齿轮机构及其设计
§ 1 概述
齿轮机构,非圆齿轮机构； 圆形齿轮机构 。
圆形齿轮机构 —— 平面齿轮机构（圆柱齿轮）；
空间齿轮机构（用来传递两相交轴或交错轴）
平面齿轮机构,
直齿圆柱齿轮机构（直齿轮） —— ① 外啮合；②内啮合；③齿轮齿条
平行轴斜齿轮机构（斜齿轮）,
① 外；②内；③齿轮齿条
空间齿轮机构,
圆锥齿轮机构 —— ① 直齿；②斜齿；③曲线齿
交错轴斜齿轮机构
蜗杆机构：两轴垂直交错
§ 2 齿廓啮合基本定律
传动比,① 常数 —— 圆齿轮；② f(t)—— 非圆齿轮
2
112 ???i
设节圆半径 21,rr ??
1
2
1
2
2
1
12 r
r
PO
POi
?
????
?
?
一、齿廓啮合基本定律
要使一对齿轮的传动比为常数，那么其齿廓的形状必须是：
不论两齿廓在哪一点啮合，过啮合点所作的齿廓公法线都与
连心线交与一定点 P—— 齿廓啮合基本定律（ 轮齿齿廓正确啮
合的条件 ）
P—— 节点 ；
节圆,节点 P在两个齿轮运动平面上的轨迹是两个圆。（轮 1的
节圆是以 O1为圆心,O1P为半径的圆。）
通常采用 渐开线,摆线、变态摆线
二、共轭齿廓，共轭曲线
凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称 共轭齿廓,
共轭齿廓的齿廓曲线称为 共轭曲线
三、齿廓曲线的选择
1.满足定传动比的要求； 2.考虑设计、制造等方面。
AK—— 渐开线
基圆, rb
n-n：发生线
θK：渐开线 AK段的展角
K
A
O
N
t
n
mm
n
t
K
?
?
K
?
K
K
r
n
0
r
b
n
0
§ 3 渐开线及渐开线齿廓
一、渐开线的形成及性质
1、形成
当一直线 n-n沿一个圆的圆周作纯滚
动时，直线上任一点 K的轨迹
K
A
O
N
t
n
mm
n
t
K
?
?
K
?
K
K
r
n
0
r
b
n
0
（ 5）基圆内无渐开线
NAKN ???
K
A
1
1
N
N
2
2
O
O
1
2
A
1
?
?
2
A
∞
3
∞
N
3
∞
O
3
b 2
r
r
b 1
2、性质
（ 1）
（ 2） NK为渐开线在 K点的法线,NK为曲半半径，渐开
线上任一点的法 线与基圆相切。
（ 3）渐开线离基圆愈远，曲半半径愈大，渐开线愈平 直
（ 4）渐开线的形状决定于基圆的大小。
θK相同时,rb越大，曲半半径越大
rb→∞,渐开线 → ⊥ N3K的直线
3、渐开线方程
渐开线方程
??
?
?
?
???
?
KKKK
K
b
K
tgi n v
r
r
????
?c o s
1
O
2
O
?
2
?
1
? '
? '
t
1
N
2
N
? '
g
2
1
g
P Kt
Ⅰ
II
r
b 2
r'
2
r
b 1
r'
1
二、渐开线齿廓满足齿廓啮合基本定律
PNOPNO 2211 ?? 和
???????
1
2
1
2
1
2
2
1
12
b
b
r
r
r
r
PO
POi
?
? 常数
下式表明,i12决定于基圆大小
1
O
2
O
?
2
?
1
? '
? '
t
1
N
2
N
? '
g'
1
g
2
1
g
P K
g'
2
t
Ⅰ
II
r
b 2
r'
2
r
b 1
r'
1
???????
1
2
1
2
1
2
2
1
12
b
b
r
r
r
r
PO
POi
?
? 常数
三、渐开线齿廓啮合的特点
1、渐开线齿廓啮合的啮合线是直线 —— N1N2 啮合点的轨迹
啮合线、公法线、两基圆的内公切线三线重合。
2、渐开线齿廓啮合的啮合角不变
α’, N1N2与节圆公切线之间的夹角
α’ =渐开线在节点处啮合的压力角
3、渐开线齿廓啮合具有可分性。
O
h
p e
s
r
r a
r f
h
f
h
a
齿顶圆
分度圆
齿根圆
端面齿轮轴线
§ 4 渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸
齿数 —— Z，齿槽
1、齿顶圆 ra
2、齿根圆 rf
3、在任意圆上 rk
齿槽宽 ek
齿厚 SK
齿距 PK=eK+SK
KZPdk ??
ZPd KK ??
?
KK Pm ?定义 模数
一、齿轮各部分名称和基本参数
O
h
p e
s
r
r a
r f
h
f
h
a
齿顶圆
分度圆
齿根圆
端面齿轮轴线
4、分度圆,r,d,s,e,p
5、齿顶高 ha,d与 da之间
6、基节
?????? c o sc o sc o s zPddzPd KKbb ????
?c o sPP b ?
d=mz m为标准值
P=s+e
齿全高 h,h=ha+hf
齿根高 hf,d与 df之间
基节 —— 基圆上的周节（齿距） Pb
二、标准齿轮的基本参数
zpd ??
zpd ?? ?pm ?定义模数 或 mp ??
∴ d=mz 单位,mm ； m标准化。
2、分度圆压力角 α
K
b
K
rr
?co s?
?? c o s2c o s mzrr b ?? （ α 是决定渐开线齿廓形状的一个基本参数）
GB1356-88规定标准值 α=20°
某些场合,α =14.5°, 15°, 22.5°, 25° 。
分度圆就是齿轮上
具有标准模数和标
准压力角的圆。
分度圆和节圆区别 与联系
1、模数 m
3、齿数 z
??
???
?
?
?c o s2mzr
mzd
b
表明：齿轮的大小和渐开线齿轮
形状都与齿数有关
4、齿顶高系数 和顶隙系数
*ah *c
mhh aa *?
mchh af )( ** ??
标准值,=1,=0.25
非标准短齿,=0.8,=0.3
*ah *c
*c*ah
三、标准直齿轮的几何尺寸
标准齿轮,标准齿轮是指 m,α,ha*,c* 均取标准值，具有标
准的齿顶高和齿根高，且分度圆齿厚等于齿槽宽的齿轮。
一个齿轮,
d=mz
da=d+2ha=(z+2 ha*)m
df=d-2hf=(z-2 ha*-2 c*)m
db=dcosα
ha= ha*m
hf=( ha*+ c*)m
h=ha+hf=(2 ha*+ c*)m
P=πm
meS ?21??一对标准齿轮,
)(21)(21 1212 zzmdda ????
① m,z决定了分度圆的大小，而齿轮的大小主要取决于分度圆，因此 m,z是决
定齿轮大小的主要参数
② 轮齿的尺寸与 m,ha*, c* 有关与 z无关
③ 至于齿形，与 m,z,α有关 m制齿轮
四、标准齿条
z→∞
2、齿廓在不同高度上的齿距均相等，但齿厚和槽宽各不相同
p=пm,分度线（齿条中线）,s=e
3、尺寸计算：同标准齿轮一样
五、任意圆上的齿厚
1、齿廓不同高度上的压力角均相等，且等于齿
廓的倾斜角，此角称为齿形角，标准值为 20°
α =齿形角（ 20° ）
§ 5 渐开线直齿圆柱齿轮的传动
一、啮合过程
起始啮合点,从动轮的齿顶点与主动轮的齿根处某点接触，在啮合线上为从动轮的齿顶圆与啮合线 N
1N2
的交点 B2。
终止啮合点,主动轮的齿顶点与从动轮的齿根处某点接触，在啮合线 N
1N2上为主动轮的齿顶圆与啮合线
N1N2的交点 B1。
21BB
21NN
—— 实际啮合线
—— 理论啮合线
齿廓工作段，齿廓非工作段
二、正确啮合条件
O
1
O
2
?
1
2
?
2
N
K
p
K'
N
1
b 1
p
b 2
p
b
1
r
r
1
2
r
r
b
2
两对齿分别在 K,K’点啮合，根据啮
合基本定律
K在 N1N2上
K’在 N1N2上
KK’—— 法向齿距
在齿轮 1上,KK’=Pb1
在齿轮 2上,KK’=Pb2
∴ Pb1=Pb2
?????? c o sc o sc o s mpdzzdP bb ????
222
111
c o s
c o s
??
??
mP
mP
b
b
?
?
2211 c o sc o s ?? mm ?(m,α 不是连续值 )
?
?
?
??
??
??? 21
21 mmm —— 正确啮合条件
三、无侧隙啮合条件
齿侧间隙（侧隙）
进行运动设计时，需按无侧隙啮合。
1、满足的条件
2121 sees ?????? 或
2、标准齿轮的安装
标准安装 2211 2 esmes ???? ?
2211 eess ?????
能实现无侧隙啮合
?? ??
O
1
?
1
2
O
?
2
c
c
P
K
N
1
2
Nh
a
h
f
? '??
? '??
?
'??
b
1
r
b
2
r 2
r' =
r
2
r' =
r
1
1
标准中心距,
2
)( 21
2121
zzmrrrra ????????
顶隙 mcmhmchhhC aaaf **** )( ??????
→ 标准值
非标准安装
1
O'
?
1
1
N'
K'c'
P'
N'
2
2
O'
2
?
2
r
r'
2
r
1r'
1
a'
?
a
? '??
a’只有增大
由图可知,
?
?
? ????? c o s
c o s
c o s
111 rrr b
?
?
? ????? c o s
c o s
c o s
22
2
rrr b
?
?
?
?
?????????? c o s
c o s
c o s
c o s)(
2121 arrrra
ccrrrraa ????????????,,,,2211?? —— 有侧隙
3、传动比
????????
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
12 z
z
r
r
r
r
r
ri
b
b
?
? 常数
四、渐开线齿轮连续传动的条件
p
b
O
1?
1
?
2
O
2
2
N
1
N
2
B
1
BC
C'
P
D
D'
a 2?
a 1
?
? '
? '
2
?
2
?
r'
2
r'
1
a
1
r
r
b
1
b
2
r
a
2
r
1
A
bPBB ?21
bPBB ?21 或 121 ?
bP
BB 重合度（重叠系数）
121 ??
bP
BB
??,齿轮传动的连续性条件
重合度的定义还有其他形式,
渐开线性质,
DCBB ???21 （一对齿从开始啮合到终止啮合在基圆上转过
的弧长）
（在节圆上转过的弧长） —— 作用弧 CD
1.重合度的定义
ψ 2—— 作用角
显然,所对的中心角也为 ψ 2 DC ??
?? ????????????? c o s
2
2
2
22221 CDr
rCD
r
CDrrDCBB b
bb
???? ??????? c o sc o s PdzzdP bb
节圆齿距
作用弧?
?? P
CD
??
2、重合度的意义
重合度不仅是齿轮传动的连续性条件，而且是衡量齿
轮承载能力和传动平稳性的重要指标。
p
b
O
1?
1
?
2
O
2
2
N
1
N
2
B
1
BC
C'
P
D
D'
a 2?
a 1
?
? '
? '
2
?
2
?
r'
2
r'
1
a
1
r
r
b
1
b
2
r
a
2
r
1
A
3、重合度的计算
由左图看出,
)( 111111111 ???? ???????? tgtgrtgrtgrPNBNPB abbab
)( 222222 ?? ????? tgtgrPNBNPB ab
??
?????
? c o s
)()( 22112121
m
tgtgrtgtgr
P
PBPB
P
BB abab
bb
?????????
?c os21 11 mzr b ?
?c os21 22 mzr b ?
? ?)()(2 1 2211 ?????? ? ?????? tgtgztgtgz aa
§ 6 渐开线齿廓的加工及根切
问题,1.仿形法加工齿轮的优、缺点。
2.展成法中的齿轮插刀切制齿轮时包括哪些运动？
展成法法加工齿轮的优、缺点。
一、标准齿条形刀具切制标准齿轮
1、刀具
?
? m
?
? m
圆弧角
?h m a
*
c m
h m
*
a*
中线
c m
*
刀具齿顶线
顶刃线
被加工齿轮,
要求,
p m
22
p m
a
h
m
c
m
*
*
中 线h
m
* a
mcmhh af ** ??
刀具比标准齿条在齿顶部
高出 一段 mc*
2、切制标准齿轮
?
p
分度圆
中线
坯s
e 刀
P
c m
*
h
f
h
a
首先，将轮坯的外圆按被
切齿轮的齿顶圆直径预先
加工好。
然后，将刀具的中线与轮坯
的分度圆安装成相切的状态。
→ 齿轮和刀具有相同的模数和压力角
由于展成运动相当于无侧隙啮合,
齿轮的齿厚 =刀具的齿槽宽 = 2m?
并且
mcmhh af ** ??
mhh aa *?
∴ 加工出的齿轮为标准齿轮
二、渐开线齿廓的根切现象
1.根切,
危害：①切掉部分齿廓；
②削弱了齿根强度；
③严重时，切掉部分渐开线齿廓，降低
重合度。
2、齿轮不发生根切的最少齿数
h m
?
P
M
a
*
?
r
P
N
2
B
NMmh ?*
??? 22 s in2s ins in mzrPNNM ????
?2* s in2mzmh a ?
?2
*
sin
2 ahz ?
17min ?Z
?? 20? 1* ?ah
§ 7 平行轴斜齿圆柱齿轮机构
一、斜齿轮齿廓曲面的形成和啮合特点
1、直齿轮,
b
r
N
N
B
K
K
发生面 S
基圆柱,
发生面 S,
KK∥ 基圆柱母线 NN
渐开线柱面
齿廓工作深度
x
O
接触线 z
y
啮合特点,① 齿廓曲面的接触线 ∥ NN
② 受力突变，噪音较大。
2、斜齿轮,
N
K
r
b
N
K
? b
发生面 S
基圆柱,
发生面 S,
KK与 NN有夹角 β b
渐开线螺旋面
βb—— 基圆柱上的螺旋角
渐开线螺旋面齿廓的特点,
① 与基圆柱相切的平面与齿廓曲面的交线为斜直线（与 NN交角 βb ）
② 端面（垂直于齿轮轴线的面）与齿廓曲面的交线为渐开线。
③ 与基圆柱同轴的圆柱面与渐开线螺旋面的交线为一螺旋线。
不同面 → 螺旋角不同
斜齿轮的啮合特点,
（ 1）两斜齿齿廓的公法面既是
两基圆柱的公切面，又是传动的
啮合面
K
基圆柱 B 2
2
O
N
2
b
?
A
2
N
A
渐开螺旋面
接触线
S
1 ?
b
P P
K
啮合面
N
O
1
N1
基圆柱 B 1
（ 2）两齿廓的接触线与轴线夹角 βb
前端面
O
2
齿廓工作深度
y
x
接触线 z
（ 3）接触线 0→ 长 → 0，传动平稳☆
二、斜齿轮的基本参数
1、斜齿轮的切削加工,
① 仿形法；②范成法：滚齿
（用仿形法加工斜齿轮时，铣刀是沿螺旋齿槽的方向进刀的）
法面：垂直于分度圆柱面螺旋线的切线的平面
进刀方向 ⊥ 法面
刀具的模数应于斜齿轮的法面模数一致,
→ 法面上的模数和压力角为标准值 。
端面,⊥ 轴线的面
计算斜齿轮端面参数与尺寸,
A p
n
B
E
t
D
?
F
? d
p
?
b
z
p
?
C
齿距,
tt mP ??
nn mP ??
在△ DFE中
?c o stn PP ?
?c o stn mm ?模数,
压力角,
?
?
C
B A
?
E
D ? n
t
CE
ACtg
BD
ABtg
nt ?? ??,
?c o sABAC ?
∵ BD=CE
???? c o sc o s tn tgBDABCEACtg ???
齿顶高系数，顶隙系数,
atan hh ?
tatnan mhmh ??? **
tn cc ?
ttnn mcmc ** ?
?c o stn mm ?
?
?
?
?
?
?
?
c o s
c o s
**
**
nt
anat
cc
hh
螺旋角 β,
螺旋线的导程 Pz,螺旋线绕同一周时它沿轴线方向前进的距离
A p
n
B
E
t
D
?
F
? d
p
?
b
z
p
?
C
ZP
dtg ?? ?
Z
b
b P
dtg ?? ?
tb dd ?c o s?
tbb tgtgd
dtg ???? c o s??
（上式表明，不同圆柱面的螺旋角不等）
三、平行轴斜齿轮传动的正确啮合条件和重合度
1、正确啮合条件
（斜齿轮在端面内的啮合相当于直齿轮的啮合）
21 tt mm ?
21 tt ?? ?
21 bb ?? ?
21 nn mm ?
21 nn ?? ?
2121 ???? ????
K
基圆柱 B 2
2
O
N
2
b
?
A
2
N
A
渐开螺旋面
接触线
S
1 ?
b
P P
K
啮合面
N
O
1
N1
基圆柱 B 1
2、重合度 ε （两个端面参数完全相同的标准直齿轮
和标准斜齿轮）
BB
L
1 2
BB
?
b
1
B B
2
b
?
B
1
B
2
B
1 2
B
C
S
?b t gCBS ?? 2 —— 纵向作用弧
总重合度 εγ,总作用弧与 Pt的比值
ttt P
CB
P
BB
P
CB 2211 ???
??
tP
BB 21?
?? —— 端面重合度
nt m
b
m
b t g
?
?
?
??
?
s in?? —— 纵向重合度
??? ??? ??
四、斜齿轮的当量齿数
?
r
n
?
P
n
a
P
?
b
rbra ??,c o s ?
当量齿轮,以 ρ 为分度圆半径，
用斜齿轮的 mn和 α n分别为模数和
压力角作一虚拟的直齿轮，其齿
形与斜齿轮的法面齿形最接近。
这个齿轮称斜齿轮的当量齿轮，
齿数 ZV称当量齿数。
由解析几何知 ??? 222 c o s1)c o s( rrrba ????
nv mZ ??? ??2
????????? 2c o s2c o s22 22 Zmmm rmZ t
nnn
v ???
??
??? 32 c o sc o sc o s
Zm
m
Z n
n
??????????
五、平行轴斜齿轮的变位和几何尺寸计算
平行轴斜齿轮在 端面 内的几何尺寸关系与直齿轮相同。
1、尺寸计算
tataa
t
mhdhdd
Zmd
?????
?
*22
)(c o s21)(21 212121 ZZmZZmrra nttt ?????? ?
—— 改变螺旋角可凑中心距，无须变位。
t
an
t
at hhZ
?
?
? 2
*
2
*
m i n s in
c o s2
s in
2 ?? <直齿轮最少齿数
2、变位
移距相同,nntt mxmx ? ?c o snt xx ?
六、平行轴斜齿轴传动的主要优缺点
1、优点,① 重合度大，传动平稳，承载能力高
② 比直齿轮小，机构更紧凑
③ 制造成本与直齿轮相同
广泛应用于高速、重载传动中
2、缺点,
F
x
F
?
1
F
有轴向力
???? 15~8s in ??FF x
一、圆锥齿轮机构的特点及应用
§ 8 圆锥齿轮机构
1.特点
圆锥齿轮机构是用来传递空间两相交轴之间运动和动力的
一种齿轮机构，其轮齿分布在截圆锥体上，齿形从大端到
小端逐渐变小。圆柱齿轮中的有关圆柱均变成了圆锥。为
计算和测量方便，通常取大端参数为标准值。
一对圆锥齿轮两轴线间的夹角 Σ 称为轴角。其值可根据传动
需要任意选取，在一般机械中，多取 Σ ＝ 90° 。
2.应用
圆锥齿轮
直齿 圆锥齿轮,
斜齿 圆锥齿轮,
曲齿 圆锥齿轮,
由于设计、制造、安装方便，应用最广
介于两者之间，传动较平稳，设计较简单
传动平稳、承载能力强，用于高速，重载传动
二、直齿圆锥齿轮齿廓的形成
如图，一个圆平面 S与一个基圆锥
切于直线 OC，圆平面半径与基圆
锥锥距 R 相等，且圆心与锥顶重
合。当圆平面绕圆锥作纯滚动时，
该平面上任一点 B将在空间展出一
条渐开线 AB。渐开线必在以 O 为
中心、锥距 R 为半径的球面上，
成为球面渐开线。
三、直齿圆锥齿轮的啮合传动
正确啮合条件,圆锥齿轮大端的模数和压力角分别相等，
且锥距相等，锥顶重合
连续传动的条件,重合度大于 1，重合度可按当量齿轮进行计算
传动比,
1
2
1
2
1
2
2
1
12 s in
s in
?
?
?
? ????
r
r
z
zi
轮系及其设计
§ 6— 1 轮系及其分类
轮系：用一系列互相啮合的齿轮将主动轴和从动轴连接起来,
这种多齿轮的传动装置称为轮系。
轮系
定轴轮系（普通轮系）
周转轮系
复合轮系
定 +周
周 +周
4
31
2
OH
2'
H
§ 6— 2 定轴轮系传动比计算
所有主动轮齿数的乘积
所有从动轮齿数的乘积?
15i
一、传动比
A—— 输入轴 B—— 输出轴
B
A
B
A
AB n
ni ??
?
?
二、定轴轮系的传动比计算
三、输出轴转向的表示
1、首末两轴平行，用, +”,,-”表示。
2—— 惰轮,不改变传动比的大小，但改变轮系的转向
2、首末两轴不平行
用箭头表示
3、所有轴线都平行
所有主动轮齿数的乘积
所有从动轮齿数的乘积mi )1(
5
1 ???
?
?
m—— 外啮合的次数
§ 6— 3 周转轮系的传动比计算
? 1 4
1
H
O 1 ? H
O H O 3
? 3
O 2
2
41
3O
O
1
3 3
H
H
O
O
2
2
一、周转轮系
224243 ??????F
1
O
1
H
2
3
2
O
H
O
轮 3固定, 123233 ??????F
差动轮系,F=2
行星轮系,F=1
二、周转轮系的构件
? 1 4
1
H
O 1 ? H
O H O 3
? 3
O 2
2
41
3O
O
1
3 3
H
H
O
O
2
2
行星轮 2
行星架（系杆） H
中心轮 1,3
主轴线 —— 行星架绕之转动的轴线。
基本构件,轴线与主轴线重合而又承受外力矩的构件称基本构
件
2K-H（ K— 中心轮； H— 行量架； V— 输出构件）
还有其他,3K,K-H-V
三、周转轮系传动比的计算
? 1 4
1
H
O 1 ? H
O H O 3
? 3
O 2
2
41
3O
O
1
3 3
H
H
O
O
2
2
反转法
1
3
3
1
3
1
13 )1( Z
Zi
H
H
H
H
H ????
?
???
??
??
?
?
差动轮系,2个运动
行星轮系, 03 ?? 11311 ??? ZZi HH ??
任何周转轮系
)( zfi
HB
HA
H
B
H
AH
AB ??
???
??
??
?
?
举例：图示为一大传动比的减速器，
Z1=100,Z2=101,Z2'=100,Z3=99
求：输入件 H对输出件 1的传动比 iH1
2
H
1 3
2 '
1 0 0 0 0
1 0 01 0 0
991 0 11
11
1
1 ?
?
???? HH ii
若 Z1=99 100
1 ??Hi
周转轮系传动比正负是计算出来的，而不是判断出来的。
四、圆锥齿轮组成的周转轮系
O O
1
2
3
H
21
322
3
1
13 )1( ZZ
ZZ
WW
WWi
H
HH ??
?
??
H
HH
WW
WWi
?
??
2
1
12
（作矢量作）
§ 1 概述
齿轮机构,非圆齿轮机构； 圆形齿轮机构 。
圆形齿轮机构 —— 平面齿轮机构（圆柱齿轮）；
空间齿轮机构（用来传递两相交轴或交错轴）
平面齿轮机构,
直齿圆柱齿轮机构（直齿轮） —— ① 外啮合；②内啮合；③齿轮齿条
平行轴斜齿轮机构（斜齿轮）,
① 外；②内；③齿轮齿条
空间齿轮机构,
圆锥齿轮机构 —— ① 直齿；②斜齿；③曲线齿
交错轴斜齿轮机构
蜗杆机构：两轴垂直交错
§ 2 齿廓啮合基本定律
传动比,① 常数 —— 圆齿轮；② f(t)—— 非圆齿轮
2
112 ???i
设节圆半径 21,rr ??
1
2
1
2
2
1
12 r
r
PO
POi
?
????
?
?
一、齿廓啮合基本定律
要使一对齿轮的传动比为常数，那么其齿廓的形状必须是：
不论两齿廓在哪一点啮合，过啮合点所作的齿廓公法线都与
连心线交与一定点 P—— 齿廓啮合基本定律（ 轮齿齿廓正确啮
合的条件 ）
P—— 节点 ；
节圆,节点 P在两个齿轮运动平面上的轨迹是两个圆。（轮 1的
节圆是以 O1为圆心,O1P为半径的圆。）
通常采用 渐开线,摆线、变态摆线
二、共轭齿廓，共轭曲线
凡满足齿廓啮合基本定律的一对齿轮的齿廓称 共轭齿廓,
共轭齿廓的齿廓曲线称为 共轭曲线
三、齿廓曲线的选择
1.满足定传动比的要求； 2.考虑设计、制造等方面。
AK—— 渐开线
基圆, rb
n-n：发生线
θK：渐开线 AK段的展角
K
A
O
N
t
n
mm
n
t
K
?
?
K
?
K
K
r
n
0
r
b
n
0
§ 3 渐开线及渐开线齿廓
一、渐开线的形成及性质
1、形成
当一直线 n-n沿一个圆的圆周作纯滚
动时，直线上任一点 K的轨迹
K
A
O
N
t
n
mm
n
t
K
?
?
K
?
K
K
r
n
0
r
b
n
0
（ 5）基圆内无渐开线
NAKN ???
K
A
1
1
N
N
2
2
O
O
1
2
A
1
?
?
2
A
∞
3
∞
N
3
∞
O
3
b 2
r
r
b 1
2、性质
（ 1）
（ 2） NK为渐开线在 K点的法线,NK为曲半半径，渐开
线上任一点的法 线与基圆相切。
（ 3）渐开线离基圆愈远，曲半半径愈大，渐开线愈平 直
（ 4）渐开线的形状决定于基圆的大小。
θK相同时,rb越大，曲半半径越大
rb→∞,渐开线 → ⊥ N3K的直线
3、渐开线方程
渐开线方程
??
?
?
?
???
?
KKKK
K
b
K
tgi n v
r
r
????
?c o s
1
O
2
O
?
2
?
1
? '
? '
t
1
N
2
N
? '
g
2
1
g
P Kt
Ⅰ
II
r
b 2
r'
2
r
b 1
r'
1
二、渐开线齿廓满足齿廓啮合基本定律
PNOPNO 2211 ?? 和
???????
1
2
1
2
1
2
2
1
12
b
b
r
r
r
r
PO
POi
?
? 常数
下式表明,i12决定于基圆大小
1
O
2
O
?
2
?
1
? '
? '
t
1
N
2
N
? '
g'
1
g
2
1
g
P K
g'
2
t
Ⅰ
II
r
b 2
r'
2
r
b 1
r'
1
???????
1
2
1
2
1
2
2
1
12
b
b
r
r
r
r
PO
POi
?
? 常数
三、渐开线齿廓啮合的特点
1、渐开线齿廓啮合的啮合线是直线 —— N1N2 啮合点的轨迹
啮合线、公法线、两基圆的内公切线三线重合。
2、渐开线齿廓啮合的啮合角不变
α’, N1N2与节圆公切线之间的夹角
α’ =渐开线在节点处啮合的压力角
3、渐开线齿廓啮合具有可分性。
O
h
p e
s
r
r a
r f
h
f
h
a
齿顶圆
分度圆
齿根圆
端面齿轮轴线
§ 4 渐开线直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸
齿数 —— Z，齿槽
1、齿顶圆 ra
2、齿根圆 rf
3、在任意圆上 rk
齿槽宽 ek
齿厚 SK
齿距 PK=eK+SK
KZPdk ??
ZPd KK ??
?
KK Pm ?定义 模数
一、齿轮各部分名称和基本参数
O
h
p e
s
r
r a
r f
h
f
h
a
齿顶圆
分度圆
齿根圆
端面齿轮轴线
4、分度圆,r,d,s,e,p
5、齿顶高 ha,d与 da之间
6、基节
?????? c o sc o sc o s zPddzPd KKbb ????
?c o sPP b ?
d=mz m为标准值
P=s+e
齿全高 h,h=ha+hf
齿根高 hf,d与 df之间
基节 —— 基圆上的周节（齿距） Pb
二、标准齿轮的基本参数
zpd ??
zpd ?? ?pm ?定义模数 或 mp ??
∴ d=mz 单位,mm ； m标准化。
2、分度圆压力角 α
K
b
K
rr
?co s?
?? c o s2c o s mzrr b ?? （ α 是决定渐开线齿廓形状的一个基本参数）
GB1356-88规定标准值 α=20°
某些场合,α =14.5°, 15°, 22.5°, 25° 。
分度圆就是齿轮上
具有标准模数和标
准压力角的圆。
分度圆和节圆区别 与联系
1、模数 m
3、齿数 z
??
???
?
?
?c o s2mzr
mzd
b
表明：齿轮的大小和渐开线齿轮
形状都与齿数有关
4、齿顶高系数 和顶隙系数
*ah *c
mhh aa *?
mchh af )( ** ??
标准值,=1,=0.25
非标准短齿,=0.8,=0.3
*ah *c
*c*ah
三、标准直齿轮的几何尺寸
标准齿轮,标准齿轮是指 m,α,ha*,c* 均取标准值，具有标
准的齿顶高和齿根高，且分度圆齿厚等于齿槽宽的齿轮。
一个齿轮,
d=mz
da=d+2ha=(z+2 ha*)m
df=d-2hf=(z-2 ha*-2 c*)m
db=dcosα
ha= ha*m
hf=( ha*+ c*)m
h=ha+hf=(2 ha*+ c*)m
P=πm
meS ?21??一对标准齿轮,
)(21)(21 1212 zzmdda ????
① m,z决定了分度圆的大小，而齿轮的大小主要取决于分度圆，因此 m,z是决
定齿轮大小的主要参数
② 轮齿的尺寸与 m,ha*, c* 有关与 z无关
③ 至于齿形，与 m,z,α有关 m制齿轮
四、标准齿条
z→∞
2、齿廓在不同高度上的齿距均相等，但齿厚和槽宽各不相同
p=пm,分度线（齿条中线）,s=e
3、尺寸计算：同标准齿轮一样
五、任意圆上的齿厚
1、齿廓不同高度上的压力角均相等，且等于齿
廓的倾斜角，此角称为齿形角，标准值为 20°
α =齿形角（ 20° ）
§ 5 渐开线直齿圆柱齿轮的传动
一、啮合过程
起始啮合点,从动轮的齿顶点与主动轮的齿根处某点接触，在啮合线上为从动轮的齿顶圆与啮合线 N
1N2
的交点 B2。
终止啮合点,主动轮的齿顶点与从动轮的齿根处某点接触，在啮合线 N
1N2上为主动轮的齿顶圆与啮合线
N1N2的交点 B1。
21BB
21NN
—— 实际啮合线
—— 理论啮合线
齿廓工作段，齿廓非工作段
二、正确啮合条件
O
1
O
2
?
1
2
?
2
N
K
p
K'
N
1
b 1
p
b 2
p
b
1
r
r
1
2
r
r
b
2
两对齿分别在 K,K’点啮合，根据啮
合基本定律
K在 N1N2上
K’在 N1N2上
KK’—— 法向齿距
在齿轮 1上,KK’=Pb1
在齿轮 2上,KK’=Pb2
∴ Pb1=Pb2
?????? c o sc o sc o s mpdzzdP bb ????
222
111
c o s
c o s
??
??
mP
mP
b
b
?
?
2211 c o sc o s ?? mm ?(m,α 不是连续值 )
?
?
?
??
??
??? 21
21 mmm —— 正确啮合条件
三、无侧隙啮合条件
齿侧间隙（侧隙）
进行运动设计时，需按无侧隙啮合。
1、满足的条件
2121 sees ?????? 或
2、标准齿轮的安装
标准安装 2211 2 esmes ???? ?
2211 eess ?????
能实现无侧隙啮合
?? ??
O
1
?
1
2
O
?
2
c
c
P
K
N
1
2
Nh
a
h
f
? '??
? '??
?
'??
b
1
r
b
2
r 2
r' =
r
2
r' =
r
1
1
标准中心距,
2
)( 21
2121
zzmrrrra ????????
顶隙 mcmhmchhhC aaaf **** )( ??????
→ 标准值
非标准安装
1
O'
?
1
1
N'
K'c'
P'
N'
2
2
O'
2
?
2
r
r'
2
r
1r'
1
a'
?
a
? '??
a’只有增大
由图可知,
?
?
? ????? c o s
c o s
c o s
111 rrr b
?
?
? ????? c o s
c o s
c o s
22
2
rrr b
?
?
?
?
?????????? c o s
c o s
c o s
c o s)(
2121 arrrra
ccrrrraa ????????????,,,,2211?? —— 有侧隙
3、传动比
????????
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
12 z
z
r
r
r
r
r
ri
b
b
?
? 常数
四、渐开线齿轮连续传动的条件
p
b
O
1?
1
?
2
O
2
2
N
1
N
2
B
1
BC
C'
P
D
D'
a 2?
a 1
?
? '
? '
2
?
2
?
r'
2
r'
1
a
1
r
r
b
1
b
2
r
a
2
r
1
A
bPBB ?21
bPBB ?21 或 121 ?
bP
BB 重合度（重叠系数）
121 ??
bP
BB
??,齿轮传动的连续性条件
重合度的定义还有其他形式,
渐开线性质,
DCBB ???21 （一对齿从开始啮合到终止啮合在基圆上转过
的弧长）
（在节圆上转过的弧长） —— 作用弧 CD
1.重合度的定义
ψ 2—— 作用角
显然,所对的中心角也为 ψ 2 DC ??
?? ????????????? c o s
2
2
2
22221 CDr
rCD
r
CDrrDCBB b
bb
???? ??????? c o sc o s PdzzdP bb
节圆齿距
作用弧?
?? P
CD
??
2、重合度的意义
重合度不仅是齿轮传动的连续性条件，而且是衡量齿
轮承载能力和传动平稳性的重要指标。
p
b
O
1?
1
?
2
O
2
2
N
1
N
2
B
1
BC
C'
P
D
D'
a 2?
a 1
?
? '
? '
2
?
2
?
r'
2
r'
1
a
1
r
r
b
1
b
2
r
a
2
r
1
A
3、重合度的计算
由左图看出,
)( 111111111 ???? ???????? tgtgrtgrtgrPNBNPB abbab
)( 222222 ?? ????? tgtgrPNBNPB ab
??
?????
? c o s
)()( 22112121
m
tgtgrtgtgr
P
PBPB
P
BB abab
bb
?????????
?c os21 11 mzr b ?
?c os21 22 mzr b ?
? ?)()(2 1 2211 ?????? ? ?????? tgtgztgtgz aa
§ 6 渐开线齿廓的加工及根切
问题,1.仿形法加工齿轮的优、缺点。
2.展成法中的齿轮插刀切制齿轮时包括哪些运动？
展成法法加工齿轮的优、缺点。
一、标准齿条形刀具切制标准齿轮
1、刀具
?
? m
?
? m
圆弧角
?h m a
*
c m
h m
*
a*
中线
c m
*
刀具齿顶线
顶刃线
被加工齿轮,
要求,
p m
22
p m
a
h
m
c
m
*
*
中 线h
m
* a
mcmhh af ** ??
刀具比标准齿条在齿顶部
高出 一段 mc*
2、切制标准齿轮
?
p
分度圆
中线
坯s
e 刀
P
c m
*
h
f
h
a
首先，将轮坯的外圆按被
切齿轮的齿顶圆直径预先
加工好。
然后，将刀具的中线与轮坯
的分度圆安装成相切的状态。
→ 齿轮和刀具有相同的模数和压力角
由于展成运动相当于无侧隙啮合,
齿轮的齿厚 =刀具的齿槽宽 = 2m?
并且
mcmhh af ** ??
mhh aa *?
∴ 加工出的齿轮为标准齿轮
二、渐开线齿廓的根切现象
1.根切,
危害：①切掉部分齿廓；
②削弱了齿根强度；
③严重时，切掉部分渐开线齿廓，降低
重合度。
2、齿轮不发生根切的最少齿数
h m
?
P
M
a
*
?
r
P
N
2
B
NMmh ?*
??? 22 s in2s ins in mzrPNNM ????
?2* s in2mzmh a ?
?2
*
sin
2 ahz ?
17min ?Z
?? 20? 1* ?ah
§ 7 平行轴斜齿圆柱齿轮机构
一、斜齿轮齿廓曲面的形成和啮合特点
1、直齿轮,
b
r
N
N
B
K
K
发生面 S
基圆柱,
发生面 S,
KK∥ 基圆柱母线 NN
渐开线柱面
齿廓工作深度
x
O
接触线 z
y
啮合特点,① 齿廓曲面的接触线 ∥ NN
② 受力突变，噪音较大。
2、斜齿轮,
N
K
r
b
N
K
? b
发生面 S
基圆柱,
发生面 S,
KK与 NN有夹角 β b
渐开线螺旋面
βb—— 基圆柱上的螺旋角
渐开线螺旋面齿廓的特点,
① 与基圆柱相切的平面与齿廓曲面的交线为斜直线（与 NN交角 βb ）
② 端面（垂直于齿轮轴线的面）与齿廓曲面的交线为渐开线。
③ 与基圆柱同轴的圆柱面与渐开线螺旋面的交线为一螺旋线。
不同面 → 螺旋角不同
斜齿轮的啮合特点,
（ 1）两斜齿齿廓的公法面既是
两基圆柱的公切面，又是传动的
啮合面
K
基圆柱 B 2
2
O
N
2
b
?
A
2
N
A
渐开螺旋面
接触线
S
1 ?
b
P P
K
啮合面
N
O
1
N1
基圆柱 B 1
（ 2）两齿廓的接触线与轴线夹角 βb
前端面
O
2
齿廓工作深度
y
x
接触线 z
（ 3）接触线 0→ 长 → 0，传动平稳☆
二、斜齿轮的基本参数
1、斜齿轮的切削加工,
① 仿形法；②范成法：滚齿
（用仿形法加工斜齿轮时，铣刀是沿螺旋齿槽的方向进刀的）
法面：垂直于分度圆柱面螺旋线的切线的平面
进刀方向 ⊥ 法面
刀具的模数应于斜齿轮的法面模数一致,
→ 法面上的模数和压力角为标准值 。
端面,⊥ 轴线的面
计算斜齿轮端面参数与尺寸,
A p
n
B
E
t
D
?
F
? d
p
?
b
z
p
?
C
齿距,
tt mP ??
nn mP ??
在△ DFE中
?c o stn PP ?
?c o stn mm ?模数,
压力角,
?
?
C
B A
?
E
D ? n
t
CE
ACtg
BD
ABtg
nt ?? ??,
?c o sABAC ?
∵ BD=CE
???? c o sc o s tn tgBDABCEACtg ???
齿顶高系数，顶隙系数,
atan hh ?
tatnan mhmh ??? **
tn cc ?
ttnn mcmc ** ?
?c o stn mm ?
?
?
?
?
?
?
?
c o s
c o s
**
**
nt
anat
cc
hh
螺旋角 β,
螺旋线的导程 Pz,螺旋线绕同一周时它沿轴线方向前进的距离
A p
n
B
E
t
D
?
F
? d
p
?
b
z
p
?
C
ZP
dtg ?? ?
Z
b
b P
dtg ?? ?
tb dd ?c o s?
tbb tgtgd
dtg ???? c o s??
（上式表明，不同圆柱面的螺旋角不等）
三、平行轴斜齿轮传动的正确啮合条件和重合度
1、正确啮合条件
（斜齿轮在端面内的啮合相当于直齿轮的啮合）
21 tt mm ?
21 tt ?? ?
21 bb ?? ?
21 nn mm ?
21 nn ?? ?
2121 ???? ????
K
基圆柱 B 2
2
O
N
2
b
?
A
2
N
A
渐开螺旋面
接触线
S
1 ?
b
P P
K
啮合面
N
O
1
N1
基圆柱 B 1
2、重合度 ε （两个端面参数完全相同的标准直齿轮
和标准斜齿轮）
BB
L
1 2
BB
?
b
1
B B
2
b
?
B
1
B
2
B
1 2
B
C
S
?b t gCBS ?? 2 —— 纵向作用弧
总重合度 εγ,总作用弧与 Pt的比值
ttt P
CB
P
BB
P
CB 2211 ???
??
tP
BB 21?
?? —— 端面重合度
nt m
b
m
b t g
?
?
?
??
?
s in?? —— 纵向重合度
??? ??? ??
四、斜齿轮的当量齿数
?
r
n
?
P
n
a
P
?
b
rbra ??,c o s ?
当量齿轮,以 ρ 为分度圆半径，
用斜齿轮的 mn和 α n分别为模数和
压力角作一虚拟的直齿轮，其齿
形与斜齿轮的法面齿形最接近。
这个齿轮称斜齿轮的当量齿轮，
齿数 ZV称当量齿数。
由解析几何知 ??? 222 c o s1)c o s( rrrba ????
nv mZ ??? ??2
????????? 2c o s2c o s22 22 Zmmm rmZ t
nnn
v ???
??
??? 32 c o sc o sc o s
Zm
m
Z n
n
??????????
五、平行轴斜齿轮的变位和几何尺寸计算
平行轴斜齿轮在 端面 内的几何尺寸关系与直齿轮相同。
1、尺寸计算
tataa
t
mhdhdd
Zmd
?????
?
*22
)(c o s21)(21 212121 ZZmZZmrra nttt ?????? ?
—— 改变螺旋角可凑中心距，无须变位。
t
an
t
at hhZ
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? 2
*
2
*
m i n s in
c o s2
s in
2 ?? <直齿轮最少齿数
2、变位
移距相同,nntt mxmx ? ?c o snt xx ?
六、平行轴斜齿轴传动的主要优缺点
1、优点,① 重合度大，传动平稳，承载能力高
② 比直齿轮小，机构更紧凑
③ 制造成本与直齿轮相同
广泛应用于高速、重载传动中
2、缺点,
F
x
F
?
1
F
有轴向力
???? 15~8s in ??FF x
一、圆锥齿轮机构的特点及应用
§ 8 圆锥齿轮机构
1.特点
圆锥齿轮机构是用来传递空间两相交轴之间运动和动力的
一种齿轮机构，其轮齿分布在截圆锥体上，齿形从大端到
小端逐渐变小。圆柱齿轮中的有关圆柱均变成了圆锥。为
计算和测量方便，通常取大端参数为标准值。
一对圆锥齿轮两轴线间的夹角 Σ 称为轴角。其值可根据传动
需要任意选取，在一般机械中，多取 Σ ＝ 90° 。
2.应用
圆锥齿轮
直齿 圆锥齿轮,
斜齿 圆锥齿轮,
曲齿 圆锥齿轮,
由于设计、制造、安装方便，应用最广
介于两者之间，传动较平稳，设计较简单
传动平稳、承载能力强，用于高速，重载传动
二、直齿圆锥齿轮齿廓的形成
如图，一个圆平面 S与一个基圆锥
切于直线 OC，圆平面半径与基圆
锥锥距 R 相等，且圆心与锥顶重
合。当圆平面绕圆锥作纯滚动时，
该平面上任一点 B将在空间展出一
条渐开线 AB。渐开线必在以 O 为
中心、锥距 R 为半径的球面上，
成为球面渐开线。
三、直齿圆锥齿轮的啮合传动
正确啮合条件,圆锥齿轮大端的模数和压力角分别相等，
且锥距相等，锥顶重合
连续传动的条件,重合度大于 1，重合度可按当量齿轮进行计算
传动比,
1
2
1
2
1
2
2
1
12 s in
s in
?
?
?
? ????
r
r
z
zi
轮系及其设计
§ 6— 1 轮系及其分类
轮系：用一系列互相啮合的齿轮将主动轴和从动轴连接起来,
这种多齿轮的传动装置称为轮系。
轮系
定轴轮系（普通轮系）
周转轮系
复合轮系
定 +周
周 +周
4
31
2
OH
2'
H
§ 6— 2 定轴轮系传动比计算
所有主动轮齿数的乘积
所有从动轮齿数的乘积?
15i
一、传动比
A—— 输入轴 B—— 输出轴
B
A
B
A
AB n
ni ??
?
?
二、定轴轮系的传动比计算
三、输出轴转向的表示
1、首末两轴平行，用, +”,,-”表示。
2—— 惰轮,不改变传动比的大小，但改变轮系的转向
2、首末两轴不平行
用箭头表示
3、所有轴线都平行
所有主动轮齿数的乘积
所有从动轮齿数的乘积mi )1(
5
1 ???
?
?
m—— 外啮合的次数
§ 6— 3 周转轮系的传动比计算
? 1 4
1
H
O 1 ? H
O H O 3
? 3
O 2
2
41
3O
O
1
3 3
H
H
O
O
2
2
一、周转轮系
224243 ??????F
1
O
1
H
2
3
2
O
H
O
轮 3固定, 123233 ??????F
差动轮系,F=2
行星轮系,F=1
二、周转轮系的构件
? 1 4
1
H
O 1 ? H
O H O 3
? 3
O 2
2
41
3O
O
1
3 3
H
H
O
O
2
2
行星轮 2
行星架（系杆） H
中心轮 1,3
主轴线 —— 行星架绕之转动的轴线。
基本构件,轴线与主轴线重合而又承受外力矩的构件称基本构
件
2K-H（ K— 中心轮； H— 行量架； V— 输出构件）
还有其他,3K,K-H-V
三、周转轮系传动比的计算
? 1 4
1
H
O 1 ? H
O H O 3
? 3
O 2
2
41
3O
O
1
3 3
H
H
O
O
2
2
反转法
1
3
3
1
3
1
13 )1( Z
Zi
H
H
H
H
H ????
?
???
??
??
?
?
差动轮系,2个运动
行星轮系, 03 ?? 11311 ??? ZZi HH ??
任何周转轮系
)( zfi
HB
HA
H
B
H
AH
AB ??
???
??
??
?
?
举例：图示为一大传动比的减速器，
Z1=100,Z2=101,Z2'=100,Z3=99
求：输入件 H对输出件 1的传动比 iH1
2
H
1 3
2 '
1 0 0 0 0
1 0 01 0 0
991 0 11
11
1
1 ?
?
???? HH ii
若 Z1=99 100
1 ??Hi
周转轮系传动比正负是计算出来的，而不是判断出来的。
四、圆锥齿轮组成的周转轮系
O O
1
2
3
H
21
322
3
1
13 )1( ZZ
ZZ
WW
WWi
H
HH ??
?
??
H
HH
WW
WWi
?
??
2
1
12
（作矢量作）
