数 理 统 计 学
主 讲,陈荣斯 教授, 博士
数 理 统 计 的 基 础 知 识
但是当时的统计,只是对有
关事实的简单记录和整理,
从历史的典籍中人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、
水灾等等的记载,说明人们
很早就开始了统计的工作,
到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展,
才真正诞生了 数理统计学 这门学科,
而没有在一定理论的指导下,
作出超越这些数据范围之外
的推断,
数理统计的特点是
应用面广,分支多, 社会的发展正在不断地向数理统计提出新的
问题,
数理统计不同于一般的资料统计,它更侧重于应用随机现象
本身的规律性进行资料的收集、整理和分析,
它们都以随机
现象的统计规律为研究对象,
数理统计与概率论是两个有密切联系的学科,
但在研究问题的方法上有很大区别：
概率论 —— 已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、
数字特征、及其应用 ;
数理统计 —— 通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分
布和数字特征,从而推断整体的规律性,
数理统计的核心问题 —— 由样本推断总体
也就是说,我们获得的只是局部
观察资料,
因而从理论上
讲，只要对随机现象进行足够多次观察，
但客观上 只允许我们对随机现
象进行次数不多的观察试验，
被研究的随机现象的
规律性一定能清楚地呈现出来,
数理统计就是 在概率论的基础上 研究怎样以 有效的
方式 收集、整理和分析可 获的有限的,带有随机性的数
据 资料,
由于大量随机现象必然呈现出它的规律性,
对所考察问题的统计性规律 尽可能地 作出 精确
而可靠的 推断或预测,为采取一
定的决策和行动提供依据和建议,
计算机的诞生与发展为数据处理提供了强有力的技术支持，
国内外著名的统
计软件包,SAS,SPSS,STAT 等，都可以让你快速、简便地
进行数据处理和分析,
由于学时有限，这部分内容的重点在于介绍数理统计的一
些重要概念和典型的统计方法，它们是实际中最常用的知识,
学习统计无须把过多时间化在计算上,应更有效地把时间
用在基本概念、方法原理的正确理解上,
数理统计与计算机的结合是必然的发展趋势,
总体容量有限的称为 有
限总体,
总体
一 个统计问题总有它明确的研究对象,1.总体
研究对象的全体称为 总体 (母体 ),总体中每个对象称为 个体,
一、总体、个体和样本
研究某批灯泡的质量总体
考察国产 轿车的质量
§ 1 总体和样本
不过在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心
其每个个体的一项 (或几项 )数量指标和该数量指标在总体中的分布
情况,
该批灯泡寿命的全体就是总体
灯泡的寿命
每公里的耗油量
所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体
这时,每个个体具有的数量指标的全体就是总体,
称总体中所含个体的数目为 总体容量,
总体容量无限的称为 无限总体,
那么,此
总体就可用描述其寿命的随机变量 X 或用其分布函数 F(x)表示,
因此在理论上可
以把总体与概率分布等同起来,
概率分布是刻划这种集体性质最适当的工具,
统计的任务,是根据从总体中抽取的样本,去推断总体的性质,
由于我们关心的是总体中的个体的 某项指标 (如人的身高、体重，
灯泡的寿命,汽车的耗油量 ? )，
从另一方面看：
如研究某批灯泡的寿命时,关心的 数量指标就是寿命,
所谓总体的性质，无非就是这
些 指标值集体的性质,
我们用 X和 Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二
维随机变量 (X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示,
总体概念的要旨, 总体就是一个概率分布
再如,若 研究某地区中学生的营养状况时,关心的数量指标是身
高和体重,
样本中所包含的个体数目称为 样本容
量,
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n 个具体的数 x1,x2,?,xn,
按一定规则从总体中抽取若干个
体进行观察试验以获得有关总体的信息,
为推断总体分布及各种特征,
从国产轿车中抽 5辆
进行耗油量试验 样本容量为 5
2,样本
样本是随机变量
抽到哪 5 辆是随机的！
容量为 n 的样本可以看作一 n 维随机变量 (X1,X2,?,Xn),
所抽取的部分个体称为 样本,
这一抽取过程称为 抽样,
称为 样本 (X1,X2,?,Xn)的一组观测值,简称 样本值,
它要求抽取的样本
X1,X2,?,Xn 满足下面两点,
它可以用与总体
同分布的 n 个相互独立的随机变量 X1,X2,?,Xn 表示,
2.代表性,Xi (i =1,2,?,n) 与所考察的总体 X 同分布,
为了使抽取的样本能
很好地反映总体的信息,必须考虑抽样方法,
最常用的一种抽样方法叫作 简单随机抽样,
1.独立性,X1,X2,?,Xn 是相互独立的随机变量 ;
抽样的目的是为了对总体进行统计推断，
由简单随机抽样得到的样本称为 简单随机样本,
今后,说到, X1,?,Xn
是取自某总体的样本” 时,若不特别说明,就指简单随机样本,
则其简单随机样本的联合分布函数为
F(x1,x2,?,xn)= F(x1)F(x2)? F(xn)
简单随机样本是应用中最常见的情形,
若总体 X的分布函数为 F(x),
.)(
1??
? n
i i
xF
若总体 X的概率密度为 f(x),则其简单随机样本的联合概率密度为
.)(),,(
11 ??
? n
i in
xfxxf ?
求样本 (X1,X2,X3 )的
概率分布,
例 1 设总体 X~B(1,p),即 P(X=x)= px(1-p)1-x,
X= 0,1,设 X1,X2,X3 为 X 的一个样本,
解 xi = 0,1; i = 1,2,3,
∴ (X1,X2,X3 )的分布列
P(X1=x1,X2= x2,X3= x3 ) ?
?
?? 3
1
)(
i
ixXP
?
?
??? 3
1
1)1(
i
xx ii pp,)1( 321321 3 xxxxxx pp ????? ??
又 ∵ x1 + x2 + x3 =0,1,2,3,
∴ P(X1=x1,X2= x2,X3= x3 ) kk pp ??? 3)1( k = 0,1,2,3,
,)1()( ii xxi ppxXP ????
比如我
们从某班大学生中抽取 10 人测量身高,得到 10 个数,
我们只能观察到 随机变量取的值 而见不到 随
机变量,
它们是样本
取到的值而不是样本,
3,总体、样本、样本值的关系
总体 (理论分布 )？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料 — 样本值,去推断总体的情况 — 总体
分布 F(x)的性质,
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值
的规律，
事实上,我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值,
因而 可以由样本值去推断总体,
是总体的代表,含有总体的信息
分散、复杂
样本是联系二者的桥梁
??31 2)(i iX?,)(3 1 2?? ?i iX ?
其中 ?已知,?未知,
则称 g(x1,?,xn)是
一个 统计量,
一个有效
的方法就是构造一些 样本的函数,
若样本函数 g(x1,?,xn)中不含任何未知参数,
由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行, 加工
”,
1,统计量
这种不含任何未知参数,完全由样本决定的量 称为统计量
二、统计量和样本矩
?
通过 样本函数 把样本中所含的
(某一方面 )的信息集中起来,
定义 设 X1,X2,?,Xn是来自总体 X的容量为 n的样本,
样本的函数
例 2 设 X1,X 2,X3是取自正态总体 X ~(?,?2)的一个样本,
问下列样本函数中哪些是统计量,那些不是？
×
X1,X2+1,(X1 + X2 +Xn )/3,
Max{ X1,X2,X3 },?
?
??我们主要研究两种基本的统计量：
样本矩 和 顺序统计矩
几个常见的统计量
样本均值
样本方差
??? ni iXnX 11
?? ??? ni i XXnS 1 22 )(11
反映了总体均值的信息
它反映了总体方差的信息
样本 k阶原点矩 样本 k阶中心矩?
?
? n
i
kik XnA
1
1 ?
?
?? n
i
kik XXnB
1
)(1 k=1,2,?
它反映了总体 k 阶矩的信息 反映了总体 k 阶中心矩的信息
并称他们相应的观测值
样本标准差 ?
?
??? n
i i
XXnS
1
2)(
1
1
它反映了总体标准差的信息
,1
1??
? n
i i
xnx,)(11
1
22 ?
?
??? n
i i
xxns
,1
1??
? n
i
kik xna,)(1
1??
?? n
i
ki
k xxnb
k=1,2,?,)(
1
1
1
2?
?
??? n
i
i xxns
仍分别为, 样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶原点矩、
样本 k 阶中心矩,
10 样本矩 ——
? ?? ? ???? ni ni ii XnXXXn 1 212 )2(11 )2 22 XnXn ?)2Xn ?
?
?? n
i i
n XXnS
1
22 )(1
?? ?? ni in XXnS 1 2)(1
统称为 样 本 矩
统计量的重要性质 设 X1,X2,?,Xn是来自总体 X的容量为 n的样本,
若 X有期望 EX=? 和方差 DX =? 2,则
??? ni iEXnXE 11
])([
1
2?
?
?n
i i
XXE?
定理
)()( 2222 ???? ???? nnn
= ?,(1)
)( 2nSE
,)1( 2??? n
)()( 2
1
2 XEXDnXEXDn
i ii
???? ?
?;1 2?nn ??
11?n n
1
E(S2)?= ? 2,(2)
)()( 2
1
2 XEnXEn
i i
?? ?
?
??? ni iDXnXD 121 = ?
2/n ;
由独立同分布的大数定理即得,,)(,)4( 2222 ??? ??? ?? nSS PnP ??
由连续保独立性知 22221,,,nXXX ? 也是独立同分布的随机变量,
且 iii XEDXXE 22 )( ?? ),2,1(22 ???? i??
由独立同分布的大数定理,)(1 22
1
2 ???? ??? ?
?
nXn Pn
i i
??
)(1
1
222 ?
?
?? n
i in
XnXnS又 2
1
21 XXn n
i i
?? ?
?
,2222 ???? ???? ?? P
,)(1 222 ??? ????? nSn nS Pn ?
?
(3) X? ;)(,??? ?? nP ?
是如下的随
机变量：
将
x1,?,xn 按递增顺序排列如下：
即按增序取值
20 顺序统计量
定义 设 x1,?,xn 是 样本 (X1,?,Xn)的一组观测值,
.21 ??? ??? nxxx ? 记 ?kX
并称
当 (X1,?,Xn)取 值 x1,?,xn 时,，?? ? kk xX k=1,2,?,n,
),,( 1 ?? nXX ? 为样本 X1,?,Xn 的 顺序统计量,
称为 第 k位顺序统计量,
?kX
??
?
?
?
?? ? ??
?
?
为偶数，
为奇数，
nXX
nX
X nn
n
,2
,~
122
2
1称
为 样本中位数,称 为 样本极差, ???? 1XXR n
(k =1,2,?,n )
例 3 设 X1,X2,X3是总体 X的一个样本,其三次观测值如下,
X1 X2 X3
1 1 0 1
2 3 1 0
3 1 2 0
则样本顺序统计量的观测值表为
X1* X2* X3*
1
2
3
0 1 1
0 1 3
0 1 2
样本极差的观测值 r1=?
最大值？ 最小值？
1-0 = 1;
r2 = 3 ;
r3 = 2,
一,?2 分布
记为 Y ~?2 (n),
1.定义 设 X1,?,Xn 独立且都服从标准正态分布 N(0,1),
??? n
i i
XY
1
2
?2 分布是由正态分布派生出来的一种分布
§ 2 三个统计中常见的分布
可以证明 ?2 分布的密度为
??
?
?
?
?
??
??
,0,0
,0,)2(2
1
)(
212
2
x
xexnxf
xn
n ?
定义的, 其中伽玛函数 ?(x)通过积分 0,)(
0 1 ?? ?
? ?? xtdetx tx?
所服从的分布为 自由度为 n 的 ?2 分布,
称随机变量
10 ?(x+1)= x ?(x)(x>0); 20 ?(n+1)= n ! ; 30 ?(1)= 1,
)(~ 2 nm ????
?
??? nm
i i
XYY
1
2
21
10 设 Y1 ~?2 (m),Y2 ~?2 (n),且 Y1,Y2 相互独立，
2,?2 分布的基本性质
则
?2 分布的可加性Y1 +Y2 =?
，???
m
i i
XY
1
21,??
??
? nm
mi i
XY
1
2
2;)(~ 221 nmYY ?? ?
20 若 Y ~?2 (n),则 = n,= 2n, EY DY
??? ni iXEEY 1 2 )( ?? ?? ni ii EXXD1 2 ])([,1
1
nn
i
?? ?
?
??? ni iXDDY 1 2 )( ?? ?? ni ii EXEX1 224 ])([,221 nni ?? ??= 1
xdexEX xi ? ???? ?? 2 244 21? = 3
30 设 X1,?,Xn 相互独立,且都服从正态分布 N(?,? 2),
40 若 Y~?2 分布,;)(~)(1 2
1
2
2 nXY
n
i i
??? ?
?
??
近似服从 N(0,1),
应用中心极限定理可得
则
n
nY
2
?则当 n 充分大时,
设 X1,?,X10 是来自正态总体 X～ N(0,0.32)的一
个样本,
例 1 设 X～ ?2 (15),试确定 x的值,使 P(X? x)= 0,95,
解 由题意知,所求 x 满足 P(X> x)= 1-0.95,,)15(2 05.0??x即
n=15,?=0,05,查附表知,x=24.996,
例 2
求,)44.1(
1
2 ??
?
n
i i
XP
解 ∵ X i ～ N(0,0,32),),1,0(~
3.0 N
X i? i = 1,2,?,10,
又由于它们相互独立,，)10(~)
3.0(
2
1
2 ??
?
? n
i
iX
)3.0 44.1)3.0(()44.1( 2
1
2
1
2 ???? ??
??
n
i
in
i
i XPXP
)16)01(( 2 ?? ?P = 0,1,
且
即 n充分大
时,t分布近似 N(0,1),
可以证明 T 的密度函数为：
.)1()2( ]2)1[()( 2
12 ????? n
nxnn
nxf
??
?
记为 T ～ t (n),
定义 2 设 X～ N(0,1),Y～ ?2 (n),
nY
XT ?
所服从的分布为 自由度为 n 的 t 分布,
二,t 分布
自由度为 n的 t 分布的数学期望
T 分布的密度关于 y 轴对称,
且 X与 Y相互独立,
称随机变量
和 方差为,
D(T)= n/ (n-2),(n> 2).E(T)= 0 ;
偶函数
这表明 n
充分大时,其密度的图形类似于标准正态分布的图形,
,21)(lim 2
2x
n exf
?
?? ? ?
且 X～ N(2,1),
Yi ～ N(0,4),i=1,2,3,4,
设 X,Y1,Y2,Y3,Y4 相互独立,
例 3 设 T～ t(15),试确定 x的值,使 P(|T|>x)= 0,1,
解 由 t 分布的偶性知 P(T>x)=P(T<-x),
,)15(05.0tx ?即 n=15,?=0.05,查 附表知,x =1.7531,
例 4
令
,)2(4
4
1
2?
?
??
i
iYXZ
解 ∵ X-2～ N(0,1),i = 1,2,3,4,
～ t(4),
?
?
??
4
1
2
)2(4
i
iY
XZ?
即 Z 服从自由度为 4 的 t 分布,
∴ P(T> x)=0.1/2,
求 Z 的分布,
4)2(
2
4
1
2?
?
??
i
iY
X
由 t 分布的定义
Yi /2～ N(0,1),
记作
F ~ F(m,n),
由 F分布的定义可见，若 X ~ F(m,n)，
,)(~,)(~ 22 nYmX ??且定义 3设随机变量 X与 Y独立，
所服从的分布为 第一自由度为 m,第二自由度为 n的 F分布，nY
mXF ?
三,F 分布
? ?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
???
,0 0,
,0,
)
2
()2(
)
2
(
)(
2
1
222
x
xnxmxnm
nm
nm
xf
nmmnm
??
?
F 分布的 数学期望,2,
2)( ??? nn nXE
则 X 的概率密度为
则称统计量
F 分布的性质, 10 若 X ~F(m,n),则 1/X ~F(n,m),
20 若 X ~ t (n),则 X 2 ~ F(1,n);
不依赖于第一自由度
mX
nY
F ?1
例 5 设 F ~ F(24,15),求 F1,F2,F3,使其分别满足
解 (1) 由 m=24,n=15,? = 0,025,查 附表 知
(2)无法直接查表获得,但
由 F 分布性质知,
0 2 5.0)11()(
22
???? FFPFFP
(3)∵ F3 =F0,95(24,15),
查表可知
F1 = F0.025 (24,15)= 2.70 ;
∴ F2 = 1/2.44 = 0.41 ;
由 (*)式知
P(F > F1)= 0.025,P(F < F2)= 0.025,P(F > F3)= 0.95,
1/F ~F(15,24),查附表 知
,44.2)24,15(1 025.02 ?? FF 0 2 5.0)44.2/1( ??? FP
,)24,15(1)15,24(
95.0195.0 ?
? FF
,11.2)15,24(95.0 ?F,4 74.011.2 13 ??? F
统计三大分布的定义和基本性质在后面的学习中常用到,要牢记！
总 体
样 本
统 计 量
描述
作出推断
研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，
完全取决于其抽样分布的性质,
随机 抽样
我们介绍了数理统计的基本概念,小结
做很多
大小形状不一的等腰三角形,实地测量其底角,根据所得资料看看
可否作出,底角相等” 的结论,
它在作出结论时,
是根据所观察到的大量个别情况,“归纳”起来所得,而不是从一些
假设、命题、已知的事实等出发,按一定的逻辑推理去得出来的,
统计方法具有“部分推断整体”的特征
因为我们是从一小部分样本观察值去推断该全体对象 (总体 )
情况，即由部分推断全体,
在结束本节之前，我们需要强调说明一点：
这种归纳推理不同于数学中的, 演绎推理,,
例如,在几何学中要证明,等腰三角形底角相等” 只须从
“等腰” 这个前提出发,运用几何公理,一步一步推出这个结论,
而一个习惯于统计思想的人就可能想出这样的方法：
这里使用的推理方法是, 归纳推理,,
这就是归纳推理式的方法,
显然这里不仅依赖于进行局部观察的“样本”是否具有总体的
代表性,
自然要问：从局部观察要对总体下结论有没有片面性呢？
我们说, 如果这一切都建立在可靠的科学基础上, 则对总体下
结论是可能的也是可靠的,
“每一事物内部不但包括了矛盾的特殊性，而且包
含了矛盾的普遍性，普遍性即存在于特殊性之中,,
——毛泽东, 矛盾论,
结论是否可靠？
也依赖于对从样本得到数据的合理加工与分析所得出的论断,
因为这里存在着样品 (随机抽取的一个
个体 )个性 (特殊性 )和总体共性 (普遍性 )之间的一种 内在的、对立
统一 的辩证关系,
一方面它具有特殊性，因为它毕竟是个别观察值，不能反映
总体的全面性质，有片面性,
因而统计上往往不采用由一次抽取的样品来下结论,
我们对每个经过合理手续选取的一个样品也应看到它所具有
的两重性：
另一方面也要看到“普遍性即存在于特殊性之中”,即每个样
品的情况又必然反映总体的一些普遍性,
在这个基础上再加上科学的推断方法，对总体下的结论同
样也是可靠的,
当样品有一定数量时总体的普遍性是可以得到比较真实的反
映的,
但此时还应记住毕竟是由,局部” 推断,整体”，因而仍可
能犯错误，结论往往又是在某个“可靠性水平”之下得出的,
矛盾的特殊性与普遍性的辩证统一 在统计学中贯穿始终，是我
们应该记住的基本思想,
主 讲,陈荣斯 教授, 博士
数 理 统 计 的 基 础 知 识
但是当时的统计,只是对有
关事实的简单记录和整理,
从历史的典籍中人们不难发现许多关于钱粮、户口、地震、
水灾等等的记载,说明人们
很早就开始了统计的工作,
到了十九世纪末二十世纪初，随着近代数学和概率论的发展,
才真正诞生了 数理统计学 这门学科,
而没有在一定理论的指导下,
作出超越这些数据范围之外
的推断,
数理统计的特点是
应用面广,分支多, 社会的发展正在不断地向数理统计提出新的
问题,
数理统计不同于一般的资料统计,它更侧重于应用随机现象
本身的规律性进行资料的收集、整理和分析,
它们都以随机
现象的统计规律为研究对象,
数理统计与概率论是两个有密切联系的学科,
但在研究问题的方法上有很大区别：
概率论 —— 已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、
数字特征、及其应用 ;
数理统计 —— 通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分
布和数字特征,从而推断整体的规律性,
数理统计的核心问题 —— 由样本推断总体
也就是说,我们获得的只是局部
观察资料,
因而从理论上
讲，只要对随机现象进行足够多次观察，
但客观上 只允许我们对随机现
象进行次数不多的观察试验，
被研究的随机现象的
规律性一定能清楚地呈现出来,
数理统计就是 在概率论的基础上 研究怎样以 有效的
方式 收集、整理和分析可 获的有限的,带有随机性的数
据 资料,
由于大量随机现象必然呈现出它的规律性,
对所考察问题的统计性规律 尽可能地 作出 精确
而可靠的 推断或预测,为采取一
定的决策和行动提供依据和建议,
计算机的诞生与发展为数据处理提供了强有力的技术支持，
国内外著名的统
计软件包,SAS,SPSS,STAT 等，都可以让你快速、简便地
进行数据处理和分析,
由于学时有限，这部分内容的重点在于介绍数理统计的一
些重要概念和典型的统计方法，它们是实际中最常用的知识,
学习统计无须把过多时间化在计算上,应更有效地把时间
用在基本概念、方法原理的正确理解上,
数理统计与计算机的结合是必然的发展趋势,
总体容量有限的称为 有
限总体,
总体
一 个统计问题总有它明确的研究对象,1.总体
研究对象的全体称为 总体 (母体 ),总体中每个对象称为 个体,
一、总体、个体和样本
研究某批灯泡的质量总体
考察国产 轿车的质量
§ 1 总体和样本
不过在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心
其每个个体的一项 (或几项 )数量指标和该数量指标在总体中的分布
情况,
该批灯泡寿命的全体就是总体
灯泡的寿命
每公里的耗油量
所有国产轿车每公里耗油量的全体就是总体
这时,每个个体具有的数量指标的全体就是总体,
称总体中所含个体的数目为 总体容量,
总体容量无限的称为 无限总体,
那么,此
总体就可用描述其寿命的随机变量 X 或用其分布函数 F(x)表示,
因此在理论上可
以把总体与概率分布等同起来,
概率分布是刻划这种集体性质最适当的工具,
统计的任务,是根据从总体中抽取的样本,去推断总体的性质,
由于我们关心的是总体中的个体的 某项指标 (如人的身高、体重，
灯泡的寿命,汽车的耗油量 ? )，
从另一方面看：
如研究某批灯泡的寿命时,关心的 数量指标就是寿命,
所谓总体的性质，无非就是这
些 指标值集体的性质,
我们用 X和 Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二
维随机变量 (X,Y)或其联合分布函数 F(x,y)来表示,
总体概念的要旨, 总体就是一个概率分布
再如,若 研究某地区中学生的营养状况时,关心的数量指标是身
高和体重,
样本中所包含的个体数目称为 样本容
量,
但是，一旦取定一组样本，得到的是 n 个具体的数 x1,x2,?,xn,
按一定规则从总体中抽取若干个
体进行观察试验以获得有关总体的信息,
为推断总体分布及各种特征,
从国产轿车中抽 5辆
进行耗油量试验 样本容量为 5
2,样本
样本是随机变量
抽到哪 5 辆是随机的！
容量为 n 的样本可以看作一 n 维随机变量 (X1,X2,?,Xn),
所抽取的部分个体称为 样本,
这一抽取过程称为 抽样,
称为 样本 (X1,X2,?,Xn)的一组观测值,简称 样本值,
它要求抽取的样本
X1,X2,?,Xn 满足下面两点,
它可以用与总体
同分布的 n 个相互独立的随机变量 X1,X2,?,Xn 表示,
2.代表性,Xi (i =1,2,?,n) 与所考察的总体 X 同分布,
为了使抽取的样本能
很好地反映总体的信息,必须考虑抽样方法,
最常用的一种抽样方法叫作 简单随机抽样,
1.独立性,X1,X2,?,Xn 是相互独立的随机变量 ;
抽样的目的是为了对总体进行统计推断，
由简单随机抽样得到的样本称为 简单随机样本,
今后,说到, X1,?,Xn
是取自某总体的样本” 时,若不特别说明,就指简单随机样本,
则其简单随机样本的联合分布函数为
F(x1,x2,?,xn)= F(x1)F(x2)? F(xn)
简单随机样本是应用中最常见的情形,
若总体 X的分布函数为 F(x),
.)(
1??
? n
i i
xF
若总体 X的概率密度为 f(x),则其简单随机样本的联合概率密度为
.)(),,(
11 ??
? n
i in
xfxxf ?
求样本 (X1,X2,X3 )的
概率分布,
例 1 设总体 X~B(1,p),即 P(X=x)= px(1-p)1-x,
X= 0,1,设 X1,X2,X3 为 X 的一个样本,
解 xi = 0,1; i = 1,2,3,
∴ (X1,X2,X3 )的分布列
P(X1=x1,X2= x2,X3= x3 ) ?
?
?? 3
1
)(
i
ixXP
?
?
??? 3
1
1)1(
i
xx ii pp,)1( 321321 3 xxxxxx pp ????? ??
又 ∵ x1 + x2 + x3 =0,1,2,3,
∴ P(X1=x1,X2= x2,X3= x3 ) kk pp ??? 3)1( k = 0,1,2,3,
,)1()( ii xxi ppxXP ????
比如我
们从某班大学生中抽取 10 人测量身高,得到 10 个数,
我们只能观察到 随机变量取的值 而见不到 随
机变量,
它们是样本
取到的值而不是样本,
3,总体、样本、样本值的关系
总体 (理论分布 )？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料 — 样本值,去推断总体的情况 — 总体
分布 F(x)的性质,
总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值
的规律，
事实上,我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值,
因而 可以由样本值去推断总体,
是总体的代表,含有总体的信息
分散、复杂
样本是联系二者的桥梁
??31 2)(i iX?,)(3 1 2?? ?i iX ?
其中 ?已知,?未知,
则称 g(x1,?,xn)是
一个 统计量,
一个有效
的方法就是构造一些 样本的函数,
若样本函数 g(x1,?,xn)中不含任何未知参数,
由样本值去推断总体情况,需要对样本值进行, 加工
”,
1,统计量
这种不含任何未知参数,完全由样本决定的量 称为统计量
二、统计量和样本矩
?
通过 样本函数 把样本中所含的
(某一方面 )的信息集中起来,
定义 设 X1,X2,?,Xn是来自总体 X的容量为 n的样本,
样本的函数
例 2 设 X1,X 2,X3是取自正态总体 X ~(?,?2)的一个样本,
问下列样本函数中哪些是统计量,那些不是？
×
X1,X2+1,(X1 + X2 +Xn )/3,
Max{ X1,X2,X3 },?
?
??我们主要研究两种基本的统计量：
样本矩 和 顺序统计矩
几个常见的统计量
样本均值
样本方差
??? ni iXnX 11
?? ??? ni i XXnS 1 22 )(11
反映了总体均值的信息
它反映了总体方差的信息
样本 k阶原点矩 样本 k阶中心矩?
?
? n
i
kik XnA
1
1 ?
?
?? n
i
kik XXnB
1
)(1 k=1,2,?
它反映了总体 k 阶矩的信息 反映了总体 k 阶中心矩的信息
并称他们相应的观测值
样本标准差 ?
?
??? n
i i
XXnS
1
2)(
1
1
它反映了总体标准差的信息
,1
1??
? n
i i
xnx,)(11
1
22 ?
?
??? n
i i
xxns
,1
1??
? n
i
kik xna,)(1
1??
?? n
i
ki
k xxnb
k=1,2,?,)(
1
1
1
2?
?
??? n
i
i xxns
仍分别为, 样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶原点矩、
样本 k 阶中心矩,
10 样本矩 ——
? ?? ? ???? ni ni ii XnXXXn 1 212 )2(11 )2 22 XnXn ?)2Xn ?
?
?? n
i i
n XXnS
1
22 )(1
?? ?? ni in XXnS 1 2)(1
统称为 样 本 矩
统计量的重要性质 设 X1,X2,?,Xn是来自总体 X的容量为 n的样本,
若 X有期望 EX=? 和方差 DX =? 2,则
??? ni iEXnXE 11
])([
1
2?
?
?n
i i
XXE?
定理
)()( 2222 ???? ???? nnn
= ?,(1)
)( 2nSE
,)1( 2??? n
)()( 2
1
2 XEXDnXEXDn
i ii
???? ?
?;1 2?nn ??
11?n n
1
E(S2)?= ? 2,(2)
)()( 2
1
2 XEnXEn
i i
?? ?
?
??? ni iDXnXD 121 = ?
2/n ;
由独立同分布的大数定理即得,,)(,)4( 2222 ??? ??? ?? nSS PnP ??
由连续保独立性知 22221,,,nXXX ? 也是独立同分布的随机变量,
且 iii XEDXXE 22 )( ?? ),2,1(22 ???? i??
由独立同分布的大数定理,)(1 22
1
2 ???? ??? ?
?
nXn Pn
i i
??
)(1
1
222 ?
?
?? n
i in
XnXnS又 2
1
21 XXn n
i i
?? ?
?
,2222 ???? ???? ?? P
,)(1 222 ??? ????? nSn nS Pn ?
?
(3) X? ;)(,??? ?? nP ?
是如下的随
机变量：
将
x1,?,xn 按递增顺序排列如下：
即按增序取值
20 顺序统计量
定义 设 x1,?,xn 是 样本 (X1,?,Xn)的一组观测值,
.21 ??? ??? nxxx ? 记 ?kX
并称
当 (X1,?,Xn)取 值 x1,?,xn 时,，?? ? kk xX k=1,2,?,n,
),,( 1 ?? nXX ? 为样本 X1,?,Xn 的 顺序统计量,
称为 第 k位顺序统计量,
?kX
??
?
?
?
?? ? ??
?
?
为偶数，
为奇数，
nXX
nX
X nn
n
,2
,~
122
2
1称
为 样本中位数,称 为 样本极差, ???? 1XXR n
(k =1,2,?,n )
例 3 设 X1,X2,X3是总体 X的一个样本,其三次观测值如下,
X1 X2 X3
1 1 0 1
2 3 1 0
3 1 2 0
则样本顺序统计量的观测值表为
X1* X2* X3*
1
2
3
0 1 1
0 1 3
0 1 2
样本极差的观测值 r1=?
最大值？ 最小值？
1-0 = 1;
r2 = 3 ;
r3 = 2,
一,?2 分布
记为 Y ~?2 (n),
1.定义 设 X1,?,Xn 独立且都服从标准正态分布 N(0,1),
??? n
i i
XY
1
2
?2 分布是由正态分布派生出来的一种分布
§ 2 三个统计中常见的分布
可以证明 ?2 分布的密度为
??
?
?
?
?
??
??
,0,0
,0,)2(2
1
)(
212
2
x
xexnxf
xn
n ?
定义的, 其中伽玛函数 ?(x)通过积分 0,)(
0 1 ?? ?
? ?? xtdetx tx?
所服从的分布为 自由度为 n 的 ?2 分布,
称随机变量
10 ?(x+1)= x ?(x)(x>0); 20 ?(n+1)= n ! ; 30 ?(1)= 1,
)(~ 2 nm ????
?
??? nm
i i
XYY
1
2
21
10 设 Y1 ~?2 (m),Y2 ~?2 (n),且 Y1,Y2 相互独立，
2,?2 分布的基本性质
则
?2 分布的可加性Y1 +Y2 =?
，???
m
i i
XY
1
21,??
??
? nm
mi i
XY
1
2
2;)(~ 221 nmYY ?? ?
20 若 Y ~?2 (n),则 = n,= 2n, EY DY
??? ni iXEEY 1 2 )( ?? ?? ni ii EXXD1 2 ])([,1
1
nn
i
?? ?
?
??? ni iXDDY 1 2 )( ?? ?? ni ii EXEX1 224 ])([,221 nni ?? ??= 1
xdexEX xi ? ???? ?? 2 244 21? = 3
30 设 X1,?,Xn 相互独立,且都服从正态分布 N(?,? 2),
40 若 Y~?2 分布,;)(~)(1 2
1
2
2 nXY
n
i i
??? ?
?
??
近似服从 N(0,1),
应用中心极限定理可得
则
n
nY
2
?则当 n 充分大时,
设 X1,?,X10 是来自正态总体 X～ N(0,0.32)的一
个样本,
例 1 设 X～ ?2 (15),试确定 x的值,使 P(X? x)= 0,95,
解 由题意知,所求 x 满足 P(X> x)= 1-0.95,,)15(2 05.0??x即
n=15,?=0,05,查附表知,x=24.996,
例 2
求,)44.1(
1
2 ??
?
n
i i
XP
解 ∵ X i ～ N(0,0,32),),1,0(~
3.0 N
X i? i = 1,2,?,10,
又由于它们相互独立,，)10(~)
3.0(
2
1
2 ??
?
? n
i
iX
)3.0 44.1)3.0(()44.1( 2
1
2
1
2 ???? ??
??
n
i
in
i
i XPXP
)16)01(( 2 ?? ?P = 0,1,
且
即 n充分大
时,t分布近似 N(0,1),
可以证明 T 的密度函数为：
.)1()2( ]2)1[()( 2
12 ????? n
nxnn
nxf
??
?
记为 T ～ t (n),
定义 2 设 X～ N(0,1),Y～ ?2 (n),
nY
XT ?
所服从的分布为 自由度为 n 的 t 分布,
二,t 分布
自由度为 n的 t 分布的数学期望
T 分布的密度关于 y 轴对称,
且 X与 Y相互独立,
称随机变量
和 方差为,
D(T)= n/ (n-2),(n> 2).E(T)= 0 ;
偶函数
这表明 n
充分大时,其密度的图形类似于标准正态分布的图形,
,21)(lim 2
2x
n exf
?
?? ? ?
且 X～ N(2,1),
Yi ～ N(0,4),i=1,2,3,4,
设 X,Y1,Y2,Y3,Y4 相互独立,
例 3 设 T～ t(15),试确定 x的值,使 P(|T|>x)= 0,1,
解 由 t 分布的偶性知 P(T>x)=P(T<-x),
,)15(05.0tx ?即 n=15,?=0.05,查 附表知,x =1.7531,
例 4
令
,)2(4
4
1
2?
?
??
i
iYXZ
解 ∵ X-2～ N(0,1),i = 1,2,3,4,
～ t(4),
?
?
??
4
1
2
)2(4
i
iY
XZ?
即 Z 服从自由度为 4 的 t 分布,
∴ P(T> x)=0.1/2,
求 Z 的分布,
4)2(
2
4
1
2?
?
??
i
iY
X
由 t 分布的定义
Yi /2～ N(0,1),
记作
F ~ F(m,n),
由 F分布的定义可见，若 X ~ F(m,n)，
,)(~,)(~ 22 nYmX ??且定义 3设随机变量 X与 Y独立，
所服从的分布为 第一自由度为 m,第二自由度为 n的 F分布，nY
mXF ?
三,F 分布
? ?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
???
,0 0,
,0,
)
2
()2(
)
2
(
)(
2
1
222
x
xnxmxnm
nm
nm
xf
nmmnm
??
?
F 分布的 数学期望,2,
2)( ??? nn nXE
则 X 的概率密度为
则称统计量
F 分布的性质, 10 若 X ~F(m,n),则 1/X ~F(n,m),
20 若 X ~ t (n),则 X 2 ~ F(1,n);
不依赖于第一自由度
mX
nY
F ?1
例 5 设 F ~ F(24,15),求 F1,F2,F3,使其分别满足
解 (1) 由 m=24,n=15,? = 0,025,查 附表 知
(2)无法直接查表获得,但
由 F 分布性质知,
0 2 5.0)11()(
22
???? FFPFFP
(3)∵ F3 =F0,95(24,15),
查表可知
F1 = F0.025 (24,15)= 2.70 ;
∴ F2 = 1/2.44 = 0.41 ;
由 (*)式知
P(F > F1)= 0.025,P(F < F2)= 0.025,P(F > F3)= 0.95,
1/F ~F(15,24),查附表 知
,44.2)24,15(1 025.02 ?? FF 0 2 5.0)44.2/1( ??? FP
,)24,15(1)15,24(
95.0195.0 ?
? FF
,11.2)15,24(95.0 ?F,4 74.011.2 13 ??? F
统计三大分布的定义和基本性质在后面的学习中常用到,要牢记！
总 体
样 本
统 计 量
描述
作出推断
研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，
完全取决于其抽样分布的性质,
随机 抽样
我们介绍了数理统计的基本概念,小结
做很多
大小形状不一的等腰三角形,实地测量其底角,根据所得资料看看
可否作出,底角相等” 的结论,
它在作出结论时,
是根据所观察到的大量个别情况,“归纳”起来所得,而不是从一些
假设、命题、已知的事实等出发,按一定的逻辑推理去得出来的,
统计方法具有“部分推断整体”的特征
因为我们是从一小部分样本观察值去推断该全体对象 (总体 )
情况，即由部分推断全体,
在结束本节之前，我们需要强调说明一点：
这种归纳推理不同于数学中的, 演绎推理,,
例如,在几何学中要证明,等腰三角形底角相等” 只须从
“等腰” 这个前提出发,运用几何公理,一步一步推出这个结论,
而一个习惯于统计思想的人就可能想出这样的方法：
这里使用的推理方法是, 归纳推理,,
这就是归纳推理式的方法,
显然这里不仅依赖于进行局部观察的“样本”是否具有总体的
代表性,
自然要问：从局部观察要对总体下结论有没有片面性呢？
我们说, 如果这一切都建立在可靠的科学基础上, 则对总体下
结论是可能的也是可靠的,
“每一事物内部不但包括了矛盾的特殊性，而且包
含了矛盾的普遍性，普遍性即存在于特殊性之中,,
——毛泽东, 矛盾论,
结论是否可靠？
也依赖于对从样本得到数据的合理加工与分析所得出的论断,
因为这里存在着样品 (随机抽取的一个
个体 )个性 (特殊性 )和总体共性 (普遍性 )之间的一种 内在的、对立
统一 的辩证关系,
一方面它具有特殊性，因为它毕竟是个别观察值，不能反映
总体的全面性质，有片面性,
因而统计上往往不采用由一次抽取的样品来下结论,
我们对每个经过合理手续选取的一个样品也应看到它所具有
的两重性：
另一方面也要看到“普遍性即存在于特殊性之中”,即每个样
品的情况又必然反映总体的一些普遍性,
在这个基础上再加上科学的推断方法，对总体下的结论同
样也是可靠的,
当样品有一定数量时总体的普遍性是可以得到比较真实的反
映的,
但此时还应记住毕竟是由,局部” 推断,整体”，因而仍可
能犯错误，结论往往又是在某个“可靠性水平”之下得出的,
矛盾的特殊性与普遍性的辩证统一 在统计学中贯穿始终，是我
们应该记住的基本思想,
