《线性多变量系统》ppt课件：线性多变量系统06

线性多变量系统
选用教材,郑大钟 线性系统理论 清华大学出版社
教学参考书：陈启宗著 线性系统理论与设计 科学出版社
何关钰著 线性控制系统理论 辽宁人民出版社
第一章 绪 论
第二章 线性系统的状态空间描述
第三章 线性系统的运动分析
第四章 线性系统的能控性和能观测性
第五章 线性系统的稳定性
第六章 线性反馈系统的时间域综合
线性系统的时间域理论 线性系统的复频率域理论
第一章 绪论
1.1系统控制理论的研究对象
系统 是系统控制理论的研究对象
系统,是由相互关联和相互制约的若干“部分”所组成的具有特定功能的一个“整体”
系统具有如下 3个基本特征,
(1)整体性
??
?
所决定系统行为和功能由整体
结构上的整体性
.
.
b
a
(2)抽象性
作为系统控制理论的研
究对象,系统常常抽去
了具体系统的物理,自
然和社会含义,而把它
抽象为一个一般意义下
的系统而加以研究,
(3)相对性
在系统的定义
中,所谓“系统”
和“部分”这
种称谓具有相
对属性
1/3,1/5
动态系统, 所谓动态系统,就是运动状态按确定规律或确定统计规律随时间演化的
一类系统 ——动力学系统
系统变量可区分为三类形式
??
??
?
输出变量组
内部状态变量组
输入变量组
.
.
.
c
b
a
系统动态过程的数学描述
??
?
),(""
)(""
输出变量组的关系输入外部描述黑箱描述
状态方程和输出方程内部描述白箱描述
??
??
动态系统的分类
从机制的角度
??
?
DE DS
C V DS
离散事件动态系统
连续变量动态系统 从特性的角度
??
?
非线性系统
线性系统
??
?
属于无穷维系统分布参数系统
属有穷维系统集中参数系统
:
:从作用时间
类型的角度 ???离散时间系统连续时间系统
u
x
y
2/3,2/5
线性系统理论的研究对象为 线性系统,其模型方程具有线性属性即满足叠加原理,
若表征系统的数学描述为 L )()()( 22112211 uLcuLcucucL ???
系统模型 是对系统或其部分属性的一个简化描述
① 系统模型的作用
②模型类型的多样性
③数学模型的基本性
④建立数学模型的途径
⑤系统建模的准则
3/3,3/5
1.2 线性系统理论的基本概貌
线性系统理论是一门以研究线性系统的分析与综合的理论和方法为基本任务的
学科
主要内容,数学模型 → 分析理论 → 综合理论
发展过程,经典线性系统理论,现代线性系统理论
主要学派, 状态空间法
几何理论 把对线性系统的研究转化为状态空间中的相应几何问题,
并采用几何语言来对系统进行描述,分析和综合
代数理论 把系统各组变量间的关系看作为是某些代数结构之间的
映射关系,从而可以实现对线性系统描述和分析的完全的
形式化和抽象化,使之转化为纯粹的一些抽象代数问题
多变量频域方法
??
?
二是多项式矩阵方法
一是频域方法
1/2,4/5
1.3 本书的论述范围
1：状态空间法
2：多项式矩阵法
2/2,5/5
第一部分, 线性系统时间域理论
第二章 线性系统的状态空间描述
2.1 状态和状态空间
线性系统时间域理论是以时间域数学模型为系统描述,直接在时间域内分析和综
合线性系统的运动和特性的一种理论和方法
系统动态过程的数学描述
2u
1u
pu
qy
2y
qy
nxxx,,,21 ?
1/4,1/50
(1).系统的外部描述
外部描述常被称作为输出 —输入描述
例如,对 SISO线性定常系统,时间域的外部描述,
ubububyayayay nnnnn 0)1(1)1(10)1(1)1(1)( ???????? ???? ??
复频率域描述即传递函数描述
01
1
1
01
1
1
)(
)()(
asasas
bsbsb
su
sysg
n
n
n
n
n
????
?????
?
?
?
?
?
?
(2)系统的内部描述
状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方
程和输出方程
(3)外部描述和内部描述的比较
一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不
能控或不能观测的部分,
内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性,
2u
1u
pu
qy
2y
qy
nxxx,,,21 ?
2/4,2/50
状态和状态空间的定义
状态变量组,
状态 一个动力学系统的状态定义为由其状态变量组 ? ? )(,,),(
21 txtxtx n?
所组成的一个列向量
一个动力学系统的状态变量组定义为
能完全表征其时间域行为的一个最小
内部变量组
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)(
)(
)( 2
1
tx
tx
tx
tx
n
?
状态空间 状态空间定义为状态向量的一个集合,状态空间的维数等同于状态的
维数
几点解释 （ 1）状态变量组对系统行为的完全表征性
只要给定初始时刻 t0 的任意初始状态变量组 ? ? )(,,),( 00201 txtxtx n?
和 t≥t0 各时刻的任意输入变量组 ? ? )(,,),( 21 tututu p?
那么系统的任何一个内部变量在 t≥t0各时刻的运动行为也就随之而完全确定
2u
1u
pu
qy
2y
qy
nxxx,,,21 ?
3/4,3/50
(2).状态变量组最小性的物理特征
(3),状态变量组最小性的数学特征
(4),状态变量组的不唯一性
(5).系统任意两个状态变量组之间的关系
(6)有穷维系统和无穷维系统
(7)状态空间的属性
状态空间为建立在实数域 R上的一个向量空间 R n
4/4,4/50
2.2 线性系统的状态空间描述
电路系统状态空间描述的列写示例
)(te
?
1R
L
C
cU
2R 2RU
Li
Ci
?
?
?
?
?
?
???
???
e
dt
diL
dt
duCRiR
dt
diL
dt
duCRu
Lc
L
Lc
c
11
2 0
e
RR
R
i
u
RR
RR
RR
R
u
e
RRL
R
CRR
i
u
RRL
RR
RRL
R
CRR
R
CRR
i
u
L
c
R
L
c
L
c
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
21
2
21
21
21
2
21
2
21
21
21
21
1
21
1
21
2
)(
)(
1
)()(
)()(
1
?
?
以上方程可表为形如
DuCXY
BuAXX
??
???
描述系统输入、输出和状态变量之间关系的方程组称为系统的 状态空间表达式
（动态方程或运动方程），包括 状态方程 （描述输入和状态变量之间的关系）和
输出方程 （描述输出和输入、状态变量之间的关系）。
1/7,5/50
机电系统状态空间描述的列写示例
)(te
aR
aL
constif ?
FJ,
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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??
??
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?
??
???
?
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??
?
?
?
a
a
a
M
a
e
a
a
a
aM
e
a
aaa
i
eL
i
J
f
J
c
L
c
L
R
i
dt
d
Jfic
ec
dt
di
LiR
10
0
1
?
?
上式可表为形如
DuCXY
BuAXX
??
???
2/7,6/50
连续时间线性系统的状态空间描述
动态系统的结构
1u
2u
pu
1x
2x
nx
? ??
1y
2y
qy
动力学部件 输出部件
连续时间线性系统的状态空间描述
线性时不变系统
??
?
??
??
DuCXY
BuAXX? 线性时变系统
??
?
??
??
utDXtCY
utBXtAX
)()(
)()(?
3/7,7/50
连续时间线性系统的方块图
)(tB ? )(tC
)(tD
?
X?
YU
X
)(tA
4/7,8/50
人口分布问题状态空间描述的列写示例
假设某个国家,城市人口为 107,乡村人口为 9x107,每年 4%的城市人口迁移去乡
村,2%的乡村人口迁移去城市,整个国家的人口的自然增长率为 1%
设 k为离散时间变量,x1(k),x2(k)为第 k年的城市人口和乡村人口,u(k)为第 k年
所采取的激励性政策控制手段,设一个单位正控制措施可激励 5x104城市人口
迁移乡村,而一个单位负控制措施会导致 5x104乡村人口去城市,y(k)为第 k年全
国人口数
)(10501.1)(04.001.1)()02.01(01.1)1(
)(10501.1)(02.001.1)()04.01(01.1)1(
4
122
4
211
kukxkxkx
kukxkxkx
?????????
?????????
写成矩阵形式
? ?
)()()(
)()()1(
)(
)(
11)(
)(
1005.5
1005.5
)(
)(
9 8 9 8.00 4 0 4.0
0 2 0 2.09 6 9 6.0
)1(
)1(
2
1
4
4
2
1
2
1
kDukCxky
kHukGxkx
kx
kx
ky
ku
kx
kx
kx
kx
??
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
亦可表为
5/7,9/50
离散时间线性系统的状态空间描述
状态空间描述形式
离散时间线性时不变系统
)()()(
)()()1(
kDukCxkY
kHukGxkX
??
???
传输矩阵阵输出矩阵阵
输入矩阵阵系统矩阵阵
::
::
DpqCnq
HpnGnn
??
??
离散时间线性时变系统
)()()()()(
)()()()()1(
kukDkxkCkY
kukHkxkGkX
??
???
6/7,10/50
状态空间描述的特点
一是,状态方程形式上的差分型属性
二是,描述方程的线性属性
三是,变量取值时间的离散属性
离散时间线性系统的方块图
)(kH )(kC
)(kD
?
)1( ?kx
)(ky
)(ku
)(kx
)(kG
单位延迟
?
?
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
设系统的状态空间描述为
),,(
),,(
tuxgy
tuxfx
?
??
向量函数
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
),,(
2
1
2
1
tuxg
tuxg
tuxg
tuxg
tuxf
tuxf
tuxf
tuxf
qn
??
，
若 f(x,u,t),g(x,u,t)的全部或至少一个
组成元为 x,u的非线性函数,该系统
称为 非线性系统
若 f(x,u,t),g(x,u,t)的全部组成元为 x,u的
线性函数,该系统称为 线性系统
对于线性系统
??
?
??
??
utDXtCY
utBXtAX
)()(
)()(?非线性系统可以用泰勒展开方法化为线性系统
1/2,12/50
时变系统和时不变系统
若向量 f,g不显含时间变量 t,即
??
?
?
?
),(
),(
uxgg
uxff 该系统称为 时不变系统
若向量 f,g显含时间变量 t,即
??
?
?
?
),,(
),,(
tuxgg
tuxff 该系统称为 时变系统
连续时间系统和离散时间系统
当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量取值于连续时间点,反映变量间因
果关系的动态过程为时间的连续过程,该系统称为 连续时间系统
当且仅当系统的输入变量,状态变量和输出变量只取值于离散时间点,反映变量间因
果关系的动态过程为时间的不连续过程,该系统称为 离散时间系统,
确定性系统和不确定性系统
称一个系统为 确定性系统,当且仅当不论是系统的特性和参数还是系统的输入
和扰动,都是随时间按确定的规律而变化的,
称一个动态系统为 不确定性系统,或者系统的特性和参数中包含某种不确定性,
或者作用于系统的输入和扰动是随机变量
2/2,13/50
2.4 由系统输入输出描述导出状态空间描述
由输入输出描述导出状态空间描述
对于单输入,单输出线性时不变系统,其微分方程描述
ububububyayayay mmmmnnn 0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)( ????????? ???? ??
其传递函数描述
0111
01111)( )()( asasas bsbsbsbsU sYsg
nnn
mmmm
????
??????
??
??
?
?
可以导出其状态空间描述为
1111 ???? ?????
??
??
RdRcRbRARx
ducxy
buAxx
nnnnn
?
1/18,14/50
结论 1 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,
ububububyayayay mmmmnnn 0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)( ????????? ???? ??
其对应的状态空间描述可按如下两类情况导出
0111
01111)( )()( asasas bsbsbsbsU sYsg
nnn
mmmm
????
??????
??
??
?
?
(1)m=n,即系统为真情形
? ? ubxabbabbabby
ux
aaaa
X
nnnnnn
n
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
??
?
)(,),(),(
1
0
0
0
1000
00
0010
111100
1210
?
?
?
?
?
???
?
?
设 zazazu nnn 0)1(1)( ???? ?? ?
2/18,15/50
)(
)()(
0
)1(
1
)(
0
)1(
0
)1(
1
)(
1
)(
0
)1(
1
)(
00
)1(
10
)(
0
)1(
01
)22(
11
)12(
1
)(
0
)12(
1
)2(
0
)1(
1
)(
0
)1(
1
)(
zbzbzba
zbzbzbazbzbzb
zabzabzb
zabzabzb
zabzabzb
ubububyayay
n
n
n
n
nn
n
n
nn
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
?????
????????
????
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????
????
???????
?
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?
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?
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?
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?
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?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
??
可见 zbzbzby n
nnn 0)1(1)( ???? ?? ?
3/18,16/50
)1(
2
1
??
?
?
n
n zx
zx
zx
?
?
令
ubxbabxbabxbab
xbxbuxaxaxab
zbzbzby
uxaxaxa
uzazazazx
xx
xx
xx
nnnnnnn
nnnnn
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
nn
????????
?????????
????
??????
???????
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
)()()(
)(
11211100
10110211
0
)1(
1
)(
10211
01
)1(
1
)(
1
32
21
?
??
?
?
???
?
?
?
?
有 zbzbzby n
nnn 0)1(1)( ???? ?? ?
zazazu nnn 0)1(1)( ???? ?? ?
4/18,17/50
(2)m<n,即系统为严真情形
? ?xbbby
ux
aaaa
X
m
n
00
1
0
0
0
1000
00
0010
10
1210
??
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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????
?
?
写成矩阵形式：
? ? ub
x
x
x
x
babbabbabbaby
u
x
x
x
x
aaaa
x
x
x
x
n
n
n
nnnnnnnn
n
n
n
n
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
?
1
2
1
11221100
1
2
1
1210
1
2
1
1
0
0
0
1000
0100
0010
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0111
01111)( )()( asasas bsbsbsbsU sYsg n
nn
mmmm
????
??????
??
??
?
?
5/18,18/50
结论 2 给定单输入,单输出线性时不变系统的输入输出描述,其对应的状态空
间描述可按如下两类情况导出
(1)m=0情形
此时输入输出描述为,
ubyayayay nnn 00)1(1)1(1)( ????? ?? ?
01
1
1
0)(
asasas
bsg
n
n
n ????? ?
? ?
选取 n个状态变量
)1(
2
1
??
?
?
n
n yx
yx
yx
?
?
6/18,19/50
其对应的状态空间描述为,
? ?xy
u
b
x
aaaa
x
n
0,,0,1
0
0
0
1000
00
0010
01210
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
0b s
1 s1
s
1
1x
y
2x1?nxnxnx?u
?
1?na 2?na 0a
1a
7/18,20/50
(2)m≠0情形
此时输入输出描述为,
ububububyayayay nnnnnnn 0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)( ????????? ???? ??
01
1
1
0
1
1
1
1)(
asasas
bsbsbsbsg
n
n
n
n
n
n
n
????
?????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???????
??????
?????
??
?
???
??
uuuyuxx
uuuyuxx
uuyuxx
uyx
n
nnn
nnn 1
)2(
1
)1(
0
)1(
11
210223
10112
01
????
????
???
?
??
?
??????
???a:
8/18,21/50
其对应的状态空间描述为,
? ? uxy
ux
aaaa
x
n
n
n
0
1
2
1
1210
0,,0,1
1000
00
0010
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
其中
001122110
110222
0111
0
?????
???
??
?
aaaab
aab
ab
b
nnnnn
nnn
nn
n
??????
???
??
?
????
???
??
?
?
9/18,22/50
b,ubububyayay n
nnnnnn 0)1(1)(0)1(1)( ??????? ???? ??
ubyaubyaubyauby nnnnn 00)1(11)1(11)( )()()( ????????? ??? ?改写为
令
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
?
??
ubyaxx
ubyaxx
ubyx
nn
nn
n
111
1112
1
?
?
?
? ? ub
x
x
x
x
y
u
bab
bab
bab
bab
x
x
x
x
a
a
a
a
x
x
x
x
n
n
n
n
n
nnn
nnn
n
n
n
n
n
n
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1
2
1
00
11
22
11
1
2
1
0
1
2
1
1
2
1
0001
000
100
010
001
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
10/18,23/50
结论 3 给定单输入单输出线性时不变系统的传递函数描述为：
01
1
1
01
1
1)(
asasas
bsbsbsbsg
n
n
n
m
m
m
m
????
?????
?
?
?
?
?
?
其极点即分母方程的根
n???,,,21 ? 为两两互异实数，则对应的状态空间描述可按如下两类情形导出：
(1) m<n，即系统为严真情形
nissgk
s
k
s
k
s
ksg
isi
n
n
,,2,1),)((lim
)(
2
2
1
1
?
?
???
?
??
?
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?
??
?
???
对应的状态空间描述为
? ?xy
u
k
k
k
xx
nn
1,,1,1
2
1
2
1
?
??
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11/18,24/50
(2) m=n，即系统为真情形
令
? ? ? ?
nissgk
asasas
abbsabb
sg
sgb
asasas
bsbsbsb
sg
i
s
i
n
n
n
n
n
nnn
nn
n
n
n
n
n
n
i
,,2,1),)((lim
)(
)()(
01
1
1
00
1
11
01
1
1
01
1
1
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???
????
????
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??
????
????
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对应的状态空间描述为：
? ? ubxy
u
k
k
k
xx
n
nn
??
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1,,1,1
2
1
2
1
?
??
?
?
?
?
12/18,25/50
由方块图描述导出状态空间描述
例 1 设系统方块图如下，试列写其状态空间描述
45 1372 ?? ?ss s
21?s
?
解 上图等效为
21?s
45?s
12?s
u
1x
y
3x
2x
?
指定状态变量组后，列写变量
间的关系方程：
21
33
322
311
2
)(2
)(54
xxy
yxx
xuxx
xuxx
??
???
????
????
?
?
?
13/18,26/50
写成矩阵形式
? ?
?
?
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?
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??
??
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3
2
1
3
2
1
3
2
1
011
0
2
5
211
210
504
x
x
x
y
u
x
x
x
x
x
x
?
?
?
例 2 设单输入单输出系统的传递函数为
3
3
2
2
1
13
2
1
12
3
1
11
32
3
1
)()(
))(()(
)(
)(
?????
???
?
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???
?
s
e
s
e
s
e
s
e
s
e
sss
sB
sg
试列写其状态空间表达式。
21
33
322
311
2
)(2
)(54
xxy
yxx
xuxx
xuxx
??
???
????
????
?
?
?
14/18,27/50
解 可画出系统结构图如下
1
1??s
2
1??s
3
1??s
1
1??s
1
1??s 11e
12e
13e
2e
3e
u
1x
y
3x 2x
5x
4x
写出变量之间的关系
5342313212111
535
424
313
3212
2111
xexexexexey
uxx
uxx
uxx
xxx
xxx
?????
???
???
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
15/18,28/50
3
3
2
2
1
132
1
123
1
11 )()()( ????? ?????????? s es es es es esg
写成矩阵形式
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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5
4
3
2
1
32131211
5
4
3
2
1
3
2
1
1
1
5
4
3
2
1
1
1
1
0
0
0000
0000
0000
0010
0001
x
x
x
x
x
eeeeey
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
16/18,29/50
5342313212111
535
424
313
3212
2111
xexexexexey
uxx
uxx
uxx
xxx
xxx
?????
???
???
???
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
也可以画出结构图为
1
1??s
1
1??s
1
1??s
e11
3
1??s
2
1??s
e13
e12
u y
11x 12x 13x
2x
3x
e2
e3
3
3
2
2
1
132
1
123
1
11
3231 )()())(()(
)()( ???????? ?????????????? s es es es es esss sBsg
可写出系统的动态方程为
u
e
e
e
e
e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
?
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?
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3
2
13
12
11
3
2
13
12
11
3
2
1
1
1
3
2
13
12
11
0000
0000
0010
0001
0000
?
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?
?
3
2
13
12
11
11100
x
x
x
x
x
y
17/18,30/50
例 3
)1(11))(( )()(?
2
12
12
1
121
1 ss zssskss zssskssss zsksG ??????????????? ??
设
画出结构图
u
y
k
1
1
ss?2
1
ss?12 zs ?
1x2x
动态方程为
? ? ?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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??
?
?
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?
?
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??
?
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?
?
2
1
122
1
2
1
2
1
0
1
0
1
x
x
ky
u
zsx
x
s
s
x
x
?
?
18/18,31/50
2.5 线性时不变系统的特征结构
特征多项式
连续时间线性时不变系统 BuAxx ???
)det (
)(
)(
1
AsI
AsI
AsI
?
?
?
?
?
?
?
＝特征多项式
＝预解矩阵
＝特征矩阵
(1) 特征多项式 0111)d e t()( ???? ??????? ?? sssAsIs nnn ?
110,,,?n??? ? 均为实常数
(2) 特征方程式 00111 ????? ?? ??? sss nnn ?
(3) 凯莱 -哈密尔顿（ Caley-Hamilton）定理
0)( 0111 ?????? ?? IAAAA nnn ???? ?
1/6,32/50
(4) 最小多项式
)(
)(
)(
)()( 1
s
sP
s
AsIa d jAsI
?? ?
??? ?
)()( sPs 与? 的各个元多项式之间互质
定义 Φ（ s）为系统矩阵 A的最小多项式，最小多项式 Φ（ s）也满足凯莱 -哈密
尔顿定理，即 Φ（ A） =0
(5) 系统矩阵的循环性
如果系统矩阵 A的特征多项式 α(s)和最小多项式 Φ（ s）之间只存在常数类型的
公因子 k，即
)()( sks ?? ?
则称系统矩阵 A是循环的。
(6) 特征多项式的计算
2/6,33/50
① 基于迹计算的特征多项式迭代算法
n
AtrR
IARR
AtrR
IARR
AtrR
IARR
AtrR
IR
n
n
nnn
n
n
nnn
n
n
n
0
0
110
3
3
222
2
2
112
1
1
1
3
2
1
??
??
??
??
??
??
??
?
?
?
???
?
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
② 基于分解计算的特征多项式迭代算法
0111)d e t()( ???? ??????? ?? sssAsIs nnn ?
3/6,34/50
特征值
”的根特征方程“系统特征值 0)d et ( ???? AsI
(1) 特征值的代数属性
系统特征值就是使特征矩阵 (sI－ A)降秩的所有 s值
(2) 特征值集
对 n维线性时不变系统，有且仅有 n个特征值，特征值的全体构成系统的特征值集。
? ? ? ?nAIC ?????,,,0)d e t (| 21 ???????
(3) 特征值的形态
特征值的形态要么为实数，要么为共轭复数
(4) 特征值类型
系统特征值可区分为“单特征值”和“重特征值”两种类型
4/6,35/50
(5) 特征值的代数重数
代数重数 ζi 代表特征值集 Λ中值为 λi 的特征值个数
(6) 特征值的几何重数
)( AIr a n kn iii ???? ??? 的几何重数
(7) 特征值重数和类型的关系
对 n 维线性时不变系统，若 λi ∈ A为单特征值，则其代数重数 ζi和几何重数 αi之间
必 有
ii ?? ??1
特征向量和广义特征向量
T
i
T
ii
T
ii
iiiii
vnAvvA
vnAvvA
非零向量”的满足“＝的左特征向量的属于
非零向量”的满足“＝的右特征向量的属于
??
??
?
?
1
1
??
??
5/6,36/50
对 n 维线性时不变系统，若 λi ∈ A为重特征值，则其代数重数 ζi和几何重数 αi之间
必 有
ii ?? ??1
(1) 特征向量的几何特性
左零空间”的行向量的特征矩阵“
右零空间”的列向量的特征矩阵“
AIv
AIv
i
T
i
ii
??
??
??
??
(2) 特征向量的不唯一性
(3) 单特征值所属特征向量的属性
对 n维线性时不变系统，系统矩阵 A的属于特征值 {λ1,λ2,…λ n}的相应一组特
征向量 {v1,v2,…v n}为线性无关，当且仅当特征值 {λ1,λ2,…λ n}为两两互异。
广义特征向量 对 n维线性时不变系统，设 λi为 n× n维系统矩阵 A的一个 ζi重特征值，则
? ?
? ? TikiTikiTi
i
ii
k
ii
k
i
i
vnAIvAIv
kA
vnvAIvAI
kA
非零向量的满足
＝级广义左特征向量的的属于
非零向量的满足
＝级广义右特征向量的的属于
?????
?????
?
?
?
?
10)(,0)(
10)(,0)(
1
1
??
?
??
?
6/6,37/50
结论 4
特征值为两两互异的情形
2.6 状态方程的约当规范形
对 n个特征值 {λ1,λ2,…λ n}两两互异的 n维线性时不变系统，基于 n个
特征向量构造变换阵 p=[v1,v2,…v n]，则状态方程 BuAxx ???
可通过线性非奇异变换 xpx 1?? 而化为约当规范形
BPBuBxx
n
12
1
,???
?
?
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?
?
?
包含复数特征值情形的对角线规范形（略）
1/3,38/50
结论 5
特征值包含重值的情形
对包含重特征值的 n维线性时不变系统，设系统的特征值
),(,),,(),,( 222111 重重重重重重 lll ????????? ?
那么，基于相应于各特征值的广义特征向量组所组成的变换阵 Q，令 xQx 1? ??
可将系统状态方程化为约当规范形：
BQB
uBx
J
J
BuQxAQQx
l
1
1
11
?
,????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ??
2/3,39/50
其中,Ji为相应于特征值 λi 的约当块：
i
k
iki
i
i
i
rr
ik
i
i
i
i
i
ikik
i
ii
rkJ
J
J
J
J
??
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??
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?
?
??
?
1)(
2
1
)(
,,,2,1,
1
1
?
?
?
?
3/3,40/50
2.7 由状态空间描述导出传递函数矩阵
传递函数矩阵
定义,单输入单输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和
输入变量拉普拉斯变换之比，称为系统的传递函数，即
)(?
)(?)(
su
sysg ??
多输入多输出线性时不变系统，在零初始条件下，输出变量拉普拉斯变换和输
入变量拉普拉斯变换因果关系：
)(?)()(? susGsy ?
称 G(s)为系统的传递函数矩阵。
其中
?
?
?
?
?
?
?
?
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)()(
)()(
)(
)(?
)(?
)(?,
)(?
)(?
)(?
1
11111
sgsg
sgsg
sG
su
su
su
sy
sy
sy
qpq
p
pq ?
??
?
??,
1/4,41/50
(1) G(s)的函数属性
传递函数矩阵 G(s)在函数属性上是复变量 s的 q× p有理分式矩阵。
(2) G(s)的真性和严真性
当且仅当 G(s)是真或严真时,G(s)才是物理上可实现的
零阵是严真的
非零常阵是真的
??
??
??
??
)(lim)(
)(lim)(
sGsG
sGsG
s
s
(3) G(s)的特征多项式和最小多项式
阶子式的最小公分母的所有
＝的最小多项式
阶子式的最小公分母、阶、阶、的所有
＝的特征多项式
1)(
)()(
),m in (21)(
)()(
sG
ssG
pqsG
ssG
G
G
?
?
?
(4) G(s)的极点
G(s)的极点定义为方程式 0)( ＝sG? 的根
2/4,42/50
(5) G(s)的循环性
若 常数＝ ?ksks GG ),()( ?? 称 G(s)是循环的
(6) G(s)正则性和奇异性
是非正则的为奇异
满足方有理分式矩阵是正则的
)()(
0)(d e t)()(
sGsG
sGsGsG
?
??
G(s)基于 (A,B,C,D)的表达式
考虑连续时间线性时不变系统
DuCxy
BuAxx
??
???
则 DBAsICsG ??? ? 1)()(
设 G(s)的首一化特征多项式为 αG(s),A的特征多项式为 α(s)，若 )()( ss G?? ?
必有 )(d eg)(d eg ssG ?? ? 若系统能控能观测，则 )()( ss G?? ?
表 G(s)的极点集合 Λ G,A的特征值集合 Λ,若 Λ G≠ Λ, 则 ΛG?Λ；若系统能控能观
测，则 ΛG=Λ。
3/4,43/50
结论 7
G(s)的实用计算关系式
令
CBBCABCAE
CBBCABCAE
CBC A BE
CBE
sssAsIs
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
n
n
1
2
1
1
0
2
3
1
2
1
12
1
01
1
1
)det ()(
??
??
?
????
????
????
??
?
???????
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
则
][)(1)( 012211 EsEsEsEssG nnnn ????? ???? ??
4/4,44/50
2.8 线性系统在坐标变换下的特性
结论 8
坐标变换的实质是把系统在空间一个坐标系上的表征化为另一个坐标系上的表征。
坐标变换的几何含义和代数表征
线性时不变系统状态空间描述为
DuCxy
BuAxx
??
??? ?：
引入坐标变换 xPx 1?? 则变换后系统的状态空间描述为
uDxCy
uBxAx
??
??? ?
——
：
DDCPCBPBAPPA ???? ??,,,11
1/3,45/50
结论 9 线性时不变系统引入坐标变换，其传递函数矩阵在线性非奇异变换下保持
不变。
定义,称具有相同输入和输出的两个同维线性时不变系统代数等价，当且仅当
它们的系统矩阵之间满足状态空间描述坐标变换中给出的关系。
代数等价的系统的基本特征是具有相同的代数结构特性，如特征多项式、特征
值、极点、稳定性、能控性、能观测性等。
2/3,46/50
结论 10
线性时变系统在坐标变换下的特性
对线性时变系统
utDxtCy
utBxtAx
)()(
)()(
??
??? ?：
引入坐标变换 xtPx )(? P(t)为可逆且连续可微，则变换后系统的状态空间描述为
utDxtCy
utBxtAx
)()(
)()(
??
??? ?
——
：
)()(),()()(
)()()(
)()()()()(
1
11
tDtDtPtCtC
tBtPtB
tAPtPtPtPtA
??
?
??
?
???
3/3,47/50
2.9 组合系统的状态空间描述和传递函数矩阵
设
22
1
222
22222
222222
11
1
111
11111
111111
)()(
)()(
DBAsICsG
uDxCy
uBxAx
DBAsICsG
uDxCy
uBxAx
???
??
??
???
??
??
?
?
?
?
?
?
：
：
子系统并联
两个子系统可以实现并联联接的条件
)d im ()d im (),d im ()d im ( 2121 yyuu ??
?1
?2
u
1u
2x
y
1x
2u 2y
1y
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1/3,48/50
并联后
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0
0
21
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1
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子系统串联 两个子系统可以实现串联联接的条件是,)d im ()d im (
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串联后
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2u 2y1y
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x
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子系统反馈联接
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222
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1
111
111
111111
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BAsICsG
xCy
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：
两个子系统实现输出反馈联接的条件是 )d im ()d im (),d im ()d im ( 1221 yuyu ??
反馈联接后
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? ? ? ? 11211121
2
1
1
1
2
1
212
211
2
1
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B
x
x
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CBA
x
x
F ?
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u 1u
2x
y
1x
2u2y
1y?
?
3/3,50/50
第三章 线性系统的运动分析
3,1 引言
从数学的角度，运动分析的实质就是求解系统的状态方程。以解析形式或数值
分析形式，建立系统状态随输入和初始状态的演化规律。
解的存在性和唯一性条件
设系统状态方程 ],[)(,)()(
000 ?tttxtxutBxtAx ????,?
如果系统矩阵 A(t),B(t)的所有元在时间定义区间 [t0,tα]上为时间 t的连续实函数，输
入 u(t)的所有元为时间 t的连续实函数，那么状态方程的解 x(t)存在且唯一。
从数学观点，上述条件可减弱为：
① 系统矩阵 A(t)的各个元 αij(t)在时间区间 [t0,tα]上为绝对可积，即：
? ????tt ij njidtta0,2,1,,|)(| ?
② 输入矩阵 B(t)的各个元 αij(t)在时间区间 [t0,tα]上为平方可积，即：
1/2,1/29
? ?????tt ik pknidttb0 2,1,,2,1,)]([ 2 ??
③ 输入 u(t)的各个元 uk(t)在时间区间 [t0,tα]上为平方可积，即：
? ????tt k pkdttu0 2,1,)]([ 2 ?
条件②③可一步合并为要求 B(t) u(t)的各元在时间区间 [t0,tα]上绝对可积。
2/2,2/29
3,2 连续时间线性时不变系统的运动分析
系统的零输入响应
令输入 u(t)=0而得到系统自治状态方程
0,)0( 0 ??? txxAxx?
结论 1,系统自治状态方程的解，具有以下形式
0,)( 0 ?? txetx Atou
其中
??
?
?????
0
22 !1!21
k
kkAt tAktAAtIe ?
若初始时间取为 t0≠0则
00)(,)( 0 ttxetx ttAou ?? ?
00 )( xtx ?
1/12,3/29
矩阵指数函数的性质
? ? Ie Att ??lim01
? ? AtAAAttA eeeee ????? ??? )(2
? ? AtAt ee ?? ?1)3（
（ 4）设 A和 F为两个同维可交换方阵，即
AF=FA
则有
AtFtFtAttFA eeeee ??? )(
AeAeedtd AtAtAt ??）（ 5
? ? AeAeedtd AtAtAt ??? ????6
? ? ? ? ? ? ?,2,1,0,7 ?? mee mtAmAt
2/12,4/29
矩阵指数函数的算法
1：定义法
????? 22!21 tAAtIe At
2：特征值法
1）若 APPA 1?? 1?? PAPA
1?? PPee tAAt则
)( 21 nd ia gA ??? ??2）若
)( 21 ttttA neeediage ??? ??则
3/12,5/29
)( 21 lJJJdiagJA ???3）若
其中
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000
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)( 21 tJtJtJJttA leeed i a gee ???
其中
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e
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ttttttttt
ttttttttt
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t
t
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eeeeeeeee
eeeeeeeee
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e
e
e
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323232
323232
1
3
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4
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1
2
27
16
2
5
9123
2
3
2
2
1
2
9
8
2
5
363
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1
2
1
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teette
teteet
P
e
e
tee
PPPee
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)12(
2)1(
00
00
0
11
6/12,8/29
3：有限项展开法 设 λ1,λ2,…λ n为 A的 n个互异特征值
112210 ?????? nnAt AAAIe ???? ?
1
1
2
210
1
21
2
22210
1
11
2
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从中可求出 α1,α2,…α n
若 λi为 l重特征值，则相应的 l个方程为
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7/12,9/29
例
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301
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200
A 2,1,1 0)2()1(0)de t (
311
2
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???
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令
2210 AAIe At ??? ???
210
2
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210
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???
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t
t
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e
ttt
ttt
tt
eete
eete
ete
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2
2
1
2
0
223
2
????
???
???
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??????????
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tttt
t
tttt
tttttttt
At
eeee
e
eeee
AeeteAeeteIete
AAIe
22
22
2222
2
210
20
00
2202
)()223()2(
???
8/12,10/29
4：预解矩阵法
? ?? ?11 ?? ?? AsILe At
系统状态运动规律的基本表达式
设系统的状态空间描述为
000,)( ttxtxBuAxx ?????
有表达式
?
?
????
?? ?
t AAt
t tAAt
tdtBuexe
dBuexetx
00
0
)(
0
0,)(
,)()(
??
??
?
?
? ??? ?? tt tAttA ttdBuexetx 00 0)(0)(,)()( ???
对初始时刻 t0=0情形有表达式
9/12,11/29
基于特征结构的状态响应表达式
设系统的状态空间描述为
000,)( ttxtxBuAxx ?????
?nvvv ?,,21 A的属于 λ1λ2…λ n线性无关右特征向量组
?TnTT www ?,,21 A的属于 λ1λ2…λ n线性无关左特征向量组
λ1λ2…λ n为 A的 n个两两相异的特征值
右特征向量矩阵
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ?
T
n
T
T
n pvvvp
?
?
?
?
? 2
1
1
21,,
10/12,12/29
结论 对特征值两两相异一类 n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的矩阵
指数函数 eAt的表达式：
?
?
?
?
?
?
n
i
tT
ii
n
i
tT
ii
At
i
i
eww
evve
1
1
?
?
左特征向量矩阵
? ?n
T
n
T
T
wwwT
w
w
w
T ?
?
,,,2112
1
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?? ?? ?? ni nTiinTini i IwwIvv 11,显然
11/12,13/29
结论 对特征值两两相异一类 n维连续时间线性时不变系统，基于特征结构的零
输入响应 x0u(t)零初态响应 x0x(t)以及状态运动规律 x(t)的表达式为：
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ?
? ? ? ?
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? ?
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0
1 1
0
0
1 1
1 1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
ttduebexww
duebexvvtx
ttduebww
duebvvtx
ttexww
exvvtx
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??
??
???
???
??
??
?
?
12/12,14/29
3.3连续时间线性时不变系统的状态转移矩阵
设连续时间线性时不变系统，状态方程为：
? ? ? ?1,000 ttxtxBuAxx ?????
基本解阵
矩阵方程 ? ? ? ? ? ? 00,ttHttAt ???????
的解阵 ??t? 称为连续时间线性时不变系统 (1)的基本解阵。
其中 H为任意非奇异实常阵
结论,(1),基本解阵不唯一
(2),由系统自治方程 ? ?
000,ttxtxAxx ????
的任意 n个线性无关解为列可构成一个基本解阵。
(3).连续时间线性时不变系统 (1)的一个可能的基本解阵为
? ? 0,ttet At ???
1/7,15/29
状态转移矩阵
矩阵方程 ? ? ? ? ? ? 000,0 ttIttAtt ?????????
的解阵 ф(t-t0) 称为连续时间线性时不变系统 (1)的状态转移矩阵。
结论,1:连续时间线性时不变系统 (1)的状态转移矩阵可由基本解阵定出
? ? ? ? ? ? 0010 tttttt ?????? ?
2:状态转移矩阵 ф(t-t0) 唯一，与基本解阵的选取无关。
3:状态转移矩阵的形式为
? ?
? ? ? ? 0000,0
00
0 ttettt
tett
ttA
At
?????
????
?时，
时，
基于状态转移矩阵的系统响应表达式 ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ??
?
??????
????
???
t
t
t
tox
ou
dButxtttx
ttdButtx
xtttx
0
0
00
0
00
???
???
2/7,16/29
状态转移矩阵的特性
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? AttttAtt
dt
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tttttt
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tt
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????????
???
????????
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?????
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000
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000
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020112
00
1
1
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6
5
4
3
2
01
3/7,17/29
线性时变系统的输出为：
)()()()(),()()(),()()(
000
tutDduBttCtxtttCty tt ??? ? ??????
假设初始条件为零，输入信号中,ui(t)为单位脉冲信号,其余的输入信号为零。即：
位置ie
tetu
i
i
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?
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?
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0
0
1
0
0
)()(
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?
??
则输出为
)(),,(
)()()(),()(
)()()()(),()()(
0
1111
??
?????
?????????
??
???
???? ?
tth
tetDeBttC
tetDdeBttCty
i
ii
i
t
t ii
3.4连续时间线性时不变系统的脉冲响应矩阵
4/7,18/29
定义,表 hi j(t-η)为第 j个输入端在时刻 η加以单位脉冲 δ(t-η)而所有其他输入为零
时，在第 i个输出端的脉冲响应，对 p维输入,q维输出连续时间线性时不变系
统，脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应 hi j(t-η)为元构成的一个输出
响应矩阵
? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ???
???
???
???
?
?
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????
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ththth
ththth
ththth
tH
qpqq
p
p
????
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?
?
?
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?
?
?
?
???
???
???
??
和且,0
21
22221
11211
结论,对 p维输入,q维输出连续时间线性时不变系统，假设初始状态为零，则
系统在任意输入 u作用下的输出响应 y(t)为
? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ????? tttt ttdtuHdutHty
00 0
??????
5/7,19/29
脉冲响应矩阵和状态空间描述
结论,对连续时间线性时不变系统 (A.B.C.D)，设初始状态为零，则系统的脉冲
响应矩阵为
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
???
??? ?
?????
???? ?
tDBtC
tDBCetH tA
结论,①两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵
②两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响
应”和“输出零输入响应”。
结论,对连续时间线性时不变系统，其脉冲响应矩阵 H(t)和传递函数矩阵 G(s)
之间有如下关系：
? ? ? ?? ?
? ? ? ?? ?sGLtH
tHLsG
???
?
6/7,20/29
例
xy
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
??
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?
?
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?
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10
01
1
0
20
10
?
求脉冲响应矩阵
解
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t
t
t
e
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BtCtH
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e
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sss
s
s
AsI
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2
2
2
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1
1
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2
1
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0
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2
1
1
)()(
2
1
0
)2(
11
20
1
)(
?
?
也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得
7/7,21/29
3.5连续时间线性时变系统的运动分析
状态转移矩阵
设连续时间线性时变系统，状态方程为
? ? ? ? ? ? ? ??tttxtxutBxtAx,000 ?????
对连续时间线性时变系统，矩阵方程：
? ? ? ? ? ? ? ? ItttttAtt ????? 0000,,,,?
的解矩阵 ф(t,t0)称为状态转移矩阵。
矩阵方程 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??tttHtttAt,00 ???????
的解矩阵 Ψ(t)称为基本解阵,其中 H为任意非奇异实常值矩阵。
1/3,22/29
结论,①基本解阵不唯一
②对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵可由系统自治状态方程
? ? ? ??tttxtxAxx,,000 ????
的任意 n个线性无关解为列构成
③ 对连续时间线性时变系统，其一个基本解阵
? ? ? ? ? ? ? ??ttttttt,,,000 ?????
结论,①状态转移矩阵为唯一
? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ?? tt ttt ddAAdAItt
0
1
00 12210
,? ??????②
? ? ? ? ? ? ? ??ttttttt,,,0010 ????? ?
2/3,23/29
状态转移矩阵的性质
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?tAtttt
dt
d
tt
dt
d
tttttt
tttt
Itt
,,,4
,,,3
,,2
,1
000
1
020112
00
1
??????
????
???
??
?
?
系统的状态响应
结论,对连续时间线性时变系统，状态方程的解
? ? ? ? ? ? ? ?? ???? tt dButxtttx
0
,,00 ???
脉冲响应矩阵
结论,对零初始状态的连续时间线性时变系统，脉冲响应矩阵
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ???? ttDBttCtH,,
结论,对零初始状态的连续时间线性时变系统，其输出响应为：
? ? ? ? ? ??? tt dutHty 0,???
3/3,24/29
3.6 连续时间线性系统的时间离散化
基本约定 1）对采样方式的约定
采样方式取为以常数 T为周期的等间隔采样，采样时间宽
度△比采样周期 T小得多。
2）对采样周期 T大小的约定
满足 Shamnon采样定理给出的条件
3）对保持方式的约定
零阶保持方式
基本结论 给定连续时间线性时变系统
utDxtCty
tttxtxutBxtAx
)()()(
],[)()()( 2000
??
?????
则其在基本约定下的时间离散化描述为
)()()()()(
,2,1,)0(),()()()()1( 0
kukDkxkCky
lkxxkukHkxkGkx
??
????? ?
1/3,25/29
其中
kTtkTt
Tk
kT
kTtkTtkTt
tDkDtCkC
dBTkkH
kkkTTkkG
tykytukutxkx
??
?
?
???
??
???
??????
???
?
)]([)()]([)(
)(),)1(()(
),1(),)1(()(
)]([)()]([)()]([)(
)1(
???
结论 给定连续时间线性时不变系统
DuCxy
txxBuAxx
??
???? 0,)0( 0?
则其在基本约定下的时间离散化描述为
)()()(
2,1,0,)0()()()1( 0
kDukCxky
kxxkHukGxkx
??
????????
BdteHeG T ATAT )(,0???其中
结论 ① 时间离散化属性：时间离散化不改变系统的时变或时不变属性
②离散化系统属性：不管系统矩阵 A(t)或 A是非奇异或奇异，其离散化系
统的系统矩阵 G(k)和 G必为非奇异。
2/3,26/29
例, 线性定常系统的状态方程为
uxx ????????????? ??? 1032 10?
设采样周期 T=1秒，试求其离散化状态方程。
解
?????? ???? ??? ????
????
tttt
tttt
eeee
eeeet
22
22
222
2)(?
?????? ????????? ???? ???? ????
????
09 72.046 51.0
23 25.060 04.0
222
2)(
22
22
TTTT
TTTT
eeee
eeeeTG ?
??
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
??
???
2 3 2 5.0
1 9 9 8.0
2
1
2
1
)(
2
2
0 TT
TTT
ee
eeBdH ???
)(23 25.0 19 98.0)(09 72.046 51.0 23 25.060 04.0)1( kukxkx ????????????? ????
3/3,27/29
3,7 离散时间线性系统的运动分析
不管是时变差分方程，还是时不变差分方程，都可采用 迭代法 求解。其思路是：
基于系统状态方程，利用给定的或定出的上一采样时刻状态值，迭代地定出下
一个采样时刻的系统状态。
定义,矩阵方程 Φ(k+1)=G(k)Φ(k,m),Φ(m,m)=I的解阵 Φ(k,m)称为离散时间线性
时变系统 x(k+1)=G(k)x(k)+H(k)u(k)的 状态转移矩阵 。
矩阵方程 Φ(k+1)=GΦ(k),Φ(0)=I的解阵 Φ(k),称为离散时间线性时不变系统
x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)的 状态转移矩阵 。
结论,离散时间线性时变系统状态转移矩阵为,Φ（ k,m） =G(k-1)G(k-2)…G(m)
离散时间线性时不变系统状态转移矩阵为,kGk ?? )(
结论,① Φ(k,m)非奇异 〈 ==〉 G(i),I=m,m+1,…k -1均为非奇异
② Φ(k)非奇异 〈 ==〉 G非奇异
③对连续时间线性系统的时间离散化系统，其状态转移矩阵必为非奇异。
1/2,28/29
结论,对离散时间线性时变系统，其解为：
?? ???? ?????????????? 1010 )1()1(),()0()0,()()()1,()0()0,()( kiki ikuikHikkxkiuiHikxkkx
对离散时间线性时不变系统，其解为
?? ???? ???????????? 100100 )1()()()()1()()( kiki ikHuixkiHuikxkkx
定义,对离散时间线性时不变系统
x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)
y(k)=Cx(k)+Du(k)
0)0( xx ?
脉冲传递函数矩阵 )(? zG 定义为零初始条件下，满足 )(?)(?)(? zuzGzy ?
的一个 q× p有理分式矩阵 )(? zG
?? ?? ???? ?? ?? 00 )()(?)()(? k kk k zkyzyzkuzu
结论,离散时间线性时不变系统，脉冲传递函数矩阵为 DHGzIczG ??? ? 1)()(?
2/2,29/29
第四章线性系统的能控性和能观测性
4,1 能控性和能观测性的定义
线性定常系统 (A,B,C)，对任意给定的一个初始状态 x(t0)，如果在 t1> t0的有
限时间区间 [t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量 u(t)，使 x(t1)=0，则称系统
是状态完全能控的，简称系统是能控的。
可见系统的能控性反映了控制矢量 u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内
部结构和参数有关。
定义
s1 s1
2
)0(1x
1x
y
1x?
)0(2x
2x2x?
u
u
1C
1x
2C
1R 2R
2x
则系统不能控
，若 2121,CCRR ??
1/3,1/45
能控性，能达性定义
对连续时间线性时变系统 JtutBxtAx ???,)()(?
如果存在一个时刻
011,ttJt ?? 以及一个无约束的容许控制 u(t) ],,[ 10 ttt?
使系统状态由 x(t0)=x0转移到 x(t1)=0，则称非零状态 X0在 t0时刻为 能控 。
如果存在一个时刻 t1∈ J,t1>t0,以及一个无约束的容许控制 u(t),t∈ [t0,t1],使系统状态
由 x(t0)=0转移到 x(t1)=xf≠0,则称非零状态 xf在 t0时刻为 能达 。
*对连续时间线性时不变系统，能控性和能达性等价；对离散时间线性时不变系
统和线性时变系统，若系统矩阵为非奇异，则能控性和能达性等价；对连续时间
线性系统，能控性和能达性一般为不等价。
定义,对连续时间线性时变系统 JtutBxtAx ???,)()(?
和指定初始时刻 t0∈ J，如果状态空间中所有非零状态在时刻 t0∈ J都为能控 /能达，
称系统在时刻 t0为 完全能控 /能达 。
2/3,2/45
定义,对连续时间线性时变系统 JtutBxtAx ???,)()(?
和指定初始时刻 t0∈ J，如果状态空间中存在一个非零状态或一个非空状态集合在时
刻 t0∈ J为不能控 /能达，称系统在时刻 t0为不完全能控 /能达。
定义,若系统的能控 /能达性与初始时刻 t0的选取无关，或系统在任意初始时刻 t0∈ J
均为完全能控 /能达，则称系统为一致完全能控 /能达。
能观测性定义
对连续时间线性时变系统和指定初始时刻
t0∈ J,如果存在一个时刻 t1∈ J,t1>t0，使系统
以 x(t0)=x0为初始状态的输出 y(t)恒为零，即
y(t)≡0,t∈ [t0,t1]，则称非零状态 x0在时刻 t0为
不能观测；如果状态空间中所有非零状态在时
刻 t0都不为不能观测，则称系统在时刻 t0为 完
全能观测 ；如果状态空间中存在一个非零状态
或一个非零状态集合在时刻 t0为不能观测，则
称系统在时刻 t0为 不完全能观测 ；如果系统对
任意时刻均为完全能观测，即能观测性与初始
时刻 t0的选取无关，则称系统为 一致完全能观
测 。
s1 s1
)(tu
1 2
)(ty)0(1x )0(2x1x 2x
该系统是不完全能观测的
由于
? ???? tt dButtxtttx 0 )()()()()( 00 ?????
可见系统的状态 x(t)的能观测性与
x(t0)的能观测性是等价的。
3/3,3/45
4,2 连续时间线性系统的能控性判据
结论 1,线性时变系统 utBxtAx )()( ???
在 t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵
?? 10 ),()()(),(),( 0010 tt TTc dtBBtttW ???????
为非奇异矩阵
证明 充分性 为非奇异时，系统能控),(
10 ttWc
)(),(),()()( 01010 txttWtttBtu cTT ??? ?
0)(),(),(),()(),(
)(),(),()()(),(),()(),(
)(),(),()()(),()(),(
)()(),()(),()(
010
1
1001001
010
1
0001001
010
1
01001
10011
1
0
1
0
1
0
???
??
??
??
?
?
?
?
?
?
txttWttWtttxtt
dtxttWtBBttttxtt
dtxttWtBBttxtt
duBttxtttx
cc
t
t
c
TT
t
t
TT
t
t
??
?????????
????????
??????
说明系统是能控的
1/8,4/45
反证法必要性 ),(
10 ttWc 是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。
由于 ),( 10 ttWc 是奇异的，故
)(),( 0 tBtt? 的行向量在 [t0,t1]上线性相关，必存在非零的行向量 α，使在 [t0,t1]区间成立，若选择非零的初始状态 x(t
0)= αT,则
0)()(),(
)()(),(
)()(),(),()(
)()(),()(),(
0)()(),()(),()(
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1100
1001
10011
???
??
??
??
???
?
?
?
?
?
t
t
T
t
t
T
t
t
t
t
t
t
duBt
duBt
duBttttx
duBttxtt
duBttxtttx
????????
??????
??????
??????
??????
说明 α=0,矛盾
2/8,5/45
结论 2,连续时间线性时不变系统,0)0(
0 ???? txxBuAxx?
完全能控的充分必要条件是，存在时刻 t1>0，使格拉姆矩阵
? ???? 101 ],0[ t tAAtc dtB B eetW T
为非奇异。
结论 3,n 维连续时间线性时变系统 JttxtxutBxtAx ????
000,)()()(?
设 A(t),B(t)对 t为 n-1阶连续可微，定义
)()()()(
)()()()(
)()()()(
)()(
221
112
001
0
tM
dt
d
tMtAtM
tM
dt
d
tMtAtM
tM
dt
d
tMtAtM
tBtM
nnn ???
???
???
???
?
?
则系统在时刻 t0∈ J完全能控的一
个 充分条件 为，存在一个有限时刻
t1∈ J,t1>t0，,使
? ? ntMtMtMr a n k n ?? )(,),(),( 111110 ?
3/8,6/45
结论 4 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能控的充分必要条件为能控性
判别矩阵
],,,[ 12 BABAABBQ nc ?????
满秩，即 rankQ c=n
结论 5 n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件
为：
rank[SI-A∶ B]=n,Cs??
或 为系统特征值
ii nBAIr a n k ?? ?? ][ ?
结论 6,n 维连续时间线性时不变系统完全能控的充分必要条件为：矩阵 A不存
在与 B所有列正交的非零左特征向量，即对矩阵 A所有特征值 λ i，使同时满足
α TA= λi α T, α TB=0 的左特征向量 α T=0。
4/8,7/45
结论 7：对 n维线性时不变系统，若 A为对角阵，且其特征值两两相异，系统完全能
控的充分必要条件是 B中不包含零行向量。
结论 8：对 n维线性时不变系统，若 A为约当阵，系统完全能控的充分必要条件是：
①特征值互异的约当块最后一行对应的 B阵中，该行元素不全为零。
②特征值相同的各约当块最后一行对应的 B阵各行向量线性无关。
5/8,8/45
例 图示电路，判断系统能控性条件
u
L
1R 2R
3R 4R
C
Li
Cu
解 选取状态变量 x1=iL,x2=uC，得系统的状态方程为：
2
4321
1
43
4
21
2
2
2
43
3
21
1
1
43
43
21
21
1
1111
111
x
RRRRC
x
RR
R
RR
R
C
x
u
L
x
RR
R
RR
R
L
x
RR
RR
RR
RR
L
x
??
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
6/8,9/45
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
43
4
21
2
43
43
21
21
2
1
0
11
],[
RR
R
RR
R
LC
RR
RR
RR
RR
LL
AbbQ C
43
4
21
2 RR RRR R ??? （ R1R4=R2R3）时，系统不能控。否则系统能控。
例
21
13
12
11
2
2
1
1
1
1
1
100
111
100
211
010
001
000
1
1
1
l
l
l
l
b
b
b
b
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
系统能控的充分必要条件是向量组 {bl11,bl12,bl13}线性无关以及 {bl21}线性无关
（即不为零）。
7/8,10/45
定义,令 ],,[ 1 BAABBQ k
k ?? ?
对完全能控连续时间线性时不变系统，定义能控性指数为：
μ＝使,rankQk=n”成立的最小正整数 k。
结论 9：对完全能控单输入连续时间线性时不变系统，状态维数为 n，则系统能控
性指数 μ＝ n。
结论 10：对完全能控多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为 n，输入维数
为 p，设 rankB=r，则能控性指数满足
1???? rnpn ?
设 n 为矩阵 A的最小多项式次数，则 ]1,m in [ ???? rnn
p
n ?
结论 11：多输入连续时间线性时不变系统，状态维数为 n，输入维数为 p，且
rankB=r,则系统完全能控的充分必要条件为：
nBAABBr a n kr a n k Q rnrn ?? ??? ],,[1
8/8,11/45
4,3 连续时间线性系统的能观测性判据
结论 1,线性时变系统在 t0时刻是状态完全能观测的充分必要条件是下列格兰姆
矩阵
为非奇异矩阵
? ? ? ???? 1
0
),()()(),(,00100 tt TT dttttCtCttttW
结论 2,连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件是，存在时刻 t1>0，
使格拉姆矩阵
为非奇异。
??? 1010 ],0[ t AtTtA dtCeCetW T
1/5,12/45
结论 3,n 维连续时间线性时变系统设 A(t),C(t)对 t为 n-1阶连续可微，定义
则系统在时刻 t0∈ J完全能观测的一个 充分条件 为，存在一个有限时刻 t1∈ J，
t1>t0，,使
)()()(
)()()()(
)()(
221
001
0
tN
dt
d
tAtNN
tN
dt
d
tAtNtN
tCtN
nnn ???
??
??
?
???????????????
n
tN
tN
tN
ra n k
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? )(
)(
)(
11
11
10
?
2/5,13/45
结论 4 对 n 维连续时间线性时不变系统，系统完全能观测的充分必要条件为能观
测性判别矩阵
满秩，即 rankQ o=n
结论 5 n 维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：
或 为系统特征值
结论 6,n维连续时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为：矩阵 A不
存在与 C所有行正交的非零右特征向量，即对矩阵 A所有特征值，使同时满足
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1
0
nCA
CA
C
Q
?
CSnC ASIr ank ????????? ?
n
i n
C
AIr a n k ???? ?,,,
21???
??
?
? ?
0,?? ???? CA i
的右特征向量 0??
3/5,14/45
结论 7：对 n维连续时间线性时不变系统，若 A为对角阵，且其特征值两两相异，系
统完全能观测的充分必要条件是 C阵中不包含零列向量。
结论 8：对 n维连续时间线性时不变系统，若 A为约当阵，系统完全能观测的充分
必要条件是：
特征值互异的约当块第一列对应的 C阵中，该列元素不全为零。
特征值相同的约当块第一列对应的 C阵中，各列向量线性无关。
4/5,15/45
定义,令
完全能观测 n维连续时间线性时不变系统的能观测性指数定义为
υ＝使,rankQk=n”成立的最小正整数。
结论 9：对完全能观测单输出连续时间线性时不变系统，状态维数为 n，则能观测
性指数为 υ＝ n。
结论 10：对完全能观测多输出连续时间线性时不变系统，状态维数为 n，输入维
数为 q，设 rankC=m，则
设 n 为矩阵 A的最小多项式次数，则
结论 11：对多输出连续时间线性时不变系统，设 rankC=m，则系统完全能观测
的充分必要条件是：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1k
k
CA
CA
C
Q
?
1???? mnqn ?
)1,m in ( ???? mnnqn ?
? ? nCACACr a n kQr a n k TmnTTTTmn ?? ??? )(,,1 ?
5/5,16/45
4.4 离散时间线性系统的能控性和能观性判据
时变系统的能控性和能观性判据
定义 离散时间线性时变系统
kJk
kukHkXkGkX
?
??? )()()()()1(
如果对初始时刻 h∈ Jk 和任意非零初始状态 X(h)=X0都存在时刻 l∈ Jk,l>h和对应输入
u(k),使输入作用下系统状态在时刻 l∈ Jk达到原点，即有 X(l)=0,则称系统在时刻 h完
全能控 ；
如果对初始时刻 h和任意非零状态 Xl，都存在时刻 l∈ Jk,l>h和对应输入 u(k)，使输
入作用下由初始状态 X(h)=0出发的系统运动在时刻 l∈ Jk达到 Xl，则称系统在时刻
h完全能达 。
结论 1 离散时间线性时变系统在时刻 h完全能达的充分必要条件为，存在时刻
l∈ Jk,l>h，使格兰姆矩阵
? ? ??
?
????? 1 )1,()()()1,(,l
hk
TTc klkHkHkllhW
为非奇异
1/8,17/45
结论 2 若系统矩阵 G(k)对所有 k∈ [h,l-1] 非奇异，则离散时间线性时变系统在时
刻 h∈ Jk完全能控的充分必要条件为，存在时刻 l∈ Jk,l>h，使格兰姆矩阵
? ? ??
?
????? 1 )1,()()()1,(,l
hk
TTc klkHkHkllhW
为非奇异
若系统矩阵 G(k)对一个或一些 k∈ [h,l-1]奇异。格兰姆矩非奇异为系统在时刻 h
完全能控的一个充分条件。
? 若系统矩阵 G(k) 对所有 k∈ [h,l-1]非奇异，则系统能控性和能达性等价。
? 若离散时间线性时变系统为连续时间线性时变系统的时间离散化，则系
统的能控性和能达性等价。
2/8,18/45
时不变系统的能控性和能达性判据
结论 3 离散时间线性时不变系统 )()()1( kHukGXkX ???
系统完全能达的充分必要条件为，存在时刻 l >0，使格兰姆矩阵
? ? ??
?
? 1
0
)(,0 l
k
kTTkc GHHGlW
为非奇异。
若系统矩阵 G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为存在时刻 l >0，使格兰
姆矩阵
为非奇异。若系统矩阵 G奇异，则上述格兰姆矩阵非奇异为系统完全能控的充分
条件。
? ? ??
?
? 1
0
)(,0 l
k
kTTkc GHHGlW
3/8,19/45
结论 4 n维离散时间线性时不变系统 )()()1( kHukGXkX ???
系统完全能达的充分必要条件为矩阵 ? ?HGGHHQ n
kc 1,,,?? ? 满秩
若系统矩阵 G非奇异，则系统完全能控的充分必要条件为 rankQkc=n。
若系统矩阵 G奇异,rankQkc=n 为系统完全能控的一个充分条件。
结论 5 对于单输入离散时间线性时不变系统，当系统完全能控时，可构造如
下一组输入控制
? ? 0121,,,
)1(
)1(
)0(
XhGhGhG
nu
u
u
n ??????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
则系统必可在 n步内由任意非零初态 X(0)，转移到状态空间原点，通常称这组
控制为最小拍控制。
? 若系统矩阵 G非奇异，则离散时间线性时不变系统能控性和能达性等价。
? 若离散时间线性时不变系统为连续时间线性时不变系统的时间离散化，
则系统的能控性和能达性等价。 4/8,20/45
例 设单输入线性离散系统的状态方程为
)(
1
0
1
)(
011
220
001
)1( kukxkx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
试判断系统的能控性，若初始状态 x(0)=[2,1,0]T，确定使 x(3)=0的控制序列
u(0),u(1),u(2)；研究 x(2)=0的可能性。
解
? ?
3
311
220
111
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
kc
kc
r a n k Q
hGGhhQ
系统是能控的
)2(
1
0
1
)1(
1
2
1
)0(
3
2
1
4
12
2
)2()2()3( uuuhuGxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
5/8,21/45
令
0)3( ?x
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)1(
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4
12
2
)2(
)1(
)0(
1
0
1
1
2
1
3
2
1
u
u
u
u
u
u
若令 0)2( ?x
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0
6
2
)1(
)0(
1
0
1
1
2
1
u
u
无解。即不存在控制序列 u（ 0）,u（ 1）能够使系统从初始状态 x(0)=[2,1,0]T转
移到 x(2)=0。
6/8,22/45
时变系统的能观测性判据
结论 6 离散时间线性时变系统在时刻 h∈ Jk完全能观测的充分必要条件为，存在
一个离散时刻 l∈ Jk,l >h,使格兰姆矩阵
??
?
??? 10 ),()()(),(),( l
hk
TT hkkCkChklhW
为非奇异
时不变系统的能观测性判据
结论 7 离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为，存在一个离散
时刻 l>0,使格兰姆矩阵
? ? ??
?
? 1
0
0 )(,0
l
k
kTkT CGCGlW
为非奇异
7/8,23/45
结论 8 n 维离散时间线性时不变系统完全能观测的充分必要条件为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1n
ok
CG
CG
C
Q
?
满秩
结论 9 若单输出离散时间线性时不变系统完全能观测，则利用 n步输出值就可
构造出相应的初始状态
?
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? )1(
)1(
)0(
1
1
0
ny
y
y
cG
cG
c
X
n
??
8/8,24/45
4.5 对偶性
定义,对连续时间线性时变系统
XtcY
utBXtAX
)(
)()(
?
???
其对偶系统定义为如下形式的一个连续时间线性时变系统
TTT
TTTTT
tB
tCtA
??
?????
)(
)()(
?
??
其中,状态 X为 n维行向量,协状态 Ψ为 n维行向量
输入 u为 p维列向量,输入 η为 q 维行向量
输出 Y为 q维列向量,输出 θ为 p 维行向量
结论 10,原构系统的状态转移矩阵 ),( 0tt? 与对偶系统的状态转移矩阵 ),(
0ttd?
之间满足如下关系 ),(),(
00 tttt Td ???
1/2,25/45
结论 11 设 Σ为原构线性系统,Σd为对偶线性系统,则有
Σ完全能控 Σd 完全能观测
Σ完全能观测 Σd 完全能控?
?
2/2,26/45
4.6离散化线性系统保持能控性和能观测性的条件
设连续时间线性时不变系统
??
?
?
??
CXY
BuAXX?
对应的时间离散化系统
??
?
?
???
)()(
)()()1(
kCXkY
kHukGXkX
其中 G=eAT H= ?
T AtdtBe
0
???? ?,,21 ji ?? ?A的特征值 ji?? n??
结论 12 如果连续系统（ A,B,C）不能控（不能观测），则对任意采样周期 T离
散化后的系统（ G,H,C）也是不能控（不能观测）的。
证明 用反证法
设连续系统不能控，而对于某采样 T离散化后的系统却是能控的。则
rank[H,GH,G2H,…G n-1H]=n
1/3,27/45
??? T AAT BdeHeG 0,??
nBdeeBdeeBder a n k T ATnAT AATT A ???? ? ],,[ 0)1(00 ??? ??? ?
容易验证 ?T AAT dee
0,?
? 为可交换阵，故
nBeBeBder a n k TnAATT A ??? ],,[ )1(0 ???
nBeBeBr a n k TnAAT ?? ],,[ )1(?
由于 eAiT可用 I,A,A2,…A n-1线性表示，故
],,[],,[ 1)1( BAABBr a n kBeBeBr a n k nTnAAT ?? ? ??
nBAABBr a n k n ?? ],,[ 1? 连续系统是能控的，矛盾。
本定理也可叙述为：
如果离散化后的系统是能控（能观测）的，则离散化前的连续系统一定是能控（能
观测）的。 2/3,28/45
结论 13,设连续系统（ A,B,C）能控（能观测），则离散化后的系统也能控
（能观测）的必要条件是：
jTk?2 不是 A的特征值。其中 k为非零整数
结论 14 对时间离散化，使采样周期 T的值
)(
2
jimI
lT
??
?
??
则时间离散化系统能控的充分必要条件是 eATB为行线性无关
结论 15 连续时间线性时不变系统，其时间离散化系统保持完全能控 /完全能
观测的一个充分条件为，采样周期 T满足如下条件：对 A的任意两个特征值 λ1、
λ2，不存在非零整数 k，使
jTk??? 221 ??
成立
对于单输入单输出系统，本定理是充分必要的。
3/3,29/45
4.7能控性、能观测性与传递函数的关系
结论 16 如果 A的特征值互不相同，则系统（ A,B,C）为能控且能观测的充
分必要条件是：传递矩阵 G（ s）的分母 |sI-A|与分子之间不发生因子相消
结论 17 单输入、单输出系统（ A,b,c）是能控且能观测的充分必要条件是：
传递函数 G（ s）的分母 |sI-A|与分子之间不发生因子相消。
结论 18 单输入、单输出系统（ A,b,c），如果 A的特征值互不相同，若传递
函数存在零、极点对消，则系统或是状态不能控或是状态不能观测的；若传递
函数不存在零、极点对消，则系统是状态完全能控且完全能观测的。
证明：单输入、单输出系统动态方程为
cxy
buAxx
?
???
如果 A的特征值互不相同，则一定可利用非奇异线性变换，使 A成为对角阵。即：
xcy
ubxAx
?
???
1/4,30/45
? ?n
nn
fffcbA ?
?? 21
2
1
2
1
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uxx iiii ?? ???
状态方程可写为,
在初始条件为零的情况下，拉氏变换得
)()( sUssX
i
ii
?
?
??
对输出方程拉氏变换
??
?? ?
??
?
n
i i
ii
n
i
ii sUs
fsXf
scXsY
11
)()(
)()(
?
?此式即为传递函数的部分分式
2/4,31/45
若传递函数存在零、极点对消，传递函数的部分分式中应缺少相应项。如传递
函数中相消的零、极点为 s-λk，则说明 fkγk=0,γk=0,fk ≠0系统是不能控的；
fk=0,γk≠0，系统是不能观测的； γk=0,fk=0，系统是既不能控也不能观测的。
若传递函数不存在零、极点对消，传递函数的部分分式中，应有 fkγk≠0（ k=1、
2,…n ）系统是既能控又能观测的。
3/4,32/45
例 设单输入、单输出系统的传递函数
23
1)(
2 ??
??
ss
ssG
由于存在零、极点对消，系统不可能是既能控又能观测的。
结论 19 如果多输入、多输出系统的状态向量与输入向量之间的传递矩阵 BAsI 1][ ??
的各行在复数域上线性无关，则系统是能控的。（充分必要条件）
结论 20 如果多输入、多输出系统的输出向量与初始状态向量 X（ 0）之间的传递矩阵
1][ ?? AsIC 的各列在复数域上线性无关，则系统是能观测的。（充分必要条件）
4/4,33/45
4,8能控规范形和能观测规范形,SISO情形
结论 21：连续时间线性时不变系统的能控性和能观测性在线性非奇异变换下保
持不变。能控性指数，能观测性指数也保持不变。
定义 一个单输入系统，如果其 A,b阵具有如下形式：
?
?
?
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?
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0
0
0
1000
0100
0010
1210
?
?
?
?
?
?
b
aaaa
A
n
则系统一定能控。这种形式的 A,b阵称为能控标准形
1/5,34/45
结论 22：对完全能控 n维单输入单输出连续时间线性时不变系统
cXy
buAXX
?
??? ?:
0111)d e t ( ??? ?????? ??
? SSSAsI n
nn ?
则通过变换矩阵
? ?
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1,,,
1,
,1
,,
11
11
n
nn bAbbAP
??
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?????
??
???
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1
01
1
1
1
12
121
12
n
n
n
n
a
aa
aaa
bAbAAbbP ???
?
?
?
2/5,35/45
可将系统变换成能控规范形，即 XPX 1??
导出
Xcy
ubXAX
c
cc
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???
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110
1
10
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10
n
c
aaa
APPA
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1
0
0
1
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bPb c
? ?110,,??? nc cPc ??? ?
cbabcAabcA
cbabcAabcA
cbacA b
cb
n
n
n
n
n
n
nn
n
1
2
1
1
0
2
3
1
2
1
12
1
????
????
??
?
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??
?
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?
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3/5,36/45
定义 一个单输出系统，如果其 A,c阵具有如下形式：
? ?1000
100
010
001
000
1
2
1
0
?
????
? ?
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?
c
a
a
a
a
A
n
则系统一定能观测，此时的 A,c阵称为能观测标准形
结论 23：对完全能观测的 n 维单输入单输出连续时间线性时不变系统，其能观测
规范形可基于线性非奇异变换
QXX ??
导出
Xcy
ubXAX
??
????
0
00
?
???
4/5,37/45
其中
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c
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1
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1
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1
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Q A QA
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1
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n
Qbb
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? ?100? 10 ??? ?cQc
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1
2
1
12
121
1
01
1
1
n
n
n
n
cA
cA
cA
c
a
aa
aaa
Q
?
???
?
?
5/5,38/45
4,9 能控规范形和能观测规范形 MIMO情形
旺纳姆能控规范形，旺纳姆能观测规范形
龙伯格能控规范形，龙伯格能观测规范形
1/1,39/45
4,10连续时间线性时不变系统的结构分解
系统按能控性分解
设不能控系统的动态方程为
CxyBuAxx ????
其能控性矩阵的秩为 r<n，选出其中 r个线性无关列，再加任意 n-r个列，构成非
奇异变换 T-1
???????? ?
C
C
x
xxxTx 1
xCy
uBxAx
?
???
? ?2111
22
12111 00 CCCTCBTBBAAAT A TA ???
?
??
?
????
?
??
?
??? ??
其中
1/6,40/45
经非奇异变换后，系统的动态方程写为
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
??
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C
C
C
C
C
C
x
x
CCy
u
B
x
x
A
AA
x
x
21
1
22
1211
00?
?
于是可得能控子系统动态方程为：
C
CCC
xCy
uBxAxAx
11
11211
?
????
不能控子系统动态方程为
C
CC
xCy
xAx
22
22
?
??
2/6,41/45
例 已知
? ?111
1
0
0
341
010
121
??
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
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?
? cbA 试按能控性进行规范分解
解
? ? 32
831
000
410
2 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
? r a n kbAAbbr a n k 系统不完全能控，取
?
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011
001
103
031
100
010
1 TT
? ?121
0
0
1
100
241
240
11 ???
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?? ?? cTcTbbT A TA
能控子系统动态方程为
? ? C
CCC
xy
uxxx
21
0
1
2
2
41
40
1 ?
??
?
??
??
??
?
??
?
????
?
??
? ???
不能控子系统动态方程为
C
CC
xy
xx
??
?
2
?
3/6,42/45
系统按能观测性分解
设不能观测系统的动态方程为
CxyBuAxx ????
其能观测性矩阵的秩为 l<n，选出其中 l个线性无关行，再加任意 n-l个行，构成非奇异
变换 T
???????? ?
o
o
x
xxxTx 1
xCy
uBxAx
?
???
? ?00 11
2
1
2221
111 CCTCBBTBBAAAT A TA ???
?
??
?
????
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??
?
??? ??
? ? ?
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o
o
o
o
x
x
Cy
u
B
B
x
x
AA
A
x
x
0
0
1
2
1
2222
11
?
?
能观测子系统动态方程为
o
oo
xCy
uBxAx
11
111
?
???
不能观测子系统动态方程为
02
22221
?
???
y
uBxAxAx ooo?
4/6,43/45
系统按能控性和能观测性的标准分解
设系统（ A,B,C）不能控、不能观测，可先对系统按能控性分解，即令
??????? ?
C
C
c x
xTx 1
再分别对能控子系统、不能控子系统按能观测性分解
??????? ?
OC
CO
OC x
xTx 1
1 ??
??
?
?? ?
OC
OCO
C x
xTx 1
2
最后得到
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OC
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CO
OC
OC
OC
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Oc
Oc
C
C
c
x
x
x
x
T
x
x
x
x
TT
TT
TT
TT
x
x
Tx
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
5/6,44/45
经 T-1变换后，系统的动态方程为
? ?
?
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OC
OC
OC
CO
OC
OC
OC
CO
OC
OC
OC
CO
x
x
x
x
CCy
u
B
B
x
x
x
x
AA
A
AAAA
AA
x
x
x
x
00
0
0
00
000
00
31
2
1
4443
33
24232121
1311
?
?
?
?
能控、能观测子系统动态方程为：
CO
OCCOCO
xCy
uBxAxAx
11
11311
?
????
能控、不能观测子系统动态方程为
02
224232221
?
?????
y
uBxAxAxAxAx OCOCOCCOOC?
不能控、能观测子系统动态方程为
OC
OCOC
xCy
xAx
33
33
?
??
不能控、不能观测子系统动态方程为
04
4443
?
??
y
xAxAx OCOCOC?
6/6,45/45
第 5章 系统运动的稳定性
5,1 外部稳定性和内部稳定性
定义,称一个系统的外部稳定（ BIBO）是指对任何一个有界输入 u(t),即：
‖ u(t)‖ ≤β1<∞ )[
,0 ???? tt 的任意输入 u(t)，对应的输出 y(t)均为有界，即
),[)( 02 ??????? ttty ?
结论 1：对零初始条件 p维输入和 q维输出连续时间线性时变系统,t∈ [t0,+∞）则 t0时
刻系统 BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数 β，使对一切 t∈ [t0,+∞)脉
冲响应矩阵 H(t,η)所有元均满足关系式
pjqidthtt ij ??,2,1,2,1),(
0
?????? ???
证明 考虑 SISO情形 充分性
?????
??
?
??
211
0
00
|),(|
|)(||),(|)(),()(
??????
??????
t
t
t
t
t
t
dtg
dutgdutgty
1/4,1/18
必要性 采用反证法，即系统 BIBO稳定，却存在某个 t1使
??? 1
0
|),(| 1tt dtg ??
可以取 ),(s g n)( 1 ?tgtu ?
有
???? ?? 1
0
1
0
|),(|)(),()( 111 tttt dtgdutgty ?????
矛盾
结论 2：对零初始条件 p维输入和 q维输出连续时间线性时不变系统，令 t0=0,则
系统 BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个有限正常数 β，使脉冲响应矩阵 H(t)
所有元均满足关系式
pjqitdth ij ??,2,1,2,1)(
0
?????? ? ?
2/4,2/18
结论 3,对零初始条件 p维输入和 q维输出连续时间线性时不变系统，令初始时刻
t0=0,则系统 BIBO稳定的充分必要条件为：真或严真传递函数矩阵 G(s)的所有极点
均具有负实部。
定义,称连续时间线性时不变系统在 t0为内部稳定，是指由时刻 t0任意非零初始状
态引起的零输入响应 Xou(t)对 t∈ [t0,+∞)有界，并满足渐近属性，即：
0)(lim ??? tX out
结论 4：设 n维连续时间线性时变自治系统 ),[)()( 000 ???? ttxtxxtAx?
系统在 t0时刻内部稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 Ф(t,t0)对所有 t∈ [t0,+∞]
为有界，并满足：
0),(lim 0 ???? ttt
结论 5：对 n维连续时间线性时不变自治系统 0)0( 0 ??? txxAxx?
内部稳定的充分必要条件为 0lim ?
?? Att e
或矩阵 A所有特征值均具有负实部，即,Re{λi(A)}<0。
3/4,3/18
内部稳定性和外部稳定性的关系
结论 6：对连续时间线性时不变系统，内部稳定 → BIBO稳定，反之不成立。
若系统能控且能观测，则内部稳定 ←→ BIBO稳定。
4/4,4/18
5,2 李亚普诺夫意义下运动的稳定性的一些基本概念
李亚普诺夫第一方法,间接法
李亚普诺夫第二方法,直接法
自治系统,没有输入作用的一类动态系统
平衡状态,状态空间中满足 ),[0),(
0 ????? tttxfx ee? 的一个状态
李亚普诺夫意义下的稳定 称自治系统 ),[)(),( 000 ???? ttxtxtxfx?
的孤立平衡状态 Xe=0在时刻 t0为李亚普诺夫意义下稳定，如果对任给一个实数 ε>0，
都对应存在另一依赖于 ε和 t0的实数 δ(ε,t0)>0，使得满足不等式 ‖ X0-Xe‖ ≤δ(ε,t0)的
任一初始状态 x0出发的受扰运动 Φ(t； x0,t0)都满足不等式：
‖ Φ(t； x0,t0)-Xe‖ ≤ε
0tt ??
⑴ 稳定的几何解释
⑵李亚普诺夫意义下一致稳定
⑶时不变系统的稳定属性
⑷李亚普诺夫意义下稳定的实质
1/2,5/18
),[)(),( 000 ???? ttxtxtxfx?
渐近稳定 称自治系统 ),[)(),(
000 ???? ttxtxtxfx?
的孤立平衡状态 Xe=0在时刻 t0为渐近稳定，如果 ⅰ ) Xe=0在时刻 t0为李亚普诺夫
意义下稳定,ⅱ ）对实数 δ(ε,t0)>0和任给实数 μ<0，都存在实数 T(μ,δ,t0)>0使得
满足不等式 ‖ X0-Xe‖ ≤δ(ε,t0)的任一初始状态 x0出发的受扰运动 Φ(t； x0,t0)满足不
等式 ‖ Φ(t； x0,t0)-Xe‖ ≤μ,),,(
00 tTtt ?????
不稳定 称自治系统 ),[)(),(
000 ???? ttxtxtxfx?
的孤立平衡状态 Xe=0在时刻 t0为不稳定，如果不管取实数 ε>0为多么大，都不
存在对应一个实数 δ(ε,t0)>0，使得满足不等式 ‖ X0-Xe‖ ≤δ(ε,t0)的任一初始状
态 x0出发的受扰运动 Φ(t； x0,t0)满足不等式 ‖ Φ(t； x0,t)-Xe‖ ≤ε，
0tt ??
不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是 大范围稳定 的。
不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是 大范围渐近稳定 的。
大范围渐近稳定的系统只能有一个平衡状态。
为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是 小范围稳定 的。
对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在小范围渐近稳定，则
必大范围渐近稳定
2/2,6/18
5,3李亚普诺夫第二方法的主要定理
结论 7,对连续时间非线性时变自治系统 ),[),(
0 ??? tttxfx?
X=0为系统平衡状态，若可构造对 x和 t具有连续一阶偏导数的标量函数
V(x,t),V(0,t)=0，且对状态空间中所有非零状态 X满足如下条件：
ⅰ ） V(x,t)正定且有界，即存在两个连续的非减标量函数 α(‖ x‖ )和
β(‖ x‖ ),α(0)＝ 0,β(0)＝ 0，使对所有 t∈ [t0,∞)有：
β(‖ x‖ )≥V(x,t)≥α(‖ x‖ )＞ 0
ⅱ ) V(x,t)对时间 t的导数负定且有界。
ⅲ )当 ‖ x‖ →∞,有 V(x,t) →∞
则系统的原点平衡状态 x=0为大范围一致渐近稳定。
结论 8：对连续时间非线性时不变自治系统 0)( ?? txfx?
X=0为系统平衡状态，若可构造对 x具有连续一阶偏导数的标量函数 V(x)，
V(0)=0，且对状态空间中所有非零状态 X满足如下条件：
ⅰ ） V(x)为正定
ⅱ ) 为负定
ⅲ )当 ‖ x‖ →∞,有 V(x) →∞
则系统原点的平衡状态 x=0为大范围一致渐近稳定。
)(xV?
1/4,7/18
例 设系统状态方程为
)(
)(
2
2
2
1212
2
2
2
1121
xxxxx
xxxxx
????
???
?
?
坐标原点是系统的一个平衡状态，试确定该系统的稳定性
解 取一正定的标量函数
2221)( xxxV ??
)(2
)(2)(
2
2
2
1
2211
xx
xxxxxV
???
?? ???
为一负定的标量函数，且
系统是大范围渐近稳定的。
???? )(,xVx
2/4,8/18
结论 9 [小范围渐近稳定性定理 ] 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对 x和 t
具有连续一阶偏导数的一个标量函数 V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个
吸引区 Ω，使对所有非零状态 x∈ Ω和所有 t∈ [t0,∞)满足如下条件：
V(x,t)为正定且有界；
dttxdVtxV /),(),( ??? 为负定且有界；
则系统原点平衡状态 x=0在 Ω域内为一致渐近稳定。
结论 10[小范围渐近稳定性定理 ] 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构
造对 x具有连续一阶偏导数的一个标量函数 V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原
点的一个吸引区 Ω，使对所有非零状态 x∈ Ω满足如下条件：
V(x)为正定；
dtxdVxV /)()( ??? 为负定
则系统原点平衡状态 x=0在 Ω域内为渐近稳定
3/4,9/18
结论 11 [小范围渐近稳定性定理 ] 对连续时间非线性时不变自治系统，若可构造对 x
具有连续一阶偏导数的一个标量函数 V(x),V(0)=0，以及围绕状态空间原点的一个吸
引区 Ω，使对所有非零状态 x∈ Ω∈ 满足如下条件：
V(x)为正定；
dtxdVxV /)()( ??? 为负半定
对任意非零 x0∈ Ω 0))0,;(( 0 ?xtV ??
则原点平衡状态 x=0在 Ω域内为渐近稳定
结论 12[不稳定性定理 ] 对连续时间非线性时变自治系统，若可构造对 x和 t具有
连续一阶偏导数的一个标量函数 V(x,t),V(0,t)=0，以及围绕状态空间原点的一个
吸引区域 Ω，使对所有非零状态 x∈ Ω和所有 t∈ [t0,∞)满足如下条件：
（ ⅰ ） V(x,t)为正定且有界；
（ ⅱ ） 为正定且有界；
则系统原点平衡状态 x=0为不稳定。
dttxdVtxV /),(),( ???
4/4,10/18
5,4 构造李亚普诺夫函数的规则化方法
变量梯度法
设连续时间非线性时不变系统 0)( ?? txfx? Xe=0为系统孤立平衡状态，
(1)设 V(x)的梯度为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
nnnnn
nn
n
xaxaxa
xaxaxa
x
xV
x
xV
xV
?
?
?
?
2211
12121111
)(
)(
)(
(2)设梯度▽ V(x)对应于有势场，则旋度 rot▽ V(x)=0，即
jix xVx xV
j
i
i
j ?
?
???
?
?? )()(
? ? 0)(0)( ???? xxVdt xdV T ?(3)由
(4)由 (2),(3)定出▽ V(x)
? ?
???
????
?? ?????????? ???????
???????
),,(
0
)0,(
0 22
)0(
0 11
0 100
)(
0
11113112321 )()()(
)()()]([)()()(
nnnnn xxxxx
nn
xxxxxxxxx
d
n
t TtxV
dxxVdxxVdxxV
dxxVxVdtxxVdtdt xdVxdVxV
??? ?
??(5)
1/3,11/18
(6)判断 V(x)计算结果的正定性
克拉索夫斯基方法
设连续时间非线性时不变系统 0)( ?? txfx? Xe=0为系统孤立平衡状态，
系统雅可比矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
nn
n
T
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
x
xf
xF
)()(
)()(
)(
)(
1
1
1
1
?
?
?
克拉索夫斯基指出：如果存在一个对称正定矩阵 B，使对称阵 S（ x） =BJ（ x）
+[ BJ（ x） ]T是负定的，那么平衡状态 x=0是渐近稳定的，系统的李雅普诺夫函数
为：
V（ x） =f（ x） TBf（ x）如果 ???? )(,xVx
则平衡状态 x=0是大范围渐近稳定的。
结论 13：对连续时间线性时不变系统,矩阵 A为非奇异，若 A+AT为负定，则原点
平衡状态 x=0为大范围渐近稳定。
2/3,12/18
例
??
?
???
??
3
2212
11
xxxx
xx
?
?
确定平衡状态 x=0的稳定性
解
?????? ?????????? ?? ?? 223221 1 311 01)()( xxJxxx xxf
取 B=I
?????? ?????? 2
2621
12)()()(
xxJxJxS
T
为对称负定阵，所以平衡状态 x=0是渐近稳定的。
2322121 )()()()( xxxxxBfxfxV T ?????
???? )(,xVx 平衡状态 x=0是大范围渐近稳定的
3/3,13/18
5,5 连续时间线性系统的状态运动稳定性判据
线性时不变系统的稳定性判据
结论 14[特征值判据 ] 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态即 x=0是李亚
普诺夫意义下稳定的充分必要条件为，矩阵 A的特征值均具有非正实部即实部
为零或负，且零实部特征值只能为 A的最小多项式的单根。
结论 15[特征值判据 ] 对连续时间线性时不变系统，原点平衡状态 x=0是渐近稳
定的充分必要条件为，矩阵 A的特征值均具有负实部
结论 16[李亚普诺夫判据 ] 对 n维连续时间线性时不变系统，原点平衡状态 xe=0是
渐近稳定的充分必要条件为，对任给一个 n× n正定对称矩阵 Q,李亚普诺夫方
程 ATP+PA=-Q有唯一 n× n正定对称解阵 P。
结论 17[李亚普诺夫判据推广形式 ] 对 n维连续时间线性时不变系统和任给实数
ζ≥0，令矩阵 A特征值为 λi (A),i=1,2,…,n,则系统所有特征值均位于 s平面的直
线－ ζ＋ jω左半开平面上，即成立 Reλi (A)<-ζ,i=1,2,…,n,的充分必要条件为，
对任给一个 n× n正定对称矩阵 Q,推广李亚普诺夫方程 2ζP＋ ATP+PA=-Q 有
唯一正定解阵 P。
1/2,14/18
线性时变系统的稳定性判据
结论 18 [基于状态转移矩阵的判据 ] 对连续时间线性时变系统，表 Φ（ t,t0）为
系统状态转移矩阵，则系统原点平衡状态 xe=0在时刻 t0是李亚普诺夫意义下稳
定的充分必要条件为，存在依赖于 t0的一个实数 β(t0)>0，使成立：
‖ Φ(t,t0)‖ ≤β(t0)<∞,0tt??
进一步，当且仅当对所有 t0都存在独立实数 β>0使上式成立，系统原点平衡
状态 xe=0为李亚普诺夫意义下一致稳定。
结论 19[基于状态转移矩阵的判据 ] 对连续时间线性时变系统，表 Φ（ t,t0）
为系统状态转移矩阵，则系统唯一平衡状态 xe=0在时刻 t0是渐近稳定的充分
必要条件为，存在依赖于 t0的一个实数 β(t0)>0，使同时成立：
‖ Φ(t,t0)‖ ≤β(t0)<∞,0tt??
0),(lim 0 ???? ttt
进一步，当且仅当对所有 t0∈ [0,∞]都存在独立实数 β1>0和 β2>0使成立：
‖ Φ(t,t0)‖ ≤β1e-β2(t-t0）
系统原点平衡状态 xe=0为一致渐近稳定。
2/2,15/18
5,6 连续时间线性时不变系统稳定自由运动的衰减性能估计
对渐近稳定的连续时间线性时不变自治系统
0)0(( 0 ??? txxAxx?
衰减系数定义为
)(
)(
xV
xV????
最小衰减系数
???????? )( )(m inm in xV xVx ??
设 QxxxVPxxxV
TT ??? )(,)( ?
则
)()(}1,{m inm in 1m i n1m i nm i nm i n QPQPPxxQxxPxx Qxx TTxTTx ?? ?????????? ?? ????
1/1,16/18
5,7 离散时间系统状态运动的稳定性及其判据
结论 20[大范围渐近稳定判据 ] 对离散时间非线性时不变自治系统，若存在一个相
对于离散状态 x(k)的标量函数 V(x(k))，使对任意 x(k)∈ Ｒ n满足：
（ ⅰ ） V(x(k))为正定；
（ ⅱ ）表△ V(x(k))＝ V(x(k＋ 1))－ V(x(k))，△ V(x(k))为负定；
（ ⅲ ）当 ‖ x(k)‖ →∞,有 V(x(k)) →∞ 。
则原点平衡状态即 x=0为大范围渐近稳定。
结论 21[大范围渐近稳定判据 ] 对离散时间非线性时不变系统，若存在一个相对于
离散状态 x(k)的标量函数 V(x(k))，使对任意 x(k)∈ Ｒ n满足：
（ ⅰ ） V(x(k))为正定；
（ ⅱ ）表△ V(x(k))＝ V(x(k＋ 1))－ V(x(k))，△ V(x(k))为负半定；
（ ⅲ ）对由任意非零初始状态 x(0) ∈ Ｒ n确定的所有自由运动 x(k)的轨线，△ V(x(k))
不恒为零；
（ ⅳ ）当 ‖ x(k)‖ →∞,有 V(x(k)) →∞ 。
则原点平衡状态即 x=0为大范围渐近稳定。
1/2,17/18
结论 22[特征值判据 ] 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态即 xe=0是
李亚普诺夫意义下稳定的充分必要条件为,G的全部特征值 λi (G)（ i=1,2,…,n ）
的幅值均等于或小于 1，且幅值等于 1的特征值只能为 G的最小多项式的单根。
结论 23[特征值判据 ] 对离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态是渐近稳
定的充分必要条件为,G的全部特征值的幅值均小于 1。
结论 24[李亚普诺夫判据 ] 对 n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡状态
渐近稳定的充分必要条件为，对任一给定 n× n正定对称矩阵 Q，离散型李亚普
诺夫方程
GTPG-P=-Q
有唯一 n× n正定对称解阵 P。
结论 25[扩展李亚普诺夫判据 ] 对 n维离散时间线性时不变自治系统，原点平衡
状态以实数 ζ>0为幂指数稳定，即 G的特征值满足：
︱ λi (G)︱ <ζ,0≤ζ≤1,i=1,2,…,n
的充分必要条件为：对任一给定 n× n正定对称矩阵 Q，扩展离散型李亚普诺夫
方程 （ 1/ζ） 2GTPG-P=-Q
有唯一 n× n正定对称解阵 P。
2/2,18/18
第六章线性反馈系统的时间域综合
6,1 引言
综合问题的提法
系统的综合问题由 受控系统, 性能指标 和 控制输入 三个要素组成
所谓系统综合，就是对给定受控系统，确定反馈形式的控制，使所导出闭环系统的
运动行为达到或优于指定的期望性能指标
性能指标的类型
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
优化型性能指标
。跟踪问题
。解藕控制
。极点配置
。渐近稳定
非优化型性能指标
4
3
2
1
1/1,1/40
6,2 状态反馈和输出反馈
状态反馈
设连续时间线性时不变系统
Cxy
txxBuAxx
?
????? 0)0(,00 ?
状态反馈下受控系统的输入为,u=--Kx+υ,K∈ Rp× n，反馈系统 ∑xf的状态空间
描述为：
Cxy
txxBxBKAxxf
?
?????? 0)0()(,0??
B ∫ C
A
K
x? x
??
? y
结论 1,对连续时间线性时不变系统，状态反馈保持能控性，不保持能观测性。
1/3,2/40
输出反馈
设连续时间线性时不变系统
Cxy
txxBuAxx
?
????? 0)0(,00 ?
输出反馈下受控系统输入 u=--Fy+υ,F∈ Rp× q
B ∫ C
A
F
?
? x? x yu
输出反馈系统的状态空间描述为：
)(])([)]()[()(
)()(
)()(
)(:
0
1
0
1
00
1
0
1
sGFsGIsFGIsGsG
BASICsG
BB F CASICsG
Cxy
BxB F CAx
F
F
yf
??
?
?
????
??
???
?
???? ??
结论 2,对连续时间线性时不
变系统，输出反馈保持能控
性和能观测性。
2/3,3/40
状态反馈和输出反馈的比较
反馈原理,状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈则是系统结构信
息的不完全反馈。
反馈功能,状态反馈在功能上远优于输出反馈。
改善输出反馈的途径,扩展输出反馈（动态输出反馈）
反馈实现上,输出反馈要优越于状态反馈。
解决状态反馈物理实现的途径,引入状态观测器
扩展状态反馈和扩展输出反馈的 等价性 。
3/3,4/40
6,3 状态反馈极点配置：单输入情形
极点配置定理
对单输入 n 维连续时间线性时不变受控系统 buAxx ???
系统全部 n个极点可任意配置的充分必要条件为（ A,b）完全能控。
极点配置算法
step1,判别（ A,b）能控性
step2.计算矩阵 A特征多项式 det(SI-A)=α(s)=Sn+αn-1Sn-1+…+α 1S+α0
step3.计算由期望闭环特征值 ? ?**1,,n?? ? 决定的特征多项式
*0*11* 1*
1
* )()( ????? ???????? ??
? sssss
nnnin
i ?
step4 ? ?
1* 11*10*0,,,?? ???? nnk ?????? ?
1/4,5/40
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
,,,
11
11
n
nn bAbbAP
??
?
?
???
?
?step5
step6,Q=P-1
step7 Qkk ?
Step8,停止计算
2/4,6/40
例 1 连续时间线性时不变状态方程为
uxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0
0
1
1210
061
000
?
期望闭环极点为 jj ???????? 112 *
3*2*1 ???
计算状态反馈阵 K
解 容易判断 系统能控
sss
s
sAsI 7218
1210
061
000
)d e t ( 23 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????
计算由期望闭环极点组决定的特征多项式
464)1)(1)(2()()( 233
1
** ???????????? ?
?
sssjsjssss
i i
??
3/4,7/40
]14,66,4[],,[ 2*21*10*0 ??????? ??????k
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
001
0112
11872
11872
0118
001
001
016
100
1
1
1
],,[
21
2
2
??
?bAbbAP
计算
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ?
1 4 4181
1210
100
1PQ
? ? ? ?1 2 2 01 8 6,14
1 4 4181
1210
100
14,66,4 ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? Qkk
4/4,8/40
6,4 状态反馈极点配置：多输入情况
极点配置定理：
对多输入 n维连续时间线性时不变系统 BuAxx ???
系统可通过状态反馈任意配置全部 n个极点的充分必要条件为 {A,B}完全能控。
极点配置算法：
给定 n维多输入连续时间线性时不变受控系统 {A,B}和一组任意期望闭环特征值
? ?**1,,n?? ? 要求确定一个 p× n状态反馈矩阵 K，使 niBKA ii ?,2,1,)( * ??? ??
step1.判断 A的循环性，若非循环，选取一个 p× n实常阵 K1，使 )( 1BKAA ??
为循环；若循环，表 AA?
Step2:选取一个 p× 1实常量 ρ，有 b=Bρ使 ?? bA,为完全能控
Step3.对等价单输入系统 ?? bA,
利用单输入情形极点配置算法，计算状态反馈向量 k。
Step4.对 A为循环,K＝ ρk
对 A为非循环,K＝ ρk＋ K1 1/2,9/40
状态反馈对系统传递函数矩阵零点的影响
结论,对完全能控 n维单输入单输出连续时间线性时不变系统，引入状态反馈任
意配置传递函数全部 n个极点的同时，一般不影响其零点。
结论,对完全能控 n维多输入多输出连续时间线性时不变系统，状态反馈在配
置传递函数矩阵全部 n个极点同时，一般不影响其 零点 。
定义：设完全能控多输入多输出连续时间线性时不变系统
Cxy
BuAxx
?
???
其传递函数矩阵 G(s)=C(SI-A) -1 B,G(s)的极点为其特征方程式的根。
零点定义使得 ),m in(
0 qpnC
BASIr ank ???
?
??
?
?
?
? 的所有 s值
2/2,10/40
6.5 输出反馈极点配置
结论,对完全能控连续时间线性时不变受控系统
Cxy
BxAxx
?
???
采用输出反馈 vFyu ???
一般不能任意配置系统全部极点。
结论,对完全能控 n维单输入单输出连续时间线性时不变受控系统
Cxy
BxAxx
?
???
采用输出反馈 vFyu ???
只能使用闭环系统极点配置到根轨迹上，而不能任意配置到根轨迹以外位置上。
1/1,11/40
6.6状态反馈镇定
所谓状态镇定问题就是：对给定时间线性时不变受控系统，找到一个状态反馈型
控制律
vKxu ???
使所导出的状态反馈型闭环系统
? ? BvxBKAx ????
为渐近稳定，即系统闭环特征值均具有负实部。
结论,连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定，当且仅当系统不能控部分为
为渐近稳定
结论,连续时间线性时不变系统可由状态反馈镇定的一个充分条件是系统完全能
控
状态反馈镇定算法,
Step1 判断 (A.B)能控性，若完全能控，去 Step4。
Step2 对 (A.B)按能控性分解
Step3 对能控部分进行极点配置
Step4 计算镇定状态反馈矩阵
Step5 计算停止。
1/1,12/40
6.7状态反馈动态解耦
问题的提法：
设多输入多输出连续时间线性时不变系统
yu
Cxy
BxAxx
d imd im ?
?
???
采用包含输入变换的状态反馈系统
B ∫ C
A
K
x? x
??
? yL
0d e t ???? LLvKxu
1/9,13/40
则系统状态空间描述为：
? ?
? ? ? ? BLBKASICSG
Cxy
B L vxBKAx
KL
1????
?
????
所谓动态解耦控制，就是寻找输入变换 ppRL ?? 和状态反馈矩阵 npRK ??
使得所导出的闭环传递函数矩阵为非奇异对角有理分式矩阵
? ?
? ?
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Sg
Sg
SG
pp
KL ?
11
系统的结构特征量
输出矩阵
?
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?
?
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?
?
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?
?
?
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pC
C
C
C
?
2
1
传递函数矩阵 ? ?
? ?
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? ???
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??? ?
sg
sg
sg
BASICSG
p
?
2
1
1)(
? ? ? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ?分子多项式次数”“—分母多项式次数”,sgsg
sgsgsgsg
ijijij
ipiii
?
??
?
?,,21
2/9,14/40
对连续时间线性时不变受控系统，结构特性指数定义为：
?? pid
nkBACn
BACkBACu
d
ipiii
k
i
i
k
ii
i
i
??
?
?
,2,1,1,,m in
1,2,1,0,01
0,12,1,0,0
21 ???
?
?
?
????
????
?
???
? ?
或
当
而当
对连续时间线性时不变受控系统，结构特性向量定义为：
? ?sgSL imE
BACE
i
d
si
d
ii
i
i
??
??
?
??
1或
可解耦条件
结论,对方连续时间线性时不变受控系统，使包含输入变换状态反馈系统可实现
动态解耦的充分必要条件是：基于结构特征向量组成的 pхp矩阵 E非奇异
?
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??
pE
E
E
EE
?
2
1
,0d e t 其中
3/9,15/40
FEKEL
AC
AC
FE
pd
p
d
11
1
1
1
,
,0d e t
1
??
?
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??
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?? ?取若
则可导出包含输入变换状态反馈系统
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1
1
1
1
1
11
1
1
1
p
d
d
KL
S
S
BEFBEASICsG
Cxy
vBExFBEAx
?
?
这种解耦称为积分型解耦系统。
4/9,16/40
解耦控制综合算法
给定 n维方连续时间线性时不变受控系统
?? 为完全能控，其中 BAyu
Cxy
BxAxx
,d imd im ?
?
???
要求综合一个输入变换和状态反馈矩阵对 {L,K},使系统 实现动态解耦,并
使解耦后每个单输入单输出系统 实现期望极点配置 。
Step1：计算受控系统 (A,B,C)的结构特征量
? ?piEd ii ?,2,1,?
Step 2：组成并判断矩阵 E的非奇异性
若 E为非奇异，即能解耦
若 E为奇异，则不能解耦。
Step3：
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1,
p
i
d
p
d
AC
AC
FE ?计算
5/9,17/40
Step 4：取 FEKEL 11,?? ??
导出积分型解耦系统
? ?保持为完全能控。且 BA
CCBEBFBEAA
xCy
vBxAx
,
,,11 ????
?
??
??
?
Step5：判断 ? ?CA,的能观测性，若不完全能观测，计算
m
AC
AC
C
r a n kr a n k Q
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
0 ?
Step6：引入线性非奇异变换 xTx 1~ ?? 化积分型解耦系统为解耦规范型。
对完全能观测 ? ?CA,
nmRA
C
C
TCC
b
b
BTB
A
A
TATA
p
i
i
mm
p
pp
ii ??
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1
1
1
1
1
1
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~
~
~
~
~
~
?
?
6/9,18/40
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? ?001
~
0
0
1
0
0
~
***
0000
010
0
010
1
00,1
1
0
0
000
10
10
1
0
~
0
~
~
~~
~
~
~
~~~
0
~
0
~
~
:,
~
~~~
11
1
11
1
1
11
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??
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??
??
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??
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ii
mm
ii
mmmm
ii
p
i
i
mm
i
pcc
p
pcc
p
Cb
i
dm
iii
dm
mmRA
C
C
C
bb
b
b
B
AAA
A
A
ACA
A
CbA
ii
iiii
ii
pp
解耦规范型对不完全能观测
7/9,29/40
Step7 求
1?T
? ? ? ?
? ?
? ?
1
00
1
00
1
1
0
1
0
11
11
~~~~
~~~
~~
~~
~
~
~~
,,
~~
,
~~
,,,,
~
.
~
.
~
?
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??
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??
???
T
cc
T
cc
TT
nn
n
c
n
c
QQQQT
QQQQT
AC
AC
C
Q
AC
AC
C
Q
BABABQBABABQ
TCCBTBTATA
??
??
由
Step8：对解耦规范型 ? ?CBA ~,~,~ 选取 np? 状态反馈矩阵 K~ 的结构
对完全能观测
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
pk
k
K
~
~
~ 1 ?
对不完全能观测
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0~
0~
~ 1
pk
k
K ??
? ?iidiii ii kkkk dm,,,~,1 10 ?? ??
? ?0,,0,,,,~,1 10 ?? iidiii ii kkkk dm ? ??
8/9,20/40
Step9：根据指定期望极点组按单输入情形极点配置法，定出状态反馈矩阵
Step10：最后得
K~
1
111,~
?
???
?
??
EL
TKEFEK
例 6.4 p298
9/9,21/40
6.8状态反馈静态解耦
问题的提法,设多输入多输出连续时间线性时不变受控系统
yu
Cxy
BxAxx
d imd im ?
?
???
所谓静态解耦，就是综合一个输入变换和状态反馈矩阵对
0d e t,,??? ?? LRKRL nppp
使导出的包含输入变换状态反馈系统
? ?
Cxy
B L VxBKAx
?
????
及其传递函数矩阵 ? ? ? ? BLBKASICsG
KL 1????
满足,i）闭环控制系统渐近稳定,即 ? ? 0?? BKAR ie?
ii）闭环传递函数矩阵当 S=0时为非奇异对角常阵，即有
? ?
? ?
? ? 00
011
0
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ii
pp
KLs g
g
g
SGL i m ?
1/2,22/40
可解耦条件
存在输入变换和状态反馈矩阵对 L,K,其中 0det ?L
可使方 n维连续时间线性时不变受控系统实现静态解耦，当且仅当
pnDC BAra nk ????????
2/2,23/40
6,12 全维状态观测器
一：开环状态观测器
为了实现状态反馈，有时需要对状态进行估计，开环估计方法如下：
BuxAx ?? ???
CBA
u y
x?
二：全维观测器
全维观测器是指重构状态向量的维数与原系统相同
事实上，已知的信息为 u（ t）和 y（ t），只有当系统完全能观测时，才能从 u（ t）
和 y（ t）及其导数的线性组合中获得状态向量 x（ t）的估计值此时存在状态观测器。
K
CBA
u yv
状态观测器?
利用观测器实现状态反馈的系统为：
1/5,24/40
在观测器的设计中，为使 尽快地接近 x（ t），可利用 y（ t）和 之间
的差作为误差反馈信息，观测器结构如下：
)(?tx )(?)(? txCty ?
u
y
B
sI
A
x? C y?
H
?
?
写出观测器动态方程为
HyBuxHCAx
yyHBuxAx
????
????
?)(?
)?(??
?
?
原系统的状态方程,BuAxx ???
定义状态向量的真实值与估计值之间的偏差为误差状态向量，即：
xxx ?~ ??
xHCAxxx ~)(?~ ???? ???
2/5,25/40
定理,若系统（ A,B,C）是能观测的，其状态可用 n维状态观测器进行估计
HyBuxHCAx ???? ?)(??
矩阵 H可以按给定极点的位置来选择，所定极点的位置，将决定误差向量趋于零
的速率。
3/5,26/40
例 设系统动态方程为
? ?xyuxx 021032 10 ?????????????? ????
试设计一个状态观测器，其中矩阵 A-hc的特征值（观测器极点）为 -10,-10。
解
???????
2
1
h
hh
226)32()( 2112 ???????? hhhhcAI ???
希望的特征多项式 1 0 020)10( 22 ???? ???
??????? 5.235.8h
观测器方程 hybuxhcAx ???? ?)(??
yuxx ???????????????????? ???? 5.23 5.810?349 117??
4/5,27/40
原系统及其状态观测器结构图如下
? ?xyuxx 021032 10 ?????????????? ????
yuxx ???????????????????? ???? 5.23 5.810?349 117??
5/5,28/40
s1s
1
s1 s
1
10x
2
1x y1x?2x
20x
2x?u
2
3
20?x
2?x 1?x?
10?x
2
1?x
2?x?
3
2
5.8
5.23
- -
- -
-
--
6.13降维观测器
??
?
?
??
Cxy
BuAxx?一个 n维的能观测系统
由于 y可以直接提供一部分状态，故只需要估计其余的状态即可。
1：建立 n-m维子系统动态方程
设 A∈ Rn× n,B∈ Rn× r,C∈ Rm× n，系统（ A,B,C）能观测，令：
??????? CDQ
为一个 n× n矩阵,D的选择应使 Q可逆，考虑到
? ? ? ?ICDCCDICDCDC 00 11 ?????????????????????????? ??
xQx 1??
? ?ICQCBBQBBAA AAQA QA 01
2
1
2221
12111 ???
?
??
?
????
?
??
?
??? ??
系统的动态方程为
1/6,29/40
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
0
x
x
Iy
u
B
B
x
x
AA
AA
x
x
?
?
2x 可直接有 y提供，只须估计 1x
2
12122222
12121111
xy
xAuBxAx
uBxAxAx
?
???
???
?
?
2：降维观测器设计
方程改写为
uByAyuBxAxz
uByAuBxAv
xAz
vxAx
22222222
1121212
121
1111
??????
????
?
??
??
?
故降维观测器方程为
uBHyAHyHuByAxAHA
HzvxAHAx
22211212111
121111
?)(
?)(?
???????
????
?
?
2/6,30/40
令
HywxHyxw ???? 11 ??
??
???
??
????????
Hywx
yHAHAAHAuBHBwAHAw
1
21112212212111
?
])([)()(?
这是一个 n-m维观测器，整个状态向量的估计值为：
yIHwIy Hywxxx ???????????????????? ????????? 0??
2
1
而系统原状态向量 x的估计值为
xQx ?? 1??
3,H阵的选择
)?)((
?)(?
112111
12111121211111
xxAHA
HzvxAHAuBxAxAxx
???
???????? ??
通过 H阵的选择，使 )( 2111 AHA ? 的极点任意配置，极点的位置决定误差向量
)?( 11 xx ? 衰减到零的速率，而 2x 直接有 y提供，不存在估值误差。
3/6,31/40
定理,有 m个输出的任一 m维能观测系统（ A,B,C），可通过状态变换而写成如
下形式：
? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
2
1
2
1
2
1
2221
1211
2
1
0
x
x
Iy
u
B
B
x
x
AA
AA
x
x
?
?
其状态可用 n-m维龙伯格观测器进行估计
?
?
?
?
?
??
?
??
??
??
?
??
??
?
?
?
?
?
??
????????
yIHwI
x
xx
yHAHAAHAuBHBwAHAw
0
??
])([)()(
2
1
21112212212111?
（ n-m） × m矩阵 H可以选得使 )( 2111 AHA ?
极点的位置决定误差向量衰减到零的速率。观测器结构图如下：
的极点任意配置
yHAHAAHA
uBHBwAHAw
])([
)()(
21112212
212111
????
?????
??????IH
??????0I
x?
y
u
4/6,32/40
例 已知系统：
? ?xy
uxx
12
1
1
00
01
??
??
?
??
??
??
?
??
???
试构造一降维观测器
解 系统完全能观测
令
???
?
???
??
?????? ?? ? 01 2
1
2
1
12
10 1QQ
? ?101111 00 11 ?????????????????? ?? CQCQBBQ A QA
设降维观测器的特征值为 -10,H=[h]
hAHAI ???? ?? )( 2111
希望的特征多项式为 λ+10，故 H=[10]，降维观测器为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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??
?
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??
?
?
?
?
?
?
????
????????
y
w
y
I
H
w
I
x
x
x
yuww
yHAHAAHAuBHBwAHAw
10
101
0
?
?
1 1 0910
])([)()(
2
1
21112212212111
?
?
5/6,33/40
原系统状态向量估计值为
????????
?
?
???
?
?? ? ywxQx
101 2
11
2
1?
? 1
原系统及其降维观测器如下
s1
1x?
10x
1x
s1
2x? 20x 2x
2
1?
s1
w?
0w
w
10?
110?
9? 21
211 10
1?x
2?x
u y
? ?xy
uxx
12
1
1
00
01
??
??
?
??
??
??
?
??
???
yuww 110910 ?????
原系统
降维观测器
6/6,34/40
6.14带状态观测器的状态反馈系统
带状态观测器的状态反馈系统：
现提出两个问题,1，用状态估计进行状态反馈和用 x进行状态反馈对系统特
性的影响是否一致，或者说系统的闭环传递矩阵是否一致？ 2，进行状态反馈
设计时的 K阵和观测器设计时的 H阵能否分开设计？
显然利用 x进行状态反馈时，控制系统的传递矩阵为 BBKAsIC 1)]([ ???
状态估计进行状态反馈
??
??
?
?
?????
???
Cxy
HyxKvBxHCAx
BvxBKAxx
)?(?)(?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
x
x
Cy
v
B
B
x
x
HCBKAHC
BKA
x
x
?
0
???
?
（ A,B,C）
状态观测器K x?
yuv
1/6,35/40
为了计算传递矩阵，作坐标变换
?????? ???????? ?? ? IIIPIIIP 00 1
变换前
? ?0111 CCBBBHCBKAHC BKAA ?????????????? ?? ??
变换后
? ?0
00
11
1
1
11
1
1
CPCC
BBPB
HCA
BKBKAPAPA
??
??
?
??
???
??
?
??
?
?
??? ??
考虑到当 R,T可逆时，有
?????? ???????? ?
????
1
1111
00 T
STRR
T
SR
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
?
?
?
?
1
1
1
1
1
)]([0
)]([
)(0
)(
)(
HCAsI
BKAsI
HCAsI
BKBKAsI
AsI
2/6,36/40
传递矩阵为
? ?
BBKAsIC
B
HCAsI
BKAsICBAsIC
1
1
1
1
1
11
)]([
0)]([0
)]([0)(
?
?
?
?
???
??
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?????
系统的传递矩阵与用 x进行状态反馈时的传递矩阵相同。
另外，系统的特征多项式
)](d e t [)](d e t [)d e t ( 1 HCAsIBKAsIAsI ???????
它由（ A-BK）、（ A-HC）的特征多项式的乘积组成，可见只要系统（ A,B、
C）能控、能观测，则可按极点配置的需要选择 K，按观测器动态特性的需要 H，
两者可分开进行设计，这个原理称为 分离定理
3/6,37/40
例 设系统的传递函数为
)6( 1)( ?? sssG
希望利用状态反馈使闭环极点为 -4± j6，并求实现这个反馈的二维及一维观测器。
解 1：建立能观测标准形实现
? ? xyuxx 100161 00 ?????????????? ???
系统也是能控的
2：求状态反馈阵 K，设 K=[k1,k2]，系统特征方程式：
06)6()( 2112 ???????? kksksbKAsI
希望的特征方程式
0528)64)(64( 2 ???????? ssjsjs
K=[2,40]
3：求二维观测器，设其极点为 s1=s2=-10,H=[h1,h2]T
0)6()( 122 ??????? hshsHcAsI
希望的特征方程式 010020)10( 22 ????? sss
H=[100,14]T
4/6,38/40
观测器方程
yuxx
HyBuxHcAx
??
?
??
??
??
?
??
??
??
?
??
?
?
??
????
14
1 0 0
0
1?
201
1 0 00?
?)(?
?
?
系统结构图
5/6,39/40
)6( 1?ss
s1
1?x? 1001?x
s1
2?x?2?x
100
20
14
2
40
u yv
??
-
-
4：求一维观测器，设其极点为 s1=-10,H=[h]
0)( 2111 ????? hsAHAsI
希望的特征方程式 s+10=0
H=[10]
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
????
????????
y
yw
x
x
x
yuww
yHAHAAHAuBHBwAHAw
10
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4010
])()[()()(
2
1
21112212212111
?
?
观测器方程
系统结构图 )6( 1?ss
s1
w?
40
w
2?x10
2
40
101?x
yuv
--
6/6,40/40
第二部分 线性系统的复频率域理论
线性系统的复频率域理论，是以传递矩阵作为系统描述，并在复频率域内分析
和综合线性时不变系统的一种理论和方法。
8,1 矩阵分式描述
第 8章 传递函数矩阵的矩阵分式描述
矩阵分式描述实质上就是把有理分式矩阵形式的传递函数矩阵 G(s)表为两
个多项式矩阵之“比”。
右 MFD和左 MFD
设 p维输入和 q维输出连续时间线性时不变系统,其传递函数矩阵
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?sNsDsDsN
sg
sg
sG LL
qp
11
11
)(
)(
?? ??
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? ? ? ?sDsN 1? 为 G(s)的一个右矩阵分式描述
? ? ? ?sNsD LL 1? 为 G(s)的一个左矩阵分式描述
其中 )(),(),(),( sNsNsDsD LL 为多项式矩阵
1/4,1/16
例如
? ?
? ?? ?
? ?
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
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1
2
2
2
22
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)4)(3(
)3)(2(
)2(3)3)(2)(1(
)1()4)(1(1
)2)(1(
)2(
)4)(3(
3
)3)(2(
)3)(2)(1(
)2(1
1
43
41
32
1
14
3
3
1
23
1
32
1
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ss
ss
ss
ssssss
sssss
ss
ss
ss
s
ss
sss
ss
ss
ss
ss
ss
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
s
ss
s
sG
上式即为 G(s)的一个右 MFD
把 G(s)按各行通分，可以写出 G(s)的左 MFD
2/4,2/16
设 p维输入和 q维输出连续时间线性时不变系统,其传递函数矩阵
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?sNsDsDsN
sg
sg
sG LL
qp
11
11
)(
)(
?? ??
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?
MDF的特性
结论,对传递函数矩阵 G(s)的一个右 MFD，规定 )(d e td e g)()( 1 sDsDsN ?? 的次数
对传递函数矩阵 G(s)的一个左 MFD，规定 )(d e td e g)()(1 sDsNsD LLL ?? 的次数
对给定一个 G(s)，其右 MFD和左 MFD在次数上一般不相等。
结论,对传递函数矩阵 G(s)，其右 MFD和左 MFD为不唯一，且不同的 MFD可能具
有不同的次数。
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，设 )()( 1 sDsN ?
W(s)为 p?p非奇异多项式矩阵，令
为其一个右 MFD
)()()(),()()( sWsDsDsWsNsN ??
则 )()( 1 sDsN ? 也是 G(s)的一个右 MFD，且 )(d e td e g)(d e td e g sDsD ?
若 W(s)为单模矩阵，则 )(d e td e g)(d e td e g sDsD ?
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，设 )()(1 sNsD LL?
WL(s)为任一 q?q非奇异多项式矩阵。
为其一个左 MFD，
)()()(),()()( sDsWsDsNsWsN LLLLLL ??
则
)()(1 sNsD LL? 也是 G(s)的一个左 MFD，且 )(d e td e g)(d e td e g sDsD LL ?
若 WL(s)为单模矩阵，则 )(d e td e g)(d e td e g sDsD LL ?
3/4,3/16
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，设 )()( 1 sDsN ?
W(s)为 p?p非奇异多项式矩阵，令
为其一个右 MFD
)()()(),()()( sWsDsDsWsNsN ??
则 )()( 1 sDsN ? 也是 G(s)的一个右 MFD，且 )(d e td e g)(d e td e g sDsD ?
若 W(s)为单模矩阵，则 )(d e td e g)(d e td e g sDsD ?
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，设
)()( 1 sDsN ? )()(1 sNsD LL?
为其 一个右 MFD和一个左 MFD
则有
? ? 最小为最小阶左
最小为最小阶右
)(de tde g)(
)(de tde g)()(
1
1
sDM F DsNsD
sDM F DsDsN
LLL ?
?
?
?
*最小阶 MFD也不是唯一的
*称最小阶 MFD为不可简约 MFD
4/4,4/16
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，设 )()(1 sNsD LL?
WL(s)为任一 q?q非奇异多项式矩阵。
为其一个左 MFD，
)()()(),()()( sDsWsDsNsWsN LLLLLL ??
则
)()(1 sNsD LL? 也是 G(s)的一个左 MFD，且 )(d e td e g)(d e td e g sDsD LL ?
若 WL(s)为单模矩阵，则 )(d e td e g)(d e td e g sDsD LL ?
8.2矩阵分式描述的真性和严真性
设多输入多输出连续时间线性时不变系统，传递函数矩阵 G(s)为
为真。，则称而其余元仍满足
使中至少存在一元若
为严真。则称
若
)()(d e g)(d e g
)(d e g)(d e g
),()(
)(
,2,1,,2,1),(d e g)(d e g
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
1
1
1
1
11
11
sGsdsn
sdsn
sgsG
sG
pjqisdsn
sd
sn
sd
sn
d
sn
sd
sn
sG
ijij
ijij
qp
qp
q
q
p
p
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????
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1/3,5/16
结论：
0)()(
)()()( 0
??
??
??
??
sGL i msG
GsGL i msG
s
s
为严真
非零常阵为真
定义
为严真为严真
为真为真
)(
)(
sGM F D
sGM F D
?
?
真性和严真性的判别准则
结论：对右 MFD )()( 1 sDsN ? D(s)为 p?p阵且列既约
则
pjsDsNsDsN
pjsDsNsDsN
jcjc
jcjc
?
?
,2,1)()()()(
,2,1)()()()(
1
1
???
???
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为严真
为真
例
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???
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? 242 120)(
1624
737
412
)( 2
23
2
2
2
sss
ssssD
sss
sss
ss
sN
容易判断 D(s)为列既约，且
? ? ? ?
? ? ? ?sDsN
sDsN
cc
cc
22
11
??
??
?
?
可知 )()( 1 sDsN ? 为真
2/3,6/16
例 给定 1?2右 MFD )()( 1 sDsN ?
? ? ?????? ? ??? 11 1)(2,1)( 2s sssDsN
D(s)为非列既约，尽管
? ? ? ?
? ? ? ?sDsN
sDsN
cc
cc
22
11
??
??
?
?
但 ? ?12,12)()( 21 ?????? ssssDsN
非真
结论,对左 MFD )()(1 sNsD LL? )(sDL 为 q?q阵且行既约,则
qisDsNsNsD
qisDsNsNsD
LirLirLL
LirLirLL
?
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,2,1)()()()(
,2,1)()()()(
1
1
???
???
?
?
??
??
为严真
为真
* 若 D(s)或 DL(s)为非列既约或行既约，则引入一个单模矩阵，化 D(s)或 DL(s)为列
既约或行既约，进行判断。
3/3,7/16
8.3从非真矩阵分式描述导出严真矩阵分式描述
结论,对非真右 MFD,N(s)D-1(s),D(s) 为 p?p多项式矩阵,N(s)为 q?p多项式
矩阵,唯一存在 q?p多项式矩阵 Q(s)和 R(s)，使
)()()()()( 11 sDsRsQsDsN ?? ??
且 R(s)D-1(s)为非真 N(s)D-1(s)导出的严真右 MFD。
确定严真 MFD的算法
Step1：计算给定 N(s)D-1(s)的有理分式矩阵 G(s)
Step2：通过多项式除法，得
为严真有理分式矩阵其中 )(
)()()(
sG
sGsQsG
sp
sp??
Step 3 )()()( sDsGsR
sp?
Step4 )()()()()( 11 sDsRsQsDsN ?? ??
其中 R(s)D-1(s)为非真右 MFD N(s)D-1(s)的严真部分,Q(s)为多项式矩阵部分。
1/3,8/16
结论,对非真左 MFD,DL-1(s)NL(s)，唯一存在两个多项式矩阵 )()( sRsQ LL 和 使
。导出的严真左为非真且 M F DsNsDsRsD
sRsDsQsNsD
LLLL
LLLLL
)()()()(
)()()()()(
11
11
??
?? ??
一类特殊情形的多项式矩阵除法问题
在连续时间线性时不变系统中，除式矩阵通常为 sI-A
结论,对 p?p矩阵 sI-A和多项式矩阵 N(s)，唯一存在一个常阵 Nr(A)和多项式矩阵
Qr(s)满足
? ? ? ? ? ? 11 )()()()()()( ?? ???????? ASIANsQASIsNANASIsQsN rrrr
其中
? ?
? ?1211
2
3
1
2
2
1
1
01
01
)()(
)(
)(
NANAN
SNANAN
SNANSNsQ
INANNAAN
NSNSNsN
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
nr
n
r
n
n
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?
显然 Nr(A)(sI-A) -1为 N(s)(sI-A) -1所导出的严真右 MFD
2/3,9/16
结论,对 q?q矩阵 sI-A和多项式矩阵 NL(s)，唯一存在一个常阵 NL(A)和多项式矩
阵 QL(s)满足
)()()()( ANsQAsIsN LLL ???
其中
01)( NSNSNsN mmL ???? ?
01)( NINANAAN mmL ???? ?
)(
)(
)()(
11
21
21
32
2
1
1
NNANA
SNNANA
SNNASNsQ
m
m
m
m
m
m
m
m
m
mm
m
mL
????
????
????
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?
??
?
?
?
?
?
?
显然 (sI-A) -1 NL(A) 为 (sI-A) -1 NL(s)所导出的严真左 MFD
3/3,10/16
8,4 不可简约矩阵分式描述
不可简约 MFD实质上是系统传递函数矩阵的一类最简约 MFD，通常也称为最小阶
MFD。
定义,)()( 1 sDsN ? 右不可简约 <=>D(s)和 N(s)为右互质 <=>
)()(1 sNsD LL? 左不可简约 <=>DL(s)和 NL(s)为左互质 <=>
不可简约 MFD的基本特性
结论,对 q?p传递函数矩阵，其右不可简约 MFD和左不可简约 MFD均为不惟一
结论,设
)()( 111 sDsN ? )()( 122 sDsN ? 为 q?p传递函数矩阵 G(s)的任意两个右不可简约 MFD，
则必存在单模阵 U(s)满足：
)()()( 21 sUsDsD ?
)()()( 21 sUsNsN ?
1/3,11/16
psN sDrank ??????? )( )(
qsNsDra nk LL ?)](),([
)()()( sTsDsD ?
)()()( sTsNsN ?
结论,设 )()( 111 sNsD LL? )()( 212 sNsD LL? 为传递函数矩阵 G(s)的任意两个左不可简约 MFD
则必存在单模阵 V(s)，满足 )()()(
21 sDsVsD LL ?
)()()( 21 sNsVsN LL ?
结论,传递函数矩阵 G(s)的右不可简约 MFD满足广义惟一性。
传递函数矩阵 G(s)的左不可简约 MFD满足广义惟一性。
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)的任一右不可简约 MFD N(s)D -1 (s)和任一右可
简约 MFD,必存在非奇异多项式矩阵 T(s)，满足：
)()()(~ sTsDsD ? )()()(~ sTsNsN ?
)(~)(~ 1 sDsN ?
2/3,12/16
? ?
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)(
00
10
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~
10
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~
10
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~
121
13
21
~
121
21
13
)(
)(
121)(
21
13
)(
2
2
23
2
23
2
2
2
2
2
2
2
s
ss
sR
s
ss
sss
s
ss
s
sss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
ss
sN
sD
sssN
ss
ss
sD
例
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)的所有右不可简约 MFD ?,2,1),()()( 1 ?? ? isDsNsG
ii
必有,1,Ni(s)具有相同史密斯形
2,Di(s)具有相同不变多项式
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)的所有左不可简约 MFD ?,2,1),()()( 1 ?? ? isNsDsG iLiL
必有,1,NLi(s)具有相同史密斯形
2,DLi(s)具有相同不变多项式
结论,对 q?p传递函数矩阵的任一左不可简约 MFD，和任一右不可简约 MFD 必
有
)))(d e g( de t ())(d e g( de t sDsD L ?
3/3,13/16
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)的任一左不可简约 MFD DL -1 (s) NL(s) 和任一左
可简约 MFD,必存在非奇异多项式矩阵 TL(s)，满足：
)()()(~ sDsTsD LLL ? )()()(~ sNsTsN LLL ?
)(~)(~ 1 sNsD LL?
8,5确定不可简约矩阵分式描述的算法
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)设 )(~)(~ 1 sDsN ? 为任一右可简约 MFD
p?p多项式矩阵 R(s)为 的一个最大右公因子且为非奇异，取)(~)(~ sNsD,
)()(~)(),()(~)( 11 sRsDsDsRsNsN ?? ??
)()( 1 sDsN ? 为 G(s)的一个右不可简约 MFD。
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)设 )(~)(~ 1 sNsD LL? 为任一左可简约 MFD
RL(s)为 的一个最大左公因子且为非奇异，取)(~)(~ sNsD LL,
为 G(s)的一个左不可简约 MFD。
)(~)()(),(~)()( 11 sDsRsDsNsRsN LLLLL ?? ??
)()(1 sNsD LL ?
1/1,14/16
8,6规范矩阵分式描述
传递函数矩阵的可简约 MFD和不可简约 MFD具有不惟一性。其惟一化的途径是
对 MFD分母矩阵限定为规范形而得到规范 MFD。
埃尔米特形 MFD
称 q?p的 NH(s)DH-1(s)为传递函数矩阵 G(s)的列埃尔米特形 MFD，是指分母矩
阵具有列埃尔米特形
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)()()(
)()(
)(
)(
21
2221
11
sdsdsd
sdsd
sd
sD
pppp
H
?
??
其中,1） )(sd
ii 为首 1多项式
2）若 1)( ?sd
ii 则 ijsd ij ??,0)(
3）若 )(sdii 为含 S多项式，则 ijsdsd
ijii ?? ),(d eg)(d eg
1/2,15/16
称 q?p的 )()(1 sNsD LHLH ? 为传递函数矩阵 G(s)的行埃尔米特形 MFD，是指分母矩阵
)(sDLH 具有行埃尔米特形
?
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)(
)()(
)()()(
)( 222
11211
sd
sdsd
sdsdsd
sD
L qq
qLL
qLLL
LH
?
????
?
?
其中,1） )(sdLii 为首 1多项式
2）若 1)( ?sdLii 则 ijsd Lji ??,0)(
3）若 )(sd
Lii
为含 S多项式，则 ijsdsd L jiL ii ?? ),(d e g)(d e g
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，其所有不可简约右 MFD具有相同列埃尔米特形 MFD
其所有不可简约左 MFD具有相同行埃尔米特形 MFD
2/2,16/16
第 9章 传递函数矩阵的结构特性
9,1史密斯 -------麦克米伦形
称秩为 r的有理分式矩阵为史密斯 -------麦克米伦形，当且仅当具有形式
?
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)(
0
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)(
)(
1
1
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s
s
s
sM
r
r?
?
其中,1） )}(),({ ss ii ?? 为互质,i=1,2,…,r
2）满足整除性 1,,2,1,)()(,)()( 11 ???? ?? rissss iiii ???
1/4,1/12
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???
2
0
0
)2()1()(
2
22
S
S
SS
S
sM例如
如何化 G(S)为史密斯 ----
麦克米伦形?
)()(1)( sNsdsG ?
结论：对 q?p有理分式矩阵 G(s)，设 },mi n {)( pqrsr a n k G ??
则必存在 q?q和 p?p单模矩阵 U(s)和 V(s)使变换后传递函数矩阵 U(s)G(s)V(s)为史
密斯 -------麦克米伦形
史密斯 -------麦克米伦形基本特性
结论,有理分式矩阵 G(s)的史密斯 -------麦克米伦形 M(s)为惟一
结论,化有理分式矩阵 G(s)为史密斯 -------麦克米伦形 M(s)的单模变换阵对
{U(s),V(s)}不惟一。
结论,严格有理分式矩阵 G(s)的史密斯 -------麦克米伦形 M(s)不具有保持严真属性，
M(s)甚至可能为非真。
结论,对 q?q非奇异有理分式矩阵 G(s)
?? ?? qi ii sssG 1 )( )()(de t ?? 其中 a为非零常数
2/4,2/12
结论,对秩为 r的 q?p传递函数矩阵 G(s)，其史密斯 -------麦克米伦形 M(s)为
?
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则 M(s)表为右 MFD )()()( 1 ssEsM ???
令
pq
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)(
)(
1
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?
?
则 M(s)表为左 MFD )()()( 1 sEssM LL ???
3/4,3/12
结论：对 q?p传递函数矩阵 G(s)，其史密斯 -------麦克米伦形为 M(s)。单模变换阵
对为 {U(s),V(s)}
)()()()()( 11 sEsssEsM LL?? ????
若取 )()()( 1 sEsUsN ?? )()()( ssVsD ??
则
)()( 1 sDsN ? 为 G(s)的不可简约右 MFD
若取 )()()( 1 sVsEsN LL ?? )()()( sUssD LL ??
则 )()(1 sNsD LL? 为 G(s)的不可简约左 MFD
4/4,4/12
9,2传递函数矩阵的有限零点和有限极点
定义,对秩为 r的 q?p传递函数矩阵 G(s)，其史密斯 -------麦克米伦形 M(s)，则
G(s)有限极点 =M(s)中 的根,i=1,2,…,r
G(s)有限零点 =M(s)中 的根,i=1,2,…,r
0)( ?? si
0)( ?si?
定义,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，设 ),mi n ())(( pqrsGra n k ??
)()( 1 sDsN ? 和 )()(1 sNsD LL? 为 G(s)的任一不可简约右 MFD和任一不可简约左 MFD，则
G(s)有限极点 =det(D(s))=0根或 0))(det( ?sD L 的根
G(s)有限零点 = rsNran k ?))(( 的 s值或 rsNrank
L ?))(( 的 s值
定义,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，设其状态空间描述为 (A,B,C)，且 (A,B)全能控，
(A,C)完全能观测，则有：
G(s)有限极点 = 0)de t( ?? AsI 的根
G(s)有限零点 =使
?????? ?? 0C BAsI
降秩的 s值
1/2,5/12
结论,对 q?p严真传递函数矩阵 G(s)，其能控和能观测状态空间描述为 (A,B,C),z0
为任一零点，则对满足关系式
??
?
???
?
000
0
)(
0
BuXAIz
CX
的所有非零初始状态 x0和输入 tzeutu 00)( ?
系统输出具有阻塞作用，即其能引起的系统输出 y(t)强制恒为零。
2/2,6/12
9,3传递函数矩阵的结构指数
对 q?p传递函数矩阵 G(s),},mi n {)( pqrsra n k G ??
)(sGSpz ? 有限零点和有限极点的集合。
那么，若对任一 pzk S?? 导出对应的 r?r对角矩阵
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)(
)(
)(
)(
)(
1
kr
k
k
k
k
S
S
sM
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则称 )}()({ 1 krk ???? ? 为 G(s)在 kS ?? 的一组 结构指数
1/3,7/12
例 定出
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????
22
222
)2()2(
)2()2()1()(
S
S
S
S
S
S
SS
S
sG
的结构指数
史密斯 ----麦克米伦形为
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20
0)2()1(
)( 2
22
S
S
SS
S
sM
G(s)极点零点集合 }0,1,2{ ???pzS
}1,2{)}2(),2({ 21 ????? ??
}0,2{)}1(),1({ 21 ???? ??
}2,1{)}0(),0({ 21 ???
)( ki ?? =正整数 <=>G(s)在 S= k? 有 )( ki ?? 个零点
)( ki ?? =负整数 <=>G(s)在 S= k? 有 |)(| ki ?? 个极点
)( ki ?? =0 <=>G(s)在 S= 0 处无零点和极点
2/3,8/12
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)2()1(0
0
)2()1(
1
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)2()1(0
)1(
)2()1(
1
~
)1()1(
)1(
)2()1(
1
)2()2(
)2()2()1(
)(
222222
2
22
22
2
22
22
222
sss
s
SSsss
sss
SS
ssss
sss
SS
S
S
S
S
S
S
SS
S
sG
结论,G(s)在
k? 极点重数 = )}()({ 1 krk ???? ?
中负指数之和绝对值
结论,G(s)在
k? 零点重数 = )}()({ 1 krk ???? ?
中正指数之和
结论,传递函数矩阵在非极点零点处的结构指数必恒为零。
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)设 },mi n {)( pqrsra n k G ??
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)(
)(
)(
)(
)(
1
kr
k
k
k
k
S
S
sM
??
??
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则 G(s)的史密斯 -----麦克米伦形 M(s)为
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00
0)(
00
0})( )({)(
1
n
ki
i sM
s
sd i a g
sM k??
?
上式表明，一旦定出 G(s)各个极点零点及其结构指数组，便可构造出 G(s)的史密斯 ---
麦克米伦形 M(s)。
3/3,9/12
9,4传递函数矩阵在无穷远处的极点和零点
确定 s=∞处极点零点的思路
对 q?p传递函数矩阵 G(s),),mi n ()( pqrsra n k G ??
则直接基于 G(s)的史密斯 ---麦克米伦形 M(s)不能定义 G(s)在无穷远处的极点和零点，
若引入变换
1???S )()( 1 ?? HG ??
则有 G（ s）在 s=∞处的极点 /零点 =H(λ )在 λ =0处的极点 /零点。
结论,对 q?p传递函数矩阵 G(s)，设 ),mi n ()( qprsra n k G ?? 再基于变换 1???S
由 G(λ -1)导出 H(λ) ),mi n ()( qprra n k H ???
引入单模变换阵。导出其史密斯 ----麦克米伦形
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)(
~
)(~
)(
~
1
1
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r
r
M
G(s)在 s=∞ 处的极点重数 = )(~ ?M 中 0)(~ ?? ?i 的
0?? 根重数 i=1,2,…,r
则有
G(s)在 s=∞ 处的零点重数 = )(~ ?M 中 的
0?? 根重数 i=1,2,…,r
0)(~ ???i
1/3,10/12
例,设
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1
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S
S
S
S
sG
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2
2
1
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1
1
1
)()(
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?? GH
史密斯 -------麦克米伦形
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2
2
)1(
1
1
)1(
1
)(
~
??
?
??
?M
基于此，可以定出
G(s)在 s=∞ 处极点重数 =2
G(s)在 s=∞ 处零点重数 =1
2/3,11/12
无穷远处的结构指数
对 q?p传递函数矩阵 G(s) ),mi n ()( pqrsr a n k G ??
则 G(s)在 s=∞ 处结构指数 ??? )}()({ 1 r?? ? )(~ ?M 在 λ =0处结构指数 )}0(~)0(~{ 1 r?? ?
3/3,12/12
第 10章 传递函数矩阵的状态空间实现
10,1实现的基本概念和基本属性
定义 10,1[实现 ]对真或严真连续时间线性时不变系统，称一个状态空间描述
??
?
??
??
Eucxy
BuAxx?
或简写为 (A,B,C,E)是其传递函数矩阵 G(s)的一个实现，如果两者为外部等价即成立
关系式：
C (sI－ A) -1 B+E=G(s)
结论 10,1[实现维数 ]传递函数矩阵 G(s)的实现 (A,B,C,E)的结构复杂程度可由其维数
表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵 A的维数，即有 实现维数 =dimA
结论 10,2[不惟一性 ]传递函数矩阵 G(s)的实现 (A,B,C,E)满足强不惟一性。即对传递
函数矩阵 G(s)，不仅其实现结果为不惟一，而且其实现维数也为不惟一。
结论 10,3[最小实现 ]最小实现 定义为传递函数矩阵 G(s)的所有实现 (A,B,C,E)中维
数最小的一类实现。实质上，最小实现就是外部等价于 G(s)的一个结构最简状态空
间模型。
1/5,1/39
结论 10,4[实现间关系 ]对传递函数矩阵 G(s)，其不同实现间一般不存在代数等价关
系，但其所有最小实现间必有代数等价关系。
结论 10,5[实现物理本质 ]物理直观上，传递函数矩阵 G(s)的实现就是对具有“黑
箱”形式的真实系统在状态空间领域寻找一个外部等价的内部假想结构，内部假
想结构对真实系统的可否完全表征性依赖于系统的是否能控和能观测。
结论 10,6[实现形式 ]传递函数矩阵 G(s)的实现形式取决于其真性或严真性属性。
当 G(s)为严真，其实现对应地具有形式 (A,B,C)即 E=0；当 G(s)为真，其实现对应地
具有形式 (A,B,C,E)即 E≠0，且有
G(s)lim??? sE
设状态空间描述 (A,B,C,E)为传递函数矩阵 G(s)的一个实现,dimA=n，则对任一 n?n
非奇异阵 T，状态空间描述 (TAT-1,TB,CT-1,E)必也为 G(s)的一个同维实现。
其他实现构造
2/5,2/39
能控类实现和能观测类实现 是两类基本的典型实现
定义 10,2[能控类实现 ] 称状态空间描述 (A,B,C,E)为传递函数矩阵 G(s)的一个能控
类实现，当且仅当
C(sI－ A) -1 B+E=G(s)
(A,B)能控且有指定形式
定义 10,3[能观测类实现 ]称状态空间描述 (A,B,C,E)为传递函数矩阵 G(s)的一个能
观测类实现，当且仅当
C(sI－ A) -1 B+E=G(s)
(A,C)能观测且有指定形式
最小实现 是传递函数矩阵 G(s)的一类最为重要的实现。最小实现是 G(s)的所有实现
中结构为最简的实现，即从外部等价的角度实现中不包含任何多余的部分，因此通
常也称最小实现为不可简约实现。
结论 10,8设 (A,B,C)为严真传递函数矩阵 G(s)的一个实现，则其为最小实现的充分
必要条件是
(A,B)完全能控,(A,C)完全能观测
[最小实现判据 ]
3/5,3/39
实现的最小维数
结论 10,10[实现最小维数 ] 对严真传递函数矩阵 G(s)，表其为幂级数表达式：
??? ?? 1i ihG(s ) is
},2,1,{ ??ihi 为马尔柯夫 (Markov)参数矩阵，并基此组成汉克尔 (Hankel)矩阵
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???
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?
543
432
321
hhh
hhh
hhh
H
则 G(s)的状态空间实现的最小维数为
nmin=rankH
结论 10,9[最小实现广义惟一性 ]严真传递函数矩阵 G(s)的最小实现为不惟一但满足广
义惟一性。即若 (A,B,C)和 ),,( CBA 为 G(s)的任意两个 n维最小实现，则必可基此构造
出一个 n?n非奇异常阵 T使成立：
)23.10(,,11 CTCBTBATTA ??? ??
4/5,4/39
结论 10,11[实现最小维数 ] 对 q?p传递函数矩阵 G(s),rankG(s) =r，其史密斯 —麦克米
伦形为
)54.10(
00
)(
)(
0
)(
)(
)()()()(
1
1
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s
s
s
s
sVsGsUsM
r
r?
?
?
其中,U(s)和 V(s)为 q?q和 p?p单模阵。那么,G(s)的状态空间实现的最小维数为
??? ri i sn 1m in )(d eg ?
5/5,5/39
10.2标量传递函数的典型实现
不失一般性，考虑真标量传递函数 g(s)，并通过严真化先将其表为常数 e和严真
有理分式 n(s)/d(s)之和，即有
为实常数和
其中
},,,{},,,{
)(
)(
)(
)(
)(
110110
01
1
1
01
1
1
01
1
1
01
1
1
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n
n
n
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n
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n
n
sssn
ssssd
sd
sn
e
sss
ss
esg
??????
???
???
???
???
??
?
?
?
?
那么，对 g(s)的各类典型实现就归结为对严真传递函数 n(s)/d(s)导出相应的实现，而常
数 e为各类实现中的输入输出直接传递函数。
1/5,6/39
几点讨论
真标量传递函数 g(s)的能控规范形实现
实现形式惟一性
维数非最小性
(Ac,bc,cc)为最小实现条件
结论 10,12[能控规范形实现 ] 标量传递函数 g(s)的严真部分 n(s)/d(s)的能控规范形实
现具有形式：
? ?110
110
,
1
0
0
,
10
10
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? nCC
n
c CbA ???
???
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??
2/5,7/39
结论 10,18[能观测规范形实现 ] 标量传递函数 g(s)的严真部分 n(s)/d(s)的能观测
规范形实现具有形式：
? ?100,,
1
1
00
0
1
1
0
0
1
1
0
0 ????
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cbA
nn ?
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几点讨论
真标量传递函数 g(s)的能观测规范形实现
实现形式惟一性
维数非最小性
(Ac,bc,cc)为最小实现条件
结论 10.24[对偶性 ] 严真标量传递函数 n(s)/ d(s)的能控规范形实现（ Ac,bc,cc）
和能观测规范形实现（ A0,b0,c0）满足对偶关系，即有
A0= AcT,b0= ccT,c0= bcT
3/5,8/39
结论 10.25[并联形实现 ] 设传递函数 g(s)及其严真部分 n(s)/ d(s)，极点为 λ1(μ1重 ),λ2
（ μ2重）,…λ m(μm重 )，
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?m
i i
n
1
? kiki ???,??
表 ? ?
? ? ?
??????? ?? m
i k ki
iki s fsd sn
1 1 )()(
)( ?
?则严真传递函数 n(s)/ d(s)的并联形实现为
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m mmp ffffc
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3
2
1
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2
2
1
1
1
5
4
3
2
1
1
0
1
0
0
0000
1000
0000
0010
0001
x
x
x
x
x
fffffy
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
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2
21
2
2
22
1
11
2
1
12
3
1
13
2
2
3
1
)()()(
)()(
)(
)(
?????
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s
f
s
f
s
f
s
f
s
f
ss
sB
sg
几点解释 并联形实现为约当型规范形实现
并联形实现在构成上的难点
对极点中包含共轭复数情形的处理
表 n(s)/ d(s)为
)(
)(
)(
1
)(
)( 1
11 i
in
inn s
zs
ssd
sn
??? ?
??
??
?
??
则严真传递函数 n(s)/ d(s) 的串联形实现为
? ?100
1
,
11
11
22
11
1
11111
222
1
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T
nn
nT
n
nnnnn
T
c
z
z
z
b
zz
z
A
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???
??
?
几点解释 (1)串联形实现的优点
(2)串联形实现在构成上的难点
(3)对极零点中包含共轭复数情形的处理
5/5,10/39
10.3基于有理分式矩阵描述的典型实现：能控形实现和能观测形实现
考虑以有理分式矩阵描述给出的真 q?p传递函数矩阵 G(s)
G(s)=(gij(s)),i=1,…,q j=1,…,q
进而，表 G(s)为“严真 q?p传递函数矩阵”和,q?p常阵 E”之和，即
G(s)=(gij(s))=(eij)+(gijsp(s))=E+Gsp(s)
且有 E=G(∞)。
再表 Gsp(s)诸元即 G(s)诸元的最小公分母 d(s)为
d(s)=sl+αl-1sl-1+…+α 1s+α0
基此，严真 q?p传递函数矩阵 Gsp(s)可进而表为
][)(1)()(1)( 0111 PsPsPsdsPsdsG llsp ????? ?? ?
其中,Pk(k=0,1,…,l -1)为 q?p常阵
1/3,11/39
结论 10.35[能控形实现 ]对以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩阵 Gsp(s)，
其能控形实现具有形式
? ?
110
110
0
0
,
0
0
?
?
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c
p
plp
c
plpp
p
p
lplp
c
PPPC
I
B
III
I
I
A
?
?
?
?
?
???
而真传递函数矩阵 G(s)的能控形实现为 ),,,( ECBA CCC
2/3,12/39
第一步应证明 )()( sGBAsIC
ccc ??
第二步证明系统能控
lp
I
I
I
r a n kBABABr a n k
p
p
p
c
n
cccc ?
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??
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? ][ 1
结论 10.36[能观测形实现 ] 对以有理分式矩阵描述给出的严真传递函数矩阵 Gsp(s)，其
能观测形实现具有形式
? ?
q
lqlq
qq
q
IC
P
P
P
B
II
II
I
A
00
,
00
0
1
1
0
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1
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而真传递函数矩阵 G(s)的能观测形实现为 ),,,( 000 ECBA
3/3,13/39
10.4基于矩阵分式描述的典型实现：控制器实现和观测器形实现
右 MFD的控制器形实现
不失一般性，考虑 q?p右 MFD )()( 1 sDsN ?
)(sN 和 D(s)为 q?p和 p?p的多项式矩阵，设 D(s)为列既约
首先，对真 )()( 1 sDsN ? 导出其严真右 MFD。
)()()( sNsEDsN ??
其中,q?p常阵 E为“商阵”,q?p多项式矩阵 N(s)为“余式
阵”。
)()()()( 11 sDsEsDsN ?? ??
下面的问题就是，对 q?p严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约
构造其控制器形实现。
1/22,14/39
(1)控制器形实现的定义
定义 10.4[控制器形实现 ]对 q?p严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，表列次数
δciD(s)=kci,i=1,2,…,p,称一个状态空间描述
??
?
?
??
xCy
uBxAx
c
cc?
为其控制器形实现，其中 ?
?
?? p
i cic
nkA
1
d im
如果满足
Cc(sI－ Ac) -1 Bc= N(s)D-1(s)
(AC,BC)为完全能控且具有特定形式
2/22,15/39
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cp
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k
C
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Dhc为 D(s)的列次系数，且 detDhc≠0
DLc为 D(s)的低次系数阵
NLc为 N(s)的低次系数阵
结论 10.37[构造 (AC,BC,CC)的结构图 ]对 q?p严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，表
列次数 δciD(s)=kci,i=1,2,…,p, 再引入列次表达式：
D(s)=DhcSc(s)+DLcΨC(s)
N(s)=NLcΨC(s)
其中
3/22,16/39
nkp
i ci
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?1
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kc1=δc1D(s)=2,kc2=δc2D(s)=3
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)(?)}()]()([){(
)(?)]()()[()(?)()()(?
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111
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sUsSsSsDDIDsN
sUsDsSDsNsusDsNsY
hcCCLChcCCLC
CCCLChchcCLC
CLCChcCLC
?????
???
??
????
????
?????
那么，基此可导出构造 (AC,BC,CC)的结构图 称 Ψc(s)Sc-1(s)为核心右 MFD
1?hcD )()( 1 sSs cc ?? LcN
Lchc DD 1?
-
u yu0 y0
图 10.5
结论 10.38[构造 (AC,BC,CC)的思路 ]给定 q?p严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，
则在图 10.5所示构造 (AC,BC,CC)的结构图基础上，对 (AC,BC,CC)的构造可分为两步
进行：首先，对核心右 MFDΨc(s)Sc-1(s)构造实现 (Ac0,Bc0,Cc0),称其为 N(s)D-1(s)的
核实现。进而，用核实现置换图 10.5所示结构图中的核心右 MFD，再通过结构图
化简导出 N(s)D-1(s)的控制器形实现。
4/22,17/39
(3)核实现 (Ac0,Bc0,Cc0)的构造
先来引入积分链组模型。相对于 q?p右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，列次数
δciD(s)=kci,i=1,2,…,p,其积分链组的组成如图所示。图中，为使组成表达整齐
起见，已经非实质性地假定列次数满足非降性，即成立 kc1≤kc2≤…≤k cp。
chu
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积分链组的输入 uch取为
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积分链组的输出 ych取为各个积分
链的输出构成的向量
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5/22,18/39
。阵分式描述为即，积分链组模型的矩 )()(
)(?)()()(
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S
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6/22,19/39
结论 10.40[积分链组的状态空间描述 ]
相对于 q?p右 MFD N(s)D-1(s)的积分链组模型，取状态 Xch﹑ 输出 Ych和输入 uch为
chcch
chcchcch
k
p
k
k
ch
p
k
p
k
chch
xCy
uBxAx
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c
cp
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则其状态空间描述为
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7/22,20/39
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8/22,21/39
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（ 4）控制器形实现的构造
结论 10.42[控制器形实现 ] 对真 q?p右 MFD，其严真右 MFD为 N(s)D-1(s),D(s)列既
约，列次数 δciD(s)=kci,i=1,2,…,p,再引入列次表达式：
D(s)=DhcSC(s)+DLcΨc(s)
N(s)=NLcΨc(s)
且知核 MFDΨc(s)Sc-1(s)的实现为 (Ac0,Bc0,Cc0)，则严真 N(s)D-1(s)的控制器形实现
(AC,BC,CC)的系数矩阵为
Ac= Ac0－ Bc0Dhc-1DLc,Bc= Bc0Dhc-1,Cc=NLc
而真右 MFD的控制器形实现为 (AC,BC,CC,E)
Bc0 ∫ Cc0 NLcD-1hc
D-1hcDLc
Ac0
u ?
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?
0u 0y y
9/22,22/39
例 10,1 定出给定 2× 2右 MFD N(s)D-1(s)的控制器形实现 (Ac,Bc,Cc)，其中
?????? ?? ??????????? ?? 2)2( )254(0)(,0)( 2
23
2 ss
ssssD
ss
ssN
容易判断,D(s)为列既约，且 N(s)D-1(s)为严真，进而，定出列次数
kc1=δc1D(s)=2,kc2=δc2D(s)=3
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N
DD
基此，又可定出
????????????? ?? ?? 25400 21044,01 10 11 Lchchc DDD
10/22,23/39
核实现
5
000,
0
0
1
0
1
,
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001
000
01
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可导出控制器形实现
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0
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00001
21044
25400
21044
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001
000
01
00
10
100
Lcchccc
Lchcccc
NCDBB
DDBAA
11/22,24/39
控制器形实现的性质
结论 10.43[控制器形实现 ] 对严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，由核实现
(Ac0,Bc0,Cc0)的结构所决定，其控制器形实现 (AC,BC,CC)具有形式：
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无特殊形式
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12/22,25/39
(2)控制器形实现和列次表达式在系数阵间的对应关系
结论 10.44[对应关系 ] 对严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，控制器形实现系数
矩阵 (AC,BC,CC)和 D(s)列次表达式系数阵之间具有直观关系
Ac的第 i个 *行＝－ Dhc-1DLc的第 i行
Bc的第 i个 *行＝ Dhc-1的第 i行
其中,i=1,2,…,p 。
例 10,2 定出给定 2× 2右 MFD N(s)D-1(s)的控制器形实现 (Ac,Bc,Cc)，其中
?????? ?? ??????????? ?? 2)2( )254(0)(,0)( 2
23
2 ss
ssssD
ss
ssN
容易判断,D(s)为列既约，且 N(s)D-1(s)为严真，进而，定出列次数
kc1=δc1D(s)=2,kc2=δc2D(s)=3
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21044
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10
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13/22,26/39
基此，又可定出
????????????? ?? ?? 25400 21044,01 10 11 Lchchc DDD
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01
00
10
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00100
25400
00001
21044
Lcccc NCBA
结论 10.45[不完全能观测属性 ] 对严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约的控制器形实
现 (AC,BC,CC),(AC,BC)为完全能控，但 (AC,CC)一般为不完全能观测。
14/22,27/39
结论 10.46[系数矩阵间关系 ] 对严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，其控制器形实
现 (AC,BC,CC)和 N(s)D-1(s)在系数矩阵之间具有关系：
? ?
? ?为左互质
为右互质其中
cc
c
cc
c
cc
BAsI
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I
B
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结论 10.47[系数矩阵行列式间关系 ] 对严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，其控制
器形实现 (AC,BC,CC)和 N(s)D-1(s)在系数矩阵行列式之间具有关系：
det(sI-Ac)=(detDhc) -1 detD(s)
dim(Ac)=deg(det D(s))
结论 10.48[实现和 N(s)关系 ] 对严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，其控制器形
实现 (AC,BC,CC)和 MFD分子矩阵 N(s)之间具有关系
???????????? ? ? N( s )0 0I~0 n
s
c
cc
C
BAsI
结论 10.49[联合能控能观测条件 ] 对严真右 MFD N(s)D-1(s),D(s)列既约，其控制器形
实现 (AC,BC,CC) 联合能控和能观测的一个 充分条件 为，对所有 s∈ ξ,q?p矩阵 N(s)为
列满秩即 rankN(s)=p
15/22,28/39
左 MFD的观测形实现
考虑真 q?p左 MFD )()(),()(1 sDsNsNsD LLL 和? 为多项式矩阵，
)(sDL 为行既约。为对真 )()(1 sNsD LL? 导出严真左 MFD，引入矩阵左除法可以得到
)()()()( sNsEsDsN LLLL ??
)()()()( 11 sNsDEsNsD LLLLL ?? ??
其中,DL-1 (s)NL(s)为严真左 MFD。下面的问题就是，对 q?p严真左 MFD
DL-1 (s)NL(s),DL(s)行既约，构造观测器形实现
定义 10.5[观测器形实现 ]对 q?p严真左 MFD DL-1 (s)NL(s),DL(s)行既约，表行次数
δrjDL(s)=krj,j=1,2…, q，则称一个状态空间描述
定形式为完全能观测且具有特
如果满足
中为其观测器形实现，其
),(
)()()(
d im
00
1
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L
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16/22,29/39
(2)核实现 (A00 B00 C00)
对严真 DL-1 (s)NL(s),行次数 δrjDL(s)=krj,j=1,2…, q,引入行次数表达式
DL(s)=Sr(s)Dhr+Ψr(s)DLr
NL(s)= Ψr(s) NLr
其中
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k
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Dhr为 DL(s)的行次系数矩阵，且 detDhr≠0
DLr为 DL(s)的低次系数阵
NLr为 N(s)的低次系数阵
?
?
?q
j
Lrj nk
1
17/22,30/39
结论 10.51[核实现 ]对 q?p左 MFD DL-1
(s)NL(s)，其核心 MFD Sr-1 (s)Ψr(s)的实
现即 DL-1 (s)NL(s)的核实现为
0
0
00
0
0
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0
00
XCy
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k
k
C
IB
A
严真 DL － 1 (s)NL(s)的观测器
形实现 (A0,B0,C0)的系数矩阵
关系式为
A0=A00－ DLr(s)Dhr-1C00
B0=NL,C0=Dhr-1C00
18/22,31/39
观测器形实现的性质
结论 10.53[观测器形实现 ] 对严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约，其观测器
形实现 (A0,B0,C0)具有形式：
1rk
?
?
?
??
?
?
?
?
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???
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rqr
k
k
A
0*
1
0
1*
00*
00*
0*
1
0
1*
1
0
?
rqk
?
?
?
??
?
?
19/22,32/39
表示可能的非零元。其中，
无特殊形式
*
,
00*
00*
00*
00*
00
1
Lr
kk
NBqC
rqr
?
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???
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?
?
?? ??? ??
?
???
?
结论 10.54[对应关系 ] 对严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约，观测器形实现
(A0,B0,C0)系数矩阵和 DL(s)列次表达式系数矩阵之间具有直观关系：
A0的第 j个 *列 =－ DLrDhr-1的第 j列
C0的第 j个 *列 =Dhr-1的第 j列
j=1,2,…, q。
结论 10.55[不完全能控属性 ] 对严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约，则其
观测器形实现 (A0,B0,C0)中,(A0,C0)为完全能观测，但 (A0,B0)一般为不完全
能控。
20/22,33/39
结论 10.56[系数矩阵间关系 ] 对严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约，其观测器
形实现 (A0,B0,C0) 和 DL－ 1 (s)NL(s)在系数矩阵之间具有直观关系：
为右互质
为左互质，其中
},{
)}()({
0
0
0
)()(
00
0)(
00
0
0
00
CAsI
sDs
I
C
I
sNsD
C
BAsI
I
s
LL
LLr
?
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?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
结论 10.57[系数矩阵行列式间关系 ] 对严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约，其
观测器形实现 (A0,B0,C0) 和 DL－ 1 (s)NL(s)在系数矩阵的行列式之间具有直观关系：
det(sI-A0)=(detDhr) -1 detDL(s)
dim(A0)=deg detDL(s)
结论 10.58[实现和 NL(s)关系 ] 对严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约，其观测
器形实现 (A0,B0,C0) 和 MFD 的分子矩阵 NL(s)之间具有关系：
???????????? ? ? )(0 0~0
s
0
00
sN
I
C
BAsI
L
n L
21/22,34/39
结论 10.59[联合能控能观测条件 ] 对严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约，其
观测器形实现 (A0,B0,C0) 联合能控和能观测的一个 充分条件 为，对所有 s∈ ξ,q?p
矩阵 NL(s)为行满秩即 rank NL(s)=q。
结论 10.60[对偶性 ]设 (A0,B0,C0)为“严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约”
的观测器形实现,(Ac,Bc,Cc)为“严真右 MFD N(s) D－ 1 (s), D(s)列既约”的控
制器形实现，则 (A0,B0,C0)和 (Ac,Bc,Cc) 形式为对偶，即
A0(=)AcT, C0(=)BcT
22/22,35/39
10.5基于矩阵分式描述的典型实现：能控性形实现和能观测性形实现
基于矩阵分式描述的实现按“右或左 MFD”和“分母矩阵列既约或行既约”
共有四种可能的组合。上节已就“右 MFD N (s) D－ 1 (s),D (s)列既约”和
“左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约”构造“控制器形实现”和“观测器
形实现”。本节讨论“右 MFD N (s) D－ 1 (s),D (s)行既约”和“左 MFD
DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)列既约”构造对应的“能控性形实现”和“能观测性
形实现”。
1/1,36/39
10.6不可简约矩阵分式描述的最小实现
最小实现也称为不可简约实现。最小实现是传递函数矩阵的维数最小即结构最简
约的一类实现。
结论 10.78[不可简约右 MFD最小实现 ] 对 q?p严真右 MFD N (s)D－ 1 (s)，设 n=deg
detD(s),表 (Ac,Bc,Cc)为,N (s) D－ 1 (s),D (s)列既约”的 n维控制器形实现，则
有
(Ac,Bc,Cc)为最小实现 <=> N (s) D－ 1 (s)不可简约
表 (Aco,Bco,Cco)为,N (s) D－ 1 (s),D (s)行既约”的 n维能控性形实现，则有
(Ac0,Bc0,Cc0) 为最小实现 <=> N (s) D－ 1 (s)不可简约
需要指出，尽管上述结论为由右 MFD确定最小实现提供了一条易于计算的途径，
但这并不意味着由右 MFD的最小实现只可能有控制器形或能控形的形式。下面，
给出右 MFD的最小实现的更具普遍性的结论。结论 10.79[不可简约右 MFD最小实现 ] 对 q?p严真右 MFD N (s)D－ 1 (s),D (s)列
或行既约，表 (A,B,C)为其任意形式的 n维实现,n=deg detD(s)，则有
(A,B,C)为最小实现 <=> N (s)D－ 1 (s)不可简约
1/3,37/39
结论 10.80[不可简约左 MFD最小实现 ] 对 q?p严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s)，设
n=deg detDL(s),表 (A0,B0,C0)为,DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)行既约”的 n维观测器形
实现，表 (A0b,B0b,C0b)为,DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)列既约”的 n维能观测性形实现，
则有
(A0,B0,C0)为最小实现 <=> DL－ 1 (s)NL(s)不可简约
(A0b,B0b,C0b) 为最小实现 <=> DL－ 1 (s)NL(s)不可简约
结论 10.81[不可简约左 MFD最小实现 ] 对 q?p严真左 MFD DL－ 1 (s)NL(s),DL(s)
行或列既约，表 ),,( CBA 其任意形式的 n维实现,n=deg detDL(s)，则有
),,( CBA 为最小实现 <=> DL－ 1 (s)NL(s)不可简约
结论 10.82[狭义惟一性 ]尽管严真不可简约右 MFD 或严真不可简约左 MFD 的最
小实现为不惟一，但其特定形式最小实现则为惟一，如控制器形最小实现、观
测器形最小实现、能控性形最小实现和能观测性形最小实现等。
结论 10.83[不惟一性 ]对严真传递函数矩阵 G(s)，由不可简约 MFD的不惟一性所决
定，上述基于 MFD的特定形式最小实现也为不惟一。
结论 10.84[维数惟一性 ]对严真传递函数矩阵 G(s)，不管表为哪种类型的不可简约
MFD，也不管导出的为哪种类型的最小实现，最小实现的维数均为相同，且有
最小实现维数＝ MFD分母矩阵行列式的次数
2/3,38/39
结论 10.85[代数等价性 ] 对严真传递函数矩阵 G(s)或矩阵分式描述 MFD，其各种形式
的最小实现之间为代数等价。
结论 10.86[确定最小实现途径 ] 对严真可简约 MFD，确定最小实现的途径可有频率
方法和时间域方法两类。
频率途径为：
严真可简约 MFD，分母矩阵为列既约或行既约
=>导出不可简约 MFD，分母矩阵列既约或行既约
=>导出“控制器形实现 /能控性形实现”或“观测器形实现 /能观测器性形实现”
=>所得实现为最小实现，且维数等于分母矩阵行列式的次数
时间域途径为：
严真可简约 MFD，分母矩阵为列既约或行既约
=>导出能控能观测部分 (Ac0,Bc0,Cc0)
=>导出能观测能控部分 (Ac0,Bc0,Cc0)
=>最小实现即为 (Ac0,Bc0,Cc0)
??
?
?
?
按能控性分解能观测类实现
按能观测性分解能控类实现
3/3,39/39
第 11章线性时不变系统的多项式矩阵描述
11.1 多项式矩阵描述
多项式矩阵描述 (polynomial matrix descriptions)简称为 PMD，是对线性时
不变系统引入的具有更广普遍性的一类内部描述
多项式矩阵描述的形式
现在，推广讨论一般形式的多输入多输出线性时不变系统，定义
)7.11(,,
111
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
qmp y
y
y
u
u
u ??? 输出广义状态输入
?
?
?
那么，可以导出系统的多项式矩阵描述为
??
???
??
?
)(?)()(?)()(?
)(?)()(?)(
susWssRsy
susQssP
?
?
PMD和其他描述的关系
结论 11.1[PMD的传递函数矩阵 ] 对线性时不变系统，由给出的 PMD的传递函数
矩阵 G(s)为
G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)
1/6,1/22
结论 11.2[状态空间描述的 PMD] 给定线性时不变系统的状态空间描述：
??
?
??
???
upECxy
tBuAxx
)(
0,?
其中,E(p)为多项式矩阵,p=d/dt为微分算子,x(0)=0，且 E(p)的存在反映系统的
非真性。那么，状态空间描述的等价的 PMD为
??
???
??
??
)(?)()(?)(?
)(?)(?)(
susEsCsy
suBsAsI
?
?
其中,)(?)(? sxs ?? 为 n× 1广义状态,PMD的各个系数矩阵为
P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)
结论 11.3[MFD的 PMD] 给定 q× p线性时不变系统的右 MFD N(s)D-1(s)+E(s)和左
MFD DL-1(s)NL(s)+E(s)，其中 N(s)D-1(s)和 DL-1(s)NL(s)为严真 MFD,E(s)为多项式
矩阵。那么，等价于 N(s)D-1(s)+E(s)的 PMD为
??
???
??
?
)(?)()(?)()(?
)(?)(?)(
susEssNsy
suIssD
?
?
其中,)(?)()(? 1 suIsDs ??? 为 p× 1广义状态,PMD的各个系数矩阵为
P(s)=D(s),Q(s)=I,R(s)=N(s),W(s)=E(s)
2/6,2/22
)(?)()(?)()()(? 1 susEsusDsNsy ?? ?
等价于 DL-1(s)NL(s)+E(s)的 PMD为
??
???
??
?
)(?)()(?)(?
)(?)()(?)(
susEsIsy
susNssD LL
?
?
其中,)(?)()()(? 1 susNsDs LL??? 为 q× 1广义状态,PMD的各个系数矩阵为
P(s)=DL(s),Q(s)=NL(s),R(s)=I,W(s)=E(s)
不可简约 PMD
不可简约 PMD是线性时不变系统的最为基本和应用最广的一类 PMD。
定义 11.1[不可简约 PMD] 称 (P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约 PMD,当且仅当
{ P(s),Q(s)}左互质,{ P(s),R(s)}右互质
??
???
??
?
)(?)()(?)()(?
)(?)()(?)(
susWssRsy
susQssP
?
?
把可简约 PMD化为不可简约 PMD是复频率域方法中经常面临的一个问题。
3/6,3/22
情形 Ⅰ { P(s),R(s)}右互质,{ P(s),Q(s)}非左互质
结论 11.5[构造不可简约 PMD] 对,{ P(s),R(s)}右互质,{ P(s),Q(s)}非左互质”型
可简约 PMD，表 m× m多项式矩阵 H(s)为非左互质 { P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，
再取
)23.11()()()(),()()( 11 sQsHsQsPsHsP ?? ??
则可简约 PMD的一个不可简约 PMD为
??
???
??
?
)(?)()(?)()(?
)(?)()(?)(
susWssRsy
susQssP
?
?
情形 Ⅱ { P(s),R(s)}非右互质,{ P(s),Q(s)}左互质
结论 11.6[构造不可简约 PMD] 对,{ P(s),R(s)}非右互质,{ P(s),Q(s)}左互质”型
可简约 PMD，表 m× m多项式矩阵 F(s)为右互质 { P(s),R(s)}的任一最大右公因子，
再取
)(?)()(~ ssFs ?? ? 即有
)27.11()()()(~),()()(~ 11 sFsRsRsFsPsP ?? ??
则可简约 PMD的一个不可简约 PMD为
??
???
??
?
)(?)()(?)(~)(?
)(?)()(~)(~
susWssRsy
susQssP
?
?
4/6,4/22
情形 Ⅲ { P(s),R(s)}非右互质,{ P(s),Q(s)}非左互质
结论 11.7[构造不可简约 PMD] 对,{ P(s),R(s)}非右互质,{ P(s),Q(s)}非左互质”
型可简约 PMD，表 m× m多项式矩阵 H(s)为非左互质 { P(s),Q(s)}的任一最大左公因
子，取
)()()( 1 sPsHsP ??
m× m多项式矩阵 )(sF 为 ? ?)(),( sRsP 的任一最大右公因子，取 )(?)()(~ ssFs ?? ?
)29.11()()()(?),()()(?),()()()(? 1111 sFsRsRsQsHsQsFsPsHsP ???? ???
则可简约 PMD的一个不可简约 PMD为
??
???
??
?
)(?)()(~)(?)(?
)(?)(?)(~)(?
susWssRsy
susQssP
?
?
5/6,5/22
结论 11.8[不可简约 PMD不唯一性 ] 设 (P(s),Q(s),R(s),W(s))为线性时不变系统的
一个不可简约 PMD,P(s)为 m× m多项式矩阵,Q(s),R(s)和 W(s)为 m× p,q× m
和 q× p多项式矩阵。表 U(s)和 V(s)为任意两个 m× m单模阵，取
)31.11()()()(),()()(),()()()( sVsRsRsQsUsQsVsPsUsP ???
则 ))(),(),(),(( sWsRsQsP 也为系统的一个不可简约 PMD
6/6,6/22
11.2 多项式矩阵描述的状态空间实现
PMD的实现
考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述即 PMD为
??
???
??
?
)(?)()(~)()(?
)(?)()(~)(
susWssRsy
susQssP
?
?
其中,P(s)为 m× m多项式矩阵； Q(s),R(s)和 W(s)为 m× p,q× m和 q× p多项式
矩阵。
定义 11.2[PMD的实现 ] 称状态空间描述
??
?
??
??
upECxy
BuAxx
)(
?
为 PMD （ P(s),Q(s),R(s),W(s)）的一个实现，如果两者的传递函数矩阵为相等，
即成立：
R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)=C(sI-A)-1B+E(s)
其中,E(s)=E(p)︱ p=s
注 PMD的实现具有强不唯一性，即不仅实现的结果不唯一，且实现的维数也不
唯一。
1/1,7/22
11.3 多项式矩阵描述的互质性和状态空间描述的能控性与能观测性
左互质性与能控性
考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述为
??
???
??
?
)(?)()(~)()(?
)(?)()(~)(
susWssRsy
susQssP
?
?
其中,P(s)为 m× m多项式矩阵,Q(s),R(s)和 W(s)为 m× p,q× m和 q× p多项式矩
阵。系统的状态空间描述即 PMD的一个实现为
??
?
???
??
dtdpupECxy
BuAxx
/,)(
?
其中,A为 n× n常阵,B和 C为 n× p和 q× n常阵,E（ p）为 q× p多项式矩阵。下面，
给出能控性和左互质性间关系的结论
结论 11.16[左互质性和能控性 ] 对线性时不变系统的 PMD及其状态空间实现，
有（ P(s),Q(s)）左互质 〈 ==〉 (A,B)完全能控
结论 11.17[右互质性和能观测性 ] 对线性时不变系统的 PMD及其状态空间实现
有（ P(s),R(s)）右互质 〈 ==〉 (A,C)完全能观测
1/4,8/22
结论 11.18[不可简约 PMD的最小描述性 ] 对线性时不变系统，如同称（ A,B）完全能
控和（ A,C）完全能观测的状态空间描述（ A,B,C,E(p)）为最小描述一样，也称
(P(s),Q(s))左互质和 (P(s),R(s))右互质的不可简约 PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为最小
描述。
结论 11.19 [MFD右互质性和能观测性 ] 考虑线性时不变系统的右 MFD )()( 1 sDsN ?
)91.11()()()()()( 11 sEsDsNsDsN ?? ??
)()( 1 sDsN ? 为严真，其能控类实现为
??
???
???
??
dtdpupExCy
uBxAx
c
cc
/,)(
?
其中,dim(Ac)=deg detD(s)。则有
{D(s),N(s)}右互质 〈 ==〉 (Ac,Cc)完全能观测
2/4,9/22
结论 11.20 [MFD左互质性和能控性 ] 考虑线性时不变系统的左 MFD )()(1 sNsD LL?
)94.11()()()()()( 11 sEsNsDsNsD LLLLL ?? ??
)()(1 sNsD LL? 为严真，其能观测类实现为
??
???
???
??
dtdpupExCy
uBxAx
L /,)(0
00?
其中,dim(A0)=deg detDL(s)。则有
{DL-1(s),NL(s)}左互质 〈 ==〉 (A0,B0)完全能控
结论 11.21[状态空间描述的互质性 ] 考虑线性时不变系统，其状态空间描述为
（ A,B,C,E(p)），传递函数矩阵 G(s)的关系式为
G(s)=C(sI-A) -1 B+E(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)
则由 PMD左右互质性和状态空间描述能控性能观测性的等价关系，可知
{sI-A,B}左互质 〈 ==〉 (A,B)完全能控
{sI-A,C}右互质 〈 ==〉 (A,C)完全能观测
3/4,10/22
结论 11.22 [SISO系统互质性 ] 考虑单输入单输出即 SISO线性时不变系统，表其传递
函数 g(s)为
)100.11()()( )()()()()()()()( 1 sWs sqsHsrssqsPsrsg ???? ? ??
其中,P(s)为 m× m多项式矩阵,r(s)和 q(s)为 1× m和 m× 1多项式项量,W(s)为
多项式,θ(s)为 P(s)的最小多项式。则有
{P(s),r(s)}右互质 〈 ==〉 θ(s)和 r(s)H(s)不含相消因子
{P(s),q(s)}左互质 〈 ==〉 θ(s)和 H(s)q(s)不含相消因子
{P(s),r(s)}和 {P(s),q(s)}均互质 〈 ==〉 g(s)严真部分不含零点－极点对消
4/4,11/22
11.4 传输零点和解耦零点
PMD的极点
考虑线性时不变系统的 PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其传递函数矩阵为
G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)
定义 11.3 [PMD的极点 ] 对 PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，定义：
PMD的极点＝,R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的极点
结论 11.23 [PMD的极点 ] 表（ A,B,C,E(p)）为 PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一个最
小实现，则有
PMD的极点＝,det(sI-A)=0”的根
结论 11.24 [PMD的极点 ] 若 PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约，则有
PMD的极点＝,detP(s)=0的根”
定义 11.4 [PMD的传输零点 ] 对 PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其传递函数矩阵为
G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)，则定义：
PMD的传输零点＝,R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的零点
1/2,12/22
结论 11.25 [PMD的传输零点 ] 表（ A,B,C,E(p)）为 PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))的任
一最小实现，则有
PMD的传输零点＝使
?????? ?? )(sEC BAsI
降秩的 s值
结论 11.26 [PMD的传输零点 ] 若 PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))为不可简约，则有 PMD
的传输零点＝使
??????? )()( )()( sWsR sQsP
降秩的 s值
2/2,13/22
11.5 系统矩阵
考虑线性时不变系统，其多项式矩阵描述为
??
???
??
?
)(?)()(?)()(?
)(?)()(?)(
susWssRsy
susQssP
?
?
其中,P(s)为 m× m非奇异多项式矩阵； Q(s),R(s)和 W(s)为 m× p,q× m和 q× p
多项式矩阵。进而，表上式为增广变量方程形式，有
)1 4 3.11()(?0)(? )(?)()( )()( ?????? ???????? ??????? ? sysu ssWsR sQsP ?
定义 11.8 [PMD系统矩阵 ] 线性时不变系统 PMD的系统矩阵定义为其增广变量方程
（ 11.143）的系数矩阵，即
? q
m
sWsR
sQsP
sS
pm
}
}
)()(
)()(
)( ??
?
?
???
?
?? ???
结论 11.35 [状态空间描述系统矩阵 ] 线性时不变系统状态空间描述的系统矩阵为
)145.11()()( ?????? ? ?? sEC BAsIsS
1/4,14/22
结论 11.36 [MFD系统矩阵 ] 对 q× p线性时不变系统的 MFD，右 N(s)D-1(s)的系统矩
阵为
)146.11(0)( )()( ???????? sN IsDsS p
左 DL -1 (s)NL(s)的系统矩阵为
)1 47.11(0 )()()( ?????? ??
q
LL
I
sNsDsS
结论 11.37[判断不可简约性 ] 线性时不变系统 PMD的系统矩阵为 S(s)，有
PMD不可简约 〈 ==〉 S(s)的前 m行和前 m列分别满秩,???s
结论 11.38 [PMD的极点零点 ] 线性时不变系统 PMD的系统矩阵为 S(s)，若 PMD为
不可简约，则有
PMD的极点＝使 S(s)左上方 m× m块矩阵降秩 s值
PMD的传输零点＝使 S(s)降秩 s值
2/4,15/22
增广系统矩阵
通常，一个线性时不变系统的不同类型描述的系统矩阵在维数上为不同。进而，同
一类型不同描述的系统矩阵在维数上也常为不同。增广系统矩阵正是为克服由此而
引起的不便而在系统矩阵基础上导出的一类广义系统矩阵。
定义 11.9 [PMD增广系统矩阵 ] 线性时不变系统 PMD的增广系统矩阵定义为
)153.11(
)()(0
)()(0
00
)()(
)()(
)(
?
?
?
?
?
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sWsR
sQsP
I
sWsR
sQsP
sS
e
ee
e
?
????
?
??
其中,β为正整数且可按需要任取
结论 11.42 [不可简约性相同 ] 对线性时不变系统的系统矩阵 S(s)及其增广系统矩阵
Se(s)，有 Se(s)不可简约 〈 ==〉 S(s)不可简约
结论 11.43[互质性相同 ] 对线性时不变系统的系统矩阵 S(s)及其增广系统矩阵 Se(s)，
有 {Pe(s),Qe(s)}左互质 〈 ==〉 {P(s),Q(s)}左互质
{Pe(s),Re(s)}右互质 〈 ==〉 {P(s),R(s)}右互质
3/4,16/22
结论 11.44 [极点和传输零点相同 ] 对线性时不变系统的不可简约系统矩阵 S(s)及
其增广系统矩阵 Se(s)，有
Se(s)的极点＝ S(s)的极点
Se(s)的传输零点＝ S(s)的传输零点
结论 11.45[解偶零点相同 ] 对线性时不变系统的可简约系统矩阵 S(s)及其增广系统
矩阵 Se(s)，有
Se(s)的输入解偶零点＝ S(s)的输入解偶零点
Se(s)的输出解偶零点＝ S(s)的输出解偶零点
结论 11.46[传递函数矩阵相同 ] 线性时不变系统的系统矩阵 S(s)及其增广系统矩阵
Se(s)具有相同的传递函数矩阵，即有
Re(s)Pe-1(s)Qe(s)+W(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)
结论 11.47[分母矩阵行列式相同 ] 线性时不变系统的系统矩阵 S(s)及其增广系统矩
阵 Se(s)具有相同的分母矩阵行列式，即有
detPe(s)=detP(s)
结论 11.48[特性关系属性相同 ] 对线性时不变系统，引入增广系统矩阵 Se(s)代替系
统矩阵 S(s)以讨论不同描述间关系，不会损失不同描述在特性上的关系属性，如互
质性、能控性能观测性、稳定性等。
4/4,17/22
11.6 严格系统等价
对线性时不变系统，考虑相同输入和相同输出的两个 PMD的系统矩阵 S1(s)和 S2(s)，
它们既可属于同一系统也可属于不同系统，并表 S1(s) 和 S2(s)分别为
)16 3.11()()( )()()(,)()( )()()(
22
22
2
11
11
1 ??
??
?
?
????
??
?
?
?? sWsR
sQsPsS
sWsR
sQsPsS
其中,Pi(s)为 mi× mi非奇异多项式矩阵,Ri(s),Qi(s)和 Wi(s)为 mi× p,q× mi和
q× p多项式矩阵,i=1,2。进而，不妨设 m1＝ m2＝ m。
定义 11.10[严格系统等价 ] 称两个 PMD型系统矩阵 S1(s) 和 S2(s)为严格系统等价，当
且仅当存在 m× m单模阵 U(s)和 V(s)，以及 q× m和 m× p多项式矩阵 X(s)和 Y(s)，使成
立：
)165.11()()( )()(0 )()()()( )()()( 0)(
22
22
11
11 ?
?
??
?
?
????
??
?
??
?
??
?
?
???
??
?
?
sWsR
sQsP
I
sYsV
sWsR
sQsP
IsX
sU
pq
并且，记为 S1(s)～ S2(s)
1/5,18/22
三点说明,
1:严格系统等价式一种变换关系
2:严格系统等价变换式一类特定的左右单模变换
3:严格系统等价变换满足对称性、自反性和传递性
对称性：若 S1(s)～ S2(s)，则 S2(s)～ S1(s)。
自反性,S1(s)～ S1(s)。
传递性：若 S1(s)～ S2(s),S2(s)～ S3(s)，则 S1(s)～ S3(s)。
严格系统等价变换的性质
线性时不变系统的两个 PMD型系统矩阵 S1(s)和 S2(s)，若 S1(s)～ S2(s)即严格系统等
价，则两者分母矩阵 P2(s)和 P1(s)具有等同的不变多项式，即有
detP2(s)=β0detP1(s)
其中,β0为非零常数
严格系统等价变换下传递函数矩阵保持不变
2/5,19/22
对线性时不变系统，表两个多项式矩阵描述
)1 8 1.11()(?0)(? )(?)()( )()(1 1
11
11 ?
?
??
?
?
????
??
?
?
???
??
?
?
? sysu
s
sWsR
sQsPP M D ?
)182.11()(?0)(? )(?)()( )()(2 2
22
22 ?
?
??
?
?
????
??
?
?
???
??
?
?
? sysu
s
sWsR
sQsPP M D ?
其系统矩阵为 S1(s)和 S2(s)，再令
（ A1,B1,C1,E1(p)）＝ PMD1的任一能控类或能观测类实现
（ A2,B2,C2,E2(p)）＝ PMD2的任一能控类或能观测类实现
若 S1(s)～ S2(s)即严格系统等价，则两个同类实现具有相同维数和相同特征多项式，
即有
dim(A1)= dim(A2)
det(sI-A1)=det(sI-A2)
严格系统等价变换下系统同类实现在维数和特征多项式上的等同性
3/5,20/22
左互质性和右互质性在严格系统等价变换下的不变性
对线性时不变系统,PMD的互质性在严格等价变换下保持不变
若 S1(s)～ S2(s)即严格系统等价，则有
{P2(s),Q2(s)}左互质 〈 ==〉 {P1(s),Q1(s)}左互质
{P2(s),R2(s)}右互质 〈 ==〉 {P1(s),R1(s)}右互质
能控性和能观测性在严格系统等价变换下的不变性
“状态空间描述代数等价”和“系统矩阵严格系统等价”的等价性
对线性时不变系统，表两个状态空间描述为
（ A1,B1,C1,E1(p)）和（ A2,B2,C2,E2(p)）
系统矩阵为
)20 2.11()()()()(
22
22
2
11
11
1 ??
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
??
sEC
BAsIsS
sEC
BAsIsS 和
则有（ A2,B2,C2,E2(p)）代数等价（ A1,B1,C1,E1(p)） 〈 ==〉 S2(s)～ S1(s)
4/5,21/22
传递函数矩阵的所有不可简约 MFD的严格系统等价
对线性时不变系统的 q× p传递函数矩阵 G（ s），且不要求为严真，则 G(s)的
所有不可简约 MFD必都为严格系统等价
结论 11.57[不可简约 PMD的严格系统等价 ] 对线性时不变系统的 q× p传递函数矩
阵 G（ s）,G(s)的所有不可简约 MFD为严格系统等价
严格系统等价描述在结构性质和运动行为上的等同性
由严格系统等价性保证，在不可简约的前提下，线性时不变系统的三类描述即状
态空间描述、右或左 MFD以及 PMD在用于系统的分析和综合时的结果为完全等价，
不会出现丢失系统结构信息的情况。
5/5,22/22
第 12章线性时不变系统的复频率域分析
12.1并联系统的能控性和能观测性
并联系统
并联系统是以“输入相同”和“输出相加”为特征的一类组合系统
首先，给出对子系统的两个基本假定。一是,S1和 S2可由其传递函数矩阵 G1(s)和
G2(s)完全表征，即其相应的状态空间描述为完全能控和完全能观测。二是，子系统
传递函数矩阵 Gi(s),i=1,2为 qi× pi有理分式矩阵。且表为不可简约右和左 MFD：
Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1(s)NLi(s),i=1,2 S
1
S2
1u
2u
1y
2y
?
?
yu
u=u1=u2,y=y1+y2
p1=p2=p,q1=q2=q
结论 12.1[能控性条件 ] 由线性时不变子系统 S1和 S2组成的并联系统 Sp，若取
G1(s)=不可简约右 MFD N1(s)D1-1(s)
G2(s)=不可简约右 MFD N2(s)D2-1(s)
则有
Sp完全能控 <=>{D1(s),D2(s)}左互质
1/2,1/15
结论 12.2[能观测性条件 ] 线性时不变子系统 S1和 S2组成的并联系统 Sp，若取
G1(s)=不可简约左 MFD DL1-1(s) NL1(s)
G2(s)=不可简约左 MFD DL2-1(s) NL2(s)
则有
Sp完全能观测 <=>{DL1(s),DL2(s)}右互质
结论 12.3[不可简约性条件 ] 由线性时不变子系统 S1和 S2组成的并联系统 Sp，
若取 G1(s)和 G2(s)为“不可简约右 MFD N1(s)D1-1(s)与 N2(s)D2-1(s)”和“不可简约左
MFD DL1-1(s) NL1(s)与 DL2-1(s)NL2(s)”，则有
Sp不可简约，即可用 G1(s)+G2(s)完全表征 <=>{D1(s),D2(s)}左互质,{DL1(s),DL2(s)}
右互质
结论 12.4[能控性和能观测性条件 ] 由线性时不变子系统 S1和 S2组成的多输入多输出
并联系统 Sp，则 Sp保持完全能控和完全能观测的一个充分条件是,q× p传递函数矩
阵 G1(s)和 G2(s)不包含公共极点。
结论 12.6[能控性和能观测性条件 ] 由线性时不变子系统 S1和 S2组成的单输入单输出
并联系统 Sp，则 Sp保持为完全能控和完全能观测的充分必要条件是，标量传递函数
g1(s)和 g2(s)不包含公共极点。
2/2,2/15
12.2串联系统的能控性和能观测性
串联系统 是由子系统按串联方式顺序联接的组合系统
首先，对子系统引入两个基本假定。一是,S1和 S2可由其传递函数矩阵 G1(s)
和 G2(s)所完全表征，即其状态空间描述为完全能控和完全能观测。二是，
Gi(s),i=1,2,为 qi× pi有理分式矩阵，且表为不可简约右和左 MFD：
Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1NLi(s),i=1,2
S1 S2u u1 y1 u2 y2 y
进而，由子系统的 S1－ S2串联特征，
可以给出系统组成上的相应约束条
件为
u=u1,y1=u2,y=y2
p1=p,q1=p2,q2=q
结论 12.7[能控性条件 ] 由线性时不变子系统 S1和 S2组成的串联系统 ST，若取
G1(s)=不可简约右 MFD N1(s)D1-1(s)
G2(s)=不可简约右 MFD N2(s)D2-1(s)
则有
ST完全能控 <=>{D2(s),N1(s)}左互质
1/4,3/15
结论 12.8[能控性条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的串联系统 ST，若取
G1(s)=不可简约右 MFD N1(s)D1-1(s)
G2(s)=不可简约左 MFD DL2-1(s)NL2(s)
则有
ST完全能控 <=>{ DL2(s),NL2(s)N1(s)}左互质
结论 12.9[能控性条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的串联系统 ST，若取
G1(s)=不可简约左 MFD DL1-1(s)NL1(s)
G2(s)=不可简约右 MFD N2(s)D2-1(s)
则有
ST完全能控 <=>{ DL1(s) D2(s),NL1(s)}左互质
结论 12.10[能观测性条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的串联系统 ST，
若取
G1(s)=不可简约左 MFD DL1-1(s) NL1(s)
G2(s)=不可简约左 MFD DL2-1(s) NL2(s)
则有
ST完全能观测 <=>{DL1(s),NL2(s)}右互质
2/4,4/15
结论 12.11[能观测性保持条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的串联系统 ST，
若取
G1(s)=不可简约左 MFD DL1-1(s) NL1(s)
G2(s)=不可简约右 MFD N2(s)D2-1(s)
则有
ST完全能观测 <=>{DL1(s) D2(s),N2(s)}右互质
结论 12.12[能观测性保持条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的串联系统
ST，若取
G1(s)=不可简约右 MFD N1(s) D1-1(s)
G2(s)=不可简约左 MFD DL2-1(s)NL2(s)
则有
ST完全能观测 <=>{D1(s),NL2(s)N1(s)}右互质
结论 12.13[能控性条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的多输入多输出
串联系统 ST，设 p=p1≥q1=p2，传递函数矩阵 G1(s)为满秩，则 ST保持完全能控的
一个充分条件是，没有 G2(s)极点等同于 G1(s)传输零点
3/4,5/15
结论 12.15[能观测性条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的多输入多输出串
联系统 ST，设 p2=q1≤q2=q，传递函数矩阵 G2(s)为满秩，则 ST保持完全能观测的一个
充分条件是，没有 G1(s)极点等同于 G2(s)传输零点。
结论 12.17[能控性条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的单输入单输出串联
系统 ST，则 ST保持完全能控的充分必要条件是，没有 g2(s)极点为 g1(s)零点所对消。
结论 12.18[能观测性条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的单输入单输出串
联系统 ST，则 ST保持完全能观测的充分必要条件是，没有 g1(s)极点为 g2(s) 零点所对
消。
结论 12.19[完全表征条件 ] 由线性时不变子系统按 S1－ S2顺序组成的单输入单输出
串联系统 ST，则 ST可用 g2(s)g1(s)完全表征的充分必要条件是,g1(s)和 g2(s)没有极
点零点对消现象。
4/4,6/15
12.3状态反馈系统的能控性和能观测性
结论 12.21[状态反馈系统复频率域形式 ] 对线性时不变受控系统，状态反馈系统
复频率域结构基本形式如图所示，并被采用作为复频率域方法中分析和综合状态
反馈的基本模型。
Dhc-1 Ψ(s)S
-1(s) NLc
Dhc-1DLc
K
)(?sv
)(?su?
?
?
?
)(?)( ssS ? )(?)( ss??
)(?sy
)(?)()(?)()(?)()()(? 1 ssNssNsusDsNsy Lc ??? ??? ?
D-1(s) N(s)
KΨ(s)
)(?sv
)(?su?
?
)(?s? )(?sy
结论 12.22[状态反馈
系统的 MFD] 复频率
域结构图表征的线性
时不变状态反馈系统，
闭环传递函数矩阵的
右 MFD为
GK(S)=N(s)DK-1(s)
闭环分母矩阵 DK(s)为
DK(s)=DhcS(s)+(DLc+
K)Ψ(s)
1/2,7/15
结论 12.23[能控性 ] 复频率域结构图表征的线性时不变状态反馈系统 ∑K和开环受
控系统 ∑0有
∑K完全能控 <=>∑0完全能控
结论 12.24[能观测性 ] 复频率域结构图表征的线性时不变状态反馈系统 ∑K和开环
受控系统 ∑0,∑0完全观测不能保证 ∑K必为完全能观测。
2/2,8/15
12.4输出反馈系统的能控性和能观测性
考虑图示结构组成的线性时不变输出反馈系统 ∑F。首先对输出反馈系统 ∑F引入三
个基本约定,(i)子系统 S1和 S2为真或严真，且可由传递函数矩阵 G1(s)和 G2(s)分
别完全表征。 (ii)为保证输出反馈系统 ∑F传递函数矩阵的真性或严真性，令
det[I+G1(s)G2(s)]∣ s=∞ =det[I+G2(s)G1(s)]∣ s=∞≠0
(iii) 对输出反馈系统 ∑F中包含的串联系统，表
串联系统顺序
串联系统顺序
qqSSS
ppSSS
???
???
?
?
1221
2112
进而，由输出反馈的联接特征，可
以导出系统组成上的约束关系式为
u1=u－ y2,y=y1=u2
S1
S2
u
1u 1y
y
2u2y
?
?
结论 12.27[∑F的传递函数矩阵 ] 对线性时不变输出反馈系统 ∑F，有
GF(s)=G1(s)[I+G2(s)G1(s)] -1
GF(s)=[I+G1(s)G2(s)] -1 G1(s)
1/2,9/15
结论 12.28[完全能控条件 ] 线性时不变输出反馈系统 ∑F，
有 ∑F完全能控 <=>S12完全能控
结论 12.29[完全能观测条件 ] 线性时不变输出反馈系统 ∑F，
有 ∑F完全能观测 <=>S21完全能观测
结论 12.32[联合能控能观测条件 ] 单输入单输出线性时不变输出反馈系统 ∑F，
有 ∑F完全能控和完全能观测 <=>g2(s)极点和 g1(s)零点间不存在对消
结论 12.33[能控和能观测条件 ] 多输入多输出线性时不变输出反馈系统 ∑F，
若对子系统 S2有 G2(s)=F(常阵 )，则有
∑F完全能控 <=>S1完全能控
∑F完全能观测 <=>S1完全能观测
2/2,10/15
12.5直接输出反馈系统的稳定性分析
系统运动的稳定性可以区分为两种基本类型，,内部稳定性,和,外部稳定性,，
前者就是渐进稳定性，后者即为有界输入有界输出稳定性或 BIBO稳定性
考虑图所示的线性时不变 直接输出反馈系统 ∑DF，其特点是反馈通道中子系统的传
递函数矩阵 G2(s)=I。通常，也称直接输出反馈系统为单位输出反馈系统。进而。约
定子系统 S1可由传递函数矩阵 G1(s)完全表征,G1(s)为方的真有理分式矩阵，
det[I+G1(s)]︱ s=∞≠0。
G1(s)u
1u
1S
1y y?
?
结论 12.34 [两类稳定等价性 ] 线性时不变直接输出反馈系统 ∑DF，子系统 S1可由 G1(s)
完全表征，则有
∑DFBIBO稳定 <=>∑DF渐近稳定
1/2,11/15
结论 12.35 [特征多项式 ] 线性时不变直接输出反馈系统 ∑DF，子系统 S1由 G1(s)完全
表征，△ 1(s)为 G1(s)的特征多项式，则有
∑DF的特征多项式 <=>β△ 1(s) det[I+G1(s)]
其中,β为非零常数
结论 12.36 [稳定条件 ] 线性时不变直接输出反馈系统 ∑DF，若 G1(s)以有理分式矩阵
表征，则有
∑DF为渐近稳定和 BIBO稳定 <=>“△ 1(s) det[I+G1(s)]＝ 0根”均具有负实部
其中，△ 1(s)为 G1(s)的特征多项式。
结论 12.37 [稳定条件 ] 线性时不变直接输出反馈系统 ∑DF，若 G1(s)以不可简约右
MFD N1(s)D1-1(s)表征，则有
∑DF为渐近稳定和 BIBO稳定 <=>“det[D1(s)+N1(s)]＝ 0根”均具有负实部
结论 12.38 [稳定条件 ] 线性时不变直接输出反馈系统 ∑DF，若 G1(s)以不可简约左
MFD DL1-1(s)NL1(s)表征，则有
∑DF为渐近稳定和 BIBO稳定 <=>“det[DL1(s)+NL1(s)]＝ 0根”均具有负实部
2/2,12/15
12.6具有补偿器的输出反馈系统的稳定性分析
具有补偿器的输出反馈系统简表为 ∑CF。 ∑CF是更为一般的形式的输出反馈系统，
其构成如图所示。
G1(s)
G2(s)
u ?
?
1S
2S
y
同样，对 ∑CF引入如下三个基本约定
子系统 S1和 S2为完全能控和完全能观测，
即可由其传递函数矩阵 G1(s)和 G2(s)
完全表征，且 G1(s)和 G2(s)为 q× p和
p× q真有理分式矩阵。
子系统 S1和 S2采用有理分式矩阵和不可
简约 MFD描述：
Gi(s)=不可简约右 MFD Ni(s)Di-1(s)
=不可简约左 MFD DLi-1(s)NLi(s)
为保证 ∑CF的传递函数矩阵 GCF(s)为真，
设 det[I+G1(s)G2(s)]︱ s=∞≠0
1/3,13/15
结论 12.39 [等价条件 ] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ∑CF，表
串联系统顺序
串联系统顺序
qqSSS
ppSSS
???
???
?
?
1221
2112
若满足,S12完全能控,S21完全能观测”条件，则有
∑CF渐近稳定 <=>∑CF BIBO稳定
若不满足,S12完全能控,S21完全能观测”条件，则有
∑CF渐近稳定 =>∑CF BIBO稳定
结论 12.40[特征多项式 ] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ∑CF，表
∑CF状态空间描述＝ {ACF,BCF,CCF,ECF}
S1状态空间描述＝ {A1,B1,C1,E1}
S2状态空间描述＝ {A2,B2,C2,E2}
则有
∑CF的多项式＝ det(sI－ ACF)＝ β△ 1(s)△ 2(s)det[I+G1(s)G2(s)]
结论 12.41[渐近稳定条件 ] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ∑CF，若 G1(s)和
G2(s)以有理分式矩阵表征，则有
∑CF渐近稳定 <=>“△ 1(s)△ 2(s)det[I+G1(s)G2(s)]＝ 0根”均具有负实部
2/3,14/15
结论 12.42[渐近稳定条件 ] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ∑CF，若 G1(s)和
G2(s)以不可简约左 MFD DL1-1(s) NL1(s)和不可简约右 MFD N2(s)D2-1(s)表征，则有
∑CF渐近稳定 <=>“det[DL1(s)D2(s)+NL1(s)N2(s)]＝ 0根”均具有负实部
结论 12.43[渐进稳定条件 ] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ∑CF，若 G1(s)和
G2(s)以不可简约右 MFD N1(s)D1-1(s)和不可简约左 MFD DL2-1(s) NL2(s)表征，则有
∑CF渐近稳定 <=>“det[DL2(s)D1(s)+NL2(s)N1(s)]＝ 0根”均具有负实部
结论 12.45[特殊 ∑CF稳定条件 ] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ∑CF，若子
系统 S2的传递函数矩阵 G2(s)＝ F(常阵 )，则由结论 12.41～结论 12.43给出的 ∑CF为
渐近稳定的条件也是 ∑CF为 BIBO稳定的充分必要条件
结论 12.41[渐近稳定条件 ] 具有补偿器的线性时不变输出反馈系统 ∑CF，若 G1(s)和
G2(s)以有理分式矩阵表征，则有
∑CF渐近稳定 <=>“△ 1(s)△ 2(s)det[I+G1(s)G2(s)]＝ 0根”均具有负实部
3/3,15/15