2010-5-16 复变函数 1
第四章 解析函数的幂级数表示法
2010-5-16 复变函数 2
1.复级数的基本性质
2.幂级数
3.解析函数的泰勒展式
第四章 解析函数的幂级数表示法
4.解析函数零点的孤立性和唯一性
第四章简介
退出
2010-5-16 复变函数 3
本章将讨论把解析函数表示为幂级数的问题，对于和
数学分析中平行的结论，往往只叙述而不加以证明。
我们还将利用幂级数得出解析函数的一个充要条件。
返回
级数是研究解析函数的一个重要工具。把解析函数表为级
数不但有理论上的意义，而且也有实用的意义。例如，利
用级数可以计算函数的近似值；在许多带应用性质的问题
中（如解微分方程等）也常常用到级数。
2010-5-16 复变函数 4
1.复数项级数的概念
2.一致收敛的复函数项级数
3.解析函数项级数
0.预备知识
1.复级数的基本性质§
4.练习
返回
退出
2010-5-16 复变函数 5
收敛于复数 s,
1.复数项级数的概念
...,2
1
1 ??????
?
?
???? n
n
n ?
(4.1)
??? nns ???? ?21 (部分和）
? ? )( Nns n ?
ss n
n
?
??
l i m
则称复数项无穷级数（ 4.1） 收敛 于 s,
记为 s =??
?1n
n? 返回
定义 4.1 对于复数项无穷级数
令
若复数列
且称 s为无穷级数的和
即
2010-5-16 复变函数 6
若复数列 )( Nns n ? 没有极限，
定理 4.1 ?
n nn iba ?
= ),2,1( ??n an bn及
为实数,则复级数（ 4.1）收敛于 a+ib(a,b 为实数）
级数 ??
?1n n
a ??
?1n n
b
设 s
n ?
?
n
k k1
?=,An ?
?
n
k k
a
1
=,Bn ?
?
n
k k
b
1
=,则
sn An Bn= + ),2,1( ??ni
ibas n
n
??
??li m
的充要条件为
lim??n An =a lim??n Bn =b
则称级数 发散
分别收敛于 a及 b 及
的充分必要条件为：
及
设
证
2010-5-16 复变函数 7
例 ??
?1n
?????? ? nin 21 的敛散性。
解,
??
?1n
??????n1
发散,??
?1n 2
1
n
=??
?1n
??????21
n 是公比为
2
1
级数,
注 1
因 而 的等比
因此其是收敛级数，
注 2
由数学分析的相应的部分，即数项级数那一部分，
有五个性质，而对于复级数也有相应的性质
由定理（ 4.1）可知，复数项级数的收敛性可以
完全转化为数分的数项级数的收敛性
考察级数
则我们断定原级数发散。
2010-5-16 复变函数 8
定理 4.2 ?? >0,? 自然数 N,
当 n>N且 p为任意自然数时，
??? pnnn ??? ??? ?21 < ?
特别，取 P=1,则必有,? 1?n < ?
显然，收敛数列的各项必是有界的。
若级数（ 4.1）中略去有限项，增加有限项，改变有限项，并不
改变级数的收敛性
定义 4.2 ??
?1n
an 收敛,??
?1n
an 绝对收敛 ；
非绝对收敛的收敛级数，称为
定理 4.3 ??
?1n
an 收敛，
则 ??
?1n
an 必收敛 （复级数收敛的一个充分条件为其绝对收敛）
复级数（ 4.1）收敛的充要条件为：
若级数 则称原级数
即若绝对收敛的级数其本身必定收敛。
条件收敛
注
2010-5-16 复变函数 9
级数 ??
?1n
an
实级数可看作特殊的复级数，因此可很容易地举出
条件收敛的例子
??
?1n
? ? nn 11?
由莱布尼兹判别法，可知此级数是条件收敛的级数
关于绝对收敛的复级数，和实级数一样，有相似的性质，
现叙述如下，而不加证明
一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排
例
可依正项级数的理论判定之
的各项既为非负实数，故它是否收敛，注 (1)
(2)
说明
定理 4.4
两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出
次序，
（ 1）
（ 2）
乘积级数
而不改变其绝对收敛性，亦不改变其和；
2010-5-16 复变函数 10
?1
?2
?3
?3?2
?1
?
?
?1 ?1 ?2
?1
?1 ?3
?2 ?2 ?2?1
?1?3 ?3 ?3
?2
?2
?3
?3
? ? ?
?
?
?
?
?? ???? ??? n21
?? ???? ??? n21B
A ?
?
2010-5-16 复变函数 11
得出乘积级数
?1?1 ?1 ?2 ?1 ?3?2 ?2?1 ?1?3?2+ ）+ （ ）+ + + ?
它收敛于 AB
返回
（ +
2010-5-16 复变函数 12
2.一致收敛的复函数项级数
定义 4.3
? ?zf1 ? ?zf 2 ? ?zf n+ ? ?+
(4.2)
的各项均在点集 E上有定义，
(4.2) (4.2)
的
??
?1n
? ?zf n=
用
? -N
的语言来描述
? ? > 0,? E,,当 n>N时
有 ? ?zszf n?)( <
? 返回
? ?zf则称 为级数? ?zf,
对于 E上? ?zf,
的每一点 z，
记为和函数
? ?zf
就是：
设复变函数项级数（函数项级数的收敛性）
++
且在 E上存在一个函数
均收敛于级数
以及给定的 z ? ?zN,?存在正整数 N= 使
2010-5-16 复变函数 13
其中 s
n ??z ?
?
n
n 1
? ?zf n= (称为部分和函数列）
上述的正数 一般地说，不但 依赖于
依赖于 z? z
?
?
定义 4.4
使得对任意 给定的 ? 当 n>N时，
? ?zszf n?)( < ?
则称级数 (4.2)在 E上 一致收敛 于
(4.2)
在单位元 z
? ? ? ? ? ? ?? ???????? ? 1232 nn zzzzzzz
? ?zf
? ?zNN,??,
这就是
而我们要讨论一种重要的情形是 N不依赖于
而且，
E
? ?zf
如果在点集 E上有一个函数，
存在正整数,>0 ? ??NN ?
有 )( Ez ?对一切的
例 函数项级数<1,
E 。
一致收敛的概念
对于级数
2010-5-16 复变函数 14
收敛和函数为
证明, ? ??zsn )()( 12 ????? nn zzzzz ?
nz
,1,?? zz ??nlim nz
?
=0
2)
nn zzs 00 0)( ??
Dn nzNnN ?????? 1,,
0
000 取
0)( 00 ?zsn
0
10
0
n
n
n ?
?
??
?
?
?
0
0
11
1
n
n ?
?
?
?
???
? ?
1?z
= = > e1
因此，该函数项级数在 1?z
? ?zf
=
= 0
非一致 收敛
但此级数? ? 0?zf 非一致收敛
1)
??? )(lim zs nn有
证明其不一致收敛
00 nz=
D：
2010-5-16 复变函数 15
由此例题可知，
n
n??
??
?
? ? 11 单调增加且趋向于 e)（ 因为
其正面的叙述，
要求对一致收敛概念有正确的理解，
一致收敛是比收敛更强的概念，
不仅要知道
而且还应该知道怎样否定一致收敛
说明：
即还要求知道怎样证明一个函数项级数或者函数
列在一个集合或者区域非一致收敛
2010-5-16 复变函数 16
定理 4.2
?? ?
)()()( 21 zfzfzf pnnn ??? ??? ?< ?
推论 nM
? )(zfn nM?
而且正项级数 ???1n nM
则复函数项级数
?
?
n
n 1
? ?zf n
且一致收敛；
称正项级数 ??
?1n n
M
?
?
n
n 1
? ?zf n
?
(4.2)
?
?
n
n 1
收敛
优级数。的
（柯西 一致收敛准则）
有E,对一切 z
使当 n>N时，收敛于某函数的充要条件是：
在点集 E上一致级数
? ??,NN ?
有E，使对一切 Z
如果有正项级数（优级数准则） ? ??,3,2,1?n
? ??,3,2,1?n
在集 E上绝对收敛
为复函数项级数
? ??,3,2,1?p
2010-5-16 复变函数 17
例
?
?
n
n 1 ? ?
222
1
zn ??
z
2n
? ? 222
1
zn ?? 2
1
n
则
baba ??? baba ???附注：
证明：
由优级数判别法可得结论
证明 一致收敛。<2<在 1
22 2)2( ??n
22)2( zn ?? 22)2( zn ?? ?
? ?
由于
?
2010-5-16 复变函数 18
例
?? ????????
?
n
n
n zzzz 2
0
1
在闭圆 rz ? (r<1)
证明 rzz nnn ??
即所述级数有收敛的优级数
??
?1n
nr等比级数
?
?
n
n 1
nr
收敛 ? <
级数
1
这是因为
上一致收敛
﹒
R=1
r
r说明
2010-5-16 复变函数 19
定理 4.6 ??
?1
)(
n n
zf 各项在集 E上连续，
一致收敛于
??
?1
)(
n n
zf=
也在点集 E上连续。
定理 4.7 ??
?1
)(
n n
zf
一致收敛于
(即和函数的积分等于每一项积分的和）
? ?zf
则和函数,? ?zf
则沿 C 可以逐项积分：,? ?zf
并且在 C上的各项在曲线 C上连续，设级数
设级数 并且
?c dzzf )( ? ? ?dzzfn c n? ?
?
?1
2010-5-16 复变函数 20
定义 4.5 ? ?zfn
定理 4.8 az?(4.2)
(4.2)?? ?
(4.2)
?k ??? az
证 ?k
?k 显然，在区域 D内一致收敛的级数
，必在 D内内闭一致，但反之不然
反例 就是几何级数
?? ????????
?
n
n
n zzzz 2
0
1
返回
﹒?
R
a
内闭一致收敛。
则称此级数在 D内在 D内的任一有界闭集上一致收敛，
若级数定义于区域 D内，n=1,2,设函数 )( ?
上一致收敛。
在闭圆, 级数，<R只要
内闭一致的充要条件为：<R在圆 K：级数
上的某个闭圆
总可以包含在 K内因为圆 K内的任意闭集 F，充分性
就是 K内的有界闭集。因为必要性
2010-5-16 复变函数 21
3.解析函数项级数
(维尔斯特拉斯定理 )
定理 4.9 ? ?zfn
??
?1n
? ?zfn
? ?zf
? ?zf
??
?1n
? ?zfn=
则 ? ?zf
（ 2） ? ?? ?zf p ??
?1n
? ?? ?zf pn= ( ??
在数学分析中，函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的，
然而解析函数项级数求导的条件却相对宽些 返回
? ??,2,1?n
在 D内内闭一致收敛于函数
和的 p阶导数等于
P阶导数之和
在区域 D内解析，
（ 2） ;
（ 1）设
在区域 D内解析。（ 1）
)3,2,1,=pD,z
2010-5-16 复变函数 22
证 ? ??? 0,zzK
0,zzK ? ?
? ?dzzfc n? =0,?
再由假设知级数 ??
?1n
? ?zfn
?c dzzf )(
K ? ?zfn
? ?zf所以由定理 4.6 K
=
于是,? ?zf
? ?zf
（ 2）
0z? ?zf
0z ? ??? 0,zzK
K ???? 0,ZZ
0z
0z
有3.13故由定理
。的边界是圆周全含于 D内，
使闭圆>0为 D内任一点必有设
在区域 K内解析。故的任意性，由于
解析在点即在 K内解析，由摩勒拉定理知
由定理 4.7上连续，在知 得
连续，且上一致收敛，在
则由柯西积分定理
内作任一围线，若 C为圆 <全含于 D内。
使闭圆>0,则必有为 D内任一点,设(1)
n=1,2,3,,得
? ? ?dzzfc n
n ?
??
?1
0
2010-5-16 复变函数 23
? ?? ?0zf p ip?2!
??
? ?
? ?? ?? ? ??
? d
z
f
p 1
0
=
? ?? ?0zf pn ip?2!
? ?
? ?? ?? ? ??
? d
z
f
p
n
1
0
=
在
? ?
? ? 10 ?? pz
f
?
? ??
?1n
? ?
? ? 10 ?? p
n
z
f
?
?= 是一致收敛的。
定理 4.7 ? ?? ? 1
0
?? pz
f
?
?
?d ????
?1n
? ?
? ? 10 ?? p
n
z
f
?
??d=
两端同乘以 ip?2!
?
? ?? ?0zf p ??
?1n
? ?? ?0zf pn= ( ?
返回
知级数（ 2）由条件上
于是由
得到
即得所要证明的
)P =1,2,3,
? )( P =1,2,3,
2010-5-16 复变函数 24
0.预备知识
复数列 收敛于)( Nniyxz nnn ???
x0
2） yixz nnn ?? 有极限 ? ?? >0,NntsNN ???,.),(?
有 zz
npn ??
< ?
若函数
（柯西收敛准则）
的任一围线 C,0)( ?? zdzf
c
则
返回
? ?nx, ? ?ny
分别收敛于,
0y
的充要条件是 000 iyxz ??
3) (摩勒拉定理 )
有
? ?Np ??
1）
在 D内解析? ?zf
在单连通区域连续,且对 D 内? ?zf
2010-5-16 复变函数 25
设
? ? 0?? dzzfc
5) (柯西积分公式） 设区域 D的边界是围线 C，
=D+C 上连续，
? ? ? ?? ?? c dzzfizf ???2 1
? ?zf
D
? ?zf
6) (解析函数的无穷可微性 )
? ?? ? ? ?
? ?? ?? ?c n
n d
z
f
i
nzf ?
?
?
? 12
!
返回
4) (柯西积分定理 )
C为 D内任一条围线,则
在 z平面上的单连通区域 D内解析，
在 D内解析
在 则有
)( Dz?
? ?Dz?
2010-5-16 复变函数 26
练习
1,判断下列级数的敛、散性。
n
in
n
??
?1
??2
? ?
!
53
1 n
i n
n
???
?
??3
n
n
i ?
?
??
?
? ???
? 2
51
1
??1
返回
? ?????? ??
? 1 2
1
n n
i
n
? ?????? ??
? 1
1
3n n nn
i
? ?????? ????
? 1 !13
12
n n
i
n
n ??4
??5 ??6
2010-5-16 复变函数 27
在 E上 非一致收敛 的充要条件是
0?? 对任意 n ? N ? on >n,? z0 ?E 使
??
?1n
? ?zf n
? ? )( 000 zfzs n ? ? 0?
其中 为部分和函数? ?zsn
返回
2010-5-16 复变函数 28
1.幂级数的敛散性
2.收敛半径 R的求法
3.幂级数和的解析性
2.幂级数
练习
返回
退出
2010-5-16 复变函数 29
1.幂级数的敛散性
? ?? ??
?1n
n
n azC ? ? ? ? ? ? ?? ????????
nn azCazCazCC 2210= (4.3)
作变换 ? az? ??
?1n ? ?
nn azc ? ??
?1n
nnc?az ???
定理 4.10 (4.3)
az? az ?1
? ? Kz 由证 ? ?? ??? 1 1n nn azC
则 ? ? ? Mazc nn ??1 ( ? ?
阿
贝
尔
定
理
1.幂级数的敛散性
返回
a
·1z
=
内绝对收敛且内闭一致收敛<K：
则其必在圆在点若幂级数 收敛，? ?az ?1
故其每项有界收敛，
s.t,M>0 )Nn
﹒
2010-5-16 复变函数 30
? ?nn azc ? ? ?
n
n
n az
azazc ?
?
??
?
?
?
??
1
1 ? ?nn azc ?1
n
az
az
?
?
1
=
? M
n
az
az
?
?
1
az? az ?1<? az
az
?
?
1
<1?
n
az
az
?
?
1
??
?1n
则等比级数
M
n
az
az
?
?
1
则 ? ?? ?
?
?1n
n
n azC
在圆 K内绝对收敛 利用正项级数收敛的比较判别法
=
收敛
因此为收敛的等比级数。
2010-5-16 复变函数 31
?K ??? az az ?1<
? ?nn azc ? ? ? ?nn azc ?1
n
az
az
?
?
1
?
n
az
M ??
?
?
???
?
?1
?
此为一个优级数
则由优级数判别法,? ?? ??
?1n
n
n azC
在圆 K内内闭一致收敛
?K
则由定理 4.8 知 ? ?? ?
?
?1n
n
n azC
:
一致收敛,在可知
2) 对 K 内任一闭圆
2010-5-16 复变函数 32
推论 4.11
心并通过
? ?az ?2
2z
2z
收敛的几种情形
1）只在 z=a收敛
2）在复平面的每
一点都收敛
3）既有收敛点又
有发散点 返回
·a
·
则它在以 a为发散，在某点
的圆周外部发散。
若幂级数 （ 4.3）
2010-5-16 复变函数 33
在这种情况下，我们称级数 的收敛半径为零（ 4.3）
即 R=0
例
?? ????? nn zzz 221 22
?
即其只在 z=0收敛，
1）
返回
故发散通项不趋于零，时，0当 z
因此 R=0
级数
2010-5-16 复变函数 34
此时，我们称级数 的收敛半径为,（ 4.3） ?
?
例
?
?? ????? n
nzz
z 221 2
2
2
1?
n
z
2）
返回
记为 R=
n
n
n
n
z ?
?
??
?
??
2
1
记所以，Z均收敛。
故所给级数对任意，总有于是从此以后，
以后总有从某个 n开始，对任意固定的 z，
级数
R=
2010-5-16 复变函数 35
3） 级数存在一点,使 收敛,另外
又存在一点,使 发散
在这种情况下，可以证明，存在一个有限正数 R，使得
在圆周 的内部绝对
收敛，在圆周 的外部发散。 R称为此幂级数
1z ? ?? ?
?
? 1 1n
n
n azC
? ?? ??
? 1 2n
n
n azC2z
? ?? ??
? 1n
n
n azC Raz ??
Raz ??
圆 <R 称为 收敛圆az?
圆周 =R 称为 收敛圆周az? 返回
?
的 收敛半径
a
1z
2z
·
·
·
R
a
2010-5-16 复变函数 36
2.收敛半径 R的求法
定理 4.12 ? ?? ??
?1n
n
n azC nc
lim??n n
n
c
c 1?
l?
lim??n n nc l?
??nlim n nc l?
?
?R
?
l
1 ??? ll,0
0 ??l
? ( 0?l
（柯西）
返回
合于的系数如果幂级数
)(
)(
)
2010-5-16 复变函数 37
例 求下列幂级数的收敛半径
??
?1n 2n
zn
!n
zn nzn!
npzn ? ?? ? nnn z13 ??
nz
n ??
??
?
? ??? 1
2
11 ?
??
?1n
??
?1n
??
?1n
??
?1n
??
?1n
(1)
(4) (5)
(2) (3)
返回
(6)
2010-5-16 复变函数 38
3.幂级数和的解析性
定理 4.13
? ?? ??
?1n
n
n azC? ??zf
(4.5)
的和函数 ? ?zf )0( ????? RRaz
(2)
? ? ? ? ? ?
? ? ??
??
???????
???????
?
?
pn
n
pp
p
azcpnnnnn
azcpcpzf
)1()1()1(
)(21! 1
( ?
(4.6)
返回
幂级数（ 1）
内解析
在其收敛圆 K:
即可以逐项求导至任意阶，幂级数在 K内，
)p=1,2,
2010-5-16 复变函数 39
(3)
? ?? ?
!p
afc p
p ? ( ?
? ?? ??
?1n
n
n azC因为 )0( ????? RRaz
内闭一致收敛于
(4.6)
? ?zf ? ? ? ??,2,1,0?? nazc nn
?
(4.6)
? ? ? ?? ?afafc 00 ??
? ?? ?
!p
afc p
p ? ( ?
返回
回
在其收敛圆
即得 (4.7),注意到
得,，令 z=a中，在
即得后，)p= 1,2,( 逐项 求 p阶导数
（ 1）、（ 2）部分得证。由维尔斯特拉斯定理，在 z平面解析。
又都而其各项，
)p=0,1,2,
证明, K:
)p=1,2,
2010-5-16 复变函数 40
??
?1n 2n
zn(1)
解
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
? ?
2
2
1
1
1
n
n ?
?
2
1??
??
?
?
?n
n
lim??n ? 1
所以 l1
返回
==R 1
=
2010-5-16 复变函数 41
!n
zn??
?1n
(2)
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
? ?
!
1
!1
1
n
n?
lim??n 11?n ? 0
所以,?
解
返回
=
= =
R收敛半径
2010-5-16 复变函数 42
nzn!?
?
?1n
(3)
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
? ?
!
!1
n
n? ? lim
??n
(n+1) ??解
所以
返回
?
R= 0
2010-5-16 复变函数 43
npzn?
?
?1n
(4)
解
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
p
n
n ?
?
??
?
? ?1 ?lim
??n
p
n??
??
?
? ? 11 ? 1
(p > 0, p 为常数 ）
所以，
返回
R =1收敛半径
?
2010-5-16 复变函数 44
? ?? ? nnn z13 ?????1n(5)
解
n nn cl ??? l i m
?
??nlim ? ?? ?
n13 ??
4
由柯西 -阿达玛定理
l
1 ?
4
1有
返回
?
?
R
2010-5-16 复变函数 45
nz
n ??
??
?
? ??? 1
2
11 ???
?1n(6)
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
n
n
1
2
1
1
1
1
2
1
1
???
?
???
?
?
? lim
??n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
n
n
1
2
1
1
1
1
?? 1
数列
??
?
??
? ???
n
1
2
11 ?注
解
返回是一个无穷大量
?
2010-5-16 复变函数 46
练习
??1
1.试确定下列幂级数的收敛半径：
n
zn
n
??
?1 ??2 n
n
n
nz
21?
?
?
??3 nnn zn???1
返回
2010-5-16 复变函数 47
2,如果
n
n
n c
c 1lim ?
?? 存在 ? ???
试证下列三个幂级数有相同
的收敛半径：
??1 nnzc? (原级数）；
??2 ? ? nn znc 1 (原级数逐项积分后所成级数）；
??3 1?? nn znc （原级数逐项求导后所成级数）；
返回
2010-5-16 复变函数 48
3,设 n
n n
zc??
?1
的收敛半径为 R? ???? R0
并且在收敛圆周
试证明这个级数对于所有的点 z,
绝对收敛且一致收敛。
Rz ?
上一点绝对收敛。
返回
2010-5-16 复变函数 49
(维尔斯特拉斯定理 )
定理 4.9 ? ?zfn
??
?1n
? ?zfn
? ?zf
? ?zf
??
?1n
? ?zfn=
则 ? ?zf
（ 2） ? ?? ?zf p ??
?1n
? ?? ?zf pn= ( ??
在数学分析中，函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的，
然而解析函数项级数求导的条件却相对宽些
? ??,2,1?n
在 D内内闭一致收敛于函数
和的 p阶导数等于
P阶导数之和
在区域 D内解析，
（ 2） ;
（ 1）设
在区域 D内解析。（ 1）
)3,2,1,=pD,z
返回
2010-5-16 复变函数 50
1.泰勒定理
2.和函数在收敛圆周上的状况
3.一些初等函数的泰勒展式
3.解析函数的泰勒展式
返回
退出
2010-5-16 复变函数 51
由定理 4.13我们看到，任
意一个具有非零收敛半径
的幂级数在其收敛圆内收
敛于一个解析函数，这个
性质很重要。在解析函数
的研究上，幂级数之所以
重要，还在于这个性质的
逆命题也是成立的。那就
是 泰勒定理
2010-5-16 复变函数 52
1.泰勒定理
定理 4.14（泰勒定理） 设 在区域 D内解析，,只
要圆 含于 D，则 在 K内能展成幂级数
? ?zf Da?
RazK ??,? ?zf
? ?? ??
?1n
n
n azC? ?zf =
其中
? ?
? ?
? ?? ?
?? ? ?? ?
?
? !2
1
1 n
af
a
f
ic
n
nn
),2,1,0;0,,??????? nRa ????
且展式是唯一的。
（ 4.8）
（ 4.9） 回
返回
2010-5-16 复变函数 53
预备知识
1） 柯西积分定理
2）公式 ?? ?
?1
1
n
nu
u ( <1 )u
(柯西积分定理 ) 设 在 z平面上的单连通 D内解析，
C为 D内任一条围线，则 ? ? 0?? dzzf
c
? ?zf
(4.10)
(z D)?
3) (解析函数的无穷可微性 )
? ?? ? ? ?
? ?? ?? ?c n
n d
z
f
i
nzf ?
?
?
? 12
!
（定理 3.13）
2010-5-16 复变函数 54
?
z K
D
证, 设 z为 K内任意取定的点，总有
一个圆周,
使点 z含在 的内部,则
??
?? ? ?Ra ???? ??? 0
??
? ? ? ?? ?? ?
?
?? ?? dzfizf 2 1? ? ? ?
? ?
? ?,
1
1
z
aza
f
aza
f
z
f
?
?????????
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
,1????? ?? azzaz
当 时，由于
,
1
1
1
n
n a
az
a
az ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
由 公式 （ 4.10）
(4.11)a
R
·
·
2010-5-16 复变函数 55
? ? ? ?
? ?
? ?,
1
1
z
aza
f
aza
f
z
f
?
?????????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
a
f
??
?
n
n a
az? ?
?
??
?
?
?
??
?1 ?
?? ? ? ? ?? ?,.
1 1
? ???
? ?n n
n
a
faz
?
?
? ? ? ?? ?? c dzzfizf ???2 1? ? ?n
n
az? ??
?1
? ?
? ?? ?? ?? ??? da
zf
i n 12
1
? ?
? ?? ?? ?? ??? da
zf
i n 12
1
由定理 3.13知
? ?? ?
!p
af n? P=1,2,)?
(沿 积分，并乘以 )?? i?21
2010-5-16 复变函数 56
最后得出
? ?? ??
?1n
n
n azC? ?zf =
其中的系数由公式 （ 4.9） 给出
下面证明展式是唯一的。
设另有展式
? ?? ??
? 1
'
n
nn azC? ?zf = RazK ??:（ z )?
则由 定理 4.13（ 3）,即知
? ?? ?
n
n
n cn
afc ??
!
' (n N)?
故展式是唯一的
2010-5-16 复变函数 57
定义 4.6 （ 4.8） 称为 在点 a的 泰勒展式, （ 4.9） 称为? ?zf
其 泰勒系数,而 （ 4.8） 右边的级数，是称为 泰勒级数
? ?
? ?
? ?
? ??? ? ?? ? ?? !2 1 1 nfafic
an
nn ? ?? ?
?
?1n
n
n azC
2010-5-16 复变函数 58
定理 4.15 在区域 D内解要的弃要条件为,在 D
任一点 a的邻域内可展成 z-a 的幂级数，即泰勒级数。
? ?zf ? ?zf
注
解析该定理是刻划解析函数的第四个等 价定理
? ?
? ??,2,1,0,0
m a x
???? ?? nR
zf
c nazn ?
?
?
由柯西不等式知，若 在 内解析，则其? ?zf Raz ??
nc系数 满足柯西不等式
返回
2010-5-16 复变函数 59
2.和函数在收敛圆周上的状况
定理 4.16 若幂级数 的收敛半径 R>0，且? ?? ??
?1n
n
n azC
? ?zf = ? ?? ???1n nn azC ? ?RzazKz ???,
则 在收敛圆周 C,=R 至少有一个奇点az?? ?zf
Raz ?? ? ?zf
? ?zF
在 内与 相等,
即
返回
而在 C上处处解析的
函数 是不存在的
2010-5-16 复变函数 60
（ 1） 使幂级数在收敛圆周上处处收敛，
其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点。
? ? ? ?? ?? ?
? 1n
n
n azCzf ? ?zf
ab?
（ 2） 若 b是 的
奇点中离 a最近的奇点，则 =R
注
返回
2010-5-16 复变函数 61
例 ? ?zf ??
?1n 2n
zn=
易知其收敛半径 R=1>0,而在圆周 =1上级数z
??
?1n
=2nz
n
??
?1n 2
1
n 是收敛的，所以原级数 ?
?
?1n 2
1
n
在圆周 =1 上是处处绝对收敛的；从而 在闭圆
.
z
1?z
? ? ?? ?????? ?nzzzzf n 12' 3211?z( )但
z=1 是 的一个奇点? ?zf
上绝对收敛且一致收敛
返回
(1)
2010-5-16 复变函数 62
例,在实数域内便不了解：为什么仅当 时有
展式,11 1 6422 ??????? xxxx
1?x
而函数 对于独立变数 x的所有的值都是确定。21 1x?
21
1
z?函数 在 z平面上有两个奇点，即 iz ??
21
1
z?因此,的幂级数展式的收敛半径 R=1
因为
由复数的观点
返回
(2)
2010-5-16 复变函数 63
3.一些初等函数的泰勒展式
下面给出几个初等函数的泰勒展式
它们的民数学分析中大家熟知的
形式是一致的
返回
2010-5-16 复变函数 64
1）
2）
3）
??
?
? 1 !n
n
z
n
z
e ? ???z
? ?
!
1s i n z
12
0 n
z n
n
n
??
?
? ?? ? ???z
? ?? ??
?
? 0
2
!
1c os
n
n
n
n
z
z ? ???z
2010-5-16 复变函数 65
4) Ln(1+z) 以 -1,为支点，将 z平面沿负实轴从 -1、
割破，而得的区域 G内,Ln(1+z) 可分出无穷多个单值解析分支
? ?
其主值支的展式为：
其它知支的展式为,
? ? ? ? n
n
n
z
n
z 11ln
1
o
???? ?
?
1?z( )
? ? ? ? n
n
n
k znikz
121ln
1
????? ?
?
?( k=0,1,2,)1? ? ? ?
2010-5-16 复变函数 66
5) 一般幂级数
? ? ? ?zLnez ??? 11 ??
其支点为 -1、,故 在 内
能分出单值解析分支。
? ? ??z?1 1?z
主值支,? ? ? ?zLnez ??? 101 ??
? ? ? ? ? ? ? ?,! 11!2 111 2 ??? ??????????? nzn nzzz ???????
1?z( )
( 为复数 ）?
2010-5-16 复变函数 67
例 将 在 展开成幂级数
z
ez
?1 1?z
解 因 在 解析，故展开后的幂级数在
z
ez
?1 1?z 1?z
内收敛。 ?
!3!21
32 zz
ze z ???? ? ???z
?3211 1 zzzz ????? ? ?1?z
z
ez
?1
?
?
??
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
3
2
!3
1
!2
1
!1
1
1
!2
1
!1
1
1
!1
1
11
z
zz
= 将两个幂级数相乘，利用对角
线相乘的方法
2010-5-16 复变函数 68
例 将 及 展为 z 的幂级数。zez cos zez sin
解 因
ze ie 42
?
?
? ?
????
?
? 2
4
4,
!
2
21
n
ni
n
n
i
n
ze
ze
?
?
? ? zez iezize 42s inc os ????
? ?
????
?
?
?
?
2
4
4,
!
221
n
ni
n
n
i
n
zeze
?
?
? ? izzizzz eeezize ???? s i ncos
2010-5-16 复变函数 69
两式相加除以 2得：
zez cos
zez sin
? ?
,
!
4
co s2
4
co s21
2
n
n
n
z
n
n
z
?
?
????
?
?
两式相减除以 2得：
? ?
,
!
4
s i n2
4
s i n2
2
n
n
n
z
n
n
z
?
?
???
?
?
??z
??z
2010-5-16 复变函数 70
例 试将函数
按 z-1的幂展开，并指明其收敛范围
? ? 2?? z zzf
解
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?.311
3
1
3
2
3
1
1
3
1
3
2
1
3
1
1
1
3
2
1
31
2
1
2
2
1
2
1
0
????
?
?
?
?
?
????
?? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
zz
z
z
zzz
z
zf
n
n
n
n
n
n
说明
在 z平面上只有一
个奇点 z=-2,因此，
在点 z=1展成幂级
数时，其收敛半径
R= ? ? 12 ?? =3
返回
2010-5-16 复变函数 71
4,练习
4.解析函数零点的孤立性和唯一性
返回
概述
1.解析函数零点的孤立性
2.唯一性定理
3.最大模原理
退出
2010-5-16 复变函数 72
概述
在很多实际问题中，
? ?zf 根的分布情况来研究 ? ?zf ? 0
返回
的问题。只从函数
我们这一节，那么这无穷多个可能的根的分布情况如何呢？
它可能有无穷多个根。在一般情况下，函数有几个根呢？
那么一个解析而多项式是解析函数，n次多项式有 n 个根，
一个将这个问题转化为求其特征多项式的根的问题。
在解常系数线性微分方程
时，
最简单的情况是：也就是求根。
往往需要研究使一个函数等于零的点，
2010-5-16 复变函数 73
1.解析函数零点的孤立性
什么是零点？
定义 4.7 设 D为 ? ?zf 的解析区域,Da?,
若 ? ? 0?af 则称 a 为解析函数 ? ?zf 的零点
如果在 Raz ?? 内,? ?zf 不恒为零，则可将 ? ?zf
在点 a 展为幂级数，则其系数必不全为零，
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???????? nn azcazcazcczf 2210
所以存在正数 m ? ?1?m 使
,0110 ???? ?mccc ?0?mc 返回
2010-5-16 复变函数 74
则称 a为 ? ?zf 的 m级零点，称 m为零点的级。
由于
? ?? ?
!n
afc n
n ?
0?nc ? ? ?? ?af n
则得零点的级的等价定义：
若 ? ? ? ? ? ?? ?,01' ???? ? afafaf m?? ?? ? 0?af m
则 a为 ? ?zf 的 m级零点
=0
2010-5-16 复变函数 75
则求其零点的级有
通过求导的方法，
除此之外，还有下列的定理：
哪些方法？
若已知 a为函数的零点，问题：
不为零的项的下标就是零点的级。
其系数中第一个只需把函数展在点 a展成幂级数，? 1.
? 2.
零点的级。
其导数不为零的最小的阶就是
2010-5-16 复变函数 76
定理 4.17 不恒为 0 的解析函数 ? ?zf 以 a 为 m级零点的
充分必要条件是 ? ? ? ? ? ?zazzf m ???
其中 ? ?z? 在点 a 解析,? ? 0?a?
证：“必要性” ? ?? 设 a 为 ? ?zf 的 m级零点，
则 ? ? ? ? ? ?? ?,01' ???? ? afafaf m?? ?? ? 0?af m
把 ? ?zf 在点 a 展开为幂级数，则有
? ?zf ? ? ? ? ?????? ?? 11 mmmm azcazc
? ? ? ?? ??azccaz mmm ???? ? 1
且
2010-5-16 复变函数 77
令 ? ? ? ? ????? ? azccz mm 1?
则 ? ?zf ? ? ? ?zaz m ???
显然 ? ?z? 在点 a 处解析，且 ? ? 0?? mca?
充分性 ? ?? ? ? ? ? ? ?zazzf m ???
由条件,? ? ? ? ????? azbbz 10? ? ?? ?00 ?? ab ?
则 ? ? ? ? ? ?? ??????? azbbazzf m 10
? ? ? ? ?????? ? 110 mm azbazb
由幂级数展开式的唯一性，可知在 ? ?zf 的展开式
2010-5-16 复变函数 78
? ? ? ? ? ? ?? ??????? mm azcazcczf 10
可得,0110 ???? ?mccc ? 00 ?? bc m
则由定义可知,a为 ? ?zf 的 m级零点
2010-5-16 复变函数 79
例 考察 ? ? zzzf s i n?? 在原点 z =0 的性质
解,Z=0 为解析函数 ? ?zf 的零点，
????? !5!3)s i n (
53 zz
zz
zz sin? ?????? ????? ?!5!3
53 zz
zz
?
?
??
?
? ??? ?
!5!3
1 23 zz
则 z = 0 为 ? ? zzzf s i n?? 的三级零点
2010-5-16 复变函数 80
例 求 ? ? 点的级的全部零点，并指出零1s i n ?? zzf
解,? ? 1s i n ?? zzf 在 z 平面上解析，
由,01s i n ??z 得 ? ??,2,1,022 ????? kkz ??
? ? ? ? zzzf c o s1s in '' ???
? ? ? ? zzzf s inc o s ''' ???
因为 022c os22' ??
?
??
?
? ???
?
??
?
? ? ???? kkf
2010-5-16 复变函数 81
?????? ? ?? kf 22''
则由定义可知
?? kz 22 ?? 为 ? ? 1s i n ?? zzf 的二级零点
1?? 0? ?????? ?? ?? k22s i n?
2010-5-16 复变函数 82
一个实变可微函数的零点可以不是孤立的；
在点 x = 0 可微，
? ??,3,2,11 ??? nnx ?也是其零点
由于 ? ???? nn 01?
所以 x = 0 不是孤立的零点
例如
? ?xf
?
xx
2sin2 0?x
0 0?x
?
但且 x = 0 为一个零点，
2010-5-16 复变函数 83
但在复变函数中，零点具有孤立性
定理 4.18 ? ?zf 在 Raz ?? 解析且不恒为零，
其零点,? ?zf 在其中无异于 a 的
零点。
（即不恒为零的解析函数的零点必是孤立的）
z = a 为
使则存在 a 的一个邻域，
2010-5-16 复变函数 84
证明, 令 a 为 ? ?zf 的 m 级零点，则由定理 4.17 有：
? ? ? ? ? ?zazzf m ???
其中 ? ?z? 在点 a 解析,? ? 0?a?
由 ? ?z? 在点 a 连续，
则存在 r, ? ?z? 在 raz ?? 恒不为零。
故 ? ?zf 在 raz ?? 除了 点 a 外无其它零点
且
（为什么？）
使
2010-5-16 复变函数 85
推论 4.19 设 ? ?zf 在 K,Raz ?? 内解析；
（ 2） 在 K内 ? ?zf 有一列零点 ? ?nz ? ?azn ?
收敛于 a, 则 ? ?zf 在 K 内必恒为零
证明,? ?zf 在 az? 解析，
? ? 0?nzf又由条件 得
则 ? ? ? ? ? ? 0l i ml i m ???
??? nnaz zfzfaf
所以 az? 为 ? ?zf 的零点
? ? 内必恒为零在则 Kzf
（思考这是为什么？） 返回
﹒ ﹒﹒
,an
z
（ 1）
K
R
﹒ ﹒ ﹒﹒﹒﹒﹒
﹒﹒
所以必连续则必可微，
2010-5-16 复变函数 86
2.唯一性定理
对于一个不加条件限制的复变函数，我们不能从其定义
域中某一部分的取值情况来确定其它部分的值。对于连续
函数也只能说，相邻两点的函数值相差很小。对于解析函数
来说就完全不同了。从下面的唯一性定理可以看出，解析
函数在其定义域中某点邻域内的取值情况完全决定着它在其
它部分的值。
返回
2010-5-16 复变函数 87
以前由柯西积分公式，使我们知道，从解析
函数的边界 C上的值可以推得它在 C的内部的一
切值。因此唯一性定理可以看成柯西定理的补充
定理，它们都反映解析函数的特性，同是解析函
数论中最基本的定理。
2010-5-16 复变函数 88
定理 4.20,设 ? ? ? ?zfzf 21 和 在区域 D内解析
（ 2） Da? 的点列
? ?nz ? ?azn ? 使 ? ? ? ?nn zfzf 21 ?
则 ? ? ? ?zfzf 21 和 在 K内恒等。
证明,令 ? ? ? ? ? ?zfzfzf 21 ?? 则 ? ? 0?nzf
只需证 ? ?zf 在 D内恒为零就行
由条件得 ? ?zf 在 D 内解析,? ? 0?nzf ? ??,3,2,1?n
若 D是以 a 为心的圆若 D是整个 z 平面，
可知 ? ? 0?zf
函数（ 1）
在 D内有一个收敛于
且
则由推论 4.19
2010-5-16 复变函数 89
.
.b
1a
2a
1?ka
L
设 b 是 D内任意固定的点，以一折线 L
连接点 a 和点 b 。
以 d 表示 L与 D的边界间的距离,d > 0
在 L 上取一串点
baaaaaa nn ?? ?,,,12,10 ?
使相邻两点间的距离小于 R ( 0 < R < d )
显然，由推论 4.19，可知
在 RazK ?? 00, 内 ? ? 0?zf
在 RazK ?? 11, 又重复利用推论 4.19
..
.
a
2010-5-16 复变函数 90
可知在 1K 内 ? ? 0?zf
由此继续下去，直到最后一个含有点 b 的圆为止。
在该圆 RbzazK nn ????,? ? 0?zf
则 ? ? 0?bf
因为 b 是 D内的任意一点，故证明了在 D 内 ? ? 0?zf
2010-5-16 复变函数 91
推论 4.21 在区域 D内解析的函数
? ? ? ?21 zfzf 及 在 D内的
某一区域（或一小弧段）上
则必在区域 D内恒等相等，
2010-5-16 复变函数 92
例 设 ??1
??2
试证,在 D内 ? ? ? ? 00 ?? zgzf 或
证明,若存在点,0 Dz ? 使 ? ? 00 ?zg
由 ? ?,00 DKzzzg ?的邻域连续，则存在在点
使 ? ? 内恒不为零在 Kzg
由 ? ? ? ? 0?? zgzf ? ?DKz ??
则 ? ? 0?zf ? ?DKz ??
由唯一性定理（推论 4.21）有,? ? 0?zf ? ?Dz?
? ? ? ? 内解析在区域及 Dzgzf
? ? ? ? 0?? zgzfD 内在
2010-5-16 复变函数 93
推论 4.22 一切在实轴上成立 的恒等式
? ?等等如 zzzzz co ss i n22s i n,1co ss i n 22 ???
在 z 平面上也成立,只要这个恒等式的两边
在 z 平面上都是解析的。
说明 记 ? ? zzzf 22 c o ss i n ?? ? ? 0?zg
显然 ? ? ? ? 平面上解析，在,zzgzf
在实轴上，有 1c o ss in 22 ?? xx 则由推论 4.22有
? ? ? ?zgzf ? 1c o ss in 22 ?? zz即
2010-5-16 复变函数 94
应用唯一性定理（特别是推论 4.21或
推论 4.22），在数学分析中常见的一些初
等函数的幂级数展式都可以推广到复数域
上来
例如 ??
?
? 1
!
n
n
zz ne ? ????z
返回
2010-5-16 复变函数 95
3.最大模原理
定理 4.23 （最大模定理） 设 ? ?zf 在区域 D内解析，
则 ? ?zf 在 D内任何点都达不到最大值，除非在 D
内 ? ?zf 恒等于常数。
即不恒为常数的解析函数在区域内部
不能取得最大模
返回
2010-5-16 复变函数 96
证明
记 M表示 ? ?zf 在 D内的最小上界，则必有
???? M0 假定在 D内有一点,0z 使 ? ? Mzf ?0
(1) 由平均值定理,DRZZKR 全含于使 ??? 0:,
? ? ? ? ?? ? ? dzfzf i? ?? 20 00 Re2 1
? ? ? ? ?? ? ? dzfzf i? ?? 20 00 Re2 1
? ? ? ? MzfMzf i ??? 00,Re 而??
? ? ? ? Mzf i ???? ???? Re,20 0有则对任意
分析
2010-5-16 复变函数 97
因此，
0z
为中心的每一个
充分小的圆周上 ? ?,Mzf ?
.0zR
换句话说，
0z
点的足够小的
邻域 K内（ K周界全含于 D内 )
? ?,Mzf ?
(2)由第二章 习题（一） 6（ 3）（ P86）
? ?zf 在 K内为一常数
在以点我们已经证明了：
K
在
有
D
2010-5-16 复变函数 98
（ 3） ? ?zf 在 D内必为常数
推论 若 ? ?zf 在区域 D解析且在内部取得最大模，
则 ? ?zf 在区域 D内恒为常数。
推论 设 （ 1） ? ?zf 在有界区域 D内解析，在
DDD ??? 上连续；
（ 2） ? ? ? ?DzMzf ??
则 ? ? ? ?DzMzf ?? 除非 ? ?zf 恒等于常数
由唯一性定理，
2010-5-16 复变函数 99
例 用最大模原理证明,? ?zf 在 上解析，Rz ?
如果存在 时，使当 Rza ??,0 ? ?,azf ?
而且 ? ?,0 af ?
则 ? ?至少有一个零点。内,zfRz ?
证 （用反证法） 假设 ? ?zf 在圆 ? ?无零点。内 zfRz ?
又在 ? ?,0??? azfRz 上,? ? 上解析。在且 Rzzf ?
则 ? ? ? ? 解析在 Rzzfz ?? 1?
若
·0R
2010-5-16 复变函数 100
? ?0?
上，且在 Rz ?
? ?z?
于是 ? ?z? 必非常数,上在 Rz ?
? ? ? ?.0?? ?z
由最大模原理，
非
常
数
解
析
函
数
在
区
域
内
不
能
取
得
最
大
模
，
换
言
之
，
要
取
得
最
大
模
，
只
能
在
边
界
上
取
得
返回
这就得到矛盾。
? ?0
1
f= > a
1
,1a? ?
zf
1 = <
2010-5-16 复变函数 101
分析 （用反证法） 假设 ? ?zf 在区域 D内取最大模，
则 ? ?zf 在区域 D恒为常数。
（ 1）要证 ? ?zf 在 D恒为常数，只需证 ? ?zf 在 D内
某区域（例如一个圆内）恒为常数（由唯一性定理）
（ 2） 要证 ? ?zf 在区域为常数，只需证 ? ?zf 在区域
为常数 （由第二章练习（一） 6（ 3））（ P86）
返回
2010-5-16 复变函数 102
第二章练习（一） 6（ 3）（ P86）
6.若函数 ? ?zf 在区域 D内解析且满足下列条件之一，
试证 ? ?zf 在区域 D内必为常数。
? ? ? ? ;01 ' ?zfD 内在
? ? ? ? 内解析；在 Dzf2
? ? ? ? 内为常数；在 Dzf3
? ? 内为常数。在或 Dzfzf )(Im)(Re4
返回
2010-5-16 复变函数 103
第二章练习（一） 6（ 3）（ P86）
6.若函数 ? ?zf 在区域 D内解析且满足下列条件之一，
试证 ? ?zf 在区域 D内必为常数。
? ? ? ? ;01 ' ?zfD 内在
? ? ? ? 内解析；在 Dzf2
? ? ? ? 内为常数；在 Dzf3
? ? 内为常数。在或 Dzfzf )(Im)(Re4
返回
2010-5-16 复变函数 104
（柯西积分公式）定理 3.11
设区域 D的边界是围线（或复围线） C,
? ?zf 在 D内解析，
上连续，CDD ?? 则有
? ? ? ?? ?? c dafizf ?? ??2 1? ?.Dz?
在
返回
D
C
·z
2010-5-16 复变函数 105
返回
4.练习
1.指出下列函数在零点 z = 0 级。
（ 1） ? ?;122 ?zez
（ 2） ? ?;6s in6 633 ?? zzz
（ 3） zzz c o s2421
42
???
2010-5-16 复变函数 106
2.设 级零点，的是函数 mzfz )(0 又是 ? ? 级零点，的 nzg
试问下列函数在 处具有何种性质？0z
（ 1） );()( zgzf ?
（ 2） );()( zgzf ?
（ 3） ? ?? ?.
zg
zf
2010-5-16 复变函数 107
3,在原点解析，而在 ? ??,2,11 ?? nnz 处取
下列各值的函数是否存在：
（ 1） 0,1,0,1,0,1,?
（ 2）,61,0,41,0,21,0 ?
（ 3）,，，，，，
6
1
6
1
4
1
4
1
2
1
2
1 ?
（ 4）,，，，,6554433221 ?
返回
2010-5-16 复变函数 108
第四章 解析函数的幂级数表示法
2010-5-16 复变函数 2
1.复级数的基本性质
2.幂级数
3.解析函数的泰勒展式
第四章 解析函数的幂级数表示法
4.解析函数零点的孤立性和唯一性
第四章简介
退出
2010-5-16 复变函数 3
本章将讨论把解析函数表示为幂级数的问题，对于和
数学分析中平行的结论，往往只叙述而不加以证明。
我们还将利用幂级数得出解析函数的一个充要条件。
返回
级数是研究解析函数的一个重要工具。把解析函数表为级
数不但有理论上的意义，而且也有实用的意义。例如，利
用级数可以计算函数的近似值；在许多带应用性质的问题
中（如解微分方程等）也常常用到级数。
2010-5-16 复变函数 4
1.复数项级数的概念
2.一致收敛的复函数项级数
3.解析函数项级数
0.预备知识
1.复级数的基本性质§
4.练习
返回
退出
2010-5-16 复变函数 5
收敛于复数 s,
1.复数项级数的概念
...,2
1
1 ??????
?
?
???? n
n
n ?
(4.1)
??? nns ???? ?21 (部分和）
? ? )( Nns n ?
ss n
n
?
??
l i m
则称复数项无穷级数（ 4.1） 收敛 于 s,
记为 s =??
?1n
n? 返回
定义 4.1 对于复数项无穷级数
令
若复数列
且称 s为无穷级数的和
即
2010-5-16 复变函数 6
若复数列 )( Nns n ? 没有极限，
定理 4.1 ?
n nn iba ?
= ),2,1( ??n an bn及
为实数,则复级数（ 4.1）收敛于 a+ib(a,b 为实数）
级数 ??
?1n n
a ??
?1n n
b
设 s
n ?
?
n
k k1
?=,An ?
?
n
k k
a
1
=,Bn ?
?
n
k k
b
1
=,则
sn An Bn= + ),2,1( ??ni
ibas n
n
??
??li m
的充要条件为
lim??n An =a lim??n Bn =b
则称级数 发散
分别收敛于 a及 b 及
的充分必要条件为：
及
设
证
2010-5-16 复变函数 7
例 ??
?1n
?????? ? nin 21 的敛散性。
解,
??
?1n
??????n1
发散,??
?1n 2
1
n
=??
?1n
??????21
n 是公比为
2
1
级数,
注 1
因 而 的等比
因此其是收敛级数，
注 2
由数学分析的相应的部分，即数项级数那一部分，
有五个性质，而对于复级数也有相应的性质
由定理（ 4.1）可知，复数项级数的收敛性可以
完全转化为数分的数项级数的收敛性
考察级数
则我们断定原级数发散。
2010-5-16 复变函数 8
定理 4.2 ?? >0,? 自然数 N,
当 n>N且 p为任意自然数时，
??? pnnn ??? ??? ?21 < ?
特别，取 P=1,则必有,? 1?n < ?
显然，收敛数列的各项必是有界的。
若级数（ 4.1）中略去有限项，增加有限项，改变有限项，并不
改变级数的收敛性
定义 4.2 ??
?1n
an 收敛,??
?1n
an 绝对收敛 ；
非绝对收敛的收敛级数，称为
定理 4.3 ??
?1n
an 收敛，
则 ??
?1n
an 必收敛 （复级数收敛的一个充分条件为其绝对收敛）
复级数（ 4.1）收敛的充要条件为：
若级数 则称原级数
即若绝对收敛的级数其本身必定收敛。
条件收敛
注
2010-5-16 复变函数 9
级数 ??
?1n
an
实级数可看作特殊的复级数，因此可很容易地举出
条件收敛的例子
??
?1n
? ? nn 11?
由莱布尼兹判别法，可知此级数是条件收敛的级数
关于绝对收敛的复级数，和实级数一样，有相似的性质，
现叙述如下，而不加证明
一个绝对收敛的复级数的各项可以任意重排
例
可依正项级数的理论判定之
的各项既为非负实数，故它是否收敛，注 (1)
(2)
说明
定理 4.4
两个绝对收敛的复级数可按对角线方法得出
次序，
（ 1）
（ 2）
乘积级数
而不改变其绝对收敛性，亦不改变其和；
2010-5-16 复变函数 10
?1
?2
?3
?3?2
?1
?
?
?1 ?1 ?2
?1
?1 ?3
?2 ?2 ?2?1
?1?3 ?3 ?3
?2
?2
?3
?3
? ? ?
?
?
?
?
?? ???? ??? n21
?? ???? ??? n21B
A ?
?
2010-5-16 复变函数 11
得出乘积级数
?1?1 ?1 ?2 ?1 ?3?2 ?2?1 ?1?3?2+ ）+ （ ）+ + + ?
它收敛于 AB
返回
（ +
2010-5-16 复变函数 12
2.一致收敛的复函数项级数
定义 4.3
? ?zf1 ? ?zf 2 ? ?zf n+ ? ?+
(4.2)
的各项均在点集 E上有定义，
(4.2) (4.2)
的
??
?1n
? ?zf n=
用
? -N
的语言来描述
? ? > 0,? E,,当 n>N时
有 ? ?zszf n?)( <
? 返回
? ?zf则称 为级数? ?zf,
对于 E上? ?zf,
的每一点 z，
记为和函数
? ?zf
就是：
设复变函数项级数（函数项级数的收敛性）
++
且在 E上存在一个函数
均收敛于级数
以及给定的 z ? ?zN,?存在正整数 N= 使
2010-5-16 复变函数 13
其中 s
n ??z ?
?
n
n 1
? ?zf n= (称为部分和函数列）
上述的正数 一般地说，不但 依赖于
依赖于 z? z
?
?
定义 4.4
使得对任意 给定的 ? 当 n>N时，
? ?zszf n?)( < ?
则称级数 (4.2)在 E上 一致收敛 于
(4.2)
在单位元 z
? ? ? ? ? ? ?? ???????? ? 1232 nn zzzzzzz
? ?zf
? ?zNN,??,
这就是
而我们要讨论一种重要的情形是 N不依赖于
而且，
E
? ?zf
如果在点集 E上有一个函数，
存在正整数,>0 ? ??NN ?
有 )( Ez ?对一切的
例 函数项级数<1,
E 。
一致收敛的概念
对于级数
2010-5-16 复变函数 14
收敛和函数为
证明, ? ??zsn )()( 12 ????? nn zzzzz ?
nz
,1,?? zz ??nlim nz
?
=0
2)
nn zzs 00 0)( ??
Dn nzNnN ?????? 1,,
0
000 取
0)( 00 ?zsn
0
10
0
n
n
n ?
?
??
?
?
?
0
0
11
1
n
n ?
?
?
?
???
? ?
1?z
= = > e1
因此，该函数项级数在 1?z
? ?zf
=
= 0
非一致 收敛
但此级数? ? 0?zf 非一致收敛
1)
??? )(lim zs nn有
证明其不一致收敛
00 nz=
D：
2010-5-16 复变函数 15
由此例题可知，
n
n??
??
?
? ? 11 单调增加且趋向于 e)（ 因为
其正面的叙述，
要求对一致收敛概念有正确的理解，
一致收敛是比收敛更强的概念，
不仅要知道
而且还应该知道怎样否定一致收敛
说明：
即还要求知道怎样证明一个函数项级数或者函数
列在一个集合或者区域非一致收敛
2010-5-16 复变函数 16
定理 4.2
?? ?
)()()( 21 zfzfzf pnnn ??? ??? ?< ?
推论 nM
? )(zfn nM?
而且正项级数 ???1n nM
则复函数项级数
?
?
n
n 1
? ?zf n
且一致收敛；
称正项级数 ??
?1n n
M
?
?
n
n 1
? ?zf n
?
(4.2)
?
?
n
n 1
收敛
优级数。的
（柯西 一致收敛准则）
有E,对一切 z
使当 n>N时，收敛于某函数的充要条件是：
在点集 E上一致级数
? ??,NN ?
有E，使对一切 Z
如果有正项级数（优级数准则） ? ??,3,2,1?n
? ??,3,2,1?n
在集 E上绝对收敛
为复函数项级数
? ??,3,2,1?p
2010-5-16 复变函数 17
例
?
?
n
n 1 ? ?
222
1
zn ??
z
2n
? ? 222
1
zn ?? 2
1
n
则
baba ??? baba ???附注：
证明：
由优级数判别法可得结论
证明 一致收敛。<2<在 1
22 2)2( ??n
22)2( zn ?? 22)2( zn ?? ?
? ?
由于
?
2010-5-16 复变函数 18
例
?? ????????
?
n
n
n zzzz 2
0
1
在闭圆 rz ? (r<1)
证明 rzz nnn ??
即所述级数有收敛的优级数
??
?1n
nr等比级数
?
?
n
n 1
nr
收敛 ? <
级数
1
这是因为
上一致收敛
﹒
R=1
r
r说明
2010-5-16 复变函数 19
定理 4.6 ??
?1
)(
n n
zf 各项在集 E上连续，
一致收敛于
??
?1
)(
n n
zf=
也在点集 E上连续。
定理 4.7 ??
?1
)(
n n
zf
一致收敛于
(即和函数的积分等于每一项积分的和）
? ?zf
则和函数,? ?zf
则沿 C 可以逐项积分：,? ?zf
并且在 C上的各项在曲线 C上连续，设级数
设级数 并且
?c dzzf )( ? ? ?dzzfn c n? ?
?
?1
2010-5-16 复变函数 20
定义 4.5 ? ?zfn
定理 4.8 az?(4.2)
(4.2)?? ?
(4.2)
?k ??? az
证 ?k
?k 显然，在区域 D内一致收敛的级数
，必在 D内内闭一致，但反之不然
反例 就是几何级数
?? ????????
?
n
n
n zzzz 2
0
1
返回
﹒?
R
a
内闭一致收敛。
则称此级数在 D内在 D内的任一有界闭集上一致收敛，
若级数定义于区域 D内，n=1,2,设函数 )( ?
上一致收敛。
在闭圆, 级数，<R只要
内闭一致的充要条件为：<R在圆 K：级数
上的某个闭圆
总可以包含在 K内因为圆 K内的任意闭集 F，充分性
就是 K内的有界闭集。因为必要性
2010-5-16 复变函数 21
3.解析函数项级数
(维尔斯特拉斯定理 )
定理 4.9 ? ?zfn
??
?1n
? ?zfn
? ?zf
? ?zf
??
?1n
? ?zfn=
则 ? ?zf
（ 2） ? ?? ?zf p ??
?1n
? ?? ?zf pn= ( ??
在数学分析中，函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的，
然而解析函数项级数求导的条件却相对宽些 返回
? ??,2,1?n
在 D内内闭一致收敛于函数
和的 p阶导数等于
P阶导数之和
在区域 D内解析，
（ 2） ;
（ 1）设
在区域 D内解析。（ 1）
)3,2,1,=pD,z
2010-5-16 复变函数 22
证 ? ??? 0,zzK
0,zzK ? ?
? ?dzzfc n? =0,?
再由假设知级数 ??
?1n
? ?zfn
?c dzzf )(
K ? ?zfn
? ?zf所以由定理 4.6 K
=
于是,? ?zf
? ?zf
（ 2）
0z? ?zf
0z ? ??? 0,zzK
K ???? 0,ZZ
0z
0z
有3.13故由定理
。的边界是圆周全含于 D内，
使闭圆>0为 D内任一点必有设
在区域 K内解析。故的任意性，由于
解析在点即在 K内解析，由摩勒拉定理知
由定理 4.7上连续，在知 得
连续，且上一致收敛，在
则由柯西积分定理
内作任一围线，若 C为圆 <全含于 D内。
使闭圆>0,则必有为 D内任一点,设(1)
n=1,2,3,,得
? ? ?dzzfc n
n ?
??
?1
0
2010-5-16 复变函数 23
? ?? ?0zf p ip?2!
??
? ?
? ?? ?? ? ??
? d
z
f
p 1
0
=
? ?? ?0zf pn ip?2!
? ?
? ?? ?? ? ??
? d
z
f
p
n
1
0
=
在
? ?
? ? 10 ?? pz
f
?
? ??
?1n
? ?
? ? 10 ?? p
n
z
f
?
?= 是一致收敛的。
定理 4.7 ? ?? ? 1
0
?? pz
f
?
?
?d ????
?1n
? ?
? ? 10 ?? p
n
z
f
?
??d=
两端同乘以 ip?2!
?
? ?? ?0zf p ??
?1n
? ?? ?0zf pn= ( ?
返回
知级数（ 2）由条件上
于是由
得到
即得所要证明的
)P =1,2,3,
? )( P =1,2,3,
2010-5-16 复变函数 24
0.预备知识
复数列 收敛于)( Nniyxz nnn ???
x0
2） yixz nnn ?? 有极限 ? ?? >0,NntsNN ???,.),(?
有 zz
npn ??
< ?
若函数
（柯西收敛准则）
的任一围线 C,0)( ?? zdzf
c
则
返回
? ?nx, ? ?ny
分别收敛于,
0y
的充要条件是 000 iyxz ??
3) (摩勒拉定理 )
有
? ?Np ??
1）
在 D内解析? ?zf
在单连通区域连续,且对 D 内? ?zf
2010-5-16 复变函数 25
设
? ? 0?? dzzfc
5) (柯西积分公式） 设区域 D的边界是围线 C，
=D+C 上连续，
? ? ? ?? ?? c dzzfizf ???2 1
? ?zf
D
? ?zf
6) (解析函数的无穷可微性 )
? ?? ? ? ?
? ?? ?? ?c n
n d
z
f
i
nzf ?
?
?
? 12
!
返回
4) (柯西积分定理 )
C为 D内任一条围线,则
在 z平面上的单连通区域 D内解析，
在 D内解析
在 则有
)( Dz?
? ?Dz?
2010-5-16 复变函数 26
练习
1,判断下列级数的敛、散性。
n
in
n
??
?1
??2
? ?
!
53
1 n
i n
n
???
?
??3
n
n
i ?
?
??
?
? ???
? 2
51
1
??1
返回
? ?????? ??
? 1 2
1
n n
i
n
? ?????? ??
? 1
1
3n n nn
i
? ?????? ????
? 1 !13
12
n n
i
n
n ??4
??5 ??6
2010-5-16 复变函数 27
在 E上 非一致收敛 的充要条件是
0?? 对任意 n ? N ? on >n,? z0 ?E 使
??
?1n
? ?zf n
? ? )( 000 zfzs n ? ? 0?
其中 为部分和函数? ?zsn
返回
2010-5-16 复变函数 28
1.幂级数的敛散性
2.收敛半径 R的求法
3.幂级数和的解析性
2.幂级数
练习
返回
退出
2010-5-16 复变函数 29
1.幂级数的敛散性
? ?? ??
?1n
n
n azC ? ? ? ? ? ? ?? ????????
nn azCazCazCC 2210= (4.3)
作变换 ? az? ??
?1n ? ?
nn azc ? ??
?1n
nnc?az ???
定理 4.10 (4.3)
az? az ?1
? ? Kz 由证 ? ?? ??? 1 1n nn azC
则 ? ? ? Mazc nn ??1 ( ? ?
阿
贝
尔
定
理
1.幂级数的敛散性
返回
a
·1z
=
内绝对收敛且内闭一致收敛<K：
则其必在圆在点若幂级数 收敛，? ?az ?1
故其每项有界收敛，
s.t,M>0 )Nn
﹒
2010-5-16 复变函数 30
? ?nn azc ? ? ?
n
n
n az
azazc ?
?
??
?
?
?
??
1
1 ? ?nn azc ?1
n
az
az
?
?
1
=
? M
n
az
az
?
?
1
az? az ?1<? az
az
?
?
1
<1?
n
az
az
?
?
1
??
?1n
则等比级数
M
n
az
az
?
?
1
则 ? ?? ?
?
?1n
n
n azC
在圆 K内绝对收敛 利用正项级数收敛的比较判别法
=
收敛
因此为收敛的等比级数。
2010-5-16 复变函数 31
?K ??? az az ?1<
? ?nn azc ? ? ? ?nn azc ?1
n
az
az
?
?
1
?
n
az
M ??
?
?
???
?
?1
?
此为一个优级数
则由优级数判别法,? ?? ??
?1n
n
n azC
在圆 K内内闭一致收敛
?K
则由定理 4.8 知 ? ?? ?
?
?1n
n
n azC
:
一致收敛,在可知
2) 对 K 内任一闭圆
2010-5-16 复变函数 32
推论 4.11
心并通过
? ?az ?2
2z
2z
收敛的几种情形
1）只在 z=a收敛
2）在复平面的每
一点都收敛
3）既有收敛点又
有发散点 返回
·a
·
则它在以 a为发散，在某点
的圆周外部发散。
若幂级数 （ 4.3）
2010-5-16 复变函数 33
在这种情况下，我们称级数 的收敛半径为零（ 4.3）
即 R=0
例
?? ????? nn zzz 221 22
?
即其只在 z=0收敛，
1）
返回
故发散通项不趋于零，时，0当 z
因此 R=0
级数
2010-5-16 复变函数 34
此时，我们称级数 的收敛半径为,（ 4.3） ?
?
例
?
?? ????? n
nzz
z 221 2
2
2
1?
n
z
2）
返回
记为 R=
n
n
n
n
z ?
?
??
?
??
2
1
记所以，Z均收敛。
故所给级数对任意，总有于是从此以后，
以后总有从某个 n开始，对任意固定的 z，
级数
R=
2010-5-16 复变函数 35
3） 级数存在一点,使 收敛,另外
又存在一点,使 发散
在这种情况下，可以证明，存在一个有限正数 R，使得
在圆周 的内部绝对
收敛，在圆周 的外部发散。 R称为此幂级数
1z ? ?? ?
?
? 1 1n
n
n azC
? ?? ??
? 1 2n
n
n azC2z
? ?? ??
? 1n
n
n azC Raz ??
Raz ??
圆 <R 称为 收敛圆az?
圆周 =R 称为 收敛圆周az? 返回
?
的 收敛半径
a
1z
2z
·
·
·
R
a
2010-5-16 复变函数 36
2.收敛半径 R的求法
定理 4.12 ? ?? ??
?1n
n
n azC nc
lim??n n
n
c
c 1?
l?
lim??n n nc l?
??nlim n nc l?
?
?R
?
l
1 ??? ll,0
0 ??l
? ( 0?l
（柯西）
返回
合于的系数如果幂级数
)(
)(
)
2010-5-16 复变函数 37
例 求下列幂级数的收敛半径
??
?1n 2n
zn
!n
zn nzn!
npzn ? ?? ? nnn z13 ??
nz
n ??
??
?
? ??? 1
2
11 ?
??
?1n
??
?1n
??
?1n
??
?1n
??
?1n
(1)
(4) (5)
(2) (3)
返回
(6)
2010-5-16 复变函数 38
3.幂级数和的解析性
定理 4.13
? ?? ??
?1n
n
n azC? ??zf
(4.5)
的和函数 ? ?zf )0( ????? RRaz
(2)
? ? ? ? ? ?
? ? ??
??
???????
???????
?
?
pn
n
pp
p
azcpnnnnn
azcpcpzf
)1()1()1(
)(21! 1
( ?
(4.6)
返回
幂级数（ 1）
内解析
在其收敛圆 K:
即可以逐项求导至任意阶，幂级数在 K内，
)p=1,2,
2010-5-16 复变函数 39
(3)
? ?? ?
!p
afc p
p ? ( ?
? ?? ??
?1n
n
n azC因为 )0( ????? RRaz
内闭一致收敛于
(4.6)
? ?zf ? ? ? ??,2,1,0?? nazc nn
?
(4.6)
? ? ? ?? ?afafc 00 ??
? ?? ?
!p
afc p
p ? ( ?
返回
回
在其收敛圆
即得 (4.7),注意到
得,，令 z=a中，在
即得后，)p= 1,2,( 逐项 求 p阶导数
（ 1）、（ 2）部分得证。由维尔斯特拉斯定理，在 z平面解析。
又都而其各项，
)p=0,1,2,
证明, K:
)p=1,2,
2010-5-16 复变函数 40
??
?1n 2n
zn(1)
解
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
? ?
2
2
1
1
1
n
n ?
?
2
1??
??
?
?
?n
n
lim??n ? 1
所以 l1
返回
==R 1
=
2010-5-16 复变函数 41
!n
zn??
?1n
(2)
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
? ?
!
1
!1
1
n
n?
lim??n 11?n ? 0
所以,?
解
返回
=
= =
R收敛半径
2010-5-16 复变函数 42
nzn!?
?
?1n
(3)
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
? ?
!
!1
n
n? ? lim
??n
(n+1) ??解
所以
返回
?
R= 0
2010-5-16 复变函数 43
npzn?
?
?1n
(4)
解
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
p
n
n ?
?
??
?
? ?1 ?lim
??n
p
n??
??
?
? ? 11 ? 1
(p > 0, p 为常数 ）
所以，
返回
R =1收敛半径
?
2010-5-16 复变函数 44
? ?? ? nnn z13 ?????1n(5)
解
n nn cl ??? l i m
?
??nlim ? ?? ?
n13 ??
4
由柯西 -阿达玛定理
l
1 ?
4
1有
返回
?
?
R
2010-5-16 复变函数 45
nz
n ??
??
?
? ??? 1
2
11 ???
?1n(6)
n
n
n c
cl 1l i m ?
??
? lim
??n
n
n
1
2
1
1
1
1
2
1
1
???
?
???
?
?
? lim
??n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
n
n
1
2
1
1
1
1
?? 1
数列
??
?
??
? ???
n
1
2
11 ?注
解
返回是一个无穷大量
?
2010-5-16 复变函数 46
练习
??1
1.试确定下列幂级数的收敛半径：
n
zn
n
??
?1 ??2 n
n
n
nz
21?
?
?
??3 nnn zn???1
返回
2010-5-16 复变函数 47
2,如果
n
n
n c
c 1lim ?
?? 存在 ? ???
试证下列三个幂级数有相同
的收敛半径：
??1 nnzc? (原级数）；
??2 ? ? nn znc 1 (原级数逐项积分后所成级数）；
??3 1?? nn znc （原级数逐项求导后所成级数）；
返回
2010-5-16 复变函数 48
3,设 n
n n
zc??
?1
的收敛半径为 R? ???? R0
并且在收敛圆周
试证明这个级数对于所有的点 z,
绝对收敛且一致收敛。
Rz ?
上一点绝对收敛。
返回
2010-5-16 复变函数 49
(维尔斯特拉斯定理 )
定理 4.9 ? ?zfn
??
?1n
? ?zfn
? ?zf
? ?zf
??
?1n
? ?zfn=
则 ? ?zf
（ 2） ? ?? ?zf p ??
?1n
? ?? ?zf pn= ( ??
在数学分析中，函数项级数能逐项求导的条件是苛刻的，
然而解析函数项级数求导的条件却相对宽些
? ??,2,1?n
在 D内内闭一致收敛于函数
和的 p阶导数等于
P阶导数之和
在区域 D内解析，
（ 2） ;
（ 1）设
在区域 D内解析。（ 1）
)3,2,1,=pD,z
返回
2010-5-16 复变函数 50
1.泰勒定理
2.和函数在收敛圆周上的状况
3.一些初等函数的泰勒展式
3.解析函数的泰勒展式
返回
退出
2010-5-16 复变函数 51
由定理 4.13我们看到，任
意一个具有非零收敛半径
的幂级数在其收敛圆内收
敛于一个解析函数，这个
性质很重要。在解析函数
的研究上，幂级数之所以
重要，还在于这个性质的
逆命题也是成立的。那就
是 泰勒定理
2010-5-16 复变函数 52
1.泰勒定理
定理 4.14（泰勒定理） 设 在区域 D内解析，,只
要圆 含于 D，则 在 K内能展成幂级数
? ?zf Da?
RazK ??,? ?zf
? ?? ??
?1n
n
n azC? ?zf =
其中
? ?
? ?
? ?? ?
?? ? ?? ?
?
? !2
1
1 n
af
a
f
ic
n
nn
),2,1,0;0,,??????? nRa ????
且展式是唯一的。
（ 4.8）
（ 4.9） 回
返回
2010-5-16 复变函数 53
预备知识
1） 柯西积分定理
2）公式 ?? ?
?1
1
n
nu
u ( <1 )u
(柯西积分定理 ) 设 在 z平面上的单连通 D内解析，
C为 D内任一条围线，则 ? ? 0?? dzzf
c
? ?zf
(4.10)
(z D)?
3) (解析函数的无穷可微性 )
? ?? ? ? ?
? ?? ?? ?c n
n d
z
f
i
nzf ?
?
?
? 12
!
（定理 3.13）
2010-5-16 复变函数 54
?
z K
D
证, 设 z为 K内任意取定的点，总有
一个圆周,
使点 z含在 的内部,则
??
?? ? ?Ra ???? ??? 0
??
? ? ? ?? ?? ?
?
?? ?? dzfizf 2 1? ? ? ?
? ?
? ?,
1
1
z
aza
f
aza
f
z
f
?
?????????
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
,1????? ?? azzaz
当 时，由于
,
1
1
1
n
n a
az
a
az ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
由 公式 （ 4.10）
(4.11)a
R
·
·
2010-5-16 复变函数 55
? ? ? ?
? ?
? ?,
1
1
z
aza
f
aza
f
z
f
?
?????????
?
?
?
?
?
?
?
? ?
a
f
??
?
n
n a
az? ?
?
??
?
?
?
??
?1 ?
?? ? ? ? ?? ?,.
1 1
? ???
? ?n n
n
a
faz
?
?
? ? ? ?? ?? c dzzfizf ???2 1? ? ?n
n
az? ??
?1
? ?
? ?? ?? ?? ??? da
zf
i n 12
1
? ?
? ?? ?? ?? ??? da
zf
i n 12
1
由定理 3.13知
? ?? ?
!p
af n? P=1,2,)?
(沿 积分，并乘以 )?? i?21
2010-5-16 复变函数 56
最后得出
? ?? ??
?1n
n
n azC? ?zf =
其中的系数由公式 （ 4.9） 给出
下面证明展式是唯一的。
设另有展式
? ?? ??
? 1
'
n
nn azC? ?zf = RazK ??:（ z )?
则由 定理 4.13（ 3）,即知
? ?? ?
n
n
n cn
afc ??
!
' (n N)?
故展式是唯一的
2010-5-16 复变函数 57
定义 4.6 （ 4.8） 称为 在点 a的 泰勒展式, （ 4.9） 称为? ?zf
其 泰勒系数,而 （ 4.8） 右边的级数，是称为 泰勒级数
? ?
? ?
? ?
? ??? ? ?? ? ?? !2 1 1 nfafic
an
nn ? ?? ?
?
?1n
n
n azC
2010-5-16 复变函数 58
定理 4.15 在区域 D内解要的弃要条件为,在 D
任一点 a的邻域内可展成 z-a 的幂级数，即泰勒级数。
? ?zf ? ?zf
注
解析该定理是刻划解析函数的第四个等 价定理
? ?
? ??,2,1,0,0
m a x
???? ?? nR
zf
c nazn ?
?
?
由柯西不等式知，若 在 内解析，则其? ?zf Raz ??
nc系数 满足柯西不等式
返回
2010-5-16 复变函数 59
2.和函数在收敛圆周上的状况
定理 4.16 若幂级数 的收敛半径 R>0，且? ?? ??
?1n
n
n azC
? ?zf = ? ?? ???1n nn azC ? ?RzazKz ???,
则 在收敛圆周 C,=R 至少有一个奇点az?? ?zf
Raz ?? ? ?zf
? ?zF
在 内与 相等,
即
返回
而在 C上处处解析的
函数 是不存在的
2010-5-16 复变函数 60
（ 1） 使幂级数在收敛圆周上处处收敛，
其和函数在收敛圆周上仍然至少有一个奇点。
? ? ? ?? ?? ?
? 1n
n
n azCzf ? ?zf
ab?
（ 2） 若 b是 的
奇点中离 a最近的奇点，则 =R
注
返回
2010-5-16 复变函数 61
例 ? ?zf ??
?1n 2n
zn=
易知其收敛半径 R=1>0,而在圆周 =1上级数z
??
?1n
=2nz
n
??
?1n 2
1
n 是收敛的，所以原级数 ?
?
?1n 2
1
n
在圆周 =1 上是处处绝对收敛的；从而 在闭圆
.
z
1?z
? ? ?? ?????? ?nzzzzf n 12' 3211?z( )但
z=1 是 的一个奇点? ?zf
上绝对收敛且一致收敛
返回
(1)
2010-5-16 复变函数 62
例,在实数域内便不了解：为什么仅当 时有
展式,11 1 6422 ??????? xxxx
1?x
而函数 对于独立变数 x的所有的值都是确定。21 1x?
21
1
z?函数 在 z平面上有两个奇点，即 iz ??
21
1
z?因此,的幂级数展式的收敛半径 R=1
因为
由复数的观点
返回
(2)
2010-5-16 复变函数 63
3.一些初等函数的泰勒展式
下面给出几个初等函数的泰勒展式
它们的民数学分析中大家熟知的
形式是一致的
返回
2010-5-16 复变函数 64
1）
2）
3）
??
?
? 1 !n
n
z
n
z
e ? ???z
? ?
!
1s i n z
12
0 n
z n
n
n
??
?
? ?? ? ???z
? ?? ??
?
? 0
2
!
1c os
n
n
n
n
z
z ? ???z
2010-5-16 复变函数 65
4) Ln(1+z) 以 -1,为支点，将 z平面沿负实轴从 -1、
割破，而得的区域 G内,Ln(1+z) 可分出无穷多个单值解析分支
? ?
其主值支的展式为：
其它知支的展式为,
? ? ? ? n
n
n
z
n
z 11ln
1
o
???? ?
?
1?z( )
? ? ? ? n
n
n
k znikz
121ln
1
????? ?
?
?( k=0,1,2,)1? ? ? ?
2010-5-16 复变函数 66
5) 一般幂级数
? ? ? ?zLnez ??? 11 ??
其支点为 -1、,故 在 内
能分出单值解析分支。
? ? ??z?1 1?z
主值支,? ? ? ?zLnez ??? 101 ??
? ? ? ? ? ? ? ?,! 11!2 111 2 ??? ??????????? nzn nzzz ???????
1?z( )
( 为复数 ）?
2010-5-16 复变函数 67
例 将 在 展开成幂级数
z
ez
?1 1?z
解 因 在 解析，故展开后的幂级数在
z
ez
?1 1?z 1?z
内收敛。 ?
!3!21
32 zz
ze z ???? ? ???z
?3211 1 zzzz ????? ? ?1?z
z
ez
?1
?
?
??
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
??
3
2
!3
1
!2
1
!1
1
1
!2
1
!1
1
1
!1
1
11
z
zz
= 将两个幂级数相乘，利用对角
线相乘的方法
2010-5-16 复变函数 68
例 将 及 展为 z 的幂级数。zez cos zez sin
解 因
ze ie 42
?
?
? ?
????
?
? 2
4
4,
!
2
21
n
ni
n
n
i
n
ze
ze
?
?
? ? zez iezize 42s inc os ????
? ?
????
?
?
?
?
2
4
4,
!
221
n
ni
n
n
i
n
zeze
?
?
? ? izzizzz eeezize ???? s i ncos
2010-5-16 复变函数 69
两式相加除以 2得：
zez cos
zez sin
? ?
,
!
4
co s2
4
co s21
2
n
n
n
z
n
n
z
?
?
????
?
?
两式相减除以 2得：
? ?
,
!
4
s i n2
4
s i n2
2
n
n
n
z
n
n
z
?
?
???
?
?
??z
??z
2010-5-16 复变函数 70
例 试将函数
按 z-1的幂展开，并指明其收敛范围
? ? 2?? z zzf
解
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?.311
3
1
3
2
3
1
1
3
1
3
2
1
3
1
1
1
3
2
1
31
2
1
2
2
1
2
1
0
????
?
?
?
?
?
????
?? ?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
??
??
?
??
?
?
?
?
?
?
zz
z
z
zzz
z
zf
n
n
n
n
n
n
说明
在 z平面上只有一
个奇点 z=-2,因此，
在点 z=1展成幂级
数时，其收敛半径
R= ? ? 12 ?? =3
返回
2010-5-16 复变函数 71
4,练习
4.解析函数零点的孤立性和唯一性
返回
概述
1.解析函数零点的孤立性
2.唯一性定理
3.最大模原理
退出
2010-5-16 复变函数 72
概述
在很多实际问题中，
? ?zf 根的分布情况来研究 ? ?zf ? 0
返回
的问题。只从函数
我们这一节，那么这无穷多个可能的根的分布情况如何呢？
它可能有无穷多个根。在一般情况下，函数有几个根呢？
那么一个解析而多项式是解析函数，n次多项式有 n 个根，
一个将这个问题转化为求其特征多项式的根的问题。
在解常系数线性微分方程
时，
最简单的情况是：也就是求根。
往往需要研究使一个函数等于零的点，
2010-5-16 复变函数 73
1.解析函数零点的孤立性
什么是零点？
定义 4.7 设 D为 ? ?zf 的解析区域,Da?,
若 ? ? 0?af 则称 a 为解析函数 ? ?zf 的零点
如果在 Raz ?? 内,? ?zf 不恒为零，则可将 ? ?zf
在点 a 展为幂级数，则其系数必不全为零，
? ? ? ? ? ? ? ? ?? ???????? nn azcazcazcczf 2210
所以存在正数 m ? ?1?m 使
,0110 ???? ?mccc ?0?mc 返回
2010-5-16 复变函数 74
则称 a为 ? ?zf 的 m级零点，称 m为零点的级。
由于
? ?? ?
!n
afc n
n ?
0?nc ? ? ?? ?af n
则得零点的级的等价定义：
若 ? ? ? ? ? ?? ?,01' ???? ? afafaf m?? ?? ? 0?af m
则 a为 ? ?zf 的 m级零点
=0
2010-5-16 复变函数 75
则求其零点的级有
通过求导的方法，
除此之外，还有下列的定理：
哪些方法？
若已知 a为函数的零点，问题：
不为零的项的下标就是零点的级。
其系数中第一个只需把函数展在点 a展成幂级数，? 1.
? 2.
零点的级。
其导数不为零的最小的阶就是
2010-5-16 复变函数 76
定理 4.17 不恒为 0 的解析函数 ? ?zf 以 a 为 m级零点的
充分必要条件是 ? ? ? ? ? ?zazzf m ???
其中 ? ?z? 在点 a 解析,? ? 0?a?
证：“必要性” ? ?? 设 a 为 ? ?zf 的 m级零点，
则 ? ? ? ? ? ?? ?,01' ???? ? afafaf m?? ?? ? 0?af m
把 ? ?zf 在点 a 展开为幂级数，则有
? ?zf ? ? ? ? ?????? ?? 11 mmmm azcazc
? ? ? ?? ??azccaz mmm ???? ? 1
且
2010-5-16 复变函数 77
令 ? ? ? ? ????? ? azccz mm 1?
则 ? ?zf ? ? ? ?zaz m ???
显然 ? ?z? 在点 a 处解析，且 ? ? 0?? mca?
充分性 ? ?? ? ? ? ? ? ?zazzf m ???
由条件,? ? ? ? ????? azbbz 10? ? ?? ?00 ?? ab ?
则 ? ? ? ? ? ?? ??????? azbbazzf m 10
? ? ? ? ?????? ? 110 mm azbazb
由幂级数展开式的唯一性，可知在 ? ?zf 的展开式
2010-5-16 复变函数 78
? ? ? ? ? ? ?? ??????? mm azcazcczf 10
可得,0110 ???? ?mccc ? 00 ?? bc m
则由定义可知,a为 ? ?zf 的 m级零点
2010-5-16 复变函数 79
例 考察 ? ? zzzf s i n?? 在原点 z =0 的性质
解,Z=0 为解析函数 ? ?zf 的零点，
????? !5!3)s i n (
53 zz
zz
zz sin? ?????? ????? ?!5!3
53 zz
zz
?
?
??
?
? ??? ?
!5!3
1 23 zz
则 z = 0 为 ? ? zzzf s i n?? 的三级零点
2010-5-16 复变函数 80
例 求 ? ? 点的级的全部零点，并指出零1s i n ?? zzf
解,? ? 1s i n ?? zzf 在 z 平面上解析，
由,01s i n ??z 得 ? ??,2,1,022 ????? kkz ??
? ? ? ? zzzf c o s1s in '' ???
? ? ? ? zzzf s inc o s ''' ???
因为 022c os22' ??
?
??
?
? ???
?
??
?
? ? ???? kkf
2010-5-16 复变函数 81
?????? ? ?? kf 22''
则由定义可知
?? kz 22 ?? 为 ? ? 1s i n ?? zzf 的二级零点
1?? 0? ?????? ?? ?? k22s i n?
2010-5-16 复变函数 82
一个实变可微函数的零点可以不是孤立的；
在点 x = 0 可微，
? ??,3,2,11 ??? nnx ?也是其零点
由于 ? ???? nn 01?
所以 x = 0 不是孤立的零点
例如
? ?xf
?
xx
2sin2 0?x
0 0?x
?
但且 x = 0 为一个零点，
2010-5-16 复变函数 83
但在复变函数中，零点具有孤立性
定理 4.18 ? ?zf 在 Raz ?? 解析且不恒为零，
其零点,? ?zf 在其中无异于 a 的
零点。
（即不恒为零的解析函数的零点必是孤立的）
z = a 为
使则存在 a 的一个邻域，
2010-5-16 复变函数 84
证明, 令 a 为 ? ?zf 的 m 级零点，则由定理 4.17 有：
? ? ? ? ? ?zazzf m ???
其中 ? ?z? 在点 a 解析,? ? 0?a?
由 ? ?z? 在点 a 连续，
则存在 r, ? ?z? 在 raz ?? 恒不为零。
故 ? ?zf 在 raz ?? 除了 点 a 外无其它零点
且
（为什么？）
使
2010-5-16 复变函数 85
推论 4.19 设 ? ?zf 在 K,Raz ?? 内解析；
（ 2） 在 K内 ? ?zf 有一列零点 ? ?nz ? ?azn ?
收敛于 a, 则 ? ?zf 在 K 内必恒为零
证明,? ?zf 在 az? 解析，
? ? 0?nzf又由条件 得
则 ? ? ? ? ? ? 0l i ml i m ???
??? nnaz zfzfaf
所以 az? 为 ? ?zf 的零点
? ? 内必恒为零在则 Kzf
（思考这是为什么？） 返回
﹒ ﹒﹒
,an
z
（ 1）
K
R
﹒ ﹒ ﹒﹒﹒﹒﹒
﹒﹒
所以必连续则必可微，
2010-5-16 复变函数 86
2.唯一性定理
对于一个不加条件限制的复变函数，我们不能从其定义
域中某一部分的取值情况来确定其它部分的值。对于连续
函数也只能说，相邻两点的函数值相差很小。对于解析函数
来说就完全不同了。从下面的唯一性定理可以看出，解析
函数在其定义域中某点邻域内的取值情况完全决定着它在其
它部分的值。
返回
2010-5-16 复变函数 87
以前由柯西积分公式，使我们知道，从解析
函数的边界 C上的值可以推得它在 C的内部的一
切值。因此唯一性定理可以看成柯西定理的补充
定理，它们都反映解析函数的特性，同是解析函
数论中最基本的定理。
2010-5-16 复变函数 88
定理 4.20,设 ? ? ? ?zfzf 21 和 在区域 D内解析
（ 2） Da? 的点列
? ?nz ? ?azn ? 使 ? ? ? ?nn zfzf 21 ?
则 ? ? ? ?zfzf 21 和 在 K内恒等。
证明,令 ? ? ? ? ? ?zfzfzf 21 ?? 则 ? ? 0?nzf
只需证 ? ?zf 在 D内恒为零就行
由条件得 ? ?zf 在 D 内解析,? ? 0?nzf ? ??,3,2,1?n
若 D是以 a 为心的圆若 D是整个 z 平面，
可知 ? ? 0?zf
函数（ 1）
在 D内有一个收敛于
且
则由推论 4.19
2010-5-16 复变函数 89
.
.b
1a
2a
1?ka
L
设 b 是 D内任意固定的点，以一折线 L
连接点 a 和点 b 。
以 d 表示 L与 D的边界间的距离,d > 0
在 L 上取一串点
baaaaaa nn ?? ?,,,12,10 ?
使相邻两点间的距离小于 R ( 0 < R < d )
显然，由推论 4.19，可知
在 RazK ?? 00, 内 ? ? 0?zf
在 RazK ?? 11, 又重复利用推论 4.19
..
.
a
2010-5-16 复变函数 90
可知在 1K 内 ? ? 0?zf
由此继续下去，直到最后一个含有点 b 的圆为止。
在该圆 RbzazK nn ????,? ? 0?zf
则 ? ? 0?bf
因为 b 是 D内的任意一点，故证明了在 D 内 ? ? 0?zf
2010-5-16 复变函数 91
推论 4.21 在区域 D内解析的函数
? ? ? ?21 zfzf 及 在 D内的
某一区域（或一小弧段）上
则必在区域 D内恒等相等，
2010-5-16 复变函数 92
例 设 ??1
??2
试证,在 D内 ? ? ? ? 00 ?? zgzf 或
证明,若存在点,0 Dz ? 使 ? ? 00 ?zg
由 ? ?,00 DKzzzg ?的邻域连续，则存在在点
使 ? ? 内恒不为零在 Kzg
由 ? ? ? ? 0?? zgzf ? ?DKz ??
则 ? ? 0?zf ? ?DKz ??
由唯一性定理（推论 4.21）有,? ? 0?zf ? ?Dz?
? ? ? ? 内解析在区域及 Dzgzf
? ? ? ? 0?? zgzfD 内在
2010-5-16 复变函数 93
推论 4.22 一切在实轴上成立 的恒等式
? ?等等如 zzzzz co ss i n22s i n,1co ss i n 22 ???
在 z 平面上也成立,只要这个恒等式的两边
在 z 平面上都是解析的。
说明 记 ? ? zzzf 22 c o ss i n ?? ? ? 0?zg
显然 ? ? ? ? 平面上解析，在,zzgzf
在实轴上，有 1c o ss in 22 ?? xx 则由推论 4.22有
? ? ? ?zgzf ? 1c o ss in 22 ?? zz即
2010-5-16 复变函数 94
应用唯一性定理（特别是推论 4.21或
推论 4.22），在数学分析中常见的一些初
等函数的幂级数展式都可以推广到复数域
上来
例如 ??
?
? 1
!
n
n
zz ne ? ????z
返回
2010-5-16 复变函数 95
3.最大模原理
定理 4.23 （最大模定理） 设 ? ?zf 在区域 D内解析，
则 ? ?zf 在 D内任何点都达不到最大值，除非在 D
内 ? ?zf 恒等于常数。
即不恒为常数的解析函数在区域内部
不能取得最大模
返回
2010-5-16 复变函数 96
证明
记 M表示 ? ?zf 在 D内的最小上界，则必有
???? M0 假定在 D内有一点,0z 使 ? ? Mzf ?0
(1) 由平均值定理,DRZZKR 全含于使 ??? 0:,
? ? ? ? ?? ? ? dzfzf i? ?? 20 00 Re2 1
? ? ? ? ?? ? ? dzfzf i? ?? 20 00 Re2 1
? ? ? ? MzfMzf i ??? 00,Re 而??
? ? ? ? Mzf i ???? ???? Re,20 0有则对任意
分析
2010-5-16 复变函数 97
因此，
0z
为中心的每一个
充分小的圆周上 ? ?,Mzf ?
.0zR
换句话说，
0z
点的足够小的
邻域 K内（ K周界全含于 D内 )
? ?,Mzf ?
(2)由第二章 习题（一） 6（ 3）（ P86）
? ?zf 在 K内为一常数
在以点我们已经证明了：
K
在
有
D
2010-5-16 复变函数 98
（ 3） ? ?zf 在 D内必为常数
推论 若 ? ?zf 在区域 D解析且在内部取得最大模，
则 ? ?zf 在区域 D内恒为常数。
推论 设 （ 1） ? ?zf 在有界区域 D内解析，在
DDD ??? 上连续；
（ 2） ? ? ? ?DzMzf ??
则 ? ? ? ?DzMzf ?? 除非 ? ?zf 恒等于常数
由唯一性定理，
2010-5-16 复变函数 99
例 用最大模原理证明,? ?zf 在 上解析，Rz ?
如果存在 时，使当 Rza ??,0 ? ?,azf ?
而且 ? ?,0 af ?
则 ? ?至少有一个零点。内,zfRz ?
证 （用反证法） 假设 ? ?zf 在圆 ? ?无零点。内 zfRz ?
又在 ? ?,0??? azfRz 上,? ? 上解析。在且 Rzzf ?
则 ? ? ? ? 解析在 Rzzfz ?? 1?
若
·0R
2010-5-16 复变函数 100
? ?0?
上，且在 Rz ?
? ?z?
于是 ? ?z? 必非常数,上在 Rz ?
? ? ? ?.0?? ?z
由最大模原理，
非
常
数
解
析
函
数
在
区
域
内
不
能
取
得
最
大
模
，
换
言
之
，
要
取
得
最
大
模
，
只
能
在
边
界
上
取
得
返回
这就得到矛盾。
? ?0
1
f= > a
1
,1a? ?
zf
1 = <
2010-5-16 复变函数 101
分析 （用反证法） 假设 ? ?zf 在区域 D内取最大模，
则 ? ?zf 在区域 D恒为常数。
（ 1）要证 ? ?zf 在 D恒为常数，只需证 ? ?zf 在 D内
某区域（例如一个圆内）恒为常数（由唯一性定理）
（ 2） 要证 ? ?zf 在区域为常数，只需证 ? ?zf 在区域
为常数 （由第二章练习（一） 6（ 3））（ P86）
返回
2010-5-16 复变函数 102
第二章练习（一） 6（ 3）（ P86）
6.若函数 ? ?zf 在区域 D内解析且满足下列条件之一，
试证 ? ?zf 在区域 D内必为常数。
? ? ? ? ;01 ' ?zfD 内在
? ? ? ? 内解析；在 Dzf2
? ? ? ? 内为常数；在 Dzf3
? ? 内为常数。在或 Dzfzf )(Im)(Re4
返回
2010-5-16 复变函数 103
第二章练习（一） 6（ 3）（ P86）
6.若函数 ? ?zf 在区域 D内解析且满足下列条件之一，
试证 ? ?zf 在区域 D内必为常数。
? ? ? ? ;01 ' ?zfD 内在
? ? ? ? 内解析；在 Dzf2
? ? ? ? 内为常数；在 Dzf3
? ? 内为常数。在或 Dzfzf )(Im)(Re4
返回
2010-5-16 复变函数 104
（柯西积分公式）定理 3.11
设区域 D的边界是围线（或复围线） C,
? ?zf 在 D内解析，
上连续，CDD ?? 则有
? ? ? ?? ?? c dafizf ?? ??2 1? ?.Dz?
在
返回
D
C
·z
2010-5-16 复变函数 105
返回
4.练习
1.指出下列函数在零点 z = 0 级。
（ 1） ? ?;122 ?zez
（ 2） ? ?;6s in6 633 ?? zzz
（ 3） zzz c o s2421
42
???
2010-5-16 复变函数 106
2.设 级零点，的是函数 mzfz )(0 又是 ? ? 级零点，的 nzg
试问下列函数在 处具有何种性质？0z
（ 1） );()( zgzf ?
（ 2） );()( zgzf ?
（ 3） ? ?? ?.
zg
zf
2010-5-16 复变函数 107
3,在原点解析，而在 ? ??,2,11 ?? nnz 处取
下列各值的函数是否存在：
（ 1） 0,1,0,1,0,1,?
（ 2）,61,0,41,0,21,0 ?
（ 3）,，，，，，
6
1
6
1
4
1
4
1
2
1
2
1 ?
（ 4）,，，，,6554433221 ?
返回
2010-5-16 复变函数 108
