第三章工控机的常用控制算法
控制器的结构
1、选择控制器的结构，保证系统的稳定性和所需的稳态精度。
2、选择控制器参数以满足动态性能指标。
3、在设计时通常将系统的开环传递函数设计为一个典型函数
稳态精度
动态性能
系统的典型化
PID 控制
典型系统
? 工程设计中重要的一环就是选取满足预期开环
传递函数的典型系统。
其极点和零点都可能是复数，其中 sv项表示系统
在原点处有 v重极点。根据 v＝ 0,1,2… 不同数
值分别成为 0型,1型,2型 … 系统。
12
00
12
( 1 ) ( 1 ),,,( ) ( )
( 1 ) ( 1 ),,,
ssG s H s
T s T s
?????
??
00
1( ) ( ) ( ) ( )
vG s H s G s H ss?
12
12
( 1 ) ( 1 ),,,( ) ( )
( 1 ) ( 1 ),,,v
ssG s H s
s T s T s
?????
??
典型输入下的稳态误差与静态误差系数
G(s) H(s) R(s) E(s) C(s)
E(s)=R(s) 1+G(s)H(s) 1
若系统稳定,
则可用终值定理求 ess
ess= lim s
1+ k sν G0H0
R(s)
→0 s
R(s)=R/s r(t)=R·1(t)
ess=
1+ k sν
R
lim
→0 s
r(t)=R·t R(s)=R/s2
ess=
s·
R
lim
→0 s
k
sν
r(t)=Rt2/2 R(s)=R/s3
ess=
s2·
R
lim
→0 s
k
sν
取不同的 ν
r(t)=R·1(t)
ess=
1+ k sν
R
lim
→0 s r(t)=R·t
ess=
s·
R
lim
→0 s
k
sν
r(t)=Rt2/2
ess=
s2·
R
lim
→0 s
k
sν
Ⅰ 型
0型
Ⅱ 型
R·1(t)
R
1+ k
R
k
R
k
R·t
0
0 0
∞ ∞
∞
Rt2/2 R·1(t) R·t Rt2/2
k
k
k
0
0 0
∞
∞
∞
ess=
1+ k sν
R
lim
→0 s
ess=
s·
R
lim
→0 s
k
sν
ess=
s2·
R
lim
→0 s
k
sν
常用典型系统的形式
? 根据自动控制原理可知,0型系统在稳态时是有差的，
而 3型和 3型以上的系统很难稳定，通常为了保证稳定性
和一定的精度，多选用 1型和 2型系统。
? 而典型 1,2型系统的性能容易确定。
1型系统选择的典型开环传递函数
2型系统选择的典型开环传递函数
( ) ( ) ( 1 )KG s H s s T s? ?
2
( 1 )( ) ( )
( 1 )
KsG s H s
s T s
? ??
?
控制器结构
2
222
n
nn
Cs
Rs ss
?
? ? ?? ??
()
()
2? ?
1n? ?
0??
1??
控制器结构
非典型系统的典型化
? 在实际系统中，大部分控制对象并不都是
典型系统，只有配上适当的控制器后才能
够转换为典型系统。
根据对象要求确定将对象转换为那一类
典型系统。下面就是将双惯性型控制对
象转换为 1型系统。
非典型系统的典型化
12
1 1 2
1()
( 1 ) ( 1 )pi
sKW s K
s T s T s
?
?
???
??
2
12
() ( 1 ) ( 1 )obj KWs T s T s? ??
1
1
1
1
()
1
p i p i p i
pi
W s K K
s
s
K
s
?
?
?
??
?
?
1 1 2 1/piT K K K????
这就是在系统中选择了 PI控制器 。
式中 T1>T2，如果要将其转
换为 1型典型系统，则需要
一个积分环节和比例环境，
以便消除控制对象中的一个
惯性环节，一般都消除大关
系环节，这样使系统的响应
更快。
2( 1)
K
s T s? ?
PID控制算法
非典型系统的典型化
2( 1)
K
s T s?1 1 2 1/piT K K K????
22
2
22
2 2 2
( 1 )
11
( 1 )
KK
Ks T s T
T s s K ss
s T s T T
? ??
??? ? ?
?
加 PI控制器后整个系统的开环传递函数就是一个 1型系统 。
2
222
n
nn
Cs
Rs ss
?
? ? ?? ??
()
()
开环传递函数
闭环传递函数
非典型系统的典型化
增加控制器使控制系统的开环传递函数典
型化是设计控制器的重要思路。
在上例中采用了 PI控制器将一个非典型系
统转化为典型系统。在多数情况下都可以
采用 PI或 PID控制器将对象典型化，当然
有时仅考以上几种控制器很难满足要求，
这时就不得不采用更复杂的控制律的控制
器。
控制器结构
数字 PID控制算法
K i /S 被控对象
K p
r ( t ) e ( t ) c ( t )
K d S
u ( t )+
-
+
+
+
模拟 PID调节器控制系统框图
PID调节器是一种线性调节器，这种调节器是将设定值 r（ t）
与输出值 c（ t）进行比较构成控制偏差
e（ t）＝ r（ t）－ c（ t）
将其按比例、积分、微分运算后，并通过线性组合构成控
制量，所以简称为 P（比例）,I（积分）,D（微分）调
节器。
数字 PID控制算法
数字 PID
因为微机是通过软件实现其控制算法。必须对模
拟调节器进行离散化处理，这样它只能根据采样
时刻的偏差值计算控制量。因此，不能对积分和
微分项直接准确计算，只能用数值计算的方法逼
近。
微分项的作用 积分项的作用
位置式 PID的控制算法
T
keke
dt
tde )1()()( ???
当采样时间很短时，可用一阶差分代替一阶微分，用累加代替积分。
连续时间的离散化
积分用累加求和近似得
KTt ?
???
??
?? K
i
K
i
t ieTTiedtte
000
)()()(
（ K＝ 0,1,2,…, n）
微分用一阶差分近似得
T —— 为采样周期；
k —— 为采样序号,k＝ 0, 1，
2,…
e（ k） —— 系统在第 k次采样时刻的偏差值；
e（ k-1） —— 为系统在第 k-1次采样时刻的偏
差值
PID表达式
0
( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ] }
k
D
P
iI
TTu k K e k e i e k e k
?
? ? ? ? ??
递推式 PID
说明
位置式 PID的说明
返回数字 PID
位置式 PID算法的原理图
控制算法的控制量 u(k)与被控对象的绝对位置相
对应，所以称为位置式 PID控制算法。
位置式 PID算法的每次输出与过去的状态有关，要
计算 u(k)，不仅涉及到 e（ k-1）和 e（ k-2），且
须将历次相加。
P I D 位置式算法 被控对象
)( tr + )( ku)( te )( kc
-
PID位置式算法控制原理图
PID控制算法
递推式 PID控制算法
1
0
( 1 ) { ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ] }k DP
iI
TTu k K e k e i e k e k?
?
? ? ? ? ? ? ? ??
0
( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ] }k DP
iI
TTu k K e k e i e k e k
?
? ? ? ? ??
位置式 PID要占相当的内存，造成浪费内存。
两式相减，得
)1()({)1()( ????? kekeKkuku P ) ] }2()1(2)([)( ?????? kekeke
T
Tke
T
T D
I
)2()1()21()()1( ???????? keTTKkeTTKkeTTTTK DPDPD
I
P
)1()( ?? kuku
)2()1()()1( 210 ??????? kekekeku ???
其中 )1(
0 T
T
T
TK D
I
P ???? )21(1 TTK DP ??? T
TK D
P?2?
( ) ( 1 ) ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ]P i du k u k K e k K e k K e k e k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
递推式 PID的程序框图
入口
输出 u （ k ）
0
)1( ukuBC ????
值作 )()()( tckrke ??
取
1
?, e （ k -1 ）并作乘法
存储,e ( k ) → e ( k - 1), e ( k -1 ) → e ( k - 2 )
为下一次作准备
子程序返回
)(
0
keAB ???
作 u （ k ） → u （ k -1 ）输出
取
0
?
,)( ke 并作乘法
取
2
?, e （ k -2 ）并作乘法
)1()2(
12
???? kekeA ??
取给定值 )( kr, )( kc 反馈值
软件算法流程图
流程图如图所示。
其中系数 α0,α1,
α2可以预先算出 。
递推式 PID
增量式 PID
PID增量式控制算法
)1()()( ???? kukuku
当执行机构需要的不是控制量的绝对数值，而是其增量
（例如去驱动步进电机）时，要采用 PID增量式控制算法。
采用 PID增量式控制算法表达式
式中 α0,α1,α2与递推式 PID中的一样
)2()1()()( 210 ?????? kekekeku ???
P I D 增量式算法 被控对象步进电机
)( tr )( tu?+ )( ku)( te )( kc
-
PID增量式算法控制原理图
增量式 PID算法的程序框图
在编程时 α 0、
α 1,α 2可预
先算出，存入
预先固定的单
元，设初值 e
（ k-1）,e
（ k-2）为 0。
增量式 PID算法程
序框图
入口
取给定值 )( kr, )( kc 反馈值
)1()2(
12
???? kekeA ??
值作 )()()( tckrke ??
作
)()(
0
keAku ????
并输出
存储,e ( k ) → e ( k - 1 ), e ( k -1 ) → e ( k - 2 )
为下一次作准备
子程序返回
返回 PID
比例控制器
比例调节器的微分方程为,
y=KPe(t)
式中,y为调节器输出； Kp为
比例系数； e(t)为调节器输入
偏差。
由上式可以看出，调节器的输
出与输入偏差成正比。只要偏
差出现，就能及时地产生与之
成比例的调节作用，具有调节
及时的特点。
e (t)
y
0
0
t
t
K P e (t)
比例控制器的作用
2
2
2 22
2
22
( 2 )
()
2
1
( 2 )
'
2 ' ' '
n
nn
n nn
n
n
nn
K
Kss
cs
s s K
K
ss
ss
?
???
? ? ? ?
??
?
? ? ?
?
?
??
??
??
?
?
??
22'nnK???
' K?? ?
比例作用,与 e(k)在时间上一致，调节及时。
KP↑,→ess↓，精度 ↑,有差 ; σ%↑,稳定性 ↓; tr↓,上升加快。
积分控制器
所谓积分作用是指调节器的输
出与输入偏差的积分成比例的
作用。积分方程为,
TI是积分时间常数，它表示积
分速度的大小,TI越大，积分
速度越慢，积分作用越弱。
e (t)
y
0
0
t
t
积分控制器
Ⅰ 型系统对阶跃输入无差,恒值控制是 KP可调小些。
积分作用,只要误差不为零,M(t)就会变化，直
到误差为 0，可以消除阶跃响应的 e(t)。 90度滞后相角，
不利于稳定性，很少单独使用。 Ti↑,→积分作用 ↓，
σ%↓，消除误差的速度减慢。
说明图
积分项的改进
PI调节器
若将比例和积分两种作用结
合起来，就构成 PI调节器，
其调节规律为,
e (t)
y
0
0
t
t
y 1 =K P e (t)
K 1 K P e (t)
y 2
比例微分调节器
微分调节器的微分方程为,
微分作用, e不大，但 de/dt可能较大，微分作用反映变化的趋势，提
前给出较大的调节作用，较比例调节更为及时，提前预报。 Td↑,
→σ%↓,抑制高频干扰的能力 ↓。 Td 过大，在输出接近稳态值时上升
缓慢。
微分项的改进 说明图
微分
积分
不完全微分 PID
不完全微分 PID的特性
微分先行 PID
不完全微分 PID算法
在标准的 PID算式中，当有阶跃信号输入时，微分项急剧
增加，容易引起调节过程的振荡，导致调节品质下降。
1.不完全微分 PID算法基本思想 仿照模拟调节器的实际
微分调节，加入惯性环节，以克服完全微分的缺点。
2.算法的传递函数表达式为
式中 TD—— 微分增益。 ( ) 11
( ) 1
D
P
If
U s T sK
E s T s T s
??
? ? ???
???
结构图
)()()( sUsUsU DPI ??
)(11 sEsTKU
I
PPI ??
??
?
? ?? ) ( )
1
D
DP
f
TsU K E s
Ts? ?
( ) ( )() d
d f p d
du t de tu t T K T
dt dt??
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )() dd
d f p d
u k u k e k e ku k T K T
TT
? ? ? ???离散化
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )d d du k a u k a K e k? ? ? ? ?整理后得
1f
f
Ta
TT???
11
f
Ta
TT? ? ??
将上式化成微分方程
将上式分成比例积分和微分两部分，则
其中
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )ffd d dTTu k u k K e k? ? ? ? ?pdd KTK T?其中
结构图
输出特性
理想 PID 不完全微分 PID
结构图 不完全微分 PID的特性
微分先行 PID算法
微分先行 PID算法的实质是将微分运算提前进行。有
两种结构，一种是对输出量的微分；另一种是对偏差
的微分，如图所示。
对输出量先行微分 PID算法
两种结构的特点
第一种结构是对偏差值先行微分，它对给定值
和偏差值都有微分作用，适用于串级控制的副控制
回路。因为副控制回路的给定值是由主控回路给定
的，也应对其作微分处理，因此，应该在副控制回
路中采用偏差 PID控制。
后一种结构只对输出量 c（ t）进行微分，它适
用于给定量频繁升降的场合，可以避免升降给定值
时所引起的超调量过大，阀门动作过分剧烈振荡。
数字 PID
积分分离法
积分分离法在开始时不进行积分，当偏差小于一定的阀值
后才进行积分累计。这样，一方面防止了一开始有过大的
控制量，另一方面即使进入饱和后，因积分累积小，也能
较快退出，减少了超调。
) ] }1()([)()()(
0
????? ?
?
kekeKieKKkeKku
k
i
DILP
式中 其中 为预定门限值。 1 ( )
0 ( )L
ekK
ek
?
?
???
? ?
?
,当 时
,当 时
?
增量式,Δu(k)=u(k)-u(k-1)
=KP[e(k)-e(k-1)]+Ki e(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)] |e(k)| ≤
Δu(k)=KP[e(k)-e(k-1)]+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)] |e(k)| >
?
?
采用积分分离法的 PID位算法流程图
? 系统输出在门限
外时，该算法相
当于 PD调节器。
只有在门限范围
内，积分部分才
起作用，以消除
系统静差。
变速积分 PID控制算法
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
BAke
BAkeB
A
Bke
Bke
kef
|)(|0
|)(|
|)(|
1
|)(|1
)]([
变速积分的基本思想就是使积分项的效果和偏差
大小相对应，偏差越大，积分项的作用就小；偏
差越小，积分项的作用就越大。
Δu (k) =Kp[e(k)-e(k-1)]+ f[e(k)] Kie(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]
1
0
( ) { ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) }
k
ii
j
u k K e j f e j f e k e k
?
?
???
其它改进方法
其它改进方法
? 1时间 最优的 PID
? 2 死区 PID控制算法
? 3 大滞后 Smith预估控制
PID的整定
时间最优 PID
要求过渡过程时间最短的位置控制。大误差时为 Bang-
bang控制,小误差时为 PID。
设负载转矩 ML= 0,恒转矩起动 (恒电流 ),产生恒加速度,ω
线性增加,M=0 时,ω不变,θ线性增加，需停止时加恒 -Mm,ω
线性减少至 0,θ刚好到设定值。实际上很难办到，可与 PID结
合，小误差时用 PID。
dt
dJM-M
L
??Mm
-M m
ω
θ
其它改进方法
带死区的 PID控制
在控制精度要求不高、控制过程要求平稳
的测控系统中，为了避免控制动作过于频
繁，消除由此引起的振荡，可以人为的设
置一个不灵敏区 B，即带死区的 PID控制。
只有不在死区范围内时，才按 PID算式计
算控制量。
死区 PID
执行机构不能频繁动作时，可在 PID之前加死区。
|e(k)|<设定值时，比例、微分部分为 0，控制器的输出值不
变。
??
?
??
??
|e ( k )| 0
|>e ( k )| e ( k )kP )(
c t( )e ( t )给定值
-
被控对象
变送器
死区
测量元件
P I D执行器
p ( e )
e (t )
p (t )
β
- β
其它改进方法
大滞后 Smith预估控制
D （ s ） G P ( s ) e -- τ s
)( tr + )( ku)( te )( kc
-
纯滞后补偿原理
在工业控制中，不少控制对象往往具有纯滞后的性质。
对象的纯滞后性质，会导致控制作用不及时，引起系统超
调和振荡。带纯滞后环节的控制系统如图所示。
其传递函数为
s
P
s
p esG
ST
eKsG ?? ?? ?
?? )(1 1）（
对于这样的对象，用一般的 PID调节规律是难以得
到好的动态特性的，特别是当滞后时间 τ较大时会
产生持续振荡，使系统的稳定性降低。一个补偿
的办法是采用史密斯（ Smith）预测器。
1
()1
s
p s
P
KeG s G s e
Ts
?
?
?
???
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( ) ( ) ( 1 )srPG s G s e ????
1
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1
11
() ( ) [ ( ) ( ) ]
p
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11( ) [ ( 1 ) ] { ( 1 ) [ ( 1 ) ] }y k T a y k T b u k T u k T ?? ? ? ? ? ? ?
11 11( ) [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ] { ( 1 ) [ ( 1 ) ] }py kT y k T T y k T K u k T u k TT ??? ? ? ? ? ? ? ? ?
其它改进方法
( ) ( )sPrG s e G s?? ? ()PGs?
1
p
Ta
T?? *P p
TbK
T?
1()
()
ys
us?
实验经验法确定 PID调节参数
1．扩充临界比例度法
扩充临界比例度法是以模拟调节器中使用的临界比例度
法为基础的一种 PID数字控制器参数的整定方法。
2．阶跃响应曲线法
在上述方法中，不需要预先知道对象的动态性能，而是
直接在闭还系统中进行整定的。如果已知系统的动态特性
曲线，数字控制器的参数的整定也可采用类似模拟调节器
的响应曲线法来进行，称为阶跃响应曲线法，也称扩充响
应曲线法。这一方法适用于多容量自平衡系统。
1,扩充临界比例度法
选 T<0.1对象纯滞后时间常数, 闭环比例控制, 增大 Kp,
至产生等幅振荡, 比例度 ?k=1/Kp,得周期 Tk和临界比例度 ?k。
根据控制度查表可得控制器的参数 。
控制度难测,可试定其值 。
控制度 =1:1.05时可认为二者效果相当 。 有的系统不允许
大幅振荡, 做实验有风险 。
模拟
控制度
])([
])([
0
2
0
2
dtte
dtte D D C
?
?
?
?
?
2,扩充响应曲线法
开环, 求对象的阶跃响应, 易实现,
在曲线上最大斜率处作一条切线, 求得对
象的滞后时间 θ和时间常数 τ。 查表 3.2即可
求得 KP,TI, TD和 T。
调整步骤
(1) 开始可用比例控制，初定参数。
(2) 如 ess大，用 PI，原 Kp减小 20%，
Ti由大减小，反复调节 Kp Ti。
(3) 如动态不好可加微分,Td从 0增大，
反复调节 Kp,Ti和 Td。
可用运放模拟对象，闭环调试。
τθ
t
y (t )
系统开环阶跃响应曲线
Z变换
( ) ( )y t R u t? () Rys
s?
1() 11
R R zyz
zz?????
连续信号
离散信号
Z变换的定义
0
( ) ( ) k
k
y z y k z
?
?
?
? ?
( ) ( )y k R u k?
00
( ) ( ) kk
kk
y z R y k z R z
??
??
??
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1 2 3 4( 1,,,,, )R z z z z? ? ? ?? ? ? ? ? ?
1
1
11
zRR
zz????? 1z ?
z的方次越高，就意味着这个信号的持续时间越长。
z的方次每增加一次，就意味着这时的信号与前一次信号
相差一个采样周期。
Tsze? 1 lnsz
T?
对阶跃
信号作 z
变换
*2
0
( ) ( ) ( 1 )
1
( 1 )
1
kT s T s T s
Ts
Ts
Ts
Ts
R
y s y kT e R e e
e
Re
e
e
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如果
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k
y z y k z
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0
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k
d y z d y k z d z
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0
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k
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k
k z y k
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0
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k
Z k y k k y k z
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( ) ( ( ) )y z Z y k?
1
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11
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13
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T z zRz
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z k y k z
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11
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1 ( 1 ) ( )
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z z z eG z G z G z
z z e z z e
?
??
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
sTze? 1 lnsz
T?
例,F(Z)= 长除法
2
3
2
z
zz??
零阶保持器法
离散的方法
离散的目的：微机测控系统是采用数字控制方式，所以
应对模拟调节器进行离散化处理，以便微机能够通过软
件实现其控制算法。
离散的方法,
1、差分变换法：是将模拟调节器的微分方程表达式的导
数可用差分近似代替。
2、零阶保持器法：离散近似后的数字控制器的阶跃响
应序列，必须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等。
3 双线性变化法：就是将 s域函数与 Z域函数进行转换的
一种近似方法。
差分变换法
T
kuku
dt
tdu )1()()( ???
一阶后项差分
二阶后项差分
把原连续校正装置传递函数 D（ s）
转换成微分方程，再用差分方程近
似该微分方程。
差分近似法有两种：后项差分
和前项差分。微机测控离散化
只采用后项差分。
差分变化法的实例
T
kukutu )1()()( ????
1
1)(
1 ?
? sTsD
11)( )()( 1 ??? sTSE SUsD )()()1( 1 sEsUsT ??
)()()(1 tetudt tduT ??
解：由 有
得微分方程
以采样周期离散上述微分方程得 )()()(1 kTekTukTuT ???
即 )()()(
1 kekukuT ???
例题：求惯性环节 的差分方程
)()()]1()([1 kekukukuTT ????
)()1()(
11
1 ke
TT
Tku
TT
Tku
?????
用一阶后项差分近似代入上式
得
零阶保持器法
])([)1()( 1 s sDZzzD ???
基本思想：离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列，必
须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等
微机控制就是用软件实现 D（ s）算式，这样输入的信号必须
经过 A/D转换器对 e（ t）进行采样得到 e*（ t），然后经过保
持器 H（ s）将此离散信号变换成近似 e（ t）的信号 eh（ t），
才能加到 D（ s）上去。为此，用 D（ z）近似 D（ s）求 Z变换
表达式时，不能简单地只将 D（ s）进行变换，应包括 H（ s）
在内
零阶保持器法
( 1 - e - T s ) /s )( sD)( te )( te
? )( tee h ( t )
()Ds
s
( ) ( ) ( )y t u t u t T? ? ?
11() T s T seeys
s s s
?? ?
? ? ?
广义对象的传递函数
如果
1()yt
则
11( ) ( ) ( )y t y t y t T? ? ? 11( ) ( ) ( 1 )y k y k y k? ? ?
1 1( 1 ) ( ( ) )z Z y k???则
])([)1()( 1 s sDZzzD ???对广义对象作 Z变换时
1 ( ) ( )( ) ( )Ts Tse D s D sy s D s e
s s s
?
??? ? ? ?
( ( ))Z y k ? 1( ( ))Z y k 1 1( ( ))z Z y k??
零阶保持器法的实例
1
1
1
1
1
)1(
??
??
?
??
ze
ze
TT
TT
)1()1()1()( 11 ????? ?? keekueku TTTT
1
1)(
1 ?
? sTsD例题：用零阶保持器法求惯性环节 的差分方程
解,由式
]111[)(
1 ?
?? ?
sTs
eZzD Ts ]
)1(
1[)1(
1
1 ??? ? sTsZz
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?
1
1
1
11)1(
T
ss
Zz
?????? ????? ???? 111 11 11 1)1( zezz TT ?????? ?? ??? ??? ?
??
)1)(1(
)1()1(
11
11
1
1
zez
zez
TT
TT
所以
整理得,
()ut 1 ()tTu t?
11( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )T T T Tu k e u k e e k??? ? ? ? ?
()()
()
uzDz
ez?
双线性变换法
ST
sT
Ts
e
eez
2
2
?
??
基本思想：就是将 s域函数与 Z域函数进行转换的一种近似方法。
用泰勒级数展开
若近似只取前两项代入式则得
????? 222 821 sTsTe T ?????? 222 821 sTsTe T
Ts
Ts
s
T
s
T
sT
sT
z
?
??
?
?
?
?
?
?
2
2
12
12
2
1
2
1
由 Z变换的定义有
1
1
1
12
1
12
?
?
?
??
?
??
z
z
Tz
z
Ts
即 s近似为
双线性变换法的实例
例题：已知某连续控制器的传递函数,试用双线性变换
法求出相应的数字控制器的脉冲传递函数 D（ z），其中 T＝ 1s
2
1
1
1
1
1
12
2
1
1
12
5.0
1
12
)1(
5.0
)(
1
1
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
z
z
T
z
z
T
s
s
zD
z
z
T
? ? 211
21111
)1()1(2
)1(5.0)1)(1(2
??
????
???
?????
zz
zzzT
21
21
69
5.15.2
??
??
??
???
zz
zz
21
21
111.0667.01
)6.04.01(278.0
??
??
??
???
zz
zz
2)1(
5.0)(
?
??
s
ssD
解
三阶系统的 PID设计
无控制器的时域图
无控制器的频域图
三阶系统的 PID设计
比例控制器的时域图
比例控制器的频域图
比例控制器的时域图 1
比例控制器的时域图 2
比例积分控制器的频域图
PID控制时域图 1
PID控制时域图 2
PID控制频域图
控制器的结构
1、选择控制器的结构，保证系统的稳定性和所需的稳态精度。
2、选择控制器参数以满足动态性能指标。
3、在设计时通常将系统的开环传递函数设计为一个典型函数
稳态精度
动态性能
系统的典型化
PID 控制
典型系统
? 工程设计中重要的一环就是选取满足预期开环
传递函数的典型系统。
其极点和零点都可能是复数，其中 sv项表示系统
在原点处有 v重极点。根据 v＝ 0,1,2… 不同数
值分别成为 0型,1型,2型 … 系统。
12
00
12
( 1 ) ( 1 ),,,( ) ( )
( 1 ) ( 1 ),,,
ssG s H s
T s T s
?????
??
00
1( ) ( ) ( ) ( )
vG s H s G s H ss?
12
12
( 1 ) ( 1 ),,,( ) ( )
( 1 ) ( 1 ),,,v
ssG s H s
s T s T s
?????
??
典型输入下的稳态误差与静态误差系数
G(s) H(s) R(s) E(s) C(s)
E(s)=R(s) 1+G(s)H(s) 1
若系统稳定,
则可用终值定理求 ess
ess= lim s
1+ k sν G0H0
R(s)
→0 s
R(s)=R/s r(t)=R·1(t)
ess=
1+ k sν
R
lim
→0 s
r(t)=R·t R(s)=R/s2
ess=
s·
R
lim
→0 s
k
sν
r(t)=Rt2/2 R(s)=R/s3
ess=
s2·
R
lim
→0 s
k
sν
取不同的 ν
r(t)=R·1(t)
ess=
1+ k sν
R
lim
→0 s r(t)=R·t
ess=
s·
R
lim
→0 s
k
sν
r(t)=Rt2/2
ess=
s2·
R
lim
→0 s
k
sν
Ⅰ 型
0型
Ⅱ 型
R·1(t)
R
1+ k
R
k
R
k
R·t
0
0 0
∞ ∞
∞
Rt2/2 R·1(t) R·t Rt2/2
k
k
k
0
0 0
∞
∞
∞
ess=
1+ k sν
R
lim
→0 s
ess=
s·
R
lim
→0 s
k
sν
ess=
s2·
R
lim
→0 s
k
sν
常用典型系统的形式
? 根据自动控制原理可知,0型系统在稳态时是有差的，
而 3型和 3型以上的系统很难稳定，通常为了保证稳定性
和一定的精度，多选用 1型和 2型系统。
? 而典型 1,2型系统的性能容易确定。
1型系统选择的典型开环传递函数
2型系统选择的典型开环传递函数
( ) ( ) ( 1 )KG s H s s T s? ?
2
( 1 )( ) ( )
( 1 )
KsG s H s
s T s
? ??
?
控制器结构
2
222
n
nn
Cs
Rs ss
?
? ? ?? ??
()
()
2? ?
1n? ?
0??
1??
控制器结构
非典型系统的典型化
? 在实际系统中，大部分控制对象并不都是
典型系统，只有配上适当的控制器后才能
够转换为典型系统。
根据对象要求确定将对象转换为那一类
典型系统。下面就是将双惯性型控制对
象转换为 1型系统。
非典型系统的典型化
12
1 1 2
1()
( 1 ) ( 1 )pi
sKW s K
s T s T s
?
?
???
??
2
12
() ( 1 ) ( 1 )obj KWs T s T s? ??
1
1
1
1
()
1
p i p i p i
pi
W s K K
s
s
K
s
?
?
?
??
?
?
1 1 2 1/piT K K K????
这就是在系统中选择了 PI控制器 。
式中 T1>T2，如果要将其转
换为 1型典型系统，则需要
一个积分环节和比例环境，
以便消除控制对象中的一个
惯性环节，一般都消除大关
系环节，这样使系统的响应
更快。
2( 1)
K
s T s? ?
PID控制算法
非典型系统的典型化
2( 1)
K
s T s?1 1 2 1/piT K K K????
22
2
22
2 2 2
( 1 )
11
( 1 )
KK
Ks T s T
T s s K ss
s T s T T
? ??
??? ? ?
?
加 PI控制器后整个系统的开环传递函数就是一个 1型系统 。
2
222
n
nn
Cs
Rs ss
?
? ? ?? ??
()
()
开环传递函数
闭环传递函数
非典型系统的典型化
增加控制器使控制系统的开环传递函数典
型化是设计控制器的重要思路。
在上例中采用了 PI控制器将一个非典型系
统转化为典型系统。在多数情况下都可以
采用 PI或 PID控制器将对象典型化，当然
有时仅考以上几种控制器很难满足要求，
这时就不得不采用更复杂的控制律的控制
器。
控制器结构
数字 PID控制算法
K i /S 被控对象
K p
r ( t ) e ( t ) c ( t )
K d S
u ( t )+
-
+
+
+
模拟 PID调节器控制系统框图
PID调节器是一种线性调节器，这种调节器是将设定值 r（ t）
与输出值 c（ t）进行比较构成控制偏差
e（ t）＝ r（ t）－ c（ t）
将其按比例、积分、微分运算后，并通过线性组合构成控
制量，所以简称为 P（比例）,I（积分）,D（微分）调
节器。
数字 PID控制算法
数字 PID
因为微机是通过软件实现其控制算法。必须对模
拟调节器进行离散化处理，这样它只能根据采样
时刻的偏差值计算控制量。因此，不能对积分和
微分项直接准确计算，只能用数值计算的方法逼
近。
微分项的作用 积分项的作用
位置式 PID的控制算法
T
keke
dt
tde )1()()( ???
当采样时间很短时，可用一阶差分代替一阶微分，用累加代替积分。
连续时间的离散化
积分用累加求和近似得
KTt ?
???
??
?? K
i
K
i
t ieTTiedtte
000
)()()(
（ K＝ 0,1,2,…, n）
微分用一阶差分近似得
T —— 为采样周期；
k —— 为采样序号,k＝ 0, 1，
2,…
e（ k） —— 系统在第 k次采样时刻的偏差值；
e（ k-1） —— 为系统在第 k-1次采样时刻的偏
差值
PID表达式
0
( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ] }
k
D
P
iI
TTu k K e k e i e k e k
?
? ? ? ? ??
递推式 PID
说明
位置式 PID的说明
返回数字 PID
位置式 PID算法的原理图
控制算法的控制量 u(k)与被控对象的绝对位置相
对应，所以称为位置式 PID控制算法。
位置式 PID算法的每次输出与过去的状态有关，要
计算 u(k)，不仅涉及到 e（ k-1）和 e（ k-2），且
须将历次相加。
P I D 位置式算法 被控对象
)( tr + )( ku)( te )( kc
-
PID位置式算法控制原理图
PID控制算法
递推式 PID控制算法
1
0
( 1 ) { ( 1 ) ( ) [ ( 1 ) ( 2 ) ] }k DP
iI
TTu k K e k e i e k e k?
?
? ? ? ? ? ? ? ??
0
( ) { ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ] }k DP
iI
TTu k K e k e i e k e k
?
? ? ? ? ??
位置式 PID要占相当的内存，造成浪费内存。
两式相减，得
)1()({)1()( ????? kekeKkuku P ) ] }2()1(2)([)( ?????? kekeke
T
Tke
T
T D
I
)2()1()21()()1( ???????? keTTKkeTTKkeTTTTK DPDPD
I
P
)1()( ?? kuku
)2()1()()1( 210 ??????? kekekeku ???
其中 )1(
0 T
T
T
TK D
I
P ???? )21(1 TTK DP ??? T
TK D
P?2?
( ) ( 1 ) ( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ]P i du k u k K e k K e k K e k e k? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
递推式 PID的程序框图
入口
输出 u （ k ）
0
)1( ukuBC ????
值作 )()()( tckrke ??
取
1
?, e （ k -1 ）并作乘法
存储,e ( k ) → e ( k - 1), e ( k -1 ) → e ( k - 2 )
为下一次作准备
子程序返回
)(
0
keAB ???
作 u （ k ） → u （ k -1 ）输出
取
0
?
,)( ke 并作乘法
取
2
?, e （ k -2 ）并作乘法
)1()2(
12
???? kekeA ??
取给定值 )( kr, )( kc 反馈值
软件算法流程图
流程图如图所示。
其中系数 α0,α1,
α2可以预先算出 。
递推式 PID
增量式 PID
PID增量式控制算法
)1()()( ???? kukuku
当执行机构需要的不是控制量的绝对数值，而是其增量
（例如去驱动步进电机）时，要采用 PID增量式控制算法。
采用 PID增量式控制算法表达式
式中 α0,α1,α2与递推式 PID中的一样
)2()1()()( 210 ?????? kekekeku ???
P I D 增量式算法 被控对象步进电机
)( tr )( tu?+ )( ku)( te )( kc
-
PID增量式算法控制原理图
增量式 PID算法的程序框图
在编程时 α 0、
α 1,α 2可预
先算出，存入
预先固定的单
元，设初值 e
（ k-1）,e
（ k-2）为 0。
增量式 PID算法程
序框图
入口
取给定值 )( kr, )( kc 反馈值
)1()2(
12
???? kekeA ??
值作 )()()( tckrke ??
作
)()(
0
keAku ????
并输出
存储,e ( k ) → e ( k - 1 ), e ( k -1 ) → e ( k - 2 )
为下一次作准备
子程序返回
返回 PID
比例控制器
比例调节器的微分方程为,
y=KPe(t)
式中,y为调节器输出； Kp为
比例系数； e(t)为调节器输入
偏差。
由上式可以看出，调节器的输
出与输入偏差成正比。只要偏
差出现，就能及时地产生与之
成比例的调节作用，具有调节
及时的特点。
e (t)
y
0
0
t
t
K P e (t)
比例控制器的作用
2
2
2 22
2
22
( 2 )
()
2
1
( 2 )
'
2 ' ' '
n
nn
n nn
n
n
nn
K
Kss
cs
s s K
K
ss
ss
?
???
? ? ? ?
??
?
? ? ?
?
?
??
??
??
?
?
??
22'nnK???
' K?? ?
比例作用,与 e(k)在时间上一致，调节及时。
KP↑,→ess↓，精度 ↑,有差 ; σ%↑,稳定性 ↓; tr↓,上升加快。
积分控制器
所谓积分作用是指调节器的输
出与输入偏差的积分成比例的
作用。积分方程为,
TI是积分时间常数，它表示积
分速度的大小,TI越大，积分
速度越慢，积分作用越弱。
e (t)
y
0
0
t
t
积分控制器
Ⅰ 型系统对阶跃输入无差,恒值控制是 KP可调小些。
积分作用,只要误差不为零,M(t)就会变化，直
到误差为 0，可以消除阶跃响应的 e(t)。 90度滞后相角，
不利于稳定性，很少单独使用。 Ti↑,→积分作用 ↓，
σ%↓，消除误差的速度减慢。
说明图
积分项的改进
PI调节器
若将比例和积分两种作用结
合起来，就构成 PI调节器，
其调节规律为,
e (t)
y
0
0
t
t
y 1 =K P e (t)
K 1 K P e (t)
y 2
比例微分调节器
微分调节器的微分方程为,
微分作用, e不大，但 de/dt可能较大，微分作用反映变化的趋势，提
前给出较大的调节作用，较比例调节更为及时，提前预报。 Td↑,
→σ%↓,抑制高频干扰的能力 ↓。 Td 过大，在输出接近稳态值时上升
缓慢。
微分项的改进 说明图
微分
积分
不完全微分 PID
不完全微分 PID的特性
微分先行 PID
不完全微分 PID算法
在标准的 PID算式中，当有阶跃信号输入时，微分项急剧
增加，容易引起调节过程的振荡，导致调节品质下降。
1.不完全微分 PID算法基本思想 仿照模拟调节器的实际
微分调节，加入惯性环节，以克服完全微分的缺点。
2.算法的传递函数表达式为
式中 TD—— 微分增益。 ( ) 11
( ) 1
D
P
If
U s T sK
E s T s T s
??
? ? ???
???
结构图
)()()( sUsUsU DPI ??
)(11 sEsTKU
I
PPI ??
??
?
? ?? ) ( )
1
D
DP
f
TsU K E s
Ts? ?
( ) ( )() d
d f p d
du t de tu t T K T
dt dt??
( ) ( 1 ) ( ) ( 1 )() dd
d f p d
u k u k e k e ku k T K T
TT
? ? ? ???离散化
( ) ( 1 ) ( 1 ) ( )d d du k a u k a K e k? ? ? ? ?整理后得
1f
f
Ta
TT???
11
f
Ta
TT? ? ??
将上式化成微分方程
将上式分成比例积分和微分两部分，则
其中
( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )ffd d dTTu k u k K e k? ? ? ? ?pdd KTK T?其中
结构图
输出特性
理想 PID 不完全微分 PID
结构图 不完全微分 PID的特性
微分先行 PID算法
微分先行 PID算法的实质是将微分运算提前进行。有
两种结构，一种是对输出量的微分；另一种是对偏差
的微分，如图所示。
对输出量先行微分 PID算法
两种结构的特点
第一种结构是对偏差值先行微分，它对给定值
和偏差值都有微分作用，适用于串级控制的副控制
回路。因为副控制回路的给定值是由主控回路给定
的，也应对其作微分处理，因此，应该在副控制回
路中采用偏差 PID控制。
后一种结构只对输出量 c（ t）进行微分，它适
用于给定量频繁升降的场合，可以避免升降给定值
时所引起的超调量过大，阀门动作过分剧烈振荡。
数字 PID
积分分离法
积分分离法在开始时不进行积分，当偏差小于一定的阀值
后才进行积分累计。这样，一方面防止了一开始有过大的
控制量，另一方面即使进入饱和后，因积分累积小，也能
较快退出，减少了超调。
) ] }1()([)()()(
0
????? ?
?
kekeKieKKkeKku
k
i
DILP
式中 其中 为预定门限值。 1 ( )
0 ( )L
ekK
ek
?
?
???
? ?
?
,当 时
,当 时
?
增量式,Δu(k)=u(k)-u(k-1)
=KP[e(k)-e(k-1)]+Ki e(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)] |e(k)| ≤
Δu(k)=KP[e(k)-e(k-1)]+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)] |e(k)| >
?
?
采用积分分离法的 PID位算法流程图
? 系统输出在门限
外时，该算法相
当于 PD调节器。
只有在门限范围
内，积分部分才
起作用，以消除
系统静差。
变速积分 PID控制算法
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
BAke
BAkeB
A
Bke
Bke
kef
|)(|0
|)(|
|)(|
1
|)(|1
)]([
变速积分的基本思想就是使积分项的效果和偏差
大小相对应，偏差越大，积分项的作用就小；偏
差越小，积分项的作用就越大。
Δu (k) =Kp[e(k)-e(k-1)]+ f[e(k)] Kie(k)+Kd[e(k)-2e(k-1)+e(k-2)]
1
0
( ) { ( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ( ) }
k
ii
j
u k K e j f e j f e k e k
?
?
???
其它改进方法
其它改进方法
? 1时间 最优的 PID
? 2 死区 PID控制算法
? 3 大滞后 Smith预估控制
PID的整定
时间最优 PID
要求过渡过程时间最短的位置控制。大误差时为 Bang-
bang控制,小误差时为 PID。
设负载转矩 ML= 0,恒转矩起动 (恒电流 ),产生恒加速度,ω
线性增加,M=0 时,ω不变,θ线性增加，需停止时加恒 -Mm,ω
线性减少至 0,θ刚好到设定值。实际上很难办到，可与 PID结
合，小误差时用 PID。
dt
dJM-M
L
??Mm
-M m
ω
θ
其它改进方法
带死区的 PID控制
在控制精度要求不高、控制过程要求平稳
的测控系统中，为了避免控制动作过于频
繁，消除由此引起的振荡，可以人为的设
置一个不灵敏区 B，即带死区的 PID控制。
只有不在死区范围内时，才按 PID算式计
算控制量。
死区 PID
执行机构不能频繁动作时，可在 PID之前加死区。
|e(k)|<设定值时，比例、微分部分为 0，控制器的输出值不
变。
??
?
??
??
|e ( k )| 0
|>e ( k )| e ( k )kP )(
c t( )e ( t )给定值
-
被控对象
变送器
死区
测量元件
P I D执行器
p ( e )
e (t )
p (t )
β
- β
其它改进方法
大滞后 Smith预估控制
D （ s ） G P ( s ) e -- τ s
)( tr + )( ku)( te )( kc
-
纯滞后补偿原理
在工业控制中，不少控制对象往往具有纯滞后的性质。
对象的纯滞后性质，会导致控制作用不及时，引起系统超
调和振荡。带纯滞后环节的控制系统如图所示。
其传递函数为
s
P
s
p esG
ST
eKsG ?? ?? ?
?? )(1 1）（
对于这样的对象，用一般的 PID调节规律是难以得
到好的动态特性的，特别是当滞后时间 τ较大时会
产生持续振荡，使系统的稳定性降低。一个补偿
的办法是采用史密斯（ Smith）预测器。
1
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其它改进方法
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实验经验法确定 PID调节参数
1．扩充临界比例度法
扩充临界比例度法是以模拟调节器中使用的临界比例度
法为基础的一种 PID数字控制器参数的整定方法。
2．阶跃响应曲线法
在上述方法中，不需要预先知道对象的动态性能，而是
直接在闭还系统中进行整定的。如果已知系统的动态特性
曲线，数字控制器的参数的整定也可采用类似模拟调节器
的响应曲线法来进行，称为阶跃响应曲线法，也称扩充响
应曲线法。这一方法适用于多容量自平衡系统。
1,扩充临界比例度法
选 T<0.1对象纯滞后时间常数, 闭环比例控制, 增大 Kp,
至产生等幅振荡, 比例度 ?k=1/Kp,得周期 Tk和临界比例度 ?k。
根据控制度查表可得控制器的参数 。
控制度难测,可试定其值 。
控制度 =1:1.05时可认为二者效果相当 。 有的系统不允许
大幅振荡, 做实验有风险 。
模拟
控制度
])([
])([
0
2
0
2
dtte
dtte D D C
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2,扩充响应曲线法
开环, 求对象的阶跃响应, 易实现,
在曲线上最大斜率处作一条切线, 求得对
象的滞后时间 θ和时间常数 τ。 查表 3.2即可
求得 KP,TI, TD和 T。
调整步骤
(1) 开始可用比例控制，初定参数。
(2) 如 ess大，用 PI，原 Kp减小 20%，
Ti由大减小，反复调节 Kp Ti。
(3) 如动态不好可加微分,Td从 0增大，
反复调节 Kp,Ti和 Td。
可用运放模拟对象，闭环调试。
τθ
t
y (t )
系统开环阶跃响应曲线
Z变换
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连续信号
离散信号
Z变换的定义
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k
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1
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z的方次越高，就意味着这个信号的持续时间越长。
z的方次每增加一次，就意味着这时的信号与前一次信号
相差一个采样周期。
Tsze? 1 lnsz
T?
对阶跃
信号作 z
变换
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1
( 1 )
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Ts
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对系统作 z变换
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T?
例,F(Z)= 长除法
2
3
2
z
zz??
零阶保持器法
离散的方法
离散的目的：微机测控系统是采用数字控制方式，所以
应对模拟调节器进行离散化处理，以便微机能够通过软
件实现其控制算法。
离散的方法,
1、差分变换法：是将模拟调节器的微分方程表达式的导
数可用差分近似代替。
2、零阶保持器法：离散近似后的数字控制器的阶跃响
应序列，必须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等。
3 双线性变化法：就是将 s域函数与 Z域函数进行转换的
一种近似方法。
差分变换法
T
kuku
dt
tdu )1()()( ???
一阶后项差分
二阶后项差分
把原连续校正装置传递函数 D（ s）
转换成微分方程，再用差分方程近
似该微分方程。
差分近似法有两种：后项差分
和前项差分。微机测控离散化
只采用后项差分。
差分变化法的实例
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)()()(1 tetudt tduT ??
解：由 有
得微分方程
以采样周期离散上述微分方程得 )()()(1 kTekTukTuT ???
即 )()()(
1 kekukuT ???
例题：求惯性环节 的差分方程
)()()]1()([1 kekukukuTT ????
)()1()(
11
1 ke
TT
Tku
TT
Tku
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用一阶后项差分近似代入上式
得
零阶保持器法
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基本思想：离散近似后的数字控制器的阶跃响应序列，必
须与模拟调节器的阶跃响应的采样值相等
微机控制就是用软件实现 D（ s）算式，这样输入的信号必须
经过 A/D转换器对 e（ t）进行采样得到 e*（ t），然后经过保
持器 H（ s）将此离散信号变换成近似 e（ t）的信号 eh（ t），
才能加到 D（ s）上去。为此，用 D（ z）近似 D（ s）求 Z变换
表达式时，不能简单地只将 D（ s）进行变换，应包括 H（ s）
在内
零阶保持器法
( 1 - e - T s ) /s )( sD)( te )( te
? )( tee h ( t )
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s
( ) ( ) ( )y t u t u t T? ? ?
11() T s T seeys
s s s
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广义对象的传递函数
如果
1()yt
则
11( ) ( ) ( )y t y t y t T? ? ? 11( ) ( ) ( 1 )y k y k y k? ? ?
1 1( 1 ) ( ( ) )z Z y k???则
])([)1()( 1 s sDZzzD ???对广义对象作 Z变换时
1 ( ) ( )( ) ( )Ts Tse D s D sy s D s e
s s s
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( ( ))Z y k ? 1( ( ))Z y k 1 1( ( ))z Z y k??
零阶保持器法的实例
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1
1
1
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ze
ze
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? sTsD例题：用零阶保持器法求惯性环节 的差分方程
解,由式
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11
1
1
zez
zez
TT
TT
所以
整理得,
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11( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )T T T Tu k e u k e e k??? ? ? ? ?
()()
()
uzDz
ez?
双线性变换法
ST
sT
Ts
e
eez
2
2
?
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基本思想：就是将 s域函数与 Z域函数进行转换的一种近似方法。
用泰勒级数展开
若近似只取前两项代入式则得
????? 222 821 sTsTe T ?????? 222 821 sTsTe T
Ts
Ts
s
T
s
T
sT
sT
z
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2
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由 Z变换的定义有
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1
1
12
1
12
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?
?
??
?
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z
z
Tz
z
Ts
即 s近似为
双线性变换法的实例
例题：已知某连续控制器的传递函数,试用双线性变换
法求出相应的数字控制器的脉冲传递函数 D（ z），其中 T＝ 1s
2
1
1
1
1
1
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1
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21
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???
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zz
2)1(
5.0)(
?
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s
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解
三阶系统的 PID设计
无控制器的时域图
无控制器的频域图
三阶系统的 PID设计
比例控制器的时域图
比例控制器的频域图
比例控制器的时域图 1
比例控制器的时域图 2
比例积分控制器的频域图
PID控制时域图 1
PID控制时域图 2
PID控制频域图
