,高等代数,
多媒体教案
惠州学院数学系
潘庆年
前言
作为大学基础课程的基础代数，是中学代数的继
续和提高，在中学数学教师的知识结构中占有重要地
位，通过这门课程的学习，读者会发现它和中学代数
有很大的不同，这种不同不仅表现在内容的深度上。
同时读者将会体会到由具体抽象出一般概念回到具体
事物去这种辨证观点的逻辑推理方法，从中受到一次
严格的教学训练，这对提高学生的教学素养，为后继
课程打好理论基础无疑是非常必要的。
高等代数基本上是由被称为多项式理论和被称为
线性代数的相互联系着的这两部分内容组成。
多项式理论主要是研究关于形如：
0111 axaxaxa nnnn ???? ?? ?
的多项式的最基本的最重要的一系列代数性质，
即多项式在加法和乘法运算中表现出来的性质，
其中主要是和多项式的整除性相联系的若干概念
和结论、多项式唯一分解定理、最大公因式及其
求法等内容。
线性代数理论是由研究有个未知量的一次线
性方程组的问题发展起来的，为了研究方程的个
数等于未知量个数的线性方程组，引进了行列式
理论。为了讨论方程的个数不等于未知量个数的
线性方程组，又引进了矩阵理论。随着线性代数
自身的不断发展，尤其是计算机科学的飞速发展，
使得线性化的问题越来越突出，高等代数的内容
正经历一次又一次的变革，而且在科学技术和科
学研究方面将起到更加重要的作用。
第 一 章
基 本 概 念 (Basic Concept)
第 一 讲
集 合 (Sets)
本讲的教学目的和要求
本讲主要介绍了集合的基本内容：集合的概念，
集合的基本要素，集合的表示方法以及集合的运算。
它是现代数学最基本的概念之一，完全是为日后高
等代数的学习进行必要的知识储备。
本章的教学重点和难点
集合的概念，尤其是所谓的“三要素”以及集合
中的五种常用的运算是学生重点要掌握的知识。而
由于补集、差集和积集这两个概念相对“复杂”些，
故要求予以高度的重视。
集合的概念
1、集合和它的元素
将一群确定的事物作为整体来考虑
时，这一整体就叫做集合。常用大写拉丁
字母 … 表示。
例如：
某校的全体学生组成一个集合；
某房间的全部桌椅组成一个集合；
全体自然数组成一个集合；
区间 [1,3]内的自然数组成一个集合。
CBA,、
定义 1：组成集合的每一个事物叫做这个集合
的元素。常用小写拉丁字母 表
示。
注：
1、如果 a是集合的 A元素，就说 a属于 A，
记作 ;如果不是的元素，就是说 a不属
于 A，记作 。
2、一个集合若只含有限个元素，这个集
合就叫做有限集合；如果一个集合由无限多个
元素组成的，就叫它为无限集合。
例 1,是有限集 而 。
是由所有自然数构成的集合，那么是个无限集
且 而
Aa?
Aa?
}9,7,5,3{?A
?,,,cba
A?7 A?4
B?10 B?2
2、集合的三要素
确定性：给出一个集合，就相当于给出了一个明确的判定标准，由它可以
判定任意 对象是否属于这个集合。也就是说，这个集合中的元素是确
定的。如果没有这个标准或标准不明确，就不算给出一个集合。
譬如，我的班上所有, 胖子, 的同学构成的集合，这个集合是无法确
定的，因为其中的元素不能准确确定。
相异性：同一集合的诸元素是彼此不同的。也就是说，相同的对象归入一
个集合时，只能算作这个集合的一个元素。
譬如，不能说某集合中有四个元素都是数 b说数 b是这个集合里的一个
元素。
无序性：集合中元素的罗列顺序是不讲究的。也就是说这个集合中无论元
素的次序如何颠倒，其结果还是原来这个集合,
说明,对于常见的数的集合（简称数集）我们约定用一些特定的字母
来表示：
N—— 自然数
Z—— 整数集
Q—— 有理数集
R—— 实数集
C—— 复数集
二、集合的表示法
集合的表示方法常用的有两种,
1、列举法,把集合的元素一一列举出来，写
在大括号内表示集合的方法叫做列举法。
例 2：小于 7的自然数的集合可以表示为：
说明：对于无限集合来说，列举法使用起来就
不方便了，比如,集合如不加说明，我们
没有理由认为它表示自然数，因为 表示什么，
我们并不清楚。
}6,5,4,3,2,1{?A
},3,2,1{ ?
}{?
2、描述法,把集合中元素的共同属性描述
出来，写在大括号内表述集合的方法叫做
描述法。即一般形式为,其中 表
示元素 x的共同属性。
例 3,表示全体偶
数组成的集合。
表示方程 的全体实
根组成的集合。
)}({ xPx )(xP
},2{ ZnnxxA ???
}023,{ 2 ????? xxRxxB
0232 ??? xx
三、集合的包含与相等
1、集合的包含
定义 2：设, 是两个集合，如果 的每个元素都
是 的元素，则称 包含于 或 包含 记作,。
这时称 是 的子集,是 的扩集。如果 且 中
至少有一个元素不属于,那么 叫做 的真子集，记
作
例 4：显然有
说明：不含任何元素的集合叫做空集，记为 。我们约定：
对任何集合 A，都有 。
注：集合 {0}不是空集；不能将集合记作 { }
说明：一般地，若研究的一切集合都是某个固定集合的子
集，那么这个固定集合叫做全集。
2、集合的相等
集合 A与集合 B相等：
A B
BA?
A
ABB B
A
A
B B A BA? B
A B
BA?
A
CRQZN ????
?
A??
?
ABBABA ???? 且
四、集合的运算
设 和 是两个集合
1、并集和交集
与 的并：
A B
A B }{ BxAxxBA ??? 或?
与 的交：A B }{ BxAxxBA ??? 且?
2、补集：设,在 A中的补集是中所有
不属于 A的元素组成的集合，记作,即
EA ?
A
}{ AxExxA ??? 且
3、差集,A与 B的差集是中那些不属于 B的
元素组成的集合，记作,即BA?
}{ BxAxxBA ???? 且
4、积集：由 A中的元素 a与 B中的元
素 b作成的有序对 的全体组成的集
合叫做 A与 B的积集,记作：,即
注：显然，一般地差集和积集是不能
交换的，即
BA?
},),{( BbAabaBA ????
),( ba
ABBAABBA ??????,
思考题：
1、下列等式中哪些是正确的，哪些是错误的；正
确的，请予以证明，错误的，请给出反例予以说
明。
(1)
(2)
(3)
(4)
2、写出集合的全部子集。
3、设是含有个元素的集合，的含有个元素的子
集共有多少个？
)()()()( BABAABBA ??? ????
)()()( CBCACBA ????? ?
)()()()( DBCADCBA ???? ???
)()()( CABACBA ???? ??
第 二 讲
映 射 (Mappings)
本讲的教学目的和要求
映射的概念是现代数学最基本的概念和重要工
具。本讲要求必须切实掌握好映射的定义，能准确
地判断一个对应是否为映射的真实性，尤其是映射
的分类情况。
本讲的重点和难点
在映射的基础上，掌握双射 (即一一映射 )形成
的条件和它的逆映射的存在性及唯一性。而不易把
握的是如何判断和证明一个对应关系是否为双射，
以及构造一些能符合要求的实例往往是初学者较为
棘手的工作。
一、映射的概念
定义 1、集合 A到集合 B的一个对应关系 如
果满足,A中任一个元素 a，关于 都存在 B中
的一个元素与其对应，则称 是 A到 B的一个
映射。习惯上记为,
f
f
f
BAf ?,ba ?
A B
a b
说明,关于映射 需要注意
1,(存在性 )对每个元素,都存在
使,其中 b叫做关于 下的象，
记为
2,(唯一性 )对每个元素,关于 下
a的象都是唯一存在的。
映射的相等 如果 都是映射
而且 且 都有 那么
称 与 是相等的，记为 。
BAf ?:
Aa?
Bb? baf ?,f
)(afb ?
Aa? f
DCg ?:,,BAf ?
Aa?? )()( agaf ?DBCA ??,
f g gf ?
二、映射的分类
1、单射：对于映射,设
若 则 (或若 则 )
，那么称为 单射。
BAf ?,Aaa ?21,
)()( 21 afaf ?
21 aa ? 21 aa ?
()( 21 afaf ?
f
A
B
f
2、满射：对于映射,都存
在 使 (或 )则称 为满
射。
BAf ?,Bb ??
Aa? )(afb ? )( AfB ? f
,
f
A B
3、双射：对于映射,若 既是单射
又是满射 (或,都存在唯一的
使 ),则称 是双射。
BAf ?,f
Bb ?? Aa?
)(afb ? f
A B
f
三、逆映射
1、左逆映射：设 为映射，若存在唯
一的, 使,则称 为
的左逆映射 (或称为左逆 )
结论 1：映射 有左逆的充要条件是
为单射。
2、右逆映射：设 为映射，若存在唯
一 的, 使,则称 为
的右逆 映射 (简称为右逆 )
结论 2：映射 有右逆的充要条件是
为满射。
BAf ?:
1?
Lf ABf L ?
?,1
AL ff 11 ?? ?
：
1?Rf f
BAf ?:
BAf ?:
1?Rf ABfR ??,1 BR ff 11 ?? ?
BAf ?,f
1?Lf f
3、逆映射：设映射, 同时有唯一
的左逆和右逆的充要条件是 为双射，这
时,习惯上将它们统一记为,并
叫作 的逆映射。
结论 3：映射 为双射的充要条件是
有逆映射 使 且 。
结论 4：若 是双射，那么 的逆映
射 是唯一的且 也是双射。
BAf ?,f
f
11 ?? ?
RL ff 1?f
f
BAf ?,f
ABf ??,1 Aff 11 ?? ? Bff 11 ???
BAf ?,f
ABf ??,1 1?f
四、映射的合成 (乘积 )
设, 都是映射，那么可定义
它们的合成为,其中都有
BAf ?,DCg ?:
CAfg ?:? Aa??
))(())(( afgafg ??
f g
A B C
映射合成的性质,设, 为映
射，那么
1、若 和 都是单 (满、双 )射，那么它们
的合成 也是单 (满、双 )射。
2,是满射的充要条件为
是满射
3,是单射的充要条件为
为单射。
BAf ?,CBg ?:
f g
CAfg ?:?
CAfg ?:?
CAfg ?:?
CBg ?:
BAf ?:
思考题：
1、如果 不是单射时，应如何叙述？
2、如果 不是满射时，应如何叙述？
3、如果, 都不是双射，
它们的合成 能成为双射吗？为什
么？
BAf ?:
BAf ?:
BAf ?,CBg ?:
CAfg ?:?
课堂练习
1、试证：映射 是单射的充
要条件为 有唯一的左逆映射。
2、试证,是单
射但不是满射。
3、设映射：
求 。
BAf ?:
f
1)(,,??? nnfNNf
54)(,,??? xxfRRf
1?f
第三讲
数环和数域
（ Number ring and number field）
本讲的教学目的和要求 周知，在证书范围内可以进行加、
减、乘三种运算，但两个整数的商却不一定是整数，也就是
说在整数范围内，除法不是永远可以实施的。但在有理数内，
不仅可以进行加、减、乘三种运算，而且可以实行除法（除
数不为零）。在实数范围内也同样可以实现这四种运算。这
两种不同结果的数集也是正是本讲需要研究和讨论的。我们
要求学生能掌握数环和数域这两个代数系统的特征和区别，
能熟练的辨别一个数集是否为数环或数域并能把握一批实例。
本讲的叫重点和难点 能叫熟练的论证（或反证）一个数
集是数域（或不是数域）往往是初学者需要认真训练的基本
功。类似例 3的推导思想和证明过程的套路并不是能轻易掌
握的。
数环和数域的概念
定义 1.设 S是复数集 C的一个非空子集。如果对 S中任意两个
数 a,b来说 都在 S中，那么就称 S是一个
数环。
说明 1.整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R和复数集 C都是数环
例 1.取定一个整数 a，令,那么 S是一个
数环。
证明：虽然 S是 C的一个非空子集。现设,
则,
那么
证明 S是一个整环。
说明 2.在例 1中，如果,那么 S就是全体偶数组成的
数环特别若 时，那么 是由单独一个数 0组成的数
环。
思考题 在例 1中，若数 a不是整数时,S一定是数环吗？
},|{ ZnnaxxS ????
Sxx ?21,
Znnanxanx ??? 212211,,,
Sannananxx ?????? )( 212121
Saannananxx ??? )())(( 212121
abbaba,,??
2?a
0?a }0{?S
例 2 设,那
么 S是一个数环。
证明 S显然非空。,
则
那么
注意 1.如果将 Z换成 Q或者 R，例 2的结论仍成立。
}1,,|{][ 2 ?????? iZbabiaiZS
Sxx ?? 21
Zbbaaibaxibax ????? 1121222111,,,,,
Sibaabbbaaibaibaxx
Sibbaaibaibaxx
????????
??????????
)()())((
)()()()(
21212121221121
2121221121
定义 2 设 F是一个数环。如果
（ 1） F中至少有一个非零的数；
（ 2）, 那么称发生一
个数域。
说明 3 有理数集 Q，实数集 R和复数集 C都
是数域。但整数集 Z不是数域（为什么？）
例 1和例 2中的数环也不是数域（为什么？）
Fba ??,F
b
ab ?? 则且,0
,
例 3.设,那么 F是
一个数域。
证明 先证 F是一个整环。 F显然非空。
设
那么
因为 a,b,c 和 d都是有理数，所以 a+c,b+d也
是有理数，因而。同理
},|2{]2[ QbabaQF ????
,,,,,2,2 211 QdcbaFdcxbax ??????
2)()()2()2(21 dbcadcbaxx ?????????
Fdbcaxx ?????? 2)()(21
Fadbcdacxx ????? 2)()2(21
再证 F满足数域定义中的条件。
（ 1）因为 即 F中含有非零的数
（ 2）设,那么 。否则，
若,当 d=0时，可推出 c=0,也就是说
与 矛盾；当 d≠0时，可得 与 是
无理数相矛盾。
因此。
这就证明了 F是一个数域。
注意 2 若将例 3中的 换成 其中 n为非完全平方
数），可类似的证明结论仍成立。因为这样的 n 有无限
个，所以数域也有无限个。但数域并不都是这种形式。
F??? 2011
Qdcdcx ????,,022 02 ?? dc
02 ?? dc02 ?? dc
02 ?? dc Q
d
c ??2 2
F
dc
adbc
dc
bdac
dcdc
dcba
dc
ba
x
x
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
2
22
2
)2)(2(
)2)(2(
2
2
2222
2
1
2 n
二,数环和数域的性质
性质 1,任何数环都含有数零。
证明, 设 S是一个数环。由定义知 。设 a∈ S，那
么 。
性质 2,任何数域都含有数 0和数 1。
证明, 设 F是一个数域，那么 F必是数环，故知 0∈ F。又因
F中含有非零的数，不妨设这个数是 a≠0，那么 。
性质 3.任何数域 F都包含有理数域 Q。
证明 因 F是数域，由性质 2知,1∈ F。由 1与它自身重
复相加，可知全体正整数还在 F中。再由性质 2得,0∈ F，
即 F含有 0与任一个正整数的差，亦即 F含有全体负整数。当
然 F也应该含有任意两个整数的商（分母 ≠0），故
注意 3,在性质 3的意义下，可以认为，有理数域 Q是所以
数域 F中的最小数域。
0?S
SAA ???0
Faa ??1
FQ?
课堂练习
1.证明：如果数环 S≠{0}，那么 S必含有无
限多个数。
2.证明,是一个数环，但不
是数域。
3.证明：两个数环（域）的交仍是数环
（域）；它们的并还是数环（域）吗？为什
么？
},|2{ ZnmmS n ??
第 二 章
多 项 式（ Polynomials）
第 四 讲
一元 多项式的运算和整除性
（ Operation and divisibility of polynomial）
本讲的教学目的和要求 多项式不仅是中学代数的主要内容，
也是代数学中的一个基本的研究对象。关于多项式的一些重要
结论，不但在解决实际问题时常常用到，在进一步学习代数和
其它学科时也会常遇到。多项式理论中的一些论证和思考问题
的方法，对于进一步学习其他数学方向也有启发作用。本讲的
教学目的是要求学生能了解在一般数域上纯形式地讨论一元多
项式的一般理论；对多项式的运算、次数、整除及整除的性质
能有所充分的了解。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点主要在于
1、一元多项式的和与积的次数定理。
2、一元多项式整除的概念和性质。
3、一元多项式的带余除法。
一元多项式
1.一元多项式的定义,数环上一个文字的多
项式或一元多项式指的是形式表达式
这里 n是非负整数而都是中的数。
特别,零多项式是唯一没有定义次数的多项
式
2.多项式相等,若是整环 R上两个一元多项
式 和 有完全相同的项，或者只差
一些系数为零的项，那么 和 说是
相等,。
,2210 nn xaxaxaa ???? ?
)(xf )(xg
)(xf )(xg
)()( xgxf ?
3.多项式的加法和乘法
如果
(1)加法：
（如果 n＞ m）
(2)乘法：
0101 )(,)( bxbxbxgaxaxaxf mmnn ???????? ??
)()()()()( 001111 baxbaxbaxaxaxgxf mmmmmnn ??????????? ?? ??
001001111 )()()()( baxbabaxbabaxbaxgxf nmmnmnmnmn ??????? ????? ?
性质：
① 当 时，
② 加法交换律、乘法交换律成立：
0)(,0)( ?? xgxf 0)()( ?? xgxf
))}(()),((m a x {))()(( xgxfxgxf ?????
))(())(())()(( xgxfxgxf ?????
)()()()( xfxgxgxf ???
)()()()( xfxgxgxf ?
③ 加法结合律、乘法结合律成立：
④ 加法消去律、乘法消去律成立：
⑤ 乘法对加法的分配律成立：
))()(()()())()(( xhxgxfxhxgxf ?????
))()()(()())()(( xhxgxfxhxgxf ?
)()()()()()( xhxgxhxfxgxf ?????
)()(0)()()()()( xhxgxfxhxfxgxf ???? 且
)()()()())()()(( xhxfxgxfxhxgxf ???
二、带余除法：
使得
例 1、设 除 时，
余式,求系数 a,b。
例 2、设,,求
除以 的商和余式。
][)(),(,0)(][)(),( xRxrxqxgxRxgxf ??? 则存在唯一且
0)())(())(()()()()( ?????? xrxgxrxrxgxqxf 或其中
2)( 2 ??? xxxg baxxxxf ???? 23 2)(
12)( ?? xxr
13)( 2 ??? xxxg 825)( 23 ??? xxxf )(xf
)(xg
三、综合除法
例 3、以 除,
求商和余式。
例 4、用综合除法将 按
的方幂展开。
四、整除性
1.整除的定义,如果,
则 。
12 ?x 15432)( 234 ????? xxxxxf
465 234 ??? xxx
1?x
)()()( xhxgxf ?
)()( xfxg
。
2.整除的性质：
①；
②；
③。
3.整除的判别定理：
。
0),()()()(,)()( ??? cxcgxfxfxgxgxf
)()()()(,)()( xhxfxhxgxgxf ?
?
?
?? t
i iii
xgxkxftixgxf
1
)()()(,,2,1,)()( ?
0)()()()(,0)(],[)(),( 的余式为除 xfxgxfxgxgxRxgxf ???
思考题：
1.当 适合什么条件时,。
2.
课堂练习：
1.如果 不整除 与,是否一定有 不
整除 。
2.作 与,使得 不整除 与,
但
qpm,,qpxxmxx ???? 32 1
???? Zkxfxxfx k )()(
)(xh )(xf )(xg )(xh
)()( xgxf ?
)(xf )(xg 3?x )(xf )(xg
)()(3 xgxfx ??
第 五 讲
一元多项式的最大公因式
（ The greatest common divisor of polynomial）
本讲的教学目的和要求 多项式的公因式及最大公
因式的概念是多项式理论中最基本的知识点。本讲
要求能完全掌握最大公因式的基本概念、二个多项
式互素的含义、二个（乃至更多个）多项式的最大
公因式的求法（展转相除法）。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点是能灵活的应
用展转相除法准确地求出最大公因式以及求出满足
线性组合式 中的多项式 和 ；
而比较困难的是对最大公因式概念的准确理解和把
握，比如最大公因式的唯一性问题、首一问题、互
素多项式的判断和有关性质等。
)()()()( xgxvxfxu ? )(xu )(xv
一、最大公因式
定义 1,是 与 的最大公因式，如果
①
②
定义 2,是 与 的最大公因式，如果
①
②
)(xd )(xf )(xg
)()(),()( xgxdxfxd
)()()()(),()( 111 xdxdxgxdxfxd ?
)()(),()( xgxdxfxd
)()()()()(..),(),( xgxvxfxuxdtsxvxu ???
)(xd )(xf )(xg
二、性质：
1、
注：不要求 是 除以 的商和余式 。
2,的任意两个多项式 与 一定有最
大公因式。除一个零次因子外,与 的
最大公因式是唯一的，这就是说，若 是
与 的一个最大公因式，那么数域 F的
任何一个不为零的数 c与 的乘积,而
且只有这样的乘积是 与 的最大公因式。
))(),(())(),(()()()()( xrxgxgxfxrxgxqxf ????
)(),( xrxq )(xf )(xg
)(xd )(xcd
][xF )(xf )(xg
)(xf )(xg
)(xd
)(xf )(xg
)(xf )(xg
注：如果 是一个包含数域 的数域，从
数域 过渡到 时,与 的最大公因
式没有改变 。
3、
4、若
例 1、设
求,并求
)()()()())(),(.(.),(),( xgxvxfxuxgxftsxvxu ??
F F
F F )(xf )(xg
1)()()()(..),(),(1))(),(( ????? xgxvxfxutsxvxuxgxf
)()(1))(),((,)()()( xhxfxgxfxhxgxf ??
3452)(,3442)( 23234 ????????? xxxxgxxxxxf
))(),(( xgxf
思考题：
课堂练习：
1、设,
求,并求
2、设,
则 。
3,是首项系数为 1的多项式，则
1))()(),((1))(),((,1))(),(( ???? xhxgxfxhxfxgxf
32103)(,343)( 23234 ????????? xxxxgxxxxxf
))(),(( xgxf
)()()()())(),(.(.),(),( xgxvxfxuxgxftsxvxu ??
0)(,0)( ?? xgxf
)(xh
1))(),(( )(,))(),(( )( ??????? xgxf xgxgxf xf
)())(),(())()(),()(( xhxgxfxhxgxhxf ?
第 六 讲
一元多项式的因式分解定理
（ The factorization theorem of polynomial）
本讲的教学目的和要求 多项式的分解是多项式理论的核心，
在某种意义上说，前面讨论的一些概念和性质是为本讲做准
备的。在中学代数里我们学过一些具体的方法，把一个多项
式分解为不能再分解的因式的乘积。但那里并没有深入地讨
论这个问题。那里所谓不能再分，常常只是指我们自己看不
出怎样再分下去的意思，并没有严格论证它们确实不能在分。
本讲的目的就是要能从理论上真正弄清“不能再分”的实质
以及与其有关的性质。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点在于对因式分解定理的
理解和证明过程的把握。难点是在掌握了因式分解定理后能
迅速地给出多项式的典型分解式并利用它解决求最大公因式
及最小公倍式的问题。
一、不可约多项式
定义 1,设 是数域上的次数 ≥1的多项式，
且它不能表成两个在 P上的次数比它低的多
项式的乘积，则称 为 P上的不可约多项式，
简称不可约多项式。否则，称为可约多项式。
二,k重因式
定义 2,设 是不可约多项式，,但
不整除,则称 是 的 k重因式。特
别地，当 k=1时,称 是 的 k单因式，
当 k>1时,称 是 的 k重因式。
)(xf
)()( xfxp k
)(1 xpk?
)(xp
)(xp
)(xp
)(xp
)(xf
)(xp
)(xp )(xf
三、性质
1、设 是不可约多项式，则 (p是 p中
非零数 )也是 P上不可约多项式。
2、设 是不可约多项式，则对任一多项
式,或 (, )=1或 。
3、设 是不可约多项式，且,
则 或 。
4、因式分解存在唯一性定理，数域 P上的每
一次数 ≥1的多项式 都可以唯一地分解为
数域 P上的一些不可约多项式的乘积 (不计因
式次序 )。
)(xp )(xcp
)(xp
)(xf )(xp )(xf )()( xfxp
)(xp )()()( xgxfxp ?
)()( xfxp )()( xgxp
5、设 是 的 k重因式,则 是 的
k-1重因式。因而,是,, …,
的公因式，不是 的因式 (记号 表示 的
i次导式 )。
6、设 是 的 k重因式的充要条件是 为
与 的公因式，也就是说,无重因式的充要
条件是 。
7、设 的标准分解式为 … （其中，
i=1,2,…, s）是两两不等的首项系数为 1的
不可约多项式），则
它与 有完全相同的不可约因式，且都是单因式。
)(xp )(xf ）（ 1?k )(xp )(xf?
)(xp )(xf )(xf? )()1( xf k?
)()( xf k )()( xf i )(xf
)(xp )(xf )(xp )(xf
)(xf? )(xf
1))(),(( ?? xfxf
)(xf
)(11 xapk )(1 xpks )(xp
)()())(),(( )( 1 xpxapxfxf xf s???
注,1,若性质 2,性质 3中的是可约多项式,则
结论不成立,
2,性质 2,性质 3的逆命题也成立,
思考题：
如果不可约多项式 能整除
及,那么一定能整除 及
如果 是可约多项式,这个结论是否还成
立?
)(xp )()( xgxf ?
)()( xgxf )(xf
)(xp
)(xg
课堂练习,
1.在有理数域上分解下列多项式为不可约因
式的乘积,
2.证明,当且仅当;13)1( 2 ?x
.122)2( 23 ??? xxx
)()( 22 xfxg )()( xfxg
第 七 讲
多项式函数和多项式的根
（ The polynomial function and root of polynomial）
本讲的教学目的和要求 本讲的目的是了解：虽然没有一般
的方法求出一个多项式的典型分解式，但是我们有方法来判
断一个多项式的分解式中有没有重复出现的不可约因式及重
复的次数。本讲要求：理解并学会在有重复出现的不可约因
式的情况下，把这一多项式的研究归结为没有重复出现的不
可约因式的多项式的研究。在掌握了多项式的根的概念后，
要求能真正理解每一个多项式都定义了一个确定的函数，不
同的多项式所定义的函数也不同的道理以及我们是怎样采取
函数的观点来建立多项式理论的。
本讲的教学重点和难点 本讲在重因式方面，重点掌握：由
于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由原数域
过度到较大的数域时都无改变，所以可用分离重因式法把有
重因式的多项式的问题转化为若干个没有重因式的多项式问
题。在多项式的根的方面，要求能从理论上掌握以代数基本
定理为中心的一批概念和结论。
一、多项式函数
设 那么数 称为
当 时的值，用符号 表示；这样
就是定义在数域 P上的一个函数，通常
称 为数域 P上的多项式函数。
二、多项式的根
当 时，称 a为多项式 的 k重根
当 时，称 a为 的单根，当 时，
称 a为 的重根。
,],[)(
0
PaxPxaxf in
i i
??? ?
?
in
i i
aa?
?0
)(xf ax? )(af
)(xf
)(xf
0)( ?af )(xf
1?k )(xf
)(xf
1?k
三、性质
（ 1）余数定理：以当 除多项式,所得的
余数 。
（ 2）因式定理,的充要条件是 。
（ 3） P上的每一 n次多项式在 P内至多有 n个根（重
根按重数计算）。
（ 4）设 与 都是 P上次数不大于 n的两个多
项式，则 的充要条件是在 P内至少有
个不同的数,
使
,
ax? )(xf
)(afr ?
)(xfax ? 0)( ?af
)(xf )(xg
)()( xgxf ? 1?n
ia
)()( ii agaf ? )1,,2,1( ?? ni ?
由此即得：两个多项式 与 相等的充要
条件是这两个多项式在 P上恒等（即任意
总有 ）。
（ 5）拉格朗日（ Lagrange）插值公式。设
是 P中 个不同的数，
是 P中任意 个数，则在 P上存
在一个次数小于 的多项式,能使
，即
)(xf )(xg
P?? )()( ?? gf ?
11,?? naa,
1?n
11,?? nbb,
1?n
1?n )(xf
)1,,2,1()( ??? nibaf ii ?
i
n
i niiiiii
nii b
aaaaaaaa
axaxaxaxxf ?
????
????? ??
? ???
???`1
1 1111
1111
)())(()(
)())(()()(
??
??
例 求以除的商式和余式,
解, 作综合除法,
所以商式是,余式 r=69.
思考题,是否能写成 x的多项式,
课堂练习,将 展开,
xsin
69261031
783093
941013
??
??
??
,26103)( 23 ???? xxxxd
)(xf
5)2()2(3)2()( 234 ??????? xxxxf
第 三 章
行 列 式（ Determinant ）
第 八 讲
n阶行列式的概念
（ concept of determinant of rank n）
本讲的教学目的和要求 为了解决方程组的系数来表述方程
组求解的有关问题，我们引进行列式作为工具。本讲首先要
求能理解：为了把二、三阶行列式推广，就必须确定展开式
中各项符号的规律，因此排列的引入就成了自然的问题，而
排列的奇偶性正是确定符号的关键。其次，要吃透从二、三
阶行列式的结构规律推广到阶行列式的方法，能总结出阶行
列式展开中的关键要素。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点和难点在于
1、理解反序、反序数、偶排列和奇排列及对换等概念； 2、
能迅速地判断排列的奇偶性；
3、能准确地辩识某项是否为展开式中的项；
4、能灵活地计算出特殊行列式（三角形、上、下三角形）
的值。
一、定义,用符号
表示的 n阶行列式指的是 n!的代数和，这些项
是一切可能的取自不同行不同列上的 n个元素
的乘积。,项 的符号
为,也就是说，当 是偶
排列时，这一项的符号为正，当 是
奇排列时，这一项的符号为负。
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
nnjjj aaa ?21 21 nnjjj
aaa ?21 21
)( 21)1( njjj ??? njjj ?21
njjj ?21
二、基本性质
1.如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这
个行列式等于零。
2.把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以
某一个数，等于以数乘这个行列式。
3.一个行列式有某一行（列）所有元素的公因子可
以提取到行列式符号的外边。
4.如果一个行列式中有一行（列）的元素全部都是
零，这个行列式等于零。
5.如果一个行列式有两行（列）对应元素成比例，
那么这个行列式等于零。
6.设行列式 D的第 i行的所有元素都可以表成
两项的和，那么 D等于 与 的和，其中
的第 i行的元素是, 第 i行的元
素是,而 与 的其它各行都和
D的一样。即
同样的性质对于列来说也成立。
1D 2D
inii bbb,,,21 ?
1D
2D
inii ccc,,,21 ? 1D 2D
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
nnnn
ininiiii
n
aaa
ccc
aaa
aaa
bbb
aaa
aaa
cbcbcb
aaa
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
21
21
11211
21
21
11211
21
2211
11211
?????
7.把行列式的某一行（列）的元素乘以同一
个数后加到另一行（列）的对应元素上，行
列式不变。
8.范得蒙行列式：
)(
111
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
j
nij
i
n
n
nn
n
n
aa
aaa
aaa
aaa
?? ?
???
???
?
????
?
?
?
三、行列式展开定理
1,k阶子式,在一个行列式 D中任意取 k行 k列，位
于这些行列相交处的元素所构成的阶行列式叫做行
列式 D的一个 k阶子式。
2,余子式,n行列式
的某个元素 余子式 指的是在 D中划去 所
在的行和列后所余下的 阶子式。
ija ijM
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
ija
1?n
3.代数余子式,n 行列式 D 的元素 的余子
式 附以符号 后，就叫做 的代数余
子式,即 。
4.行列式 D等于它任意一行（列）的所有元
素与它们的对应的代数余子式的乘积的和。
换句划说，行列式有依行活依列的展开式：
ija
ijM ji?? )1( ija
ijA ijjiij MA ??? )1(
njnjjjjj
ininiiii
AaAaAaD
AaAaAaD
????
????
?
?
2211
2211
5.行列式
的某一行（列）的元素与另一行的对应元素的代数
余子式的乘积的和等于零。
换句话说
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
)(0
)(0
2211
2211
tsAaAaAa
jiAaAaAa
ntnststs
jninjiji
?????
?????
?
?
四、行列式的计算
1.化为“三角”法：例
2.析因子法：例
nn
n
n
baaa
aaba
aaa
?
?
?
?????
?
?
21
211
21
1
1
1
2
2
9132
5132
3221
3211
x
x
?
?
3.拆行（列）法：例
4.加边法：例
5.递推法：同 4的例
nnnn
n
n
bababa
bababa
bababa
???
???
???
?
????
?
?
21
22212
12111
n
n
n
aaa
aaa
aaa
?
?
?
1
1
1
21
21
21
?
????
?
?
6.利用行列式乘法法则：同 3的例
7.换元法：例
思考题：
如果一个行列式为零，是否有该行列式
中一行（列）为零或两行（列）成比例。
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
D
nnnn
n
n
???
???
???
?
?
????
?
?
21
22221
11211
第 九 讲
克莱姆法则（ Cramer’s Theorem ）
本讲的教学目的和要求 本讲将利用行列式
依行（列）展开规则及有关定理，证明了克
莱姆法则。这里要求能理解克莱姆法则是给
出了含个未知量个方程，且系数行列式不为
零的线性方程组的解的一般公式，并会在实
际问题中应用克莱姆法则。
本讲的教学重点和难点 由于线性方程组的
解的一般公式问题非常容易掌握，所以本讲
的难点实际上是解高阶行列式的值。
一、线性方程组的一般形式
（一）线性方程组的一般形式
①
其中 代表未知量，称为未知量
的系数,称为常数项。
我们限定在数域 P上讨论线性方程组。这就是
说，方程组中未知量的系数和常数项都是数域 P中
的数。本章中谈到的数，都是指数域 P中的数。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
?
2211
22222121
11212111
mxxx,,,21 ?
),,2,1( mjb ij ??
（二）所谓方程组①的解，就是指由 n个数
组成的有序数组,当
分别用 代入后，①中每个等式都变成
恒等式。方程组①的解的全体称为它的解集合。解
方程组就是求出它的解的集合。
（三）所谓两个线性方程组同解，就是指，第
一个方程组的所有解都是第二个方程组的解，并
且，，第二个方程组的所有解也都是第一个方程组
的解。
注意：如果两个线性方程组都无解，这两个方程组
被认为是同解的。
mkkk,,,21 ?
),,,( 21 nkkk ? mxxx,,,21 ?
二、齐次线性方程组
(一 )常数项全部未零的线性方程组
②
称为齐次线性方程组。
(二 )齐次线性方程组②的一个最基本的性质，
就是它永远有解。 就是它的一个
解。这个解称为②的零解。若②除零解外，
还有其他的解，这些解都称为非零解。
)0,,0,0( ?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
???????????
?
?
三、克兰姆法则
如果线性方程组
③
的系数行列式,那么方程组③有解，
并且解是唯一的，这个唯一解可以通过系数
表为
,11 DDx ?,22 DDx ?,?,DDx nn ?
0?D
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
?
2211
22222121
11212111
其中
必须指出，克兰姆法则是解线性方程组的基础，在理
论上是重要的，学者应牢固掌握它。
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
nninninn
nii
nii
i
aabaa
aabaa
aabaa
D
??
???????
??
??
1,1,1
21,221,221
11,111,111
??
??
??
?
),,2,1( ni ??
第 十 讲
线性方程组的概念
（ Concept of Systems of linear equations）
本讲的教学目的和要求 我们将把线性方程组的诸系数和常
数项与求解问题之间的直接联系揭示出来并通过引进向量作
工具，对线性方程组的通解给出进一步结果。本讲要求
1、能理解维向量的线性组合（线性表示）及向量组的等价
的概念；
2、掌握向量组的线性相关性（线性相关与线性无关）的概
念；
3、会用初等变换法求一般线性方程组的通解表达式；
本讲的教学重点和难点 本讲的重点是能熟练掌握用初等变
换法求一般线性方程组的通解表达式的方法和初等变换的技
巧。而难点是能理解线性相关性理论。
一、元向量
1、定义：所谓数域 P上的一个 n元向量，就
是指由数域 P中 n个数组成的有序数组,其
中称为 的第 个分量。用小写希腊字母 等
来表示。
2,n元向量的相等
若 n元向量 的
对应分量都相等，即,则
称这两个向量是相等的，记为 。
),,,(),,,,( 2121 nn bbbaaa ?? ?? ??
),,2,1(,niba ii ???
?? ?
3.元向量的运算
（ 1）设 为数域 P上
的任意两个 n元向量，那么,n元向量
称为 的和，记
为 。
（ 2）设 k 为数域 P 上的任一数，
为数域 P 上的任一 n元向量，那么 n元向量
称为数 k域向量 的数量乘积，记
为 。
（ 3）所有数域 P 上的 n元向量组成的集合，同时考
虑到定义在它们上面的加法和乘法，成为数域上的
n 元向量空间。
?
),,,(),,,,( 2121 nn bbbaaa ?? ?? ??
),,,( 2211 nn bababa ???? ?? ??,
??? ??
),,,( 21 naaa ???
),,,( 21 nkakaka ?
?k
二、向量的线性组合、线性相关性、线性无关性
1.向量的线性组合,是线性空间中 V
的向量
(1)向量 称为向量组 的一个线性组
合，如果由数域 F中的数,使得
当向量 是向量组 的一个线性组合
时，我们也说向量 可由向量组
线性表出
?,,,,21 raaa ?
? r???,,,21 ?
raaa,,,21 ?
rraaa ???? ???? ?2211
? raaa,,,21 ?
? r???,,,21 ?
(2)如果向量 可由 线性表出，而每
一个 又都可以由 线性表出，则
也可以被 线性表出。
2、线性相关：设 是向量空间 V 的 r
个向量，如果存在数域 F中不全为零的 r个
数,使得
那么就说 线性相关。
? r???,,,21 ?
i? t???,,,21 ?
?
t???,,,21 ?
r???,,,21 ?
r???,,,21 ?
02211 ???? rraaa ??? ?
3、线性无关：如果不存在 F中不全为零的 r个
数,使得
成立，即等式 成立
当且仅当,那么就
称线性无关。
r???,,,21 ?
02211 ???? rraaa ??? ?
02211 ???? rraaa ??? ?
021 ???? raaa ?
三、向量组的等价
1、若向量组 这每一个向量
都可以由向量组 线性表出，那么，则
称向量组 可由向量组
线性表出。如果两个向量组可以互相线性表出，则
称这两个向量组等价。
2、向量组之间的等价关系满足：
反身性：每一个向量组都与它自身等价；
对称性：如果向量组 与向量组
等价，则向量组 也与向量
组 等价；
r???,,,21 ? ),,2,1( ri
i ???
t???,,,21 ?
r???,,,21 ? t???,,,21 ?
r???,,,21 ?
t???,,,21 ? t???,,,21 ?
r???,,,21 ?
传递性：如果向量组 与向量组
等价，向量组 与向量组 等价，
那么，向量组 也与向量组 等
价。
3、替换定理：设向量组 线性无关，
并且 可由向量组 线性
表出。那么,； 必要时可以适当地对 中的
向量重新编号，使得用 替换
后，所得到的向量组
与 向量组 等价。特别地，当
时，向量组 与向量组 等价。
r???,,,21 ? t???,,,21 ?
t???,,,21 ? t???,,,21 ?
r???,,,21 ? t???,,,21 ?
raaa,,,21 ?
raaa,,,21 ? t???,,,21 ?
?1 tr? ?2
raaa,,,21 ?
t???,,,21 ?
srraaa ??,,,,,,121 ?? ?t???,,,21 ?
sr ?
raaa,,,21 ? t???,,,21 ?
四、向量组的极大线性无关组
1、设 是向量组 中的 r个向
量，若：
(1) 线性无关；
(2)向量组 中的任一个向量可由
线性表出，则称为向量组
的一个极大线性无关部分组（简称
极大无关组）。
注意,
1、当一个向量组的所有向量都是零向量时，那么
这个向量组没有极大无关组。
2、一个向量组与它的任一极大无关组等价。
riii aaa,,,21 ?
maaa,,,21 ?riii aaa,,,21 ?
maaa,,,21 ?
riii aaa,,,21 ?
maaa,,,21 ?
3、等价的向量组的极大无关组含有相同个数
的向量。特别地，一个向量组的任意两个极
大无关组含有相同个数的向量。
五、向量组的秩
1、所谓向量组的秩，就是指，这个向量组的
一个极大无关组所含向量的个数。当一个向
量组的所有向量都是零向量时，我们规定，
这个向量组的秩为零。
2、一个向量组线性无关的充要条件是它的秩
与所含有向量的个数相同。
课堂练习,a 为何值时,下述线性方程组无解?
当 a为何值时有解?在有解时,求它的一般解,
axxxx
xxxx
axxxx
xxx
xxxx
2222
112333
222
83
7
4321
4321
4321
431
4321
????
?????
?????
???
?????
第 十一 讲
矩阵的秩和线性方程组的可解判别定理
（ Rank of matrix and solvable jugement theorem of
Systems of linear equations）
本讲的教学目的和要求 本讲的目的是真正掌握并吃透解的
判定问题：如何判断一个线性方程组有没有解？有解时有多
少解？同时要求能用矩阵的初等变换求出矩阵的秩；将矩阵
化成阶梯规范形。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点和难点是：
1、熟练地应用矩阵初等变换法求出它的秩并将矩阵化成阶
梯规范形；
2、通过系数矩阵和增广矩阵的关系，确定数字线性方程组
是否有解；
3、能熟练地确定当待定系数为何值时，原线性方程组是否
有解。
一、矩阵的秩
1,k阶子式：在一个 s行 t列的矩阵中，任意
取 k行 k列,位于这些行列相交处
的元素所构成的 k阶行列式叫做这个矩阵的一
个 k阶子式。
2、矩阵的秩：一个矩阵中不等于零的子式的
最大阶数叫做这个矩阵的秩，若一个矩阵没
有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩为
零。
3、性质：初等变换不改变矩阵的秩。
),( tksk ??
二、线性方程组有解判别定理
定理 1、线性方程组
有解当且仅当它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。
定理 2、线性方程组
的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当等于方程组所含未知量的个
数时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
?
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
?
2211
22222121
11212111
例 1 判断下述线形方程组有没有解?
其中 a,b,c,d各不相同,
解, 它的增广矩阵 A的四阶子式式四阶范德蒙行列式,即,
已知 a,b,c,d各不相同,所以,因此秩,而系数行列式 A只有
3列,所以秩,因此,秩 A秩,由定理 2知,此线形方程组无解,
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
A ?
?
3
3
3
2
3
1
3
2
3
2
2
2
1
2
321
1321
dxcxbxa
dxcxbxa
dcxbxax
xxx
???
???
???
???
3?A
例 2:a取怎样的数值时,线形方程组
有唯一解,有无穷多解,没有解?
解,先计算系数行列式,
(1)当 a 1且 a -2时,D 0,根据克莱姆法则知方程组有唯一解,
(2)当 a=1时,系数矩阵为 A,增广矩阵为
2)1)(2(
11
11
11
???? aa
a
a
a
D
2
321
321
321 1
aaxxx
axaxx
xxax
???
???
???
显然秩 A=1,也有秩 =1.所以方程组有解,又因为秩 小
于方程组所含未知量个数 3,根据定理 3知方程组有
无穷多解,
(3)当 a=-2时,增广矩阵成为
容易求得 =3,秩 A=2,从而秩 A≠ 秩,所以原方程
组无解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111
111
111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1111
1111
1111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
4211
2121
1112
A
?A ?A
思考题：
线性方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相比，哪个会更大
些，大多少？
课堂练习：
1、取何值时，线性方程组 有解？
2,取何值时，线性方程组 有唯一
解，没有解，有无穷多解？
?
?
?
?
?
?????
?????
????
12
123
232
4321
3
4321
2
4321
xxxx
xxxx
xxxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
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321
321 1
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xxx
xxx
第 十二 讲
线性方程组解的结构
（ Construction of solution vector of
systems of linear equation）
本讲的教学目的和要求 线性方程组可解的判别法的推出进
一步发展了线性方程组的理论本讲的目的是在线性方程组有
解的前提下，讨论解的结构完备性问题（尤其是在无穷多解
的情况下）。要求能熟练的利用齐次线性方程组的基础解系
将解向量全部表示出来。
本讲的教学重点和难点
1.在齐次线性方程组有无穷多解的情况下，正确理解基础解
系的概念和特点。
2.能熟练的求出基础解系。
3.对非齐次线性方程组的通解，能正确的认识和理解。
一、齐次线性方程组解的结构
（一） 齐次线性方程组
若 t个 n元向量 满足条件,
1,都是方程组 (*)的解向量 ;
2,线性无关 ;
3.方程组 (*)的任一解,都可以由 线性表出。
则称 为方程组 (*)的一个基础解系。
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(二 )齐次线性方程组的解集，有以下重要性质：
1.方程组 (*)的两个解的和，还是方程组 (*)的解；
2.方程组 (*)的一个解的倍数，还是方程组 (*)的解；
由 1,2知，方程组 (*)的解的任意线性组合还是方程组 (*)的解。
3.若方程组 (*)的系数矩阵的秩为 r，且,则方程组 (*)有基
础解系，且一个基础解系所含解向量的个数等于 。
若 为方程组 (*)的一个基础解系，那么，方程组 (*)
的任一解 可唯一地表为：
其中 为任意数。此式亦称为的一般解。
由此可知，求出了方程组 (*)的基础解系后，就掌握了 (*)的全部
解的核心，同时，也就掌握了 (*)的全部解
注意：当齐次线性方程组只有零解时，就不存在基础解系
nr?
rn?
rn ????,,,21 ?
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rnkkk ?,,,21 ?
二．一般线性方程组解的结构
（一）设一般线性方程组
①
把方程组①的常数项都换成 0，就得到一个齐次线性方程组
① 。我们称这个齐次方程组①的导出齐次线性方程组，简
称导出组。
（二）程组①的解与它的导出组的解之间有以下关系：
1．方程组①的的两个解的差时它的导出组的一个解；
2．方程组①的一个解与它的导出组的一个解之和，为方程
组①的的一个解；
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nn
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bxaxaxa
bxaxaxa
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22222121
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3.如果 是方程组①的一个特解，那么，方程
组①的任一解 都可表成
②
其中,时方程组①的导出组的一个解。
当方程组①有解，且它的系数矩阵的秩为 小
于 时，那么，方程组①的任一解可表成为
③
其中,是①的一个特解,为①导
出组的一个基础解系,为任意数。
③亦称为①的一般解。
，??? ?? 0
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例 求下列方程组的一个基础解系,并求其一
般解,
(1)
解 对方程组的系数矩阵施行初等变换,
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1312
0211
与矩阵对应的方程组为
把 看作自由未知量,可得
令,得
令
由此得方程组的一个基础解系为：
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xxx
xxx
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312
34
2
xxx
xxx
0,1 31 ?? xx ;3,1 42 ???? xx
.1,2,1,0 4231 ????? xxxx 得
)1,1,2,0(),3,0,1,1( 21 ????? ??
故方程组的一般解为
其中 k1,k2为任意数。
思考题：
1、如果非齐次线性方程组无解，那么它的
导出组的解如何？
2、如果非齐次线性方程组有无穷多解，那
么它的导出组的解如何？
3、如果非齐次线性方程组的导出组有无穷
多解，那么该非齐次线性方程组是否也有无
穷多解？
)3,,2,( 2122112211 kkkkkkkk ??????? ???
课堂练习：
解线性方程组：
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4321
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xxxx
xxxx
第 五 章
矩 阵 （ Matrices）
第 十三节
矩阵的运算 （ Matrix Operations）
本讲的教学目的和要求 矩阵的概念在讨论线性方
程组时已经提出，但它不仅限于线性方程组，在自
然科学，工作技术，以及生产实际中还存在大量的
问题需要通过对矩整的研究而获得解决。所以矩阵
成为数学中一个极其重要而且应用广泛的工具。本
讲主要介绍了矩阵的加法运算，数乘运算，乘法运
算和转置运算。通过这些介绍，能对矩阵这个高等
代数的主要研究对象有更进一步的了解和把握。
本讲的教学重点和难点, 本讲的内容相对简单，只是
矩阵的乘法运算中所必备的限制可能会使初学者感到不适。
一、定义：令 是一个数域，用 的元素 作成的一个 行 列的
矩阵
叫做 上的一个矩阵。 也简记为 。为了指明 的
行数与列数，有时也把它记作 或 。当
时，叫做一个 阶方阵。
矩阵相等当且仅当两个矩阵的行数列相等并且对应元
素也相等
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二、矩阵的运算：
1、矩阵的数乘：数域 上的数 与 上的一个 矩阵 的乘积 指
的是 矩阵 。
2、矩阵的加法：数域 上两个 矩阵 的的和指的是 矩阵 。
矩阵的加法性质
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
（ 7）
（ 8）
ABBA ???
)()( CBACBA ?????
AA ??0
0)( ??? AA
aBaABAa ??? )(
bAaAAba ??? )(
AabbAa )()( ?
)( BABA ????
3、矩阵的乘法：数域 上 矩阵
与 矩阵 的乘积 AB 指的时这样的一
个 矩阵。这个矩阵的第 i 行第 j 列的元素 等于 A
的第 i 行的元素与 B 的第 j 列的对应元素的乘积的和：
矩阵的乘法性质：
（ 1）
注意：矩阵的乘法不满足交换律。
（ 2）
（ 3） 是数域 上的多项式，
而 是数域 上的 n 阶方阵,则
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CABAACBACABCBA ?????? )(,)(
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A F m
m AaAaEaAf ???? ?10)(
4、设 矩阵
把 的行变为列所得到的 矩阵
叫做矩阵 的转置。
矩阵的转置性质：（ 1）
（ 2） （ 3）
（ 4）
注：性质（ 2）与（ 3）可推广到有限多个矩的情形。
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AaaA ???)(
思考题：设方阵 A满足,则
( )( ) 。对吗？
课堂练习：例 1,设
求 。
解：
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例 2,设 试求与可换的所有二阶方阵。
解 设所求的二阶方阵为
则有，
即,
,
根据矩阵的相等定义，上试成立的充要条件是
即
所以 （其中 a,c是任意常数）即为所求,
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2
第 十四 讲
可逆矩阵和初等矩阵
（ Invertible Matrices and elementary Matrices）
本讲的教学目的和要求 可逆矩阵与初等矩阵在矩阵论中占
有及其重要的位置。通过本讲的学习要求能熟练的掌握求逆
矩阵的初等变换方法，并能了解有关逆矩阵的主要性质。同
时对初等矩阵的特点和用途也要求能清晰的把握。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点和难点为
1.从理论上了解（ A,E） （ E,A ）的原理。
2.从技术上能熟练的计算 A 。
3.弄清矩阵的初等变换与初等矩阵之间的联系。
?
一．可逆矩阵
（一）可逆矩阵
如果有 级方阵,使得,那么
级方阵 称为可逆矩阵,称为 的逆矩阵。
（二）非退化矩阵
如果有 级方阵 的行列式,那么 称
为非退化矩阵；否则，,称 为退化矩阵。
二．初等矩阵
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初
等矩阵。具体的有：
n B EBAAB ?? n
A B A
n A 0?A A
0?A A
（一）初等矩阵
1.互换单位矩阵 的 行（列）与 行（列）的位置，得
（有时称它为换法矩阵）；
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非零数 乘 的 行（列），得
（有时称它为倍法矩阵）；
把 的 j 行（ i 列）的 倍加到 i 行（ j 列），得
（有时称它为消法矩阵）
c i
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kjiP
(二）初等矩的性质：
可逆矩阵 的逆矩阵是存在且唯一得通常以符号 表示
的逆矩阵。
方阵 是可逆矩阵 秩 =方阵 的级数。
级方阵 的逆矩阵,其中
（ 表示 中元素 的代数余子式,）。
通常称 为 的伴随矩阵。
A 1?A A
A ? 0?A ? A A
n A A
AA
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1
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A~ A
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互换矩阵 的 行（列）与 行（列）的结果，等
于 ；把矩阵 的 行（列）乘以非零数 c 的
结果，等于 ；把矩阵 的 行（ 列）的
倍，加到 行（ 列）的结果，等于 。也
就是说，对矩阵 的行（列）作某种初等变换的结果，等于
用同等初等矩阵去左（右）乘于 。
设 是 矩阵，且秩,
则有
其中 都是初等矩阵，等号右端矩阵中主
对角线上共 有 个 1。
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)),((),( jiAPAjiP A i
)))((())(( ciAPAciP ? A j i k
i j ))(,((())(,( kjiAPAkjiP
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求逆矩阵的具体算法：
任以可逆矩阵经过一些行（列）的初等变换化为单位矩阵，
也就是说，,
其中 都是初等矩阵，
可见 。即
。
)( 11 EQAQEAPP tl ?? ??
),,1(),,,1( tjQliP ji ?? ??
)( 111 tl QQPPA ?? ???
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例 求可逆矩阵
的逆矩阵。
解：
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第 十五 讲
矩阵的分块（ Block Matrices）
本讲的教学目的和要求 矩阵分块是矩阵运算的一
种重要的技巧，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵
是常常用到。通过本讲的学习要求能从理论上了解
分块矩阵的特点。尤其对分块矩阵运算的限制。
本讲的教学重点和难点 1.分块矩阵的乘法。
2.分块矩阵的求逆。
3.利用矩阵分块的技巧解
决某些具体矩阵的问题。
一,分块矩阵
把 矩阵 分成如下形式的矩阵：
其中 是 矩阵,
且,式右端的矩阵叫做 的一个分
块矩阵，并把 与 分别叫做分块矩阵的第
i 行与第 j 列。每一个分块的方法叫做 的一个分法。
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二,性质
（一）设
这里矩阵右边的数 分别表示等式左端的小块
矩阵的行数,矩阵上端的数 分别表示等式左
端的小块矩阵的列数，则
其中 式任一数；
其中 式任一数；
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（ 二）设 矩阵 与 矩阵 分块矩阵式是
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其中 形式地按照矩阵地乘法法
则则得形式乘积：
其中,则 。
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例 证明 2n阶矩阵,总可以表成几个形如
的矩阵的乘积。
证明 对矩阵作广义初等变换：
用广义初等矩阵把这些变换记录下来，得
所以
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0
A
A
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A
A
EA
E
E
AEE 0
00
00
0
1
11
1
11
0
0
0 ?
?? ??
?
??
??
??
?
??
?
EA
E
A
A 111
0
0
0
???
??
?
??
? ?
??
?
??
?
??
?
??
? ?
E
AEE
EE
E
E
AEE
??
?
??
? ?
??
?
??
?
??
?
??
? ?
??
?
??
?
?
?
? E
EAE
EE
E
E
EAE
EA
E
0
0
0
0 1
1
多媒体教案
惠州学院数学系
潘庆年
前言
作为大学基础课程的基础代数，是中学代数的继
续和提高，在中学数学教师的知识结构中占有重要地
位，通过这门课程的学习，读者会发现它和中学代数
有很大的不同，这种不同不仅表现在内容的深度上。
同时读者将会体会到由具体抽象出一般概念回到具体
事物去这种辨证观点的逻辑推理方法，从中受到一次
严格的教学训练，这对提高学生的教学素养，为后继
课程打好理论基础无疑是非常必要的。
高等代数基本上是由被称为多项式理论和被称为
线性代数的相互联系着的这两部分内容组成。
多项式理论主要是研究关于形如：
0111 axaxaxa nnnn ???? ?? ?
的多项式的最基本的最重要的一系列代数性质，
即多项式在加法和乘法运算中表现出来的性质，
其中主要是和多项式的整除性相联系的若干概念
和结论、多项式唯一分解定理、最大公因式及其
求法等内容。
线性代数理论是由研究有个未知量的一次线
性方程组的问题发展起来的，为了研究方程的个
数等于未知量个数的线性方程组，引进了行列式
理论。为了讨论方程的个数不等于未知量个数的
线性方程组，又引进了矩阵理论。随着线性代数
自身的不断发展，尤其是计算机科学的飞速发展，
使得线性化的问题越来越突出，高等代数的内容
正经历一次又一次的变革，而且在科学技术和科
学研究方面将起到更加重要的作用。
第 一 章
基 本 概 念 (Basic Concept)
第 一 讲
集 合 (Sets)
本讲的教学目的和要求
本讲主要介绍了集合的基本内容：集合的概念，
集合的基本要素，集合的表示方法以及集合的运算。
它是现代数学最基本的概念之一，完全是为日后高
等代数的学习进行必要的知识储备。
本章的教学重点和难点
集合的概念，尤其是所谓的“三要素”以及集合
中的五种常用的运算是学生重点要掌握的知识。而
由于补集、差集和积集这两个概念相对“复杂”些，
故要求予以高度的重视。
集合的概念
1、集合和它的元素
将一群确定的事物作为整体来考虑
时，这一整体就叫做集合。常用大写拉丁
字母 … 表示。
例如：
某校的全体学生组成一个集合；
某房间的全部桌椅组成一个集合；
全体自然数组成一个集合；
区间 [1,3]内的自然数组成一个集合。
CBA,、
定义 1：组成集合的每一个事物叫做这个集合
的元素。常用小写拉丁字母 表
示。
注：
1、如果 a是集合的 A元素，就说 a属于 A，
记作 ;如果不是的元素，就是说 a不属
于 A，记作 。
2、一个集合若只含有限个元素，这个集
合就叫做有限集合；如果一个集合由无限多个
元素组成的，就叫它为无限集合。
例 1,是有限集 而 。
是由所有自然数构成的集合，那么是个无限集
且 而
Aa?
Aa?
}9,7,5,3{?A
?,,,cba
A?7 A?4
B?10 B?2
2、集合的三要素
确定性：给出一个集合，就相当于给出了一个明确的判定标准，由它可以
判定任意 对象是否属于这个集合。也就是说，这个集合中的元素是确
定的。如果没有这个标准或标准不明确，就不算给出一个集合。
譬如，我的班上所有, 胖子, 的同学构成的集合，这个集合是无法确
定的，因为其中的元素不能准确确定。
相异性：同一集合的诸元素是彼此不同的。也就是说，相同的对象归入一
个集合时，只能算作这个集合的一个元素。
譬如，不能说某集合中有四个元素都是数 b说数 b是这个集合里的一个
元素。
无序性：集合中元素的罗列顺序是不讲究的。也就是说这个集合中无论元
素的次序如何颠倒，其结果还是原来这个集合,
说明,对于常见的数的集合（简称数集）我们约定用一些特定的字母
来表示：
N—— 自然数
Z—— 整数集
Q—— 有理数集
R—— 实数集
C—— 复数集
二、集合的表示法
集合的表示方法常用的有两种,
1、列举法,把集合的元素一一列举出来，写
在大括号内表示集合的方法叫做列举法。
例 2：小于 7的自然数的集合可以表示为：
说明：对于无限集合来说，列举法使用起来就
不方便了，比如,集合如不加说明，我们
没有理由认为它表示自然数，因为 表示什么，
我们并不清楚。
}6,5,4,3,2,1{?A
},3,2,1{ ?
}{?
2、描述法,把集合中元素的共同属性描述
出来，写在大括号内表述集合的方法叫做
描述法。即一般形式为,其中 表
示元素 x的共同属性。
例 3,表示全体偶
数组成的集合。
表示方程 的全体实
根组成的集合。
)}({ xPx )(xP
},2{ ZnnxxA ???
}023,{ 2 ????? xxRxxB
0232 ??? xx
三、集合的包含与相等
1、集合的包含
定义 2：设, 是两个集合，如果 的每个元素都
是 的元素，则称 包含于 或 包含 记作,。
这时称 是 的子集,是 的扩集。如果 且 中
至少有一个元素不属于,那么 叫做 的真子集，记
作
例 4：显然有
说明：不含任何元素的集合叫做空集，记为 。我们约定：
对任何集合 A，都有 。
注：集合 {0}不是空集；不能将集合记作 { }
说明：一般地，若研究的一切集合都是某个固定集合的子
集，那么这个固定集合叫做全集。
2、集合的相等
集合 A与集合 B相等：
A B
BA?
A
ABB B
A
A
B B A BA? B
A B
BA?
A
CRQZN ????
?
A??
?
ABBABA ???? 且
四、集合的运算
设 和 是两个集合
1、并集和交集
与 的并：
A B
A B }{ BxAxxBA ??? 或?
与 的交：A B }{ BxAxxBA ??? 且?
2、补集：设,在 A中的补集是中所有
不属于 A的元素组成的集合，记作,即
EA ?
A
}{ AxExxA ??? 且
3、差集,A与 B的差集是中那些不属于 B的
元素组成的集合，记作,即BA?
}{ BxAxxBA ???? 且
4、积集：由 A中的元素 a与 B中的元
素 b作成的有序对 的全体组成的集
合叫做 A与 B的积集,记作：,即
注：显然，一般地差集和积集是不能
交换的，即
BA?
},),{( BbAabaBA ????
),( ba
ABBAABBA ??????,
思考题：
1、下列等式中哪些是正确的，哪些是错误的；正
确的，请予以证明，错误的，请给出反例予以说
明。
(1)
(2)
(3)
(4)
2、写出集合的全部子集。
3、设是含有个元素的集合，的含有个元素的子
集共有多少个？
)()()()( BABAABBA ??? ????
)()()( CBCACBA ????? ?
)()()()( DBCADCBA ???? ???
)()()( CABACBA ???? ??
第 二 讲
映 射 (Mappings)
本讲的教学目的和要求
映射的概念是现代数学最基本的概念和重要工
具。本讲要求必须切实掌握好映射的定义，能准确
地判断一个对应是否为映射的真实性，尤其是映射
的分类情况。
本讲的重点和难点
在映射的基础上，掌握双射 (即一一映射 )形成
的条件和它的逆映射的存在性及唯一性。而不易把
握的是如何判断和证明一个对应关系是否为双射，
以及构造一些能符合要求的实例往往是初学者较为
棘手的工作。
一、映射的概念
定义 1、集合 A到集合 B的一个对应关系 如
果满足,A中任一个元素 a，关于 都存在 B中
的一个元素与其对应，则称 是 A到 B的一个
映射。习惯上记为,
f
f
f
BAf ?,ba ?
A B
a b
说明,关于映射 需要注意
1,(存在性 )对每个元素,都存在
使,其中 b叫做关于 下的象，
记为
2,(唯一性 )对每个元素,关于 下
a的象都是唯一存在的。
映射的相等 如果 都是映射
而且 且 都有 那么
称 与 是相等的，记为 。
BAf ?:
Aa?
Bb? baf ?,f
)(afb ?
Aa? f
DCg ?:,,BAf ?
Aa?? )()( agaf ?DBCA ??,
f g gf ?
二、映射的分类
1、单射：对于映射,设
若 则 (或若 则 )
，那么称为 单射。
BAf ?,Aaa ?21,
)()( 21 afaf ?
21 aa ? 21 aa ?
()( 21 afaf ?
f
A
B
f
2、满射：对于映射,都存
在 使 (或 )则称 为满
射。
BAf ?,Bb ??
Aa? )(afb ? )( AfB ? f
,
f
A B
3、双射：对于映射,若 既是单射
又是满射 (或,都存在唯一的
使 ),则称 是双射。
BAf ?,f
Bb ?? Aa?
)(afb ? f
A B
f
三、逆映射
1、左逆映射：设 为映射，若存在唯
一的, 使,则称 为
的左逆映射 (或称为左逆 )
结论 1：映射 有左逆的充要条件是
为单射。
2、右逆映射：设 为映射，若存在唯
一 的, 使,则称 为
的右逆 映射 (简称为右逆 )
结论 2：映射 有右逆的充要条件是
为满射。
BAf ?:
1?
Lf ABf L ?
?,1
AL ff 11 ?? ?
：
1?Rf f
BAf ?:
BAf ?:
1?Rf ABfR ??,1 BR ff 11 ?? ?
BAf ?,f
1?Lf f
3、逆映射：设映射, 同时有唯一
的左逆和右逆的充要条件是 为双射，这
时,习惯上将它们统一记为,并
叫作 的逆映射。
结论 3：映射 为双射的充要条件是
有逆映射 使 且 。
结论 4：若 是双射，那么 的逆映
射 是唯一的且 也是双射。
BAf ?,f
f
11 ?? ?
RL ff 1?f
f
BAf ?,f
ABf ??,1 Aff 11 ?? ? Bff 11 ???
BAf ?,f
ABf ??,1 1?f
四、映射的合成 (乘积 )
设, 都是映射，那么可定义
它们的合成为,其中都有
BAf ?,DCg ?:
CAfg ?:? Aa??
))(())(( afgafg ??
f g
A B C
映射合成的性质,设, 为映
射，那么
1、若 和 都是单 (满、双 )射，那么它们
的合成 也是单 (满、双 )射。
2,是满射的充要条件为
是满射
3,是单射的充要条件为
为单射。
BAf ?,CBg ?:
f g
CAfg ?:?
CAfg ?:?
CAfg ?:?
CBg ?:
BAf ?:
思考题：
1、如果 不是单射时，应如何叙述？
2、如果 不是满射时，应如何叙述？
3、如果, 都不是双射，
它们的合成 能成为双射吗？为什
么？
BAf ?:
BAf ?:
BAf ?,CBg ?:
CAfg ?:?
课堂练习
1、试证：映射 是单射的充
要条件为 有唯一的左逆映射。
2、试证,是单
射但不是满射。
3、设映射：
求 。
BAf ?:
f
1)(,,??? nnfNNf
54)(,,??? xxfRRf
1?f
第三讲
数环和数域
（ Number ring and number field）
本讲的教学目的和要求 周知，在证书范围内可以进行加、
减、乘三种运算，但两个整数的商却不一定是整数，也就是
说在整数范围内，除法不是永远可以实施的。但在有理数内，
不仅可以进行加、减、乘三种运算，而且可以实行除法（除
数不为零）。在实数范围内也同样可以实现这四种运算。这
两种不同结果的数集也是正是本讲需要研究和讨论的。我们
要求学生能掌握数环和数域这两个代数系统的特征和区别，
能熟练的辨别一个数集是否为数环或数域并能把握一批实例。
本讲的叫重点和难点 能叫熟练的论证（或反证）一个数
集是数域（或不是数域）往往是初学者需要认真训练的基本
功。类似例 3的推导思想和证明过程的套路并不是能轻易掌
握的。
数环和数域的概念
定义 1.设 S是复数集 C的一个非空子集。如果对 S中任意两个
数 a,b来说 都在 S中，那么就称 S是一个
数环。
说明 1.整数集 Z，有理数集 Q，实数集 R和复数集 C都是数环
例 1.取定一个整数 a，令,那么 S是一个
数环。
证明：虽然 S是 C的一个非空子集。现设,
则,
那么
证明 S是一个整环。
说明 2.在例 1中，如果,那么 S就是全体偶数组成的
数环特别若 时，那么 是由单独一个数 0组成的数
环。
思考题 在例 1中，若数 a不是整数时,S一定是数环吗？
},|{ ZnnaxxS ????
Sxx ?21,
Znnanxanx ??? 212211,,,
Sannananxx ?????? )( 212121
Saannananxx ??? )())(( 212121
abbaba,,??
2?a
0?a }0{?S
例 2 设,那
么 S是一个数环。
证明 S显然非空。,
则
那么
注意 1.如果将 Z换成 Q或者 R，例 2的结论仍成立。
}1,,|{][ 2 ?????? iZbabiaiZS
Sxx ?? 21
Zbbaaibaxibax ????? 1121222111,,,,,
Sibaabbbaaibaibaxx
Sibbaaibaibaxx
????????
??????????
)()())((
)()()()(
21212121221121
2121221121
定义 2 设 F是一个数环。如果
（ 1） F中至少有一个非零的数；
（ 2）, 那么称发生一
个数域。
说明 3 有理数集 Q，实数集 R和复数集 C都
是数域。但整数集 Z不是数域（为什么？）
例 1和例 2中的数环也不是数域（为什么？）
Fba ??,F
b
ab ?? 则且,0
,
例 3.设,那么 F是
一个数域。
证明 先证 F是一个整环。 F显然非空。
设
那么
因为 a,b,c 和 d都是有理数，所以 a+c,b+d也
是有理数，因而。同理
},|2{]2[ QbabaQF ????
,,,,,2,2 211 QdcbaFdcxbax ??????
2)()()2()2(21 dbcadcbaxx ?????????
Fdbcaxx ?????? 2)()(21
Fadbcdacxx ????? 2)()2(21
再证 F满足数域定义中的条件。
（ 1）因为 即 F中含有非零的数
（ 2）设,那么 。否则，
若,当 d=0时，可推出 c=0,也就是说
与 矛盾；当 d≠0时，可得 与 是
无理数相矛盾。
因此。
这就证明了 F是一个数域。
注意 2 若将例 3中的 换成 其中 n为非完全平方
数），可类似的证明结论仍成立。因为这样的 n 有无限
个，所以数域也有无限个。但数域并不都是这种形式。
F??? 2011
Qdcdcx ????,,022 02 ?? dc
02 ?? dc02 ?? dc
02 ?? dc Q
d
c ??2 2
F
dc
adbc
dc
bdac
dcdc
dcba
dc
ba
x
x
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
2
22
2
)2)(2(
)2)(2(
2
2
2222
2
1
2 n
二,数环和数域的性质
性质 1,任何数环都含有数零。
证明, 设 S是一个数环。由定义知 。设 a∈ S，那
么 。
性质 2,任何数域都含有数 0和数 1。
证明, 设 F是一个数域，那么 F必是数环，故知 0∈ F。又因
F中含有非零的数，不妨设这个数是 a≠0，那么 。
性质 3.任何数域 F都包含有理数域 Q。
证明 因 F是数域，由性质 2知,1∈ F。由 1与它自身重
复相加，可知全体正整数还在 F中。再由性质 2得,0∈ F，
即 F含有 0与任一个正整数的差，亦即 F含有全体负整数。当
然 F也应该含有任意两个整数的商（分母 ≠0），故
注意 3,在性质 3的意义下，可以认为，有理数域 Q是所以
数域 F中的最小数域。
0?S
SAA ???0
Faa ??1
FQ?
课堂练习
1.证明：如果数环 S≠{0}，那么 S必含有无
限多个数。
2.证明,是一个数环，但不
是数域。
3.证明：两个数环（域）的交仍是数环
（域）；它们的并还是数环（域）吗？为什
么？
},|2{ ZnmmS n ??
第 二 章
多 项 式（ Polynomials）
第 四 讲
一元 多项式的运算和整除性
（ Operation and divisibility of polynomial）
本讲的教学目的和要求 多项式不仅是中学代数的主要内容，
也是代数学中的一个基本的研究对象。关于多项式的一些重要
结论，不但在解决实际问题时常常用到，在进一步学习代数和
其它学科时也会常遇到。多项式理论中的一些论证和思考问题
的方法，对于进一步学习其他数学方向也有启发作用。本讲的
教学目的是要求学生能了解在一般数域上纯形式地讨论一元多
项式的一般理论；对多项式的运算、次数、整除及整除的性质
能有所充分的了解。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点主要在于
1、一元多项式的和与积的次数定理。
2、一元多项式整除的概念和性质。
3、一元多项式的带余除法。
一元多项式
1.一元多项式的定义,数环上一个文字的多
项式或一元多项式指的是形式表达式
这里 n是非负整数而都是中的数。
特别,零多项式是唯一没有定义次数的多项
式
2.多项式相等,若是整环 R上两个一元多项
式 和 有完全相同的项，或者只差
一些系数为零的项，那么 和 说是
相等,。
,2210 nn xaxaxaa ???? ?
)(xf )(xg
)(xf )(xg
)()( xgxf ?
3.多项式的加法和乘法
如果
(1)加法：
（如果 n＞ m）
(2)乘法：
0101 )(,)( bxbxbxgaxaxaxf mmnn ???????? ??
)()()()()( 001111 baxbaxbaxaxaxgxf mmmmmnn ??????????? ?? ??
001001111 )()()()( baxbabaxbabaxbaxgxf nmmnmnmnmn ??????? ????? ?
性质：
① 当 时，
② 加法交换律、乘法交换律成立：
0)(,0)( ?? xgxf 0)()( ?? xgxf
))}(()),((m a x {))()(( xgxfxgxf ?????
))(())(())()(( xgxfxgxf ?????
)()()()( xfxgxgxf ???
)()()()( xfxgxgxf ?
③ 加法结合律、乘法结合律成立：
④ 加法消去律、乘法消去律成立：
⑤ 乘法对加法的分配律成立：
))()(()()())()(( xhxgxfxhxgxf ?????
))()()(()())()(( xhxgxfxhxgxf ?
)()()()()()( xhxgxhxfxgxf ?????
)()(0)()()()()( xhxgxfxhxfxgxf ???? 且
)()()()())()()(( xhxfxgxfxhxgxf ???
二、带余除法：
使得
例 1、设 除 时，
余式,求系数 a,b。
例 2、设,,求
除以 的商和余式。
][)(),(,0)(][)(),( xRxrxqxgxRxgxf ??? 则存在唯一且
0)())(())(()()()()( ?????? xrxgxrxrxgxqxf 或其中
2)( 2 ??? xxxg baxxxxf ???? 23 2)(
12)( ?? xxr
13)( 2 ??? xxxg 825)( 23 ??? xxxf )(xf
)(xg
三、综合除法
例 3、以 除,
求商和余式。
例 4、用综合除法将 按
的方幂展开。
四、整除性
1.整除的定义,如果,
则 。
12 ?x 15432)( 234 ????? xxxxxf
465 234 ??? xxx
1?x
)()()( xhxgxf ?
)()( xfxg
。
2.整除的性质：
①；
②；
③。
3.整除的判别定理：
。
0),()()()(,)()( ??? cxcgxfxfxgxgxf
)()()()(,)()( xhxfxhxgxgxf ?
?
?
?? t
i iii
xgxkxftixgxf
1
)()()(,,2,1,)()( ?
0)()()()(,0)(],[)(),( 的余式为除 xfxgxfxgxgxRxgxf ???
思考题：
1.当 适合什么条件时,。
2.
课堂练习：
1.如果 不整除 与,是否一定有 不
整除 。
2.作 与,使得 不整除 与,
但
qpm,,qpxxmxx ???? 32 1
???? Zkxfxxfx k )()(
)(xh )(xf )(xg )(xh
)()( xgxf ?
)(xf )(xg 3?x )(xf )(xg
)()(3 xgxfx ??
第 五 讲
一元多项式的最大公因式
（ The greatest common divisor of polynomial）
本讲的教学目的和要求 多项式的公因式及最大公
因式的概念是多项式理论中最基本的知识点。本讲
要求能完全掌握最大公因式的基本概念、二个多项
式互素的含义、二个（乃至更多个）多项式的最大
公因式的求法（展转相除法）。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点是能灵活的应
用展转相除法准确地求出最大公因式以及求出满足
线性组合式 中的多项式 和 ；
而比较困难的是对最大公因式概念的准确理解和把
握，比如最大公因式的唯一性问题、首一问题、互
素多项式的判断和有关性质等。
)()()()( xgxvxfxu ? )(xu )(xv
一、最大公因式
定义 1,是 与 的最大公因式，如果
①
②
定义 2,是 与 的最大公因式，如果
①
②
)(xd )(xf )(xg
)()(),()( xgxdxfxd
)()()()(),()( 111 xdxdxgxdxfxd ?
)()(),()( xgxdxfxd
)()()()()(..),(),( xgxvxfxuxdtsxvxu ???
)(xd )(xf )(xg
二、性质：
1、
注：不要求 是 除以 的商和余式 。
2,的任意两个多项式 与 一定有最
大公因式。除一个零次因子外,与 的
最大公因式是唯一的，这就是说，若 是
与 的一个最大公因式，那么数域 F的
任何一个不为零的数 c与 的乘积,而
且只有这样的乘积是 与 的最大公因式。
))(),(())(),(()()()()( xrxgxgxfxrxgxqxf ????
)(),( xrxq )(xf )(xg
)(xd )(xcd
][xF )(xf )(xg
)(xf )(xg
)(xd
)(xf )(xg
)(xf )(xg
注：如果 是一个包含数域 的数域，从
数域 过渡到 时,与 的最大公因
式没有改变 。
3、
4、若
例 1、设
求,并求
)()()()())(),(.(.),(),( xgxvxfxuxgxftsxvxu ??
F F
F F )(xf )(xg
1)()()()(..),(),(1))(),(( ????? xgxvxfxutsxvxuxgxf
)()(1))(),((,)()()( xhxfxgxfxhxgxf ??
3452)(,3442)( 23234 ????????? xxxxgxxxxxf
))(),(( xgxf
思考题：
课堂练习：
1、设,
求,并求
2、设,
则 。
3,是首项系数为 1的多项式，则
1))()(),((1))(),((,1))(),(( ???? xhxgxfxhxfxgxf
32103)(,343)( 23234 ????????? xxxxgxxxxxf
))(),(( xgxf
)()()()())(),(.(.),(),( xgxvxfxuxgxftsxvxu ??
0)(,0)( ?? xgxf
)(xh
1))(),(( )(,))(),(( )( ??????? xgxf xgxgxf xf
)())(),(())()(),()(( xhxgxfxhxgxhxf ?
第 六 讲
一元多项式的因式分解定理
（ The factorization theorem of polynomial）
本讲的教学目的和要求 多项式的分解是多项式理论的核心，
在某种意义上说，前面讨论的一些概念和性质是为本讲做准
备的。在中学代数里我们学过一些具体的方法，把一个多项
式分解为不能再分解的因式的乘积。但那里并没有深入地讨
论这个问题。那里所谓不能再分，常常只是指我们自己看不
出怎样再分下去的意思，并没有严格论证它们确实不能在分。
本讲的目的就是要能从理论上真正弄清“不能再分”的实质
以及与其有关的性质。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点在于对因式分解定理的
理解和证明过程的把握。难点是在掌握了因式分解定理后能
迅速地给出多项式的典型分解式并利用它解决求最大公因式
及最小公倍式的问题。
一、不可约多项式
定义 1,设 是数域上的次数 ≥1的多项式，
且它不能表成两个在 P上的次数比它低的多
项式的乘积，则称 为 P上的不可约多项式，
简称不可约多项式。否则，称为可约多项式。
二,k重因式
定义 2,设 是不可约多项式，,但
不整除,则称 是 的 k重因式。特
别地，当 k=1时,称 是 的 k单因式，
当 k>1时,称 是 的 k重因式。
)(xf
)()( xfxp k
)(1 xpk?
)(xp
)(xp
)(xp
)(xp
)(xf
)(xp
)(xp )(xf
三、性质
1、设 是不可约多项式，则 (p是 p中
非零数 )也是 P上不可约多项式。
2、设 是不可约多项式，则对任一多项
式,或 (, )=1或 。
3、设 是不可约多项式，且,
则 或 。
4、因式分解存在唯一性定理，数域 P上的每
一次数 ≥1的多项式 都可以唯一地分解为
数域 P上的一些不可约多项式的乘积 (不计因
式次序 )。
)(xp )(xcp
)(xp
)(xf )(xp )(xf )()( xfxp
)(xp )()()( xgxfxp ?
)()( xfxp )()( xgxp
5、设 是 的 k重因式,则 是 的
k-1重因式。因而,是,, …,
的公因式，不是 的因式 (记号 表示 的
i次导式 )。
6、设 是 的 k重因式的充要条件是 为
与 的公因式，也就是说,无重因式的充要
条件是 。
7、设 的标准分解式为 … （其中，
i=1,2,…, s）是两两不等的首项系数为 1的
不可约多项式），则
它与 有完全相同的不可约因式，且都是单因式。
)(xp )(xf ）（ 1?k )(xp )(xf?
)(xp )(xf )(xf? )()1( xf k?
)()( xf k )()( xf i )(xf
)(xp )(xf )(xp )(xf
)(xf? )(xf
1))(),(( ?? xfxf
)(xf
)(11 xapk )(1 xpks )(xp
)()())(),(( )( 1 xpxapxfxf xf s???
注,1,若性质 2,性质 3中的是可约多项式,则
结论不成立,
2,性质 2,性质 3的逆命题也成立,
思考题：
如果不可约多项式 能整除
及,那么一定能整除 及
如果 是可约多项式,这个结论是否还成
立?
)(xp )()( xgxf ?
)()( xgxf )(xf
)(xp
)(xg
课堂练习,
1.在有理数域上分解下列多项式为不可约因
式的乘积,
2.证明,当且仅当;13)1( 2 ?x
.122)2( 23 ??? xxx
)()( 22 xfxg )()( xfxg
第 七 讲
多项式函数和多项式的根
（ The polynomial function and root of polynomial）
本讲的教学目的和要求 本讲的目的是了解：虽然没有一般
的方法求出一个多项式的典型分解式，但是我们有方法来判
断一个多项式的分解式中有没有重复出现的不可约因式及重
复的次数。本讲要求：理解并学会在有重复出现的不可约因
式的情况下，把这一多项式的研究归结为没有重复出现的不
可约因式的多项式的研究。在掌握了多项式的根的概念后，
要求能真正理解每一个多项式都定义了一个确定的函数，不
同的多项式所定义的函数也不同的道理以及我们是怎样采取
函数的观点来建立多项式理论的。
本讲的教学重点和难点 本讲在重因式方面，重点掌握：由
于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由原数域
过度到较大的数域时都无改变，所以可用分离重因式法把有
重因式的多项式的问题转化为若干个没有重因式的多项式问
题。在多项式的根的方面，要求能从理论上掌握以代数基本
定理为中心的一批概念和结论。
一、多项式函数
设 那么数 称为
当 时的值，用符号 表示；这样
就是定义在数域 P上的一个函数，通常
称 为数域 P上的多项式函数。
二、多项式的根
当 时，称 a为多项式 的 k重根
当 时，称 a为 的单根，当 时，
称 a为 的重根。
,],[)(
0
PaxPxaxf in
i i
??? ?
?
in
i i
aa?
?0
)(xf ax? )(af
)(xf
)(xf
0)( ?af )(xf
1?k )(xf
)(xf
1?k
三、性质
（ 1）余数定理：以当 除多项式,所得的
余数 。
（ 2）因式定理,的充要条件是 。
（ 3） P上的每一 n次多项式在 P内至多有 n个根（重
根按重数计算）。
（ 4）设 与 都是 P上次数不大于 n的两个多
项式，则 的充要条件是在 P内至少有
个不同的数,
使
,
ax? )(xf
)(afr ?
)(xfax ? 0)( ?af
)(xf )(xg
)()( xgxf ? 1?n
ia
)()( ii agaf ? )1,,2,1( ?? ni ?
由此即得：两个多项式 与 相等的充要
条件是这两个多项式在 P上恒等（即任意
总有 ）。
（ 5）拉格朗日（ Lagrange）插值公式。设
是 P中 个不同的数，
是 P中任意 个数，则在 P上存
在一个次数小于 的多项式,能使
，即
)(xf )(xg
P?? )()( ?? gf ?
11,?? naa,
1?n
11,?? nbb,
1?n
1?n )(xf
)1,,2,1()( ??? nibaf ii ?
i
n
i niiiiii
nii b
aaaaaaaa
axaxaxaxxf ?
????
????? ??
? ???
???`1
1 1111
1111
)())(()(
)())(()()(
??
??
例 求以除的商式和余式,
解, 作综合除法,
所以商式是,余式 r=69.
思考题,是否能写成 x的多项式,
课堂练习,将 展开,
xsin
69261031
783093
941013
??
??
??
,26103)( 23 ???? xxxxd
)(xf
5)2()2(3)2()( 234 ??????? xxxxf
第 三 章
行 列 式（ Determinant ）
第 八 讲
n阶行列式的概念
（ concept of determinant of rank n）
本讲的教学目的和要求 为了解决方程组的系数来表述方程
组求解的有关问题，我们引进行列式作为工具。本讲首先要
求能理解：为了把二、三阶行列式推广，就必须确定展开式
中各项符号的规律，因此排列的引入就成了自然的问题，而
排列的奇偶性正是确定符号的关键。其次，要吃透从二、三
阶行列式的结构规律推广到阶行列式的方法，能总结出阶行
列式展开中的关键要素。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点和难点在于
1、理解反序、反序数、偶排列和奇排列及对换等概念； 2、
能迅速地判断排列的奇偶性；
3、能准确地辩识某项是否为展开式中的项；
4、能灵活地计算出特殊行列式（三角形、上、下三角形）
的值。
一、定义,用符号
表示的 n阶行列式指的是 n!的代数和，这些项
是一切可能的取自不同行不同列上的 n个元素
的乘积。,项 的符号
为,也就是说，当 是偶
排列时，这一项的符号为正，当 是
奇排列时，这一项的符号为负。
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
nnjjj aaa ?21 21 nnjjj
aaa ?21 21
)( 21)1( njjj ??? njjj ?21
njjj ?21
二、基本性质
1.如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这
个行列式等于零。
2.把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以
某一个数，等于以数乘这个行列式。
3.一个行列式有某一行（列）所有元素的公因子可
以提取到行列式符号的外边。
4.如果一个行列式中有一行（列）的元素全部都是
零，这个行列式等于零。
5.如果一个行列式有两行（列）对应元素成比例，
那么这个行列式等于零。
6.设行列式 D的第 i行的所有元素都可以表成
两项的和，那么 D等于 与 的和，其中
的第 i行的元素是, 第 i行的元
素是,而 与 的其它各行都和
D的一样。即
同样的性质对于列来说也成立。
1D 2D
inii bbb,,,21 ?
1D
2D
inii ccc,,,21 ? 1D 2D
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
nnnn
ininiiii
n
aaa
ccc
aaa
aaa
bbb
aaa
aaa
cbcbcb
aaa
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
21
21
11211
21
21
11211
21
2211
11211
?????
7.把行列式的某一行（列）的元素乘以同一
个数后加到另一行（列）的对应元素上，行
列式不变。
8.范得蒙行列式：
)(
111
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
j
nij
i
n
n
nn
n
n
aa
aaa
aaa
aaa
?? ?
???
???
?
????
?
?
?
三、行列式展开定理
1,k阶子式,在一个行列式 D中任意取 k行 k列，位
于这些行列相交处的元素所构成的阶行列式叫做行
列式 D的一个 k阶子式。
2,余子式,n行列式
的某个元素 余子式 指的是在 D中划去 所
在的行和列后所余下的 阶子式。
ija ijM
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
ija
1?n
3.代数余子式,n 行列式 D 的元素 的余子
式 附以符号 后，就叫做 的代数余
子式,即 。
4.行列式 D等于它任意一行（列）的所有元
素与它们的对应的代数余子式的乘积的和。
换句划说，行列式有依行活依列的展开式：
ija
ijM ji?? )1( ija
ijA ijjiij MA ??? )1(
njnjjjjj
ininiiii
AaAaAaD
AaAaAaD
????
????
?
?
2211
2211
5.行列式
的某一行（列）的元素与另一行的对应元素的代数
余子式的乘积的和等于零。
换句话说
nnnn
jnjj
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
????
?
????
?
21
21
21
11211
?
)(0
)(0
2211
2211
tsAaAaAa
jiAaAaAa
ntnststs
jninjiji
?????
?????
?
?
四、行列式的计算
1.化为“三角”法：例
2.析因子法：例
nn
n
n
baaa
aaba
aaa
?
?
?
?????
?
?
21
211
21
1
1
1
2
2
9132
5132
3221
3211
x
x
?
?
3.拆行（列）法：例
4.加边法：例
5.递推法：同 4的例
nnnn
n
n
bababa
bababa
bababa
???
???
???
?
????
?
?
21
22212
12111
n
n
n
aaa
aaa
aaa
?
?
?
1
1
1
21
21
21
?
????
?
?
6.利用行列式乘法法则：同 3的例
7.换元法：例
思考题：
如果一个行列式为零，是否有该行列式
中一行（列）为零或两行（列）成比例。
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
D
nnnn
n
n
???
???
???
?
?
????
?
?
21
22221
11211
第 九 讲
克莱姆法则（ Cramer’s Theorem ）
本讲的教学目的和要求 本讲将利用行列式
依行（列）展开规则及有关定理，证明了克
莱姆法则。这里要求能理解克莱姆法则是给
出了含个未知量个方程，且系数行列式不为
零的线性方程组的解的一般公式，并会在实
际问题中应用克莱姆法则。
本讲的教学重点和难点 由于线性方程组的
解的一般公式问题非常容易掌握，所以本讲
的难点实际上是解高阶行列式的值。
一、线性方程组的一般形式
（一）线性方程组的一般形式
①
其中 代表未知量，称为未知量
的系数,称为常数项。
我们限定在数域 P上讨论线性方程组。这就是
说，方程组中未知量的系数和常数项都是数域 P中
的数。本章中谈到的数，都是指数域 P中的数。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
?
2211
22222121
11212111
mxxx,,,21 ?
),,2,1( mjb ij ??
（二）所谓方程组①的解，就是指由 n个数
组成的有序数组,当
分别用 代入后，①中每个等式都变成
恒等式。方程组①的解的全体称为它的解集合。解
方程组就是求出它的解的集合。
（三）所谓两个线性方程组同解，就是指，第
一个方程组的所有解都是第二个方程组的解，并
且，，第二个方程组的所有解也都是第一个方程组
的解。
注意：如果两个线性方程组都无解，这两个方程组
被认为是同解的。
mkkk,,,21 ?
),,,( 21 nkkk ? mxxx,,,21 ?
二、齐次线性方程组
(一 )常数项全部未零的线性方程组
②
称为齐次线性方程组。
(二 )齐次线性方程组②的一个最基本的性质，
就是它永远有解。 就是它的一个
解。这个解称为②的零解。若②除零解外，
还有其他的解，这些解都称为非零解。
)0,,0,0( ?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
???????????
?
?
三、克兰姆法则
如果线性方程组
③
的系数行列式,那么方程组③有解，
并且解是唯一的，这个唯一解可以通过系数
表为
,11 DDx ?,22 DDx ?,?,DDx nn ?
0?D
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
?
2211
22222121
11212111
其中
必须指出，克兰姆法则是解线性方程组的基础，在理
论上是重要的，学者应牢固掌握它。
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
nninninn
nii
nii
i
aabaa
aabaa
aabaa
D
??
???????
??
??
1,1,1
21,221,221
11,111,111
??
??
??
?
),,2,1( ni ??
第 十 讲
线性方程组的概念
（ Concept of Systems of linear equations）
本讲的教学目的和要求 我们将把线性方程组的诸系数和常
数项与求解问题之间的直接联系揭示出来并通过引进向量作
工具，对线性方程组的通解给出进一步结果。本讲要求
1、能理解维向量的线性组合（线性表示）及向量组的等价
的概念；
2、掌握向量组的线性相关性（线性相关与线性无关）的概
念；
3、会用初等变换法求一般线性方程组的通解表达式；
本讲的教学重点和难点 本讲的重点是能熟练掌握用初等变
换法求一般线性方程组的通解表达式的方法和初等变换的技
巧。而难点是能理解线性相关性理论。
一、元向量
1、定义：所谓数域 P上的一个 n元向量，就
是指由数域 P中 n个数组成的有序数组,其
中称为 的第 个分量。用小写希腊字母 等
来表示。
2,n元向量的相等
若 n元向量 的
对应分量都相等，即,则
称这两个向量是相等的，记为 。
),,,(),,,,( 2121 nn bbbaaa ?? ?? ??
),,2,1(,niba ii ???
?? ?
3.元向量的运算
（ 1）设 为数域 P上
的任意两个 n元向量，那么,n元向量
称为 的和，记
为 。
（ 2）设 k 为数域 P 上的任一数，
为数域 P 上的任一 n元向量，那么 n元向量
称为数 k域向量 的数量乘积，记
为 。
（ 3）所有数域 P 上的 n元向量组成的集合，同时考
虑到定义在它们上面的加法和乘法，成为数域上的
n 元向量空间。
?
),,,(),,,,( 2121 nn bbbaaa ?? ?? ??
),,,( 2211 nn bababa ???? ?? ??,
??? ??
),,,( 21 naaa ???
),,,( 21 nkakaka ?
?k
二、向量的线性组合、线性相关性、线性无关性
1.向量的线性组合,是线性空间中 V
的向量
(1)向量 称为向量组 的一个线性组
合，如果由数域 F中的数,使得
当向量 是向量组 的一个线性组合
时，我们也说向量 可由向量组
线性表出
?,,,,21 raaa ?
? r???,,,21 ?
raaa,,,21 ?
rraaa ???? ???? ?2211
? raaa,,,21 ?
? r???,,,21 ?
(2)如果向量 可由 线性表出，而每
一个 又都可以由 线性表出，则
也可以被 线性表出。
2、线性相关：设 是向量空间 V 的 r
个向量，如果存在数域 F中不全为零的 r个
数,使得
那么就说 线性相关。
? r???,,,21 ?
i? t???,,,21 ?
?
t???,,,21 ?
r???,,,21 ?
r???,,,21 ?
02211 ???? rraaa ??? ?
3、线性无关：如果不存在 F中不全为零的 r个
数,使得
成立，即等式 成立
当且仅当,那么就
称线性无关。
r???,,,21 ?
02211 ???? rraaa ??? ?
02211 ???? rraaa ??? ?
021 ???? raaa ?
三、向量组的等价
1、若向量组 这每一个向量
都可以由向量组 线性表出，那么，则
称向量组 可由向量组
线性表出。如果两个向量组可以互相线性表出，则
称这两个向量组等价。
2、向量组之间的等价关系满足：
反身性：每一个向量组都与它自身等价；
对称性：如果向量组 与向量组
等价，则向量组 也与向量
组 等价；
r???,,,21 ? ),,2,1( ri
i ???
t???,,,21 ?
r???,,,21 ? t???,,,21 ?
r???,,,21 ?
t???,,,21 ? t???,,,21 ?
r???,,,21 ?
传递性：如果向量组 与向量组
等价，向量组 与向量组 等价，
那么，向量组 也与向量组 等
价。
3、替换定理：设向量组 线性无关，
并且 可由向量组 线性
表出。那么,； 必要时可以适当地对 中的
向量重新编号，使得用 替换
后，所得到的向量组
与 向量组 等价。特别地，当
时，向量组 与向量组 等价。
r???,,,21 ? t???,,,21 ?
t???,,,21 ? t???,,,21 ?
r???,,,21 ? t???,,,21 ?
raaa,,,21 ?
raaa,,,21 ? t???,,,21 ?
?1 tr? ?2
raaa,,,21 ?
t???,,,21 ?
srraaa ??,,,,,,121 ?? ?t???,,,21 ?
sr ?
raaa,,,21 ? t???,,,21 ?
四、向量组的极大线性无关组
1、设 是向量组 中的 r个向
量，若：
(1) 线性无关；
(2)向量组 中的任一个向量可由
线性表出，则称为向量组
的一个极大线性无关部分组（简称
极大无关组）。
注意,
1、当一个向量组的所有向量都是零向量时，那么
这个向量组没有极大无关组。
2、一个向量组与它的任一极大无关组等价。
riii aaa,,,21 ?
maaa,,,21 ?riii aaa,,,21 ?
maaa,,,21 ?
riii aaa,,,21 ?
maaa,,,21 ?
3、等价的向量组的极大无关组含有相同个数
的向量。特别地，一个向量组的任意两个极
大无关组含有相同个数的向量。
五、向量组的秩
1、所谓向量组的秩，就是指，这个向量组的
一个极大无关组所含向量的个数。当一个向
量组的所有向量都是零向量时，我们规定，
这个向量组的秩为零。
2、一个向量组线性无关的充要条件是它的秩
与所含有向量的个数相同。
课堂练习,a 为何值时,下述线性方程组无解?
当 a为何值时有解?在有解时,求它的一般解,
axxxx
xxxx
axxxx
xxx
xxxx
2222
112333
222
83
7
4321
4321
4321
431
4321
????
?????
?????
???
?????
第 十一 讲
矩阵的秩和线性方程组的可解判别定理
（ Rank of matrix and solvable jugement theorem of
Systems of linear equations）
本讲的教学目的和要求 本讲的目的是真正掌握并吃透解的
判定问题：如何判断一个线性方程组有没有解？有解时有多
少解？同时要求能用矩阵的初等变换求出矩阵的秩；将矩阵
化成阶梯规范形。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点和难点是：
1、熟练地应用矩阵初等变换法求出它的秩并将矩阵化成阶
梯规范形；
2、通过系数矩阵和增广矩阵的关系，确定数字线性方程组
是否有解；
3、能熟练地确定当待定系数为何值时，原线性方程组是否
有解。
一、矩阵的秩
1,k阶子式：在一个 s行 t列的矩阵中，任意
取 k行 k列,位于这些行列相交处
的元素所构成的 k阶行列式叫做这个矩阵的一
个 k阶子式。
2、矩阵的秩：一个矩阵中不等于零的子式的
最大阶数叫做这个矩阵的秩，若一个矩阵没
有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩为
零。
3、性质：初等变换不改变矩阵的秩。
),( tksk ??
二、线性方程组有解判别定理
定理 1、线性方程组
有解当且仅当它的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩。
定理 2、线性方程组
的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当等于方程组所含未知量的个
数时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解。
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
?
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
???????????
?
?
2211
22222121
11212111
例 1 判断下述线形方程组有没有解?
其中 a,b,c,d各不相同,
解, 它的增广矩阵 A的四阶子式式四阶范德蒙行列式,即,
已知 a,b,c,d各不相同,所以,因此秩,而系数行列式 A只有
3列,所以秩,因此,秩 A秩,由定理 2知,此线形方程组无解,
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
A ?
?
3
3
3
2
3
1
3
2
3
2
2
2
1
2
321
1321
dxcxbxa
dxcxbxa
dcxbxax
xxx
???
???
???
???
3?A
例 2:a取怎样的数值时,线形方程组
有唯一解,有无穷多解,没有解?
解,先计算系数行列式,
(1)当 a 1且 a -2时,D 0,根据克莱姆法则知方程组有唯一解,
(2)当 a=1时,系数矩阵为 A,增广矩阵为
2)1)(2(
11
11
11
???? aa
a
a
a
D
2
321
321
321 1
aaxxx
axaxx
xxax
???
???
???
显然秩 A=1,也有秩 =1.所以方程组有解,又因为秩 小
于方程组所含未知量个数 3,根据定理 3知方程组有
无穷多解,
(3)当 a=-2时,增广矩阵成为
容易求得 =3,秩 A=2,从而秩 A≠ 秩,所以原方程
组无解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
111
111
111
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1111
1111
1111
A
?
?
?
?
?
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A
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思考题：
线性方程组系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相比，哪个会更大
些，大多少？
课堂练习：
1、取何值时，线性方程组 有解？
2,取何值时，线性方程组 有唯一
解，没有解，有无穷多解？
?
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?????
?????
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123
232
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3
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2
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xxxx
xxxx
xxxx
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321
321 1
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xxx
xxx
xxx
第 十二 讲
线性方程组解的结构
（ Construction of solution vector of
systems of linear equation）
本讲的教学目的和要求 线性方程组可解的判别法的推出进
一步发展了线性方程组的理论本讲的目的是在线性方程组有
解的前提下，讨论解的结构完备性问题（尤其是在无穷多解
的情况下）。要求能熟练的利用齐次线性方程组的基础解系
将解向量全部表示出来。
本讲的教学重点和难点
1.在齐次线性方程组有无穷多解的情况下，正确理解基础解
系的概念和特点。
2.能熟练的求出基础解系。
3.对非齐次线性方程组的通解，能正确的认识和理解。
一、齐次线性方程组解的结构
（一） 齐次线性方程组
若 t个 n元向量 满足条件,
1,都是方程组 (*)的解向量 ;
2,线性无关 ;
3.方程组 (*)的任一解,都可以由 线性表出。
则称 为方程组 (*)的一个基础解系。
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0
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xaxaxa
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t???,,,21 ?
(二 )齐次线性方程组的解集，有以下重要性质：
1.方程组 (*)的两个解的和，还是方程组 (*)的解；
2.方程组 (*)的一个解的倍数，还是方程组 (*)的解；
由 1,2知，方程组 (*)的解的任意线性组合还是方程组 (*)的解。
3.若方程组 (*)的系数矩阵的秩为 r，且,则方程组 (*)有基
础解系，且一个基础解系所含解向量的个数等于 。
若 为方程组 (*)的一个基础解系，那么，方程组 (*)
的任一解 可唯一地表为：
其中 为任意数。此式亦称为的一般解。
由此可知，求出了方程组 (*)的基础解系后，就掌握了 (*)的全部
解的核心，同时，也就掌握了 (*)的全部解
注意：当齐次线性方程组只有零解时，就不存在基础解系
nr?
rn?
rn ????,,,21 ?
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rnkkk ?,,,21 ?
二．一般线性方程组解的结构
（一）设一般线性方程组
①
把方程组①的常数项都换成 0，就得到一个齐次线性方程组
① 。我们称这个齐次方程组①的导出齐次线性方程组，简
称导出组。
（二）程组①的解与它的导出组的解之间有以下关系：
1．方程组①的的两个解的差时它的导出组的一个解；
2．方程组①的一个解与它的导出组的一个解之和，为方程
组①的的一个解；
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nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
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22222121
11212111
3.如果 是方程组①的一个特解，那么，方程
组①的任一解 都可表成
②
其中,时方程组①的导出组的一个解。
当方程组①有解，且它的系数矩阵的秩为 小
于 时，那么，方程组①的任一解可表成为
③
其中,是①的一个特解,为①导
出组的一个基础解系,为任意数。
③亦称为①的一般解。
，??? ?? 0
,22110 rnrnkkk ??????? ????? ?
0? rn ????,,,21 ?
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例 求下列方程组的一个基础解系,并求其一
般解,
(1)
解 对方程组的系数矩阵施行初等变换,
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1312
0211
与矩阵对应的方程组为
把 看作自由未知量,可得
令,得
令
由此得方程组的一个基础解系为：
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???
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xxx
xxx
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???
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312
34
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xxx
xxx
0,1 31 ?? xx ;3,1 42 ???? xx
.1,2,1,0 4231 ????? xxxx 得
)1,1,2,0(),3,0,1,1( 21 ????? ??
故方程组的一般解为
其中 k1,k2为任意数。
思考题：
1、如果非齐次线性方程组无解，那么它的
导出组的解如何？
2、如果非齐次线性方程组有无穷多解，那
么它的导出组的解如何？
3、如果非齐次线性方程组的导出组有无穷
多解，那么该非齐次线性方程组是否也有无
穷多解？
)3,,2,( 2122112211 kkkkkkkk ??????? ???
课堂练习：
解线性方程组：
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????
?????
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12
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4321
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xxxx
xxxx
第 五 章
矩 阵 （ Matrices）
第 十三节
矩阵的运算 （ Matrix Operations）
本讲的教学目的和要求 矩阵的概念在讨论线性方
程组时已经提出，但它不仅限于线性方程组，在自
然科学，工作技术，以及生产实际中还存在大量的
问题需要通过对矩整的研究而获得解决。所以矩阵
成为数学中一个极其重要而且应用广泛的工具。本
讲主要介绍了矩阵的加法运算，数乘运算，乘法运
算和转置运算。通过这些介绍，能对矩阵这个高等
代数的主要研究对象有更进一步的了解和把握。
本讲的教学重点和难点, 本讲的内容相对简单，只是
矩阵的乘法运算中所必备的限制可能会使初学者感到不适。
一、定义：令 是一个数域，用 的元素 作成的一个 行 列的
矩阵
叫做 上的一个矩阵。 也简记为 。为了指明 的
行数与列数，有时也把它记作 或 。当
时，叫做一个 阶方阵。
矩阵相等当且仅当两个矩阵的行数列相等并且对应元
素也相等
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二、矩阵的运算：
1、矩阵的数乘：数域 上的数 与 上的一个 矩阵 的乘积 指
的是 矩阵 。
2、矩阵的加法：数域 上两个 矩阵 的的和指的是 矩阵 。
矩阵的加法性质
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
（ 5）
（ 6）
（ 7）
（ 8）
ABBA ???
)()( CBACBA ?????
AA ??0
0)( ??? AA
aBaABAa ??? )(
bAaAAba ??? )(
AabbAa )()( ?
)( BABA ????
3、矩阵的乘法：数域 上 矩阵
与 矩阵 的乘积 AB 指的时这样的一
个 矩阵。这个矩阵的第 i 行第 j 列的元素 等于 A
的第 i 行的元素与 B 的第 j 列的对应元素的乘积的和：
矩阵的乘法性质：
（ 1）
注意：矩阵的乘法不满足交换律。
（ 2）
（ 3） 是数域 上的多项式，
而 是数域 上的 n 阶方阵,则
F nm? ? ?
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CABAACBACABCBA ?????? )(,)(
mm xaxaaxf ???? ?10)( F
A F m
m AaAaEaAf ???? ?10)(
4、设 矩阵
把 的行变为列所得到的 矩阵
叫做矩阵 的转置。
矩阵的转置性质：（ 1）
（ 2） （ 3）
（ 4）
注：性质（ 2）与（ 3）可推广到有限多个矩的情形。
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BABA ?????? )( ABAB ????)(
AaaA ???)(
思考题：设方阵 A满足,则
( )( ) 。对吗？
课堂练习：例 1,设
求 。
解：
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2AAE ?? AE ? E?
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例 2,设 试求与可换的所有二阶方阵。
解 设所求的二阶方阵为
则有，
即,
,
根据矩阵的相等定义，上试成立的充要条件是
即
所以 （其中 a,c是任意常数）即为所求,
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2
2
第 十四 讲
可逆矩阵和初等矩阵
（ Invertible Matrices and elementary Matrices）
本讲的教学目的和要求 可逆矩阵与初等矩阵在矩阵论中占
有及其重要的位置。通过本讲的学习要求能熟练的掌握求逆
矩阵的初等变换方法，并能了解有关逆矩阵的主要性质。同
时对初等矩阵的特点和用途也要求能清晰的把握。
本讲的教学重点和难点 本讲的重点和难点为
1.从理论上了解（ A,E） （ E,A ）的原理。
2.从技术上能熟练的计算 A 。
3.弄清矩阵的初等变换与初等矩阵之间的联系。
?
一．可逆矩阵
（一）可逆矩阵
如果有 级方阵,使得,那么
级方阵 称为可逆矩阵,称为 的逆矩阵。
（二）非退化矩阵
如果有 级方阵 的行列式,那么 称
为非退化矩阵；否则，,称 为退化矩阵。
二．初等矩阵
由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初
等矩阵。具体的有：
n B EBAAB ?? n
A B A
n A 0?A A
0?A A
（一）初等矩阵
1.互换单位矩阵 的 行（列）与 行（列）的位置，得
（有时称它为换法矩阵）；
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非零数 乘 的 行（列），得
（有时称它为倍法矩阵）；
把 的 j 行（ i 列）的 倍加到 i 行（ j 列），得
（有时称它为消法矩阵）
c i
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kjiP
(二）初等矩的性质：
可逆矩阵 的逆矩阵是存在且唯一得通常以符号 表示
的逆矩阵。
方阵 是可逆矩阵 秩 =方阵 的级数。
级方阵 的逆矩阵,其中
（ 表示 中元素 的代数余子式,）。
通常称 为 的伴随矩阵。
A 1?A A
A ? 0?A ? A A
n A A
AA
~1
1
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AA
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ijA
A
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A~ A
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互换矩阵 的 行（列）与 行（列）的结果，等
于 ；把矩阵 的 行（列）乘以非零数 c 的
结果，等于 ；把矩阵 的 行（ 列）的
倍，加到 行（ 列）的结果，等于 。也
就是说，对矩阵 的行（列）作某种初等变换的结果，等于
用同等初等矩阵去左（右）乘于 。
设 是 矩阵，且秩,
则有
其中 都是初等矩阵，等号右端矩阵中主
对角线上共 有 个 1。
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)),((),( jiAPAjiP A i
)))((())(( ciAPAciP ? A j i k
i j ))(,((())(,( kjiAPAkjiP
A
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求逆矩阵的具体算法：
任以可逆矩阵经过一些行（列）的初等变换化为单位矩阵，
也就是说，,
其中 都是初等矩阵，
可见 。即
。
)( 11 EQAQEAPP tl ?? ??
),,1(),,,1( tjQliP ji ?? ??
)( 111 tl QQPPA ?? ???
? ? ? ?EPAPPPEAi ll 11,)( ?????? ?? 一些行的初等变换
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QAQ
E
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t
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例 求可逆矩阵
的逆矩阵。
解：
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第 十五 讲
矩阵的分块（ Block Matrices）
本讲的教学目的和要求 矩阵分块是矩阵运算的一
种重要的技巧，这种技巧在处理某些较高阶的矩阵
是常常用到。通过本讲的学习要求能从理论上了解
分块矩阵的特点。尤其对分块矩阵运算的限制。
本讲的教学重点和难点 1.分块矩阵的乘法。
2.分块矩阵的求逆。
3.利用矩阵分块的技巧解
决某些具体矩阵的问题。
一,分块矩阵
把 矩阵 分成如下形式的矩阵：
其中 是 矩阵,
且,式右端的矩阵叫做 的一个分
块矩阵，并把 与 分别叫做分块矩阵的第
i 行与第 j 列。每一个分块的方法叫做 的一个分法。
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二,性质
（一）设
这里矩阵右边的数 分别表示等式左端的小块
矩阵的行数,矩阵上端的数 分别表示等式左
端的小块矩阵的列数，则
其中 式任一数；
其中 式任一数；
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（ 二）设 矩阵 与 矩阵 分块矩阵式是
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其中 形式地按照矩阵地乘法法
则则得形式乘积：
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例 证明 2n阶矩阵,总可以表成几个形如
的矩阵的乘积。
证明 对矩阵作广义初等变换：
用广义初等矩阵把这些变换记录下来，得
所以
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