激光原理与技术：激光原理与技术课件

激光原理与技术
第一部分 激光原理部分
第一章 激光的基本原理
第三章 空心介质波导与谐振腔
第二章 开放式光腔与高斯光束
第四章 电磁场和物质的共振相互作用
第五章 激光振荡特性
第六章 激光放大特性
第七章 激光振荡的半经典理论
第二部分 激光技术部分
第八章 激光特性的控制与改善
第九章 激光器件
第一章 激光的基本原理
1.1 相干性的光子描述
1.2 光的受激辐射基本概念
1.3 光的受激辐射放大
1.4 光的自激振荡
1.5 激光的特性
第二章 开放式光腔与高斯光束
2.1 光腔理论的一般问题
2.2 共轴球面的稳定性条件
2.3 开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法
2.4 平行平面腔模的迭代解法
2.5 方形镜共焦的自再现模
2.6 方形镜共焦腔的行波场
2.7 圆形镜共焦腔
2.8 一般稳定球面腔模式特征
2.9 高斯光束的基本性质及特征参数
2.10 高斯光束 q参数的变换规律
2.12 高斯光束的自再现变换与稳定球面腔
2.14 非稳腔的几何自再现波型
2.15非稳腔的几何放大率和自再现波型的能量
损耗
2.11 高斯光束的聚焦和准直
2.13 光束衍射倍率因子
第三章 空心介质波导光谐振腔
3.1 空心波导光谐振腔的构成和特征
3.2 空心圆柱波导管中的本征模
3.3 圆波导本征模的传输常数和损耗特性
3.4 空心矩形介质波导管中的本征模
3.5 空心介质波导光谐振腔的反馈耦合损耗
第四章 电磁场和物质的共振相互作用
4.1 电介质的极化
4.2 光和物质相互作用的经典理论简介
4.3 谱线加宽和线型函数
4.4 典型激光器的速率方程
4.5 均匀加宽工作物质的增益系数
4.6 非均匀加宽工作物质的增益系数
4.7 综合均匀加宽工作物质的增益系数
第五章 激光振荡特性
5.1 激光器的振荡阈值
5.2 激光器的振荡模式
5.3 输出功率和能量
5.4 弛豫振荡
5.5 单模激光器的线宽极限
第六章 激光器的放大特性
6.1 激光放大器的分类
6.2 均匀激励连续激光放大器的增益特性
6.3 纵向光均匀激励连续激光放大器
的增益特性
6.4 脉冲激光放大器的增益特性
5.6 激光器的频率牵引
6.5 放大的自发辐射（ ASE）
6.6 光放大的噪声
第七章 激光振荡的半经典理论
7.1 激光振荡的自洽方程组
7.2 原子系统的电偶级距
7.3 密度距阵
第八章 激光器特性的控制和改善
8.1 模式选择
8.2 频率稳定
8.3 Q调制
8.4 注入锁定
8.5 锁模
第九章 激光器件
9.1 固体激光器
9.2 气体激光器
9.3 半导体激光器
9.4 染料激光器
第一章 激光的基本原理
本章概激光器基本原理。讨论的重点是光的相干性和光波模式的联系、光的受激辐
射以及光放大和振荡的基本概念。
1.1 相干性的光子描述
一、光子的基本性质 ·
光的量子学说 (光于说 )认为，光是一种以光速 c运动的光子流。光子（电磁场量子）和
其它基本粒子一样，具有能量、动量和质量等。它的粒子属性 (能量，动量，质量等 )和波动
属性 (频率、彼矢、偏振等 )密切联系，并可归纳如下：
（ 1）光子的能量 ε 与光波频率 ν对应
ε =hv （ 1.1.1）
式中 h＝ 6.626× 10-34J,s，称为普朗克常数。
（ 2）光子具有运动质量 m，并可表示为
光子的静止质量为零。
（ 1.1.2）
（ 3）光子的动量 P与单色平面光波的波矢 k对应
（ 1.1.3
n。为光子运动方向 (平面光波传播方向 )上的单位矢量。
4．光于具有两种可能的独立偏振状态，对应于光波场的两个独立偏振方向。
5．光于具有自旋，并且自旋量子数为整数。因此大量光于的集合，
服从玻色 — 爱因斯坦统计规律。处于同一状态的光子数目是没有限制的，
这是光子与其它服从费米统计分布的 粒子 (电子、质子、中子等 )的重要区别。
上述基本关系式 (1.1.1)相 (1.1.3)后来为康普顿 (Arthur Compton)散射实验所证实
(1923年 )，并在现代量子电动力学中得到理论解释。量子电动力学从理论上把光的电磁
(波动 )理论和光子 (微粒 )理论在电磁场的量子化描述的基础上统一起来，从而在理论上
阐明了光的波粒二象性。在这种描述中，
任意电磁场可看作是一系列单色平面电磁波 (它们以波矢 k为标志 )的线性叠加，
式中
或一系列电磁被的本征模式 (或本征状态 )的叠加。但每个本征模式所具有的能量
是量子化的，即可表为基元能量 hv的整数倍。本征模式的动量也可表为基元动
量 hk1的整数倍。这种具有基元能量 hv1和基元动量 hk1的物质单元就称为属于第 L
个本征模式 (或状态 )的光子。具有相同能量和动量的光子彼此间不可
区分，因而处于同一模式 (或状态 )。每个模式内的光子数目是没有限制的。
二、光波模式和光子状态相格
从上面的叙述已经可以看出，按照量子电动力学概念，光波的模式和光子的状态是等
效的概念。下面将对这一点进行深入一步的讨论。
由于光的波粒二象性，我们可以用波动和粒子两种观点来描述它。
在激光理论中，光波模式是一个重要概念。按照经典电磁理论，光电磁波的运动规律
由麦克斯韦 (C.Maxwell)方程决定。单色平面波是麦克斯韦方程的一种特解，它表示为
式中 E0为光波电场的振幅矢量,ν为单色平面波的频率,r为空间位置坐标矢量,k为波
矢。而麦克斯韦方程的通解可表为一系列单色平面波的线性叠加。
在自由空间，具有任意波矢 k的单色平面波都可以存在。但在一个有边界条件限制的
空间 V(例如谐振腔 )内，只能存在一系列独立的具有特定波矢 k的平面单色驻波。这种能
够存在于腔内的驻波 (以某一波矢 k为标志 )称为电磁被的模式或光波模。一种模式是电
磁波运动的一种类型，不同模式以不同的 k区分。同时，考虑到电磁波的两种独立的偏振，
同一波矢 k对应着两个具有不同偏振方向的模。
（ 1.1.4）
下面求解空腔 v内的模式数目。设空腔为 V=ΔxΔyΔz的立方体，则沿三个
坐标轴方向传播的波分别应满足的驻波条件为
Δx=mλ/2,Δy=nλ/2,Δz=qλ/2
式中 mλq为正整数。而波矢 k的三个分量应满足条件
k x=лm/Δx,ky=лn/Δy,kz=лq/Δz (1.1.5)
每一组正整数 m,n,q对应腔内一种模式 (包含两个偏振 )。
如果在以 kx ky kz为轴的直角坐标系中，即在波矢
空间中表示光波模,侧每个模对应波矢空间的一点 (如图
1.1.1所示 )。每一模式在三个坐标铀方向与相邻模的间隔为
Δkx=л/Δx,Δky=л/Δy,Δkz=л/Δy (1.1.6)
因此，每个模式在波矢空间占有一个体积元
ΔkxΔkyΔkz =л3 /（ ΔxΔyΔz） =л3 /V (1.1,7)
在 k空间内，波矢绝对值处于 |k|～ |k|+d|k|区间的体积为 (1／ 8)4л|k|2 d|k|，
故在此体积内的模式数为 (1／ 8)4л|k|2 d|k|V/л3。又因 |k|＝ 2л/λ=2λv/c;d|k|=2лdv/c,
代入上式则得频率在 v～ v+dv区间内的模式数。
再考虑到对应同一 k有两种不同的偏振
，上述模式效应乘 2，于是，在体积为 V的空腔内，处在频率 v附近频带 dv内的模式数为
P=(8лv2/c3 )Vdv (1.1.8)
现在再从粒子的观点 阐明光子状态的概念，并且证明，光子态和光波横是等效的概
念。
在经典力学中，质点运动状态完全由其坐标 (x,y,z)和动量 (Px Py Pz)确定。我们可
以用广义笛卡儿 (Cartesian)坐标 x,y,z,Px Py Pz所 支撑的六维空间来描述质点的
运动状态。这种六维空间称为相空间，相空间内的一点表示质点的一个运动状态。当
宏观质点沿某一方向 (例如,x轴 )运动时，它的状态变化对应于二维相空间 (x,Px)的一
条连续曲线，如图 1.1.2所示。但是，光子的运动状态和经典宏观质点有着本
质的区别，它受量子力学测不准关系的制约。测不准关系
表明：微观粒子的坐标和动量不能同时准确测定，位置测
得越准确，动量就越测不准。对于一维运动情况．则不准
关系表示为
ΔxΔPx︾ h (1.1.9)
上式意味着处于二维相空间面积元 ΔxΔPx︾ h之内的粒
子运动状态在物理上是不可区分的，因而它们应属于同
一种状态。
在三维运动情况下，测不准关系为
ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz︾ h3
故在六维相空间中，一个光子态对应 (或占有 )的相空间体积元为
ΔxΔyΔzΔPxΔPyΔPz︾ h3 (1.1.10)
上述相空间体积元称为相格。相格是相空间中用任何实验所能分辨的最小尺度。
光子的某一运动状态只能定域在一个相格中，但不能确定它在相格内部的对应位置。
于是我们看到，微观粒子和宏观质点不同，它的运动状态在相空间中不是对应一点而是
对应一个相格。这表明微观粒子运动的不连续性。仅当所考虑的运动物体的能量和动量
远远大于由普朗克常数 h所标志的 l量 hv9和 hk，以致量子化效应可以忽略不计时，
量子力学运动才过渡到经典力学运动。
从式 (1.1.10)还可得出，一个相格所占有的坐标空间体积（或称相格空间体积 )为
ΔxΔyΔz︾ h3/（ ΔPxΔPyΔPz） （ 1.1.11）
现在证明，光波模等效于光子态。为此将光波模的波矢空间体积元表示式 (1.1.7)改
写为在相空间中的形式。考虑到一个光波模是由两列沿相反方向传播的行波组成的驻波．
因此一个光波模在相空间的 Px,Py和 Pz轴方向所占的线度为
ΔPx=2hΔkx,ΔPy=2hΔky,ΔPz=2hΔkz (1.1.12)
于是，式 (1.1.7)在相空间中可改写为
ΔPxΔPyΔPzΔxΔyΔz= h3 (1.I.13)
可见，一个光波模在相空间也占有一个相格,因此，一个光波模等效于一个光子态。
一个光波模或一个光子态在坐标空间都占有由式 (1.1.11)表示的空间体积。
三、光子的相干性
为了把光子态和光子的相干性两个概念联系起来，下面对光源的相干性进行讨论。
在一般情况下，光的相干性理解为：在不同的空间点上、在不同的时刻的光波场的某
些特性 (例如光波场的相位 )的相关性。在相干性的经典理论中引入光场的相干函数作为
相干性的度量。但是，作为相干性的一种粗略描述，常常使用相干体积的概念。如果在空
间体积 V c内各点的光波场都具有明显的相干性，则 V c称为相干体积。 V c又可表示为垂直
于光传播方向的截面上的相干面积 Ac和沿传播方向的相干长度 L c的乘积
V c=A c L c (1.1.14)
式 (1.1.14)也可表示为另一形式；
Vc=Acηc c (1.1.15)
式中 c为光速,ηc＝ Lc／ c是光沿传播方向通过相干长度 L c所需的时间，称为相干时间。
普通光源发光，是大量独立振子 (例如发光原子 )的自发辐射。每个振子发出的光波是
由持续一段时间 Δt或在空间占有长度 cΔt的波列所组成．如图 l.1.3图所示。
不同振子发出的光波的相位是随机变化的。对于原子谱线来说,Δt即为原子的激发态
寿命 (Δt︾ 10-8s秒 )。
对波列进行颇谱分析，就得到它的频带宽度
Δv︾ 1/Δt
Δv是光源单色性的量度。
物理光学中已经阐明，光波的相干长度就是光波的波列长度
L c＝ cΔt＝ c/Δv (1.1.16)
于是，相干时间 ηc与光源频带宽度 Δv的关系为
ηc＝ Δt= 1/Δv (1.1.17)
上式说明，光源单色性越好，则相干时间越长。
物理光学中曾经证明：在图图 1.1.4中，由线度为 Δx的光源 A照明的 S1和 S2两点的光
波场具有明显空间相干性的条件为
(Δx Lx/ R) ≤λ (1.1.18)
式中 λ为光源波长。距离光源 R处的相干面积
Ac可表示为
λ＝ L x 2＝ (Rλ/Δx)2 (1.1.19)
如果用 Δζ表示两缝间距对光源的张角，则 (1.1.18)式可写为
(Δx)2≤(λ/Δζ)2 (1.1.20)
上式的物理意义是：如果要求传播方向 (或波矢 k)限于张角 Δζ之内的光波是相干的，则
光源的面积必须小于 (λ/Δζ)2。因此,(λ/Δζ)2就是光源的相干面积，或者说，只有从面
积小于 (λ/Δζ)2的光源面上发出的光波才能保证张角在 Δζ之内的双缝具有相干性 (见图
1.1.4)
根据相干体积定义，可得光源的相干体积为
(1.1.21)
此式可同样理解为：如要求传播方向限于 Δζ之内并具有频带宽度 Δv的光波相干，
则光源应局限在空间体积 Vc s之内。
现在再从光子观点分析图 1.1.4。由面积为 (Δx)2的光源发出动量 P限于立体角
Δζ内的光子，因此光子具有动量测不准量，在 Δζ很小的情况下其各分量为
（ 1.1.22）
以为 Δζ很小，故有
Pz≈|P|
ΔPz≈Δ|P|=(h/c)Δv （ 1.1.23）
如果具有上述动量测不准量的光子处于同一相格之内，即处于一个光子态，
则光子占有的相格空间体积 (即光子的坐标测不准量 )可根据 (1.1.11)、
(1.1.22),（ 1.1.23）以及（ 1.1.21）式求得
（ 1.124）
上式表明，相格的空间体积和相干体积相等。如果光子属于同一光子态，
则他们因该包含在相干体积之内。也就是说属于同一光子态的光子是相干的
综上所述可得下述关于相干性的重要结论：
1．相格空间体积以及一个光波模或光子态占有的空间体积都等于相干体积。
2．属于同一状态助光子或同一模式的光波是相干的。不同状态的光子或不同模式
的光波是不相干的。
四光子简并度
具有相干性的光波场的强度 (相干光强 )在相干光的技术应用中，也是一个重要的
参量。一个好的相干光源应具有尽可能高的相干光强、足够大的相干面积和足够长的
相干时间．对普通光源来说增大相干面积、相干时间和增大相干光强是矛盾的。由
(1.1.17)和 (1.1.19)式可讯知，为了增大相干面积和相干时间，可以采用光学滤波来
减小 Δv，缩小光源线度或加光阑以减小 Δx以及远离光源等办法。但这一切都将
导致相干光强的减少。这正是普通光源给相干光学技术的发展带来的限制。例如光
全息技术，它的原理早在 1948年就被提出，但在激光出现之前一直没有实际应用，
其原因就在于此。而激光器却是一种把光强和相干性两者统一起来的强相干光源。
我们在后面将对此加以说明。
相干光强是描述光的相干性的参量之一。从相干性的光子描述出发，
相干光强决定于具有相干性的光子的数目或同态光子的数目。这种处于
同一光子态的光子数称为光子简并度 n。显然，光子简并度具有以下几种相同的含义，
同态光子数、同一模式内的光子数、处于相干体积内的光子数、
处于同一相格内的光子数。
1,2 光的受激辐射基本概念
光与物质的共振相互作用，特别是这种相互作用中的受激辐射过程是激光器的物
理基础。我们将在第四章和第八章中较详细地讨论这种相互作用的理论处理方法。
本节先给出基本物理概念。
受激辐射概念是爱因斯坦 首先提出的 (1917年 )。在普朗克 (Max P lanck)于 1900年
用辐射量子化假设成功地解释了黑体辐射分布规律，以及波尔 (Niele Bohr)在 1913年提
出原子中电子运动状态量子化假设的基础上，爱因斯坦从光量子概念出发，重新推导了
黑体辐射的普朗克公式，并在推导中提出了两个极为重要的概念：受激辐射和自发辐射
。四十年后，受激辐射概念在激光技术中得到了应用。
一,黑体辐射的普朗克公式
我们知道，处于某一温度 T的物体能够发出和吸收电磁辐射。如果某一物体能够完
全吸收任伺波长的电磁辐射，则称此物体为绝对黑体简称黑体。如因 1.2.1所示的空腔辐
射体就是一个比较理想的绝对黑体，因为从外界射入小孔的任何波长的电磁辐射都将在
腔内来回反射而不再逸出 腔外。物体除吸收电磁辐射外，还会发出电磁辐射，这种电磁
辐射称为热辐射或温度辐射。
1.1节中提到的普通光源就可以是一种热辐射光源
如果图图 I.2.所示的黑体处予某一温度 T的热平衡情况下，则它所吸收的辐射能量
应等于发出的辐射能量，即黑体与辐射场之间应处于能量 (热 )平衡状态。
显然，这种平衡必然导致空腔内存在完全确定的辐射场。
这种辐射场称为黑体辐射或平衡辐射。黑体辐射是黑体温度 T和辐射场频率 v的函数。
并用单色能量密度 ρv描述。 ρv定义为：单位体积内，频率处于 v附近的
单位频率间隔中的电磁辐射能量，其纲量为 J*m-3 *s.
为了从理论上解释实验所得的黑体辐射 ρv随 (T,v)的分布规律，
人们从经典物理学出发所作的一切努力都归于失败
后来，普朗克提出了与经典概念完全不相容的辐射能量量子化假设，
并在此基础上成功地得到了与实验相符的黑体辐射普朗克公式。
这一公式可表述为：在温度 T的热平衡情况下，黑体辐射分配到腔内每个模式上的
平均能量为
（ 1.2.1）
为了求得腔内模式数目，可利用 (1.1.8)。显然，腔内单位体积中频率处于 v附近
单位频率间隔内光波模式数 n v为：
于是，黑体辐射普朗克公式为
(1.2.2)
式中 K为玻尔兹曼常数，其数值为
K＝ 1.38062× 10-23J／ oC
二 受激辐射和自发辐射概念
(1.2.2)式表示的黑体辐射，实质上是辐射场 ρv和构成黑体的物质原子相互作用 的结
果。为简化问题，我们只考虑原子的两个能级 E2和 E 1并有
E2—E 1 = hv (1.2.3)
单位体积内处于两能级的原子数分别用 n2和 n1，表示，如图 (1.2.2)所示。
爱因斯坦从辐射与原于相互作用的量子论观点出发提出，相互作用应包含原子的
自发辐射跃迁、受激辐射跃迁和受激吸收跃迁三种过程。
自发辐射 [图图 1.2.3(a)]。
处于高能级 E2的一个原子自发地向 E1跃迁，并发射一个能量为 hv的光子。
这种过程称为自发跃迁。由原于自发跃迁发出的光子称为自发辐射。自发跃迁过程
用自发跃迁几率 A21描述。 A21定义为单位时间内 n2个高能态原子中发生
自发跃迁的原子数与 n2的比值：
（ 1.2.4）
式中 (d n21)sp表示由于自发跃迁引起的由 E2向 E1跃迁的原子数。
应该指出，自发跃迁是一种只与原于本身性质有关而与辐射场 Pv无关的自发过程。
因此 A21只决定于原子本身的性质。由 (1.2.4)式容易证明,A21就是原子在能级
E21的平均寿命 ηs的倒数，
因为在单位时间内能级 E2所减少的粒子数为
将 (1.2.4)式代入则得
由此式可得
式中
A21=1/ηs (1.2.5)
A21也称为自发跃迁爱因斯坦系数。
2．受激吸收 [图 1.2.3(b)]。
如果黑体物质原子和辐射场相互作用只包含上述自
发跃辽过程，是不能维持由 (1.2.2)式所表示的腔内辐射场的稳定值的。因此．
爱因斯坦认为必然还存在一种原子在辐射场作用下的受激跃迁过程，
从而第一次从理论上预测了受激辐射的存在。
处于低能态 E1的一个原于在频率为 v的辐射场作用 (激励 )下，吸收一个能量
为 hv的光子，并向 E2能态跃迁，这种过程称为受激吸收跃迁，并用受激跃
迁几率 W12描述：
（ 1.2.6）
式中,(d n12)st表示由于受激跃迁引起的由 E1向 E2跃迁的原子数。
应该强调，受激跃迁和自发跃迁是本质不同的物理过程，反映在跃迁几率上就是
A21只与原子本身性质有关；而 W12不仅与原子性质有关还与辐射场的 ρv成正比。
我们可将这种关系唯象地表示为
W12 = B12ρv (1.2.7)
式中，比例系数 B12称为受激吸收跃迁爱因斯坦系数，它只与原子性质有关。
3,受激辐射 〔 图 I.2.3(c)〕 。
受激吸收跃迁的反过程就是受激辐射跃。处于能级 E2d原子在频率为 v的辐射场作用下，
跃迁至低能级 E1 并辐射一个能量为 hv的光子。受激辐射跃迁发出的光波称为受激辐射。
受激辐射跃迁几率为
（ 1.2.8）
（ 1.2.9）
式中 B21为受激辐射跃迁爱因斯坦系数。由原子受激辐射跃迁发出的光于称为受激辐射。
三 A12 B21 B12的相互关系
现在根据上述相互作用物理模型分析空腔黑体的热平衡过程，从而导出爱因斯坦三
系数之间的关系。如前所述，正是由于腔内黑体辐射场 ρv与物质原子相互作用的结
果应该维持黑体处于温度为 T的热平衡状态。这种热平衡状态的标志是：
（ 1）腔内存在着由式 (1.2.2)式表示的热平衡黑体辐射。
（ 2）腔内物质原子数按能级分布应服从热平衡状态下的
波尔兹曼 (Ludwing Boltzman)分布
（ 1.2.10）
式中,f2和 f1分别为能级 E1和 E2的统计权重。
（ 3）在热平衡状态下,n2(或 nl)应保持不变，于是有
（ 1.2.11 ）
四 受激辐射的相干性
最后我们要强调指出受激辐射与自发辐射的极为重要的区别 ——相干性。如前所
述，自发辐射是原子在不受外界辐射场控制情况下的自发过程。因此，大量原子的自发
辐射场的相位是无规则分布的，因而是不相干的。此外，自发辐射场的传播方向
和偏振方向也是无规则分布的，或者如式 (1.2.1)和 (1.2.2)所表述的那样，
自发辐射平均地分配到腔内所有模式上。
受激辐射是在外界辐射场的控制下的发光过程，因而容易设想各原子的受激辐射的
相位不再是无规则分布，而应具有和外界辐射场相同的相位。在量子电动力学的基础上
可以证明：受激辐射光子与入射 (激励 )光子属于同一光子态；或者说，
受激辐射场与入射辐射场具有相同的频率、相位、波矢 (传播方向 )和偏振，
因而，受激辐射场与入射辐射场属于同一模式
图图 I.2.4示意地表示这一特点。
特别是，大量原子在同一辐射场激发下产生的受激辐射处于同一光波模或同一光
子态，因而是相干的。受激辐射的这一重要特性就是现代量子电子学
(包括激光与微波激励 )的出发点。以后将说明，激光就是一种受激辐射相干光。
受激辐射的这一特性在上述爱因斯坦理论中是得不到证明的，因为那里使用的
是唯象方法．没有涉及原子发光的具体物理过程。严格的证明只有依靠量子电动力学。
但是，原子发光的经典电子论模型可以帮助我们得到一个定性的粗略理解。
按经典电子论模型，原子的自发跃迁是原子中电子的自发阻尼振荡，没有任何外加
光电场来同步各个原子的自发阻尼振荡，因而电子振荡发出的自发辐射是相位无关的。
而受激辐射对应于电子在外加光电场作用下作强迫振荡时的辐射，电子强迫振荡的频率、
相位、振动方向显然应与外加光电场一致。因而强迫振动电子发出的受激辐射应与外加光
辐射场 具有相同的频率、相位、传播方向和偏振状态。
1,3 光的受激辐射放大
一 光放大概念的产生
在激光出现之前，科学技术的发展对强相干光源提出了迫切的要求，例如，光全息
技术和相干光学计量技术要求在尽可能大的相干体积或相干长度内有尽量强的相干光。
但是．正如 1,1中所指出的，对普通热光源来说上述要求是矛盾的。又如相干电磁波
源 (各种无线电振荡器、微波电子管等 )曾大大推动了无线电技术的发展，而无线电技
术的发展又要求进一步缩短相干电磁波的波长，即要求强相干光源。但是普通热光源的
自发辐射光实质上是一种光频“噪声”，所以在激光出现以前，无线电技术很
难向光频波段发展。
n
为进一步说明普通光源的相干性限制。我们来分析黑体辐射源的光子简并度
，它可由式 (1.2.1)求出：
（ 1.3.1）
按此式可计算与波长及温度的关系。例如，在室温 T＝ 300K的情况下，对 λ＝
30cm的微波辐射,≈103，这时可以认为黑体基本上是相干光源；对 λ＝ 60um的
远红外辐执,≈103，而对 λ＝ 0.6um的可见光,≈10-35，即在一个光波模内的
光子数是 10-35 个，这时黑体就是完全非相干光源。即使提高黑体温度也不可能
对其相干性有根本的改善。例如为在 λ＝ l微米处得到 ≈1，要求黑体温度高达
50 000K。可见，普通光源在红外和可见光波段实际上是非相干光源。
为了理解构成激光器的基本思想我们进一步分折 (1.3.1)式,它可改写为
（ 1.3.2）
n
n n
n
n
n
上式在物理上是容易理解的，因为受激辐射产生相干光子，而自发辐射产生非相干光
子。这个关系对腔内每一特定光子态或光波模均成立。从 (1.3.2)式出发，如果我们
能创造一种情况，使腔内某一特定模式 (或少数几个模式 )的 ρv大大增加，而其它所
有模式的 ρv 很小，就能在这一特定 (或少数几个 )模式内形成很高的光子简并度。也
就是说，使相干的受激辐射光子集中在某一特定 (或几个 )模式内，而不是均匀分配在
所有模式内。这种情况可用下述方法实现：如图图 l.3.1所示，
将一个充满物质原子的长方体空腔 (黑体 )去掉侧壁，只保留两个端面,如果端面壁。如果端
面壁对光有很高的反射系系数．则沿垂直端面的腔轴方向传播的光 (相当于少数几个模式 )
在腔内多次反射而不逸出腔外，而所有其它方向的光则很容易逸出腔外。此外，如果沿腔
轴传播的光在每次通过腔内物质时不是被光子吸收 (受激吸收 )，而是由于原子的受激辐射
而得到放大．那么腔内轴向模式的 ρv就能不断增强，从而在铀向模内获得极高的光子简并
度。这就是构成激光器的基本思想。
可以看出，上述思想包含两个重要部分：第一是是光波模式的选择，它由两块
平行平面反射镜完成，这实际上就是光学技术中熟知的法布里 —泊罗 (Fabry—Perot)
干涉仪，在激光技术中称为光谐振腔。第二是受激辐射放大，激光的英文缩写
名称 LASER(Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation)正反映了这
一物理本质。
顺便指出，激光器的上述基本思想，对于产生相干电磁波的传统电
子器件 (如微波电子管 )来说也是一种技术思想的突破。在传统的微波电子器件中，
使用尺寸可与波长相比拟的封闭谐振腔选择模式，利用自由电子和电磁波相互作
用对单摸电磁场进行放大。但是在力图缩短微波器件波长 (例如小于 1毫米 )的过程中，
继续沿用传统方法就遇到了极大的困难。首先是封闭谐振腔的尺寸必须小到不能实现
的程度，其次是使用普通自由电子束对光波进行有效的放大也是极其困难的。
激光器正是在这两方面突破了传统方法，即用开式谐振腔代替封闭谐振腔，
用原子中束缚电子的受激辐射光放大代替自由电子对电磁波的放大，从而为获得
光波段的相干电磁播源开辟了极其广阔的道路。
二 实现光放大的条件 ——集居数反转
下面讨论在由大量原于 (或分子 )组成的物质中实现光的受激辐射放大的条件。
在物质处于热平衡状态时，各能级上的原子数 (或称集居数 )服从玻耳兹曼统计分布：
为简化起见，式中已令 f2＝ f1。因 E2＞ E1，所以 n2＜ n1，即在热平衡状态下，高
能级集居数恒小于低能级集居数，如图图 1.3.2所示。当频率 v＝ (E2—E1)／ h的光通过物质
时，受激吸收光子数 n1 W12.恒大于受激辐射光子数 n2W21.。因此，处于热平衡状态下的
物质只能吸收光子。
但是，在一定的条件下物质的光吸收可以转化为自己的对立面 ——光放大。显然，
这个条件就是 n2>n1，称为集居数反转 (也可称为粒子数反转 )。一船来说当物质处
于热平衡状态 (B即它与外界处于能量平衡状态 )时，集居数反转是不可能的，只有当
外界向物质供给能量 (称为激励或泵浦过程 )，从而使物质处于非热平衡状态时，
集居数反转才可能实现。激励 (或泵浦 )过程是光放大的必要条件。典型激光器的集体
激烈过程在第九章中介绍。
三 光放大物质的增益系数与增益曲线
处于集居数反转状态的物质称为激活物质 (或激光介质 )。一段激活物质就是一个光放大
器。放大作用的大通小常用放大 (或增益 )系数 g来描述。如图图 1.3.3所示，
设在光传播方向上 z处的光强 I(z)(光强 I正比于光的单色能量密度 p)．则增益系数字义为
（ 1.3.3）
所以 g(z)表示光通过单位长度激活物质后光强增长的百分数。显然,dI(z)正比于
单位体积激活物质的净受激发射光子数
由上式可写为
（ 1.3.4）
所以
（ 1.3.5）
如果 (n2一 n1)不随 z而变化，则增益系数 g(z)为一常数 g0,(1.3.3)式为线性微分方程。
积分式（ 1.3.3）得：
（ 1.3.6）
式中,Is为 z＝ 0处的初始光强。造就是如图图 1.3.3所示的线性增益或小信号增益情况
。
但是，实际上光强 I的增加正是由于高能级原子向低能级受激跃迁的结果，或者说
光放大正是以单位体积内集居数差值 n2(z)一 n1(z)的减小为代价的。并且，光强 I越
大,n2(z)一 n1(z) 减少得越多，所以实际上 n2(z)一 n1(z)随 z的增加而减少。因而
增益系数 g(z)也随 z的增加而减小，这称为增益饱和效应。与此相应，我们可将单位
体积内集居数差值表示为光强 I的函数 (详见 4.5)：
（ 1.3.7）
式中,Is为饱和光强。在这里，可暂暂时 Is理解为为描述增益饱和效应而唯象引
入的参量。 n20一 n10为光强 I=0时单位体积内的初始集居数差值。从 (1.3.7)式出发,
我们可将式（ 1.3.5）改写为
（ 1.3.8）
或 （ 1.3.9）
式中,g0＝ g(I＝ 0)即为小信号增益系数。如果在放大器中光强始终满足条件 I,Is。
则增益系数 g(I)＝ g0.常级且不随 z变化,这就是 (1.3.6)式表示的小信号情况。反之，
在条件 I,Is不能满足时,(1.3.9)式表示的 g(I)称为大信号增益系数（或饱和增益系数）。
最后指出，增益系数也是光波频率 v的函数，表示为 g（ v,I）。这是因为能级
E1和 E2由于各种原因 (见第四章 )总有一定的宽度，所以在中心频率 v＝ (E2—E1)／ h
附近一个小范围 (± ?Δ v)内都有受激跃迁发生。 g(v,I)随频率 v的变化曲线称为
增益曲线,Δv称为增益曲线宽度．如图图 1.3.4所示。关于增益系数的详细讨论见第四章。
1,4光的自激振荡
上节所述的激光放大器在许多大功率装置中广泛地 用来 把 弱的激光束逐级放大。但
是在更多的场合下须要使用激光自激振荡器，通常所说的激光器就是指激光自激振荡器。
一 自激振荡概念
在光放大的同时，总是还存在着光的损耗，我们可以引入损耗系数 α来描述。
α定义为光通过单位距离后光强衰减的百分比，它表示为
（ 1.4.1）
同时考虑增益和损耗，则有
（ 1.4.2 ）
假设有微弱光（光强为 I0）进入 一 无限长放大器。起初，光强
I(z)将按小信号放大规律增长，但是随 I(z)的增加,g(I)将由于饱和效应而按 (1.3.9)
式减小，因而 I(z)的增长将逐渐变缓。
最后，当 g(I)＝ α时,I(z)不再增加并达到一个稳定的极限值 Im (见图 1.4.1).
根据条件 g(I)＝ α可求得 Im 为
即
（ 1.4.3）
可见,Im只与放大器本身的参数有关而与初始光强 I。无关，特别是，不管初始 I。多
么微弱．只要放大器足够长，就总是形成确定大小的光强 Im，这实际上就是
自激振荡的概念。这就表明，当激光放大器的长度足够大时，它可能成为一
个自激振荡器。
实际上，我们并不须要真正把激活物质的长度无限增加，而只要在具有大就有可能在轴
向光波模上产生光的自激振荡，这就是激光器。一定长度的光放大器两端放置如 1.3节所述
的光谐振腔。这样，轴向 光波模 就能在反射镜间往返传播，就等效于增加放大器长度。
光谐振腔的这种作用也称为光的反馈。由于在腔内总是存在频率在 v。附近的微弱的自
发辐射光 (相当于初始光强 I。 )，它经过多次受激辐射放
综上所述，一个激光器应包括光放大器和光谐振腔两部分，这和 1.3节所述
构成激光器的基本思想是一致的。但对光腔的作用则应归结为两点：
1．模式选择，保证激光器单模 (或少数铀向模 )震荡，从而提高激光器的相干性。
2．提供轴向光波模的反馈。
应该指出，光腔的上述作用虽然是重要的，但并不是原则上不可缺少的。
对于某些增益系数很高的激活物质，不需要很长的放大器就可以达到 (1.4.3)式
所示的稳定饱和状态，因而往往不用光谐振腔 (当然在相干性上有所损失 )。
关于这一问题将在 6.5节详细讨论。
二 振荡条件。
一个激光器能够产生自激振荡的条件，即任意小的初始光强 I。都能形成确定大小
的腔内光强 I。的条件可从 (1.4.3)式求得：
这就是激光器的振荡条件。式中 g0为小信号增益系数； α为包括放大器损耗和谐
振腔损耗在内的平均损耗系数。
当 g0=α时，称为阈值振荡情况，这时腔内光强维持在初始光强 I。的极其微弱的
水平上。当 g0>α时，腔内光强 Im就增加，并且 Im正比于 (g0—α)。可见增益和损
耗这对矛盾就成为激光器是否振荡的决定因素。特别应该指出，激光器的几乎一切特
性 (例如输出功率、单色性、方向性等 )以及对激光器采取的技术措施 (例如稳频、选
模、锁模等 )都与增益和损耗特性有关。因此工作曲物质的增益特性和光腔的损耗特性
是掌握激光基本原理的线索。
振荡条件式（ 1.4.4）有时也表示为另一种形式。设工作物质长度为 l，光腔长度
为 L,令 αL＝ δ称为光腔的单程损耗．．振荡条件可写为
g0l≥δ (1.4.5)
g0l称为单程小信号增益。
1.5激光的特性
从前几节所述的概念中可以预见到．激光器一定具有和普通光源根不相同的特性。
第一台红宝石激光器从实验上很典型地显示了这一点。图图 1.5.1给出第一台红宝石激光
器在疝灯光强低于振荡阈值和高于振荡阈值时的不同光束特性。显然，前者是普通光，
死后者是激光。这免冠灯光强的量壹在一定的关节点 (阂值 )上引起光束特性的质
变。
图 1.5.1 (a)表示光谱仪观察到的激光谱线变窄，或光的频带宽度 Δv的减小，这
就是激光的单色性。
图图 1.5.1(b)表示在激光器输出反射镜面上放置双缝光阑时，激光
可以形成清晰的干涉图象，而自发辐射光却不能形成干涉，这就是激光的空间相干性。
图图 1.5.1（ c)表示激光沿光腔轴向传播，并具有很好的方向性，而普通光向各个方向
传播。
固 1.5.1(d)表示从荧光 (自发辐射 )向激光转变时，光强急剧增加，这就是
激光的高强度。所有这些现象都可以在本章前几节所述概念的基础上得到定性的解释。
以上所述，一般通称为激光的四性：单色性、相干性、方向性和高亮度。实际上，
这四性本质上可归结为 一性，即激光具有很高的光子简并度。也就是说，激光可以在很
大的相干体积内有很高的相干光强。激光的这一特性正是由于受激辐射的本性和光腔的
选模作用才得以实现的。以下我们将激光的相干性分为空间相干性、时间相干性和相干
光强 3方面讨论。
一, 激光的空间相干性和方向性
光束的空间相干性和它的方向性 (用光束发散角描述 )是紧密联系的。对于普通
光源，从 (1.1.20)式 可以看出，只有当光束发散角小于某一限度，即 Δζ≤λ／ Δx时．
光束才具有明显的空间相干性。例如，一个理想的平面光波是完全空间相干光，同时它
的发散角为零。
对于激光器也有类似的关系。通常把光波场的空间分布分解为沿传播方向 (腔轴方
向 )的分布 E(z)和在垂直于传播方向的横截面上的分布 E(x,y)。因而光腔模式可
以分解为纵模和横模。它们分别代表光腔 模式的纵向 (腔铀方向 )光场分布和横向光场
分布，用符号 TEMmn标志不同横摸的光 场分布。 TEM代表光波是横电磁,m,n分
别表示在 x和 y方向 (轴对称情况 )光场 通过零值的次数。 TEM。。模称为 基 模，其他称
为高次模。激光束的空间相干性和方向性都与激光的横模结构相联系。
如果激光是 TEM。。单横模结构，则如 1.1所述，同一模式内的光波场是空间相干的，
而另一方面．单横模结构又具有最好的方向性。反之，如果激光是多横模结构，
由于不同模式的光波场是非相干的，所以激光的空间相干性程度减小，
而另一方面多横模就意味着方向性变差 (高次模发散角 加大 )。
这表明，激光的方向性越好，它的空间相干性程度就越高。
激光的高度空间相干性在物理上是容易理解的。以平行平面腔 TEM。。单横模激光
器为例，工作物质内所有激发态原于在同一 TEM。。模光波场激发 (控制 )下受激辐射，
并且受激辐射光与激发 光波场 同相位、同频率、同偏振和同方向．即所有原子的受激
辐射都在 TEM。。模内，因而激光器发出的 TEM。。模激光束接近于 沿 腔铀传播
的平面波即接近于 完全空间 相干光 并具有很小的光束发散角。
由此可见，为了提高激光器的空间相干性，首先应限制激光器工作在 TEM。。单横
模；其次，合理选择光腔的类型以及增加腔长以利于提高光束的方向性。另外，
许多实际因素，如工作物质的不均匀姓、光腔的加工和调整误差等都会导致方向性变差。
激光所能达到的最小光束发散 角还要受到衍射效应的限制，它不能小于激光通过输
出孔径时的衍射角 ζm。 ζm称为衍射极限。设 光腔输出孔径为 2α，则衍射极限 ζm为
ζm≈λ/2α [rad] （ 1.5.1）
例如对氨氖气体激光器,λ＝ 0.63微米，取 2α＝ 3毫米，则 ζm≈2*10-4 弧度。
不同类型激光器的方向性差别很大，它与工作物质的类型和均匀性、光腔类型和腔
长、激励方式以及激光器的工作状态有关，气体激光器由于工作物质有良好的均匀性．
并且 腔长一般较大，所以有最好的方向性，可达到 ζ m≈10-3弧度,He—Ne激光器甚至
可达 3x10-4 弧度，这已十分接近其衍射极限 ζm。固体激光器方向性较差．
一般在 10-2弧度量级。其主要原因是，有许多因素造成固体材料的光学非均匀性，
以及一般固体激光器使用的腔 长 较短和激励的非均匀性等，半导体激光器的方向性最差，
一般在 (5～ 10)xI0-2。弧度量级。
激光束的空间相干性和方向性对它的聚焦性能有重要影响。可以证明，当一束发散
角为 ζ的单色光被焦距为 F的透镜聚焦时，焦面光斑直径 D为
D=Fζ (1.5.2)
在 ζ等于衍射极限 ζm。的情况下，则有
Dm≈Fλ/2α (1.5.3)
这表示在理想情况下，有可能将激光的巨大能量聚焦到直径为光波波长量级的光斑上，
形成极高的能量密度。
三 时间相干性和单色性
激光的相干时间 ηc和单色性 Δv存在简单的关系：
ηc=1/Δv
即单色性越高，相干时间越长。
对于单横模 (TEM。。 )激光器，其单色性取决于它的纵
模 结构和模式的频带宽度。如果激光在多个纵模上振荡，则由第二章可知，激光由多个
相隔 Δv q(纵模间隔 )的不同频率的光所组成，故单色性较差，如图图 l.5.2所示。
理论分析证明，单程激光器的谱线宽度 Δv s极窄 (见第五章 )。例如。对单模输出功率 P。
＝ 1mM的 He—Ne激光器．取 δ＝ 0,01,L＝ 1m，则 Δv s ≈5Xl0-4Hz，这 显然
是极高的单色性。但实际上很难达到达一理论极限。在实际的激光器中，有一系列不稳
定因素 (如温度、振动、气流、激励等 )导致光腔谐振频率的不稳定，因此单纵模激光器的
单色性主要由其频率稳定性决定。
单模稳频气体激光器的单色性最好，一般可达 106一 103,在采用最严格稳频措施
的条件下，曾在 He—Ne 激光器中观察到约 2Hz的带宽。固体激光器的单色性较差，主
要是因为工作物质的增益曲线很宽，故很难保证单纵模工作。半导体激光器的单色性
最差。
练上所述，激光器的单模工作 (选模技术 )和稳频对于提高相干性十分重要，一个
稳频的 TEM。。单纵模激光器发出的激光接近于理想的单色平面光波，即完全相干光。
三 激光的高亮度 (强相干光 )
提高输出功率和效率是发展激光器的重要课题。目前，气体激光器 (如 CO2)能产
生最大的连续功率，固体激光器能产生最高的脉冲功率，尤其是采用光腔 Q调制技术和
激光放大器后，可使激光振荡时间压缩到极小的数值 (例如 10-9s量级 )，从而获得极高
的脉冲功率。进一步压缩激光脉宽，还可采用锁模技术，可使脉宽达到 10-15秒。
尤其重要的是激光功率（能量）可以集中在单一（或少数）模式中，因而具有极高的光
子简并度。这是区别普通光的重要特征。
充分利用本节所描述激光器的所有特性，即高单模功率，高单色性和方向性，
可获得极高的功率密度。例如，将一个千兆瓦级（ 109W）的调 Q激光脉冲聚焦
到直径为 5um的光斑上，则所获得的功率密度可达 1015W/cm2。这是普通光源根本
无法达到的
第二章 开放式光腔与高斯光束
本章将讨论光腔模式问题。模式问题在激光技术中具有重要的理论和实践意义。它
是理解激光的相干性、方向性、单色性等一系列重要特性，进行激光器件的设计和装调的
基础，也是研究和掌握激光本技术和应用的基础。 ‘
根据几何偏折损耗的高低．开放式 光腔可以分为稳定腔和非稳腔。稳定腔的几何偏折
损耗很低，绝大多数中、小功率器件都采用稳定腔。稳定腔的模式理论是腔模理论中比较
成熟的部分。由于稳定 腔应用广泛，其模式理论具有最广泛、最重要的实践意义
稳定腔 模式理论是以共焦 腔模的解析理论为基础的。由解析理论得出，对方形镜共焦
腔，镜面上的场分布可用厄米 —高斯函数表示．而对圆形镜共焦 腔，镜面上的场由拉盖尔
—高斯函数描述。并且整个腔内 (以及腔外 )空间中的场都可以表示为厄米 —高斯光束或拉
盖子尔 ---高斯光束的形式。据此，共焦腔振荡模的一系列基本持征都可以解析地表示出来。
在高斯光束传输规律的基础上，可以建立一般 (非共焦的 )稳定球面腔与共焦腔之间的等价
性从而进一步将共焦腔 模式解析理论的结果推广到一般稳定球面腔，解决应用最广的这
一大类谐振腔的模式问题。
采用稳定腔的激光器所发出的激光，将以高斯光束的形式在空间传输。因此，研究高
斯光束在空间的传输规律．以及光学系统对高斯光束的变换规律，就成为激光的理论和
实际应用中的重要问题。本章将讨论最简单和最基本的情形，即高斯光束在自由空间
(以及均匀各向同性介质 )中的传输和简单透镜 (或球面反射镜 )系统对高斯光束的变换。
稳定腔虽有损耗低的优点，但它不适用于某些高功率激光器。这些激光器要实现高功
率基横模运转，以便有尽可能高的输出功率和尽可能好的光束质量。稳定腔内基横模的模
体积太小，且与反射镜镜面尺寸无关。这意味着增大激活介质的横向尺寸无助于激光器输
出功率的提高．反而容易导致激光器的多横模运转，降低输出光束的质量。所以稳定腔无
法运用于上述情形。非稳腔却能同时满足这两个要求 ——高输出功率和良好光束质量。
非稳腔的损耗主要是傍轴光线的发散损耗，单程损耗很高，可达百分之几十。为获得
高功率输出，工作物质的横向尺寸拄往较大，因此衍射损耗可以忽略，可以采用几何光学
的分析方法。几何光学分析方法表明非稳腔曲线上仅存在一对共扼象点，非稳腔中的基模
就是从这一对共扼象点发出的自再现球面被。运用几何光学分析方法还可给非稳腔的
损耗特征及输出光束特征。
2,1 光腔理论的一般问题
一 光腔的构成和分类
在激活物质的两端恰当地放置两个反射镜片，就构成一个最简单的光学谐振腔。
在激光技术发展历史上最早提出的是所谓平行平面腔，它由两块平行平面反射镜组
成。这种装置在光学上称为法布里 —珀罗干涉仪，简记为 F—P腔。随着激光技术的发展，
以后又广泛采用由两块具有公共轴线的球面镜构成的谐振腔，称为共铀球面腔，其中有
一个反射镜为 (或两个都为 )平面的腔是这类腔的特例。从理论上分析这类 腔时，通常
认为其侧面没有光学边界 (这是一种理想化的处理方法 )．因此将这类谐振腔称为开放式
光学谐振腔，或简称开腔。根据光学几何逸出损耗的高低，开腔通常又可分为稳定腔、
非稳腔和临界腔三类。气体激光器是采用开腔的典型例子。
固体激光器的情形与此有所不同。由于固体激光材料通常都具有比较高的折射率
(例如，红宝石的折射率为 1,76)，在侧壁磨光的情况下．那些与轴线交角不太大的光
线将在侧壁上发生全内反射。因此，如果腔的反射镜紧贴着激光棒的两端，则将
形成类似于微波技术中所采用的“封闭腔。从理论上分析这类腔时，应将它们作为介质
腔来处理。但是，通常的固体激光器的激光棒与腔反射镜往往是分离的，
这时，如果棒的直径远比激射波长大，而棒的长度又远比两腔镜之间的距离短，
则这种腔的特性基本上与开腔类似。半导体激光器是使用介质腔的典型例子，
而且腔的横向尺寸往往与波长可以比较，因此．这是一种真正的介质波导腔。
另一种光腔是所谓气体波导激光谐振腔，其典型结构是在一段空心介质波导管两端
适当位置处放置两块适当曲率的反射镜片。这样，在空心介质波导管内，场服从波导管
中的传输规律，而在波导管与腔境之间的空间中，场按与开腔中类似的规律传播。这种
腔与开腔的差别在于：波导管的孔径往往较小 (虽然通常仍远比波长为大 )，以致不能忽
略侧面边界的影响。
几种类型的光腔的典型结构如图图 2.1.1所示，腔的大致分类如表表 2.1。
由两个以上的反射镜构成谐振腔的情况也是常见的，折叠胜和环形腔就是这类谐振
腔的例子。
光学谐振腔的构成方式还很多，在由两个或多个反射镜构成的开腔内插入透镜一类
光学元件而构成复合 腔就是一例。除了前面讲过的端面反馈的谐振腔 外，近年来又发展
了分布反馈式谐振腔，在半导体激光器及集成光学中已采用这类谐振腔。
谐振腔 可以按不同的方法分类，如分为端面反馈腔与分布反馈腔，球面腔与非球面
腔．高损耗腔 与低损耗强，驻波腔与行波腔，两镜腔与多镜腔，简单腔与复合腔等。在
本书中，我们只讨论由两个球面镜构成的开放式光学谐振降，因为它们是最简单相最常
用的。同时，折叠腔、环形腔、复合腔等比较复杂的开腔往往可以化为等效的两镜腔来
处理。
近年来，由于半导体激光器及气体波导激光器的迅速进展与走向实用，介质波导腔
与气体空心波导腔在理论上以及实践上都变得日益重要。
二 模的概念 腔与模的一般联系
无论是 闭腔或是开腔，都将对腔内的电磁场施以一定的约束。一切
被约束在空间有限范围内的电磁场都将只能存在于一系列分立的本征状态之中，
场的每一个 本征态 将具有一定的振荡频率和一定的空间分布。在激光技术的术语中，
通常将光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式。从光子的观点来看，
激光模式也就是腔内可能区分的光子的状态。
腔内电磁场的本征态应由麦克斯韦方程组及腔的边界条件决定。由于不同类型和结
构的谐振腔 边界条件各不相同，因此谐振腔的模式也将各不相同。对闭腔一般可以通
过直接求解麦克斯韦方程组来决定其模式，而寻求开胶模式的问题通常归结为求解一
定类型的积分方程。但不管是 闭腔还是开腔．一旦给定了降的具体结构，则 其中振荡模
的特征也就随之确定下来，这就是腔与模的一般联系。实际上，光学谐振腔理论也就
是激光模式理论。我们的目的是弄清楚激光模式的基本特征及其与腔的结构之间的具
体依赖关系。所谓模的基本特征，主要指的是：每一个摸的电磁场分布，特别是在腔
的横截面内的场分布；模的谐振频率；每一个模在腔内往返一次经受的相对功率损耗；
与每一个模 相对应的激光束的发散角。只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模
的上述特征。
在进入严格的模式理论以前，本节利用均匀平面波模型讨论开腔中傍轴传播模
式的谐振条件，建立关于纵模频率间隔的普遍表示式。这一表示式对各种类
型的开腔甚至闭腔都基本上是正确的。
考察均匀平面波在 F—P腔中沿轴线方向往返传播的情形。当波在腔镜上反射时，
入射波和反射波将会发生干涉，多次往复反射时就会发生多光束干涉。为了能在腔
内形成稳定振荡，要求波能因干涉而得到加强。发生相长干涉的条件是：波从某一
点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相
(即相差为 2л的整数倍 )。
如果以 ΔΦ表示均匀平面波在腔内往返一周时的相位滞后，则相长干涉条件可以表为
（ 2.1.1）
式中 λ0为光在真空中的波长,L‘为腔的光学长度,q为整数。
将满足上式的波长以 λ0q来标记，则有
（ 2.1.2）
上式也可以用频率 v q =c/λ0q来表示：
（ 2.1.3）
上述讨论表明,L‘一定的谐振腔只对频率满足式 (2.1.3)的光波才能提供正反蚀，使
之谐振。式 (2.1.2)、式 (2.1.3)就是 F—P腔中沿抽向传播的平面波的谐振条件。
满足 (2.1.2)式的 λ0q称为腔的谐振波长，而满足式 (2—1—3)的 vq称为腔的谐振频率。
该式表明,F—P腔中的谐振频率是分立的。
式 (2—1—1)通常又称为光腔的驻波条件，因为当光的波长和腔的光学长度满足该关式时，
将在腔内形成驻被。式 (2—1—2)表明，达到谐振时，腔的光学长度应为半波长的整数倍。
这正是腔内驻波的特征。
当整个光腔内充满折射率为 ε的均匀物质时，有
（ 2.1.4）
式中 L为腔的几何长度 (简称腔长 )。此时，式 (2—1—2)可以写成
L=qλq/2 （ 2.1.5）
式中 /λq＝ λ0q／ ε为物质中的谐振波长 (见图图 2—1—2)。
可以将 F—P腔中满足式 (2—1—3)的平面驻波场称为腔的本征模式。其特点是：在腔
的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向 (纵向 )形成驻波，驻波的波节数由 q决定
。通常将由整数 q所表征的腔内纵向场分布称为强的纵模。不同的 q值相应于不同的纵摸。
在这里所讨论的简化模型中，纵摸 q单值地决定摸的谐振频率。
腔的相邻两个纵模的频率之差 Δvq称为纵摸间隔。由式 (2—1—3)得出
（ 2.1.16）
可以看出,Δvq与 q无关，对一定的光腔 为一常数，因而腔的纵摸在频率尺度上是
等距离排列的，如图图 2—1—3所示。其形状象一把梳子，常常称为“颇率梳”．
图中每一个纵模均以具有一定宽度 Δvc的谱线表示。
对 L＝ 10cm的气体激光器 (设 ε=1)，由式 (2—1—6)得出
Δv q＝ 1.5× 10 9Hz
对 L＝ 100cm的气体激光器
Δvq＝ 1.5× 10 8Hz
对 L＝ 10cm,ε=1.76的红宝石激光器
Δvq＝ 8.5× 10 8Hz
上述例子给出了纵模间隔的数量概念。腔长 L越小，纵模间隔越大。
应该指出，微波谐振腔的尺寸通常与工作波长具有相同的数量级，在腔中往往只
激发最低阶的本征模式 (在微波技术中又称为波形 )；而光频谐振腔的尺寸一般远远大
于波长，因而总是工作在极高次的谐波上，即式 (2—1—2)和式 (2—1—3)中的整数 q通
常为一个大的整数，一般具有 104～ 105的数量级。
三，光腔的损耗
损耗的大小是评价谐振腔的一个重要指标，也是腔模理论的重要研究课题。
光学的损耗大致包括如下几个方面：
（ 1）几何 偏拆 损耗。 光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出去，
这种损耗为几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺寸。例如，
稳定腔内傍抽光线的几何损托应为各零，非稳腔则有较高的几何损耗。以非稳腔而论，
不同几何尺寸的非稳腔 其损耗大小亦各不相同。其次，几何损耗的高低依模式的不同而异。
比如同一平行平面腔内的高阶横模由于其传播方向与铀的夹角较大，因而其几何损耗
也比低阶横模为大。
(2)衍射损耗。由于腔的反射镜片通常具有有限大小的孔径，因而当光在镜面
上发生衍射时，必将造成一部分能量损失。本节以及本书 后面几章的分析表明，
衍射损耗的大小与腔的菲涅耳数 N＝ α2／ Lλ有关，与腔的几何参数 g有关，
而且不同横模的衍射损耗也将各不相同。
(3)腔镜反射不完全引起的损耗。它包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗，通常的光
腔至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率还可以很高 (例如，某些固体激光器的
铀输出透射率可以＞ 50％ )，另一个反射镜即使通常称为“全反射”镜，其反射率也不
可能做到 l00％。
(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物 (如布儒斯特窗、调 Q元件、调制器等 )
所引起的损耗，等等。
上述（ 1）（ 2）两种损耗常常又称为选择损耗，因为不同模式的几何损耗与衍射
损耗各不相同。（ 3）（ 4）两种损耗称为非选择损耗，在一般情况下它们对
各个模式都一样。
不论损耗的起源如何，我们部可以引进一个“平均单程损耗因子” δ i来定量地加以
描述。该因子的定义如下：如果初始出发时的光强为 I。，在无源腔内往返一次后，
光强衰减为 I1，则
I1=I0e-2δ （ 2.1.7）
由此得出
δ=?ln（ I0/ I1）
如果损耗是由多种因素引起的，每一种原因引起的损耗以相应的损耗因子 δi 描述，
则有
I1=I0e-2δ1e-2δ2e-2δ3…..= I 0e-2δ （ 2.1.8）
式中
δ＝ ∑δ i=δ1 + δ2 + δ3 + …….,(2.1.9)
δ表示由各种原因引起的总损耗因子，它为相应的各个损耗因子的总和。
也可用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子 δ‘
2δ‘＝（ I0—I1） / I0 (2.1.10)
显然，当损耗很小时，这样定义的单程损耗因子 δ‘与前面定义的指数损耗因子
δ是一致的。
显然，当损耗很小时，这样定义的单程损耗因子 δ‘与前面定义的指数损耗因子 δ
是一致的。
1．光子在腔内的平均寿命
由式 (2—1—7)不难求得，初始光强为 I。的光束在腔内往返 m次后光强变为
（ 2.1.11）
如果取 t＝ 0时刻的光强为 I。，则到 t时刻为止光在腔内往返的次数 m应为
（ 2.1.12）
将（ 2.1.12）代入（ 2.1.11）就可以求得 t时刻的光强为
（ 2.1.13）
式中
（ 2.1.14）
称为腔的时间常数，是描述光腔性质的一个重要参数。从式 (2—1—13)看出，当 t=ηR 时
I(t)＝ I。 /e (2—1—15)
上式表明了时间常数 η的物理意义 ——经过 ηR时间后，腔内光强衰减为初始值的
1／ e。从式 (2—1—14)看出 δ愈大 ηR愈小，说明腔的损耗愈大，腔内光强衰减得愈快。
可以将 ηR解释为“光子在腔内的平均寿命”。设 t时刻腔内光子数密度为 N,N与光强
I(t)的关系为
I（ t） = Nhvv (2..1.16)
式中 v为光在谐振腔中的传播速度。将式（ 2.1.16）代入（ 2.1.13）中得出
（ 2.1.17）
式中 No表示 t =0时刻的光子数密度。上式表明,由于损耗的存在,腔内光子数密度将
随时间依指数规律衰减,到 t =ηR时刻衰减为 No的 1/eo。 在 t ~t +dt时间内减少的光
子数密度为
这 (-dN)个光子的寿命均为 t,即在 0~t这段时间内它们存在于腔内,而再经过无限小
的时间间隔 dt后，它们就不在腔内了，由此可以计算出所有 N0个光子的平均寿命为
(2.1.18)
这就证明了腔内光子的平均寿命为 ηR腔的损耗愈小,ηR就愈大，腔内光子的平均寿命
就愈长
2．无源谐樱腔的 9值
无论是 LC振德国路、微波谐振腔、还是光颊谐振腔，都采用品值因素 Q标志腔的特
性。谐振腔 Q值的普遍定义为
δ——储存在腔内的总能量；
P——单位时间内损耗的能量，
v—— 腔内电感场的振荡频率；
W=2лv——场的角频率。
（ 2.1.19）
如果以 V表示腔内震荡光束的体积，当光子在腔内均匀分布时腔内总储能 δ为
（ 2.1.20）
单位时间中光能的减少 (即能量损耗率 )为
（ 2.1.21）
由式 (2—1—17)及式 (2—I—19) ～ (2—1—20)经简单运算后得出
(2.1.22)
式 (2—1—22)就是光频谐振腔 Q值的一般表示式。由此式可以看出，
腔的损耗愈小,Q值意高。
3．损耗举例
(1)由镜反射不完全所引起的损耗
以 r1和 r2分别表示腔的两个镜面的反射率 (即功率反射系数 )，则初始强度为 I。的
光，在腔内往返一周经两个镜面反射后，其强度 I1应为
I1＝ I。 r1 r2
按 δ的定义，对由镜面反射不完全所引入的损耗系数 δr应有
I1＝ I。 r1 r2= I。 e-2δr
由此
2.1.23
（ 2.1.24）
当 r1≈r2时，有
δr≈[（ 1-r1） +（ 1-r2） ]/2 （ 2.1.25）
(2)腔镜倾斜时几何损耗
当平面腔的两个镜面构成小的角度 β（见图 2.1.4)时，在两镜面间经有限次往返后必将逸出
腔外。设开始时光与一个镜面垂直,则当先在两镜面间来回反射时，入射光与反射光的夹
角 ζi依次为 2β4β6β8β------，每往返一次,沿腔面移动距离 Lζi。设光在腔内 m次后才逸出腔
外，则有
式中 D为平面腔的横向尺寸 (直径 )。
利用熟知的等差级数求和公式,由上式得出
（ 2.126）
注意到往返一次所需时间为 to≈2L'/c,即可求出腔内光子的平均寿命 ηβ。及相应的 δβ
(2.1.27)
在写出上式时已假设 L?=εL.式 (2.1.27)表明,倾斜腔的损耗与 β,L,D均有关,且随 L的增大
及 D的减小而增加。以 D =1cm,L =1m计算,为了保持 δβ〈 0.1必须有
如果要求损耗低于 0.01,则应有
上式给出平行平面腔所能容许的不平行度,它表明平行平面腔的调整精度要求极高,
(3)衍射损耗
由衍射引起的损耗随腔的类型、具体几何尺寸及振荡模式而不同,是一个很复杂的问题
。这里只就均匀平面波在平面孔径上的夫琅和费 (Fmunhofer)衍射对腔的损耗作一粗略
的估计。
考虑如图 2.1.5所示的孔阑传输线,
它等效于孔径为 2α的平面开腔。均匀平面波入射在半径为 a的第一个圆形孔径上,穿
过孔径时将发生衍射,其第一极小值出现在：
（ 2.1.28）
方向。如果忽略掉第一暗环以外的光,并假设在中央亮斑内光强均匀分布,则射到第二
个孔径以外的光能与总光能之比应等于该孔阑被中央亮斑所照亮的孔外面积与总面
积之比，即
（ 2..1.29）
式 (2·1·29)描述由衍射所引起的单程能量相对损耗百分数 δ?d。当衍射损耗不太大
时,δ?d应与平均单程指数衍射损耗因子 δd相等
（ 2.1.30）
式中
（ 2.1.31）
称为腔的菲涅耳数,即从一个镜面中心看到另一个镜面上可以划分的菲涅耳半周期
带的数目（对平面波言） N是衍射现象中的一个特征参数,表征着衍射损耗的大小
。
应该指出,在上述推导中我们首先假设均匀平面波入射在半径为 α的孔径上,在计
算能量损耗时,又认为在中央亮斑范围内光能是均匀分布的,且略去了各旁瓣的贡献
,这些假定是不够精确的。由此计算得出的衍射损耗比实际腔模的衍射损耗高得多
。但这种简化分析揭示了 δd与 N的关系,即衍射损耗随腔的菲涅耳数的减小而增大,
这一点对各类开腔都有普遍的意义。至于 δd与 N的定量依赖关系,只有借助于严格
的波动分析才能正确解决
2.2共轴球面腔的稳定性条件
利用几何光学的光线矩阵分析方法,根据开腔中光的几何偏折损耗的高低,可以对开
腔加以科学的分类。本节介绍这一方法。
一、腔内光线往返传播的矩阵表示
用几何光学方法分析谐振腔的实质是研究光线在腔内往复反射的过程 ;考察图
2.2.1所示的共轴球面腔,该腔由曲率半径为 RI和 R2的两个球面镜 MI和 M2构成。
它们相距为 Lo两镜面曲率中心的连线构成系统的光轴,谐振腔的腔长即为 Lo
下面分析傍轴光线在这种腔内往返传播的过程 o
.腔内任 → 傍轴光线在某一给定的横截面内都可以由两个坐标参数来表征,一个是光
线与轴线的夹角 r，另一个是光线与轴线的夹角 ζ。我们规定,光线出射方向在腔轴线
的上方时,ζ为正，反之,ζ为负。
设开始时光线从 MI面上出发,向 M2方向行进,其初始坐标由参数 r1和 ζ1表征,
到达 M2面上时,上述两参数 r1和 ζ1变成 r2,ζ2。 由几何光学的直进原理可知
（ 2.2.1）
该方程可以表示为下述矩阵形式,
（ 2.2.2）
即我们用一个列矩阵 描述任一光线的坐标,而用一个二阶方阵
描述当光线在自由空间中行进距离 L时所引起的坐标变换。式 (2.2.2)的右端表示两
个矩阵的乘积。按矩阵的乘法规则,若 Aik Bkj,Cij分别表示三个矩阵 A,B,C的矩
阵元素,且满足关系式
Cij=Aik Bkj （ 2.2.4）
则称矩阵 C为矩阵 A和 B的乘积,记为 C =AB。式（ 2.2.4）的右端对重复的下标 k求
和。
在球面镜上发生反射时,根据球面镜对傍轴光线的反射规律有
式中 ri ζi——入射光线在镜面上的坐标参数，
r0 ζ0——反射光线在镜面上的坐标参数；
R——球回镜的曲率半径。对凹面镜 R取正值，对凸面镜 R取负值。
式 (2.2.5)中第一式显然成立,而第二式可推导如下 (见图 2.2.2):
其中 a表示入射光与球面镜法线之间的夹角。在傍轴近似下有
将此式代如前一式就得出式（ 2.2.5）的第二式
式（ 2.2.5）也可以表示为矩阵式
式中
为球面镜对傍轴光线的变换矩阵,称为球面镜的反射矩阵,其中 R为球面镜的曲率半径,
而 f=R/2为球面镜对傍轴光线的焦距。容易证明,球面镜对傍轴光线的反射变换与焦距为
f=R/2的薄透镜对同一傍轴光线的透射变换是等效的,只是在前一种情况下将引起光线传播
方向的折转。在此基础上,可以将球面镜腔等效为周期透镜波导。
回到光线在腔内传播的情形 (图 2.2.1)。当光线在曲率半径为 R2的镜 M2上反射时,有
当光线再从镜 M2行进到镜 M1面上时,又有
然后又在 MI上发生反射
至此,光线在腔内完成一次往返。其总的坐标变换为
式中
为傍轴光线在腔内往返一次的总变换矩阵,称为往返矩阵,T是四个变换矩阵的乘积。
上式表明连续施行 TL,TR2,TL TR1叫四个变换的结果等效于由矩阵 T所表示的一个变换。
按矩阵的乘法规则 (2.2.4),可以求出
在上述分析的基础上，可进一步将光线在腔内经 n次往返时其参数的变换关系以矩
阵的形式表示为
式中 Tn为 n个往返矩阵 T的乘积； (rn,ζn)为经 n次往返后光线的坐标参数 ;(rl,ζ1)
为初始出发时光线的坐标参数。
按照矩阵理论可以求得
式中
利用式 (2.2.15),可将式 (2.2.14)写成
式 (2.2.11)~式 (2.2.17)就是我们用几何光学方法分析傍轴光线在共轴球面腔内往返传
播过程所得到的基本结果。
二、共轴球面腔的稳定性条件
我们首先关心的问题是,在什么情况下傍轴光线能在腔内往返任意多次而不致横向
逸出腔外。由式 (2.2.17)可以看出,这要求 n次往返变换矩阵 Tn的各个元素 An,Bn、
Cn, Dn对任意值 n均保持有限。按式 (2.2.15),这归结为 Ф应为实数 (而且 Ф不应为
kл,k=0,1,2,… 。因为在这种情况下 An,Bn,Cn,Dn均为不定式 )。这样,根据式
(2.2.16)即可得出
或
以式 (2.2.13)所示之 A,D代人上式得出
引人所谓 g参数可将该式写成
（ 2.2.20）
式 (22.19)或式 (2.220)称为共轴球面腔的稳定性条件。式中,当凹面镜向着腔内时,R取
正值,而当凸面镜向着腔内时,R取负值。
当式 (2.2.19)或式 (2.2.20)满足时,Ф为实数,从而 An,Bn,Cn,Dn均保持有限,并
随着 n的增大而发生周期性变化。按式 (2.2.17),rn,ζn也将随 n的增姗而发生周期性
变化,但无论 n为多大,rn,ζn均保持有限,这就保证了傍轴光线能在腔内往返无限多次
而不致于从侧面逸出 (只要镜的横向尺寸足够大 )。反之,当满足条件
或 （ 2.2.21）
时,Ф不可能为实数 (一般为复数 ),这时 sin(n -1） Ф,sinnФ等均将随 n的增大而
按指数规律增大,从而 rn,ζn也将随 n的增大而指数地增大。这就表示,傍轴光线
在腔内经历有限次往返后必将横向逸出腔外。
从上述分析可知,傍轴光线在满足条件式 (2.2.19)的腔中往返传播时将没有
几何偏折损耗 (又称横向逸出损耗或逃逸损耗 ),而满足条件式 (2.2.21)的腔从几何
上看必定是高损耗的。从产生振荡的观点来看,前一种腔比较有利。
从前面推导出的结果可以看出,共轴球面腔的往返矩阵 以及 n次往返矩
阵 均与光线的初始坐标 (呐 )元关,因而它们可以描述任意傍轴光线在腔
内往返传播的行为。然而,随着光线在腔内的初始出发位置及往返一次的行进次序
的不同如一次按图 2.2.1所示,从镜 Ml出发向镜 M2传播然后返回 M1,另一次从 M2出发
向 Ml传播然后再返回到 M2,矩阵 T各元素的具体表示式也将各不相同。但可以证明
才 (A+D)/2对于一定几何结构的球面腔是一个不变量,与光线的初始坐标、出发位置
(如在腔面上或在腔内任何其他点 )及往返一次的顺序都元关。对共轴球面腔,下式永
远成立,
（ 2.2.22）
从而,条件式 (2.2.19)对简单共轴球面腔普遍适用。对于复杂开腔 (如腔内插入
光学元件或环形腔、折叠腔 ),则应采用普适的式 (2.2.18)判断其稳定性。
下面列举几种有代表性的临界腔。
1)对称共焦腔
满足条件 R1=R2=L的谐振腔称为对称共焦腔,这时腔的中心即为两个镜面的公
共焦点。对称共焦腔满足 ·..
g1=0,g2=0,gIg2=0 (2.2.25)
因而是一种临界腔。
(2)平行平面腔
此时有 Rl=R2=∞,gl=g2=1,从而满足条件 (2.2.24)的第二式。
(3)共心腔
满足条件 R1+R2=L (2.2.26)
的谐振腔称为共心腔,因这时腔的两个镜面的曲率中心互相重合。其 g1g2=10
大多数临界腔,如平行平面腔、共心腔等,其性质界于稳定腔与非稳腔之间。以平行
平面腔而论,腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不致逸出腔外,且一次往返即实
现简并 (形成闭合光路 ),这与稳定腔的情况类似。但仅仅轴向光线有这种特点,所有沿非轴
向行进的光线在经有限次往返后,必然从侧面逸出腔外,这又与非稳腔相像。共心腔的情况
也是这样,通过公共中心的光线能在腔内往返无限多次,且一次往返即自行闭合,而所有不通
过公共中心的光线在腔内往返有限多次后,必然横向逸出腔外。这一类临界腔可称为介稳
腔。
另一种临界腔是对称共焦腔。在共焦腔中,任意傍轴光线均可在腔内往返无限多次而不致
横向逸出,而且经两次往返即自行闭合。,类似的简并光束还有无限多种。在这种意义上,共
焦腔应属于稳定腔之列。以后我们将会看到,整个稳定球面腔的模式理论都可以建立在共
焦腔振荡模理论的基础之上,因而共焦腔是最重要和最有代表性的一种稳定腔。
2.3临界腔中傍轴光线的传播
现在我们来比较严格的讨论开腔模式的物理概念和衍射理论分析方法。
在研究开腔模式时所遇到的第一个问题是,在一个没有侧面边界的区域中,是否存在
着电磁场的本征态,即不随时间变化的稳态场分布?应该如何求出这些场分布?也就是
要证明开腔模的存在性并解决其计算方法问题。,.
我们首先关心的是镜面上的场,因为激光输出直接与镜面上的场相联系。镜面上稳
态场分布的形成可以看成是光在两个镜面间往返传播的结果。因此,两个镜面上的场必
然是互相关联的,一个镜面上的场可以视为由另一个镜面上的场所产生 ;反过来说,也是
一样。这样,如我们将要看到的,求解镜面上稳态场分布的问题就归结为解一个积分方
程。积分方程可以给出空间某一点 (或某一个表面 )上的场与处在有限距离上的另一个表
面上的场的关联。
一、开腔模的一般物理概念
当光在两镜面间往返传播时,一方面将受到激活介质的光放大作用,另一方面将经受
各种损耗。由反射镜的有限大小所引起的衍射损耗就是其中之一。尤其重要的是,在决
定开腔中激光振荡能量的空间分布方面,衍射将起主要作用。由腔镜反射不完全以及介
质中的吸收所造成的损耗,将使横截面内各点的场按同样的比例衰减,因而,对场的空间
分布不会发生什么影响。但衍射损耗却与此不同,由于衍射主要是发生在镜的边缘上,
因而恰恰将对场的空间分布发生重要影响,而且,只要镜的横向尺寸是有限的,这一影响
将永远存在。为了突出开腔的主要特征,以简化分析,这里提出一个理想的开腔模型,两
块反射镜片 (平面的或曲面的 )沉浸在均匀的、元限的、各向同性的介质中。这样就没
有侧壁的不连续性,而决定衍射效应的孔径就由镜的边缘所构成。
实际上,气体激光器并非真正没有侧面边界,衍射孔径也不一定由镜的边缘决定。但上述理
想开腔模型确能抽象出光字开腔的本质特征,因而,我们先不考虑这些具体细节,仍按理想模
型进行分析。
考虑在上述开腔中往返传播的一列波。设初始时刻在镜 I上有某一个场分布 u1,则当波在
腔中经第一次渡越而到达镜 II时,将在镜 II上生成一个新的场分布 u2,场 u2经第二次渡越后又
将在镜 I上生成一个新的场分布 u3。由于每经一次渡越时,波都将因衍射而损失一部分能量,
而且衍射还将引起能量分布的变化。因此,经一次往返后所获得的场均不仅幅度将小于 u1,
而且,分布可能与 u1不同。以后向又转化为 u4,u4再转化为 u5…… 这一过程将反复进行下去
。不管初始分布 ul的具体特性如何,经过足够多次渡越以后所生成的场都将明显地带上衍射
的痕迹。由于衍射主要是发生在镜的边缘附近,因此,在往返传播过程中,镜边缘附近的场将
衰落得更快。经多次衍射后所形成的场分
布,其边缘振幅往往都很小 (与靠近镜面中部的场比较 ),这几乎是一切开腔模场分布的共同
特征。反过来,具有这种特征的场分布受衍射的影响也将比较小。可以预期,在经过足够多
次渡越以后,能形成这样一种稳态场,分布不再受衍射的影响,在腔内往返一次后能
够“再现”出发时的场分布。这种稳态场经一次往返后,唯一可能的变化是,镜面上各点的
场振幅按同样的比例衰减,各点的相位发生同样大小的滞后。当两个镜面完全相同时 (对称
开腔 ),这种稳态场分布应在腔内经单程渡越后即实现“再现“
我们把开腔镜面上的经一次往返能再现的稳态场分布称为开腔的自再现模或横模。
自再现模一次往返所经受的能量损耗称为模的往返损耗。在理想开腔中,等于前面所
指出的衍射损耗。自再现模经一次往返所发生的相移称为往返相移,该相移等于 2л的
整数倍,这就是模的谐振条件
研究表明,开腔的自再现模确实存在。一方面,人们从理论上论证了自再舰模的存
在性,并且用数值的和解析的方法求出了各种开腔的横模。另外,又从实验上观测到了
激光的各种稳定的强度花样,而且理论分析与实验观测的结果符合得很好。
二、孔阑传输线
为了形象地理解开腔中自再现模的形成过程,我们用波在孔阑传输线中的行进,模拟
它在平面开腔中的往复反射。这种孔阑传输线由一系列同轴的孔径构成,这些孔径开在
平行放置着的无限大完全吸收屏上,相邻两个孔径间的距离等于腔长,孔径大小等于镜的
大小。当模拟对称开腔时,所有孔径的大小和形状都应相同。平面开腔以及相应的孔阑
传输线如图 2.3.1所示。
如果考虑到光的吸收、散射等损耗,则可以在每一个孔面上引人一个衰减滤光片。如
果开腔的反射镜为球面镜,则在每个孔阑上应装上相应焦距的透镜,成为透镜波导。我们
暂且只考虑平面开腔的简单情形。在图 2.3.1所示的孔阑传输线中,光从一个孔径传播到
另外一个孔径,就等效于光在开腔中从一个反射镜面传播到另一个镜面。在通过每一个
孔阑时光将发生衍射,射到孔的范围以外的光将被屏所吸收 (对应于损耗 )。
现在,衍射对于场分布的影响可以看得十分清楚了。设想一均匀平面波垂直入射到传
播输线的第一个孔阑上。第一个孔面上波的强度分布应是均匀的。由于衍射,在穿过孔
后波前将发生改变,并且波束将产生若干旁瓣,也就是说,已不再是均匀平面波了。
当它到达第二个孔时,其边缘部分的强度将比中心部分小,而且,第二个孔面已不再是等
相位面了。通过第二个孔时波束又将发生衍射,然后再通过第三个孔 …… 每经过一个孔,
彼的振幅和相位分布就经历一次改变,其情形如图 2.3.1所示。从图中可以直观地看出,
在通过若干个孔以后,波的振幅和相位分布被改变成这样的形状,以致于它们受到衍射的
影响越来越小。当通过的孔阑数足够多时,镜面上场的相对振幅和相位分布将不再发生
变化。在孔阑传输线中形成的这种稳态场分布就是我们前面所说的自再现模。我们看
到,并非任何形态的电磁场都能在开腔中长期存在,只有那些不受衍射影响的场分布才能
最终稳定下来。
虽然这里是以均匀平面波入射在第一个孔阑上为例来研究自再现模的形成,但由于
模的形成是多次衍射的结果,因此,初始入射波的形状在一定意义上是无关紧要的。原则
上说,其他初始入射波也能形成自再现模。当然,由不同的初始入射波所得到的最终稳态
场分布可能是各不相同的,这就预示了开腔模式的多样性。实际的物理过程是,开腔中的
任何振荡都是从某种偶然的自发辐射开始的,而自发辐射服从统计规律,因而可以提供各
种不同的初始分布。衍射在这里起着某种 "筛子 "的作用,它将其中能够存在的自再现模
筛选出来。
上面的分析还能帮助我们理解激光的空间相干性。事实上,即使人射在第一个孔面
上的光是空间非相干的,即在第一个孔面上各点波的相位互不相关,但由于衍射效应,第
二个孔面上任一点的波应该看作是第一个孔面上所有各点发出的子波的叠加 (惠更斯,菲
涅耳原理 ),而不仅仅是由前一孔面上某一点的波所产生。这样,第二个孔面上各点波的
相位就发生了一定程度的关联。在经过了足够多次衍射以后,光束横截面上各点的相位
关联越来越紧密,因而空间相干性随之越来越增强。可见,在开腔中,从非相干的自发辐
射发展成空间相干性极好的激光,正是由于衍射的作用。
显然,在无源开腔中,自再现模的形成过程和场的空间相干性的增强过程,都不可避
免地伴随着初始人射波能量的衰减。这是在激光出现以前获得相干光的各种方法所共有
的特点。在激活腔中,情况就不同了。只要某一自再现模能满足阑值条件,则该模在腔内
就可以形成自激振荡。这时,自再现模的形成过程将伴随着光的受激放大,其结果是,光 j
谱不断变窄,空间相干性不断增强,同时,光强也不断增大,最终形成高强度的激光输出。
三、菲涅耳 -基尔霍夫衍射积分
前面已经叙述了开腔模的物理概念,在转入定量的讨论时,必须将前述物理思想,"翻
译“成数学的语言。首先要解决的一个问题是,如果已知某一镜面上的场分布 u1(x‘,y‘),
如何求出在衍射的作用下经腔内一次渡越而在另一个镜面上生成的场 u2(x,y)。 '
这里,(x?,y‘),(x,y)分别衰示两个镜面上场点的坐标。
我们知道,光学中著名的惠更斯 -菲涅耳原理是从理论上分析衍射问题的基础,因而 '
也必然是开腔模式问题的理论基础。该原理的严格数学表述是所谓菲涅耳,基尔霍夫衍 '
射积分,它可以从普遍的电磁场理论推导出来。该积分公式表明,如果知道了光波场在其
所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布,就可以求出该光波场在空间其他任意位置
处的振幅和相位分布。
设已知空间任一曲面 S上光波场的振幅和相位分布函数为 u(x‘,y'),这里,(x',y')为 S面上
点的坐标。由它在所要考察的空间任一点 P处产生的场为 u(x,y),这里,(x,y)为观察点 P的
坐标。如大家在光学课程中所学过的,有下述关系式,
（ 2.3.1）
式中 p为源点 (x?,y')与观察点 (x,y)之间连线的长度 ; ζ为 S面上点 (x',y')处的法线 n与上述
连线之间的夹角 ;ds'为 S面上点 (x',y')处的面积元 ;k=2л/λ为波矢的模
积分沿整个 S面进行。式 (2.3.1)就是菲涅耳 ·基尔霍夫衍射积分公式。该式的意
义可以这样来理解,观察点 P处的场 u(x,y)可以看作是 S面上各子波源揭发出的非均
匀球面子波的叠加。积分号下的因子以 u（ x‘',y')ds'比例于子波源的强弱 ;因子 e-ikρ/ρ描
述球面子波 ;而因子 (1+Cosζ)表示球面子波是非均匀的,它就是在光的电磁理论创立以
前人为地引人的 "倾斜因子 "的精确表述 (见图 2.3.2)。
将前述积分公式应用到开腔的两个镜面上的场,则有
（ 2.3.2）
式中 u1(x',y')为镜 I上的场分布 ;u2(x,y)为由 u1经腔内一次渡越后在镜 II上生成的场。
积分对镜 I的整个表面 S1进行。这样,我们就将一个镜面上的场通过菲涅耳 -基尔
霍夫积分与另一个镜面上的场联系起来。经过 j次渡越后所生成的场 uj+1与产生它的
场 uj之间亦应满足类似的迭代关系
（ 2.3.3）
四、自再现模所应满足的积分方程式
我们先来考虑对称开腔。对这种腔中的自再现模而言,按照模式 "再现 "概念,当式
(2.3.3)中的 j足够大时,除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外,uj+1应能
将 uj再现出来。即应有
（ 2.3.4）
式 (2.3.4)就是模式再现概念的数学表述,式中的 y应为一个与坐标元关的复常数。将
式 (2.3.4)代人式 (2.3.3）得出
（ 2.3.5）
以 v (x,y)表示开腔中这一不受衍射影响的稳态场分布函数 [即式 (2.3.5)中的 ui,uj+1，
… 〕,则有
（ 2.3.6）
式 (2.3.6)就是开腔自再现模应满足的积分方程式。式中
（ 2.3.7）
称为积分方程的核。式 (2.3.7)中的 p ζ均为源点 (x?,y‘)与观察点 (x,y)坐标的函数。
满足方程 (2.3.6)的任意一个分布函数 v (x,y)就描述腔的一个自再现模或横模。
一般地说,v (x,y)应为复函数,它的模 |v(x,y)|描述镜面上场的振幅分布,而其辐角
argv(x,y)描述镜面上场的相位分布。
由于光学开腔的腔长 L 通常远大于反射镜的线度 α,即
L>> α （ 2.3.8）
在反射镜为曲面镜的情况下,其曲率半径 R也往往满足
R>>α (2.3.9)
这样,在式 (2.3.6)的被积函数中,因子 (1+cosζ)/p可近似取为 2/L,并从积分号中提
出,从而将式 (2.3.6)、式 (2.3.7)简化为
(2.3.10)
注意,虽然镜的线度 α>>λ,被积函数中的指数因子 e –ikp =e-i2лp/ λ → 于 P一般却不能用
e-ikL代替,而只能根据不同腔面的几何形状取合理的近似。至此,我们将寻求开腔模的问
题,归结为求解积分方程 (2.3.6)或简化了的积分方程组 (2.3.10)这样一个数学问题。
五、复常数 γ的意义
将方程 (2.3.6)中的复常数 γ表示为
γ=eα+iβ (2.3.11)
式中 α,β是与坐标无关的两个实常数。将 (2.311)式代人对称开腔 γ的定义式
(2.3.4),得出
可见,e-α量度每经单程渡越时自再现模的振幅衰减,α愈大,衰减愈甚,α→0 时,自再现
模在腔内能无损耗地传播。 β表示每经一次渡越模的相位滞后,β愈大,相位滞后愈多。
自再现模在腔内经单程渡越所经受的相对功率损失称为模的单程损耗,通常以 δd表示
。在对称开腔的情况下
（ 2.3.13）
可见,| γ |愈大,模的单程损耗愈大。一旦由方程 (2.3.6)解得了复常数 γ,则可按式
(2.3.12)计算自再现模的损耗,们通常以百分数表示。应该指出,δd量度自再现模在理
想开腔中完成一次渡越时的总损耗,即 δd为 2.1节所讲的几何损耗与衍射损耗之和。
自再现模在腔内经单程渡越的总相移 δθ定义为
在对称开腔的情况下,按式 (2.3.4)和式 (2.3.11)得出
（ 2.3.13）
因此,一旦由方程 (2.3.6)中解得了复常数 γ,则可按式 (2.3.13)来计算模的单程总相移。
在腔内存在激活物质的情况下,为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定振荡,
还必须满足多光束相长干涉条件,在腔内一次往返的总相移等于 2л的整数倍,即
因此,一旦由方程 (2.3.6)中解得了复常数 γ,则可按式 (2.3.13)来计算模的单程总相移。
在腔内存在激活物质的情况下,为了使自再现模在往返传播过程中能形成稳定振荡,
还必须满足多光束相长干涉条件,在腔内一次往返的总相移等于 2л的整数倍,即
(2.3.14)
这就是开腔自再现模的谐振条件。一旦求得 γ的表示式,则可按式 (2.3.14)决定模的谐
振频率。
总之,复常数 γ的模量度自再现模的单程损耗,它的辐角量度自再现模的单程相移,
从而也决定模的谐振频率。
以上都是讨论对称开腔的情况。在非对称开腔中,我们应按场在腔内往返一次写出
模式再现条件及相应的积分方程。其中的复常数 γ的模量度自再现模在腔内往返一次
的功率损耗,γ的辐角量度模的往返相移,并从而决定模的谐振频率。
六、分离变量法
既然我们已将寻求开腔振荡模的问题归结为求解积分方程 (2.3.10)这样一个数学问
题,进一步的任务就应该是根据各类开腔的具体几何结构,写出方程 (2.3.10)的具体形
式,并进行求解。在这样做的时候,十分重要的是,根据问题的对称性引入适当的坐标系,
然后在考虑到波长 λ、镜的线度 α以及腔长 L的相互数量级关系的情况下,将方程
(2.3.10)的核 K(x,y,x',y')展开,也就是将 p(x,y,x',y')展开,并舍去无关紧要的高
阶小量,从而将积分方程进一步简化。
相应的计算表明,对矩形及圆形平面镜腔、共焦球面或抛物面腔和一般球面镜腔等几
种常见的几何结构,这样的简化是可能的。而且还可以进一步实现变量分离,将关于二元
函数 v(x,y)的积分方程 (2.3.10)化成两个单元函数的积分方程,从而更易于求解。
下面,首先以矩形平面镜腔为例,写出方程 (2.3.10)的具体形状,并注意如何实现变
量分离。
图 2.3.3为一对称矩形平面镜腔,镜的边长为 2a× 2b,腔长为 L。 a,b, L, λ之间满
足关系
L>>a,b>> λ (2.3.15)
在图示的坐标系中,有
将 p按 (x-x')/L,(y-y')/L的幕级数展开为
(2.3.16)
当满足条件 a2/Lλ<<(L/a)2和 b2/L λ <<〈 (L/b)2时,近似有
(2.317)
从而可得式 (2.3.10)的具体形式为
(2.3.18)
上述方程是可以分离变量的。令
V(x,y)=u(x)v(y) (2.3.19)
并代人式 (2.3.18),即可得出
(2.3.20)
这样，我们就将关于二元函数 v(x,y)的一个积分方程 (2.3.20)化成单元函数 u(x)和 v(y)
的两个积分方程 (2.3.22)，而这两个方程的形状是完全一样的，因而只须求解其中一个
就够了。
方程 (2.3.20)中的第一式代表一个在 x方向宽度为 2α而沿 y方向无限延伸的条状
腔的自再现模，第二式代表一个在 y方向宽度为 2b但沿 x方向无限延伸的条状腔的自
再现模。在开腔模式理论中,常常研究这种二维腔的本征模问题
满足方程 (2.3.20)的函数 v(x)和 v(y)可能不止一个,以 vm(x)和 vn(y)分别表 l示它的第 m个和
第 n个解,Ym和 Yn表示相应的复常数,则有
(2.3.21)
整个镜面上的自再现模场分布函数为
vmn(x,y)=vm(x)*vn(y) (2.3.22)
相应的复常数为
（ 2.3.23）
在数学上,将求解类似于式 (2.3.21)这类积分方程的问题称为积分本征值问题。通常只有
时当方程中的复常数 ym和 yn取一系列不连续的特定值时,方程式才能成立,这些 ym和 yn称为
方程的本征值。对于每一个特定的 ym和 yn,能使方程 (2.321)成立的分布函数 vm(x)和 vn(y)称
为与 ym和 yn本征值相应的本征函数。解积分方程问题就是要求出这些本征值与本征函数。
它们决定着开腔自再现模的全部特征,包括场分布 (镜面上场的振幅和相位分布 )及传输特性
(如模的衰减、相移、谐振频率等 )。
对圆形平面镜腔,也可以进行类似的推导,并证明其模式积分方程是可分离变量的,
作为分离变量法的另一个例子,下面我们研究如图 2.3.4所示的一般球面镜腔。若
腔的两个反射镜的曲率半径分别为 R1和 R2,腔长为 L,由图可以看出
按式 (2.3.16)得出
而由球面镜的简单几何关系可以求得
由此
(2.3.24)
g1g2 称为球面镜腔的几何参数,或简称 g参数。在 g的表示式中,对凹面镜 R取
正值,对凸面镜 R取负值。在对称开腔的情况下
将上列关系代人式 (2.3.24)中即可求得对称球面腔的 p值,将这样求得的 p值代人式
(2.3.10),即得出一般对称球面腔自再现模所满足的积分方程的具体形式。对所谓对称
共焦腔,p的表示式还可以进一步简化。
对称共焦腔满足条件
R1=R2=R=L (2.3.25)
即两个球面镜的曲率半径相等且等于腔长,从而两个镜面的焦点重合并处在腔的中心,
这就是 "对称共焦 "这一名称的涵义。在这种情况下有
g l=g2=0 (2.326)
由此,按式 (2.3.24)得出
(2.3.27)
当反射镜是孔径为 2α× 2α的方形镜时,将上式代人式 (2.3.10)得出
(2.3.28)
显然,上述方程又是可分离变量的。分离变量后可变为两个单变量积分方程 (见 2.5节 )。
2.4平行平面腔模的迭代解法
平面腔在激光发展史上最先被采用,第一台激光器 〔 梅曼 (T.H.Maiman)的红宝
石激光器 〕 就是用平行平面腔做成的。目前,在中等以上功率的固体激光器和气体激光
器中仍常常采用它。平行平面腔的主要优点是,光束方向性极好 (发散角小 )、模体积较
大、比较容易获得单横模振荡等。其主要缺点是调整精度要求极高,此外,与稳定腔比较
,损耗也较大,因而对小增益器件不大适用。
由于平行平面腔振荡模所满足的自再现积分方程 (2.3.6)至今尚得不到精确的解析
解,因此本节简要介绍平面腔模的迭代解法。
(2.4.1)
所谓迭代法,就是利用迭代公式 (见式 (2.3.3)
直接进行数值计算,式中 K由式 (2.3.7)确定。首先,假设在某一镜面上存在一个初始场分
布 u1,将它代人上式,计算在腔内经第一次渡越而在第二个镜面上生成的场 u2,然后再用所
得到的问代人式 (2.4.1),计算在腔内经第二次渡越而在第一 j镜上生成的场 U3。如此反复
运算并注意经过足够多次以后,在腔面上能否形成一种稳态场分布。在对称开腔的情况
下,当 j足够大时,由数值计算得出的 uj uj+1uj+2能否满足下述关系式
(2.4.2)
式中 y为复常数。如果直接数值计算得出了这种稳定的场分布，则可认为找到了腔
的一个自再现模或横模。
对不同几何形状的平行平面腔 (如条状腔、矩形平面镜腔、圆形平面镜腔等 )由于迭代
方程 (2.4.1)的具体形状各不相同,因而必须用相应的迭代方程进行计算。
对不同几何形状的平行平面腔 (如条状腔、矩形平面镜腔、圆形平面镜腔等 )由于迭代
方程 (2.4.1)的具体形状各不相同,因而必须用相应的迭代方程进行计算。
福克斯和厉鼎毅首先用计算机完成了上述计算,求出了各种几何形状的平行平面腔、
圆形镜共焦腔等的一系列腔的自再现模。
迭代法的重要意义在于,首先,它用逐次近似计算直接求出了一系列自再现模,从而
第一次证明了开腔模式的存在性。诚然,从数学上论证了方程 (2.3.6)解的存在已经严格
证明了开腔模的存在性,但迭代法却更为直观。其次,迭代法能加深对模的形成过程的理
解,因为它的数学运算过程与波在腔中往返传播而最终形成自再现模这一物理过程相应,
而且用迭代法求出的结果使我们具体地、形象地认识了模的各种特征。第三,迭代法
虽然比较繁础却具有普遍的适用性,它原则上可以用来计算任何几何形状附中的
自再现模,而且还可以计算诸如平行平面腔中腔镜的倾斜、镜面的不平整性等对模的扰
动。
下面,我们以对称条状腔为例,看看平行平面腔中自再现模是如何形成的。
考察镜的宽度为 2a，腔长为 L的对称条状腔。按式 (2.3.20)，该条状腔的模式迭代方
程应为
（ 2.4.3）
在利用式 (2.4.3)进行数值计算时,首先碰到的一个问题是,初始入射波分布函数 ul 应
如何选择。一种自然的想法是,以一列均匀平面波作为第一个镜面上的初始激发波。由
于重要的只是振幅和相位的相对分布,因此,我们可以取
U1=1 (2.4.4)
即认为整个镜面为等相位面 (arg u1=0),且镜面上各点波的振幅均为 1。将 (2.4.4)代人
式 (2.4.3)进行数值计算求出 u2,然后将 u2归一化,即取
（ 2.4.5）
并代人式 (2.4.3)以计算 u3……
图 2.4.1是这类计算结果的一个例子。图中所用条状腔的具体尺寸是
这里 N为腔的菲涅耳数。由初始分布式 (2.4.4)出发,经第一次及第 300次渡越后所得
到 j的振幅和相位分布已绘于图 2.4.1中。
从图 2.4.1可以看出,均匀平面波经过第一次渡越后起了很大的变化,场问的振幅
与相位随腔面坐标的变化而急剧地起伏。对随后的几次渡越,情况也是一样,每一次渡越
者都将对场的分布发生明显的影响。但随着渡越次数的增加,每经一次渡越后场分布的变
化越来越不明显,振幅与相位分布曲线上的起伏越来越小,场的相对分布逐渐趋向某 → 稳
定状态。在经过 300次渡越以后,归一化的振幅曲线和相位曲线实际上已不再发生变化,
这样我们就得到了一个自再现模。这种稳态场分布的特点是,总的说来,在镜面中心处振
幅最大,从中心到边缘振幅逐渐降落,整个镜面上的场分布具有偶对称性 o钱们将具有这
种特征的横模称为腔的最低阶偶对称模或基模。矩形镜腔和圆形镜腔的基模通常以符号
TEMoo表示。
数值计算的结果表明,对 ul=1的初始激发波,在经过足够多次渡越以后,不但振幅
分布发生了明显变化,而且相位分布也发生了变化,镜面已不再是等相位面了。因此,严
格地说,TEM。。模已不仅不再是均匀平面波,而且也已经不再是平面波了。
2.5方形镜共焦腔的自再现模 ·
满足条件 R1=R2=L的谐振腔称为对称共焦腔,这时腔的中心即为两个镜面的公共焦点。
博伊德和戈登首先证明,方形镜共焦腔模式积分方程具有严格的解析函数解。
当腔的菲涅耳数 N足够大时,可将自再现模式积分方程的积分限开拓至无穷大,从而获
得共焦腔自再现模的近似解析解。
一、自再现模所满足的积分方程式及其精确解
对由线度为 2α× 2α的方形镜构成的对称共焦腔 (图 2.5.I),当满足条件
时,其自再现模 v mn(x,y)所应满足的积分方程式为 (2.3.28),即,
（ 2.5.1）
下面按博伊德和戈登的方法进行变数代换,取
（ 2.5.2）
并令
（ 2.5.3）
则式 (2.5.1)转化为
（ 2.5.4）
上式中之 ζ m ζn与式 (2.5.1)中之本征值 y mn的关系为
（ 2.5.5）
显然,寻求满足方程式 (2.5.4)的方形镜共焦腔自再现模的问题就等价于求解下述两个积
分本征值问题,
（ 2.5.6）
式 (2.5.6)中的每一个方程都只包含一个自变数,而且两个方程的形式是完全一样的,因此
只要求解其中的一个就够了
方程式 (2.5.4)的精确解已为博伊德和戈登所求得,在 C为有限值时的本征函数为
（ 2.5.7）
其中
为角向长椭球函数。与 v mn(x,y)相应的本征值为
（ 2.5.8）
式中
（ 2.5.9）
为径向长椭球函数。
将式 (2.5.9)代人式 (2.5.8)得出
（ 2.5.10）
人们对前述长椭球函数进行了大量研究,已弄清了它们的基本性质。该函数满足如
下的积分关系式,
（ 2.5.11）
且 均为实函数。人们计算出了 C取某些具体数值时的角向及径
向长椭球函数表,并研究了它们在某些特殊情况下的近似表达式。
由式 (2.5.7)和式 (2.5.10)可以看出,对任一给定的 C值,当 m,n取一系列不连续
的整数时,即得出一系列本征函数,它们描述共焦腔镜面上场的振幅和相位分布,同时得
出一系列相应的本征值,它们决定模的相移和损耗。我们以符号 TEMmn表示共焦腔自再
现模。下面就以式 (2.5.7)和式 (2.5.10)·为基础讨论共焦腔模的各种特征。
二、镜面上场的振幅和相位分布
1.厄米 -高斯近似
可以证明,在
x<<a,y<<a
的区域内,即在共焦反射镜面中心附近,角向长椭球函数可以表示为厄米多项式和高斯分
布函数的乘积
(2.5.12)
式中 Cm Cn为常系数 ;Hm(X)为 m阶厄米多项式
(2.5.13)
其中 [m/2]表示 m/2的整数部分。最初几阶厄米多项式为 (图 2.5.2)所示,
(2.5.14)
应该指出。当 c→∞ 时,厄米,高斯函数
(2.5.15)
即为方程 (2.5.6)的本征函数,在 C为有限值的情况下,只要条件
C=2лN>>1 (2.5.16)
成立,则式 (2.5.15)仍在极好的近似程度上满足方程 (2.5.6)。如果式 (2.5.16)不能满
足,则在镜面中心附近,厄米 -高斯函数仍能正确描述共焦腔模的振幅和相位分布。
将式 (2.5.12)代人式 (2.5.7),并将 X,Y换回镜面上的直角坐标 X,Y,最后得出
(2.5.17)
其中 C mn为常系数,
下面我们来讨论厄米,高斯近似下共焦腔镜面上的场分布特性。
2.基模
在式 (2.5.17)中取 m =n =0,即得出共焦腔基模 (TEM00模 )的场分布函数
（ 2.5.18）
可见,基模在镜面上的分布是高斯型的,模的振幅从镜中心 (x=y =0)向边缘平滑地降
落。在离中心的距离为
（ 2.5.19）
处场的振幅降落为中心处的 1/e。式中 L为共焦腔长,λ为激光波长。通常就用半径为
r=（ Lλ/л） 1/2的圆来规定基模光斑的大小,并定义
（ 2.5.20）
为共焦腔基模在镜面上的光斑尺寸或光斑半径。应该注意,场并不局限在 r ≤wos的范围内,只
要场的分布是高斯型的,从理论上说,它就应横向延伸到无穷远处,但在 r〉 wos的
区域内,光强实际上已经很弱,
式 (2·520)表明,共焦腔基模在镜面上的光斑大小与镜的横向几何尺寸无关,而只决
定于腔长 L或共焦腔反射镜的焦距 f=L/2.这是共焦腔的一个重要特性,与平行平面
腔的情况是不同的。当然,这一结论只有在模的振幅分布可以用厄米 -高斯函数近似表述
的情况下才是正确的。
从下述例子可以获得光斑尺寸的数量概念,一台使用共焦腔的二氧化碳激光器,若
L=1m,λ=10.6um,则 wos≈1.84mm;若氦氖激光器（ λ=0.6328um）采用 L=30cm的共焦腔，
则镜面上的光斑尺为 wos=0.25mm。可见,共焦腔的光斑半径通常是很小的,
远比实际上使用的反射镜的横向尺寸小得多。因此,共焦腔模的场主要集中在镜面中心
附近。
除了式 (2.5.20)所表示的边界定义在基模振幅的 t处的光斑尺寸外,还常常用到边
界定义在基模强度最大值的 1/2处 (即半功率点处 )的光斑尺寸 w‘os按式 (2.5.18),基模
的强度分布也是高斯型的
按定义,当 r=w‘os时,应有
(2.5.21)
由此即可求出
(2.5.22)
两种定义的光斑尺寸均绘于图 2.5.3中。
借助式 (2.5.20〉,可将式 (2.5.17)重写为
(2.5.23)
3.高阶横模
当 m,n取不同时为零的一系列整数时,由式 (2·523)可得出镜面上各高阶横模的
振幅分布。对最初几个横模,我们有
(2.5.24)
可以看出,TEMmn模在镜面上振幅分布的特点取决于厄米多项式与高斯分布函数的乘积
。‘厄米多项式的零点决定场的节线,厄米多项式的正负交替的变化与高斯函数随着 x,y的
增大而单调下降的特性决定着场分布的外形轮廓。由于 m阶厄米多项式有 m个零点 (即方程
Hm(X)=0有 m个根 ),因此 TEMmn模沿 x方向有 m条节线,沿 y方向有 n条节线。例如,TEM00模在
整个镜面上没有节线,TEM10模在 x=0处有一条节线,TEM11模在 x=0,y=0处各有一条节线,等
等。共焦腔最初几个横模的振幅分布和强度花样如图 2.5.4所示。
4.相位分布
镜面上场的相位分布由自再现模 vmn(x,y)的辐角决定。由于长椭球函数为实函 E
数,因此,按式 (2.5.7),vmn(x,y)亦为实函数,这就表明,镜面上各点场的相位相同,共
焦腔反射镜本身构成场的一个等相位面,无论对基模或高阶横模,情况都是一样。共焦腔
的这一性质也与平行平面腔不同。对平行平面腔来说,反射镜本身已不是严格意义下的 '
等相位面了。
三、单程损耗疆
共焦腔自再现模 TEMmn的单程功率损耗由下式给出,
(2.5.29)
对方形镜共焦腔,根据式 (2.5.29)和式 (2.5.9),代入径向长椭球函数的具体数值,将
损耗 δmn作为菲涅耳数的函数绘于图 2.5.5中。为了便于比较,图中还给出了平行平面量
腔衍射损耗的数值计算结果,有上角的曲线表示均匀平面波在线度为 2α的镜面上的衍
射损耗,它由 δ=1/N给出。
从图中的曲线可以看出,均匀平面波的夫琅和费衍射损耗比平面腔自再现模的损耗,
大得多,而平面腔模的损能又比共焦腔模的损耗大得多。表 2.2列出了菲涅耳数相同的
两种腔的相同 TEM。。模的损耗值。显然，共焦腔模的衍射损耗在数量级上比
平面腔低。
共焦腔模与平面腔模在损耗上的这一差别是不难理解的。在共焦腔中,除了衍射引
起的光束发散作用以外,还有腔镜 (凹面镜 )对光束的会聚作用。这两种因素一起决定腔
的损耗的大小。如第一章所已经证明的,对共焦腔和其他稳定球面腔而言,傍轴光线的几
何偏折损耗为零,因而腔的损耗具有 "纯粹 "衍射损耗的性质。而且,只要 N不太小,共焦
腔模就将集中在镜面中心附近,在镜边缘处振幅很小,因而衍射损耗极低。平面腔的情况
与此不同,所有与轴线成非零夹角而传播的光都将不可避免地出现几何损耗,而且平面腔
模原则上展布在整个镜面上。在菲涅耳数相同的情况下,同一模式在镜边缘处的振幅远
比共焦腔模的振幅大,所有这一切都决定了平面腔的损耗应比共焦腔高得多。
共焦腔中各个模式的损耗与腔的具体几何尺寸无关,而单值地由菲涅耳数确定。所
有模式的损耗都随着菲涅耳数的增加而迅速下降。 TEMoo模的损耗可近似按下述公式计
算,
δ00=10.9x10-4.94N （ 2.5.3）
面的例子给出共焦腔基模衍射损耗的数量概念。
某氨氖激光器采用共焦腔，胶长 L＝ 30cm，放电管半径 a＝ 0.1cm，振荡波长 λ＝
0.6328um。此时，腔的菲涅耳数为
按式 (2.5.30)求得
δ00=10-25.2
比具有同一菲涅耳数的圆形平面镜腔基模的损耗 δ00=2%要低得多
上述例子也说明,当采用共焦腔时,对通常尺寸的激光器,TEM00模的损耗往往小到
可以忽略,只有当腔的菲涅耳数很小 (例如 N<1)时,衍射损耗才起显著作用。还要注
意,实际激光器的孔径往往是圆的,我们这里使用方形孔径的损耗公式 (2.5.30),只是为
了得出有关数量级的概念,
在同一菲涅耳数下,不同横模的衍射损耗各不相同,损耗随着模的阶次的增高而迅速
增大。这就表明,在共焦腔中可以利用衍射损耗的差别来进行横模选择。
四、单程相移和谐振频率
共焦腔 TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为
以式 (2.5.10)之 ζ m ζn代人,并注意到径向长椭球函数 R (1) om (c,1),R (1) on (c,1),为实函数,
即可得出
δθ mn=-kL+(m+n+1) л/2 (2.5.31)
式 (2.5.31)表明,除了几何相移 kL外,共焦腔模还存在着一个附加相位超前 Δθmn,
这一相位超前的量值随横模的阶次而变化
Δθmn= (m+n+1) л/2 (2.5.32)
共焦腔的相移与菲涅耳数无关,不同横模的相移之差为 л/2的整数倍。
共焦腔模的谐振条件为
2δθmn=-q x2л （ 2.5.33）
式中 q为整数。以式 (2.5.31)代人上式,得出各阶横模的谐振频率
（ 2.5.34）
在给出上式时,我们已假设腔中充有折射率为 ε的均匀介质。
通常将由整数 q所表征的沿腔轴线方向的场分布称为腔的纵模。属于同一横模的
相邻两个纵模之间的频率间隔为
（ 2.5.35）
当 q一定时,若 m,n改变,则模的谐振频率亦将发生变化,例如 ν(m+1)nq,νm(n+1)q和 vmnq之间的
频率间隔 Δvm和 Δvn分别为
(2.5.36)
由以上关系可以看出,在共焦腔中 q的改变或 m, n的改变所引起的模的谐振频率的变化
具有相同的数量级。与平行平面腔不同,平行平面腔中 m,n的改变所引起的频率变
化比 q的改变所引起的频率变化小得多。
由式 (2.5.35),(2.5.36)得出的共焦腔的振荡频谱示于图 2.5.6。图中各模的高度
并不代表真实的振荡强度。为了区别不同的 q及 m,n确定的不同的模,所以取了不同
的高度
从式 (2.5.34)看出,共焦腔模在频率上是高度简并的,(2q+m +n)相同的所有模式
都具有相同的谐振频率。如 TEMmnq,TEM(m-1)(n+1)q,TEMm(n-2)(q+1),
TEM(m-2)n(q+1),TEM(m+1)(n-3)(q+1)等不同的模式都具有相同的频率,
应该注意,由于不同的横模具有不同的损耗,因此,上述在频率上简并的模在损耗上
一般并不是简并的。
2.6方形镜共焦腔的行波场
一 共焦腔中的厄米,高斯光束
知道了镜面上的场以后,利用菲涅耳 ·基尔霍夫衍射积分即可求出共焦腔中任一点的
场。博伊德和戈登证明,在镜面上的场能用厄米 ·高斯函数描述的条件下,共焦腔场可以
解析地表示为 (坐标原点选在腔的中心 )
（ 2.6.1）
式中
（ 2.6.2）
式中各参数的意义如下,Ф＝ arctg[(1一 δ)／ (1十 δ)];δ＝ 2z／ L=z/f;
L为共焦腔长,f＝ L／ 2为镜的焦距,E mn(x,y,z)表
示 TEMmn模在腔内任意点 (x,y,z)处的电场强度,E0为一与坐标无关的常量,Amn为与模的
级次有关的归一化常数。 Emn(x,y,z)是由腔的一个镜面上的场 [如式 (2.5.17)]所产生的、并
沿着腔的轴线而传播的行波场。只要我们考虑到输出镜的适当透射率，则式 (2.6.1）不仅
适用于腔内空间中的场，而且对输出到腔外的场也同样是正确的。
式 (2.6.1)是共焦腔模式理论的最基本的结果。
下面分析共焦腔行波场 (简称共焦场 )的特征。
二、振幅分布和光斑尺寸
按式 (2.6.1),共焦场的振幅分布由下式确定
（ 2.6.3）
对基模 （ 2.6.4）
可见,共焦场基模的振幅在横截面内由高斯分布函数所描述。定义在振幅的 1/e处的基模
光斑尺寸为
（ 2.6.5）
式中 wos为镜面上基模的光斑半径。式 (2.6.5)表明,腔中不同位置处的光斑大小各不
相同 (图 2.6.1)。在共焦腔镜面上,z=土 L/2=土 f,此时
与前一节的结果一致。在共焦腔的中心 (即两镜面的公共焦点 )z=0处,ω(z)达到极小值
（ 2.6.6）
通常将 ω0称为高斯光束的基模腰斑半径。共焦腔基模高斯光束腰斑半径。
式 (2.6.5)表明,共焦场中基模光斑的大小随着坐标 z按双曲线规律变化
（ 2.6.7）
对各高阶厄米 ·高斯光束,也可按同样的方法分析。
三、模体积
模体积的概念在激光振荡及腔体设计中都具有重要意义。定性地说,某一模式的模体
积描述该模式在腔内所扩展的空间范围。模体积大,对该模式的振荡有贡献的激发态粒子
数就多,因而,也就可能获得大的输出功率 ;模体积小,则对振荡有贡献的激发态粒子就少，
输出功率也就小。一中模式能否振荡？能获得多大的输出功率?它与其他模式的竞争能力
如何?所有这些不仅取于该模式损耗的高低,也与模体积的大小有密切的关系。由共焦腔模
的空间分布式 (2.6.3)可知,基模往往集中在腔的轴线附近,模的阶次越高,展布的范围越宽。
由于基模的光斑随 z而变化,因此,通常采用下式估计共焦腔基模的模体积,
（ 2.6.8）
例如对于腔长 L =1m,放电管直径为 2α=2cm的共焦腔二氧化碳激光器 (λ=10.6um),
其激活介质的体积为 V=314cm3,而基模体积为
（ 2.6.9）
可见共焦腔基模体积往往比整个激活介质的体积小得多,这对获得高功率的基模输出是
利的。
四、等相位面的分布
共焦场的相位分布由式 (2.6.2)中的相位函数 θ(元,y,z )描述。 θ(x,y,z)随坐标
x,y,z而变化,与腔的轴线相交于 z0点的等相位面的方程由
θ(x,y,z)= θ(0,0,z) （ 2.6.9）
给出。忽略由于 z的微小变化所引起的函数￠的改变,则在腔的轴线附近有
（ 2.6.10）
式中 δ=z/f,δ0=z0/f。式 (2.6.10)是圆柱坐标系中的抛物面方程式,抛物面的顶点
位于 z =z0处,而抛物面的焦距为
（ 2.6.11）
在腔的轴线附近,即在 r〈 2f'的范围内,可以证明,由式 (2.6.10)所描述的共焦场的等相
位面近似为球面,与腔的轴线在 z0点相交的等相位面的曲率半径为
（ 2.6.12）
图 2.6.2说明了共焦场等相位面方程中各参数的意义。
由式 (2.6.10)看出,当 z0〉 0时,z –z0〈 0;而当 z0〈 0时,z –z0〉 0。这就表示,共焦场的等相
位面都是凹面向着腔的中心 (z=0)的球面。等相位面的曲率半径随坐标 z0而变化,当 z0=土 f=
土 L/2时,R(z0)=2f=L,表明共焦腔反射镜面本身与场的两个等相位面重合,这与前一节的结果
相符。当 z0=0时,R(z0)→∞,zo→∞ 时,R(z0)→∞,可见通过共焦腔中心的等相位面是与腔轴垂
直的平面,距腔中心元限远处的等相位面也是平面。不难证明,共焦腔反射镜面是共焦场中
曲率最大的等相位面。共焦场中等相位面的分布如图 2.6.3所示。
相位面处放上一块具有相应曲率的反射镜片,则人射在该镜片上的场将准确地沿着原人射
方向返回,这样共焦场分布将不会受到扰动。这个性质十分重要,我们以后还要用到它。
五、远场发散角
前面已经证明,共焦腔的基模光束依双曲线规律从腔的中心向外扩展,由此不难求 4导 |
基模的远场发散角。该发散角 (全角 )定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角（见图 2.6.1）
（ 2.6.13）
式中 2ω(z)为光斑直径。以式 (2.6.5)所示之 ω (z)代入,则
（ 2.6.14）
相应的计算证明,包含在发散角 ζ。内的功率占高斯基模光束总功率的 86.5%,由下面的
例子可以获得共焦腔基模发散角的数量概念。
某共焦腔氮氖激光器,L =3Ocm,λ=0.6328um,则按式 (2.6.14)有
ζ0≈2.3× 10-3rad
某共焦腔二氧化碳激光器,L=1m,λ=10.6um则
ζ0≈5.2× 10-3rad
可见,共焦腔基模光柬的理论发散角具有毫弧度的数量级。当共焦腔激光器以 TEM00模
单模运转时光束将具有良好的方向性。如果产生多模振荡，则由于高阶的发散角随模的阶
次而增大，因而光束的方向性将变差。
2.7圆形镜共焦腔
由于实际谐振腔的孔径大多数是圆的,因而研究圆形镜共焦腔更有瑰宝实意义。圆形
镜共焦腔模式积分方程的精确解析解是超椭球函数。但人们对超椭球函数的研究还不象
对长椭球函数那样成熟,因此,在本节将只介绍当腔的孔径足够大时模的解析近似表达
式。
一 拉盖尔 -高斯近似
可以证明,当腔的菲涅耳数 N→∞ 时,圆形镜共焦腔的自再现模为下述拉盖尔 -高斯
函数所描述, （ 2.7.1）
式中 (r,Ф)为镜面上的极坐标 ;Cmn为归一化常数 ;L=2f为共焦腔长 (f一镜的焦距 )。
缔合拉盖尔多项式,
（ 2.7.2）
将式 (2.7.2)所示之 Lm n代人式 (2.7.1)得出
（ 2.7.3）
与 vmn(r,Ф)相应的本征值为
（ 2.7.4）
当腔的菲涅耳数 N为有限时,用式 (2.7.1)描述镜面上的场分布将有一定的误差。
但分析表明,只要腔的菲涅耳数 N不太小,式 (2.7.1)的近似程度就会是令人满意的。因
此，通常取 N→∞ 时圆形镜共焦腔模式本征值的解作为 N值为有限时模的解析近似表达
式,并称为拉盖尔 -高斯近似。
下面就来分析拉盖尔,高斯近似下的共焦腔模的特征。
一 模的振幅和相位分布
式 (2.7.3)第一个式子描述 TEM00模的场。显然,基模在镜面上的最幅分布是高斯
型的,整个镜面上没有场的节线,在镜面中心 (r =0)处,振幅最大,定义在基模振幅 1/e处
的光斑半径为
这一表达式与式 (2.5.20)相同
对其他各阶横模,镜面上出现节线。 TEMmn模沿辐角 (伊 )方向的节线数目为 m,沿
径向 (r方向 )的节线圆数目为 n,各节线圆沿 r方向不是等距分布的。图 2.7.1是几个
低阶横模的强度花样。
与方形镜的情况相似,随着 m,n的增加,模的光斑也将增大,但在圆形镜系统中光
斑随 n的增大要比随 m的增大来得更快。仿照 ω08,将高阶模的光斑半径的 ωmns定义为场
振幅降落到最外面一个极大值的 1/e的点与镜面中心的距离,则相应的计算给出最初
几个横模的光腰半径如表 2.3。
由于 vmn(r,Ф)为实函数,因此圆形共焦镜面本身为场的等相位面,其情况与方形镜
共焦腔完全一样。
2.单程相移和谐振频率
自再现模在腔内一次渡越的总相移为
由式 (2.7.4)得出
（ 2.7.5）
可见,相对于几何相移 kL而言,在圆形镜共焦腔中出现了一个附加的相位超前
（ 2.7.6）
由式 (2.7.6)易于求得圆形镜共焦腔模的谐振频率为
（ 2.7.7）
或
（ 2.7.8）
式 (2.7.7)表明，圆形镜共焦腔模在频率上是高度简并的。例如,TEM mnq模与 TEMm+2nq-
1,TEMmn+1q-1,TEMm-2n+1q,TEMm+2n+1q-2等模的谐振频率都相同。
属于同一横模的相邻两个纵模的频率间隔为
（ 2.7.9）
而 q相同的两相邻横模所对应的频率间隔为
（ 2.7.10）
式 (2.7.9),(2.7.10)描述了圆形镜共焦腔的频谱特征。
3.单程衍射损耗
模的单程损耗应由
给出。按式 (2.7.4),ymn的模为 1,由此得出
δmn =0 （ 2.7.11）
即所有自再现模的损耗均为零。这一结果是不足为奇的,因为式 (2.7.1)和式 (2.7.4)是
在 N→∞ 的情况下得到的。可见,当 N为有限 (但不太小 )时,拉盖尔 -高斯近似虽然能满
意地描述场分布及相移等特征,但却不能用来分析模的损耗。只有精确解才能给出共焦
模的损耗与 N及横模指标 m和 n的关系。福克斯和厉鼎毅用迭代法对圆形镜对称共焦
腔模进行了数值求解。圆形镜共焦腔几个最低阶模的损耗如图 2.7.2所示。与方形镜共
焦腔模的损耗比较,当菲涅耳数相同时,它的损耗比方形镜腔类似横模的损耗要大几倍。
二、圆形镜共焦腔的行波场
当已知镜面上的场分布时,利用菲涅耳 -基尔霍夫衍射积分即可求出共焦腔中的场。
在拉盖尔 -高斯近似下,由一个镜面上的场所产生的圆形镜共焦腔的行波场为
（ 2.7.12）
（ 2.7.13）
式中 L=2f,为共焦腔长 ;f为镜的焦距。
对圆形镜共焦腔行波场特性的分析可按与方形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振,
幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。
通过前面的讨论可以看出,当共焦腔自再现模能以厄米 ·高斯或拉盖尔 ·高斯函数近似描
述时,我们很容易解析地表达出共焦腔振荡模的一系列重要特征,因此,这种形式的解析近似
解是极有价值的。然而,我们也必须注意,近似解是在 N→∞ 的条件下得到的,因此,只有当 N
足够大时,近似解的结果才能与实际情况符合较好。一般地说,在 N>1的范围内,近似解能比
较满意地描述共焦腔模的各种特征,特别是共焦腔基模的基本特征。通过本章后面的分析
可看出,要求 N较大与要求镜面上的光斑半径较小 (与镜的线度相比 )是一致的,
2.8一般稳定球面腔的模式特征
共焦腔模式理论不仅能定量地说明共焦腔振荡模本身的特征,更重要的是,它能被推
广到整个稳定球面腔系统,这一推广是谐振腔理论中的一个重大进展。
下面我们将要证明,任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价。而任何一个稳定球面腔
唯一地等价于 → 个共焦腔。这里所说的 "等价 ",就是指它们具有相同的行波场。这种等价性
深刻地揭示出各种稳定腔 (共焦腔也是其中的一种 )之间的内在联系,它使得我们可以利用共
焦腔模式理论的研究结果来解析地表述一般稳定球面腔模的特征。
上述等价性是以共焦腔模式的空间分布,特别是其等相位面的分布规律为依据的。
根据式 (2.6.12),与腔的轴线相交于任意一点 z的等相位面的曲率半径为
（ 2.8.1）
由此,我们不难证明下述两点。
(1)任意一个共焦球面 (或抛物面 )腔与元穷多个稳定球面腔等价。
节已经指明,如果我们在共焦场的任意两个等相位面上放置两块具有相应曲率
半径的球面反射镜,则共焦场将不会受到扰动。但这样,我们就作成了一个新的谐振腔,
它的行波场与原共焦腔的行波场相同。由于任一共焦腔模有元穷多个等相位面,因而我
们可以用这种方法构成元穷多个等价球面腔。现在证明,所有这些球面腔都是稳定腔。
以图 2.8.1所示的等相位面 c1,C2为例
注意到关于球面腔曲率半径 R的符号规
定,对放置在 c1,c2处的反射镜,应有
（ 2.8.2）
不难证明,上述 R1,R2,L满足关系式
（ 2.8.3）
这正是 2.2节导出的稳定性条件。
(2)任一满足稳定性条件式 (2.8.3)的球面腔唯一地等价于某一个共焦腔。
这个断言的意思是,如果某一个球面腔满足稳定性条件,则我们必定可以找到一个而
且也只能找到一个共焦腔,其行波场的某两个等相位面与给定球面腔的两个反射镜面相
重合。
仍以双凹腔为例,如图 2.8.2所示,其中镜 I的曲率半径为 R1,镜 II的曲率半径为为 L。假设它
的等价共焦腔已经找到,如图中 c-c'所示,其焦距为 f,腔的中心为 o。我们就取 o作为沿腔轴线
的坐标 z的原点,在此坐标系中,所给球面腔的两个反射镜面中心的坐标分别为 z1,z2。
现在我们的任务是要证明只要 R1,R2,满足条件（ 2.8.3）则必能求出合理的 f
值并正确决定等价共焦腔 c-c'的位置。具体地说,由给定的 Rl,R2,L所求得的
须为实数,而且能正确地决定等价共焦腔的中心 o的位置。
按式 (2.8.1),图 2.8.2中所示的双凹腔应满足式 (2.8.2)所示联立方程。由方程组可唯一地
解出一组数 z1,z2和 f2
（ 2.8.4）
不难证明。当 R1,R2,L满足式 (2.8.3)时,由上式可得 f2 〉 0。这就证明了第 2项论断是正确
的。对其他各种稳定球面腔,如用凹 _凸稳定腔、平 _凹稳定腔等,都可以用类似的方
法来证明其等价共焦腔的存在。当 z1,z2,f2求出后,等价共焦腔就唯一地确定下了。
应该指出,本节所证明的等价性是以式 (2.8.1)为基础的,而只有当共焦腔中的场能由
厄米 -高斯或拉盖尔,高斯光束描述时式 (2.8.1)才是正确的。因此,只有当所讨论的稳定腔的
孔径足够大腔中的场集中在轴线附近时本节的结论才是正确的。
有了前面所证明的等价性定理,我们就可以将稳定腔模的特征解析地表述如下。
一、镜面上的光斑尺寸
按式 (2.6.5),共焦腔中基模的光斑尺寸为
式 (2.8.4)中所示之 f代入上式,即得出一般稳定球面腔 (R1,R2,L)的行波场的基模
光斑尺寸的分布。再以式 (2.8.4)中之 z1,z2代人,便分别得出镜 I和镜 II上的光斑尺寸
(2.8.6)
上式中 |R1|,|R2|表示 R1,R2的大小。式 (2.8.6)还可以用腔的 g参数表示如下,
(2.8.7)
式中 ωos=(Lλ/π)1/2表示腔长为 L的共焦腔镜面上的光斑半径。由 (2.8.7)式可以直接看出,该
公式仅对稳定腔适用。当 g1g2〉 1或 g1g2〈 0时,ωs1和 ωs2将成为复数,这显然是没有
物理意义的 ;而当 glg2=1或 g1g2=0(但 gl≠g2)时,ωs1和 ωs2中至少有一个将趋于发散。
二、模体积
按照与共焦腔模体积相同的考虑方法,一般稳定球面腔的基模模体积可以定义为
(2.8.8)
将式 (2.8.7)代入可得
(2.8.9)
式中 表示腔长为 L的共焦腔的基模模体积。
同样,在一般稳定腔中 TEM mn模的模体积 Vmn与 TEM00模的模体积 V00之比为
(2.8.10)
式中 V0mn/V000也表示共焦腔 TEMmn模与基模的模体积之比。上式对方形孔径一般稳定
球面腔成立。对圆形孔径稳定腔,也可进行类似的讨论。
式 (2.8.9)表明,随着腔趋向稳定区的边界,即 g1g2→1,或 g1g2→0( 但 g1≠g2)时,稳定腔的模
体积急剧增大。在稳定区的内部,一般稳定球面腔的模体积与腔长相同的共焦腔的模体积
具有相同的数量级,场也是集中在腔的轴线附近
三、等相位面的分布
将式 (2.84)中的 f代入式 (2.8.1〉 中,即得出稳定腔 (R1,R2,L)中高斯光束的等相位面的
曲率半径的方程式。不难证明，以式（ 2.8.4）中之 z1,z2代入这样所得到的方程式中
即可得出 R(z1)=R1,R(z2)=R2.
四、谐振频率
共焦腔的相位函数如式 (2.6.2),(2.7.13)所示,对方形镜有
(2.8.11)
以式 (2.8.4)之 f,z1,z2代入上式,并由谐振条件
(2.8.12)
即可证明，方形孔径稳定球面腔 TEMmnq模的谐振频率为
(2.8.13)
同理,圆形孔径稳定球面腔 TEMmnq模的谐振频率为
(2.8.14)
五、衍射损耗
共焦腔的模式理论证明,每一个横模的单程衍射损税单值地由腔的菲涅耳数
(2.8.15)
决定,其中 α表示共焦腔反射镜的线度 (例如方形镜边长的一半或圆形镜的半径 )
注意到共焦腔镜面上光斑尺寸的表示式 (2.5.20),可将式 (2.8.15)改写成
(2.8.16)
即共焦腔的菲涅耳数正比于镜的面积与镜面上光斑的面积之比。这一比值越大,单程衍
射损耗就越小。
根据波动光学的一般原理,衍射损耗的大小不仅与孔径的大小有关,与波长 λ有关,
而且还与人射在给定孔径上的光波的具体性质有关。例如,人射在同一孔径上的平面波
与球面波的衍射情况就不相同,人射在同一孔径上的均匀平面波与非均匀平面波的衍射
情况也不相同等等，对稳定球面腔以及与它等价的共焦腔而言，由于它们的行波场结构
完全相同,而且反射镜都构成场的等相位面,因此,它们的衍射损耗应该遵从相同的规律。
以 αi和 α0分别表示稳定球面腔及其等价共焦腔的反射镜线度,ωsi和 ωos分别表示其镜
面上的光斑半径,当
（ 2.8.17）
时,两个腔的单程损耗应该相等。将
（ 2.8.18）
称为稳定球面腔的有效菲涅耳数。按式 (2.8.6)和式 (2.8.7)有
（ 2.8.19）
当 a1=a2=a时有
（ 2.8.20）
式中的 N0=α2/Lλ表示腔长为 L,反射镜线度为 α的谐振腔的菲涅耳数。式 (2.8.19)、
(2.820)表明,对一般稳定球面腔,每一个反射镜对应着一个有效菲涅耳数,即使两个反
射镜的线度完全一样,相应的有效菲涅耳数也不一定相同。在求得了有效菲涅耳数以后,
即可按共焦腔的单程衍射损耗曲线来查得一般稳定腔的损耗值。一般地说,两个反射镜
上的损耗将是不相同的,分别以 δ1mnδ2mn表示,则平均单程损耗为
（ 2.8.21）
对方形孔径稳定球面腔,基模损耗还可以按式 (2.5.30)计算,只须在其中以 Nef代替 N。
由式 (2.8.20)看出,当趋向稳定区的边界时,腔的有效菲涅耳数中至少有一个急剧减
小,这将预示着腔的损耗急剧增加。
六、基模远场发散角
将式 (2.8.4)的 f代入共焦腔的基模发散角公式 (2.6.14)中即得出一般稳定球面腔
的基模远场发散角 (全角 )为
（ 2.8.22）
通过上述分析我们已经将一般球面腔模式特征借助于其等价共焦腔行波场的特性而
解析地表示出来。在本节的基础上可以进一步讨论对称稳定球面腔、平 -凹稳定腔等在实
用上有重要意义的特殊情形。这一工作留给读者自己完成。
2.9高斯光束的基本性质及特征参数
一、基模商斯光束
沿 z轴方向传播的基模高斯光束,不管它是由何种结构的稳定腔所产生的,均可表
示为如下的一般形式,
（ 2.9.1）
式中 c为常数因子,其余各符号的意义为
（ 2.9.2）
ω0为基模高斯光束的腰斑半径 ;f称为高斯光束的共焦参数 ;R(z)为与传播轴线相交于
z点的高斯光束等相位面的曲率半径 ;以 ω(z)是与传播轴线相交于 z点的高斯光束等相
位面上的光斑半径。
由式 (29.2)可以看出,当 z =f时,以 ω(z)=ω0表示光斑半径增加到腰斑的 21/2倍处的位置。从
2.6节和 2.7节关于共焦腔振荡模的知识得知,焦距为 f或曲率半径为 R=2f的对称共焦腔所产
生的高斯光束的腰斑半径恰为 ω0,式 (2.9.2)最后一式给出了 f与 ω0的联系。
对于由一般稳定球面腔 (R1,R2,L)所产生的高斯光束，参数 ω0及 f与 R1,R2、
L的关系为
（ 2.9.3）
式 (291)与式 (292)与我们前面得出的高斯光束的表达式 (2.6.1),(2.6.2)和式 (2.7.12)、
(2.7.13)实质上是一样的。两者的相位函数在形式上略有差异,因为在本节中我们以
高斯光束束腰 (z=0）作为相位计算的起点,即取 z=0处的相位为 0,而在式。 (2.6.2)和
式 (2.7.13）,我们以 z =-f(即共焦腔的一个镜面 )处作为相位计算起点。时 (川 1)与
式 (29.2)中,我们以高斯光束的典型参数 f(或 tco)来描述高斯光束的具体结构,从而
使我们可能深入研究高斯光束本身的特性及其传输规律,而不管它是由何种几何
结构的稳定腔所产生的。
二、基模高斯光束在自由空间的传输规律
式 (291)和式 (292)描述了阳光束在自由空间中的传输规律。从这两个式子看
出,高斯光束具有下述基本性质。
(1)基模高斯光柬在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心
(即传输轴线 )向外平滑地降落。由振幅降落到中心值的 1/e的点所定义的光斑半径为
（ 2.9.4）
可见,光斑半径随坐标 z按双曲线的规律而扩展,在 z=0处,以 ω(z)=ω0,达到极小值
（ 2)基模高斯光束的相移特性由相位因子
（ 2.9.5）
所决定,它描述高斯光束在点 (x,y,z)处相对于原点 (0,0,0)处的相位滞后。其中 kz描
述几何相移 ;arctg(z/f)=arctg(zλ/πω20)描述高斯光束在空间行进距离 Z时相对几何相
移的附加相位超前 ;因子 kr2/2R表示与横向坐标 (x,y)有关的相位移动,它表明高斯光
束的等相位面是以 R为半径的球面,R由下式给出,
（ 2.9.6）
由式 (2.9.6)可以看出,
当 z =0时,R(z)→∞,表明束腰所在处的等相位面为平面 ;
当 z =± ∞时,|R(z)|≈|z|→∞,表明离束腰无限远处的等相位面亦为平面,
且曲率中心就在束腰处 ;
当 z =士 f时,|R(z)|=2f,且 |R(z)|达到极小值 ;
当 0<z<f时,R(z)〉 2f,表明等相位面的曲率中心在 〔 -f~∞〕 区间上 ;
当 z >f时,z<R(z)<z+f,表明等相位面的曲率中心在 〔 -f,0〕 区间上。
(3)定义在基模高斯光束强度的 1/e2点的远场发散角为
(2.9.7)
总之,高斯光束在其传输轴线附近可近似看作是一种非均匀球面波。其曲率中心随着传
输过程而不断改变,但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性,且其等相位面始
终保持为球面。
三、基模高斯光束的特征参数
1.用参数 ω0(或 f)及束腰位置表征高斯光束
从式 (2.9.1)与式 (2.9.2)可以看出,一旦腰斑 ω0的大小和位置给定了,整个高斯光束的结构
也就随之确定下来。由此可以确定与束腰相距 z处的光斑大小 ω(z)、等相位面的曲率半径
R(z)、该点相对于束腰处的相位滞后以及整个光束的发散角。由于在 ω0与 f之间存在着确
定的关系,因此可以用共焦参数 f及束腰的位置来表征特定的高斯光束 (见图 2.9.1)。
2用参数以 z)和 R(z)表征高斯光束
由式 (2.9.4)及式 (2.9.6)可知,如果知道了某给定位置 (设其坐标为 z)处的光斑半径 ω(z)及
等相位面曲率半径 R(z)．则可决定高斯光束腰斑的大小和位置
(2.9.8)
可见,我们也可以用给定位置 z处的 ω(z)和 R(z)表征特定的高斯光束。
3.高斯光束的 q参数
将式 (2.9.1)中与横向坐标 r有关的因子放在一起,则式 (2.9.1)可以写成
引入一个新的参数 q(z),其定义为
(2.9.9)
则前式可写成
(2.9.10)
式 (2.9.)所附定义灿自的参数 q将描述高斯光束基本特征的两个参数 ω(z)和 R(z)统一在一
个表达式中,它是表征高斯光束的又一个重要参数。一旦知道了高斯光束在某位置处的
q参数值,则可由下式求出该位置处 ω(z)和 R(z)的数值,
(2.9.11)
如果以 q0=q(0)表示 z=0处的 q参数值,并注意到 R(0)→∞,ω(0)=ω0,则按式
(2.9.9)有
(2.9.12)
由此得出
此式将 q0,ω0及 f联系起来。
总之上述三组参数都可以确定基模高斯光束的具体结构。因此,我们可以根据实际灵
活地选择最合适的参数来表征高斯光束。当然,这些特征参数是互相联系的。后面几节的
讨论将会表明,用 ω0或 ω(z)及 R(z)来描述高斯光束比较直观,但用 q参数来研究高斯光束的传
输规律,特别是高斯光束通过光学系统的传输将比应用其他参数更为方便
四、高阶高斯光束
1．厄米 —高斯光束
在方形孔径共焦腔或方形孔径稳定球面腔中,除了存在由式 (2.9.1)所表示的基模高
斯光束以外,还可以存在各高阶高斯光束,其横截面内的场分布可由高斯函数与厄米多项
式的乘积来描述。沿 z方向传输的厄米卢高斯光束可以写成如下的一般形式
式中 ω=ω (z),R=R(z)的意义与以前一样,分别表示 m阶和 n
阶厄米多项式。
厄米 -高斯光束与基模高斯光束的区别在于,厄米 -高斯光束的横向场分布由高斯函
数与厄米多项式的乘积
决定,厄米 -高斯光束沿 z方向有 m条节线,沿 y方向有 n条节线 ;沿传输轴线相对于几
何相移的附加相位超前
(2.9.14)
随阶数 m和 n的增大而增大。由式 (2.5.26),(2.5.27)可以推论,其 Z方向和 y方向的
光腰尺寸
(2.9.15)
在 z处的光斑尺寸为
式中 ω0和 ω(z)分别为基模光腰半径和 z处光斑半径。在 z方向和 y方向的远场发散角
(2.9.17)
(2.9.16)
式中 ζ0为基模高斯光束远场发散角。
由式 (2.9.16)与式 (2.9.17)可见,光斑尺寸和光束发散角均随 m和 n的增大而增大
2.拉盖尔 ·高斯光束
在柱对称稳定腔阪 (包括圆形孔径共焦腔 )冲中,高阶横模由缔合拉盖尔多项式与高斯分
布画数的乘积来描述,沿 z方向传输的拉盖尔 -高斯光束可表为如下的一般形式,
(2.9.18)
式中 (r,Ф,z)表示场点的柱坐标 ;ω=ω(z),R=R(z)的意义与式 (2.9.1)一样 ; 为缔合
拉盖尔多项式。
与基模高斯光束比较,柱对称系统中的高阶高斯光束的横向场分布由函数
描述,它沿半径 r方向有 n个节线圆,沿辐角伊方向有 m根节线 ;而拉盖尔 -高斯光束的附加相移
为 (2.9.19)
由上式可见 Δθmn 随 n的增加比随 m更快 ;可以证明,其光斑半径
发散角
(2.9.20)
(2.9.21)
2.10 高斯光束 q参数的变换规律
本节用 q参数来讨论高斯光束的传输规律。它比用其他参数 (如 R(z)和 ω(z))更为方便,
而且可以用一个统一的公式来描述高斯光束通过自由空间及光学系统的行为。
一、普通球面波的传播规律
考察沿 z轴方向传播的普通球面波,其曲率中心为 O(见图 2.10.1)。该球面波的波
前曲率半径 R(z)随传播过程而变化
R1=R(z1)=z1
R2=R(z2)=z2
R2=Rl+(z2-z1)=R1+L (2.10.l)
式 (2.10.1)表述了普通球面波在
自由空间的传播规律。
当傍轴球面波通过焦距为 F的薄透镜时,其波前曲率半径满足
(2.10.2)
这里,我们以 R1表示人射在透镜表面上的球面波面的曲率半径,以 R2表示经过透镜出射的
球面波面的曲率半径。式 (2.10.2)描述了傍轴球面波通过薄透镜的变换规律。
在 2.2节中我们已经引人过傍轴光线通过光学系统的变换矩阵
(2.10.4)
当光线在自由空间 (或均匀各向同性介质 )中行进距离 L时,其变换矩阵为
而焦距为 F的薄透镜对傍轴光线的变换矩阵为
(2.10.5)
(2.10.3)
依此,球面波的传播规律 (2.10.1)及 (2.10.2)式可以统一地写成
R2=(AR1+B)/(CR1+D) (2.10.)
通过上述讨论可以看出,具有固定曲率中心的普通傍轴球面波可以由其曲率半径 R
来描述,它的传播规律按式 (2.10.6)由傍轴光线变换矩阵 T确定。
二、高斯光束 q参数的变换规律一 ABCD公式
高斯球面波 ——非均匀的、曲率中心不断改变的球面波 ——也具有类似于普通球面
波的曲率半径 R这样的参量,其传播规律与普通球面波的 R完全类似。这就是 2.9节
已经提到过的高斯光束的 q参数。按式 (2.93),q参数的定义为
6)
(2.10.7)
以
代人式 (2.10.7),经适当运算后得出
(2.10.8)
式中 q0=q(0)=iπω20/λ=if为 z=0处的 q参数值 (见式 (2.9.12))。式 (2.10.8)描述了高斯光束
的 q参数在自由空间 (或均匀各向同性介质 )中的传输规律。它在形式上比式 (2.9.4)和 (2.9.6)
所表示的 R和 ω的传输规律要简单一些。由式 (2.10.8)可以推得
(2.10.9)q2=q1+(z2-z1)=q1+L
式中 q1=q(z1)为 z1的 q参数值 ;q2=q(z2)为 z2处的 q参数值。
式 (2.10.9)与普通球面波的式 (2.10.1)形式上完全一样。
当通过薄透镜时,高斯光束 q参数的变换规律很简单。下面,我们首先证明,高斯光束经过
薄透镜变换后仍为高斯光束。若以 M1表示高斯光束入射在透镜表面上的波面 (见图 2.10.2),
由于高斯光束的等相位面为球面,经透镜后被转换成另一球面波面 M2而出射,M1与 M2的曲率
半径 Rl及 R2之间的关系由式 (2.10.2)确键。同时,由于透镜很“薄”,所以在紧挨透镜的
两方的波面 M1及 M2上的光斑大小及光强分布都应该完全一样。以 wl表示入射在透镜
表面上的高斯束光斑半径,叫表示出射高斯束光斑半径，则薄透镜的这一性质可表为
ω2=ω1 (2.10.10)
总之,经薄透镜变换后,我们将获得
具有高斯型强度分布的另一球面波
面 M2,按博伊德和戈登的理论,出射
光束继续传输时仍为高斯光束。
有了式 (2.10.2)和式 (2.10.10),可以立即写出
（ 2.10.11）
式中 q1为人射高斯束在透镜表面上的 q参数值 ;q2为出射高斯束在透镜表面上的 q
参数值 ;RI,ω1为人射高斯束在透镜表面上的波面曲率半径和光斑半径 ;R2,ω2为出射
高斯束在透镜表面上的波面曲率半径和光斑半径。式 (2.10.11)即为 q参数通过薄透镜
的变换公式,它在形式上与普通球面波所满足的式 (2.10.2)完全类似。
比较式 (2.10.9),(2.10.11)和式 (2.10.1),(2.10.2)可知,无论是对在自由空间的传播或对
通过光学系统的变换,高斯束的 q参数都起着和普通球面波的曲率半径 R一样的作用,因此有
时又将 q参数称为高斯束的复曲率半径。与式 (2.10.6)类似,q参数的变换规律可用下式统一
表示 （ 2.10.12）q
2=(Aq1+B)/(Cq1+D)
这就是高斯光束经任何光学系统变换时服从的所谓 ABCD公式,式中 为光学系统
对傍轴光线的变换矩阵。当 λ→0 时,波动光学过渡到几何光学,这时由式 (2.10.7)得出
q→R,表明高斯束的传输规律过渡到几何光学中傍轴光线的传输规律。
式（ 2.10.12）的主要优点是使我们能通过任意复杂的光学系统追踪高斯光束的 q的参
数值，只要我们知道了傍轴光线通过了该系统的变换矩阵 。在求得某位置处的
q(z)后，光束的曲率半径 R（ z）及光斑大小 ω（ z）即可按式（ 2.9.11算出。通过下面的例
子,这一程序将变得更清楚。
三、用 q参数分析高斯光束的传输问题
下面,我们用 q参数来研究如图 2.10.3所示的高斯束的传输过程。
已知：入射高斯束腰斑半径为 ω0,束腰与透镜 L的距离为 l,透镜的焦距为 F。
求,通过透镜 L后在与透镜相距 lc处的高斯束参数 ωc和 Rc.
这类问题用 q参数来处理比较方便。由式 (2.10.8)式。 (2.10.11)不难得出
（ 2.10.13）
当已知 ω0,l,F时,对任意给定的 lc,均可由式 (210.13)求出相应的 q c,然后由式
(2.9.12)求出 ωc和 Rc。
下面,首先利用式 (2.10.13）来研究高斯光束腰斑的变换规律。为此,我们将 C点取
在像方束腰处,此时应有
（ 2.10.14）
若条件 (2.10.14)成立即可反过来导出像方束腰到透镜的距离 l'.将求得的 l'代人 qc
的表示式并由公式
（ 2.10.15）
即可求出像方腰斑的大小 ω'0演算过程如下,
首先,由式 (2.10.13)求得
（ 2.10.16）
由此即可解得
(2.10.17)
将式 (210.17)代入式 (2.10.16）得出
由此求得
(2.10.18)
式 (2.16.17)及式 (2.10.18)就是高斯光束束腰的变换关系式。它们完全确定了像方高斯量
光束的特征，它们将 ω'0 l'0表示为 ω0,l,F的函数，可以很方便地用来解决各种实际问
题。在本章后面几节中,我们将进一步讨论这些公式的应用。现在先将由式 (2.10.17)及 E
式 (2.10.18)所表征的高斯光束的成像规律与熟知的几何光学成像规律进行比较。
当满足条件
(2.10.19)
时,由式 (2.10.17)得出
或
(2.10.20)
这正是几何光学中的成像公式。同样,在满足条件 (2.10.19)时,由式 (2.1018)可求得薄
透镜没高斯光束的腰斑放大率 k为
(2.10.21)
与几何光学中透镜成像的放大率公式一致。
可见,如果将物、像高斯光束之束腰与几何光学中之物和像相对应,则当满足条件
(2.10.19)时,可以用几何光学中处理傍铀光线的方法来处理高斯光束，这将使问题大为简
化。由于 (l-F)为物高斯束腰与透镜后焦面的距离,πω02/λ为物高斯光束的共焦参数,所以,不
等式 (2.10.19)要求物高斯光束束腰与透镜后焦面的距离远大于物高斯光束的共焦参数。粗
略地说,就是要求物高斯光束束腰与透镜相距足够远。
如果条件 (2.10.19)不满足,则式 (2.10.17)、式 (2.10.18)与式 (2.10.20)、式 (2.10.21)可能
有甚大的差异。这时高斯光束的行为可能与通常几何光举中傍轴光线的行为迥然不同。例
如,当
l=F ( 2.10.22 )
时,由式 (2.10.17)得出
l‘=F ( 2.10.23 )
即当物高斯光束束腰处在透镜物方焦面上时,像高斯光束束腰亦将处在透镜像方焦面上,这
与几何光学中处在焦点上的物经过透镜成像于无穷远处的概念完全不同。同样,当 l<F时,由
式 (2.10.17)仍可解得正的 l'值,如 l =0时,有 F〉 l'〉 0,这又与几何光学中当 l〈 F时不能成实像
的情况不同。总之,在条件 (2.10.19)不成立时,只有式 (2.10.17),(2.10.18)才能正确地描述
高斯光束通过透镜的传输规律。
利用式 (2.10.16),还可以很方便地求出透镜焦平面上的光斑大小。事实上,在式
(2.10.16)中令 l c=F,则有
式中
有前式得
由此
（ 2.10.24）或
2.11高斯光束的聚焦和准直
一、高斯光束的聚焦
实际应用中提出的一个重要问题是,如何用适当的光学系统将高斯光束糕。在本
节中我们只讨论单透镜的聚焦作用。为此,我们首先利用公式 (2.10.17)和式 (2.10.18
分析像方高斯光束腰斑的大小 ω'。随物高斯光束的参数 ω0,l及透镜的焦距 F而变化的
情况,从而判明,为了有效地将高斯光束聚焦应如何合理地选择上述参数。
1,F一定时,ω'0随 l变化的情况
像方高斯光束腰斑的大小由 (2.10.18)式确定。由此,不难得知,
(l)当 l<F时,ω'02随 l的减小而减小,因而当 l =0时,ω'0达到最小值
（ 2.11.1）
此时,由 (2.10.17)得出
（ 2.11.2）
而腰斑放大率为
（ 2.11.3）
可见,当 l =0时,ω'0总是比 ω0小,因而不论透镜的焦距 F为多大,它都有一定的聚焦作
用,并且像方腰斑的位置将处在前焦点以内。
如进一步满足条件
（ 2.11.4）
则式 (2.11.1),(2.11.2)成为
（ 2.11.5）
在这情况下，像腰斑就处在透镜的前焦面上，且透镜的焦距 F愈小，焦斑半径 ω'0也
愈小,聚焦效果愈好,
(2)当 l 〉 F时,ω。随 l的增大而单调地减小,当 l→∞ 时,按式 (2.11.17)及式 (2.11.18)得出
ω?0→0,l‘ →F (2.11.6)
一般地,当 l>F时,有
(2.11.7)
由此式及式 (2.10.17)得出
式中 ω(l)为人射在透镜表面上的高斯光束光斑半径。若同时还满足条件 l>>πω02/λ=f,
则有
(2.11.8)
可见,在物高斯光束的腰斑离透镜甚远 (l>>F)的情况下,l愈大,F愈小,聚焦效果愈好。当然,上
述讨论都是在透镜孔径足够大的假设下进行的,否则,还必须考虑衍射效应。
(3)当 l =F时,ω'0达到极大值
ω?0= λF/πω0 (2.11.9)
且有 l'=F,仅当 F<πω20/λ=f时,透镜才有聚焦作用。
F一定时,w0'随 l而变化的情况以及透镜对高斯光束的聚焦作用如图 211.1所示,从图中还
可以看出,不论 l的值为多大,只要满足条件 f=πω20/λ>F 就能实现一定的聚焦作用。
2 在 l一定时,ω'0随 F而变化的情况
当 ω。和 l一定时,按式 (2.10.18),ω'。随 F而变化的情况大体如图 2.11.2所示。
图中 R(l)表示高斯光束到达透镜表面上的波面的曲率半径
从图中可以看出,对一定的 l值,只有当其焦距 F〈 R(l)/2时,透镜才能对高斯光
柬起聚焦作用,F愈小,聚焦效果愈好。在 F<<l的条件下,ω'。及 l'由式 (2.11.7)给出
总之,为使高斯光束获得良好聚焦,通常采用的方法是,用短焦距透镜 ;使高斯光束腰
斑远离透镜焦点,从而满足条件 l>>f,l>>F;取 l =0,并设法满足条件 f>>F.
二高斯光束的准直
利用光学系统压缩高斯光束的发散角是实际应用中提出的又一个重要问题。为此,我们先
来考察高斯光束通过薄透镜时其发散角的变化规律。
1.单透镜对高斯光束发散角的影响
按式 (2.10.7),腰斑大小为 ω。的物高斯光束的发散角为
（ 2.11.10）
通过焦距为 F的透镜后,像高斯光束的发散角为
ζ。 =2λ/ω。 π
ζ?。 =2λ/ω‘。 π
（ 2.11.11）
利用式 (2.10.18)得出
（ 2.11.12）
可以看出,对 ω。为有限大小的高斯光束,元论 F,l取什么数值,都不可能使 ω'。 → ∞,从
而也就不可能使 ζ。 → 0。这就表明,要想用单个透镜将高斯光束转换成平面波,从原则上
说是不可能的。
现在的问题是,在什么条件下可以借助于透镜来改善高斯光束的方向性。由式,(2.11.10)
和式 (2.11.11)看出,当 ω'。 >ω。时,将有 ζ?。 〈 ζ。,在一定的条件下,当 ω。达到极大值时,ζ。
将达到极小值。
设腰斑为 ω。的高斯光束人射在焦距为 F的透镜上,由条件
可以得出,当 l =F时,ω'。达到极大值
ω‘0=λF/πω0
此时
(2.11.14)
(2.11.15)
可见,当透镜的焦距 F一定时,若人射高斯束的束腰处在透镜的后焦面上 (l=F),则 ζ'。
达到极小。此时,F愈大,即透镜焦距愈长,ζ'。愈小。当
(2.11.16)
时,有较好的准直效果。
从式 (2.11.15)还可得到启示,在 l =F的条件下,像高斯光束的方向性不但与 F的大小有关,
而且也与 ω。的大小有关。 ω。愈小,则像高斯光束的方向性愈好。因此,如果预先用一个短
焦距的透镜将高斯光束聚焦,以便获得极小的腰斑,然后再用一个长焦距的透镜来改善其方
向性,就可得到很好的准直效果。
2.利用望远镜将高斯光束准直
根据本节前面的分析可知,前述两个透镜应按图 2.11.3所示之方式组合起来,它实际上是
一个望远镜,只不过倒装使用而已。
图 2.11.3中 L1为一短焦距透镜
(称为副镜 ),其焦距为 F1,当满
足条件 F1<<l,时它将物高斯光
束聚焦于前焦面上,得一极小光斑
(2.11.17)
式中以 ω(l)为人射在副镜表面上的光斑半径。由于 ω'。恰好落在长焦距透镜 L2(称为
主镜,其焦距为 F2)的后焦面上,所以腰斑为 ω'。的高斯束将被 L2很好地准直。整个系
统的准直倍率可计算如下。
以 ζ。表示人射高斯光束的发散角,ζ'。表示经过副镜 L1后的高斯光束的发散角,ζ"0
表示经过主镜 L2后出射的高斯光束的发散角,则该望远镜对高斯光束的准直倍率 M'定
义为
M‘=ζ0/ζ‖0 (2.11.18)
按式 (211.15)及式 (2.11.10),(211.11)
注意到式 (2.11.17),不难求得
由此即可得出望远镜对高斯光束之准直倍率
(2.11.19)
式中 M=F2/F1,为望远镜主镜与副镜的焦距比,它就是通常所说的望远镜的准直倍率
(或称为几何压缩比 )。
从式 (2.11.19)可以看出,一个给定的望远镜对高斯光束的准直倍率 M'不仅与望远
镜本身的结构参数有关,而且还与高斯光束的结构参数 f以及腰斑与副镜的距离 l有关。
虽然该公式是在 l>>F1的条件下导出的,但它对 l =0(且 f>>F1)的情况也适合。此时
ω(l)=ω0
M‘=M=F2/F1
在一般情况下,由于 ω(l)总是大于 ω0,因而望远镜对高斯光束的准直倍率 M'总是比对普通
傍轴光线的几何压缩比 M要高。 M愈大,ω(l)/ω0愈大,M'也就愈大。
在 l为有限的情况下,ω?。并不准确地落在副镜 L1的前焦面上,因而望远系统应允许作微
小的调整。此外,这里的讨论没有考虑像差,而且假设透镜孔面上的光斑远小于透镜本身的
孔径,因而无须考虑由透镜的有限孔径引起的衍射效应。当光斑等于或大于透镜的孔径时,
要想通过提高准直倍率来无限制地压缩高斯光束的发散角是不可能的。这时 ω‘。的大小及
出射光束的最小发散角应由透镜的孔径所决定,这就是望远镜运用在衍射极限的情形。
实际的准直望远镜可以做成透射式,反射式或折 -反式,但其基本工作原理都是一样的。
2.12高斯光束的自再现变换与稳定球面腔
如果一个高斯光束通过透镜后其结构不发生变化,即参数 ω。或 f不变,则称这种变换为自
再现变换。对自再现变换,下述两个等式必能同时成立,
（ 2.12.1）
若以 q参数来表述自再现变换,则在图 2.10.3所示的情形中,对 lc=l应有
（ 2.12.2）
式 (2.12.1)或式 (2.12.2)就是自再现变换的数学表示,
一、利用透镜实现自再现变换
用薄透镜对高斯光束实现自再现变换的条件可推导如下,
设腰斑为 ω。的高斯光束入射在焦距为 F的透镜上,入射高斯光束的束腰与透镜的窍疆
距离为 l。在式 (2.10.18)中令 ω'0=ω0,则有
由此解得
(2.12.3)
将上式代人式 (2.10.17)中可证实 l'=l。
由式 (2.9.6)可知,物高斯束在透镜表面上的波面的曲率半径为
(2.12.4)
因此式 (2.12.3)可以写成
(2.12.5)
可见,当透镜的焦距等于高斯束入射在透镜表面上的波面曲率半径的一半时,透镜对该高
斯束作自再现变换。
二、球面反射镜对高斯光束的自再现变换
本章前面几节有关高斯光束通过透镜系统变换的所有公式都适用于高斯束被球面镜反
射的情形,只须将公式中透镜的焦距 F用球面反射镜的曲率半径 R的一半 (即球面镜的焦距 )
来代替就行了。在此两种情形下,高斯束参数的变换关系都是一样的,只是在被球面镜反射
时,物、像高斯束均在反射镜的同一方,且传播方向相反 ;而在薄透镜的情况下,物 -像高斯束
各自处在甜的不同两方 ‘ 且传播方向相同。其情形如图 2121所示。
在高斯束被球面镜反射的情况下,自再现变换条件式 (2.12.5)的意义变得十分明显当入射
在球面镜上的高斯束波前曲率半径正好等于球面镜的曲率半径时,在反射时高斯光束的参
数将不会发生变化,即像高斯束与物高斯柬完全重合。通常将这种情况称为反镜与高斯束
的波前相匹配。透镜及球面镜对高斯光束作自再现变换的情况如图 2.12.2所示
如果条件式 (2.12.5)不满足,则在反射时高斯束的参数将发生变化。它的腰斑不能
再与人射高斯束腰斑相重合,其大小与位置应按式 (2.10.17)及式 (2.10.18)计算。计算时,
式中的 F用球面反射镜曲率半径 R之一半来代替。
三、高斯束的自再现变换与稳定球面腔
高斯束被匹配反射镜作自再现变换这一事实在谐振腔理论中具有重要的意义。我们
知道,高斯光束的等相位面近似为球面,且任意两个等相位面的曲率半径及其间距之间满
足稳定性条件。
因此,如果将某高斯光束的两个等相位面用相应曲率半径的球面反射镜来代替,则将构成一
个稳定腔,而且由于该高斯束被腔的两个反射镜作自再现变换,因而它将成为该谐振腔中的
自再现模。反之,对任意稳定腔而言,只要适当选择高斯束的束腰位置及腰斑大小,就可以使
它成为该稳定腔的本征模。这样,以高斯束的基本性质及其传输规律为基础,可以逻辑地建
立起稳定腔的模式理论。下面,我们就用 q参数来处理这个问题。
根据自再现模的定义,稳定腔的任一高斯模在腔内往返一周后,应能重现其自身。现在,
设某一高斯光束从腔内某一参考平面 (例如,腔的一个镜面 )出发时的 q参数值为 qM?。在腔
内往返一周后其 q参数值记为 q? M,则按式 (2.1012)应有
（ 2.12.6）
该高斯光束能成为谐振腔的自再现模的条件为
q?M=qM (2.12.7)
由式 (2.12.6)及式 (2.12.7)可得知,对腔的高斯模应有
（ 2.12.7）
式中 A, B,c,D为傍轴光束在腔内 (循前述高斯束渡越路径 )的往返矩阵的元素。式 -
(2.12.8)表示腔的高斯模在参考平面上的 q参数值,从而对整个高斯模的具体结构给予
一定的限制。
由该式可解得
（ 2.12.9）
由此式及式 (2.12.10),可算得高斯模在参考平面上的曲率半径和光斑尺寸为
（ 2.12.10）
知道了参考平面上的 R及 ω值,就可以求出其他任意平面上的 R及 ω值,特别是可以求出腰斑
的大小及位置。
上述讨论表明,一旦给定了稳定腔的具体几何结构,其高斯模的特征就可按式 (2.12.10)
完全确定。
这正是在 2.2节中由分析傍轴光线的几何损耗所导出的开腔的稳定性条件。现在,我们
对这一条件有了新的认识,在稳定光学开腔中不存在傍轴光线的几何逸出损耗与腔内存着
高斯光束型的本征模这一断言是等价的。
2.13光束衍射倍率因子
如何评价一个激光器所产生的激光光束空域质量是一个重要问题。人们曾根据不同应
用需要,将聚焦光斑尺寸、远场发散角等列为衡量激光束空域质量的参数。但由 2.11节可
知,经过光学系统后,光束的光腰尺寸和发散角均可改变,减小腰斑必然使发散角增加。因此
单独用其中之一来评价激光束空域质量是不科学的。人们发现,经过理想的无像差的光学
系统后光腰尺寸和远场发散角的乘积不变。对于基模高斯光束,由式 (2.6.14)可得
ω0ζ0=2λ/π （ 2.13.1）
对于高阶厄米 -高斯光束,若用式 (2.5.26)来定义光斑尺寸,则由式 (2.9.15)与式 (2.9.17)可得,
在 x向和 y方向的光腰半径和发散角的乘积分别为
ωmζm=（ 2m+n） 2λ/π
ωnζn=（ 2n+n） 2λ/π (2.13.2)
对于高阶拉盖尔 -高斯光束,由式 (2.9.20)和式 (2.9.21)可得
ωmnζmn=（ m+2n+1） 2λ/π (2.13.3)
鉴于激光束腰斑尺寸和发散角乘积具有确定值,并可同时描述光束的近场和远场特性,目
前国际上普遍将光束衍射倍率因子 M2作为衡量激光束空域质量的参量。光束衍射倍率因
子 M2定义为 M2=实际光束的腰半径与远场发射角的乘积 ÷
基模高斯光束的腰半径与远场发散角的乘积
对于基模高斯光束
M2=1 (2.13.5)
(2.13.4)
对于高阶厄米 -高斯光束和高阶拉盖尔 -高斯光束,分别有
Mx2=(2m+1)
My2=(2n+1)
(2.13.6)
对于各模式间不相干的多模厄米 -高斯光束,其 x方向和 y方向的光束衍射倍率因子是各
模式相对强度的加权平均
Mx2=∑m∑n(2m+1)│ Cmn│ 2
My2=∑m∑n(2n+1)│ Cmn│ 2 (2.13.8)
对于多模拉盖尔 -高斯光束,则有
Mr2=∑m∑n(m+2n+1)│ Cmn│ 2
由以上论述可知,基模高斯光束具有最小的 M2值 (M2=1),其光腰半径和发散角也
最小,达到衍射极限。高阶、多模高斯光束或其他非理想光束 (如波前畸变 )的 M2值均大
于 1。 M2值可以表征实际光束偏离衍射极限的程度,因此被称作衍射倍率因子。 M2值
越大,光束衍射发散越快。
由式 (1.5.4)可知,光源的单色亮度 Bν反比于发光面积 ΔS和发射立体角 ΔΩ。 ΔS 和 ΔΩ可表
示为 ΔS=πω2和 ΔΩ=πζ2/4,其中 ω和 ζ为实际光束的腰斑半径和远场发散角。根据光束衍射
倍率因子 M2的定义,可得 Bv∝ 1/(M2)2
M2因子越小,激光束的亮度越高。由此可见,M2因子是表征激光束空间相干性好坏的
本质参量。 K=1/M2称作光束传输因子,它也是国际上公认的一个描述光束空域传输
特性的量。
2.14非稳腔的几何自再现波型
非稳腔是随着高功率激光器件的发展而发展起来的。高功率激光器件设计中的主要
问题是,如何获得尽可能大的模体积和好的横模鉴别能力,以实现高功率单模运转,从而
既能从激活物质中高效率地提取能量,又能保持高的光束质量。分析表明,前面描述的稳
定腔不能满足这些要求,而非稳腔却是最合适的。
由于非稳腔中存在着傍轴光线的固有发散损耗,而且这种损耗往往很高,每一单程可
达百分之几十 ;又由于典型的高功率激光器件的激活物质的横向尺寸往往较大,腔的菲涅
耳数远大于 1,在这种情况下,衍射损耗往往不起重要作用。因此几何光学的分析方法对
非稳腔具有十分重要的意义。几何光学分析方法揭示出,非稳腔中存在着唯一的一对轴上
共辄像点及相应的一对几何自再现波型,它就是非稳腔基模的近似描写。此外,几何分
析方法还能大体上正确地给出非稳腔的损耗特征并描述非稳腔的输出老束特性 (远近场
图、发散角等 ),从而为非稳腔的设计提供初步根据。本节将仅限于介绍非稳腔的几何自
再现阔的概念,为学习非稳腔理论提供初步的基础,
一、非稳腔的构成
共轴球面谐振腔 (R1,R2,L)满足下列不等式之一
(2.12.1)
时该球面谐振腔称为非稳腔。
式中
(2.14.2)
为腔的 g参数。 R1,R2的符号规定与 2.2节相同。
按照 2.2节的分析，在非稳腔内存在着固有的光线发散损耗。傍轴光线在腔镜面上
经历相继的反射时,或者每次都向外偏折,离开腔轴线越来越远,以致最后逸出腔外 ;或者
在反射时虽然有内偏折,但却偏折太强,以致往复穿过轴线，而且,随着光线的每一次往
返,它们与轴线的夹角越来越大,最后也将从侧面逸出。因此,按几何光学的观点,非稳定
腔必然是高损耗的,我们也仅仅是在这种意义下使用 "非稳腔 "这个名称。
非稳腔有以下几种构成方式。
1.双凸腔
所有的双凸腔都是非稳腔。对图 2.14.1(α)所示的双凸腔,由于 R1<0,R2<0,因而有
(2.14.3)即任何双凸腔均满足式 (2.14.1)中第二式。
如果双凸腔满足 R1=R2,且腔的两个反射镜片的几何形状和横向尺寸都相同,则称为对称
双凸腔。
2.平 -凸腔
所有平 -凸腔也都是非稳腔。如图 2.14.1(b)所示之平凸腔,有 R1<0,R2→ ∞,因而
(2.14.4)
根据平面镜成像的道理,一个平 -凸腔等价于一个腔长为其二倍的对称双凸腔。
考察如图 2.1411(c)所示之平 -凹腔,其 R1>0,R2→ ∞仅当满足条件
R1<L (2.14.5)
当凹面镜的曲率半径小于腔长时,平 -凹腔才是非稳腔。
3.平 -凹非稳腔
4.双凹非稳腔
由两个共轴凹面镜组成非稳腔的条件是
(2.14.6a)
或
(2.14.7a)
其中 R1＞ 0,R2＞ 0。由式 (2.14.6a)得出
（ 2.14.6b）
如图 2.14.1(d)所示,由式 (2.14.7α)得出
R1+R2<L (2.14.7b)
如图 2.14.1(e)所示
满足式 (2.14.6)的双凹非稳腔的一个重要的特殊情形,是所谓非对称实共焦腔。
这种腔满足关系式 （ 2.14.8）
这时,两个凹面镜将在腔内有一个公共实焦点,
构成一个望远镜系统,如图 2.14.1(f)所示
5.凹,凸非稳腔
由一个凹面镜和一个凸面镜既可以构成稳定腔,也可以构成非稳腔。我们讨论 R1>0,
R2<0的情形。非稳条件 g1g2<0要求
R1<L (2.14.9)
而 g1g2>1要求
(2.14.10)
上述两种凹 -凸非稳腔如图 2.14.1(g)所示
满足条件 (2.14.10)的凹 -凸非稳腔的最重
要的特例是所谓虚共焦型非稳腔。这种腔
满足下述关系式
(2.14.11)
时,凹面镜的实焦点与凸面镜的虚焦点相重合,
公共焦点处在腔外,构成一个虚共焦望础系统,
如图 2.14.1(h)所示。
二、非稳腔的共辄像点及儿何自再现波型
由于非稳腔是高损耗腔,在激活物质的
增益不太高的情况下,往往不易产生振荡。
人们甚至曾经怀疑在非稳腔内是否能存在
自再现意义下的稳定的共振模。然而,对非
稳腔成象性质的深入分析表明,任何非稳腔
的轴线上都存在着一对共辍像点 P1和 P2
(见图 2.l4.2)
由这一对像点发出的球面波 (在极限情况下可能是平面波 )满足在腔内往返一次成像的自再
现条件。具体地说,从点 p1发出的球面波经谐振腔的镜面 M2反射后将成像于点 P2,这时反射
光就好像是从点 P2发出的球面波一样。这一球面波再经过镜 M1反射时,又必成像在最初的
源点 P1上。因此,对腔的两个反射镜而言,点 p1和 p2互为源和像。从这一对共辄像点中任何
一点发出的球面波在腔内往返一次后其波面形状保持不变,即能自再现。
下面将从球面镜的成像规律证明非稳腔轴上这样一对共辄像点的存在性和唯一性,证明
的方法是首先假设腔轴线上存在着前述一对共辄像点,然后再推导出它们存在的条件,并验
明非稳腔确能满足这样的条件,先以双凸腔为例。
考察图 2.14.2所示之双凸腔,并设图中的 P1和 P2点就是我们前面所指出的共轭像点,则从
p1点发出的腔内球面波经镜 M2反射后应成像于点 P2,因而 P1和 P2应满足在球面镜 M2上成像
的共轭关系
1.双凸腔共辄像点的存在性和唯一性
（ 2.14.12a）
同样从 p2点发出的腔内球面波经镜 M1反射后
应成像于点 p1,因而 p1和 p2又应满足
在球面镜 M1上成像的共轭关系
（ 2.14.12b）
上两式中 l1为像点 p1到镜面 M1的距离 ;l2为像点 p2到镜面 M2的距离 ;R1为镜 M1的曲率半
径 ;R2为镜 M2的曲率半径,L为腔长。
共轭像点 p1和 p2必须同时满足式 (2.14.12a)和式 (2.14.12b)。它们是关于量 l1和 l2的二
元联立方程式。如果从这些方程式能解得合理的 (亦即实的 )l1和 l2值,可证明共轭像点确实
存在。按图 2.14.2以及式 (2.14.12),若 l1为正值,则表示点 pl在凸面镜 Ml的 "后方 ",若 l1为负值
则表示点 p1在镜 M1的 "前方 "(即反射面一方 );对 l2,情况也是一样。下面将具体求解这些方程
式,
将前述二元联立方程式化为只含变量 l1(或 l2)的一元二次方程式,
（ 2.14.13）
式 (2.14.13)存在实根的条件是
B2—4C≥0 （ 2.14.14）
不难证明,对双凸腔,式 (2.14.14)是必然满足的。
由式 (2.14.13)可具体解得
(2.14.15)
至此,我们已证明了双凸腔共轭像点的存在。
式 (2.14.15)根号前可取正、负两种符号。取正号时,得出一组 l1和 l2,相应的像点 p1和 p2
表示 ;而取负号时得出另 -组解 l1和 l2，相应的像点用 p1和 p2表示。但这并不意味存在两对共
轭像点。可以看出,当式 (2.14.15)根号前取正号时 l1>0,l2>0,表示 p1和 p2各自处在境 M1和
M2的 "后方 "。反之,当根号前取负号时时 ;l1<0,l2<0表示 p1和 p2各自处在镜 Ml和 M2的 "前方 "。
但它们都不在腔内,因为在这在种情况下 |l'1|>L,|l'2|>L。进一步可以证明
(2.14.116)
可见,点 p'1实际上与点 p2重合,而点 p'2与点 p1重合,如图 2143所示。这表明,无论式 (2.1415)
中根号前取正号或负号,实际只确定了一对共轭像点。
进一步证明,仅当式 (2.14.15)根号前取正号时,
所对应的一对像点 p1和 p2才是稳定
所谓象点的稳定性,应作如下理解；如果由于某种扰动 (不管由什么原因引起 )，点 p1
的位置发生一个微小的移动以 dl'，从 p1→ p'1这时经过镜 M2成像的象点已不在原来的位置
p2上，象点有了一个微小的移动 dl'2，从 p2→ p‘2而这一移动了的 p'2再经 M1成象时又将
得到新的象点位置 p"1,p"1与 p1的距离以 dl"1表示,p"l又经 M2成象于 p"2。这样，我们将得
到一系列的象点
这些象点与未受扰动时的象点 p1和 p2的距离将分别构成下述数列：
如果点列 p'1,p"1,p'"1… 趋近于点 p1，而 p'2,p"2,p"'2… 趋近于点 p2，或者说数列 dl'1,dl―1…,
dl'2,dl"2 …,均收敛于零，则共轭象点 p1和 p2对系统的任何扰动都将是稳定的,可以证实，
对双凸腔，式 (2.15.15)中根号前取正号时，正是这种情况。而根号前取负号时，前述数列
将趋于发散。这表明相应的共扼象点是不稳定的。
综上所述，我们证明了双凸腔的轴上存在唯一的一对共扼象点，而且只要适当地选选
取式 (2.14.15)中根号前的符号,则可得到一对稳定的共辄像点,其位置可由下式确定：
(1.14.17)
以上方程组给出了像点位置与腔参数 R1,R2,L之间的关系,一旦腔的结构确定了,
其共像点的位置也就唯一地确定了。
2.光学开腔中存在共辄像点的条件
由于一切双凸腔都是非稳腔,因此前述求共辄像点的过程尚不足以揭示出共轭像点存在
的条件。现在的问题是,轴上一对共辄像点的存在仅仅是双凸腔的特殊属性呢,还是一切非
稳腔的共同属性。也就是说,是否非稳腔就一定存在共辄像点,而其他腔 (如稳定腔 )就一定
不存在共辄像点。对这个问题的分析可以加深我们对非稳腔的认识。考察任一共轴球面开
腔 (见图 2.14.4),设其中存在着一对轴上共辄像点 p1,p2设发自像点 p1的球面波在腔内某一
参考平面处的波阵面曲率半径为 R'1,经腔内一次往返后,其曲率半径变为 R'2按式 (2.10.6)所
描述的球面波传播规律有
中 A,B,C,D为腔内傍轴光线的往返矩阵的元素。
自再现条件要求 R'2=R'1,即
(2.14.18)
(2.14.19)
由此解得
(2.14.20)
导出上式时利用了关系式 AD-BC=1。
腔内的确存在着自再现球面波的条件是,R?1应为实数。由式 (2.14.20)可知,此时应有：
（ 2.14.21）
这正是非稳条件的一般表示。取腔内往返矩阵如式 (2.213)所示,则式 (214.21)成为
此即式（ 2.14.1）
式 (2.14.17)虽然是在双凸腔的情况下求出的,但可以证明,只需遵循统一的符号规则,对
确定各类非稳腔共辄像点的位置都适用。所需遵循的符号规则是,凸面镜的 R1(或 R2)〈 0,凹
面镜的 R l(或 R2)>0;l1(或 l2)<0则表明共轭像点在镜的前方 (反射面的一方 ),l1(或 l2)>0则共轭
像点在镜的后方。
3.非稳腔几何自再现波型的概念
由前面的讨论可知,仅当开腔满足非稳条件式 (2.14.1)时,才存在唯一的一对轴上共轭像
点。由共扼像点发出的球面波满足腔内往返一次成像的自再现条件。也就是说,从每一个
像点发出的球面波在腔内往返一次后,其波面形状将实现自再现。按照关于激光振荡模的
一般概念,我们可以将这样一对发自共轭像点的几何自再现波形定义为非稳腔的共振模,
显然，上述几何自再现球面波具有固定中心，而且当忽略衍射效应时，在腔内增益
均匀分布的条件下，我们还可以进一步认为，这一对球面波是均匀球面波。比较严格的
波动光学分析表明，由共扼象点发出的一对自再现球面波给出了非稳腔最低阶振荡模的
一个粗略的、但在实际应用中部十分重要的几何形象。虽然由于衍射的作用，非稳腔最
低阶模的强度并不是均匀分布的，但它的等相位面确实十分接近于球面。
不同类型非稳腔的共扼象点的位置各不相同，有的在腔内，有的在腔外，有的在无穷
远处。相应地，从这些共轭象点发出的几何自再现波型可能是球面波，也可能是平面波。
球面波可以是发散的、会聚的或发散与会聚交替进行的。弄清楚各类非稳腔中共轭象点的
分布情况及自再现波型的特征，对非稳腔的设计和实际应用都是非常重要的。对这些问题
有兴趣的读者可参阅本书 1984年 11月第一版或本章末所吩的有关参考文献。
2.15非稳腔的几何放大率及自再现波型的能量损耗
谐振腔理论的一个重要课题是估计振荡模能量损耗的大小。非稳腔的几何理论认为,这
种损耗是由于非稳腔对几何自再现波型的固有发散作用造成的。当从共辄像点发出的自再
现球面波在腔内往复反射时,其波面横向尺寸将不断扩展,最后,会超出反射镜的范围,使波
的一部分能量将直接逸出腔外。下面定量地分析这个问题,
一，非稳腔的几何放大率
如图 2.15.1所示之非稳腔。设相当于从共
轭点以出的腔内球阳到达镜 M1时,其波面恰
能完全覆盖镜 M1,即波面线度为 a1;当此球面
波经镜 M1反射到达 M2后,其波面尺寸将扩展
为 a'1。取
m1=a‘1/a1 (2.15.1)
显然 m1为波在院内行选时镜 M1对几何自再
现波型波面尺寸的单程放大倍率,称 m1为镜
M1的单程放自再现波型的放大率与此类似,
可定义镜 M2对几何自再现波型的
单程放大率
(2.15.4)
取
M=m1m2 (2.15.3)
显然 M表示非稳腔对几何自再现波型在腔内往返一周的放大率。由共辄像点的性质可
知,从 p2点发出的球面波被镜 M1反射时与从像点 p1发出的球面波一样。因此,对双凸腔不难
求得
(2.15.2)
对望远镜腔,按图 2.15.2,利用式 (2.14.8)和式 (2.14.11)不难求得
m1=a‘1/a1=1
m2=a‘2/a2=|R1|/|R2|
M=m1m2=|R1|/|R2|
(2.15.5)
(2.15.6)
式 (2.15.5)和式 (2.15.6)无论对实共焦腔和虚共焦腔都是正确的,而且 =|R1/R2|=F1/F2也
与通常望远镜的放大率的公式一致。
放大率是从非稳腔的几何分析中所获得的一个重要参数。所有上述公式表明,非稳腔的
几何放大率 m1,m2,M只与腔长 L和镜的曲率半径 R1,R2有关,而与镜的横向尺寸 a1,a2无关。
二、非稳腔的能量损耗率
非稳腔的能量损耗与几何放大率有密切关系。事实上,如图 2.15.1所示,相当于从像点 P1
发出并恰能全部覆盖住镜 M1的球面波到达镜 M2后,其波面尺寸已超出了 M2的范围。其中只
有一部分 (即在镜 M2范围以内的那一部分 )被镜 M2截住并反射回来,超出镜 M2范围的那一部
分波面将逸出腔外,造成能量损耗。由于在几何分析中认定自再现波型是均匀球面波,因此
能量损耗份额即由超出镜 M2的那部分波 R前面积与整个波面的面积之比决定,而这一比值又
直接与几何放大率相联系。对相当于从像点 p2发出的球面波,情形也是一样。下面具体讨
论能量损耗的大小。
如图 2.15.1所示,被镜 M2所截住并反射回腔内的能量份额为
（ 2.15.7）
而越过 M2逸出腔外的能量份额为
（ 2.15.8）
δ1单程 的意义是,每当几何自再现波型在腔内从镜 M1单程行进到 M2时,将有 δ1单程 这么
大一个份额的能量从镜 M2端逸出腔外。也就是说,相当于从共辄像点 p1发出的球面波
从镜 Ml单程行进到 M2时,其能量的相对损耗即为 δ1单程 。
同理,相当于从像点 p2发出并恰能全部覆盖住镜 M2的几何自再现波型到达镜 M1后,被 M1截
住并反射回腔内的能量份额为
(2.15.9)
而越过 M1逸出腔外的能量份额为
(2.15.10)
从任何一个共辄像点发出的球面波在腔内往返一次,经两个镜面反射总的能量损耗份额
为
(2.15.11)
式中 M=m1m2为式 (2.15.3)所定义的非稳腔的往返放大率。平均单程损耗为
(2.15.12)
作为非稳腔能量损耗的例子,考虑一个 |Rl=1Om,L =1m的对称双凸腔。此时有
(2.15.13)
由此,可得
可以看出,即使凸面镜曲率很小,由它们组成的对称双凸腔的损耗仍啡十分可观的。
应该指出,非稳腔的这种侧向能量逸出, 损耗, 往往在实际上被利用来作为非稳腔的,
有用输出。在这种情况下,腔的两个反射镜通常都做成全反射镜,而利用从一个 (或两个 )反
射镜边缘逸出的能量来取得所需要的耦合输出。这样,通过调节腔的几何参数就可直接控
制输出能量的份额。关于非稳腔实现输出耦合的具体方法,就不在这里一一列举了,图
2.15.3是在虚共焦腔内插入带孔的倾斜反射镜以获得侧向耦合输出的例子。
第三章 空心介质波导光谐振腔
随着半导体激光器及气体波导激光器的发展,掌握波导光谐振腔的理论与设计知识日
显重要。半导体激光器中的介质波导光谐振腔可简化为平板介质波导腔,其形成与激光器
结构及半导体材料中物理机制密切相关。在本书第十章 (半导体二极管激光器 )中将重点介
绍平板介质波导腔理论及其对半导体激光器特性的影响。本章仅针对气体波导激,光器中
采用的空心介质波导谐振腔作简要介绍。
在气体波导激光器中,首先问世的是 He-Ne波导激光器,已获广泛应用的是 C02波导激光
器。气体波导激光器具有增益系数大、输出功率密度高、体积小、模体积与工作物质体积
相吻合、可充高压强气体并因此可调谐等优点。
3.1空心波导光谐振腔的构成和特征
波导谐振腔与开放式谐振腔不同的是,在腔内电磁场往返传播路径的某一部分 (或全部 ),
场被波导所导引而不服从自由空间的传播规律。因此,以电磁场在自由空间的传播规律为
基础而建立起来的普通开放式光学谐振腔理论,不能用来描述波导激光器模的特征。
空 心介质波导光谐振腔通常包含两个组
成部分,波导系统和光学反馈系统。如图
3.1.1所示,图中 W表示一段圆形或矩形空心
波导管,它通常具有小的管芯,而且内壁被
抛光,可由玻璃、氧化镀陶瓷、氮化棚陶瓷、
氧化铝陶瓷、石英 (Si02)或以上材料与金属
的组合构成。球面、平面反射镜或光栅构成
波导腔的反馈系统。
如果以 L表示波导管的长度,2a表示其横向尺寸 (如圆形波导管之直径 ),λ表示激光波长,
则可以定义下述波导菲涅耳数,N =a2/Lλ。对典型的二氧化碳波导激光器,2a =1.5mm,L
=l00mm,λ=10.61um,由此得 N=0.53。可见,通常的波导光谐振腔是以波导菲涅耳数 N≤1为
其特征的。按照普通开腔的观点,在这种情况下,由于衍射损耗太高,不可能形成振荡。但实
际上,波导激光器却完全可以稳定地工作。这就足以说明，波导光谐振腔的工作原理与普
通开腔有重要的差别。
波导管中,电磁场不服从自由空间的传播规律,它只能存在于一系列分立的本征状态之
中。我们称它们为波导管的本征模。从波导管口向外,场又将在自由空间中传播并被腔镜
所反射。因此,关于波导光谐振腔的理论分析包含着两个问题,
(1)空心介质波导管中的本征模场分布及其传输特性 ;
(2)反馈系统对波导模的耦合。
显 然,只有那些能以低的损耗在波导管中传输而同时又能为腔镜有效藕合的电磁场才能
成为波导光谐振腔的振荡模式,它们在波导腔内往返一次时应能实现自再现。
3.2 空心圆柱波导管中的本征模
一,空心介质波导管中低损耗模式传输的一般概念
在波导气体激光器中,气体激活物质充填在空心介质波导管内部,而气体激活物质的折
射率可。通常总是比波导管材料的折射率小,这种情形与普通的介质波导 (如光导纤维、半
导体激光器中的介质波导等 )是不同的。当光在空心介质波导管内传输时,在管壁上不可能
发生全内反射,因而必有一部分光因折射而进入管壁介质之中,形成一定的能量损耗。但是,
当波导管的横向尺寸 2a满足条件 2a>>λ (3.2.1)
时对于电心介质波导管中若干最低阶本征模式,由于其传输方向十分接近于波导管的轴线，
它们在管壁上形成入射从而将有很高的反射率，因此这些低阶模式的损耗必然很小。这
就是空心介质波导传输低损耗模式的物理图象。
然而，要能确切的了解波导管中所传输的电磁场的特征，只有借助于严格的电磁场
理论。
二、空心介质圆波导管中的场方程式及其解
研究如图 3.2.1所示之圆柱形空心介质波导管。圆柱的直径以 2a表示,圆柱内为真空
(或充以适当的气体工作物质 ),其电磁特性以 ε0,u0表征,圆柱外的介质假定是均匀,无限的
非铁磁介质,并以 ε,u0表征。其介电常数 ε可以是复数,复折射率
（ 3.2.2）
空心圆柱内部及外部可能存在的电磁场均应满足麦克斯韦方程组,
（ 3.2.3）
如果波导管内外均不存在自由电荷和传导电流,则 p=0,j=0。若波导材料是导电,j可能不
为零。圆柱内、外的场还必须满足相应的边界条件,这些条件包括下面几点。
(1)在圆柱内部场应是单值、连续、有限的。
(2)在波导的边界上 (r=a处 ),电场强度的切向分量 Et及磁场强度的切向分量 Ht均应连续
(设在界面上不存在传导电流面密度 )。
(3)当波导管长度 L>>a时，通常将它视为均匀元限长的圆柱形波导,这时波导两端
对波导内部的场的影响可以忽略。
(4)对能量不从波导中辐射出去的那些模式,在波导管外部介质 (即管壁材料 )中在
r→ ∞时其场振幅应趋于消失 ;此外,考虑到波导的圆柱对称性,波导管内的任何一个场
分量均应为坐标 Ф的周期函数 (周期为 2π)
满足方程 (3.2.3)及上述边界条件的电磁场将是一系列分立的波导模,它们各自具有
不同的场分布并与不同的传输常数相对础应。其场分量以 Amn(r,Ф,z,t)表示,一般可以
写成
（ 3.2.4）
式中 m,n为整数 ;(r,Ф,z,t)为场点的圆柱坐标。
当满足条件
(3.2.5)
时，求解圆柱波导本征模的问题可以大为简化。式中 k为光在自由空间的传播常数 (即自由
空间的波矢的模 )； λ0为光在自由空间中的波长； ε为波导材料的折射率 ;umn的意义下面将
要讲到,它们是一些有限大小的实数 ;γ为波导模沿波导轴向的传输常数。上述第一个条件要
求波导的半径远比工作波长 λ0大,而第二个条件限定我们只考虑那些低损耗的波导模,这些
模的传输常数 γ与自由空间的传播常数 k相差甚小。在满足式 (3.2.5）条件下,略去包含 (λ0/a)
及其高次幂的项,圆波导中三种类型本征模的归一化场分量可表述如下。
(1)横电模 TE0m(n=0,m=1,2,3---);这种模的特点是,其电场 E只有横向分量。
(3.2.6)
这里,上标 i表示空心圆柱内部的场,上标 e表示圆柱外 (即波导管壁中 )的场。上述最后一
个式子表示 Hiz和 Ee,He的所有分量均小到可以忽略。
(2)横磁模 TM0m(n=0,m=1,2,3---)这类本征模的特点是,场 H只有横向分量,
(3.2.7)
(3)混杂模 (n,m=1,2,3… );这种模式具有电场及磁场的各个分量,
在所有上述表达式中,umn表示 n-1阶贝塞尔函数的第 m个根
Jn’-1(umn)=0
其值如表 3.1所载。若干低阶波导模的电场分布如图 3.2.2所示。
其值如
表 3.1所载。
若干低阶波导模的电场分布如图 3.2.2所示。
从式（ 3.2.6）～（ 3.2.8）及图 3.2.2可以看出，当略去 λ0/a及其高阶项时，圆波导本
征模场分布具有下述特征。
(1)波导管内的场仅有横向分量,因而可以认为是 TEM场。事实上利用波导模场的比较
精确的表达式可以证明,波导内部场的纵向分量与横向分量幅度的比值在数量级不大于 λ0/a
(2)在波导管壁上 (r=a处 ),各本征模电磁场的幅度都降为零,而在波导外部 (r>a处 ),场的
幅度小到可以忽略。
事实上,利用波导模场的比较精确的表达式可以证明,与管轴上的场相比,波导壁 (r=a)上
的场振幅在数量级上不大于 λ0/a,而在管外 (即在管壁介质中 ),场的振幅随离开轴线的距离 r
而迅速衰减。因此,虽然在波导管壁上不能发生全内反射,但场实际上只能渗入管壁内很薄
的一层,且其幅度不大于 λ0/a 量级
(3)当 n =0时,波导模式或者是 TE0m模,或者是 TM0m模。当 n≠0时,必为混杂模
EHnm,n可为正整数或负整数,其大小表示场沿 Ф角方向变化的周期数 (在 0~2π范围
内 ),m为 ≥1的正整数,它表示场沿半径方向的最大 (或最小 )值的数目 (在 0~a范围
内 ),即节线圆的数目。例如,TE0m模及 TM0m模的场分布都具有圆对称性,沿 Ф角方向
不变化,径向节线圆的数目为 m ;EH11模沿 Ф方向的周期为 2π,沿径向有一个极大值,它
就在波导管的轴线上,有一个节线圆在 r=a处 ;EH22模随 Ф而变化的周期为 2π/2=π，
沿径向有两个节线圆。
圆波导 EHnm模具有下述特点。
(1)EH1m模是线偏振的,且具有圆对称的场分布。
因而按图 3.2.3,对任意点 (r,Ф),电场强度矢量 Ei1m的方向均与 y轴平行,即为线偏振光 ;而电
场强度矢量 Ei1m的大小为
（ 3.2.9）
可见 Ei1m与 Ф无关,表明场具有圆对称性。
(2) Ei1m模的场在波导管轴线 (r=0)上具有最大值,从中心向管壁按 J0(u11r/a)所描述的规
律逐渐降落。由于 EH11模具有上述特点,使得它成为最重要的波导模式。在本章中我们将
重点研究这一模式。
3.3圆波导本征模的传输常数和损耗特性
一,圆波导本征模的传输常数
式 (3.2.4)中的波导模的传输常数 γnm一般为复数,因而可以写成
γnm=βnm+iαnm （ 3.3.1）
式中 m,n为模序数,βmn为 γnm的实部,αnm为 γnm的虚部
γnm为复数意味着当波导模在波导管内传输时，将产生一定的损耗。依式（ 3.2.4）
（ 3.3.2）
可见,波导模沿传输轴线 z按指数规律衰减,anm量度的振幅衰减的快慢。当波导模沿波
导轴线方向走过距离 1/anm时,其振幅衰减为原来的 1/e。常数 βnm描述场的相移特性,波导模
沿轴线传输一段距离 Δz时,相移为
δФnm= βnm Δz （ 3.3.3）
其速度为
vnm=ω/βnm （ 3.3.4）
按场方程式 (3.2.3),并考虑到近似条件式 (3.2.5),可得出 γnm的近似表示式为
（ 3.3.5）
式中
（ 3.3.6）
它一般是一斗个复数,其中 ε为管壁介质的相对折身射才率,按式 (3.3.1)和式 (3.3.5)得出,
（ 3.3.7）
从式 (3.3.7)可知,描述波导模相移的因子与自由空间波矢的模 k之差为（ λ0/a）量级的小
量,而描述波导模损耗的因子 anm具有 (λ0/a)2的数量级。当忽略掉 (λ0/a)及其高阶项时,有
γnm≈k
与式 (3.2.5)的要求一致
二、决定波导模传输损耗的各种因素
由式 (3.3.7)可以看出,波导模的传输损耗由下述因素决定。
在波导中所传输的任何一个模式的损耗均随 a的减小和 λ0的增大而迅速增大,只要 a/λ0
足够大,波导传输损起就可以很低。
损耗的大小与波导材料的性质有关,具体地说,就是与材料的复折射率 ε有关。对 ε
为实数的电介质材料,有
（ 3.3.8）
从式 (3.3.8)看出,用不同材料做成的波导管,其损耗各不相同。而且材料的折射率
ε对不同类型的波导模的影响也不相同,TE0m模的损耗随 ε的增大而单调地下降 ;对
TM0m模,当 ε=21/2时,损耗最小,ε从 21/2减小到 1或从 21/2增加时,损耗均随之增大 ;对
EHnm模,当 ε=31/2时,损耗达到极小值,当 ε→ 1或 ε>>1时,均有很高的损耗。图 3.31
以 TE01,TM01和 EH11模为例,定性地说明电介质材料中三种类型波导模的损耗 anm随 ε
而变化的情况。
应该特别指出,在光频段,从波导损耗的观点来看,通常所说的, 电介质 "和 "金属 "并
没有严格的区别。它们都以复数介电常数为表征,只不过介质的 ε具有大的实部和小的
虚部,而金属的 ε具有大的虚部和小的实部而已。当将它们用作波导材料时,ε对波导损
耗的影响包含在因子 Re{εn}之中,因此,损耗介质 (指 ε的虚部大的介质 )不一定意味着大的波
导损麓,而无损耗介质 (指 ε的虚部很小或者为零的介质 〉 的波导损耗也可能很大,这从式
3.3.6)、式 (3.3.7)就可以看出来。特别是式 (3.3.8)说明了无损耗介质也一定存在着波导损
耗,而且当 q→ 1时所有三类模的损耗都很高,当 ε>>1时,TM0m和 EHnm模的损耗也将很高。
认识到这一点是十分重要的。因为在制造气体波导激光器时,在充气压比较高和腔内流
通功率比较大的情况下 (波导二氧化碳激光器 ),波导管壁发热将是一个严重的问 ‘ 题。采用
导热性良好的金属陶瓷 (如氧化玻 )是有利的,它们的 ε虽然具有大的虚部和小的实部,但只要
Re{εn}很小,就可能获得很低的波导损耗,图 3.3.2的曲线说明这种情况的确是存在的。后面
给出的数值的例子也将很好地说明这一点。在本章中常常提到的空心 "介质 "波导,就是在这
一广泛意义下使用 "介质 "一词的。
3 a nm∝ u2nm
由表 3.1看出,对同一类型且 n相同的模,随着 m的增加,其损耗也将增加。但对 EHnm类型
的波导模,当 m一定时,损耗并不一定随 n的增大而增大。例如,EH-1m模与 EH3m就具有相同的
损耗,而 EH-2m模的损耗比 EH3m和 EH2m模的损耗都要高。等等
不同波导模对应不同的 unm值,因而具有不同的损耗,这就意味着波导管本身能提供适当
的模式鉴别,
从物理上看,空心介质波导模的传输损耗是由于波导管内介质的折射率可。小于管壁
材料的折射率 ε而产生的。在这种情况下,在管壁上不可能发生全反射,总有一部分能量因折
射而 "漏 "入管壁材料之中,因而又称波导模的损耗为 "漏模 "损耗。显然,随着波导内外介质
的相对折射率的不同,入射在管壁上的波的人射角及其电场和磁场相对于管壁表面的指向
和分布的不同,漏入管壁介质中的能量也将各不相同。这就说明了,为什么 anm将随 εn及波
导模式的不同而变化。对那些最低阶模式,由于其传输方向十分接近于波导轴线,它们将在
管壁上形成掠入射,这时,不论是损耗介质或无损耗介质,都将表现出很高的反射率,从而引
入小的损耗。
三、圆波导中的最低损耗模式
在圆波导中,什么模式具有最低的损耗将是我们十分关心的问题,利用式 (3.3.8)不难证
明,对 ε为实数的情形,当
ε>2.02 (3.3.9)
时,损耗最低的模式是 TE01模 ;而当
ε<2.02 (3.3.10)
时,EH11模损耗最低。波导氦氖激光器常用玻璃作波导材料,其 ε=1.5,因而 EH11模损耗最低。
如果波导材料的 ε为复数,则只要满足条件
(3.3.11)
由于 EH11模具有线偏振圆对称的场分布,在波导轴线上强度最大,且通常传输损耗最低,其
特性与普通稳定腔的 TEM00模颇相类似,因而是实际应用中最重要的波导模式。现将其电场
及磁场强度的大小以及波导传输损耗的公式综述如下
EH11模便将为最低损耗模式。对二氧化碳波导激光器常用的氧化镀 (BeO)、氧化铝
(Al2O3)以及二氧化硅 (Si02)等材料,上述条件实际上总是满足的。
(3.3.12)
式中 u11=2.405.
四、波导模传输损耗的具体计算
anm描述波导模沿波导轴线方向传输时振幅衰减的快慢,其单位为 (1/cm)或 (1/m)。在工
程应用中,常用波导模的功率衰减分贝数来定量描述损耗的大小。如果在 z =0处波导模的
场振幅用 E(0)表示,则在 z处其场振幅为 E(z)=E(0)e -a mnz,若相应的强度 (或功率 )以 I(0)和 I(z)
表示,则波导模传输距离 z时的功率衰减分贝数定义为
功率衰减分贝数 = (3.3.13)
单位长度波导的功率衰减分贝数为
Lnm=8.686anm (3.3.14)
对二氧化碳 10.6um激光,通常用氧化镀陶瓷 (BeO)、氧化铝陶瓷 (Al2O3)和石英 (Si02)等
作波导材料。按图 3.3.2中 Re{εn}的数据,算得若干波导模的损耗如表 3.2。
从该表看出,对用氧化镀做成的二氧化碳波导激光器,其 EH11模传输损耗将很低。按实测
数据,在总气压约 1.33× 104pa的条件下,用氧化镀陶瓷制作的二氧化碳波导激光器的功率增
益系数可达 0.011/cm,而且它与波导管直径元明显的依赖关系。比上表所载 2a=1mm时，
EH11模的功率损耗系数 2a11=8.6× 10-51/cm要高得多。但对用二氧化硅做成的波导激光器,
当 2a=1mm时 EH11模的功率损耗已达增益的 36%左右,而 EH12模则已不可能形成振荡。如
果将波导直径增大一倍,即 2a=2mm,则无论是用氧化镀或二氧硅作波导材料,其 EH11模的
损耗均小到可以忽略。反之,若将波导直径减小到原来的一半,则波导的振幅损耗将增大 8倍,
这时用二氧化硅来作波导已经不适合了,
上面计算氧化镀的波导损耗时所取的 Re{εn}是氧化镀单晶的数值,对多晶氧化镀材
才料作成的波导,损耗将比上面给出的数值大。除上述材料外,还有人用派来克斯玻璃
作二氧化碳激光器的波导材料,其复折射率为
ε=1.910+i0.077 (3.3.15)
也有人使用热压氮化棚 (BN)陶瓷,也收到良好效果,该材料具有良好的导热系数和极低
的线膨胀率。一般地说,从损耗和导热性方面来看,氧化镀是可取的。但实际热压多晶氧化
镀陶瓷的波导损耗比单晶大。而且多晶陶瓷波导管内壁不易抛光,由表面粗糙等所引起的
损耗将是重要的。从这一点上看,二氧化硅要优越一些。
所有上述关于损耗的计算都是对理想直波导进行的。当波导管表面不平整、沿轴向
非均匀以及波导管轴线弯曲时,损耗都将大为增加。
3.4空心矩形介质波导管中的本征模
矩形介质波导由于比较容易加工,可以采用横向放电激励,且能直接与相同截面的腔内
调制器有效藕合,因而在实践中具有重要意义。本节简要地讨论其波导模的特征。
一、矩形波导中本征模的场分布
考察如图 3.4.1所示之矩形空心介质波导管。波导管内部为真空 (或充以适当的气体工作物
质 ),其电磁特性以参量 ε0,μ0表征,波导管外部介质均匀、元限且其电磁特性以 ε,μ0表
征,ε=(ε/ε0)1/2为波导材料的复折射率,波导的边长以 2a和 2b表示。求解麦克斯韦方程组并
应用矩形波导的相应边界条件,原则上即可求得矩形波导中的本征模,当满足近似条件
（ 3.4.1）
时,略去包含 λ0/a,λ0/b及其高次幂的项,得出下述矩形波导本征模的场分布。
(1)电场沿 y方向振动的混杂模 EyHxnm
（ n为偶数,m没为奇数）
（ n为奇数,m没为偶数）
波导管内其余的场分量 Eix= Eiy=0 Eiz→ 0,Eiz→ 0。而在波导管外,场的各个分量均小到可以
忽略。
(2)电场沿 x方向振动的混杂模 ExHynm
（ n为偶数,m没为奇数）
（ n为奇数,m没为偶数）
（ 3.4.2）
（ 3.4.2）
波导管内其余的场分量 Eix= Eiy=0 Eiz→ 0,Eiz→ 0 。管外的场小到可以忽略。
图 3.4.2绘出了电场沿 y方向振动的几个低阶 E YHxnm模的场分布。图中,箭号表示场
强 E的方向,而箭号的长短定性地表示场强 E的大小。可以看出,场沿 x方向的节线数 (即平
行于 y轴的节线数 )为 m -1,而沿 y方向 (平行于 x轴 )的节线数为 (n-1)。 EH11模在整个横截
面内没有节线,其强度在波导轴线上达到最大。
二、矩形波导的传输常数和损耗特性
短形波导的传输常数 γnm可表为
γnm=β+iαnm (3.3.4)
电场沿 y方向振动的 EYHxnm模
(3.3.5)
对电场沿 x方向振动的 EYHxnm模求得：
(3.3.6)
在边长为 2ax2a的方形波导中,对 EH11模
(3.3.7)
式中 εn如式 (3.3.8)的第三式所示。可以看出,当波导的横向尺寸 2a相同时,方形波
导 EH11模与圆波导 EH11模的损耗非常相近。
从式 (3.4.5),(3.4.6)可以看出,矩形波导 EHnm模的传输损耗与波导材料的性质有关,
与波导管横向尺寸 a及工作波长 λ。有关,也与模的序数 n,m有关。而且,当 a≠b时,同一波导
管对电场沿 x方向振动及电场沿 y方向振动的同一 EHnm模的损耗也互不相同。因此,矩形波
导对沿不同方向偏振的模具有一定的鉴别能力。
矩形波导中损耗最低的模式是 EH11模。表 3.3列出了用几种不同材料做成的方形波导
二氧化碳激光器 EH11模的损耗值。
计算中所用 Re{ε n}值取自图 3.3.2。可以看出,对增益系数为 0.01 1/cm(4.343dB/m)的
激活物质,EH11模的上述波导损耗是可以容许的。对单晶 BeO做成的矩形波导,当 2a≥1mm
时,损耗小到可以忽略。
三、与圆波导本征模的比较
与空心圆柱波导相比较,矩形波导本征模具有如下特点。
（ 1)在矩形波导中仅能存在 EHnm类型的模,而不能存在像圆波导中那样的 TE0m和 TM0m模
(2)不论波导材料的 ε为多大,矩形波导中损耗最低的模式始终是 EH11模,当模序数增大
地,损耗也随之增高。而在圆波导中,EH11模不一定是损耗最低的模式,而且 EHnm模的损耗也
不一定随 n的增大而增大。
(3)矩形波导对传输模式的偏振方向具有一定的鉴别能力,只要适当地选择边长 a,b的
大小就可以获得线偏振的激光输出。
由于 EH11模损耗最低,具有线偏振特性,且在波导管轴线上强度最大,因而与稳定腔的
TEM00模相类似,它是矩形波导激光器中最重要的模式。
3.5空心介质波导光谐振腔的反馈耦合损耗
图 3.1.1为一外腔式波导激光器的示意图。腔中含有一段空心介质波导管，而发射镜
与波导管口之间被自由空间所分隔。波导腔的某一模式经过波导管的导引而到达一个端
面 (如图中的端面 A)后,将从波导口向外辐射并在波导口与反射镜 (图中镜 M1)之间的空间自
由传播。然后,经过镜面的反射 -衍射而回过头来向波导方向前进,其中有一部分重新进入波
导并娟合到同一模式之中,再沿相反方向通过波导而到达另一个反射镜 (镜 M2),经该镜反射
后重新穿过波导而回到最初那个端面,以后就重复着同一过程。按照激光振荡模式的一般
概念,只有那些在腔内往返传播一周后能够自再现的场分布 (指场的振幅和相位分布 )才能构
成腔的稳定的振荡模。可见,波导腔模将既受到空心波导管中场的传输规律的制约,也要受
到自由空间中波的传播规律的制约。因此,一般地说,它将既不同于前几节所讲的波导管中
的本征摸,也不同于普通开腔中的模式。任一波导腔模必须能以低的损耗通过波导管,因而
当它在波导管中传输时应能表示为各阶波导本征模的线性相合。同时任一波导腔模又应能
以高的效率被反射镜所耦合。
当某一波导模，如 EH11模到达波导口以后，将向自由空间辐射。在波导口附近的区域，
波导模辐射场的振幅和相位分布将具有复杂的形状。它们的等相位面将即不是平面，也不
是球面,而且等相位面的形状还将随着离开波导口的距离而变化。但通常的腔镜却往往是
平面镜或球面镜,因而不可能对波导模实现完全的耦合。也就是说,波导模辐射场被腔镜反
射以后,不可能全部重新回到波导管的同一模式之中。这时,将会出现下列耦合损耗。
（ 1)由于腔镜反射面的形状与到达镜面上的场的波前不匹配,在反射时将造成场的扰动,
当场返回波导口时,将有一部分能量不能重新进人波导管。
（ 2）由于场受到扰动，重新进入波导中的那一部分能量也不能全部耦合回同一模式，
其中有一部分能量将耦合到其他模式中去。这种模式之间的交叉耦合对某一特定模式而言
也将造成一定的损耗
(3)波导模从波导口辐射出去以后,其光束尺寸将不断扩展,在反射镜横向尺寸为有限的
情况下,可能出现衍射损耗。
(4)反射镜的反射不完全性也将带来损耗。
为了抓住主要矛盾,首先假设镜的反射率等于 1,且镜的孔径足够大,以致可以只考虑前面
两个原因所引起的藕合损耗。本节将只讨论圆波导的情况鉴于 EH11模在实际应用中的重要
性,研究波导腔反射镜对 EH11模的偶合规律,从而决定能有效地实现 EH11模藕合的谐振腔构
型，具有特别重要的意义。
一将圆波导 EH11模拉盖尔 -高斯光束展开
当圆波导 EH11模从波导口向外辐射出去以后,将在波导口与反射镜之间的空间中自由传
播。这一辐射场的传播及被腔镜反射的规律对分析耦合损耗具有决定性的意义。可惜,关
于 EH11模辐射场在自由空间的传播规律尚不清楚。因此我们试图在波导口面上将 EH11模按
自由空间的拉盖尔 -高斯光束展开，后者在自由空间的传播以及被球面镜变换的规律是
我们所熟悉的。 这样,我们就把一个未知的问题化为一个已知的问题，并为波导模的耦合
损耗提供一幅清晰的物理图景。
在 3.2节中,我们已经知道了无限长圆波导 EH11模的场分布，现在我们假设，波面上的场
与无限长波导管内部的场一样，因此，波导口面上 EH11模的电场可以表为 (略去下标及上
标 i)
（ 3.5.2）
由于电场 E具有圆柱对称性，与坐标 Ф无关，因此，在选择展开函数族时，我们仅仅
需要那些具有圆柱对称性的拉盖尔 -高斯光束。据此,将展开函数族选为
（ 3.5.1）
它使得式 (3.5.2)中的函数满足如下的正交归一化条件
（ 3.5.3）
从式（ 3.5.2） Фn(r)就是 n阶拉盖尔 -高斯光束在束腰平面内的场分布表达式。
在波导口面上 EH11模拉盖尔 -高斯光束的展开式可以表为
（ 3.5.4）
即我们将 EH11模的场 E(r)视为无限多个拉盖尔 -高斯光束的叠加,其第 p个分量 Фp的振幅为 Ap，
以 2πrФp（ r）乘等式两边并对 r积分（在 0～ ∞区间上）利用正交归一条件（ 3.5.3），即可
以得出展开系数
（ 3.5.5）
EH11模辐射的总能量可以表为
（ 3.5.6）
利用 E(r)的表示式 (3.5.1)可以算得
（ 3.5.7）
EH11模包含在展开式的最初（ p+1）个拉盖尔 -高斯分量中的能量分额 F(p)中
（ 3.5.8）
至此,决定高斯束特性的参数 ω0尚未选定。原则上说，对任意 ω0值,展开式均可写成式
(3.5.4)的形式 ;且其中的系数 AP都可按式 (3.5.5)计算。但随着 ω0取不同的值,各拉盖尔 -高斯
分量的系数 Ap的值也将不同，级数的收敛的快慢也可能不同。显然,ω0的合理选择应该使
得上述级数收敛得足够快,这样,在式 (3.5.4)中就可以取有限项的和代替原来的无穷级数,使
有关运算简。
我们这样选择 ω0的值,使展开式中的第一项 ——与自由空间的基模高斯光束相 对应的
项 ——的系数 A0(ω0)取得极大值。即由
（ 3.5.9）
来决定 ω0的值。可以证明
（ 3.5.10）
因此，当 A1(ω0)=0时,A0将取极大值。数值计算给出，使 A0极大的 ω0为
ω0=(0.6435+0.0002)a
（ 3.5.11）
利用这 ω0按式 (3.5.5)算得最初几个拉盖尔 -高斯分量的振幅 Ap及相应的 F(p)值如表 3.4。
从表 3.4可以看出,EH11模的总能量的约 98%将辐射到腰斑为 ω0=0.6435a的自由空间
的高斯光束之中,Ф0与 Ф2两个高斯束分量占有 EH11模能量的约 99.5%,在前六个拉盖尔 -高
斯分量中包含 EH11模总能量的 99.86%。因此，我们可以取这六个拉盖饵 -高斯束的叠加作
为展开式（ 3.5.4）的近似值。下面就在次基础上进一步讨论 EH11模的耦合损耗。
二、匹配反射镜对 EE11模的稿耦合损耗
设曲率半径为 R的球面反射镜放置在与波导口面相距为 z的地方,反射镜与波导管共轴，
镜的孔径足够大以致可以忽略衍射损耗，如图 3.51所示。
下面计算该反射镜对 EH11模的损耗。
从第二章知道,高斯光束的等相位面近似为球面,与束腰相距为 z的等相位面的曲率半径
为
（ 3.5.12）
式中 f=πω20/λ为高斯束的共焦参数。如果放置在距波导口 z处的反射镜的曲率半径 R正好等
于 R'(z),则反射镜将对高斯束作自再现变换,即各阶拉盖尔 -高斯光束将精确地沿着原人射方
向返回波导口,在这种情况下能获得有效的耦合。我们称这种情况为反射镜与 EH11模相匹
配。
在反射镜与高斯束的等相位面匹配的情况下,虽然各拉盖尔 -高斯光束在反射时不会受
到扰动,但由于在波导口与反射镜间往返一周时不同的高斯束所经受的相移各不相同,当它
们返回波导口后,声某些高斯束之间可能出现一定程度的相互削弱。它们再度叠加而得出
的返回场 E'(r),一般地将不同于初始出发时的场 E(r),从而仍将引人一定的损耗。在匹配情况
下,返回场 E'(r)可表为
（ 3.5.13）
式中
（ 3.5.14）
为高斯束 Фp在波导口与反射镜间往返一次的相移 (我们略去了对各阶高斯束都相同的那一
部分相移 )。
由于返回场只有一部分耦合回最低损耗模 EH11,EH11模的耦合损耗 C11应由下式计算,
由此,利用式 (3.5.5),(3.5.7),(3.5.13)可以求得
（ 3.5.15）
求和 ∑系对 p和 q的一切可能值进行,包括 p=q在内。
可以看出,EH11模的耦合损耗通过与高斯束的相移有关的因子 Фpq而依赖于反射镜的位
置 z以及与波导参数 a和波长 λ有关的因子 f。以表 3.4中的数据代入或 (3.5.15)进行具体计算
得出 C11作为 z/f的函数如图 3.5.2所示。
由图 3.5.2及式 (3.5.15)可以看出,在反射镜的曲率与高斯束的波前相匹配的情况下,由
反射镜所引人的耦合损耗随 z/f呈马鞍形变化,特别值得注意的是,存在着三个低损耗区域。
(1)当 z→ 0,R=R'→ ∞时,C11→ 0.当匹配反射镜紧靠波导口附近时,它所引入的耦合损耗
很低。当 z/f〈 0.11时,C11〈 2%。当平面反射镜紧贴波导口时,将不引入任何耦合损耗,这一
点是易于理解的
(2)当 z→ ∞,R=R?→ ∞时,C11→ 0.即当 z/f足够大时，匹配反射镜（ R=R?>>f）所引入
的损耗也很低。当 z/f>9时,C11约小于 2%。由式（ 3.5.15）可以看出，当 z/f → ∞时，
Фpq→ (p-q)2π所有的的拉盖尔 -高斯光束都将同相返回波导口，因而它们再度叠加时将仍然
还原为 EH11模,这就是为什么在这种情况下偶合损耗很低的原因。
(3)当 z/f=1,R=R?=2f时,C11具有极小值。此时,C11≈1.8%4，从而在该点附近构成一个
低损耗区。从式 (3.5.15)看出,当 z/f=1时,θpq=(p-q)π,因而,当 p-q=2k(k=1,2,3,… )时,Фp和
Фq将同相返回波导口，它们相互叠加的情况和初始发时 -样。反之,当
p'-q'=2j+1(j=0,1,2,… )时,Фp'和 Фq'将反相返回波导口,因此,它们叠加的情况与初始出发时
互不相同。由于在 EH11模的展开式中包含着分别满足上述两个关系式的各个拉盖尔 -高斯
分量,所以返回场 E'(r)将不同于初始出发场 E(r),在这种情况下必将有一定的耦合损耗。但另
一方面,由于 Ф0和 Ф2这两个最重要的高斯光束 (它们包含 EH11模总能量的约 99.5%)将同相返
回波导口,而同时又有 A1=0,因此,这种情况下的耦合损耗必然很低。
值得指出的是,在 z =f附近,损耗随 z的变化比较平缓。例如在 z/f=0.9～ 1范围内，损耗没
有明显的变化。
上述匹配情况下的耦合损耗曲线在实践中具有很大的指导意义。在设计波导激光谐振
腔时,一般应选取上述三种低损耗构形中的一种,并根据实际情况决定参数 a,z,R,以便使
激光器运转于 EH11模并有较高的效率。
下面计算一个数值的例题。设有直径为 2a=1.5mm的圆波导激光器,当 λ=10.6um时,算
得 f=7.3cm,由此得出,
若在 z=0.11f=0.8cm处放置 R=66.5cm的反射镜,则 C11≈2%;
若在 z=f=7.3cm处放置 R=2f=14.6cm的反射镜,则 C11≈4.48%;
若在 z =9f=65.7cm处放置 R=66.5cm的反射镜,则 C11=2%。
三、非匹配反射镜对 EHll模的耦合
如果放置在 z处的反射镜的曲率半径 R与该处高斯束的波前曲率半径 R'(z)不相等,则由于
所有高斯束在反射时将受到扰动,耦合损耗将会增大。 R与 R'(z)偏离愈远,损耗愈大。
对这种一般情况的耦合损耗也进行过计算,其结果如图 3.5.3所示。
图 3.5.3中的每一条曲线与一定的 R/f值相对应,曲线旁边所标明的数字就是 R/f的大小,图
中的虚曲线是前面已经讲过的匹配耦合损耗线。从图中可以看出,对每一个 R值,耦合损耗
的大小随距离 z而变化 ;而对每一个特定的 z值,R不同的反射镜所引人的损耗各不相同,与高
斯束波前相匹配的反射镜引人的搞合损耗最低。,
仔细分析图中各曲线,可以发现下述特点。
(1)在 R >2f的情况下,每一条曲线与图中虚曲线有两个交点,其中一个交点的位 置 Z1<f,
另一个交点 z2>f。在这两点,该反射镜所引人的耦合损耗达到较低的值。
(2)R=2f的反射镜的耦合损耗曲线与匹配祸合损耗曲线只有一个交点,它就在 z =f处。在
该交点附近损耗随距离 z的变化比较平缓,且 R=2f的反射镜的损耗曲线与 匹配耦合损耗曲
线在 z/f=0.6~1.2之间基本上互相重合。
(3)当反射镜的曲率半径 R〈 2f时,它们的耦合损耗曲线与匹配耦合损耗曲线完全 没有
交点。在这种情况下,损耗一般都比较高,且比值 R/2f愈小,损耗愈高。
根据将 EH11模展开成拉盖尔 -高斯束的叠加这一概念，上述特点很容易理解，事实 上,对
腰斑半径为 ω0的高斯束,其等相位面的曲率半径由式 (3.5.12)表示,曲率半径最 小的等相位
面位于 z =f处,且
R‘min=R‘(f)=2f (3.5.16)
在所有其他位置 (无论 z >f或 z <f),其等相位面曲率半径 R'(z)都比 2f大,在 z =0和 z→ ∞
处,R'→ ∞,即 R'(z)在 2f与 ∞之间连续变化。因此,如果让一个曲率半径 R >2f的反射镜垂直于
波导管轴线且沿波导管轴线而移动,则它必将在两个位置上与共焦
参数为 f的高斯束的波前曲率半径相等,从而实现匹配耦合。这两个位置可由等式
(3.5.17)
求出。上式有两个根,一个 Z1<f,另一个 Z2>f.
显然,R=2f的反射镜将在 z =f处与高斯束的波前相匹配。而当 R<2f时,由于 R<R?min,匹配
就不可能了。
平面反射镜放在波导口附近时所引入的耦合损耗在实际应用中具有重要意义。在较小的情
况下,耦合损耗可以保持较低的值,它可按下述近似公式计算,
(3.5.18)
对 2a=1.5mm的二氧化碳波导激光器 (λ=10.6um),当用平面镜进行耦合时,若 z=3.65mm,
则 z/f=0.05,C11=0.64%;若 z =7.3mm,则有 z/f=0.1,C11=4.8%.
总之,通过将 EH11模展开成拉盖尔 -高斯光束,我们能够获得关于 EH11模在波导口与反射
镜之间的自由空间中传播的清晰的物理图像,并提供计算耦合损耗的定量方法。当然,在一
般情况下,由于波导激光谐振腔中还可能存在其他波导模式,因而,我们不能认为波导管中的
EH11模就一定是波导腔的自再现模。如果在波导激光谐振腔中只允许 EH11模存在,则 EH11模
将成为腔的自再现模。通过波导激光谐振腔的适当设计,这 → 点是可以做到的。
以上我们讨论了无限大的反射镜对圆波导 EH11模的精合损耗,类似的方法可以推广到
方形波导的情形,只是束腰取为 ω0=0.7032a(2a为方孔的边长 ),对有限大的反射镜的耦合损
耗问题也有人进行过系统的讨论。关于波导激光器的理论分析,近年来取得了不少进展。
但是,深入讨论这些问题已经超出了本教材的范围。
第四章电磁场和物质的共振相互作用
激光器的物理基础是光频电磁场与物质的相互作用 (特别是共振相互作用 ),对于绝大多
数激光器来说,是指光与组成物质的原子 (或离子、分子 )内的电子之间的共振相互作用。对
于自由电子激光器,则应考虑光与自由电子的相互作用。我们将只讨论前者。此外,光与物
质相互作用中的另一类效应,例如非线性光学效应的物理基础,也不在我们的讨论范围之内。
激光器的特性和它所包含的物理现象是十分丰富的,从宏观的激光强度、频率特性直到
微观的场的量子起伏 (相干性和噪声 )特性。为了揭示这些现象的物理本质和掌握激光器的
工作特性,需要在光和物质相互作用理论的基础上建立激光器的理论。激光器的严格理论
是建立在量子电动力学基础上的量子理论,它在原则上可以描述激光器的全部特性。但是,
这并不意味着,在描述激光器的任何特性时都一定要采用这种理论的全部观点和方法,因为
这将给激光理论带来不必要的复杂性。正确的做法是,用不同近似程度的理论去描述激光
器的不同层次的特性,每种近似理论都揭示出激光器的某些规律性,但也掩盖着某些更深层
次的物理现象。这些近似理论方法基本上可分为四类,下面简述它们的出发点和应用范围。
一、经典理论
这是在量子力学建立以前人们对场和原子相互作用的处理方法，也称为经典原子发光
模型。它的出发点是,将原子系统和电磁场都作经典处理,即用经典电动力学的麦克斯韦方
程组描述电磁场,将原子中的运动电子视为服从经典力学的振子。从现代量子理论理观点
看来,这种原子模型显然是粗糙的。但在原子物理学发展的历史进程中,它曾成功地解释了
物质对光的吸收和包散现象,定性地说明了原子的自发辐射及其谱线宽度,等等。这些对于
定性解释光和物质相互作用中的某些物理现象有一定帮助。此外,经典理论在描述光和物
质的非共振相互作用时也起一定作用。特别是对于自由电子激光器,可以完全采用运动电
子电磁辐射的经典理论来描述。 4.2节将给出经典理论献。
二、半经典理论
它是属于量子力学范围内的理论方法,与量子力学中关于原子跃迁和光的辐射、吸收
问题的处理方法相似。,它的出发点是采用经典麦克斯韦方程组描述光频电磁场,而物质
原子则用量子力学描述。采用这种方法建立激光器理论的工作是由兰姆 (W.E.LambJr)在
1964年开始的,故称为激光器的兰姆理论。半经典理论能较好地揭示激光器中大部分物理
现象,如强度特性 (反转粒子数烧孔效应与振荡光强的兰姆凹陷 )、增益饱和效应、多模耦合
与竞争效应，模的相位锁定效应、激光振荡的频率牵引与频率推斥效应等。
但是,这种理论也掩盖了与场的量子化特性有关的物理现象,例如自发辐射的产生以及由
它引起的激光振荡的线宽极限 (见 5.5节 )、振荡过程的量子起伏效应 (噪声和相干性 )等。半
经典理论的另一缺点是数学处理比较繁杂,因此在只需要了解激光器的一些宏观特性的情
况下,我们宁愿采用下面将要讲到的更简明的速率方程理论。
三、量子理论
这是量子电动力学处理方法。它对光频电磁场和物质原子都作量子化处理,并将二者作
为一个统一的物理体系加以描述。激光器的全量子理论只是在需要严格地确定激光的相干
性和噪声以及线宽极限这些特性时才是必要的。这一类专门的课题超出本书范围,我们不
予讨论。
四、速率方程理论
可以认为,它是量子理论的一种简化形式,因为它是从光子 (即量子化的辐射场 )与物质
原子的相互作用出发的。但是,由于忽略了光子的相位特性和光子数的起伏特性而使这种
理论具有非常简单的形式。特别是如果沿用爱因斯坦的推导黑体辐射普朗克公式时的唯象
方法,则速率方程理论的基础就是 1.2节所给的简单概念和关系。这种理论以其简明性而诱
人,但严格说来,它只能给出激光的强度特性,而不能揭示出色散 (频率牵引 )效应,也不能给出
与激光场的量子起伏有关的特性。对于烧孔效应、兰姆凹陷、多模竞争等,则只能给出粗
略的近似描述。
我们将在本章引出激光器的速率方程,并在此基础上导出激光工作物质的增益系数和反
转集居数的关系,以及光强增加时增益的饱和行为。在第五章和第六章中,将应用速率方程
理论描述激光器和激光放大器的主要特性。第八章介绍激光器的半经典理论,
4.1电介质的极化
处在电磁场中的物质,会受到场的作用。对电介质来说,电磁场中电场分量的作用是主
要的,因此在讨论它与场的相互作用时,我们忽略磁场分量的贡献,
电介质是由原子所组成,原子所带的电荷只局限在空间小区域内。在没有外场时,原
子内的电荷分布使原子不表现出极性。然而在存在外加电场时,原子内正负电荷在场的作
用下,其分布会发生变化,结果使得原来不具有偶极性的原子可能表现出偶极性,这就是原子
在外场作用下的感应电偶极化。在激光器中,外加电场就是腔内的激光场。原子与外场的
作用等同于一个偶极子与外场的作用。因此可以设想原子由两个很小的带电小球 (为简单
起见,假定原子只有一个电子 )组成,它们是如此之小,以至于可以被当作点电荷。在没有外
场时,它们几乎重合在一起,因而不具有偶极性。有外场时,由于场的作用正负电荷不再重合,
被拉开了一段距离,从而形成电偶极子,电偶极子的特性在主动方面和被动方面,即在它产生
场方面和受其他场的作用方面,均可由电偶极矩来描述。它由下式定义,
p=el (4.1.1)
式中 e为电子电荷的绝对值,l的大小 lt|为正负电荷间的距离,其方向由负电荷指向正电荷。
显然,场强越强,正负电荷受到的场的作用力越大,|t|也就越大。不过它随场强的变化不完全
是线性关系。以上就是我们所熟悉的原子极化的经典模型。
在电偶极近似下,场对物质的作用就表现在原子发生了电偶极化。场是一种物质,场和物
质的作用实质上是物质和物质的作用。物质间有作用,便有反作用,所以极化了的物质会对
场施以反作用,使得原来作用于它的场发生变化,这些变化可能涉及场的振幅、频率和相位。
可见极化乃是场和物质相互作用中的一个重要概念。
原子极化的经典模型,虽然形式简单而又形象化,并可使某些问题的处理简化,但实际上
并不正确。因为原子中的电子并不是一个带电小球,它在场的作用下也并非作直线移动。
在量子力学中,原子的状态是用波函数来描述的,外场对原子的作用表现为外场使原子的波
函数发生了变化。这一变化有可能使得原子体系的电偶极矩的量子力学平均值不再为零,
这就是原子电偶极化的量子力学描述。在第八章中,我们就是这样来处理电介质原子的极
化的。
我们一般采用宏观电极化强度来描述物质的极化,它定义为单位体积内电偶极矩的矢量
和，即
（ 4.1.2）
式中 ΔV为小块体积 ;∑表示对 ΔV内的所有电偶极矩求和。在偶极相互作用下,电感应强度 D、
电场强度 E和电极化强度 P之间存在关系式
D=ε0E+P (4.1.3)
式中 e0为真空的介电常数。
实验表明,当与原子相互作用的场比较弱,即 E<<Eat(Eat为原子内的电子所经受到库仑场,
它约为 109V/cm)时，极化强度与电场强度近似成线形关系
（ 4.1.4）
式中 PL表示与 E成线性关系的介质极化强度； xl叫线性电极化率,对于各向同性介质,它
是标量,对于各向异性介质,它是二阶张量。采用物质的线性极化模型可以成功地解释光的
散射、吸收、色散效应 (见 4.2节 )以及受激辐射过程中的一些现象 (见第八章 )。
激光技术的出现,使获得强场成为可能。当场强增大到可与 Eat相比拟的程度时,在一些非
线性介质中,会明显地出现一些在弱场时观察不到或不易观察到的非线性现象,例如二次谐
波的产生和光学参量效应等。它们不能用物质的线性极化理论来解释。这表明,在强场时 P
与附近似线性关系已不适用,因此应对式 (4.1.4)进行修改。修改后的极化强度与场强的关
系式,对强场与弱场应均能适用
既然在弱场时式 (4.1.4)成立,所以认为它是极化强度的一级近似表达式,它只包含场强的一
次幂。当场强增强时,一级近似表达式不复成立,这时可以在一级近似表达式的基础上加一
项二级修正项 p(2),包含场强的二次幂。如果加了二级修正项后还不能解释新的物理现象 (如
四波混频过程 ),则应在极化强度的表达式中再加进三级修正项 p(3),它与场强的三次幕有
关 …… 这样,极化强度 P可写成
(4.1.5)
式中 (4.1.6)
(4.1.7)
分别为极化强度的线性项与非线性项。 X (1)叫线性电极化率,为二阶张量 ;X(2)叫二次非线
性电极化率,为三阶张量 ;余类推。它们只取决于介质的性质而与场强 E无关。 X(l)·E为二阶
张量 X(1)与矢量 (即一阶张量 )E的一次点乘 ;X(2):EE为三阶张量 X(2)与二阶张量 EE的二次点
乘 …… 下面我们来分析一下二次非线性电极化率与线性电极化率之间的大致数量级关系。
为简单计,以各向同性介质为例,这时式 (4.1.5)简化为
(4.1.8)
上式右边第二项与第一项之比为
前面已经指出,当 E与 Eat可比拟时,场与物质之间的相互作用会导致明显的非线性效应,因此
在上式中取 E～ Eat才,应有
Eat约为 109V/cm，可见 α与 β在数量级上相差甚大。这说明,在 E<<Eat时,式 (4.15)或
式 (4.1.8)中的第一项起主导作用,其余项所起的作用可以忽略。只有当 E～ Eat或 βE～ α时才
有考虑后面数项的必要,
在场与物质的相互作用过程中,会同时存在场与物质的共振相互作用和非共振相互作用,
因此,反映此相互作用的物理量极化强度可写作
(4.1.9)
式中 PLR为极化强度的共振分量 ;PNl,R为它的非共振分量,鉴于前面所述,它们各自又可写作线
性分量与非线性分量之和,即
(4.1.10)
(4.1.11)
本书中将要介绍的光频电磁场与物质的相互作用的经典理论、半经典理论以及量子理论
的简化形式 ——速率方程理论均只考虑介质的共振线性极化。在这种情况下，式 (4.1.3)变
为 (4.1.12)
不过为简化起见，今后极化强度的下标 LR不再写出
场和物质相互作用中的非线性效应向我们揭示了新的物理现象,它们之中有的能用物
质的非线性共振极化解释,有的能用物质的非线性非共振极化解释。有些非线性效应已在
实践中得到应用。科学技术的发展,必将使人们对非线性效应的认识进一步深化,它们也会
在实践中获得越来越广泛的应用。因此,我们应该知道,在共振线性极化所能解释的现象之
外,还有一个更广阔的为非线性极化所支配的物理世界。
4.2光和物质相互作用的经典理论简介
在量子理论建立之前，人们曾用经典模型比较直观和简单地说明了有关光和物质原子
相互作用的某些实验现象,这对于理解激光器的物理过程有一定帮助。经典理论所应用的
一些概念和术语对于解半经典理论和量子理论也是有帮助的,因此我们首先在本节介绍经
典理论的基本概念。
一，原子自发辐射的经典模型
在量子力学建立之前 ;人们用经典力学描述原子内部电子的运动,其物理模型就是按简
谐振动或阻尼振动规律运动的电偶极子,称为简谐振子。简谐振子模型认为,原子中的电子
被与位移成正比的弹性恢复力束缚在某平衡位置 x=0(原子中的正电中心 )附近振动 (假设一
维运动情况 ),当电子偏离平衡位置而具有位移 x时,就受到一个恢复力 f=-kx的作用。假定没
有其他力作用在电子上,则电子运动方程为
（ 4.2.1）
式中 m为电子质量。
这个齐次二阶微分方程就是熟知的一维线性谐振子方程，它的解就是简单的无阻尼振荡：
（ 4.2.2）
式中 ω。为谐振频率,并且
（ 4.2.3）
根据电动力学原理,当运动电子具有加速度时,它将以如下的速率发射电磁波能量,
（ 4.2.4）
式中 V为电子运动的加速度。上式所表示的电子能量在单位时间内的损失也可以认为
是辐射对电子的反作用力 (或辐射阻力 )在单位时间内所作的负功,即可表示为
式中 F为作用在电子上的辐射反作用力。
将上式在一个周期的时间间隔 t2～ t1内对时间积分,
式中
由于选取 t2～ t1是一个周期时间间隔,故等式右方为零。在一个周期内的平均值为零,可
粗略地取
（ 4.2.6）
考虑到作用在电子上的辐射反作用力,则电子运动方程 (4.2.1)应改写为
（ 4.2.7）
由于辐射反作用力比恢复力小得多,因而可以认为位移 x仍可近似表示为式 (4.2.2),这样
再根据式 (4.2.3),则式 (4.2.7)可写为
（ 4.2.8）
式 γ中称为经典辐射阻尼系数,并且
（ 4.2.9）
因为 γ很小，方程 (4.2.8)的解为
（ 4.2.10）
式中均为常数 x。可见,考虑了辐射阻尼,则振子作简谐阻尼振荡。以上就是原子的经典简谐
振子模型。
按式 (4.2.10)作简谐振动的电子和带正电的原子核组成一个作简谐振动的电偶极子,其偶
极矩为且
（ 4.2.11）
上述简谐偶极振子发出的电磁辐射,
这就是原子在某一特定谱线 (中心频率为 ω。 )上的自发辐射的经典描述。显然,可以将
ηr=1/γ定义为简谐振子的辐射衰减时间。在可见光频率范围队大约为 10-8s量级，这与实验
结果一致。
二、受激吸收和色散现象的经典理论
我们现在从原子的经典模型出发,分析当频率为 ω的单色平面波通过物质时的受激吸收
和色散现象,并直接导出物质的吸收系数和折射率 (色散 )的经典表示式,以及它们之间的相
互关系。在本章中,我们还将从速率方程理论出发导出物质的吸收 (或增益 )系数量的表示式,
但速率方程理论不能给出物质的色散关系。此外,本节的基本概念对于理解第八章激光器
半经典理论将有直接帮助。
受激吸收和色散现象是物质原子和电磁场相互作用的结果。物质原子在电磁场的作
用下产生感应电极化强度 (即介质的极化 ),感应电极化强度使物质的介电常数 (因而电磁波
的传播常数 )发生变化,从而导致物质对电磁波的吸收和色散。下面我们就从这个概念出发
求出吸收系数和折射率的经典表示式。
根据电磁场理论,在物质中沿 z方向传播的单色平面波,其 x方向的电场强度可表示为
（ 4.2.13）
式中 ε?和 μ‘分别为物质的相对介电常数和相对磁导率,在一般介电物质中 μ?=1,而 ε?
则应根据物质在 E(z,t)作用下的极化过程求得。下面就从原子的经典模型出发求出 ε'。
设物质由单电子原子组成,则作用在电子上的力为
-eE(z,t)
这里忽略了磁场对电子的微小作用力。
在上述电场力的作用下,电子运动方程 (4.2.8)应改写为
（ 4.2.14）
上述微分方程的特解可写为如下形式,
（ 4.2.15）
这里我们没有考虑微分方程通解中代表自由阻尼振荡的项,因为它对感应电矩没有贡献。
将式 (4.2.15)代人式 (4.2.14),得
(4.2.16)
我们只对共振相互作用,即 ω≈ω。时的情况感兴趣,此时有
一个原子的感应电矩则为
(4.2.18)
(4.2.17)
对于气压不太高的气体工作物质,原子之间相互作用可以忽略,因而感应电极化强度可以
通过对单位体积中原子电矩求和得到
(4.2.19)
式中 n为单位体积工作物质中的原子数。
我们知道,物质的感应电极化强度也可表示为
(4.2.20)
式中 χ为工作物质的电极化系数。
比较式 (4.2.19)和式 (4.2.20)可得电极化系数 χ为
(4.2.21)
令 χ=χ+iχ‖,则电极化系数的实部和虚部分别是
(4.2.22)
(4.2.23)
物质的相对介电系数 ε'与电极化系数的关系为
(4.2.24)
因为 |χ|<<1,所以
(4.2.25)
式中已令
(4.2.26)
(4.2.27)
将式 (4.2.25)代人式 (4.2.13),可得
(4.2.28)
从上式可见,ε就是物质的折射率,根据增益系数的定义
(4.2.29)
用式 (4.2.27),上式可写作
(4.2.30)
将式 (4.2.22)和式 (4.2.23)分别代人式 (4.2.26)和式 (4.2.30),则得物质的增益系数和
折射率为
(4.2.31)
(4.2.32)
其中运用了条件 ω≈ω。,式 (4.2.31)和式 (4.2.32)到在无激励的情况下导出,在小信号情况下,
若二能级简并度相等,阳粒子数密度 Δn=-n,所以 g<0,实际处在吸收状态。将上述结果推广
到普遍的状态 (有激励或无激励,大信号或小信号 ),令 Δn代替 (-n),并令 ΔVH=γ/2π,上式可改
写为
(4.2.33)
(4.2.34)
可见,由于自发辐射的存在,物质的增益 (吸收 )谱线为洛仑兹线型,而 ΔνH即为谱线宽度,并且
物质在 ν0附近呈现由式 (4.2.34)描述的强烈色散。根据式 (4.2.33)和式 (4.234)还可得出物
质折射率 ε与增益系数 g普遍关系式
(4.2.35)
根据这个关系,我们可以从物质的增益系数求得它的折射率。
4.3谱线加宽和线型函数
在 1.2节的全部讨论中,我们没有考虑原子能级 E2,E1具有一定的宽度,而假设能级是无
限窄的,因而认为上述自发辐射是单色的,辐射时全部功率 P都集中在一个单一的频率 ν=(E2-
E1)/h上。由式 (1.2.4)可求得单位体积物质内原子发出的自发辐射功率为 (为简化起见,暂时
去掉脚标 sp),(4.3.1)
实际上由于各种因素的影响,自发辐射并不是单色的,而是分布在中心频率 (E2-E1)/h附近一
个很小的频率范围内。这就叫谱线加宽。由于谱线加宽,式 (4.3.1)所表示的自发辐射功率
不再集中在频率 (E2-E1)/h上,而应表示为频率的函数 P(v),如图 4.3.1所示。为了区别变数 ν和
辐射的中心频率 (E2-E1)/h,令 (E2-E1)/h=ν。,并以 P(ν)描述自发辐射总功率 P按频率的分布,
即在总功率 P中,分布在 ν-ν+dν范围内的功率为 p(v)·dv,数学表示为
(4.3.2)
在速率方程理论中,重要的是 P(v)的函数形式。
因此,引入谱线的线型函数 g(v,v0),它定义为
(4.3.3)
g(v,v0)的量纲为 [s],括号中的 v0表示线型函数中心频率。
根据式 (4.3.2)和式 (4.3.3),有
(4.3.4)
此式称为线型函数的归一化条件,
线型函数在 ν=ν。时有最大值 g(ν,ν0),并在 ν=ν0土 Δν/2时下降至最大值的一
半,即
按上式定义的 Δν称为谱线宽度。
下面将分析引起谱线加宽的各种物理机制,并根据不同的物理过程求出 g(ν,ν。 )的具体函数
形式。
一、均匀加宽
如果引起加宽的物理因素对每个原子都是等同的,则这种加宽称作均匀加宽。对此种加
宽,每个发光原子都以整个线型发射,不能把线型函数上的某一特定频率和某些特定原子联
系起来,或者说,每一发光原子对光谱线内任一频率都有贡献。自然加宽、碰撞加宽及晶格
振动加宽均属均匀加宽类型。
1.自然加宽
在不受外界影响时,受激原子并非永远处于激发态,它们会自发地向低能级跃迁,因
而受激原子在激发态上具有有限的寿命。这一因素造成了原子跃迁谱线的自然加宽,自
然加宽线型函数可以在辐射的经典理论基础上简单而直观地求得。
根据经典模型,原子中作简谐振动的电子由于自发辐射而不断损耗能量,因而电子振动
的振帽服从阻尼振动规律 [见式 (4.2.10)]:
式中 ω。 =2π0v0,v0是原子作无阻尼简谐振动的频率,即原子发光的中心频率 [相应于量
子理论中的 (E2-E1)/h]； γ为阻尼系数。上述阻尼振动不再是频率为 ν。的单一频率 (简谐 )振
动,这就是形成自然加宽的原因。
对 x(t)作傅里叶变换,可求得它的频谱,
由于辐射功率正比于电子振动振幅的平方,所以频率在 ν~ν+dν区间内的自发辐射功率为
而总自发辐射功率由式 (4.3.2)表示。根据线型函数定义式 (4.3.3)可得
式中积分为一常数,令其为 A。由归一化条件求得 A=γ-1于是可得
(4.3.5)
式中下标 N表示自然加宽。
下面讨论阻尼系数 γ与原子在 E2能级上的自发辐射寿命 ηs,之间的关系。设在初始时刻 t
=0时能级马上有 n20个原子,则自发辐射功率随时间的变化规律可写为
所以
也可写作
(4.3.6)
另一方面,从式 (1.2.4)也可求得 E2能级上原子数随时间的变化规律。根据 12节所述
则有
由式 (4.3.1)求得自发辐射功率为
(4.3.7)
比较式 (4.3.6)和式 (4.3.7)可得
(4.3.8)
于是，自然加宽线型函数也可写为
(4.3.9)
2.碰撞加宽
大量原子 (分子 )之间的无规 "碰撞 "是引起谱线加宽的另一重要原因。在气体物质中,大量
原子 (分子 )处于无规热运动状态,当两个原子相遇而处于足够接近的位置时 (或子与器壁相
碰时 ),原子间的相互作用足以改变原子原来的运动状态。这时我们认为两原子发生了 "碰撞
"。在晶体中,虽然原子基本上是不动的,但每个原子也受到相邻原子的偶极相互作用 (即原
子 -原子藕合相互作用 )。因而一个原子也可能在元规的时刻由于这种相互作用而改变自己
的运动状态,这时我们也可称之为 "碰撞 ",虽然实际上并没有碰撞过程发生。
现在我们来分析碰撞过程对谱线加宽的影响。碰撞过程可能是各种各样的,例如激
发态原子和同类基态原子发生碰撞而将自己的内能转移给基态原子并使其跃迁至激发
态,而激发态原子本身回到基态。激发态原子还可能和其他原子发生弹性碰撞。通常将
以上过程称作横向弛豫过程。这种过程虽不会使激发态原子减少,却会使原子发出的自
发辐射波列发生元规的相位突变,如图 4.3.3所示。相位突变所引起波列时间的缩短可量 '
等效于原子寿命的缩短。激发态原子也可以和其他原子或器壁发生碰撞而将自己的内能
变为其他原子的动能或给予器壁,而自己回到基态。这一过程属于非弹性碰撞,它与自发量
辐射过程一样,也会引起激发态寿命的缩短。为了有别于产生辐射的跃迁,称作元辐射跃
迁。在晶体中,元辐射跃迁起因于原子和晶格振动相互作用,原子释放的内能转化为声子
能量。
由于碰撞的发生完全是随机的,我们只能了解它们的统计平均性质。设任一原子与其他
原子发生碰撞的平均时间间隔为孔,它描述碰撞的频繁程度并称为平均碰撞时肌可以证明,
这种平均长度为凡的波列可以等效为振幅呈指数变化的波列,其衰减常数为 ηL。由此可见,
碰撞过程应和自发辐射过程同样地引起谱线加宽,而且完全可从物理概念出发预见到它的
线型函数应和自然加宽一样,并可表示为
(4.3.11)
式中 ΔνL为碰撞线宽。
在气体工作物质中,平均碰撞时间 ηL与气体的压强、原子 (分子 )间的碰撞截面、温度等有关。
如果气体包含两种原子 (或分子 )a和 b,其中一个 a类原子和 b类原子的平均碰撞时间 (ηL)ab可
用下式计算,
(4.3.13)
式中 Nb为单位体积气体中 b类原子数 ;ma,mb分别为 a原子和 b原子质量 ;T为气体温度 ;Qab为 a
原子和 b原子间的碰撞截面,它一般由实验测得。对于激光器常用气体,典型的 Qab数值约在
(0.1~1.0)× 10-18m2范围之内,例如,对于 C02分子,测得的数据为 Qco2-co2=10-18m2,
Qco2-N2=10-18m2,。 Qco2-He=0.3× 10-18m2
同类原子的平均碰撞时间,则可据式 (4.3.12)写为
原子数密度 Na(或 Nb)与该种气体的分压强 Pa有关,可根据下式计算,
(4.3.14)
气体激光工作物质一般都是由工作气体 (设为 a)和辅助气体 (b,c,… )组成,这时工作气体的碰
撞寿命应按下式计算,
(4.3.15)
(4.3.12)
ηL或 ΔvL的数值也可直接由实验测得。在气压不太高时,实验证明 ΔvL与气压 p成正比,
ΔvL=αp （ 4.3.16）
式中 p为气体总气压 (Pa),α为实验测得的比例系数 (MHz/Pa)。例如,对 C02气体测得
α=49kHz/Pa,对 H3:Nez0混合气体 (7:1),测得 Ne20的 α=720kHfz/Pa.
以上 ηL或 ΔvL的计算包括了弹性碰撞与非弹性碰撞两种过程。
在气体工作物质中,均匀加宽来源于自然加宽和碰撞加宽。我们可把两者的线型函数式
(4.3.10)和式 (4.3.11)合并起来,称为均匀加宽线型函数均 gH(v,v0).
（ 4.3.17）
式中 gH(ν,ν0)为同时考虑自然加宽和碰撞加宽时的均匀加宽线型函数 ;ΔvH为相应的均匀加
宽线宽。对于一般气体激光工作物质,因为 ΔvL>>ΔvN,所以均匀加宽主要由碰撞加宽决定。
只有当气压极低时,自然加宽才会显示出来。
固体工作物质中,原子 -晶格热弛豫过程产生的无辐射跃迁导致原子在激发态能级上的
寿命缩短。若激发态自发辐射跃迁寿命为 ηs,无辐射跃迁寿命为 ηnr,则激发态的寿命 η由下式
给出
（ 4.3.18）
激发态的有限寿命导致谱线的均匀加宽,可用洛仑兹线型函数描述。
最后必须指出,原子在能级上的有限寿命所引起的谱线均匀加宽也是量子力学测不
准原理的直接结果。设原子在能级上的寿命为 η(它可以是由各种因素引起的 ),则 η可
理解为原子的时间测不准量,于是原子的能量测不准量 ΔE为
ΔE≈h/η
若跃迁上、下能级的寿命分别为 η2与 η1,则原子发光具有频率不确定量或谱线宽度
（ 4.3.19）
当下能级为基态时,η1为无穷大,故有
式 (4.3.9)给出的线宽表示式与下能级寿命元关,这是经典模型的局限性带来的结果。
3.晶格振动加宽
固体工作物质中,激活离子镶嵌在晶体中,周围的晶格场将影响其能级的位置。由于晶
格振动使激活离子处于随时间周期变化的晶格场中,激活离子的能级所对应的能量在某一
范围内变化,因而引起谱线加宽。温度越高,振动越剧烈,谱线越宽。由于品格振动对于所有
激活离子的影响基本相同,所以这种加宽属于均匀加宽。对于固体激光工作物质,自发辐射
和无辐射跃迁造成的谱线加宽是很小的,晶格振动加宽是主要的均匀加宽因素。
二、非均匀加宽
非均匀加宽的特点是,原子体系中每个原子只对谱线内与它的表观中心频率相应的部分
有贡献,因而可以区分谱线上的某一频率范围是由哪一部分原子发射的。气体工作物质中
的多普勒加宽和固体工作物质中的晶格缺陷加宽均属非均匀加宽类型。
1多普勒加宽
多普勒 (Doppler)加宽是由于作热运动的发光原子 (分子 )所发出的辐射的多普勒频移引
起的。我们首先简述多普勒效应的某些概念，然后给出多普勒加宽线型函数。如图 4.3.4
所示,设一发光原子 (光源 )的中心频率为 ν0(hν0=E2-E1),当原子相对于接收器静止时,接收器
测得光波频率也为 ν。,但当原子相对于接收器以 vz速度运动时,接收器测得的光波频率不再
是 ν0,而是
这就是光学多普勒效应。当 vz/c<<1时,
可取一级近似,即
(4.3.20)
式中规定,当原子朝着接收器运动 (或沿光传播方向运动 )时,vz>0;当原子离开接收器 (或反
光波传播方向 )运动时,vz<0.
在激光器中,我们讨论的问题是原子和光波场的相互作用,这时可将上述概念进行必要
的引伸。如图 4.3.5所示,中心频率为 ν。的运动原子和沿 z轴传播的频率为 ν的单色光相互作
用。我们可以把单色光波看作是由某一假想光源发出的,而把原子看作是感受这个光波的
接收器。当原子静止时 (vz=0),它感受到的光波频率为 ν,并在 ν=ν。处有最大的共振相互作
用 (最大的受激跃迁几率 )。这就意味着,原子的中心频率为 ν。,当原子沿着 z方向以 vz运动时,
就相当于它离开假想光源运动,于是原子感受到的光波频率变为 ν?:
图 4.3.5运动原子与光波相互作用
时的多普勒频移
这时,只有当 ν'=ν。时才有最大的相互作用,
即当
或
时,才有最大相互作用。这就意味着,当运动原子与光相互作用时,原子表现出来的中心频率
变为 ν'。 =ν。 [1+(vz/c)]。只有当光波频率 ν=ν'。时才有最大相互作用。
综上所述,可得结论,沿 z方向传播的光波与中心频率为 ν。并具有速度凡的运动原子相
互作用时,原子表现出来的中心频率为
(4.3.21)
当 vz沿光波传播方向时,vz>0;当反向时,vz<0。 ν'。也可称为运动原子的表观中心频率。为
叙述简便起见,以后将表观中心频率简称为中心频率。
在考虑包含大量原子 (分子 )的气体工作物质中原子数按中心频率的分布。由于气体原子的
无规热运动,各个原子具有不同方向、不同大小的热运动速度 [图 4.3.6(α)].设单位体积工作
物质内的原子数为 n,根据分子运动论,它们的热运动速度服从麦克斯韦统计分布规律,在温
度为 T的热平衡状态下,单位体积内具有 z方向速度分量 vz~vz+dvz的原子数 (如图 4.3.6(c)中
阴影所示 )为
(4.3.22)
式中 K为玻耳兹曼常数 ;T为绝对温度 ;m为原子 (分子 )的质量。原子数按 vz的分布函数以
n(vz),示于图 4.3.6(b)。
图 4.3.6原子数按速度和频率的分布
现在分别考虑 E2和 E1能级上的原子数 n2和 n1,它们在 vz~vz+dvz速度间隔内的原子数分
别为
将式 (4.3.21)代入上式,可得在 ν?。 ~ν‘。 +dν?。的中心频率间隔内上、下能级上的原子数分
别为
(4.3.23)
如图 4.3.6(c)所示。上式中
(4.3.24)
这就是原子数按中心频率 ν'。的分布规律。
我们仍从表示自发辐射光功率的式 (4.3.1)出发导出多普勒加宽线型函数,暂不考虑每个
发光原子的自然和碰撞加宽,于是每个原子自发辐射的频率 ν就精确等于原子的中心频率内。
但由于的个原子具有式 (4.323)所示的中心频率分布,故其中不同速度原子发出的频率 ν=ν'。
是不同的,因而频率处于 ν~ν+dν范围内的自发辐射功率为
(4.3.25)
上式体现了自发辐射谱线的多普勒加宽。根据线型函数定义 g(ν,ν。 )=P(ν)/P,可见多普
勒加宽线型函数就是原子数按中心频率的分布函数
(4.3.25)
gD(ν,ν。 )具有高斯函数形式，示于图 4.3.7,具有最大值
其半宽度 ΔνD为
(4.3.26)
称为多普勒加宽，式中 M为原子 (分子 )量,
m=1.66x10-27M(kg)。式 (4.3.25)也可
写为下述形式,
(4.3.27)
gD(ν,ν。 )满足归一化条件。
2.晶格缺陷加宽
在固体工作物质中,不存在多普勒加宽,但却有一系列引起非均匀 M宽的其他物理因素。
其中最主要的是晶格缺陷的影响 (如位错、空位等晶体不均匀性 )。在晶格缺陷部位的晶格
场将和无缺陷部位的理想晶格场不同,因而处于缺陷部位的激活离子的能级将发生位移,这
就导致处于晶体不同部位的激活离子的发光中心频率不同,即产生非均匀加宽。这种加宽
在均匀性差的晶体中表现得最为突出。在玻璃作为基质的钦玻璃或饵玻璃等激光介质中,
由于玻璃结构的无序性,各个激活离子处于不等价的配位场中,这也导致了与晶格缺陷类似
的非均匀加宽。非均匀加宽线型函数也可用 gi(ν,ν。 )表示 O固体工作物质的非均匀加宽线
型函数一般很难从理论上求得,只能由实验测出它的谱线宽度。
三、综合加宽
1.气体工作物质的综合加宽线型函数
对于气体工作物质,主要的加宽类型就是由碰撞引起的均匀加宽和多普勒非均匀加宽。
由于它们的线型函数具有前节所述的解析形式,因而我们有可能同时考虑这两种加宽因素
来求得综合加宽线型函数。
仍从式 (4.3.3)出发求线型函数。在求频率处于 ν～ ν+dν范围内的自发辐射光功率 P(ν)dν
时,要同时考虑原子按中心频率的分布和每个原子发光的均匀加宽。如前节所述,中心频率
处在 ν。 ~ν。 +dν。范围内的高能级原子数为
如图 4.3.8(a)所示。由于均匀加宽,这部分原子也将发出频率为 ν的自发辐射,如图 4.3.8(b)
所示，它们对 P(v)dv的贡献为
由于具有不同 v'。的 n2个原子对 P(ν)dν都有贡献,所以 n2个原子对 P(ν)dν的总贡献应当为上
式对全部 v'。的积分,
由于在整个谱线范围内都有 ν≈ν。，所以上式中的 hv可用 hv。近似代替，于是
综合加宽线型函数推导用图
根据线型函数定义,由上式及式 (4.3.1)可求得综合加宽线型函数为
（ 4.3.28）
一般情况下,g(ν,ν'。 )具有误差函数的形式,这留待 4.7节讨论。下面讨论两种极限情况。
(1)当 ΔvH<<ΔvD时，上述积分只在 ν'。 ≈ν附近很小范围内才有非零值,在此范围内可将
函数 g（ ν'。,ν。 )用常数 gD(ν,ν。 )代替,因此
即当 ΔvH<<ΔvD,时综合加宽近似于多普勒非均匀加宽。其物理意义是,具有中心频率 ν'。 =ν
的那部分原子只对谱线中频率为 ν的部分有贡献。
(2)当 ΔvD<<ΔvH时,根据同样的考虑可得
即综合加宽近似于均匀加宽,这时 n2个原子近似具有同一中心频率 v。，其中每个原子都以
均匀加宽谱线发射。
2.固体激光工作物质的谱线加宽
在 -般情况下，固体激光工作物质的谱线加宽主要是晶格热振动引起的均匀加宽和晶
格缺陷引起的非均匀加宽,它们的机构都较复杂,很难从理论上求得线型函数的具体形式，
一般都是通过实验求得它的谱线宽度。图 4.3.9给出实验测得的红宝石 694.30nm和
Nd,YAG的 1.06um谱线宽度与温度的关系。从图 4.3.9(a)看出，红宝石在低温时主
要是品格缺陷引起的非均匀加宽,它与温度无关 ;而在常温时则是晶格热振动引起的均匀
加宽为主,它随温度的升高而加大。对 Nd:YAG晶体,由于晶体质量比红宝石好,因而非
均匀加宽可以忽略,在整个温度范围内都以均匀加宽为主。
4.3.9红宝石和 Nd:YAG的谱线宽度与温度关系曲线
(a)红宝石,694.32nm(b)Nd:YAGA-06um
应该指出,固体物质的谱线宽度一般都比气体大很多,例如对室温下的红宝石 694.3nm
谱线,其谱线宽度约为 9cm-1,即相应于
或以频率表示的谱线宽度为 Δν=cΔ(1/λ)≈2.7x105MHz
在钕玻璃中,配位场不均匀性引起的非均匀加宽和玻璃网络体热振动引起的均匀加宽是
主要的加宽机构。二者的比例因材料而异。在室温下,1.06um谱线的非均匀加宽在
40~120cm-1(120-3600GHz)范围内变化。均匀加宽在 20~75cm-1(60~225GHz)的范围内变
化。虽然其非均匀加宽大于均匀加宽,但由于交叉弛豫过程,其增益饱和特性与均匀加宽工
作物质相似。
4.4典型激光器速率方程
上述各节的基础上,我们可以列出表征激光器腔内光子数和工作物质各有关能级上的原
子数随时间变化的微分方程组,称为激光器速率方程组。
激光器速率方程组显然和参与产生激光过程的能级结构和工作粒子 (原子、分子等 )在
这些能级间的跃迁特性有关。不同激光工作物质的能级结构和跃迁特性可能很不相同,而
且很复杂。但是,我们还是可以从中归纳出一些共同的、主要的物理过程,从而针对一些简
化的、具有代表性的模型列出速率方程组,这就是所谓三能级系统和四能级系统。
激光器速率方程理论的出发点是原子的自发辐射、受激辐射和受激吸收几率的基本
关系式。在 1.2节中,我们已经给出爱因斯坦采用唯象方法得到的这些关系式
我们将在上述关系式的基础上导出激光器的速率方程组。但上述关系建立在能级元限窄,
因而自发辐射是单色的假设基础上。实际上,自发辐射并不是单色的,因此在建立速率方程
之前,必须对上述关系式进行必要的修正。
一、自发辐射、受激辐射和受激吸收几率
线型函数 g(ν,ν。 )也可理解为跃迁几率按频率的分布函数。为此将式 (4.3.3)改写
其中
(4.4.1)
它表示在总自发跃迁几率 A21中,分配在频率 ν处单位频带内的自发跃迁几率。
再根据 B2l与 A21的关系式 (1.2.15)可得
或
因此,在辐射场 pν的作用下的总受激跃迁几率时,分配在频率 ν处单位频带内的受激跃迁几率
为
(4.4.2)
现根据式 (4.4.1)和式 (4.4.2)对式 (1.24)至式 (1.2.8)进行修正。式 (1.2.4)中的 (dn21/dt)sp
表示 n2个原子中单位时间内发生自发跃迁的原子总数,根据式 (4.4.1),它应
表示为
(4.4.3)
上式和式 (1.2.4)一样,它说明,谱线加宽对式 (1.2.4)没有影响。根据式 (4.4.2)。式 (1.2.8)应
表示为
(4.4.5)
上式中的积分与辐射场 pν的带宽 Δν'有关，以下对两种极限情况进行讨论。
1.原子和连续谱光辐射场的相互作用
如图 4.4.1所示,辐射场 pν分布在 Δν?>>Δν的频带范围内,pν为单色能量密度。积
分式 (4.4.4)的被积函数只在原子中心频率 ν。附近的很小频率范围 (Δν)内才有非零值
在此频率范围内可近似认为 ρν为常数 ρν。于是有
(4.4.4)
同理有
(4.4.6)
或者
(4.4.7)
图 4.4.1原子和连续谱场相互作用中式中 ρν。是连续谱辐射场在原子中心频率ν。处的单色能量密度。可见,这和式
(1.2.9),(1.2.7)一致,因为黑体辐射场正是
具有连续谱的。
2.原子和准单色光辐射场相互作用
如图 4.4.2所示,辐射场 pν的中心频率为 ν,带宽为 Δν?,并满足条件 Δν‘<<Δν。,由于激光的
高度单色性,所以激光器内的光波场和原子相互作用都属于这种情况。从图 4.4.2中可见,此
时积分式 (4.4.4)的被积函数只在中心频率 ν附近的一个极窄范围内才有非零值。在此频率
范围内,g(ν?,ν。 )可以近似看成不变。为求此积分,可将单色能量密度 pv'表示为 δ函数形式,
（ 4.4.9）
图 4.4.2原子和准单色场相互作用
并根据 δ函数的性质有
因此,p表示频率为 ν的准单色光辐射
场的总能量密度,其量纲为 J·m-3
将式 (4.4.8)代人式 (4.4.4)则得
（ 4.4.8）
同理可将式 (1.2.6)修正为
（ 4.4.10）
从以上两式可得,在频率为 ν的单色辐射场的作用下,受激跃迁几率为
（ 4.4.11）
上式的物理意义是,由于谱线加宽,和原子相互作用的单色光的频率 ν并不一定要精确等于原
子发光的中心频率 ν。才能产生受激跃迁,而是在 ν=ν。附近一个频率范围内都能产生受激
跃迁。当 ν=ν。时,跃迁几率最大 ;当 ν偏离 ν。时,跃迁几率急剧下降。
激光器内 p与第 l模内的光子数密度 Nl的关系为
ρ=Nlhv (4.4.12)
式 (4.4.11)也可表示为与 Nl有关的形式,再利用式 (1.2.14)及式 (1.2.15),可有
（ 4.4.13）
式中 ν为工作物质中的光速 ;ζ21(ν,ν。 )和 ζ12(ν,ν。 )分别称为发射截面和吸收藏面，它们有
面积的量纲．可表示为
（ 4.4.14）
中心频率处的发射截面与吸收截面最大。当 ν=ν。时,均匀加宽工作物质 (具有洛仑兹线
型 )的发射截面为
(4.4.15)
非均匀加宽工作物质 (具有高斯线型 )的发射截面为
(4.4.16)
由式 (4.4.13)出发,我们还可以得到一个有用的概念。为此,将式 (4.4.13)分子分母同乘以光
腔体积 V,并令俨 nl=NlV,则得
式中 nl为光腔内第 l模的总光子数。因为 A21g(ν,ν。 )是分配到频率为 ν处单位频带内的自发
辐射几率,所以 g(ν,νo)A21/nvV表示分配在光腔内频率为 ν的一个模式上的自发辐射跃迁几率,
我们用 al表示。而 W21/nl是一个模式内的卡个光子引起的受激跃迁几率,因此根据关系式
(4.4.17)
可以得到下述概念,一个模式内的一个光子引起的受激跃迁几率等于分配到同一模式上
的自发跃迁几率均。并且可将式 (4.4.13)改写为
正如前节所指出的,对于一般固体激光工作物质来说,谱线线型函数的具体形式很难从理论
上求得,在这种情况下,我们可以根据上式对 W21作出近似估算。设谱线的总自发辐射跃迁
几率为 A21,谱线宽度为 Δν,并假设 A21均匀分配在 Δν所包含的所有模式上,则分配在一个模式
上的自发辐射跃迁几率为
于是,式 (4.4.17)可写为
二、单模振荡速率方程组
激光振荡可以在满足振荡条件的各种不同模式上产生,每一个振荡模式是具有一定频率
ν(模式谐振频率 )和一定腔内损耗的准单色光 (具有极窄的模式频带宽度 )。腔内损耗可由光
腔的光子寿命 ηR描述。下面首先讨论激光器内只有第 l个模式振荡时的单模速率方程组。
1.三能级系统速率方程组
图 4.4.3为三能级系统激光工作物质
的能级简图。参与激光产生过程的有三
个能级：激光下能级 E1为基态能级,E2为亚
稳态能级，
E3为抽运高能级。粒子在这些能级间的跃迁过程简述如下。
(1)在激励泵源的作用下,基态 E1上的粒子被抽运到能级 E3上,抽运几率设为 W13.在光激
励情况下,W13即为受激吸收跃迁几率,对于其他激励方或,则 W13只表示粒子在单位时间内被
抽运到 E3的几率。
(2)到达高能级 E3的粒子数时将主要以无辐射跃迁 (热弛豫 )的形式极为迅速地转移到激
光上能级 E2,其几率设为 S32.另外,n3也能以自发辐射 (几率 A31)无辐射跃迁 (几率 S31)等方式返
回基态 E1,但对于一般激光工作物质来说,这种消激励过程的几率很小,即 31<<S32,A31<<S32.
(3)激光上能级 E2一般都是亚稳能级,在未形成集居数反转之前,向粒子将主要以自发跃
迁 (几率 A21)形式返回 E1,并且 A21较小,即粒子在 E2上的寿命较长。另外,n2粒子也可能通过无
辐射跃迁 (几率 S21)返回 E1，一般情况下 S21<<A21,由于 A21较小，如果粒子抽运到 E2上的速
率足够高,就有可能形成集居数反转状态 (即 n2>f2n1/f1).一旦出现这种情况,则在 E2和 E1间的
受激辐射和吸收跃迁 (W21和 W12)将占绝对优。
正如第九章所述,三能级系统激光工作物质的典型例子是红宝石晶体。红宝石在室温下
的一些跃迁几率数据为,S32≈0.5× 107s-l A31≈3× 105s-1,A21≈0.3× 103s-1,
S21,S31≈0.
综上所述,可以写出各能级集居数随时间变化的方程
（ 4.4.18）
（ 4.4.20）
（ 4.4.19）
n为单位体积工作物质内的总粒子数。由于一般情况下 S31很小,故在式 (4.4.18)中予,.
具有一定噩以忽略。
现在分析激光器光腔内的光子数密度 (单位体积内的光子数 )随时间的变化规律。若第 l
个模式的光子寿命为 ηRl,工作物质长度 l等于腔长 L,则其光子数密度的速率方程为
（ 4.4.21）
式中忽略了进入 l模内的少量自发辐射非相干光子。最后,将式 (4.4.13)代入式 (4.4.19)与式
(4.4.21),可得到三能级系统的速率方程组为
（ 4.4.22）
2.四能级系统速率方程组
对于多数激光工作物质来说,四能级系统更具有代表性,因为如第五章所述,四能级系统
更容易实现集居数反转。氮氛激光器以及 Nd:YAG等都属于四能级系统。图 444表示具有四
能级系统的激光工作物质的能级简图,
参与产生激光的有四个
能级,基态能级 E0(抽运过程的低能级 )、
抽运高能级 E3、激光上能级 E2(亚稳能级 )
和激光下能级 E1。它的主要特点是,激光
下能级 E1不再是基态能级,因而在热平衡
状态下处于 E1的粒子数很少,有利于在
E2和 E1之间形成集居数反转状态, 粒子在
能级间的主要跃迁过程如图,4.4.4所示,
各符号代表的物理意义与三能级系 统相同。
这里着重指出两点。
图 4.4.4四能级系统示意图
(1)对于实际的激光工作物质,仍有
S30,A30<<S32,S21<<A21
并为简化起见,在速率方程中略去 S30的影响。
(2)激光下能级 E1与 E0的间隔一般都比粒子热运动能量 KT大得多,即 E1-E0>>KT,这样就
保证在热平衡情况下 E1能级上的粒子数可以忽略,另一方面,当在粒子由于受激辐射和自发
辐射由 E2跃迁到 E1后,必须使它们以某种方式迅速地转移到基态,即要求 S10较大。 S10也称
为激光下能级的抽空速率。
参照图 4.4.4根据和三能级系统完全相同的考虑,可得四能级系统的速率方程组为
(4.4.23)
(4.4.24)
(4.4.25)
(4.4.26)
(4.4.27)
上式中忽略了 n3W30项,因为 n3很小,故 n3W30<<n0W03
对于四能级系统,另有一种常见的粒子数密度速率方程的写法,介绍如下,
(4.4.28)
式中 R1,R2为单位体积中,在单位时间内激励至 E1,E2能级的粒子数,η1η2为 E1E2能级的
寿命,η21为 E2能级由于至 E1能级的跃迁造成的有限寿命。
式 (4.4.28)与式 (4.4.23)至式 (4.4.26)的不同在于,前者采用激励速率和能级寿命来描述
粒子数变化速率而不涉及具体的激励及跃迁过程 ;后者则忽略了激光下能级的激励过程,对
大部分激光工作物质来说,这一忽略是允许的。读者可根据所研究工作物质的激励与跃迁
过程选择或建立适用的速率方程。
三、多模振荡速率方程
如果激光器中有 m个模振荡,其中第 l个模的频率、光子数密度、光子寿命分别为 vl,N l
及 ηRl。则 E2能级的粒子数密度速率方程为
(4.4.29)
由于每个模式的频率、损耗,g(νl,ν0)值不同,必须建立 m个光子数密度速率方程,其中第 l个
模的光子数密度速率方程为
(4.4.30)
(1)假设各个模式的衍射损耗比腔内工作物质的损耗及反射镜透射损耗小得多,因而可
以认为各个模式的损能是相同的。
(2)将线型函数 g(ν,ν。 )用一矩形谱线 g'(ν,ν。 )代替 (见图 4·4.5),并使矩形谱线的高度与
谱线轮廓中心点的高度相等,矩形谱线所包含的面积与原有谱线包含的面积相等。即
(4.4.31)
对洛仑兹线型与高斯线型,等效线宽分别为
(4.4.32)
(4.4.33)
式中用工作物质的自发辐射荧光谱线宽度 ΔνF统一表示均匀加宽线宽 ΔνH和非均匀加
宽线宽 Δνi.
图 4.4.5光谱线的线型函数及等效线型函数
按照以上简化模型,四能级多模振荡的速率方程可写为
(4.4.34)
式中 N为各模式光子数密度的总和 ;ζ21为中心频率处的发射截面 ;ε1=S32/(S32+A30)
为 E3能级向 E2能级无辐射跃迁的量子效率 ;ε2=A21/(A21+S21)为 E2能级向 E1能 i级跃迁的荧光
效率。 εF=ε1ε2为总量子效率,它的意义可以理解为,由光泵抽运到 E3的粒子,只有一部分通
过无辐射跃迁到达激光上能级 E2,另一部分通过其他途径返回基态。而到达 E2能级的粒子,
也只有一部分通过自发辐射跃迁到达 E1能级并发射荧光,其余粒子通过无辐射跃迁而 E1能级。
因此总量子效率表示为
εF=发射荧光的光子数 /工作物质从光泵吸收的光子数
4.5均匀加宽工作物质的增益系数
本节及下节从速率方程出发导出激光工作物质的增益系数表示式,分析影响增益系数的
各种因素,着重讨论光强增加时增益的饱和行为。
具有均匀加宽谱线和具有非均匀加宽谱线的工作物质的增益饱和行为有很大差别,由它
们所构成的激光器的工作特性也有很大不同,因此将分别予以讨论。
本节及下节导出的增益系数表示式,利用了连续工作状态下的稳态速率方程。因此,所
得表示式适用于连续激励及长脉冲激励状况。在短脉冲激励状况下,由于未达到稳态,某些
表示式不完全适用。但本节及下节导出的增益饱和行为以及均匀加宽和非均匀加宽工作物
质中增益饱和特性的差异仍然适用。
第一章已经指出,如果在工作物质的某一对跃迁频率为 ν的能级间形成了集居数反转状
态,若有频率为 ν,光强为 I的准单色光人射,则由于受激辐射,在传播过程中光强将不断增加,
如图 4.5.1所示。通常用增益系数 g来描述光强经过单位距离后的增长率。设在 z处光强为
I(z),z+dz处光强为 I(z)+dI(z),则增益系数定义为
图 4.5.1光在增益物质中的放大
由于大部分激光工作物质都是四能级系
统,所以我们从四能级速率方程 (4.4.27)出
发,并考虑到在讨论受激辐射引起的增益作
用时可不计损耗,写出工作物质中光子数密
度 N的速率方程,
(4.5.1)
式中
(4.5.2)
由于
(4.5.3)
(4.5.4)
将式 (4.5.3),(4.5.4)代入式 (4.5.1),可得增益系数的表示式为
由式 (4.5.5）可见增益系数正比于反转集居数密度 Δn，其比例系数即为发射面 ζ21(ν,ν。 )。
ζ21(ν,ν。 )的大小决定于工作物质的线型函数及自发辐射几率 A21。
一、反转集居数饱和
若入射光的频率为 ν1，光强为 Iν1，在此光的作用下，工作物质的反转聚居数密度 Δn可
根据粒子数密度速率方程式 (4.4.23)至式 (4.4.26)求出,
在连续工作状态下,应有
(4.5.5)
般四能级系统中,S10>>W03,S32>>W03,A30<<S32,于是由式 (4.4.23)可得
由式 (4.4.25)可得
因此式 (4.4.24)可改写为
(4.5.6)
η2为 E2能级寿命
(4.5.7)
在稳态时,应有 dΔn/dt=0,并考虑到四能级系统中 n0≈n,于是由上式可求得
将式 (4.4.14),(4.5.3)及式 (4.3.17)代入上式,可得
式中 Is为饱和光强,它具有光强的量纲。
(4.5.9)
式 (4.5.7)表明,在光强 Iν1<<Is的小信号情况下
(4.5.8)
Δn0称作小信号反转集居数密度,它正比于受激辐射上能级寿命及激发几率 W03.
当 Iν1足够强时,将有
Iν1越强,反转集居数减少得越多,这种现象称为反转集居数的饱和。
式 (4.5.7)表明,不同频率的入射光对反转集居数密度的影响是不同的。当人射光频率 ν1
与谱线中心频率 ν。重合时,式 (4.5.7)简化为
(4.5.10)
它表明,强度为 Iν。频率为 ν。的光入射时将使反转集居数密度 Δn减少到小信号情况时
的 (1+Iν。 /Is)-1倍。当入射光强 Iν。等于饱和光强 Is时
即反转集居数密度减少了一半。
当入射光频率偏离中心频率时,饱和作用较 ν1=ν。时要弱。例如,当
(4.5.11)
并且 Iν1=Is时
其饱和作用比 ν1=ν。时小一半。频率 ν1偏离中心频率越远,则饱和作用越弱。这是由于中
心频率处受激辐射几率最大，所以入射光造成的反转集居数下降越严重。通常认为。频率
在式 (4.5.11)范围内的人射光才会引起显著的饱和作用。
饱和光强人的物理意义是,当入射光强度 Iν1可以与 Is比拟时,受激辐射造成的上能级集居
数衰减率就可以与其他弛豫过程 (自发辐射及无辐射跃迁 )造成的衰减率相比拟。因此当
Iν1<<Is时,Δn与光强无关,当 Iν1可与 Iνs相比拟时,Δn随 Iν1的增加而减少。 Is的数值决定于增
益物质的性质,可由实验测出。对于常用激光工作物质,其 Is值可从手册查出。典型激光工
作物质的 Is值列于附录一。
须指出,式 (4.5.8)是在四能级系统情况下导出的。对于其他能级系统,也可以得到与式
(4.5.7)和式 (4.5.10)类似的表示式。但其中 Is的表示式不同于式 (4.5.8)。本章末附有与此
相关的习题,读者可参考本节处理方法求出相应的 Is值。
二、增益饱和
现在分析,当频率为 ν1,光强为 Iν1的准单色光入射到均匀加宽工作物质时的增益系数
gH(ν1,Iν1)
由式 (4.5.5)可得
将式 (4.5.7)及均匀加宽线型函数代人上式,可得
(4.5.13)
由上式可知,在 Iν1<<Is的小信号情况下,增益系数与光强无关。小信号增益系数可表示为
(4.5.12)
其中 g0H(ν0)以为中心频率处的小信号增益系数
(4.5.14)
由式 (4.5.13)及式 (4.5.14)可知,小信号增益系数和入射光频率有关,图 4.5.2给出 g0H(ν1)
与入射光频率 ν1的关系曲线,该曲线称为小信号增益曲线,其形状完全取决于线型函数
gH(ν1,ν。 )。中心频率小信号增益系数决定于工作物质特性及激发速率。 g0H(ν。 )
可由实验测出。对于常用激光器件,也可由经验公式求出 (见附录一 )。
当 Iν1可与 Is比拟时,gH(ν1,Iν1)的值将随 Iν1的增加而减少。这就是增益饱和现象。当 ν1=ν0时
（ 4.5.15）
图 4.5.2小信号增益系数
若 Iν0=Is，由式（ 4.5.15）得
上式表示大信号增益系数减少为小信号增益系数的一半。 ν1偏离中心频率越远,饱和效
应越弱。
以上我们讨论了当频率为 ν1,强度为 Iν1光入射时,它本身所能获得的增益系数 g(ν1,Iν1)随
Iν1增加而下降的规律。现在我们提出另外一个问题,设有一频率为 ν1,强度变为 Iν1的强光人
射,同时还有一频率为 ν的弱光入射,此弱光的增益系数 g(ν,Iν1)将如何变化?
对均匀加宽工作物质而言,显然,强光入射会引起反转集居数密度 Δn的下降,而 Δn 的下降
又将导致弱光系数的下降。由式 (4.5.5)以及式 (4.5.7)可得
（ 4.5.16）
如果 ν1=ν。,Iνl=Is,则
由此可见,在均匀加宽谱线情况下,由于每个粒子对谱线不同频率处的增益都有贡献,所
以当某一频率 (ν1)的受激辐射消耗了激发态的粒子时,,也就减少了对其他频率 (ν)信号的
增益起作用的粒子数。其结果是增益在整个谱线上均匀地下降。于是在均匀加宽激光器中,
当一个模振荡后,就会使其他模的增益降低,因而阻止了其他模的振荡。图 4.5.3表示均匀加
宽工作物质中频率 ν1的强光人射使增益曲线均匀饱和的情形。
图 4.5.3均匀加宽工作物质增益曲线
4.6 非均匀加宽工作物质的增益系数
一、增益饱和
对线型函数为 gD(ν,ν。 )的非均匀多普勒加宽工作物质,在计算增益系数时,必须将反转集
居数密度 Δn按表观中心频率分类。设小信号情况下的反转集居数密度为 Δn0,则表观中心频
率在 ν'0~ν'0+dν'0范围内的粒子的反转集居数密度为
对于纯粹的非均匀加宽工作物质来说,表观中心频率为 ν0'的粒子发射频率为 ν0'的单色
光。但在实际工作物质中,除了存在非均匀加宽因素夕外卡,还同时才存在均匀加宽因素。
例如，任何粒子都具有自发辐射,因而都具有属于均匀加宽的自然加宽。所以频率在
ν0'~ν0'+dν0'围内的粒子发射一条中心频率为 ν0'，线宽为 ΔνH的均匀加宽谱线。若有频率 ν1,
强度为 Iν1的光入射,则这部分粒子对增益的贡献 dg可按均匀加宽增益系数的表示式 (4.3.12)
计算,
总的增益应是具有各种表观中心频率的全部粒子对增益贡献的总和。因此增益系数为
(4.6.1)
上式中的被积函数只在 |ν1-ν'0|<ΔνH/2的很小范围内才有显著值,而在 |ν1-ν'0|>>ΔνH/2时趋
近于零,因此可以将积分限由 0~∞改换成 -∞~+∞而不影响积分结。此外,在非均匀加宽的
情况下,ΔνD>>ΔvH,因而在 |ν1-ν'0|<ΔνH/2的范围内可将 gD(ν'0,ν'0)近似地看成常数 gD(ν1,ν0),
并将其提出积分号外,于是式 (4.6.1)可简化为
(4.6.2)
当 Iv1<<Is时,可由上式得出与光强无关的小信号增益系数
(4.6.3)
其中 g0i(ν0)为中心频率处的小信号增益系数
(4.6.4)
小信号增益系数和频率的关系完全取决于非均匀加宽线型函数 gD(ν1,νo)。
式 (4.6.2)可改写为
(4.6.5)
当 Iv1可与 Is比拟时,gi(ν1,Iν1)随 Iv1的增加而减少。强度为 Iv1的光入射时获得的增益系数
是小信号时的 (1+Iv1/Is)-1/2倍。这就是非均匀加宽情况下的增益饱和现象。在非均匀加宽
情况下,饱和效应的强弱与频率无关。
二、烧孔效应
在非均匀加宽工作物质中,反转集居数密度 Δn按其表观中心频率 ν有一分布。在小信号
情况下,其分布函数为 g(ν,ν0)。处在 ν～ ν+dν频率范围内的反转集居数密度 Δn0(v)dν为
图 4.6.1给出 Δn0(v)dν和 v的关系
表观中心频率为 ν的粒子发射一条中心
频率为 ν,线宽为 Δν的均匀加宽谱线。这
一部分粒子在准单色光作用下的饱和行为可
以用均匀加宽情况下得出的公式描述。
当入光频率为 ν1时,对表观中心频率 ν=ν1的
粒子而言,相当于前面所述均匀加宽情况下
入射光频率等于中心频率的情况。如果入射
光足够强,则 Δn (ν1)将按式 (4.5.10)饱和,即
在图 4.6.1中反转集居数密度由 A点下降到 A1点
4.7 综合加宽工作物质的增益系数
当 ΔvH可以与 ΔvD相比拟时，谱线具有综合加宽线型。此时须将粒子按表观中心频率
分类，求出各类粒子对增益的贡献，然后求出总的增益。总增益仍然由式 (4.6.1)表示。但
因 ΔH可以与 ΔvD相比拟，所以 gD(v0',v0)不能作为常数提出积分号外。将式
代入式（ 4.6.1），得
（ 4.7.1）
式中的积分可变换为复变量误差函数的形式。为此引入新的参量，令
代入式 (4.7.1)得
（ 4.7.2）
以 δ和 u为变量的复变量误差函数定义为
将其按虚部和实部展开：
其中实部为
虚部为
将式 (4.7.2)与复变量的误差函数比较可以看出，式 (4.7.2)中的积分可用表 WR(δ+iu)
示。于是综合加宽工作物质的增益系数可表示为
（ 4.7.3）
第五章激光振荡特性
本章在速率方程及据此导出的激光工作物质增益饱和的基础上讨论激光器的振荡条
件、激光形成过程、模竞争效应、激光输出功率或能量、弛豫振荡效应等基本特性。激光
线宽及频率牵引也是激光器的重要特性,对它们的严格理论分析必须运用量子理论及半经
典理论,本章仅作简单介绍,而不涉及严格的理论分析。
激光器按其泵浦方式可分为连续激光器与脉冲激光器两大类。
下面我们以三能级系统红宝石的激励过程为例来说明二
者的本质区别。
若粒子数密度为 n的红宝石被一矩形脉冲激励光
照射,其激励几率 W13(t)如图 5.0.1所示。
图 5.0.1激励脉冲波形及高
能级集居数随时间的变化
从这一简化情况出发得出的一些结论对其他情况也
是适用的,
由于 S32>>W13,使的 n3≈0.因此 dn3/dt≈0,于
是由式 (4.4.22)第一式,可得
式中 ε1=S32/(S32+A31)表示 E3能级向 E2能级元辐射跃迁的量子效率。将上式代入式 (4.4.22)
第二式,并考虑到在未形成自激振荡或在阑值附近时受激辐射很微弱的情形,此式中第一项
可以忽略不计,从而得出
式中 ε2=A21/(A21+S21)为 E2能级向基态跃迁的荧光效率。由上式可解出当 0<t≤t0时
的 n2(t):
(5.0.1)
t>t0时,W12(t)=0,可得
若 t0<η2时,则在整个激励持续期间,n2(t)处在不断增长的非稳定状态。
若 t0<η2时,则在整个激励持续期间,n2(t)处在不断增长的非稳定状态。由以上分析可
知,脉冲激光器中,由于脉冲泵浦持续时间短,在尚未达到新的平衡之前,过程就结束了,所以
在整个工作过程中,各能级的粒子数及腔内光子数均处于剧烈变化中,系统处于非稳态。而
连续激光器中各能级粒子数及腔内辐射则处于稳定状态。非稳态是系统打破原有热平衡状
态到达新的稳态过程的一个阶段。若脉冲泵浦持续时间 t0>>η2(长脉冲 ),脉冲激光器也达
到稳定状态,因此长脉冲激光器也可看成一个连续激光器。脉冲激光器和连续激光器的特
性既有差别,又有联系。
在采用速率方程处理连续或长脉冲激光器时,可有 dN/dt=0及 dni/dt=0,这时微分方程变
成代数方程,用速率方程处理非稳态问题比较复杂,一般采用数值解、小信号微扰或其他近
似方法。
5.1激光器的振荡阈值
我们在第一章中已经指出,如果谐振腔内工作物质的某对能级处于集居数反转状态,则
频率处在它的谱线宽度内的微弱光信号会因增益而不断增强。另一方面,谐振腔中存在的
各种损耗,又使光信号不断衰减。能否产生振荡,取决于增益与损耗的大小。下面由速率方
程出发推导激光器自激振荡的阈值条件。
考虑到谐振腔的长度 L往往大于工作物质的长度 l,所以应对式 (4.4.27)所表示的光子数
密度速率方程作修正。设谐振腔中光束体积为 VR,工作物质中的光束体积为 V a,谐振腔中折
射率均匀分布,则谐振腔中第 l个模式的光子数的变化速率应表示为
假设光束直径沿腔长均匀分布,则上式可化简为
（ 5.1.1）
式中
式中 L'为谐振腔光程长度 (至于腔内折射率不均匀的情况,参见本章习题 1)。当
（ 5.1.2）
时,腔内辐射场可由起始的微弱的自发辐射场增长为足够强的受激辐射场。将式 (5.1.1)代
人式 (51.2),并考虑到在阈值附近腔内光强很弱,相当于小信号情况,可得出激光器自激振荡
的阑值条件为
（ 5.1.3）
不同模式具有不同的 ζ21(ν,ν。 )值,因而 Δnt值不同。频率为 ν。的模式阑值最低,可表示为
（ 5.1.4）
激光器的阈值反转集居数密度也可用上式表示,
二、阐值增益系数
由式 (5.1.3)可得激光器自激振荡时,小信号增益系数应满足,
（ 5.1.5）
图 5.1.1激光器起振模谱的形成
(a)增益曲线 ;(b)谐振脏模谱 (c)激光器起振模谱。
三、连续或长脉冲 (t0>>η2)激光器的阐值泵浦功率
1.四能级激光器
四能级系统中,激光下能级 E1是激发态,其元辐射跃迁几率 S10很大,因而
E2能级集居数密度的阈值为
当 E2能级上集居数密度 n2稳定于问时,单位时间内在单位体积中有 n2t/ε2ηs个粒子自 E2能级
跃迁到 El能级。为使 n2稳定于 n2t,单位时间内在单位体积中必须有噩 n2t/ε2ηs个粒子自 E3能
级跃迁到 E2能级,因此在单位时间内单位体积中必须有 n2t/εFηs个粒子自 E0能级跃迁 E3附级。
为此须吸收的泵浦功率称作激光器的阈值泵浦功率,以 Ppt表示。
（ 5.1.6）
式中 V为工作物质体积 ;νp为泵浦光频率。
2.三能级激光器
对于三能级系统,分析方法与四能级系统类似。所不同的是,在三能级系统中,激光下能级 E1
是基态,故有
在典型三能级系统红宝石中,总粒子数密度 n≈1.9× 1019cm-3,表 5.1所列典型 Δnt值为
8.7× 1017cm-3。由此可见,Δnt<<n,所以
须吸收的泵浦功率阈值为
（ 5.1.7）
表 5.1三种激光器振荡条件的计算值
四、短脉冲 (t0<<η2)激光器的阈值泵浦能量
若光泵激励时间很短,则在激励持续期间 E2能级的自发辐射和无辐射跃迁的影响可以忽
略不计。在延种情况下,要使 E2能级增加一个粒子,只须吸收 1/ε1个泵浦光子。因此,当单位
体积中吸收的泵浦光子数大于 n2t/ε1,就能产生激光。叫可见,四能级系统须吸收的光泵能量
的阈值为
（ 5.1.8）
三能级系统须吸收的光泵能量的阈值为
对于脉冲宽度 t0可以与 η相比拟的情况,泵浦能量的阀值 Ept能用一个简单的时解析式表
示。但 t0给定时,可以用数字计算的办法求出 Ept的值,本节对此不予讨论。实验说明,当固体
激光器的假灯储能电容越大因而光泵脉冲持续时间 t0增长时,光泵的阈值能量 Ept也增大。这
是由于 t0越长自发辐射的损耗越严重所致。
由表 5.1可以看出以下二点：
（ 1）三能级系统所需的阈值能量比四能级大得多,这是因为四能级系统的激光下能级
为激发态,n1≈0，所以只须把 Δnt个粒子激励到 E2能级去就可以使增益克服腔的损耗而产
生激光。而在三能级系统中,激光下能级是基态,至少要将 n/2个粒子激励到 E2级上去才能形
成粒子数反转。而 n/2>>≈Δnt,所以三能级系统的阈值能量或阈值功率要比四能级系统大
得多。由于连续工作时所需阈值功率太大,属于三能级系统的红宝石激光器一般只能以脉
冲方式工作。
（ 2)三能级系统激光器中光腔损耗的大小对光泵阈值能量 (功率 )的影响不大而在光,必
须把 Ant个粒子激励到高能级,而 Δnt正比于 δ。在三能级系统中,必须把 (n+Δnt)/2个粒子激
发到高能级上去,而 Δnt与 n相比可以忽略,因而 δ对阈值能量 (功率 )的影响很小。但当 δ很大,
以致 Δnt可与 n/2相比拟时,δ的大小同样会影响三能级激光器的阈值能量 (功率 )
(3)四能级的阈值能量 (功率 )反比于发射截面 ζ21，而 ζ21又反比于荧光谱线宽度 ΔvF,所以
阑值能量 (功率 )正比于 ΔvF，由于 Nd:YAG的 ΔvF比女玻璃小得多,其量子效率 εF又以比钕玻
璃高得多,所以 Nd,YAG激光器的阈值能量 (功率 )较钕玻璃激光器低得多，可以连续工作，
而钕玻璃激光器一般只能脉冲工作
5.2激光器的振荡模式
一、均匀加宽激光器中的模竞争
1.增益曲线均匀饱和引起的自选模作用
如果有多个模式的谐振频率落在均匀加宽增益曲线范围内，且其小信号增益系数 g0(ν)
均大于 gt那么,这些模式是否都能维持稳态振荡呢?为了讨论方便,假设有频率为 νq-1,νq和
νq+1的三个模式满足上述要求 (如图 521所示 )。开始时,对这三个模式来说,小信号增益系数
都大于 gt,因而光强 Iνq-1,Iνq,Iνq+1都逐渐上升。由于饱和效应，增益曲线将随光强的上升
而不断下降。当增益曲线下降到曲线 1时
Iνq+1不再增加。但 Iνq,Iνq-1仍将继续增加,增益曲线继续下降,这将使
因此 Iνq+1很快下降到零,即 νq+1模熄灭。当增益曲线下降到曲线 2时
Iνq-1不再增加,但 Iνq仍继续增加,增益曲线随之继续下降,这就导致
因此 νq-1模也很快熄灭。最后,当增益曲线下降至曲线 3时
Iνq达到稳态值。所以虽然三个模式都能起振,但在达到稳态工作的过程中,νq-1,νq+1模
都相继熄灭,最终只有 νq模能维持稳定振荡。
以上讨论说明,在均匀加宽激光器中,几个满足阈值条件的纵模在振荡过程中互相竞争,结
果总是靠近中心频率 v0的一个纵模得胜,形成稳定振荡,其他纵模都被抑熄灭。因此,理想情
况下,均匀加宽稳态激光器的输出应是单纵模的,单纵模的频率总是谱线中心频率附近。
同样,不同横模间也会发生上述竞争过程,由于不同横模具有不同的 gt值,竞争的情况比
较复杂。
2.空间烧孔引起多模振荡
由以上分析可知,均匀加宽稳态激光器应为单纵模输出。但实际上,当激发较强时往往出
现多纵模振荡。激发越强,振荡模式越多。下面分析产生这一现象的原因
如图 5.2.2(α)所示,当频率为 νq的纵模在腔内形成稳定振荡时,腔内形成一个驻波场,波
腹处光强最大,波节处光强最小。因此虽然 νq模在腔内的平均增益系数等于 gt,但实际上轴
向各点的反转集居数密度和增益系数是不相同的,波腹处增益系数 (反转集居数密度 )最小,
波节处增益系数 (反转集居数密度 )最大。这一现象称作增益的空间烧孔效应。我们再来看
频率为 νq'的另一纵模,其腔内光强分布示于图 522(c)。由图可见,q'模式的波腹有可能与 q模
的波节重合而获得较高的增益,从而形成较弱的振荡。以上讨论表明,由于轴向空间烧孔效
应,不同纵模可以使用不同空间的激活粒子而同时产生振荡,这一现象叫做纵模的空间竞争。
图 5.2.2 说明空间烧孔效应的图
如果激活粒子的空间转移很迅速,空间烧孔便无法形成。在气体工作物质中,粒子作无
规热运动,迅速的热运动消除了空间烧孔,所以以均匀加宽为主的高气压气体激光器可获得
单纵模振荡。在固体工作物质中,激活粒子被束缚在晶格上,借助粒子和晶格的能量交换形
成激发态粒子的空间转移,激发态粒子在空间转移半个波长所需的时间副大于激光形成所
需的时间,所以空间烧孔不能消除。如不采取特殊措施,以均匀加宽为主的固体光器一般为
多纵模振荡。在含光隔离器的环形行波腔内,光强沿辅向均匀分布,不存在空间烧孔,因而可
以得到单纵模振荡。
光器中,除了存在轴向空间烧孔外,由于横截面上光场分布的不均匀性,还存在着横向的
空间烧孔。由于横向空间烧孔的尺度较大,激活粒子的空间转移过程不能消除横向空间烧
孔。不同横模的光场分布不同,它们分别使用不同空间的激活粒子,因此当激励足够强时,可
形成多横模振荡。
二、非均匀加宽激光器的多纵模振荡
在非均匀加宽激光器中,假设有多个纵模满足振荡条件,由于某一纵模光强的增加,并不
会使整个增益曲线均匀下降,而只是在增益曲线上造成对称的两个烧孔,所以只要纵模间隔
足够大,各纵模基本上互不相关,所有小信号增益系数大于 gt的纵模都能稳定振荡。因此,在
非均匀加宽激光器中,一般都是多纵模振荡。图 5.2.3表示,当外界激发增强时,小信号增益系
数增加,满足振荡条件的纵模个数增多,因而激光器的振荡模式数目增加。
图 5.2.3非均匀加宽激光器的增益曲线和振荡模谱
在非均匀加宽激光器中也存在模竞争现象。例如,当 νq=νo时,νq+1及 νq-1模形成的两个
烧孔重合,也就是说,它们共用同一种表观中心频率的激活粒子,因而存在模竞争,此时 νq-1模
及 νq+1模的输出功率会有元规起伏。此外,当相邻纵模所形成的烧孔重叠时,相邻纵模因共
用一部分激活粒子而相互竞争。
5.3输出功率与能量
一、连续或长脉冲激光器的输出功率
由于激活介质中的光放大作用、谐振腔内损耗系数的不均匀分布以及驻波效应和光波
场的横向高斯分布,腔内光强是不均匀的。精确计算腔内各点光强是个复杂的问题。本节
由增益饱和效应出发估算稳态工作时的腔内平均光强,并在此基础上给出粗略估算输出功
率的方法。
如果一个激光器的小信号增益系数恰好等于阈值，激光输出是非常微弱的。实际的激
光器总是工作在阔值水平以上,即 g0(ν)>gt,此时 dNl/dt>0,腔内光强不断增加。那么,光强是
否会无限增加呢?实验表明,在一定的激发速率下,即当 g0(ν)一定时,激光器的输出功率保持
恒定,当外界激发作用增强时,输出功率随之上升,但在一个新的水平上保持恒定。下面分析
这一稳定状态是如何建立起来的。
如果腔内某一振荡模式的频率为 νq,开始时,由于 g(νq,Iνq)>gt,腔内光强 Iνq逐渐增加。同
时,由于饱和效应,g(νq,Iνq)将随 Iνq的增加而减少,但只要 g(νq,Iνq)仍比 gt大,这一过程就将继
续下去,即 Iνq继续增加,g(νq,Iνq)不断减小,直到
(5.3.1)
时,增益和损耗达到平衡,Iνq才不再增加。这时,激光器建立了稳定工作状态。
当外界激发作用增强时,小信号增益系数 g0(ν)增大,此时 Ivq必须增加到一个更大的值才
能使 g(νq,Ivq)降低到 gt并建立起稳定工作状态,因此激光器的输出功率增加,但是,不管激发
强或弱,稳态工作时激光器的大信号增益系数总是等于 gt.根据式 (5.3.1)可以确定稳态工作
时的腔内光强。
1.均匀加宽单模激光器
在驻波型激光器中,腔内存在着沿腔轴方向传播的光人和反方向传播的光 I-.若谐振腔
由一面全反射镜和一面透射率为 T的输出反射镜组成时,腔内光强如图 5.3.1所示,
图 5.3.1驻波型激光器腔内光强示意图
如果 T<<1,则稳定工作时增益系数也很小,这时可近似认为 I+≈I_,腔内平均光强
在均匀加宽情况下,I+和 I_同时参与饱和作用。
若单模频率 νq=ν0,由式 (5.3.1)可得
由此可求出
(5.3.2)
式中 gm表示中心频率处小信号增益系数。
设激光束的有效截面面积为 A,则激光器的输出功率为
(5.3.4)
在 T<<1时,2δ≈T+a,a为往返指数净损耗因子,通常 a<<1。式 (5.3.3)可改写为
(5.3.3)
以上结果是在 T<<1的假设下推导的,在 T较大时必须考虑 I+与 I_在传播过程中的变化及
二者的差别 (如图 5.3.1所示 )。但较严格的理论推导证明在 a<<T的情况下式 (5.3.4)仍然适
用。
将式 (4.5.8),(5.1.6)及上式代入式 (5.3.3),可得输出功率的另一种表现形式
(5.3.5)
由式 (5.3.3)及式 (5.3.5)可见,输出功率正比于饱和光强 Is并随激发参数 gml/δ的增加而增
加。输出功率随 Pp线性增加,它是由超过阔值那部分泵浦功率转换而来的。所以,增加泵浦
功率 (即提高小信号增益系数 )及工作物质长度或降低损耗都将使输出功率提高。
应该指出,对于放电激励的气体激光器,元论是均匀加宽工作物质,还是下面将讨论的非
均匀加宽工作物质,其 gm值并不正比于激励功率 Pp。由于放电激励过程中的各种因素 (参见
第九章 ),往往存在一个使 gm最大的最佳放电电流 jm。当放电电流等于 jm时,输出功率最大。
输出功率还和输出反射镜的透射率 T有关。当 T增大时,一方面提高了透射光的比例,有
利于提高输出功率,同时却又使阑值增加,从而导致腔内光强的下降。因此存在一个使输出
功率达到极大值的最佳透射率 Tm。图 5.3.2画出了往返指数净损耗因子 a值不同时的 Tm和
2gml的关系曲线。由图 5.3.3可知,gm越大,工作物质越长,a越大,则最佳透过率越大。在实际
工作中,往往由实验测定 Tm值。
图 5.32最佳透射率和 2gml的关系图 5.3.3输出功率和透射率的关系
在透射率 T<<1时，将式 (5.3.4)对 T微分，并令 dP／ dT＝ 0，可求出 Tm为
(5.3.6)
将式 (5.3.6)代人式 (5.3.4),可求出输出镜具有最佳透射率时的输出功率 Pm为
(5.3.7)
2.非均匀加宽单模激光器
和均匀加宽激光器不同的是,当振荡模频率 νq≠ν。时,I+和 I_两束光在增益曲线上分别
烧两个孔。对每一个孔起饱和作用的分别是 I+或 I_,而不是两者的和。因此振荡模的增益
系数为
(5.3.8)
式中 gm=gi0(νo)。激光器稳态工作时
(5.3.9)
由式 (5.3.8)和式 (5.3.9)解得
单模 (νq≠νo)输出功率为
(5.3.10)
当 νq=ν。时,I+和 I_同时在增益曲线上中心频率处烧一个孔,烧孔深度取决于腔内平均
光强 Iv0
稳定工作时振荡模的增益系数为
由此可求出腔内平均光强
(5.3.12)
输出功率
(5.3.11)
与式 (5.3.10)相比,式 (5.3.12)多了一个 1/2因子,由此可见 νq=ν。时的输出功率下降图
5.3.4(b)为单模输出功率 P和单模频率 νq的关系曲线。在 νq=ν。处,曲线有一凹陷。称作兰
姆凹陷。可利用图 5.3.4定性解释兰姆凹陷的成因
图 5.3.4兰姆凹陷的形成
光管的气压增高时,碰撞线宽 ΔvL增加,兰姆凹陷变宽、变浅。当气压高到一定程度，谱
线加宽以均匀加宽为主时,兰姆凹陷消失。图 5.3.5为不同气压 pl,p2,p3下输出功率 P随频
率与的变化曲线,图中 p3>P2>P1。
运用半经典理论,可以得出兰姆凹陷的定量关系。 凹陷的深度和激发参量 gml/δ成正比,
当 gml/δ小时兰姆凹陷变浅,当 gml/δ很小时,兰姆凹陷消失。
图 5.3.5 不同气压下输出功率和频率的关系
3.多模激光器
在非均匀加宽激光器中,每个模式各自消耗表观中心频率与其频率相应的激活粒子。如
果模间隔足够大,各个模式相互独立,因此可由式 (5.3.10)及式 (5.3.12)分别计算每个纵模的
输出功率,总的输出功率应是各模输出功率之和。
在均匀加宽激光器中,由于各模式相互影响,所以必须由多模速率方程求出输出功率。在
矩形线型函数及各模损耗相同的简化假设下,由式 (4.4.34)所表示的多模速率方程出发可证
明其输出功率同样可由式 (5.3.5)表示。
二、短脉冲激光器的输出能量
在短脉冲激光器中,设工作物质吸收的泵源能量为 EP,则有 Epε1/hvp个粒子从基态经 E3
能级跃迁到 E2能级上去。如果 Epε1/hvp>n2tV,则由于增益大于损耗,腔内受激辐射光强不断
增加,与此同时,n2将因受激辐射而不断减少,当 n2减少到 n2t时,受激辐射光强便开始迅速衰减
直至熄灭。 E2能级剩余的 n2t个粒子通过自发辐射而返回基态,它们对腔内激光能量没有贡
献,因此对腔内激光能量。有贡献的高能级粒子数为 (Epε1/hvp-n2tV)。 这部分粒子向 E1能
级跃迁时将产生 (Epε1/hvp-n2tV)个受激发射光子,所以在腔内产生的激光能量为
腔内光能部分变为元用损耗,部分经输出反射镜输出到腔外。设谐振腔由一面全反射
镜和一面透射率为 T的输出反射镜组成,则输出能量为
(5.3.13)
式中 ε0=T/(T+a)。式 (5.3.13)表明,输出能量 E随 Ep线性增加,输出能量是由超过阈值那部分
能量转换而来的。图 5.3.6是一个脉冲红宝石激光器的输出能量和光泵输入电能 εp的关系曲
线。
图 5.3.6红宝石激光器输出能量和光泵输入电能的关系
5.4 弛豫振荡
大量实验表明,一般固体脉冲激光器所输出的并不是一个平滑的光脉冲,而是一群宽度
只有微秒量级的短脉冲序列,即所谓, 尖峰, 序列。激励越强,则短脉冲之间的时间间隔越。
人们把上述现象称作弛豫振荡效应或尖峰振荡效应。图 5.4.1(α)为泵浦能量低于阈值时示
波器上看到的荧光波形。图 5.4.1(b)为泵浦能量高于阙值时的激光波形。实验表明,在不同
情况下尖峰序列的形式不同,有的相当紊乱,有的很规则。图 5.4.2为实验观察到的一台红宝
石单模激光器的输出尖峰。它表明,单模激光器的输出是一个衰减尖峰序列。
图 5.4.1荧光波形与激光波形 图 5.4.2虹宝石单模激光器输出激光波形
脉冲激光器输出的激光为什么会具有
尖峰结构呢?下面我们利用图 5.4.3将振荡
过程分为几个阶段来作定性说明。
图 5.4.3腔内光子数密度及
反转集居数密度随时间的变化
第一阶段 (t1~t2):泵浦激励使 Δn增加,当
t =t1时,Δn达到阈值 Δnt,开始产生激
光。当 t >t1时,由于 Δn>Δnt,所以激光器内光
子数密度急剧增加。与此同时,受激辐
射将使 Δn减小。但在此阶段,因为泵浦激励
使 AΔn增加的速率仍超过受激辐射使 Δn减
少的速率,所以 Δn仍继续增加。
第二阶段 (t2~t3):随着光子数密度 N的增
加,受激辐射使 Δn减少的速率也不断增
加。到时刻 t2,受激辐射使 Δn减少的速率
恰好等于泵浦激励使 Δn增加的速率。以后 Δn开始减少。但由于 Δn仍大于阈值 Δn,所以腔内
光子数仍继续增加。
第三阶段 (t3~t4):当 t =t3时,Δn =Δnt,t >t3后,Δn<〈 Δnt。由于 Δn仍大于 0,仍
有受激辐射产生,这就使 Δn继续减小。但因 Δn <Δnt,增益小于损耗,所以腔内光子数
急剧减少,
第四阶段 (t4~t5):随着腔内光子数 N的减少,受激辐射使 Δn减少的速率逐渐变小,至 t4时刻,泵
浦激励使 AΔn增加的速率恰好等于受激辐射使 Δn减少的速率,此后 Δn又重新增加。至 t5时刻
AΔn又达到阈值 Δnt,于是又产生第二个尖峰。在整个脉冲疝灯激励时间内,这种过程反复发
生,形成一个尖峰序列。泵浦功率越大,尖峰形成越快,因而尖峰的时间间隔越小。
以上定性说明了尖峰序列的形成过程。下面利用一级微扰近似的方法对非稳态的速率
方程求解,从而对尖峰振荡过程给出一种近似的数学描述。
若激光器单模运行,振荡模式频率为 ν。,
为简单起见,假定 εF=ε1=ε=1,L=l,于是四能级系统中光子数密度 N(t)及反转集居数密度
Δn(t)的速率方程可写为
（ 4.4.1）
在一级微扰近似方法中,假定
（ 4.4.2）
（ 5.4.3）
（ 5.4.4）
及 Δn(t)的值只在稳态值 N。和 (Δn)。附近变化,N'(t)及 Δn'(t)是一个小量,令式 (5.4.1)及式
(5.4.2)等于 0可得出稳态解
（ 5.4.5）
（ 5.4.6）
将式 (5.4.3),(5.4.4),(5.4.5)及式 (5.4.6)代入式 (5.4.1)及式 (5.4.2),并忽略二阶小量,可得
（ 5.4.8）
（ 5.4.9）
令
对式 (5.4.7)及式 (5.4.8)再次求导后代入式 (5.4.7)及式 (5.4.8),可得
以上是一对具有相同系数的二阶常系数微分方程,考虑到 Δn'(t)与 N'(t)的相位差,其解为
其中 t =0时刻相应于 Δn上升至 Δnt的时刻。上式说明,起伏量 Δn'(t)与 N'(t)随时间作阻尼周
期变化,式中阻尼振荡的衰减常数 Ф及振荡频率 ω分别为
（ 5.4.9）
（ 5.4.10）
当 t>>1/Ф时,Δn'(t)与 N'(t)趋近于 0,N(t)一 → N,Δn(t)一 → (Δn)。,此时达到稳态，激光器具
有稳定的输出。以上结果和实验观察到的单模激光器输出的阻尼尖峰序列是一致的。这说
明尖峰序列是向稳态振荡过渡的弛豫过程的产物。如果脉冲激励持续时间较短,输出具有
尖峰序列,而在连续工作器件中,则可得到稳定输出。
将式 (5.4.6)代人式 (5.4.9),可得
(5.4.12)
由式 (5.4.10),(5.4.11)及 (5.4.6),并考虑到 n>>Δnt;一般情况下 1/ηR>>W03及稳态时
A21Δnt≈(W03)tn,于是可得
其中 (W03)t为 W03的阈值。
(5.4.11)
由 Ф及 ω的表达式可以看到,激励越强 (W03越大 ),则阻尼振荡频率越高 (尖峰时间间隔越
小 ),衰减越迅速。
上述理论模型可粗略地解释单模激光器的阻尼尖峰序列现象,一般多模激光器的输出往
往是无规尖峰序列。
5.5 单模激光器的线宽极限
按式 (2.1.13),在腔内工作物质增益为零的无源腔中,腔内光强为
因为光的强度与光场振幅的平方成比例,因此,上式所描写的光场振幅为
而光场可表示为
由频谱分析可知,上式所示的衰减振动将具有有限的频谱宽度 Δvc
(5.5.1)
式中 ηR为腔内光子寿命 ;δ为无源腔的单程损耗 ;L'为腔的光学长度 ;Δvc即为无源腔中本征模
式的谱线宽度 d由式 (5.5.1)可见,腔的损耗越低,则光场的衰减时间越长,模式线宽也越。
实际激光器腔内工作物质的增益系数恒大于零,所以称作有源谐振腔。有源谐振腔的单
程净损耗为 (5.5.2)
有源腔模式线宽应为
(5.5.3)
式中 η?R=L'/(Cδs)为由谐振腔损耗及工作物质增益决定的有源腔中光子的寿命,如前所述,激
光器稳态工作时,应有
因此激光器的净损耗以及单纵模的线宽似乎应等于零,但这只是对激光器内物理过程的
一种理想化的近似描述。 这种理想情况的物理图像是,腔内的受激辐射能量补充了损耗的
能量,且由于受激辐射产生的光波与原来的光波具有相同的相位,二者相干叠加使腔内光波
的振幅始终保持恒定,因而输出激光在理想情况下为一无限长的波列,其线宽应等于零。
这一矛盾的原因是,我们在分析激光器振荡过程时,忽略了自发辐射的存在,而实际上自
发辐射是始终存在的。由于和受激辐射相比自发辐射的贡献极其微弱,因而在讨论阈值及
输出功率等问题时可以忽略不计 ;但在考虑线宽问题时却必须考虑自发辐射的影响。下面
对这一问题进行粗略的分析。
考虑到自发辐射的存在,当腔长 L等于工作物质长 l时,单模腔内光子数密度的四能级速率
方程为
(5.5.4)
上式中右方第二项为自发辐射项,al为分配在该模式中的自发辐射几率,因为 A21g(ν,ν。 )是
分配到频率为 ν处单位频带内的自发辐射跃迁几率,所以
(5.5.5)
式中 S为光腔横截面面积。将式 (4.5.5)及式 (2.1.14)代入式 (5.5.4),得
(5.5.6)
上式说明由于存在着自发辐射,稳定振荡时的单程增益略小于单程损耗,有源腔的净损能 δs
不等于零。虽然该模式的总光子数密度 Nl保持恒定,但白发辐射具有随机的相位,所以输出
激光是一个略有衰减的有限长波列,因此具有一定的谱线宽度 Δvs.由于分配到一个模式的自
发辐射几率 al很小,因而 δs<<δ,Δvs<<Δvc.
下面我们来求式 (5.5.8)中 t和 Nl通常输出功率由两部分构成,即
式中 Pst为受激辐射功率 ;Psp为分配于该模式的自发辐射功率,Psp<<Pst.若谐振腔由一面反射
镜和一面透射率为 T的输出反射镜组成,除输出损耗外的其他损耗可忽略不计,则在稳定工作
时
利用式 (5.5.5),上式可改写为
(5.5.9)
显然,输出功率和腔内光子数密度应满足如下关系,
(5.5.10)
由式 (5.5.9)及式 (5.5.10),可得
(5.5.11)
(5.5.12)
将式 (5.5.11),(5.5.12)及式 (5.5.8)代入式 (5.5.3),得
(5.5.13)
对 L =30cm,T=0.02,P0=1mW的 632.8nm氦氖激光器
Δvc=1.6× 10-3Hz
这种线宽是由于自发辐射的存在而产生的,因而是无法排除的,所以称它为线宽极限。实
际激光器中由于各种不稳定因素,纵模频率 ν。本身的漂移远远大于 Δvs。
由式 (5.5.13)可看出,输出功率越大,线宽就越窄。这是因为输出功率增大就意味着腔内
相干光子数增多,受激辐射比自发辐射占更大优势,因而线宽变窄。减小损耗和增加腔长也
可使线宽变窄。例如半导体激光器由于腔长只有数百微米而具有较宽的激光线宽。若将它
与一外反射镜构成外腔半导体激光器则可使线宽显著减小。
5.6 激光器的频率牵引
一、色散现象
由 4.2节已知,激光工作物质在增益 (或吸收 )曲线中心频率 ν。附近呈现强列的色散,即折射
率随频率而急剧变化 (见图 5.6.1)。由式 (4.2.35)可知,色散随工作物质增益系数的增高而增
大。增益系数为零时,折射率为常数,记为 ε0[在式 (4.2.35)中 ε0=1]]。增益系数不为零时,折
射率是频率的函数,记为 ε(ν)。
(5.6.1)
式中 Δε(ν)表示折射率随频率变化的部分,
图 5.6.1增益曲线,色散曲线及
谐振腔模谱
在均匀加宽工作物质中,由式 (4.2.35)可得
(5.6.2)
式中
在综合加宽工作物质中,粒子必须按其表观中心
频率分类。设表观中心频率在 ν'0~Δv'0+dv'0内范围
内的反转集居数密度为 Δn0gD(ν'。,ν。 )dν0,则由式
(5.6.2)可求出这部分反转粒子对折射率变化的贡献
为
全部反转粒子对折射率变化的贡献为各种表观中心
频率粒子贡献的总和,因此
(5.6.4)
令
(5.6.3)
将式 (5.6.4)代入式 (5.6.3),可得
(5.6.5)
式中 W1(δ+iu)为复变量误差函数的虚部 (参阅 4.7节 ).
如果工作物质具有非均匀加宽线型,即 ΔνH<<ΔνD,μ<<1,可得
(5.6.6)
将上式代入式 (5.6.5引 ),可得非均匀加宽时的折射率变化为
当考虑 ν。附近的色散现象时,(ν-ν。 )<<ΔνD,式 (5.6.6)的积分在很小的范围内进行,在
此范围内 t<<1,被积函数 et2≈1,因此式 (5.6.6)可近似为
(5.6.7)
二、频率牵引
下面讨论由色散引起的频率牵引现象,
在无源腔中,纵模频率表示为
(5.6.8)
相邻纵模间隔相等。在有源腔中,由于色散的存在,纵模频率变为
(5.6.9)
显然,它将偏离元源腔的纵模频率,偏离量为
(5.6.10)
由式 (5.6.2)及式 (5.6.7)可以看出,当 v0q>ν。时,Δε(νq)>0,因而 νq-v0q<0。当 v0q<ν。
时,Δε(νq)<0,因而 νq-ν。 >0。由此可见在有源腔中,由于增益物质的色散,使纵模
频率比无源腔纵模频率更靠近中心频率,这种现象叫做频率牵引
在均匀加宽激光器中,根据式 (5.6.2)及式 (5.6.10),并考虑到 νq≈ν0q可得
假定腔长与工作物质长度相等,则当激光器稳态工作时
因而有
(5.6.11)
其中 Δvc为无源腔线宽
引人牵引参量 ζH,它表示为
(5.6.12)
在非均匀加宽激光器中,当 νq-ν。 <<ΔνD时,根据式 (5.6.7)及式 (5.6.10),并考虑到
νq≈ν0q,，得
当激光器稳态工作时
（ 5.6.13）
所以非均匀加宽激光器的牵引参量 ζi为
（ 5.6.14）
对 632.8nm氦氖激光器,ζi的数量级约为 10-3。
第六章激光放大特性
当光信号通过相应的处于集居数反转状态的工作物质时,因受激辐射占优势而被大。
所以,一段处于集居数反转状态的工作物质就是一个激光放大器。
在某些应用领域中,要求激光束具有很高的功率或能量。为了使激光振荡器输出极高
的功率或能量,必须大大增加激光工作物质的体积,但制造光学均匀性好的大体积固体激光
材料却十分困难。而且大功率或大能量激光振荡器往往难以产生性能 (发散角、单性、脉
宽等 )优良的激光束。此外,谐振腔内高功率 (能量 )激光束的往返传输还会使腔工作物质和
光学元件遭到破坏。因此,为了获得高质量、高功率 (能量 )激光束,往往采一级或多级激光
放大器将小功率 (能量 )激光器输出的优质激光束放大的方法。
在长距离或多用户光纤通信中,可用激光放大器补偿光纤传输或分路损耗,提高接收机的
灵敏度。因此,作为全光型光纤通信的关键器件,掺杂光纤放大器及半导体光放大器近年来
得到迅速发展。特别是,掺饵光纤放大器的诞生对光纤通信技术的发展起了巨大的影响。
图 6.0.1及图 6.0.2分别为典型固体激光放大器及掺饵光纤放大器示意图。图 6.0.2中,半
导体激光器 (LD)输出的泵浦光通过光纤藕合器注入掺饵光纤,参与受激辐射过程的 Er3+属三
能级系统,受激辐射波长约为 1525～ 1565nm,带宽约 40nn,其最佳泵浦光波长是 980nm或
1480nm
处于集居数反转的工作物质不仅能放大人射的激光信号,也能放大其自身产生的自发辐
射光,这便形成了放大的自发辐射 (ASE)。由于放大的自发辐射也可具有相当大的功率,其谱
宽又窄于自发辐射,并具有一定的方向性,因此也是一种可资利用的光源。在激光放大器中,
放大的自发辐射形成噪声。
6.1激光放大器的分类
一、按照时间特性分类
按照被放大光信号的脉宽 η。及工作物质弛豫时间的相对大小,激光放大器分为三类,连
续激光放大器、脉冲激光放大器和超短脉冲激光放大器。
我们把某种状态的建立或消亡的过程称作弛豫过程,所需的时间称作弛豫时间。在激光
工作物质中存在着由各种物理因素引起的弛豫过程。由于辐射跃迁使得粒子在能级上具有
有限寿命,因此导致反转集居数的增长与衰减需要一定的弛豫时间 T1,它被称作纵向弛豫时
间。对于固体、气体和半导体工作物质,T1分别为 10-3~10-4s,10-6~10-9s和 10-9s量级。在电
磁场的作用下,原子产生的感应电矩和电磁场同相。另一方面,粒子间或粒子与管壁间的碰
撞以及品格振动引起的粒子跃迁频率的变化均使原子感应电矩的相位发生无规变化,从而
导致宏观感应电极化的消失,这一过程称作消相过程。显然,在气体中,消相过程的快慢取决
于平均碰撞时间 ηL。在电磁场 E(z,t)和消相过程共同作用下,工作物质中部分原子的电偶极
矩逐渐有序化,因而产生宏观感应电极化强度。当电磁场停止作用后,由于消相作用,宏观感
应电极化逐渐消失。宏观感应电极化的产生和消亡都不是瞬时的,P(z,t)较 E(z,t)落后的时
间 T2称作横向弛豫时间。在碰撞加宽为主的气体工作物质中,T2=q=1/πΔvL。在多普勒加宽
为主的气体工作物质中,不同速度的原子产生的感应电矩具有不同的频率,经过一段时间后,
相位相差 π。与这一消相过程相联系的弛豫时间 T*2=1/ΔνD.固体、气体和半导体工作物质
的横向弛豫时间分分别为 10-l1~10-12s,10-8~10-9s和 10-13s。
当激光放大器的输入信号是连续波或非调 Q激光脉冲时,一般满足条件 ηo>T1。此时由
于光信号与工作物质相互作用时间足够长,因受激辐射而消耗的反转集居数来得及由泵浦
抽运所补充,因此反转集居数及腔内光子数密度可以到达稳态数值而不随时间变化,可以用
稳态方法研究放大过程。这类放大器称为连续激光放大器。此类放大器的理论分析较简单,
读者可利用第四章的结果来处理。当输入信号脉宽满足条件 T2<<η。 <T1,因受激辐射而消
耗的反转集居数来不及由泵浦抽运补充,反转集居数和光子数在很短的相互作用期间内达
不到稳定状态。这类激光放大器必须用非稳态方法研究,称为脉冲激光放大器。当输入信
号为调 Q脉冲 (10~50ns)时,属于脉冲激光放大器。以上两类放大器都满足 η0>T2的条件,因
此可以不考虑粒子和光波场相互作用的弛豫过程,即粒子在光场作用下产生感应偶极矩所
需要的时间 T2可以忽略 (在 T2期间内输入信号幅度变化很小 ),因而是元滞后效应的,或, 立
即跟随, 的。在这种情况下,我们才能忽略粒子和光场相互作用的相位关系,速率方程才能
适用。所以速率方程理论只适用于以上两类激光放大器。当输入信号是锁模激光器 (见 7.5
节 )所产生的脉宽 η。为 10-11~10-14s的超短脉冲时,η。和 T2可以比拟,称为超短脉冲激光放大
器,它必须用半经典理论处理,本书不予讨论。
若输入光信号为高重复率脉冲序列,并且脉冲周期 T<T1时,光放大器工作物质的反转集居
数只在稳定值附近作微小波动。因此可以近似地采用稳态速率方程进行理论分析。例如,
用于光纤通信的掺饵光纤放大器的人射光信号通常是周期为 10-8~10-l0s的脉冲序列,而工作
物质的纵向弛豫时间 T1为 10-2s,因此在分析其增益特性时可按连续激光放大器处理。
二、按照工作方式分类
增益工作物质二端面元反射的激光放大器称为行波放大器。增益工作物质二端面与光
传输方向垂直并有一定反射率的放大器称为再生放大器 (或法布里 -瑞罗放大器 ),如图 6.1.1
所示。在再生放大器中,光可在二反射面间多次往复传输,因而具有较高的增益。一个工作
于阈值之下的半导体激光器就是一个典型的再生放大器,如果在其两端的解理面上镀以高
质量的增透膜使其反射率接近零,便转化为行波放大器
下面以连续激光放大器为例说明这两种放大器的差别。对于连续激光放大器,放大器的
增益定义为
（ 6.1.1）
式中 I。和 P。分别为输入光光强和功率 ;I(l)及 P(l)分别为增益工作物质长度为 l的放大器的
输出光光强和功率。
对于图 6.1.1所示的再生放大器,利用物理沈学中熟知的多光束干涉处理方法,并考虑到
光在增益介质中传输一次所获得的光强增益
（ 6.1.2）
可求出其增益
（ 6.1.3）
式中 r1,r2为端面反射率 ;ν为入射光频率 ;νc为二反射面组成的谐振腔的谐振频率,由上式可
知,当 ν=νc时,放大器具有最大增益
（ 6.1.4）
当 ν偏离 νc时,增益减小,当
（ 6.1.5）
时,增益下降为最大值的一半。由此可见,仅当入射光频率在谐振腔本征频率附近时,才能得
到有效放大。端面反射率越高,得到有效放大所允许的频率范围越窄。所以再生宽大器虽
然可以得到较大的增益,但其频率匹配技术复杂。行波放大器只要求入射光频率在增益介
质谱线范围内,元需复杂的频率匹配技术,因而得到广泛的应用。由式 (6.1.3)可知,行波放大
器的增益
G=Gs （ 6.1.4）
本章仅讨论获得广泛应用的行波放大器。
6.2 均匀激励连续激光放大器的增益特性
对于均匀激励的光放大器,工作物质中的小信号增益系数、小信号反转粒子数密度及饱
和光强均为与传输距离无关的常数 (由下节的讨论可知,三能级系统的饱和光强与激励强弱
有关 )。本节讨论此类放大器的增益特性。
一、输入信号强度对放大器增益的影响
如果放大器工作物质具有均匀加宽谱线,平均损税系数为 α,人射信号光频率为 ν。，则工
作物质的净增益系数为
（ 6.2.1）
式中 I(z)为信号光在放大器中传输了距离 z后的光强。
若入射光信号非常微弱,并且工作物质也较短,致使在放大器中 I(z)<<Is,则由上式可求出
放大器的小信号增益
（ 6.2.2）
式中 l为放大器的长度。
上述处于小信号状态的放大器可用作前置放大器。对于功率放大器,通常运行于信号增
益饱和状态。当人射光较强,或工作物质较长,人射光得到充分放大时,往往形成 I(z)与 Is可比
拟的状况。将式 (6.2.1)改写为
（ 6.2.3）
对上式在放大器全长上积分,得
利用式 (622),可将式 (6.2.3)改写为
（ 6.2.4）
已知入射光强 I。及放大器的 gm,l, Is,α值,则可由式 (6.2.3)或 (6.2.4)求出输出光 I(l)及放
大器增益。
图 6.2.1给出不同 ε。 (ε。 =I。 /Is)及 α/gm值下 G(νo)和 (gm-α)l的关系曲线。 由此图可见,
由于饱和效应的影响,输入信号越强,则放大器的增益越小。工作物质的净增益系数越大,放
大器内的光强也越大,因而饱和效应越严重,这就意味着放大器增益随输入信号增强而减小
的现象越显著。
在气体工作物质中,损耗可视为零。在其他工作物质组成的放大器中,当未达重度饱和,
增益系数尚未因受激辐射下降至和损耗系数 α可比拟的程度,从而在放大器中始终保持
g(z)>>α时,也可忽略式 (6.2.1)中的 α。对该式积分,可得
（ 6.2.5）
上式可改写为
（ 6.2.6）
二、最大输出光强
提高输入光强 I。及增长放大器长度 l均可提高输出光强 I(l)。然而,当信号光在放大器中
传输并不断增强时,工作物质的增益系数却不断下降。若输入光很强或放大器很长,可能出
现净增益系数
（ 6.2.7）
的状况。达到此状态后,光强便不再增加,由式 (6.2.7)可得放大器可输出的最大光强
（ 6.2.8）
三、增益谱宽及输出谱线轮廓变窄
由于增益系数 g(ν)是频率的函数,对于频率 ν不同的人射光,放大器的增益 G(ν)的值也不
相同。显然,当 ν=ν。时,增益 G (ν。 )最大,如果频率为 ν'时的增益 G (ν')是 G(ν。 )的一半,则
放大器的增益谱宽 δν=2(ν'-ν。 )。
对于无损并小信号运行的放大器
（ 6.2.9）
若其工作物质具有均匀加宽线型,则由上式及式 (4.5.13),可得增益谱宽
（ 6.2.10）
由上式可知,当放大器的中心频率小信号增益 G0(ν。 )>4时,放大器的增益谱宽 δν小于工
作物质的小信号增益曲线的宽度 ΔνH。 G0(ν0)越大,则 δν越小。由于放大器的增益具
有中心频率处增益大,偏离中心频率处增益小的特征,不难想象,放大器输出光谱线轮廓将比
入射光谱线轮廓窄。
在大信号情况下,人射光频率偏离中心频率越大,饱和效应越弱。因此,δν将随输出
光强 I(l)的增加而增加。当 I(l)足够大时,δν可能超过 ΔνH。
本节以均匀加宽工作物质为例,对放大器的增益特性进行了讨论。对于由非均匀加宽工
作物质构成的放大器,可采用类似的理论处理方法。
6.3 纵向光激励连续激光放大器的增益特性
在图 6.0.2所示的以掺杂光纤为增益介质的光纤放大器中,泵浦光与信号光一起在光纤
中同向或反向传输。泵浦光在传输过程中不断被吸收并从而使杂质离子 (如 Er3+)激励至高
能级。这一过程必然导致泵浦光强不断减弱。因此在此类放大器中,工作物质中的小信号
增益系数、小信号反转粒子数密度及饱和光强均与传输距离有关 (三能级系统的饱和光强
与激励强弱有关 )。鉴于掺饵光纤放大器已获得广泛应用,而饵离子具有三能级系统,本节以
三能级系统为例讨论纵向光激励连续激光放大器的增益特性。
一、输运方程
为讨论简单起见,不考虑光纤中光场及激活离子的横向分布,并假设三能级系统的总量子效
率 εF=1,同时忽略光纤的损麓,只考虑泵浦光与信号光同向传输的工作方式。在以上简化假
设下,可列出描述信号光强 I(z)和泵浦光强 Ip(z)变化的输运方程。
(6.3.1)
式中 ν和 νp分别为信号光和泵浦光频率。
(6.3.2)
(6.3.3)
(6.3.4)
在稳态条件下,可有
(6.3.5)
(6.3.6)
(6.3.7)
式中 n为光纤中掺杂 (如 Er3+〉 离子数密度。由于 S32很大,由式 (6.3.5),(6.3.6)及式 (6.3.7)
可得
n3≈0 (6.3.8)
(6.3.9)
(6.3.10)
式中 I'(z)=I(z)/[hν/ζ21(ν)ηs];I'p(z)=Ip(z)/[hνp/ζ13(ν)ηs]。将式 (6.3.8),(6.3.9)及 (6.3.10)
代入式 (6.3.1)及式 (6.3.2),可得描述归一化信号光强及泵浦光强变化的输运方程
(6.3.11)
(6.3.12)
利用式 (6.3.11),(6.3.12)所示的输运方程可分析光纤放大器的增益特性
三、大信号增益特性
小信号工作状态下虽能得到较大的增益,但光放大器的输出光功率很小,只适于用作前置
放大器。对于需要输出相当光功率的光纤放大器,通常工作于大信号增益饱和状态。这时
输出信号光功率 P(l)和输入信号光功率 P。的关系曲线呈饱和状,光放大器的增益 G将随输出
光功率 P(l)之增加而下降,如图 6.3.3所示。、曲线的平坦部分对应于小信号工作区,增益较
小信号增益下降 3dB所对应的输出功率称为光放大器的饱和输出功率,它表征光放大器的高
功率输出能力。
对于大信号运行的光纤放大器,式 (6.3.9)至式 (6.3.12)中的 /I'(z)不能忽略,增益特性的理
论处理比小信号工作时复杂得多。将式 (6.3.9)改写为
(6.3.23)
式中
饱和光强
(6.3.24)
由上式可知,饱和光强和泵浦光强 Ip(z )有关,这是三能级系统与四能级系统不同之处 (式
(4.5.8)所示的饱和光强表达式针对四能级系统 )。而在光纤放大器中 Ip(z)随传输距离变化,
导致 Δn0(z),g0(z),Is(ν,z )均随传输距离变化。而 Ip(z)的变化还和信号光强 I(z)有关。因
此通常必须运用数值解的方法从式 (6.3.11)和式 (6.3.12)表示的输运方程中求出放大器的增
益和输出功率。
当泵浦光功率一定时,若光纤长度 l等于大信号下的最佳长度认,则光放大器具有最大
增益 Gm,相应的最大输出光功率为 Pm。将式 (6.3.11)除以式 (6.3.12)后积分并利用 Ip(l)=Ipth,
可得出,
由此可求出 Gm及相应的 Pm和输入信号光功率 P。及泵浦光功率 Pp0的关系。图 6.3.4给
出某一泵浦光功率下最大输出光功率与输入光功率 P。的关系曲线。
6.4 脉冲激光放大器的增益特性
在分析脉冲放大器的工作特性时,为了使问题简化,作如下假设,① 由于入射信号脉宽远
小于放大器的荧光寿命,因而可以忽略在这样短的时间内光泵抽运和自发辐射对反转集居
数的影响。在分析连续波放大器时,它们的影响是不能忽略的。②假设在工作物质横截面
内的反转集居数是均匀分布的。③假设工作物质谱线是均匀加宽线型,人射信号波长为谱
线中心波长。以上假设虽较粗糙,但由此得到的理论结果与实验基本相符。
一、输运方程
设激光工作物质在脉冲信号人射前具有初始反转集居数 Δn0。在 t=0时刻光脉冲,信号 I。
(t)沿着 z轴方向射入激光工作物质。由于光信号在行进过程中不断被放大,而反转集居数不
断被消耗,所以单位体积中的反转集居数及光子数都是时间 t及坐标 z的函数,分别以 Δn(z,t)
及 N(z,t)表示。
下面考虑工作物质中 z ~z +dz这一薄层中光子数的变化。设工作物质的横截面面积为
S,则在 dz薄层中在 dt时间内光子数的增量为
(6.4.1)
式中右端第一项是在 dt时间内净流入 dz薄层的光子数 ;第二项是在 dt时间内在 dz薄层中由于
受激辐射增加的光子数 ;第三项是因吸收和散射减少的光子数,α是工作物质的损耗系数。
单位时间内流过工作物质单位横截面的光子数称为光子流强度,记作 J(z,t)
J(z,t)=N(z,t)v
描述 J(Z,s)及 Δn(z,t)变化的方程称作脉冲行波放大器的输运方程,考虑到此类放大器的入
射信号持续时间很短,在它的作用期间内光泵及自发辐射的影响可以忽略不计,并假设
εF=1,f1=f2,则利用式 (6.4.1)及式 (4.4.22)可得到三能级系统脉冲行波放大器的输运方程
（ 6.4.2）（ ）
（ 6.4.3）
对于理想的四能级系统脉冲行波放大器
式 (6.4.3)仍然适用。由于在很短的入射信号作用期间,某些四能级系统的激光下能级往往
来不及抽空,所以可看作准三能级系统。在本节以下的讨论中,只给出三能级系统的表达式。
设入射信号的光子流强度为 J0(s),它在 t =0时刻于 z =0处进入工作物质 (如图 6.4.1所示 ),信
号人射前工作物质中初始反转集居数为 Δn0,则输运方程的边界条件为
Δn(Z,t<0)= Δn0 (0≤z≤l) (6.4.4)
J(0,t)=J0(t) (6.4.5)
为了求出放大器的输出脉冲信号 J(l,t)、输出脉冲能量以及放大器的增益,必须根据边界条
件式 (6.4.4)、式 (6.4.5)求解输运方程式 (6.4.2)、式 (6.4.3)。
6.5 放大的自发辐射 (ASE)
按照激励强弱程度的不同,工作物质可处于三种状态,① 弱激发状态,激励较弱,Δn<0,工
作物质中只存在着自发辐射荧光,并且工作物质对荧光有吸收作用。②反转激发状态 ;激励
较强,0<Δn<Δnt,。 0<g0<δ/l如果激励足够强,使 g0>α(α为工作物质内部损耗系数 ),则工作
物质对自发辐射有放大作用,但由于不满足阈值条件,因而不能形成自激振荡,输出光是放大
的自发辐射。③超阈值激发状态 ;若激励很强,使 Δn>Δnt,g0l>δ,则可形成自激振荡而产生激
光。输出光中所包含的放大的自发辐射可以忽略。本节讨论反转激发状态下产生的放大的
自发辐射。
一般激光器都有一个由反射镜 (或光栅 )组成的谐振腔,激光工作物质位于二反射镜之间。
但也存在着另一类型的激光器一一 ··无谐振腔的激光器,氮分子激光器和氢分子激光器都属
于此类。元谐振腔激光器的输出光实质上是放大的自发辐射。在真空紫外及 X射线波段,由
于反射镜材料的困难,无谐振腔激光器可能有很大的发展前途。
放大的自发辐射也会带来一些不利影响。例如,在激光放大器中,除了输入信号被放大
外,不可避免地存在着放大的自发辐射,放大的自发辐射的存在增加了放大器的噪声。同时
自发辐射引起的受激辐射将使激光上能级寿命减少。当放大的自发辐射引起的上能级粒子
衰减率与其他弛豫过程 (自发辐射及元辐射跃迁 )造成的衰减率可以比拟时,反转粒子数将显
著下降,因而增益系数也随之下降,这就是放大的自发辐射造成的增益饱和效应,它将使放大
器的增益下降。放大器的增益系数越大,工作物质长度越长,放大的自发辐射就越严重。在
放大器中,放大的自发辐射是有害的,在设计与应用
放大器时应设法减少其影响。
在 632.8nm的氦氖激光器中,反射镜是对 632.8nm选择反射的,,但由于 3.39um的辐射有
很高的增於系数,当激光器足够长时可形成足够强的放大的自发辐射。由于 632.8nm及
3.39um辐射共用同一上能级,所以 3.39um的放大的自发辐射将使 632.8nm的增益减少,从
而使输出功率减小。在大功率 632.8nm氦氖激光器中须设法抑制 3.39um的放大的自发辐
射。
放大的自发辐射是介于激光与荧光之间的一种过渡状态。由于集居数反转的程度尚未
达到振荡阑值,激光振荡没有形成,光子并未集结在少数或单个状态内。但是,这种辐射又与
荧光的状态分布不同,放大的自发辐射的状态分布不再是均匀的了。细长的元腔 ASE激光器
可具有较好的空间相于性,但却难以获得良好的时间相干性。下面对放大的自发辐射的特
性进行简单的定性讨论。
一、放大的自发辐射的强度
显然,激光工作物质的增益系数越高,长度 l越长,自工作物原一端输出的放大的自发辐
射强度 I也就越大。当工作物质较短或小信号增益系数较小时,I按指数规律随 l之增大而增
加。但当工作物质较长或小信号增益系数较大时,放大的自发辐射强度达到一定程度后将
引起增益饱和。这时,当 l增长时,增益系数下降,因此 I随 l之增加变得缓慢了,当放大的自发辐
射强度达到某一程度,使增益系数下降到与工作物质损槌系数 (单位长度内的损槌百分比 )相
等时,放大的自发辐射强度达到一稳定值。此时如果工作物质的长度进一步增加,放大的自
发辐射强度也不再增加。图 6.5.1为 337nm氮激光器的放大的自发辐射功率 P和工作物质长
度 l的实验关系曲线。在 ASE元腔激光器中有两束背向传输的光 I+和 I_分别自二端口出射,它
们共同影响增益饱和行为,在端口处,由于放大的自发辐射光最强,饱和效应最显著。图 6.5.2
为典型的高增益 ASE无腔激光器中增益系数 G(z)和行波光强 I+和 I_的变化曲线。
图 6.5.1氮激光器 337nmASE功率
和长度的关系
图 6.5.2典型 ASE激光器内
增益饱和及行波光强
二、放大的自发辐射的方向性
自发辐射均匀分布于 4π立体角内,而带有谐振腔的激光器的输出激光具有很好的方向性。
放大的自发辐射的方向性则介于二者之间。
在图 6.5.3中,放大器起始端 z =0处的自发辐射引起的放大的自发辐射的发散角为
图 6.5.3 分析放大的自发辐射方向性的示意图
z处自发辐射引起的放大的自发辐射的发散角为
与输出端面相距 lc处自发辐射引起的放大的自发辐射的发散角为
由于从不同点 z出发的自发辐射行进到输出端所经历的路程不同,所以对放大的自发辐射的
贡献不同。 z =0处自发辐射对放大的自发辐射的贡献最大。 z >l -lc处自发辐射经历的路
程小于 lc,若 lc很小,可以认为对放大的自发辐射贡献甚微,可以忽略。为了得到放大的自发辐
射输出的空间强度分布,必须计算从 z =0到 z =l—lc范围内各点对空间各点放大的自发辐射
贡献的总和。这里不去进行计算,但我们可以定性地看出,发散角和激光工作物质的尺寸有
关,d/l越大,则发散角越大 ;发散角还和激励程度有关,Δn0越大,则放大的自发辐射贡献可忽
略不计的程长 lc越小,因而发散角越大。工作物质侧壁的多次反射也会使发散角增加,因此
有时为了减小发散角而将侧壁打毛
三、放大的自发辐射的线宽
自发辐射的谱线宽度为 ΔνH(或 ΔνD)。一般单模激光器中由于谐振腔的作用,具有极好的
单色性。而放大的自发辐射的谱线宽度则介于二者之间。
以前,在讨论有关激光振荡器与激光放大器的问题时,与物质发生相互作用的光是准单色
光,据此我们列出了速率方程,并得到了有关增益系数的一系列表示式。但在考虑放大的自
发辐射时,与物质发生相互作用的光与工作物质的谱线宽度可相比拟,因此不能简单地按照
准单色光问题来处理二若在 ν-ν+dν频率范围内,在 z处的放大的自发辐射光强为 I(ν,z)dν,如
果 dν取得足够小,则在考虑这部分光与物质相互作用时,仍可当作准单色光来处理。
在一个无损耗的非饱和放大器中,光强 I(ν,z)dv的变化率为
（ 6.5.1）
上式右侧第一项为受激辐射的贡献,第二项为自发辐射的贡献,ΔΩz为 z处一点对终端孔径所
张的立体角。设工作物质截面积为 S,则
由式 (6.5.1)可得
（ 6.5.2）
式中 K为积分常数。在放大的自发辐射较强的高增益系统中,在 l -z>>d的区域内 ΔΩz随 z的
变化慢得多,而 l-z可与 d相比拟的区域对放大的自发辐射的贡 E献甚小,因此在式 (6.5.2)中可
用平均值代替 ΔΩz并提出积分号外。于是由式 (6.5.2)及边界条件 I(ν,0)=0可得
（ 6.5.3）
式中
（ 6.5.4）
由式 (6.5.3)可求出均匀加宽工作物质中放大的自发辐射的谱线宽度为
当 z很小时,g0(ν0)z<<1,可得
当 z较大,以致 g0(ν0)z>>1时
若激光工作物质具有多普勒 (非均匀 )加宽谱线,则可求出放大的自发辐射的谱线宽度为
当 z很小,以致 g0(ν0)z<<1时
当 z较大,g0(ν0)z>>1时,则
(6.5.5)
由式 (6.5.4)及式 (6.5.5)可看到,放大的自发辐射谱线比自发辐射谱线窄。 g0 (ν0)z
[或 g0H(ν0)z]越大,则变窄程度越大。变窄的原因是谱线中心的增益系数较偏离中心频率时
的增益系数大,而放大的自发辐射强度是增益系数的指数函数。以上分析是在放大的自发
辐射较弱,因此可不考虑饱和效应的情况下进行的。当传播距离足够远,以致放大的白发辐
射强度足够大时将引起增益饱和。这时,在均匀加宽及非均匀加宽工作物质中谱线变窄的
行为是不同的。在均匀加宽工作物质中,当放大的自发辐射强度足够大时,整个增益曲线将
均匀下降,放大的自发辐射谱线仍随 z之增大而变窄,但因为增益曲线幅度较低,变窄变得缓
慢了。而在非均匀加宽工作物质中,由于谱线中心附近饱和程度较偏离中心频率处大,随着 z
的增大,增益曲线及自发辐射谱线均变宽,因此使放大的自发辐射谱宽再度变宽,最后谱线宽
度回复到初始的 ΔνD.图 6.5.4及图 6.5.5为均匀加宽及非均匀加宽工作物质中放大的自发辐
射谱线变窄的理论曲线。
图 6.5.4均匀加宽工作物质图 6.5.5非均匀加宽工作物质
6.6 光放大器的噪声
光放大器中,不可避免地存在着放大的自发辐射,它对光放大器特性具有不良影响。光
放大器的增益将因放大的自发辐射消耗高能级粒子而降低。同时,放大的自发辐射形成的
噪声降低了放大器输出信号的信噪比。放大器的噪声特性对用于信息领域的光放大器而言
是至关紧要的。本节以均匀激励的光放大器为例,讨论放大器输出的噪声功率,并给出噪声
因子定义。
若入射至放大器的信号光是光腰半径为 w0的基横模。由式 (2.6.14)可知,其发散角
ζ0=2λ/πw0
在空间所占立体角
(6.6.1)
在光放大器内 dz长度中该光束占有的体积
ΔV=πw02dz (6.6.2)
在 dz距离中,注入该光束的频率在 ν附近 δv带宽内的放大的自发辐射功率
式中 ASE(z)为 z处的放大的自发辐射功率。将式 (6.6.1)和式 (6.6.2)代入上式,可得
(6.6.3)
在信号光很弱,并且放大器较短,因而放大的自发辐射也很弱的小信号情况下,上式可写为
(6.6.4)
对于均匀激励的放大器而言,g0(ν)和 n20(ν)是与 z无关的常数,由式 (6.6.4)可得放大器输
出的噪声功率
(6.6.5)
定义放大器的噪声因子为
(6.6.6)
由式 (6.6.5)与式 (6.6.6)可知,光放大器的增益越大,则噪声功率越大 ;工作物质的激励程度越
高,则噪声功率及噪声因子越小。当 n≈0时 nsP具有最小值 1。
在大信号情况下,或在 6.3所讨论的纵向光激励的光纤激光器中,g(ν)及 n2均为 z的函数,需
对式 (6.6.3)进行数值计算,才能求出输出噪声功率。在这种情况下,仍仿照式 (6.6.6)定义放
大器的噪声因子
(6.6.7)
式 (6.6.5)中的因子 "2"对应于光波模的两个可能的偏振状态。若信号光为线偏振光,则附加
于该信号的噪声功率表达式可去除因子 "2"。
第七章 激光振荡的半经典理论
7.1激光振荡的自洽方程组
一、引言
本章扼要介绍激光振荡的半经典理论。这种理论可以较好地解释与运动粒子体系以及
与激光场的波动特性有关的一系列现象,如集居数反转相对于频率分布的凹陷效应 (烧孔效
应 )、增益饱和效应、折射率色散关系、振荡频率相对于中心频率的牵引与推斥效应以及
多模糯合和竞争效应等。但不能确切地描述与激光场的量子特性有关的一些现象,例如噪
声和相干性等。
我们主要是对激光振荡的强度特性和激光振荡的频率特性感兴趣,或者说,对激光振荡的
场强感兴趣。这一场强是激光谐振腔内光波场和激活物质原子相互作用的结果。在决定场
强的过程中,要采用自洽方法。如图 7.1.1所示,激光工作物质的粒子 (原子或分子 )在腔内光
波场的作用下极化,形成感应电偶极子,这是一个微观量,为处理上方便起见,对单位体积中
的感应电偶极子求和,即可得到宏观量一一电极化强度。我们知道感应电偶极子会以与腔
内光波场相同的频率辐射电磁波,所以电极化强度等同于场源。将电极化强度代人麦克斯
韦方程组,则可确定由感应极化而激发的场。所谓自治,指的是极化强度产生的场等于产生
极化强度的场。在本章的讨论中,我们假定自治条件总是满足的。
图 7.1.1自治概念
激光器的工作物质是由大量的粒子组成的,所以电极化强度是涉及大量粒子的量,我们将
采用量子力学中的密度矩阵方法来处理 ;而电极化强度所产生的光波场则采用经典电磁场
理论来处理。这就是半经典处理方法。
为讲述方便起见,下面我们称一个原子为一个系统。大量原子即系统的集合构成一个系
综。
二、激光振荡的自洽方程组
光是频率很高的电磁波,满足麦克斯韦方程
（ 7.1.1）
（ 7.1.2）
（ 7.1.3）
（ 7.1.4）
（ 7.1.5）
（ 7.1.6）
P为电极化强度。在各向同性的介质中,D,E和 P是平行的,在线性极化近似下有
（ 7.1.7）
式中 χ为介质的电极化率。这样,式 (7.1.6)可写为
上列式子中 ε和 μ分别为媒质的介电常数和磁导率,并可表示为
（ 7.1.8）
（ 7.1.9）
其中 ε。和 μ。分别为真空介电常数和磁导率 ;ε'和 u'分别为媒质的相对介电常数和磁导率。
为得到电场与激发它的场源的运动方程,可由式 (7.1.1)并利用式 (7.1.5)(取 μ=u0)得
将式 (7.1.2)代入并利用式 (7.1.6)和欧姆定律表达式
（ 8.1.10）
(ζ为介质的电导率 )可得
（ 8.1.11）
由矢量分析可知
又由式 (7.1.8)可得
上式最后一个等号利用了式 (7.1.4),在各向同性的均匀介质中,从而得
将这一关系代人式 (7.1.11)得
（ 8.1.12）
对于大菲涅耳数的激光器,光场差不多集中在腔的轴线附近,场在垂直于谐振腔轴线的方向
上变化不大,即腔内光波场近似为沿轴线方向传播的平面波。若令腔的轴线为 z轴,并假设光
波场为线偏振的,则矢量方程式 (7.1.12)简化为标量方程式
（ 7.1.13）
这就是由场源 P产生的光波电场随时间变化的方程。在形式上上述方程与经典的强迫阻尼
振荡相似 (参阅 4.2),包含 P的一项等效于强迫源的存在,包含 ζ的一项等效于阻尼作用的存在。
对于理想电介质,电导率 ζ本应为零,但在这里我们用 ζ等效地表示由各种损耗机制引起的腔
内激光波场的衰减,
为简单起见,设激光谐振腔为平行平面腔,腔长为 L,腔的轴线为 z轴。由于谐振腔的存在,
只有沿 z轴并且满足驻波条件
L=nλn/2 (n为较大正整数 ) （ 8.1.14）
的光波才能在腔内形成稳定模式。由上式可得
λn是第 n个纵模 (为简单计也称为第 n个模 )的波长。由波矢的定义可知
于是第 n个模可写成下述驻波形式,
实际激光器的腔长 L比较长,而光波波长很短,因此满足驻波条件的纵模数很多,在此形下,腔
内电场应是所有模式场的叠加,
（ 7.1.15）
{sin(knz)}是区间 (0,L)内的正交函数集
（ 7.1.16）
对于腔长一定的激光器来说,本征函数集 {sin(knz)}可作为已知量对待,因而求解电场 E(z,t)
主要是求解 An(t)满足一定的运动方程。为看出这一点,将呈 (7.1.15)代入式 (7.1.13)再在方
程两边同乘以 sin(kmz)并对区间 (0,L)积分,最后利用正交关系式 (7.1.16)并将 m改为 n,得
（ 7.1.17）
式中 Pn(t)为 P(z,t)的空间傅里叶分量
（ 7.1.18）
在无源元损腔 (P=0,ζ=0)情形下,方程 (7.1.17)具有下述形式的解,
式中 Ωn为第 n个模的谐振频率
（ 7.1.19）
Фn为第 n个模的相位角。在有源腔 (P≠0,ζ≠O)情形下,则必须考虑场和物质相互作用
对 An(t)的影响。 这种影响表现在,第一,En不再与时间元关,而是时间 t的慢变 (相对于光频变
化 )函数 En(t)(即放大或衰减 );第二,有源腔模式谐振频率与无源腔本征谐振频率 Ωn稍有偏移
(即频率牵引与频率推斥 ),在一般情况下可将相位项 (Ωnt+Фn)假设为时间 t的慢变函数
〔 ωnt+Фn(t)〕,其中 ωn为有源腔模式谐振频率,并有
式中 ε为工作物质的折射率。从上述考虑出发,可以假设方程 (7.1.17)的解为
（ 7.1.20）
式中 En(t)和 Фn(t)为时间 t的慢变函数。
在各向同性的均匀介质中 z点的极化强度与该点的电场强度成正比 (比例系数为 α),但相
位可能不同 (设它们的相位相差 δ)。又根据自治场概念,产生极化强度的场就是极化强度产
生的场即 E(z,t)=∑An(t)sin(knz),于是极化强度 P(z,t)可写为
（ 7.1.21）
式中 Pn(t)即为 P(z,t)的空间傅里叶分量,并且有
（ 7.1.22）
式中 δn(t),Cn(t)和 Sn(t)为时间 t的慢变函数 ;Фn为 Фn(t)的简写。将式 (7.1.20)和
式 (7.1.22)代入式 (7.1.17),并令 （ 7.1.23）
式中 Фn和 En表示对时间 t的一阶导数。进一步略去较小的 (ωn/Qn)和 (ωn/Qn)Фn项,得
最后略去 (Фn)2项．考虑到 Ωn≈wn，则可得到简化了的如下两个方程式；
(7.1.24)
(7.1.25)
这就是所谓自治场方程组。式 (7.l,24)表征了场的频率特性,由于增益物质的电极化效应,使
得 Фn和 Cn(t)都具有一定的数值,于是实际的激光振荡频率 (wn+Фn)将与无源腔的本征频率
Ωn不一样。式 (7.1.25)表征场的振幅变化特性。
最后须要说明,只要求出激光振荡的振幅特性和频率特性,我们就了解了激光振荡的模
的特性,所以最根本的是要求得 n个振荡的模的振幅和频率,至于以后的按式 (7.1.15)进行的
求和步骤则是无关紧要的。从上面的叙述可以看出,为求得自治方程的解 En和 wn+Фn,首先
要求解激光物质在光波电场作用下的极化强度 P,我们将从 7.3开
始讨论这一问题。
7.2 原子系统的电偶极矩
一、原子系统的波函数
由于微观粒子具有波粒二象性,所以它的行为要用波函数来描述。原子具有许多不连续
的能级,但激光往往只是在两个特定的能级之间产生的。为使问题简化,将不考虑原子的其
他能级,认为原子只具有产生激光的两个能级。这种简化了的原子系统叫做二能级原子系
统。原子的两个能级分别用 a和 b来表示,其中 a为上能级,b为下能级。由量子力学可知,原子
处于能级 a的状态和原子处于能级 b的状态都是原子的本征态,表示这两个状态的波函数是
原子的本征波函数,分别用 ua和 ub来表示,并且各自满足本征值方程
(7.2.1)
(7.2.2)
式中 H0为原子系统的哈密顿算符 ;Ea,Eb为其本征值。
ua和 ub组成正交归一的完全系,一般情况下,原子的状态波函数可表为其本征波函数的
线性叠加,即
(7.2.3)
式中
式中 A,B为常数。式 (7.2.3)满足含时薛定愣方程
(7.2.4)式中
波函数 Ф(q,t)的展开系数的模的平方 |αl2=A2和 |b|2=B2分别表示原子处于 a态和态的几率。
由于 A和 B中不显含时间因子,所以原子处 a态和 b态的几率不随时间而变化。但这与实际情
形不符。实际情形是,即使没有外界辐射场的人射,原子也会自发地由上能级向下能级跃迁
而发出辐射,原子不可能长期地处于 a态或 b态。为了表示这种效应,须要引进 a态和 b态的衰
减常数 γa和 γb,即令处于 a态和 b态的原子数 (也即几率 |a|2和 |b|2)分别以指数 e-γat和 e-γbt衰减。
引进 γa和 γb后，原子的波函数可表示为
(7.2.6)
(7.2.5)
式中
(7.2.7)
(7.2.8)
式 (7.2.6)也应满足薛定愕方程,即
(7.2.9)
将式 (7.2.6)代人上式得
(7.2.10)
引人算符合 γ，使得
并且
则上式可写为
(7.2.11)
二、原子系统的感应电偶极矩
当原子处于外场 E(z,t)中时,将受到外场对它的影响,这时系统的哈密顿算符可以写成与
时间无关的部分民和与时间有关的部分 H1(微扰算符 )之和
(7.2.12)式中算 H
0满足式 (7.2.10)和式 (7.2.11)。微扰算符 H1为
(7.2.13)
其中 e为电子电荷。
根据微扰理论,我们假定受微扰后的系统的波函数是未受微扰的系统的本征函数的线性叠
加,即
(7.2.14)
这表示微扰使原子处于 a态和 b态的几率随时间而变化。它满足薛定愕方程 (7.2.9),若用 H'
来替代 H'0
(7.2.15)
利用式 (7.2.12)将上式展开,并将式 (7.2.10)代入,得
(7.2.16)
用 u*a(q)左乘上式,对坐标 q迸行积分,再利用本征函数的正交性,有
(7.2.17)
(7.2.18)
由式 (7.2.17)和式 (7.2.18)可以确定 a(t)和 b(t),从而由式 (7.2.14)就可以确定 Ф(q,t)。式
(7.2.17)和式 (7.2.18)被称为态的运动方程
下面我们来求单个原子系统的感应电偶极矩。由量子力学可知,感应电偶极矩的平均值
为
其中利用了关系式
(7.2.19)
(7.2.20)
(7.2.21)
式中 (7.2.22)
在 7.3中我们将看到,pab等也称为单个原子系统的密度矩阵元。由于波函数可以相差一相位
因子,所以在系数 a和 b中引进适当的相位因子,就能选取 ua和 ub的相位,使得式 (7.2.21)中的
积分为实数,这样 (7.2.23)
式中 (7.2.24)
代表能级 a,b间的跃迁相对应的电偶极矩矩阵元,并与爱因斯坦系数 Aab有一定的关系,而
Aab可通过实验测出,这样 β可作为表征原子性质的已知量来对待。由式 (7.2.23)E可知,求得
pab和 pba便可求得感应电偶极矩 p。
对式 (7.2.22)求导并利用式 (7.2.17)、式 (7.2.18)和它们的共轭复式,便得到 p的运动方程
式中
(7.2.25)
(7.2.26)
(7.2.27)
(7.2,29)
(7.2.28)
分别为两能级的平均衰减常数和原子在能级 a,b间的跃迁角频率。由式 (7.2.25)至式
(7.2.28)可知,上、下能级 a,b的有限寿命 ηa,ηb,不只是使密度矩阵的对角元分别以速率
1/ηa,1/ηb衰减,还会使密度矩阵的非对角元以速率 (1/ηa+1/ηb)/2衰减。根据测不准关系
(7.2,30)
可知,粒子在能级上的有限寿命 η对应于该能级的宽度 ΔE.所以式 (7.2.25)至式 (7.2.28)也表
明,如果能级 a,b有一定宽度,则将引起密度矩阵的对角元与非对角元以一定的速率衰减。
有了方程组 (7.2.25)~(7.2.28),可以不必由式 (7.2.17)和式 (7.2.18)求解随时间变化的态,
再按式 (7.2.21)求解感应电偶极矩,而可以直接通过对上述方程组求解 Pab及 Pba再求解感应
电偶极矩。
7.3 密度矩阵
一、密度矩阵的引出
激光工作物质是由大量的原子所组成。当它处于外场中时,工作物质中的每一个原子便
在外场的作用下极化,产生感应电偶极矩,而宏观电极化强度便是单位体积中这些原子的感
应电偶极矩之和。对于大量原子的集合 (系综 ),我们采用如下的方法来表述系综的宏观极化
强度。
设所考虑的系综由 N个原子组成,其单位体积内的原子数为 n.忽略原子之间的相互作用
(这些原子组成系综 ),并且与前述一样,假设原子只有两个能级 a和 b,原子的能量本征波函数
为 ua和 ub.
由前节知,有外场时,原子的波函数可按其能量本征函数展开
由于原子之间彼此无关,可以各自处于很不一样的状态,因此一般说来,原子的波函数也彼此
不同。设第 K个原子的波函数为 Фk(q,t)(简写为 Фk,则
（ 7.3.1）
根据量子力学中求力学量平均值的方法,可得第 K个原子的感应电偶极矩的平均值 PK为
（ 7.3.2）
由于系综内有 N个原子,所以电极化强度 P为
（ 7.3.3）
将式 (7.3.1)代人,把含时间的量提到积分号外,并利用式 (7.2.20)得
（ 7.3.4）
令
（ 7.3.5）
（ 7.3.6）
并利用式 (7.2.24),则式 (.3.4)变为
（ 7.3.7）
式中 p ab和 pba叫系综的密度矩阵元。这样在求解极化强度 P时,就需求出密度矩阵元。
二、密度矩阵及其主要性质
从以上所述可见,当我们须要求解一个系综的某一力学量时,密度矩阵是一种方便的表述
系综状态的形式。下面我们将给出密度矩阵的较完整的定义及其主要性质。这时我们不再
假设原子只有两个能级,而认为原子有许多能级。设原子的本征波函数为
（ 7.3.8）
它们组成正交归一的完全函数集。于是
（ 7.3.9）
对于单个原子系统 (它也称为纯态系综 ),某一力学量 F的量子力学平均值可由该系统相应的
算符求出
（ 7.3.10）
对于一个由大量原子组成的系综,一般来说,不同的原子在每一瞬间都可能处于很不 -样的状
态,因此不同原子的力学量的量子力学平均值是不一样的。这样的系综也称为混合态系综。
对于这样的系综,显然不能 (也不必要 )求得其中每个原子的状态和力学量的量子力学平均值,
但是能够确定系综状态的统计平均性质并求得力学量的系综统计平均值。
为此,对系综内大量原子的力学量的量子力学平均值再求一次系综平均,即
（ 7.3.11）
这种二次平均值或系综平均值就是一个系综的力学量 F的宏观平均值。将式 (7.3.10）代入
式 (7.3.11),并利用式 (7.3.9)得
（ 7.3.12）
式中
（ 7.3.13）
（ 7.3.14）
别称为第 n行第 m列的系综密度矩阵元和第 m行第 n列的算符 P的矩阵元。
如果本征函数集 (7.3.8)组成分立谱,则我们可以令 m,n=1,2,…,而把这些系综的密度矩
阵元和算符 P的矩阵元排列成矩阵形式
（ 7.3.15）
（ 7.3.16）
它们分别叫做系综的密度矩阵和算符古的矩阵。在式 (7.3.13)中令 m =n,则有
ρnm表示系综中一个任意的原子系统处于由 un(q )所描述的态的平均几率。因此在密度矩
阵 (7.3.15)中,对角线上的矩阵元表示系综中一个任意的原子系统处于本征态的平均几率。
将式 (7.3.15)和式 (7.3.16)相乘,有
对上式求迹,有
（ 7.3.17）
由此可知,系综的力学量 F的平均值可以通过矩阵运算求得。
密度矩阵有下列几个主要性质。
(1)密度矩阵之迹为 1。这是因为
式中 表示系综的第一个原于处于所有的状态的几率之和，显然它等于 1，同理
因此
(2)密度矩阵为厄密矩阵。因为
所以
(3)由于 (α kn)* α kn表示第 K个原子处于态 n的几率,而几率必为正值,所以密度矩阵的对
角元必为正值。由前面的分析已知密度矩阵为厄密矩阵,厄密矩阵可以对角化,对角化后的
矩阵的对角元必然也为正值,所以厄密矩阵恒为正定矩阵。
三、密度矩阵的运动方程
在外场的影响下,原子处于 a态,b态以及其他态的几率是随时间变化的,因此系综的密
度矩阵是随时间变化的。为导出其运动方程,首先对式 (7.3.13)的两边对时间求导数,得
（ 7.3.18）
由于现在不考虑态的衰减,因此系统的哈密顿算符 H为
（ 7.3.19）
并且含时薛定愣方程 (7.2.15)中的 H'要用 H来代替。这样,第 K个原子的含时薛定愕方程为
即
将上式左乘 u2*(q)并对 q积分,再利用本征函数的正交性得
式中
为哈密顿算符 H的矩阵元。上式可改写为
将上两式代人式 (7.3.18),并利用式 (7.3.13),得
（ 7.3.20）
其中利用了哈密顿算符 H的厄密性,所以
（ 7.3.21）
式中
（ 7.3.22）
式 (7.3.21)就是密度矩阵的运动方程 ;它告诉我们,如果已知初始时刻的密度矩阵,则可确定
任何时刻 t的密度矩阵。
值得指出的是,式 (7.3.12),(78.3.13)和式 (7.3.21)是处理量子力学系综的三个基本关
系式,其中式 (7.3.13)是量子力学系综的态的表达式,式 (7.3.21)是用密度矩阵形式表述的薛
定愕方程,而式 (7.3.12)则为系综的力学量的宏观平均值的表达式。
如果进一步考虑到原子在态上的衰减,则如 7.2节所示,须要引进系统的衰减算符 γ,这时
系统的哈密顿算符变为
（ 7.3.23）
而式 (7.3.20)中的 H要用 H'来代替,所以
（ 7.3.24）
其中利用了算符 γ的厄密性,这是因为
（ 7.3.25）
所以 γnm=γ*nm。由式 (7.3.24)即可得到
（ 7.3.26）
式 (7.3.26)便是考虑了态衰减的系综的密度矩阵的运动方程。式 (7.3.25)表明,γ矩阵是对角
矩阵,其对角线上的元素即为 γn.
四、二能级原子系综的密度矩阵
对于二能级原子系综来说,密度矩阵具有比较简单的形式。此时式 (7.3.9)简化为
在式 (7.3.13)中,令 am=α,bm=a,b,便得到二能级系综的密度矩阵元
（ 7.3.27）
（ 7.3.28）
（ 7.3.29）
（ 7.3.30）
将它们排列成矩阵形式,便得到密度矩阵
(7.3.31)
式中 paa表示系综内 N个原子处于 a态的平均几率,也就是系综处于 a态的几率 ;Pbb可类似地
获得解释。
二能级系综密度矩阵的运动方程显然也应由式 (7.3.26)表示,即
(7.3.33)
其中衰减矩阵 γ和哈密顿矩阵 H具有比较简单的形式。由式 (7.3.25)可知
(7.3.32)
根据定义 H矩阵可由下式求得
考虑到式 (7.3.19)、式 (7.2.19)和式 (7.2.20),其形式为
(7.3.34)
在纯态系综 (例如单个原子系统 )的情况下,运动方程 (7.3.32)的矩阵元表述形式就是式
(7.2.25)~(7.2.28)
将式 (7.3.27)~(7.3.30)与式 (7.2.22)比较,可以看到,如果将式 (7.2.22)看作是单个原子系
统的密度矩阵,则式 (8.3.27)~(8.3.30)便可认为是系综内 N个原子的密度矩阵的算术平均,于
是该系综便可用密度矩阵等于此平均密度矩阵的一个原子来等效。
第八章 激光器特性的控制与改善
从一台简单激光器出射的激光束,其性能往往不能满足应用的需要,因此不断地发展了
旨在控制与改善激光器输出特性的各种单元技术。为了改善激光器输出光的时间相性或空
间相干性,发展了模式选择、稳频及注入锁定技术。为了获得窄脉冲高峰值功率的激光束,
发展了 Q调制、锁模、增益开关及腔倒空等技术。本章介绍以上控制与改善激光器特性的
各种技术的原理及其理论。
8.1 模式选择
激光的优点在于它具有良好的方向性、单色性和相干性。理想激光器的输出光束应只
具有一个模式,然而若不采取选模措施,多数激光器的工作状态往往是多模的。含有高阶横
模的激光束光强分布不均匀,光束发散角较大。含有多纵模及多横模的激光束单色性及相
干性差。激光准直、激光加工、非线性光学研究、激光中远程测距等应用均需基横模激光
束。而在精密干涉计量、光通信及大面积全息照相等应用中不仅要求激光是单横模的,同
时要求光束仅含有一个纵模。因此,如何设计与改进激光器的谐振腔以获得单模输出是一
个重要课题。
一、横模选择
谐振腔中不同横模具有不同的损耗是横模选择的物理基础。在稳定腔中,基模的衍射损
耗最低,随着横模阶次的增高,衍射损耗将迅速增加。
激光器以 TEM00模单模运转的充分条件是,TEM00模的单程增益至少应能补偿它在腔内的
单程损施,即应有
（ 8.1.1）
而损耗高于基模的相邻横模 (如 TEM10模 ),却应同时满足
（ 8.1.2）
式中 g000和 g010分别为工作物质中 TEM00模和 TEM10模的小信号增益系数 ;δ00和 δ10分别为二
模式的单程衍射损耗。
在各个横模的增益大体相同的条件下,不同横模间衍射损耗的差别就是进行横模选
择的根据。因此,必须尽量增大高阶横模与基模的衍射损耗比,δ10/δ00越大,则横模鉴别
力越高。同时还应使衍射损耗在总损耗中占有足够的比例。
衍射损耗的大小及模鉴别力的高低与谐振腔的腔型和菲涅耳数有关。图 8.1.1和图 8.1.2
中实线是各种对称腔和平凹腔的 δ10/δ00随菲涅耳数变化的曲线,虚线表示 TEM00模的等损耗
线。由图可知，衍射损耗随菲涅耳数的增大而减小，模鉴别力却随之提高。共焦腔和半共
焦腔的 δ10／ δ00最大，平面腔与共心腔的 δ10／ δ00最小。但另一方面，当 N不太小时,共焦腔
和半共焦腔的衍射损耗很低,与其他损耗相比,往往可以忽略,因而无法利用它的模鉴别力高
的优点实现选模。此外,共焦腔及半共焦腔基模体积甚小,因而其单模振荡功率也低。平面
腔与共心腔虽然模式鉴别力低,但由于衍射损耗的绝对值较大,反而容易利用模式间的损糙
差实现横模选择。而且它们的模体积较大,可获得高功率单模振荡。
下面简单介绍实现横模选择的几种具体方法。
1.小孔光阑选模
在谐振腔内设置小孔光阑或限制工作物质横截面积可降低谐振腔的菲捏耳数,增加衍射
损耗,使其满足式 (8.1.1)与式 (8.1.2),从而使激光器实现基横模运行。这一方法的实质是使
光斑尺寸较小的基模元阻挡地通过小孔光阑,而光斑尺寸较大的高阶横模却受到阻拦而遭
受较大的损耗。由于在谐振腔的不同位置,光斑尺寸不同,所以小孔光阑的大小因其位置而
异,如图 8.1.3所示。
图 8.1.1对称稳定腔的两个低次模的单程损能比
图 7.1.2平 -凹稳定腔的两个低次模的单程损能比
图 8.1.3小孔光阑选模图
为了扩大基横模体积,充分利用激光工
作物质,常采用聚焦光阑法选模,
如图 8.1.4所示。
8.1.4聚焦光阑选模
2.谐振腔参数 g,N选择法
适当选择谐振腔的类型和腔参数 g,N值,使谐振腔的衍射损耗满足式 (8.1.1)与式 (8.1.2),可
使激光器输出基横模激光束。
3.非稳腔选模
由第二章可知,非稳腔是高损耗腔,不同横模的损耗有很大差异。近年来,利用非稳腔在高增
益激光器中选择横模的方法被广泛采用。
4.微调谐振腔
对于平面腔,当腔镜倾斜时基模损耗增加最显著,腔的偏调有利于高阶模的优先振荡。对于
稳定腔,由于基模体积最小而高阶模的体积较大,当腔镜发生倾斜时,高阶横模损耗显著增大,
基模受到的影响较小,因而仍可继续维持振荡。这样,适当将腔镜倾斜就可以抑制高阶横。
二、纵模选择
在激光工作物质中,往往存在多对激光振荡能级,可以利用窄带介质膜反射镜、光栅或棱
镜等组成色散腔获得特定波长跃迁的振荡。本节讨论如何在特定跃迁谱线宽度范围内获得
单纵模振荡的方法。
一般谐振腔中不同纵模有着相同的损耗,但由于频率的差异而具有不同的小信号增益系
数。因此,扩大和充分利用相邻纵模间的增益差,或人为引人损耗差是进行纵模选择的有效
途径。具体方法如下。
1.短腔法
缩短谐振腔长度,可增大相邻纵模间隔,以致在荧光谱线有效宽度内,只存在一个纵模,从而
实现单纵模振荡。短腔选模条件可表达为
（ 8.1.3）
式中 Δν舰为由 g0(ν)>δ/l条件决定的振荡带宽。这一方法适用于荧光谱线较窄的激光。
2.行波腔法
在均匀加宽工作物质组成的激光器中,虽然增益饱和过程中的模竞争效应有助于形成单
纵模振荡,但由于驻波腔中空间烧孔的存在,当激励足够强时,激光器仍然出现多纵模振荡。
若采用环行腔,并在腔内插入一个只允许光单向通过的隔离器,如图 8.1.5所示,则可形成无空
间烧孔的行波腔,从而实现单纵模振荡。
图 8.1.5 环形行波腔激光器
3.选择性损耗法
若在腔内插入标准具或构成组合腔,则由于多光束干涉效应,谐振腔具有与频率有关的选
择性损耗,损耗小的纵模形成振荡,损耗大的纵模则被抑制。
图 8.1.6为腔内插入法 -泊标准具的激光器。由于多光束干涉,只有某些特定频率的光能
透过标准具在腔内往返传播,因而具有较小的损耗。其他频率的光因不能透过标准具而具
有很大的损耗。由物理光学可知,标准具透射率峰对应的频率为
8.1.6腔内插入法 -泊标准具
式中 j为正整数 ;μ为标准具二镜间介质的折射率 ;d为标准具长度,ζ为标准具内光线与法线的
夹角。相邻透射率峰的频率间隔 (见图 8.1.7)为
(8.1.4)
透射谱线宽度
(8.1.5)
式中 r为标准具二镜面的反射率。若调整 ζ角,νj=νq(νq
为第 q个纵模的频率 ),且有
(8.1.6)
(8.1.7)
则可获得单纵模输出。由式 (8.1.4)至式 (8.1.7)可求出所需标准具长度 d及镜面反射率 r。若
调整 ζ角,使 vj对准靠近增益曲线中心频率的纵模频率,则式 (8.1.6)所示条件尚可放宽。
图 8.1.7含法 -泊标准具腔选模原理图
(a)小信号增益曲线,(b)谐振腔纵横谱；
(c)法 —泊标准透射率曲线
复合腔的形式多种多样,本节举例说明其选模原理。图 8.1.8为福克斯 -史密斯型复合腔。
在此腔中,由分束镜 M和全反射镜 M2和 M3组成的福克斯 -史密斯干涉仪取代了谐振腔的一个
反射镜,从而形成选择性反射。频率等于干涉仪反射峰频率的模式因具有最小损耗而起振,
其他模式则被抑制。请读者根据选模原理在本章习题中自行推导其选模条件及设计干涉仪
的原则。
图 8.1.9为外腔半导体激光器选模装置,激光二极管 (LD)的两个解理面 M1,M2和外反射
镜 M3组成复合腔,适当选择 M2及 M3的反射率并调节 M3的位置可选出单长腔模。
图 8.1.8福克斯 -史密斯干涉仪选模装置 图 8.1.9外腔半导体激光器选模装置
7.2 频率稳定
激光的特点之一是单色性好,即其线宽 Δν与频率 ν的比值 Δν/ν很小。由 5.5可知,自发辐
射噪声引起的激光线宽极限确实很小,但由于各种不稳定因素的影响,实际激光频率的漂移
远远大于线宽极限。在精密干涉测量、光频标、光通信、激光陀螺及精密光谱研究等应朗
领域中,需要频率稳定的激光。本节讨论稳定激光频率的原理,但不涉及具体技术细节。
当谐振腔内折射率均匀时,单纵模单横模激光器的纵模频率 νq为
环境温度的起伏、激光管的发热及机械振动都会引起谐振腔几何长度的改变。温度的变化、
介质中反转集居数的起伏以及大气的气压、湿度变化都会影响激光工作物质及谐振腔
裸露于大气部分的折射率。以上因素使腔长 L及折射率市都在一定范围 ΔL,Δε内变化,因此
频率 νq也在 Δν范围内漂移。 Δν可表示为
(8.2.1)
通常定义频率稳定性地 |ν|/ν来描述激光器的频率稳定特性,它表示在某一测量时间间隔内
频率的漂移量 |Δν|与频率的平均值 ν之比。
一个管壁材料为硬玻璃的内腔式氮氛激光器,当温度漂移土 1℃ 时,由于腔长变化引起的
频率漂移已超出增益曲线范围。因此,在不加任何稳频措施时,单纵模氮氛激光器的频率稳
定性为
因而在计量等技术应用中,必须采用稳频技术以改善激光器的频率稳定性。
为了改善频率稳定性通常采用电子伺服控制激光频率,当激光频率偏离标准频率时,鉴
频器给出误差信号控制腔长,使激光频率自动回到标准频率上。本节将介绍兰姆凹陷稳频、
塞曼稳频、饱和吸收稳频及无源腔稳频等四种稳频方法的原理。
通常所说的频率稳定特性包含着频率稳定性及频率复现性两个方面。频率稳定性描述
激光频率在参考标准频率 s附近的漂移,而频率复现性则是指参考标准频率 vs本身的变化。
例如这一台激光器与另一台激光器参考标准频率的不同,同一台激光器这一工作期间和另
一工作期间参考标准频率的变化。设参考标准频率 h的最大偏移量为 (v's-vs),则频率复现性
以 |v?s -vs|/νs度量。当激光器应用于计量标准时,频率复现性也是影向精度的重要参量。
一、兰姆凹陷稳频
兰姆凹陷法以增益曲线中心频率 ν。为参考标准频率,电子伺服系统通过压电陶瓷控制激
光器的腔长,使频率稳定于 ν0。图 8.2.1为兰姆下陷稳频系统示意图。单纵模激光器安装在
殷钢或石英制成的谐振腔间隔器上,其中一块反射镜贴在压电陶瓷环上，当压电陶瓷外表
面加正电压、内表面加负电压时压电陶瓷伸长,反之则缩短,因而可利用压电陶瓷的伸缩来
控制腔长。图 8.2.2表示兰姆凹陷稳频的基本原理。在压电陶瓷上加上一个直流偏压和一
个频率为 f的音频调制电压,前者控制激光工作频率 ν,后者使其低频调制。如果激光频率
ν=ν。,则调制电压使激光频率在 ν。附近变化,因而输出功率 P以频率 2f作周期性变化。这
时工作频率为 f的选频放大器输出为零,没有附加的电压输送到压电陶瓷上,因而激光器继续
工作于 νo.如果激光频率 ν大于 ν。,则激光输出功率的调制频率为 f,相位与调制电压相同。于
是光电接收器输出一频率为 f的信号,经选频放大器放大后送入相敏检波器。相敏检波器输
出一个负的直流电压。经放大后加在压电陶瓷的外表面,它使压电陶瓷缩短,腔长伸长。于
是激光频率 ν被拉回到 ν。,如果激光频率 ν小于 ν。,则输出功率的调制相位与调制电压相位
相差 π相敏检波器输出一正的直流电压,它使压电陶瓷伸长,于是激光频率 ν增加并回到 ν。,
为了改善频率稳定性,希望微弱的频率漂移就能产生足以将频率拉回 ν。的误差信号,这
就要求兰姆凹陷窄而深。要使频率稳定性优于 4× 10-9,凹陷深度应达 1/8(在图 8.2.2中 ΔP/P。
为凹陷深度 )。由激光器的半经典理论可知,兰姆凹陷的深度和激发参量 gml/δ成正比,所以
使激光器工作于最佳电流并降低损耗可以增加凹陷深度。凹陷宽度 δν则正比于 Δvl,因而正
比于气压,故降低气压可使凹陷变窄,但气压过低会使激光器功率降低,甚至使
激光不能产生。图 8.2.3给出充普通氛气与单一同位素 Ne20的氦氖激光器的输出功率曲线,
普通氛气包含 Ne20及 Ne22两种同位素,二者谱线中心频率之差为
图 8.2.1兰姆下陷稳频系统示意图 图 8.2.2说明兰姆下陷稳频原理示意图
图 8.2.3输出功率曲线圃
(a)单一同位素 Ne20 (b)普通氖气。
因此,充普通氛气的氮氛激光器兰姆凹陷曲线不对称且不够尖锐,制作单频稳频激光器时应
充以单一同位素 Ne20或 Ne22。兰姆凹陷法稳频可获得优于 10-9的频率稳定性。由于谱线中
心频率 ν。随激光器放电条件而改变,频率复现性仅达 10-7~10-8。此外,这种激光器的输出
激光的光强和频率均有微小的音频调制。
二、塞曼稳频
利用塞曼效应稳频的方法可分为纵向塞曼稳频 (外磁场方向与激光管轴线平行 )、横向塞
曼稳频及塞曼吸收稳频 (利用腔内吸收介质的塞曼效应稳频 )等三种。本节以纵向塞曼稳频
的氮氛双频激光器为例说明塞曼稳频的原理。
图 8.2.4所示双频稳频氦氖激光器是一个在放电区加上 0.03T左右的纵向磁场，并利用压
电陶瓷控制腔长的内腔激光器。
图 8.2.4 双频激光器稳频示意图
在未加磁场时，工作物质的增益曲线和色
散曲线如图 8.2.5所示。当腔长足够短时,只
有频率为 υq的纵横振荡。如果 υ0q＝ υ0，
则频率牵引为零。此时折射率 ε(υ)＝ ε0＝ 1，
因此
图 8.2.5双频激光管的增益、
色散曲线及振荡横谱
(末加磁场时 )
加磁场后，光谱线发生塞曼分裂，沿着磁场
方向观察时，谱线分裂为中心领串为 ν0右
的右旋圆偏振光以及中心频率为 ν0右 的左旋
圆偏振光
(8.2.2)
随着光谱线的分裂，增益曲线和色散曲线也发生分裂，如图 8.2.6所示。由 ν0右 偏离
随着 ν0右 及 ν0左,所以 q纵模发生频率牵引，左旋圆偏振光的频率为
右旋圆偏振光的频率为
图 8.2.6双频激光管的增益、
色散曲线及振荡模谱 (加纵向磁场 )
由式 (5.6.13)可得
由于 νq左 -νq右 <<ν0左 -ν0右,上式可近似地
简化成
设双频管的腔长 L =15cm,往返损耗率
α+T=0.02,则 Δv≈3.2MHz.在阈值附近腔
内光强 I<<Is,,如果 H=0.03T,则有
由以上讨论可以看到,加上纵向磁场时,激光器产生左旋圆偏振及右旋圆偏振的双频激光,双
频激光的频差 Δν约为塞曼分裂值 Δν。的千分之几。 Δν的值和谐振腔的损耗及腔内光强有
关,当损耗及放电条件变化时,Δν也随之改变。
如果无源腔频率 ν0q=ν。,塞曼分裂后的有源腔频率对称地分布于 ν0的两侧,左旋光
与右旋光具有相同的小信号增益系数,并因此具有相等的输出光强。若 ν0q<ν。，则
g0左 (νq左 )<g0右 (vq右 ),左旋光光强小于右旋光光强 ;反之,如果 ν0q>ν。,则左旋光光强大
于右旋光光强。双频激光器稳频的方法之一就是测出二圆偏振光输出功率之差值,以此作
为鉴频的误差信号,再通过伺服控制系统控制激光器腔长。
理论和实验证明左、右旋圆偏振光的频率差 Δν与振荡模元源腔频率有关。 ν0q=v0
时,Δν最小,因此利用拍频方法测出左、右旋圆偏振光的频差也可以提供鉴频的误差 '号。
双频稳频激光器的频率稳定性可达 10-10～ 10-11,频率复现性为 10-7~10-8。由频激光器构
成的干涉仪具有较强的抗干扰能力,可用于工业中的精密计量。
三、饱和吸收稳频
上述两种稳频方法都是以增益曲线中心频率 v。作为参考标准频率，但 v。易受放电条
件的影响而发变化，因此，频率复现性差。为了提高稳频率精度，希望降低气压以提高兰
姆下陷的锐度,但激光管不能在过低的气压下工作,因此频率稳定性的进一步减少也受到限
制。为了提高频率复现性及稳频精度,可采用饱和吸收稳频法。
饱和吸收稳频装置如图 8.2.7所示,在外腔激光器的腔内置一吸收管,吸收管内的气体在
激光振荡频率处有强吸收峰。吸收管内气压很低,通常只有 1～ 1OPa。低压气体吸收峰的频
率很稳定,因此频率复现性好。
图 8.2.7
设吸收管内物质的吸收系数为 β(v),当入射光足够强时,由于下能级粒子数的减少和上
能级粒子数的增加,β(ν)将随入射光强之增加而减小,这就是吸收饱和现象。吸收饱和现象
和前面讨论的增益饱和现象是完全类似的。若把吸收看成负增益,则关于增益饱和的全部
理论均可用于吸收饱和。由于吸收管内气压很低,吸收谱线主要是多普勒加宽。如有一频
率为 ν1、光强为 Iν1的强光入射,则吸收曲线出现烧孔,烧孔的宽度为
式中 Δv?H为吸收物质的均匀加宽线宽，由于自然线宽很小，所以 Δv'H≈Δv'L(Δv'L为吸收
物质的碰撞线宽 )。吸收曲线如图 7.2.8所示，图中 v'0为吸收曲线中心顾率。
如果把吸收管放在谐振腔内,并且腔内有一频率为 ν1的模式振荡。若 ν1≠ν'0,则正
向传播的行波 (光强为 I+)及反向传播的行波 (光强为 I_)分别在吸收曲线的 ν1及 (2ν'0
-ν1)处烧一个孔。吸收物质对 ν1模的吸收系数为
式中 β0(ν1)为小信号吸收系数。若 ν1=ν?0,则正反向
传播的行波共同在吸收曲线的中
心频率处烧一个孔。吸收物质对 ν1模的吸收系数为
若作出光强一定时吸收系数 β（ ν1)和振荡频率
ν1的关系曲线,则曲线在 ν1=v'0处出
现凹陷,如图 8.2.9(α)所示,凹陷的宽度为
(a)光强一定时吸收物质对
振荡模的吸收系数和振荡
模频率的关系曲线 ;
在谐振腔中放置吸收管时谐振腔的单程损耗为
式中 δ为未放置吸收管时谐振腔的单程损耗 ;L'为吸
收管长度。由于 β(ν1)——ν1曲线的尖锐凹陷,激光
器输出功率在 ν'。处出现一个尖锐的尖峰,称为反
兰姆凹陷,如图 8.2.9(b)所示。利用反兰姆凹陷,可
使激光器的频率稳定在 ν'。,其稳频系统与兰姆凹
向法类似。
(b)激光器输出功率曲线。
图 8.2.9说明反兰姆凹陷形成的图
通常利用分子的基态与振转能级间的饱和吸收进行稳频。由于其吸收较强,所以可在低
气压下工作,碰撞线宽较小。并且由于分子的振转跃迁寿命长,自然线宽也小。因此可得到
尖锐的反兰姆凹陷。同时,因为利用自基态的吸收跃迁,元须放电激励,所以频率复现性好。
3.39um的氦氖激光器采用甲烧吸收管,其气压约为数帕,Δv'L≈37× 103Hz,反兰姆凹陷
的宽度约 δv'为 100~300× 103Hz,激光器的频率稳定性可达 10-12~10-13,频率复现性达 10-
11~10-12。 632.8nm氦氖激光器可利用碘同位素蒸气分子的饱和吸收来稳频,其频率稳定性
可达 10-11~10-12,频率复现性达 10-11。由于其很高的频率稳定性,国际上规定甲烷和碘吸收
稳颇的氦氖激光波长可作为长度副基准和复现米定义。
四、无源腔稳频
外界无源腔的特征频率也可用作稳频的参考频率。图 8.2.10是利用法 -础干涉仪稳定半
导体激光器运行频率的示意图。法 -踊干涉仪的透过率随光频率变化的曲线如图 8.1.7(b)所
示。激光频率的变化将引起透过法 -瑞干涉仪光功率的变化。利用与兰姆凹陷稳频类似的
鉴频方法得到的误差信号控制激光二极管的温度、激励电流或外腔激光器的腔长可使激光
频率稳定于法 -躏干涉仪的最佳透过频率。将多个激光器稳定于不同级次的透过峰频率上,
可得到频率间隔固定的多路激光,它可用作频分复用光通信的发射光源。
图 8.2.10无源腔稳频示意图
8.3 Q调制
一,Q调制激光器工作原理
我们在分析脉冲激光器输出尖峰序列的原因时已指出,在泵浦激励过程中,当工作物质中
反转集居数密度 Δn增加到阑值时就产生激光。当 Δn超过问时,随着受激辐射的增强,上能级
粒子数大量消耗,反转集居数 Δn迅速下降,直到 Δn低于阙值 Δnt时,激光振荡迅速衰减。然后
泵浦的抽运又使上能级逐渐积累粒子而形成第二个激光尖峰。如此不断重复,便产生一系
列小的尖峰脉冲。由于每个激光脉冲都是在阑值附近产生的,所以输出脉冲的峰值功率较
低,一般为几十千瓦数量级。增大输入能量时,只能使尖峰脉冲的数目增多,而不能有效地提
高峰值功率水平。同时,激光输出的时间特性也很差。
为了得到高的峰值功率和窄的单个脉冲,采用了 Q调制技术,它的基本原理是通过某种方
法使谐振腔的损耗 δ(或 Q值 )按照规定的程序变化,在泵浦激励刚开始时,先使光腔具有高损
耗 δH,激光器由于阈值高而不能产生激光振荡,于是亚稳态上的粒子数便可以积累到较高的
水平。然后在适当的时刻,使腔的损耗突然降低到 δ,阈值也随之突然降低,此时反转集居数
大大超过阈值,受激辐射极为迅速地增强。于是在极短时间内,上能级储存的大部分粒子的
能量转变为激光能量,在输出端有一个强的激光巨脉冲输出。采用调 Q技术很容易获得峰值
功率高于兆瓦,脉宽为几十毫微秒的激光巨脉冲。本节将简单介绍 Q调制技术的原理,而不
涉及具体的技术细节。
图 8.3.1为调 Q过程的示意图。在 t<0时,损耗为 δH,腔内光子寿命为 ηH,相应的阈值为
当 t <0时,泵源激励使反转集居数不断增长,至 t =0时刻,反转集居数密度增加到 Δn。
但因 Δni<Δn?t,所以不能产生激光,此时腔内只有由自发辐射产生的少量光子,光子数密
度 Ni很小。在 t=0时刻,损耗突然降至 δ(光子寿命为 ηR),阑值也相应地降至 Δnt:
二,Q调制方法
凡能使谐振腔损耗发生突变的元件都能用作 Q开关。常用的调 Q方法有转镜调 Q、电光
调 Q,声光调 Q与饱和吸收调 Q等。前三种方法中谐振腔损耗由外部驱动源控制制,称为主
动调 Q。，后一种方法中,谐振腔损耗取决于腔内激光光强,因此称为被动调 Q。转镜调 Q是
最早发展的一种调 Q方法,但目前已很少使用。本书仅简要介绍其余三种调 Q方法。
1.电光调 Q
某些晶体在外加电场作用下,其折射率发生变化,使通过晶体的不同偏振方向的光之间产
生位相差,从而使光的偏振状态发生变化的现象称为电光效应。其中折射率的变化和电场
成正比的效应称为普克尔效应,折射率的变化和电场强度平方成正比的效应称为克尔效应。
电光调 Q就是利用晶体的普克尔效应来实现。突变的方法。现以最常用的电光晶体之一的
磷酸二氘钾 (KD*P)晶体为例说明其调 Q原理。
电光调 Q激光器如图 8.3.2所示。未加电场前晶体的折射率主轴为 z,y,z。沿晶体光轴
方向 z施加一外电场 E,由于普克尔效应,主轴变为 x',y',z'。令光束沿 z轴方向传播,经偏振器
后变为平行于 Z轴的线偏振光,人射到晶体表面时分解为等幅的 x'和 y'方向的偏振光,在晶体
中二者具有不同的折射率 ε‘x和 ε‘y。经过晶体长度 d距离后,二偏振分量产生了相位差 δ
图 8.3.2 电光调 Q激光器示意图
式中 ε。为晶体寻常光折射率 ;γ63是晶体的电光系数 ;V是加在晶体两端的电压。当 δ=π/2时,
所需电压称作四分之一波电压,记作 Vλ/4.图 8.3.2中电光晶体上施以电压 Vλ/4时,从偏振器出
射的线偏振光经电光晶体后,沿 x'和 y'方向的偏振分量产生了 π/2位相延迟,经全反射镜反射
后再次通过电光晶体后又将产生 π/2延迟,合成后虽仍是线偏振光,但偏振方向垂直于偏振器
的偏振方向,因此不能通过偏振器。这种情况下谐振腔的损耗很大,处于低 Q值状态,激光器
不能振荡,激光上能级不断积累粒子。如果在某一时刻,突然撤去电光晶体两端的电压,则谐
振腔突变至低损耗、高 Q值状态,于是形成巨脉冲激光。
电光 Q开关是目前使用最广泛的一种 Q开关,适用于脉冲激光器,其主要特点是开关时间
短 (约 10-9s),属快开关类型。电光调 Q激光器可以获得脉宽窄、峰值功率高的巨脉冲。例如,
典型的 Nd3+:YAG电光调 Q激光器的输出光脉冲宽度为 10~20时,峰值功率可达数兆瓦至数十
兆瓦,而对于钦玻璃调 Q激光器,不难获得数百兆瓦的峰值功率。常用电光晶体有 KDP、
KD*P,LiNb03及 BSO等。
2.声光调 Q
当声波在某些介质中传播时,该介质会产生与声波信号相应的、随时间和空间周期变化
化的弹性形变,从而导致介质折射率的周期变化,形成等效的位相光栅,其光栅常数等于声波
波长 λs.光束射经此介质时发生衍射,一部分光偏离原来方向。当声波频率较高,声光作用长
度 d足够大,满足
时 (λs与 λ分别为声波与光波波长 ),如果 λ射光与声波波面的夹角 ζ满足
则透射光束分裂为零级与 +1级或 -1级 (视入
射方向而定 )衍射光,+1级或 -1级衍射
光与声波波面的夹角亦为 ζ,如图 8.3.3所示。
这种现象称作布喇格衍射,一级衍射光先强
I1(或 I-1)与入射光光强 Ii之比为
图 8.3.3 声光布喇格衍射
衍射失意图
式中 ΔФ是经长度为 d的位相光栅后光波相位变化的幅度。
式中 Δε是介质折射率变化的幅值 ;d与 H分别为换能器的长度与宽度 ;M是声光介质的品
质因素 ;P是超声驱动功率。提高超声驱动功率可得到较高的衍射效率。
声光 Q开关由一块对激光波长透明的声光介质及换能器组成,常用的声光介质有熔融
石英、锢酸铅及重火石玻璃等。声光介质表面粘接有由银酸鲤、石英等压电材料薄片制成
的换能器,换能器的作用是将高频信号转换为超声波。声光开关置于激光器中,在超声场作
用下发生衍射,由于一级衍射光偏离谐振腔而导致损耗增加,从而使激光振荡难以形成,激光
高能级大量积累粒子。若这时突然撤除超声场,则衍射效应即刻消失,谐振腔损耗突然下降,
激光巨脉冲遂即形成。
声光调 Q开关时间一般小于光脉冲建立时间,属快开关类型。由于开关的调制电压只需
100多伏,所以可用于低增益的连续激光器,可获得峰值功率几百千瓦、脉宽约为几十纳秒
的高重复率巨脉冲。但是,声光开关对高能量激光器的开关能力差,不宜用于高能调 Q激。
3.被动调 Q
在谐振腔中设置一饱和吸收体,利用其饱和吸收效应可以控制谐振腔的损耗。我们可近
似地把饱和吸收体看成是两能级系统,利用稳态二能级速率方程,按照 4.5节中由速率方程求
增益系数类似的过程,可求出中心频率处的吸收系数
(8.3.1)
式中 β0是中心频率小信号吸收系数 ;I和 I?s分别为人射光强和饱和光强。简并度相等的二能
级系统的饱和光强为
式中 ζ12为吸收截面 ;η2为高能级寿命。由式 (8.3.1)可见,吸收系数随光强的增加而减少,当光
强很大时,吸收系数为零,入射光几乎全部透过。饱和吸收体的透过率随光强的变化如图
8.3.4所示。
图 8.3.4
将饱和吸收体放在谐振腔中,泵浦过程开始时,由于其吸收系数大,谐振腔损耗很大激光
器不能起振。随着激光工作物质中反转集居数的积累,放大的自发辐射逐渐增加,当光强与
饱和吸收体的 I?s可比拟时,吸收系数显著减少。当这一过程发展到一定程度时单程增益等
于单程损耗,激光器开始起振。随着激光强度的增加,饱和吸收体的吸收系又继续下降,而这
又促使激光更迅速地增加,于是产生了受激辐射不断增长的雪崩过程,当激光光强增加至可
与增益介质的饱和光强可比拟时,增益系数显著下降,最终导致激光熄灭。
由上述巨脉冲发展过程可知,用作被动 Q开关的饱和吸收体应具备下列特性,① 吸收峰
中心波长应与激光器激光波长吻合 ;② 饱和光强 I?s要适当。 I's小于增益介质的饱和光强 Is
是巨脉冲产生的必要条件,I?s太大还会因 Q开关速度太慢而严重影响调 Q效果但 I's也不宜过
小,否则很弱的光就能使其透明,工作物质的反转集居数便不能充分积累。
最早出现的被动调 Q激光器以染料为饱和吸收体。对钕玻璃和 YAG等激光器适用的染
料有 BDN、五甲川、十一甲川和蓝色素等,其相应的溶剂有丙酣、氯苯、二氯乙烷等。对
红宝石激光器适用的染料有隐花菁、金属钛菁、钒酞菁、氯铝铁菁、镐铁菁、叶绿素 D等,
其相应的溶剂有丙嗣、甲醇、氯苯、硝基苯等。将上述染料掺入透明塑料基质制成的染料
片也可用于被动调 Q。染料浓度及泵浦能量的大小对巨脉冲特性有明显影响。浓度太低或
泵浦能量太大易形成多脉冲输出。浓度太高则会提高激光器阑值。染料调 Q是一种被动式
快开关,使用简单。与脉冲激光器配合可获得峰值功率千兆瓦,脉宽数十纳秒的激光巨脉冲。
其缺点是染料易变质,需经常更换,输出不够稳定。
近年来,发展了系列新型固体饱和吸收材料。适用于 1060nm波段的固体饱和吸收材料
有,Cr3+:YAG,Cr4+:GSGG,Cr4+:GSAG,Cr4+:MgSi04,LiF:F2-(色心材料 )及 GaAs等。将
Cr4+和 Nd3+同时掺入晶体,还可实现自调 Q。
三、调 Q激光器基本理论
1.调 Q激光器的峰值功率
下面我们利用速率方程来分析调 Q激光器的输出峰值功率。虽然实际的 Q开关并非如图
8.3.1所表示的那样能使损耗在一瞬间由 δH降至 δ,而是经历了一段时间后才由 δH降至 δ的,但
为简单起见,在下面的分析中仍将损耗看成是阶跃式突变的。对快开关而言,这一近似是允
许的。
在调 Q激光器中,腔长一般大于工作物质长度,为简单起见,在本节的讨论中假设工作物
质充满谐振腔,即 L =l。在 L >l时,其结果应作修正,但这一差别对我们了解输出峰值功率、
输出能量、脉宽等随激光器参量的变化关系并无妨碍。
在 t=tp时刻,反转集居数密度自 Δni降至 Δnt,而腔内光子数密度达到最大值 Nm,此时输出
功率为最大值 Pm.假定 εF=1,则可写出 t>O(t=0时 Q开关打开 )时三能级系统反转集居数密度
和光子数密度的速率方程为
(8.3.2)
调 Q激光器激光脉冲的持续时间约为几十纳秒,在这样短的时间内自发辐射及泵浦激励
的影响可以忽略不计,因此式 (8.3.2)可简化为
(8.3.3)
(8.3.4)
从式 (8.3.3),(8.3.4)中消去 dt,则得
对上式积分,得
(8.3.5)
当 Δn=Δnt时,dN/dΔn=0,N达到最大值 Nm。由于自发辐射产生的初始光子数密,Ni<<Nm,所
以
(8.3.6)
设工作物质截面积为 S,输出反射镜透射率为 T,另一反射镜透射率为零,则激光器输出峰值
功率 Pm为
(8.3.7)
2.巨脉冲的能量
在三能级系统中,单位体积工作物质每发射一个光子,反转集居数密度 Δn就减少 2。巨脉
冲开始时反转集居数密度为 Δni,熄灭时为 Δnf,所以在巨脉冲持续过程中单位体积工作物质
发射的光子数目为 (Δni -Δnf)/2。设工作物质体积为 V,则腔内巨脉冲能量为
(8.3.8)
式中 Ei=hν21VΔni/2是储藏在工作物质中可以转变为激光的初始能量,称为 "储能 "
Ef=hν21VΔni/2是巨脉冲熄灭以后工作物质中剩余的能量,它将通过自发辐射逐渐消耗。输
出巨脉冲能量为
(8.3.9)
能量利用率 μ描述储能被利用的程度
(8.3.10)
式 (8.3.9)及式 (8.3.110)表明,储能越大,则巨脉冲中能量越献大 ;Δnf/Δni越小，则 μ越高，
下面分析 Δnf/Δni取决于哪些因素。
在巨脉冲衰减阶段,当光子数密度 N衰减至初始值 Ni时,巨脉冲熄灭,此时工作物质中剩余的
反转集居数密度为 Δnf.于是由式 (8.3.5)可得
或
（ 8.3.11）
图 8.3.5(a)是 Δnf/Δni随 Δni/Δnt变化的计算曲线,图 8.3.5(b)为 μ和 Δni/Δnt的关系曲线。由此
图可见 Δni/Δnt增大,则 Δnf/Δni值减小,而能量利用率 μ却随之增大。当 Δnf/Δni>2.5时,μ超过
90%。
图 8.3.5剩余反转集居数密度及能量利用率和
初始反转集居数密度的关系
(a)巨脉冲熄灭时反转集居数密度与初始反转集居数密度的关系 ;
(b)能量利用率与初始反转集居数密度的关系。
3.巨脉冲的时间特性
在脉冲形成过程中,设腔内光子数密度 N由 Nm/2上升至 Nm所需的时间为 Δηr,由 Nm下降至
Nm/2所需的时间为 Δηr,则巨脉冲宽度定义为
见图 8.3.6。下面讨论脉冲宽度的估算方法。
对式 (8.3.4)积分,得
将式 (8.3.5)代入,得
(8.3.12)
上式表示 Δn和 t的函数关系,由于 N和 Δn存在
着由式 (8.3.5)表示的函数关系,所以上式也
间接地表示了 N和 t的函数关系，可以由它求
出脉冲宽度 Δt。
设 N=Nm/2时,反转集居数密度为 Δnr和
Δne(见图 8.3.6),它们的值可由式 (8.3.5)求出。
再利用式 (8.3.12),并考虑到 Ni<<Nm,则可求
出 Δtr及 Δte为 图 8.3.6 Q开关过程中反
从上式不能得出 Δtr及 Δte的解析表达式,但根据已给
的初始值 Δni/Δnt,可以求得 Δ tr及 Δte的数值解。由数值
解可知,
(1)当 Δni/Δnt增大时,脉冲的前沿和后沿同时变窄,相过程中反对地说,前沿变窄更显著。
这是因为 Δni/Δnt越大,则腔内净增益系数越大,腔内光子数的增长及反转集居数的衰减就越
迅密度随时间的变化速,因此脉冲的建立及熄灭过程也就越短。
(2)脉冲宽度正比于光子寿命 ηR,而 ηR又和腔长 L成正比,所以为了获得窄的脉冲,腔长不宜
过长,输出损耗也不宜太小。
设红宝石调。激光器腔长 L =15cm,腔的等效单程反射率 r=0.77,腔内单程净损耗 a/2=0.2,
则可计算出腔内光子寿命
实际测出的脉冲宽度往往比计算结果大得多,而峰值功率往往比计算值小,其原因首先
是我们在以上分析过程中假设反转集居数密度是均匀的。实际上,由于光泵系统的聚光作
用,工作物质的激励是非均匀的,中心处反转集居数密度较大,离中心越远,反转集居数密度
越小。因此工作物质不同部分的脉冲建立时间不同,中心处脉冲建立较快。输出脉冲是由
中心到边缘的许多脉冲的叠加,因而脉宽加大。由于脉冲能量分散在较宽的时间范围内,所
以峰值功率也比理想情况低。其次,实际的调 Q激光器损耗的变化并不是瞬时完成而需要一
定的时间,Q开关动作的快慢会影响巨脉冲宽度及峰值功率。
在以上分析过程中,我们假定工作物质属于三能级系统,所以有关系式 (8.3.4)。常用的
Nd:YAG和钕玻璃调 Q激光器属于四能级系统。但由于调 Q巨脉冲宽度很窄,在巨脉冲发生过
程中从激光上能级跳到激光下能级的粒子并不能立即从下能级消失,因而不能认为激光下
能级为空能级。故在调 Q器件中,Nd:YAG和钕玻璃的行为偏离理想的四能级系统，而接近
三能级系统。
四、脉冲透射式调 Q(腔倒空 )
以上讨论的 Q调制方式属于工作物质储能调 Q,即在低 Q值状态下激光工作物质的上能
级积累粒子,当 Q值突然升高时形成巨脉冲振荡,同时输出光脉冲,如图 8.3.7(a)所示,上述方
式称作脉冲反射式调 Q。由于振荡和输出同时进行,脉宽取决于激光增长和衰减过程,光束
需要在腔内往返若干次才能完成衰减过程,所以脉宽达数十纳秒,
图 8.3.7脉冲反射式与脉冲透射式调 Q过程示
意图 (a)脉冲反射式调 Q;(b)脉冲透射
式调 Q;(c)脉冲反射一透射式调 Q。
图 8.3.7(b)示出另一种谐振腔储能调 Q过程。谐振腔由全反射镜 M1和可控反射镜 M2组
成 o。 t<0时,M2镜全反射,谐振腔处于高 Q值状态,激光器振荡但无输出。激光能量储存于谐
振腔中。 t=0时,控制 M2镜使其透射率达 100%,储存于腔内的激光能量迅速逸出腔外,于是
输出一巨脉冲。这种调 Q方式称作脉冲透射式调 Q或腔倒空,由于这种调 Q方式是在全透射
情况下输出光脉冲,光子逸出谐振腔所需最长时间为 2L'/c(L'为谐振腔光程长 ),所以输出光脉
冲持续时间约等于 2L'/c,脉宽仅为数纳秒,
为了提高输出峰值功率,可将这两种调 Q方式结合,其过程如图 8.3.7(c)所示 0图 8.3.8为
此种调 Q激光器的实例。谐振腔中两个格兰棱镜取相同的偏振方向,当电光晶体所加纵向电
压 V=0时,腔内光束可经格兰棱镜 2透射至腔外,谐振腔处于低 Q状态,在泵浦光激励下,YAG的
高能级不断积累粒子。若突然在电光晶体上加上半波电压 Vλ/2(当所加电压使电光晶体中沿
两个感应主轴元 '如 '方向的偏振分量经晶体后产生 π相位延迟时,称作半波电压 ),则偏振光经
晶体后因偏振面旋转了 π/2而被格兰棱镜 2反射至全反射镜,形成高。值谐振腔。于是在腔
内形成巨脉冲激光,但不能输出腔外。若在腔内激光光强达最大值时突然去除晶体上的电
压,则腔内激光能量在 2L/c持续时间内经格兰棱镜透射腔外。
图 8.3.8 脉冲透射式调 Q激光器
7.4 注入锁定
弱信号注入一自由运转的振荡器中所产生的注入锁定现象不仅存在于机械、电于系统
中,问样存在于激光系统中。利用这一现象,可以用一束弱的、性能优良的激兀束空制一个
强激光器输出光束的光谱特性、模式相位特性及空间特性。此外,在激光的测量和应用中,
注入锁定也有不可忽视的影响。
注入锁定现象可分为两类,① 连续激光器的注入锁定,在一连续激光振荡器中注入一弱
的单色激光信号,若注入光信号频率 ν1足够接近激光器的自由振荡频率 ν,则激光振荡可完全
为注入信号控制,激光器振荡模式的频率跃变为 ν1,相位与注入信号同步。②脉冲激光器的
注入锁定,在调 Q或增益开关激光器启动过程中注人一弱信号,可使频率与注入信号频率最
接近的模式优先起振,其他模式被抑制,实际上激光振荡并未被注入信号真正锁定,激光频率
仍为激光器自由振荡的频率。
注入锁定过程涉及电磁场的相位,因而严格的理论处理应采用半经典理论。本节仅从基
本物理图像出发揭示以上现象的实质并介绍其在激光技术中的实际意义,但不作严格的理
论处理。
一、连续激光器的注入锁定
连续激光器振荡模的频率为 ν(角频率为 ω),输出光强为 I0。若注入一频率为 ν1(角频率为
ω1)、光强为 I1的弱信号,则输出光频率跳变为 ν1,如图 8.4.1所示。下面我们将阐述产生这一
注入锁定现象的物理过程。
对于注入信号而言,激光器相当于一个在增益介质两端置有两面反射镜的再生放大器,如
图 8.4.2(a)所示,图中反射镜的反射率为 r。若以 ε1(t),εc(t)及 ε'1(t)分别表示再生放大器的人
射光、腔内左镜端右向行波和输出光的电场,则由边界条件可得
式中 g(ν1),α和 L分别为增益介质的增益系数、损耗系
数和长度 ;k1=ω1ε/c,ε为增益介质折射率。由以上二
式求出 ε?1(t)并考虑发生注入锁定现象时 ω1与 ω十分接
近的特点,再生放大器的输出光强
(a)再生放大器
(8.4.1)
当激光器稳定工作时
所以,若注入光角频率 ω1等于激光器振荡模角频率 ω,则 I'1→ ∞。再生放大器输出光强
I'1随注入光角频率 ω1变化的曲线如图 8.4.2(b)所示。当 ω1接近 ω时,再生放大器的
输出光强 I'1可超过激光器的自由振荡输出光强 I0。这意味着注人光在激光器内急剧增
强,在与激光器自由振荡模争夺高能级粒子的过程中具有优势,结果角频率为 ω的自由
振荡模式被抑制,输出光角频率锁定于 ω1。激光器的自由振荡模是由自发辐射噪声增长
形成的,而角频率为 ω1的光波则是由注入信号增长形成的,注入信号强度远远超过自发
辐射噪声,这是它在竞争过程中占优势的原因。
注入锁定的条件是
由式 (8.4.1)可得
当 r≈1时，注入锁定角频率范围
(b)输出光强一频率特性
(8.4.2)
式中 Δωc为无源腔线宽。由式 (8.4.2)可见,
注入信号越强,锁定频率范围越大。
在锁定区内,激光器输出光频率为 ω1.当 ω1
接近 ω时,输出光强是否会像图 8.4.2(b)所示曲线
那样无限增强呢?该曲线是在单程增益与单程损耗
相等的情况下获得的。事实上,由于增益饱和效应,
当输出光强超过 I。时,单程增益变得小于单程损耗,因此光强不可能无限增长。下面我们由
稳定工作时能量平衡条件来估算注入锁定时的输出光强。稳定工作时单位时间内腔内光能
损耗应等于注入光能,因而有
(8.4.3)
式中 A为光束截面积 ;T为反射镜透过率。由上式可得
假设工作物质具有均匀加宽线型,并且 ν1≈ν≈ν。,则
(8.4.4)
无光注入时激光器的输出光强
(8.4.5)
由式 (8.4.3),(8.4.4)及式 (8.4.5)并考虑到注入信号很弱的条件,可得注入锁定时激光器输
出光强
二、脉冲激光器的注入锁定
若在调 Q或增益开关激光器启动过程中注入一频率为 ν1(ω1)的弱信号,虽然它不足以真
正地锁定高增益激光器的自由振荡模式,但它在再生放大器中往返传输并不断增强的过程
中发生快速相移,其角频率由 ω1迅速变为最邻近的激光器模式的角频率 ω。于是,角频率为 ω
的邻模在注入信号的基础上增长,而其他模式却在弱得多的自发辐射噪声的基础上增长。
因此在巨脉冲形成过程中,角频率为 ω的模式占绝对优势,激光器输出一个角频率为 ω的巨脉
冲。在上述过程中,注入信号犹如一颗种子,所以常将这种注入锁定方式称作注入种子。
下面分析上述快速相移过程是如何形成的。我们用一复向量 (参见图 8.4.3)来描述光波
电场。任一角频率 ω的电场,均可表示为
若 ω=ω1,则
若 ω=ω1-Δω,则
图 8.4.3 光波电场的复向量
描述图
电场 ε(t)为以角频率 ω1在复平面上反时针旋转的复向
量 E(t)在实轴上的投影。现在在一个以角频率 ω1反时针
旋转的参考平面上考察复向量 E(t)。可以想象,若 ω=ω1,
则 E(t)不转动 ;若 ω=ω1-Δω,则 E(t)以角频率 Δω在参考平
面上顺时针转动 ;若 ω=ω1+Δω,则 E(t)以角频率 Δω反时
针转动。
为了图示清晰起见,下面讨论一环行脉冲激光器的注
入锁定过程,这一分析方法对直腔激光器同样适用。图 8.4.4示出一个腔长为 L的环行激光器
(假设工作物质长度等于腔长 ),注入弱信号的角频率为 ω1,与 ω1最接近的自由振荡模式的角
频率是 ω,ω=ω1-Δω。在 M1镜处,腔内行波场由注入腔内的光波场和 M1镜的反射光波场组
成。腔内行波场的复向量
(8.4.7)
式中 Ein(t)和 Er(t)分别为注入腔内的光波场和 M1镜反射光波场的复向量。反射光波电场
式中 T。是光在环行腔中传输一周所需的时间。由上式可得
(8.4.6)
由式 (8.4.7)可知,由于 ω1≠ω,行波场传播一周后复向量相位延迟了 ΔωT。由式 (8.4.6)及式
(8.4.7)得到稳定工作情况下腔内诸光波场复向量的关系图,如图 8.4.5所示
图 8.4.5 M1镜处腔内行波场、注入光波场及反射光波
场在转动参考平面上的电场复向量关系图
现在,我们来考虑一个在 t =0时刻启动的调 Q或增益开关激光器。在 Q开关或增益开关
启动之前,激光器尚未起振时注入一个角频率为 ω1的弱信号,在 M1镜处的腔内复向量为 Ein。
对注入光来说,此激光器相当于一个再生放大器。光在腔中传输若干次后,形成稳定状态,M1
镜处腔内行波场、反射光波场及注入光波的电场复向量的关系如图 8.4.6(a)所示。在 t =0
时刻 Q开关或增益开关启动,使得 gL-δ〉 0,因此行波场在腔内传输一周后振幅增加,M1镜处
反射光波场复向量 Erl>Er0,M1镜处行波场变为 Ec1,如图 8.4.6(b)所示。
图 8.4.6 Q开关或增益开关启动后复向量的变化
(a)t =0; (b)t =T。 ; (c)t =2T。
与 Ec0相比,Ec1落后一个相角。此过程继续下去，经 N个周期后,ErN>>Ein,EcN与 ErN间的夹
角极小,可近似地认为 EcN较 EcN-1落后了相角 ΔωT。，由此可见,在 Q开关或增益开关启动后,
当注入信号在腔内传输了若干周期后,复向量 Ec(t)以 角频率 Δω在参考平面上顺时针旋转,而参
考平面本身又在复平面上以角频率 ω1反时针旋转。其结果是复向量 Ec(t)以 (ω1-Δω)角频率
在复平面上反时针旋转,同时幅度不断增长,腔内光却场的角频率由开始时的 ω1转变为 ω。
于是角频率为 ω的邻模在 Ec0的基础上增长,而主他模却要在微弱的自发辐射基础上逐渐增
长。只要立 Ec0的幅度超过放大的自发辐射对一个模的贡献,则角频率为 ω的模占绝对优势,
因此激光器输出一个角频率为 ω的单模巨脉冲。如果脉冲持续时间过长,其他模式也会增长
到足够的强度,角频率为 ω的模的优势随之丧失,所以在连续激光器中,这种注入种子工作方
式不可能发生。
三、注入锁定的实际意义
高功率或动态调制激光器往往线宽较宽、频率不稳定或多模运行。利用注入锁定,可由
一个功率较小、但窄线宽、单模运转、频率稳定的激光器来控制一个高功率或动态调治激
光器的光束质量。与可达到同样目的的光放大技术相比,具有功率转换效率高、装置小等
优点。注入锁定不仅能影响激光器的频域特性,也可用于控制激光器模式的相位特性或空
间特性。例如调 Q激光器的诸纵模相位随机变化,若以一低功率的锁模激光器输出光注入调
Q激光器,则调 Q激光器的诸纵模相位锁定,从而输出锁模超短光脉冲。由于调 Q激光器具有
极高的净增益,其输出超短光脉冲具有极高的峰值功率。
半导体激光器列阵可以得到较大的输出功率,但如果各个激光器的模式相位元确定关系,
则输出光空间相干性很差,远场图像宽且不稳定。采用减小各激光器条形间距造成消失场
藕合、在镜端设置共同区造成衍射祸合或外腔反馈等方法使各个激光器的模场相互娟合可
使各激光器的模式相位锁定。这种锁相列阵可产生空间相干性好、发散角小的高功率激光
束。
测量系统或应用系统中光学元件的后向散射对激光器而言是一个注入信号,散射表面的
运动或空气流的扰动会改变后向散射信号的相位和频率,这一注入信号会导致激光器频率
不稳定。因此在某些场合需采取插入光隔离器或在光学元件表面镀增透模等措施减小后向
散射的影响。
环行激光器中存在着顺时针和反时针旋转的两柬激光,其角频率分别为 ω1和 ω2。
环行腔静止时 ω1=ω2。如果环行腔以角速度 Ω转动,则 |ω2-ω1|∝ Ω。测出两束光的
拍频就可得知转动角速度 Ω,这就是激光陀螺的工作原理。但是实验证明激光陀螺存在
着闭锁区,即当 Ω很小时,拍频消失。后向散射光的注入锁定是造成闭锁区的原因。角
频率为 ω1的顺时针旋转光的后向散射注入反时针旋转的光束中,若 |ω2-ω1|<Δω/2,
形成注入锁定,反时针旋转的激光角频率由 ω2跳变为 ω1,因而拍频消失。
由以上例子可说明注入锁定现象是客观存在的,人们可以利用这一现象去控制和改善
激光器的特性,但在某些场合,它也会造成有害后果,因而要设法避免。
8.5 锁模
8.3讨论了用调 Q技术压缩激光脉冲宽度以获得高功率脉冲的方法。调 Q脉冲宽度的下
限约为 L/C的数量级,对一般激光器,其值约为 10-9s。为了得到更窄的脉冲,可以利用锁模技
术对激光束进行特殊的调制,使光束中不同的振荡纵模具有确定的相位关系,从而使各个模
式相干叠加得到超短脉冲。锁模激光脉冲宽度可达 10-11~10-14s,相应的具有很高的峰值功
率。本节仅对锁模激光器工作原理作简单介绍。
一、锁模原理
一般非均匀加宽激光器,如果不采取特殊选模措施,总是得到多纵模输出。并且,由于空
间烧孔效应,均匀加宽激光器的输出也往往具有多个纵模。每个纵模输出的电场分量可用
下式表示,
(8.5.1)
Eq,ωq,Фq为第 q个模式的振幅、角频率及初位相。各个模式的振幅 Eq、初位 Фq均无确定
关系,各个模式互不相干,因而激光输出是它们的无规叠加的结果,输出强度随时间无规则起
伏。但如果使各振荡模式的频率间隔保持一定,并具有确定的相位关系,则激光器将输出一
列时间间隔一定的超短脉冲。这种激光器称为锁模激光器。
下面首先分析一种特殊情况。假设只有相邻纵模振荡,它们的角频率差
(8.5.2)
它们的初位相始终相等,并有 Фq=Фq-1==0。为分析简单起见,假设二模振幅相等,二摸的行
波光强 Iq=Iq-1=I.
现在来讨论在激光束的某一位置 (设为 z =0)处激光场随时间的变化规律。不难看出,在
t =0时,二纵模的电场均为最大值,合成行波光强是二模振幅和的平方。由于二模初位相固
定不变,所以每经过一定的时间 T。后,相邻模相位差便增加了 2π，即
(8.5.3)
因此当 t =mT。时 (m为正整数 ),二模式电场又一次同时达到最大值,再一次发生二模间的干
涉增强。于是产生了具有一定时间间隔的一列脉冲,脉冲峰值光强为 4I,由式 (8.6.3)可求出
脉冲周期为
如果二纵模初位相随机变化,则在 z =0处,合成行波光强在 2I附近无规涨落。
下面我们对一般情况进行分析。设腔内有 q=-N,-(N-1),…,0,…,(N-1)N等 (2N+1)个模式
振荡。如果相邻模式的初位相之差保持一定 (称为相位锁定 ),即
在忽略频率牵引和频率推斥 (见第 7章 )时,相邻模式角频率之差为 Ω=πc/L',ωq=ω0+qΩ。在 z
=0处,第 q个模式的电场强度为
(2N+1)个模式合成之电场强度
设各模式的振幅相等,Eq=E0,则
(8.5.4)
利用三角级数求和公式,可得
(8.5.5)
(8.5.6)
上式表明 (2N+1)个模式的合成电场的频率为 w。,振幅 A(t)随时间而变化,输出光强
(8.5.7)
图 8.5.1为 (2N+1)=7时 I(t)随时间变化的示意图。
当 (Ωt+β)=2mπ时 (m =0,1,2,… ),光强最大。最大光强 (脉冲峰值光强 )Im为
(8.5.8)
如果各模式相位未被锁定,则各模式是不相干的,输出功率为各模功率之和,即
I∝ (2N+1)E02。由此可见,锁模后脉冲峰值功率比未锁模时提高了 (2N+1)倍。腔长越长,
荧光线宽越大,则腔内振荡的纵模数目越多,锁模脉冲的峰值功率就越大。
图 8.5.1(2N+1)=7时 I(t)随时间变化示意图
(a)(2N+1)个纵模电场强度波形图 ;(b)锁模脉冲。
相邻脉冲峰值间的时间间隔为 T。,由式 (8.5.7)可求出
(8.5.9)
可见锁模脉冲的周期 T。等于光在腔内来回一次所需的时间。因此,我们可以把锁模激光器
的工作过程形象地看作有一个脉冲在腔内往返运动,每当此脉冲行进到输出反射镜时,便有
一个锁模脉冲输出。
由式 (8.5.7)可以看出,脉冲峰值与第一个光强为零的谷值间的时间间隔为
(8.5.10)
脉冲的半功率点的时间间隔近似地等于 η,因而可以认为脉冲宽度等于 η。式 (8.5.10)中 Δν为
锁模激光的带宽,它显然不可能超过工作物质的增益带宽,这就给锁模激光脉冲带来一定的
限制。气体激光器谱线宽度较小,其锁模脉冲宽度约为纳秒量级。固体激光器谱线宽度较
大,在适当的条件下可得到脉冲宽度为 10-12s量级的皮秒脉冲。特别是钕玻璃激光器的振荡
谱宽达 25~35nm,其锁模脉冲宽度可达 10-13S。表 8.1列出几种典型锁模激光器的脉冲宽度。
表 8.1典型锁模激光器的脉冲宽度
综上所述,由于各纵模的相位锁定,锁模激光器可以输出一周期 T。 =2L'/c的光脉冲序列。
峰值功率较未锁定时大 (2N+1)倍,一般峰值功率达到几千兆瓦是不困难的。光脉冲的宽度
η=1/Δν远远小于调 Q脉冲所能达到的宽度。
二、实现锁模的方法
在一般激光器中,各纵模振荡互不相关,各纵模相位没有确定的关系。并且,由于频率牵
引和频率推斥效应,相邻纵模的频率间隔并不严格相等。因此为了得到锁模超短脉冲,须采
取措施强制各纵模初位相保持确定关系,并使相邻模频率间隔相等。目前采用的锁模方法
可分为主动锁模与被动锁模两类。
1.主动锁模
主动锁模又可分为振幅调制锁模和相位调制锁模。
(1)振幅调制锁模
调制激光工作物质的增益或腔内损耗,均可使激光振幅得到调制,如果调制频率
f=c/2L'(角频率 Ω=πc/L'),可实现锁模。
图 8.5.2中损耗调制器 M为一电光调制器或声光调制器,加以适当的调制电压,使腔的损
耗发生角频率为 Ω的周期性变化 (Ω=πc/L')。由于损耗的改变,每个模式的振幅也发生周期
性变化。如果激光器中增益曲线中心频率处的纵模首先振荡,其电场强度为
图 8.5.2 幅度调制锁模激光器示意图
令 Em/E0=Ma,称调幅系数,它的大小决定于调制信号的大小。 E0(t)可改写为
将上式展开,可得
(8.5.11)
可见,调制的结果使中心纵模振荡不仅包含原有角频率 ω。的成分,还含有角频率为
(ω0土 Ω),初位相不变的两个边带,其频谱如图 8.5.3所示。边带的频率正好等于无源腔中的
邻模频率。这就是说,在激光器中,一旦在增益曲线的某个角频率 ωo形成振荡,将同时激起两
个相邻模式的振荡。并且,这两个相邻模幅度调制的结果又将产生新的边频,因而激起角频
率为 (ω0± 2Ω)模式的振荡,如此继续下去,直至线宽范围内的纵模均被耦合而产生振荡为止。
图 8.5.3 调幅后的纵模频谱
由于实际激光器为有源腔,有源腔中存在着频率牵引和频率推斥效应,所以自由振荡的
各纵模频率和调制后产生的诸边带频率有一微小的差别,自由振荡的相邻纵模间隔不相等,
诸模式的初位相也没有确定的关系。但当二者的频率差别十分微小,边带振幅足够强时,发
生注入锁定效应,自由振荡模被抑制,或者说自由振荡模被中心纵模的诸边带所俘获。
由以上分析可知,由于调幅产生的相邻纵模间的能量藕合使所有纵模都具有相同的初位
相,即各纵模的相位被锁定,且相邻纵模角频率间隔均等于 Ω,于是各纵模相干叠加的结果产
生超短脉冲,
我们还可以从另一角度来理解超短脉冲的形成。由于损耗调制的频率正好是 c/2L',损耗
调制的周期正好是脉冲在腔内往返一次所需的时间 T。 (T。 =2L'/c)。因而调制器的损耗 γ(t)
是一周期为 T。的函数
设光信号在 t1时刻通过调制器,并且 γ(t1)=0,则在 (t1+T。 )时刻此信号将再次无损地通过调
制器。对于 t2时刻通过调制器的光信号而言,若 γ(t2)≠0,则每次经过调制器时都要损失一部
分能量。这就意味着只有在损耗为零的时刻通过调制器的那部分光信号能形成振荡,而光
信号的其余部分因损耗大而被抑制,因此形成周期为 2L‘/c的窄脉冲输出。
在非均匀加宽激光器中,如果腔长足够长,一般总是多纵模工作的,但各个纵模间没有确
定的相位关系,锁模的作用只是使各纵模具有确定的相位关系。而在均匀加宽激光器中,如
果不存在空间烧孔效应,通常只有一个纵模振荡,但实验说明,这类激光器也同样可产生超短
脉冲。这种现象的原因是,当施加各种锁模手段后,ω。模将产生一系列的边频,高增益模的
能量不断传递给低增益模,因而可产生多个模式。振幅调制一方面促使多个模式振荡,同时
使其相位锁定,从而产生超短脉冲。
(2)相位调制锁模
相位调制又称频率调制。在激光器谐振腔内插入一电光晶体,利用晶体折射率 ε随外加
电压的变化,产生相位调制。相位调制函数的形式是
其中 δФ代表相位调制的幅度。纵模电场经调制器后变为
其振荡角频率变为
上式表明,除了在相位调制函数极值时通过调制器的那部分光信号不产生频移外,其他时刻
通过调制器的光信号均经受不同程度的频移。如果调制相位的周期与光在腔内运行的周期
一致,则经受频移的光信号每经过调制器一次都要再次经受频移,最后因移出增益曲线以外
而猝灭。只有那些在相位调制函数极值时通过调制器的光信号才能形成振荡,因而产生超
短光脉冲序列。
图 8.5.4为上述过程的示意图,它给出了锁模脉冲
与调制信号变化的关系。由图可见,对应于调制信号
的两个极值,有两个完全无关的超短脉冲序列,分别以
实线和虚线表示。这两列脉冲出现的几率相同。激
光器通常工作在一个系列上,但器件的微小扰动会
使锁模激光器输出从一个系列跃变到另一个系列。
为了避免这种跃变,可将原有调制信号及其倍频信号
同时施于电光调制晶体,造成相位调制函数的不对称
性,从而使一列脉冲优先运行。
图 8.5.4 相位调制锁模原理示意图
相位调制的光波和幅度调制光波类似,也存
在一系列边带,相位调制时诸纵模锁定的物理机
制与幅度调制时相似,
2.被动锁模
在谐振腔中插入一薄层饱和吸收体 (如染料盒 )可构成被动锁模激光器。饱和吸收体的
透过率与光强有关,如图 8.3.5所示。在自发辐射基础上发展起来的光信号不可避免地存在
强度起伏。经过饱和吸收体时,弱信号遭受较大的损耗,而强的尖峰信号却衰减很小。如果
吸收体的吸收高能级寿命 η<<2L'/c,则在强尖峰光脉冲通过后,透过率很快下降,后继通过的
弱光仍经受很大的损耗。并且由于激光工作物质的纵向弛豫时间 T1>>2L'/c,强尖峰光脉冲
和弱光信号经受着相同的增益和相差悬殊的损耗,其结果是强光脉冲形成稳定振荡,而弱光
信号衰减殆尽。同时,在强尖峰光脉冲多次经过饱和吸收体时,其前后沿又因经受较大损耗
而不断削弱,所以形成了周期 T。 =2L'/c的超短光脉冲序列。
由以上分析可知,被动锁模过程自发完成,元需外加调制信号,这种锁模方法虽然简单,但
却很不稳定,锁模发生率仅为 60%~70%。近年来发展起来的碰撞被动锁模却相当稳定,它
可产生飞秒量级的超短光脉冲。碰撞锁模激光器的原理图如图 8.5.5所示,在环形激光谐振
腔内放置增益工作物质和可饱和吸收介质,它们之间的距离严格调整到环形腔周长的 1/4。
相向传播的两个脉冲在吸收体中对撞,相干叠加后产生瞬态驻波,如图 8.5.6所示。在驻波的
波腹处,光强是行波脉冲的 4倍,它导致吸收体的深度饱和,光信号损耗很小。在波节处,光强
很弱,吸收体虽未充分饱和,但实际损耗很小。总之,由于脉冲相撞主吸收体内形成的空间光
栅使饱和吸收更为有效,因而锁模过程稳定,产生的超短光年冲豆宁?增羊工作物质和可饱和
吸收体的距离为环腔总长的 M可保证两列光脉冲相均达增益工作物质的时间间隔相等以得
到相等程度的放大,因而具有相同的强度,在吸收体中相碰时形成的光栅具有最大的反差。
图 8.5.5 碰撞锁模激光器示意图因 图 8.5.6 两脉冲对撞形成空间光栅
三、均匀加宽激光器主动锁模自治理论
前面曾在应腔有 (2N+1)个相位锁定的等幅模振荡时,得出锁模超短脉冲的形状和脉冲
主度。,但这种分析是十分粗糙的,例如实际激光器的诸模式振幅并不相等,而是和增曲线的
形状有关的,振荡诸模式的相位也不一定全部锁定。由于目前常用的锁模激光器不全是固
件锁模激光器、半导体锁模激光器和染料锁模激光器,它们的荧光谱线均属均均加宽,因此
下面以幅度调制锁模为例介绍一种适用于均匀加宽情况的理论处理方法。对相位调制锁模,
处理方法完全类似。这一处理方法的要点是,假设有一短脉冲在腔内传播，经过激光主作
物质、损耗调制器及反射镜反射往返一次后应正好等于其自身。由此自洽条件出发,可求
出超短脉冲的解析表示式。
根据对许多主动锁模激光器输出脉冲波形的测量,可假设光脉冲是高斯形,图 8.5.2中某
一参考平面上行波超短光脉冲电场强度可表示为
(8.5.12)
式中
(8.5.13)
α与 β为待定常数。由式 (8.5.12)的傅里叶变换可得出脉冲的频谱分布,
(8.5.14)
当脉冲两次经过长度为 l的增益物质并从反射镜 1反射后 (反射率为 r1),由 E1(t)变为 E2(t),E1(ω)
变为 E2(ω)。在小信号情况下
(8.5.15)
式中
由式 (8.5.15)的傅里叶变换可得
损耗调制器为一电光晶体,其上加一调制电压 VmsinΩt,并且 Ω=πc/L',因此损耗调制器的透
射率作角频率为 Ω的周期变化,透射率峰值的时间间隔为 2L'/c,正好等于脉冲在腔内往返一
次所需的时间。光脉冲通过损耗调制器的透射率 T(t)为
式中 Vπ为电光晶体的半波电压 ;δ1=πVm/2Vπ。由于脉冲总是在透射率峰值附近的时刻通过
调制器,此时 sin(Ωt/2)≈Ωt/2<<1,所以
(8.5.16)
脉冲经反射镜 2反射并两次通过损耗调制器后,E2(t)变为 E3(t)
(8.5.17)
自治条件要求
E1(t)=E2(t)
因此由式 (8.5.12)及式 (8.5.17),可求出
(8.5.18)
假设
(8.5.19)
则 (8.5.18)式可近似为
由上式可求出
(8.5.20)
式中 Δvq为相邻模式频率间隔,2πΔvq=Ω.由上式可知 b为实数,式 (8.5.13)中
a=b
β=0
由式 (8.5.12),(8.5.13)可得超短脉冲光强为
t=0时,光强最大,如果 t =t1时,I(t1)=I(0)/2,则光脉冲宽度为
(8.5.21)
由式 (8.5.14)可求出脉冲谱宽
理想的幅度调制主动锁模激光器输出脉冲的脉宽与谱宽之积为
相位调制主动锁模的理论处理过程与上述过程类似,但可求出 β=+α,β≠0意味着光脉冲的频
率随时间作线性变化,这一现象称为频率周秋。理想的相位调制锁模激光器输出脉冲的脉
宽与谱宽之积为
第九章 激光器件
9.1 固体激光器
一般固体激光器是指没有调 Q、倍频、锁模等特殊功能的固体激光器,它是固体激光器
的最基本组成形式。本章重点讨论固体激光器的共同部分,即讨论固体工作物质、泵浦系
统、冷却与滤光以及连续和长脉冲固体激光器的阙值、激光输出能量 (功率 )和效率。在泵
浦系统中着重讨论当前最常用的灯泵浦系统和时可国内外重点发展的激光二极管泵浦系统。
9.1.1固体激光器的能量转换环节
固体激光器除了 Q开关、倍频晶体等特殊部件外,基本上都是由工作物质、泵浦系统、
谐振腔和冷却滤光系统四个主要部分组成。图 1才是疝灯泵浦长脉冲固体激光器的基本结
构示意图 (冷却、滤光系统未画出 )。灯泵浦的固体激光器的能量转换过程如图 9-1所示。
图 9-1灯泵浦固体撒光器能量转换关系
εL为灯在工作物质吸收带内的有效电光转换效率,简称灯的有效辐射效率。输入到灯上
的电能一部分转的册,一部分由电路、灯电极和灯管发热损失掉。灯辐射的是续谱,处
于工作物质吸收带内的有效光谱只占一小部分,因此 εL很低约为 15%。的灯的种类、技术
参数和使用情况有关 (详见本章 9-3)。
εc为聚光器的聚光效率。泵灯发出的光能只有一部分被会聚到工作物质上，其余部分有冷
却和滤光系统吸收，从聚光器中逃逸,聚光器吸收发热等损失掉。它与聚光器的类型，聚
光器内表面发射情况，泵灯与工作物质尺寸匹配情况，冷却和滤光方式有关。 εc约 80%。
εab为工作物质中激活离子的吸收效率。会聚到工作物质上的光能，只有一部分被激活
离子截获吸收，其余部分损失与工作物质杂质吸收发热，或未被工作物质截获。 εab与工
作物质的直径，长度，激活离子浓度，激活离子吸收光谱等因素 有关。 εab约为 90%。
εtr为谐振腔内激光能的转换效率。激活离子吸收的光能还必须克服以下损失才能产
生谐振腔内的激光能量：其一，高能级上的粒子数还有一部分通过非辐射跃迁到激光上
能级，这里有粒子转换造成的损耗，用量子效率 ε1表示，还有粒子能级能量变化造成的
频率损失，用 ν21/νa表示（ ν21为激光频率,νa为激活离子吸收的泵浦光的频率。）；
其二，跃迁到激光上能级上的粒子数，只有超过阀值的部分才能产生腔内激光，称为阀值
损失。影响 εtr 的重要因数是：工作物质类型及损耗；谐振腔的类型及损耗；泵浦光能的
大小（影响超阀度）。 εtr约为 50%。
εcou为激光能量输出的偶合效率。谐振腔内的激光能，一部分用于输出，一部分用于
损耗。输出部分所占的比重为 T/(T+ac)(T为透过率,ac为光在腔内往返一次的损耗 )。
εcou与透过率和腔内耗损有关。设 εcou︾ 50%。
激光器的总的转换效率为,εtot=εLεcεabεtrεcou=0.15*0.8*0.9*0.5*0.5=2.7%。
由上可见，灯泵固体激光器的能量转换环节多，效率低（只有百分之几），因此设计，
制造，调整激光器时，对每个环节都必须充分注意
9.2.2 固体工作物质
能实现激光振荡的固体工作物质多达数百种,激光谱线多达数千条。本节从使用观点出
发,重点介绍红宝石,Nd3+:YAG、钕玻璃三种常用的工作物质,简略的介绍其它常用的工作
物质。
一、红宝石晶体
红宝石的化学表示式为 Cr3+,Al203,其激活离子是三价铅离子 Cr3+,基质是刚玉晶体 (化
学成分是 A12O3)。红宝石属六方晶系,是无色透明的负单轴晶体。
红宝石是在 Al2O3中掺入适量的 Cr3+,使 Cr3+部分地取代 Al3+而成。掺入 Cr2O3的最佳量
一般在 0.05%(重量比 )左右,相应的 Cr3+密度为 ntot=1.58x1019cm-3。
晶体的生长方向大致有三种,生长轴与光轴 C平行的叫 0o。红宝石,生长轴与光轴 C相垂
直的为 90o.红宝石,此外还有 60o。红宝石等。
红宝石的光谱特性主要取决于 Cr3+。原子 Cr的外层电子组态为 3d54s1,掺入 Al2O3后失去
外层三个电子成为三价铬离子 Cr3+,cr3+的最外层电子组态为 3d3。红宝石的光谱特性就是
Cr3+的 3d壳层上三个电子发生跃迁的结果。这三个 d电子完全暴露在最外层,受基质晶格场
的影响很大。 Cr3+在很强的晶格场作用下,其能级发生很大的变化,呈现出极为复杂的能级
分裂和重新组成的情况。通过实验和理论分析,已确定红宝石中 Cr3+的工作能级属三能级系
统。如图 9-2所示。 4A2是基态又是激光下能级,其简并度 g1=4,2E是亚稳态,它是由能量
差为 29cm的 2A和 E二能级组成,其简并度都为 2。 4E1和 4F2是两个吸收能带。红宝石的吸收
光谱如图 9-3所示。由 4A2向 4F1跃迁吸收紫蓝光,峰值波长在 0.41um附近,称为紫带或 U带。
由 4A2向 4F2跃迁吸收黄绿光,峰值波长在 0.55μm附近,称为绿带或 Y带。这是两个很强很宽
的吸收谱带,吸收带宽均约 0.1um左右。由于红宝石晶体的各向异性,它的吸收特性与光的
偏振状态有关。在入射光的振动方向与晶体光轴 C相垂直或平行这两种情况下,其吸收曲线
略有差别,见图 9-3。
图 9.2红宝石中铬离子的能级结构 图 9.3红宝石中铬离子的吸收光谱,
红宝石有两条强荧光谱线 (R1和 R2线 ),分别为 E和 2A能态向 4A2跃迁产生的,室温下对应的
中心波长分别为 0.6943um和 0.6929um。
应指出,红宝石激光器通常只产生 0.6943um的受激辐射。这是因为亚稳态能级 2E分裂
成 2A和 E两能级,跃迁到 2E上的粒子按波尔兹曼分布规律分布于 2A和 E上,2A能级上约占
47%,E能级上约占 53%。这就是说 E能级比 2A能级有更多的粒子数。而且 R1线荧光强度比
R2线高,使得 R1线的受激辐射几率比 R2线高。因此,R1线容易达到阈值而形成激光振荡。同
时,2A和 E相距很近,一旦 E上的粒子跃迁后,2A上的粒子便迅速地 (约 10ns)转移到 E上去,这就
加强了 R1线,而抑制了儿线。在激光脉冲持续时间远大于 10-9s时,亚稳态上的位子均将通过
R1线的受激辐射回到基态,因此可把 E,2A合并起来看成一个简并度 g2=4的能级。
由于红宝石是各向异性晶体,不仅吸收光谱有偏振特性,荧光和激光光谱也有偏振特性。
实验发现,在 60o和 90o红宝石的 R1线中,o光的荧光强度比 e光的强度约高 10倍。因而 o光的
受激辐射比 e光强得多,形成振动方向垂直于主截面的线偏振激光。优质红宝石产生偏振光
的偏振度很高，基本上接近于线偏振光，适于作电光调 Q器件。对于 0o红宝石,激光没有偏
振性。
温度对红宝石的影响十分显著，主要表现在：
(1)温度升高,输出激光的中心波长向长
波方向移动,如图 9.4(a)所示。这是因为温
度升高,晶格场变化加剧,铭离子 Cr3+在此晶
格场影响下能级发生位移,使激光上下能级
E2和 E1之间的距离减小,因而辐射波长增大。
(2)温度升高时,红宝石的荧光谱线变宽,如图
9.4(b)所示。室温下 R1的线宽约 11cm-1
(0.53nm),低温 77K下线宽约 0.15cm-1(7x10-3nm)
(3)红宝石的荧光寿命也是温度的函数。实验
发现,室温时,R1线的荧光寿命约为 3ms,温度降到
100K时,荧光寿命逐渐增大到 4.3ms左右 ;温度再
降低,寿命又开始下降,在很低温度时可减少到
3.7ms左右。
(4)温度升高后,荧光量子效率机下降 ε。低温 (77K)时,
R1线的量子效率 ε。 ≈1,室温 (300K)时约 0.7,当 T=500K时,
ε。下降到 0.1以下,上述红宝石的荧光寿命和量子效率随
温度的变化,是由于 2A和 E两能级上的粒子分布与温度有关,以及由于温度升高后非辐射跃
迁 S21增加的缘故。
(5)由于温度升高引起荧光谱线加宽,量子效率降低,从而导致红宝石的阈值升高,效
率下降,严重时还会引起 "温度猝灭 "(温度升高到一定程度后,激光终止 )。
由于红宝石的性能随温度变化比较明显,在室温情况下不适于作连续和高重频器件。值
得注意的是在低温时,红宝石的性能非常良好 ;例如在低温 77K时,红宝石的激光阙值比室温
下可低两个数量级。同时低温下红宝石的导热性比室温下好得多。因此在低温下可连续输
出。
为了便于查找,将红宝石的一些主要性能列于表 9.1中。为了便于比较,表中也列出了
Nd3+:YAG和钕玻璃的主要性能参数。
表 9.1三种圄体工作物质的主要性能 (室温 )
红宝石突出的缺点是阙值高 (因是三能级 )和性能易随温度变化。但具有很多优点,如,
机械强度高,能承受很高的激光功率密度 ;容易生长成较大尺寸 ;亚稳态寿命长,储能大,可得
到大能量输出 ;荧光谱线较宽,容易获得大能量的单模输出 ;低温性能良好,可得到连续输出 ;
红宝石激光器输出的红光 (0.6943um),不仅能为人眼可见,而且很容易被探测接收 (目前大
多数光电元件和照相乳胶对红光的感应灵敏度较高 )。因此,红宝石仍属一种优良的工作物
质而得到广泛应用。用红宝石制成的大尺寸单脉冲器件输出能量已达上千焦耳。单级调 Q
器件很容易得到几十兆瓦的峰值功率输出 (用这类器件已成功地对载有角反射器的人造卫
星进行了测距试验 )。多级放大器件的输出峰值功率已达数千兆瓦到一万兆瓦。红宝石在
激光发展上是贡献比较大的一种晶体。
二、掺钕钇铝石榴石 (Nd3+:YAG)
Nd3+:YAG的激活离子为 Nd3+,基质是 YAG晶体 (钇铝石榴石晶体 Y3Al5O12的简称 )。 Nd3+
部分取代 YAG中的 Y3+便成为 Nd3+:YAG。一般含 Nd3+量为 1%原子比,此时 Nd3+的密度为
1.38× 1020cm-3,颜色为淡紫色。实际制备时是将一定比例的 A1203,Y2O3和 Nd2O3在单晶炉
中熔化结晶而成。 Nd3+:YAG属立方晶系,是各向同性晶体。
图 9.5 Nd3+:YAG晶体的能级结构
室温下 Nd3+:YAG在近红外区有三条明显的荧光谱线,其中心波长和对应的能级跃迁
线的荧光分支比 (每条谱线的强度与总荧光强度之比 )分别为 0.25,0.60,和 0.14，其中以
1.06μm处的荧光谱线最强。
4F3/2 向 4F9/2跃迂属三能级系统,阈值高 ;只有在低温下才能实现擞光振荡。 4F3/2向 4F1/2和
4F13/2跃迁为四能级系统,阈值低,易实现激光振荡。而 1.06um比 1.35um的荧光约强四倍,
1.06um的谱线先起振,进而抑制 1.35um谱线起振,所以 Nd3+:YAG激光器通常只产生 1.06um
激光。只有采取选频措施，才能实现 1.35um波长的激光振荡。实际上,Nd3+由于受基质
晶格场的影目响向,能级将产生斯塔克分裂,在 1.06附近的能级精细结构及相应的荧光谱线
如图 9.7所示。由图可见,4F3/2分裂成两个子能级,4F11/2分裂成六个子能级,共产生八条荧光
谱线。其中,在室温时以 1.064um的最强，低温（ 77K）时 1.061um的荧光线最强。一般脚
情况下,1.064um的光先起振形成激光 (对应图 9.7中的第 5条谱线 )。按波尔兹曼分布,它的
激光上能级 (11502cm-1)上的粒子数占 4F3/2能级上的总粒子数的 40%,它的激光下能级
(2111cm-1）上的粒子数占 4F11/2上总粒子数的 20%。粒子在激光下能级的寿命为 30ns左右,
因此对于连续激光和长脉冲激光,受激跃迁到下能级的粒子数积存不住,会很快无辐射跃迁
到基态。而调 Q激光器,因其激光脉宽在十几纳秒左右,在这样短的时间内受激跃迁到下能
级上的粒子数来不及全部跃迁到基态,故而不能认为下能级上的粒子数为零。这在分析动
态激光时应当注意。
图 9.7 Nd3+:YAG晶体 30OK时在 1.06um附近的荧光谱线
Nd3+:YAG的光谱特性随温度变化较小,实验发现,当晶体由 4.2K升高到 300K时,吸收光谱
峰值波长移动一般不大于 1nm量级,1.06um附近的荧光线向长波移动约 1nm左右。在室温
或略高于室温的范围内,1.06um处的荧光线宽、荧光寿命和量子效率随温度升高不发
生显著变化。 Nd3+:YAG的某些性能参数列于表 9.1中。
由于 Nd3+:YAG属四能级系统,量子效率高,受激辐射截面大,所以它的阈值比红宝石和敏
玻璃低得多。又由于 Nd3+:YAG晶体具有优良热学性能,因此非常适合制成连续和重频
器件。它是目前能在室温下连续工作的唯一实用的固体工作物质。在中小功率脉冲器件中,
目前应用 Nds3+:YAG的量远远超过其它固体工作物质。 Nd3+:YAG连续器件的最大输出功
率已超过 1000W,每秒 5000次的重复频率器件的峰值功率已达 1KW以上，每秒几十次的重
复频率调 Q器件的峰值功率已达几百兆瓦。 NNd3+:YAG也可用做倍频器件和锁模器件。
三、钕玻璃
继 1960年第一台红宝石激光器问世后,1961年便出现了钕玻璃激光器。钕玻璃是在某
种成分的光学玻璃中掺入适量的 Nd2O3制成的。最佳掺入 Nd2O3量为 1%~5%重量比。对应
3%的掺入量,Nd3+的浓度为 3× 1020/cm3。 Nd3+在硅酸盐、棚酸盐和磷酸盐玻璃系统用得
最多。
玻璃的制备工艺比较成熟,易获得良争好的光学均匀性,玻璃的形状和尺寸也有较大的可
塑性。大的钕玻璃棒长可达 1~2m,直径 30~100mm,可用来制成特大能量的激光器。小的
可以做成直径仅几微米的玻璃纤维,用于集成光路中的光放大或振荡。
Nd3+中 4f层的三个电子,由于被外层 5s2和
5p6上的电子屏蔽,外界电场对它影响较小。这
就使得 Nd3+在玻璃中和在晶体中的能级结构
基本相同,只是能级高度和宽度上略有差异。
因而钕玻璃的光谱特性与 Nd3+,YAG大致相
同,但因基质不同,也有一些差别,
图 9.8钕在玻璃中的吸收光谱
(1)吸收光谱带与 Nd3+,YAG的相似,但
带稍宽,如图 9.8所示,因而有利于激活吸收,
(2)与 4F3/2向 4F9/2,4F11/2和 4F13/2跃迁
对应的三条荧光谱线,其中心波长分别为 0.92、
1.06和 1.37um。因 1.06um的荧光最强,通常
钕玻璃只产生 1.06um的激光振荡。只有采取
选频措施,才能实的振荡。在低温 (77K)和采用
选频措施的特殊条件下,也可在 0.92um处产生激光振荡。图 9.9给出了钕玻璃对应于
1.06um跃迁的能级的精细结构。 1.06μm荧光线宽约为 250cm-1,比 Nd3+:YAG的宽得多,因而
有利储能。
(3)荧光寿命比 Nd3+:YAG的长,量子效率和受激辐射截面比 Nd3+:YAG的低。具体数据随
玻璃成分不同而异,一般荧光寿命约为 0.6~0.9ms,量子效率约为 0.3~0.7,受激辐射截面约为
3× 10-20cm2,钕玻璃因其荧光寿命长,易于积累粒子数,储能大,又因容易制成大尺寸光学均
匀性好的材料,因此在大能量大功率激光器中得以重用。又由于钕玻璃荧光线的宽度很宽,
所以特别适用于锁模器件。大能量激光器输出脉冲能量已达上万焦耳,多级行波放大的大
功率器件的峰值功率可达 1013W/cm2,脉宽可小到 1ns以下。
钕玻璃最大的缺点是导热率太低,热胀系数太大,因此不适于作连续器件和高频运转的
器件,且在应用时要特别注意防止自身破坏。
四、其它固体工作物质
除了上面介绍的固体工作物质外,还有多种激光晶体和激光玻璃可以产生激光,下面介
绍几种目前认为较有前途的固体工作物质。
掺铁铝酸钇晶体 (Nd3+:YAl03,代号 Nd:YAP)是 1969年研制成功的。 Nd:YAP晶
体在物理、化学、机械等性能方面均可以与 Nd3+:YAG相媲美。且能掺入较高浓度的钕或
其他稀土离子,储能较大,转换效率高。生长速度也较快。同时 Nd:YAP具有各向异性的特点,
能获得线偏振激光。然而,Nd:YAP晶体由于破坏阈值低,热畸变也较严重,所以在应用上
受到了一定的限制。
激光晶体的发展动向之一,是研制在室温下产生新波长的工作物质。其中氟化钇锂
LiYF4(代号 YLF)晶体的研究已初见端倪。它适合于多种稀土离子掺杂和敏化,能在室温下实
现从可见的蓝光到中红外光多种波长的激光跃迁。例如掺入激活离子 Tb3+(12.5%)并以
Gd(12.5%)敏化,能产生 0.5445um的蓝色激光 (利于水下传输 ),效率约为 0.03%;当掺入激
活离子钬 Ho3+(0.34%~1.7%),并以锇 Er3+(50%)和铥 Tb3+(6.7%)为敏化离子时,
能产生 2.0654um的中红外激光 (大气窗口 ),效率为 1%~4%。这种材料的缺点是机械性能
和热性能较差,晶体生产较困难。
为了适应固体激光小型化的需要,目前发展了一些高掺杂浓度的激光晶体,例如属于磷酸
盐系的五磷酸钕 (NdP5O14,代号 NdPP)晶体。其特点是,Nd3+既是基质的一部分又是激活离
子,掺钕浓度可以很高,最佳掺钕浓度比 Nd3+:YAG高出 30倍,而浓度猝灭很小。这种晶体具
有发射截面大,效率高,阈值低等优点。另外,磷酸锂钕也是一种高掺杂的激光晶体。据报导
其增益系数比 Nd3+:YAG的高出 28倍,也是一种很有前途的小型化激光晶体。
为了适应固体激光小型化的需要,目前发展了一些高掺杂浓度的激光晶体,例如属于磷酸
盐系的五磷酸钕 (NdP5O14,代号 NdPP)晶体。其特点是,Nd3+既是基质的一部分又是激活离
子,掺钕浓度可以很高,最佳掺钕浓度比 Nd3+:YAG高出 30倍,而浓度猝灭很小。这种晶体具
有发射截面大,效率高,阈值低等优点。另外,磷酸锂钕也是一种高掺杂的激光晶体。据报导
其增益系数比 Nd3+:YAG的高出 28倍,也是一种很有前途的小型化激光晶体。
近几年来研制成的还有硅酸氧镧钙晶体 [CaLa4(SiO4)O,代号 SOAP],其热性能略逊于 YAG,
但由于掺入高浓度的 Nd3+,而得到高效率、高储能的激光晶体 (Nd3+:SOAP),具有中等增益,
适用于调 Q器件。掺钕铍酸镧 (Nd:La2Be2O5,代号 Nd3+:BEL),也是一种中等增益的激光晶体,
其贮能能力、激光效率以及抗激光损伤能力等均高于 YAG,输出 1.070和 1.0791um两种线偏
振光。这种晶体的荧光线宽约为 3Ocm-1,比 YAG具有更好的锁模特性。
大大提高泵浦效率。
近年来固体激光器重大进展之一是实现了激光波长可调谐。可调谐的工作物质主要是
受到人们重视的色心激光器,也可实现波长调谐。离子晶体是由正、负离子按一定规律
排列而成的,当晶体中存在正 (或负 )离子缺位时,晶格的周期场会局部受到破坏,在这些局部
区域,电子能级将发生变化。例如当负离子缺位时,电子可以受到更紧的束缚,所以电子的能
级也就降低了,出现了新的能级。这新能级对光是一个新的吸收中心,故称为色心。具有色
心的晶体称为色心晶体。与激光作用有关的主要是由负离子缺位产生的各种色心。例如
氟化锂 (LiF)晶体是由 Li+和 F一 结合而成的,当 F-缺位时,由于 Li+的影响,在缺位处形成一个正
电中心,能俘获一个电子 (为多个 Li+共有 )。根据负离子缺位和俘获电子的情况不同,可以形
成不同类型的色心。 F心,一个负离子缺位俘获一个电子形成 F心。 F心是其他色心的原型,
其他色心都可由 F心转型而来 ;F2心,二个 F心沿晶体 〔 110〕 方向结合在一起 ;F-2心, F2心再
俘获一个电子 ;F+2心,F2心电离失去一个电子 ;(F+2)A心,F+2心最邻近的正离子中有一个为
杂质离子取代 ;FA(II)心, F心的六个最邻近的正离子中有一个被较小的杂质正离子取
代 ;FB(II)心,F心最邻近的六个正离子中有二个被较小的杂质正离子所取代。色心晶体的基
质不同,对激光性能的影响也不同。常用的基质材料有三种,碱金属卤化物 (如 LiF,KF、
NaC1,KCl等 ),碱金属氟化物 (如 CaF2,SrF2,BaF2等 )、氧化物 (如 CaO,MgO等 )。目前产
生色心的办法有两种,一种是加质着色,一种是辐射着色。加质着色是将晶体放到碱金属蒸
气中,通过碱金属原子扩散,晶体获得超过化学配比的过量碱金属原子,因而在晶体中出现负
离子缺位。辐射着色是用紫外线、电子束,γ射线,x射线等照射晶体,晶体中的电子受激
发电离,形成负离子缺位。目前色心的缺点是光和热容易引起电离和离解,造成色心不稳。
表 9.2列出了一些色心激光器的激光性能参数。
色心激光器可用灯泵浦也可用其他激光泵浦，为了提高泵浦效率，目前大多采用后者。
9.1.3 灯泵浦系统
固体激光器一般都是用光础。最常用的泵浦光源有惰性气体放电灯 (灯内充入疝、氪
等惰性气体 )、金属蒸气灯 (灯内充入汞、钠、饵等金属蒸气）、卤化物灯 (碘钨灯、镊钨灯
等 )、半导体激光器、日光泵 (用聚光镜将日光会聚到激光棒中 )等。脉冲疝灯的辐射强度和
辐射效率较其他灯都高,是红宝石钕玻璃和 Nd:YAG脉冲激光器中应用最广泛的一种灯,氪灯
在低电流密度下工作时,其辐射光谱与 Nd:YAG泵浦吸收带相匹配,故在连续和小能量脉冲
Nd:YAG器件中得到比较多的采用。碘钨灯用 220V电压即可,使用简单、方便,在功率小于
1OW的连续 Nd:YAG器件中可以应用。红宝石连续激光器多用高压乘蒸气灯,它的辐射谱与
红宝石吸收谱能很好的匹配。砷化镓半导体激光器体积小,产生的激光又与掺钕工作物质
吸收谱相匹配,可用于小型掺铁激光器。日光泵适用于空间技术中的激光器。
在各种泵浦光源中,以惰性气体放电灯应用最普遍。灯泵浦系统包括泵灯和聚光器。本
节重点讨论惰性气体放电灯和聚光器的有关技术。
一、惰性气体放电灯
1.惰性气体放电灯的构造及技术参数
(情时放电灯可分圳灯和连续灯两大类。
灯的形状有直管形的,叫旋管形的，
如图 9.10所示。不管什么类型
的灯,其结构一般都是由电极、灯
管和充入的气体组成。电极是用
高熔点、高电子发射率,又不易溅
射的金属材料制成。常用的电极
材料有钨，钍钨，钡钨和铈钨。
高功率灯的电极要设计成水冷结
构,见图 9.10(b)。灯管用机械
强度高、耐高温、透光性能好的石
英玻璃制成。在石英玻璃中掺入
少量的铈,可吸收低于 0.3um的
辐射,产生 0.4~0.65um的荧光,
既可防止工作物质产生色心,又
可提高泵浦效率。灯管内充入疝
(Xe)、氪 (kr)气体。
图 9.10 几种泵浦灯的结构
表 9.3和表 9.4给出了一些泵灯的主要参数,以供参考。其中着火电压是,在正常触发下,能产
生弧光放电的灯两极间所加的最低电压。平均寿命是在表中输入参数下测得的结果。灯使
用一段时间后,管壁出现严重的白色和黑色沉积物,着火电压升高,不能正常启动,或发光功
率降低到初始值的 80%,或灯管破裂,都认为寿命终止。为了提高寿命,使用时不应输入功率、
电压太高,并尽量加宽放电时间,防止灯内高温、强冲击波损坏灯。
表 9.3 连续氪灯
表 9.4 脉冲疝灯
2．惰性气体放电灯的电阻特性
情件气体放电灯在放电过程中，灯的电阻也在变化。未放电时，电阻为无穷大，是良
绝缘体。在放电初期，放电处于扩张阶段，由于放电管内的电子与气体分子碰撞电离，电
子和正离子雪崩式的发展，放电电流急剧上升，灯电阻急剧下降。在放电稳定阶段 (脉冲
灯为类稳阶段 )放电管内电子和离子数目达到相对平衡,放电电流达到稳定的最大值,灯电阻
最小。由于放电和发光主要集中在稳定或类稳放电阶段,所以这阶段的电阻是至关重要的。
实验发现,类稳阶段放电通道的电阻是放电电流的函数,其经验公式为
(9.1.1)
式中,i为放电电流 K0为电阻系数。 K0的大小为
(9.1.2)
式中,P为灯内气压 (单位,Pa),l为灯极间距 F d为放电通道直径 (一般情况不,放电通道能充满
灯管,此时 d等于灯管内径 )。
由式 (9.1.1)可见,稳定或类稳放电时,灯电阻的大小与放电电流强度有关,电流强度越大电阻
越小。对于脉冲灯,放电电流随时间而变化,因而在放电的不同时刻,灯电阻是不相同的,我
们把放电电流峰值 im,对应的灯电阻,称为灯的等效电阻儿 Req,其大小为
(9.1.3)
例如,极间距 l=10cm,灯管内径 d=0.8cm,充气为 6× 104的脉冲疝灯,当峰值放电电流
im=1800A时,算得
计算结果表明,灯的等效电阻是很小的,因此线路中的连线电阻一定不能大,否则线路的
损耗会严重影响灯的电光转换效率。
若忽略电极上的压降,气体放电灯在稳定放电阶段的伏 -安特性可表示为
(9.1.4)
灯放电耗散的功率为
(9.1.5)式中,V为放电灯的端电压,
3惰性气体放电灯的光谱辐射特性
当被激发的原予和离子自发地回复到基态时,便辐射形式释放一定的附能量,故辐射光谱
具有气体原子和离子的特征光谱线,同时,灯管内浓度很高的自由电子和正离子在空间复合
的几率很大,复合时也以辐射形式释放能量 (电离能与电子、离子的动能之和 ).由于带电粒
子的动能连续可变,因而复合发光的光谱是连续的。此外还有电子减速发光 (韧致辐射 ),其
光谱亦为连续谱。连续光谱和线光谱的相对比例依赖于放电电流密度、充气种类和气压。
参见图 9.11和图 9.12。疝灯在低电流密度放电 (如连续灯放电和小能量脉冲灯放电 〉 时,辐
射的特征谱线的峰值波伏在 0.84,0.9和 1um附近。氪灯在低电流密度放电时,辐射的特征
谱线的峰值波长在 0.76,0.82和 0.9um附近。可见,氪灯的特征谱线与 Nd:YAG的主要泵浦
吸收带相匹配,因此连续和小能量 (<10J)脉冲 Nd:YAG激光器用氮灯泵浦效率较高。实验发
现、充气压增高,特征谱线的线宽也增加。还发现 (见图 9.13),随着放电流密度的增大,连续
谱增加的份量比线谱多,当电流密度增加到一定值后,连续谱逐渐掩盖了线光谱,与黑体辐射
相接近,且短波部分的增长比长波快,光谱重心移向短波。因此,在高电流密度放电情况下,
有利于红宝石的吸收。大中型钕玻璃和 Nd:YAG脉冲激光器,由于泵灯的放电电流密度高,
灯辐射的特征谱线相对减弱,此时应采用辐射能量
大、效率较高的脉冲疝灯。
图 9.13脉冲辄灯在两种电流密度下
的光谱输出
4.惰性气体放电灯的有效辐射效率
由本章第一节知,为了提高激光器件的效率,
必须提高泵灯的有效电光转换效率 εL。影
响 εL的因素很多,主要与充气的种类、充气的压力、
灯的尺寸 (内径和极间 )和使用情况等有关。
灯内充入的气体不同,其总的辐射效率 (辐射的
总能量与输入电能之比 )和辐射光谱是不同的,因
而对某一种工作物质而言,εL就不同。
实验发现,在相同放电条件下,充入气体的气压增大时,εL增高,例如用内径 3mm,极间距
为 54mm的氪灯,在输入电能为 10J,脉宽为 100μs放电条件下,泵浦 Nd:YAG激光器,当充气压
由 2x105pa升高到 6x105时,激光输出能量由 310mJ增加到 350mJ。充气压增高虽能提越高 εL,
但脉冲灯在高功率密度急剧变化的放电过程中,会形形成冲击波。气压越高,冲击波越强,这
对灯的寿命不利。因而大能量脉冲灯的充气压一般不能很高,例如对于极间距为 l00mm,灯
管内径为 10mm的脉冲氪灯,充气压常在 3.3x104~6x104pa之间。对于小能量的脉冲灯或连
续放电时,因其工作在小电流密度情况下,充气压可以增高,此时进一步提高充气压的主要障
碍是灯的触发引燃困难。
实验表明,在气压和输入能量一定的情况下,存在使轨最高的最佳直径,且最佳直径随
输入电能的增加而增加,随气压的升高而减小。
当灯管电流不变时,εL随极间距增加而呈线性增长,如图 9.14所示。
图 9.14灯的效率与极间的关系
以上各点是设计和制造各类灯时应该注
意的。
此外,为了提高泵灯的有用电光转换效率,
使用灯时应该让灯在最佳电流密度下工作,
因为在灯管内径和气压不变时,电流密度越
大,电子和离子数也越多,产生的辐射增加,使
总辐射效率提高。但电流密度过大时,等离
子体密度大增,对辐射光的自吸收严重,使得
总辐射效率反而降低。同时,由前所述,电流
密度还影响光谱分布。因此，对某一具体灯
而言,不同的辐射光谱都存在着一最佳电流
密度,如图 9.15所示。要改变电流密度,连续
灯主要靠改变输入电功率,脉冲灯主要靠改
变输入电能和放电时间。 图 9.15灯在各种光谱范围内的转换效率
应该指出,脉冲灯的放电时间 (或发光
时间 )不仅影响扣而且还影响工作物质中
亚稳态上粒子数的自发辐射损耗。当发光
的时间过长时,虽然可能满足最佳放电电
流密度的要求,但因自发辐射损耗增加,使
器件效率降低。在设计脉冲放电时间时,以
上两方面应该同时兼顾,以得到最高的激
光效率。图 9.16 用同一支灯对同一根
Nd:YAG棒进行泵浦,在不同输入电能和
不同放电脉宽条件下,测到荧光输出变化
曲线。荧光的强弱反映了亚稳态上粒子数
的多少,亦即反映了泵浦效率的高低。由图
可见,输入能量增高,最佳放电时间相应加长,
在输入能量为 5J时,最佳放电脉宽为 125us
左右,而在输入为 50J时,最佳脉宽增加到 250uS左右。值得注意的是随着输入能量的进一步
增加,最佳放电时间会超过工作物质的荧光寿命。此外,采用预燃技术后,最佳脉宽要减小。
图 9.16荧光输出随放电脉宽的变化
5.惰性气体放电灯的放电回路
如前面所述,对应高的泵浦效率,脉冲灯有一最佳放电时间。欲得到最佳放电时间,应合理
地设计放电回路。常用的放电回路有,纯电容放电回路、电容电感放电回路和仿真线放电
网络等形式。
(1)纯电容放电回路。如图 9.17所示,这是一种最简单的放电形式。预先对储能电容充电
至 VC,在触发脉冲作用下,储能电容向脉冲灯放电。如果把灯看成一个恒定的电阻 (灯的等效
电阻 Req,电路便是一个线性 RC放电回路,通过灯的电流和灯耗散的电功率都呈指数衰减规律
变化,即
（ 9.1.6）
（ 9.1.7）
图 9.17 纯电
容放电回路
灯闪光的波形与电功率波形基本一致。
若把电流和功率降到峰值的 1/e所对应的时间分别定义为电流持续
时间 Ti,和灯的闪光时间 TL,由 (9.16)和 (9.17)二式可得, T=iReqC,
TL=ReqC/2。但灯电阻随放电电流而变化,在脉冲放电过程中灯的平均
电阻应比 Req大,所以实际闪光时间应大于 ReqC/2。由实验得到脉冲灯闪光时间的经验公式
为 （ 9.1.8）
因放电的扩张阶段很短,这期间放掉的电量可以忽略,所以刚进入类稳阶段时,灯端电压
可近似等于放电前的电压 Vc,利用 (9.14)式可得到关系 im=(Vc/K0)2,于是灯的等效电阻可表示
为 （ 9.1.9）
由 (9.18)和 (9.19)两式可看出,电容放电的闪光时间与储能电容的容量 C成正比,而与充电电
压 VC成反比。
纯电容放电具有以下特点,第一,放电电流和功率上升快,峰值高,这对灯的寿命是不利的 ;
第二,放电脉宽较窄,而衰减曲线的尾部拖得较长,因此,在发光时间要求一定时,光能利用率
不高。基于以上原因,这种放电回路形式实际应用较少。
(2)电容、电感放电回路。这种放电回路由一组电容电感和
脉冲灯串联组成,通常又称为单网孔脉冲形成网络。如图 9.18所
示。由于电感的加入,限制了放电电流的上升率,并使放电电流
峰值下降,因而假灯能承受较大的输入能量。这是一种较为常用
的放电回路形式。
图 9.18 LC电回路设储能电容 C上的电压为 VC,则脉冲放电过程的微分方程为
(9.1.10)
为了讨论方便,令
(9.1.11)
(9.1.12)
将 (9.11)和 (9.12)式代入 (9.1.10)式,整理后得归一化方程
(9.1.13)
式中,IN为电流归一化参数,它是实际放电电流 i和 Vc/Z。所决定的峰值电流之比 ;Z。为非衰
减 LC电路 (电阻为零的 LC电路 )的特性阻扰,η为时间的归一化参数,α为电路的阻尼因子,表示
脉冲灯放电的衰减常数,它依赖于初始充电电压 Vc。
所一给定不同的 α值,用计算机求解 (9.13),可得出 IN(η)的一组数值解,如图 9.19所示。
由图可见，当 α>.8(例如 α＝ 1.6)时，放电电流峰值低，而尾部延续时间长，称之为
阻尼放电。这种情况,在给定时间内,放电能量利用率低,当 α<0.8(例如 0.4时,放电电流为
衰减振荡形式,称为欠阻尼放电,这种情况放电能
量也分散。上两种情况在设计 L-C放电回路时应
力求避免。当 α=0.8时,放电能量能够较集中地
通过灯释放,称为阳阻尼,这正是设计 L-C放电回
路时应予保证的。
图 9.19 LC放电的归一化电流曲线
为了求光输出波形,需进一步求出功率曲线。
令灯放电的瞬时功率 P(t)=Koi3/2与非衰减 LC电路
所决定的功率最大值 (IV之积 〉 之比为归一化功
率 PN,考虑 i=INVc/Z0,d=ko/(V0Z0)1/2和
IV=V20/Z。,则有
PN=αI3/2N (9.1.14)
给定 α,从图 9.19查出不同 η下的 IN,由 (9.114)式
可算出 PN,并作出图 9.20。由此功率曲线可查得,在
α=0.8情况下,1/3峰值处对应的归一化时间间隔
Δη=2.2,于是相应的闪光时间
(9.1.15)
(9.1.15)
图 9.20
式中,α=0.8,T=TL/2.2,,TL是要求的 1/3峰值对应的闪光时间。
例如,已知氪灯的内径 d=5nmm，极间距 l=60mm,充气压 P=6x104。要求输入能量
Ein=100J,1/3峰值处对应的闪光时间为 100μs,求 LC放电回路的电容量、电感量和充电电压。
由己知条件算得 T=TL/2.2=100× 10-6/2.2=45.5× 10-6(s),由 (9.12)式算得
K0≈1.3× 60/5=15.6(ΩA1/2),取 α=0.8,代入 (9.16)式可得 C≈140(uF),L≈15(uH),Vc≈1200(V)。
将计算值按标准化修正后,再验算一下闪光时间和输入能量是否符合要求。
计算和实验表明,当充电电压在土 (1/3)Vc范围内改变时,临界阻尼状态变化不大。例如
上例中,当充电电压增加 (1/3)VC后,算得 α=0.7,因此无需重新设计电路。
在低闪光频率 (小于 20次 /秒 )情况下,为了减小电源体积和重量,而又保持电容储能
(LC)1/2值不变,应采用减小 C、提高 L和 Vc的办法,但相应的 α值会减小 ;有时为了得到变化范
围比较大的激光输出,常让储能电容上的电压变化很大,这也会使 α减少。不管什么原因,
当 α减小到使 LC放电回路出现衰减振荡时,电容会出现反充电现象。这不仅会浪费一部分
量,而且还会影响灯的正常工作,例如,灯电流的换向会造成灯电极溅射,缩短灯的寿命,在如
有预燃的情况下,灯电压的换向,还会中断灯的预燃。
为了克服放电回路中 α变化造成的上述影响,人们设计了一种二极管阻尼 LC脉冲成形网
络。其基本电路如图 9.21所示，即在一般 LC放电回路的基础上，与电容时联一个阻尼二
极管 D.在欠阻尼条件下的放电过程中,当电容器上电压过零以后,放电由 LCReq回路转到 LReq
回路 (D的正向压降仅为 1V左右,可以忽略 )。电感 L上的储能 (I2L/2)通过二极管 D,由灯释放,
而不再反向充入电容,加二极管后的归一化电流曲线如图 (9.22)所示,不会出现图 9.20中的
反向电流部分。这样,在 α较小条件下,加二极管比不加二极管能够提高灯的泵浦效率。例如,
某灯采用二极管阻尼 LC放电网络后,α从 0.8变化到 0.4,灯的有用光输出仅下降了 1%.而不加
二极管时,灯的有用光输出要下降 996。这样就确保了灯输出的稳定。
图 9.21二极管 LC放电回路 图 9.22二极管阻尼 LC放电的 IN -η曲线
(3)仿真线放电网络 (多节 M放电回路 〉 。仿真线是由多组电容器和电感组成的,每节网络中
的电容和电感都分别对应相等,如图 9.23所示。网络的节数为 n,每节的电容为 Ci,电感为 Li时,
则网络的总电容量为 C=nCi,总电感量为 L=nLi,特征阻抗为 Z0=(L/C)1/2=(Li/Ci)1/2
这种网络储能后对灯放电,能形成近似矩形的脉冲波,对提高灯的负载能力和延长灯的寿
命有利。同时,在给定的时间内,光能利用率也较高。
图 9.23多节网络
若已知脉冲灯的放电持续时间 Ti和瞬时放电功率 P(t),
则矩形波总放电能量 E=P(t)Ti=K0i3/2Ti.在忽略其它损耗
时,E=Ein,则灯的放电电流为
(9.1.17)
代入 (9.1.3)式可得多节 LC放电灯的等效电阻近似为
(9.1.18)
仿真线放电网络的设计要考虑匹配,在网络的特征阻抗 Z0=(L/C)1/2与灯的等效电阻相匹配
(即 Z0=Req)时,脉冲放电持续时间为
(9.1.19)
在矩形脉冲放电情况下,TL=Ti,于是由 (9.119)式可得
(9.1.20)
(9.1.21)
由网络储能 E in=CV2C/2=nCiV2C/2得到
(9.1.22)
根据要求的 Ein和 TL，由 (9.18),(9.20),(9.21)和 (9.22)式可计算网络参数 Ci,Li和 Vc。
网络的节数 M越多，输出波形越接近矩形。一锻至多采用 4—5节，过多的节数，不仅
会使放电回路庞大，而且脉冲上升前沿太陡，对灯寿命不利。
二、聚光器
聚光器 (或称泵浦腔 )的作用是将泵浦光源辐射的光能最大限度地聚集到工作物质上去
聚光器设计得好坏直接影响激光器的转换效率和激光性能。
泵浦光可以从侧面进入棒内,也可以从端面进入棒内,前者称为侧面泵浦,后者称为端面
泵浦。由于目前大多采用侧面泵糖,故本书只介绍这种泵浦聚光器。
1.聚光器的类型
面泵浦方式的聚光器类型很多,其主要类型和特点如下,
(1)椭圆柱聚光器。这种聚光器的内反射表面的横截面是一椭圆。因为从椭圆一个焦点
发出的所有光线,经椭圆面反射后将会聚到另一焦点上。因此,如果把直管灯和棒分别置于
椭圆柱聚光器的两条焦线上 (各焦点的连线如图 9.29所示 ),则可以得到比较好的聚光效果。
这种放置方法称为 "焦上放置, 也可将泵灯和激光棒平行地安置在焦线和腔壁之间,这种放
置称为 "焦外放置 "。如图 9.30所示,椭圆长辅上焦点外任卢点发出的光,经椭圆反射后必交
于另一端焦点外的长袖上,因此,焦外放置的棒可以截获焦外放置的泵灯所辐射的大部分能
量。焦外放置不如焦上放置成象质量好,但采用焦外放置,结构设计上可以做得比较紧凑。
图 9.29椭圆柱聚光器 图 9.30椭圆腔的焦外几何光路
设椭圆的长半轴为 a,短半轴为 b,焦距为 2c,偏心率为 e=c/a.理论和实验分析发现,在灯
内径和激光工作物质确定后,e越小,聚光器的聚光效率越高,因为 e小,泵灯截面经椭困面反
射后成象弥散小,光能被工作物质截获得多。但 e太小,意味着 a大或 C小,a大则聚光器尺寸大。
C小则二焦点靠得近,采用 "焦点 "放置时则灯和工作物质靠得近,直照强,容易造成工作物质
光照不均匀,影响激光光斑质量,因此,一般取 e=0.4为宜。
为了尽可能利用沿轴向发射的泵灯光能,在椭圆柱的两端应有反射端面。但当聚光器横
向尺寸较小,而轴向尺寸比棒、灯长得多时,两端也可以不加反射面,因为此时可利用的轴
向光能很少。
(2)圆柱聚光器,这种聚光器的内反射表面是一个圆柱空腔,激光棒和泵灯置于轴线两
侧,由于圆相当于焦点重合的椭圆,因此圆柱聚光器内棒、灯的放置相当于椭圆柱聚光器的
"焦外放置 "。
圆柱聚光器对泵浦光的聚焦能力不如椭圆柱聚光器强,而且在同样棒、灯直径情况下,
圆柱聚光器横截面积大,体积也大。但它具有结构简单、加工方便等优点。
（ 3）椭球聚光器。如图 9.31所示，它的反射面是一个椭球腔，灯和棒沿椭球长轴放置
在焦点和顶点之间。它具有三维空间聚焦作用，即不仅垂直于灯轴线方向的光能会聚到工
作物 质上，沿轴向发射的光也能会聚到工作物质上。因此比二维成像的椭圆柱聚光器效
率高。同时，激光棒横截面上的泵浦光是旋转对称的，因而具有较高的均匀性。但在棒的
轴线方向上却是非均匀分布的，在靠近焦点的部位光能密度较大。这种聚光器体积大，加
工较复杂。适用于短灯和短棒情况。
图 9.31 椭球聚光器
（ 4）圆球形聚光器。圆球形聚光器也具有三维空间传输性质，灯与棒在过球心的任
一轴线两侧对称靠近放置，实际的聚光器常由两个半球组成，如图 9.32所示。这种聚光器
的聚光效率和聚光均匀性虽不及椭球激光器，但比椭圆柱和圆柱好。它与椭球激光器一样，
体积大。加工复杂。适用于短灯和短棒情况。
（ 5）相交圆柱聚光器。相交圆柱聚光器是由二圆柱面相交而成，其核截面如图 9.33所
示。这种聚光器效率较高，加工方便。
图 9.32 圆球形聚光器 图 9.33相交圆柱聚光器
(6)多泵聚光器。上述各聚光器都适合单灯泵浦，单灯泵浦时，激光棒朝向灯的一面
受到灯的直照，背向灯的一面受不到灯的直照，因而棒内光照不均匀。另外，单灯泵浦受
一只灯负载能量的限制，不能得到很高的激光输出。若采用多灯泵浦单很激光棒的形式，
这两种缺点都可以克服。多泵聚光器常用双泵椭圆柱聚光器或四泵椭圆样激光器，如图
9.34所示。各椭圆柱的一条焦线重合在一起，激光棒就置于这公共焦线上，多泵椭圆柱聚
光器的聚光效率比单椭圆柱聚光器低，这是由于每个椭圆柱的表面都被截去一部分的缘故。
另外，它加工复杂，体积大。所以，只有在要求大能量和光照均匀时才米用。
图 9.34 多泵聚光器
(a)双泵椭圆柱聚光器 (b)四泵椭圆柱聚光器
(7)紧包式聚光器。这类激光器的特点是灯和棒靠得很近，聚光器横截面尺寸略大于灯
和棒的直径之和。在这种情情况下．聚光作用本要已不是靠光线反射成像，而是靠灯光的
直接照射和聚光器内空间的高光能密度来实现。因此聚光器的形状和加工精度无关紧要。
其内表面可以采用镜面，但为使棒内光照较为均匀，最好采用漫反射表面。常用的紧包式
聚光器形式如图 9.35所示，可以是单泵的，也可以是多泵的，其截面可以是圆形的，也可
以是椭圆形的，或其他形状的。最简单的形式是将灯、棒紧排在一起，外面包上经过抛光
的银箔或铝箔。
紧包式聚光器具有结构简单、制作容易、体积小、效率高等优点。缺点是棒内光照不
均匀，不利散热。因此，这类聚尤器三要应用在小能重、小切率和低重复率的小型器件中。
图 9.35 紧包式聚光器
2 聚光器的材料选择
制做聚光器时，常用的金属材料石铝、铜和不锈钢，常用的非金属材料有玻璃、陶瓷
等。 铝通常用在轻型系统中；如果重量要求不严时，最好选用铜，这是因为铜的热胀。
热导率高；不锈钢具有不易生锈和抛光精度高等优点，但热导率很低，仅为铜的 1／ 10。
玻璃和陶瓷虽然易碎，导热性差，但它们具有金属所没有的优点，如不生锈，不易被腐蚀。
陶瓷的漫反射性能也好，可制成反射率很高的漫反射激光器。
3．聚光器反射表面的选择
聚光器的效率不仅与聚光器类型有关，与聚光器内表面的反射情况也有很大关系。聚
光器的反射表面可为镜面反射或漫反射。除陶瓷聚光器本身具有较高的漫反射系数外，其
余大都需要在聚光器内壁上附加高反射率的反光层。比较常用的反光层有：金属反光层、
多层介质反光膜、氧化镁 (MgO)粉或硫酸钡 (BaS04)粉漫反射层等。
金属反光层应用广泛，适用于金属和
玻璃材料的聚光器。先把聚光器内表面抛
光，再镀以高反射率的金属层，最后再抛光
成镜面即成。可供选择的高反射率金属反
光层有：金 (Au)、银 (Ag)、铝 (A1)等。
它们的光谱反射率曲线如图 9.36所示。由
图可见，铝在各波段的反射率都较高，约为
g2％，但因铝在 0.7～ 0.9um波段的反射率
有明显下降，所以 Nd:YAG和钕玻璃器
件不宜采用，可用于吸收带在 0.4～ 0.5um
的红宝石激光器件。金对大于 0.7um的光有高
反射率，不利于红宝石的吸收带，也不利于
放离子在 0.5～ 0.6um处的吸收带，但对于泵浦吸收大部分发生在 0.7～ 0.9um之间的连续
和小能量脉冲 Nd:YAG器件来说，因为防色心效果好，因此是非常有利的。此外，金的化
学性能稳定、耐腐蚀、使用寿命长。银对大于 0.4um波长的辐射有很高的反射率，可用于
红宝石和掺钕工作物质的激光器。尤其在高功率脉冲掺钕激光器中，闪光灯的辐射大部分
位于 0.5～ 0.58um附近的钕吸收带内，用镀银的聚光器很有利。银比金的反射率高、但易
图 9.36 金属模层的反射率与波长的关系
氧化变质，使反射率大大降低。为防止氧化，可在银层上覆盖一层 SiO2之类的透明薄膜，
也可把镀银聚光器浸在惰性冷却液中或干燥的氮气中。
用于红宝石系统的铝质聚光器，内表面无须镀反射层，将铝面仔细抛光即可，对于掺
钕工作物质的铝制聚光器，则须镀金或银。对于需要镀膜的铝、铜聚光器，可先镀镍抛光，
然后再镀其他镀层。因为镀镍后容易抛光到很高的光洁度。多层介质膜可用于玻璃或金属
聚光器，设计时应使这种膜对有用光谱反射率高，对无用光反射率低。 MgO和 BaSO4漫反
射层，系由白色的细小颗粒组成，具有很好的漫反射性能，反射率也很高（约为
90％～ 98％），且与波长无关。为了防止反射层损坏，可将粉末装在两个同心的石英管之
间。
9.2 气体激光器
9.2.1 He－ Ne激光器的结构及工作原理
一,He－ Ne激光器的结构
He－ Ne激光器的结构形式很多，但都是由激光管和激光电源组成。激光管由放电管、
电极和光学谐振腔组成。
放电管是氦一氖激光器的心脏，它是产生激光的地方。放电管通常由毛细管和贮气室
构成。放电管中充入一定比例的氦（ He）、氖（ Ne）气体，当电极加上高电压后，毛细
管中的气体开始放电使氖原子受激，产生粒子数反转。贮气室与毛细管相连，这里不发生
气体放电，它的作用是补偿因慢漏气及管内元件放气或吸附气体造成 He,Ne气体比例及总
气压发生的变化，延长器件的寿命。放电管一般是用 GG17玻璃制成。输出功率和波长要
求稳定性好的器件可用 热胀系数小的石英玻璃制作。
He－ Ne激光管的阳极一般用钨棒制成，阴极多用电子发射率高和溅射率小的铝及其
合金制成。为了增加电子发射面积和减小阴极溅射，一般都把阴极做成圆筒状，然后用钨
棒引到管外。
He－ Ne激光器由于增益低，谐振腔一般用平凹腔，平面镜为输出端，透过率约 1%～ 2
％，凹面镜为全反射镜。
He－ Ne激光管的结构形式是多种多样的，按谐振腔与放电管的放置方式不同可分内腔
式、外腔式和半内腔式。按阴极及贮气室位置的不同又可分为同轴式、旁轴式和单细管式，
见 图 9.2.1。
内腔式如图中 (a)所示，将谐振腔的两反射镜调整好后，用胶固定在放电管的两端，其
优点是使用时不必进行调整，非常方便。缺点是在工作过程中放电管受热变形时,谐振腔
反射镜会偏离相互平行位置，造成器件损耗增加，输出下降。激光管越长，其热稳定性越
差，所以内腔式激光管的长度一般不超过一米。而且当谐振腔反射镜损坏后，不易更换，
反射镜内表面污染后也无法清除。
外腔式如图中（ b）所示，这种激光器的谐振腔反射镜与放电管是分离的。反射镜上
有调整机构，可以随时进行调整。放电管的两端贴有布儒斯特窗片（与毛细管轴线成布儒
斯特角放置的平板玻璃人它即可密封放电管，又可减小光的损耗（相对其他放置角度而言）
还可使激光得到线偏振的激光输出,振腔与放电管分离，放电管的热变形对谐振腔影响较
小，加之谐振腔可以调整，所以长期使用中能保持稳定输出。但由于反射镜与放电管相分
离，相对位置易改变，需要经常调整，使用不方便,
同轴式如图中（ a）（ b）（ c）所示，阴极与毛细管同轴放置，其结构紧凑、不易碎
裂，安装方便。但由于阴极放在放电管内，阴极溅射物质易污染窗片．，使用寿命低，同
时由于阴极大量发射电子，阴极区易发热，使同轴式激光管功率的稳定性不如旁轴式。
旁轴式如图中（ d）所示，阴极放在放电管外的支管里，一方面可增加储气量，同时
溅射物质不易污染窗片，所以寿命比同轴式长，功率稳定性也要好一些，但体积大，安装
使用不方便，易破碎。
单毛细管式如图（ e）所示，毛细管外没有单独的储气外套，靠伸出的阴极部分贮气。
它的制造工艺简单，省材料，毛细管易于固定，适用于长毛细管和激光管外面有保护军的
激光器。
图 9.2.1 He－ Ne激光器的结构示意图
（ a）内腔式 （ b）外腔式（ c）半内腔式（ d）旁轴式（ e）单毛细管式
二氦和氖原子的能级图
激光器的工作气体是 He和 Ne，其中产生激光跃迁的是 Ne气。 He是辅助气体，用以提高
Ne原子的泵浦速率。图 9.2.2为 He和 Ne的能级图。 He原子有两个电子，没激发时这两个原
子都分布在 1S壳层上,He原子处于基态。当 He原子受激时，使其中一个电子从 1S激发到
2S,He原子成为激发态。 He原子有两个亚稳态能级，分别记为 23S1,21S0。 Ne原子有 10
个电子，基态 1S0(电子分布为 1S22S22P6)。激发态为 1S,2S,3S,2P,3P(帕邢符号 )等，
它们对应的外层电子组态分别为 2P53s,2P54s,2P5S5,2P53P,2P54P。其中 1S,2S,3S
各由 4个子能级组成 (例如 3S由 3S2,3S3,3S4,3S5组成 ),2P和 3P各由 10个子能级组成 (例
如 2P由 2P1,2P2,… 2P10组成 )。
图 9.2.2 He-Ne原子的部分能级图
根据能量跃迁选择定则,Ne原子可以产生
很多条谱线，其中最强的谱线有三条，即
0.6328um,3.39um和 1.15um，对应跃迁能
级分别为 3S2→ 2P4,3S2→ 3P4和 2S2→ 2P4。
2P和 3P态，不能直接向基态跃迁，而向
1S态跃迁很快。 lS态向基态的跃迁是被选择
定则禁止的，不能自发地回到基态，但它与
管壁碰撞时，可把能量交给管壁，自己回到
基态。这就是为什么 He—Ne激光器中要有
一根内径较细的放电管的原因。
从能级图可见,He—Ne激光器是典型的
四能级系统。
三,He—Ne激光器的激发过程
在 He—Ne激光器中，实现粒子数反转的主要激发过程如下：
第一是共振转移。由能级图可见,He原子的 21S0,23S1态分别与 Ne原子的 3S,2S态靠
得很近，二者很容易进行能量转移，并且转移几率很高，可达 95%，其转移过程如下：
第二是电子直接碰撞激发。在气体放电过程中，基态 Ne原子与具有一定动能的电子进
行非弹性碰撞，直接被激发到 2S和 3S态，与共振转移相比，这种过程激发的速率要小得
多。
第三是串级跃迁,Ne与电子碰撞被激发到更高能态，然后再跃迁到 2S和 3S态，与前述
两过程相比，此过程贡献最小。
四,He—Ne激光器的最佳放电条件
设 Ne的 3S2和 2P4能级上的粒子密度分别为 n3和 n2，为了求粒子反转数 Δn＝ n3-n2(g3/g2),
先求 n3和 n2的变化规律。因为在只有两种粒子参与的一般能量转移过程中,其反应速率与两
种粒子数密度的乘积成正比,所以 Ne*(3S2)能级上粒子数密度叫的变化率方程可写为
(9.2.1)
式中 Kn1n4表示 He 向 Ne共振转移的激发速率 ;K为转移速率常数 ;n1为 Ne基态 (11S0)上
的粒子数密度 ;n4为 He*(21S0)的粒子数密度 ;Kn0n3表示 Ne向 He共振转移的激发速率 ;
n。为 He基态 (11S0)上的粒子数密度 ;n3为 Ne (3S2)的粒子数密度,因 He*(21S0)与 Ne*(3S2)靠
得很近,故可近似认为以上两个相反方向的共振转移过程具有相同的速率常数 K;n3/η3表
示 Ne*(3S2)的粒子数密度 n3弛豫到其他能级的速率 ;η3为其弛豫时间。
稳态时,dn3/dt=0,由 (9.2.1)式可得
(9.2.2)
同理 He*(21S0)能级上的粒子数密度 n4的速率方程为
(9.2.4)
稳态后,dn4/dt=0由 (9.2.3)式可得
将上式代入 (9.2.2)式得,
(9.2.5)
Ne的激光下能级 2P4的粒子密度 n2也是由电子碰撞激励的,其速率方程为,
(9.2.6)
式中右端第一项表示电子将 Ne原子由基态激励到 Ne*(2P4)的激发速率,n1为 Ne基态的粒
子数密度,ne为电子密度,S02为电子激发速率常数。第二项表示电子碰撞消激发的速率,S2为
其消激发速率常数。第三项为 2P4→ 1S的自发辐射造成的衰减速率,A为其自发辐射几率。
稳态后,dn2/dt=0得
(9.2.7)
因自发辐射几率 A很大,故分母中第一项可忽略,于是上式变为
(9.2.8)
9.2.2 He-Ne 激光器的输出功率及稳定性
一,He-Ne激光器的增益系数
由激光原理知,增益系数与谱线加宽的类型有关。人们曾对波长为 0.6328um的 He -Ne
激光器的输出功率进行了比较系统的探讨,大量的工作说明,He -Ne激光器属于以非均匀加
宽为主但又不能忽略均匀加宽影响的综合加宽线型。按照综合加宽的情况计算其输出功率
与实验符合得较好。
设小信号情况下,Ne原子的总反转粒子密度为 Δn0,则频率为 v'在 v'+dv'范围内的小信
号反转粒子密度按多普勒非均匀展宽公式为
(9.2.9)
式中,v0为 Ne原子辐射的中心频率,gD(v',v。 )为非均匀展宽线型函数，表示式为
(9.2.10)
(9.2.11)
ΔvD为多普勒线宽。 T为绝对温度 (K),M为原子量,ν。为中心频率。
ΔvD为多普勒线宽。 T为绝对温度 (K),M为原子量,ν。为中心频率。 这部分粒子发射中
心频率为 v',线宽为 ΔvH的均匀加宽谱线。若有频率为 ν,强度为 Iv的强光入射,则这部分粒子
对增益的贡献,可按激光原理给出的均匀加宽大信号增益公式求取,即
(9.2.12)
式中 B21为受激辐射系数 ;c为光速,h为普朗克常数。
总增益为全部粒子对频率为 ν的光的增益贡献之和,将 (9.2.10)式代入 (9.2.12)式并积分,
经整理得到
(9.2.13)
式中
G0i(ν。 )为多普勒展宽的中心频率 ν。处的小信号增益系数。
根据复变误差函数定义
(9.2.14)
(9.2.13)式恰为 W(δ+iε)的实部,于是综合加宽大信号增益系为
(9.2.14)式就是综合加宽情况下的大信号增益系数公式。若已知 ΔνH,ΔνD,Iν以及 Is
算 ε和 δ，并由 δ和 ε从数学手册查出 WR(δ+iε)之值。图 9.2.4画了 WR(δ+iε)与 δ的关系曲线。
图 9.2.4
图 9.2.4中,ε=0(即 ΔνDH<<ΔνD)的曲线表示纯非
均匀加宽的情况。 ε=0.2的曲线相当 He-Ne激光器的
典型情况,与 ε=0的曲线已有明显差别。 He-Ne总气
压越大,ΔνH越大,则 ε就越大,与纯非均匀加宽的宽差
别也越大。
由式 (9.2.14)可见,Iv增大时,增益系数减小。在 He-Ne
激光器中,由于非均匀加宽占优势,增益,曲线上会出现纵
模烧孔现象。又由于均匀加宽的影响,烧孔有一定的宽度
δv,烧孔宽度正比于均匀加宽的宽度 ΔvH,其大小为
若纵横间隔 Δvq(Δvq=c/2L)比均匀加宽宽度大得多,烧孔不相重叠,则有部分粒子没有参
与受激辐射,其输出功率较小,若 Δvq<<ΔvH,纵横烧孔发生重叠,这时增益曲线在阈值之上的
部分全部烧掉了,即所有粒子都参与了受激辐射,故输出的功率最大。
将 δ和 ε表示式代入 (9.2.14)式,并令 Iv=0,可得到综合加宽的 ν处小信号增益系数为
(9.2.16)
中心频率 v0处的小信号增益系数最大,记为 Gm,由 (9.2.15)式可得
(9.2.15)
(9.2.16)式是一个重要公式，在后面讨论输出功率时要用到。公式中的 G0i(v0)正比于粒子
反转密度 Δn，由前面对 Δn的讨论可知，欲得到最大的 Gm值，应选择最佳放电条件。即比
选择最佳的放电电流、总气压和 He,Ne的气压比。通过大量实验发现，对 0.6328um的谱
线，在最佳放电条件并抑制 3.39um谱线振荡的情况下,Gm可由下面的经验公式估算
Gm= 3X10-4/d
式中,d为毛细管直径,单位用 cm。由 (9.2.17)式可见,Gm反比于毛细管直径。这是不难
理解的,因为处于 Is态上的氖原子是靠与管壁碰撞回到基态的,若毛细管内径大,原子向管
壁扩散时间长,从激光下能级 2P4跃迁到 1S态的原子积累增多,很容易又被激发到 2P4,使
反转粒子数减少。
二、输出功率公式
1.单模激光器的输出功率
当频率为 ν的光振荡时,稳定后,其饱和增益系数应等于总损耗系数,即
(9.2.18)
式中,a为除反射镜透过损耗外的其他总损耗系数,l为放电管长度,R1R2为两反射镜的反射率。
一般情况下,He-Ne激光器的一端为全反射 (R1≈100%),另一端为部分反射,设透过率为 T,
在忽略反射镜的吸收、散射损耗时,R2=1-T。由于 He -Ne激光器的 T和 α很小,
故有
的近似关系。 ac是除透射损耗外,光在谐振腔内往返一次的总损耗百分数。在 He -Ne激光
器嚣中,ac包括以下几方面的损耗,谐振腔反射镜的吸收和散射损耗 ;全反射镜的透射损耗 ;
腔内光学元件 (如布儒斯特窗片 )带来的附加损耗 ;光通过毛细管后的衍射损耗 ;谐振腔调整
得不好造成的损耗等。作近似代换后,(9.2.18)式可表示为
将 (9.2.14)式代入 (9.2.19)式,已知 ac和 T便可求出腔内稳态光强 Iv,于是输出功率也就可确定。
由于腔内光强 Iv隐含在 (9.2.14)式中,该式不容易解出来,必须用图解法求解。为了图解方便,
引入激发参量 β
(9.2.19)
将 (9.2.16),(9.2.19)和 (9.2.14)式代入 (9.2.20)式可得
(9.2.21)
在 ν≠ν。时,沿激光输出方向传播的光 Iv+和反方向传播的光 Iv-在增益曲线上烧的孔不
重合,
对每个孔起饱和作用的分别是 Iv+和 Iv-,而不是两者之和。因此,(9.2.21)式中的 Iv应为
I≈Iv+≈Iv-。比较多的单纵模器件是工作在中心频率 ν。处 (例如利用兰姆凹陷稳频的 He-Ne
激光器 ),由于 v。处的 Iv0+和 Iv0-同时消耗运动速度为零的反转粒子,公式中的
Iv≈Iv0+≈Iv0-≈2Iv0+于是 (9.2.21)式应为
(9.2.22)
用此式可以绘出 ν=ν0时,相应于各个 ΔνH值的 Iv0+/Is与 β关
系曲线,如图 9.2.5所示,此图取 ΔνD=1600mHz
图 9.2.5
2.基横模多纵模 He-Ne激光器的输出功率
(1)纵模间隔 Δvq(Δvq=c/2L)比均匀加宽的宽度 ΔvH大,烧孔不重叠。
这种情况可分别计算出每个纵模的光强,总光强为各纵模光强之和。
由于各纵模烧孔之间的频率增益不是饱和的,与这部分增益无关的原
子没有参与受激辐射,故输出功率较少。
(2)Δvq<<ΔvH,烧孔重叠 ;这种增益曲线
在阈值 Gt以上的部分均被烧掉，如图 9.2.8所
示,由于超过阈值部分全都参与了受激辐射,
因此,输出功率较大。其输出功率正比于 Gt以
上的增益曲线所包围的面积,而与纵模的具
体数目无关。因为当纵模间隔等于烧孔宽度
δv时,也能烧去 Gt以上的增益曲线所包围的面
积,故在计算多纵模激光器的功率时,可将它
等效为一系列间隔为品的纵模振荡。激光器
谐振腔内的总光强 IT+可用等效模的平均频
率 ν1在腔内的光强 Iv+(它近似等于平均光强 )
乘以等效纵模数 (Δνosc/δν)获得,即 图 9.2.8严重烧孔时的等效纵模
(9.2.25)
因 He -Ne激光器的非均匀线宽 ΔνD比均匀线宽 ΔvH大得多,所以在计算 Δν时可以近似按纯非
均匀加宽处理。由, 激光原理, 可知,图 9.2.8中 νt处的纯非均匀加宽的小信号增益系数为
而 vt处的小信号增益系数正好等于阈值，即 G0(vt)＝ Gt＝ (ac+T)/2l＝ Gm/β，于是有以下关
系式
(9.2.26)
式中,Gm为 ν。处的小信号增益系数 ;β=2Gml/(ac+T)。将 (9.2.26)式取对数可得
(9.2.27)
(9.2.28)
由于 ν1模和在增益曲线上与之对称的 v1‘模对同一粒子群起作用,所以起饱和作用的光强
应为 2I1+,于是烧孔宽度为 δv=ΔvH(1+2I1+/Is)1/2,则
(9.2.29)
代入 (9.2.25)式得
(9.2.30)
或者改写为
(9.2.31)
由图 9.2.8和式 (7.2.27)可以得
将上式代入 (9.2.14)式的 δ中,可得稳态工作后 ν1处的大信号增益系数为
(9.2.32)
由 (9.2.32)和 (9.2.16)式可得
(9.2.33)
利用 (9.2.31)和 (9.2.33)式可计算不同 β下的 IT+/Is,从而作出 IT+/Is和 β的关系曲线,如图 9.2.9
所示。这些曲线很接近于直线,可用下面的方程表
(9.2.34)
K为直线的斜率。
由此可得基横模多纵模 He-Ne激光器的输出功率为
(9.2.35)
由此式可见,当烧孔严重重叠时,综和加宽多纵模激光器的
输出功率和均匀加宽激光器的输出功率公式相同。这是因
为,当烧孔严重重叠时,与均匀加宽一样,增益曲线均匀饱和
而不出现烧孔。
入 (9.2.35)式，可得多纵模激光器在最佳放电条件下的输出
功率为
(9.2.36)
式中,d的单位应取厘米,ε由 (9.2.24)式确定。
令,dP/dT==0可得多纵模 He-Ne激光器的最佳透过率
(9.2.37)
将 Topt带入 (9.2.35)式得最佳输出功率为
(9.2.38)
将 KIs=30W/cm2,GM=3X10-4/d和 A=επd2/4代入得
(9.2.39)
式中 d用厘米。
值得注意的是，上述各种形式的多纵模输出功率公式是在 c/2L<<ΔvH条件下导出的。
在最佳放电条件下,将经验公式 ΔvH/2≈[(29.5/d)+8]X106(Hz)代入上面的条件可以得到
(9.2.40)
不符合此条件时,各振荡模的烧孔不重叠,部分原子没有参与受激发射,输出功率会降低。
三、提高 0.6328um输出功率的一些方法
从各输出功率公式 (9.2.35)看,影响 He-Ne激光器输出功率的因素很多,因此,欲提高输出
功率,要从多方面去挖掘潜力。现就几个主要方面介绍如下,
(1)增加毛细管长度 l,可使输出功率
增加。但 l过长,谐振腔易变形,影响功率
输出。毛细管内径 d小,有利提高 Gm,但 d
太小时 Gm反而降低,这是因为在长度固
定时,d小则总粒子数少,而且谐振腔易
失调。
图 9.2.10输出功率与充气总压强的关系
d=1.5mm,l=12.5cm
(2)选择最佳放电条件。从公式看,
输出功率随着增益系数 Gm增大而提高,
而 Gm有最佳放电条件,所以要得到大
的功率输出,必须选择最佳放电条件。
图 9.2.10,图 9.2.11和图 9.2.12给出了
在不同的毛细管内径 d和长度 l时,输出功率
与充气总气压和气压比的实验曲线。由图可见,内径 d不同,最佳充气压和气压比也不同。气
压也增加。将三幅图中峰值最高的曲线对应的最佳充气条件列于表 9.1中。由表可见,当取
最佳充气条件时,最佳气压 λPopt与毛细管内径的乘积约为一常数,一般 Poptd=480~
533Pamm,计算时可取 Poptd=530Pamm。随着毛细管内径的减小,不仅最佳总气压升高,而
且最佳气压比也升高,图 9.2.13为最佳气压比与毛细管内径的实验关系,说明内径减小,最佳
气压比几乎是直线上升。
图 9.2.14表示输出功率与放电电流的关系曲线。曲线表明,在气压比为定值时,每个总
气压都存在一个输出最大的放电电流,其大小随着总气压的升高而降低,这是因为气压升高,
只需要较小的放电电流就能得到相同的电子密度。
图 9.2.15表示在最佳充气条件下,最佳放电电流与毛细管直径的关系。图中 A是没有抑
制 3.39um波长振荡的曲线,可近似表示为 Iopt=3.5+1.5d2(mA),图中 B是抑制 3.39um波,
长振荡的曲线,可近似表示为 I=19(d-1)(mA),两式中 d单位均用 mm。该图表明,毛细管内径
减小时,最佳放电电流降低。
图 9.2.11输出功率与充气总压强的关系 图 9.2.12输出功率与充气总压强的关系
表 9.1最佳充气条件
图 9.2.13 最佳气压比与毛细管直径的关系 图 9.2.14 输出功率与放电电流的关系曲线
(3)减小腔内损耗。由公式 (9.2.36)和 (9.2.39)可看出,减小腔内损耗 ac对增加输出功率很
有意义,因为 He-Ne激光器的增益比较低,输出镜的透过率 T比较小,损耗的影响非常明显。
为了减小损耗，要选用损耗小、易调整的双凹或乎平凹稳定腔，并合理设计谐振调整反射
镜和布儒斯特窗片等。
(4)抑制 3.39um的辐射,0.6328um和 3.39umm两条激光谱线有共同的激光上能级 3S2,而
后者增益系数比较高,如果不进行抑制,则 3.39um的辐射在腔内振荡过程中将消耗大量的
3S2态原子。抑制 3.39um辐射的办法主要有,选用对 3.39um的光具有低反射率的谐振腔反
射镜,使 339um达不到阈值条件,如图 9.2.16所示,在腔内加色散棱镜,将两谱线分开,通过调
整谐振腔反射镜的位置,只允许 0.6328um的辐射起振,而使 3.39um的辐射偏离出谐振腔外 ;
腔内放置甲烷吸收盒,因为甲烷对 3.39um的光具有强吸收而对 0.6328um的光透明,因此可
用甲烷抑制 3.39um振荡 ;外加非均匀磁场也能抑制 3.39um振荡。根据塞曼效应,磁场可引
起谱线分裂,分裂的大小与磁场强度成正比。如果激光管内磁场分布不均匀,则各处谱线分
裂程度不同并连成一片,相当于谱线变宽。 300高斯非均匀磁场中,两谱线加宽均约
900MHz,0.6328umm原谱线半宽度约 1500MHz,非均匀磁场对它展宽的比例不大。但
3.39um原谱线宽只有 300MHz左右,非均匀磁场的加宽比它大几倍。由于增益系数反比于线
宽,所以外加非均匀磁场后,3.39um的增益系数急剧下降,而 0.6328μm的增益系数却下降很
少,结果提高了 0.63281um的竞争能力,3.39um则被抑制。外加非均匀磁场的装置如图
9.2.17所示,沿放电管轴向放置许多小磁铁,相邻的极性相同,这样就可在放电管轴线上形成
非均匀磁场。
图 9.2.16 棱镜色散法
9.2.17 非均匀磁场法
(5)使用氦的同位素氦 -3。通常充入的氦气为氦 -4,根据实验,用氦 -3比用氦 -4的输出功
率可提高 25%。因氦 -3原子比氦 -4轻,在同样工作条件下,它的运动速度比氦 -4大,与氦原子
交换能量的速率加大。同时氦 -3的 21S0与氖的 3S2能级更接近,有利共振转移。但氦 -3比氦 -
4价格高得多,一般情况很少用它。
(6)选取最佳透过率。一般用实验的方法确定最佳透过率。但因在最佳透过率附近,透
过率有小的变化时,输出功率不会有明显变化。因此,对最佳透过率的精确度不必作过高的
要求。
四、输出功率的稳定性
He -Ne激光器在工作过程中,输出功率会随时间作周期性的或随机的波动,通常把波动频
率在 1Hz以下的慢变化称为功率漂移,把波动频率大于 1Hz的称为噪声。
产生噪声的原因有以下几个方面,自发辐射的随机性 z振荡模的不稳定性 ;谐振腔的振动 ;
激光电源的变化 ;放电噪声等。
造成功率漂移的主要原因如下,
(1)放电电流波动造成输出功率波动。激光电源不稳定,或者在工作过程中由于温度不
稳定,使放电管的放电特性改变,都会造成放电电流波动。
(2)谐振腔光轴与毛细管轴线相对位置发生变化引起功率波动。调整激光器时,要求谐振
腔的光轴 (球面腔是指两球心连线,平凹腔是指由凹面镜球心向平面镜所作的垂线 )沿着毛细
管轴向放置,如图 9.2.18(a)所示。在实际工作过种中,毛细管因发热会发生变形,使轴线偏离
原来位置,如图 9.2.18(b)。谐振腔的反射镜也会因振动或受热产生角度倾斜而使其光轴偏
离原来方向和位置。图中 (c)是假设平面镜不变,凹面镜倾斜 β角,倾斜后曲率中心由 c移到
c‘.谐振腔的光轴由 oc变为 oc',o'c'虽仍平行于 oc,但偏离 oc段距离 δ1=Rβ。图中 (d)是假设凹
面镜不变,平面镜倾斜 β角,倾斜后谐振腔光轴改变方向,由 oc'变为 o'c,oc和 o'c夹角为 β。可见,
不论毛细管变形还是谐振腔倾斜,都会改变原来调整好的最佳状态,致使输出功率下降。如
果上述变化是周期性的,则输出功率也表现出周期性波动。
图 9.2.18毛细管和谐振腔的变形
(a)调整好的激光器 (b)毛细管变形 (c)凹面镜倾斜 (d)平面镜倾斜
(3)纵模的变化引起输出功率的波动。在只有少数几个纵模振荡的短腔激光器中,由于温
度变化或其他原因使腔长发生了变化,导致谐振腔的纵模也要发生改变,这在以非均匀加宽
为主的 He-Ne激光中,将造成增益曲线的烧孔面积变化,从而引起功率输出波动。在只存在
0.6328um振荡的激光器中,因其谱线的宽度只有 300MHz左右,通常情况下,它的纵模振荡数
目很少,故谐振腔长的变化对其纵模振荡数目影响较大,使其振荡功率变化较明显。而
3.39um的跃迁与 0.6328um跃迁具有相同的上能级，故 3.39um功率的波动必然引起
0.6328um的输出功率发生波动。
减小功率漂移的措施很多，主要措施有两个：一是根据产生漂移的原因，在器件结构
和工艺上采取改进措施；二是靠外部控制的办法减小功率漂移。
第一方面的措施有：尽量提高器件的净增益。因为净增益愈高，输出功率愈大，漂移
占的比例就会相应减小；为了减小热变形，采用热胀系数小的材料做放电管；为了减小纵
模变化的影响，要抑制 3.39pm的振荡或采用稳频措施；尽量减小放电管的应力，因为应
力大，热变形则大。除上面一些措施外，在使用 He－ Ne激光器时，要调节电源的电流旋
钮，使工作处于最佳放电电流状态；在应用 He－ Ne激光器之前，先要点燃一段时间，等
管内温度平衡后再使用。这些都有利于减小功率漂移。
靠外部控制减小功率漂移的措施，可分为主动控制法和被动控制法。被动控制法是在
激光输出的光路中放入可控衰减器，取用部分激光功率产生控制信号去控制衰减器。当激
光输出功率大于稳定功率时，衰减器衰减程度加大，通过衰减器后的激光功率相应减小。
反之，通过衰减器后的输出功率加大，从而达到稳定功率的目的。可控衰减器可以用能转
动的平板玻璃（利用反射率随人射角改变而改变的原理）、法拉第旋转器和 KDP电光调制
器等。被动控制法不需要改变激光器内部结构和电源电路，这对于已具有现成激光器的情
况下很适用。其缺点是附加部件较多，调整复杂，且不可避免的增加了光功率的损耗。
主动控制法是利用输出功率的变化去控制激光器本身产生激光的能力，例如将输出功
率的变化与给定的基准（一般是一个基准电压）比较，其差值经放大后，去控制激光管的
放电电流或控制激光管周围的非均匀磁场强度。控制放电电流是利用激光输出功率随放电
电流变化而变化的特点去控制输出功率的。控制非均匀磁场强度的目的是利用塞曼效应改
变 3.39um谱线的纵模数目，进而控制 0.6328um的输出功率。
9.2.3 He－ Ne激光器的频率特性及稳频
一,He－ Ne激光的频率特性
He－ Ne激光器的激光跃迁发生在 Ne原子的激发态与基态之间。据报导，在适当的放
电条件下，已获得了一百多条谱线，其中最重要的是 0.6328um,3.39um两条激光谱线，
它们有共同的激光上能级 3S2，而且 3.39um的增益系数很高，很容易起振，一旦起振就会
消耗激光上能级粒子数，降低 0.6328um激光输出。所以要想法抑制 3.39um谱线起振。
一般的 He－ Ne激光器都是多纵模振荡，各纵模之间的间隔为西 Δvq=c/2nL(c为光速,L
为腔长）,0.6328um激光的多纵模振荡带宽为 Δv=2ΔvD(lnβ)1/2，其中激励参数
β=2Gml/(ac十 T),β越大振荡带宽越宽。多普勒带宽 ΔvD约为 900MHZ，当 β=2时，
Δv≈1500MHz，对应的波长范围为 Δλ=λ2Δv/c=0.002mm。为提高相干性，应尽量降低激
光振荡的线宽，最好是单纵模振荡。技术上有两种方法可获得单纵模振荡：一是缩短腔长，
增大纵模间隔，使只有一个纵模超过阈值而振荡。但腔长短，单程增益小，输出功率低。
另一种方法是采用选模技术，例如在谐振腔内放 F－ P标准具，使标准具只允许一个纵模振
荡。
二频率的稳定性及影响因素
单纵模工作的激光器,若频率不稳定也会响激光的输出特性。频率的稳定性有两种含义,
一是稳定度 ;一是再现性。频率的稳定度是指在某一连续点燃工作时间内,频率变化量与平
均频率之比 (Δν/ν)。根据用途不同,稳定度又分为短期稳定度和长期稳定度。前者指观
察时间小于 1秒的频率变化大小,后者指观察时间大于 1秒的长时间之内的频率变化大小。
频率的再现性是指在不同时间、不同地点或不同环境增下,激光频率的再现程度,也用相
对变化量 (Δν/ν〉 表示,
频率的稳定度和再现性是两个不同的概念,对一台稳频激光器,不仅要看其稳定度,还
要看其再现性。
谐振腔内的振荡频率表示式为 vq=(c/2nL)q,q为纵模数,n为折射率,C为光速,L为腔
长。可见,影响 n,L变化的因素都会影响振荡频率的稳定性。环境温度起伏或者激光管发
热
等原因,都可使材料伸缩,导致腔长 L变化,变化规律是 ΔL/L=αΔT(α为线热胀系数,ΔT为温度
变化 )。例如热胀系数小的殷钢,α=9.0× 10-7/℃,由此算得温度变化 1℃ 时,对
0.6328μm影响是 |Δν/ν|=9.0× 10-7。若要使频率稳定度达到 10-8,则温度漂移必须控制在
10-2℃ 以下。周围环境振动或声响都会影响谐振腔振动。设振动振幅为 0.4nm,激光腔长为
10cm,则可算得 |Δν/ν|=4× 10-9。为此,要求稳定度高的器件,常把它固定在防震台上。对于
外腔式或半内腔式的 He-Ne激光管,其谐振腔有一部分露在空气中,温度、气压和湿度的变
化均会引起这一段折射率变化,从而影响频率稳定性。
三、稳频方法
不少应用中需要的激光频率稳定度很高,此时必须采取稳频措施。稳频方法有两类,被
动稳频和主动稳频。被动稳频主要是采取一些措施降低外界扰动造成的影响。如选用石英
玻璃、殷钢等热胀系数小的材料做激光管和谐振腔支架,采取良好的防振和恒温措施,减小
振动和温度的影响。采用稳流电源,降低放电电流对输出的影响。这些措施可使频率稳定
度达到 10-7,再高要采用主动稳频措施。主动稳频的方法很多,比较常用的有兰姆凹陷法稳
频,饱和吸收法和塞曼效应法稳频。下面分别介绍这三种方法。
1.兰姆凹陷法稳频主
在, 激光原理, 课中己介绍过,激光器输出光强与频率的关系如图 9.2.19所示,中心频率
v0处光强低于两旁频率的光强,出现兰姆凹陷。利用兰姆凹陷稳频就是把激光振动频率稳定
在中心频率 ν0上。
利用兰姆凹陷稳频的结构原理框图示于图 9.2.20,在谐振腔上加一压电陶瓷,其一端固定
在支架上,另一端胶合上谐振腔反射镜。把振荡器输出的频率为 f==1KHz的音频电压信号
Vc加到压电陶瓷上,压电陶瓷就在 Vc作用下以同样频率伸缩,谐振腔的长度也以同样频率变
化,设激光器振荡率频在 ν。处,由于谐振腔发生了周期性微小变化,其振荡频率也在均处发
生了周期性变化,其变化幅度设为品,由图 9.2.19可见,与之相应的激光输出功率 Iv0发生周期
性变化。
图 9.2.19 I与 v的关系 图 9.2.20 兰姆凹陷稳频激光器的方框图
由于 ν。处于兰姆凹陷最低点,Iν0成单向脉动变化,其变化频率为 2f。若选频放大器中心频率
选在 f上,则 Iv0经光电接收器产生的频率为 2f的电压信号不能被放大,输出为 0,直流放大器输
出电压也为 0,压电陶瓷不变,腔长也维持不变,振荡频率维持不变。若由于某种原因振荡频
率降低到 νA,则激光输出功率变为 IvA,IvA变化频率为 f,相位与 Vc相反。 IvA产生的光电信号经
过选频放大后,由相敏检波器输出负极性直流电压,此电压使压电陶瓷伸长,带动谐振腔变短,
使振荡频率恢复到 ν0。根据同样分析,若振荡频率变到 IνB,则腔内振荡光强变为 IvB其变化频
率为 f,相位与 Vc相同,经相敏检波变成正极性直流电压,使压电陶瓷缩短,带动谐振腔长变长,
振荡频率恢复到 ν0.
此方法稳频可达 10-9~10-10的稳定度 (观察时间为 1秒 ~10秒 ),频率再现性可达 10-7
2.饱和吸收法稳频率
这是继兰姆凹陷法稳频之后,于 1967~1973年期间发展起来的一种高精度稳频方法。例
如,由甲烷 (CH4)吸收稳定的 He-Ne 3.39um激光输出的稳频激光器,它的稳定度和再现性可
分别高达 10-13和 10s量级。为此,1973年 6月国际米定义咨询委员会就推荐了甲烷和碘 (I2)饱
和吸收稳定激光的波长值,并明确规定甲烷和碘稳定激光的波长可作为长度副基准使用,以
后又被推荐作为复现米定义的激光波长。饱和吸收稳频所以有很高的稳频精度,是由于它
利用外界参考频率标准对激光进行稳频的结果。其简要原理如下,
一般 He-Ne激光器工作气压较高 (几百帕 ),其原子跃迁的中心频率 ν。容易受到放电条
件的影响而发生变化。我们在兰姆凹陷法稳频中用以鉴别频率漂移的激光输出功率曲线也
很容易受到等离子体不稳定的干扰，所以用原子跃迁中心频率 v0来稳频，再现性就不可能
很高。饱和吸收法稳频是用一外腔管,在腔内再设置一吸收管,如图 9.2.21所示。吸收管内
充的气体 (例如 I2,CH4等分子气体 )在激光振荡频率处有一强的锐吸收峰。吸收管内气压
很低,通常只有 1～ 10Pa。这种低气压气体的吸收峰所对波的频率是十分稳定的，所以稳
颇精度高。
在吸收管中，气体吸收曲线的中心频率 v0处有一吸收系数的下陷。这个吸收下陷产生
的原因与兰姆凹陷很类似。对于主要由非均匀展宽的谱线来说，只有那些沿激光管轴 (Z)
方向速度为零（ Vz=0）的一群原子吸收频率为 v0的光子；而对于不在中心频率 v0的某一频
率。来说，则有 Vz=土 (v-v0/v0)c的两群原子吸收频率为 v的光子。所以在 v0处吸收小而容
易达到饱和，出现了吸收下陷。
图 9.2.21 饱和吸收稳频装置
合理地选择放电管的放电条件及吸收管的工作条件，
可以使吸收管内的吸收介质与放电管增益介质联合作用
的结果，在激光增益曲线对称中心 v。处出现一个小的
峰（如图 9.2.22所示），称这种峰为反转的兰姆下陷。
图 9.2.22 饱和吸收效应
甲烷稳频的 He－ Ne激光器原理方框图如图 9.2.23所示。
其稳频原理与凹陷法稳频原理相同。先用一可调直流电
压驱动压电陶瓷，使谐振腔调谐到甲烷的吸收线附近。
然后接通光电反馈系统，由振荡器调制腔长。电信号经
选频放大后，由相敏检波器变换成有不同极性（反映调
制信号的相位）的直流信号，再经放大后去控制另一压
电陶瓷，微调谐振腔腔长，以使激光输出频率稳定
在 CH4的吸收线上。
图 9.2.23 He－ Ne:CH4稳频原理方框图
3塞曼稳频
根据外加磁场方向不同，塞曼稳频可
分为横向塞曼稳频和纵向塞曼稳频。
（ 1）横向塞曼稳频。根据横向塞曼
效应，当垂直于 He－ Ne放电管轴线
加外磁场时，中心频率为 v。的激光
谱线就会分裂成频率为 v。，
（ v。 +Δvz），（ v。 -Δvz）
的三条偏振谱线,Δvz正比
于外加磁场强度。这三条谱线分别称
为 π线，＋ ζ线,-ζ线，如图 9.2.24
所示。 π线的振动方向平行于磁场，
＋ ζ和 -ζ线的振动方向垂直于磁场。如果未加磁场时谐振腔的单纵模为 v的光振荡，加磁场
后，将产生振动方向互相垂直的 Iπ和 I＋ ζ。两偏振光。由于频率牵引作用,Iπ和 I+ζ要分别
向 π线和十 ζ。线各自的中心频率偏移，因而 Iπ和 I+ζ的频率不再相同，产生频差 fb0v不同，
产生的频差也不同。理论分析指出,v与 fb的关系呈 S形或倒 S形，如图 9.2.25所示。图中 a
点相当于纵横位置处于增益曲线的中心频率，这时对 π和 ζ分量产生的频率牵引作用较弱，
fb≈0。图中 b,C二点，相当于纵模位置处于 π和 +ζ线的中间位置上，这时产生的牵引作用
最强,fb为最大。
如果把工作点选在 S曲线的线性段 ac间，即以该点的 fb'值（对于纵模频率 v'）为基准，
凡偏离 fb时都自动调整谐振腔长度，使回到 fb'，则可达到稳频的目的。
图 9.2.24 横向塞曼分裂谱线及其拍频 图 9.2.25 fb与 v关系曲线
横向塞曼效应稳频的装置方块图如图 9.2.26所示。 45o检偏器的检偏方向与 π,ζ线的偏
振方向均成 45o放置。振动方向互相垂直的 π和 ζ二偏振光径 45o检偏器后，其合成光强按
物理光学给出的结论，将出现 π和 ζ原频率的光，又出现和频和差频的光。因光波频率太高，
光电接收元件不能响应原频及和频光的频率变化，只能反应它们的平均功率的大小。而差
频光由于频率很低，光电接收元件能响应其频率的变化。经 f－ V变换器可把不同的 fb变换
成相应的电压值，此电压和预先给定的基准电压系统中比较后，控制压电陶瓷（ PZT），
使谐振腔的腔长发生变化，从而使其振荡频率保持到要稳定的频率上。
(2)纵向塞曼稳频。如果沿 He—Ne激光放电管轴向加磁场，则引起纵向塞曼效应，即加
上纵向磁场后，原中心频率为 v0的 0.6328um谱线会分裂成两条谱线，一条是左旋圆偏振
光，中心频率为 voL=v0+ΔvZ(ΔvZ正比于纵向磁场强度，另一条是右旋圆偏振光，中心频率
为 voR＝ v0+ΔvZ。如图 9.2.27所示。
若有频率为 v的单纵模起振，加纵向磁场后产生 IL和 IR两圆偏振光。由于频率牵引作用
左旋圆偏光 IL的频率要高于 v，记为 vL，右旋圆偏光的频率低于 v，记为 vR，于是产生频率
差 f(f=vL-vR)。 f的大小与 v有关，与磁场强度和谐振腔品质因素有关，如图 9.2.28所示。按
照横向塞曼稳频的原理，可以用频差（或称拍频） f做为失调量进行稳频。由于产生频率
差，两圆偏振光的功率也发生变化。由图 9.2.27可见，在 v。处，左右旋圆偏的增益曲线
相交，频率牵引后的光强相等 IL=IR,v>v0处 IL＞ IR,v<v0处 IL<IR。不同 v处，光强差 IL-IR也
不同。因此以 v0为稳定工作点，利用 v与光强差的关系也可以进行纵向塞曼稳频。
值得指出的是，由于它是通过鉴频获得失谐信号的，因而才有较好的抗干扰能力。把
拍频稳频方法和用功率调谐曲线稳频法（如兰姆凹陷法）相比较，由于功率调谐曲线的位
置和形状容易随激光器参数变化，频率锁定点自然也相应地随之变化，因此它的频率再现
性就较差（约 10-7）。塞曼拍频稳频不直接用功率调谐曲 线，那些直接影响功率调谐曲线
位置和形状的压力效应和放电电流效应只是通过频率牵引效应间接影响拍频曲线,其影响
很小，所以拍频稳频的激光器有较高的抗干扰能力，故它的频率再现性较功率稳频能提高
一个数量级。
9.2.4 He－ Ne激光器的其他输出特性
He－ Ne激光器输出特性包括的内容很多，如激光功率及其稳定性、激光的振荡频率
及其稳定性、激光束的发散角及光点漂移、激光的偏振特性，激光器的寿命等。其中激光
功率和激光频率特性在前面已介绍过，本节主要介绍后三个特性。
一,He－ Ne激光束的发散角及光点漂移
Ne激光器的工作物质的光学均匀性好，可忽略光在腔内传播过程中产生的畸变，其发
散角只取决于谐振腔的几何尺寸。 TEM00模的远场发散角 ζ（半角）的大小，可用公式
ζ=λ/πω0计算,ω0为束腰半径，对 He－ Ne激光器常用的平凹腔，其值为
式中,R为四面镜的曲率半径,L为腔长。所以平凹腔的发散角为
(9.2.41)
令 T=R／ L，并代入上式可得
(9.2.42)
按此式可作图 9.2.30。由图可见：当腔长 L
一定时，随着 T的增加,ζ减小；若 T相同，
随着 L的增加,ζ减小；为得到相同的发散角，
较长的激光器可以选用较小的 T值，而较短
的激光器则须选用较大的 T值。总之，为了
得到小的发散角，应选用大 R或大 L，但 R和
L过大，不仅调整困难,而且在工作过程中容
易失调，造成输出功率漂移。因此，在选 R
和 L时必须统筹兼顾。
图 9.2.30 远场发散用与 T的关系在小型内脏 He－ Ne激光器中，希望采用曲率半径小的凹面镜，以便降低调整精度，但这种腔
的发散角大。为了解决这一矛盾，人们设计了凹凸会聚透镜作输出镜，如图 9.2.31所示。
凹面上镀多层介质膜，起凹面反射镜的作用。凸面的作用是缩小发散角。由谐振腔的振荡
理论知，稳定振荡后，在凹面镜上的波面半径应与该凹面的曲率半径 R相等。如果光束通
过输出镜后，波降面能变为平面，则光束的发散角就可很好的压缩。利用高斯光束的变化
定律，可求出波面半径由 R变为 ∞时凸面的曲率半径 R',R'=R（ n-l)/n，对折射率为 1,5的
玻璃,R'≈R/3。这实际上等于把输出光束的束腰由腔内变换到凸面处，由于凸面处的光斑
半径比腔内的束腰半径大得多，所以发散角可以得到压缩，一般可使发散角小几倍。
He－ Ne激光的发散角比较小，用作准直时，精确度较高。但是当我们用 He－ Ne激光
准直时，就会发现，激光束。光斑的中心位置可能随时在变动，称此现象为光点漂移。点
漂移可以认为是由激光束的方向漂移和光点的横向平移 共同造成的，其中以方向漂移影
响较为严重。造成光点漂移的根本原因是工作过程中由于温度变化、震动等因素使谐
振腔反射镜的角度发生了变化所致。由图 9.2.18可见：平面镜倾斜，使光轴倾斜同样的角
度产生方向漂移。凹面镜倾斜使光轴平移，因而光束产生横向平移。如果谐振腔凹面镜倾
斜角度为内，平面镜倾斜角度为 β平,则可造成输出光束在观察平 面（距束腰中心的距离
为 Z）上的光斑位置横向移动量为 (Rβ凹 ＋ Rβ平 )。在远离激光器的地方,Z>>R，由凹面镜
倾斜造成的光斑位置的横向平移可以忽略，这时光斑位置移动取决于平面镜的倾斜
Zβ平 ；此外，反射镜贴得不正，反射率不均匀，均能增加光点漂移。
图 9.2.31 凹凸形输出镜
激光束的光点漂移，给一些应用带来困难，因此要尽量减小其漂移量。减小光点漂移
的主要措施有：
（ 1）选择合适的谐振腔。因两反射镜倾斜时光束漂移量为（ Rβ凹 ＋ Rβ平 ），所以采用半
球腔而不用长半径腔，以减小 Rβ凹 。但对于远距离光斑，此方法作用不大。
（ 2）减小两反射镜倾角变化。可用下面的一些方法减小两反射镜的倾角变化：对内腔
式要增加毛细管刚度并采用热膨胀系数小的材料，镜片不直接贴在放电管上，而是放在一
个同轴的殷钢做的套筒上，避免由于放电管工作时温度变化而导致谐振腔光轴变化（殷钢
热胀系数小，环境温度变化对谐振腔影响小）；对外腔式或半外腔式激光管，要减小毛细
管热变形对谐振腔的影响，要求谐振腔的调节支架牢固可靠、热变形小，合理固定激光管，
并在它的外面加铝质热屏蔽罩等，隔离外界空气流动或整机内其它的热元件对激光管的影
响。此外，由于温度变化和放电管应力在各处是不均匀的，放电管处于不同方位时，其受
热变形的情况也不一样，因此对内脏式 He—Ne激光器，适当转动激光管可找到使光点漂
移最小的位置。
（ 3）从激光器外部采取措施减小光点漂移的影响。例如在激光输出的光束中设责监视
系统，当光束漂移时，产牛样制信号，使激光管向漂移相反的方向偏转，则光束回到某准
仿 X。用扩束望远镜 〔 倒置在望远镜）也出以减少方向漂移量，因为扩束望远镜具有压缩
发散角的作用。虽然扩束望远镜放大了激光束的平移量，但在远距离时，平移漂移与角漂
移相比可忽略，故减小光束漂移的作用还是明显的。目前国内有的 He一 Ne激光管由于采
用了殷钢外套，日动调节装置和 10倍扩束望远镜，可得到出口处光束漂移量为
士 0.012mm／ 2h，在 20m处漂移量为士 0.035mm/2h的较好结果。
二 He—Ne激光的偏振特性及获得偏振输出的方法
在外腔和半外腔式 He—Ne激光器中，由干布儒斯特窗的存在，输出的激光为偏振光，在
动方向在管轴与布氏窗的法线所构成的平面内。若与上述平面平行和垂直的光分量分别记
内腔 He—Ne激光器产生的激光一般表现为
自然光的性质．也存在一定的偏振性，但其偏
振状况较为复杂，与振荡模的数目、反射镜的
反射率的分布情况等有关，而且在工作过程中，
偏振特性还发生不规则的变化。
图 9.2.32
很多应用场合都需要偏振光，因此制造偏振光
输出的激光器具有非常实用的意义。目前具有偏振
光输出的 He—Ne激光器大都是具有布儒斯持窗的
外腔或半外腔式激光器，但其往往需要配置反射镜
的调整机构，并需经常调整，很不方便。为克服这一
缺点，人们采用图 9.2.32所示的结构，即用在内腔式激光器中加有布儒斯特窗的方法获得
偏振光输出。这种结构也有缺点，就是由于加入了布儒斯特窗片，使制管工艺复杂，腔内
损耗也增加，因而其输出功率比全内腔激光器低。同时，布儒斯特窗粘接后会产生应力双
折射，使得激光器输出的线偏振度不能很高 (一般只有 99,6％ )。在放电管上加有均匀横
向磁场 (磁场方向垂直于放电管轴线 )的磁起偏 He—Ne激光器，既保留了全内胶激光器的特
点，又可获得高偏振度的偏振光输出。其结构示于图 9.2.33中。下面简单地说明一下磁
起偏 He—Ne激光器的工作原理。 0.6328umHe—Ne激光器的激光上能级是 Ne原子的 3S2，
下能级是 Ne原子的 2P4。根据塞曼效应，在均匀磁场作用下，激光上能级将发生塞曼
分裂，分裂情况如图 9.2.34所示。分裂后的子能级为量子化的，与磁量子数 m有关。子能
级间的距离与磁场强度 B成正比。按分裂后两能级的跃迁选择定则（ Δm=0,土 1），应有
9种跃迁方式。
图 9.2.33 磁起偏 He-Ne激光器
图 2－ 34 Ne原子 3S2和 2P4能级的塞曼分裂
对应 Δm=0的跃迁称为 π分量。由于能量差相等,π分量实际是产生一条谱线，其中心
频率位于原增益曲线的中心 v。处，实验发现其偏振方向平行于磁场方向。 Δm=+l和 Δm=-
1的跃迁分别称为 +ζ和 -ζ分量，实际也是各自产生一条谱线，其中心频率分别为
v0'=v0+Δv2,v0"=v0-Δvz,其中 Δvz与磁场强度成正比。士 ζ分量的振动方向垂直于外加磁场
方向,π分量和土 ζ分量的增益曲线如图 9.2.35所示。当磁场强度大到一定程度后，三条谱
线便可以完全分得开。由实验可知,π分量的光谱线强度约为 ζ分量的二倍，
这就是说 π分量较 ζ分量更容易起振。又由于谐振腔反射镜在镀介质膜时，镀层厚度不会绝
对一致，会使反射率具有各向异性，这将造成谐振腔的各向异性。我们转动激光
管（相当转谐振腔），可找到有利于。起振的位置。上述原因都有利于 π分量同 ζ分量的竞
争，因此可获得振动方向平行于磁场的线偏振光输出。
图 9.2.35 π与士 ζ分量的增益曲线
三,He—Ne激光器的寿命
He－ Ne激光器使用一段时间或存放一段时间后，它的输出功率会逐渐降低，以致最后
没有激光输出。现在一般规定输出功率下降到最高功率的 1／ e的工作时间为器件的寿命。
影响器件寿命的因素大致有以下几方面：
1．慢漏气
当放电管密封不严密时，空气中的氮、氢等气体分子会渗透到管内，使放电条件改变
并加快氦、氖原子激发态的消失速率，无疑，这将影响器件输出功率。出现慢漏气时，激
光器的放电颜色将由正常放电时的橙红色变为紫色（紫色是氮分子辉光放电产生的）。
容易出现慢漏气的地方有：电极与玻璃封接处；谐振腔反射镜或布儒斯特窗与放电管
粘合处以及吹制管坯时可能留下来的微小漏气孔。为防止慢漏气，要提高封接工艺水平并
改革现有封接方法。
2．放电管内元件放气
放电管内的元件及放电管内壁都会吸附杂质气体，如果除气不彻底，以后就会慢慢释
放出来。同时激光管清洗得不干净时，污物和洗液也会放出大量杂质气体，这些杂质气体
会改变原充气的气体成分，影响输出功率。
为克服放气，要对放电管及其内部元件进行认真清洁处理和除气。此外，在放电管内
可放置吸气剂，例如钡钛、钡铝镍等，它们可吸收大量氮气、二氧化碳、一氧化碳、水蒸
气、氧、氢等，但不吸收氦、氖。
3．阴极溅射
阴极在正离子轰击下会产生阴极溅射，溅射出来的金属材料会吸收工作气体，导致管
内工作气压降低。同时溅射物质还会污染谐振腔反射镜或布儒斯特窗片。
为了减少溅射，要选用不易溅射的金属做电极，并避免表面放电电流密度超过溅射阈
值。为防止溅射物吸收造成的工作气压降低，在充气时可略高于最佳总气压。
4．工作气体的吸附、吸收和渗透
放电管内的工作气体可被电极和管壁吸附在表面，或吸收到金属和玻璃内部，甚至还
会透过管壁渗透到大气中去。氖的电离电位比氦低，它比氦更容易被吸附或吸收。氦原于
直径比氖小，它渗出管外的能力比氖强。
由于这些原因，管内的总气压和氦、氖气压比会慢慢变化，使之偏离最佳工作状态，
造成输出功率下降。
为防止氦气渗出，要选用渗氦低的材料做放电管。为防止氦气渗出造成气压比降低，
充气时充入的气压可高于最佳气压比。还可以采用三层套管，即在放电管外再加一层氦气
补偿套管，管内充入的氦气，气压应高于放电管内的气压。
5．谐振腔反射镜的污染
溅射沉积在反射镜上或放电管内未加清除掉的污物挥发后会沉积到反射镜上，促使其
反射率下降。为防止反射镜污染，除认真清洁内部和减少溅射外，设计 He－ Ne激光器时，
应注意反射镜到阴极的距离要大于 3cm。
目前 He－ Ne激光器最长的寿命可达 10万小时。
9.2.5、氩离子激光器
图 9.2.36为 Ar离子与激光产生过程有关的能级图。
中性 Ar原子的电子组态为 3P6.放电过程中,Ar原子
与快速电子碰撞后电离,形成基态氩离子,其电子组态
为 3P5。激光跃迁发生在 Ar+的电子组态 3P44P和
3P44S之间。前者的寿命约为 10-8s,后者通过自发辐
射迅速消激发,其寿命约为 10-9s。由于 3p44P和 3P44s
电子组态均对应若干子能级,所以连续工作的氩离子
激光器可产生 9条蓝绿激光谱线,其中以 488nm和
514.5m谱线最强。在谐振腔内插入棱镜等色散元件,
可以获得单谱线激光。 图 9.2.36Ar离子能级图
激光跃迁上能级 (4P)粒子的积聚主要通过三种途径实现,a.基态 Ar+与电子碰撞后直接
跃迁到 4P能级 ;b.基态 Ar+与电子碰撞后跃迁至高于 4P的其他能级,再通过级联辐射跃迁至
4P能级 ;c.基态 Ar+和电子碰撞跃迁至低于 4P的亚稳态能级后再次与电子碰撞并跃迁至 4P能
级。若令等离子体中 Ar+与电子密度分别为 ni和 ne,放电电流密度为 J,由于等离子子体为电中
性,故有 ni≈ne。前述 a,b两过程使 4P能级集居数密度增长的速率为,
过程 c虽然多涉及一次电子碰撞,但由于大电流密度下电子与亚稳态 Ar+碰撞也可能寻
起消激发,所以过程 c对应的泵浦速率同样和 J2成正比。由于 Ar原子的电离能量 (≈15eV)和
激光跃迁上能级的激发能量 (≈20eV)较高,正常运转所要求的平均电子动能 (电子温度 )很高。
为了提高电子温度,氢离子激光器中的充气压强一般在 150Pa以下。但低压强意味着 Ar原子
密度小,为了提高电离和激发速率,必须增加放电管内的电子密度,
所以氩离子激光器必须采用大电流孤光放电激发,放电管内电流密度通常超过 106A/m2。
氩离子激光器的输出功率随放电电流的增长而迅速增长,但电流过高也会因多重电离的出
现和高温引起的谱线加宽而导致增益和输出功率的下降。
为了提高放电电流密度,放电应集中在放电毛细管中心 1~2mm范围内。为此沿放电毛
细管加一轴向磁场,磁场产生的洛仑兹力可约束电子和离子向管壁扩散。但在使电子集中
在放电管中心的同时也降低了轴向电场强度,从而导致电子温度和电离度降低,因此存在一
个使输出功率最大的最佳磁场强度值。
高密度电流放电产生的高温等离子体使放电毛细管承受很大的热负荷。高能离子轰击
管壁及电极时溅射剥落的颗粒会污染气体和窗口。因此放电毛细管材料必须满足耐高温、
导热性好、抗溅射和气密性好等要求。常用的毛细管材料是石墨和氧化镀陶瓷,最近发展
了一种钨盘 -陶瓷毛细管结构。
9.2.5,CO2激光器
C02激光器的主要特点是输出功率大,能量转换效率高,输出波长 (10.6um)正好处于大气
窗口。因此广泛用于激光加工、医疗、大气通信及其他军事应用。
C02激光器以 C02,N2和 He的混合气体为工作物质。激光跃迁发生在 C02分子的电子基
态的两个振动 -转动能级之间。 N2的作用是提高激光上能级的激励效率,则有助于激光下能
级的抽空。
如所周知,分子的总能量包括以下四部分,① 电子绕核运动的能量 ;② 分子中原子的振动
能量 ;③ 分子的转动能量 ;④ 平动能量。除平动能量外,前三种运动的能量都是量子化的。相
邻电子能级、振动能级及转动能级间能量差的比例约为 104:102:10
如图为 CO2和 N2分子基态电子能级的几个与激光产生有关的振动子能级。为简单起见,图
中未示出转动能级。 N2分子是双原子分子,只有唯一的一种振动方式,图中给出振动量子数
v为 0和 1的振动能级。 C02是线对称排列的三原子分子。组成分子的三个原子以对称振动、
弯曲振动和反对称振动三种方式相对振动,如图所示。以 v1,v2和 v3依次表示上述三种振动
方式的量子数,其取值为零或正整数。由于弯曲可发生在两个正交的方向,其合振动构成椭
圆运动,它的角动量在分子轴上的投影也是量子化的,用量子数 l表示,l =v2,v2-2,v2-4,… 1或 0。
振动能级以 v1vl2v3符号表示。 0001→ 1000跃迁产生 10.6um波长的激光,0001→ 0200跃迁产
生 9.6um波长的激光。由于以上跃迁具有同一上能级,而且 0001→ 1000跃迁的几率大得多,
所以 C02激光器通常只输出 10.6μm激光。若要得到 9.6um的激光振荡,则必须在谐振腔中放
置波长选择元件抑制 10.6um激光振荡。
除振动外,C02分子还可作整体转动。转动能量可表示为
式中 B为反比于转动惯量的转动常数以为转动量子数。转动能级间的选择定则是
ΔJ=0,± 1。由于波函数的对称性,C02分子 0001振动能级中不存在 J为偶数的转动能级,而
1000振动能级中不存在 J为奇数的转动能级。所以在 0001和 1000能级间的振转跃迁谱线中
没有 ΔJ=0的支线,ΔJ=+1的谱线称作 R支线,ΔJ=-1的谱线称作 P支线。实际上,由于相邻转动
能级能量差小于 KT,转动能级间的弛豫过程十分迅速,一旦某一振转谱线首先产生激光振荡,
其他转动能级的粒子会很快转移到此谱线相应的上能级,因此通常总是增益最大的激光谱
线振荡。若在谐振腔内设置波长选择元件,可以选择所需要的激光谱线。
C02激光器中,通过以下三个过程将 C02分子激发到 0001能级
1.直接电子碰撞
电子与基态 (0000)C02分子碰撞使其激发到激光上能级。这一过程可表示为
C02(0000)+e → C02(0001)+e
2.级联跃迁
电子与基态 CO2分子碰撞使其跃迁到 000n能级,基态 C02分子与高能级 C02分子碰撞后跃
迁到激光上能级,此过程可表示为
C02(0000)+C02(000n)→ C02(0001)+C02(000n-1)
3.共振转移
由于 N2分子 (v=0)能级和电子碰撞后跃迁到 v=1的振动能级。这是一个寿命较长的亚
稳态能级，因而可积累较多的 N2分子，基态 CO2分子与亚稳态 N2分子发生非弹性碰撞并跃
迁到激光上能级。这一过程可表示为
C02(0000)+N2(v=1)→ C02(0001)+N2(v=0)
由于 C02分子 0001能级与 N2分子 v=1能级十分接近,能量转移十分迅速。此外,N2分子的
v=2~4能级与 C02分子 0002~0004也十分接近,相互间也能发生共振转移,处于 0002~0004
的 C02分子与基态 C02分子碰撞可将它激励至 0001能级。
在以上三种激发途径中,共振转移的几率最大,作用也最为显著。
在以上三种激发途径中,共振转移的几率最大,作用也最为显著。
C02分子激光跃迁下能级的抽空主要依靠气体分子间的碰撞。 1000和 0200能级的 C02分子与
基态 C02分子碰撞后均跃迁至 0110能级。此过程及其逆过程可表示为
C02(1000)+CO2(0000) 2CO2(0110)+ΔE1
C02(0200)+C02(0000) 2C02(0110)+ΔE2
由于 ΔE1及 ΔE2远比 KT小,所以上述过程具有很高的几率,1000,0200及 0110三个能级可在
极短时间内达到热平衡,它们之间的集居数分布可由玻耳兹曼分布描述。 0110能级的 C02分
子通过与基态 C02分子的碰撞返回基态,此过程可表示为
C02(0110)+C02(0000)→ 2C02(0000)+ΔE3
由于 ΔE3高达 667cm-1,发生这一过程的几率很小,结果使 0110能级酷似一个瓶颈,下能
级的排空过程在此能级受到阻塞。阻塞在 0110能级的 C02分子可能通过碰撞重返激光跃迁
下能级,对激光运转极为不利。为了克服瓶颈效应,在放电管中充以一定比例的 He气。基态
He原子和 0110能级 C02分子的碰撞大大缩短了此能级的寿命,相应地也使激光跃迁下能级的
寿命大为缩短。此外,具有较高热导率的 He气加速了热量向管壁的传递,从而降低了放电空
间的气体温度,这将有效地降低激光跃迁下能级的集居数密度。由量子理论可知,自发辐射
寿命和相应跃迁波长的三次方成正比,由于 C02激光跃迁波长很长,致使激光跃迁上能级的自
发辐射寿命很长。上能级的寿命巧主要取决于分子间碰撞弛豫过程的速率,可表示为
式中 pi和 αi分别为各种气体的分压强及碰撞弛豫速率常数。若混合气体中 C02,N2
及 He的分压强分别为 2× 102pa,2× 102pa和 1.6× 103pa时,激光上、下能级的寿命分别
为 0.4ms和 20us
辐射波长较长还使 C02激光跃迁能级间的自发辐射谱线具有较小的多普勒加宽,在温度
为 400K时 ΔvD=60MHz。碰撞加宽不可忽视,在高气压情况下,碰撞加宽可占主导地位。碰撞
加宽可表示为
由第四章习题 17可知,饱和光强与激光上、下能级寿命有关,而 CO2能级寿命与激光器
中的放电电流密度、气体温度、气体总压强和成分有关。因此 CO2激光器的饱和光强 Is与
激光器的工作条件有关。例如封离型 CO2激光器的饱和光强一般在 22~100W/cm2之间
而横向流动激光器的饱和光强可高达 250W/cm2.
C02激光器的谐振腔大多采用平凹腔,由于其增益高,也可采用非稳腔以增加其模体积。
高反射镜可用金属制成,也可在玻璃表面镀以金膜。输出端可采用小孔耦合方式或由可透
过红外光的 Ge,GaAs等材料制成输出窗。
C02激光器可分为以下七类。
1.纵向慢流 CO2激光器
在这种 C02激光器中,气体从放电管一端流人,由另一端抽走,气流、电流均和光轴方向一
致。气体流动的目的是排除 C02与电子碰撞时分解出来的 C02气,并补充新鲜气体。
在这类激光器中,放电电流密度和气体压强均有一使输出功率最大的最佳值。电流密度
增加时激光上能级激发速率增加,但由此造成的气体温度的升高又会增加下能级集居数,因
而存在一最佳电流值。同样,气体压强增高时一方面由于气体分子密度增加使反转集居数
随之增加,另一方面,气体分子间更加频繁的碰撞又阻碍了热量向管壁的扩散,从而导致气体
温度升高。实验表明,电流密度与压强的最佳值大致与放电管径成反比。在最佳放电条件
下,激光器的输出功率约为 50~60W/cm2
2.封离型 C02激光器
在放电过程中,一部分 C02分子分解为 CO和 O,如不抽去陈气,补充新鲜气体,则 C02含量不
断减少,CO含量不断增多,这将导致输出功率下降。因此,在封离型 CO2激光器中,必须加入催
化剂促使 O和 CO重新结合为 C02,并选用不与 02气作用的阴极材料以保证激光器中有足够的
氧气和 CO重新结合。通常加入少量 H2O或 H2作催化剂。封离型激光器的结构和输出功率的
水平和纵向慢流激光器相似,寿命已超过数千小时至一万小时。
3.纵向快流 C02激光器
在纵向慢流激光器中,放电产生的热量主要靠气体的扩散运动传给管壁,再由沿管壁外
表面流动的冷却液带走。由于这种散热方式效率较低,电流密度和压强不能太大,因此限制
了输出功率。如果提高气体流动速度 (约 50m/s),使放电管内的热气流流出管外,在管外冷
却后再返回放电管,则不再存在放电电流密度的最佳值,输出功率随放电电流密度线性增加。
单位长度输出功率可达 1KW/m以上。目前,1~3KW的纵向快流 C02激光器已广泛用于激光
加工。与大功率的横向流动激光器相比,纵向快流 C02激光器中放电电流密度分布的圆对称
性较好,因此具有更好的光束质量。
4.横向流动 CO2激光器
纵向快流 CO2激光器需要很高的气体流速才能及时将热气体导出,若使气体流动方向与
光轴垂直,由于气体通道截面大,气体流动路径短,因此较低的流速就能达到纵向快流同样的
冷却效果。和纵向快流 CO2激光器一样,在横向流动 CO2激光器中,输出功率的电流饱和效应
不明显。最佳气体压强高达 1.3× 104pa。高压强运转有利于提高输出功率,但频繁的碰撞
使电子温度降低,必须在强电场中才能维持足够高的电子温度。因此,在横向流动 CO2激光
器中,纵向放电不切实际,通常采用电场与光轴垂直的横向放电方式。采用横向放电方式的
激光器称作 TE激光器。此类激光器中单位长度输出功率可达每米数千瓦,总输出功率已高
达 1~20KW。
5.横向激励大气压 CO2激光器
高气压横向激励 CO2激光器中,压强过高会导致放电不稳定。为此,常常采用脉忡放电激
励方式。由于快速脉冲放电时放电不稳定过程来不及充分发展,因此气体压强可增高至大
气压或高于大气压。由于压强高,横向激励大气压激光器 (简称 TEA激光器 )单位体积输出能
量可高达 10~50J/L,总能量和峰值功率可分别高达 10KJ和 20TW。
6.气动 CO2激光器
气功 CO2激光器采用热泵浦方式。含有 CO2的混合气体在容器内燃烧以形成高温高压状
态,由于温度很高,CO2的激光上、下能级均具有较高的集居数密度。混合气体通过喷管
绝热膨胀时气体温度急剧下降,但由于上能级的寿命较下能级长,集居数密度减丛的速率较
下能级慢,于是在膨胀区的相当大的范围内可形成集居数反转状态。气动 CO2激光器的输
出功率可达 80KW。
7.波导 C02激光器
波导 CO2激光器是一种小型激光器,由 BeO或玻璃制成的放电管管径仅 1~4mm由于放电
管管壁对于小角度掠射光的费涅耳反射率很高,从而可在横向尺寸远大于光波长的空心介
质波导中低损耗地传输波导模。波导 C02激光器可采取纵向放电方式,也可采用横向射频激
励,
9.2.6,N2分子激光器
四,N2分子激光器
以脉冲放电激励的 N2分子激光器输出紫外光,输出峰值功率可达数十兆瓦,脉宽小于
10ns,重复频率为数十至数千赫。其最重要的用途是用作可调谐染料激光器的泵浦源，此
外，也可用于光谱分析，检测污染，医学以及光化学等方面。
图 9.2.42为 N2分子能级图。激光跃迁发生在不同电子态 C3IIu和 B3IIg的振动能级之间。
两电子态中不同振动能级间的跃迁可以得到多条谱线,其中以 337.1nm激光谱线最
强,357.7nm 谱线次之,315.9nm谱线最弱。放电时基态 (XI∑)分子与电子碰撞后跃迁至 C3IIu
和 B3IIg。虽然上能级的激发几率比下能级大得多,但由于上能级的寿命 (40ns)比下能级寿
命 (~1011s)小得多,所以仅在激励起始的很短时间内能形成集居数反转状态,超过这段时间
后,下能级集居数超过上能级,受激放大过程自行终止。这类激光器称作自终止激光器,只能
以脉冲方式运转,泵浦放电脉冲宽度必须远小于 40ns。
图 9.2.42 N2分子能级图
图 9.2.43是典型 N2分子激光器的示意图。这类激光器普遍采用 BIUEnkin放电电路,它
由储能电容 A、脉冲形成线 B、电感 L和火花隙 G组成,A和 B均为平行平板电容器。当电容充
至一定电压时,电容 B通过火花隙 G放电并形成电脉冲。由于快速脉冲放电时电感 L的阻抗很
大,与 A,B上平板相连的二电极间形成高压窄脉冲并通过放电管放电。显然,电极不同部位
形成高压脉冲的时间决定于与火花隙的距离,所以选择适当的形成线几何形状,可使放电管
沿轴向依次放电,各处的延迟时间正好等于最先放电处发出的自发辐射光传输到该处所需
的时间,这种激励方式称作行波激励。
图 9.2.42 行波激励 N2分子激光器
(a)正视图 (b)俯视图
N2分子激光器增益高,集居数反转持续时间短,因此无需谐振腔反馈,其输出光为放大的
自发辐射。增加放大光程长度及使双向辐射的光集中在同一方向输出可增加输出功率,为
此在放电管一端置以全反射镜,另一端安装一透明石英片。
9.2.7 准分子激光器
准分子是一种在激发态结合为分子,在基态离解为原子的不稳定缔合物。图 9.2.43为
准分子的势能曲线。由激发态势能曲线可见,在某一核间距时势能最小,这就是束缚态的特
征。慕态势能曲线随核间距的增加而单调下降,显示了原子相排斥的特征。激光跃迁发生
在束缚态和自由态之间。准分子跃迁到基态后立即解离,这意味着激光下能级总是空的,只
要激发态存在分子,就处于集居数反转状态。由于激光下能级不是某个确定的振动 -转动能
级,跃迁是宽带的,因此准分子激光器可以调谐运转。
图 9.2.43 准分子能级图
准分子可由异类或同类分子构成,已成功运转的准分子激光器的波长示于表
表典型准分子激光器的波长
准分子激光器普遍采用电子束或快速放电泵浦。放电泵浦多采用 Blumlein电路,它具
有体积小、结构简单、可高重复率运转等优点,在商用准分子激光器中得到广泛应用。现
以放电泵浦 KrF*准分子激光器为例说明其激励过程,在放电过程中,被电场加速的自由电子
与 Kr原子碰撞产生大量受激氪原子 (Kr*),kr*与含卤素分子 NF3碰撞产生 KrF*准分子。以上
过程可表示为
准分子激光器中常加入 He,Ne或 Ar等缓冲气体,其作用是使电子温度下降,以便碰撞时产
生更多的激发态粒子 (如 Kr*),而不产生过多的离子。与缓冲气体分子的碰撞还可促使高振
动能级的准分子向低振动能级弛豫,
准分子激光器脉冲输出能量可达百焦耳量级,峰值功率达千兆瓦以上,平均功率可大于
200W,重复频率高达 1KHz.在光化学、同位素分离、医学、生物学、光电子及微电子工业
等方面获得了广泛应用。
9.3 半导体激光器
以半导体材料为工作物质的激光器称为半导体激光器。其特点为超小型、高效率、低
成本、工作速度快和波长范围宽等。它是激光光纤通信的重要光源。目前在光存储、激光
高速印刷、全息照相、激光准直、测距及医疗等许多方面广泛应用。而在光信息处理、光
计算机和固体激光器泵浦等方面却正是方兴未艾。
自 1962年半导体砷化嫁（ GaAs）同质结激光器问世后，半导体从同质结、单异质结、
双 异质结到半导体激光器阵列，波长范围履盖了可见光到长波红外，逐渐地成为现代激
光器件中的应用面最广、发展最为迅速的一种重要器件类型。
同以气体或固体作为工作物质的激光器一样，欲使半导体材料产生激光，同样要使
半导体材料中电子能态发生变化，以形成一定的粒子数反转，并且要有一个合适的光学共
振腔。但是，由于半导体材料中电子运动的特殊性半导体激光器又有着许多不同于气体和
固体激光器的特性。因此，要深入了解半导体激光器的特性和原理，我们必须从有关半导
体材料的理论着手
一、有关半导体的基础知识
1．能带
构成半导体激光器的工作物质是半导体晶体。在半导体晶体中，电子的运动状态和单
个原子时的情况大不相同，尤其是其外层电子有了明显的变化，即所谓的, 共有化运动, 。
量子力学证明：当 N个原子相接近形成晶体时，由于共有化运动，原来单个原子中每
一个允许能级要分裂成 N个与原来能级很接近的新能级。在实际的晶体中，由于原子数目
N非常大，新能级又与原来能级非常接近，所以两个新能级间距离很小，几乎可把这一段
能级看作是连续的。我们便把这 N个能级所具有的能量范围称为, 能带, 。不同的能带之
间可以有一定的能量间隔，在这个间隔范围内电子不能处于稳定状态，实际上形成一个能
级禁区，称为, 禁带, 。此间距用禁带宽度 Eg来衡量。图 9.3.1说明了中子轨道、能级及
能带之间的对应关系。
在晶体中，由价电子能级分裂而成
的能带叫做, 价带, 如某一能带被电子
填满，则称之为, 满带,,而在未激发情
况下无电子填入的能带叫做, 空带 ’ 二若
价带中的电子受激而进入空带，则此空
带称为, 导带,,同时，价带上由于价电
子激发到导带后留下一些空着的能级称为, 空穴, 。 图 9.3.1 电子轨道,能级,和能带
在纯净的、不含杂质的半导体中，由于热运动而产生的自由电子和空穴数量很少。但
如果半导体中掺入杂质，情况就不同了。如 GaAs（ III一 V族化合物）中掺入碲（ VI族元
素），就会在导带下形成杂质能级 ED，如图 9.3.2（ a）。杂质能级上电子很容易转移至
导带上去，这种杂质称为施主。掺旋主杂质的半导体称为电子型半导体或 N型半导体。而
如果我们在 GaAs中掺入 II族元素如 Zn，则会在价带上方形成受主杂质能级，如图 9.3.2(b)。
价带上的电子可跑到受主能级上去，从而在价带上产生许多空穴。这种半导体称为空穴型
半导体或 P型半导体。
图 9.3.2 半导体的杂质能级
一般低掺杂半导体中，杂质能级是一些位于禁带中的分立能级。但当掺入杂质的浓度
很大时，杂质能级也将分裂成为, 杂质能带, 。杂质浓度愈高，杂质能带就愈宽，甚至出
现杂质能带与导带或价带连成一片而形成, 带尾, 。此时禁带宽度由于带尾而变窄。
2．电子和空穴的统计分布
统计物理学指出：满足泡里原理的电子集团，遵循费米一狄拉克统计规律，即在热平
衡条件下，一个电子占据能量为 E的能级的几率为
（ 9.3.1）
由上式可见，对于某一温度 T，能级 E上的电子占据率唯一地由费米能级 EF所确定，
因此可以把 EF视作电子填充能级水平的一把, 尺子, 。如图 9.3.3（ a）所示。图中阴影
部分表示该处的能级已被电子所填满，电子在该处能级上的占据几率为 100％，即
fe(E)=1。
P型半导体的价带中的电子很容易跑到受主能级上，所以电子填充水平较低，而 N型半导
体则电子填充到了导带中，即填充水平高。从价带到导带，电子填充的几率将从 100％逐
渐减小到零。若 E=EF，则得
即费米能级代表着电子填充率为 50％的能级。当然，由于禁带的存在，费米能级仅是一个
从统计的角度假设的能级。
费米分布函数的整个曲线形状如图 9.3.3(b)，与该函数有关的一些重要性质如下：
(1)当凡确定后，温度 T对载流子分布有很大影响，图中示意地描绘了 T3>T2>T1时
的情况。
(2）当 E>EF,且 E-EF>>KT则
(9.3.2)
图 9.3.3(b) 费米分布函数曲线
而空穴占据能级的几率为 fe(E)≈1。
(2）当 E<EF,且 EF-E>>KT则 fe(E)≈1
即空穴分布服从波尔兹曼分布。
当载流子对能级的占据率很小时尊守玻
尔兹曼分布，这种分布称为非简并化分布；
而按费米分布来计算分布时，载流子对能级
占据几率甚大，称简并化分布。
在未掺杂质的本征型半导体中，费米能
级居于禁带中央，导带内的电子或价带内的
空穴是非简并化分布。但在高掺杂半导体中，
由于杂质带尾的出现，有可能使费米能级进
入导带或价带。以后我们将知道，这正是半
导体产生激光的重要条件，而此时重掺杂的
P型的价带内的空穴和 N型导带内的电子呈
简并化分布。
（ 4）在热平衡系统中只有一个费米能级，电子和空穴的分布由同一费米能级来描述，
若两个平衡系统各有自己的费米能级，当这两个系统达到热平衡时，它们的费米能级应趋
于相等而处于同一水平上。
3．平衡和加压下的 P－ n结的能带结构如果我们设法使一块完整的半导体一边是 N型，
而另一边是 P型，则在接合处形成 P－ n结。在热平衡时，原来 P区和 n区高低不同的费米能
级最终将达到相同的水平。如图 9.3.4。
由于电子和空穴的扩散作用，在 P－ n结的交界面两侧形成空间电荷区，其电场方向自
N区指向 P区。表明 P区对 N区有一个负电位，叫做 p－ n结的势垒高度。 P区所有能级上的电
子都有了附加位能，它等于势垒高度一 VD乘以电子电荷 -q。这一位能恰好使两区的费米能
级达到同样高度，因此,qVD就等于原来 P区和 N区的费米能级之差
图 9.3.4 P－ n结势垒及能带结构
（ 9.3.3）
也就是说，势垒高度 VD由两边的费米能级决定，也就是由两边的掺杂浓度决定。
当给 P—n结加以正向电压 V时，如图 9.3.5(a)所示，原来的自建场将被削弱，势垒降低
qV，从而破坏了原来的平衡，引起多数载流子流入对方，使得两边的少数载流子比平衡时
增加了，这些增加的少数载流子称为, 非平衡载流子, 。此时费米能级将发生变化，成为
,准费米能级, 。电子的准费米级 (EF)n和空穴的准费米能级 (EF)P是不同的，它们分别描述
电子和空穴的分布。对于 P区来说．多数载流子空穴的 (EF)P变化不大，而（ EF） n变化较大；
对 N区来论，少数载流子空穴的 (EF)P变化大，而 (EF)n变化不大。由图 9.3.5(c)可见，在 P区
(EF)n是倾斜的，这是由于在 P－ n结内电子的分布不是均匀的，而是不断地向 P区运动，并
在 P区中不断与 P区中的空穴复合，直到在距 p－ n结某一距离时，电子已完全被
复合掉，此后，载流子浓度又回到平衡状态，因此 (EF)P与 (EF)n重合成为 EF。而 N区中的
(EF)P的变化也与 P区中的 (EF)n相似。
图 9.3.5 加正向电压时的 P-n结能带
通常把少数载流子扩散到对方的平均距离叫做, 扩散长度, 。在扩散长度内，注入到 P
区
的电子将与空穴复合而发光，光子能量基本上等于禁带宽度 Eg。由于 GaAs的 P区扩散长度
Lp大于 N区扩散长度 Ln，因而复合发光区域（激活区）将偏向 P区一侧。二、注入式同质结半导体激光器
1．注入式同质结半导体 GaAs激光器的结构
注入式同质结 GaAs激光器是于 1962年最早研制成功的半导体激光器，同质结是指 p－ n
结由同一种基质材料 (如 GaAs)的 p型和 N型构成，而注入式是指直接给半导体激光器通电，
靠注入电流来激励工作物质的一种泵浦方法。
图 9.3.6(a)是没种激光器的外形
的典型结构，在外壳上有一个输出激
光的小窗口，管下端的电容供外接电
源用。外壳内是激光管而，如图 9.3.6
(b)所示。管芯的形状有长方形，台面
形,电极条形等多种。图 9.3.6(c)是
台面形管芯的结构。 p-n结的厚度仅几
十微米，一般是在 N型 GaAs衬底上生
长一薄层 P型 GaAs 而形成 P－ n结。
图 9.3.6 CaAs导体同质结激光器的典型结构激光器的谐振腔一般是直接利用垂直于
p—n结的两个端面，由于 GaAs的折射率 n＝ 3.6，所以对于垂直于端面的光的反射率为
32%。为了提高输出功率和降低工作电流，一般使其中一个反射面镀金反膜。
2．半导体的粒子数反转分布在半导体中。
粒子数就是载流子数。正常情况下，电子总是从低能态的价带填充起，填满价带后才
填充导带。如果我们能利用光或电注入的办法，便 P—n附近够成大量的非平衡载流子，在
比其复合寿命更短的时间内．电子在导带、空穴在价带分别达到暂时的平衡，则在这一段
时间内简并化分布的导带电子和价带空穴就处于相对反转分布的状态。
对于重掺杂的 GaAs p－ n结 (9.3.7(a))，
其加压前和加压后的能带结构如图 9.3.7(b)
和 9.3.3(c)。从图中可看出，在 P—n结的附
近，导带中有电子而价带中有空穴，这一小
段区域称为, 工作区, 。如果电子从导带中
向价带中跃迁，则将释放光子，并在谐振腔
的反馈作用下，产生受激辐射。当然，价带
中的电子也可能在光子的激发下跃迁到导带
中，即所谓受激吸收，而要产生激光输出自
然要求受激发射光子的速率大于受激吸收光
子的速率。
图 9.3.7 p+-n+GaAs的能带
定义受激发射光子的速率 dnr/dt为单位时
间单位体积内因受激发射而增加的光子数。
它有如下关系
（ 9.3.4）
式中,Bcv为受激发射爱因斯坦系数； ne为导
带能级 E上的电子数； nh为价带能级 (E—hv)
的空穴数； P(v,t)是腔中的辐射能量密度。
同理有吸收速率
（ 9.3.5）
式中,Bvc为受激吸收系数； ne'为价带中的电子数,nh'为导带中的空穴数。从而有腔内
光子变化率
(9.3.6)
因为 Bcv=Bvc,ne可表示为能级密度 Nc(E)与能级 E上的电子占有几率 fec(E)之积，即
(9.3.7)
同样有
(9.3.8)
代入 (9.3.6)式有
(9.3.9)
即要求 (9.3.10)
在非平衡状态下的作用区内，导带内的准费米能级为 (EF)n，而价带内的准费米能级为
(EF)P。因而有
代入（ 9.3.10）式中有
(9.3.11)
此式便是同质结半导体激光器的载流子反转分布条件。其物理意义是：
（ 1）工作区中导带能级的电子占有几率大于价带能级中的电子占有几率。
（ 2）因为发射的光子能量基本等于禁带宽度 Eg，因而要求 (ED)n一 (EF)P>Eg，而 p－ n
结两边的 P型和 N型半导体都必须高掺杂，从而使电子和空穴的准费米能级分别进入导带
和价带。
3．半导体激光器的阈值条件
工作物质实现了粒子数反转后，光在谐振腔内传播时便有增益，但能否有效地形成激
光振荡，还与腔内损耗有关。只有在增益恰等于损耗时才能满足振荡的阈值要求。
设光强为 I(v,z)的光沿 z方向传播，则光强沿 z轴的变化量为
(9.3.12)
其中,G为增益,α为损耗。积分后可得
(9.3.13)
若振腔两端的反射率分别为 R1,R2，则光在腔内往返一次后的光强 I2L=R1R2I(v,0)e(G-α)2L,
L为腔长。而在阈值附近,G可作为常数，而 I(v,0)应等于 I2L，因而有阈值条件
或
(9.3.14)
这说明半导体激光器的增益不仅要大于零，还必须达到某一数值才能形成激光。
对于 GaAs p－ n结激光器，提供增益的手段是加正向电压，当正向电流密度 J达到阈
值 Jth后形成激光。实验指出，对同质结 GaAs激光器,G=βJ,β称为增益因子，当 J=Jth时
(9.3.15)
显然，降低 Jth的值是提高半导体水平的关键，经研究人们发现 Jth与以下因素有关：
（ 1）与激光器的具体结构及制备工艺有密切关系，不同器件 α值和 β值差异很大；
（ 2） Jth∝ 1/L，即阈值电流密度与腔长 L成反比；
（ 3Jth与工作温度的关系十分密切；
（ 4Jth与反射率 R1R2有关，通常两个反射面都是天然解理面，故 R1R2=0.32。当腔长转短
时，若 1／ 2L比 α小或接近，一个端面镀金反膜会使 Jth明显降低，但当腔长 L较长时，
Jth的降低就不很明显了。
4．功率输出与转换效率
半导体激光器所用的转换效率常用, 功率效率, 和, 量子效率, 来度量。
功率效率的定义为
(9.3.16)
式中,Pex为发射的激光功率； I为工作电流； V为器件正向压降,r为激光器内阻，它包括材
料的体电阻和接触电阻。一般同质结激光器在室温下的功率效率仅有百分之几。为了提高
功率效率应尽可能减小内阻。
从复合发光的过程来看，可定义内量子效率 εi为
和外量子效率 εex为
由于 hv≈Eg≈eV，所以有
(9.3.17)
图 9.3.8是实测的不同温度下激光器的 Pex-L曲线。
图 9.3.8不同温度下激光器的 Pex-I曲线
与电流 I无关,如用量子效率的概念来描述时为
(9.3.18)
ε0被称为外微光量子效率。显然 εD与工作电流无关。而仅为温度的函数。设工作电流大
于阈值电流时,激活区内的受激光功率为 Pi,则
与 (9.3.18)式比较可得
从而分别得到
(9.3.19)
和
(9.3.20)
此式表明,外微分量子效率 εD与腔长成反比。减小腔长可提高转换效率,但阈值电流也随
之提高。一端镜面镀高反膜可降低阑值电流,但 εD也变小。因此,必须根据实际应用要求作
出最佳选择。
5.半导体激光的模式、发散角和时间响应特性
(1)纵模及发射光谱特性。若激光器的 x,y方向的折射率是常数,谐振腔便为一开放式
F-P腔。设腔长为 L,折射率为 n。,则腔内的驻波条件为
qλ=2n。 L (9.3.21)
式中,λ为单纵横在真空中的波长,q为一整数。
GaAs的激射光谱线宽比固体和气体激光器要宽。这是因为半导体产生激光时,粒子反
转分布并不是在两个分立的能级之间,而是在导带和价带之内。每个能带都包含了许多级,
这就使复合发光的光子能量有一个较宽的能量范围。由于增益谱线宽,其发射光谱的单色
性就要差一些。通过对 (9.3.21)式求微分有可
当 Δq=1时,Δλ为
(9.3.22)
dn/dλ称为色散。
实际的激光器发射光谱的结构是很复杂的,
光谱宽度随注入电流增加而变宽,一般可从零点
几纳米到几纳米范围内变化。同时,半导体激光
器的光谱随温度而变化。当温度升高时,激光的
峰值波长向长波方向移动。对 GaAs同质结器件,
峰值波长在 77K时为 0.84um,300K时为 0.902um。
图 9.3.10为激光峰值位置随温度的变化曲线。
从图可知,激光峰值随温度的变化与禁带宽度随
温度变化的情况相同,从而说明峰值位置的变化
是禁带宽度变化的结果。
图 9.3.10 激光峰值位置随温
度的变化
(2)横模特性。一般只有条型异质结激光器在一定条件下可实现单横模运转。实际振荡
的模式比较复杂,可以由一套模式占主导变化为另一套模式占主导。在实际激光器中经常
出现多模振荡。一般作用区的厚度较薄,条宽较窄时,在阑值附近容易得到基横模振荡。
图 10-10(a)表示双异质结 (DHL)激光器占优势横模随异质结间距 d的增大而改变的情况
且中虚线为理论计算结果,实线为实验结果。由图可见,d值对振荡模式的影响是很大的。
(3)激光束发散角。因为半导体激光器的谐振腔反射镜很小,所以激光束的方向性较之其
他典型的激光器要差很多。而且由于有源区厚度很薄,有源区的条宽比厚度大很多倍,所以
在垂直于结的方向平行于结均方向的光束发散角是不对称的,前者要大数倍。
图 10-10(b)表示出与空间辐射图形有关的参数。 y轴与结平面平行,而 x轴则与结平面垂
直。激光在结平面方向的半功率宽度为 ζ//,垂直于结平面方向的束宽为 ζT。
① ζT的计算,当器件有源区厚度 d较大 (d>1um)时,其辐射图形可近似看作窄缝衍射
图形。根据单缝衍射角宽度的计算公式可知
（ 9.3.23）
② ζ//的计算,在光波导的结区水平方向尺寸 (宽度 )ω较小时,则基模束宽
（ 9.3.24）
按上述两式,对理想的 p-n结激光器,λ=0.84um d=2um,ω=500um,则 ζT=25o,
ζ//=0.1o。从实测的情况来看,ζT与计算值相符,而 ζ//则相差甚远,其原因是器件在 y方向往 L
出现高阶模振荡,这时再用高斯光束基模的远场发射角度计算公式时,计算误差较大,因
而只能借助于实验测定。
（ 4)半导体激光器的调解频率响应特性。半导体激光器的时间响应决定于注入非平衡
载流子的寿命 ηs。经计算 ηs可表示为
一般 ηs为数毫微秒 (ns)数量线。在给器件加的偏流高于阔值时,ηs可缩短至 10-10s。
通常,把调幅调制 (AM)作为半导体激光的通信方式,这种直接调制的理论上限可达几个甚
至几十吉赫兹,这是优于其他激光器的特性。
三、异质结半导体激光器
理论分析及实验研究表明，同质结激光器难以得到低阈值电流和实现室温连续工作。
为此,在同质结的基础上发展了异质结半导体激光器,从而大大提高了半导体激光器的实际
应用价值。
1.异质结及其特点
如图 9.3.11所示,对于 GaAs类半导体激光器,由同种材料 ——GaAs构成的 p-n结即为同质
结。若一侧为 GaAs,而另一侧为 GaAlAs所构成的结为 "异质结 ",如图 9.3.11所示。若个半导
体激光器仅有一个异质结则称为单异质结 (SH)激光器,两个异质结构为双异质结 (DH)激光
器。
图 9.3.11同质结和异质结的比较
从提高半导体激光器的性能要求出发,对异质结两侧的材料有如下技术要求,
(1)要求两种材料的晶格常数尽可能相等,若在结合的界面处有缺陷,载流子将在界面
处复合掉,不能起到有效的注入、放大和发光的作用 ;
(2)为了获得较高的发光效率,要求 GaAlAs材料是竖直跃迁型的 ;
(3)为了获得高势垒,要求两种材料的禁带宽度有较大的差值,
平衡状态下异质结的能带结构如图 9.3.12所示。图中分别表示出几种常见的异质结的能
带结构。一般,禁带宽度不同的两种材料组成结时,在界面处异带和价带都有突变。
图 9.3.12 平衡时异质结的能带图
下面我们再看 GaAs材料中折射率的变化特点。光在半导体晶体中传播时,折射率主要
与材料的原子结构和晶格结构有关。具体为,
(1)对同一光波,掺杂浓度愈大,GaAs的折射率 n愈低 ;
(2)在 GaAlAs材料中,折射率随 Al含量 x变化。当 x=0时,n=3.59,而 x=1时,即 AlAs的折射
率为 2.971。由此可见,当 GaAs和 GaAlAs构成异质结时,界面处将产生折射率突变 ;
(3)一般折射率随温度升高而增大。
2.单异质结 (SH)半导体激光器
图 9.3.12(a)和图 9.3.12(b)分别画出了 SH的结构和 p-p异质结平衡时的能带结构,而图
9.3.13则是在加电压 (工作时 )异质结和同质结的能带结构及工作原理。
与同质结相比,单异质结的阈值电
流 Jth成低,这主要有两个原因。首先,同
质结的有源区宽度基本上是电子的扩散
长度,并偏向 P区一侧,在加上较高的工作电压
后,空穴向 N区注入发光因素不可忽略,因而
有源区更宽。而由于 P-GaAs和 P-GaAlAs构成
的异质结在导带内形成势垒,注入载流子将
基本上累积在 P-GaAs的导带中,即异质结的
势垒限制了电子的扩散。而有源区越宽,则
所需的正向激励电流也越大，因而，单异
质结的 Jth较同质结小。其次，由于有源区
的自由载流子浓度低于两侧,且有光增益,因
此有源区的折射率高于邻近区域,出现 "波导
效应 ",光波被限制在波导区内传播。显然,有
源区内的折射率与邻域折射率之差越大,全
反射临界角愈小,泄漏过边界而损耗掉的光
能也愈小。但同质结波导的折射率差值很小,
有源区波导的边界损耗显著。而从前面可知
异质结处有明显的折射率突变,因此光波导
传播损耗低。
9.3.13单异质结工作原理图
由于有源区宽度和光波导传输差这两个原因,致使同质结受激发射的阈值电流密度较高,
在室温下,脉冲工作的典型阈值电流密度达 3X104~5X104A/cm2,而异质结 (SH)激光器的阔值
电流密度降低至约 8000A/cm2。
在单只质器件中,有源区宽度 d值是关键因素。图
9.3.14为 SH的 Jth-d实验曲线。对其存在最佳值的解
释为,若 d值过大,则异质结对载流子的限制作用减
弱 ;d值太小则在非对称波导内光波传输的损耗过大。
对于质量好的典型单异质结激光器,d值的范围在
2~2.5um之间。
图 9.3.14 Jth与 d的实验曲线关系
单异质结激光器的 Jth虽比同质结小若干倍,
但仍 d较高,所以常与同质结器件一样用作脉
冲器件。这种器件的脉冲功率可达数十瓦,
寿命可达数万小时以上,
3.双异质结 (DH)激光器
为了得到能在室温下连续工作的小型激
光器,人们在单异质结的基础上发展了双异
质结的激光器 (DHL).
(1)DHL的能带和结构形式。加正向电压时,
DHL的能带结构如图 19.3.15
图 9.3.15 DHL的能带结构
若使器件形成 p-p和 p-n两个异质结,激活区为 p-GaAs,其厚度 d≈0.5um,则激活区内的非
平衡载流子将受到异质结的限制。因此,载流子浓度大为提高,反转粒子数就愈多,从而增益
提高,另一方面,双异质结在激活区两侧都有大于 5%的折射率变化,光波导的损耗也大为减
少。由于上述两个原因,使 DHL的阈值电流密度 Jth比同质结器件低约 2个数量级。
典型的 GaAs/GaAlAs的 DHL的断面图如图 9.3.16(a).这种结构叫宽接触型,由于工作区宽
度 W较宽,有源区截面大,因而工作电流大、温升高,不利于连续运转。为此发展了减小工作
区宽为 W的条形结构,如图 9.3.16(b),它是利用高能质子流的轰击来改变外延片局部区域的
电阻率而制成的。其阈值电流密度较宽接触型小数倍,工作电流一般在 500mA以下,温升小,
又因为条形结构的工作区埋在无源半导体内,因而有利于散热。有源区的减小,也增加了获
得低缺陷有源区的可能性,有助于提高器件的长期工作的可靠性,
(2)室温连续工作条件。连续运转时器件所消耗的电功率为
（ 9.3.26）
式中 z:V为结区压降 ;Rs为器件的等效串联电阻。平衡时结区的温升为
（ 9.3.27）
RT为器件的热阻。
在所有半导体激光器中,Ith均随温度的升高而增加,一般采用近似公式
（ 9.3.28）
式中 T。在室温附近时通常为 40K~100k
另一方面,当器件工作时,结区温度 ΔT=Ts+ΔT=T,+(VI+I2Rs)岛,ΔT为温升,Ts为散热器温
度,即 T是 η的函数。
图 9.3.16 DHL和条形 DHL的结构
若采用 (9.3.28)式,给定不同的比例系数,则可分别画出曲线。如图 9.3.17中的 1,2,3
所理示。同时图中也画出了 ΔT和 I的关系曲线。满足连续工作条件 I>Ith的器件都落在两条
曲线的相交阴影区内。
图 9.3.17 连续工作区示意图
设 J为电流密度,S为结区面积,则
(9.3.29)
式中 rs==RsS,rT=RTS。在联系工作时有 J=Jth,所以有
(9.3.30)
如给定一个 rs值,则 Jth,rT有确定的对应关系,可得如图 9.3.18所示的一组曲线。曲线左方
为连续工作区,曲线上的点代表连续工作临界条件。落在曲线右方的激光器则不能连续工
作。由图可见,要实现连续室温工作就要求器件阈值低,串联电阻 Rs小、热阻 RT小。
图 9.3.18 DHL室温连续工作条件
四、新型半导体激光器
1.可见光半导体激光器
可见光激光二极管 (VLD)是用于高密度光信息处理系统，如光盘、激光束打印机和条
形码读出器的极有吸引力的光源，也是塑料光纤通信系统的重要光源。这些应用领域对短
波长 (60Onm波长区 )激光光源的需求日益增长,有力地促进了 VLD的研究开发工作。目前,
在激光准值、指示和激光教学中,半导体可见光二极管激光器将以其方便、可靠、廉价和
高效率逐渐代替传统的 He -Ne等气体激光器。可见光半导体激光器于 1988年开始实用化,
它的发展主要是围绕着缩短发射波长和提高输出功率。
相对于传统的近红外半导体激光器,可见光激光器输出的较短的波长能提供较高的能见
度,特别在 633nm(He-Ne气体激光器波长 )上,VLD更显出其小体积和低功耗的优势。而对光
信息处理系统中,较短的波长能提高记录分辨率。例如,在激光打印中,将波长从 780nm改为
670nm时,分辨率则由 300点 /英寸,增加到 600点 /英寸。目前,实现可见光波长的半导体
激光器主要采用了三种技术措施来缩短波长,
(1)使用晶向偏离衬底 ;
(2)采用 AlGaInP四元有源层 ;
(3)利用量子阱结构。
提高可见光半导体激光器输出功率一般
采用两种办法。异质势垒阻挡结构 (HBB)是
利用 p-GaAl/p-InGaAlP和 p-GaAs/p-nGaP/p-
InGaAlP同型异质结之间的电压差来限制电
流,其结构图为图 9.3.19。这种结构使 VLD达
到较低的阑值电流 (56mA)和稳定的横模,输
出功率可达 51mw,在 40℃ 时可保持 2OmW的
高功率工作,30mW时实现基横模的稳定振。
图 9.3.19 HBB结构的 VLD的截面图
另一种大功率 VLD采用选择性隐埋脊形
导结构 (SBR),它是有抗反射和高反射涂层的
宽有源区 InGaAlP的 VLD,其结构图为,2.20。
在室温下输出 100mw时的光波长为 670nm。
图 9.3.2O宽有源区 SBR激光器的截面图
2.大功率激光二极管阵列
一般单个腔二极管激光器只能发射几十至几百毫瓦光,为提高输出功率发展了二极管阵
列激光器。这些阵列中的二极管在电气上并联藕合,发射一致,形成了部分相干光束。近年
来由于采用了先进的制作工艺和冷却技术,高功率二极管阵列激光器的发展极快。目前半
导体二极管阵列 (线阵 )连续输出功率已达 120W,二极管面阵泵浦的固体激光器平均输出功
率超过千瓦,成为激光器发展中最为活跃的领域。
阻碍激光二极管大功率化的原因,一是随注入电流产生的结温升,二是端面激射区的高
光功率密度引起的突发性光学损伤。解决第一个问题的办法是降低阈值,提高量子效率。
实现的途径是采用特殊工艺把有源区厚度控制在几十纳米以内。解决第二个问题的办法是
扩大器件的发光区面积,另一个就是采用阵列技术。
常见的线阵激光二极管是由许多平行排列的激光二极管组成。图 9.2.21示出了一个
线阵激光二极管的结构。其中的每一个二极管的发光面有大于微米的宽度,二极管之间的
中心距为 10um,每一线阵由几十至几百个二极管组成,它可工作在连续或在低重频长脉冲
(如 100Hz,200us脉宽 )的准连续工作状态。
图 9.2.21 线阵激光二极管
一个 1cm长的线阵二极管激光器在连续
工作时,阈值电流为 2.5A,微分效率为 1W/A,
输出可超过 12W；在准连续工作状态下,若
重频 40Hz,脉宽 150us时,最大的输出功率为
l00W。
若把多个二极管线阵重叠可组成二维面
阵激光器。它取得的输出功率更大,例如由
13个线阵激光二极管组成的大面阵,其发射
面积为 0.4cm4时,其准连续输出功率可达 800W.但二极管面阵的发热问题比线阵更严重,一
般只工作在较低的重复频率和较低的发射功率下。
3.分布反馈式 (DFB)半导体激光器
为把调制器、开关、波导和光源共同制作在单片上 (集成光路 )的需要,导致了对不用自
解理面来作反射端面的半导体激光器的需要,分布反馈式激光器就是这种需求的产物,除了
不用解理端面的优点外,它还能限制纵模,使发射的光谱变窄。
DFB的原理为 z在介质表面做成周期性的波纹形状,设波纹的周期为 T。根据布拉格衍射
原理,一束与界面成 ζ角的平面波入射时,它将被波纹所衍射。如图 9.3.22所示,由布拉格衍
射可知 ζ=ζ'，入射平面波在界面 B,C点反射后,光程差 Δl=BC-AC=2Tsinζ',若 Δl是波
长的整数倍时,即 2Tsinζ?=mλ时,反射波加强。在介质内前后传播的光波的。 ζ=ζ‘=90。,因
而有 2T=mλ/n,n为介质的折射率。因此,这种光栅式的结构完全可以起到一个谐振腔的作
用,它所发射的激光频率,完全由光栅的周期 T来决定。
图 9.3.22 分布反馈原理
图 9.3.23为典型的 DFB激光器及其发射光谱,比 DFB激光器的阈值电流为 2.6A,峰值波长
为 2112nm,光栅周期 T为 341.6nm,光谱线宽度为 0.03nm。
图 9.3.23 DFB剖面及其发射光谱
4.外腔式半导体激光器
通常,半导体激光器的谐振腔是由管芯前后两个自然解理面构成,称为内腔或本征腔。在
管芯之外附加反馈元件,便构成外腔式半导体激光器。外腔半导体激光器还可分为长外腔
和短外腔两种。前者指外腔长 L>>nl(n为半导体介质折射率,l为本征腔长 ),其优点是选模线
宽可以压得很窄,缺点是结构复杂且稳定性差,短外腔是指 L≤nl的情况,其结构小巧,易于稳
定运行。
依外腔反馈元件不同,还可将外腔分为,平 (或凹 〉 面腔,图 9.3.24示出气了它的几种典
型结构,若用压电陶瓷改变腔长,便可实现调谐 ;光纤腔,如图 19.3.25所示,用一段两端磨
平的单模光纤代替反射镜,将光纤线在压电陶瓷上,光纤端面镀反射膜构成长腔进行选模,
调节压电陶瓷上的电压,可以改变光纤长度实现调谐 ;色散腔,以光栅等色散元件构成外
腔,如图 9.3.26所示,依靠转动光栅角来实现调谐。
图 9.3.24 平 (凹 )面腔
图 9.3.25 光纤腔 图 9.3.26 光栅色散腔
9.4 染料激光器
染料激光器采用溶于适当溶剂中的有机染料作激光工作物质。附录三中列出了若干主
要的染料、溶剂及相应的激光波长。
适用作激光工作物质的染料是包含共辄双键的有机化合物。图 9.4.1表明了若丹明 6G的
结构式。
9.4.1若丹明 6G结构式
图 9.4.2 染料分子能级图
染料分子的能级如图 9.3.2所示,染料分子能
级的特征可用, 自由电子, 模型说明复杂的染料大
分子中分布着电子云,电子云中的 2n个电子与势
阱中的自由电子相似。当分子处于基态时,2n个
电子填满 n个最低能级,每个能级为两个自旋相
反的电子所占据,总自旋量子数为零,形成单重
态 S0。当分子处于激发态时,电子云中有一个电
子处于较高能级。若此电子自旋方向不变,则总
自旋量子数仍为零,形成 S1,S2等单重激发态。
若此电子自旋反转,则形成 T1,T2等三重态。由选择定则可知,单重态和三重态之间的跃迁
是禁戒的。每一个电子态都有一组振动一一转动能级 (图 9.4.2中分别用粗、细线表示 )。电
子态之间的能量间隔为 106m-1量级,同一电子态相邻振动能级间的能量间隔为 105m-1,而转
动子能级间的能量间隔仅为 103m-1量级。实际上由于染料分子与溶剂分子频繁碰撞和静噩
电扰动引起的加宽,使得振动、转动能级几乎相连。因此每个电子态实际上对应一个准连
续能带。
染料分子吸收了东浦光能量由基态 S0跃迁到 S1的某一振转能级后,在和溶剂分子频繁的
碰撞中迅速地将能量传递给溶剂分子并跃迁至 S1的最低振转能级。染料分子由此能级跃迁
至 S0的各振动能级时产生荧光。跃迁至 S0的较高振转能级的染料分子迅速通过元辐射跃迁
过程返回 S0的最低能级。由以上叙述可知,在 S1的最低振转能级和 S0的较高振转能级间极易
形成集居数反转分布状态。由于 S0和 S1都是准连续带,吸收谱和荧光发射谱都是连续的,所
以染料激光器有很宽的调谐范围。
处于 S1态的分子还可通过碰撞向 T2态跃迁,这一过程称作系际交叉,其速率 KST一
般为 10-2ns-l左右,虽然这一速率较 S1态的自发辐射速率 (≈ns-1)小得多,但由于 T1态
的寿命 ηT较长 (10-3~10-7s,取决于实验条件 ),分子较易积聚在 T1态,而 T1→ T2跃迁
的吸收波长又恰好与 S1→ S0跃迁荧光波长重叠,这意味着 T1态积聚的染料分子可吸收
受激辐射光子而向 T2态跃迁,因此染料分子在 T1态集聚不利于激光运转。显然,只有在
S1→ S0受激辐射产生的增益大于 T1→ T2跃迁造成的吸收损耗时才能形成激光振荡。若
S1态及 T1态集居数密度分别为 n2和 nT,S0态高振转能级 (激光跃迁下能级 )及 T2态集
居数为零,S1→ S0和 T1→ T2的受激跃迁截面分别为 ζ21及 ζT,则形成激光的必要条件是
ζ21n2>ζTnT
稳态时应有 n
T/ηT=n2KST
因此,连续激光运转的必要条件是
ηT<ζ21/ζTKST
为了降低三重态的寿命,可以在溶液中加入三重态猝灭剂 (如氧 ),并使染料高速流过激活区。
通常采用闪光灯,N2分子激光器、准分子激光器或倍频 Nd3+:YAG激光器发射的 532nm
激光等作脉冲染料激光器的泵浦光源,而连续染料激光器则常用氩或氪离子激光器作泵浦
源。显然,泵浦光的波长必须小于染料激光器的输出激光波长。可以采用光栅、棱镜、标
准具及双折射滤光片等波长选择元件对染料激光器进行波长调谐。图 9.4.3是一台氩离子
激光器泵浦的环形染料激光器的示意图,由于染料属于均匀加宽工作物质,插入了隔离器的
环行谐振腔使腔内激光成为行波,因此这个激光器可以单纵模运转。谐振腔中的各种波长
选择器件则保证波长的精细调谐。
由于染料具有较宽的频带,所以可从锁模染料激光器得到很窄的脉冲,以若丹明 6G为工
作物质的碰撞锁模染料激光器可产生约 30fs的超短激光脉冲,这种光脉冲还可压缩成脉宽仅
为 6fs的超短光脉冲,这是目前世界上最窄的光脉冲。
在掺钛蓝宝石出现之前,染料激光器是最理想的可调谐激光器。目前已在紫外 (330mn)
到近红外 (1.85um)相当宽的范围内获得了连续可调谐输出。由于它的可调谐和可产生极窄
光脉冲的特点,在激光光谱、同位素分离、医学及其他科技领域获得了广泛应用。
图 9.4.3 单纵模环行染料激光器光路图