1
第六章 线性系统的校正方法
6-1 综合与校正的基本概念
6-2 常用校正装置及其特性
6-3 串联校正
6-4 反馈校正本章小结
2
6-1 综合与校正的基本概念设计一个自动控制系统一般经过以下三步,
根据任务要求，选定控制对象；
根据性能指标的要求，确定系统的控制规律，并设计出满足这个控制规律的控制器，初步选定构成控制器的元器件；
将选定的控制对象和控制器组成控制系统，如果构成的系统不能满足或不能全部满足设计要求的性能指标，还必须增加合适的元件，按一定的方式连接到原系统中，使重新组合起来的系统全面满足设计要求。
原系统控制器 控制对象校正系统原系统 校正装置能使系统的控制性能满足控制要求而有目的地增添的元件称为控制系统的校正元件或称校正装置,
图 6－ 1 系统综合与校正示意图
3
必须指出,并非所有经过设计的系统都要经过综合与校正这一步骤,对于控制精度和稳定性能都要求较高的系统,往往需要引入校正装置才能使原系统的性能得到充分的改善和补偿 。 反之,若原系统本身结构就简单而且控制规律与性能指标要求又不高,通过调整其控制器的放大系数就能使系统满足实际要求的性能指标 。
在控制工程实践中,综合与校正的方法应根据特定的性能指标来确定 。 一般情况下,若性能指标以稳态误差,峰值时间,
最大超调量,和过渡过程时间,等时域性能指标给出时,
应用根轨迹法进行综合与校正比较方便 ;如果性能指标是以相角裕度 r幅值裕度,相对谐振峰值,谐振频率 和系统带宽等频域性能指标给出时,应用频率特性法进行综合与校正更合适 。
sse pt
p? st
gK rM r? b?
4
系统分析与校正的差别,
系统分析的任务是根据已知的系统,求出系统的性能指标和分析这些性能指标与系统参数之间的关系,分析的结果具有唯一性 。
系统的综合与校正的任务是根据控制系统应具备的性能指标以及原系统在性能指标上的缺陷来确定校正装置 (元件 )的结构,参数和连接方式 。 从逻辑上讲,系统的综合与校正是系统分析的逆问题 。 同时,满足系统性能指标的校正装置的结构,参数和连接方式不是唯一的,需对系统各方面性能,成本,体积,重量以及可行性综合考虑,选出最佳方案,
5
6-2 常用校正装置及其特性校正装置的连接方式,
(1)串联校正
(2)顺馈校正
(3)反馈校正
Gc(s),校正装置传递函数
G(s),原系统前向通道的传递函数
H(s),原系统反馈通道的传递函数
6
串联校正串联校正的接入位置应视校正装置本身的物理特性和原系统的结构而定 。 一般情况下,对于体积小,重量轻,容量小的校正装置 (电器装置居多 ),常加在系统信号容量不大的地方,即比较靠近输入信号的前向通道中 。 相反,对于体积,重量,容量较大的校正装置 (如无源网络,机械,液压,气动装置等 ),常串接在容量较大的部位,即比较靠近输出信号的前向通道中 。
Gc(s) G(s)
H(s)
R(s) C(s)
-
6－ 2 串联校正
7
顺馈校正顺馈校正是将校正装置 Gc(s)前向并接在原系统前向通道的一个或几个环节上。它比串联校正多一个连接点,即需要一个信号取出点和一个信号加入点。
R(s)
Gc(s)
G2(s)
H(s)
G1(s) C(s)
-
图 6－ 3 顺馈校正
8
反馈校正反馈校正是将校正装置 Gc(s)反向并接在原系统前向通道的一个或几个环节上，构成局部反馈回路。
G1(s) G2(s)
Gc(s)
H(s)
R(s) C(s)
由于反馈校正装置的输入端信号取自于原系统的输出端或原系统前向通道中某个环节的输出端,信号功率一般都比较大,因此,在校正装置中不需要设置放大电路,有利于校正装置的简化 。 但由于输入信号功率比较大,校正装置的容量和体积相应要大一些 。
图 6－ 4 反馈校正
9
三种连接方式的合理变换通过结构图的变换,一种连接方式可以等效地转换成另一种连接方式,它们之间的等效性决定了系统的 综合与校正的非唯一性 。 在工程应用中,究竟采用哪一种连接方式,这要视具体情况而定 。 一般来说,要考虑的因素有：原系统的物理结构,信号是否便于取出和加入,信号的性质,系统中各点功率的大小,可供选用的元件,还有设计者的经验和经济条件等 。 由于串联校正通常是由低能量向高能量部位传递信号 。 加上校正装置本身的能量损耗 。 必须进行能量补偿 。 因此,串联校正装置通常由有源网络或元件构成,即其中需要有放大元件 。
反馈校正是由高能量向低能量部位传递信号,校正装置本身不需要放大元件,因此需要的元件较少,结构比串联校正装置简单 。 由于上述原因,串联校正装置通常加在前向通道中能量较低的部位上,而反馈校正则正好相反 。 从反馈控制的原理出发,反馈校正可以消除校正回路中元件参数的变化对系统性能的影响 。 因此,若原系统随着工作条件的变化,它的某些参数变化较大时,采用反馈校正效果会更好些 。
10
常用校正装置及其特性
(1) 超前校正网络
(2) 滞后校正网络
(3) 滞后 -超前校正网络
常用无源校正网络表 (6-1)
11
(1) 超前校正网络网络的传递函数
(6-1)
R1
R2
C1
图 6－ 5无源超前网络
UoUi
Ts
a T s
aZZ
ZsG
1
11)(
21
2
1
2
21
21
21
R
RR
a
RR
CRR
T
式中复阻抗
22
1
1
1
1 11
1
RZ
CsR
R
Cs
R
Z
12
由式 (6-1)可看出,无源超前网络具有幅值衰减作用,衰减系数为 1/a。 如果给超前无源网络串接一放大系数为 a的比例放大器,
就可补偿幅值衰减作用 。 此时,超前网络传递函数可写成：
(6-2)
由上式可知,超前网络传递函数有一个极点 和一个零点,
它们在复平面上的分布 如图 6-6所示,
,相位超前作用,
-1/T -1/ɑT
s
p Z
jω
0
φzφ
p
图 6-6 超前网络零、极点在 s平面上的分布
Ts
aT ssG
1
1)(
T1? aT1?
0 pz
13
用 S=jω 代入式 (6-2)得到超前校正网络的频率特性
(6-3)
由上式得到 超前网络极坐标图 。 当 ɑ值趋于无穷大时,单个超前网络的最大超前相角 φ m =90度 ;当 ɑ=1时超前相角 φ m =0度,这时网络已经不再具有超前作用,它本质上是一个比例环节,超前网络的最大超前相角 φ m与参数 ɑ之间的关系 如图 6－ 7,6-8所示,
图 6－ 7 超前网络极坐标图
Im
(ɑ1+1)/2
(ɑ1-1)/2
ɑ1 ɑ2 ɑ3
Reφm1 φm 2
φm 3
ω=∞ ω=∞ ω=∞ω=00
1
1
1a r c s in
a
a
m? （ 6-4)
jT
ja TjG
1
1)(
14
图 6-8 超前网络的 α-φm曲线当 φ m >60度,α 急剧增大，网络增益衰减很快。
ɑ1 5 10 15
90
60
30
0
ɑ值过大会降低系统的信噪比
φm (度 )
15
最大幅值增益是,频率范围 ；
由相频特性可求出最大超前相角对应的频率 ωm,
ωm 是两个转折频率的几何中心点；
在 ωm处的对数幅值为 10lga。
aTm
1
maTTaT lg
1lg)1lg1( l g
2
1)lg( l g
2
1
21
20dB/dec
dB
0o
90o
(度 )
20lgadB
L( )?
T1m?Ta1
m?
)(
)(m?
图 6－ 9 无源超前 网络 的 Bode图TsTs11 a
(6-5)
)(lg20 dBa T1
16
(2) 滞后校正网络
（ 6-6）
Ui Uo
R1
R2
C
图 6-10 无源滞后网络
Ts
b T s
ZZ
Z
sG
cs
RZRZ
1
1
)(
1
,
21
2
2211
1
)(
21
2
21
RR
R
b
cRRT
17
向量 zs和 ps与实轴正方向的夹角的差值小于零，
即表明滞后网络具有相位滞后作用。
滞后网络的频率特性
(6-7)
Z P
-1/bT -1/T
S
jω
φz
φp
0
图 6－ 11滞后网络零、极点的分布图 6-12 滞后网络的极坐标图
ω=0ω=∞b3 b1b2
(b1+1)/2
φm1
φm3
φm2
Re
Im
o
1>b1>b2>b3
1
0 pz
jT
jb TjG
1
1)(
18
图 6-13 滞后网络的 b-φm曲线当 φm <-60度时,滞后相角增加缓慢 。
0.001 0.01 0.1
-90
-60
-30
0
(度 )φm
b
(6-8)
当 b值趋于零时，单个滞后网络的最大滞后相角 φm= -90度；当
b=1时，网络本质上是一个比例环节,此时 φm=0度。 φm与参数 b之间的关系 如图 6-13。
1
1a r c s in
b
b
m?
19
图 6-14 无源滞后网络 （ 1+bTs)/(1+Ts)的 Bode图
由相频特性可求出最大滞后相角对应的频率为
最大的幅值衰减为 20lgb,最大的衰减频率范围是
(6-9)bT
m
1
20lgb
ω
-90
0
dB
-20dB/dec
1/T ωm 1/bT ω
Tb1
)(?L
m
)(
20
(3) 滞后－超前校正网络令传递函数有两个不相等的负实根，
则 可写为
R1
R2C1
C2
U1 U2
1)(
)1)(1()(
2
sTTTsTT
sTsTsG
abbaba
bac
212211,,CRTCRTCRT abba
式中，
)(sGc
)1)(1(
)1)(1()(
21 sTsT
sTsTsG ba
c
abbaba TTTTTTTTT 2121,
设则有
aT
T
T
TTT
b
aa 1,2
1
1
)1)(1(
)1)(1()(
saTsaT
sTsTsG
b
a
ba
c
21
6-3 串联校正当控制系统的性能指标是以稳态误差 ess,相角裕度?,幅值裕度 Kg,相对谐振峰值 Mr,谐振频率 ωr和系统带宽 ωb等频域性能指标给出时,采用频率特性法对系统进行综合与校正是比较方便的 。 因为在伯德图上,
把校正装置的相频特性和幅频特性分别与原系统的相频特性和幅频特性相叠加,就能清楚的显示出校正装置的作用 。 反之,将原系统的相频特性和幅频特性与期望的相频特性和幅频特性比较后,就可得到校正装置的相频特性和幅频特性,从而获得满足性能指标要求的校正网络有关参数 。
22
1.串联超前校正超前校正的主要作用是在中频段产生足够大的超前相角,以补偿原系统过大的滞后相角 。 超前网络的参数应根据相角补偿条件和稳态性能的要求来确定 。
解 由 稳态速度误差系数 Kv求出系统开环放大系数 K=Kv=1000s-1，
由于原系统前向通道中含有一个积分环节，当其开环放大系数
K=1000s-1时，能满足稳态误差的要求。
例 6-4 设单位反馈系统的开环传递函数为要求校正后系统满足,(1)相角裕度?≥45o； (2) 稳态速度误差系数 Kv=1000秒 -1.
)10 0 1.0)(11.0()(0 sss
KsG
23
根据原系统的开环传递函数 Go(s)和已求出的开环放大系数
K=1000s-1绘制出原系统的对数 相频特性和幅频特性 (如图 6-15)。
根据原系统的开环对数 幅频特性的剪切频率 ωc =100弧度 /秒,求出原系统的相角裕度? ≈0o,这说明原系统在 K=1000s-1时处于临界稳定状态,不能满足?≥45o的要求 。
为 满足?≥45o的要求,给校正装置的最大超前相角 φm增加一个补偿角度 △ φ,即有 φm=? + △ φ=50o;由 式 (6-4)可求出校正装置参数
α=7.5
通常应使串联超前网络最大超前相角 φm对应的频率 ωm与校正后的系统的剪切频率 ωc’重合,由 图 6-9可求出 ωm所对应的校正网络幅值增益为 10lgα =10lg7.5=8.75dB,从图 6-28中原系统的幅频特性为 -8.75dB处求出 ωm=ωc’=164弧度 /秒,由 得串联超前校正装置的两个交接频率分别为
4501 maT? 601?aT
aTm
1
24
超前校正装置的传递函数为
经过校正后系统的开环传递函数为根据校正系统后的开环传递函数 G(s)绘制伯德如 图 6-15。
相角裕度?’=45度,幅值穿越频率 ωc’=164弧度 /秒
s
s
Ts
a TssG
c 0022.01
0167.01
1
1)(
)10 0 2 2.0)(1001.0)(11.0(
)0 1 6 7.0(1 0 0 0)())()(
0 ssss
ssGsKGsG
c
25
图 6-15 串联校正前后控制系统的对数频率特性未校正校正后
10010
90
0
(度 )
-90
-180
-270
Φ(ω)
ω1000
m=50度
r=45度
-20dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
-60dB/dec
-40dB/dec
未校正 校正后
L(ω)
60
40
20
5210 100 164ωc
ωc’ ω1000450
26
串联超前校正对系统的影响
增加了开环频率特性在剪切频率附近的正相角,可提高系统的相角裕度 ;
减小对数幅频特性在幅值穿越频率上的负斜率,提高了系统的稳定性 ;
提高了系统的频带宽度,可提高系统的响应速度 。
若原系统不稳定或稳定裕量很小且开环相频特性曲线在幅值穿越频率附近有较大的负斜率时,不宜采用相位超前校正 ;因为随着幅值穿越频率的增加,原系统负相角增加的速度将超过超前校正装置正相角增加的速度,超前网络就起不到补偿滞后相角的作用了,
不宜采用串联超前校正的情况
27
串联超前校正的步骤
(1)根据稳态性能的要求,确定系统的开环放大系数 K;
(2)利用求得的 K值和原系统的传递函数,绘制原系统的伯德图 ;
(3)在伯德图上求出原系统的幅值和相角裕量,确定为使相角裕量达到规定的数值所需增加的超前相角,即超前校正装置的 φ m值,将
φ m值代入式 (6-4)求出校正网络参数 a,在伯德图上确定原系统幅值等于 -10lgα 对应的频率 ω c’； 以这个频率作为超前校正装置的最大超前相角所对应的频率 ω m,即令 ω m=ω c’；
(4)将已求出的 ω m和 α 的值代入式 (6-5)求出超前网络的参数 αT 和 T，
并写出校正网络的传递函数 Gc(s);
(5)最后将原系统前向通道的放大倍数增加 Kc=a倍,以补偿串联超前网络的幅值衰减作用,写出校正后系统的开环传递函数
G(S)=KcGo(s)Gc(s) 并绘制校正后系统的伯德图,验证校正的结果 。
28
2.串联滞后校正串联滞后校正装置的主要作用,是在高频段上造成显著的幅值衰减,其最大衰减量与滞后网络传递函数中的参数 b(b <1)
成反比 。 当在控制系统中采用串联滞后校正时,其高频衰减特性可以保证系统在有较大开环放大系数的情况下获得满意的相角裕度或稳态性能 。
解 按 K=30秒 － 1的要求绘制出原系统的伯德图 (如图 6-16所示 )。 由图,ωc=11弧度 /秒,?=－ 25o,系统不稳定 。 从相频特性可以看出,
在剪切频率 ωc附近,相频特性的变化速率较大,如前所述,此时采用串联超前校正很难奏效 。 在这种情况下,可以考虑采用串联滞后校正 。
例 6-5设原系统的开环传递函数为试用串联滞后校正，使系统满足,(1)K=30秒 -1； (2)相角裕度?≥40o。
)12.0)(11.0()(0 sss
KsG
29
图 6-16 串联滞后校正前后控制系统的对数频率特性
-20dB/dec
-40dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
校正后未校正
0.03 0.3 30
ωcωc’
-20dB/dec 20lgb -60dB/dec
80
60
o
ω
L(ω)
0
-90
-180
-270
ω
-25o
+40o
∠ GcGo
∠ Gc ∠ Go
Φ(ω)
3 11
30
根据相角裕度?≥ 40o的要求,同时考虑到滞后网络的相角滞后影响 (初步取 △ φ =5o),在原系统相频特性 ∠ Go(jω)上找到对应相角为 -180o+(45o+5o)=-135o处的频率 ωc’≈ 3弧度 /秒,以 ω c’作为校正后系统的剪切频率 。
在 ω c’=3弧度 /秒处求出原系统的幅值为,
由图 6-14可知,滞后网络的最大幅值衰减为,令可求出滞后网络参数 b=0.1。
当 b=0.1时,为了确保滞后网络在 ω c’处只有 滞后相角,应使滞后校正网络的第二转折频率,即 弧度 /秒,由此求出滞后网络时间常数 T=33.3秒,即第一转折频率为 1/T=0.03
弧度 /秒 。
串联校正网络的传递函数为
dBjG co 20)(lg20 '
blg20
dBjGb co 20)(lg20lg20 '
5
13.33
133.3)(
s
ssG
c
,1011
cbT 3.01?bT
31
校正后系统的开环传递函数为
绘制校正后系统的伯德图 (如图 6-16)。 从图中可看出,当保持 K=30/秒不变时,系统的相角裕度由校正前的? =-25o提高到 +40o,说明系统经串联滞后校正后具有满意的相对稳定性 。 但同时,校正后系统的剪切频率降低,其频带宽度 ωb
由校正前的 15弧度 /秒下降为校正后的 5.5弧度 /秒,这意味着降低系统响应的快速性,这是串联滞后校正的主要缺点 。
采用串联滞后校正虽然使系统的宽带变窄,响应速度降低,
但却同时提高了系统的 抗干扰能力 。
)13.33)(12.0)(11.0(
)133.3(30)()()(
0
ssss
ssGsGsG
c
32
串联滞后校正对系统的影响
在保持系统开环放大系数不变的情况下，减小剪切频率，从而增加了相角裕度，提高了系统相对稳定性；
在保持系统相对稳定性不变的情况下，可以提高系统的开环放大系数，从而改善系统的稳态性能；
由于降低了幅值穿越频率,系统宽带变小，从而降低了系统的响应速度，但提高了系统抗干扰的能力。
33
串联滞后校正频率特性法的步骤
按要求的稳态误差系数,求出系统的开环放大系数 K;
根据 K值,画出原系统的伯德图，测取原系统的相角裕度和幅值裕度，根据要求的相角裕度并考虑滞后角度的补偿，求出校正后系统的剪切频率 ωc’；
20 )'(10?Lb由原系统在 ωc’处的幅值，求出滞后网络的参数 b,即 ；
'1011'1011 cc bTbT
'1012 c
为保证滞后网络在 ω c’处的滞后角度不大于 5o,令第二转折频率,求出 bT和 T的值，即
写出校正网络的传递函数和校正后系统的开环传递函数，画出校正后系统的伯德图，验证校正结果。
34
3.串联滞后 -超前校正
串联超前校正主要是利用超前网络的相角超前特性来提高系统的相角裕量或相对稳定性,而串联滞后校正是利用滞后网络在高频段的幅值衰减特性来提高系统的开环放大系数,从而改善系统的稳态性能 。
当原系统在剪切频率上的相频特性负斜率较大又不满足相角裕量时,
不宜采用串联超前校正,而应考虑采用串联滞后校正 。 但并不意味着串联滞后一定能有效的代替串联超前校正,综合两种 方法进行系统校正 。
串联滞后校正主要用来校正开环频率的低频区特性,超前校正主要用于改变中频区特性的形状和参数 。 在确定参数时,两者基本上可独立进行 。 可按前面的步骤分别确定超前和滞后装置的参数 。 一般,先根据动态性能指标的要求确定超前校正装置的参数,在此基础上,再根据稳态性能指标的要求确定滞后装置的参数 。 应注意,在确定滞后校正装置时,尽量不影响已由超前装置校正好了的系统的动态指标,在确定超前校正装置时,要考虑到滞后装置加入对系统动态性能的影响,
参数选择应留有裕量 。
35
例 6－ 5设系统的开环传递函数为
)105.0)(11.0()( sss
KsG
50?vK
sra dc /5.010
340?
要求系统满足下列性能指标：
（ 1） 速度误差系数
（ 2） 剪切频率
（ 3） 相角裕度试用频率响应法确定串联滞后－超前校正装置的传递函数 。
解,按要求 (1),K=50。 画校正前系统的伯德图，如 图 6-17所示。根据性能指标的要求先决定超前校正部分。
由图 6－ 17可知,srad /10 的相角为－ 162o，为使,并考40?
虑到相位滞后部分的影响,取由超前网路提供的最大相角为,于是有
27m?
66.227s in1 27s in1s in1 s in1
m
m
a
36
为使 时，对应最大超前相角,有10 m?
,101
1
Tm a? )(06.01 sT?
所以相位超前网络为：
11)(
1
1
1 sT
saTsG
c 106.0
116.0
s
校正后系统的开环传递函数为：
)106.0)(105.0)(11.0(
)116.0(50
ssss
s )()()( 101 sGsGsG c
的伯德图如图 6－ 17所示 。 由图可知,时,的幅值为 18dB。 因此,为使 等于幅值穿越频率,可在高频区使增益下降 18dB。 则滞后校正部分的参数 为：
)(1 sG srad /10 )(1?jG
srad /10
b
2 0 lg 1 8b 0.13b?
取转折频率 为幅值穿越频率 的 1/10,2/1 bT srad /10
1101
2
bT 2 1 8 ( )Tsb
37
所求滞后网络为,
11)(
2
22
sT
sbTsG
c 181ss
校正后系统的开环传递函数为
5 0 ( 0,1 6 1 ) ( 1 )
( 0,1 1 ) ( 0,0 5 1 ) ( 0,0 6 1 ) ( 8 1 )
ss
s s s s s
)()()()( 210 sGsGsGsG cc
校正后系统的伯德图如图 6－ 17。由图可知，,满足所求系统的全部性能指标。
40,/10 sr a dc
40
20
0
-20
-40
-60
0.1 1 10 100 (s-1 )
-30?
-60?
-90?
-120?
-150?
-180?
-210?
L( ) (dB)
图 6－ 17 例 6－ 5题系统 Bode图
G?
0G?
1G?
1G
0G
G
38
4,期望频率特性法校正期望频率特性法对系统进行校正是将性能指标要求转化为期望的对数幅频特性,再与原系统的频率特性进行比较,从而得出校正装置的形式和参数 。 该方法简单,直观,可适合任何形式的校正装置 。 但由于只有最小相位系统的对数幅频特性和对数相频特性之间有确定的关系,故 期望频率特性法仅适合于最小相位系统的校正 。
式 （ 6－ 10） 表明,对于已知的待校正系统,当确定了期望对数幅频特性之后,就可以得到校正装置的对数幅频特性 。
)()()( 0 jGjGjG c?
)(
)()(
0?
jG
jGjG
c?
对数幅频特性为
)()()( 0 LLL c (6-10)
)(0?jG
)(?jG
)(?jGc
设希望的开环传频率特性是,原系统的开环频率特性是,串联校正装置的频率特性是,则有
39
通常,为使控制系统具有较好的性能,期望的频率特性如图 6－ 18所示 。
由图,系统在中频区的渐近对数幅频特性曲线的斜率为－ 40dB～－
20dB～－ 40dB（ 即 2－ 1－ 2型 ）,其频率特性具有如下形式：
)1()(
)1(
)(
3
2
2
j
j
jK
jG
32
1 8 0)( a r c t ga r c t g
与－ 180° 的相角差为
32
)(180)( a r c t ga r c t g
32
23
32
2
32
21
)(
m
mm
mtg
说明 正好是两个转折频率的几何中心 。 由 的表达式 可得到m
m 和由 可得到产生最大相角差的角频率为
0dd
32m (6-11)
0°
-90°
-180°
dB
-40
-20dB/dec
H
20lg
-40
图 6－ 18 期望特性
3?
2? c?
G
c?m?
G?
)( m
40
图 6－ 19 由等 M圆确定 )( mjG?
Im
Re
0
+j
-j
-1
p
111?MM
1M 1
1
1?MM
c?
m?max
0
由图 6－ 18和图 6－ 19可得到剪切频率 与之间的关系,由图 6－ 18,有
c?
32,,m
)( m
m
c jG?
,11 MM r若取 如图 6－ 19所示,可得出
1)( 21
1
M
MopjG
m?
则有
1,12 r
r
r
m
c M
M
M
(6-16)
2
3H
所以 11 HHM r
sin1?rM因为所以
23
23)(s inm
若令对数幅频特性中斜率为－ 20dB/dec的中频段宽度为 H,则有,
上式可写成
11)(s in HHm
(6-12)
(6-13)
(6-14)
(6-15)
（ 注：等 M圆的半径为 ）12?MM
通常，在 极大值附近,变化较小)(?M?
41
为使系统具有以 H 表征的阻尼程度,通常取
122 Hc
123 H Hc
由式 6－ 11和式 6－ 16,有将 及式 6－ 15代入式 6－ 17得
2
3H
122 Hc
123 H Hc
11 2322 r
r
r
rmc
M
M
M
M (6-17)
(6-18)
(6-19)
(6-20)
(6-21)
r
rc MM 12
r
rc MM 13
(6-22)
(6-23)
由式 6－ 15知，
1
21
,121
H
H
M
M
HM
M
r
r
r
r
42
（ 3） 若中频段的幅值曲线不能与低频段相连,可增加一连接中低频段的直线,直线的斜率可为,为简化校正装置,
应使直线的斜率接近相邻线段的斜率；
decdBdecdB /60/40 或
（ 4） 根据对幅值裕度及高频段抗干扰的要求,确定期望特性的高频段,
为使校正装置简单,通常高频段的斜率与原系统保持一致或高频段幅值曲线完全重合 。
（ 2） 根据系统性能指标,由剪切频率 等参数,绘制期望特性的中频 段,并使中频段的斜率为,以保证系统有足够的相角裕度；
dB20?
32,,,, Hc
K（ 1） 根据对系统稳态误差的要求确定系统开环增益 及对数幅频特性初始段的斜率；
期望对数幅频特性的求法：
43
例 6－ 6 设单位反馈系统的开环传递函数为试用串联综合校正方法设计串联校正装置,使系统满足：
Kv≥70(s-1),ts≤1(s),。
解 （ 1） 根据稳态指标的要求,取,并画未校正系统对数幅频特性,
如图 6－ 20所示,求得未校正系统的剪切频率
( 2 ) 绘制期望特性 。 主要参数有：
低频段,系统为 I 型,故当 1 时,有作斜率为－ 20dB/dec的直线与 20lg 的低频段重合 。
)02.01)(12.01()(0 sss KsG
%40%
70?K
)/(3.22' sra dc
dBKGG c 9.36lg20lg20 0
0G
中频及衔接段,将 及 ts 转换成相应的频域指标,并取为%?
)/(13,6.1 sr a dM cr
由式 （ 6-22） 及 （ 6-23） 估算,有
88.42 13.213
在 处,作 -20dB/dec斜率的直线,交于 处,取见图 6－ 20。
45lg20 0?G13?c?
书 P.172.(5-106),(5-107)
453
44
45,4 32取此时,。 由式 （ 6－ 13）,有
25.11/ 23H
o8.5611a r c s in HH?
在中频段与过 的横轴垂线的交点上,作－ 40dB/dec斜率直线,交期望特性低频段于 处 。
42
)/(75.01 srad
高频及衔接段,在 的横轴垂线和中频段的交点上,作斜率为－
40dB/dec直线,交未校正系统的 于 处； 时,取期望特性高频段 与未校正系统高频特性 一致 。
453
4
cGG0lg20
504
0lg20 G
期望特性的参数为：
)0 2 2.01)(33.11(
)12.01)(25.01()(
ss
sssG
c
dBGdBGG c 00 )( 与(3) 将 特性相减，得串联校正装置传递函数
（ 4）校正后系统开环传递函数
)022.01)(02.01)(33.11(
)12.01(70)(
ssss
ssG
0lg20 G
25.11,13,50
45,4,75.0
4
321
Hc
45
验算性能指标,经计算：,,Mr=1.4，,ts＝ 0.73(s),
满足设计要求 。
13?c 6.45? %32%
dB
40
20
0
-20
1 10 100
Gc
图 6－ 20 例 6－ 6题对数幅频特性
cGG0
0G
1?
2? 3? 422.3 3
46
例 6－ 7 设系统的开环传递函数为
)025.01(
25)(
2 sssG
试确定使该系统达到下列性能指标的串联校正装置：保持稳态加速度误差系数 Ka=25 1/秒 2不变，超调量,调节时间 ts 秒。%30 9.0?
解 （ 1） 绘制原系统的近似对数幅频特性曲线,如图 6－ 21中曲线 I。
（ 2） 绘制希望特性。为保持 Ka不变，低频段应和图 6-21中特性 I重合。
中频段斜率取为－ 20分贝 /十倍频，并使它和低频段直接连接。
根据 的要求，由式（ 5-92）得 。%30 35.1?rM
9.9?c?
55.212
r
rc MM
过 画一斜率为 的线段，与特性 I交于 A点,右端 B
点处的频率取为特性 I 的转折频率,这一线段为希望特性的中频段。3?
decdB /20? 5.2
为使希望特性尽量靠近原系统的特性 I,过 B点画一条斜率为的直线，该直线即为希望特性的高频段。
decdB /60?
为使 秒,由,其中得由式 （ 6－ 22） 得
9.0?st
c
s
Kt
0
)246(9035,)1s i n1(5.2)1s i n1(5.12 20K
9.9?c?
47
0.1 1 10 100 1000
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
L(dB)
I,II
I
II
III
A
B
图 6－ 21 例 6－ 7题系统及校正装置的对数幅频渐近线希望特性如图 6-21中折线 II所示。它为 2－ 1－ 3型的，与典型的 2－ 1－ 2型的高频部分有区别。希望特性过 后，斜率 由改变为,说明有两个时间常数为 的惯性环节。
3? decdB /20? decdB /60?
025.01
3
(3) 曲线 II减曲线 I得校正装置的对数幅频特性曲线 III。
sssG c 025.01 4.01)(
(4)计算校正后系统的性能指标。
48
6-4 反馈校正在控制系统的校正中，反馈校正也是常用的校正方式之一。反馈校正除了与串联校正一样，可改善系统的性能以外，还可抑制反馈环内不利因素对系统的影响。
)(sH图 6－ 22表示一个具有局部反馈校正的系统。在此，反馈校正装置反并接在 的两端，形成局部反馈回环（又称为内回环）。为了保证局部回环的稳定性，被包围的环节不宜过多，一般为 2个。
)()( 32 sGsG
图 6－ 22 具有反馈校正的系统
E(s)
G1 (s)
H(s)
Y(s)R(s)
G4 (s)G3 (s)G2 (s)
49
由 图 知,无反馈校正时系统的开环传递函数为
（ 6－ 25）
内回环的开环传递函数为
（ 6－ 26）
其闭环传递函数为
（ 6－ 27）
校正后系统的开环传递函数为
（ 6－ 28）
)()()()()( 4321 sGsGsGsGsG?
)()()()(' 32 sHsGsGsG?
)('1
)()(
)()()(1
)()()(' 32
32
32
sG
sGsG
sHsGsG
sGsGsG
B
)('1
)()()()()(''
4
,
1 sG
sGsGsGsGsG
B
50
若内回环稳定（即 的极点都在左半 s平面），则校正后系统的性能可按曲线 来分析。绘制,假定：
)(' sGB
)(''lg20?jG)(''lg20?jG
1.当 >>1时,,按式 （ 6－ 28）)('?jG )(')('1 jGjG
)(
)()(
)('
)()('' 41
jH
jGjG
jG
jGjG
由 与 之差，得 。)(lg20?jG )('lg20?jG )(''lg20?jG
2.当 <<1时,,则)('?jG 1)('1jG
)()('' jGjG?
曲线 与曲线 重合 。 这样近似在附近的误差较大 。 校正后系统的瞬态性能主要取决于曲线在其穿越频率附近的形状 。 一般,在曲线 的穿越频率附近,>>1,故近似处理的结果还是足够准确 。
)(''lg20?jG
)(lg20?jG 1)('jG
)(''lg20?jG
)(''lg20?jG
)('?jG
综合校正装置时,应先绘制 的渐近线,再按要求的性能指标绘制 的渐近线,由此确定,校验内回环的稳定性,最后按式 （ 6－ 26） 求得 。
)(lg20?jG
)(''lg20?jG )('lg20?jG
)(lg20?jH
51
例 6－ 8 控制系统的结构图如图 6－ 23所示，其中
,136.0 228)(,106.0 238)( 21 ssGssG ssG 0208.0)(3?
试设计反馈校正装置，使系统的性能指标为,。 st
s 8.0%,25
R(s) C(s)
图 6－ 23 控制系统结构图
- -
)(1 sG )(2 sG )(3 sG
)(sH
解 校正前系统的开环传递函数为
)136.0)(106.0( 1 1 3 0)()()()( 3210 ssssGsGsGsG
(1) 绘制原系统的对数幅频特性 L0如 图 6－ 24所示。
(2) 绘制系统的期望对数幅频特性。
52
根据式（ 5-146），得对应 时，,按 秒，
由式（ 6-24），得 。取,期望特性的交接频率 可由式
（ 6-22）求得。
%25 23.1?rM 8.0?st
7.9?c? 10?c? 2?
87.112
r
rc MM
取 。1.12
为简化校正装置，取中高频段的转折频率 。
过 作 的直线过 线，低端至 处的 A点，高端至 处的 B点。再由 A点作 的直线向低频段延伸与 L0
相交于 C点，该点的频率为,过 B点作 的直线向高频段延伸与 L0相交于 D点，该点的频率为 。由以上步骤得到的期望对数幅频特性如图 6-24中 LK所示。
7.1606.0/13
10?c? decdB /20? dB0 1.12
7.163 decdB /40?
009.0?A? decdB /40?
190?D?
(3) 将 得到,如图中 LH所示，其传递函数为KLL?0 )()(lg20 2 jHjG
)1)(1()()( 212 sTsT
sKsHsG H
其中,1 1 10 0 9.0/1HK9.01.1/11T 36.078.2/12T
19.0
4 8 7.0
)(
)()()(
2
2 s ssG sHsGsH得
53
ê y · ù? μ ì? D?
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Ph
as
e
( d e
g)
Ma
gni t
ud
e
( dB
)
10
- 2
10
- 1
10
0
10
1
10
2
10
3
0
45
90
135
180
- 40
- 20
0
20
40
60
80
100
0.01 10 10010.1 1000
40
20
0
-20
60
80
L0
LK
LH
B
D
c
A
图 6－ 24 控制系统的对数幅频特性
54
【例 1】 设系统的开环传递函数为
)1()( ss
KsG
现要求：
1.0ss?e1,单位斜坡输入时，位置输出稳态误差为
2,开环系统剪切频率 ( r a d /s )4.4c
试设计校正装置。
3,相角裕度45? dB4.4'?h，幅值裕度校正例题
sse
解 根据,确定开环增益，系统为 I 型，sse
101.01,)( ss KKettr,取 K=10
利用已确定的开环增益，作出系统的 Bode 图，并计算未校正系统的相角裕度 。
459.17)a r c t g (90180,1.3 cc
55
Bo d e D i a g ra m
F re q u e n cy (ra d / se c)
Ph
a
se
(d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(d
B)
-40
-20
0
20
40
G m = I n f,Pm = 1 7,9 6 4 d e g (a t 3,0 8 4 2 ra d / se c)
10
-1
10
0
10
1
-18 0
-13 5
-90
图 1(a) 原系统 Bode图
56
根据 的要求,选用超前网络。c?
64.41lg204.4lg2010lg20)'(
,0)()'(,4.4'
2
c
mccmc
L
LL
40lg106 aa
s
ssGs
aT 114.01
456.01
4
1)(),(114.01
c
m?
)1)(1 1 4.01(
)4 5 6.01(10)()(
c sss
ssGsG
456.49)'(' cm
57
Bo d e D i a g ra m
F re q u e n cy (ra d / se c)
Ph
a
se
(d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(d
B)
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
20
40
G m = I n f,Pm = 4 9,5 8 8 d e g (a t 4,4 3 0 2 ra d / se c)
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
图 1(b) 校正后系统的 Bode图
58
【例 2】 设单位反馈系统的开环传递函数为
)25(
2 5 0 0)(
ss
KsG
若使系统的速度误差系数,相角裕度,剪切频率不低于 65rad/s,试求系统的校正装置。
1ν 100 sK45?
解 由,,知 K=1。
)125(
100)(
s
s
KsG
1ν 100 sK
25,
25
1
100
lg20
25,
100
lg20
)(
2
L
作未校正系统的 Bode图如 图 2(a),
得出,不满足要求。根据对剪切频率的要求，采用超前校正。选
4528)25a r c t g (90180,47 cc
0)()'(,65' mcccm LL
求原系统的相角裕度。
59
0085.0
1
3.30lg102.5
,2.5)25/65(1lg2065lg20100lg20)'(
m
2
c
a
T
aa
L
sssG 0 0 8 5.01 0 2 8.013.3 1)(c所以有校正网络为
s
s
ss
sGsG 0085.01 028.01
)1251(
100)()(
c?
校正后系统的开环传递函数为
4553)650085.0a r c t g ()2565a r c t g ()028.065a r c t g (90180'?
作校正后系统的 Bode图如 图 2(b).
相角裕度为满足要求。
60
Bo d e D i a g ra m
F re q u e n cy (ra d / se c)
Ph
a
se
(d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(d
B)
- 2 0
0
20
40
G m = I n f,Pm = 2 8,0 2 d e g (a t 4 6,9 7 8 ra d / se c)
10
0
10
1
10
2
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
图 2(a) 原系统 Bode图
61
Bo d e D i a g ra m
F re q u e n cy (ra d / se c)
Ph
a
se
(d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(d
B)
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
20
40
G m = I n f,Pm = 5 3,2 7 5 d e g (a t 6 5,1 8 7 ra d / se c)
10
0
10
1
10
2
10
3
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
图 2(b) 校正后系统的 Bode图
62
)125.0)(15.0(
8)()(
ssssHsG
【 例 3】 设控制系统的开环传递函数为试设计一串联校正装置，使校正后系统的相角裕度不小于 40o,幅值裕度不低于 10dB,剪切频率大于 1rab/s。
解 作校正前系统的对数频率特性如 图 3 (a) 所示。
srad /3.3
由图 (a)可知,原系统具相角裕度和幅值裕度均为负值,故系统不稳定 。 考虑到系统的剪切频率为,大于系统性能指标要求的剪切频率,故采用滞后装置对系统进行校正 。
根据相角裕度 的要求和滞后装置对系统相角的影响,选择校正后系统的相角裕度为,由图 (a) 知,
对应相角为 时的频率为,幅值为 15.7dB。
40?
)1 3 4(1 8 0640'
134 1/1.1' sra dc?
dBb 7.15lg20取,得 。取滞后装置的第二个转折频率为,有,则 。
164.0?b
11.0'1.0?c? 11.01?bT 43.55?T
63
s
s
Ts
b TssG
c 43.551
1.91
1
1)(
初选校正装置的传递函数为作出校正后系统的 Bode 图如 图 3 (b) 中所示 。 由图,可得到校正后系统的相角裕度为,幅值裕度为,剪切频率为,
满足系统性能指标的要求,故初选校正装置合适,校正后系统的开环传递函数为
67.40'? dB73.12 sradc /1.1'
)43.551)(25.01)(5.01(
)1.91(8)()(
ssss
ssHsG
64
B o d e D i a g r a m
F r e q u e n cy ( r a d / se c)
P
h
a
se
(
d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
- 1 0 0
- 5 0
0
50
G m = - 2,4 9 8 8 d B ( a t 2,8 2 8 4 r a d / s e c ),P m = - 7,5 1 5 6 d e g ( a t 3,2 5 1 8 r a d / s e c )
S ys t e m,u n t i t l e d 1
F r e q u e n cy ( r a d / s e c),1,1
M a g n i t u d e ( d B ),1 5,8
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
S ys t e m,u n t i t l e d 1
F r e q u e n cy ( r a d / s e c),1,1
P h a s e ( d e g ),- 1 3 4
图 3(a) 校正前系统的对数幅频特性
65
B o d e D i a g r a m
F r e q u e n cy ( r a d / se c)
P
h
a
se
(
d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
- 1 0 0
- 5 0
0
50
100
G m = 1 2,5 7 2 d B ( a t 2,7 2 9 r a d / s e c ),P m = 4 0,6 9 3 d e g ( a t 1,1 1 1 3 r a d / s e c )
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
图 3(b) 校正后系统的 Bode图
66
本章小结
(1)系统的综合与校正问题 为了使原系统在性能指标上的缺陷得到改善或补偿而按照一定的方式接入校正装置和选定校正元件参数的过程就是控制系统设计中的综合与校正问题 。 从某中意义上讲,系统的综合与校正是系统分析的逆问题 。 系统分析的结果具有唯一性,而系统的综合与校正是非唯一的 。
(2)校正方式 根据校正装置与原系统的连接方式可分为串联校正,顺馈校正和反馈校正三种方式 ;根据校正装置的特性可分为超前校正和滞后校正。
67
(3)超前校正 超前校正装置具有相位超前作用,它可以补偿原系统过大的滞后相角,从而增加系统的相角裕度和带宽,提高系统的相对稳定性和响应速度 。 超前校正通常用来改善系统的动态性能,在系统的稳态性能较好而动态性能较差时,采用超前校正可以得到较好的效果 。 但由于超前校正装置具有微分的特性,是一种高通滤波装置,它对高频噪声更加敏感,从而降低了系统抗干扰的能力,因此 在高频噪声较大的情况下,不宜采用超前校正 。
68
(4)滞后校正 滞后校正装置具有相位滞后的特性,它具有积分的特性,由于积分特性可以减少系统的稳态误差,因此滞后校正通常用来改善系统的稳态性能 。
滞后校正装置具有低通滤波的特性,利用它的高频衰减特性降低系统的剪切频率,可以提高系统的相角裕度,改善系统的动态性能 。 但同时减小了系统的带宽,降低了系统的响应速度 。 因此对响应速度要求较高的系统不宜采用滞后校正,高频衰减特性可以降低高频噪声对系统的影响,从而提高系统抗干扰能力,
这是滞后校正的一大优点 。
69
(5)滞后 -超前校正 在系统的动态和稳态性能都有待改善时,单纯采用超前或滞后校正往往难以奏效,在这种情况下采用滞后 -超前校正效果较好,利用校正装置的滞后特性改善系统的稳态性能提高系统精度,而利用它的超前作用来改善系统的动态性能提高系统的相角裕度和响应速度等 。 在校正的步骤上,可以先满足系统的动态性能确定出校正装置中超前部分的参数,
然后再根据稳态性能确定滞后部分的参数,也可以按相反的顺序设计 。
70
(6)反馈校正 反馈校正除了可以达到与串联校正相同的效果外 。 还可以抑制来自系统内部和外部扰动的影响,因此对那些工作环境比较差和系统参数变化幅度较大的系统,采用反馈校正效果会更好些 。 需要指出的是,由于局部反馈有可能引起校正回路的振荡,因此在选择校正装置参数时应特别小心 。 一般情况下,被校正装置包围的前向通道不超过两个环节 。
71
(8)混合校正 对于某些系统,有时为了达到全面改善系统性能的目的,也可以同时采用多种校正方式 。 但这并不意味着校正装置用得越多,方法越复杂就越好,在这个问题上应本着删繁就简的原则,用一种方法一个校正装置能解决问题的就决不采用两种方法或两个校正装置,
因为系统接入的装置越多,就越容易引入干扰信号 。
应当指出的是,本章介绍的只是系统校正中的一些基本方法和思路,所给例题也是典型化和理想化的,工程实际问题会复杂的多。比起系统分析,系统的综合与校正的实践性更强,应在实际应用中重视积累经验,才能取得更好的学习效果。
The End
72
设系统的开环相频特性为
)(180)(
系统的开环频率特性可表示为的相移，表示相角相对于－其中?180)(
)](s i n)(c o s)[()()( )](180[ jAeAjG j
闭环幅频特性为
)(s i n)](c os
)(
1
[
1
)](c os)(2)(1[
)(
)(1
)(
)(
22
2
1
2
A
AA
A
jG
jG
M
由（ *）式可知，当
c o s)c o s)c o s
((
cr
cr
MM
（（
附近，即有常位于点
）的极值）变化较小，且（）的极大值附近，一般情况下，在
s in
1
)s in
1
(
(
c os
1
(
c
rr MM
MA
（
）＝
）取极值时，
）（
）＝
（ *）
s inc o s,jeE u le r j
第六章 线性系统的校正方法
6-1 综合与校正的基本概念
6-2 常用校正装置及其特性
6-3 串联校正
6-4 反馈校正本章小结
2
6-1 综合与校正的基本概念设计一个自动控制系统一般经过以下三步,
根据任务要求，选定控制对象；
根据性能指标的要求，确定系统的控制规律，并设计出满足这个控制规律的控制器，初步选定构成控制器的元器件；
将选定的控制对象和控制器组成控制系统，如果构成的系统不能满足或不能全部满足设计要求的性能指标，还必须增加合适的元件，按一定的方式连接到原系统中，使重新组合起来的系统全面满足设计要求。
原系统控制器 控制对象校正系统原系统 校正装置能使系统的控制性能满足控制要求而有目的地增添的元件称为控制系统的校正元件或称校正装置,
图 6－ 1 系统综合与校正示意图
3
必须指出,并非所有经过设计的系统都要经过综合与校正这一步骤,对于控制精度和稳定性能都要求较高的系统,往往需要引入校正装置才能使原系统的性能得到充分的改善和补偿 。 反之,若原系统本身结构就简单而且控制规律与性能指标要求又不高,通过调整其控制器的放大系数就能使系统满足实际要求的性能指标 。
在控制工程实践中,综合与校正的方法应根据特定的性能指标来确定 。 一般情况下,若性能指标以稳态误差,峰值时间,
最大超调量,和过渡过程时间,等时域性能指标给出时,
应用根轨迹法进行综合与校正比较方便 ;如果性能指标是以相角裕度 r幅值裕度,相对谐振峰值,谐振频率 和系统带宽等频域性能指标给出时,应用频率特性法进行综合与校正更合适 。
sse pt
p? st
gK rM r? b?
4
系统分析与校正的差别,
系统分析的任务是根据已知的系统,求出系统的性能指标和分析这些性能指标与系统参数之间的关系,分析的结果具有唯一性 。
系统的综合与校正的任务是根据控制系统应具备的性能指标以及原系统在性能指标上的缺陷来确定校正装置 (元件 )的结构,参数和连接方式 。 从逻辑上讲,系统的综合与校正是系统分析的逆问题 。 同时,满足系统性能指标的校正装置的结构,参数和连接方式不是唯一的,需对系统各方面性能,成本,体积,重量以及可行性综合考虑,选出最佳方案,
5
6-2 常用校正装置及其特性校正装置的连接方式,
(1)串联校正
(2)顺馈校正
(3)反馈校正
Gc(s),校正装置传递函数
G(s),原系统前向通道的传递函数
H(s),原系统反馈通道的传递函数
6
串联校正串联校正的接入位置应视校正装置本身的物理特性和原系统的结构而定 。 一般情况下,对于体积小,重量轻,容量小的校正装置 (电器装置居多 ),常加在系统信号容量不大的地方,即比较靠近输入信号的前向通道中 。 相反,对于体积,重量,容量较大的校正装置 (如无源网络,机械,液压,气动装置等 ),常串接在容量较大的部位,即比较靠近输出信号的前向通道中 。
Gc(s) G(s)
H(s)
R(s) C(s)
-
6－ 2 串联校正
7
顺馈校正顺馈校正是将校正装置 Gc(s)前向并接在原系统前向通道的一个或几个环节上。它比串联校正多一个连接点,即需要一个信号取出点和一个信号加入点。
R(s)
Gc(s)
G2(s)
H(s)
G1(s) C(s)
-
图 6－ 3 顺馈校正
8
反馈校正反馈校正是将校正装置 Gc(s)反向并接在原系统前向通道的一个或几个环节上，构成局部反馈回路。
G1(s) G2(s)
Gc(s)
H(s)
R(s) C(s)
由于反馈校正装置的输入端信号取自于原系统的输出端或原系统前向通道中某个环节的输出端,信号功率一般都比较大,因此,在校正装置中不需要设置放大电路,有利于校正装置的简化 。 但由于输入信号功率比较大,校正装置的容量和体积相应要大一些 。
图 6－ 4 反馈校正
9
三种连接方式的合理变换通过结构图的变换,一种连接方式可以等效地转换成另一种连接方式,它们之间的等效性决定了系统的 综合与校正的非唯一性 。 在工程应用中,究竟采用哪一种连接方式,这要视具体情况而定 。 一般来说,要考虑的因素有：原系统的物理结构,信号是否便于取出和加入,信号的性质,系统中各点功率的大小,可供选用的元件,还有设计者的经验和经济条件等 。 由于串联校正通常是由低能量向高能量部位传递信号 。 加上校正装置本身的能量损耗 。 必须进行能量补偿 。 因此,串联校正装置通常由有源网络或元件构成,即其中需要有放大元件 。
反馈校正是由高能量向低能量部位传递信号,校正装置本身不需要放大元件,因此需要的元件较少,结构比串联校正装置简单 。 由于上述原因,串联校正装置通常加在前向通道中能量较低的部位上,而反馈校正则正好相反 。 从反馈控制的原理出发,反馈校正可以消除校正回路中元件参数的变化对系统性能的影响 。 因此,若原系统随着工作条件的变化,它的某些参数变化较大时,采用反馈校正效果会更好些 。
10
常用校正装置及其特性
(1) 超前校正网络
(2) 滞后校正网络
(3) 滞后 -超前校正网络
常用无源校正网络表 (6-1)
11
(1) 超前校正网络网络的传递函数
(6-1)
R1
R2
C1
图 6－ 5无源超前网络
UoUi
Ts
a T s
aZZ
ZsG
1
11)(
21
2
1
2
21
21
21
R
RR
a
RR
CRR
T
式中复阻抗
22
1
1
1
1 11
1
RZ
CsR
R
Cs
R
Z
12
由式 (6-1)可看出,无源超前网络具有幅值衰减作用,衰减系数为 1/a。 如果给超前无源网络串接一放大系数为 a的比例放大器,
就可补偿幅值衰减作用 。 此时,超前网络传递函数可写成：
(6-2)
由上式可知,超前网络传递函数有一个极点 和一个零点,
它们在复平面上的分布 如图 6-6所示,
,相位超前作用,
-1/T -1/ɑT
s
p Z
jω
0
φzφ
p
图 6-6 超前网络零、极点在 s平面上的分布
Ts
aT ssG
1
1)(
T1? aT1?
0 pz
13
用 S=jω 代入式 (6-2)得到超前校正网络的频率特性
(6-3)
由上式得到 超前网络极坐标图 。 当 ɑ值趋于无穷大时,单个超前网络的最大超前相角 φ m =90度 ;当 ɑ=1时超前相角 φ m =0度,这时网络已经不再具有超前作用,它本质上是一个比例环节,超前网络的最大超前相角 φ m与参数 ɑ之间的关系 如图 6－ 7,6-8所示,
图 6－ 7 超前网络极坐标图
Im
(ɑ1+1)/2
(ɑ1-1)/2
ɑ1 ɑ2 ɑ3
Reφm1 φm 2
φm 3
ω=∞ ω=∞ ω=∞ω=00
1
1
1a r c s in
a
a
m? （ 6-4)
jT
ja TjG
1
1)(
14
图 6-8 超前网络的 α-φm曲线当 φ m >60度,α 急剧增大，网络增益衰减很快。
ɑ1 5 10 15
90
60
30
0
ɑ值过大会降低系统的信噪比
φm (度 )
15
最大幅值增益是,频率范围 ；
由相频特性可求出最大超前相角对应的频率 ωm,
ωm 是两个转折频率的几何中心点；
在 ωm处的对数幅值为 10lga。
aTm
1
maTTaT lg
1lg)1lg1( l g
2
1)lg( l g
2
1
21
20dB/dec
dB
0o
90o
(度 )
20lgadB
L( )?
T1m?Ta1
m?
)(
)(m?
图 6－ 9 无源超前 网络 的 Bode图TsTs11 a
(6-5)
)(lg20 dBa T1
16
(2) 滞后校正网络
（ 6-6）
Ui Uo
R1
R2
C
图 6-10 无源滞后网络
Ts
b T s
ZZ
Z
sG
cs
RZRZ
1
1
)(
1
,
21
2
2211
1
)(
21
2
21
RR
R
b
cRRT
17
向量 zs和 ps与实轴正方向的夹角的差值小于零，
即表明滞后网络具有相位滞后作用。
滞后网络的频率特性
(6-7)
Z P
-1/bT -1/T
S
jω
φz
φp
0
图 6－ 11滞后网络零、极点的分布图 6-12 滞后网络的极坐标图
ω=0ω=∞b3 b1b2
(b1+1)/2
φm1
φm3
φm2
Re
Im
o
1>b1>b2>b3
1
0 pz
jT
jb TjG
1
1)(
18
图 6-13 滞后网络的 b-φm曲线当 φm <-60度时,滞后相角增加缓慢 。
0.001 0.01 0.1
-90
-60
-30
0
(度 )φm
b
(6-8)
当 b值趋于零时，单个滞后网络的最大滞后相角 φm= -90度；当
b=1时，网络本质上是一个比例环节,此时 φm=0度。 φm与参数 b之间的关系 如图 6-13。
1
1a r c s in
b
b
m?
19
图 6-14 无源滞后网络 （ 1+bTs)/(1+Ts)的 Bode图
由相频特性可求出最大滞后相角对应的频率为
最大的幅值衰减为 20lgb,最大的衰减频率范围是
(6-9)bT
m
1
20lgb
ω
-90
0
dB
-20dB/dec
1/T ωm 1/bT ω
Tb1
)(?L
m
)(
20
(3) 滞后－超前校正网络令传递函数有两个不相等的负实根，
则 可写为
R1
R2C1
C2
U1 U2
1)(
)1)(1()(
2
sTTTsTT
sTsTsG
abbaba
bac
212211,,CRTCRTCRT abba
式中，
)(sGc
)1)(1(
)1)(1()(
21 sTsT
sTsTsG ba
c
abbaba TTTTTTTTT 2121,
设则有
aT
T
T
TTT
b
aa 1,2
1
1
)1)(1(
)1)(1()(
saTsaT
sTsTsG
b
a
ba
c
21
6-3 串联校正当控制系统的性能指标是以稳态误差 ess,相角裕度?,幅值裕度 Kg,相对谐振峰值 Mr,谐振频率 ωr和系统带宽 ωb等频域性能指标给出时,采用频率特性法对系统进行综合与校正是比较方便的 。 因为在伯德图上,
把校正装置的相频特性和幅频特性分别与原系统的相频特性和幅频特性相叠加,就能清楚的显示出校正装置的作用 。 反之,将原系统的相频特性和幅频特性与期望的相频特性和幅频特性比较后,就可得到校正装置的相频特性和幅频特性,从而获得满足性能指标要求的校正网络有关参数 。
22
1.串联超前校正超前校正的主要作用是在中频段产生足够大的超前相角,以补偿原系统过大的滞后相角 。 超前网络的参数应根据相角补偿条件和稳态性能的要求来确定 。
解 由 稳态速度误差系数 Kv求出系统开环放大系数 K=Kv=1000s-1，
由于原系统前向通道中含有一个积分环节，当其开环放大系数
K=1000s-1时，能满足稳态误差的要求。
例 6-4 设单位反馈系统的开环传递函数为要求校正后系统满足,(1)相角裕度?≥45o； (2) 稳态速度误差系数 Kv=1000秒 -1.
)10 0 1.0)(11.0()(0 sss
KsG
23
根据原系统的开环传递函数 Go(s)和已求出的开环放大系数
K=1000s-1绘制出原系统的对数 相频特性和幅频特性 (如图 6-15)。
根据原系统的开环对数 幅频特性的剪切频率 ωc =100弧度 /秒,求出原系统的相角裕度? ≈0o,这说明原系统在 K=1000s-1时处于临界稳定状态,不能满足?≥45o的要求 。
为 满足?≥45o的要求,给校正装置的最大超前相角 φm增加一个补偿角度 △ φ,即有 φm=? + △ φ=50o;由 式 (6-4)可求出校正装置参数
α=7.5
通常应使串联超前网络最大超前相角 φm对应的频率 ωm与校正后的系统的剪切频率 ωc’重合,由 图 6-9可求出 ωm所对应的校正网络幅值增益为 10lgα =10lg7.5=8.75dB,从图 6-28中原系统的幅频特性为 -8.75dB处求出 ωm=ωc’=164弧度 /秒,由 得串联超前校正装置的两个交接频率分别为
4501 maT? 601?aT
aTm
1
24
超前校正装置的传递函数为
经过校正后系统的开环传递函数为根据校正系统后的开环传递函数 G(s)绘制伯德如 图 6-15。
相角裕度?’=45度,幅值穿越频率 ωc’=164弧度 /秒
s
s
Ts
a TssG
c 0022.01
0167.01
1
1)(
)10 0 2 2.0)(1001.0)(11.0(
)0 1 6 7.0(1 0 0 0)())()(
0 ssss
ssGsKGsG
c
25
图 6-15 串联校正前后控制系统的对数频率特性未校正校正后
10010
90
0
(度 )
-90
-180
-270
Φ(ω)
ω1000
m=50度
r=45度
-20dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
-60dB/dec
-40dB/dec
未校正 校正后
L(ω)
60
40
20
5210 100 164ωc
ωc’ ω1000450
26
串联超前校正对系统的影响
增加了开环频率特性在剪切频率附近的正相角,可提高系统的相角裕度 ;
减小对数幅频特性在幅值穿越频率上的负斜率,提高了系统的稳定性 ;
提高了系统的频带宽度,可提高系统的响应速度 。
若原系统不稳定或稳定裕量很小且开环相频特性曲线在幅值穿越频率附近有较大的负斜率时,不宜采用相位超前校正 ;因为随着幅值穿越频率的增加,原系统负相角增加的速度将超过超前校正装置正相角增加的速度,超前网络就起不到补偿滞后相角的作用了,
不宜采用串联超前校正的情况
27
串联超前校正的步骤
(1)根据稳态性能的要求,确定系统的开环放大系数 K;
(2)利用求得的 K值和原系统的传递函数,绘制原系统的伯德图 ;
(3)在伯德图上求出原系统的幅值和相角裕量,确定为使相角裕量达到规定的数值所需增加的超前相角,即超前校正装置的 φ m值,将
φ m值代入式 (6-4)求出校正网络参数 a,在伯德图上确定原系统幅值等于 -10lgα 对应的频率 ω c’； 以这个频率作为超前校正装置的最大超前相角所对应的频率 ω m,即令 ω m=ω c’；
(4)将已求出的 ω m和 α 的值代入式 (6-5)求出超前网络的参数 αT 和 T，
并写出校正网络的传递函数 Gc(s);
(5)最后将原系统前向通道的放大倍数增加 Kc=a倍,以补偿串联超前网络的幅值衰减作用,写出校正后系统的开环传递函数
G(S)=KcGo(s)Gc(s) 并绘制校正后系统的伯德图,验证校正的结果 。
28
2.串联滞后校正串联滞后校正装置的主要作用,是在高频段上造成显著的幅值衰减,其最大衰减量与滞后网络传递函数中的参数 b(b <1)
成反比 。 当在控制系统中采用串联滞后校正时,其高频衰减特性可以保证系统在有较大开环放大系数的情况下获得满意的相角裕度或稳态性能 。
解 按 K=30秒 － 1的要求绘制出原系统的伯德图 (如图 6-16所示 )。 由图,ωc=11弧度 /秒,?=－ 25o,系统不稳定 。 从相频特性可以看出,
在剪切频率 ωc附近,相频特性的变化速率较大,如前所述,此时采用串联超前校正很难奏效 。 在这种情况下,可以考虑采用串联滞后校正 。
例 6-5设原系统的开环传递函数为试用串联滞后校正，使系统满足,(1)K=30秒 -1； (2)相角裕度?≥40o。
)12.0)(11.0()(0 sss
KsG
29
图 6-16 串联滞后校正前后控制系统的对数频率特性
-20dB/dec
-40dB/dec
-20dB/dec
-40dB/dec
校正后未校正
0.03 0.3 30
ωcωc’
-20dB/dec 20lgb -60dB/dec
80
60
o
ω
L(ω)
0
-90
-180
-270
ω
-25o
+40o
∠ GcGo
∠ Gc ∠ Go
Φ(ω)
3 11
30
根据相角裕度?≥ 40o的要求,同时考虑到滞后网络的相角滞后影响 (初步取 △ φ =5o),在原系统相频特性 ∠ Go(jω)上找到对应相角为 -180o+(45o+5o)=-135o处的频率 ωc’≈ 3弧度 /秒,以 ω c’作为校正后系统的剪切频率 。
在 ω c’=3弧度 /秒处求出原系统的幅值为,
由图 6-14可知,滞后网络的最大幅值衰减为,令可求出滞后网络参数 b=0.1。
当 b=0.1时,为了确保滞后网络在 ω c’处只有 滞后相角,应使滞后校正网络的第二转折频率,即 弧度 /秒,由此求出滞后网络时间常数 T=33.3秒,即第一转折频率为 1/T=0.03
弧度 /秒 。
串联校正网络的传递函数为
dBjG co 20)(lg20 '
blg20
dBjGb co 20)(lg20lg20 '
5
13.33
133.3)(
s
ssG
c
,1011
cbT 3.01?bT
31
校正后系统的开环传递函数为
绘制校正后系统的伯德图 (如图 6-16)。 从图中可看出,当保持 K=30/秒不变时,系统的相角裕度由校正前的? =-25o提高到 +40o,说明系统经串联滞后校正后具有满意的相对稳定性 。 但同时,校正后系统的剪切频率降低,其频带宽度 ωb
由校正前的 15弧度 /秒下降为校正后的 5.5弧度 /秒,这意味着降低系统响应的快速性,这是串联滞后校正的主要缺点 。
采用串联滞后校正虽然使系统的宽带变窄,响应速度降低,
但却同时提高了系统的 抗干扰能力 。
)13.33)(12.0)(11.0(
)133.3(30)()()(
0
ssss
ssGsGsG
c
32
串联滞后校正对系统的影响
在保持系统开环放大系数不变的情况下，减小剪切频率，从而增加了相角裕度，提高了系统相对稳定性；
在保持系统相对稳定性不变的情况下，可以提高系统的开环放大系数，从而改善系统的稳态性能；
由于降低了幅值穿越频率,系统宽带变小，从而降低了系统的响应速度，但提高了系统抗干扰的能力。
33
串联滞后校正频率特性法的步骤
按要求的稳态误差系数,求出系统的开环放大系数 K;
根据 K值,画出原系统的伯德图，测取原系统的相角裕度和幅值裕度，根据要求的相角裕度并考虑滞后角度的补偿，求出校正后系统的剪切频率 ωc’；
20 )'(10?Lb由原系统在 ωc’处的幅值，求出滞后网络的参数 b,即 ；
'1011'1011 cc bTbT
'1012 c
为保证滞后网络在 ω c’处的滞后角度不大于 5o,令第二转折频率,求出 bT和 T的值，即
写出校正网络的传递函数和校正后系统的开环传递函数，画出校正后系统的伯德图，验证校正结果。
34
3.串联滞后 -超前校正
串联超前校正主要是利用超前网络的相角超前特性来提高系统的相角裕量或相对稳定性,而串联滞后校正是利用滞后网络在高频段的幅值衰减特性来提高系统的开环放大系数,从而改善系统的稳态性能 。
当原系统在剪切频率上的相频特性负斜率较大又不满足相角裕量时,
不宜采用串联超前校正,而应考虑采用串联滞后校正 。 但并不意味着串联滞后一定能有效的代替串联超前校正,综合两种 方法进行系统校正 。
串联滞后校正主要用来校正开环频率的低频区特性,超前校正主要用于改变中频区特性的形状和参数 。 在确定参数时,两者基本上可独立进行 。 可按前面的步骤分别确定超前和滞后装置的参数 。 一般,先根据动态性能指标的要求确定超前校正装置的参数,在此基础上,再根据稳态性能指标的要求确定滞后装置的参数 。 应注意,在确定滞后校正装置时,尽量不影响已由超前装置校正好了的系统的动态指标,在确定超前校正装置时,要考虑到滞后装置加入对系统动态性能的影响,
参数选择应留有裕量 。
35
例 6－ 5设系统的开环传递函数为
)105.0)(11.0()( sss
KsG
50?vK
sra dc /5.010
340?
要求系统满足下列性能指标：
（ 1） 速度误差系数
（ 2） 剪切频率
（ 3） 相角裕度试用频率响应法确定串联滞后－超前校正装置的传递函数 。
解,按要求 (1),K=50。 画校正前系统的伯德图，如 图 6-17所示。根据性能指标的要求先决定超前校正部分。
由图 6－ 17可知,srad /10 的相角为－ 162o，为使,并考40?
虑到相位滞后部分的影响,取由超前网路提供的最大相角为,于是有
27m?
66.227s in1 27s in1s in1 s in1
m
m
a
36
为使 时，对应最大超前相角,有10 m?
,101
1
Tm a? )(06.01 sT?
所以相位超前网络为：
11)(
1
1
1 sT
saTsG
c 106.0
116.0
s
校正后系统的开环传递函数为：
)106.0)(105.0)(11.0(
)116.0(50
ssss
s )()()( 101 sGsGsG c
的伯德图如图 6－ 17所示 。 由图可知,时,的幅值为 18dB。 因此,为使 等于幅值穿越频率,可在高频区使增益下降 18dB。 则滞后校正部分的参数 为：
)(1 sG srad /10 )(1?jG
srad /10
b
2 0 lg 1 8b 0.13b?
取转折频率 为幅值穿越频率 的 1/10,2/1 bT srad /10
1101
2
bT 2 1 8 ( )Tsb
37
所求滞后网络为,
11)(
2
22
sT
sbTsG
c 181ss
校正后系统的开环传递函数为
5 0 ( 0,1 6 1 ) ( 1 )
( 0,1 1 ) ( 0,0 5 1 ) ( 0,0 6 1 ) ( 8 1 )
ss
s s s s s
)()()()( 210 sGsGsGsG cc
校正后系统的伯德图如图 6－ 17。由图可知，,满足所求系统的全部性能指标。
40,/10 sr a dc
40
20
0
-20
-40
-60
0.1 1 10 100 (s-1 )
-30?
-60?
-90?
-120?
-150?
-180?
-210?
L( ) (dB)
图 6－ 17 例 6－ 5题系统 Bode图
G?
0G?
1G?
1G
0G
G
38
4,期望频率特性法校正期望频率特性法对系统进行校正是将性能指标要求转化为期望的对数幅频特性,再与原系统的频率特性进行比较,从而得出校正装置的形式和参数 。 该方法简单,直观,可适合任何形式的校正装置 。 但由于只有最小相位系统的对数幅频特性和对数相频特性之间有确定的关系,故 期望频率特性法仅适合于最小相位系统的校正 。
式 （ 6－ 10） 表明,对于已知的待校正系统,当确定了期望对数幅频特性之后,就可以得到校正装置的对数幅频特性 。
)()()( 0 jGjGjG c?
)(
)()(
0?
jG
jGjG
c?
对数幅频特性为
)()()( 0 LLL c (6-10)
)(0?jG
)(?jG
)(?jGc
设希望的开环传频率特性是,原系统的开环频率特性是,串联校正装置的频率特性是,则有
39
通常,为使控制系统具有较好的性能,期望的频率特性如图 6－ 18所示 。
由图,系统在中频区的渐近对数幅频特性曲线的斜率为－ 40dB～－
20dB～－ 40dB（ 即 2－ 1－ 2型 ）,其频率特性具有如下形式：
)1()(
)1(
)(
3
2
2
j
j
jK
jG
32
1 8 0)( a r c t ga r c t g
与－ 180° 的相角差为
32
)(180)( a r c t ga r c t g
32
23
32
2
32
21
)(
m
mm
mtg
说明 正好是两个转折频率的几何中心 。 由 的表达式 可得到m
m 和由 可得到产生最大相角差的角频率为
0dd
32m (6-11)
0°
-90°
-180°
dB
-40
-20dB/dec
H
20lg
-40
图 6－ 18 期望特性
3?
2? c?
G
c?m?
G?
)( m
40
图 6－ 19 由等 M圆确定 )( mjG?
Im
Re
0
+j
-j
-1
p
111?MM
1M 1
1
1?MM
c?
m?max
0
由图 6－ 18和图 6－ 19可得到剪切频率 与之间的关系,由图 6－ 18,有
c?
32,,m
)( m
m
c jG?
,11 MM r若取 如图 6－ 19所示,可得出
1)( 21
1
M
MopjG
m?
则有
1,12 r
r
r
m
c M
M
M
(6-16)
2
3H
所以 11 HHM r
sin1?rM因为所以
23
23)(s inm
若令对数幅频特性中斜率为－ 20dB/dec的中频段宽度为 H,则有,
上式可写成
11)(s in HHm
(6-12)
(6-13)
(6-14)
(6-15)
（ 注：等 M圆的半径为 ）12?MM
通常，在 极大值附近,变化较小)(?M?
41
为使系统具有以 H 表征的阻尼程度,通常取
122 Hc
123 H Hc
由式 6－ 11和式 6－ 16,有将 及式 6－ 15代入式 6－ 17得
2
3H
122 Hc
123 H Hc
11 2322 r
r
r
rmc
M
M
M
M (6-17)
(6-18)
(6-19)
(6-20)
(6-21)
r
rc MM 12
r
rc MM 13
(6-22)
(6-23)
由式 6－ 15知，
1
21
,121
H
H
M
M
HM
M
r
r
r
r
42
（ 3） 若中频段的幅值曲线不能与低频段相连,可增加一连接中低频段的直线,直线的斜率可为,为简化校正装置,
应使直线的斜率接近相邻线段的斜率；
decdBdecdB /60/40 或
（ 4） 根据对幅值裕度及高频段抗干扰的要求,确定期望特性的高频段,
为使校正装置简单,通常高频段的斜率与原系统保持一致或高频段幅值曲线完全重合 。
（ 2） 根据系统性能指标,由剪切频率 等参数,绘制期望特性的中频 段,并使中频段的斜率为,以保证系统有足够的相角裕度；
dB20?
32,,,, Hc
K（ 1） 根据对系统稳态误差的要求确定系统开环增益 及对数幅频特性初始段的斜率；
期望对数幅频特性的求法：
43
例 6－ 6 设单位反馈系统的开环传递函数为试用串联综合校正方法设计串联校正装置,使系统满足：
Kv≥70(s-1),ts≤1(s),。
解 （ 1） 根据稳态指标的要求,取,并画未校正系统对数幅频特性,
如图 6－ 20所示,求得未校正系统的剪切频率
( 2 ) 绘制期望特性 。 主要参数有：
低频段,系统为 I 型,故当 1 时,有作斜率为－ 20dB/dec的直线与 20lg 的低频段重合 。
)02.01)(12.01()(0 sss KsG
%40%
70?K
)/(3.22' sra dc
dBKGG c 9.36lg20lg20 0
0G
中频及衔接段,将 及 ts 转换成相应的频域指标,并取为%?
)/(13,6.1 sr a dM cr
由式 （ 6-22） 及 （ 6-23） 估算,有
88.42 13.213
在 处,作 -20dB/dec斜率的直线,交于 处,取见图 6－ 20。
45lg20 0?G13?c?
书 P.172.(5-106),(5-107)
453
44
45,4 32取此时,。 由式 （ 6－ 13）,有
25.11/ 23H
o8.5611a r c s in HH?
在中频段与过 的横轴垂线的交点上,作－ 40dB/dec斜率直线,交期望特性低频段于 处 。
42
)/(75.01 srad
高频及衔接段,在 的横轴垂线和中频段的交点上,作斜率为－
40dB/dec直线,交未校正系统的 于 处； 时,取期望特性高频段 与未校正系统高频特性 一致 。
453
4
cGG0lg20
504
0lg20 G
期望特性的参数为：
)0 2 2.01)(33.11(
)12.01)(25.01()(
ss
sssG
c
dBGdBGG c 00 )( 与(3) 将 特性相减，得串联校正装置传递函数
（ 4）校正后系统开环传递函数
)022.01)(02.01)(33.11(
)12.01(70)(
ssss
ssG
0lg20 G
25.11,13,50
45,4,75.0
4
321
Hc
45
验算性能指标,经计算：,,Mr=1.4，,ts＝ 0.73(s),
满足设计要求 。
13?c 6.45? %32%
dB
40
20
0
-20
1 10 100
Gc
图 6－ 20 例 6－ 6题对数幅频特性
cGG0
0G
1?
2? 3? 422.3 3
46
例 6－ 7 设系统的开环传递函数为
)025.01(
25)(
2 sssG
试确定使该系统达到下列性能指标的串联校正装置：保持稳态加速度误差系数 Ka=25 1/秒 2不变，超调量,调节时间 ts 秒。%30 9.0?
解 （ 1） 绘制原系统的近似对数幅频特性曲线,如图 6－ 21中曲线 I。
（ 2） 绘制希望特性。为保持 Ka不变，低频段应和图 6-21中特性 I重合。
中频段斜率取为－ 20分贝 /十倍频，并使它和低频段直接连接。
根据 的要求，由式（ 5-92）得 。%30 35.1?rM
9.9?c?
55.212
r
rc MM
过 画一斜率为 的线段，与特性 I交于 A点,右端 B
点处的频率取为特性 I 的转折频率,这一线段为希望特性的中频段。3?
decdB /20? 5.2
为使希望特性尽量靠近原系统的特性 I,过 B点画一条斜率为的直线，该直线即为希望特性的高频段。
decdB /60?
为使 秒,由,其中得由式 （ 6－ 22） 得
9.0?st
c
s
Kt
0
)246(9035,)1s i n1(5.2)1s i n1(5.12 20K
9.9?c?
47
0.1 1 10 100 1000
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
L(dB)
I,II
I
II
III
A
B
图 6－ 21 例 6－ 7题系统及校正装置的对数幅频渐近线希望特性如图 6-21中折线 II所示。它为 2－ 1－ 3型的，与典型的 2－ 1－ 2型的高频部分有区别。希望特性过 后，斜率 由改变为,说明有两个时间常数为 的惯性环节。
3? decdB /20? decdB /60?
025.01
3
(3) 曲线 II减曲线 I得校正装置的对数幅频特性曲线 III。
sssG c 025.01 4.01)(
(4)计算校正后系统的性能指标。
48
6-4 反馈校正在控制系统的校正中，反馈校正也是常用的校正方式之一。反馈校正除了与串联校正一样，可改善系统的性能以外，还可抑制反馈环内不利因素对系统的影响。
)(sH图 6－ 22表示一个具有局部反馈校正的系统。在此，反馈校正装置反并接在 的两端，形成局部反馈回环（又称为内回环）。为了保证局部回环的稳定性，被包围的环节不宜过多，一般为 2个。
)()( 32 sGsG
图 6－ 22 具有反馈校正的系统
E(s)
G1 (s)
H(s)
Y(s)R(s)
G4 (s)G3 (s)G2 (s)
49
由 图 知,无反馈校正时系统的开环传递函数为
（ 6－ 25）
内回环的开环传递函数为
（ 6－ 26）
其闭环传递函数为
（ 6－ 27）
校正后系统的开环传递函数为
（ 6－ 28）
)()()()()( 4321 sGsGsGsGsG?
)()()()(' 32 sHsGsGsG?
)('1
)()(
)()()(1
)()()(' 32
32
32
sG
sGsG
sHsGsG
sGsGsG
B
)('1
)()()()()(''
4
,
1 sG
sGsGsGsGsG
B
50
若内回环稳定（即 的极点都在左半 s平面），则校正后系统的性能可按曲线 来分析。绘制,假定：
)(' sGB
)(''lg20?jG)(''lg20?jG
1.当 >>1时,,按式 （ 6－ 28）)('?jG )(')('1 jGjG
)(
)()(
)('
)()('' 41
jH
jGjG
jG
jGjG
由 与 之差，得 。)(lg20?jG )('lg20?jG )(''lg20?jG
2.当 <<1时,,则)('?jG 1)('1jG
)()('' jGjG?
曲线 与曲线 重合 。 这样近似在附近的误差较大 。 校正后系统的瞬态性能主要取决于曲线在其穿越频率附近的形状 。 一般,在曲线 的穿越频率附近,>>1,故近似处理的结果还是足够准确 。
)(''lg20?jG
)(lg20?jG 1)('jG
)(''lg20?jG
)(''lg20?jG
)('?jG
综合校正装置时,应先绘制 的渐近线,再按要求的性能指标绘制 的渐近线,由此确定,校验内回环的稳定性,最后按式 （ 6－ 26） 求得 。
)(lg20?jG
)(''lg20?jG )('lg20?jG
)(lg20?jH
51
例 6－ 8 控制系统的结构图如图 6－ 23所示，其中
,136.0 228)(,106.0 238)( 21 ssGssG ssG 0208.0)(3?
试设计反馈校正装置，使系统的性能指标为,。 st
s 8.0%,25
R(s) C(s)
图 6－ 23 控制系统结构图
- -
)(1 sG )(2 sG )(3 sG
)(sH
解 校正前系统的开环传递函数为
)136.0)(106.0( 1 1 3 0)()()()( 3210 ssssGsGsGsG
(1) 绘制原系统的对数幅频特性 L0如 图 6－ 24所示。
(2) 绘制系统的期望对数幅频特性。
52
根据式（ 5-146），得对应 时，,按 秒，
由式（ 6-24），得 。取,期望特性的交接频率 可由式
（ 6-22）求得。
%25 23.1?rM 8.0?st
7.9?c? 10?c? 2?
87.112
r
rc MM
取 。1.12
为简化校正装置，取中高频段的转折频率 。
过 作 的直线过 线，低端至 处的 A点，高端至 处的 B点。再由 A点作 的直线向低频段延伸与 L0
相交于 C点，该点的频率为,过 B点作 的直线向高频段延伸与 L0相交于 D点，该点的频率为 。由以上步骤得到的期望对数幅频特性如图 6-24中 LK所示。
7.1606.0/13
10?c? decdB /20? dB0 1.12
7.163 decdB /40?
009.0?A? decdB /40?
190?D?
(3) 将 得到,如图中 LH所示，其传递函数为KLL?0 )()(lg20 2 jHjG
)1)(1()()( 212 sTsT
sKsHsG H
其中,1 1 10 0 9.0/1HK9.01.1/11T 36.078.2/12T
19.0
4 8 7.0
)(
)()()(
2
2 s ssG sHsGsH得
53
ê y · ù? μ ì? D?
F r e q u e n c y ( r a d / s e c )
Ph
as
e
( d e
g)
Ma
gni t
ud
e
( dB
)
10
- 2
10
- 1
10
0
10
1
10
2
10
3
0
45
90
135
180
- 40
- 20
0
20
40
60
80
100
0.01 10 10010.1 1000
40
20
0
-20
60
80
L0
LK
LH
B
D
c
A
图 6－ 24 控制系统的对数幅频特性
54
【例 1】 设系统的开环传递函数为
)1()( ss
KsG
现要求：
1.0ss?e1,单位斜坡输入时，位置输出稳态误差为
2,开环系统剪切频率 ( r a d /s )4.4c
试设计校正装置。
3,相角裕度45? dB4.4'?h，幅值裕度校正例题
sse
解 根据,确定开环增益，系统为 I 型，sse
101.01,)( ss KKettr,取 K=10
利用已确定的开环增益，作出系统的 Bode 图，并计算未校正系统的相角裕度 。
459.17)a r c t g (90180,1.3 cc
55
Bo d e D i a g ra m
F re q u e n cy (ra d / se c)
Ph
a
se
(d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(d
B)
-40
-20
0
20
40
G m = I n f,Pm = 1 7,9 6 4 d e g (a t 3,0 8 4 2 ra d / se c)
10
-1
10
0
10
1
-18 0
-13 5
-90
图 1(a) 原系统 Bode图
56
根据 的要求,选用超前网络。c?
64.41lg204.4lg2010lg20)'(
,0)()'(,4.4'
2
c
mccmc
L
LL
40lg106 aa
s
ssGs
aT 114.01
456.01
4
1)(),(114.01
c
m?
)1)(1 1 4.01(
)4 5 6.01(10)()(
c sss
ssGsG
456.49)'(' cm
57
Bo d e D i a g ra m
F re q u e n cy (ra d / se c)
Ph
a
se
(d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(d
B)
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
20
40
G m = I n f,Pm = 4 9,5 8 8 d e g (a t 4,4 3 0 2 ra d / se c)
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
图 1(b) 校正后系统的 Bode图
58
【例 2】 设单位反馈系统的开环传递函数为
)25(
2 5 0 0)(
ss
KsG
若使系统的速度误差系数,相角裕度,剪切频率不低于 65rad/s,试求系统的校正装置。
1ν 100 sK45?
解 由,,知 K=1。
)125(
100)(
s
s
KsG
1ν 100 sK
25,
25
1
100
lg20
25,
100
lg20
)(
2
L
作未校正系统的 Bode图如 图 2(a),
得出,不满足要求。根据对剪切频率的要求，采用超前校正。选
4528)25a r c t g (90180,47 cc
0)()'(,65' mcccm LL
求原系统的相角裕度。
59
0085.0
1
3.30lg102.5
,2.5)25/65(1lg2065lg20100lg20)'(
m
2
c
a
T
aa
L
sssG 0 0 8 5.01 0 2 8.013.3 1)(c所以有校正网络为
s
s
ss
sGsG 0085.01 028.01
)1251(
100)()(
c?
校正后系统的开环传递函数为
4553)650085.0a r c t g ()2565a r c t g ()028.065a r c t g (90180'?
作校正后系统的 Bode图如 图 2(b).
相角裕度为满足要求。
60
Bo d e D i a g ra m
F re q u e n cy (ra d / se c)
Ph
a
se
(d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(d
B)
- 2 0
0
20
40
G m = I n f,Pm = 2 8,0 2 d e g (a t 4 6,9 7 8 ra d / se c)
10
0
10
1
10
2
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
图 2(a) 原系统 Bode图
61
Bo d e D i a g ra m
F re q u e n cy (ra d / se c)
Ph
a
se
(d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(d
B)
- 6 0
- 4 0
- 2 0
0
20
40
G m = I n f,Pm = 5 3,2 7 5 d e g (a t 6 5,1 8 7 ra d / se c)
10
0
10
1
10
2
10
3
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
图 2(b) 校正后系统的 Bode图
62
)125.0)(15.0(
8)()(
ssssHsG
【 例 3】 设控制系统的开环传递函数为试设计一串联校正装置，使校正后系统的相角裕度不小于 40o,幅值裕度不低于 10dB,剪切频率大于 1rab/s。
解 作校正前系统的对数频率特性如 图 3 (a) 所示。
srad /3.3
由图 (a)可知,原系统具相角裕度和幅值裕度均为负值,故系统不稳定 。 考虑到系统的剪切频率为,大于系统性能指标要求的剪切频率,故采用滞后装置对系统进行校正 。
根据相角裕度 的要求和滞后装置对系统相角的影响,选择校正后系统的相角裕度为,由图 (a) 知,
对应相角为 时的频率为,幅值为 15.7dB。
40?
)1 3 4(1 8 0640'
134 1/1.1' sra dc?
dBb 7.15lg20取,得 。取滞后装置的第二个转折频率为,有,则 。
164.0?b
11.0'1.0?c? 11.01?bT 43.55?T
63
s
s
Ts
b TssG
c 43.551
1.91
1
1)(
初选校正装置的传递函数为作出校正后系统的 Bode 图如 图 3 (b) 中所示 。 由图,可得到校正后系统的相角裕度为,幅值裕度为,剪切频率为,
满足系统性能指标的要求,故初选校正装置合适,校正后系统的开环传递函数为
67.40'? dB73.12 sradc /1.1'
)43.551)(25.01)(5.01(
)1.91(8)()(
ssss
ssHsG
64
B o d e D i a g r a m
F r e q u e n cy ( r a d / se c)
P
h
a
se
(
d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
- 1 0 0
- 5 0
0
50
G m = - 2,4 9 8 8 d B ( a t 2,8 2 8 4 r a d / s e c ),P m = - 7,5 1 5 6 d e g ( a t 3,2 5 1 8 r a d / s e c )
S ys t e m,u n t i t l e d 1
F r e q u e n cy ( r a d / s e c),1,1
M a g n i t u d e ( d B ),1 5,8
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
S ys t e m,u n t i t l e d 1
F r e q u e n cy ( r a d / s e c),1,1
P h a s e ( d e g ),- 1 3 4
图 3(a) 校正前系统的对数幅频特性
65
B o d e D i a g r a m
F r e q u e n cy ( r a d / se c)
P
h
a
se
(
d
e
g
)
M
a
g
n
i
t
u
d
e
(
d
B
)
- 1 0 0
- 5 0
0
50
100
G m = 1 2,5 7 2 d B ( a t 2,7 2 9 r a d / s e c ),P m = 4 0,6 9 3 d e g ( a t 1,1 1 1 3 r a d / s e c )
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
- 2 7 0
- 2 2 5
- 1 8 0
- 1 3 5
- 9 0
图 3(b) 校正后系统的 Bode图
66
本章小结
(1)系统的综合与校正问题 为了使原系统在性能指标上的缺陷得到改善或补偿而按照一定的方式接入校正装置和选定校正元件参数的过程就是控制系统设计中的综合与校正问题 。 从某中意义上讲,系统的综合与校正是系统分析的逆问题 。 系统分析的结果具有唯一性,而系统的综合与校正是非唯一的 。
(2)校正方式 根据校正装置与原系统的连接方式可分为串联校正,顺馈校正和反馈校正三种方式 ;根据校正装置的特性可分为超前校正和滞后校正。
67
(3)超前校正 超前校正装置具有相位超前作用,它可以补偿原系统过大的滞后相角,从而增加系统的相角裕度和带宽,提高系统的相对稳定性和响应速度 。 超前校正通常用来改善系统的动态性能,在系统的稳态性能较好而动态性能较差时,采用超前校正可以得到较好的效果 。 但由于超前校正装置具有微分的特性,是一种高通滤波装置,它对高频噪声更加敏感,从而降低了系统抗干扰的能力,因此 在高频噪声较大的情况下,不宜采用超前校正 。
68
(4)滞后校正 滞后校正装置具有相位滞后的特性,它具有积分的特性,由于积分特性可以减少系统的稳态误差,因此滞后校正通常用来改善系统的稳态性能 。
滞后校正装置具有低通滤波的特性,利用它的高频衰减特性降低系统的剪切频率,可以提高系统的相角裕度,改善系统的动态性能 。 但同时减小了系统的带宽,降低了系统的响应速度 。 因此对响应速度要求较高的系统不宜采用滞后校正,高频衰减特性可以降低高频噪声对系统的影响,从而提高系统抗干扰能力,
这是滞后校正的一大优点 。
69
(5)滞后 -超前校正 在系统的动态和稳态性能都有待改善时,单纯采用超前或滞后校正往往难以奏效,在这种情况下采用滞后 -超前校正效果较好,利用校正装置的滞后特性改善系统的稳态性能提高系统精度,而利用它的超前作用来改善系统的动态性能提高系统的相角裕度和响应速度等 。 在校正的步骤上,可以先满足系统的动态性能确定出校正装置中超前部分的参数,
然后再根据稳态性能确定滞后部分的参数,也可以按相反的顺序设计 。
70
(6)反馈校正 反馈校正除了可以达到与串联校正相同的效果外 。 还可以抑制来自系统内部和外部扰动的影响,因此对那些工作环境比较差和系统参数变化幅度较大的系统,采用反馈校正效果会更好些 。 需要指出的是,由于局部反馈有可能引起校正回路的振荡,因此在选择校正装置参数时应特别小心 。 一般情况下,被校正装置包围的前向通道不超过两个环节 。
71
(8)混合校正 对于某些系统,有时为了达到全面改善系统性能的目的,也可以同时采用多种校正方式 。 但这并不意味着校正装置用得越多,方法越复杂就越好,在这个问题上应本着删繁就简的原则,用一种方法一个校正装置能解决问题的就决不采用两种方法或两个校正装置,
因为系统接入的装置越多,就越容易引入干扰信号 。
应当指出的是,本章介绍的只是系统校正中的一些基本方法和思路,所给例题也是典型化和理想化的,工程实际问题会复杂的多。比起系统分析,系统的综合与校正的实践性更强,应在实际应用中重视积累经验,才能取得更好的学习效果。
The End
72
设系统的开环相频特性为
)(180)(
系统的开环频率特性可表示为的相移，表示相角相对于－其中?180)(
)](s i n)(c o s)[()()( )](180[ jAeAjG j
闭环幅频特性为
)(s i n)](c os
)(
1
[
1
)](c os)(2)(1[
)(
)(1
)(
)(
22
2
1
2
A
AA
A
jG
jG
M
由（ *）式可知，当
c o s)c o s)c o s
((
cr
cr
MM
（（
附近，即有常位于点
）的极值）变化较小，且（）的极大值附近，一般情况下，在
s in
1
)s in
1
(
(
c os
1
(
c
rr MM
MA
（
）＝
）取极值时，
）（
）＝
（ *）
s inc o s,jeE u le r j
