一、问题的提出
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).10()(
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)(
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)(
2
)(
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1
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00
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0
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2
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0
000
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n
n
n
n
xx
n
xxxf
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxfxf
?
一元函数的泰勒公式,
意义：可用 n 次多项式来近似表达函数 )( xf,且
误差是当 0xx ? 时比 nxx )( 0? 高阶的无穷小．
问题,能否用多个变量的多项式来近似表达一个
给定的多元函数，并能具体地估算出误差的大小,
即 设 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内连续
且有直到 1?n 阶的连续偏导数,),(
00
hyhx ??
为此邻域内任一点,能否把函数 ),(
00
kyhxf ??
近似地表达为 00,yykxxh ???? 的 n 次多项
式，且误差是当 0
22
??? kh? 时比
n
? 高阶的
无穷小．
定理 设 ),( yxfz ? 在点 ),(
00
yx 的某一邻域内连
续且有直到 1?n 阶的连续偏导数,),( 00 hyhx ??
为此邻域内任一点,则有
二、二元函数的泰勒公式
)10(),,(
)!1(
1
),(
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1
),(
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1
),(),(),(
00
1
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2
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y
k
x
h
n
yxf
y
k
x
h
n
yxf
y
k
x
h
yxf
y
k
x
hyxfhyhxf
n
n
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其中记号
),( 00 yxfykxh ?
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),,(),( 0000 yxkfyxhf yx ?表示
),( 00
2
yxfykxh ?
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表示 ),,(),(2),( 00200002 yxfkyxh k fyxfh yyxyxx ??
一般地,记号 表示),( 00 yxfykxh
m
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.),(
0
00 yxpmp
m
pmp
m
p
p
m yx
pkhC
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??
证 引入函数
).10(),,()( 00 ?????? tktyhtxft
显然 ),,()0( 00 yxf??
).,()1( 00 kyhxf ????
由 的定义及多元复合函数的求导法则,可得 )(t?
),,(
),(),()(
00
0000
ktyhtxf
y
k
x
h
ktyhtxkfktyhtxhft
yx
???
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),(),(2
),()(
00
2
00
00
2
ktyhtxfkktyhtxhk f
ktyhtxfht
yyxy
xx
??????
???? ??
????
).,(
)(
00
1
),(1
11
0
1
1
)1(
00
ktyhtxf
y
k
x
h
yx
p
kht
n
ktyhtxpnp
nn
p
pnpp
n
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利用一元函数的麦克劳林公式，得
).10(),(
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1
)0()0()1(
)1()(
???
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???
?? ???? ?????
?
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nn
nn
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将 ),()0( 00 yxf??,),()1( 00 kyhxf ???? 及
上面求得的 )( t? 直到 n 阶导数在 0?t 的值,以及
)(
)1(
t
n ?
? 在 ??t 的值代入上式, 即得
)1(,),(
!
1
),(
!2
1
),(),(),(
00
00
2
000000
n
n
Ryxf
y
k
x
h
n
yxf
y
k
x
h
yxf
y
k
x
hyxfkyhxf
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其中
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),,(
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?? kyhxf
y
k
x
h
n
R
n
n
证毕
公式 )1( 称为二元函数 ),( yxf 在点 ),( 00 yx 的
n 阶泰勒公式,而
n
R 的表达式 )2( 称为 拉格朗日型
余项,
由二元函数的泰勒公式知,nR 的绝对值在
点 ),( 00 yx 的某一邻域内都不超过某一正常数 M,
于是,有下面的误差估计式,? ?
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)3(,
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2
s i nco s
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1
1
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n
n
nnn
n
M
n
n
M
kh
n
M
R
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???
其中,22 kh ???
由 )3( 式可知,误差 nR 是当 0?? 时比 n? 高阶
的无穷小,
当 0?n 时,公式 )1( 成为
),(
),(),(
),(
00
0000
00
kyhxkf
kyhxhfyxf
kyhxf
y
x
??
??
???
????
??
上式称为 二元函数的拉格朗日中值公式,
推论 如果函数 ),( yxf 的偏导数 ),( yxf x,),( yxf y
在某一邻域内都恒等于零,则函数 ),( yxf 在该区域
内为一常数,
在泰勒公式 )1( 中,如果取 0,0 00 ?? yx,
则 )1( 式成为 n 阶麦克劳林公式,
),,(
)!1(
1
)0,0(
!
1
)0,0(
!2
1
)0,0()0,0(),(
1
2
yxf
y
y
x
x
n
f
y
y
x
x
n
f
y
y
x
x
f
y
y
x
xfyxf
n
n
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)10( ?? ? )5(
例 1 求函数 )1l n (),( yxyxf ??? 的三阶麦
克劳林公式,
解,1 1),(),( yxyxfyxf yx ?????
,)1( 1),(),(),( 2yxyxfyxfyxf yyxyxx ??????
,)1( !2 33
3
yxyx
f
pp ?????
?
? ),3,2,1,0( ?p
,)1( !3 44
4
yxyx
f
pp ??????
?
? ),4,3,2,1,0( ?p
,)0,0()0,0()0,0( yxyfxffyyxx yx ?????
?
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?
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,)(
)0,0()0,0(2)0,0(
)0,0(
2
22
2
yx
fyx yffx
f
y
y
x
x
yyxyxx
???
???
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,)(2)0,0()0,0(3
)0,0(3)0,0()0,0(
332
23
3
yxfyfxy
yfxfxf
y
y
x
x
y y yx y y
x x yx x x
????
???
?
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?
?
又 0)0,0( ?f,故
,)(31)(21)1l n ( 332 Ryxyxyxyx ?????????
其中
).10(,
)1(
)(
4
1
),(
!4
1
4
4
4
3
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???
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?
??
??
yx
yx
yxf
y
y
x
xR
三、极值充分条件的证明 定理 2 （充分条件）
设函数 ),( yxfz ? 在点 ),( 00 yx 的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 0),( 00 ?yxf x,0),( 00 ?yxf y,
令 Ayxf xx ?),( 00, Byxf xy ?),( 00,
Cyxf yy ?),( 00,
利用二元函数的泰勒公式证明第八节中定理 2,
则 ),( yxf 在点 ),(
00
yx 处是否取得极值的条件如下：
（ 1 ） 0
2
?? BAC 时有极值，
当 0?A 时有极大值,当 0?A 时有极小值；
（ 2 ） 0
2
?? BAC 时没有极值；
（ 3 ） 0
2
?? BAC 时可能有极值,
证 依二元函数的泰勒公式,
对于任一 )(),( 0100 PUkyhx ??? 有
),(),( 0000 yxfkyhxff ?????
),(2),([21 00002 kyhxh k fkyhxfh xyxx ???? ??????
)],( 002 kyhxfk yy ?? ??? ).10( ?? ? )6(
)1( 设 02 ?? BAC,即
? ?,0),(),(),( 2000000 ?? yxfyxfyxf xyyyxx )7( 因 ),( yxf 的二阶偏导数在 )( 01 PU 内连续,由
不等式 )7( 可知,存在点 0P 的邻域 )()( 0102 PUPU ?,
使得对任一 )(),( 0200 PUkyhx ??? 有
? ?,02 ?? xyyyxx fff )8(
注, 将 ),( yxf xx 在点 ),( 00 kyhx ?? ?? 处的值
记为 xxf,其他类似,
由 )8( 式可知,当 )(),( 0200 PUkyhx ??? 时,
xxf 及 yyf 都不等于零且两者同号, 于是 )6( 式可写成
? ? ? ?? ?.2 1 222 xyyyxxxyxx
xx
fffkkfhfff ?????
当 kh, 不同时为零且 )(),( 0200 PUkyhx ???
时,上式右端方括号内的值为正,所以 f? 异于零且
与 xxf 同号,
又由 ),( yxf 的二阶偏导数的连续性知 xxf 与 A
同号,因此 f? 与 A 同号,当 0?A 时 ),( 00 yxf 为极
小值,当 0?A 时 ),( 00 yxf 为极大值,
)2( 设 02 ?? BAC,即
? ?,0),(),(),( 2000000 ?? yxfyxfyxf xyyyxx )9(
先假定,0),(),( 0000 ?? yxfyxf yyxx 则,0),( 00 ?yxf xy
分别令 hk ? 及 hk ??,则由 )6( 式可得
? ? ],),(2
),([
2
10101010
1010
2
kyhxfkyhxf
kyhxf
h
f
yyxy
xx
????
??
??????
????
及
? ? ],,),(2
),([
2
20202020
2020
2
kyhxfkyhxf
kyhxf
h
f
yyxy
xx
????
??
??????
????
其中,1,0 21 ?? ??
当 0?h 时,以上两式方括号内的式子分别
趋于极限 ),,(2),(2
0000 yxfyxf xyxy ?及
从而当 h 充分接近零时,两式方括号内的值有
相反的符号,因此 f? 可取不同符号的值,所以
),(
00
yxf 不是极值,
再证 ),(),( 0000 yxfyxf yyxx 与 不同时为零的情形,
不妨,0),( 00 ?yxf xy 先取 0?k,于是由 )6( 式得
).,(21 002 yhxfhf xx ????
当 h 充分接近零时,f? 与 ),( 00 yxf xx 同号,
但如果取,),(,),( 0000 syxfksyxfh xxxy ???其中 s 是异于零但充分接近于零的数,则可发现,当
s 充分小时,f? 与 ),( 00 yxf xx 异号,
如此证明了, 在点 ),( 00 yx 的任意邻近,f? 可取
不同符号的值,因此 ),( 00 yxf 不是极值,
)3( 考察函数
42),( yxyxf ??及,),( 32 yxyg ??
容易验证,这两个函数都以 )0,0( 为驻点,且在点
)0,0( 处都满足 02 ?? BAC, 但 ),( yxf 在点 )0,0(
处有极小值,而 ),( yxg 在点 )0,0( 处却没有极值,
1、二元函数的泰勒公式；
四、小结
2、二元函数的拉格朗日中值公式；
n3,阶麦克劳林公式；
4、极值充分条件的证明,
练 习 题
的泰勒公式．点
在一、求函数
)2,1(
5362),( 22
?
?????? yxyxyxyxf
的三阶泰勒公式．二、求函数 )1l n (),( yeyxf x ??
阶泰勒公式．的三、求函数 neyxf yx ??),(
练习题答案
．一,22 )2()2)(1()1(25),( ???????? yyxxyxf
24
.)233(
!3
1
)2(
!2
1
)1l n (
3
3
3222
x
x
e
R
Ryxyyxyxyy
ye
?
?
???????
?
其中
二、
.10),(
)!1(
)(
!
1
)2(
!2
1
)(1
11
1
1
)(
11
22
?????
?
?
?????
???????
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
n
n
yx
n
n
nn
n
n
yx
yyxCx
n
e
R
RyyxCx
n
yxyxyxe
?
?
?
其中
三、