1.逻辑代数的基本概念与基本运算
2.逻辑函数及其表示方法
3.逻辑代数的基本运算的定律、定理和
重要规则
4.逻辑代数的简化
第三章 逻辑代数
内容提要：
1.了解逻辑代数概念
2.掌握真值表及卡诺图的画法以及有关
的定理定律，以对逻辑函数进行化简。
第三章 逻辑代数
要求：
3.1 逻辑代数的基本概念与基本运算
? 什么是逻辑代数
? 逻辑代数的基本运算
一、什么是逻辑代数
逻辑代数 的变量简称 逻辑变量,用字母 A,B、
C… 表示。逻辑变量有三种最基本的运算，即 逻辑
加 （“或”运算）,逻辑乘 （“与”运算）及 逻
辑非 （“非”运算）。
逻辑代数 （ Logic algebras）是分析和设计 数字逻
辑电路 （相对模拟电路而言）所用的数学工具。
又称 布尔代数 （ Boolean algebras)。逻辑代数是一
种双值代数，其变量只有 0和 1两种取值。
二、逻辑代数的基本运算
1、与（ AND）
2、或（ OR）
3、非（ NOT）
4、异或（ XOR,eXclusive OR）
1、与（ AND）
“与”运算的规则：
0 ∧ 0 = 0 0 ∧ 1 = 0
1 ∧ 0 = 0 1 ∧ 1 = 1
“与”运算的一般式：
C = A ∧ B
或写成,C = A · B
01010101
11010111
01010101
∧
2、或（ OR）
“或”运算的规则：
0 ∨ 0 = 0 0 ∨ 1 = 1
1 ∨ 0 = 1 1 ∨ 1 = 1
“或”运算的一般式：
C = A ∨ B
或写成,C = A ＋ B
01010101
11010111
11010111
＋
3、非（ NOT）
“非”运算又称取“非”或取“反”。
“非”运算的规则：
0 = 1 1 = 0
“非”运算的一般式：
C = A
A = 01010101
10101010
4、异或（ XOR,eXclusive OR）
“异或”运算的规则：
0 ⊕ 0 = 0 0 ⊕ 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1 1 ⊕ 1 = 0
“异或”运算的一般式：
C = A ⊕ B
01010101
11010111
01000010
⊕
“相同为 0，
不同为 1！,
3.2 逻辑函数及其表示方法
? 逻辑函数
? 真值表
一、逻辑函数
与普通代数中的函数类似，逻辑代
数中的函数（简称 逻辑函数 ）也是一种
变量，只是这种变量随其它变量的变化
而改变，可表示为：
F = f (A1,A2,…,Ai,…An)
式中,Ai（ i=1,2,…,n) 为逻辑变量,F为
逻辑函数,F与 Ai 的函数关系用 f 表示。
1、文字描述
2、逻辑表达式
3、真值表
4、卡诺图
表示逻辑函数的方法有四种：
二、真值表
真值表 是用表格表示函数与变量关
系的一种方法。
例,当两个逻辑变量 A,B的取值相异时，
函数 F的值为 1，否则为 0。可用 逻辑表达
式 表示如下：
BABABAfF ??? ),(
的真值表如函数 BABAF ??
逻辑变量
A not(B) not(A) B
逻辑函数
F
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
（ 1）甲从来不说话。（ 2）当且仅当甲在场时，
乙才说话。（ 3）丙在任何情况下都说话。
例,假定已知下列条件，求证屋内何时无人说话。
A B C F
0 0 0 1(无人说话）
0 0 1 0(有人说话）
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
右表中：
A=1，表示甲
在屋内
B=1,表示乙
在屋内
C=1,表示丙
在屋内
F=1,表示屋
内无人说话
A B C F
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
CBA ??
CBA ??
CBA ??
CBACBACBAF ?????????
3.3 逻辑代数的基本运算的定律、定
理和重要规则
? 逻辑代数中的三大基本定律
? 逻辑代数基本定理
? 逻辑代数运算中的基本法则
一、逻辑代数中的三大基本定律
1、交换律
ABBA
ABBA
???
???
2、结合律
)()(
)()(
CBACBA
CBACBA
?????
?????
3、分配律
))(()(
)(
CABACBA
ACABCBA
?????
????
A B C A+BC (A+B)(A+C)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
二、逻辑代数基本定理
1、同一律
AA
AA
??
??
1
0
2、互补律
0
1
??
??
AA
AA
3、重叠律
AAA
AAA
??
??
4,0-1律
00
11
??
??
A
A
5、吸收律
ABAA
ABAA
???
???
)(
)(
6、双重否定律
AA ?
7、消去律
ABBAA
BABAA
??
???
)(
8、莫根律
BABA
BABA
???
???
根据莫根律，在逻辑电路设计中，可通
过加入“非门”方式，用“与门”来实现“或”的
关系，或者用“或”门来实现“与”的关系。
三、逻辑代数运算中的基本法则
1、代入规则
)()( CBACBA ???
)()( CBFCBF ???
F 是逻辑表示式,如,F=（ AB+CD）。
2、对偶规则
AAAA
BABABABA
ABBABAAB
????
??????
????
1,0
,
,
BCAF
FCBAF
???
??? 为则其对偶式若 ),(
＋变成 ×, × 变成＋,0变成 1,1变成
0，可得其公式的 对偶式。
3、反演规则
为则其反演式若 FEDCBAF,?????
设 是任意一个逻辑表达式，如果
把 中所有的, ＋, 换成, ×,,,×,
变成, ＋,,, 0”变成, 1”,,1”变成
,0”，原变量换成反变量，那么所得
的表达式就是 的反演式 。F
F
F
F
在使用反演规则时，只能
去掉单个变量上的反号，
而不能去掉两个或多个变
量上的反号。
EDCBAF ?
3.4 逻辑代数的简化
? 公式法化简
? 卡诺图法化简
一、公式法化简
公式法化简“与或”表达式
最简的“与或”表达式应满足如下的要求：
（ 1）与项的个数最少，这样可使实现电路所
用的, 与, 门个数最少。
（ 2）与项中含的变量最少。
公式法化简 中用来消去 原公式 中多余
的 项 与 变量 的公式有：
1、消去变量的公式
0,1,11 ????? AAAAA
2、集中同一变量的公式
AAAAAA ????,
3、压缩变量的公式
ABBAABABAA
ABAAAABA
?????
????
)(,
)(,
公式法化简 用中常用的方法：
1、并项法
CBAACABF ???化简例 ]1[
A
CBACBA
CBAACABF
?
????
???
)()(
且消去一个变量
将两项合为一项利用公式 ABAAB ??
2、吸收法
DBABF ??化简例 ]2[
B
ACB
CBABF
?
??
??
)1(
消去一个变量利用公式 AABA ??
3、消去法
CAABCBF ???化简例 ]3[
ACB
CBACB
CBACB
CBACB
CAABCBF
??
??
???
???
???
)(
)(
)(
消去多余因子利用公式 BABAA ???
4、配项法
BACBCBBAF ????化简例 ]4[
CACBBABBCACBBA
BCACBACBACBCBABA
CBABCACBACBACBBA
CCBACBAACBBA
BACBCBBAF
???????
??????
??????
??????
????
)(
)()()(
)()(
项配项与给某个利用公式 ][1?? AA
CBACBACBAF ???化简例 ]5[
CAB
CBA
CBAA
CBACA
CBABBCA
CBACBACBAF
?
??
??
??
???
???
)(
)(
)(
))()((]5[ CBACBACBAF ???????化简例
)(
)(
)(
BCA
CBCA
CABAC
CABBBAC
CABCBAA B CF
??
??
??
???
???
利用对偶原理有
CBAF ??
再利用对偶原理有
二、卡诺图法化简
BAAB ?
1
1
A
B 0 1
0
1
1 1
1 1
A
B 0 1
0
1
BABABAAB ???
CAB
CBA
CBAA
CBACA
CBABBCA
CBACBACBAF
?
??
??
??
???
???
)(
)(
)(
1 1
1
A
BC 0 1
00
01
11
10
CB CA
＋
DBCCBCAADF ????
* *
# $ # * * $
# $ # & & $
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
CADF ??
1,逻辑代数与普通代数有何区别？
2,试列出下列函数的真值表：
（１）
（２）
（３）
（４）
BABAF ??
ABCABCF ??
CBABCACBAF ???
CBAF ???
习题三
3、试用真值表证明下列等式：
（１）
（２）
（３）
BCCAABCAAB ????
CBAA B C ???
BAABBAAB ????
4、利用逻辑代数的基本定理及规则
证明下列等式：
（１）
（２）
（３）
（４）
BABAA ???
? ? ABABA ??
? ?? ? ? ?? ?? ?CBCABACABA ??????
? ?? ?BABABAAB ?????
5,利用公式法化简下列各式：
（１）
（２）
（３）
（４）
BBAF ???
A B CCBABCAF ???
? ?? ?CABAAF ???
? ?? ?? ?CBACBACBAF ???????
6、利用卡诺图法化简下列各式：
（１）
（２）
（３）
ABCCBABCACBAF ????
A B CBABAF ???
B C DCABDAABF ????
7,逻辑函数有哪几种表示方法？
真值表有哪些用途？
8,莫根定律的含义是什么？ 有什
么用途？
附录：专业术语英汉对照
Logic algebras
Boolean algebras
Function
Procedure
Gate circuits
Flip-flop
Inverter gate
NAND gate
NOR gate
AOI:AND-OR-Invert gate
2.逻辑函数及其表示方法
3.逻辑代数的基本运算的定律、定理和
重要规则
4.逻辑代数的简化
第三章 逻辑代数
内容提要：
1.了解逻辑代数概念
2.掌握真值表及卡诺图的画法以及有关
的定理定律，以对逻辑函数进行化简。
第三章 逻辑代数
要求：
3.1 逻辑代数的基本概念与基本运算
? 什么是逻辑代数
? 逻辑代数的基本运算
一、什么是逻辑代数
逻辑代数 的变量简称 逻辑变量,用字母 A,B、
C… 表示。逻辑变量有三种最基本的运算，即 逻辑
加 （“或”运算）,逻辑乘 （“与”运算）及 逻
辑非 （“非”运算）。
逻辑代数 （ Logic algebras）是分析和设计 数字逻
辑电路 （相对模拟电路而言）所用的数学工具。
又称 布尔代数 （ Boolean algebras)。逻辑代数是一
种双值代数，其变量只有 0和 1两种取值。
二、逻辑代数的基本运算
1、与（ AND）
2、或（ OR）
3、非（ NOT）
4、异或（ XOR,eXclusive OR）
1、与（ AND）
“与”运算的规则：
0 ∧ 0 = 0 0 ∧ 1 = 0
1 ∧ 0 = 0 1 ∧ 1 = 1
“与”运算的一般式：
C = A ∧ B
或写成,C = A · B
01010101
11010111
01010101
∧
2、或（ OR）
“或”运算的规则：
0 ∨ 0 = 0 0 ∨ 1 = 1
1 ∨ 0 = 1 1 ∨ 1 = 1
“或”运算的一般式：
C = A ∨ B
或写成,C = A ＋ B
01010101
11010111
11010111
＋
3、非（ NOT）
“非”运算又称取“非”或取“反”。
“非”运算的规则：
0 = 1 1 = 0
“非”运算的一般式：
C = A
A = 01010101
10101010
4、异或（ XOR,eXclusive OR）
“异或”运算的规则：
0 ⊕ 0 = 0 0 ⊕ 1 = 1
1 ⊕ 0 = 1 1 ⊕ 1 = 0
“异或”运算的一般式：
C = A ⊕ B
01010101
11010111
01000010
⊕
“相同为 0，
不同为 1！,
3.2 逻辑函数及其表示方法
? 逻辑函数
? 真值表
一、逻辑函数
与普通代数中的函数类似，逻辑代
数中的函数（简称 逻辑函数 ）也是一种
变量，只是这种变量随其它变量的变化
而改变，可表示为：
F = f (A1,A2,…,Ai,…An)
式中,Ai（ i=1,2,…,n) 为逻辑变量,F为
逻辑函数,F与 Ai 的函数关系用 f 表示。
1、文字描述
2、逻辑表达式
3、真值表
4、卡诺图
表示逻辑函数的方法有四种：
二、真值表
真值表 是用表格表示函数与变量关
系的一种方法。
例,当两个逻辑变量 A,B的取值相异时，
函数 F的值为 1，否则为 0。可用 逻辑表达
式 表示如下：
BABABAfF ??? ),(
的真值表如函数 BABAF ??
逻辑变量
A not(B) not(A) B
逻辑函数
F
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
1 1 0 0 1
1 0 0 1 0
（ 1）甲从来不说话。（ 2）当且仅当甲在场时，
乙才说话。（ 3）丙在任何情况下都说话。
例,假定已知下列条件，求证屋内何时无人说话。
A B C F
0 0 0 1(无人说话）
0 0 1 0(有人说话）
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
右表中：
A=1，表示甲
在屋内
B=1,表示乙
在屋内
C=1,表示丙
在屋内
F=1,表示屋
内无人说话
A B C F
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 0
CBA ??
CBA ??
CBA ??
CBACBACBAF ?????????
3.3 逻辑代数的基本运算的定律、定
理和重要规则
? 逻辑代数中的三大基本定律
? 逻辑代数基本定理
? 逻辑代数运算中的基本法则
一、逻辑代数中的三大基本定律
1、交换律
ABBA
ABBA
???
???
2、结合律
)()(
)()(
CBACBA
CBACBA
?????
?????
3、分配律
))(()(
)(
CABACBA
ACABCBA
?????
????
A B C A+BC (A+B)(A+C)
0 0 0 0 0
0 0 1 0 0
0 1 0 0 0
0 1 1 1 1
1 0 0 1 1
1 0 1 1 1
1 1 0 1 1
1 1 1 1 1
二、逻辑代数基本定理
1、同一律
AA
AA
??
??
1
0
2、互补律
0
1
??
??
AA
AA
3、重叠律
AAA
AAA
??
??
4,0-1律
00
11
??
??
A
A
5、吸收律
ABAA
ABAA
???
???
)(
)(
6、双重否定律
AA ?
7、消去律
ABBAA
BABAA
??
???
)(
8、莫根律
BABA
BABA
???
???
根据莫根律，在逻辑电路设计中，可通
过加入“非门”方式，用“与门”来实现“或”的
关系，或者用“或”门来实现“与”的关系。
三、逻辑代数运算中的基本法则
1、代入规则
)()( CBACBA ???
)()( CBFCBF ???
F 是逻辑表示式,如,F=（ AB+CD）。
2、对偶规则
AAAA
BABABABA
ABBABAAB
????
??????
????
1,0
,
,
BCAF
FCBAF
???
??? 为则其对偶式若 ),(
＋变成 ×, × 变成＋,0变成 1,1变成
0，可得其公式的 对偶式。
3、反演规则
为则其反演式若 FEDCBAF,?????
设 是任意一个逻辑表达式，如果
把 中所有的, ＋, 换成, ×,,,×,
变成, ＋,,, 0”变成, 1”,,1”变成
,0”，原变量换成反变量，那么所得
的表达式就是 的反演式 。F
F
F
F
在使用反演规则时，只能
去掉单个变量上的反号，
而不能去掉两个或多个变
量上的反号。
EDCBAF ?
3.4 逻辑代数的简化
? 公式法化简
? 卡诺图法化简
一、公式法化简
公式法化简“与或”表达式
最简的“与或”表达式应满足如下的要求：
（ 1）与项的个数最少，这样可使实现电路所
用的, 与, 门个数最少。
（ 2）与项中含的变量最少。
公式法化简 中用来消去 原公式 中多余
的 项 与 变量 的公式有：
1、消去变量的公式
0,1,11 ????? AAAAA
2、集中同一变量的公式
AAAAAA ????,
3、压缩变量的公式
ABBAABABAA
ABAAAABA
?????
????
)(,
)(,
公式法化简 用中常用的方法：
1、并项法
CBAACABF ???化简例 ]1[
A
CBACBA
CBAACABF
?
????
???
)()(
且消去一个变量
将两项合为一项利用公式 ABAAB ??
2、吸收法
DBABF ??化简例 ]2[
B
ACB
CBABF
?
??
??
)1(
消去一个变量利用公式 AABA ??
3、消去法
CAABCBF ???化简例 ]3[
ACB
CBACB
CBACB
CBACB
CAABCBF
??
??
???
???
???
)(
)(
)(
消去多余因子利用公式 BABAA ???
4、配项法
BACBCBBAF ????化简例 ]4[
CACBBABBCACBBA
BCACBACBACBCBABA
CBABCACBACBACBBA
CCBACBAACBBA
BACBCBBAF
???????
??????
??????
??????
????
)(
)()()(
)()(
项配项与给某个利用公式 ][1?? AA
CBACBACBAF ???化简例 ]5[
CAB
CBA
CBAA
CBACA
CBABBCA
CBACBACBAF
?
??
??
??
???
???
)(
)(
)(
))()((]5[ CBACBACBAF ???????化简例
)(
)(
)(
BCA
CBCA
CABAC
CABBBAC
CABCBAA B CF
??
??
??
???
???
利用对偶原理有
CBAF ??
再利用对偶原理有
二、卡诺图法化简
BAAB ?
1
1
A
B 0 1
0
1
1 1
1 1
A
B 0 1
0
1
BABABAAB ???
CAB
CBA
CBAA
CBACA
CBABBCA
CBACBACBAF
?
??
??
??
???
???
)(
)(
)(
1 1
1
A
BC 0 1
00
01
11
10
CB CA
＋
DBCCBCAADF ????
* *
# $ # * * $
# $ # & & $
AB
CD
00
01
11
10
00 01 11 10
CADF ??
1,逻辑代数与普通代数有何区别？
2,试列出下列函数的真值表：
（１）
（２）
（３）
（４）
BABAF ??
ABCABCF ??
CBABCACBAF ???
CBAF ???
习题三
3、试用真值表证明下列等式：
（１）
（２）
（３）
BCCAABCAAB ????
CBAA B C ???
BAABBAAB ????
4、利用逻辑代数的基本定理及规则
证明下列等式：
（１）
（２）
（３）
（４）
BABAA ???
? ? ABABA ??
? ?? ? ? ?? ?? ?CBCABACABA ??????
? ?? ?BABABAAB ?????
5,利用公式法化简下列各式：
（１）
（２）
（３）
（４）
BBAF ???
A B CCBABCAF ???
? ?? ?CABAAF ???
? ?? ?? ?CBACBACBAF ???????
6、利用卡诺图法化简下列各式：
（１）
（２）
（３）
ABCCBABCACBAF ????
A B CBABAF ???
B C DCABDAABF ????
7,逻辑函数有哪几种表示方法？
真值表有哪些用途？
8,莫根定律的含义是什么？ 有什
么用途？
附录：专业术语英汉对照
Logic algebras
Boolean algebras
Function
Procedure
Gate circuits
Flip-flop
Inverter gate
NAND gate
NOR gate
AOI:AND-OR-Invert gate
