物 理 光 学
一 光学的两大分支
光学是物理学最古老的学科之一，它分为几何光学和物
理光学两大部分。
几何光学：以光的直线传播模型为基础，研究光的传播
规律,成象规律，是光学系统设计的基础。
物理光学：以光的电磁理论为基础，研究光的本性、光
的传播规律及光与物质的相互作用。
1 波动光学
2 薄膜光学
3 非线性光学
4 傅立叶光学
5 集成光学
二 物理光学的内容
绪 论
1864年，麦克斯韦在总结安培、法拉第等人关于电场、磁场的
研究工作的基础上，归纳得出了描述统一的电磁场规律的麦克
斯韦方程组，建立了完整的电磁场理论。 1865年他进一步提出
了光是一种电磁波的设想并在 1888年为赫兹的实验所证实，光
的电磁理论由此得以确立。光的电磁理论的建立推动了光学及
整个物理学的发展，尽管在理论上有其局限性，但它仍是阐明
众多光学现象的经典理论。
第 一 章 光的电磁理论
一 积分形式的麦克斯韦方程组
1 静电场和静磁场的麦克斯韦方程组
??
?
??
??
0
0
?dB
dlE
?
?
?? ?? QdD ??
? ?? IdlH?
静电场的高斯定理
静电场的环路定律
这一方程组只适用于稳恒场。若电场和磁场是交变场，则其中
的部分表达式不适用
静磁场的环路定律
静磁场的高斯定理
麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律，它有积分和微分两种
表达形式。
§ 1 麦克斯韦方程组
2 交变电磁场的麦克斯韦方程组
麦克斯韦假定在交变电场和交变磁场中，高斯定理依然成立。
变化的磁场会产生涡旋电场，故静电场的环路定律应代之以涡
旋电场场强的环流表达式；对静磁场的环路定律则引入了位移
电流的概念后进行了修改，这样，就得出了适用于交变电磁场
的麦克斯韦方程组。
?? ?? QdD ??
??
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??
?
?
????
0?
?
dB
d
t
BdlE
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??
?dtDIdlH ??????? ??
??
（ 2）式的意义是：单位正电荷沿闭合回路移动一周时，交变的
涡旋电场所作的功等于回路中产生的感应电动势。（ 4）式中的
为位移电流。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
DIdt
D ??
?
??? ??
二 微分形式的麦克斯韦方程组
为方便地求解电磁场的某一场量，实际中常使用麦克斯韦方程
组的微分形式。
? ?
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3
20
1
t
D
jH
t
B
E
B
D
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????
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????
???
???
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?
?
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?
称哈密顿算符式中 zzyyxx ?????????? 000 ???
?是电荷分布的体密度,j是传导电流密度。从积分式变换到微
分式依据的数学定理，可参见课本后的附录。
三 物质方程
麦克斯韦方程组中共出现两个电场量 E,D和两个磁场量 B,H。
其中的 E,B是基本量,D,H是辅助量。对应的基本量与辅助量
的关系取决于电磁场所在的物质。
在各向同性物质中，有以下关系成立,
HB
ED ?? ??
?
?
?
?
导电物质中，还有 的关系。 ?为电导率。
以上三式合称为物质方程。麦克斯韦方程组与物质方程结合，
构成一组完整的反映电磁场普遍规律的方程组。
Ej ???
?为介质的介电系数
?为介质的磁导率
一 电磁场的传播
用麦克斯韦电磁理论的基本概念，可以将电场和磁场的相互关
系表述为,
空间某区域内有变化的电场，则在临近的区域内印起变化的磁
场；这个变化的磁场又在较远的区域内引起新的变化的电场,
并在更远的区域内引起新的变化的磁场。这个过程持续地继续
下去，变化的电场和变化的磁场交替产生，构成统一的电磁场。
在这种交替产生过程中，电磁场由近及远、以有限的速度在空
间内传播，形成电磁波。
二 电磁场的波动方程
由麦克斯韦方程组可导出关于电场基本量 E和磁场基本量 B的两
个偏微分方程，从而证明电磁场的波动性。为简化讨论，假设
所讨论的空间为无限大且充满各向同性的均匀介质，故 ?,?均
为常数；又设讨论的区域远离辐射源，因此 ?=0,j=0。
§ 2 电磁场的波动性
在此条件下，麦克斯韦方程组简化为
? ?
? ?
? ?
? ?4
3
20
10
t
E
B
t
B
E
B
E
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???
???
?
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取第三式的旋度 ? ? B
tE
?? ??
?
???????
将（ 4）式代入上式右侧 ? ?
2
2
t
EE
?
??????? ?? ??
由场论公式，上式左侧可变为 ? ? ? ? EEE ??? 2??????????
? ? EEE ??? 20 ??????????,所以由于
02
2
2 ?
?
???
t
EE ?? ??由此可得：
由相似的数学运算可得到关于 B的方程
02
2
2 ?
?
???
t
BB ?? ??
??
1?v令
两方程变为
0
1
0
1
2
2
2
2
2
2
2
2
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t
B
v
B
t
E
v
E
?
?
?
?
这两个偏微分方程称波动方程，它们的解为各种波动，这表明
电场和磁场是以波动的形式在空间传播的，传播速度为 v。
三 电磁波
1 电磁波的速度
电磁波在介质中的传播速度取决于介质的介电常数和磁导率,
关系式为,
当电磁波在真空中传播时，速度为 c
??
1?v
00
1
???c
2 电磁波谱
电磁波包含许多波长成分，除了我们熟知的无线电波和光波以
外，还包括 X射线,?射线等。按照波长或频率的顺序把这些电
磁波排列成，称为电磁波谱，如图 1－ 3所示。
3 介质的绝对折射率
电磁波在真空中的速度与在介质中的速度是不等的。为了描述
不同介质中电磁波传播特性的差异，定义了介质的绝对折射率,
v
cn?
代入 c,v各自的表达式，有
为相对磁导率。为相对介电常数,rr
rrv
cn
??
??
??
?? ???
00
关系。这个表达式称麦克斯韦
故多数物质而言，对除磁性物质以外的大
r
r
n ?
?
?
?,1
本节根据波动的两个偏微分方程，结合边界条件、初始条件,
得出其中的平面波解－平面波的波函数。
一 沿某一坐标轴方向传播的平面波
所谓平面波，是指电场和磁场在垂直于传播方向的平面内各点
具有相同值的波。
设平面波沿三维坐标系的 Z轴正向传播，如图 1－ 4所示。产生平
面波的电磁场波动方程简化为
? ?
? ?201
10
1
2
2
22
2
2
2
22
2
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t
B
vz
B
t
E
vz
E
??
??
引入中间变量对方程化简，令
vtz vtz ?? ????
§ 3 平面电磁波
对（ 1）式代换变量，得
?
?
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2
22
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
????
????
EEE
v
t
E
EEE
z
E
????
????
因此（ 1）式化简为
0
04
1 2
2
2
22
2
???
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??
E
E
t
E
vz
E
?
???
即
? ?
? ? 的任意矢量函数是
积分得对
??
?
?
?
g
g
E
?
?
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
个平面波。轴正、负方向传播的两沿的两个任意函数，代表和是、
积分得再对
Ztzff
vtzfvtzf
fffdgE
21
21
212
????
???? ? ?????
?
?
? ?vtzfE
ff
vZvZ
??
?
??
故电波的波函数最终为
两函数合二为一。、则可将
，轴负向传播的平面波，沿轴正向传播的平面波设沿
上式还可进一步简化。
21
00
? ?
? ?vtzfB ???
的波函数为进行类似求解，得磁波对方程 2
? ? ? ?
? ? ? ?4
2
co s
3
2
co s
2
?
?
?
?
?
?
???
?
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vtzAB
vtzAE
?
?
?
?
?
??
??
程的特解：的余弦函数作为波动方取周期为
二 平面简谐波
（ 3）（ 4）式是平面简谐波的波函数，即我们认定研究的电磁
波为平面简谐波。
1 波函数中各因子的意义
磁场的振幅—
电场的振幅—
A
A
?
波长—?
? ? 波的位相—?????? ? vtz??2
定义某一时刻位相相同的各点所形成的包络面为波面。分析位
相因子可知：在任意时刻 t时，位相相同的各点必有同一 z值，
即各点位于同一垂直于 z轴的平面内，波面为一平面，故（ 3）、
（ 4）式所表示的波为平面简谐波。
? ?
化特点。
传播及变位置，由此可看出波的，波峰位于波峰；在另一时刻
位置为时刻、余弦位相因子可求得在的变化关系。例如：由
间、时间决定着电场、磁场随空波函数中余弦位相因子
vtzt
zot
vtz
?
??
?
?
?
?
?
?
?
0
2
c o s
?
?
2 波函数的多种表达形式
（ 1）
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
??
??
?
T
tz
AE
v
T
k
kk
?
?
?
?
?
?
2c o s
1
2
??
?
可将电场的波函数写为
波长、速度的关系：利用波的频率、周期、
称为波数：，它的量值引入波矢量
? ?tkxAE ?
???
??
?
c os
2 ??,上式又可变为定义角频率
（ 2）就一般情况而言，平面电磁波可沿空间任意方向传播，因
此需要写出在一般情况下的波函数。
如图 1— 5所示：电磁波沿空间某一方向传播，在 t时刻波面为 ∑，
波面上任意一点 P到坐标原点的距离为 r,电波的波函数为
在物理光学的研究中，主要关注的是光的能量。而理论分析证
明：对光能量起决定作用的是电场强度 E。 所以将 E 的表达式称
为光波的波函数。
我们研究的光波是理想的单色光波，即波的频率 ?为与介质无关
的单一值。由于波的传播速度随介质而异，所以在不同的介质
中，波长有不同的值。真空中波长 ?0与折射率为 n的介质中的波
长 ?的关系是
n
o?? ?
? ?
点的位置矢量。为为波矢量，式中 Prk
trkAE
??
???? ???? c os
（ 3） 复数形式的波函数
为了运算方便,波函数常写成如下的复数形式
? ?? ?trkiAE ???? ???? ex p
用这种复数表达式，可以免去复杂的三角函数运算。例如在光
学问题中，常常要求振幅 A的平方值，因为光波的能量（光强度
I） 与 A2成正比。要求 A2,只需将复数 E乘上其共轭复数 E*,
? ? ? ?trkitrki eAeAEEA ?? ????? ???? ?? ???? *2
也可将复数波函数中的空间位相因子和时间位相因子分开写为
使计算简化。用复振幅来表示光波，
波随时间的变化，可以况下，如果不需考虑光叫做复振幅。在许多情
相因子将其中的振幅和空间位
rki
tirki
eAE
eeAE
??
??
?
??
?
??
?
??
~
?
三 平面电磁波的性质
（ 1）电磁波是横波
证明,
? ?? ? EkitrkiAE ?????? ?????????? ?e x p
：对光波的波函数取散度
故电波是横波。
波的传播方向垂直，的方向垂直，也就是与的方向与波矢量即 kE
Ek
E
??
??
?
?
0
0
???
???
，磁波也是横波。同理可证,0?? Bk ??
（ 2） E和 H互相垂直
? ?
t
B
E
?
?
????
?
?
式知：方程组由微分形式的麦克斯韦
证明：
3
EkiE
E
???
?
????
，得到的复数表达式进行运算上式左侧代入
? ?
EkB
v
v
k
EkB
Bi
t
B
???
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
?
0
12
1
3
??
??
???
?
?
?
?
?
，上式又可写为代入
式演变为则
而
。三矢量构成右螺旋系统
代表的波的传播方向，且均垂直于由此证得,0kBE ??? ?
? ?
两矢量位相相同。、
实数，两波振幅之比是一个正
同相和
BE
v
B
E
BE
??
?
?
?
??
?
??
??
1
3
综合以上所述三点，得到如图 1－ 8的电磁波传播示意图。
一 球面波
如果在真空中或各向同性的均匀介质中的 O点放一个点光源，容
易想象，从 O点发出的光波将以相同的速度向各个方向传播，经
过一定时间以后，电磁振动所到达的各点将构成一个以 O点为中
心的球面，如图所示。这时的波阵面是球面，这种波就称为球
面波。
O R
光线
波面
§ 4 球面波和柱面波
设图中的球面波为单色光波。由于球面波波面上各点的位相相
同，因此只需研究从 O点发出的任一方向上各点的电磁场变化规
律，即可知道整个空间的情况。
取沿 OR方向传播的光波为对象。设 O点的初相为 0，则距 O点为 r
的某点 P的位相为
? ?tkr ??
? ?
? ?? ?tkriAE
tkrAE
PAP
r
r
r
?
?
??
??
e x p
c o s
??
??
其复数形式为
点电场的波函数为，则点振幅为设
球面波的振幅 Ar是随距离 r变化的。设距 O点为单位距离的 O1点
和距 O点为 r的 P点的光强分别为 I1和 Ir,则
2
1
2
1
1
44
rI
I
rII
r
r
??
??? ??
r
A
A
OA
A
A
I
I
r
rr
1
11
2
1
2
1
??
?
点的振幅是
?
? ?
? ?? ?tkri
r
A
E
tkr
r
A
E
E
?
?
??
??
e x p
c o s
1
1
或
波的波函数：的表达式中，得到球面将这个关系代入
由波函数可看出：球面波的振幅与离开波源的距离成反比。
实际中，当考察的空间离球面波的波源很远时，对一个较小范
围内的球面波波面，可近似作平面处理，即认为是平面波。
二 柱面波
柱面波是一个无限长的线光源发出的光波，它的波面具有柱面
的形状，用同样的方法可以证明，柱面波的振幅与 成反比,
因此，柱面波的波函数为
r
? ?? ?tkrirAE ??? ex p1
。近似的球面波或柱面波
为小得多的情况下，光波源的线度比距离一定的大小，只是在光
现的，因为光源都有和柱面波都是不可能实实际上，严格的球面波
表。都可以用其复振幅来代对于球面波和柱面波，
r
光是电磁波，光源发光就是产生物体电磁辐射。一个物体是由
大量的分子、原子组成的，物体的发光实质上是组成物体的分
子、原子发光。因为大部分物体的发光属于原子发光类型，所
以可以只研究原子辐射电磁波的情况。
一 电偶极子辐射模型
经典电磁场理论把原子发光看作是原子内部过程形成的电偶极
子的辐射。原子由带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子
组成，在外界能量的激发下，原子核和电子产生剧烈运动，发
生相互作用，使得原子的正电中心和负电中心通常并不重合,
且两者间的距离在不断发生变化，形成一个振荡电偶极子。
设原子核所带电荷为 q,正负电中心的距离（矢径）为 l,方向
由负电中心指向正电中心，原子的电矩为 p（ 见图 1－ 13）
p = q l
§ 5 光波的辐射
最简单的情况是：振荡电偶极子是电矩随时间作余弦（或正弦）
变化
是角频率。，是电偶极子电矩的振幅 ?
?
0
0 c os
p
tpp
?
?? ?
原子作为一个振荡电偶极子，必定在周围空间内产生交变的电
磁场，图 1－ 14是电偶极子附近电场中电力线的分布图示。
在前期的《电磁场理论》中，已应用麦克斯韦方程组对振荡电
偶极子辐射的电磁场进行了计算，结果如下,
1 作简谐振荡的电偶极子在距离很远的 P点辐射的电磁场的数
值为（参见图 1－ 15）
? ? ? ?
角与电偶极子轴线间的夹—
点的距离电偶极子到—式中：
r
Pr
e
rv
p
Be
rc
p
E tkritkri
?
??
??
??
?? ?? ??
??
3
0
2
2
0
2
4
s i n
4
s i n
上式表明：电偶极子辐射的电磁波是一个以电偶极子为中心的
发散球面波，但球面波的振幅是随 ?角而变的。
光波是偏振的球面波。
此振荡电偶极子发射的一特性称为偏振性，因各自的平面内振动，这
分别在、三者成右螺旋系统。、、向，又都垂直于波的传播方
和动，同时在与之垂直的平面内振所在的平面内振动，和在
BEkBE
BEBrpE
?????
??????
2
二 辐射能
振荡的电偶极子向周围空间辐射电磁场，电磁场的传播伴随着
场能量的传播，这种场能量称辐射能。
）（
为已知电磁场的能量密度
22 1
2
1
BEW
?
? ??
为了描述辐射能的传播，引进辐射强度矢量（ Poynting矢量） S,
它的大小为单位时间内、通过垂直于传播方向的单位面积的辐
射能量，它的方向为能量的传播方向。
? ?1
1
2
22
??
?
?
??
?
?
??? BE
v
wvs
dtw v dddt
d
?
?
??
?
，辐射强度矢量的值为的能量为时间内通过在
对能量无吸收，向的面积元，假定介质为垂直于电磁波传播方设
? ?2
1
11
2 EBEvs
v
B
E
v
?
?
????
???
????
已知 S的方向为电磁波的传播方向，而波的传播方向,E方向,B
方向三者相互垂直，故（ 2）式又可以写成矢量式
? ?31 BES ??? ?? ?
由于电场和磁场的变化频率高达 1015Hz数量级，所以 S的值也在
迅速改变，用任何方法都不能接受到其瞬时值，只能接受到在
某一时间段内的平均值。已知辐射强度的瞬时值为 S=v?E2,设
电偶极子辐射球面波，代入球面波电场波函数的实数表达式
? ?tkrrvpEvS ??? ??? ??? 2232 22042 c os16 s i n
则辐射强度在一个周期内的平均值为
? ? ? ?
? ?4s i n
32
c o s
16
s i n1
2
232
2
0
4
0
2
0 232
22
0
4
?
??
?
?
??
??
rv
p
dttkr
Trv
p
S d t
T
S
TT
?
??? ??
由此式可知：辐射强度的平均值与电偶极子振荡的振幅平方成
正比；与振荡频率的四次方成正比，即与波长的四次方成反比；
还与角度 ?有关。
考察离电偶极子很远处的球面波时，可将其视为平面波，平面
波的辐射强度在一个周期内的平均值为
? ? ? ?
? ?5
2
1
2
1
c o s
11
22
0
2
0
2
AAv
dttkr
T
AvSdt
T
S
TT
?
?
?
??
??
??? ??
物理光学中将（ S） 称为光强度，用 I 表示。由（ 5）式得,
I ∝ A2
当讨论相对光强时，比例系数可消去,I =A2。
三 对实际光波的认识
1 光波的不连续性
振荡电偶极子辐射的并不是连续的光波，而是持续时间极
短的波列，每一波列的持续时间为 10-9秒数量级，各波列之
间没有确定的位相关系，光矢量的振动方向也是随机的。
2 自然光的非偏振性
光学中将普通光源辐射的、未经过特殊的起偏振装置处理
的光波叫自然光。这种光波在空间各个方位上的振动几率
相等，不表现出偏振性。
光学中经常遇到光波从一种介质传播到另一种介质的问题。由
于两种介质对光传播所表现的物理性质不同（这种不同以介电
系数和磁导率的变化来表征），所以在两种介质的分界面上电
磁场量是不连续的，但它们相互间有一定的关系，这种关系称
为电磁场的边值关系。
下面应用麦克斯韦方程组的积分式来研究这个边值关系。
一 电磁场法向分量的关系
参见图 1－ 18，假想在两介质的界面上作一个扁平的小圆柱体,
柱高为 ?h,底面积为 ?A,将麦克斯韦方程组的（ 3）式应用于该
圆柱体，得出
?? ?? ?? ?? ??????? 顶 底 壁 ???? dBdBdBdB ????
§ 6 电磁场的边值关系
因为底面积 ?A很小，可认为 B是常数。设柱顶和柱底分别是 B1
和 B2,上面的积分可改写为
向法线单位矢量。分别为柱顶和柱底的外、
壁
21
2211 0
nn
dBAnBAnB ?? ?????? ???
?????
当柱高 ?h趋于零时，上式的第三项趋于零，且柱顶和柱底趋近
分界面。此时用一个法线方向的单位矢量 n来替代 n1,n2,方向从
介质 2指向介质 1，如图 1－ 18所示。
? ?
的法向分量是连续的。的分界面上这个结果说明：两介质 B
BB
BBn
nnn
nn
?
??
???
???
?
21
21
21
0
?
???
???
再将麦克斯韦方程组的（ 1）式用于图 1－ 18的圆柱体。在界面
没有自由电荷的情况下，可得
? ?
。的法向分量也是连续的即在此条件下,D
DD
DDn
nn ?
??
??
21
21 0
?
??
二 电磁场切向分量的关系
假想在图 1－ 18中两介质分界面上作一个矩形 ABCD,其四条边
分别平行或垂直于分界面，如图 1－ 19所示。将麦克斯韦方程组
的（ 2）式应用于该矩形，得出
?dtBldEldE
AB BC CD DA
????????
?
?
???
? ????? ??? ? ? ? ? ?????
设 AB,CD很小，在两线段范围内 E可视为常数，则介质 1中为
E1,介质而中为 E2。 当矩形高度 ?h趋于零时，沿 BC和 DA路径的
积分趋于零；由于矩形的面积将趋于零，前面等式右侧的积分
也为零，前式变为,
的长度。、为切线方向的单位矢量，、分别为沿、
或
CDABlCDABtt
ltEltE
ldEldE
CDAB
?
??
21
2211 0
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续。电场强度的切向分量连此结果表明：分界面上
或
上式可写为
，，则指向单位矢量，方向由表示分界面切线方向的以
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，行于界面法线垂直于界面，也就是平可知，由
? ?
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量的切向分量连续。此情况下，磁场强度矢
或
式可得方程组的面电流时，由麦克斯韦同理：在分界面上没有
tt HH
HHn
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21 0
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三 结论
在两种介质的分界面上，电磁场量整体是不连续的，但在界面
上没有自由电荷和面电流时,B和 D的法向分量以及 E和 H的切向
分量是连续的。
光在两透明介质分界面上的反射和折射，实质上是光波的电磁
场与物质的相互作用问题，它的精确处理是很复杂的，需要涉
及到次波的产生和相干问题。本节中采用了一种较简单的方法,
用介质的介电系数、磁导率和电导率来表示大量分子的平均作
用，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件，研究平面光波
在两介质分界面上的反射和折射问题。
一 反射定律和折射定律
当一个单色平面光波入射到两不同介质的分界面上时，被分为
两个波：折射波和反射波。从电磁场的边值关系可以证明这两
个波的存在，并求出它们的传播方向的关系。
§ 7 光在两介质分界面上的反射和折射
1
2
k1 k1`
k2
n
设介质 1、介质 2的分界面为无穷大
平面，单色平面光波由 1入射到 2,
入射波、反射波、折射波的波矢量
分别为 k1,k1`,k2,角频率分别为
。三个波分别表示为
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trkiAE
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应有由电磁场的边值关系，
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的表达式：、、代入
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即同在入射面内。三个波矢量是共面的，、、
：界面法线平行，故可知与界面垂直，也就是与和即
或
射波频率相同。即入射波、反射波、折
因此可得：
。式中各项的指数必相等
均成立，量和界面上的任意位置矢前式对任意时刻
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这就是折射定律。
中第二式可得由
这就是反射定律；即反射角等于入射角，
中第一式可得由
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二 菲涅耳公式
菲涅耳公式是用来表示反射光、折射光与入射光振幅和位相关
系的一组表达式。
实际情况中，入射光的电矢量 E1可以在垂直于传播方向的平面
内的任意方位上振动，但总可以
将 E1分解为垂直于入射面的分量
E1s和平行于入射面的分量 E1p。 Es
的正方向为沿 y轴正向，即垂直于
图面向外； Ep的正方向如图所示。
需要说明的是，这种方向只是一
种人为的规定，改变这种规定,
并不影响结果的普遍适用性。
x
z
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n1
n2
E1s
E1p
E1s`
E1p`
E2s
E2p
k1
k1`
k2
?1 ?1`
?2
1 s波的反射和透射系数
设平面波入射于两介质界面,
其中的电矢量垂直于入射面,
磁矢量的方向如图所示，三
个波同相。
由电磁场边值关系的（ 3）式
可得
E1s
H1p
E1s`
H1p`
E2s
H2p
?1 ?1`
?2
o
n1
n2
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4
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可得
式和图中的投影关系由边值关系的
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式可整理为
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AAA
AAA
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式，得到式和的表达式代入将入射、反射、折射波
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波的菲涅耳公式。这两式称为
如下：振幅比
、折射波和入射波的射波和入射波的振幅比由这两式可分别求得反
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A
A
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A
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2 p波的反射和透射系数
入射的平面波是电矢量平行于
入射面的 p波，磁矢量的方向
垂直于入射面，入射、反射,
折射三波仍同相。
与前面研究 s波的过程相仿,
由电磁场边值关系的（ 3）,
（ 4）式和右图可得
E1p
H1s
k1 ?1 ?1`
?2
E1p`
H1s`
H2s
E2p
k1`
k2
n1
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式可变为
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将入射、反射、折射波的表达式代入（ 3）和（ 4`）式，得到
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ppp
ppp
AAA
AAA
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波的菲涅耳公式。这两式为
：比
幅、折射波与入射波的振与入射波的振幅比由这两式可求得反射波
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A
A
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tg
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为：
时，菲涅耳公式可化简或入射，即在光波正入射或近似正 ??
三 菲涅耳公式的讨论
对菲涅耳公式的讨论分 n1＜ n2 和 n1＞ n2 两种界面情形来进行。
1 n1＜ n2 时
举最常见的光从空气射向玻璃的情况为例,n1=1,n2=1.5。 图
1－ 24是这种情况下 s波和 p波的透射系数、反射系数与入射角 ?1
的关系曲线。由该图可得如下结论,
（ 1）在图中 ?1角的变化范围内,s波和 p波的透射系数值接近，
而且均随 ?1的增大而减小；当 ?1=90o时,ts,tp均为 0，没有
折射光波存在。
（ 2） 在图中 ?1角的变化范围内,rs的绝对值随 ?1的增大而增大，
当 ?1=90o时,rs的绝对值为 1，即垂直分量全部反射； rp的变
化分为 ?1 ＜ ?B和 ?1 ＞ ?B两段（ ?B + ?2= 90o ）,当 ?1 ＜ ?B时,
rp的值随 ?1的增大而减小到 0，反射光中没有平行分量；当 ?1
＞ ?B时,rp的绝对值随 ?1的增大而增大，当 ?1=90o时 rp的绝
对值为 1，即平行分量也完全反射。
（ 3）由图中可看出,ts,tp均为正值,A2s与 A1s同号,A2p与 A1p
也同号，即界面上 E2s与 E1s为同方向,E2p与 E1p也为同方向，位
相相同。
（ 4）图中 rs始终为负值,A`1s与 A1s异号，即界面上 E`1s与 E1s反向，
反射波中的垂直分量发生了 ?的位相突变； rp当 ?1 ＜ ?B时为正值,
A`1p与 A1p同号,E`1p与 E1p同向，位相相同。当 ?1 ＞ ?B时,A`1p
与 A1p异号,E`1p与 E1p反向，位相相反。
（ 5）由图 1－ 25可知：平面波在界面上发生正入射（ ?1 ≈0o） 或
掠入射（ ?1 ≈90o） 时,E`1s与 E1s,E`1p与 E1p都反向，所以 E`1与
E1也反向，即在这两种情况下反射光与入射光的振动位相相反，
可以理解为反射时发生了 ?的位相突变，称为“半波损失”。
2 n1＞ n2 时
设光波与 1相比逆向入射,n1=1.5,n2=1。 这种情况下 s波和 p波
的反射系数、透射系数与入射角 ?1的关系如图 1－ 26的曲线所示。
与 n1＜ n2时对应曲线相比较，不同之处如下,
（ 1）在 ?1 ＜ ?c时（ ?c 为 ?2=90o时对应的入射角）,rs,rp的符
号与 n1＜ n2时的情况正好相反，将不会出现相位突变，即这
种界面条件下不存在半波损失。
（ 2）在 ?1 ≥ ?c时,rs,rp为复数，但模值为 1，意味着产生了全
反射。
（ 3） ts,tp的值均大于 1，且随 ?1 的增大而增大。
四 反射率和透射率
菲涅耳公式表示的是入射、反射、折射波的振幅之比，利用光
强度与振幅的关系式，可将振幅比变为能量比，得出界面的反
射率和折射率。
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—参见图界面单位面积的能量为，则单位时间入射于分
，折射波的光强记为，反射波的光强记为如果入射波的光强记为
的光能量。于传播方向的单位面积是单位时间内通过垂直
已知平面波的光强度为
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走的能量为间从分界面单位面积带反射波和折射波单位时
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假设比为波与入射波的能量流之由此得出反射波、折射
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pp
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应有
的表达式，同样、、、式中，可得到、将菲涅耳公式代入
最常见的是自然光入射，这时 s波和 p波能量相等
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自然光的反射率为
。膜工艺来解决这个问题
现代光学技术中用镀的能量损耗不容忽视。数量较多时，反射造成
好。但当这种界面的如此，玻璃的透光性很的能量被反射。正因为
，即有光正入射时，玻璃界面为例，当自然—以空气 %40 4 3.0?nR
五 反射和折射产生的偏振
斯特角。，称为起偏振角或布儒表示这个特定的入射角式中以
可求得以下关系的条件代入折射定律，将
光称为完全偏振光。这种振动为唯一方向的
于入射面的振动，，即反射光中只有垂直射光平行分量的反射率
，可求得反面时，如果入射角满足自然光入射于两介质界
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B
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当自然光以其他的角度入射于界面时，反射光和折射光一般为
部分偏振光，即 s波和 p波都存在但强度不等。此外，不论以何种
角度入射，折射光都不会变为完全偏振光。
为全反射。全部反射，这种情况称
此时的事实是，入射光结果的折射角不存在。是无意义的，满足这个
果的结果。显然，这个结，则会出现满足入射角
，若光波的时，由折射定律可得当介质界面情况为
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。临界角：—角发生全反射的最小入射
光疏介质。，光波由光密介质射向全反射的界面条件：
1
21
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n
nn
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下面对发生全反射时光波的情况进行深入的讨论。
§ 8 全反射
一 反射系数和位相变化
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式右侧根号前取正号得。两式中的
的折射角：
折射定律来表示理论上不存在折射，但可以用全反射时，虽然实际上
将（ 1）式和（ 2`）式代入反射波的两个反射系数 rs,rp的公式中,
得到,
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。表示反射时的位相变化
比，复数的幅角波和入射波的实振幅之式中复数的模表示反射、
将其写成如下形式
为复数，、
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，证明光全部反射。由此可得反射率
，等，共轭复数，故其模值相式中的分子分母是一对、
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式可求得式和由平行分量反射系数的
式可求得式和由垂直分量反射系数
变化。再分析全反射时的位相
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ps
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两波的位相差为波有不同的位相变化，波和可见：
变化的曲线。由图随、件下，表示的是全反射界面条—图
为零。波的位相差波和当入射角为临界角时,?ps
二 倏逝波
我们已经知道，全反射时全部光能都返回入射光所在介质，但
对于光波在界面上的行为如何、是否有光波进入第二介质，并
没有说明。深入的实验研究表明：全反射时光波将透入 第二介
质很薄的一层表面，深度约为一个波长，并在第二介质中沿界
面传播约半个波长的距离，然后再返回第一介质。透入第二介
质表面的这个波称为倏逝波。
倏逝波的存在有其必然性，因为电磁场在两介质界面上应满足
边值关系而不会中断，所以在第二介质中一定会有透射波。只
是在全反射时这个透射波有着特殊性。
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的波。
方向按指数规律变化方向传播的、振幅在沿这表明，透射波是一个
函数为是正实数。透射波的波对比可知，
，写为方向的衰减，可以把它波在是虚数，它实际表示光
式可得、由
平面，上式变为设入射面为
已知透射波的波函数为
zx
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波，即倏逝波。方向按指数规律衰减的方向传播的、在
射波是沿前只能取负号，表示透，透射波的振幅为
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倏逝波的传播速度为
倏逝波的波长为
，时的深度为穿透深度到界面处振幅的定义倏逝波的振幅减小
虽然有倏逝波存在，但并没有能量向第二介质的内部传播，所
有倏逝波的能量最终都流回到第一介质中。
三 全反射的应用
1 全反射棱镜
2 光学纤维
光在光洁的金属表面上一般有着强烈的反射，这与金属中存在
着密度很大的自由电子有关，自由电子受到光波电磁场的强迫
振动 `而产生次波，这些次波造成了强烈的反射波和比较薄弱的
传播到金属内的透射波。由于自由电子的密度如此之大，所以
即使非常薄的金属片也能够把大部分入射光反射回去，以及把
进入金属内的透射光吸收掉。
各种金属反射光的能力不同，在于它所包含的自由电子的密度
不同，一般说来，自由电子密度越大，电导率越大，反射率也
越高。对于同一种金属来说，入射光波长不同，反射率也不同。
频率比较低的红外线，主要对金属中的自由电子发生作用，而
频率较高的可见光和紫外线，也可以对金属中的束缚电子发生
作用。束缚电子的作用将使金属的反射能力降低，透射能力增
大，呈现出非金属的光学性质。
§ 9 光在金属表面的透射和反射
金属表面的反射率除了与波长有关外，还与光波的入射角有关。
但是与电介质表面的反射不同，对于金属不论在什么角度下反
射，都不能使反射光成为完全偏振光。进一步的研究还表明,
光在金属表面上反射时，反射波平行分量的振动和垂直分量的
振动与入射波相应的振动之间有一定的位相变化，位相变化的
数值并非 0或 ?；反射波的两个分量彼此之间也有一定的位相差,
因此完全偏振光在金属表面上反射后将变为椭圆偏振光。
一 光的吸收
无论是在金属中或是在电介质中，光波在传播过程中都会出现
能量的损耗，这种损耗中的一部分缘于吸收。在金属中，入射
光波的电场使得金属中的自由电子运动，形成的电流在金属中
产生热，因而消耗了能量；介质中，包括一些看来透明的介质
中，入射光波的电场使介质中的束缚电子振动，发出次波和产
生热，也消耗了能量，这些都是形成吸收的原因。
下面我们主要讨论介质的吸收。
为描述介质中的吸收，引入复折射率
见图 1－ 38，介质中沿 z轴传播的平面波的波函数为
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§ 10 光的吸收、色散和散射
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，为介质的吸收系数。
处的光强；，为式中
波的强度为
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?
?
?
????
?
?
???
这个公式被称为吸收定律，它表明：介质中光波的强度随在介
质中传播距离的增大以指数规律衰减，衰减速度取决于吸收系
数。
吸收系数决定于物质特性，不同的物质对同一波长的光波有不
同的吸收系数，同一物质对不同波长的光波也有不同的吸收系
数。光学上将吸收系数较小的情况称为一般吸收，将吸收系数
很大的情况称为选择吸收。当介质对某光波表现为一般吸收时,
光学上称之为“透明”；当介质对某光波表现为选择吸收时，
称之
为“不透明”，意思是基本上无光能透过。
二 光的色散
光在某种介质中传播时，不同波长的光波有着不同的传播速度,
因而具有不同的折射率，这就是光的色散现象。
1 正常色散和反常色散
介质中的色散有两种类型：在介质的“透明”波段，即发生一
般吸
收的波段表现为正常色散；在介质的“不透明”波段，即发生
选
择吸收的波段表现为反常色散。
（ 1）正常色散的特点及描述
特点：光波长增大时，折射率值减小，其色散曲线如图
1－ 41。
描述：描述正常色散采用经验公式－科希公式。当波长的
变化范围不太大时，取其近似形式为 是与介质相关的常数。baban,2???
（ 2）反常色散的特点及描述
特点：在反常色散区域内，折射率值随波长增大而增大,
色散曲线参见图 1－ 42。
描述：描述反常色散的经验公式是塞耳迈尔方程
2
0
2
2
2 1
??
?
???
bn
2 色散的经典理论
介质中存在的色散现象曾一度使麦克斯韦电磁理论陷入困境,
因为经典电磁理论中折射率 n只与介电常数有关，与光波的频率
无关。后来洛伦兹的经典电子论建立了介电常数与频率的联系,
解释了色散现象，解决了经典电磁理论的困难。
电子固有振动的角频率—
单位体积的原子数—
电子的电荷—
电子的质量—式中：
散的公式为论得到的适用于正常色根据洛伦兹的经典电子
0
0
2
22
0
0
2
2
3
1
?
?
??
?
N
q
m
m
Nq
m
Nq
n
??
??
三 光的散射
光通过某些介质时，在偏离正常传播方向上有光出射的现象称
为散射。
1 散射类型
（ 1）瑞利散射
发生于混浊介质中。原因是在均匀介质中包含许多线度
比波长更小的、折射率不同的其他物质的微粒。
（ 2）分子散射
发生于表面看来均匀纯净的介质中。原因是介质中分子
密度起伏破坏了介质的均匀性而导致 。
2 散射定律
（ 1）正常传播方向上的光强
因为散射分散了正常传播方向上的光能量，表现为正常传播方
向上光强的减弱，故可用朗伯定律描述,
?s称散射系数。出射光仍为自然光。
（ 2）散射光光强
设观察方向与正常传播方向之间的夹角为 ?，散射光强为
光的性质由 ?角的变化而变为偏振度不同的偏振光。当 ?=90o
时为平面偏振光，其余方向为部分偏振光。
? ? ll eIeII sa ??? ??? ?? 00
? ??20 cos1 ?? II
3 瑞利定律
实验表明：散射光中各种波长的能量不是均匀分布的，短波占
有明显优势，即有 的关系成立，这个关系称为瑞利定
律 。 4
1
??I
4 散射的解释
散射是光与物质的相互作用所致。光射入介质时，介质中的电
子将作受迫振动，发出次波。如果介质不均匀，入射光所激发
的次波的振幅不完全相同，彼此还存在位相差,导致次波相干
叠加后除了在反射、折射方向有光传播之外，在其他方向上叠
加未能达到干涉相消，故也有光传播，形成了散射。
除了以上谈到的散射外，还有一种喇曼散射，这种散射不但会
改变光的传播方向，还会改变光的频率。在光谱学中，喇曼散
射是一个很重要 的内容。
两个或多个光波在空间相遇时产生光的叠加。任意光波之间的
叠加结果是很复杂的，本章仅限于讨论频率相同或频率差很小
的单色光波的叠加问题，而实际光波可以理解为一组由余弦函
数表示的单色波的合成。
波的叠加原理,几个光波在空间一点相遇时，相遇点处的合振
动是各个波单独产生的振动的矢量和。即各个波独立地产生作
用，不会因为其他波的存在而受到影响，保持自身原有的波动
特性。
以下分别讨论三种不同情形的单色光波的叠加，以最简单的两
光波的叠加为例。
第二章 光波的叠加与分析
这是光波叠加中最重要的内容，我们采用了三种不同的数学方法
来讨论这一问题。
一 代数加法
参见右图,
两个频率相同、振动方
向相同的单色光波分别
由光源 s1,s2发出，经过
一段传播路程后在 P点相
遇，产生叠加,s1到 P点
的距离为 r1,s2点到 P点的
距离为 r2。
s1
s2
r1
r2
y
P
§ 1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
两光波在 P点的振动可用波函数表示为
? ?
? ?
点的振幅。分别是两光波在 Paa
tkraE
tkraE
21
222
111
,
c o s
c o s
?
?
??
??
? ? ? ?tkratkraEEE
P
?? ?????? 221121 c osc os
的叠加：点的合振动应为两振动由叠加原理，
? ? ? ?tataE
krkr
????
??
????
??
2211
2211
c osc os
，可将上式化简为，令
? ?
? ?tAE
P
aa
aa
tg
aaaaA
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??
??
?
??
??
?
?
?
????
c o s
c o sc o s
s i ns i n
c o s2
2211
2211
1221
2
2
2
1
2
点的合振动可以表示为
合振动的初位相为
出合振动的振幅为经数学运算整理后，得
结论,P点的合振动与两个分振动一样，也是一个简谐振动，其
频率和振动方向也与两个分振动相同。
我们关注的是合振动的强度 I=A2，故进行以下的讨论,
? ?
点的位相差。，是两光波在；，是单个光波的光强度式中
，则合振动的强度为点的振幅相等：设两单色光波在
P
aI
IaaaaaAI
aaaP
12
2
0
22
0
22
12
222
21
2
c o s4
2
c o s4c o s2
1
???
??
??
??
?
???????
??
? ?
。时，介于以上两种情况之间当
，，，，为最小值。时，当
，为最大值；时，当
差点的光强度取决于位相的结果可知，由
2
0
2
0
40
21002
2
1
42
12
II
mIm
IIm
P
??
???
?
?
?
?
?
???
???
?
??
??
?
?
? ? ? ? ? ?
? ?
中的结论转而表述为后，可以将
相差和光程差的关系，称为光程差。有了位定义式中的；仍简写为是真空中的波长，通常
可写为位相差的表达式
2
22
3
12
0
12
0
121212
???
????????
rrn
rrnrrrrk
??
?
?
?
?
???
?
? ?
? ? 。时，当；时，当
0
2
1
4
12
2
012
??
?
??
?
? ??????
??????
Imrrn
IImrrn
?
?
4 无论位相差表达式还是光程差表达式，都只适用于两光波的
初位相相同的情况。若非如此，还应加上两光波的初位相差。
5 由光程差的表达式可知，两光波叠加区域内不同位置处将有不
同的光程差，因而会有不同的光强度，整个叠加区域内将出现
稳定的光强度的周期性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加
称为相干叠加，叠加的光波称为相干光波。
二 复数方法
光源 S1,S2发出的单色光波在 P点的复数形式的波函数为
? ?? ?
? ?? ?taiaE
taiaE
?
?
??
??
222
111
e xp
e xp
? ?? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ?tiiaia
tiatiaEEE
???
????
???
??????
e x pe x pe x p
e x pe x p
2211
221121
两者叠加的合振动为
? ?
? ? ? ? ? ?? ?tiAtiiAE
iA
????
?
???? e xpe xpe xp
e xp,则上式简化为设中括号内的部分为
? ?
2211
2211
1221
2
2
2
1
2
c o sc o s
s i ns i n
c o s2
??
??
?
??
aa
aa
tg
aaaaA
?
?
?
????
合振动的初位相为
合振动振幅为
三 相幅矢量加法
这种方法是采用相幅矢量叠加的图解方法来求解合振动的振幅
和初相，如图 2-2所示，所得的结果与其他两种方法完全相同。
一束单色光波垂直入射到两种介质的界面上时，入射光波和反
射光波成为两个频率相同、振动方向相同、传播方向相反的单
色波，它们的叠加将形成驻波。
参见图 2-4：两介质界面的投影沿 Y轴方向，两介质折射率分别
为 n1,n2，设入射、反射光的沿 Z轴方向传播，且两光振幅近似
相等。
? ?
? ?
。时，
光密界面，即当反射发生于光疏为反射时的位相变化，
数为入射波和反射波的波函
??
?
??
?
?
?
???
??
21
/
1
1
c o s
c o s
nn
tkzaE
tkzaE
?
§ 2 驻波
? ? ? ?
?
?
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?
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?
??
?
?
?
?
?
??
???????
2
co s
2
co s2
co sco s/11
?
?
?
???
tkza
tkzatkzaEEE
函数为两波叠加后的合成波波
此式表明，形成该波的合振动为频率不变的简谐振动。该振动
的特点分析如下,
波腹。—的点
大值波节和一系列振幅为最—幅为零的点变，将出现一系列的振
而坐标，振幅随传播时的位置振动的振幅为 ZkzaA ?
?
?
?
?
?
??
2
c o s21
?
?，，，
可求得波节的位置为由
531
22
0
2
c o s2
???
??
?
?
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?
?
?
nnkz
kz
??
?
?，，，，
可求得波腹的位置为由
6420
22
1
2
c o s
???
??
?
?
?
?
?
?
nnkz
kz
??
?
。和波节之间相距；相邻的波腹相距相邻的波腹或波节之间由以上的表达式可知：
4
2
3
?
?
处为波节。光密界面反射时，界面当光在光疏 ?4
传播，故称为驻波。
方向不在无关，它的意义是：波与坐标合成波的位相 zzt ?
?
?
?
?
? ?
2
c os5
?
?
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最多的是在激光
器谐振腔中多次往复反射的光波形成的驻波。激光输出的这种
稳定的驻波称为激光束的纵模。
一 椭圆偏振光
参见图 2— 8：由光源 S1,S2发出两个单色光波，两波的频率相同,
振动方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于 X轴和 Y轴。
? ?? ?
tkzaE
tkzaE
PZ
y
x ???? ??
22
11 c osc os
点时，振动方程为轴上当两波到达
? ? ? ?tkzaytkzax
EyExE
P
yx
?? ????
??
220110
00
c osc os ??
???点处叠加后的合振动为两波在
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可
得其末端的运动轨迹方程,
? ? ? ?
椭圆。矢量末端的轨迹是一个这个方程表明：合振动
12
2
12
21
2
2
2
2
1
2
s i nc o s2 ???? ?????
aa
EE
a
E
a
E yxyx
§ 3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
椭圆方程中各量的几何意义见图 2— 9。这种光矢量末端轨迹为
椭圆的光称为椭圆偏振光。
结论：两个在同一方向传播的、频率相同的、振动方向互相垂
直的单色光波叠加时，一般将形成椭圆偏振光。
二 两种特殊情况
由椭圆方程可知：偏振椭圆的形状由参与叠加的两光波的位相
差 ? =（ ?2-?1）和振幅比 a2/a1决定，以下是两种特殊情况。
? ?
示。
所中—，如图一经过坐标原点的直线即合矢量末端的轨迹为
椭圆方程变为时当
ea
E
a
a
E
jj
xy
,102
,
,2,1,0,1
1
2??
??? ???
? ? ? ?
偏振光。一个圆，这种光称为圆即合矢量的运动轨迹是
则轨迹方程为若此时又有
所示。中—个正椭圆，如图合矢量的运动轨迹是一
椭圆方程变为时当
222
21
2
2
2
2
1
2
,
,102
1
,2,1,0,
2
122
aEE
aaa
gc
a
E
a
E
jjj
yx
yx
??
??
??
???? ?
?
三 左旋和右旋
由合振动矢量旋转方向的不同，可以把椭圆（圆）偏振光分为
左旋两类。 区分原则是,对着光的传播方向观察，合矢量向逆
时针方向旋转时为左旋偏振光；合矢量向顺时针方向旋转时为
右旋偏振光。
左旋偏振光,sin?＞ 0; 右旋偏振光,sin?＜ 0
四 椭圆偏振光的强度
由第一章第五节关于辐射能的讨论已知，相对光强度即辐射强
度的平均值为
? ? ? ?
yx
yxyxyx
III
EEEyExEyExI
EI
??
??????
?
即
对于椭圆偏振光，
22
0000
2
????
?
这个结果表明：椭圆偏振光的强度等于参与叠加的两个振动方
向相互垂直的单色光波的强度之和。
五 利用全反射产生椭圆和圆偏振光
已知光在两介质界面上以布儒斯特角 ?B入射时，反射光中只有
唯一方向的振动，这种光叫完全偏振光或线偏振光。如果让线
偏振光在两介质的界面上发生全反射，则反射光波中的 s分量和
P分量之间有一位相差 ?，两波一般合成为椭圆偏振光。特殊情
形下，当两波的振幅相等时合成为圆偏振光。
当两个沿同一方向传播的振动方向相同、振幅相等而频率相差
很小的单色光波叠加时，将出现“拍”现象。
一 光学拍
设符合于上述条件的两光波沿 z方向传播，各自的波函数为
? ?
? ?tzkaE
tzkaE
222
111
c o s
c o s
?
?
??
??
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?tzkktzkka
tzktzkaEEE
21212121
221121
2
1
c o s
2
1
c o s2
c o sc o s
????
??
???????
??????
函数为两波叠加后的合成波波
§ 4 不同频率的两个单色光波的叠加
? ? ? ?
? ? ? ?
2121
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
kkk
kkk
k
kE
mm
m
m
????
????
???
???
??
：调制波数
、、调制角频率、平均波数频率的表达式，引入平均角为简化
? ? ? ?
? ?
? ?tzkAE
tzkaA
tzktzkaE
E
mm
mm
?
?
??
??
??
???
c o s
,c o s2
c o sc o s2
化为上面的波函数进一步简令振幅
的表达式简化为
所示。—
化的波，如图、振幅随时间和位置变频率为这表明：合成波是一个
132
?
? ?
大时小的现象称为拍。之间变化，这种强度时和波强度在
由振幅可求得波强度为
2
222
40
c os4
a
tzkaAI mm ????
出现拍现象时的拍频等于 2? m,而 ?m= ?1-?2,为参与叠加的两光
波的 频率之差，所以可通过观测光学拍现象来检测光波的微小
频率差。
二 群速度和相速度
对于一个单一的单色光波，光速是指其等位相面的传播速度，称
为相速度。对于两个单色波的合成波，光速包含两种传播速度,
等位相面的传播速度和等振幅面的传播速度，分别称为相速度和
群速度。由合成波波函数可求得两速度的表示式。
? ? ? ?
? ?
k
v
tzk
tzktzkaE
mm
?
?
??
?
??
???
可求得相速度为常数由位相不变的条件
已知合成波波函数为
c o sc o s2
? ?
dk
d
v
kk
v
tzk
g
m
m
g
mm
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
很小时，有近似式当
可求得群速度为常数由振幅不变的条件
?
?
d
dvv
dk
dvkvv
g ????
关系为群速度和相速度之间的
群速和相速不等。介质中传播时，当叠加的两光波在色散
群速和相速相等；
所以于散的真空中传播时，由当叠加的两光波在无色
,,0
,,0
vv
d
dv
vv
d
dv
g
g
??
??
?
?
群速度是光能量或光信号的传播速度，实际的光信号测量实验
中，测量到的速度就是群速。
本节的基本内容是，将一个复杂的光波分解为几个简单的单色
光波的组合，应用的是傅立叶分析法。
一 周期性波的分析
参见图 2— 15c，该波的运动在一定的空间周期内重复一次，即
为周期性波。
应用数学上的傅立叶级数定理，具有空间周期 ?的函数 f(x)可以
表示为一组空间周期为 ?的整分数倍的简谐函数之和，即
? ?
? ? ? ?
为空间角频率。是待定常数，式中 kaaa
kzakzaa
zazaaxf
210
22110
22110
,,
2c o sc o s
2/
2
c o s
2
c o s
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??????
??
?
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???
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?
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?
?
???
??
?
?
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?
?
?
§ 5 光波的分析
? ?
? ? ? ?
数。这个函数称为傅立叶级
函数可写为其中
利用三角等式
n k zBn k zA
A
zf
aBaA
kzBkzAn k za
nn
n
nnnnnn
nnnn
s i nc o s
2
,s i n,c o s
s i nc o sc o s
1
0
????
???
???
?
?
??
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? ?
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? ? n k z d zzfB
n k z d zzfA
dzzfA
BAA
n
n
nn
s i n
2
c o s
2
2
,,,
0
0
0
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
分别为是傅立叶系数
由傅立叶级数表达式可知,f(z)代表的沿 z轴传播的、空间角频
率为 k的周期性复杂波可以分解为若干个振幅不等且空间角频率
分别为 k,2k,3k,··· 的单色波。
当给定一个复杂的周期波时，只要定出各个分波的振幅 A0,An,Bn,
便可以将复杂波分解为一系列简谐分波。以下以矩形波为例进
行分解。
? ?
? ? ?
?
?
?
??
??
zzf
zzf
2
1
2
01
162
当
当
，波函数为为为一矩形波，空间周期—图
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
,
5
4
,0,
3
4
,0,
4
,c o s1
2
,0,0
,
54321
0
???
?
?
???????
???
???
BBBBBn
n
B
AA
zfzfzf
n
n
为一奇函数，
? ?
形。
接近矩形波的波越多，合成波的波形越可知，叠加的分波数目—
波和五次谐波。由图，第二、三项为三次谐此式右边第一项为基波
为所以该波的傅立叶级数
172
5s i n
5
1
3s i n
3
1
s i n
4
?
?
?
?
?
?
???? ?kzkzkzzf
?
二 非周期性波的分析
这种波只存在于空间有限的范围之内，在此范围之外振动为零,
呈现为波包的形状，如图 2— 19中 a,b,c所示。
波包的分析要利用傅立叶积分。分析的结果将表明：波包中包含
着无限多个振幅不等的简谐分波，任意两个相邻分波的频率之差
为无穷小，若以频谱图表示时，将得到一条连续的频谱曲线，如
图 2— 19中 d,e,f所示，曲线的坐标为振幅 — 空间角频率。
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? 称傅立叶频谱。式中
示为件时，可以用积分式表
当满足一定条数理为：一个非周期性函数学上的傅立叶积分定
dzi k zzfkA
dki k zkAzf
zf
??
?
?
?
?
??
?
??
ex p
ex p
2
1
?
这表明：若非周期函数 f(z)表示一个波包，则这个波包可以分解
为无限多个频率连续的、振幅随 A（ k）变化的简谐分波。
以图 2— 19中的波包 b为例，设这个波的长度为 2L，在此范围内
振幅 A0为常数，空间角频率 k0也为常数。 ? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?? ?
? ?
? ? Lkk
Lkk
LAdzzkkiAkA
Lzzf
LzLzikAzf
L
L
0
0
000
00
s i n
2ex p
0
ex p
?
?
????
?
????
??
为傅立叶频谱它的振幅函数
当
当
这个波的波函数为
?
光强度函数为
? ? ? ?? ?
。—函数曲线见图 202
s i n
2
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
Lkk
Lkk
kI
L
L
k
k
k
L
kkk
2
:
2
0
0
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?????
所对应的波长范围为
角频率范围
对应的空间宽的一半为有效光强度到两侧第一零值之间频取
。度的第一个零值对应于由强度曲线可知：光强
这表明：波列长度 2L和波列包含的单色分波的波长范围成反比；
当波列长度为无穷大时,??将为零，这就是单色波。
由 ??与波列长度的关系可知，由于实际光源中的原子发出的都
是一段段有限长度的波列，故光波不可能是真正单色的，都有
一定的波长范围。光波单色性的优劣用光波的谱线宽度 ??来表
示,??越小，单色性越好。除此之外，单色性还可以用波列的
持续时间 ?t 来表示,?t 越大，单色性越好。
第三章 光的干涉和干涉仪
当两个或两个以上振动方向相同、频率相同的单色光波在空间
产生叠加时，叠加区域内将出现周期性的强度分布图象，这就
是光的干涉。实际光波并不是严格的单色光波，为使实际光波
实现干涉，必须设法使其满足干涉的条件，因而设计了各种干
涉的实验装置和干涉仪。这些装置实现干涉的方法可分为两类：
分波前法和分振幅法。本章将对光的干涉条件和干涉装置进行
系统介绍。
§ 1 产生干涉的条件
由经验我们知道，自然条件下两个光波相遇时，是不会出现如第
二章中所介绍的光强度呈现有规律的周期性变化的干涉现象的。
第二章中已介绍了实现干涉时光波应满足的两个条件：两光波的
频率相同、振动方向相同，这里要介绍的是另一个重要的条件 —
— 位相差条件。
? ?
?
??
???
????
???
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??
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?
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0
21
2
2
2
1
0
21
2
2
2
1
0
21
2
2
2
1
c o s
1
2
c o s2
11
c o s2
daaaa
daaaaIdI
aaaaI
P
内的平均值：取观察时间
的合强度式：一点
同的光波叠加区域内频率相同、振动方向相第二章中已得出了两个
变化，即不产生干涉。
区域内的有规律度之和，并不出现叠加恒等于两叠加光波的强
则
中的积分值为作无规则变化，则上式时间内位相差如果在
现讨论以下两种情况：取决于积分项的结果，由上式可知，
I
IIaaI
d
I
21
2
2
2
1
0
0c o s
1
1
????
??
?
??
?
??
生干涉。期性变化，即两光波产随两光波的位相差作周
则
积分为为确定值，则上式中的
不随时间变化，波的位相差内，叠加区域内各点两如果在观察时间
I
IIIIaaaaI
d
??
???
?
??
?
c o s2c o s2
c o sc o s
1
2
212121
2
2
2
1
0
??????
??
至此可将光波产生干涉必要条件总结如下,① 频率相同；② 振
动方向相同；③ 位相差恒定。
实际情况中是将同一光源发出的光波用不同的方法分为若干个
光波，以使其满足于干涉的三个必要条件。要说明的是，有三
个必要条件后，并不一定就能实现干涉。例如两光波叠加时的
光程差如果过大则不能干涉，可阅读 77页的相关讲解，深入的
解释涉及到光波的时间相干性，空间相干性，将在以后的内容
中讨论。
§ 2 杨氏干涉实验
杨氏实验是最早实现的人为干涉实验。作为典型的分波前干涉,
我们可以由该实验了解分波前干涉的共有特点。
杨氏实验装置如图 3— 4所示，光源发出的光波通过小孔 S照射在
光屏 A上两个对称的小孔 S1,S2上，分出的两光束在空间传播时
产生相干叠加，在观察屏 E上出现干涉图样 — 干涉条纹。
一 干涉图样的计算
设通过 S,S1,S2的光波均为单色光。当 S1,S2发出的光波在屏 E
上 P点叠加时，该点的光强应为
为位相差。为两光波各自的光强，,?
?
21
2121 c os2
II
IIIII ???
该装置中 S1,S2大小相等，故有 I1 = I 2= I0，同时 S1,S2处于同
一个波前上，具有同相性，所以在 P点叠加时光波的位相差只取
决于 S1,S2到 P点的光程差。
? ?
? ?
? ?
?
??
?
??
12
12
12
2121
2
1
2
rr
n
rrn
rrn
PrrPSS
?
?
?
?
?
???
在空气中传播时，
位相差为
点的光程差为，则在、点的距离分别为到、设
? ?
??
?
??
? ??
??
?
??
? ???
?
?
?
? 12201200 c os42c os22
rr
I
rr
III
P 点的光强为
。殊值之间时，光强为当光程差介于以上两特
式中
，为光强的极小值。时，
足当屏上某点的光程差满
为光强的极大值；时，
足当屏上某点的光程差满
式干涉结果的光程差表达
。点的光强取决于光程差可见，
0
0
12
40
,2,1,0
0
2
1
,4
1
II
m
Im
IIm
rrP
??
????
??
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
? ?
22
2
22
22
2
11
2121
2
2
,,53
2
Dy
d
xPSr
Dy
d
xPSr
rrPSS
DyxP
???
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
???
，、点的距离分别为到、两孔
，点的坐标为系，屏幕上：选定图中所示的坐标—参见图
干涉结果的位置表达式
D
xd
DrrDyDxDd
rr
xd
rr
xdrr
???
??
?
????
??
光程差
成立成立，则有若又有
则光程差可表示为
对两式化简得到
2,,
2
2
21
21
12
2
1
2
2
???????
，为光强度极小值。时，
当屏幕上的位置满足
为光强度极大值；时，
当屏幕上的位置满足
达式可得：由干涉结果的光程差表
0
2
1
,4
0
??
?
?
?
?
?
??
??
I
d
D
mx
II
d
mD
x
?
?
由以上分析可知，杨氏实验的结果是在屏幕上沿垂直于 S1,S2
连线方向形成一系列光强度为极大值的亮条纹和一系列光强度
为极小值的暗条纹，各级条纹的位置由 x坐标值确定，条纹走向
与 y轴平行。
余弦平方规律变化。
方向作光强度沿所示，由图可见，条纹—强度分布曲线如图
如下：
可得强度分布公式程差的近似式在强度表达式中代入光
xb
D
xd
II
D
xd
63
c o s4
,
2
0 ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
二 杨氏实验的强度分布公式和分布曲线
应尽可能的小。当值，因此两孔间距
使条纹间距为恰干涉条纹易于观察，应的反比关系可知，要使和由
条纹间距：由条纹位置表达式可得
距离称为条纹间距。亮纹或两个暗纹之间的屏幕上相邻级数的两个
d
de
d
D
e
?
?
由于条纹间距与波长 ?相关，所以实验中不宜用复色光作光源。
三 条纹的间距
§ 3 分波前法干涉的其他实验装置
由杨氏实验可知，分波前法干涉是由一个波前上设法分出两个
小的部分，让它们相遇叠加，产生干涉。分波前的方法有多种,
但原理是一致的，干涉的结果也是一致的。
一 菲涅耳双面镜
实验装置及干涉光路图见图 3— 9。电光源发出的光波在两块成
很小夹角的反射镜上反射后，形成的两象点相当于杨氏实验中
的一对相干光源。可依图求得干涉条纹计算中的各个相关量。
二 洛埃镜
洛埃镜实验装置与干涉光路图见图 3— 11。比起前面介绍的装置,
它的最大优点就是简单，仅用一块水平放置的平面反射镜即可。
实验中一束光沿直线传播，另一束光以近掠射的角度在平面镜
上反射，实际点光源和反射象点构成一对相干光源。
洛埃镜实验的重要意义在于实验中出现的“半波损失”现象。
由于实验中光在空气 — 玻璃界面发生反射，实际出现的干涉光
强的结果与理论上预期的情况正好相反，即预期为光强最大值
的位置却是光强的最小值。因为光强最大、最小值之间的光程
差是 ?/2，上述现象就称为“半波损失”，即理解为在反射时光
程发生了 ?/2的突变，因此在此情况下，将光程差表达式修正为
2
????
D
xd
以修正后的光程差表达式计算，所得结果与实际观察到的一致。
将洛埃镜实验中出现的半波损失现象推而广之,凡是光束在光
疏 — 光密界面反射时，都会发生光程的突变，都需要在光程差
表达式中加上修正项 ?/2。
§ 4 条纹的对比度
干涉条纹的清晰程度用条纹的对比度表示。条纹对比度的定义
是
mM
mM
II
IIK
?
??
IM,Im分别是条纹光强的极大值和极小值。
从定义式来看，条纹的对比度与亮暗条纹的相对光强有关。当
Im=0时,K=1，对比度最好，称为完全相干；当 IM= Im时,K=0，
条纹完全消失，为非相干。
条纹的对比度取决于以下三个因素：光源大小、光源的非单色性、
两相干光波的振幅比。
一 光源大小的影响
当光源为理想的点光源时，产生的干涉条纹强度分布如图 3— 6
b)的单一曲线所示，由于暗条纹的强度为零，所以 K=1，条
纹对比度最好。但实际光源不可能是一个单一发光点，它是很
多发光点的集合体，每一个点光源都会形成一对相干光源，产
生一组干涉条纹。由于各点光源位置不同，形成的干涉条纹位
置也不同，这种干涉条纹强度分布如图 3— 14下方的一组曲线所
示,各组条纹的强度总和如图中上方的曲线所示。显然，干涉总
强度没有为零的情况，这使得条纹的对比度下降，甚至为零。
以下进行具体的讨论。
1 光源的临界宽度
临界宽度是指对比度下降到零时光源的一维线度。
设在光源中选定两个强度相等的
发光点 S,S`，它们各自产生一组
干涉条纹，条纹的间距相等，但
在空间位置上不重合。设 S在屏幕
上 P0点为光强极大值（光程差为零）,
当 S`点在该点的光程差为 ?/2时,
光强为极小值，反映在干涉条纹上,
就是两个发光点产生的干涉条纹发生
了半个条纹间距的位置移动，此时两
组条纹光强叠加的结果使屏上各处光
强相同，条纹的对比度下降到零，无
法观察到干涉条纹。
s
s` s1
s2
d ?
l1 l2
l
P0
由以上分析可知,SS`间的宽度应是临界宽度的 1/2。设光源的临
界宽度为 bc，由前面的图可求得 bc。
l
db
db
lll
l
b
l
d
c
c
c
2
1
22
2/2/
21
12
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?由前图可得：
22
2
22
``
12
?
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?
?
??
?
??
?
?
?
?
? ?
???
l
db
d
l
db
d
l
db
dSSSS
c
cc
临界宽度下应有
?
?
?
?
?
?
?
?
c
c
b
l
d
d
l
b
为所示，临界宽度又可写—意义如图定义干涉孔径
度为由此得到光源的临界宽
163,
2 条纹对比度随光源大小的变化
当光源的宽度小于临界宽度时，条纹对比度的变化趋势是，光源
宽度越大，条纹对比度越小。具体的关系可用积分法求得，见教
材中（ 3— 27）式。一般认为，当光源宽度不超过临界宽度的四分
之一时，条纹的对比度是良好的。这个光源宽度称为许可宽度 bp,
?
?
44 ??
c
p
bb
3 空间相干性
光波的空间相干性与光源大小密切相关。当光源的宽度小于临界
宽度时，光波才具有相干性。当光源宽度为临界宽度时，有
d
lb ??
?
?
?
?
?
?
t
t
t
d
SS
b
l
d
dSS
SSd
表示：连线的中点的张角、或者以扩展光源对
：宽度之间的距离为横向相干、
相干性，定义此时的两点的光波不具有空间、的这时相距为
21
21
21
产生干涉的两光源之间的距离必须小于横向相干宽度才能产生
干涉条纹。 现有光源中空间相干性最好的是激光。
二 光源非单色性的影响
尽管在各种干涉实验中我们使用了单色光源，但任何一种光源
都不可能是绝对单色的，即光源发出的光波不可能是单一波长
的，都会有一定的波长变化范围 ??。由于在 ??变化范围内的每
一种波长的光都各自产生一组干涉条纹，而除零级以外的各级
条纹间都发生位移、重叠，所以最终的情况将使得条纹的对比
度下降，因此需要对光源非单色性的影响进行讨论。
1 相干长度
参见图 3— 20。 a)图中下部为波长为 ?和 ?+ ??的两光波的干涉强
度曲线，图中上部为叠加后总的强度曲线。由两组曲线可看出,
两组不同波长的条纹的相对移动量随着光程差 ?的增大而增大,
总强度曲线中的最大、最小值之差也随光程差增大而变小，最
终将趋于零； b)图显示叠加后条纹的对比度随着光程差 ?的增大
而下降，最后将为零。由此可知，在这种情况下，要产生清晰
的条纹，即要使条纹的对比度在允许的范围内，需要对干涉时
的光程差进行限制。
定义能够产生干涉时的最大光程差为相干长度 ? max。
设单色光源的波长为 ?，波长的变化范围为 ??，则波长为 ?+ ??
的第 m级条纹和波长为 ?的第 m+1 级条纹位置重合时的光程差就
是相干长度,
? max=（ m+1) ?=m（ ?+ ?? ）
?
?
?
?m
涉级数为条纹对比度为零时的干
?
?
?
??
2
m a x
相干长度为
由相干长度的表达式可知，相干长度与光波的变化范围即光谱
宽度成反比，即光源的单色性越好,??越小，则越容易实现干
涉。
将相干长度表示式（ 3— 34）与（ 2— 61）式进行比较可知，相
干长度与波列长度相等，即两光波干涉时所能允许的最大光程
差为波列的长度。
2 条纹对比度与 ??和 ?的关系
由上面的分析已得出了光源的光谱宽度 ??会使干涉条纹的对比
度随着光程差 ?的增大而下降的定性结论，用积分法可以得出定
量关系如下,
?
?2
2
2
s in
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
k
k
k
K
3 时间相干性
光波通过相干长度所需的时间称为相干时间 ?t。
由相干长度的定义可推知，同一光源在相干时间 ?t内不同时刻发
出的光波可以产生干涉，这种相干性称为时间相干性，相干时间
就是时间相干性的量度标志。
度。相干时间决定于光谱宽
由相干时间的定义可得
?
?
?
?????
2
m a x tc
性越好。越大，光波的时间相干越小，这表明：
可得到的关系和利用
t
t
??
????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
1
三 两相干光波振幅比的影响
两相干光波的振幅不等也会影响干涉条纹的对比度。在条纹对比
度表示式中代入强度极大值和极小值的振幅表达式可得
? ?? ?
2
21
21
/1
/2
AA
AAK
??
由此式分析，当两光波振幅相等时，对比度 K=1；两光波振幅差
越大,K值越小。
利用 K的振幅表达式可以将两光束干涉的光强表达式写为 ? ?
? ?
息术的原理。位相的信息，这就是全
的振幅和时记录了两个相干光波有关。因此干涉条纹同反映由
比有关，也与光波的振幅不仅与位相差即干涉条纹的光强分布
其中
K
AAIII
KII
t
t
?
?
2
2
2
121
c o s1
????
??
§ 8 平行平板产生的干涉
在已经讨论过的分波前法干涉中，由于考虑到光源的宽度对光波
的空间相干性的影响，只能使用孔径很小的光源，因此而限制了
光束的能量，使得干涉条纹达不到需要的亮度，妨碍了干涉条纹
的测量。为解决这个问题，发展了使用扩展面光源的分振幅法干
涉。
分振幅法干涉中的主要装置是由两个表面限制而形成的一层透明
物质，称为平板。干涉中，扩展面光源发出的入射光在平板的上
下表面上发生反射和透射，将入射光的振幅分解为两个部分，这
两部分光发生干涉。由于有足够的光能量，所以可获得清晰的干
涉条纹。
一 条纹的定域
平行平板干涉条纹的定域问题，就是在实验中干涉条纹出现的位
置。理论上干涉条纹定域于无穷远处。当实验中使用透镜聚焦时,
干涉条纹定域于透镜焦平面上。
二 等倾条纹
1 干涉过程分析
A
B
C
N
n
n`
n`
h
?1
?2
a a1 a2
a1光束：由平板上表面一次反射的光束；
a2光束：由平板上表面两次折射、下表面一次反射的光束。
a1, a2 与入射光位于平板同一侧介质内，故都称为反射光。
特点,
⑴ 此种平板干涉中是平行光入射，平行光出射。
⑵ 在平板的上下表面上均产生光的反射和折射。
2 光程差分析
要求图中 a1,a2两光束的光程差，须从分别求两光束各自
的光程入手。
由干涉过程示意图可得两光束的光程差为,
? ? ANnBCABn `????
21
222 c o s2s i n`2 ?? nhnnh ????
经数学运算整理可得：
2
c o s2
2
s i n`2
2
21
222 ?
?
?
?
?
??????
?
?
nhnnh
最终光程差的表达式为
，的附加光程差
波损失引起光密界面反射，应有半疏平板上表面的反射为光?
3 干涉条纹条件
称为条纹的级数。
为暗条纹。
为亮条纹；
?,2,1,0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
???
??
m
m
m
?
?
4 扩展面光源产生的等倾干涉条纹
扩展面光源可视为无数个点光源的集合，它们处于空间不同位置,
以不同 ?1角入射，凡 ?1相同者必因有相同的 ?值而产生相同的干涉
结果，形成同一条纹，故将这种干涉条纹称为等倾条纹。
5 等倾干涉条纹的特点
1) 由 ?1~ m关系可知,?1越小，则 m 越大，即中心处条纹级数
最高。
2） 平板厚度 h值必须很小，否则就无法观察到清晰的干涉条纹。
3) 平板厚度 h每变化 ?/2n 时，干涉条纹级数 m变化一级。当 h
增大时，条纹级数 m 增大，中心处有条纹冒出，整组条纹外
移。当 h 减小时，条纹级数 m 减小，中心处可见条纹陷入消
失，整组条纹向内收缩。
4 ) 透射光也可产生等倾干涉条纹。反射、透射光条纹明暗互补。
§ 7 楔形平板产生的干涉
讨论条件：① 设光源为单色点光源；② 平板为厚度缓慢均匀
变化的介质层。
1 干涉过程分析
点光源发出的光束入射于平板上表面，光线 a经平板上下表面
反射后成为光线 a1,a2，发生干涉。
n`
n1
A
B
C
?1
?2 n
n`
h
a a
1
a2
P
特点：从 平板上下表面经反射得到的光束为非平行光。
2 光程差分析
由干涉过程图可得 a1,a2的光程差为
?= n(AB+BC)-n`(AP-CP)
显然，只有知道 A,B,C每一点处 h 的值，才能求得光程差的
准确值。但由于平板厚度可变,A,B,C 点可于平板上任意
位置，所以无法得到光程差的准确值。
为解决这一问题，根据平板厚度虽然可变但变化缓慢均匀的特
点，提出了以 B 点处的厚度值作为 A,B 两点厚度的近似值，
从而求得 ?的近似值的方法。
2c o s2 ?nh??
近似式为：楔形平板干涉的光程差
干涉的光程差表达式。这实际上就是平行平板
为光程差，光程差最终应
半波损失引起的附加板的一个表面上会有因考虑到一般情况下在平
2
c o s2
2
?
? ??? nh
3 干涉条纹条件
称为条纹级数。
为暗条纹。
为亮条纹；
?,2,1,0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
???
??
m
m
m
?
?
4 扩展面光源产生的等厚干涉条纹
由光程差表达式可知：此种干涉中，光程差由平板厚度 h决定,
厚度相同的各点将具有相同的光程差，必将产生同一情况、同
一级数的条纹，故称为等厚条纹。
5 条纹特点
① 干涉花样为直线状明暗相间条纹。
② 条纹的走向平行于平板上下表面的交棱。
③ h = 0处是 m = 0 的暗纹。
④ 条纹定域于平板上表面附近。
6 等厚干涉的应用
因为在等厚干涉中平板厚度每变化 ?/2n时，条纹级数将变化一级,
所以可以通过观察、测量条纹来测定微小量。实际中主要用途是
测量长度的微小变化、测定物质的热膨胀系数、检查光学元件的
表面质量等。
§ 8 用牛顿环测量透镜的曲率半径
原理：是一种特殊结构的等厚干涉装置。通过测量级数已知的干
涉条纹的半径值求得平凸透镜的曲率半径，也可用来检验光学元
件的表面质量、测量长度压力的微小变化。
A A`
B B`
C
O
R
r h
右图中平凸透镜 AA`放在平
板玻璃 BB`上，在以接触点
O为中心、以任意的 r值为
半径的圆周上空气薄层的
厚度相等。在平凸透镜凸
面和平板玻璃上表面反射
的光产生等厚干涉，形成
以 O点为中心的、明暗相间的干涉条纹，称为牛顿圈（环）。
设测量的第 N个环的半径为 r,由图中可得对应的空气层厚度为
? ? R
r
hR
rh
22
22
???
发生干涉的两光束的光程差为
222
2 ??
????? Rrh
根据干涉条纹的形成条件，可得牛顿圈中明、暗环的半径分别
为
? ?
? ??，，，暗环：
明环：
210
2
12
??
??
NRNr
RNr
?
?
理论上用这套表达式可以通过测量一个条纹的半径 r求得透镜
的半径 R，但实际使用中为减小误差，采用的方法要复杂一些。
§ 9 平面干涉仪
平面干涉仪是利用一个标准平面和一个待测平面形成一个空气
楔形平板，将平行光束垂直投射到被测平板上，通过测量产生
的等厚干涉条纹来检验被测表面的光学加工质量。平面干涉仪
光路原理图见图 3— 46。
为条纹间距。为条纹弯曲的矢高,eH
e
HP ?
一 测定平板表面的平面度及局部误差
如果被测平面并非理想的平面，则等厚干涉的直线条纹将呈
现整体弯曲或局部凸凹，如图 3— 47所示。
在条纹呈现整体弯曲时，被测平面的平面度为
2
???
e
Hh
即凹、凸的高度为对应的平板表面的偏差
一般的光学平面要求平面偏差 ≦ ?/4，即条纹弯曲不超过条纹间
距的 1/2，即 P ≦ 1/2。更高级的平面要求可达 P ≦ 1/10。
二 测量平行平板的平行度及小角度光楔的楔角
可以通过观察平行平板 上下表面反射产生的等厚干涉条纹来测
量平行平板的平行度。
参见图 3— 48，平行平板的平行度用平板两端或直径方向上的厚
度差 ?h表示。设能观察到的干涉条纹数目为 N，则有
是平板的折射率。nnNh 2 ???
。，就可求出最大厚度差纹的间距检验时通过测量干涉条 he
e
D
n
h
e
D
N
?
????
?
2
?
?
平板上下表面的楔角 ?与最大厚度差的关系为
可以利用此式测量小角度楔角。
neD
h
2
?? ???
§ 10 迈克耳孙干涉仪
一 仪器结构和干涉过程
迈克耳孙干涉仪是利用平板干涉来进行精密测量的光学仪器，
其光路图如下所示。
M1
M2
S
L1
a
b G
1 G2
a1 b1
a2
b2
L2
P
1 仪器结构
主要由两块分光板和两块平面反射镜组成。
分光板 G1,G2可将入射在其上的光分成光强近似相等的反射光
和折射光。两分光板具有全同的光学特性，均与入射光传播方
向成 45° 角放置。
反射镜 M1和 M2分别放置在相互垂直的轨道上,M1可沿轨道前
后移动,M2为固定镜。
2 干涉过程
入射平行光束在 G1的后表面分为反射光和透射光，传播方向相
互垂直，分别垂直入射于 M1和 M2，反射后由原路返回，仍为平
行光束，经透镜会聚于一点产生干涉。
G2也称补偿板，其作用是使在 M1上反射的光与在 M2上反射的光
在分光板中的光程相同。
二 干涉特点
1 可将在 M1,M2 两镜上反射产生的双光束干涉等同于一个空
气平板中的双光束干涉，即可认为 n = n`≈1。
2 因为不产生折射，由 n = n` 可得 ?1= ? 2。
3 因为两镜面上反射的物理性质相同，所以无附加光程差的影
响。
4 仪器可产生等倾、等厚两种干涉。
三 干涉条纹条件
为暗条纹。
为亮条纹；
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四 用途
1 精密计量。
2 光谱研究。
第四章 多光束干涉与光学薄膜
第三章中在讨论平板的干涉时，仅仅讨论了最先出射的两光束
的干涉问题，这是在特定条件下采取的一种近似处理方法。事
实上，光束在平板内经过多次的反射和透射，严格地说，干涉
是一种多光束干涉。多光束干涉与两光束干涉相比，干涉条纹
更加精细，利用多光束干涉原理制造的干涉仪是最精密的光学
测量仪器，多光束干涉原理在现代激光技术和光学薄膜技术中
也有着重要的应用。
§ 1 平行平板的多光束干涉
图 4— 1是一个我们已很熟悉的平行平板分振幅干涉的光路图。
在第三章中，我们仅讨论了图中光束 1和 2发生的干涉，那是因
为所使用的平板上下表面的反射率都很低。例如光束入射于普
通的平板玻璃时，反射率仅为 0.04 。照此计算，光束 1的强度
为入射光的 4﹪,光束 2的强度为入射光的 3.7﹪,而光束 3不到
入射光的 0.01﹪ 。在这种光强差极其悬殊的情况下，除 1,2以
外的其他光束对干涉可以忽略不计，所以将其近似为两光束干
涉来处理。
如果在平行平板的两表面镀有反射率很高的反射膜，情况将会
大不一样。这时除光束 1以外的其他各光束强度差很小，如果仍
按两光束干涉处理将会产生很大的误差。为了获得精确的结果,
必须讨论多光束干涉问题。
一 多光束干涉场的强度公式
可以通过多光束的相干叠加来得到强度分布公式。
由于使用的仍是平行平板，所以仍然是扩展面光源产生的平行
光束入射，也仍然是平行光束从平板的上表面和下表面出射。
由此可知，平行平板的多光束干涉条纹理论上也定域于无穷远
处。
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n
n0
h
考虑反射光的多光束干涉。以 ?0
角度入射的平行光在平行平板内
的折射角为 ?，设平板折射率为
n，厚度为 h,周围介质折射率为 n0，
由图可知,n＞ n0。多束光在经历
了平板内不同次数的反射、折射
过程后从平板上表面出射，经透
镜会聚后产生反射光的多光束干
涉。
由图中可知，平板上表面出射的相邻两束反射光的光程差均为
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是位相常数。是光波的角频率，
的振动方程分别为各光束在干涉场中某点
束的振幅为
时，则各反射光，当入射光的振幅为，透射系数为反射系数为
界面的；在透射系数为界面的反射系数为设光波在
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53
振幅为点叠加后的合成波的复在
上式中括号内为一递减等比级数。当平行平板足够长时，反射
光束的数目将很大；当趋于无穷大时，可得以下结果
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进一步引入反射率 R 和透射率 T,
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是入射光束的光强。
点干涉场的强度公式为由此得到
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强度公式简化为反射光和透射光的干涉
二 多光束干涉图样的特点
通过强度公式的分析可以得出多光束干涉图样的特点。为简化
强度公式，引入参数 F,
反射光、透射光的干涉条纹互补。
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2 干涉条纹的明暗和光强值由位相差决定。
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时为暗纹，其光强为当
时为亮纹，其光强为当
对于透射光
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3 反射率 R决定着干涉图样中亮暗条纹的对比度和锐度。
由透射光强度公式和强度分布曲线图 4— 3可知，当 R很小
时，光强的极大值到极小值变化很缓慢，条纹的对比度很
差；当 R逐步增大时，暗纹强度减小，亮纹宽度变小，整
组条纹的对比度和锐度增大。当 R→1 时，透射图样是几乎
全黑背景上的一组很细的亮纹，易于观察和测量，这正是
多光束干涉与两光束干涉相比最大的优点。实际应用中都
是采用透射光的干涉条纹。
三 干涉条纹的锐度
条纹的锐度表示条纹的明锐程度，它用条纹的位相差半宽度，即
条纹中光强为峰值的一半时强度曲线上对应的两点间的位相差 ??
表示。
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条纹的位相差半宽度为
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表示条纹的锐度的精细度除此以外，还常用条纹
当 R→1 时，条纹的精细度将趋于无穷大。
实际中多光束干涉用于精密测量和光谱分析。
§ 2 法布里 — 珀罗干涉仪
一 法布里 — 珀罗干涉仪的结构和原理
法布里 — 珀罗干涉仪的结构和干涉光路图见图 4— 5。其中的关
键部件是两块相对的表面严格平行的平板 G1和 G2。在这两个表
面镀有一层银膜或铝膜，也可以是多层的介质膜，以获得很高
的反射率。为使干涉条纹具有很好的锐度，要求两个镀膜表面
具有很好的平面度且严格平行。由光路图可见，光束在两镀膜
平面之间的空气层平板上多次发生反射、透射，产生多光束的
干涉，干涉条纹如图 4— 6 a）所示。与迈克尔孙干涉仪产生的
两光束干涉条纹相比，条纹的对比度和锐度均有显著的提高。
法布里 — 珀罗干涉仪中两镀膜面之间的距离是可以改变的。为
了使两镀膜表面严格平行，常在两面之间放一个特制的间隔圈,
这时两表面的距离将固定不变，这种结构称为法布里 — 珀罗标
准具。
当法布里 — 珀罗干涉仪两板的内表面镀有金属膜时，光在表面
的反射是很复杂的。但是，只要两面的膜层是相同的，则透射
光干涉场光强度公式依然成立，但应明确此时的反射率是金属
膜内表面的反射率，相邻的两光束的位相差此时为
时的相变。是在金属膜内表面反射?
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考虑到光通过金属膜时会发生强烈的吸收，将使干涉图样的光
强度降低，必须对干涉强度公式进行修正。
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因此干涉强度公式应为
，由能量守恒定律应有设金属膜的吸收率为
与未考虑金属膜吸收率时的强度公式相比，透射光条纹的峰值
光强降低了。
二 法布里 — 珀罗干涉仪的应用
1 研究光谱的超精细结构
光谱中两条波长差极小的光谱线在空间位置上间隔极小，称为
光谱的超精细结构。用一般的光谱仪无法区分谱线的超精细结
构，只有使用法布里 — 珀罗标准具。
法布里 — 珀罗标准具测量谱线超精细结构的原理如下：设两个
波长差极小的光波入射到标准具上，波长值分别为 ?1和 ?2,
?2 ＞ ?1。由于两波长的同级条纹的角半径稍有差异，因而将到
到空间两组间隔很近的条纹。设图 4— 7中条纹的近中心处某点
两波长的干涉级差为
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。是同一波长的条纹间距相对位移，是两波长的同级条纹的
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。就可得出波长差和实际测量时，通过测出
珀罗标准具的间隔。—是法布里的平均波长，、是
差为由此可得两波长的波长
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自由光谱范围：由波长差表达式可推得
的最大波长差。
标准具所能测量范围，自由光谱范围即差为标准具的自由光谱
时对应的波长的重叠。为此定义否则将出现不同级条纹
，不会大于条纹的间距条纹的位移在测量时必须保证两组
除了对测量的最大波长差有限制外，法布里 — 珀罗标准具所能
测量的最小波长差也是有限的，这个最小波长差（ ??） m称为标
准具的分辨极限，将 称为分辨本领。 ? ?
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光谱学理论中用来判断两条强度相等的光谱线是否能被分开的
法则是瑞利判据，它的判断依据可以简单地表示为：只有当两
个等强度波长的强度曲线叠加而成的合强度曲线中央的极小值
不超过其两侧的强度曲线最大值的 81﹪ 时，两组条纹才能被分
辨开，参见图 4— 8。依此判据，可推得标准具的分辨本领。
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波长对应的位相差值。是干涉场中同一点处两、
的合强度为和收时，对应于当忽略标准具对光的吸
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央的极小值处有，，则在合强度曲线中设
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由此得到极大值强度为
处有在合强度曲线的极大值
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条件是的干涉条纹恰能分辨的按照瑞利判据，两波长
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则有
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精细度成正比。分辨本领与条纹级数和
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辨本，由此求得标准具的分应有当两波长恰能分辨时，
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分辨本领又可，称有效光束数，所以记为实际中常将 97.0
2 用作激光器的谐振腔
图 4— 9a是一台激光器的结构示意图。图中两块反射镜同轴放置,
构成谐振腔。光束在谐振腔轴线方向上经两反射镜多次反射，强
度不断增大，至到达一定值时形成激光输出。输出的激光中只有
几种特定的频率，称为纵模；每一个纵模的频宽称为单模线宽；
相邻的两个纵模之间的频率差称为纵模间隔。
激光器的谐振腔实质上就是一个 F— P标准具，光束沿轴线的往复
运动的结果就是多光束干涉，因此可以用 F— P标准具的理论求得
纵模频率、纵模间隔和单模线宽。
（ 1）纵模频率
要使光束沿谐振腔往复运动时强度不断增大，即产生干涉的
加强，就要求光束在腔内往返一次的光程为波长的整数倍，即
干涉级数腔的长度腔内介质折射率 ???
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波长满足的条件是由此可得谐振腔输出光
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可求得纵模间隔为相邻的两个干涉级数，在纵模频率表达式中取
纵模间隔
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激光的单色性越好。
越小，即输出的越高，腔长越长时线宽谐振腔反射镜的反射率
单模线宽
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1
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3
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§ 3 多光束干涉原理在薄膜理论中的应用
所谓薄膜，是指用物理或化学的方法涂镀在玻璃或金属表面
的透明介质膜。薄膜的作用依涂镀膜层的物质和工艺的不同，
可分为增透膜、高反膜、单反膜、分光膜、冷光膜、干涉滤
光片等。薄膜光学是光学理论和技术领域中的一个独立的、
专门的学科，它的系统研究已超出本课程的范围。这一节中，
我们只是以多光束干涉原理为基础，对以上提到的一些薄膜
系统作简要的介绍。
一 单层膜
如图 4— 11所示，玻璃基片上涂有一层厚度均匀的透明介质薄
膜，光束入射到薄膜上时将在膜层内发生多次反射，因此从
膜层的上下表面上分别有平行光出射，产生多光束干涉。这
种干涉的特点是，产生干涉光束的薄膜的上下表面接触的是
不同的介质。
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透射系数为基片界面的反射系数为设光在薄膜
。透射系数为方向行进时反射系数为
光由相反透射系数为薄膜界面的反射系数为设光在空气
。率为薄膜下方的基片的折射
射率为，薄膜上方的空气的折，折射率为设薄膜的厚度为
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相邻光束的位相差—入射光振幅—
别为光和透射光的复振幅分计算可得薄膜上的反射
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别为反射系数和透射系数分根据定义可求得薄膜的
基片中的折射角—薄膜上表面入射角—
分别为薄膜的反射率和透射率
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显然，当不考虑薄膜的吸收时，必有 R+T=1。此时，对于薄膜
的反射和透射特性，只需讨论其中之一即可，以下就讨论薄膜
的反射特性。
由第一章中关于反射系数的讨论已知，当光束正入射时，薄膜
两表面上的反射系数分别为
G
G
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nn
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nn
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G
G
射率为式，得到正入射时的反将其代入薄膜反射率公
性。论几种单层膜的光学特
进一步讨表达式和该曲线，可以。根据折射率的对应变化曲线
厚度变化时薄膜的入射光波在膜层光学时，对于波长为
描绘的是当—而变。图将随薄膜的光学厚度可知，
表达式都是确定的常数，由、膜，对于一定的基片和介质
R
n
nnhR
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G
G
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透膜。
大的膜就是单层增增大，这种使透射率增反射率减小，即透射率
部分表示镀膜使得反射率增大；此线以下以上部分表示镀膜使得
值进行了标注。在此线这一特定的中用一水平的点划线对—
，在图其反射率约为的未镀膜的玻璃基片，已知对于
单层增透膜
R
n
G
124
04.05.1
1
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果最佳。时反射率最低，增透效即膜层的光学厚度
的研究发现，当透射率的作用。进一步所镀的膜层就具有增大
于基片的折射率，：只要膜层的折射率小由曲线的有关标注可知
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的最低值表示式为表达式，得到将这一条件代入
此时光将全部透射。
则将有
如果膜层的折射率
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nnn G
的增透膜。没有
所以也的、适于镀膜的材料，。目前尚无这种折射率
时的膜层折射率的典型情况，可算得根据
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05.1,10
?
?
???
R
n
Rnn G
必须指出的是，对于正入射光束中的除 ?0以外的其他波长的光，
不能用 ?0的反射率公式来进行 R的计算，这种反射率随波长的
变化关系由图 4— 13的曲线表示。
当光束不是正入射时，可以通过引入等效折射率的办法来计算
反射率。
2 单层增反膜
由图 4— 12的曲线还可看到，当膜层的折射率大于基片的折射
率时，单层膜的反射率将大于基片的折射率，即此时的膜层将
起到增大反射率的作用。特别是当膜层的厚度 nh = ?0/4时，波
长为 ?0的光反射率将达到最大值。这个结果可以用两光束干涉
过程来作近似解释：当单层膜的折射率大于基片的折射率时,
在膜层上下表面反射的的两光束的光程差，除了由于膜层厚度
导致的 2nh = ?0/2 以外，还有由于膜层 → 基片界面反射引起的
附加光程差 ?0/2,所以总的光程差应为两者之和，因而反射光
干涉加强，反射率为最大值。
根据膜层的光学厚度可求得反射率为 2
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经对比可知，单层增反膜和单层增透膜的反射率表达式在形式
上是完全一样的，但意义完全不同。前者是在 n0＜ n ＜ nG条件
下反射率的极小值，后者是在 n0 ＜ n＞ nG条件下反射率的极大
值。
对于常见的单层增反膜，最大反射率只能达到 33﹪ 左右。如果
希望获得更高的反射率，必须采用多层增反膜。
3 半波长膜
半波长膜是光学厚度为 ?0/2 的膜。由图 4— 12可知，不论半波长
膜的折射率大于或小于基片的折射率，反射率都和未镀膜时基
片的反射率相同，所以膜层的光学厚度每变化 ?0/2 时，反射率
不变。
二 双层膜和多层膜
右图为一在玻璃基片上涂镀的双层
膜系，上膜层的厚度和折射率分别
为 h1和 n1，下膜层的厚度和折射率
分别为 h2和 n2。
r1
r2
r3
n0
n1
n2
nG
h1
h2
束的位相差。两界面反射的相邻两光—
界面的反射系数；—
界面的反射系数；—式中
的膜系的反射系数为设由下膜层和基片组成
2
23
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32
32
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G
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i
nnr
nnr
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r
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中的折射率。应用等效折射率代替式当光束并非正入射时，
正入射时
角是光在下膜层中的折射
G
G
nn
nn
r
nn
nn
r
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界面的反射系数；—式中
双层膜的反射系数为：系数表达式，就可得到
薄膜的反射层组成的膜系再次应用对这个等效界面和上膜数为
射分界面，反射系膜系看作一个等效的反将下膜层和基片组成的
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321321
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rrrrrrrrrrrrc
rrrrrrrrrrrrb
rrrrrrrrrrrra
ba
dc
R
rrr
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????????
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?
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反射率为：
到双层膜的与其共轭复数之积，得式中，求表达式代入到将
和分光膜等。
多层高反膜、冷光膜有双层和多层增透膜、完成。常用的膜系主要
杂，可借助于计算机算过程及结果会非常复但当膜层数很多时，计
多膜层系的反射率。原则上可以计算任意的应用等效界面的概念，
第五章 光的衍射
衍射定义,光在传播过程中遇到障碍物时发生的偏离原传播方
向而进入障碍物形成的几何阴影内、光强度呈现有 规律的周期
性变化的现象。
衍射条件,障碍物上透光的孔或缝的线度与光波长可比时。
衍射基本元件,光源、障碍物、观察屏。
衍射类型,菲涅耳衍射、夫琅和费衍射。
衍射类型的区分原则,光源、障碍物、观察屏三者间的距离。
当三者间距离均为有限或其中任意两者间距离为有限时为菲涅
耳衍射；当三者的距离均为无限远时为夫琅和费衍射。
§ 1 惠更斯 — 菲涅耳原理
一 惠更斯原理
表述：任何时刻的波面上的每 一点都可作为发射子波的波源，
各自发出球面子波。其后任一时刻所有子波波面的包络面形成
整个波动在该时刻的新波面。
优点：① 可以直观描述波的传播并解释衍射产生的原因。
② 可由已知波面求另一时刻的波面。
不足：对衍射仅有定性解释，无法用波长、振幅、位相等物理
量对衍射结果作定量描述。
二 菲涅耳积分式
目的：以子波相干叠加的方法对衍射结果进行定量描述。
R
S
Q ?
? P
r
研究方法：单色点光源 S发出的球面波波面为 ?，波面半径为 R，
光波传播空间内任意一点 P的振动应是波面 ?上发出的所有子波
在该点振动的相干叠加。
Z
Z`
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? 时为零。时为最大值；倾斜因子，—
常数—
点的复振幅表示为发出的子波在点处面元
的复振幅为，波面上任意一点单位距离处的振幅为设距点光源
2
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ex p
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的合振动的复振幅为产生相干叠加，叠加后
点波在范围内波面上发出的子上只有的限制，波面因
QE
dK
r
i k r
QEC
dK
r
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PE
PZZK
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§ 2 基尔霍夫衍射公式
利用菲涅耳积分式对一些简单的衍射情形进行的计算表明，衍
射光强的分布与实际结果符合得很好，但是菲涅耳积分式本身
是不严格的，例如其中引入的倾斜因子 就缺乏根据。菲涅
耳积分式的不足由基尔霍夫进行了改进。基尔霍夫由波动方程
出发，用场论的数学工具导出了较严格的公式（ 5— 19）,
? ??K
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2
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两者是一致的知与菲涅耳积分式对比可
对基尔霍夫衍射公式可作如下解释,
S P l
r Q ?
（ n,l） n （ n,r）
?
P点的波是 ?上无穷多个子波叠加
产生的，子波的复振幅与入射波
在 Q点的复振幅 成正比,
与 ?成反比。因子 1/i表明，子波
源的振动位相超前于入射波 ?/2。
由倾斜因子的表达式可知，子波
的振幅在各个方向上是不同的。
? ?QE~
如果点光源离产生衍射的开孔 ?足够远，则入射光可视为垂直入
射的平面波。对于 ?上各点都有 cos(n,l)=1,cos(n,r)= － cos ?,因此
? ? 2c o s1 ?? ??K
当 ?=0时,K(?)=1,表示在波面法线方向上子波的振幅最大；
当 ?=?时,K(?)=0，这一结论证明菲涅耳关于 ?= ?/2时 K(?)=0的
结论是不正确的。
在常见的衍射中，衍射孔线度比光源和观察屏到衍射屏的距离
小得多，在衍射孔的范围内 ?变化很小，因而倾斜因子 K(?)可视
为常量提出积分号外，以最简单的垂直入射情况处理取 K(?)=1 。
同样，在衍射孔范围内,r的变化也不大，且 r变化只影响各子波
在 P点的振幅，所以可取 1/ r≈1/z1.有以上两个近似后,基尔霍夫
衍射公式变为,
? ? ? ? ? ? ?? di k rQEziPE ex p~1~
1
?? ??
§ 3 基尔霍夫衍射公式的近似
用基尔霍夫衍射公式来计算菲涅耳衍射和夫琅和费衍射时，可
以按照观察屏离衍射屏距离远近的不同对公式进行化简，得出
两种衍射的近似计算公式。
一 菲涅耳近似
参见图 5— 7，衍射屏为 x1y1平面，观察屏为 xy平面两平面距离
为 z1,x,y轴分别平行于 x1,y1轴。
设 Q点和 P点的坐标分别为（ x1,y1 ）和（ x,y ），这两点之
间的距离 r为
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用二项式定理展开得到
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z
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则
似。这个式子称为菲涅耳近
只取展开式的前两项：对菲涅耳衍射
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的计算公式：中即可得到菲涅耳衍射—代入式
二 夫琅和费近似
在夫琅和费衍射中,z1 进一步增大，此时可进一步将 r的表达
式简化为,
近似。这个式子称为夫琅和费
1
11
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射的计算公式：式中，得到夫琅和费衍—代入
§ 4 矩孔和单缝的夫琅和费衍射
一 夫琅和费衍射实验装置
L2
P0
P
f
实验中平行光束垂直入射到衍射屏上，衍射后的平行光经透镜
会聚于焦平面上，产生衍射条纹。
?
（ x1,y1） (x,y)
依照图中所选取的坐标系，应用夫琅和费衍射计算公式,P点
子波叠加的复振幅为,
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因为衍射屏上是平行光垂直入射，所以屏上波面的复振幅分布
应为常数 A`，所以 P点复振幅式简化为
? ? 111122 e x p2e x p`,~ dydxyfyxfxikf yxfikfCAyxE ??
?
?????? ???????? ???????? ???????? ???
三 矩孔衍射
设夫琅和费衍射装置中衍射屏上的开孔为矩形，则观察屏上所
得为矩孔衍射花样，如图 5— 11所示。衍射花样整体表现为亮
斑和暗斑在沿 x轴和 y轴方向上的间隔分布。衍射花样的光强分
布可以通过刚刚得出的夫琅和费衍射计算公式求得。
参见图 5— 12，选取矩孔中心为坐标原点,x 轴方向上矩孔边长
为 a,y轴方向上矩孔边长为 b,根据夫琅和费衍射计算公式，观
察屏上 P点的复振幅为,
? ? 111122 e x p2e x p`,~ dydxyfyxfxikf yxfikfCAyxE ??
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化简为：选取积分限后，积分式
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点的强度
点的衍射强度为：
行讨论。律的变化，下面分别进标轴上分布并发生有规
两个坐坐标相关，即强度在这坐标相关，另一因子与一个因子与
强度取决于两个因子：度分布公式可知，衍射由夫琅和费矩孔衍射强
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此时
轴上衍射强度分布
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而求得。通过解超越方程
次最大值点，其位置值点之间有一个强度的在相邻的两个强度最小
件为：花样中的暗点满足的条强度为零的点，即衍射
，据此可求得衍射处，衍射强度有最小值在
，称为主极大；值处，衍射强度具有最大在
。由图可知，—图轴上的强度分布曲线如可以绘出
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暗点的间距是不等的。
轴上相邻的轴和所以，由于矩孔边长也是类似的。单要注意
布的规律和特点轴同样的方法进行，分轴的强度分布可按与对于
轴的强度分布公式为：
轴上的强度分布
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实际衍射图样中绝大部分光能量都集中于中央主最大亮斑内，
因此将中央亮斑作为衍射扩展的主要范围，以两轴上的坐标来
表示，这个扩展范围是,
fbyfax ?? ???? 00
由坐标式可知：衍射扩展与矩孔宽度成反比，与光波长成正
比。当 ?＜＜ a,b时，衍射可忽略 。
四 单缝衍射
当矩孔一个边长比另一边长大得很多时，产生的衍射称为单缝
衍射，如图 5— 16所示。在图示情况下,y轴方向上的衍射可忽
略，仅在 x轴上有衍射花样存在，衍射强度分布公式为,
称为衍射角。?
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纹的坐标范围为：单缝衍射花样中中央亮
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a
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条纹间距为：
§ 5 圆孔的夫琅和费衍射
圆孔夫琅和费衍射装置见图 5— 18。设圆孔半径为 a.考虑到圆孔
的对称性，在计算衍射强度时采用了极坐标，图中各点的直角
坐标和极坐标之间的关系为,
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积，积分面元为：由此得积分域为圆孔面
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点的光强；是式中
光强表达式为：
上式可表示为：应用一阶贝塞尔函数
由光强表达式可知,P点光强与衍射角 ?有关，即与 r有关，但与
?无关，所以圆孔衍射花样为明暗相间的圆环条纹。
? ?
最大。相邻的极小值间有一次
，为极小值位置；时，满足在
，为主最大位置；点，处的在
。—如图圆孔衍射强度分布曲线
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0
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0
0
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I
I
ZJZ
I
I
PZ
与单缝衍射一样，中央主最大亮纹集中了衍射的绝大部分光能
量，圆孔衍射中央主最大亮纹通常称为爱里斑，它的角半径为,
缝衍射是类似的。成正比，这种关系与单
成反比，与光波长的扩展范围与圆孔半径此式也表明，圆孔衍射
a
?
? 61.00 ?
§ 6 光学成象系统的分辨本领
光学成象系统的分辨本领是指分辨两个靠得很近的物点的能力。
在一个理想成象系统中，分辨本领是无限的，因为理想成象时，
一个物点对应的象也是一个点，只要物点不重叠，象点也不会
重叠，一定可以被分辨开。但是实际的光学系统是存在象差的，
一个点所成的象是一个扩展的光斑，更具体地说，是一个近似
的夫琅和费圆孔衍射花样。因此，两个靠近的物点产生的衍射
图样就会发生重叠，导致两物点可能无法分辨开。
图 5— 23画出了两物点之间距离的变化导致衍射图样重叠程度变
化的情况。从右侧的衍射强度曲线图可看出，随着两物点距离
的减小，两衍射图样的合强度曲线中央下凹处强度值在增大。
实际测量、观察证明：当中央下凹处强度值约为每一强度曲线
最大值的 75﹪ 时，两物点可以被分辨开。此时一个物点的中央
最大值恰好与另一物点的第一最小值位置重合。
瑞利判据：一个物点衍射图样的中央最大值与另一物点的第一
最小值位置重合时，两个物点恰能分辨，光学成象系统处于分
辨极限状态。
下面对几种典型的光学系统讨论其分辨本领。
1 望远镜的分辨本领
望远镜的分辨本领用两个恰能分辨的物点对物镜的张角来表示。
参见图 5— 24。设望远镜物镜孔径为 D，在分辨极限状态下两衍
射光斑中心的角距离为夫琅和费圆孔衍射图样中的爱里斑的角
半径，也就是分辨极限状态下两物点对望远镜物镜中心的张角,
越大，分辨本领越高。知，物镜的孔径由分辨本领的表达式可
称分辨本领。数辨角。最小分辨角的倒这就是望远镜的最小分
D
D
?
?
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1
22.10 ??
2 照相物镜的分辨本领
照相物镜的分辨本领用象面上每毫米能分辨的线数来表示。
照相机的象面是感光胶片，它的位置在照相物镜的焦平面处。
设照相物镜的孔径为 D，分辨极限状态下感光胶片上两直线的
间距为,
越大，分辨本领越高。对孔径越大，是物镜的相对孔径。相
线数为：象面上每毫米能分辨的
是照相物镜的焦距。
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3 显微镜的分辨本领
显微镜的分辨本领用分辨极限状态下两物点的距离表示。
严格地说，显微镜中的衍射不属于夫琅和费衍射，这里是一种
近似处理结果。
分辨极限状态下两物点的距离为,
是物镜的数值孔径。un
un
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610.0
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由显微镜分辨本领的表达式可知，要提高显微镜的分辨本领，
即减小 ?，可以有两个途径：一是增大显微镜的数值孔径，具
体有效的方法是采用油浸镜头；二是使用短波长的光源，典型
的例子是用电子束代替光波成象，即使用电子显微镜。与光学
显微镜相比，电子显微镜的分辨本领可以提高三个数量级。
§ 7 双缝夫琅和费衍射
我们回过头来再来分析杨氏双缝实验。由于每一缝都是细长狭
窄的，所以结果不应是简单的双缝干涉，而应该是双缝衍射。
图 5— 28中表示的就是夫琅和费双缝衍射装置图。从外观来看，
双缝衍射图样和双缝干涉图样类似，也是明暗相间的直线条纹，
但在精细结构上，二者却有着本质的不同，这可以通过双缝衍
射强度的分析而明了。
设平行光垂直入射在双缝上，观察屏上任意 P点的振动是两缝
上的波面 ?1,?2发出的所有子波在 P点振动的叠加。借用单缝衍
射的复振幅表达式形式，可得到双缝衍射时 P点的复振幅为,
? ? ? ?? ? 1111
21
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???
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点处两光波的位相差。这正是杨氏双缝干涉中
：差点产生的复振幅有位相的两缝在此式表明，间距为
点复振幅结果为：
化，轴方向上存在振幅的变虑到此时仅在选取合适的积分限并考
P
dk l d
Pd
i k l d
k l a
k l a
k l a
k l a
abCPE
P
x
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点的光强，是单缝衍射中
点的光强表达式：可得双缝衍射时令
?
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干涉共同作用的结果。
双缝衍射图样是单缝衍射和。因此得出结论：双缝子
另一个是双缝干涉因衍射因子因子决定：一个是单缝
强分布由两个式可知：双缝衍射的光由双缝衍射的光强表达
.
2
c o s4
,
s i n
2
2
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更深入的研究表明，双缝衍射光强表达式中的双缝干涉因子决
定着衍射图样中光强为极大值的亮纹和光强为极小值的暗纹的
位置，单缝衍射因子决定极大值亮纹的光强值（参见图 5—
30）。因此可以由双缝干涉因子得出各级亮纹和暗纹的条件如
下,
? ?
? ?
。光强为极小值，是暗纹
光程差
位相差当；光强为极大值，是亮纹
光程差
位相差当
?
?
,3,2,1,0
2
12
12
,3,2,1,0
2
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??
??????
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mm
m
mm
m
?
??
?
??
当 d/a=K时，双缝干涉的极大值与单缝衍射的极小值位置重合，
对应的极大值亮纹的光强度为零，该亮纹消失，这称为“缺级”
现象。 所有级数 m为 K的整数倍的亮纹都会发生缺级。
从衍射条纹照相图 5— 31可看出，双缝衍射条纹比单缝衍射条纹
更为精细。可以预见，当衍射缝数进一步增多时，条纹的精细程
度也将更高。
§ 8 多缝夫琅和费衍射
将夫琅和费衍射装置中的衍射屏换成开有多个等宽、等距、平
行狭缝的障碍物，所产生的衍射就是多缝夫琅和费衍射，衍射
条纹与双缝衍射类似。
一 强度分布公式
多缝衍射强度分布公式的推导，可以借助于双缝衍射的结果而
简化。
在双缝衍射的研究中已知，相距 d的两缝在 P点产生的复振幅的
位相差为
???? s in2 d?
? ?
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?s i n~~
0EPE
P
s ?
点的振幅为：单缝在
? ?
?
?
?
振幅的位相差均为
增，每相另两缝复点的复振幅位相依次递则第二、第三等各缝在
，即点的子波的复振幅为零条缝在设多缝衍射屏边缘第一
P
EPE
P
s i n~~
01
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2
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2
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Ni
N
EPE
PN 点的复振幅为：条缝在按此规律可求得
2
2
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?
N
II
P 点的光强为：
因子共同作用的结果。
和多缝干涉衍射也是单缝衍射因子和双缝衍射类似，多缝
二 多缝衍射图样
多缝衍射图样中的亮纹和暗纹的位置由多缝干涉因子决定。通
过分析可求得,
? ?
? ??
?
,2,,0``2
,2,1,02
NNm
N
m
mm
????
????
时光强为极小值。当
主极大；时光强为极大值，称为当
??
??
。—度分布曲线详见图级现象。多缝衍射的强
图样中同样会有缺个次极大值。多缝衍射值，有
个极小邻的主极大之间有由分析可知，每两个相
355
2
1
?
?
N
N
由衍射条纹照相图 5— 36可以证实，随着衍射缝数的增加，衍射
条纹变得越加精细，即亮纹变得越来越窄。为了解释这种变化，
定义了亮纹的 半角宽度,即一个亮纹和其一侧的第一个暗纹之
间的角距离,
?
??
c o sNd??
由这个关系式可看出,N越大，半角宽度越小，即条纹越细。
当 N极大时，衍射图样为几乎全黑背景上的细锐的亮线，具有
很好的观察性，可以大大提高测量的精确度。
§ 9 衍射光栅
光栅是一种精细加工的光学元件。光栅上有着大量平行、等宽,
等距的狭缝，其主要作用是通过衍射将不同波长的光分隔开,
即分光。光栅分为透射式和反射式。本节主要研究的是透射式
平面衍射光栅。
一 光栅方程
光栅方程意义：给定由光栅的多缝衍射形成的衍射图样中主最
大亮线（光谱线）的形成条件。
光栅方程的实质,由光程差 ?决定的干涉加强条件。
光栅的分光原理。位置上会分开，这就是
光在空间不同，因此不同波长的射角的同级光谱线对应的衍
的光一定的光栅，不同波长光栅常数由光栅方程可知，对于
光栅方程：
?
??
d
mmd ?,2,1,0s i n ????
? ?
，取负号。光栅平面法线的异侧时当入射光和衍射光位于
，取正号；光栅平面法线的同侧时当入射光和衍射光位于
光栅方程修正为：，设平行光的入射角为—参见图
质进行修正。可以根据光栅方程的实当平行光倾斜入射时，
?,2,1,0s i ns i n
,395
????? mmid
i
??
二 光栅的角色散
光栅的角色散指波长差为 1埃（ 0.1nm)的两条光谱线之间的角距
离。
??
?
c o sd
m
d
d ?光栅的角色散：
三 光栅的色分辨本领
光栅的色分辨本领是指光栅分辨两条波长差极小的光谱线的能
力。
由图 5— 40分析，按照瑞利判据，波长差为 ??的两条谱线恰能
分辨时，一条谱线的强度最大值的位置应该正好和另一谱线的
第一最小值的位置重合，两谱线最大值之间的角距离是谱线的
半角宽度 ??，由角色散表达式可得与 ??对应的波长差为
mNNdm
d
d
d ?
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?
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?
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c o s
c o s
数成正比。栅的总缝数和光谱线级光栅的色分辨本领与光
光栅的色分辨本领为：
mNA ?
?
?
?
?
四 光栅的自由光谱范围
由于光栅的分光特性，不同波长的光的同级谱线在光谱图上的
位置不同，形成一定长度的谱带。可以推断，当谱线级数增大
时，较低级数的长波谱线将和较高级数的短波谱线在空间位置
上发生重叠，这将会使光谱图变得难以辨认。因此有必要讨论
光谱的不重叠区，即自由光谱范围。
m
?? ??
光谱的不重叠区为：
§ 10 菲涅耳圆孔衍射
一 菲涅耳衍射
菲涅耳衍射是近场衍射，对于这种情况，采用基尔霍夫衍射积
分公式计算比较困难，一般采用菲涅耳波带法来进行讨论。
二 菲涅耳波带法
这是求解某些特定情况下的菲涅耳衍射光强分布规律的一种方
法。
特点,
1 相邻半波带对应部分所发射的次波到达 P0点时的位相相反。
2 任意序数的半波带面积近似相等。
3 各波带发出的子波在 P0点的振幅与波带的面积成正比，与
波带到 P0的距离成反比，且与倾斜因子 (1+cos?)/2有关。
?
? O
R
B0
B1
B3
B2
P0 z1
由图可知,P0点位于由衍射孔所确定的波面的旋转对称轴上。
设 P0到波面极点 B0的距离为 z1，以 z1为初始值，按每次递增 ?/2
的规律，设想将波面分为若干个环状带。因为每两个相邻波带
对应位置到 P0的距离均相差半个波长 ?/2，故称这些环状带为
菲涅耳半波带。
根据前面定义的波带的三个特点，可以将序数为 j的波带在 P0点
的振幅表示为,
点的距离个波带到第
个波带的面积第
比例常数
0
:
:
:
2
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jA
C
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j
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jjj
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1
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0
0
0
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点的复振幅的总和：样表示各波带在点的位相相反，可以这
邻波带子波到单调减小。再考虑到相将随波带序数的增大而
越大，所以和倾角越大时，距离因子有关。当波带序数
点的距离和倾斜只与到相等，所以由于各波带的面积近似
?
0
2
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2
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2
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2
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n
n
n
n
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EE
En
n
EE
En
EE
En
为偶数：设半波带总数
为奇数：设半波带总数
似结果：不太大时，有以下的近当
为偶数：设半波带总数
为奇数：设半波带总数
结果：整理处理后，可得以下经过数学变换、近似、
与 n为奇数对应的 P0点为亮点，与 n为偶数对应的 P0点为暗点。改
变衍射孔的大小或是移动观察屏，可以观察到衍射点明暗交替的
变化。
三 圆孔衍射图样
菲涅耳圆孔衍射图样可见图 5— 55，这是一组明暗相间的同心圆
环。要知道 P0点的明暗，关键是要知道圆孔波面能划分的波带
数目 n,
???
?
1
2
1
2
z
a
z
an ??
求得 n后，可以根据前面的公式得知 P0点的情况。
§ 12 全息照相原理
一 概述
全息照相和普通照相是两种完全不同的记录物体影象的方法。
普通照相是把从物体表面反射或散射的光或物体本身发出的光,
通过照相镜头成象在感光胶片上。感光胶片上记录的只是物体
光强度的变化，所以，得到的是物体的平面象。
而全息照相是采用了一种新的“无透镜”的两步成象法，它能
在
感光胶片上同时记录下物体的全部信息，即物光的振幅和位相,
因而具有获得立体象等许多优点。
全息照相分为两步。第一步利用干涉方法拍摄全息图（全息照
片），过程如图 5— 66a）所示。相干光源发出的光一部分照射
到物体上，从物体上反射或散射后照射到感光胶片上，这一部
分光称为物光波。相干光源的另一部分直接照射到感光胶片上,
这部分光称为参考光波。物光和参考光在感光胶片上发生相干
叠加，产生的干涉图样即记录了物体振幅和位相分布的全部信
息。这张记录干涉图样的胶片经过适当的暴光与冲洗处理后，
就是一张全息图（全息照片）。拍摄过程是一个记录或存贮信
息的过程。
第二步利用衍射原理进行物体的再现，如图 5— 66 b）所示。
当用一个相干参考光照明全息图时，记录了干涉图样的全息图
宛如一块复杂的光栅将发生衍射，在衍射光波中包含着原来的
物光波，当迎着物光波的方向观察时可看到物体的再现象，这
是一个物光波再现即成象的过程。
二 全息照相的一般原理
1 全息图的记录
设感光胶片平面为 xy平面，物光波和参考光波在平面上的复振
幅为,
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
位相分布。分别为物光和参考光的
和振幅分布，分别为物光和参考光的和 yxRyxOyxRyxO
yxiyxRyxE
yxiyxOyxE
RR
OO
,,,,
,ex p,,
~
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~
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? ? ? ?? ? ? ?? ?RORO ixpOixpOROyxI ???? ??????? ReRe,22
布为：波干涉产生的光强度分在感光胶片平面上两光
2 记录介质的作用与要求
将记录了全息图的感光胶片经过适当的暴光、冲洗后，就能得
到一张全息图，而适当的暴光、冲洗就要求冲洗后胶片的透射
系数与暴光时胶片上的光强成线性关系。设两者之比为 1，得
到全息图的透射系数 为,
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?RORO ixpOixpOROyxIyxt ???? ???????? ReRe,,~ 22
3 物体的再现
物体再现时，用一束光照射全息图，设这束光在全息图平面上
的复振幅为,
? ? ? ? ? ?? ?yxiyxCyxE CC,e x p,,~ ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?? ?
本公式。式，也是全息照相的基这就是衍射光波的表达
平面上的复振幅为：透过全息图后的光波在
ROC
RCOCD
iO R C
iO R CiCROyxE
xy
???
????
???
?????
e x p
e x pe x p,
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? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ?
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OR
ORD
RRC
iOiR
iORixpROyxE
yxiyxRyxEyxE
??
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???
???
??
e x p2e x p
e x pRe)(,
~
,e x p,,
~
,
~
2
222
则衍射光为：
，即摄时的参考光完全相同如果使用的再现光和拍
式中的第一项代表再现光波，第二项代表物光波，第三项代表
一个沿特定方向传播的物光的共轭平面波。再现时迎着代表物
光的光波方向观察，就能看到物体在原来位置的虚象。
一 光学的两大分支
光学是物理学最古老的学科之一，它分为几何光学和物
理光学两大部分。
几何光学：以光的直线传播模型为基础，研究光的传播
规律,成象规律，是光学系统设计的基础。
物理光学：以光的电磁理论为基础，研究光的本性、光
的传播规律及光与物质的相互作用。
1 波动光学
2 薄膜光学
3 非线性光学
4 傅立叶光学
5 集成光学
二 物理光学的内容
绪 论
1864年，麦克斯韦在总结安培、法拉第等人关于电场、磁场的
研究工作的基础上，归纳得出了描述统一的电磁场规律的麦克
斯韦方程组，建立了完整的电磁场理论。 1865年他进一步提出
了光是一种电磁波的设想并在 1888年为赫兹的实验所证实，光
的电磁理论由此得以确立。光的电磁理论的建立推动了光学及
整个物理学的发展，尽管在理论上有其局限性，但它仍是阐明
众多光学现象的经典理论。
第 一 章 光的电磁理论
一 积分形式的麦克斯韦方程组
1 静电场和静磁场的麦克斯韦方程组
??
?
??
??
0
0
?dB
dlE
?
?
?? ?? QdD ??
? ?? IdlH?
静电场的高斯定理
静电场的环路定律
这一方程组只适用于稳恒场。若电场和磁场是交变场，则其中
的部分表达式不适用
静磁场的环路定律
静磁场的高斯定理
麦克斯韦方程组描述了电磁场的基本规律，它有积分和微分两种
表达形式。
§ 1 麦克斯韦方程组
2 交变电磁场的麦克斯韦方程组
麦克斯韦假定在交变电场和交变磁场中，高斯定理依然成立。
变化的磁场会产生涡旋电场，故静电场的环路定律应代之以涡
旋电场场强的环流表达式；对静磁场的环路定律则引入了位移
电流的概念后进行了修改，这样，就得出了适用于交变电磁场
的麦克斯韦方程组。
?? ?? QdD ??
??
? ??
??
?
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????
0?
?
dB
d
t
BdlE
?
??
?dtDIdlH ??????? ??
??
（ 2）式的意义是：单位正电荷沿闭合回路移动一周时，交变的
涡旋电场所作的功等于回路中产生的感应电动势。（ 4）式中的
为位移电流。
（ 1）
（ 2）
（ 3）
（ 4）
DIdt
D ??
?
??? ??
二 微分形式的麦克斯韦方程组
为方便地求解电磁场的某一场量，实际中常使用麦克斯韦方程
组的微分形式。
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3
20
1
t
D
jH
t
B
E
B
D
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????
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???
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称哈密顿算符式中 zzyyxx ?????????? 000 ???
?是电荷分布的体密度,j是传导电流密度。从积分式变换到微
分式依据的数学定理，可参见课本后的附录。
三 物质方程
麦克斯韦方程组中共出现两个电场量 E,D和两个磁场量 B,H。
其中的 E,B是基本量,D,H是辅助量。对应的基本量与辅助量
的关系取决于电磁场所在的物质。
在各向同性物质中，有以下关系成立,
HB
ED ?? ??
?
?
?
?
导电物质中，还有 的关系。 ?为电导率。
以上三式合称为物质方程。麦克斯韦方程组与物质方程结合，
构成一组完整的反映电磁场普遍规律的方程组。
Ej ???
?为介质的介电系数
?为介质的磁导率
一 电磁场的传播
用麦克斯韦电磁理论的基本概念，可以将电场和磁场的相互关
系表述为,
空间某区域内有变化的电场，则在临近的区域内印起变化的磁
场；这个变化的磁场又在较远的区域内引起新的变化的电场,
并在更远的区域内引起新的变化的磁场。这个过程持续地继续
下去，变化的电场和变化的磁场交替产生，构成统一的电磁场。
在这种交替产生过程中，电磁场由近及远、以有限的速度在空
间内传播，形成电磁波。
二 电磁场的波动方程
由麦克斯韦方程组可导出关于电场基本量 E和磁场基本量 B的两
个偏微分方程，从而证明电磁场的波动性。为简化讨论，假设
所讨论的空间为无限大且充满各向同性的均匀介质，故 ?,?均
为常数；又设讨论的区域远离辐射源，因此 ?=0,j=0。
§ 2 电磁场的波动性
在此条件下，麦克斯韦方程组简化为
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? ?
? ?
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3
20
10
t
E
B
t
B
E
B
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???
???
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取第三式的旋度 ? ? B
tE
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将（ 4）式代入上式右侧 ? ?
2
2
t
EE
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??????? ?? ??
由场论公式，上式左侧可变为 ? ? ? ? EEE ??? 2??????????
? ? EEE ??? 20 ??????????,所以由于
02
2
2 ?
?
???
t
EE ?? ??由此可得：
由相似的数学运算可得到关于 B的方程
02
2
2 ?
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???
t
BB ?? ??
??
1?v令
两方程变为
0
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0
1
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2
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B
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B
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E
v
E
?
?
?
?
这两个偏微分方程称波动方程，它们的解为各种波动，这表明
电场和磁场是以波动的形式在空间传播的，传播速度为 v。
三 电磁波
1 电磁波的速度
电磁波在介质中的传播速度取决于介质的介电常数和磁导率,
关系式为,
当电磁波在真空中传播时，速度为 c
??
1?v
00
1
???c
2 电磁波谱
电磁波包含许多波长成分，除了我们熟知的无线电波和光波以
外，还包括 X射线,?射线等。按照波长或频率的顺序把这些电
磁波排列成，称为电磁波谱，如图 1－ 3所示。
3 介质的绝对折射率
电磁波在真空中的速度与在介质中的速度是不等的。为了描述
不同介质中电磁波传播特性的差异，定义了介质的绝对折射率,
v
cn?
代入 c,v各自的表达式，有
为相对磁导率。为相对介电常数,rr
rrv
cn
??
??
??
?? ???
00
关系。这个表达式称麦克斯韦
故多数物质而言，对除磁性物质以外的大
r
r
n ?
?
?
?,1
本节根据波动的两个偏微分方程，结合边界条件、初始条件,
得出其中的平面波解－平面波的波函数。
一 沿某一坐标轴方向传播的平面波
所谓平面波，是指电场和磁场在垂直于传播方向的平面内各点
具有相同值的波。
设平面波沿三维坐标系的 Z轴正向传播，如图 1－ 4所示。产生平
面波的电磁场波动方程简化为
? ?
? ?201
10
1
2
2
22
2
2
2
22
2
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B
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B
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E
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E
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引入中间变量对方程化简，令
vtz vtz ?? ????
§ 3 平面电磁波
对（ 1）式代换变量，得
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EEE
v
t
E
EEE
z
E
????
????
因此（ 1）式化简为
0
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E
E
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即
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积分得对
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g
g
E
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个平面波。轴正、负方向传播的两沿的两个任意函数，代表和是、
积分得再对
Ztzff
vtzfvtzf
fffdgE
21
21
212
????
???? ? ?????
?
?
? ?vtzfE
ff
vZvZ
??
?
??
故电波的波函数最终为
两函数合二为一。、则可将
，轴负向传播的平面波，沿轴正向传播的平面波设沿
上式还可进一步简化。
21
00
? ?
? ?vtzfB ???
的波函数为进行类似求解，得磁波对方程 2
? ? ? ?
? ? ? ?4
2
co s
3
2
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2
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vtzAB
vtzAE
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程的特解：的余弦函数作为波动方取周期为
二 平面简谐波
（ 3）（ 4）式是平面简谐波的波函数，即我们认定研究的电磁
波为平面简谐波。
1 波函数中各因子的意义
磁场的振幅—
电场的振幅—
A
A
?
波长—?
? ? 波的位相—?????? ? vtz??2
定义某一时刻位相相同的各点所形成的包络面为波面。分析位
相因子可知：在任意时刻 t时，位相相同的各点必有同一 z值，
即各点位于同一垂直于 z轴的平面内，波面为一平面，故（ 3）、
（ 4）式所表示的波为平面简谐波。
? ?
化特点。
传播及变位置，由此可看出波的，波峰位于波峰；在另一时刻
位置为时刻、余弦位相因子可求得在的变化关系。例如：由
间、时间决定着电场、磁场随空波函数中余弦位相因子
vtzt
zot
vtz
?
??
?
?
?
?
?
?
?
0
2
c o s
?
?
2 波函数的多种表达形式
（ 1）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
T
tz
AE
v
T
k
kk
?
?
?
?
?
?
2c o s
1
2
??
?
可将电场的波函数写为
波长、速度的关系：利用波的频率、周期、
称为波数：，它的量值引入波矢量
? ?tkxAE ?
???
??
?
c os
2 ??,上式又可变为定义角频率
（ 2）就一般情况而言，平面电磁波可沿空间任意方向传播，因
此需要写出在一般情况下的波函数。
如图 1— 5所示：电磁波沿空间某一方向传播，在 t时刻波面为 ∑，
波面上任意一点 P到坐标原点的距离为 r,电波的波函数为
在物理光学的研究中，主要关注的是光的能量。而理论分析证
明：对光能量起决定作用的是电场强度 E。 所以将 E 的表达式称
为光波的波函数。
我们研究的光波是理想的单色光波，即波的频率 ?为与介质无关
的单一值。由于波的传播速度随介质而异，所以在不同的介质
中，波长有不同的值。真空中波长 ?0与折射率为 n的介质中的波
长 ?的关系是
n
o?? ?
? ?
点的位置矢量。为为波矢量，式中 Prk
trkAE
??
???? ???? c os
（ 3） 复数形式的波函数
为了运算方便,波函数常写成如下的复数形式
? ?? ?trkiAE ???? ???? ex p
用这种复数表达式，可以免去复杂的三角函数运算。例如在光
学问题中，常常要求振幅 A的平方值，因为光波的能量（光强度
I） 与 A2成正比。要求 A2,只需将复数 E乘上其共轭复数 E*,
? ? ? ?trkitrki eAeAEEA ?? ????? ???? ?? ???? *2
也可将复数波函数中的空间位相因子和时间位相因子分开写为
使计算简化。用复振幅来表示光波，
波随时间的变化，可以况下，如果不需考虑光叫做复振幅。在许多情
相因子将其中的振幅和空间位
rki
tirki
eAE
eeAE
??
??
?
??
?
??
?
??
~
?
三 平面电磁波的性质
（ 1）电磁波是横波
证明,
? ?? ? EkitrkiAE ?????? ?????????? ?e x p
：对光波的波函数取散度
故电波是横波。
波的传播方向垂直，的方向垂直，也就是与的方向与波矢量即 kE
Ek
E
??
??
?
?
0
0
???
???
，磁波也是横波。同理可证,0?? Bk ??
（ 2） E和 H互相垂直
? ?
t
B
E
?
?
????
?
?
式知：方程组由微分形式的麦克斯韦
证明：
3
EkiE
E
???
?
????
，得到的复数表达式进行运算上式左侧代入
? ?
EkB
v
v
k
EkB
Bi
t
B
???
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
??
?
?
0
12
1
3
??
??
???
?
?
?
?
?
，上式又可写为代入
式演变为则
而
。三矢量构成右螺旋系统
代表的波的传播方向，且均垂直于由此证得,0kBE ??? ?
? ?
两矢量位相相同。、
实数，两波振幅之比是一个正
同相和
BE
v
B
E
BE
??
?
?
?
??
?
??
??
1
3
综合以上所述三点，得到如图 1－ 8的电磁波传播示意图。
一 球面波
如果在真空中或各向同性的均匀介质中的 O点放一个点光源，容
易想象，从 O点发出的光波将以相同的速度向各个方向传播，经
过一定时间以后，电磁振动所到达的各点将构成一个以 O点为中
心的球面，如图所示。这时的波阵面是球面，这种波就称为球
面波。
O R
光线
波面
§ 4 球面波和柱面波
设图中的球面波为单色光波。由于球面波波面上各点的位相相
同，因此只需研究从 O点发出的任一方向上各点的电磁场变化规
律，即可知道整个空间的情况。
取沿 OR方向传播的光波为对象。设 O点的初相为 0，则距 O点为 r
的某点 P的位相为
? ?tkr ??
? ?
? ?? ?tkriAE
tkrAE
PAP
r
r
r
?
?
??
??
e x p
c o s
??
??
其复数形式为
点电场的波函数为，则点振幅为设
球面波的振幅 Ar是随距离 r变化的。设距 O点为单位距离的 O1点
和距 O点为 r的 P点的光强分别为 I1和 Ir,则
2
1
2
1
1
44
rI
I
rII
r
r
??
??? ??
r
A
A
OA
A
A
I
I
r
rr
1
11
2
1
2
1
??
?
点的振幅是
?
? ?
? ?? ?tkri
r
A
E
tkr
r
A
E
E
?
?
??
??
e x p
c o s
1
1
或
波的波函数：的表达式中，得到球面将这个关系代入
由波函数可看出：球面波的振幅与离开波源的距离成反比。
实际中，当考察的空间离球面波的波源很远时，对一个较小范
围内的球面波波面，可近似作平面处理，即认为是平面波。
二 柱面波
柱面波是一个无限长的线光源发出的光波，它的波面具有柱面
的形状，用同样的方法可以证明，柱面波的振幅与 成反比,
因此，柱面波的波函数为
r
? ?? ?tkrirAE ??? ex p1
。近似的球面波或柱面波
为小得多的情况下，光波源的线度比距离一定的大小，只是在光
现的，因为光源都有和柱面波都是不可能实实际上，严格的球面波
表。都可以用其复振幅来代对于球面波和柱面波，
r
光是电磁波，光源发光就是产生物体电磁辐射。一个物体是由
大量的分子、原子组成的，物体的发光实质上是组成物体的分
子、原子发光。因为大部分物体的发光属于原子发光类型，所
以可以只研究原子辐射电磁波的情况。
一 电偶极子辐射模型
经典电磁场理论把原子发光看作是原子内部过程形成的电偶极
子的辐射。原子由带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子
组成，在外界能量的激发下，原子核和电子产生剧烈运动，发
生相互作用，使得原子的正电中心和负电中心通常并不重合,
且两者间的距离在不断发生变化，形成一个振荡电偶极子。
设原子核所带电荷为 q,正负电中心的距离（矢径）为 l,方向
由负电中心指向正电中心，原子的电矩为 p（ 见图 1－ 13）
p = q l
§ 5 光波的辐射
最简单的情况是：振荡电偶极子是电矩随时间作余弦（或正弦）
变化
是角频率。，是电偶极子电矩的振幅 ?
?
0
0 c os
p
tpp
?
?? ?
原子作为一个振荡电偶极子，必定在周围空间内产生交变的电
磁场，图 1－ 14是电偶极子附近电场中电力线的分布图示。
在前期的《电磁场理论》中，已应用麦克斯韦方程组对振荡电
偶极子辐射的电磁场进行了计算，结果如下,
1 作简谐振荡的电偶极子在距离很远的 P点辐射的电磁场的数
值为（参见图 1－ 15）
? ? ? ?
角与电偶极子轴线间的夹—
点的距离电偶极子到—式中：
r
Pr
e
rv
p
Be
rc
p
E tkritkri
?
??
??
??
?? ?? ??
??
3
0
2
2
0
2
4
s i n
4
s i n
上式表明：电偶极子辐射的电磁波是一个以电偶极子为中心的
发散球面波，但球面波的振幅是随 ?角而变的。
光波是偏振的球面波。
此振荡电偶极子发射的一特性称为偏振性，因各自的平面内振动，这
分别在、三者成右螺旋系统。、、向，又都垂直于波的传播方
和动，同时在与之垂直的平面内振所在的平面内振动，和在
BEkBE
BEBrpE
?????
??????
2
二 辐射能
振荡的电偶极子向周围空间辐射电磁场，电磁场的传播伴随着
场能量的传播，这种场能量称辐射能。
）（
为已知电磁场的能量密度
22 1
2
1
BEW
?
? ??
为了描述辐射能的传播，引进辐射强度矢量（ Poynting矢量） S,
它的大小为单位时间内、通过垂直于传播方向的单位面积的辐
射能量，它的方向为能量的传播方向。
? ?1
1
2
22
??
?
?
??
?
?
??? BE
v
wvs
dtw v dddt
d
?
?
??
?
，辐射强度矢量的值为的能量为时间内通过在
对能量无吸收，向的面积元，假定介质为垂直于电磁波传播方设
? ?2
1
11
2 EBEvs
v
B
E
v
?
?
????
???
????
已知 S的方向为电磁波的传播方向，而波的传播方向,E方向,B
方向三者相互垂直，故（ 2）式又可以写成矢量式
? ?31 BES ??? ?? ?
由于电场和磁场的变化频率高达 1015Hz数量级，所以 S的值也在
迅速改变，用任何方法都不能接受到其瞬时值，只能接受到在
某一时间段内的平均值。已知辐射强度的瞬时值为 S=v?E2,设
电偶极子辐射球面波，代入球面波电场波函数的实数表达式
? ?tkrrvpEvS ??? ??? ??? 2232 22042 c os16 s i n
则辐射强度在一个周期内的平均值为
? ? ? ?
? ?4s i n
32
c o s
16
s i n1
2
232
2
0
4
0
2
0 232
22
0
4
?
??
?
?
??
??
rv
p
dttkr
Trv
p
S d t
T
S
TT
?
??? ??
由此式可知：辐射强度的平均值与电偶极子振荡的振幅平方成
正比；与振荡频率的四次方成正比，即与波长的四次方成反比；
还与角度 ?有关。
考察离电偶极子很远处的球面波时，可将其视为平面波，平面
波的辐射强度在一个周期内的平均值为
? ? ? ?
? ?5
2
1
2
1
c o s
11
22
0
2
0
2
AAv
dttkr
T
AvSdt
T
S
TT
?
?
?
??
??
??? ??
物理光学中将（ S） 称为光强度，用 I 表示。由（ 5）式得,
I ∝ A2
当讨论相对光强时，比例系数可消去,I =A2。
三 对实际光波的认识
1 光波的不连续性
振荡电偶极子辐射的并不是连续的光波，而是持续时间极
短的波列，每一波列的持续时间为 10-9秒数量级，各波列之
间没有确定的位相关系，光矢量的振动方向也是随机的。
2 自然光的非偏振性
光学中将普通光源辐射的、未经过特殊的起偏振装置处理
的光波叫自然光。这种光波在空间各个方位上的振动几率
相等，不表现出偏振性。
光学中经常遇到光波从一种介质传播到另一种介质的问题。由
于两种介质对光传播所表现的物理性质不同（这种不同以介电
系数和磁导率的变化来表征），所以在两种介质的分界面上电
磁场量是不连续的，但它们相互间有一定的关系，这种关系称
为电磁场的边值关系。
下面应用麦克斯韦方程组的积分式来研究这个边值关系。
一 电磁场法向分量的关系
参见图 1－ 18，假想在两介质的界面上作一个扁平的小圆柱体,
柱高为 ?h,底面积为 ?A,将麦克斯韦方程组的（ 3）式应用于该
圆柱体，得出
?? ?? ?? ?? ??????? 顶 底 壁 ???? dBdBdBdB ????
§ 6 电磁场的边值关系
因为底面积 ?A很小，可认为 B是常数。设柱顶和柱底分别是 B1
和 B2,上面的积分可改写为
向法线单位矢量。分别为柱顶和柱底的外、
壁
21
2211 0
nn
dBAnBAnB ?? ?????? ???
?????
当柱高 ?h趋于零时，上式的第三项趋于零，且柱顶和柱底趋近
分界面。此时用一个法线方向的单位矢量 n来替代 n1,n2,方向从
介质 2指向介质 1，如图 1－ 18所示。
? ?
的法向分量是连续的。的分界面上这个结果说明：两介质 B
BB
BBn
nnn
nn
?
??
???
???
?
21
21
21
0
?
???
???
再将麦克斯韦方程组的（ 1）式用于图 1－ 18的圆柱体。在界面
没有自由电荷的情况下，可得
? ?
。的法向分量也是连续的即在此条件下,D
DD
DDn
nn ?
??
??
21
21 0
?
??
二 电磁场切向分量的关系
假想在图 1－ 18中两介质分界面上作一个矩形 ABCD,其四条边
分别平行或垂直于分界面，如图 1－ 19所示。将麦克斯韦方程组
的（ 2）式应用于该矩形，得出
?dtBldEldE
AB BC CD DA
????????
?
?
???
? ????? ??? ? ? ? ? ?????
设 AB,CD很小，在两线段范围内 E可视为常数，则介质 1中为
E1,介质而中为 E2。 当矩形高度 ?h趋于零时，沿 BC和 DA路径的
积分趋于零；由于矩形的面积将趋于零，前面等式右侧的积分
也为零，前式变为,
的长度。、为切线方向的单位矢量，、分别为沿、
或
CDABlCDABtt
ltEltE
ldEldE
CDAB
?
??
21
2211 0
0
????
???? ??
????
????
? ?
续。电场强度的切向分量连此结果表明：分界面上
或
上式可写为
，，则指向单位矢量，方向由表示分界面切线方向的以
tt
EE
tEE
tttBAt
21
21
21
0
??
???
????
?
???
???
? ? ? ?
? ? 0
0
21
2121
???
????
EEn
nEEtEE
???
??????
故可以改写为
，行于界面法线垂直于界面，也就是平可知，由
? ?
? ?
量的切向分量连续。此情况下，磁场强度矢
或
式可得方程组的面电流时，由麦克斯韦同理：在分界面上没有
tt HH
HHn
21
21 0
4
??
???
?
???
三 结论
在两种介质的分界面上，电磁场量整体是不连续的，但在界面
上没有自由电荷和面电流时,B和 D的法向分量以及 E和 H的切向
分量是连续的。
光在两透明介质分界面上的反射和折射，实质上是光波的电磁
场与物质的相互作用问题，它的精确处理是很复杂的，需要涉
及到次波的产生和相干问题。本节中采用了一种较简单的方法,
用介质的介电系数、磁导率和电导率来表示大量分子的平均作
用，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边界条件，研究平面光波
在两介质分界面上的反射和折射问题。
一 反射定律和折射定律
当一个单色平面光波入射到两不同介质的分界面上时，被分为
两个波：折射波和反射波。从电磁场的边值关系可以证明这两
个波的存在，并求出它们的传播方向的关系。
§ 7 光在两介质分界面上的反射和折射
1
2
k1 k1`
k2
n
设介质 1、介质 2的分界面为无穷大
平面，单色平面光波由 1入射到 2,
入射波、反射波、折射波的波矢量
分别为 k1,k1`,k2,角频率分别为
。三个波分别表示为
2,11,,???
?1 ?1`
?2 ? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?trkiAE
trkiAE
trkiAE
2222
/
1
/
1
/
1
/
1
1111
ex p
ex p
ex p
?
?
?
???
???
???
???
????
????
? ? 2/11 EnEEn ????? ????
应有由电磁场的边值关系，
? ? ? ? ? ?trkitrkitrki eAneAneAn
EEE
2
/
1
/
111
2
/
11
2
/
11
??? ?????? ????? ?
????? ??????
???
的表达式：、、代入
? ?
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
即同在入射面内。三个波矢量是共面的，、、
：界面法线平行，故可知与界面垂直，也就是与和即
或
射波频率相同。即入射波、反射波、折
因此可得：
。式中各项的指数必相等
均成立，量和界面上的任意位置矢前式对任意时刻
2
/
11
211
/
1
211
/
1
2
/
11
2
/
11
00
2
1
kkk
kkkk
rkkrkk
rkrkrk
rt
???
????
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??????
?????
??
?
???
? ?
? ?
? ?
这就是折射定律。
中第二式可得由
这就是反射定律；即反射角等于入射角，
中第一式可得由
2
2
1
1
2211
2212
/
11
/
1111
2
2
1
/
11
s i ns i n
s i ns i n
2
c o s
2
c o s
2
2
c o s
2
c o s
2
3
vv
nn
rkrk
rkrk
v
k
v
kk
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??
?
?
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?
?
?
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??
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?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
????
二 菲涅耳公式
菲涅耳公式是用来表示反射光、折射光与入射光振幅和位相关
系的一组表达式。
实际情况中，入射光的电矢量 E1可以在垂直于传播方向的平面
内的任意方位上振动，但总可以
将 E1分解为垂直于入射面的分量
E1s和平行于入射面的分量 E1p。 Es
的正方向为沿 y轴正向，即垂直于
图面向外； Ep的正方向如图所示。
需要说明的是，这种方向只是一
种人为的规定，改变这种规定,
并不影响结果的普遍适用性。
x
z
o
n1
n2
E1s
E1p
E1s`
E1p`
E2s
E2p
k1
k1`
k2
?1 ?1`
?2
1 s波的反射和透射系数
设平面波入射于两介质界面,
其中的电矢量垂直于入射面,
磁矢量的方向如图所示，三
个波同相。
由电磁场边值关系的（ 3）式
可得
E1s
H1p
E1s`
H1p`
E2s
H2p
?1 ?1`
?2
o
n1
n2
? ?1` 211 sss EEE ??
? ?
? ?2c o s`c o s`c o s
4
221111 ??? ppp HHH ??
可得
式和图中的投影关系由边值关系的
? ?
? ? ? ?`2co s`co s
2
`,,,
1
2221111
110
??
?????
??
sss EnEEn
HB
B
E
??
?
????
式可整理为
?
? ? ? ?
? ? 2121121
211
c o ss i n`s i nc o s
`
`21
???? sss
sss
AAA
AAA
??
??
式，得到式和的表达式代入将入射、反射、折射波
? ?
? ?
? ?
波的菲涅耳公式。这两式称为
如下：振幅比
、折射波和入射波的射波和入射波的振幅比由这两式可分别求得反
s
A
A
t
A
A
r
t
r
s
s
s
s
s
s
s
s
21
12
1
2
21
21
1
1
s i n
c o ss i n2
s i n
s i n`
??
??
??
??
?
??
?
?
???
2 p波的反射和透射系数
入射的平面波是电矢量平行于
入射面的 p波，磁矢量的方向
垂直于入射面，入射、反射,
折射三波仍同相。
与前面研究 s波的过程相仿,
由电磁场边值关系的（ 3）,
（ 4）式和右图可得
E1p
H1s
k1 ?1 ?1`
?2
E1p`
H1s`
H2s
E2p
k1`
k2
n1
n2
? ?
? ?4`
3c osc os`c os
211
221111
sss
ppp
HHH
EEE
??
?? ???
? ?
? ? ? ?`4`s i n
4
,s i ns i n,,
1
22112
2211
ppp EnEE
nnHB
B
E
??
?
???
?
???
??
式可变为
?
将入射、反射、折射波的表达式代入（ 3）和（ 4`）式，得到
? ?
? ? 12112 22111 s i n`s i n
c o s`c o s
??
??
ppp
ppp
AAA
AAA
??
??
? ?
? ?
? ? ? ?
波的菲涅耳公式。这两式为
：比
幅、折射波与入射波的振与入射波的振幅比由这两式可求得反射波
p
A
A
t
tg
tg
A
A
r
t
r
p
p
p
p
p
p
p
p
2121
12
1
2
21
21
1
1
c o ss i n
c o ss i n2
`
????
??
??
??
??
??
?
?
??
? ?
? ?
? ?
? ?8
1
2
7
1
1`
6
1
2
5
1
1`
00
1
2
1
1
1
2
1
1
11
?
??
?
?
??
?
??
?
?
???
??
nA
A
t
n
n
A
A
r
nA
A
t
n
n
A
A
r
p
p
p
p
p
p
s
s
s
s
s
s
为：
时，菲涅耳公式可化简或入射，即在光波正入射或近似正 ??
三 菲涅耳公式的讨论
对菲涅耳公式的讨论分 n1＜ n2 和 n1＞ n2 两种界面情形来进行。
1 n1＜ n2 时
举最常见的光从空气射向玻璃的情况为例,n1=1,n2=1.5。 图
1－ 24是这种情况下 s波和 p波的透射系数、反射系数与入射角 ?1
的关系曲线。由该图可得如下结论,
（ 1）在图中 ?1角的变化范围内,s波和 p波的透射系数值接近，
而且均随 ?1的增大而减小；当 ?1=90o时,ts,tp均为 0，没有
折射光波存在。
（ 2） 在图中 ?1角的变化范围内,rs的绝对值随 ?1的增大而增大，
当 ?1=90o时,rs的绝对值为 1，即垂直分量全部反射； rp的变
化分为 ?1 ＜ ?B和 ?1 ＞ ?B两段（ ?B + ?2= 90o ）,当 ?1 ＜ ?B时,
rp的值随 ?1的增大而减小到 0，反射光中没有平行分量；当 ?1
＞ ?B时,rp的绝对值随 ?1的增大而增大，当 ?1=90o时 rp的绝
对值为 1，即平行分量也完全反射。
（ 3）由图中可看出,ts,tp均为正值,A2s与 A1s同号,A2p与 A1p
也同号，即界面上 E2s与 E1s为同方向,E2p与 E1p也为同方向，位
相相同。
（ 4）图中 rs始终为负值,A`1s与 A1s异号，即界面上 E`1s与 E1s反向，
反射波中的垂直分量发生了 ?的位相突变； rp当 ?1 ＜ ?B时为正值,
A`1p与 A1p同号,E`1p与 E1p同向，位相相同。当 ?1 ＞ ?B时,A`1p
与 A1p异号,E`1p与 E1p反向，位相相反。
（ 5）由图 1－ 25可知：平面波在界面上发生正入射（ ?1 ≈0o） 或
掠入射（ ?1 ≈90o） 时,E`1s与 E1s,E`1p与 E1p都反向，所以 E`1与
E1也反向，即在这两种情况下反射光与入射光的振动位相相反，
可以理解为反射时发生了 ?的位相突变，称为“半波损失”。
2 n1＞ n2 时
设光波与 1相比逆向入射,n1=1.5,n2=1。 这种情况下 s波和 p波
的反射系数、透射系数与入射角 ?1的关系如图 1－ 26的曲线所示。
与 n1＜ n2时对应曲线相比较，不同之处如下,
（ 1）在 ?1 ＜ ?c时（ ?c 为 ?2=90o时对应的入射角）,rs,rp的符
号与 n1＜ n2时的情况正好相反，将不会出现相位突变，即这
种界面条件下不存在半波损失。
（ 2）在 ?1 ≥ ?c时,rs,rp为复数，但模值为 1，意味着产生了全
反射。
（ 3） ts,tp的值均大于 1，且随 ?1 的增大而增大。
四 反射率和透射率
菲涅耳公式表示的是入射、反射、折射波的振幅之比，利用光
强度与振幅的关系式，可将振幅比变为能量比，得出界面的反
射率和折射率。
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—参见图界面单位面积的能量为，则单位时间入射于分
，折射波的光强记为，反射波的光强记为如果入射波的光强记为
的光能量。于传播方向的单位面积是单位时间内通过垂直
已知平面波的光强度为
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走的能量为间从分界面单位面积带反射波和折射波单位时
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恒定律，应有称透射率。根据能量守称反射率，
假设比为波与入射波的能量流之由此得出反射波、折射
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pp
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应有
的表达式，同样、、、式中，可得到、将菲涅耳公式代入
最常见的是自然光入射，这时 s波和 p波能量相等
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自然光的反射率为
。膜工艺来解决这个问题
现代光学技术中用镀的能量损耗不容忽视。数量较多时，反射造成
好。但当这种界面的如此，玻璃的透光性很的能量被反射。正因为
，即有光正入射时，玻璃界面为例，当自然—以空气 %40 4 3.0?nR
五 反射和折射产生的偏振
斯特角。，称为起偏振角或布儒表示这个特定的入射角式中以
可求得以下关系的条件代入折射定律，将
光称为完全偏振光。这种振动为唯一方向的
于入射面的振动，，即反射光中只有垂直射光平行分量的反射率
，可求得反面时，如果入射角满足自然光入射于两介质界
B
B
p
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当自然光以其他的角度入射于界面时，反射光和折射光一般为
部分偏振光，即 s波和 p波都存在但强度不等。此外，不论以何种
角度入射，折射光都不会变为完全偏振光。
为全反射。全部反射，这种情况称
此时的事实是，入射光结果的折射角不存在。是无意义的，满足这个
果的结果。显然，这个结，则会出现满足入射角
，若光波的时，由折射定律可得当介质界面情况为
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。临界角：—角发生全反射的最小入射
光疏介质。，光波由光密介质射向全反射的界面条件：
1
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n
nn
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下面对发生全反射时光波的情况进行深入的讨论。
§ 8 全反射
一 反射系数和位相变化
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式右侧根号前取正号得。两式中的
的折射角：
折射定律来表示理论上不存在折射，但可以用全反射时，虽然实际上
将（ 1）式和（ 2`）式代入反射波的两个反射系数 rs,rp的公式中,
得到,
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。表示反射时的位相变化
比，复数的幅角波和入射波的实振幅之式中复数的模表示反射、
将其写成如下形式
为复数，、
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，证明光全部反射。由此可得反射率
，等，共轭复数，故其模值相式中的分子分母是一对、
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式可求得式和由平行分量反射系数的
式可求得式和由垂直分量反射系数
变化。再分析全反射时的位相
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两波的位相差为波有不同的位相变化，波和可见：
变化的曲线。由图随、件下，表示的是全反射界面条—图
为零。波的位相差波和当入射角为临界角时,?ps
二 倏逝波
我们已经知道，全反射时全部光能都返回入射光所在介质，但
对于光波在界面上的行为如何、是否有光波进入第二介质，并
没有说明。深入的实验研究表明：全反射时光波将透入 第二介
质很薄的一层表面，深度约为一个波长，并在第二介质中沿界
面传播约半个波长的距离，然后再返回第一介质。透入第二介
质表面的这个波称为倏逝波。
倏逝波的存在有其必然性，因为电磁场在两介质界面上应满足
边值关系而不会中断，所以在第二介质中一定会有透射波。只
是在全反射时这个透射波有着特殊性。
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的波。
方向按指数规律变化方向传播的、振幅在沿这表明，透射波是一个
函数为是正实数。透射波的波对比可知，
，写为方向的衰减，可以把它波在是虚数，它实际表示光
式可得、由
平面，上式变为设入射面为
已知透射波的波函数为
zx
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波，即倏逝波。方向按指数规律衰减的方向传播的、在
射波是沿前只能取负号，表示透，透射波的振幅为
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倏逝波的传播速度为
倏逝波的波长为
，时的深度为穿透深度到界面处振幅的定义倏逝波的振幅减小
虽然有倏逝波存在，但并没有能量向第二介质的内部传播，所
有倏逝波的能量最终都流回到第一介质中。
三 全反射的应用
1 全反射棱镜
2 光学纤维
光在光洁的金属表面上一般有着强烈的反射，这与金属中存在
着密度很大的自由电子有关，自由电子受到光波电磁场的强迫
振动 `而产生次波，这些次波造成了强烈的反射波和比较薄弱的
传播到金属内的透射波。由于自由电子的密度如此之大，所以
即使非常薄的金属片也能够把大部分入射光反射回去，以及把
进入金属内的透射光吸收掉。
各种金属反射光的能力不同，在于它所包含的自由电子的密度
不同，一般说来，自由电子密度越大，电导率越大，反射率也
越高。对于同一种金属来说，入射光波长不同，反射率也不同。
频率比较低的红外线，主要对金属中的自由电子发生作用，而
频率较高的可见光和紫外线，也可以对金属中的束缚电子发生
作用。束缚电子的作用将使金属的反射能力降低，透射能力增
大，呈现出非金属的光学性质。
§ 9 光在金属表面的透射和反射
金属表面的反射率除了与波长有关外，还与光波的入射角有关。
但是与电介质表面的反射不同，对于金属不论在什么角度下反
射，都不能使反射光成为完全偏振光。进一步的研究还表明,
光在金属表面上反射时，反射波平行分量的振动和垂直分量的
振动与入射波相应的振动之间有一定的位相变化，位相变化的
数值并非 0或 ?；反射波的两个分量彼此之间也有一定的位相差,
因此完全偏振光在金属表面上反射后将变为椭圆偏振光。
一 光的吸收
无论是在金属中或是在电介质中，光波在传播过程中都会出现
能量的损耗，这种损耗中的一部分缘于吸收。在金属中，入射
光波的电场使得金属中的自由电子运动，形成的电流在金属中
产生热，因而消耗了能量；介质中，包括一些看来透明的介质
中，入射光波的电场使介质中的束缚电子振动，发出次波和产
生热，也消耗了能量，这些都是形成吸收的原因。
下面我们主要讨论介质的吸收。
为描述介质中的吸收，引入复折射率
见图 1－ 38，介质中沿 z轴传播的平面波的波函数为
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§ 10 光的吸收、色散和散射
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，为介质的吸收系数。
处的光强；，为式中
波的强度为
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这个公式被称为吸收定律，它表明：介质中光波的强度随在介
质中传播距离的增大以指数规律衰减，衰减速度取决于吸收系
数。
吸收系数决定于物质特性，不同的物质对同一波长的光波有不
同的吸收系数，同一物质对不同波长的光波也有不同的吸收系
数。光学上将吸收系数较小的情况称为一般吸收，将吸收系数
很大的情况称为选择吸收。当介质对某光波表现为一般吸收时,
光学上称之为“透明”；当介质对某光波表现为选择吸收时，
称之
为“不透明”，意思是基本上无光能透过。
二 光的色散
光在某种介质中传播时，不同波长的光波有着不同的传播速度,
因而具有不同的折射率，这就是光的色散现象。
1 正常色散和反常色散
介质中的色散有两种类型：在介质的“透明”波段，即发生一
般吸
收的波段表现为正常色散；在介质的“不透明”波段，即发生
选
择吸收的波段表现为反常色散。
（ 1）正常色散的特点及描述
特点：光波长增大时，折射率值减小，其色散曲线如图
1－ 41。
描述：描述正常色散采用经验公式－科希公式。当波长的
变化范围不太大时，取其近似形式为 是与介质相关的常数。baban,2???
（ 2）反常色散的特点及描述
特点：在反常色散区域内，折射率值随波长增大而增大,
色散曲线参见图 1－ 42。
描述：描述反常色散的经验公式是塞耳迈尔方程
2
0
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2 1
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2 色散的经典理论
介质中存在的色散现象曾一度使麦克斯韦电磁理论陷入困境,
因为经典电磁理论中折射率 n只与介电常数有关，与光波的频率
无关。后来洛伦兹的经典电子论建立了介电常数与频率的联系,
解释了色散现象，解决了经典电磁理论的困难。
电子固有振动的角频率—
单位体积的原子数—
电子的电荷—
电子的质量—式中：
散的公式为论得到的适用于正常色根据洛伦兹的经典电子
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三 光的散射
光通过某些介质时，在偏离正常传播方向上有光出射的现象称
为散射。
1 散射类型
（ 1）瑞利散射
发生于混浊介质中。原因是在均匀介质中包含许多线度
比波长更小的、折射率不同的其他物质的微粒。
（ 2）分子散射
发生于表面看来均匀纯净的介质中。原因是介质中分子
密度起伏破坏了介质的均匀性而导致 。
2 散射定律
（ 1）正常传播方向上的光强
因为散射分散了正常传播方向上的光能量，表现为正常传播方
向上光强的减弱，故可用朗伯定律描述,
?s称散射系数。出射光仍为自然光。
（ 2）散射光光强
设观察方向与正常传播方向之间的夹角为 ?，散射光强为
光的性质由 ?角的变化而变为偏振度不同的偏振光。当 ?=90o
时为平面偏振光，其余方向为部分偏振光。
? ? ll eIeII sa ??? ??? ?? 00
? ??20 cos1 ?? II
3 瑞利定律
实验表明：散射光中各种波长的能量不是均匀分布的，短波占
有明显优势，即有 的关系成立，这个关系称为瑞利定
律 。 4
1
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4 散射的解释
散射是光与物质的相互作用所致。光射入介质时，介质中的电
子将作受迫振动，发出次波。如果介质不均匀，入射光所激发
的次波的振幅不完全相同，彼此还存在位相差,导致次波相干
叠加后除了在反射、折射方向有光传播之外，在其他方向上叠
加未能达到干涉相消，故也有光传播，形成了散射。
除了以上谈到的散射外，还有一种喇曼散射，这种散射不但会
改变光的传播方向，还会改变光的频率。在光谱学中，喇曼散
射是一个很重要 的内容。
两个或多个光波在空间相遇时产生光的叠加。任意光波之间的
叠加结果是很复杂的，本章仅限于讨论频率相同或频率差很小
的单色光波的叠加问题，而实际光波可以理解为一组由余弦函
数表示的单色波的合成。
波的叠加原理,几个光波在空间一点相遇时，相遇点处的合振
动是各个波单独产生的振动的矢量和。即各个波独立地产生作
用，不会因为其他波的存在而受到影响，保持自身原有的波动
特性。
以下分别讨论三种不同情形的单色光波的叠加，以最简单的两
光波的叠加为例。
第二章 光波的叠加与分析
这是光波叠加中最重要的内容，我们采用了三种不同的数学方法
来讨论这一问题。
一 代数加法
参见右图,
两个频率相同、振动方
向相同的单色光波分别
由光源 s1,s2发出，经过
一段传播路程后在 P点相
遇，产生叠加,s1到 P点
的距离为 r1,s2点到 P点的
距离为 r2。
s1
s2
r1
r2
y
P
§ 1 两个频率相同、振动方向相同的单色光波的叠加
两光波在 P点的振动可用波函数表示为
? ?
? ?
点的振幅。分别是两光波在 Paa
tkraE
tkraE
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的叠加：点的合振动应为两振动由叠加原理，
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，可将上式化简为，令
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点的合振动可以表示为
合振动的初位相为
出合振动的振幅为经数学运算整理后，得
结论,P点的合振动与两个分振动一样，也是一个简谐振动，其
频率和振动方向也与两个分振动相同。
我们关注的是合振动的强度 I=A2，故进行以下的讨论,
? ?
点的位相差。，是两光波在；，是单个光波的光强度式中
，则合振动的强度为点的振幅相等：设两单色光波在
P
aI
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2
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0
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，，，，为最小值。时，当
，为最大值；时，当
差点的光强度取决于位相的结果可知，由
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中的结论转而表述为后，可以将
相差和光程差的关系，称为光程差。有了位定义式中的；仍简写为是真空中的波长，通常
可写为位相差的表达式
2
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4 无论位相差表达式还是光程差表达式，都只适用于两光波的
初位相相同的情况。若非如此，还应加上两光波的初位相差。
5 由光程差的表达式可知，两光波叠加区域内不同位置处将有不
同的光程差，因而会有不同的光强度，整个叠加区域内将出现
稳定的光强度的周期性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加
称为相干叠加，叠加的光波称为相干光波。
二 复数方法
光源 S1,S2发出的单色光波在 P点的复数形式的波函数为
? ?? ?
? ?? ?taiaE
taiaE
?
?
??
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222
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e xp
e xp
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? ? ? ?? ? ? ?tiiaia
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????
???
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e x pe x p
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两者叠加的合振动为
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???? e xpe xpe xp
e xp,则上式简化为设中括号内的部分为
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2211
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aa
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合振动的初位相为
合振动振幅为
三 相幅矢量加法
这种方法是采用相幅矢量叠加的图解方法来求解合振动的振幅
和初相，如图 2-2所示，所得的结果与其他两种方法完全相同。
一束单色光波垂直入射到两种介质的界面上时，入射光波和反
射光波成为两个频率相同、振动方向相同、传播方向相反的单
色波，它们的叠加将形成驻波。
参见图 2-4：两介质界面的投影沿 Y轴方向，两介质折射率分别
为 n1,n2，设入射、反射光的沿 Z轴方向传播，且两光振幅近似
相等。
? ?
? ?
。时，
光密界面，即当反射发生于光疏为反射时的位相变化，
数为入射波和反射波的波函
??
?
??
?
?
?
???
??
21
/
1
1
c o s
c o s
nn
tkzaE
tkzaE
?
§ 2 驻波
? ? ? ?
?
?
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?
?
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?
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2
co s
2
co s2
co sco s/11
?
?
?
???
tkza
tkzatkzaEEE
函数为两波叠加后的合成波波
此式表明，形成该波的合振动为频率不变的简谐振动。该振动
的特点分析如下,
波腹。—的点
大值波节和一系列振幅为最—幅为零的点变，将出现一系列的振
而坐标，振幅随传播时的位置振动的振幅为 ZkzaA ?
?
?
?
?
?
??
2
c o s21
?
?，，，
可求得波节的位置为由
531
22
0
2
c o s2
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?
?
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?
?
?
nnkz
kz
??
?
?，，，，
可求得波腹的位置为由
6420
22
1
2
c o s
???
??
?
?
?
?
?
?
nnkz
kz
??
?
。和波节之间相距；相邻的波腹相距相邻的波腹或波节之间由以上的表达式可知：
4
2
3
?
?
处为波节。光密界面反射时，界面当光在光疏 ?4
传播，故称为驻波。
方向不在无关，它的意义是：波与坐标合成波的位相 zzt ?
?
?
?
?
? ?
2
c os5
?
?
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最多的是在激光
器谐振腔中多次往复反射的光波形成的驻波。激光输出的这种
稳定的驻波称为激光束的纵模。
一 椭圆偏振光
参见图 2— 8：由光源 S1,S2发出两个单色光波，两波的频率相同,
振动方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于 X轴和 Y轴。
? ?? ?
tkzaE
tkzaE
PZ
y
x ???? ??
22
11 c osc os
点时，振动方程为轴上当两波到达
? ? ? ?tkzaytkzax
EyExE
P
yx
?? ????
??
220110
00
c osc os ??
???点处叠加后的合振动为两波在
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可
得其末端的运动轨迹方程,
? ? ? ?
椭圆。矢量末端的轨迹是一个这个方程表明：合振动
12
2
12
21
2
2
2
2
1
2
s i nc o s2 ???? ?????
aa
EE
a
E
a
E yxyx
§ 3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
椭圆方程中各量的几何意义见图 2— 9。这种光矢量末端轨迹为
椭圆的光称为椭圆偏振光。
结论：两个在同一方向传播的、频率相同的、振动方向互相垂
直的单色光波叠加时，一般将形成椭圆偏振光。
二 两种特殊情况
由椭圆方程可知：偏振椭圆的形状由参与叠加的两光波的位相
差 ? =（ ?2-?1）和振幅比 a2/a1决定，以下是两种特殊情况。
? ?
示。
所中—，如图一经过坐标原点的直线即合矢量末端的轨迹为
椭圆方程变为时当
ea
E
a
a
E
jj
xy
,102
,
,2,1,0,1
1
2??
??? ???
? ? ? ?
偏振光。一个圆，这种光称为圆即合矢量的运动轨迹是
则轨迹方程为若此时又有
所示。中—个正椭圆，如图合矢量的运动轨迹是一
椭圆方程变为时当
222
21
2
2
2
2
1
2
,
,102
1
,2,1,0,
2
122
aEE
aaa
gc
a
E
a
E
jjj
yx
yx
??
??
??
???? ?
?
三 左旋和右旋
由合振动矢量旋转方向的不同，可以把椭圆（圆）偏振光分为
左旋两类。 区分原则是,对着光的传播方向观察，合矢量向逆
时针方向旋转时为左旋偏振光；合矢量向顺时针方向旋转时为
右旋偏振光。
左旋偏振光,sin?＞ 0; 右旋偏振光,sin?＜ 0
四 椭圆偏振光的强度
由第一章第五节关于辐射能的讨论已知，相对光强度即辐射强
度的平均值为
? ? ? ?
yx
yxyxyx
III
EEEyExEyExI
EI
??
??????
?
即
对于椭圆偏振光，
22
0000
2
????
?
这个结果表明：椭圆偏振光的强度等于参与叠加的两个振动方
向相互垂直的单色光波的强度之和。
五 利用全反射产生椭圆和圆偏振光
已知光在两介质界面上以布儒斯特角 ?B入射时，反射光中只有
唯一方向的振动，这种光叫完全偏振光或线偏振光。如果让线
偏振光在两介质的界面上发生全反射，则反射光波中的 s分量和
P分量之间有一位相差 ?，两波一般合成为椭圆偏振光。特殊情
形下，当两波的振幅相等时合成为圆偏振光。
当两个沿同一方向传播的振动方向相同、振幅相等而频率相差
很小的单色光波叠加时，将出现“拍”现象。
一 光学拍
设符合于上述条件的两光波沿 z方向传播，各自的波函数为
? ?
? ?tzkaE
tzkaE
222
111
c o s
c o s
?
?
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??
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?tzkktzkka
tzktzkaEEE
21212121
221121
2
1
c o s
2
1
c o s2
c o sc o s
????
??
???????
??????
函数为两波叠加后的合成波波
§ 4 不同频率的两个单色光波的叠加
? ? ? ?
? ? ? ?
2121
2121
2
1
2
1
2
1
2
1
kkk
kkk
k
kE
mm
m
m
????
????
???
???
??
：调制波数
、、调制角频率、平均波数频率的表达式，引入平均角为简化
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? ?
? ?tzkAE
tzkaA
tzktzkaE
E
mm
mm
?
?
??
??
??
???
c o s
,c o s2
c o sc o s2
化为上面的波函数进一步简令振幅
的表达式简化为
所示。—
化的波，如图、振幅随时间和位置变频率为这表明：合成波是一个
132
?
? ?
大时小的现象称为拍。之间变化，这种强度时和波强度在
由振幅可求得波强度为
2
222
40
c os4
a
tzkaAI mm ????
出现拍现象时的拍频等于 2? m,而 ?m= ?1-?2,为参与叠加的两光
波的 频率之差，所以可通过观测光学拍现象来检测光波的微小
频率差。
二 群速度和相速度
对于一个单一的单色光波，光速是指其等位相面的传播速度，称
为相速度。对于两个单色波的合成波，光速包含两种传播速度,
等位相面的传播速度和等振幅面的传播速度，分别称为相速度和
群速度。由合成波波函数可求得两速度的表示式。
? ? ? ?
? ?
k
v
tzk
tzktzkaE
mm
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?
??
???
可求得相速度为常数由位相不变的条件
已知合成波波函数为
c o sc o s2
? ?
dk
d
v
kk
v
tzk
g
m
m
g
mm
?
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??
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?
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?
?
??
??
很小时，有近似式当
可求得群速度为常数由振幅不变的条件
?
?
d
dvv
dk
dvkvv
g ????
关系为群速度和相速度之间的
群速和相速不等。介质中传播时，当叠加的两光波在色散
群速和相速相等；
所以于散的真空中传播时，由当叠加的两光波在无色
,,0
,,0
vv
d
dv
vv
d
dv
g
g
??
??
?
?
群速度是光能量或光信号的传播速度，实际的光信号测量实验
中，测量到的速度就是群速。
本节的基本内容是，将一个复杂的光波分解为几个简单的单色
光波的组合，应用的是傅立叶分析法。
一 周期性波的分析
参见图 2— 15c，该波的运动在一定的空间周期内重复一次，即
为周期性波。
应用数学上的傅立叶级数定理，具有空间周期 ?的函数 f(x)可以
表示为一组空间周期为 ?的整分数倍的简谐函数之和，即
? ?
? ? ? ?
为空间角频率。是待定常数，式中 kaaa
kzakzaa
zazaaxf
210
22110
22110
,,
2c o sc o s
2/
2
c o s
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c o s
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§ 5 光波的分析
? ?
? ? ? ?
数。这个函数称为傅立叶级
函数可写为其中
利用三角等式
n k zBn k zA
A
zf
aBaA
kzBkzAn k za
nn
n
nnnnnn
nnnn
s i nc o s
2
,s i n,c o s
s i nc o sc o s
1
0
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???
???
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? ? n k z d zzfB
n k z d zzfA
dzzfA
BAA
n
n
nn
s i n
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2
2
,,,
0
0
0
0
0
?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
分别为是傅立叶系数
由傅立叶级数表达式可知,f(z)代表的沿 z轴传播的、空间角频
率为 k的周期性复杂波可以分解为若干个振幅不等且空间角频率
分别为 k,2k,3k,··· 的单色波。
当给定一个复杂的周期波时，只要定出各个分波的振幅 A0,An,Bn,
便可以将复杂波分解为一系列简谐分波。以下以矩形波为例进
行分解。
? ?
? ? ?
?
?
?
??
??
zzf
zzf
2
1
2
01
162
当
当
，波函数为为为一矩形波，空间周期—图
??
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?
?
,
5
4
,0,
3
4
,0,
4
,c o s1
2
,0,0
,
54321
0
???
?
?
???????
???
???
BBBBBn
n
B
AA
zfzfzf
n
n
为一奇函数，
? ?
形。
接近矩形波的波越多，合成波的波形越可知，叠加的分波数目—
波和五次谐波。由图，第二、三项为三次谐此式右边第一项为基波
为所以该波的傅立叶级数
172
5s i n
5
1
3s i n
3
1
s i n
4
?
?
?
?
?
?
???? ?kzkzkzzf
?
二 非周期性波的分析
这种波只存在于空间有限的范围之内，在此范围之外振动为零,
呈现为波包的形状，如图 2— 19中 a,b,c所示。
波包的分析要利用傅立叶积分。分析的结果将表明：波包中包含
着无限多个振幅不等的简谐分波，任意两个相邻分波的频率之差
为无穷小，若以频谱图表示时，将得到一条连续的频谱曲线，如
图 2— 19中 d,e,f所示，曲线的坐标为振幅 — 空间角频率。
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? 称傅立叶频谱。式中
示为件时，可以用积分式表
当满足一定条数理为：一个非周期性函数学上的傅立叶积分定
dzi k zzfkA
dki k zkAzf
zf
??
?
?
?
?
??
?
??
ex p
ex p
2
1
?
这表明：若非周期函数 f(z)表示一个波包，则这个波包可以分解
为无限多个频率连续的、振幅随 A（ k）变化的简谐分波。
以图 2— 19中的波包 b为例，设这个波的长度为 2L，在此范围内
振幅 A0为常数，空间角频率 k0也为常数。 ? ? ? ?
? ?
? ?
? ? ? ?? ?
? ?
? ? Lkk
Lkk
LAdzzkkiAkA
Lzzf
LzLzikAzf
L
L
0
0
000
00
s i n
2ex p
0
ex p
?
?
????
?
????
??
为傅立叶频谱它的振幅函数
当
当
这个波的波函数为
?
光强度函数为
? ? ? ?? ?
。—函数曲线见图 202
s i n
2
0
0
?
?
?
?
?
?
?
?
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Lkk
Lkk
kI
L
L
k
k
k
L
kkk
2
:
2
0
0
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?????
所对应的波长范围为
角频率范围
对应的空间宽的一半为有效光强度到两侧第一零值之间频取
。度的第一个零值对应于由强度曲线可知：光强
这表明：波列长度 2L和波列包含的单色分波的波长范围成反比；
当波列长度为无穷大时,??将为零，这就是单色波。
由 ??与波列长度的关系可知，由于实际光源中的原子发出的都
是一段段有限长度的波列，故光波不可能是真正单色的，都有
一定的波长范围。光波单色性的优劣用光波的谱线宽度 ??来表
示,??越小，单色性越好。除此之外，单色性还可以用波列的
持续时间 ?t 来表示,?t 越大，单色性越好。
第三章 光的干涉和干涉仪
当两个或两个以上振动方向相同、频率相同的单色光波在空间
产生叠加时，叠加区域内将出现周期性的强度分布图象，这就
是光的干涉。实际光波并不是严格的单色光波，为使实际光波
实现干涉，必须设法使其满足干涉的条件，因而设计了各种干
涉的实验装置和干涉仪。这些装置实现干涉的方法可分为两类：
分波前法和分振幅法。本章将对光的干涉条件和干涉装置进行
系统介绍。
§ 1 产生干涉的条件
由经验我们知道，自然条件下两个光波相遇时，是不会出现如第
二章中所介绍的光强度呈现有规律的周期性变化的干涉现象的。
第二章中已介绍了实现干涉时光波应满足的两个条件：两光波的
频率相同、振动方向相同，这里要介绍的是另一个重要的条件 —
— 位相差条件。
? ?
?
??
???
????
???
?
??
??
?
??
?
?
?
?
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0
21
2
2
2
1
0
21
2
2
2
1
0
21
2
2
2
1
c o s
1
2
c o s2
11
c o s2
daaaa
daaaaIdI
aaaaI
P
内的平均值：取观察时间
的合强度式：一点
同的光波叠加区域内频率相同、振动方向相第二章中已得出了两个
变化，即不产生干涉。
区域内的有规律度之和，并不出现叠加恒等于两叠加光波的强
则
中的积分值为作无规则变化，则上式时间内位相差如果在
现讨论以下两种情况：取决于积分项的结果，由上式可知，
I
IIaaI
d
I
21
2
2
2
1
0
0c o s
1
1
????
??
?
??
?
??
生干涉。期性变化，即两光波产随两光波的位相差作周
则
积分为为确定值，则上式中的
不随时间变化，波的位相差内，叠加区域内各点两如果在观察时间
I
IIIIaaaaI
d
??
???
?
??
?
c o s2c o s2
c o sc o s
1
2
212121
2
2
2
1
0
??????
??
至此可将光波产生干涉必要条件总结如下,① 频率相同；② 振
动方向相同；③ 位相差恒定。
实际情况中是将同一光源发出的光波用不同的方法分为若干个
光波，以使其满足于干涉的三个必要条件。要说明的是，有三
个必要条件后，并不一定就能实现干涉。例如两光波叠加时的
光程差如果过大则不能干涉，可阅读 77页的相关讲解，深入的
解释涉及到光波的时间相干性，空间相干性，将在以后的内容
中讨论。
§ 2 杨氏干涉实验
杨氏实验是最早实现的人为干涉实验。作为典型的分波前干涉,
我们可以由该实验了解分波前干涉的共有特点。
杨氏实验装置如图 3— 4所示，光源发出的光波通过小孔 S照射在
光屏 A上两个对称的小孔 S1,S2上，分出的两光束在空间传播时
产生相干叠加，在观察屏 E上出现干涉图样 — 干涉条纹。
一 干涉图样的计算
设通过 S,S1,S2的光波均为单色光。当 S1,S2发出的光波在屏 E
上 P点叠加时，该点的光强应为
为位相差。为两光波各自的光强，,?
?
21
2121 c os2
II
IIIII ???
该装置中 S1,S2大小相等，故有 I1 = I 2= I0，同时 S1,S2处于同
一个波前上，具有同相性，所以在 P点叠加时光波的位相差只取
决于 S1,S2到 P点的光程差。
? ?
? ?
? ?
?
??
?
??
12
12
12
2121
2
1
2
rr
n
rrn
rrn
PrrPSS
?
?
?
?
?
???
在空气中传播时，
位相差为
点的光程差为，则在、点的距离分别为到、设
? ?
??
?
??
? ??
??
?
??
? ???
?
?
?
? 12201200 c os42c os22
rr
I
rr
III
P 点的光强为
。殊值之间时，光强为当光程差介于以上两特
式中
，为光强的极小值。时，
足当屏上某点的光程差满
为光强的极大值；时，
足当屏上某点的光程差满
式干涉结果的光程差表达
。点的光强取决于光程差可见，
0
0
12
40
,2,1,0
0
2
1
,4
1
II
m
Im
IIm
rrP
??
????
??
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
? ?
22
2
22
22
2
11
2121
2
2
,,53
2
Dy
d
xPSr
Dy
d
xPSr
rrPSS
DyxP
???
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
???
，、点的距离分别为到、两孔
，点的坐标为系，屏幕上：选定图中所示的坐标—参见图
干涉结果的位置表达式
D
xd
DrrDyDxDd
rr
xd
rr
xdrr
???
??
?
????
??
光程差
成立成立，则有若又有
则光程差可表示为
对两式化简得到
2,,
2
2
21
21
12
2
1
2
2
???????
，为光强度极小值。时，
当屏幕上的位置满足
为光强度极大值；时，
当屏幕上的位置满足
达式可得：由干涉结果的光程差表
0
2
1
,4
0
??
?
?
?
?
?
??
??
I
d
D
mx
II
d
mD
x
?
?
由以上分析可知，杨氏实验的结果是在屏幕上沿垂直于 S1,S2
连线方向形成一系列光强度为极大值的亮条纹和一系列光强度
为极小值的暗条纹，各级条纹的位置由 x坐标值确定，条纹走向
与 y轴平行。
余弦平方规律变化。
方向作光强度沿所示，由图可见，条纹—强度分布曲线如图
如下：
可得强度分布公式程差的近似式在强度表达式中代入光
xb
D
xd
II
D
xd
63
c o s4
,
2
0 ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
二 杨氏实验的强度分布公式和分布曲线
应尽可能的小。当值，因此两孔间距
使条纹间距为恰干涉条纹易于观察，应的反比关系可知，要使和由
条纹间距：由条纹位置表达式可得
距离称为条纹间距。亮纹或两个暗纹之间的屏幕上相邻级数的两个
d
de
d
D
e
?
?
由于条纹间距与波长 ?相关，所以实验中不宜用复色光作光源。
三 条纹的间距
§ 3 分波前法干涉的其他实验装置
由杨氏实验可知，分波前法干涉是由一个波前上设法分出两个
小的部分，让它们相遇叠加，产生干涉。分波前的方法有多种,
但原理是一致的，干涉的结果也是一致的。
一 菲涅耳双面镜
实验装置及干涉光路图见图 3— 9。电光源发出的光波在两块成
很小夹角的反射镜上反射后，形成的两象点相当于杨氏实验中
的一对相干光源。可依图求得干涉条纹计算中的各个相关量。
二 洛埃镜
洛埃镜实验装置与干涉光路图见图 3— 11。比起前面介绍的装置,
它的最大优点就是简单，仅用一块水平放置的平面反射镜即可。
实验中一束光沿直线传播，另一束光以近掠射的角度在平面镜
上反射，实际点光源和反射象点构成一对相干光源。
洛埃镜实验的重要意义在于实验中出现的“半波损失”现象。
由于实验中光在空气 — 玻璃界面发生反射，实际出现的干涉光
强的结果与理论上预期的情况正好相反，即预期为光强最大值
的位置却是光强的最小值。因为光强最大、最小值之间的光程
差是 ?/2，上述现象就称为“半波损失”，即理解为在反射时光
程发生了 ?/2的突变，因此在此情况下，将光程差表达式修正为
2
????
D
xd
以修正后的光程差表达式计算，所得结果与实际观察到的一致。
将洛埃镜实验中出现的半波损失现象推而广之,凡是光束在光
疏 — 光密界面反射时，都会发生光程的突变，都需要在光程差
表达式中加上修正项 ?/2。
§ 4 条纹的对比度
干涉条纹的清晰程度用条纹的对比度表示。条纹对比度的定义
是
mM
mM
II
IIK
?
??
IM,Im分别是条纹光强的极大值和极小值。
从定义式来看，条纹的对比度与亮暗条纹的相对光强有关。当
Im=0时,K=1，对比度最好，称为完全相干；当 IM= Im时,K=0，
条纹完全消失，为非相干。
条纹的对比度取决于以下三个因素：光源大小、光源的非单色性、
两相干光波的振幅比。
一 光源大小的影响
当光源为理想的点光源时，产生的干涉条纹强度分布如图 3— 6
b)的单一曲线所示，由于暗条纹的强度为零，所以 K=1，条
纹对比度最好。但实际光源不可能是一个单一发光点，它是很
多发光点的集合体，每一个点光源都会形成一对相干光源，产
生一组干涉条纹。由于各点光源位置不同，形成的干涉条纹位
置也不同，这种干涉条纹强度分布如图 3— 14下方的一组曲线所
示,各组条纹的强度总和如图中上方的曲线所示。显然，干涉总
强度没有为零的情况，这使得条纹的对比度下降，甚至为零。
以下进行具体的讨论。
1 光源的临界宽度
临界宽度是指对比度下降到零时光源的一维线度。
设在光源中选定两个强度相等的
发光点 S,S`，它们各自产生一组
干涉条纹，条纹的间距相等，但
在空间位置上不重合。设 S在屏幕
上 P0点为光强极大值（光程差为零）,
当 S`点在该点的光程差为 ?/2时,
光强为极小值，反映在干涉条纹上,
就是两个发光点产生的干涉条纹发生
了半个条纹间距的位置移动，此时两
组条纹光强叠加的结果使屏上各处光
强相同，条纹的对比度下降到零，无
法观察到干涉条纹。
s
s` s1
s2
d ?
l1 l2
l
P0
由以上分析可知,SS`间的宽度应是临界宽度的 1/2。设光源的临
界宽度为 bc，由前面的图可求得 bc。
l
db
db
lll
l
b
l
d
c
c
c
2
1
22
2/2/
21
12
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
?
?
?由前图可得：
22
2
22
``
12
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
? ?
???
l
db
d
l
db
d
l
db
dSSSS
c
cc
临界宽度下应有
?
?
?
?
?
?
?
?
c
c
b
l
d
d
l
b
为所示，临界宽度又可写—意义如图定义干涉孔径
度为由此得到光源的临界宽
163,
2 条纹对比度随光源大小的变化
当光源的宽度小于临界宽度时，条纹对比度的变化趋势是，光源
宽度越大，条纹对比度越小。具体的关系可用积分法求得，见教
材中（ 3— 27）式。一般认为，当光源宽度不超过临界宽度的四分
之一时，条纹的对比度是良好的。这个光源宽度称为许可宽度 bp,
?
?
44 ??
c
p
bb
3 空间相干性
光波的空间相干性与光源大小密切相关。当光源的宽度小于临界
宽度时，光波才具有相干性。当光源宽度为临界宽度时，有
d
lb ??
?
?
?
?
?
?
t
t
t
d
SS
b
l
d
dSS
SSd
表示：连线的中点的张角、或者以扩展光源对
：宽度之间的距离为横向相干、
相干性，定义此时的两点的光波不具有空间、的这时相距为
21
21
21
产生干涉的两光源之间的距离必须小于横向相干宽度才能产生
干涉条纹。 现有光源中空间相干性最好的是激光。
二 光源非单色性的影响
尽管在各种干涉实验中我们使用了单色光源，但任何一种光源
都不可能是绝对单色的，即光源发出的光波不可能是单一波长
的，都会有一定的波长变化范围 ??。由于在 ??变化范围内的每
一种波长的光都各自产生一组干涉条纹，而除零级以外的各级
条纹间都发生位移、重叠，所以最终的情况将使得条纹的对比
度下降，因此需要对光源非单色性的影响进行讨论。
1 相干长度
参见图 3— 20。 a)图中下部为波长为 ?和 ?+ ??的两光波的干涉强
度曲线，图中上部为叠加后总的强度曲线。由两组曲线可看出,
两组不同波长的条纹的相对移动量随着光程差 ?的增大而增大,
总强度曲线中的最大、最小值之差也随光程差增大而变小，最
终将趋于零； b)图显示叠加后条纹的对比度随着光程差 ?的增大
而下降，最后将为零。由此可知，在这种情况下，要产生清晰
的条纹，即要使条纹的对比度在允许的范围内，需要对干涉时
的光程差进行限制。
定义能够产生干涉时的最大光程差为相干长度 ? max。
设单色光源的波长为 ?，波长的变化范围为 ??，则波长为 ?+ ??
的第 m级条纹和波长为 ?的第 m+1 级条纹位置重合时的光程差就
是相干长度,
? max=（ m+1) ?=m（ ?+ ?? ）
?
?
?
?m
涉级数为条纹对比度为零时的干
?
?
?
??
2
m a x
相干长度为
由相干长度的表达式可知，相干长度与光波的变化范围即光谱
宽度成反比，即光源的单色性越好,??越小，则越容易实现干
涉。
将相干长度表示式（ 3— 34）与（ 2— 61）式进行比较可知，相
干长度与波列长度相等，即两光波干涉时所能允许的最大光程
差为波列的长度。
2 条纹对比度与 ??和 ?的关系
由上面的分析已得出了光源的光谱宽度 ??会使干涉条纹的对比
度随着光程差 ?的增大而下降的定性结论，用积分法可以得出定
量关系如下,
?
?2
2
2
s in
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
k
k
k
K
3 时间相干性
光波通过相干长度所需的时间称为相干时间 ?t。
由相干长度的定义可推知，同一光源在相干时间 ?t内不同时刻发
出的光波可以产生干涉，这种相干性称为时间相干性，相干时间
就是时间相干性的量度标志。
度。相干时间决定于光谱宽
由相干时间的定义可得
?
?
?
?????
2
m a x tc
性越好。越大，光波的时间相干越小，这表明：
可得到的关系和利用
t
t
??
????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
1
三 两相干光波振幅比的影响
两相干光波的振幅不等也会影响干涉条纹的对比度。在条纹对比
度表示式中代入强度极大值和极小值的振幅表达式可得
? ?? ?
2
21
21
/1
/2
AA
AAK
??
由此式分析，当两光波振幅相等时，对比度 K=1；两光波振幅差
越大,K值越小。
利用 K的振幅表达式可以将两光束干涉的光强表达式写为 ? ?
? ?
息术的原理。位相的信息，这就是全
的振幅和时记录了两个相干光波有关。因此干涉条纹同反映由
比有关，也与光波的振幅不仅与位相差即干涉条纹的光强分布
其中
K
AAIII
KII
t
t
?
?
2
2
2
121
c o s1
????
??
§ 8 平行平板产生的干涉
在已经讨论过的分波前法干涉中，由于考虑到光源的宽度对光波
的空间相干性的影响，只能使用孔径很小的光源，因此而限制了
光束的能量，使得干涉条纹达不到需要的亮度，妨碍了干涉条纹
的测量。为解决这个问题，发展了使用扩展面光源的分振幅法干
涉。
分振幅法干涉中的主要装置是由两个表面限制而形成的一层透明
物质，称为平板。干涉中，扩展面光源发出的入射光在平板的上
下表面上发生反射和透射，将入射光的振幅分解为两个部分，这
两部分光发生干涉。由于有足够的光能量，所以可获得清晰的干
涉条纹。
一 条纹的定域
平行平板干涉条纹的定域问题，就是在实验中干涉条纹出现的位
置。理论上干涉条纹定域于无穷远处。当实验中使用透镜聚焦时,
干涉条纹定域于透镜焦平面上。
二 等倾条纹
1 干涉过程分析
A
B
C
N
n
n`
n`
h
?1
?2
a a1 a2
a1光束：由平板上表面一次反射的光束；
a2光束：由平板上表面两次折射、下表面一次反射的光束。
a1, a2 与入射光位于平板同一侧介质内，故都称为反射光。
特点,
⑴ 此种平板干涉中是平行光入射，平行光出射。
⑵ 在平板的上下表面上均产生光的反射和折射。
2 光程差分析
要求图中 a1,a2两光束的光程差，须从分别求两光束各自
的光程入手。
由干涉过程示意图可得两光束的光程差为,
? ? ANnBCABn `????
21
222 c o s2s i n`2 ?? nhnnh ????
经数学运算整理可得：
2
c o s2
2
s i n`2
2
21
222 ?
?
?
?
?
??????
?
?
nhnnh
最终光程差的表达式为
，的附加光程差
波损失引起光密界面反射，应有半疏平板上表面的反射为光?
3 干涉条纹条件
称为条纹的级数。
为暗条纹。
为亮条纹；
?,2,1,0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
???
??
m
m
m
?
?
4 扩展面光源产生的等倾干涉条纹
扩展面光源可视为无数个点光源的集合，它们处于空间不同位置,
以不同 ?1角入射，凡 ?1相同者必因有相同的 ?值而产生相同的干涉
结果，形成同一条纹，故将这种干涉条纹称为等倾条纹。
5 等倾干涉条纹的特点
1) 由 ?1~ m关系可知,?1越小，则 m 越大，即中心处条纹级数
最高。
2） 平板厚度 h值必须很小，否则就无法观察到清晰的干涉条纹。
3) 平板厚度 h每变化 ?/2n 时，干涉条纹级数 m变化一级。当 h
增大时，条纹级数 m 增大，中心处有条纹冒出，整组条纹外
移。当 h 减小时，条纹级数 m 减小，中心处可见条纹陷入消
失，整组条纹向内收缩。
4 ) 透射光也可产生等倾干涉条纹。反射、透射光条纹明暗互补。
§ 7 楔形平板产生的干涉
讨论条件：① 设光源为单色点光源；② 平板为厚度缓慢均匀
变化的介质层。
1 干涉过程分析
点光源发出的光束入射于平板上表面，光线 a经平板上下表面
反射后成为光线 a1,a2，发生干涉。
n`
n1
A
B
C
?1
?2 n
n`
h
a a
1
a2
P
特点：从 平板上下表面经反射得到的光束为非平行光。
2 光程差分析
由干涉过程图可得 a1,a2的光程差为
?= n(AB+BC)-n`(AP-CP)
显然，只有知道 A,B,C每一点处 h 的值，才能求得光程差的
准确值。但由于平板厚度可变,A,B,C 点可于平板上任意
位置，所以无法得到光程差的准确值。
为解决这一问题，根据平板厚度虽然可变但变化缓慢均匀的特
点，提出了以 B 点处的厚度值作为 A,B 两点厚度的近似值，
从而求得 ?的近似值的方法。
2c o s2 ?nh??
近似式为：楔形平板干涉的光程差
干涉的光程差表达式。这实际上就是平行平板
为光程差，光程差最终应
半波损失引起的附加板的一个表面上会有因考虑到一般情况下在平
2
c o s2
2
?
? ??? nh
3 干涉条纹条件
称为条纹级数。
为暗条纹。
为亮条纹；
?,2,1,0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
???
??
m
m
m
?
?
4 扩展面光源产生的等厚干涉条纹
由光程差表达式可知：此种干涉中，光程差由平板厚度 h决定,
厚度相同的各点将具有相同的光程差，必将产生同一情况、同
一级数的条纹，故称为等厚条纹。
5 条纹特点
① 干涉花样为直线状明暗相间条纹。
② 条纹的走向平行于平板上下表面的交棱。
③ h = 0处是 m = 0 的暗纹。
④ 条纹定域于平板上表面附近。
6 等厚干涉的应用
因为在等厚干涉中平板厚度每变化 ?/2n时，条纹级数将变化一级,
所以可以通过观察、测量条纹来测定微小量。实际中主要用途是
测量长度的微小变化、测定物质的热膨胀系数、检查光学元件的
表面质量等。
§ 8 用牛顿环测量透镜的曲率半径
原理：是一种特殊结构的等厚干涉装置。通过测量级数已知的干
涉条纹的半径值求得平凸透镜的曲率半径，也可用来检验光学元
件的表面质量、测量长度压力的微小变化。
A A`
B B`
C
O
R
r h
右图中平凸透镜 AA`放在平
板玻璃 BB`上，在以接触点
O为中心、以任意的 r值为
半径的圆周上空气薄层的
厚度相等。在平凸透镜凸
面和平板玻璃上表面反射
的光产生等厚干涉，形成
以 O点为中心的、明暗相间的干涉条纹，称为牛顿圈（环）。
设测量的第 N个环的半径为 r,由图中可得对应的空气层厚度为
? ? R
r
hR
rh
22
22
???
发生干涉的两光束的光程差为
222
2 ??
????? Rrh
根据干涉条纹的形成条件，可得牛顿圈中明、暗环的半径分别
为
? ?
? ??，，，暗环：
明环：
210
2
12
??
??
NRNr
RNr
?
?
理论上用这套表达式可以通过测量一个条纹的半径 r求得透镜
的半径 R，但实际使用中为减小误差，采用的方法要复杂一些。
§ 9 平面干涉仪
平面干涉仪是利用一个标准平面和一个待测平面形成一个空气
楔形平板，将平行光束垂直投射到被测平板上，通过测量产生
的等厚干涉条纹来检验被测表面的光学加工质量。平面干涉仪
光路原理图见图 3— 46。
为条纹间距。为条纹弯曲的矢高,eH
e
HP ?
一 测定平板表面的平面度及局部误差
如果被测平面并非理想的平面，则等厚干涉的直线条纹将呈
现整体弯曲或局部凸凹，如图 3— 47所示。
在条纹呈现整体弯曲时，被测平面的平面度为
2
???
e
Hh
即凹、凸的高度为对应的平板表面的偏差
一般的光学平面要求平面偏差 ≦ ?/4，即条纹弯曲不超过条纹间
距的 1/2，即 P ≦ 1/2。更高级的平面要求可达 P ≦ 1/10。
二 测量平行平板的平行度及小角度光楔的楔角
可以通过观察平行平板 上下表面反射产生的等厚干涉条纹来测
量平行平板的平行度。
参见图 3— 48，平行平板的平行度用平板两端或直径方向上的厚
度差 ?h表示。设能观察到的干涉条纹数目为 N，则有
是平板的折射率。nnNh 2 ???
。，就可求出最大厚度差纹的间距检验时通过测量干涉条 he
e
D
n
h
e
D
N
?
????
?
2
?
?
平板上下表面的楔角 ?与最大厚度差的关系为
可以利用此式测量小角度楔角。
neD
h
2
?? ???
§ 10 迈克耳孙干涉仪
一 仪器结构和干涉过程
迈克耳孙干涉仪是利用平板干涉来进行精密测量的光学仪器，
其光路图如下所示。
M1
M2
S
L1
a
b G
1 G2
a1 b1
a2
b2
L2
P
1 仪器结构
主要由两块分光板和两块平面反射镜组成。
分光板 G1,G2可将入射在其上的光分成光强近似相等的反射光
和折射光。两分光板具有全同的光学特性，均与入射光传播方
向成 45° 角放置。
反射镜 M1和 M2分别放置在相互垂直的轨道上,M1可沿轨道前
后移动,M2为固定镜。
2 干涉过程
入射平行光束在 G1的后表面分为反射光和透射光，传播方向相
互垂直，分别垂直入射于 M1和 M2，反射后由原路返回，仍为平
行光束，经透镜会聚于一点产生干涉。
G2也称补偿板，其作用是使在 M1上反射的光与在 M2上反射的光
在分光板中的光程相同。
二 干涉特点
1 可将在 M1,M2 两镜上反射产生的双光束干涉等同于一个空
气平板中的双光束干涉，即可认为 n = n`≈1。
2 因为不产生折射，由 n = n` 可得 ?1= ? 2。
3 因为两镜面上反射的物理性质相同，所以无附加光程差的影
响。
4 仪器可产生等倾、等厚两种干涉。
三 干涉条纹条件
为暗条纹。
为亮条纹；
??
??
?
?
?
?
?
? ?????
????
2
1
c o s2
c o s2
2
2
mh
mh
四 用途
1 精密计量。
2 光谱研究。
第四章 多光束干涉与光学薄膜
第三章中在讨论平板的干涉时，仅仅讨论了最先出射的两光束
的干涉问题，这是在特定条件下采取的一种近似处理方法。事
实上，光束在平板内经过多次的反射和透射，严格地说，干涉
是一种多光束干涉。多光束干涉与两光束干涉相比，干涉条纹
更加精细，利用多光束干涉原理制造的干涉仪是最精密的光学
测量仪器，多光束干涉原理在现代激光技术和光学薄膜技术中
也有着重要的应用。
§ 1 平行平板的多光束干涉
图 4— 1是一个我们已很熟悉的平行平板分振幅干涉的光路图。
在第三章中，我们仅讨论了图中光束 1和 2发生的干涉，那是因
为所使用的平板上下表面的反射率都很低。例如光束入射于普
通的平板玻璃时，反射率仅为 0.04 。照此计算，光束 1的强度
为入射光的 4﹪,光束 2的强度为入射光的 3.7﹪,而光束 3不到
入射光的 0.01﹪ 。在这种光强差极其悬殊的情况下，除 1,2以
外的其他光束对干涉可以忽略不计，所以将其近似为两光束干
涉来处理。
如果在平行平板的两表面镀有反射率很高的反射膜，情况将会
大不一样。这时除光束 1以外的其他各光束强度差很小，如果仍
按两光束干涉处理将会产生很大的误差。为了获得精确的结果,
必须讨论多光束干涉问题。
一 多光束干涉场的强度公式
可以通过多光束的相干叠加来得到强度分布公式。
由于使用的仍是平行平板，所以仍然是扩展面光源产生的平行
光束入射，也仍然是平行光束从平板的上表面和下表面出射。
由此可知，平行平板的多光束干涉条纹理论上也定域于无穷远
处。
?0
?
n0
n
n0
h
考虑反射光的多光束干涉。以 ?0
角度入射的平行光在平行平板内
的折射角为 ?，设平板折射率为
n，厚度为 h,周围介质折射率为 n0，
由图可知,n＞ n0。多束光在经历
了平板内不同次数的反射、折射
过程后从平板上表面出射，经透
镜会聚后产生反射光的多光束干
涉。
由图中可知，平板上表面出射的相邻两束反射光的光程差均为
?
?
?
?
?
c o s
4
c o s2
??
???
nh
nh
位相差均为
? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ?
? ?? ?
? ? ? ?
? ?? ?
是位相常数。是光波的角频率，
的振动方程分别为各光束在干涉场中某点
束的振幅为
时，则各反射光，当入射光的振幅为，透射系数为反射系数为
界面的；在透射系数为界面的反射系数为设光波在
0
0
5
4
0
2
3
02
01
53
00
3ex p``
2ex p``
ex p``
ex p
,``,``,`,
``
,
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???
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???
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tiArttE
tiArttE
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P
ArttArttAttrA
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? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?i
ir
Airirirttr
AirttirttirttrA
P
?
?
?????
?????
???
???
2e x p`e x p`1` ex p`
3e x p``2e x p``` ex p`
42
53
振幅为点叠加后的合成波的复在
上式中括号内为一递减等比级数。当平行平板足够长时，反射
光束的数目将很大；当趋于无穷大时，可得以下结果
? ? ? ?
? ?
? ?ir A
ir
irttrA
??
?
??
?
??? ?
?
e x p`1
` e x p`
2
? ? ? ? ? ?? ?
? ?
? ?ir
A
ir
ittrr
A
rttrr
?
?
ex p`1
ex p``1`
1``
2
2
2
?
??
??
????
据此可将上式化为
由菲涅耳公式可得
进一步引入反射率 R 和透射率 T,
`1
` 22
ttRT
rrR
???
??
? ? ? ?? ?
? ?
? ?ir A
ixp
RiA
?
?
Re1
e x p1
?
??
步简化为合成波振幅表示式进一
? ? ? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
是入射光束的光强。
点干涉场的强度公式为由此得到
i
irrr
I
I
RR
R
AAI
P
2
s i n41
2
s i n4
22
2
?
?
??
???
?
? ?
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? ?it I
RR
T
I
2
s i n41 22
2
?
??
?
射光干涉场的强度公式同样的方法也能得到透
? ?21 4 RRF ??
? ?
? ?
? ?
? ?
2
s i n1
1
2
s i n1
2
s i n
2
2
2
?
?
?
F
I
I
F
F
I
I
i
t
i
r
?
?
?
?
强度公式简化为反射光和透射光的干涉
二 多光束干涉图样的特点
通过强度公式的分析可以得出多光束干涉图样的特点。为简化
强度公式，引入参数 F,
反射光、透射光的干涉条纹互补。
? ?
? ?
? ?
? ? 11 ?? i
t
i
r
I
I
I
I?
2 干涉条纹的明暗和光强值由位相差决定。
? ?
? ? ? ?
? ?;02
1
12
??
?
???
r
m
ir
M
Im
I
F
F
Im
时为暗纹，其光强为当
时为亮纹，其光强为当
对于反射光
??
??
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?itm
it
M
I
F
Im
IIm
?
???
??
1
1
12
2
时为暗纹，其光强为当
时为亮纹，其光强为当
对于透射光
?
??
3 反射率 R决定着干涉图样中亮暗条纹的对比度和锐度。
由透射光强度公式和强度分布曲线图 4— 3可知，当 R很小
时，光强的极大值到极小值变化很缓慢，条纹的对比度很
差；当 R逐步增大时，暗纹强度减小，亮纹宽度变小，整
组条纹的对比度和锐度增大。当 R→1 时，透射图样是几乎
全黑背景上的一组很细的亮纹，易于观察和测量，这正是
多光束干涉与两光束干涉相比最大的优点。实际应用中都
是采用透射光的干涉条纹。
三 干涉条纹的锐度
条纹的锐度表示条纹的明锐程度，它用条纹的位相差半宽度，即
条纹中光强为峰值的一半时强度曲线上对应的两点间的位相差 ??
表示。
? ?
R
R
F
???? 124?
条纹的位相差半宽度为
R
RF
S
S
?
??
?
?
12
2 ??
?
?
表示条纹的锐度的精细度除此以外，还常用条纹
当 R→1 时，条纹的精细度将趋于无穷大。
实际中多光束干涉用于精密测量和光谱分析。
§ 2 法布里 — 珀罗干涉仪
一 法布里 — 珀罗干涉仪的结构和原理
法布里 — 珀罗干涉仪的结构和干涉光路图见图 4— 5。其中的关
键部件是两块相对的表面严格平行的平板 G1和 G2。在这两个表
面镀有一层银膜或铝膜，也可以是多层的介质膜，以获得很高
的反射率。为使干涉条纹具有很好的锐度，要求两个镀膜表面
具有很好的平面度且严格平行。由光路图可见，光束在两镀膜
平面之间的空气层平板上多次发生反射、透射，产生多光束的
干涉，干涉条纹如图 4— 6 a）所示。与迈克尔孙干涉仪产生的
两光束干涉条纹相比，条纹的对比度和锐度均有显著的提高。
法布里 — 珀罗干涉仪中两镀膜面之间的距离是可以改变的。为
了使两镀膜表面严格平行，常在两面之间放一个特制的间隔圈,
这时两表面的距离将固定不变，这种结构称为法布里 — 珀罗标
准具。
当法布里 — 珀罗干涉仪两板的内表面镀有金属膜时，光在表面
的反射是很复杂的。但是，只要两面的膜层是相同的，则透射
光干涉场光强度公式依然成立，但应明确此时的反射率是金属
膜内表面的反射率，相邻的两光束的位相差此时为
时的相变。是在金属膜内表面反射?
??
?
?? 2c o s4 ??? h
考虑到光通过金属膜时会发生强烈的吸收，将使干涉图样的光
强度降低，必须对干涉强度公式进行修正。
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因此干涉强度公式应为
，由能量守恒定律应有设金属膜的吸收率为
与未考虑金属膜吸收率时的强度公式相比，透射光条纹的峰值
光强降低了。
二 法布里 — 珀罗干涉仪的应用
1 研究光谱的超精细结构
光谱中两条波长差极小的光谱线在空间位置上间隔极小，称为
光谱的超精细结构。用一般的光谱仪无法区分谱线的超精细结
构，只有使用法布里 — 珀罗标准具。
法布里 — 珀罗标准具测量谱线超精细结构的原理如下：设两个
波长差极小的光波入射到标准具上，波长值分别为 ?1和 ?2,
?2 ＞ ?1。由于两波长的同级条纹的角半径稍有差异，因而将到
到空间两组间隔很近的条纹。设图 4— 7中条纹的近中心处某点
两波长的干涉级差为
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21
12
21
21
222
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。是同一波长的条纹间距相对位移，是两波长的同级条纹的
而
ee
e
em
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。就可得出波长差和实际测量时，通过测出
珀罗标准具的间隔。—是法布里的平均波长，、是
差为由此可得两波长的波长
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ee
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自由光谱范围：由波长差表达式可推得
的最大波长差。
标准具所能测量范围，自由光谱范围即差为标准具的自由光谱
时对应的波长的重叠。为此定义否则将出现不同级条纹
，不会大于条纹的间距条纹的位移在测量时必须保证两组
除了对测量的最大波长差有限制外，法布里 — 珀罗标准具所能
测量的最小波长差也是有限的，这个最小波长差（ ??） m称为标
准具的分辨极限，将 称为分辨本领。 ? ?
m?? ?/
光谱学理论中用来判断两条强度相等的光谱线是否能被分开的
法则是瑞利判据，它的判断依据可以简单地表示为：只有当两
个等强度波长的强度曲线叠加而成的合强度曲线中央的极小值
不超过其两侧的强度曲线最大值的 81﹪ 时，两组条纹才能被分
辨开，参见图 4— 8。依此判据，可推得标准具的分辨本领。
? ? ? ?
波长对应的位相差值。是干涉场中同一点处两、
的合强度为和收时，对应于当忽略标准具对光的吸
21
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由此得到极小值强度为
央的极小值处有，，则在合强度曲线中设
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M
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由此得到极大值强度为
处有在合强度曲线的极大值
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I
II
II
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i
i
Mm
Mm
各自的表达式，有、代入
条件是的干涉条纹恰能分辨的按照瑞利判据，两波长
SF
?? 07.215.4 ??经近似求解后得到
?
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???? m
h
h
2
c o s4
2
则有
忽略不计，很大以致可将相差式。如果再来分析相邻两光束位
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精细度成正比。分辨本领与条纹级数和
领为
辨本，由此求得标准具的分应有当两波长恰能分辨时，
mS
m
97.0?
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mN
NS
m
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表示为
分辨本领又可，称有效光束数，所以记为实际中常将 97.0
2 用作激光器的谐振腔
图 4— 9a是一台激光器的结构示意图。图中两块反射镜同轴放置,
构成谐振腔。光束在谐振腔轴线方向上经两反射镜多次反射，强
度不断增大，至到达一定值时形成激光输出。输出的激光中只有
几种特定的频率，称为纵模；每一个纵模的频宽称为单模线宽；
相邻的两个纵模之间的频率差称为纵模间隔。
激光器的谐振腔实质上就是一个 F— P标准具，光束沿轴线的往复
运动的结果就是多光束干涉，因此可以用 F— P标准具的理论求得
纵模频率、纵模间隔和单模线宽。
（ 1）纵模频率
要使光束沿谐振腔往复运动时强度不断增大，即产生干涉的
加强，就要求光束在腔内往返一次的光程为波长的整数倍，即
干涉级数腔的长度腔内介质折射率 ???
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mLn
mmnL ?,3,2,12 ?
nL
c
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m
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2
2
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条件是谐振腔输出频率满足的
波长满足的条件是由此可得谐振腔输出光
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nL
c
mmc 2
2
1 ???? ????
可求得纵模间隔为相邻的两个干涉级数，在纵模频率表达式中取
纵模间隔
? ?
激光的单色性越好。
越小，即输出的越高，腔长越长时线宽谐振腔反射镜的反射率
单模线宽
R
R
nL
c ?
??
1
2
3
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§ 3 多光束干涉原理在薄膜理论中的应用
所谓薄膜，是指用物理或化学的方法涂镀在玻璃或金属表面
的透明介质膜。薄膜的作用依涂镀膜层的物质和工艺的不同，
可分为增透膜、高反膜、单反膜、分光膜、冷光膜、干涉滤
光片等。薄膜光学是光学理论和技术领域中的一个独立的、
专门的学科，它的系统研究已超出本课程的范围。这一节中，
我们只是以多光束干涉原理为基础，对以上提到的一些薄膜
系统作简要的介绍。
一 单层膜
如图 4— 11所示，玻璃基片上涂有一层厚度均匀的透明介质薄
膜，光束入射到薄膜上时将在膜层内发生多次反射，因此从
膜层的上下表面上分别有平行光出射，产生多光束干涉。这
种干涉的特点是，产生干涉光束的薄膜的上下表面接触的是
不同的介质。
.,
``,;,
,
22
11
11
1
tr
tr
tr
n
nnh
G
透射系数为基片界面的反射系数为设光在薄膜
。透射系数为方向行进时反射系数为
光由相反透射系数为薄膜界面的反射系数为设光在空气
。率为薄膜下方的基片的折射
射率为，薄膜上方的空气的折，折射率为设薄膜的厚度为
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A
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A
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irr
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相邻光束的位相差—入射光振幅—
别为光和透射光的复振幅分计算可得薄膜上的反射
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irr
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irr
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r
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e x p1
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21
21
21
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别为反射系数和透射系数分根据定义可求得薄膜的
基片中的折射角—薄膜上表面入射角—
分别为薄膜的反射率和透射率
G
GG
rrrr
tt
n
n
T
rrrr
rrrr
R
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1
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??
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显然，当不考虑薄膜的吸收时，必有 R+T=1。此时，对于薄膜
的反射和透射特性，只需讨论其中之一即可，以下就讨论薄膜
的反射特性。
由第一章中关于反射系数的讨论已知，当光束正入射时，薄膜
两表面上的反射系数分别为
G
G
nn
nn
r
nn
nn
r
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n
n
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nn
n
n
nn
nn
R
G
G
G
G
射率为式，得到正入射时的反将其代入薄膜反射率公
性。论几种单层膜的光学特
进一步讨表达式和该曲线，可以。根据折射率的对应变化曲线
厚度变化时薄膜的入射光波在膜层光学时，对于波长为
描绘的是当—而变。图将随薄膜的光学厚度可知，
表达式都是确定的常数，由、膜，对于一定的基片和介质
R
n
nnhR
Rnn
G
G
0
0
0
5.1
,1124
??
?
透膜。
大的膜就是单层增增大，这种使透射率增反射率减小，即透射率
部分表示镀膜使得反射率增大；此线以下以上部分表示镀膜使得
值进行了标注。在此线这一特定的中用一水平的点划线对—
，在图其反射率约为的未镀膜的玻璃基片，已知对于
单层增透膜
R
n
G
124
04.05.1
1
?
果最佳。时反射率最低，增透效即膜层的光学厚度
的研究发现，当透射率的作用。进一步所镀的膜层就具有增大
于基片的折射率，：只要膜层的折射率小由曲线的有关标注可知
??? ??,4/0nh
2
2
0
2
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G
G
n
n
n
n
n
n
R
RR
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的最低值表示式为表达式，得到将这一条件代入
此时光将全部透射。
则将有
如果膜层的折射率
0
0
0
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?
?R
nnn G
的增透膜。没有
所以也的、适于镀膜的材料，。目前尚无这种折射率
时的膜层折射率的典型情况，可算得根据
0
22.1
05.1,10
?
?
???
R
n
Rnn G
必须指出的是，对于正入射光束中的除 ?0以外的其他波长的光，
不能用 ?0的反射率公式来进行 R的计算，这种反射率随波长的
变化关系由图 4— 13的曲线表示。
当光束不是正入射时，可以通过引入等效折射率的办法来计算
反射率。
2 单层增反膜
由图 4— 12的曲线还可看到，当膜层的折射率大于基片的折射
率时，单层膜的反射率将大于基片的折射率，即此时的膜层将
起到增大反射率的作用。特别是当膜层的厚度 nh = ?0/4时，波
长为 ?0的光反射率将达到最大值。这个结果可以用两光束干涉
过程来作近似解释：当单层膜的折射率大于基片的折射率时,
在膜层上下表面反射的的两光束的光程差，除了由于膜层厚度
导致的 2nh = ?0/2 以外，还有由于膜层 → 基片界面反射引起的
附加光程差 ?0/2,所以总的光程差应为两者之和，因而反射光
干涉加强，反射率为最大值。
根据膜层的光学厚度可求得反射率为 2
2
0
2
0
0
?
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G
G
n
n
n
n
n
n
R
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经对比可知，单层增反膜和单层增透膜的反射率表达式在形式
上是完全一样的，但意义完全不同。前者是在 n0＜ n ＜ nG条件
下反射率的极小值，后者是在 n0 ＜ n＞ nG条件下反射率的极大
值。
对于常见的单层增反膜，最大反射率只能达到 33﹪ 左右。如果
希望获得更高的反射率，必须采用多层增反膜。
3 半波长膜
半波长膜是光学厚度为 ?0/2 的膜。由图 4— 12可知，不论半波长
膜的折射率大于或小于基片的折射率，反射率都和未镀膜时基
片的反射率相同，所以膜层的光学厚度每变化 ?0/2 时，反射率
不变。
二 双层膜和多层膜
右图为一在玻璃基片上涂镀的双层
膜系，上膜层的厚度和折射率分别
为 h1和 n1，下膜层的厚度和折射率
分别为 h2和 n2。
r1
r2
r3
n0
n1
n2
nG
h1
h2
束的位相差。两界面反射的相邻两光—
界面的反射系数；—
界面的反射系数；—式中
的膜系的反射系数为设由下膜层和基片组成
2
23
212
32
32
2
2
1
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G
i
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nnr
nnr
err
err
r
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中的折射率。应用等效折射率代替式当光束并非正入射时，
正入射时
角是光在下膜层中的折射
G
G
nn
nn
r
nn
nn
r
hn
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? ?角是光在上膜层中的折射
界面的反射系数；—式中
双层膜的反射系数为：系数表达式，就可得到
薄膜的反射层组成的膜系再次应用对这个等效界面和上膜数为
射分界面，反射系膜系看作一个等效的反将下膜层和基片组成的
11111
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1
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????
????
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rrrrrrrrrrrrd
rrrrrrrrrrrrc
rrrrrrrrrrrrb
rrrrrrrrrrrra
ba
dc
R
rrr
????????
????????
????????
????????
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?
?
反射率为：
到双层膜的与其共轭复数之积，得式中，求表达式代入到将
和分光膜等。
多层高反膜、冷光膜有双层和多层增透膜、完成。常用的膜系主要
杂，可借助于计算机算过程及结果会非常复但当膜层数很多时，计
多膜层系的反射率。原则上可以计算任意的应用等效界面的概念，
第五章 光的衍射
衍射定义,光在传播过程中遇到障碍物时发生的偏离原传播方
向而进入障碍物形成的几何阴影内、光强度呈现有 规律的周期
性变化的现象。
衍射条件,障碍物上透光的孔或缝的线度与光波长可比时。
衍射基本元件,光源、障碍物、观察屏。
衍射类型,菲涅耳衍射、夫琅和费衍射。
衍射类型的区分原则,光源、障碍物、观察屏三者间的距离。
当三者间距离均为有限或其中任意两者间距离为有限时为菲涅
耳衍射；当三者的距离均为无限远时为夫琅和费衍射。
§ 1 惠更斯 — 菲涅耳原理
一 惠更斯原理
表述：任何时刻的波面上的每 一点都可作为发射子波的波源，
各自发出球面子波。其后任一时刻所有子波波面的包络面形成
整个波动在该时刻的新波面。
优点：① 可以直观描述波的传播并解释衍射产生的原因。
② 可由已知波面求另一时刻的波面。
不足：对衍射仅有定性解释，无法用波长、振幅、位相等物理
量对衍射结果作定量描述。
二 菲涅耳积分式
目的：以子波相干叠加的方法对衍射结果进行定量描述。
R
S
Q ?
? P
r
研究方法：单色点光源 S发出的球面波波面为 ?，波面半径为 R，
光波传播空间内任意一点 P的振动应是波面 ?上发出的所有子波
在该点振动的相干叠加。
Z
Z`
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? 时为零。时为最大值；倾斜因子，—
常数—
点的复振幅表示为发出的子波在点处面元
的复振幅为，波面上任意一点单位距离处的振幅为设距点光源
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的合振动的复振幅为产生相干叠加，叠加后
点波在范围内波面上发出的子上只有的限制，波面因
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r
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QEC
dK
r
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R
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§ 2 基尔霍夫衍射公式
利用菲涅耳积分式对一些简单的衍射情形进行的计算表明，衍
射光强的分布与实际结果符合得很好，但是菲涅耳积分式本身
是不严格的，例如其中引入的倾斜因子 就缺乏根据。菲涅
耳积分式的不足由基尔霍夫进行了改进。基尔霍夫由波动方程
出发，用场论的数学工具导出了较严格的公式（ 5— 19）,
? ??K
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? ? ? ? ? ? ? ?
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两者是一致的知与菲涅耳积分式对比可
对基尔霍夫衍射公式可作如下解释,
S P l
r Q ?
（ n,l） n （ n,r）
?
P点的波是 ?上无穷多个子波叠加
产生的，子波的复振幅与入射波
在 Q点的复振幅 成正比,
与 ?成反比。因子 1/i表明，子波
源的振动位相超前于入射波 ?/2。
由倾斜因子的表达式可知，子波
的振幅在各个方向上是不同的。
? ?QE~
如果点光源离产生衍射的开孔 ?足够远，则入射光可视为垂直入
射的平面波。对于 ?上各点都有 cos(n,l)=1,cos(n,r)= － cos ?,因此
? ? 2c o s1 ?? ??K
当 ?=0时,K(?)=1,表示在波面法线方向上子波的振幅最大；
当 ?=?时,K(?)=0，这一结论证明菲涅耳关于 ?= ?/2时 K(?)=0的
结论是不正确的。
在常见的衍射中，衍射孔线度比光源和观察屏到衍射屏的距离
小得多，在衍射孔的范围内 ?变化很小，因而倾斜因子 K(?)可视
为常量提出积分号外，以最简单的垂直入射情况处理取 K(?)=1 。
同样，在衍射孔范围内,r的变化也不大，且 r变化只影响各子波
在 P点的振幅，所以可取 1/ r≈1/z1.有以上两个近似后,基尔霍夫
衍射公式变为,
? ? ? ? ? ? ?? di k rQEziPE ex p~1~
1
?? ??
§ 3 基尔霍夫衍射公式的近似
用基尔霍夫衍射公式来计算菲涅耳衍射和夫琅和费衍射时，可
以按照观察屏离衍射屏距离远近的不同对公式进行化简，得出
两种衍射的近似计算公式。
一 菲涅耳近似
参见图 5— 7，衍射屏为 x1y1平面，观察屏为 xy平面两平面距离
为 z1,x,y轴分别平行于 x1,y1轴。
设 Q点和 P点的坐标分别为（ x1,y1 ）和（ x,y ），这两点之
间的距离 r为
? ? ? ?
2/12
1
1
2
1
1
1
2
1
2
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2
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1
2
1
1
z
yyxx
z
yyxx
zr
用二项式定理展开得到
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
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则
似。这个式子称为菲涅耳近
只取展开式的前两项：对菲涅耳衍射
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1
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的计算公式：中即可得到菲涅耳衍射—代入式
二 夫琅和费近似
在夫琅和费衍射中,z1 进一步增大，此时可进一步将 r的表达
式简化为,
近似。这个式子称为夫琅和费
1
11
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22
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射的计算公式：式中，得到夫琅和费衍—代入
§ 4 矩孔和单缝的夫琅和费衍射
一 夫琅和费衍射实验装置
L2
P0
P
f
实验中平行光束垂直入射到衍射屏上，衍射后的平行光经透镜
会聚于焦平面上，产生衍射条纹。
?
（ x1,y1） (x,y)
依照图中所选取的坐标系，应用夫琅和费衍射计算公式,P点
子波叠加的复振幅为,
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因为衍射屏上是平行光垂直入射，所以屏上波面的复振幅分布
应为常数 A`，所以 P点复振幅式简化为
? ? 111122 e x p2e x p`,~ dydxyfyxfxikf yxfikfCAyxE ??
?
?????? ???????? ???????? ???????? ???
三 矩孔衍射
设夫琅和费衍射装置中衍射屏上的开孔为矩形，则观察屏上所
得为矩孔衍射花样，如图 5— 11所示。衍射花样整体表现为亮
斑和暗斑在沿 x轴和 y轴方向上的间隔分布。衍射花样的光强分
布可以通过刚刚得出的夫琅和费衍射计算公式求得。
参见图 5— 12，选取矩孔中心为坐标原点,x 轴方向上矩孔边长
为 a,y轴方向上矩孔边长为 b,根据夫琅和费衍射计算公式，观
察屏上 P点的复振幅为,
? ? 111122 e x p2e x p`,~ dydxyfyxfxikf yxfikfCAyxE ??
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22
化简为：选取积分限后，积分式
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0
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点的强度
点的衍射强度为：
行讨论。律的变化，下面分别进标轴上分布并发生有规
两个坐坐标相关，即强度在这坐标相关，另一因子与一个因子与
强度取决于两个因子：度分布公式可知，衍射由夫琅和费矩孔衍射强
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2
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,0
1
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II
w
x
此时
轴上衍射强度分布
?
而求得。通过解超越方程
次最大值点，其位置值点之间有一个强度的在相邻的两个强度最小
件为：花样中的暗点满足的条强度为零的点，即衍射
，据此可求得衍射处，衍射强度有最小值在
，称为主极大；值处，衍射强度具有最大在
。由图可知，—图轴上的强度分布曲线如可以绘出
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x
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10
135
0
暗点的间距是不等的。
轴上相邻的轴和所以，由于矩孔边长也是类似的。单要注意
布的规律和特点轴同样的方法进行，分轴的强度分布可按与对于
轴的强度分布公式为：
轴上的强度分布
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y
y
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实际衍射图样中绝大部分光能量都集中于中央主最大亮斑内，
因此将中央亮斑作为衍射扩展的主要范围，以两轴上的坐标来
表示，这个扩展范围是,
fbyfax ?? ???? 00
由坐标式可知：衍射扩展与矩孔宽度成反比，与光波长成正
比。当 ?＜＜ a,b时，衍射可忽略 。
四 单缝衍射
当矩孔一个边长比另一边长大得很多时，产生的衍射称为单缝
衍射，如图 5— 16所示。在图示情况下,y轴方向上的衍射可忽
略，仅在 x轴上有衍射花样存在，衍射强度分布公式为,
称为衍射角。?
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纹的坐标范围为：单缝衍射花样中中央亮
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x
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f
a
e ??
条纹间距为：
§ 5 圆孔的夫琅和费衍射
圆孔夫琅和费衍射装置见图 5— 18。设圆孔半径为 a.考虑到圆孔
的对称性，在计算衍射强度时采用了极坐标，图中各点的直角
坐标和极坐标之间的关系为,
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ry
rx
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积，积分面元为：由此得积分域为圆孔面
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a
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点的光强；是式中
光强表达式为：
上式可表示为：应用一阶贝塞尔函数
由光强表达式可知,P点光强与衍射角 ?有关，即与 r有关，但与
?无关，所以圆孔衍射花样为明暗相间的圆环条纹。
? ?
最大。相邻的极小值间有一次
，为极小值位置；时，满足在
，为主最大位置；点，处的在
。—如图圆孔衍射强度分布曲线
00
10
205
0
1
0
0
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I
I
ZJZ
I
I
PZ
与单缝衍射一样，中央主最大亮纹集中了衍射的绝大部分光能
量，圆孔衍射中央主最大亮纹通常称为爱里斑，它的角半径为,
缝衍射是类似的。成正比，这种关系与单
成反比，与光波长的扩展范围与圆孔半径此式也表明，圆孔衍射
a
?
? 61.00 ?
§ 6 光学成象系统的分辨本领
光学成象系统的分辨本领是指分辨两个靠得很近的物点的能力。
在一个理想成象系统中，分辨本领是无限的，因为理想成象时，
一个物点对应的象也是一个点，只要物点不重叠，象点也不会
重叠，一定可以被分辨开。但是实际的光学系统是存在象差的，
一个点所成的象是一个扩展的光斑，更具体地说，是一个近似
的夫琅和费圆孔衍射花样。因此，两个靠近的物点产生的衍射
图样就会发生重叠，导致两物点可能无法分辨开。
图 5— 23画出了两物点之间距离的变化导致衍射图样重叠程度变
化的情况。从右侧的衍射强度曲线图可看出，随着两物点距离
的减小，两衍射图样的合强度曲线中央下凹处强度值在增大。
实际测量、观察证明：当中央下凹处强度值约为每一强度曲线
最大值的 75﹪ 时，两物点可以被分辨开。此时一个物点的中央
最大值恰好与另一物点的第一最小值位置重合。
瑞利判据：一个物点衍射图样的中央最大值与另一物点的第一
最小值位置重合时，两个物点恰能分辨，光学成象系统处于分
辨极限状态。
下面对几种典型的光学系统讨论其分辨本领。
1 望远镜的分辨本领
望远镜的分辨本领用两个恰能分辨的物点对物镜的张角来表示。
参见图 5— 24。设望远镜物镜孔径为 D，在分辨极限状态下两衍
射光斑中心的角距离为夫琅和费圆孔衍射图样中的爱里斑的角
半径，也就是分辨极限状态下两物点对望远镜物镜中心的张角,
越大，分辨本领越高。知，物镜的孔径由分辨本领的表达式可
称分辨本领。数辨角。最小分辨角的倒这就是望远镜的最小分
D
D
?
?
??
1
22.10 ??
2 照相物镜的分辨本领
照相物镜的分辨本领用象面上每毫米能分辨的线数来表示。
照相机的象面是感光胶片，它的位置在照相物镜的焦平面处。
设照相物镜的孔径为 D，分辨极限状态下感光胶片上两直线的
间距为,
越大，分辨本领越高。对孔径越大，是物镜的相对孔径。相
线数为：象面上每毫米能分辨的
是照相物镜的焦距。
N
f
D
f
D
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f
D
ff
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22.1
1
`
1
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3 显微镜的分辨本领
显微镜的分辨本领用分辨极限状态下两物点的距离表示。
严格地说，显微镜中的衍射不属于夫琅和费衍射，这里是一种
近似处理结果。
分辨极限状态下两物点的距离为,
是物镜的数值孔径。un
un
s i n
s i n
610.0
?
? ?
由显微镜分辨本领的表达式可知，要提高显微镜的分辨本领，
即减小 ?，可以有两个途径：一是增大显微镜的数值孔径，具
体有效的方法是采用油浸镜头；二是使用短波长的光源，典型
的例子是用电子束代替光波成象，即使用电子显微镜。与光学
显微镜相比，电子显微镜的分辨本领可以提高三个数量级。
§ 7 双缝夫琅和费衍射
我们回过头来再来分析杨氏双缝实验。由于每一缝都是细长狭
窄的，所以结果不应是简单的双缝干涉，而应该是双缝衍射。
图 5— 28中表示的就是夫琅和费双缝衍射装置图。从外观来看，
双缝衍射图样和双缝干涉图样类似，也是明暗相间的直线条纹，
但在精细结构上，二者却有着本质的不同，这可以通过双缝衍
射强度的分析而明了。
设平行光垂直入射在双缝上，观察屏上任意 P点的振动是两缝
上的波面 ?1,?2发出的所有子波在 P点振动的叠加。借用单缝衍
射的复振幅表达式形式，可得到双缝衍射时 P点的复振幅为,
? ? ? ?? ? 1111
21
e x p`
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dydxwylxikCPE ??
???
???
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点处两光波的位相差。这正是杨氏双缝干涉中
：差点产生的复振幅有位相的两缝在此式表明，间距为
点复振幅结果为：
化，轴方向上存在振幅的变虑到此时仅在选取合适的积分限并考
P
dk l d
Pd
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k l a
k l a
k l a
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P
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点的光强，是单缝衍射中
点的光强表达式：可得双缝衍射时令
?
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干涉共同作用的结果。
双缝衍射图样是单缝衍射和。因此得出结论：双缝子
另一个是双缝干涉因衍射因子因子决定：一个是单缝
强分布由两个式可知：双缝衍射的光由双缝衍射的光强表达
.
2
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,
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2
2
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更深入的研究表明，双缝衍射光强表达式中的双缝干涉因子决
定着衍射图样中光强为极大值的亮纹和光强为极小值的暗纹的
位置，单缝衍射因子决定极大值亮纹的光强值（参见图 5—
30）。因此可以由双缝干涉因子得出各级亮纹和暗纹的条件如
下,
? ?
? ?
。光强为极小值，是暗纹
光程差
位相差当；光强为极大值，是亮纹
光程差
位相差当
?
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,3,2,1,0
2
12
12
,3,2,1,0
2
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m
mm
m
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当 d/a=K时，双缝干涉的极大值与单缝衍射的极小值位置重合，
对应的极大值亮纹的光强度为零，该亮纹消失，这称为“缺级”
现象。 所有级数 m为 K的整数倍的亮纹都会发生缺级。
从衍射条纹照相图 5— 31可看出，双缝衍射条纹比单缝衍射条纹
更为精细。可以预见，当衍射缝数进一步增多时，条纹的精细程
度也将更高。
§ 8 多缝夫琅和费衍射
将夫琅和费衍射装置中的衍射屏换成开有多个等宽、等距、平
行狭缝的障碍物，所产生的衍射就是多缝夫琅和费衍射，衍射
条纹与双缝衍射类似。
一 强度分布公式
多缝衍射强度分布公式的推导，可以借助于双缝衍射的结果而
简化。
在双缝衍射的研究中已知，相距 d的两缝在 P点产生的复振幅的
位相差为
???? s in2 d?
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0EPE
P
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点的振幅为：单缝在
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振幅的位相差均为
增，每相另两缝复点的复振幅位相依次递则第二、第三等各缝在
，即点的子波的复振幅为零条缝在设多缝衍射屏边缘第一
P
EPE
P
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Ni
N
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PN 点的复振幅为：条缝在按此规律可求得
2
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因子共同作用的结果。
和多缝干涉衍射也是单缝衍射因子和双缝衍射类似，多缝
二 多缝衍射图样
多缝衍射图样中的亮纹和暗纹的位置由多缝干涉因子决定。通
过分析可求得,
? ?
? ??
?
,2,,0``2
,2,1,02
NNm
N
m
mm
????
????
时光强为极小值。当
主极大；时光强为极大值，称为当
??
??
。—度分布曲线详见图级现象。多缝衍射的强
图样中同样会有缺个次极大值。多缝衍射值，有
个极小邻的主极大之间有由分析可知，每两个相
355
2
1
?
?
N
N
由衍射条纹照相图 5— 36可以证实，随着衍射缝数的增加，衍射
条纹变得越加精细，即亮纹变得越来越窄。为了解释这种变化，
定义了亮纹的 半角宽度,即一个亮纹和其一侧的第一个暗纹之
间的角距离,
?
??
c o sNd??
由这个关系式可看出,N越大，半角宽度越小，即条纹越细。
当 N极大时，衍射图样为几乎全黑背景上的细锐的亮线，具有
很好的观察性，可以大大提高测量的精确度。
§ 9 衍射光栅
光栅是一种精细加工的光学元件。光栅上有着大量平行、等宽,
等距的狭缝，其主要作用是通过衍射将不同波长的光分隔开,
即分光。光栅分为透射式和反射式。本节主要研究的是透射式
平面衍射光栅。
一 光栅方程
光栅方程意义：给定由光栅的多缝衍射形成的衍射图样中主最
大亮线（光谱线）的形成条件。
光栅方程的实质,由光程差 ?决定的干涉加强条件。
光栅的分光原理。位置上会分开，这就是
光在空间不同，因此不同波长的射角的同级光谱线对应的衍
的光一定的光栅，不同波长光栅常数由光栅方程可知，对于
光栅方程：
?
??
d
mmd ?,2,1,0s i n ????
? ?
，取负号。光栅平面法线的异侧时当入射光和衍射光位于
，取正号；光栅平面法线的同侧时当入射光和衍射光位于
光栅方程修正为：，设平行光的入射角为—参见图
质进行修正。可以根据光栅方程的实当平行光倾斜入射时，
?,2,1,0s i ns i n
,395
????? mmid
i
??
二 光栅的角色散
光栅的角色散指波长差为 1埃（ 0.1nm)的两条光谱线之间的角距
离。
??
?
c o sd
m
d
d ?光栅的角色散：
三 光栅的色分辨本领
光栅的色分辨本领是指光栅分辨两条波长差极小的光谱线的能
力。
由图 5— 40分析，按照瑞利判据，波长差为 ??的两条谱线恰能
分辨时，一条谱线的强度最大值的位置应该正好和另一谱线的
第一最小值的位置重合，两谱线最大值之间的角距离是谱线的
半角宽度 ??，由角色散表达式可得与 ??对应的波长差为
mNNdm
d
d
d ?
?
???
?
?? ?????
?
??
?
???
c o s
c o s
数成正比。栅的总缝数和光谱线级光栅的色分辨本领与光
光栅的色分辨本领为：
mNA ?
?
?
?
?
四 光栅的自由光谱范围
由于光栅的分光特性，不同波长的光的同级谱线在光谱图上的
位置不同，形成一定长度的谱带。可以推断，当谱线级数增大
时，较低级数的长波谱线将和较高级数的短波谱线在空间位置
上发生重叠，这将会使光谱图变得难以辨认。因此有必要讨论
光谱的不重叠区，即自由光谱范围。
m
?? ??
光谱的不重叠区为：
§ 10 菲涅耳圆孔衍射
一 菲涅耳衍射
菲涅耳衍射是近场衍射，对于这种情况，采用基尔霍夫衍射积
分公式计算比较困难，一般采用菲涅耳波带法来进行讨论。
二 菲涅耳波带法
这是求解某些特定情况下的菲涅耳衍射光强分布规律的一种方
法。
特点,
1 相邻半波带对应部分所发射的次波到达 P0点时的位相相反。
2 任意序数的半波带面积近似相等。
3 各波带发出的子波在 P0点的振幅与波带的面积成正比，与
波带到 P0的距离成反比，且与倾斜因子 (1+cos?)/2有关。
?
? O
R
B0
B1
B3
B2
P0 z1
由图可知,P0点位于由衍射孔所确定的波面的旋转对称轴上。
设 P0到波面极点 B0的距离为 z1，以 z1为初始值，按每次递增 ?/2
的规律，设想将波面分为若干个环状带。因为每两个相邻波带
对应位置到 P0的距离均相差半个波长 ?/2，故称这些环状带为
菲涅耳半波带。
根据前面定义的波带的三个特点，可以将序数为 j的波带在 P0点
的振幅表示为,
点的距离个波带到第
个波带的面积第
比例常数
0
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:
:
2
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jjj
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0
0
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点的复振幅的总和：样表示各波带在点的位相相反，可以这
邻波带子波到单调减小。再考虑到相将随波带序数的增大而
越大，所以和倾角越大时，距离因子有关。当波带序数
点的距离和倾斜只与到相等，所以由于各波带的面积近似
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0
2
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2
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2
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2
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1
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1
1
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n
n
n
n
EE
En
E
EE
En
n
EE
En
EE
En
为偶数：设半波带总数
为奇数：设半波带总数
似结果：不太大时，有以下的近当
为偶数：设半波带总数
为奇数：设半波带总数
结果：整理处理后，可得以下经过数学变换、近似、
与 n为奇数对应的 P0点为亮点，与 n为偶数对应的 P0点为暗点。改
变衍射孔的大小或是移动观察屏，可以观察到衍射点明暗交替的
变化。
三 圆孔衍射图样
菲涅耳圆孔衍射图样可见图 5— 55，这是一组明暗相间的同心圆
环。要知道 P0点的明暗，关键是要知道圆孔波面能划分的波带
数目 n,
???
?
1
2
1
2
z
a
z
an ??
求得 n后，可以根据前面的公式得知 P0点的情况。
§ 12 全息照相原理
一 概述
全息照相和普通照相是两种完全不同的记录物体影象的方法。
普通照相是把从物体表面反射或散射的光或物体本身发出的光,
通过照相镜头成象在感光胶片上。感光胶片上记录的只是物体
光强度的变化，所以，得到的是物体的平面象。
而全息照相是采用了一种新的“无透镜”的两步成象法，它能
在
感光胶片上同时记录下物体的全部信息，即物光的振幅和位相,
因而具有获得立体象等许多优点。
全息照相分为两步。第一步利用干涉方法拍摄全息图（全息照
片），过程如图 5— 66a）所示。相干光源发出的光一部分照射
到物体上，从物体上反射或散射后照射到感光胶片上，这一部
分光称为物光波。相干光源的另一部分直接照射到感光胶片上,
这部分光称为参考光波。物光和参考光在感光胶片上发生相干
叠加，产生的干涉图样即记录了物体振幅和位相分布的全部信
息。这张记录干涉图样的胶片经过适当的暴光与冲洗处理后，
就是一张全息图（全息照片）。拍摄过程是一个记录或存贮信
息的过程。
第二步利用衍射原理进行物体的再现，如图 5— 66 b）所示。
当用一个相干参考光照明全息图时，记录了干涉图样的全息图
宛如一块复杂的光栅将发生衍射，在衍射光波中包含着原来的
物光波，当迎着物光波的方向观察时可看到物体的再现象，这
是一个物光波再现即成象的过程。
二 全息照相的一般原理
1 全息图的记录
设感光胶片平面为 xy平面，物光波和参考光波在平面上的复振
幅为,
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位相分布。分别为物光和参考光的
和振幅分布，分别为物光和参考光的和 yxRyxOyxRyxO
yxiyxRyxE
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布为：波干涉产生的光强度分在感光胶片平面上两光
2 记录介质的作用与要求
将记录了全息图的感光胶片经过适当的暴光、冲洗后，就能得
到一张全息图，而适当的暴光、冲洗就要求冲洗后胶片的透射
系数与暴光时胶片上的光强成线性关系。设两者之比为 1，得
到全息图的透射系数 为,
? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ?RORO ixpOixpOROyxIyxt ???? ???????? ReRe,,~ 22
3 物体的再现
物体再现时，用一束光照射全息图，设这束光在全息图平面上
的复振幅为,
? ? ? ? ? ?? ?yxiyxCyxE CC,e x p,,~ ??
? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ?? ?
本公式。式，也是全息照相的基这就是衍射光波的表达
平面上的复振幅为：透过全息图后的光波在
ROC
RCOCD
iO R C
iO R CiCROyxE
xy
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????
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e x p
e x pe x p,
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e x pRe)(,
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,e x p,,
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,
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2
222
则衍射光为：
，即摄时的参考光完全相同如果使用的再现光和拍
式中的第一项代表再现光波，第二项代表物光波，第三项代表
一个沿特定方向传播的物光的共轭平面波。再现时迎着代表物
光的光波方向观察，就能看到物体在原来位置的虚象。
