郑颖人院士学术报告会
2009年 8月 20日
2
岩土塑性力学原理
——广义塑性力学
2009年 8月 20日郑颖人 院士中国人民解放军后勤工程学院
3
主 要 内 容
概论
应力－应变及其基本方程
屈服条件与破坏条件
塑性位势理论
加载条件与硬化规律
广义塑性力学中的弹塑性本构关系
广义塑性力学中的加卸载准则
包含主应力轴旋转的广义塑性力学
岩土弹塑性模型
4
第 1章 概 论
岩土塑性力学的提出
岩土材料的试验结果
岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
岩土 本构模型的建立
岩土材料的基本力学特点
岩土塑性力学及其本构模型发展方向
5
岩土塑性力学的提出
材料受力三个阶段：
弹性 → 塑性 → 破坏弹性力学 塑性力学 破坏力学断裂力学等
6
塑性力学与弹性力学的不同点：
存在塑性变形
应力应变非线性
加载、卸载变形规律不同
受应力历史与应力路径的影响
岩土塑性力学的提出
7
8
力学要解决的问题：
已知应力矢量 (方向与大小 )
求应变矢量 (方向与大小 )
弹性力学,(单轴情况 )
与弹性力学理论及材料宏观试验参数有关
塑性力学,
岩土塑性力学的提出
E
Qd
A
QhdQdd p 1
ij
p
ij
FH
H
FA
Q— 塑性势函数,F— 屈服函数； H— 硬化函数。
9
传统塑性力学,基于金属材料的变形机制
ijij
p
ij
FdQdd
ij
p
ij
ij
ij
FH
H
FAdF
Ad
;1
① 传统塑性位势理论：
（给出应变增量的方向）
②屈服条件与硬化规律：
（给出应变增量的大小）
传统塑性力学应用于岩土材料并进一步发展 岩土塑性力学
岩土塑性力学的提出
10
塑性力学发展历史
1864年 Tresca准则出现，建立起经典塑性力学；
19世纪 40年代末，提出 Drucker塑性公论，经典塑性力学完善；
1773年 Coulomb提出的土质破坏条件，其后推广为莫尔 — 库仑准则；
1957年 Drucker提出考虑岩土体积屈服的帽子屈服面；
1958年 Roscoe等人提出临界状态土力学,1963年提出剑桥模型。岩土塑性力学建立。
11
岩土塑性力学及其本构模型发展方向
建立和发展适应岩土材料变形机制的、系统的、严密的广义塑性力学体系
理论、试验及工程实践相结合，通过试验确定屈服条件及其参数，以提供客观与符合实际的力学参数
建立复杂加荷条件下、各向异性情况下、动力加荷以及非饱和土情况下的各类实用模型
引入损伤力学、不连续介质力学、智能算法等新理论，宏细观结合，开创土的新一代结构性本构模型
岩土材料的稳定性、应变软化、损伤、应变局部化
（应力集中 )与剪切带等问题
12
岩土材料的试验结果
土的单向或三向固结压缩试验,土有塑性体变初始加载：
pee ln0
卸载与再加载：
pkee k ln
13
土的三轴剪切试验结果：
（ 1）常规三轴 土有剪胀（缩）性；
土有应变软化现象；
岩土材料的试验结果
14
（ 2）真三轴：
土受应力路径的影响
31
32
b
岩土材料的试验结果
b=0常理试验；
随 b增大，曲线变陡，出现软化，
峰值提前，材料变脆。
15
应力应变曲线：
硬化型：
双曲线软化型：
驼峰曲线压缩型：
压缩剪胀型,先缩后胀压缩剪胀型,先缩后胀对应体变曲线对应体变曲线相应地，可把岩土材料分为 3类压缩型,如松砂、正常固结土硬化剪胀型,如中密砂、弱超固结土软化剪胀型,如岩石、密砂与超固结土
岩土材料的试验结果
16
岩土材料的基本力学特点
压硬性
等压屈服特性
剪胀性
应变软化特性
与应力路径相关性岩土系颗粒体堆积或胶结而成的多相体，算多相体的摩擦型材料。
基本力学特性：
17
岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
球应力与偏应力之间存在交叉影响；
考虑等向压缩屈服
屈服准则要考虑剪切屈服与体积屈服，剪切屈服中要考虑平均应力；
sp
sp
v
G
q
G
p
K
q
K
p
Kp,Ks,Gp,Gs——弹塑性体积模量，剪缩模量，压硬模量，
弹塑性剪切模量
18
岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
考虑摩擦强度；
考虑体积屈服；
考虑应变软化；
不存在塑性应变增量方向与应力唯一性；
不服从正交流动法则；
应考虑应力主轴旋转产生的塑性变形。
19
势 面屈服面
20
洛德参数与受力状态
21
洛德参数与受力状态
3
1
12
31
32
tg
纯拉时，
纯剪时，
纯压时,;30,1,,0;0,0,,,0;30,1,,0
321
312
132
s
s
22
洛德参数与受力状态主偏应力方程，
三角恒等式模拟，
关系与 221321 )()()( JJqIm,,,,
0323 JSJS
03sin41sin43sin 3
m
m
m
q
3
2
sin
sin
3
2
sin
3
2
3
2
1
23
岩土本构模型建立理论、实验（屈服面、参数）
要求符合力学与热力学理论，反映岩土实际变形状况、简便广义塑性理论为岩土本构模型提供了理论基础，由试验确定屈服条件进一步增强了岩土本构的客观性，从而把岩土本构模型提高到新的高度
24
第 2章 应力 -应变及其基本方程
一点的应力状态
应力张量分解及其不变量
应力空间与?平面上的应力分量
应力路径
应变张量分解
应变空间与应变?平面
应力和应变的基本方程
25
一点的应力状态
yx
z
x?y
z
zx
xz?yz
zy
xy?yx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijS
26
一点的应力状态
应力张量不变量
222
3
222
2
1
2
xyzzxyyzxzxyzxyzyx
zxyzxyxzzyyx
zyx
I
I
I
3213
1332212
3211
)(
I
I
I
主应力方程,0
32213 III NNN
应力张量第一 不变量,是平均应力 p的三倍。
1I
27
应力张量分解及其不变量球应力张量 偏应力张量
ijm
m
m
m
00
00
00
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijmijij
S
S
S
S
应力张量应力球张量不变量：,,
1I 3I2I )( mf
28
应力张量分解及其不变量
应力偏量 Sij的不变量
321
222
3
2
1222
6
1
222222
6
1
2
1
2
)()()(
)(6)()()(
0)()()(
SSSSSSSSSJ
SS
J
SSSJ
xyzzxyyzxzxyzxyzyx
ijijxzzyyx
zxyzxyxzzyyx
zyxmzmymx
在岩土塑性理论中，常用 I1,J2,J3表示一点的应力状态
（八面体剪应力倍数）
（与剪应力方向有关）
29
应力张量分解及其不变量
等斜面与八面体
1
3
2
等斜面 正八面体
3
1 nml
54.44°
30
应力张量分解及其不变量
八面体上正应力：
3)( 1321312322218 Inml mN
八面体上剪应力：
232213232221318 )()()( JN
广义剪应力 q或应力强度?i,
213232221
2
18
2
3 )()()( iq
纯剪应力?s（剪应力强度）,
2S J
单向受拉时,；常规三轴时，
1q 3132, q
纯剪应力,
321,0,
31
应力空间与?平面上的应力分量主应力空间与?平面等顷线
平面应力点三个主应力构成的三维应力空间
平面的方程：
r3321
32
应力空间与?平面上的应力分量
主应力
平面上正应力分量：
33)( 132131 IrOQ m
平面上剪应力：
qJ
PQ
3
2
2
2
13
2
32
2
213
1
2
)()()(
op
33
应力空间与?平面上的应力分量主应力在?平面上的投影的模与方位角（洛德角）
34
应力空间与?平面上的应力分量
平面上应力在 x,y轴上的投影为：
)()(30c o s30c o s 31212 332311 PMPOx
)2(61322 )2()( 3123121211 PMPOPMy
则：
PQ
yxr
213232221
3
122 )()()(
3
12
3
1t a n
31
312?
x
y
（ 平面矢径大小）?
（ 平面矢径方向）?
35
应力路径
应力路径的基本概念应力空间中的应力路径应力路径：描述一单元应力状态变化的路线有效应力路径：
总应力路径：
36
应力路径
不同加荷方式的应力路径三轴仪上的应力条件等压固结 K0固结 三轴压缩剪切 三轴伸长剪切
37
应力路径
不同加荷方式的应力路径三轴仪上的应力路径
38
应力路径
不排水条件下三轴压缩试验的总应力路径与有效应力路径总应力路径有效应力路径破坏时孔压
39
应力路径
偏平面上的应力路径三轴压缩三轴拉伸偏平面上的应力路径普通三轴仪只能作出
TC与 TE路径采用真三轴仪，通过改变?1,?3的比值，
在改变?2试验直至破坏，可得到不同的
与 r?值，即能给出偏平面上的破坏曲线
40
应变张量的分解
＝ ＋
立方体变形 纯体积变形 纯畸变变形
mzzyzx
yzmyyx
xzxymx
m
m
m
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
00
00
00
41
应变空间与应变?平面应变空间与应变?平面应变空间：三个主应变构成的三维空间应变?平面的方程：
r3321
平面上法向应变：
m 3?
平面上剪应变：
2222 J
42
各种剪应变
八面体上正应变：
m )( 321318
八面体上剪应变：
23 22213232221328 )()()( J
广义剪应变（又称应变强度）：
2
13
2
32
2
213
2
232 )()()( J
纯剪应变 （剪应力强度）,
])()()[(2 213232221322 Js
43
应力和应变的基本方程体力和面力 Fi,Ti 位移 ui
应力?ij 应变?ij
平衡 相容性（几何）
本构关系固体力学问题解法中各种变量的相互关系
44
应力和应变的基本方程
运动方程与平衡方程：
几何方程与连续方程：
本构方程,本书重点，后面详细介绍对于静力问题,或0, ijij F? 0dd, ijij F?
iijij uF,
)(,,21 ijjiij uu
边界条件和初始条件：
jiji l?ddS N?
应力：
iN dd uu i?
位移：
45
第 3章 屈服条件与破坏条件
基本概念
岩土材料的临界状态线
岩土材料的破坏条件
偏平面上破坏条件的形状函数
46
基本概念
定义屈服,弹性进入塑性屈服条件,屈服满足的应力或应变条屈服面,屈服条件的几何曲面初始屈服条件 → 后继屈服条件 → 破坏条件初始屈服面 → 加载面 → 破坏面
47
48
基本概念
初始屈服函数的表达式
0),,(),,(),,( 23211321 qpFJJIFF
均质各向同性，不考虑应力主轴旋转时
0),,,(?TtF ijij
或0)(?ijF? 0)(?ijF?
略去时间与温度的影响，并考虑应力与应变的一一对应关系，则有
49
基本概念
p
q
p,q,空间金属材料屈服面主应力空间金属材料屈服面
0),(),(),(),,( 232321321 JFqFJJFF
传统塑性力学中与 I1无关
1,?1
2,?2
3,?3
50
基本概念
岩土塑性力学中采用分量屈服函数
0)(
0)(
0)(
0)(
ij
ijq
ij
ijv
F
F
F
F
如 p方向屈服,Fv=0即产生体变 ;如 q方向不屈服,Fγ＜ 0，无剪切变形产生
51
52
基本概念
屈服面与屈服曲线屈服面 ——狭义：初始屈服函数的几何曲面广义：屈服函数的几何曲面（加载面）
一个空间屈服面可以采用两个平面上的屈服曲线表达：
π平面的屈服曲线子午平面屈服曲线
53
基本概念屈服曲线与屈服面
54
基本概念理想塑性：
屈服面内 F(σij)<0,弹性屈服面上 F(σij)=0,屈服屈服面外 F(σij) >0,不可能硬（软）化塑性：
加载面 Φ(σij,H)<0,弹性加载面 Φ(σij,H)＝ 0,屈服，屈服为一系列曲面，因而可在某一屈服面外（硬化），亦可在屈服面内（软化）
55
基本概念塑性力学中的破坏,某单元体进入无限塑性
（流动）状态
破坏条件真正破坏,整个物体不能承载
①某单元进入流动状态不等于物体破坏；破坏不是针对一个单元的
②塑性力学某单元处于流动状态，并非某单元破坏，如理想塑性状态。破坏面上各点应变都超过极限应变，物体才真正破坏。
56
基本概念三种材料的破坏状态：
①理想塑性,屈服即破坏
②硬化材料,屈服的最终应力状态 F(σij)=从
C1 增加到 C2
③ 软化材料,屈服的残余应力状态 F(σij)=从
C1 降低到 C2
破坏条件
57
基本概念
岩土材料的各种剪切屈服面
58
基本概念
岩土材料的体积屈服面压缩型 压缩剪胀型
59
基本概念
岩土材料屈服曲线的特点
① 有三个方向的应变，
可有三条或两条屈服曲线；（右图）
②子午平面上的剪切屈服曲线为不平行 p
轴的非封闭的曲线或直线；偏平面上为封闭曲线；
60
基本概念
岩土材料屈服曲线的特点（续）
③ 子午平面上的体积屈服曲线与 p轴相交；
④岩土材料屈服曲线不一定外凸；预估偏平面上仍外凸。
⑤ π平面屈服曲线封闭，且在 6个 60o扇形区域对称（右图）
岩土材料在 π平面屈服曲线
61
岩土材料的临界状态线正常固结粘土排水与不排水试验的破坏线
临界状态线通过分析粘土的三轴剪切试验结果，可见，排水和不排水两类试验的破坏点均落在一条直线上。这条线表示了一种临界状态，
称为 临界状态线 (Critical
State Line)。
62
岩土材料的临界状态线
q-p-v空间的临界状态线
q-p-v空间的临界状态线临界状态线在 q-p-v三维 空间内是 q,p,v的函数，正常各向等压固结线在 q=0的平面上。
它在 q-p平面与 q=0平面上的投影如右图所示。
63
岩土材料的临界状态线
临界状态线的特点
是一条破坏状态线，或叫极限状态线。无论是排水与不排水试验，或通过任何一种应力路径，
只要达到这一状态就发生破坏。
试样产生很大的剪切变形，而 p,q，体积（或比容和孔隙比）均不再发生变化。对既有硬化又有软化的岩土材料来说，是硬化面与软化面的分界线。
在 q-p平面上可表示为,CSCS Mpq?
64
岩土材料的破坏条件
广义米赛斯条件 (德鲁克－普拉格条件 )：
平面应变条件下导出 α,k，有外角圆锥、内角圆锥、内切圆锥及等效莫尔－库仑圆锥等四种状况。
kJI 21?
（ 1）定义：
65
广义米赛斯条件的屈服面
（ 2）几何图形
－圆锥面
)(22 12 IkJr
I1增大,rσ减小
岩土材料的破坏条件
66
（ 1）形式：
① τ,σ：
② σ1,σ3:
③ I1,J2,θσ：
莫尔－库仑条件：
tgnn c
2)(s i nc o s2)( 3131 c
0c o s)s ins in31( c o ss in31 21 cJIF
莫尔－库仑屈服条件
岩土材料的破坏条件
67
莫尔－库仑屈服面
④ p,q,θσ：
0c o s)s ins in31( c o s31s in cqpF
（ 2）几何图形：
不规则的六边形截面的角锥体表面，如右图所示。
岩土材料的破坏条件
68
（ 3）屈服曲线为不等六边形的论证,岩土受拉与受压时不同；
（ 4）莫尔 —库仑条件的另一种形式,
),,(,,tg cfccpq
（ 5）莫尔－库仑条件的几种特殊情况：
①?＝ 0为屈氏条件；
②?＝ 0,＝ 0为米氏条件 ;
岩土材料的破坏条件
69
⑤ 时，内切圆破坏条件
（屈服面积最小）
⑥ 等面积圆 见式
（ 3,4,24）
,k值不同，塑性区差别可达 4—5倍。屈服面积是关键，屈服曲线形状影响不大。
等面积圆塑性区与莫尔 —库仑塑性区十分接近。
③＝－ 30o时，受拉破坏条件（平面上内角） ;
④＝ 30o时，受压破坏条件（平面上外角） ;
不同?,k系数的三个圆锥 屈服面
岩土材料的破坏条件
70
广义双剪应力条件：
广义压缩：
])([21 12131213 kF
2
ji
ij
])([21 23132313 kF
c o s2,s i n ck
广义拉伸：
岩土材料的破坏条件
71
辛克维兹－潘德条件：
0
)(
)( 2122
k
g
J
hF mmm
)(
22
g
J?
莫尔－库仑屈服面是比较可靠的，其缺点是存在尖顶和棱角的间断点、线，致使计算变繁与收敛缓慢。
辛克维兹－潘德提出一些修正形式,在 π平面上是抹圆了角的六角形，而其子午线是二次式。
岩土材料的破坏条件
72
（ 1）一次式时 ——莫尔－库仑条件（?＝ 0）
021 km
3s ins inc o s3s ins inc o s
3s in)6s in ()6c o s ()(
Ag
22 2Jr
＝?/6 时,g()=1,
外角圆半径：
受压状态
＝－?/6时,g()=k,
外角圆半径：
0d )(d?
g
kr 2
受拉状态实用莫尔－库仑条件,＝ ±?/6时，
岩土材料的破坏条件
73
π平面上莫尔 -库仑不规则六角形的逼近：
Williams → Gudehus 近似式,
→ 郑颖人近似式：
→ 等面积圆：与莫尔－库仑六角形面积相等的圆 (如右下图所示）
3s i n)1()1(
2)(
KK
Kg
23c o s3s i n)1()1(
2)(
KK
Kg
e?2
1
K
Williams
Gudehus
岩土材料的破坏条件
74
（ 2）二次曲线 ——辛克维兹条件
（ a）双曲线：
（ b）抛物线：
（ c）椭圆：
辛克维兹式系数已作修正
012
22
ba
dF m
0)( 2 adF m
012
22
ba
dF m
岩土材料的破坏条件
75
岩土材料的破坏条件
（ 2）二次曲线 ——辛克维兹条件（续）
子午平面上二次式屈服曲线的三种形式双曲线 抛物线 椭圆
76
岩土材料的破坏条件
岩土材料的统一破坏条件（ 14种条件）：
012nkppF
概括了前面所述的所有破坏条件，其相应的系数值详见书中表 3-1（ 61页）
)(
2
g
J
77
岩土材料的破坏条件
Hoek—Brown条件（适用岩体）：
2
331 cc smF
特点,
（ 1）考虑围压；
（ 2）未考虑中主应力；
（ 3）考虑岩体的破碎程度；
（ 4）子午平面上是一条曲线应力空间中的 Hoek-Brown条件
78
偏平面上破坏条件的形状函数
定义：
mc q
q
r
rJJg
2
2)( 22
必须满足的三个条件：
0
)(
1
)(
1?
gg
（ 1）外凸曲线
79
（ 2） g(30o)=1,r?(30o)=rc;
g(-30o)=k,r?(-30o)=rl
K由实验得到或近似用,k= rl/rc=(3-sin?)/(3+sin?)
偏平面上破坏条件的形状函数
（ 3）＝ ± 30o时：
0
d
)(d?
g
莫尔－库仑线 → 双剪应力角隅模型 → Lade曲线 → Matsouka → 清华 → 后工
80
偏平面上破坏条件的形状函数
π平面上 Lade、郑颖人 -陈瑜瑶、
Matsuoka-Nakai屈服曲线 π平面上渥太华砂真三轴试验结果
81
第 4章 塑性位势理论
德鲁克塑性公设
传统塑性位势理论
传统塑性位势理论剖析
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
屈服面的形式及其与塑性势面的关系
广义塑性力学的基本特征
82
德鲁克塑性公设
1928年，米赛斯提出塑性位势函数梯度方向是塑性流动方向，并以屈服函数作为势函数。此后引用德鲁克公设加以证明。
稳定材料的定义稳定材料不稳定材料附件应力对附加应变作功为非负
0
（非必要条件）
83
德鲁克塑性公设
德鲁克公设：
附加应力在应力循环内作塑性功非负,
pijijijijpD aW d)d( 0
注意附加应力功是 假想的功应力循环
84
德鲁克塑性公设
两个重要不等式：
0d)( 0 pijijij
0dd?pijij
屈服面的外凸性塑性应变增量的正交性
两个重要结论：
（ 1）屈服面的外凸性
（ 2）塑性应变增量方向与屈服面的法向平行（正交流动法则）
85
德鲁克塑性公设
加 卸载 准则,0 nd
对德鲁克塑性公设的不同观点：
（ 1）德鲁克公设基于热力学定律得出，是一般性准则；
（ 2）德鲁克公设不符合热力学定律，只是某些材料符合德鲁克公设；
（ 3）德鲁克公设是作为弹性稳定材料定义提出的，并非普遍客观定律，须由材料的客观力学行为来判定它是否适用。
86
德鲁克塑性公设
德鲁克公设的适用条件：
（ 1） 应力循环中外载所作的真实功与?ij0起点无关；
pij ijij d 0?
应力循环中外载所作真实功与附加应力功
(2)附加应力功不符合功的定义，并非真实功
00 0 ijijij d
ij
87
德鲁克塑性公设
（ 4） 德鲁克公设的适用条件：
①?ij0在塑性势面与屈服面之内时，德鲁克公设成立；
②?ij0在塑性势面与屈服面之间时，德鲁克公设不成立；
附加应力功为非负的条件
（ 3） 非真实物理功不能引用热力学定律；
88
传统塑性位势理论
定义：
ijij
p
ij d
Qdd
（假设）
d?≥0,并要求应力主轴与塑性应变增量主轴一致；
Q=?：关联流动法则
（正交流动法则）；
Q≠?：非关联流动法则
（适用于岩土材料的非正交流动法则）；
塑性应变的分解
89
传统塑性位势理论
流动法则分解：
π平面上流动法则的几何关系
p
Qdd p
v?
2122
1
QqqQdd p?
q
Qdd p
q?
Q
qdd
p 1?
d?与只有在势面为圆形时相等
90
传统塑性位势理论
举例：
对于米赛斯条件，有
02 sJFQ?
3
ddd 2
q
Jp
q 0
1dd 2?
J
q
p
3
dddd pp
q
p
屈瑞斯卡，统一剪切破坏条件
91
传统塑性位势理论剖析
岩土界的四点共识：
（ 1） 不遵守关联流动法则和德鲁克公设；
应力增量对岩土塑性应变增量方向的影响应力增量的方向 实测的塑性应变增量的方向
92
传统塑性位势理论剖析
（ 2） 不具有塑性应变增量方向与应力唯一性假设，岩土材料的塑性应变增量方向与应力增量的方向有关；
（ 3） 尽管主应力的大小相同，但主应力轴方向发生变化也会产生塑性变形，即岩土材料应考虑应力主轴旋转；
（ 4） 莫尔－库仑类剪切模型产生过大剪胀；
剑桥模型不能很好反映剪胀与剪切变形；
93
传统塑性位势理论剖析
传统塑性理论的三个假设：
（ 1） 遵守关联流动法则 ；
（ 2） 传统塑性势理论假设 ；
数学含义,按传统塑性势公式，即可得出塑性主应变增量存在如下比例关系
321
321,::,
QQQddd ppp
iippi d
aaa
aaa
aaa
dAd
333231
232221
131211
33
94
传统塑性位势理论剖析式中矩阵［ Ａ ｐ ］中的各行元素必成比例，且
［ Ａ ｐ ］的秩为 1，它只有一个基向量。
物理含义,塑性应变增量方向与应力具有唯一性，塑性应变增量的分量成比例，可采用一个势函数。
（ 3） 不考虑应力主轴旋转假设经典塑性力学中假设应变主轴与应力主轴始终重合，只有 d?1,d?2,d?3，而无 d?12，
d?23,d?31,即不考虑应力主轴旋转。
95
传统塑性位势理论剖析
上述三个假设不符合岩土材料的变形机制：
Q
P
A
B
o P
Q
C
位移矢量
tg-1u
岩土材料不适用于正交流动法则示意图例如下图，金属材料位移矢量方向 Q与屈服面 OP垂直；岩土材料 Q与屈服面 OC不垂直。表明金属材料服从关联流动法则，岩土材料不服从关联流动法则。
96
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
由张量定律导出广义塑性位势理论：
式中 Qk为应力分量,作势函数。不考虑应力主轴旋转时 k=3。
ij
k
k
k
p
ij
Q
dd
3
1
应力和应变都是二阶张量，按照张量定律可导出：
97
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
广义塑性位势理论的特点：
（ 1）塑性应变增量方向与应力增量的方向有关，因而无法用一个塑性势函数确定塑性应变总量的方向，但可确定三个分量的方向，即以三个分量作势面；
（ 2）采用三个线性无关的分量塑性势函数；
（ 3） d?k不要求都大于等于零；
98
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
（ 4）塑性势面可任取，一般取 ｐ,ｑ,
,也可取 σ1,σ2,σ3 ；屈服面不可任取，
必须与塑性势面相应，特殊情况相同；
（ 5）三个屈服面各自独立，体积屈服面只与塑性体变有关，而与塑性剪变无关；
（ 6）广义塑性力学不能采用正交流动法则。
广义塑性位势理论的特点（续）：
99
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
σ1,σ2,σ3为三个塑性势函数：
ppp 332211 dd,dd,dd
ijijij
p
ij q?
3
3
2
2
1
1 dddd
d?i求法：等向强化模型的三个主应变屈服面
),,( 321 ipi f?
3
3
2
2
1
1
ddddd iiipii fff
100
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
ｐ,ｑ,为三个塑性势函数：
ijijij
p
ij qd
qdpdd
321
ppqpv dddddd 321,,
),(
),(
),(
p
ij
p
qijqq
p
vijvv
ff
ff
ff
等向硬化模型时
101
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
),,(
),,(
),,(
qpff
qpff
qpff
ij
p
qijq
p
q
vijv
p
v
3
2
1
dd
f
dq
q
f
dp
p
f
d
dd
f
dq
q
f
dp
p
f
d
dd
f
dq
q
f
dp
p
f
d
p
qqqp
q
vvvp
v
对上式微分即有
（ 1）
102
屈服面的形式及其与塑性势面的关系
屈服面的形式 （等向硬化时以 ｐ、ｑ、
为势面）,
0),(
0),(
0),(
p
ij
p
qijq
p
vijv
f
f
f
不完全等向硬化
ij
p
ijq
p
q
ijv
p
v
fH
fH
fH
)(
)(
)(
3
2
1
等向硬化
ij
p
ijq
p
q
ijv
p
v
f
f
f
硬化模量为,A=1
103
屈服面的形式及其与塑性势面的关系
屈服面与塑性势面的关系：
（ 1）塑性势面确定塑性应变增量的方向，屈服面确定塑性应变增量的大小；
（ 2）塑性势面可以任取，但必须保证各势面间线性无关； 屈服面则不可以任取，必须与塑性势面相应，如塑性势面为 q，则相应的塑性应变与硬化参量为?qp,屈服面为 q方向上的剪切屈服面 fq(?ij,?qp）,即?qp的等值线 ；
104
屈服面的形式及其与塑性势面的关系
屈服面与塑性势面的关系（续）：
（ 3）三个分量屈服面各自独立,体积屈服面只与塑性体变有关，而与塑性剪变无关；
（ 4）由 dq,d引起的体变是真正的剪胀 ；
（ 5）屈服面与塑性势面相同，是相应的一种特殊情况。如采用米赛斯屈服条件的金属材料，式（ 1）中只保留 一项，其余各项均为零。
qqf q d)(
105
广义塑性力学的基本特征
（ 1）塑性应变增量分量不成比例基于塑性分量理论，塑性应变增量的方向不仅取决于屈服面与应力状态，还取决于应力增量的方向与大小。
（ 2）塑性势面与屈服面相应
（ 3）允许应力主轴旋转
（ 4）解具有唯一性
106
第 5章 加载条件与硬化规律
加载条件概述
硬化模型
岩土材料的加载条件
硬化定律的一般形式
岩土塑性力学中的硬化定律
广义塑性力学中的硬化定律
用试验拟合加载函数的方法
107
加载条件概述加载条件,变化的屈服条件加载面,材料发生塑性变形后的弹性范围边界初始屈服面 → 后继屈服面（与应力历史有关）
（加载面） → 破坏面（硬化，软化，理想塑性材料）
定义：
0),( Hij
H?—塑性变形引起物质微观结构变化的参量（硬化参量，内变量）
108
加载条件概述
硬化参量的选用：
传统塑性力学常用硬化参量：
Wp,?p,?p（计算结果一致）
岩土塑性力学常用硬化参量：
Wp,?p,?p,?vp(计算结果不同）
109
硬化模型
定义：
硬化规律（模型）,加载面位置、形状、大小变化规律硬化定律,确定加载面依据哪些具体的硬化参量而初始硬化的规律 等向强化和随动强化示意图
110
硬化模型
硬化模型种类：
1）等向强化：
加载面大小变化，形状、位置、主轴方向不变
0)()(),( HKFH ijij
等向硬化（偏平面上）
111
硬化模型
（ 2）运动强化：
随动硬化（偏平面上）
0)(),( 0 KFH ijijij
刚性平移，形状、大小、
主轴方向不变
（ 3）混合强化：
大小、位置变，形状、
主轴方向不变
0)()(),,( HKFH ijijijij
112
岩土材料的加载条件
单屈服面模型中的加载条件：
（ 1）剪切型开口锥形加载面,Wp,?p,?p
不能良好反映体应变，会出现过大剪胀
（ 2）体变型帽形加载面,?vp，不能良好反映剪应变
（ 3）封闭型加载面,?p,?vp
① 锥形加载面与帽形加载面组合；
②连续封闭加载面
113
岩土材料的加载条件单屈服面模型的几类加载面剪切型加载面 体变型加载面封闭型加载面
114
岩土材料的加载条件
Desai系列模型,(封闭型加载面的典型代表）
Desai系列模型的加载面以 与 为硬化参量，其加载面是反子弹头形，如右图。
表达式为
p? pv?
mrn SIIJF )1)(( 2112
115
岩土材料的加载条件
主应变加载条件：
)(
)()(
),(
ik
p
i
ik
p
i
p
iikk
F
FH
应力空间塑性应变分量等值面三个塑性应变的等值面，
可根据不同应力路径上某一塑性主应变分量的等值点，在应力空间内所构成的连续曲面来建立
116
岩土材料的加载条件
剪切加载面,(q方向与方向加载条件 )
kppH np 12)(
子午平面上剪切屈服曲线,
等于常数，为一条不封闭的外凸的曲线。
kpp npij 12),(
等向强化下可写作可表述成显式时写作
kpp np 12
子午平面上的剪切屈服曲线
117
岩土材料的加载条件
π平面上的剪切屈服曲线,p＝ 0，为一封闭曲线。根据试验结果，从实用角度出发，认为试验所得应力增量与塑性应变增量的偏离状况重庆红粘土 水泥粘土
pd
与 成比例，偏平面上 q方向与
方向上的两个加载面相似，即形状相同大小不同。
pq?d
),,(t a n),,( qpFqpF q
118
岩土材料的加载条件
体积加载面,(p方向 加载条件 )
硬化参量 的等值面pv?
（ 1）罗斯科 (Roscoe)面：
罗斯科面及其试验路线
① 从正常固结线到临界状态线所走路径的曲面。
在 q/pc-p/pc座标面内归一化成一条曲线。
②在 p-q平面上的罗斯科截面是一个等体积面。
119
岩土材料的加载条件
（ 1）罗斯科 (Roscoe)面（续）：
③ 罗斯科面是状态边界面，无论何种情况，
当进入塑性时，一切应力路线都不能逾越罗斯科面。
归一化的罗斯科面
④ q-p平面上的罗斯科面可以近似视作体积屈服面。罗斯科面是硬化屈服面，随着体积变化，
屈服面就会不断增大。
120
岩土材料的加载条件
（ 2）硬化压缩型土的体积加载面：
罗斯科面可以作为这种体积变形的体积加载面。
它为封闭型，一端与 p轴相接，另一端与极限状态线相接。
椭圆形：
pvc kpMp e x p1
2
ap
v
p
v
r
pthppM qp 1)(2
1
2 （殷宗泽）
子弹头形：
cpMp
e x p
121
岩土材料的加载条件
（ 3）硬化压缩剪胀型土的体积加载面：
硬化压缩剪胀型土的体积加载面近似为 S形，先压缩后剪胀采用分段函数拟合试验曲线中密砂、弱超固结土等
122
应变软化土的剪切加载面 ——伏斯列夫
（ Hvorslev）面
岩土材料的加载条件排水试验的应力路线 不排水试验的简化应力路线
123
应变软化土的剪切加载面 ——伏斯列夫
（ Hvorslev）面
岩土材料的加载条件
① 伏斯列夫面与罗斯科面都是状态边界面；
②在 q-p平面上的伏斯列夫面，既是剪切屈服面，又是近似的体积屈服面；
③伏斯列夫面随 v而变。 峰值破坏面与残余破坏面 。
伏斯列夫面可作为软化岩土材料的剪切屈服面与体积屈服面。
124
硬化定律的一般形式硬化定律,是给定应力增量条件下会引起多大塑性应变的一条准则，也是从某屈服面如何进入后继屈服面的一条准则，目的为求 d?(A或 h)
定义：
ij
ij
ij
ij A
hh?
d1ddd
硬化定律以引用何种硬化参量而命名
125
硬化定律的一般形式
A的一般公式,混合硬化模型
0),( Hijij
0d1d1dd kl
klij
p
ij
kl
klijij
ij
ij
QH
HA
Q
Ac
21
1A AAQH
H
Q
Ac ijpijijij
假设不同的 c,A形成不同的硬化规律
126
硬化定律的一般形式
Wp硬化定律,
pijijpp WWHH d)(
ij
ijp
ij
p
ij
p
p
Q
W
QW
WA
矩阵形式：
Q
W
A p T
127
岩土塑性力学中的硬化定律
硬化定律?p
v
p
QQQA
p
vij
ijp
vij
p
ij
p
v
p
v?
QA
p
v
T
)( pvHH pvH
设 或广义塑性力学中，如 pQp
v,?
则 A＝ 1 ；
pQH pv ),(?如,则,p
v
HA
128
岩土塑性力学中的硬化定律
硬化定律设 或广义塑性力学中，如 则 A＝ 1 ；
如,则：
pq?
)( pqHH pqH
qQpq,?
pQpq ),(? p
q
HA
q
QA
p
q?
129
岩土塑性力学中的硬化定律
硬化定律设 或广义塑性力学中，如 则 A＝ 1 ；
如,则：
p
)( pHH pH
QA
p
Qp,
QH p ),(
p
HA
130
岩土塑性力学中的硬化定律采用各种硬化参量的硬化定律
131
广义塑性力学中的硬化定律
)()(),( pkijkpkijkk HF
3
1
dd1d
k
kij
ij
k
k
p
k A
式中
p
k
k
kA
式中
p
p
q
q
p
v
v
A
A
A
3
2
1
三种模式,①直接基于塑性总应变与应力具有唯一性关系；②给出多重屈服面的硬化定律；
③通过试验数据拟合直接确定塑性系数。
等向硬化模型加载面写成：
132
式中
p
p
q
q
p
v
v
A
A
A
3
2
1
广义塑性力学中的硬化定律
d
d
d
111
111
111
d
333
222
111
q
p
F
Aq
F
Ap
F
A
F
Aq
F
Ap
F
A
F
Aq
F
Ap
F
A
d
d
qqq
vvv
p
p
q
p
v
d?k也可通过试验直接确定同理可得：
133
用试验数据确定加载函数的方法
屈服条件（加载条件）的物理意义给出应力－应变关系，目的 在于已知应力或应力增量大小和方向的情况下求应变增量的方向与大小。
（ 1）线弹性,单轴应力应变关系应力应变方向相同，参数 1/E
为弹性系数,E为弹模 ；是一个材料参数，由试验求得
（应力应变曲线斜率），只与材料性质有关；
ij?
ij?E
Ee 1?
134
用试验数据确定加载函数的方法
(2)非线弹性,单轴应力应变关系
t
e
E
1?
Et为 应力应变曲线切线斜率，与材料性质及应力状态有关，也由试验求得
ij?
ij?
tE
135
用试验数据确定加载函数的方法
（ 3）传统弹塑性,应力应变关系
ij
ij
ij
p
ij dAd?
1
塑性应变方向由屈服面的法线确定，塑性系数与
(?ij,?kp)有关，即与材料性质、应力状态及应力历史有关，也只能由试验所得的一组曲线确定。
=c2
p
q
=c1
=c3
=c4
136
用试验数据确定加载函数的方法
(4) 广义弹塑性,应力应变关系与传统塑性力学一样，但屈服面为三个分量屈服面
3
1
1
k
ij
ij
k
ij
k
k
p
ij d
Q
A
d?
Qk,?k为三个分量的塑性势函数与屈服函数,
屈服条件由几组试验曲线确定。
p
q
1apv 1
bp
2bp
3bp
2apv
3apv
137
用试验数据确定加载函数的方法
小结：
力学状态 应力－应变关系 力学参数 参数的影响因素线弹性单轴情况下：
ii
E
1
E （弹性模量） 材性非线性弹性单轴情况下：
i
t
i
E
1
E
t
（切线弹性模量）
材性与应力状态经典塑性
ij
ij
ij
p
ij
d
A
d
1；
ij
p
ij
A
（加载面）
材性、应力状态与应力历史广义塑性分量应力－应变关系：
ij
k ij
k
k
p
ij
A
d
1
d
3
1
；
)3,2,1(?
kA
p
ij
k
k
k
（分量加载面）
材性、应力状态与应力历史
138
① 屈服条件是状态参数，也是试验参数,因而屈服条件应按当地土体的试验拟合得到，不应有人为性；
② 土工试验主要是常规三轴试验，由勘测提供数据，不必多花钱，经济合理；
③ 设计人员应用广义塑性理论及试验得到的屈服条件进行计算，可得唯一解，不必引用现行模型 。
用试验数据确定加载函数的方法
小结（续）：
139
用试验数据确定加载函数的方法
由试验数据构造屈服面的思路屈服曲线是硬化参量?p的等值线
（ 1） 在不同状态下作各种试验；
（ 2）给出硬化参量
p的等值点，如 c1，
c2,c3等；
（ 3）在主应力图中给出屈服曲线。
塑性应变与应力的关系
140
用试验数据确定加载函数的方法屈服面由此可在应力空间内找出一组连续的等值的空间曲线，按屈服面的定义，它就是屈服曲线。同理可得另两组
、
的屈服曲线。
))(( 11 pH?
ip bH?)( 22? ip bH?)( 33?
由试验数据构造屈服面的思路（续）
141
用试验数据确定加载函数的方法
剪切屈服曲线的拟合
1,p－ q平面（子午平面）上：
(1)由经验假设曲线的形式
bpa
pq
(a)双曲线针对不同的得 a,b的值（见表 1),建立 a,b与?p
关系，由试验数据（重庆红粘土）拟合得
2.211.0 pa? 0 0 5.0108 5 pb?
142
用试验数据确定加载函数的方法
剪切屈服曲线的拟合 (续 )
(b)抛物线
apq?2
表 1 a,b 与?
p
的关系
p
a b
1 1.89 9 － 0.00 050 6
2 1.6 89 － 0.00 043
3 1.4 39 － 0.00 010 4
4 1.2 93 － 0.00 010 5
5 1.1 7 － 0.00 016 99
6 1.1 23 － 0.00 014 2
7 1.1 15 － 0.00 008 93
8 1.5 08 － 0.00 013 5
9 1.0 21 － 0.00 018 19
10 0,969 － 0.00 035 7
11 0,944 － 0.00 034 87
12 0,914 － 0.00 057 4
表,与 的关系
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
同理，针对不同的?qp值，
可以拟合出不同的 a值。
对于重庆红粘土
2)(1 2 5 8 74 2 8 06.9 ppa
143
用试验数据确定加载函数的方法
0 100 200 300 400 500 600
0
100
200
300
400
500
600
p / K P a
q
/
K
P
a
Y = 1
Y = 5
Y = 1 0
d o u b l e - c u r v e 1
d o u b l e - c u r v e 5
d o u b l e - c u r v e 1 0
0 100 200 300 400 500 600
0
100
200
300
400
500
600
Y = 1
Y = 5
Y = 1 0
d o u b l e - c u r v e 1
d o u b l e - c u r v e 5
d o u b l e - c u r v e 1 0
p / K P a
q
/
K
P
a
(2)剪切屈服面的验证将上述拟合得到的屈服曲线与试验数据点比较，
确定屈服曲线的合理形式。双曲线较好，见下图双曲线 抛物线
144
2,π平面（偏平面）上：
32c o s3s i n11
2
KK
K
g
对重庆红粘土进行真三轴试验，拟合得到
K＝ 0.69,?＝ 0.45
用试验数据确定加载函数的方法莫尔－库仑曲线实测曲线
＝ 0
o
＝ 30
o
＝ 15
o
＝
＝
＝
145
用试验数据确定加载函数的方法
体积屈服曲线不同 的土选择不同的屈服曲线
(1)压缩型土体（重庆红粘土），椭圆型屈服面
12
2
2
2
b
q
a
p
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
ell ips es vol ume yi eld curve
experiment al data
q/K
P
a
p/K P a
压缩型土体（重庆红粘土）的椭圆形体积屈服条件与试验数据的验证
146
用试验数据确定加载函数的方法
体积屈服曲线 (续 )
(2)压缩剪胀型土体（中密砂）,S型屈服面直线段
11 bpaq
曲线段
12
2
2
2
2
2
b
q
a
p
0 100 200 300 400 500
0
100
200
300
400
500
c r it ic a l s t a t e c u r v e
m o d e l c u r v e s
e x p e r im e n t a l d a t a
q
/K
P
a
p /K P a
压缩剪胀型土体（福建标准砂）的 S
形体积屈服条件与试验数据的验证
147
方向上剪切屈服曲线（偏平面上）
用试验数据确定加载函数的方法
(1)试验确定塑性应变增量的方向（真三轴试验）
(2)应力水平低时，塑性应变增量与应力增量同向；应力水平高时，两者偏离，但偏离角不大，可认为常数,?在 10o~15o内取值。
见下页图。
148
试验所得应力增量与塑性应变增量的偏离状况重庆红粘土 水泥粘土
用试验数据确定加载函数的方法
tgdd pqp t a nq?
—偏离角，重庆红粘土?＝ 11o，
约有 10％左右的影响
149
第 6章 广义塑性力学中的弹塑性本构关系
弹塑性刚度矩阵 [Dep]的物理意义
广义塑性力学中的柔度矩阵
广义塑性力学中 [Dep]的一般表达式
150
弹塑性刚度矩阵 [Dep]的物理意义
De,Dp,Dep的几何意义
弹塑性应力 -应变关系的矩阵表达式：
d][d epD?
弹塑性刚度矩阵 [Dep]
的物理意义，可用一个单向受压的 σ-ε关系图来说明，如右图所示。
151
弹塑性刚度矩阵 [Dep]的物理意义由于
dd)()dd(dd eppepeee DDDDD
式中 p
epep
p
p
pe EEEDEEDED,d
d,
De就是塑性模量 E； Dp就是塑性模量 Ep； Dep
就是弹塑性模量 Eep。
}]{[}{][}{ 1 dCdDd epep
[Cep]为弹塑性柔度矩阵，求逆后即为弹塑性刚度矩阵 [Dep]。
152
广义塑性力学中的柔度矩阵
依据单屈服面模型中 [Cep]推广求广义塑性力学中的 [Cep]
dCdCC
CC
eppe
k
pke
k
p
k
e
3
1
3
1
dddd
kkkpk AFQC
T
153
广义塑性力学中的柔度矩阵因此有
T33T22T11
FFFCC
eep
令：
321,,QqQpQ
则：
FFFFFF qv 321,,
有：
T
3
T
2
T
1
111
F
A
Fq
A
Fp
ACC
qv
eep
154
广义塑性力学中的柔度矩阵
先求主应力空间中塑性柔度矩阵 [Ap]，
然后通过转换求 [Cep]
ddd T 633336 TATC ppp
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
][
FFF
FFF
FFF
A
p
][][][ peep CCC
155
广义塑性力学中 [Dep]的一般表达式
d][][][][dd
T
63
1
33
36
DfQDDD klep
式中：
321
36
QQQQ T321T
63?
ffff
矩阵中元素,
33][?kl?
kkl
lk
kl A
QDf?
][T
lk
lk
kl 0
1?其中,单屈服面时即为传统塑性力学中的 [Dep]
156
第 7章 广义塑性力学中的加卸载准则
应力型加卸载准则
应变型加卸载准则
考虑土体压缩剪胀的综合型加卸载准则
157
应力型加卸载准则基于加卸载定义确定加卸载准则采用应力参量,p,q,dp,dq作为加卸载的依据来表述
0,
0,
m a x
m a x
dqqq
dppp
加载加载
0,
0,
m a x
m a x
dqqq
dppp
卸载卸载
158
应力型加卸载准则由于塑性变形与应力无一一对应关系，该准则理论上存在缺陷，也没有考虑到 p,q同时变化的情况和忽略了应力洛德角的影响，是不完全的加卸载准则。
0,
0,
m a x
m a x
dqqq
dppp
弹性重加载弹性重加载
159
应变型加卸载准则无论加载或卸载，总应变?始终是一个单调变化的量。加载时,总应变?总是增加；卸载时,总应变?总是减少，而且无论硬化材料或软化材料都是如此。
如右图所示。
160
通过对加卸载过程的分析），提出了弹性应变增量、应变总量为参量的对硬化材料普适的加卸载准则。
应变型加卸载准则以体应变为例，可写成：
0,
0,
0,
0,,
0,
e
vvmv
e
vvmv
e
vvmv
e
vvm
e
vvvmv
e
vvmv
d
d
d
dd
d
弹性卸载弹性加载中性变载加载卸载
161
应变型加卸载准则
evevevd 12由前图可见，硬化材料加载时,
因而 为加载，反之为卸载。同理可用来分析剪切屈服的情况。
本准则非常适用于迭代法的数值求解，因为采用弹性迭代得出弹性应变增量可以直接进行加卸载判断。
0?evd?
162
考虑土体压缩剪胀的综合型加卸载准则压缩型土体：先缩后胀,d?1=d?vp可能大于 0，
也可能小于 0。
塑性体应变的加卸载准则
PTM
时：
0d,0ddd
0d,0ddd
0ddd
qBpAF
qBpAF
qBpAF
v
v
v
塑性压缩塑性剪胀弹性卸载
163
考虑土体压缩剪胀的综合型加卸载准则
PTM
时：
0ddd
0ddd
qBpAF
qBpAF
v
v
塑性压缩弹性卸载
塑性剪应变的加卸载准则：
m
e
m
e
m
e
m
e
m
e
m
d
d
dd
d
,
0,
0,,
0,
塑性剪应变的变化是单调的弹性卸载弹性加载塑性加载塑性重加载
164
第 8章 包含应力主轴旋转的广义塑性位势理论适用岩土材料的广义塑性力学应考虑剪切应力分量 d?ij引起的 应力主轴的旋转 和由此引起的塑性变形
d?ij与应力主轴旋转角增量 d?i的关系：
);3,2,1,()( jijidd jiiij
165
第 8章 包含应力主轴旋转的广义塑性位势理论（续）
包含应力主轴旋转的广义塑性位势理论：
ij
kr
kr
krij
k
k
k
p
i j r
p
i j c
p
ij
QdQdddd
6
1
3
1
p
ijr
p
ijr
p
ijr
p
ijc
p
ij ddddd 321
或：
应力增量的分解：
T
rrrcrc
T
ddd
ddd
ddd
T
ddddddd
3322313
3222211
3132111
321
共轴部分,d?c ； 旋转部分,d?r
166
第 9章 岩土弹塑性模型
概述
剑桥模型
Lade弹塑性模型
Desai系列模型
南京水利科学院弹塑性模型
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
167
概述岩土弹塑性模型包括三方面内容,①建模理论；
②屈服条件；③计算参数三类弹塑性静力模型,①基于传统塑性力学的单屈服面模型；②对传统塑性力学作某些局部修正的模型；③基于广义塑性力学的多重屈服面模型。
岩土材料应有统一的建模理论，而建模理论必须尽量反映岩土材料的变形机制，并符合力学与热力学基本原理。 广义塑性力学奠定了岩土材料建模理论的基础 。
168
剑桥模型
剑桥模型基于传统塑性位势理论，采用单屈服面和关联流动法则。标志着土的本构理论发展新阶段的开始。
屈服面方程：
主应力空间中屈服面与临界状态
p?0为硬化参量：
0ln 0?
p
pM
p
q
)(0 pvHpH
169
剑桥模型
修正剑桥模型修正剑桥模型的屈服面椭圆屈服面方程：
02
22)(
pM Mpqp
本构方程：
22
2
)(?
M
d
pk
pdkd
v
p
vdMd
22
2
170
Lade弹塑性模型
Lade-Duncan模型
（ 1） 加载条件与破坏条件,0
3
3
1 k
I
IF
（ 2） 流动法则：
31
3
1 IkIQ
（ 3） 硬化规律,?
)()( pijijp dHWHk
（ 4） 本构关系：
ijij
p
ij
I
I
QI
I
Qkdd
3
3
1
1
1
（ 5） 参数,5个参数
171
Lade弹塑性模型
Lade-Duncan模型屈服面
172
Lade弹塑性模型
Lade双屈服面模型曲线锥形剪切加载面（非关联流动法则），球形帽盖体积屈服面（关联流动法则）
Lade两个屈服面主应力空间 空间31 2
173
Lade弹塑性模型
Lade封闭型单屈服面模型
Lade单屈服面模型的塑性势面与屈服面塑性势面 屈服面封闭型屈服面，单硬化参量（塑性功），非关联流动法则
174
Desai系列模型
Desai封闭型单一屈服面模型平面31 2平面12 IJ? π平面单一屈服面模型,前半段采用剪切屈服面，后半段体积屈服面系列模型,非关联流动法则，非等向硬化，损伤
175
南京水利科学院弹塑性模型简称“南水”模型，由沈珠江等提出
“南水”模型假设：
（ 1）塑性应变与应力状态存在惟一性关系；
（ 2）塑性体应变与塑性剪应变的等值面分别为体积屈服面与剪切屈服面；
（ 3）压缩曲线用半对数曲线拟合；
（ 4）子午平面上体积屈服曲线为一组蛋形线；
176
南京水利科学院弹塑性模型
“南水”模型基本图式
（ 5）剪切屈服曲线为一组双曲线；
（ 6）模型中不考虑应力洛德角的影响。
177
南京水利科学院弹塑性模型
“南水”模型屈服面
Gp
p
b
a
f
p
p
x
p
p
f
v
0
00
)1(
ln
1
ln
)1(
ln
塑性应变增量：
qDpCq
q
f
p
p
f
qBpAq
q
f
p
p
f
p
vvp
v
ddddd
ddddd
178
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
模型的假设与特点：
（ 1）基于广义塑性理论，采用分量塑性势面与分量屈服面；
（ 2）适用于应变硬化土体的静力计算，既可用于压缩型土体，也可用于压缩剪胀型土体，但不考虑应力主轴旋转；
（ 3）屈服条件通过室内土工试验获得。
179
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
各类土体的屈服条件,
“后工”模型采用的屈服条件剪切屈服条件 压缩型土的体积屈服条件压缩剪胀型土的屈服条件
180
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
剪切屈服条件：
181
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
体积屈服条件：
182
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
土体的应力应变关系：
d
d
d
111
111
d
d
222
111 q
p
AqApA
AqApA
qqq
vvv
p
q
p
v
式中：
p
q
q
p
v
v AA
21,
2009年 8月 20日
2
岩土塑性力学原理
——广义塑性力学
2009年 8月 20日郑颖人 院士中国人民解放军后勤工程学院
3
主 要 内 容
概论
应力－应变及其基本方程
屈服条件与破坏条件
塑性位势理论
加载条件与硬化规律
广义塑性力学中的弹塑性本构关系
广义塑性力学中的加卸载准则
包含主应力轴旋转的广义塑性力学
岩土弹塑性模型
4
第 1章 概 论
岩土塑性力学的提出
岩土材料的试验结果
岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
岩土 本构模型的建立
岩土材料的基本力学特点
岩土塑性力学及其本构模型发展方向
5
岩土塑性力学的提出
材料受力三个阶段：
弹性 → 塑性 → 破坏弹性力学 塑性力学 破坏力学断裂力学等
6
塑性力学与弹性力学的不同点：
存在塑性变形
应力应变非线性
加载、卸载变形规律不同
受应力历史与应力路径的影响
岩土塑性力学的提出
7
8
力学要解决的问题：
已知应力矢量 (方向与大小 )
求应变矢量 (方向与大小 )
弹性力学,(单轴情况 )
与弹性力学理论及材料宏观试验参数有关
塑性力学,
岩土塑性力学的提出
E
Qd
A
QhdQdd p 1
ij
p
ij
FH
H
FA
Q— 塑性势函数,F— 屈服函数； H— 硬化函数。
9
传统塑性力学,基于金属材料的变形机制
ijij
p
ij
FdQdd
ij
p
ij
ij
ij
FH
H
FAdF
Ad
;1
① 传统塑性位势理论：
（给出应变增量的方向）
②屈服条件与硬化规律：
（给出应变增量的大小）
传统塑性力学应用于岩土材料并进一步发展 岩土塑性力学
岩土塑性力学的提出
10
塑性力学发展历史
1864年 Tresca准则出现，建立起经典塑性力学；
19世纪 40年代末，提出 Drucker塑性公论，经典塑性力学完善；
1773年 Coulomb提出的土质破坏条件，其后推广为莫尔 — 库仑准则；
1957年 Drucker提出考虑岩土体积屈服的帽子屈服面；
1958年 Roscoe等人提出临界状态土力学,1963年提出剑桥模型。岩土塑性力学建立。
11
岩土塑性力学及其本构模型发展方向
建立和发展适应岩土材料变形机制的、系统的、严密的广义塑性力学体系
理论、试验及工程实践相结合，通过试验确定屈服条件及其参数，以提供客观与符合实际的力学参数
建立复杂加荷条件下、各向异性情况下、动力加荷以及非饱和土情况下的各类实用模型
引入损伤力学、不连续介质力学、智能算法等新理论，宏细观结合，开创土的新一代结构性本构模型
岩土材料的稳定性、应变软化、损伤、应变局部化
（应力集中 )与剪切带等问题
12
岩土材料的试验结果
土的单向或三向固结压缩试验,土有塑性体变初始加载：
pee ln0
卸载与再加载：
pkee k ln
13
土的三轴剪切试验结果：
（ 1）常规三轴 土有剪胀（缩）性；
土有应变软化现象；
岩土材料的试验结果
14
（ 2）真三轴：
土受应力路径的影响
31
32
b
岩土材料的试验结果
b=0常理试验；
随 b增大，曲线变陡，出现软化，
峰值提前，材料变脆。
15
应力应变曲线：
硬化型：
双曲线软化型：
驼峰曲线压缩型：
压缩剪胀型,先缩后胀压缩剪胀型,先缩后胀对应体变曲线对应体变曲线相应地，可把岩土材料分为 3类压缩型,如松砂、正常固结土硬化剪胀型,如中密砂、弱超固结土软化剪胀型,如岩石、密砂与超固结土
岩土材料的试验结果
16
岩土材料的基本力学特点
压硬性
等压屈服特性
剪胀性
应变软化特性
与应力路径相关性岩土系颗粒体堆积或胶结而成的多相体，算多相体的摩擦型材料。
基本力学特性：
17
岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
球应力与偏应力之间存在交叉影响；
考虑等向压缩屈服
屈服准则要考虑剪切屈服与体积屈服，剪切屈服中要考虑平均应力；
sp
sp
v
G
q
G
p
K
q
K
p
Kp,Ks,Gp,Gs——弹塑性体积模量，剪缩模量，压硬模量，
弹塑性剪切模量
18
岩土塑性力学与传统塑性力学不同点
考虑摩擦强度；
考虑体积屈服；
考虑应变软化；
不存在塑性应变增量方向与应力唯一性；
不服从正交流动法则；
应考虑应力主轴旋转产生的塑性变形。
19
势 面屈服面
20
洛德参数与受力状态
21
洛德参数与受力状态
3
1
12
31
32
tg
纯拉时，
纯剪时，
纯压时,;30,1,,0;0,0,,,0;30,1,,0
321
312
132
s
s
22
洛德参数与受力状态主偏应力方程，
三角恒等式模拟，
关系与 221321 )()()( JJqIm,,,,
0323 JSJS
03sin41sin43sin 3
m
m
m
q
3
2
sin
sin
3
2
sin
3
2
3
2
1
23
岩土本构模型建立理论、实验（屈服面、参数）
要求符合力学与热力学理论，反映岩土实际变形状况、简便广义塑性理论为岩土本构模型提供了理论基础，由试验确定屈服条件进一步增强了岩土本构的客观性，从而把岩土本构模型提高到新的高度
24
第 2章 应力 -应变及其基本方程
一点的应力状态
应力张量分解及其不变量
应力空间与?平面上的应力分量
应力路径
应变张量分解
应变空间与应变?平面
应力和应变的基本方程
25
一点的应力状态
yx
z
x?y
z
zx
xz?yz
zy
xy?yx
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijS
26
一点的应力状态
应力张量不变量
222
3
222
2
1
2
xyzzxyyzxzxyzxyzyx
zxyzxyxzzyyx
zyx
I
I
I
3213
1332212
3211
)(
I
I
I
主应力方程,0
32213 III NNN
应力张量第一 不变量,是平均应力 p的三倍。
1I
27
应力张量分解及其不变量球应力张量 偏应力张量
ijm
m
m
m
00
00
00
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ijmijij
S
S
S
S
应力张量应力球张量不变量：,,
1I 3I2I )( mf
28
应力张量分解及其不变量
应力偏量 Sij的不变量
321
222
3
2
1222
6
1
222222
6
1
2
1
2
)()()(
)(6)()()(
0)()()(
SSSSSSSSSJ
SS
J
SSSJ
xyzzxyyzxzxyzxyzyx
ijijxzzyyx
zxyzxyxzzyyx
zyxmzmymx
在岩土塑性理论中，常用 I1,J2,J3表示一点的应力状态
（八面体剪应力倍数）
（与剪应力方向有关）
29
应力张量分解及其不变量
等斜面与八面体
1
3
2
等斜面 正八面体
3
1 nml
54.44°
30
应力张量分解及其不变量
八面体上正应力：
3)( 1321312322218 Inml mN
八面体上剪应力：
232213232221318 )()()( JN
广义剪应力 q或应力强度?i,
213232221
2
18
2
3 )()()( iq
纯剪应力?s（剪应力强度）,
2S J
单向受拉时,；常规三轴时，
1q 3132, q
纯剪应力,
321,0,
31
应力空间与?平面上的应力分量主应力空间与?平面等顷线
平面应力点三个主应力构成的三维应力空间
平面的方程：
r3321
32
应力空间与?平面上的应力分量
主应力
平面上正应力分量：
33)( 132131 IrOQ m
平面上剪应力：
qJ
PQ
3
2
2
2
13
2
32
2
213
1
2
)()()(
op
33
应力空间与?平面上的应力分量主应力在?平面上的投影的模与方位角（洛德角）
34
应力空间与?平面上的应力分量
平面上应力在 x,y轴上的投影为：
)()(30c o s30c o s 31212 332311 PMPOx
)2(61322 )2()( 3123121211 PMPOPMy
则：
PQ
yxr
213232221
3
122 )()()(
3
12
3
1t a n
31
312?
x
y
（ 平面矢径大小）?
（ 平面矢径方向）?
35
应力路径
应力路径的基本概念应力空间中的应力路径应力路径：描述一单元应力状态变化的路线有效应力路径：
总应力路径：
36
应力路径
不同加荷方式的应力路径三轴仪上的应力条件等压固结 K0固结 三轴压缩剪切 三轴伸长剪切
37
应力路径
不同加荷方式的应力路径三轴仪上的应力路径
38
应力路径
不排水条件下三轴压缩试验的总应力路径与有效应力路径总应力路径有效应力路径破坏时孔压
39
应力路径
偏平面上的应力路径三轴压缩三轴拉伸偏平面上的应力路径普通三轴仪只能作出
TC与 TE路径采用真三轴仪，通过改变?1,?3的比值，
在改变?2试验直至破坏，可得到不同的
与 r?值，即能给出偏平面上的破坏曲线
40
应变张量的分解
＝ ＋
立方体变形 纯体积变形 纯畸变变形
mzzyzx
yzmyyx
xzxymx
m
m
m
zzyzx
yzyyx
xzxyx
ij
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
00
00
00
41
应变空间与应变?平面应变空间与应变?平面应变空间：三个主应变构成的三维空间应变?平面的方程：
r3321
平面上法向应变：
m 3?
平面上剪应变：
2222 J
42
各种剪应变
八面体上正应变：
m )( 321318
八面体上剪应变：
23 22213232221328 )()()( J
广义剪应变（又称应变强度）：
2
13
2
32
2
213
2
232 )()()( J
纯剪应变 （剪应力强度）,
])()()[(2 213232221322 Js
43
应力和应变的基本方程体力和面力 Fi,Ti 位移 ui
应力?ij 应变?ij
平衡 相容性（几何）
本构关系固体力学问题解法中各种变量的相互关系
44
应力和应变的基本方程
运动方程与平衡方程：
几何方程与连续方程：
本构方程,本书重点，后面详细介绍对于静力问题,或0, ijij F? 0dd, ijij F?
iijij uF,
)(,,21 ijjiij uu
边界条件和初始条件：
jiji l?ddS N?
应力：
iN dd uu i?
位移：
45
第 3章 屈服条件与破坏条件
基本概念
岩土材料的临界状态线
岩土材料的破坏条件
偏平面上破坏条件的形状函数
46
基本概念
定义屈服,弹性进入塑性屈服条件,屈服满足的应力或应变条屈服面,屈服条件的几何曲面初始屈服条件 → 后继屈服条件 → 破坏条件初始屈服面 → 加载面 → 破坏面
47
48
基本概念
初始屈服函数的表达式
0),,(),,(),,( 23211321 qpFJJIFF
均质各向同性，不考虑应力主轴旋转时
0),,,(?TtF ijij
或0)(?ijF? 0)(?ijF?
略去时间与温度的影响，并考虑应力与应变的一一对应关系，则有
49
基本概念
p
q
p,q,空间金属材料屈服面主应力空间金属材料屈服面
0),(),(),(),,( 232321321 JFqFJJFF
传统塑性力学中与 I1无关
1,?1
2,?2
3,?3
50
基本概念
岩土塑性力学中采用分量屈服函数
0)(
0)(
0)(
0)(
ij
ijq
ij
ijv
F
F
F
F
如 p方向屈服,Fv=0即产生体变 ;如 q方向不屈服,Fγ＜ 0，无剪切变形产生
51
52
基本概念
屈服面与屈服曲线屈服面 ——狭义：初始屈服函数的几何曲面广义：屈服函数的几何曲面（加载面）
一个空间屈服面可以采用两个平面上的屈服曲线表达：
π平面的屈服曲线子午平面屈服曲线
53
基本概念屈服曲线与屈服面
54
基本概念理想塑性：
屈服面内 F(σij)<0,弹性屈服面上 F(σij)=0,屈服屈服面外 F(σij) >0,不可能硬（软）化塑性：
加载面 Φ(σij,H)<0,弹性加载面 Φ(σij,H)＝ 0,屈服，屈服为一系列曲面，因而可在某一屈服面外（硬化），亦可在屈服面内（软化）
55
基本概念塑性力学中的破坏,某单元体进入无限塑性
（流动）状态
破坏条件真正破坏,整个物体不能承载
①某单元进入流动状态不等于物体破坏；破坏不是针对一个单元的
②塑性力学某单元处于流动状态，并非某单元破坏，如理想塑性状态。破坏面上各点应变都超过极限应变，物体才真正破坏。
56
基本概念三种材料的破坏状态：
①理想塑性,屈服即破坏
②硬化材料,屈服的最终应力状态 F(σij)=从
C1 增加到 C2
③ 软化材料,屈服的残余应力状态 F(σij)=从
C1 降低到 C2
破坏条件
57
基本概念
岩土材料的各种剪切屈服面
58
基本概念
岩土材料的体积屈服面压缩型 压缩剪胀型
59
基本概念
岩土材料屈服曲线的特点
① 有三个方向的应变，
可有三条或两条屈服曲线；（右图）
②子午平面上的剪切屈服曲线为不平行 p
轴的非封闭的曲线或直线；偏平面上为封闭曲线；
60
基本概念
岩土材料屈服曲线的特点（续）
③ 子午平面上的体积屈服曲线与 p轴相交；
④岩土材料屈服曲线不一定外凸；预估偏平面上仍外凸。
⑤ π平面屈服曲线封闭，且在 6个 60o扇形区域对称（右图）
岩土材料在 π平面屈服曲线
61
岩土材料的临界状态线正常固结粘土排水与不排水试验的破坏线
临界状态线通过分析粘土的三轴剪切试验结果，可见，排水和不排水两类试验的破坏点均落在一条直线上。这条线表示了一种临界状态，
称为 临界状态线 (Critical
State Line)。
62
岩土材料的临界状态线
q-p-v空间的临界状态线
q-p-v空间的临界状态线临界状态线在 q-p-v三维 空间内是 q,p,v的函数，正常各向等压固结线在 q=0的平面上。
它在 q-p平面与 q=0平面上的投影如右图所示。
63
岩土材料的临界状态线
临界状态线的特点
是一条破坏状态线，或叫极限状态线。无论是排水与不排水试验，或通过任何一种应力路径，
只要达到这一状态就发生破坏。
试样产生很大的剪切变形，而 p,q，体积（或比容和孔隙比）均不再发生变化。对既有硬化又有软化的岩土材料来说，是硬化面与软化面的分界线。
在 q-p平面上可表示为,CSCS Mpq?
64
岩土材料的破坏条件
广义米赛斯条件 (德鲁克－普拉格条件 )：
平面应变条件下导出 α,k，有外角圆锥、内角圆锥、内切圆锥及等效莫尔－库仑圆锥等四种状况。
kJI 21?
（ 1）定义：
65
广义米赛斯条件的屈服面
（ 2）几何图形
－圆锥面
)(22 12 IkJr
I1增大,rσ减小
岩土材料的破坏条件
66
（ 1）形式：
① τ,σ：
② σ1,σ3:
③ I1,J2,θσ：
莫尔－库仑条件：
tgnn c
2)(s i nc o s2)( 3131 c
0c o s)s ins in31( c o ss in31 21 cJIF
莫尔－库仑屈服条件
岩土材料的破坏条件
67
莫尔－库仑屈服面
④ p,q,θσ：
0c o s)s ins in31( c o s31s in cqpF
（ 2）几何图形：
不规则的六边形截面的角锥体表面，如右图所示。
岩土材料的破坏条件
68
（ 3）屈服曲线为不等六边形的论证,岩土受拉与受压时不同；
（ 4）莫尔 —库仑条件的另一种形式,
),,(,,tg cfccpq
（ 5）莫尔－库仑条件的几种特殊情况：
①?＝ 0为屈氏条件；
②?＝ 0,＝ 0为米氏条件 ;
岩土材料的破坏条件
69
⑤ 时，内切圆破坏条件
（屈服面积最小）
⑥ 等面积圆 见式
（ 3,4,24）
,k值不同，塑性区差别可达 4—5倍。屈服面积是关键，屈服曲线形状影响不大。
等面积圆塑性区与莫尔 —库仑塑性区十分接近。
③＝－ 30o时，受拉破坏条件（平面上内角） ;
④＝ 30o时，受压破坏条件（平面上外角） ;
不同?,k系数的三个圆锥 屈服面
岩土材料的破坏条件
70
广义双剪应力条件：
广义压缩：
])([21 12131213 kF
2
ji
ij
])([21 23132313 kF
c o s2,s i n ck
广义拉伸：
岩土材料的破坏条件
71
辛克维兹－潘德条件：
0
)(
)( 2122
k
g
J
hF mmm
)(
22
g
J?
莫尔－库仑屈服面是比较可靠的，其缺点是存在尖顶和棱角的间断点、线，致使计算变繁与收敛缓慢。
辛克维兹－潘德提出一些修正形式,在 π平面上是抹圆了角的六角形，而其子午线是二次式。
岩土材料的破坏条件
72
（ 1）一次式时 ——莫尔－库仑条件（?＝ 0）
021 km
3s ins inc o s3s ins inc o s
3s in)6s in ()6c o s ()(
Ag
22 2Jr
＝?/6 时,g()=1,
外角圆半径：
受压状态
＝－?/6时,g()=k,
外角圆半径：
0d )(d?
g
kr 2
受拉状态实用莫尔－库仑条件,＝ ±?/6时，
岩土材料的破坏条件
73
π平面上莫尔 -库仑不规则六角形的逼近：
Williams → Gudehus 近似式,
→ 郑颖人近似式：
→ 等面积圆：与莫尔－库仑六角形面积相等的圆 (如右下图所示）
3s i n)1()1(
2)(
KK
Kg
23c o s3s i n)1()1(
2)(
KK
Kg
e?2
1
K
Williams
Gudehus
岩土材料的破坏条件
74
（ 2）二次曲线 ——辛克维兹条件
（ a）双曲线：
（ b）抛物线：
（ c）椭圆：
辛克维兹式系数已作修正
012
22
ba
dF m
0)( 2 adF m
012
22
ba
dF m
岩土材料的破坏条件
75
岩土材料的破坏条件
（ 2）二次曲线 ——辛克维兹条件（续）
子午平面上二次式屈服曲线的三种形式双曲线 抛物线 椭圆
76
岩土材料的破坏条件
岩土材料的统一破坏条件（ 14种条件）：
012nkppF
概括了前面所述的所有破坏条件，其相应的系数值详见书中表 3-1（ 61页）
)(
2
g
J
77
岩土材料的破坏条件
Hoek—Brown条件（适用岩体）：
2
331 cc smF
特点,
（ 1）考虑围压；
（ 2）未考虑中主应力；
（ 3）考虑岩体的破碎程度；
（ 4）子午平面上是一条曲线应力空间中的 Hoek-Brown条件
78
偏平面上破坏条件的形状函数
定义：
mc q
q
r
rJJg
2
2)( 22
必须满足的三个条件：
0
)(
1
)(
1?
gg
（ 1）外凸曲线
79
（ 2） g(30o)=1,r?(30o)=rc;
g(-30o)=k,r?(-30o)=rl
K由实验得到或近似用,k= rl/rc=(3-sin?)/(3+sin?)
偏平面上破坏条件的形状函数
（ 3）＝ ± 30o时：
0
d
)(d?
g
莫尔－库仑线 → 双剪应力角隅模型 → Lade曲线 → Matsouka → 清华 → 后工
80
偏平面上破坏条件的形状函数
π平面上 Lade、郑颖人 -陈瑜瑶、
Matsuoka-Nakai屈服曲线 π平面上渥太华砂真三轴试验结果
81
第 4章 塑性位势理论
德鲁克塑性公设
传统塑性位势理论
传统塑性位势理论剖析
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
屈服面的形式及其与塑性势面的关系
广义塑性力学的基本特征
82
德鲁克塑性公设
1928年，米赛斯提出塑性位势函数梯度方向是塑性流动方向，并以屈服函数作为势函数。此后引用德鲁克公设加以证明。
稳定材料的定义稳定材料不稳定材料附件应力对附加应变作功为非负
0
（非必要条件）
83
德鲁克塑性公设
德鲁克公设：
附加应力在应力循环内作塑性功非负,
pijijijijpD aW d)d( 0
注意附加应力功是 假想的功应力循环
84
德鲁克塑性公设
两个重要不等式：
0d)( 0 pijijij
0dd?pijij
屈服面的外凸性塑性应变增量的正交性
两个重要结论：
（ 1）屈服面的外凸性
（ 2）塑性应变增量方向与屈服面的法向平行（正交流动法则）
85
德鲁克塑性公设
加 卸载 准则,0 nd
对德鲁克塑性公设的不同观点：
（ 1）德鲁克公设基于热力学定律得出，是一般性准则；
（ 2）德鲁克公设不符合热力学定律，只是某些材料符合德鲁克公设；
（ 3）德鲁克公设是作为弹性稳定材料定义提出的，并非普遍客观定律，须由材料的客观力学行为来判定它是否适用。
86
德鲁克塑性公设
德鲁克公设的适用条件：
（ 1） 应力循环中外载所作的真实功与?ij0起点无关；
pij ijij d 0?
应力循环中外载所作真实功与附加应力功
(2)附加应力功不符合功的定义，并非真实功
00 0 ijijij d
ij
87
德鲁克塑性公设
（ 4） 德鲁克公设的适用条件：
①?ij0在塑性势面与屈服面之内时，德鲁克公设成立；
②?ij0在塑性势面与屈服面之间时，德鲁克公设不成立；
附加应力功为非负的条件
（ 3） 非真实物理功不能引用热力学定律；
88
传统塑性位势理论
定义：
ijij
p
ij d
Qdd
（假设）
d?≥0,并要求应力主轴与塑性应变增量主轴一致；
Q=?：关联流动法则
（正交流动法则）；
Q≠?：非关联流动法则
（适用于岩土材料的非正交流动法则）；
塑性应变的分解
89
传统塑性位势理论
流动法则分解：
π平面上流动法则的几何关系
p
Qdd p
v?
2122
1
QqqQdd p?
q
Qdd p
q?
Q
qdd
p 1?
d?与只有在势面为圆形时相等
90
传统塑性位势理论
举例：
对于米赛斯条件，有
02 sJFQ?
3
ddd 2
q
Jp
q 0
1dd 2?
J
q
p
3
dddd pp
q
p
屈瑞斯卡，统一剪切破坏条件
91
传统塑性位势理论剖析
岩土界的四点共识：
（ 1） 不遵守关联流动法则和德鲁克公设；
应力增量对岩土塑性应变增量方向的影响应力增量的方向 实测的塑性应变增量的方向
92
传统塑性位势理论剖析
（ 2） 不具有塑性应变增量方向与应力唯一性假设，岩土材料的塑性应变增量方向与应力增量的方向有关；
（ 3） 尽管主应力的大小相同，但主应力轴方向发生变化也会产生塑性变形，即岩土材料应考虑应力主轴旋转；
（ 4） 莫尔－库仑类剪切模型产生过大剪胀；
剑桥模型不能很好反映剪胀与剪切变形；
93
传统塑性位势理论剖析
传统塑性理论的三个假设：
（ 1） 遵守关联流动法则 ；
（ 2） 传统塑性势理论假设 ；
数学含义,按传统塑性势公式，即可得出塑性主应变增量存在如下比例关系
321
321,::,
QQQddd ppp
iippi d
aaa
aaa
aaa
dAd
333231
232221
131211
33
94
传统塑性位势理论剖析式中矩阵［ Ａ ｐ ］中的各行元素必成比例，且
［ Ａ ｐ ］的秩为 1，它只有一个基向量。
物理含义,塑性应变增量方向与应力具有唯一性，塑性应变增量的分量成比例，可采用一个势函数。
（ 3） 不考虑应力主轴旋转假设经典塑性力学中假设应变主轴与应力主轴始终重合，只有 d?1,d?2,d?3，而无 d?12，
d?23,d?31,即不考虑应力主轴旋转。
95
传统塑性位势理论剖析
上述三个假设不符合岩土材料的变形机制：
Q
P
A
B
o P
Q
C
位移矢量
tg-1u
岩土材料不适用于正交流动法则示意图例如下图，金属材料位移矢量方向 Q与屈服面 OP垂直；岩土材料 Q与屈服面 OC不垂直。表明金属材料服从关联流动法则，岩土材料不服从关联流动法则。
96
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
由张量定律导出广义塑性位势理论：
式中 Qk为应力分量,作势函数。不考虑应力主轴旋转时 k=3。
ij
k
k
k
p
ij
Q
dd
3
1
应力和应变都是二阶张量，按照张量定律可导出：
97
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
广义塑性位势理论的特点：
（ 1）塑性应变增量方向与应力增量的方向有关，因而无法用一个塑性势函数确定塑性应变总量的方向，但可确定三个分量的方向，即以三个分量作势面；
（ 2）采用三个线性无关的分量塑性势函数；
（ 3） d?k不要求都大于等于零；
98
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
（ 4）塑性势面可任取，一般取 ｐ,ｑ,
,也可取 σ1,σ2,σ3 ；屈服面不可任取，
必须与塑性势面相应，特殊情况相同；
（ 5）三个屈服面各自独立，体积屈服面只与塑性体变有关，而与塑性剪变无关；
（ 6）广义塑性力学不能采用正交流动法则。
广义塑性位势理论的特点（续）：
99
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
σ1,σ2,σ3为三个塑性势函数：
ppp 332211 dd,dd,dd
ijijij
p
ij q?
3
3
2
2
1
1 dddd
d?i求法：等向强化模型的三个主应变屈服面
),,( 321 ipi f?
3
3
2
2
1
1
ddddd iiipii fff
100
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
ｐ,ｑ,为三个塑性势函数：
ijijij
p
ij qd
qdpdd
321
ppqpv dddddd 321,,
),(
),(
),(
p
ij
p
qijqq
p
vijvv
ff
ff
ff
等向硬化模型时
101
不计主应力轴旋转的广义塑性位势理论
),,(
),,(
),,(
qpff
qpff
qpff
ij
p
qijq
p
q
vijv
p
v
3
2
1
dd
f
dq
q
f
dp
p
f
d
dd
f
dq
q
f
dp
p
f
d
dd
f
dq
q
f
dp
p
f
d
p
qqqp
q
vvvp
v
对上式微分即有
（ 1）
102
屈服面的形式及其与塑性势面的关系
屈服面的形式 （等向硬化时以 ｐ、ｑ、
为势面）,
0),(
0),(
0),(
p
ij
p
qijq
p
vijv
f
f
f
不完全等向硬化
ij
p
ijq
p
q
ijv
p
v
fH
fH
fH
)(
)(
)(
3
2
1
等向硬化
ij
p
ijq
p
q
ijv
p
v
f
f
f
硬化模量为,A=1
103
屈服面的形式及其与塑性势面的关系
屈服面与塑性势面的关系：
（ 1）塑性势面确定塑性应变增量的方向，屈服面确定塑性应变增量的大小；
（ 2）塑性势面可以任取，但必须保证各势面间线性无关； 屈服面则不可以任取，必须与塑性势面相应，如塑性势面为 q，则相应的塑性应变与硬化参量为?qp,屈服面为 q方向上的剪切屈服面 fq(?ij,?qp）,即?qp的等值线 ；
104
屈服面的形式及其与塑性势面的关系
屈服面与塑性势面的关系（续）：
（ 3）三个分量屈服面各自独立,体积屈服面只与塑性体变有关，而与塑性剪变无关；
（ 4）由 dq,d引起的体变是真正的剪胀 ；
（ 5）屈服面与塑性势面相同，是相应的一种特殊情况。如采用米赛斯屈服条件的金属材料，式（ 1）中只保留 一项，其余各项均为零。
qqf q d)(
105
广义塑性力学的基本特征
（ 1）塑性应变增量分量不成比例基于塑性分量理论，塑性应变增量的方向不仅取决于屈服面与应力状态，还取决于应力增量的方向与大小。
（ 2）塑性势面与屈服面相应
（ 3）允许应力主轴旋转
（ 4）解具有唯一性
106
第 5章 加载条件与硬化规律
加载条件概述
硬化模型
岩土材料的加载条件
硬化定律的一般形式
岩土塑性力学中的硬化定律
广义塑性力学中的硬化定律
用试验拟合加载函数的方法
107
加载条件概述加载条件,变化的屈服条件加载面,材料发生塑性变形后的弹性范围边界初始屈服面 → 后继屈服面（与应力历史有关）
（加载面） → 破坏面（硬化，软化，理想塑性材料）
定义：
0),( Hij
H?—塑性变形引起物质微观结构变化的参量（硬化参量，内变量）
108
加载条件概述
硬化参量的选用：
传统塑性力学常用硬化参量：
Wp,?p,?p（计算结果一致）
岩土塑性力学常用硬化参量：
Wp,?p,?p,?vp(计算结果不同）
109
硬化模型
定义：
硬化规律（模型）,加载面位置、形状、大小变化规律硬化定律,确定加载面依据哪些具体的硬化参量而初始硬化的规律 等向强化和随动强化示意图
110
硬化模型
硬化模型种类：
1）等向强化：
加载面大小变化，形状、位置、主轴方向不变
0)()(),( HKFH ijij
等向硬化（偏平面上）
111
硬化模型
（ 2）运动强化：
随动硬化（偏平面上）
0)(),( 0 KFH ijijij
刚性平移，形状、大小、
主轴方向不变
（ 3）混合强化：
大小、位置变，形状、
主轴方向不变
0)()(),,( HKFH ijijijij
112
岩土材料的加载条件
单屈服面模型中的加载条件：
（ 1）剪切型开口锥形加载面,Wp,?p,?p
不能良好反映体应变，会出现过大剪胀
（ 2）体变型帽形加载面,?vp，不能良好反映剪应变
（ 3）封闭型加载面,?p,?vp
① 锥形加载面与帽形加载面组合；
②连续封闭加载面
113
岩土材料的加载条件单屈服面模型的几类加载面剪切型加载面 体变型加载面封闭型加载面
114
岩土材料的加载条件
Desai系列模型,(封闭型加载面的典型代表）
Desai系列模型的加载面以 与 为硬化参量，其加载面是反子弹头形，如右图。
表达式为
p? pv?
mrn SIIJF )1)(( 2112
115
岩土材料的加载条件
主应变加载条件：
)(
)()(
),(
ik
p
i
ik
p
i
p
iikk
F
FH
应力空间塑性应变分量等值面三个塑性应变的等值面，
可根据不同应力路径上某一塑性主应变分量的等值点，在应力空间内所构成的连续曲面来建立
116
岩土材料的加载条件
剪切加载面,(q方向与方向加载条件 )
kppH np 12)(
子午平面上剪切屈服曲线,
等于常数，为一条不封闭的外凸的曲线。
kpp npij 12),(
等向强化下可写作可表述成显式时写作
kpp np 12
子午平面上的剪切屈服曲线
117
岩土材料的加载条件
π平面上的剪切屈服曲线,p＝ 0，为一封闭曲线。根据试验结果，从实用角度出发，认为试验所得应力增量与塑性应变增量的偏离状况重庆红粘土 水泥粘土
pd
与 成比例，偏平面上 q方向与
方向上的两个加载面相似，即形状相同大小不同。
pq?d
),,(t a n),,( qpFqpF q
118
岩土材料的加载条件
体积加载面,(p方向 加载条件 )
硬化参量 的等值面pv?
（ 1）罗斯科 (Roscoe)面：
罗斯科面及其试验路线
① 从正常固结线到临界状态线所走路径的曲面。
在 q/pc-p/pc座标面内归一化成一条曲线。
②在 p-q平面上的罗斯科截面是一个等体积面。
119
岩土材料的加载条件
（ 1）罗斯科 (Roscoe)面（续）：
③ 罗斯科面是状态边界面，无论何种情况，
当进入塑性时，一切应力路线都不能逾越罗斯科面。
归一化的罗斯科面
④ q-p平面上的罗斯科面可以近似视作体积屈服面。罗斯科面是硬化屈服面，随着体积变化，
屈服面就会不断增大。
120
岩土材料的加载条件
（ 2）硬化压缩型土的体积加载面：
罗斯科面可以作为这种体积变形的体积加载面。
它为封闭型，一端与 p轴相接，另一端与极限状态线相接。
椭圆形：
pvc kpMp e x p1
2
ap
v
p
v
r
pthppM qp 1)(2
1
2 （殷宗泽）
子弹头形：
cpMp
e x p
121
岩土材料的加载条件
（ 3）硬化压缩剪胀型土的体积加载面：
硬化压缩剪胀型土的体积加载面近似为 S形，先压缩后剪胀采用分段函数拟合试验曲线中密砂、弱超固结土等
122
应变软化土的剪切加载面 ——伏斯列夫
（ Hvorslev）面
岩土材料的加载条件排水试验的应力路线 不排水试验的简化应力路线
123
应变软化土的剪切加载面 ——伏斯列夫
（ Hvorslev）面
岩土材料的加载条件
① 伏斯列夫面与罗斯科面都是状态边界面；
②在 q-p平面上的伏斯列夫面，既是剪切屈服面，又是近似的体积屈服面；
③伏斯列夫面随 v而变。 峰值破坏面与残余破坏面 。
伏斯列夫面可作为软化岩土材料的剪切屈服面与体积屈服面。
124
硬化定律的一般形式硬化定律,是给定应力增量条件下会引起多大塑性应变的一条准则，也是从某屈服面如何进入后继屈服面的一条准则，目的为求 d?(A或 h)
定义：
ij
ij
ij
ij A
hh?
d1ddd
硬化定律以引用何种硬化参量而命名
125
硬化定律的一般形式
A的一般公式,混合硬化模型
0),( Hijij
0d1d1dd kl
klij
p
ij
kl
klijij
ij
ij
QH
HA
Q
Ac
21
1A AAQH
H
Q
Ac ijpijijij
假设不同的 c,A形成不同的硬化规律
126
硬化定律的一般形式
Wp硬化定律,
pijijpp WWHH d)(
ij
ijp
ij
p
ij
p
p
Q
W
QW
WA
矩阵形式：
Q
W
A p T
127
岩土塑性力学中的硬化定律
硬化定律?p
v
p
QQQA
p
vij
ijp
vij
p
ij
p
v
p
v?
QA
p
v
T
)( pvHH pvH
设 或广义塑性力学中，如 pQp
v,?
则 A＝ 1 ；
pQH pv ),(?如,则,p
v
HA
128
岩土塑性力学中的硬化定律
硬化定律设 或广义塑性力学中，如 则 A＝ 1 ；
如,则：
pq?
)( pqHH pqH
qQpq,?
pQpq ),(? p
q
HA
q
QA
p
q?
129
岩土塑性力学中的硬化定律
硬化定律设 或广义塑性力学中，如 则 A＝ 1 ；
如,则：
p
)( pHH pH
QA
p
Qp,
QH p ),(
p
HA
130
岩土塑性力学中的硬化定律采用各种硬化参量的硬化定律
131
广义塑性力学中的硬化定律
)()(),( pkijkpkijkk HF
3
1
dd1d
k
kij
ij
k
k
p
k A
式中
p
k
k
kA
式中
p
p
q
q
p
v
v
A
A
A
3
2
1
三种模式,①直接基于塑性总应变与应力具有唯一性关系；②给出多重屈服面的硬化定律；
③通过试验数据拟合直接确定塑性系数。
等向硬化模型加载面写成：
132
式中
p
p
q
q
p
v
v
A
A
A
3
2
1
广义塑性力学中的硬化定律
d
d
d
111
111
111
d
333
222
111
q
p
F
Aq
F
Ap
F
A
F
Aq
F
Ap
F
A
F
Aq
F
Ap
F
A
d
d
qqq
vvv
p
p
q
p
v
d?k也可通过试验直接确定同理可得：
133
用试验数据确定加载函数的方法
屈服条件（加载条件）的物理意义给出应力－应变关系，目的 在于已知应力或应力增量大小和方向的情况下求应变增量的方向与大小。
（ 1）线弹性,单轴应力应变关系应力应变方向相同，参数 1/E
为弹性系数,E为弹模 ；是一个材料参数，由试验求得
（应力应变曲线斜率），只与材料性质有关；
ij?
ij?E
Ee 1?
134
用试验数据确定加载函数的方法
(2)非线弹性,单轴应力应变关系
t
e
E
1?
Et为 应力应变曲线切线斜率，与材料性质及应力状态有关，也由试验求得
ij?
ij?
tE
135
用试验数据确定加载函数的方法
（ 3）传统弹塑性,应力应变关系
ij
ij
ij
p
ij dAd?
1
塑性应变方向由屈服面的法线确定，塑性系数与
(?ij,?kp)有关，即与材料性质、应力状态及应力历史有关，也只能由试验所得的一组曲线确定。
=c2
p
q
=c1
=c3
=c4
136
用试验数据确定加载函数的方法
(4) 广义弹塑性,应力应变关系与传统塑性力学一样，但屈服面为三个分量屈服面
3
1
1
k
ij
ij
k
ij
k
k
p
ij d
Q
A
d?
Qk,?k为三个分量的塑性势函数与屈服函数,
屈服条件由几组试验曲线确定。
p
q
1apv 1
bp
2bp
3bp
2apv
3apv
137
用试验数据确定加载函数的方法
小结：
力学状态 应力－应变关系 力学参数 参数的影响因素线弹性单轴情况下：
ii
E
1
E （弹性模量） 材性非线性弹性单轴情况下：
i
t
i
E
1
E
t
（切线弹性模量）
材性与应力状态经典塑性
ij
ij
ij
p
ij
d
A
d
1；
ij
p
ij
A
（加载面）
材性、应力状态与应力历史广义塑性分量应力－应变关系：
ij
k ij
k
k
p
ij
A
d
1
d
3
1
；
)3,2,1(?
kA
p
ij
k
k
k
（分量加载面）
材性、应力状态与应力历史
138
① 屈服条件是状态参数，也是试验参数,因而屈服条件应按当地土体的试验拟合得到，不应有人为性；
② 土工试验主要是常规三轴试验，由勘测提供数据，不必多花钱，经济合理；
③ 设计人员应用广义塑性理论及试验得到的屈服条件进行计算，可得唯一解，不必引用现行模型 。
用试验数据确定加载函数的方法
小结（续）：
139
用试验数据确定加载函数的方法
由试验数据构造屈服面的思路屈服曲线是硬化参量?p的等值线
（ 1） 在不同状态下作各种试验；
（ 2）给出硬化参量
p的等值点，如 c1，
c2,c3等；
（ 3）在主应力图中给出屈服曲线。
塑性应变与应力的关系
140
用试验数据确定加载函数的方法屈服面由此可在应力空间内找出一组连续的等值的空间曲线，按屈服面的定义，它就是屈服曲线。同理可得另两组
、
的屈服曲线。
))(( 11 pH?
ip bH?)( 22? ip bH?)( 33?
由试验数据构造屈服面的思路（续）
141
用试验数据确定加载函数的方法
剪切屈服曲线的拟合
1,p－ q平面（子午平面）上：
(1)由经验假设曲线的形式
bpa
pq
(a)双曲线针对不同的得 a,b的值（见表 1),建立 a,b与?p
关系，由试验数据（重庆红粘土）拟合得
2.211.0 pa? 0 0 5.0108 5 pb?
142
用试验数据确定加载函数的方法
剪切屈服曲线的拟合 (续 )
(b)抛物线
apq?2
表 1 a,b 与?
p
的关系
p
a b
1 1.89 9 － 0.00 050 6
2 1.6 89 － 0.00 043
3 1.4 39 － 0.00 010 4
4 1.2 93 － 0.00 010 5
5 1.1 7 － 0.00 016 99
6 1.1 23 － 0.00 014 2
7 1.1 15 － 0.00 008 93
8 1.5 08 － 0.00 013 5
9 1.0 21 － 0.00 018 19
10 0,969 － 0.00 035 7
11 0,944 － 0.00 034 87
12 0,914 － 0.00 057 4
表,与 的关系
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
－
同理，针对不同的?qp值，
可以拟合出不同的 a值。
对于重庆红粘土
2)(1 2 5 8 74 2 8 06.9 ppa
143
用试验数据确定加载函数的方法
0 100 200 300 400 500 600
0
100
200
300
400
500
600
p / K P a
q
/
K
P
a
Y = 1
Y = 5
Y = 1 0
d o u b l e - c u r v e 1
d o u b l e - c u r v e 5
d o u b l e - c u r v e 1 0
0 100 200 300 400 500 600
0
100
200
300
400
500
600
Y = 1
Y = 5
Y = 1 0
d o u b l e - c u r v e 1
d o u b l e - c u r v e 5
d o u b l e - c u r v e 1 0
p / K P a
q
/
K
P
a
(2)剪切屈服面的验证将上述拟合得到的屈服曲线与试验数据点比较，
确定屈服曲线的合理形式。双曲线较好，见下图双曲线 抛物线
144
2,π平面（偏平面）上：
32c o s3s i n11
2
KK
K
g
对重庆红粘土进行真三轴试验，拟合得到
K＝ 0.69,?＝ 0.45
用试验数据确定加载函数的方法莫尔－库仑曲线实测曲线
＝ 0
o
＝ 30
o
＝ 15
o
＝
＝
＝
145
用试验数据确定加载函数的方法
体积屈服曲线不同 的土选择不同的屈服曲线
(1)压缩型土体（重庆红粘土），椭圆型屈服面
12
2
2
2
b
q
a
p
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
ell ips es vol ume yi eld curve
experiment al data
q/K
P
a
p/K P a
压缩型土体（重庆红粘土）的椭圆形体积屈服条件与试验数据的验证
146
用试验数据确定加载函数的方法
体积屈服曲线 (续 )
(2)压缩剪胀型土体（中密砂）,S型屈服面直线段
11 bpaq
曲线段
12
2
2
2
2
2
b
q
a
p
0 100 200 300 400 500
0
100
200
300
400
500
c r it ic a l s t a t e c u r v e
m o d e l c u r v e s
e x p e r im e n t a l d a t a
q
/K
P
a
p /K P a
压缩剪胀型土体（福建标准砂）的 S
形体积屈服条件与试验数据的验证
147
方向上剪切屈服曲线（偏平面上）
用试验数据确定加载函数的方法
(1)试验确定塑性应变增量的方向（真三轴试验）
(2)应力水平低时，塑性应变增量与应力增量同向；应力水平高时，两者偏离，但偏离角不大，可认为常数,?在 10o~15o内取值。
见下页图。
148
试验所得应力增量与塑性应变增量的偏离状况重庆红粘土 水泥粘土
用试验数据确定加载函数的方法
tgdd pqp t a nq?
—偏离角，重庆红粘土?＝ 11o，
约有 10％左右的影响
149
第 6章 广义塑性力学中的弹塑性本构关系
弹塑性刚度矩阵 [Dep]的物理意义
广义塑性力学中的柔度矩阵
广义塑性力学中 [Dep]的一般表达式
150
弹塑性刚度矩阵 [Dep]的物理意义
De,Dp,Dep的几何意义
弹塑性应力 -应变关系的矩阵表达式：
d][d epD?
弹塑性刚度矩阵 [Dep]
的物理意义，可用一个单向受压的 σ-ε关系图来说明，如右图所示。
151
弹塑性刚度矩阵 [Dep]的物理意义由于
dd)()dd(dd eppepeee DDDDD
式中 p
epep
p
p
pe EEEDEEDED,d
d,
De就是塑性模量 E； Dp就是塑性模量 Ep； Dep
就是弹塑性模量 Eep。
}]{[}{][}{ 1 dCdDd epep
[Cep]为弹塑性柔度矩阵，求逆后即为弹塑性刚度矩阵 [Dep]。
152
广义塑性力学中的柔度矩阵
依据单屈服面模型中 [Cep]推广求广义塑性力学中的 [Cep]
dCdCC
CC
eppe
k
pke
k
p
k
e
3
1
3
1
dddd
kkkpk AFQC
T
153
广义塑性力学中的柔度矩阵因此有
T33T22T11
FFFCC
eep
令：
321,,QqQpQ
则：
FFFFFF qv 321,,
有：
T
3
T
2
T
1
111
F
A
Fq
A
Fp
ACC
qv
eep
154
广义塑性力学中的柔度矩阵
先求主应力空间中塑性柔度矩阵 [Ap]，
然后通过转换求 [Cep]
ddd T 633336 TATC ppp
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
][
FFF
FFF
FFF
A
p
][][][ peep CCC
155
广义塑性力学中 [Dep]的一般表达式
d][][][][dd
T
63
1
33
36
DfQDDD klep
式中：
321
36
QQQQ T321T
63?
ffff
矩阵中元素,
33][?kl?
kkl
lk
kl A
QDf?
][T
lk
lk
kl 0
1?其中,单屈服面时即为传统塑性力学中的 [Dep]
156
第 7章 广义塑性力学中的加卸载准则
应力型加卸载准则
应变型加卸载准则
考虑土体压缩剪胀的综合型加卸载准则
157
应力型加卸载准则基于加卸载定义确定加卸载准则采用应力参量,p,q,dp,dq作为加卸载的依据来表述
0,
0,
m a x
m a x
dqqq
dppp
加载加载
0,
0,
m a x
m a x
dqqq
dppp
卸载卸载
158
应力型加卸载准则由于塑性变形与应力无一一对应关系，该准则理论上存在缺陷，也没有考虑到 p,q同时变化的情况和忽略了应力洛德角的影响，是不完全的加卸载准则。
0,
0,
m a x
m a x
dqqq
dppp
弹性重加载弹性重加载
159
应变型加卸载准则无论加载或卸载，总应变?始终是一个单调变化的量。加载时,总应变?总是增加；卸载时,总应变?总是减少，而且无论硬化材料或软化材料都是如此。
如右图所示。
160
通过对加卸载过程的分析），提出了弹性应变增量、应变总量为参量的对硬化材料普适的加卸载准则。
应变型加卸载准则以体应变为例，可写成：
0,
0,
0,
0,,
0,
e
vvmv
e
vvmv
e
vvmv
e
vvm
e
vvvmv
e
vvmv
d
d
d
dd
d
弹性卸载弹性加载中性变载加载卸载
161
应变型加卸载准则
evevevd 12由前图可见，硬化材料加载时,
因而 为加载，反之为卸载。同理可用来分析剪切屈服的情况。
本准则非常适用于迭代法的数值求解，因为采用弹性迭代得出弹性应变增量可以直接进行加卸载判断。
0?evd?
162
考虑土体压缩剪胀的综合型加卸载准则压缩型土体：先缩后胀,d?1=d?vp可能大于 0，
也可能小于 0。
塑性体应变的加卸载准则
PTM
时：
0d,0ddd
0d,0ddd
0ddd
qBpAF
qBpAF
qBpAF
v
v
v
塑性压缩塑性剪胀弹性卸载
163
考虑土体压缩剪胀的综合型加卸载准则
PTM
时：
0ddd
0ddd
qBpAF
qBpAF
v
v
塑性压缩弹性卸载
塑性剪应变的加卸载准则：
m
e
m
e
m
e
m
e
m
e
m
d
d
dd
d
,
0,
0,,
0,
塑性剪应变的变化是单调的弹性卸载弹性加载塑性加载塑性重加载
164
第 8章 包含应力主轴旋转的广义塑性位势理论适用岩土材料的广义塑性力学应考虑剪切应力分量 d?ij引起的 应力主轴的旋转 和由此引起的塑性变形
d?ij与应力主轴旋转角增量 d?i的关系：
);3,2,1,()( jijidd jiiij
165
第 8章 包含应力主轴旋转的广义塑性位势理论（续）
包含应力主轴旋转的广义塑性位势理论：
ij
kr
kr
krij
k
k
k
p
i j r
p
i j c
p
ij
QdQdddd
6
1
3
1
p
ijr
p
ijr
p
ijr
p
ijc
p
ij ddddd 321
或：
应力增量的分解：
T
rrrcrc
T
ddd
ddd
ddd
T
ddddddd
3322313
3222211
3132111
321
共轴部分,d?c ； 旋转部分,d?r
166
第 9章 岩土弹塑性模型
概述
剑桥模型
Lade弹塑性模型
Desai系列模型
南京水利科学院弹塑性模型
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
167
概述岩土弹塑性模型包括三方面内容,①建模理论；
②屈服条件；③计算参数三类弹塑性静力模型,①基于传统塑性力学的单屈服面模型；②对传统塑性力学作某些局部修正的模型；③基于广义塑性力学的多重屈服面模型。
岩土材料应有统一的建模理论，而建模理论必须尽量反映岩土材料的变形机制，并符合力学与热力学基本原理。 广义塑性力学奠定了岩土材料建模理论的基础 。
168
剑桥模型
剑桥模型基于传统塑性位势理论，采用单屈服面和关联流动法则。标志着土的本构理论发展新阶段的开始。
屈服面方程：
主应力空间中屈服面与临界状态
p?0为硬化参量：
0ln 0?
p
pM
p
q
)(0 pvHpH
169
剑桥模型
修正剑桥模型修正剑桥模型的屈服面椭圆屈服面方程：
02
22)(
pM Mpqp
本构方程：
22
2
)(?
M
d
pk
pdkd
v
p
vdMd
22
2
170
Lade弹塑性模型
Lade-Duncan模型
（ 1） 加载条件与破坏条件,0
3
3
1 k
I
IF
（ 2） 流动法则：
31
3
1 IkIQ
（ 3） 硬化规律,?
)()( pijijp dHWHk
（ 4） 本构关系：
ijij
p
ij
I
I
QI
I
Qkdd
3
3
1
1
1
（ 5） 参数,5个参数
171
Lade弹塑性模型
Lade-Duncan模型屈服面
172
Lade弹塑性模型
Lade双屈服面模型曲线锥形剪切加载面（非关联流动法则），球形帽盖体积屈服面（关联流动法则）
Lade两个屈服面主应力空间 空间31 2
173
Lade弹塑性模型
Lade封闭型单屈服面模型
Lade单屈服面模型的塑性势面与屈服面塑性势面 屈服面封闭型屈服面，单硬化参量（塑性功），非关联流动法则
174
Desai系列模型
Desai封闭型单一屈服面模型平面31 2平面12 IJ? π平面单一屈服面模型,前半段采用剪切屈服面，后半段体积屈服面系列模型,非关联流动法则，非等向硬化，损伤
175
南京水利科学院弹塑性模型简称“南水”模型，由沈珠江等提出
“南水”模型假设：
（ 1）塑性应变与应力状态存在惟一性关系；
（ 2）塑性体应变与塑性剪应变的等值面分别为体积屈服面与剪切屈服面；
（ 3）压缩曲线用半对数曲线拟合；
（ 4）子午平面上体积屈服曲线为一组蛋形线；
176
南京水利科学院弹塑性模型
“南水”模型基本图式
（ 5）剪切屈服曲线为一组双曲线；
（ 6）模型中不考虑应力洛德角的影响。
177
南京水利科学院弹塑性模型
“南水”模型屈服面
Gp
p
b
a
f
p
p
x
p
p
f
v
0
00
)1(
ln
1
ln
)1(
ln
塑性应变增量：
qDpCq
q
f
p
p
f
qBpAq
q
f
p
p
f
p
vvp
v
ddddd
ddddd
178
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
模型的假设与特点：
（ 1）基于广义塑性理论，采用分量塑性势面与分量屈服面；
（ 2）适用于应变硬化土体的静力计算，既可用于压缩型土体，也可用于压缩剪胀型土体，但不考虑应力主轴旋转；
（ 3）屈服条件通过室内土工试验获得。
179
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
各类土体的屈服条件,
“后工”模型采用的屈服条件剪切屈服条件 压缩型土的体积屈服条件压缩剪胀型土的屈服条件
180
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
剪切屈服条件：
181
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
体积屈服条件：
182
基于广义塑性力学的后勤工程学院弹塑性模型
土体的应力应变关系：
d
d
d
111
111
d
d
222
111 q
p
AqApA
AqApA
qqq
vvv
p
q
p
v
式中：
p
q
q
p
v
v AA
21,
