第一部分 电阻电路的分析
也是动态电路，正弦稳态电路的分析基础
一,参考方向，关联参考方向
I = 2A
Pi = - UI = 4W,
复习要点
+
－
U
+2A
- 2V
I U = -2V
PV = UI = -4W
二,解题的基本依据 —两类约束 (元件，拓扑）
1,元件约束
电阻，电压源，电流源，受控源，理想变
压器，电感，电容。
例 下图 I =?
I = (3 + 3)× 2/3 = 4A
解
2Ω
?
??
?
1Ω3A
?
?
I
3A
+
-
1Ω
US=6V
0.5US
?
??
?
1Ω
I
1Ω
例 求 a, b两点的开路电压 Uab
Uab ＝ 2＋ 2× 2
＝ 6v
例 下图 U =?
设 I2 如图
I2 = 2A
U2= -4I2 = -8V
+2v
2A
?
??
?-
10Ω
2Ω
a
b
1W
4W
1:2
UI
2
4A
+
-
2, 拓扑约束（ KCL,KVL包含相量形式）
（ 1）电路中任意两点之间的电压
（ 2）单口网络的开路电压和 VCR
例：求下图单口的 Uoc和 VCR
?
?
3A
3V
2A 6V i
u2Ω
+
-
+- Uoc =2× 2 ＝ 4V
u ＝ 2（ 2＋ i）
＝ 2i ＋ 4
作为 KVL的应用
3,单回路及单独立节点电路的求解
例：求受控源的功率
解：设 I如图，并以 I
为变量列写 KVL方程
105I + 40 –300 – 0.4（ 100I） = 0
得,I =4A
故 P 受 ＝ - 0.4× 100 I 2 = -640W
0.4u1
300V
5Ω
40V
100Ω
us2us1 u
1
I+
+
+
-
-- -
+
4,分压公式和分流公式
例
I = (26 – 8)× 1/(1+1/3+1/6)
=18× 2/3 = 12A
例 9V
1Ω 6Ω
2Ω
+-
+
- U ＝ -9× (6/9) = -6v
3Ω 1Ω26A 8A 6Ω
I
?
?
?
?
?
?
三, 电阻电路的解题方法
1, 直接利用两类约束（虽然不是单回
路或单节点电路）
例 求 I1 和 I2 及 U 。 解：由于 I2＝ 2 - I1
由 KVL得：
2I1 –2× （ 2 - I1） - 4 ＝ 0
得 I1＝ 2A,I2 = 0
I3 = 2 - 2I1 = -2A ? U = 3I3 = -6V
2A
2Ω I3
2I1
I2
+ -U
4V
I1
2Ω
3Ω
2Ω
?
?
?
?
?
又由 KCL：
例 用节点法求 U1 和 U2 。
解：设 I 如图
(1/6)U1 = 9 + I
(1/4 + 1/2)U2 = -17 - I
以及 U1 ＝ U2 + 3Ia ＝ U1 + 3× (U2/2)
消去 I,解得,U1 ＝ –120/7 V =–17.14V
U2 = –48/7 V = –6.86V
3Ia
? ?
? ?
?
?
9A 6Ω 4Ω 2Ω
17A
I
+ -1 2
Ia
2, 运用独立电流，电压变量的分析法
（网孔法，节点法，回路法）
几点注意：
（ 1）在网孔方程中不要漏写电流源
两端的电压，在节点方程中不要漏
写电压源支路的电流。
（ 2）在用网孔法时，可用等效变换
尽量减少网孔数；在用节 点法时，可
用等效变换尽量减少节点数。
（ 3）含受控源时，先把受控源的控制
量用网孔电流或节点电压表示。
3.叠加定理分析法
I = -2/2 + 6/3
= 1A
4.等效变换法
（ 1）等效的定义
若 N1与 N2的 VCR完全
相同，则 N1与 N2对外
电路完全等效。
2Ω 3Ω-
+
+
- 6V2V I
i +
-
u
i
-
+
u
例
所涉及的内容：
(2)无源单口网络的等效化简
—求等效电阻 R
（ a）不含受控的无源单口可直接用
串、并联公式或等电位点概念化简。
（ b）含受控源的无源单口只能用 VCR
法：
在端口处加 i 求 u，或加 u 求 i，则
R ＝ u/i
解：先求 Rcd（见上右图），
加 u ＝ 6v，求 I,
∵ i1 ＝ u／ 6Ω ＝ 1A，
i2 ＝（ u – 2i1）／ 4 ＝ 1A
例：求 Rab ＝？
a
b
3Ω
6Ω 4Ωi
1
2i1+ -
?
?
c
d
6Ω 4Ω
i1
+ -2i1
i2+
-
u
?
?i
则 Rab ＝ 3 ＋ Rcd ＝ 6Ω
? Rcd ＝ u／ i ＝ 3Ω
i ＝ i1 + i2＝ 2A
a
b
3Ω
6Ω 4Ωi
1
2i1+ -
?
?
c
d
6Ω 4Ω
i1
+ -2i1
i2+
-
u
?
?i
（ 3）含源单口网络的化简
R0
或+-US IS R0
?
?
化简方法：
（ a）与电压源并联的元件（或支路） ;
与 电流源串联的元件（或支路） ;
对外电路都是多余元件。
（ b）电压源模型与电流源模型的等效
变换：
+
-10V
2Ω
5A 2Ω
?
?
（ c）列出端口的 VCR
若 u ＝ Ai ＋ B,
若 i ＝ u/A –- C
方法：加 i 由 KVL 求 u；
加 u 由 KCL 求 i,
i +
-
u
++
-B
AΩ u
-
i
C A u
+
-?
? i
（ d）用戴维南定理或诺顿定理化简
+
-Uoc
R0 isc R
0
?
?或
例：用戴维南定理计算电流 i 。
4i
2Ω
8V
4A
i2Ω2
Ω
1Ω
+
-
+ -
?
?
?
?
1Ω
2Ω 2Ω
4A
8V
uoc
--
+
+
?
?
?
?
解：将 2Ω电阻以外的单口化简：
（ 1）求 uoc ＝ 2 × 4 ＋ 8 ＝ 16V
（ 2）求 Ro
（ 2）求 Ro
加 i 求 u ＝ –4i – 2i ＝ –6i
? Ro ＝ –u／ i ＝ 6Ω
（ 3）原电路等效为
i ＝ 16V／ 8Ω ＝ 2A
2Ω
4i i
u
+
+
-
-
+
- 16V
2Ω
i
Ro=6Ω
uoc
4i
2Ω
8V
4A
i2Ω2
Ω
1Ω
+
-
+ -
?
?
?
?
5.最大功率传输定理 （戴氏诺氏定理的应用）
（ 2）则当 RL＝ Ro 时,RL有 PLmax，且
PLmax＝ uoc2／ 4Ro ＝ isc2 Ro／ 4
在什么条件下,RL
获得最大功率？
且 PLmax ＝？
（ 1）求出含源单口的 uoc（或 isc）和 Ro；
含源
单口
RL
得 u ＝ –10V
所以 uoc ＝ 2 × 5 ＋ 3u ＝ –20V
解 （ 1）求 uoc（应先求 u）
由 KVL 20 ＋ 3u － u ＝ 0
例：计算图示单口输出的最大功率。
5Ω
2Ω20V
5A3u
- -
+ +
+ -
u
?
?
?
?
（ 2）求 Ro：当独立源置零后
因为 u ＝ 3u
? u ＝ 0
即受控电压源等效为短路
所以 Ro ＝ 2Ω
（ 3） PLmax＝ uoc2／ 4Ro
＝ 50W
+
- -20V
Ro=2Ω
uoc
5Ω
2Ω
3u
- -
+ +
u Ro
?
?
四,含理想变压器电路的分析
1,VCR (变压，变流性 )
设变比 n = 3 则 u2 = 3u1
i2 = -1/ 3i1
电压，电流的变换极性与同名端位置
有关
i1 i2
··u
1 u2
+ +
- -
1::n
+
-
1:2
· ·
21 a
b
V5 开路电压为 uab= V10
2,理想变压器的电阻 (阻抗 )变换性
阻抗变换性与同名端的位置无关
·
1:2
·
a
b
R1
R2
R3
a
b
R1/4
R2/4
R3/4
3,利用变压，变流和阻抗变换性分析
含理想变压 器的电路 (建立初级等效电
路或次级等效电路 )。
一, 动态元件及其 VCR
定义 q(t) = cu(t)
VCR i(t) = C du/dt （隔直和 uc连续性）
u(t) = 1/c ?i(ξ)dξ （ uc记忆性）
= u(0) + 1/c ?i(ξ)dξ
贮能, Wc(t) = ? cu2(t)
第二部分 动态电路的分析
i c
+ -
+ -q
u
定义 ?(t) = Li(t)
VCR u(t) = L di/dt (通直和 iL连续性 )
贮能 WL(t) = ?Li2(t)
i(t) = 1/L ?u(ξ)dξ (iL的记忆性 )
= i(0) + 1/L ?u(ξ)dξ
i L
u
?
+ -
+ -
从 C和 L的 VCR看出
(1) 在直流稳态时 ( t = 0-,t = ∞),C相
当于开路,L相当于短路 ;
(2)在 t = 0换路时，若 ic(0)为有限值，
则 uc(0)不跃变, uc(0+) = uc(0-)。
若 uL(0)为有限值，则 iL(0)不跃变,
iL(0+) = iL(0-)。
具体而言，若 uc(0-) ＝ 0，或 iL(0-)
= 0,则 C在 t = 0+时处理为短路,L
处理为开路。
若 uc(0-) = 2V,或 iL(0-) = 2A,则在
t = 0+时,C等效为 2V电压源,L
等效为 2A电流源,
二, 直流激励下一阶电路的完全响应
? ? )(fe )(f)0(f)t(f t ?????? ? ?
(1),求初始值 f(0+)—由 t = 0+的等效电路
求解,该电路中 C由 uc(0+)的电压源代
替,L由 iL(0+) 的电流源代替 ;
(2),求直流稳态值 f(∞)—由 t = ∞的直流稳
态电路 (此时 C开路,L短路 )求出。
(3),求时间常数 τ—在 t≥0的电路中,求出
动态元件两端的戴维 宁 等效电阻 R0，则
τ＝ R0C (RC电路 )
τ＝ L/R0 (RL电路 )
2.由三要素法公式也可求零输入响应和
零状态响应
例如 任意变量的零输入响应
uc和 iL的零状态响应
例：图示电路 uc(0)=2V,t>0的 uc(t)为
?te)0(f)t(f ??
)e1)((f)t(f t ?????
t125.0e2)1( t1 2 5.0e2)2( ?
t5.0e2)3( ? t25.0e2)4( ?
uc-i
u5u+
-
+
+
-2W
1F
解 设 i如图,
t125.0e2)1( t1 2 5.0e2)2( ?
t5.0e2)3( ? t25.0e2)4( ?
W????? 8
i
)i2(4
i
u4R
0?
S8CR 0 ???? t125.0t ee ?? ?
? 答案为 (1)
uc-i
u5u+
-
+
+
-2W
1F
例 电源在 t = 0时加入电路，已知 uc(0)
= 0,求 i1(t),t>0.
解：这是零状态电路，可用三要素法。
5V
i1 1 2
4i1 F11
25 uc
+
-
+
-?
?
5V
i1 1 2
4i1 5i1
+
-
?
?( t=0+ )
(1) 由 t = 0+的电路求 i1(0+)
由 KVL i1(0+) + 2?5i1(0+) = 5
得 i1(0+) = 5/11 A
(2) 由 t = ∞的电路求 i1(∞):
因为 i1(∞) = -4i1(∞)
所以 i1(∞) = 0
(3) 求 ? (加 i=1A求 u,?R0)
由 KCL i1+ 4i1 = –i = –1A
u = 2i –i1 = 2.2V
所以 R0 = 2.2W,
?
?i1 1 2
4i1
i
u
+
-
R0
5V
i1(∞) 1 2
4i1(∞)
+
- ?
?
?
?
( t=? )
? i1= –0.2A,
0t,ee)0(i)t(i t2.0
t
11 ?????
?? A
11
5?
?=R0C=2.2?(25/11)=5s
三, 二阶电路的固有响应
2,如何确定特征根?
串联 RLC电路
LC)L
R(
L
RS
,
1
22
2
21 ????
1.不同的特征根,固有 响应有三种形式,
第三部分 正弦稳态分析
一, 正弦量及其相量
1.同频率正弦量的相位关系
例 i1(t) = 10cos(100t+30o)A
i2(t) = -5sin(100t - 15o)
所以 i1对 i2的相位差为 = 30 - 75o = –45o
即 i1滞后 i2 45o
∵ = 5cos(100+75o)A
相量的定义，相量与正弦量的关系，
为何引出相量?
几个特殊的相量,
2.正弦量的相量
1∠ ± 90° = ± j 1∠ ± 180° = -1
二, 阻抗与导纳，相量模型
N0
I?
U?
+
-
Z=ù?ì=|Z|∠ ?z
式中 |Z|=U?I,?z = ?u - ?i
?ZZ和 Y不仅能建立相量模型，而且能表征
电路的性质。
例, 电路工作于正弦稳态 ?= 1rad/s，求 u与 i
的相位差。
Y=ì ? ù=|Y|∠ ?Y
式中 |Y|= I ? U,?Y= - ?z= ?i- ?u
-j1 j2
i
u 1
1F
2H
+
- ?
?
ooZ
j
jZ,4590
11
1 ???
?
??解
? u 超前 i 45o
例：问 uL(t)超前 us(t)的角度＝？ (?=1rad?s)
即 i滞后 us 36.9o，而 uL超前 i 90o
所以 uL(t)超前 us ＝ 90o- 36.9o = 53.1o
uL
4i
3Hus
+
-
+
-
解,∵ Z = 4 + j3 = 5∠ 36.9o W
例：图示正弦稳态电路，电流表 A的读数
为（ ）安
(1) 1 （ 2） 3 （ 3） 4 （ 4） 7
A的读数为 1A (读有效值 )
这是因为 iL与 iC相差 180o
2,由相量模型分析正弦稳态电路
A
A1 A2
C
4A3A
L
?
?
与原电路结构不变，但电压电流用相量
表示，元件用阻抗或导纳表示。
画出相量模型后，其分析方法与直流电阻
电路的分析方法完全相同。
解, 画出原电路的
相量模型
?R1R2=ZcZL
则 –ù1 + ùs＝ 0
3u1
+
-
2
- +
u1
2F
-+ us 8H
2
u0
+
-?
?
?
?
?
?
2
-j0.5
+
- -
-
-
+
+ j8
2
1U3?
1U?
sU?
+
0U?
?
? ?
?
?
?
（平衡电桥）
?ù1=ùs=10∠ 30o V
ù0=3ù1=30∠ 30o V
)30t(c o s230)t(u 00 ??即
o00s )t(u,V)30tc o s (210)t(u 求已知例 ??
第三部分 正弦稳态分析
一, 正弦量及其相量
1.同频率正弦量的相位关系
例 i1(t) = 10cos(100πt+30o)A
i2(t) = -5sin(100πt - 15o)
所以 i1对 i2的相位差为 θ = 30 - 75o = –45o
即 i1滞后 i2 45o
∵ = 5cos(100π+75o)A
复习要点
相量的定义，相量与正弦量的关系，
为何引出相量?
几个特殊的相量,
2.正弦量的相量
1∠ ± 90° = ± j 1∠ ± 180° = -1
二, 阻抗与导纳，相量模型
N0
I?
U?
+
-
Z=ù?ì=|Z|∠ ?z
式中 |Z|=U?I,?z = ?u - ?i
1,Z和 Y不仅能建立相量模型，而且能表征
电路的性质。
例, 电路工作于正弦稳态 ?= 1rad/s，求 u与 i
的相位差。
Y=ì ? ù=|Y|∠ ?Y
式中 |Y|= I ? U,?Y= - ?z= ?i- ?u
-j1Ω j2Ω
i
u 1Ω
1F
2H
+
- ?
?
ooZ
j
jZ,4590
11
1 ???
?
??解
? u 超前 i 45o
例：问 uL(t)超前 us(t)的角度 θ＝？ (?=1rad?s)
即 i滞后 us 36.9o，而 uL超前 i 90o
所以 uL(t)超前 us θ＝ 90o- 36.9o = 53.1o
uL
4Ωi
3Hus
+
-
+
-
解,∵ Z = 4 + j3 = 5∠ 36.9o W
例：图示正弦稳态电路，电流表 A的读数
为（ ） 安
(1) 1 （ 2） 3 （ 3） 4 （ 4） 7
A的读数为 1A (读有效值 )
这是因为 ?L与 ?C相差 180o
2,由相量模型分析正弦稳态电路
A
A1 A2
C
4A3A
L
?
?
与原电路结构不变，但电压电流用相量
表示，元件用阻抗或导纳表示。
画出相量模型后，其分析方法与直流电阻
电路的分析方法完全相同。
=10?(-j1)+(-10)?j1= -j20V (1)ùoc=ù-j1W+ùj1W
三, 正弦稳态功率
Z = R+jX
Y = G+jBθ
U?
I?
I?
NU?+-Y
Z
1,平均功率 P，无功率 Q，视在功率 S，
功率因数 λ
P = UIcosθ= I2R = GU2 (W)
Q = UIsinθ (Var)
S = UI (VA) λ= P/S = cosθ
2.复功率 )VA( SjQPIUS * ?????? ??
3,三种基本元件的 P,Q及 S
R, P = UI = S,
L, P = 0
C, P = 0
Q = 0
Q = UI = S
Q = -UI = -S
例,已知
求单口网络的吸收平均功率和无功功率
解,
V t314c o s2100)t(u ?
i1(t)=2cos(314t+45o) A
A )60t314c o s (25.0)t(i o2 ??1 2
i1 i2+
-u
?
?
W 1 0 0)45c o s(21 0 0c o sUIP 111 ???????
Q1=UI1sin?1= -100var
P2=UI2cos?2=100?0.5cos60o=25W
Q2=UI2cos?2=43.3var
?P=P1+P2=125 W Q=Q1+Q2= -56.7 Var
4,正弦稳态最大功率传输定律
例 求负载获得最大功率时的负载元件值，
并求 PLmax
解, 作出相量模型并作变换
正弦稳
态
含源 N
ZL
m ax,LoL P)( ZZ 有共轭匹配时当 ??
o
2
oc m
o
2
oc
m axL R8
U
R4
UP ??且
costV
1H
costA 2F 1Ω
1Ω
ZL
?
?
?
?
?
?+
-
-j1s
j2s 1Ω
1Ω
V1 A1 ocmU?
+
-
+
- ??
? ??
?
-j1s
j2s 1Ω
1Ω
V1 A1 ocmU?
+
-
+
- ??
? ??
?
j2s 1s
1Ω
1A–j1A
-j1s
ocmU?
+
-? ?
? ??
?
?
?
V1j
1j1
1j1
Y
IU s
o cm ???
???
?
?
W????? 5.0j5.11j1 11Z o
W???? ? 5.0j5.1ZZ oL
其元件及元件值为,
RL=1.5Ω,LL=0.5H
RL
LL
1.5Ω
0.5H
W
12
1
5.18
1
R8
UP
o
2
o cm
m a xL ????
四。不同频率正弦激励作用于电路
1.任一支路的响应是各频率正弦响应的叠
加 ——由不同 ?的相量模型求各分量。
2.平均功率等于各频率正弦平均功率的
叠加。
3。不同频率正弦量叠加后的有效值为
????? 222120 UUUU
?
?
+
_us
i 2W
1F1H
1?3H
?
?
+
_
–j1Wj1W
j1?3W
2W1I?
V22j?
( ?=1 )
例：已知 us(t)=8+4sint+,V t2c o s22
求 i(t)和 2W电阻的吸收平均功率。
解,i(t)=I0+i1(t)+i2(t)
由 ?=1的相量模型
由 ?=0的相量模型（省画）得 I0=4A
得 ì1=0 ? i1(t)=0
?
?
2W
j2?3W –j0.5W
j2W
2I?
Vo2 o?
+
_
( ?=2 )
由 ?=2的相量模型
W???? 25.1j 132j2)2j(Z
A t2cos2)t(i A1I 22 ????
A t2c o s24)t(i ???
1714I 22 ???
P2W= I2 R= 34W
或 P2W=P1+P2=32+2 W
五, 网络函数和频率响应
1,网络函数的定义及分类
2,典型的低通网络和高通网络 (RC一阶 )
通频带,?c?∞通频带 0~?c
R
C
?
?
R
C
?
?
?c=1?? =1?RC
3,串联谐振和并联谐振
串联谐振的 Q值和谐振时的特点。
并联谐振的 Q和谐振时的特点。
六, 含耦合电感电路的分析
1,耦合电感的 VCR
dt
diL
dt
diMu 2
212 ??
dt
diM
dt
diLu 21
11 ??
i1 i2
··
L1 L2u1 u2
+ +
- -
M
LC
1＝谐振角频率 ?
0 Q
?0?＝通频带 D
C
L
R
1
R
L?Q 0 ??
2,耦合电感串，并联时的等效电感,
2M?LL
MLLL
21
221
?
??M± 2LLL
21??
3,含耦合电感电路的分析方法 (三种方法 )
七,含理想变压器电路的分析
1,VCR (变压，变流性 )
设变比 n = 3
则 u 2 = 3u 1
i2 = -i1 /3
电压，电流的变换极性与同名端位置有关
i1 i2
··u
1 u2
+ +
- -
1::n
+
-
1:2
· ·
2Ω1Ω a
b
v05 0?
开路电压为 v010 0?
2,理想变压器的阻抗变换性
阻抗变换性与同名端的位置无关
·
1:2
·
a
b
Z1
Z2
Z3
a
b
Z1/4
Z2/4
Z3/4
3,利用变压，变流和阻抗变换性分析含理
想变压 器的电路 (建立初级等效电路或次
级等效电路 )。
例 求图示电路中的 ù1 。
解, 次级导纳 Y2 ＝ 1+j0.5-j1＝ 1-j0.5s
S005.0j01.0
Y
Y 2
10
2
2 ????
初级导纳
V145.48
Y
I
U
ms1462.20005.0j02.0Y01.0Y
0
s
1
0
2
????
????????
?
?
A01 0? 1U
?
+
- 100Ω
10:1
· ·
-j2Ω 1Ω j1Ω A01 ?? 1U?
+
-
sI?
0.01s
2Y?
(初级等效电路 )
例 图示电路中 ZL＝？，可获得 PLmax，
并求 PLmax。
解, 负载端的戴维南等效阻抗为
2
W24?24R4UP
2
S
maxL ???
32j128ZZ *0L W???
32j128)5.0j2(8Z 20 W????
tVc o s24)t(u s ?
·+
- us
2F 2Ω
1:8
ZL
? ?
也是动态电路，正弦稳态电路的分析基础
一,参考方向，关联参考方向
I = 2A
Pi = - UI = 4W,
复习要点
+
－
U
+2A
- 2V
I U = -2V
PV = UI = -4W
二,解题的基本依据 —两类约束 (元件，拓扑）
1,元件约束
电阻，电压源，电流源，受控源，理想变
压器，电感，电容。
例 下图 I =?
I = (3 + 3)× 2/3 = 4A
解
2Ω
?
??
?
1Ω3A
?
?
I
3A
+
-
1Ω
US=6V
0.5US
?
??
?
1Ω
I
1Ω
例 求 a, b两点的开路电压 Uab
Uab ＝ 2＋ 2× 2
＝ 6v
例 下图 U =?
设 I2 如图
I2 = 2A
U2= -4I2 = -8V
+2v
2A
?
??
?-
10Ω
2Ω
a
b
1W
4W
1:2
UI
2
4A
+
-
2, 拓扑约束（ KCL,KVL包含相量形式）
（ 1）电路中任意两点之间的电压
（ 2）单口网络的开路电压和 VCR
例：求下图单口的 Uoc和 VCR
?
?
3A
3V
2A 6V i
u2Ω
+
-
+- Uoc =2× 2 ＝ 4V
u ＝ 2（ 2＋ i）
＝ 2i ＋ 4
作为 KVL的应用
3,单回路及单独立节点电路的求解
例：求受控源的功率
解：设 I如图，并以 I
为变量列写 KVL方程
105I + 40 –300 – 0.4（ 100I） = 0
得,I =4A
故 P 受 ＝ - 0.4× 100 I 2 = -640W
0.4u1
300V
5Ω
40V
100Ω
us2us1 u
1
I+
+
+
-
-- -
+
4,分压公式和分流公式
例
I = (26 – 8)× 1/(1+1/3+1/6)
=18× 2/3 = 12A
例 9V
1Ω 6Ω
2Ω
+-
+
- U ＝ -9× (6/9) = -6v
3Ω 1Ω26A 8A 6Ω
I
?
?
?
?
?
?
三, 电阻电路的解题方法
1, 直接利用两类约束（虽然不是单回
路或单节点电路）
例 求 I1 和 I2 及 U 。 解：由于 I2＝ 2 - I1
由 KVL得：
2I1 –2× （ 2 - I1） - 4 ＝ 0
得 I1＝ 2A,I2 = 0
I3 = 2 - 2I1 = -2A ? U = 3I3 = -6V
2A
2Ω I3
2I1
I2
+ -U
4V
I1
2Ω
3Ω
2Ω
?
?
?
?
?
又由 KCL：
例 用节点法求 U1 和 U2 。
解：设 I 如图
(1/6)U1 = 9 + I
(1/4 + 1/2)U2 = -17 - I
以及 U1 ＝ U2 + 3Ia ＝ U1 + 3× (U2/2)
消去 I,解得,U1 ＝ –120/7 V =–17.14V
U2 = –48/7 V = –6.86V
3Ia
? ?
? ?
?
?
9A 6Ω 4Ω 2Ω
17A
I
+ -1 2
Ia
2, 运用独立电流，电压变量的分析法
（网孔法，节点法，回路法）
几点注意：
（ 1）在网孔方程中不要漏写电流源
两端的电压，在节点方程中不要漏
写电压源支路的电流。
（ 2）在用网孔法时，可用等效变换
尽量减少网孔数；在用节 点法时，可
用等效变换尽量减少节点数。
（ 3）含受控源时，先把受控源的控制
量用网孔电流或节点电压表示。
3.叠加定理分析法
I = -2/2 + 6/3
= 1A
4.等效变换法
（ 1）等效的定义
若 N1与 N2的 VCR完全
相同，则 N1与 N2对外
电路完全等效。
2Ω 3Ω-
+
+
- 6V2V I
i +
-
u
i
-
+
u
例
所涉及的内容：
(2)无源单口网络的等效化简
—求等效电阻 R
（ a）不含受控的无源单口可直接用
串、并联公式或等电位点概念化简。
（ b）含受控源的无源单口只能用 VCR
法：
在端口处加 i 求 u，或加 u 求 i，则
R ＝ u/i
解：先求 Rcd（见上右图），
加 u ＝ 6v，求 I,
∵ i1 ＝ u／ 6Ω ＝ 1A，
i2 ＝（ u – 2i1）／ 4 ＝ 1A
例：求 Rab ＝？
a
b
3Ω
6Ω 4Ωi
1
2i1+ -
?
?
c
d
6Ω 4Ω
i1
+ -2i1
i2+
-
u
?
?i
则 Rab ＝ 3 ＋ Rcd ＝ 6Ω
? Rcd ＝ u／ i ＝ 3Ω
i ＝ i1 + i2＝ 2A
a
b
3Ω
6Ω 4Ωi
1
2i1+ -
?
?
c
d
6Ω 4Ω
i1
+ -2i1
i2+
-
u
?
?i
（ 3）含源单口网络的化简
R0
或+-US IS R0
?
?
化简方法：
（ a）与电压源并联的元件（或支路） ;
与 电流源串联的元件（或支路） ;
对外电路都是多余元件。
（ b）电压源模型与电流源模型的等效
变换：
+
-10V
2Ω
5A 2Ω
?
?
（ c）列出端口的 VCR
若 u ＝ Ai ＋ B,
若 i ＝ u/A –- C
方法：加 i 由 KVL 求 u；
加 u 由 KCL 求 i,
i +
-
u
++
-B
AΩ u
-
i
C A u
+
-?
? i
（ d）用戴维南定理或诺顿定理化简
+
-Uoc
R0 isc R
0
?
?或
例：用戴维南定理计算电流 i 。
4i
2Ω
8V
4A
i2Ω2
Ω
1Ω
+
-
+ -
?
?
?
?
1Ω
2Ω 2Ω
4A
8V
uoc
--
+
+
?
?
?
?
解：将 2Ω电阻以外的单口化简：
（ 1）求 uoc ＝ 2 × 4 ＋ 8 ＝ 16V
（ 2）求 Ro
（ 2）求 Ro
加 i 求 u ＝ –4i – 2i ＝ –6i
? Ro ＝ –u／ i ＝ 6Ω
（ 3）原电路等效为
i ＝ 16V／ 8Ω ＝ 2A
2Ω
4i i
u
+
+
-
-
+
- 16V
2Ω
i
Ro=6Ω
uoc
4i
2Ω
8V
4A
i2Ω2
Ω
1Ω
+
-
+ -
?
?
?
?
5.最大功率传输定理 （戴氏诺氏定理的应用）
（ 2）则当 RL＝ Ro 时,RL有 PLmax，且
PLmax＝ uoc2／ 4Ro ＝ isc2 Ro／ 4
在什么条件下,RL
获得最大功率？
且 PLmax ＝？
（ 1）求出含源单口的 uoc（或 isc）和 Ro；
含源
单口
RL
得 u ＝ –10V
所以 uoc ＝ 2 × 5 ＋ 3u ＝ –20V
解 （ 1）求 uoc（应先求 u）
由 KVL 20 ＋ 3u － u ＝ 0
例：计算图示单口输出的最大功率。
5Ω
2Ω20V
5A3u
- -
+ +
+ -
u
?
?
?
?
（ 2）求 Ro：当独立源置零后
因为 u ＝ 3u
? u ＝ 0
即受控电压源等效为短路
所以 Ro ＝ 2Ω
（ 3） PLmax＝ uoc2／ 4Ro
＝ 50W
+
- -20V
Ro=2Ω
uoc
5Ω
2Ω
3u
- -
+ +
u Ro
?
?
四,含理想变压器电路的分析
1,VCR (变压，变流性 )
设变比 n = 3 则 u2 = 3u1
i2 = -1/ 3i1
电压，电流的变换极性与同名端位置
有关
i1 i2
··u
1 u2
+ +
- -
1::n
+
-
1:2
· ·
21 a
b
V5 开路电压为 uab= V10
2,理想变压器的电阻 (阻抗 )变换性
阻抗变换性与同名端的位置无关
·
1:2
·
a
b
R1
R2
R3
a
b
R1/4
R2/4
R3/4
3,利用变压，变流和阻抗变换性分析
含理想变压 器的电路 (建立初级等效电
路或次级等效电路 )。
一, 动态元件及其 VCR
定义 q(t) = cu(t)
VCR i(t) = C du/dt （隔直和 uc连续性）
u(t) = 1/c ?i(ξ)dξ （ uc记忆性）
= u(0) + 1/c ?i(ξ)dξ
贮能, Wc(t) = ? cu2(t)
第二部分 动态电路的分析
i c
+ -
+ -q
u
定义 ?(t) = Li(t)
VCR u(t) = L di/dt (通直和 iL连续性 )
贮能 WL(t) = ?Li2(t)
i(t) = 1/L ?u(ξ)dξ (iL的记忆性 )
= i(0) + 1/L ?u(ξ)dξ
i L
u
?
+ -
+ -
从 C和 L的 VCR看出
(1) 在直流稳态时 ( t = 0-,t = ∞),C相
当于开路,L相当于短路 ;
(2)在 t = 0换路时，若 ic(0)为有限值，
则 uc(0)不跃变, uc(0+) = uc(0-)。
若 uL(0)为有限值，则 iL(0)不跃变,
iL(0+) = iL(0-)。
具体而言，若 uc(0-) ＝ 0，或 iL(0-)
= 0,则 C在 t = 0+时处理为短路,L
处理为开路。
若 uc(0-) = 2V,或 iL(0-) = 2A,则在
t = 0+时,C等效为 2V电压源,L
等效为 2A电流源,
二, 直流激励下一阶电路的完全响应
? ? )(fe )(f)0(f)t(f t ?????? ? ?
(1),求初始值 f(0+)—由 t = 0+的等效电路
求解,该电路中 C由 uc(0+)的电压源代
替,L由 iL(0+) 的电流源代替 ;
(2),求直流稳态值 f(∞)—由 t = ∞的直流稳
态电路 (此时 C开路,L短路 )求出。
(3),求时间常数 τ—在 t≥0的电路中,求出
动态元件两端的戴维 宁 等效电阻 R0，则
τ＝ R0C (RC电路 )
τ＝ L/R0 (RL电路 )
2.由三要素法公式也可求零输入响应和
零状态响应
例如 任意变量的零输入响应
uc和 iL的零状态响应
例：图示电路 uc(0)=2V,t>0的 uc(t)为
?te)0(f)t(f ??
)e1)((f)t(f t ?????
t125.0e2)1( t1 2 5.0e2)2( ?
t5.0e2)3( ? t25.0e2)4( ?
uc-i
u5u+
-
+
+
-2W
1F
解 设 i如图,
t125.0e2)1( t1 2 5.0e2)2( ?
t5.0e2)3( ? t25.0e2)4( ?
W????? 8
i
)i2(4
i
u4R
0?
S8CR 0 ???? t125.0t ee ?? ?
? 答案为 (1)
uc-i
u5u+
-
+
+
-2W
1F
例 电源在 t = 0时加入电路，已知 uc(0)
= 0,求 i1(t),t>0.
解：这是零状态电路，可用三要素法。
5V
i1 1 2
4i1 F11
25 uc
+
-
+
-?
?
5V
i1 1 2
4i1 5i1
+
-
?
?( t=0+ )
(1) 由 t = 0+的电路求 i1(0+)
由 KVL i1(0+) + 2?5i1(0+) = 5
得 i1(0+) = 5/11 A
(2) 由 t = ∞的电路求 i1(∞):
因为 i1(∞) = -4i1(∞)
所以 i1(∞) = 0
(3) 求 ? (加 i=1A求 u,?R0)
由 KCL i1+ 4i1 = –i = –1A
u = 2i –i1 = 2.2V
所以 R0 = 2.2W,
?
?i1 1 2
4i1
i
u
+
-
R0
5V
i1(∞) 1 2
4i1(∞)
+
- ?
?
?
?
( t=? )
? i1= –0.2A,
0t,ee)0(i)t(i t2.0
t
11 ?????
?? A
11
5?
?=R0C=2.2?(25/11)=5s
三, 二阶电路的固有响应
2,如何确定特征根?
串联 RLC电路
LC)L
R(
L
RS
,
1
22
2
21 ????
1.不同的特征根,固有 响应有三种形式,
第三部分 正弦稳态分析
一, 正弦量及其相量
1.同频率正弦量的相位关系
例 i1(t) = 10cos(100t+30o)A
i2(t) = -5sin(100t - 15o)
所以 i1对 i2的相位差为 = 30 - 75o = –45o
即 i1滞后 i2 45o
∵ = 5cos(100+75o)A
相量的定义，相量与正弦量的关系，
为何引出相量?
几个特殊的相量,
2.正弦量的相量
1∠ ± 90° = ± j 1∠ ± 180° = -1
二, 阻抗与导纳，相量模型
N0
I?
U?
+
-
Z=ù?ì=|Z|∠ ?z
式中 |Z|=U?I,?z = ?u - ?i
?ZZ和 Y不仅能建立相量模型，而且能表征
电路的性质。
例, 电路工作于正弦稳态 ?= 1rad/s，求 u与 i
的相位差。
Y=ì ? ù=|Y|∠ ?Y
式中 |Y|= I ? U,?Y= - ?z= ?i- ?u
-j1 j2
i
u 1
1F
2H
+
- ?
?
ooZ
j
jZ,4590
11
1 ???
?
??解
? u 超前 i 45o
例：问 uL(t)超前 us(t)的角度＝？ (?=1rad?s)
即 i滞后 us 36.9o，而 uL超前 i 90o
所以 uL(t)超前 us ＝ 90o- 36.9o = 53.1o
uL
4i
3Hus
+
-
+
-
解,∵ Z = 4 + j3 = 5∠ 36.9o W
例：图示正弦稳态电路，电流表 A的读数
为（ ）安
(1) 1 （ 2） 3 （ 3） 4 （ 4） 7
A的读数为 1A (读有效值 )
这是因为 iL与 iC相差 180o
2,由相量模型分析正弦稳态电路
A
A1 A2
C
4A3A
L
?
?
与原电路结构不变，但电压电流用相量
表示，元件用阻抗或导纳表示。
画出相量模型后，其分析方法与直流电阻
电路的分析方法完全相同。
解, 画出原电路的
相量模型
?R1R2=ZcZL
则 –ù1 + ùs＝ 0
3u1
+
-
2
- +
u1
2F
-+ us 8H
2
u0
+
-?
?
?
?
?
?
2
-j0.5
+
- -
-
-
+
+ j8
2
1U3?
1U?
sU?
+
0U?
?
? ?
?
?
?
（平衡电桥）
?ù1=ùs=10∠ 30o V
ù0=3ù1=30∠ 30o V
)30t(c o s230)t(u 00 ??即
o00s )t(u,V)30tc o s (210)t(u 求已知例 ??
第三部分 正弦稳态分析
一, 正弦量及其相量
1.同频率正弦量的相位关系
例 i1(t) = 10cos(100πt+30o)A
i2(t) = -5sin(100πt - 15o)
所以 i1对 i2的相位差为 θ = 30 - 75o = –45o
即 i1滞后 i2 45o
∵ = 5cos(100π+75o)A
复习要点
相量的定义，相量与正弦量的关系，
为何引出相量?
几个特殊的相量,
2.正弦量的相量
1∠ ± 90° = ± j 1∠ ± 180° = -1
二, 阻抗与导纳，相量模型
N0
I?
U?
+
-
Z=ù?ì=|Z|∠ ?z
式中 |Z|=U?I,?z = ?u - ?i
1,Z和 Y不仅能建立相量模型，而且能表征
电路的性质。
例, 电路工作于正弦稳态 ?= 1rad/s，求 u与 i
的相位差。
Y=ì ? ù=|Y|∠ ?Y
式中 |Y|= I ? U,?Y= - ?z= ?i- ?u
-j1Ω j2Ω
i
u 1Ω
1F
2H
+
- ?
?
ooZ
j
jZ,4590
11
1 ???
?
??解
? u 超前 i 45o
例：问 uL(t)超前 us(t)的角度 θ＝？ (?=1rad?s)
即 i滞后 us 36.9o，而 uL超前 i 90o
所以 uL(t)超前 us θ＝ 90o- 36.9o = 53.1o
uL
4Ωi
3Hus
+
-
+
-
解,∵ Z = 4 + j3 = 5∠ 36.9o W
例：图示正弦稳态电路，电流表 A的读数
为（ ） 安
(1) 1 （ 2） 3 （ 3） 4 （ 4） 7
A的读数为 1A (读有效值 )
这是因为 ?L与 ?C相差 180o
2,由相量模型分析正弦稳态电路
A
A1 A2
C
4A3A
L
?
?
与原电路结构不变，但电压电流用相量
表示，元件用阻抗或导纳表示。
画出相量模型后，其分析方法与直流电阻
电路的分析方法完全相同。
=10?(-j1)+(-10)?j1= -j20V (1)ùoc=ù-j1W+ùj1W
三, 正弦稳态功率
Z = R+jX
Y = G+jBθ
U?
I?
I?
NU?+-Y
Z
1,平均功率 P，无功率 Q，视在功率 S，
功率因数 λ
P = UIcosθ= I2R = GU2 (W)
Q = UIsinθ (Var)
S = UI (VA) λ= P/S = cosθ
2.复功率 )VA( SjQPIUS * ?????? ??
3,三种基本元件的 P,Q及 S
R, P = UI = S,
L, P = 0
C, P = 0
Q = 0
Q = UI = S
Q = -UI = -S
例,已知
求单口网络的吸收平均功率和无功功率
解,
V t314c o s2100)t(u ?
i1(t)=2cos(314t+45o) A
A )60t314c o s (25.0)t(i o2 ??1 2
i1 i2+
-u
?
?
W 1 0 0)45c o s(21 0 0c o sUIP 111 ???????
Q1=UI1sin?1= -100var
P2=UI2cos?2=100?0.5cos60o=25W
Q2=UI2cos?2=43.3var
?P=P1+P2=125 W Q=Q1+Q2= -56.7 Var
4,正弦稳态最大功率传输定律
例 求负载获得最大功率时的负载元件值，
并求 PLmax
解, 作出相量模型并作变换
正弦稳
态
含源 N
ZL
m ax,LoL P)( ZZ 有共轭匹配时当 ??
o
2
oc m
o
2
oc
m axL R8
U
R4
UP ??且
costV
1H
costA 2F 1Ω
1Ω
ZL
?
?
?
?
?
?+
-
-j1s
j2s 1Ω
1Ω
V1 A1 ocmU?
+
-
+
- ??
? ??
?
-j1s
j2s 1Ω
1Ω
V1 A1 ocmU?
+
-
+
- ??
? ??
?
j2s 1s
1Ω
1A–j1A
-j1s
ocmU?
+
-? ?
? ??
?
?
?
V1j
1j1
1j1
Y
IU s
o cm ???
???
?
?
W????? 5.0j5.11j1 11Z o
W???? ? 5.0j5.1ZZ oL
其元件及元件值为,
RL=1.5Ω,LL=0.5H
RL
LL
1.5Ω
0.5H
W
12
1
5.18
1
R8
UP
o
2
o cm
m a xL ????
四。不同频率正弦激励作用于电路
1.任一支路的响应是各频率正弦响应的叠
加 ——由不同 ?的相量模型求各分量。
2.平均功率等于各频率正弦平均功率的
叠加。
3。不同频率正弦量叠加后的有效值为
????? 222120 UUUU
?
?
+
_us
i 2W
1F1H
1?3H
?
?
+
_
–j1Wj1W
j1?3W
2W1I?
V22j?
( ?=1 )
例：已知 us(t)=8+4sint+,V t2c o s22
求 i(t)和 2W电阻的吸收平均功率。
解,i(t)=I0+i1(t)+i2(t)
由 ?=1的相量模型
由 ?=0的相量模型（省画）得 I0=4A
得 ì1=0 ? i1(t)=0
?
?
2W
j2?3W –j0.5W
j2W
2I?
Vo2 o?
+
_
( ?=2 )
由 ?=2的相量模型
W???? 25.1j 132j2)2j(Z
A t2cos2)t(i A1I 22 ????
A t2c o s24)t(i ???
1714I 22 ???
P2W= I2 R= 34W
或 P2W=P1+P2=32+2 W
五, 网络函数和频率响应
1,网络函数的定义及分类
2,典型的低通网络和高通网络 (RC一阶 )
通频带,?c?∞通频带 0~?c
R
C
?
?
R
C
?
?
?c=1?? =1?RC
3,串联谐振和并联谐振
串联谐振的 Q值和谐振时的特点。
并联谐振的 Q和谐振时的特点。
六, 含耦合电感电路的分析
1,耦合电感的 VCR
dt
diL
dt
diMu 2
212 ??
dt
diM
dt
diLu 21
11 ??
i1 i2
··
L1 L2u1 u2
+ +
- -
M
LC
1＝谐振角频率 ?
0 Q
?0?＝通频带 D
C
L
R
1
R
L?Q 0 ??
2,耦合电感串，并联时的等效电感,
2M?LL
MLLL
21
221
?
??M± 2LLL
21??
3,含耦合电感电路的分析方法 (三种方法 )
七,含理想变压器电路的分析
1,VCR (变压，变流性 )
设变比 n = 3
则 u 2 = 3u 1
i2 = -i1 /3
电压，电流的变换极性与同名端位置有关
i1 i2
··u
1 u2
+ +
- -
1::n
+
-
1:2
· ·
2Ω1Ω a
b
v05 0?
开路电压为 v010 0?
2,理想变压器的阻抗变换性
阻抗变换性与同名端的位置无关
·
1:2
·
a
b
Z1
Z2
Z3
a
b
Z1/4
Z2/4
Z3/4
3,利用变压，变流和阻抗变换性分析含理
想变压 器的电路 (建立初级等效电路或次
级等效电路 )。
例 求图示电路中的 ù1 。
解, 次级导纳 Y2 ＝ 1+j0.5-j1＝ 1-j0.5s
S005.0j01.0
Y
Y 2
10
2
2 ????
初级导纳
V145.48
Y
I
U
ms1462.20005.0j02.0Y01.0Y
0
s
1
0
2
????
????????
?
?
A01 0? 1U
?
+
- 100Ω
10:1
· ·
-j2Ω 1Ω j1Ω A01 ?? 1U?
+
-
sI?
0.01s
2Y?
(初级等效电路 )
例 图示电路中 ZL＝？，可获得 PLmax，
并求 PLmax。
解, 负载端的戴维南等效阻抗为
2
W24?24R4UP
2
S
maxL ???
32j128ZZ *0L W???
32j128)5.0j2(8Z 20 W????
tVc o s24)t(u s ?
·+
- us
2F 2Ω
1:8
ZL
? ?
