第二章 导热基本定律及稳态导热
§ 2-1 导热 基本定律一,温度场 （ Temperature field）
某时刻空间所有各点温度分布的总称温度场是时间和空间的函数,即,
稳态温度场
Steady-state conduction）
非稳态温度场
（ Transient conduction）
t = f ( r,)?
t
0 ( )
(,)
t f r
t f r
等温面与等温线
(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
● 等温面,同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面
● 等温线,用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇等温面与等温线的特点：
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上物体的温度场通常用等温面或等温线表示等温面上没有温差，不会有热量传递温度梯度
(Temperature gradient ）
不同的等温面之间，有温差，有热量传递
ttns
温度梯度,沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限,gradt
直角坐标系,（ Cartesian coordinates）
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
g r a d t t tt i j kx y z
g r a d t t tt i j kx y z
热流密度矢量热流密度,单位时间,单位面积上所传递的热量；
直角坐标系中：
热流密度矢量,等温面上某点,以通过该点处最大热流密度的方向为方向,数值上正好等于沿该方向的热流密度不同方向上的热流密度的大小不同
q
q
（ Heat flux）
x y zq q i q j q k
q
c osqq
2 W mq
二,导热 基本定律 (Fourier’s law）
1822年,法国数学家傅里叶 （ Fourier） 在 实验研究基础上,
发现导热基本规律 —— 傅里叶定律导热基本定律,垂直导过等温面的热流密度,正比于该处的温度梯度,方向与温度梯度相反热导率（导热系数）
直角坐标系中：
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料,热导率在各个方向是相同的
（ Thermal conductivity）
2 - g r a d [ W m ]qt
W (m C ):?
x y z t t tq q i q j q k i j kx y z; ; x y zt t tq q qx y z
有些天然和人造材料,如：石英,木材,叠层塑料板,叠层金属板,其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料各向异性材料中,x x x x y x z
y y x y y y z
z z x z y z z
t t t
q
x y z
t t t
q
x y z
t t t
q
x y z
三,热导率 （ Thermal conductivity ）
热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量
— 物质的重要热物性参数影响热导率的因素,物质的种类、材料成分、温度、湿度、
压力、密度等热导率的数值表征物质导热能力大小。 实验测定
- g r a d
q
t;金 属 非 金 属 固 相 液 相 气 相
W (m C )
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1,气体的热导率气体的导热,由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
0,0 0 6 ~ 0,6 W ( m C )气 体
0,0,0 2 4 4 W ( m C ) ;C空 气 2 0,0,0 2 6 W ( m C ) C空 气气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
除非压力很低或很高,在 2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内,
气体的热导率基本不随压力变化
,气体分子运动的均方根速度气体的温度升高时,气体分子运动速度和定容比热随 T升高而增大 。 气体的热导率随温度升高而增大
,气体分子在两次碰撞间平均自由行程
,气体的密度；,气体的定容比热气体的压力升高时,气体的密度增大,平均自由行程减小,而两者的乘积保持不变 。
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
1
3 vu lc
u
l
vc
分子质量小的气体 （ H2,He） 热导率较大 — 分子运动速度高
2,液体的热导率液体的导热：主要依靠晶格的振动晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点阵,即所谓晶格大多数液体（分子量 M不变）：
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样液体的热导率随压力 p的升高而增大
0,0 7 ~ 0,7 W ( m C )液 体
2 0,0,6 W ( m C )C水
T
p
3,固体的热导率纯金属的导热,依靠自由电子的迁移和晶格的振动主要依靠前者金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
(1) 金属的热导率：
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
1 2 ~ 4 1 8 W ( m C )金 属
银 铜 铝金
T
Cu
Cu
1 0K,1 2 0 0 0 W ( m C )
1 5 K,7 0 0 0 W ( m C )
合金,金属中掺入任何杂质将破坏晶格的完整性,
干扰自由电子的运动金属的加工过程也会造成晶格的缺陷合金的导热,依靠自由电子的迁移和晶格的振动；
主要依靠后者温度升高,晶格振动加强,导热增强
合 金 纯 金 属
T
如常温下,03 9 8 w / m,c纯 铜
01 0 9 w / m,c黄 铜 黄铜,70%Cu,30%Zn
非金属的导热,依靠晶格的振动传递热量；比较小建筑隔热保温材料：
(2) 非金属的热导率：
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构多孔材料的热导率与密度和湿度有关保温材料,国家标准规定,温度低于 350度时热导率小于
0.12W/(mK) 的材料 （ 绝热材料 ）
0,0 2 5 ~ 3 W ( m C )
T
,湿 度
§ 2-2 导热微分方程式 （ Heat Diffusion Equation）
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务傅里叶定律：
确定热流密度的大小,应知道物体内的温度场,
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律假设,(1)所研究的物体是各向同性的连续介质
(2) 热导率,比热容和密度均为已知
(3) 物体内具有内热源；强度 qv [W/m3];
内热源均匀分布； qv 表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量化学反应发射药熔化过程一,导热微分方程式
2 - g r a d [ W m ]qt
(,,,)t f x y z
0 E R TVq A Q e
在导热体中取一微元体热力学第一定律：
d? 时间内微元体中：
[导入与导出净热量 ]
+ [内热源发热量 ]
= [热力学能的增加 ]
1,导入与导出微元体的净热量
d? 时间内,沿 x 轴方向,经 x 表面导入的热量：
[ J ]xxd Q q d y d z d
Q U W
0,W Q U
d? 时间内,沿 x 轴方向,经 x+dx 表面导出的热量：
d? 时间内,沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
[ J ]x d x x d xd Q q d y d z d
x
x dx x
qq q d x
x?
[ J]xx x dx qd Q d Q d x d y d z dx
d? 时间内,沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量：
d? 时间内,沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量：
[ J]yy y d y qd Q d Q d x d y d z dy
[ J]zz z dz qd Q d Q d x d y d z dz
[导入与导出净热量 ]:
傅里叶定律：
[ 1 ] ( ) [ J ]yx zqq q d x d y d z dx y z; ; x y zt t tq q qx y z
[ 1 ] ( ) ( ) ( ) [ J ]t t t d x d y d z dx x y y z z
[ 1 ] [ ] [ ] [ ]x x d x y y d y z z d zd Q d Q d Q d Q d Q d Q
2,微元体中内热源的发热量
d? 时间内微元体中内热源的发热量：
3,微元体热力学能的增量
d? 时间内微元体中热力学能的增量：
由 [1]+ [2]= [3]：
导热微分方程式、导热过程的能量方程
[ 2 ] [ J ]vq d x d y d z d
[ 3 ] [ J]tc dx dy dz d
( ) ( ) ( ) vt t t tcqx x y y z z
( d )tm c t d x d y d zc d
若物性参数?,c和? 均为常数：
热扩散率 反映了导热过程中材料的导热能力 （? ）
与沿途物质储热能力 （? c ） 之间的关系值大,即? 值大或? c 值小,说明物体的某一部分一旦获得热量,该热量能在整个物体中很快扩散热扩散率表征物体被加热或冷却时,物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力
（ Thermal diffusivity）
2 2 2
2
2 2 2( ) ; o r
vvqqt t t t ta a t
x y z c c
2 [ m s ]a
c
— 热 扩 散 率 （ 导 温 系 数 ）
2? — 拉 普 拉 斯 算 子
a
a
在同样加热条件下,物体的热扩散率越大,物体内部各处的温度差别越小 。
a反应导热过程动态特性,研究不稳态导热重要物理量若物性参数为常数且无内热源：
若物性参数为常数,无内热源稳态导热：
7 2 5 21,5 1 0 m 9,4 5 1 0 ma s a s铝木 材,
1 6 0 0aa?铝木 材
2 2 2
2
2 2 2( ) ; o r
t t t t ta a t
x y z
2 2 2
2
2 2 2 0
t t tt
x y z
圆柱坐标系
（ r,?,z）
zzryrx ;si n ;c o s
1
r
z
t
q
r
t
q
r
t
q
z
1g r a d t t ttt
r r z
q i j k
2
11( ) ( ) ( )
v
t t t tc r q
r r r r z z
球坐标系
（ r,?,?）
1
1
sin
r
t
q
r
t
q
r
t
q
r
s in c o s ; s in s in ; c o sx r y r z r
11g r a d
s i n
t t ttt
r r r
q i j k
2
2 2 2 2
1 1 1( ) ( s in ) ( )
s in s in v
t t t tc r q
r r r r r
导热微分方程式 的不适应范围,非 傅里叶 导热过程
极短时间 (如 10)产生极大的热流密度的热量传递现象,如激光加工过程。
极低温度 (接近于 0 K)时的导热问题。
导热过程的单值性条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；
它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解单值性条件,确定唯一解的附加补充说明条件单值性条件包括四项,几何,物理,时间,边界完整数学描述,导热微分方程 + 单值性条件
1,几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度,直径等说明导热体的几何形状和大小
2,物理条件如：物性参数?,c和? 的数值,是否随温度变化；
有无内热源,大小和分布；是否各向同性说明导热体的物理特征
3,时间条件稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布时间条件又称为 初始条件 （ Initial conditions）
0 ()t f r
４,边界条件 说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：
第一类,第二类,第三类边界条件
（ １ ） 第一类边界条件
s — 边界面 ; tw = f (x,y,z) — 边界面上的温度已知任一瞬间导热体边界上 温度值：
稳态导热,tw= const
非稳态导热,tw = f (?)
o? x
tw1
tw2例：
（ Boundary conditions）
wstt?
1
2
0,
,
w
w
x t t
x t t?
（ 2） 第二类边界条件根据傅里叶定律：
已知物体边界上 热流密度 的分布及变化规律：
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值稳态导热：
qw
非稳态导热：
特例：绝热边界面：
(,)wsq q f r
wq const? ()wqf
0 0w
ww
ttq
nn?
()wn tq n () wn qtn
（ 3） 第三类边界条件傅里叶定律：
当物体壁面与流体相接触进行对流换热时,已知任一时刻边界面 周围流体的温度 和 表面传热系数导热微分方程式的求解方法导热微分方程＋单值性条件＋求解方法?温度场积分法,杜哈美尔法,格林函数法,拉普拉斯变换法,分离变量法,积分变换法,数值计算法
tf,h
qw
牛顿冷却定律,()w w fq h t t
w wq t n
()wfwt n h t t
§ 2-1 导热 基本定律一,温度场 （ Temperature field）
某时刻空间所有各点温度分布的总称温度场是时间和空间的函数,即,
稳态温度场
Steady-state conduction）
非稳态温度场
（ Transient conduction）
t = f ( r,)?
t
0 ( )
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等温面与等温线
(1) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
● 等温面,同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面
● 等温线,用一个平面与各等温面相交，在这个平面上得到一个等温线簇等温面与等温线的特点：
(2) 在连续的温度场中，等温面或等温线不会中断，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲线），或者就终止与物体的边界上物体的温度场通常用等温面或等温线表示等温面上没有温差，不会有热量传递温度梯度
(Temperature gradient ）
不同的等温面之间，有温差，有热量传递
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温度梯度,沿等温面法线方向上的温度增量与法向距离比值的极限,gradt
直角坐标系,（ Cartesian coordinates）
注：温度梯度是向量；正向朝着温度增加的方向
g r a d t t tt i j kx y z
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热流密度矢量热流密度,单位时间,单位面积上所传递的热量；
直角坐标系中：
热流密度矢量,等温面上某点,以通过该点处最大热流密度的方向为方向,数值上正好等于沿该方向的热流密度不同方向上的热流密度的大小不同
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（ Heat flux）
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二,导热 基本定律 (Fourier’s law）
1822年,法国数学家傅里叶 （ Fourier） 在 实验研究基础上,
发现导热基本规律 —— 傅里叶定律导热基本定律,垂直导过等温面的热流密度,正比于该处的温度梯度,方向与温度梯度相反热导率（导热系数）
直角坐标系中：
注：傅里叶定律只适用于各向同性材料各向同性材料,热导率在各个方向是相同的
（ Thermal conductivity）
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有些天然和人造材料,如：石英,木材,叠层塑料板,叠层金属板,其导热系数随方向而变化 —— 各向异性材料各向异性材料中,x x x x y x z
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三,热导率 （ Thermal conductivity ）
热导率的数值：就是物体中单位温度梯度、单位时间、通过单位面积的导热量
— 物质的重要热物性参数影响热导率的因素,物质的种类、材料成分、温度、湿度、
压力、密度等热导率的数值表征物质导热能力大小。 实验测定
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W (m C )
不同物质热导率的差异：构造差别、导热机理不同
1,气体的热导率气体的导热,由于分子的热运动和相互碰撞时发生的能量传递
0,0 0 6 ~ 0,6 W ( m C )气 体
0,0,0 2 4 4 W ( m C ) ;C空 气 2 0,0,0 2 6 W ( m C ) C空 气气体分子运动理论：常温常压下气体热导率可表示为：
除非压力很低或很高,在 2.67*10-3MPa ~ 2.0*103MPa范围内,
气体的热导率基本不随压力变化
,气体分子运动的均方根速度气体的温度升高时,气体分子运动速度和定容比热随 T升高而增大 。 气体的热导率随温度升高而增大
,气体分子在两次碰撞间平均自由行程
,气体的密度；,气体的定容比热气体的压力升高时,气体的密度增大,平均自由行程减小,而两者的乘积保持不变 。
混合气体热导率不能用部分求和的方法求；只能靠实验测定
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分子质量小的气体 （ H2,He） 热导率较大 — 分子运动速度高
2,液体的热导率液体的导热：主要依靠晶格的振动晶格：理想的晶体中分子在无限大空间里排列成周期性点阵,即所谓晶格大多数液体（分子量 M不变）：
水和甘油等强缔合液体，分子量变化，并随温度而变化。在不同温度下，热导率随温度的变化规律不一样液体的热导率随压力 p的升高而增大
0,0 7 ~ 0,7 W ( m C )液 体
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T
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3,固体的热导率纯金属的导热,依靠自由电子的迁移和晶格的振动主要依靠前者金属导热与导电机理一致；良导电体为良导热体：
(1) 金属的热导率：
— 晶格振动的加强干扰自由电子运动
1 2 ~ 4 1 8 W ( m C )金 属
银 铜 铝金
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干扰自由电子的运动金属的加工过程也会造成晶格的缺陷合金的导热,依靠自由电子的迁移和晶格的振动；
主要依靠后者温度升高,晶格振动加强,导热增强
合 金 纯 金 属
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如常温下,03 9 8 w / m,c纯 铜
01 0 9 w / m,c黄 铜 黄铜,70%Cu,30%Zn
非金属的导热,依靠晶格的振动传递热量；比较小建筑隔热保温材料：
(2) 非金属的热导率：
大多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构多孔材料的热导率与密度和湿度有关保温材料,国家标准规定,温度低于 350度时热导率小于
0.12W/(mK) 的材料 （ 绝热材料 ）
0,0 2 5 ~ 3 W ( m C )
T
,湿 度
§ 2-2 导热微分方程式 （ Heat Diffusion Equation）
确定导热体内的温度分布是导热理论的首要任务傅里叶定律：
确定热流密度的大小,应知道物体内的温度场,
理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律假设,(1)所研究的物体是各向同性的连续介质
(2) 热导率,比热容和密度均为已知
(3) 物体内具有内热源；强度 qv [W/m3];
内热源均匀分布； qv 表示单位体积的导热体在单位时间内放出的热量化学反应发射药熔化过程一,导热微分方程式
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在导热体中取一微元体热力学第一定律：
d? 时间内微元体中：
[导入与导出净热量 ]
+ [内热源发热量 ]
= [热力学能的增加 ]
1,导入与导出微元体的净热量
d? 时间内,沿 x 轴方向,经 x 表面导入的热量：
[ J ]xxd Q q d y d z d
Q U W
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d? 时间内,沿 x 轴方向,经 x+dx 表面导出的热量：
d? 时间内,沿 x 轴方向导入与导出微元体净热量：
[ J ]x d x x d xd Q q d y d z d
x
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qq q d x
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[ J]xx x dx qd Q d Q d x d y d z dx
d? 时间内,沿 z 轴方向导入与导出微元体净热量：
d? 时间内,沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量：
[ J]yy y d y qd Q d Q d x d y d z dy
[ J]zz z dz qd Q d Q d x d y d z dz
[导入与导出净热量 ]:
傅里叶定律：
[ 1 ] ( ) [ J ]yx zqq q d x d y d z dx y z; ; x y zt t tq q qx y z
[ 1 ] ( ) ( ) ( ) [ J ]t t t d x d y d z dx x y y z z
[ 1 ] [ ] [ ] [ ]x x d x y y d y z z d zd Q d Q d Q d Q d Q d Q
2,微元体中内热源的发热量
d? 时间内微元体中内热源的发热量：
3,微元体热力学能的增量
d? 时间内微元体中热力学能的增量：
由 [1]+ [2]= [3]：
导热微分方程式、导热过程的能量方程
[ 2 ] [ J ]vq d x d y d z d
[ 3 ] [ J]tc dx dy dz d
( ) ( ) ( ) vt t t tcqx x y y z z
( d )tm c t d x d y d zc d
若物性参数?,c和? 均为常数：
热扩散率 反映了导热过程中材料的导热能力 （? ）
与沿途物质储热能力 （? c ） 之间的关系值大,即? 值大或? c 值小,说明物体的某一部分一旦获得热量,该热量能在整个物体中很快扩散热扩散率表征物体被加热或冷却时,物体内各部分温度趋向于均匀一致的能力
（ Thermal diffusivity）
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— 热 扩 散 率 （ 导 温 系 数 ）
2? — 拉 普 拉 斯 算 子
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在同样加热条件下,物体的热扩散率越大,物体内部各处的温度差别越小 。
a反应导热过程动态特性,研究不稳态导热重要物理量若物性参数为常数且无内热源：
若物性参数为常数,无内热源稳态导热：
7 2 5 21,5 1 0 m 9,4 5 1 0 ma s a s铝木 材,
1 6 0 0aa?铝木 材
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圆柱坐标系
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导热微分方程式 的不适应范围,非 傅里叶 导热过程
极短时间 (如 10)产生极大的热流密度的热量传递现象,如激光加工过程。
极低温度 (接近于 0 K)时的导热问题。
导热过程的单值性条件导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律 + 热力学第一定律它描写物体的温度随时间和空间变化的关系；
它没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充说明条件的唯一解单值性条件,确定唯一解的附加补充说明条件单值性条件包括四项,几何,物理,时间,边界完整数学描述,导热微分方程 + 单值性条件
1,几何条件如：平壁或圆筒壁；厚度,直径等说明导热体的几何形状和大小
2,物理条件如：物性参数?,c和? 的数值,是否随温度变化；
有无内热源,大小和分布；是否各向同性说明导热体的物理特征
3,时间条件稳态导热过程不需要时间条件 — 与时间无关说明在时间上导热过程进行的特点对非稳态导热过程应给出过程开始时刻导热体内的温度分布时间条件又称为 初始条件 （ Initial conditions）
0 ()t f r
４,边界条件 说明导热体边界上过程进行的特点反映过程与周围环境相互作用的条件边界条件一般可分为三类：
第一类,第二类,第三类边界条件
（ １ ） 第一类边界条件
s — 边界面 ; tw = f (x,y,z) — 边界面上的温度已知任一瞬间导热体边界上 温度值：
稳态导热,tw= const
非稳态导热,tw = f (?)
o? x
tw1
tw2例：
（ Boundary conditions）
wstt?
1
2
0,
,
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x t t?
（ 2） 第二类边界条件根据傅里叶定律：
已知物体边界上 热流密度 的分布及变化规律：
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面法向的温度梯度值稳态导热：
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非稳态导热：
特例：绝热边界面：
(,)wsq q f r
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（ 3） 第三类边界条件傅里叶定律：
当物体壁面与流体相接触进行对流换热时,已知任一时刻边界面 周围流体的温度 和 表面传热系数导热微分方程式的求解方法导热微分方程＋单值性条件＋求解方法?温度场积分法,杜哈美尔法,格林函数法,拉普拉斯变换法,分离变量法,积分变换法,数值计算法
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牛顿冷却定律,()w w fq h t t
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