第二章 一维随机变量及其分布
一、随机变量及其分布
二、离散型随机变量的分布函数
三、离散型随机变量的概率函数
四、连续型随机变量及其概率密度
五、随机变量的函数的分布
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用
数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随
机试验的不同结果
例,电话总机某段时间内接到的电话次数，
可用一个变量 X 来描述
例, 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，
也可以用一个变量来描述
?
?
??
反面向上
正面向上
,0
,1)( ?X
§ 2.1 随机变量及其分布
例 (1)随机地掷一颗骰子,ω 表示所有的样本点,
ω,出现 1点 出现 2点 出现 3点 出现 4点 出现 5点 出现 6点
X(ω),1 2 3 4 5 6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为
止,ω 表示射击次数，则
ω 射击 1次 射击 2次,....,射击 n次,.....
X(ω) 1 2,....,n,....,
(3) 某车站每隔 10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意
时间到达车站,ω 表示该旅客的候车时间,
ω 候车时间
X(ω) [0,10]
一、随机变量的概念
定义 设 E是一随机试验,?是它的样本空间，
则称 ?上的单值实值函数 X ( ?)为随机
变量
随机变量一般用 X,Y,Z,?或小写希腊字母
?,?,? 表示
)( ?? X实数按一定法则 ????? ?????
若
特别 离散型
连续型?
取值为有限个和至多可列个的
随机变量,
可以取区间内一切值的随机变量,
随机变量是 ? R? 上的映射，这个映射具有
如下的特点：
定义域, ?
随机性, 随机变量 X 的可能取值不止一个，
试验前只能预知它的可能的取值但不能预知
取哪个值
概率特性, X 以一定的概率取某个值或某些
值
引入随机变量后，用随机变量的等式或不
等式表达随机事件
如，若用 X 表示电话总机在 9:00~10:00接到
的电话次数，
}100{ ?X 或 )100( ?X
—— 表示, 某天 9:00 ~ 10:00 接到的电话
次数超过 100次, 这一事件
则
再如，用随机变量
?
?
??
反面向上
正面向上
,0
,1)( ?X
描述抛掷一枚硬币可能出现的结果,则
)1)(( ??X — 正面向上
也可以用
?
?
??
反面向上
正面向上
,1
,0)( ?Y
描述这个随机试验的结果
例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往
需要多个指标，例如，身高、体重、头围等
? = {儿童的发育情况 ? }
X ( ? ) — 身高
Y ( ? ) — 体重
Z ( ? ) — 头围
各随机变量之间可能有一定的关系，也可能
没有关系 —— 即 相互独立
定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量
X 的分布函数，记为 F ( x ),即
定义 设 X 为随机变量,对每个实数 x,随机事件
)( xX ? 的概率
)( xXP ?
???????? xxXPxF ),()(
注, 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或
者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况,
二、随机变量的分布函数
分布函数的性质
? F ( x ) 单调不减，即
)()(,2121 xFxFxx ???
? 1)(0 ?? xF 且
0)(lim,1)(lim ?? ?????? xFxF xx
? F ( x ) 右连续，即
)()(lim)0( 0 xFtFxF xt ??? ??
利用分布函数可以计算
)()(
)()()(
aFbF
aXPbXPbXaP
??
??????
)(1)(1)( aFaXPaXP ??????
（ ]
a b
]（
)0()()( ???? aFaFaXP
)0()( ?? aFbF
)()0( aFbF ??
)0()0( ??? aFbF
??? )( bXaP
??? )( bXaP
??? )( bXaP
请
填
空
例 1.设随机变量 X的分布函数为,
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
31
31
3
2
10
2
00
)(
x
x
xx
x
xF
求,
).
3
14
1()5(),1()4(
),1()3(),2()2(),3()1(
???
???
XPXP
XPXPXP
例 2:设随机变量的分布律为
求 的分布函数，并求X ),
2
1( ?XP )32(),
2
5
2
3( ???? XPXP
X
kp
-1 2 3
41 4121
的分布函数为解 X:
即
?)(xF
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
???
??
x
x
x
x
31
32
2
1
4
1
21
4
1
10
?)( xF
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
???
??
x
x
x
x
31
32
4
3
21
4
1
10
2
1
4
1
4
3)
2
3()
2
5()
2
5
2
3( ??????? FFXP
4
1)
2
1()
2
1(,??? FXP又
)2()2()3()32( ?????? XPFFXP
4
3
2
1
4
31 ????
§ 2.2,3 离散型随机变量的分布函数
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或
无穷可列多个，则称 X 为 离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的 概率
分布 或 分布律,即
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
概率分布的性质
一、离散型随机变量的概念
? ?,2,1,0 ?? kp k 非负性
? 1
1
??
?
?k
kp 规范性
F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值
xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点,
二、离散型随机变量的分布函数
)()()( 1????? kkkk xFxFxXPp
))(()()( ?
xx
k
k
xXPxXPxF
?
????
??
??
???
xx
k
xx
k
kk
pxXP )(
注意
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求,
(1)确定随机变量的所有可能取值 ;
(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率,
(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）,
例 1 从 1～ 10这 10个数字中随机取出 5个数字，令
X,取出的 5个数字中的最大值．试求 X的分布律．
? ?kXP ?
具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
252
1
252
5
252
15
252
35
252
70
252
126
解,X 的可能取值为
.1065,，,??k
5,6,7,8,9,10,并且
510C
4 1?kC=——
求分布率一定要说
明 k 的取值范围！
例 2 袋内有 5个黑球 3个白球,每次抽取一个不放回,直到
取得黑球为至。记 X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求
X,Y的概率分布及至少抽取 3次的概率。
解 (1)X的可能取值为 0,1,2,3,
P(X=0)=5/8,
P(X=1)=(3× 5)/(8× 7)=15/56,类似有
P(X=2)=(3× 2× 5)/(8 × 7 × 6)=5/56,
P(X=3)=1/56,
所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3
P 5/8 15/56 5/56
1/56
(2) Y的可能取值为 1,2,3,4,
P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,
类似有
P(Y=3)=P(X=2)=5/56,
P(Y=4)=P(X=3)=1/56,
所以 Y的概率分布为
Y 1 2
3 4
P 5/8 15/56 5/56
1/56(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56
(1) 0 – 1 分布
X = xk 1 0
Pk p 1 - p
0 < p < 1
1,0,)1()( 1 ???? ? kppkXP kk
注 其分布律可写成
三、常见的离散型随机变量的分布
凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合
常用 0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统
计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等,
(2) 离散型均匀分布
X 1x 2x nx
?
kp n1 n1 n1
?
如在, 掷骰子, 的试验中，用 表示事件｛出现
点｝，
则随机变量 是均匀分布．
}{ iX ? i
X
X 1 4
kp 61
2 3 5 6
6
1 61 61 6161
(3) 二项分布 ),( pnB
背景,n 重 Bernoulli 试验中，每次试验感兴
趣的事件 A 在 n 次试验中发生的次数 ——
X是一离散型随机变量
若 P ( A ) = p,则
nkppCkXPkP knkknn,,1,0,)1()()( ?????? ?
称 X 服从 参数为 n,p 的二项分布,记作
),(~ pnBX
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
例 2 一大批产品的次品率为 0.1，现从中取出 15
件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的 15件产品中恰有 2件次品 }
C={ 取出的 15件产品中至少有 2件次品 }
? ?,取出一件产品为次品?A ? ?,1.0?AP则
由于从一大批产品中取 15件产品，故可近似看作
是一 15重 Bernoulli试验．
解：
所以,? ? 1322
15 9.01.0 ??? CBP
? ? ? ?CPCP ?? 1
14115150015 9.01.09.01.01 ??????? CC
例 3:一个完全不懂英语的人去参加英语考试,假设此
考试有 5个选择题，每题有 n重选择，其中只有一个答
案正确,试求：他居然能答对 3题以上而及格的概率,
解,由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对
于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相
互独立的,这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试
验
)5,,1,0(,)1()( ?????
?
?
???
???? ? kpp
k
nkmPp knk
k
:,4,1 此人及格的概率是时于是当其中 ?? nnp
10.04155434145434135
5423
543 ???
??
?
???
?
?
???
???
?
??
?
??
?
??
?
???
?
?
???
???
?
??
?
??
?
??
?
???
?
?
???
???? ppp
)/1,5(~"" nBm 这个随机变量他答对题数
(4) Poisson 分布 )(?? 或 )(?P
或
若 ?,2,1,0,!)( ??? ? kkekXP
k?
?
其中 0?? 是常数，则称 X 服从 参数为 ?
的 Poisson 分布,记作 )(?? )(?P
在一定时间间隔内：
一匹布上的疵点个数；
大卖场的顾客数；
应用场合
电话总机接到的电话次数；
一个容器中的细菌数；
放射性物质发出的粒子数；
一本书中每页印刷错误的个数；
某一地区发生的交通事故的次数
市级医院急诊病人数；
等等
例 4 设随机变量 X 服从参数为 λ 的 Poisson分布，
且已知
? ? ? ?21 ??? XPXP
解：
随机变量 X 的分布律为
? ?,试求 4?XP
? ? ? ??，，,210! ??? ? kekkXP k ??
由已知 ? ? ? ?
21 ??? XPXP
如果随机变量 X的分布律为
? ? ? ?,,2,1! ???? kkckXP k?
? ?为常数其中 0?? 试确定未知常数 c,
例 5
,1
!! 11
?? ??
?
?
?
? k
k
k
k
k
c
k
c ??
由分布率的性质有解：
?
?
? 1 !k
k
k
?而 1?? ?e
.11?? ?ec所以
1
!0
?? ?
?
?k
k
k
?
(5) 几何分布
设用机枪射击一次击落飞机的概率为,无限次地射击，
则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为 的几
何分布，记,即
pX
p
)(~ pGX
,)1()( 1 ppkXP k ???? ?,2,1?k
容易验证，若在前 次射击中未击落飞机，那么，在此条件下，
为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布，
该分布与 无关，这就是所谓的 无记忆性,
m
m
(6) 超几何分布
设有产品 件, 其中正品 件, 次品 件 （ ）
,从中随机地不放回抽取 件,, 记 X为抽到的
正品件数, 求 X的分布律,
此时抽到 件正品的概率为
s N M NMs ??
n Nn?
k
k=0,1,…,
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
n
s
kn
M
k
N
kXP )(
n
称 X服从超几何分布,记 ),,(~ nNMHX
可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应
用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似NMs,,
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
n
s
kn
M
k
N
kXP )(
,)()( knk
s
M
s
N
k
n ?
???
?
???
?
?
(7) 负二项分布（ Pascal分布 ) (自学 )
(8) 截塔（ Zipf）分布 (自学 )
§ 2.4 连续型随机变量及其概率密度
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负
可积函数 f ( x ),使得
??????? ? ?? xttfxF x d)()(
其中 F ( x )是它的分布函数
则称 X 是 连续型随机变量, f ( x )是它的
概率密度函数 ( p.d.f,)，简称为 密度函数
或 概率密度
一、连续型随机变量的概念
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
x
f ( x)
x
F ( x )
分布函数 F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
)( xfy ?
p.d.f,f ( x )的性质
1,0)( ?xf
2,1)(d)( ????? ???? Fxxf
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连
续性随机变量的密度函数，或求其
中的未知参数
3,在 f ( x ) 的连续点处，
)()( xFxf ??
f ( x ) 描述了 X 在 x 附近单位长度的区间内
取值的概率
注意, 对于连续型随机变量 X,P ( X = a) = 0
这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的
取值
)()(0 aXxaPaXP ?????? ?? ?? a xa xxf? d)(
? ?????? a xax xxfaXP ?? d)(lim)(0 00?
0)( ?? aXP
命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零
)( aX ? )( aXxa ???? ? 0?x?事实上
对于连续型随机变量 X
)( bXaP ?? )( bXaP ???
)( bXaP ???
)( bXaP ???
)()(d)( aFbFxxfb
a
??? ?
b x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
)()()( bFbXPbXP ????
)(1)()( aFaXPaXP ?????
x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
例 1 设随机变量 具有概率密度函数
试确定常数 A，
以及 的分布函数,
X
??
?
?
?? ?
.0,0;0,)( 3
x
xAexf x
X
解 由
,31)(1
0
3 AdxAedxxf x ??? ?? ?? ???
??
知 A=3，即
?
?
?
?
?? ?
.0,0;0,3)( 3
x
xexf x
而 的分布函数为X
? ??
?
?
?
?
?
???? x x
x
xedttfxF
.0,0;0,1)()( 3
例 2 一个靶子是半径为 2米的圆盘，设击中靶上任一
同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并
设射击都能中靶，以 X表示弹着点与圆心的距离，试
求随机变量 X的分布函数．
解,
0)()( ??? xXPxF
于是即,4)0(
2x
xXP ???
)()( xXPxF ?? 4)0()0(
2x
xXPXP ??????
于是是不可能事件则若,)(,0 xXx ??
.,)0(,,20 2 是某一常数由题意若 kkxxXPx ?????
4
1
,12)20(
,2
2 ?????
?
kkXP
x 有取
1)()( ??? xXPxF
综上所述，随机变量 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
21
20
4
00
)(
2
x
x
x
x
xF
于是是必然事件由题意若,,,2?x
(1) 均匀分布
( a,b)上的均匀分布 ),(~ baUX记作
二、常见的连续性随机变量的分布
若 X 的密度函数为,则称 X 服从 区间)(xf
??
?
?
? ??
??
其他,0
,
1
)(
bxa
abxf
其中
X 的分布函数为 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
,
,0
)(
ab
ax
xF
bx
bxa
ax
?
??
?
,
,
),(),( badc ??
x
ab
dXcP d1)( d
c? ?
??? ab
cd
?
??
即 X 的取值在 (a,b)内任何长为 d – c 的小区间
的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正
比, 这正是几何概型的情形,
在进行大量数值计算时，如果在小数点后第
k 位进行四舍五入，则产生的误差可以看作
服从 ??
??
?
? ? ?? kkU 10
2
1,10
2
1
应用场合
例 3 设随机变量 X服从 (1,6)上的均匀分布，求
一元两次方程 t2+Xt+1=0有实根的概率,
解,,01,04 22 有实根时因为当 ??????? XttX
故所求概率为,
??? )04( 2XP )22( ??? XXP 或
而 X的密度函数为,
?
?
? ???
,,0;61,51)(
其他
xxf
,0)2(,54)()2( 62 ?????? ? XPdttfXP且
因此所求概率,
5
4)04( 2 ???XP
(2) 指数分布
若 X 的密度函数为
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,
)(
xe
xf
x??
则称 X 服从 参数为 ?的指数分布
)(~ ?EX记作
X 的分布函数为 ??
?
??
??
? 0,1
0,0)(
xe
xxF
x?
?? > 0 为常数
对于任意的 0 < a < b,
ba
b
a
x
ee
aFbF
xebXaP
??
?
?
??
?
??
??
??? ?
)()(
d)(
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命
动物的寿命
指数分布常作为各种
,寿命, 分布的近似
分钟之间的概率．分钟到用电话间，求你需等待
面走进公．如果某人刚好在你前为参数的指数随机变量
（单位：分钟）是以间设打一次电话所用的时
2010
10
1
??X
解,的密度函数为X ? ?
??
?
?
?
?
??
?
00
0
10
1 10
x
xexf
x
例 4
? ? ? ?2010 ??? XPBP则
令,B={ 等待时间为 10~20分钟 }
?
?
?
20
10
10
10
1
dxe
x 20
10
10
x
e
?
??
21 ?? ?? ee 2325.0?
(3) 正态分布
若 X 的密度函数为
???????
??
xexf
x
2
2
2
)(
2
1)( ? ?
??
则称 X 服从 参数为 ?,? 2 的正态分布
记作 X ~ N ( ?,? 2 )
??,为常数,0??
f (x) 的性质：
?图形关于直线 x = ?对称,f (? + x) = f (? - x)
在 x = ?时,f (x) 取得最大值
??2
1
在 x = ?± ?时,曲线 y = f (x) 在对应的点处有
拐点
曲线 y = f (x) 以 x轴为渐近线
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
2
1
)()(1
)()(
?
????
??
??
??
XPF
FXP
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
? f (x) 的两个参数：
? — 位置参数
即固定 ?,对于不同的 ?,对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同
? — 形状参数
固定 ?,对于不同的 ?, f ( x) 的形状不同,
若 ?1< ?2 则
21 2
1
2
1
???? ?
比 x = ? ? ?2 所对应的拐点更靠近直线 x = ?
附近值的概率更大, x = ? ? ?1 所对应的 拐点
前者取 ?
应用场合
若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因
素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，
且这些影响可以叠加,则 X 服从正态分布,
可用正态变量描述的实例非常之多：
各种测量的误差； 人的生理特征；
工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；
热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；
?? ??
正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下
情形加以说明：
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布
之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分
布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素
的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，
则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许
多分布所不具备的．
⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
正态分布的重要性
标准正态分布的计算：
? ?,则其密度函数为，如果随机变量 10~ NX
? ? ? ?????? ?,
2
1 2
2x
ex
?
?
? ? ? ? ? ????????? ??
??
?
??
xdtedttx
x tx
2
2
2
1
?
??
其分布函数为
.)(,值由此可得态分布表教科书上都附有标准正 x?
一种重要的正态分布, N (0,1) — 标准正态分布
5.0)0( ?? )(1)( xx ?? ???
1)(2)|(| ??? aaXP ?
5.0)0( ??
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
-x x
)(1)( xx ?? ???
1)(2)|(| ??? aaXP ?
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
对一般的正态分布, X ~ N ( ?,? 2)
其分布函数 ? ??
??
? x
t
texF d2 1)( 2
2
2
)(
?
?
??
作变量代换 ???? ts ??
??
?
? ??
?
?? xxF )(
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ??
????
?
?
?
?
?
?
ab
aFbFbXaP )()()(
?
?
?
?
?
? ???
???
?
?
?
a
aFaXP
1
)(1)(
例 5设 X ~ N(1,4),求 P (0 ? X ? 1.6)
解 ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ????
2
10
2
16.1)6.10( ??XP
? ? ? ?5.03.0 ??? ??
? ? ? ?]5.01[3.0 ?? ???
]6 9 1 5.01[6 1 7 9.0 ???
3094.0?
P380 附表 3
例 6 已知 ),2(~ 2?NX 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解一 ??????
???
??
20)0( XP ?
?
??
?
???
??
21
?????? ???????? ???? ???? 2224)42( XP
)0(2 ??? ??
?
??
?
?? 3.0?
8.02 ??
?
??
?
?
??
2.0)0( ??XP
解二 图解法
0.2
2.0)0( ??XP
由图
-2 2 4 6
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
满足条件若设 ?zNX ),1,0(~
0 x
)(x?
?
0,0 5 z
查表可知
?z??1z
分位点。为标准正态分布的上则称点 ??z
,zz ?? ??-1 注：
=1.645
0050.z
=2,575
950,z = -1.645
9950,z = -2,575
? ?,,zXP 10 ???? ???
标准正态分布的 上 ? 分位数 z?
例 7 设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位：米 ),
问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次
误差的绝对值不超过 10米的概率大于 0.9?
解 ??????
????
?
??
?
? ???
10
5.710
10
5.710)10|(| ??XP
? ? ? ?75.125.0 ??? ??
? ? ? ? ]75.11[25.0 ?? ???
5586.0?
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差
的绝对值不超过 10米
9.0)5 5 8 6.01(1)( ???? nAP n > 3
所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求,
(4) 伽玛分布
设随机变量 X，若 X的密度函数为
?,0,0,
0,0
0,
)()(
1
????
??
?
?
?
?
?
??
?
?
????
?
x
xexxf x
则称 X服从参数为 的伽玛（ Gamma）分布,简称为 分布，??,?
),(~ ??GX记为 为伽玛函数其中 )( ??,0,)( 0 1 ????? ? ?? ??? dxex x
注,伽玛函数具有性质：
)()1(.1 ???????
?????? ? ?? ? )2/1(,1)1(.2 0 dxe x
(5) 威布尔分布 (自学 )
(6) 截尾分布 (自学 )
§ 2.5 随机变量函数的分布
问题,已知随机变量 X 的概率特性 —— 分布
函数 或密度函数（分布律）
Y = g ( X )
求 随机因变量 Y 的概率特性
方法,将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件
设随机变量 X 的分布律为
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y 的所有
可能取值，则 Y 的概率分布为
?,2,1,)(
)(:
??? ?
?
ipyYP
ik yxgk
ki
一、离散型随机变量函数的分布
第 一 种 情 形
如果 ??,，，,nyyy 21 两两不相同，则由
? ? ? ? ? ??，,21???? nxXPyYP nn
的分布律为可知随机变量 Y
? ? ? ??,2,1??? npyYP nn
或
Y 1y 2y,? ny ?
P 1p 2p,? np ?
第 二 种 情 形
如果 ??,，，,nyyy 21 有相同的项，
? ?,的分布律机变量的概率相加，即可得随
相应（看作是一项），并把则把这些相同的项合并
XgY ?
例 1已知 X 的概率分布为
X
pk
-1 0 1 2
2
1
4
1
8
1
8
1
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律
解 Y
1
pi
-3 -1 1 3
2
1
4
1
8
1
8
1
Y 2
pi
1 0 1 4
2
1
4
1
8
1
8
1
Y 2
pi
0 1 4
2
1
8
3
8
1
已知随机变量 X 的密度函数 f (x) (或分布函数 )
求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数
方法,（ 1） 从分布函数出发（ 2）从密度函数出发
二、连续性随机变量函数的分布
? ?的分布函数先求⑴ XgY ?
? ?
? ? 的密度函数关系求
之间的的分布函数与密度函数利用⑵
XgY
XgY
?
?
? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?? ?yXgP ?? ?
?
?
yxg
X dxxf
)(
)(
? ? ? ?.yFyf YY ??
?
?
? ???
.,0
,10,2)(
其它
xxXf
X
设随机变量 X 具有 概率密度：
试求 Y=X-4 的概率密度,
解,(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
}{)( yYPyF Y ??
例 2
}4{}4{ ?????? yXPyXP
可以求得：利用 )()()2( yfyF YY ??
)4()4()( ????? yyfyf XY
? ???? 4,)()( y XY dxxfyF
??
? ???
.,0
,10,2)(
其它
xxXf
X
??
?
?
?
?
,140 ??? y
.其它
,1)4(2 ??y
,0
?
?
? ??????
.,0
,34,82)(
其它
yyyf
Y
整理得 Y=X-4 的概率密度为,
本例用到变限的定积分的求导公式
).()]([)()]([)(
,)()(
)(
)(
xxfxxfxF
dttfxF
x
x
????
?
?
?????
? ?
则
如果
例 3 已知 X 密度函数为 babaXYxf X,,),( ??
为常数，且 a ? 0,求 fY( y )
解 )()( yYPyF Y ??
)( ybaXP ???
?????? ??? )(1)( byaXPxF Y
?????? ?? )(1 byaF X
当 a > 0 时，
?????? ?? )(11)( byafayf XY
当 a < 0 时，
?????? ??? )(1)( byaXPyF Y
?????? ??? )(11 byaF X
?????? ??? )(11)( byafayf XY
故 ??
??
?
? ?? )(1
||
1)( by
afayf XY
例如，设 X ~ N (?,?2),Y = a X +b,则
?????? ?? )(1|| 1)( byafayf XY
22
2
2
)(
||2
1 ? ?
??
a
aby
e
a
???
? ????? y
Y ~ N ( a? +b,a2?2 )
特别地,若 X ~ N ( ?,? 2),
)1,0(~ NXY ? ???则
一、随机变量及其分布
二、离散型随机变量的分布函数
三、离散型随机变量的概率函数
四、连续型随机变量及其概率密度
五、随机变量的函数的分布
为了更好的揭示随机现象的规律性并利用
数学工具描述其规律，引入随机变量来描述随
机试验的不同结果
例,电话总机某段时间内接到的电话次数，
可用一个变量 X 来描述
例, 抛掷一枚硬币可能出现的两个结果，
也可以用一个变量来描述
?
?
??
反面向上
正面向上
,0
,1)( ?X
§ 2.1 随机变量及其分布
例 (1)随机地掷一颗骰子,ω 表示所有的样本点,
ω,出现 1点 出现 2点 出现 3点 出现 4点 出现 5点 出现 6点
X(ω),1 2 3 4 5 6
(2)某人接连不断地对同一目标进行射击,直至射中为
止,ω 表示射击次数，则
ω 射击 1次 射击 2次,....,射击 n次,.....
X(ω) 1 2,....,n,....,
(3) 某车站每隔 10分钟开出一辆公共汽车,旅客在任意
时间到达车站,ω 表示该旅客的候车时间,
ω 候车时间
X(ω) [0,10]
一、随机变量的概念
定义 设 E是一随机试验,?是它的样本空间，
则称 ?上的单值实值函数 X ( ?)为随机
变量
随机变量一般用 X,Y,Z,?或小写希腊字母
?,?,? 表示
)( ?? X实数按一定法则 ????? ?????
若
特别 离散型
连续型?
取值为有限个和至多可列个的
随机变量,
可以取区间内一切值的随机变量,
随机变量是 ? R? 上的映射，这个映射具有
如下的特点：
定义域, ?
随机性, 随机变量 X 的可能取值不止一个，
试验前只能预知它的可能的取值但不能预知
取哪个值
概率特性, X 以一定的概率取某个值或某些
值
引入随机变量后，用随机变量的等式或不
等式表达随机事件
如，若用 X 表示电话总机在 9:00~10:00接到
的电话次数，
}100{ ?X 或 )100( ?X
—— 表示, 某天 9:00 ~ 10:00 接到的电话
次数超过 100次, 这一事件
则
再如，用随机变量
?
?
??
反面向上
正面向上
,0
,1)( ?X
描述抛掷一枚硬币可能出现的结果,则
)1)(( ??X — 正面向上
也可以用
?
?
??
反面向上
正面向上
,1
,0)( ?Y
描述这个随机试验的结果
例如，要研究某地区儿童的发育情况，往往
需要多个指标，例如，身高、体重、头围等
? = {儿童的发育情况 ? }
X ( ? ) — 身高
Y ( ? ) — 体重
Z ( ? ) — 头围
各随机变量之间可能有一定的关系，也可能
没有关系 —— 即 相互独立
定义了一个 x 的实值函数，称为随机变量
X 的分布函数，记为 F ( x ),即
定义 设 X 为随机变量,对每个实数 x,随机事件
)( xX ? 的概率
)( xXP ?
???????? xxXPxF ),()(
注, 分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性，或
者说，分布函数完整地表示了随机变量的概率分布情况,
二、随机变量的分布函数
分布函数的性质
? F ( x ) 单调不减，即
)()(,2121 xFxFxx ???
? 1)(0 ?? xF 且
0)(lim,1)(lim ?? ?????? xFxF xx
? F ( x ) 右连续，即
)()(lim)0( 0 xFtFxF xt ??? ??
利用分布函数可以计算
)()(
)()()(
aFbF
aXPbXPbXaP
??
??????
)(1)(1)( aFaXPaXP ??????
（ ]
a b
]（
)0()()( ???? aFaFaXP
)0()( ?? aFbF
)()0( aFbF ??
)0()0( ??? aFbF
??? )( bXaP
??? )( bXaP
??? )( bXaP
请
填
空
例 1.设随机变量 X的分布函数为,
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
31
31
3
2
10
2
00
)(
x
x
xx
x
xF
求,
).
3
14
1()5(),1()4(
),1()3(),2()2(),3()1(
???
???
XPXP
XPXPXP
例 2:设随机变量的分布律为
求 的分布函数，并求X ),
2
1( ?XP )32(),
2
5
2
3( ???? XPXP
X
kp
-1 2 3
41 4121
的分布函数为解 X:
即
?)(xF
?
?
?
?
??
?
?
?
?
???
???
??
x
x
x
x
31
32
2
1
4
1
21
4
1
10
?)( xF
?
?
?
?
??
?
?
?
?
??
???
??
x
x
x
x
31
32
4
3
21
4
1
10
2
1
4
1
4
3)
2
3()
2
5()
2
5
2
3( ??????? FFXP
4
1)
2
1()
2
1(,??? FXP又
)2()2()3()32( ?????? XPFFXP
4
3
2
1
4
31 ????
§ 2.2,3 离散型随机变量的分布函数
定义 若随机变量 X 的可能取值是有限多个或
无穷可列多个，则称 X 为 离散型随机变量
描述离散型随机变量的概率特性常用它的 概率
分布 或 分布律,即
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
概率分布的性质
一、离散型随机变量的概念
? ?,2,1,0 ?? kp k 非负性
? 1
1
??
?
?k
kp 规范性
F( x) 是分段阶梯函数，在 X 的可能取值
xk 处发生间断，间断点为第一类跳跃间断点,
二、离散型随机变量的分布函数
)()()( 1????? kkkk xFxFxXPp
))(()()( ?
xx
k
k
xXPxXPxF
?
????
??
??
???
xx
k
xx
k
kk
pxXP )(
注意
离散型随机变量的概率分布分以下几步来求,
(1)确定随机变量的所有可能取值 ;
(2)设法（如利用古典概率）计算取每个值的概率,
(3)列出随机变量的概率分布表（或写出概率函数）,
例 1 从 1～ 10这 10个数字中随机取出 5个数字，令
X,取出的 5个数字中的最大值．试求 X的分布律．
? ?kXP ?
具体写出，即可得 X 的分布律：
X 5 6 7 8 9 10
P
252
1
252
5
252
15
252
35
252
70
252
126
解,X 的可能取值为
.1065,，,??k
5,6,7,8,9,10,并且
510C
4 1?kC=——
求分布率一定要说
明 k 的取值范围！
例 2 袋内有 5个黑球 3个白球,每次抽取一个不放回,直到
取得黑球为至。记 X为取到白球的数目,Y为抽取次数，求
X,Y的概率分布及至少抽取 3次的概率。
解 (1)X的可能取值为 0,1,2,3,
P(X=0)=5/8,
P(X=1)=(3× 5)/(8× 7)=15/56,类似有
P(X=2)=(3× 2× 5)/(8 × 7 × 6)=5/56,
P(X=3)=1/56,
所以,X的概率分布为 X 0 1 2 3
P 5/8 15/56 5/56
1/56
(2) Y的可能取值为 1,2,3,4,
P(Y=1)=5/8,P(Y=2)=P(X=1)=15/56,
类似有
P(Y=3)=P(X=2)=5/56,
P(Y=4)=P(X=3)=1/56,
所以 Y的概率分布为
Y 1 2
3 4
P 5/8 15/56 5/56
1/56(3) P(Y≥3)=P(Y=3)+P(Y=4)=6/56
(1) 0 – 1 分布
X = xk 1 0
Pk p 1 - p
0 < p < 1
1,0,)1()( 1 ???? ? kppkXP kk
注 其分布律可写成
三、常见的离散型随机变量的分布
凡是随机试验只有两个可能的结果，应用场合
常用 0 – 1分布描述，如产品是否格、人口性别统
计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等,
(2) 离散型均匀分布
X 1x 2x nx
?
kp n1 n1 n1
?
如在, 掷骰子, 的试验中，用 表示事件｛出现
点｝，
则随机变量 是均匀分布．
}{ iX ? i
X
X 1 4
kp 61
2 3 5 6
6
1 61 61 6161
(3) 二项分布 ),( pnB
背景,n 重 Bernoulli 试验中，每次试验感兴
趣的事件 A 在 n 次试验中发生的次数 ——
X是一离散型随机变量
若 P ( A ) = p,则
nkppCkXPkP knkknn,,1,0,)1()()( ?????? ?
称 X 服从 参数为 n,p 的二项分布,记作
),(~ pnBX
0 – 1 分布是 n = 1 的二项分布
例 2 一大批产品的次品率为 0.1，现从中取出 15
件．试求下列事件的概率：
B={ 取出的 15件产品中恰有 2件次品 }
C={ 取出的 15件产品中至少有 2件次品 }
? ?,取出一件产品为次品?A ? ?,1.0?AP则
由于从一大批产品中取 15件产品，故可近似看作
是一 15重 Bernoulli试验．
解：
所以,? ? 1322
15 9.01.0 ??? CBP
? ? ? ?CPCP ?? 1
14115150015 9.01.09.01.01 ??????? CC
例 3:一个完全不懂英语的人去参加英语考试,假设此
考试有 5个选择题，每题有 n重选择，其中只有一个答
案正确,试求：他居然能答对 3题以上而及格的概率,
解,由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对
于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相
互独立的,这样，他答题的过程就是一个 Bernoulli试
验
)5,,1,0(,)1()( ?????
?
?
???
???? ? kpp
k
nkmPp knk
k
:,4,1 此人及格的概率是时于是当其中 ?? nnp
10.04155434145434135
5423
543 ???
??
?
???
?
?
???
???
?
??
?
??
?
??
?
???
?
?
???
???
?
??
?
??
?
??
?
???
?
?
???
???? ppp
)/1,5(~"" nBm 这个随机变量他答对题数
(4) Poisson 分布 )(?? 或 )(?P
或
若 ?,2,1,0,!)( ??? ? kkekXP
k?
?
其中 0?? 是常数，则称 X 服从 参数为 ?
的 Poisson 分布,记作 )(?? )(?P
在一定时间间隔内：
一匹布上的疵点个数；
大卖场的顾客数；
应用场合
电话总机接到的电话次数；
一个容器中的细菌数；
放射性物质发出的粒子数；
一本书中每页印刷错误的个数；
某一地区发生的交通事故的次数
市级医院急诊病人数；
等等
例 4 设随机变量 X 服从参数为 λ 的 Poisson分布，
且已知
? ? ? ?21 ??? XPXP
解：
随机变量 X 的分布律为
? ?,试求 4?XP
? ? ? ??，，,210! ??? ? kekkXP k ??
由已知 ? ? ? ?
21 ??? XPXP
如果随机变量 X的分布律为
? ? ? ?,,2,1! ???? kkckXP k?
? ?为常数其中 0?? 试确定未知常数 c,
例 5
,1
!! 11
?? ??
?
?
?
? k
k
k
k
k
c
k
c ??
由分布率的性质有解：
?
?
? 1 !k
k
k
?而 1?? ?e
.11?? ?ec所以
1
!0
?? ?
?
?k
k
k
?
(5) 几何分布
设用机枪射击一次击落飞机的概率为,无限次地射击，
则首次击落飞机时所需射击的次数 服从参数为 的几
何分布，记,即
pX
p
)(~ pGX
,)1()( 1 ppkXP k ???? ?,2,1?k
容易验证，若在前 次射击中未击落飞机，那么，在此条件下，
为了等到击落时刻所需要等待时间也服从同一几何分布，
该分布与 无关，这就是所谓的 无记忆性,
m
m
(6) 超几何分布
设有产品 件, 其中正品 件, 次品 件 （ ）
,从中随机地不放回抽取 件,, 记 X为抽到的
正品件数, 求 X的分布律,
此时抽到 件正品的概率为
s N M NMs ??
n Nn?
k
k=0,1,…,
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
?
?
??
n
s
kn
M
k
N
kXP )(
n
称 X服从超几何分布,记 ),,(~ nNMHX
可以证明超几何分布的极限分布就是二项分布，因此在实际应
用中，当 都很大时，超几何分布可用下面式子近似NMs,,
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
?
??
?
?
??
n
s
kn
M
k
N
kXP )(
,)()( knk
s
M
s
N
k
n ?
???
?
???
?
?
(7) 负二项分布（ Pascal分布 ) (自学 )
(8) 截塔（ Zipf）分布 (自学 )
§ 2.4 连续型随机变量及其概率密度
定义 设 X 是一随机变量，若存在一个非负
可积函数 f ( x ),使得
??????? ? ?? xttfxF x d)()(
其中 F ( x )是它的分布函数
则称 X 是 连续型随机变量, f ( x )是它的
概率密度函数 ( p.d.f,)，简称为 密度函数
或 概率密度
一、连续型随机变量的概念
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
x
f ( x)
x
F ( x )
分布函数 F ( x )与密度函数 f ( x )的几何意义
)( xfy ?
p.d.f,f ( x )的性质
1,0)( ?xf
2,1)(d)( ????? ???? Fxxf
常利用这两个性质检验一个函数能否作为连
续性随机变量的密度函数，或求其
中的未知参数
3,在 f ( x ) 的连续点处，
)()( xFxf ??
f ( x ) 描述了 X 在 x 附近单位长度的区间内
取值的概率
注意, 对于连续型随机变量 X,P ( X = a) = 0
这里 a 可以是随机变量 X 的一个可能的
取值
)()(0 aXxaPaXP ?????? ?? ?? a xa xxf? d)(
? ?????? a xax xxfaXP ?? d)(lim)(0 00?
0)( ?? aXP
命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零
)( aX ? )( aXxa ???? ? 0?x?事实上
对于连续型随机变量 X
)( bXaP ?? )( bXaP ???
)( bXaP ???
)( bXaP ???
)()(d)( aFbFxxfb
a
??? ?
b x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
)()()( bFbXPbXP ????
)(1)()( aFaXPaXP ?????
x
f ( x)
-10 -5 5
0.02
0.04
0.06
0.08
a
例 1 设随机变量 具有概率密度函数
试确定常数 A，
以及 的分布函数,
X
??
?
?
?? ?
.0,0;0,)( 3
x
xAexf x
X
解 由
,31)(1
0
3 AdxAedxxf x ??? ?? ?? ???
??
知 A=3，即
?
?
?
?
?? ?
.0,0;0,3)( 3
x
xexf x
而 的分布函数为X
? ??
?
?
?
?
?
???? x x
x
xedttfxF
.0,0;0,1)()( 3
例 2 一个靶子是半径为 2米的圆盘，设击中靶上任一
同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，并
设射击都能中靶，以 X表示弹着点与圆心的距离，试
求随机变量 X的分布函数．
解,
0)()( ??? xXPxF
于是即,4)0(
2x
xXP ???
)()( xXPxF ?? 4)0()0(
2x
xXPXP ??????
于是是不可能事件则若,)(,0 xXx ??
.,)0(,,20 2 是某一常数由题意若 kkxxXPx ?????
4
1
,12)20(
,2
2 ?????
?
kkXP
x 有取
1)()( ??? xXPxF
综上所述，随机变量 X的分布函数为
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
21
20
4
00
)(
2
x
x
x
x
xF
于是是必然事件由题意若,,,2?x
(1) 均匀分布
( a,b)上的均匀分布 ),(~ baUX记作
二、常见的连续性随机变量的分布
若 X 的密度函数为,则称 X 服从 区间)(xf
??
?
?
? ??
??
其他,0
,
1
)(
bxa
abxf
其中
X 的分布函数为 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
,
,0
)(
ab
ax
xF
bx
bxa
ax
?
??
?
,
,
),(),( badc ??
x
ab
dXcP d1)( d
c? ?
??? ab
cd
?
??
即 X 的取值在 (a,b)内任何长为 d – c 的小区间
的概率与小区间的位置无关,只与其长度成正
比, 这正是几何概型的情形,
在进行大量数值计算时，如果在小数点后第
k 位进行四舍五入，则产生的误差可以看作
服从 ??
??
?
? ? ?? kkU 10
2
1,10
2
1
应用场合
例 3 设随机变量 X服从 (1,6)上的均匀分布，求
一元两次方程 t2+Xt+1=0有实根的概率,
解,,01,04 22 有实根时因为当 ??????? XttX
故所求概率为,
??? )04( 2XP )22( ??? XXP 或
而 X的密度函数为,
?
?
? ???
,,0;61,51)(
其他
xxf
,0)2(,54)()2( 62 ?????? ? XPdttfXP且
因此所求概率,
5
4)04( 2 ???XP
(2) 指数分布
若 X 的密度函数为
?
?
? ?
?
?
其他,0
0,
)(
xe
xf
x??
则称 X 服从 参数为 ?的指数分布
)(~ ?EX记作
X 的分布函数为 ??
?
??
??
? 0,1
0,0)(
xe
xxF
x?
?? > 0 为常数
对于任意的 0 < a < b,
ba
b
a
x
ee
aFbF
xebXaP
??
?
?
??
?
??
??
??? ?
)()(
d)(
应用场合 用指数分布描述的实例有：
随机服务系统中的服务时间
电话问题中的通话时间
无线电元件的寿命
动物的寿命
指数分布常作为各种
,寿命, 分布的近似
分钟之间的概率．分钟到用电话间，求你需等待
面走进公．如果某人刚好在你前为参数的指数随机变量
（单位：分钟）是以间设打一次电话所用的时
2010
10
1
??X
解,的密度函数为X ? ?
??
?
?
?
?
??
?
00
0
10
1 10
x
xexf
x
例 4
? ? ? ?2010 ??? XPBP则
令,B={ 等待时间为 10~20分钟 }
?
?
?
20
10
10
10
1
dxe
x 20
10
10
x
e
?
??
21 ?? ?? ee 2325.0?
(3) 正态分布
若 X 的密度函数为
???????
??
xexf
x
2
2
2
)(
2
1)( ? ?
??
则称 X 服从 参数为 ?,? 2 的正态分布
记作 X ~ N ( ?,? 2 )
??,为常数,0??
f (x) 的性质：
?图形关于直线 x = ?对称,f (? + x) = f (? - x)
在 x = ?时,f (x) 取得最大值
??2
1
在 x = ?± ?时,曲线 y = f (x) 在对应的点处有
拐点
曲线 y = f (x) 以 x轴为渐近线
曲线 y = f (x) 的图形呈单峰状
2
1
)()(1
)()(
?
????
??
??
??
XPF
FXP
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
? f (x) 的两个参数：
? — 位置参数
即固定 ?,对于不同的 ?,对应的 f (x)
的形状不变化，只是位置不同
? — 形状参数
固定 ?,对于不同的 ?, f ( x) 的形状不同,
若 ?1< ?2 则
21 2
1
2
1
???? ?
比 x = ? ? ?2 所对应的拐点更靠近直线 x = ?
附近值的概率更大, x = ? ? ?1 所对应的 拐点
前者取 ?
应用场合
若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因
素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，
且这些影响可以叠加,则 X 服从正态分布,
可用正态变量描述的实例非常之多：
各种测量的误差； 人的生理特征；
工厂产品的尺寸； 农作物的收获量；
海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度；
热噪声电流强度； 学生们的考试成绩；
?? ??
正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下
情形加以说明：
⑴ 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布
之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分
布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素
的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，
则该随机指标一定服从或近似服从正态分布．
⑵ 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许
多分布所不具备的．
⑶ 正态分布可以作为许多分布的近似分布．
正态分布的重要性
标准正态分布的计算：
? ?,则其密度函数为，如果随机变量 10~ NX
? ? ? ?????? ?,
2
1 2
2x
ex
?
?
? ? ? ? ? ????????? ??
??
?
??
xdtedttx
x tx
2
2
2
1
?
??
其分布函数为
.)(,值由此可得态分布表教科书上都附有标准正 x?
一种重要的正态分布, N (0,1) — 标准正态分布
5.0)0( ?? )(1)( xx ?? ???
1)(2)|(| ??? aaXP ?
5.0)0( ??
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
-x x
)(1)( xx ?? ???
1)(2)|(| ??? aaXP ?
-3 -2 -1 1 2 3
0.1
0.2
0.3
0.4
对一般的正态分布, X ~ N ( ?,? 2)
其分布函数 ? ??
??
? x
t
texF d2 1)( 2
2
2
)(
?
?
??
作变量代换 ???? ts ??
??
?
? ??
?
?? xxF )(
?
?
?
?
?
? ??
?
?
?
?
?
? ??
????
?
?
?
?
?
?
ab
aFbFbXaP )()()(
?
?
?
?
?
? ???
???
?
?
?
a
aFaXP
1
)(1)(
例 5设 X ~ N(1,4),求 P (0 ? X ? 1.6)
解 ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ????
2
10
2
16.1)6.10( ??XP
? ? ? ?5.03.0 ??? ??
? ? ? ?]5.01[3.0 ?? ???
]6 9 1 5.01[6 1 7 9.0 ???
3094.0?
P380 附表 3
例 6 已知 ),2(~ 2?NX 且 P( 2 < X < 4 ) = 0.3,
求 P ( X < 0 ).
解一 ??????
???
??
20)0( XP ?
?
??
?
???
??
21
?????? ???????? ???? ???? 2224)42( XP
)0(2 ??? ??
?
??
?
?? 3.0?
8.02 ??
?
??
?
?
??
2.0)0( ??XP
解二 图解法
0.2
2.0)0( ??XP
由图
-2 2 4 6
0.05
0.1
0.15
0.2
0.3
满足条件若设 ?zNX ),1,0(~
0 x
)(x?
?
0,0 5 z
查表可知
?z??1z
分位点。为标准正态分布的上则称点 ??z
,zz ?? ??-1 注：
=1.645
0050.z
=2,575
950,z = -1.645
9950,z = -2,575
? ?,,zXP 10 ???? ???
标准正态分布的 上 ? 分位数 z?
例 7 设测量的误差 X ~ N(7.5,100)(单位：米 ),
问要进行多少次独立测量，才能使至少有一次
误差的绝对值不超过 10米的概率大于 0.9?
解 ??????
????
?
??
?
? ???
10
5.710
10
5.710)10|(| ??XP
? ? ? ?75.125.0 ??? ??
? ? ? ? ]75.11[25.0 ?? ???
5586.0?
设 A 表示进行 n 次独立测量至少有一次误差
的绝对值不超过 10米
9.0)5 5 8 6.01(1)( ???? nAP n > 3
所以至少要进行 4 次独立测量才能满足要求,
(4) 伽玛分布
设随机变量 X，若 X的密度函数为
?,0,0,
0,0
0,
)()(
1
????
??
?
?
?
?
?
??
?
?
????
?
x
xexxf x
则称 X服从参数为 的伽玛（ Gamma）分布,简称为 分布，??,?
),(~ ??GX记为 为伽玛函数其中 )( ??,0,)( 0 1 ????? ? ?? ??? dxex x
注,伽玛函数具有性质：
)()1(.1 ???????
?????? ? ?? ? )2/1(,1)1(.2 0 dxe x
(5) 威布尔分布 (自学 )
(6) 截尾分布 (自学 )
§ 2.5 随机变量函数的分布
问题,已知随机变量 X 的概率特性 —— 分布
函数 或密度函数（分布律）
Y = g ( X )
求 随机因变量 Y 的概率特性
方法,将与 Y 有关的事件转化成 X 的事件
设随机变量 X 的分布律为
?,2,1,)( ??? kpxXP kk
由已知函数 g ( x) 可求出随机变量 Y 的所有
可能取值，则 Y 的概率分布为
?,2,1,)(
)(:
??? ?
?
ipyYP
ik yxgk
ki
一、离散型随机变量函数的分布
第 一 种 情 形
如果 ??,，，,nyyy 21 两两不相同，则由
? ? ? ? ? ??，,21???? nxXPyYP nn
的分布律为可知随机变量 Y
? ? ? ??,2,1??? npyYP nn
或
Y 1y 2y,? ny ?
P 1p 2p,? np ?
第 二 种 情 形
如果 ??,，，,nyyy 21 有相同的项，
? ?,的分布律机变量的概率相加，即可得随
相应（看作是一项），并把则把这些相同的项合并
XgY ?
例 1已知 X 的概率分布为
X
pk
-1 0 1 2
2
1
4
1
8
1
8
1
求 Y 1= 2X – 1 与 Y 2= X 2 的分布律
解 Y
1
pi
-3 -1 1 3
2
1
4
1
8
1
8
1
Y 2
pi
1 0 1 4
2
1
4
1
8
1
8
1
Y 2
pi
0 1 4
2
1
8
3
8
1
已知随机变量 X 的密度函数 f (x) (或分布函数 )
求 Y = g( X ) 的密度函数或分布函数
方法,（ 1） 从分布函数出发（ 2）从密度函数出发
二、连续性随机变量函数的分布
? ?的分布函数先求⑴ XgY ?
? ?
? ? 的密度函数关系求
之间的的分布函数与密度函数利用⑵
XgY
XgY
?
?
? ? ? ?yYPyF Y ?? ? ?? ?yXgP ?? ?
?
?
yxg
X dxxf
)(
)(
? ? ? ?.yFyf YY ??
?
?
? ???
.,0
,10,2)(
其它
xxXf
X
设随机变量 X 具有 概率密度：
试求 Y=X-4 的概率密度,
解,(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
}{)( yYPyF Y ??
例 2
}4{}4{ ?????? yXPyXP
可以求得：利用 )()()2( yfyF YY ??
)4()4()( ????? yyfyf XY
? ???? 4,)()( y XY dxxfyF
??
? ???
.,0
,10,2)(
其它
xxXf
X
??
?
?
?
?
,140 ??? y
.其它
,1)4(2 ??y
,0
?
?
? ??????
.,0
,34,82)(
其它
yyyf
Y
整理得 Y=X-4 的概率密度为,
本例用到变限的定积分的求导公式
).()]([)()]([)(
,)()(
)(
)(
xxfxxfxF
dttfxF
x
x
????
?
?
?????
? ?
则
如果
例 3 已知 X 密度函数为 babaXYxf X,,),( ??
为常数，且 a ? 0,求 fY( y )
解 )()( yYPyF Y ??
)( ybaXP ???
?????? ??? )(1)( byaXPxF Y
?????? ?? )(1 byaF X
当 a > 0 时，
?????? ?? )(11)( byafayf XY
当 a < 0 时，
?????? ??? )(1)( byaXPyF Y
?????? ??? )(11 byaF X
?????? ??? )(11)( byafayf XY
故 ??
??
?
? ?? )(1
||
1)( by
afayf XY
例如，设 X ~ N (?,?2),Y = a X +b,则
?????? ?? )(1|| 1)( byafayf XY
22
2
2
)(
||2
1 ? ?
??
a
aby
e
a
???
? ????? y
Y ~ N ( a? +b,a2?2 )
特别地,若 X ~ N ( ?,? 2),
)1,0(~ NXY ? ???则
