Chapter 2
Discrete time signals and system
analysis in frequency domain
(z-Transform & FT)
(z变换与傅立叶变换）
2.5 z-Transforms of Series
1,Definition of Z transform(ZT)
?
??
???
??
n
nznxzX )()(
（ double sides）
Z is a complex variable
?
??
???
??
n
njenxjX ?? )()(
?
??
???
??
n
nznxzX )()(
对比上面两个式子发现,
此式表明,单位圆上的 z变换就是序列的 FT.如果知道序列的 ZT,
根据上式,可以很快在求出它的 FT,其条件是 ROC中包含单位
圆
?? jezzXjX ?? |)()(
12
0
( ) ( ) 1nn
nn
X z u n z z z z
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ???
1,
1
1
1 ??? ? zz
For example:
The pole is z=1,which means ZT is invalid in unit circle
and so the FT is invalid either,but if we use a impulse
function,it’s FT can be denoted as Table 2.3.2 shows,
? single side z-transform is defined as:
0
( ) ( )
n
n
x z x n z
?
?
?
? ?
12
0
( ) ( ) 1nn
nn
X z u n z z z z
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ???
Condition of Z-transform
??
??
???
? ＜
n
nznx )(
Transfer function （ 传递函数,系统函
数） of the filter (or system), 表征
系统的复频域特性,
?
??
???
?
?
n
n
znhzH )()(
(z 变换的性质 )
（ 1） Linearity property(线性性质）,
（ 2） Delay property（ 时延性）,
)( zXz D?)( Dnx ?
)()( 2211 nxanxa ? )()( 2211 zXazXa ?
2,Properties of Z - transform
（ 3） Sequence multiplied by,
（ 序列乘以 ）
（ 4） Sequence multiplied by n
（ 序列乘以 n ）
na
)( nxa n )/( azX
)(nnx
dz
zdXz )(?
na
（ 时域卷积性质）
y(n)=h(n)*x(n) Y(z)=H(z)X(z)
（ 5） Convolution property in the
time-domain:
（ 5） Conjugate of complex
sequence(复数取共轭 )
)()( *** zXnx ?
（ 6） initial value theorem(初值定理 )
)(,nxa s s u m e Is a causal sequence,then:
)()0( l i m zXx
z ??
?
（ 7） final value theorem(终值定理 )
)(,nxa s s u m e Is a causal sequence,except one one-order pole in z=1,other poles lie inside
the unit circle,then:
)()1()( l i ml i m
1
zXznx
zn
??
???
（ 8） Complex convolution
theorem(复卷积定理 )
????
??
?
?
?
yxyx
c
RRzRR
v
dv
v
z
YvX
j
zW
nynxnw
)()(
2
1
)(
)()()(
?
（ 9） Parseval theorem
? ?
?
??? ?
?
??
n
jj
ev
deYeXnynx
j
?
?
?
?
??
?
)()(
2
1)()( **
? ??
???
??
n c v
dvvYvX
jnynx )*()(2
1)()( 1**
?
? ??
???
?
?
???
n c
nynx
z
dzzXzX
jnx )()(2
1)( 12)()(
?
? ?
?
???
?
?
???
n
j
nynx
deXnx ?
?
?
?
? 22
)()(
)(
2
1)(
?? ? xx RzR ＜
Z变量取值收敛域一般用环状表示
1
0
1
( ) 1
1
n
n
X z z z
z
?
?
?
?
? ? ? ? ?
??
R
x －
j I m [z ]
R e [z ]
R
x ＋
3,Region of Convergence
(收敛域 ----ROC)
Z变量取值的域,
For Examples:
11
1
)( ?
?
?
az
nua n
11
1)1(
?????? aznua
n
|z|>a
|z|<a
2.5.2序列特性对收敛域影响
? 1、有限长序列。
? 主要注意 0点与 无穷远 点。其它的点都收敛,
? 对于 n1<n<n2;
? 2、右序列。
? 3、左序列。
? 4、双边序列。
?????
?????
?????
z，nn
z，nn
z，nn
00,0
00,0
00,0
21
21
21
时
时
时
对因果和右边序列
ROC> a
对逆因果和左边序列
ROC< a
对双边序列
b <ROC< a
对有限信号（序列）
Radius 半径
??? R O C0
(圆外 )
(圆内 )
(圆环内 )
(全 Z平面 )
Causal signals
anti-causality
Mixed signals
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1p 2
p 3
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
?
??
c
n dzzzX
j
nx 1)(
2
1
)(
?
4,Inverse z-Transform
X(z) and its ROC unique x(n)
?
??
???
??
n
nznxzX )()(
（部分分式展开法）
)(
)(
)(
zD
zN
zX ?
the Partial Fraction Expansion Method:
IZT
N(z)----the numerator polynomial
分子多项式
D(z)----the denominator polynomial
分母多项式
Pi----poles of X(z) or zeros of D(z)
X(z)的极点 或 D(z)的零点
)(
)()(
zD
zNzX ?
11
2
2
1
1
1
11
2
1
1
1
...
11
)1),..(1)(1(
)(
)(
)(
)(
???
???
?
??
?
?
?
?
???
?
?
zp
A
zp
A
zp
A
zpzpzp
zN
zD
zN
zX
M
M
M
如果分母多项式的阶次大于分子多项式的阶
次，则：
M
M
pz
zA
pz
zA
pz
zAzX
?
??
?
?
?
?,..)(
2
2
1
1
单极点时，部分分式展开项的系数 Ai 为,
ii
piz
pzzXpz
zXzpA ii
???
?? ?
?
|)]()[(
|)]()1[(
1
here A0=X(z)|z=0
如果分母多项式的阶次等于分子多项式
的阶次，则
M
M
M
M
pz
zA
pz
zA
A
zp
A
zp
A
AzX
?
??
?
??
?
??
?
??
??
...
1
...
1
)(
1
1
0
11
1
1
0
)(
)(
)(
)(
)(
)(
zD
zR
zQ
zD
zN
zX ???
Quotient
商
remainder
余数
如果分母多项式的阶次小于分子多项式，
则用长除法，得
If the poles of X(z) are the complex-
conjugate pairs:
...
111
)( 11*
*
1 2
2
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
? ???
zp
A
zp
A
zp
A
zX
...)()()()( 221111 ** ????? nupAnupAnupAnx nnn
共轭复数
...)()()c o s (||||2 22111 1 ????? nupAnuAnpA nn ?
左边序列,Z的升幂排列
右边序列,Z的降幂排列 (正幂）
长除法,page50
? Important ZT of series
? Page 51
Example:
描述某系统的差分方程为
y(n)-4y(n-1)+3y(n-2)=f(n-1)+2f(n-2)
试求系统函数和冲激响应 。
解：等两端取 z变换, 得
)(2)(
)(3)(4)(
21
21
zFzzFz
zYzzYzzY
??
??
??
??
所以
21
21
341
2
)(
)(
)( ??
??
??
?
??
zz
zz
zF
zY
zH
11
1
2
1
1
0
31
6
5
1
2
3
3
2
311
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
zz
z
A
z
A
A
则冲激响应为
)()3
6
5
2
3
()(
3
2
)( nunnh n??? ?
N 阶差分方程：
5,Solve difference equation with
z-Transform（ 差分方程的 Z域求解）
1,)()( 0
00
???? ??
??
aknxbknya
M
k
k
N
k
k
Method to solve difference equation:
?
?
??
?? ???
1
])()([)]()([
mk
km zkyzYznumnyZT
Method1,采用双边 Z变换
（无初始状态或零初始 状 态）
Method2,采用单边 Z变换
（有初始状态）
)2()1()()()2(
)1()()()1(
)1()0()()()2(
)0()()()1(
12
1
22
??????
????
????
???
??
?
xxzzXznunx
xzXznunx
zxxzzXznunx
zxzzXnunx
I
I
I
I
解：等式两端取单边 z 变换，得
例 y(n)-ay(n-1)=u(n),y(-1)=1,
试求 y(n) 。
1
1
1
1
)1()()( ??
?
????
z
ayzYazzY
)(
)1(
)1(
)(
)1())(1(
)(
2
1
2
nu
a
a
ny
az
a
azz
z
zY
n
?
?
?
?
?
??
?
?
?
解：
例：已知下面的系统函数，求系统的差分
方程。
1
1
8.01
25)(
?
?
?
??
z
zzH
)(
8.01
25)()()(
1
1
zX
z
zzXzHzY
?
?
?
???
)()25()()8.01( 11 zXzzYz ?? ????
)1(2)(5)1(8.0)( ????? nxnxnyny
2.6 离散系统的系统函数和频率响应
系统函数：
频率响应：
单位圆上的系统函数 (传输函数 ))(
?jeH
)(
)(
)]([)(
zX
zY
nhFTzH ??
?
?
jez
j zHeH
?? |)()(
稳定性：
???
?
???
|)(| nh
n
1,|)(| ????
?
???
? zznh n
n
（ 稳定的系统收敛域包括单位圆）
1,零极点分布对系统因果、稳定性的影响：
离散系统稳定的充分必要条件是：
The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆 )
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1p 2
p 3
unit
circle
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
unit
circle
unit circle
0,0)( ?? nnh
???? || zR x
Causality ( 因果性 )：
in the z-domain
c a u s a l i t y ||m a x|| ?? ii pz
c a u s a l i t y-a n t i ||m i n|| ?? ii pz
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1p 2
p 3
因果、稳定系统：
H（ z） 的收敛域为,??? || z?
（ ROC包含单位圆且极点均在单位圆内）
2,利用零极点分布确定系统的频率特性：
?
?
?
?
?
?
??
N
i
i
i
M
i
i
i
za
zb
zX
zY
zH
0
0
)(
)(
)(
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
N
r
r
M
r
r
MN
N
r
r
M
r
r
dz
cz
Az
zd
zc
A
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)1(
)1(
?
?
?
??
?
?
?
N
r
r
j
M
r
r
j
MNjj
de
ce
AeeH
1
1)(
)(
)(
)(
?
?
??
位于原点的零极点不影响
只影响
|)(| ?jeH
)(??
设系统稳定,将 z=e^jw代入上式
相量相减的
矢量几何表
示法,从 Cr?
单位圆上的
e^jw
零点矢量
极点矢量
)(
1
1
)()(
???? jj
N
r
r
M
r
r
j
eeH
Bd
Bc
AeH ??
?
?
?
?
?
?
B为单位圆上的一点,对应 jw的角度,Cr是零
点,dr是极点
单位圆附近的零点
]a r g [|| kcj
kk ecc ?
使得 |)(| ?jeH
分子变小，形成波谷，越靠近单位圆，波谷
越低
极点使 形成波峰，极点越靠近
单位圆，波峰越尖锐。 |)(|
?jeH
例 1,The shape of the spectrum X( ) is affected
by the pole/zero pattern of the z-transform X(z).
1
1
1
1
1
1
1
1)(
pz
zz
zp
zzzX
?
??
?
??
?
?
?je
||
||
|)(|)(
1
1
1
1
pe
ze
eX
pe
ze
eX j
j
j
j
j
j
?
?
??
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
p 1
z 1
0 zero dip
pole peak
|X( )|
0
ω
ωω
1φ1 ?
2.6 Transfer functions
Equivalent Descriptions of Digital Filters
? system function H(z)（ 传递函数）
? Frequency response/transfer function H( )
（ 频率响应）
? Block diagram realization and
sample processing algorithm（ 方框图及采样算
法描述）
? I/O difference equation （ 输入输出差分方程）
? Pole/zero pattern（ 零极点描述）
? Impulse response h(n)（ 冲激响应）
? I/O convolutional equation（ 卷积）
?je
system function
H(z)
impulse response
h(n)
I/O convolutional
equation
pole/zero
pattern
I/O difference
equation(s)
filter design
method
frequency response
Transfer function
H( )
block-diagram
realization sample
processingfilter design
specifications
?je
2.7 Pole/Zero Designs
设某一离散因果稳定系统有一对共轭复数极点。
01 ?jeRp ?? 02 ?jeRp ???
0<R<1
1
p
p*
z-plane
-ω0
ω0
We obtain the transfer function:
21
1010
211
)1)(1(
)(
??
???
??
?
????
?
zaza
G
zeRzeR
G
zH
jj ??
Where a1=-2Rcos ω0,a2=R2.
If |H(ω0)|=1,
then
2)2c o s (21)1( 0 RRRG ???? ?
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
1/2
1
0
| H ( ) | 2?je
??
ω
ω0 ?/2
?Notch and Comb Filters
1
0
|H(ω)|2?je
ω0 ?
陷波器 梳状滤波器
u n i t c i r c l e
pole
zero
0
unit
circle
1
0
unit
circle
2.8 z变换与拉氏变换的关系
1.连续信号的 FT与 ST
)(txa )( ?jX a )(sXa
??? dttx a |)(| ???? dtetx ta |)(| ?
FT ST
)(|)( ???? jXsX ajsa
(S 的收敛域包含虚轴 )
经过采样的信号为：
n s T
n
s enTxsX
?
?
???
??? )()(
2.LT与 ZT关系
??
?
???
??
???
????
nn
nTtnTxnTttxtx )()()()()(? ??
,sTez ?令 则
从拉氏变换到 z变换是 单值映射,从 z到 s
域是 多值映射 关系。
sTez ?
)2(||ln
1
?kjz
T
s ????
?
?
???
??
n
nznTxzX )()(
连续信号的 ST与离散信号 ZT
)(?)(|)(
)(
1
)(?
zXeXZX
jkSX
T
SX
a
ST
eZ
k
saa
ST ??
???
?
??
???
?
sTez ?
)ln (1 z
T
s ?
Relationship between S plane and Z plane
??? js ? ??? jTj eerez ??
Ter ??
S plane Z plane
虚轴 （ σ=0） （ r =1） 单位圆
左半平面 （ r <1） 单位圆内
右半平面 （ r >1） 单位圆外
从 S 到 Z 是单值映射，从 z 到 s 域是多值映
射关系。
T???
σ
jΩ
ZT
π/T
-π/T
3π/T
ST
sTez ?
R=eσT=1
for the whole plane
z- pl ane
z= a
10
s- pl ane
0
s 1
s 2
Tj
?
Tj
??
sTez ?
multi-valued mapping多值映射
? 信号及系统的分析方法,
? 时域分析法
? 频域分析法
? 模拟系统,
? 信号,连续变量时间 t的函数来表示
? 系统,微分方程描述
? 分析方法,Laplace transform and Fourier
transform get a frequency domain function.
2.1 Fourier transform of
discrete-time signal (FT)
Fourier transform of
discrete-time signal (FT)
? 离散系统,
? 信号,用序列来表示,自变量取整数,其它时刻
无定义,
? 系统,用差分方程描述
? 分析方法,Z变换或 FT.
? 注,以后本书中的 FT指的是离散序列的
Fourier transform.
（离散时间信号的傅立叶变换）
Definition of FT
x(n) —— discrete-time signal
)( ?jeX
—— Fourier transform of
discrete-time signal (FT)
s
T
?
?
???
2 ?
?
（ 相对角频率，数字角频率）
(FT)
从采样的信号拉氏变换或 z变换，不难得出：
（令, ）
n s T
n
s enTxsX
?
?
???
?? )()(?
0?? ?? js
?
??
???
???
n
njj enxeX ?? )()(
离散时间信号的傅立叶变换的定义：
?
??
???
??
n
njj enxeX ?? )()(
?
?
?
?
?? deeXnx njj?
?
? )(
2
1)(
?
?
???
??
n
nx |)(|
(FT)
Condition:
(IFT)
Example1:page29
1,FT ( 序列 FT )的周期性：
Properties of FT
?
?
???
??
?
n
j nMjenxeX )2()()( ???
(n & M are integers)
时域 频域
连续 非周期
离散 周期
周期 离散
序列的傅立叶变换是频率 ω的周期函数，周期
为 2?。
ω= ± ?,± 3?,序列的最高频率
ω= 0,± 2?,± 4?,直流分量
分析域,[-?,?] 或 [0,2?]
对比
???
???
?????
k
sjkjXTjX )(1)(?
oω?2ππ
)( ?jeX
-π
o
Ω
?Ω
sΩs /2
)(? ?jX
-Ωs /2
? ?
??
o
X(jΩ)
ΩΩm-Ωm
??
???
???
n
j nMjenxeX )2()()( ???
? ??? ???? dtetxjX tj)()(
3、时移与频移性质,
][)]([
)()]([
)(
0
00
0
???
??
?
?
?
??
jnj
jnj
eXnxeFT
eXennxFT
4,时域卷积定理
)()()(
)(*)()(
??? jjj eHeXeY
nhnxny
??
?
2,线性性质
)()()( nhnxny ??
)(*)(
2
1)( ???
?
jjj eHeXeY ?
?
?
?
?
??? deHeX jj )()(
2
1 )(?
?
??
5、频域卷积定理
6,对称性：
序列的共轭对称,
设
有
)(*)( nxnx ee ??
)()()( njxnxnx eiere ??
)()(
)()(
nxnx
nxnx
eiei
erer
???
??
实偶
虚奇
序列的共轭反对称,
设
有
)(*)( nxnx oo ???
)()()( njxnxnx oioro ??
)()(
)()(
nxnx
nxnx
oioi
oror
??
???
（ 实奇、虚偶）
一般实序列 一般序列
)()()( nxnxnx orerr ?? )()()( nxnxnx oe ??
偶序列 奇序列 共轭对称序列 共轭反对
称序列
)]()([
2
1
)(
)]()([
2
1
)(
nxnxnx
nxnxnx
rror
rrer
???
???
)](*)([
2
1
)(
)](*)([
2
1
)(
nxnxnx
nxnxnx
o
e
???
???
对于频域函数 X( ),也有类似的结论：
其中 共轭对称
共轭反对称
而
?je
)()()( ??? jojej eXeXeX ??
)(*)(
)(*)(
??
??
j
o
j
o
j
e
j
e
eXeX
eXeX
?
?
??
?
)](*)([
2
1
)(
)](*)([
2
1
)(
???
???
jjj
o
jjj
e
eXeXeX
eXeXeX
?
?
??
??
（ a） 序列分成实部与虚部时,
其中
)()()(
)( )( )(
??? j
o
j
e
j
ir
eXeXeX
njxnxnx
??
??
?
?
?
???
?
???
?
??
??
n
r
n
nj
rr
j
e
njnnx
enxnxFTeX
)]s i n ()) [ c os ((
)()]([)(
??
??
显然，其实部是 的偶函数，虚部是 的奇
函数，符合共轭对称的定义。
再看
?
?
???
???
n
nj
ii
j
o enxjnjxFTeX ?? )()]([)(
? ?
符合共轭反对称的定义。
（ b） 序列分成共轭对称 与共轭非对
称 时,
其中
)(nxe
)(nxo
)()()(
)( )( )(
??? j
I
j
R
j
oe
ejXeXeX
nxnxnx
??
??
)]()([
2
1)( ??? jjj
R eXeXeX ???
)]()([
2
1)( ??? jjj
I eXeXejX ???
证明：
)( )( )( nxnxnx oe ??
)]( )([
2
1 )( * nxnxnx
e ???
?
?
???
????
n
njenxnxFT ?)()]([ **
??
?
???
?
?
???
??
k
kj
k
kj ekxekx ** ])([)( ??
)(* ?jeX?
所以
)]()([
2
1)]([ * ?? jj
e eXeXnxFT ??
)()](R e [ ?? jRj eXeX ??
)]()([
2
1)]([ * ?? jj
o eXeXnxFT ??
)()](I m [ ?? jIj ejXeXj ??于是
实因果序列 h(n),其 FT只有共轭对称部分
)()( ?? jej eHeH ?
)()(
)()(
??
??
j
I
j
I
j
R
j
R
eHeH
eHeH
?
?
??
?
实偶
虚奇
幅度函数
)()(|)(| 222 ??? jIjRj eHeHeH ??
（ ω的偶函数）
相位函数
)](/)(t a n [a r g)](a r g [ ??? jRjIj eHeHeH ?
（ 是 ω的奇函数）
Table of FT
? Page35
2.3周期序列的离散付里叶级
数
? 因为周期序列在时间域内不是绝对可和的,即,
?
?
???
??
n
nx |)(|
? 因此周期序列的 FT不存在。
? 但是对于周期性函数，可以展开成 FS
（ Fourier Series）
?
? ?
?
Tt
t
tjk
k dtetfTa
0
0
)(1 ?
)s i nco s()( 11
1
0 tnbtnaatf nn
n
?? ??? ?
?
?
?
??
???
?
k
tjk
k eatf
1)( ?
?对应的周期复信号的 Fourier级数：
?连续时间的周期实信号表示：
?连续时间 Fourier级数
kn
N
j
k
k eanx
?2
)(~ ?
?
???
?
? 是以 N为周期的周期序列：
这里：
??????
?
?
?
?
?
k
enx
N
a
kn
N
j
N
n
k
?21
0
)(
~1
K表示谐
波次数
K次谐波
强度
)(~ nx
傅立叶级
数系数
??????
?
?
?
?
?
?
k
enxkX
NakX
kn
N
j
N
n
k
?21
0
)(
~
)(
~
)(
~
同样可得：
kn
N
jN
k
ekX
N
nx
?21
0
)(
~1
)(~ ?
?
?
?
X(n)
傅立叶级数
)(~nx
将周期序
列分解成 N
次谐波
? 所以可以得到一个变换对 DFS：
? ?
kn
N
jN
n
enxnxD FSkX
?21
0
)(~)(~)(
~ ??
?
???
? ? knNj
N
k
ekX
N
kXI D FSnx
?21
0
)(
~1
)(
~
)(~ ?
?
?
??
? We can get two graphics of this problem.
? 1:periodic discrete time series in N=8.
? 2:discrete spectrum lines.
? Comparision:
? 1:FT of page29,continous spectrum?非周期
信号的谱型是连续的,
? 2:FS of page37,discrete spectrum ?周期信号
的谱型是离散的,
Example1:page36
Fourier Transform of Periodic Series
? ?
)(2
)()(
0
0
????
???
???
??
?
?
??
dteetxFTjX
tjtj
aa
tja etx 0)( ??模拟系统中,对于 其 FT是在 处的冲击函数,
离散系统中,对于
njenx 0)( ??
周期为有理数,与模拟系
统具有相同的形式,
0?
因为,
nrjnj ee )2( 00 ??? ??
? ? ? ?
)2(2
)(
0
)2( 00
r
eFTeFTeX
nrjnjj
?????
????
???
??
?
?
??
?
为在 处的单位冲击函数r?? 2
0 ?
? ? )22()(
~2
)(~)(
1
0
rk
NN
kXnxFTeX N
k r
jw ????? ???? ? ?
?
?
?
???
)2()(~2 k
N
kX
N k
???? ?? ??
???
kn
N
jN
n
enxkX
?21
0
)(~)(~
??
?
??
Example 2 and 3
page39
?)( jweX )2()(~2 k
N
kX
N k
?
??
?
??
?
???
Fourier Transform of Periodic Series
? Attention:
? 1:Difference of DFS and FT,This can be
identified between above two equations.
? Unit,amplitude….
? 2:Difference between unit impulse
series and unit impulse function.
? 3:the common properties of DFS and FT.
2.4 与 的关系
对模拟信号
)( ?jeX )( ?jX a
???
??
?
?
?
??
?
?
??
??
dejXtx
dtetxjX
tj
aa
tj
aa
)(
2
1
)(
)()(
?
经时域采样，得
)(
1
)(?
)()()(?
s
n
aa
n
aa
jkjX
T
jX
nTtnTxtx
?????
??
?
?
?
???
?
???
?
如
成立)()( nTxnx a?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??
?
?
deeXnx
enxeX
njj
n
njj
)(
2
1
)(
)()(
离散
序列
X(e jω)与 Xa(jΩ)之间有什么关系,在模拟信号
数字处理中,是很重要的问题。为分析上面提
出的问题,我们将
表示成无限多个积分和，每个积分区间为
1( ) ( )
2
j n T
aax n T X j e d?
? ?
??
? ? ??
T?2
( 2 1 ) /
( 2 1 ) /
1( ) ( )
2
rT j n T
aa rT
r
x n T X j e d
?
??
? ?
?
?? ? ?
? ? ?? ?
令, 代入上式后, 再将 Ω′用 Ω
代替, 得到
式中, e-j2πrn=1,交换求和号和积分号得到
2 r
T
??? ? ? ?
? ?
?
???
?
?? ????
r
T
T
rnjnTj
aa deer
T
jXnTx
?
?
??
?
2)2(
2
1)(
? ??
?
???
? ???? T
T
r
nTj
aa der
T
jXnTx
?
?
?
?
)2(
2
1)(
代入 ω=ΩT, 得
1 1 2
( ) ( )
2
12
( ) ( )
jn
aa
r
j
a
r
x n T X j j r e d
T T T
X e X j j r
T T T
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
? ??
?
? ??
??
??
??
?
得到 序列 FT周期
模拟信号频谱
序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变
换之间的关系,与采样信号,模拟信号分别
的 FT之间的关系一样,都是 Xa(jΩ)以周期
Ωs=2π/T进行周期延拓。
结论：
之间的关系为与 )()( ?jXeX aj?
)2(1)( k
T
j
T
jX
T
eX
k
a
j ??? ?? ?
?
???
f
T
T ?????? ??? 或其中
)(1)(? s
n
aa jkjX
T
jX ????? ?
?
???
与 的关系)( ?jeX )( ?jX
a
比较
模拟频率与数字频率的定标关系
f
?
?
-f s f s0
0
0 s
?
s
??
2/
s
?2/
s
??
f s /2-f s /2
?2? ?2
?? ?
序列的 FT
周期
-1 -0.5 0 0.5 1
-1 -0.5 0 0.5 1
例 2.4.1
设
对 采样，求 和 的傅立叶变换
以及 的 FT。
解：
连续信号的傅立叶变换
HzfHzftftx sa 200,50),2c o s ()( 00 ??? ?
)(txa )(? txa)(txa
)(nx
)]2()2([
)]([)(
00 ff
txFTjX aa
????? ??????
??
采样信号的傅立叶变换
?
?
?
???
?
???
??????????
????
??
k
ss
s
k
a
aa
fkfk
T
jkjX
T
txFTjX
)]2()2([
)(
1
)](?[)(?
00
????
?
离散时间信号的傅立叶
变换 FT
?
?
?
???
?
???
????????
????????
k
k
ssss
j
kk
T
ffkfffkf
T
eX
)]
2
2()
2
2([
)]22()22([)(
00
?
???
?
???
?
????????
??
)2(1)( kTjTjXTeX
k
aj
??? ?? ??
???
频谱
?
?
0
0
0 s?s??
)( ?jX a
2
s??
?2?
02 f?
??
?
02 f??
T
?
?T
?
?
2
s?
02 f?02 f??
)(? ?jX a
)( ?jeX
?2
2
?
2
??
Discrete time signals and system
analysis in frequency domain
(z-Transform & FT)
(z变换与傅立叶变换）
2.5 z-Transforms of Series
1,Definition of Z transform(ZT)
?
??
???
??
n
nznxzX )()(
（ double sides）
Z is a complex variable
?
??
???
??
n
njenxjX ?? )()(
?
??
???
??
n
nznxzX )()(
对比上面两个式子发现,
此式表明,单位圆上的 z变换就是序列的 FT.如果知道序列的 ZT,
根据上式,可以很快在求出它的 FT,其条件是 ROC中包含单位
圆
?? jezzXjX ?? |)()(
12
0
( ) ( ) 1nn
nn
X z u n z z z z
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ???
1,
1
1
1 ??? ? zz
For example:
The pole is z=1,which means ZT is invalid in unit circle
and so the FT is invalid either,but if we use a impulse
function,it’s FT can be denoted as Table 2.3.2 shows,
? single side z-transform is defined as:
0
( ) ( )
n
n
x z x n z
?
?
?
? ?
12
0
( ) ( ) 1nn
nn
X z u n z z z z
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ???
Condition of Z-transform
??
??
???
? ＜
n
nznx )(
Transfer function （ 传递函数,系统函
数） of the filter (or system), 表征
系统的复频域特性,
?
??
???
?
?
n
n
znhzH )()(
(z 变换的性质 )
（ 1） Linearity property(线性性质）,
（ 2） Delay property（ 时延性）,
)( zXz D?)( Dnx ?
)()( 2211 nxanxa ? )()( 2211 zXazXa ?
2,Properties of Z - transform
（ 3） Sequence multiplied by,
（ 序列乘以 ）
（ 4） Sequence multiplied by n
（ 序列乘以 n ）
na
)( nxa n )/( azX
)(nnx
dz
zdXz )(?
na
（ 时域卷积性质）
y(n)=h(n)*x(n) Y(z)=H(z)X(z)
（ 5） Convolution property in the
time-domain:
（ 5） Conjugate of complex
sequence(复数取共轭 )
)()( *** zXnx ?
（ 6） initial value theorem(初值定理 )
)(,nxa s s u m e Is a causal sequence,then:
)()0( l i m zXx
z ??
?
（ 7） final value theorem(终值定理 )
)(,nxa s s u m e Is a causal sequence,except one one-order pole in z=1,other poles lie inside
the unit circle,then:
)()1()( l i ml i m
1
zXznx
zn
??
???
（ 8） Complex convolution
theorem(复卷积定理 )
????
??
?
?
?
yxyx
c
RRzRR
v
dv
v
z
YvX
j
zW
nynxnw
)()(
2
1
)(
)()()(
?
（ 9） Parseval theorem
? ?
?
??? ?
?
??
n
jj
ev
deYeXnynx
j
?
?
?
?
??
?
)()(
2
1)()( **
? ??
???
??
n c v
dvvYvX
jnynx )*()(2
1)()( 1**
?
? ??
???
?
?
???
n c
nynx
z
dzzXzX
jnx )()(2
1)( 12)()(
?
? ?
?
???
?
?
???
n
j
nynx
deXnx ?
?
?
?
? 22
)()(
)(
2
1)(
?? ? xx RzR ＜
Z变量取值收敛域一般用环状表示
1
0
1
( ) 1
1
n
n
X z z z
z
?
?
?
?
? ? ? ? ?
??
R
x －
j I m [z ]
R e [z ]
R
x ＋
3,Region of Convergence
(收敛域 ----ROC)
Z变量取值的域,
For Examples:
11
1
)( ?
?
?
az
nua n
11
1)1(
?????? aznua
n
|z|>a
|z|<a
2.5.2序列特性对收敛域影响
? 1、有限长序列。
? 主要注意 0点与 无穷远 点。其它的点都收敛,
? 对于 n1<n<n2;
? 2、右序列。
? 3、左序列。
? 4、双边序列。
?????
?????
?????
z，nn
z，nn
z，nn
00,0
00,0
00,0
21
21
21
时
时
时
对因果和右边序列
ROC> a
对逆因果和左边序列
ROC< a
对双边序列
b <ROC< a
对有限信号（序列）
Radius 半径
??? R O C0
(圆外 )
(圆内 )
(圆环内 )
(全 Z平面 )
Causal signals
anti-causality
Mixed signals
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1p 2
p 3
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
?
??
c
n dzzzX
j
nx 1)(
2
1
)(
?
4,Inverse z-Transform
X(z) and its ROC unique x(n)
?
??
???
??
n
nznxzX )()(
（部分分式展开法）
)(
)(
)(
zD
zN
zX ?
the Partial Fraction Expansion Method:
IZT
N(z)----the numerator polynomial
分子多项式
D(z)----the denominator polynomial
分母多项式
Pi----poles of X(z) or zeros of D(z)
X(z)的极点 或 D(z)的零点
)(
)()(
zD
zNzX ?
11
2
2
1
1
1
11
2
1
1
1
...
11
)1),..(1)(1(
)(
)(
)(
)(
???
???
?
??
?
?
?
?
???
?
?
zp
A
zp
A
zp
A
zpzpzp
zN
zD
zN
zX
M
M
M
如果分母多项式的阶次大于分子多项式的阶
次，则：
M
M
pz
zA
pz
zA
pz
zAzX
?
??
?
?
?
?,..)(
2
2
1
1
单极点时，部分分式展开项的系数 Ai 为,
ii
piz
pzzXpz
zXzpA ii
???
?? ?
?
|)]()[(
|)]()1[(
1
here A0=X(z)|z=0
如果分母多项式的阶次等于分子多项式
的阶次，则
M
M
M
M
pz
zA
pz
zA
A
zp
A
zp
A
AzX
?
??
?
??
?
??
?
??
??
...
1
...
1
)(
1
1
0
11
1
1
0
)(
)(
)(
)(
)(
)(
zD
zR
zQ
zD
zN
zX ???
Quotient
商
remainder
余数
如果分母多项式的阶次小于分子多项式，
则用长除法，得
If the poles of X(z) are the complex-
conjugate pairs:
...
111
)( 11*
*
1 2
2
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
? ???
zp
A
zp
A
zp
A
zX
...)()()()( 221111 ** ????? nupAnupAnupAnx nnn
共轭复数
...)()()c o s (||||2 22111 1 ????? nupAnuAnpA nn ?
左边序列,Z的升幂排列
右边序列,Z的降幂排列 (正幂）
长除法,page50
? Important ZT of series
? Page 51
Example:
描述某系统的差分方程为
y(n)-4y(n-1)+3y(n-2)=f(n-1)+2f(n-2)
试求系统函数和冲激响应 。
解：等两端取 z变换, 得
)(2)(
)(3)(4)(
21
21
zFzzFz
zYzzYzzY
??
??
??
??
所以
21
21
341
2
)(
)(
)( ??
??
??
?
??
zz
zz
zF
zY
zH
11
1
2
1
1
0
31
6
5
1
2
3
3
2
311
??
??
?
?
?
?
??
?
?
?
??
zz
z
A
z
A
A
则冲激响应为
)()3
6
5
2
3
()(
3
2
)( nunnh n??? ?
N 阶差分方程：
5,Solve difference equation with
z-Transform（ 差分方程的 Z域求解）
1,)()( 0
00
???? ??
??
aknxbknya
M
k
k
N
k
k
Method to solve difference equation:
?
?
??
?? ???
1
])()([)]()([
mk
km zkyzYznumnyZT
Method1,采用双边 Z变换
（无初始状态或零初始 状 态）
Method2,采用单边 Z变换
（有初始状态）
)2()1()()()2(
)1()()()1(
)1()0()()()2(
)0()()()1(
12
1
22
??????
????
????
???
??
?
xxzzXznunx
xzXznunx
zxxzzXznunx
zxzzXnunx
I
I
I
I
解：等式两端取单边 z 变换，得
例 y(n)-ay(n-1)=u(n),y(-1)=1,
试求 y(n) 。
1
1
1
1
)1()()( ??
?
????
z
ayzYazzY
)(
)1(
)1(
)(
)1())(1(
)(
2
1
2
nu
a
a
ny
az
a
azz
z
zY
n
?
?
?
?
?
??
?
?
?
解：
例：已知下面的系统函数，求系统的差分
方程。
1
1
8.01
25)(
?
?
?
??
z
zzH
)(
8.01
25)()()(
1
1
zX
z
zzXzHzY
?
?
?
???
)()25()()8.01( 11 zXzzYz ?? ????
)1(2)(5)1(8.0)( ????? nxnxnyny
2.6 离散系统的系统函数和频率响应
系统函数：
频率响应：
单位圆上的系统函数 (传输函数 ))(
?jeH
)(
)(
)]([)(
zX
zY
nhFTzH ??
?
?
jez
j zHeH
?? |)()(
稳定性：
???
?
???
|)(| nh
n
1,|)(| ????
?
???
? zznh n
n
（ 稳定的系统收敛域包括单位圆）
1,零极点分布对系统因果、稳定性的影响：
离散系统稳定的充分必要条件是：
The ROC of H(z) contain the unit circle(单位圆 )
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1p 2
p 3
unit
circle
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
unit
circle
unit circle
0,0)( ?? nnh
???? || zR x
Causality ( 因果性 )：
in the z-domain
c a u s a l i t y ||m a x|| ?? ii pz
c a u s a l i t y-a n t i ||m i n|| ?? ii pz
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1
p 2
p 3
I m [ z ]
R e [ z ]
p 1p 2
p 3
因果、稳定系统：
H（ z） 的收敛域为,??? || z?
（ ROC包含单位圆且极点均在单位圆内）
2,利用零极点分布确定系统的频率特性：
?
?
?
?
?
?
??
N
i
i
i
M
i
i
i
za
zb
zX
zY
zH
0
0
)(
)(
)(
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
N
r
r
M
r
r
MN
N
r
r
M
r
r
dz
cz
Az
zd
zc
A
1
1
1
1
1
1
)(
)(
)1(
)1(
?
?
?
??
?
?
?
N
r
r
j
M
r
r
j
MNjj
de
ce
AeeH
1
1)(
)(
)(
)(
?
?
??
位于原点的零极点不影响
只影响
|)(| ?jeH
)(??
设系统稳定,将 z=e^jw代入上式
相量相减的
矢量几何表
示法,从 Cr?
单位圆上的
e^jw
零点矢量
极点矢量
)(
1
1
)()(
???? jj
N
r
r
M
r
r
j
eeH
Bd
Bc
AeH ??
?
?
?
?
?
?
B为单位圆上的一点,对应 jw的角度,Cr是零
点,dr是极点
单位圆附近的零点
]a r g [|| kcj
kk ecc ?
使得 |)(| ?jeH
分子变小，形成波谷，越靠近单位圆，波谷
越低
极点使 形成波峰，极点越靠近
单位圆，波峰越尖锐。 |)(|
?jeH
例 1,The shape of the spectrum X( ) is affected
by the pole/zero pattern of the z-transform X(z).
1
1
1
1
1
1
1
1)(
pz
zz
zp
zzzX
?
??
?
??
?
?
?je
||
||
|)(|)(
1
1
1
1
pe
ze
eX
pe
ze
eX j
j
j
j
j
j
?
?
??
?
?
?? ?
?
?
?
?
?
p 1
z 1
0 zero dip
pole peak
|X( )|
0
ω
ωω
1φ1 ?
2.6 Transfer functions
Equivalent Descriptions of Digital Filters
? system function H(z)（ 传递函数）
? Frequency response/transfer function H( )
（ 频率响应）
? Block diagram realization and
sample processing algorithm（ 方框图及采样算
法描述）
? I/O difference equation （ 输入输出差分方程）
? Pole/zero pattern（ 零极点描述）
? Impulse response h(n)（ 冲激响应）
? I/O convolutional equation（ 卷积）
?je
system function
H(z)
impulse response
h(n)
I/O convolutional
equation
pole/zero
pattern
I/O difference
equation(s)
filter design
method
frequency response
Transfer function
H( )
block-diagram
realization sample
processingfilter design
specifications
?je
2.7 Pole/Zero Designs
设某一离散因果稳定系统有一对共轭复数极点。
01 ?jeRp ?? 02 ?jeRp ???
0<R<1
1
p
p*
z-plane
-ω0
ω0
We obtain the transfer function:
21
1010
211
)1)(1(
)(
??
???
??
?
????
?
zaza
G
zeRzeR
G
zH
jj ??
Where a1=-2Rcos ω0,a2=R2.
If |H(ω0)|=1,
then
2)2c o s (21)1( 0 RRRG ???? ?
Resonator----谐振器
3-dB width----3 分贝带宽
1/2
1
0
| H ( ) | 2?je
??
ω
ω0 ?/2
?Notch and Comb Filters
1
0
|H(ω)|2?je
ω0 ?
陷波器 梳状滤波器
u n i t c i r c l e
pole
zero
0
unit
circle
1
0
unit
circle
2.8 z变换与拉氏变换的关系
1.连续信号的 FT与 ST
)(txa )( ?jX a )(sXa
??? dttx a |)(| ???? dtetx ta |)(| ?
FT ST
)(|)( ???? jXsX ajsa
(S 的收敛域包含虚轴 )
经过采样的信号为：
n s T
n
s enTxsX
?
?
???
??? )()(
2.LT与 ZT关系
??
?
???
??
???
????
nn
nTtnTxnTttxtx )()()()()(? ??
,sTez ?令 则
从拉氏变换到 z变换是 单值映射,从 z到 s
域是 多值映射 关系。
sTez ?
)2(||ln
1
?kjz
T
s ????
?
?
???
??
n
nznTxzX )()(
连续信号的 ST与离散信号 ZT
)(?)(|)(
)(
1
)(?
zXeXZX
jkSX
T
SX
a
ST
eZ
k
saa
ST ??
???
?
??
???
?
sTez ?
)ln (1 z
T
s ?
Relationship between S plane and Z plane
??? js ? ??? jTj eerez ??
Ter ??
S plane Z plane
虚轴 （ σ=0） （ r =1） 单位圆
左半平面 （ r <1） 单位圆内
右半平面 （ r >1） 单位圆外
从 S 到 Z 是单值映射，从 z 到 s 域是多值映
射关系。
T???
σ
jΩ
ZT
π/T
-π/T
3π/T
ST
sTez ?
R=eσT=1
for the whole plane
z- pl ane
z= a
10
s- pl ane
0
s 1
s 2
Tj
?
Tj
??
sTez ?
multi-valued mapping多值映射
? 信号及系统的分析方法,
? 时域分析法
? 频域分析法
? 模拟系统,
? 信号,连续变量时间 t的函数来表示
? 系统,微分方程描述
? 分析方法,Laplace transform and Fourier
transform get a frequency domain function.
2.1 Fourier transform of
discrete-time signal (FT)
Fourier transform of
discrete-time signal (FT)
? 离散系统,
? 信号,用序列来表示,自变量取整数,其它时刻
无定义,
? 系统,用差分方程描述
? 分析方法,Z变换或 FT.
? 注,以后本书中的 FT指的是离散序列的
Fourier transform.
（离散时间信号的傅立叶变换）
Definition of FT
x(n) —— discrete-time signal
)( ?jeX
—— Fourier transform of
discrete-time signal (FT)
s
T
?
?
???
2 ?
?
（ 相对角频率，数字角频率）
(FT)
从采样的信号拉氏变换或 z变换，不难得出：
（令, ）
n s T
n
s enTxsX
?
?
???
?? )()(?
0?? ?? js
?
??
???
???
n
njj enxeX ?? )()(
离散时间信号的傅立叶变换的定义：
?
??
???
??
n
njj enxeX ?? )()(
?
?
?
?
?? deeXnx njj?
?
? )(
2
1)(
?
?
???
??
n
nx |)(|
(FT)
Condition:
(IFT)
Example1:page29
1,FT ( 序列 FT )的周期性：
Properties of FT
?
?
???
??
?
n
j nMjenxeX )2()()( ???
(n & M are integers)
时域 频域
连续 非周期
离散 周期
周期 离散
序列的傅立叶变换是频率 ω的周期函数，周期
为 2?。
ω= ± ?,± 3?,序列的最高频率
ω= 0,± 2?,± 4?,直流分量
分析域,[-?,?] 或 [0,2?]
对比
???
???
?????
k
sjkjXTjX )(1)(?
oω?2ππ
)( ?jeX
-π
o
Ω
?Ω
sΩs /2
)(? ?jX
-Ωs /2
? ?
??
o
X(jΩ)
ΩΩm-Ωm
??
???
???
n
j nMjenxeX )2()()( ???
? ??? ???? dtetxjX tj)()(
3、时移与频移性质,
][)]([
)()]([
)(
0
00
0
???
??
?
?
?
??
jnj
jnj
eXnxeFT
eXennxFT
4,时域卷积定理
)()()(
)(*)()(
??? jjj eHeXeY
nhnxny
??
?
2,线性性质
)()()( nhnxny ??
)(*)(
2
1)( ???
?
jjj eHeXeY ?
?
?
?
?
??? deHeX jj )()(
2
1 )(?
?
??
5、频域卷积定理
6,对称性：
序列的共轭对称,
设
有
)(*)( nxnx ee ??
)()()( njxnxnx eiere ??
)()(
)()(
nxnx
nxnx
eiei
erer
???
??
实偶
虚奇
序列的共轭反对称,
设
有
)(*)( nxnx oo ???
)()()( njxnxnx oioro ??
)()(
)()(
nxnx
nxnx
oioi
oror
??
???
（ 实奇、虚偶）
一般实序列 一般序列
)()()( nxnxnx orerr ?? )()()( nxnxnx oe ??
偶序列 奇序列 共轭对称序列 共轭反对
称序列
)]()([
2
1
)(
)]()([
2
1
)(
nxnxnx
nxnxnx
rror
rrer
???
???
)](*)([
2
1
)(
)](*)([
2
1
)(
nxnxnx
nxnxnx
o
e
???
???
对于频域函数 X( ),也有类似的结论：
其中 共轭对称
共轭反对称
而
?je
)()()( ??? jojej eXeXeX ??
)(*)(
)(*)(
??
??
j
o
j
o
j
e
j
e
eXeX
eXeX
?
?
??
?
)](*)([
2
1
)(
)](*)([
2
1
)(
???
???
jjj
o
jjj
e
eXeXeX
eXeXeX
?
?
??
??
（ a） 序列分成实部与虚部时,
其中
)()()(
)( )( )(
??? j
o
j
e
j
ir
eXeXeX
njxnxnx
??
??
?
?
?
???
?
???
?
??
??
n
r
n
nj
rr
j
e
njnnx
enxnxFTeX
)]s i n ()) [ c os ((
)()]([)(
??
??
显然，其实部是 的偶函数，虚部是 的奇
函数，符合共轭对称的定义。
再看
?
?
???
???
n
nj
ii
j
o enxjnjxFTeX ?? )()]([)(
? ?
符合共轭反对称的定义。
（ b） 序列分成共轭对称 与共轭非对
称 时,
其中
)(nxe
)(nxo
)()()(
)( )( )(
??? j
I
j
R
j
oe
ejXeXeX
nxnxnx
??
??
)]()([
2
1)( ??? jjj
R eXeXeX ???
)]()([
2
1)( ??? jjj
I eXeXejX ???
证明：
)( )( )( nxnxnx oe ??
)]( )([
2
1 )( * nxnxnx
e ???
?
?
???
????
n
njenxnxFT ?)()]([ **
??
?
???
?
?
???
??
k
kj
k
kj ekxekx ** ])([)( ??
)(* ?jeX?
所以
)]()([
2
1)]([ * ?? jj
e eXeXnxFT ??
)()](R e [ ?? jRj eXeX ??
)]()([
2
1)]([ * ?? jj
o eXeXnxFT ??
)()](I m [ ?? jIj ejXeXj ??于是
实因果序列 h(n),其 FT只有共轭对称部分
)()( ?? jej eHeH ?
)()(
)()(
??
??
j
I
j
I
j
R
j
R
eHeH
eHeH
?
?
??
?
实偶
虚奇
幅度函数
)()(|)(| 222 ??? jIjRj eHeHeH ??
（ ω的偶函数）
相位函数
)](/)(t a n [a r g)](a r g [ ??? jRjIj eHeHeH ?
（ 是 ω的奇函数）
Table of FT
? Page35
2.3周期序列的离散付里叶级
数
? 因为周期序列在时间域内不是绝对可和的,即,
?
?
???
??
n
nx |)(|
? 因此周期序列的 FT不存在。
? 但是对于周期性函数，可以展开成 FS
（ Fourier Series）
?
? ?
?
Tt
t
tjk
k dtetfTa
0
0
)(1 ?
)s i nco s()( 11
1
0 tnbtnaatf nn
n
?? ??? ?
?
?
?
??
???
?
k
tjk
k eatf
1)( ?
?对应的周期复信号的 Fourier级数：
?连续时间的周期实信号表示：
?连续时间 Fourier级数
kn
N
j
k
k eanx
?2
)(~ ?
?
???
?
? 是以 N为周期的周期序列：
这里：
??????
?
?
?
?
?
k
enx
N
a
kn
N
j
N
n
k
?21
0
)(
~1
K表示谐
波次数
K次谐波
强度
)(~ nx
傅立叶级
数系数
??????
?
?
?
?
?
?
k
enxkX
NakX
kn
N
j
N
n
k
?21
0
)(
~
)(
~
)(
~
同样可得：
kn
N
jN
k
ekX
N
nx
?21
0
)(
~1
)(~ ?
?
?
?
X(n)
傅立叶级数
)(~nx
将周期序
列分解成 N
次谐波
? 所以可以得到一个变换对 DFS：
? ?
kn
N
jN
n
enxnxD FSkX
?21
0
)(~)(~)(
~ ??
?
???
? ? knNj
N
k
ekX
N
kXI D FSnx
?21
0
)(
~1
)(
~
)(~ ?
?
?
??
? We can get two graphics of this problem.
? 1:periodic discrete time series in N=8.
? 2:discrete spectrum lines.
? Comparision:
? 1:FT of page29,continous spectrum?非周期
信号的谱型是连续的,
? 2:FS of page37,discrete spectrum ?周期信号
的谱型是离散的,
Example1:page36
Fourier Transform of Periodic Series
? ?
)(2
)()(
0
0
????
???
???
??
?
?
??
dteetxFTjX
tjtj
aa
tja etx 0)( ??模拟系统中,对于 其 FT是在 处的冲击函数,
离散系统中,对于
njenx 0)( ??
周期为有理数,与模拟系
统具有相同的形式,
0?
因为,
nrjnj ee )2( 00 ??? ??
? ? ? ?
)2(2
)(
0
)2( 00
r
eFTeFTeX
nrjnjj
?????
????
???
??
?
?
??
?
为在 处的单位冲击函数r?? 2
0 ?
? ? )22()(
~2
)(~)(
1
0
rk
NN
kXnxFTeX N
k r
jw ????? ???? ? ?
?
?
?
???
)2()(~2 k
N
kX
N k
???? ?? ??
???
kn
N
jN
n
enxkX
?21
0
)(~)(~
??
?
??
Example 2 and 3
page39
?)( jweX )2()(~2 k
N
kX
N k
?
??
?
??
?
???
Fourier Transform of Periodic Series
? Attention:
? 1:Difference of DFS and FT,This can be
identified between above two equations.
? Unit,amplitude….
? 2:Difference between unit impulse
series and unit impulse function.
? 3:the common properties of DFS and FT.
2.4 与 的关系
对模拟信号
)( ?jeX )( ?jX a
???
??
?
?
?
??
?
?
??
??
dejXtx
dtetxjX
tj
aa
tj
aa
)(
2
1
)(
)()(
?
经时域采样，得
)(
1
)(?
)()()(?
s
n
aa
n
aa
jkjX
T
jX
nTtnTxtx
?????
??
?
?
?
???
?
???
?
如
成立)()( nTxnx a?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
??
??
?
?
deeXnx
enxeX
njj
n
njj
)(
2
1
)(
)()(
离散
序列
X(e jω)与 Xa(jΩ)之间有什么关系,在模拟信号
数字处理中,是很重要的问题。为分析上面提
出的问题,我们将
表示成无限多个积分和，每个积分区间为
1( ) ( )
2
j n T
aax n T X j e d?
? ?
??
? ? ??
T?2
( 2 1 ) /
( 2 1 ) /
1( ) ( )
2
rT j n T
aa rT
r
x n T X j e d
?
??
? ?
?
?? ? ?
? ? ?? ?
令, 代入上式后, 再将 Ω′用 Ω
代替, 得到
式中, e-j2πrn=1,交换求和号和积分号得到
2 r
T
??? ? ? ?
? ?
?
???
?
?? ????
r
T
T
rnjnTj
aa deer
T
jXnTx
?
?
??
?
2)2(
2
1)(
? ??
?
???
? ???? T
T
r
nTj
aa der
T
jXnTx
?
?
?
?
)2(
2
1)(
代入 ω=ΩT, 得
1 1 2
( ) ( )
2
12
( ) ( )
jn
aa
r
j
a
r
x n T X j j r e d
T T T
X e X j j r
T T T
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
? ??
?
? ??
??
??
??
?
得到 序列 FT周期
模拟信号频谱
序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变
换之间的关系,与采样信号,模拟信号分别
的 FT之间的关系一样,都是 Xa(jΩ)以周期
Ωs=2π/T进行周期延拓。
结论：
之间的关系为与 )()( ?jXeX aj?
)2(1)( k
T
j
T
jX
T
eX
k
a
j ??? ?? ?
?
???
f
T
T ?????? ??? 或其中
)(1)(? s
n
aa jkjX
T
jX ????? ?
?
???
与 的关系)( ?jeX )( ?jX
a
比较
模拟频率与数字频率的定标关系
f
?
?
-f s f s0
0
0 s
?
s
??
2/
s
?2/
s
??
f s /2-f s /2
?2? ?2
?? ?
序列的 FT
周期
-1 -0.5 0 0.5 1
-1 -0.5 0 0.5 1
例 2.4.1
设
对 采样，求 和 的傅立叶变换
以及 的 FT。
解：
连续信号的傅立叶变换
HzfHzftftx sa 200,50),2c o s ()( 00 ??? ?
)(txa )(? txa)(txa
)(nx
)]2()2([
)]([)(
00 ff
txFTjX aa
????? ??????
??
采样信号的傅立叶变换
?
?
?
???
?
???
??????????
????
??
k
ss
s
k
a
aa
fkfk
T
jkjX
T
txFTjX
)]2()2([
)(
1
)](?[)(?
00
????
?
离散时间信号的傅立叶
变换 FT
?
?
?
???
?
???
????????
????????
k
k
ssss
j
kk
T
ffkfffkf
T
eX
)]
2
2()
2
2([
)]22()22([)(
00
?
???
?
???
?
????????
??
)2(1)( kTjTjXTeX
k
aj
??? ?? ??
???
频谱
?
?
0
0
0 s?s??
)( ?jX a
2
s??
?2?
02 f?
??
?
02 f??
T
?
?T
?
?
2
s?
02 f?02 f??
)(? ?jX a
)( ?jeX
?2
2
?
2
??
