中。使强度已知的电流 通过霍耳元件，
由电子管毫伏计上读出霍耳电位差,就可根据已知的
霍耳系数 和式 (4.49)确定磁感应强度 的大小。在成套
的仪器中，电子管毫伏计是按磁场强度标度的。所以测量
时可以直接读数。用霍耳元件测磁场的方法非常简便，缺
点是半导体霍耳元件的温度系数一般都较大，不经温度校
准误差较大。
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第五章 电磁感应和暂态过程
? 5.1 电磁感应定律
? 5.2 动生电动势和感生电动势
? 5.3 互感和自感
? 5.4 暂态过程
? 5.5 灵敏电流计和冲击电流计
第五章 电磁感应和暂态过程
电磁感应现象是电磁学中最重大的发现之一, 它揭示了电与磁相互联系和转化的重
要方面。它的发现在科学上和技术上都具有划时代的意义。它不仅丰富了人类对于电磁
现象本质的认识，推动了电磁学理论的发展；而且在实践上开拓了广泛应用的前途。
（ 1） 在电工技术中,运用电磁感应原理制造的发电机、感应电动机和变压器等电器
设备为充分而方便地利用自然界的能源提供了条件。
（ 2） 在电子技术中,广泛地采用电感元件来控制电压或电流的分配、发射、接收和
传输电磁信号；
（ 3） 在电磁测量中,除了许多重要电磁量的测量直接应用电磁感应原理外，一些非
电磁量也可以用之转换成电磁量来测量，从而发展了多种自动化仪表。
本章在电磁感应现象的基础上，逐步深入地讨论电磁感应的规律，以及有关的问题。
5.1 电磁感应定律
1820年，奥斯特的发现第一次揭示了电流能够产生磁，从而开辟了一个全新的研究
领域 。当时不少物理学家想到：既然电能够产生磁，磁是否也能产生电？然而他们或者
是因为固守着稳恒的磁场能够产生电的成见，或者是因为工作不够细致，实验都失败了。
法拉第开始也是这样想的，实验没有成功。但他善于抓住新事物的苗头，坚信磁能够产
生电，并以他精堪的实验技巧和敏锐地捕捉现象的能力，经过十年不懈的努力，终于在
1831年 8月 29日第一次观察到电流变化时产生的感应现象 。紧接着，他做了一系列实验，
用来判明产生感应电流的条件和决定感应电流的因素，揭示了感应现象的奥秘。虽然他
没有用数学公式将他的研究成果表达出来 (电磁感应定律的数学公式是 1845年由诺埃给
出的 )，但是，他对电磁感应现象的丰富研究，这一发现的荣誉归功于他是当之无愧的。
5.1.1 电磁感应现象
下面结合几个演示实验来说明：什么是电磁感应现象？产生电磁感应现象的条件是
什么？
实验一 如图 5-1，把线圈 的两端接在
电流计上。在这个回路中没接电源，所以电
流计的指针并不偏转。
现在把一根磁棒插入线圈，在插入的过
程中，电流计的指针发生偏转，这表明线圈
中产生了电流 (图 5-1a)。这种电流叫做感应
电流。当磁棒插在线圈内不动时,电流计的指
针就不再偏转,这时线圈中没有感应电流。再把磁棒从线圈内拔出,在拔出的过程中,电流
计指针又发生偏转,偏转的方向与插入磁棒时相反,这表明感应电流与前面相反 (图 5-1b)。
在实验中，磁棒插入或拔出的速度越快，电流计指针偏转的角度就越大，也就是说
感应电流越大。
如果保持磁棒静止，使线圈相对磁棒运动，那么可以观察到同样的现象。
在上一章中曾经说过，一个通电线圈和一根磁棒相当。那么,使通电线圈和另一个线
A
5.1.1 电磁感应现象
圈作相对运动，是否也会产生感应电流呢？这需要通过实验来检验。
实验二 如图 5-2，取另一个线圈 与直流电源相连。用
这个通电线圈 代替磁棒重复上面的实验，可以观察到同样
的现象。也就是说，在通电线圈 和线圈 相对运动的过程
中，线圈 中产生感应电流；相对运动的速度越快，感应电
流越大；相对运动的方向不同 (插入或拔出 )感应电流的方向
也不同。
现在对上面两个实验做一些分析。当磁棒或通电线圈
与线圈 做相对运动时，磁棒或通电线圈 与线圈 之间的距离发生了变化；同时,它们
在线圈 个激发的磁场也发生了变化。这样,自然会产生一个问题：感应电流的起因究竟
是由于磁棒或通电线圈 这个实物和线圈 的相对运动，还是由于线圈 处磁场的变化
呢？让我们观察下面的实验。
实验三 如图 5-3，把线圈 跟开关 和直流电源串联起来,再把 插在线圈 内。接
通开关,在接通的瞬间，可以看到,电流计的指针偏转一下，以后又回到零点。再把开
关 断开，在断开的瞬间，电流计的指针朝相反方向偏转一下,然后又回到零。这表明在
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A?
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A
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A? A A
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K
K
5.1.1 电磁感应现象
线圈 通电或断电的瞬间，线圈 中产生感应电流。
如果用一个可变电阻代替开关,那么当调节可
变电阻一改变线圈 中电流强度的时候，同样可以看
到电流计的指针发生偏转,即线圈 中产生感应电流。
调节可变电阻的动作越快,线圈 中的感应电流就越大。
在这个实验里，线圈 和线圈 之间并没有相对运
动。这个实验和前两个实验的共同点是，在实验中线圈
所在处的磁场发生了变化。在前两个实验中，是通过相对运动使线圈 处的磁场发生
变化的；在这个实验中，是通过调节线圈 中的电流 (即激发磁场的电流 )使线圈 处的
磁场发生变化的。因此,综合这三个实验就可以认识到：不管用什么方法,只要使线圈
处的磁场发生变化,线圈 中就会产生感应电流。
这样的认识是否完全了呢？我们再观察一个实验。
实验四 如图 5-4，把接有电流计的导体框 ABCD放在均匀的稳恒磁场中,使骊框平面跟
磁场方向垂直。线框的 CD边可以沿着 AD和 BC边滑动并保持接触。实验表明,当使 CDLP边朝
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A
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5.1.1 电磁感应现象
某一方向 (如朝右 )滑动时,电流计的指针发生偏转,即在
线框 ABCD中产生感应电流。 CD边滑动越快，电流计指针
偏转的角度越大,即感应电流越大。当 CD边朝反方向 (即
朝左 )滑动时，感应电流的方向相反。
在这个实验里，磁场是恒定的，所以当 CD边滑动时，
线框所在处的磁场并没有变化。 CD边的移动只是使线框
的面积发生了变化，结果，同样产生了感应电流。由此
可见，把感应电流的起因只归结成磁场变化的认识，是不够完全的。
从直接引起的效果看，磁场的变化和线框面积的变化有一个共同点,这就是它们都使
得 穿过线圈或线框的磁感应强度的通量,即磁通量 发生了变化 。
概括以上四个实验中共同的东西,我们可以得到结论,当穿过闭合回路 (如线圈 和
电流计组成的回路,线框 ABCD等 )的磁通量发生变化时, 回路中就产生感应电流 。这也就
是 产生感应电流的条件 。
由第三章可知，闭合回路中有电流产生,那就意味着回路中有电动势存在。所以当闭
回路中有感应电流产生时,这回路中就一定存在着某种电动势。这种 由于磁通量变化引起
B?
A
5.1.1 电磁感应现象
的电动势, 叫做 感应电动势 。感应电动势比感应电流更能反映电磁感应现象的本质。以
后我们将看到，当回路不闭合的时候，也会发生电磁感应现象，这时并没有感应电流，
而感应电动势却仍然存在。另外，感应电流的大小是随着回路的电阻而变的，而感应电
动势的大小则不随回路的电阻而变。总之，确切地讲，对于电磁感应现象这样来理解：
当穿过导体回路的磁通量发生变化时，回路中就产生感应电动势。
5.1.2 法拉第电磁感应定律
在上述实验中我们已经看到，穿过导线回路的磁通量变化得越快，感应电动势越大。
此外，在不同的条件下，感应电动势的方向亦不同。为了表述电磁感应的规律，设在时
刻 穿过导线回路的磁通量是,在时刻 穿插过导线回路的磁通量是,那么，在
这段时间内穿插过回路的磁能量的变化是,则磁通量的变化率
反映了磁通量变化的快慢和趋势。
精确的实验表明,导体回路中感应电动势 的大小与穿过回路的磁通量的变化率
成正比。这个结论叫做法拉第电磁感应定律。用公式来表示就是
，或
式中 是比例常数，它的数值决定于式中各量的单位。如果 的单位用韦伯，时间单位
用秒,的单位用伏特，则,
（ 5.1）
式中的负号代表感应电动势的方向，这个问题我们将在下面讨论。在有些场合中不着重
研究方向问题,这个负号也可不写。
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5.1.2 法拉第电磁感应定律
式 (5.1)只适用于单匝导线组成的回路。如果回路不是单匝线框而是多匝线圈,那么
当磁通量变化时,每匝中都将产生感应电动势。由于匝与匝之间是互相串联的，整个线圈
的总电动势就等于各匝所产生的电动势之和。令,, … 分别是通过各匝线圈的
磁通量，则
(5.2)
式中 叫做磁通匝链数或全磁通。如果穿过每匝线圈的磁通量相同，均为
，则,故有
(5.3)
【 例题 1】 如图 5-5，磁感应强度为 B＝ 1000高斯的均匀磁场
垂直纸面向里，一矩形导体线框 ABCD平放在纸面内,线框的 CD
边可沿着 AD和 BC边滑动。设 CD边的长度为 厘米，向右滑
动的速度为 米 /秒。求线框中感应电动势的大小。
【 解 】 设 BC之间的距离为,则通过导体线框的磁通量为
代入式 (5.1)，并用,得
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5.1.2 法拉第电磁感应定律
代入 B=1000高斯 =0.10韦伯 /米 2,=10厘米 =0.10米,=1.0米 /秒, 得
=0.10× 0.10× 1.0=1.0× 10-2伏特
【 例题 2】 把磁棒的一极用 1.5秒的时间由线圈顶部一直插到底部。在这段时间内穿过每一匝线圈
的磁通量改变了 5.0× 10-5韦伯，线圈的匝数为 60，求线圈中感应电动势的大小 。若闭合回路的总电
阻为 800欧姆，求感应电流的大小。
【 解 】 已知 =1.5秒,=5.0× 10-5韦伯,=60,=800欧姆。代入式 (5.3)即得
由闭合电路的欧姆定律可知
感应电动势的方向问题是法拉第电磁场感应定律的重要组成部分。在每个具体场合，
我们可以根据实验记下感应电动势的方向。然而为了把各种场合中感应电动势的方向用
统一的公式表示出来，就得先规定一些正负号法则。电动势和磁通量都是标量 (代数量 ),
它们的方向 (更确切地说,应是它们的正负 )都是相对某一标定方向而言的。为了描述电动
势的方向，先得标定回路的绕行方向。有了它，电动势取正值表示其方向与此标定方向
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5.1.2 法拉第电磁感应定律
一致；取负值表示其方向与此标定方向相反。磁通量 是磁感应强度矢量 沿以回路为
边界的曲面积分,的正负有赖于此曲面法线矢量 方向的选择。选定 的方向之后，若
与 的夹角为锐角，则 取正值；若 与 的夹角为钝角，则 取负值。有了 的正负，
其变化率 的正负也就有了意义。设在时间间隔 内 的增量为
若正的 随时间增大，或负的 的绝对值随时间减小，则, ；反之，若正
的 随时间减小，或负的 的绝对值随时间增大，则, 。
至此，我们按照两个标定方向，即回路的绕行方向和曲面的法线方向,赋予了两个代
数量 —— 电动势 和磁通量 (从而它的变化率 )正负的含义，但这里每个标定方向本
来都有正、反两种可能的选择。按照通常的习惯，我们规定如下右手
定则：如图 5-6，将右手四指弯曲,用以代表选定的回路绕行方向，则
伸直的姆指指向法线 的方向。有此规定之后，两个标定方向就只能
任选其一了。
明确了上述所有规定，我们就有可能把感应电动势的方向用统一
的数学公式表示出来，这就是上面的式 (5.1)和 (5.3)。两式归纳了大
量实验的结果，用一个负号表达了 和 之间的关系。两式表明,在任何情况下,而且
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5.1.2 法拉第电磁感应定律
无论回路的绕行方向怎样选择, 感应电动势 的正负总是与磁通量变化率 的正负相反 。
图 5-7给出四个线圈中磁通量变化的情形，在四种情形里，我们都选定回路的绕行方
向如图中绿色的逆时针方向，从而按右手一则，它的法线 是向上的。在图 5-7a的情形
里，对于选定的绕行方向和法线方向,是正的，当 增大时，,按照式 (5.1),电动
势是负的,即电动势的实际方向与标定绕行方向相
反；在图 5-7b中,对于选定的绕行方向和法线方向，
是负的,的绝对值增大，则,按照式 (5.1),
电动势是正的,即电动势的实际方向与标定绕行方向
相同。其他情形，同学们可以按照上述正负号的规
定自行练习。
在例题 1中，根据式 (5.1)，可以判断电动势的
方向在纸面内是逆时针方向的。
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5.1.3 楞次定律
1834年楞次提出了另一种直接判断感应电流方向的方法，从而根据感应电流的方向
可以说明感应电动势方向。我们回顾一下, 把磁棒的 Ｎ 极插入线圈和从线圈中拔出的实
验，并将实验中感应电流的方向示于图 5-8中，在图 a所示把Ｎ极插入线圈的情形，磁棒
的磁感应线的方向朝下，可以看出磁棒插入过程中穿过
线圈的向下的磁通量增加。根据右手定则可知，这时感
应电流所激发的磁场方向朝上，其作用相当于阻止线圈
中磁通量的增加。在图 b所示把Ｎ极拔出的情形,穿插过
线圈的磁通量减少，而这时感应电流所激发的磁场方向
朝下，其作用相当于阻止磁通量的减少。
具体分析其他的电磁感应现象，也可以发现同样的
规律。因此，可以得到结论,闭合回路中感应电流的方
向,总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁
通量的变化 (增加或减少 )。这个结论叫做 楞次定律 。
用楞次定律来判断感应电流的方向,可按照下面的步骤：首先判明闭合回路的磁通量
沿什么方向,发生什么变化 (增加还是减少 )；然后根据楞次定律来确定感应电流所激发的
磁场沿什么方向 (与原来的磁场方向是反向还是同向 )；最后根据右手定则确定感应电流
5.1.3 楞次定律
的方向。考虑例题 1的情形，当 CD边向右移动时，穿过线框向纸面里的磁通量跟着增加，
按照楞次定律，感应电流所激发的磁场要阻止这种增加，因而其方向垂直纸面向外，根
据右手定则可知，感应电流在线框中沿逆时针方向。可见，运用楞次定律判断感应电流
的方向与用法拉第定律是一致的。其他情形，同学们可自行练习。
我们还可以从另一个角度来理解上述实验结果。当把磁棒的Ｎ极插入线圈时,线圈因
有感应电流流过时也相当于一根磁棒，如图 5-8a所示，线圈的Ｎ极出现在上端，与磁棒
的Ｎ极相对，两者相排斥，其效果是反抗磁棒的插入。同样,当把磁棒的Ｎ极从线圈中拔
出时,如图 5-8b所示,线圈的Ｓ极出现在上端,它和磁棒的Ｎ极互相吸引，其效果是阻止磁
棒的拔出。这个例子和其他类似的例子都表明,楞次定律还可以表述为,感应电流的效果
总是反抗引起感应电流产生的原因 。这里所说的, 效果,,既可以理解为感应电流所激发
的
磁场,也可以理解为因感应电流出现而引起的机械作用；这里所说的, 原因,,既可指磁
通
量的变化，也可指引起磁通量变化的相对运动或回路的形变。
值得指出，在某些问题中并不要求具体确定感应电流的方向,而只需要定性判明感应
电流所引起的机械效果，这时用楞次定律的后一种表述来分析问题,更为方便。下面我们
5.1.3 楞次定律
感应电流取楞次定律所述的方向并不奇怪,它是能量守恒和转化定律的必然结果。我
们知道，感应电流在闭合回路中流动时将释放焦耳热。根据能量守恒和转化定律,能量不
可能无中生有,这部分热只可能从其它形式的能量转化而来。在上述例子里，按照楞次定
律，把磁棒插入线圈或从线圈中拔出时,都必须克服斥力或引力做机械功,实际上,正是这
部分机械功转化成感应电流释放的焦耳热。设想感应电流的效果不是反抗引起感应电流
的原因,那么在上述例子里,将磁棒插入或拔出其不的过程中,既对外做功,以释放焦耳热,
这显然是违反能量守恒和转化定律的。因此，感应电流只有按照楞次定律所规定的方向
流动，才能符合能量守恒和转化定律。
5.1.4 涡电流和电磁阻尼
在许多电磁设备中常常有大块的金属存在 (如发电机和变压器中的铁芯 )，当这些金
属块在变化的磁场中或相对于磁场运动时，在它们的内部也会产生感应电流。例如，如
图 5-9所示，在圆柱形的铁芯上绕有线圈，当线圈中通上交变
电流时，铁芯就处在交变磁场中。铁芯可看作是由一系列半径
逐渐变化的圆柱状薄壳组成，每层薄壳自成一个闭合回路。在
交变磁场中，通过这些薄壳的磁通量都在不断地变化，所以沿
着一层层的壳壁产生感应电流。从铁芯的上端俯看，电流的流
线呈闭合的涡旋状,因而这种感应电流叫做涡电流,简称为 涡流 。
由于大块金属的电阻很小,因此涡流可达非常大的强度。
强大的涡流在金属内流动时，会释放出大量的焦耳热。工
业上利用这种热效应，制成 高频感应电炉 来冶炼金属。高频感
应电炉的结构原理见图 5-10。在坩埚的外缘绕有线圈，当线圈
同大功率高频交变电源接通时，高频交变电流在线圈内激发很
强的高频交变磁场，这时放在坩埚内的被冶炼的金属因电磁感
应而产生涡流，释放出大量的焦耳热，结果使自身熔化。这种
5.1.4 涡电流和电磁阻尼
加热和冶炼方法的 独特优点 是 无接触加热 。把金属和坩埚等放在真空室加热,可以使金属
不受玷污,并且 不致在高温下氧化 ；此外，由于它是在金属内部各处同时加热，而不是使
热量从外面传递进去,因此 加热的效率高,速度快 。 高频感应电炉已广泛用于冶炼特种钢、
难熔或活泼性较强的金属, 以及提纯半导体材料等工艺中 。
涡流所产生的热在某些问题中非常有害。在电机和变压器中，为了增大磁感应强度，
都采用了铁芯，当电机或变压器的线圈中通过交变电流时,铁芯中将产生很大的涡流，白
白损耗了大量的能量 (叫做铁芯的 涡流损耗 ),甚至发热量可能大到烧毁这些设备。为了减
小涡流及其损失，通常采用叠加起来的硅钢片代替整块铁芯,并使硅钢片平面与磁感应线
平行。我们的以变压器的铁芯为例来说明。
图 5-11a所示为变压器，图 5-11b为它中间
矩形铁芯，铁芯的两边绕有多匝的原线圈
(或称为初级绕组 ) 和副线圈 (或称为次级
绕组 ),电流通过线圈所产生的磁感应线
主要集中在铁芯中。磁通量的变化除了在原、
副线圈内产生感应电动势之外，也将在铁芯
的每个横截面 (例如 截面 )内产生循环的
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5.1.4 涡电流和电磁阻尼
涡电流。若铁芯是整块的，如图 5-11c所示，对于涡流来说电阻很小，因涡流而损耗的焦
耳热就很大；若铁芯用硅钢片制作，并且硅钢片平面与磁感应线平行，如图 5-11d，一方
面由于硅钢片本身的电阻率较大,另一方面各片之间涂有天然的绝缘氧化层，把涡流限制
在各薄片内,使涡流大为减小,从而减少了电能的损耗。
涡流除了热效应外，它所产生的机械效应在实际中有很广的应用，可用作电磁阻尼。
为了说明电磁阻尼的原理，如图 5-12，把铜 (或铝 )片悬挂在电磁铁的两极间，形成一个
摆。在电磁铁线圈未通电时，铜片可以自由摆动，要经过较长
时间才会停下来。一旦当电磁铁被励磁之后，由于穿过运动导
体的磁通量发生变化，铜片内将产生感应电流。根据楞次定律，
感应电流的效果总是反抗引起产生感应电流的原因，因此，铜
片摆锤的摆动便受到阻力而迅速停止。在许多电磁场仪表中，
为了使测量时指针的摆动能够迅速稳定下来，就是采用了类似
的电磁阻尼。电气火车中所用的电磁制动器也是根据同样的道
理制成的。
5.1.4 涡电流和电磁阻尼
涡流的电磁阻尼作用是一种阻碍相对运动的作用。如图
5-13所示，如果使一金属圆盘紧靠磁铁的两极而不接触，当
使磁铁旋转起来，在圆盘中产生涡流将阻碍它与磁铁的相对
运动，因而使得圆盘跟随磁铁运动起来。
在这里，涡流的机械效应表现为 电磁驱动 。
这种驱动作用是因感应现象产生的，因此，
圆盘的转速总是小于磁铁的转速，或者说
两者的转动是异步的。感应式异步电动机
的运转就是根据这个道理。
电磁驱动作用可用来制成磁性式转速
表测量转速，其主要结构如图 5-14所示。在测量转速时，将转速表的磁铁转轴连于机器
转轴，磁铁随机轴旋转，由此在感应片中产生涡流，并使之受到与磁铁旋转方向相同的
转矩。指针在此转矩和游丝的恢复力矩的共同作用下达到平衡。磁铁的转速越大，指针
的偏转角度也越大。经校准标定后，便可由指针偏转角度显示机轴的转速。
5.1.5 趋肤效应
在直流电路里，均匀导线横截面上的电流密度是均匀的。
在交流电路里，随着频率的增加，在导线截面上的电流分布越
来越向导线表面集中。图 5-15所示，为一根半径为Ｒ =0.1厘米
的铜导线横截面上电流密度分布随频率变化的情况。可以看出，
在 =1千周的情况下，导线轴线和表面附近电流密度的差别还
不太大，但当 =100千周时，电流已很明显地集中到表面附近
了。这种现象叫做 趋肤效应 。
趋肤效应使导线的有效截面积减小了，从而使它的等效电
阻增加。所以在高频下导线的电阻会显著地随频率增加。为了
减少这种效应，在频率不太高时 ( 千周 )常采用辫线,
即用相互绝缘的细导线编织成束代替同样总截面积的实心导线。
而高频线圈所用的导线表面还需镀银，以减少表面层的电阻。
趋肤效应在工业上可用于金属表面淬火。用高频强电流通
过一块金属，由于趋肤效应，它的表面首先被加热，迅速达到
淬火的温度，而内部温度较低。这时立即淬火使之冷却，表面
就会变得很硬，内部仍保持原有的韧性。
严格地说，趋肤效应本质上是衰减电磁波向导体内传播引
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5.1.5 趋肤效应
起的效应，但是在趋肤效应不太显著的情况下，可作如下粗浅说明。如图 5-16所示,当一
根导线中有电流 通过时,也跟着变化。变化的磁场在导体内产生
感应电动势 和涡流,如果分析一下涡流 和原来的电流 在各
瞬时的方向，将会看出，在一个周期的大部分时间里，轴线附近
和 方向相反，表面附近 和 方向相同。于是在导线横截面上电
流密度的分布将是边缘大于中心，从而产生趋肤效应。要仔细地分
析这个问题，必须考虑涡流 和原来电流 的位相关系，它只能留
待电工学中的交流电路中的相位概念之后支解决。
定量地描述趋肤效应的大小,通常引用趋肤深度的概念。令 代表从导体表面算起的
深度,计算表明,电流密度 随深度 的增加按指数律衰减：
(5.4)
其中 代表导体表面的电流密度,是一个具有长度量纲的量，它代表电流密度 已减小
到 的 ％时的深度，叫做 趋肤深度 。理论计算表明，趋肤深度由下式决定：
(5.5)
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5.1.5 趋肤效应
这里 是频率。式 (5.5)表明，趋肤深度与频率,电导率 和磁导率 的平方根
成反比。定性地看，交流电的频率越高，感生的电动势也越大；导体电导率 越大，即
它的电阻率 越小，产生的涡流也越大。这都会使得趋肤效应变得显著，即趋肤深度变
小。式 (5.5)所反映的就是这个道理。
我们看些实际的数字例子。对于铜导线，在室温下 =5.9× 107(欧姆 ·米 )-1，,
按式 (5.5)来计算,在 =1千周时,2.1× 10-3米 =0.21厘米,这比图 5-15中所示的半径还
大,这时趋势肤效应很不明显。但是在 =100千周的频率,=0.021厘米,就比Ｒ =0.1厘米
小,这时趋肤效应已很明显。对于铁来说 (如变压器中的铁芯 )，由于 很大，即使在频率
不高的情况下,趋肤效应也是比较显著的。所以在实际中计算硅钢片中的涡流损耗时，常
常需要考虑趋肤效应对涡流分布的影响。
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5.2 动生和感生电动势
为了对电磁感应现象有进一步的了解，下面我们按照磁通量变化原因的不同，分为
两种情况具体讨论。一种是 在稳恒磁场中运动着的导体内产生感应电动势,另一种是 导
体不动，因磁场的变化产生感应电动势,前者叫做 动生电动势,后者叫做 感生电动势 。
5.2.1 动生电动势
动生电动势可以看成是上一章讲过的洛仑兹力报引起的。
我们分析上节例题 1 的情况。如图 5-17，当导体以速度 向
右运动时，导体内的自由电子也以速度 跟随它向右运动。按照
洛仑兹力公式，自由电子受到的洛仑兹力为,式中
为电子所带电量,的方向如图 5-17所示由 Ｄ 指向 Ｃ 。在洛仑兹力
的推动下，自由电子将沿着 DCBA方向运动，即电流是沿着 ABCD方
向的。如果没有固定的导体框与导体 CD相接触，洛仑兹力将使自由电子向 Ｃ 聚集，使 Ｃ
端带负电，而 Ｄ 端带正电；也就是说运动的这一段导体看成电源时,Ｃ 端为负极,Ｄ 端
为正极。
作用在电子上的洛仑兹力是一种非静电性的力。在第三章 § 2曾经讲到，电动势是反
映电源性能的物理量，是衡量电源内部非静电力 大小的物理量。电动势定义为单位正
电荷从负极通过电源内部移动到正极的过程中，非静电力所做的功。在这里，非静电力
就是作用在单位正电荷上的洛仑兹力：
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5.2.1 动生电动势
于是，动生电动势就是
(5.6)
在图 5-17情形，由于,而且单位正电荷受力的方向,即 的方向与 的方
向一致,上式积分化为 。这一结果与上节例题 1通过回路磁通量变化所计
算的结果相同。
从以上的讨论可以看出，动生电动势只可能存在于运动的这一段导体上，而不动的
那一段导体上没有电动势，它只是提供电可运行的通路，如果仅仅有一段导线在磁场中
运动，而没有回路，在这一段导线上虽然没有感应电流，但仍可能有动生电动势。至于
运动导线在什么情况下才有动生电动势，这要看导线在磁场中是如何运动的。例如导线
顺着磁场方向运动，根据洛仑兹力来判断，则不会有动生电动势；若导线横切磁场方向
运动，则有动生电动势，因此,有时形象地说成, 导线切割磁感应线时产生动生电动势, 。
上面讨论的只是特殊情况 (直导线,均匀磁场,导线垂直磁场平移 ),对于普遍情况,在
磁场内安放一个任意形状的导线线圈,线圈可以是闭合的,也可以是不闭合的,当这线圈
在运动或发生形变时,这一线圈中任意一小段 都可能有一速度,一般地不同 的速度
不同,这时在整个线圈中产生的动生电动势为
(5.7)
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5.2.1 动生电动势
式 (5.7)提供了另外一种计算感应电动势的方法。
【 例题 1】 长度为 的一根铜棒，其一端在均匀磁场中以角速度 旋转,角速度的方向与磁场方向
平行,如图 5-18所示。求这根铜棒两端的电位差 。设磁场的方向垂直纸面向外。
【 解 】 铜棒旋转时切割磁感应线，故棒两端之间有感应电动势。
由于棒上每一小段 的速度不同，计算感应电动势应运用式 (5.7)。
设 处的速度为,这一小段上产生的感应电动势为
，
在整个铜棒上产生的电动势是上式从 0到 的积分
这里电动势 (非静电力 )的方向是由 Ｂ 到 Ａ,非静电力的作用是
使得在棒的 Ｂ 端积累负电荷,Ａ 端积累正电荷，即把棒看成电源时，
Ｂ 端是负极,Ａ 端是正极。因此,Ｂ 端电位比 Ａ 端电位低。两者差 。
所以
也许会发生这样的问题：由于,洛仑兹力永远对电荷不做功，而这里又说电动
势是由洛仑兹力作功引起的，两者是否矛盾？其实并不矛盾，我们这里的讨论只计及洛
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5.2.1 动生电动势
仑兹力的一部分。全面考虑的话，在运动导体中的电子不但具有
导体本身的速度,而且还有相对导体的定向运动速度,如右
图所示，正是由于电子的后一运动构成了感应电流。因此，电子
所受的总的洛仑兹力为 。它与合成速度 垂直
(见图 5-19),总的洛仑兹力不对电子做功。然而 的一个分量
，却对电子做正功，形成动生电动势；而另一个分量
，它的方向沿,它是阻碍导体运动的，从而作负功。
可以证明两个分量所做的功的代数和等于零。因此，洛仑兹力的
作用并不提供能量，而只是传递能量，即外力克服洛仑兹力的一个分量 所作的功通过
另一分量 转化为感应电流的能量。
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5.2.2 交流发电机原理
交流发电机是根据电磁感应原理制成的，它是
动生电动势的典型例子。图 5-20是最简单交流发电
机的示意图，用它可以说明一般交流发电机的基本
原理。图中 ABCD是一个单匝线圈，它可以绕固定的
转轴在磁极 N,S所激发的均匀磁场 (磁场方向由 N指
向 S)中转动。为了避免线圈的两根引线在转动过程
中扭绞起来，线圈的两端分别接在两个与线圈一起
转动的铜环上，铜环通过两个带有弹性的金属触头
与外电路接通。当线圈在原动机 (如汽轮机、水轮机
等供给线圈转动所需的机械能的装置 )的带动下,在均匀磁场中匀速转动时,线圈的 AB边和
CD边切割磁感应线,在线圈中就产生感应电动势。如果外电路是闭合的，则在线圈和外电
路组成的闭合回路中就出现感应电流。
在线圈转动的过程中，感应电动势的大小和方向都在不断变化,同学们可设想线圈在
不同位置进行分析。下面我们运用式 (5.7)计算感应电动势。设线圈的 AB和 CD边长为,
BC和 DA边长为,线圈面积 。考虑某一瞬时，线圈处于如图 5-20b所示的位置,线圈
平面的法线方向 与竖直方向之间的夹角为,由式 (5.7),在 AB边中产生的感应电动势为
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5.2.2 交流发电机原理
同理,在 CD边中产生的感应电动势为
由于在线圈回路中这两个电动势的方向相同,则整个回路中的感应电动势为
设线圈旋转的角速度为,并取线圈平面刚巧处于水平位置时作为计时的零点,则上式中
的 和 分别为,,代入上式得
(5.8)
式中 Ｂ 为磁极间的磁感应强度。
这一结果也可以从穿过线圈磁通量的变化考虑，用式 (5.1)来计算。当线圈处于图
5-20b的位置时，通过线圈的磁通量为,由式 (5.1)得
两种方法计算结果相同。
从计算的结果看出，感应电动势随时间变化的曲线是余弦曲线，这种电动势叫做简
谐交变电动势，简称简谐交流电。交变电动势的大小和方向都在不断地变化，当线圈转
过一周时，电动势的大小和方向又恢复到以前那样，也就是电动势做了一次完全变化。
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5.2.2 交流发电机原理
电动势做一次完全变化所需的时间,叫做交流电的 周期,1秒钟内电动势所做完全变化的
次数,叫做交流电的 频率 。我国和其他一些国家,工业上和日常生活所用的交流电的频率
是每秒 50周。
当线圈中形成感应电流时，它在磁场中要受到安培力的作用，其方向阻碍线圈运动。
因此，为了继续发电，原动机保持线圈转动必须克服阻力的力矩做功。可见，发电机的
功能就是利用电磁感应现象，将机械能转化为电能。
实际的发电机构造都比较复杂。线圈的匝数很多,它们嵌在硅钢片制成的铁芯上，组
成电枢；磁场是用电磁铁激发的,磁极一般也不止一对。大型发电机产生的电压较高，电
流也很大，若仍采用转动电枢式，用集流环和电刷将电流输出则很困难,所以一般采用转
动磁极式,电枢不动,磁极转动。
5.2.3 感生电动势 涡旋电场
导体在磁场中运动产生动生电动势，其非静电力是洛仑兹力；在磁场变化产生感应、
电动势的情形里，非静电力又是什么呢？实验表明,感生电动势完全与导体的种类和性质
无关。这说明感生电动势是由变化的磁场本身引起的。麦克斯韦分析了一些电磁感应现
象之后，敏锐地感觉到感生电动势现象预示着有关电磁场的新效应。他相信即使不存在
导体回路,变化的磁场在其周围也会激发一种电场,叫做 感应电场 或 涡旋电场 。这种电
场与静电场的共同点就是对电荷有作用力；与静电场不同之处，一方面在于这种涡旋电
场不是由电荷激发的，而是由变化的磁场所激发；另一方面在于描述涡旋电场的电力线
是闭合的，从而它不是保守场 (或叫位场 ),用数学式子来表示则有
而产生 感生电动势的非静电力 正是这一涡旋电场,即
(5.9)
涡旋电场的存在已为许多实验所证实，下面将要介绍研究核反应所用的电子感应加
速器就是例证。
在一般的情形下,空间的总电场 是静电场 (它是一个保守场或位场 )和涡旋电场
的迭加,即
(5.10)
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5.2.3 感生电动势 涡旋电场
其中,所以感生电动势又可写成,另一方面,按照法
拉第电磁感应定律,式中的面积分的区间 S是以环路 为周界的曲面。
当环路不变动时，可以将对时间的微商和对曲面的积分两个运算的顺序颠倒，则得
(5.11)
式 (5.11)是电磁学的基本方程之一。
在稳恒的条件下,一切物理量不随时间变化,或,式 (5.11)变为,
这便是静电场的环路定理。可见，式 (5.11)是静电场的环路定理在非稳恒条件下的推广。
最后应当指出，上面我们把感应电动势分成动生的和感生的两种，这种分法在一定
程度上只有相对意义。例如在图 5-8所示的情形，如果在线圈为静止的参照系内观察，磁
棒的运动引起空间磁场的变化，线圈中的电动势是感生的。但是如果我们在随磁棒一起
运动的参照系内观察，则磁棒是静止的，空间的磁场也未发生变化，而线圈在运动，因
而线圈内的电动势是动生的。所以，由于运动是相对的，就发生了这样的情况，同一感
应电动势,在某一参照系内看,是感生的,在另一参照系内看,变成动生的了。然而,我们也
必须看到,坐标系只能在一定程度上消除动生和感生电动势的界限。在普遍情况下砂可能
通过坐标变换把感生电动势完全归结为动生电动势，反之亦然。
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5.2.4 电子感应加速器
前面提到，即使没有导体存在，变化的磁场也在空间激发涡旋状的感应电场。电子
感应加速器便应用了这个原理。电子加速器是加速电子的装置。它的主要部分如图 5-21
所示，蓝绿色区域为电磁铁的两极，在其间隙
中安放一个环形真空室。电磁铁用频率约每秒
数十周的强大交变电流来励磁，使两极间的磁
感应强度 往返变化，从而在环形室内感应出
很强的涡旋电场。用电子枪将电子注入环形室，
它们在涡旋电场的作用下被加速，同时在磁场
里受到洛仑兹力的作用，沿圆形轨道运动。
在励磁电流交变的一个周期中，只有 1/4
区间能用于加速电子。下面我们分析一下这个
问题。如图 5-22，把磁场变化的一个周期分成
四个阶段，在这四个阶段中磁场 的方向和变
化趋势各不相同，因而引起的涡旋电场的方向
也不相同，如图中所示。可以看出，在图 5-21所示的情况下，为使电子得到加速，涡旋
电场应是顺时针方向，即磁场的第一个 1/4周期可以用来加速电子；其次，为使电子不
断加速，必须维持电子沿圆形轨道运动，电子受磁场的洛仑兹力应指向圆心。可以看出，
B
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5.2.4 电子感应加速器
只有第一个或第二个 1/4周期的区间才能做到。统观考虑，只有在磁场变化的第一个 1/4
周期的区间内，电子才能在涡旋电场的作用下不断加速。因此，连续将电子注入，在每
第一个 1/4周期末，利用特殊的装置将电子束引离轨道射在靶上，即可进行试验。
电子感应加速器的另一个基本问题是如何使电子维持在恒定的圆形轨道上加速，这
对磁场的分布有一定的要求。设电子轨道处的磁场为,电子作圆形轨道运动时所受的
向心力为洛仑兹力，因此，,即
(5.12)
式 (5.12)表明,只要电子动量随磁感应强度成比例地增加,就可以维持电子在一定的轨道
上运动。这个条件是怎样实现的呢？为此，再分析一下电子的加速过程。由式 (5.9),感
应电场为,根据牛顿第二定律,则,设
加速开始时，,电子的速率,上式的积分为
(5.13)
式中 为电子运动轨道内的平均磁感应强度。比较式 (5.12)和式 (5.13),得
(5.14)
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5.2.4 电子感应加速器
这就是维持电子在恒定圆形轨道上运动的条件。这个条件表明，轨道上的磁感应强度值
等于轨道内磁感应强度的平均值的一半时，电子能在稳定的圆形轨道上被加速。
电子感应加速器加速电子不受相对论效应的限制，但却受到电子因加速运动而辐射
能量的限制。一般小型电子感应加速器只可将电子加速到数十万电子伏特，大的可达数
百 MeV，它们的体积和重量有很大的差别。 100MeV的电子感应加速器中电磁铁的重量达
100吨以上，励磁电流的功率近 500千瓦，环形室的直径约 1.5米,在被加速的过程中电子
经过的路程超过 1000公里。
电子感应加速器主要用于核物理研究，用被加速的电子束 (人工 射线 )轰击各种靶
时,将发出穿透力很强的电磁辐射 (人工 射线 )。近来还采用不大的电子感应加速器来产
生硬Ｘ射线。
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5.3.1 互感系数
如图 5-23，当线圈 1中的电流变化时所激发的变化磁场，
会在它邻近的另一线圈 2中产生感应电动势；同样，线圈 2中
的电流变化时，也会在线圈 1中产生感应电动势。这种现象
称为 互感现象,所产生的感应电动势称为 互感电动势 。显然，
一个线圈中的互感电动势不仅与另一线圈中的电流变化的快
慢有关，而且也与两个线圈的结构以及它们之间的相对位置
有关。设线圈 1所激发的磁场通过线圈 2的磁通匝链数为,
按照毕奥 -萨伐尔定律,与线圈 1中的电流强度 成正比，
(5.15)
同理,设线圈 2激发的磁场通过线圈 1的磁通匝链数为,有
(5.16)
式 (5.15)和 (5.16)中的 和 是比例系数,它们由线圈的几何形状、大小、匝数以及线
圈之间的相对位置所决定，而与线圈中的电流无关。
当线圈 1中的电流 改变时，通过线圈 2的磁通匝链数将发生变化。按照法拉第定律，
在线圈 2中产生的感应电动势为
(5.17)
同理,线圈 2中的电流 改变时,在线圈 1中产生的感应电动势为
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12? 1I
12 12 1MI??
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21 21 2MI??
12M 21M
1I
1 2 12 1 2d d IMd t d t? ?? ? ? ?
2I
5.3.1 互感系数
(5.18)
由此两式可以看出，比例系数 和 越大，互感电动势则越大，互感现象越强。 和
称为 互感系数,简称 互感 。
理论和实验都可证明,和 相等，一般用 来表示，即
(5.19)
而不再去区分它是哪一个线圈对哪一个线圈的互感系数。因此，在两个具有互感的线圈
中，若线圈中的电流变化率相同，则分别在另一线圈中产生相等的感应电动势。
上面的式 (5.15)和式 (5.16)，或者式 (5.17)和式 (5.18)给出互感的两种定义。由式
(5.17)或式 (5.18)定义，两个线圈的互感,在数值上等于当其中一个线圈中的电流变
化率为 1单位时，在另一个线圈中产生的感应电动势。由式 (5.15)或式 (5.16)定义，两个
线圈的互感,在数值上等于其中一个线圈中的电流产生的磁场通过另一个线圈的磁通
匝链数。
互感的单位由互感的两种定义规定。在 MKSA单位制中,互感的单位是亨利 (用Ｈ表示 )。
由式 (5.15)有
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21M
12M 21M M
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M
M
1 1韦 伯亨 利 = 1安 培
5.3.1 互感系数
或者由式 (5.17)得
同学们可以证明两者是一致的。互感的单位还有：
毫亨 (mＨ )、微亨 ( Ｈ ),1毫亨 =10-3亨,1微亨 =10-6亨。
【 例题 1】 如图 5-24所示，一长螺线管，其长度 =1.0米,截面积
=10厘米 2,匝数 =1000,在其中段密绕一个匝数 =20的短线圈,计
算这两个线圈的互感。如果线圈 1内电流的变化率为 10安 /秒，则线
圈 2内的感应电动势为多少？
【 解 】 设线圈 1中的电流强度为,它在线圈的中段产生的磁感应强度为,通过线圈 2
的磁通匝链数为 。由式 (5.15)得两线圈的互感系数为
(5.20)
代入数值得
当线圈 1中电流的变化率 安 /秒时,线圈 2中的感应电动势为
1 ?1 伏 特 1 秒亨 利 = 1 安 培
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612 2 5 1 0 1 0 2 5 0dIM dt? ?? ? ? ? ? ? ? ? 微 伏
5.3.1 互感系数
互感系数的计算一般都比较复杂，实际中常常采用实验的方法来测定。
互感在电工无线电技术中应用得很广泛，通过互感线圈能够使能量或信号由一个线
圈方便地传递到另一个线圈。电工无线电技术中使用的各种变压器 (电力变压器、中周变
压器、输出和输入变压器等等 )都是互感器件。
在某些问题中互感常常是有害的，例如，有线电话往往会由于两路电话之间的互感
而引起串音，无线电设备中也往往会由于导线间的互感而妨碍正常工作，在这种情况下
就需要设法避免互感的干扰。
5.3.2 自感系数
当一线圈中的电流变化时，它所激发的磁场通过自身的磁通量 (或磁通匝链数 )也在
变化,使线圈自身产生感应电动势 。这种因线圈中电流变化而在线圈自身所引起的感应
现象叫做 自感现象,所产生的电动势叫做 自感电动势 。
自感现象可以通过下述实验来观察。如图 5-25a的电路中,和 是两个相同的灯泡，
是一个线圈，实验前调节电阻器 使它的电阻
等于线圈的内阻。当接通开关 的瞬间，观察到
灯泡 比 先亮，过一段时间后两个灯泡才达到
同样的亮度。这个实验现象可以解释如下：当接
通开关 时，电路中的电流由零增加，在 支路
中，电流的变化使线圈中产生感应电动势，按照
楞次定律，自感应电动势阻碍电流增加，因此在
支路中电流的增大要比没有自感线圈的 支路
来得缓慢些。于是灯泡 也比 亮得迟缓些。图
5-25b可以观察切断电路时的自感现象。当迅速地把开关 断开时,可以看到灯泡并不立
即熄灭。这是因为当切断电源时，在线圈中产生感应电动势。这时，虽然电源已切断，
但线圈 和灯泡 组成了闭合回路，感应电动势在这个回路中引起感应电流。为了让演
示效果突出，取线圈的内阻比灯泡 的电阻小得多，以便使 断开之前线圈中原有电流
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1S 2S
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2S 1S
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1S
1S
1S
2S
2S
L
S
K
K
5.3.2 自感系数
较大，从而使 断开的瞬间通过 放电的电流较大，结果 熄灭前会突然闪亮一下。
下面我们讨论自感现象的规律。我们知道，线圈中的电流所激发的磁感应强度与电
流强度成正比，因此通过线圈的磁通匝链数也正比于线圈中的电流强度，即
(5.21)
式中 为比例系数，与线圈中电流无关，仅由线圈的大小，几何形状以及匝数决定。当
线圈中的电流改变时,也随之改变,按照法拉第定律,线圈中产生的自感电动势为
(5.22)
由此式可以看出,对于相同的电流变化率,比例系数 越大的线圈所产生的自感电动势越
大,即自感作用越强，比例系数 称为 自感系数,简称 自感 。根据式 (5.21)和式 (5.22)
也有自感的两种定义。据式 (5.22),自感在数值上等于线圈中电流强度变化率为 1单位时,
在这线圈中产生的感应电动势；或者,据式 (5.21),自感在数值上等于线圈中电流强度为
1单位时通过线圈自身的磁通匝链数。
自感系数的单位与互感系数的单位相同，在 MKSA单位制中也是亨利或毫亨、微亨等。
当线圈中电流为 1安培，通过线圈自身的磁通匝链数为 1韦伯时，线圈的自感为 1亨利；或
者当线圈内电流的变化率为每秒 1安，而在线圈自身引起的自感电动势为 1伏时，线圈的
自感为 1亨利。
自感系数的计算方法一般也比较复杂，实际中常常采用实验的方法来测定，简单的
S
L
SK
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L
L
5.3.2 自感系数
情形可以根据毕奥 -萨伐尔定律和式 (5.21)来计算。
【 例题 2】 设有一单层密绕螺线管长为 =50厘米，截面积为 =10厘米 2，绕组的总匝数为 =3000，
试求其自感系数。
【 解 】 此螺线管的长度比较其宽度来说是足够长的，在计算中可以把管内的磁场看作是均匀的。
当螺线管中通有电流 时，管内的磁感应强度为,式中 是单位长度上的匝数。
因此，通过每一匝的磁通量都等于 。通过螺线管的磁通匝链数为
式中 是螺线管的体积。由式 (5.21)得
(5.23)
由此式可以看出螺线管自感系数 正比于它的体积和单位长度上匝数的平方 。
再将题给的数值代入上式,则得
例题 2计算的结果对于实际的螺线管是近似的,实际测得的自感系数比上述计算结果
要小些。这是因为计算中，我们假定整个螺线管中磁场均匀，都是等于,而有限
长的螺线管实际存在着端点效应，两端的磁场只及中间部分磁场的一半，所以实际磁通
匝链数要相应地小些。对于较细的螺绕环，由于不存在端点效应，因此，式 (5.23)要精
确的多,式中 仍是单位长度上的匝数,是螺绕环的体积。
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0nI?
n V
5.3.2 自感系数
【 例题 3】 设传输线为两个共轴长圆筒组成,半径分别为,,如图 5-26所示。
电流由内筒的一端流入，由外筒的另一端流回。求此传输线长度为 的自感系数。
【 解 】 设电流强度为,用安培环路定理不难求出,两导体之间的磁感应强度为
为了计算此传输线长度为 的自感系数,只需计算图中阴影 ABCD的磁通量,结果为
因此,其自感系数为
(5.24)
此结果可用于同轴电缆。
自感现象在电子无线电技术中应用也很广泛,利用线圈具有阻碍电流变化的特性，可
以稳定电路里的电流；无线电设备中常以它和电容器的组合构成谐振电路或滤波器等。
在某些情况下发生的自感现象是非常有害的，例如具有大自感线圈的电路断开时,由
于电路中的电流变化很快,在电路中会产生很大的自感电动势,以致击穿线圈本身的绝缘
保护,或者在电闸断开的间隙中产生强烈的电弧,可能烧坏电闸开关。这些在实际中需要
设法避免。
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5.3.2 自感系数
两个线圈之间的互感系数与其各自的自感系数有一定的联系。 当两个线圈中每一个
线圈所产生的磁通量对于每一匝来说都相等, 并且全部穿过另一个线圈的每一匝,这种
情形叫做 无漏磁 。将两个线圈密排并缠在一起就能做到这上一点。在这种情形，互感系
数与各自的自感之间的关系比较简单。设线圈 1的匝数为,所产生的磁通量为,线圈
2的匝数为,所产生的磁通量为 。根据式 (5.15)和式 (5.21),即
，, 。
由于无漏磁，,,因此,及 。将两式相乘，再将各因子
重新排列，得
则 (5.25)
在有漏磁情况下,要比 小。
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5.3.3 两个线圈串联的自感系数
将两个线圈串联起来看成一个线圈，它有一定的总自感。在一般的情况下，总自感的数值并不
等于两个线圈各自自感的和，还必须注意到两个线圈之间的互感。如图 5-27a，考虑两个线圈,设线
圈 1的自感为,线圈 2的自感为,两个线圈的互感为 。用不同的联接方式把线圈串联起来将有
不同的总自感。
图 5-27b表示的是顺接情形，两线圈首尾, 相
联。设线圈通以图示的电流,并且使电流随时间增加,
则在线圈 1中产生自感电动势 和线圈 2对线圈 1的互感
电动势 。这两个电动势方向相同，并与电流的方向
相反。因此在线圈 1中的电动势是两者相加，为
同样，线圈 2中产生自感电动势 和线圈 1对线圈 2的互
感电动势 。这两个电动势方向相同，并与电流的方向相反。因此在线圈 1中的电动势为
由于 和 的方向相同，因此在串联线圈中的总感应电动势为
(5.26)
式 (5.26)表明,顺接串联线圈的总自感为
(5.27)
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5.3.3 两个线圈串联的自感系数
图 5-27c表示反接情形,两线圈尾尾, 相联。当线圈通以图示电流,并且使电流随时间增加,
则在线圈 1中产生互感电动势 与自感电动势 方向相反,在线圈 1中产生互感电动势 与自感电动
势 的方向相反。因此，总的感应电动势为
(5.28)
式 (5.28)表明,反接串联线圈的总自感为
(5.29)
考虑两个特殊情形。第一，当两个线圈制作或放置使得它们各自产生的磁通量不穿过另一线圈，
则两个线圈的互感系数为零。这时串联的自感系数就是两个线圈自感系数的和。第二，当两无漏磁
的线圈顺接时的总自感为
(5.30)
当它们反接时，总自感为
(5.31)
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5.3.4 自感磁能和互感磁能
在第二章 § 2中我们曾经讲过电容器充电后，储存一定的能量。当电容器两极板之
间电压为 时,电容器所储的电能为,为电容器的电容。现在我们将要指出,
一个通电的线圈也会储存一定的能量,其所储的磁能可以通过电流建立过程中抵抗感应
电动势作功来计算。
先考虑一个线圈的情形。当线圈与电源接通时,由于自感现象,电路中的电流 并不
立刻由 0变到稳定值,而要经过一段时间。在这段时间内,电路中的电流在增大,因而有
反方向的自感电动势存在,外电源 不仅要供给电路中产生焦耳热的能量,而且还要反抗
自感电动势 做功。下面我们计算在电路中建立电流 的过程中,电源所做的这部分额
外的功。在时间 内，电源反抗自感电动势所做的功为,式中 为电流强度
的瞬时值，而 为,因而 。在建立电流的整个过程中，电源反抗自
感电动势所做的功为 。这部分功以能量的形式储存在线圈内。当
切断电源时电流由稳定值 减少到 0，线圈中产生与电流方向相同的感应电动势。线圈
中原已储存起来的能量通过自感电动势作功全部释放出来。自感电动势在电流减少的整
个过程中所做的功是 。这就表明自感线圈能够储能，在一个
自感系数为 的线圈建立电流强度为 的电流，线圈中所储存的能量是
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5.3.4 自感磁能和互感磁能
(5.32)
当放电时,这部分能量又全部释放出来。这部分能量称为自感磁能。自感磁能的公式与电
容器的电能公式在形式上极为相似。
下面我们用类似的方法计算互感磁能。若有两个相邻的线圈 1和 2,在其中分别有电流
和 。在建立电流的过程中,电源除了供给线圈中产生的焦耳热的能量和抵抗自感电动
势作功之外,还要抵抗互感受电动势作功。在两个线圈建立电流的过程中，抵抗互感电动
势所做的总功为
和自感一样，两个线圈中电源抵抗互感电动势所做的这部分额外的功，也以磁能的形式
储存起来。一旦电流中止，这部分磁能便通过互感电动势作功全部释放出来。由此可见，
当两个线圈中各自建立了电流 和 后，除了每个线圈里各储有自感磁能 和
之外，在它们之间还储有另一部分磁能
(5.33)
称为线圈 1,2的互感磁能。
应该注意，自感磁能不可能是负的，但互感磁能却不一定，可能为正，也可能为负。
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5.3.4 自感磁能和互感磁能
综上所述，两个相邻的载流线圈所储存的总磁能为
(5.34)
如果写成对称形式，则有
(5.35)
我们不难将上式推广到 个线圈的更普遍情形，
(5.36)
式中 为第 个线圈的自感系数,是线圈, 之间的互感系数。
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5.4 暂态过程
当一个自感与电阻组成 电路,在 0突变到 或 突变到 0的阶跃电压作用下，由
于自感的作用，电路中的电流不会瞬间突变；与此类似，电容和电阻组成的 电路在
阶跃电压的作用下，电容上的电压也不会瞬间突变。 这种在阶跃电压作用下,从开始发
生变化到逐渐趋于稳态的过程 叫做 暂态过程 。
LR ? ?
RC
5.4.1 LR电路的暂态过程
考虑如图 5-28所示的电路，当开关拨向 1时，一个从 0到 的
阶跃电压作用在 LR 电路上，由于有自感，电流的变化使电路中出
现自感电动势
按照楞次定律，这个电动势是反抗电流增加的。
设电源的电动势为,内阻为零，接通电源后，在任何瞬时，
电路中总的电动势为,按照欧姆定律有：
或 (5.37)
这就是电路中变化着的瞬时电流 所满足的微分方程,它是一个一阶线性常系数非齐次微
分方程,可用分离变量法求解。将它写成,对该式两边积分，得：
或 (5.38)
式中 为积分常数,需由初始条件 时的电流值确定。我们选取接通电源的时刻作为计
时的零点。从物理上来看，在未接通电源之前,电路中不存在电流；接通电源之后，电感
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5.4.1 LR电路的暂态过程
线圈中的电流增加,随即产生反方向的感应电动势阻碍电流的增加。因此,在接通电源的
开始，电流只能从 0逐渐增加而不能突变，即初始条件为 时,。将初始条件代
入式 (5.38),得积分常数 。方程式 (5.37)满足初始条件的解则为
(5.39)
如图 5-29a,按照式 (5.39)画出不同 比值下电流 随时间 的变化曲线。可以看出，接
通电源后,是经过一指数增长过程逐渐达到稳定值 的。电路中的 比值不同，达
到稳定值的过程持续的时间不同。比
值 具有时间的量纲，用 表示,即
。由式 (5.39)可以看出，当
时，,
也就是说,等于电流从 0增加到稳定
值的 63%所需的时间。当 时,由
式 (5.39)算出,经过 这
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5.4.1 LR电路的暂态过程
段时间后,暂态过程已基本结束。由此可见,是标志 LR电路中暂态过程持续时间长
短的特征量,叫做 LR电路的 时间常数 。 Ｌ 越大,R越小,则时间常数越大,电流增长得越慢。
在图 5-28中将开关 由 1很快拨向 2,作用在 LR电路上的阶跃电压从 到 0,但电流的变
化所产生的自感受电动势使电流还将延续一段时间。这时按照欧姆定律,电流 所满足的
微分方程为,或 (5.40)
将式 (5.40)改写成,两边积分后可得到
(5.41)
式中的积分常数 需由初始条件确定。在 拨向 2之前,电路中的电流为 ；将 由 1
很快拨向 2时，电路中的外加电动势由 变为 0，电流的减小在线圈中产生的自感电动势
将阻止电流减小。因此在 与 2短接的开始,电流是从 逐渐减小,即初始条件为
时,。将初始条件代入式 (5.41),得 。于是，方程式 (5.40)满足初始条件
的解为 (5.42)
式 (5.42)表明,将电源撤去时,电流下降也按指数递减,递减的快慢用同一时间常数
来表征 (参看图 5-29b)。
总之,LR电路在阶跃电压的作用下，电流不能突变，电流滞后一段时间才趋于稳定
值，滞后的时间由时间常数 标志。
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5.4.2 RC电路的暂态过程
电路的暂态过程也就是 电路的充放电过程。
如图 5-30所示的电路中如将电键 接到位置 1，则电容器被
充电，这时电源电动势 应为电容器 两极板上电压与电阻 上
电位降之和，即 (5.43)
为电路中的瞬时电流。当把电键接到位置 2时，电容器 通过
电阻 放电。这时电路中未接电源，令上式中 ? = 0,则放电
时的方程为 (5.44)
将 代入式 (5.43)和式 (5.44),得
(5.45)
和 (5.46)
式 (5.45)和式 (5.46)都是电量 的一阶常系数微分方程。在 电路中电容器内的电量 只
能逐渐增减而不能突变。在充电的开始电容器极板上没有电荷,因此,充电过程的初始条
件为 时,；在放电开始时,电容器极板上已经充有 的电荷,放电过程的初
始条件为 时,。采用与前相同的方法可求得式 (5.45)和式 (5.46)满足各自初
始条件的解分别为
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5.4.2 RC电路的暂态过程
充电,(5.47)
放电,(5.48)
图 5-31a,b中分别画出充电和
放电时电容器极板上电量 随时间
变化的曲线。可以看出,电路的
充电和放电过程按指数规律变化，
充放电过程的快慢由 的大小
表示,越大，充电和放电过程越
慢。 值称为 电路的 时间常
数 。例如当 =1千欧,=1微法时，
时间常数 =1× 103× 1× 10-6欧 ·法 =1× 10-3秒 =1毫秒。
由于电容器上的电压为,因此,电容器上电压 在充放电时的变化规律与 一
样不能突变,只能逐渐变化,变化的快慢由时间常数 表示。充放电时的电流以及电阻上
的压降都可以根据以上结果进行讨论。
电路的暂态过程在电子学，特别是脉冲技术中有广泛的应用。
LR电路和 RC电路的暂态过程有一些共同特点，值得在这里小结一下。我们应该抓住
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RC
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RC
5.4.2 RC电路的暂态过程
暂态过程的起始状态、终态和中间过程三个环节。起始状态取决于初始条件，终态是稳
态，它们需要根据具体情况通过物理上的分析来确定；中间过程是负指数变化过程，变
化的快慢由电路的参数所决定的时间常数 来表征。对于如图 5-28和图 5-30的电路接通
电源和短路的三个环节总结如下表。对于其它更复杂电路中的暂态过程，抓住上述三个
环节，往往也能作出一些定性的结论。
表 5-1 LR电路和 RC电路暂态过程特点
初始条件 ( 时 ) 终态 ( 时 ) 时间常数
LR电路
接通电源
短 路
RC电路
接通电源 或 或
短 路 或 或
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RC
RC
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LR
5.4.4 LCR电路的暂态过程
现在我们讨论 LCR电路的暂态过程。电路如图 5-36所示,与
上述 RC和 LR电路类似,这个电路的微分方程为
其中,代入上式得
(5.51)
这是二阶线性常系数微分方程，在本章后面的附录 C中专门介绍了这类方程式的解，这里
我们就直接引用那里的结果。附录 C中研究的方程是
与式 (5.51)对比一下可以看出,两式中的变量和系数的对应关系是
，,,,, 或 0，
附录 C中指出,这方程式解的形式与阻尼度 有密切关系。根据上面的对应关系,
电路方程 (5.51)的阻尼度为
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接 于 1),
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5.4.4 LCR电路的暂态过程
(5.52)
图 5-37a,b分别示出充电和放电过程中 随时间 变化的曲线。图中三条曲线对应
三种情形。这三种情形分别称为过阻尼、临界阻尼和阻尼振荡。下面
我们着重从能量的角度定性讨论 LCR
电路放电过程的特点，说明过阻尼、
临界阻尼和阻尼振荡的含义。
我们知道，电容和电感是储能元
件，其中能量的转换是可逆的，而电
阻是耗散性元件，其中电能单向地转
化为热能。由于阻尼度 是与电阻成
正比,的大小反映着电路中电磁能
耗散的情况。首先我们看电路中
的情形，此时 。放电过程开始时，电容器中原来积累的电量减少，线圈中的电流
增大，这时电容器中储存的静电能转化为磁能以后，电路中的电流在自感电动势的推动
下持续下去，使电容器反方向充电，于是，磁能又转化为电能。如此的过程反复进行下
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5.4.4 LCR电路的暂态过程
去，形成等幅振荡。振荡的频率 和周期 分别为
,(5.53)
和 分别称为电路的 自由振荡频率 和 自由周期 。
如果电路中电阻不太大使得,每当电流通过电阻，便消耗掉一部分能量，振荡
的幅度逐渐衰减，这便是阻尼振荡情形，其振荡频率 和周期 分别为
(5.54)
(5.55)
当电阻增大时，振荡的周期增大，衰减的程度增加。
当电阻的数值达到一定的临界值，使得 时，由式 (5.54)和式 (5.55)可见周期趋
于无穷大，表明衰减的过程不再具有周期性，这便是临界阻尼情形。
当电阻增大使得 时，放电过程进行得更缓慢，这便是过阻情形。
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5.5.1 灵敏电流计
灵敏电流计也是一种磁电式电流计,它的灵敏度特别高，可以用来测量 10-7—— 10-11
安培的小电流。它是精密测试时常用的一种电学仪表。
灵敏电流计的基本部分有永久磁铁、圆柱形软铁芯和矩
形线圈,同第四章 § 4中所介绍的普通磁电式电流计差不多，
但为了提高灵敏度，除了线圈的绕线较细，匝数较多外，线
圈不是靠轴和轴承支承起来，而是用一根金属细丝将线圈悬
挂起来，线圈能够以悬丝为轴自由转动，如图 5-38所示。当
线圈中通有电流时,线圈在磁场中受磁力矩,发生偏转,悬
丝被扭转。由于弹性，悬丝就会产生一个反方向的弹性扭力
矩,使线圈在一定的偏转角度下达到平衡。这个偏转角度
反映了待测电流的大小。在普通的电流计中，偏转角度是通
过固定在线圈上的指针在刻度盘上指示出来，而在灵敏电流计中，悬丝上粘附有小反射
镜，将一束光投射到小镜上，从反射光束的偏向可以测出线圈的偏转角度。在这里，光
束实际上就是一个无重量的指针。
线圈所受的磁偏转力矩 和弹性扭力矩 与普通电流计的相同，也可以表示为
，,
L磁
L弹
L NISB?磁
L磁 L弹
LD???弹
5.5.1 灵敏电流计
(见第四章 4.6节 )。第一式中 是线圈的匝数,是通入线圈的电流,是线圈的面积，
是线圈两竖直边所在处的磁感应强度。第二式中 是悬丝的扭转常数,是偏转角，式
中负号表示 与 的方向相反。在这两个力矩作用下达到平衡时偏转角为
式中 称为电流计的灵敏度。
值得注意的是，通电线圈除了受到上述两个力矩外，在运动过程中还受到电磁阻尼
力矩。由于线圈是在磁场中运动，竖直两边切割磁感应线，就会产生一定的动生电动势，
其大小为 (5.56)
式中 是线圈转动的角速度,是角位移。设电流计线圈本身的电阻为,与之相联的外
电路电阻为,二者之和为,则线圈中感应电流的大小为
(5.57)
此感应电流在磁场中受到安培力,此安培力的力矩总是阻碍线圈的运动,因此电磁阻尼力
矩为 (5.58)
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5.5.1 灵敏电流计
式中的负号表示 的方向永远和角速度 的方向相反。上式表明,的大小与 成正比,
角速度越大,线圈所受的阻尼力矩也越大；线圈静止时就没有阻尼力矩。令
(5.59)
于是
(5.60)
叫做阻力系数,它除了与电流计本身的常数 (,,, ）有关外，还与外电路的
电阻 有关。
,和 这三个力矩的作用，决定了线圈的运动状态。根据转动定理，电流计线
圈的运动方程为
式中 为线圈的转动惯量。将上式移项后得
(5.61)
这是一个二阶线性常系数微分方程。这类方程的解在附录 C中有专门的讨论。附录 C中的
微分方程式 (C.1)与式 (5.61)中变量与系数的对应关系是
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5.5.1 灵敏电流计
，,,,, (常数 ),
因而式 (C.8)给出的阻尼度,在这里对应为 (5.62)
按照阻尼度 大于、等于和小于１,运动状态分为过阻尼、临界阻尼和欠阻尼 (阻尼振荡 )
三种情形。解出的三种运动状态里 随时间 变化的曲线示
于图 5-39。现在我们不详细讨论解微分方程的数学运算，而
从能量转化的角度来分析三种运动状态中发生的物理过程。
如前所述,和 决定了线圈最后达到的稳定偏转角 。
如果没有,线圈将在平衡位置 两侧来回摆动。这时
线圈的转动动能转化为弹性位能，弹性位能又转化为转动动
能，这和弹簧振子或单摆一样，物体系的机械能是守恒的。
是由感应电流引起的，产生感应电流 所需的能量来自物
体切割磁感应线时具有的动能，而这部分电能最终将以焦耳
热的形式, 耗散, 在电路中。所以有了,线圈的机械能 (转动
动能和弹性位能 )就会不断地在运动过程中减少。当阻力系数
较小时，线圈会在平衡位置 两侧振荡，但随着机械能被损耗，摆幅越来越小，这
就是欠阻尼 (阻尼振荡 )状态。随着阻尼的增大,摆幅减小得越来越快，最后当阻力系数
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L阻
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5.5.1 灵敏电流计
增大到一定程度时,线圈直接趋向平衡位置,不再表现出振荡的性质,这就是临界阻尼
状态。当阻力系数 更大时，线圈以非振荡的方式趋近平衡位置的过程变得更加缓慢，
这就是过阻尼状态。
线圈的阻尼振荡状态和过阻尼运动状态在实验中对测量都是不利的。因为在这种情
况下线圈达到稳定偏转角 需要较长的时间。为了读出待测电流的稳定偏转角 就需要
等待较长的时间。而实验中要求在尽可能短的时间内使线圈达到稳定偏转角,这就要
求线圈最好工作在临界阻尼状态，这时读数所需要的时间最短。
怎样才能控制电流计的线圈工作在临界阻尼状态呢？根据上面的分析，它要求线圈
所受阻尼力矩的阻力系数 不能太小，也不能太大，数值适中，使,式中
阻力系数 为
它除了与电流计本身结构 (,,, )有关外,还与外电路的电阻 有关。这是因
为阻尼力矩是由感应现象引起的,阻尼力矩与线圈中产生的感应电流的大小成正比,而感
应电流的大小,是与电路中的电阻有关的。所以 越大，感应电流就越小,阻力系数也越
小。因此调节外电阻就可以控制线圈的运动状态。 线圈工作在临界阻尼状态时的外电阻
叫做 临界 (外 )电阻 。具体操作问题留待实验时同学们再去掌握。
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5.5.1 灵敏电流计
实验中有时还会发生这样的情况，当联接电流计的电路断开 (图 5-40中开关 断开 )
时,这相当于电流计的外电阻为,感应电流等于零。于是线圈将会场在平衡位置 (零点 )
来回长时间的摆动不停。这当然是实验中不希望发生的事。实验
中采取的措施是在电流计的两端并联一个开关,叫做 阻尼开关 。
这个电键一般情况下是断开的,为了使线圈的运动很快停下来,当
线圈摆动到零点时,迅速接通电键,将线圈两端短接起来，这时相
当于外电阻为零，线圈中产生较大的感应电流，从而它受到较大
的阻尼力矩，这样就可使线圈即刻停止下来。
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5.5.2 冲击电流计
（ 1）冲击电流计的结构和用法
冲击电流计名为, 电流计,,实际上并不是用来测电流的，而是用来测量短时间内脉冲电流所
迁
移的电量,它还可以用来进行与此有关的其他方面的测量，例如测量磁感应强度、高阻、电容等等。
我们知道，在没有阻尼的情况下，电流计线圈运动方程的齐次部分为
这个方程的解具有周期性，其振荡的角频率应为
[参见附录 C的式 (C.17),式中的 c和 a分别代以 D和 J]。或者说，其周期为
(5.63)
这个没有阻尼时的振荡周期,叫做电流计的 自由周期 。冲击电流计
的结构 (见图 5-41)与灵敏电流计相仿,区别仅在于它的线圈较扁而宽，
转动惯量 J较大，从而自由周期 较长。一般灵敏电流计的 约为 1-2秒，
而冲击电流计的 有十几秒以上。自由周期长的好处将在下面讲原理时看到。
由于冲击电流计与灵敏电流计用途不同，用法也不一样。用灵敏电流计时读是稳定偏转角,
而用冲击电流计时读的是第一次最大的摆角 (叫做 冲掷角 ) 。我们先结合一个测量磁场的例子来
说明冲击电流计的用法。
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5.5.2 冲击电流计
图 5-42所示，是用冲击电流计测量螺线管产生磁场的电路。这电路由三个独立回路组成。螺线
管中的电流是由回路 Ⅰ 中的电源 提供的。接通
开关,就有电流 通入螺线管,其大小中通过变
阻器 来调节。 是标准互感器，与它的原线圈
相联的回路 Ⅱ 是校准用的 (其作用以后再说,这里
暂且不管它 )。为了测量螺线管中的磁感应强度,
将一个探测线圈安放其中，令线圈的平面与磁感
应线垂直。探测线圈与标准互感器 的副线圈和
可变电阻 串联后，接在冲击电流计 上，组成
回路 Ⅲ 。 是电流计开关，不用时可将回路 Ⅲ 断
开。 是阻尼开关。测量时，将电源开关 突然
接通,或突然断开。这时螺线管中的电流突然由
０变到,或由 变到０，与此相应的磁感应强
度突然由０变到,或由 变到０。在此突变的
过程中，探测线圈中产生一个感应电动势,回
路 Ⅲ 中产生一个瞬时的感应电流 。一旦螺线管
中的电流达到稳定后,很快消失，所以 是脉冲式的 (见图 5-43),脉冲时间 的长短取决于操作
开关 的时间和回路 Ⅲ( 这是一个 LR电路 )的时间常数 。当脉冲电流 通过冲击电流计 时,电
流计线圈就受到一个磁偏转力矩 。 和 成正比，它也是脉冲式的。在脉冲期间内线圈产
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5.5.2 冲击电流计
生一定的角速度，脉冲过后它将依惯性而旋转起来。此后电流计线圈只受到 和 两个力矩，
二者都是阻碍它前进的，于是线圈逐渐减速。当线圈摆到某一最远位置 (冲掷角 )后开始往
回摆。下面我们将要证明，冲掷角 是与待测磁感应强度 (更确切地说,是 的变化量 )成正比,
因而通过 的读数可以求得 。
（ 2）测量原理
现在我们来论证：冲掷角 正比于待测的 。证明分几步进行。
(ⅰ) 迁移的电量 正比于
在脉冲式的感应电流 通过冲击电流计时,在它持续的时间内有一定的电量 迁移过去,
(5.64)
设电流计所在的回路 Ⅲ 中总电阻,这里 为可变电阻,探测线圈和标准互感器副线圈电
阻之和。此外回路 Ⅲ 中还有一定的自感 。因此感应电流 满足下列方程：
或
其中 是磁场突变时在探测线圈内产生的感应电动势。设探测线圈的匝数和面积分别为 和,其
中磁感应强度的瞬时值为,则 。代入前式，得
取上式对 的积分；左边的积分就是,
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5.5.2 冲击电流计
因 和 时 都等于 0，上式右端前两项为 0。 是在 0到 期间磁感应强度的变化量。
[例如当 突然接通时,, ；突然断开时,, ]最后得到
(5.65)
这就是说 与 成正比。上式的计算还表明,只与电流计所在回路 Ⅲ 中的总电阻 有关,与其中
的自感 无关。 的大小只影响脉冲时间 的长短，它不影响迁移电量 的多少。
(ⅱ) 电流计线圈的初角速度 正比于迁移的电量
电流计线圈原来静止在零位上。当脉冲电流 突然通过时，它受到力矩 (为了与探
测线圈区别，电流计线圈的匝数、面积和磁铁气隙间磁感应强度分别用, 和 代表 )。 是一
个很强的时间 内的冲击力矩，在此期间 和 都可以忽略不计。故电流计线圈的运动方程为
或
两边对 积分，左边的积分为
在冲击力矩作用之前 ；在冲击力矩作用之后，线圈已获得角速度,即 。所以
(5.66)
即 与 成正比。
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5.5.2 冲击电流计
（ ⅲ ）冲掷角 正比于初角速度
电流计线圈以角速度 摆出后，便在 和 两个力矩作用下减速下来，经过一段时间 后达到
冲掷角 。在此期间电流计线圈的运动方程为
或 (5.67)
要计算 和 的大小，就需先解这方程。我们知道，按阻尼度 的大小不同,线圈有三种不
同的运动状态，因此我们需要分三种情形来讨论。这里我们打算只讨论其中一种情形 —— 临界阻尼
状态。其余两种情形方法类似，就不详谈了，有兴趣的同学，可以自已推演一下。
如附录 C中所述，在临界状态下 ( )运动方程 (5.67)的通解为
(5.68)
[参见附录 C的式 (C.10),其中 ]这里的 [参见附录 C的式 (C.7),其中,]。 和
是两个任意常数，它要由初始条件来确定。我们的初始条件是：
(5.69)
这里要说明一下，为什么可以列出这样的初始条件。因为线圈运动之初受到冲击力矩 很大,但时
间 很短。若 比起以后到达冲掷角 的时间 来说小得多的话,则 本身与在 期间内线圈的
角位移是可以忽略的,但线圈获得的角速度 是不能忽略的。所以在 的条件下我们可以认为
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5.5.2 冲击电流计
，并列出上述条件 (5.69)。
令通解式 (5.68)中的,得,由第一个初始条件得,再取式 (5.68)对 的微商：
。
令,得
，
由第二个初始条件得,
上面已知,故,这样，两个任意常数, 就确定下来了。代入式 (5.68)，得
(5.70)
为了求冲掷角 (即 的最大值 ),需将式 (5.70)取对 的微商,并令,
，
由此得到,
这里,而 为电流计线圈的自由周期。令式 (5.70)中,即得冲掷角 为：
(5.71)
即 正比于 。
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5.5.2 冲击电流计
用同样方法我们可以证明，在过阻尼 ( )和欠阻尼 ( )状态下 也是正比于 的,不
过比例系数与式 (5.71)中的不同。
综上所述，,,,于是得到 。通常把 与 之间的比例
系数用 或 表示，
或 (5.72)
叫做冲击电流计的电量灵敏度,叫做冲击常数。再利用式 (5.65)，我们有
(5.73)
(这里只考虑各量的大小,正负号可以不管。 )所以,如果知道了冲击常数,我们就可以用式 (5.72)
计算 ；知道了,就可以用式 (5.73)计算 。但是应当注意，与灵敏电流计的灵敏度 不同，
和 除了与电流计本身的常数有关外，还与电流计所在回路 Ⅲ 的总电阻 有关,回路 Ⅲ 中的可
变电阻 就是用来调节冲击电流计的电量灵敏度和冲击常数的。从上面的推导看来，回路电阻之所
以会影响 或,是因为阻尼的大小与电阻有关，而 的大小对冲掷角有很大的影响。
（ 3）冲击电流计的校准
在使用冲击电流计时,和 都是用标准互感器来校准。图 5-42中的回路 Ⅱ 就是为校准而设
计的。校准时，将回路 Ⅰ 断开，将回路 Ⅱ 中的开关 突然接通或突然断开，这时在回路 Ⅱ 中的电流
就突然由０变到某一数值,或由 变到０。在回路 Ⅱ 中的电流 发生突变的过程中，在标准互感
器的副线圈中产生一个互感电动势 。用类似上面的方法可以证明,这时移过电流计的电量
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5.5.2 冲击电流计
为 。
(± 号分别对应于 接通和断开的情形 )。电流计相应的冲掷角 (不管正负号 )为,
由此解得 (5.74)
标准互感器的互感 是已知量,可以通过回路 Ⅱ 中的毫安计读出,根据读数 就可以用式 (5.74)
把冲击常数 确定下来。
应注意,与回路 Ⅲ 中的总电阻 有关，所以用标准互感器校准时，必须保持回路 Ⅲ 中的总电
阻 与测量时完全一致。这就是为什么在图 5-42所示电路中把标准互感器的副线圈预先就串联在回
路 Ⅲ 中，因这样可保证在测量和校准时回路 Ⅲ 中的总电阻 一致。
（ 3）脉冲时间 对测量误差的影响
用冲击电流计测量电量 或磁感应强度 时，一个重要的误差来源是脉冲时间 不够短。在前
面的理论分析中可以看到,的结论只有在 的条件下才成立。如果 不够小，则在脉冲
电流 和冲击力矩 的作用未结束之前，电流计的线圈已有显著的偏转 (通常把这种现象叫做电
流计的, 积分不完全, ),这时初始条件式 (5.69)中就不能认为 时,得到的冲掷角将会偏
小,
从而使测量的结果偏低。上面已计算过，当 时 (临界状态 ),对于其它的阻尼值，
的数量级也差不多 (参见表 5-2)。所以要,首先必须使 。表 5-3中的数据表明，当
等于自由周期 的 1％时，引起的误差有 0.2％。当 等于 的 10％，误差已达 16％，可见 的大小
对测量结果的精确度是有较大影响的，在精密测量时应注意这个问题。缩短脉冲时间 的办法，除
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5.5.2 冲击电流计
了在开关的机械装置方面注意改进外，减少电流计所在回路中的电感 也是重要方面。
表 5-2 tM 随阻尼度的变化
表 5-3 对冲击电流计测量误差的影响
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欠阻尼 临界 过阻尼
0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.25 0.192 0.166 0.138 0.120
?
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/ 0.01 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
减少 0.2％ 0.9％ 3.9％ 7.9％ 12.1％ 16.0％
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第六章 磁介质
? 6.1 分子电流观点
? 6.2 介质的磁化规律
? 6.3 边界条件 磁路定理
? 6.4 磁场的能量和能量密度
6.1.1.1 磁介质的磁化
在前两章里讨论载流线圈产生的磁场和变化的磁场产生感应电动势的时候,我们都假
定导体以外是真空,或者不存在磁性物质 (磁介质 )。然而在实际中大多数情况下电感器件
(如镇流器、变压器、电动机和发电机 )的线圈中都有铁芯。那么,铁芯在这里起什么作用
呢？为了说明这个问题，我们看一个演示实验。
图 6-１就是上一章里讲过的那个有关电磁感应
现象的演示实验，当初级线圈 电路中 接通或断
开时，就在次级线圈 中产生一定的感应电流。不
过这里我们在线圈中加一软铁芯。重复上述实验就
会发现，次级线圈中的感应电流大大增强了。我们
知道，感应电流的强度是与磁通量的时间变化率成
正比的。上述实验表明，铁芯可以使线圈中的磁通
量大大增加。
有关磁介质 (铁芯 )磁化的理论,有两种不同的观
点 —— 分子电流观点和磁荷观点。两种观点假设的微观模型不同,从而赋予磁感应强度
和磁场强度 的意义也不同，但是最后得到的宏观规律的表达形式完全一样,因而计算的
结果也完全一样。在这种意义下两种观点是等价的。
分子电流观点即安培的分子环流假设 (参见第四章 1.2节 )。现在我们按照这个观点来
说明，为什么铁芯能够使线圈中的磁通量增加。
A?
A
K
6.1.1.1 磁介质的磁化
如图 6-2，我们考虑一段插在线圈内的软磁棒。按照
安培分子环流的观点，棒内每个磁分子相当于一个环形
电流。在没有外磁场的作用下，各分子环流的取向是杂
乱无章的 (图 6-3a)，它们的磁矩相互抵消。宏观看起来，
软铁棒不显磁性。我们说，这时它处于未磁化状态。当
线圈中通入电流后，它产生一个外磁场 (这个 由外加
电流产生,并与之成正比的磁场,又叫做 磁化场 ； 产生
磁化场的电流,叫做 励磁电流 )。在磁化场的力矩作用
下，各分子环流的磁矩在一定程度上沿着场的方向排
列起来 (图 6-3b)。我们说，这时软铁棒被磁化了。
图 6-3b的右方是磁化了的软铁棒的横截面图。由图可
以看出，当介质均匀时由于分子环流的回绕方向一致，
在介质内部任何两个分子环流中相邻的一对电流元方
向总是彼此相反，它们的效果相互抵消。只有在横截
面边缘上各段电流元未被抵消，宏观看起来，这横截
面内所有分子环流的总体与沿截面边缘的一个大环形
电流等效 (图 6-3c右方 )。由于在各个截面上都出现了
0B
6.1.1.1 磁介质的磁化
这类环形电流 (宏观上叫它做磁化电流 ),整体看来，
磁化了的软铁棒就象一个由磁化电流组成的, 螺线
管, (图 6-3c左 方 )。这个磁化电流的, 螺线管, 产生
的磁感应强度 的分布如图 6-4所示，它在棒的内
部的方向与磁化场 的方向一致,因而在棒内的总
磁感应强度 比没有铁芯时的磁感应强度
大了。这就是为什么铁芯能够使磁感应通量增
加的道理。
B?
0B
0B B B???
0B
6.1.1.2 磁化强度矢量 Ｍ
为了描述磁介质的磁化状态 (磁化的方向和磁化的程度 ),通常引入 磁化强度矢量 的概
念,它定义为 单位体积内分子磁矩的矢量和 。如果我们在磁介质内取一个宏观体积元,
在这个体积元内包含了大量的磁分子。用 代表这个体积元内所有分子磁矩的矢量
和，用 代表磁化强度矢量，由上述定义可表达成下列公式：
(6.1)
拿上述软铁棒的例子来说,当它处于未磁化状态的时候，各个分子磁矩 的取向杂
乱无章，它们的矢量和,从而棒内的磁化强度 。在有磁化场的情况下，棒
内的分子磁矩在一定程度上沿着 的方向排列起来，这时各分子磁矩 的矢量和将不
等于 0，且合成矢量具有 的方向，从而磁化强度 就是一个沿 方向的矢量。分子磁矩
定向排列的程度越高，它们的矢量和的数值越大，从而磁化强度 的数值就越大。由
此可见,由式 (6.1)定义的磁化强度矢量 确是一个能够反映出磁介质磁化状态的物理量。
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M
mM
V? ?? 分 子
m分 子
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0B m分 子
0B 0BM
m分 子 M
M
6.1.1.3 磁化强度 Ｍ 与磁化电流的关系
正如电介质中极化强度矢量 与极化电荷之间有一定关系一样 [见式 (2.12)和 (2.13)],
磁介质中磁化强度矢量 与磁化电流之间也有一定的关系。下面就来推导这类关系。
为了便于说明问题，我们把每个宏观体积元内的分子看成完全一样的电流环，即具有
同样面积 和取向 (可用面元矢量 代表 )，环内具有同样
的电流,从而具有相同的磁矩 。这就是说，我
们用平均分子磁矩代替每个分子的真实磁矩。于是介质中
的磁化强度为
(6.2)
式中 为单位体积内的分子环流数。
如图 6-5a，设想我们在磁介质中划出任意一宏观的面
来考察有无分子电流通过它。令 的周界线为 。介质
中的分子环流可分为三类：第一类不与 相交 (如图中,
环内阴影为纯绿色 )；第二类整个为 所切割,即与 两次
相交 (如图中的,环内阴影为半绿半蓝 )；第三类被 穿过,
与 相交一次 (如图中,环内阴影多绿少红 )。前两类对通
过 面的总电流没有贡献，我们只需考虑第三类，即为
所穿过的分子环流。
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S
S
S
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L
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6.1.1.3 磁化强度 Ｍ 与磁化电流的关系
首先我们在周界线 上取任一线元,考虑它穿过分子环流的情况。为此以 为轴
线,为底面作一柱体，其体积为 ( 为 与 间的夹角，见图 6-5b)。凡中心
在此柱体内的分子环流都有为 所穿过。这样的分子环流共有 个，每个分子
环流贡献一个通过 面的电流,故这线元 穿过的所有分子环流总共贡献电流为
。最后，沿闭合回路对 积分，即得通过以 为
边界的面 的全部分子电流的代数和,
(6.3)
这便是与电介质公式 (2.12)对应的磁介质公式,它是反映磁介质中磁化电流 的分布与
磁化强度之间联系的普遍公式。
为了得到磁化强度与介质表面磁化电流的关系,只需将式 (6.3)运用于图 6-6所示的
矩形回路上。此回路的一对边与介质表面平行，且垂直于磁化电流线，其长度为 ；
另一对边与表面垂直，其长度远小于 。设介质表面单位长度上的磁化电流为 ( 叫
做面磁化电流密度 ),则穿过矩形回路的磁化电流为 。另一方面,的积分只在介
质表面内的一边上不为 0，其贡献为 ( 为 的切线分量 )，从而根据式 (6.3)，
我们有,即
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6.1.1.3 磁化强度 Ｍ 与磁化电流的关系
若考虑到方向，可写成下列矢量形式：
(6.4)
式中 是磁介质表面的外法线单位矢量。式 (6.4)表明,
只有介质表面附近 有切向分量的地方,的法
线分量与 无联系。式 (6.4)是与电介质的式 (2.13)对
应的磁介质公式,，它是反映磁介质表面磁化电流密度
与磁化强度之间的重要关系式。
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6.1.2 磁介质内磁化强度 Ｂ
如果磁化强度 已知，我们的可以计算出它产生的附加磁感应强度 来。然后将它
叠加在磁化场的磁感应强度 上，就可得到有磁介质时的磁感应强度
(6.5)
考虑一根沿轴均匀磁化的磁介质棒。如前所述，磁化的宏观效果相当于在介质棒侧
面出现环形磁化电流，单位长度内的电流 。这磁化电流的分布就象一个均匀密绕的
,螺线管, 一样，所以我们可以利用第四章的式 (4.22)来计算它产生的磁场。 相当于该
式
中的,该式中的 相当于这里的,于是
(6.6)
在轴线中点上
式中 为圆棒的直径,为棒的长度。故
对于无穷长的棒，,,
,； (6.7)
对于很薄的磁介质片，,
,。 (6.8)
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6.1.2 磁介质内磁化强度 Ｂ
介于上述两极端之间的情形,的数值介于 (6.7)和 (6.8)所给的
值之间。总之，随着棒的缩短,减小。由于 和 方向一致，
也随之减小。这一结论可作如下直观的理解：因为从无限长
的棒过渡到有限长的棒，相当于把无限长棒的两头各截去一段
(见图 6-7中 2,3)，从而在磁化电流附加场的表达式 (6.7)中应
减去截掉的两段上的磁化电流的贡献,所以 应小于 。中间
留下的一段棒 1越短，就相当于截掉的两段 2,3越长，应从式 (6.7)中减去的一项就越大,
所以 就越小。
无限长介质棒的公式 (6.7)对闭合环
(图 6-8a)的内部也适用。上面对有限长
介质棒的定性讨论则适用于有缺口的介质
环 (图 6-8b)。从闭合环上截掉一个缺口，
便小于闭合时的值 ；缺口越大，
就越小。
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B? B? 0B
B
B? 0M?
B?
B?
B?
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6.1.3 磁场强度 Ｈ 与有介质时的
安培环路定理和, 高斯定理,
第二章 § 3中讲有电介质存在时的高斯定理时,曾引入一个辅助矢量 —— 电位移矢量
,并把电通量的高斯定理 代换为电位移通量的
高斯定理
式中 和 分别是高斯面 内的自由电荷和极化电荷的总和。这样做的好处是
从高斯定理的表达式中消去,这对于解决有电介质的电场分布问题带来很大的方便。
在磁介质中也有相应的情况。这时安培环路定理为
(6.9)
式中 和 分别是穿过安培环路 的传导电流和磁化电流的总和。是否也可以
引进另一辅助矢量，使得安培环路定理的表达式中不出现 呢？这是可以的,需要引入的
辅助矢量叫做 磁场强度矢量,它的定义是
(6.10)
将式 (6.9)除以,再减去式 (6.3)，就可以消去,
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6.1.3 磁场强度 Ｈ 与有介质时的
安培环路定理和, 高斯定理,
利用定义式 (6.10)，即得 矢量所满足的安培环路定理：
(6.11)
在真空中,
或 (6.12)
将式 (6.11)乘以,并把 换成,它就化为第四章 § 3中的安培环路定理式 (4.29)。所
以式 (6.11)是安培环路定理的普遍形式。
由式 (6.11)可以看出,磁场强度 的单位应为 安培 /米 。另一种常用的单位叫奥斯特,
用 表示,二者的换算关系是 1安培 /米 =4 × 10-3奥斯特,1奥斯特 =103/4 安培 /米。
此外，磁感应强度 所满足的, 高斯定理, [第四章 § 3式 (4.28)]
(6.13)
是可以由毕奥 -萨伐尔定律导出的，它无论对导线中的传导电流或对介质中的磁化电流都
适用，故它出是磁场的一个普遍公式。
这样，我们就得到有关磁场的两个普遍公式,矢量的安培环路定理 (6.11)和 矢量
的, 高斯定理, (6.13)。它们分别可看成是第四章中的式 (4.29)和式 (4.28)在有磁介质
情
形下的推广。
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6.1.3 磁场强度 Ｈ 与有介质时的
安培环路定理和, 高斯定理,
【 例题 】 用安培环路定理 (6.11)计算充满磁介质的螺绕环 (图 6-8a)内的磁感应强度,已知磁化
场的磁感应强度为,介质的磁化强度为 。
【 解 】 设螺绕环的平均半径为,总匝数为 。正象第四章 3.3节中讨论空心螺绕环时一样,取与
环同心的圆形回路 (参看图 4-34)，传导电流 共穿过 次。利用式 (6.11)可得
即
式中 代表环上单位长度内的匝数。
我们知道，磁化场的磁感应强度 就是空心螺绕环的磁感应强度：
故
,或
根据式 (6.10)，磁介质环风的磁感应强度为
于是我们得到与上面式 (6.7)相同的结果，不过这里避免了磁化电流的计算。
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6.2.1 磁化率和磁导率
迄今为止，我们尚未讨论过磁化强度,磁感应强度 和磁场强度 之间的依赖关
系，即介质的磁化规律。
对于多数电介质，极化强度矢量,电位移矢量 和电场强度矢量 彼此成正比，
比例叫做电极化率 和介电常数,
，
二者的关系是 (参见第二章 3.6节 )
对于磁介质,我们可以仿照这种办法，定义一个磁化率 和磁导率,
(6.54)
(6.55)
由于
故 与 的关系为 (6.56)
式 (6.54)和 (6.55)又可以写成
(6.57)
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6.2.1 磁化率和磁导率
(6.58)
对于真空,则,,,。
【 例题 】 求绕在磁导率为 的闭合磁环上的螺绕环与同样匝数和尺寸的空心螺绕环自感之比。
【 解 】 前已用安培环路定理解得 (参见 1.3节例题 ),无论有无磁介质,磁场强度皆为
其中 是环上单位长度内的匝数,为线圈内的传导电流。按照式 (6.58)磁环内
在空心线圈内
即
在线圈尺寸、匝数和磁化电流 相同的条件下，磁通匝链数之比为
从而自感受之比为
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6.2.1 磁化率和磁导率
由上述例题我们看到，在线圈内充满了均匀磁介质后, 自感增大到原来的 倍。这
一点和电介质使电容增加 倍的性质很相似。
然而磁介质的情况要比电介质复杂得多。在大多数电介质里,它们都是
与场强无关的常数,的数量级一般不太大 (通常在 10以内 )。但对于不同类型的磁介质，
和 的情况很不一样。磁介质大体可以分为顺磁质、抗磁质和铁磁质三类。对于顺
磁质,；对于抗磁质,。这两类磁介质的磁性都很弱，它们的
，,而且都是与 无关的常数。铁磁质的情况很复杂，一般说来 和 不
成比例，甚至没有单值关系，即 的值不能由 的值唯一确定，它还与磁化的历史有关
(详见 3.3节 )。在 与 呈非线性关系的情况下，我们还可按照式 (6.54)和 (6.55)来定
义 和,不过此时它们不是常数，而是 的函数，即, 。铁磁质的
和 一般都很大，其数量级为,甚至达 以上，所以铁磁质属于强
磁性介质。当 和 无单值关系时,式 (6.54)和 (6.55)已失去意义，在这种情况下人们
通常不再引用 和 的概念。
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6.2.2 顺磁质和抗磁质
如前所述，顺磁质的,抗磁质的 。前者表示 与 方向一致，前者
表示 与 方向相反。表 6-3给出一些顺磁质和抗磁质的 值。可以看出，其绝对值的
数量级在 左右。 表 6-3 顺磁质和抗磁质的磁化率
下面我们简单介绍一下物
质的顺磁性和抗磁性的微观机
制。为此我们先看一下分子磁
矩 的来源。近代科学实验
证明：电子在原子或分子中的
运动包括轨道运动和自旋两部分。绕原子核轨道旋转运动的电子相当于一个电流环，从
而有一定的磁矩，称为 轨道磁矩 。与电子自旋运动相联系的还具有一定的 自旋磁矩 。由
于电子带负电，其磁矩 和角速度 的方向总是相反的 (参看图 6-20)。 与 的关系可
如下求得：设电子以半径,角速度 作圆周运动，则它每经过时间 绕行一周。
若把它看成一个环形电流，则电流强度,面积,于是
（ 6.60)
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610?
顺 磁 质 （ 18℃ ） 抗 磁 质 （ 18℃ )
锰
铬
铝
空气 (1大气压 20℃ )
12.4×
4.5×
0.82×
30.36×
铋
铜
银
氢 (20℃)
-1.70×
-0.108×
-0.25×
-2.47×
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6.2.2 顺磁质和抗磁质
在原子或分子内一般不止有一个电子，整个分子的磁矩
是其中各个电子轨道磁矩和自旋磁矩的矢量和 (忽略原子核磁矩 )。
第二章 § 3中曾介绍过，电介质的分子可分为极性分子和无极分子
两大类，前者有固有电偶极矩，后者没有固有电偶极矩。磁介质
的分子也可分为两大类：一类分子中各电子磁矩不完全抵消，因
而整个分子具有一定的固有磁矩；另一类分子中各电子的磁矩互
相抵消，因而整个分子不具有固有磁矩。
在顺磁性物质中，分子具有固有磁矩。无外磁场时，由于热运动，各分子磁矩的取
向无规，在每个宏观体积元内合成的磁矩为 0，介质处于未磁化状态。在外磁场中每个分
子磁矩受到一个力矩，其方向力图使分子磁矩转到外磁场方向上去。各分子磁矩在一定
程度上沿外场排列起来，这便是顺磁效应的来源。热运动是对磁矩的排列起干扰作用的，
所以温度越高，顺磁效应越弱，即 随温度的升高而减小。
下面考虑抗磁效应。如图 6-21，设一个电子以角速度,半径 绕原子核作圆周运
动。令 代表原子序数，则原子核带电,电子带电,故电子所受的库仑力为
m分 子
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6.2.2 顺磁质和抗磁质
，而向心加速度为 。根据牛顿第二定律 有
(6.61)
式中 为电子质量。由上式解得
(6.62)
在加上外磁场 以后，电子将受到洛仑
兹力,这里 是电子的线速度。
为简单起见，设电子轨道面与外磁场垂直。
首先考虑 的情形 (图 6-21a)，这里洛
仑兹力是指向中心的。假设轨道半径 不变，
则其角速度将增加到 。这时
满足的运动方程为
(6.63)
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6.2.2 顺磁质和抗磁质
(左端第二项为洛仑兹力，其中, )。当 不太大时 ( )，,
，上式化为
根据式 (6.61)，两端的第一项相消，左端第三项可忽略，由此解得
(6.64)
其次,考虑 的情形 (图 6-21b),这里洛仑兹力是背离中心的。在轨道的半径 不变的
条件下角速度将减少，即 。用同样的方法可以证明，这时 也由上式表达。
综合以上两种情况可以看出,的方向总与外磁场 相同。按照式 (6.60)，电子角速度
的改变将引起磁矩 的改变，原有磁矩 和磁矩的改变量 分别为
(6.65)
(6.66)
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6.2.2 顺磁质和抗磁质
以上虽然只讨论了 的情形，理论上可以证明，当 与 成任意角度时，
与 的方向一致，从而从而感生的附加磁矩 总与 的方向相反。在抗磁性物质中，每
个分子在整体上无固有磁矩，这是因为其中各个电子原有的磁矩 方向不同，相互抵消
了。在加了外磁场后，每个电子的感生磁矩 却都与外磁场方向相反，从而整个分子内
将产生与外磁场方向相反的的感生磁矩。这便是抗磁效应的来源。
应当指出，上述抗磁效应在具有固有磁矩的顺磁质分子中同样存在，只不过它们的
顺磁效应比抗磁效应强得多，抗磁性被掩盖了。
讲到物质的抗磁效应，顺便提一下超导体的一个特性。在第三章 1.3节曾简单地介绍了超导体
的一个基本特性，即在转变温度 以下电阻完全消失，但是超导体最根本的特性还是它的磁学性质
—— 完全抗磁性。如图 6-22，将一块超导体放在外磁场中，其体
内的磁感应强度 永远等于 0。这种现象叫做 迈斯纳效应 。
在普通的抗磁体内，由于 与 方向相反,要
减小一些。而超导体内的 完全减小到 0的事实表明，它好像是
一个磁化率, 的抗磁体，这样的抗磁体可以叫做
完全抗磁体。但是造成超导体抗磁性的原因和普通的抗磁体不同，
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6.2.2 顺磁质和抗磁质
其中的感应电流不是由束缚在原子中的电子的轨道运动形成的，而是其表面的超导电流。在增加外
磁场的过程中，在超导体的表面产生感应的超导电流，它所产生的附加磁感应强度将体内的磁感应
强度完全抵消。当外磁场达到稳定值后，因为超导体没有电阻，表面的超导电流将一直持续下去。
这就是超导体的完全抗磁性的来源。
超导体的完全抗磁性可以用图 6-23所示的实验演示出来。将
一个镀有超导材料 (例如铅 )的乒乓球放在铅直的外磁场中，由于
它的磁化方向与外磁场相反，它将受到一个向上的排斥力。这排
斥力 与重力 平衡时，球就悬浮在空中。当重力发生微小的
变化时，乒乓球就会上下移动。若用特殊的方法把球的位置上下
变化的情况精确地记录下来，就可以精确地测定重力的微小变化。
根据这个原理，可以造出极灵敏的超导重力仪来。
F mg
6.2.3 铁磁质的磁化规律
在各种磁介质中最重要的是以铁为代表的一类磁性很强的物质，它们叫做 铁磁质 。
在纯化学元素中，除铁之外,还有过渡族中的其它元素 (钴、镍 )和某些稀土族元素 (如钆、
镝、钬 )具有铁磁性。然而常用的铁磁质多数是铁和其它金属或非金属组成的合金,以及
某些包含铁的氧化物 (铁氧体 )。
先介绍铁磁质的磁化规律，即研究 和 或 和 之
间的依赖关系。这种关系通常用以下的实验方法来测定。
如图 6-24所示，把待测的磁性材料做成闭合环状，其
上均匀地绕满导线，这样就形成一个为铁芯所充满的螺绕
环。我们知道，在这样一个螺绕环中的磁场强度 是和磁
化场的磁场强度 一样的，而 可以由螺绕环的匝
数 和其中的电流 计算出来，从而也就知道了 。至于
磁感应强度,则可用一个接在冲击电流计上的次级线圈
来测量。当初级线圈（即螺绕环）中的电流反向时，在次
级线圈中将产生一个感应电动势，由此我们测出磁感应强
M H HB
H
0H 00H nI?
H
0In
B
6.2.3 铁磁质的磁化规律
度的变化来。知道了 和,根据公式 即可算出磁化强度 来，即
（ 1）起始磁化曲线
实验结果表明，铁磁质的磁化规律具有以下的共同特点。假设磁介质环在磁化场
（即 ）的时候处于未磁化状态 ( )，在 曲线 (图 6-25a)上这状态相当于
坐标原点 。在逐渐增加磁化场 的过程中,随之增加。开始 增加得较缓慢 (
曲线的 OA 段）,然后经过一段急剧增加的过程 (AB段 ),又缓慢下来 (BC段 )。再继续增大磁
化场时,几乎不再变了 (CS段 )。
我们说，这时介质的磁化已趋近饱
和。饱和时的磁化强度称为 饱和磁
化强度,通常用 表示。从未磁化
到饱和磁化的这段磁化曲线 OS，叫
做铁磁质的 起始磁化曲线 。
铁磁质的磁化特性还经常用
B H
0 ()B H M???
M
0
0
BMH
???
0H?
0 0H ?
0M? MH?
O MH?M0H M
M
SM
BH?
6.2.3 铁磁质的磁化规律
曲线来表示。由于在铁磁质中 的数值比 大得多 ( 倍 ),所以
,因而 曲线的外貌和 曲线差不多 (图 6-25b)。
从 和 曲线上任何一点联到原点 的直线的斜率分别代表该磁化状态下的
磁化率 和磁导率 。由于磁化曲线不是线性的，当 的数
值由 0开始增加时,与 的数值分别由某一数值 和 开始增加 ( 和 分别是
和 曲线在原点 处切线的斜率 )，然后接近某一最大值 和 。当
再增加时,由于磁化接近饱和,和 的数值都急剧减
少。 随 变化的曲线示于图 6-26。 和 分别叫做
起始磁化率和起始 (相对 )磁导率,和 分别叫做最
大磁化率和最大 (相对 )磁导率。
饱和磁化强度,起始磁导率 和最大磁导率
这三个概念在实际问题中经常引用，它们是标志软磁
材料性能好坏的基本量，这个问题我们将在下面介绍
软磁材料时讨论。
M 2610 10?H 0 ()B H M???
0M? BH? MH?
MH? BH? O
MH? ? 00(1 )BH? ? ? ?? ? ? H
? ? I? 1II???? I? I?
MH? BH? O M? 1MM???? H
? ?
? H I? I?
M? M?
M?I?SM
6.2.3 铁磁质的磁化规律
（ 2） 磁滞回线
当铁磁质的磁化达到饱和之后，如果将磁化场去掉 ( ),介质的磁化状态并不
恢复到原来的起点,而是保留一定的磁性,此过程反映在图 6-27a,b中的 段。这时的
磁化强度 和磁感应强度 叫做 剩余磁化强度 和 剩余磁感应强度 (图中的 ),通常分别用
和 代表它们 ( )。若要使介质的磁化强度减到 0，必须矫枉过正，加一相反
方向的磁化场 ( )。只
有当反方向的磁化场大到一定程
度时,介质才完全退磁 (即达到
或 的状态 )。使介
质完全退磁所需的反向磁化场
的大小，叫做这种铁磁质的 矫
顽力 (图 6-27的 ),通常用
表示。从具有剩磁的状态到完
全退磁的状态这一段曲线,
叫做 退磁曲线 。
0 0HH??
M
O
B
RBRM 0RRBM??
0 0HH?
0M? 0B?
OC
OR
SR
RC
CH
6.2.3 铁磁质的磁化规律
介质退磁后，如果反方向的磁化场的数值继续增大时,介质将沿相反方向磁化 ( ),
直到饱和 (曲线的 段 )。一般说来,反向的饱和磁化强度的数值与正向磁化时一样。此后
若使反方向的磁化场数值减小到 0，然后又沿正方向增加,介质的磁化状态将沿 回
到正向饱和磁化状态 。曲线 和 对于坐标点 是对称的。由此我们看到,
当磁化场在正负两个方向上往复变化时，介质的磁化过程经历着一个循环的过程。闭合曲
线 叫做铁磁质的 磁滞回线 。上面描述的现象叫做 磁滞现象 。由于铁磁质中
存在着磁滞现象，使它的磁化规律更加复杂了。铁磁质的, 和 的依赖关系不仅不
是线性的，而且也不是单值的。也就是说，给定一个 的值，不能唯一地确定介质的 和
，例如 由正值减小到 0时,、, 由负值减小到 0时,,。
所以对于同一个 值,和 的数值等于多少与介质经历怎样的磁化过程达到这个状态有
关，或者说,和 的数值除了与 的数值有关外，还取决于这介质的磁化历史。
实际上铁磁质磁化的规律远比上面描述的要复杂得多。上述磁滞回线只是外场的幅度足够大时形
成的最大磁滞回线。如果外场在上述循环过程的中途，变化方向突然改变，例如在图 6-28中当介质的
磁化状态到达 P 点时，负方向的外场由增加改为减小，这时介质的磁化状态并不沿原路折回，而是沿
着一条新的曲线 PQ 移动。当介质的磁化状态到达 Q 点后，若外场的变化方向又改变，介质的磁化状
0M
CS?
S R C S? ? ?
S SRCS?S R C S? ? ? O
S R C S R C S? ? ?
HBM
H M
B H RMM? RBB? H RMM?? RBB??
H
H M
M
B
B
6.2.3 铁磁质的磁化规律
态也不沿原来途径返回 P点，而是在 PQ之间形成一个小的磁滞回线。如果外场的数值在这个小范围内
往复变化（即在一定的直流偏场上叠加一个小的交流信号 ),介质的磁化状态便沿着这小磁滞回线循环。
类似这样的小磁滞回线，到处都可以产生。
当我们研究一个磁性材料的起始磁化
特性时，需要首先使之去磁，亦即令其磁
化状态回到 图中的原点 。为此我们
必须使外场在正负值之间反复变化，同时
使它的幅值逐渐减小，最后回到 。这样
才能使介质的磁化状态沿着一次比一次小
的磁滞回线，最后回复到未磁化状态 点
（图 6-29）。实际的作法，可以先把样品
放在交流磁场中，然后抽出。
BH? O
O
O
6.2.4 磁滞回线
下面我们要证明,图中磁滞回线所包围的, 面积, 代表在一个反复磁化的循环过
程
中单位体积的铁芯内损耗的能量。
设介质起初处于某一磁化状态 (图 6-30),这里,。当 增加时，在时间
内磁化状态由 点达到 点,的值增加到 。由于 的变化,在线圈中产生一个感
应电动势,其中 是线圈中的磁通匝链数,是线圈的总匝数，
是截面积。在此过程中电源抵抗感应电动势作的功为
在有闭合铁芯的螺绕环中 为线圈单位长度内的
匝数,为螺绕环的周长,而,所以有
式中 是铁芯的体积,所以对于单位体积的铁芯来说,电源
需要抵抗感应电动势作的功为
BH?
P 0H 0B H
dt P P? B B dB? B
d
dt
?? ?? NSB? ? N S
0 0 0
dd A I d t I d t I d
dt
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0,
NH n I n
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l d N S d B? ?
Hd A NSd B S lH d B
Nl? ? ?
Sl V?
6.2.4 磁滞回线
由此可见,的数值等于图 6-30中 段曲线左边画了斜线部分的, 面积, 。
当铁芯的磁化状态沿着磁滞回线经历一个循环过程时，对于单位体积的铁芯来说，电
源需要抵抗感应电动势作的总功 应等于上式沿循环过程积分。沿 段积分时，
，,积分的结果等于图中 这块, 面积, ；沿 段积分时，,,
积
分的结果等于图中, 面积, 的负值；二者的代数和正好是 的, 面积, 。沿
和 两段积分的情况也类似，它们的代数和等于 的, 面积, 。总起来说，沿着
整
个磁滞回线 循环一周,积分的结果刚好是它所包围的, 面积, 。所以对单位
体
积的铁芯反复磁化一周电源作的功为
在交流电路的电感元件中,磁化场的方向反复变化着,由于铁芯的磁滞效应,每变化一周,
电源就得额外地作上述那样的功,所传递的能量最终将以热量的形式耗散掉。这部分因磁
滞现象而消耗的能量，叫做磁滞损耗。在交流电器件中磁滞损耗是十分有害的，必须尽量
dAd a H d B
V??
da PP?
RCS?? 0H
R C SD?? SR0dB 0H 0dB
SRD R C SR?? RCS?
SR?? RCS R??
R C S R C S R? ? ? ?
? ? ? ?
a d a H d B? ? ???
磁 滞 回 线 磁 滞 回 线
磁 滞 回 线 所 包 围 的 面 积
6.2.5 铁磁质的分类
（ 1）软磁材料
从铁磁质的性能和使用的方面来说，它主要按矫顽力的大小分为软磁材料和硬磁材料两大类。矫
顽力很小的 叫做 软磁材料 ；矫顽力大的
叫做 硬磁材料 。
矫顽力小，就意味着磁滞回线狭长 (图 6-31)，它所包围
的, 面积, 小，从而在交变磁场中的磁滞损耗小。所以 软磁材
料适用于交变磁场中。无论电子设备中的各种电感元件，或
变压器、镇流器和发电机中的铁芯，都需要用软磁材料来做。
此外，继电器、电磁铁的铁芯也需要用软磁材料来做，以便
在电流切断后没有 剩磁。
既然铁芯的作用是增大线圈中的磁通量，这就要求磁性
材料具有很高的磁导率 。这里要分两种情形来讨论：一种是用于各种电子电讯设备中的 软磁材料，
这里的电流很小 (所谓弱电的情形 ),铁芯的工作状态处于起始的一段磁化曲线上，因此要求材料的起
始磁导率 高；另一种是用于电动机、发电机、电力变压器等电力设备中的 软磁材料，这里电流很
大 (所谓强电的情形 ),铁芯的工作状态接近于饱和，因此要求材料的最大磁导率 高，而且饱和磁化
强度 大。
2[ 1 (10CH ?安 培 米 奥 斯 特 )] 4 6 2 4[ 10 10 ( 10 10 ) ]CH ??安 培 米 奥 斯 特
?
I?
M?
SM
6.2.5 铁磁质的分类
此外，材料的电阻率 影响着涡流损耗的大小。电阻率越高，涡流损耗越小。特别是用于高频
波段的磁芯，对其电阻率的要求是比较高的。铁氧体是铁和其它一种或多种金属 (如锌、锰、铜、镍、
钡等 )的复合氧化物由于它是非金属磁性材料，其电阻率比金属磁性材料高得多，在高频和微波波段
中，铁氧体是不可缺少的磁性材料。
表 6-4 典型软磁材料的性能
?
材 料 化学成分
（ %） 安培 /米 （特斯拉） 特斯拉 （高斯） 104 欧姆 ·米
居里点
℃
纯铁 0.05杂质 10000 200000 4.0(0.05) 2.15(21500) 10 770
硅钢（热轧） 4硅,余为铁 450 8000 4.8(0.6) 1.97(19700) 60 690
硅钢（冷轧晶粒取
向）
3.3硅,余为铁 600 10000 16(0.2) 2.0(20000) 50 700
45坡莫合金 45镍,余为铁 2500 25000 24(0.3) 1.6(16000) 50 440
78坡莫合金 78.5镍,余为铁 8000 100000 4.0(0.05) 1.0(10000) 16 580
超坡莫合金 79镍,5钼,0.5锰,余为铁 10000
-12000
1000000
-1500000
0.32
(0.004)
0.8
(8000)
60 400
铁氧体 ______ 103--104 ______ 10— 1
(0.1— 0.01)
0.5
(5000)
104-103 100-600
I? M?
CH 0 SM? ?
6.2.5 铁磁质的分类
（ 2）硬磁材料（永磁体）
永磁体是在外加的磁化场去掉后仍保留一定的 (最好是较强的 )剩余磁化强度 (或剩余磁感应强
度 )的物体。制造许多电器设备 (如各种电表、扬声器、微音器、拾音器、耳机、电话机、录音机
等 )都需要永磁体。永磁体的作用是在它的缺口中产生一个稳定的磁场 (例如电流计中就是利用永久
磁铁在气隙中产生一个稳定的磁场使线圈偏转的，见图 6-32)。在一切有缺口的磁路中两个磁极表面
都要在磁铁的内部产生一个与磁化方向相反的退磁场。这样一来，即使在闭合磁路的情况下材料具
有较高的剩余磁化强度，但是若没有足够大的矫顽力，开了缺口之后，在磁铁本身退磁场的作用下
也会使剩余的磁性退掉。所以做永磁铁材料必须具有较大的矫顽力 。前已说明，具有较大矫顽力
的磁性材料叫做硬磁材料。所以，
只有硬磁材料才适合作永磁体。
标志硬磁材料性能好坏的指
标首先是 和,此外还有最
大磁能积，即磁铁内部 和 乘
积的最大值 。可以证明，
当气隙中的磁场强度和气隙的体
积给定之后，所需磁铁的体积与
磁能积 成反比 (参看 4.3节例
RM
RB
CH
CH RB
HB
? ?MBH
BH
6.2.5 铁磁质的分类
题 3)。所以 大，就可以使磁铁本身的体积缩小。在 和 的数值给定后，退磁曲线越接近矩
形,就越大。例如图 6-33b的 就比图 6-33a中的大。
表 6-5 典型硬磁材料的性能
? ?MBH
? ?MBH ? ?MBH
CH RB
材 料 化学成分（ %） 安培 /米（奥斯
特）
特斯拉 (高斯 ) 特斯拉 ·安培 /米
碳 钢 0.9碳,1锰,余为铁 4000(50) 1.00(10000)
吕臬古 5(晶粒取向 ) 8铝,14镍,24钴,4铜,余为铁 52500(660) 1.37(13700)
吕臬古 8(晶粒取向 ) 8铝,14镍,24钴,4铜,5钛,余为铁 113000(1420) 1.15(11500)
钡铁氧 (晶粒取向 ) BaO·6Fe2 O3 144000(1800) 0.45(4500)
钐钴合金 SmCo5 851000(10700) 1.07(10700)
钐钴合金 Sm2(Co,Cu,Fe,Zr)17 786000(10000) 1.13(11300)
钕铁硼合金 Nd15B8Fe77 880100(11060) 1.23(12300)
钕铁硼合金 (44)
CH RB ? ?MBH
53.5 10?
? ?52.90 10 36.5?
? ?52.6 10 33?
? ?52.28 10 28.6?
? ?43.6 10 4.6?
? ?49.14 10 11.5?
? ?46.0 10 7.5?
? ?31.6 10 0.20?
6.2.6 铁磁质的微观结构
近代科学实践证明，铁磁质的磁性主要来源于电子自旋磁矩。在没有外磁场的条件下铁磁质中
电子自旋磁矩可以在小范围内, 自发地, 排列起来，形成一个个小的, 自发磁化区, 。这种自发磁
化区
叫做 磁畴 。至于电子自旋磁矩为什么会形成自发磁化区，早年是用, 分子场, 理论来解释的。按照
这
种理论，在铁磁物质中存在某种内部磁场，即分子场，在它的作用下电子自旋磁矩定向地排列起来。
分子场的理论是一种唯象理论，它并不能解释形成磁畴的微观本质。自从量子力学建立以后，才真
正有了自发磁化的微观理论。按照量子力学理论，电子之间存在着一种, 交换作用,,它使电子自
旋
在平行排列时能量最低。交换作用是一种纯量子效应，在经典理论中没有与它对应的观点。
通常在未磁化的铁磁质中，各磁畴内的自发磁化方向不同，在宏观上不显示出磁性来 (图 6-34a)。
在外加磁场后将显示出宏观的磁性，这过程通常称为 技术磁化 。当外加的磁化场不断加大时，起始
磁化方向与磁化场方向
接近的那些磁畴扩大自
己的疆界，把邻近那些
磁化方向与磁化场方向
相反的磁畴领域并吞过
来一些 (图 6-34a-c)，继
6.2.6 铁磁质的微观结构
同程度不上转向磁化场的方向 (图 6-34d)，介质就显示出宏观的磁性来。当所有的磁畴都按磁化场的
方向排列好，介质的磁化就达到饱和 (图 6-34e)。由此可见，饱和磁化强度 就等于每个磁畴中原有
的磁化强度。由于在每个磁畴中元磁矩已完全排列起来，它的磁化强度是非常大的。这就是为什么铁
磁质的磁性比顺磁质强得多的原因。介质里的掺杂和内应力在磁化场去掉后阻碍着磁畴恢复到原来的
退磁状态，这就是造成磁滞现象的主要原因。
磁畴的形状和大小，在各种材料中很不相同。其几何线度可从微
米量级到毫米量级，形状并不象示意图 6-34那样简单。磁畴结构可用
多种方法观察到。 粉纹法 是将样品表面抛光后撒上铁粉，使磁畴边界
显现出来； 磁光法 是利用偏振光的克尔效应来观察磁畴的。图 6-35a
是用粉纹法拍摄的磁畴照片，照片中各磁畴的边界和磁化方向勾画于
图 6-35b中。 图 6-35 用粉纹法拍摄的磁畴照片
铁磁质磁畴中磁化方向的改变会引起介质中晶格间距的改变，从而伴随着磁化过程，铁磁体会发
生长度和体积的改变，这种现象叫做 磁致伸缩 。对于多数铁磁质来说，磁致伸缩的长度形变很小，只
有 的数量级 (近几年来发现了某些材料在低温下的磁致伸缩形变可大到百分之几十 )。磁致伸缩可
用于微小机械振动的检测和超声波换能器。
铁磁质是与磁畴结构分不开的。当铁磁体受到强烈的震动，或在高温下由于剧烈热运动的影响，
SM
510?
6.2.6 铁磁质的微观结构
磁畴便会瓦解，这时与磁畴联系的一系列铁磁性质 (如高磁导率、磁滞、磁致伸缩等 )全部消失。
对于任何铁磁物质都有这样一个临界温度，高过这个温度铁磁性就消失，变为顺磁质。这个临界
温度叫做铁磁质的 居里点 (一些磁性材料的居里点参见表 6-4的最后一栏 )。
6.3 边界条件 磁路定理
4.1 磁介质的边界条件
在两种磁介质的分界面上 (或一种磁介质与真空的分界面上 ),主要的边界条件有两条：
一是 磁感应强度 法线分量的连续性,一是 磁场强度 的切线分量的连续性 。它们分别是
把磁场的, 高斯定理, 和安培环路定理用到边界面上的直接推论。
（ 1） 法线分量的连续性
如图 6-36,在两种磁介质的分界面上取一面
元,在 上作一扁盒状的高斯面，它的两底
分别位于界面两侧不同的介质中,并与界面平行,
且无限靠近它。围绕 的边缘用一与 垂直的
窄带把两底面之间的缝隙封闭起来，构成闭合高
斯面的侧面。 取界面的单位法线矢量为,它的
指向是由介质 1到介质 2的 (见图 6-36)。设在 的两侧不同介质中的磁感应强度分别为
和 (它们一般是不相等的 ),则通过高斯面的磁感应通量为
B H
B
S?
S?S?
S?
n
S? 1B
2B
? ? ? ? ? ? ? ?
,
S
B d S B d S B d S B d S? ? ? ? ? ? ??? ?? ?? ??
底 面 1 底 面 2 侧 面
6.3 边界条件 磁路定理
其中前两项分别等于 和 (对于高斯面来说,是底面 1的内法线,故第一项
出现负号 )；因侧面积趋于 0，第三项为 0。所以按照磁场的, 高斯定理,,
于是得到
或 （ 6.67）
其中,,它们分别代表 和 的法线分量。这就是磁介质分界面上的
第一个边界条件，它表明 在边界面两侧磁感应强度的法线分量是连续的 。
（ 2） 的切线分量的连续性
如图 6-37,在两种磁介质的分界面上取一矩形安培环
路 ABCD, AB 和 CD 两边长,它们与界面平行,且无限
靠近它； BC 和 DA 两边与界面垂直。设两侧不同介质中
的磁场强度分别为 和 (它们一般是不相等的 ),则 沿
此安培环路的线积分为
1B n S? ? ? 2B n S?? n
? ? 21
( ) 0,
S
B d S B B n S? ? ? ? ? ???
21( ) 0n B B? ? ? 21nnBB?
11nB n B?? 22nB n B?? 1B 2B
H
l?
1H 2H
H
? ?
B C D A
A B C DL H dl H dl H dl H dl H dl? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?
6.3 边界条件 磁路定理
令 和 代表 和 的切线分量，则沿 AB 段和 CD 段的积分分别为 和 (负号
是因为在 AB 段内 的切线分量与 方向相反 )。此外因为 BC 和 DA 的长度趋于 0,两段
积分为 0。于是按照安培环路定理
但是在介质界面上没有传导电流 (即 ),故
或
上式表明矢量差 是沿切线方向的,故又可写成
（ 6.68）
这就是这就是磁介质分界面上的第二个边界条件，它表明 在边界面两侧磁场强度的切线分
量是连续的 。
4.2 磁感应线在边界面上的, 折射,
由于上述两个边界条件,磁感应线在界面上一般都会发生, 折射, (见图 6-38)。
设界面两侧磁感应线与界面法线的夹角分别为 和,则有
（ 6.69）
1tH 2tH 1H 2H 2tHl?? 1tHl?
H l?
? ? 2 1 0
()tt
L
H d l H H l I? ? ? ? ? ??
0 0I ?
21 0ttHH?? 21ttHH?
21HH?
21( ) 0n H H? ? ?
1? 2?
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
c o s,c o s
s i n,s i n
nn
tt
B B B B
H H H H
???? ??
?
6.3 边界条件 磁路定理
按边界条件 (6.67)和 (6.68),,,
两式相除得
（ 6.70）
将式 (6.69)代入式 (6.70)得
设两种介质的磁导率分别为 和,则
于是
（ 6.71）
即 界面两侧磁感应线与法线夹角的正切之比等于两侧磁导率之比 。
如果 (真空或非磁性物质 ),(铁磁物质 ),则有,(见图 6-39),这
时在介质 1(铁芯 )内磁感应线几乎与界面平行,从而也非常密集,铁芯的磁导率 越大,越
接近于 90°,磁感应线越接近于与表面平行,从而漏到外面的磁通越少,这样,高磁导率的铁
芯就把磁通量集中到自己的内部。
21nnBB? 21ttHH?
12
12
tt
nn
HH
BB?
1212t a n t a nHHBB???
1? 2?
1 1 0 1 2 2 0 2,,B H B H? ? ? ???
1 2 1 1
1 2 2 2
t a n t a n t a n,
ta,n
? ? ? ?
? ? ? ??? 或
2 1?? 1 1? 2 0? 1 90?
1? 1?
6.3 边界条件 磁路定理
4.3 磁路定理
由于铁磁材料的磁导率
很大 (数量级在 以上 ),
铁芯有使磁感应通量集中在自
己内部的作用。例如图 6-40a，
一个没有铁芯的载流线圈产生
的磁通量是弥散在整个空间的,
若把同样的线圈绕在一个闭合
或差不多闭合的铁芯上时 (图
6-40b),则不仅磁通量的数值大大增加，而且磁感应线几乎是沿着铁芯的。换句话说，铁
芯的边界就形成一个磁感应管，它把绝大部分磁通量集中到这个管子里。这一点和一个
电路很相似，当我们把一根导线接在电源的两端上时，电流集中在导线内，沿着它流动
(图 6-40c)。因此人们常常把磁感应管叫做 磁路 。
磁路与电路之间的相似性，为我们提供了一个分析和计算磁场分布的有力工具 ——
磁路定理。从基本原理来说，磁路定理不外是磁场的高斯定理和安培环路定理的具体应
用，不过我们把它尽量写成与电路的有关定理相似的形式，从而电路中的一些概念和分
析问题的方法都可借用过来。
?
2610 10?
6.3 边界条件 磁路定理
在稳恒电路中，不管导线各段的粗细或电阻是否相同，通过各截面的电流强度 I 都是
一样的。在铁芯里，由于磁场的, 高斯定理,,通过铁芯各个截面的磁通量 也相同。
对于一个闭合电路来说，电源的电动势 等于各段导线上的电位降落之和：
，
式中,,, 分别是第 段导线的电阻、电导率、长度和截面积。对于磁路来说，
我们有安培环路定理
式中 N 和 I0分别是产生磁化场的线圈匝数和传导电流,、,,, 分别是第 段
均匀磁路中的磁场强度、磁感应强度,(相对 )磁导率、长度和截面积，闭合积分回路 L是
沿着磁路选取的。因为通过各段磁路的磁通量 都一样,可统一用 代表，并从求
和号中提出来。于是上式写成
（ 6.72）
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6.3 边界条件 磁路定理
将上式与电路公式对比一下,即可看出下表中各物理量是一一对应的。
表 6-6 磁路与电路的对比
因此我们可以把磁路中有关的物理量用对应的符号和名称来表示，即
（ 6.73）
这样一来,磁路的公式 (6.73)就可写成与电路更加相似的形式：
电路
电动势 电 流 电导率 电 阻 电位降落
磁路
磁动势 磁感应通量 磁导率 磁 阻 磁位降落
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磁 动 势 电 工 中 叫 做 磁 化 力 )
磁 阻
磁 位 降 落
6.3 边界条件 磁路定理
（ 6.74）
式 (6.74)叫做 磁路定理,它可用文字表述为,闭合磁路的磁动势等于各段磁路上磁位降
落之和 。
【 例题 1】 图 6-41a和图 6-41b分别是一个 形电磁铁的外貌和磁路图，它的尺寸如下：磁极截面积
S1=0.01米 2,长度 l1=0.6米,=6000，轭铁截面积 S2=0.02米 2,长度 l2=1.40米,=700；气隙长度
l3 在 0— 0.05米范围内可调。如果线圈匝数 N=5000，电流 I0最大为 4安培。问 l3=0.05米和 0.01米时
最大磁场强度 值各为多少。
【 解 】 根据磁路定理
在气隙中,故
忽略漏磁效应，
取 =0.01米 2 将所给数据代入上式，得到
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6.3 边界条件 磁路定理
由于未考虑漏磁问题，上面所得结果比实际偏大一些。但对于粗略的设计来说，以上数据可供参考。
【 例题 2】 3.1节的例题证明，闭合磁芯的螺绕环自感系数 比空心时的 大 倍，由于种种原因，
实际电感器件中的磁芯不都是闭合的。这时的自感系数 比空心线圈自感系数 之比,称为器件的
有效磁导率 。如图 6-42所示，磁环开有气隙。设磁芯材料的磁率为,其长度为,气隙的长
度为,求有效磁导率。
【 解 】 设空心线圈的磁阻为,加入铁芯后的磁阻为,二者的磁动
势一样,都是,因此它们之中的磁通量分别为
和
而 其中 为磁路的横截面积,为空心线圈
的磁感应强度,为有铁芯的器件内的磁感应强度,故
下面分别计算 和,
[实际上在气隙处磁感应管稍有膨胀 (漏磁效应 ),它的截面积稍大,在气隙长度很小时,漏磁效应可以
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6.3 边界条件 磁路定理
忽略,所以在上式两项中的截面积都取成 ]对于空心线圈来说,其中 。于是带气
隙的电感器件的有效磁导率为
最后我们得到 。
下面我们举几个数值的例子。设 厘米,毫米，,由上式可以算出
。若,则有 。由这个例子可以看出,虽然
气隙的长度只有磁路总长度的 1/100,仍比 下降很多 (10— 100倍 ),而且即使材料的磁导率增大
10倍,也不会增大很多 (增加还不到 10%)。这是因为气隙和铁芯构成了串联磁路，由于气隙的磁
导率 ( )远小于铁芯的磁导率，它的磁阻比铁芯的磁阻大得多。正如在串联电路中高电阻起主要
作用一样，这里高磁阻的气隙起着主要的作用，整个磁路中的磁通量 受着它的限制，铁芯的磁阻
再小，情况也改变不了多少。由此可见，即使一个很小的气隙，它对电感器件的影响也是很大的。
虽然气隙会使器件的电感大幅度下降，但气隙往往会对器件的温度稳定性和 Q 值带来有益的影
响，在对电感量要求不高的场合下，有时故意要在铁芯上开一个小气隙。
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6.3 边界条件 磁路定理
【 例题 3】 如 3.5节所述,永磁体是用来在气隙中提供一个磁场的。
试证明，当气隙中的磁场强度和气隙的体积给定后，所需磁铁的
体积与磁能积 成反比。
【 解 】 令,,,, 和,,,,
分别代表磁体和气隙的磁场强度、磁感应强度、长度、截
面积和体积 (由于气隙中有漏磁,其有效截面积 大于磁体的截面
积 )。由于这里没有磁化电流，故
又因磁通量的连续性，
两式相乘，得
或 。
上式表明，在, 给定后，所需磁体的体积 与磁能积 成反比，式中出现负号，因为在磁
体内的退磁场 方向与 相反,乘积是负值,- 才是正的。
以上讨论的都是串联磁路。并联磁路的问题请参考习题 11。在那里我们将看到，并联磁路也具
有和并联电路类似的性质，例如两磁阻的并联公式为
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6.3 边界条件 磁路定理
4.4 磁屏蔽
在实际中 (例如做精密的磁场测量实验时 )往往需要把一部分空间屏蔽起来,免受外界磁
场的干扰。上述铁芯具有把磁感应线集中到内部的性质，提供了制造磁屏蔽的可能性。磁
屏蔽的原理可借助并联磁路的概念来说明。如图 6-44所示，将一
个铁壳放在外磁场中，则铁壳的壁与空腔中的空气可以看成是并
联的磁路，由于空气的磁导率 接近于 1,而铁壳的磁导率至少有
几千，所以空腔的磁阻比铁壳的磁阻大得多。这样一来，外磁场
的磁感应通量中绝大部分将沿着铁壳壁内, 通过,,, 进入, 空腔内
部的磁通量是很少的。这就可以达到磁屏蔽的目的。
应当指出的是，用铁壳做的磁屏蔽没有用金属导体做的静电
屏蔽的效果那样好。为了达到更好的磁屏蔽效果，可以采用多层
铁壳的办法，把漏进空腔里的残余磁通量一次次地屏蔽掉。
6.4 磁场的能量和能量密度
在第二章 § 4中曾指出，按照电场的近距作用观点，电能定域在电场中，因此利用电
容器储存电能的公式 导出了电场的能量密度公式 。在这公式中电能
直接与描述电场的矢量 和 联系起来。与此对应，按照磁场的近距作用观点，磁能定域
在磁场中，因此我们也应该能够从第五章的电感储能公式 导出磁场的能量密度
公式来。
为了计算简便,我们通过螺绕环的特例导出磁场的能量密度公式。螺绕环的自感系数为
[参看第五章式 (5.23),该式适用于空心螺绕环,如果其中有闭合磁芯,则按式 (6.59),增
大 倍 ]。这线圈的自感磁能为
因,,所以
我们知道，在螺绕环的情形里，磁场完全局限在它的内部，上式中的 就是它的体积。上
式表明，磁能 的数量与磁场所占的体积 成正比，因而单位体积内的磁能,即 磁能密度
为
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6.4 磁场的能量和能量密度
（ 6.76）
在螺绕环的特例中,和 的数值是均匀的,总磁能 就等于磁能密度 乘上体积 。
在磁场不均匀的普遍情况下，可以证明磁能密度公式仍旧成立，不过总磁能 就等于
对场所占有的全部空间积分：
（ 6.77）
这样一来,磁场的能量和它的密度就完全与描述磁场的矢量 和 联系起来了。
下面我们考虑两个线圈情形的磁场能量公式,可以看出,总磁能与电流建立的过程无关。
设线圈 1,2的电流强度分别为 和,它们各自产生的磁场强度和磁感应强度分别为
,和,,则总磁场强度和磁感应强度分别是
,,
从而总磁能为
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6.4 磁场的能量和能量密度
（ 6.78）
这公式本身的形式就已表明,系统的总磁能 只与最后达到的状态有关,而与建立电流的
过程无关。此外还可看出，式 (6.78)第一、二两项，即 和 分别
为 1,2两线圈的自感磁能，第三项，即 为 互感磁能 。因此自感磁能总是正的，
而互感磁能密度在 成锐角的地方为正，成钝角的地方为负。
上面我们从螺绕环的自感磁能公式导出磁能密度公式 (6.77)和 (6.78)。利用它们可以
反过来求任何电流回路的自感系数 （或互感系数 ），第五章 § 3例题 3已算过同轴线的
自感系数，下面就以题为例，重新用磁能的方法再做一遍。
【 例题 1】 求无限长同轴线单位长度内的自感系数 (图 6-45),已知内、外半径分别是, ( ),
其间间介质的磁导率为,电流分布在两导体表面。
【 解 】 利用安培环路定律不难求出，磁场只存在于两导体之间。在这里
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6.4 磁场的能量和能量密度
从而磁能密度为
在长度为 的一段同轴线内的总磁能为
另一方面，根据自感磁能公式 将两式比较一下，即得到这段
长度为 的同轴线的自感系数为
从而同轴线单位长度的自感系数为
在一述结果中令,即得第五章 § 3例题 3的结果。
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6.4 磁场的能量和能量密度
【 例题 2】 若上题中电流在内柱横截面上均匀分布，结果有何变化？
【 解 】 这时两导体间的磁场分布不变，但内导体中有下列磁场：
，
故磁能密度为
式中 是导体的相对磁导率。总磁能中因而增加一项：
自感系数中增加一项：
单位长度的自感系数增加
例题 2的结果在第五章 § 3中未曾得到过，实际上在那里也不可能得到，因为该处所给的自感 (或互感 )
系数定义只适用于没有横截面积的线电流或面电流。如果载流导体有一定的横截面积，如何计算磁通
匝链数的问题将变得不明确。所以磁能公式不仅为自感 (互感 )系数提供另一种计算方法，对于有限横
截面积的导体来说，它还为自感 (互感 )系数提供了基本的定义。
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6.4 磁场的能量和能量密度
有横截面积的导体回路的自感系数有三种不同的定义 (或者说三种计算方法 )，其一就是上面所述
的磁能法，另外两种都是从磁通与电流完全链结的概念出发，对磁通匝链数作某种有权重的平均。
（ 1） 磁能法,即通过下式计算自感系数,
（ 6.79）
积分遍及所有磁场的空间。
（ 2） 平均磁链法一,,其中 （ 6.80）
是某个元磁力管 内的磁通,为此磁力管相链结 (即穿过 所围阴影面积 )的电流强度 (因元磁力
管无限细,可不必计较曲面边缘的确切位置 )。积分遍及所有磁力管的横截面。
（ 3） 平均磁链法二,,
其中 （ 6.80）
是某个元电流管 内的电流强度 (图 6-46b),为与此
电流管相链接 (即穿过 所围阴影面积 )的磁通。积分遍及
所有电流管的横截面。
以上三定义都不难推广到互感系数。定义 (1)为许多书
籍广泛采用,可认为是最基本的；定义 (2)常见于电工学书
籍中；定义 (3)也有人采用。可以证明，三种定义是完全等价的。
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第八章 麦克斯韦电磁理论和电磁波
? 8.1 麦克斯韦电磁理论
? 8.2 电磁波
? 8.3 电磁场的能流密度与动量
8.1.1 麦克斯韦电磁理论
产生的历史背景
1.1 麦克斯韦电磁理论产生的历史背景
以上各章已经谈到,电和磁现象的最初发现,都可以追溯到很古老的历史，但是直到
十八世纪末，特别是十九世纪以后，经过大量的科学实践，才总结出以上各章所讲的一
系列重要规律 (如库仑定律、安培定律、毕奥 -萨伐尔定律、法拉第电磁感应定律等 )。归
根结蒂，这是和当时生产力的发展和推动分不开的。马克思和恩格斯在, 共产党宣言,
里写到：, 资产阶级在它的不到一百年的阶级统治中所创造的生产力，比过去一切世代
创
造的生产力，比过去一切世代创造的全部生产力还要多，还要大。自然力的征服，机器
的采用，化学在工业和农业中的应用，轮船的行驶，铁路的通行，电报的使用，整个整
个大陆的开垦，河川的通航，仿佛用法术从地下呼唤出来大量人口,----过去哪一个世
纪能够料想到有这样的生产力潜伏在社会劳动里呢？, 。 这就是那个历史时期生产力发
展
情况极为生动的写照。到了十九世纪后半叶，资本主义工业的发展还具有新的特点，就
是逐渐从轻工业向重工业过渡。冶金与采矿、机器制造、化工、交通运输与通讯，以及
动力等企业都经历着重大的技术革新。
在这样一个历史时期里，电磁学和其它学科一样，在社会生产力发展的推动下，在
当时生产力水平所能提供的实验设备的保证下，得到了迅速的发展。另一方面，电磁学
8.1.1 麦克斯韦电磁理论
产生的历史背景
的发展反过来又对社会生产力的发展，特别是电工和通讯技术的发展，产生了巨大的影响。
十九世纪上半叶，继奥斯特、安培、法拉第、楞次等许多人在电磁学领域中的发现之后，
不少物理学家就已提出如何将这些物理学的新成就应用到生产实际的问题，并开始从各方
面进行了探索。当时已出现了最原始的电动机和电弧灯的雏形,50年代在德国建立了电工
设备的工场，特别值得提出的，是为了满足社会上迅速现时可靠的通讯需要而发明了电报。
生产实践中提出的大量课题，要求人们对电磁学的规律有更完整而系统的认识，同时，生
产力的发展水平也为这方面的科学研究提供了必要的物质基础。
麦克斯韦的理论系统地总结了前人的成果，特别是总结了从库仑到安培、法拉第等人
电磁学的全部成就，并在此基础上加以发展，提出了, 涡旋电场, 和, 位移电流, 的假说，
由
此预言了电磁波的存在。然后，赫兹的实验证实了麦克斯韦电磁理论的正确性，并在无线
电等技术领域中得到极其广泛的应用。此外，麦克斯韦的理论和赫兹的实验还证明了电磁
波和光波具有共同的特性，这样，就把光波和电磁波统一起来，使我们对光的本质和物质
世界普遍联系的认识大大深入一步。按照麦克斯韦的理论，电磁作用是以光速 (约为
米 /秒 )在空间传播,这样就彻底地推翻了电和磁的, 超距作用, 观点。顺便指出,电磁作用
以
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8.1.2 位移电流
有限速度传播的思想也不是麦克斯韦首先提出来的,自从十八世纪以来,自然哲学中不间断
提出这方面的设想和猜测,但由于生产和科学水平所限,都不可能得到电磁作用传播的正确
的具体形式,只有在十九世纪后半叶才产生完整的电磁理论,这决不是偶然的。
1.2 位移电流
到 麦克斯韦的时代，关于电磁场的基本规律可概括如下。
由库仑定律和场强叠加原理可得出静电场的两条重要定理：
（ 1）电场的高斯定理 ；
（ 2）静电场的环路定理 ；
由毕奥 -萨伐尔定律可得出稳恒磁场的两条重要定理：
（ 3）磁场的高斯定理 ；
（ 4）安培环路定理 ；
此外还有磁场变化时的规律：
（ 5）法拉第电磁感应定律 。
这些规律是在不同的实验条件下得到的，它们的适用范围各不相同。
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8.1.2 位移电流
为了获得普遍情形下相互协调一致的电磁规律，麦克斯韦根据当时的实验资料和理论
分析,全面地系统地考查了这些规律。在第五章 2.3节中已经提到 麦克斯韦看出感应电动势
现象预示着变化的磁场周围产生涡旋电场,因此,法拉第电磁感应定律预示在普遍情形下,
电场的环路定理应是,
静电场的环路定理是它的一个特例。另外,从当时的实验资料和理论的分析中都没有发现
电场的高斯定理和磁场的高斯定理有什么不合理的地方,麦克斯韦假定它们在普遍情形下
应该成立。然后麦克斯韦在分析了安培环路定理后，发现将它们应用到非稳恒情形时遇到
了矛盾；为了克服这一矛盾，他提出了最重要的, 位移电流, 假设。下面让我们就来讨论
这
个问题。
在稳恒条件下，无论载流回路周围是真空或有磁介质，安培环路定理都可写成
（ 8.1）
式中 是穿过以闭合回路 为边界的任意曲面 的传导电流。现在要问，在非稳恒条件
下，安培环路定理 (8.1)是否仍成立？要想式 (8.1)有意义，必须穿过以 为边界任意曲面
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8.1.2 位移电流
的传导电流都相等。具体地说，则就有
或
这里 为 和 组成的闭合曲面。在稳恒情形下 (图 8-1a),上式是由电流的连续性原理
来保证的,但在非稳恒情形下上式不成立。最突出的例子是电容器的充放电电路。电容器
的充放电过程显然是个非稳过程，导线中的电流是随时间变化的。我们取 与导线相交，
而 穿过电容器两极板之间 (图 8-1),则有
，,
即
，
此时以同一边界曲线 所做的不同曲面 和
上的电流不同，从而式 (8.1)失去意义。
因此，在非稳恒的情况下安培环路定理 (8.1)
不再适用，应以新的规律来代替它。
在非稳恒情况下代替安培环路定理的普
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8.1.2 位移电流
遍规律是什么呢？从根本上说，应该通过进一步的科学实验来回答这个问题。但是也可以
在认识的一定阶段上从理论上先分析一下，以便找出可能的方案作为假说，然后再用实验
来检验或修正这个假说。
其实在上面的讨论中，不仅暴露了矛盾，也提供了解决矛盾的线索。因为在非稳恒情
况下电流的连续原理给出
（ 8.2）
其中 是积累在 面内的自由电荷 (在图 8-1b所示的例子里 分布在电容器的极板表面 )。
另一方面,按高斯定理：
从而 （ 8.3）
将式 (8.3)代入式 (8.2),得
或 （ 8.4）
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8.1.2 位移电流
或
（ 8.5）
这就是说,这个量永远是连续的,只要边界 相同,它在不同曲面, 上的面积分
相等。令 代表通过某一曲面的电位移通量，则有
（ 8.6）
麦克斯韦把 这个量叫做 位移电流, 是 位移电流密度 。传导电流 与位移
电流合在一起，称为 全电流 。式 (8.4)或 (8.5)表明：
全电流在任何情况下都是连续的 。
上述结论仍可通过电容器的例子较直观地说明。如图 8-2所
示，在一个极板表面内、外两侧各作一面 和,则通过 的
即有传导电流，又有位移电流，通过 的则只有位移电流。但
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8.1.2 位移电流
是导体内的电位移 和位移电流几乎总是可以忽略的。因而与静电情形类似，,
用高斯定理不难证明,( 为电容器极板表面的自由电荷面密度 )。设电容器极
板的面积为,则通过 的全电流为,
通过 的全电流为,
因,故以上两表达式相等。这样，在电容器极板表面中断了的传导电流 被间隙中
的位移电流 接替下去，二者合在一起保持着连续性。
现在我们回到如何将安培环路定理推广到非稳情形的问题。由于全电流具有连续性，
所以很自然地可以想到，在非稳情况下应该用它来代替式 (8.1)右端的传导电流,即
（ 8.7）
以上便是麦克斯韦的位移电流假说 (1861— 1862年 )。
在电介质中,位移电流为
（ 8.8）
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8.1.2 位移电流
让我们分别来看看式 (8.8)右端两项的物理意义。先看第二项。按照第二章 3.3节式 (2.12),
极化强度 与极化电荷 有如下关系：,取此式对时间的微商，则有
而极化电荷的连续方程应为
这里 是极化电流密度。由此可见，
此式表明,是世隔绝与 相联系的，即式 (8.8)右端第二项是由极化电荷的运动引起
的电流。
现在看式 (8.8)右端第一项。它是与电场的时间变化率 相联系的。在真空中,
，在位移电流中就只剩下这一项了。所以这项是位移电流的基本组成部分。由此可
见，位移电流虽有, 电流, 之名，但它的基本部分却与, 电荷的流动, 无关，它本质上是
变化
的电场。
安培环路定理 (8.1)的实质在于说明 传导电流是激发涡旋磁场的源泉 。麦克斯韦的位
移电流假说把式 (8.1)换为式 (8.7)，就等于假定位移电流也是激发磁场的源泉。所以，麦
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8.1.2 位移电流
克斯韦位移电流假说的中心思想是,变化着的电场激发涡旋磁场 。 § 2节中我们将看到，
这正是产生电磁波的必要条件之一。而在实验验证了电磁波的存在之后，就为位移电流的
假设提供了最有力的证据。恩格斯指出：, 只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假
说。 …… 它最初仅仅以有限数量的事实和观察为基础。进一步的观察材料会使这些假说纯
化，取消一些，修正一些，直到最后纯粹地构成定律。如果要等待构成定律的材料纯粹化
起来，那末这就是在此以前运用思维的研究停下来，而定律也就永远不会出现。, 麦克斯
韦电磁理论建立的过程正是这样，它在当时已经证实的定律 ---安培环路定律的基础上提
出一定的假说 ----位移电流。这个假说最后为无线电波的发现和它在实际中广泛的应用所
证实。
8.1.3 麦克斯韦方程组
1.3 麦克斯韦方程组
针以上分析的结果概括起来,就得到在普遍情况下电磁场必须满足的方程组：
Ⅱ
（ 8.9）Ⅲ
Ⅳ
这就是麦克斯韦方程组的积分形式。
利用矢量分析中的高斯定理和斯托克斯定理可以由麦克斯韦方程组的积分形式导出其
微分形式。 ( )( )
首先推导高斯定理的微分形式。假定自由电荷是体分布的，设电荷体密度为,则
高斯定理右写成
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8.1.3 麦克斯韦方程组
式中 是高斯面 所包围的体积。 利用矢量分析中的高斯定理可把上式左端的面积分化为
体积分：
因为上式对任何体积 都成立，这除非是被积函数本身相等才可能。故得
这就是高斯定理的微分形式。
其次推导麦克斯韦方程组中式 (Ⅳ) 的微分形式。假定传导电流是体分布的，其密度为
,则有,
利用矢量分析中的斯托克斯定理把上式左端的线积分化为面积分：
因为上式的积分范围可以任意，这除非是被积函数本身相等才可能。故得
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8.1.3 麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组中其它两个方程的微分形式都可按此法推出。最后得到下列四式：
Ⅱ （ 8.10）
Ⅲ
Ⅳ
式中 是自由电荷的体密度,是传导电流密度,是位移电流密度。式 (8.10)便是 麦克
斯韦方程组的微分形式 。通常所说的 麦克斯韦方程组,大家指它的微分形式。
在介质内，上述麦克斯韦方程组尚不完备，还需补充三个描述介质性质的方程式。对
于各向同性介质来说，我们有
Ⅴ
Ⅵ (8.11)
Ⅶ
这里,和 分别是 (相对 )介电常数,(相对 )磁导率和电导率,式 (Ⅶ) 是欧姆定律的微分
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8.1.3 麦克斯韦方程组
形式。
麦克斯韦方程组 (Ⅰ) -----(Ⅳ) 加上描述介质性质的方程 (Ⅴ) ----(Ⅶ),全面总结了电
磁场的规律，是宏观电动力学的基本方程组，利用它们原则上可以解决各种宏观电磁场问
题。
8.2.1 电磁波的产生和传播
在第五章 4.4节中介绍过 电路的振荡特性。概括起来，主要的结论如下。当我们
在开始时给 电路中的电容器充电后，电荷 满足的微分方程是
在电阻 较小时，它的解具有阻尼振荡的形式：
这里 （ 8.22）
由于在电路中没有持续不断的能量补给，且在电阻 上有能量耗损，振荡是逐渐衰减的。
为了产生持续的电磁振荡，必须把 电路 (下面简称 电路 )接在电子管或晶体管上，
组成振荡器，靠电路中的直流电源不断补给能量。
下面我们讨论电磁波的产生问题，这首先要有适当的振源。任何 振荡电路原则上
都可作为发射电磁波的振源,但要想有效地把电路中的电磁能发射出去,除了电路中必须
有不断的能量补给之外,还必须具备以下条件：
（ 1） 频率必须够高 以后我们将看到,电磁波在单位时间内辐射的能量与频率的四
次方成正比的,只有振荡电路的固有频率越高,才能越有效地把能量发射出去。式 (8.22)
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8.2.1 电磁波的产生和传播
表明,要加大固有频率,必须减小电路中的 和 值。
（ 2）电路必须开放 振荡电路是集中性元件的电路，即电场和电能都集中在电容
元件中，磁场和磁能都集中在电感元件中。为了把电磁场和电磁能发射出去，必须把电路
加以改造，以便电、磁场能够分散到空间里。
为此，我们设想把 振荡电路按图 8-5a,b, c, d 的顺序逐步加以改造。改造的
趋势是使电容器的极板面积越来越小，间隔越来越大，而自感线圈的匝数越来越少，以提
高固有频率 ；另一方面是电路越来越开
放，使电场和磁场分布到空间中去。最后
振荡电路完全演化为一根直导线 (图 8-5d),
电流在其中往复振荡,两端出现正负交替的
等量异号电荷。这样一个电路叫做 振荡偶
极子 (或 偶极振子 ),它已适合于作有效地发
射电磁波的振源了。实际中广播电台或电
视台的天线,都可以看成是这类偶极振子。
我们知道，波就是振动在空间的传播。
产生机械波的条件，除了必须有振源外，还
0f L C
LC
LC
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8.2.1 电磁波的产生和传播
必须有传播振动的媒质。当媒质的一部分振动起来时，通过弹性应力牵动离振源更远一点
的那一部分媒质，振动就一步步传播开去，媒质中各点的相位随它到振源距离的增大而一
点比一点落后。没有媒质，机械波是无法传播的。例如在真空中就不能传播声波。但是电
磁波在真空中也能传播，例如发射到大气层外宇宙空间里 (这里几乎是真空 )的人造地球卫
星或飞船可以把无线电讯号发回地球，太阳发射的光和无线电辐射 (这些都是电磁波 )也可
以通过真空而达到地球。为什么电磁波的传播不象机械波那样需要媒质呢？下面我们具体
地分析一下这个问题。
电磁振荡能够在空间传播，就是靠两条：
(1)变化的磁场激发涡旋电场；
(2)变化的电场 (位移电流 )激发涡旋磁场。
如图 8-7我们设想在空间某处有一电磁振源。在这
里有交变的电流或电场，它在自己周围激发涡旋磁场，
由于这磁场也是交变的，它又在自己周围激发涡旋电场。
交变的涡旋电场和涡旋磁场相互激发，闭合的电力线和
磁力线就象链条的环节一样一个个地套连下去，在空间
8.2.1 电磁波的产生和传播
传播开来，形成电磁波。实际上电磁
振荡是沿各个不同方向传播的。图 8-7
只是电磁振荡在某一直线上传播过程
的示意图，并非真实的电力线和磁力
线的分布图。
由此我们看到，根据麦克斯韦的两个假设 ----涡旋电场与位移电流，是怎样预言电磁
波的存在的。
麦克斯韦由电磁理论预见了电磁波的存在是在 1865年，二十余年之后，赫兹于 1888年
用类似上述的振荡偶极子产生了电磁波。他的实验在历史上第一次直接验证了电磁波的存
在。
赫兹实验中所用的振子如图 8-8所示,A,B是两段共轴的黄铜杆，它们是振荡偶极子
的两半。 A,B中间留有一个火花间隙，间隙两边杆的端点上焊有一对磨光的黄铜球。振子
的两半联接到感应圈的两极上。当充电到一定程度间隙被火花击穿时，两段金属杆边成一
条导电通路，这时它相当于一个振荡偶极子，在其中激起高频的振荡 (在赫兹实验中振荡
频率约为 周 )。感应圈以每秒 周的频率一次一次地使火花间隙充电。但8910 10? 210 10?
8.2.1 电磁波的产生和传播
是由于能量不断辐射出去而损失，每次放电后引起的高频振荡衰减得很快。因此赫兹振子
中产生的是一种间歇性的阻尼振荡 (见图 8-9)。
为了探测由振子发射出来的电磁波,赫兹采用
过两种类型的接收装置：一种与发射振子的形状
和结构相同，另一种是一个圆形铜环，在其中也
留有端点为球状的火花间隙 (见图 8-8右方 ),间隙
的距离可用螺旋作微小调节。接收装置和为 谐振
器 。将谐振器放在距振子一定的距离以外，适当
地选择其方位，并使之与振子谐振。赫兹发现，
在发射振子的间隙有火花跳过的同时，谐振器的
间隙里也有火药跳过，这样，他的实验中初次观
察到电磁振荡在空间的传播。
以后，赫兹利用振荡偶极子和谐振器进行了
许多实验，观察到振荡偶极子辐射的电磁波与由
金属面反射回来的电磁波叠加产生的驻波现象，
8.2.1 电磁波的产生和传播
这就令人信服地证实了振荡偶极子发射的确实是电磁波；此外他还证明这种电磁波与光波
一样具有偏振性质，能产生折射、反射、干涉、衍射等现象。因此赫兹初步证实了麦克斯
韦电磁理论的预言，即电磁波的存在和光波本质上也是电磁波。
8.2.2 偶极振子发射的 电磁波
偶极振子周围电磁波的分布和变形情况，可以由麦克斯韦方程组严格地计算出来。计
算结果所表示的基本特征都为赫兹实 验所证实，下面我们只给出定性结果。
为了描述的方便，我们以振子的中心为原点，以振子的轴线为极轴取球坐标 (图 8-10),
我们把 任何包含极极轴的平面 称为, 子午面,, 通过原点垂直于极轴的平面 称为, 赤道
面, 。
当振子中激起电磁振荡时，其中有有交变电流，其两半积累的电荷也正负交替变化。从距
离较远的地方看来，振子相当于电偶极子 作简谐
变化的偶极子，故该振子称为 偶极振子 。计算结果
表明，偶极振子周围电场矢量 位于子午面内，磁
场强度矢量 位于与赤道面平行的平面内，二者互
相垂直。从振子周围电场分布的情形来看，空间大
约可以分为两个区域，现分别讨论如下：
（ 1）在靠近振子中心的一个小范围内 (即离振子
中心点的距离 或与波长 具有同样数量级范围
内 ),电场的瞬时分布与一个静态偶极子的电场很相近,
电力线的始末端分别与偶极振子的正负电荷相连。我
们把偶极振子简化为一对等量异号的点电荷围绕共同
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8.2.2 偶极振子发射的 电磁波
中心作相对简谐振动的模型,偶极振子附近电力线的变化如图 8-11所示。设 时正负
电荷都正好在中心 (图 8-11a),由于这时振
子不带电，没有电力线与它联系，然后两
个点电荷开始作相对的简谐振动，在前半
个周期内，正负电荷分别朝上下两方向移
动 (图 8-11b)，经过最远点后 (图 8-11c)又
移向中心 (图 8-11d)；在这时期出现了由上
面的正电荷出发到下面负电荷的电力线，同时这电力线不断向外扩展；最后正负电荷又回
到中心相遇 (图 8-11e)，完成前半个周期，这时振子又不带电了,原来与正负电荷相连接的
电力线两端相联形成一个闭合圈后便脱离振子 (图 8-11f)。在后半个周期中的情况与此类
似，过程终了时又形成一个电力线的闭合圈。不过前后两个闭合圈的环绕方向相反。以上
只分析了一根电力线的形成，下册第 806页图 8-12中精确地绘出了振子附近电力线在前半
个周期内分布的全貌。后半个周期内的情况只是正负电荷位置对调，电力线的环绕方向和
图 8-12中的相反。
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8.2.2 偶极振子发射的 电磁波
（ 2）在离振源足够远的地方 ( )。我们称之为 波场区 。这里的电场与磁场的变化比
较简单，电力线都是闭合的 (见图
8-13a,其中 为偶极振子 ),当距离
增大时,波面逐渐趋于于球形,电
场强度矢量 趋于切线方向,也就
是说,在 波场区内 垂直于矢径 。
以上只是偶极子产生的电力线
分布和它的变化过程，实际上同时
还有磁力线参与。无论在上述那个
区域里，磁力线的分布都是如图 8-13b
所示 (图中 为偶极振子 ),它们是平行于赤道面内的一系列同心圆,故 同时与, 垂直 。
每根环形磁力线的半径都随时间不断向外扩展。电力线环和磁力线环之所以会不断向个扩
展,就是因为象上面已分析过的那样,它们互相激发,相互感生之故。
任何波动的过程都是能量传播的过程，电磁波是传递电磁能的过程。 单位时间内通过
与传播方向垂直的单位截面的能量叫做 能流密度 。在波动过程中能流密度是随时间作周期
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8.2.2 偶极振子发射的 电磁波
性变化的，然而在实际中重要的并不是 能流密度的瞬时值，而是它在一个周期内的平均值。
我们用 代表能流密度,代表它的平均值不。
下面我们进一步给出有关偶极振子发射的电磁波能流密度的一些理论计算结果，这里
仍不去推导这些结果，而把重点放在对其物理意义的分析上面。
（ 1）偶极振子发射的平均能流密度 （ 8.23）
所以频率越高，能量的辐射越多。在一般的交流电路中，由于频率很低，电磁波的能量辐
射实际上可以忽略。实际中用于广播的电磁波频率一般都在几百千周以上。
（ 2） （ 8.24）
这个结论并不意外，因为偶极振子发射的是球面波，根据能量守恒定律，通过任何以它为
中心的球面的能流都应一样，而这能流应等于球面的面积 乘以,即,它应是
与 无关的恒量，因此 必然与 成反比。
（ 3） （ 8.25）
这表明，偶极振子辐射电磁能量并不是各向同性的，沿赤道面 最大，
趋向于极轴,越小；到了极轴方向 ( 或,),没有能量沿该方向发出。
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8.2.2 偶极振子发射的 电磁波
这表明，对于给定的传播方向，只有电偶极矩 在垂直于矢径 方向的投影,才对
辐射有贡献。这表示电磁波的 横波性 。
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8.2.3 电磁波 的性质
在远离波源的自由自由空间中传播的电磁波可近似地看成平面波。为简单起见，下面
介绍自由空间传播的平面波的性质。
所谓 自由空间 是 空间既没有自由电荷 ( ),也没有传导电流 ( )，且空间无
限大，即不考虑边界的影响。空间可以是真空，也可以充满均匀介质。 自由空间内传播的
平面电磁波的性质可归纳为以下几点：
（ 1）电磁波是横波。令 代表电磁波传播方向的单位矢量，则振动的电矢量 和磁矢
量 都与 垂直，即
（ 8.26）
（ 2）电矢量与磁矢量垂直,即
（ 8.27）
（ 3） 和 同相位,并且在任何时刻、任何地点,,和 三个矢量总构成右旋系，
即 的方向总是沿着传播方向 的，如图 8-17所示。
（ 4） 与 的幅值成比例，令 和 分别代表 和 的幅值,和 的比例关系为
（ 8.28）
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8.2.3 电磁波 的性质
（ 5）电磁波的传播速度为
（ 8.29）
在真空中,电磁波的波速为
（ 8.30）
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8.2.4 光的 电磁理论
十七世纪，当人们几何光学的规律有了初步认识，并在生产和科学研究中有了一定应
用之后，开始探索光的本性。最早的理论是牛顿为代表提出的微粒说，他们认为光是按照
力学定律运动的微小粒子流。这种理论在十七、十八世纪占据着统治的地位。但是和牛顿
同时代的惠更斯于 1687年首先提出了光的波动说，他认为光是在一种特殊弹性媒质, 以太,
中传播的机械波，并设想光是纵波。到十九世纪初，托马斯 ·杨和菲涅耳等人研究了光的
干涉、衍射现象，初步测定了光的波长，发展了光的波动理论；特别是他们根据光的偏振
现象，确定了光是横波。后来又经过许多人的努力，到了十九世纪中叶，微粒说被抛弃，
确定了光的波动理论。不过，这时的波动理论没有跳出机械论的范围。
对光的波动理论有进一步推动作用的，是光速的测量。十九世纪中叶，许多人用不同
的方法对光速进行了测量，其中重要的结果有：
1849年斐索 314 000 000米 /秒
1850年傅科 298 360 000米 /秒
前已述及，按照麦克斯韦的理论,电磁波是横波,它在真空中的传播速度为 。
只与电磁学公式中的比例系数, 有关，是一个普适常数。这结论是麦克斯韦在 186500
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8.2.4 光的 电磁理论
年预言的，在此之前 1856年韦伯和柯耳劳许已通过实验测量比例系数，确定了这个常数的
数值为
= 310 740 000米 /秒。
当时科学上已经知道，这样大的速度是任何宏观物体 (包括天体 )和微观物体 (如分子 )所没
有的，只有光速可与之比拟。从数值上看，这个常数 也与已测得的光速吻合得相当好。
由此，麦克斯韦得出这样的结论,光是一种电磁波, 就是光在真空中的传播速度。
前面的式 (8.29)表明，在介质中的电磁波速 为真空中的 倍：
（ 8.43）
在光学人们知道,光在透明介质 (如水、玻璃等 )里面的传播速度 也是小于真空中的光速
的。光学中二者的比值一折射率,即
（ 8.44）
将式 (8.44)和 (8.43)比较一下,便可得知,如果光是电磁波话的,则有
（ 8.45）
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8.2.4 光的 电磁理论
对于非铁磁质，,从而 （ 8.46）
这公式从理论上把光学和电磁学两个不同领域中的物理量联系起来了。
光与电磁波的同一性不仅表现出在传播速度相等这一点上，上节已指出，赫兹等人所
作的大量实验事实从各方面证实了光确是一种电磁波。过去光学和电磁学是两个彼此独立
的领域，从此以后联系在一起了。
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8.2.4 电磁波谱
自从赫兹应用电磁振荡的方法产生了电磁波，并证明电磁波的性质与光波的性质相
同以后，人们又进行了许多实验，不仅证明光是一种电磁波，而且发现了更多形式的电磁
波。 1895年伦琴发现了一种新型的射线，后来称之为 X射线； 1896年贝克勒耳又发现放射
性辐射。科学实践证明,X射线和放射性辐射中的一种 射线都是电磁波。这些电磁波本
质上完全相同，只是频率或波长有很大差别。例如光波的频率比无线电波的频率要高得多，
而 X射线和 射线的频率则更高。为了对各种电磁波有个全面了解，我们可以按照波长或
频率的顺序把这些电磁波排列起来，这就是所谓 电磁波谱 。
习惯上常用真空中的波长作为电磁波谱的标度，我们知道，任何频率的电磁波在真空
中都是以速度 米 /秒传播的，所以在真空中电磁波的波长 与频率 成比
（ 8.47）
应用这公式可将电磁波的频率换算成真空中的波长。图 8-18是按频率和波长两种标度绘制
的电磁波谱，由于电磁波的波长或频率范围很广，只可能用对数标度划出。
首先我们看 无线电波,由于辐射强度随频率的减少而急剧下降，因此波长为几百千米
( 厘米 )的低频电磁波通常不为人们注意，实际中用的无线电波是从波长 约几千米
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8.2.4 电磁波谱
(相当于频率在几百千周左右 )开始。波长在 3千米 — 50米 (频率 100千周 — 6兆周 )范围,属于
中波段,波长在 50米 — 10米 (频率 6— 30兆周 )范围,属于 短波,波长在 10米 — 1厘米 (频率 30—
3万兆周 )甚至达 1毫米 (频率为 兆周 )以下的则为 超短波 (微波 )(有时按照波长的数量
级大小也常出现米波、分米波、厘米波、毫米波等名称 )。
中波和短波用于
无线电广播和通讯,
微波用于电视和无线
电定位技术 (雷达 )。
可见光的波长范
围很窄,大约在 7.6
--4.0× 厘米之间 (在光学中习惯于采用另一个长度单位 — 埃 ( )来计算波长,
厘米,用 来计算,可见光的波长约在 7600— 4000 范围内 )。从可见光向两边扩展，波长
比它长的称为 红外线,波长大约从 7600 直到十分之几毫米，它的热效应特别显著；波长
比可见光短的称为 紫外线,波长从 4000— 50,它有显著的化学效应和荧光效应。红外线
和紫外线，都是人类的视觉所不能感受的，只能利用特殊的仪器来探测。无论可见光、红
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A A
A
A
8.2.4 电磁波谱
外线或紫外线，它们都是由原子或分子等微观客体的振荡所激发的。近年来，一方面由于
超短波无线电技术的发展，无线电波的范围不断朝波长更短的方向进展；另一方面由于红
外技术的发展，红外线的范围不断朝波长更长的方向扩充。目前超短波和红外线的分界已
不存在，其范围有一定的重叠。
X射线可用高速电子流轰击金属靶得到，它是由原子中的内层电子发射的,其波长范围
约在 之间。随着 X射线技术的发展，它们的波长范围也不断朝着两个方向扩充。
目前在长波段已与紫外线有所重叠，短波段已进入 射线领域。放射性辐射 射线的波长
从 1 左右算起，直到无穷短的波长。
从这里我们看到，电磁波谱中上述各波段主要是按照得到和探测它们的方式不同来划
分的。随着科学技术的发展，各波段都已冲破界限与其它相邻波段重叠起来。目前在电磁
波谱中除了波长极短 ( 以下 )的一端以外,不再留有任何未知的空白了,
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A
4510 10??? A
8.3 电磁场的能流密度
我们在空间取一任意体积,设其表面为 。在此区域内也可能有电荷或电流以至
电源，也可能只有电磁场而没有电荷和电流。在此体积内的电磁能为
在非稳恒情况下,各场量随时间变化,体积 内的电磁能 也将随时间变化,其变化率为
因
利用麦克斯韦方程组,
于是
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8.3 电磁场的能流密度
利用式 ( ),令其中,,则有
于是
利用矢量场的高斯定理,可将上式右端第一项化为面积分,最后得到
(8.48)
现在我们来分析式 (8.48)的物理意义。先看右端第二项。有非静电力 的情况下欧姆
定律的微分形式为
,或,
这里 为电阻率。于是 (8.48)式右端第二项的被积函数变为
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8.3 电磁场的能流密度
其中 。为了看清楚上式中各项的物理意义，可取 为一个小电流管,设其截面积和
长度分别为 和,考虑到,于是
因 为小流管的电阻,为其中的电流强度,是沿流管的电动势,故
上式右端第一项 是单位时间释放出来的焦耳热，第二项 是单位时间电源作的功。
其实这个结论完全不限于 是小流管的情形,对于任何体积,式 (8.48)右端第二项积分
都代表此体积内单位时间释放的焦耳热 与单位时间非静电力作的功 之差,即
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小 流 管
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8.3 电磁场的能流密度
现在看式 (8.48)右端第一项面积分。引入一个新的矢量,其定义如下：
（ 8.49）
它叫做 坡印廷矢量 。于是式 (8.48)可写为
(8.50)
上式表明,在体积 内单位时间增加的电磁能 等于此体积内单位时间电源作的功 减去
焦耳损耗 和坡印廷矢量的面积分。从能量守恒的观点看来，这面积分就代表单位时间从
体积 的表面流出的电磁能量 (这个叫做 电磁能流 )，而坡印廷矢量 的 方向代
表电磁能传递的方向, 其大小代表单位时间流过与之垂直的单位面积的电磁能量 。亦即，
就是 电磁能流密度矢量 。
根据电磁波的,, 构成右旋系的性质可以看出，电磁波的能流密度矢量 总
是沿着电磁波的传播方向,即能量总是向前传播的。
电磁波中 和 都随时间迅速变化，式 (8.49)给出的是电磁波的瞬时能流密度。在实
际中重要的是它在一个周期内的平均值，即平均能流密度。我们大家可以仿照电工学中求
交流电的有效值的办法来计算。对于简谐波平均能流密度为
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8.3 电磁场的能流密度
(8.51)
式中 和 是 和 的振幅。由于 和 之间存在比例关系：,
故 (8.52)
即 电磁波中的能流密度正比于电场或磁场振幅的平方 。
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